콘웨이군 (수학)

군론에서 **콘웨이군**(Conway group)은 존 호턴 콘웨이가 도입한 산재군 Co1, Co2, Co3 및 이와 관련된 유한군 Co0이다. 콘웨이 군 중 가장 큰 **Co0**는 덧셈 및 내적에 대한 리치 격자 Λ의 자기동형군으로, 위수 fmt=commas을 갖고, 단순군이 아니다. 단순군 **Co1**은 Co0를 스칼라 행렬 ±1로 구성된 중심에 의한 몫군으로 정의되고, 위수 fmt=commas를 갖는다. 리치 격자의 **내적**은 두 벡터의 스칼라곱의 1/8로 정의되고, 정수값을 갖는다. 벡터의 **제곱 노름**은 자신과의 내적이며 항상 짝수이다. 리치 격자의 벡터에 대해 그 제곱 노름의 절반을 벡터의 **유형**이라고 한다. 콘웨이 군의 부분군은 종종 관련된 고정점의 유형을 참조하여 이름이 붙는다. 리치 격자에는 유형 1의 벡터가 없다. **Co2** (위수 fmt=commas) 및 **Co3** (위수 fmt=commas)은 각각 유형 2와 유형 3의 격자 벡터를 고정하는 리치 격자 Λ의 자기동형으로 구성된다. 스칼라 −1은 영벡터가 아닌 벡터를 고정하지 않으므로 이 두 군은 Co1의 부분군과 동형이다.
# 역사
1983은 존 리치가 1964년경 큰 차원 유클리드 공간에서의 조밀한 구 채우기 문제를 연구한 방법에 대해 설명한다. 리치의 발견 중 하나는 훗날 리치 격자라고 불리게 되는 격자를 통한 24차원의 구 채우기였다. 리치는 리치 격자의 대칭군이 흥미로운 단순군에 포함되어 있는지 궁금해했지만, 군론에 조예가 깊은 이의 도움이 필요함을 느꼈다. 다른 수학자들은 이미 자신이 몰두하고 있는 주제가 있었기에 리치가 도움을 얻는 것은 쉽지 않았다. 존 호턴 콘웨이가 같이 문제에 대해 궁리하였다. 존 그리그스 톰프슨은 군의 위수가 주어진다면 흥미로울 것이라고 말하였다. 콘웨이는 문제에 몇 달 혹은 몇 년을 써야 할 것으로 예측했지만, 몇 번의 회의를 통해 의외로 빠르게 결과를 얻을 수 있었다. 1998은 그가 리치 격자를 1940년에 발견하였다고 말했고, 그것의 자기동형군 Co0의 위수를 계산하였다고 암시했다.
# 부분 격자 군
콘웨이와 톰프슨은 회의 1969에서 설명된 4개의 산재군이 Co0의 부분군 또는 부분군의 몫과 동형임을 발견했다. 콘웨이는 점을 접두사로 붙인 점과 부분공간의 안정자에 대한 표기법을 사용했다. Co0 및 Co1인 **.0** 및 **.1**은 예외이다. 정수 **n** ≥ 2에 대해 **.n**은 리치 격자에서 유형 **n**인 점의 안정자를 나타낸다. 콘웨이는 정점을 원점으로 하는 삼각형으로 정의된 평면의 안정자를 명명했다. **.hkl** 을 **h**, **k** 및 **l** 유형의 모서리(정점의 차이)가 있는 삼각형의 점별 안정자라고 하자. 이러한 삼각형은 **h-k-l 삼각형**이라고 한다. 가장 단순한 경우에 Co0는 문제에서의 점 또는 삼각형에 전이적이고 안정자 군은 켤레의 차이를 무시하고 정의된다. 콘웨이는 **.322**으로 **매클로플린 군** McL(위수 fmt=commas)을, **.332**으로 **히그만-심즈 군** HS(위수 fmt=commas)를 식별했다. 다음은 일부 부분 격자 군의 표Conway & Sloane (1999), p. 291Griess (1998), p. 126이다. {| class="wikitable" |- | •2 | 218 36 53 7 11 23 | Co2 | (−3, 123) |- | •3 | 210 37 53 7 11 23 | Co3 | (5, 123) |- | •4 | 218 32 5 7 11 23 | 211:M 23 | (8, 023) |- | •222 | 215 36 5 7 11 | PSU6(2) ≈ Fi21 | (4, −4, 022), (0, −4, 4, 021) |- | •322 | 27 36 53 7 11 | McL | (5, 123 ), (4, 4, 022 ) |- | •332 | 29 32 53 7 11 | HS | (5, 123), (4, −4, 022) |- | •333 | 24 37 5 11 | 35:M11 | (5, 123), (0, 212, 011) |- | •422 | 217 32 5 7 11 | 210:M22 | (8, 023), (4, 4, 022) |- | •432 | 27 32 5 7 11 23 | M23 | (8, 023), (5, 123) |- | •433 | 210 32 5 7 | 24.A8 | (8, 023), (4, 27, −2, 015) |- | •442 | 212 32 5 7 | 21+8.A7 | (8, 023), (6, −27, 016) |- | •443 | 27 32 5 7 | M21:2 ≈ PSL3(4):2 | (8, 023), (5, −3, −3, 121) |}
# 다른 두 개의 산재군
두 개의 부분 산재군은 리치 격자 구조의 안정자의 몫으로 정의할 수 있다. **R**24를 **C**12로, Λ를 \mathbf{Z}\left[e^{\frac{2}{3}\pi i}\right]^{12}로 식별하면, 결과적인 자기동형군(즉, 복소 구조를 보존하는 리치 격자의 자기동형군)은 복소 스칼라 행렬의 6개 요소 그룹으로 나눌 때 **스즈키 산재군** Suz(위수 fmt=commas)이 나타난다. 스즈키 산재군은 1968년 스즈키 미치오에 의해 발견되었다. 유사한 구성을 통해 **Hall-Janko 군** J2 (위수 fmt=commas)는 ±1 스칼라 군에 의한 Λ의 사원수 자기동형군의 몫으로 얻는다. 위에 설명된 7개의 단순군은 로버트 그리스가 *2세대 Happy Family* 라고 부르는 것으로 구성되며, 괴물군 내에서 발견되는 20개의 산재군으로 구성된다. 군 7개 중 몇 개는 적어도 *1세대* 를 구성하는 5개 마티외 군 중 일부를 포함한다.
# 일반화된 가공할 헛소리
콘웨이와 Norton은 1979년 논문에서 가공할 헛소리가 괴물군에게만 국한되지 않는다고 제안했다. Larissa Queen과 다른 사람들은 산재군의 차원의 단순한 조합으로 많은 Hauptmoduln의 확장을 구성할 수 있음을 나중에 발견했다. 콘웨이 군의 경우 관련 McKay-Thompson 급수는 다음과 같다. T_{2A}(\tau) = {1, 0, 276, −2048, 11202, −49152, ...} ( A007246 ) 및 T_{4A}(\tau) = {1, 0, 276, 2048, 11202, 49152, ...} ( A097340 ) : \begin{align} j_{4A}(\tau) &= T_{4A}(\tau) + 24 \\\ &= \left(\frac{\eta^2(2\tau)}{\eta(\tau)\,\eta(4\tau)}\right)^{24} \\\ &= \left(\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(4\tau)}\right)^4 + 4^2 \left(\frac{\eta(4\tau)}{\eta(\tau)}\right)^4\right)^2 \\\ &= \frac{1}{q} + 24 + 276q + 2048q^2 + 11202q^3 + 49152q^4 + \dots \end{align} 여기서 상수항 1=a(0) = 24, *η*(*τ*)는 데데킨트 에타 함수이다.