폰 노이만 안정성 분석

수치해석학에서 **폰 노이만 안정성 분석**(Von Neumann stability analysis, **푸리에 안정성 분석**으로도 알려짐)은 선형 편미분 방정식에 적용되는 유한 차분법의 안정성을 확인하는 데 사용되는 절차이다.Analysis of Numerical Methods by E. Isaacson, H. B. Keller 이 분석은 수치 오차의 푸리에 분해에 기반하며, 영국인 연구자 존 크랭크와 필리스 니콜슨이 1947년 논문에서 간략하게 설명한 후 로스앨러모스 국립연구소에서 개발되었다. 이 방법은 지배 방정식을 정의하는 함수가 현재 시간에 평가되는 명시적 시간 적분의 한 예이다. 후에 이 방법은 존 폰 노이만이 공동 저술한 논문에서 더 엄밀하게 다루어졌다.
# 수치 안정성
수치 기법의 안정성은 수치 오차와 밀접하게 관련되어 있다. 유한 차분 기법은 계산의 한 시간 단계에서 발생한 오차가 계산이 계속됨에 따라 확대되지 않으면 안정적이다. 중립적으로 안정된 기법은 계산이 진행됨에 따라 오차가 일정하게 유지되는 기법이다. 오차가 감소하고 결국 사라지면 수치 기법은 안정적이라고 한다. 반대로 오차가 시간에 따라 증가하면 수치 기법은 불안정하다고 한다. 폰 노이만 안정성 분석을 수행하여 수치 기법의 안정성을 조사할 수 있다. 시간 종속 문제의 경우, 정확한 미분 방정식의 해가 유계일 때마다 수치 방법이 유계 해를 생성한다는 것을 안정성이 보장한다. 안정성은 일반적으로 조사하기 어려울 수 있으며, 특히 고려 중인 방정식이 비선형일 때 더욱 그렇다. 특정 경우, 폰 노이만 안정성은 Lax–Richtmyer 의미에서의 안정성(즉, Lax 등가 정리에서 사용되는 안정성)에 필요충분조건이다. 여기서 PDE와 유한 차분 기법 모델은 선형이고, PDE는 주기적 경계 조건을 갖는 상수 계수이며, 두 개의 독립 변수만 가지고, 기법은 두 개 이하의 시간 단계를 사용한다. 폰 노이만 안정성은 훨씬 더 다양한 경우에 필요하다. 상대적인 단순성 때문에 기법에 사용되는 단계 크기에 대한 제한(있는 경우)을 추정하기 위해 더 상세한 안정성 분석 대신 자주 사용된다.
# 방법 설명
폰 노이만 방법은 오차를 푸리에 급수로 분해하는 것에 기반한다. 절차를 설명하기 위해, 1차원 열 방정식 \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 를 공간 간격 L에서 고려하고, 다음 표기법을 사용한다. u_j^n = u(x_j,t^n) 여기서 x_j는 특정 x 값이고, t^n는 t 값의 순서이다. 열 방정식은이 경우 FTCS 이산화 기법을 사용한다. 다음과 같이 이산화할 수 있다. 1 여기서 r = \frac{\alpha\, \Delta t}{\left( \Delta x \right)^2} 그러면 이산 방정식의 해 u_j^{n}는 그리드에서 PDE의 해석적 해 u(x,t)를 근사한다. 반올림 오차 \epsilon_j^n를 다음과 같이 정의한다. \epsilon_j^n = N_j^n - u_j^n 여기서 u_j^n는 반올림 오차가 없는 경우 계산될 이산 방정식 (1)의 해이고, N_j^n는 부동소수점 정밀도 산술에서 얻은 수치 해이다. 정확한 해 u_j^n는 이산 방정식을 정확하게 만족해야 하므로, 오차 \epsilon_j^n도 이산 방정식을 만족해야 한다.year = 1994 여기서 우리는 N_j^n도 방정식을 만족한다고 가정했다 (이는 기계 정밀도에서만 사실이다). 따라서 2 는 오차에 대한 재귀 관계이다. 방정식 (1)과 (2)는 오차와 수치 해 모두 시간에 대해 동일한 성장 또는 감쇠 거동을 보임을 보여준다. 주기적 경계 조건을 갖는 선형 미분 방정식의 경우, 오차의 공간적 변화는 간격 L에서 x에 대한 유한 푸리에 급수로 다음과 같이 확장될 수 있다. 3 여기서 파수 k_m = \frac{\pi m}{L}이며 m = -M,\dots,-2,-1,0,1,2,\dots,M이고 M = L/\Delta x이다. 오차의 시간 의존성은 오차 진폭 E_m이 시간의 함수라고 가정하여 포함된다. 종종 오차가 시간에 따라 지수적으로 성장하거나 감소한다고 가정하지만, 이는 안정성 분석에 필수적인 것은 아니다. 경계 조건이 주기적이지 않으면, x에 대한 유한 푸리에 적분을 사용할 수 있다. 4 오차에 대한 차분 방정식은 선형이므로(급수의 각 항의 거동은 급수 자체와 동일하다), 일반적인 항의 오차 성장을 고려하는 것으로 충분하다. 5a 푸리에 급수가 사용되는 경우 또는 5b 푸리에 적분이 사용되는 경우. 푸리에 급수는 푸리에 적분의 특수한 경우로 간주될 수 있으므로, 푸리에 적분 표현식을 사용하여 전개를 계속한다. 안정성 특성은 일반성을 잃지 않고 오차에 대한 이 형태를 사용하여 연구할 수 있다. 오차가 시간 단계에서 어떻게 변하는지 알아보기 위해, 다음을 주목한 후 방정식 (5b)를 방정식 (2)에 대입한다. \begin{align} \epsilon_j^n & = E_m(t) e^{ik_m x} \\\ \epsilon_j^{n+1} & = E_m(t+\Delta t) e^{ik_m x} \\\ \epsilon_{j+1}^n & = E_m(t) e^{ik_m (x+\Delta x)} \\\ \epsilon_{j-1}^n & = E_m(t) e^{ik_m (x-\Delta x)}, \end{align} (단순화 후) 6 \theta = k_m \Delta x \in [-\pi,\pi]를 도입하고 항등식 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)= \frac{e^{i \theta/2} - e^{-i \theta/2{2i} \qquad \rightarrow \qquad \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\frac{ e^{i \theta} + e^{-i\theta} - 2 }{4} 를 사용하면 방정식 (6)은 다음과 같이 작성될 수 있다. 7 증폭 계수 8 를 정의한다. 오차가 유계로 유지되기 위한 필요충분조건은 | G | \leq 1.이다. 따라서 방정식 (7)과 (8)로부터 안정성 조건은 다음과 같이 주어진다. 9 항 4 r \sin^2 (\theta /2)는 항상 양수임을 주목한다. 따라서 방정식 (9)를 만족하려면 다음이 필요하다. 10 위 조건이 모든 m (따라서 모든 \sin^2 (\theta /2))에 대해 유지되려면, 사인 함수 항이 취할 수 있는 가장 높은 값은 1이며, 이 특정 선택에 대해 상한 조건이 만족되면 모든 격자점에서 만족될 것이다. 따라서 다음을 얻는다. 11 방정식 (11)는 1차원 열 방정식에 적용된 FTCS 기법의 안정성 요구 사항을 제공한다. 이는 주어진 \Delta x에 대해 \Delta t의 허용 값이 방정식 (10)를 만족할 만큼 충분히 작아야 함을 의미한다. 유사한 분석은 선형 이류에 대한 FTCS 기법이 무조건 불안정하다는 것을 보여준다.