Hom 함자

수학에서, 특히 범주론에서 hom 집합 (즉, 대상 사이의 사상들의 집합)은 집합 범주에 대한 중요한 함자를 생성한다. 이러한 함자는 ***\textbf{hom}*** **함자**라고 하며 범주론 및 여러 수학 분야에 수많은 응용이 있다.
# 공식적인 정의
***C***를 국소적으로 작은 범주(즉, hom-classes가 고유 모임이 아니고 집합인 범주)라고 가정한다. ***C***의 모든 대상 ***A***와 ***B***에 대해 다음과 같이 집합 범주에 두 개의 함자를 정의한다. {| class=wikitable |- ! Hom(*A*, -) : *C* -> **Set** ! Hom(-, *B*) : *C* -> **Set**Also commonly denoted *C*op -> **Set**, where *C*op denotes the opposite category, and this encodes the arrow-reversing behaviour of Hom(-, *B*). |- | 이는 다음과 같이 주어지는 공변 함자이다: * \text{Hom}(A, -) 는 ***X\in C***를 사상들의 집합 \text{Hom}(A, X) 로 보낸다. * \text{Hom}(A, -) 는 각 사상 ***f:X\rightarrow Y***를 각 g\in\text{Hom}(A, X) 에 대해g \mapsto f \circ g로 주어지는 함수\text{Hom}(A, f):\text{Hom}(A,X)\rightarrow \text{Hom}(A, Y) 로 보낸다. | 이는 다음과 같이 주어지는 반변 함자이다: * \text{Hom}(-,B) 는 각 대상 ***X\in C***를 사상들의 집합\text{Hom}(X,B) 로 보낸다. * \text{Hom}(-,B) 는 각 사상 ***h:X\rightarrow Y***를 각 g\in\text{Hom}(Y,B) 에 대해 \text{Hom}(h, B):\text{Hom}(Y,B)\rightarrow \text{Hom}(X, B) 로 보낸다. *: |} 함자 \text{Hom}(-, B) 은 대상 **B**의 점 함자라고도 한다. ***\text{Hom}***의 첫 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 공변 함수가 발생하고 두 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 반공변 함수가 생성된다. 한 쌍의 함자 \text{Hom}(A, -),\text{Hom}(-, B)는 자연스러운 방식으로 관련된다. 임의의 한 쌍의 사상 ***f:B'\rightarrow B***와 ***h:A'\rightarrow A***에 대해 도식 320x320픽셀 은 가환이다. 두 경로 모두 ***g:A\rightarrow B***를 ***f\circ g\circ h:A'\rightarrow B****로 보낸다. 위 도식의 가환성은 \text{Hom}(-, -)이 첫째 항에 대해 반변하고 둘째 항에 대해 공변하는 ***C\times C***에서 **\textbf{Set}**로 가는 쌍함자임을 함의 한다. 동등하게, \text{Hom}(-, -)를 : \text{Hom}(-, -):C^{\text{op\rightarrow \textbf{Set} 인 쌍함자라고 말할 수 있다. 여기서 ***C^{\text{op***는 ***C*'*의 반대 범주이다. 정의역을 형성하는 범주를 강조하기 위해 \text{Hom}(-, -)에 \text{Hom}_C(-, -) 표기법이 사용되는 경우가 있다.
# 요네다 보조정리
위의 가환 도식을 참조하면, 모든 사상 : ***h:A'\rightarrow A*** 은 자연 변환 : \text{Hom}(h, -):\text{Hom}(A, -)\rightarrow \text{Hom}(A', -) 을 가져온다. 그리고 모든 사상 : ***f:B'\rightarrow B*** 은 자연 변환 : \text{Hom}(-, f):\text{Hom}(-, B)\rightarrow \text{Hom}(-, B') 을 가져온다. 요네다 보조정리는 ***\text{Hom}*** 함자 사이의 *모든* 자연스러운 변환이 이 형식임을 의미한다. 즉, ***\text{Hom}*** 함자는 함자 범주 \textbf{Set}^{C^{\text{op(사용되는 ***\text{Hom}*** 함자에 따라 공변 또는 반변)에 범주 ***C***를 완전하고 충실하게 매장하도록 한다.
# 내부 Hom 함자
일부 범주에는 ***\text{Hom}*** 함자처럼 동작하는 함자가 있을 수 있지만 **\textbf{Set}**이 아니라 범주 ***C*** 자체의 값을 사용한다. 이러한 함자는 **내부 *\text{Hom}* 함자**라고 하며 종종 다음과 같이 작성된다. : \left[-\ -\right] : C^\text{op} \times C \to C 곱과 같은 특성을 강조하거나 : \mathop\Rightarrow : C^\text{op} \times C \to C 그것의 함자적 특성을 강조하기 위해, 또는 때로는 단순히 소문자로: : \operatorname{hom}(-, -) : C^\text{op} \times C \to C . 예를 보려면 관계 범주를 참조. 내부 Hom 함자가 있는 범주를 닫힌 범주라고 한다. 하나는 그것을 가지고 : \operatorname{Hom}(I, \operatorname{hom}(-, -)) \simeq \operatorname{Hom}(-, -) 여기서 ***I***는 닫힌 범주의 단위 대상이다. 닫힌 모노이드 범주의 경우 이는 커링 개념으로 확장된다. : \operatorname{Hom}(X, Y \Rightarrow Z) \simeq \operatorname{Hom}(X\otimes Y, Z) 여기서 \otimes는 모노이드 범주를 정의 하는 **내부 곱 함자**인 쌍함자이다. 그 동형 사상은 *X*와 *Z*모두에서 자연스럽다. 즉, 닫힌 모노이드 범주에서 내부 ***\text{Hom}*** 함자는 내부 곱 함자에 대한 인접 함자이다. 대상 Y \Rightarrow Z은 **내부 *\textbf{Hom}***이라고 한다. \otimes가 데카르트 곱 \times일 때, 대상 Y \Rightarrow Z는 지수 대상라고 하며 종종 기호로 Z^Y과 같이 나타낸다. 내부 ***\text{Hom}***는 함께 연결될 때 범주의 내부 언어라고 하는 언어를 형성한다. 이들 중 가장 유명한 것은 데카르트 폐쇄 범주의 내부 언어인 단순 유형 람다 미적분과 폐쇄 대칭 단일 범주의 내부 언어인 선형 계이다.
# 성질
함자 : \text{Hom}(-, A):C^{\text{op\rightarrow \textbf{Set} 가 준층임을 유의하라; 마찬가지로 \text{Hom}(A, -)은 여준층이다. 함자 F:C\rightarrow \textbf{Set}에서 일부 ***A***에 대해 자연스럽게 \text{Hom}(A, -)과 동형인 **집합**을 표현 가능한 함자(또는 표현 가능한 여준층)라고 한다. 마찬가지로 \text{Hom}(-, A)에 해당하는 반공변 함수자는 여표현가능이라고 할 수 있다. \text{Hom}(-, -):C^{\text{op\times C\rightarrow \textbf{Set}은 pro함자이며, 구체적으로는 항등 pro함자 \operatorname{id}_C \colon C \nrightarrow C이다. 내부 ***\text{hom}*** 함자는 극한을 보존한다. \operatorname{hom}(X, -) \colon C \to C는 극한을 극한으로 보내는 반면 \operatorname{hom}(-, X) \colon C^\text{op} \to C는 C^\text{op}안의 극한, 즉, C 안의 여극한을 극한으로 보낸다. 어떤 의미에서 이것은 극한 또는 여극한의 정의로 볼 수 있다.
# 기타 성질
***\textbf A***가 아벨 범주이고 ***A***가 ***\textbf A***의 대상인 경우 ***\text{Hom}_{\textbf A}(A,-)***는 ***\textbf A***에서 아벨 군의 범주 ***\textbf {Ab}***까지의 공변 왼쪽 완전 함수이다. ***A***가 사영인 경우에만 완전하다.Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9. ***R***을 환이라고 하고 ***M***을 왼쪽 ***R***-가군이라고 하자. 함자 \text{Hom}_{\textbf{R(M, -):\textbf{Mod}\text{-}R\rightarrow \textbf{Ab}는 텐서 곱 함자 \otimes_R M: \textbf{Ab}\rightarrow \textbf{Mod}\text{-}R에 인접한다.
# 메모

# 참조
* isbn=0-387-98403-8 * 확인날짜=2009-11-25 * isbn=978-0-486-47187-7