본질적 하한과 본질적 상한

수학에서 **본질적 하한**(essential infimum)과 **본질적 상한**(essential supremum)의 개념은 상한과 하한의 개념과 관련이 있지만, 측도론 및 함수해석학에 적용되어 종종 집합의 모든 요소에 대해 유효하지는 않지만 거의 어디서나, 즉 측도 영 집합을 제외하고는 유효한 진술을 다룬다. 정확한 정의가 즉시 간단하지는 않지만, 직관적으로 함수의 본질적 상한은 측도 영 집합의 점에서의 함수의 동작을 무시하면서 모든 곳에서 함수 값보다 크거나 같은 가장 작은 값이다. 예를 들어, x = 0에서 f(0) = 1이고 다른 모든 곳에서 0인 함수 f(x)를 생각하면, 함수의 상한은 1이다. 그러나 이 함수의 본질적 상한은 0인데, 르베그 측도 하에서 f가 특이한 단일 점에서의 함수의 동작을 무시할 수 있기 때문이다. 본질적 하한은 유사한 방식으로 정의된다.
# 정의
측도론적 질문에서 종종 그렇듯이, 본질적 상한과 하한의 정의는 함수 f가 점 x에서 무엇을 하는지(즉, f의 상)를 묻는 것으로 시작하지 않고, 대신 f가 특정 값 y와 같은 점 x의 집합(즉, y의 f에 대한 원상)을 묻는 것으로 시작한다. f : X \to \Reals를 집합 X에 정의된 실수 값 함수라고 하자. 함수 f의 상한은 다음 속성으로 특징지어진다: 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq \sup f \leq \infty이고, 만약 어떤 a \in \Reals \cup \\{+\infty\\}에 대해 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq a이면 \sup f \leq a이다. 더 구체적으로, 실수 a는 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq a이면 f의 상계라고 불린다. 즉, 집합 f^{-1}(a, \infty) = \\{x \in X : f(x) > a\\} 가 공집합이면 그렇다. U_f = \\{a \in \Reals : f^{-1}(a, \infty) = \varnothing\\}\, 를 f의 상계 집합이라고 하고, 공집합의 하한을 \inf \varnothing = +\infty로 정의한다. 그러면 f의 상한은 \sup f = \inf U_f. 정의에 따라, 상계 집합 U_f가 공집합이면 \sup f = + \infty이다. 이제 추가로 (X, \Sigma, \mu)가 측도 공간이라고 가정하고, 간단히 하기 위해 함수 f가 가측 함수라고 가정하자. 상한과 유사하게, 함수의 본질적 상한은 다음 속성으로 특징지어진다: \mu-거의 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq \operatorname{ess} \sup f \leq \infty이고, 만약 어떤 a \in \Reals \cup \\{+\infty\\}에 대해 \mu-거의 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq a이면 \operatorname{ess} \sup f \leq a이다. 더 구체적으로, a는 가측 집합 f^{-1}(a, \infty)가 \mu-측도 영 집합인 경우 f의 본질적 상계라고 불린다.비가측 함수에 대해서는 f^{-1}(a, \infty)가 측도 영 집합에 포함된다고 가정하여 정의를 수정해야 한다. 또는 측도가 완비라고 가정할 수 있다. 즉, X의 \mu-거의 모든 x에 대해 f(x) \leq a이면 그렇다. U^{\operatorname{ess_f = \\{a \in \Reals : \mu(f^{-1}(a, \infty)) = 0\\} 를 본질적 상계 집합이라고 하자. 그러면 **본질적 상한**은 유사하게 다음과 같이 정의된다. \operatorname{ess} \sup f = \inf U^{\mathrm{ess_f U^{\operatorname{ess_f \neq \varnothing인 경우에, 그렇지 않으면 \operatorname{ess}\sup f = +\infty이다. 정확히 같은 방식으로 **본질적 하한**은 본질적 하계의 상한으로 정의된다. 즉, \operatorname{ess} \inf f = \sup \\{b \in \Reals : \mu(\\{x: f(x) a\\}) \geq \tfrac{1}{|a|}이므로 U_f^{\operatorname{ess = \varnothing이고 \operatorname{ess} \sup f = +\infty이다.
# 속성
만약 \mu(X) > 0이면 \inf f ~\leq~ \operatorname{ess} \inf f ~\leq~ \operatorname{ess}\sup f ~\leq~ \sup f. 그렇지 않고 X의 측도가 0이면Dieudonné J.: Treatise On Analysis, Vol. II. Associated Press, New York 1976. p 172f. +\infty ~=~ \operatorname{ess}\inf f ~\geq~ \operatorname{ess}\sup f ~=~ -\infty. 만약 f와 g가 가측 함수이면 : \operatorname{ess\,sup} (f + g) \le \operatorname{ess\,sup} f + \operatorname{ess\,sup} g 그리고 : \operatorname{ess\,inf} (f + g) \ge \operatorname{ess\,inf} f + \operatorname{ess\,inf} g. 만약 f와 g가 가측 함수이고 거의 모든 곳에서 f \le g이면 : \operatorname{ess\,sup} f \le \operatorname{ess\,sup} g 그리고 : \operatorname{ess\,inf} f \le \operatorname{ess\,inf} g. 만약 두 함수 f와 g의 본질적 상한이 모두 음이 아니면 \operatorname{ess}\sup (f g) ~\leq~ (\operatorname{ess}\sup f) \, (\operatorname{ess}\sup g). 함수의 본질적 상한은 본질적 하계의 하한일 뿐만 아니라 그들의 최소값이다. 유사한 결과가 본질적 하한에도 적용된다. 측도 공간 (S, \Sigma, \mu)가 주어졌을 때, 거의 모든 곳에서 유계인 모든 가측 함수로 구성된 공간 \mathcal{L}^\infty(S, \mu)은 반노름 공간이며, 그 반노름은 다음과 같다. \|f\|_\infty = \inf \\{C \in \Reals_{\geq 0} : |f(x)| \leq C \text{ for almost every } x\\} = \begin{cases} \operatorname{ess}\sup |f| & \text{ if } 0 < \mu(S),\\\ 0 & \text{ if } 0 = \mu(S), \end{cases} \mu(S) \neq 0일 때 함수의 절댓값의 본질적 상한이다.= -\infty.
# 내용주
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