곱 적분

**곱 적분**(Product integral)은 미적분학의 일반적인 합 기반 적분에 대한 곱 기반 대응물이다. 곱 적분은 1887년 수학자 비토 볼테라가 선형 미분 방정식 시스템을 해결하기 위해 개발했다.V. Volterra, B. Hostinský, Opérations Infinitésimales Linéaires, Gauthier-Villars, Paris (1938).A. Slavík, Product integration, its history and applications, , Matfyzpress, Prague, 2007.
# 비공식적 개요
함수 f:[a,b]\to\mathbb{R}의 고전적인 리만 적분은 다음 관계로 정의될 수 있다. :\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\Delta x\to 0}\sum f(x_i)\,\Delta x, 여기서 극한은 구간 [a,b]의 모든 구간의 분할에 대해 취해지며, 이들의 노름은 0에 접근한다. 곱 적분은 비슷하지만 합의 극한 대신 곱의 극한을 취한다. 이는 "이산수학적" 곱의 "연속" 버전으로 생각될 수 있다. 다음과 같이 정의된다. :\prod_a^b \big(1 + f(x)\,dx\big) = \lim_{\Delta x \to 0} \prod \big(1 + f(x_i)\,\Delta x\big). f:[a,b]\to\R의 경우, 곱 적분은 르베그 적분의 경우, 즉 고전 미적분학으로 정확히 환원된다. 따라서 흥미로운 경우는 A가 유한 차원 행렬장과 같은 가환대수학이거나 A가 비가환대수인 함수 f:[a,b]\to A에 대해 발생한다. 이 두 경우, 가환 경우와 비가환 경우에 대한 이론은 공통점이 거의 없다. 비가환 경우는 훨씬 더 복잡하다. 적분을 잘 정의하기 위해서는 적절한 경로 정렬이 필요하다.
## 가환 경우
가환 경우의 경우, 문헌에는 Type-I, Type-II 또는 기하학적, Type-III 또는 이중기하학적이라고 불리는 세 가지 명확한 정의가 일반적이다. Michael Grossman. The First Nonlinear System of Differential And Integral Calculus, , 1979.Michael Grossman. Bigeometric Calculus: A System with a Scale-Free Derivative, , 1983. 이러한 적분은 역학(카플란-마이어 생존분석) 및 확률적 개체군 역학에서 사용되었다. 기하학적 적분은 기하학적 미분과 함께 이미지 분석Luc Florack and Hans van Assen."Multiplicative calculus in biomedical image analysis", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 10.1007/s10851-011-0275-1, 2011. 및 성장/감쇠 현상(예: 경제성장, 박테리아 성장, 방사성 붕괴) 연구에 유용하다.Diana Andrada Filip and Cyrille Piatecki. "An overview on non-Newtonian calculus and its potential applications to economics", Applied Mathematics – A Journal of Chinese Universities, Volume 28, China Society for Industrial and Applied Mathematics, Springer, 2014.Agamirza E. Bashirov, Emine Misirli, Yucel Tandogdu, and Ali Ozyapici."On modelling with multiplicative differential equations", Applied Mathematics – A Journal of Chinese Universities, Volume 26, Number 4, pages 425–428, 10.1007/s11766-011-2767-6, Springer, 2011. 이중기하학적 적분은 이중기하학적 미분과 함께 프랙탈의 일부 응용 프로그램,Marek Rybaczuk."Critical growth of fractal patterns in biological systems", Acta of Bioengineering and Biomechanics, Volume 1, Number 1, Wroclaw University of Technology, 1999.Marek Rybaczuk, Alicja Kedzia and Witold Zielinski (2001) "The concept of physical and fractal dimension II. The differential calculus in dimensional spaces", Chaos, Solitons, & FractalsVolume 12, Issue 13, October 2001, pages 2537–2552.s2cid=120404112Dorota Aniszewska and Marek Rybaczuk (2005) "Analysis of the multiplicative Lorenz system", Chaos, Solitons & Fractals Volume 25, Issue 1, July 2005, pages 79–90. 및 경제학의 함수의 탄력성 이론에서 유용하다.Fernando Córdova-Lepe. "The multiplicative derivative as a measure of elasticity in economics", TMAT Revista Latinoamericana de Ciencias e Ingeniería, Volume 2, Number 3, 2006.
## 비가환 경우
비가환 경우는 일반적으로 양자역학과 양자장론에서 발생한다. 피적분 함수는 일반적으로 일부 비가환대수에 속하는 연산자이다. 이 경우, 적분할 때 경로 정렬을 설정하는 데 주의해야 한다. 일반적인 결과는 정렬된 지수이다. 마그누스 전개는 볼테라 적분을 계산하는 한 가지 기술을 제공한다. 예로는 다이슨 전개, 연산자 곱 전개 및 게이지 장에 대한 곱 적분인 윌슨 선에서 발생하는 적분이 있다. 윌슨 고리는 윌슨 선의 트레이스이다. 곱 적분은 제어이론에서도 발생하며, 선형계에서 마스터 방정식 유형으로 작성된 상태 전이를 설명하는 페아노-베이커 급수로 나타난다.
# 일반(비가환) 경우
볼테라 곱 적분은 행렬값 함수 또는 바나흐 대수의 값을 갖는 함수에 적용될 때 가장 유용하다. 비가환 필드에 속하는 스칼라, 행렬 및 연산자, 즉 교환하지 않는 수학적 개체에 적용될 때, 볼테라 적분은 두 가지 정의로 나뉜다.url=https://books.google.com/books?id=hUDEDwAAQBAJ&pg;=PA64 **왼쪽 곱 적분**은 다음과 같다. :P(A,D)=\prod_{i=m}^{1}(\mathbb{1}+A(\xi_i)\Delta t_i) = (\mathbb{1}+A(\xi_m)\Delta t_m) \cdots (\mathbb{1}+A(\xi_1)\Delta t_1) 이러한 왼쪽 곱(즉, 왼쪽에서 적용되는 일반 곱) 표기법으로 :\prod_a^b (\mathbb{1}+A(t)dt)=\lim_{\max \Delta t_i \to 0} P(A,D) **오른쪽 곱 적분** :P(A,D)^*=\prod_{i=1}^{m}(\mathbb{1}+A(\xi_i)\Delta t_i) = (\mathbb{1}+A(\xi_1)\Delta t_1) \cdots (\mathbb{1}+A(\xi_m)\Delta t_m) 이러한 오른쪽 곱(즉, 오른쪽에서 적용되는) 표기법으로 :(\mathbb{1}+A(t)dt) \prod_a^b =\lim_{\max \Delta t_i \to 0} P(A,D)^* 여기서 \mathbb{1}은 항등 행렬이고 D는 리만 의미에서 구간 [a,b]의 분할, 즉 극한은 분할에서 최대 구간에 대한 것이다. 이 경우 시간 순서가 정의에서 어떻게 명확해지는지 주목하라. 마그누스 전개는 곱 적분을 계산하는 기술을 제공한다. 이는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 연속 시간 버전을 정의한다. 곱 적분은 1-매개변수 연속군을 정의하는 일련의 속성을 만족한다. 이들은 응용 프로그램을 보여주는 두 기사, 즉 다이슨 급수와 페아노-베이커 급수에 명시되어 있다.
# 가환 경우
가환 경우는 훨씬 간단하며, 결과적으로 다양한 표기법과 정의가 나타났다. 문헌에는 세 가지 고유한 스타일이 인기가 있다. 이 하위 섹션은 비토 볼테라 등이 선호하는 적분 \textstyle \int (일반적으로 곱셈 기호 또는 문자 P로 수정됨) 대신 곱 적분을 위해 곱셈 \textstyle \prod 표기법을 채택한다. 분야에 질서를 부여하기 위해 유형의 임의 분류가 채택되었다. 적분될 함수가 실수값을 가질 때, 이론은 정확히 르베그 적분 이론으로 환원된다.
## Type I: 볼테라 적분
Type I 곱 적분은 비토 볼테라의 원래 정의에 해당한다.isbn=0-201-13509-4volume=1 and 2 스칼라 함수 f:[a,b] \to \mathbb{R}에 대해 다음 관계가 존재한다. :\prod_a^b \big(1 + f(x)\,dx\big) = \exp\left(\int_a^b f(x) \,dx\right),
## Type II: 기하학적 적분
:\prod_a^b f(x)^{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \prod{f(x_i)^{\Delta x = \exp\left(\int_a^b \ln f(x) \,dx\right), 이를 **기하학적 적분**이라고 한다. 로그는 f가 실수 또는 복소수 값을 취하거나 f가 교환하는 트레이스-클래스 연산자의 가환 필드 값을 취할 때 잘 정의된다. 이 곱 적분의 정의는 이산수학적 곱 범함수 \textstyle \prod_{i=a}^b (여기서 i, a, b \in \mathbb{Z})의 연속 아날로그이며, (정규/표준/가법) 적분 \textstyle \int_a^b dx (여기서 x \in [a,b])의 곱셈 아날로그이다. :{| class="wikitable" |- ! ! 가법 || 곱셈 |- ! 이산 | \sum_{i=a}^b f(i) || \prod_{i=a}^b f(i) |- ! 연속 |\int_a^b f(x)\,dx||\prod_a^b f(x)^{dx} |} 이는 확률론에서 매우 유용한데, 여기서 로그 가능도(즉, 독립 확률 변수들의 곱 적분의 로그)는 이들(무한히 많은) 확률 변수들의 로그의 적분과 같다. :\ln \prod_a^b p(x)^{dx} = \int_a^b \ln p(x) \,dx.
## Type III: 이중기하학적 적분
:\prod_a^b f(x)^{d(\ln x)} = \exp\left(\int_{\ln(a)}^{\ln(b)} \ln f(e^x) \,dx\right), Type III 곱 적분은 **이중기하학적 적분**이라고 불린다.
## 기본 결과
가환 경우의 경우, 다음 결과는 Type II 곱 적분(기하학적 적분)에 대해 성립한다. : \prod_a^b c^{dx} = c^{b-a}, : \prod_a^b x^{dx} = \frac{b^b}{a^a} {\rm e}^{a-b}, : \prod_0^b x^{dx} = b^b {\rm e}^{-b}, : \prod_a^b \left(f(x)^k\right)^{dx} = \left(\prod_a^b f(x)^{dx}\right)^k, : \prod_a^b \left(c^{f(x)}\right)^{dx} = c^{\int_a^b f(x) \,dx}, 기하학적 적분(위의 Type II)은 **기하학적 미적분학**에서 중심적인 역할을 한다. M. Grossman, R. Katz, Non-Newtonian Calculus, , Lee Press, 1972. A. E. Bashirov, E. M. Kurpınar, A. Özyapıcı. Multiplicative calculus and its applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008. 이는 곱셈적 미적분학이다. 기하학적 적분의 역수, 즉 f^*(x)로 표기되는 **기하학적 미분**은 다음 관계를 사용하여 정의된다. : f^*(x)=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right) 따라서 다음을 결론 내릴 수 있다. ;기본 정리 : \prod_a^b f^*(x)^{dx} = \prod_a^b \exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)} \,dx\right) = \frac{f(b)}{f(a)}, ;곱 규칙 : (fg)^* = f^* g^*. ;몫 규칙 : (f/g)^* = f^*/g^*. ;큰 수의 법칙 : \sqrt[n]{X_1 X_2 \cdots X_n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \prod_x X^{dF(x)}, 여기서 **X**는 확률 분포 F(x)를 갖는 확률 변수이다. 표준 큰 수의 법칙과 비교하라. : \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \int X \,dF(x).
# 가환 경우: 르베그 유형 곱 적분
피적분 함수가 실수 값을 가질 때, 단순 함수를 사용하여 곱 적분을 쉽게 다룰 수 있다. 르베그 버전의 (고전) 적분의 경우와 마찬가지로, 단순 함수의 곱 적분으로 근사하여 곱 적분을 계산할 수 있다. Type II 기하학적 적분은 정확히 고전 르베그 적분의 경우로 환원된다.
## Type I: 볼테라 적분
단순 함수는 계단 함수를 일반화하므로, 여기서는 계단 함수인 단순 함수의 특수한 경우만 고려할 것이다. 이는 르베그 정의를 리만 정의와 비교하기 쉽게 할 것이다. 태그가 지정된 분할을 갖는 계단 함수 f: [a,b] \to \mathbb{R}가 주어졌을 때 : a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b, \quad x_0 \le t_1 \le x_1, x_1 \le t_2 \le x_2, \dots, x_{n-1} \le t_n \le x_n, Type I 곱 적분의 "리만 정의"의 한 근사는 다음과 같다.A. Slavík, Product integration, its history and applications, p. 65. Matfyzpress, Prague, 2007. . : \prod_{k=1}^n \left[ \big(1 + f(t_k)\big) \cdot (x_k - x_{k-1}) \right]. (Type I) 곱 적분은 1931년 루트비히 슐레징거의 논문에서 대략적으로 이러한 곱의 극한으로 정의되었다. Type I 곱 적분의 "리만 정의"의 또 다른 근사는 다음과 같이 정의된다. : \prod_{k=1}^n \exp\big(f(t_k) \cdot (x_k - x_{k-1})\big). f가 상수 함수일 때, 첫 번째 유형의 근사의 극한은 두 번째 유형의 근사와 같다.A. Slavík, Product integration, its history and applications, p. 71. Matfyzpress, Prague, 2007. . 일반적으로 계단 함수의 경우, 두 번째 유형의 근사값은 분할이 계단 함수를 정의하는 분할의 세분인 한 분할에 의존하지 않는 반면, 첫 번째 유형의 근사값은 분할이 계단 함수를 정의하는 분할의 세분인 경우에도 분할의 세밀함에 의존한다는 점을 주목하라. 어떤 곱 적분 가능 함수 f에 대해서든, 첫 번째 유형의 근사의 극한은 두 번째 유형의 근사의 극한과 같음이 밝혀졌다.A. Slavík, Product integration, its history and applications, p. 72. Matfyzpress, Prague, 2007. . 계단 함수의 경우, 두 번째 유형의 근사값은 "충분히 세밀한" 분할에 대해 분할의 세밀함에 의존하지 않으므로, 계단 함수의 "르베그 (Type I) 곱 적분"을 다음과 같이 정의하는 것이 합리적이다.A. Slavík, Product integration, its history and applications, p. 80. Matfyzpress, Prague, 2007. : \prod_a^b \big(1 + f(x) \,dx\big) \overset{def}{=} \prod_{k=1}^n \exp\big(f(s_k) \cdot (y_k - y_{k-1})\big), 여기서 y_0 < a = s_1 < y_1 < \dots < y_{n-1} < s_n < y_n = b는 계단 함수 f에 해당하는 태그가 지정된 분할이다. (대조적으로, 해당 양은 첫 번째 유형의 근사를 사용하여 모호하게 정의되지 않을 것이다.) 이것은 임의의 측도 공간으로 쉽게 일반화된다. X가 측도 \mu를 갖는 측도 공간이고, f(x) = \sum_{k=1}^n a_k I_{A_k}(x)인 곱 적분 가능 단순 함수(즉, 일부 서로소 가측 집합 A_1, A_2, \dots, A_n \subseteq X에 대한 지시 함수의 원뿔 조합)에 대해, 그 Type I 곱 적분은 다음과 같이 정의된다. : \prod_X \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) \overset{def}{=} \prod_{k=1}^n \exp\big(a_k \mu(A_k)\big), a_k는 A_k의 임의의 지점에서 f의 값이므로. 특수한 경우 X = \mathbb{R}, \mu 가 르베그 측도, 그리고 모든 가측 집합 A_k가 구간일 때, 이것이 해당 특수한 경우에 주어진 정의와 같음을 확인할 수 있다. (고전) 르베그 적분 이론과 유사하게, 임의의 곱 적분 가능 함수 f의 Type I 곱 적분은 곱 적분 가능 단순 함수의 볼테라 곱 적분의 증가하는 수열의 극한으로 작성될 수 있다. 위 정의의 양변에 로그를 취하면, 어떤 곱 적분 가능 단순 함수 f에 대해 다음을 얻는다. : \ln \left(\prod_X \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) \right) = \ln \left( \prod_{k=1}^n \exp\big(a_k \mu(A_k)\big) \right) = \sum_{k=1}^n a_k \mu(A_k) = \int_X f(x) \,d\mu(x) \iff : \prod_X \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) = \exp \left( \int_X f(x) \,d\mu(x) \right), 여기서 단순 함수에 대한 적분의 정의를 사용했다. 또한, \exp와 같은 연속 함수는 극한과 교환될 수 있고, 곱 적분 가능 함수 f의 곱 적분은 단순 함수의 곱 적분의 극한과 같으므로, 다음 관계가 : \prod_X \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) = \exp \left( \int_X f(x) \,d\mu(x) \right) 어떤 곱 적분 가능 f에 대해서도 일반적으로 성립한다. 이는 위에서 언급된 속성을 분명히 일반화한다. Type I 적분은 집합 함수로서 곱셈적이며,Gill, Richard D., Soren Johansen. "A Survey of Product Integration with a View Toward Application in Survival Analysis". The Annals of Statistics 18, no. 4 (December 1990): 1501—555, p. 1503. 이는 위 속성을 사용하여 보여줄 수 있다. 더 구체적으로, 곱 적분 가능 함수 f가 주어졌을 때, 모든 가측 집합 B \subseteq X 에 대해 정의하여 집합 함수 {\cal V}_f를 정의할 수 있다. : {\cal V}_f(B) \overset{def}{=} \prod_B \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) \overset{def}{=} \prod_X \big(1 + (f \cdot I_B)(x) \,d\mu(x)\big), 여기서 I_B(x)는 B의 지시 함수를 나타낸다. 그러면 임의의 두 서로소 가측 집합 B_1, B_2에 대해 다음이 성립한다. : \begin{align} {\cal V}_f(B_1 \sqcup B_2) &= \prod_{B_1 \sqcup B_2} \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) \\\ &= \exp\left( \int_{B_1 \sqcup B_2} f(x) \,d\mu(x) \right) \\\ &= \exp\left( \int_{B_1} f(x) \,d\mu(x) + \int_{B_2} f(x) \,d\mu(x) \right) \\\ &= \exp\left( \int_{B_1} f(x) \,d\mu(x) \right) \exp\left( \int_{B_2} f(x) \,d\mu(x) \right) \\\ &= \prod_{B_1} (1 + f(x)d \mu(x)) \prod_{ B_2} (1 + f(x) \,d\mu(x)) \\\ &= {\cal V}_f(B_1 ) {\cal V}_f(B_2). \end{align} 이 속성은 시그마-가법 집합 함수인 측도와 대조될 수 있다. 그러나 Type I 적분은 범함수로서 곱셈적이 아니다. 두 개의 곱 적분 가능 함수 f , g와 가측 집합 A가 주어졌을 때, 일반적으로 다음이 성립한다. : \prod_A \big(1 + (fg)(x) \,d\mu(x)\big) \neq \prod_A \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) \prod_A \big(1 + g(x) \,d\mu(x)\big).
## Type II: 기하학적 적분
X가 측도 \mu를 갖는 측도 공간일 때, 임의의 곱 적분 가능 단순 함수 f(x) = \sum_{k=1}^n a_k I_{A_k}(x) (즉, 서로소 가측 집합 A_1, A_2, \dots, A_n \subseteq X에 대한 지시 함수의 원뿔 조합)에 대해, 그 Type II 곱 적분은 다음과 같이 정의된다. : \prod_X f(x)^{d\mu(x)} \overset{def}{=} \prod_{k=1}^n a_k^{\mu(A_k)}. 이것은 위에서 주어진 정의를 일반화하는 것으로 볼 수 있다. 양변에 로그를 취하면, 임의의 곱 적분 가능 단순 함수 f에 대해 다음을 알 수 있다. : \ln \left( \prod_X f(x)^{d\mu(x)} \right) = \sum_{k=1}^n \ln(a_k) \mu(A_k) = \int_X \ln f(x) \,d\mu (x) \iff \prod_X f(x)^{d\mu(x)} = \exp\left( \int_X \ln f(x) \,d\mu (x) \right), 여기서 단순 함수에 대한 르베그 적분의 정의가 사용되었다. 이 관찰은 위에서 Type II 적분에 대해 이미 한 관찰과 유사하며, "Type II 기하학적 적분의 르베그 이론"을 (고전) 적분의 르베그 이론으로 완전히 환원할 수 있게 한다. 다시 말해, \exp 및 \ln와 같은 연속 함수는 극한과 교환될 수 있고, 임의의 곱 적분 가능 함수 f의 곱 적분은 단순 함수의 곱 적분의 증가하는 수열의 극한과 같으므로, 다음 관계가 : \prod_X f(x)^{d\mu(x)} = \exp\left( \int_X \ln f(x) \,d\mu(x) \right) 임의의 곱 적분 가능 f에 대해서도 일반적으로 성립한다. 이는 위에 언급된 기하학적 적분의 속성을 일반화한다.