다중 척도 해석

수학 및 물리학에서 **다중 척도 해석**(Multiple-scale analysis, 또는 **다중 척도 방법**(method of multiple scales)이라고도 함)은 독립 변수의 작은 값과 큰 값 모두에 대해 섭동 이론 문제의 해에 대한 균일하게 유효한 근삿값을 구성하는 데 사용되는 기술을 포함한다. 이는 독립 변수에 대해 빠른 척도와 느린 척도 변수를 도입한 다음, 이 변수들을 빠르고 느리게 마치 독립적인 것처럼 처리함으로써 수행된다. 그 후 섭동 문제의 해 과정에서, 새로운 독립 변수에 의해 도입된 추가적인 자유는 (원치 않는) 영년항을 제거하는 데 사용된다. 후자는 근사 해에 제약을 가하는데, 이를 **가해 조건**(solvability conditions)이라고 한다. 약 1980년대부터의 수학 연구는 좌표 변환과 불변 다양체가 다중 척도 모델링에 대한 더 견고한 지원을 제공한다고 제안한다(예를 들어, 중심 다양체 및 느린 다양체 참조).
# 예시: 비감쇠 더핑 방정식
여기서 정규 섭동 이론과 다중 척도 해석 모두에 대한 \mathcal{O}(\varepsilon) 접근 방식의 차이점과 \varepsilon = \frac{1}{4}에 대한 정확한 해와 비교할 수 있다.
## 미분 방정식과 에너지 보존
다중 척도 해석 방법의 예시로 비감쇠 비강제 더핑 방정식을 고려해보자.This example is treated in: Bender & Orszag (1999) pp. 545–551. \frac{d^2 y}{d t^2} + y + \varepsilon y^3 = 0, y(0)=1, \qquad \frac{dy}{dt}(0)=0, 이는 비선형 진동자를 설명하는 2차 상미분 방정식이다. (양의) 비선형성 매개변수 0 < ε ≪ 1의 작은 값에 대한 해 y(t)를 찾는다. 비감쇠 더핑 방정식은 해밀턴 계로 알려져 있다. \frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \qquad \frac{dq}{dt}=+\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \text{ with } \quad H = \tfrac12 p^2 + \tfrac12 q^2 + \tfrac14 \varepsilon q^4, 여기서 q = y(t)이고 p = dy/dt이다. 결과적으로 해밀턴 H(p, q)는 보존량이며, 주어진 초기 조건에 대해 H0 = 2 + 4 ε와 같다. 이는 q와 p 모두 유계여야 함을 의미한다. \left| q \right| \le \sqrt{1 + \tfrac12 \varepsilon} \quad \text{ and } \quad \left| p \right| \le \sqrt{1 + \tfrac12 \varepsilon} \qquad \text{ for all } t.q의 경계는 p = 0일 때 H를 H0와 동일시하여 찾는다. \tfrac12 q^2 + \tfrac14 \varepsilon q^4 = \tfrac12 + \tfrac14 \varepsilon이고, 그런 다음 q4 항을 제거한다. 이는 실제로 |q|의 상한이지만, q4 항을 유지하면 더 복잡한 공식으로 더 작은 경계가 제공된다.
## 단순 섭동 계열 해법
문제에 대한 정규 섭동 계열 접근 방식은 y(t) = y_0(t) + \varepsilon y_1(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^2)를 작성하고 이를 비감쇠 더핑 방정식에 대입하는 방식으로 진행된다. \varepsilon의 거듭제곱을 일치시키면 다음 방정식 계가 얻어진다. \begin{align} \frac{d^2 y_0}{dt^2} + y_0 &= 0,\\\ \frac{d^2 y_1}{dt^2} + y_1 &= - y_0^3. \end{align} 초기 조건에 따라 이들을 풀면 다음이 얻어진다. y(t) = \cos(t) \+ \varepsilon \left[ \tfrac{1}{32} \cos(3t) - \tfrac{1}{32} \cos(t) - \underbrace{\tfrac 3 8\, t\, \sin(t)}_\text{secular} \right] \+ \mathcal{O}(\varepsilon^2). 정사각형 괄호 안의 마지막 항은 영년항이다. 즉, |t|가 커질수록 무한히 증가한다. 특히, t = O(\varepsilon^{-1})일 때 이 항은 O(1)이며, 선행 항과 같은 크기 차수를 가진다. 항들이 무질서해졌기 때문에, 이 계열은 더 이상 해의 점근적 전개가 아니다.
## 다중 척도 방법
t = O(\epsilon^{-1})를 넘어 유효한 해를 구성하기 위해 다중 척도 해석 방법이 사용된다. 느린 척도 t1을 도입한다. t_1 = \varepsilon t 그리고 해 y(t)가 t와 t1 모두에 의존하는 섭동 계열 해라고 가정한다. y(t) = Y_0(t,t_1) + \varepsilon Y_1(t,t_1) + \cdots. 그러므로: \begin{align} \frac{dy}{dt} &= \left( \frac{\partial Y_0}{\partial t} + \frac{dt_1}{dt} \frac{\partial Y_0}{\partial t_1} \right) \+ \varepsilon \left( \frac{\partial Y_1}{\partial t} + \frac{dt_1}{dt} \frac{\partial Y_1}{\partial t_1} \right) \+ \cdots \\\ &= \frac{\partial Y_0}{\partial t} \+ \varepsilon \left( \frac{\partial Y_0}{\partial t_1} + \frac{\partial Y_1}{\partial t} \right) \+ \mathcal{O}(\varepsilon^2), \end{align} dt1/dt = ε를 사용한다. 유사하게: \frac{d^2 y}{d t^2} = \frac{\partial^2 Y_0}{\partial t^2} \+ \varepsilon \left( 2 \frac{\partial^2 Y_0}{\partial t\, \partial t_1} + \frac{\partial^2 Y_1}{\partial t^2} \right) \+ \mathcal{O}(\varepsilon^2). 그러면 더핑 방정식에 대한 다중 척도 섭동 계열의 0차 및 1차 문제는 다음과 같다. \begin{align} \frac{\partial^2 Y_0}{\partial t^2} + Y_0 &= 0, \\\ \frac{\partial^2 Y_1}{\partial t^2} + Y_1 &= - Y_0^3 - 2\, \frac{\partial^2 Y_0}{\partial t\, \partial t_1}. \end{align}
## 해
0차 문제는 일반적인 해를 가진다. Y_0(t,t_1) = A(t_1)\, e^{+it} + A^\ast(t_1)\, e^{-it}, 여기서 A(t1)는 0차 해 Y0(t, t1)에 대한 복소수 값 진폭이고 i2 = −1이다. 이제 1차 문제에서 미분 방정식의 우변에 있는 강제항은 다음과 같다. \left[ -3\, A^2\, A^\ast - 2\, i\, \frac{dA}{dt_1} \right]\, e^{+it} - A^3\, e^{+3it} + c.c. 여기서 c.c.는 이전 항들의 켤레 복소수를 나타낸다. 영년항의 발생은 – 아직 알려지지 않은 – 진폭 A(t1)에 대해 가해 조건을 부과함으로써 방지할 수 있다. -3\, A^2\, A^\ast - 2\, i\, \frac{dA}{dt_1} = 0. 초기 조건 1=y(0) = 1 및 1=dy/dt(0) = 0을 만족하는 가해 조건의 해는 다음과 같다. A = \tfrac 1 2\, \exp \left(\tfrac 3 8\, i \, t_1 \right). 그 결과, 다중 척도 해석에 의한 근사 해는 다음과 같다. y(t) = \cos \left[ \left( 1 + \tfrac38\, \varepsilon \right) t \right] + \mathcal{O}(\varepsilon), 1=t1 = εt를 사용하며 1=εt = O(1)에 대해 유효하다. 이는 린드스테트-푸앙카레 방법을 사용하여 발견된 비선형 진동수 변화와 일치한다. 이 새로운 해는 t = O(\epsilon^{-2})까지 유효하다. 다중 척도 방법을 사용하는 고차 해는 추가적인 느린 척도, 즉 1=t2 = ε2 t, 1=t3 = ε3 t 등을 도입해야 한다. 그러나 이는 섭동 계열 해에서 가능한 모호성을 초래하며, 신중한 처리가 필요하다(참조: 1996; 1999).Bender & Orszag (1999) p. 551.
## 진폭/위상 변수로의 좌표 변환
대안적으로, 현대적인 접근 방식은 다음에 설명된 정규 형식 방법과 같은 좌표 변환을 사용하여 이러한 종류의 모델을 도출한다. 새로운 좌표 (r,\theta)에서 y\approx r\cos\theta와 같은 해를 찾는데, 여기서 진폭 r(t)는 천천히 변하고 위상 \theta(t)는 거의 일정한 속도로 변한다. 즉, d\theta/dt\approx 1. 간단한 대수를 통해 다음 좌표 변환을 찾는다. y=r\cos\theta +\frac1{32}\varepsilon r^3\cos3\theta +\frac1{1024}\varepsilon^2r^5(-21\cos3\theta+\cos5\theta)+\mathcal O(\varepsilon^3) 더핑 방정식을 반지름은 상수 dr/dt=0이고 위상은 다음과 같이 진화하는 한 쌍으로 변환한다. \frac{d\theta}{dt} = 1 + \frac 3 8 \varepsilon r^2 -\frac{15}{256}\varepsilon^2r^4 +\mathcal O(\varepsilon^3). 즉, 더핑 진동은 일정한 진폭 r을 가지지만 진폭에 따라 다른 진동수 d\theta/dt를 가진다. 더 어려운 예시는 복소 지수(이전 다중 시간 척도 접근 방식에서도 사용됨)를 포함하는 시간 의존적 좌표 변환을 사용하여 더 잘 처리된다. 웹 서비스는 광범위한 예시에 대해 분석을 수행한다.
# 내용주
각주