prompter: Что такое кватернион?

assistant: Кватернионы — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Соответственно, кватернион — элемент этого пространства. Обозначается оно обычно символом «H красивое». Это понятие было предложено Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики.

Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии».

prompter: Похоже ли кватернионы на комплексные числа?

assistant: Кватернионы и комплексные числа имеют некоторые сходства, но они также имеют и существенные различия.

Кватернионы, как и комплексные числа, являются гиперкомплексными числами, то есть они расширяют комплексные числа в более высокие размерности. Как и комплексные числа, кватернионы содержат элементы вида a + b·i, но вместо мнимой единицы i используют три мнимые единицы: i, j и k. Кроме того, кватернионы имеют свою собственную алгебру умножения, которая отличается от алгебры комплексных чисел.

Одним из существенных отличий кватернионов от комплексных чисел является то, что умножение кватернионов не коммутативно, то есть a·b не обязательно равно b·a. В комплексной алгебре умножение коммутативно, то есть для любых комплексных чисел a и b выполняется равенство a·b=b·a.

Таким образом, хотя кватернионы и комплексные числа имеют некоторые общие черты, они также имеют и фундаментальные различия в своей алгебре и свойствах.

assistant: Да, кватернионы и комплексные числа имеют много общего. И те, и другие имеют множество применений в математике и в физике, и те, и другие являются расширением над действительными числами с добавлением мнимых единиц. Обе алгебры имеют дополнения, возвращающие в действительную плоскость, и собственно являются алгебрами по умножению.

Тем не менее, надо помнить, что между ними есть и различия. Так, кватернионы являются некоммутативной алгеброй, в отличие от комплексных или действительных чисел, а также обладают делителями нуля, что делает их алгебру сложнее. Ещё, кватернионы нельзя представить в каком-либо виде в нашем трёхмерном мире, хотя для них есть применение, например вращения и преобразования трёхмерного пространства.

assistant: система гиперкомплексных чисел

prompter: Любая система гиперкомплексных чисел называется кватернионом?

assistant: Нет, не любая система гиперкомплексных чисел называется кватернионом. Кватернионы - это конкретный тип гиперкомплексных чисел, который был открыт и введён в математику в XIX веке учёным Уильямом Роуаном Гамильтоном.

Кватернионы представляют собой систему гиперкомплексных чисел, состоящую из 4 компонент: одной вещественной и трёх мнимых. Кватернионы обладают особыми свойствами и находят применение в различных областях математики, физики и компьютерной графике, в частности, для описания ориентации и поворотов в трёхмерном пространстве.

Существуют и другие типы гиперкомплексных чисел, например, октонионы, седенионы и др., но они имеют отличные от кватернионов свойства и применяются в других областях математики и физики.

assistant: Нет, кватернионом называется гиперкомплексная система чисел, удовлетворяющая следующим условиям: в ней есть три мнимые единицы, квадрат каждой из которых, а также произведение всех троих равны минус единице, то есть `i^2=j^2=k^2=ijk=-1`. Кроме кватернионов есть и другие гиперкомплексные числа, например октонионы, числа Кэли. Простые комплексные числа также относятся к гиперкомплексным числам.

assistant: Кватернион это способ измерения вращения, он требует 4 значения.

prompter: Какие?

assistant: x, y, z для вектора и w для поворота. Сложность заключается в том, что в дополнение к ним ещё есть три мнимые единицы, такие, что: i2 = j2 = k2 = ijk = −1. Целиком запись уравнения для кватерниона (вектора и вращения вокруг него) выглядит следующим образом: q = w + x*i + y*j + z*k