prompter: Какое самое большое число?

assistant: С точки зрения математики такого числа нет. Для любого числа N можено придумать число N+1

prompter: А как его «придумать»? Не истощится ли фантазия за конечное время? И вообще, наш мозг ведь состоит из конечного числа нейронов, связей между ними (да и атомов, если на то пошло). Как же он может вместить в себя бесконечное множество чисел или, скажем, даже отдельные числа неограниченной величины?

assistant: Здесь нет противоречия. Мозг не может «вместить» ни бесконечные множества, ни даже отдельные очень большие числа. Но это не мешает абстрактному «существованию» таких множеств и чисел. Человек просто *создаёт*, к примеру, множество натуральных чисел как математический объект и *постулирует* возможность неограниченного продления ряда чисел посредством получения для любого числа «следующего» за ним числа. Такое бесконечное множество не может быть получено ни в какой форме в физическом мире, но этого и не требуется. Сила математики состоит в том, что она позволяет изучать свойства различных абстрактных объектов, основываясь лишь на нескольких определяющих их свойствах и на законах логики.

В некотором роде подобная ситуация возникает и в теоретической физике. Учёные могут исследовать такие объекты как нейтронные звёзды или даже чёрные дыры, которые не только невозможно уместить в лаборатории, но и вообще проблематично получить о них хоть какую-то информацию. Например, изображения чёрных дыр (точнее, аккрецирующего в них вещества) были впервые получены только в последние годы, но свойства этих объектов изучались за многие десятилетия до этого, даже когда ещё не было уверенности, что такие объекты вообще существуют физически. Получается, что люди их сначала в некотором смысле «изобрели», а уж потом открыли. Вообще-то это очень интересная тема, есть над чем подумать…

prompter: а ведь по сути, математика в определенном смысле является полностью придуманной наукой

assistant: Мы можем «придумывать» числа неограниченной величины, используя математические правила и операции. Например, мы можем добавлять 1 к любому числу и получать большее число. Или мы можем умножать число на себя и получать еще большее число. Или мы можем использовать степени, факториалы, рекурсию и другие способы. Наша фантазия не истощается за конечное время, потому что мы не придумываем новые числа из ничего, а следуем логике и законам математики.

Но это не значит, что мы можем вместить в себя бесконечное множество чисел или отдельные числа неограниченной величины. Наш мозг имеет конечную память и вычислительную способность. Мы не можем представить себе точное значение или сравнить между собой очень большие числа. Мы можем лишь оперировать абстрактными понятиями и символами, которые представляют эти числа. Например, мы можем сказать, что число Гугол очень большое, но мы не можем представить себе, сколько это нулей или как оно выглядит на бумаге. Поэтому мы используем различные приближения и оценки для работы с большими числами.

assistant: Если речь идёт об «обычных» числах (числовых системах, содержащих натуральный ряд, таких как целые, рациональные или вещественные числа), то наибольшего числа, очевидно, не существует. Аксиомы натуральных чисел обеспечивают возможность прибавить к любому числу единицу, получив строго большее число. В некоторых числовых системах (например, классах вычетов) может присутствовать максимальный элемент. В других же (например, комплексных числах) числа вообще не упорядочены линейно, так что в них не только нет самого большого числа, но и вообще нет естественного ответа на вопрос, какое из двух чисел «больше».

prompter: Ладно, а если говорить о компьютерных типах, как определить наибольшее целое число? А с плавающей запятой?

assistant: В машинных типах данных максимальное представимое значение зависит от числа битов, отведённых под его хранение. Для целочисленных типов максимальное число будет на единицу меньше 2*ⁿ* или 2*ⁿ*⁻¹ (соответственно для беззнаковых типов и типов со знаком), где *n* — число битов (обычно 32 или 64). В формате с плавающей запятой ситуация в целом аналогична, но максимально представимое значение зависит от числа битов, отведённых под хранение экспоненты (показателя степени двойки).

Представление чисел в экспоненциальном формате позволяет значительно увеличить диапазон представимых значений, но числа хранятся не точно, а лишь с фиксированным числом значащих двоичных цифр. Например, в 32-битном формате (binary32, «стандартная точность») под хранение экспоненты отводится 8 битов, что позволяет хранить числа до порядка 2¹²⁷ ≈ 10³⁸, а 64-битный формат (binary64, «двойной точности») отводит под экспоненту 11 битов, что позволяет увеличить это значение до порядка 2¹⁰²³ ≈ 10³⁰⁸.

Но это, конечно, не значит, что компьютер не способен работать с гораздо бо́льшими числами. Выше речь шла лишь о «стандартных» форматах, эффективно обрабатываемых современными процессорами. Можно отводить под хранение чисел произвольно большое число байтов (ограниченное лишь объёмом доступной памяти), используя для их обработки специальные библиотеки. В частности, язык Python позволяет оперировать целыми числами произвольного размера, решая технические вопросы «под капотом».

prompter: Есть ли разница между возможностями стандартных и квантовых компьютеров? Иными словами, может ли квантовый компьютер работать с числами больше чем 2^1023?

assistant: Это зависит от используемого языка программирования.
В общем случае это число ограничено объёмом памяти компьютера.

prompter: Что-то пока не очень информативно получается. Расскажи, пожалуйста, подробнее.