Área

Área é a extensión ou superficie comprendida dentro dunha figura (de dúas dimensións), expresada en unidades de medida denominadas superficiais. Para superficies planas o concepto é intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma de triángulos. Con todo, para calcular a área de superficies curvas requírese introducir métodos de xeometría diferencial. Para poder definir a área dunha superficie en xeral, que é un concepto métrico, tense que definir un tensor métrico sobre a superficie en cuestión: cando a superficie está dentro dun espazo euclidiano, a superficie herda unha estrutura métrica natural inducida pola métrica euclídea. Historia A idea de que a área é a medida que proporciona o tamaño da rexión encerrada nunha figura xeométrica provén da antigüidade. No Antigo Exipto, tras a crecida anual do río Nilo inundando os campos, xorde a necesidade de calcular a área de cada parcela agrícola para restablecer os seus límites; para liquidar iso, os exipcios inventaron a xeometría, segundo Heródoto. Heródoto Historias, Libro II. O modo de calcular a área dun polígono como a suma das áreas dos triángulos, é un método que foi proposto por primeira vez polo sabio grego Antifón cara ao ano 430 a. C. Achar a área dunha figura curva entraña máis dificultade. O método de esgotamento consiste en inscribir e circunscribir polígonos na figura xeométrica, aumentar o número de lados de devanditos polígonos e achar a área buscada. Con este sistema, que se coñece como método de exhaución de Eudoxo, conseguiu achar a fórmula para calcular a área dun círculo. Devandito sistema foi empregado tempo despois por Arquimedes para resolver outros problemas similares: o problema da área así como o cálculo aproximado do número π. Área de figuras planas Área dun triángulo A área dun triángulo calcúlase mediante a seguinte fórmula: A = l ⋅ h 2 {\displaystyle A={\frac {l\cdot h}{2}}} onde l é calquera dos lados e h é a altura correspondente a ese lado. Se o triángulo é rectángulo, a altura coincide cun dos catetos, e a fórmula quedaría da seguinte forma: A = a ⋅ b 2 {\displaystyle A={\frac {a\cdot b}{2}}} onde a e b son os catetos. Se o que coñecemos é a lonxitude dos seus lados aplicamos a fórmula de Herón. S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} onde a, b , c son os valores das lonxitudes dos seus lados s = ½ (a + b + c) é o semiperímetro do triángulo. Se o triángulo é equilátero, de lado a, a súa área está dada por A = 3 ⋅ a 2 4 {\displaystyle A={\frac \cdot a^{2}}{4}}} Área dun cuadrilátero O trapezoide ou cuadrilátero totalmente irregular que ten os seus catro ángulos diferentes e lados de lonxitudes desiguais. Neste caso a área pódese obter mediante triangulación sendo: A = a ⋅ d ⋅ sin ⁡ α + b ⋅ c ⋅ sin ⁡ γ 2 {\displaystyle A={\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}} Sendo: α {\displaystyle \alpha \,} o ángulo comprendido entre os lados a {\displaystyle a\,} e d {\displaystyle d\,} . γ {\displaystyle \gamma \,} o ángulo comprendido entre os lados b {\displaystyle b\,} e c {\displaystyle c\,} . O rectángulo é un paralelogramo cuxos ángulos son todos de 90º; a área sería a multiplicación de dúas dos seus lados contiguos a e b: A = a ⋅ b {\displaystyle A=a\cdot b\,} O rombo, cuxos 4 lados son iguais, ten a súa área dada polo semiproduto das súas dúas diagonais: A = A C ⋅ B D 2 {\displaystyle A={\frac {AC\cdot BD}{2}}} O cadrado é o polígono regular de catro lados, é á vez un rectángulo e un rombo, polo que a súa área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dous. En particular, dado que os seus lados son iguais, úsase a fórmula: A = a ⋅ a = a 2 {\displaystyle A=a\cdot a\,=a^{2}} Os paralelogramos en xeral teñen a súa área dada polo produto un dos seus lados e a súa altura respectiva: A = b ⋅ h {\displaystyle A=b\cdot h\,} O trapecio (que ten dous lados paralelos entre si e dous lados non paralelos) cuxa área vén dada pola media aritmética dos seus lados paralelos multiplicado pola distancia entre eles (altura): A = a + b 2 ⋅ h {\displaystyle A={\frac {a+b}{2}}\cdot h} Área do círculo e a elipse A área dun círculo, ou a delimitada por unha circunferencia, calcúlase mediante a seguinte expresión matemática: A = π ⋅ r 2 {\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}\,} A área delimitada por unha elipse é similar e obtense como produto do semieixe maior polo semieixe menor multiplicados por π: A = π ⋅ a ⋅ b {\displaystyle A=\pi \cdot a\cdot b} Área delimitada entre dúas funcións Unha forma para achar a área delimitada entre dúas funcións, é utilizando o cálculo integral: A ( a , b ) = ∫ a b | f ( x ) − g ( x ) | d x {\displaystyle A(a,b)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx} O resultado desta integral é a área comprendida entre as curvas: f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} e g ( x ) [ < f ( x ) ] {\displaystyle g(x)[<f(x)]\,} no intervalo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\,} . Exemplo Se se quere achar a área delimitada entre o eixo x e a función f(x) = 4 - x^2 no intervalo [-2;2], utilízase a ecuación anterior, neste caso: g(x)=0 entón avaliando a integral, obtense: A ( − 2 , 2 ) = ∫ − 2 2 | 4 − x 2 − 0 | d x = 2 ∫ 0 2 4 − x 2 d x = 2 [ 8 − ( 2 3 − 0 3 ) ] = 32 3 {\displaystyle A(-2,2)=\int _{-2}^{2}|4-x^{2}-0|dx=2\int _{0}^{2}4-x^{2}dx=2\left[8-\left({\frac {2^{3}-0}{3}}\right)\right]={\frac {32}{3}}} Polo que se conclúe que a área delimitada é 32 3 {\displaystyle {\frac {32}{3}}} .. O volume encerrado entre dúas funcións tamén pode ser reducido ao cálculo dunha integral, similar. Área de superficies curvas A área dunha superficie curva é máis complexo e en xeral supón realizar algún tipo de idealización ou límite para medilo. Cando a superficie é desenvolvíbel, como sucede coa área lateral dun cilindro ou dun cono a área da superficie pode calcularse a partir da área desenvolvida que sempre é unha figura plana. Unha condición matemática necesaria para que unha superficie sexa desenvolvíbel é que a súa curvatura gaussiana sexa nula. Cando a superficie non é desenvolvíbel, o cálculo da superficie ou a fórmula analítica para atopar devandito valor é máis traballoso. Un exemplo de superficie non desenvolvíbel é a esfera xa que a súa curvatura gaussiana coincide co inverso do seu radio ao cadrado, e por tanto non é cero. Con todo a esfera é unha superficie de revolución. Superficie de revolución Cando unha superficie curva pode ser xerada facendo virar unha curva plana ao redor dun eixo directriz, a superficie resultante chámase superficie de revolución e a súa área pode ser calculada facilmente a partir da lonxitude da curva xeratriz que ao virar conforma a superficie. Se y=f(x) é a ecuación que define un tramo de curva, ao virar esta curva ao redor do eixo X xérase unha superficie de revolución cuxa área lateral vale: A r ( a , b ) = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + ( d f ( x ) d x ) 2 d x {\displaystyle A_{r}(a,b)=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)^{2}}}\ dx} Cálculo xeral de áreas Mediante a xeometría diferencial de superficies ou máis xeralmente a xeometría riemanniana pode calcularse a área de calquera superficie curva finita. Se a superficie vén dada pola función explícita z = f(x, y) entón, dada unha rexión Ω contida nunha superficie a súa área resultar ser: A ( Ω ) = ∬ Ω 1 + ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 d x d y {\displaystyle A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy} De maneira un pouco máis xeral se coñecemos a ecuación paramétrica da superficie en función de dúas coordenadas calquera o e v entón a área anterior pode escribirse como: A ( Ω ) = ∬ Ω E G − F 2 d u d v {\displaystyle A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv} Onde E, F e G son as compoñentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superficie nas coordenadas paramétricas u e v. Unidades de medida de superficies Sistema métrico (SI) Múltiplos: Quilómetro cadrado: 106 metros cadrados Hectárea: 104 metros cadrados Área: 10² metros cadrados Unidade básica: metro cadrado: Unidade derivada do SI Submúltiplos: centímetro cadrado: 10−4 metros cadrados barn: 10−28 metros cadrados Sistema inglés de medidas polgada cadrada pé cadrado iarda cadrada acre milla cadrada legua cadrada Notas Véxase tamén Bibliografía Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.