나이퀴스트 안정성 기준

1=s = jω인 G(s)=\frac{1}{s^2+s+1} 에 대한 나이퀴스트 선도. 제어이론 및 안정성 이론에서 **나이퀴스트 안정성 기준**(Nyquist stability criterion) 또는 **슈트레커-나이퀴스트 안정성 기준**(Strecker–Nyquist stability criterion)은 1930년 지멘스의 독일인 전기공학자 Felix Strecker에 의해, 1932년 벨 연구소의 스웨덴계 미국인 전기공학자 해리 나이퀴스트에 의해 독립적으로 발견되었으며, 선형 동역학계의 안정성을 결정하기 위한 그래픽 기법이다. 개방 루프 시스템의 **나이퀴스트 선도**(Nyquist plot)만을 보므로, 폐쇄 루프 또는 개방 루프 시스템의 극점과 영점을 명시적으로 계산하지 않고도 적용할 수 있다(각 유형의 우반면 특이점의 수는 알려져야 한다). 그 결과, 지연이 있는 시스템과 같이 비-유리 함수로 정의된 시스템에도 적용할 수 있다. 보드 선도와 달리, 우반면 특이점을 가진 전달 함수도 처리할 수 있다. 또한, 항공기 제어 시스템과 같이 다중 입력 및 다중 출력을 가진 더 복잡한 시스템으로 자연스럽게 일반화될 수 있다. 나이퀴스트 안정성 기준은 일렉트로닉스 및 제어공학은 물론 다른 분야에서도 피드백 시스템을 설계하고 분석하는 데 널리 사용된다. 나이퀴스트는 가장 일반적인 안정성 테스트 중 하나이지만, 여전히 선형 시불변 (LTI) 시스템으로 제한된다. 그럼에도 불구하고, 원 기준 및 비선형 연산자의 확대 상대 그래프와 같은 비선형 시스템에 대한 나이퀴스트 기준(및 선도)의 일반화가 존재한다.s2cid=236318576 또한, 랴푸노프 방법과 같은 다른 안정성 기준도 비선형 시스템에 적용할 수 있다. 나이퀴스트는 그래픽 기법이지만, 시스템이 안정적인지 불안정한지, 또는 불안정한 시스템을 안정적으로 만들기 위해 어떻게 수정해야 하는지에 대한 직관은 제한적으로 제공한다. 보드 선도와 같은 기법은 덜 일반적이지만 때로는 더 유용한 설계 도구이다.
# 나이퀴스트 선도
나이퀴스트 선도. 주파수는 곡선에 표시되지 않지만, 0 주파수 지점은 오른쪽에 있고 곡선은 고주파에서 원점 쪽으로 나선형으로 움직인다는 것을 추론할 수 있다. 이는 0 주파수에서의 이득이 순수하게 실수(X축에 있음)여야 하고 일반적으로 0이 아니며, 대부분의 물리적 프로세스에는 어느 정도의 저역 통과 필터링이 있으므로 고주파 응답은 0이기 때문이다. **나이퀴스트 선도**는 자동 제어 및 신호 처리에 사용되는 주파수 응답의 매개변수적 플롯이다. 나이퀴스트 선도의 가장 일반적인 용도는 피드백 시스템의 안정성을 평가하는 것이다. 직교 좌표에서 전달 함수의 실수부는 X축에, 허수부는 Y축에 플롯된다. 주파수는 매개변수로 스윕되어 주파수당 하나의 점을 생성한다. 동일한 플롯은 극좌표를 사용하여 설명할 수 있으며, 여기서 전달 함수의 이득은 방사형 좌표이고, 전달 함수의 위상은 해당 각도 좌표이다. 나이퀴스트 선도는 벨 연구소의 전직 엔지니어였던 해리 나이퀴스트의 이름을 따서 명명되었다. 폐쇄 루프 음성 되먹임 시스템의 안정성 평가는 개방 루프 시스템(즉, 피드백 루프가 없는 동일한 시스템)의 나이퀴스트 선도에 나이퀴스트 안정성 기준을 적용하여 수행된다. 이 방법은 지연 및 다른 비유리 전달 함수를 가진 시스템에도 쉽게 적용될 수 있으며, 이는 다른 방법으로는 분석하기 어려울 수 있다. 안정성은 점 (−1, 0) 주위의 회전 수를 확인하여 결정된다. 시스템이 안정적일 이득 범위는 실수축과의 교차점을 확인하여 결정할 수 있다. 나이퀴스트 선도는 전달 함수의 형태에 대한 일부 정보를 제공할 수 있다. 예를 들어, 곡선이 원점에 접근하는 각도를 통해 전달 함수의 영점과 극점 사이의 차이에 대한 정보를 제공한다. 손으로 그릴 때, 나이퀴스트 선도의 만화 버전이 때때로 사용되는데, 이는 곡선의 선형성을 보여주지만, 관심 영역에서 더 많은 세부 사항을 보여주기 위해 좌표가 왜곡된다. 계산적으로 플롯할 때, 관심 있는 모든 주파수를 커버하도록 주의해야 한다. 이는 일반적으로 넓은 범위의 값을 커버하기 위해 매개변수가 로그 스케일로 스윕된다는 것을 의미한다.
# 배경
수학은 라플라스 변환을 사용하는데, 이는 시간 영역의 적분과 미분을 s 영역의 간단한 곱셈과 나눗셈으로 변환한다. 우리는 전달 함수가 G(s)인 시스템을 고려한다. 음성 피드백 H(s)와 함께 폐쇄 루프에 배치될 때, 폐쇄 루프 전달 함수 (CLTF)는 다음과 같이 된다: :\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} 안정성은 비감도 인자 다항식 1+G(s)H(s)의 근을 조사하여 결정할 수 있다. 예를 들어, 루스 배열을 사용하지만, 이 방법은 다소 번거롭다. 결론은 개방 루프 전달 함수 (OLTF) G(s)H(s)를 조사하여, 보드 선도 또는 여기서와 같이 나이퀴스트 기준을 사용하여 극좌표 플롯을 통해 도달할 수도 있다. 어떤 라플라스 영역 전달 함수 \mathcal{T}(s)는 두 다항식의 비율로 표현될 수 있다: :\mathcal{T}(s) = \frac{N(s)}{D(s)}. N(s)의 근을 \mathcal{T}(s)의 영점이라 하고, D(s)의 근을 \mathcal{T}(s)의 극점이라고 한다. \mathcal{T}(s)의 극점은 특성 방정식 D(s) = 0의 근이라고도 한다. \mathcal{T}(s)의 안정성은 극점의 값에 의해 결정된다. 안정성을 위해서는 모든 극점의 실수부가 음수여야 한다. \mathcal{T}(s)가 개방 루프 전달 함수 주위에 음수 단위 피드백 루프를 닫음으로써 형성된다면, :G(s)H(s) = \frac{A(s)}{B(s)} 특성 방정식의 근은 1 + G(s)H(s)의 영점이기도 하며, 단순히 A(s) + B(s)=0의 근이기도 하다.
# 코시의 편각 원리
편각 원리 복소해석학에서, 함수 F(s)의 여러 영점과 극점을 포함하지만 통과하지 않는 복소수 s 평면에 그려진 윤곽선 \Gamma_s는 함수 F에 의해 다른 평면(F(s) 평면이라 함)으로 등각 사상될 수 있다. 정확히 말하면, 윤곽선 \Gamma_s의 각 복소수 점 s는 새로운 F(s) 평면의 점 F(s)로 매핑되어 새로운 윤곽선을 생성한다. F(s)의 나이퀴스트 선도, 즉 \Gamma_{F(s)} = F(\Gamma_s)는 편각 원리에 의해 F(s) 평면의 점 s={-1/k+j0}을 N번 둘러싼다. 여기서 N =P - Z이다. 여기서 Z와 P는 각각 윤곽선 \Gamma_s 내부에 있는 1+kF(s)의 영점 수와 F(s)의 극점 수이다. 윤곽선 \Gamma_s와 같은 방향으로 F(s) 평면에서 회전 수를 세고, 반대 방향의 회전은 음수 회전으로 간주한다. 즉, 시계 방향 회전은 양수로, 반시계 방향 회전은 음수로 간주한다. 코시의 편각 원리 대신, 1932년 해리 나이퀴스트의 원래 논문은 덜 우아한 접근 방식을 사용한다. 여기서 설명하는 접근 방식은 르로이 맥콜(Leroy MacColl, 서보 메커니즘의 기본 이론, 1945) 또는 헨드릭 보드(Hendrik Bode, 네트워크 분석 및 피드백 증폭기 설계, 1945)가 사용한 접근 방식과 유사하며, 이들 모두 벨 연구소에서 근무했다. 이 접근 방식은 대부분의 현대 제어 이론 교과서에 나타난다.
# 정의
먼저 복소 평면의 우반부를 둘러싸는 **나이퀴스트 윤곽선**을 구성한다. * 0 - j\infty에서 0 + j\infty까지 j\omega 축을 따라 위로 이동하는 경로. * 0 + j\infty에서 시작하여 시계 방향으로 0 - j\infty까지 이동하는, 반지름 r \to \infty인 반원형 호. 함수 1+G(s)를 통해 매핑된 나이퀴스트 윤곽선은 복소 평면에 1+G(s)의 플롯을 생성한다. 편각 원리에 의해, 원점 주위의 시계 방향 회전 수는 우반 복소 평면 내에 있는 1+G(s)의 영점 수에서 우반 복소 평면 내에 있는 1+G(s)의 극점 수를 뺀 것과 같아야 한다. 만약 대신에 윤곽선이 개방 루프 전달 함수 G(s)를 통해 매핑된다면, 결과는 G(s)의 나이퀴스트 선도이다. 결과 윤곽선의 −1 주위의 회전 수를 세면, 1+G(s)의 우반 복소 평면 내에 있는 극점과 영점 사이의 차이를 찾을 수 있다. 1+G(s)의 영점은 폐쇄 루프 시스템의 극점이고, 1+G(s)의 극점은 G(s)의 극점과 동일하다는 것을 상기하면, 이제 _**나이퀴스트 기준**_ 을 다음과 같이 명시한다:

> 나이퀴스트 윤곽선 \Gamma_s가 주어졌을 때, P를 \Gamma_s에 의해 둘러싸인 G(s)의 극점 수로, Z를 \Gamma_s에 의해 둘러싸인 1+G(s)의 영점 수로 하자. 또는, 더 중요하게는, Z가 우반 평면의 폐쇄 루프 시스템 극점 수이고 P가 우반 평면의 개방 루프 전달 함수 G(s)의 극점 수라면, G(s)-평면의 결과 윤곽선 \Gamma_{G(s)}는 점 (-1+j0)을 N번 (시계 방향으로) 둘러싸며, 이때 N = Z - P이다.

시스템이 원래 개방 루프 불안정인 경우, 시스템을 안정화하기 위해 피드백이 필요하다. 우반면(RHP) 극점은 그 불안정성을 나타낸다. 시스템의 폐쇄 루프 안정성을 위해서는 s-평면의 우반부에 있는 폐쇄 루프 근의 수가 0이어야 한다. 따라서 -1+j0 주위의 반시계 방향 회전 수는 RHP에 있는 개방 루프 극점의 수와 같아야 한다. 개방 루프 주파수 응답에 의한 임계점의 시계 방향 회전(저주파에서 고주파로 판단할 때)은 루프가 닫히면 피드백 제어 시스템이 불안정해질 것임을 나타낸다. (RHP 영점을 사용하여 RHP 극점을 "상쇄"하는 것은 불안정성을 제거하지 않지만, 피드백이 있는 경우 폐쇄 루프 근이 개방 루프 극점과 영점 사이를 이동하므로 시스템이 피드백이 있는 경우에도 불안정하게 유지되도록 한다. 사실, RHP 영점은 불안정한 극점을 관측할 수 없게 만들고 따라서 피드백을 통해 안정화할 수 없게 만든다.)
# 허수축에 극점이 있는 시스템에 대한 나이퀴스트 기준
위의 고려 사항은 개방 루프 전달 함수 G(s)가 허수축에 극점(즉, 0+j\omega 형태의 극점)을 가지지 않는다는 가정하에 수행되었다. 이는 윤곽선이 매핑 함수의 어떤 극점도 통과할 수 없다는 편각 원리의 요구 사항에서 비롯된다. 가장 일반적인 경우는 적분기(0에 극점)를 가진 시스템이다. 허수축에 극점이 있는 시스템을 분석할 수 있도록 나이퀴스트 윤곽선을 0+j\omega 지점을 통과하지 않도록 수정할 수 있다. 한 가지 방법은 0+j\omega 주위에 반지름 r \to 0인 반원형 호를 구성하는 것인데, 이 호는 0 + j (\omega-r)에서 시작하여 반시계 방향으로 0 + j(\omega+ r)까지 이동한다. 이러한 수정은 페이서 G(s)가 무한 반지름의 호를 따라 -l\pi만큼 이동한다는 것을 의미하며, 여기서 l은 허수축의 극점의 다중도이다.
# 수학적 유도
K로 표시된 스칼라 이득을 가진 단위 음성 피드백 시스템 G 우리의 목표는 이 과정을 통해 이득 k를 가진 단위 피드백 시스템의 전달 함수 안정성을 확인하는 것이다. :T(s)=\frac{kG(s)}{1+kG(s)} 즉, 위 전달 함수의 특성 방정식인 :D(s)=1+kG(s)=0 이 열린 좌반평면(일반적으로 OLHP로 초기화됨) 외부에 영점을 가지고 있는지 확인하고 싶다. 우리는 우반평면을 둘러싸는 시계 방향(즉, 음의 방향) 윤곽선 \Gamma_s를 가지고 있다고 가정한다. 필요한 경우 함수 G(s)의 영점이나 극점을 통과하지 않도록 들여쓰기를 한다. 편각 원리는 다음과 같이 명시한다. : \- \frac 1 {2\pi i} \oint_{\Gamma_s} {D'(s) \over D(s)}\, ds=N=Z-P 여기서 Z는 윤곽선에 의해 둘러싸인 D(s)의 영점 수를 나타내고, P는 동일한 윤곽선에 의해 둘러싸인 D(s)의 극점 수를 나타낸다. 재정렬하면 다음을 얻는다. Z=N+P, 즉 :Z=- \frac 1 {2\pi i} \oint_{\Gamma_s} {D'(s) \over D(s)}\, ds + P 우리는 D(s)=1+kG(s)가 G(s)와 정확히 동일한 극점을 가지고 있음을 주목한다. 따라서 윤곽선 내, 즉 열린 우반평면(ORHP) 내에 나타나는 G(s)의 극점 수를 세어 P를 찾을 수 있다. 이제 위 적분을 대입하여 재정렬한다. 즉, u(s)=D(s)로 설정하면 다음을 얻는다. :N=- \frac 1 {2\pi i} \oint_{\Gamma_s} {D'(s) \over D(s)}\, ds=- \frac 1 {2\pi i} \oint_{u(\Gamma_s)} {1 \over u}\, du 그런 다음 추가로 대입하여 v(u) = \frac{u-1} k로 설정한다. 이는 우리에게 다음을 제공한다. :N=- \frac 1 {2\pi i} \oint_{u(\Gamma_s)} {1 \over u}\, du=-1}\over{2\pi i \oint_{v(u(\Gamma_s))} {1 \over {v+1/k\, dv 이제 v(u(\Gamma_s))=D(\Gamma_s)-1} \over {k=G(\Gamma_s)는 G(s) 아래에서 우리 윤곽선의 이미지를 제공하며, 이는 우리의 나이퀴스트 선도이다. 우리는 적분을 더 줄일 수 있다. :N=- \frac 1 {2\pi i} \oint_{G(\Gamma_s))} \frac 1 {v+1/k} \, dv 코시 적분 공식을 적용하여. 사실, 위 적분은 나이퀴스트 선도가 점 -1/k를 시계 방향으로 둘러싸는 횟수와 정확히 일치함을 발견한다. 따라서 우리는 마침내 다음과 같이 명시할 수 있다. : \begin{align} Z = {} & N + P \\\\[6pt] = {} & \text{(나이퀴스트 선도가 } {-1/k} \text{를 시계 방향으로 둘러싸는 횟수)} \\\ & {} + \text{(ORHP에 있는 } G(s) \text{의 극점 수)} \end{align} 따라서 위에서 정의된 T(s)는 위에서 평가된 Z가 0과 같을 때 안정적인 단위 피드백 시스템에 해당한다는 것을 알 수 있다.
# 중요성
나이퀴스트 안정성 기준은 피드백 제어 시스템과 같은 동역학계의 안정성을 결정하는 그래픽 기법이다. 이는 편각 원리와 시스템의 개방 루프 전달 함수의 나이퀴스트 선도에 기반한다. 지연이 있는 시스템과 같이 유리 함수로 정의되지 않은 시스템에도 적용할 수 있다. 또한 보드 선도와 달리 우반평면에 특이점을 가진 전달 함수도 처리할 수 있다. 나이퀴스트 안정성 기준은 시스템의 위상 여유와 이득 여유를 찾는 데도 사용할 수 있으며, 이는 주파수 영역 제어기 설계에 중요하다.language=en
# 요약
* 개방 루프 전달 함수 G(s)가 다중도 l의 0 극점을 가지면, 나이퀴스트 선도는 \omega = 0에서 불연속성을 가진다. 추가 분석 시 페이서가 무한 반지름의 반원을 따라 l번 시계 방향으로 이동한다고 가정해야 한다. 이 규칙을 적용한 후에는 0 극점을 무시해야 한다. 즉, 다른 불안정한 극점이 없으면 개방 루프 전달 함수 G(s)는 안정적인 것으로 간주되어야 한다. * 개방 루프 전달 함수 G(s)가 안정적이라면, 폐쇄 루프 시스템은 나이퀴스트 선도가 -1 지점을 적어도 한 번 둘러쌀 때에만 불안정하다. * 개방 루프 전달 함수 G(s)가 불안정하다면, 폐쇄 루프 시스템이 안정적이기 위해서는 복소 평면의 우반부에 있는 G(s)의 각 극점에 대해 -1 주위로 한 번의 반시계 방향 둘러싸임이 있어야 한다. * 초과 둘러싸임의 수 (N + P가 0보다 큼)는 폐쇄 루프 시스템의 불안정한 극점의 수와 정확히 일치한다. * 그러나 그래프가 -1+j0 지점을 통과하는 경우, 시스템의 경계 안정성조차 결정하기 어려워지며, 그래프에서 얻을 수 있는 유일한 결론은 j\omega 축에 영점이 존재한다는 것이다.
# 추가 자료
* Faulkner, E. A. (1969): Introduction to the Theory of Linear Systems; Chapman & Hall; * 피파드, A. B. (1985): Response & Stability; Cambridge University Press; * Gessing, R. (2004): Control fundamentals; Silesian University of Technology; * Franklin, G. (2002): Feedback Control of Dynamic Systems; Prentice Hall,