コンパクト空間

位相空間がコンパクト（, ）であるとは、後述する所定の性質を満たす「性質の良い」空間であり、上の有界閉集合の性質を抽象化したもの。

「完閉」という訳語もあるが、ほとんど使われていない。

位相空間の部分集合に対し、のにおける閉包がコンパクトであるときはで相対コンパクト（）であるという。

なおブルバキなどでは、本項でいうコンパクトを準コンパクト（）、準コンパクトでハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトと定義することもある。これは現代でも代数幾何学においては慣習的にそうである。

 概要 

 動機 
の有界閉集合は位相空間として「性質が良く」、例えば以下が成立する事が知られている：

 からへの連続写像は必ず最大値・最小値を持つ
 からへの連続写像は必ず一様連続である
 からへの単射が連続なら、逆写像も連続である。

このような「性質の良い」空間を一般の位相空間に拡張して定義したものがコンパクトの概念である。

ただし、「の有界閉集合」という概念自身は、「有界」という距離に依存した概念に基づいているため、一般の位相空間では定義できず、別の角度からコンパクトの概念を定義する必要がある。

そのために用いるのがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの被覆定理である。これらの定理はいずれも「の有界閉集合であれば◯◯」という形の定理であるが、実は逆も成立する事が知られており、においては

 有界閉集合である事
 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分
 ハイネ・ボレルの定理の結論部分

の３つは同値となる。しかも上記の２，３はいずれも位相構造のみを使って記述可能である。

したがって２もしくは３の一方を満たす（同値なので実は２，３の両方を満たす）事をもってコンパクト性を定義する。ただしテクニカルな理由により、上記の２に関しては若干の補正が必要になるが、これについては後述する。

 ２種類の同値な定義 
コンパクトの概念は以下に述べる同値な２性質の少なくとも一方（したがって両方）を満たす事により定義される。

 ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性による定式化 
１つ目の性質は(有向点族に対する)ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性といい、これはの有界閉集合に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分を若干拡張した形で定式化したものである。この性質は直観的には点列の拡張概念である有向点族の極限が発散する事がない事を意味する。

コンパクトな空間では有向点族がの「外」に「発散」する事がないので、内で「収束」するか「振動」するかのいずれかとなる。よって任意の有向点族には収束する部分列が取れるはずであり、厳密にはこの事実を持ってコンパクト性を定義する。

コンパクトな空間は「の外に発散する有向点族がない」という意味において、閉集合よりもさらに「閉じた」空間だと言え、実際ハウスドルフ空間においてはコンパクトな部分集合は必ず閉集合になる事が知られている。こうした事情から、コンパクトな空間には「閉」という接頭辞をつけて呼ぶ事があり、例えばコンパクトな多様体は「閉多様体」と呼ばれる。

 ハイネ・ボレル性による定式化 
コンパクトを特徴づける２つ目の性質（前述のようにこれはボルツァーノ・ワイエルシュトラス性と同値）はハイネ・ボレル性といい、これはの有界閉集合に対するハイネ・ボレルの被覆定理の結論部分に相当する性質である。

ハイネ・ボレル性は非常に抽象的な性質なので、その詳細は後の章に譲るが、コンパクトな空間に対する定理を証明する際、無限に伴う証明の困難さを回避するのにこの性質を用いる事ができる。なお、学部レベルの教科書ではハイネ・ボレル性の方をコンパクトの定義として採用しているものが多い。

 距離空間における特徴づけ 
が距離空間（もしくはさらに一般的に一様空間）であれば、上記２つのいずれとも異なる角度からコンパクト性を特徴づける事ができる。距離空間がコンパクトである必要十分条件はが全有界かつ完備である事である。ここで全有界性とは、有界性を強めた条件で、任意のに対し、が有限個の-球の和集合で書ける事を意味する。また完備性は上のコーシー列が必ず収束する事を意味する。

距離空間においてコンパクトの概念は、点列コンパクト性と呼ばれる性質とも同値になる。これは前述したボルツァーノ・ワイエルシュトラス性が点列に対して成立するという趣旨の概念である。この概念は一般にはコンパクト性よりも弱いが、距離空間であればコンパクト性と同値になる事が知られている。

 ベクトル空間における特徴づけ 
もしくは上の有限次元ベクトル空間（あるいはより一般に有限次元の完備リーマン多様体）の部分集合がコンパクトである必要十分条件は、が有界閉集合である事である。それに対し無限次元ベクトル空間の場合は有界閉集合であってもコンパクトにならない場合がある。前述のように距離空間においてはコンパクト性は全有界かつ完備な事と同値だが、無限次元のベクトル空間の場合は全有界ではない有界閉集合が存在するからである。

なお、もしくは上のノルム空間の閉単位球がコンパクトである必要十分条件はが有限次元である事である（リースの補題から直接従う）。ただし以上の議論はにノルムから定まる位相を入れた場合の話であり、それ以外の位相を入れた場合はこの限りではない。例えばの双対空間に＊弱位相を入れた場合、の閉単位球は（たとえが無限次元であっても）コンパクトである（バナッハ・アラオグルの定理）。

ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義
すでに述べたようにコンパクト性には２種類の同値な定義がある。本章ではこの２つの定義のうち、ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性による定義について述べる。

 有向点族 
本節ではボルツァーノ・ワイエルシュトラス性の定式化に必要な概念である有向点族の概念を導入する。有向点族とは有向集合を添え字とする族である：

なお、有向集合の二項関係「≤ 」は、反射律と推移律を満たすのものの反対称律は満たす必要がないので、前順序ではあるものの順序の定義は満たしていない。

点列と同様、有向点族に対して収束概念や部分有向点族の概念を定義する事ができる。詳細は有向点族の項目を参照されたい。

有向点族の概念は、点列概念と違い、添字が可算である事も全順序である事も要求しない。この事が有向点族に点列にはない優位性をもたらしており、例えば有向点族の収束の概念を用いれば、閉集合など位相空間の諸概念を特徴づける事ができる事が知られているが、点列の場合はそうではない。なぜなら点列概念は添字が可算である事が原因となり、点列で閉集合を特徴づけるには位相空間の方にも何らかの可算性を要求する必要が生じてしまうからである。詳細は列型空間を参照。

 定義 

上記の定義は、上の有界閉集合に関するボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分を有向点族に自然に拡張したものである：
なお、コンパクトの定義において、元々のボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と同様、有向点族ではなく点列に対してのみ収束部分列を要求したものを点列コンパクト性と呼ぶが、点列コンパクト性は距離空間においてはコンパクト性と同値（より一般的に擬距離空間でも同値）であるものの、無条件にはこの同値性は成立しない。点列コンパクト性に関する詳細は後述する。

ハイネ・ボレル性によるコンパクト性の定義

次にコンパクトの概念を全く違う角度から特徴づける。この特徴付けの基盤となるのはの有界閉集合に対するハイネ・ボレルの被覆定理である。そこでまず、この定理の記述に必要な概念を定義する。

 定義 
コンパクト性の概念は以下のように特徴づける事ができる：

上述の定義におけるの事をの有限部分被覆という。

もともとのハイネ・ボレルの定理は以下のように記述できる：

後述するように、実は逆向きも成立する事が知られているので、においてはコンパクト性は有界閉集合である事と同値である。なお、一般の距離空間では「コンパクト部分集合⇒有界閉集合」は言えるが逆向きは成立するとは限らない。

有限交差性
ハイネ・ボレル性による定義における「開集合」の補集合を取って「閉集合」とし、さらに対偶を取る事で、コンパクト性の以下の特徴づけが得られる：
この条件は区間縮小法の一般化になっているとみなすことができ、位相空間における存在証明に重要な役割を果たす。

 利用例 
ハイネ・ボレル性は定理の証明などでの各点の近傍上で局所的に示されている性質を全体に広げる際に用いられる。この場合、ハイネ・ボレル性でいう開被覆は典型的には各点の近傍の集合であり、ハイネ・ボレル性はこの無限個の開集合からなる開被覆から有限部分被覆を抽出して、無限に伴う証明の困難さを回避する事を可能にする。

具体的には以下の定理の証明をもとに、ハイネ・ボレル性の使い方を説明する：

この定理は、ハイネ・ボレル性を利用して以下のように証明する。まずの連続性により、任意にを固定するとき、の各点の、ある-近傍がを満たす。ここでは点のε-近傍を表す。

このはに依存しているが、もしも正数を与えたときにを満たす正数が点に依らずに選べるのであればのにおける一様連続性が言える。そのようなを見つける単純な方法は

とする事だが、の選択は無限にあるので、は0になる可能性があるからうまくいかない。

そこでハイネ・ボレル性を使って開被覆の有限部分被覆を選び、

とすればの個数は有限個なのでであることが保証される。

しかもがを被覆している事から、任意のに対し、となるが存在して、

となることからのにおける一様連続性が言える。

それ以外の特徴づけ
コンパクト性は、有向点族と本質的に同値な概念であるフィルターの収束によっても特徴づけられる。また普遍有向点族やその対応概念である超フィルターを用いても特徴づける事ができる。これまでに述べて特徴づけも含め、こうしたコンパクト性の様々な特徴づけを列挙する

 性質 

閉集合

コンパクトな位相空間の部分集合に関し、以下が言える：
 コンパクト空間の部分集合が閉集合ならコンパクトである。
 ハウスドルフの分離公理を満たす位相空間のコンパクト部分集合は閉集合である。

したがってコンパクトかつハウスドルフな位相空間（コンパクトハウスドルフ空間）では部分集合Aが閉集合である事とAがコンパクトである事は同値である。

コンパクト性の遺伝
 コンパクト空間から位相空間への連続写像の像はコンパクト集合である。
（有限個または無限個の）コンパクト空間の直積はコンパクトである。（チコノフの定理。この定理はZF のもとで選択公理と同値である）