PROGRAMME DU PREMIER CONCOURS D'ADMISSION À L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, GROUPE SCIENCES SOCIALES (B/L) DE LA SECTION DES LETTRES
I. - Mathématiques, programme de l'épreuve écrite d'admissibilité
et de l'épreuve orale d'admission
I. - Algèbre linéaire
Les définitions d'un groupe et d'un corps (au sens de corps commutatif) seront données, à l'exclusion de toute théorie relative à ces notions. Le corps de base est R ou C.
Les nombres complexes ne figurent pas dans ce programme pour eux-mêmes, mais comme outils. Sont à connaître les règles élémentaires de calcul, les notations Re (z), lm (z), z, ?z?, le module et l'argument d'un produit, l'inégalité triangulaire, la résolution de l'équation du second degré à coefficients réels et de l'équation zn = a, l'affixe d'un point et d'un vecteur.
A. - Espaces vectoriels et applications linéaires
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels. Applications linéaires, noyau, image ; isomorphisme.
Espaces vectoriels de dimension finie ; bases, rang d'une application linéaire ; somme directe de sous-espaces, sous-espaces supplémentaires.
B. - Calcul matriciel
Matrices à n lignes et p colonnes ; opérations sur les matrices ; matrice transposée. Matrices carrées d'ordre n ; groupe des matrices inversibles.
Matrice d'une application linéaire ; effet d'un changement de base(s), matrices équivalentes, matrices semblables.
C. - Systèmes d'équations linéaires
Les déterminants ne sont pas au programme.
Systèmes de Cramer, lien avec le calcul de l'inverse d'une matrice carrée.
Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice carrée. Méthode du pivot de Gauss appliquée aux questions suivantes : recherche d'une forme triangulaire, de l'inverse d'une matrice carrée, résolution d'un système de n équations linéaires à p inconnues.
D. - Valeurs propres et vecteurs propres
Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d'un endomorphisme (ou d'une matrice carrée).
Toute somme de sous-espaces propres est directe. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si l'espace est somme directe des sous-espaces propres.
La notion de polynôme caractéristique n'est pas au programme ; la réduction des matrices à la forme triangulaire n'est pas au programme.
II. - Analyse
A. - Suites et séries de nombres réels
Enoncé des propriétés de R (admises).
Suites de nombres réels. Suites monotones. Suites définies par une relation de récurrence un + 1 = f (un). Convergence d'une série. Somme. Séries à termes positifs, comparaison de deux séries. Séries à termes réels. Convergence absolue.
B. - Continuité et dérivation
a) Fonctions numériques d'une variable réelle.
Notion de limite.
Théorèmes sur les limites.
Continuité d'une fonction. Enoncé des propriétés des fonctions continues sur un intervalle (sans démonstration).
Fonctions monotones. Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.
b) Notion de dérivée.
Calcul des dérivées, dérivée d'une fonction composée, d'une fonction réciproque. Fonction dérivée, dérivées d'ordre supérieur.
c) Théorème des accroissements finis. Sens de variation d'une fonction dérivable. Graphe.
C. - Fonctions usuelles
Fonctions polynômes, fonctions rationnelles.
La construction formelle des polynômes et fractions rationnelles n'est pas au programme, pas plus que les notions de PGCD, PPCM, polynômes premiers entre eux. Le théorème de d'Alembert est admis. Aucun résultat sur la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples n'est à connaître.
Degré. Définition de la division euclidienne (résultats admis). Zéros (ou racines) d'un polynôme, divisibilité par (x-a). Ordre de multiplicité d'un zéro. Décomposition d'un polynôme réel sur C et sur R (existence et unicité admises).
Fonctions circulaires et circulaires réciproques.
En dehors des formules cos² x + sin² x = 1, sin x = cos (2 - x), tan x = sin xcos x, aucune formule de trigonométrie autre que celles résultant des symétries des fonctions cos, sin, tan n'est à mémoriser.
Fonctions logarithmiques et exponentielles.
Fonctions puissances. Fonctions t eit, formules de Moivre et d'Euler.
Comparaison, pour x tendant vers l'infini, des fonctions xGA, ax, lnx.
D. - Intégration
a) Définition et propriétés de l'intégrale d'une fonction continue, lien avec les primitives (la présentation n'est pas imposée ; on peut admettre qu'une fonction continue possède une primitive). Inégalité de la moyenne.
b) Intégration d'une fonction continue sur un intervalle non compact ; convergence, convergence absolue.
c) Calcul de primitives et d'intégrales. Changement de variables. Intégration par parties. Exemples. Exercices simples d'intégration de fonctions (par exemple : fonctions rationnelles, produit d'une exponentielle par un polynôme).
E. - Méthodes d'approximation
a) Approximation locale des fonctions. Formule de Taylor-Young. Développements limités. Application à la recherche de limites.
b) Comparaison d'une série et d'une intégrale. Séries de Riemann.
F. - Fonctions de plusieurs variables
Fonctions numériques de plusieurs variables ; dérivées partielles (d'ordres un et deux) ; théorème de Schwarz. Différentielle. Fonctions homogènes ; théorème d'Euler. Conditions nécessaires (du premier ordre) pour un extremum libre. Extrema liés dans le cas d'une contrainte linéaire.
III. - Probabilités et statistique
Dans tout ce paragraphe, on mettra l'accent sur la correspondance entre le vocabulaire et les notions intuitives (probabilités, événements, variables aléatoires, indépendance), les exemples, les techniques de calcul et non sur la justification théorique des résultats.
A. - Fondements des probabilités
On introduira le vocabulaire indispensable relatif aux ensembles : réunion, intersection, complémentaire, partition. Aucun exercice ou problème ne portera exclusivement sur ces notions.
1. Analyse combinatoire :
Permutations, arrangements et combinaisons (sans répétition). Formule du binôme de Newton et triangle de Pascal.
2. Probabilités discrètes :
Epreuve, ensemble des résultats de l'épreuve (univers), tribu (ou s-algèbre) des événements ; définition d'une probabilité, additivité.
On se limitera au cas où les événements sont les parties de l'univers et l'on procédera par addition des probabilités des événements élémentaires.
3. Probabilité conditionnelle :
Définition, propriétés, formule P (B) = ( P (A i) P Ai (B), formule de Bayes. Indépendance de 2, de n événements.
B. - Variables aléatoires
On n'insistera pas sur les aspects théoriques, l'important étant la maîtrise intuitive et opératoire du concept.
1. Variables aléatoires discrètes :
On se limitera au cas où l'ensemble des valeurs est fini ou inclus dans Z.
Loi de probabilité, fonction de répartition, définie par F (x) = P (X x).
Exemples : variable certaine, loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi de Poisson.
2. Variables aléatoires à densité :
Densité de probabilité, fonction de répartition.
On se limitera au cas où la fonction de répartition est continue sur R et admet, sauf peut-être en un nombre fini de points, une dérivée continue. On étendra au cas des variables aléatoires à densité le langage et les résultats des paragraphes A2 et A3.
Loi uniforme sur un segment, loi exponentielle, loi normale.
L'égalité orysy exp (- t²/2) dt = EDD2 doit être connue des candidats, sans qu'ils aient à la justifier.
3. Paramètres de position et de dispersion :
Espérance, variance, écart-type.
4. Couples de variables aléatoires discrètes :
Loi d'un couple ; lois marginales, lois conditionnelles. Covariance. Couple de variables aléatoires indépendantes, variance de leur somme ; extension à n variables.
C. - Statistique descriptive et statistique inférentielle
1. Statistique descriptive élémentaire :
Echantillon de n observations d'une variable numérique.
Description de la répartition des valeurs : diagrammes en bâtons, histogrammes.
Paramètres de position : moyenne, médiane, quantiles.
Paramètres de dispersion : variance, écart-type, écarts interquantiles.
2. Statistique inférentielle :
Estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance.
Notion d'estimateur : biais et variance d'un estimateur.
Enoncé (sans démonstration) de la loi faible des grands nombres et du théorème de la limite centrée.
Notion d'intervalle de confiance sur une moyenne et une proportion.
II. - Programme de sciences sociales
1. Epreuves écrites d'admissibilité : composition
de sciences sociales
Première composante : sociologie
1. La diversité des cultures (dans le temps et dans l'espace) :
a) Culture et cultures (exemples) ;
b) Culture matérielle, culture symbolique ;
c) Culture savante, culture populaire.
2. Socialisation, interactions et construction du monde social :
a) Socialisations familiale, scolaire, professionnelle ; socialisation par les pairs ;
b) Traditions d'étude de la socialisation : intégration et anomie, habitus et stratégie, civilisation et individuation ;
c) Normes, règles, coutumes ; déviances ;
d) Action individuelle et ordre social ; interactions et ordre social.
3. Classes, stratification et mobilité sociales :
a) Classe ; statut ; groupe d'appartenance, groupe de référence ;
b) Les grands principes de classification : sexe et genre, âge et génération, ethnicité, religion, diplôme, profession, revenu et patrimoine, localisation ;
c) Les nomenclatures socioprofessionnelles ;
d) Les enquêtes de mobilité sociale et professionnelle.
4. Pouvoir, domination, participation politique :
a) Pouvoir et autorité ; types de domination ;
b) Action collective, mobilisation, conflits et mouvements sociaux, régulation sociale.
Deuxième composante : économie
1. Théorie microéconomique du consommateur :
Fonction d'utilité, contrainte budgétaire, effet de revenu et de substitution, courbe de demande.
2. Théorie microéconomique du producteur :
Fonctions de production (Cobb-Douglas, CES), rendements, courbes de coût, offre en concurrence parfaite et imparfaite (monopole, duopole, concurrence monopolistique).
3. Marchés et équilibres :
a) Equilibre partiel (existence et stabilité de l'équilibre) ;
b) Equilibre général : présentation des hypothèses et du cadre d'analyse, la boîte d'Edgeworth, l'optimum de Pareto, les deux théorèmes de l'économie du bien-être.
4. Eléments de comptabilité nationale, monnaie et institutions financières :
a) Eléments de comptabilité nationale, TES, TEE ;
b) Masse monétaire, agrégats monétaires, base monétaire et multiplicateur de base monétaire ;
c) Système bancaire et financier, le marché monétaire ;
d) Analyse de la balance des paiements.
Nota. - Théories et modèles de financement ne sont pas au programme.
5. L'équilibre macro-économique :
a) Les grandes fonctions macro-économiques : consommation, épargne, investissement ;
b) L'offre et la demande de monnaie (pour celle-ci : motifs de transaction, de précaution, de spéculation : lien avec le marché des titres) ; l'équilibre sur les marchés de la monnaie et des titres ;
c) Le modèle IS-LM en économie fermée ;
d) Le modèle quasi-offre/quasi-demande globales.
Troisième composante : objets communs
aux sciences sociales
1. Institutions et organisations : Etat, marchés, entreprises :
a) La variété sociale des formes de l'échange : don, échange marchand, redistribution ;
b) Bureaucratie et organisations ;
c) Marché et organisation : introduction aux nouvelles théories de l'entreprise (Coase, Williamson).
2. Travail, emploi, chômage :
a) Démographie de l'emploi et du chômage ;
b) Construction sociale des marchés du travail et rapport salarial :
- division sociale, division technique (OST, transformations actuelles de l'organisation du travail) ;
- genèse de la catégorie  chômeur  ;
- travail marchand, travail non marchand ;
- rapport salarial, segmentation ;
c) Marché du travail :
- salaire nominal et salaire réel ;
- offre et demande de travail ;
- chômage classique et chômage keynésien : courbe de Phillips et détermination conjoncturelle des salaires ; le taux de chômage naturel.
Nota. - Les taux de chômage feront l'objet de comparaisons internationales.
3. Rationalité, anticipation, croyances :
a) Introduction à la théorie des choix incertains ;
b) Théorie des anticipations rationnelles ;
c) Rationalité limitée ;
d) Rationalité et croyances.
4. Déséquilibres, inégalités et politiques publiques :
a) Eléments de politiques publiques (acteurs,  agenda , mise en oeuvre, évaluation...) ;
b) Politiques de stabilisation macro-économique :
- objectifs intermédiaires, objectifs finaux : politiques conjoncturelles, politiques structurelles, politiques monétaires et politiques budgétaires ;
- débat sur l'efficacité des politiques de stabilisation macro-économique ;
c) Politiques de lutte contre le chômage ;
d) Politiques de lutte contre les inégalités et politiques de redistribution.
2. Epreuves orales d'admission : épreuve de sciences sociales
I. - Sociologie
1. L'institutionnalisation de la sociologie :
a) Sociologie et réformes sociales ;
b) La sociologie et les autres disciplines ;
c) La construction des institutions d'enseignement, de recherche et le développement de la discipline.
Nota. - Ces points seront traités notamment en prenant appui sur des oeuvres fondamentales.
2. Le processus d'acculturation.
3. Reproductions sociales, transformations sociales.
4. Opinions et comportements politiques ; comportements électoraux.
II. - Economie
1. Introduction à l'histoire de la pensée économique : valeur, prix, répartition :
a) Les physiocrates et Turgot ;
b) Les classiques : Smith, Ricardo, Say, Malthus ;
c) Marx ;
d) Les  révolutions marginalistes  : Walras, Jevons, Menger ; Marshall et Pareto.
Nota. - Les auteurs ne sont pas étudiés pour eux-mêmes, mais en relation avec le thème : valeur, prix, répartition.
2. Théorie micro-économique du consommateur : applications :
a) L'offre de travail (arbitrage travail/loisir) ;
b) Choix intertemporel : consommation/épargne (cycle de vie : revenu permanent).
3. Théorie micro-économique du producteur : application aux choix d'investissement.
4. La place de Keynes dans l'histoire de la pensée économique.
III. - Objets communs aux sciences sociales
1. Institutions et organisations :
a) Eléments d'économie publique : fonctions d'utilité publique : externalités, biens publics ;
b) Contrats et conventions.
2. Consommation et modes de vie :
a) Analyse transversale et dynamique des comportements de consommation (Duesenburry, Brown) ;
b) Dimension symbolique de la consommation ;
c) Les budgets familiaux.