보트 주기 정리

수학에서 **보트 주기 정리**(Bott periodicity theorem)는 고전군의 호모토피 군에서 나타나는 주기를 설명하며, 라울 보트가 1957년과 1959년에 발견했다. 이 정리는 특히 안정 복소수 벡터 다발의 K이론과 구의 안정 호모토피 군에 대한 많은 추가 연구의 기초적인 중요성을 입증했다. 보트 주기는 여러 가지 방식으로 공식화될 수 있으며, 문제의 주기는 항상 유니터리 군과 관련된 이론에 대해 차원에 따라 주기-2 현상으로 나타난다. 예를 들어 위상 K이론을 참조하라. 대응하는 이론, 즉 실수 KO이론과 사원수 KSp이론의 경우 주기-8 현상이 존재하며, 각각 실수 직교군과 사원수 심플렉틱 군과 관련된다. J-준동형은 직교군의 호모토피 군에서 구의 안정 호모토피 군으로의 준동형이며, 이로 인해 주기-8 보트 주기가 구의 안정 호모토피 군에서 관찰될 수 있다.
# 결과 진술
보트는 U(\infty)가 유니터리 군 U(n)의 귀납적 극한으로 정의될 때, 그 호모토피 군이 주기 2를 갖는 주기적이라는 것을 보여주었다.title = Introduction :\pi_{i}(U(\infty))\simeq\pi_{i+2}(U(\infty)) 여기서 i\geq 0이고, 처음 두 호모토피 군은 다음과 같다. :\begin{align} \pi_{0}(U(\infty))&\simeq 0 \\\ \pi_{1}(U(\infty))&\simeq\Z . \end{align} 직교군 O(n)의 귀납적 극한에 대한 보트 주기 정리의 "실수" 또는 "직교" 버전은 다음과 같이 말한다. :\pi_{i}(O(\infty))\simeq\pi_{i+8}(O(\infty)) 여기서 i\geq 0이고, 처음 8개의 호모토피 군은 다음과 같다. :\begin{align} \pi_{0}(O(\infty))&\simeq\Z_2 \\\ \pi_{1}(O(\infty))&\simeq\Z_2 \\\ \pi_{2}(O(\infty))&\simeq 0 \\\ \pi_{3}(O(\infty))&\simeq\Z \\\ \pi_{4}(O(\infty))&\simeq 0 \\\ \pi_{5}(O(\infty))&\simeq 0 \\\ \pi_{6}(O(\infty))&\simeq 0 \\\ \pi_{7}(O(\infty))&\simeq\Z \end{align}
# 배경과 중요성
보트 주기의 배경은 호몰로지 이론과 유추하여 대수적 위상수학에서 기본적인 역할을 할 것으로 예상되는 구의 호모토피 군이 파악하기 어려웠다는 것이다(그리고 이론은 복잡하다). 안정 호모토피 이론은 현수(원과의 분쇄곱) 연산을 도입하고, 방정식의 양변을 원하는 만큼 현수할 수 있을 때 호모토피 이론에 (대략적으로 말해) 무엇이 남는지 확인함으로써 단순화로 고안되었다. 안정 이론은 실제로는 계산하기 여전히 어려웠다. 보트 주기가 제공한 것은 특성류와 그 코호몰로지의 연결 때문에 위상수학에서 중심적인 위치를 차지하는 매우 비자명한 공간들에 대한 통찰력으로, 모든 (불안정) 호모토피 군을 계산할 수 있었다. 이 공간들은 (무한 또는 안정) 유니터리, 직교 및 심플렉틱 군 U, O 및 Sp이다. 이 맥락에서 안정은 다음 포함열의 합집합 U (또한 귀납적 극한으로 알려짐)를 취하는 것을 의미한다. :U(1)\subset U(2)\subset\cdots\subset U = \bigcup_{k=1}^\infty U(k) O와 Sp에 대해서도 마찬가지이다. 보트의 주요 논문 제목에 사용된 "안정"이라는 단어는 이러한 안정 고전군을 지칭하며 안정 호모토피 군을 지칭하는 것이 아님을 주목하라. 보트 주기와 구의 안정 호모토피 군 \pi_n^S의 중요한 연결은 (안정) 고전군의 (불안정) 호모토피 군에서 이러한 안정 호모토피 군 \pi_n^S으로의 소위 안정 J-준동형을 통해 이루어진다. 원래 조지 W. 화이트헤드가 설명했으며, 대니얼 퀼런이 1971년에 최종적으로 긍정적으로 해결한 유명한 아담스 추측 (1963)의 주제가 되었다. 보트의 원래 결과는 다음과 같이 간결하게 요약될 수 있다. **따름정리:** (무한) 고전군의 (불안정) 호모토피 군은 주기적이다. :\begin{align} \pi_k(U) &=\pi_{k+2}(U) \\\ \pi_k(O) &=\pi_{k+4}(\operatorname{Sp}) \\\ \pi_k(\operatorname{Sp}) &= \pi_{k+4}(O) && k=0,1,\ldots \end{align} **참고:** 이 중 두 번째와 세 번째 동형은 얽혀서 8겹 주기 결과를 제공한다. :\begin{align} \pi_k(O) &=\pi_{k+8}(O) \\\ \pi_k(\operatorname{Sp}) &=\pi_{k+8}(\operatorname{Sp}), && k=0,1,\ldots \end{align}
# 고리 공간과 분류 공간
무한 유니터리 군 U와 관련된 이론의 경우, 공간 BU는 안정 복소수 벡터 다발의 분류 공간(무한 차원의 그라스만 다양체)이다. 보트 주기의 한 공식화는 BU의 이중 고리 공간 \Omega^2BU를 설명한다. 여기서 \Omega는 고리 공간 함자이며, 현수에 대한 오른쪽 수반 함자이자 분류 공간 구성에 대한 왼쪽 수반 함자이다. 보트 주기는 이 이중 고리 공간이 본질적으로 다시 BU임을 나타낸다. 더 정확히 말하면, \Omega^2BU\simeq \Z\times BU 는 본질적으로 (즉, 호모토피 동치적으로) 셀 수 있는 수의 BU 복사본의 합집합이다. 동등한 공식화는 다음과 같다. \Omega^2U\simeq U . 이 중 어느 것도 (복소수) 위상 K이론이 2겹 주기 이론인 이유를 즉시 보여준다. 무한 직교군 O에 대한 대응하는 이론에서 공간 BO는 안정 실수 벡터 다발의 분류 공간이다. 이 경우 보트 주기는 8겹 고리 공간에 대해 \Omega^8BO\simeq \Z \times BO 또는 동등하게, \Omega^8O\simeq O , KO이론이 8겹 주기 이론이라는 결과를 낳는다. 또한 무한 심플렉틱 군 Sp에 대해 공간 BSp는 안정 사원수 벡터 다발의 분류 공간이며, 보트 주기는 다음과 같이 말한다. \Omega^8\operatorname{BSp}\simeq \Z \times \operatorname{BSp} ; 또는 동등하게 \Omega^8 \operatorname{Sp}\simeq \operatorname{Sp}. 따라서 위상 실수 K이론(KO이론이라고도 함)과 위상 사원수 K이론(KSp이론이라고도 함) 모두 8겹 주기 이론이다.
# 고리 공간의 기하학적 모델
보트 주기의 한 우아한 공식화는 고전군 사이에 자연스러운 포함(닫힌 부분군으로서)이 있다는 관찰을 활용한다. 보트 주기의 고리 공간은 연속적인 몫 공간의 대칭 공간에 추가적인 이산적인 **Z** 요소를 더한 것과 호모토피 동치이다. 복소수 위에서: : U \times U \subset U \subset U \times U. 실수와 사원수 위에서: :O \times O \subset O \subset U\subset \operatorname{Sp} \subset \operatorname{Sp} \times \operatorname{Sp} \subset \operatorname{Sp} \subset U \subset O \subset O \times O. 이러한 수열은 클리퍼드 대수의 수열에 해당한다. 클리퍼드 대수의 분류를 참조하라. 복소수 위에서: :\Complex \oplus \Complex \subset \Complex \subset \Complex \oplus \Complex. 실수와 사원수 위에서: :\R \oplus \R \subset \R\subset \Complex\subset \mathbb{H} \subset \mathbb{H} \oplus \mathbb{H} \subset \mathbb{H} \subset \Complex \subset \R \subset \R \oplus \R, 여기서 나눗셈 대수는 "해당 대수 위의 행렬"을 나타낸다. 클리퍼드 대수 Cl(p,q)를 사용하여 8진법 시계를 이용한 보트 주기 시계 애니메이션. 2주기/8주기이므로 원형으로 배열할 수 있으며, 이를 **보트 주기 시계**와 **클리퍼드 대수 시계**라고 부른다. 보트 주기 결과는 다음 일련의 호모토피 동치로 다듬어진다. 복소수 K이론의 경우: :\begin{align} \Omega U &\simeq \Z\times BU = \Z\times U/(U \times U)\\\ \Omega(\Z\times BU) &\simeq U = (U \times U)/U \end{align} 실수 및 사원수 KO- 및 KSp-이론의 경우: :\begin{align} \Omega(\Z\times BO) &\simeq O = (O \times O)/O & \Omega(\Z\times \operatorname{BSp}) &\simeq \operatorname{Sp} = (\operatorname{Sp} \times \operatorname{Sp})/\operatorname{Sp}\\\ \Omega O &\simeq O/U & \Omega \operatorname{Sp} &\simeq \operatorname{Sp}/U\\\ \Omega(O/U) &\simeq U/\operatorname{Sp} & \Omega(\operatorname{Sp}/U) &\simeq U/O\\\ \Omega(U/\operatorname{Sp})&\simeq \Z\times \operatorname{BSp} = \Z\times \operatorname{Sp}/(\operatorname{Sp} \times \operatorname{Sp}) & \Omega(U/O) &\simeq \Z\times BO = \Z \times O/(O \times O) \end{align} 결과 공간들은 고전적인 환원 가능 대칭 공간과 호모토피 동치이며, 보트 주기 시계의 항들의 연속적인 몫 공간이다. 이 동치들은 즉시 보트 주기 정리를 산출한다. 특정 공간들은 다음과 같다.이 해석과 라벨링은 약간 부정확하며, 기약 대칭 공간을 참조하는 반면 이들은 더 일반적인 환원 가능 공간이다. 예를 들어, SU/Sp는 기약인 반면 U/Sp는 환원 가능하다. 이들이 보여주듯이, 차이는 방향을 포함하는지 여부로 해석될 수 있다. (군의 경우 주동질 공간도 나열된다): {| class="wikitable" ! 고리 공간 !! 몫 공간 !! 카르탄의 라벨 !! 설명 |- | \Omega^0 || \Z\times O/(O \times O) || BDI || 실수 그라스만 다양체 |- | \Omega^1 || O = (O \times O)/O || || 직교군 (실수 슈티펠 다양체) |- | \Omega^2 || O/U || DIII || 주어진 직교 구조와 호환되는 복소 구조의 공간 |- | \Omega^3 || U/\mathrm{Sp} || AII || 주어진 복소 구조와 호환되는 사원수 구조의 공간 |- | \Omega^4 || \Z\times \mathrm{Sp}/(\mathrm{Sp} \times \mathrm{Sp}) || CII || 사원수 그라스만 다양체 |- | \Omega^5 || \mathrm{Sp} = (\mathrm{Sp} \times \mathrm{Sp})/\mathrm{Sp} || || 심플렉틱 군 (사원수 슈티펠 다양체) |- | \Omega^6 || \mathrm{Sp}/U || CI || 복소 라그랑주 그라스만 다양체 |- | \Omega^7 || U/O || AI || 라그랑주 그라스만 다양체 |}
# 증명
보트의 원래 증명1959은 모스 이론을 사용했으며, 이는 1956이 이전에 리 군의 호몰로지를 연구하는 데 사용했었다. 많은 다른 증명들이 제시되었다.
# 내용주