갈루아 이론의 기본 정리

수학에서 **갈루아 이론의 기본 정리**(Fundamental theorem of Galois theory)는 특정 유형의 체의 확대의 구조를 군과 관련하여 설명하는 결과이다. 이 정리는 에바리스트 갈루아가 갈루아 이론을 개발하면서 증명했다. 가장 기본적인 형태로, 이 정리는 유한 확대이며 갈루아 확대인 체의 확대 E/F가 주어졌을 때, 중간 필드와 갈루아 군의 부분군 사이에 일대일 대응이 존재한다고 주장한다. (중간 필드는 F \subseteq K \subseteq E를 만족하는 체 K이며, E/F의 부분 확대라고도 불린다.)
# 대응의 명시적 설명
유한 확대의 경우, 대응은 다음과 같이 명시적으로 설명할 수 있다. * \text{Gal}(E/F)의 모든 부분군 H에 대해, 해당 고정체 E^{H} 는 H의 모든 자기 동형 사상에 의해 고정되는 E의 원소들의 집합이다. * E/F의 모든 중간 필드 K에 대해, 해당 부분군은 \text{Aut}(E/K) 이며, 이는 K의 모든 원소를 고정하는 \text{Gal}(E/F) 의 자기 동형 사상 집합이다. 기본 정리는 E/F가 갈루아 확대일 때 (그리고 그 경우에만) 이 대응이 일대일 대응이라고 말한다. 예를 들어, 가장 상위 필드 E는 \text{Gal}(E/F) 의 자명군에 대응하고, 기본 필드 F는 전체 군 \text{Gal}(E/F)에 대응한다. \text{Gal}(E/F) 표기는 갈루아 확대에만 사용된다. 만약 E/F가 갈루아라면, \text{Gal}(E/F) = \text{Aut}(E/F) 이다. 만약 E/F가 갈루아가 아니라면, "대응"은 \\{\text{Aut}(E/F)\text{의 부분군}\\}에서 \\{E/F\text{의 부분필드}\\}로의 단사 함수 (하지만 전사 함수는 아님)만 제공하며, 역방향으로는 전사 함수 (하지만 단사 함수는 아님)를 제공한다. 특히, E/F가 갈루아가 아니라면, F는 \text{Aut}(E/F)의 어떤 부분군의 고정체도 아니다.
# 대응의 속성
이 대응은 다음과 같은 유용한 속성을 가지고 있다. * 포함 관계를 반전시킨다. 부분군의 포함 관계 H_{1} \subseteq H_{2} 는 필드의 포함 관계 E^{H_{1 \supseteq E^{H_{2 가 성립하는 경우에만 성립한다. * 확대의 차수는 포함 관계를 반전시키는 속성과 일관된 방식으로 군의 위수와 관련된다. 구체적으로, H가 \text{Gal}(E/F) 의 부분군이라면, |H| = \left[E : E^{H}\right] 이고 \left|\text{Gal}(E/F)\right| / |H| = \left[E^{H} : F\right] 이다. * 필드 E^{H}가 F의 정규 확대 (또는, 분해 가능 확대의 부분 확대는 모두 분해 가능하므로, 갈루아 확대)가 되는 것은 H가 \text{Gal}(E/F) 의 정규 부분군인 경우에만 해당된다. 이 경우, \text{Gal}(E/F) 의 원소들을 E^{H}로 제한하는 것은 \text{Gal}(E^{H} / F) 와 몫군 \text{Gal}(E/F) / H 사이에 군 동형 사상을 유도한다.
# 예시 1
K/\Q의 부분 필드 격자 (왼쪽)와 \text{Gal}(K/\Q)의 부분군 격자 (역전) 필드 :K = \Q\left (\sqrt{2}, \sqrt{3} \right) = \left [\Q(\sqrt{2}) \right ]\\!(\sqrt{3}). 을 고려하자. K는 기본 필드 \mathbb Q에 2와 3을 첨가하여 구성되었으므로, K의 각 원소는 다음과 같이 쓸 수 있다: :( a + b \sqrt{2}) + ( c + d \sqrt{2}) \sqrt{3},\qquad a,b,c,d \in \Q. 갈루아 군 G = \text{Gal}(K/\Q)는 a를 고정하는 K의 자기 동형 사상들로 구성된다. 이러한 자기 동형 사상들은 모든 기약 다항식의 근을 순열하므로, 2를 2 또는 2로 보내고, 3을 3 또는 3로 보내야 한다. f가 2와 2를 교환한다고 가정하면, :f\left((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\sqrt{3}\right)=(a-b\sqrt{2})+(c-d\sqrt{2})\sqrt{3}=a-b\sqrt{2}+c\sqrt{3}-d\sqrt{6}, 이고, g가 3와 3을 교환하면, :g\left((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\sqrt{3}\right)=(a+b\sqrt{2})-(c+d\sqrt{2})\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}-c\sqrt{3}-d\sqrt{6}. 이들은 K의 덧셈과 곱셈을 존중하는 자기 동형 사상임이 분명하다. 각 원소를 고정하는 항등 자기 동형 사상 e도 있으며, f와 g의 합성으로 두 근호의 부호를 모두 바꾸는 자기 동형 사상이 있다: :(fg)\left((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\sqrt{3}\right)=(a-b\sqrt{2})-(c-d\sqrt{2})\sqrt{3}=a-b\sqrt{2}-c\sqrt{3}+d\sqrt{6}. 갈루아 군의 위수는 체의 확대 차수와 같으므로, |G| = [K:\mathbb{Q}]=4이므로 더 이상의 자기 동형 사상은 있을 수 없다: :G = \left\\{1, f, g, fg\right\\}, 이것은 클라인 4원군과 동형이다. 이 군의 5개 부분군은 기본 필드 \mathbb Q와 확대 K 사이의 중간 필드에 대응한다. * 자명 부분군 {1}은 전체 확대 필드 K에 대응한다. * 전체 군 G는 기본 필드 \Q에 대응한다. * 부분군 {1, f}는 f가 3을 고정하므로 부분 필드 \Q(\sqrt{3})에 대응한다. * 부분군 {1, g}는 g가 2를 고정하므로 부분 필드 \Q(\sqrt{2})에 대응한다. * 부분군 {1, fg}는 fg가 6을 고정하므로 부분 필드 \Q(\sqrt{6})에 대응한다.
# 예시 2
K/\Q의 부분 필드 격자 (왼쪽)와 \text{Gal}(K/\Q)의 부분군 격자 (역전) 다음은 갈루아 군이 아벨 군이 아닌 가장 간단한 경우이다. \Q 상의 기약 다항식 x^3-2의 분해체 K를 고려하자. 즉, K = \Q(\theta,\omega)이며, 여기서 θ는 2의 세제곱근이고, ω는 1의 세제곱근 (그러나 1 자체는 아님)이다. K를 복소수 안에서 고려하면, \theta=\sqrt[3]{2}는 2의 실수 세제곱근이고, \omega = -\tfrac{1}2 + i\tfrac{\sqrt3}2로 취할 수 있다. ω의 최소 다항식은 x^2+x+1이므로, 확대 \mathbb{Q}\subset K의 차수는 다음과 같다: [\,K:\mathbb{Q}\,]=[\,K:\mathbb{Q}(\,\theta\,)\,]\cdot[\,\mathbb{Q}(\,\theta\,):\mathbb{Q}\,] = 2\cdot 3 = 6, 이전 예시와 같이 \Q-기저 \\{1,\theta, \theta^2, \omega,\omega\theta,\omega\theta^2\\}를 가진다. 따라서 갈루아 군 G=\mathrm{Gal}(K/\Q)는 6개의 원소를 가지며, x^3-2의 세 근의 모든 순열에 의해 결정된다:

> \alpha_1=\theta, \ \alpha_2=\omega\theta, \ \alpha_3=\omega^2\theta.

그러한 순열은 3! = 6개만 존재하므로, G는 세 객체의 모든 순열의 대칭군 (군론)과 동형이어야 한다. 이 군은 다음으로 정의되는 두 자기 동형 사상 f와 g에 의해 생성될 수 있다: :f(\theta) = \omega \theta, \quad f(\omega) = \omega, :g(\theta) = \theta, \quad g(\omega) = \omega^2, 그리고 G = \left\\{ 1, f, f^2, g, gf, gf^2 \right\\}이며, 관계 f^3=g^2=(gf)^2=1을 따른다. \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3의 순열로서의 효과는 (순환 표기법으로): f=(123), g = (23)이다. 또한, g는 복소수 켤레 매핑으로 간주될 수 있다. G의 부분군과 해당하는 부분 필드는 다음과 같다: * 항상 그렇듯이, 자명군 {1}은 전체 필드 K에 대응하고, 전체 군 G는 기본 필드 \Q에 대응한다. * 위수 3의 유일한 부분군 H = \\{1, f, f^2\\}는 차수 2의 부분 필드 \Q(\omega)에 대응한다. 이는 이 부분군의 G에서의 부분군의 지표가 2이기 때문이다. 즉, [\Q(\omega):\Q]=\tfrac{|G|}{|H|}=2. 또한, 이 부분군은 정규 부분군이므로, 이 부분 필드는 \Q에 대한 정규 확대이며, x^2+x+1의 분해체이다. 기본 필드에 대한 그 갈루아 군은 몫군 G/H = \\{[1],[g]\\}이며, 여기서 [g]는 H를 법으로 하는 g의 잉여류를 나타낸다. 즉, 유일한 비자명 자기 동형 사상은 복소수 켤레 g이다. * 위수 2의 부분군이 세 개 있다: \\{1, g\\}, \\{1, gf\\}, \\{1, gf^2\\}. 이들은 각각 부분 필드 \Q(\theta), \Q(\omega \theta), \Q(\omega^2\theta )에 대응한다. 이 부분 필드들은 G에서 부분군의 지표가 3이므로 \Q에 대한 차수가 3이다. 이 부분군들은 G에서 정규가 아니므로, 이 부분 필드들은 \Q에 대한 갈루아 또는 정규가 아니다. 사실, 각 부분 필드는 근 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 중 단 하나만 포함하므로, 비자명 자기 동형 사상이 없다.
# 예시 3
λ에 대한 유리 함수 체를 E=\Q(\lambda)라고 하고, 다음 자기 동형 군을 고려하자: :G = \left\\{\lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda-1}{\lambda}, \frac{1}{\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda-1}, 1-\lambda \right\\} \subset \mathrm{Aut}(E); 여기서 자기 동형 사상 \phi:E\to E 를 그 값 \phi(\lambda) 로 나타내며, f(\lambda)\mapsto f(\phi(\lambda)) 이다. 이 군은 S_3와 동형이다 (여섯 개의 비조화비 참조). F를 G의 고정체라고 하자. 그러면 {\rm Gal}(E/F) = G이다. H가 G의 부분군이면, 다항식 : P(T) := \prod_{h \in H} (T - h) \in E[T] 의 계수들이 H의 고정체를 생성한다. 갈루아 대응은 E/F의 모든 부분 필드가 이런 식으로 구성될 수 있음을 의미한다. 예를 들어, H = \\{\lambda, 1-\lambda\\}일 때 고정체는 \Q( \lambda(1-\lambda))이고, H = \\{\lambda, \tfrac{1}{\lambda}\\}일 때 고정체는 \Q(\lambda + \tfrac{1}{\lambda})이다. G의 고정체는 기본 필드 F=\Q(j)이며, 여기서 j는 모듈러 람다 함수로 표현된 j-불변량이다:

> j = \frac{256(1-\lambda(1-\lambda))^3}{(\lambda(1-\lambda))^2} = \frac{256(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2 (1-\lambda)^2} \ .

유사한 예시는 정다면체의 대칭군 각각에 대해 구성될 수 있는데, 이들은 사영 직선 \mathbb{P}^1(\Complex)과 따라서 \Complex(x)에 대한 충실한 작용을 가지기 때문이다.
# 예시 4
여기서 우리는 갈루아 확대가 아닌 유한 확대 E/F의 예를 제공하며, 이를 통해 E/F가 갈루아 확대가 아닐 때 갈루아 이론(의 기본 정리)이 더 이상 작동하지 않음을 보여준다. E=\Q(\sqrt[3]{2})이고 F=\Q라고 하자. 그러면 E/F는 유한 확대이지만, F에 대한 분해체는 아니다 ( \sqrt[3]{2}의 최소 다항식이 E에 포함되지 않는 두 개의 복소근을 가지기 때문이다). 임의의 f \in G = \mathrm{Gal}(E/F)는 f(\sqrt[3]{2})에 의해 완전히 결정되며, 2 = f(\sqrt[3]{2})^3 \implies f = 1 이므로, G=\\{1\\}는 자명군이다. 특히, |G| = 1 < 3 = [E:F]이다. 이는 E/F가 갈루아 확대가 아님을 보여준다. 이제, G는 자신만을 유일한 부분군으로 가진다. F=\Q를 포함하는 유일한 중간 필드는 E=\Q(\sqrt[3]{2})이다. 따라서 갈루아 대응은 실패한다.
# 응용
이 정리는 E/F의 중간 필드를 군론의 관점에서 분류한다. 이 중간 필드와 부분군 사이의 변환은 일반 오차 방정식이 근으로 풀 수 없음을 보여주는 핵심이다 (아벨-루피니 정리 참조). 먼저 근호 확대 (F의 어떤 원소의 n제곱근인 α를 포함하는 F(α) 형태의 확대)의 갈루아 군을 결정한 다음, 기본 정리를 사용하여 가해 확대가 가해군에 대응함을 보여준다. 쿠머 이론 및 유체론과 같은 이론들은 기본 정리에 기반을 두고 있다.
# 무한 경우
무한 대수적 확대가 주어졌을 때, 그것이 정규적이고 분해 가능하면 여전히 갈루아 확대라고 정의할 수 있다. 무한 경우에 직면하는 문제는, 일반적으로 부분군이 너무 많기 때문에 기본 정리의 전단사가 성립하지 않는다는 것이다. 보다 정확하게 말하면, 모든 부분군을 취하면 일반적으로 동일한 중간 필드를 고정하는 두 개의 다른 부분군을 찾을 수 있다. 따라서 우리는 갈루아 군에 위상을 도입하여 이를 수정한다. E/F를 갈루아 확대 (무한할 수도 있음)라고 하고, G = \text{Gal}(E/F)를 확대의 갈루아 군이라고 하자. \text{Int}_\text{F}(E/F) = \\{G_i = \text{Gal}(L_i/F)~|~L_i/F \text{는 유한 갈루아 확대이고 } L_i \subseteq E\\}를 모든 유한 중간 갈루아 확대의 갈루아 군 집합이라고 하자. 모든 i \in I에 대해 \varphi_i : G \rightarrow G_i를 \sigma \mapsto \sigma_{|L_i}로 정의할 수 있음에 유의하라. 그런 다음 G에 크룰 위상을 정의하는데, 이는 모든 i \in I에 대해 매핑 \varphi_i : G \rightarrow G_i가 연속이 되도록 하는 가장 약한 위상이다. 여기서 각 G_i에는 이산 위상을 부여한다.. 다르게 말하면 G \cong \varprojlim G_i는 위상군의 사영 극한이다 (여기서 각 G_i에는 다시 이산 위상을 부여한다). 이것은 G를 사유한군으로 만든다 (사실 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군으로 실현될 수 있다. 예를 들어isbn=978-3-642-01641-7 참조). E/F가 유한일 때 크룰 위상은 이산 위상이라는 점에 유의하라. 이제 갈루아 군에 위상을 정의했으므로 무한 갈루아 확대에 대한 기본 정리를 다시 기술할 수 있다. \mathcal{F}(E/F)를 E/F의 모든 중간 필드 확대 집합이라고 하고, \mathcal{C}(G)를 크룰 위상이 부여된 G = \text{Gal}(E/F)의 모든 닫힌 부분군 집합이라고 하자. 그러면 다음 매핑에 의해 \mathcal{F}(E/F)와 \mathcal{C}(G) 사이에 전단사 함수가 존재한다: : \Phi : \mathcal{F}(E/F) \rightarrow \mathcal{C}(G) L \mapsto \text{Gal}(E/L)로 정의되고 다음 매핑에 의해 : \Gamma : \mathcal{C}(G) \rightarrow \mathcal{F}(E/F) N \mapsto \text{Fix}_E(N) := \\{a \in E~|~\sigma(a) = a \text{ for all } \sigma \in N\\}로 정의된다. 확인해야 할 중요한 점은 \Phi가 잘 정의된 매핑이라는 것이다. 즉, \Phi(L)이 모든 중간 필드 L에 대해 G의 닫힌 부분군이라는 것이다. 이는 Ribes–Zalesskii, 정리 2.11.3에서 증명되었다.
# 추가 자료
*isbn=979-8-218-07399-2