바이어슈트라스 변환

수학에서 카를 바이어슈트라스의 이름을 따서 명명된 함수 f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}의 **바이어슈트라스 변환**(Weierstrass transform)Ahmed I. Zayed, Handbook of Function and Generalized Function Transformations, Chapter 18. CRC Press, 1996.은 x를 중심으로 하는 가우스 함수로 가중된 f의 값을 평균하여 얻은 f(x)의 "평활화된" 버전이다. 함수 f(x) (검은색)와 다섯 가지 t 매개변수에 대한 일반화된 바이어슈트라스 변환 그래프. 표준 바이어슈트라스 변환 F(x)는 t=1 (녹색)인 경우에 해당한다 특히, 다음으로 정의되는 함수 F이다. :F(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\int_{-\infty}^\infty f(y) \; e^{-\frac{(x-y)^2}{4 \; dy = \frac{1}{\sqrt{4\pi\int_{-\infty}^\infty f(x-y) \; e^{-\frac{y^2}{4 \; dy~, 이는 f와 가우스 함수의 합성곱이다. :\frac{1}{\sqrt{4\pi e^{-x^2/4}~. 계수 \frac{1}{\sqrt{4\pi는 가우스 함수가 총 적분값이 1이 되도록 선택되며, 결과적으로 상수 함수는 바이어슈트라스 변환에 의해 변경되지 않는다. F(x) 대신 W[f](x)로도 쓴다. 정의 적분이 수렴하지 않을 때 F(x)가 모든 실수 x에 대해 존재할 필요는 없다는 점에 유의해야 한다. 바이어슈트라스 변환은 열 방정식 (또는 등가적으로 상수 확산 계수를 갖는 확산 방정식)과 밀접한 관련이 있다. 만약 함수 f가 상수 열전도도가 1인 무한히 긴 막대의 각 지점에서의 초기 온도를 나타낸다면, t=1 시간 단위 후의 막대의 온도 분포는 함수 F로 주어진다. 1과 다른 t 값을 사용함으로써 우리는 f의 **일반화된 바이어슈트라스 변환**(generalized Weierstrass transform)을 정의할 수 있다. 일반화된 바이어슈트라스 변환은 주어진 적분 가능한 함수 f를 해석 함수로 임의로 잘 근사하는 수단을 제공한다.
# 이름
바이어슈트라스는 바이어슈트라스 근사 정리의 원래 증명에서 이 변환을 사용했다. 이 변환은 카를 프리드리히 가우스의 이름을 따서 **가우스 변환**(Gauss transform) 또는 **가우스-바이어슈트라스 변환**(Gauss–Weierstrass transform)이라고도 불리며, 이를 광범위하게 연구한 에이나르 카를 힐레의 이름을 따서 **힐레 변환**(Hille transform)이라고도 불린다. 아래에 언급된 일반화 W_t는 신호 처리에서는 가우스 필터로, 영상 처리 ( \mathbb{R}^2에서 구현될 때)에서는 가우시안 블러로 알려져 있다.
# 일부 중요 함수의 변환

## 상수 함수
모든 상수 함수는 자체 바이어슈트라스 변환이다.
## 다항식
어떤 다항식의 바이어슈트라스 변환은 같은 차수의 다항식이며, 실제로 같은 최고차 항 계수를 가진다 (점근적 성장은 변하지 않는다). 실제로 H_n이 n차 (물리학자의) 에르미트 다항식을 나타낸다면, H_n(x/2)의 바이어슈트라스 변환은 단순히 x^n이다. 이는 에르미트 다항식의 생성함수가 바이어슈트라스 변환의 정의에 사용되는 가우스 핵과 밀접하게 관련되어 있다는 사실을 활용하여 증명할 수 있다.
## 지수, 사인, 코사인
지수 함수 x \mapsto \exp(ax) (여기서 a는 임의의 상수)의 바이어슈트라스 변환은 x \mapsto \exp(a^2)\exp(ax)이다. 따라서 함수 \exp(ax)는 고유값 \exp(a^2)을 갖는 바이어슈트라스 변환의 고유함수이다.더 일반적으로, x \mapsto \exp(ax)는 어떤 합성곱 변환에 대해서도 고유함수이다. a = bi (여기서 b는 임의의 실수 상수이고 i는 허수 단위)인 x \mapsto \exp(ax)의 바이어슈트라스 변환을 사용하고 오일러 항등식을 적용하면, 함수 \cos(bx)의 바이어슈트라스 변환은 \exp(-b^2)\cos(bx)이고 함수 \sin(bx)의 바이어슈트라스 변환은 \exp(-b^2) \sin(bx)임을 알 수 있다.
## 가우스 함수
함수 x \mapsto \exp(ax^2)의 바이어슈트라스 변환은 F(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{1-4a \exp\left(\dfrac{ax^2}{1-4a}\right) & \text{if } a 0, 대신 \frac{1}{\sqrt{4\pi e^{-\frac{x^2}{4,와 합성곱을 사용하여 연산자 Wt, 즉 일반화된 바이어슈트라스 변환을 정의할 수 있다. t 값이 작으면, W_t[f]는 f에 매우 가깝지만 매끄럽다. t가 클수록 이 연산자는 f를 더 많이 평균화하고 변화시킨다. 물리적으로 W_t는 t 시간 단위 동안 열 (또는 확산) 방정식을 따르는 것에 해당하며, 이는 가산적이다. W_s \circ W_t = W_{s+t}, 이는 " t 시간 단위 동안 확산한 다음 s 시간 단위 동안 확산하는 것은 s+t 시간 단위 동안 확산하는 것과 같다"는 의미이다. W_0를 항등 연산자 (즉, 디랙 델타 함수와의 합성곱)로 설정하여 t=0까지 확장할 수 있으며, 이들은 1-매개변수 반군을 형성한다. 일반화된 바이어슈트라스 변환에 사용되는 핵 \frac{1}{\sqrt{4\pi t e^{-\frac{x^2}{4t,는 때때로 **가우스-바이어슈트라스 핵**(Gauss–Weierstrass kernel)이라고 불리며, \R에서의 확산 방정식 (\partial_t -D^2) (e^{tD^2} f(x))=0,에 대한 그린 함수이다. W_t는 W로부터 계산될 수 있다. 함수 f(x)가 주어졌을 때, 새로운 함수 f_t(x) := f(x\sqrt{t}),를 정의하면, W_t[f](x) = W[f_t](x\sqrt{t}),이는 치환법의 결과이다. 바이어슈트라스 변환은 특정 종류의 분포 또는 "일반화된 함수"에 대해서도 정의될 수 있다.Yu A. Brychkov, A. P. Prudnikov. Integral Transforms of Generalized Functions, Chapter 5. CRC Press, 1989 예를 들어, 디랙 델타 함수의 바이어슈트라스 변환은 가우스 함수 \frac{1}{\sqrt{4\pi e^{-x^2/4}.이다. 이러한 맥락에서 엄밀한 역변환 공식이 증명될 수 있다. 예를 들어, f(x)=\lim_{r\to\infty}\frac{1}{i\sqrt{4\pi \int_{x_0-ir}^{x_0+ir} F(z)e^{\frac{(x-z)^2}{4\;dz, 여기서 x_0는 F(x_0)가 존재하는 임의의 고정된 실수이고, 적분은 실수부가 x_0인 복소평면의 수직선 위에서 확장되며, 극한은 분포의 의미에서 취해진다. 더 나아가, 바이어슈트라스 변환은 \R^n에서 정의된 실수값 (또는 복소수값) 함수 (또는 분포)에 대해서도 정의될 수 있다. 위와 동일한 합성곱 공식을 사용하지만, 적분은 \R^n 전체에 걸쳐 확장되는 것으로 해석하고 표현 (x-y)^2은 벡터 x-y의 유클리드 길이의 제곱으로 해석한다. 적분 앞의 계수는 가우스 함수가 총 적분 값이 1이 되도록 조정해야 한다. 보다 일반적으로, 바이어슈트라스 변환은 모든 리만 다양체에서 정의될 수 있다. 거기서 열 방정식은 (다양체의 라플라스-벨트라미 연산자를 사용하여) 공식화될 수 있으며, 바이어슈트라스 변환 W[f]는 초기 "온도 분포" f에서 시작하여 한 시간 단위 동안 열 방정식의 해를 따름으로써 주어진다.
# 관련 변환
가우스 함수 대신 핵 \frac{1}{(1+x^2)\pi}와의 합성곱을 고려하면, 바이어슈트라스 변환과 유사한 방식으로 주어진 함수를 평활화하고 평균화하는 푸아송 변환을 얻는다.
# 내용주
참고풋