prompter: Пожалуйста, пошагово вычисли производную данной математической функции, для написания которой используется LaTeX:
`$\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}$`

assistant: Конечная производная данной функции равна:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}\right) = -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}$

Шаг за шагом, чтобы вычислить производную этой функции, мы можем использовать следующие шаги:

Применим правило дифференцирования обратной функции:
$\frac{d}{dx}\sin^{-1}{u} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\frac{du}{dx}$

Выразим функцию в виде композиции функций, используя замену $u=2x-4\ln5$:
$f(x) = \frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}} = \frac{1}{2\sin^2{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}}$

Применим правило дифференцирования композиции функций:
$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$

где $g(x) = 2x-4\ln5$.

Найдём производную функции $f(u)$:
$\frac{d}{du}f(u) = \frac{d}{du}\left(\frac{1}{2\sin^2{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{du}\left(\sin^{-2}{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}\right)$

Воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции:
$\frac{d}{du}\sin^{-1}{\frac{u}{2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{4}}}\cdot\frac{d}{du}\left(\frac{u}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{4-u^2}}\cdot\frac{1}{2}$

Найдём производную функции $\sin^{-2}{v}$:
$\frac{d}{dv}\sin^{-2}{v} = -2\sin^{-3}{v}\cdot\cos{v}$

Подставим результаты шагов 5 и 6 в производную $f(u)$, используя замену $v = \sin^{-1}{\frac{u}{2}}$:
$\frac{d}{du}f(u) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{du}\sin^{-2}{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)} = -\frac{1}{2}\cdot\left(-2\sin^{-3}{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}\cdot\cos{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}\right) = \frac{\cos{\left(\sin^{-1}{\frac{u

prompter: Теперь посчитай вторую производную этой же функции.

assistant: Для вычисления второй производной данной функции нужно продифференцировать ее первую производную.

Сначала найдем первую производную:

$$f'(x) = -\frac{4\cos{(2x - 4\ln5)}}{2\sin^3{(2x - 4\ln5)}} = -\frac{2\cos{(2x - 4\ln5)}}{\sin^3{(2x - 4\ln5)}}$$

Теперь продифференцируем первую производную:

$$f''(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{2\cos{(2x - 4\ln5)}}{\sin^3{(2x - 4\ln5)}}\right)$$

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного функций, а также цепным правилом дифференцирования. Получим:

$$f''(x) = \frac{6\cos^2{(2x - 4\ln5)} - 2\sin^2{(2x - 4\ln5)}}{\sin^4{(2x - 4\ln5)}}$$

Используя тригонометрические тождества, можно преобразовать эту формулу:

$$f''(x) = \frac{2\cos{(4x - 8\ln5)}}{\sin^4{(2x - 4\ln5)}} - \frac{6}{\sin^4{(2x - 4\ln5)}}$$

Таким образом, вторая производная данной функции равна $\frac{2\cos{(4x - 8\ln5)}}{\sin^4{(2x - 4\ln5)}} - \frac{6}{\sin^4{(2x - 4\ln5)}}$.

assistant: 1.	Используем правило дифференцирования частного функций:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}$$

2.	Обозначим числитель функции $-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}$ как $f(x)$, а знаменатель как $g(x)$:

$$f(x) = -4\cos{(2x-4\ln5)}$$
$$g(x) = 2\sin^3{(2x-4\ln5)}$$
3.	Найдем производные числителя и знаменателя:

$$f'(x) = 8\sin{(2x-4\ln5)}$$
$$g'(x) = 6\cdot2\sin^2{(2x-4\ln5)}\cdot2\cos{(2x-4\ln5)} = 24\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)}$$
4.	Подставим найденные значения в формулу для производной частного функций:

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = \frac{(8\sin{(2x-4\ln5)})\cdot(2\sin^3{(2x-4\ln5)})- (24\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)})\cdot(-4\cos{(2x-4\ln5)})}{(2\sin^3{(2x-4\ln5)})^2}$$
5.	Упростим выражение в числителе:

$$(8\sin{(2x-4\ln5)})\cdot(2\sin^3{(2x-4\ln5)})- (24\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)})\cdot(-4\cos{(2x-4\ln5)})$$
$$= 16\sin^4{(2x-4\ln5)} + 96\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos^2{(2x-4\ln5)}$$
$$= 16\sin^2{(2x-4\ln5)}(\sin^2{(2x-4\ln5)} + 6\cos^2{(2x-4\ln5)})$$
$$= 16\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})$$
6.	Подставим упрощенное выражение в формулу для производной частного функций и дополнительно упростим:

\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = \frac{16\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{(2\sin^3{(2x-4\ln5)})^2}$$
$$= \frac{16\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{8\sin^6{(2x-4\ln5)}}$$
$$= \frac{2\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^6{(2x-4\ln5)}}$$
$$= \frac{2(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$
7.	Таким образом, окончательно получаем:

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}} \cdot \frac{2(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$
$$= -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$

Таким образом, производная данной функции равна:

$-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$

В LaTeX это можно записать следующим образом:

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$

prompter: Как проверить, что эти формулы верные?

assistant: Чтобы проверить правильность двойной производной, вы можете её проинтегрировать дважды. Если в результате получится исходная функция, то производная была взята верно.

assistant: Вы можете проинтегрировать полученный результат. Если получится исходная функция (с точностью до аддитивной константы), значит, ответ правильный. 😊

assistant: Для вычисления производной данной функции используем формулу:

`$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}\right)=-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\sin^2{(2x-4\ln5)}\right)^{-1}$$`

Для упрощения выражения воспользуемся формулой:

`$$\frac{d}{dx}\left(\sin^2{u}\right)=2\sin{u}\cos{u}\frac{du}{dx}$$`

Тогда:

`$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}\right)=-\frac{1}{2}\left(-2\sin{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)}\frac{d}{dx}(2x-4\ln5)\right)\times(\sin^2{(2x-4\ln5)})^{-2}$$`

`$$=-\frac{1}{2}\frac{2\sin{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)}}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}\times2$$`

`$$=\frac{\cos{(2x-4\ln5)}}{\sin^3{(2x-4\ln5)}}$$`

Итак, производная данной функции равна:

`$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}\right)=\frac{\cos{(2x-4\ln5)}}{\sin^3{(2x-4\ln5)}}$$`