클레인-크라머르스 방정식

물리학과 수학에서 **클레인–크라머르스 방정식**(Klein–Kramers equation) 또는 때로는 **크라머르스–찬드라세카르 방정식**(Kramers–Chandrasekhar equation)first=David은 브라운 운동 입자의 위상 공간 (**r**, **p**)에서 확률 밀도 함수 f (**r**, **p**, t)를 설명하는 편미분 방정식이다.s2cid=33337019isbn=978-0387504988 이것은 포커르-플랑크 방정식의 특수한 경우이다. 하나의 공간 차원에서 f는 스칼라 x, p, t의 세 독립 변수의 함수이다. 이 경우 클레인-크라머르스 방정식은 다음과 같다. \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{p}{m} \frac{\partial f}{\partial x} = \xi \frac{\partial}{\partial p} \left( p \, f \right) + \frac{\partial}{\partial p} \left( \frac{dV}{dx} \, f \right) + m\xi k_{\mathrm{B T \, \frac{\partial^2 f}{\partial p^2} 여기서 V(x)는 외부 포텐셜, m은 입자 질량, ξ는 마찰(항력) 계수, T는 온도, kB는 볼츠만 상수이다. d 공간 차원에서의 방정식은 다음과 같다. \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{m} \mathbf{p} \cdot \nabla_{\mathbf{r f = \xi \nabla_{\mathbf{p \cdot \left( \mathbf{p} \, f \right) + \nabla_{\mathbf{p \cdot \left( \nabla V(\mathbf{r}) \, f \right) + m \xi k_{\mathrm{B T \, \nabla_{\mathbf{p^2 f 여기서 \nabla_{\mathbf{r 및 \nabla_{\mathbf{p는 **r** 및 **p**에 대한 경사 연산자이며, \nabla_{\mathbf{p^2는 **p**에 대한 라플라시안이다. **분수 클레인-크라머르스 방정식**(fractional Klein-Kramers equation)은 분수계 미적분학을 통해 이상 확산을 통합하는 일반화이다.url = https://cds.cern.ch/record/832337
# 물리적 근거
클레인-크라머르스 방정식의 물리적 모델은 과소 감쇠 브라운 입자이다. 과대 감쇠 브라운 운동인 표준 브라운 운동과 달리, 과소 감쇠 브라운 운동은 마찰을 유한하게 취하며, 이 경우 운동량은 독립적인 자유도가 된다. 수학적으로, 입자의 상태는 위치 **r**과 운동량 **p**로 기술되며, 이는 랑주뱅 방정식에 따라 시간에 따라 진화한다. \begin{align} \dot{\mathbf{r &= \frac{\mathbf{p{m} \\\ \dot{\mathbf{p &= -\xi \, \mathbf{p} - \nabla V(\mathbf{r}) + \sqrt{2 m \xi k_{\mathrm{B T} \boldsymbol{\eta}(t), \qquad \langle \boldsymbol{\eta}^{\mathrm{T(t) \boldsymbol{\eta}(t') \rangle = \mathbf{I} \delta(t-t') \end{align} 여기서 \boldsymbol{\eta}(t)는 온도 T의 배경 매질에서 **p**의 열적 요동을 모델링하는 d-차원 가우스 백색 잡음이다. 이 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙과 유사하지만, 잡음 항 \boldsymbol{\eta}(t) 때문에 결정론적이 아닌 추계학적("무작위")이다. 동역학은 또한 확률 밀도 함수 f (**r**, **p**, t)로 설명될 수 있으며, 이는 시간 t에 입자가 위치 **r**에 있고 운동량 **p**를 가질 확률을 나타낸다. 랑주뱅 방정식에서 나오는 추계학적 궤적들을 평균함으로써, f (**r**, **p**, t)가 클레인-크라머르스 방정식을 따른다는 것을 보일 수 있다.
# 자유 공간에서의 해
d-차원 자유 공간 문제는 힘을 0으로 설정하고, 무한대에서 0으로 감소하는 \mathbb{R}^{\mathrm{d에서의 해, 즉 **r** → ∞일 때 f (**r**, **p**, t) → 0인 해를 고려한다. 점원 초기 조건인 1D 자유 공간 문제, f (x, p, 0) = δ(x - x')δ(p - p')의 경우, x와 p에 대한 이변량 가우스 분포인 해는 수브라마니안 찬드라세카르가 1943년에 풀었다 (그는 또한 퍼텐셜이 존재하는 문제들을 풀기 위한 일반적인 방법론을 고안했다):bibcode=1943RvMP...15....1C \begin{align} f(x,p,t) = \frac{1}{2 \pi \sigma_X \sigma_P \sqrt{1-\beta^2 \exp\left( -\frac{1}{2(1-\beta^2)}\left[ \frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2} + \frac{(p-\mu_P)^2}{\sigma_P^2} - \frac{2\beta(x-\mu_X)(p-\mu_P)}{\sigma_X \sigma_P} \right] \right), \end{align} 여기서 \begin{align} &\sigma^2_X = \frac{k_{\mathrm{B T}{m \xi^2} \left[1 + 2 \xi t - \left(2 - e^{-\xi t}\right)^2 \right]; \qquad \sigma^2_P = m k_{\mathrm{B T \left(1 - e^{-2 \xi t} \right) \\\\[1ex] &\beta = \frac{k_\text{B} T}{\xi \sigma_X \sigma_P} \left(1 - e^{-\xi t}\right)^2 \\\\[1ex] &\mu_X = x' + (m \xi)^{-1} \left(1 - e^{-\xi t} \right) p' ; \qquad \mu_P = p' e^{-\xi t}. \end{align} 이 특수 해는 그린 함수 G(x, x', p, p', t)로도 알려져 있으며, 일반 해, 즉 일반적인 초기 조건 f (x, p, 0)에 대한 해를 구성하는 데 사용될 수 있다: f(x, p, t) = \iint G(x, x', p, p', t) f(x',p',0) \, dx' dp' 유사하게, 점원 초기 조건인 3D 자유 공간 문제 f (**r**, **p**, 0) = δ(**r** - **r**') δ(**p** - **p**')는 다음과 같은 해를 갖는다. \begin{align} f(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t) = \frac{1}{\left(2 \pi \sigma_X \sigma_P \sqrt{1 - \beta^2}\right)^3} \exp\left[-\frac{1}{2(1-\beta^2)} \left( \frac{|\mathbf{r} - \boldsymbol{\mu}_X|^2}{\sigma_X^2} + \frac{|\mathbf{p} - \boldsymbol{\mu}_P|^2}{\sigma_P^2} - \frac{2 \beta (\mathbf{r} - \boldsymbol{\mu}_X) \cdot (\mathbf{p} - \boldsymbol{\mu}_P)}{\sigma_X \sigma_P} \right) \right] \end{align} 여기서 \boldsymbol{\mu}_X = \mathbf{r'} + (m \xi)^{-1}(1-e^{-\xi t}) \mathbf{p'}, \boldsymbol{\mu}_P = \mathbf{p'}e^{-\xi t}이며, \sigma_X와 \sigma_P는 1D 해와 같이 정의된다.
## 점근적 행동
특정 조건에서 자유 공간 클레인-크라머르스 방정식의 해는 확산 과정처럼 점근적으로 행동한다. 예를 들어, \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,p,0) \, dp \, dx 0), 오른쪽 경계에서는 음의 절반 (p 0 \\\ \text{unspecified} & p 0이면, 해는 다음과 같다. f(x, w) = \frac{w_0 e^{-w^2/2{\sqrt{2 \pi \left[w_0 - \zeta\left(\frac{1}{2}\right) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{G_{-n}(w_0)}{2nQ_n} + \sum_{n=1}^{\infty} S_n(w_0) G_n(w) e^{-\sqrt{n} z} \right] 여기서 \begin{align} G_{\pm n}(w) &= (-1)^{n} 2^{-n/2} e^{-n} (n!)^{-1/2} e^{\pm \sqrt{n} w} H_n\left(\frac{w}{\sqrt{2 \mp \sqrt{2 n} \right), \qquad n = 1, 2, 3, \ldots \\\\[1ex] S_n(w_0) &= \frac{G_n(w_0)}{2 \sqrt{2 - \frac{1}{2n Q_n} - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{G_{-m}(w_0)}{4 \left(m \sqrt{n} + \sqrt{m} n \right) Q_m Q_n} \\\\[2ex] Q_n &= \lim_{N \to \infty} \sqrt{n!(N-1)!} \; e^{2\sqrt{N n \left[\prod_{r=0}^{N+n-1} \left(\sqrt{r} + \sqrt{n} \right) \right]^{-1} \end{align} 이 결과는 위너-호프 방법으로 얻을 수 있다. 그러나 이 표현의 실제 사용은 계열의 느린 수렴, 특히 w 값이 0에 가까울 때 제한적이다.bibcode = 1991JPhA...24.4677K