아벨-루피니 정리

수학에서 **아벨-루피니 정리**(Abel–Ruffini theorem) 또는 **아벨의 불가능성 정리**(Abel's impossibility theorem)는 임의의 계수를 갖는 5차 이상의 일반적인 다항 방정식에는 근호를 이용한 해가 존재하지 않는다는 것을 말한다. 여기서 일반적이라는 것은 방정식의 계수가 부정원으로 간주되고 조작된다는 것을 의미한다. 이 정리는 1799년에 불완전한 증명을 제시한 파올로 루피니(1813년에 보완되고 완성되었으며 오귀스탱 루이 코시에게 인정됨)과 1824년에 증명을 제시한 닐스 헨리크 아벨의 이름을 따서 명명되었다. 이 용어는 5차 이상의 방정식 중 근호를 이용해 풀 수 없는 방정식이 있다는 약간 더 강한 결과도 지칭할 수 있다. 이는 아벨의 정리 진술에서 도출되는 것은 아니지만, 그의 증명의 귀결이다. 왜냐하면 그의 증명은 방정식 계수의 일부 다항식이 영 다항식이 아니라는 사실에 기반하기 때문이다. 이 개선된 진술은 해결 불가능한 5차 방정식의 예시에서 직접적으로 이어진다. 갈루아 이론은 또한 :x^5-x-1=0 이 근호를 이용하여 풀 수 없는 가장 간단한 방정식이며, 5차 이상의 거의 모든 다항식이 근호를 이용하여 풀 수 없음을 의미한다. 5차 이상 방정식의 불가능성은 저차 방정식의 경우와 대조된다. 2차, 3차, 4차 방정식에는 각각 이차 근의 공식, 삼차 근의 공식, 사차 근의 공식이 있다.
# 배경
2차 다항 방정식은 이차 근의 공식으로 풀 수 있으며, 이는 고대사 이래로 알려져 있었다. 마찬가지로 3차 방정식의 삼차 근의 공식과 4차 방정식의 사차 근의 공식은 16세기에 발견되었다. 그 당시 근본적인 문제는 고차 방정식도 비슷한 방법으로 풀 수 있는지 여부였다. 양의 차수를 가진 모든 다항 방정식에 실수가 아닌 해가 있을 수 있다는 사실은 17세기에 주장되었지만, 19세기 초에 이르러서야 완전히 증명되었다. 이것이 대수학의 기본 정리인데, 이는 해를 계산하는 도구를 제공하지는 않지만, 모든 해를 원하는 정확도로 근사하는 몇 가지 방법이 알려져 있다. 16세기부터 19세기 초까지 대수학의 주요 문제는 5차 이상의 다항 방정식 해에 대한 공식을 찾는 것이었다. 그래서 "대수학의 기본 정리"라는 이름이 붙었다. 이는 근호를 이용한 해를 의미했으며, 즉 방정식의 계수와 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 그리고 n제곱근 연산만을 포함하는 수식을 의미했다. 아벨-루피니 정리는 이것이 불가능하다는 것을 증명한다. 그러나 이 불가능성은 어떤 특정 차수의 방정식이 근호로 풀 수 없다는 것을 의미하지는 않는다. 오히려 근호로 풀 수 있는 모든 차수의 방정식이 존재한다. 이는 모든 n에 대한 방정식 x^n-1=0과 원분 다항식으로 정의된 방정식의 경우이며, 이들 모두의 해는 근호로 표현될 수 있다. 아벨의 정리 증명은 근호로 풀 수 없는 특정 방정식이 있다는 주장을 명시적으로 포함하지 않는다. 이러한 주장은 아벨의 정리 진술의 결과가 아니다. 왜냐하면 그 진술은 "모든 특정 오차 방정식이 각 방정식에 대한 특별한 공식으로 풀 수 있다"는 가능성을 배제하지 않기 때문이다. 그러나 근호로 풀 수 없는 특정 방정식의 존재는 아벨의 증명의 결과인 것으로 보인다. 왜냐하면 증명은 계수의 일부 다항식이 영 다항식이 아니라는 사실을 사용하며, 유한한 수의 다항식이 주어지면 변수 중 어느 것도 영의 값을 취하지 않는 값이 존재하기 때문이다. 아벨이 증명을 발표한 직후, 에바리스트 갈루아는 현재 갈루아 이론이라고 불리는 이론을 도입하여 주어진 방정식이 근호로 풀 수 있는지 여부를 결정할 수 있게 했다. 이는 전자 계산기의 등장 이전에는 순전히 이론적이었다. 현대 컴퓨터와 프로그램을 사용하면 100차 이상의 다항식에 대해 다항식이 근호로 풀 수 있는지 여부를 결정할 수 있다. 풀 수 있는 다항식의 근호 해를 계산하려면 엄청난 계산이 필요하다. 5차의 경우에도 해의 표현은 너무 커서 실제적인 관심이 없다.
# 증명
아벨-루피니 정리의 증명은 갈루아 이론보다 앞선다. 그러나 갈루아 이론은 이 주제를 더 잘 이해하게 해주며, 현대적 증명은 일반적으로 갈루아 이론에 기반한다. 반면 아벨-루피니 정리의 원래 증명은 역사적인 목적으로 여전히 제시된다. 갈루아 이론에 기반한 증명은 네 가지 주요 단계로 구성된다. 체론의 관점에서 가해 방정식의 특징화; 주어진 체의 부분체와 그 갈루아 군의 부분군 사이의 갈루아 대응을 사용하여 이 특징화를 가해군의 관점에서 표현하는 것; 대칭군이 차수가 5 이상이면 가해가 아니라는 증명; 그리고 대칭 갈루아 군을 갖는 다항식의 존재.
## 대수적 해와 체론
다항 방정식의 대수적 해는 네 가지 기본 사칙연산 (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)과 거듭제곱근을 포함하는 수식이다. 이러한 수식은 풀고자 하는 방정식의 계수에서 시작하여 차례로 숫자를 계산하는 과정으로 볼 수 있다. 계산의 각 단계에서 지금까지 계산된 모든 숫자를 포함하는 가장 작은 체를 고려할 수 있다. 이 체는 n차 제곱근 계산을 포함하는 단계에서만 변경된다. 따라서 대수적 해는 다음과 같은 수열을 생성한다. :F_0\subseteq F_1\subseteq \cdots \subseteq F_k 의 체와 x_i\in F_i 원소로, i=1,\ldots, k에 대해 F_i=F_{i-1}(x_i)이며, 어떤 정수 n_i>1에 대해 x_i^{n_i}\in F_{i-1}이다. 초기 다항 방정식의 대수적 해는 F_k가 해를 포함하는 그러한 체의 수열이 존재할 때 그리고 그 때에만 존재한다. 이론의 기본인 정규 확대를 얻으려면 체의 수열을 다음과 같이 세분화해야 한다. 만약 F_{i-1}이 모든 n_i차 단위근을 포함하지 않는다면, 원시 단위근으로 F_{i-1}을 확장하는 체 K_i를 도입하고, F_i를 K_i(x_i)로 재정의한다. 따라서 근호를 이용한 해에서 시작하면 마지막에 해를 포함하고, 각각이 선행하는 체의 정규 확대이며 갈루아 군이 순환군인 체의 증가 수열을 얻게 된다. 반대로, 그러한 체의 수열이 있다면 방정식은 근호를 이용하여 풀 수 있다. 이를 증명하려면, 순환 갈루아 군을 갖는 정규 확대가 연속적인 근호 확대로부터 구성될 수 있음을 증명하는 것으로 충분하다.
## 갈루아 대응
갈루아 대응은 정규 체 확장 F/E의 부분확대체와 그 확장의 갈루아 군의 부분군 사이에 일대일 대응을 설정한다. 이 대응은 E\subseteq K \subseteq F와 같은 체 K를 K를 고정하는 F의 자기동형사상의 갈루아 군 \operatorname{Gal}(F/K)에 매핑하고, 반대로 \operatorname{Gal}(F/E)의 부분군 H를 H에 의해 고정되는 F의 원소들의 체에 매핑한다. 앞선 절은 방정식이 근호를 이용하여 풀 수 있는 경우에만 분해체(모든 근을 포함하는 가장 작은 체)의 갈루아 군이 가해군이며, 즉 각 부분이 선행하는 부분군의 정규 부분군이고, 몫군이 순환군인 부분군의 수열을 포함한다는 것을 보여준다. (가해군은 일반적으로 순환 몫군 대신 아벨 몫군으로 정의되지만, 유한 아벨 군의 기본 정리는 두 정의가 동등함을 보여준다.) 따라서 아벨-루피니 정리를 증명하기 위해, 대칭군 (군론) S_5가 가해가 아니라는 것과 대칭 갈루아 군을 갖는 다항식이 존재한다는 것을 보여주는 것이 남았다.
## 가해 대칭군
n ≥ 5에 대해, 차수 n의 대칭군 (군론) \mathcal S_n은 교대군 \mathcal A_n만을 비자명 정규 부분군으로 갖는다 (Normal subgroups 참조). n ≥ 5에 대해, 교대군 \mathcal A_n은 단순군 (즉, 비자명 정규 부분군을 갖지 않음)이며 아벨 군이 아니다. 이는 n ≥ 5에 대해 \mathcal A_n과 \mathcal S_n 모두 가해군이 아님을 의미한다. 따라서 아벨-루피니 정리는 대칭 갈루아 군을 갖는 다항식의 존재로부터 도출된다; 이것은 다음 절에서 보여줄 것이다. 다른 한편으로, n ≤ 4에 대해서는 대칭군과 그 모든 부분군이 가해군이다. 이는 갈루아 이론의 주요 결과가 다항 방정식이 근호를 이용한 해를 갖는 경우에만 그 갈루아 군이 가해군이라는 것이기 때문에, 이차, 삼차, 사차 공식의 존재를 설명한다 (용어 "가해군"은 이 정리에서 유래한다).
## 대칭 갈루아 군을 갖는 다항식

### 일반 방정식
차수 n의 일반 또는 일반적인 다항 방정식은 다음과 같은 방정식이다. :x^n+a_1x^{n-1}+ \cdots+ a_{n-1}x+a_n=0, 여기서 a_1,\ldots, a_n은 서로 다른 부정원이다. 이것은 유리수 계수를 갖는 a_1,\ldots, a_n에 대한 유리 함수의 체 F=\Q(a_1,\ldots,a_n) 위에서 정의된 방정식이다. 원래의 아벨-루피니 정리는 n ≥ 5에 대해 이 방정식이 근호로 풀 수 없다고 주장한다. 앞선 절들을 고려할 때, 이는 이 방정식의 F 위의 갈루아 군이 대칭군 (군론) \mathcal S_n이라는 사실에서 비롯된다 (이 갈루아 군은 방정식의 분해체의 체 자기동형사상의 군으로, 분해체는 방정식의 모든 근을 포함하는 가장 작은 체이다). 갈루아 군이 \mathcal S_n임을 증명하기 위해서는 근에서 시작하는 것이 더 간단하다. x_1, \ldots, x_n을 근이 될 새로운 부정원으로 두고, 다항식 :P(x)=x^n+b_1x^{n-1}+ \cdots+ b_{n-1}x+b_n= (x-x_1)\cdots (x-x_n). 를 고려한다. H=\Q(x_1,\ldots,x_n)를 x_1, \ldots, x_n의 유리 함수의 체라고 하고, K=\Q(b_1,\ldots, b_n)를 P(x)의 계수들로 생성되는 부분체라고 하자. x_i의 순열은 H의 자기동형사상을 유도한다. 비에트 정리는 K의 모든 원소가 x_i의 대칭 함수이며, 따라서 이 모든 자기동형사상에 의해 고정된다는 것을 의미한다. 따라서 갈루아 군 \operatorname{Gal}(H/K)은 대칭군 \mathcal S_n이다. 대칭 다항식의 기본 정리는 b_i가 대수적으로 독립임을 의미하며, 따라서 각 a_i를 해당하는 b_i로 보내는 사상은 F에서 K로의 체 동형사상이다. 이는 P(x)=0을 일반적인 방정식으로 간주할 수 있음을 의미한다. 이것으로 일반 방정식의 갈루아 군이 대칭군임을 증명하고, 따라서 n ≥ 5에 대해 일반 다항 방정식이 근호로 풀 수 없다고 주장하는 원래의 아벨-루피니 정리를 증명한다.
### 명시적 예시
방정식 x^5-x-1=0은 아래에 설명된 대로 근호로 풀 수 없다. q를 x^5-x-1이라고 하자. G를 그 갈루아 군이라고 하자. 이것은 q의 복소수 근 집합에 충실하게 작용한다. 근에 번호를 매기면 G를 대칭군 \mathcal S_5의 부분군과 동일시할 수 있다. q \bmod 2가 \mathbb{F}_2[x]에서 (x^2 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1)로 인수분해되므로, 군 G는 길이가 2와 3인 서로소 순환의 곱인 순열 g를 포함한다 (일반적으로 단항 정수 다항식이 소수를 법으로 했을 때 서로 다른 단항 기약 다항식의 곱으로 축소될 때, 인수의 차수는 갈루아 군에 속하는 어떤 순열에서 서로소 순환의 길이를 제공한다). 그러면 G는 또한 g^3을 포함하는데, 이것은 전치이다. q \bmod 3이 \mathbb{F}_3[x]에서 기약이므로, 같은 원리는 G가 5-순환을 포함함을 보여준다. 5는 소수이므로, \mathcal S_5의 어떤 전치와 5-순환은 전체 군을 생성한다. 따라서 G = \mathcal S_5이다. 군 \mathcal S_5는 가해군이 아니므로 방정식 x^5-x-1=0은 근호로 풀 수 없다.
# 케일리의 해소식
특정 5차 방정식이 근호로 풀 수 있는지 여부를 테스트하는 것은 케일리의 해소식을 사용하여 수행할 수 있다. 이것은 6차 다항식으로, 계수는 일반 5차 방정식의 계수의 다항식이다. 특정 기약 5차 방정식은 근호로 풀 수 있는 경우에만, 그 계수를 케일리의 해소식에 대입했을 때, 결과로 나오는 6차 다항식이 유리수 근을 가지며, 이는 유리근 정리를 사용하여 쉽게 테스트할 수 있다.
# 역사
1770년경, 조제프 루이 라그랑주는 라그랑주 분해식의 형태로 순열 군 이론과 관련하여 그 시점까지 방정식 해결에 사용되었던 여러 가지 다른 방법들을 통합하는 기초 작업을 시작했다. 라그랑주의 이 혁신적인 작업은 갈루아 이론의 전신이었으며, 5차 이상의 방정식에 대한 해법을 개발하는 데 실패한 것은 그러한 해법이 불가능할 수 있음을 암시했지만, 결정적인 증거를 제공하지는 않았다. 5차 방정식의 근호를 이용한 해결 문제가 불가능할 수 있다고 처음 추측한 사람은 카를 프리드리히 가우스였다. 그는 1798년 자신의 저서 정수론 연구 (1801년에 출판될 예정이었음) 359절에서 "이 문제는 현대 분석 방법을 거부한다기보다는 불가능한 것을 제안하는 것에 가깝다는 의심이 거의 없다"고 썼다. 다음 해, 그의 학위논문에서 그는 "많은 기하학자들이 일반 방정식을 대수적으로 해결할 희망을 거의 남기지 않은 후, 이 해결은 불가능하고 모순된다는 것이 점점 더 확실해 보인다"고 썼다. 그리고 그는 "5차에 대한 불가능성을 모든 엄격함으로 증명하는 것이 그렇게 어렵지 않을 것이다. 나는 이에 대한 나의 연구를 다른 곳에서 더 자세히 설명할 것이다"라고 덧붙였다. 실제로 가우스는 이 주제에 대해 더 이상 아무것도 발표하지 않았다. 파올로 루피니, Teoria generale delle equazioni, 1799 이 정리는 1799년 파올로 루피니에 의해 처음으로 거의 증명되었다. 그는 자신의 증명을 여러 수학자들에게 보내 인정을 받으려 했으며, 그 중에는 라그랑주(답변하지 않음)와 오귀스탱 루이 코시가 있었다. 코시는 그에게 편지를 보내 "방정식의 일반해에 대한 당신의 논문은 내가 항상 수학자들에게 기억되어야 한다고 믿어왔던 작품이며, 내 생각으로는 4차보다 높은 차수의 일반 방정식의 대수적 불가능성을 결정적으로 증명한다"고 말했다. 그러나 일반적으로 루피니의 증명은 설득력이 있다고 여겨지지 않았다. 아벨은 다음과 같이 썼다: "나보다 먼저 일반 방정식의 대수적 해의 불가능성을 증명하려 한 첫 번째이자, 내가 틀리지 않았다면 유일한 사람은 수학자 루피니다. 그러나 그의 논문은 너무 복잡해서 그의 주장의 유효성을 판단하기 매우 어렵다. 내 생각에는 그의 주장이 완전히 만족스럽지 않다." 증명은 또한 나중에 밝혀졌듯이 불완전했다. 루피니는 그가 다루는 모든 근호가 체 연산만 사용하여 다항식의 근에서 표현될 수 있다고 가정했다. 현대 용어로 말하면, 그는 근호가 다항식의 분해체에 속한다고 가정했다. 이것이 왜 실제로 추가적인 가정인지 이해하려면, 예를 들어 다항식 P(x)=x^{3}-15x-20을 고려해보라. 카르다노의 공식에 따르면, 그 근 중 하나(실제로는 모든 근)는 10+5i의 세제곱근과 10-5i의 세제곱근의 합으로 표현될 수 있다. 다른 한편으로, P(-3)0, P(-1)0이므로 P(x)의 근 r_1, r_2, r_3는 모두 실수이고 따라서 체 \mathbf{Q}(r_1,r_2,r_3)는 \mathbf{R}의 부분체이다. 그러나 그러면 숫자 10 \pm 5i는 \mathbf{Q}(r_1,r_2,r_3)에 속할 수 없다. 코시는 루피니의 가정을 알아차리지 못했거나 사소하다고 느꼈지만, 대부분의 역사가들은 아벨이 일반 다항식의 경우에 가정이 성립한다고 주장하는 자연적 무리수 이론에 대한 정리를 증명하기 전까지는 증명이 완전하지 않았다고 믿는다. 아벨-루피니 정리는 따라서 일반적으로 아벨에게 귀속되며, 그는 1824년에 단 6페이지로 압축된 증명을 발표했다. (아벨은 종이와 비용을 절약하기 위해 매우 간결한 스타일을 채택했다. 증명은 자비로 인쇄되었다.) 더 정교한 버전의 증명은 1826년에 발표되었다. 일반 5차(및 고차) 방정식이 근호로 풀 수 없음을 증명하는 것으로 문제가 완전히 해결된 것은 아니었다. 왜냐하면 아벨-루피니 정리는 정확히 어떤 5차(및 고차) 방정식이 근호로 풀 수 없는지를 말하는 필요충분조건을 제공하지 않기 때문이다. 아벨은 1829년에 사망했을 때 완전한 특징화를 연구하고 있었다. 네이선 제이컵슨에 따르면, "루피니와 아벨의 증명은 [...] 이 연구 분야의 가장 뛰어난 성과인 갈루아의 방정식 이론 발견으로 곧 대체되었다." 1830년, 갈루아(18세)는 자신의 근호를 이용한 가해성 이론에 대한 논문을 프랑스 과학 아카데미에 제출했지만, 결국 1831년에 너무 개략적이고 방정식의 계수 대신 근에 대한 조건을 제시한다는 이유로 거부되었다. 갈루아는 루피니와 아벨의 공헌을 알고 있었는데, 그는 "4차보다 큰 차수의 일반 방정식은 근호로 풀 수 없다는 것은 오늘날 흔한 진실이다... 이 진실은 기하학자들이 아벨과 루피니의 증명을 무시했음에도 불구하고 (소문으로) 흔해졌다..."라고 썼다. 갈루아는 1832년에 사망했고 그의 논문 Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux는 1846년 조제프 리우빌이 자신의 설명과 함께 출판할 때까지 미출판 상태로 남아 있었다. 이 출판 이전에 리우빌은 1843년 7월 4일에 한 연설에서 갈루아의 결과를 아카데미에 발표했다. 아벨 증명의 간략화는 피에르 방첼에 의해 1845년에 출판되었다. 방첼이 이를 출판했을 때 그는 이미 갈루아의 공헌을 알고 있었고, 아벨의 증명은 일반 다항식에 대해서만 유효하지만 갈루아의 접근 방식은 근호를 이용하여 계수에서 표현할 수 없는 구체적인 5차 다항식을 제공하는 데 사용될 수 있다고 언급했다. 1963년, 블라디미르 아르놀트는 아벨-루피니 정리의 위상학적 증명을 발견했으며, 이는 위상 갈루아 이론의 출발점이 되었다.