메탈로그 분포

upright=1.35 upright=1.35 **메탈로그 분포**(Metalog distribution)는 실제 사용 편의성을 위해 설계된 유연한 연속 확률 분포이다. 변환과 함께 메탈로그 연속 분포군은 다음과 같은 모든 속성을 포함한다는 점에서 독특하다. 사실상 무제한적인 모양 유연성; 무한, 반유한 및 유한 분포 중에서 선택; 선형 최소 제곱법으로 데이터에 쉽게 피팅; 시뮬레이션을 용이하게 하는 단순하고 닫힌 형태의 분위수함수 (역 CDF) 방정식; 단순하고 닫힌 형태의 PDF; 그리고 새로운 데이터에 대한 닫힌 형태의 베이즈 업데이트. 게다가, 테일러 급수와 마찬가지로 메탈로그 분포는 원하는 모양 유연성의 정도와 다른 응용 프로그램 요구에 따라 원하는 수의 항을 가질 수 있다. 메탈로그 분포가 유용하게 사용될 수 있는 응용 분야는 일반적으로 경험적 데이터, 시뮬레이션 데이터 또는 전문가 의견 조사 분위수를 부드러운 연속 확률 분포에 피팅하는 것을 포함한다. 응용 분야는 광범위하며 경제학, 과학, 공학 및 수많은 다른 분야를 포함한다. 켈린 분포(Keelin distributions)라고도 알려진 메탈로그 분포는 2016년 톰 켈린(Tom Keelin)에 의해 처음 발표되었다.url-access=subscriptionwebsite=www.metalogdistributions.com
# 역사
확률 분포의 역사는 부분적으로 데이터에 피팅할 때 모양과 경계의 유연성을 높이는 방향으로의 발전으로 볼 수 있다. 정규 분포는 1756년에 처음 발표되었고,De Moivre, A. (1756). The doctrine of chances: or, A method of calculating the probabilities of events in play (Vol. 1). Chelsea Publishing Company. 베이즈 정리는 1763년에 발표되었다.Bayes, T. (1763). LII. An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. By the late Rev. Mr. Bayes, FRS communicated by Mr. Price, in a letter to John Canton, AMFR S. Philosophical transactions of the Royal Society of London, (53), pp. 370–418. 정규 분포는 고전 통계학 발전의 많은 부분을 위한 토대를 마련했다. 대조적으로, 베이즈 정리는 정보 상태, 신념 기반 확률 표현의 토대를 마련했다. 신념 기반 확률은 어떤 모양도 가질 수 있고 자연적인 경계를 가질 수 있기 때문에, 둘 다 수용할 수 있을 만큼 유연한 확률 분포가 필요했다. 게다가, 많은 경험적 및 실험적 데이터 세트는 정규 분포나 다른 연속 분포에 의해 잘 일치될 수 없는 모양을 보였다. 그래서 유연한 모양과 경계를 가진 연속 확률 분포에 대한 탐색이 시작되었다. 20세기 초, 피어슨Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N. Continuous univariate distributions, Vol 1, Second Edition, John Wiley & Sons, Ltd, 1994, pp. 15–25. 분포군은 정규, 베타, 균등, 감마, 스튜던트-t, 카이제곱, F 및 다른 다섯 가지Ord, J.K., 1972. Families of frequency distributions. Charles Griffin & Co, Ltd, London. Table 1.1, p 6.를 포함하며, 모양 유연성에서 큰 진전으로 등장했다. 이어서 존슨pmid=18132090doi=10.1093/biomet/69.2.461 분포가 나왔다. 두 분포군 모두 데이터의 처음 네 가지 모멘트(평균값, 분산, 비대칭도, 첨도)를 부드러운 연속 곡선으로 나타낼 수 있다. 그러나 다섯 번째 또는 더 높은 차수의 모멘트를 일치시킬 수는 없다. 게다가, 주어진 비대칭도와 첨도에 대해 경계를 선택할 수 없다. 예를 들어, 데이터 세트의 처음 네 가지 모멘트를 일치시키면 음의 하한을 가진 분포가 나올 수 있는데, 심지어 해당 양이 음수가 될 수 없다는 것이 알려져 있음에도 불구하고 그렇다. 마지막으로, 그 방정식에는 다루기 어려운 적분과 복잡한 통계 함수가 포함되어 있어 데이터에 피팅하려면 일반적으로 반복적인 방법이 필요하다. 21세기 초, 결정 분석가들은 불확실한 양에 대한 누적 분포 함수 상의 지정된 세 점(예: 전문가가 도출한 0.10, 0.50 및 0.90 분위수)을 정확하게 피팅할 수 있는 연속 확률 분포를 개발하기 시작했다. 피어슨 및 존슨 분포군은 일반적으로 이 목적에 부적합했다. 또한, 결정 분석가들은 데이터(예: 선형 최소 제곱법, 또는 동일하게 다중 선형 회귀)로 쉽게 매개변수화할 수 있는 확률 분포를 찾았다. 2011년에 도입된 분위수 매개변수화 분포 (QPD) 클래스는 두 가지 목표를 모두 달성했다. 이러한 이유로 중요한 진전이 되었지만, 이 분포 클래스를 설명하는 데 원래 사용된 QPD인 단순 Q-정규 분포는url-access=subscription 피어슨 및 존슨 분포군보다 모양 유연성이 떨어졌고, 반유한 및 유한 분포를 나타낼 수 없었다. 그 후 켈린(Keelin)은 QPD 클래스의 또 다른 인스턴스인 메탈로그 분포군을 개발했는데, 이는 피어슨 및 존슨 분포군보다 모양이 더 유연하고, 경계 선택이 가능하며, 선형 최소 제곱법으로 데이터에 피팅할 수 있는 닫힌 형태의 방정식과 몬테카를로 시뮬레이션을 용이하게 하는 닫힌 형태의 분위수함수를 가지고 있다.
# 정의 및 분위수 함수
메탈로그 분포는 로지스틱 분포의 일반화로, "메탈로그"는 "메타로지스틱"의 줄임말이다. 로지스틱 분위수함수, x=Q(y)=\mu+s\mbox{ } \ln\Bigl({y\over{1-y\Bigr)에서 시작하여, 켈린은 위치와 스케일을 각각 제어하는 \mu 및 s 매개변수에 대해 누적 확률 y=F(x)에서의 멱급수 전개를 대체했다.Keelin TW (2016). "The Metalog Distributions." Decision Analysis. 13 (4): 243–277. :\mu =a_1 + a_4(y -0.5) + a_5(y -0.5)^2 + a_7(y -0.5)^3 + a_9(y -0.5)^4 + \dots :s =a_2 + a_3(y -0.5) + a_6(y -0.5)^2 + a_8(y -0.5)^3 + a_{10}(y -0.5)^4 + \dots 켈린은 이 대체에 대해 다섯 가지 이유를 제시했다. 첫째, 결과 분위수 함수는 계수 a_i에 의해 제어되는 상당한 모양 유연성을 가질 것이다. 둘째, 이 계수에 대해 선형인 단순한 닫힌 형태를 가질 것이며, 이는 선형 최소 제곱법에 의해 CDF 데이터로부터 쉽게 결정될 수 있음을 의미한다. 셋째, 결과 분위수 함수는 부드럽고 미분 가능하며 해석적이어서 부드러운 닫힌 형태의 PDF를 사용할 수 있도록 보장한다. 넷째, 결과 닫힌 형태의 역 CDF에 의해 시뮬레이션이 용이해질 것이다. 다섯째, 테일러 급수와 마찬가지로 원하는 모양 유연성의 정도와 다른 응용 프로그램 요구에 따라 원하는 수의 항 k를 사용할 수 있다. a-계수의 아래첨자는 a_1과 a_4가 \mu 전개에 있고, a_2와 a_3가 s 전개에 있으며, 그 이후로 아래첨자가 교대로 나타난다. 이 순서는 결과 메탈로그 분위수 함수에서 처음 두 항이 로지스틱 분포에 정확히 해당하도록 선택되었으며; a_3 \neq 0을 가진 세 번째 항을 추가하면 비대칭도를 조정하고; a_4 \neq 0을 가진 네 번째 항을 추가하면 주로 첨도를 조정하고; 이후의 0이 아닌 항을 추가하면 더 미묘한 모양 정제가 가능하다.p.252 \mu와 s에 대한 위 대체를 포함하도록 로지스틱 분위수 함수를 다시 작성하면 누적 확률 0에 대한 메탈로그 분위수함수가 얻어진다. : M_k(y)= \left\\{ \begin{array}{ll} a_1+a_2\ln\Bigl({y\over{1-y\Bigr) & \mbox{for } k=2\\\ a_1+a_2\ln\Bigl({y\over{1-y\Bigr)+a_3(y-0.5) \ln \Bigl({y\over{1-y\Bigr) & \mbox{for } k=3\\\ a_1+a_2\ln\Bigl({y\over{1-y\Bigr)+a_3(y-0.5) \ln \Bigl({y\over{1-y\Bigr)+a_4(y-0.5) & \mbox{for } k=4\\\ M_{k-1}(y)+a_k(y-0.5)^{k-1\over2} & \mbox{for odd } k\geq5\\\ M_{k-1}(y)+a_k(y-0.5)^k\over2}-1}\ln\Bigl({y\over{1-y\Bigr) & \mbox{for even } k\geq6\\\ \end{array}\right. 동등하게, 메탈로그 분위수 함수는 기저 함수로 표현될 수 있다: M_k(y) = \sum_{i=1}^k a_i g_i(y) 여기서 메탈로그 기저 함수는 g_1(y)=1,\mbox{ } g_2(y)=\ln\Bigl({y\over{1 -y\Bigr), 이고 각 후속 g_i(y)는 위 M_k(y) 방정식에서 a_i에 곱해지는 표현식으로 정의된다. 계수 a_1은 y=0.5일 때 다른 모든 항이 0이 되므로 중앙값이다. 메탈로그 분위수 함수의 특수 사례는 로지스틱 분포 (k=2)와 연속균등분포 (k\geq4,a_1 = 0.5,a_4 =1,a_i =0 그 외)이다.
# 확률 밀도 함수
x=M_k(y)를 y에 대해 미분하면 분위수 밀도 함수Parzen, E., 1979, Nonparametric statistical data modeling, Journal of the American Statistical Association,7, 105–131 q(y)=dx/dy가 된다. 이 양의 역수, (q(y))^{-1}=dy/dx=f(Q(y))는 p-PDF로 표현된 확률 밀도 함수이다.p-PDF: 관심 변수 x 대신 누적 확률 y의 함수로 표현된 확률 밀도 함수; 또는 파르젠(Parzen, E., 1979, Nonparametric statistical data modeling, Journal of the American Statistical Association,7, 105–131)이 정의한 "밀도 분위수 함수" : m_k(y)= \left\\{ \begin{array}{ll} {y(1-y)\over{a_2 & \mbox{for } k=2\\\ \Bigl({a_2\over{y(1-y)+a_3\Bigl({y-0.5\over{y(1-y)+\ln{y\over{1-y\Bigr)\Bigr)^{-1} & \mbox{for } k=3\\\ \Bigl({a_2\over{y(1-y)+a_3\Bigl({y-0.5\over{y(1-y)+\ln{y\over{1-y\Bigr)+a_4\Bigr)^{-1} & \mbox{for } k=4\\\ \Bigl({1\over{m_{k-1}(y)+a_k{k-1\over2}(y-0.5)^{(k-3)/2}\Bigr)^{-1} & \mbox{for odd } k\geq5\\\ \Bigl({1\over{m_{k-1}(y)+a_k\Bigl({(y-0.5)^{k/2-1}\over{y(1-y)+({k\over2}-1)(y-0.5)^{(k/2-2)}\ln{y\over{1-y\Bigr)\Bigr)^{-1} & \mbox{for even } k\geq6,\\\ \end{array}\right. 이는 기저 함수 측면에서 다음과 같이 표현될 수 있다. : m_k(y) = \left( \sum_{i=1}^k a_i d g_i(y)}\over{dy \right)^{-1} 여기서 0. 이 PDF는 관심 변수 x 대신 누적 확률 y의 함수로 표현된다는 점에 유의한다. PDF를 플롯하려면 (예: 이 페이지의 그림에 표시된 것처럼), y\in(0,1)을 매개변수적으로 변경한 다음, 수평 축에 x=M_k(y)를, 수직 축에 m_k(y)를 플롯할 수 있다. 위 방정식과 경계 선택을 가능하게 하는 다음 변환을 기반으로, 메탈로그 분포군은 무한, 반유한, 유한 메탈로그와 그 대칭 백분위수 삼중항(SPT) 특수 사례로 구성된다.
# 무한, 반유한 및 유한 메탈로그 분포
위에서 정의한 대로 메탈로그 분포는 \ln\Bigl({y\over{1-y\Bigr)를 포함하는 모든 항에 대해 a_i = 0인 특이한 특수 경우를 제외하고는 무한하다. 그러나 많은 응용 분야에서는 하한 b_l, 상한 b_u, 또는 둘 다를 갖는 유연한 확률 분포가 필요하다. 이 필요를 충족하기 위해 켈린은 변환을 사용하여 반유한 및 유한 메탈로그 분포를 도출했다. 이러한 변환은 분위수 함수의 일반적인 속성에 의해 결정된다. 즉, 어떤 분위수함수 x=Q(y)와 증가 함수 z(x)에 대해, x=z^{-1} (Q(y))도 분위수함수이다. 예를 들어, 정규 분포의 분위수함수는 x=\mu+\sigma \Phi^{-1} (y)이다. 자연로그 z(x)=\ln(x-b_l)는 증가 함수이므로, x=b_l+e^{\mu+\sigma \Phi^{-1} (y)}는 로그정규 분포의 분위수함수이다. 유사하게, 이 속성을 아래 변환을 사용하여 메탈로그 분위수 함수 M_k(y)에 적용하면 메탈로그 분포군의 반유한 및 유한 멤버가 얻어진다. z(x)가 메탈로그 분포를 따른다고 가정함으로써, 메탈로그 분포군의 모든 멤버는 켈린과 파울리(Keelin and Powley)의 분위수 매개변수화 분포 정의를 충족하므로 그 속성을 갖는다. : \begin{array}{l|c|c|c|c|c} & & & & & \mbox{모양}\\\ & \mbox{변환} & \mbox{분위수 함수} & \mbox{PDF} & \mbox{여기서} &\mbox{매개변수}\\\ \hline \mbox{메탈로그 (무한)} & z(x)=x & M_k(y) & m_k(y) & 0 메탈로그 분포군의 모양 매개변수 수는 항의 수 k에 따라 선형적으로 증가한다는 점에 유의한다. 따라서 위의 메탈로그는 어떤 수의 모양 매개변수도 가질 수 있다. 대조적으로, 피어슨 및 존슨 분포군은 두 개의 모양 매개변수로 제한된다.
# SPT 메탈로그 분포
대칭 백분위수 삼중항(SPT) 메탈로그 분포는 무한, 반유한 및 유한 메탈로그 분포의 3항(k=3) 특수 사례이다.pages=243–277 이들은 0 0 모든 y \in (0,1)에 대해. 실제 응용에서 실현 가능성은 일반적으로 가정하는 대신 확인해야 한다. k=2의 경우 a_2>0가 실현 가능성을 보장한다. k=3 (SPT 메탈로그 포함)의 경우, 실현 가능성 조건은 a_2>0이고 {|a_3|/a_2}0임을 확인하는 것으로 사용 중인 변환에 관계없이 충분하다.
## 볼록성
실현 가능한 메탈로그 계수 집합 S_\boldsymbol a=\\{\boldsymbol a\in\R^k |m_k(y) > 0 모든 y\in (0,1)\\}에 대해 볼록이다. 볼록 최적화 문제는 볼록 실현 가능 집합을 요구하므로 이 속성은 메탈로그와 관련된 최적화 문제를 단순화할 수 있다. 또한 이 속성은 실현 가능한 메탈로그의 \boldsymbol a 벡터의 모든 볼록 조합이 실현 가능함을 보장하며, 이는 예를 들어 여러 전문가의 의견을 결합하거나Keelin, Thomas W., and Ronald A. Howard. (2021). "The Metalog Distributions: Virtually Unlimited Shape Flexibility, Combining Expert Opinion in Closed Form, and Bayesian Updating in Closed Form." OSF Preprints. doi:10.31219/osf.io/xdg5e. 실현 가능한 메탈로그 사이를 보간할 때 유용하다.Keelin, T.W., Chrisman, L. and Savage, S.L. (2019). "The metalog distributions and extremely accurate sums of lognormals in closed form." WSC '19: Proceedings of the Winter Simulation Conference. 3074–3085. 결과적으로 메탈로그 분포의 모든 확률적 혼합은 그 자체로 메탈로그이다.
## 데이터에 피팅
USGS.|]] 계수 \boldsymbol a는 선형 최소 제곱법을 통해 데이터로부터 결정될 수 있다. 메탈로그 CDF를 특성화하기 위한 n개의 데이터 포인트 (x_i,y_i)와 요소가 기저 함수 g_j (y_i)로 구성된 n \times k 행렬 \boldsymbol Y가 주어졌을 때, \boldsymbol Y^T \boldsymbol Y가 역행렬을 가질 경우, 계수 a_i의 열 벡터 \boldsymbol a는 \boldsymbol a=(\boldsymbol Y^T \boldsymbol Y)^{-1} \boldsymbol Y^T \boldsymbol z로 주어지며, 여기서 n\geq k이고 열 벡터 \boldsymbol z=(z(x_1),\ldots,z(x_n))이다. 만약 n=k이면, 이 방정식은 \boldsymbol a=\boldsymbol Y^{-1} \boldsymbol z로 축소되며, 결과 메탈로그 CDF는 모든 데이터 포인트를 정확히 통과한다. SPT 메탈로그의 경우, 세 개의 (x_i,y_i) 점으로 직접 표현될 수 있다. 선형 프로그램으로 구현된 다른 피팅 방법은 실현 가능성 제약 조건 하에 CDF와 데이터 간의 절대 거리의 합을 최소화하여 계수를 결정한다.Faber, I.J. (2019). Cyber Risk Management: AI-generated Warnings of Threats (Doctoral dissertation, Stanford University). 9항 반유한 메탈로그 분포(점선, 노란색)에 의해 밀접하게 근사된
## 모양 유연성
메탈로그 유연성 정리에 따르면, 연속 분위수 함수를 가진 어떤 확률 분포도 메탈로그에 의해 임의로 가깝게 근사될 수 있다. 또한, 원본 논문에서 켈린은 30개의 전통적인 원본 분포(정규, 스튜던트-t, 로그정규, 감마, 베타 및 극단값 분포 포함)에서 105개의 CDF 점으로 매개변수화된 10항 메탈로그 분포가 각 원본 분포를 K-S 거리 0.001 이하로 근사함을 보여주었다.pages=243–277 따라서 메탈로그 모양 유연성은 사실상 무제한이다. 오른쪽의 애니메이션 그림은 표준 정규 분포에 대해 이를 설명하며, 다양한 수의 항을 가진 메탈로그가 표준 정규 CDF의 동일한 105개 점 집합으로 매개변수화된다. 항의 수가 증가함에 따라 메탈로그 PDF는 표준 정규 PDF로 수렴한다. 두 개의 항으로는 메탈로그가 로지스틱 분포로 정규 분포를 근사한다. 항의 수가 증가할 때마다 적합도가 더 가까워진다. 10개의 항으로는 메탈로그 PDF와 표준 정규 PDF가 시각적으로 구별할 수 없을 정도이다. 마찬가지로 b_l=0을 가진 9항 반유한 메탈로그 PDF는 다양한 베이불 분포와 시각적으로 구별할 수 없다. 오른쪽에 표시된 6가지 경우는 베이불 모양 매개변수 0.5, 0.8, 1.0, 1.5, 2 및 4에 해당한다. 각 경우에 메탈로그는 누적 확률 y = (0.001, 0.02, 0.10, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9, 0.98, 0.999)에 해당하는 베이불 CDF의 9개 x 점으로 매개변수화된다. 이러한 수렴은 정규 및 베이불 분포에만 국한되지 않는다. 켈린은 원래 광범위한 분포에 대해 유사한 결과를 보여주었으며 이후 추가적인 예시를 제공했다.website=www.metalogdistributions.com
## 중앙값
메탈로그 분포군의 모든 분포의 중앙값은 단순한 닫힌 형태를 갖는다. y=0.5가 중앙값을 정의하고, M_k(0.5)=a_1이라는 점에 유의한다(이후의 모든 항은 y=0.5에 대해 0이기 때문). 따라서 무한 메탈로그, 로그 메탈로그, 음수-로그 메탈로그 및 로짓 메탈로그 분포의 중앙값은 각각 a_1, b_l+e^{a_1}, b_u-e^{-a_1} 및 {b_l+b_u e^{a_1}\over{1+e^{a_1이다.
## 모멘트
무한 메탈로그 분포의 m차 모멘트, E[x^m] =\int_{y=0}^1 {M_k(y)}^m \, dy는 QPD에 대한 더 일반적인 공식의 특수 사례이다. 무한 메탈로그의 경우, 이러한 적분은 계수 a_i의 m차 다항식인 닫힌 형태의 모멘트를 평가한다. 4항 무한 메탈로그의 처음 네 가지 중심 모멘트는 다음과 같다. : \begin{align} \text{평균값} = {} & a_1 +{a_3\over2}\\\\[6pt] \text{분산} = {} & \pi^2a_2}^2\over3}+a_3}^2\over{12+\pi^2a_3}^2\over{36+a_2a_4 +a_4}^2\over{12\\\\[6pt] \text{비대칭도} = {} & \pi^2 {a_2}^2{a_3}+\pi^2 a_3}^3 \over{24 + a_2} {a_3} {a_4 \over{2+ \pi^2a_2} {a_3} {a_4 \over{6 + a_3} {a_4}^2} \over{8\\\\[6pt] \text{첨도} = {} & 7\pi^4 a_2}^4\over{15+3\pi^2 a_2}^2{a_3}^2} \over{24+7\pi^4 a_2}^2{a_3}^2} \over{30+a_3}^4}\over{80 + \pi^2a_3}^4 \over{24 + 7\pi^4 a_3}^4\over{1200 + 2\pi^2{a_2}^3{a_4}\\\\[6pt] & {} +a_2} {a_3}^2 {a_4 \over{2+2\pi^2a_2} {a_3}^2 {a_4 \over{3+2a_2}^2 {a_4}^2}+\pi^2a_2}^2 {a_4}^2 } \over{6+a_3}^2 {a_4}^2 } \over{8+\pi^2a_3}^2 {a_4}^2 } \over{40+a_2} {a_4}^3 } \over{3 +a_4}^4 \over{80 \end{align} 더 적은 항에 대한 모멘트는 이 방정식에 포함된다. 예를 들어, 3항 메탈로그의 모멘트는 a_4를 0으로 설정하여 얻을 수 있다. 더 많은 항을 가진 메탈로그 및 더 높은 차수의 모멘트(m>4)에 대한 모멘트도 사용할 수 있다.website=www.metalogdistributions.com 반유한 및 유한 메탈로그에 대한 모멘트는 닫힌 형태로 사용할 수 없다.
## 모멘트 매개변수화
3항 무한 메탈로그는 처음 세 중심 모멘트로 닫힌 형태로 매개변수화될 수 있다. m, v, 및 s를 평균, 분산 및 비대칭도라 하고, s_s를 표준화된 비대칭도, s_s=s/v^{3/2}라 하자. 모멘트를 계수로, 계수를 모멘트로 표현하는 동등한 식은 다음과 같다. : \begin{array}{ll} m = a_1 +{a_3\over2} && a_1 = m -{a_3\over2}\\\\[6pt] v = \pi^2a_2}^2\over3}+a_3}^2\over{12+\pi^2a_3}^2\over{36 && a_2 = {1\over{\pi\Bigl[3\Bigl(v-\Bigl({1\over{12+\pi}^2\over{36\Bigr){a_3}^2\Bigr)\Bigr]^{1\over{2 \\\\[6pt] s = \pi^2 {a_2}^2{a_3}+\pi^2 a_3}^3 \over{24 && a_3 = 4\Bigl({6v\over{6+\pi^2\Bigr)^{1\over{2\cos\Bigl[{1\over{3\Bigl(\cos^{-1}\Bigl(-{s_s\over{4\Bigl(1+\pi}^2\over{6\Bigr)^{1\over{2\Bigr)+4\pi\Bigr)\Bigr] \\\\[6pt] \end{array} 이 두 식의 동등성은 왼쪽의 모멘트 방정식이 계수 a_1, a_2, 및 a_3에 대한 3차 다항식을 결정하고, 이를 m, v, 및 s의 함수로 닫힌 형태로 풀 수 있다는 점에서 파생될 수 있다. 더욱이 이 해는 유일하다.website=www.metalogdistributions.com 모멘트 측면에서 실현 가능성 조건은 |s_s|\leq 2.07093이며, 이는 계수 측면에서 다음 실현 가능성 조건과 동등함을 보여줄 수 있다: a_2>0; 및 {|a_3|/a_2}2인 모든 i에 대해 a_i = 0인 무한 메탈로그의 특수 사례이다. * 연속균등분포는 다음의 특수 사례이다: 1) k\geq4, a_1 = 0.5, a_4=1 및 그 외 a_i=0인 무한 메탈로그; 2) k\geq2, b_l = 0, b_u = 1, a_2 = 1 및 그 외 a_i=0인 유한 메탈로그. * 경제학에서 피스크(Fisk) 분포로도 알려진 로그-로지스틱 분포는 b_l = 0 및 i>2인 모든 i에 대해 a_i = 0인 로그 메탈로그의 특수 사례이다. * 로그-균등 분포는 k\geq4, a_1 = 0.5, a_4=1 및 그 외 a_i=0인 로그 메탈로그의 특수 사례이다. * 로짓-로지스틱 분포pages=1305–1313는 i>2인 모든 i에 대해 a_i = 0인 로짓 메탈로그의 특수 사례이다.
# 소프트웨어
메탈로그 분포 작업을 위해 자유롭게 사용할 수 있는 소프트웨어 도구가 있다. * 엑셀 통합 문서. CDF 데이터를 붙여넣거나 입력하면 메탈로그(경계 선택 가능)가 즉시 표시된다. ** SPT 메탈로그 통합 문서website=www.metalogdistributions.com는 세 개의 (x_i,y_i) CDF 데이터로 결정된 2-3항 메탈로그를 계산한다. ** 메탈로그 통합 문서website=www.metalogdistributions.com는 2-10,000개의 (x_i,y_i) CDF 데이터로 결정된 2-16항 메탈로그(메탈로그 패널 포함)를 계산한다. ** ELD (equally likely data) 메탈로그 통합 문서website=www.metalogdistributions.com는 2-10,000개의 (x_i) CDF 데이터로 결정된 2-16항 메탈로그를 계산하며, 여기서 y_i와 메탈로그 패널은 자동으로 계산된다. * R. rmetalogrmetalog R package (종합 R 아카이브 네트워크, CRAN에서). * Python. PymetalogPymetalog Python package는 R 패키지를 밀접하게 반영한다. MetalogisticMetalogistic Python package는 SciPy 플랫폼을 활용한다. * MakeDistribution.comMakeDistribution.com website supporting metalog experimentation.는 여러 CDF 데이터 포인트로 매개변수화된 메탈로그 실험을 용이하게 한다. SPT 메탈로그 계산기,Online SPT metalog calculator. 메탈로그 계산기Online metalog calculator. 및 ELD 메탈로그 계산기Online ELD metalog calculator.는 엑셀 통합 문서의 온라인 버전이다. * SIPmath Modeler ToolsSIPmath Modeler Tools Excel add-in는 시뮬레이션을 위한 엑셀 추가 기능에서 메탈로그 분포를 지원한다. * 루미나(Lumina)의 Analytica Free 101 소프트웨어Analytica Free 101 software aids modeling of difficult decisions.는 어려운 결정을 모델링하고 지원한다. * BayesFusion의 Metalog BuilderBayesFusion's Metalog Builder for interactive building of metalog distributions는 메탈로그 분포의 대화형 구축을 허용한다. BayesFusion의 GeNIeBayesFusion's GeNIe (소프트웨어의 학술 버전은 학술 연구 및 교육에 무료)는 메탈로그 분포를 구현한다. 상업적으로 이용 가능한 패키지 또한 메탈로그 분포의 사용을 지원한다: * FrontLine Solvers: Analytic Solver, RASON, 및 Solver SDK,FrontLine Solvers: Analytic Solver, RASON, and Solver SDK software for optimization. 최적화 소프트웨어. 사용자 데이터를 전체 범위의 (유한 및 무한, 다항) 메탈로그 분포에 자동으로 맞추고, 사용자 선택 적합도 기준에 따라 메탈로그 분포를 고전 분포와 비교하는 옵션을 제공한다. * Lone Star Analysis: TruNavigator 및 AnalyticsOS 소프트웨어Lone Star Analysis: TruNavigator and AnalyticsOS for predictive and prescriptive analytics.는 예측 및 처방 분석을 위한 소프트웨어이다.