전하 운반자 밀도

**전하 운반자 밀도**(Charge carrier density), 또는 **캐리어 농도**(carrier concentration)는 부피당 전하 운반자의 수를 나타낸다. SI 단위계에서는 m-3으로 측정된다. 다른 밀도와 마찬가지로 원칙적으로 위치에 따라 달라질 수 있다. 그러나 일반적으로 운반자 농도는 단일 숫자로 주어지며, 전체 재료에 대한 평균 운반자 밀도를 나타낸다. 전하 운반자 밀도는 도전율에 관한 방정식, 열전도율과 같은 관련 현상, 공유 결합과 같은 화학 결합을 포함한다.
# 계산
운반자 밀도는 일반적으로 재료의 전하 운반자 에너지 범위에 걸쳐 상태 밀도를 적분하여 이론적으로 얻어진다(예: 전자의 경우 전도띠에 걸쳐 적분, 정공의 경우 원자가띠에 걸쳐 적분). 총 전하 운반자 수가 알려져 있으면 단순히 부피로 나누어 운반자 밀도를 구할 수 있다. 이를 수학적으로 나타내면, 전하 운반자 밀도는 입자 밀도이므로, 부피 V에 걸쳐 이를 적분하면 해당 부피 내 전하 운반자 수 N이 된다. N=\int_V n(\mathbf r) \,dV. 여기서 n(\mathbf r)은 위치에 따라 달라지는 전하 운반자 밀도이다. 밀도가 위치에 의존하지 않고 상수 n_0과 같으면 이 방정식은 다음과 같이 단순화된다. N = V \cdot n_0.
# 반도체
운반자 밀도는 반도체에 중요하며, 화학적 도핑 과정에서 중요한 양이다. 띠 이론을 사용하면, 전자 밀도 n_0는 전도띠의 부피 단위당 전자 수이다. 정공의 경우, p_0는 원자가띠의 부피 단위당 정공 수이다. 전자의 이 수를 계산하기 위해, 전도띠 전자의 총 밀도 n_0는 띠 바닥 E_c에서 띠 상단 E_\text{top}까지 띠 내의 다른 에너지에 걸친 전도 전자 밀도의 합으로 결정된다고 가정한다. n_0 = \int_{E_c}^{E_\text{topN(E) \, dE 전자는 페르미온이므로, 특정 에너지 N(E)에서의 전도 전자의 밀도는 가능한 전도 상태의 수, 즉 상태 밀도 g(E)와 실제로 전자를 가질 상태의 비율을 알려주는 페르미-디랙 분포 f(E)의 곱이다. N(E) = g(E) f(E) 계산을 단순화하기 위해 전자를 페르미-디랙 분포에 따라 페르미온으로 취급하는 대신, 맥스웰-볼츠만 분포로 주어지는 고전적인 비상호작용 기체로 취급한다. 이 근사는 |E-E_f| \gg k_\text{B} T일 때 무시할 수 있는 영향을 미치며, 이는 상온 근처의 반도체에 해당한다. 이 근사는 매우 낮은 온도 또는 극히 작은 띠 간격에서는 유효하지 않다. f(E)=\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_f}{k_\text{B} T \approx e^{-\frac{E-E_f}{k_\text{B} T 3차원 상태 밀도는 다음과 같다:g(E) = \frac {1}{2\pi^2} \left(\frac{2m^*}{\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}\sqrt{E - E_0} 조합 및 단순화 후, 이 표현들은 다음으로 이어진다. n_0 = 2 \left(\frac{ m^* k_\text{B} T}{2 \pi \hbar^2}\right)^{3/2} e^{-\frac{E_c - E_f}{k_\text{B} T 여기서 m^*는 해당 반도체 내 전자의 유효 질량이며, E_c-E_f는 전도띠와 페르미 준위 사이의 에너지 차이로, 띠 간격 E_g의 절반이다. E_g=2(E_c-E_f) 정공에 대해서도 유사한 표현을 도출할 수 있다. 운반자 농도는 띠간격을 가로질러 앞뒤로 움직이는 전자를 화학의 가역 반응 평형과 유사하게 취급하여 계산할 수 있으며, 이는 전자 질량 작용 법칙으로 이어진다. 질량 작용 법칙은 고유 운반자 농도라고 불리는 n_i라는 양을 정의하는데, 도핑되지 않은 재료의 경우 다음과 같다. n_i=n_0=p_0 다음 표는 띠 간격이 증가하는 순서대로 진성 반도체의 고유 운반자 농도 몇 가지 값을 나열한다. {|class=wikitable !재료 !300K에서의 운반자 밀도 (1/cm3) |- |저마늄isbn=978-3-540-42876-3 |e=13 |- |규소hdl-access=free |e=9 |- |갈륨 비소chapter = Gallium arsenide (GaAs), intrinsic carrier concentration, electrical and thermal conductivity |e=6 |- |3C-SiCisbn=9780128114070 |e=1 |- |6H-SiC |e=-6 |- |4H-SiC |e=-9 |- |질화 갈륨 |e=-10 |- |다이아몬드 |e=-27 |} 이러한 운반자 농도는 이러한 재료가 도핑되면 달라질 것이다. 예를 들어, 순수 규소에 소량의 인을 도핑하면 전자의 운반자 밀도 n이 증가한다. 그러면 n > p이므로 도핑된 규소는 n형 불순물 반도체가 된다. 순수 규소에 소량의 붕소를 도핑하면 정공의 운반자 밀도가 증가하므로 p > n이 되고, 이는 p형 불순물 반도체가 된다.
# 금속
운반자 밀도는 금속에도 적용되며, 간단한 드루드 모형으로 추정할 수 있다. 이 경우 운반자 밀도(이 맥락에서는 자유 전자 밀도라고도 함)는 다음과 같이 추정할 수 있다.pages=4–5 n=\frac{N_\text{A} Z \rho_m}{m_a} 여기서 N_\text{A}는 아보가드로 상수, Z는 원자가 전자 수, \rho_m은 재료의 밀도, m_a는 원자 질량이다. 금속은 여러 산화수를 나타낼 수 있으므로, 원소 형태로 원소에 몇 개의 "원자가 전자"가 있어야 하는지에 대한 정확한 정의는 다소 임의적이지만, 다음 표는 애쉬크로프트와 머민에서 제공하는 자유 전자 밀도를 나열한다. 이는 타당한 원자가(Z) 가정과 실험적인 결정학 데이터로 계산된 질량 밀도(\rho_m)를 기반으로 위의 공식을 사용하여 계산되었다. {|class="wikitable sortable" !재료 !원자가 전자 수 !300K에서의 운반자 밀도 (1/cm3) |- |구리 | 1 |e=22 |- |은 |1 |e=22 |- |금 |1 |e=22 |- |베릴륨 |2 |e=23 |- |마그네슘 |2 |e=22 |- |칼슘 |2 |e=22 |- |스트론튬 |2 |e=22 |- |바륨 |2 |e=22 |- |나이오븀 |1 |e=22 |- |철 |2 |e=23 |- |망가니즈 |2 |e=23 |- |아연 |2 |e=23 |- |카드뮴 |2 |e=22 |- |알루미늄 |3 |e=23 |- |갈륨 |3 |e=23 |- |인듐 |3 |e=23 |- |탈륨 |3 |e=23 |- |주석 |4 |e=23 |- |납 |4 |e=23 |- |비스무트 |5 |e=17 |- |안티모니 |5 |e=23 |} 홀 효과 등으로 추론된 금속의 n 값은 종종 같은 자릿수에 속하지만 이 간단한 모델은 운반자 밀도를 매우 높은 정확도로 예측할 수는 없다.
# 측정
전하 운반자 밀도는 많은 경우 홀 효과를 사용하여 결정할 수 있으며url-access = subscription 그 전압은 운반자 밀도에 반비례한다.