Mathématiques modernes

 I. - Nombres entiers naturels. - Arithmétique
   1° Enoncé des propriétés attribuées à l'ensemble N des entiers naturels.
   Raisonnement par récurrence. Applications de N dans un ensemble X ; notation indicielle ; exemples.
   2° Anneau Z des entiers relatifs ; multiples d'un entier relatif ; notation nZ, congruences modulo n ; l'anneau Z/nc ; division euclidienne dans Z, dans N. Principe des systèmes de numération ; base ; numérations décimale et binaire.
   3° a) Nombres premiers dans Z ; si p est premier, Z/pZ est un corps.
   3° b) Décomposition d'un entier naturel en facteurs premiers ; existence ; unicité.
   3° c) Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple ; nombres premiers d'entre eux ; identité de Bezout.

 II. - Nombres réels. - Calcul numérique
   1° Inventaire (sans démonstration) des propriétés de R : c'est un corps commutatif totalement ordonné (révision) ; toute partie non vide majorée admet un plus petit majorant ; tout intervalle de R contenant plus d'un point contient un nombre rationnel.
   2° Valeurs décimales approchées à 10n près, par défaut et par excès, d'un nombre réel.
   Représentation d'un nombre réel par une suite décimale illimitée (l'étude de la périodicité n'est pas au programme).
   Valeurs approchées d'un nombre réel, encadrement, incertitudes, absolue et relative.
   Valeurs approchées d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient de nombre réels dont on connaît des valeurs approchées.

III. - Calcul différentiel
   1° Fonctions numériques d'une variable réelle : continuité. Continuité " en un point " ; continuité sur un intervalle ; somme, produit, quotient de fonctions continues, continuité de la fonction composée de deux fonctions continues (sans démonstrations).
   On admettra sans démonstration le théorème suivant : " si une fonction est continue sur un intervalle, l'image, par la fonction, de cet intervalle est un intervalle ". Application à une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle : existence de la fonction réciproque ; monotonie et continuité de cette fonction (on admettra la continuité).
   2° Fonctions numériques d'une variable réelle : limites :
   Limite d'une fonction lorsque la variable tend vers un nombre réel donné, vers l'infini. Unicité.
   Cas particulier des suites.
   Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient (sans démonstration).
   3° Fonction numérique d'une variable réelle (dérivation) :
   Révision du programme de première C ; fonction linéaire tangente en un point à une fonction donnée ; notation différentielle (1)    (1) Dérivée de ce point, fonction dérivée.

 dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonctions dérivables. Interprétation géométrique de la dérivée (repère cartésien) ; équation de la tangente. Définition des dérivées successives.
   Dérivée en un point de la composée de deux fonctions dérivables.
   Dérivée en un point de la réciproque d'une fonction dérivable et strictement monotone.
   On admettra sans démonstration que si une fonction numérique est dérivable sur un intervalle et si sa dérivée est positive ou nulle, elle est croissante au sens large sur cet intervalle.
   Comparaison de deux fonctions ayant même fonction dérivée sur un intervalle.
   Etude du sens de la variation d'une fonction dérivable à l'aide du signe de sa dérivée. Représentation graphique ; exercices simples de recherche d'asymptotes.
   4° Fonctions vectorielles d'une variable réelle :
   Application d'une partie de R dans un espace vectoriel euclidien de dimension finie.
   Continuité en un point ; limite d'une fonction lorsque la variable tend vers un nombre réel donné, vers l'infini.
   Dérivée en un point ; si l'espace vectoriel est rapporté à une base, coordonnées, dans cette base, de la dérivée ; fonction dérivée.
   Dérivée d'une somme de fonctions vectorielles dérivables, du produit d'une fonction vectorielle dérivable par une fonction numérique dérivable.
   Dérivée du produit scalaire de deux fonctions vectorielles dérivables.

IV. - Calcul intégral
   1° Définition des sommes de Riemann d'une fonction numérique d'une variable réelle sur un intervalle fermé, borné. Existence de l'intégrale pour une fonction monotone ; notation :
   b
       f (t) dt ;
   a

 premières propriétés.
   On admettra que ces propriétés s'étendent à des fonctions continues ou monotones par morceaux.
   Moyenne d'une telle fonction sur un intervalle fermé, borné. Lien avec la dérivation en des points où la fonction est continue.
   Primitives, ensembles des primitives ; égalité :
   a
       f (t) dt = F (b) - F (a),
   b

 (

 f étant continue sur [a, b] et admettant pour primitive. Calcul de primitives ; intégration par parties.
   2° On énoncera, sans démonstration, les propriétés des aires dont l'existence est admise ici (additivité, unité d'aire...)
   Application du calcul intégral à l'évaluation de l'aire de la partie x R X R définie par a 1 x 1 b, 0 1 y 1 f (x), f étant une fonction positive monotone par morceaux, puis une fonction positive continue.
   Extension à b < a et à une fonction négative.

 V. - Exemples de fonctions d'une variable réelle
   Fonctions x D xn (n 4 Z) ; dérivés : primitives.

VI. - Eléments de géométrie affine et euclidienne (1)
   1° Somme directe de deux sous-espaces vectoriels ; sous-espaces vectoriels supplémentaires. Application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F : image et noyau. Addition et composition des applications linéaires.
   Groupe linéaire. Homothéties vectorielles.
   2° Barycentre dans un espace affine. Variété affine. Repère affine. Réduction, dans le cas euclidien, de f (M) = aMA2 + bMB2 + cMC2.
   3° Application affine d'un espace affine E dans lui-même, application linéaire associée.
   Exemples : projection parallèle sur un sous-espace affine ; involution affine, leurs points fixes ; translations et homothéties.
   4° Applications linéaires d'un espace vectoriel euclidien dans lui-même conservant la norme ; transformations orthogonales (isométries vectorielles), groupe orthogonal.
   5° Définition d'une isométrie de l'espace affine euclidien. Toute isométrie est une bijection affine. Groupe des isométries, sous-groupe des déplacements.
   Dans le plan affine euclidien, symétries, translations, rotations : tout déplacement est de l'un de ces deux derniers types.
   (1) Dans ce paragraphe le corps de base est R et la dimension n est toujours égale à 2. Une " transformation d'un ensemble E " est une bijection de E sur lui-même ; une application de F de E dans lui-même est une invomution ; si F°F est l'identité : c'est une transformation de E.

 VII. - Compléments de géométrie euclidienne plane
   1° Angle d'un couple de demi-droites vectorielles (rappel de première). Groupe alpha des angles de demi-droites.
   Angle d'un couple de droites vectorielles (ensemble de deux rotations vectorielles transformant la première en la seconde) ; groupe alphaI des angles de droite. Homomorphisme canonique alphaI D alphaI ; son noyau. Isomorphisme alphaI D alphaI déduit de l'homomorphisme alphaI D alphaI + alphaI de alphaI sur a.
   Conditions, en termes d'angles de droites, pour que quatre points soient cocyliques.

Epreuve de physique appliquée et d'électricité

 A. - Physique
   1° Statique des solides :
   Poids d'un corps (mesure, variation), masse d'un corps, relation Dp = mg, masse et poids volumiques, densité.
   Forces : équilibre d'un solide soumis à des forces concourantes.
   Notion de barycentre et centre de gravité.
   Moment d'une force par rapport à un axe, équilibre d'un solide mobile autour d'un axe. Théorème des moments - application aux balances.
   Couples de forces.
   Travail et puissance, application à l'étude des machines simples.
   2° Statique des fluides :
   Pression. Existence des forces pressantes dans les fluides et sur les parois.
   Principe fondamental de l'hydrostatique :
   Application : théorème de Pascal, forces pressantes sur les parois.
   Poussée d'Archimède et conséquences.
   Notions de statique des gaz : pression (mesures) ; baromètres, manomètres.
   3° Chaleur :
   Thermométrie.
   Dilatation des solides et des liquides (caractères généraux, formules).
   Compressibilité des gaz, dilatation des gaz.
   Quantité de chaleur, calorimétrie.
   Changements d'état (notion de chaleur lente).
   4° Optique :
   Réflexion-réfraction (dioptre plan ; lame à faces parallèles).
   Prisme (déviation-dispersion), application.
   Lentilles minces : formules générales, vergence, association de lentilles.
   Oeil et vision.
   Loupe - microscope, lunette astronomique.

B. - Electricité
   1° Electrostatique :
   Electrisation, charge électrique, loi de Coulomb, champ électrique-différence de potentiel.
   Condensateur.
   2° Electrocinétique :
   Courant électrique, ses effets, intensité, électrolyse.
   Définition énergétique de la différence de potentiel.
   Loi de Joule : applications (résistance, résistivité).
   Loi d'Ohm, loi d'Ohm-Pouillet, courant dérivé, générateurs-récepteurs.
   Lois de Kirchhoff, notions de dipôle, théorèmes de Kennely, de Thévenin.
   Accumulateurs et piles.
   3° Magnétisme et électromagnétismes :
   Champ magnétique, aimants.
   Champ magnétique créé par un courant.
   Aimantation du fer et de l'acier.
   Loi de Laplace, galvanomètres, applications.
   Induction électromagnétique, auto-induction.
   Principe de la dynamo et du moteur à courant continu.
   4° Courant alternatif :
   Principe de sa production, ses effets.
   Notions de valeurs efficaces.

Epreuve de droit et de pratique du service
   Notions sommaires sur l'organisation administrative de la France.
   L'organisation et le fonctionnement de l'hôpital public.
   Généralités sur les biens.
   Domaine public et domaine privé.
   Occupation du domaine public, permis de construire.
   Mode d'exécution des travaux publics, prérogatives particulières, les marchés de travaux publics, régies, concessions.
   Notions sommaires de comptabilité publique : budget, autorisaion de dépenses, crédits, ordonnancement, exécution et contrôle des dépenses.
   Tenue du carnet d'attachement et du sommier.