배위 공간 (고전역학)

고전역학에서 시스템의 배위를 정의하는 매개변수를 일반화 좌표라고 하며, 이러한 좌표로 정의된 공간을 물리계의 **배위 공간**(configuration space)이라고 한다. 종종 이러한 매개변수는 수학적 제약을 만족하여 시스템의 실제 배위 집합이 일반화 좌표 공간의 다양체를 이룬다. 이 다양체를 시스템의 **배위 다양체**라고 한다. 이는 "무제한적인" 배위 공간의 개념, 즉 서로 다른 점 입자가 같은 위치를 차지할 수 있는 개념에 주목한다. 수학, 특히 위상수학에서는 "충돌하는" 입자를 나타내는 대각선이 제거된 "제한된" 배위 공간의 개념이 주로 사용된다.
# 예시

## 3D 공간의 입자
일반적인 유클리드 3차원 공간에서 움직이는 단일 입자의 위치는 벡터 q=(x,y,z)로 정의되므로, 그 배위 공간은 Q=\mathbb{R}^3이다. 배위 공간의 점에 대해 기호 q를 사용하는 것이 관례이며, 이는 해밀턴 역학 및 라그랑주 역학 모두에서 사용되는 관례이다. 기호 p는 운동량을 나타내는 데 사용된다. 기호 \dot{q}=dq/dt는 속도를 의미한다. 입자는 특정 다양체 위에서 움직이도록 제약될 수 있다. 예를 들어, 입자가 원점을 중심으로 자유롭게 흔들릴 수 있는 강체 연결부에 부착되어 있다면, 사실상 구 위에서 움직이도록 제약된다. 그 배위 공간은 구 S^2 위의 점을 정의하는 \mathbb{R}^3 내 좌표의 부분집합이다. 이 경우 다양체 Q는 구, 즉 Q=S^2라고 말한다. 연결되지 않고 상호작용하지 않는 n개의 점 입자의 경우, 배위 공간은 \mathbb{R}^{3n}이다. 그러나 일반적으로 입자가 상호작용하는 경우에 관심이 있다. 예를 들어, 기어, 도르래, 구르는 공 등의 일부 조립체에서 특정 위치에 있으며 종종 미끄러지지 않고 움직이도록 제약된다. 이 경우 배위 공간은 \mathbb{R}^{3n} 전체가 아니라 점들이 취할 수 있는 허용 가능한 위치의 부분 공간(부분 다양체)이다.
## 3D 공간의 강체
3차원 공간에서 강체의 기준점 위치와 강체에 부착된 좌표계의 방향을 정의하는 좌표 집합은 그 배위 공간을 형성하며, 종종 \mathbb{R}^{3}\times\mathrm{SO}(3)로 표기된다. 여기서 \mathbb{R}^{3}는 강체에 부착된 프레임의 원점 좌표를 나타내고, \mathrm{SO}(3)는 지상 프레임에 대한 이 프레임의 방향을 정의하는 회전 행렬을 나타낸다. 강체의 배위는 세 개의 \mathbb{R}^{3} 매개변수와 세 개의 \mathrm{SO}(3) 매개변수로 정의되며, 여섯 개의 자유도를 가진다고 한다. 이 경우 배위 공간 Q=\mathbb{R}^{3}\times\mathrm{SO}(3)는 6차원이며, q\in Q는 단순히 그 공간의 한 점이다. 해당 배위 공간에서 q의 "위치"는 일반화 좌표를 사용하여 설명된다. 따라서 세 개의 좌표는 강체의 질량 중심 위치를 설명할 수 있고, 세 개의 다른 좌표는 그 방향을 설명하는 오일러 각이 될 수 있다. 좌표에 대한 표준적인 선택은 없으며, 질량 중심 대신 강체의 일부 끝점이나 끝점을 선택할 수도 있고, 오일러 각 대신 사원수를 사용할 수도 있다. 그러나 매개변수화는 시스템의 역학적 특성을 변경하지 않는다. 모든 다른 매개변수화는 궁극적으로 동일한 (6차원) 다양체, 즉 가능한 위치 및 방향의 동일한 집합을 설명한다. 일부 매개변수화는 다른 것보다 다루기 쉽고, 좌표 없는 방식으로 작업하여 많은 중요한 진술을 할 수 있다. 좌표 없는 진술의 예로는 접공간 TQ가 점 q\in Q의 속도에 해당하고, 공변접공간 T^*Q가 운동량에 해당한다는 것이다. (속도와 운동량은 연결될 수 있다. 가장 일반적이고 추상적인 경우, 이는 따름 1차 형식이라는 다소 추상적인 개념으로 이루어진다.)
## 로봇 팔
수많은 강체 연결부로 구성된 로봇 팔의 경우, 배위 공간은 각 연결부의 위치(위 섹션에서와 같이 강체로 간주됨)로 구성되며, 연결부들이 서로 어떻게 부착되어 있는지와 허용되는 동작 범위에 대한 제약을 받는다. 따라서 n개의 연결부가 있을 때, 다음과 같은 전체 공간을 고려할 수 있다. \left[\mathbb{R}^3\times \mathrm{SO}(3)\right]^n 그러나 모든 다양한 부착물과 제약은 이 공간의 모든 점에 도달할 수 없음을 의미한다. 따라서 배위 공간 Q는 필연적으로 n개의 강체 배위 공간의 부분 공간이다. 그러나 로봇공학에서 "배위 공간"이라는 용어는 로봇의 말단 효과기가 도달할 수 있는 위치 집합이라는 더 축소된 부분집합을 가리킬 수도 있다.John J. Craig, Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 3rd Ed. Prentice-Hall, 2004 하지만 이 정의는 홀로노미로 설명되는 복잡성을 초래한다. 즉, 특정 말단 효과기 위치를 얻기 위해 로봇 팔을 배열하는 여러 가지 방법이 있을 수 있으며, 말단 효과기를 고정한 채로 로봇 팔을 움직이는 것도 가능하다. 따라서 운동학에 적합한 팔의 완전한 설명은 일부만으로는 안 되고 모든 관절 위치와 각도를 명시해야 한다. 로봇의 관절 매개변수는 배위를 정의하는 일반화 좌표로 사용된다. 관절 매개변수 값의 집합을 관절 공간이라고 한다. 로봇의 정기구학 및 역기구학 방정식은 배위와 말단 효과기 위치 사이, 또는 관절 공간과 배위 공간 사이의 사상을 정의한다. 로봇 운동 계획은 이 매핑을 사용하여 말단 효과기의 배위 공간에서 달성 가능한 경로를 제공하는 관절 공간의 경로를 찾는다.
# 공식 정의
고전역학에서 시스템의 배위는 시스템을 구성하는 모든 점 입자의 위치를 의미한다.page=9
# 위상 공간
배위 공간은 역학계를 완전히 설명하기에 불충분하다. 속도를 고려하지 못하기 때문이다. 시스템에 사용할 수 있는 속도 집합은 시스템의 배위 다양체에 접하는 평면을 정의한다. 점 q\in Q에서 해당 접평면은 T_q Q로 표시된다. 운동량 벡터는 공변접 벡터로 알려진 접평면의 선형 범함수이다. 점 q\in Q의 경우 해당 공변접 평면은 T^{*}_q Q로 표시된다. 역학계의 위치와 운동량 집합은 배위 다양체 Q의 공변접다발 T^*Q를 형성한다. 이 더 큰 다양체를 시스템의 위상 공간이라고 한다.
# 양자 상태 공간
양자역학에서는 배위 공간이 사용될 수 있지만(예: 모트 문제 참조), 고전역학의 위상 공간 확장은 사용할 수 없다. 대신, 양자 상태 공간이라는 유사한 개념에서는 다소 다른 형식주의와 표기법 집합이 사용된다. "점 입자"의 아날로그는 블로흐 구면으로도 알려진 복소 사영선인 \mathbb{C}\mathbf{P}^1의 단일 점이 된다. 양자역학적 파동 함수가 복소 위상을 가지기 때문에 복소수이며, 파동 함수가 단위 확률로 정규화되기 때문에 사영적이다. 즉, 파동 함수 \psi가 주어졌을 때 총 확률 \int\psi^*\psi로 자유롭게 정규화하여 사영적으로 만들 수 있다.