３次方程式の解：実数解なのに、厳密解は虚数を用いないと表現できない例

大栗博司氏の著書「[数学の言葉で世界を見たら](http://planck.exblog.jp/23582676)」の第８話『本当にあった「空想の数」』に虚数の話があった。

２次方程式

```math
x^2+1=0
```

を例に、「虚数は、このように実数の解を持たない２次方程式を解くために考えられたという解説がよくされるが、そうではない。歴史的には、虚数の考え方が数学で真剣に考えられるようになっってきたのは、２次方程式ではなく、３次方程式の解法の研究からだった。」と述べている。
そして３次方程式

```math
x^3-6x+2=0
```

の例が挙げられていた。

#Mathematicaでの検証
まず

```math
y=x^3-6x+2
```

のグラフを書いてみる。

```
Plot[x^3-6x+2, {x,-3,3}]
```

![fig1.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/92039/9dccd190-ff0e-b3bb-9346-07b6401de12b.png)

３次曲線がx軸に３箇所で交わっていること(３つの実数解を持つこと)がわかる。
次に３次方程式を解いてみる。

```
x/.Solve[x^3-6+2==0,x]
```

```math
\left\{\frac{2}{\sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}}+\sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}},-\frac{1+i \sqrt{3}}{\sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}}-\frac{1}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right)
   \sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}},-\frac{1-i \sqrt{3}}{\sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}}-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}\right\}\
```

Mathematicaは思ったように分母の有理化をしてくれないのだけれど、実は

```math
\frac{2}{\sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}}=\sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}}
```

である。これは

```
ToRadicals[FullSimplify[2/(-1 + I*Sqrt[7])^(1/3)]]
```

で確認できる。従って

```math
\left\{\sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}}+\sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}},-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}}-\frac{1}{2} \left(1-i
   \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}},-\frac{1}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}}-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right)
   \sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}\right\}
```

となる。３乗根の中に虚数単位 `i` が残っている。ところが、例えば最初の解

```math
\sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}}+\sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}
```

の２つの３乗根は実は複素共役であって、その和は実数。
関数`N`を使って近似解を求めれば、

```math
\{2.2618,-2.60168,0.339877\}
```

と実数である。なんとも不思議な話。

#追記
先ほどの３次方程式の３解は各々２つの３乗根の和になっているが、それを分けた６つの数を考える。

```math
\left\{\sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}},\sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}},-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}},-\frac{1}{2} \left(1-i
   \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}},-\frac{1}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}},-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right)
   \sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}\right\}
```

実はこの６つの数は全て方程式 $x^6+2x^3+8=0$ の解。
方程式 $x^3-6x+2=0$ とは何らかの関係があるのだろうけれど、これ以上は追求しません。(^_^;)

#複素平面乗での６次方程式の解の配置
６次方程式 $x^6+2x^3+8=0$ の解は、絶対値と偏角で表示すると対称性があることがわかる。

```math
\sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}}=\sqrt{2} e^{-\frac{1}{3} i \left(\pi- \tan ^{-1}\left(\sqrt{7}\right) \right)}
```

```math
\sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}=\sqrt{2} e^{\frac{1}{3} i \left(\pi -\tan ^{-1}\left(\sqrt{7}\right)\right)}
```

```math
\frac{1}{2} \left(-1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}}=-\sqrt{2} e^{\frac{1}{3} i \tan ^{-1}\left(\sqrt{7}\right)}
```

```math
\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}=-\sqrt{2} e^{-\frac{1}{3} i \tan ^{-1}\left(\sqrt{7}\right)}
```

```math
\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1-i \sqrt{7}}=\sqrt{2} e^{\frac{1}{3} i \left(\pi +\tan ^{-1}\left(\sqrt{7}\right)\right)}
```

```math
\frac{1}{2} \left(-1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-1+i \sqrt{7}}=\sqrt{2} e^{-\frac{1}{3} i \left(\pi +\tan ^{-1}\left(\sqrt{7}\right)\right)}
```

複素平面上に $Re(x^6+2x^3+8)=0$ の線(水色)と $Im(x^6+2x^3+8)=0$ の線(橙色)を描いてみると下図のようになる。水色線と橙線の交点(赤色)は方程式 $x^6+2x^3+8=0$ の解。絶対値 $\sqrt{2}$ の円上にある。

![fig.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/92039/4af9a742-6e46-8f6c-dd73-33ce8b7b3f7e.gif)

これは偶然、ではないですよね。

###随時更新します。