푸앵카레 부등식

수학에서 **푸엥카레 부등식은**jstor=2369620 프랑스 수학자 앙리 푸앵카레의 이름을 딴 소볼레프 공간 이론이다. 부등식을 통해 함수의 도함수에 대한 유계와 정의역의 기하학을 사용하여 함수에 대한 유계를 얻을 수 있다. 이러한 유계는 변수 미적분의 직접적인 방법 에서 매우 중요하다. 매우 밀접하게 관련된 것은 프리드리히 부등식이다.
# 명제

## 고전적 푸앵카레 부등식
1 ≤ *p* < ∞ 인 *p*, 그리고 Ω은 적어도 한 방향으로 유계되는 하위 집합으로 하자. 그런 다음 Ω, *p* 에만 종속하는 상수 *C가* 존재하므로, 소볼레프 공간 *W*01,*p*(Ω)의 모든 함수 *u* 에 대한 제로 트레이스(a.k.a 경계에서 0) 함수는 다음과 같다. : \| u \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)}.
## 푸앵카레-비르팅거 부등식
1 ≤ *p* ≤ ∞ 인 *p*, 그리고 Ω를 립시츠 경계의 *n* 차원 유클리드 공간 ℝ *n* 의 유계적이고 연결된 열린 부분 집합이라 하자(즉, Ω는 립시츠 영역). 그런 다음 소볼레프 공간 *W*1,*p*(Ω) 의 모든 함수 *u* 에 대해 Ω그리고 *p* 에만 종속되는 상수 *C* 가 존재한다.\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)},여기서u_{\Omega} = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u(y) \, \mathrm{d} y는 |Ω|과 함께 Ω에 대한 *u* 의 평균값이고, 정의역 Ω의 르베그 측도를 나타낸다. Ω이 공일 때 위의 부등식을 a (*p*,*p*) 푸엥카레 부등식이라고 한다; 보다 일반적인 정의역 Ω의 경우, 위의 식은 소볼레프 부등식으로 더 잘 알려져 있다. 평균값을 빼야 할 필요성은 도함수가 0인 상수 함수를 고려하면 알 수 있지만, 평균을 빼지 않고, 원하는 만큼 함수의 적분을 할 수 있다. 우린 상수함수를 다룰 때 평균값을 빼는 대신, 다른 상황이 있다. 예로 들어, 트레이스 제로를 만족하는, 또는 정의역의 부분집합에서 평균값을 빼는 것과 같은 상황이 있다. 푸엥카레 부등식의 상수 C는 상황에 따라 다를 수 있다. 또한, 함수에 상수 값을 더하면 함수의 적분값을 증가시킬 수 있지만, 도함수의 적분은 동일하게 유지된다고 말하는 것과 같기 때문에 문제는 상수 함수만이 아니다. 따라서 단순히 상수 함수를 제외하는 것으로는 문제가 해결되지는 않는다.
## 일반화
측도 공간의 맥락에서 푸앵카레 부등식의 정의는 약간 다르다. 한 가지 정의는 다음과 같다. 측도 공간은 일부에 대해 1\le q,p<\infty이고 상수 *C* 가 있고 λ ≥ 1 이면 공간의 각 공 B에 대해\mu(B)^{-\frac{1}{q \left \|u-u_B \right \|_{L^q(B)}\le C \operatorname{rad}(B) \mu(B)^{-\frac{1}{p \| \nabla u\|_{L^p(\lambda B)}. (q,p)-푸앵카레 부등식을 만족한다. 여기 오른쪽에 확대된 공이 있다. 측도 공간의 맥락에서, \|\nabla u\| Heinonen 및 Koskela의 의미에서 u의 최소 p-weak 위쪽 기울기이다.issn=1871-2509 공간이 푸앵카레 부등식을 만족하는지 여부는 공간의 기하학 및 분석과 깊은 관련이 있음이 밝혀졌다. 예를 들어, Cheeger는 Poincaré 부등식을 만족하는 배가 공간이 미분의 개념을 허용한다는 것을 보여주었다.doi=10.1007/s000390050094 이러한 공간에는 하위 리만 다양체 및 Laakso 공간이 포함된다. 다른 Sobolev 공간에 대한 Poincaré 부등식의 다른 일반화가 있다. 예를 들어, Sobolev 공간 *H* 1/2 ( **T** 2 ), 즉 푸리에 변환 *û를* 만족하는 단위 토러스 **T** 2 의 *L* 2 공간 에서 함수 *u* 의 공간을 고려하자.[u]_{H^{1/2} (\mathbf{T}^{2})}^2 = \sum_{k \in \mathbf{Z}^2} | k | \left | \hat{u} (k) \right |^2 < \+ \infty.이러한 맥락에서, Poincaré 부등식은 다음과 같이 말한다: 열린 집합 *E* ⊆ **T**2 에서 *u가* 동일하게 0인 모든 *u* ∈ *H*1/2(**T**2) 에 대해 다음과 같은 상수 *C* 가 존재한다.\int_{\mathbf{T}^2} | u(x) |^2 \, \mathrm{d} x \leq C \left( 1 + \frac1{\operatorname{cap} (E \times \\{ 0 \\})} \right) [ u ]_{H^{1/2} (\mathbf{T}^2)}^2,여기서 cap(*E* × {0}) ℝ3 의 부분 집합으로 생각할 때 수학|*E* × {0 의 고조파 용량을 나타낸다. 또 다른 일반화는 르베그 척도가 가중 버전으로 대체되는 가중 푸앵카레 부등식을 포함한다.
# 푸앵카레 상수
Poincaré 부등식의 최적 상수 *C는* 때때로 도메인 Ω에 대한 **Poincaré 상수** 로 알려져 있다. Poincaré 상수를 결정하는 것은 일반적으로 *p* 값과 도메인 Ω의 기하학에 의존하는 매우 어려운 작업이다. 그러나 특정 특수 사례는 다루기 쉽다. 예를 들어, Ω이 직경이 *d* 인 경계 가 있는 볼록한 Lipschitz 도메인인 경우 Poincaré 상수는 1=*p* = 1 인 경우 최대 *d* /2이다. d/\pi 1=*p* = 2,doi=10.1090/S0002-9939-03-07004-7issn=0003-9527에 대해 이것은 직경만의 관점에서 Poincaré 상수에 대한 최상의 추정치이다. 부드러운 함수의 경우 이는 함수의 수준 집합에 대한 등주 부등식의 적용으로 이해할 수 있다.보존날짜=March 3, 2012 한 차원에서 이것은 기능에 대한 Wirtinger의 부등식이다. 그러나 일부 특수한 경우 상수 *C를* 구체적으로 결정할 수 있다. 예를 들어, *p* 의 경우 = 2, 단위 이등변 직각 삼각형의 영역에서 *C* = 1/π( < *d* /π 여기서 d=\sqrt{2} ). 또한 매끄럽고 제한된 도메인 Ω 의 경우 공간에서 라플라스 연산자에 대한 레일리 지수(Rayleigh quotient) W^{1,2}_0(\Omega) 는 (음의) 라플라시안의 최소 고유값 λ1 에 해당하는 고유함수에 의해 최소화되며, 다음과 같은 단순한 결과이다. u\in W^{1,2}_0(\Omega) , \|u\|_{L^2}^2\leq \lambda_1^{-1} \left \|\nabla u\right \|_{L^2}^2또한 상수 λ1 이 최적이라는 것이다.