2の冪

は、 を底とし整数の指数を持つ冪である。2の冪は、指数を として一般に、 の形で表される（例えば に対してそれぞれ , , , , …）。

 概説 
1に2倍のみを繰り返すことによって得られる数であり、ごく基本的な数量操作で得られる数であることから、様々な場面で用いられる。

指数に負の整数を許すならば、2の冪乗（この場合、それらは自然数ではなく有理数である）の中には「半分」の概念も含まれてくる。実際、1 , 1/2 (2−1), 1/4 (2−2), 1/8 (2−3), 1/16 (2−4) … というようなものも、2の冪乗として表すことができる有理数である。

トーナメント制のスポーツ大会で、試合の回戦が進むごとにチーム数が単純に半減していくように試合を組むとすれば、出場チーム数を2の累乗数にする必要がある。但し、実際にはシードや敗者復活などのルールを利用して試合を組むので、2の累乗数に近ければ支障が無い。

 100乗までの2の冪（正の冪） 

2 12 4,294,967,2962 18,446,744,073,709,551,6162 22 8,589,934,5922 36,893,488,147,419,103,2322 42 17,179,869,1842 73,786,976,294,838,206,4642 82 34,359,738,3682 147,573,952,589,676,412,9282 162 68,719,476,7362 295,147,905,179,352,825,8562 322 137,438,953,4722 590,295,810,358,705,651,7122 642 274,877,906,9442 1,180,591,620,717,411,303,4242 1282 549,755,813,8882 2,361,183,241,434,822,606,8482 2562 1,099,511,627,7762 4,722,366,482,869,645,213,6962 5122 2,199,023,255,5522 9,444,732,965,739,290,427,3922 1,0242 4,398,046,511,1042 18,889,465,931,478,580,854,7842 2,0482 8,796,093,022,2082 37,778,931,862,957,161,709,5682 4,0962 17,592,186,044,4162 75,557,863,725,914,323,419,1362 8,1922 35,184,372,088,8322 151,115,727,451,828,646,838,2722 16,3842 70,368,744,177,6642 302,231,454,903,657,293,676,5442 32,7682 140,737,488,355,3282 604,462,909,807,314,587,353,0882 65,5362 281,474,976,710,6562 1,208,925,819,614,629,174,706,1762 131,0722 562,949,953,421,3122 2,417,851,639,229,258,349,412,3522 262,1442 1,125,899,906,842,6242 4,835,703,278,458,516,698,824,7042 524,2882 2,251,799,813,685,2482 9,671,406,556,917,033,397,649,4082 1,048,5762 4,503,599,627,370,4962 19,342,813,113,834,066,795,298,8162 2,097,1522 9,007,199,254,740,9922 38,685,626,227,668,133,590,597,6322 4,194,3042 18,014,398,509,481,9842 77,371,252,455,336,267,181,195,2642 8,388,6082 36,028,797,018,963,9682 154,742,504,910,672,534,362,390,5282 16,777,2162 72,057,594,037,927,9362 309,485,009,821,345,068,724,781,0562 33,554,4322 144,115,188,075,855,8722 618,970,019,642,690,137,449,562,1122 67,108,8642 288,230,376,151,711,7442 1,237,940,039,285,380,274,899,124,2242 134,217,7282 576,460,752,303,423,4882 2,475,880,078,570,760,549,798,248,4482 268,435,4562 1,152,921,504,606,846,9762 4,951,760,157,141,521,099,596,496,8962 536,870,9122 2,305,843,009,213,693,9522 9,903,520,314,283,042,199,192,993,7922 1,073,741,8242 4,611,686,018,427,387,9042 19,807,040,628,566,084,398,385,987,5842 2,147,483,6482 9,223,372,036,854,775,8082 39,614,081,257,132,168,796,771,975,1682 79,228,162,514,264,337,593,543,950,3362 158,456,325,028,528,675,187,087,900,6722 316,912,650,057,057,350,374,175,801,3442 633,825,300,114,114,700,748,351,602,6882 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

 大きな数の話 
当初の増え方から見ると、とても想像できないような大きな数を導き出すことができる点から、古くから様々な話に登場する。

例えば、「新聞紙を26回2つ折りにすると、富士山より高くなる」という話がある。計算上は 226 = 67,108,864 であるから、厚さ0.1mmの紙を26回折り曲げると約6710mとなり、富士山の標高（約3776m）を超える。当然ながら、実際には8回ほど折り曲げたところで限界となるため、紙を何度も折り曲げるのは物理的に実行不可能であるが、「新聞紙を2等分に切り、それを重ねる」を繰り返すことはある程度可能である。

別の例に、「」というものがある。古代のインドのセーラムという王の家来、セッサ・イブン・ダヘルがチャトランガ（将棋やチェスの原型となったとされるゲーム）を発明した時、王はこれを喜び、望むだけの褒美を取らせる、と言った。この時の彼の希望は、「盤の最初の升目に一粒の小麦を置き、二升目には二粒、三升目には四粒と増やしていって、最後の升目の分だけを頂きたい」というものであった。この数は、2の63乗であるが、実際の小麦として計算すると、世界の小麦生産高の2500年分を越えるという。日本においては曽呂利新左衛門（初代）が豊臣秀吉から褒美を何にするか問われ、今日は米1粒、翌日には倍の2粒、その翌日には更に倍の4粒と、日ごとに倍の量の米を100日間(1か月の30日間や、将棋盤にちなんで81日間という説もある)もらう事を希望したという逸話がある。また、漫画『ドラえもん』に登場する「バイバイン」は、物体を5分ごとに2の累乗数に増やす架空の薬品で、作中では、栗饅頭に対し使われた。このバイバインに対する考察を山本弘が行っており、エッセイ集『宇宙はくりまんじゅうで滅びるか?』（2007年、河出書房新社、ISBN 978-4309018294）を上梓している。

 コンピュータにおける2の冪 
コンピュータの演算には二進法が使われる。そのため、コンピュータに絡む数値に2の累乗数（ただし、桁を十進数に直す）が見られる。例えば、1 キビバイトは 1024 バイト（=210 バイト）であり、家庭用ゲーム機のNINTENDO 64やパソコン用CPUブランドのAthlon 64の「64」は、64 ビット（=26 ビット）に因んだ名称である。近年のパソコンやスマートフォンの普及によって、2の累乗数が家庭内にまで見かけられるようになった。

2進接頭辞も参照のこと。

 数量的な性質 
素因数に2が含まれるN進法では、1を2の累乗数で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の半分の数が、累乗数として現れる。

例えば、十進法の位取り（十進数）では、1 を2の累乗数で割っていくと、小数には5の累乗数が現れる。｛1 ÷ 2 = 0.5 、1 ÷ 4 = 0.25 、1 ÷ 8 = 0.125 、1 ÷ 16 = 0.0625 ｝これらは

より

であることから導かれる。

1以外の2の冪を十進法で表すと、一の位は 2, 4, 6, 8 のいずれかである。また、1以外の2の冪 2n を二進法で表したとき、一番上の位は 1 であとに 0 が n 個続く数になる。

同じく、六進法の位取り（六進数）では、1 を2の累乗数で割っていくと、小数には3の累乗数が現れる。｛1 ÷ 2 = 0.3 、1 ÷ 4 = 0.13 、1 ÷ 12 = 0.043 、1 ÷ 24 = 0.0213 ｝

十進数や六進数は冪指数が一対一の関係なので、「2」の指数と「小数に現れる奇数」の指数は同じである。一方、十二進数では6の累乗数（0を除いて有限とする場合、指数が偶数の時は最後が奇数）が、十八進数では9の累乗数（即ち3の数）が、二十進数では十の累乗数（0を除いて有限とする場合、指数が偶数の時は最後が奇数）が現れる。

十二進数の例
 1 ÷ 2 = 0.6 
 1 ÷ 4 = 0.30 
 1 ÷ 8 = 0.160 
 1 ÷ 14 = 0.0900 

 常用対数との関係 

ある数 の十進法における整数部の桁数は、 を真数とする常用対数 の小数部を切り上げた値から得られる。特に2の冪の場合、 より を計算することで得られる。具体的には、2の冪 の十進表示での桁数 は以下より求まる：
 
最後の の近似計算で必要となる精度は冪指数 に依存する。例えば までなら は正しい結果を与えるが、 に対して と誤った結果を与える（ であり正しい結果は ）。 

また、正の実数 を を用い と置き換え、 を近似することで、対数 の近似値が求められる：
 

 指数が2の冪となる2の冪 

 = 2
 = 4
 = 16
 = 256
 = 65,536
 = 4,294,967,296
 = 18,446,744,073,709,551,616 (20桁)
 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456 (39桁)
 = 
 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936 (78桁)
 = 
 13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,
 127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,030,073,546,976,801,874,298,166,
 903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,649,006,084,096 (155桁)
 = 
 179,769,313,
 486,231,590,772,930,519,078,902,473,361,797,697,894,230,657,273,430,081,157,732,
 675,805,500,963,132,708,477,322,407,536,021,120,113,879,871,393,357,658,789,768,
 814,416,622,492,847,430,639,474,124,377,767,893,424,865,485,276,302,219,601,246,
 094,119,453,082,952,085,005,768,838,150,682,342,462,881,473,913,110,540,827,237,
 163,350,510,684,586,298,239,947,245,938,479,716,304,835,356,329,624,224,137,216 (309桁)
 32,317,006,071,311,007,300,714,876,…,193,555,853,611,059,596,230,656 (617桁)
 1,044,388,881,413,152,506,691,752,…,243,804,708,340,403,154,190,336 (1,234桁)
 1,090,748,135,619,415,929,462,984,…,997,186,505,665,475,715,792,896 (2,467桁)
 1,189,731,495,357,231,765,085,759,…,460,447,027,290,669,964,066,816 (4,933桁)
 1,415,461,031,044,954,789,001,553,…,541,122,668,104,633,712,377,856 (9,865桁)
 2,003,529,930,406,846,464,979,072,…,339,445,587,895,905,719,156,736 (19,729桁)

これらの数字のいくつかはコンピュータにおける使用可能な値の数となっている。たとえば4バイトからなる32ビットワードは、2の値を表すことができる。ただし符号なし32ビットの場合は0から2－1まで、符号付き32ビットの場合は－2から2−1までが表すことができる範囲である。符号付き数値の表し方は2の補数を使う。

これらの数より1つ大きい数をフェルマー数と言う。