命題論理の結合子、トートロジーと真理値表

# はじめに
命題論理において、パラメータの命題の値にかかわらず、常に真になる論理式をトートロジー、あるいは常真式と呼びます。今回はこのトートロジーが成り立つところを真理値表を書いて確かめたいと思います。また、その前提となる結合子や真理値表も記しておきます。

# 命題論理の結合子
|記号|意味|
|---|---|
|&not;|否定、NOT、ではない|
|&and;|連言、AND、かつ    |
|&or;|選言、OR、または    |
|&sup;|包含、IMP、ならば  |
|&equiv;|同値、EQ、等しい |
|&#124;|否定論理積、NAND  |
|&darr;|否定論理和、NOR   |
|⊻,&oplus;|排他的論理和、NAND|

# 真理関数の真理値表(代表的な真理値表)
| P | Q |&not;P|&not;Q|P&sup;Q|P&or;Q|P&and;Q|
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | F |
| F | T | T | F | T | T | F |
| F | F | T | T | T | F | F |


|P≡Q|P &#124; Q | P &darr; Q | P ⊻ Q |
|---|---|---|---|
| T | F | F | F |
| F | T | F | T |
| F | T | F | T |
| T | T | T | F |

# トートロジーの真理値表

* 同一律 … P &sup; P

| P | P | P &sup; P|
|---|---|---|
| T | T | T |
| F | F | T |

* 排中律 … P &or; &not;P

| P | &not; P | P &or; &not;P|
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | T |
>
次の命題 P について考える。
「ソクラテスは死ぬ」
この命題に対して、排中律とは、
「ソクラテスは死ぬかあるいは死なないかのどちらかである」
という命題 P ∨ ¬P が成立する、という規則である（それ以外の第三の状態や中間の状態を取らない） 
[wikipedia:排中律]( https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%92%E4%B8%AD%E5%BE%8B )

* 二重否定律 … &not;&not;P ≡ P

| P | &not; P | &not;&not;P | &not;&not;P ≡ P |
|---|---|---|---|
| T | F | T | T |
| F | T | F | T |

* 矛盾律 … &not;( P &and; &not;P )
 
| P | &not; P | P &and; &not;P | &not;( P &and; &not;P ) |
|---|---|---|---|
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |

>
アリストテレスによれば「ある事物について同じ観点でかつ同時に、それを肯定しつつ否定することはできない」こと
[wikipedia:無矛盾律]( https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%9F%9B%E7%9B%BE%E5%BE%8B )

* Principle of explosion … ( P &and; &not;P ) &sup; Q
 
| P | &not; P | P &and; &not;P | Q | ( P &and; &not;P ) &sup; Q |
|---|---|---|---|---|
| T | F | F | T | T |
| F | T | F | F | T | 

Principle of explosion とは、矛盾からはどのような結論でも導き出せてしまうこと。

* 対偶律 … ( P &sup; Q ) &sup; ( &not;Q &sup; &not;P )

| P | Q | &not;Q | &not;P | P &sup; Q | &not;Q &sup; &not;P | ( P &sup; Q ) &sup; ( &not;Q &sup; &not;P ) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | F | F | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T |


* 推移律 … (( P &sup; Q ) &and; ( Q &sup; R )) &sup; ( P &sup; R)

| P | Q | R| P &sup; Q  | Q &sup; R | ( P &sup; Q ) &and; ( Q &sup; R )) | P &sup; R | (( P &sup; Q ) &and; ( Q &sup; R )) &sup; ( P &sup; R) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F | T |
| T | F | T | F | T | F | T | T |
| T | F | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
| F | F | F | T | T | T | T | T |

これはいわゆる三段論法です。

# そのほかのトートロジー
このあたりで真理値表を書く気力がなくなったのですが、以下もトートロジーです。

* 分配律 … P &and; (Q &or; R) ≡ (P &and; Q) &or; (P &and; R) あるいは P &or; (Q &and; R) ≡ (P &or; Q) &and; (P &or; R)
* ド・モルガン … &not; ( P &or; Q) ≡ &not;P &and; &not;Q あるいは &not; ( P &and; Q) ≡ &not;P &or; &not;Q
* 前件肯定式 … (( P &sup; Q ) &and; P) &sup; Q
* 後件否定式 … (( P &sup; Q ) &and; &not; Q) &sup; &not; P
* 選言的三段論法 … (( P &or; Q ) &and; &not;P) &sup; Q

# そもそもなぜトートロジーを真理値表で確かめているのか
[理論から学ぶデータベース実践入門 ~リレーショナルモデルによる効率的なSQL (WEB+DB PRESS plus))](http://www.amazon.co.jp/gp/product/4774171972)
いまこの本を読んでいるのですが、この本の中に、同一律や排中律、矛盾律などの定理がトートロジーになっていることを真理値表を書いて確かめてください、という記載があって、それでは実際に手を動かして書いてみようと思い立ちました。
真理値表の上で定理がピシャっと常真（パラメータに何が入ろうとも真になる）に落ち着くと、なんとも気持ちがいいですね。途中で力がつきましたが！

以上です。