prompter: ¿Sabes cual es el problema n vs np?¿y como podríamos encontrar el resultado?

assistant: El problema P vs NP es uno de los problemas abiertos más importantes en teoría de la computación. Se refiere a la diferencia entre dos clases de problemas: los que se pueden resolver en tiempo polinómico en función del tamaño de la entrada (problemas en la clase P) y los que requieren tiempo exponencial en función del tamaño de la entrada para encontrar una solución verificable en tiempo polinómico (problemas en la clase NP).

El problema esencialmente pregunta si P = NP, es decir, si todos los problemas NP se pueden resolver en tiempo polinómico. Hasta ahora, no se ha encontrado una solución definitiva a este problema, y aún se considera uno de los desafíos más importantes en teoría de la computación.

Para resolver el problema P vs NP, se requiere una comprensión profunda de la teoría de la computación y la capacidad de demostrar la complejidad de los problemas computacionales. Es un problema muy desafiante que ha atraído a muchos investigadores en el campo de la ciencia de la computación durante décadas. Aunque no existe una solución definitiva, se están realizando continuos avances en la comprensión de los problemas computacionales y la forma en que se relacionan con P y NP.

prompter: Puedes explicarme un poco mas sobre este tema

assistant: La relación entre las clases de complejidad NP y P es una pregunta por primera vez formulada por el científico computacional Stephen Cook que la teoría de la complejidad computacional aún no ha podido responder. En esencia, la pregunta ¿es P = NP completo? significa: si es posible "verificar" rápidamente soluciones positivas a un problema del tipo SI/NO (donde "rápidamente" significa "en tiempo polinómico"), ¿es que entonces también se pueden "obtener" las respuestas rápidamente?

Los recursos comúnmente estudiados en complejidad computacional son:

– El tiempo: mediante una aproximación al número de pasos de ejecución que un algoritmo emplea para resolver un problema.

– El espacio: mediante una aproximación a la cantidad de memoria utilizada para resolver el problema.

Se considera el problema más importante en este campo, el Clay Mathematics Institute ha ofrecido un premio de un millón de dólares estadounidenses para quien desarrolle la primera demostración correcta.

prompter: No lo he entendido bien, ¿podrías ponerme un ejemplo?, quizás podrías explicarlo con alguna operación matemática sencilla como la raiz cuadrada.

assistant: El problema NP vs. P se puede entender mejor con un ejemplo concreto. Consideremos por ejemplo el problema de la factorización de enteros. Esto implica encontrar dos números enteros que, cuando se multipliquen, produzcan un número dado. Por ejemplo, para hallar los factores de 15, los dos números son 3 y 5.

Si tuviéramos que encontrar los factores de un número grande, como por ejemplo el número 123456789, la forma más sencilla de hacerlo sería probar con todos los números desde 1 hasta el número dado hasta encontrar los dos números que multiplicados dan el resultado deseado. Esto, sin embargo, sería una búsqueda exhaustiva, lo que significa que tomaría mucho tiempo para encontrar una solución. Por lo tanto, el problema de la factorización de enteros está en la clase NP, ya que una solución no óptima se puede encontrar en un tiempo no polinomial.

Ahora bien, si aplicamos una reducción de problemas para encontrar un problema equivalente en la clase P, podemos usar la raíz cuadrada. Si calculamos la raíz cuadrada de 123456789, obtendremos 11111. Si ahora multiplicamos 11111 por 11111, obtendremos el mismo resultado que si multiplicáramos los dos números enteros que forman los factores de 123456789. Esto significa que para encontrar los factores de 123456789, en lugar de realizar una búsqueda exhaustiva, podemos calcular la raíz cuadrada y multiplicar el resultado.

prompter: ¿Se puede explicar con objetos físicos? Cajas, bolas, frutas... no sé...

assistant: Imaginemos que tenemos una pila de frutas de diferentes tipos (manzanas, peras, naranjas, etc.) y queremos clasificarlas en cajas según su tipo. Si usamos un algoritmo en tiempo polinómico P, podríamos comparar cada fruta con todas las demás frutas y colocarlas en la caja correspondiente. Este proceso tomaría un tiempo lineal con respecto al número de frutas.

Sin embargo, si usamos un algoritmo no determinístico (NP), podríamos simplemente verificar la primera fruta y decidir cuál es su tipo, sin tener que compararla con las demás frutas. Este proceso tomaría un tiempo polinómico con respecto al número de frutas, ya que sólo tendríamos que verificar una fruta a la vez.

Es decir, el problema de P vs NP plantea la pregunta de si todos los problemas NP también pueden ser resueltos en tiempo polinómico P. A día de hoy, este problema sigue sin resolverse y es uno de los desafíos más grandes en la informática teórica.

assistant: Explicarlo con raíces cuadradas pueden ser un poco complejo, pero te lo puedo explicar con un sudoku.
Un sudoku de 9X9 puede tener 6.670.903.752.021.072.936.960 combinaciones, muchísimas combinaciones, ahora imagina cuantas combinaciones podría tener un sudoku de 20X20 🤯
Los humanos han creado algoritmos para hallar la combinación correcta de entre todas esas pero esos algoritmos dependen del tamaño del sudoku, por lo que si los aplicamos a un sudoku de 20X20 se tardaría muchísimo mas tiempo en hallar la solución.
Lo que quiere el problema NP vs P es demostrar que para este tipo de problemas existen algoritmos que no sean dependientes del tamaño de las posibles soluciones creando algoritmos super rápidos para estos problemas, pero hasta el momento nadie ha sido capas de solucionarlo.

prompter: Entonces, ¿el sudoku es un problema P o NP?

assistant: Un sudoku es un problema NP, ya que se puede verificar fácilmente si una solución es correcta, pero no se conoce un algoritmo que la encuentre en un tiempo razonable para cualquier tamaño de sudoku. De hecho, se ha demostrado que el sudoku generalizado, es decir, el que se puede hacer con cualquier número de filas y columnas, es un problema NP-completo, lo que significa que es uno de los más difíciles de la clase NP y que si se encontrara un algoritmo eficiente para resolverlo, se podría resolver cualquier otro problema NP.

assistant: El sudoku se considera un problema NP (No Polinomial) porque, en teoría, no existe una solución óptima que se pueda encontrar en tiempo polinómico, es decir, en tiempo proporcional a un polinomio del tamaño de la entrada. Esto significa que el tiempo que se necesita para resolver un sudoku puede crecer de manera exponencial con el aumento de la complejidad del puzzle.