다이애딕

수학, 특히 다중선형대수학에서 **다이애딕**(dyadic) 또는 **다이애딕 텐서**(dyadic tensor)는 벡터 미적분학에 맞는 표기법으로 작성된 2차 텐서이다. 두 유클리드 벡터를 곱하는 방법에는 여러 가지가 있다. 스칼라곱은 두 벡터를 받아 스칼라를 반환하는 반면, 벡터곱벡터곱은 방향이 있는 3차원 및 7차원 내적 공간에만 존재하며 3차원 내적 공간에서만 좋은 특성을 가진다. 관련 외대수는 모든 벡터 공간에 존재한다.은 유사벡터를 반환한다. 이 둘은 모두 중요한 기하학적 해석을 가지며 수학, 물리학, 공학에서 널리 사용된다. **다이애딕 곱**은 두 벡터를 받아 이 맥락에서 다이애딕이라고 불리는 2차 텐서를 반환한다. 다이애딕은 물리적 또는 기하학적 정보를 담는 데 사용될 수 있지만, 일반적으로 이를 기하학적으로 해석하는 직접적인 방법은 없다. 다이애딕 곱은 벡터 덧셈에 대해 분배적이고 스칼라배에 대해 결합적이다. 따라서 다이애딕 곱은 두 피연산자 모두에서 선형이다. 일반적으로 두 다이애딕은 더하여 다른 다이애딕을 얻을 수 있으며, 숫자로 곱하여 다이애딕을 스케일링할 수 있다. 그러나 이 곱은 교환적이지 않다. 벡터의 순서를 바꾸면 다른 다이애딕이 된다. **다이애딕 대수**의 형식은 벡터의 다이애딕 곱을 포함하도록 벡터 대수를 확장한 것이다. 다이애딕 곱은 다른 벡터와의 스칼라곱 및 벡터곱과도 결합적이며, 이를 통해 스칼라곱, 벡터곱 및 다이애딕 곱을 결합하여 다른 스칼라, 벡터 또는 다이애딕을 얻을 수 있다. 또한 행렬 대수의 일부 측면을 가지는데, 벡터의 수치 성분은 행 벡터와 열 벡터로 배열될 수 있고, 2차 텐서의 성분은 정사각 행렬로 배열될 수 있다. 또한 스칼라곱, 벡터곱 및 다이애딕 곱은 모두 행렬 형식으로 표현될 수 있다. 다이애딕 표현은 행렬 등가물과 매우 유사할 수 있다. 다이애딕과 벡터의 스칼라곱은 다른 벡터를 제공하며, 이 결과의 스칼라곱을 취하면 다이애딕에서 파생된 스칼라를 얻을 수 있다. 주어진 다이애딕이 다른 벡터에 미치는 영향은 간접적인 물리적 또는 기하학적 해석을 제공할 수 있다. 다이애딕 표기법은 1884년 조사이어 윌러드 기브스에 의해 처음 확립되었다. 이 표기법과 용어는 오늘날 비교적 구식이다. 물리학에서의 용도는 연속체 역학 및 전자기학을 포함한다. 이 문서에서 대문자 굵은 변수는 다이애딕(다이애드 포함)을 나타내고, 소문자 굵은 변수는 벡터를 나타낸다. 대안적인 표기법은 각각 이중 및 단일 위 또는 아래 막대를 사용한다.
# 정의 및 용어

## 다이애딕, 외적 및 텐서곱
다이애드는 차수 2, 계수 1인 텐서이며, 두 유클리드 벡터(일반적으로 복소수 벡터)의 다이애딕 곱인 반면, 다이애딕은 차수 2인 일반 텐서이다(전체 계수일 수도 있고 아닐 수도 있다). 이 곱에 대해 여러 가지 동등한 용어와 표기법이 있다. * 두 벡터 \mathbf{a}와 \mathbf{b}의 **다이애딕 곱**은 \mathbf{a}\mathbf{b}로 표기된다(병렬로; 기호, 곱셈 기호, 십자, 점 등 없음). * 두 열 벡터 \mathbf{a}와 \mathbf{b}의 **외적**은 \mathbf{a} \otimes \mathbf{b} 또는 \mathbf{a}\mathbf{b}^\mathsf{T}로 표기되고 정의되며, 여기서 \mathsf{T}는 전치 행렬을 의미한다. * 두 벡터 \mathbf{a}와 \mathbf{b}의 **텐서곱**은 \mathbf{a} \otimes \mathbf{b}로 표기된다. 다이애딕 맥락에서 이들은 모두 동일한 정의와 의미를 가지며 동의어로 사용되지만, **텐서곱**은 용어의 더 일반적이고 추상적인 사용의 한 예이다.
### 3차원 유클리드 공간
동등한 사용법을 설명하기 위해 3차원 유클리드 공간을 고려하고, 다음을 가정한다. : \begin{align} \mathbf{a} &= a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} + a_3 \mathbf{k} \\\ \mathbf{b} &= b_1 \mathbf{i} + b_2 \mathbf{j} + b_3 \mathbf{k} \end{align} 여기서 **i**, **j**, **k** (**e**1, **e**2, **e**3로도 표기됨)는 이 벡터 공간의 표준 기저 벡터이다(또한 데카르트 좌표계 참조). 그러면 **a**와 **b**의 다이애딕 곱은 합으로 표현될 수 있다. : \begin{align} \mathbf{ab} =\qquad &a;_1 b_1 \mathbf{ii} + a_1 b_2 \mathbf{ij} + a_1 b_3 \mathbf{ik} \\\ {}+{} &a;_2 b_1 \mathbf{ji} + a_2 b_2 \mathbf{jj} + a_2 b_3 \mathbf{jk} \\\ {}+{} &a;_3 b_1 \mathbf{ki} + a_3 b_2 \mathbf{kj} + a_3 b_3 \mathbf{kk} \end{align} 또는 행 벡터 및 열 벡터로부터의 확장으로, 3×3 행렬(또한 **a**와 **b**의 외적 또는 텐서곱의 결과)로 표현될 수 있다. : \mathbf{a b} \equiv \mathbf{a}\otimes\mathbf{b} \equiv \mathbf{a b}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 \\\ a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 \end{pmatrix}. 다이애드는 다이애딕의 구성 요소(합의 단항식 또는 행렬의 항목)이다. 즉, 한 쌍의 기저 벡터의 다이애딕 곱에 숫자가 스칼라배된 것이다. 표준 기저 (및 단위) 벡터 **i**, **j**, **k**는 다음과 같은 표현을 가진다. : \begin{align} \mathbf{i} &= \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix},& \mathbf{j} &= \begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix},& \mathbf{k} &= \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} \end{align} (전치될 수 있다), 표준 기저 (및 단위) 다이애드는 다음과 같은 표현을 가진다. : \begin{align} \mathbf{ii} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, & \mathbf{ij} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, & \mathbf{ik} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\\ \mathbf{ji} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, & \mathbf{jj} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, & \mathbf{jk} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\\ \mathbf{ki} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, & \mathbf{kj} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, & \mathbf{kk} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} 표준 기저에서의 간단한 수치 예시는 다음과 같다. : \begin{align} \mathbf{A} &= 2\mathbf{ij} + \frac{\sqrt{3{2}\mathbf{ji} - 8\pi\mathbf{jk} + \frac{2\sqrt{2{3}\mathbf{kk} \\\\[2pt] &= 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{\sqrt{3{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - 8\pi \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{2\sqrt{2{3}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\\\[2pt] &= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3{2} & 0 & -8\pi \\\ 0 & 0 & \frac{2\sqrt{2{3} \end{pmatrix} \end{align}
### N차원 유클리드 공간
유클리드 공간이 N-차원이고, : \begin{align} \mathbf{a} &= \sum_{i=1}^N a_i\mathbf{e}_i = a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + {\ldots} + a_N \mathbf{e}_N \\\ \mathbf{b} &= \sum_{j=1}^N b_j\mathbf{e}_j = b_1 \mathbf{e}_1 + b_2 \mathbf{e}_2 + \ldots + b_N \mathbf{e}_N \end{align} 여기서 **e**i와 **e**j는 N차원의 표준 기저 벡터이다 (**e**i의 i는 벡터의 구성 요소가 아닌 특정 벡터를 선택한다, ai에서처럼). 그러면 대수 형식으로 이들의 다이애딕 곱은 다음과 같다. : \mathbf{ab} = \sum_{j=1}^N \sum_{i=1}^N a_i b_j \mathbf{e}_i \mathbf{e}_j. 이것은 다이애딕의 비오니온(nonion) 형식으로 알려져 있다. 행렬 형식의 외적/텐서곱은 다음과 같다. : \mathbf{ab} = \mathbf{ab}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\\ a_2 \\\ \vdots \\\ a_N \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_N \\\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_N \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_N b_1 & a_N b_2 & \cdots & a_N b_N \end{pmatrix}. 다이애딕이라고도 하는 다이애딕 다항식 **A**는 여러 벡터 **a**i와 **b**j로 구성된다. : \mathbf{A} = \sum_i\mathbf{a}_i\mathbf{b}_i = \mathbf{a}_1\mathbf{b}_1 + \mathbf{a}_2\mathbf{b}_2 + \mathbf{a}_3\mathbf{b}_3 + \ldots N개 미만의 다이애드의 합으로 줄일 수 없는 다이애딕은 완전하다고 한다. 이 경우, 구성 벡터는 동일 평면상에 있지 않다. Chen (1983)을 참조하라.
## 분류
다음 표는 다이애딕을 분류한다. : {| class="wikitable" |- ! ! 행렬식 ! 수반 행렬 ! 행렬 및 그 계수 |- ! 영(Zero) | = 0 | = 0 | = 0; 계수 0: 모든 원소가 0 |- ! 선형(Linear) | = 0 | = 0 | ≠ 0; 계수 1: 적어도 하나는 0이 아닌 원소를 가지며 모든 2×2 부분행렬식은 0 (단일 다이애딕) |- ! 평면 | = 0 | ≠ 0 (단일 다이애딕) | ≠ 0; 계수 2: 적어도 하나는 0이 아닌 2×2 부분행렬식 |- ! 완전(Complete) | ≠ 0 | ≠ 0 | ≠ 0; 계수 3: 0이 아닌 행렬식 |}
## 항등식
다음 항등식은 텐서곱의 정의의 직접적인 결과이다.Spencer (1992), page 19. 2= **분배적이며 벡터 덧셈에 대해:** : \begin{align} \mathbf{a} (\mathbf{b} + \mathbf{c}) &= \mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{a}\mathbf{c} \\\ (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \mathbf{c} &= \mathbf{a}\mathbf{c} + \mathbf{b}\mathbf{c} \end{align}
# 다이애딕 대수

## 다이애딕과 벡터의 곱
벡터와 다이애딕에 대해 정의된 네 가지 연산이 있으며, 이는 벡터에 대해 정의된 곱으로부터 구성된다. : {| class="wikitable" |- valign="top" ! ! 왼쪽 ! 오른쪽 |- valign="top" ! 스칼라곱 | \mathbf{c}\cdot \left(\mathbf{a} \mathbf{b}\right) = \left(\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}\right)\mathbf{b} | \left(\mathbf{a}\mathbf{b}\right)\cdot \mathbf{c} = \mathbf{a}\left(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\right) |- valign="top" ! 벡터곱 | \mathbf{c} \times \left(\mathbf{ab}\right) = \left(\mathbf{c}\times\mathbf{a}\right)\mathbf{b} | \left(\mathbf{ab}\right)\times\mathbf{c} = \mathbf{a}\left(\mathbf{b}\times\mathbf{c}\right) |}
## 다이애딕과 다이애딕의 곱
하나의 다이애딕을 다른 다이애딕에 적용하는 다섯 가지 연산이 있다. **a**, **b**, **c**, **d**를 실수 벡터라고 하자. 그러면 다음과 같다. : {| class="wikitable" |- ! ! ! 점(Dot) ! 교차(Cross) |- valign="top" ! 점(Dot) | 스칼라곱(Dot product) \begin{align} \left(\mathbf{a}\mathbf{b}\right)\cdot\left(\mathbf{c}\mathbf{d}\right) &= \mathbf{a}\left(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\right)\mathbf{d} \\\ &= \left(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\right)\mathbf{a}\mathbf{d} \end{align} | 이중 스칼라곱(Double-dot product) \begin{align} \left(\mathbf{ab}\right) {}_{\,\centerdot}^{\,\centerdot} \left(\mathbf{cd}\right) &= \mathbf{c}\cdot\left(\mathbf{ab}\right)\cdot\mathbf{d} \\\ &= \left(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\right)\left(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}\right) \end{align} 그리고 \mathbf{ab} \underline}_{\,\centerdot}^{\,\centerdot \mathbf{cd} = \left(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d}\right)\left(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\right) | 점-교차곱(Dot–cross product) \left(\mathbf{ab}\right) {}_{\,\centerdot}^\times \left(\mathbf{c}\mathbf{d}\right) = \left(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\right)\left(\mathbf{b}\times\mathbf{d}\right) |- valign="top" ! 교차(Cross) | | 교차-점곱(Cross–dot product) \left(\mathbf{ab}\right) {}_\times^{\,\centerdot}\left(\mathbf{cd}\right) = \left(\mathbf{a}\times\mathbf{c}\right)\left(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}\right) | 이중 교차곱(Double cross product) \left(\mathbf{ab}\right) {}_\times^\times \left(\mathbf{cd}\right) = \left(\mathbf{a}\times\mathbf{c}\right)\left(\mathbf{b}\times\mathbf{d}\right) |} 두 일반 다이애딕을 다음과 같이 두자. : \mathbf{A} = \sum_i \mathbf{a}_i\mathbf{b}_i,\quad \mathbf{B} = \sum_j \mathbf{c}_j\mathbf{d}_j 그러면 다음과 같다. : {| class="wikitable" |- ! ! ! 점(Dot) ! 교차(Cross) |- valign="top" ! 점(Dot) | 스칼라곱(Dot product) \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \sum_{i,j}\left(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{c}_j\right)\mathbf{a}_i\mathbf{d}_j | 이중 스칼라곱(Double dot product) \begin{align} \mathbf{A} {}_{\,\centerdot}^{\,\centerdot} \mathbf{B} &=\sum_{i,j}\left(\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{c}_j\right)\left(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{d}_j\right) \end{align} 그리고 \begin{align} \mathbf{A} \underline}_{\,\centerdot}^{\,\centerdot \mathbf{B} &= \sum_{i,j}\left(\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{d}_j\right)\left(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{c}_j\right) \end{align} | 점-교차곱(Dot–cross product) \mathbf{A} {}_{\,\centerdot}^\times\mathbf{B} = \sum_{i,j} \left(\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{c}_j\right)\left(\mathbf{b}_i\times\mathbf{d}_j\right) |- valign="top" ! 교차(Cross) | | 교차-점곱(Cross–dot product) \mathbf{A} {}_\times^{\,\centerdot} \mathbf{B} = \sum_{i,j} \left(\mathbf{a}_i\times\mathbf{c}_j\right)\left(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{d}_j\right) | 이중 교차곱(Double cross product) \mathbf{A} {}_\times^\times \mathbf{B} = \sum_{i,j} \left(\mathbf{a}_i\times \mathbf{c}_j\right)\left(\mathbf{b}_i\times \mathbf{d}_j\right) |}
### 이중 스칼라곱
이중 스칼라곱의 첫 번째 정의는 프로베니우스 내적이다. : \begin{align} \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}^\mathsf{T}\right) &=\sum_{i,j} \operatorname{tr}\left(\mathbf{a}_i \mathbf{b}_i^\mathsf{T} \mathbf{d}_j \mathbf{c}_j^\mathsf{T}\right) \\\ &=\sum_{i,j} \operatorname{tr}\left(\mathbf{c}_j^\mathsf{T} \mathbf{a}_i \mathbf{b}_i^\mathsf{T} \mathbf{d}_j\right) \\\ &=\sum_{i,j} (\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{c}_j)(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{d}_j) \\\ &=\mathbf{A} {}_\centerdot^\centerdot \mathbf{B} \end{align} 더 나아가, : \begin{align} \mathbf{A}^\mathsf{T} &=\sum_{i,j} \left(\mathbf{a}_i\mathbf{b}_j^\mathsf{T}\right)^\mathsf{T} \\\ &=\sum_{i,j} \mathbf{b}_i\mathbf{a}_j^\mathsf{T} \end{align} 이므로, 다음과 같다. : \mathbf{A} {}_\centerdot^\centerdot \mathbf{B} = \mathbf{A} \underline}_\centerdot^\centerdot} \mathbf{B}^\mathsf{T} 따라서 이중 스칼라곱의 두 번째 가능한 정의는 단지 두 번째 다이애딕에 추가적인 전치를 가한 첫 번째 정의이다. 이러한 이유로 이중 스칼라곱의 첫 번째 정의가 선호되지만, 일부 저자들은 여전히 두 번째 정의를 사용한다.
### 이중 벡터곱
두 벡터 **a**와 **b**로 형성된 모든 다이애드는 이중 벡터곱이 0임을 알 수 있다. : \left(\mathbf{ab}\right) {}_\times^\times \left(\mathbf{ab}\right) = \left(\mathbf{a}\times\mathbf{a}\right)\left(\mathbf{b}\times\mathbf{b}\right) = 0 그러나 정의에 따라 다이애딕의 자신에 대한 이중 벡터곱은 일반적으로 0이 아니다. 예를 들어, 여섯 개의 다른 벡터로 구성된 다이애딕 **A**는 : \mathbf{A} = \sum_{i=1}^3 \mathbf{a}_i\mathbf{b}_i 0이 아닌 자체 이중 벡터곱을 갖는다. : \mathbf{A} {}_\times^\times \mathbf{A} = 2\left[ \left(\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2\right)\left(\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2\right) + \left(\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3\right)\left(\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3\right) + \left(\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1\right)\left(\mathbf{b}_3 \times \mathbf{b}_1\right) \right]
### 텐서 축약
텐서 축약 박차(spur) 또는 확장 계수(expansion factor)는 다이애딕을 좌표 기저에서 각 다이애딕 곱을 벡터의 스칼라곱으로 대체하여 형식적으로 확장함으로써 발생한다. : \begin{align} |\mathbf{A}| =\qquad &A;_{11} \mathbf{i}\cdot\mathbf{i} + A_{12} \mathbf{i}\cdot\mathbf{j} + A_{13} \mathbf{i}\cdot\mathbf{k} \\\ {}+{} &A;_{21} \mathbf{j}\cdot\mathbf{i} + A_{22} \mathbf{j}\cdot\mathbf{j} + A_{23} \mathbf{j}\cdot\mathbf{k} \\\ {}+{} &A;_{31} \mathbf{k}\cdot\mathbf{i} + A_{32} \mathbf{k}\cdot\mathbf{j} + A_{33} \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \\\\[6pt] =\qquad &A;_{11} + A_{22} + A_{33} \end{align} 지표 표기법에서는 다이애딕의 지표 축약이다. : |\mathbf{A}| = \sum_i A_i{}^i 3차원에서만 회전 계수(rotation factor)는 모든 다이애딕 곱을 벡터곱으로 대체함으로써 발생한다. : \begin{align} \langle\mathbf{A}\rangle =\qquad &A;_{11} \mathbf{i}\times\mathbf{i} + A_{12} \mathbf{i}\times\mathbf{j} + A_{13} \mathbf{i}\times\mathbf{k} \\\ {}+{} &A;_{21} \mathbf{j}\times\mathbf{i} + A_{22} \mathbf{j}\times\mathbf{j} + A_{23} \mathbf{j}\times\mathbf{k}\\\ {}+{} &A;_{31} \mathbf{k}\times\mathbf{i} + A_{32} \mathbf{k}\times\mathbf{j} + A_{33} \mathbf{k}\times\mathbf{k} \\\\[6pt] =\qquad &A;_{12} \mathbf{k} - A_{13} \mathbf{j} - A_{21} \mathbf{k} \\\ {}+{} &A;_{23} \mathbf{i} + A_{31} \mathbf{j} - A_{32} \mathbf{i} \\\\[6pt] =\qquad &\left(A_{23} - A_{32}\right)\mathbf{i} + \left(A_{31} - A_{13}\right)\mathbf{j} + \left(A_{12} - A_{21}\right)\mathbf{k}\\\ \end{align} 지표 표기법에서는 **A**와 레비치비타 텐서의 축약이다. : \langle\mathbf{A}\rangle = \sum_{jk}{\epsilon_i}^{jk}A_{jk}.
# 단위 다이애딕
어떤 벡터 **a**에 대해서도 다음과 같은 성질을 만족하는 단위 다이애딕 **I**가 존재한다. : \mathbf{I}\cdot\mathbf{a}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{I}= \mathbf{a} 3개의 벡터 **a**, **b**, **c**의 기저가 주어지고, 쌍대 기저 \hat\mathbf{a}, \hat{\mathbf{b, \hat{\mathbf{c가 주어지면, 단위 다이애딕은 다음과 같이 표현된다. : \mathbf{I} = \mathbf{a}\hat{\mathbf{a + \mathbf{b}\hat{\mathbf{b + \mathbf{c}\hat{\mathbf{c 표준 기저에서 (**i**, **j**, **k**의 정의는 위 섹션 #3차원 유클리드 공간 참조), : \mathbf{I} = \mathbf{ii} + \mathbf{jj} + \mathbf{kk} 명시적으로, 단위 다이애딕의 오른쪽에 있는 스칼라곱은 다음과 같다. : \begin{align} \mathbf{I} \cdot \mathbf{a} & = (\mathbf{i}\mathbf{i} + \mathbf{j}\mathbf{j} + \mathbf{k}\mathbf{k})\cdot \mathbf{a} \\\ & = \mathbf{i}(\mathbf{i} \cdot \mathbf{a}) + \mathbf{j}(\mathbf{j} \cdot \mathbf{a}) + \mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{a}) \\\ & = \mathbf{i} a_x + \mathbf{j} a_y + \mathbf{k} a_z \\\ & = \mathbf{a} \end{align} 그리고 왼쪽에 있는 것은 : \begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{I} & = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{i}\mathbf{i} + \mathbf{j}\mathbf{j} + \mathbf{k}\mathbf{k})\\\ & = (\mathbf{a}\cdot \mathbf{i})\mathbf{i} + (\mathbf{a}\cdot \mathbf{j})\mathbf{j} + (\mathbf{a}\cdot \mathbf{k})\mathbf{k} \\\ & = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k} \\\ & = \mathbf{a} \end{align} 해당 행렬은 다음과 같다. : \mathbf{I}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ 0 & 1 & 0\\\ 0 & 0 & 1\\\ \end{pmatrix} 이것은 텐서곱의 언어를 사용하여 더 신중한 기초 위에 놓일 수 있다("병렬 표기법"의 논리적 내용이 무엇을 의미할 수 있는지 설명). V가 유한 차원 벡터 공간인 경우, V상의 다이애딕 텐서는 V와 그 쌍대 공간의 텐서곱에 있는 기본 텐서이다. V와 그 쌍대 공간의 텐서곱은 V에서 V로의 선형 변환 공간과 동형이다. 다이애딕 텐서 vf는 단순히 V의 모든 w를 f(w)v로 보내는 선형 변환이다. V가 유클리드 n-공간일 때, 우리는 내적을 사용하여 쌍대 공간을 V 자체와 식별할 수 있으며, 다이애딕 텐서를 유클리드 공간의 두 벡터의 기본 텐서곱으로 만든다. 이러한 의미에서 단위 다이애딕 **ij**는 3차원에서 자신으로 가는 함수로, a1**i** + a2**j** + a3**k**를 a2**i**로 보내고, **jj**는 이 합을 a2**j**로 보낸다. 이제 **ii** + **jj** + **kk**가 항등원인 (정확한) 의미가 드러난다. 즉, 표준 기저의 각 단위 벡터를 해당 기저의 벡터 계수로 스케일링한 것을 합산하는 효과를 가지므로 a1**i** + a2**j** + a3**k**를 자기 자신으로 보낸다.
## 단위 다이애딕의 속성
: \begin{align} \left(\mathbf{a}\times\mathbf{I}\right)\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf{I}\right) &= \mathbf{ba} - \left(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\right)\mathbf{I} \\\ \mathbf{I} {}_\times^{\,\centerdot} \left(\mathbf{ab}\right) &= \mathbf{b}\times\mathbf{a} \\\ \mathbf{I} {}_\times^\times \mathbf{A} &= (\mathbf{A} {}_{\,\centerdot}^{\,\centerdot} \mathbf{I})\mathbf{I} - \mathbf{A}^\mathsf{T} \\\ \mathbf{I} {}_{\,\centerdot}^{\,\centerdot} \left(\mathbf{ab}\right) &= \left(\mathbf{I}\cdot\mathbf{a}\right)\cdot\mathbf{b} = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathrm{tr}\left(\mathbf{ab}\right) \end{align} 여기서 "tr"은 대각합을 나타낸다.
# 예시

## 벡터 사영 및 배제
0이 아닌 벡터 **a**는 항상 두 개의 수직 구성 요소, 즉 단위 벡터 **n**의 방향에 평행한 (‖) 구성 요소와 이에 수직한 (⊥) 구성 요소로 분할될 수 있다. : \mathbf{a} = \mathbf{a}_\parallel + \mathbf{a}_\perp 평행 성분은 벡터 사영으로 찾을 수 있으며, 이는 **a**와 다이애딕 **nn**의 스칼라곱과 동일하다. : \mathbf{a}_\parallel = \mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{a}) = (\mathbf{nn})\cdot\mathbf{a} 그리고 수직 성분은 벡터 배제로 찾을 수 있으며, 이는 **a**와 다이애딕 **I** − **nn**의 스칼라곱과 동일하다. : \mathbf{a}_\perp = \mathbf{a} - \mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{a}) = (\mathbf{I} - \mathbf{nn})\cdot\mathbf{a}
## 회전 다이애딕
축-각 표현
### 2차원 회전
다이애딕 : \mathbf{J} = \mathbf{ji} - \mathbf{ij} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\\ 1 & 0 \end{pmatrix} 는 2차원에서 90° 반시계 방향 회전 연산자이다. 벡터 **r** = x**i** + y**j**에 왼쪽에서 점곱을 하면 다음 벡터가 생성된다. : (\mathbf{j i} - \mathbf{i j}) \cdot (x \mathbf{i} + y \mathbf{j}) = x \mathbf{j i} \cdot \mathbf{i} - x \mathbf{i j} \cdot \mathbf{i} + y \mathbf{j i} \cdot \mathbf{j} - y \mathbf{i j} \cdot \mathbf{j} = -y \mathbf{i} + x \mathbf{j}, 요약하면 : \mathbf{J}\cdot\mathbf{r} = \mathbf{r}_\mathrm{rot} 또는 행렬 표기법으로 : \begin{pmatrix} 0 & -1 \\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -y \\\ x \end{pmatrix}. 임의의 각도 θ에 대해, 평면에서 반시계 방향 회전에 대한 2차원 회전 다이애딕은 : \mathbf{R} = \mathbf{I}\cos\theta + \mathbf{J}\sin\theta = (\mathbf{ii}+\mathbf{jj})\cos\theta + (\mathbf{ji}-\mathbf{ij})\sin\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta &-\sin\theta \\\ \sin\theta &\;\cos\theta \end{pmatrix} 여기서 **I**와 **J**는 위와 같으며, 모든 2차원 벡터 **a** = ax**i** + ay**j**의 회전은 다음과 같다. : \mathbf{a}_\mathrm{rot} = \mathbf{R}\cdot\mathbf{a}
### 3차원 회전
벡터 **a**의 일반적인 3차원 회전은 단위 벡터 **ω** 방향의 축을 중심으로 시계 반대 방향으로 각도 θ만큼 회전하는 것으로, 다이애딕 형태의 로드리게스 회전 공식을 사용하여 수행할 수 있다. : \mathbf{a}_\mathrm{rot} = \mathbf{R} \cdot \mathbf{a} \,, 여기서 회전 다이애딕은 : \mathbf{R} = \mathbf{I} \cos\theta + \boldsymbol{\Omega} \sin\theta + \boldsymbol{\omega\omega} (1 - \cos\theta) \,, 이며, **ω**의 데카르트 성분 또한 다이애딕의 성분을 구성한다. : \boldsymbol{\Omega} = \omega_x( \mathbf{kj} - \mathbf{jk} ) + \omega_y( \mathbf{ik} - \mathbf{ki} ) + \omega_z( \mathbf{ji} - \mathbf{ij} ) \,, **Ω**가 **a**에 미치는 영향은 벡터곱이다. : \boldsymbol{\Omega} \cdot \mathbf{a} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{a} 이는 열 벡터와 함께 벡터곱 행렬의 다이애딕 형태이다.
## 로런츠 변환
특수 상대성이론에서 단위 벡터 **n** 방향으로 속도 v를 가진 로런츠 부스트는 다음과 같이 표현될 수 있다. : t' = \gamma\left(t - \frac{v\mathbf{n}\cdot\mathbf{r{c^2} \right) : \mathbf{r}' = [\mathbf{I} + (\gamma-1) \mathbf{nn}]\cdot \mathbf{r} - \gamma v \mathbf{n}t 여기서 : \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2 는 로런츠 인자이다.
# 관련 용어
일부 저자들은 다이애딕이라는 용어를 삼진(triadic), 사진(tetradic), 다진(polyadic)과 같은 관련 용어로 일반화한다.For example, doi-access=free
# 내용주

## 설명 노트
Notelist
## 인용
각주