안정 분포

& \text{if }\alpha = 1 \end{cases} 확률론에서 확률 분포는, 이 분포를 따르는 두 독립 확률 변수의 선형 결합이 위치 매개변수와 스케일 매개변수를 제외하고는 같은 분포를 가지면 **안정**(stable)하다고 한다. 확률 변수는 그 분포가 안정적이면 **안정적**이라고 한다. 안정 분포군은 이를 처음 연구한 수학자 폴 피에르 레비의 이름을 따서 때때로 **레비 알파-안정 분포**(Lévy alpha-stable distribution)라고도 불린다.jstor=2525289oclc=1417531 이 군을 정의하는 네 가지 매개변수 중 대부분의 관심은 안정성 매개변수 \alpha에 집중되어 있다 (패널 참조). 안정 분포는 0 0 및 *b* > 0에 대해 확률 변수 *aX*1 \+ *bX*2가 어떤 상수 *c* > 0 및 *d*에 대해 *cX* + *d*와 동일한 분포를 가질 때 *X*는 **안정적**(stable)이라고 한다. 1=*d* = 0일 때 이 속성이 성립하면 그 분포는 엄밀히 안정적이라고 한다.archive-url = https://web.archive.org/web/20110717003439/http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf 정규 분포, 코시 분포 및 레비 분포는 모두 위 속성을 가지므로, 이들은 안정 분포의 특별한 경우이다. 이러한 분포들은 위치 및 스케일 매개변수 μ와 c, 그리고 대략적으로 비대칭도와 집중도를 나타내는 두 가지 형태 매개변수 \beta와 \alpha에 의해 매개화되는 4매개변수 연속 확률 분포 군을 형성한다 (그림 참조). 밀도 함수 f를 가진 확률 분포의 특성 함수 \varphi는 f의 푸리에 변환이다. 밀도 함수는 특성 함수의 역 푸리에 변환이다.access-date=2018-10-18 \varphi(t) = \int_{- \infty}^\infty f(x)e^{ ixt}\,dx. 일반 안정 분포의 확률 밀도 함수는 해석적으로 쓸 수 없지만, 일반 특성 함수는 해석적으로 표현할 수 있다. 확률 변수 X는 그 특성 함수가 다음과 같이 쓸 수 있을 때 안정적이라고 불린다.isbn = 978-3-540-26285-5 \varphi(t; \alpha, \beta, c, \mu) = \exp \left ( i t \mu - |c t|^\alpha \left ( 1 - i \beta \sgn(t) \Phi \right ) \right ) 여기서 sgn(t)는 t의 부호함수이며 \Phi = \begin{cases} \tan \left (\frac{\pi \alpha}{2} \right) & \alpha \neq 1 \\\ \- \frac{2}{\pi}\log|t| & \alpha = 1 \end{cases} μ ∈ **R**는 이동 매개변수이고, \beta \in [-1,1]는 왜곡 매개변수라 불리며 비대칭도를 측정한다. 이 맥락에서 일반적인 비대칭도는 잘 정의되지 않음에 유의하라. 왜냐하면 \alpha 0은 분포의 폭을 측정하는 스케일 인자이고, \alpha는 분포의 지수 또는 인덱스이며 분포의 점근적 거동을 지정한다.
## 매개변수화
안정 분포의 매개변수화는 고유하지 않다. 놀란은 문헌에 나타난 11가지 매개변수화를 표로 만들고 변환 공식을 제시한다. 가장 일반적으로 사용되는 두 가지 매개변수화는 위에서 설명한 것(놀란의 "1")과 바로 아래에 설명된 것(놀란의 "0")이다. 위의 매개변수화는 이론적 작업에 사용하기 가장 쉽지만, \alpha =1에서 매개변수에 대해 확률 밀도가 연속적이지 않다. 수치적 작업에 더 적합한 연속적 매개변수화는 다음과 같다. \varphi(t; \alpha, \beta, \gamma, \delta) = \exp \left (i t \delta - |\gamma t|^\alpha \left (1 - i \beta \sgn(t) \Phi \right ) \right ) 여기서: \Phi = \begin{cases} \left ( 1 - |\gamma t|^{1 - \alpha} \right ) \tan \left (\tfrac{\pi \alpha}{2} \right ) & \alpha \neq 1 \\\\[1ex] \- \frac{2}{\pi} \log|\gamma t| & \alpha = 1 \end{cases} \alpha와 \beta의 범위는 이전과 같고, γ (c와 같이)는 양수여야 하며, δ (μ와 같이)는 실수여야 한다. 어느 매개변수화에서든 확률 변수의 선형 변환을 통해 밀도가 f(y; \alpha, \beta, 1, 0)인 확률 변수를 얻을 수 있다. 첫 번째 매개변수화에서는 새로운 변수를 다음과 같이 정의하여 수행된다. y = \begin{cases} \frac{x - \mu}\gamma & \alpha \neq 1 \\\\[1ex] \frac{x - \mu}\gamma - \beta\frac 2\pi\ln\gamma & \alpha = 1 \end{cases} 두 번째 매개변수화의 경우 단순히 다음을 사용한다. y = \frac{x-\delta}\gamma \alpha와 무관하게. 첫 번째 매개변수화에서 평균이 존재한다면 (즉, \alpha > 1일 때) μ와 같고, 두 번째 매개변수화에서 평균이 존재한다면 \delta - \beta \gamma \tan \left (\tfrac{\pi\alpha}{2} \right)와 같다.
## 분포
따라서 안정 분포는 위의 네 가지 매개변수로 지정된다. 비퇴화 안정 분포는 매끄러운 (무한히 미분 가능한) 밀도 함수를 갖는다는 것을 보일 수 있다. X의 밀도를 f(x; \alpha, \beta, c, \mu) 라고 하고 Y가 X의 독립적인 사본들의 합이라면: Y = \sum_{i = 1}^N k_i (X_i - \mu) Y는 \tfrac{1}{s} f(y / s; \alpha, \beta, c, 0) 의 밀도를 가지며, 여기서 s = \left(\sum_{i = 1}^N |k_i|^\alpha \right )^{\frac{1}{\alpha \alpha 0, bn ∈ ℝ이 존재하여 text = an (X1 \+ ... + Xn) − bn → Z. 여기서 →는 확률 변수 합의 수열이 분포로 수렴한다는 의미이다; 즉, 해당 분포들이 F의 모든 연속점에서 Fn(y) → F(y)를 만족한다. 다시 말해, 독립적이고 동일하게 분포된 확률 변수들의 합이 분포적으로 어떤 Z로 수렴한다면, Z는 안정 분포여야 한다.
# 특별한 경우
대칭 중심 안정 분포 PDF의 로그-로그 플롯으로, 큰 x에 대한 멱법칙 거동을 보여준다. 멱법칙 거동은 큰 x에 대한 PDF의 직선 모양으로 입증되며, 기울기는 -(\alpha+1)과 같다. (유일한 예외는 \alpha = 2인 경우로, 검은색 선이며 정규 분포이다.) 왜곡된 중심 안정 분포 PDF의 로그-로그 플롯으로, 큰 x에 대한 멱법칙 거동을 보여준다. 다시 선형 부분의 기울기는 -(\alpha+1)과 같다. f(x)의 형태에 대한 일반적인 해석적 해는 존재하지 않는다. 그러나 특성 함수를 검사함으로써 초등 함수로 표현될 수 있는 세 가지 특별한 경우가 있다.first2 = M.S. * \alpha = 2일 때 분포는 분산 σ2 = 2c2와 평균 μ를 갖는 정규 분포로 축소되며, 왜곡 매개변수 \beta는 영향을 미치지 않는다. * \alpha = 1이고 \beta = 0일 때 분포는 스케일 매개변수 c와 이동 매개변수 μ를 갖는 코시 분포로 축소된다. * \alpha = 1/2이고 \beta = 1일 때 분포는 스케일 매개변수 c와 이동 매개변수 μ를 갖는 레비 분포로 축소된다. 위의 세 가지 분포는 다음과 같은 방식으로 연결되어 있음을 주목하라: 표준 코시 확률 변수는 가우시안 확률 변수들의 혼합으로 볼 수 있으며 (모든 평균은 0), 분산은 표준 레비 분포에서 추출된다. 실제로 이는 더 일반적인 정리의 특별한 경우이다 (p. 59 참조year=2010). 이 정리는 모든 대칭 알파-안정 분포를 이 방식으로 볼 수 있게 한다 (혼합 분포의 알파 매개변수는 혼합하는 분포의 알파 매개변수의 두 배와 같고, 혼합하는 분포의 베타 매개변수는 항상 1과 같다). \alpha의 유리수 값에 대한 일반적인 안정 PDF의 닫힌 형식 표현은 마이어 G-함수로 사용할 수 있다.last = Zolotarev 폭스 H-함수도 안정 확률 밀도 함수를 표현하는 데 사용할 수 있다. 간단한 유리수에 대해서는 닫힌 형식 표현이 종종 덜 복잡한 특수 함수로 표현된다. 특수 함수로 상당히 간단하게 표현되는 여러 닫힌 형식 표현이 있다. 아래 표에서 초등 함수로 표현 가능한 PDF는 E로 표시하고 특수 함수로 표현 가능한 PDF는 s로 표시한다. {| class="wikitable" |- | colspan="2" rowspan="2" | ! colspan="7" | \alpha |- | 1/3 || 1/2 || 2/3 || 1 || 4/3 || 3/2 || 2 |- ! rowspan="2" | \beta | 0 || s || s || s || **E** || s || **s** || rowspan="2" | **E** |- | 1 || s || **E** || s || **L** || || s |} 몇몇 특별한 경우는 특정 이름으로 알려져 있다. * \alpha = 1이고 \beta = 1일 때, 이 분포는 란다우 분포 (**L**)이며, 물리학에서 이 이름으로 특정하게 사용된다. * \alpha = 3/2이고 \beta = 0일 때 분포는 스케일 매개변수 c와 이동 매개변수 μ를 갖는 홀츠마크 분포로 축소된다. 또한, c가 0으로 접근하거나 α가 0으로 접근할 때 분포는 디랙 델타 함수 δ(x − μ)로 접근한다.
# 급수 표현
안정 분포는 더 간단한 적분의 실수 부분으로 다시 표현될 수 있다.bibcode = 1981AdPhy..30..367P f(x;\alpha,\beta,c,\mu)=\frac{1}{\pi}\Re\left[ \int_0^\infty e^{it(x-\mu)}e^{-(ct)^\alpha(1-i\beta\Phi)}\,dt\right]. 두 번째 지수 함수를 테일러 급수로 표현하면 다음을 얻는다. f(x;\alpha,\beta,c,\mu)=\frac{1}{\pi}\Re\left[ \int_0^\infty e^{it(x-\mu)}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-qt^\alpha)^n}{n!}\,dt\right] 여기서 q=c^\alpha(1-i\beta\Phi)이다. 적분과 합의 순서를 바꾸고 적분을 수행하면 다음을 얻는다. f(x;\alpha,\beta,c,\mu)=\frac{1}{\pi}\Re\left[ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-q)^n}{n!}\left(\frac{i}{x-\mu}\right)^{\alpha n+1}\Gamma(\alpha n+1)\right] 이것은 x ≠ μ일 때 유효하며 매개변수의 적절한 값에 대해 수렴한다. (x − μ에서 델타 함수를 산출하는 n = 0 항은 제거되었음에 유의하라.) 첫 번째 지수 함수를 급수로 표현하면 x − μ의 양의 거듭제곱으로 이루어진 또 다른 급수가 생성되는데, 이는 일반적으로 덜 유용하다. 단측 안정 분포의 경우 위 급수 전개는 수정되어야 하는데, q=\exp(-i\alpha\pi/2)와 q i^{\alpha}=1이기 때문이다. 합할 실수부가 없다. 대신 특성 함수의 적분은 음의 축에서 수행되어야 하며, 이는 다음을 산출한다.doi-access=frees2cid=27497684 \begin{align} L_\alpha(x) & = \frac{1}{\pi}\Re\left[ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-q)^n}{n!}\left(\frac{-i}{x}\right)^{\alpha n+1}\Gamma(\alpha n+1)\right] \\\\[1ex] & = \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{-\sin(n(\alpha+1)\pi)}{n!}\left(\frac{1}{x}\right)^{\alpha n+1}\Gamma(\alpha n+1) \end{align}
# 매개변수 추정
기존의 정규성 검정과 그에 따른 매개변수 추정 외에, McCulloch가 개발한 분위수를 이용한 일반적인 방법은 대칭 및 비대칭 안정 분포와 안정성 매개변수 0.5 < \alpha \leq 2 모두에 적용된다.url=https://www.asc.ohio-state.edu/mcculloch.2/papers/stabparm.pdf
# 안정 변량의 시뮬레이션
역함수 F^{-1}(x)나 CDF F(x) 자체에 대한 해석적 표현이 없으므로, 역변환 방법을 사용하여 안정 분포 변량을 생성할 수 없다.last = Nolan 기각법과 같은 다른 표준 접근 방식은 지루한 계산을 필요로 할 것이다. Chambers, Mallows 및 Stuck (CMS)은last3 = Stuck 특정 적분 공식이url = https://archive.org/details/onedimensionalst00zolo_0 다음 알고리즘을 산출한다는 것을 알아차리고 우아하고 효율적인 해결책을 제안했다.editor-last3 = Mori * \left (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right )에서 균일하게 분포된 확률 변수 U와 평균 1인 독립 지수 확률 변수 W를 생성한다; * \alpha\ne 1일 때 다음을 계산한다: X = \left (1+\zeta^2 \right )^\frac{1}{2\alpha} \frac{\sin ( \alpha(U+\xi)) }{ (\cos(U))^{\frac{1}{\alpha \left (\frac{\cos (U - \alpha(U+\xi)) }{W} \right )^\frac{1-\alpha}{\alpha}, * \alpha=1일 때 다음을 계산한다: X = \frac{1}{\xi}\left\\{\left(\frac{\pi}{2}+\beta U \right)\tan U- \beta\log\left(\frac{\frac{\pi}{2} W\cos U}{\frac{\pi}{2}+\beta U}\right)\right\\}, 여기서 \zeta = -\beta\tan\frac{\pi\alpha}{2}, \qquad \xi =\begin{cases} \frac{1}{\alpha} \arctan(-\zeta) & \alpha \ne 1 \\\ \frac{\pi}{2} & \alpha=1 \end{cases} 이 알고리즘은 X\sim S_\alpha(\beta,1,0)인 확률 변수를 생성한다. 자세한 증명은 다음을 참조하라.s2cid = 9500064 매개변수 \alpha, c, \beta 및 \mu의 모든 허용 가능한 값에 대해 안정 확률 변수를 시뮬레이션하려면 다음 속성을 사용한다: 만약 X \sim S_\alpha(\beta,1,0)이면 Y = \begin{cases} c X+\mu & \alpha \ne 1 \\\ c X+\frac{2}{\pi}\beta c\log c + \mu & \alpha = 1 \end{cases} 는 S_\alpha(\beta,c,\mu)이다. \alpha = 2 (및 \beta = 0)일 때 CMS 방법은 가우시안 확률 변수를 생성하는 잘 알려진 박스-뮬러 변환으로 축소된다.first2 = Aleksander Bergströmbibcode = 1994PhRvE..49.4677M 및 LePagelast2 = Kokoszka 급수 전개 적용을 포함하여 문헌에서 다른 접근 방식이 제안되었지만, CMS 방법은 가장 빠르고 정확한 것으로 간주된다.
# 응용
안정 분포는 2차 (그리고 아마 1차) 모멘트가 없는 확률 변수에 대한 중심 극한 정리의 일반화와 안정 군의 자기유사성으로 인해 이론과 실제 모두에서 중요하다. 정규성으로부터의 겉보기 이탈과 금융 데이터에 대한 자기유사성 모델 (즉, 연간 자산 가격 변화의 분포 형태가 구성 일별 또는 월별 가격 변화의 분포 형태와 유사해야 함)에 대한 요구가 브누아 망델브로가 면화 가격이 \alpha가 1.7인 알파-안정 분포를 따른다고 제안한 이유이다. 레비 분포는 임계 현상 및 금융 데이터 분석에서 자주 발견된다.first2 = Stefan 또한 분광학에서 준정적으로 압력 팽창된 스펙트럼 선에 대한 일반적인 표현으로도 발견된다. 태양 플레어 대기 시간 이벤트 (플레어 이벤트 간 시간)의 레비 분포는 2001년 12월 CGRO BATSE 경X선 태양 플레어에 대해 시연되었다. 레비 통계적 특징 분석은 두 가지 다른 메모리 특징이 명백했음을 밝혀냈다; 하나는 태양 주기와 관련이 있었고, 다른 하나는 국지적 또는 국지적 태양 활동 영역 효과의 조합과 관련이 있는 것으로 보였다.Leddon, D., A statistical Study of Hard X-Ray Solar Flares
# 기타 해석적 경우
해석적으로 표현 가능한 안정 분포의 여러 경우가 알려져 있다. 안정 분포를 f(x;\alpha,\beta,c,\mu)로 표현할 때: * 코시 분포는 f(x;1,0,1,0)으로 주어진다. * 레비 분포는 f(x;\tfrac{1}{2},1,1,0)으로 주어진다. * 정규 분포는 f(x;2,0,1,0)으로 주어진다. * S_{\mu,\nu}(z)를 롬멜 함수라고 하면:bibcode=2002JMP....43.2670G f {\left (x;\tfrac{1}{3},0,1,0\right )} = \Re\left ( \frac{2e^{- \frac{i \pi}{4{3 \sqrt{3} \pi} \frac{1}{\sqrt{x^3 S_{0,\frac{1}{3 {\left (\frac{2e^{\frac{i \pi}{4{3 \sqrt{3 \frac{1}{\sqrt{x \right)} \right ) * S(x)와 C(x)를 프레넬 적분이라고 하면:bibcode=1999PhRvE..60.5327H f{\left (x;\tfrac{1}{2},0,1,0\right )} = \left(\tfrac{1}{2\pi\left|x\right|^3}\right)^{1/2} \left (\sin\left(\tfrac{1}{4|x|}\right) \left [\tfrac{1}{2} - S{\left (\tfrac{1}{\sqrt{2\pi|x|\right )}\right ] + \cos\left(\tfrac{1}{4|x|} \right) \left [\tfrac{1}{2} - C{\left (\tfrac{1}{\sqrt{2\pi|x|\right )}\right ]\right ) * K_v(x)를 제2종 변형 베셀 함수라고 하면: f{\left (x;\tfrac{1}{3},1,1,0\right )} = \frac{2^{\frac{5}{2{3^{\frac{7}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{x^3 K_{\frac{1}{3{\left (\frac{2^{\frac{5}{2{3^{\frac{9}{4 \frac{1}{\sqrt{x \right )} * {}_mF_n를 초기하함수라고 하면: \begin{align} f{\left(x; \tfrac{4}{3}, 0, 1, 0\right)} &= \frac{3^{\frac{5}{4{2^{\frac{5}{2 \pi^{\frac{1}{2 \frac{\Gamma{\left (\tfrac{7}{12} \right )} \, \Gamma{\left(\tfrac{11}{12} \right ){\Gamma{\left( \tfrac{6}{12} \right)} \, \Gamma{\left (\tfrac{8}{12} \right ) \; {}_2F_2{\left ( \tfrac{7}{12}, \tfrac{11}{12}; \tfrac{6}{12}, \tfrac{8}{12}; \tfrac{3^3 x^4}{4^4} \right)} \\\\[2pt] & \quad - \frac{3^{\frac{11}{4 x^3}{2^{\frac{13}{2 \pi^{\frac{1}{2 \frac{\Gamma{\left(\tfrac{13}{12} \right)} \, \Gamma{\left (\tfrac{17}{12} \right ){\Gamma{\left (\tfrac{18}{12} \right )} \, \Gamma{\left (\tfrac{15}{12} \right ) \; {}_2F_2 {\left( \tfrac{13}{12}, \tfrac{17}{12}; \tfrac{18}{12}, \tfrac{15}{12}; \tfrac{3^3 x^4}{4^4} \right)} \end{align} \begin{align} f{\left(x; \tfrac{3}{2}, 0, 1, 0\right)} &= \frac{\Gamma{\left(\tfrac{5}{3} \right){\pi} {}_2F_3 {\left( \tfrac{5}{12}, \tfrac{11}{12}; \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{5}{6}; - \tfrac{2^2 x^6}{3^6} \right)} \\\\[2pt] & \quad - \frac{x^2}{3 \pi} \, {}_3F_4 {\left( \tfrac{3}{4}, 1, \tfrac{5}{4}; \tfrac{2}{3}, \tfrac{5}{6}, \tfrac{7}{6}, \tfrac{4}{3}; - \tfrac{2^2 x^6}{3^6} \right)} \\\\[2pt] & \quad + \frac{7 x^4 \Gamma{\left(\tfrac{4}{3} \right){3^4 \pi ^ 2} {}_2F_3{\left ( \tfrac{13}{12}, \tfrac{19}{12}; \tfrac{7}{6}, \tfrac{3}{2}, \tfrac{5}{3}; -\tfrac{2^2 x^6}{3^6} \right)} \end{align} 후자는 홀츠마크 분포이다. * W_{k,\mu}(z)를 휘태커 함수라고 하면:journal=VSPpages=163–167s2cid=18754585 \begin{align} f\left (x;\tfrac{2}{3},0,1,0\right ) &= \frac{\sqrt{3{6\sqrt{\pi}|x|} \exp\left (\tfrac{2}{27}x^{-2}\right ) W_{-\frac{1}{2},\frac{1}{6\left (\tfrac{4}{27}x^{-2}\right ) \\\\[8pt] f\left (x;\tfrac{2}{3},1,1,0\right ) &= \frac{\sqrt{3{\sqrt{\pi}|x|} \exp\left (-\tfrac{16}{27}x^{-2}\right ) W_{\frac{1}{2},\frac{1}{6 \left (\tfrac{32}{27}x^{-2}\right ) \\\\[8pt] f\left (x;\tfrac{3}{2},1,1,0\right ) &= \begin{cases} \frac{\sqrt{3{\sqrt{\pi}|x|} \exp\left (\frac{1}{27}x^3\right ) W_{\frac{1}{2},\frac{1}{6\left (- \frac{2}{27}x^3\right ) & x<0\\\ {} \\\ \frac{\sqrt{3{6\sqrt{\pi}|x|} \exp\left (\frac{1}{27}x^3\right ) W_{-\frac{1}{2},\frac{1}{6\left (\frac{2}{27}x^3\right ) & x \geq 0 \end{cases} \end{align}