북의 모양 듣기

고유진동수가 모두 동일하므로 음색 스펙트럼에 동일한 배음이 포함되기 때문이다. 이 예는 고르돈, 웹 및 볼페르트에 의해 구성되었다. 두 다각형 모두 동일한 면적과 둘레를 가지고 있다.]] **북의 모양 듣기**는 북이 내는 소리, 즉 배음 목록에서 북 경계의 모양에 대한 정보를 추론하는 것이다. 경계의 모양이 같은 북이 내는 소리들은 동일한데, 이와 반대로, 북이 내는 소리로 북의 모양이 유일하게 결정되는지에 대한 의문이 제기 되었다. 만약 이 추측이 참이라면, 북의 경계 모양과 배음 목록 사이에 1대1 대응이 존재하게 되나, 이는 평면 내부의 막에서 조차 일반적으로 거짓으로 증명되었다. "북 모양을 들을 수 있는가?"라는 문구는 이 질문을 유명하게 만든 *American Mathematical Monthly*의 Mark Kac의 1966년 논문 제목이다. 원래는 Lipman Bers에서 유래한다. 비슷한 질문은 1882년 물리학자 Arthur Schuster까지 거슬러 올라간다.확인날짜=2022-11-15 그의 논문으로 Kac은 1967년에 Lester R. Ford Award를, 1968년에는 Chauvenet Prize를 받았다url-status= 북을 고려하지 않더라도, 이 문제는 라플라스 연산자의 스펙트럼이 공간의 성질을 말해주는가의 문제이다. 이런 종류의 초기 결과 중 하나는 1911년 다비트 힐베르트의 적분 방정식 이론을 사용하여 유클리드 공간의 경계 영역의 부피가 라플라스 연산자의 디리클레 경계값 문제에 대한 고유값의 점근적 성질로부터 결정될 수 있음을 보여준 헤르만 바일에 의한 것이다 북의 막이 진동할 수 있는 주파수는 막 가장자리의 모양에 따라 다르다. 모양이 알려진 막의 주파수는 헬름홀츠 방정식을 통해 계산한다. 이러한 주파수는 주어진 공간 안의 라플라스 연산자의 고유값이다. 핵심 질문은 주파수를 알면 모양을 예측할 수 있는지 여부이다. 예를 들어, 뢸로 삼각형이 이런 방식으로 인식될 수 있는지 여부이다.url-status= Kac은 두 가지 다른 모양이 동일한 주파수 집합을 생성하는 것이 가능한지 여부를 알지 못했다고 인정했다. 주파수가 모양을 결정하는지에 대한 질문은 1990년대 초 고르돈, 웹 및 볼페르트에 의해 마침내 그렇지 않은 것으로 결론이 났다.
# 공식적 진술
보다 공식적으로 북은 경계가 고정된 탄성 막으로 본다. 이는 수학적으로 평면에서 영역 *D*이다. *D*에 대한 디리클레 고유값을 \lambda_n으로 표시한다. 즉, 라플라스 연산자에 대한 디르클레 문제의 고유값이다. : \begin{cases} \Delta u + \lambda u = 0\\\ u|_{\partial D} = 0 \end{cases} 두 영역이 동일한 고유값들을 갖는 경우 아이소스펙트럼(또는 동음성)이라고 한다. "동음"이라는 용어는 디리클레 고유값이 정확하게 북이 생성할 수 있는 기본 음이기 때문에 정당화된다. 이는 경계가 고정된 해 파동 방정식에서 푸리에 급수의 푸리에 계수로 자연스럽게 나타난다. 따라서 질문은 다음과 같이 다시 공식화될 수 있다. \lambda_n값만 알면 *D*에 대해 무엇을 추론할 수 있는가? 또는 더 구체적으로 말하면, 스펙트럼이 같은 두 개의 서로 다른 영역이 있는가? 관련 문제는 더 높은 차원의 영역이나 리만 다양체의 라플라스 연산자에 대한 디리클레 문제뿐만 아니라 코시-리만 연산자 또는 디랙 연산자와 같은 기타 타원 미분 연산자에 대해 공식화될 수 있다. 디르클레 조건 외에 노이만 경계 조건과 같은 다른 경계 조건을 적용할 수 있다. 스펙트럼 기하학 참조
# 대답
아이소스펙트럼 북의 단일 매개변수 족 GWW 도메인의 라플라스 연산자의 고유 모드 및 해당 고유 값 1964년에 존 밀너는 에른스트 비트가 제시한 격자에 관한 정리가 고유값들은 동일하지만 모양이 다른 한 쌍의 16차원 평면 원환체의 존재를 암시한다는 사실을 발견했다. 그러나 2차원 문제는 1992년 고르돈, 데이비드 웹 및 스콧 볼페르트가 스나다 방법을 기반으로 평면에서 모양은 다르지만 고유값은 동일한 한 쌍의 영역을 구성할 때까지 남아 있었다. 영역은 오목한 다각형이다. 두 영역이 동일한 고유값을 갖는다는 증명은 라플라스 연산자의 대칭성을 사용한다. 이 아이디어는 수많은 비슷한 사례를 구성한 Buser, 콘웨이, 도일 및 Semmler1994에 의해 일반화되었다. 따라서 Kac의 질문에 대한 대답은 다음과 같다. 많은 모양들에 대해 북 모양을 *완전히* 들을 수 없다. 그러나 일부 정보는 추론할 수 있다. 반면, 스티브 젤디치는 평면에서 해석적 경계가 있는 특정 볼록 영역으로 제한하면 Kac의 질문에 대한 대답이 긍정적이라는 것을 증명했다. 두 개의 볼록하지 않은 해석적 영역이 동일한 고유값을 가질 수 있는지 여부는 알려져 있지 않다. 주어진 영역과 스펙트럼이 같은 영역들의 집합은 C^{\infty} 위상에서 콤팩트하다는 것이 알려져 있다. 더욱이, (예를 들어)구는 쳉의 고유치 비교 정리에 의해 스펙트럼적으로 고정되어 있다. 오스굿, 필립스 및 사르낙의 결과에 따르면 주어진 종수의 리만 곡면의 모듈라이 공간은 어떤 점에서도 연속적인 아이소스펙트럼 흐름을 허용하지 않으며 프레셰-슈바르츠 위상에서 콤팩트하다는 것이 알려져 있다.
# 바일의 공식
바일의 공식에 따르면 \lambda_n이 얼마나 빠르게 증가하는지 계산하여 북의 면적 A를 추론할 수 있다. N(R)을 R보다 작은 고유값의 수로 정의하면 다음을 얻는다. : A = \omega_d^{-1}(2\pi)^d \lim_{R\to\infty}\frac{N(R)}{R^{d/2 여기서 d는 차원이고, \omega_ds는 d차원 단위 공의 부피이다. 바일은 또한 아래 근사의 다음 항이 D의 둘레를 제공할 것이라고 추측했다. 즉, *L이* 둘레의 길이(또는 더 높은 차원의 표면적)를 나타내는 경우 다음을 가져야 한다. : N(R) = (2\pi)^{-d}\omega_d AR^{d/2} \mp \frac{1}{4}(2\pi)^{-d+1}\omega_{d-1} LR^{(d-1)/2} + o(R^{(d-1)/2}). 매끄러운 경계에 대해서는 1980년 빅토르 이브리가 이를 증명했다. 또한 다양체는 구에서처럼 주기적인 측지선의 2개 매개변수 족을 가질 수 없다.
# 바일-베리 추측
매끄럽지 않은 경계의 경우 마이클 베리는 1979년에 수정이 다음과 같은 order로 이루어져야 한다고 추측했다. : R^{D/2} 여기서 *D*는 경계의 하우스도르프 차원이다. 그러나 이 추측은 브로사르와 카르모나에 의해 반증되었다. 이들은 하우스도르프 차원을 상위 상자 차원으로 대체해야 한다고 제안했다. 평면에서는 경계에 1차원이 있는지 여부가 증명되었다.(1993), 그러나 더 높은 차원에 대해서는 대부분 반증되었다(1996); 두 결과 모두 Lapidus 와 Pomerance에 의한 것이다.
# 참고문헌
* * doi=10.1007/BF01210795 * * jstor=2975346 * doi=10.1103/RevModPhys.82.2213 * * * (In Russian). * url-status= * * * .(Revised and enlarged second edition to appear in 2005.) * * * * *