리치 격자

원본=en:Leech lattice 수학에서 **리치 격자**(Leech lattice)는 24차원 유클리드 공간의 짝 유니모듈러 격자 Λ24로, 입맞춤 수 문제에 대한 최적해 중 하나이다. year=1967에 의해 발견되었다. 1940년 에른스트 비트에 의해 발견되었을 수도 있으나 결과가 출판되지는 않았다.
# 특성화
리치 격자 Λ24는 다음 성질을 만족하는 24차원 유클리드 공간 **R**24의 유일한 격자이다. * 유니모듈러 격자이다. 즉, 행렬식 1인 어떤 24 × 24 행렬의 열벡터에 의해 생성될 수 있다. * 짝 유니모듈러 격자이다. 즉, Λ24의 각 벡터 길이의 제곱은 짝수 정수입니다. * Λ24의 모든 0이 아닌 벡터의 길이는 2 이상이다. 마지막 조건은 Λ24의 각 점을 중심으로 하는 단위구가 겹치지 않는다는 조건과 같다. 각 단위구는 196,560개의 이웃에 접하며, 이는 서로 중첩하지 않고 하나의 단위구에 동시에 닿을 수 있는 24차원 단위구의 최대 개수로 알려져 있다. 다른 단위구를 중심으로 단위구 196,560개의 이러한 배열은 아주 효율적이어서 구를 움직일 공간이 없다. 이 구성과 그 거울상은 196,560개의 단위구가 동시에 서로 접촉하는 *유일한* 24차원 배열이다. 이 성질은 정수 격자, 육각형 타일링 및 E8 격자 각각을 기반으로 하는 각각 2, 6 및 240개의 단위구가 있는 1, 2 및 8차원에서도 적용된다.
# 응용
1949년에 독자적으로 개발된 이진 골레 부호는 각 24비트 단어에서 최대 3개의 오류를 정정하고 4번째 워드를 검출할 수 있는 오류 정정 부호이다. 이진 골레 부호는 이전에 사용된 아다마르 부호보다 훨씬 더 간결하기 때문에 보이저 탐사선과 통신하는 데 사용되었다. 양자화기 또는 아날로그-디지털 변환회로는 격자를 사용하여 평균 제곱 평균 오차를 최소화할 수 있다. 대부분의 양자화기는 1차원 정수 격자를 기반으로 하지만, 다차원 격자를 사용하면 제곱 평균 오차가 줄어든다. 리치 격자는 보로노이 다이어그램의 두 번째 모멘트가 낮기 때문에 이 문제에 대한 좋은 해이다. 24차원 몫 원환면 **R**24/Λ24 로 압축되고 2요소 반사 그룹에 의해 오비폴드된 보손 끈 이론을 설명하는 2차원 등각 장론의 꼭짓점 대수는 괴물군을 자기 동형군으로 갖는 Griess 대수의 명시적 구성을 제공한다. 이 **괴물 꼭짓점 대수**는 가공할 헛소리 추측을 증명하는 데 사용되었다.
# 구성
리치 격자는 다양한 방법으로 구성할 수 있다. 우선, 모든 격자와 마찬가지로 행렬식이 1인 24 × 24 생성 행렬의 열벡터의 정수 생성을 사용하여 구성할 수 있다.리치 격자의 24x24 생성 행렬 (행 표기법)은 다음 행렬을 \sqrt{8}으로 나눈 것이다: 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 -3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
## 복소 격자로서 구성
리치 격자는 아이젠슈타인 정수에 대한 12차원 격자이기도 하다. 이것은 **복소 리치 격자**(complex Leech lattice)로 알려져 있으며 24차원 리치 격자와 동형이다. 리치 격자의 복소수 구성에서 이진 골레 부호 대신 삼진 골레 부호를, 마티외 군 M24대신 마티외 군 M12를 사용한다. *E*6 격자, *E*8 격자 및 콕서터-토드 격자 또한 아이젠슈타인 정수 또는 가우스 정수에 대한 복소 격자로서 구성할 수 있다.
# 대칭
리치 격자는 고도로 대칭적이다. 리치 격자의 자기동형군은 위수 fmt=commas인 콘웨이 군 Co0이다. Co0의 중심은 두 개의 원소로 이루어져 있고, 이 중심에 의한 Co0 의 몫군은 유한 단순군인 콘웨이 군 Co1이다. 나머지 콘웨이 군 및 마티외 군 등 많은 산재군은 리치 격자의 다양한 부분집합의 안정자로서 구성될 수 있다. 고도의 회전 대칭군을 가지고 있음에도 불구하고 리치 격자는 어떤 초평면의 반사 대칭도 갖지 않는다. 즉, 리치 격자는 카이랄성을 갖는다. 또한 24차원 초입방체 및 단체보다 대칭이 훨씬 적다. 자기 동형군은 존 호턴 콘웨이에 의해 처음 기술되었다. 노름 8의 벡터 fmt=commas개는 각각 벡터 48개로 이루어진 '십자가' fmt=commas개에 속한다. 십자가는 24개의 서로 직교하는 벡터와 그 덧셈 역원을 포함하는 도형으로, 24차원 정축체의 꼭짓점을 나타낸다. 각 십자가는 격자의 좌표계로 간주할 수 있으며, 골레 부호와 동일한 대칭, 즉 212 × |M24|를 갖는다. 따라서 리치 격자의 자기 동형군은 위수 fmt=commas × fmt=commas × fmt=commas, 또는 동등하게 fmt=commas을 갖는다.