복소화

수학에서, 실수 체 스칼라를 가진 선형 공간 V("실수 선형 공간")의 **복소화**는 복소수 체에 대한 선형 공간 V^{\C}를 구성하며, 벡터의 실수 스칼라를 복소수 범위 까지 형식적으로 확장하여 얻은 것이다. 실 선형 공간 V에 대한 모든 기저는 또한 복소 선형 공간 V^{\C}에 대한 기저 역할을 할 수 있다.
# 정의
V가 실 선형 공간이라 하자. V의 복소화는 V와 2차원 실 선형 공간으로서의 복소수 공간의 텐서 곱으로 정의된다. : V^{\Complex}: = V\otimes_{\R} \Complex\,. 텐서 곱에서 아래 첨자 \R은 텐서 곱이 실수 위에서 이뤄짐을 나타낸다.(V는 실 선형 공간이므로 어쨌든 이것이 유일하게 합리적인 선택이므로 아래 첨자는 혼동의 여지 없이 생략할 수 있다.) 현재 상태 그대로, V^{\Complex} 는 실 선형 공간이다. 그러나, 복소수 곱셈을 다음과 같이 정의하여 V^{\Complex}를 복소 선형 공간으로 변환한다: : \alpha(v \otimes \beta) = v\otimes(\alpha\beta)\qquad\mbox{ for all } v\in V \mbox{ and }\alpha,\beta \in \Complex. 보다 일반적으로, 복소화는 스칼라 확대의 예이다. 여기서는 실수에서 복소수로 스칼라를 확장한다. 이는 모든 체 확대 또는 환의 모든 사상에 대해 수행될 수 있다. 범주론적으로, 복소화는 실 선형 공간의 범주에서 복소 선형 공간의 범주로 가는 함자 Vect**R** → Vect**C**이다. 이것은 복소 구조를 잊어 버린 망각 함자 Vect**C** → Vect**R**에 대한 왼쪽 수반 함자이다. 복소 선형 공간 V의 복소 구조에 대한 이러한 망각은 **실수화**라고 부른다. 기저 e_{\mu} 를 가진 복소 선형 공간 V의 실수화는 복소수 스칼라 곱을 없애버리고 \\{e_{\mu}, ie_{\mu}\\}를 기저로 하여 차원을 두배로 만든다.
# 기본적 성질들
텐서 곱의 특성상 V^{\Complex}의 모든 벡터 v는 다음과 같은 형식으로 유일하게 쓸 수 있다: : v = v_1\otimes 1 + v_2\otimes i 여기서 v_1와 v_2는 V의 벡터이다. 텐서 곱 기호를 버리고 그냥 쓰는 것이 일반적이다. : v = v_1 + iv_2.\, 복소수 a+bi에 의한 곱셈은 일반적인 규칙에 의해 주어진다. : (a+ib)(v_1 + iv_2) = (av_1 - bv_2) + i(bv_1 + av_2).\, 그런 다음 V^{\Complex}를 두 V의 직합으로 볼 수 있다: : V^{\Complex} \cong V \oplus i V 복소수에 의한 곱셈에 대한 위의 규칙을 사용한다. 다음과 같이 주어진 V^{\Complex}에 V의 자연스러운 매장이 있다. : v\mapsto v\otimes 1. 그러면 선형 공간 V를 V^{\Complex}의 실수 부분 공간으로 볼 수 있다. V(실수 체에 대해) 기저 \\{e_{i}\\}를 갖는 경우 V^{\Complex}에 대한 해당 기저는 복소수 체에 대해 \\{e_{i}\otimes1\\}로 주어진다. 따라서 V^{\Complex}의 복소 차원은 V의 실수 차원과 같다. : \dim_{\Complex} V^{\Complex} = \dim_{\R} V. 또는 텐서 곱을 사용하는 대신 이 직합을 복소화의 정의로 사용할 수 있다. : V^{\Complex} := V \oplus V, 여기서 V^{\Complex}는 J(v,w) := (-w,v)과 같이 정의된 연산자 J에 의해 선형 복소 구조가 제공된다. 여기서 J는 "i에 의한 곱셈" 연산을 의미한다. 행렬 형식으로 J는 다음과 같다: : J = \begin{bmatrix}0 & -I_V \\\ I_V & 0\end{bmatrix}. 이것은 공간을 다르게 구성하지만 동일한 공간을 생성한다. 선형 복소 구조를 가진 실 선형 공간은 복소 선형 공간과 동일하다. 따라서, V^{\Complex}는 V \oplus JV 또는 V \oplus i V로 쓸 수 있다. V는 직합의 첫 번째 성분으로 식별한다. 이 접근법은 더 구체적이고 기술적으로 관련된 텐서 곱의 사용을 피하는 이점이 있지만 임시적이다.
# 예
* 실수 좌표 공간 \R^n의 복소화는 복소 좌표 공간 \C^n이다. * 마찬가지로, V가 실수 성분이 포함된 m\times n 행렬로 구성된 경우 V^{\Complex}는 복소수 성분이 포함된 m\times n 행렬로 구성된다.
# 딕슨 배환
\R에서 \C로 이동하는 복소화 과정은 레너드 딕슨을 비롯한 20세기 수학자에 의해 추상화되었다. 하나는 항등사상 x^*=x을 \R 에 대한 자명한 대합으로 사용하는 것으로 시작한다. 다음으로 \R의 두 복사본을 사용하여, 복소 켤레는 z^*=(a,-b)를 사용하여 z=(a,b)를 형성한다. 배가 된 집합의 두 원소 w와 z는 다음과 같이 곱한다. : w z = (a,b) \times (c,d) = (ac\ - \ d^*b,\ da \ + \ b c^*). 마지막으로, 배가 된 집합에는 **노름** N(z):=z^*z가 주어진다. 항등 대합을 사용하여 \R에서 시작할 때 배가 된 집합은 노름 a^2+b^2를 사용하는 \C이다. \C를 두 배로 하고 켤레 (a,b)^*=(a^*,-b)를 사용하면 사원수를 생성한다. 다시 두 배로 하면 케일리 수라고도 하는 팔원수가 생성된다. 1919년 딕슨이 대수적 구조를 밝히는 데 기여한 것은 바로 이 시점이었다. 이 과정은 \C와 자명한 대합 1=*z** = *z* 로 시작할 수도 있다. 생성된 노름은 \R 두 배로 하여 \C 를 생성하는 것과는 달리 단순히 *z*2이다. 이 \C가 2배가 되면 쌍복소수이고, 2배가 되면 쌍사원수이고, 다시 2배가 되면 쌍팔원수이다. 기본이 되는 대수가 결합적일 때, 이 케일리-딕슨 구성에 의해 생성된 대수는 합성 대수라고 불린다. 왜냐하면 다음과 같은 성질이 있기 때문이다. : N(p\,q) = N(p)\,N(q)\,.
# 복소 켤레
복소화된 선형 공간 V^{\Complex}는 일반적인 복소 선형 공간보다 더 많은 구조를 가지고 있다. 표준 복소 켤레 사상과 함께 제공된다. : \chi : V^{\Complex} \to \overline{V^{\Complex, : \chi는 V^{\Complex}\rightarrow V^{\Complex}인 켤레 선형 사상 또는 V^{\Complex} \to \overline{V^{\Complex인 복소 선형 동형 사상으로 볼 수 있다. 반대로 복소수 켤레 \chi를 갖는 복소 선형 공간 W이 주어지면 W는 실 부분공간의 복소화 V^{\Complex}에 대한 복소 선형 공간과 동형이다. : V = \\{ w \in W : \chi(w) = w \\}. 즉, 켤레 복소수가 있는 모든 복소 선형 공간은 실 선형 공간의 복소화이다. 예를 들어, W=\C^n일 때 표준 복소 켤레 : \chi(z_1,\ldots,z_n) = (\bar z_1,\ldots,\bar z_n) 의 불변 부분공간 V는 단순히 실 부분공간 \R^n이다.
# 선형 변환
두 실 선형 공간 사이에 주어진 실 선형 변환 f:V\rightarrow W에 대해 자연 복소 선형 변환 : f^{\Complex} : V^{\Complex} \to W^{\Complex} 이 있다. 여기서 : f^{\Complex}(v\otimes z) = f(v)\otimes z. 사상 f^{\Complex}는 f의 **복소화**라고 한다. 선형 변환의 복소화는 다음 성질을 갖는다: * (\mathrm{id}_V)^{\Complex} = \mathrm{id}_{V^{\Complex * (f \circ g)^{\Complex} = f^{\Complex} \circ g^{\Complex} * (f+g)^{\Complex} = f^{\Complex} + g^{\Complex} * (a f)^{\Complex} = a f^{\Complex} \quad \forall a \in \R 범주론에서 복소화는 실 선형 공간 범주에서 복소 선형 공간 범주로 가는 (가산) 함자를 정의한다고 말한다. 사상 f^{\Complex}는 켤레와 사용하여 교환하므로 V^{\Complex}의 실 부분 공간을 W^{\Complex}의 실 부분 공간에 사상한다 (사상 *f* 를 통해). 또한 복소 선형 사상 g:V^{\C}\rightarrow W^{\C}는 오직 켤레로 교환하는 경우에만 실 선형 사상의 복소화이다. 예를 들어 n\times m 행렬로 생각되는 선형 변환 \R^n\rightarrow \R^m을 고려하자. 해당 변환의 복소화는 정확히 동일한 행렬이지만 \C^n\rightarrow \C^m인 선형 사상으로 여겨진다.
# 쌍대 공간과 텐서 곱
실 선형 공간 V의 쌍대공간은 V\rightarrow \R인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간 V^*이다. V^*의 복소화는 당연히 V\rightarrow \C인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간\text{Hom}_{\R}(V,\C)으로 생각할 수 있다. 즉,(V^*)^{\Complex} = V^*\otimes \Complex \cong \mathrm{Hom}_{\Reals}(V,\Complex). 동형은 다음과 같이 주어진다.(\varphi_1\otimes 1 + \varphi_2\otimes i) \leftrightarrow \varphi_1 + i \varphi_2 여기서 \varphi_1, \varphi_2는 V^*의 원소이다. 그런 다음 일반적인 작업에 의해 복소 켤레가 제공된다.\overline{\varphi_1 + i\varphi_2} = \varphi_1 - i \varphi_2. 주어진 실 선형 사상 \varphi:V\rightarrow\C에 대해 복소 선형 사상 \varphi:V^{\C}\rightarrow\C를 얻기 위해 선형으로 확대할 수 있다. 즉,\varphi(v\otimes z) = z\varphi(v). 이 확대는 \text{Hom}_{\R}(V,\C)에서 \text{Hom}_{\C}(V^{\C},\C)까지의 동형 사상을 제공한다. 후자는 단지 V^{\Complex}에 대한 복소 쌍대 공간이므로, 다음과 같은 자연스러운 동형사상이 있다:(V^*)^{\Complex} \cong (V^{\Complex})^*. 더 일반적으로, 실 선형 공간 V와 W가 주어지면 자연스러운 동형사상\mathrm{Hom}_{\Reals}(V,W)^{\Complex} \cong \mathrm{Hom}_{\Complex}(V^{\Complex},W^{\Complex}) 이 있다. 복소화는 또한 텐서 곱, 외승 및 대칭승을 취하는 작업과 교환한다. 예를 들어, V와 W가 실 선형 공간인 경우 자연스러운 동형사상(V \otimes_{\Reals} W)^{\Complex} \cong V^{\Complex} \otimes_{\Complex} W^{\Complex}\, 이 있다. 왼쪽 텐서 곱은 실수를 인계받는 반면 오른쪽 텐서 곱은 복소수를 인계한다. 일반적으로 동일한 패턴이 적용된다. 예를 들어, 하나는(\Lambda_{\Reals}^k V)^{\Complex} \cong \Lambda_{\Complex}^k (V^{\Complex}). 모든 경우에 동형사상은 "자명한" 동형사상이다.