シュタイナーの円鎖

幾何学において、シュタイナーの円鎖（しゅたいなーのえんさ、）または シュタイナー環、シュタイナーの円環、シュタイナー円鎖は、個の円がある2つの交わらない円と円鎖の前後の円とに接しているとき、その個の円を指す用語である。ただしは有限の整数であるとする。特に円鎖が閉じる（closed chains）とは最初の円と最後（個目の円）が接する状態にある、ということである。逆に open chains とは、そうでない場合を表す。シュタイナーの円鎖の2つの円（図1の赤と青の円）の条件は円が交わっていないことだけである。つまり、一方の円がもう一方の円の内部になければならないわけではない。シュタイナーの円鎖の円の中心の軌跡は、一方の円がもう一方の円の内部にあるならば楕円を、そうでないならば双曲線を成す。

シュタイナーの円鎖はヤコブ・シュタイナーに因み名づけられた。彼の功績の一つに Steiner's porism と呼ばれる以下の様に定義される図形がある。

 2つの円に対して、個の円の閉じているシュタイナーの円鎖が一つでもあれば、個の円の閉じているシュタイナーの円鎖は無数に見つけることができる。そしてに接する円はすべて、そのようなシュタイナーの円鎖の一つになり得る。 

反転幾何学はシュタイナーの円鎖をうまく扱うのに有用である。反転は交点、角、円を一対一対応させるため、個の円の成すシュタイナーの円鎖は反転によって別の個の円に移る。ある円における反転は円を同心円に変換し、その変換によってとシュタイナーの円鎖を構成するすべての円は同じ大きさになり、玉軸受のようにアニュラス上を"転がる"ことができる。この構成がシュタイナーの円鎖の様々な性質をもたらしている。たとえば、シュタイナーの円鎖の円同士の接点は常に共円である。 シュタイナーの円鎖の派生物には例えばソディの六球連鎖やパップス円鎖がある。

 定義と接し方の種類 
2円が交わっていなければの配置は、小さい方の円が大きい方の円の内部にあるか、外部のあるかの場合のみである。2円は基本的にアニュラスのように小さい円が大きい円の内部にある場合で表現される。この構成ではシュタイナーの円鎖は内側の円に外接し、外側の円に内接している。しかし、小さい方の円が大きい円の外部にある場合も存在する。この場合も、シュタイナーの円鎖の条件を満たし、元の2円に外接のみ、または内接のみするようになる。 元の2円が接している場合は円鎖は無限となりアルベロスとともに議論されることが多い（パップス円鎖）。

 閉じている、開いている円鎖 
2つの円は個のシュタイナーの円鎖の円と接しているが、個の各円はと両隣の円の4つとしか接していない。普通はシュタイナーの円鎖が閉じている場合を議論するがそうでない場合、つまりが接さない場合、は3円とだけ接することとなる。多環のシュタイナーの円鎖ではその円鎖が閉じる前にさらに何周かすることとなる。

シュタイナーの円鎖は双角錐におけるの系である。

 アニュラスと条件 

シュタイナーの円鎖のもっとも簡単な場合は、2つの円が同心円であるときである。の中心をとする。個のシュタイナーの円鎖について、2円の大きい方の半径を、小さい方の半径を、隣り合うシュタイナーの円鎖の円の中心をとして対称性より、である。また隣り合うシュタイナーの円鎖の円は接するのでその円の中心の距離は円の半径の2倍に等しい。図のようにの角の二等分線は2つの直角三角形をつくるのでとして、その正弦を求めることができる。

 

よってについて整理して以下の式を得る。

 

シュタイナーの円鎖とそれぞれの接点と、の中心は明らかに共線であるからが従う。

この等式は、シュタイナーの円鎖ができる条件を与える。 個のシュタイナーの円鎖ができる条件は、2円の半径が以下の式を満たすことである。

 

下記の様に、半径の比は2円のによって、任意の円に拡張することができる。

 

同心円上の2円についての解法を使って、一般の位置にある2円に対する 個のシュタイナーの円鎖ができる条件は以下の様にまとめられる。

 

個のシュタイナーの円鎖が多環であるときは、アニュラスを周するとして隣り合うシュタイナーの円鎖の円の中心の成す中心角が以下を満たせばよい。

 

別の言い方をすれば、シュタイナーの円鎖のできる条件は不変であるということである。

 反転下での性質 
円による反転はシュタイナーの円鎖を、同数の円を持つ他の図形に変換する。

円鎖の反転で、隣り合う円が接するという事実は変わらない。また、与円が同心円になるよう反転したとき、シュタイナーの円鎖の隣り合う円の接点は与円を反転したものの中間上にある。したがってシュタイナーの円鎖で、隣り合う円との接点は同一円周上にある。この方法はパップス円鎖にも適応できる。

反転された円鎖では、の中心からシュタイナー円鎖の円への接線は等角度で離れている。これは元の円鎖において反転の中心を通るシュタイナー円鎖の円の接線の成す角が常に等しいことを示している。

円鎖の反転で、元の円とシュタイナーの円鎖を成す円の接点と、その反対側の接点を結ぶ本の直線はすべて一点で交わる。同様に接点における接線もで交わる。反転の中心を通る直線は反転で不変でありまた、接したり交わったりするなども不変であるので上で言及した2n本の直線に反転で対応する図形は一点で交わる。

 無限個の族 

2つの交わらない円について、そのシュタイナーの円鎖を反転させたものをアニュラス上で"転がす"ことにより、別のシュタイナーの円鎖を作ることができる。故に、2つの与円についてのシュタイナーの円鎖は無限個ある。

 中心の軌跡 
シュタイナー円鎖を成す円の中心は常に二次曲線上にある。例えば元の円の一方の円がもう一方の円の内部にある場合は楕円、外部にある場合は双曲線となる。これはアポロニウスの問題やパップス円鎖にも利用されている。3次元ではソディの六球連鎖に応用されている。 

元の2円を、その半径をそれぞれ、中心をそれぞれとする。ただしはの内部にあるとする。またシュタイナーの円鎖の番目の円の円周、半径、直径、中心をそれぞれ とする。

は常にある楕円上にある。これは円が接することを式にしたとき下記の様になり、この時の軌跡はよく知られた事実により楕円となるためである。

 

このためとそれぞれの距離の和は常にとなる。特に、この楕円の焦点はとなることが従う。

更にこの楕円の長軸は以下の式を満たす。

 

をの距離とすると、 楕円の離心率について以下の式が成立する。

 

短軸を、半直弦をとすれば以下の式が成り立つ。

 

 

したがって軌道の方程式は以下のようになる。

 

ここでは軌跡を成す点が二つの頂点に対して成す角である。

 円鎖の共役 
シュタイナーの円鎖は偶数個の円で構成されるならば、同じ図形内で元の2円を円鎖の正反対の円に変えても、他の円で円鎖が起きているとみなすことができる。元の円鎖が個で周期、初めの円を変えた後の円鎖が個で周期とすれば、以下の式が成り立つ。 

 

もっとも簡単なものは円鎖が4円で構成されていて周期が1の時である。より一般的には、シュタイナーの円鎖を成す円はすべて4円と接して、与円2つはn個の円と接しているが、この場合は与円2つと、円鎖を成す4円は、すべて4つの円と接していることになる。したがってなので下記の様に式が成立していることが分かる。

 

 一般化 

シュタイナーの円鎖の自然な一般化は、与円が交わっているときである。一点で交わる、つまり接しているときはパップス円鎖となる。パップス円鎖は無限個の円から成る。

ソディの六球連鎖は6円のシュタイナーの円鎖を3次元に一般化した場合である。このとき六球の中心は同一円錐曲線、特に楕円上にある。六球の中心をある平面に固定したとき、六球連鎖の包絡線はと呼ばれる図形となり、その反転はトーラスとなる。六球は与円にそれぞれ内接、外接するだけでなく他のある二球にも接している。

階層的に、シュタイナーの円鎖は別の一般化をすることができる。普通のシュタイナーの円鎖の2円が入れ子になっている、すなわち一方の円がもう一方の円に完全に収まっている場合、シュタイナーの円鎖は大きい方の与円に内接することになる。階層的なシュタイナーの円鎖ではシュタイナーの円鎖のそれぞれの円はそれ自身が他のシュタイナーの円鎖の円に内接している。この過程を続けていくと、アポロニウスのギャスケットのようなフラクタルを作ることができる。