prompter: Опиши алгоритм расчёта ядерной регрессии Надарая — Уотсона

assistant: Алгоритм ядерной регрессии Надарая-Уотсона - это непараметрический метод оценки функции регрессии путём взвешивания наблюдаемых точек данных на основе их близости к контрольной точке. Алгоритм использует функцию ядра, которая действует как весовой коэффициент, для определения важности каждой точки данных в оценке значения тестовой точки.

Для реализации алгоритма ядерной регрессии Надарая-Уотсона необходимо выполнить следующие шаги:

1.	Определите функцию ядра: функция ядра используется для присвоения весов точкам данных. Обычно используются такие функции ядра, как гауссова, Епанечникова и треугольная функция ядра.

2.	Выберите параметр полосы пропускания: параметр полосы пропускания определяет ширину функции ядра и используется для управления влиянием точек данных. Большая ширина полосы приведёт к более гладкой функции регрессии, в то время как меньшая ширина полосы приведёт к более гибкой функции регрессии.

3.	Для каждой тестовой точки рассчитайте веса: для каждой тестовой точки рассчитайте веса для всех точек данных, используя функцию ядра и параметр полосы пропускания. Вес для каждой точки данных пропорционален её близости к тестовой точке.

4.	Оцените значение тестовой точки: используя веса, оцените значение тестовой точки, взяв средневзвешенное значение значений точек данных. Оценочное значение представляет собой взвешенную сумму значений точек данных, делённую на сумму весов.

5.	Повторите процесс для всех тестовых точек: повторите процесс для всех тестовых точек, чтобы получить полную оценку функции регрессии.

Алгоритм ядерной регрессии Надарая-Уотсона является гибким и надёжным методом оценки функции регрессии, особенно в ситуациях, когда базовая взаимосвязь между независимыми и зависимыми переменными не очень хорошо изучена.

assistant: Алгоритм расчета ядерной регрессии Надарая-Уотсона включает в себя следующие шаги:

Загрузка данных: собрать данные, которые будут использоваться для построения модели регрессии.

Выбор ядерной функции: выбрать ядерную функцию, которая будет использоваться для оценки плотности весового ядра.

Выбор ширины окна: выбрать ширину окна, которая будет использоваться для оценки весового ядра.

Вычисление весового ядра: рассчитать весовое ядро для каждого значения входных данных.

Нормализация весовых ядер: нормализовать весовые ядра для каждого значения входных данных.

Рассчет регрессии: рассчитать регрессию, используя взвешенные средние значений целевой переменной для каждого значения входных данных.

Оценка точности модели: оценить точность модели, используя метрики, такие как коэффициент детерминации (R-квадрат) и среднеквадратичную ошибку (MSE).

Оптимизация модели: оптимизировать модель, изменяя ядерную функцию и/или ширину окна, чтобы улучшить точность модели.

В целом, алгоритм ядерной регрессии Надарая-Уотсона является мощным инструментом для моделирования зависимостей между входными данными и целевой переменной. Он может использоваться для прогнозирования результатов на основе исторических данных, а также для определения тенденций и паттернов в данных.

assistant: Ядерная регрессия (калька с англ. “kernel regression”) — непараметрический статистический метод, позволяющий оценить условное математическое ожидание случайной величины. Его смысл заключается в поиске нелинейного отношения между парой случайных величин X и Y.

В любой непараметрической регрессии условное матожидание величины Y относительно величины X можно записать так:
{\displaystyle \operatorname {E} (Y|X)=m(X)},
где m — некая неизвестная функция.

В свою очередь, Надарая и Уотсон одновременно (в 1964 году) предложили оценивать m как локально взвешенное среднее, где веса определялись бы ядром. Оценка Надарая — Уотсона:
{\displaystyle {\widehat {m}}_{h}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})}}},
где K — ядро с шириной окна h. Знаменатель представляет собой весовой член с единичной суммой.

Получение для конкретного элемента выборки:
{\displaystyle \operatorname {E} (Y|X=x)=\int yf(y|x)dy=\int y{\frac {f(x,y)}{f(x)}}dy}.
Находя ядерную оценку плотности для совместного распределения f(x,y) и распределения f(x) с ядром K,
{\displaystyle {\hat {f}}(x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)},
{\displaystyle {\hat {f}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)},
получаем:
{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)=\int {\frac {y\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}}dy},
{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)\int y\,K_{h}\left(y-y_{i}\right)dy}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}}},
{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}}},

это и есть оценка Надарая — Уотсона.