사쿠마-핫토리 방정식

물리학에서 **사쿠마-핫토리 방정식**(Sakuma–Hattori equation)은 완전한 흑체에서 방출되거나 열복사 검출기에 의해 수신되는 열복사, 방사속 또는 방사 전력의 양을 예측하는 수학적 모델이다.
# 역사
사쿠마-핫토리 방정식은 1982년 사쿠마 후미히로(Fumihiro Sakuma), 오노 아키라(Akira Ono), 핫토리 스스무(Susumu Hattori)가 처음 제안했다. 1996년에는 사쿠마-핫토리 방정식의 다양한 형태의 유용성을 조사한 연구가 있었다. 이 연구는 플랑크 형태가 대부분의 응용 분야에 가장 적합한 결과를 제공한다는 것을 보여주었다. 이 연구는 세 개 이하의 피팅 변수를 포함하는 사쿠마-핫토리 방정식의 10가지 다른 형태에 대해 수행되었다. 2008년에 BIPM CCT-WG5는 960°C 미만의 복사 온도계 측정 불확실성 예산에 이 방정식을 사용할 것을 권장했다.
# 일반 형태
사쿠마-핫토리 방정식은 물체의 온도를 기반으로 열복사에서 발생하는 전자기파 신호를 나타낸다. 이 신호는 전자기 선속이거나 이 복사를 측정하는 검출기에 의해 생성된 신호일 수 있다. 은점access-date = 2010-07-26 이는 안정적이고 재현하기 쉽기 때문에 IR 온도계를 교정하는 데 사용된다. 미만에서는 사쿠마-핫토리 방정식을 사용하는 방법이 사용될 것을 제안했다.isbn=0-88318-403-6 일반적인 형태는 다음과 같다.display-authors=1 S(T) = \frac{C}{\exp\left(\frac{c_2}{\lambda_x T}\right) - 1}, 여기서: * C는 스칼라 계수이다. * c_2는 두 번째 복사 상수(0.014387752 m⋅Kaccess-date=Apr 27, 2010)이다. * \lambda_x는 온도에 의존하는 유효 파장(미터 단위)이다. * T는 절대 온도(K 단위)이다.
# 플랑크 형태

## 유도
플랑크 형태는 다음 대체식으로 실현된다. \lambda _x = A + \frac{B}{T} 이 대입을 통해 사쿠마-핫토리 방정식은 플랑크 형태로 변환된다. ; 사쿠마-핫토리 방정식 (플랑크 형태) : S(T) = \frac{C}{\exp\left(\frac{c_2}{AT + B}\right)-1} ; 역방정식 : T = \frac{c_2}{A \ln \left(\frac{C}{S} + 1\right)} - \frac{B}{A} ; 1차 미분ASTM Standard E2758-10 – Standard Guide for Selection and Use of Wideband, Low Temperature Infrared Thermometers, ASTM International, West Conshohocken, PA, (2010). **_Updated_ **: ASTM E2758-15a(2021), https://www.astm.org/e2758-15ar21.html : \frac {dS}{dT} = \left[S(T)\right]^2 \frac{A c_2}{C\left(AT + B\right)^2}\exp\left(\frac{c_2}{AT + B}\right)
## 논의
플랑크 형태는 복사 온도계 및 적외선 온도계MSL Technical Guide 22 – Calibration of Low Temperature Infrared Thermometers date=2011-07-24 (pdf), Measurement Standards Laboratory of New Zealand (2008). **_Updated_ **: Version 3. July 2019, 불확실성 예산을 계산하는 데 사용하도록 권장된다. 또한 은점 이하의 복사 온도계 교정에도 사용하도록 권장된다. 플랑크 형태는 플랑크 법칙과 유사하다. S(T) = \frac{c_1}{\lambda^5\left[\exp\left(\frac{c_2}{\lambda T}\right)-1\right} 그러나 사쿠마-핫토리 방정식은 저온, 광대역 복사 온도계를 고려할 때 매우 유용하다. 넓은 스펙트럼 대역에서 플랑크 법칙을 사용하려면 다음과 같은 적분을 고려해야 한다. S(T) = \int_{\lambda _1}^{\lambda _2}\frac{c_1}{\lambda^5\left[\exp\left(\frac{c_2}{\lambda T}\right)-1\right]} d\lambda 이 적분은 불완전 다중로그 함수를 생성하여 사용이 매우 번거로울 수 있다. 표준 수치 처리는 불완전 적분을 기하급수적 급수로 확장한다. \int_0^{\lambda_2} \frac{c_1}{\lambda^5 \left[\exp\left(\frac{c_2}{\lambda T}\right)-1\right]} d\lambda = c_1 \left(\frac{T}{c_2}\right)^4\int_{c_2/(\lambda_2 T)}^\infty \frac{x^3}{e^x -1} dx \lambda = \tfrac{c_2}{xT}, \ d\lambda = \tfrac{-c_2}{x^2 T dx}를 대입한 후, \begin{align} J(c)&\equiv \int_c^\infty \frac{x^3}{e^x -1}dx =\int_c^\infty \frac{x^3 e^{-x{1- e^{-xdx \\\\[4pt] &=\int_c^\infty \sum_{n\ge 1}x^3 e^{-nx} dx \\\\[4pt] &=\sum_{n\ge 1} e^{-nc} \frac{(nc)^3+3(nc)^2+6nc+6}{n^4} \end{align} 는 합이 특정 차수에서 잘릴 경우 근사치를 제공한다. 위에 제시된 사쿠마-핫토리 방정식은 조사된 여러 대안 중에서 복사 온도계 눈금의 보간에 가장 적합한 곡선 적합도를 제공하는 것으로 밝혀졌다.Sakuma F, Kobayashi M., "Interpolation equations of scales of radiation thermometers", Proceedings of TEMPMEKO 1996, pp. 305–310 (1996). 역 사쿠마-핫토리 함수는 반복 계산 없이 사용할 수 있다. 이는 플랑크 법칙의 적분에 대한 추가적인 장점이다.
# 다른 형태
1996년 논문에서는 10가지 다른 형태를 조사했다. 이들은 실제 방사 측정 데이터에 대한 곡선 적합도의 품질 순서로 아래 표에 나열되어 있다. {| class="wikitable" |- ! 이름 ! 방정식 ! 대역폭 ! 플랑크형 |- | 사쿠마-핫토리 플랑크 III | S(T) = \frac{C}{\exp\left(\frac{c_2}{AT + B}\right)-1} | 좁음 | 예 |- | 사쿠마-핫토리 플랑크 IV | S(T) = \frac{C}{\exp\left(\frac{A}{T^2} + \frac{B}{2T}\right)-1} | 좁음 | 예 |- | 사쿠마-핫토리 – 빈의 II | S(T) = C \exp\left(\frac{-c_2}{AT + B}\right) | 좁음 | 아니요 |- | 사쿠마-핫토리 플랑크 II | S(T) = \frac{C T^A}{\exp\left(\frac{B}{T}\right)-1} | 넓고 좁음 | 예 |- | 사쿠마-핫토리 – 빈의 I | S(T) = C T^A {\exp\left(\frac{-B}{T}\right)} | 넓고 좁음 | 아니요 |- | 사쿠마-핫토리 플랑크 I | S(T) = \frac{C}{\exp\left(\frac{c_2}{AT}\right)-1} | 단색 | 예 |- | 신형 | S(T) = C \left(1 + \frac{A}{T}\right) - B | 좁음 | 아니요 |- | 빈의 | S(T) = C \exp\left(\frac{-c_2}{A T}\right) | 단색 | 아니요 |- | 유효 파장 – 빈의 | S(T) = C \exp\left(\frac{-A}{T}+\frac{B}{T^2}\right) | 좁음 | 아니요 |- | 지수 | S(T) = C T^A | 넓음 | 아니요 |}
# 내용주
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