쿨롱 파동 함수

Mathematica 13.1에서 반발 및 인력 상호작용을 사용하여 0부터 20까지 불규칙 쿨롱 파동 함수 G 플롯 정규 쿨롱 파동 함수의 복소수 플롯 이미지 추가 수학에서 **쿨롱 파동 함수**(Coulomb wave function)는 샤를 드 쿨롱의 이름을 따서 명명된 **쿨롱 파동 방정식**(Coulomb wave equation)의 해이다. 이 함수는 쿨롱 전위에서 하전 입자의 동작을 설명하는 데 사용되며, 합류 초수하 함수 또는 허수 인수의 휘태커 함수로 표현할 수 있다.
# 쿨롱 파동 방정식
질량 m을 가진 단일 하전 입자에 대한 쿨롱 파동 방정식은 쿨롱 전위를 가진 슈뢰딩거 방정식이다. :\left(-\hbar^2\frac{\nabla^2}{2m}+\frac{Z \hbar c \alpha}{r}\right) \psi_{\vec{k(\vec{r}) = \frac{\hbar^2k^2}{2m} \psi_{\vec{k(\vec{r}) \,, 여기서 Z=Z_1 Z_2는 입자와 필드 소스의 전하 곱(단위는 기본 전하이며, 수소 원자의 경우 Z=-1), \alpha는 미세 구조 상수, \hbar^2k^2/(2m)는 입자의 에너지이다. 쿨롱 파동 함수인 해는 이 방정식을 포물선 좌표에서 풀어 얻을 수 있다. :\xi= r + \vec{r}\cdot\hat{k}, \quad \zeta= r - \vec{r}\cdot\hat{k} \qquad (\hat{k} = \vec{k}/k) \,. 선택한 경계 조건에 따라 해는 다른 형태를 가진다. 두 가지 해는 다음과 같다. :\psi_{\vec{k^{(\pm)}(\vec{r}) = \Gamma(1\pm i\eta) e^{-\pi\eta/2} e^{i\vec{k}\cdot\vec{r M(\mp i\eta, 1, \pm ikr - i\vec{k}\cdot\vec{r}) \,, 여기서 M(a,b,z) \equiv {}_1\\!F_1(a;b;z)는 합류 초수하 함수이고, \eta = Zmc\alpha/(\hbar k)이며 \Gamma(z)는 감마 함수이다. 여기에 사용된 두 가지 경계 조건은 다음과 같다. :\psi_{\vec{k^{(\pm)}(\vec{r}) \rightarrow e^{i\vec{k}\cdot\vec{r \qquad (\vec{k}\cdot\vec{r} \rightarrow \pm\infty) \,, 이는 각각 원점에 있는 필드 소스에 접근하기 전 또는 후에 \vec{k} 방향의 평면파 점근 상태에 해당한다. 함수 \psi_{\vec{k^{(\pm)}는 다음 공식으로 서로 관련되어 있다. :\psi_{\vec{k^{(+)} = \psi_{-\vec{k^{(-)*} \,.
## 부분파 전개
파동 함수 \psi_{\vec{k(\vec{r})는 부분파(즉, 각도 기저에 대해)로 전개하여 각도에 독립적인 방사 함수 w_\ell(\eta,\rho)를 얻을 수 있다. 여기서 \rho=kr. :\psi_{\vec{k(\vec{r}) = \frac{4\pi}{r} \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell i^\ell w_{\ell}(\eta,\rho) Y_\ell^m (\hat{r}) Y_{\ell}^{m\ast} (\hat{k}) \,. 전개된 단일 항은 특정 구면 조화 함수와의 스칼라 곱으로 분리될 수 있다. :\psi_{k\ell m}(\vec{r}) = \int \psi_{\vec{k(\vec{r}) Y_\ell^m (\hat{k}) d\hat{k} = R_{k\ell}(r) Y_\ell^m(\hat{r}), \qquad R_{k\ell}(r) = 4\pi i^\ell w_\ell(\eta,\rho)/r. 단일 부분파 w_\ell(\eta,\rho)에 대한 방정식은 쿨롱 파동 방정식의 라플라시안을 구면 좌표로 다시 쓰고 특정 구면 조화 함수 Y_\ell^m(\hat{r})에 방정식을 투영하여 얻을 수 있다. :\frac{d^2 w_\ell}{d\rho^2}+\left(1-\frac{2\eta}{\rho}-\frac{\ell(\ell+1)}{\rho^2}\right)w_\ell=0 \,. 이 해들은 쿨롱 (부분) 파동 함수 또는 구면 쿨롱 함수라고도 불린다. z=-2i\rho를 대입하면 쿨롱 파동 방정식은 휘태커 방정식으로 변환되므로, 쿨롱 파동 함수는 허수 인수 M_{-i\eta,\ell+1/2}(-2i\rho)와 W_{-i\eta,\ell+1/2}(-2i\rho)를 가진 휘태커 함수로 표현될 수 있다. 후자는 합류 초수하 함수 M과 U로 표현될 수 있다. \ell\in\mathbb{Z}에 대해 특수 해는 다음과 같이 정의된다. :H_\ell^{(\pm)}(\eta,\rho) = \mp 2i(-2)^{\ell}e^{\pi\eta/2} e^{\pm i \sigma_\ell}\rho^{\ell+1}e^{\pm i\rho}U(\ell+1\pm i\eta,2\ell+2,\mp 2i\rho) \,, 여기서 :\sigma_\ell = \arg \Gamma(\ell+1+i \eta) 는 쿨롱 위상 편이(Coulomb phase shift)라고 불린다. 또한 실수 함수는 다음과 같이 정의된다. :F_\ell(\eta,\rho) = \frac{1}{2i} \left(H_\ell^{(+)}(\eta,\rho)-H_\ell^{(-)}(\eta,\rho) \right) \,, :Mathematica 13.1에서 반발 및 인력 상호작용을 사용하여 0에서 20까지 정규 쿨롱 파동 함수 F 플롯G_\ell(\eta,\rho) = \frac{1}{2} \left(H_\ell^{(+)}(\eta,\rho)+H_\ell^{(-)}(\eta,\rho) \right) \,. 특히 다음을 가진다. :F_\ell(\eta,\rho) = \frac{2^\ell e^{-\pi\eta/2}|\Gamma(\ell+1+i\eta)|}{(2\ell+1)!}\rho^{\ell+1}e^{i\rho}M(\ell+1+i\eta,2\ell+2,-2i\rho) \,. 구면 쿨롱 함수 H_\ell^{(\pm)}(\eta,\rho), F_\ell(\eta,\rho), G_\ell(\eta,\rho)의 큰 \rho에서의 점근 행동은 다음과 같다. :H_\ell^{(\pm)}(\eta,\rho) \sim e^{\pm i \theta_\ell(\rho)} \,, :F_\ell(\eta,\rho) \sim \sin \theta_\ell(\rho) \,, :G_\ell(\eta,\rho) \sim \cos \theta_\ell(\rho) \,, 여기서 :\theta_\ell(\rho) = \rho - \eta \log(2\rho) -\frac{1}{2} \ell \pi + \sigma_\ell \,. 해 H_\ell^{(\pm)}(\eta,\rho)는 입사 및 방출 구면파에 해당한다. 해 F_\ell(\eta,\rho)와 G_\ell(\eta,\rho)는 실수이며, 정규 및 불규칙 쿨롱 파동 함수라고 불린다. 특히 파동 함수 \psi_{\vec{k^{(+)}(\vec{r})에 대한 다음 부분파 전개를 가진다. :\psi_{\vec{k^{(+)}(\vec{r}) = \frac{4\pi}{\rho} \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell i^\ell e^{i \sigma_\ell} F_\ell(\eta,\rho) Y_\ell^m (\hat{r}) Y_{\ell}^{m\ast} (\hat{k}) \,, \eta\to 0 극한에서 정규/불규칙 쿨롱 파동 함수 F_\ell(\eta,\rho), G_\ell(\eta,\rho)는 구면 베셀 함수에 비례하고, 구면 쿨롱 함수 H^{(\pm)}_\ell(\eta,\rho)는 구면 한켈 함수에 비례한다. : F_\ell(0,\rho)/\rho = j_\ell(\rho) : G_\ell(0,\rho)/\rho = - y_\ell(\rho) : H^{(+)}_\ell(0,\rho)/\rho = i\, h^{(1)}_\ell(\rho) : H^{(-)}_\ell(0,\rho)/\rho =-i\, h^{(2)}_\ell(\rho) 그리고 구면 베셀 함수와 동일하게 정규화된다. : \int\limits_0^\infty j_l(k\, r) j_l(k' r)\,r^2 dr = \int\limits_0^\infty \frac{F_\ell\left(\pm \frac{1}{a_0 k},k\, r\right)}{k\, r} \frac{F_\ell\left(\pm \frac{1}{a_0 k'}, k' r\right)}{k' r} \, r^2 d r = \frac{\pi}{2 k^2}\delta(k-k') 그리고 다른 3개에 대해서도 유사하다.
# 쿨롱 함수의 속성
주어진 각운동량에 대한 방사형 부분은 정규 직교한다. 파수 척도(k-척도)로 정규화될 때, 연속체 방사형 파동 함수는 다음을 만족한다. :\int_0^\infty R_{k\ell}^\ast(r) R_{k'\ell}(r) r^2 dr = \delta(k-k') 연속체 파동 함수의 다른 일반적인 정규화는 환산 파수 척도(k/2\pi-척도)에서 다음과 같다. :\int_0^\infty R_{k\ell}^\ast(r) R_{k'\ell}(r) r^2 dr = 2\pi \delta(k-k') \,, 그리고 에너지 척도에서 다음과 같다. :\int_0^\infty R_{E\ell}^\ast(r) R_{E'\ell}(r) r^2 dr = \delta(E-E') \,. 이전 절에서 정의된 방사형 파동 함수는 다음으로 정규화된다. :\int_0^\infty R_{k\ell}^\ast(r) R_{k'\ell}(r) r^2 dr = \frac{(2\pi)^3}{k^2} \delta(k-k') 다음 정규화의 결과로: :\int \psi^{\ast}_{\vec{k(\vec{r}) \psi_{\vec{k}'}(\vec{r}) d^3r = (2\pi)^3 \delta(\vec{k}-\vec{k}') \,. 연속체(또는 산란) 쿨롱 파동 함수는 모든 쿨롱 구속 상태에 대해서도 직교한다. :\int_0^\infty R_{k\ell}^\ast(r) R_{n\ell}(r) r^2 dr = 0 이는 서로 다른 고유값을 가진 동일한 헤르미트 연산자의 고유 상태이기 때문이다.
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