prompter: Salve, facendo un po' di conti per passare il tempo, ho notato che tutti i numeri nella forma 2^n + 1 dove n è dispari sono divisibili per 3. Secondo te è vero? Se sì, sai spiegarmi il motivo?

assistant: In effetti, è vero che tutti i numeri nella forma 2^n + 1 dove n è dispari sono divisibili per 3. Questa proprietà può essere dimostrata usando la teoria dei numeri.

Per dimostrare che un numero nella forma 2^n + 1 è divisibile per 3, dobbiamo considerare tutti i possibili valori di n. In particolare, possiamo considerare solo i valori dispari di n, poiché se n è pari, allora 2^n sarà divisibile per 4 e 2^n + 1 non sarà divisibile per 3.

Quando n è 1, abbiamo 2^1 + 1 = 3, che è divisibile per 3.

Quando n è 3, abbiamo 2^3 + 1 = 9, che è divisibile per 3.

Quando n è 5, abbiamo 2^5 + 1 = 33, che è divisibile per 3.

In generale, possiamo dimostrare che quando n è un numero dispari maggiore di 1, allora 2^n + 1 può essere scritto come 4m + 1 per un certo intero m. Infatti, possiamo scrivere:

2^n + 1 = 2 * 2^(n-1) + 1 = 2 * (2^(n-1) + 1/2) + 1/2 - 1/2 = 2 * (2^(n-1) + 1/2) - 1/2 + 1

Osserviamo che 2^(n-1) + 1/2 è un numero intero, poiché n è dispari, e che 2 * (2^(n-1) + 1/2) - 1/2 è della forma 4m + 1, dove m è un intero.

Ma allora 2^n + 1 è della forma 4m + 2, che è divisibile per 2 ma non per 4, e quindi non può essere divisibile per 3, poiché non ha fattori primi in comune con 3. Di conseguenza, 2^n + 1 deve essere della forma 4m + 3, che è divisibile per 3.

In conclusione, possiamo affermare che tutti i numeri nella forma 2^n + 1 dove n è dispari sono divisibili per 3.

assistant: Si, con una dimostrazione per induzione.
La prima cosa è riscrivere la formula come successione:
a(n) = (2 * 4^n) + 1
In questo formato n appartiene a Z (insieme dei numeri interi positivi, incluso zero).
Si può verificare tramite sostituzione che si può riottenere la formula originale, dove n rappresenta solo gli interi positivi dispari.
A questo punto è possibile riscrivere la successione tramite ricorsione verificando attraverso sostituzione che:
a(n) = 4*a(n-1)-3
A questo punto si possono effettuare due osservazioni:
1) per n=0, a(n) = 3, che è divisibile per 3.
2) dalla definizione per ricorsione si osserva che ogni valore nuovo a(n) è ottenibile dal precedente (che supponiamo divisibile per 3), moltiplicando per 4 e sottraendo 3. Queste due operazioni forniscono un nuovo numero intero positivo a sua volta divisibile per 3
Date (1) e (2) la tesi è dimostrata per induzione.

assistant: semplifico il concetto espresso in maniera più semplice per la dimostrazione
2^(2n+1)+1=
2x2^(2n)+1=
2x4^n+1
provo a dimostrare per induzione
2x4^0+1=3
provato il primo passo provo il passo indutivo
2x4^(k+1) + 1=
8x4^k + 1= 
6x4^k + (2x4^k + 1)
ogni passo equivale a sommare 6x4^k che è divisibile per 3 e dato che il primo passo è vero 
allora 2^(2n+1)+1  è divisibile per 3 per ogni numero naturale


il motivo è che moltiplicando per 4 un numero
esso rimane alla stessa distanza dal multiplo di tre  più vicino
y*4=y*(3+1)=(3*y)+y
2 è a distanza 1 dal 3 
quando moltiplicato per 4 sarà sempre a distanza 1 da un multiplo di tre


anche queste  sequenze danno unicamente multipli di 3
4^k+2
7x4^k+2
5x4^k+1
8x4^k+1