Mathématiques
    Analyse
    1. Espaces vectoriels, normes :
    a) Normes sur un espace vectoriel réel ou complexe. Définitions, propriétés, notions associées.
    b) Suites et fonctions :
    Les espaces vectoriels considérés dans ce paragraphe sont de dimension finie sur R ou C et les applications sont définies sur une partie d'un tel espace vectoriel et à valeur dans un autre :
    Equivalence des normes, suite de Cauchy ;
    Notions de topologie, voisinage, continuité, continuité uniforme, parties compactes.
    c) Espaces préhilbertiens réels ou complexes. Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme.
    Famille orthonormale, méthode de Schmidt. Existence d'une base orthonormale dans un espace de dimension finie. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.
    2. Fonctions d'une variable réelle, calcul différentiel et intégral :
    Les fonctions étudiées sont définies sur un intervalle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie sur R et sur C.
    a) Dérivation :
    Opérations algébriques sur les dérivées ;
    Fonctions de classe Ck (k entier naturel sur k infini) ; fonctions de classe Ck par morceaux.
    b) Intégration sur un segment :
    Propriétés de l'intégrale ;
    Primitives d'une fonction continue sur un intervalle. Intégration par parties, changement de variable ;
    Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1 sur un segment (a, b). Caractérisation des fonctions constantes et des fonctions lipschitziennes sur un intervalle.
    c) Formule de Taylor :
    Formule de Taylor à l'ordre p avec reste intégral pour une fonction de classe Cp + 1 ; inégalité de Taylor-Lagrange. Intégration des développements limités. Théorème de Taylor-Young.
    d) Intégrales dépendant d'un paramètre.
    e) Intégrales impropres.
    3. Séries :
    a) Séries de nombres réels ou complexes :
    Séries convergentes, divergentes, absolument convergentes. Critère de convergence de Cauchy. Convergence d'une série absolument convergente ;
    Séries à termes positifs. Emploi des relations de comparaison pour l'étude de la convergence ;
    Séries alternées. Convergence d'une série alternée ; majoration du reste ;
    Opérations sur les séries.
    b) Suites et séries de fonctions :
    Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont à valeurs réelles ou complexes :
    Convergence simple, convergence uniforme, d'une suite ou d'une série de fonctions. Convergence normale d'une série de fonctions ;
    Suites et séries uniformément convergentes de fonctions continues sur un intervalle.
    c) Séries entières :
    Les coefficients des séries entières considérées dans ce paragraphe sont réels ou complexes :
    Séries entières d'une variable complexe ;
    Séries entières d'une variable réelle. Développement en série entière ;
    Définition de exp(z) ou (ez), cos(z), sin(z) pour (z) complexe. Exponentielle d'une somme.
    d) Séries de Fourier :
    4. Equations différentielles :
    a) Systèmes linéaires d'ordre 1 à coefficients constants. Etude du système X' = AX, où A est une matrice diagonalisable à éléments réels ou complexes ; résolution du problème de Cauchy ;
    b) Equations linéaires scalaires d'ordre 2. Equations du type : x'' + a (t).x' + b (t).x = c (t), où a, b, c sont continues sur un intervalle I à valeurs réelles ou complexes ;
    c) Notions sur les équations non linéaires. Solutions d'une équation différentielle x' = f (t,x) (resp.x' = f (t,x,x'), où f est de classe C1 sur un ouvert de R2 (resp. de classe C2 sur un ouvert de R3).
    5. Fonctions de plusieurs variables réelles :
    a) Calcul différentiel :
    Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont définies sur un ouvert de Rp et à valeurs dans Rn ;
    Application de classe C1, différentielle, matrice jacobienne, jacobien ;
    Définition des fonctions de classe C1 sur un ouvert de Rp à valeurs dans Rn (k entier naturel ou k infini) ;
    Points critiques d'une fonction de classe C1 sur un ouvert de Rp ; condition nécessaire d'existence d'un extremum local. Pour une fonction numérique de classe C2 sur un ouvert de R2 : formule de Taylor-Young ; étude de l'existence d'un extremum local en un point critique.
    b) Calcul intégral :
    Intégrales doubles et triples. Propriétés. Calcul en coordonnées cartésiennes. Changement de variables ; cas du passage en coordonnées polaires ;
    Intégrale curviligne d'une forme différentielle de dégré 1 continue sur un ouvert de Rp.