쌍선형 변환 (신호 처리)

쌍선형 변환이 z-평면을 s-평면으로 어떻게 사상하는지. 선형 제어 시스템의 극점에 대한 불안정한 영역은 음영 처리되어 있다. **쌍선형 변환**(bilinear transform, 아널드 터스틴의 이름을 따서 **터스틴 방법**)은 디지털 신호 처리 및 이산 시간 제어이론에서 연속 시간 시스템 표현을 이산 시간으로 변환하고 그 반대로 변환하는 데 사용된다. 쌍선형 변환은 등각 사상(즉, 뫼비우스 변환)의 특수한 경우로, 선형, 시불변 (LTI) 필터의 전달 함수 H_a(s) 를 연속 함수 시간 영역(종종 아날로그 필터라고 불림)에서 이산 신호 시간 영역(종종 디지털 필터라고 불리지만, 스위치드 커패시터로 구성된 이산 시간 필터인 아날로그 필터도 있음)의 선형, 시프트 불변 필터의 전달 함수 H_d(z)로 변환하는 데 자주 사용된다. 이 변환은 s-평면의 j \omega 축, \mathrm{Re}[s]=0 상의 위치를 z-평면의 단위원, |z| = 1 로 사상한다. 다른 쌍선형 변환은 모든 이산 시간 선형 시스템의 주파수 응답을 왜곡하는 데 사용될 수 있으며(예를 들어 인간 청각 시스템의 비선형 주파수 해상도를 근사화하기 위해), 시스템의 단위 지연 \left( z^{-1} \right) 를 1차 올패스 필터로 대체하여 이산 영역에서 구현할 수 있다. 이 변환은 안정성을 보존하며, 연속 시간 필터의 주파수 응답, H_a(j \omega_a) 의 모든 지점을 이산 시간 필터의 주파수 응답, H_d(e^{j \omega_d T}) 의 해당 지점으로 사상한다. 이는 아래 주파수 왜곡 섹션에서 보여지는 바와 같이 다소 다른 주파수로 사상된다. 이는 아날로그 필터의 주파수 응답에서 볼 수 있는 모든 특징에 대해, 디지털 필터의 주파수 응답에서 동일한 이득 및 위상 편이를 갖는 해당 특징이 있지만, 다소 다른 주파수에서 나타날 수 있음을 의미한다. 주파수 변화는 낮은 주파수에서는 거의 눈에 띄지 않지만, 나이퀴스트 진동수에 가까운 주파수에서는 상당히 뚜렷하다.
# 이산 시간 근사
쌍선형 변환은 z-평면을 s-평면으로 정확히 사상하는 자연 로그 함수의 1차 파데 근사이다. 이산 시간 신호에 라플라스 변환을 수행하면(이산 시간 시퀀스의 각 요소가 해당하는 지연된 단위 임펄스에 연결됨), 다음의 치환으로 이산 시간 시퀀스의 Z변환과 정확히 같아진다. : \begin{align} z &= e^{sT} \\\ &= \frac{e^{sT/2{e^{-sT/2 \\\ &\approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} \end{align} 여기서 T 는 쌍선형 변환 유도에 사용된 사다리꼴 공식의 수치적분 단계 크기, 즉 샘플링 주기이다.page=504 위의 쌍선형 근사를 s 에 대해 풀거나 s = (1/T) \ln(z) 에 대한 유사한 근사를 수행할 수 있다. 이 사상의 역변환(및 그 1차 쌍선형 근사)은 다음과 같다. : \begin{align} s &= \frac{1}{T} \ln(z) \\\ &= \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5 + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \cdots \right] \\\ &\approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \\\ &= \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1{1 + z^{-1 \end{align} 쌍선형 변환은 기본적으로 이 1차 근사를 사용하여 연속 시간 전달 함수 H_a(s) 에 대입한다. :s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}. 즉, :H_d(z) = H_a(s) \bigg|_{s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1} \right). \
# 안정성 및 최소 위상 속성 보존
연속 시간 인과 필터는 전달 함수의 극점이 복소수 s-평면의 왼쪽 절반에 떨어지면 안정하다. 이산 시간 인과 필터는 전달 함수의 극점이 복소 z-평면의 단위원 내부에 떨어지면 안정하다. 쌍선형 변환은 복소 s-평면의 왼쪽 절반을 z-평면의 단위원 내부로 사상한다. 따라서 연속 시간 영역에서 설계된 안정적인 필터는 그 안정성을 보존하는 이산 시간 영역의 필터로 변환된다. 마찬가지로, 연속 시간 필터는 전달 함수의 영점이 복소 s-평면의 왼쪽 절반에 떨어지면 최소 위상이다. 이산 시간 필터는 전달 함수의 영점이 복소 z-평면의 단위원 내부에 떨어지면 최소 위상이다. 그러면 동일한 사상 속성은 최소 위상인 연속 시간 필터가 그 최소 위상 속성을 보존하는 이산 시간 필터로 변환됨을 보장한다.
# 일반 LTI 시스템의 변환
일반적인 LTI 시스템은 다음 전달 함수를 갖는다. H_a(s) = \frac{b_0 + b_1s + b_2s^2 + \cdots + b_Qs^Q}{a_0 + a_1s + a_2s^2 + \cdots + a_Ps^P} 전달 함수 N의 차수는 P와 Q 중 더 큰 값이다(실제로는 시스템이 안정하려면 전달 함수가 고유해야 하므로 대부분 P이다). 쌍선형 변환을 적용하면 s = K\frac{z - 1}{z + 1} 여기서 K는 주파수 왜곡을 사용하는 경우 2/T 또는 다른 값으로 정의되며, 다음과 같다. H_d(z) = \frac{b_0 + b_1\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right) + b_2\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right)^2 + \cdots + b_Q\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right)^Q} {a_0 + a_1\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right) + a_2\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right)^2 + \cdots + b_P\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right)^P} 분자와 분모에 (z + 1)−1의 가장 큰 거듭제곱인 (z + 1)−N을 곱하면 다음과 같다. H_d(z) = \frac{b_0(z+1)^N + b_1K(z-1)(z+1)^{N-1} + b_2K^2(z-1)^2(z+1)^{N-2} + \cdots + b_QK^Q(z-1)^Q(z+1)^{N-Q {a_0(z+1)^N + a_1K(z-1)(z+1)^{N-1} + a_2K^2(z-1)^2(z+1)^{N-2} + \cdots + a_PK^P(z-1)^P(z+1)^{N-P 변환 후에 분자와 분모의 차수가 모두 N임을 알 수 있다. 연속 시간 전달 함수의 극점-영점 형태를 고려해보자. H_a(s) = \frac{(s - \xi_1)(s - \xi_2) \cdots (s - \xi_Q)}{(s - p_1)(s - p_2) \cdots (s - p_P)} 분자와 분모 다항식의 근인 ξi와 pi는 시스템의 영점 및 극점이다. 쌍선형 변환은 일대일 대응이므로, 이들은 다음을 사용하여 z-영역으로 변환될 수 있다. z = \frac{K + s}{K - s} 이를 통해 이산화된 전달 함수의 일부 영점과 극점 ξ'i와 p'i를 얻을 수 있다. \begin{aligned} \xi'_i &= \frac{K + \xi_i}{K - \xi_i} \quad 1 \leq i \leq Q \\\ p'_i &= \frac{K + p_i}{K - p_i} \quad 1 \leq i \leq P \end{aligned} 위에 설명된 바와 같이, 분자와 분모의 차수는 이제 모두 N이다. 즉, 영점과 극점의 수가 동일하다. (z + 1)−N의 곱셈은 추가 영점 또는 극점이 다음과 같음을 의미한다. archive-date=3 March 2022 \begin{aligned} \xi'_i &= -1 \quad Q < i \leq N \\\ p'_i &= -1 \quad P < i \leq N \end{aligned} 영점과 극점의 전체 집합이 주어지면, z-영역 전달 함수는 다음과 같다. H_d(z) = \frac{(z - \xi'_1)(z - \xi'_2) \cdots (z - \xi'_N)} {(z - p'_1)(z - p'_2) \cdots (z - p'_N)}
# 예시
예를 들어 간단한 저역통과 RC 필터를 보자. 이 연속 시간 필터의 전달 함수는 다음과 같다. :\begin{align} H_a(s) &= \frac{1/sC}{R+1/sC} \\\ &= \frac{1}{1 + RC s}. \end{align} 이 필터를 디지털 필터로 구현하려면 위 공식을 s에 대입하여 쌍선형 변환을 적용할 수 있다. 몇 가지 재작업을 거쳐 다음 필터 표현을 얻는다. :{| |- |H_d(z) \ | =H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\right) \ |- | |= \frac{1}{1 + RC \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\right)} \ |- | |= \frac{1 + z}{(1 - 2 RC / T) + (1 + 2RC / T) z} \ |- | |= \frac{1 + z^{-1{(1 + 2RC / T) + (1 - 2RC / T) z^{-1. \ |} 분모의 계수는 실시간 디지털 필터 구현에 사용되는 '피드백' 계수이며, 분자의 계수는 '피드포워드' 계수이다.
# 일반 1차 연속 시간 필터 변환
쌍선형 변환 과정을 통해 생성된 연속 시간 아날로그 필터의 계수와 유사한 이산 시간 디지털 필터의 계수를 연관시키는 것이 가능하다. 주어진 전달 함수를 갖는 일반 1차 연속 시간 필터를 변환하려면 :H_a(s) = \frac{b_0 s + b_1}{a_0 s + a_1} = \frac{b_0 + b_1 s^{-1{a_0 + a_1 s^{-1 쌍선형 변환을 사용하려면(주파수 사전을 워프하지 않고) 다음을 대입해야 한다. :s \leftarrow K \frac{1 - z^{-1{1 + z^{-1 여기서 :K \triangleq \frac{2}{T} . 그러나 아래에 설명된 주파수 왜곡 보상이 쌍선형 변환에 사용되어 아날로그 및 디지털 필터 이득과 위상이 주파수 \omega_0에서 일치한다면, :K \triangleq \frac{\omega_0}{\tan\left(\frac{\omega_0 T}{2}\right)} . 이것은 원래 연속 시간 필터의 계수 항으로 표현된 계수를 갖는 이산 시간 디지털 필터를 다음과 같이 생성한다. :H_d(z)=\frac{(b_0 K + b_1) + (-b_0 K + b_1)z^{-1{(a_0 K + a_1) + (-a_0 K + a_1)z^{-1 일반적으로 분모의 상수 항은 해당 차분 방정식을 유도하기 전에 1로 정규화되어야 한다. 그 결과는 다음과 같다. :H_d(z)=\frac{\frac{b_0 K + b_1}{a_0 K + a_1} + \frac{-b_0 K + b_1}{a_0 K + a_1}z^{-1{1 + \frac{-a_0 K + a_1}{a_0 K + a_1}z^{-1. 차분 방정식(직접형 I 사용)은 다음과 같다. : y[n] = \frac{b_0 K + b_1}{a_0 K + a_1} \cdot x[n] + \frac{-b_0 K + b_1}{a_0 K + a_1} \cdot x[n-1] - \frac{-a_0 K + a_1}{a_0 K + a_1} \cdot y[n-1] \ .
# 일반 2차 바이쿼드 변환
주어진 전달 함수를 갖는 일반 2차 필터에 대해서도 유사한 과정을 사용할 수 있다. :H_a(s) = \frac{b_0 s^2 + b_1 s + b_2}{a_0 s^2 + a_1 s + a_2} = \frac{b_0 + b_1 s^{-1} + b_2 s^{-2{a_0 + a_1 s^{-1} + a_2 s^{-2 \ . 그 결과, 원래 연속 시간 필터의 계수를 사용하여 표현된 계수를 갖는 이산 시간 디지털 바이쿼드 필터가 생성된다. :H_d(z)=\frac{(b_0 K^2 + b_1 K + b_2) + (2b_2 - 2b_0 K^2)z^{-1} + (b_0 K^2 - b_1 K + b_2)z^{-2{(a_0 K^2 + a_1 K + a_2) + (2a_2 - 2a_0 K^2)z^{-1} + (a_0 K^2 - a_1 K + a_2)z^{-2 다시 말하지만, 해당 차분 방정식을 유도하기 전에 분모의 상수 항은 일반적으로 1로 정규화된다. 그 결과는 다음과 같다. :H_d(z)=\frac{\frac{b_0 K^2 + b_1 K + b_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} + \frac{2b_2 - 2b_0 K^2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2}z^{-1} + \frac{b_0 K^2 - b_1 K + b_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2}z^{-2{1 + \frac{2a_2 - 2a_0 K^2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2}z^{-1} + \frac{a_0 K^2 - a_1 K + a_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2}z^{-2. 차분 방정식(직접형 I 사용)은 다음과 같다. : y[n] = \frac{b_0 K^2 + b_1 K + b_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} \cdot x[n] + \frac{2b_2 - 2b_0 K^2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} \cdot x[n-1] + \frac{b_0 K^2 - b_1 K + b_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} \cdot x[n-2] - \frac{2a_2 - 2a_0 K^2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} \cdot y[n-1] - \frac{a_0 K^2 - a_1 K + a_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} \cdot y[n-2] \ .
# 주파수 왜곡
연속 시간 필터의 주파수 응답을 결정하기 위해 전달 함수 H_a(s) 는 j \omega 축에 있는 s = j \omega_a 에서 평가된다. 마찬가지로, 이산 시간 필터의 주파수 응답을 결정하기 위해 전달 함수 H_d(z) 는 단위원 |z| = 1 에 있는 z = e^{ j \omega_d T} 에서 평가된다. 쌍선형 변환은 s-평면의 j \omega 축( H_a(s) 의 정의역)을 z-평면의 단위원 |z| = 1 ( H_d(z) 의 정의역)으로 사상하지만, j \omega 축을 단위원으로 사상하는 z = e^{sT} 와는 **다른** 사상이다. 쌍선형 변환을 사용하여 설계된 이산 시간 필터에 실제 주파수 \omega_d 가 입력될 때, 이 \omega_d 가 연속 시간 필터의 어떤 주파수 \omega_a 로 사상되는지 알고자 한다. :H_d(z) = H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\right) :{| |- |H_d(e^{ j \omega_d T}) |= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{e^{ j \omega_d T} - 1}{e^{ j \omega_d T} + 1}\right) |- | |= H_a \left( \frac{2}{T} \cdot \frac{e^{j \omega_d T/2} \left(e^{j \omega_d T/2} - e^{-j \omega_d T/2}\right)}{e^{j \omega_d T/2} \left(e^{j \omega_d T/2} + e^{-j \omega_d T/2 }\right)}\right) |- | |= H_a \left( \frac{2}{T} \cdot \frac{\left(e^{j \omega_d T/2} - e^{-j \omega_d T/2}\right)}{\left(e^{j \omega_d T/2} + e^{-j \omega_d T/2 }\right)}\right) |- | |= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \frac{ \left(e^{j \omega_d T/2} - e^{-j \omega_d T/2}\right) /(2j)}{\left(e^{j \omega_d T/2} + e^{-j \omega_d T/2 }\right) / 2}\right) |- | |= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \frac{ \sin(\omega_d T/2) }{ \cos(\omega_d T/2) }\right) |- | |= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \tan \left( \omega_d T/2 \right) \right) |} 이는 이산 시간 필터 z-평면의 단위원에 있는 모든 점 z = e^{ j \omega_d T}이 연속 시간 필터 s-평면의 j \omega 축에 있는 점 s = j \omega_a로 사상됨을 보여준다. 즉, 쌍선형 변환의 이산 시간-연속 시간 주파수 사상은 다음과 같다. : \omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega_d \frac{T}{2} \right) 그리고 역 사상은 다음과 같다. : \omega_d = \frac{2}{T} \arctan \left( \omega_a \frac{T}{2} \right). 이산 시간 필터는 주파수 \omega_d에서 연속 시간 필터가 주파수 (2/T) \tan(\omega_d T/2) 에서 행동하는 것과 동일하게 행동한다. 구체적으로, 이산 시간 필터가 주파수 \omega_d에서 갖는 이득과 위상 편이는 연속 시간 필터가 주파수 (2/T) \tan(\omega_d T/2)에서 갖는 이득과 위상 편이와 동일하다. 이는 연속 시간 필터의 주파수 응답에서 보이는 모든 특징, 모든 "융기"가 이산 시간 필터에서도 보이지만, 다른 주파수에서 나타난다는 것을 의미한다. 낮은 주파수(\omega_d \ll 2/T 또는 \omega_a \ll 2/T일 때)에서는 특징들이 약간 다른 주파수로 사상되며, \omega_d \approx \omega_a 이다. 전체 연속 주파수 범위는 다음과 같이 볼 수 있다. : -\infty < \omega_a < +\infty 근본 주파수 간격으로 사상된다. : -\frac{\pi}{T} < \omega_d < +\frac{\pi}{T}. 연속 시간 필터 주파수 \omega_a = 0 은 이산 시간 필터 주파수 \omega_d = 0 에 해당하며, 연속 시간 필터 주파수 \omega_a = \pm \infty 는 이산 시간 필터 주파수 \omega_d = \pm \pi / T 에 해당한다. 또한 \omega_a 와 \omega_d 사이에 비선형 관계가 있음을 알 수 있다. 쌍선형 변환의 이러한 효과를 **주파수 왜곡**이라고 한다. 연속 시간 필터는 설계자가 제어할 수 있는 모든 주파수 사양(예: 코너 주파수 또는 중심 주파수)에 대해 \omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega_d \frac{T}{2} \right) 를 설정하여 이 주파수 왜곡을 보상하도록 설계할 수 있다. 이를 필터 설계의 **사전 왜곡**이라고 한다. 그러나 연속 시간 시스템의 주파수 사양 \omega_0 (일반적으로 공진 주파수 또는 주파수 응답의 가장 중요한 특징의 주파수)을 사전 왜곡함으로써 주파수 왜곡을 보상할 수 있다. 이 사전 왜곡된 사양은 쌍선형 변환에 사용되어 원하는 이산 시간 시스템을 얻을 수 있다. 연속 시간 필터의 근사로 디지털 필터를 설계할 때, 연속 필터 전달 함수에 다음 변환을 대입하면 디지털 필터의 주파수 응답(진폭 및 위상 모두)이 지정된 주파수 \omega_0 에서 연속 필터의 주파수 응답과 일치하도록 만들 수 있으며, DC에서도 일치한다.isbn=0-13-168600-3 이는 위에 제시된 터스틴 변환의 수정된 버전이다. :s \leftarrow \frac{\omega_0}{\tan\left(\frac{\omega_0 T}{2}\right)} \frac{z - 1}{z + 1}. 그러나 이 변환은 \omega_0 \to 0 일 때 원래 변환이 된다. :s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} 왜곡 현상의 주요 장점은 임펄스 불변에서 관찰되는 것과 같은 주파수 응답 특성의 에일리어싱 왜곡이 없다는 것이다.