르장드르 세 제곱수 정리

수론에서, **르장드르 세 제곱수 정리**(Legendre’s three-square theorem)는 양의 정수 n이 세 정수의 제곱의 합일 필요충분조건은 n이 4^a(8k+7)의 꼴이 아닌 것이라는 정리이다. 이 정리의 모든 알려진 증명은 페르마 두 제곱수 정리나 라그랑주 네 제곱수 정리의 증명보다 어렵다. 이는 브라마굽타-피보나치 항등식이나 오일러의 네 제곱수 항등식과 유사한 항등식이 세 제곱수에서는 존재하지 않기 때문이다. 즉, 세 정수의 제곱의 합과 세 정수의 제곱의 합의 곱은 세 정수의 제곱의 합이 아닐 수 있다. 이 정리의 표준적인 증명은 다음과 같은 수론의 결과들을 사용한다. * 행렬식이 1인 모든 정수 계수 3항 양의 정부호 형식은 항상 세 변수의 제곱의 합과 정수 계수 동치이다. 이는 에르미트 축소를 사용하여 보일 수 있다. * 디리클레 등차수열 정리. 이에 따르면 첫 수와 항들의 차가 서로소인 등차수열에 무한히 많은 소수들이 포함되어 있다. 다만 이 정리의 증명에서는 하나 이상의 소수가 포함되어 있다는 사실만을 사용한다. * 이차 상호 법칙 아드리앵마리 르장드르가 처음 증명하였다. 카를 프리드리히 가우스는 르장드르와 독립적으로 이 정리의 더 강한 형태를 증명하였다. 표준적인 증명은 페터 구스타프 르죈 디리클레가 제시하였다.
# 정의
**르장드르 세 제곱수 정리**에 따르면, 임의의 양의 정수 n에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * n=x^2+y^2+z^2인 세 정수 x,y,z가 존재한다. * 임의의 음이 아닌 정수 a 및 정수 k에 대하여, n\ne 4^a(8k+7) 세 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 없는 (즉, n=4^a(8k+7)의 꼴인) 양의 정수의 열은 다음과 같다. :7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, 79, 87, 92, 95, … A004215. 부제=필요조건 양의 정수 n=x^2+y^2+z^2이 세 정수의 제곱의 합이며 4\mid n이라고 하자. 그렇다면 :x^2+y^2+z^2\equiv0\pmod4 :x^2\equiv0,1\pmod4 :y^2\equiv0,1\pmod4 :z^2\equiv0,1\pmod4 이므로 :x^2\equiv y^2\equiv z^2\equiv0\pmod4 이다. 즉, x,y,z는 모두 짝수이다. 따라서 n/4=(x/2)^2+(y/2)^2+(z/2)^2도 세 정수의 제곱의 합이다. 수학적 귀납법에 따라, 만약 n이 세 정수의 제곱의 합이며 a가 4^a\mid n인 음이 아닌 정수라면, n/4^a도 세 정수의 제곱의 합이다. 따라서, 만약 n이 세 정수의 제곱의 합이라면 n\not\equiv7\pmod8임을 보이면 충분하다. n=x^2+y^2+z^2이라고 하자. 그렇다면 :x^2\equiv0,1,4\pmod8 :y^2\equiv0,1,4\pmod8 :z^2\equiv0,1,4\pmod8 이므로 :x^2+y^2+z^2\not\equiv7\pmod8 이다. 증명 끝 부제=충분조건 만약 n=x^2+y^2+z^2이 세 정수의 제곱의 합이라면, 임의의 음이 아닌 정수 a에 대하여 4^an=(2^ax)^2+(2^ay)^2+(2^az)^2도 자명하게 세 정수의 제곱의 합이다. 따라서, 만약 n\not\equiv0\pmod4이며 n\not\equiv7\pmod8이라면 n이 세 정수의 제곱의 합임을 보이면 충분하다. 행렬식이 1인 모든 정수 계수 3항 양의 정부호 형식은 정수 계수 3항 이차 형식 x^2+y^2+z^2과 정수 계수 동치이다. (이는 행렬식이 1인 정수 계수 3항 양의 정부호 형식의 에르미트 축소가 다름 아닌 x^2+y^2+z^2이기 때문이다.) 또한, 서로 정수 계수 동치인 두 정수 계수 이차 형식이 나타내는 정수들은 자명하게 일치한다. 따라서, :n=Q(x,y,z) :\det Q=1 인 정수 계수 3항 양의 정부호 형식 Q와 세 정수 x,y,z를 찾으면 충분하다. Q가 다음과 같은 꼴 :Q(x',y',z')=a{x'}^2+2bx'y'+2x'z'+c{y'}^2+n{z'}^2 인 경우만을 생각하자. (a,b,c는 정수.) 이 경우 자명하게 n=Q(0,0,1)이다. 따라서, :a>0 :d=\begin{vmatrix}a & b \\\ b & c\end{vmatrix}=ac-b^2>0 :\det Q=\begin{vmatrix}a & b & 1 \\\ b & c & 0 \\\ 1 & 0 & n\end{vmatrix}=nd-c=1 인 계수 a,b,c를 찾으면 충분하다. n\ge2인 경우 두 번째 부등식과 세 번째 부등식은 첫 번째 부등식을 함의한다. (실제로 c=nd-1>0이며 ac>b^2>0이다.) 따라서 첫 번째 부등식은 생략하여도 좋다. 따라서 :d=a(nd-1)-b^2 인 정수 a,b와 양의 정수 d를 찾으면 충분하다. 즉, :-d\equiv b^2\pmod{nd-1} 의 정수해 b가 존재하게 만드는 양의 정수 d를 찾으면 된다. n\not\equiv0\pmod4이며 n\not\equiv7\pmod8이므로, n\equiv1,2,3,5,6\pmod8이다. 만약 n\equiv2,6\pmod8이라면, \gcd\\{4n,n-1\\}=1이며, 디리클레 등차수열 정리에 따라 4mn+n-1이 소수인 음이 아닌 정수 m이 존재한다. d=4m+1이라고 하자. 그렇다면 nd-1은 소수이며, :d\equiv nd-1\equiv1\pmod4 이다. 이차 상호 법칙에 따라, :\left(\frac{-d}{nd-1}\right)=\left(\frac d{nd-1}\right)=\left(\frac{nd-1}d\right)=\left(\frac{-1}d\right)=1 이다. 즉, -d\equiv b^2\pmod{nd-1}의 정수해 b가 존재한다. 만약 n\equiv1\pmod8이라면, \gcd\\{4n,(3n-1)/2\\}=1이며, 디리클레 등차수열 정리에 따라 4mn+(3n-1)/2가 소수인 음이 아닌 정수 m이 존재한다. d=8m+3이라고 하자. 그렇다면 (nd-1)/2는 소수이며, :d\equiv3\pmod8 :(nd-1)/2\equiv1\pmod4 이다. 이차 상호 법칙에 따라, :\begin{align} \left(\frac{-d}{(nd-1)/2}\right) & =\left(\frac d{(nd-1)/2}\right) \\\ & =\left(\frac{(nd-1)/2}d\right) \\\ & =-\left(\frac{nd-1}d\right) \\\ & =-\left(\frac{-1}d\right) \\\ & =1 \end{align} 이다. 즉, -d\equiv b^2\pmod{(nd-1)/2}의 정수해 b가 존재한다. 또한, -d는 홀수이므로 -d\equiv1^2\pmod2이다. 중국인의 나머지 정리에 따라 -d\equiv b^2\pmod{nd-1}의 정수해 b가 존재한다. 마찬가지로, n\equiv3,5\pmod8인 경우에도 -d\equiv b^2\pmod{nd-1}의 정수해 b가 존재하는 양의 정수 d를 찾을 수 있다. 이는 충분조건의 증명을 마친다. 증명 끝
# 따름정리
라그랑주 네 제곱수 정리는 르장드르 세 제곱수 정리의 자명한 따름정리이다. 만약 n이 4^a(8k+7)의 꼴이 아니라면, n은 세 정수의 제곱의 합이며, 특히 네 정수의 제곱의 합이다. 만약 n=4^a(8k+7)이라면, n-4^a=4^a(8k+6)은 세 정수의 제곱의 합이며, 따라서 n은 네 정수의 제곱의 합이다.
# 역사
디오판토스와 클로드 가스파르 바셰 드 메지리아크(Claude Gaspard Bachet de Méziriac, 1581~1638)는 3k+1인 정수가 세 정수의 제곱의 합일 필요충분조건을 논의하였으나, 이들이 주장한 필요충분조건은 정확하지 않았다. 피에르 드 페르마가 양의 정수가 세 정수의 제곱의 합일 필요충분조건을 처음 정확하게 제시하였으며, 마랭 메르센에게 보낸 서신에서 8k+7의 꼴인 정수는 세 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 없음을 증명하였다. 레온하르트 오일러는 유레카 정리가 8k+3의 꼴인 정수는 항상 세 정수의 제곱의 합임을 함의한다는 사실을 발견하였다. 1796년에 카를 프리드리히 가우스는 유레카 정리를 증명하였다. 1798년에 아드리앵마리 르장드르가 세 제곱수 정리를 처음 증명하였다.zbl=1395.11003 얼마 지나지 않은 1801년 가우스는 양의 정수를 최대 공약수가 1인 세 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 수를 세는 공식을 얻어내었으며, 이는 그의 저서 《산술 연구》(Disquisitiones arithmeticae)에 실렸다. 1850년에 페터 구스타프 르죈 디리클레가 더 단순한 증명을 발표하였으며, 이는 오늘날 널리 알려진 증명이다.