초월수론

**초월수론**은 초월수 ( 유리 계수 다항 방정식의 해가 아닌 수)를 정성적, 정량적 방법으로 연구하는 수론의 한 분야이다.
# 초월성
대수학의 기본 정리에 따르면 유리 계수를 갖는 비 상수 다항식 (또는 동등하게 정수 계수를 갖는 다항식)은 복소해를 가진다. 즉, 상수가 아닌 유리 계수 다항식P에 대해서 P(\alpha)=0를 만족하는 복소수\alpha가 언제나 존재한다. 초월수론은 다음의 역 질문과 관련이 있다. 임의의 복소수\alpha가 주어진 경우, P(\alpha)=0를 만족하는 유리 계수 다항식P가 존재하는가? 그러한 다항식이 존재하지 않으면 그러한 수\alpha를 초월수라고 한다. 더 일반적으로 이 이론은 숫자들의 대수적 독립성을 다룬다. 숫자 집합\\{ \alpha_1, \dots,\alpha_{n} \\}는 *K* 계수 *n* 변수의 0이 아닌 다항식 *P* 가 없고 *P* (α 1, α 2, …, α *n* ) = 0인 경우 체*K* 에 대해 대수적 독립이라고 한다. 따라서 주어진 숫자가 초월수인지 아닌지 알아내는 것은 체 *K* 는 유리수체이고, *n= 1*인 대수적 독립의 특수한 경우이다. 이와 관련된 개념으로는 지수, 로그, 대수 연산을 포함하여 숫자에 대한 폐쇄형 표현식이 있는지 여부가 있다. "폐쇄형"에 대한 정의는 다양하며, 폐쇄형에 대한 질문은 종종 초월성에 대한 질문으로 축소될 수 있다.
# 역사

## 유리수에 의한 근사: Liouville에서 Roth까지
대수적이지 않은 대상을 지칭하기 위해 *초월적*이라는 용어를 사용하는 것은 17세기로 거슬러 올라가는데, 그때 고트프리트 라이프니츠가 사인 함수가 대수 함수가 아니라는 것을 증명했다.N. Bourbaki, *Elements of the History of Mathematics* Springer (1994). 어떤 종류의 수들이 초월수일 수 있는지에 대한 질문은 1748년으로 거슬러 올라가는데p=2. 당시 오일러는 유리수 *b*가 어떤 유리수 *a* 와 *c*에 대해 b=a^{c}의 형태가 아닌 한 log *a* *b* 라는 수는 유리수 *a*와 *b* 에 대해 대수적이지 않다고 주장했다.위치=Lausanne 오일러의 주장은 20세기까지 증명되지 않았지만 그의 주장 후 거의 100년 후에 조제프 리우빌(Joseph Liouville)은 대수적이지 않은 숫자의 존재를 증명했는데, 이는 그때까지 확실히 알려지지 않았던 사실이었다.The existence proof based on the different cardinalities of the real and the algebraic numbers was not possible before Cantor's first set theory article in 1874. 1840년대에 이 문제에 관해 쓴 원래 논문에서는 연분수를 사용하여 초월수를 구성하는 주장을 개략적으로 설명했다. 그 후 1850년대에 그는 숫자가 대수적일 수 있는 필요조건을 제시했으며, 따라서 숫자가 초월적일 수 있는 충분조건도 제시했다.쪽=883–885, 910–911; *Journal Math. Pures et Appl.* **16**, (1851), pp.133–142. 이 초월성 기준은 충분히 강하지 않아서 필요한 것은 아니며, 실제로 숫자 *e*가 초월수라는 사실을 증명하지 못한다. 그러나 그의 연구는 광범위한 초월수들의 집합을 제시했으며, 이는 그의 명예를 기리기 위해 리우빌 수로 알려져 있다. 리우빌의 기준은 본질적으로 대수적 수가 유리수에 의해 잘 근사될 수 없다는 것을 말한다. 그러므로 어떤 수가 유리수에 의해 아주 잘 근사될 수 있다면 그 수는 초월수여야 한다. 리우빌의 작업에서 "매우 잘 근사화됨"의 정확한 의미는 특정 지수와 관련이 있다. 그는 α가 2보다 큰 *d* 차의 대수적 수이고, ε가 임의의 양수이면 다음의 부등호 표현: : \left|\alpha-\frac{p}{q}\right| F(A,d) 여기서 우변 F는 모든 *P* ≠ 0에 대해 *P* 의 계수의 크기를 측정하는 *A* 와 그 차수 *d* 에 따라 달라지는 양함수이다. 이러한 하한을 **초월 측도**라고 한다. *d*= 1의 경우는 다음의 하한을 요구하는 "고전적" 디오판토스 근사이다. : |ax + b| . 초월수론과 디오판토스 근사법은 많은 공통점을 가지고 있다. 둘 다 보조 함수의 개념을 사용한다는 것이다.
# 주요 결과
겔폰트-슈나이더 정리는 1900년~1950년대 초월수론의 주요 발전이었다. 1960년대에 대수적 수들의 로그의 선형 결합에 관한 앨런 베이커의 방법이 수많은 고전적 문제와 디오판토스 방정식에 응용을 가져다주면서 초월수론을 재 부흥시켰다.
# 말러의 분류
1932년에 쿠르트 말러(Kurt Mahler)는 초월수를 **S**, **T**, **U** 라는 3개 종류(클래스)로 나누었다.p=250. 이러한 클래스의 정의는 위에서 언급한 Liouville 수의 개념을 확장한 것이다.
## 실수의 무리 측도
리우빌 수를 정의하는 한 가지 방법은 주어진 실수 **x**가 선형 결합|qx-p| 를 0을 제외하고 얼마나 작게 만드는지 고려하는 것이다. 여기서 *p*, *q* 는 | *p* |, | *q* |가 양의 정수H를 상계로 가지는 정수이다. m(x, 1, H)을 위의 선형 결합이 x에서 취하는 0이 아닌 최솟값으로 하자. 그리고 다음을 고려해보자. : \omega(x, 1, H) = -\frac{\log m(x, 1, H)}{\log H} : \omega(x, 1) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega(x,1,H). ω(*x*, 1)를 주로 실수 x의 **무리 측도**라고 부른다. 유리수 x에 대해, ω(*x*, 1) = 0이며, 무리수에 대해선 최소 1이상의 값을 가진다. 리우빌 수는 무한의 무리 측도를 가진다. 로스(Roth)의 정리는 모든 대수적 수인 실 무리수는 무리 측도가 1이라는 걸 말해준다.
## 복소수의 초월 측도
다음으로, 복소수 *x* 에 대해 같은 방식으로 다항식의 최소 절댓값을 고려해 보겠다. 자연수*n*, *H*에 대해, 우리는 차수는 최대 *n* 이고, 높이는 최대 *H*인 정수 계수 다항식을 고려할 것이다. m(x, n, H)을 이러한 다항식이 x에서 취하는 0을 제외한 최소 절대값으로 정의하자. 그리고 다음을 고려해보자: : \omega(x, n, H) = -\frac{\log m(x, n, H)}{n\log H} : \omega(x, n) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega(x,n,H). \omega(x,n) 이 어떤 자연수n에 대해 무한한 경우, 복소수*x*를 차수n의 **U 수**라고 정의한다. U수인 경우를 제외하면 이제 우리는 문제없이 다음을 정의할 수 있다. : \omega (x) = \limsup_{n\to\infty}\, \omega(x,n). ω( *x* )는 주로 x의 **초월 측도**라고 불린다. ω( *x*, *n* )이 유계이면 ω( *x* )는 유한하고 *x*를 **S 수** 라고 한다. ω( *x*, *n* )이 유한하지만 유계가 아닌 경우 *x*를 **T 수** 라고 한다. x가 대수적이라는 것은 ω( *x* )=0과 동치이다. 리우빌 수는 분명히 U 수의 하위 집합이다. 1953년에 William LeVeque는 모든 차수의 U 숫자를 구축했다.p=II:172. 리우빌 수 와 U 수는 비가산 집합이다. 그것은 측도 0의 집합이다.p=170. T 숫자는 또한 측도 0의 집합을 구성한다.p=172. T수가 존재한다는 사실이 드러나기까지 약 35년이 걸렸다. 1968년에 볼프강 M. 슈미트(Wolfgang M. Schmidt)는 그러한 사례가 존재한다는 것을 보여주었다. 그러나 거의 모든 복소수는 S수이다.p=251. Mahler는 지수 함수가 모든 0이 아닌 대수적 수를 S수로 보낸다는 것을 증명했다.pp=II:174–186.p=182. 이는 *e*가 S수임을 보여주고 Pi 의 초월성을 증명한다. Pi는 U 수가 아닌 것으로 알려져 있다. 1975 그 밖의 많은 초월수는 아직 분류되지 않은 상태이다. 두 수 *x*, *y*는 0이 아닌 어떤 정수 계수 이변수 다항식*P*이 *P*(*x*, y)=0를 만족하는 경우 **대수적으로 종속**이라고 한다. 대수적으로 종속된 두 복소수는 동일한 Mahler 클래스에 속한다는 강력한 정리가 있다.p=II:172.p=163. 이를 통해 *e* 또는 Pi와 Liouville 수의 합과 같은 새로운 초월수의 구성이 가능해진다. 기호 S는 아마도 말러의 스승인 칼 루트비히 지겔(Carl Ludwig Siege)의 이름을 뜻하는 것이고, T와 U는 바로 그 다음 두 글자일 뿐이다.
## Koksma의 분류법
1939년에 Jurjen Koksma는 대수적 수에 의한 근사를 기반으로 한 또 다른 분류를 제안했다.p=250.p=87. 차수 n이하, 높이 H 이하인 대수적 수들에 의한 복소수 x의 근사를 고려해보자. 또한 차수 n이하, 높이 H 이하인 대수적 수 \alpha를 | x- \alpha |를 최소로 하는 수로 잡도록 하자. (차수 n이하, 높이 H 이하인 대수적 수들의 집합은 유한 집합이므로 언제나 가능하다.) ω*(*x*, *H*, *n*) 와 ω*(*x*, *n*)를 다음을 만족하도록 정의한다. : |x-\alpha| = H^{-n\omega^*(x,H,n)-1}. : \omega^*(x,n) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega^*(x,n,H). 가장 작은 양의 정수 *n* 에 대해 ω*( *x*, *n* )이 무한대라면 *x*를 n 차수의 **U*-수** 라고 한다. ω*( *x*, *n* )이 유계이고 0으로 수렴하지 않을 때 *x*를 **S*-수** 라고 한다. ω*( *x*, *n* )이 0으로 수렴할 때 *x*를 **A*-수**라고 한다. ω*( *x*, *n* )이 모두 유한하지만 비 유계라면 *x를* **T*-수** 라고 한다. Koksma와 Mahler의 분류는 초월수를 동일한 계열로 구분한다는 점에서 동등하다.p=87. *A** 숫자는 대수적 수이다.p=251.
## LeVeque의 구성
다음을 생각하자. : \lambda= \tfrac{1}{3} + \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}. λ의 *n* 제곱근(Liouville 수)은 *n* 차 U 수임을 보일 수 있다.p=90. 이 구성은 차수 *n* 의 U-수의 비가산 집합족을 생성하도록 개선될 수 있다. *Z*를 λ의 무한 급수에서 등장하는 모든 10의 거듭제곱으로 구성된 집합으로 정의하자. *Z* 의 모든 부분집합의 집합은 비가산이다. λ의 무한 급수에서 *Z* 의 부분 집합을 삭제하면 셀 수 없이 많은 서로 다른 리우빌 수가 생성되는데, 그 *n* 제곱근은 차수 *n* 의 U 수이다.
## **유형(type)**
수열 {ω( *x*, *n* )}의 상한을 **유형(type)**이라고 한다. 거의 모든 실수는 1형 S 수이며, 이는 실 S 수에 대한 최소값이다. 거의 모든 복소수는 1/2형의 S수이며, 이는 역시 최소이다. 거의 모든 숫자라는 주장은 Mahler에 의해 추측되었으며 1965년에는 Vladimir Sprindzhuk에 의해 증명되었다.p=86.
# 미해결 문제들
겔폰트-슈나이더 정리는 많은 수의 종류가 초월수라는 것을 증명했지만, 이 종류는 여전히 가산이다. 잘 알려진 수학 상수 중 상당수는 아직 초월수로 알려지지 않았으며, 어떤 경우에는 유리수인지 무리수인지조차 알려지지 않았다. 일부 목록은 여기에서 확인할 수 있다. 초월수론의 주요 문제는 개별 수가 초월적임을 보여주는 것이 아니라 특정 숫자 집합이 대수적으로 독립적임을 보여주는 것이다. 따라서 우리는 *e* 와 *π*가 초월수라는 것을 알고 있지만 그것이 *e+π* 가 초월수라는 것을 의미하지는 않으며, 다른 방법 (예를 들어 e*π*) 으로 결합하여도 초월수임을 의미하지 않는다. (초월수로 알려진 겔폰트 상수 e^{\pi}는 예외) 또 다른 큰 문제는 지수 함수와 관련이 없는 숫자를 다루는 것이다. 초월수론의 주요 결과는 *e* 와 로그 함수를 중심으로 이루어지는 경향이 있는데, 이는 이 두 가지 대상을 이용한 기본적인 방식으로 표현할 수 없는 숫자를 처리하기 위해 완전히 새로운 방법이 필요하다는 것을 의미한다. 섀뉴얼의 추측은 대수적 독립성을 다루므로 이런 문제 중 첫 번째 문제를 어느 정도 해결할 수 있으며, 참으로 증명된다면 실제로 *e* + *π가* 초월수임을 확인할 것이다. 하지만 여전히 지수 함수를 중심으로 돌아가기 때문에 아페리 상수나 오일러-마스케로니 상수와 같은 숫자를 다루지는 않는다. 또 다른 극도로 어려운 미해결 문제는 소위 상수 문제 또는 항등성 문제이다.mr=0239976
# 참고문헌
* zbl=0297.10013 * zbl=1260.11001 * zbl=1092.11031 * zbl=0090.26103 * zbl=0144.04101 * isbn=978-0-486-42539-9 * zbl= * zbl= * zbl=0482.10047 * Alan Baker 와 Gisbert Wüstholz, *Logarithmic Forms and Diophantine Geometry*, New Mathematical Monographs **9**, Cambridge University Press, 2007, 수론 위키데이터 속성 추적 분류:초월수 분류:해석적 수론