회전면

z-축을 중심으로 회전한 모습 대각선 중 하나와 평행한 축을 중심으로 회전하는 정사각형으로 형성된 원환면 **회전면**(surface of revolution)은 유클리드 공간에서 곡선 (생성선)을 회전축 (일반적으로 끝점을 제외하고는 생성선과 교차하지 않음)을 중심으로 한 바퀴 회전시켜 생성되는 곡면이다.page=378 이 회전으로 생성된 곡면으로 둘러싸인 부피는 회전체이다. 직선으로 생성된 회전면의 예로는 직선이 축에 평행한지 여부에 따라 원기둥 및 원추표면이 있다. 지름 주위로 회전하는 원은 대원이 되는 구를 생성하고, 원의 내부와 교차하지 않는 축 주위로 원이 회전하면 자체적으로 교차하지 않는 원환면 (환형 원환면)을 생성한다.
# 속성
축을 통과하는 평면에 의해 생성된 회전면의 단면을 자오선 단면이라고 한다. 모든 자오선 단면은 그 단면과 축에 의해 결정되는 평면의 생성선으로 간주될 수 있다. 축에 수직인 평면에 의해 생성된 회전면의 단면은 원이다. 쌍곡면 (한 장 또는 두 장)과 타원 포물면의 일부 특수한 경우는 회전면이다. 이들은 축에 수직인 모든 단면이 원형인 2차 곡면으로 식별될 수 있다.
# 넓이 공식
곡선이 매개변수 함수 x(t), y(t)로 설명되고, t가 어떤 구간 [a,b]에 걸쳐 있으며, 회전축이 y-축인 경우, 겉넓이 Ay는 다음 적분으로 주어진다. A_y = 2 \pi \int_a^b x(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt, 이때 x(t)는 끝점 a와 b 사이에서 음수가 아니다. 이 공식은 파푸스의 중심 정리의 미적분학적 등가물이다.LCCN=69016407 다음 양 \sqrt{ \left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2 } \, dt 은 피타고라스 정리에서 유래하며, 곡선의 길이 공식에서처럼 곡선 호의 작은 부분이다. 양 2πx(t)는 파푸스의 정리에 따라 이 작은 부분 (의 무게중심)의 경로이다. 마찬가지로, 회전축이 x-축이고 y(t)가 음수가 아닌 경우, 넓이는 다음으로 주어진다.url=https://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC&pg;=SA6-PA90 A_x = 2 \pi \int_a^b y(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt. 연속 곡선이 함수 1=y = f(x), a ≤ x ≤ b로 설명되면, 적분은 다음과 같다. A_x = 2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2} \, dx x-축을 중심으로 회전하는 경우, 그리고 A_y =2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx y-축을 중심으로 회전하는 경우 (a ≥ 0일 때). 이 공식들은 위 공식에서 파생된다.url=https://archive.org/details/calculuswithanal00swok/page/617 이것은 다변수 적분에서도 유도할 수 있다. 평면 곡선이 \langle x(t), y(t) \rangle로 주어지면, x-축을 중심으로 회전할 때 해당하는 회전면은 0 \leq \theta \leq 2\pi인 \mathbf{r}(t, \theta) = \langle y(t)\cos(\theta), y(t)\sin(\theta), x(t)\rangle로 주어진 데카르트 좌표를 갖는다. 그러면 표면적은 면적분으로 주어진다. A_x = \iint_S dS = \iint_{[a, b] \times [0, 2\pi]} \left\|\frac{\partial \mathbf{r{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r{\partial \theta}\right\|\ d\theta\ dt = \int_a^b \int_0^{2\pi} \left\|\frac{\partial \mathbf{r{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r{\partial \theta}\right\|\ d\theta\ dt. 편미분을 계산하면 \frac{\partial \mathbf{r{\partial t} = \left\langle \frac{dy}{dt} \cos(\theta), \frac{dy}{dt} \sin(\theta), \frac{dx}{dt} \right\rangle, \frac{\partial \mathbf{r{\partial \theta} = \langle -y \sin(\theta), y \cos(\theta), 0 \rangle 이고, 벡터곱을 계산하면 \frac{\partial \mathbf{r{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r{\partial \theta} = \left\langle y \cos(\theta)\frac{dx}{dt}, y \sin(\theta)\frac{dx}{dt}, y \frac{dy}{dt} \right\rangle = y \left\langle \cos(\theta)\frac{dx}{dt}, \sin(\theta)\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right\rangle 여기서 삼각 함수 항등식 \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1이 사용되었다. 이 벡터곱으로 다음을 얻는다. \begin{align} A_x &= \int_a^b \int_0^{2\pi} \left\|\frac{\partial \mathbf{r{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r{\partial \theta}\right\|\ d\theta\ dt \\\\[1ex] &= \int_a^b \int_0^{2\pi} \left\|y \left\langle y \cos(\theta)\frac{dx}{dt}, y \sin(\theta)\frac{dx}{dt}, y \frac{dy}{dt} \right\rangle \right\|\ d\theta\ dt \\\\[1ex] &= \int_a^b \int_0^{2\pi} y \sqrt{\cos^2(\theta)\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \sin^2(\theta)\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\ d\theta\ dt \\\\[1ex] &= \int_a^b \int_0^{2\pi} y \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2}\ d\theta\ dt \\\\[1ex] &= \int_a^b 2\pi y \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2}\ dt \end{align} 여기서 같은 삼각 함수 항등식이 다시 사용되었다. y-축을 중심으로 회전하여 얻은 표면의 유도도 비슷하다. 예를 들어, 단위 반경의 구면은 t가 [0,π] 범위에 있을 때 곡선 1=y(t) = sin(t), 1=x(t) = cos(t)에 의해 생성된다. 따라서 넓이는 다음과 같다. \begin{align} A &{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\big(\cos(t)\big)^2 + \big(\sin(t)\big)^2} \, dt \\\ &{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt \\\ &{}= 4\pi. \end{align} 반경 r의 구형 곡선, r2 − x2가 x-축 주위로 회전하는 경우 \begin{align} A &= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2\,dx \\\ &= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,\sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{1}{r^2 - x^2\,dx \\\ &= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,dx \\\ &= 4 \pi r^2\, \end{align} 최소 회전면은 주어진 두 점 사이의 곡선 중 표면적을 최소화하는 곡선의 회전면이다.title=Minimal Surface of Revolution 변분법의 기본 문제는 이 최소 회전면을 생성하는 두 점 사이의 곡선을 찾는 것이다. 회전면인 동시에 최소 곡면인 최소 회전면은 평면과 현수면의 두 가지뿐이다.title=Catenoid
# 좌표 표현
y = f(x)로 설명되는 곡선을 x-축을 중심으로 회전하여 생성된 회전면은 y^2+z^2 = f(x)^2으로 가장 간단하게 설명될 수 있다. 이는 x와 \theta에 대한 매개변수화로 (x,f(x) \cos(\theta), f(x) \sin(\theta))를 생성한다. 만약 대신 y-축을 중심으로 곡선을 회전시킨다면, 곡선은 y = f(\sqrt{x^2+z^2})로 설명되며, 매개변수 x와 \theta에 대해 (x \cos(\theta), f(x), x \sin(\theta))라는 표현을 생성한다. x와 y가 매개변수 t로 정의되면, 우리는 t와 \theta에 대한 매개변수화를 얻는다. 만약 x와 y가 t의 함수라면, 곡선을 x-축을 중심으로 회전하여 얻은 회전면은 (x(t),y(t)\cos(\theta), y(t)\sin(\theta))로 설명되고, y-축을 중심으로 회전하여 얻은 회전면은 (x(t)\cos(\theta),y(t),x(t)\sin(\theta) )로 설명된다.
# 측지선
자오선은 항상 회전면의 측지선이다. 다른 측지선은 클레로 관계식의 지배를 받는다.Pressley, Andrew. “Chapter 9 - Geodesics.” Elementary Differential Geometry, 2nd ed., Springer, London, 2012, pp. 227–230.
# 원환체
원환체 정사각형으로 생성된 원환체 회전축이 표면과 교차하지 않는 구멍이 있는 회전면을 원환체라고 한다.Toroid 예를 들어, 직사각형을 한 변과 평행한 축을 중심으로 회전시키면 속이 빈 사각형 단면의 고리가 생성된다. 회전하는 도형이 원이면 그 물체를 원환면이라고 한다.