prompter: Erkläre das Prinzip der Markovkette für einen Schüler der 10. Klasse verständlich

assistant: Alles klar. Eine Erklärung des Prinzips einer Markovkette, verständlich für einen Schüler der zehnten Klasse:

Hinter dem Prinzip der Markovkette verbirgt sich ein System mit dem wir die Wahrscheinlichkeit für eine Folge (oder Kette) von Zuständen oder Ereignissen errechnen können. Hierbei brauchen wir Informationen über die Zustände, sowie die Information darüber wie wahrscheinlich es ist, dass ein Zustand in den nächsten übergeht. Hier ist ein kleines Beispiel. 

-> Gegeben sind die Zustände {Sonne, Regen}
-> Wir wissen dass auf einen Sonnentag zu 80% ein weiterer Sonnentag und zu 20% ein Regentag folgt.
-> Außerdem wissen wir, dass auf einen Regentag im Durchschnitt zu 40% ein weiterer Regentag folgt aber zu 60% ein Sonnentag.

Damit haben wir alle Informationen zusammen um zu errechnen, was die Warscheinlichkeit für eine Verkettung von mehreren Zuständen ist. Angenommen du schaust nach draußen und siehst, dass die Sonne scheint. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit dass morgen auch ein Sonnentag folgt? Unser Modell liefert die Antwort: Es sind 80%.

Was ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass morgen die Sonne scheint und übermorgen ein Regentag ist? Unserem Modell nach ist die Wahrscheinlichkeit dass auf einen Sonnentag ein Sonnentag folgt (wir schreiben diese Wahrscheinlichkeit kurz als P(Sonne|Sonne)) 80% und die Wahrscheinlichkeit, dass auf einen Sonnentag ein Regentag folgt (wir schreiben P(Regen| Sonne)) 60 %.
Da wir mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten und wollen, dass beide Fälle eintreten (Sonnentag -> Sonnentag -> Regentag) müssen wir die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Somit haben errechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass morgen ein Sonnentag ist und übermorgen ein Regentag ist (P(Sonne -> Regen|Sonne)) als P(Sonne|Sonne) * P(Regen|Sonne) = 80% * 60% = 48%

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. Ich arbeite deine Vorschläge zur Verbesserung der Antwort gerne ein.

assistant: Der Markov-Prozess ist ein mathematisches Modell, das zur Analyse und Vorhersage von zufälligen Prozessen verwendet wird. Es beruht auf dem Konzept des Markov-Kettenprozesses, bei dem die Zustände eines Systems aufgrund seiner vorherigen Zustände vorhergesagt werden können. Beispielsweise wird in der Wirtschaft die Markov-Kette verwendet, um die Kursentwicklung eines Wertpapiers vorherzusagen. Der Markov-Prozess basiert auf dem Prinzip der Wahrscheinlichkeit, dass sich das Ergebnis eines Ereignisses aufgrund seiner vorherigen Zustände vorhersagen lässt.

assistant: Angenommen, es gibt drei mögliche Wetterbedingungen: sonnig, bedeckt und regnerisch. Wir können eine Tabelle erstellen, die die Wahrscheinlichkeit für den Übergang von einer Wetterbedingung zur nächsten angibt. Zum Beispiel, wenn es heute sonnig ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen immer noch sonnig ist 50%, dass es bedeckt ist 40% und dass es regnerisch ist 10%.

Aus diesen Wahrscheinlichkeiten kann man beispielsweise folgende Vorhersagen treffen:
1. Die Wahrscheinlichkeit, dass es in den nächsten 2 Tagen sonnig bleibt: 
0,5 * 0,5 = 0,25(=25%)

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass es in den nächsten 5 Tagen regnerisch wird: 
(0,1)^5 = 0,00001(=0,001%)

3. Die Wahrscheinlichkeit, dass es in den nächsten 7 Tagen mindestens einmal regnerisch wird: 
1 - (0,9)^7 = 0.5217031 (≈52.17%)