prompter: Sind Regular Expressions Turing Complete? Falls dies nicht der Fall ist erkläre mir wieso sie es nicht sind?

assistant: Reguläre Ausdrücke sind nicht Turing-vollständig. Das liegt daran, dass reguläre Ausdrücke in Deterministische Endliche Automaten (DFAs) umgewandelt werden können und DFAs die Buchstaben einer Eingabezeichenkette auf dem Weg zwischen zwei Zuständen verbraucht werden und nie wieder abgerufen werden können. Einige Schlüsselaspekte einer Turing-Maschine sind, dass sie sich vor- und zurückbewegen und auf Teile der Eingabekette zugreifen kann, die sie bereits besucht hat. Sie kann Symbole aufschreiben, was einem "Speicher" gleichkommt. Alles, was ein DFA kann, kann auch eine Turing-Maschine tun. Aber eine Turing-Maschine kann mit ihren zusätzlichen Fähigkeiten viel anspruchsvollere Sprachen bestimmen als ein DFA, so dass DFAs nicht Turing-vollständig sind.

prompter: Wofür stehen die einzelnen Buchstaben von DFA?

assistant: DFA ist eine englische Abkürzung und steht für "Deterministic Finite Automaton".

"Automaton"(Automat): Eine abstrakte Rechenmaschine welche aus Zuständen und und einer Tabelle von Regeln besteht, die vorschreiben wie (als Reaktion auf die Eingabe) zwischen den Zuständen gewechselt werden soll. Wichtig in diesem Kontext ist die Variante Akzeptor, welche einen(oder mehrere) Endzustände haben, die bestätigen, ob ein Folge von Eingabebuchstaben (analog zu Regular Expressions) akzeptiert wird oder nicht.

"Finite"(endlich): Es gibt nur eine endliche Anzahl von möglichen Zuständen.

"Deterministic"(deterministisch): Ist gibt für einen gegebenen aktuellen Zustand und Eingabe jeweils nur einen möglichen Folgezustand. Die Zustandsübergangsregeln sind also immer eindeutig.

prompter: Gibt es noch andere Anwendungsmöglichkeiten für DFAs?

assistant: Das Akronym DFA steht in diesem Kontext für "Deterministic Finite Automaton", der englischen Bezeichnung für Deterministische Endliche Automaten. Im Deutschen findet man daher gelegentlich auch die Abkürzung DEA.

prompter: Ich verstehe bei deiner ursprünglichen Erklärung nicht genau, was du mit "...DFAs die Buchstaben einer Eingabezeichenkette auf dem Weg zwischen zwei Zuständen verbraucht werden und nie wieder abgerufen werden können". 
Wie genau werden die Buchstaben hier "verbraucht"? Erklär mir das bitte nochmal genauer.

assistant: Der Begriff Deterministische Endliche Automat (DFA) steht für eine endliche automatische Maschine, die eindeutig bestimmt, welche Aktionen auf eine Eingabezeichenkette angewendet werden sollen. Der Begriff "Deterministisch" bedeutet, dass der Automat nur eine bestimmte Aktion pro Eingabezeichenkette ausführen kann. Der Begriff "Endlich" bedeutet, dass der Automat nur endliche viele Zustände haben kann und die Eingabezeichenkette eine endliche Länge hat.

assistant: Ursprünglich wurden Reguläre Ausdrücke benutzt, um reguläre Sprachen zu beschreiben, die nicht Turing-vollständig sind. Heute bezeichnet "Regulärer Ausdruck" jedoch eine Vielzahl von Mustererkennungsprogrammen, die zum Teil Turing-Vollständigkeit besitzen.
Zur Überprüfung ob ein bestimmtes Mustererkennungsprogramm Turing-vollständig ist, empfiehlt es sich dieses als Sprach-Generator zu betrachten, im speziellen als Instanzen des Markov Algorithmus.

prompter: kannst du mir ein Beispiel geben?

assistant: Ein Beispiel für die Verwendung von regulären Ausdrücken zur Lösung eines Problems, das Turing-Vollständigkeit erfordert, ist die Simulation von Zellularautomaten. Zellularautomaten sind komplexe Systeme, die aus einer Menge von Zellen bestehen, die sich in verschiedenen Zuständen befinden und in Abhängigkeit von den Zuständen ihrer Nachbarn über die Zeit hinweg verändern. Zellularautomaten sind Turing-vollständig, was bedeutet, dass sie jede berechenbare Funktion berechnen können.

Reguläre Ausdrücke können verwendet werden, um Zellularautomaten in einem Textformat zu beschreiben, indem sie das Verhalten jeder Zelle in Abhängigkeit von den Zuständen ihrer Nachbarn definieren. Ein Beispiel für eine solche Beschreibung wäre:

(0[01]*1|1[10]*0)+

Dieser reguläre Ausdruck beschreibt einen Zellularautomaten, der aus einer Folge von 0en und 1en besteht, die abwechselnd in einer sich wiederholenden Sequenz angeordnet sind. Der Ausdruck verwendet die "|"-Syntax, um alternative Zustandsübergänge zu definieren, basierend auf dem Zustand der Nachbarzellen. Zum Beispiel bedeutet der Ausdruck "0[01]*1", dass eine Zelle mit einem Wert von 0, gefolgt von einer beliebigen Anzahl von 0en oder 1en, gefolgt von einer Zelle mit einem Wert von 1, zu einem Zustandsübergang führt.

Obwohl reguläre Ausdrücke nicht alle Funktionen von Zellularautomaten umfassen, können sie auf diese Weise verwendet werden, um einfache Zellularautomaten zu definieren und zu simulieren.

assistant: Ja, natürlich. Ein Beispiel für einen Regulären Ausdruck, der Turing-Vollständig ist, ist der Regular Expression Parser (REP), der ein vollständiges Turing-Maschinen-Modell erzeugt. Der REP ist ein spezialisierter Parser, der reguläre Ausdrücke interpretieren und in Turing-Maschinen-Konfigurationen übersetzen kann. Der REP kann dann als Turing-Maschine ausgeführt werden, um die Eingabezeichenkette zu überprüfen.