비티 수열

수학에서 **비티 수열**(Beatty sequence) 또는 **동차 비티 수열**(homogeneous Beatty sequence)은 1보다 큰 무리수의 양의 배수의 바닥 함수를 취하여 얻어지는 정수의 수열이다. 비티 수열은 1926년에 이 수열에 대해 저술한 새뮤얼 비티의 이름을 따서 명명되었다. 레일리 경의 이름을 딴 **레일리 정리**는 비티 수열에 속하지 않는 양의 정수로 구성된 비티 수열의 여집합이 다른 무리수에 의해 생성되는 비티 수열 자체임을 명시한다. 비티 수열은 슈투름 단어를 생성하는 데도 사용될 수 있다.
# 정의
1보다 큰 모든 무리수 r은 다음 비티 수열을 생성한다. \mathcal{B}_r = \bigl\\{ \lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \lfloor 3r \rfloor,\ldots \bigr\\} 두 무리수 r과 s = r/(r-1)은 자연스럽게 1/r + 1/s = 1 방정식을 만족한다. 이들이 생성하는 두 비티 수열 \mathcal{B}_r과 \mathcal{B}_s는 상호 보완적인 비티 수열 쌍을 이룬다. 여기서 "상호 보완적"이란 모든 양의 정수가 이 두 수열 중 정확히 하나에 속한다는 의미이다.
# 예시
r이 황금비 r=(1+\sqrt5)/2\approx 1.618일 때, r의 정수 배수 수열은 대략 다음과 같은 값을 갖는다. 1.618, 3.236, 4.854, 6.472, 8.090, 9.708, ... 이 숫자들을 정수로 내림하면 다음 수열 ( \lfloor nr \rfloor)이 얻어지며, 이는 하위 위토프 수열로 알려져 있다. id=A000201. 이 경우, 상호 보완적인 비티 수열은 다음으로부터 생성된다. s=\frac{r}{r-1}=\frac{(1+\sqrt5)/2}{(-1+\sqrt5)/2}=\frac{3+\sqrt5}{2}\approx 2.618. 그 정수 배수는 대략 다음과 같은 값을 갖는다. 2.618, 5.236, 7.854, 10.472, 13.090, 15.708, ... 이 값들을 정수로 내림하면 ( \lfloor ns \rfloor) 상위 위토프 수열이 생성된다. id=A001950. 모든 양의 정수는 이 두 수열 중 정확히 하나에 속한다. 이 수열들은 위토프의 게임에 대한 최적 전략을 정의하며,volume = 236 위토프 배열의 정의에 사용된다.year = 1980 또 다른 예로, 제곱근 2에 대해 r=\sqrt2\approx 1.414 이고 s=\sqrt2/(\sqrt2-1)=2+\sqrt2\approx 3.414이다. 이 경우 수열은 다음과 같다. id=A001951, 그리고 id=A001952. r=\pi\approx 3.142 및 s=\pi/(\pi-1)\approx 1.467 의 경우 수열은 다음과 같다. id=A022844, 그리고 id=A054386. 첫 번째 수열의 어떤 숫자도 두 번째 수열에는 없고 그 반대도 마찬가지다.
# 역사
비티 수열은 1926년 새뮤얼 비티가 The American Mathematical Monthly에 제기한 문제에서 이름을 얻었다.jstor = 2300153issue=3 하지만 그보다 훨씬 이전인 1894년, 레일리 경이 그의 저서 "소리의 이론" 2판에서 이러한 수열을 간략하게 언급했다.
# 레일리 정리
**레일리 정리**(또는 **비티 정리**)는 무리수 r > 1 \,,이 주어지면, 양의 정수 집합을 분할하는 s > 1이 존재하여 비티 수열 \mathcal{B}_r과 \mathcal{B}_s가 모든 양의 정수가 두 수열 중 정확히 하나에 속하게 됨을 명시한다.url=https://books.google.com/books?id=EGQSAAAAIAAJ&pg;=PA123
## 첫 번째 증명
r > 1 \,,이 주어졌을 때, s = r/(r-1)라고 하자. 우리는 모든 양의 정수가 두 수열 \mathcal{B}_r과 \mathcal{B}_s 중 하나에만 속함을 보여야 한다. 우리는 양의 정수 j와 k에 대해 모든 분수 j/r과 k/s가 비내림차순으로 함께 나열될 때 차지하는 순서 위치를 고려하여 이를 수행할 것이다. 두 숫자 중 어떤 두 개도 같은 위치를 차지할 수 없음을 (단일 숫자로서) 확인하기 위해, 어떤 j와 k에 대해 j/r = k/s라고 가정하자. 그러면 r/s = j/k는 유리수가 되지만, r/s = r(1 - 1/r) = r - 1,은 유리수가 아니다. 따라서 어떤 두 숫자도 같은 위치를 차지하지 않는다. 어떤 j/r에 대해, i/r \le j/r인 양의 정수 i가 j개 있고, k/s \le j/r인 양의 정수 k가 \lfloor js/r \rfloor개 있으므로, 목록에서 j/r의 위치는 j + \lfloor js/r \rfloor이다. 1/r + 1/s = 1 방정식은 다음을 의미한다. j + \lfloor js/r \rfloor = j + \lfloor j(s - 1) \rfloor = \lfloor js \rfloor. 마찬가지로, 목록에서 k/s의 위치는 \lfloor kr \rfloor이다. 결론: 모든 양의 정수(즉, 목록의 모든 위치)는 \lfloor nr \rfloor 또는 \lfloor ns \rfloor의 형태이지만, 둘 다는 아니다. 역 진술도 참이다: p와 q가 모든 양의 정수가 위 목록에 정확히 한 번 나타나도록 하는 두 실수라면, p와 q는 무리수이고 그 역수의 합은 1이다.
## 두 번째 증명
충돌: 정리와 반대로, j > 0과 k, m과 같은 정수가 있다고 가정하자. j = \left\lfloor {k \cdot r} \right\rfloor = \left\lfloor {m \cdot s} \right\rfloor \,. 이는 다음 부등식과 동등하다. j \le k \cdot r 0과 k, m과 같은 정수가 있다고 가정하자. k \cdot r < j \text{ and } j + 1 \le (k + 1) \cdot r \text{ and } m \cdot s < j \text{ and } j + 1 \le (m + 1) \cdot s \,. j + 1이 0이 아니고 r과 s는 무리수이므로, 등식은 제외할 수 있으므로, k \cdot r < j \text{ and } j + 1 < (k + 1) \cdot r \text{ and } m \cdot s < j \text{ and } j + 1 < (m + 1) \cdot s. 그러면 다음을 얻는다. k < {j \over r} \text{ and } {j + 1 \over r} < k + 1 \text{ and } m < {j \over s} \text{ and } {j + 1 \over s} < m + 1 해당하는 부등식을 더하면 다음을 얻는다. k + m < j \text{ and } j + 1 < k + m + 2 k + m < j < k + m + 1 이 또한 불가능하다. 따라서 가설은 거짓이다.
# 특성
숫자 m이 비티 수열 \mathcal{B}_r에 속하는 것은 다음 조건이 성립할 때만이다. 1 - \frac{1}{r} < \left[ \frac{m}{r} \right]_1 여기서 [x]_1는 x의 소수 부분을 나타낸다. 즉, [x]_1 = x - \lfloor x \rfloor이다. 증명: m \in B_r \Leftrightarrow \exists n, m = \lfloor nr \rfloor \Leftrightarrow m < nr < m + 1 \Leftrightarrow \frac{m}{r} < n < \frac{m}{r} + \frac{1}{r} \Leftrightarrow n - \frac{1}{r} < \frac{m}{r} < n \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{r} < \left[ \frac{m}{r} \right]_1 더 나아가, m = \left\lfloor \left( \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 \right) r \right\rfloor이다. 증명: m = \left\lfloor \left( \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 \right) r \right\rfloor \Leftrightarrow m < \left( \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 \right) r < m + 1 \Leftrightarrow \frac{m}{r} < \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 < \frac{m + 1}{r} \Leftrightarrow \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 - \frac{1}{r} < \frac{m}{r} < \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{r} < \frac{m}{r} - \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor =\left[ \frac{m}{r} \right]_1
## 슈투름 수열과의 관계
무리수 r과 관련된 비티 수열의 첫 번째 차분 \lfloor (n+1)r\rfloor-\lfloor nr\rfloor 는 알파벳 \\{\lfloor r\rfloor,\lfloor r\rfloor+1\\}에 대한 특성 슈투름 단어이다.
# 일반화
약간 수정하면 레일리 정리는 양의 실수(반드시 무리수일 필요는 없음)와 음의 정수로도 일반화될 수 있다. 양의 실수 r과 s가 1/r + 1/s = 1을 만족하면, 수열 ( \lfloor mr \rfloor)_{m \in \mathbb{Z과 ( \lceil ns \rceil -1)_{n \in \mathbb{Z은 정수의 분할을 이룬다. 예를 들어, 피아노 건반의 흰색 건반과 검은색 건반은 r = 12/7과 s = 12/5에 대한 그러한 수열로 분포된다. 람베크–모저 정리는 레일리 정리를 일반화하며 정수 함수와 그 역함수로부터 정의된 더 일반적인 수열 쌍이 정수를 분할하는 동일한 특성을 가짐을 보여준다. 우스펜스키 정리는 \alpha_1,\ldots,\alpha_n이 (\lfloor k\alpha_i\rfloor)_{k,i\ge1}에 모든 양의 정수가 정확히 한 번씩 포함되는 양의 실수라면 n\le2임을 명시한다. 즉, 세 개 이상의 비티 수열에 대한 레일리 정리와 동등한 것은 없다.J. V. Uspensky, On a problem arising out of the theory of a certain game, Amer. Math. Monthly **34** (1927), pp. 516–521.R. L. Graham, On a theorem of Uspensky, Amer. Math. Monthly **70** (1963), pp. 407–409.
# 더 읽을거리
* archivedate=2014-04-19 * doi-access = free 많은 참고 자료를 포함한다.