핵 껍질 모형

핵물리학 핵물리학, 원자물리학, 핵화학에서 **핵 껍질 모형**(Nuclear shell model)은 파울리 배타 원리를 이용하여 원자핵의 구조를 에너지 준위로 모형화한다.website=HyperPhysics 첫 번째 껍질 모형은 1932년 드미트리 이바넨코가 E. 가폰과 함께 제안했다. 이 모형은 1949년 여러 물리학자들의 독립적인 연구를 통해 발전되었는데, 가장 주목할 만한 인물은 마리아 괴퍼트메이어와 J. 한스 D. 옌젠으로, 이 모형에 대한 공로로 1963년 노벨 물리학상을 수상했으며, 유진 위그너는 원자핵에 대한 그의 초기 기초 연구로 이들과 함께 노벨 물리학상을 수상했다.access-date=19 May 2023 핵 껍질 모형은 꽉 찬 껍질이 더 나은 안정성을 가져온다는 점에서 전자 배열을 설명하는 원자 껍질 모형과 부분적으로 유사하다. 핵자(양성자와 중성자)를 핵에 추가할 때, 다음 핵자의 결합 에너지가 이전 핵자의 결합 에너지보다 현저히 작은 지점이 있다. 특정 마법수의 핵자(**2, 8, 20, 28, 50, 82, 126**)가 다음으로 높은 수보다 더 강하게 결합된다는 이러한 관찰이 껍질 모형의 기원이다. 양성자와 중성자의 껍질은 서로 독립적이다. 따라서 한 핵자 유형이 마법수에 해당하는 "마법 핵"과 둘 다 마법수에 해당하는 "이중 마법 핵"이 모두 존재할 수 있다. 궤도 채움의 변화로 인해 상위 마법수는 중성자의 경우 126과 추측컨대 184이지만, 양성자의 경우 114에 불과하며, 이는 소위 안정성의 섬을 찾는 데 중요한 역할을 한다. 일부 준마법수가 발견되었는데, 특히 Z = 40은 다양한 원소에 대한 핵 껍질 채움을 제공하며, 16도 마법수일 수 있다.bibcode=2000PhRvL..84.5493O (this refers to the 핵 드립 라인) 이러한 숫자를 얻기 위해 핵 껍질 모형은 사각 퍼텐셜 우물과 양자 조화 진동자 사이의 형태를 가진 평균 퍼텐셜로 시작한다. 이 퍼텐셜에 스핀-궤도 항이 추가된다. 그럼에도 불구하고 총 섭동은 실험과 일치하지 않으며, 연구되는 핵에 따라 적어도 두세 가지 다른 결합 상수를 가진 경험적 스핀-궤도 결합을 추가해야 한다. hdl-access=free 뚜렷한 껍질 간격은 라벨링된 alt= 핵의 마법수와 다른 특성들은 3차원 조화 진동자와 스핀-궤도 상호작용으로 모형을 근사하여 얻을 수 있다. 더 현실적이지만 복잡한 퍼텐셜은 우즈-삭슨 퍼텐셜로 알려져 있다.
# 수정된 조화 진동자 모형
3차원 조화 진동자를 고려하자. 이것은 예를 들어 처음 세 준위("ℓ"은 방위 양자수)에서 다음과 같이 주어진다: {| class="wikitable" !width=50| 준위 n !width=50| ℓ !width=50| mℓ !width=50| ms |-align=right | rowspan=2|0 || rowspan=2| 0 || rowspan=2| 0 || +2 |-align=right | −2 |-align=right | rowspan=6|1 || rowspan=6| 1 || rowspan=2| +1 || +2 |-align=right | −2 |-align=right | rowspan=2|0 || +2 |-align=right | −2 |-align=right | rowspan=2|−1 || +2 |-align=right | −2 |-align=right | rowspan=12|2 || rowspan=2| 0 || rowspan=2| 0 || +2 |-align=right | −2 |-align=right | rowspan=10| 2 || rowspan=2| +2 || +2 |-align=right | −2 |-align=right | rowspan=2|+1 || +2 |-align=right | −2 |-align=right | rowspan=2|0 || +2 |-align=right | −2 |-align=right | rowspan=2|−1 || +2 |-align=right | −2 |-align=right | rowspan=2|−2 || +2 |-align=right | −2 |} **핵**은 양성자와 중성자를 추가하여 만들어진다. 이들은 항상 가장 낮은 사용 가능한 준위를 채우며, 첫 두 양성자는 준위 0을 채우고, 다음 여섯 양성자는 준위 1을 채우는 식으로 진행된다. 주기율표의 전자와 마찬가지로, 가장 바깥 껍질의 양성자는 그 껍질에 양성자가 몇 개밖에 없다면 핵 중심에서 가장 멀리 떨어져 있기 때문에 핵에 비교적 느슨하게 결합될 것이다. 따라서, 꽉 찬 외부 양성자 껍질을 가진 핵은 유사한 총 양성자 수를 가진 다른 핵보다 더 높은 핵 결합 에너지를 가질 것이다. 중성자의 경우도 마찬가지이다. 이는 마법수가 모든 점유된 껍질이 꽉 찬 숫자일 것으로 예상된다는 것을 의미한다. 실험에 따라, 우리는 처음 두 숫자에 대해 2 (준위 0이 꽉 참)와 8 (준위 0과 1이 꽉 참)을 얻는다. 그러나 전체 마법수 세트는 정확하게 나오지 않는다. 이들은 다음과 같이 계산할 수 있다: * 3차원 조화 진동자에서 준위 n의 총 상태 퇴화도는 {(n+1)(n+2)\over 2}이다. * 스핀 때문에 퇴화도는 두 배가 되어 (n+1)(n+2)이다. *따라서 마법수는 \sum_{n=0}^k (n+1)(n+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)} 3 모든 정수 k에 대해 다음과 같이 주어진다. 이것은 2, 8, 20, 40, 70, 112, ...와 같은 마법수를 제공하는데, 처음 세 항목에서만 실험과 일치한다. 이 숫자들은 파스칼의 삼각형에서 나온 사면체수(1, 4, 10, 20, 35, 56, ...)의 두 배이다. 특히, 처음 여섯 껍질은 다음과 같다: * 준위 0: 2개 상태 (ℓ = 0) = 2. * 준위 1: 6개 상태 (ℓ = 1) = 6. * 준위 2: 2개 상태 (ℓ = 0) + 10개 상태 (ℓ = 2) = 12. * 준위 3: 6개 상태 (ℓ = 1) + 14개 상태 (ℓ = 3) = 20. * 준위 4: 2개 상태 (ℓ = 0) + 10개 상태 (ℓ = 2) + 18개 상태 (ℓ = 4) = 30. * 준위 5: 6개 상태 (ℓ = 1) + 14개 상태 (ℓ = 3) + 22개 상태 (ℓ = 5) = 42. 여기서 모든 ℓ에 대해 2ℓ+1개의 다른 ml 값과 2개의 ms 값이 존재하여, 모든 특정 준위에 대해 총 4ℓ+2개의 상태가 존재한다. 이 숫자들은 파스칼의 삼각형에서 나온 삼각수 값의 두 배이다: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ....
## 스핀-궤도 상호작용 포함
다음으로 우리는 스핀-궤도 상호작용을 포함한다. 먼저, 수소형 원자에서처럼 ℓ, ml, ms 대신 양자수 j, mj 및 반전성으로 시스템을 설명해야 한다. 모든 짝수 준위는 짝수 ℓ 값만 포함하므로 짝수 (양수) 반전성 상태만 포함한다. 마찬가지로, 모든 홀수 준위는 홀수 (음수) 반전성 상태만 포함한다. 따라서 상태를 셀 때 반전성을 무시할 수 있다. 새로운 양자수로 설명되는 처음 여섯 껍질은 다음과 같다: * 준위 0 (n = 0): 2개 상태 (j = 2). 짝수 반전성. * 준위 1 (n = 1): 2개 상태 (j = 2) + 4개 상태 (j = 2) = 6. 홀수 반전성. * 준위 2 (n = 2): 2개 상태 (j = 2) + 4개 상태 (j = 2) + 6개 상태 (j = 2) = 12. 짝수 반전성. * 준위 3 (n = 3): 2개 상태 (j = 2) + 4개 상태 (j = 2) + 6개 상태 (j = 2) + 8개 상태 (j = 2) = 20. 홀수 반전성. * 준위 4 (n = 4): 2개 상태 (j = 2) + 4개 상태 (j = 2) + 6개 상태 (j = 2) + 8개 상태 (j = 2) + 10개 상태 (j = 2) = 30. 짝수 반전성. * 준위 5 (n = 5): 2개 상태 (j = 2) + 4개 상태 (j = 2) + 6개 상태 (j = 2) + 8개 상태 (j = 2) + 10개 상태 (j = 2) + 12개 상태 (j = 2) = 42. 홀수 반전성. 여기서 모든 j에 대해 서로 다른 mj 값에서 1개의 다른 상태가 존재한다. 스핀-궤도 상호작용 때문에 같은 준위이지만 j가 다른 상태의 에너지는 더 이상 동일하지 않을 것이다. 이는 원래 양자수에서 \scriptstyle \vec{s}가 \scriptstyle \vec{l}에 평행할 때 상호작용 에너지가 양수이고, 이 경우 j = ℓ + s = ℓ + 2이기 때문이다. \scriptstyle \vec{s}가 \scriptstyle \vec{l}에 반대 방향으로 정렬될 때 (즉, 반대 방향으로 정렬될 때), 상호작용 에너지는 음수이고, 이 경우 2이다. 또한, 상호작용의 강도는 대략 ℓ에 비례한다. 예를 들어, 준위 4의 상태들을 고려하자: * j = 2인 10개 상태는 ℓ = 4이고 s가 ℓ에 평행한 경우에서 온다. 따라서 이들은 양의 스핀-궤도 상호작용 에너지를 가진다. * j = 2인 8개 상태는 ℓ = 4이고 s가 ℓ에 반대 방향으로 정렬된 경우에서 왔다. 따라서 이들은 음의 스핀-궤도 상호작용 에너지를 가진다. * j = 2인 6개 상태는 ℓ = 2이고 s가 ℓ에 평행한 경우에서 왔다. 따라서 이들은 양의 스핀-궤도 상호작용 에너지를 가진다. 그러나 그 크기는 j = 2인 상태의 절반이다. * j = 2인 4개 상태는 ℓ = 2이고 s가 ℓ에 반대 방향으로 정렬된 경우에서 왔다. 따라서 이들은 음의 스핀-궤도 상호작용 에너지를 가진다. 그러나 그 크기는 j = 2인 상태의 절반이다. * j = 2인 2개 상태는 ℓ = 0에서 왔으므로 스핀-궤도 상호작용 에너지는 0이다.
## 퍼텐셜의 형태 변경
조화 진동자 퍼텐셜 V(r) = \mu \omega^2 r^2 /2은 중심 r에서 거리가 무한대로 갈수록 무한히 증가한다. 우즈-삭슨 퍼텐셜과 같은 더 현실적인 퍼텐셜은 이 극한에서 상수에 접근할 것이다. 한 가지 주요 결과는 핵자 궤도의 평균 반경이 현실적인 퍼텐셜에서 더 커진다는 것이다. 이는 해밀토니언 연산자의 라플라스 연산자에서 항 \scriptstyle \hbar^2 l(l+1)/ 2m r^2을 감소시킨다. 또 다른 주요 차이점은 n이나 ℓ이 높은 궤도와 같이 평균 반경이 큰 궤도가 조화 진동자 퍼텐셜에서보다 낮은 에너지를 가질 것이라는 점이다. 두 효과 모두 높은 ℓ 궤도의 에너지 준위를 감소시킨다.
## 예측된 마법수
스핀-궤도 상호작용이 없는 (왼쪽) 및 스핀-궤도 상호작용이 있는 (오른쪽) 조화 진동자 퍼텐셜 (작은 음의 l2 항 포함)을 갖는 단일 입자 껍질 모형의 낮은 에너지 준위. 준위 오른쪽에 있는 숫자는 그 퇴화도 (2j+1)를 나타낸다. 상자에 표시된 정수는 마법수를 나타낸다. 스핀-궤도 상호작용과 두 효과의 적절한 크기가 결합되면 다음과 같은 질적인 그림을 얻을 수 있다. 모든 준위에서 가장 높은 j 상태는 에너지가 아래로 이동하며, 특히 높은 n (가장 높은 j가 높은 경우)의 경우 더욱 그렇다. 이는 음의 스핀-궤도 상호작용 에너지와 퍼텐셜을 더 현실적인 형태로 변형하여 발생하는 에너지 감소 때문이다. 반대로 두 번째로 높은 j 상태는 첫 번째 효과에 의해 에너지가 위로 이동하고 두 번째 효과에 의해 아래로 이동하여 전체적인 변화가 작다. 따라서 가장 높은 j 상태의 에너지 변화는 한 준위의 상태 에너지를 낮은 준위의 상태 에너지에 더 가깝게 만들 수 있다. 그러면 껍질 모형의 "껍질"은 더 이상 n으로 표시된 준위와 동일하지 않으며 마법수도 변경된다. 우리는 n = 3에 대한 가장 높은 j 상태가 n = 2와 n = 3의 평균 에너지 사이의 중간 에너지를 가지고 있고, 더 큰 n (적어도 n = 7까지)에 대한 가장 높은 j 상태가 1의 평균 에너지에 더 가까운 에너지를 가지고 있다고 가정할 수 있다. 그러면 다음과 같은 껍질을 얻는다 (그림 참조). * 1번째 껍질: 2개 상태 (n = 0, j = 2). * 2번째 껍질: 6개 상태 (n = 1, j = 2 또는 2). * 3번째 껍질: 12개 상태 (n = 2, j = 2, 2 또는 2). * 4번째 껍질: 8개 상태 (n = 3, j = 2). * 5번째 껍질: 22개 상태 (n = 3, j = 2, 2 또는 2; n = 4, j = 2). * 6번째 껍질: 32개 상태 (n = 4, j = 2, 2, 2 또는 2; n = 5, j = 2). * 7번째 껍질: 44개 상태 (n = 5, j = 2, 2, 2, 2 또는 2; n = 6, j = 2). * 8번째 껍질: 58개 상태 (n = 6, j = 2, 2, 2, 2, 2 또는 2; n = 7, j = 2). 등등. 4번째 껍질 이후의 상태 수가 삼각수의 두 배에 2가 더해진 값이라는 점에 유의한다. 스핀-궤도 결합은 소위 "침입자 준위"가 다음 더 높은 껍질에서 이전 껍질의 구조로 떨어지게 한다. 침입자의 크기는 결과적인 껍질 크기 자체가 조화 진동자의 껍질 크기보다 다음 더 높은 두 배의 삼각수로 증가하도록 한다. 예를 들어, 1f2p는 20개의 핵자를 가지며, 스핀-궤도 결합은 1g9/2 (10개의 핵자)를 추가하여 30개의 핵자를 가진 새로운 껍질을 형성한다. 1g2d3s는 30개의 핵자를 가지며, 침입자 1h11/2 (12개의 핵자)를 추가하면 새로운 껍질 크기는 42가 되는 식이다. 마법수는 다음과 같다. * figure spacefigure space2 * figure spacefigure space6 * figure space12 * figure space8 * figure space22 * figure space32 * 44 * 58 등등. 이것은 관측된 모든 마법수를 제공하며, 184 값 (양성자의 경우, 마법수 126은 아직 관측되지 않았으며, 더 복잡한 이론적 고려에 따르면 마법수는 114이다)에서 새로운 마법수(소위 안정성의 섬)도 예측한다. 마법수 (및 준마법수)를 예측하는 또 다른 방법은 이상적인 채움 순서 (스핀-궤도 분할은 있지만 에너지 준위가 겹치지 않는)를 나열하는 것이다. 일관성을 위해 s는 2와 2 구성 요소로 분할되며, 각각 2개와 0개의 구성원을 가진다. 여기에서 /로 구분된 시퀀스 내에서 가장 왼쪽과 가장 오른쪽의 총 개수를 취하면 마법수 및 준마법수를 얻을 수 있다. * s(2,0)/p(4,2) > 2,2/6,8, 따라서 (준)마법수 2,2/6,8 * d(6,4):s(2,0)/f(8,6):p(4,2) > 14,18:20,20/28,34:38,40, 따라서 14,20/28,40 * g(10,8):d(6,4):s(2,0)/h(12,10):f(8,6):p(4,2) > 50,58,64,68,70,70/82,92,100,106,110,112, 따라서 50,70/82,112 * i(14,12):g(10,8):d(6,4):s(2,0)/j(16,14):h(12,10):f(8,6):p(4,2) > 126,138,148,156,162,166,168,168/184,198,210,220,228,234,238,240, 따라서 126,168/184,240 각 쌍의 가장 오른쪽 예측 마법수는 /로 이분된 사중체 내에서 파스칼의 삼각형에서 온 이중 사면체수이다: 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, 240은 2x 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ...이며, 쌍의 가장 왼쪽 구성원은 가장 오른쪽 구성원과 이중 삼각수만큼 차이가 난다: 2 − 2 = 0, 8 − 6 = 2, 20 − 14 = 6, 40 − 28 = 12, 70 − 50 = 20, 112 − 82 = 30, 168 − 126 = 42, 240 − 184 = 56, 여기서 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, ...은 2 × 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...이다.
## 핵의 다른 속성
이 모형은 핵의 다른 속성, 특히 핵 바닥 상태의 스핀과 반전성, 그리고 어느 정도는 핵의 들뜬 상태도 예측하거나 성공적으로 설명한다. O (산소-17)를 예로 들어보자. 이 핵은 처음 세 양성자 "껍질"을 채우는 8개의 양성자와 처음 세 중성자 "껍질"을 채우는 8개의 중성자, 그리고 1개의 여분 중성자를 가지고 있다. 완전한 양성자 껍질에 있는 모든 양성자는 그들의 각운동량이 서로 상쇄되므로 총 각운동량이 0이다. 중성자도 마찬가지이다. 같은 준위 (n)에 있는 모든 양성자는 같은 반전성 (+1 또는 -1)을 가지며, 입자 쌍의 반전성이 그들의 반전성의 곱이므로 같은 준위 (n)에서 짝수 개의 양성자는 +1 반전성을 가질 것이다. 따라서 8개의 양성자와 처음 8개의 중성자의 총 각운동량은 0이며, 그들의 총 반전성은 +1이다. 이는 핵의 스핀(즉, 각운동량)과 그 반전성이 9번째 중성자에 의해 완전히 결정된다는 것을 의미한다. 이 중성자는 4번째 껍질의 첫 번째 (즉, 가장 낮은 에너지) d-껍질 (ℓ = 2) 상태에 있으며, p = (−1)ℓ이므로 핵에 전체적으로 +1의 반전성을 부여한다. 이 4번째 d-껍질은 j = 2를 가지므로, O의 핵은 양의 반전성과 총 각운동량 2를 가질 것으로 예상되며, 실제로 그렇다. 핵 껍질의 순서를 정하는 규칙은 훈트 규칙의 원자 껍질과 유사하지만, 원자 물리학에서 사용되는 것과는 달리 껍질의 완성은 다음 n에 도달하는 것으로 표시되지 않으므로 껍질 모형은 들뜬 핵 상태의 순서를 정확하게 예측할 수 없지만, 바닥 상태를 예측하는 데는 매우 성공적이다. 처음 몇 항의 순서는 다음과 같다: 1s, 1p2, 1p2, 1d2, 2s, 1d2... 표기법에 대한 추가 설명은 러셀엔 대시손더스 항기호에 관한 문서를 참조한다. 마법수에서 멀리 떨어진 핵의 경우, 강한 핵력과 총 각운동량 사이의 관계 때문에 같은 n을 가진 양성자 또는 중성자가 반대 각운동량의 쌍을 형성하는 경향이 있다는 가정을 추가해야 한다. 따라서 짝수 개의 양성자와 짝수 개의 중성자를 가진 핵은 스핀이 0이고 양의 반전성을 가진다. 짝수 개의 양성자와 홀수 개의 중성자를 가진 핵 (또는 그 반대)은 마지막 중성자 (또는 양성자)의 반전성을 가지며, 스핀은 이 중성자 (또는 양성자)의 총 각운동량과 같다. "마지막"이라는 것은 가장 높은 에너지 준위에서 오는 속성을 의미한다. 홀수 개의 양성자와 홀수 개의 중성자를 가진 핵의 경우, 마지막 중성자와 마지막 양성자 모두의 총 각운동량과 반전성을 고려해야 한다. 핵 반전성은 그들의 곱이 될 것이고, 핵 스핀은 그들의 각운동량의 합의 가능한 결과 중 하나가 될 것이다 (다른 가능한 결과는 핵의 들뜬 상태이다). 각 껍질 내 각운동량 준위의 순서는 위에서 설명한 원칙에 따른다. 즉, 스핀-궤도 상호작용으로 인해 높은 각운동량 상태는 퍼텐셜의 변형 (즉, 조화 진동자 퍼텐셜에서 더 현실적인 퍼텐셜로 이동)으로 인해 에너지가 아래로 이동한다. 그러나 핵자 쌍의 경우, 단일 핵자에 대한 에너지 준위가 더 높더라도 높은 각운동량에 있는 것이 에너지적으로 유리한 경우가 많다. 이는 각운동량과 강한 핵력 사이의 관계 때문이다. 중성자와 양성자의 핵 자기 모멘트는 이 간단한 껍질 모형의 버전으로 부분적으로 예측된다. 자기 모멘트는 "마지막" 핵자의 j, ℓ, s를 통해 계산되지만, 핵은 잘 정의된 ℓ과 s의 상태에 있지 않다. 또한, 홀-홀 핵의 경우, 중수소에서처럼 두 "마지막" 핵자를 고려해야 한다. 따라서 핵 자기 모멘트에 대해 여러 가지 가능한 답이 나오며, 각 가능한 결합된 ℓ 및 s 상태에 대해 하나씩, 그리고 핵의 실제 상태는 그들의 중첩 원리이다. 따라서 실제 (측정된) 핵 자기 모멘트는 가능한 답들 사이에 존재한다. 핵의 전기 쌍극자는 바닥 상태가 명확한 반전성을 가지기 때문에 항상 0이다. 물질 밀도 (ψ2, 여기서 ψ는 파동 함수)는 항상 반전성 변환에 불변이다. 이는 일반적으로 원자 전기 쌍극자의 경우이다. 더 높은 전기 및 자기 다중극 모멘트는 중수소의 경우와 유사한 이유로 이 간단한 껍질 모형 버전으로 예측될 수 없다.
# 잔여 상호작용 포함
원자가 핵자 간의 잔여 상호작용은 비활성 코어 외부의 원자가 공간에서 유효 해밀토니언을 대각화하여 포함된다. 표시된 대로, 원자가 공간에 놓인 단일 입자 상태만 사용되는 기저에서 활성화된다. 두 개 이상의 원자가 핵자 (즉, 닫힌 껍질 바깥의 핵자)를 가진 핵의 경우, 잔여 두-체 상호작용을 추가해야 한다. 이 잔여 항은 근사적인 평균 퍼텐셜에 포함되지 않은 핵자 간 상호작용의 일부에서 온다. 이 포함을 통해 다른 껍질 구성이 혼합되고, 동일한 구성에 해당하는 상태의 에너지 퇴화가 깨진다.s2cid=119447053s2cid=18722872 이러한 잔여 상호작용은 잘린 모형 공간(또는 원자가 공간)에서 껍질 모형 계산을 통해 통합된다. 이 공간은 모형 공간의 단일 입자 상태만 활성화되는 다중 입자 상태의 기저에 의해 확장된다. 슈뢰딩거 방정식은 이 기저에서 모형 공간에 특별히 적합한 유효 해밀토니언을 사용하여 풀린다. 이 해밀토니언은 자유 핵자의 해밀토니언과 다르다. 왜냐하면 무엇보다도 제외된 구성을 보상해야 하기 때문이다. 모형 공간을 이전에 비활성 상태였던 코어로 확장하고 모형 공간 절단까지 모든 단일 입자 상태를 활성화 상태로 취급함으로써 평균 퍼텐셜 근사를 완전히 없앨 수 있다. 이것이 **노코어 껍질 모형**의 기초를 형성하며, 이는 원리 계산 방법이다. 이러한 계산에서 실험과 일치하는 결과를 얻으려면 삼체 상호작용을 포함해야 한다. arxiv=0902.3510
# 집단 회전 및 변형된 퍼텐셜
1953년에 핵에서 회전 분자처럼 J(J+1) 에너지 패턴을 따르는 회전 띠의 첫 실험적 예시가 발견되었다. 양자 역학적으로 구의 집단 회전은 불가능하므로, 이는 핵의 모양이 비구형임을 의미했다. 원칙적으로 이러한 회전 상태는 구형 퍼텐셜의 단일 입자 상태로 구성된 기저에서 입자-홀 여기의 코히어런트 중첩으로 설명될 수 있었을 것이다. 그러나 실제로는 많은 수의 원자가 입자로 인해 이러한 방식으로 이 상태를 설명하는 것은 다루기 어려웠다. 이러한 어려움은 1950년대에 컴퓨팅 능력이 극히 초보적이었을 때 더욱 컸다. 이러한 이유로 오게 닐스 보어, 벤 모텔손, 그리고 스벤 괴스타 닐슨은 퍼텐셜이 타원체 모양으로 변형된 모형을 구축했다. 이러한 유형의 첫 성공적인 모형은 현재 닐슨 모형으로 알려져 있다. 이는 본질적으로 이 문서에서 설명된 조화 진동자 모형이지만, 이방성이 추가되어 세 카르테시안 축을 따라 진동 주파수가 모두 같지 않다. 일반적으로 모양은 장축 타원체이며, 대칭축은 z로 취해진다. 퍼텐셜이 구형 대칭이 아니기 때문에 단일 입자 상태는 좋은 각운동량 J의 상태가 아니다. 그러나 해밀토니언에 "크랭킹" 항으로 알려진 라그랑주 승수 -\omega\cdot J를 추가할 수 있다. 일반적으로 각 주파수 벡터 ω는 대칭축에 수직으로 취해지지만, 기울어진 축 크랭킹도 고려할 수 있다. 페르미 준위까지 단일 입자 상태를 채우면 크랭킹 축을 따라 \langle J_x\rangle의 예상 각운동량이 원하는 값인 상태가 생성된다.
# 관련 모형
이가 탈미는 실험 데이터에서 정보를 얻어 측정되지 않은 에너지를 계산하고 예측하는 방법을 개발했다. 이 방법은 많은 핵물리학자들에 의해 성공적으로 사용되어 핵 구조에 대한 더 깊은 이해를 가져왔다. 이러한 속성을 잘 설명하는 이론이 개발되었다. 이 설명은 우아하고 성공적인 상호작용 보손 모형의 껍질 모형 기반을 제공하는 것으로 밝혀졌다. 핵 껍질 모형에서 파생된 모형은 헨리 마게나우, 에드워드 텔러, J. K. 페링, 토니 스카임이 개발한 알파 입자 모형이며, 때로는 스카임 모형이라고도 불린다.s2cid=122604321bibcode=1962NucPh..31..556S 그러나 스카임 모형은 일반적으로 핵을 "알파 입자 구름"으로 모형화하기보다는 핵자 자체를 메손(파이온)의 "구름"으로 모형화하는 것으로 이해된다.
# 추가 자료
* isbn=978-0-486-43933-4 * isbn=978-3-7186-0551-4