MATHÉMATIQUES
Analyse.
I. - Espaces vectoriels, normes.
A. - Normes sur un espace vectoriel réel ou complexe. Définitions, propriétés, notions associées.
B. - Suites et fonctions :
Les espaces vectoriels considérés dans ce paragraphe sont de dimension finie sur R ou C et les applications sont définies sur une partie d'un tel espace vectoriel et à valeur dans un autre :
a) Equivalence des normes, suite de Cauchy ;
b) Notions de topologie, voisinage, continuité, continuité uniforme, parties compactes.
C. - Espaces préhilbertiens réels ou complexes. Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme.
Famille orthonormale, méthode de Schmidt. Existence d'une base orthonormale dans un espace de dimension finie. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.
II. - Fonctions d'une variable réelle, calcul différentiel et intégral.
Les fonctions étudiées sont définies sur un intervalle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie sur R et sur C.
A. - Dérivation :
a) Opérations algébriques sur les dérivées ;
b) Fonctions de classe Ck (k entier naturel sur k infini) ; fonctions de classe Ck par morceaux ;
B. - Intégration sur un segment :
a) Propriétés de l'intégrale ;
b) Primitives d'une fonction continue sur un intervalle. Intégration par parties, changement de variable ;
c) Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1 sur un segment [a, b]. Caractérisation des fonctions constantes et des fonctions lipchitziennes sur un intervalle.
C. - Formule de Taylor :
Formule de Taylor à l'ordre p avec reste intégral pour une fonction de classe Cp + 1 ; inégalité de Taylor-Lagrange. Intégration des développements limités. Théorème de Taylor-Young.
D. - Intégrales dépendant d'un paramètre.
E. - Intégrales impropres.
III. - Séries.
A. - Séries de nombres réels ou complexes :
a) Séries convergentes, divergentes, absolument convergentes. Critère de convergence de Cauchy. Convergence d'une série absolument convergente ;
b) Séries à termes positifs. Emploi des relations de comparaison pour l'étude de la convergence ;
c) Séries alternées. Convergence d'une série alternée ; majoration du reste ;
d) Opérations sur les séries.
B. - Suites et séries de fonctions :
Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont à valeurs réelles ou complexes.
a) Convergence simple, convergence uniforme d'une suite ou d'une série de fonctions. Convergence normale d'une série de fonctions ;
b) Suites et séries uniformément convergentes de fonctions continues sur un intervalle.
C. - Séries entières.
Les coefficients des séries entières considérées dans ce paragraphe sont réels ou complexes.
a) Séries entières d'une variable complexe ;
b) Séries entières d'une variable réelle. Développement en série entière ;
c) Définition de exp(z) ou (ez), cos(z), sin(z) pour (z) complexe. Exponentielle d'une somme.
D. - Séries de Fourier.
IV. - Equations différentielles.
A. - Systèmes linéaires d'ordre 1 à coefficients constants. Etude du système X' = AX, où A est une matrice diagonalisable à éléments réels ou complexes ; résolution du problème de Cauchy.
B. - Equations linéaires scalaires d'ordre 2. Equations du type : x'' + a (t). x' + b (t). x = c (t), où a, b, c sont continues sur un intervalle I à valeurs réelles ou complexes.
C. - Notions sur les équations non linéaires. Solutions d'une équation différentielle x' = f (t, x) (resp. x' = f (t, x, x')), où f est de classe C1 sur un ouvert de R 2 (resp. de classe C2 sur un ouvert de R 3).
V. - Fonctions de plusieurs variables réelles.
A. - Calcul différentiel :
Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont définies sur un ouvert de Rp et à valeurs dans Rn.
a) Application de classe C1, différentielle, matrice jacobienne, jacobien ;
b) Définition des fonctions de classe C1 sur un ouvert de Rp à valeurs dans Rn (k entier naturel ou k infini) ;
c) Points critiques d'une fonction de classe C1 sur un ouvert de Rp ; condition nécessaire d'existence d'un extremum local. Pour une fonction numérique de classe C2 sur un ouvert de R 2 : formule de Taylor-Young ; étude de l'existence d'un extremum local en un point critique.
B. - Calcul intégral.
a) Intégrales doubles et triples. Propriétés. Calcul en coordonnées cartésiennes. Changement de variables ; cas du passage en coordonnées polaires ;
b) Intégrale curviligne d'une forme différentielle de degré 1 continue sur un ouvert de Rp.
Algèbre.
I. - Algèbre linéaire et multilinéaire.
Dans ce chapitre, le corps de base est R ou C.
A. - Dualité des espaces vectoriels de dimension finie. Bases associées d'un espace E et de son dual E*. Orthogonalité.
B. - Calcul matriciel et systèmes d'équations linéaires.
C. - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées.
a) Valeurs propres d'un endomorphisme, sous-espaces propres, vecteurs propres ;
b) Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Polynôme caractéristique, ordre de multiplicité d'une valeur propre. Endomorphismes diagonalisables ;
c) Valeurs propres d'une matrice carrée, vecteurs propres. Diagonalisation des matrices carrées.
II. - Espaces vectoriels euclidiens.
Les espaces vectoriels considérés dans ce chapitre sont de dimension finie sur R.
A. - Géométrie des espaces euclidiens.
a) Endomorphismes symétriques ; matrice associée dans une base orthonormale ;
b) Automorphismes orthogonaux, groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal (rotations). Matrices orthogonales. Changement de base orthonormale.
B. - Réduction des endomorphismes symétriques. Réduction d'un endomorphisme symétrique dans une base orthonormale. Diagonalisation d'une matrice symétrique au moyen d'une matrice orthogonale. Définition d'une forme quadratique. Endomorphisme symétrique associé. Définition des formes quadratiques définies positives.
Nota. - Les élèves doivent utiliser une calculatrice programmable. Les capacités suivantes sont exigibles : programmation des valeurs d'une fonction d'une ou plusieurs variables d'une suite, des sommes partielles d'une série, à quoi il convient d'ajouter, en raison de l'introduction de l'informatique, la programmation d'une séquence et d'une instruction conditionnelle ou itérative.