그린버거-혼-차일링거 상태

물리학의 양자 정보 이론 분야에서 **그린버거-혼-차일링거 상태**(Greenberger–Horne–Zeilinger state, **GHZ state**)는 최소 세 개의 하위 시스템([[입자] 상태, 큐비트, 또는 큐디트)을 포함하는 얽힌 양자 상태이다. 이 상태를 처음 기술한 세 저자의 이름을 따서 명명된 GHZ 상태는 모든 고전적인 국소적 숨은 변수 이론의 예측과 직접적으로 모순되는 실험 결과를 예측한다. 이 상태는 양자 컴퓨팅에 응용된다.
# 역사
4-입자 버전은 1989년 대니얼 그린버거, 마이클 혼 및 안톤 차일링거에 의해 처음 연구되었다.bibcode = 2007arXiv0712.0921G 다음 해 애브너 시모니가 합류하여 데이비드 머민의 제안을 바탕으로 3-입자 버전을 발표했다.doi-access=frees2cid=119911419s2cid=17416262 이러한 상태에 대한 실험 측정은 국소성과 인과율에 대한 직관적인 개념과 모순된다. 많은 수의 큐비트에 대한 GHZ 상태는 다른 큐비트 중첩 상태에 비해 계측 성능을 향상시키는 것으로 이론화되었다.bibcode=2018PhRvA..97d2337E
# 정의
GHZ 상태는 3개의 큐비트에 대한 얽힌 양자 상태이며 다음과 같이 쓸 수 있다: |\mathrm{GHZ}\rangle = \frac{|000\rangle + |111\rangle}{\sqrt{2. 여기서 큐비트의 0 또는 1 값은 두 물리적 상태에 해당한다. 예를 들어, 두 상태는 물리적 축을 따라 스핀 다운 및 스핀 업에 해당할 수 있다. 물리학 응용에서 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다: |\mathrm{GHZ}\rangle = \frac{|1,1,1\rangle + |-1,-1,-1\rangle}{\sqrt{2. 여기서 상태의 번호 매기기는 스핀 고유값을 나타낸다. GHZ 상태의 또 다른 예는 얽힌 상태에 있는 세 개의 광자이며,isbn=978-0-374-23966-4 좌표계에 대해 모든 수평 편광 (HHH) 또는 모든 수직 편광 (VVV)의 중첩 상태에 있다. GHZ 상태는 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다: :|\mathrm{GHZ}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2(|\mathrm{HHH}\rangle+|\mathrm{VVV}\rangle). 측정 이전에 광자들의 편광은 불확정하다. 두 채널 편광자를 사용하여 광자 중 하나에 대해 좌표계 축에 정렬된 측정을 수행하면 각 방향이 50% 확률로 관찰된다. 그러나 상태에 대한 세 가지 측정 결과 모두 동일한 결과를 제공한다: 세 편광 모두 동일한 축을 따라 관찰된다.
## 일반화
일반화된 GHZ 상태는 M > 2 하위 시스템의 얽힌 양자 상태이다. 각 시스템이 d 차원을 가지고, 즉 국소 힐베르트 공간이 \mathbb{C}^d와 동형인 경우, M-부분 시스템의 전체 힐베르트 공간은 \mathcal{H}_{\rm tot}=(\mathbb{C}^d)^{\otimes M}이다. 이 GHZ 상태는 M-부분 큐디트 GHZ 상태라고도 불린다. 텐서곱 형식의 공식은 다음과 같다: :|\mathrm{GHZ}\rangle=\frac{1}{\sqrt{d\sum_{i=0}^{d-1}|i\rangle\otimes\cdots\otimes|i\rangle=\frac{1}{\sqrt{d(|0\rangle\otimes\cdots\otimes|0\rangle+\cdots+|d-1\rangle\otimes\cdots\otimes|d-1\rangle). 각 하위 시스템이 2차원인 경우, 즉 M 큐비트의 집합인 경우, 다음과 같이 읽힌다: :|\mathrm{GHZ}\rangle = \frac{|0\rangle^{\otimes M} + |1\rangle^{\otimes M{\sqrt{2.
# GHZ 실험
양자 컴퓨팅 언어에서 각 광자의 편광 상태는 큐비트이며, 이 큐비트의 기저는 다음과 같이 선택할 수 있다: :|0\rangle \equiv |\mathrm{H}\rangle, \qquad |1\rangle \equiv |\mathrm{V}\rangle. |\mathrm{H}\rangle 및 |\mathrm{V}\rangle에 대해 적절히 선택된 위상 요소를 사용하면 실험에 사용된 두 가지 유형의 측정 모두 파울리 측정이 되며, 두 가지 가능한 결과는 각각 +1 및 −1로 나타낸다: * 45° 선형 편광자는 파울리 X 측정을 구현하며, 다음과 같은 고유 상태를 구별한다: :|{+X}\rangle \equiv |+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2(|\mathrm{H}\rangle + |\mathrm{V}\rangle), \qquad |{-X}\rangle \equiv |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2(|\mathrm{H}\rangle - |\mathrm{V}\rangle). * 원형 편광자는 파울리 Y 측정을 구현하며, 다음과 같은 고유 상태를 구별한다: :|{+Y}\rangle \equiv |R\rangle = \frac{1}{\sqrt{2(|\mathrm{H}\rangle + i|\mathrm{V}\rangle), \qquad |{-Y}\rangle \equiv |L\rangle = \frac{1}{\sqrt{2(|\mathrm{H}\rangle - i|\mathrm{V}\rangle). 세 큐비트 각각에 대한 이러한 측정의 조합은 파괴적인 다중 큐비트 파울리 측정으로 간주될 수 있으며, 그 결과는 각 단일 큐비트 파울리 측정의 곱이다. 예를 들어, "광자 1 및 2에 원형 편광자, 광자 3에 45° 선형 편광자" 조합은 Y_1Y_2X_3 측정에 해당하며, 네 가지 가능한 결과 조합 (RL+, LR+, RR−, LL−)은 전체 결과가 -1에 해당하는 조합과 정확히 일치한다. GHZ 실험의 양자 역학적 예측은 다음과 같이 요약될 수 있다: :\langle\mathrm{GHZ}|Y_1Y_2X_3|\mathrm{GHZ}\rangle = \langle\mathrm{GHZ}|Y_1X_2Y_3|\mathrm{GHZ}\rangle = \langle\mathrm{GHZ}|X_1Y_2Y_3|\mathrm{GHZ}\rangle = -1, :\langle\mathrm{GHZ}|X_1X_2X_3|\mathrm{GHZ}\rangle = +1, 이는 양자 역학에서 일관성이 있다. 왜냐하면 이 모든 다중 큐비트 파울리 연산자는 서로 교환 가능하고, :Y_1Y_2X_3 \cdot Y_1X_2Y_3 \cdot X_1Y_2Y_3 \cdot X_1X_2X_3 = -1 는 X와 Y 사이의 반교환성 때문이다. 이러한 결과는 모든 국소적 숨은 변수 이론에서 모순을 야기한다. 국소적 숨은 변수 이론에서는 각 측정이 숨은 변수에 의해 결정되는 확정적인 (고전적인) 값 x_i, y_i = \pm 1을 가져야 하기 때문이다. :y_1y_2x_3 \cdot y_1x_2y_3 \cdot x_1y_2y_3 \cdot x_1x_2x_3 = x_1^2 x_2^2 x_3^2 y_1^2 y_2^2 y_3^2 은 +1이 되어야 하며, -1이 되어서는 안 된다.s2cid=119911419 실제 실험 결과는 국소적 실재론의 예측이 아니라 양자 역학의 예측과 일치한다.s2cid=4309261
# 특성
서로 변환될 수 없는 다른 유형의 다중 부분 얽힘이 존재하기 때문에 다중 부분 얽힘에 대한 표준적인 측정은 없다. 그럼에도 불구하고 많은 측정들은 GHZ 상태를 최대 얽힘 상태로 정의한다. GHZ 상태의 또 다른 중요한 특성은 세 시스템 중 하나에 대해 부분 대각합을 취하면 다음과 같은 결과가 나온다는 것이다. :\operatorname{Tr}_3\left[\left(\frac{|000\rangle + |111\rangle}{\sqrt{2\right)\left(\frac{\langle 000|+\langle 111|}{\sqrt{2\right) \right] = \frac{(|00\rangle \langle 00| + |11\rangle \langle 11|)}{2}, 이는 얽히지 않은 혼합 상태이다. 이는 특정 이입자(큐비트) 상관 관계를 가지지만, 이들은 고전적인 본질을 지닌다. 반면에 우리가 하위 시스템 중 하나를 0과 1 상태를 구별하는 방식으로 측정한다면, 우리는 얽히지 않은 순수 상태인 |00\rangle 또는 |11\rangle 중 하나를 남길 것이다. 이것은 하위 시스템 중 하나를 측정하더라도 이분할 얽힘을 남기는 W 상태와는 다르다. N개 당사자들의 순수 상태 |\psi\rangle는, 당사자들을 비어 있지 않고 서로소인 두 부분 집합 A와 B로 나눌 수 있고 A \cup B = \\{1,\dots,N\\}이며 |\psi\rangle = |\phi\rangle_A \otimes |\gamma\rangle_B를 만족하는 경우에 이분할 가능하다고 불린다. 즉, |\psi\rangle는 분할 A|B에 대한 곱 상태이다. GHZ 상태는 이분할 불가능하며, 3-큐비트 상태 중 국소 양자 연산으로는 서로 변환될 수 없는 (심지어 확률적으로도) 두 이분할 불가능한 클래스 중 하나를 대표하며, 다른 하나는 W 상태, |\mathrm{W}\rangle = (|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)/\sqrt{3}이다.s2cid=59577352903 따라서 |\mathrm{GHZ}\rangle와 |\mathrm{W}\rangle는 세 개 이상의 입자에 대한 매우 다른 종류의 얽힘을 나타낸다. W 상태는 어떤 의미에서는 GHZ 상태보다 "덜 얽혀" 있지만, 그 얽힘은 단일 입자 측정에 대해 어떤 의미에서는 더 견고하다. N-큐비트 W 상태의 경우, 단일 입자 측정 후에도 얽힌 (N-1)-큐비트 상태가 남는다. 이와 대조적으로 GHZ 상태에 대한 특정 측정은 이를 혼합 또는 순수 상태로 붕괴시킨다. GHZ 상태에 대한 실험은 놀라운 비고전적 상관 관계(1989)를 보여준다. 이 상태로 준비된 입자들은 유명한 EPR 역설에서 소개된 "실재의 요소" 개념과의 내부적 불일치를 보여주는 벨 부등식의 한 버전을 이끌어낸다. GHZ 상관 관계의 첫 번째 실험실 관측은 안톤 차일링거 그룹(1998)에 의해 이루어졌으며, 그는 이 연구로 2022년 노벨 물리학상을 공동 수상했다.website=The Nobel Prize 더 정확한 관측들이 많이 이어졌다. 이러한 상관 관계는 일부 양자 정보 작업에 활용될 수 있다. 여기에는 다자간 양자 암호(1998) 및 통신 복잡성 작업(1997, 2004)이 포함된다.
# 쌍별 얽힘
세 번째 입자에 대한 GHZ 상태 측정이 두 상태를 구별하면 얽히지 않은 쌍이 되지만, 직교 방향으로 측정하면 최대 얽힘 벨 상태가 남을 수 있다. 이는 아래에서 설명된다. 3-큐비트 GHZ 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다. :|\mathrm{GHZ}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\left(|000\rangle + |111\rangle\right) = \frac{1}{2}\left(|00\rangle + |11\rangle \right) \otimes |+\rangle + \frac{1}{2}\left(|00\rangle - |11\rangle\right) \otimes |-\rangle, 여기서 세 번째 입자는 X 기저에서 중첩으로 쓰여진다 (Z 기저와 달리) |0\rangle = (|+\rangle + |-\rangle)/\sqrt{2} 및 |1\rangle =( |+\rangle - |-\rangle)/\sqrt{2}로. 세 번째 입자에 대한 X 기저를 따른 GHZ 상태의 측정은 |+\rangle가 측정되면 |\Phi^+\rangle =(|00\rangle + |11\rangle)/\sqrt{2}를 산출하고, |-\rangle가 측정되면 |\Phi^-\rangle=(|00\rangle - |11\rangle)/\sqrt{2}를 산출한다. 후자의 경우, 측정 결과에 따라 위상을 Z 양자 게이트를 적용하여 회전시켜 |\Phi^+\rangle를 얻을 수 있으며, 전자의 경우에는 추가적인 변환이 적용되지 않는다. 두 경우 모두, 연산의 결과는 최대 얽힘 벨 상태이다. 이 예시는 GHZ 상태의 어떤 측정이 이루어지는지에 따라 처음 보이는 것보다 더 미묘하다는 것을 보여준다: 직교 방향을 따른 측정 후 측정 결과에 의존하는 양자 변환은 최대 얽힘 상태를 남길 수 있다.
# 응용
GHZ 상태는 양자 암호(퀀텀 시크릿 쉐어링) 또는 양자 비잔틴 합의와 같은 양자 통신 및 암호화의 여러 프로토콜에 사용된다.