분배 함수 (양자장론)

양자장론에서 **분배 함수**는 상관 함수에 대한 범함수를 생성하여 경로 적분 공식화에서 연구의 핵심 대상이 된다. 이는 통계 역학 분배 함수의 허수 시간 버전으로, 물리학의 두 영역 사이에 긴밀한 연결을 제공한다. 자유장론에서는 그러한 해법을 인정하지만 분배 함수를 정확히 풀 수 있는 경우는 거의 없다. 대신 일반적으로 섭동적인 접근 방식이 구현되며 이는 파인만 다이어그램을 합산하는 것과 동일하다.
# 범함수 생성하기

## 스칼라 장론
실수 스칼라 장 \phi과 작용 S[\phi]을 사용한 d 차원 장론에서, 분배 함수는 경로 적분 형식에서 다음 범함수isbn=978-0521368704로 정의된다. : Z[J] = \int \mathcal D\phi \ e^{iS[\phi] + i \int d^dx J(x)\phi(x)} 여기서 J(x)는 가상의 근원 전류이다. 임의의 n-점 상관 함수에 대한 생성 함수 역할을 한다. : G_n(x_1, \dots, x_n) = (-1)^n \frac{1}{Z[0]} \frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}. 여기서 사용된 도함수는 정규 함수가 아닌 함수에 작용하므로 정규 도함수가 아닌 범함수 도함수이다. 이로부터 근원 전류의 멱급수를 연상시키는 분배 함수에 대한 등가 표현은 다음과 같다isbn=978-1108493994 : Z[J] = \sum_{n\geq 0}\frac{1}{n!}\int \prod^n_{i=1} d^dx_i G(x_1, \dots, x_n) J(x_1)\cdots J(x_n). 휘어진 시공간에는 초기 진공 상태가 최종 진공 상태와 동일할 필요가 없기 때문에 처리해야 하는 미묘한 문제가 추가된다.isbn=978-0521278584 기본 장과 동일한 방식으로 복합 연산자에 대한 분배 함수를 구성할 수도 있다. 그러면 이러한 연산자의 상관 함수는 이러한 범함수의 범함수 도함수로 계산될 수 있다.isbn=978-1107085855 예를 들어 복합 연산자 \mathcal O(x)의 분배 함수는 다음과 같다. : Z_{\mathcal O}[J] = \int \mathcal D \phi e^{iS[\phi]+i\int d^d x J(x) \mathcal O(x)}. 분배 함수를 알면 모든 상관 함수를 직접 계산할 수 있으므로 이론이 완전히 해결된다. 그러나 분배 함수를 정확하게 계산할 수 있는 경우는 거의 없다. 자유장론은 정확한 해를 인정하지만, 상호작용 이론은 일반적으로 그렇지 않다. 대신 분배 함수는 약한 결합에서 섭동적으로 계산 될 수 있으며, 이는 다음과 같은 external legs에 J 삽입 Feynman 다이어그램을 사용하는 정규 섭동 이론에 해당한다.isbn=978-0521864497 이러한 유형의 다이어그램에 대한 대칭 요소는 모든 외부 다리가 동일하므로 상관 함수의 대칭 요소와 다르다. 상호교환될 수 있는 J 삽입인 반면, 상관 함수의 외부 구간은 모두 특정 좌표에 고정되어 있으므로 고정된다. 윅 변환을 수행하면 분배 함수는 유클리드 시공간에서isbn=9780201503975과 같이 표현될 수 있다. : Z[J] = \int \mathcal D\phi \ e^{-(S_E[\phi] + \int d^d x_E J\phi)}, 여기서 S_E는 유클리드 작용이고 x_E는 유클리드 좌표이다. 이 형태는 통계 역학의 분배 함수와 밀접하게 연결되어 있다. 특히 유클리드 라그랑지안은 일반적으로 아래로부터 경계를 이루기 때문에 이 경우 에너지 밀도로 해석될 수 있다. 또한 지수 인자를 장 구성에 대한 통계적 가중치로 해석할 수 있으며, 기울기 또는 장 값의 변동이 클수록 더 큰 억제가 가능하다. 통계 역학과의 이러한 연결은 양자장론에서 상관 함수가 어떻게 작동해야 하는지에 대한 추가적인 직관을 제공한다.
## 일반적 장론
스칼라 사례의 동일한 원리 대부분은 추가 장이 있는 보다 일반적인 이론에 적용된다. 각 장에는 자체 가상 전류가 필요하며, 반입자 장에는 자체 별도의 전류가 필요하다. 전류의 도함수를 사용하여 분배 함수에 작용하면 관련 장이 지수에서 내려오므로 임의의 상관 함수를 구성할 수 있다. 미분 후 진공 상태의 상관 함수가 필요한 경우 전류는 0으로 설정되지만 사라지지 않는 배경 장에서 상관 함수를 생성하기 위해 특정 값을 취하도록 전류를 설정할 수도 있다. 그라스만 값 페르미온 장이 있는 분배 함수의 경우 소스도 그라스만 값이다.isbn=9781107034730 예를 들어, 단일 디랙 페르미온 \psi(x)을 사용한 이론에는 두 개의 그라스만 전류 \eta, \bar \eta를 도입해야 한다.그래서 분배 함수는 다음과 같다. : Z[\bar \eta, \eta] = \int \mathcal D \bar \psi \mathcal D \psi \ e^{iS[\psi, \bar \psi] + i\int d^d x (\bar \eta \psi + \bar \psi \eta)}. \bar \eta에 대한 범함수 미분은 페르미온 장을 제공하는 반면 \eta에 대한 도함수는 상관 함수에 반페르미온 장을 제공한다.
## 열장론
온도 T에서의 열장론은 유클리드 형식화에서는 축소화된 시간적 길이 \beta = 1/T 방향을 갖는 이론과 동일하다. 분배 함수는 장과 유클리드 시공간 적분에 주기성 조건을 적용하여 적절하게 수정되어야 한다. : Z[\beta,J] = \int \mathcal D\phi e^{-S_{E,\beta}[\phi]+\int_\beta d^d x_E J \phi}\bigg|_{\phi(\boldsymbol x, 0) = \phi(\boldsymbol x, \beta)}. 이 분배 함수는 허수 시간 형식화에서 열장론의 정의로 간주될 수 있다.isbn=978-0521654777 상관 함수는 전류에 대한 일반적인 범함수 미분을 통해 분배 함수로부터 획득된다. : G_{n,\beta}(x_1, \dots, x_n) = \frac{\delta^n Z[\beta, J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}.
# 자유장론
분배 함수는 장의 관점에서 완전 제곱화 함으로써 자유장론에서 정확하게 풀 수 있다. 상수에 의한 이동은 경로 적분 측도에 영향을 주지 않으므로 분배 함수를 경로 적분에서 발생하는 비례 상수 N로 분리할 수 있고 전류에만 의존하는 두 번째 항이다. 스칼라장론의 경우 이는 다음과 같다. : Z_0[J] = N \exp\bigg(-\frac{1}{2}\int d^d x d^d y \ J(x)\Delta_F(x-y)J(y)\bigg), 여기서 \Delta_F(x-y)는 위치 공간 파인만 전파인자 : \Delta_F(x-y) = \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip\cdot (x-y)}. 이 분배 함수는 자유장론을 완전히 결정한다. 단일 자유 디랙 페르미온을 갖는 이론의 경우, 완전제곱식으로 만들면 다음 형식의 분배 함수가 생성된다. : Z_0[\bar \eta, \eta] = N \exp\bigg(\int d^d x d^d y \ \bar \eta(y) \Delta_D(x-y) \eta(x)\bigg), 여기서 \Delta_D(x-y)는 위치 공간 디랙 전파인자 : \Delta_D(x-y) = \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d}\frac{i({p\\!\\!\\!/}+m)}{p^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip\cdot(x-y)}.
# 더 읽기
* Ashok Das, *Field Theory: A Path Integral Approach*, 2nd edition, World Scientific (Singapore, 2006); paperback . * Kleinert, Hagen, *Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets*, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); paperback *(also available online: PDF-files url=https://web.archive.org/web/20080615134934/http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5)*. * Jean Zinn-Justin (2009), *Scholarpedia*, **4** (2): 8674 . 위키데이터 속성 추적 분류:양자장론