Kan-injectividade e KZ-reflectividade em categorias enriquecidas com ordem

Palavras-chave: Categorias,Conjuntos parcialmente ordenados

No contexto das categorias enriquecidas com ordem estudamos Kan-injectividade à direita e subcategorias KZ-reflectivas. O trabalho é iniciado com a apresentação do conceito de Kan-injectividade à direita. Estudamos classes de morfismos determinadas por Kan-injectividade à direita a partir de uma subcategoria de uma dada categoria X enriquecida na categoria CPO, dos conjuntos parcialmente ordenados e das funções monótonas. Entre outras propriedades, verificamos que estas classes são fechadas para a composição e contêm todos os adjuntos direitos reflectivos de X. Mostramos ainda que satisfazem uma certa estabilidade para somas amalgamadas e somas amalgamadas múltiplas que sejam conjuntamente epimórficas relativamente à ordem. Caracterizamos várias classes de imersões da categoria CPO, em termos de Kan-injectividade à direita relativamente a certos conjuntos parcialmente ordenados finitos. Mostramos que os objectos e morfismos de uma categoria X, que são Kan-injectivos à direita relativamente a uma classe de morfismos, definem uma subcategoria que, entre outras propriedades, é fechada para limites conjuntamente monomórficos relativamente à ordem. Verificamos que a Kan-injectividade determina uma conexão contravariante de Galois entre o conglomerado das subcategorias de uma determinada categoria X e o conglomerado das classes de morfismos de X, o que nos leva à definição de invólucro Kan-injectivo de uma subcategoria. Numa segunda etapa introduzimos o conceito de subcategoria KZ-reflectiva de uma categoria X enriquecida em CPO e encontramos condições necessárias e suficientes, em termos de Kan-injectividade, para que uma subcategoria de X seja KZ-reflectiva. Estudamos um tipo de morfismos com especial relevância no contexto das subcategorias KZ-reflectivas, as F-imersões, onde F é o functor reflector. Usando esta noção mostramos que uma subcategoria KZ-reflectiva e fechada para adjuntos direitos co-reflectivos coincide com o seu invólucro Kan-injectivo. Isto garante que em categorias enriquecidas em CPO, onde os limites são conjuntamente monomórficos relativamente à ordem, as subcategorias KZ-reflectivas fechadas para adjuntos direitos co-reflectivos são fechadas para limites. Dada uma subcategoria A de B, ambas subcategorias de X, relacionamos o invólucro Kan-injectivo de A em B com o de A em X. Verificamos ainda que toda a subcategoria KZ-reflectiva e fechada para adjuntos direitos co-reflectivos coincide com a categoria das álgebras de Eilenberg-Moore determinada por alguma mónada de Kock-Zöberlein em X. Por fim, analisamos os conceitos e resultados apresentados anteriormente em duas categorias específicas: a categoria Top0 dos espaços topológicos que satisfazem o axioma T0 e das funções contínuas; e a categoria RetLoc dos reticulados locais e das funções que preservam ínfimos finitos e supremos arbitrários. Em Top0 definimos filtros de abertos n-primos, para cada cardinal n, e verificamos que estes filtros definem em Top0 mónadas Fn do tipo KZ, para as quais as Fn-imersões são precisamente as imersões que aqui designamos por imersões n-planas. Para cada cardinal n, obtemos uma caracterização das classes destas imersões em termos de Kan-injectividade, a partir de subcategorias finitas, e apresentamos uma cadeia, indexada pela classe de todos os cardinais, de subcategorias KZ-reflectivas de Top0, dadas pelo invólucro Kan-injectivo de determinadas subcategorias finitas de Top0. A sua união é a subcategoria Sob dos espaços sóbrios. Obtemos então uma subcategoria de Sob cujo invólucro Kan-injectivo quer em Top0 quer em Sob é a categoria Sob. Depois de apresentarmos as definições de Kan-projectividade à direita, KZ-co-reflectividade e H-quociente, duais das noções de Kan-injectividade à direita, KZ-reflectividade e F-imersão, estudamo-las na categoria RetLoc. Em particular, caracterizamos vários tipos de sobrejecções de RetLoc - que designamos por quocientes n-planos - em termos de Kan-projectividade à direita relativamente a certas subcategorias pequenas de RetLoc e obtemos uma cadeia infinita de subcategorias KZ-co-reflectivas da categoria RetLoc cuja união é toda a categoria RetLoc. A caracterização dos objectos e dos morfismos destas categorias em termos de uma generalização da relação binária " ", usualmente utilizada em reticulados contínuos, é aqui apresentada. Encontramos ainda uma subcategoria da categoria RetSp dos reticulados espaciais cujos invólucros Kan-projectivos em RetSp e em RetLoc não coincidem: no primeiro caso obtemos RetSp e no segundo obtemos RetLoc.

Área científica: Ciências Exactas e Naturais