接続 (ファイバー束)

ファイバーバンドルの接続（せつぞく、）とは、ベクトルバンドルの接続概念（Koszul接続）を任意のファイバーバンドルに拡張したものである。

これにより、原理的には任意のファイバーバンドル上で接続の概念を考えられるようになるが、実際に研究が進んでいるのはベクトルバンドルの場合とそれに対応する主バンドルの場合、具体的に、、回転群、ユニタリ群、シンプレクティック群、スピン群等、一般線形群やその閉部分リー群に対する主バンドルの場合である。
なお、これらはそれぞれ実ベクトルバンドル、実計量ベクトルバンドル、複素ベクトルバンドル、複素計量ベクトルバンドル、シンプレクティックバンドル、に対応する。

こうした群の場合、主バンドルの接続からベクトルバンドルの接続が定義でき、逆にベクトルバンドルの接続から主バンドルの接続が定義できる事を本章で見る。ファイバーバンドルの接続、特に主バンドルの接続を考える主目的はベクトルバンドルの接続を別の角度から捉え直す事にある。

チャーン・ヴェイユ理論では、特性類という主バンドルを使って特徴づけられる概念を用いるので、上記のように主バンドルに対して接続を定義することで、理論の記述が可能になる。

以下、本項では特に断りがない限り、多様体、関数、バンドル等は全て級の場合を考える。よって紛れがなければ「級」を省略して単に多様体、関数、バンドル等という。

 名称に関して 
ファイバーバンドルの接続のことをエーレスマン接続（）と呼ぶ場合があるが、主バンドルに対する接続の事を「エーレスマン接続」と読んでいる書籍もあるので注意が必要である。なお主バンドル上においても両者の概念は同値ではなく、ファイバーバンドルの接続のうち構造群の作用に関して不変なものを主バンドルの接続と呼ぶ。

両者の区別のため、一般のファイバーバンドルの接続を一般の接続（）、主バンドルの接続を主接続（）と呼ぶ場合がある。

またファイバーバンドルの接続のうち、完備なもののみを「エーレスマン接続」と呼ぶ場合もある。なおエーレスマン自身による定義では完備性を仮定していた。

 動機 

本節では、ファイバーバンドルの接続、中でも特に主バンドルの接続を定義する動機を説明する。

リーマン多様体の接バンドル上のレヴィ・チヴィタ接続、あるいはより一般に任意の多様体のベクトルバンドルの接続はベクトルバンドル上の微分演算子によって定義されている。

上のベクトル場に対し行列を

 

により定義し、にを対応させる行列値の1-形式を局所的な基底に関する接続の接続形式（）という。

が定義する共変微分はライプニッツ則により、
 
とかけるので、接続形式が分かれば接続が再現でき、とは1対1対応する。ここではの切断である。

実はむしろから接続概念を定義したほうが、数学的に有利である事が示唆され、このアイデアを結実したのが主バンドルの接続概念である。

接続形式から接続概念を定義したほうが有利な理由は２つある。第一に、リーマン多様体であればから定義される曲率テンソルを使って記述できた恒等式、例えば（第二）構造方程式や（第二）ビアンキ恒等式は、一般のベクトルバンドルではを使わないと記述できない（接続 (ベクトル束)#曲率を参照）。

第二に、接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式と強く関係しており、底空間の曲線に沿って定義された局所的な基底をで微分したものが接続形式に一致する。

よって特に（レヴィ・チヴィタ接続などの）がの計量と両立する接続の場合、による平行移動は回転変換、すなわちの元なので、その微分である接続形式はのリー代数の元、すなわち歪対称行列である。

このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群（上の例では）が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。

上では回転群の場合を説明したが、（を自然にの部分群とみなしたもの）や、物理学で重要なシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。

こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。後で説明する、リー群の主バンドルに対する接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。

そこで本項では、まずベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の両方を包括する概念であるファイバーバンドルの接続概念を導入する。この概念は「そもそも平行移動とは何か」を直接的に定式化したもので、この概念それ自身が接続形式の言葉で記述されるわけではない。

そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて主バンドルの接続概念を定義すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化する。そして構造群を持つファイバーバンドルにその主バンドルから接続を誘導する方法を説明する。そして最後にベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の接続形式の言葉で記述する。

 ファイバーバンドルの接続の定義 

ファイバーバンドルの接続概念は、ベクトルバンドルの接続における平行概念を自然に拡張する事で定義する。

 定義の背後にある直観 

をベクトルバンドルとし、をこのバンドルのKoszul接続とする。上の任意の曲線と上の任意の切断で平行なものに対し、を上の曲線とみなしたときにが入るの部分空間を「水平部分空間」と呼ぶ。

以上のように接続から水平部分空間が定まるが、逆に水平部分空間の情報があれば接続を再現できる事も知られている。実際、が常に水平部分空間に入るような切断を平行な切断とみなす事で水平部分空間から平行が再現でき、平行概念から接続概念を再現できる事も知られている。

よってベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。

 定義 
以上の考察を元に、ファイバーバンドルの接続を定義する。そのためにまず「垂直部分空間」という概念を定義する。をファイバーを持つファイバーバンドルとし、をの元とするとしが誘導する写像をとするとき、

 

を、におけるの垂直部分空間（）という。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する：

分解
 
があれば、の元のへの射影
 
すなわち、となる線形変換を定義できる。このを垂直射影（）もしくは接続写像（）といい、接続写像によって接続概念を定式化することも可能である：

後で述べるように、この垂直射影が主バンドルの接続の場合は接続形式に対応している。

ジェットバンドルによる特徴づけ
本節ではの概念を用いる事でファイバーバンドルの接続を特徴づける。

 ジェットバンドルの定義 
をファイバーバンドルとし、をの点とする。の近傍で定義されたの２つの切断、に対し、
 
という同値関係を定義し、その同値類をと書き、の1次のジェット（）という。さらに同値類全体をと書き、とすると、
 
によりは上のバンドルとみなせる。このバンドルをファイバーバンドルに関する1次のジェットバンドルという。なお、
 
によりを上のバンドルとみなすこともできる。

 ジェットバンドルを使った接続の特徴づけ 
ジェットを一つ指定すると、点における平面で垂直部分空間とを満たすものが定義できる。逆にを満たす平面からジェットが1つ定まる事も容易に示せる。

ファイバーバンドルの接続とはの各点にを満たすを定めるものであったので、上述の議論から、これはの各点にを満たすジェットを定める事に等しく、の各点にそのようなジェットを定める行為は
 
の切断を定める行為に等しい。よっての接続概念を以下のように定式化できる：

「切断」という「水平部分空間」よりも数学的に扱いやすい対象によって接続を定義できる点でこの定義は有益である。

 諸概念 
本節では、上記の接続の概念に基づいて、一般のファイバーバンドルに対して平行移動、共変微分、および曲率形式の概念を定義していく。
ベクトルバンドルの場合にこれらの概念がこれまで議論してきた平行移動、共変微分、および曲率形式の概念に一致する事は後述する。

 平行移動 
平行移動の概念を以下のように定義する：
接続の定義から、

 

はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像

 

を考える事ができる。をのへの水平リフト（）といい、に水平リフトを対応させる写像
をクリストッフェル写像（）という事もある。この写像とクリストッフェル記号の関係は後述する。

水平リフトの定義から明らかなように、切断が平行である必要十分条件は

 

を満たす事である。

常微分方程式の解の局所的な存在一意性から、平行移動は局所的に存在し、かつ一意である。

すなわちを曲線の時刻のファイバーの元とするとき、（とに依存した）の近傍が存在し、上ではの平行移動が一意に存在する。

 完備性 

 定義 
前節で平行移動が局所的には必ず存在する事を見たが、平行移動の大域的な存在性は必ずしも保証されない。平行移動が大域的に存在するときに接続は完備であるという：

任意のファイバーバンドルに完備な接続が少なくとも1つ入る事が知られている。

なお、接バンドルにおいては「完備」という言葉は
 アフィン接続の測地線完備性
 リーマン計量が入っている場合の距離空間としての完備性
にも使われるが、上述した接続の完備性はこれらの完備性概念とは別概念である。実際、（アフィン接続に限らず）Koszul接続の場合には、平行移動は常に定義可能であるので、Koszul接続は上述の意味で常に完備である。

ファイバーがコンパクトの場合も完備性が成り立つ：

 反例 
本節では完備ではない接続の例をあげる。とし、上のファイバーバンドル

を考え、このファイバーバンドル上に下記のような接続を考える：
 点における水平部分空間は、内の傾きの直線である
ここで直線の「傾き」はを自然にと同一視したときの傾きである。

このようにすると、上の直線に沿って点のファイバー上の点を平行移動した結果できる曲線は
 
である事を容易に示す事ができる。この平行移動は
 
の範囲でしか延長できず、完備でない事が言えた。

上記の例でも分かるように、水平移動の局所的存在性において、水平移動が存在する範囲がファイバーの元（上記の例では）に依存しており、上記の例であればでなくてはならない。この事が水平移動の大域的存在性を保証できない原因となっている。

共変微分
本節ではまず共変微分を天下り的に定義し、次に平行移動の概念を用いて共変微分の概念の意味付けを行う。

 定義 

 リフトとの関係 
上のベクトル場に対し、の各点にを対応させるベクトル場を
 
と書くことにすると、以下が成立する事が知られている：

よって特に次が成立する：

平行移動の定義より、が平行であれば、
 
であった。この事からすなわち、共変微分とは、平行移動からのズレを表す量である事がわかる。

 成分表示とクリストッフェル写像 

本節では共変微分を成分表示で表し、これにより水平リフトがなぜクリストッフェル写像と呼ばれるのかを見る。このためにファイバーバンドルの点に対し、の近傍における局所座標を選び、さらにの局所座標
 
として、局所座標がの元をで写像するしたものの局所座標がとなるものを取る。

水平リフトはの右逆写像であった事から、を上のベクトル場とすると、における水平リフトは何らかの実数の組を用いて
 

という形に成分表示できる。共変微分とリフトの関係性から、簡単な計算により、以下の定理を示すことができる：

上記の定理をKoszul接続に関する共変微分の成分表示と比較する事で、がクリストッフェル記号に対応している事が分かる。事実Koszul接続ではがに関して線形であり、成分表示がクリストッフェル記号と一致する（後述）。

水平リフトの事をクリストッフェル写像と呼んだのは以上の理由による。

 曲率 

 定義 
接続概念の定義において垂直方向への射影
 
を導入したが、同様にして水平方向への射影
 
も定義できる。

曲率概念はこの、を使って定義できる：

なお、Frölicher–Nijenhuis bracketを用いると、曲率形式は
 
とも書き表せる。
さらに曲率形式に対する下記の（第二）ビアンキ恒等式が成立する事も示せる
 .

 曲率概念の可積分性による意味付け 

曲率概念の意味付けをみるため、いくつかの概念を定義する。
を接続が定義されたファイバーバンドルとし、をこの接続が定める共変微分とする。

をの開集合上で定義されたの切断がの任意の点とにおけるの任意の接ベクトルに対し、

を満たすとき、は平坦()であるという。

定義から明らかなようにが平坦であるとは、をからへの写像とみなしたとき、が誘導する写像によるの像が常に水平部分空間に属する事と同値である。

の任意の点に対し、を通るの平坦な切断が存在するとき、接続は平坦であるという。

定義から明らかなように、接続が平坦であるという事は、超平面の族が可積分である事と同値である。

フロベニウスの定理を用いると、次が成立する事を証明できる：

したがって曲率形式は水平部分空間　が可積分ではない度合いを表す量である。

 曲率概念のホロノミーによる意味づけ 
これまで通りを接続が定義されたファイバーバンドルとする。さらにをの原点の開近傍とし、の元を成分でと表し、を埋め込みとし、に対し、

 、

とする。を上の以下のような閉曲線とする：からだけ右に動き、だけ上に動き、だけ左に動き、だけ下に動く。

このときに沿って、のファイバーの点を平行移動したものは、

 where 

に等しい。このを使って曲率形式を特徴づける事ができる：

 成分表示 
クリストッフェル写像の節と同様に、の元がの局所座標およびの垂直方向の局所座標の組で書き表されているとし、に対し、
曲率を
 

と成分表示する。さらにクリストッフェル写像の節と同様、における水平リフトを
 

と書く。

 ホロノミー群 

本節では特に断りのない限り、を完備な接続が定義されたファイバーバンドルでが連結なものとする。

 定義 

をの点とし、をから自身への区分的になめらかな閉曲線とすると、接続が完備なのでのファイバーの任意の元に対し、をに沿って一周平行移動してできた元をとする事で、上の可微分同相写像
 
を定義できる。

さらに以下を定義する：

が連結である事から（制約）ホロノミー群の群構造はによらないので、紛れがなければ、を単に、と書く。

 ホロノミーリー代数 
における接ベクトルに対し、にのでの水平リフトを対応させる

 

をファイバー上の切断とみなしたものをと書く。

2つのベクトルに対し、、はいずれも上のベクトル場なので、曲率形式に対して、

 

を定義でき、これは上のベクトル場とみなせる。さらにをfixし、からまでつなぐ曲線に沿ってを平行移動したものをと書く。実は以下の定理が成立する。なお、以下の定理は主バンドルに対するAmbrose–Singerの定理を任意のファイバーバンドルに一般化したものである：

クリストッフェル形式
をファイバー空間を持つファイバーバンドル、をその上の接続とし、の点との近傍に対し、の局所座標を
とする。ここではの開集合である。以下、紛れがなければとその局所座標を同一視する。

クリストッフェル形式を使うと曲率が以下のように書ける：

上述の定理はあくまで局所座標で成立するものに過ぎないが、後述する主バンドルの接続の場合は局所座標ではなく手バンドル自身の上で同種の定理が成り立つことを後で示す。

接続の引き戻し
を接続が定義されたファイバーバンドルとし、を多様体からへのなめらかな写像とすると、ファイバーバンドルの引き戻し
 
が定義できる。

曲率は引き戻しに対して自然に振る舞う：

一方、接続に関する他の諸概念、例えば水平リフトは引き戻しに関して自然に振る舞うとは限らない。実際がを一点に潰す写像であれば、の像は全てベクトルであるので、で写像してから水平リフトするのと水平リフトしてからで写像したのでは結果が異なる。

水平リフトは引き戻しに関して自然に振る舞う条件は微分がfull rankになる事で、が点においてfull rankであれば、の元をで写像してから水平リフトするのと水平リフトしてからで写像したのは結果が等しくなる。

 主バンドルの接続 

本節では主バンドルの接続を定義する。

 定義 

主バンドルの接続は、ファイバーバンドルの接続で群作用に対して不変になるものである：

ここでは垂直部分空間であり、はのへの右からの作用がに誘導する写像である。をにおける水平部分空間という。

一般のファイバーバンドルの接続の場合と同様、垂直射影を用いて接続概念を定義することも可能で、
 任意のに対し、
 任意の、に対し、
により接続概念を定義づけられる。

しかし次節に見るようにリー群・リー代数対応に着目する事で、リー代数の言葉を使った定式化も可能である。

 リー代数を使った定式化 
本節では、前節で定義した主バンドルの接続概念をリー代数を使って特徴づける。

そのためにまず、定義のために必要な概念を導入する。

基本ベクトル場
をリー群とし、をそのリー代数とし、さらにをが右から作用する多様体（例えば-主バンドルの全空間）とする。

なお、が-主バンドルの全空間の場合にはは垂直部分空間の元である事が容易に示せる。

 随伴表現 
ここでは上の線形同型全体のなすリー群である。随伴表現の定義はの取り方によらずwell-defninedである。

定式化

基本ベクトル場の定義より明らかに各に対し、写像
 
は全単射であるので、の写像の逆写像を垂直射影と合成する事で、
 
作る事ができる。この写像をに値を取る1-形式とみなしたものを

とし、各点にを対応させる上の値1-形式の場を接続形式（）という。ここでは上の値1-形式全体の集合である。

以上の議論から明らかに垂直射影からが定まり、逆にから垂直射影が定まるのでによって接続概念を定式化できる：

主バンドルとしての接続から前述の方法での接続形式が定まり、逆に接続形式がになる方向を水平方向とすることでに主バンドルとしての接続が再現できるので、両者の定義は同値である。

諸概念
本節では主バンドルの接続に関する諸概念を接続形式を使って表現する。

共変微分

接続が定義された主バンドルにおいて、切断の共変微分は
 
により定義されていた。一方主接続の接続形式は垂直射影を基本ベクトル場を考えてリー代数と対応付ける事で定義されていた。よって次が成立する：ここで

 for 

である。

曲率

本節では、上記で定義したリー代数による接続の記述を使って曲率形式をリー代数の言葉で書き換える。

そのために-値1-形式、に対し、

と定義する。ここでは上のリー括弧である。さらに前節同様
 
を考える。紛れがなければ添字を省略し単にと書く。

曲率形式は次を満たす：ここでは水平部分空間への射影である。

モーレー・カルタン形式

接続形式の意味を見るため、リー群のモーレー・カルタン形式を定義する。

モーレー・カルタン形式は以下を満たす：

上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式（）、もしくはリー群の構造方程式（）という。

一点集合を次元多様体とみなし、を上の-主バンドルとみなすと、上記の定理から明らかにモーレー・カルタン形式はこのバンドル上の接続となる。

構造方程式から以下が明らかに従う：

曲率がである事は水平部分空間が可積分である事と同値であったので、水平部分空間が自明になる一点上のバンドルでは曲率がになるのは自明である。

実は以下が成立する：

実際、底空間が一点である事から
とは同次元なので垂直射影は恒等写像しか存在せず、しかも基本ベクトル場の定義からとに対し、
 
であるので、上の接続は

のみになる。

以上のことから接続形式が定義された-主バンドルに対し、を上の一点のファイバー（すなわちこの接続の垂直方向）に制限したものは必ずモーレー・カルタン形式に一致する。

実は次が成立する：

以上のことから、接続形式とは、各ファイバー上ではモーレー・カルタン形式に一致し、しかもの作用との両立性をみたすものとして特徴づけられる。

平行移動
主バンドルの接続の場合、平行移動は以下を満たす：

よって特に以下が成立する：

実際、とすれば上の系が成立する。ここではの単位元である。

 ベクトル値を取る微分形式 
本節では主バンドルの微分形式のうち性質の良いものがに対応するベクトルバンドルの微分形式と1対1に対応する事を見る。次節でこの同型を曲率形式がリー代数のバンドルの元とみなせる事を示すのに利用し、更に後の章でベクトルバンドルの共変外微分を定義するのに利用する。

をベクトル空間とし、
 

をリー群から上の一般線形群へのなめらかな準同型（すなわちなめらかな線形表現）とし、を接続形式が定義された-主バンドルとする。
ベクトルバンドルを考え、に対し、
 
を商写像とすると、の元はによりの元と自然に対応する。ここではに値を取る次微分形式全体の集合である：

上記の写像の逆写像は以下のように書ける：

 随伴バンドル 
本節ではリー群の随伴バンドルを定義し、曲率形式は随伴バンドル上の微分形式とみなせる事を見る。まず随伴バンドルを定義する：前述した主接続の曲率の性質から、に接続形式が定義されているとき、
 

が成立する。すなわち曲率形式は随伴バンドルの元と見なすことができる。
一方、接続形式は（恒等的にでない限り）テンソル形式の定義における水平性を満たさないので、である。

共変外微分

 主バンドル上の共変外微分 
を接続形式が定義された-主バンドルとし、

を接続に関するの点における水平射影とし、さらにをベクトル空間とする。を値-形式全体の集合とすると、に対し、
 
を定義できる。

共変外微分は通常の外微分と違い、はになるとはかぎらないが、が構造群のリー代数である場合には、以下の関係式を示すことができる。以下では接続形式に関する曲率である：

 同伴バンドルへの接続の誘導 
本節では主バンドルの接続からそれに同伴するバンドルに接続を誘導する方法を述べる。

 準備：同伴バンドル 
まず同伴バンドルの定義を復習する。を-主バンドルとし、を左からのの作用を持つ多様体とするとき、を
 for 
という同値関係で割った空間をとすると、
 
は構造群を持つファイバーのファイバーバンドルになる。をのに関するという。

 接続の誘導 

 定義 
本節では主バンドル上定義された接続を用いて同伴バンドルに接続を定義する方法を説明する。

に対し、写像
 
を考える。

上記の定義においては代表元の取り方によらずwell-definedである。

別の定式化

本節では、前節で定義した同伴バンドルに誘導された接続を別の方法で特徴づける。

そのために上の積を取る写像と逆元を取る写像
 
 
を考え、これらが接バンドルに誘導する写像
 
 
をそれぞれ上で積を取る演算、逆元を取る演算とみなすと、がこの積に対して群になる事を示す事ができる。この群をリー群の（）という。

を上記の方法で群とみなすと、-主バンドルが誘導するは主バンドルとみなせ、が誘導するは群のへの群作用とみなせる。

このため同伴バンドル
 
を考える事ができる。しかも
 
が同型
 
を誘導することも示す事ができる。

本節で定義された「誘導された接続」が前節で定義されたものと同一であることを用意に示す事ができる。

 誘導された接続の性質 

 共変微分 
本節では同伴接続の共変微分が主接続の接続形式を用いて表現できる事を見る。まず記号を定義する。

を主バンドルと作用から定義されたバンドルとする。

さらにに接続形式がの接続形式が定義されているとし、この接続がに誘導する接続の共変微分をとする。

そしてに対し、

とする。

 曲率 

主接続の曲率とそこから誘導された接続の曲率は以下の関係を満たす。

 誘導された接続の特徴づけ 
本節ではファイバーバンドル上の（一般の）接続が主バンドルの接続から誘導された接続である条件をクリストッフェル形式を用いて記述する。

なお上では「あるバンドルアトラスが存在して」としたがあるバンドルアトラスに対して上記の性質が成立すれば任意のバンドルアトラスに対して上記の性質が成立する事が知られている。

 ベクトルバンドルの接続 

本節ではベクトルバンドルとしての接続（すなわちKoszul接続）と、一般の接続概念や主接続の概念との関係をみる。

Koszul接続の定義
まずKoszul接続の定義を復習する：

ここで、は上の任意のベクトル場であり、、はの任意の接続とし、、は上定義された任意の実数値可微分関数であり、、は任意の実数であり、は点においてとなるベクトル場であり、はの方向微分であり、はである。

ファイバーバンドルの接続との関係

ベクトルバンドルにおいては垂直部分空間と接空間が自然に同一視できるので、その同一視の写像を
 
と書く。

本節では一般の接続概念から定義される共変微分をとするとき、がKoszul接続になる条件を述べる。なお、逆にKoszul接続から一般の接続概念を誘導する方法はすでに述べた。

Koszul接続から一般の接続概念を誘導する方法と（上記の定理の条件を満たす）一般の接続概念からKoszul接続を誘導する方法は「逆写像」の関係にあり、上記の定理の条件を満たす一般の接続概念とKoszul接続は1:1に対応する。

 クリストッフェル記号 
をベクトルバンドルとし、をの局所座標とし、をの局所的な基底とし、の元をと表すと、クリストッフェル写像の節で述べたように、における水平リフトを
 
と書ける。一方、Koszul接続のクリストッフェル記号を
 
と定義すると、上述の定理から以下が従う：

 フレームバンドル 

次に我々は主バンドルの接続とベクトルバンドルの接続の関係を見る。そのための準備として本節では「-フレーム」、および「-」の概念を導入する。

 定義 
「-フレーム」とは正規直交基底の概念を一般化したもので、がの場合、-フレームが正規直交基底に相当する。

ここではの標準的な基底であり、は線形変換をに作用させたものである。

構造群を持つベクトルバンドルの定義から、-フレームの定義はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedである。

を上の-フレーム全体の集合とすると、

は自然に上の-主バンドルをなし、を構造群に関するフレームバンドルという。

 に対応する主バンドルとの関係 
をに対応する-主バンドルとすると、は-フレームバンドルと自然に同一視できる：

よって以後、に対応する-主バンドルとを自然に同一視する。

 商写像との関係 
フレームバンドルの利点は、主バンドルからベクトルバンドルへの商写像に直観的な意味を与えられることにある。以下では前節同様に対応する-主バンドルである。

 主接続によるKoszul接続の誘導 

 接続の対応関係 
本節では-主バンドルの接続形式の関係とこの接続がベクトルバンドルに誘導する接続の関係を述べる。これまで同様をの閉部分リー群とする。また前節で主バンドルがフレームバンドルと自然に同一視できる事を見たので、以下主バンドルとフレームバンドルを区別せずに用いる。

本節では以下特に断りがない限り、をの部分リー群とし、をのリー代数とし、をを構造群を持つベクトルバンドルとし、をそのフレームバンドルとする。

主接続とKoszul接続の関係を見るための準備として、以下の概念を導入する：上で定義したKoszul接続の接続形式を使っての接続形式を定義するのだが、は一般には行列値の1-形式、すなわち

に値を取る1-形式であるが、の接続形式は必ずのリー代数に値を取る必要がある。そこでがに値を取る場合に話を限定する。このとき、以下が従う：

上の定理で、上の主接続に対応するのは、この接続がに誘導するが定義する共変微分である。接続の誘導の定義から共変微分がKoszul接続に一致する条件を満たすのを容易に確認できる。

逆にと両立する接続が与えられたとき、に対し、
 は時刻0にを通り、しかもとなる切断
を水平部分空間とするの主接続が与えられる。なお、この主接続の接続形式はの局所自明化、の接続形式、のモーレー・カルタン形式を用いて
 
と書ける。ここではの単位元である。

 共変微分の対応関係 
ベクトルバンドルの切断が与えられたとき、上の関数
 , where 

を定義できる。このとき次が成立する：

ここでは上のベクトル場により上の値関数の各成分を微分したの事である。

 ホロノミーによるKoszul接続が導出される条件 
前節ではフレームバンドルに接続が定義されている状況下でその接続がに誘導するKoszul接続を考察してきたが、本節ではこの逆、すなわちのKoszul接続がどのような条件を満たせばがフレームバンドルに接続から誘導されたものと一致するかを調べる。このために以下の定義をする：

前述のAmbrose-Singerの定理の一般化から以下の定理が従う：

Koszul接続が「と両立する」事の定義は上で挙げたものの他に前の節で挙げたものがあるが、この２つは同値である。実際、これら２つのいずれか言えればは主接続から誘導される事を前節の定理と上記の定理から言え、主接続から誘導される接続はこれら２つの「と両立する」事の定義を両方満たすので、この２つは同値である。

 曲率 

 定義 
Koszul接続が定義されたベクトルバンドルの曲率を以下のように定義する：

Koszul接続の曲率形式を以下のように定義する：

 一般の接続の曲率形式との関係 
すでに述べたようにベクトルバンドル上のKoszul接続には、それと対応するファイバーバンドルとしての接続が定義可能であるが、上述したKoszul接続の曲率は前述した一般のファイバーバンドルの曲率形式と以下の関係を満たす。ここでは水平部分空間への射影である。

よって特にKoszul接続の曲率形式とは以下の関係を満たす：
 

ここでであり、はその双対基底である。

 主接続の曲率との関係 

のフレームバンドルの曲率形式とKoszul接続の曲率形式は以下の関係を満たす：

 共変外微分 

 定義 
本節ではベクトルバンドルの共変外微分を定義する。
そのために主バンドル上の共変外微分がタイプのテンソル形式をタイプのテンソル形式に写す事を見る：

とすると前に述べたように
 

が成立するので、上記の定理から、主バンドルの共変外微分を使ってベクトルバンドルの共変外微分を以下のように定義できる：

 具体的表記 
本節ではベクトルバンドルの共変外微分を具体的に表記する。をベクトル空間とし、を構造群の（なめらかな）線形表現とするとき、はのリー代数からのリー代数への写像
 
を誘導する。は上の線形写像全体と自然に同一視できるので、とに対し、をに作用させた
 
を定義できる。

ここで、であり、は次の対称群である。

特にである場合は、に対し、
 
と上のリー括弧で書けるので、上記の定義のの部分をに置き換えられる。

上記の定義を使うと共変外微分を以下のように具体的に表記できる：

 主バンドルの共変外微分との関係 
とすると前述の同型
 

を使って上記の定理を上の定理に書き換える事ができる：

ここで「」はテンソル形式と底空間上の切断の同型写像である。