다이슨 급수

산란 이론의 일부인 수리물리학에서 프리먼 다이슨이 공식화한 **다이슨 급수**(Dyson series)는 상호작용 묘사에서 시간 변화 연산자의 섭동 전개이다. 각 항은 파인만 도형의 합으로 나타낼 수 있다. 이 급수는 점근적으로 발산하지만, 양자 전기역학(QED)에서는 2차에서 실험 자료와의 차이가 10−10 정도이다. 이 근접한 일치는 QED의 결합 상수(또는 미세 구조 상수)가 1보다 훨씬 작기 때문에 유지된다.
# 다이슨 연산자
상호작용 묘사에서 해밀토니언 H는 자유 부분 H0과 상호작용 부분 VS(t)으로 H = H0 \+ VS(t)와 같이 나눌 수 있다. 상호작용 묘사에서의 퍼텐셜은 다음과 같다. :V_{\mathrm I}(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i} H_{0}(t - t_{0})/\hbar} V_{\mathrm S}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} H_{0} (t - t_{0})/\hbar}, 여기서 H_0는 시간에 독립적이고 V_{\mathrm S}(t)는 슈뢰딩거 묘사의 시간 의존적인 상호작용 부분이다. 아래 첨자를 피하기 위해, 다음부터 V(t)는 V_\mathrm{I}(t) 를 나타낸다. 상호작용 묘사에서 **진화 연산자** U는 다음 방정식으로 정의된다. :\Psi(t) = U(t,t_0) \Psi(t_0) 이것은 때때로 **다이슨 연산자**라고 불린다. 진화 연산자는 시간 매개변수에 대해 유니터리 군을 형성한다. 그것은 다음의 군 속성을 가진다. * 항등 및 정규화: U(t,t) = 1,Sakurai, Modern Quantum mechanics, 2.1.10 * 합성: U(t,t_0) = U(t,t_1) U(t_1,t_0),Sakurai, Modern Quantum mechanics, 2.1.12 * 시간 역전: U^{-1}(t,t_0) = U(t_0,t), * 유니터리성: U^{\dagger}(t,t_0) U(t,t_0)=\mathbb{1}Sakurai, Modern Quantum mechanics, 2.1.11 이것들로부터 전파자의 시간 진화 방정식을 유도할 수 있다.Sakurai, Modern Quantum mechanics, 2.1 pp. 69-71 :i\hbar\frac d{dt} U(t,t_0)\Psi(t_0) = V(t) U(t,t_0)\Psi(t_0). 상호작용 묘사에서 해밀토니언은 상호작용 퍼텐셜 H_{\rm int}=V(t)와 같으므로 방정식은 상호작용 묘사에서 다음과 같이 쓸 수 있다. :i\hbar \frac d{dt} \Psi(t) = H_{\rm int}\Psi(t) 주의: 이 시간 진화 방정식은 도모나가-슈윙거 방정식과 혼동해서는 안 된다. 형식적인 해는 다음과 같다. :U(t,t_0)=1 - i\hbar^{-1} \int_{t_0}^t{dt_1\ V(t_1)U(t_1,t_0)}, 이것은 궁극적으로 볼테라 적분의 한 유형이다.
# 다이슨 급수의 유도
위 볼테라 방정식의 반복 해는 다음 노이만 급수로 이어진다. : \begin{align} U(t,t_0) = {} & 1 - i\hbar^{-1} \int_{t_0}^t dt_1V(t_1) + (-i\hbar^{-1})^2\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} \, dt_2 V(t_1)V(t_2)+\cdots \\\ & {} + (-i\hbar^{-1})^n\int_{t_0}^t dt_1\int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1 dt_nV(t_1)V(t_2) \cdots V(t_n) +\cdots. \end{align} 여기서 t_1 > t_2 > \cdots > t_n이며, 따라서 장은 시간 정렬되어 있다. \mathcal T 연산자(시간 정렬 연산자)를 도입하고 다음과 같이 정의하는 것이 유용하다. :U_n(t,t_0)=(-i\hbar^{-1} )^n \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1 dt_n\,\mathcal TV(t_1) V(t_2)\cdots V(t_n). 적분 한계는 단순화될 수 있다. 일반적으로 대칭 함수 K(t_1, t_2,\dots,t_n)가 주어졌을 때 다음 적분들을 정의할 수 있다. :S_n=\int_{t_0}^t dt_1\int_{t_0}^{t_1} dt_2\cdots \int_{t_0}^{t_{n-1 dt_n \, K(t_1, t_2,\dots,t_n). 그리고 :I_n=\int_{t_0}^t dt_1\int_{t_0}^t dt_2\cdots\int_{t_0}^t dt_nK(t_1, t_2,\dots,t_n). 두 번째 적분의 적분 영역은 t_1 > t_2 > \cdots > t_n으로 정의되는 n!개의 부분 영역으로 나눌 수 있다. K의 대칭성 때문에 각 부분 영역에서의 적분은 동일하며 정의에 따라 S_n과 같다. 따라서 다음이 성립한다. :S_n = \frac{1}{n!}I_n. 이것을 이전 항등식에 적용하면 다음을 얻는다. :U_n=\frac{(-i \hbar^{-1})^n}{n!}\int_{t_0}^t dt_1\int_{t_0}^t dt_2\cdots\int_{t_0}^t dt_n \, \mathcal TV(t_1)V(t_2)\cdots V(t_n). 모든 항을 합하면 다이슨 급수가 얻어진다. 이것은 위의 노이만 급수의 단순화된 버전으로 시간 순서 곱을 포함하며, 경로 정렬 지수이다.Sakurai, Modern Quantum Mechanics, 2.1.33, pp. 72 :\begin{align} U(t,t_0)&=\sum_{n=0}^\infty U_n(t,t_0)\\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-i\hbar^{-1})^n}{n!}\int_{t_0}^t dt_1\int_{t_0}^t dt_2\cdots\int_{t_0}^t dt_n \, \mathcal TV(t_1)V(t_2)\cdots V(t_n) \\\ &=\mathcal T\exp{-i\hbar^{-1}\int_{t_0}^t{d\tau V(\tau) \end{align} 이 결과는 다이슨 공식이라고도 불린다. Tong 3.20, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf 이 공식으로부터 군 법칙들을 유도할 수 있다.
# 상태 벡터에 대한 적용
시간 t에서의 상태 벡터는 t>t_0일 때 시간 t_0에서의 상태 벡터로 다음과 같이 표현할 수 있다. :|\Psi(t)\rangle=\sum_{n=0}^\infty {(-i\hbar^{-1})^n\over n!}\underbrace{\int dt_1 \cdots dt_n}_{t_{\rm f}\,\ge\, t_1\,\ge\, \cdots\, \ge\, t_n\,\ge\, t_{\rm i\, \mathcal{T}\left\\{\prod_{k=1}^n e^{iH_0 t_k/\hbar}V(t_{k})e^{-iH_0 t_k/\hbar}\right \\}|\Psi(t_0)\rangle. 슈뢰딩거 묘사에서 t_i=t_0에서의 초기 상태와 t_f=t에서의 최종 상태의 내적은 t_f>t_i일 때 다음과 같다. :\begin{align} \langle\Psi(t_{\rm i}) & \mid\Psi(t_{\rm f})\rangle=\sum_{n=0}^\infty {(-i\hbar^{-1})^n\over n!} \times \\\ &\underbrace{\int dt_1 \cdots dt_n}_{t_{\rm f}\,\ge\, t_1\,\ge\, \cdots\, \ge\, t_n\,\ge\, t_{\rm i\, \langle\Psi(t_i)\mid e^{-iH_0(t_{\rm f}-t_1)/\hbar}V_{\rm S}(t_1)e^{-iH_0(t_1-t_2)/\hbar}\cdots V_{\rm S}(t_n) e^{-iH_0(t_n-t_{\rm i})/\hbar}\mid\Psi(t_i)\rangle \end{align} 하이젠베르크 묘사에서 이를 작성하고, 입사 및 출사 상태를 무한대로 취함으로써 S-행렬을 얻을 수 있다. :\langle\Psi_{\rm out} \mid S\mid\Psi_{\rm in}\rangle= \langle\Psi_{\rm out}\mid\sum_{n=0}^\infty {(-i\hbar^{-1})^n\over n!} \underbrace{\int d^4x_1 \cdots d^4x_n}_{t_{\rm out}\,\ge\, t_n\,\ge\, \cdots\, \ge\, t_1\,\ge\, t_{\rm in\, \mathcal{T}\left\\{ H_{\rm int}(x_1)H_{\rm int}(x_2)\cdots H_{\rm int}(x_n) \right\\}\mid\Psi_{\rm in}\rangle. 시간 정렬이 스칼라 곱에서 뒤집혔다는 점에 유의한다.