Մակերես

Մակերես, մեծություն, որն արտահայտում է երկչափ մակերևույթի կամ հարթության կոնտուրի չափը։ Մակերեսը կարելի է պատկերացնել որպես տրված հաստությամբ մատերիալի քանակություն, որն անհրաժեշտ է ծածկելու կոնտուրով շրջափակված մակերևույթը կամ ներկի քանակությունը, որ անհրաժեշտ է այդ մակերևույթը մի շերտով ծածկելու համար։ Մակերեսը միավոր քառակուսիների այն քանակությունն է, որով ամբողջովին ծածկվում է տվյալ պատկերը։ Եթե, օրինակ, ասում են, որ պատկերի մակերեսը 16.3 սմ2 է, ապա դա նշանակում է, որ տվյալ պատկերն ամբողջովին ծածկելու համար անհրաժեշտ է 16.3 հատ 1×1 սմ չափսերով քառակուսիներ։ Պատկերի՝ միավոր քառակուսիների վերածումը կոչվում է՝ քառակուսացում։ Երկրաչափական պարզ պատկերները՝ եռանկյունիները, շրջանը և այլն, ունեն մակերեսը չափելու բանաձևեր։ Երկրաչափական պատկերների մակերեսի հաշվարկման ընդհանուր մեթոդն ապահովում է ինտեգրալային հաշվարկը։ Մակերեսի հիմնական գաղափարի ընդհանրացումը դարձավ բազմության չափանիշների տեսությունը, որը կիրառելի է երկրաչափական օբյեկտների ավելի լայն դասի համար։ Գործնականում մակերեսի մոտավոր հաշվարկման համար օգտագործում են հատուկ հաշվարկման սարք՝ պլանաչափ։ Մակերես հասկացողության սահմանում Մակերեսը ֆունկցիա է, որն ունի հետևյալ հատկությունները. Դրական, այսինքն մակերեսը միշտ դրական է; Հավելում, այսինքն պատկերի մակերեսը հավասար է երկրաչափական տվյալ պատկերը կազմող այլ պատկերների մակերեսների գումարին՝ առանց ընդհանուր ներքին կետերի; Անփոփոխություն, այսինքն համանման պատկերների մակերեսներն իրար հավասար են; Նորմալացում, այսինքն միավոր քառակուսու մակերեսը հավասար է մեկի։ Չափի միավորներ Երկարության յուրաքանչյուր միավորին համապատասխանում է մակերեսի այն միավորը, որը տվյալ երկարության վրա կառուցված քառակուսու մակերեսն է։ Միավորների միջազգային համակարգում մակերեսի միավորն է քառակուսի մետրը, որն այդ համակարգի հիմնական միավորներից մեկն է։ Ընդ որում՝ 1մ2=100սմ2=1000000մմ2=10-6կմ2: Քառակուսի մետրի գրառման ձևերն են՝ քառ.մ. մ.(մակերես), ք.մ. մ.(մակերես), մ2։ Այլ միավորներ 1ար=100 քառակուսի մետր Չնայած նրան, որ արը դուրս է եկել գործածությունից, հեկտարը հողի մակերեսի չափման լայնորեն գործածվող միավոր է՝ 1հեկտար(հա)=100ար=10 000 քառակուսի մետր=0.01 քառակուսի կիլոմետր (կմ2) Հողի չափման մյուս տարածված միավորն է ակրը՝ 1ակր=4 840 քառակուսի յարդ=43 560 քառակուսի ոտնաչափ=4046.86 քառակուսի մետր։ Ակրը կազմում է հեկտարի մոտավորապես 40%-ը։ Երկրաչափական պատկերների մակերեսների բանաձևեր Մակերեսների բանաձևեր Շրջան S = π r 2 . {\displaystyle \mathrm {S} =\pi r^{2}.\,} S = π d 2 4 {\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\,} որտեղ r-ը շրջանի շառավիղն է իսկ d-ն տրամագիծը Քառակուսի S = a 2 . {\displaystyle \mathrm {S} =a^{2}.\,} Եռանկյուն S = 1 2 b h {\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{2}}bh} # S △ A B C = 1 2 b h b {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}} , քանի որ h b = a sin ⁡ γ {\displaystyle \ h_{b}=a\sin \gamma } , ուստի S △ A B C = 1 2 a b sin ⁡ γ {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma } S △ A B C = 1 2 r ( a + b + c ) = p r {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}r(a+b+c)=pr} S △ A B C = a b c 4 R {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}} S △ A B C = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = 1 4 ( a + b + c ) ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}} - Հերոնի բանաձև S △ A B C = a 2 sin ⁡ β sin ⁡ γ 2 sin ⁡ α {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}} S △ A B C = 2 R 2 sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ γ {\displaystyle S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }} S △ A B C = 1 2 | x A y A 1 x B y B 1 x C y C 1 | = | x A ( y B − y C ) + x B ( y C − y A ) + x C ( y A − y B ) | 2 = {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}=} = | ( x B − x A ) ( y C − y A ) − ( x C − x A ) ( y B − y A ) | 2 {\displaystyle ={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}} S △ A B C = a b 2 = r 2 + 2 r R {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2}}=r^{2}+2rR} - ուղղանկյուն եռանկյան համար S △ A B C = c 2 2 ( c t g α + c t g β ) {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(ctg\alpha +ctg\beta )}}} - եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները Որտեղ h b {\displaystyle \ h_{b}} - b {\displaystyle \ b} կողմիին տարված բարձրությունն է, p = a + b + c 2 {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}} - պարագծի կեսն է, r {\displaystyle \ r} - ներգծած շրջանի շառավիղն է, R {\displaystyle \ R} - արտագծած շրջանի շառավիղն է, ( x A , y A ) ; ( x B , y B ) ; ( x C , y C ) {\displaystyle \ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})} - եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։ Սեղան a {\displaystyle a} և b {\displaystyle b} սեղանի հիմքերի m {\displaystyle m} միջին գծի և h {\displaystyle h} — բարձրության միջոցով՝ S = ( a + b ) 2 h = m h {\displaystyle S={\frac {(a+b)}{2}}h=\displaystyle mh} սեղանի մակերեսը a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} հիմքերի և c {\displaystyle c} և d {\displaystyle d} ոչ զուգահեռ կողմերի միջոցով՝ S = a + b 4 | a − b | ( a + c + d − b ) ( a + d − b − c ) ( a + c − b − d ) ( b + c + d − a ) . {\displaystyle S={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.} հավասարակողմ սեղանի մակերեսը r {\displaystyle r} ներգծված շրջանագծի շառավիղի և հիմքին կից α {\displaystyle \alpha } անկյան միջոցով՝ S = 4 r 2 sin ⁡ α {\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}} մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա S = 8 r 2 {\displaystyle S=\displaystyle 8r^{2}}