연속 원순서 집합

순서론에서 **연속 원순서 집합**(連續原順序集合, continuous preordered set)은 모든 원소가 그 원소를 ‘제한적으로 근사’하는 원소들로도 충분히 잘 근사되는 원순서 집합이다. 연속 완비 격자는 흔히 **연속 격자**(連續格子, continuous lattice)로 불린다.
# 정의
원순서 집합 (P,\lesssim)의 두 원소 a,b\in P에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 임의의 상향 집합 D\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee D라면, a\lesssim d인 d\in D가 존재한다. * 임의의 순서 아이디얼 I\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee I라면, a\in I이다. 이 경우, **a가 b를 근사한다**(a approximates b) 또는 **a가 b보다 훨씬 아래**(a is way below b)라고 하며, 이를 :a\ll b 로 적는다. 근사 관계 \ll는 추이적 관계이며, P가 부분 순서 집합인 경우 반대칭 관계이지만, 원순서가 아닐 수 있다. \ll가 원순서인 것은 (P,\lesssim)의 오름 사슬 조건과 동치이다.zbl=1088.0600152, Examples I-1.3(4) 원순서 집합 (P,\lesssim)의 임의의 원소 a\in L에 대하여, :\mathop\Uparrow a=\\{b\in L\colon a\ll b\\} :\mathop\Downarrow a=\\{b\in L\colon b\ll a\\} 라고 하자. 이는 각각 P의 상집합과 하집합을 이룬다. 만약 P가 이음 반격자라면, \mathop\Downarrow a는 상향 집합이다. 그러나 P가 만남 반격자이더라도 \mathop\Uparrow a는 하향 집합이 아닐 수 있다. 원순서 집합 (P,\lesssim)가 다음 조건을 만족시키면, **연속 원순서 집합**이라고 한다. * 임의의 a\in P에 대하여, \mathop\Downarrow a는 상향 집합이며, a=\bigvee\mathop\Downarrow a이다.
# 성질

## 순서론적 성질
연속 원순서 집합 (P,\lesssim)의 두 원소 a,b\in P에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * a\ll b * 임의의 상향 집합 D\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee D라면, a\ll d인 d\in D가 존재한다. 증명 둘째 조건은 첫째 조건을 자명하게 함의한다. 이제, a\ll b이며, D\subseteq P가 상향 집합이며, b\lesssim\bigvee D라고 하자. :I=\bigcup_{d\in D}\mathop\Downarrow d 를 생각하자. P가 연속 원순서 집합이므로, I는 순서 아이디얼들의 상향 집합의 합집합이다. 따라서 I 역시 순서 아이디얼이다. 또한, :\bigvee I\gtrsim\bigvee_{d\in D}\bigvee\mathop\Downarrow d=\bigvee D\gtrsim b 이다. 따라서, a\in I이다. 즉, a\ll d인 d\in D가 존재한다. 증명 끝 이를 사용하여, 연속 원순서 집합 (P,\lesssim)의 근사 관계 \ll가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다. :\forall a,b\in P\colon a\ll b\implies(\exist c\in P\colon a\ll c\ll b) 증명 위 명제에서, D=\mathop\Downarrow b를 취한다. 증명 끝
## dcpo
dcpo (P,\le)의 두 원소 a,b\in P에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.61, Proposition I-1.19(i) * a\ll b이며, a\ne b * 임의의 상향 집합 D\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee D라면, a\ll d이며 a\ne d인 d\in D가 존재한다. 따라서, 만약 P가 연속 dcpo라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.61, Proposition I-1.19(ii) :\forall a,b\in P\colon a\ll b\land a\ne b\implies(\exist c\in P\colon a\ll c\ll b\land a\ne c) dcpo (P,\le)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.57, Theorem I-1.10 * 연속 원순서 집합이다. * 순서 아이디얼의 상한 함수 \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P는 (작은 얇은 범주 사이의 함자로서) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 여기서 \operatorname{Ideal}(P)는 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합이다. 구체적으로, 연속 dcpo (P,\le)에 대하여, \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P의 왼쪽 수반 함자는 :\mathord\Downarrow\colon P\to\operatorname{Ideal}(P) :\mathord\Downarrow\dashv\mathord\bigvee 이다. 증명 임의의 연속 dcpo (P,\le)가 주어졌다고 하자. 다음 두 명제를 보이면 족하다. * 임의의 a\in P에 대하여, a\le\bigvee\mathop\Downarrow a * 임의의 순서 아이디얼 I\in\operatorname{Ideal}(P)에 대하여, \mathop\Downarrow\bigvee I\subseteq I 이 두 명제는 연속 원순서 집합의 정의에 따라 자명하다. 반대로, (P,\le)가 dcpo이며, f\colon P\to\operatorname{Ideal}(P)가 \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P의 왼쪽 수반 함자이며, a\in P라고 하자. 그렇다면, f(a)는 :a\le\bigvee f(a) 인 최소의 P의 순서 아이디얼이다. 근사 순서 \ll의 정의에 따라, :f(a)=\mathop\Downarrow a 이다. 따라서, P는 연속 원순서 집합이다. 증명 끝
## 완비 격자
완비 격자 L의 두 원소 a,b\in L에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * a\ll b * 임의의 부분 집합 A\subseteq P에 대하여, 만약 b\le\bigvee A라면, a\le\bigvee F인 유한 부분 집합 F\subseteq A가 존재한다. 완비 격자 L에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. * 연속 원순서 집합이다. * 순서 아이디얼의 상한 함수 \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L은 임의의 부분 집합의 하한을 보존한다. 여기서 \operatorname{Ideal}(L)은 순서 아이디얼들의 완비 격자이다.Theorem I-1.10 * 임의의 상향 집합들의 집합 \mathcal D\subseteq\mathcal P(L)에 대하여, \bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D=\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D) * 두 원소 격자 \\{0,1\\}의 (유한 또는 무한 개) 직접곱 위의 스콧 연속 멱등 함수 r\colon\\{0,1\\}^\kappa\to\\{0,1\\}^\kappa의 상 r(\\{0,1\\}^\kappa)과 동형이다.56, Theorem 44 부제=두 번째 조건 연속 완비 격자 L이 주어졌다고 하자. \mathcal I\subseteq\operatorname{Ideal}(L)이 임의의 순서 아이디얼들의 집합이라고 하자. :\bigvee\bigwedge\mathcal I=\bigwedge_{I\in\mathcal I}\bigvee I 를 보이면 족하다. \le은 자명하다. \mathord\Downarrow\dashv\mathord\bigvee이므로, 반대 방향의 부등식은 :\bigwedge\mathcal I\supseteq\mathop\Downarrow\bigwedge_{I\in\mathcal I}\bigvee I 를 보이면 족하다. 이는 임의의 I\in\mathcal I에 대하여 :I\supseteq\mathop\Downarrow\bigvee I\supseteq\mathop\Downarrow\bigwedge_{J\in\mathcal I}\bigvee J 이므로 참이다. 반대로, L이 완비 격자이며, \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L이 임의의 하한을 보존한다고 하자. \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L의 왼쪽 수반 함자 f\colon L\to\operatorname{Ideal}(L)를 찾으면 족하다. 다음과 같은 함수를 생각하자. :f\colon a\mapsto\bigwedge\left\\{I\in\operatorname{Ideal}(L)\colon a\le\bigvee I\right\\} 이는 자명하게 순서 보존 함수이다. 따라서, 다음 두 부등식을 보이면 족하다. * 임의의 I\in\operatorname{Ideal}(L)에 대하여, f\left(\bigvee I\right)\subseteq I ** 이는 I\in\left\\{J\in\operatorname{Ideal}(L)\colon\bigvee I\le\bigvee J\right\\}이므로 참이다. * 임의의 a\in L에 대하여, a\le\bigvee f(a) ** \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L이 하한을 보존하므로, \bigvee f(a)=\bigwedge_{I\in\mathcal I}^{a\le\bigvee I}\bigvee I\ge a이다. 증명 끝 부제=세 번째 조건 연속 완비 격자 L이 주어졌다고 하자. \mathcal D\subseteq\mathcal P(L)가 임의의 L의 상향 집합들의 집합이라고 하자. \bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D\ge\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D) 은 자명하다. 따라서, 임의의 a\ll\bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D에 대하여, a\le\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)임을 보이면 족하다. 임의의 D\in\mathcal D에 대하여, a\ll\bigvee D이므로, a\le g(D)인 g(D)\in D가 존재한다. 따라서, :a\le\bigwedge_{D\in\mathcal D}g(D)\le\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D) 이다. 반대로, L이 완비 격자이며, 또한 임의의 상향 집합들의 집합 \mathcal D\subseteq\mathcal P(L)에 대하여, \bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D=\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)라고 하자. 임의의 a\in L에 대하여, 자명하게 \bigvee\mathop\Downarrow a\le a이다. 따라서 \bigvee\mathop\Downarrow a\ge a임을 보이면 족하다. \mathcal D를 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합 D\subseteq L들의 집합으로 취하자. * D는 상향 집합이다. * a\le\bigvee D 그렇다면, \mathcal D의 정의에 따라, 임의의 f\in\prod\mathcal D에 대하여, :\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)\ll a 이다. 따라서, :a\le\bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D=\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge f(D)\le\bigvee\mathop\Downarrow a 이다. 증명 끝 연속 완비 격자에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 분배 격자이다. * 완비 헤이팅 대수이다. 증명 모든 완비 헤이팅 대수는 자명하게 분배 격자이다. 반대로, L이 연속 완비 격자이자, 분배 격자라고 하자. 임의의 원소 a\in L 및 부분 집합 S\subseteq L에 대하여, :a\wedge\bigvee S=\bigvee_{s\in S}a\wedge s 임을 보이면 족하다. 연속 완비 격자의 세 번째 조건에서, :\mathcal D=\left\\{\\{a\\},\left\\{\bigvee S'\colon S'\subseteq S,\;|S'|\bot이며, a=b는 L의 어떤 도약 (c,a)의 두 번째 성분이다. 따라서, 모든 전순서 완비 격자는 연속 완비 격자이다.
## 멱집합
임의의 집합 X에 대하여, 멱집합 (\mathcal P(X),\subseteq)는 완비 격자를 이룬다. 이 경우 A\ll B는 A가 B의 유한 부분 집합인 것과 동치이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로, (\mathcal P(X),\subseteq)는 연속 완비 격자를 이룬다.
## 열린집합 격자
위상 공간 X의 열린집합들은 포함 관계에 의하여 완비 헤이팅 대수 \operatorname{Open}(X)를 이룬다. 임의의 두 열린집합 U,V\in\operatorname{Open}(X)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * U\ll V * 임의의 열린 V-덮개는 유한 부분 U-덮개를 갖는다. * U\subseteq V이며, U를 원소로 갖는 X 위의 임의의 극대 필터는 V 속의 점으로 수렴한다. 증명 \operatorname{Open}(X)가 완비 격자이므로 첫째 조건과 둘째 조건은 서로 동치이다. 이제, U\ll V이며, \mathcal F가 X위의 극대 필터이며, U\in\mathcal F라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 x\in V가 \mathcal F의 극한이 아니라고 가정하자. 즉, W_x\not\in\mathcal F인 x의 근방 W_x가 존재한다. \mathcal F가 극대 필터이므로, W_x\cap F_x=\varnothing인 F_x\in\mathcal F가 존재한다. 그렇다면, \\{W_x\colon x\in V\\}는 V-덮개이므로, 유한 부분 U-덮개 \\{W_x\colon x\in S\\}을 갖는다. 따라서, :\varnothing=\bigcup_{x\in S}W_x\cap\bigcap_{x\in S}F_x\in\mathcal F 이며, 이는 모순이다. 이제, U\subseteq V이며, U를 원소로 갖는 X 위의 임의의 극대 필터는 V 속의 점으로 수렴한다고 하자. \mathcal D\subseteq\operatorname{Open}(X)가 열린집합들의 상향 집합이며, V\subseteq\bigcup\mathcal D라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 D\in\mathcal D에 대하여, U\not\subseteq D라고 하자. 그렇다면, \\{U\setminus D\colon D\in\mathcal D\\}는 하향 집합을 이룬다. 이를 포함하는 최소의 필터 :\mathcal F_0=\mathop\uparrow\\{U\setminus D\colon D\in\mathcal D\\} 를 생각하자. \mathcal F_0\subseteq\mathcal F인 X 위의 극대 필터 \mathcal F를 취하자. D_0\in\mathcal D를 고정하자. 그렇다면, 임의의 F\in\mathcal F에 대하여, :F\cap U\supseteq F\cap U\setminus D_0\ne\varnothing 이다. 따라서 U\in\mathcal F이며, \mathcal F는 어떤 x\in V로 수렴한다. x\in D인 D\in\mathcal D를 취하자. 그렇다면, D\in\mathcal F이므로, :\varnothing=D\cap U\setminus D\in\mathcal F 이다. 이는 모순이다. 증명 끝 만약 X가 국소 콤팩트 공간(즉, 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 위상 공간)이라면, 추가로 다음 조건이 동치이다. * U\subseteq C\subseteq V인 콤팩트 집합 C가 존재한다. 따라서, 임의의 국소 콤팩트 공간 X의 열린집합 격자 \operatorname{Open}(X)는 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로, 위상 공간 X에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X를 **핵콤팩트 공간**(core-compact space)이라고 한다. * \operatorname{Open}(X)는 연속 완비 격자이다. * X의 차분화는 국소 콤팩트 공간이다. * 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}에서, 임의의 위상 공간 Y에 대하여, 지수 대상 Y^X가 존재한다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :국소 콤팩트 공간 (모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 공간) ⇒ 핵콤팩트 공간 ⇒ 쇼케 공간 ⇒ 베르 공간
## 반례
다음과 같은 부분 순서 집합 \\{\bot,\top,a_1,a_2,a_3,\dotsc,b\\}을 생각하자. :\bot :\bot 이는 완비 격자를 이룬다. :\\{\bot,a_1,a_2,a_3,\dotsc\\} 가 상향 집합이므로, b\not\ll b임을 알 수 있다. 따라서 :\bigvee\mathop\Downarrow b=\bigvee\\{\bot\\}=\bot\ne b 이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다. 모든 원자 없는 완비 불 대수는 연속 완비 격자가 아니다. 원자 없는 완비 불 대수 B의 두 원소 a,b\in B에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * a\ll b * a=\bot
## 합동 관계 격자
환 R의 아이디얼들은 포함 관계에 의하여 완비 격자 \operatorname{Ideal}(R)를 이룬다. 임의의 두 아이디얼 I,J\in\operatorname{Ideal}(R)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * I\ll J * I\subseteq K\subseteq J인 유한 생성 아이디얼 K\subseteq R가 존재한다. 모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로, \operatorname{Ideal}(R)는 연속 완비 격자를 이룬다.