사토 초함수

수학에서 **사토 초함수** 또는 **초함수**(hyperfunction)는 함수를 일반화한 것으로, 경계에서 하나의 정칙 함수에서 다른 정칙 함수로 '도약'하는 것을 의미하며, 비공식적으로는 무한 차수의 분포로 생각될 수 있다. 초함수는 사토 미키오가 1958년에 일본어로 (영어로는 1959년, 1960년) 도입했으며, 로랑 슈바르츠, 그로텐디크 등의 선행 연구를 바탕으로 발전했다.
# 공식화
실직선 상의 초함수는 상반평면에 정의된 하나의 정칙 함수와 하반평면에 정의된 다른 정칙 함수의 '차이'로 생각할 수 있다. 즉, 초함수는 (f, g) 쌍으로 지정되는데, 여기서 f는 상반평면의 정칙 함수이고 g는 하반평면의 정칙 함수이다. 비공식적으로, 초함수는 실직선 자체에서 f -g의 차이이다. 이 차이는 f와 g에 동일한 정칙 함수를 더해도 영향을 받지 않으므로, h가 전체 복소평면에서 정칙 함수라면 초함수 (f, g)와 (f + h, g + h)는 동등한 것으로 정의된다.
## 1차원에서의 정의
이러한 동기는 층 코호몰로지의 아이디어를 사용하여 구체적으로 구현될 수 있다. \mathcal{O}를 \Complex. 상의 정칙 함수의 층이라고 하자. 실직선 상의 초함수를 첫 번째 국소 코호몰로지 군으로 정의한다: :\mathcal{B}(\R) = H^1_{\R}(\Complex , \mathcal{O}). 구체적으로, \Complex^+와 \Complex^-를 각각 상반평면과 하반평면이라고 하자. 그러면 \Complex^+ \cup \Complex^- = \Complex \setminus \R이므로 :H^1_{\R }(\Complex , \mathcal{O}) = \left [ H^0(\Complex ^+, \mathcal{O}) \oplus H^0(\Complex ^-, \mathcal{O}) \right ] /H^0(\Complex , \mathcal{O}). 어떤 층의 0번째 코호몰로지 군은 단순히 그 층의 전체 단면이므로, 초함수는 상부 복소수 반평면과 하부 복소수 반평면에 각각 하나씩 있는 한 쌍의 정칙 함수를 전체 정칙 함수를 법으로 하여 정의된다는 것을 알 수 있다. 더 일반적으로, U\subseteq\R인 임의의 열린집합 U에 대해 \mathcal{B}(U)를 몫 H^0(\tilde{U}\setminus U,\mathcal{O}) / H^0(\tilde{U},\mathcal{O})로 정의할 수 있다. 여기서 \tilde{U}\subseteq\Complex는 \tilde{U}\cap\mathbb{R}=U인 임의의 열린집합이다. 이 정의는 \tilde{U}의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있으며, 이는 초함수를 정칙 함수의 "경계값"으로 생각하는 또 다른 이유를 제공한다.
# 예시
*f가 전체 복소평면에서 정칙 함수이면, f의 실수 축으로의 제한은 (f, 0) 또는 (0, -f)로 표현되는 초함수이다. *단위 계단 함수는 H(x) = \left(1-\frac{1}{2\pi i}\log(z),-\frac{1}{2\pi i}\log(z)\right).로 표현될 수 있다. 여기서 \log(z)는 z의 복소 로그의 주값이다. *디랙 델타 "함수"는 \left(\dfrac{1}{2\pi iz}, \dfrac{1}{2\pi iz}\right).로 표현된다. 이는 코시 적분 공식의 재진술이다. 이를 확인하기 위해 실수 선 바로 아래의 f 적분을 계산하고 실수 선 바로 위의 g 적분을 빼면 된다. 둘 다 왼쪽에서 오른쪽으로 진행한다. 초함수는 구성 요소가 동일한 함수의 해석적 연속이더라도 자명하지 않을 수 있다는 점에 유의해야 한다. 또한 이는 헤비사이드 함수를 미분하여 쉽게 확인할 수 있다. *I를 유계 구간으로 포함하는 지지집합을 가진 실직선 상의 연속 함수 (또는 더 일반적으로 분포) g에 대해, g는 (f, -f)에 대응한다. 여기서 f는 I의 보집합에서 정의된 정칙 함수이며, f(z)= \frac 1 {2\pi i} \int_{x\in I} g(x) \frac 1 {z-x} \, dx.로 주어진다. 이 함수 f는 x점에서 실수 축을 가로지를 때 g(x)만큼 값이 변화한다. f에 대한 공식은 g를 디랙 델타 함수와의 합성곱으로 작성함으로써 이전 예시로부터 얻을 수 있다. *단위 분할을 사용하여 모든 연속 함수(분포)를 콤팩트 지지집합을 갖는 함수(분포)들의 국소 유한 합으로 쓸 수 있다. 이를 이용하여 위 임베딩을 \textstyle\mathcal{D}'(\R)\to\mathcal{B}(\R).로 확장할 수 있다. *f가 0에서 본질적 특이점을 제외하고 모든 곳에서 정칙 함수인 경우(예: e1/z), (f, -f)는 지지집합 0을 갖는 초함수이지만 분포는 아니다. f가 0에서 유한 차수의 극을 갖는다면 (f, -f)는 분포이며, 따라서 f가 본질적 특이점을 갖는다면 (f, -f)는 0에서 "무한 차수의 분포"처럼 보인다. (분포는 항상 어떤 점에서 유한 차수를 갖는다.)
# 초함수의 연산
U\subseteq\R가 임의의 열린 부분집합이라고 하자. * 정의에 따라 \mathcal{B}(U)는 덧셈과 복소수 곱셈이 잘 정의된 벡터 공간이다. 명시적으로: a(f_+,f_-)+b(g_+,g_-) := (af_++bg_+, af_-+bg_-) * 명백한 제한 사상은 \mathcal{B}를 층으로 만든다 (실제로는 말랑한 층이다). * 실수 해석 함수 h\in\mathcal{O}(U)와의 곱셈 및 미분은 잘 정의된다:\begin{align} h(f_+,f_-) &:= (hf_+, hf_-) \\\ [6pt] \frac{d}{dz}(f_+,f_-) &:= \left (\frac{df_+}{dz},\frac{df_-}{dz} \right) \end{align} 이 정의로 \mathcal{B}(U)는 D가군이 되고, \mathcal{D}'\hookrightarrow\mathcal{B} 임베딩은 D가군의 사상이 된다. * a\in U는 f\in\mathcal{B}(U)의 정칙점이라고 불리는데, 만약 f가 a의 어떤 작은 이웃에서 실수 해석 함수로 제한된다면 그렇다. 만약 a\leqslant b가 두 개의 정칙점이라면, 적분은 잘 정의된다: \int_a^b f := -\int_{\gamma_+} f_+(z) \, dz + \int_{\gamma_-} f_-(z) \, dz 여기서 \gamma_{\pm}:[0,1] \to \Complex^{\pm}는 \gamma_{\pm}(0)=a, \gamma_{\pm}(1)=b.인 임의의 곡선이다. 상반평면과 하반평면이 단일 연결이므로 적분은 이 곡선들의 선택에 독립적이다. *콤팩트 지지집합을 갖는 초함수의 공간을 \mathcal{B}_c(U)라고 하자. 쌍선형 형식 \begin{cases} \mathcal{B}_c(U)\times\mathcal{O}(U)\to\Complex \\\ (f,\varphi)\mapsto\int f \cdot \varphi \end{cases}를 통해 콤팩트 지지집합을 갖는 각 초함수에 대해 \mathcal{O}(U) 상의 연속 선형 함수를 연관시킨다. 이는 이중 공간인 \mathcal{O}'(U),와 \mathcal{B}_c(U).의 동형을 유도한다. 고려할 가치가 있는 특별한 경우는 콤팩트 지지집합을 갖는 연속 함수 또는 분포의 경우이다: 만약 C_c^0(U) (또는 \mathcal{E}'(U))를 위 임베딩을 통해 \mathcal{B}(U)의 부분집합으로 간주하면, 이는 정확히 전통적인 르베그 적분을 계산한다. 또한: 만약 u\in\mathcal{E}'(U)가 콤팩트 지지집합을 갖는 분포이고, \varphi\in\mathcal{O}(U)가 실수 해석 함수이며, \operatorname{supp}(u)\subset(a,b)이면 \int_a^b u\cdot\varphi = \langle u,\varphi\rangle. 따라서 이 적분 개념은 \int_a^b \delta(x) \, dx와 같은 형식적인 표현에 정확한 의미를 부여하며, 이는 일반적인 의미에서는 정의되지 않는다. 더욱이: 실수 해석 함수가 \mathcal{E}(U)에서 조밀하기 때문에 \mathcal{E}'(U)는 \mathcal{O}'(U)의 부분공간이다. 이는 동일한 임베딩 \mathcal{E}'\hookrightarrow\mathcal{B}의 다른 설명이다. * \Phi:U\to V가 \R의 열린집합들 사이의 실수 해석 사상이라면, \Phi와의 합성은 \mathcal{B}(V)에서 \mathcal{B}(U)로의 잘 정의된 연산자이다: f\circ\Phi := (f_+\circ\Phi,f_-\circ\Phi)