J-적분

cTopic=고체역학 **J-적분**(J-integral)은 재료의 변형 에너지 방출률 또는 단위 파괴 표면적당 일(에너지)을 계산하는 방법을 나타낸다.Van Vliet, Krystyn J. (2006); "3.032 Mechanical Behavior of Materials" J-적분에 대한 이론적 개념은 1967년 G. P. 체레파노프G. P. Cherepanov, The propagation of cracks in a continuous medium, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 31(3), 1967, pp. 503–512.와 1968년 제임스 R. 라이스에 의해 독립적으로 개발되었으며,J. R. Rice, A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks, Journal of Applied Mechanics, 35, 1968, pp. 379–386. 이들은 에너지 경로 적분(J라고 함)이 균열 주변의 경로와 무관하다는 것을 보여주었다. 선형 탄성 파괴역학(LEFM)이 유효하기에는 너무 작은 시료 크기에서 임계 파괴 특성을 측정할 수 있도록 하는 적분을 사용하여 실험 방법이 개발되었다.Lee, R. F., & Donovan, J. A. (1987). J-integral and crack opening displacement as crack initiation criteria in natural rubber in pure shear and tensile specimens. Rubber chemistry and technology, 60(4), 674–688. 이러한 실험을 통해 모드 I 하중에서 전파 중 대규모 소성 항복이 발생하는 지점을 정의하는 파괴 에너지 JIc의 임계 값으로부터 파괴 인성을 결정할 수 있다.Meyers and Chawla (1999): "Mechanical Behavior of Materials," 445–448. J-적분은 단조함수 하중을 받는 물체의 균열에 대한 변형 에너지 방출률과 같다.Yoda, M., 1980, The J-integral fracture toughness for Mode II, Int. J. Fracture, 16(4), pp. R175–R178. 이는 일반적으로 준정적 조건에서 선형탄성 재료에 대해서만 해당된다. 균열 선단에서 작은 규모의 항복을 겪는 재료의 경우, J는 모드 III (반평면 전단)의 단조 하중과 같은 특별한 상황에서 에너지 방출률을 계산하는 데 사용될 수 있다. 또한, 균열 선단에서 작은 규모의 항복을 겪는 순수 멱법칙 경화 소성 재료의 경우 J로부터 변형 에너지 방출률을 계산할 수 있다. J 값은 탄성-소성 재료의 단조 모드 I 및 모드 II 하중의 경우 경로 독립적이지 않으므로, 균열 선단에 매우 가까운 윤곽선만이 에너지 방출률을 제공한다. 또한, 라이스는 비비례 하중이 없을 때 소성 재료에서 J가 경로 독립적이라는 것을 보여주었다. 하중 제거는 이의 특별한 경우이지만, 비비례 소성 하중 또한 경로 독립성을 무효화한다. 이러한 비비례 하중은 탄성-소성 재료에서 평면 내 하중 모드에 대한 경로 의존성의 원인이다.
# 2차원 J-적분
그림 1. 2차원에서 노치 주변의 선 J-적분 2차원 J-적분은 원래 다음과 같이 정의되었다. (그림 1 참조) : J := \int_\Gamma \left(W~\mathrm{d}x_2 - \mathbf{t}\cdot\cfrac{\partial\mathbf{u{\partial x_1}~\mathrm{d}s\right) = \int_\Gamma \left(W~\mathrm{d}x_2 - t_i\,\cfrac{\partial u_i}{\partial x_1}~\mathrm{d}s\right) 여기서 W(x1,x2)는 변형 에너지 밀도이고, x1,x2는 좌표 방향이며, **t** = [**σ****n**은 표면 마찰 벡터이고, **n**은 곡선 Γ에 대한 법선이며, [**σ**]는 코시 응력 텐서이고, **u**는 변위 벡터이다. 변형 에너지 밀도는 다음과 같다. : W = \int_0^{[\varepsilon]} [\boldsymbol{\sigma}]:d[\boldsymbol{\varepsilon}] ~;~~ [\boldsymbol{\varepsilon}] = \tfrac{1}{2}\left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T\right] ~. 균열 선단 주변의 J-적분은 종종 더 일반적인 형태url-status=bot: unknown (및 지수 표기법)로 표현된다. : J_i := \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\Gamma_\varepsilon} \left(W(\Gamma) n_i - n_j\sigma_{jk}~\cfrac{\partial u_k(\Gamma, x_i)}{\partial x_i}\right) \, d\Gamma 여기서 J_i는 x_i 방향으로 균열이 열리는 것에 대한 J-적분의 구성요소이고 \varepsilon는 균열 선단 주변의 작은 영역이다. 그린 정리를 사용하면 경계 \Gamma가 닫혀 있고 특이점을 포함하지 않으며 단일 연결된 영역을 둘러쌀 때 이 적분이 0임을 보일 수 있다. 균열 표면에 표면 마찰이 없으면 J-적분은 경로 독립적이다. 라이스는 또한 J-적분 값이 평면 균열 성장에 대한 에너지 방출률을 나타낸다는 것을 보여주었다. J-적분은 비선형 탄성 또는 탄성-소성 재료에서 균열에 가까운 변형력을 계산하는 데 어려움이 있었기 때문에 개발되었다. 라이스는 단조 하중(소성 하중 제거 없음)을 가정하면 J-적분을 소성 재료의 에너지 방출률을 계산하는 데도 사용할 수 있다는 것을 보여주었다. :{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" |- |J-적분의 경로 독립성을 보이기 위해 먼저 단순히 연결된 영역에서 닫힌 윤곽선에 대한 J 값이 0임을 보여야 한다. J_1에 대한 표현식을 살펴보자. : J_1 := \int_\Gamma \left(W n_1 - n_j\sigma_{jk}~\cfrac{\partial u_k}{\partial x_1}\right) \, d\Gamma 이를 다음과 같이 쓸 수 있다. : J_1 = \int_\Gamma \left(W \delta_{1j} - \sigma_{jk}~\cfrac{\partial u_k}{\partial x_1}\right)n_j \, d\Gamma 그린 정리 (또는 2차원 발산 정리)에 따라 다음과 같다. : \int_{\Gamma} f_j~n_j~d\Gamma = \int_A \cfrac{\partial f_j}{\partial x_j}~dA 이 결과를 사용하여 J_1을 다음과 같이 표현할 수 있다. : \begin{align} J_1 & = \int_A \cfrac{\partial}{\partial x_j}\left(W \delta_{1j} - \sigma_{jk}~\cfrac{\partial u_k}{\partial x_1}\right) dA \\\ & = \int_A \left[\cfrac{\partial W}{\partial x_1} - \cfrac{\partial\sigma_{jk{\partial x_j}~\cfrac{\partial u_k}{\partial x_1} - \sigma_{jk}~\cfrac{\partial^2 u_k}{\partial x_1 \partial x_j}\right]~dA \end{align} 여기서 A는 윤곽선 \Gamma로 둘러싸인 영역이다. 이제 **체력이 없는** 경우, 평형(선형 운동량 보존)은 다음과 같아야 한다. : \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{0} \qquad \implies \qquad \cfrac{\partial\sigma_{jk{\partial x_j} = 0 ~. 또한, : [\boldsymbol{\varepsilon}] = \tfrac{1}{2}\left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T\right] \qquad \implies \qquad \varepsilon_{jk} = \tfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial u_k}{\partial x_j} + \cfrac{\partial u_j}{\partial x_k}\right) ~. 따라서, : \sigma_{jk}\cfrac{\partial\varepsilon_{jk{\partial x_1} = \tfrac{1}{2}\left(\sigma_{jk}\cfrac{\partial^2 u_k}{\partial x_1 \partial x_j} + \sigma_{jk}\cfrac{\partial^2 u_j}{\partial x_1 \partial x_k}\right) 각운동량 평형으로부터 \sigma_{jk} = \sigma_{kj}이다. 따라서, : \sigma_{jk}\cfrac{\partial\varepsilon_{jk{\partial x_1} = \sigma_{jk}\cfrac{\partial^2 u_j}{\partial x_1 \partial x_k} J-적분은 다음과 같이 쓸 수 있다. : J_1 = \int_A \left[\cfrac{\partial W}{\partial x_1} - \sigma_{jk}~\cfrac{\partial\varepsilon_{jk{\partial x_1}\right]~dA 이제, 탄성 재료의 경우 응력은 저장 에너지 함수 W로부터 다음과 같이 유도될 수 있다. : \sigma_{jk} = \cfrac{\partial W}{\partial\varepsilon_{jk 그러면, 탄성 계수 텐서가 균질하다면, 연쇄 법칙을 사용하여 다음과 같다. : \sigma_{jk}~\cfrac{\partial\varepsilon_{jk{\partial x_1} = \cfrac{\partial W}{\partial\varepsilon_{jk~\cfrac{\partial\varepsilon_{jk{\partial x_1} = \cfrac{\partial W}{\partial x_1} 따라서, 균열이나 공극과 같은 탄성적 불균질성이 없는 단일 연결된 영역을 둘러싸는 닫힌 윤곽선에 대해 J_1 = 0 이다. |} :{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" |- |그림 2. 2차원에서 노치 주변의 적분 경로. 윤곽선 \Gamma = \Gamma_1 + \Gamma^{+} + \Gamma_2 + \Gamma^{-} 를 고려하자. 이 윤곽선은 닫혀 있고 단일 연결된 영역을 둘러싸므로, 윤곽선 주변의 J-적분은 0이다. 즉, : J = J_{(1)} + J^{+} - J_{(2)} - J^{-} = 0 균열 선단 주변의 시계 반대 방향 적분이 양의 부호를 갖는다고 가정한다. 이제, 균열 표면은 x_1 축에 평행하므로, 이 표면에서 법선 성분 n_1 = 0이다. 또한, 균열 표면은 마찰이 없으므로, t_k = 0 이다. 따라서, : J^{+} = J^{-} = \int_{\Gamma} \left(W n_1 - t_k~\cfrac{\partial u_k}{\partial x_1}\right) \, d\Gamma = 0 따라서, : J_{(1)} = J_{(2)} J-적분은 경로 독립적이다. |}
# J-적분과 파괴인성
등방성, 완벽하게 취성인, 선형 탄성 재료의 경우, 균열이 원래 방향에 대해 똑바로 전진하면 J-적분은 파괴인성과 직접적으로 관련될 수 있다. 평면 변형률의 경우, 모드 I 하중 조건에서 이 관계는 다음과 같다. : J_{\rm Ic} = G_{\rm Ic} = K_{\rm Ic}^2 \left(\frac{1-\nu^2}{E}\right) 여기서 G_{\rm Ic}는 임계 변형 에너지 방출률이고, K_{\rm Ic}는 모드 I 하중에서 파괴인성이고, \nu는 푸아송 비이고, E는 재료의 영률이다. 모드 II 하중의 경우, J-적분과 모드 II 파괴인성(K_{\rm IIc}) 사이의 관계는 다음과 같다. : J_{\rm IIc} = G_{\rm IIc} = K_{\rm IIc}^2 \left[\frac{1-\nu^2}{E}\right] 모드 III 하중의 경우, 관계는 다음과 같다. : J_{\rm IIIc} = G_{\rm IIIc} = K_{\rm IIIc}^2 \left(\frac{1+\nu}{E}\right)
# 탄성-소성 재료와 HRR 해
2차원 탄성-소성 재료의 균열 주변 J-적분 계산 경로. 허친슨, 라이스, 로젠그렌은 균열 선단에서 소성 영역의 크기가 균열 길이에 비해 작을 때 J가 비선형(멱법칙 경화) 탄성-소성 재료의 균열 선단에서 특이 응력 및 변형률 장을 특징짓는다는 것을 추가로 보여주었다. 허친슨은 W. 람베르그와 W. 오스굿이 제안한 형태의 재료 구성 법칙을 사용했다. :\frac{\varepsilon}{\varepsilon_y}=\frac{\sigma}{\sigma_y}+\alpha\left(\frac{\sigma}{\sigma_y}\right)^n 여기서 σ는 일축 인장에서의 응력이고, σy는 항복 응력이고, ε는 변형률이며, εy = σy/E는 해당 항복 변형률이다. 양 E는 재료의 탄성 영률이다. 이 모델은 재료의 무차원 상수 α와 가공 경화 계수 n으로 매개변수화된다. 이 모델은 응력이 단조적으로 증가하고, 하중이 진행됨에 따라 응력 성분이 대략 동일한 비율을 유지하며(비례 하중), 하중 제거가 없는 상황에만 적용 가능하다. 인접 그림에 표시된 물체에 원거리 인장 응력 σfar가 가해지면, 경로 Γ1(탄성 영역 내에 완전히 놓이도록 선택됨) 주변의 J-적분은 다음과 같다. : J_{\Gamma_1} = \pi\,(\sigma_{\text{far)^2 \,. 균열 주변의 총 적분이 사라지고 균열 표면을 따른 기여가 0이므로, 다음과 같다. : J_{\Gamma_1} = -J_{\Gamma_2} \,. 경로 Γ2를 완전 소성 영역 내에 있도록 선택하면 허친슨은 다음과 같이 나타냈다. : J_{\Gamma_2} = -\alpha\,K^{n+1}\,r^{(n+1)(s-2)+1}\,I 여기서 K는 응력 진폭이고, (r,θ)는 균열 선단을 원점으로 하는 극좌표계이고, s는 균열 주변의 응력 장의 점근적 확장으로부터 결정된 상수이며, I는 무차원 적분이다. Γ1과 Γ2 주변 J-적분 사이의 관계는 다음과 같은 제약을 유도한다. : s = \frac{2n+1}{n+1} 그리고 원거리 응력에 대한 K의 표현식 : K = \left(\frac{\beta\,\pi}{\alpha\,I}\right)^{\frac{1}{n+1\,(\sigma_{\text{far)^{\frac{2}{n+1 여기서 β = 1은 평면 응력이고 β = 1 − ν2는 평면 변형률 (ν는 푸아송 비)이다. 응력 장의 점근적 확장과 위 아이디어를 사용하여 J-적분 측면에서 응력 및 변형률 장을 결정할 수 있다. :\sigma_{ij}= \sigma_y \left (\frac{EJ}{r\,\alpha \sigma_y^2 I} \right )^1}\over{n+1\tilde{\sigma}_{ij}(n,\theta) :\varepsilon_{ij}=\frac{\alpha \varepsilon_y}{E} \left (\frac{EJ}{r\,\alpha \sigma_y^2 I} \right )^n}\over{n+1\tilde{\varepsilon}_{ij}(n,\theta) 여기서 \tilde{\sigma}_{ij} 와 \tilde{\varepsilon}_{ij}는 무차원 함수이다. 이러한 표현식은 J가 선형 탄성 파괴역학에서 사용되는 응력확대계수(K)의 소성 유사체로 해석될 수 있음을 나타내며, 즉 J > JIc와 같은 기준을 균열 성장 기준으로 사용할 수 있다.