レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名した。

10進法における 桁のレピュニットは の形に表される。 = 2, 19, 23, 317, 1031, ... () のときに、 は素数となる。2進法における 桁のレピュニットはメルセンヌ数 である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数（またはレプユニット素数、）という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

 レピュニットの性質 
m が n を割り切るならば、Rm は Rn を割り切る。よって、n が合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 だけである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 だけであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a)。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるので、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 30 のときも含む）は全てハーシャッド数である。

 nの値と必ず含まれる約数
 偶数 - 11
 4の倍数 - 11・101
 6の倍数 - 3・7・11・13・37
 3の倍数 - 3・37
 5の倍数 - 41・271
 7の倍数 - 239・4649
 17の倍数 - 2071723・5363222357
 など

 901型の例 
前述のとおり、R2n は11つまりR2 で割り切れる。同様に、2×n桁のR2n は、n桁のRn で割り切れる。さらに、nが奇数のとき、Rn は11で割り切れないから、R2 と Rn は互いに素となる。よって、R2nは、R2 × Rn で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、n−1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると、次のようになる。

{| class="wikitable sortable" style="line-height:1.4; text-align:right;"
|-
! n（奇数） !! 2 × n !!R2n!! R2nの値（2×n桁） !!!!R2 × Rn!! R2 × Rnの値（n+1桁）!! !!R2n ÷ R2 ÷ Rnの値（n−1桁） !!R2n ÷ R2 ÷ Rnの素因数分解
|-
|3 || 6 || R6 ||111111|| rowspan=5|＝ || R2 × R3 || 1221 || rowspan=5|× ||91 || 7・13
|-
|5||10|| R10 ||1111111111|| R2 × R5 || 122221 || 9091 || 素数
|-
|7|| 14|| R14 ||11111111111111|| R2 × R7 || 12222221 || 909091 || 素数
|-
|9||18|| R18 ||111111111111111111|| R2 × R9 || 1222222221 || 90909091 || 7・13・19・52579
|-
|11||22|| R22 ||1111111111111111111111|| R2 × R11 || 122222222221 || 9090909091 || 11・23・4093・8779

|}n が偶数のときのR2n、その他 についての例は次のとおり。

 R12 = 11222211 × 9901
 R20 = 1222210000122221 × 9091
 R24 = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
 R28 = 1222222100000012222221 × 909091
 R36 = 111111222222222222111111× 999999000001
 R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991
 など

 R6 = 11 × (9091 + 1010)
 R8 = 11 × (909091 + 101010)
 R10 = 11 × (90909091 + 10101010)

 1と0だけで表す例 
 n (10n/2 − 1) / 9 10n/2 + 1 R2 1 1 × 11 11 R4 11 11 × 101 101 R6 3・37 111 × 1001 7・11・13 R8 11・101 1111 × 10001 73・137 R10 41・271 11111 × 100001 11・9091

 n R2 1 × 11 1 × 11 R3 # 1 × 111 R4 $ 1 × 1111 11 × 101 R5 % 1 × 11111 R6 & 1 × 111111 111 × 1001# 11 × 10101 R7 * 1 × 1111111 R8 $ 11 × 1010101 1111 × 10001 R9 # 111 × 1001001 R10 % 11 × 101010101 11111 × 100001R12 & 11 × 10101010101 111111 × 1000001$ 111 × 1001001001 # 1111 × 100010001 R14 * 11 × 1010101010101 1111111 × 10000001

 n R6 1 × 111 × 1001 91・11 R12 11 × 10101 × 1000001 9901・101 R18 111 × 1001001 × 1000000001 999001・1001 R24 1111 × 100010001 × 1000000000001 99990001・10001

 n R4 11 × 101 R8 101 × 110011 R12 1001 × 111000111 1221001221 × 91 R16 10001 × 111100001111 R20 100001 × 111110000011111 1222210000122221 × 9091 R24 1000001 × 111111000000111111 1221001221001221001221 × 91

 累乗数 − 累乗数 

 n Rn×(10n+1) R2 62 − 52 62 − 52 62 − 52 R3 562 − 552 562 − 552 R4 562 − 452 5562 − 5552 R5 55562 − 55552 R6 5562 − 4452 555562 − 555552 50562 − 50452 6562 − 5652 R7 5555562 − 5555552 R8 55562 − 44452 <small>（省略） R9 <small>（省略） 5005562 − 5004452 R10<small>（省略） <small>（省略） 656562 − 565652R11 <small>（省略） R12<small>（省略） <small>（省略） 500055562 − 500044452 R13 <small>（省略） R14<small>（省略） <small>（省略） 65656562 − 56565652

 レピュニット素数 
現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年9月にハーヴェイ・ダブナーが確率的素数として発見してからポール・アンダーウッドによって素数判定されるまで22年6月を要した。2023年5月に素数であることが証明された R86453 は、2000年10月にリュー・バクスターが確率的素数として発見してからアンドレアス・エンゲによって素数判定されるまで22年7月を要した。

2007年4月3日、ハーヴェイ・ダブナーは n=109297の場合が確率的素数であると発表し、その後n≦200000にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している。同年7月15日、マクシム・ヴォズニーはn=270343の場合が確率的素数であると発表した。

2021年4月19日、セルゲイ・バタロフとライアン・プロッパーはn=5794777を、同年5月8日にn=8177207を確率的素数であると発表した。発表時点ではそれぞれが知られている最大の確率的素数であった。

+ Rn = (10n − 1) / 9</caption> No. n 年 発見者 素数判定 1 2 BC 460 - 素数 2 19 1879-10 - 素数 3 23 1933-02-18 - 素数 4 317 1978-05-16 ヒュー・ウィリアムズ 素数 5 1031 1986-08-21 ヒュー・ウィリアムズ、ハーヴェイ・ダブナー 素数 6 49081 1999-09-09 ハーヴェイ・ダブナー 素数 7 86453 2000-10-26 リュー・バクスター 素数 8 109297 2007-03-26 ハーヴェイ・ダブナー 確率的素数 9 270343 2007-07-11 マクシム・ヴォズニー 確率的素数 10 5794777 2021-04-19 セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー 確率的素数 11 8177207 2021-05-08 セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー 確率的素数

()

 レピュニットの素因数分解 
レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている。

基数 10 のレピュニットの R1 から R122 までの素因数分解の一覧を示す。n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数（含重複）

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

 一般化 
10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対して n 桁のレピュニットは と定義される。

前述のとおり、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは an−1 の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5 = 112, R4 = 202, R3 = 73 の場合しかない（Bugeaud 1999b）。Fd(x) を d'' 次の円分多項式とすると、

と表すことができる。