피어바인

일반 상대성 이론에서 **피어바인(vierbein)**은, 미분기하학에서 일반적으로 정의되는 틀의 일종으로, 시공간의 모델로 물리적으로 해석되는 4차원 로런츠 다양체에 정의된 4개의 점별 직교 벡터장들의(시간꼴 1개, 공간꼴 3개) 집합이다. **테트라드(tetrad)**라고도 한다. 미분기하학에는 다양체와 목적에 알맞는 기저 벡터들을 제공하는 *틀*이란 개념이 있으며, 대표적으로 프레네-세레 틀, 다르부 틀이 있다. 피어바인은 준 리만기하학의 분야인 로런츠 기하학을 쓰는 일반 상대성 이론에 적합한 틀이다. 피어바인에서 시간꼴 단위 벡터장은 종종 \vec{e}_0로 표시되며, 세 개의 공간꼴 단위 벡터장은 \vec{e}_1, \vec{e}_2, \, \vec{e}_3로 표시된다. 로런츠 다양체에 정의된 모든 텐서량은 피어바인과 그 쌍대 벡터장을 사용하여 표현될 수 있다. 피어바인은 1928년 알베르트 아인슈타인Albert Einstein "Riemann-Geometrie mit Aufrechterhaltung des Begriffes des Fernparallelismus", *Sitzungsberichte der Preussischen Akademieder Wissenschaften, Physikalisch-MathematischeKlasse*, p217-221, 7.6.1928, http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:YP5DFQU1. English translation available in Jeffrey Yepez, "Einstein's vierbein field theory of curved space", https://arxiv.org/abs/1106.2037.과 1929년 헤르만 바일에 의해 일반 상대성 이론에 도입되었다Hermann Weyl "Elektron und Gravitation I", *Zeitschrift Physik*, 56, p330–352, 1929. 피어바인에 대한 첨자 표기법은 피어바인(첨자 표기법)에서 설명된다.
# 물리적 해석
일반 상대론 적으로 적절한 로런츠 다양체의 피어바인은 항상 주어진 시공간에 몰입된 이상적인 관찰자 족에 해당한다. 시간꼴 단위 벡터장의 적분 곡선은 이러한 관찰자의 세계선이며, 주어진 세계선을 따른 각 사건에서 세 개의 공간꼴 단위 벡터장은 관찰자가 수행하는 **공간을 나타내는 트라이어드**(세 개의 벡터장)를 지정한다. 트라이어드는 관찰자의 세계선 근처에서 유효한 국소 *실험실 좌표계*의 공간 좌표축을 정의하는 것으로 생각할 수 있다. 일반적으로 이러한 관찰자의 세계선은 시간꼴 측지선일 필요는 없다. 세계선 중 하나가 일부 구역의 측지 경로에서 구부러지면 관찰자를 가속 벡터의 크기와 동일한 추력을 가진 이상적인 로켓 엔진을 사용하여 가속하는 시험 입자로 생각할 수 있다. 또는 관찰자가 정역학적 평형 상태의 유체 공에 있는 물질 조각에 부착되어 있는 경우 일반적으로 이 물질은 자체 중력의 인력에 대항하여 유체 공을 지탱하는 압력의 순 효과에 의해 바깥쪽으로 가속된. 다른 가능성으로는 로런츠 힘에 의해 가속되는 전기진공 해의 자유 하전된 시험 입자에 부착된 관찰자 또는 스핀-스핀 힘에 의해 가속될 수 있는 *회전하는* 시험 입자에 부착된 관찰자가 포함될 수 있다. 미분 기하학에서 틀이 *기하학적 대상*이라는 점을 인식하는 것이 중요하다. 즉, 벡터장은 좌표 조각의 선택과 관계없이 (매끄러운 다양체에서) 의미가 있고 (로런츠 다양체에서는) 직교성과 길이의 개념도 마찬가지이다. 따라서 벡터장 및 기타 기하학적 양과 마찬가지로 피어바인도 다양한 좌표 조각으로 표시될 수 있다. 주어진 틀과 관련하여 텐서량의 성분을 계산하면 틀을 나타내는 데 어떤 좌표 조각을 사용하든 항상 *동일한* 결과가 나온다. 이 틀장은 휘어진 시공간에서 디랙 방정식을 작성하는 데 필요하다.
# 피어바인 정하기
피어바인을 서술 하려면 로런츠 다양체의 좌표 조각을 선택해야 한다. 그러면 로런츠 다양체의 모든 벡터장은 4개의 좌표 기저 벡터장의 선형 결합으로 서술 수 있다. : \vec{X} = X^\mu \, \partial_{x^\mu}. 여기서는 아인슈타인 합 규약이 사용되며 벡터장은 1차 선형 미분 연산자로 간주되며 성분은 X^\mu과 같다. 종종 반변 성분 이라고 불린다. 이는 접다발의 단면에 대한 표준 표기 규칙을 따른다. 일반적으로 사용되는 좌표 기반 벡터장에 대한 대체 표기법은 \partial / \partial x^\mu\equiv\partial_{x^\mu}\equiv\partial_\mu과 같다. 특히 피어바인의 벡터장은 다음과 같이 표현될 수 있다. : \vec{e}_a = {e_a}^\mu \, \partial_{x^\mu}. 피어바인을 "설계"할 때 주어진 로런츠 계량을 사용하여 4개의 벡터장이 모든 곳에서 직교하는지 확인해야 한다. 보다 현대적인 저작에서는 \partial_{x^\mu}를 \mathbf{g}_\mu로 쓰고 \vec{e}_a는 \gamma_a 또는 \sigma_a로 쓰는 표기법을 채택하는 경우도 있다. 이를 통해 시공간 계량을 좌표 접벡터의 내적으로 작성하는 시각적으로 영리한 트릭이 가능해졌다. : g_{\mu\nu} = \mathbf{g}_\mu\cdot\mathbf{g}_\nu 감마의 곱인 평평한 공간 민코프스키 계량은 다음과 같다. : \eta_{ab}=\gamma_a\cdot\gamma_b \gamma_a로 그 표기법을 선택한 것은 디랙 행렬에 사용된 표기법과 겹치도록 의도적으로 정한 것이다. 이러한 의도적 기호 중복은 \gamma_a가 벡터로서뿐만 아니라 시공간 대수의 원소로도 보도록 의도한다. 이를 적절하게 사용하면 스핀 접속 작성에 사용되는 표기법 중 일부를 단순화할 수 있다. 부호가 채택되면 쌍대성에 의해 기저의 모든 *벡터는* 여기저에서 쌍대 여*벡터를* 가지며 그 반대도 마찬가지이다. 따라서 모든 *피어바인은* 유일한 여틀*과* 연관되며 그 반대도 마찬가지이다. 피어바인의 여틀은 여접다발의 4개 직교 단면들의 집합이다.
# 여틀을 사용하여 계량 정하기
대안적으로, 계량 텐서는 좌표 기반으로 여틀을 작성하고 계량 텐서가 다음과 같이 제공되도록 규정하여 지정할 수 있다. : g = -\sigma^0 \otimes \sigma^0 +\sum_{i=1}^3 \sigma^i \otimes \sigma^i, 여기서 \otimes 는 텐서곱을 나타낸다. 이것은 여틀이 *정규직교*라고 말하는 멋진 방법일 뿐이다. 틀을 기록한 후(그리고 쌍대 여틀로 전달한 후) 계량 텐서를 얻는 데 사용하든, 계량 텐서로 시작하여 다른 수단으로 틀을 얻었는지 확인하는 데 사용하든, 이는 항상 참이어야 한다.
# 좌표 기반의 계량 텐서와의 관계
피어바인 e^{\mu}_{\ a}에는 두 가지 종류의 첨자가 있다. \mu \,는 일반적인 시공간 좌표에 쓰는 이름표이고 a \,는 국소적 로런츠 시공간 또는 국소적 실험실 좌표에 쓰는 이름표이다. 피어바인은 계량 텐서 g^{\mu \nu} \,의 "행렬 제곱근"으로 볼 수 있다. 왜냐하면 좌표 표현에서, : g^{\mu \nu}= e^{\mu}_{\ a} e^{\nu}_{\ b} \eta^{ab} \, 여기서 \eta^{ab} \,는 로런츠 계량이다. 일반 시공간 좌표가 계량 텐서로 올라가고 내려가는 것과 같은 방식으로 국소 로런츠 첨자는 로런츠 계량으로 올라가고 내려간다. 예를 들어: : T^a = \eta^{ab} T_b. 피어바인을 사용하면 시공간과 국소 로런츠 첨자 사이의 변환이 가능하다. 예를 들어: : T_a = e^\mu_{\ a} T_\mu. 피어바인 자체도 동일한 방식으로 조작할 수 있다. : e^\nu_{\ \mu} = \delta^\nu_\mu이므로, e^\nu_{\ a} = e^\mu_{\ a} e^\nu_{\ \mu} \,. 그리고 이것들은 결합될 수 있다. : T^a = e_\mu^{\ a} T^\mu. 몇 가지 추가 예: 시공간과 국소 로런츠 좌표를 함께 혼합할 수 있다. : T^{\mu a}=e_\nu^{\ a} T^{\mu \nu}. 국소 로런츠 좌표는 일반 시공간 좌표와 다르게 변환된. 일반적인 좌표 변환에서는 다음을 얻는다. : T'^{\mu a} = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}T^{\nu a} 국소 로런츠 변환을 통해 다음을 얻을 수 있다. : T'^{\mu a} = \Lambda(x)^a_{\ b} T^{\mu b}.
# 좌표 표현과의 비교
좌표 기반 벡터에는 쌍으로 된 리 괄호가 사라지는 특별한 속성이 있다. 국소적으로 평평한 영역을 제외하고 틀의 벡터장 중 최소한 일부 리 괄호는 사라지지 *않는다*. 이는 틀(좌표 기준이 아님)과 관련하여 텐서의 성분이 틀에 해당하는 이상적인 관찰자 족이 수행한 측정 측면에서 직접적인 해석을 가지므로 받아 들일만하다. 좌표 기반 벡터는 null 일 수 있으며 정의에 따라 틀 벡터에서는 발생할 수 없다.
# 비회전 관성 피어바인
어떤 피어바인은 다른 피어바인보다 더 좋다. 특히 진공 또는 전기 진공 해에서는 힘을 느끼지 못하는 관성 관찰자의 물리적 경험이 특히 흥미로울 수 있다. 관성계의 수학적 특성은 매우 간단하다. 시간꼴 단위 벡터장의 적분 곡선은 측지선 합동을 정의해야 한다. 즉, 가속도 벡터가 사라져야 한다. : \nabla_{\vec{e}_{0 \, \vec{e}_0 = 0 또한 각 관찰자가 가지고 있는 공간꼴 트라이어드가 회전하지 않도록 하는 것이 종종 바람직한다. 이 경우 트라이어드는 자이로 안정화된 것으로 볼 수 있다. **비회전 관성(NSI)** 틀에 대한 기준은 아주 간단하다. : \nabla_{\vec{e}_0} \, \vec{e}_j = 0, \; \; j = 0 \dots 3 이는 우리가 각 관찰자의 세계선을 따라 이동할 때 그들의 공간꼴 트라이어드가 평행하게 이동 된다는 것을 의미한다. 회전하지 않는 관성계는 일반 상대성 이론에서 특별한 위치를 차지하는데, 그 이유는 곡선 로런츠 다양체에서 특수 상대성 이론에 사용되는 **로런츠 틀** 에 최대한 가깝기 때문이다(이들은 민코프스키 진공에서 특수 비회전 관성계이다). 보다 일반적으로 관찰자의 가속도가 0이 아닌 경우 \nabla_{\vec{e}_0}\,\vec{e}_0 \neq 0, 우리는 공변도함수을 대체할 수 있다 : \nabla_{\vec{e}_0} \, \vec{e}_j, \; j = 1 \dots 3 **회전하지 않는 틀**을 정의하기 위해 (공간꼴으로 사영된) 페르미-월커 도함수를 사용한다. 로런츠 다양체가 주어지면 관성 운동과 같은 추가 속성이 필요하더라도 무한히 많은 피어바인을 찾을 수 있다. 그러나 주어진 피어바인은 다양체의 일부에서만 정의될 수도 있다.
# 예: 슈바르츠실트 진공의 정적 관찰자
몇 가지 간단한 예를 자세히 살펴보는 것은 유익할 것이다. 별과 같이 고립되어 있고 회전하지 않는 구형 대칭의 거대한 물체 외부의 시공간을 모델링하는 유명한 슈바르츠실트 진공을 생각해 보자. 대부분의 교과서에서는 다음과 같이 정적 극좌표로 작성된 계량 텐서를 찾을 수 있다. : ds^2 = -(1-2m/r) \, dt^2 + \frac{dr^2}{1-2m/r} + r^2 \, \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 \, d\phi^2 \right) : -\infty 3m인 지역에서만 정의된다. 실제로 안정적인 원형 궤도는 r > 6m에만 존재한다. 따라서 이 피어바인은 이 궤적 내부에서 사용되어서는 안 된다. 페르미 도함수를 계산하면 방금 주어진 피어바인이 실제로 자이로 안정화된 틀에 대해 *회전하고 있음을* 알 수 있다. 쉽게 발견할 수 있는 주요 이유는 이 틀에서 하기하라의 각 관찰자가 자신의 공간 벡터를 *방사형으로 정렬하여* 유지한다는 것이다. 그래서 \vec{h}_1, \; \vec{h}_3는 관찰자가 중심의 거대한 물체 주위를 공전하는 것처럼 \vec{h}_2 주위를 회전한다. 그러나 이 관찰을 수정한 후에도 하기하라 관찰자가 들고 있는 자이로스코프 회전축의 작은 세차 운동이 여전히 남아 있다. 이것이 *드 시터르 세차* 효과( *측지 세차* 효과라고도 함)이다.