유한 변형 이론

cTopic=solid 연속체 역학에서 **유한 변형 이론**(finite strain theory)은 변형 및 회전이 무한소 변형 이론에 내재된 가정을 무효화할 만큼 충분히 큰 경우를 다룬다. 이 경우 연속체의 변형 전 형상과 변형 후 형상은 상당히 다르므로 둘을 명확하게 구분해야 한다. 이것은 일반적으로 탄성체, 소성 변형 재료 및 기타 유체와 생물학적 연조직의 경우이다.
# 변위장
변위장
# 변형 구배 텐서
그림 2. 연속체 물체의 변형. **변형 구배 텐서**는 기준 형상과 현재 형상 모두와 관련된 양이며, 한 점 주변의 움직임을 국소적으로 표현한다. 두 가지 유형의 변형 구배 텐서가 정의될 수 있다. **재료 변형 구배 텐서** \mathbf F(\mathbf X,t) = F_{jK} \mathbf e_j\otimes\mathbf I_K는 연속체의 운동을 설명하는 매끄럽고 가역적인 매핑 함수 \chi(\mathbf X,t)\,\\!의 기울기를 나타내는 2차 텐서이다. 특히, 매핑 함수 \chi(\mathbf X,t)\,\\!의 연속성은 변형 중에 균열이나 빈 공간이 열리거나 닫히지 않는다는 것을 의미한다. 재료 변형 구배 텐서는 위치 벡터 \mathbf X\,\\!를 가진 재료 점에서의 국부 변형, 즉 인접 점에서의 변형을 기준 형상에서 현재 또는 변형된 형상으로 그 점으로부터 방출되는 재료 선 요소를 변환(선형 변환)하여 특징짓는다. 따라서 다음과 같다. \begin{align} d\mathbf{x} &= \frac {\partial \mathbf{x {\partial \mathbf {X\,d\mathbf{X} \qquad &\text{or}& \qquad dx_j =\frac{\partial x_j}{\partial X_K}\,dX_K \\\ &= \nabla \chi(\mathbf X,t) \,d\mathbf{X} \qquad &\text{or}& \qquad dx_j =F_{jK}\,dX_K \,. \\\ & = \mathbf F(\mathbf X,t) \,d\mathbf{X} \end{align} \chi(\mathbf X,t)\,\\!가 매끄러운 역함수를 가진다고 가정하면, \mathbf F는 역함수 \mathbf H = \mathbf F^{-1} = \frac {\partial \mathbf{X {\partial \mathbf {x\,\\!를 가지며, 이것이 **공간 변형 구배 텐서**이다. \mathbf F가 가역적이라는 것은 \text{det}\mathbf F \neq 0과 동등하며, 이는 재료가 무한히 압축될 수 없다는 개념에 해당한다.
## 상대 변위 벡터
변형 전 형상(그림 2)에서 위치 벡터 \mathbf X = X_I \mathbf I_I를 가진 입자 또는 재료점 P를 고려한다. 물체가 변위된 후, 새로운 형상에서 p로 표시된 입자의 새로운 위치는 벡터 위치 \mathbf{x} = x_i \mathbf e_i\,\\!로 주어진다. 변형 전 및 변형 후 형상의 좌표계는 편의상 겹쳐 놓을 수 있다. 이제 P\,\\!에 인접한 재료 점 Q 를 고려하며, 위치 벡터는 \mathbf{X}+ \Delta \mathbf{X} = (X_I+\Delta X_I) \mathbf I_I\,\\!이다. 변형된 형상에서 이 입자는 위치 벡터 \mathbf{x}+ \Delta \mathbf{x}\,\\!로 주어진 새로운 위치 q를 가진다. 변형 전 및 변형 후 형상에서 입자 P와 Q를 연결하는 선분 \Delta X와 \Delta \mathbf x가 매우 작다고 가정하면, 이들을 d\mathbf X와 d\mathbf x\,\\!로 표현할 수 있다. 따라서 그림 2에서 다음과 같다. \begin{align} \mathbf{x} &= \mathbf{X} +\mathbf{u}(\mathbf{X}), \\\ \mathbf{x}+ d\mathbf{x} &= \mathbf{X}+d\mathbf{X}+\mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X}), \\\ \text{and}\text{ therefore}& \\\ d\mathbf{x} &= \mathbf{X}-\mathbf{x}+d\mathbf{X}+ \mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X}) \\\ &= d\mathbf{X}+\mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X})- \mathbf{u}(\mathbf{X}) \\\ &= d\mathbf{X}+d\mathbf{u} \\\ \end{align}, 여기서 \mathbf {du}는 **상대 변위 벡터**이며, 변형된 형상에서 Q의 P에 대한 상대 변위를 나타낸다.
### 테일러 근사
무한소 요소 d\mathbf X\,\\!에 대해 변위장의 연속성을 가정하면, 점 P\,\\! 주변에서 테일러 급수 전개를 사용하여 고차항을 무시하고 이웃 입자 Q의 상대 변위 벡터 성분을 근사할 수 있다. \begin{align} \mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X}) &= \mathbf{u}(\mathbf{X})+d\mathbf{u} \quad & \text{or} & \quad u_i^* = u_i+du_i \\\ &\approx \mathbf{u}(\mathbf{X})+\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\cdot d\mathbf X \quad & \text{or} & \quad u_i^* \approx u_i + \frac{\partial u_i}{\partial X_J}dX_J \,. \end{align} 따라서 이전 방정식 d\mathbf x = d\mathbf{X} + d\mathbf{u}는 다음과 같이 쓸 수 있다. \begin{align} d\mathbf x&=d\mathbf X+d\mathbf u \\\ &=d\mathbf X+\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\cdot d\mathbf X\\\ &=\left(\mathbf I + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right)d\mathbf X\\\ &=\mathbf F d\mathbf X \end{align}
## 변형 구배의 시간 미분
물체의 시간 의존적 변형을 포함하는 계산은 종종 변형 구배의 시간 미분을 계산해야 한다. 이러한 미분의 기하학적으로 일관된 정의는 미분기하학에 대한 탐구를 필요로 하지만A. Yavari, J.E. Marsden, and M. Ortiz, On spatial and material covariant balance laws in elasticity, Journal of Mathematical Physics, 47, 2006, 042903; pp. 1–53. 이 글에서는 이러한 문제를 피한다. \mathbf{F}의 시간 미분은 다음과 같다. \dot{\mathbf{F = \frac{\partial \mathbf{F{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{\partial \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)}{\partial \mathbf{X\right] = \frac{\partial}{\partial \mathbf{X\left[\frac{\partial \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)}{\partial t}\right] = \frac{\partial}{\partial \mathbf{X\left[\mathbf{V}(\mathbf{X}, t)\right] 여기서 \mathbf{V}는 (재료) 속도이다. 오른쪽 항의 미분은 **재료 속도 구배**를 나타낸다. 미분의 연쇄 법칙을 적용하여 이를 공간 구배로 변환하는 것이 일반적이다. 즉, \dot{\mathbf{F = \frac{\partial}{\partial \mathbf{X\left[\mathbf{V}(\mathbf{X}, t)\right] = \frac{\partial}{\partial \mathbf{X\left[\mathbf{v}(\mathbf{x}(\mathbf{X}, t),t)\right] = \left.\frac{\partial}{\partial \mathbf{x\left[\mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right]\right|_{\mathbf{x} = \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)} \cdot \frac{\partial \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)}{\partial \mathbf{X = \boldsymbol{l}\cdot\mathbf{F} 여기서 \boldsymbol{l} = (\nabla_{\mathbf{x \mathbf{v})^T는 **공간 속도 구배**이고, \mathbf{v}(\mathbf{x},t) = \mathbf{V}(\mathbf{X},t)는 \mathbf{x} = \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)에서의 공간 (오일러) 속도이다. 공간 속도 구배가 시간에 따라 일정하면, 위 방정식은 정확하게 풀 수 있으며 다음과 같다. \mathbf{F} = e^{\boldsymbol{l}\, t} t = 0에서 \mathbf{F} = \mathbf{1}이라고 가정한다. 위 지수를 계산하는 여러 방법이 있다. 연속체 역학에서 자주 사용되는 관련 양은 각각 다음과 같이 정의되는 **변형률 텐서**와 **스핀 텐서**이다. \boldsymbol{d} = \tfrac{1}{2} \left(\boldsymbol{l} + \boldsymbol{l}^T\right) \,,~~ \boldsymbol{w} = \tfrac{1}{2} \left(\boldsymbol{l} - \boldsymbol{l}^T\right) \,. 변형률 텐서는 선 요소의 늘어나는 속도를 제공하고, 스핀 텐서는 운동의 회전 또는 소용돌이도 속도를 나타낸다. 유한 변형률을 포함하는 분석에서는 변형 구배의 역함수의 재료 시간 미분이 종종 필요하다 (기준 형상을 고정). 이 미분은 다음과 같다. \frac{\partial}{\partial t} \left(\mathbf{F}^{-1}\right) = - \mathbf{F}^{-1} \cdot \dot{\mathbf{F \cdot \mathbf{F}^{-1} \,. 위 관계는 \mathbf{F}^{-1} \cdot d\mathbf{x} = d\mathbf{X}의 재료 시간 미분을 취하고 \dot{\mathbf{X = 0임을 확인하여 검증할 수 있다.
## 변형 구배 텐서의 극분해
그림 3. 변형 구배의 극분해 표현 변형 구배 \mathbf{F}는 모든 가역적인 2차 텐서와 마찬가지로 극분해 정리를 사용하여 두 개의 2차 텐서(Truesdell과 Noll, 1965)의 곱으로 분해될 수 있다. 즉, 직교 텐서와 양정치 대칭 텐서로, 다음과 같다. \mathbf{F} = \mathbf{R} \mathbf{U} = \mathbf{V} \mathbf{R} 여기서 텐서 \mathbf{R}은 고유 직교 텐서이며, 즉 \mathbf R^{-1} = \mathbf R^T 및 \det \mathbf R = +1\,\\!이고 회전을 나타낸다. 텐서 \mathbf{U}는 우측 신장 텐서이며, \mathbf{V}는 좌측 신장 텐서이다. 우측 및 좌측이라는 용어는 각각 회전 텐서 \mathbf{R}\,\\!의 오른쪽에 있고 왼쪽에 있음을 의미한다. \mathbf{U}와 \mathbf{V}는 모두 양정치이며, 즉 모든 0이 아닌 \mathbf x \in \R^3에 대해 \mathbf x \cdot \mathbf U \cdot \mathbf x > 0 및 \mathbf x\cdot\mathbf V \cdot \mathbf x > 0 이고, 2차의 대칭 텐서이며, 즉 \mathbf U = \mathbf U^T 및 \mathbf V = \mathbf V^T\,\\!이다. 이 분해는 변형 전 형상에서의 선 요소 d\mathbf X가 변형된 형상에서의 d\mathbf x로 변형되는 것, 즉 d\mathbf x = \mathbf F \,d\mathbf X\,\\!가 먼저 요소에 \mathbf U\,\\!를 적용하여 늘리고, 즉 d\mathbf x' = \mathbf U \,d\mathbf X\,\\!, 그 다음 회전 \mathbf R\,\\!을 적용하여, 즉 d\mathbf x = \mathbf R \,d\mathbf x'\,\\!를 얻거나, 또는 이와 동등하게, 먼저 강체 회전 \mathbf R을 적용하고, 즉 d\mathbf x' = \mathbf R \, d\mathbf X\,\\!, 그 다음 늘리기 \mathbf V\,\\!를 적용하여, 즉 d\mathbf x = \mathbf V \, d\mathbf x'를 얻을 수 있음을 의미한다 (그림 3 참조). \mathbf R의 직교성으로 인해 \mathbf V = \mathbf R \cdot \mathbf U \cdot \mathbf R^T 이므로 \mathbf U와 \mathbf V는 동일한 고유값 또는 주 신장률을 가지지만, 각각 다른 고유 벡터 또는 주 방향 \mathbf{N}_i와 \mathbf{n}_i\,\\!를 가진다. 주 방향들은 다음과 같이 관련된다. \mathbf{n}_i = \mathbf{R} \mathbf{N}_i. \mathbf F가 양의 행렬식을 가진 가역 행렬이므로 고유한 이 극분해는 특이값 분해의 한 결과이다.
## 표면 및 부피 요소의 변환
변형된 형상에서 면적에 대해 정의된 양을 기준 형상에서의 면적에 대한 양으로 변환하고, 그 반대로 변환하기 위해 다음과 같이 표현되는 **낸슨 관계**를 사용한다. da~\mathbf{n} = J~dA ~\mathbf{F}^{-T} \cdot \mathbf{N} 여기서 da는 변형된 형상에서의 영역 면적이고, dA는 기준 형상에서의 동일한 면적이며, \mathbf{n}은 현재 형상에서의 면적 요소에 대한 외부 법선이고 \mathbf{N}은 기준 형상에서의 외부 법선이다. \mathbf{F}는 변형 구배이며, J = \det\mathbf{F}\,\\!이다. 부피 요소의 변환에 대한 해당 공식은 다음과 같다. dv = J~dV proof = 이 공식이 어떻게 유도되는지 알아보기 위해, 기준 및 현재 형상에서의 방향 면적 요소부터 시작한다. d\mathbf{A} = dA~\mathbf{N} ~;~~ d\mathbf{a} = da~\mathbf{n} 요소의 기준 및 현재 부피는 다음과 같다. dV = d\mathbf{A}^{T}\cdot d\mathbf{L} ~;~~ dv = d\mathbf{a}^{T} \cdot d\mathbf{l} 여기서 d\mathbf{l} = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{L}\,\\!이다. 따라서, d\mathbf{a}^{T} \cdot d\mathbf{l}= dv = J~dV = J~d\mathbf{A}^{T}\cdot d\mathbf{L} 또는, d\mathbf{a}^{T} \cdot \mathbf{F}\cdot d\mathbf{L} = dv = J~dV = J~d\mathbf{A}^{T} \cdot d\mathbf{L} 따라서, d\mathbf{a}^{T} \cdot \mathbf{F} = J~d\mathbf{A}^{T} 그러므로 다음을 얻는다. d\mathbf{a} = J~\mathbf{F}^{-T} \cdot d\mathbf{A} 또는, da~\mathbf{n} = J~dA~\mathbf{F}^{-T} \cdot \mathbf{N} Q.E.D.
# 기본 변형률 텐서
변형률 텐서는 IUPAC에 의해 다음과 같이 정의된다.

> "변형 구배 텐서가 회전 텐서 다음에 또는 그 이전에 대칭 텐서로 인수분해될 때 생성되는 대칭 텐서".

순수 회전은 변형 가능한 물체에 어떤 변형률도 유발해서는 안 되므로, 연속체 역학에서는 회전과 무관한 변형 측정값을 사용하는 것이 종종 편리하다. 회전 후 역회전이 아무런 변화도 일으키지 않으므로(\mathbf{R}\mathbf{R}^T=\mathbf{R}^T\mathbf{R}=\mathbf{I}\,\\!) 변형 구배 텐서 \mathbf{F}에 그 전치 행렬을 곱함으로써 회전을 제외할 수 있다. 역학에서는 여러 회전 무관 변형 구배 텐서(또는 줄여서 "변형 텐서")가 사용된다. 고체역학에서 가장 많이 사용되는 것들은 우측 및 좌측 코시-그린 변형 텐서이다.
## 코시 변형률 텐서 (우측 코시-그린 변형 텐서) Cauchy strain tensor
1839년, 조지 그린은 우측 코시-그린 변형 텐서 또는 그린 변형 텐서(IUPAC은 이 텐서를 **코시 변형률 텐서**라고 부를 것을 권장한다)doi-access=free로 알려진 변형 텐서를 도입했으며, 다음과 같이 정의된다. \mathbf C=\mathbf F^T\mathbf F=\mathbf U^2 \qquad \text{or} \qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ} = \frac {\partial x_k} {\partial X_I} \frac {\partial x_k} {\partial X_J}. 물리적으로, 코시-그린 텐서는 변형으로 인한 거리의 국부적인 변화의 제곱을 제공한다. 즉, d\mathbf x^2=d\mathbf X\cdot\mathbf C \cdot d\mathbf X \mathbf{C}의 불변량은 변형 에너지 밀도 함수의 표현식에서 자주 사용된다. 가장 일반적으로 사용되는 불변량은 다음과 같다. \begin{align} I_1^C & := \text{tr}(\mathbf{C}) = C_{II} = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 \\\ I_2^C & := \tfrac{1}{2}\left[(\text{tr}~\mathbf{C})^2 - \text{tr}(\mathbf{C}^2) \right] = \tfrac{1}{2}\left[(C_{JJ})^2 - C_{IK}C_{KI}\right] = \lambda_1^2\lambda_2^2 + \lambda_2^2\lambda_3^2 + \lambda_3^2\lambda_1^2 \\\ I_3^C & := \det(\mathbf{C}) = J^2 = \lambda_1^2\lambda_2^2\lambda_3^2. \end{align} 여기서 J:=\det\mathbf{F}는 변형 구배 \mathbf{F}의 행렬식이며 \lambda_i는 우측 (기준) 신장 텐서의 고유 벡터 방향을 따라 초기 정렬된 단위 섬유에 대한 신장률이다 (이들은 일반적으로 좌표계의 세 축과 정렬되지 않는다).
## 핑거 변형률 텐서
IUPAC은 우측 코시-그린 변형 텐서(해당 문서에서는 코시 변형률 텐서라고 함)의 역함수, 즉 \mathbf C^{-1}를 **핑거 변형률 텐서**라고 부를 것을 권장한다. 그러나 이 명칭은 응용 역학에서 보편적으로 받아들여지지 않는다. \mathbf{f}=\mathbf C^{-1}=\mathbf F^{-1}\mathbf F^{-T} \qquad \text{or} \qquad f_{IJ}=\frac {\partial X_I} {\partial x_k} \frac {\partial X_J} {\partial x_k}
## 그린 변형률 텐서 (좌측 코시-그린 변형 텐서)
우측 코시-그린 변형 텐서 공식에서 곱셈 순서를 바꾸면 좌측 코시-그린 변형 텐서가 되며, 다음과 같이 정의된다. \mathbf B = \mathbf F\mathbf F^T = \mathbf V^2 \qquad \text{or} \qquad B_{ij} = \frac {\partial x_i} {\partial X_K} \frac {\partial x_j} {\partial X_K} 좌측 코시-그린 변형 텐서는 종종 요제프 핑거 (1894)의 이름을 따서 핑거 변형 텐서라고 불린다.Eduardo N. Dvorkin, Marcela B. Goldschmit, 2006 Nonlinear Continua, p. 25, Springer . IUPAC은 이 텐서를 **그린 변형률 텐서**라고 부를 것을 권장한다. \mathbf{B}의 불변량 또한 변형 에너지 밀도 함수의 표현식에서 사용된다. 일반적인 불변량은 다음과 같이 정의된다. \begin{align} I_1 & := \text{tr}(\mathbf{B}) = B_{ii} = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2\\\ I_2 & := \tfrac{1}{2}\left[(\text{tr}~\mathbf{B})^2 - \text{tr}(\mathbf{B}^2)\right] = \tfrac{1}{2}\left(B_{ii}^2 - B_{jk}B_{kj}\right) = \lambda_1^2\lambda_2^2 + \lambda_2^2\lambda_3^2 + \lambda_3^2\lambda_1^2 \\\ I_3 & := \det\mathbf{B} = J^2 = \lambda_1^2\lambda_2^2\lambda_3^2 \end{align} 여기서 J:=\det\mathbf{F}는 변형 구배의 행렬식이다. 압축성 재료의 경우, 약간 다른 불변량 집합이 사용된다. (\bar{I}_1 := J^{-2/3} I_1 ~;~~ \bar{I}_2 := J^{-4/3} I_2 ~;~~ J\neq 1) ~.
## 피올라 변형률 텐서 (코시 변형 텐서)
앞서 1828년,오귀스탱 루이 코시는 좌측 코시-그린 변형 텐서 \mathbf B^{-1}\,\\!의 역으로 정의되는 변형 텐서를 도입했다.Jirásek,Milan; Bažant, Z. P. (2002) Inelastic analysis of structures, Wiley, p. 463 이 텐서는 또한 IUPAC에 의해 **피올라 변형률 텐서**로, 유변학 및 유체동역학 문헌에서는 **핑거 텐서**J. N. Reddy, David K. Gartling (2000) The finite element method in heat transfer and fluid dynamics, p. 317, CRC Press .로 불렸다. \mathbf{c}=\mathbf B^{-1}=\mathbf F^{-T}\mathbf F^{-1} \qquad \text{or} \qquad c_{ij}=\frac {\partial X_K} {\partial x_i} \frac {\partial X_K} {\partial x_j}
## 스펙트럼 표현
세 개의 구별되는 주 신장률 \lambda_i \,\\!가 있다면, \mathbf{C}와 \mathbf{B}의 스펙트럼 분해는 다음과 같다. \mathbf{C} = \sum_{i=1}^3 \lambda_i^2 \mathbf{N}_i \otimes \mathbf{N}_i \qquad \text{and} \qquad \mathbf{B} = \sum_{i=1}^3 \lambda_i^2 \mathbf{n}_i \otimes \mathbf{n}_i 또한, \mathbf U = \sum_{i=1}^3 \lambda_i \mathbf N_i \otimes \mathbf N_i ~;~~ \mathbf V = \sum_{i=1}^3 \lambda_i \mathbf n_i \otimes \mathbf n_i \mathbf R = \sum_{i=1}^3 \mathbf n_i \otimes \mathbf N_i ~;~~ \mathbf F = \sum_{i=1}^3 \lambda_i \mathbf n_i \otimes \mathbf N_i 다음 사항에 유의하자. \mathbf{V} = \mathbf{R}~\mathbf{U}~\mathbf{R}^T = \sum_{i=1}^3 \lambda_i~\mathbf{R}~(\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i)~\mathbf{R}^T = \sum_{i=1}^3 \lambda_i~(\mathbf{R}~\mathbf{N}_i)\otimes(\mathbf{R}~\mathbf{N}_i) 그러므로 스펙트럼 분해의 고유성은 또한 \mathbf{n}_i = \mathbf{R}~\mathbf{N}_i \,\\!를 의미한다. 좌측 신장(\mathbf{V}\,\\!)은 공간 신장 텐서라고도 불리며, 우측 신장(\mathbf{U}\,\\!)은 재료 신장 텐서라고 불린다. \mathbf{F}가 \mathbf{N}_i에 작용하는 효과는 벡터를 \lambda_i만큼 늘리고 새로운 방향 \mathbf{n}_i\,\\!로 회전시키는 것이다. 즉, \mathbf{F}~\mathbf{N}_i = \lambda_i~(\mathbf{R}~\mathbf{N}_i) = \lambda_i~\mathbf{n}_i 유사하게, \mathbf{F}^{-T}~\mathbf{N}_i = \cfrac{1}{\lambda_i}~\mathbf{n}_i ~;~~ \mathbf{F}^T~\mathbf{n}_i = \lambda_i~\mathbf{N}_i ~;~~ \mathbf{F}^{-1}~\mathbf{n}_i = \cfrac{1}{\lambda_i}~\mathbf{N}_i ~.
### 예시
; 비압축성 재료의 단축 인장 : 이것은 표본이 1방향으로 \mathbf{\alpha=\alpha_1}\,\\!의 신장률로 늘려지는 경우이다. 부피가 일정하게 유지되면, 다른 두 방향의 수축은 \mathbf{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 =1} 또는 \mathbf{\alpha_2=\alpha_3=\alpha^{-0.5\,\\!가 된다. 그러면: \mathbf{F}=\begin{bmatrix} \alpha & 0 & 0 \\\ 0 & \alpha^{-0.5} & 0 \\\ 0 & 0 & \alpha^{-0.5} \end{bmatrix} \mathbf{B} = \mathbf{C} = \begin{bmatrix} \alpha^2 & 0 & 0 \\\ 0 & \alpha^{-1} & 0 \\\ 0 & 0 & \alpha^{-1} \end{bmatrix} ; 단순 전단 :\mathbf{F}=\begin{bmatrix} 1 & \gamma & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1+\gamma^2 & \gamma & 0 \\\ \gamma & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & \gamma & 0 \\\ \gamma & 1+\gamma^2 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ; 강체 회전 :\mathbf{F} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\\ \- \sin \theta & \cos \theta & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{B} = \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{1}
## 신장 미분
우측 코시-그린 변형 텐서에 대한 신장의 미분은 많은 고체, 특히 초탄성 재료의 응력-변형률 관계를 유도하는 데 사용된다. 이 미분은 다음과 같다. \cfrac{\partial\lambda_i}{\partial\mathbf{C = \cfrac{1}{2\lambda_i}~\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i = \cfrac{1}{2\lambda_i}~\mathbf{R}^T~(\mathbf{n}_i\otimes\mathbf{n}_i)~\mathbf{R} ~;~~ i=1,2,3 그리고 다음 관찰에서 비롯된다. \mathbf{C}:(\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i) = \lambda_i^2 ~;~~~~\cfrac{\partial\mathbf{C{\partial\mathbf{C = \mathsf{I}^{(s)} ~;~~~~ \mathsf{I}^{(s)}:(\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i)=\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i.
## 변형 텐서의 물리적 해석
\mathbf{X} = X^i~\boldsymbol{E}_i를 변형 전 물체에 정의된 직교 좌표계라고 하고, \mathbf{x} = x^i~\boldsymbol{E}_i를 변형된 물체에 정의된 다른 시스템이라고 하자. 변형 전 물체 내의 곡선 \mathbf{X}(s)가 s \in [0,1]를 사용하여 매개변수화되었다고 하자. 변형된 물체 내의 그 이미지는 \mathbf{x}(\mathbf{X}(s))이다. 곡선의 변형 전 길이는 다음과 같다. l_X = \int_0^1 \left| \cfrac{d \mathbf{X{d s} \right|~ds = \int_0^1 \sqrt{ \cfrac{d \mathbf{X{d s}\cdot\cfrac{d \mathbf{X{d s~ds = \int_0^1 \sqrt{ \cfrac{d \mathbf{X{d s}\cdot\boldsymbol{I} \cdot\cfrac{d \mathbf{X{d s} }~ds 변형 후 길이는 다음과 같다. \begin{align} l_x & = \int_0^1 \left| \cfrac{d \mathbf{x{d s} \right|~ds = \int_0^1 \sqrt{\cfrac{d \mathbf{x{d s}\cdot\cfrac{d \mathbf{x{d s~ds = \int_0^1 \sqrt{ \left(\cfrac{d \mathbf{x{d \mathbf{X\cdot\cfrac{d \mathbf{X{d s}\right) \cdot \left(\cfrac{d \mathbf{x{d \mathbf{X\cdot\cfrac{d \mathbf{X{d s}\right)}~ds \\\ & = \int_0^1 \sqrt{\cfrac{d \mathbf{X{d s}\cdot\left[ \left(\cfrac{d \mathbf{x{d \mathbf{X\right)^T\cdot \cfrac{d \mathbf{x{d \mathbf{X\right] \cdot\cfrac{d \mathbf{X{d s} }~ds \end{align} 우측 코시-그린 변형 텐서는 다음과 같이 정의된다는 점에 유의한다. \boldsymbol{C} := \boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{F} = \left(\cfrac{d \mathbf{x{d \mathbf{X\right)^T\cdot \cfrac{d \mathbf{x{d \mathbf{X 따라서, l_x = \int_0^1 \sqrt{ \cfrac{d \mathbf{X{d s}\cdot\boldsymbol{C} \cdot\cfrac{d \mathbf{X{d s} }~ds 이는 길이 변화가 \boldsymbol{C}에 의해 특징지어진다는 것을 나타낸다.
# 유한 변형률 텐서
변형률의 개념은 주어진 변위가 강체 변위와 국소적으로 얼마나 다른지를 평가하는 데 사용된다.edition = Revisedpages = 92–94issn=1432-0959 큰 변형에 대한 이러한 변형률 중 하나는 **라그랑주 유한 변형률 텐서**이며, 그린-라그랑주 변형률 텐서 또는 그린-생브낭 변형률 텐서라고도 불리며 다음과 같이 정의된다. \mathbf E=\frac{1}{2}(\mathbf C - \mathbf I)\qquad \text{or} \qquad E_{KL}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}-\delta_{KL}\right) 또는 변위 구배 텐서의 함수로 \mathbf E =\frac{1}{2}\left[ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T \cdot\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right] 또는 E_{KL}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_K}{\partial X_L}+\frac{\partial u_L}{\partial X_K}+\frac{\partial u_M}{\partial X_K}\frac{\partial u_M}{\partial X_L}\right) 그린-라그랑주 변형률 텐서는 \mathbf C가 \mathbf I\,\\!와 얼마나 다른지를 측정한다. 변형된 형상에 참조된 (즉, 오일러 설명) **오일러 유한 변형률 텐서** 또는 오일러-알만시 유한 변형률 텐서는 다음과 같이 정의된다. \mathbf e=\frac{1}{2}(\mathbf I - \mathbf c)=\frac{1}{2}(\mathbf I - \mathbf B ^{-1}) \qquad \text{or} \qquad e_{rs} = \frac{1}{2} \left(\delta_{rs} - \frac{\partial X_M}{\partial x_r} \frac{\partial X_M}{\partial x_s}\right) 또는 변위 구배의 함수로 다음과 같다. e_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{\partial u_k}{\partial x_i} \frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right) proof = 변형 측정은 변형 전 형상의 미분 선 요소 d\mathbf X\,\\!와 변형 후 형상(그림 2)의 d\mathbf x\,\\!의 제곱 간의 차이이다. 이 차이가 0이 아니면 변형이 발생한 것이고, 그렇지 않으면 강체 변위가 발생한 것이다. 따라서 다음과 같다. d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2=d\mathbf x\cdot d\mathbf x-d\mathbf X\cdot d\mathbf X \qquad \text{or} \qquad (dx)^2 - (dX)^2=dx_jdx_j-dX_M\,dX_M 라그랑주 설명에서, 재료 좌표를 참조 프레임으로 사용하면 미분 선 사이의 선형 변환은 다음과 같다. d\mathbf x = \frac {\partial \mathbf x} {\partial \mathbf X}\,d\mathbf X=\mathbf F \,d\mathbf{X} \qquad\text{or} \qquad dx_j=\frac{\partial x_j}{\partial X_M} \,dX_M 그러면 다음과 같다. \begin{align} d\mathbf{x}^2&=d\mathbf x \cdot d\mathbf x \\\ &= \mathbf F \cdot d\mathbf X \cdot \mathbf F \cdot d\mathbf X \\\ &= d\mathbf X \cdot \mathbf F^T\mathbf F \cdot d\mathbf X \\\ &= d\mathbf X\cdot\mathbf C\cdot d\mathbf X \end{align} \qquad \text{or} \qquad \begin{align} (dx)^2&=dx_j\,dx_j \\\ &= \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}\,dX_K\,dX_L \\\ &= C_{KL}\,dX_K\,dX_L \\\ \end{align} 여기서 C_{KL}은 우측 코시-그린 변형 텐서 \mathbf C = \mathbf F^T \mathbf F\,\\!의 성분이다. 그런 다음 이 방정식을 첫 번째 방정식에 대입하면 다음과 같다. \begin{align} d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 &= d\mathbf X\cdot\mathbf C\cdot d\mathbf X-d\mathbf X\cdot d\mathbf X \\\ &=d\mathbf X\cdot (\mathbf C - \mathbf I)\cdot d\mathbf X \\\ &= d\mathbf X \cdot 2\mathbf E \cdot d\mathbf X \\\ \end{align} 또는 \begin{align} (dx)^2 - (dX)^2 &= \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}\,dX_K\,dX_L-dX_M\,dX_M \\\ &= \left( \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}-\delta_{KL}\right)\,dX_K\,dX_L \\\ &=2E_{KL}\,dX_K\,dX_L \end{align} 여기서 E_{KL}\,\\!은 그린-생브낭 변형률 텐서 또는 라그랑주 유한 변형률 텐서라고 불리는 2차 텐서의 성분이다. \mathbf E=\frac{1}{2}(\mathbf C - \mathbf I)\qquad \text{or} \qquad E_{KL}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}-\delta_{KL}\right) 오일러 설명에서, 공간 좌표를 참조 프레임으로 사용하면 미분 선 사이의 선형 변환은 다음과 같다. d\mathbf{X} = \frac {\partial \mathbf{X {\partial \mathbf {xd\mathbf{x}=\mathbf F^{-1} \, d\mathbf{x}=\mathbf{H} \,d\mathbf{x} \qquad \text{or} \qquad dX_M=\frac{\partial X_M}{\partial x_n}\, dx_n 여기서 \frac{\partial X_M}{\partial x_n}는 공간 변형 구배 텐서 \mathbf{H}\,\\!의 성분이다. 따라서 다음과 같다. \begin{align} d\mathbf{X}^2 &= d\mathbf X \cdot d\mathbf X \\\ &= \mathbf F^{-1} \cdot d\mathbf x \cdot \mathbf F^{-1} \cdot d\mathbf x \\\ &= d\mathbf x \cdot \mathbf F^{-T}\mathbf F^{-1} \cdot d\mathbf x \\\ &= d\mathbf x\cdot\mathbf c\cdot d\mathbf x \end{align} \qquad \text{or} \qquad \begin{align} (dX)^2&=dX_M\,dX_M \\\ &= \frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s}\,dx_r\,dx_s \\\ &= c_{rs}\,dx_r\,dx_s \\\ \end{align} 여기서 2차 텐서 c_{rs}는 코시 변형 텐서 \mathbf c=\mathbf F^{-T}\mathbf F^{-1}\,\\!라고 불린다. 그러면 다음과 같다. \begin{align} d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 &= d\mathbf x\cdot d\mathbf x-d\mathbf x\cdot\mathbf c\cdot d\mathbf x \\\ &=d\mathbf x\cdot (\mathbf I - \mathbf c)\cdot d\mathbf x \\\ &= d\mathbf x \cdot 2\mathbf e \cdot d\mathbf x \\\ \end{align} 또는 \begin{align} (dx)^2 - (dX)^2 &= dx_j\,dx_j-\frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s}\,dx_r\,dx_s \\\ &= \left(\delta_{rs} - \frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s} \right)\,dx_r\,dx_s \\\ &=2e_{rs}\,dx_r\,dx_s \end{align} 여기서 e_{rs}\,\\!는 오일러-알만시 유한 변형률 텐서라고 불리는 2차 텐서의 성분이다. \mathbf e=\frac{1}{2}(\mathbf I - \mathbf c) \qquad \text{or} \qquad e_{rs}=\frac{1}{2}\left(\delta_{rs} - \frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s} \right) 라그랑주 및 오일러 유한 변형률 텐서 모두 변위 구배 텐서로 편리하게 표현될 수 있다. 라그랑주 변형률 텐서의 경우, 먼저 변위 벡터 \mathbf u(\mathbf X, t)를 재료 좌표 X_M에 대해 미분하여 재료 변위 구배 텐서 \nabla_{\mathbf X}\mathbf u를 얻는다. \begin{align} \mathbf u(\mathbf X,t) &= \mathbf x(\mathbf X,t) - \mathbf X \\\ \nabla_{\mathbf X}\mathbf u &= \mathbf F - \mathbf I \\\ \mathbf F &= \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + \mathbf I \\\ \end{align} \qquad \text{or} \qquad \begin{align} u_i& = x_i-\delta_{iJ}X_J \\\ \delta_{iJ}U_J &= x_i-\delta_{iJ}X_J \\\ x_i&=\delta_{iJ}\left(U_J+X_J\right) \\\ \frac{\partial x_i}{\partial X_K}&=\delta_{iJ}\left(\frac{\partial U_J}{\partial X_K}+\delta_{JK}\right) \\\ &=\frac{\partial u_i}{\partial X_K}+\delta_{iK} \end{align} 이 방정식을 라그랑주 유한 변형률 텐서의 표현식에 대입하면 다음과 같다. \begin{align} \mathbf E &= \frac{1}{2}\left(\mathbf F^T\mathbf F-\mathbf I\right) \\\ &=\frac{1}{2}\left[ \left\\{ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T+\mathbf I\right\\}\left( \nabla_{\mathbf X}\mathbf u+\mathbf I\right)-\mathbf I\right] \\\ &=\frac{1}{2}\left[ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T \cdot\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right] \\\ \end{align} 또는 \begin{align} E_{KL}&=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial x_j}{\partial X_K} \frac{\partial x_j}{\partial X_L} - \delta_{KL}\right) \\\ &=\frac{1}{2} \left[\delta_{jM}\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_K}+\delta_{MK}\right)\delta_{jN}\left(\frac{\partial U_N}{\partial X_L}+\delta_{NL}\right)-\delta_{KL}\right] \\\ &=\frac{1}{2}\left[\delta_{MN}\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_K}+\delta_{MK}\right)\left(\frac{\partial U_N}{\partial X_L}+\delta_{NL}\right)-\delta_{KL}\right] \\\ &=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_K}+\delta_{MK}\right)\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_L}+\delta_{ML}\right)-\delta_{KL}\right] \\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L} +\frac{\partial U_L}{\partial X_K} +\frac{\partial U_M}{\partial X_K} \frac{\partial U_M}{\partial X_L}\right) \end{align} 마찬가지로, 오일러-알만시 유한 변형률 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다. e_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{\partial u_k}{\partial x_i} \frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right)
## 세스-힐 일반화된 변형률 텐서군
인도 공과대학교 카라그푸르의 B. R. 세스는 그린과 알만시 변형률 텐서가 보다 일반적인 변형률 측정의 특수한 경우임을 처음으로 보였다. 이 아이디어는 1968년 로드니 힐에 의해 더 확장되었다. 세스-힐 변형률 측정값 (도일-에릭센 텐서라고도 함)T.C. Doyle and J.L. Eriksen (1956). "Non-linear elasticity." Advances in Applied Mechanics 4, 53–115.은 다음과 같이 표현될 수 있다. \mathbf E_{(m)}=\frac{1}{2m}(\mathbf U^{2m}- \mathbf I) = \frac{1}{2m}\left[\mathbf{C}^{m} - \mathbf{I}\right] m의 다른 값에 대해 다음을 얻는다. * 그린-라그랑주 변형률 텐서 \mathbf E_{(1)} = \frac{1}{2} (\mathbf U^{2}- \mathbf I) = \frac{1}{2} (\mathbf{C}-\mathbf{I}) * 비오 변형률 텐서 \mathbf E_{(1/2)} = (\mathbf U - \mathbf I) = \mathbf{C}^{1/2}-\mathbf{I} * 대수 변형률, 자연 변형률, 실제 변형률, 또는 헨키 변형률 \mathbf E_{(0)} = \ln \mathbf U = \frac{1}{2}\,\ln\mathbf{C} * 알만시 변형률 \mathbf{E}_{(-1)} = \frac{1}{2}\left[\mathbf{I}-\mathbf{U}^{-2}\right] 이러한 텐서의 2차 근사는 다음과 같다. \mathbf{E}_{(m)} = \boldsymbol{\varepsilon} + {\tfrac 1 2}(\nabla\mathbf{u})^T\cdot\nabla\mathbf{u} - (1 - m) \boldsymbol{\varepsilon}^T\cdot\boldsymbol{\varepsilon} 여기서 \boldsymbol{\varepsilon}는 무한소 변형률 텐서이다. \mathbf{E} 텐서에 대한 다른 많은 정의가 허용될 수 있으며, 다음 조건들을 모두 만족해야 한다.Z.P. Bažant and L. Cedolin (1991). Stability of Structures. Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories. Oxford Univ. Press, New York (2nd ed. Dover Publ., New York 2003; 3rd ed., World Scientific 2010). * \mathbf{E}는 모든 강체 운동에 대해 사라진다. * \mathbf{E}의 변위 구배 텐서 \nabla\mathbf{u}에 대한 의존성은 연속적이고, 연속적으로 미분 가능하며, 단조롭다. * 또한 \mathbf{E}는 |\nabla\mathbf{u}| \to 0일 때 무한소 변형률 텐서 \boldsymbol{\varepsilon}로 환원되는 것이 바람직하다. 한 예는 다음 텐서 집합이다. \mathbf{E}^{(n)} = \left({\mathbf U}^n - {\mathbf U}^{-n}\right)/2n 이들은 세스-힐 클래스에 속하지 않지만, m=0에서 어떤 n 값에 대해서도 세스-힐 측정값과 동일한 2차 근사를 가진다.Z.P. Bažant (1998). "Easy-to-compute tensors with symmetric inverse approximating Hencky finite strain and its rate." Journal of Materials of Technology ASME, 120 (April), 131–136.
## 유한 변형률 텐서의 물리적 해석
라그랑주 유한 변형률 텐서의 대각선 성분 E_{KL}은 법선 변형률과 관련된다. 예를 들어, E_{11}=e_{(\mathbf I_1)}+\frac{1}{2} e_{(\mathbf I_1)}^2 여기서 e_{(\mathbf I_1)}는 \mathbf I_1\,\\! 방향의 법선 변형률 또는 공학적 변형률이다. 라그랑주 유한 변형률 텐서의 비대각선 성분 E_{KL}은 전단 변형률과 관련된다. 예를 들어, E_{12}=\frac{1}{2}\sqrt{2E_{11}+1}\sqrt{2E_{22}+1}\sin\phi_{12} 여기서 \phi_{12}는 원래 \mathbf I_1 및 \mathbf I_2\,\\! 방향으로 각각 수직이었던 두 선 요소 사이의 각도 변화이다. 특정 상황, 즉 작은 변위와 작은 변위율에서 라그랑주 유한 변형률 텐서의 성분은 무한소 변형률 텐서의 성분으로 근사될 수 있다. proof = 변형 전 형상에서 재료점 P\,\\!의 단위 벡터 \mathbf N 방향의 미분 요소 d\mathbf X = dX\mathbf N(그림)에 대한 신장률은 다음과 같이 정의된다. \Lambda_{(\mathbf N)}=\frac{dx}{dX} 여기서 dx는 미분 요소 d\mathbf X\,\\!의 변형된 크기이다. 마찬가지로, 변형된 형상에서 재료점 p\,\\!의 단위 벡터 \mathbf n 방향의 미분 요소 d\mathbf x = dx\mathbf n(그림)에 대한 신장률은 다음과 같이 정의된다. \frac{1}{\Lambda_{(\mathbf n) = \frac{dX}{dx} 신장률의 제곱은 다음과 같이 정의된다. \Lambda_{(\mathbf N)}^2=\left (\frac{dx}{dX}\right )^2 다음 사실을 알면, (dx)^2=C_{KL}dX_KdX_L 다음과 같다. \Lambda_{(\mathbf N)}^2 = C_{KL} N_K N_L 여기서 N_K와 N_L은 단위 벡터이다. 어떤 방향 \mathbf N에서의 법선 변형률 또는 공학적 변형률 e_{\mathbf N}은 신장률의 함수로 표현될 수 있다. e_{(\mathbf N)}=\frac{dx-dX}{dX}=\Lambda_{(\mathbf N)}-1 따라서 재료점 P의 \mathbf I_1 방향에서의 법선 변형률은 신장률의 함수로 다음과 같이 표현될 수 있다. \begin{align} e_{(\mathbf I_1)}=\frac{dx_1-dX_1}{dX_1}&=\Lambda_{(\mathbf I_1)}-1\\\ &=\sqrt {C_{11 -1=\sqrt{\delta_{11}+2E_{11-1\\\ &=\sqrt{1+2E_{11-1 \end{align} E_{11}에 대해 풀면 다음과 같다. \begin{align} 2E_{11}&= \frac{(dx_1)^2 - (dX_1)^2}{(dX_1)^2} \\\ E_{11}&= \left(\frac{dx_1-dX_1}{dX_1}\right)+ \frac {1}{2} \left(\frac{dx_1-dX_1}{dX_1}\right)^2 \\\ &=e_{(\mathbf I_1)}+\frac{1}{2}e_{(\mathbf I_1)}^2 \end{align} 원래 수직이었고 각각 주 방향 \mathbf I_1 및 \mathbf I_2\,\\!로 향한 두 선 요소 d\mathbf X_1 및 d\mathbf X_2 사이의 전단 변형률 또는 각도 변화도 신장률의 함수로 표현될 수 있다. 변형된 선 d\mathbf x_1과 d\mathbf x_2 사이의 스칼라곱에서 다음을 얻는다. \begin{align} d\mathbf x_1 \cdot d\mathbf x_2 &=dx_1 dx_2 \cos\theta_{12} \\\ \mathbf F \cdot d\mathbf X_1\cdot \mathbf F\cdot d\mathbf X_2&= \sqrt {d\mathbf X_1 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_1}\cdot \sqrt {d\mathbf X_2 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_2} \cos\theta_{12} \\\ \frac{d\mathbf X_1\cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F\cdot d\mathbf X_2}{dX_1 dX_2} &=\frac{\sqrt {d\mathbf X_1 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_1}\cdot \sqrt {d\mathbf X_2 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_2{dX_1 dX_2} \cos\theta_{12}\\\ \mathbf I_1 \cdot \mathbf C \cdot \mathbf I_2&= \Lambda_{\mathbf I_1}\Lambda_{\mathbf I_2}\cos\theta_{12} \end{align} 여기서 \theta_{12}는 변형된 형상에서 선 d\mathbf x_1과 d\mathbf x_2 사이의 각도이다. \phi_{12}를 원래 수직이었던 두 선 요소 사이의 전단 변형률 또는 각도 감소로 정의하면 다음과 같다. \phi_{12}=\frac{\pi}{2}-\theta_{12} 따라서, \cos\theta_{12}=\sin\phi_{12} 그러면 \mathbf I_1 \cdot \mathbf C \cdot \mathbf I_2= \Lambda_{\mathbf I_1} \Lambda_{\mathbf I_2}\sin\phi_{12} 또는 \begin{align} C_{12}&=\sqrt{C_{11\sqrt{C_{22\sin\phi_{12}\\\ 2E_{12}+\delta_{12}&=\sqrt{2E_{11}+1}\sqrt{2E_{22}+1}\sin\phi_{12}\\\ E_{12}&=\frac{1}{2}\sqrt{2E_{11}+1}\sqrt{2E_{22}+1}\sin\phi_{12} \end{align}
# 적합성 조건
Compatibility (mechanics) 연속체 역학에서 적합성 문제는 물체에 허용되는 단일 값 연속 필드를 결정하는 것을 포함한다. 이러한 허용 조건은 변형 후 물체에 비물리적인 간극이나 겹침이 발생하지 않도록 한다. 대부분의 이러한 조건은 단일 연결된 물체에 적용된다. 다중 연결된 물체의 내부 경계에는 추가 조건이 필요하다.
## 변형 구배의 적합성
단일 연결된 물체에 대한 적합한 \boldsymbol{F} 필드의 존재를 위한 필요충분조건은 다음과 같다. \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}
## 우측 코시-그린 변형 텐서의 적합성
단일 연결된 물체에 대한 적합한 \boldsymbol{C} 필드의 존재를 위한 필요충분조건은 다음과 같다. R^\gamma_{\alpha\beta\rho} := \frac{\partial }{\partial X^\rho}[\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}] - \frac{\partial }{\partial X^\beta}[\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\rho}] + \,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\rho}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} - \,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\beta}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\rho} = 0 이들이 리만-크리스토펠 곡률 텐서의 혼합 성분임을 보일 수 있다. 따라서 \boldsymbol{C}-적합성을 위한 필요 조건은 변형의 리만-크리스토펠 곡률이 0이어야 한다는 것이다.
## 좌측 코시-그린 변형 텐서의 적합성
3차원 좌측 코시-그린 변형 텐서에 대한 일반적인 충분 조건은 아미트 아차랴가 유도했다.s2cid=116767781 2차원 \boldsymbol{B} 필드에 대한 적합성 조건은 재닛 블루메가 발견했다.s2cid= 54889553
# 더 읽어보기
*isbn = 0-8493-9779-0 *isbn = 978-94-007-0033-8 *isbn = 3-540-20619-1 *isbn = 0-8493-1138-1 *isbn = 1-56081-579-5 *isbn = 0-07-040663-4 *isbn = 0-8493-1855-6 *isbn = 0-521-83979-3 *isbn = 0-7506-8025-3