브라우어 군

수학에서 체 *K*의 **브라우어 군**(Brauer group)은 *K* 위의 중심 단순 대수의 모리타 동치 동치류로 이루어진 아벨 군이며, 덧셈은 대수의 텐서곱으로 주어진다. 이 군은 대수학자 리하르트 브라우어에 의해 정의되었다. 브라우어 군은 체 위의 나눗셈 대수를 분류하려는 시도에서 시작되었다. 이 군은 갈루아 코호몰로지로도 정의될 수 있다. 더 일반적으로, 스킴의 브라우어 군은 아즈마야 대수 또는 동등하게 사영 다발을 사용하여 정의된다.
# 구성
체 *K* 위의 중심 단순 대수(CSA)는 *K*-대수 *A*가 단순환이고 *A*의 중심이 K와 같은 유한 차원 결합 대수이다. CSA는 일반적으로 나눗셈 대수가 아니지만, CSA를 사용하여 나눗셈 대수를 분류할 수 있다. 예를 들어, 복소수 **C**는 그 자신 위에 CSA를 형성하지만, **R** 위에는 아니다 (중심이 **C** 자체이므로 **R** 위의 CSA가 되기에는 너무 크다). 프로베니우스 정리 (환론)에 의해 중심이 **R**인 유한 차원 나눗셈 대수는 실수와 사원수이며, 실수나 사원수 위의 모든 행렬환 – M(n, **R**) 또는 M(n, **H**) –은 실수 위의 CSA이지만 나눗셈 대수는 아니다 (*n* > 1인 경우). 아르틴-웨더번 정리 (조지프 웨더번의 부분)에 따라 *K* 위의 CSA에 대한 동치 관계를 얻고, 이는 모든 CSA를 어떤 나눗셈 대수 *D*에 대한 M(n, D)로 표현한다. *D*만을 고려하면, 즉 모든 양의 정수 *m*과 *n*에 대해 M(m, D)를 M(n, D)와 동일시하는 동치 관계를 부과하면, *K* 위의 CSA에 대한 **브라우어 동치** 관계를 얻는다. 브라우어 군의 원소는 K 위의 CSA의 브라우어 동치류이다. 중심 단순 대수 A와 B가 주어지면, 이들의 텐서곱 A ⊗ B를 K-대수로 볼 수 있다. 이것은 항상 중심 단순임이 밝혀진다. 이를 깔끔하게 보는 방법은 특징을 사용하는 것이다: K 위의 중심 단순 대수 A는 스칼라의 체를 K의 대수적 폐포로 확장할 때 행렬환이 되는 K-대수이다. 이 결과는 K-벡터 공간으로서 중심 단순 대수 A의 차원이 항상 정사각수임을 보여준다. A의 **차수**는 그 차원의 제곱근으로 정의된다. 결과적으로, *K* 위의 CSA의 동형류는 텐서곱에 대해 모노이드를 형성하며, 브라우어 동치와 양립하고, 모든 브라우어류는 가역원이다. 대수 *A*의 역원은 그 역대수 Aop (K → A의 상이 *A*의 중심에 있으므로 *K*에 의한 동일한 작용을 갖는 역환)로 주어진다. 명시적으로, CSA *A*에 대해 1=A ⊗ Aop = M(n2, K)이며, 여기서 *n*은 *K* 위의 *A*의 차수이다. 어떤 체의 브라우어 군은 꼬임 군이다. 더 자세히 말하면, *K* 위의 중심 단순 대수 *A*의 **주기**는 브라우어 군의 원소로서의 *A*의 차수로 정의된다. *A*의 **지수**는 *A*와 브라우어 동치인 나눗셈 대수의 차수로 정의된다. 그러면 *A*의 주기는 *A*의 지수를 나누며 (따라서 유한하다).ps=none
# 예시
* 다음의 경우, 체 *K* 위의 모든 유한 차원 중심 나눗셈 대수는 *K* 자신이며, 따라서 브라우어 군 Br(*K*)는 자명군이다: ** *K*는 대수적으로 닫힌 체이다. ** *K*는 유한체이다 (웨더번 정리).ps=none 동등하게, 모든 유한 나눗셈환은 가환환이다. ** *K*는 대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 유리 함수체이다 (Tsen 정리).ps=none 더 일반적으로, 브라우어 군은 모든 C1 체에 대해 소멸한다. ** *K*는 모든 단위근을 포함하는 **Q**의 대수적 확대이다.ps=none * 실수의 브라우어 군 Br **R**은 차수 2의 순환군이다. 중심이 **R**인 동형이 아닌 실수 나눗셈 대수는 **R** 자신과 사원수 대수 **H** 두 개뿐이다.ps=none **H** ⊗ **H** ≅ M(4, **R**)이므로, **H**의 클래스는 브라우어 군에서 차수 2를 갖는다. * *K*를 비아르키메데스적 국소체라고 하자. 이는 *K*가 유한 잔여체를 갖는 이산 값매김 아래에서 완비라는 의미이다. 그러면 Br K는 **Q**/**Z**와 동형이다.ps=none
# 세베리-브라우어 다양체
체 *K*의 브라우어 군에 대한 또 다른 중요한 해석은 *K* 위에서 사영 다형체를 분류한다는 것이다. 이들은 *K*의 대수적 폐포 위에서 사영 공간과 동형이 된다. 이러한 다양체를 세베리-브라우어 다양체라고 하며, *K* 위에서 차원 n − 1인 세베리-브라우어 다양체의 동형류와 *K* 위에서 차수 *n*인 중심 단순 대수의 일대일 대응이 존재한다.ps=none 예를 들어, 차원 1의 세베리-브라우어 다양체는 정확히 *K* 위의 사영 평면에서 매끄러운 원뿔 곡선이다. 환의 표수가 2가 아닌 체 *K*에 대해, *K* 위의 모든 원뿔 곡선은 *K*의 어떤 0이 아닌 원소 a와 b에 대해 ax2 \+ by2 = z2 꼴의 하나와 동형이다. 대응하는 중심 단순 대수는 사원수 대수이다.loc=Theorem 1.4.2 :(a,b) = K\langle i,j\rangle/(i^2=a, j^2=b, ij=-ji). 원뿔 곡선은 해당 사원수 대수가 행렬 대수 M(2, *K*)와 동형인 경우에만 K 위의 사영선 **P**1과 동형이다.
# 순환 대수
양의 정수 *n*에 대해, *n*이 가역원이고 *K*가 원시 *n*제곱근 ζ를 포함하는 체 *K*라고 하자. *K*의 0이 아닌 원소 *a*와 *b*에 대해, 연관된 **순환 대수**는 다음과 같이 정의되는 *K* 위의 차수 *n* 중심 단순 대수이다: :(a,b)_{\zeta} = K\langle u,v\rangle/(u^n=a, v^n=b, uv=\zeta vu). 순환 대수는 가장 잘 이해되는 중심 단순 대수이다. (*n*이 *K*에서 가역원이 아니거나 *K*가 원시 *n*제곱근을 갖지 않는 경우, 유사한 구성으로 *K*의 순환 **Z**/n-확대 χ 및 *K*의 0이 아닌 원소 *a*에 연관된 순환 대수 (χ, a)를 얻는다.ps=none) 대수적 K이론의 메르쿠리예프-수슬린 정리는 브라우어 군에 대해 강력한 결과를 제시한다. 즉, 양의 정수 *n*에 대해, *n*이 가역원이고 *K*가 원시 *n*제곱근을 포함하는 체 *K*라고 하자. 그러면 *n*에 의해 소멸되는 *K*의 브라우어 군의 부분군은 차수 *n*의 순환 대수에 의해 생성된다.ps=none 동등하게, 주기가 *n*을 나누는 모든 나눗셈 대수는 차수 *n*의 순환 대수의 텐서곱과 브라우어 동치이다. 소수 *p*에 대해서도, 주기 *p*의 나눗셈 대수가 실제로 주기 *p*의 순환 대수의 텐서곱과 동형일 필요는 없음을 보여주는 예시가 존재한다.ps=none 체 위의 소수 차수 나눗셈 대수가 모두 순환 대수인지 여부는 알베르트가 제기한 주요 열린 문제이다. 차수가 2 또는 3인 경우에는 참이지만, 5 이상의 소수에 대해서는 문제가 아직 해결되지 않았다. 알려진 결과는 특별한 종류의 체에 대해서만 유효하다. 예를 들어, *K*가 대역체 또는 국소체인 경우, *K* 위의 모든 차수 나눗셈 대수는 알베르트-브라우어-하세-뇌터 정리에 의해 순환 대수이다.ps=none 같은 방향의 "고차원" 결과는 솔트만이 증명했다: *K*가 국소체 **Q**p 위의 초월 차수 1인 체인 경우, *K* 위의 소수 차수 l ≠ p인 모든 나눗셈 대수는 순환 대수이다.ps=none
# 주기-지수 문제
체 *K* 위의 모든 중심 단순 대수 *A*에 대해, *A*의 주기는 *A*의 지수를 나누고, 두 수는 동일한 소인수를 갖는다.ps=none **주기-지수 문제**는 관심 있는 체 *K*에 대해 주기를 사용하여 지수를 한정하는 것이다. 예를 들어 *A*가 국소체 또는 대역체 위의 중심 단순 대수라면 알베르트-브라우어-하세-뇌터는 *A*의 지수가 *A*의 주기와 같음을 보였다.ps=none 대수적으로 닫힌 체 위의 초월 차수 *n*인 체 *K* 위의 중심 단순 대수 *A*에 대해, ind(A)가 per(A)n−1을 나눈다는 추측이 있다. 이것은 n ≤ 2인 경우에 참이며, 1=n = 2인 경우는 드 종의 중요한 발전이며, 드 종-스타와 리블리히에 의해 양의 표수에서 정밀화되었다.ps=none
# 유체론
브라우어 군은 유체론의 현대적 공식화에서 중요한 역할을 한다. *Kv*가 비아르키메데스적 국소체인 경우, 국소 유체론은 정규 동형 invv : Br Kv → **Q**/**Z**, 즉 대수의 하세 불변량을 제공한다.ps=none 수체와 같은 대역체 K의 경우는 대역 유체론에서 다루어진다. *D*가 *K* 위의 중심 단순 대수이고 *v*가 *K*의 위치이면, D ⊗ Kv는 *K*의 *v*에서의 완비인 *Kv* 위의 중심 단순 대수이다. 이는 *K*의 브라우어 군에서 *Kv*의 브라우어 군으로의 준동형을 정의한다. 주어진 중심 단순 대수 *D*는 유한한 *v*를 제외한 모든 *v*에 대해 분해되므로, 거의 모든 이러한 준동형에 의한 *D*의 상은 0이다. 브라우어 군 Br K는 하세가 구성한 완전열에 들어맞는다.ps=noneps=none : 0 \rightarrow \operatorname{Br}K \rightarrow \bigoplus_{v \in S} \operatorname{Br}K_v \rightarrow \mathbf{Q}/\mathbf{Z} \rightarrow 0, 여기서 *S*는 *K*의 모든 위치 집합이고 오른쪽 화살표는 국소 불변량의 합이다. 실수의 브라우어 군은 **Z**/**2Z**와 동일시된다. 왼쪽 화살표의 단사성은 알베르트-브라우어-하세-뇌터 정리의 내용이다. *K* 위의 중심 단순 대수의 모든 국소 불변량의 합이 0이라는 사실은 전형적인 상호 법칙이다. 예를 들어, 이를 **Q** 위의 사원수 대수 (a, b)에 적용하면 이차 상호 법칙을 얻는다.
# 갈루아 코호몰로지
임의의 체 *K*에 대해, 브라우어 군은 갈루아 코호몰로지로 다음과 같이 표현될 수 있다.ps=none : \operatorname{Br}K \cong H^2(K, G_\text{m}), 여기서 *G*m은 곱셈군을 나타내며, *K* 위의 대수군으로 간주된다. 더 구체적으로, 표시된 코호몰로지 군은 H 2(Gal(Ks/K), Ks*)를 의미하며, 여기서 *Ks*는 *K*의 분리 폐포를 나타낸다. 브라우어 군과 갈루아 코호몰로지 군의 동형은 다음과 같이 설명될 수 있다. n-by-n 행렬 대수의 자기동형군은 사영 선형군 PGL(*n*)이다. *K* 위의 모든 중심 단순 대수는 *K*의 분리 폐포 위의 행렬 대수와 동형이 되므로, *K* 위의 차수 *n*인 중심 단순 대수의 동형류 집합은 갈루아 코호몰로지 집합 H1(K, PGL(n))과 동일시될 수 있다. H 2(K, Gm)에서 중심 단순 대수의 클래스는 짧은 완전열 1 → Gm → GL(n) → PGL(n) → 1에 연관된 경계 준동형 : H^1(K, \operatorname{PGL}(n)) \rightarrow H^2(K, G_\text{m}) 아래에서 H1의 클래스의 상이다.
# 스킴의 브라우어 군
브라우어 군은 아우스란데르와 골드만에 의해 체에서 가환환으로 일반화되었다. 그로텐디크는 더 나아가 모든 스킴의 브라우어 군을 정의했다. 스킴 *X*의 브라우어 군을 정의하는 두 가지 방법이 있다. *X* 위의 아즈마야 대수를 사용하거나 *X* 위의 사영 다발을 사용하는 것이다. 두 번째 정의는 자리스키 위상에서가 아니라 에탈 위상에서 국소적으로 자명한 사영 다발을 포함한다. 특히, 사영 다발은 벡터 다발의 사영화인 경우에만 브라우어 군에서 0으로 정의된다. 준콤팩트 스킴 *X*의 **코호몰로지 브라우어 군**은 에탈 코호몰로지 군 H 2(X, Gm)의 꼬임 부분군으로 정의된다. (전체 군 H 2(X, Gm)은 정규, 정수적, 준콤팩트 스킴 X의 경우 꼬임 군이지만, 일반적으로 꼬임 군일 필요는 없다.ps=none) 브라우어 군은 항상 코호몰로지 브라우어 군의 부분군이다. 가버는 풍부한 가역층을 갖는 모든 스킴 (예: 가환환 위의 모든 준사영 다형체)에 대해 브라우어 군이 코호몰로지 브라우어 군과 같음을 보였다.ps=none 전체 군 H 2(X, Gm)은 구조 군 Gm을 갖는 *X* 위의 제르브를 분류하는 것으로 볼 수 있다. 체 위의 매끄러운 사영 다양체에 대해 브라우어 군은 중요한 쌍유리 불변량이다. 예를 들어, X가 복소수 위에서 유리 연결 다양체이기도 한 경우, X의 브라우어 군은 특이 코호몰로지 군 H 3(X, **Z**)의 꼬임 부분군과 동형이며, 따라서 쌍유리 불변량이다. 아틴과 멈퍼드는 브라우어 군의 이러한 설명을 사용하여 **C** 위의 유리 다양체 X가 안정적으로 유리적이지 않은 (즉, X와 사영 공간의 어떤 곱도 유리적이지 않은) 첫 번째 예를 제시했다.ps=none
# 테이트 추측과의 관계
아틴은 정수 위의 모든 고유 스킴이 유한 브라우어 군을 갖는다고 추측했다.ps=none 이는 유한체 위의 매끄러운 사영 다양체 *X*라는 특수한 경우에도 알려져 있지 않다. 사실, 이 경우 표면의 브라우어 군의 유한성은 *X* 위의 인자에 대한 테이트 추측과 동등하며, 이는 대수적 순환 이론의 주요 문제 중 하나이다.ps=none 수체의 대수적 정수환 위에서 평탄하고 고유하며 차원 2인 정수적 스킴이 단면을 갖는 경우, 브라우어 군의 유한성은 일반 섬유의 야코비 다양체 (수체 위의 곡선)에 대한 테이트-샤파레비치 군 Ш의 유한성과 동등하다.ps=none Ш의 유한성은 타원곡선과 더 일반적으로 아벨 다양체의 산술에서 중심적인 문제이다.
# 브라우어-마닌 장애
*X*를 수체 *K* 위의 매끄러운 사영 다양체라고 하자. 하세 원리는 *K*의 모든 완비 *Kv* 위에서 *X*가 유리점을 갖는다면, *X*가 *K*-유리점을 갖는다고 예측할 것이다. 하세 원리는 특정 종류의 다양체에 대해서는 성립하지만, 일반적으로는 아니다. 마닌은 *X*의 브라우어 군을 사용하여 브라우어-마닌 장애를 정의했는데, 이는 *X*가 *K*의 모든 완비 위에서 점을 갖더라도 *X*가 *K*-점을 갖지 않음을 보여주는 많은 경우에 적용될 수 있다.
# 내용주
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