매개변수 방정식

나비 곡선은 x와 y의 매개변수 방정식으로 정의될 수 있다.]] 수학에서 **매개변수 방정식**(Parametric equation)은 점의 좌표와 같은 여러 양을 매개변수라고 하는 하나 또는 여러 변수의 함수로 표현한다.url=http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html 하나의 매개변수가 있는 경우, 매개변수 방정식은 움직이는 점의 궤적을 표현하는 데 흔히 사용되며, 이 경우 매개변수는 종종 시간이지만 필수는 아니며, 점은 **매개변수 곡선**(parametric curve)이라고 하는 곡선을 그린다. 두 개의 매개변수가 있는 경우, 점은 **매개변수 곡면**(parametric surface)이라고 하는 곡면을 그린다. 모든 경우에 이 방정식들은 총체적으로 **매개변수 표현**(parametric representation)이라 불리며,pages=291, 342 또는 **매개변수 시스템**(parametric system)이라 불린다.page=149 또는 객체의 **매개변수화**(parameterization, 또는 parametrization, parametrisation이라고도 표기)라 불린다.page=91access-date=2017-04-14 예를 들어, \begin{align} x &= \cos t \\\ y &= \sin t \end{align} 라는 방정식은 단위원의 매개변수 표현을 형성하며, 여기서 t는 매개변수이다. 즉, (x, y)는 이 두 방정식이 그 점을 생성하는 t 값이 있을 때 단위원 위에 있다. 때로는 개별 스칼라 출력 변수에 대한 매개변수 방정식을 벡터의 단일 매개변수 방정식으로 결합하기도 한다. (x, y)=(\cos t, \sin t). 매개변수 표현은 일반적으로 유일하지 않으므로 (아래 "2차원 예제" 섹션 참조) 동일한 양을 여러 다른 매개변수화로 표현할 수 있다. 곡선과 곡면 외에도 매개변수 방정식은 더 높은 차원의 다양체와 대수적 다양체를 기술할 수 있으며, 이때 매개변수의 수는 다양체 또는 다양체의 차원과 같고, 방정식의 수는 다양체 또는 다양체가 고려되는 공간의 차원과 같다 (곡선의 경우 차원은 1이고 하나의 매개변수가 사용되며, 곡면의 경우 차원은 2이고 두 개의 매개변수가 사용되는 식이다). 매개변수 방정식은 운동학에서 흔히 사용되며, 여기서 물체의 궤적은 시간을 매개변수로 하는 방정식으로 표현된다. 이러한 응용 때문에 단일 매개변수는 종종 t로 표기되지만, 매개변수는 다른 물리량(예: 기하학적 변수)을 나타내거나 편의상 임의로 선택될 수도 있다. 매개변수화는 유일하지 않다. 하나 이상의 매개변수 방정식 집합이 동일한 곡선을 지정할 수 있다.url-access=registration
# 음함수화
매개변수 방정식 집합을 단일 음함수 방정식으로 변환하는 것은 동시 방정식 x=f(t),\ y=g(t)에서 변수 t를 제거하는 것을 포함한다. 이 과정을 **음함수화**라고 한다. 이 방정식 중 하나를 t에 대해 풀 수 있다면, 얻은 표현을 다른 방정식에 대입하여 x와 y만 포함하는 방정식을 얻을 수 있다. y=g(t)를 풀어 t=g^{-1}(y)를 얻고 이를 x=f(t)에 사용하면 명시적 방정식 x=f(g^{-1}(y))를 얻는 반면, 더 복잡한 경우에는 h(x,y)=0 형태의 음함수 방정식을 얻게 된다. 매개변수화가 유리 함수로 주어질 경우 x=\frac{p(t)}{r(t)},\qquad y=\frac{q(t)}{r(t)}, 여기서 p, q, r은 서로소인 다항식 집합일 때, 종결식 계산을 통해 음함수화할 수 있다. 보다 정확히 말하면, 음함수 방정식은 t에 대한 x \times r(t) -p(t)와 y\times r(t)-q(t)의 종결식이다. 더 높은 차원(두 개 이상의 좌표 또는 하나 이상의 매개변수)에서 유리 매개변수 방정식의 음함수화는 그뢰브너 기저 계산으로 수행할 수 있다. 더 높은 차원에서의 음함수화를 참조하라. 반지름이 a인 원의 예를 들면, 매개변수 방정식 \begin{align} x &= a \cos(t) \\\ y &= a \sin(t) \end{align} 는 피타고라스 삼각 항등식을 통해 x와 y로 음함수화될 수 있다. \begin{align} \frac{x}{a} &= \cos(t) \\\ \frac{y}{a} &= \sin(t) \\\ \end{align} 이고 \cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1 이므로, \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{a}\right)^2 = 1 을 얻고, 따라서 x^2+y^2=a^2 는 원점을 중심으로 하는 원의 표준 방정식이다.
# 매개변수 평면 곡선
평면 곡선
## 포물선
포물선에 대한 가장 간단한 방정식인 y = x^2 는 자유 매개변수 t를 사용하여 다음과 같이 (자명하게) 매개변수화될 수 있다. x = t, y = t^2 \quad \mathrm{for} -\infty < t < \infty.
## 명시적 방정식
더 일반적으로, 명시적 방정식으로 주어진 모든 곡선 y = f(x) 은 자유 매개변수 t를 사용하여 다음과 같이 (자명하게) 매개변수화될 수 있다. x = t, y = f(t) \quad \mathrm{for} -\infty < t < \infty.
## 원
더 정교한 예는 다음과 같다. 일반 (데카르트) 방정식 x^2 + y^2 = 1. 으로 기술되는 단위를 고려해보자. 이 방정식은 다음과 같이 매개변수화될 수 있다. (x,y)=(\cos(t),\; \sin(t))\quad\mathrm{for}\ 0\leq t < 2\pi. 데카르트 방정식으로는 한 점이 원 위에 있는지 여부를 확인하기가 더 쉽다. 매개변수 버전으로는 그래프 상의 점을 얻기가 더 쉽다. 어떤 맥락에서는, 존재한다면 유리 함수(즉 두 다항식의 분수)만을 포함하는 매개변수 방정식이 선호된다. 원의 경우, 이러한 유리 매개변수화는 다음과 같다. \begin{align} x &= \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\\ y &= \frac{2t}{1 + t^2}\,. \end{align} 이 한 쌍의 매개변수 방정식으로, 점 (−1, 0)은 t의 실수 값으로 표현되지 않고, t가 무한대로 갈 때의 x와 y의 극한으로 표현된다.
## 타원
반축이 a와 b이고 표준 위치(원점 중심, 장축이 x-축을 따라 있음)에 있는 타원은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다. \begin{align} x &= a\,\cos t \\\ y &= b\,\sin t\,. \end{align} 일반 위치에 있는 타원은 다음과 같이 표현될 수 있다. \begin{alignat}{4} x ={}&& X_\mathrm{c} &\+ a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&\- b\,\sin t\,\sin\varphi \\\ y ={}&& Y_\mathrm{c} &\+ a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&\+ b\,\sin t\,\cos\varphi \end{alignat} 매개변수 t가 0에서 2pi까지 변할 때. 여기서 c)는 타원의 중심이고, φ는 x-축과 타원의 장축 사이의 각도이다. 두 매개변수화는 반각 공식을 사용하고 \tan\frac{t}{2} = u\,로 설정함으로써 유리적으로 만들 수 있다.
## 리사주 곡선
y = 2인 리사주 곡선. 리사주 곡선은 타원과 유사하지만, x와 y 사인파는 위상이 다르다. 표준 위치에서 리사주 곡선은 다음으로 주어진다. \begin{align} x &= a\,\cos(k_xt) \\\ y &= b\,\sin(k_yt) \end{align} 여기서 x와 y는 도형의 엽수(loves)를 나타내는 상수이다.
## 쌍곡선
동서로 열리는 쌍곡선은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다. \begin{align} x &= a\sec t + h \\\ y &= b\tan t + k\,, \end{align} 또는 유리적으로 \begin{align} x &= a\frac{1 + t^2}{1 - t^2} + h \\\ y &= b\frac{2t}{1 - t^2} + k\,. \end{align} 남북으로 열리는 쌍곡선은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다. \begin{align} x &= b\tan t + h \\\ y &= a\sec t + k\,, \end{align} 또는 유리적으로 \begin{align} x &= b\frac{2t}{1 - t^2} + h \\\ y &= a\frac{1 + t^2}{1 - t^2} + k\,. \end{align} 이 모든 공식에서 (h , k)는 쌍곡선의 중심 좌표이고, a는 반장축의 길이이며, b는 반단축의 길이이다. 이 공식의 유리 형식에서 점 (−a , 0)과 (0 , −a)는 각각 t의 실수 값으로 표현되지 않고, t가 무한대로 갈 때의 x와 y의 극한이다.
## 하이퍼사이클로이드
하이퍼사이클로이드는 반지름이 r인 원이 반지름이 R인 고정된 원의 내부를 따라 구를 때, 내부 원의 중심으로부터 거리 d에 있는 점이 그리는 곡선이다. 파일:2-circles

1= r = d인 하이포트로코이드

1= R = 5, 1= r = 3, 1= d = 5인 하이퍼사이클로이드

하이퍼사이클로이드에 대한 매개변수 방정식은 다음과 같다. \begin{align} x (\theta) &= (R - r)\cos\theta + d\cos\left({R - r \over r}\theta\right) \\\ y (\theta) &= (R - r)\sin\theta - d\sin\left({R - r \over r}\theta\right)\,. \end{align} 몇 가지 예: 파일: Param1a 6 4 1

1= R = 6 1= r = 4 1= d = 1

파일: Param1a 7 4 1

1= R = 7 1= r = 4 1= d = 1

파일: Param1a 8 3 2

1= R = 8 1= r = 3 1= d = 2

파일: Param1a 7 4 2

1= R = 7 1= r = 4 1= d = 2

파일: Param1a 15 14 1

1= R = 15 1= r = 14 1= d = 1

# 매개변수 공간 곡선
공간 곡선 애니메이션 매개변수 나선
## 나선
매개변수 나선 매개변수 방정식은 더 높은 차원의 공간에서 곡선을 설명하는 데 편리하다. 예를 들어: \begin{align} x &= a \cos(t) \\\ y &= a \sin(t) \\\ z &= bt\, \end{align} 는 반지름이 a이고 한 바퀴 돌 때마다 2pib 단위씩 올라가는 3차원 곡선인 나선을 나타낸다. 이 방정식들은 평면에서 원에 대한 방정식과 동일하다. 위와 같은 표현은 흔히 다음과 같이 쓰인다. \begin{align} \mathbf{r}(t) &= (x(t), y(t), z(t)) \\\ &= (a \cos(t), a \sin(t), b t)\,, \end{align} 여기서 **r**은 3차원 벡터이다.
## 매개변수 곡면
매개변수 곡면 큰 반지름 R과 작은 반지름 r을 가진 원환면은 매개변수적으로 다음과 같이 정의될 수 있다. \begin{align} x &= \cos(t)\left(R + r \cos(u)\right), \\\ y &= \sin(t)\left(R + r \cos(u)\right), \\\ z &= r \sin(u)\,. \end{align} 여기서 두 매개변수 t와 u는 모두 0에서 2pi까지 변한다. = 2, 1=r = 1/2 u가 0에서 2pi까지 변할 때, 곡면 위의 점은 원환면의 구멍을 통과하는 짧은 원을 따라 움직인다. t가 0에서 2pi까지 변할 때, 곡면 위의 점은 원환면의 구멍 주위를 도는 긴 원을 따라 움직인다.
## 직선
일차 방정식 점 \left( x_0, y_0, z_0 \right)를 지나고 벡터 a \hat\mathbf{i} + b \hat\mathbf{j} + c \hat\mathbf{k}에 평행한 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같다.pages=919 \begin{align} x & = x_0 +a t \\\ y & = y_0 +b t \\\ z & = z_0 +c t \end{align}
# 응용

## 운동학
운동학에서 물체의 공간 경로(trajectory)는 일반적으로 매개변수 곡선으로 설명되며, 각 공간 좌표는 독립적인 매개변수(보통 시간)에 명시적으로 의존한다. 이런 방식으로 사용될 때, 물체의 좌표에 대한 매개변수 방정식 집합은 총체적으로 위치에 대한 벡터 함수를 구성한다. 이러한 매개변수 곡선은 항별로 적분되고 미분될 수 있다. 따라서 입자의 위치가 매개변수적으로 다음과 같이 기술된다면 \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\,, 그러면 그것의 속도는 다음과 같이 찾을 수 있다. \begin{align} \mathbf{v}(t) &= \mathbf{r}'(t) \\\ &= (x'(t), y'(t), z'(t))\,, \end{align} 그리고 그것의 가속도는 다음과 같다. \begin{align} \mathbf{a}(t) &= \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}(t) \\\ &= (x(t), y(t), z(t))\,. \end{align}
## 컴퓨터 지원 설계
매개변수 방정식의 또 다른 중요한 사용은 컴퓨터 지원 설계 (CAD) 분야에 있다.title-link=Calculus 예를 들어, 다음 세 가지 표현을 고려해 보자. 이들은 모두 평면 곡선을 설명하는 데 일반적으로 사용된다. {| class="wikitable" |- ! scope="col" | 종류 ! scope="col" | 형식 ! scope="col" | 예시 ! scope="col" | 설명 |- ! scope="row" | 명시적 |y = f(x) \,\\! |y = mx + b \,\\! |직선 |- ! scope="row" | 음시적 |f(x,y) = 0 \,\\! | \left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2 |원 |- ! scope="row" rowspan=2 | 매개변수 |rowspan=2 |x = \frac{g(t)}{w(t)}; \,\\! y = \frac{h(t)}{w(t)} |x = a_0 + a_1t; \,\\! y = b_0 + b_1t\,\\! |직선 |- |x = a+r\,\cos t; \,\\! y = b+r\,\sin t\,\\! |원 |} 각 표현은 CAD 응용 분야에 따라 장점과 단점이 있다. 명시적 표현은 매우 복잡하거나 심지어 존재하지 않을 수도 있다. 또한, 기하 변환, 특히 회전에서 잘 동작하지 않는다. 반면에, 매개변수 방정식과 음함수 방정식은 명시적 표현에서 쉽게 유도될 수 있으므로, 간단한 명시적 표현이 존재할 경우 다른 두 표현의 장점을 모두 갖는다. 음함수 표현은 곡선 위의 점을 생성하기 어렵게 만들고, 심지어 실제 점이 있는지 결정하는 것도 어렵게 만들 수 있다. 반면에, 주어진 점이 곡선 위에 있는지 또는 닫힌 곡선 내부에 있는지 외부에 있는지 결정하는 데에는 잘 적합하다. 이러한 결정은 매개변수 표현으로는 어려울 수 있지만, 매개변수 표현은 곡선 위의 점을 생성하고 이를 그리는 데 가장 적합하다.pages= 29–31
## 정수 기하학
정수 삼각형의 수많은 문제는 매개변수 방정식을 사용하여 해결할 수 있다. 그러한 고전적인 해결책은 에우클레이데스의 직각삼각형 매개변수화로서, 변의 길이 a, b와 빗변 c가 서로소 정수이다. a와 b가 둘 다 짝수는 아니므로(그렇지 않으면 a, b와 c는 서로소가 아닐 것이므로), 이들을 교환하여 a가 짝수가 되도록 할 수 있으며, 그 매개변수화는 다음과 같다. \begin{align} a &= 2mn \\\ b &= m^2 - n^2 \\\ c &= m^2 + n^2\,, \end{align} 여기서 매개변수 m과 n은 모두 홀수가 아닌 양의 서로소 정수이다. a, b와 c를 임의의 양의 정수로 곱하면 세 변의 길이가 정수인 모든 직각삼각형의 매개변수화를 얻을 수 있다.
# 과소결정 연립방정식
n개의 미지수가 있는 연립 일차 방정식의 m개 방정식 시스템은 두 개 이상의 해를 가질 때 과소결정된다. 이는 시스템의 행렬과 그것의 첨가 행렬이 동일한 계수 r을 가지고 r < n일 때 발생한다. 이 경우, n − r개의 미지수를 매개변수로 선택하고 모든 미지수를 선택된 미지수들의 선형 결합으로 표현하는 매개변수 방정식으로 모든 해를 나타낼 수 있다. 즉, 미지수가 x_1, \ldots, x_n이라면, 해를 표현하기 위해 이들을 재정렬할 수 있다. chapter-url=https://archive.org/details/LinearAlgebraAntonApplicationsVersion11thC2014Txtbk/page/n24/ \begin{align} x_1 &= \beta_1+\sum_{j=r+1}^n \alpha_{1,j}x_j\\\ \vdots\\\ x_r &= \beta_r+\sum_{j=r+1}^n \alpha_{r,j}x_j\\\ x_{r+1} &= x_{r+1}\\\ \vdots\\\ x_n &= x_n. \end{align} 이러한 매개변수 방정식을 시스템 해의 **매개변수 형식**이라고 한다. 해의 매개변수 형식을 계산하는 표준 방법은 가우스 소거법을 사용하여 첨가 행렬의 기약 행 사다리꼴을 계산하는 것이다. 그러면 매개변수로 사용할 수 있는 미지수는 어떤 주요 항목(즉, 행 또는 행렬에서 가장 왼쪽의 0이 아닌 항목)도 포함하지 않는 열에 해당하는 것이며, 매개변수 형식은 쉽게 유도될 수 있다.
# 내용주