구간별 함수

구간별 선형 함수 f(x) = \left\\{ \begin{array}{lll} -3-x & \text{if} & x \leq -3 \\\ x+3 & \text{if} & -3 \leq x \leq 0 \\\ 3-2x & \text{if} & 0 \leq x \leq 3 \\\ 0.5x - 4.5 & \text{if} & 3 \leq x \\\ \end{array} \right.의 그래프 수학에서 **구간별 함수**(piecewise function) 또는 **구간별 정의 함수**, **혼합 함수**, **경우별로 정의된 함수**는 함수의 정의역이 여러 구간("부분 정의역")으로 분할되어 함수가 다르게 정의될 수 있는 함수를 말한다.website=www.mathsisfun.comid=PiecewiseFunctionwebsite=brilliant.org 구간별 정의는 결과 함수 자체의 특성이라기보다는 함수를 지정하는 방법인데, 정의역이 적어도 두 개의 점을 포함하는 모든 함수는 구간별 함수로 다시 작성할 수 있기 때문이다. 이 문서의 처음 세 문단은 "구간별"의 이러한 첫 번째 의미만을 다룬다. **구간별 선형**, **구간별 매끄러움**, **구간별 연속** 등과 같은 용어들도 매우 흔하다. 어떤 속성 P에 대해 함수가 구간별 P라는 의미는 대략적으로 함수의 정의역을 속성 P가 성립하는 조각들로 분할할 수 있다는 것이지만, 저자마다 약간 다르게 사용된다.pages=178doi-broken-date=2025-08-11 첫 번째 의미와 달리, 이것은 함수 자체의 속성이지 그것을 지정하는 방법만이 아니다. 때로는 이 용어가 삼각 분할과 관련된 더 전역적인 의미로 사용되기도 한다. 구간별 선형 다양체를 참고하라.
# 표기법 및 해석
의 그래프 함수 f(x) = \min(1,x^2)는 구간별 [[단조함수 (부분 정의역 (-\infty,0], [0,+\infty))이며 구간별 미분 가능 함수 (부분 정의역 (-\infty,-1], [-1,+1], [+1,\infty))이다.]] 구간별 함수는 일반적인 함수 표기법을 사용하여 정의할 수 있으며, 함수의 본문은 함수의 배열과 관련 부분 정의역으로 구성된다. 부분 함수 또는 부분 정의역 열 뒤에 세미콜론이나 쉼표가 올 수 있다. 오른쪽 열 시작 부분의 \text{if} 또는 \text{for}는 거의 생략되지 않는다. 부분 정의역들은 함께 전체 정의역을 덮어야 한다. 때로는 이들이 쌍별로 서로소여서 정의역의 분할을 형성해야 한다는 요구사항도 있다.실현 가능한 더 약한 요구사항은 모든 정의가 교차하는 부분 정의역에서 일치해야 한다는 것이다. 이것만으로도 함수가 "경우별로 정의"될 수 있지만, 전체 함수가 "구간별"이 되려면 부분 정의역들은 일반적으로 비어 있지 않은 구간(일부는 특이 구간, 즉 단일 점 또는 무한 구간일 수 있음)이어야 하며, 어떤 유계 구간에서도 무한히 많은 부분 정의역을 가질 수 없는 경우가 많다. 이는 유계 정의역을 가진 함수는 유한한 수의 부분 정의역만 가지며, 무한 정의역을 가진 함수는 적절하게 퍼져 있는 한 무한히 많은 부분 정의역을 가질 수 있음을 의미한다. 예를 들어, 절댓값 함수의 구간별 정의를 고려해보자. |x| = \begin{cases} -x, & \text{if } x < 0 \\\ +x, & \text{if } x \ge 0 . \end{cases} 0보다 작은 모든 x 값에 대해서는 첫 번째 부분 함수 (-x)가 사용되며, 이는 입력 값의 부호를 반전시켜 음수를 양수로 만든다. 0보다 크거나 같은 모든 x 값에 대해서는 두 번째 부분 함수 (x)가 사용되며, 이는 입력 값 자체로 자명하게 평가된다. 다음 표는 특정 x 값에 대한 절댓값 함수를 보여준다. {| class="wikitable" ! | x ! | f(x) !사용된 부분 함수 |- |−3 ||3 ||-x |- |−0.1||0.1||-x |- |0 ||0 ||x |- |1/2 ||1/2||x |- |5 ||5 ||x |- |} 주어진 입력 값에 대해 구간별 정의 함수를 평가하려면, 올바른 부분 함수를 선택하고 올바른 출력 값을 생성하기 위해 적절한 부분 정의역을 선택해야 한다.
# 예시
* 계단 함수 또는 구간별 상수 함수, 상수 부분 함수들로 구성됨 * 구간별 선형 함수, 일차 함수 부분 함수들로 구성됨 * 파워 법칙, 파워 법칙 부분 함수들로 구성된 함수 * 스플라인 곡선, 다항식 부분 함수들로 구성된 함수로, 종종 조각 사이의 연결점에서 매끄러워야 하는 제약이 있음 ** B-스플라인 곡선 * PDIFF * f(x)= \begin{cases} \exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right), & x \in (-1,1) \\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}
및 기타 일반적인 범프 함수들. 이들은 무한히 미분 가능하지만, 해석성은 구간별로만 유지된다.
# 구간별 정의 함수의 연속성과 미분 가능성
구간별 이차 함수 f(x) = \left\\{ \begin{array}{lll} x^2 & \text{if} & x < 0.707 \\\ 1.5 - (x - 1.414)^2 & \text{if} & 0.707 \leq x \\\ \end{array} \right.의 그래프. 유일한 불연속점은 x_0 = 0.707이다. 구간별 정의 함수가 정의역의 주어진 구간에서 연속이려면 다음 조건이 충족되어야 한다. * 부분 함수가 해당 구간(부분 정의역)에서 연속이어야 한다. * 해당 구간 내의 어떤 부분 정의역의 끝점에서도 불연속이 없어야 한다. 예를 들어, 그림에 있는 함수는 부분 정의역들 내에서는 구간별 연속이지만, x_0에서 점프 불연속을 포함하므로 전체 정의역에서는 연속이 아니다. 채워진 원은 이 위치에서 오른쪽 부분 함수의 값이 사용됨을 나타낸다. 구간별 정의 함수가 정의역의 주어진 구간에서 미분 가능하려면, 위의 연속성 조건 외에 다음 조건들도 충족되어야 한다. * 부분 함수가 해당 열린 구간에서 미분 가능해야 한다. * 모든 구간의 끝점에서 일측 도함수가 존재해야 한다. * 두 부분 구간이 만나는 지점에서, 두 이웃한 부분 구간의 해당 일측 도함수가 일치해야 한다.oldid=48044pages=146, 177pages=83, 176
# 응용
응용 수학적 분석에서 "구간별 정규" 함수는 많은 인간 시각 시스템 모델과 일치하는 것으로 밝혀졌는데, 이 모델에서 이미지는 첫 번째 단계에서 가장자리로 분리된 매끄러운 영역(마치 카툰)으로 인식된다.url = https://www.math.uh.edu/~dlabate/SHBookIntro.pdf Here: p.8 **카툰과 같은 함수**는 불연속 곡선이 존재하는 것을 제외하고는 매끄러운 C2 함수이다.arxiv=1002.2661 특히, 쉬어렛은 2D 및 3D에서 이 모델 클래스의 희소 근사를 제공하는 표현 시스템으로 사용되었다. 구간별 정의 함수는 최근접 이웃 보간법과 같은 보간법에도 일반적으로 사용된다.