상태 관측기

제어이론에서 **상태 관측기**(state observer), **상태 추정기**(state estimator), 또는 **뤼엔버거 관측기**(Luenberger observer)는 주어진 실제 시스템의 입출력 측정을 통해 실제 시스템의 내부 상태를 추정하는 시스템이다. 일반적으로 컴퓨터로 구현되며 많은 실제 응용 프로그램의 기반을 제공한다. 시스템 상태를 아는 것은 많은 제어이론 문제를 해결하는 데 필요하다. 예를 들어, 상태 피드백을 사용하여 시스템을 안정화하는 경우이다. 대부분의 실제 경우, 시스템의 물리적 상태는 직접 관찰을 통해 결정할 수 없다. 대신, 내부 상태의 간접적인 효과는 시스템 출력을 통해 관찰된다. 간단한 예는 터널 내 차량의 경우이다. 차량이 터널에 진입하고 나가는 속도와 속력은 직접 관찰할 수 있지만, 터널 내부의 정확한 상태는 추정할 수 있을 뿐이다. 시스템이 관측 가능한량인 경우, 상태 관측기를 사용하여 출력 측정으로부터 시스템 상태를 완전히 재구성할 수 있다.
# 일반적인 관측기 모델
뤼엔버거 관측기의 블록 다이어그램. 관측기 이득 L의 입력은 y \mathbf{-} \hat y이다. 선형, 지연, 슬라이딩 모드, 고 이득, 타우, 동질성 기반, 확장 및 큐빅 관측기는 선형 및 비선형 시스템의 상태 추정에 사용되는 여러 관측기 구조 중 하나이다. 선형 관측기 구조는 다음 섹션에서 설명한다.
## 이산 시간 사례
선형, 시불변 이산 시간 시스템의 상태는 다음을 만족한다고 가정한다. : x(k+1) = A x(k) + B u(k) : y(k) = C x(k) + D u(k) 여기서 시간 k에서 x(k)는 플랜트의 상태이고, u(k)는 입력이며, y(k)는 출력이다. 이 방정식들은 플랜트의 현재 출력과 미래 상태가 모두 현재 상태와 현재 입력에 의해서만 결정된다는 것을 의미한다. (이 방정식들은 이산 시간 단계로 표현되지만, 연속 시스템에도 매우 유사한 방정식이 적용된다.) 이 시스템이 관측가능량인 경우, 플랜트의 출력 y(k)는 상태 관측기의 상태를 제어하는 데 사용될 수 있다. 물리계의 관측기 모델은 일반적으로 위 방정식들로부터 파생된다. 플랜트의 입력 및 출력에 대한 연속적인 측정값을 수신할 때 모델의 상태가 플랜트의 상태로 수렴하도록 추가 항이 포함될 수 있다. 특히, 관측기의 출력을 플랜트의 출력에서 빼고 행렬 L을 곱한 다음, 이 값을 관측기 상태 방정식에 더하여 아래 방정식으로 정의되는 이른바 뤼엔버거 관측기를 생성한다. 상태 관측기의 변수는 물리 시스템에서 만족하는 방정식의 변수와 구별하기 위해 일반적으로 "모자" 기호: \hat{x}(k)와 \hat{y}(k)로 표시된다. : \hat{x}(k+1) = A \hat{x}(k) + L \left[y(k) - \hat{y}(k)\right] + B u(k) : \hat{y}(k) = C \hat{x}(k) + D u(k) 관측기 오차 e(k) = \hat{x}(k) - x(k)가 k \to \infty 일 때 0으로 수렴하면 관측기는 점근적으로 안정적이라고 한다. 뤼엔버거 관측기의 경우 관측기 오차는 e(k+1) = (A - LC) e(k)를 만족한다. 따라서 이 이산 시간 시스템에 대한 뤼엔버거 관측기는 행렬 A - LC 의 모든 고유값이 단위 원 안에 있을 때 점근적으로 안정적이다. 제어 목적으로 관측기 시스템의 출력은 이득 행렬 K를 통해 관측기와 플랜트 모두의 입력으로 피드백된다. : u(k)= -K \hat{x}(k) 관측기 방정식은 다음과 같이 된다. : \hat{x}(k+1) = A \hat{x}(k) + L \left[y(k) - \hat{y}(k)\right] - B K \hat{x}(k) : \hat{y}(k) = C \hat{x}(k) - D K \hat{x}(k) 또는 더 간단하게, : \hat{x}(k+1) = \left(A - B K \right) \hat{x}(k) + L \left[ y(k) - \hat{y}(k) \right] : \hat{y}(k) = \left(C - D K\right) \hat{x}(k) 분리 원리 덕분에 우리는 시스템의 전체 안정성에 해를 끼치지 않고 K와 L을 독립적으로 선택할 수 있음을 안다. 경험칙으로, 관측기 A-LC의 극점은 일반적으로 시스템 A-BK의 극점보다 10배 빠르게 수렴하도록 선택된다.
## 연속 시간 사례
이전 예는 이산 시간 LTI 시스템에서 구현된 관측기에 대한 것이었다. 그러나 연속 시간의 경우에도 과정은 유사하다. 관측기 이득 L은 연속 시간 오차 역학이 점근적으로 0으로 수렴하도록 선택된다(즉, A-LC가 후르비츠 행렬일 때). 연속 시간 선형 시스템의 경우 : \dot{x} = A x + B u, : y = C x + D u, 여기서 x \in \mathbb{R}^n, u \in \mathbb{R}^m ,y \in \mathbb{R}^r이며, 관측기는 위에서 설명한 이산 시간 경우와 유사하게 보인다. : \dot{\hat{x = A \hat{x}+ B u + L \left(y - \hat{y}\right) . : \hat{y} = C \hat{x} + D u, 관측기 오차 e=x-\hat{x}는 다음 방정식을 만족한다. : \dot{e} = (A - LC) e. 쌍 [A,C]가 관측 가능한량, 즉 관측 가능성 조건이 충족될 때 관측기 이득 L의 적절한 선택을 통해 행렬 A-LC의 고유값을 임의로 선택할 수 있다. 특히, 이를 후르비츠로 만들 수 있으므로 t \to \infty일 때 관측기 오차 e(t) \to 0이다.
## 피크 현상 및 기타 관측기 방법
관측기 이득 L이 높을 때, 선형 뤼엔버거 관측기는 시스템 상태로 매우 빠르게 수렴한다. 그러나 높은 관측기 이득은 초기 추정 오차가 지나치게 커질 수 있는 피크 현상을 초래한다 (즉, 사용하기에 비실용적이거나 안전하지 않다). 결과적으로, 피크 현상 없이 빠르게 수렴하는 비선형 고이득 관측기 방법이 있다. 예를 들어, 슬라이딩 모드 제어를 사용하여 측정 오차가 있는 경우에도 하나의 추정 상태 오차를 유한 시간 내에 0으로 만드는 관측기를 설계할 수 있다. 다른 상태들은 피크 현상이 가라앉은 후 뤼엔버거 관측기의 오차와 유사하게 동작한다. 슬라이딩 모드 관측기는 또한 칼만 필터와 유사한 매력적인 노이즈 복원력을 가지고 있다. 또 다른 접근 방식은 멀티 관측기를 적용하는 것으로, 이는 과도 현상을 크게 개선하고 관측기 오버슈트를 줄인다. 멀티 관측기는 고이득 관측기가 적용 가능한 모든 시스템에 적용될 수 있다.
# 비선형 시스템을 위한 상태 관측기
고이득 관측기, 슬라이딩 모드 관측기 및 확장 관측기는 비선형 시스템에 가장 일반적인 관측기이다. 비선형 시스템에 대한 슬라이딩 모드 관측기의 적용을 설명하기 위해, 먼저 입력이 없는 비선형 시스템을 고려하자. : \dot{x} = f(x) 여기서 x \in \mathbb{R}^n이다. 또한 다음으로 주어진 측정 가능한 출력 y \in \mathbb{R}이 있다고 가정한다. : y = h(x). 관측기를 설계하기 위한 몇 가지 비근사적 접근법이 있다. 아래에 제시된 두 관측기는 시스템에 입력이 있는 경우에도 적용된다. 즉, : \dot{x} = f(x) + B(x) u : y = h(x).
## 선형화 가능한 오차 역학
크레너와 이시도리 및 크레너와 레스폰덱의 제안은 선형화 변환 (즉, 미분동형사상, 피드백 선형화에 사용되는 것과 같은) z=\Phi(x)가 존재하여 새로운 변수에서 시스템 방정식이 다음과 같이 읽힐 때 적용될 수 있다. : \dot{z} = A z+ \phi(y), : y = Cz. 뤼엔버거 관측기는 다음과 같이 설계된다. : \dot{\hat{z = A \hat{z}+ \phi(y) - L \left(C \hat{z}-y \right) . 변환된 변수 e=\hat{z}-z에 대한 관측기 오차는 고전적인 선형 경우와 동일한 방정식을 만족한다. : \dot{e} = (A - LC) e. 고티에, 함무리, 오트만 및 함무리와 키나에르트가 보여준 바와 같이, 시스템이 다음 형태로 변환될 수 있는 변환 z=\Phi(x)가 존재한다면 : \dot{z} = A(u(t)) z+ \phi(y,u(t) ), : y = Cz, 관측기는 다음과 같이 설계된다. : \dot{\hat{z = A(u(t)) \hat{z}+ \phi(y,u(t) ) - L(t) \left(C \hat{z}-y \right) , 여기서 L(t)는 시변 관측기 이득이다. 치카렐라, 달라 모라, 게르마니는 비선형 변환의 필요성을 제거하고 정규성에 대한 간단한 가정만을 사용하여 추정된 상태가 실제 상태로 전역적으로 점근적으로 수렴함을 증명함으로써 더 발전되고 일반적인 결과를 얻었다.
## 스위치형 관측기
위의 선형 사례에서 논의된 바와 같이, 뤼엔버거 관측기에 나타나는 피크 현상은 스위치형 관측기 사용을 정당화한다. 스위치형 관측기는 측정된 출력의 미세한 변화를 감지하여 작동하는 릴레이 또는 이진 스위치를 포함한다. 스위치형 관측기의 몇 가지 일반적인 유형으로는 슬라이딩 모드 관측기, 비선형 확장 상태 관측기,url-access=subscription 고정 시간 관측기,url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S240589632 스위치형 고이득 관측기s2cid=257145897 및 통합 관측기access-date=8 August 2023가 있다. 슬라이딩 모드 관측기는 비선형 고이득 피드백을 사용하여 추정된 상태를 추정된 출력과 측정된 출력 사이에 차이가 없는 초곡면으로 유도한다. 관측기에서 사용되는 비선형 이득은 일반적으로 추정된 – 측정된 출력 오차의 사인함수 (즉, sgn)와 같은 스케일링된 스위칭 함수로 구현된다. 따라서 이러한 고이득 피드백으로 인해 관측기의 벡터장에는 주름이 생겨 관측기 궤적이 추정된 출력이 측정된 출력과 정확히 일치하는 곡선을 따라 미끄러진다. 따라서 시스템이 출력으로부터 관측가능량인 경우, 관측기 상태는 모두 실제 시스템 상태로 유도된다. 또한, 오차의 부호를 사용하여 슬라이딩 모드 관측기를 구동함으로써 관측기 궤적은 많은 형태의 노이즈에 둔감해진다. 따라서 일부 슬라이딩 모드 관측기는 칼만 필터와 유사한 매력적인 특성을 가지지만 구현은 더 간단하다. 드라쿠노프chapter-url=https://archive.org/details/proceedingsofthe0003unse/page/2368가 제안한 바와 같이, 슬라이딩 모드 관측기는 특정 부류의 비선형계에 대해서도 설계될 수 있다. 이러한 관측기는 원래 변수 추정값 \hat{x}로 표현될 수 있으며 다음과 같은 형태를 가진다. : \dot{\hat{x = \left [ \frac{\partial H(\hat{x})}{\partial x}\right]^{-1} M(\hat{x}) \sgn( V(t) - H(\hat{x}) ) 여기서: * \sgn(\mathord{\cdot}) 벡터는 스칼라 사인 함수를 n차원으로 확장한다. 즉, *:: \sgn(z) = \begin{bmatrix} \sgn(z_1)\\\ \sgn(z_2)\\\ \vdots\\\ \sgn(z_i)\\\ \vdots\\\ \sgn(z_n) \end{bmatrix} *: 벡터 z \in \mathbb{R}^n에 대해. * 벡터 H(x)는 출력 함수 h(x)와 그 반복적인 리 미분으로 구성된다. 특히, *:: H(x) \triangleq \begin{bmatrix} h_1(x)\\\ h_2(x)\\\ h_3(x)\\\ \vdots\\\ h_n(x) \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} h(x)\\\ L_{f}h(x)\\\ L_{f}^2 h(x)\\\ \vdots\\\ L_{f}^{n-1}h(x) \end{bmatrix} *: 여기서 L^i_f h는 벡터장 f (즉, 비선형 시스템의 x 궤적을 따라)에 대한 출력 함수 h의 i번째 리 미분이다. 시스템에 입력이 없거나 상대 차수가 n인 특수한 경우, H(x(t))는 출력 y(t)=h(x(t))와 그 n-1계 도함수의 모음이다. 이 관측기가 잘 정의되기 위해 H(x)의 야코비안 선형화의 역행렬이 존재해야 하므로, 변환 H(x)는 국소 미분동형사상임이 보장된다. * 이득의 대각 행렬 M(\hat{x})은 다음과 같다. *:: M(\hat{x}) \triangleq \operatorname{diag}( m_1(\hat{x}), m_2(\hat{x}), \ldots, m_n(\hat{x}) ) = \begin{bmatrix} m_1(\hat{x}) & & & & & \\\ & m_2(\hat{x}) & & & & \\\ & & \ddots & & & \\\ & & & m_i(\hat{x}) & &\\\ & & & & \ddots &\\\ & & & & & m_n(\hat{x}) \end{bmatrix} *: 여기서 각 i \in \\{1,2,\dots,n\\}에 대해 요소 m_i(\hat{x}) > 0이고 슬라이딩 모드의 도달 가능성을 보장하기에 충분히 크다. * 관측기 벡터 V(t)는 다음과 같다. *:: V(t) \triangleq \begin{bmatrix}v_{1}(t)\\\ v_2(t)\\\ v_3(t)\\\ \vdots\\\ v_i(t)\\\ \vdots\\\ v_{n}(t) \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} y(t)\\\ \\{ m_1(\hat{x}) \sgn( v_1(t) - h_1(\hat{x}(t)) ) \\}_{\text{eq\\\ \\{ m_2(\hat{x}) \sgn( v_2(t) - h_2(\hat{x}(t)) ) \\}_{\text{eq\\\ \vdots\\\ \\{ m_{i-1}(\hat{x}) \sgn( v_{i-1}(t) - h_{i-1}(\hat{x}(t)) ) \\}_{\text{eq\\\ \vdots\\\ \\{ m_{n-1}(\hat{x}) \sgn( v_{n-1}(t) - h_{n-1}(\hat{x}(t)) ) \\}_{\text{eq \end{bmatrix} *: 여기서 \sgn(\mathord{\cdot})은 스칼라에 대해 정의된 일반 사인 함수이고, \\{ \ldots \\}_{\text{eq는 슬라이딩 모드에서 불연속 함수의 "등가값 연산자"를 나타낸다. 이 아이디어는 다음과 같이 간략하게 설명할 수 있다. 슬라이딩 모드 이론에 따르면, 슬라이딩 모드가 시작되면 시스템 동작을 설명하기 위해 함수 \sgn( v_{i}(t)\\!-\\! h_{i}(\hat{x}(t)) )를 등가값으로 대체해야 한다 (슬라이딩 모드 이론의 등가 제어 참조). 실제로, 이것은 높은 주파수로 스위칭 (채터링)하며 느린 성분은 등가값과 같다. 높은 주파수 성분을 제거하기 위해 적절한 저역 통과 필터를 적용하면 등가 제어의 값을 얻을 수 있으며, 이는 추정된 시스템의 상태에 대한 더 많은 정보를 포함한다. 위에서 설명한 관측기는 이 방법을 여러 번 사용하여 비선형 시스템의 상태를 이상적으로 유한 시간 내에 얻는다. 변환된 상태 e=H(x)-H(\hat{x})에서 수정된 관측 오차는 다음과 같이 쓸 수 있다. 특히, : \begin{align} \dot{e} &= \frac{\mathrm{d{\mathrm{d}t} H(x) \- \frac{\mathrm{d{\mathrm{d}t} H(\hat{x})\\\ &= \frac{\mathrm{d{\mathrm{d}t} H(x) \- M(\hat{x}) \, \sgn( V(t) - H(\hat{x}(t)) ), \end{align} 따라서 : \begin{align} \begin{bmatrix} \dot{e}_1\\\ \dot{e}_2\\\ \vdots\\\ \dot{e}_i\\\ \vdots\\\ \dot{e}_{n-1}\\\ \dot{e}_n \end{bmatrix} &= \mathord{\overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{h}_1(x)\\\ \dot{h}_2(x)\\\ \vdots\\\ \dot{h}_i(x)\\\ \vdots\\\ \dot{h}_{n-1}(x)\\\ \dot{h}_n(x) \end{bmatrix} }^{\tfrac{\mathrm{d{\mathrm{d}t} H(x) \- \mathord{\overbrace{ M(\hat{x}) \, \sgn( V(t) - H(\hat{x}(t)) ) }^{\tfrac{\mathrm{d{\mathrm{d}t} H(\hat{x}) = \begin{bmatrix} h_2(x)\\\ h_3(x)\\\ \vdots\\\ h_{i+1}(x)\\\ \vdots\\\ h_n(x)\\\ L_f^n h(x) \end{bmatrix} \- \begin{bmatrix} m_1 \sgn( v_1(t) - h_1(\hat{x}(t)) )\\\ m_2 \sgn( v_2(t) - h_2(\hat{x}(t)) )\\\ \vdots\\\ m_i \sgn( v_i(t) - h_i(\hat{x}(t)) )\\\ \vdots\\\ m_{n-1} \sgn( v_{n-1}(t) - h_{n-1}(\hat{x}(t)) )\\\ m_n \sgn( v_n(t) - h_n(\hat{x}(t)) ) \end{bmatrix}\\\ &= \begin{bmatrix} h_2(x) - m_1(\hat{x}) \sgn( \mathord{\overbrace{ \mathord{\overbrace{v_1(t)}^{v_1(t) = y(t) = h_1(x) - h_1(\hat{x}(t)) }^{e_1 )\\\ h_3(x) - m_2(\hat{x}) \sgn( v_2(t) - h_2(\hat{x}(t)) )\\\ \vdots\\\ h_{i+1}(x) - m_i(\hat{x}) \sgn( v_i(t) - h_i(\hat{x}(t)) )\\\ \vdots\\\ h_n(x) - m_{n-1}(\hat{x}) \sgn( v_{n-1}(t) - h_{n-1}(\hat{x}(t)) )\\\ L_f^n h(x) - m_n(\hat{x}) \sgn( v_n(t) - h_n(\hat{x}(t)) ) \end{bmatrix}. \end{align} 따라서: # m_1(\hat{x}) \geq |h_2(x(t))|인 한, 오차 역학의 첫 번째 행인 \dot{e}_1 = h_2(\hat{x}) - m_1(\hat{x}) \sgn( e_1 )은 유한 시간 내에 e_1 = 0 슬라이딩 모드에 진입하기 위한 충분 조건을 충족한다. # e_1 = 0 표면을 따라, 해당 v_2(t) = \\{m_1(\hat{x}) \sgn( e_1 )\\}_{\text{eq 등가 제어는 h_2(x)와 같아지므로, v_2(t) - h_2(\hat{x}) = h_2(x) - h_2(\hat{x}) = e_2이다. 따라서 m_2(\hat{x}) \geq |h_3(x(t))|인 한, 오차 역학의 두 번째 행인 \dot{e}_2 = h_3(\hat{x}) - m_2(\hat{x}) \sgn( e_2 )는 유한 시간 내에 e_2 = 0 슬라이딩 모드에 진입한다. # e_i = 0 표면을 따라, 해당 v_{i+1}(t) = \\{\ldots\\}_{\text{eq 등가 제어는 h_{i+1}(x)와 같아진다. 따라서 m_{i+1}(\hat{x}) \geq |h_{i+2}(x(t))|인 한, 오차 역학의 (i+1)번째 행인 \dot{e}_{i+1} = h_{i+2}(\hat{x}) - m_{i+1}(\hat{x}) \sgn( e_{i+1} )은 유한 시간 내에 e_{i+1} = 0 슬라이딩 모드에 진입한다. 따라서, 충분히 큰 m_i 이득에 대해 모든 관측기 추정 상태는 유한 시간 내에 실제 상태에 도달한다. 실제로, 각 |h_i(x(0))| 함수가 확실하게 경계될 수 있는 한, m_i를 증가시키면 원하는 유한 시간 내에 수렴할 수 있다. 따라서 맵 H:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n 가 미분동형사상 (즉, 야코비안 선형화가 가역적)이라는 요구 사항은 추정된 출력의 수렴이 추정된 상태의 수렴을 의미한다는 것을 주장한다. 즉, 이 요구 사항은 관측 가능성 조건이다. 입력이 있는 시스템에 대한 슬라이딩 모드 관측기의 경우, 관측 오차가 입력과 독립적이기 위해 추가 조건이 필요하다. 예를 들어, : \frac{\partial H(x)}{\partial x} B(x) 는 시간에 의존하지 않는다. 관측기는 다음과 같다. : \dot{\hat{x = \left[ \frac{\partial H(\hat{x})}{\partial x} \right]^{-1} M(\hat{x}) \sgn(V(t) - H(\hat{x}))+B(\hat{x})u.
# 멀티 관측기
멀티 관측기는 고이득 관측기 구조를 단일에서 다중 관측기로 확장하여, 여러 모델이 동시에 작동하도록 한다. 이는 두 개의 계층으로 구성된다. 첫 번째 계층은 서로 다른 추정 상태를 가진 여러 고이득 관측기로 이루어지며, 두 번째 계층은 첫 번째 계층 관측기의 중요도 가중치를 결정한다. 이 알고리즘은 구현이 간단하며 미분과 같은 위험한 연산을 포함하지 않는다. 여러 모델의 아이디어는 이전에 적응 제어에서 정보를 얻기 위해 적용되었다.issn=1099-1115 Multi 관측기 스키마 고이득 관측기의 수가 n+1개라고 가정하면, :\dot{\hat{x_k(t) = A \hat{x_k}(t)+ B \phi_0(\hat{x}(t), u(t)) - L (\hat{y_k}(t)-y(t)) : \hat{y_k}(t) = C \hat{x_k}(t) 여기서 k = 1, \dots, n + 1 는 관측기 인덱스이다. 첫 번째 계층 관측기는 동일한 이득 L 을 가지지만 초기 상태 x_k(0) 가 다르다. 두 번째 계층에서는 k = 1...n + 1 관측기에서 온 모든 x_k(t) 가 하나의 상태 벡터 추정값을 얻기 위해 결합된다. : \hat{y_k}(t) = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \alpha_k(t) \hat{x_k}(t) 여기서 \alpha_k \in \mathbb{R} 는 가중치 요소이다. 이 요소들은 두 번째 계층에서 추정을 제공하고 관측 과정을 개선하기 위해 변경된다. 다음과 같이 가정하자. : \sum\limits_{k=1}^{n+1} \alpha_k(t) \xi_k(t) = 0 그리고 : \sum\limits_{k=1}^{n+1} \alpha_k(t) = 1 여기서 \xi_k \in \mathbb{R}^{n \times 1} 는 kth 관측기 오차 e_k(t) 에 의존하는 일부 벡터이다. 일부 변환은 선형 회귀 문제로 이어진다. : [- \xi_{n + 1} (t)] = [\xi_{1}(t) - \xi_{n + 1}(t)\dots \xi_{k}(t) - \xi_{n + 1}(t)\dots \xi_{n}(t) - \xi_{n + 1}(t)]^T \begin{bmatrix} \alpha_1(t)\\\ \vdots \\\ \alpha_k(t)\\\ \vdots\\\ \alpha_n(t) \end{bmatrix} 이 공식은 \alpha_k (t) 를 추정할 가능성을 제공한다. 다양체를 구성하기 위해서는 \xi_k (t) = m(e_k(t)) 사이의 매핑 m: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} 이 필요하며, \xi_k (t) 가 측정 가능한 신호에 의존하여 계산 가능함을 보장해야 한다. 첫 번째는 관측기 오차로부터 \alpha_k(t) 에 대한 피크 현상을 제거하는 것이다. : e_{\sigma}(t) = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \alpha_k(t) e_k(t) . \eta_k(t)=\hat y_k (t) - y(t)에 대해 n 번 미분하여 매핑 m을 찾으면 \xi_k(t) 는 다음과 같이 정의된다. : \xi_k (t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\ CL & 1 & 0 & \cdots & 0 \\\ CAL & CL & 1 & \cdots & 0 \\\ CA^{2}L & CAL & CL & \cdots & 0 \\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\\ CA^{n-2}L & CA^{n-3}L & CA^{n-4}L & \cdots & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \int\limits^t_{t-t_d} n-1} \atop \cdots} \int\limits^t_{t-t_d} \eta_k(\tau) d\tau\\\ \vdots \\\ \eta(t) - \eta(t-(n-1)t_d) \end{bmatrix} 여기서 t_d > 0는 시간 상수이다. \xi_k(t)가 \eta_k(t)와 그 적분값 모두에 의존하므로 제어 시스템에서 쉽게 사용할 수 있음에 유의하라. 또한 \alpha_k(t) 는 추정 법칙에 의해 지정되므로 다양체가 측정 가능함을 증명한다. 두 번째 계층에서는 k = 1 \dots n + 1에 대해 \hat\alpha_k(t)가 \alpha_k(t) 계수의 추정값으로 도입된다. 매핑 오차는 다음과 같이 지정된다. :e_\xi(t) = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \hat\alpha_k(t) \xi_k(t) 여기서 e_\xi(t) \in \mathbb{R}^{n \times 1}, \hat\alpha_k(t) \in \mathbb{R} 이다. 만약 계수 \hat\alpha(t) 가 \alpha_k(t)와 같으면 매핑 오차 e_\xi(t) = 0이 된다. 이제 위 방정식으로부터 \hat x를 계산할 수 있으며, 다양체의 특성 덕분에 피크 현상이 감소된다. 생성된 매핑은 추정 과정에서 많은 유연성을 제공한다. 심지어 두 번째 계층에서 x(t)의 값을 추정하고 상태 x를 계산할 수도 있다.
# 경계 관측기
경계 관측기(Bounding observer)s2cid=13790057 또는 구간 관측기(interval observer)s2cid=288928hdl-access = free는 동시에 두 가지 상태 추정값을 제공하는 관측기 부류를 구성한다. 하나의 추정값은 상태의 실제 값에 대한 상한을 제공하고, 다른 하나는 하한을 제공한다. 상태의 실제 값은 항상 이 두 추정값 사이에 있는 것으로 알려져 있다. 이러한 경계는 실제 응용에서 매우 중요하며,archive-date=2013-12-13first2=J.L. 매 순간 추정의 정밀도를 알 수 있게 한다. 수학적으로, 두 개의 뤼엔버거 관측기가 사용될 수 있다. 예를 들어 양의 시스템 속성을 사용하여 L 이 적절하게 선택된 경우:s2cid=21211012 하나는 상한 \hat{x}_U(k) (노이즈와 불확실성이 없는 경우 k \to \infty 일 때 e(k) = \hat{x}_U(k) - x(k) 가 위에서 0으로 수렴함을 보장한다), 다른 하나는 하한 \hat{x}_L(k) ( e(k) = \hat{x}_L(k) - x(k) 가 아래에서 0으로 수렴함을 보장한다). 즉, 항상 \hat{x}_U(k) \ge x(k) \ge \hat{x}_L(k) 이다.