Differentialgeometrie [electronic resource] : Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten /
Kühnel, Wolfgang.author.
Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie und ein passender Begleiter zum Differentialgeomitrie-Modul (ein- und 2-semestrig). Zunächst geht es um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel "Die innere Geometrie von Flächen". Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluss bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" als auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird. In der dritten Auflage wurden einige Umstellungen und Ergänzungen vorgenommen, zusätzliche Bilder eingefügt und am Ende des Buches wurden Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben ergänzt. Damit ist das Buch jetzt noch besser auch zum Selbststudium geeignet.
Bibliographic Level Mode of Issuance: Monograph
1 Bezeichnungen sowie Hilfsmittel aus der Analysis -- 2 Kurven im ?n -- 2A Frenet-Kurven im ?n -- 2B Ebene Kurven und Raumkurven -- 2C Bedingungen an Krümmung und Torsion -- 2D Die Frenet-Gleichungen und der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie -- 2E Kurven im Minkowski-Raum ?13 -- 2F Globale Kurventheorie -- 3 Lokale Flächentheorie -- 3A Flächenstücke, erste Fundamentalform -- 3B Die Gauß-Abbildung und Krümmungen von Flächen -- 3C Drehflächen und Regelflächen -- 3D Minimalflächen -- 3E Flächen im Minkowski-Raum ?13 -- 3F Hyperflächen im ?n+1 -- 4 Die innere Geometrie von Flächen -- 4A Die kovariante Ableitung -- 4B Parallelverschiebung und Geodätische -- 4C Die Gauß-Gleichung und das Theorema Egregium -- 4D Der Hauptsatz der lokalen Flächentheorie -- 4E Die Gauß-Krümmung in speziellen Parametern -- 4F Der Satz von Gauß-Bonnet -- 4G Ausgewählte Kapitel der globalen Flächentheorie -- 5 Riemannsche Mannigfaltigkeiten -- 5A Der Mannigfaltigkeitsbegriff -- 5B Der Tangentialraum -- 5C Riemannsche Metriken -- 5D Der Riemannsche Zusammenhang -- 6 Der Krümmungstensor -- 6A Tensoren -- 6B Die Schnittkrümmung -- 6C Der Ricci-Tensor und der Einstein-Tensor -- 7 Räume konstanter Krümmung -- 7A Der hyperbolische Raum -- 7B Geodätische und Jacobi-Felder -- 7C Das Raumformen-Problem -- 7D Dreidimensionale euklidische und sphärische Raumformen -- 8 Einstein-Räume -- 8A Die Variation des Hilbert-Einstein-Funktionals -- 8B Die Einsteinschen Feldgleichungen -- 8C Homogene Einstein-Räume -- 8D Die Zerlegung des Krümmungstensors -- 8E Die Konformkrümmung -- 8F Dualität für 4-Mannigfaltigkeiten, Petrov-Typen -- Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben -- Literatur -- Verzeichnis mathematischer Symbole.
Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie und ein passender Begleiter zum Differentialgeomitrie-Modul (ein- und 2-semestrig). Zunächst geht es um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel "Die innere Geometrie von Flächen". Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluss bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" als auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird. In der dritten Auflage wurden einige Umstellungen und Ergänzungen vorgenommen, zusätzliche Bilder eingefügt und am Ende des Buches wurden Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben ergänzt. Damit ist das Buch jetzt noch besser auch zum Selbststudium geeignet.
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