볼테라 적분 방정식

수학에서 **볼테라 적분 방정식**(Volterra integral equation)은 특수한 종류의 적분 방정식이다.location=Boca Raton, FL 이들은 제1종과 제2종으로 나뉜다. 제1종 선형 볼테라 방정식은 다음과 같다. : f(t) = \int_a^t K(t,s)\,x(s)\,ds 여기서 f(t) 는 주어진 함수이고 x(t) 는 결정되어야 한다. 제2종 선형 볼테라 방정식은 다음과 같다. : x(t) = f(t) + \int_a^t K(t,s)x(s)\,ds. 연산자 이론과 프레드홀름 이론에서 해당 연산자들은 볼테라 연산자라고 불린다. 이러한 방정식을 푸는 유용한 방법인 아도미안 분해 방법는 조지 아도미안에 의해 개발되었다. 선형 볼테라 적분 방정식은 다음의 경우에 합성곱 방정식이다. : x(t) = f(t) + \int_{t_0}^t K(t-s)x(s)\,ds. 적분 안의 함수 K 는 핵이라고 불린다. 이러한 방정식은 라플라스 변환 기법을 사용하여 분석하고 풀 수 있다. 0<\alpha<1인 K(t,s) = (t^2-s^2)^{-\alpha} 형태의 약하게 특이한 핵의 경우, 제1종 볼테라 적분 방정식은 편리하게 고전적인 아벨 적분 방정식으로 변환될 수 있다. 볼테라 적분 방정식은 비토 볼테라에 의해 소개되었고, 그 후 트라이안 랄레스쿠가 에밀 피카르의 지도 아래 쓴 1908년 논문 "Sur les équations de Volterra"에서 연구되었다. 1911년 랄레스쿠는 적분 방정식에 대한 최초의 책을 썼다. 볼테라 적분 방정식은 인구통계학에서 로트카의 적분 방정식으로,doi=10.1007/978-981-10-0188-8_1 점탄성 재료의 연구에서, 보험계리학에서 갱신 방정식을 통해,location=Cambridge, UK 그리고 유체역학에서 유한 크기 경계 근처의 유동 거동을 설명하는 데 적용된다.arxiv=2109.14437arxiv=2001.06646
# 제1종 볼테라 방정식을 제2종으로 변환
제1종 선형 볼테라 방정식은 K(t,t) \neq 0이라고 가정하면 항상 제2종 선형 볼테라 방정식으로 환원될 수 있다. 제1종 볼테라 방정식을 미분하면 다음과 같다. {df\over{dt = \int_{a}^{t}{\partial K\over{\partial tx(s)ds + K(t,t)x(t) K(t,t)로 나누면 다음과 같다. x(t) = {1\over{K(t,t){df\over{dt - \int_{a}^{t}{1\over{K(t,t){\partial K\over{\partial tx(s)ds \widetilde{f}(t) = {1\over{K(t,t){df\over{dt 및 \widetilde{K}(t,s) = -{1\over{K(t,t){\partial K\over{\partial t를 정의하면 제1종 방정식이 제2종 선형 볼테라 방정식으로의 변환이 완료된다.
# 사다리꼴 공식을 이용한 수치 해법
제2종 선형 볼테라 방정식의 수치 해를 계산하는 표준적인 방법은 사다리꼴 공식인데, 이는 등간격 부분 구간 \Delta x에 대해 다음과 같이 주어진다. \int_{a}^{b}f(x)dx \approx {\Delta x\over{2\left[f(x_{0}) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_{i}) + f(x_{n}) \right ] 부분 구간의 간격이 같다고 가정하면, 볼테라 방정식의 적분 부분은 다음과 같이 근사할 수 있다. \int_{a}^{t}K(t,s)x(s)ds \approx {\Delta s\over{2\left[K(t,s_{0})x(s_{0}) + 2K(t,s_{1})x(s_{1}) + \cdots + 2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1}) + K(t,s_{n})x(s_{n}) \right ] x_{i} = x(s_{i}), f_{i} = f(t_{i}), 그리고 K_{ij} = K(t_{i},s_{j})로 정의하면, 다음과 같은 선형 방정식 시스템을 얻는다. \begin{aligned} x_{0} &= f_{0} \\\ x_{1} &= f_{1} + {\Delta s\over{2\left(K_{10}x_{0} + K_{11}x_{1} \right ) \\\ x_{2} &= f_{2} + {\Delta s\over{2\left(K_{20}x_{0} + 2K_{21}x_{1} + K_{22}x_{2} \right ) \\\ &\vdots \\\ x_{n} &= f_{n} + {\Delta s\over{2\left(K_{n0}x_{0} + 2K_{n1}x_{1} + \cdots + 2K_{n,n-1}x_{n-1} + K_{nn}x_{n} \right ) \end{aligned} 이는 행렬 방정식: x = f + Mx \implies x = (I-M)^{-1}f 와 동일하다. 잘 동작하는 핵에 대해 사다리꼴 공식은 잘 작동하는 경향이 있다.
# 응용: 파산 이론
볼테라 적분 방정식이 나타나는 한 분야는 보험계리학의 지급불능 위험에 대한 연구인 파산 이론이다. 목표는 초기 잉여금 u와 파산 시간 \tau(u)인 파산 확률 \psi(u) = \mathbb{P}[\tau(u) < \infty]를 정량화하는 것이다. 파산 이론의 고전적 모델에서 순현금 포지션 X_{t}는 초기 잉여금, c율로 얻은 보험료 수입, 그리고 나가는 청구액 \xi의 함수이다. X_{t} = u + ct - \sum_{i=1}^{N_{t\xi_{i}, \quad t \geq 0 여기서 N_{t}는 강도 \lambda를 가진 청구 수에 대한 푸아송 과정이다. 이러한 상황에서 파산 확률은 다음과 같은 볼테라 적분 방정식으로 표현될 수 있다.pages=17-22 \psi(u) = {\lambda\over{c\int_{u}^{\infty}S(x)dx + {\lambda\over{c\int_{0}^{u}\psi(u-x)S(x)dx 여기서 S(\cdot)는 청구 분포의 생존 함수이다.
# 확률 볼테라 방정식
과정 X_t가 확률 볼테라 방정식의 해라고 말할 수 있다. url= https://arxiv.org/pdf/1708.08796 만약 다음과 같으면: X_t = X_0 + \int_0^t K(t-s)b(x_s)ds + \int_0^t K(t-s) \sigma(X_s)dW_s 여기서 X_t가 일반적인 조건을 가진 확률 공간의 여과에 적합하다고 가정한다. 이 프레임워크를 사용하는 한 모델은 예를 들어 러프 베르곰 모델이다.
# 더 읽어보기
*Traian Lalescu, Introduction à la théorie des équations intégrales. Avec une préface de É. Picard, 파리 (프랑스): A. Hermann et Fils, 1912. VII + 152 pp. *id=p/v096840 *urlname=VolterraIntegralEquationoftheFirstKind *urlname=VolterraIntegralEquationoftheSecondKind *Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations *chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=992