리카티 방정식

수학에서 가장 좁은 의미의 **리카티 방정식**(Riccati equation)은 미지의 함수에 대해 이차적인 모든 1차 상미분 방정식을 말한다. 다시 말해, 다음 형식의 방정식이다. y'(x) = q_0(x) + q_1(x) \, y(x) + q_2(x) \, y^2(x) 여기서 q_0(x) \neq 0 및 q_2(x) \neq 0이다. 만약 q_0(x) = 0이면 이 방정식은 베르누이 미분방정식으로 축소되고, 만약 q_2(x) = 0이면 이 방정식은 1차 선형 상미분 방정식이 된다. 이 방정식은 야코포 리카티(1676~1754)의 이름을 따서 명명되었다.Riccati, Jacopo (1724) "Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradus" (Observations regarding differential equations of the second order), Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Supplementa, **8** : 66-73. Translation of the original Latin into English by Ian Bruce. 더 일반적으로 **리카티 방정식**이라는 용어는 유사한 이차항을 포함하는 행렬 방정식을 지칭하는 데 사용되며, 이는 연속 시간 및 이산 시간 선형-이차-가우스 제어 모두에서 나타난다. 이들의 정상 상태 (비동적) 버전은 대수적 리카티 방정식이라고 불린다.
# 2차 선형 방정식으로의 변환
**비선형** 리카티 방정식은 항상 2차 선형 상미분 방정식 (ODE)으로 변환될 수 있다. 만약 y' = q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2 이면, 2가 0이 아니고 미분 가능한 모든 곳에서, v = yq_2를 대입하면, \begin{align} v' &= (yq_2)' \\\\[4pt] &= y'q_2 +yq_2' \\\ &= \left(q_0+q_1 y + q_2 y^2\right) q_2 + v \frac{q_2'}{q_2} \\\ &= q_0q_2 + \left(q_1+\frac{q_2'}{q_2}\right) v + v^2 \end{align} 다음 형태의 리카티 방정식을 만족한다. v' = v^2 + R(x)v + S(x), 여기서 S = q_0q_2 이고 R = q_1 + \tfrac{q_2'}{q_2} 이다. v = -\tfrac{u'}{u}를 대입하면, u는 다음 선형 2차 ODE를 만족한다. u - R(x)u' + S(x)u = 0 왜냐하면 \begin{align} v' &= -\left( \frac{u'}{u} \right)' = -\left( \frac{u}{u} \right) + \left( \frac{u'}{u} \right)^2 \\\\[2pt] &= -\left( \frac{u}{u} \right) + v^2 \end{align} 이므로 \begin{align} \frac{u}{u} &= v^2 - v' \\\ &= -S - Rv \\\ &= -S + R\frac{u'}{u} \end{align} 따라서 u - Ru' + Su = 0. 이 선형 2차 방정식의 두 해를 변환식에 대입하면 y = -\frac{u'}{q_2u} = -q_2^{-1} \left[\log(u) \right]' 리카티 방정식의 일반 해에 대한 전역적 지식을 다음 공식으로 얻을 수 있다.doi=10.1007/978-1-4612-1532-5_3 y = -q_2^{-1} \left[\log(c_1 u_1 + c_2 u_2) \right]'.
# 복소해석학
복소해석학에서 리카티 방정식은 복소평면에서 다음 형태의 1차 비선형 ODE로 나타난다. \frac{d w}{dz} = F(w,z) = \frac{P(w,z)}{Q(w,z)}, 여기서 P와 Q는 w에 대한 다항식이고 z \in \mathbb{C}에 대한 국소 해석 함수이며, 즉 F는 복소 유리 함수이다. 이 형태의 방정식 중에서 팽르베 유형인 유일한 방정식은 리카티 방정식이다. \frac{dw(z)}{dz} = A_0 (z) + A_1 (z) w + A_2(z) w^2, 여기서 A_i (z)는 z의 (행렬일 수도 있는) 함수이다.
## 슈바르치안 방정식에의 적용
리카티 방정식의 중요한 응용 중 하나는 등각 사상 및 단일 함수 이론에서 나타나는 3차 슈바르치안 미분 방정식이다. S(w) := \left(\frac{w}{w'}\right)' - \frac{1}{2}\left(\frac{w}{w'}\right)^2 = f 이 경우 ODE는 복소수 영역에 있으며 미분은 복소 변수에 대한 것이다. (슈바르치안 미분 S(w)는 뫼비우스 변환에 불변이라는 놀라운 속성을 가지고 있다. 즉, ad-bc가 0이 아니면 S\bigl(\tfrac{aw+b}{cw+d}\bigr) = S(w)이다.) 함수 y = \tfrac{w}{w'} 는 리카티 방정식 y' = \frac{1}{2}y^2 + f. 를 만족한다. 위에 따르면 y = -2 \tfrac{u'}{u}이며, 여기서 u는 선형 ODE의 해이다. u + \frac{1}{2}fu = 0. \tfrac{w}{w'} = -2\tfrac{u'}{u}이므로, 적분하면 어떤 상수 C에 대해 w' = \tfrac{C}{u^2}을 얻는다. 반면에 선형 ODE의 다른 독립적인 해 U는 상수 비제로 Wronskian U'u - Uu'를 가지며, 이는 스케일링 후 C로 취할 수 있다. 따라서 w' = \frac{U'u-Uu'}{u^2} = \left(\frac{U}{u}\right)' 이므로 슈바르치안 방정식은 w = \tfrac{U}{u}라는 해를 가진다.
# 구적법을 이용한 해 얻기
리카티 방정식과 2차 선형 ODE 사이의 대응 관계는 다른 결과도 가져온다. 예를 들어, 2차 ODE의 한 해를 알면, 다른 해는 구적법, 즉 간단한 적분을 통해 얻을 수 있다는 것이 알려져 있다. 리카티 방정식도 마찬가지이다. 실제로, 특정한 해 1를 찾을 수 있다면, 일반 해는 다음과 같이 얻어진다. y = y_1 + u y_1 + u 를 리카티 방정식에 대입하면 다음을 얻는다. y_1' + u' = q_0 + q_1 \cdot (y_1 + u) + q_2 \cdot (y_1 + u)^2, 그리고 y_1' = q_0 + q_1 \, y_1 + q_2 \, y_1^2, 이므로 다음이 성립한다. u' = q_1 \, u + 2 \, q_2 \, y_1 \, u + q_2 \, u^2 또는 u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, u = q_2 \, u^2, 이는 베르누이 미분방정식이다. 이 베르누이 방정식을 푸는 데 필요한 치환은 다음과 같다. z =\frac{1}{u} y = y_1 + \frac{1}{z} 를 리카티 방정식에 직접 대입하면 선형 방정식 z' + (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, z = -q_2 을 얻는다. 리카티 방정식의 해 집합은 다음과 같이 주어진다. y = y_1 + \frac{1}{z} 여기서 z는 앞서 언급한 일차 방정식의 일반 해이다.
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