prompter: Kannst du folgende These mittels vollständiger Induktion beweisen oder widerlegen?:

Wenn sich unter n Kühen eine lila Kuh befindet, dann sind alle Kühe lila.

assistant: Die Frage bezieht sich auf das Pferdeparadoxon und wird auf Kühe übertragen. Das Problem hinter diesem Paradoxon ist der Induktionsanfang A(n0) eine lila Kuh. Mit diesem Anfang kann man argumentieren, dass eine Herde mit n=1 Kühen alle lila sind und man kann nun argumentieren, dass Herden mit n Kühen alle lila sind. Das Problem tritt nicht auf, wenn man als Induktionsbeginn 2 Kühe wählt, aber das ist nicht möglich, da man nicht garantieren kann, dass 2 beliebige Kühe die gleiche Farbe haben.

prompter: Warum spielt es für die Induktion hier keine Rolle, dass n von Anfang an beliebig groß gemeint war? Gibt es etwas, wobei man hier beim formulieren "echter" mathematischer Beweise aufpassen muss, bzw. etwas was man aus dem Paradoxon lernen kann?

assistant: Es spielt keine Rolle, dass n beliebig gross gewählt ist, da man zur Anwendung von Induktion immer eine Induktionsverankerung wählen muss. Diese ist im genannten Beispiel aber nicht korrekt wählbar. Im konkreten Beispiel:
Besteht die Herde nur aus einer Kuh, so erhält man nach dem Entfernen einer Kuh gleicher Farbe eine leere Herde, in die die Kuh unbekannter Farbe eingefügt wird. Die leere Herde aber hat keine Farbe, die per Induktionsvoraussetzung auf die Kuh unbekannter Farbe übertragen werden könnte. Anders ausgedrückt, die ursprüngliche Herde von n Kühen und die neue Herde von n  Kühen, bei der eine Kuh durch die Kuh unbekannter Farbe ausgetauscht wurde, müssen eine nicht leere Schnittmenge besitzen. Für einen korrekten Beweis müsste die Induktionsverankerung daher für n = 2 anstatt für  n=1 durchgeführt werden. Dies ist jedoch nicht möglich, da man nicht garantieren kann, dass zwei beliebige Kühe die gleiche Farbe besitzen.

Der Induktionsschritt selbst kann übrigens korrekt durchgeführt werden. Man kann aus dem Paradoxon lernen, dass sowohl der Induktionsschritt als auch die Induktionsverankerung korrekt festgelegt sein müssen, damit der Beweis mittels vollständiger Induktion korrekt ist.

assistant: Aus dem Paradoxon kann man Lernen  das mit einem schlecht gewählten Induktionsanfang Aussagen bewiesen werden können, die der empirischen Erfahrung widerspricht.

prompter: Könntest du nochmals darauf eingehen warum es keine Rolle spielt, dass n von Anfang an beliebig groß war, bzw. ob es eine Rolle spielt. Gehe außerdem nochmal gesondert darauf ein was genau ein "echter mathematischer Beweis" ist.

assistant: Wenn es eine Kuh gibt, die lila ist, bedeutet dies nicht, dass alle Kühe zwangsläufig lila sind. Aufgrunddessen, kann die Behauptung nicht induktiv bewiesen werden. Induktiv kann die Behauptung jedoch ebensowenig widerlegt werden, da es keine Anzeichen gibt, dass es auch Kühe gibt, welche nicht lila sind.

Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass diese Situation fiktiv ist und dass reelle Kühe nicht lila sind, sondern andere Farben aufweisen, die nicht einheitlich sind.

prompter: Kannst du deduktiv beweisen, dass alle Kühe nicht lila sind, wenn unter  n < {Anzahl aller existierenden Kühe}  Kühen keine Kuh lila ist?

assistant: Ja, ich kann deduktiv beweisen, dass alle Kühe nicht lila sind, wenn unter n < {Anzahl aller existierenden Kühe} Kühen keine Kuh lila ist.

Angenommen, es gäbe eine Kuh, die lila ist. Dann wäre die Aussage "keine Kuh unter n < {Anzahl aller existierenden Kühe} ist lila" falsch. Dies würde bedeuten, dass mindestens eine Kuh unter den n Kühen lila sein müsste, was jedoch im Widerspruch zur Annahme steht, dass keine Kuh unter den n Kühen lila ist.

Somit ist die Aussage "alle Kühe sind nicht lila" wahr, da keine der n Kühe lila ist und es keine weitere Kuh gibt, die lila ist.

assistant: Ja, ich kann deduktiv beweisen, dass alle Kühe nicht lila sind, wenn unter n < {Anzahl aller existierenden Kühe} Kühen keine Kuh lila ist.

Der Beweis könnte wie folgt aufgebaut sein:

1. Annahme: Es gibt mindestens eine Kuh, die lila ist.
2. Diese Annahme führt zum Wiederspruch da die Tatsache, dass unter n < {Anzahl aller existierenden Kühe} Kühen keine Kuh lila ist.
3. --> Annahme ist falsch!
4. Also ist deine Behauptung, dass alle Kühe nicht lila sind wahr.

Da unter n Kühen keine Kuh lila ist führt die Annahme zum Wiederspruch. Dadurch kann man durch eine deduktive Argumentationsweise beweisen, dass keine Kuh lila ist!

assistant: Ja, ich kann diese These mit vollständiger Induktion beweisen. Ich beginne mit n=1, wo unter einer Kuh eine lila Kuh ist. Dann nehme ich an, dass die These für n=k gültig ist (also unter k Kühen mindestens eine lila Kuh ist), und ich zeige, dass sie dann auch für n=k+1 gültig ist (also unter k+1 Kühen mindestens eine lila Kuh ist).

Zum Beweis: unter k+1 Kühen sind mindestens k Kühe, also hat unter diesen mindestens eine lila Kuh.

prompter: Sind denn alle Kühe lila?