전파 상수

**전파 상수**(Propagation constant)는 정현파 전자기파가 주어진 방향으로 전파될 때 파동의 진폭과 위상의 변화를 나타내는 척도이다. 측정되는 양은 전압, 전자 회로의 전류, 또는 전기장 세기나 자속 밀도와 같은 장 벡터가 될 수 있다. 전파 상수는 그 자체로 단위 길이당 무차원 크기 또는 위상 변화를 측정한다. 사단자 회로망 및 이들의 캐스케이드(cascade)와 관련하여, **전파 상수**는 파동이 한 포트에서 다음 포트로 전파될 때 소스 양에서 발생하는 변화를 측정한다. 전파 상수의 값은 로그로 표현되며, 다른 상황에서 전기 통신에서 사용되는 10을 밑으로 하는 대신 거의 항상 e를 밑으로 한다. 전압과 같이 측정되는 양은 페이저로 표현된 정현파로 나타낸다. 정현파의 위상은 거리에 따라 달라지며, 이로 인해 전파 상수가 복소수가 되며, 허수 부분은 위상 변화로 인해 발생한다.
# 다른 이름
"전파 상수"라는 용어는 ω에 따라 크게 달라지는 경향이 있어 다소 오해의 소지가 있다. 가장 널리 사용되는 용어일 가능성이 높지만, 이 양에 대해 다양한 저자가 사용하는 여러 대체 이름이 있다. 여기에는 **전송 매개변수**, **전송 함수**, **전파 매개변수**, **전파 계수** 및 **전송 상수**가 포함된다. 복수형이 사용되면 알파(α)와 베타(β)가 **전송 매개변수**, **전파 매개변수** 등과 같이 개별적으로 참조되지만 총체적으로 참조됨을 나타낸다. 전송선 이론에서 알파(α)와 베타(β)는 "2차 계수"에 포함되며, 2차라는 용어는 1차 선로 계수와 대조하여 사용된다. 1차 계수는 선로의 물리적 특성인 R, C, L, G이며, 전신 방정식을 사용하여 2차 계수를 도출할 수 있다. 전송선 분야에서 투과계수라는 용어는 이름의 유사성에도 불구하고 다른 의미를 가지는데, 이는 반사 계수의 동반자이다.
# 정의
주어진 시스템에 대한 전파 상수(기호 γ)는 파동의 소스에서의 복소 진폭과 특정 거리 x에서의 복소 진폭의 비율로 정의된다. : \frac{A_0}{A_x} = e^{\gamma x} . 위 방정식을 뒤집고 γ를 분리하면 복소 진폭 비율의 자연로그와 이동한 거리 x의 몫이 된다. : \gamma=\ln\left(\frac{A_0}{A_x}\right)/x 전파 상수는 복소량이므로 다음과 같이 쓸 수 있다. : \gamma = \alpha + i \beta\ 여기서 * α는 실수부로, 감쇠 상수라고 불린다. * β는 허수부로, 위상 상수라고 불린다. * i \equiv j \equiv \sqrt{ -1\ }; 기호 j는 전기 및 전자 공학에서 더 일반적이다. β가 실제로 위상을 나타낸다는 것은 오일러 공식에서 알 수 있다. : e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}\ 이것은 θ가 변함에 따라 위상이 변하지만 진폭은 변하지 않는 정현파이다. 왜냐하면 : \left| e^{i\theta} \right| = \sqrt{ \cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}\;} = 1 e를 밑으로 사용하는 이유도 이제 명확해졌다. 허수 위상 상수인 iβ는 감쇠 상수 α에 직접 추가되어, 동일한 밑을 가진 경우 단일 수학적 연산으로 처리될 수 있는 단일 복소수를 형성할 수 있다. 라디안에 도달하려면 밑 e가 필요하며, 마찬가지로 감쇠에 대한 네퍼에 도달하려면 밑 e가 필요하다. 전도성 선로의 전파 상수는 1차 선로 계수로부터 다음 관계식을 통해 계산할 수 있다. : \gamma= \sqrt{ Z Y\ } 여기서 : Z = R + i\ \omega L는 단위 길이당 선로의 직렬 온저항이고, : Y = G + i\ \omega C는 단위 길이당 선로의 션트 어드미턴스이다.
## 평면파
선형 매질에서 x 방향으로 전파되는 평면파의 전파 인자는 다음과 같이 주어진다. P = e^{-\gamma x} 여기서 * \gamma = \alpha + i\ \beta = \sqrt{i\ \omega\ \mu\ (\sigma + i\ \omega \varepsilon) }edition=2ndp=126 * x : x 방향으로 이동한 거리 * \alpha : 감쇠 상수 (네퍼/미터) * \beta : 위상 상수 (라디안/미터) * \omega : 각진동수 (라디안/초) * \sigma : 매질의 전도도 * \varepsilon = \varepsilon' - i\ \varepsilon : 매질의 복소 유전율 * \mu = \mu' - i\ \mu: 매질의 복소 투자율 * i : 허수 단위 부호 규칙은 손실 매질에서의 전파와의 일관성을 위해 선택된다. 감쇠 상수가 양수이면 파동이 x 방향으로 전파됨에 따라 파동 진폭이 감소한다. 파장, 위상속도, 표피 깊이는 전파 상수의 구성 요소와 간단한 관계를 가지고 있다. \lambda = \frac {2 \pi}{\beta} \qquad v_p = \frac{\omega}{\beta} \qquad \delta = \frac{1}{\alpha}
# 감쇠 상수
전기 통신에서 **감쇠 상수**는 **감쇠 매개변수** 또는 **감쇠 계수**라고도 불리며, 소스로부터 단위 거리당 매질을 통해 전파되는 전자기파의 감쇠를 나타낸다. 이는 전파 상수의 실수부이며 네퍼/미터 단위로 측정된다. 1네퍼는 약 8.7 dB이다. 감쇠 상수는 진폭 비율로 정의할 수 있다. : \left|\frac{A_0}{A_x}\right|=e^{\alpha x} 단위 길이당 전파 상수는 송신 전류 또는 전압과 수신 전류 또는 전압의 비율에 대한 자연로그를 관련된 거리 x로 나눈 값으로 정의된다. : \alpha=\ln\left(\left|\frac{A_0}{A_x}\right|\right)/x
## 전도성 선로
전도성 선로의 감쇠 상수는 위에서 설명한 대로 1차 선로 계수로부터 계산할 수 있다. 절연체에 전도도 G가 있는 왜곡 없는 조건을 만족하는 선로의 경우, 감쇠 상수는 다음으로 주어진다. : \alpha=\sqrt{RG} . 그러나 실제 선로는 로딩 코일을 추가하지 않고는 이 조건을 충족하기 어려우며, 또한 1차 "상수"에 작용하는 주파수 의존적 효과가 있어 손실의 주파수 의존성을 야기한다. 이러한 손실에는 두 가지 주요 구성 요소, 즉 금속 손실과 유전체 손실이 있다. 대부분의 전송선로 손실은 금속 손실에 의해 지배되며, 이는 금속의 유한한 전도도와 도체 내부의 표피효과로 인해 주파수 의존성을 야기한다. 표피 효과는 도체를 따라 R이 주파수에 대략적으로 의존하게 만든다. : R \propto \sqrt{\omega} 유전체 내부의 손실은 재료의 손실 탄젠트 (tan δ)를 신호의 파장으로 나눈 값에 따라 달라진다. 따라서 주파수에 직접 비례한다. : \alpha_d=\pi}\sqrt{\varepsilon_r}\over{\lambda{\tan \delta}
## 광섬유
광섬유에서 특정 전파 모드의 감쇠 상수는 축방향 전파 상수의 실수부이다.
# 위상 상수
전자기 이론에서 **위상 상수**는 **위상 변화 상수**, **매개변수** 또는 **계수**라고도 불리며, 평면파의 전파 상수의 허수 구성 요소이다. 이는 파동이 임의의 순간에 이동하는 경로를 따라 단위 길이당 위상 변화를 나타내며, 파동의 각 파수의 실수부와 같다. 기호 β (SI 단위: 라디안/미터)로 표현된다. 손실 없는 매질에서 횡 전자기 (TEM) 파동에 대한 (각) 파수의 정의로부터, : k = \frac{2\pi}{\lambda} = \beta 전송선로의 경우, 전신 방정식은 시간 영역에서 파동의 전송이 왜곡되지 않으려면 파수가 주파수에 비례해야 한다고 말한다. 여기에는 손실 없는 선로의 이상적인 경우가 포함되지만 이에 국한되지 않는다. 이 조건의 이유는 유용한 신호가 주파수 영역에서 여러 다른 파장으로 구성된다는 점을 고려하면 알 수 있다. 파형에 왜곡이 없으려면 이 모든 파동이 동일한 속도로 이동하여 그룹으로 동시에 선로의 먼 끝에 도달해야 한다. 파동의 위상속도는 다음과 같으므로 : v_p = \frac{\lambda}{T} = \frac{f}{\tilde{\nu = \frac{\omega}{\beta}, β가 ω에 비례해야 함이 증명된다. 선로의 1차 계수 측면에서 볼 때, 이는 왜곡 없는 선로에 대한 전신 방정식으로부터 다음 조건을 도출한다. : \beta = \omega \sqrt{LC}, 여기서 L과 C는 각각 선로의 단위 길이당 인덕턴스 및 캐패시턴스이다. 그러나 실제 선로는 제한된 주파수 대역에서만 이 조건을 대략적으로 충족할 것으로 예상할 수 있다. 특히, 위상 상수 \beta 는 항상 파수 k와 동등하지 않다. : \beta = k 관계는 자유 공간 또는 동축 케이블 및 두 평행선 전송선로와 같은 TEM 장치에서 이동하는 TEM 파동에 적용된다. 그럼에도 불구하고, TE 파동 (횡 전기 파동) 및 TM 파동 (횡 자기 파동)에는 적용되지 않는다. 예를 들어,pages=62–164 TEM 파동이 존재할 수 없지만 TE 및 TM 파동이 전파될 수 있는 속이 빈 도파관에서는 다음과 같다. : k=\frac{\omega}{c} : \beta=k\sqrt{1-\frac{\omega_c^2}{\omega^2 여기서 \omega_{c} 는 차단 주파수이다. 직사각형 도파관에서 차단 주파수는 다음과 같다. : \omega_{c} = c \sqrt{\left(\frac{n \pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{m \pi}{b}\right) ^2}, 여기서 m,n \ge 0은 길이가 a와 b인 직사각형 변에 대한 모드 번호이다. TE 모드의 경우 m,n \ge 0 (단 m = n = 0은 허용되지 않음), TM 모드의 경우 m,n \ge 1 이다. 위상 속도는 다음과 같다. : v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{c}{\sqrt{1-\frac{\omega_\mathrm{c}^2}{\omega^2>c
# 필터 및 사단자 회로망
전파 상수 또는 전파 함수라는 용어는 필터 및 신호 처리에 사용되는 다른 사단자 회로망에 적용된다. 그러나 이러한 경우 감쇠 계수와 위상 계수는 단위 길이당이 아닌 네트워크 섹션당 네퍼 및 라디안으로 표현된다. 일부 저자Matthaei et al, p. 49는 단위 길이 측정값("상수" 사용)과 섹션당 측정값("함수" 사용)을 구분한다. 전파 상수는 항상 캐스케이드 섹션 토폴로지를 사용하는 필터 설계에서 유용한 개념이다. 캐스케이드 토폴로지에서 개별 섹션의 전파 상수, 감쇠 상수 및 위상 상수를 단순히 더하여 총 전파 상수 등을 찾을 수 있다.
## 캐스케이드 네트워크
임의의 전파 상수와 임피던스를 가진 세 개의 네트워크가 캐스케이드로 연결되어 있다. Zi 항은 영상 임피던스를 나타내며, 연결은 일치하는 영상 임피던스 간에 이루어진다고 가정한다. 각 네트워크의 출력 대 입력 전압 비율은 다음으로 주어진다.Matthaei et al, pp. 51–52 : \frac{V_1}{V_2}=\sqrt{\frac{Z_{I1{Z_{I2e^{\gamma_1} : \frac{V_2}{V_3}=\sqrt{\frac{Z_{I2{Z_{I3e^{\gamma_2} : \frac{V_3}{V_4}=\sqrt{\frac{Z_{I3{Z_{I4e^{\gamma_3} \sqrt{\frac{Z_{In{Z_{Im 항은 임피던스 스케일링 항이며Matthaei et al, pp. 37–38 그 사용법은 영상 임피던스 문서에 설명되어 있다. 전체 전압 비율은 다음으로 주어진다. : \frac{V_1}{V_4}=\frac{V_1}{V_2}\cdot\frac{V_2}{V_3}\cdot\frac{V_3}{V_4}=\sqrt{\frac{Z_{I1{Z_{I4e^{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3} 따라서 서로 마주보는 임피던스가 모두 일치하는 n개의 캐스케이드 섹션에 대해 전체 전파 상수는 다음으로 주어진다. : \gamma_\mathrm{total}=\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 + \cdots + \gamma_n
# 내용주
각주