Área

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e submúltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire. Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal. Definição formal Ver também: https://en.wikipedia.org/wiki/Peano%E2%80%93Jordan_measure Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades: Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0. Se S e T estão em M então S ∪ T e S ∩ T também estão e, além disso, a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T). Se S e T estão em M e S ⊆ T então T − S está em M e a(T−S) = a(T) − a(S). Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T). Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk. Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, S ⊆ Q ⊆ T. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c. Pode ser demonstrado que existe uma tal função área. Unidades Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes. A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI. Conversões A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como 1 Pé = 12 polegadas, é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que 1 pé = 144 polegadas quadradas, sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga: 1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados; 1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados; 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados; 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados; 1 milha = 3 097 600 jardas quadradas = 27 878 400 pés quadrados. Outras unidades Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área: 1 are = 100 metros quadrados. Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muito usado para medir terrenos e propriedades: 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados. Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade. O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo: 1 acre = 4 840 jardas quadradas = 43 560 pés quadrados. Um acre é aproximadamente 40% de um hectare. História Acredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas à geometria e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da evolução humana. Dentre os principais matemáticos da antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se Tales de Mileto (VI a.C.), na Grécia, importando a geometria utilizada pelos egípcios; Pitágoras, conhecido pelo teorema aplicado ao triângulo retângulo que recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século, "os Elementos” de Euclides trouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais como ponto, reta e círculo, como também nos cinco postulados. É um sistema axiomático que surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas. Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com áreas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, pés, passos, braças e cúbitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a.C., período em que iniciavam-se a construção dos primeiros templos na Mesopotâmia e no Egito, os responsáveis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram então como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram réguas de madeiras e metal, ou ainda com nós, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento. O cálculo de áreas iniciou-se possivelmente pela prática da arrecadação de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extensão dos campos só pela observação visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do chão com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo número de fileiras existentes, dando origem assim à fórmula para o cálculo da área de um retângulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura. Logo após, desenvolveram uma fórmula para o cálculo da área de um triângulo, fundados num pensamento bastante geométrico, no qual tinham a área de um quadrado ou retângulo e dividindo-os ao meio em diagonal obtinham a área do triângulo, assim a área do triângulo é dada pela metade da área do quadrado ou do retângulo. Quando o terreno não tinha a forma retangular ou triangular, os primeiros cartógrafos e agrimensores, utilizavam a triangulação, que consistia num processo de divisão da área em triângulos, cuja soma de suas áreas representava o total da área. No entanto, esse processo de triangulação apresentava alguns pequenos erros, ao medir a área de terrenos não planos ou com curvas. Surgiu assim a necessidade de calcular o comprimento da circunferência e a área do círculo. Com uma corda pequena ou grande sendo girada em torno de um ponto fixo tinha-se a figura de um circunferência. Essa corda, medida que conhecemos como raio da circunferência, tinha alguma relação com o comprimento da circunferência, assim, tomando essa corda e observando quantas vezes ela caberia na circunferência, perceberam que cabia pouco mais de seis vezes e um quarto, independente do seu tamanho. Desta forma concluíram que o comprimento da circunferência poderia ser dado por 6,28 vezes a medida do raio o que corresponde ao que calculamos hoje quando fazemos C = 2 π r {\displaystyle C=2\pi r} , onde π {\displaystyle \pi } vale aproximadamente 3 , 14 {\displaystyle 3,14} . Quanto à área do círculo, por volta de 2000 anos a.C., conta-se que Amósis, um escriba egípcio, se propôs a determinar a área de um círculo, pensando inicialmente em calcular a área de um quadrado e obter o número de vezes que essa área caberia na área do círculo. Depois para definir qual seria esse quadrado, considerou mais adequado utilizar o quadrado cujo lado tivesse a mesma medida do raio do círculo do qual se desejava calcular a área, assim procedendo provou que o quadrado se inseria no círculo entre três e quatro vezes, o que representava uma aproximação de três vezes e um sétimo, o que atualmente consideramos aproximado a 3,14 vezes. Desta forma determinou a área do círculo multiplicando a área do quadrado por 3,14, situação que utilizamos atualmente com A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} , com π {\displaystyle \pi } valendo aproximadamente 3 , 14 {\displaystyle 3,14} . Na Grécia, aproximadamente em 500 a.C. foram fundadas as primeiras universidades. Neste período Tales e seu discípulo Pitágoras organizaram, desenvolveram e aplicaram todo o conhecimento da Babilônia, Etúrria, Egito e Índia à matemática, navegação e religião. Neste período, crescia a curiosidade e a procura por livros de geometria, o conhecimento do Universo ampliava-se velozmente e a escola de Pitágoras fez afirmações quanto à forma da Terra identificando-a como esférica ao invés de plana. Surgiram novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular. Fórmulas de cálculo Retângulo A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é: A = l × w {\displaystyle A=l\times w} (área do retângulo) Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é: A = l 2 {\displaystyle A=l^{2}} (área do quadrado) A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais. Fórmulas por dissecção A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original. Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezoide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezoide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo: A = b × h {\displaystyle A=b\times h} (área do paralelogramo) O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita: A = b × h 2 {\displaystyle A={\frac {b\times h}{2}}} (área do triângulo) É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezoide, do losango e de outros polígonos mais complicados. Área de outros polígonos Área do trapézio: A = B + b 2 × h {\displaystyle A={\frac {B+b}{2}}\times h} (B = base maior; b = base menor; h = altura)[carece de fontes?] Área do losango: A = D × d 2 {\displaystyle A={\frac {D\times d}{2}}} (D = diagonal maior; d = diagonal menor)[carece de fontes?] Área de qualquer polígono regular: P × a 2 {\displaystyle {\frac {P\times a}{2}}} (P = perímetro; a = comprimento do apótema)[carece de fontes?] Círculo A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio r {\displaystyle r} é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é r {\displaystyle r} e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, π r . {\displaystyle \pi r.} Resulta que a área do círculo é r × π r , {\displaystyle r\times \pi r,} ou seja, π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} A = π × r 2 {\displaystyle A=\pi \times r^{2}} (área do círculo; r = raio) Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores. O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente π r 2 , {\displaystyle \pi r^{2},} que corresponde à área do círculo. Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral: A = ∫ − r r 2 r 2 − x 2 d x = π r 2 . {\displaystyle A\;=\;\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.} Área de uma superfície A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área. O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo. Á área de uma esfera com raio r {\displaystyle r} é: A = 4 π r 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}} (área da esfera) Lista de fórmulas Aplicações Pode-se operacionalizar as áreas de algumas figuras planas e utilizá-las em algumas aplicações úteis. Evidentemente, associa-se área de uma figura plana a um número positivo, o qual expressa o espaço do plano ocupado por ela. Notação Usa-se a escrita ( A B C . . . N ) {\displaystyle (ABC...N)} para indicar a área de um polígono de N {\displaystyle N} vértices. Vale lembrar que em qualquer polígono o número de vértices é igual ao número de lados. Área de um triângulo Critério para equivalência de triângulos Propriedade 1 Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm áreas iguais. Demonstração: Dadas duas retas paralelas r {\displaystyle r} e s {\displaystyle s} , a uma distância d {\displaystyle d} , marcamos sobre a reta r {\displaystyle r} , os pontos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} , e sobre a reta s {\displaystyle s} , marcamos os pontos, C {\displaystyle C} e C ′ {\displaystyle C^{\prime }} , conforme figura abaixo. Essa é uma consequência do corolário: Sejam A B C {\displaystyle ABC} e A B C ′ {\displaystyle ABC^{\prime }} triângulos tais que A B / / C C ′ {\displaystyle AB//CC^{\prime }} . Então ( A B C ) = ( A B C ′ ) {\displaystyle (ABC)=(ABC^{\prime })} . Analisando as áreas dos triângulos A B C {\displaystyle ABC} e A B C ′ {\displaystyle ABC^{\prime }} , temos que: ( A B C ) = A B ⋅ d 2 {\displaystyle (ABC)=AB\cdot {\frac {d}{2}}} ( A B C ′ ) = A B ⋅ d 2 {\displaystyle (ABC^{\prime })=AB\cdot {\frac {d}{2}}} Assim, como r / / s {\displaystyle r//s} e a distância de r {\displaystyle r} a s {\displaystyle s} dada por d ( r , s ) = d {\displaystyle d(r,s)=d} , se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} pertencem a reta r {\displaystyle r} e C {\displaystyle C} pertence a reta s {\displaystyle s} , obtendo um ponto qualquer C ′ {\displaystyle C^{\prime }} sobre a reta s {\displaystyle s} , temos A B / / C C ′ {\displaystyle AB//CC^{\prime }} , portanto os dois triângulos A B C {\displaystyle ABC} e A B C ′ {\displaystyle ABC^{\prime }} possuem a mesma base A B {\displaystyle AB} e a mesma altura d {\displaystyle d} , logo suas áreas são iguais. Propriedade 2 Se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre as suas bases. Na triângulo A B C {\displaystyle ABC} , foi traçada uma ceviana a partir do vértice A {\displaystyle A} intersectando o lado B C {\displaystyle BC} no ponto X {\displaystyle X} , ficando assim determinados dois triângulos: A X B {\displaystyle AXB} e A X C {\displaystyle AXC} , de mesma altura A H {\displaystyle AH} . Demonstração: Fazendo a razão entre as áreas temos, ( A X B ) ( A X C ) = 1 2 B X ⋅ A X 1 2 C X ⋅ A H = B X C X {\displaystyle {\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}BX\cdot AX}{{\frac {1}{2}}CX\cdot AH}}={\frac {BX}{CX}}} Portanto, ( A X B ) ( A X C ) = B X C X {\displaystyle {\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {BX}{CX}}} Triângulos semelhantes Dados dois triângulos semelhantes ABC e MNP, vamos analisar a razão de semelhança entre a razão entre suas áreas e sua razão de semelhança. Sejam A B C {\displaystyle ABC} e M N P {\displaystyle MNP} dois triângulos semelhantes, sendo k {\displaystyle k} a razão de semelhança entre seus lados: M P A C = M N A B = N P B C = k {\displaystyle {\frac {MP}{AC}}={\frac {MN}{AB}}={\frac {NP}{BC}}=k} , então temos ( M N P ) ( A B C ) = k 2 {\displaystyle {\frac {(MNP)}{(ABC)}}=k^{2}} Demonstração: Como N P = k ⋅ B C {\displaystyle NP=k\cdot BC} e H M = k ⋅ A H {\displaystyle HM=k\cdot AH} , temos pelas áreas dos triângulos: ( M N P ) ( A B C ) = 1 2 N P ⋅ A M 1 2 B C ⋅ A H = k ⋅ B C ⋅ k ⋅ A H B C ⋅ A H = k 2 {\displaystyle {\frac {(MNP)}{(ABC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}NP\cdot AM}{{\frac {1}{2}}BC\cdot AH}}={\frac {k\cdot BC\cdot k\cdot AH}{BC\cdot AH}}=k^{2}} Portanto, dados dois triângulos com razão de semelhança k {\displaystyle k} entre seus lados correspondentes, a razão de semelhança entre suas áreas será k 2 {\displaystyle k^{2}} . A prova do teorema de Pitágoras e outras relações métricas no triângulo retângulo através do cálculo de áreas Seja A B C {\displaystyle ABC} um triângulo retângulo no vértice A {\displaystyle A} , onde a hipotenusa B C = a {\displaystyle BC=a} , e seus catetos A B = c {\displaystyle AB=c} e A C = b {\displaystyle AC=b} , considerando ainda a altura relativa à hipotenusa A H = h {\displaystyle AH=h} , bem como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa B H = m {\displaystyle BH=m} e C H = n {\displaystyle CH=n} , temos: Vamos provar as seguintes relações através do cálculo de áreas: I. a h = b c {\displaystyle ah=bc} II. c 2 = a m {\displaystyle c^{2}=am} e b 2 = n a {\displaystyle b^{2}=na} III. a 2 = b 2 + c 2 {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}} Demonstração I: I.a) Calculando a área ( A B C ) {\displaystyle (ABC)} a partir da base B C {\displaystyle BC} e altura A H {\displaystyle AH} : ( A B C ) = 1 2 B C ⋅ A H = 1 2 a ⋅ h {\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}BC\cdot AH={\frac {1}{2}}a\cdot h} I.b) Calculando a área ( A B C ) {\displaystyle (ABC)} a partir da base A C {\displaystyle AC} e altura A B {\displaystyle AB} : ( A B C ) = 1 2 A C ⋅ A B = 1 2 b ⋅ c {\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}AC\cdot AB={\frac {1}{2}}b\cdot c} Decorre de I.a) e I.b) temos que ( A B C ) = 1 2 a ⋅ h = 1 2 b ⋅ c {\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}a\cdot h={\frac {1}{2}}b\cdot c} . Logo a ⋅ h = b ⋅ c {\displaystyle a\cdot h=b\cdot c} Demonstração II: II.a) Dado o triângulo A B C {\displaystyle ABC} , retângulo em A {\displaystyle A} , constrói-se quadrados sobre a hipotenusa B C {\displaystyle BC} e os catetos A C {\displaystyle AC} e A B {\displaystyle AB} , respectivamente de medidas a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} e c {\displaystyle c} . Depois prolonga-se a altura A H {\displaystyle AH} até interceptar o lado F G {\displaystyle FG} do quadrado B C G F {\displaystyle BCGF} no ponto I {\displaystyle I} . Observando os segmentos paralelos B G {\displaystyle BG} e A I {\displaystyle AI} , percebe-se dois triângulos G B A {\displaystyle GBA} e G B H {\displaystyle GBH} de mesma área, cujas bases medem a {\displaystyle a} e as alturas medem m {\displaystyle m} . Assim, ( G B A ) = ( G B H ) = 1 2 B G ⋅ B H = 1 2 a ⋅ m {\displaystyle (GBA)=(GBH)={\frac {1}{2}}BG\cdot BH={\frac {1}{2}}a\cdot m} Vejamos ainda na figura acima que, os triângulos G B A {\displaystyle GBA} e B D C {\displaystyle BDC} são congruentes pelo caso LAL, pois B D ≡ B A {\displaystyle BD\equiv BA} , B C ≡ B G {\displaystyle BC\equiv BG} e ∠ C B D ≡ ∠ A B C + 90 ∘ {\displaystyle \angle CBD\equiv \angle ABC+90^{\circ }} . Logo, ( B D C ) = ( G B A ) {\displaystyle (BDC)=(GBA)} . E como os segmentos B D {\displaystyle BD} e A C {\displaystyle AC} são paralelos temos que ( B D A ) = ( B D C ) {\displaystyle (BDA)=(BDC)} , visto que a base B D {\displaystyle BD} e a altura A B {\displaystyle AB} são comuns aos dois triângulos. Assim: B D = A B = c {\displaystyle BD=AB=c} , então ( B D A ) = ( B D C ) = 1 2 B D ⋅ B A = 1 2 c ⋅ c = c 2 2 {\displaystyle (BDA)=(BDC)={\frac {1}{2}}BD\cdot BA={\frac {1}{2}}c\cdot c={\frac {c^{2}}{2}}} Daí, ( G B A ) = ( B D C ) ⇒ a m 2 = c 2 2 ⇒ c 2 = a m {\displaystyle (GBA)=(BDC)\Rightarrow {\frac {am}{2}}={\frac {c^{2}}{2}}\Rightarrow c^{2}=am} II.b) De maneira análoga, é provado que b 2 = a n {\displaystyle b^{2}=an} Como A I / / C F {\displaystyle AI//CF} , temos nos triângulos A C F {\displaystyle ACF} e H C F {\displaystyle HCF} que ( A C F ) = ( H C F ) {\displaystyle (ACF)=(HCF)} , pois possuem a mesma base C F {\displaystyle CF} e mesma altura C H {\displaystyle CH} , sendo assim: ( A C F ) = ( H C F ) = 1 2 C F ⋅ C H = 1 2 {\displaystyle (ACF)=(HCF)={\frac {1}{2}}CF\cdot CH={\frac {1}{2}}} Temos ainda que os triângulos B C J {\displaystyle BCJ} e A C F {\displaystyle ACF} são congruentes pelo caso LAL, pois A C ≡ C J = b {\displaystyle AC\equiv CJ=b} ; C F ≡ B C = a {\displaystyle CF\equiv BC=a} ; ∠ A C F ≡ ∠ B C J ≡ ∠ A C B + 90 ∘ {\displaystyle \angle ACF\equiv \angle BCJ\equiv \angle ACB+90^{\circ }} . Então, como A K / / C J {\displaystyle AK//CJ} temos: ( A C J ) = ( B C J ) = 1 2 A C ⋅ C J = 1 2 b 2 {\displaystyle (ACJ)=(BCJ)={\frac {1}{2}}AC\cdot CJ={\frac {1}{2}}b^{2}} Portanto, da congruência B C J {\displaystyle BCJ} e A C F {\displaystyle ACF} , temos: ( B C J ) = ( A C F ) ⇒ 1 2 b 2 = 1 2 a n ⇒ b 2 = a n {\displaystyle (BCJ)=(ACF)\Rightarrow {\frac {1}{2}}b^{2}={\frac {1}{2}}an\Rightarrow b^{2}=an} Demonstração III: De maneira simplificada, somando as duas igualdades II.a) e II.b) temos: b 2 = a n {\displaystyle b^{2}=an} e c 2 = a m {\displaystyle c^{2}=am} , logo b 2 + c 2 = a n + a m ⇒ b 2 + c 2 = a ( n + m ) {\displaystyle b^{2}+c^{2}=an+am\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a(n+m)} Como n + m = a {\displaystyle n+m=a} , temos: b 2 + c 2 = a ( n + m ) ⇒ b 2 + c 2 = a 2 {\displaystyle b^{2}+c^{2}=a(n+m)\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}} (Teorema de Pitágoras) Pode-se obter uma demonstração mais elaborada do teorema de Pitágoras por meio do cálculo de áreas. Observando a figura da demonstração II. b) temos que: B C J ≡ A C F {\displaystyle BCJ\equiv ACF} , pelo caso LAL, então ( B C J ) = ( A C F ) {\displaystyle (BCJ)=(ACF)} . Temos também que ( A C J ) = ( B C J ) = ( A C F ) {\displaystyle (ACJ)=(BCJ)=(ACF)} e ( A C F ) = ( C H F ) = ( B C J ) {\displaystyle (ACF)=(CHF)=(BCJ)} . Daí, ( A C J ) = ( C H F ) {\displaystyle (ACJ)=(CHF)} . Logo, ( A C J K ) = 2 ( A C J ) = 2 ( C H F ) {\displaystyle (ACJK)=2(ACJ)=2(CHF)} . Por outro lado, da demonstração II. b), onde G B A ≡ B D C {\displaystyle GBA\equiv BDC} , pelo caso LAL, então ( G B A ) = ( B D C ) {\displaystyle (GBA)=(BDC)} . Temos ainda que ( A B D ) = ( B D C ) = ( A B G ) {\displaystyle (ABD)=(BDC)=(ABG)} e ( A B G ) = ( B H G ) = ( B D C ) {\displaystyle (ABG)=(BHG)=(BDC)} . Daí, ( A B D ) = ( B H G ) {\displaystyle (ABD)=(BHG)} . Logo, ( A B D E ) = 2 ( A B D ) = 2 ( B H G ) {\displaystyle (ABDE)=2(ABD)=2(BHG)} . Portanto, analisando a área do quadrado B C G F {\displaystyle BCGF} de acordo com as demonstrações II. a) e II. b), temos que: ( B C F G ) = ( C H I F ) + ( B H G I ) {\displaystyle (BCFG)=(CHIF)+(BHGI)} ( B C F G ) = 2 ( C H F ) + 2 ( B H G ) {\displaystyle (BCFG)=2(CHF)+2(BHG)} ( B C F G ) = ( A C J K ) + ( A B D E ) {\displaystyle (BCFG)=(ACJK)+(ABDE)} Concluindo, ( B C F G ) = a 2 {\displaystyle (BCFG)=a^{2}} , ( A C J K ) = b 2 {\displaystyle (ACJK)=b^{2}} e ( A B D E ) = c 2 {\displaystyle (ABDE)=c^{2}} Então, a 2 = b 2 + c 2 {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}} (Teorema de Pitágoras) Área de um trapézio No trapézio A B C D {\displaystyle ABCD} de altura h {\displaystyle h} , temos os lados paralelos A B {\displaystyle AB} e D C {\displaystyle DC} , tal que A B = a {\displaystyle AB=a} e D C = b {\displaystyle DC=b} . Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que A B > D C {\displaystyle AB>DC} , e traçar pelo vértice B {\displaystyle B} um segmento paralelo ao lado A D {\displaystyle AD} de forma que intercepte o lado D C {\displaystyle DC} no ponto E {\displaystyle E} . Assim, como A B / / D C {\displaystyle AB//DC} e A D / / B E {\displaystyle AD//BE} , temos o paralelogramo A B E D {\displaystyle ABED} de altura h {\displaystyle h} e base D E = A B = a {\displaystyle DE=AB=a} , e temos ainda um triângulo B C E {\displaystyle BCE} de base E C = D C − D E = b − a {\displaystyle EC=DC-DE=b-a} , e altura h {\displaystyle h} . Note que: ( A B C D ) = ( A B E D ) + ( B C E ) = a ⋅ h + 1 2 ( b − a ) h = 2 a h + b h − a h 2 {\displaystyle (ABCD)=(ABED)+(BCE)=a\cdot h+{\frac {1}{2}}(b-a)h={\frac {2ah+bh-ah}{2}}} Portanto, ( A B C D ) = ( a + b ) h 2 {\displaystyle (ABCD)={\frac {(a+b)h}{2}}} Área de um losango De acordo com o corolário: Se ABCD é um losango de diagonais AC e BD, então ( A B C D ) = 1 2 A B C D {\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}ABCD} . Demonstração: Dado o losango A B C D {\displaystyle ABCD} , cujas diagonais interceptam-se no ponto M {\displaystyle M} , simultâneamente, ponto médio de ambas as diagonais A C {\displaystyle AC} e B D {\displaystyle BD} . Como A B = B C = C D = D A {\displaystyle AB=BC=CD=DA} , os triângulos determinados pelas diagonais A C {\displaystyle AC} e B D {\displaystyle BD} , são isósceles e como M {\displaystyle M} é ponto médio destas diagonais, temos que, A M = M C {\displaystyle AM=MC} , B M = M D {\displaystyle BM=MD} , portanto os triângulos A B D {\displaystyle ABD} e B C D {\displaystyle BCD} são congruentes pelo caso LAL, assim como os triângulos A D C {\displaystyle ADC} e A B C {\displaystyle ABC} , pelo mesmo caso. Sendo assim, vamos mostrar a área do losango através dos triângulos determinados pela diagonal B D {\displaystyle BD} . ( A B C D ) = ( A B D ) + ( B C D ) = 1 2 B D ⋅ M C + 1 2 B D ⋅ A M {\displaystyle (ABCD)=(ABD)+(BCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot MC+{\frac {1}{2}}BD\cdot AM} ( A B C D ) = 1 2 B D ⋅ ( A M + M C ) {\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot (AM+MC)} . Como A M + M C = A C {\displaystyle AM+MC=AC} , temos: ( A B C D ) = 1 2 A C ⋅ B D {\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}AC\cdot BD} Ver também Unidades de área Volume Comprimento da circunferência Referências Ligações externas WikiUnits - Converter Área entre diferentes unidades