헨스톡-쿠르츠바일 적분

수학에서 **헨스톡-쿠르츠바일 적분**(Henstock–Kurzweil integral)은 함수의 적분에 대한 여러 비등가적인 정의 중 하나이다. 이는 리만 적분의 일반화이며, 어떤 상황에서는 르베그 적분보다 더 일반적이다. 특히, \R^n 의 부분 집합 위에서 함수가 르베그 적분 가능하려면 함수와 그 절댓값이 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능해야 한다. 이 적분은 아르노 당주아(1912)에 의해 처음 정의되었다. 당주아는 다음과 같은 함수를 적분할 수 있는 정의에 관심을 가졌다. f(x) = \frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right). 이 함수는 0에서 특이점을 가지며 르베그 적분 가능하지 않다. 그러나 구간 [-\varepsilon, \delta]를 제외하고 적분을 계산한 다음 \varepsilon, \delta \rightarrow 0으로 보내는 것이 자연스러워 보인다. 일반적인 이론을 만들려고 시도하면서 당주아는 가능한 특이점 유형에 대한 초한 귀납법을 사용하여 정의를 상당히 복잡하게 만들었다. 다른 정의는 니콜라이 루진(절대 연속 측도 개념의 변형을 사용)과 연속 상위 함수 및 하위 함수에 관심이 있던 오스카 페롱에 의해 제시되었다. 페롱 적분과 당주아 적분이 실제로 동일하다는 것을 이해하는 데 시간이 걸렸다. 이후 1957년, 체코의 수학자 야로슬라프 쿠르츠바일은 이 적분에 대한 새로운 정의를 발견했는데, 이는 리만의 원래 정의와 우아하게 유사하며 쿠르츠바일은 이를 **게이지 적분**이라고 명명했다. 1961년 랄프 헨스톡은 페롱 적분에 대한 워드의 확장에 대한 자신의 연구를 인용하며 독립적으로 유사한 적분을 도입하여 이론을 확장했다.oclc=1269499134 이 두 가지 중요한 기여로 인해 현재는 일반적으로 **헨스톡-쿠르츠바일 적분**으로 알려져 있다. 쿠르츠바일 정의의 단순성 때문에 일부 교육자들은 이 적분이 초급 미적분학 과정에서 리만 적분을 대체해야 한다고 주장했다.access-date=27 February 2014
# 정의
2001에 따르면, [a, b]의 태그된 분할 \mathcal{P}가 주어졌을 때, 즉, a = u_0 0에 대해 게이지 \delta가 존재하여 P가 \delta-미세할 때마다 다음을 만족하는 경우이다. \left \vert I - \sum_P f \right \vert 0가 주어졌다고 가정하고, 태그 z_j와 구간 J_j를 가지는 [0, 1]의 \delta-미세 태그된 분할을 D = \\{(z_j, J_j): 1 \leq j \leq n\\}라고 하자. 그리고 f(t)를 위에서 설명한 구간별 정의 함수라고 하자. 다음을 고려하자. \left|\sum f(z_j) l(J_j) - 1(1-0)\right| = \left|\sum [f(z_j)-1] l(J_j)\right| 여기서 l(J_j)는 구간 J_j의 길이를 나타낸다. 모든 구간 J_j의 길이의 연속적인 차이의 합이 구간의 길이 (또는 (1-0))와 같으므로 이 등가성이 확립된다는 점에 유의하자. 게이지 적분의 정의에 따라, 우리는 위의 방정식이 주어진 \varepsilon보다 작다는 것을 보여야 한다. 이는 두 가지 경우로 이어진다. **경우 1: z_j \notin C** (D의 모든 태그가 무리수인 경우): 태그된 분할 D의 태그 중 유리수가 없는 경우, f(t)의 정의에 따라 f(z_j)는 항상 1이 되므로 f(z_j)-1 = 0이 된다. 이 항이 0이면, 어떤 구간 길이에 대해서도 다음 부등식이 성립한다. \left|\sum [f(z_j)-1] l(J_j)\right| \leq \varepsilon, 따라서 이 경우, f(t)의 적분은 1이다. **경우 2: z_k = c_k** (D의 일부 태그가 유리수인 경우): D의 태그가 유리수이면, 그 점에서 평가된 함수는 0이 되어 문제가 발생한다. D가 \delta-미세하다는 것을 알고 있으므로, 다음 부등식이 성립한다. \left|\sum [f(z_j)-1] l(J_j)\right| \leq \left|\sum [f(z_j)-1] l(\delta(c_k))\right| 이는 임의의 구간 J_j의 길이가 \delta-미세하다는 정의에 의해 그 커버링보다 짧기 때문이다. 만약 우리가 부등식의 오른쪽에서 게이지 \delta를 구성할 수 있다면, 적분이 존재하기 위한 기준이 충족됨을 보여줄 수 있다. 이를 위해, \gamma_k = \varepsilon / [f(c_k)-c]2^{k+2}라고 하고 우리의 커버링 게이지를 \delta(c_k) = (c_k - \gamma_k, c_k + \gamma_k)라고 설정하면, 다음이 된다. \left|\sum [f(z_j)-c]l(J_j)\right| < \varepsilon /2^{k+1}. 여기서부터 다음을 얻는다. \left|\sum [f(z_j)-1] l(J_j)\right| \leq 2\sum \varepsilon / 2^{k+1} = \varepsilon 왜냐하면 2\sum 1 / 2^{k+1} = 1 등비급수이기 때문이다. 이는 이 경우, f(t)의 적분은 1임을 나타낸다. 경우 1과 2는 상호 배타적이므로, 이는 f(t)의 적분이 1이며 위 섹션의 모든 속성이 성립함을 보여준다.
# 맥셰인 적분
선 위의 르베그 적분도 비슷한 방식으로 제시될 수 있다. 위의 헨스톡-쿠르츠바일 적분 정의에서 다음 조건을 삭제하면 t_i \in [u_{i-1}, u_i], 맥셰인 적분의 정의를 얻게 되며, 이는 르베그 적분과 동등하다. 다음 조건은 여전히 적용된다는 점에 유의하자. \forall i \ \ [u_{i-1}, u_i] \subset [t_i-\delta(t_i), t_i + \delta (t_i)] 그리고 기술적으로 f(t_i)가 정의되려면 t_i \in [a,b]도 요구된다.
## Footnotes
각주
## General
* isbn=978-0-8218-0845-0 * A Modern Integration Theory in 21st Century * url = https://archive.org/details/introductiontore00bart_1 * isbn=978-981-02-0021-3 * isbn = 978-81-7319-933-2 * url=https://archive.org/details/integralsoflebes0004gord * url=https://archive.org/details/lecturesontheory0000hens * isbn=978-981-02-4207-7 * isbn=978-981-238-046-3 * isbn = 978-0-8247-0535-0 * isbn=978-9971-5-0891-3 * isbn=978-0-521-77968-5 * isbn=978-0-88385-021-3 * isbn=978-981-02-4239-8 * isbn = 978-981-256-611-9