괴델 계량

**괴델 해** 또는 **괴델 우주**라고도 하는 **괴델 계량**(Gödel metric)은 에너지-운동량 텐서에 두 항이 포함되어 있는 아인슈타인 장 방정식의 정확한 해다. 첫 번째 항은 균일하게 분포된 소용돌이 치는 먼지 입자(먼지 해)들의 질량 밀도를 나타내고, 두 번째 항은 음의 우주상수와 관련되어 있다.(Lambdavacuum 해 참조). 이 해에는 많은 특이한 성질이 있다. 특히 시간 여행을 허용하는 닫힌 시간꼴 곡선이 존재한다. 먼지 알갱이의 밀도에 맞게 우주 상수의 값을 신중하게 선택해야 한다는 점에서 그 정의는 다소 인위적이지만, 이 시공간은 중요한 교육적 예이기도 하다. 이 해는 쿠르트 괴델이 1949년에 발견했다.Gödel, K., "An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein's Field Equations of Gravitation", *Rev. Mod. Phys.* **21**, 447, published July 1, 1949.
# 정의
장 방정식의 다른 해들과 마찬가지로, 괴델 해는 국소적 좌표 조각의 관점에서 계량 텐서를 제공한다. 괴델 우주를 원통 좌표 조각(아래 제시)를 사용하여 이해하는 것이 가장 쉬울 수 있지만 이 글에서는 괴델이 원래 사용했던 좌표 조각을 사용한다. 이 좌표 조각에서 계량(또는 이에 상응하는 선 요소)은 : g = \frac{1}{2\omega^2} \left[ -(dt + e^x \, dy)^2 + dx^2 + \tfrac{1}{2} e^{2x} \, dy^2 +dz^2\right], \qquad -\infty 그 경우에 우주론적 의미에서 멀리 떨어져 있는 세계 점들에 대해서는 "이전-나중"의 구분이 포기되고, 괴델 씨가 말한 대로 인과 관계의 방향에 관한 역설이 발생한다. (A-상수가 사라지지 않는) 중력 방정식의 그러한 우주론적 해는 괴델 씨에 의해 발견되었다. 이것들이 물리적인 근거에서 제외되지 않아야 하는지 여부를 저울질하는 것은 흥미로울 것이다.

## 대역적으로 비쌍곡적
괴델 시공간이 경계 없는 시간 초평면(예: 코시 초평면)을 인정했다면, 그러한 CTC는 시공간이 단순히 연결되어 있다는 사실과 모순되는 홀수 번 교차해야 한다. 따라서 이 시공간은 대역적 쌍곡 시공간이 아니다.
# 원통형 좌표 조각
이 절에서는 위에서 언급한 일부 기능을 더 쉽게 볼 수 있는 괴델 해에 대한 또 다른 좌표 조각을 소개한다.
## 유도
괴델은 자신의 해를 어떻게 찾았는지 설명하지 않았지만, 실제로 가능한 유도 방법들이 많이 있다. 우리는 여기에서 하나를 개략적으로 살펴보고 동시에 위에서 한 주장들 중 일부를 확인한다. 방사형 좌표의 두 가지 결정되지 않은 함수들이 있는 *원통형* 좌표계의 간단한 틀로 시작한다. : \vec{e}_3 = \frac{1}{r} \, \partial_\varphi + O \left( \frac{1}{r^2} \right) 여기서 우리는 시간꼴 단위 벡터장 \vec{e}_0를 생각한다. 먼지 입자의 세계선에 접하고 그들의 세계선은 일반적으로 0이 아닌 소용돌이를 나타내지만, 팽창과 전단은 사라진다. 아인슈타인 텐서가 먼지 항과 진공 에너지 항을 일치시키도록 요구하자. 이는 완벽한 유체와 일치하도록 요구하는 것과 같다. 즉, 틀에 대해 계산된 아인슈타인 텐서의 구성 요소가 다음 형식을 취해야 한다: : G^{\hat{i}\hat{j = \mu \operatorname{diag}(1,0,0,0) + p \operatorname{diag}(0,1,1,1) 이것은 다음 조건을 준다: : b^{\prime\prime\prime} = \frac{b^{\prime\prime} \, b^{\prime{b}, \; \left( a^\prime \right)^2 = 2 \, b^{\prime\prime} \, b 이것들을 아인슈타인 텐서에 연결하면 \mu = p임을 알 수 있다. 이러한 방식으로 구성할 수 있는 가장 단순한 비자명 시공간은 분명히 이 계수가 0이 아니지만 반경 좌표의 *상수* 함수일 것이다. 구체적으로, 약간의 예지력을 가지고 \mu = \omega^2를 선택하자. 그러면, : b(r) = \frac{\sinh(\sqrt{2} \omega \,r)}{\sqrt{2} \omega}, \; a(r) = \frac{\cosh(\sqrt{2} \omega r)}{\omega} + c 마지막으로 이 틀이 다음을 만족하도록 하자: : \vec{e}_0=\partial_t, \; \vec{e}_1=\partial_z, \; \vec{e}_2=\partial_r, \; \vec{e}_3 = \frac{ \sqrt{2} \omega }{ \sinh( \sqrt{2} \omega r ) } \, \partial_\varphi - \frac{\sqrt{2}\sinh(\sqrt{2} \omega r)}{1+\cosh(\sqrt{2} \omega r)} \, \partial_t 그러면 c=-1/\omega 이고, 틀은 : \vec{e}_0=\partial_t, \; \vec{e}_1=\partial_z, \; \vec{e}_2=\partial_r, \; \vec{e}_3 = \frac{ \sqrt{2} \omega }{ \sinh( \sqrt{2} \omega r ) } \, \partial_\varphi - \frac{\sqrt{2}\sinh(\sqrt{2} \omega r)}{1+\cosh(\sqrt{2} \omega r)} \, \partial_t 이 된다.
## 빛원뿔의 모양
계량 텐서에서 우리는 벡터장 \partial_\varphi,이 작은 반지름에 대해 장소꼴이며 에서 r = r_c에서 *빛꼴*이 된다. 여기서 : r_c = \frac{\operatorname{arcosh}(3)}{\sqrt{2} \omega} 이다. 이 반경에서 우리는 \vec{e}_3 = \tfrac{ \omega }2 \, \partial_\varphi - \partial_t를 얻고, \tfrac{ \omega }2 \, \partial_\varphi = \vec{e}_3+\vec{e}_0이고, 따라서 빛꼴이다. *t* 에서 주어진 원 r = r_c은 닫힌 빛꼴 곡선이지만 빛꼴 측지선은 아니다. 위의 틀을 살펴보면, z좌표가 불필요하다; 이 시공간은 계량 부호수 (−++) 3차원 다양체와 인자 **R** 의 직적이다. z를 무시하고, 3차원 다양체에 집중하기 위해, r = 0 대칭축에서 벗어날 때 빛원뿔의 모양이 어떻게 변하는지 살펴보겠다: 괴델 람다 먼지 해에 대한 원통형 좌표 조각의 두 개의 빛원뿔(틀 벡터와 함께). 명목상 대칭 축에서 바깥쪽으로 이동함에 따라 원뿔은 *앞으로 기울어지고,* *넓어진다*. 수직 좌표선(먼지 입자의 세계선을 나타냄)은 *시간꼴*이다. 임계 반경에 도달하면 빛원뿔들은 닫힌 시간꼴 곡선에 접하게 된다.
## 닫힌 시간꼴 곡선의 합동
임계 반경 r = r_c에서, 벡터장 \partial_\varphi은 빛꼴이 된다. 더 큰 반지름의 경우 *시간꼴*이다. 따라서 대칭 축에 해당하는 시간꼴 합동은 *원*으로 구성되고, 특정 관찰자에 해당한다. 그러나 이 합동은 *원통* r=r_c*의 외부에서만 정의된다.* 이것은 측지적 합동이 아니다. 오히려 이 족의 각 관찰자는 자신의 진로를 유지하기 위해 *일정한 가속* 을 유지해야 한다. 반경이 작은 관찰자는 더 세게 가속해야 한다. 예상 되듯이, r \rightarrow r_c일 때 가속도의 크기는 발산한다.
## 빛꼴 측지선
대칭축에서 사건의 과거 빛 원뿔을 조사하면 다음 그림을 찾을 수 있다. 빛꼴 측지선은 대칭 축에서 관찰자를 향해 시계 반대 방향으로 나선형이다. 이것은 "위에서" 보여준다. 좌표 조각의 수직 좌표선은 먼지 입자의 세계선을 나타내지만 *좌표 조각에서 직선*으로 보이지만 이러한 곡선에 의해 형성되는 합동은 0이 아닌 소용돌이를 가지므로 세계선은 실제로 *서로 뒤틀리고* 있다. 빛꼴 측지선이 위에 표시된 방식으로 안쪽으로 나선을 그린다다는 사실은 관찰자가 *방사형으로 바깥쪽* 을 볼 때, 현재 위치가 아니라 이전 위치에서 근처의 먼지 입자를 볼 수 있음을 의미한다. 이것은 먼지 입자가 실제로 서로 회전하는 경우 예상할 수 있는 것이다. 빛꼴 측지선은 *기하학적으로 직선*이다. 그림에서 그들은 먼지 입자가 고정되어 나타나도록 하기 위해 좌표가 "회전"하기 때문에 나선형으로 보인다.
## 절대적인 미래
호킹과 엘리스에 따르면 대칭축의 사건에서 방출된 모든 광선은 축의 이후 사건에서 다시 수렴되며 빛꼴 측지선은 (빛꼴 곡선이지만 빛꼴 측지선은 아닌)원형 첨단을 형성한다: 대칭축에서 관찰자에 의해 방출된 빛의 퍼져나감과 재수렴에 대한 호킹과 엘리스의 그림. 이것은 Gödel lambdadust 해에서 각 사건의 절대적인 미래가 우리가 순진하게 예상할 수 있는 것과는 아주 다른 특성을 가지고 있음을 의미한다.
# 우주론적 해석
괴델을 따라서, 우리는 먼지 입자들을 은하들로 해석할 수 있으므로, 괴델 해는 *회전하는 우주의 우주론적 모델이* 된다. 회전하는 것 외에 이 모델은 허블 팽창 을 나타내지 않으므로, 우리가 살고 있는 우주의 현실적인 모델은 아니지만, 원칙적으로 일반 상대성 이론에 의해 허용되는 우주를 설명하는 것으로 볼 수 있다. 잘 알려지지 않은 다른 괴델의 해는 회전과 허블 확장을 모두 보여주고 그의 첫 번째 모델의 다른 특성을 가지고 있지만 과거로의 여행은 불가능하다. 스티븐 호킹에 *따르면 이러한 모델은 우리가 관찰하는 우주에 대한 합리적인 설명* 일 수 있지만 관측 데이터는 아주 낮은 회전 속도에서만 호환된다.S. W. Hawking, *Introductory note to 1949 and 1952* in Kurt Gödel, *Collected works*, Volume II (S. Feferman et al., eds). 이러한 관찰의 질은 괴델이 죽을 때까지 계속해서 향상되었고, 괴델은 항상 "우주는 아직 회전하고 있는가?"라고 묻곤 했고, "아니오, 그렇지 않다."라는 말을 듣곤 했다.*Reflections on Kurt Gödel*, by Hao Wang, MIT Press, (1987), p. 183. 원래 좌표 조각에서 *y* 축에 누워 있는 관찰자가 그 축을 중심으로 시계 방향으로 회전하는 우주의 나머지 부분을 보는 것을 보았다. 그러나 시공간의 균질성은 이 "축"의 *위치*가 아니라 *방향*이 구별됨을 보여준다. 어떤 사람들은 괴델 우주를 일반 상대성 이론이 일종의 마하의 원리를 나타내야 한다는 아인슈타인의 희망에 대한 반례로 해석했다:S. W. Hawking, *Introductory note to 1949 and 1952* in Kurt Gödel, *Collected works*, Volume II (S. Feferman et al., eds). 뚜렷한 회전축은 없지만 어떤 의미에서 특별한 방향을 고를 수 있는 예. 다른 사람들은, 마하의 원리를 각 사건에서 회전하지 않는 관성 틀의 정의를, 우주의 모든 곳에서 물질의 전역 분포 및 운동에 연결하는 물리적 법칙을 의미하는 것으로 보고, 회전하지 않는 관성 틀이 정확하게 연결되어 있기 때문에, 마하 원리가 제안하는 방식으로 먼지의 회전에 대해 이 모델은 마하의 우너리와 일치한다고 말한다. 이 밖에도 회전하는 우주의 우주 모델로 해석될 수 있는 다른 많은 정확한 해가 알려져 있다.이름2=Michael
# 메모
* doi=10.1088/0264-9381/23/4/013 * 성5=Herlt, Eduard See *section 12.4* for the uniqueness theorem. * isbn=0-521-09906-4 See *section 5.7* for a classic discussion of CTCs in the Gödel spacetime. *Warning:* in Fig. 31, the light cones do indeed tip over, but they also widen, so that vertical coordinate lines are always timelike; indeed, these represent the world lines of the dust particles, so they are timelike geodesics. * doi=10.1103/RevModPhys.21.447 * Gödel universe on arxiv.org. * Vukovic R. (2014): *Tensor Model of the Rotating Universe*, Exercise in Special Relativity url=https://web.archive.org/web/20141113154232/http://www.elemenat.com/eng/docs/RotatingUniverse.pdf. 위키데이터 속성 추적 분류:쿠르트 괴델의 작품 분류:일반 상대성 이론의 엄밀해 분류:텐서