작용-각도 좌표

고전역학 고전역학에서 **작용-각도 좌표**(Action-angle coordinates)는 보존된 에너지 준위 집합이 콤팩트하고 통근 흐름이 완전할 때 적분가능계에서 통근 흐름의 본질을 특징짓는 데 유용한 정준좌표 집합이다. 작용-각도 변수는 운동 방정식을 풀지 않고도 진동 또는 회전 운동의 진동수를 얻는 데도 중요하다. 이는 시스템이 완전히 적분 가능할 때, 즉 독립적인 푸아송 가환 불변량의 수가 최대이고 보존된 에너지 표면이 콤팩트할 때만 존재하며, 동역학의 주요 특징을 제공한다. 이는 일반적으로 해밀턴-야코비 방정식이 완전히 분리 가능하고 분리 상수를 위상 공간의 함수로 풀 수 있을 때 실제 계산적 가치가 있다. 작용-각도 변수는 푸아송 가환 불변량에 의해 유도된 흐름이 공동 준위 집합 내에 남아 있는 반면, 에너지 준위 집합의 콤팩트성이 토리임을 의미하므로 **불변 라그랑주 토러스**(invariant Lagrangian tori)에 의한 엽층을 정의한다. 각도 변수는 통근 흐름이 선형인 잎에 대한 좌표를 제공한다. 고전 해밀턴 시스템과 슈뢰딩거 파동 역학 접근 방식에서의 양자화 사이의 연결은 해밀턴-야코비 방정식을 슈뢰딩거 방정식에 대한 WKB 점근 급수의 선행 항으로 봄으로써 명확해진다. 적분 가능한 시스템의 경우, 보어-조머펠트 양자화 조건은 양자 역학이 등장하기 전에 수소 원자의 스펙트럼을 계산하는 데 처음 사용되었다. 이들은 작용-각도 변수가 존재하고 환산 플랑크 상수 \hbar의 정수배여야 한다고 요구한다. 알베르트 아인슈타인의 EBK 양자화에서 비적분 시스템을 양자화하는 어려움에 대한 통찰력은 이 사실에 기반을 두었다. 작용-각도 좌표는 해밀턴 역학의 섭동 이론에서도 유용하며, 특히 단열 불변량을 결정하는 데 그렇다. 작은 섭동 하에서 적분 가능한 동적 시스템의 동적 안정성에 대한 혼돈 이론의 초기 결과 중 하나는 불변 토러스가 부분적으로 안정적임을 명시하는 KAM 정리이다. 적분가능계의 현대 이론에서 작용-각도 변수는 도다 격자의 해법, 랙스 쌍의 정의, 또는 더 일반적으로 적분 가능한 동역학을 특징짓는 선형 연산자의 등스펙트럼 진화 및 관련 스펙트럼 데이터를 해밀턴 형식에서 작용-각도 변수로 해석하는 데 사용되었다.
# 유도
작용 각도는 제2종 정준변환에서 생성 함수가 해밀턴의 특성 함수 W(\mathbf{q}) (해밀턴의 주 함수 S가 아님)인 경우 발생한다. 원래 해밀토니안은 시간에 명시적으로 의존하지 않으므로, 새로운 해밀토니안 K(\mathbf{w}, \mathbf{J})는 단지 새로운 정준좌표 \mathbf{w} (**작용 각도**, 즉 일반화 좌표)와 그 새로운 일반화 운동량 \mathbf{J}로 표현된 이전 해밀토니안 H(\mathbf{q}, \mathbf{p})이다. 여기서는 생성 함수 W 자체를 풀 필요는 없으며, 대신 새로운 정준좌표와 이전 정준좌표를 연결하는 수단으로만 사용할 것이다. 작용 각도 \mathbf{w}를 직접 정의하기보다는, 대신 그들의 일반화 운동량을 정의하는데, 이는 각 원래 일반화 좌표에 대한 고전적 작용과 유사하다. : J_{k} \equiv \oint p_k \, \mathrm{d}q_k 여기서 적분 경로는 암묵적으로 상수 에너지 함수 E=E(q_k,p_k)에 의해 주어진다. 실제 운동은 이 적분에 관여하지 않으므로, 이러한 일반화 운동량 J_k는 운동의 상수이며, 이는 변환된 해밀토니안 K가 켤레 일반화 좌표 w_k에 의존하지 않음을 의미한다. : \frac{\mathrm{d{\mathrm{d}t} J_{k} = 0 = \frac{\partial K}{\partial w_k} 여기서 w_k는 제2종 정준변환의 전형적인 방정식으로 주어진다. : w_k \equiv \frac{\partial W}{\partial J_k} 따라서 새로운 해밀토니안 K=K(\mathbf{J})는 새로운 일반화 운동량 \mathbf{J}에만 의존한다. 작용 각도의 동역학은 해밀턴 방정식으로 주어진다. : \frac{\mathrm{d{\mathrm{d}t} w_k = \frac{\partial K}{\partial J_k} \equiv \nu_k(\mathbf{J}) 우변은 운동의 상수이다 (모든 J가 상수이므로). 따라서 해는 다음과 같이 주어진다. : w_k = \nu_k(\mathbf{J}) t + \beta_k 여기서 \beta_k는 적분 상수이다. 특히, 원래의 일반화 좌표가 주기 T의 진동 또는 회전을 겪는다면, 해당하는 작용 각도 w_k는 \Delta w_k = \nu_k (\mathbf{J}) T만큼 변한다. 이러한 \nu_k(\mathbf{J})는 원래의 일반화 좌표 q_k의 진동/회전 주파수이다. 이를 보이기 위해, 일반화 좌표 q_k의 정확히 한 완전한 변화 (즉, 진동 또는 회전)에 걸쳐 작용 각도 w_k의 순 변화를 적분한다. : \Delta w_k \equiv \oint \frac{\partial w_k}{\partial q_k} \, \mathrm{d}q_k = \oint \frac{\partial^2 W}{\partial J_k \, \partial q_k} \, \mathrm{d}q_k = \frac{\mathrm{d{\mathrm{d}J_k} \oint \frac{\partial W}{\partial q_k} \, \mathrm{d}q_k = \frac{\mathrm{d{\mathrm{d}J_k} \oint p_k \, \mathrm{d}q_k = \frac{\mathrm{d}J_k}{\mathrm{d}J_k} = 1 \Delta w_{k}에 대한 두 식을 같다고 놓으면, 원하는 방정식을 얻는다. : \nu_k(\mathbf{J}) = \frac{1}{T} 작용 각도 \mathbf{w}는 일반화 좌표의 독립적인 집합이다. 따라서 일반적인 경우, 각 원래 일반화 좌표 q_{k}는 모든 작용 각도에 대한 푸리에 급수로 표현될 수 있다. : q_k = \sum_{s_1=-\infty}^\infty \sum_{s_2 = -\infty}^\infty \cdots \sum_{s_N = -\infty}^\infty A^k_{s_1, s_2, \ldots, s_N} e^{i2\pi s_1 w_1} e^{i2\pi s_2 w_2} \cdots e^{i2\pi s_N w_N} 여기서 A^k_{s_1, s_2, \ldots, s_N}는 푸리에 급수 계수이다. 그러나 대부분의 실제 경우에서, 원래 일반화 좌표 q_k는 자체 작용 각도 w_k에 대한 푸리에 급수로만 표현될 수 있다. : q_k = \sum_{s_k=-\infty}^\infty A^k_{s_k} e^{i2\pi s_k w_k}
# 기본 프로토콜 요약
일반적인 절차는 세 단계로 구성된다. # 새로운 일반화 운동량 J_{k}를 계산한다. # 원래 해밀토니안을 이 변수들로만 표현한다. # 이 운동량에 대해 해밀토니안을 미분하여 주파수 \nu_k를 얻는다.
# 축퇴
어떤 경우에는 서로 다른 두 일반화 좌표의 주파수가 동일하다. 즉, k \neq l에 대해 \nu_k = \nu_l이다. 이런 경우, 운동을 **축퇴**라고 한다. 축퇴 운동은 추가적인 일반적인 보존량이 있음을 나타낸다. 예를 들어, 케플러 문제의 주파수는 축퇴되어 있으며, 이는 라플라스-룽게-렌츠 벡터의 보존에 해당한다. 축퇴 운동은 또한 해밀턴-야코비 방정식이 둘 이상의 좌표계에서 완전히 분리 가능함을 나타낸다. 예를 들어, 케플러 문제는 구면 좌표계와 포물선 좌표계 모두에서 완전히 분리 가능하다.