추적 다이어그램

수학에서 **추적 다이어그램**(Trace diagram)은 선형 및 다중선형대수학에서 계산을 수행하는 그래픽 수단이다. 일부 변이 행렬로 레이블이 지정된 (약간 수정된) 그래프로 나타낼 수 있다. 가장 간단한 추적 다이어그램은 행렬의 대각합과 행렬식을 나타낸다. 크라메르 공식 및 케일리-해밀턴 정리와 같은 선형 대수학의 여러 결과는 간단한 다이어그램 증명을 가진다. 이들은 펜로즈 그래프 표기법과 밀접하게 관련되어 있다.
# 형식적 정의
V를 체 F (n≥2)에 대한 벡터 공간의 차원 n인 벡터 공간이라고 하고, Hom(V,V)를 V에 대한 선형 변환이라고 하자. ** *n*-추적 다이어그램**은 그래프 \mathcal{D}=(V_1\sqcup V_2\sqcup V_n, E)이며, 여기서 집합 Vi (i = 1, 2, n)는 차수 i의 꼭짓점으로 구성되고 다음 추가 구조를 가진다: * 그래프의 각 꼭짓점에서의 섬모(ciliation). 이는 해당 꼭짓점에서 인접한 변의 명시적 순서이다. * V2 → Hom(V,V) 라벨링. 각 차수-2 꼭짓점을 선형 변환과 연관시킨다. n = 2인 경우 V2와 Vn은 별개의 집합으로 간주되어야 한다. **프레임 추적 다이어그램**(framed trace diagram)은 차수-1 꼭짓점 V1을 입력과 출력이라고 불리는 두 개의 서로 다른 정렬된 컬렉션으로 분할한 추적 다이어그램이다. 추적 다이어그램의 기본이 되는 "그래프"는 그래프의 표준 정의에 항상 포함되지 않는 다음과 같은 특별한 기능을 가질 수 있다: * 루프가 허용된다 (루프는 꼭짓점을 자기 자신에게 연결하는 변이다). * 꼭짓점이 없는 변도 허용되며, 작은 원으로 표시된다. * 동일한 두 꼭짓점 사이의 다중 변이 허용된다.
## 그리기 규칙
* 추적 다이어그램을 그릴 때, n-꼭짓점의 섬모는 일반적으로 두 인접 변 사이에 작은 표시 (위 그림에서는 작은 빨간색 점)로 표시된다. 변의 특정 순서는 이 표시에서 시계 반대 방향으로 진행한다. * 차수-2 꼭짓점의 섬모와 라벨링은 단일 방향 노드로 결합되어 첫 번째 변 (들어오는 변)과 두 번째 변 (나가는 변)을 구별할 수 있다. * 프레임 다이어그램은 입력은 다이어그램의 하단에, 출력은 다이어그램의 상단에 그려진다. 두 경우 모두 순서는 왼쪽에서 오른쪽으로 읽는 것에 해당한다.
## 다중선형 함수와의 대응
모든 프레임 추적 다이어그램은 벡터 공간 V의 텐서 거듭제곱 사이의 다중선형 함수에 해당한다. 차수-1 꼭짓점은 함수의 입력 및 출력에 해당하며, 차수-n 꼭짓점은 일반화된 레비치비타 기호 (이는 행렬식과 관련된 반대칭 텐서이다)에 해당한다. 다이어그램에 출력 선이 없으면, 해당 함수는 텐서 곱을 스칼라로 매핑한다. 차수-1 꼭짓점이 없으면, 다이어그램은 **닫힌** 것으로 간주되며 해당 함수는 스칼라와 동일시될 수 있다. 정의에 따라 추적 다이어그램의 함수는 부호화된 그래프 색칠을 사용하여 계산된다. n개의 라벨로 그래프 변을 색칠하는 각 경우에 대해, 동일한 꼭짓점에 인접한 두 변이 동일한 라벨을 가지지 않도록 꼭짓점의 라벨과 행렬 라벨에 인접한 라벨을 기반으로 가중치가 할당된다. 이러한 가중치는 다이어그램 함수의 계수가 된다. 실제로 추적 다이어그램의 함수는 일반적으로 다이어그램을 함수가 알려진 더 작은 조각으로 분해하여 계산된다. 전체 함수는 개별 함수를 재구성하여 계산할 수 있다.
# 예시

## 3-벡터 다이어그램
몇몇 벡터 항등식은 추적 다이어그램을 사용하여 쉽게 증명할 수 있다. 이 섹션에서는 3-추적 다이어그램을 다룬다. 다이어그램을 함수로 변환할 때, 차수-3 꼭짓점의 섬모 위치가 결과 함수에 영향을 미치지 않음이 보여질 수 있으므로 생략할 수 있다. 3차원 벡터의 벡터곱과 스칼라곱은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이 그림에서 함수의 입력은 다이어그램 하단의 노란색 상자에 있는 벡터로 표시된다. 벡터곱 다이어그램에는 다이어그램 상단의 자유 선으로 표시되는 출력 벡터가 있다. 스칼라곱 다이어그램에는 출력 벡터가 없으므로 출력은 스칼라이다. 첫 번째 예로, 스칼라 삼중곱 항등식을 살펴보자. :(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}=\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=(\mathbf{w}\times\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=\det(\mathbf{u}\mathbf{v}\mathbf{w}). 이를 다이어그램으로 증명하려면, 다음 그림들이 모두 동일한 3-추적 다이어그램의 다른 표현임을 주목하자 (위 정의에 따라). 위의 벡터곱 및 스칼라곱 다이어그램을 결합하면, 가장 왼쪽 세 다이어그램을 위 항등식의 가장 왼쪽 세 스칼라 삼중곱으로 정확하게 읽을 수 있다. 또한 가장 오른쪽 다이어그램이 det[**u** **v** **w**]를 나타낸다는 것을 보여줄 수 있다. 스칼라 삼중곱 항등식은 각각 동일한 다이어그램 함수의 다른 표현이기 때문에 성립한다. 두 번째 예로, 다음을 보여줄 수 있다. (여기서 등호는 기본 다중선형 함수에 대해 항등식이 성립함을 나타낸다). 이러한 종류의 항등식은 다이어그램을 "구부리거나" 더 많은 다이어그램을 부착해도 변경되지 않음을 보여줄 수 있다. 단, 변경 사항이 항등식의 모든 다이어그램에 일관되게 적용되어야 한다. 따라서 다이어그램의 상단을 아래로 구부리고 각 자유 변에 벡터를 부착하여 다음을 얻을 수 있다. 이는 다음을 의미한다. :(\mathbf{x}\times\mathbf{u})\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=(\mathbf{x}\cdot\mathbf{v})(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-(\mathbf{x}\cdot\mathbf{w})(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}), 이는 네 개의 3차원 벡터를 연결하는 잘 알려진 항등식이다.
## 행렬이 있는 다이어그램
단일 행렬 레이블을 갖는 가장 간단한 닫힌 다이어그램은 특성 다항식의 계수에 해당하며, 행렬의 차원에만 의존하는 스칼라 인자를 제외한다. 이 다이어그램의 한 표현은 아래에 나와 있으며, 여기서 \propto는 기본 벡터 공간의 차원 n에만 의존하는 스칼라 인자를 제외한 등호를 나타내는 데 사용된다.
# 속성
G를 n×n 행렬의 군이라고 하자. 닫힌 추적 다이어그램이 k개의 다른 행렬로 레이블이 지정되면, G^k에서 다중선형 함수의 대수로의 함수로 해석될 수 있다. 이 함수는 동시 켤레에 대해 불변이다. 즉, (g_1,\ldots,g_k)에 해당하는 함수는 임의의 가역적인 a\in G에 대해 (a g_1 a^{-1}, \ldots, a g_k a^{-1})에 해당하는 함수와 동일하다.
# 확장 및 응용
추적 다이어그램은 정의를 약간 변경하여 특정 리 군에 대해 특수화될 수 있다. 이 맥락에서, 때때로 버드트랙, 텐서 다이어그램 또는 펜로즈 그래프 표기법이라고 불린다. 추적 다이어그램은 주로 물리학자들에 의해 리 군을 연구하는 도구로 사용되어 왔다. 가장 일반적인 응용은 표현론을 사용하여 추적 다이어그램에서 스핀 네트워크를 구성하는 것이다. 수학에서는 특성 다양체를 연구하는 데 사용되었다.