다윈 라그랑지언

**다윈 라그랑지언**(Darwin Lagrangian, 박물학자 찰스 다윈의 손자인 찰스 갤턴 다윈의 이름을 따서 명명됨)은 진공 상태에서 두 대전 입자 사이의 상호작용을 v^2/c^2 차수까지 기술하며, 여기서 c는 빛의 속력이다. 이는 양자역학의 출현 이전에 도출되었으며, 원자 내 전자의 고전적 전자기 상호작용에 대한 보다 상세한 조사의 결과이다. 보어 모형으로부터 전자는 빛의 속도에 가까운 속도로 움직여야 한다는 것이 알려졌다. C.G. Darwin, The Dynamical Motions of Charged Particles, Philosophical Magazine **39**, 537-551 (1920). 두 상호작용 입자에 대한 완전한 라그랑지언은 다음과 같다. L = L_\text{f} + L_\text{int}, 여기서 자유 입자 부분은 다음과 같다. L_\text{f} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{8c^2} m_1 v_1^4 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 + \frac{1}{8c^2} m_2 v_2^4, 상호작용은 다음으로 기술된다. L_\text{int} = L_\text{C} + L_\text{D}, 여기서 가우스단위계에서의 쿨롱 상호작용은 다음과 같다. L_\text{C} = -\frac{q_1 q_2}{r}, 반면 다윈 상호작용은 다음과 같다. L_\text{D} = \frac{q_1 q_2}{r} \frac{1}{2c^2} \mathbf v_1 \cdot \left[\mathbf 1 + \hat\mathbf{r} \hat\mathbf{r}\right] \cdot \mathbf v_2. 여기서 q1 및 q2는 각각 입자 1과 2의 전하이고, m1 및 m2는 입자의 질량이며, **v**1 및 **v**2는 입자의 속도이고, c는 빛의 속력이며, **r**은 두 입자 사이의 벡터이고, \hat\mathbf r은 **r** 방향의 단위 벡터이다. 첫 번째 부분은 두 상대론적 입자의 자유 라그랑지언을 v에 대한 2차항까지 테일러 급수로 전개한 것이다. 다윈 상호작용 항은 한 입자가 다른 입자에 의해 생성된 자기장에 반응하기 때문에 발생한다. v/c의 고차항이 유지된다면, 장의 자유도를 고려해야 하며, 상호작용은 더 이상 입자들 사이에서 즉각적으로 일어난다고 볼 수 없다. 이 경우 지연 효과를 고려해야 한다.isbn=047130932Xpp=596–598
# 진공에서의 유도
전하 q를 가진 입자가 전자기장과 상호작용하는 상대론적 라그랑지언은 다음과 같다.pp=580–581 L_\text{int} = -q\Phi + \frac{q}{c} \mathbf u \cdot \mathbf A, 여기서 **u**는 입자의 상대론적 속도이다. 우변의 첫 번째 항은 쿨롱 상호작용을 생성한다. 두 번째 항은 다윈 상호작용을 생성한다. 쿨롱 게이지에서 벡터 퍼텐셜은 다음으로 기술된다.242 \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = -\frac{4\pi}{c} \mathbf J_t 여기서 횡방향 전류 **J**t는 두 번째 입자에 의해 생성된 솔레노이드 전류이다. 횡방향 전류의 발산 (벡터)은 0이다. 두 번째 입자에 의해 생성된 전류는 다음과 같다. \mathbf J = q_2 \mathbf v_2 \delta{\left( \mathbf r - \mathbf r_2 \right)}, 이는 푸리에 변환을 가진다. \mathbf J\left( \mathbf k \right) \equiv \int d^3r \exp\left( -i\mathbf k \cdot \mathbf r \right) \mathbf J\left( \mathbf r \right) = q_2 \mathbf v_2 \exp\left( -i\mathbf k \cdot \mathbf r_2 \right). 전류의 횡방향 성분은 다음과 같다. \mathbf J_t ( \mathbf k) = q_2 \left[ \mathbf 1 - \hat\mathbf{k} \hat\mathbf{k} \right] \cdot \mathbf v_2 e^{-i\mathbf k \cdot \mathbf r_2}. 다음은 쉽게 확인할 수 있다. \mathbf k \cdot \mathbf J_t ( \mathbf k) = 0, 이는 횡방향 전류의 발산이 0일 경우에 해당한다. 우리는 \mathbf J_t ( \mathbf k ) 가 푸리에 변환된 전류 중 **k**에 수직인 성분임을 알 수 있다. 벡터 퍼텐셜 방정식으로부터 벡터 퍼텐셜의 푸리에 변환은 다음과 같다. \mathbf A \left( \mathbf k \right) = \frac{4\pi}{c} \frac{q_2}{k^2} \left[ \mathbf 1 - \hat\mathbf{k} \hat\mathbf{k} \right] \cdot \mathbf v_2 e^{-i\mathbf k \cdot \mathbf r_2} 여기서 우리는 v/c의 가장 낮은 차수 항만 유지했다. 벡터 퍼텐셜의 역 푸리에 변환은 다음과 같다. \mathbf A \left( \mathbf r \right) =\int \frac{ d^3 k}{\left ( 2 \pi \right ) ^3 } \; \mathbf A ( \mathbf k ) \; e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r_1} = \frac{q_2}{2c} \frac{1}{r} \left[\mathbf 1 + \hat\mathbf{r} \hat\mathbf{r}\right] \cdot \mathbf v_2 여기서 \mathbf r = \mathbf r_1 - \mathbf r_2 (Common integrals in quantum field theory#Transverse potential with mass 참조). 라그랑지언의 다윈 상호작용 항은 다음과 같다. L_\text{D} = \frac{q_1 q_2}{r} \frac{1}{2c^2} \mathbf v_1 \cdot \left[\mathbf 1 + \hat\mathbf r \hat\mathbf r\right] \cdot \mathbf v_2 여기서 우리는 v/c의 가장 낮은 차수 항만 다시 유지했다.
# 라그랑주 운동 방정식
입자 중 하나에 대한 운동 방정식은 다음과 같다. \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \mathbf v_1} L\left( \mathbf r_1 , \mathbf v_1 \right) = \nabla_1 L\left( \mathbf r_1 , \mathbf v_1 \right) \frac{d \mathbf p_1}{dt} = \nabla_1 L\left( \mathbf r_1 , \mathbf v_1 \right) 여기서 **p**1은 입자의 운동량이다.
## 자유 입자
두 입자 간의 상호작용을 무시한 자유 입자의 운동 방정식은 다음과 같다. \frac{d}{dt} \left[ \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{v_1^2}{c^2} \right)m_1 \mathbf v_1 \right] = 0 \mathbf p_1 = \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{v_1^2}{c^2} \right)m_1 \mathbf v_1
## 상호작용하는 입자
상호작용하는 입자의 경우 운동 방정식은 다음과 같다. \frac{d}{dt} \left[ \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{v_1^2}{c^2} \right)m_1 \mathbf v_1 + \frac{q_1}{c} \mathbf A\left( \mathbf r_1 \right) \right] = \- \nabla \frac{q_1 q_2}{r} \+ \nabla \left[ \frac{q_1 q_2}{r} \frac{1}{2c^2} \mathbf v_1 \cdot \left[\mathbf 1 + \hat\mathbf r \hat\mathbf r\right] \cdot \mathbf v_2 \right] \frac{d \mathbf p_1}{dt} = \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\mathbf r} \+ \frac{q_1 q_2}{r^2} \frac{1}{2c^2} \left\\{ \mathbf v_1 \left( { \hat\mathbf{r} \cdot \mathbf v_2} \right) \+ \mathbf v_2 \left( { \hat\mathbf{r} \cdot \mathbf v_1}\right) \- \hat\mathbf{r} \left[ \mathbf v_1 \cdot \left( \mathbf 1 +3 \hat\mathbf{r} \hat\mathbf{r}\right)\cdot \mathbf v_2\right] \right\\} \mathbf p_1 = \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{v_1^2}{c^2} \right)m_1\mathbf v_1 \+ \frac{q_1}{c} \mathbf A\left( \mathbf r_1 \right) \mathbf A \left( \mathbf r_1 \right) = \frac{q_2}{2c} \frac{1}{r} \left[\mathbf 1 + \hat\mathbf r \hat\mathbf r\right] \cdot \mathbf v_2 \mathbf r = \mathbf r_1 - \mathbf r_2
# 진공에서 두 입자에 대한 해밀토니안
진공에서 두 입자에 대한 다윈 해밀토니안은 르장드르 변환으로 라그랑지언과 관련된다. H = \mathbf p_1 \cdot \mathbf v_1 + \mathbf p_2 \cdot \mathbf v_2 - L. 해밀토니안은 다음과 같다. H\left( \mathbf r_1 , \mathbf p_1 ,\mathbf r_2 , \mathbf p_2 \right)= \left( 1 - \frac{1}{4} \frac{p_1^2}{m_1^2 c^2} \right) \frac{p_1^2}{2 m_1} \; + \; \left( 1 - \frac{1}{4} \frac{p_2^2}{m_2^2 c^2} \right) \frac{p_2^2}{2 m_2} \; + \; \frac{q_1 q_2}{r} \; - \; \frac{q_1 q_2}{r} \frac{1}{2m_1 m_2 c^2} \mathbf p_1\cdot \left[\mathbf 1 + \mathbf{\hat r} \mathbf{\hat r}\right] \cdot\mathbf p_2 . 이 해밀토니안은 두 입자 사이의 상호작용 에너지를 제공한다. 최근 입자 속도로 표현될 때 마지막 항에서 단순히 \mathbf{p} = m\mathbf{v} 를 설정하고 부호를 반전시켜야 한다고 주장되었다. K.T. McDonald, Darwin Energy Paradoxes, Princeton University (2019).
## 운동 방정식
해밀턴 운동 방정식은 다음과 같다. \mathbf v_1 = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p_1} 그리고 \frac{d \mathbf p_1}{dt} = -\nabla_1 H , 이는 다음을 산출한다. \mathbf v_1 = \left( 1- \frac{1}{2} \frac{p_1^2}{m_1^2 c^2} \right) \frac{\mathbf p_1}{m_1} \- \frac{q_1 q_2}{2m_1m_2 c^2} \frac{1}{r} \left[\mathbf 1 + \hat\mathbf r \hat\mathbf r\right] \cdot \mathbf p_2 그리고 \frac{d \mathbf p_1}{dt} = \frac{q_1 q_2}{r^2}{\hat{\mathbf r \; + \; \frac{q_1 q_2}{r^2} \frac{1}{2m_1 m_2 c^2} \left\\{ \mathbf p_1 \left( { {\hat{\mathbf r\cdot \mathbf p_2} \right) \+ \mathbf p_2 \left( { {\hat{\mathbf r\cdot \mathbf p_1}\right) \- {\hat{\mathbf r \left[ \mathbf p_1 \cdot \left( \mathbf 1 +3 {\hat{\mathbf r{\hat{\mathbf r\right)\cdot \mathbf p_2\right] \right\\}
# 양자 전기역학
다윈 상호작용의 구조는 양자 전기역학에서도 명확하게 나타나며, 섭동 이론의 최저 차수에서 광자 교환에 의해 발생한다. 파동 벡터 kμ = (ω /c, **k**),인 사차원 운동량 pμ = ħkμ를 가진 광자의 쿨롱 게이지에서의 전파 인자는 두 가지 성분을 가진다. V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii, Relativistic Quantum Theory, Pergamon Press, Oxford (1971). : D_{00}(k) = {1\over \mathbf{k}^2} 는 두 대전 입자 사이의 쿨롱 상호작용을 제공하고, 반면 : D_{ij}(k) = {1\over \omega^2 - c^2\mathbf{k}^2} \left( \delta_{ij} - {k_i k_j\over \mathbf{k}^2}\right) 는 횡방향 광자의 교환을 설명한다. 이는 편광 벡터 \mathbf{e}_\lambda 를 가지며 전하 q 와 삼차원 운동량 \mathbf{p} 를 가진 입자와 \- q\sqrt{4\pi}\,\mathbf{e}_\lambda\cdot\mathbf{p}/m. 의 세기로 결합한다. 이 게이지에서는 \mathbf{e}_\lambda\cdot\mathbf{k} = 0 이므로 광자가 입자와 결합하기 전후에 입자 운동량을 사용해도 상관없다. 두 입자 사이의 광자 교환에서, 여기 필요한 v^2/c^2 정확도까지 작동하는 전파 인자에서 주파수 \omega 를 c\mathbf{k} 에 비해 무시할 수 있다. 그러면 전파 인자의 두 부분이 함께 유효 해밀토니안을 제공한다. : H_{int}(\mathbf{k}) = {4\pi q_1 q_2\over \mathbf{k}^2 } - {4\pi q_1 q_2\over m_1m_2c^2 \mathbf{k}^2} \mathbf{p}_1\cdot \left( \mathbf 1 - \hat\mathbf{k} \hat\mathbf{k} \right) \cdot \mathbf{p}_2 는 **k**-공간에서의 상호작용에 대한 것이다. 이는 이제 고전적 결과와 동일하며 이 유도에서 사용된 양자 효과의 흔적은 없다. 디랙 입자와 스핀 1=s = 1/2이 결합할 때도 유사한 계산을 수행할 수 있으며, 브라이트 방정식의 유도에 사용된다. 이는 동일한 다윈 상호작용을 제공하지만 스핀 자유도를 포함하고 플랑크 상수에 의존하는 추가 항도 제공한다.