체비쇼프 필터

**체비쇼프 필터**(Chebyshev filter)는 버터워스 필터보다 가파른 롤오프를 가지고 통과대역에 리플을 가지거나(1형) 저지대역에 리플을 가지는(2형) 아날로그 또는 디지털 필터이다. 체비쇼프 필터는 이상적인 필터 특성과 실제 필터 특성 간의 오차를 동작 주파수 대역에서 최소화하는 속성을 갖지만, 주파수 응답에서 리플을 통해 이를 달성한다. 이러한 유형의 필터는 그 수학적 특성이 체비쇼프 다항식에서 파생되었기 때문에 파프누티 체비쇼프의 이름을 따서 명명되었다. 1형 체비쇼프 필터는 일반적으로 "체비쇼프 필터"로 불리는 반면, 2형 필터는 보통 "역체비쇼프 필터"로 불린다. 체비쇼프 필터에 내재된 통과대역 리플 때문에 특정 응용 분야에서는 통과대역에서는 더 부드러운 응답을 갖지만 저지대역에서는 더 불규칙한 응답을 갖는 필터가 선호된다.
# 1형 체비쇼프 필터 (체비쇼프 필터)
\varepsilon=1일 때 4차 1형 체비쇼프 로우패스 필터의 주파수 응답 1형 체비쇼프 필터는 가장 흔한 유형의 체비쇼프 필터이다. n차 로우패스 필터의 각주파수 \omega에 대한 이득(또는 진폭) 응답 G_n(\omega)은 s=j \omega에서 평가된 전달 함수 H_n(s)의 절댓값과 같다. :G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2(\omega/\omega_0) 여기서 \varepsilon는 리플 계수, \omega_0는 차단 주파수이고 T_n는 n차 체비쇼프 다항식이다. 통과대역은 리플 계수 \varepsilon에 의해 결정되는 동일 리플 특성을 나타낸다. 통과대역에서 체비쇼프 다항식은 -1과 1 사이를 교대하므로 필터 이득은 최대값 G = 1과 최소값 G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2} 사이를 교대한다. 따라서 리플 계수 ε는 데시벨로 표시된 통과대역 리플 δ와 다음 관계로 연결된다. :\varepsilon = \sqrt{10^{\delta/10}-1}. 차단 주파수 \omega_0에서 이득은 다시 1/\sqrt{1+\varepsilon^2} 값을 갖지만 주파수가 증가함에 따라 저지대역으로 계속 떨어진다. 이 동작은 오른쪽 다이어그램에 표시되어 있다. -3 dB에서 차단 주파수를 정의하는 일반적인 관행은 체비쇼프 필터에는 일반적으로 적용되지 않는다. 대신 차단은 이득이 최종적으로 리플 값으로 떨어지는 지점으로 간주된다. 3 dB 주파수 \omega_H는 \omega_0와 다음 관계로 연결된다. :\omega_H = \omega_0 \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right). 체비쇼프 필터의 차수는 아날로그 전자 회로를 사용하여 필터를 구현하는 데 필요한 리액턴스 부품(예: 유도자)의 수와 같다. 리플을 복소 평면의 \omega 축에 영점을 허용하여 저지대역에서 리플을 허용하면 훨씬 더 가파른 롤오프를 얻을 수 있다. 이는 이러한 영점 및 그 주변에서 거의 무한한 억제를 생성하지만(부품의 품질 계수, 기생 성분 및 관련 요인에 의해 제한됨), 저지대역에서의 전체 억제는 감소한다. 그 결과는 타원 필터라고도 알려진 카우어 필터라고 불린다. -
## 극점과 영점
ε = 0.1 및 \omega_0=1을 갖는 8차 1형 체비쇼프 필터의 복소 주파수 공간 (s = σ + jω)에서의 이득 절댓값의 로그. 흰 점은 극점이며 σ에서는 0.3836...의 반축, ω에서는 1.071...의 반축을 갖는 타원 상에 배열되어 있다. 전달 함수 극점은 좌반평면에 있는 극점들이다. 검은색은 0.05 이하의 이득에 해당하며, 흰색은 20 이상의 이득에 해당한다. 단순화를 위해 차단 주파수가 1과 같다고 가정한다. 체비쇼프 필터의 이득 함수 G의 극점 (\omega_{pm})은 이득 함수의 분모의 영점이다. 복소 주파수 s를 사용하면 다음에서 발생한다. :1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0.\, -js=\cos(\theta)로 정의하고 체비쇼프 다항식의 삼각 함수 정의를 사용하면 다음과 같다. :1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0.\, \theta에 대해 풀면 :\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n} 여기서 아르코사인 함수의 다중 값은 정수 인덱스 m을 사용하여 명시된다. 체비쇼프 이득 함수의 극점은 다음과 같다. :s_{pm}=j\cos(\theta)\, ::::=j\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right). 삼각 함수 및 쌍곡선 함수의 속성을 사용하여 이것은 명시적으로 복소수 형태로 쓸 수 있다. :s_{pm}^\pm=\pm \sinh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m) ::::+j \cosh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m) 여기서 m = 1, 2,..., n 이고 :\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}. 이는 \theta_n의 매개 변수 방정식으로 볼 수 있으며 극점이 s 공간에서 s=0를 중심으로 한 타원 위에 있으며, 실수 반축 길이는 \sinh(\mathrm{arsinh}(1/\varepsilon)/n)이고 허수 반축 길이는 \cosh(\mathrm{arsinh}(1/\varepsilon)/n)임을 보여준다.
## 전달 함수
위의 식은 이득 G의 극점을 나타낸다. 각 복소 극점에 대해 그 복소 켤레가 있으며, 각 켤레 쌍에 대해 그 음수에 해당하는 두 개의 극점이 더 있다. 전달 함수는 안정적이어야 하므로 그 극점은 음의 실수 부분을 갖는 이득의 극점이어야 하며 따라서 복소 주파수 공간의 좌반평면에 위치한다. 따라서 전달 함수는 다음과 같다. :H(s)= \frac{1}{2^{n-1}\varepsilon}\ \prod_{m=1}^{n} \frac{1}{(s-s_{pm}^-)} 여기서 s_{pm}^-은 위 식에서 실수항 앞에 음수 부호를 갖는 이득의 극점만이다.
## 군지연
ε = 0.5인 5차 1형 체비쇼프 필터의 이득과 군지연. 군지연은 위상과 각주파수에 대한 미분으로 정의된다. :\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega)) ε=0.5인 5차 1형 체비쇼프 필터의 이득과 군지연은 왼쪽 그래프에 그려져 있다. 저지대역에는 리플이 없다. 그러나 통과대역의 군지연 리플은 다른 주파수 성분이 다른 지연을 가지고 있음을 나타내며, 이는 통과대역의 이득 리플과 함께 파형 모양의 왜곡을 초래한다. -
## 짝수 차수 수정
짝수 차수 체비쇼프 필터는 수동 소자, 일반적으로 인덕터, 커패시터, 전송선을 사용하여 구현되며, 각 측면의 종단 값이 같을 때, 특히 고주파에서 바람직하지 않거나 실현 불가능할 수 있는 결합 코일을 사용하지 않으면 전통적인 체비쇼프 전달 함수로 구현할 수 없다. 이는 \omega=0에서의 S12 값을 초과하는 S12 값을 초래하는 짝수 차수 체비쇼프 반사 영점을 물리적으로 수용할 수 없기 때문이다. 통과대역 S12를 수용하기 위해 한쪽 종단을 증가 또는 감소시켜 필터를 설계하는 것이 실현 불가능하다면, 통과대역의 등리플 응답을 유지하면서 가장 낮은 짝수 차수 반사 영점을 \omega=0로 이동시키도록 체비쇼프 전달 함수를 수정해야 한다. 필요한 수정은 가장 낮은 주파수 반사 영점을 0으로 매핑하고 나머지 극점은 등리플 통과대역을 유지하는 데 필요한 방식으로 각 체비쇼프 전달 함수 극점을 매핑하는 것을 포함한다. 가장 낮은 주파수 반사 영점은 체비쇼프 노드, \cos \Bigl( \frac{ \pi (n-1)}{ 2n } \Bigl ) 에서 찾을 수 있다. 완전한 체비쇼프 극점 매핑 함수는 아래에 표시되어 있다.language=영어, 독일어 P' = \left [ \sqrt{\left ( \frac{ P^2 + cos^2 \Bigl(\frac{\pi (n-1)}{ 2n } \Bigl)} {1 - {cos^2 \Bigl(\frac{\pi (n-1)}{ 2n }\Bigl) \right )} \right ]_{\text{Left Half Plane } } 여기서: n은 필터의 차수 (짝수여야 함) P는 전통적인 체비쇼프 전달 함수 극점 P'는 수정된 짝수 차수 전달 함수에 대한 매핑된 극점. "Left Half Plane"은 음의 실수 값을 포함하는 제곱근을 사용함을 나타낸다. 완료되면, 동일하게 종단된 수동 네트워크로 구현될 때 S12의 반사 영점 산란 행렬 값이 1이고 S11이 0인 새로운 등리플 전달 함수가 생성된다. 아래 그림은 8차 체비쇼프 필터가 가장 낮은 주파수 반사 영점을 유한 주파수에서 0으로 재배치하여 짝수 차수 동일 종단 수동 네트워크를 지원하도록 수정되었음을 보여주며, 동시에 등리플 통과대역 주파수 응답을 유지한다. 짝수 차수 수정 체비쇼프 그림 카우어 토폴로지의 LC 요소 값 공식은 짝수 차수 수정 체비쇼프 전달 함수에는 적용되지 않으며 사용할 수 없다. 따라서 반사 계수에서 파생될 수 있는 임피던스 함수의 전통적인 연분수에서 LC 값을 계산해야 하며, 이는 차례로 전달 함수에서 파생될 수 있다.
## 최소 차수
최소 필수 부품 수를 사용하여 체비쇼프 필터를 설계하려면 체비쇼프 필터의 최소 차수는 다음과 같이 계산할 수 있다.language=EN 이 방정식은 표준 로우패스 체비쇼프 필터만 고려한다. 짝수 차수 수정 및 유한 저지대역 전달 영점은 이 방정식이 고려하지 않는 오차를 도입한다. n = ceil \bigg[\frac{\cosh^{-1}{\sqrt{\frac{10^{\alpha_s/10}-1}{10^{\alpha_p/10}-1{\cosh^{-1}{(\omega_s /\omega_p)\bigg] 여기서: \omega_p 및 \alpha_p는 dB 단위의 통과대역 리플 주파수 및 최대 리플 감쇠 \omega_s 및 \alpha_s는 dB 단위의 저지대역 주파수 및 해당 주파수에서의 감쇠 n은 최소 극점 수, 즉 필터의 차수 ceil[]는 다음 정수로 올림 함수이다.
## 차단 감쇠 설정
체비쇼프 필터의 통과대역 차단 감쇠는 일반적으로 위의 계산에 의해 설정된 통과대역 리플 감쇠와 같다. 그러나 듀플렉서 및 트리플렉서와 같은 많은 응용 분야는 필요한 반사를 얻기 위해 -3.0103 dB의 차단 감쇠를 필요로 한다. 다른 전문 응용 분야에서는 다양한 이유로 차단 감쇠에 다른 특정 값이 필요할 수 있다. 따라서 체비쇼프 통과대역 차단 감쇠를 통과대역 리플 감쇠와 독립적으로 설정할 수 있는 수단이 유용하다 (예: -1 dB, -10 dB 등). 차단 감쇠는 전달 함수의 극점을 주파수 스케일링하여 설정할 수 있다. 스케일링 인자는 정의 체비쇼프 필터 함수, G_n(\omega)의 직접적인 대수적 조작으로 결정될 수 있으며, 여기에는 \varepsilon와 T_n( \omega / \omega_0)가 포함된다. 체비쇼프 다항식 방정식에서 파생될 수 있는 체비쇼프 함수 T_n( \omega / \omega_0)=cos(n\cos^{-1}( \omega / \omega_0))의 일반적인 정의가 필요하며, 역체비쇼프 함수는 T_n^{-1}( \omega / \omega_0)=cos(\cos^{-1}( \omega / \omega_0)/n)이다. \omega / \omega_0\geq 1 값에 대해 숫자를 실수로 유지하기 위해 복소 쌍곡선 항등식을 사용하여 방정식을 T_n( \omega / \omega_0)=cosh(n\cosh^{-1 }( \omega / \omega_0))와 T_n^{-1}( \omega / \omega_0)=cosh(\cosh^{-1 }( \omega / \omega_0)/n)로 다시 작성할 수 있다. 위의 방정식과 참조에 간단한 대수학을 적용하여 각 체비쇼프 극점을 스케일링하는 표현은 다음과 같다. \begin{align} p_A & = p_1 / T_n^{-1}\Biggr(\sqrt{\frac{10^ \alpha} / 10 } - 1}{10^\delta/10-1, n \Biggr) \qquad & \text{For } 0 1\\\ &= \frac{\sqrt{\omega_i^2-1{\omega_i}\text{ for }\sigma_i=0 \text{ and }\omega_i>1\\\ &= 1\text{ for }\omega_i=\infty \\\ z_i &= \sigma_i + j\omega_i =\text{ complex transmision zero} \\\ \end{align} 실수 및 허수 z_i 쌍에 대해 양의 M_i 해를 사용한다. 4중 복소수 z_i 쌍에 대해 양의 실수 및 켤레 허수 M_i 해를 사용한다. 필요한 경우 s=j에서 |K(s)| = 1이 되도록 K(s)를 정규화해야 한다. "유리항만"은 곱의 유리 부분을 유지하고 무리 부분을 버리는 것을 의미한다. 유리항은 수동으로 다항식 산술을 수행하거나 다항식 산술에서 파생된 아래의 단축키를 사용하여 얻을 수 있으며, 이는 이항 계수를 사용한다. 이항 계수가 미리 계산된 값의 조회 테이블에서 구현되면 이 알고리즘은 매우 효율적이다. \begin{align} &B; = \prod_{i=1}^N(M_is+1) \\\ &K;(s)_{num} = \sum_{i=N}^{i\geq0 \text{, step }=-2} \bigg[ \sum_{j=i}^{j\geq0 \text{, step }=-2}B_j \binom{(N-j)/2}{(N-i)/2} \bigg]s^i \\\ &N; = \text{ 체비쇼프 필터의 차수} \\\ &B; = \text{지정된 인자의 곱으로 생성된 다항식} \\\ &B;_j = \text{ 다항식 } B \text{의 }j_{th} \text{ 차수 계수} \\\ &\binom{n}{k} \text{는 이항 계수 함수} \\\ \end{align} 모든 M 값이 1로 설정되면 K(s)_{num}은 표준 체비쇼프 방정식이 될 것이며, 이는 모든 전달 영점이 \infty에 있기 때문에 예상된다. 짝수 차수 유한 전달 영점 체비쇼프 필터는 모든 극점의 경우와 동일한 제한을 가지며, 이는 동일하게 종단된 수동 네트워크를 사용하여 구성할 수 없다는 것이다. 짝수 차수 특성 다항식 K(s)에 동일한 짝수 차수 수정을 적용하여 동일하게 종단된 수동 네트워크 구현을 가능하게 할 수 있다. 그러나 짝수 차수 수정은 유한 전달 영점도 약간 이동시킨다. 이 이동은 가장 낮은 체비쇼프 노드 cos(\pi(N-1)/(2N)) 를 사용하여 짝수 차수 수정의 역수를 사용하여 전달 영점을 미리 배치함으로써 크게 완화될 수 있다. \begin{align} &z;_i' = \sqrt{z_i^2(1.-C_0^2) - C_0^2} \\\ &C;_0^2 = cos^2(\frac{\pi(N-1)}{2N}) \\\ &z;_i = \text{원하는 유한 전달 영점} \\\ &z;_i' = \text{미리 배치된 유한 전달 영점} \\\ \end{align}
### 간단한 전달 영점 예시
2 rad/sec에 전달 영점 하나와 \infty에 전달 영점 하나가 있는 3극 체비쇼프 필터를 1 dB 통과대역으로 설계한다. \begin{align} &M;_1 = M_2 = \sqrt{(j2)^2+1}/j2 = \sqrt{1-4}/j2 = \sqrt3/2 = 0.866025 \text{, }M_3 = \sqrt{\infty^2 + 1}/\infty = 1 \\\ &\\\ &\text{전체 다항식 도출:} \\\ &K;(s)_{num} = \bigr(0.86602540s+\sqrt{s^2+1}\bigr) \bigr(0.86602540s+\sqrt{s^2+1}\bigr) \bigr(s+\sqrt{s^2+1}\bigr) \\\ &K;(s)_{num} = 3.4820508s^3 + 2.7320508s + \sqrt{\dots} \\\ &\text{무리항 }\sqrt{\dots} \text{는 버리고 유리 부분만 유지:} \\\ &K;(s)_{num} = 3.4820508s^3 + 2.7320508s \\\ &\\\ &K;(s)_{num}\text{ 단축 도출:} \\\ &B; = (0.86602540s+1)(0.86602540s+1)(s+1) = .75s^3 + 2.4820508s^2 + 2.7320508s + 1 \\\ &K;(s)_{num} = \bigg(0.75\binom{0}{0} + 2.4820508\binom{1}{0}\bigg)s^3 + \bigg(2.7320508\binom{1}{1}\bigg)s \\\ &K;(s)_{num} = 3.4820508s^3 + 2.7320508s \\\ &\\\ &k;(s)_{den} = (\frac{s}{j2}+1)(\frac{s}{-j2}+1) = 0.25s^2 + 1 \\\ &s;=j\text{에서 }|K(s)| \text{를 확인하여 단위가 되는지 확인하고, 필요한 경우 상수로 조정:} \\\ &\bigg| \frac{K(s)_{num}(s=j)}{K(s)_{den}(s=j)} \bigg| = 1 \text{ 확인!} \\\ &K;(s) = \frac{3.4820508s^3 + 2.7320508s}{0.25s^2 + 1} \\\ \end{align} G(s) 전달 함수를 찾으려면 다음을 수행한다.language=EN \begin{align} &\varepsilon^2 = 10^{1dB/10.} - 1. = .25892541 \\\ &G;(s) = \sqrt{G(s)G(-s)}\bigg|_{\text{LHP poles = \sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon ^2K(s)K(-s)\bigg|_{\text{LHP poles = \sqrt{\frac{K(s)_{den}K(-s)_{den{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^2K(s)_{num}K(-s)_{num\bigg|_{\text{LHP poles\\\ &=\sqrt{\frac{\\{0.25(s)^2 + 1\\}\\0.25(-s)^2 + 1}\\{\\{0.25(s)^2 + 1\\}\\0.25(-s)^2 + 1}\\}+.25892541\\{3.4820508(s)^3 + 2.7320508(s)\\}\\{3.4820508(-s)^3 + 2.7320508(-s)\\} \bigg|_{\text{LHP poles \\\ &=\frac{0.25(s)^2 + 1}{\sqrt{-3.1393872s^6 - 4.8638872s^4 -1.4326456s^2 + 1 }\bigr|_{\text{LHP poles \\\ \end{align} 좌반평면에서 G(s)를 얻으려면 분자와 분모를 인수분해하여 근을 얻는다. 분모의 우반평면의 모든 근, 분자의 반복 근의 절반은 버리고 나머지 근으로 G(s)를 다시 구성한다. 일반적으로 s=0에서 |G(s)|를 1로 정규화한다. \begin{align} &G;(s)= \frac{0.25s^2 + 1}{1.7718316s^3 + 1.7200107s^2 + 2.2074118s + 1} \\\ \end{align} 예제 G(s)가 올바른지 확인하기 위해 j\omega를 따른 G(s)의 그래프가 아래에 표시되어 있으며, 통과대역 리플은 1 dB, 차단 주파수는 1 rad/sec, 저지대역 영점은 2 rad/sec이다. 2 rad/sec에서 체비쇼프 전달 영점
## 비대칭 대역 통과 필터
체비쇼프 대역 통과 필터는 위에서 설명한 체비쇼프 전달 영점 방정식의 더 일반적인 형태를 사용하여 0과 무한대에 원하는 수의 전달 영점을 배치하여 기하학적으로 비대칭 주파수 응답을 갖도록 설계될 수 있으며, 이는 아래에 표시되어 있다. 아래 K(s) 방정식은 1에서 \omega_2까지의 주파수 정규화된 통과대역을 고려한다. 0에서의 전달 영점 개수가 \infty에서의 전달 영점 개수와 같지 않으면 필터는 기하학적으로 비대칭이 된다. 또한 유한 전달 영점이 기하학적 중심 주파수, 이 경우 \sqrt{\omega_2}에 대해 대칭적으로 배치되지 않으면 필터는 비대칭이 된다. 필터는 비대칭 K(s) 방정식이 사용 가능한 결과를 생성하기 위해 순 짝수 차수, 즉 모든 극점의 합이 짝수여야 한다는 제한이 있다. 이 기술을 사용하여 실수 및 복소 4중 전달 영점을 생성할 수 있으며, 저역 통과 경우와 마찬가지로 군지연 응답을 수정하는 데 유용하다. 비대칭 체비쇼프 대역 통과 필터를 생성하기 위한 특성 방정식 K(s)의 도출은 아래에 표시되어 있다. \begin{align} K(s) &= \frac{\bigg\\{\prod_{i=1}^N\bigg(M_i\sqrt{s^2+\omega_2^2}+\sqrt{s^2+1}\bigg)\bigg\\}_\text{rational term only{s^{N_z}\prod_{i=1}^{N_f}(1-s/z_i)}\\\ M_i &= \sqrt{\frac{z_i^2+1}{z_i^2+\omega_2^2\text{ for }\sigma_i\neq 0 \text{ or }\omega_i\omega_2 \\\ &= \sqrt{\frac{1-\omega_i^2}{\omega_2^2 - \omega_i^2\text{ for }\sigma_i=0 \text{ and }01)}은 나머지 통과대역 최소값 |dK(s)/ds)_{num}|의 근의 크기이며, Rz_k는 반사 영점이다. 필터 차단 감쇠가 리플 크기와 같다고 가정하면, 모든 \omega_i에서 |K(j\omega_i)|의 값은 1이므로 해 벡터 항목은 모두 1이며, 뉴턴 방법을 사용하여 해를 구하는 반복 방정식은 다음과 같다. \begin{align} &[B_k] = \begin{bmatrix} |K(j\omega_1)_{|K(j)|=1}| - 1 \\\ |K(j\omega_2)_{|K(j)|=1}| - 1 \\\ \vdots \\\ |K(j\omega_{N_{Rz)_{|K(j)|=1}| - 1 \\\ \end{bmatrix} \\\ &\\\ &[J(R_k,\omega_i)][\Delta_k] = [B_k] \\\ &\\\ &[Rz_{k+1}] = [Rz_k] + [\Delta_k] \\\ \end{align} 수렴은 모든 \sum_{k=1}^{N_{Rz |\Delta_k| 1인 저지대역 최대값이 포함된다는 것을 기억하는 것이 중요하다. 이 근은 계산에 사용된 통과대역 최소값에 포함되어서는 안 된다. \varepsilon^2는 G(s)에서 차단 감쇠를 설정하는 데 사용될 수 있으므로, 5단계 K(s) 목표 값은 1에 대해 만들 수 있다. 5단계의 목표 값은 위의 방정식에서 얻을 수 있는 |K(j\omega)| 표현을 사용하여 계산할 수 있다. \begin{align} &|K(j\omega)| = \sqrt{\frac{10^{Aripple_{dB}/10}-1.}{10^{Acut_{dB}/10}-1. = 0.01010101... \text{ at the pass band minima frequencies} \\\ &|K(j\omega)| = 1 \text{ at the pass band cut-off frequency} \\\ &\varepsilon^2 = 10^{(Acut_{dB}/10)} - 1 = 99.0 \\\ \end{align} %제한 = 55, 차수 = 8, 1.1에 단일 전달 영점, 통과대역 리플 감쇠 = 0.043648054(무손실 네트워크에 대한 관계 |S_{11}|^2 + |S_{12}|^2 = 1에 기반한 S12 = 20dB 감쇠에 해당language=영어), 통과대역 차단 감쇠 = 20dB인 필터 설계를 고려한다. 5단계의 목표 값은 .01010101이고, G(s)를 계산하는 \varepsilon^2는 99이다. 완료되면 특성 다항식 K(s)와 전달 함수 G(s)는 아래와 같다. K(s) = \frac{2.3081085s^8+3.7315386s^6+1.8867298s^4+0.28974597s^2}{0.82644628s^2+1} G(s) = \frac{K(s)_{den{\sqrt{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon^2K(s)_{num}K(-s)_{num|_{\text{LHP roots \text{여기서 }\varepsilon^2 = 10^{(20_{dB}/10)} - 1 = 99.0 G(s) = \frac{0.82644628s^2+1}{22.96539s^8+39.774072s^7+71.570971s^6+73.962937s^5+65.358572s^4+40.848153s^3+19.393829S^2+6.0938301s+1} 검증은 제한 주파수, 차단 주파수, 그 사이에 있는 나머지 통과대역 최소 주파수, 그리고 전달 영점 주파수에 대한 산란 매개 변수 |S12| \text{ 및 } |S11| (|G(s)|와 \sqrt{1-|G(s)|^2})를 계산하는 것으로 구성되며 아래에 표시되어 있다. {| class="wikitable" |+8극 비표준 차단 감쇠 및 전달 영점 검증 요약 !\omega_i !|S12|=|G(j\omega_k)| !|S12|=\sqrt{1-|G(j\omega_k)|^2} |- |\omega_1=0.45 | -0.043648054 dB | -20dB |- |\omega_2=0.66133008 | -0.043648054 dB | -20dB |- |\omega_3=0.82704812 | -0.043648054 dB | -20dB |- |\omega_{cut}=1 | -20 dB | -0.043648054 dB |- |\omega_{Tz_1}=1.1 | -\infty |0 dB |} |S_{12}| \text{ 및 } |S_{11}|의 최종 크기 주파수 응답은 아래에 표시되어 있다. }