미분 표기법

Differential 미분학에는 미분법에 대한 단일한 표준 **표기법**이 없다. 대신 라이프니츠, 뉴턴, 라그랑주, 아르보가스트를 비롯한 여러 수학자들에 의해 함수 또는 종속변수의 미분에 대한 여러 표기법이 제안되었다. 각 표기법의 유용성은 사용되는 맥락에 따라 달라지며, 특정 맥락에서 둘 이상의 표기법을 사용하는 것이 유리할 때도 있다. 다변수 미적분학의 편미분, 텐서 미적분학 또는 벡터 미적분학과 같은 더 전문적인 설정에서는 첨자 표기법 또는 ∇ 연산자와 같은 다른 표기법이 일반적이다. 미분(및 그 반대 연산인 역미분 또는 부정적분)에 대한 가장 일반적인 표기법은 아래에 나열되어 있다.
# 라이프니츠의 표기법
라이프니츠의 표기법 고트프리트 라이프니츠가 사용한 원래 표기법은 수학 전반에 걸쳐 사용된다. 이 표기법은 방정식 y = f(x)가 y와 x 사이의 함수적 관계로 간주될 때 특히 일반적이다. 라이프니츠의 표기법은 미분을 다음과 같이 작성하여 이 관계를 명시한다. \frac{dy}{dx}. 또한, x에서의 f의 미분은 다음과 같이 작성된다. \frac{df}{dx}(x)\text{ or }\frac{d f(x)}{dx}\text{ or }\frac{d}{dx} f(x). 고계 미분은 다음과 같이 작성된다.p=125-126 \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}, \frac{d^4y}{dx^4}, \ldots, \frac{d^ny}{dx^n}. 이는 다음과 같이 기호의 형식적 조작에서 비롯된 암시적인 표기법 장치이다. \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \left(\frac{d}{dx}\right)^2y = \frac{d^2y}{dx^2}. 점 x = a에서 y의 미분 값은 라이프니츠의 표기법을 사용하여 두 가지 방식으로 표현될 수 있다. \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} \text{ or } \frac{dy}{dx}(a). 라이프니츠의 표기법은 미분할 변수(분모에 있는 변수)를 지정할 수 있게 한다. 이것은 특히 편미분을 고려할 때 유용하다. 또한 연쇄 법칙을 기억하고 인식하기 쉽게 만든다. \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}. 미분에 대한 라이프니츠의 표기법은 dx 또는 dy(수학적 미분소)와 같은 기호에 그 자체로 의미를 부여할 것을 요구하지 않으며, 일부 저자는 이러한 기호에 의미를 부여하려고 시도하지 않는다. 라이프니츠는 이러한 기호들을 무한소로 취급했다. 이후 저자들은 비표준 해석학의 무한소 또는 외미분과 같은 다른 의미를 부여했다. 일반적으로 dx는 정의되지 않은 상태로 두거나 \Delta x와 동일시하며, 반면 dy는 다음 방정식을 통해 dx의 의미가 부여된다. : dy = \frac{dy}{dx} \cdot dx, 이는 예를 들어 다음과 같이 작성될 수도 있다. : df = f'(x) \cdot dx (아래 참조). 이러한 방정식은 일부 텍스트에서 미분을 "미분 계수"(즉, dx의 계수)라고 부르는 용어를 낳았다. 일부 저자와 저널은 미분 기호 d를 이탤릭체 대신 로만체로 설정한다. ISO/IEC 80000 과학 스타일 가이드는 이 스타일을 권장한다.
# 라그랑주의 표기법
미분에 대한 가장 일반적인 현대 표기법 중 하나는 조제프루이 라그랑주의 이름을 따서 명명되었지만, 실제로는 오일러가 발명하고 라그랑주가 대중화했다. 라그랑주의 표기법에서는 프라임 기호가 미분을 나타내므로 때때로 **프라임 표기법**이라고 불린다. f가 함수인 경우, x에서 평가된 미분은 다음과 같이 작성된다. :f'(x). 이것은 1749년에 처음 인쇄물로 등장했다.first4 = Johann Friedrich 고계 미분은 추가 프라임 기호를 사용하여 표시되며, 예를 들어 f*(x)는 이계도함수를 나타내고 f*'(x)는 삼계도함수를 나타낸다. 반복되는 프라임 기호의 사용은 결국 다루기 어려워지며, 일부 저자는 일반적으로 소문자 로마 숫자를 사용하여 계속한다,date = 2015-07-28pages=63-65 예를 들어 :f^{\mathrm{iv(x), f^{\mathrm{v(x), f^{\mathrm{vi(x), \ldots, 는 4차, 5차, 6차 및 고차 미분을 나타낸다. 다른 저자는 괄호 안에 아라비아 숫자를 사용한다. :f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), f^{(6)}(x), \ldots. 이 표기법은 n이 변수인 n계 미분을 설명하는 것도 가능하게 한다. 이것은 다음과 같이 작성된다. :f^{(n)}(x). 라그랑주의 표기법과 관련된 유니코드 문자는 다음과 같다. * note=derivative * note=double derivative * note=third derivative * note=fourth derivative 함수 f(x,y)에 대해 두 개의 독립 변수가 있을 때, 다음 표기법이 가끔 사용되었다.The Differential and Integral Calculus (오거스터스 드 모르간, 1842). pp. 267-268 : \begin{align} f^\prime &= \frac{\partial f}{\partial x} = f_x \\\\[5pt] f_\prime &= \frac{\partial f}{\partial y} = f_y \\\\[5pt] f^{\prime\prime} &= \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} \\\\[5pt] f_\prime^\prime &= \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}\ = f_{xy} \\\\[5pt] f_{\prime\prime} &= \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = f_{yy} \end{align}
## 역미분을 위한 라그랑주의 표기법
역미분을 취할 때, 라그랑주는 라이프니츠의 표기법을 따랐다.Lagrange, Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308|LOG_0017&physid;=PHYS_0031 :f(x) = \int f'(x)\,dx = \int y'\,dx. 그러나 적분은 미분의 역연산이므로, 고계 미분에 대한 라그랑주의 표기법은 적분에도 확장된다. f의 반복 적분은 다음과 같이 작성될 수 있다. :f^{(-1)}(x)는 첫 번째 적분 (이것은 역함수 f^{-1}(x)와 쉽게 혼동될 수 있다), :f^{(-2)}(x)는 두 번째 적분, :f^{(-3)}(x)는 세 번째 적분, 그리고 :f^{(-n)}(x)는 n번째 적분을 나타낸다.
# D-표기법
이 표기법은 때때로 **오일러의 표기법**이라고 불리지만, 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트에 의해 도입되었다. url-access= subscription 그리고 레온하르트 오일러는 그것을 사용하지 않은 것으로 보인다. 이 표기법은 D (**D 연산자**)archive-date=2016-01-19 또는 D̃ (**뉴턴-라이프니츠 연산자**)Weisstein, Eric W. "Differential Operator." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. archive-date=2016-01-21로 표기되는 미분 연산자를 사용한다. 함수 f(x)에 적용될 때, 다음과 같이 정의된다. :(Df)(x) = \frac{df(x)}{dx}. 고계 미분은 D의 "거듭제곱"(여기서 위 첨자는 D의 반복된 합성을 나타낸다)으로 표기된다. :D^2f는 이계도함수, :D^3f는 삼계도함수, 그리고 :D^nf는 n계 미분. D-표기법은 미분이 이루어지는 변수를 암묵적으로 남겨둔다. 그러나 이 변수는 첨자로 이름을 붙여 명시할 수도 있다. 만약 f가 변수 x의 함수라면, 다음과 같이 작성된다. :D_x f는 일계도함수, :D^2_x f는 이계도함수, :D^3_x f는 삼계도함수, 그리고 :D^n_x f는 n계 미분. f가 여러 변수의 함수일 때, "D" 대신 "∂", 즉 양식화된 필기체 소문자 d를 사용하는 것이 일반적이다. 위에서와 같이, 아래 첨자는 취해지고 있는 미분을 나타낸다. 예를 들어, 함수 f(x,y)의 이계 편미분은 다음과 같다. : \begin{align} & \partial_{xx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \\\\[5pt] & \partial_{xy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, \\\\[5pt] & \partial_{yx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}, \\\\[5pt] & \partial_{yy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}. \end{align} D-표기법은 미분방정식 연구와 미분 대수에서 유용하다.
## 역미분을 위한 D-표기법
D-표기법은 라그랑주의 표기법과 같은 방식으로 역미분에 사용될 수 있다.Weisstein, Eric W. "Repeated Integral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. archive-date=2016-02-01 다음과 같다. :D^{-1}f(x)는 첫 번째 역미분, :D^{-2}f(x)는 두 번째 역미분, 그리고 :D^{-n}f(x)는 n번째 역미분.
# 뉴턴의 표기법Newton's notation
아이작 뉴턴의 미분 표기법(또한 **점 표기법**, **유율**, 또는 때로는 대략적으로 미분에 대한 **파리 얼룩 표기법**isbn=978-0-495-10824-5이라고도 불린다)은 종속 변수 위에 점을 찍는다. 즉, y가 t의 함수일 때, t에 대한 y의 미분은 다음과 같다. :\dot y 고계 미분은 여러 개의 점을 사용하여 나타내며, 예를 들어 :\ddot y, \overset{...}{y} 뉴턴은 이 아이디어를 상당히 확장했다.Newton's notation reproduced from: *1st to 5th derivatives: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: access-date=2016-02-05). *1st to 7th, nth and (n+1)th derivatives: Method of Fluxions (Newton, 1736), pp. 313-318 and p. 265 (p. 163 in original MS: access-date=2016-02-05) *1st to 5th derivatives : A Treatise of Fluxions (Colin MacLaurin, 1742), p. 613 *1st to 4th and nth derivatives: Articles "Differential" and "Fluxion", Dictionary of Pure and Mixed Mathematics (Peter Barlow, 1814) *1st to 4th, 10th and nth derivatives: Articles 622, 580 and 579 in A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929) *1st to 6th and nth derivatives: The Mathematical Papers of Isaac Newton Vol. 7 1691-1695 (D. T. Whiteside, 1976), pp.88 and 17 *1st to 3rd and nth derivatives: A History of Analysis (Hans Niels Jahnke, 2000), pp. 84-85 The dot for nth derivative may be omitted ( \overset{\,n}{y} ) :\begin{align} \ddot{y} &\equiv \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\Bigl(\dot{y}\Bigr) = \frac{d}{dt}\Bigl(f'(t)\Bigr) = D_t^2 y = f(t) = y_t \\\\[5pt] \overset{...}{y} &= \dot{\ddot{y \equiv \frac{d^3y}{dt^3} = D_t^3 y = f**(t) = y**_t \\\\[5pt] \overset{\,4}{\dot{y &= \overset{....}{y} = \ddot{\ddot{y \equiv \frac{d^4y}{dt^4} = D_t^4 y = f^{\rm IV}(t) = y^{(4)}_t \\\\[5pt] \overset{\,5}{\dot{y &= \ddot{\overset{...}{y = \dot{\ddot{\ddot{y = \ddot{\dot{\ddot{y \equiv \frac{d^5y}{dt^5} = D_t^5 y = f^{\rm V}(t) = y^{(5)}_t \\\\[5pt] \overset{\,6}{\dot{y &= \overset{...}{\overset{...}{y \equiv \frac{d^6y}{dt^6} = D_t^6 y = f^{\rm VI}(t) = y^{(6)}_t \\\\[5pt] \overset{\,7}{\dot{y &= \dot{\overset{...}{\overset{...}{y \equiv \frac{d^7y}{dt^7} = D_t^7 y = f^{\rm VII}(t) = y^{(7)}_t \\\\[5pt] \overset{\,10}{\dot{y &= \ddot{\ddot{\ddot{\ddot{\ddot{y \equiv \frac{d^{10}y}{dt^{10 = D_t^{10} y = f^{\rm X}(t) = y^{(10)}_t \\\\[5pt] \overset{\,n}{\dot{y &\equiv \frac{d^ny}{dt^n} = D_t^n y = f^{(n)}(t) = y^{(n)}_t \end{align} 뉴턴 표기법과 관련된 유니코드 문자는 다음과 같다. * note=derivative * note=double derivative * note=third derivative ← "combining diaeresis" + "combining dot above"로 대체됨. * note=fourth derivative ← "combining diaeresis" 두 번으로 대체됨. * note=integral * note=second integral * note=integral * note=integral * note=nth derivative 뉴턴의 표기법은 일반적으로 독립 변수가 시간을 나타낼 때 사용된다. 위치 y가 t의 함수인 경우, \dot y는 속도를 나타내고Weisstein, Eric W. "Overdot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. archive-date=2015-09-05 \ddot y는 가속도를 나타낸다.Weisstein, Eric W. "Double Dot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. archive-date=2016-03-03 이 표기법은 물리학 및 수리물리학에서 인기가 있다. 또한 미분방정식과 같이 물리학과 관련된 수학 분야에서도 나타난다. 종속 변수 y = f(x)의 미분을 취할 때, 대안적인 표기법이 존재한다.Article 580 in Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1929), Dover Publications, Inc. New York. :\frac{\dot{y{\dot{x = \dot{y}:\dot{x} \equiv \frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt} = \frac{\frac{dy}{dt{\frac{dx}{dt = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl(f(x)\Bigr) = D y = f'(x) = y'. 뉴턴은 굽은 X(ⵋ)에 옆점을 사용하여 다음 편미분 연산자를 개발했다. 화이트사이드가 제시한 정의는 아래와 같다."Patterns of Mathematical Thought in the Later Seventeenth Century", Archive for History of Exact Sciences Vol. 1, No. 3 (D. T. Whiteside, 1961), pp. 361-362,378S.B. Engelsman has given more strict definitions in Families of Curves and the Origins of Partial Differentiation (2000), pp. 223-226 : \begin{align} \mathcal{X} \ &=\ f(x,y) \,, \\\\[5pt] \cdot\mathcal{X} \ &=\ x\frac{\partial f}{\partial x} = xf_x\,, \\\\[5pt] \mathcal{X}\\!\cdot \ &=\ y\frac{\partial f}{\partial y} = yf_y\,, \\\\[5pt] \colon\\!\mathcal{X}\,\text{ or }\,\cdot\\!\left(\cdot\mathcal{X}\right) \ &=\ x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = x^2 f_{xx}\,, \\\\[5pt] \mathcal{X}\colon\,\text{ or }\,\left(\mathcal{X}\cdot\right)\\!\cdot \ &=\ y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = y^2 f_{yy}\,, \\\\[5pt] \cdot\mathcal{X}\\!\cdot\ \ &=\ xy\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y} = xy f_{xy}\,, \end{align}
## 뉴턴의 적분 표기법
뉴턴은 그의 Quadratura curvarum (1704)와 후기 저작에서 적분을 위한 여러 가지 표기법을 개발했다. 그는 종속 변수 위에 작은 수직 막대 또는 프라임(y̍), 접두 사각형(▭y), 또는 항을 사각형으로 묶는 것(y)을 사용하여 유량 또는 시간 적분(변위적분)을 나타냈다. : \begin{align} y &= \Box \dot{y} \equiv \int \dot{y} \,dt = \int f'(t) \,dt = D_t^{-1} (D_t y) = f(t) + C_0 = y_t + C_0 \\\ \overset{\,\prime}{y} &= \Box y \equiv \int y \,dt = \int f(t) \,dt = D_t^{-1} y = F(t) + C_1 \end{align} 다중 적분을 나타내기 위해 뉴턴은 두 개의 작은 수직 막대 또는 프라임(y̎) 또는 이전 기호 ▭y̍ y̍의 조합을 사용하여 두 번째 시간 적분(변위적분)을 나타냈다. : \overset{\,\prime\prime}{y} = \Box \overset{\,\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime}{y} \,dt = \int F(t) \,dt = D_t^{-2} y = g(t) + C_2 고차 시간 적분은 다음과 같다.Newton's notation for integration reproduced from: * 1st to 3rd integrals: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: archive-date=2016-02-28) * 1st to 3rd integrals: Method of Fluxions (Newton, 1736), pp. 265-266 (p. 163 in original MS: archive-date=2017-04-06) * 4th integrals: The Doctrine of Fluxions (James Hodgson, 1736), pp. 54 and 72 * 1st to 2nd integrals: Articles 622 and 365 in A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929) The nth integral notation is deducted from the nth derivative. It could be used in Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715) : \begin{align} \overset{\,\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime}{y} \,dt = \int g(t) \,dt = D_t^{-3} y = G(t) + C_3 \\\ \overset{\,\prime\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \,dt = \int G(t) \,dt = D_t^{-4} y = h(t) + C_4 \\\ \overset{\;n}\overset{\,\prime}{y} &= \Box \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \equiv \int \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \,dt = \int s(t) \,dt = D_t^{-n} y = S(t) + C_n \end{align} 이 수학 표기법은 인쇄상의 어려움[출처 필요]과 라이프니츠-뉴턴 미적분 논쟁으로 인해 널리 퍼지지 못했다.
# 편미분
다변수 미적분학이나 텐서 미적분학과 같이 특정 유형의 미분이 필요할 때 다른 표기법이 일반적이다. 단일 독립 변수 x의 함수 f에 대해, 우리는 독립 변수의 아래 첨자를 사용하여 미분을 표현할 수 있다. : \begin{align} f_x &= \frac{df}{dx} \\\\[5pt] f_{x x} &= \frac{d^2f}{dx^2}. \end{align} 이러한 유형의 표기법은 여러 변수의 함수의 편미분을 취할 때 특히 유용하다. 편미분은 일반적으로 미분 연산자 d를 "∂" 기호로 대체하여 상미분과 구별한다. 예를 들어, 우리는 f(x, y, z)의 x에 대한 편미분을 여러 가지 방법으로 나타낼 수 있지만, y 또는 z에 대해서는 아니다. :\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f. 이 구별이 중요한 이유는 \textstyle \frac{df}{dx}와 같은 비편미분은 맥락에 따라 모든 변수가 동시에 변할 수 있을 때 f의 x에 대한 변화율로 해석될 수 있는 반면, \textstyle \frac{\partial f}{\partial x}와 같은 편미분은 오직 하나의 변수만 변해야 함을 명시하기 때문이다. 다른 표기법은 수학, 물리학, 공학의 다양한 하위 분야에서 찾을 수 있다. 예를 들어 열역학의 맥스웰 관계식을 참조하라. 기호 \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\\!S} 는 엔트로피(아래 첨자) S를 일정하게 유지하면서 부피 V에 대한 온도 T의 미분이며, \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\\!P} 는 압력 P를 일정하게 유지하면서 부피에 대한 온도의 미분이다. 이것은 변수의 수가 자유도수를 초과하여 어떤 다른 변수를 고정해야 하는 상황에서 필요하다. 하나의 변수에 대한 고차 편미분은 다음과 같이 표현된다. : \begin{align} & \frac{\partial^2f}{\partial x^2} = f_{xx}, \\\\[5pt] & \frac{\partial^3f}{\partial x^3} = f_{xxx}, \end{align} 등등. 혼합 편미분은 다음과 같이 표현될 수 있다. :\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = f_{xy}. 마지막 경우에 변수는 두 표기법 사이에서 역순으로 작성되며, 다음과 같이 설명된다. : \begin{align} & (f_x)_y = f_{xy}, \\\\[5pt] & \frac{\partial}{\partial y}\\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y \, \partial x}. \end{align} 이전 표기법이 번거롭거나 충분히 표현적이지 않을 때 다중지표 표기법이 사용된다. \R^n상의 함수를 고려할 때, 다중지표를 n개의 비음 정수들의 정렬된 목록으로 정의한다: \alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n), \ \alpha_i \in \Z_{\geq 0}. 그런 다음 f:\R^n \to X에 대해 다음 표기법을 정의한다. : \partial^\alpha f = \frac{\partial^{\alpha_1{\partial x_1^{\alpha_1 \cdots \frac{\partial^{\alpha_n{\partial x_n^{\alpha_n f 이러한 방식으로 다른 방법으로는 작성하기 번거로운 일부 결과(예: 라이프니츠 규칙)를 간결하게 표현할 수 있다. 일부 예시는 다중지표에 대한 문서에서 찾을 수 있다.oclc=682907530
# 벡터 미적분학의 표기법
벡터 미적분학은 미분 및 적분의 벡터장 또는 스칼라장에 관한 것이다. 3차원 유클리드 공간의 경우에 특화된 여러 표기법이 일반적이다. (x, y, z)가 주어진 데카르트 좌표계이고, **A**가 구성 요소가 \mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)인 벡터장이며, \varphi = \varphi(x,y,z)가 스칼라장이라고 가정하자. 윌리엄 로언 해밀턴이 도입한 미분 연산자는 ∇로 작성되고 델 또는 나블라라고 불리며, 상징적으로 벡터의 형태로 정의된다. :\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\\!, 여기서 용어 상징적으로는 연산자 ∇이 일반 벡터로도 취급될 것임을 반영한다. * **기울기**: 스칼라장 \varphi의 기울기 \mathrm{grad\,} \varphi는 벡터이며, ∇과 스칼라장 \varphi의 곱으로 상징적으로 표현된다. ::\begin{align} \operatorname{grad} \varphi &= \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) \\\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi \\\ &= \nabla \varphi \end{align} * **발산**: 벡터장 **A**의 발산 \mathrm{div}\,\mathbf{A}는 스칼라이며, ∇과 벡터 **A**의 점곱으로 상징적으로 표현된다. :: \begin{align} \operatorname{div} \mathbf{A} &= {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} \\\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot \mathbf{A} \\\ &= \nabla \cdot \mathbf{A} \end{align} * **라플라시안**: 스칼라장 \varphi의 라플라시안 \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi는 스칼라이며, ∇2과 스칼라장 φ의 스칼라 곱으로 상징적으로 표현된다. :: \begin{align} \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi &= \nabla \cdot (\nabla \varphi) \\\ &= (\nabla \cdot \nabla) \varphi \\\ &= \nabla^2 \varphi \\\ &= \Delta \varphi \\\ \end{align} * **회전**: 벡터장 **A**의 회전 \mathrm{curl}\,\mathbf{A} 또는 \mathrm{rot}\,\mathbf{A}는 벡터이며, ∇과 벡터 **A**의 벡터곱으로 상징적으로 표현된다. :: \begin{align} \operatorname{curl} \mathbf{A} &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} }, {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} }, {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \\\ &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} } \right) \mathbf{i} + \left( {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} } \right) \mathbf{j} + \left( {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \mathbf{k} \\\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} \\\ &= \nabla \times \mathbf{A} \end{align} 미분의 많은 기호 연산은 데카르트 좌표계에서 기울기 연산자에 의해 직관적인 방식으로 일반화될 수 있다. 예를 들어, 단일 변수 곱 규칙은 기울기 연산자를 적용하여 스칼라장의 곱셈에 직접적인 유사성을 가진다. :(f g)' = f' g+f g' ~~~ \Longrightarrow ~~~ \nabla(\phi \psi) = (\nabla \phi) \psi + \phi (\nabla \psi). 단일 변수 미적분학의 다른 많은 규칙들은 기울기, 발산, 회전 및 라플라시안에 대한 벡터 미적분학 유사성을 가진다. 더 이국적인 유형의 공간을 위해 추가 표기법이 개발되었다. 민코프스키 공간에서의 계산을 위해, 달랑베르시안, 파동 연산자 또는 상자 연산자라고도 불리는 달랑베르 연산자는 \Box 또는 라플라시안 기호와 충돌하지 않을 때는 \Delta로 표현된다.