시소이드

O **시소이드**(Cissoid)는 기하학에서 두 개의 주어진 곡선 1, 2와 점 O(**극**)으로부터 생성되는 평면 곡선이다. O를 지나 1과 1에서, 2와 2에서 교차하는 가변 직선 L이 있다고 하자. L 위의 점 P는 \overline{OP} = \overline{P_1 P_2}를 만족한다. (실제로 그러한 점은 두 개가 있지만, P는 2가 1에서와 같은 방향으로 O에서 선택된다.) 그러면 그러한 점 P의 자취는 O에 대한 곡선 1, 2의 시소이드로 정의된다. 약간 다르지만 본질적으로 동등한 정의가 다른 저자들에 의해 사용된다. 예를 들어, P는 \overline{OP} = \overline{OP_1} + \overline{OP_2}를 만족하는 점으로 정의될 수 있다. 이것은 1이 O를 통한 반사로 대체되면 다른 정의와 동등하다. 또는 P는 1과 2의 중점으로 정의될 수 있다. 이것은 이전 곡선이 1/2의 인수로 스케일링된 곡선을 생성한다.
# 방정식
만약 1과 2가 각각 r=f_1(\theta)와 r=f_2(\theta)로 극좌표계로 주어지면, 방정식 r=f_2(\theta)-f_1(\theta)는 원점에 대한 1과 2의 시소이드를 나타낸다. 그러나 극좌표계에서 한 점은 여러 가지 방식으로 표현될 수 있으므로, 다른 방정식을 가지는 시소이드의 다른 가지가 있을 수 있다. 특히, 1은 다음으로도 주어진다. : \begin{align} & r=-f_1(\theta+\pi) \\\ & r=-f_1(\theta-\pi) \\\ & r=f_1(\theta+2\pi) \\\ & r=f_1(\theta-2\pi) \\\ & \qquad \qquad \vdots \end{align} 따라서 시소이드는 실제로는 방정식으로 주어진 곡선들의 합집합이다. :\begin{align} & r=f_2(\theta)-f_1(\theta) \\\ & r=f_2(\theta)+f_1(\theta+\pi) \\\ &r;=f_2(\theta)+f_1(\theta-\pi) \\\ & r=f_2(\theta)-f_1(\theta+2\pi) \\\ & r=f_2(\theta)-f_1(\theta-2\pi) \\\ & \qquad \qquad \vdots \end{align} 1과 2의 주기에 따라 중복으로 인해 어떤 방정식이 제거될 수 있는지는 개별적으로 결정할 수 있다. 타원 r=\frac{1}{2-\cos \theta}는 빨간색, 두 시소이드 가지는 검은색과 파란색 (원점) 예를 들어, 1과 2가 모두 타원이라고 하자. :r=\frac{1}{2-\cos \theta}. 시소이드의 첫 번째 가지는 다음으로 주어진다. :r=\frac{1}{2-\cos \theta}-\frac{1}{2-\cos \theta}=0, 이것은 단순히 원점이다. 타원은 다음으로도 주어진다. :r=\frac{-1}{2+\cos \theta}, 따라서 시소이드의 두 번째 가지는 다음으로 주어진다. :r=\frac{1}{2-\cos \theta}+\frac{1}{2+\cos \theta} 이것은 타원 모양의 곡선이다. 만약 각 1과 2가 매개변수 방정식으로 주어진다면 :x = f_1(p),\ y = px 그리고 :x = f_2(p),\ y = px, 그러면 원점에 대한 시소이드는 다음으로 주어진다. :x = f_2(p)-f_1(p),\ y = px.
# 특정 경우
1이 O를 중심으로 하는 원일 때, 시소이드는 2의 콘코이드이다. 1과 2가 평행선일 때, 시소이드는 주어진 선들에 평행한 세 번째 선이다.
## 쌍곡선
1과 2가 평행하지 않은 두 직선이고, O가 원점이라고 하자. 1과 2의 극방정식이 다음과 같다고 하자. :r=\frac{a_1}{\cos (\theta-\alpha_1)} 그리고 :r=\frac{a_2}{\cos (\theta-\alpha_2)}. 각 \tfrac{\alpha_1-\alpha_2}{2}만큼 회전하면 \alpha_1 = \alpha,\ \alpha_2 = -\alpha라고 가정할 수 있다. 그러면 원점에 대한 1과 2의 시소이드는 다음으로 주어진다. :\begin{align} r & = \frac{a_2}{\cos (\theta+\alpha)} - \frac{a_1}{\cos (\theta-\alpha)} \\\ & =\frac{a_2\cos (\theta-\alpha)-a_1\cos (\theta+\alpha)}{\cos (\theta+\alpha)\cos (\theta-\alpha)} \\\ & =\frac{(a_2\cos\alpha-a_1\cos\alpha)\cos\theta-(a_2\sin\alpha+a_1\sin\alpha)\sin\theta}{\cos^2\alpha\ \cos^2\theta-\sin^2\alpha\ \sin^2\theta}. \end{align} 상수들을 합치면 :r=\frac{b\cos\theta+c\sin\theta}{\cos^2\theta-m^2\sin^2\theta} 이것을 데카르트 좌표로 표현하면 :x^2-m^2y^2=bx+cy. 이것은 원점을 지나는 쌍곡선이다. 따라서 평행하지 않은 두 직선의 시소이드는 극을 포함하는 쌍곡선이다. 유사한 유도를 통해, 역으로, 어떤 쌍곡선도 그 위의 임의의 점에 대한 두 평행하지 않은 직선의 시소이드임을 보여준다.
## 자흐라드니크의 시소이드
**자흐라드니크의 시소이드**(카렐 자흐라드니크의 이름을 따서 명명됨)는 원뿔 곡선과 원뿔 곡선 위의 임의의 점에 대한 직선의 시소이드로 정의된다. 이것은 여러 잘 알려진 예시를 포함하는 넓은 범위의 유리 3차 곡선족이다. 특히: * 맥로린의 삼등분선은 다음으로 주어진다. ::2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2) :이것은 원점 기준 원 (x+a)^2+y^2 = a^2과 직선 x=-\tfrac{a}{2}의 시소이드이다. * 직교 스트로포이드 ::y^2(a+x) = x^2(a-x) :이것은 원점 기준 원 (x+a)^2+y^2 = a^2과 직선 x=-a의 시소이드이다. 디오클레스의 시소이드를 시각화한 애니메이션 * 디오클레스의 시소이드 ::x(x^2+y^2)+2ay^2=0 :이것은 원점 기준 원 (x+a)^2+y^2 = a^2과 직선 x=-2a의 시소이드이다. 이것은 실제로 이 곡선족의 이름이 붙여진 곡선이며 일부 저자는 이것을 단순히 시소이드라고 부른다. * 원 (x+a)^2+y^2 = a^2과 직선 x=ka, (여기서 k는 매개변수)의 시소이드를 드 슬루즈의 콘코이드라고 한다. (이 곡선들은 실제로는 콘코이드가 아니다.) 이 곡선족에는 이전 예시들이 포함된다. * 데카르트의 엽선 ::x^3+y^3=3axy :이것은 원점 기준 타원 x^2-xy+y^2 = -a(x+y)와 직선 x+y=-a의 시소이드이다. 이를 확인하려면, 직선을 다음과 같이 쓸 수 있음에 주목하라. ::x=-\frac{a}{1+p},\ y=px :그리고 타원을 다음과 같이 쓸 수 있다. ::x=-\frac{a(1+p)}{1-p+p^2},\ y=px. :따라서 시소이드는 다음으로 주어진다. ::x=-\frac{a}{1+p}+\frac{a(1+p)}{1-p+p^2} = \frac{3ap}{1+p^3},\ y=px :이것은 엽선의 매개변수 형태이다.