22/7가 π를 초과한다는 증명

DISPLAYTITLE:22/7가 pi를 초과한다는 증명 이것은 완벽한 22/7 원이 아닌데, 22/7이 파이를 완벽하게 나타내지 못하기 때문이다. 원주율 유리수 7가 Pi (파이)보다 크다는 수학적 증명은 고대로부터 전해져 왔다. 이러한 증명 중 하나는 비교적 최근에 개발되었지만 미적분학의 기본적인 기술만을 필요로 하며, 그 수학적 우아성과 디오판토스 근사 이론과의 연관성 때문에 현대 수학에서 주목을 받았다. 스티븐 루카스는 이 증명을 "Pi를 근사하는 것과 관련된 더 아름다운 결과 중 하나"라고 부른다. 줄리안 해빌은 Pi의 연분수 근사에 대한 논의를 이 결과로 마무리하며, 이 맥락에서 "언급하지 않을 수 없는" 것으로 묘사한다. 이 증명의 주된 목적은 독자들에게 7 7)가 실제로 Pi보다 크다는 것을 납득시키는 것이 아니다. Pi 값을 계산하는 체계적인 방법은 존재한다. 만약 Pi가 약 3.14159라는 것을 안다면, Pi Pi이다. 이 적분의 계산은 1968년 퍼트넘 대회의 첫 문제였다. 이것은 대부분의 퍼트넘 대회 문제보다 쉽지만, 이 대회는 종종 매우 친숙한 것을 가리키는 것처럼 보이는 난해한 문제들을 특징으로 한다. 이 적분은 인도 공과대학교 입학 시험에서도 사용되었다.2010 IIT Joint Entrance Exam, question 41 on page 12 of the mathematics section.
# 적분 계산의 세부 사항
적분이 양수인 것은 피적분 함수가 비음수라는 사실에서 따른다. 분모는 양수이고 분자는 음이 아닌 수들의 곱이다. 또한 피적분 함수가 적분 범위 내의 적어도 한 지점, 예를 들어 2에서 엄격하게 양수임을 쉽게 확인할 수 있다. 피적분 함수는 그 지점에서 연속이고 다른 곳에서는 음이 아니므로, 0에서 1까지의 적분은 엄격하게 양수여야 한다. 적분이 실제로 원하는 양과 같다는 것을 보이는 것이 남았다. : \begin{align} 0 & < \int_0^1\frac{x^4\left(1-x\right)^4}{1+x^2}\, dx \\\\[8pt] & = \int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\, dx & \text{분자 항의 전개} \\\\[8pt] & = \int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \, dx & \text{ 다항식 장제법 사용} & \\\\[8pt] & = \left.\left(\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+ x^5- \frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan{x}\right)\,\right|_0^1 & \text{정적분} \\\\[6pt] & = \frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\quad & \text{where }\arctan(1) = \frac{\pi}{4} \text{ and } \arctan(0) = 0 \\\\[8pt] & = \frac{22}{7}-\pi. & \text{덧셈} \end{align} ( 다항식 장제법을 참조하라.)
# 빠른 상한과 하한
1944에서는 분모에 x 대신 1을 대입하면 적분의 하한을 얻고, 분모에 x 대신 0을 대입하면 상한을 얻을 수 있다고 지적했다.. :\frac{1}{1260} = \int_0^1\frac{x^4 \left(1-x\right)^4}{2}\,dx < \int_0^1\frac{x^4 \left(1-x\right)^4}{1+x^2}\,dx < \int_0^1\frac{x^4 \left(1-x\right)^4}{1}\,dx = {1 \over 630}. 따라서 다음을 얻는다. :\frac{22}{7} - \frac{1}{630} < \pi < \frac{22}{7} - \frac{1}{1260}, 그러므로 소수 전개에서 3.1412 < Pi < 3.1421이다. 이 한계는 Pi와 0.015% 미만으로 차이 난다. 또한 1971을 참조하라..
# 355/113가 Pi를 초과한다는 증명
2005에서 논의된 바와 같이, 잘 알려진 디오판토스 근사이자 훨씬 더 나은 Pi의 상한 추정치인 113는 다음 관계에서 비롯된다. :0<\int_0^1\frac{x^8\left(1-x\right)^8\left(25+816x^2\right)}{3164\left(1+x^2\right)}\,dx=\frac{355}{113}-\pi. :\frac{355}{113}= 3.141\,592\,92\ldots, 여기서 소수점 이하 첫 여섯 자리 숫자는 Pi의 것과 일치한다. 분모에 x 대신 1을 대입하면 하한을 얻는다. :\int_0^1\frac{x^8\left(1-x\right)^8\left(25+816x^2\right)}{6328}\,dx =\frac{911}{5\,261\,111\,856} = 0.000\,000\,173\ldots, 분모에 x 대신 0을 대입하면 이 값의 두 배가 상한이 되므로, :\frac{355}{113}-\frac{911}{2\,630\,555\,928}<\pi<\frac{355}{113}-\frac{911}{5\,261\,111\,856}\,. 소수 전개로 보면, 이것은 **3.141** **592** 57 < pi < **3.141** **592** 74를 의미하며, 하한과 상한의 굵은 숫자는 Pi의 숫자이다.
# 확장
위의 아이디어는 Pi에 대한 더 나은 근사를 얻기 위해 일반화될 수 있다. 또한 1995 및 2005 (두 참고문헌 모두 계산은 제공되지 않음)를 참조하라. 명시적인 계산을 위해서는 모든 정수 n ≥ 1에 대해 다음을 고려하라. : \frac1{2^{2n-1\int_0^1 x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx <\frac1{2^{2n-2\int_0^1\frac{x^{4n}(1-x)^{4n{1+x^2}\,dx <\frac1{2^{2n-2\int_0^1 x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx, 여기서 중간 적분은 다음으로 평가된다. :\begin{align} \frac1{2^{2n-2 & \int_0^1\frac{x^{4n}(1-x)^{4n{1+x^2}\,dx\\\\[6pt] = {} & \sum_{j=0}^{2n-1}\frac{(-1)^j}{2^{2n-j-2}(8n-j-1)\binom{8n-j-2}{4n+j +(-1)^n\left(\pi-4\sum_{j=0}^{3n-1}\frac{(-1)^j}{2j+1}\right) \end{align} Pi를 포함한다. 마지막 합은 라이프니츠의 Pi 공식에도 나타난다. 보정 항과 오차 한계는 다음과 같이 주어진다. :\begin{align}\frac1{2^{2n-1\int_0^1 x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx &=\frac{1}{2^{2n-1}(8n+1)\binom{8n}{4n\\\\[6pt] &\sim\frac{\sqrt{\pi n{2^{10n-2}(8n+1)}, \end{align} 여기서 중심이항계수의 근사(물결표는 양변의 몫이 큰 n에 대해 1로 수렴한다는 것을 의미함)는 스털링 근사에서 따르며, 적분들이 Pi로 빠르게 수렴함을 보여준다. 이러한 적분들의 계산: 모든 정수 k ≥ 0 및 ℓ ≥ 2에 대해 다음이 성립한다. :\begin{align} x^k(1-x)^\ell&=(1-2x+x^2)x^k(1-x)^{\ell-2}\\\\[6pt] &=(1+x^2)\,x^k(1-x)^{\ell-2}-2x^{k+1}(1-x)^{\ell-2}. \end{align} 이 공식을 2n번 재귀적으로 적용하면 다음을 얻는다. :x^{4n}(1-x)^{4n} =\left(1+x^2\right)\sum_{j=0}^{2n-1}(-2)^jx^{4n+j}(1-x)^{4n-2(j+1)}+(-2)^{2n}x^{6n}. 또한, :\begin{align} x^{6n}-(-1)^{3n} &=\sum_{j=1}^{3n}(-1)^{3n-j}x^{2j}-\sum_{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}\\\\[6pt] &=\sum_{j=0}^{3n-1}\left((-1)^{3n-(j+1)} x^{2(j+1)}-(-1)^{3n-j}x^{2j}\right)\\\\[6pt] &=-(1+x^2)\sum_{j=0}^{3n-1} (-1)^{3n-j}x^{2j}, \end{align} 첫 번째 등식은 1 ≤ j ≤ 3n – 1에 대한 항들이 상쇄되기 때문에 성립하고, 두 번째 등식은 첫 번째 합에서 지수 이동 j → j + 1에서 비롯된다. 이 두 결과를 적용하면 다음을 얻는다. :\begin{align}\frac{x^{4n}(1-x)^{4n{2^{2n-2}(1+x^2)} =\sum_{j=0}^{2n-1} & \frac{(-1)^j}{2^{2n-j-2x^{4n+j}(1-x)^{4n-2j-2}\\\\[6pt] & {} -4\sum_{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}+(-1)^{3n}\frac4{1+x^2}.\qquad(1) \end{align} 정수 k, ℓ ≥ 0에 대해, 부분 적분을 ℓ번 사용하여 다음을 얻는다. :\begin{align} \int_0^1x^k(1-x)^\ell\,dx &=\frac \ell{k+1}\int_0^1x^{k+1}(1-x)^{\ell-1}\,dx\\\\[6pt] &\,\,\,\vdots\\\\[6pt] &=\frac \ell{k+1} \frac{\ell-1}{k+2}\cdots\frac1{k+\ell}\int_0^1x^{k+\ell}\,dx\\\\[6pt] &=\frac{1}{(k+\ell+1)\binom{k+\ell}{k.\qquad(2) \end{align} k = ℓ = 4n으로 설정하면 다음을 얻는다. :\int_0^1 x^{4n} (1-x)^{4n}\,dx = \frac{1}{(8n+1)\binom{8n}{4n. 방정식 (1)을 0부터 1까지 방정식 (2)와 4를 사용하여 적분하면 Pi를 포함하는 주장된 방정식을 얻는다. n = 1에 대한 결과는 위에 주어져 있다. n = 2에 대해서는 다음을 얻는다. :\frac14\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8}{1+x^2}\,dx=\pi -\frac{47\,171}{15\,015} 그리고 :\frac18\int_0^1 x^8(1-x)^8\,dx=\frac1{1\,750\,320}, 따라서 **3.141** **592** 31 < pi < **3.141** **592** 89이며, 하한과 상한의 굵은 숫자는 Pi의 숫자이다. 비슷하게 n = 3에 대해서는, :\frac1{16}\int_0^1\frac{x^{12}\left(1-x\right)^{12{1+x^2}\,dx= \frac{431\,302\,721}{137\,287\,920}-\pi 보정 항과 오차 한계는 다음과 같다. :\frac1{32}\int_0^1 x^{12} (1-x)^{12}\,dx=\frac1{2\,163\,324\,800}, 따라서 **3.141** **592** **653** 40 < pi < **3.141** **592** **653** 87이다. n = 4에 대한 다음 단계는 다음과 같다. :\frac1{64}\int_0^1\frac{x^{16} (1-x)^{16{1+x^2}\,dx= \pi-\frac{741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800} 와 함께 :\frac1{128}\int_0^1 x^{16} (1-x)^{16}\,dx=\frac1{2\,538\,963\,567\,360}, 이는 **3.141** **592** **653** **589** 55 < pi < **3.141** **592** **653** **589** 96를 제공한다.
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