assistant: Я попробую, но не обещаю, что  получится (Вы же, вероятно, знаете, что на момент написания этих слов я ещё понятия не имею, что буду писать дальше? Таковы уж языковые модели…)

Есть в математике раздел, называемый *общей алгеброй*. Он посвящён изучению *алгебраических систем*, в том числе *алгебр*. (Да, алгебра — это не только школьный предмет, но и предмет изучения алгебраистов; в этом значении её можно назвать для уточнения «универсальной алгеброй».)

**Алгебра** — это «комплект» из *множества* и заданных на нём *операций*. Что такое *множество*, никто в точности определить не может; это базовое неопределимое понятие, считающееся самоочевидным (как точки и прямые в геометрии Евклида), хотя, конечно, ничего особо очевидного в нём нет (в чём на своём горьком опыте убедились математики в конце XIX века). Сущность множества поясняется примерно так: «набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого множества». В общем, это примерно то же самое, что я чуть выше назвала «комплектом» — нечто, собранное воедино. *Операция* же — это способ сопоставить набору элементов множества (аргументам) определённого элемента (значения). В зависимости от числа аргументов операции могут быть *унарными* (один аргумент), *бинарными* (два), *тернарными* и т. д. Поскольку уровень абстракции уже зашкаливает (и я совершенно не питаю иллюзий, что далёкий от математики человек сходу поймёт этот абзац), время перейти к примерам.

- Примеры множеств:
    - множество {3, 5, 7}, состоящее из трёх элементов: тройки, пятёрки и семёрки;
    - множество {0, 1, 2, 3, …}, состоящее из всех натуральных чисел;
    - множество {π}, состоящее из одного элемента — числа π;
    - множество {}, не содержащее никаких элементов.
- Примеры операций:
    - бинарная операция сложения, сопоставляющая двум слагаемым их сумму: 3 + 7 = 10;
    - бинарная операция умножения, сопоставляющая множителям их произведение: 3 × 7 = 21;
    - унарная операция возведения в квадрат, сопоставляющая числу его квадрат: 3² = 9, 5² = 25;
    - унарная(?) операция «обнуления»: при любом значении аргумента всегда даёт значение ноль.

Теперь попробуйте перечитать предыдущий абзац. Он должен чудесным образом стать более понятным. Повторю: алгебра — это «комплект» из множества и заданных на нём операций. Важные примеры алгебр — *группы*, *кольца* и *поля*. Да-да, я всё это затеяла лишь для того, чтобы пояснить, что такое кольцо. Но для начала давайте посмотрим, что такое группа, поскольку это более простой объект.

**Группа** — это алгебра с одной бинарной операцией • (проще некуда, правда?), определяемая тремя условиями:

1. *ассоциативность* операции • (независимость результата от порядка её применения):
    - для любых элементов группы *a*, *b* и *c* верно равенство (*a* • *b*) • *c* = *a* • (*b* • *c*);
2. *нейтральный* элемент: в группе есть элемент *e*, не меняющий другие элементы:
    - для любого элемента *a* верно равенство *e* • *a* = *a* • *e* = *a*;
3. *обратимость* элементов:
    - для любого элемента *a* найдётся элемент *a*', такой что *a* • *a*' = *a*' • *a* = *e*.

Примеры групп:
- множество всех целых чисел с операцией сложения;
- множество всех рациональных чисел, кроме нуля, с операцией умножения;
- множество из одного числа 0 и операцией+: 0 + 0 = 0 (почему бы и нет?);
- множество {0, 1} с операцией +: 0 — нейтральный элемент, 1 + 1 = 0.

Если вы ещё со мной, то мы, наконец-таки, добрались до ~конца~ кольца. Кольцо — это ещё одна алгебра, только в ней не одна, а две бинарных операции и вдвое больше аксиом. Впрочем, если вы разобрались в написанном выше, то вам теперь должно быть легко понять определение, приведённое в Википедии: [📜](https://ru.wikipedia.org/wiki/Кольцо_(математика)#Определение). Детали сейчас не важны. Главное, что в кольце определены операции сложения и умножения, «по свойствам похожие на соответствующие операции над числами». (Кстати, по сложению кольцо является группой, а вот по умножению — «не совсем».)

Есть ещё две разновидности колец, в которых эти операции ещё больше «похожи на операции над числами».
- Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором операция умножения коммутативна, то есть произведение *a*×*b* всегда равно произведению  *b*×*a*.
- Целостное кольцо — это коммутативное кольцо без делителей нуля, то есть произведение никакой пары ненулевых элементов не равно нулю.

И вот теперь, наконец, появляется возможность вернуться к нашему изначальному вопросу о факториальности. Факториальное кольцо — это такое целостное кольцо, в котором любой *необратимый* элемент можно однозначно (с точностью до порядка сомножителей) разложить в произведение *неприводимых* элементов. Под необратимым элементом подразумевается элемент, который при умножении никогда не даёт единицу. Неприводимым же называется ненулевой элемент, неразложимый в произведение необратимых элементов. Другими словами, в факториальном кольце каждый ненулевой элемент либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов (с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент).

Если предыдущий абзац непонятен, не расстраивайтесь (и я тоже попробую). Это действительно некоторая головоломка, которую сходу не понять. Но если изучать материал последовательно (примерно в том направлении, как я попыталась выше изложить), да ещё разбирать всякие примеры, задачки решать, то в итоге что-то вроде определения факториальной группы будет восприниматься настолько же естественно, как утверждение, что трёхколёсным велосипедом называется велосипед с тремя колёсами.

Вне зависимости от того, удалось ли вам достичь такого уровня «просветления», спешу вас успокоить: кольцо целых чисел является факториальным. [Основная теорема арифметики](https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_арифметики) гарантирует, что разложение на простые множители всегда однозначно (с точностью до порядка их следования). Так что, строго говоря, не могли вы получить два разных разложения на *простые* числа. Но могли получить различные факторизации элемента некоторого кольца, не являющегося факториальным. 💍

assistant: Конечно! Нефакториальное кольцо — это математическая структура, которая обладает свойствами, отличающимися от свойств обычных чисел, которые мы используем в повседневной жизни. Одно из таких свойств — это то, что одно и то же число можно представить в виде произведения нескольких других чисел по-разному. Это может показаться странным и непонятным, но такие структуры находят свое применение в различных областях математики и физики. 
Если у вас есть какие-то конкретные вопросы, я готов ответить на них!

assistant: **Кольцо** — это алгебраическая структура, которая состоит из множества и двух бинарных операций — сложения и умножения. Кольцо называется **факториальным**, если каждый элемент этого кольца может быть представлен в виде произведения неприводимых элементов с точностью до перестановки и ассоциативности. Например, `6 = 2 * 3` и `6 = 3 * 2` — это одно и то же.

**Нефакториальное кольцо** — это **кольцо**, которое не является **факториальным**. Например, кольцо многочленов с коэффициентами в целых числах не является факториальным — многочлен `x^2 + 1` **не может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов с точностью до перестановки и ассоциативности**.

Надеюсь, это помогло вам понять, что такое нефакториальные кольца. Если у вас есть какие-либо другие вопросы, я буду рад помочь вам. 🙂

prompter: Спасибо за ответ, но есть пару вопросов. Хотелось бы побольше узнать, что такое неприводимый многочлен. Ты несколько раз его упомянул, но не дал разъяснений, что это это такое. Также ты несколько раз упомянул о ассоциативности. Но разъяснений о том, что оно собой представляет не дал. Ответ хороший, но бех знания этих понятий до конца не могу всё понять.