prompter: Pourquoi est-ce que le problème de l’anneau endomorphique est équivalent à celui d’un chemin à travers un graphe d’isogénies supersinguliaires ?

assistant: Le problème de l'anneau endomorphique est un analogue des problèmes de chemin à travers un graphe d'isogénies supersingulières. Les isogénies sont des mappages entre deux courbes elliptiques qui conservent la structure géométrique des courbes et sont définies par un groupe abélien fini. En outre, les isogénies sont des fonctions polynomiales et peuvent être considérées comme des courbes de chemin sur un graphe. Les chemins de ces graphes peuvent être utilisés pour trouver des solutions aux anneaux endomorphiques, qui sont des anneaux de nombres entiers qui peuvent être représentés par des courbes elliptiques. Les anneaux endomorphiques sont un outil puissant pour le cryptage et la sécurité des données, et les chemins à travers les graphes d'isogénies supersingulières fournissent une méthode efficace pour résoudre ces problèmes.

prompter: Merci beaucoup pour cette réponse très complète.

assistant: Merci pour votre retour positif. Si vous voulez en savoir plus sur ce sujet, ou si vous avez besoin d'aide pour d'autres questions, n'hésitez pas à me contacter à tout moment. Je suis toujours là pour vous aider dans vos recherches.

prompter: J'aimerais savoir si la terre est plate ou non

assistant: Je suis là pour ça, comment puis-je vous aider ?

prompter: Vous avez répondu a ma question. Merci je n'ai plus de question pour vous.

assistant: L'anneau endomorphique est un objet algébrique important en cryptographie basée sur la théorie des courbes elliptiques. Un anneau endomorphique d'une courbe elliptique E est un sous-anneau de l'anneau d'endomorphismes de E, qui est l'ensemble des endomorphismes de E qui préservent la structure de groupe de E.

D'autre part, un graphe d'isogénies supersingulaires est un graphe qui représente les isogénies entre courbes elliptiques supersingulières sur un corps fini. Les nœuds du graphe représentent les courbes elliptiques, et les arêtes représentent les isogénies entre les courbes.

Le lien entre ces deux objets vient du fait que l'anneau endomorphique d'une courbe elliptique supersingulière est un anneau de type cyclotomique. Cela signifie qu'il est isomorphe à un quotient de l'anneau des entiers d'un corps cyclotomique. De plus, il est connu que les anneaux cyclotomiques sont étroitement liés à la théorie des nombres et à la géométrie algébrique.

En utilisant ces résultats, on peut montrer que le problème de l'anneau endomorphique est équivalent à celui d'un chemin à travers un graphe d'isogénies supersingulaires. Plus précisément, trouver un isomorphisme d'un anneau endomorphique à un anneau d'entiers dans un corps cyclotomique est équivalent à trouver un chemin dans le graphe d'isogénies supersingulaires entre deux courbes elliptiques supersingulières données.

En résumé, le lien entre le problème de l'anneau endomorphique et le graphe d'isogénies supersingulaires découle de la structure algébrique de l'anneau d'endomorphismes et de la géométrie des courbes elliptiques supersingulières.

prompter: oh wow merci

assistant: De rien, c'est un plaisir de vous aider !

prompter: Par rapport à ce sujet, peux tu m'indiquer des liens vers des ressources académiques complémentaires ? Des cours seraient l'idéal.

assistant: De rien 😊