라이프니츠 적분 규칙

미적분학 미적분학에서 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 따서 명명된 적분 기호 아래 미분하는 **라이프니츠 적분 규칙**(Leibniz integral rule)은 다음 형식의 적분에 대해 다음과 같이 명시한다. \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt, 여기서 -\infty 0이고 x와 x +h 모두 x0,x1 내에 있는 모든 x 및 h에 대해 다음이 성립한다. \begin{align} \int_x^{x+h} \int_a^b f_x(x,t) \,dt \,dx &= \int_a^b \int_x^{x+h} f_x(x,t) \,dx \,dt \\\\[2ex] &= \int_a^b \left(f(x+h,t) - f(x,t)\right) \,dt \\\\[2ex] &= \int_a^b f(x+h,t) \,dt - \int_a^b f(x,t) \,dt \end{align} f_x(x,t) 는 닫힌 직사각형 [x_0, x_1] \times [a,b] 에서 연속이므로 거기서 균등 연속이기도 하다. 따라서 dt 또는 dx에 의한 적분은 다른 변수에 대해 연속이며 또한 그것에 의해 적분 가능하다(이는 균등 연속 함수에 대해 극한을 적분 기호를 통과시킬 수 있기 때문이며, 아래에서 자세히 설명한다). 따라서: \begin{align} \frac{ \int_a^b f(x+h,t) \,dt - \int_a^b f(x,t) \,dt }{h} &= \frac{1}{h}\int_x^{x+h} \int_a^b f_x(x,t) \,dt \,dx \\\\[2ex] &= \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \end{align} 여기서 다음을 정의했다. F(u) := \int_{x_0}^{u} \int_a^b f_x(x,t) \,dt \,dx (여기서 x0는 x0와 x 사이의 다른 점으로 대체할 수 있다) F는 미분 \int_a^b f_x(x,t) \,dt 를 가지므로, h가 0에 접근하는 극한을 취할 수 있다. 좌변의 이 극한은 다음과 같다. \frac{d}{dx}\int_a^b f(x,t) \, dt 우변에 대해 다음을 얻는다. F'(x) = \int_a^b f_x(x,t) \, dt 따라서 원하는 결과를 증명한다. \frac{d}{dx}\int_a^b f(x,t) \, dt = \int_a^b f_x(x,t) \, dt
### 유계 수렴 정리를 사용한 또 다른 증명
주어진 적분들이 르베그 적분인 경우, 유계 수렴 정리(이 적분들에 대해 유효하지만 리만 적분에는 유효하지 않음)를 사용하여 극한을 적분 기호를 통해 전달할 수 있음을 보일 수 있다. 이 증명은 f_x(x,t)가 르베그 적분 가능함을 보여줄 뿐, 리만 적분 가능함을 보여주지는 않는다는 점에서 약하다. 이전 (더 강력한) 증명에서는 f(x,t)가 리만 적분 가능하면 f_x(x,t)도 리만 적분 가능하고 (따라서 분명히 르베그 적분 가능하기도 하다). 다음을 놓자. 1 미분의 정의에 의해, 2 방정식 (1)을 방정식 (2)에 대입한다. 두 적분의 차는 차이의 적분과 같고, 1/h는 상수이므로, \begin{align} u'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^bf(x + h, t)\,dt - \int_a^b f(x, t)\,dt}{h} \\\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^b\left( f(x + h, t) - f(x,t) \right)\,dt}{h} \\\ &= \lim_{h \to 0} \int_a^b \frac{f(x + h, t) - f(x, t)}{h} \,dt. \end{align} 이제 극한이 적분 기호를 통해 전달될 수 있음을 보인다. 우리는 유계 수렴 정리(지배 수렴 정리의 따름 정리)에 의해 적분 기호 아래에서 극한의 통과가 유효하다고 주장한다. 각 δ > 0에 대해 차분 몫을 고려한다. f_\delta(x, t) = \frac{f(x + \delta, t) - f(x, t)}{\delta}. t를 고정하면 평균값 정리에 의해 구간 [x, x + δ]에 z가 존재하여 다음이 성립한다. f_\delta(x, t) = f_x(z, t). f_x(x, t)의 연속성과 영역의 콤팩트성은 f_x(x, t)가 유계임을 의미한다. 따라서 평균값 정리의 위 적용은 f_\delta(x, t)에 대한 균일한( t와 무관한) 경계를 제공한다. 편미분이 존재한다는 가정에 의해 차분 몫은 편미분 f_x로 점별 수렴한다. 위 논증은 모든 수열 {δn} → 0에 대해 수열 \\{f_{\delta_n}(x, t)\\}가 균일하게 유계이고 f_x로 점별 수렴함을 보여준다. 유계 수렴 정리는 유한 측도 집합의 함수 수열이 균일하게 유계이고 점별 수렴하면 적분 아래에서 극한의 통과가 유효하다고 명시한다. 특히, 극한과 적분은 모든 수열 {δn} → 0에 대해 교환될 수 있다. 따라서 δ → 0일 때의 극한은 적분 기호를 통해 전달될 수 있다. 만약 우리가 적분 가능한 함수 \theta \colon \Omega \to \mathbf{R}가 존재하여 |f_x(x,\omega)| \leq \theta ( \omega)를 만족한다는 것만 알고 있다면, |f_\delta(x, t)| = |f_x(z, t)|\leq \theta(\omega)이고 지배 수렴 정리에 의해 극한을 적분 내부로 옮길 수 있다.
## 변수 한계 형식
하나의 실수 변수의 연속 실수 값 함수 g와 하나의 실수 변수의 미분 가능한 실수 값 함수 f_1 및 f_2 에 대해, \frac{d}{dx} \left( \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt \right )= g\left(f_2(x)\right) {f_2'(x)} - g\left(f_1(x)\right) {f_1'(x)}. 이것은 연쇄 법칙과 미적분학의 제1 기본 정리로부터 따른다. 다음을 정의하자. G(x) = \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \, dt, 그리고 \Gamma(x) = \int_{0}^{x} g(t) \, dt. (하한은 g 의 정의역에 있는 어떤 숫자여야 한다) 그러면 G(x) 는 함수의 합성으로 쓸 수 있다. G(x) = (\Gamma \circ f_2)(x) - (\Gamma \circ f_1)(x) . 연쇄 법칙은 다음을 의미한다. G'(x) = \Gamma'\left(f_2(x)\right) f_2'(x) - \Gamma'\left(f_1(x)\right) f_1'(x). 미적분학의 제1 기본 정리에 의해 \Gamma'(x) = g(x) 이다. 따라서 이 결과를 위에 대입하면 원하는 방정식을 얻는다. G'(x) = g\left(f_2(x)\right) {f_2'(x)} - g\left(f_1(x)\right) {f_1'(x)}. **참고:** 이 형태는 미분할 표현식이 다음과 같을 때 특히 유용할 수 있다. \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} h(x) \, g(t) \,dt h(x)는 적분 한계에 의존하지 않으므로 적분 기호 밖으로 옮길 수 있으며, 곱 규칙과 함께 위 형태를 사용할 수 있다. 즉, \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} h(x)g(t) \,dt \right ) &= \frac{d}{dx} \left(h(x) \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt \right ) \\\ &= h'(x)\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt + h(x) \frac{d}{dx} \left(\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt \right ) \end{align}
## 변수 한계를 포함하는 일반적인 형태
다음을 설정하자. \varphi(\alpha) = \int_a^b f(x,\alpha)\,dx, 여기서 a와 b는 α가 Δα만큼 증가할 때 각각 Δa와 Δb만큼 증가하는 α의 함수이다. 그러면, \begin{align} \Delta\varphi &= \varphi(\alpha + \Delta\alpha) - \varphi(\alpha) \\\\[4pt] &= \int_{a + \Delta a}^{b + \Delta b}f(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx - \int_a^b f(x, \alpha)\,dx \\\\[4pt] &= \int_{a + \Delta a}^af(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx + \int_a^bf(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx + \int_b^{b + \Delta b} f(x, \alpha+\Delta\alpha)\,dx - \int_a^b f(x, \alpha)\,dx \\\\[4pt] &= -\int_a^{a + \Delta a} f(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx + \int_a^b [f(x, \alpha + \Delta\alpha) - f(x,\alpha)]\,dx + \int_b^{b + \Delta b} f(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx. \end{align} 평균값 정리의 한 형태인 \int_a^b f(x)\,dx = (b - a)f(\xi) (a 0에 대해 [a, b]의 모든 x 값에 대해 다음을 만족하는 Δα가 존재한다. |f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)| 0에 대해 다음을 만족하는 Δα가 존재한다. \forall x \in [a, b], \quad \left|\frac{f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha} - \frac{\partial f}{\partial\alpha}\right| 1. \end{cases} 따라서, \left. \arctan\left(\frac{1+\alpha}{1-\alpha}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right|_0^\pi= \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & |\alpha| 1. \end{cases} 그러므로, \frac{d}{d\alpha} \varphi(\alpha)= \begin{cases} 0, & |\alpha| 1. \end{cases} 양변을 \alpha에 대해 적분하면 다음을 얻는다. \varphi (\alpha) = \begin{cases} C_1, & |\alpha| 1. \end{cases} C_{1} = 0은 \varphi (0)을 평가함으로써 얻어진다. \varphi(0) =\int_0^\pi \ln(1)\,dx =\int_0^\pi 0\,dx=0. 같은 방식으로 C_2를 결정하려면 \varphi (\alpha)에 1보다 큰 \alpha 값을 대입해야 한다. 이는 다소 불편하다. 대신 \alpha = \frac{1}{\beta}를 대입하는데, 여기서 |\beta| 1. \end{cases} 위의 논의는 물론 \alpha = \pm 1일 때는 적용되지 않는다. 미분 가능성 조건이 충족되지 않기 때문이다.
### 예시 4
I = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(a\cos^2 x +b\sin^2 x\right)^2}\,dx,\qquad a,b > 0. 먼저 다음을 계산한다. \begin{align} J &= \int_0^{\pi/2} \frac{1}{a\cos^2 x + b \sin^2 x} dx \\\\[6pt] &= \int_0^{\pi/2} \frac{\frac{1}{\cos^2 x{a + b \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x dx \\\\[6pt] &= \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x}{a +b \tan^2 x} dx \\\\[6pt] &= \frac{1}{b} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(\sqrt{\frac{a}{b\right)^2+\tan^2 x}\,d(\tan x) \\\\[6pt] &= \left.\frac{1}{\sqrt{ab\arctan \left(\sqrt{\frac{b}{a\tan x\right) \right|_0^{\pi/2} \\\\[6pt] &= \frac{\pi}{2\sqrt{ab. \end{align} 적분 한계가 a에 독립적이므로 다음이 성립한다. \frac{\partial J}{\partial a}=-\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\left(a\cos^2 x+b \sin^2 x\right)^2}\,dx 다른 한편으로: \frac{\partial J}{\partial a}= \frac{\partial}{\partial a} \left(\frac{\pi}{2\sqrt{ab\right) =-\frac{\pi}{4\sqrt{a^3b. 이 두 관계를 등치시키면 다음이 나온다. \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\left(a \cos^2 x+b \sin^2 x\right)^2}\,dx=\frac{\pi}{4\sqrt{a^3b. 유사하게, \frac{\partial J}{\partial b}를 구하면 다음이 나온다. \int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2 x}{\left(a\cos^2 x+b\sin^2 x\right)^2}\,dx = \frac{\pi}{4\sqrt{ab^3. 두 결과를 더하면 다음이 나온다. I = \int_0^{\pi/2}\frac{1}{\left(a\cos^2x+b\sin^2x\right)^2}\,dx=\frac{\pi}{4\sqrt{ab\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right), 원하는 대로 I를 계산한다. 이 유도는 일반화될 수 있다. 다음을 정의하면 I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(a\cos^2 x+b\sin^2 x\right)^n}\,dx, 다음이 쉽게 증명될 수 있다. (1-n) I_n = \frac{\partial I_{n-1{\partial a} + \frac{\partial I_{n-1{\partial b} I_1이 주어지면, 이 적분 축소 공식을 사용하여 n > 1인 모든 I_n 값을 계산할 수 있다. I 및 J와 같은 적분은 바이어슈트라스 치환을 사용하여 처리할 수도 있다.
### 예시 5
여기서 우리는 적분을 고려한다. I(\alpha) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln (1+\cos\alpha \cos x)}{\cos x}\,dx, \qquad 0 0일 때는 적분 기호 아래 미분을 정당화하기 쉽지만, 결과 공식이 \alpha = 0일 때도 유효하다는 것을 증명하려면 세심한 작업이 필요하다.
## 무한급수
적분 기호 아래 미분의 측도론적 버전은 합을 셈측도로 해석함으로써 (유한 또는 무한) 합에도 적용된다. 응용의 한 예시는 멱급수가 수렴 반경 내에서 미분 가능하다는 사실이다.
## 오일러-라그랑주 방정식
라이프니츠 적분 규칙은 변분법에서 오일러-라그랑주 방정식을 유도하는 데 사용된다.
# 대중문화에서
적분 기호 아래 미분은 고(故) 물리학자 리처드 파인만의 베스트셀러 회고록 파인만 씨, 농담도 잘하시네!의 "다른 도구 상자"라는 장에서 언급된다. 그는 고등학교 시절 매사추세츠 공과대학교의 수학 교수였던 프레데릭 S. 우즈의 오래된 교과서 "고등 미적분학"(1926)에서 이 기술을 배웠다고 설명한다. 파인만이 나중에 공식적인 미적분학 교육을 받았을 때는 이 기술이 자주 가르쳐지지 않았지만, 이 기술을 사용하여 파인만은 프린스턴 대학교 대학원에 입학했을 때 다른 어려운 적분 문제들을 해결할 수 있었다.

> 내가 결코 배우지 못한 한 가지는 경로적분법이었다. 나는 고등학교 물리 선생님인 베이더 씨가 주신 책에 나와 있는 다양한 방법으로 적분을 하는 법을 배웠다. 어느 날 그는 나에게 수업 후에 남으라고 했다. "파인만," 그가 말했다. "너는 너무 말이 많고 너무 시끄러워. 왜 그런지 알아. 지루해서 그래. 그래서 내가 너에게 책을 줄게. 저기 뒤쪽 구석에 가서 이 책을 공부하고, 이 책에 있는 모든 것을 알게 되면 다시 말해도 돼." 그래서 모든 물리 수업 시간에 나는 파스칼의 법칙이나 그들이 하고 있는 다른 어떤 것에도 주의를 기울이지 않았다. 나는 이 책과 함께 뒤쪽에 있었다: "고등 미적분학", 우즈 저. 베이더는 내가 "실용인을 위한 미적분학"을 조금 공부했다는 것을 알고 있었기 때문에 나에게 진짜 작품을 주었다 – 그것은 대학의 3학년 또는 4학년 과정용이었다. 거기에는 푸리에 급수, 베셀 함수, 행렬식, 타원함수 등 내가 아무것도 모르는 온갖 멋진 것들이 있었다. 그 책은 또한 적분 기호 아래 매개변수를 미분하는 방법 – 일종의 연산 – 을 보여주었다. 그것은 대학에서는 그다지 많이 가르쳐지지 않는다; 그들은 그것을 강조하지 않는다. 하지만 나는 그 방법을 사용하는 법을 터득했고, 그 빌어먹을 도구를 계속해서 사용했다. 그래서 그 책으로 독학을 했기 때문에 나는 특이한 적분 방법을 가지고 있었다. 그 결과, MIT나 프린스턴의 친구들이 특정 적분을 하는 데 어려움을 겪었을 때, 그것은 그들이 학교에서 배운 표준 방법으로는 할 수 없었기 때문이었다. 만약 그것이 경로 적분이었다면 그들은 그것을 찾았을 것이다; 만약 그것이 간단한 급수 전개였다면 그들은 그것을 찾았을 것이다. 그리고 나서 나는 적분 기호 아래에서 미분하는 것을 시도했고, 종종 그것이 통했다. 그래서 나는 적분을 잘하는 것으로 명성을 얻었는데, 이는 단지 내 도구 상자가 다른 모든 사람의 도구 상자와 달랐기 때문이었고, 그들은 나에게 문제를 주기 전에 그들의 모든 도구를 이미 사용해 보았기 때문이다.

# 추가 자료
*chapter-url=https://archive.org/details/advancedcalculus0000amaz/page/155 *pages=285–288