노르드스트룀 중력 이론

이론물리학에서 **노르드스트룀 중력 이론**(Nordström's theory of gravitation)은 일반 상대성이론의 전신이었다. 엄밀히 말하면, 핀란드 이론 물리학자 군나르 노르드스트룀이 1912년과 1913년에 각각 제안한 두 가지의 서로 다른 이론이 있었다. 첫 번째는 빠르게 기각되었지만, 두 번째는 계량 중력 이론의 첫 번째 알려진 사례가 되었으며, 이 이론에서는 중력의 효과가 휘어진 시공간의 기하학적 관점에서 전적으로 다루어진다. 노르드스트룀의 두 이론 모두 관측 및 실험과 일치하지 않는다. 그럼에도 불구하고, 첫 번째 이론은 두 번째 이론으로 이어졌다는 점에서 여전히 흥미롭다. 두 번째 이론은 현재의 중력 이론인 일반 상대성이론으로 가는 길에 중요한 이정표였을 뿐만 아니라, 자기 일관적인 상대론적 중력 이론의 간단한 예시로서도 여전히 흥미롭다. 이 이론은 특히 계량 중력 이론의 예측을 도출하고 테스트하는 방법에 대한 교육적 논의 맥락에서 유용하다.
# 이론의 발전
노르드스트룀의 이론은 헬싱키의 노르드스트룀, 밀라노의 막스 아브라함, 독일 그라이프스발트의 구스타프 미에, 프라하의 알베르트 아인슈타인을 포함한 여러 선도적인 물리학자들이 모두 경쟁하는 상대론적 중력 이론을 만들려고 노력하던 시기에 등장했다.chapter-url=https://philarchive.org/rec/CHRMTO-2 이 모든 연구자들은 기존 이론, 즉 뉴턴 중력 이론의 고전 장론 버전을 적절하게 수정하려고 시도하는 것으로 시작했다. 이 이론에서 장 방정식은 \Delta \phi = 4 \pi \rho인 푸아송 방정식이며, 여기서 \phi는 중력 퍼텐셜이고 \rho는 물질 밀도이다. 이는 주변 중력장 내의 시험입자에 대한 운동 방정식으로 보강되며, 이는 뉴턴의 힘 법칙에서 파생될 수 있으며, 시험입자의 가속도가 퍼텐셜의 기울기로 주어진다고 명시한다. :\frac{d \vec{u{dt} = -\nabla \phi 이 이론은 운동 방정식이 고유 시간이 아닌 좌표 시간을 참조하고, 고립된 물체의 물질이 폭발로 인해 갑자기 재분배될 경우 장 방정식이 "공간"의 모든 곳에서 퍼텐셜이 즉시 "업데이트"되어야 한다고 요구하기 때문에 상대론적이지 않다. 이는 물리적 효과(이 경우 장의 근원으로부터 멀리 떨어진 시험입자 운동에 대한 효과)를 갖는 모든 "소식"이 빛의 속력보다 빠르게 전달될 수 없다는 원칙을 위반한다. 아인슈타인의 전 미적분학 교수였던 헤르만 민코프스키는 1908년에 중력의 벡터 이론을 스케치했지만, 1912년 아브라함은 그러한 이론이 안정적인 행성 궤도를 허용하지 않을 것이라고 지적했다. 이것이 노르드스트룀이 스칼라 중력 이론으로 눈을 돌린 한 가지 이유였다(반면 아인슈타인은 텐서 이론을 탐구했다). 노르드스트룀의 첫 번째 적절한 상대론적 스칼라 중력장 방정식을 제안하려는 시도는 상상할 수 있는 가장 간단하고 자연스러운 선택이었다. 즉, 뉴턴 장 방정식의 라플라시안을 단순히 달랑베르시안 또는 파동 연산자로 대체하여 \Box \phi = 4 \pi \, \rho를 얻었다. 이는 진공장 방정식을 라플라스 방정식에서 파동 방정식으로 변경하는 결과를 가져오며, 이는 한 위치에서의 물질 재분배에 관한 모든 "소식"이 빛의 속도로 다른 위치로 전달됨을 의미한다. 따라서 시험입자에 대한 적절한 운동 방정식에 대한 가장 간단한 추측은 \dot{u}_a = -\phi_{,a}일 수 있다. 여기서 점은 고유 시간에 대한 미분을 나타내고, 쉼표 뒤의 아래 첨자는 색인된 좌표에 대한 편미분을 나타내며, u^a는 시험입자의 4차원 속도 벡터이다. 이 힘 법칙은 이전에 아브라함에 의해 제안되었지만, 고유 시간의 정의에 의해 요구되는 대로 4차원 속도의 노름을 보존하지 않으므로, 노르드스트룀은 대신 \dot{u}_a = -\phi_{,a} - \dot{\phi} \, u_a를 제안했다. 그러나 이 이론은 여러 가지 이유로 받아들일 수 없다. 두 가지 반론은 이론적이다. 첫째, 이 이론은 뉴턴 장 이론(또는 대부분의 계량 중력 이론)과는 달리 라그랑지언에서 파생될 수 없다. 둘째, 제안된 장 방정식은 선형이다. 그러나 전자기학과의 유추를 통해 중력장이 에너지를 운반할 것으로 예상해야 하며, 상대성이론에 대한 아인슈타인의 연구를 바탕으로 이 에너지가 질량과 동등하고 따라서 중력을 가할 것으로 예상해야 한다. 이는 장 방정식이 비선형이어야 함을 의미한다. 또 다른 반론은 더 실용적이다. 이 이론은 관측과 극적으로 일치하지 않는다. 아인슈타인과 폰 라우에는 문제가 장 방정식에 있을 수 있으며, 이는 선형 형식 F T_{\rm matter} = \rho를 가져야 한다고 제안했다. 여기서 F는 \phi의 미지 함수이고, Tmatter는 존재하는 물질의 밀도, 운동량 및 응력을 설명하는 에너지-운동량 텐서의 대각합이다. 이러한 비판에 대한 응답으로 노르드스트룀은 1913년에 그의 두 번째 이론을 제안했다. 관성 질량과 중력 질량의 비례성으로부터 그는 장 방정식이 비선형인 \phi \, \Box \phi = -4 \pi \, T_{\rm matter}여야 한다고 추론했다. 노르드스트룀은 이제 운동 방정식을 다음과 같이 취했다. :\frac{d \left( \phi \, u_a \right)}{ds} = -\phi_{,a} 또는 \phi \, \dot{u}_a = -\phi_{,a} - \dot{\phi} \, u_a . 아인슈타인은 새로운 이론에 대한 그의 승인을 선언할 첫 번째 기회를 잡았다. 1913년 9월 23일 빈에서 열린 독일 과학자 및 의사 협회 연례 회의에서 행한 기조 연설에서 아인슈타인은 최신 기술을 검토하면서, 그의 마르셀 그로스만과의 작업과 노르드스트룀의 두 번째 이론만이 고려할 가치가 있다고 선언했다. (청중에 있던 미에가 항의하기 위해 일어났지만, 아인슈타인은 그의 기준을 설명했고 미에는 자신의 이론이 그것을 충족하지 못한다는 것을 인정할 수밖에 없었다.) 아인슈타인은 존재하는 유일한 물질이 먼지 구름(즉, 압력이 무시할 수 있는 이상 유체)인 특수한 경우를 고려했다. 그는 이 물질이 에너지-운동량 텐서에 기여하는 것이 다음과 같아야 한다고 주장했다. :\left( T_{\rm matter} \right)_{ab} = \phi \, \rho \, u_a \, u_b 그런 다음 그는 노르드스트룀의 두 번째 이론에서 중력장의 에너지-운동량 텐서에 대한 표현을 유도했다. :4 \pi \, \left( T_{\rm grav} \right)_{ab} = \phi_{,a} \, \phi_{,b} - 1/2 \, \eta_{ab} \, \phi_{,m} \, \phi^{,m} 그는 이것이 일반적으로 유지되어야 한다고 제안했으며, 중력장 에너지와 물질의 에너지-운동량 텐서에 대한 기여의 합이 보존될 것임을 보여주었다. 또한, 그는 노르드스트룀의 두 번째 이론의 장 방정식이 라그랑지언에서 파생됨을 보여주었다. : L = \frac{1}{8 \pi} \, \eta^{ab} \, \phi_{,a} \, \phi_{,b} - \rho \, \phi 주변 중력장 내의 시험입자에 대한 노르드스트룀의 운동 방정식도 라그랑지언에서 파생되기 때문에, 이는 노르드스트룀의 두 번째 이론이 작용 원리에서 파생될 수 있으며, 또한 자기 일관적인 장 이론에서 요구되는 다른 속성을 따른다는 것을 보여준다. 한편, 재능 있는 네덜란드 학생인 아드리안 포커르는 헨드릭 로런츠 밑에서 현재 포커르-플랑크 방정식이라고 불리는 것을 유도하는 박사 학위 논문을 썼다. 로런츠는 그의 전 학생의 성공에 기뻐하며 포커르가 프라하에서 아인슈타인과 함께 박사후 과정을 밟도록 주선했다. 그 결과는 1914년에 발표된 역사적인 논문으로, 아인슈타인과 포커르는 시험입자에 대한 노르드스트룀의 운동 방정식의 라그랑지언 L = \phi^2 \, \eta_{ab} \, \dot{u}^a \, \dot{u}^b가 계량 텐서 g_{ab} = \phi^2 \, \eta_{ab} 를 갖는 휘어진 로렌츠 다양체에 대한 측지선 라그랑지언임을 관찰했다. 선 요소 d\sigma^2 = \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b와 평평한 배경 또는 민코프스키 시공간에서 해당하는 파동 연산자 \Box를 사용하여 데카르트 좌표를 채택하여, 휘어진 시공간의 선 요소가 ds^2 = \phi^2 \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b이면, 이 휘어진 시공간의 리치 스칼라는 다음과 같다. :R = -\frac{6 \, \Box \phi}{\phi^3} 따라서 노르드스트룀의 장 방정식은 단순히 다음과 같이 나타낸다. : R = 24 \pi \, T 여기서 오른쪽에는 계량 텐서 g_{ab}를 사용하여 에너지-운동량 텐서(물질 및 비중력장으로부터의 기여 포함)의 대각합을 취했다. 이것은 역사적인 결과인데, 왜냐하면 여기에서 처음으로 왼쪽에는 순전히 기하학적인 양(리치 스칼라는 리치 텐서의 대각합이며, 이는 그 자체로 4차 리만 곡률 텐서의 일종의 대각합이다)이, 오른쪽에는 순전히 물리적인 양, 즉 에너지-운동량 텐서의 대각합이 서 있는 장 방정식이 있기 때문이다. 아인슈타인은 이 방정식이 그가 이전에 폰 라우에와 함께 제안했던 형태를 취하고 있으며, 그가 그로스만과 함께 연구했던 종류의 이론에 대한 구체적인 예를 제공한다고 기뻐하며 지적했다. 얼마 후 헤르만 바일은 바일 곡률 텐서 C_{abcd}를 도입했는데, 이는 로렌츠 다양체가 등각 평탄(즉, 평탄한 시공간의 계량 텐서와 어떤 스칼라 함수의 곱의 형태를 갖는 계량 텐서)으로부터 얼마나 벗어나는지를 측정한다. 이것은 노르드스트룀의 두 번째 이론에서 제안된 계량의 특수한 형태와 정확히 일치하므로, 이 이론의 전체 내용은 다음 두 방정식으로 요약될 수 있다. : R = 24 \pi \, T, \; \; \; C_{abcd} = 0
# 노르드스트룀 이론의 특징
아인슈타인은 노르드스트룀의 두 번째 이론의 단순성에 이끌렸다. 노르드스트룀 이론의 진공장 방정식은 단순히 다음과 같다. : R = 0, \; \; \; C_{abcd} = 0 노르드스트룀 이론의 일반 진공 해를 즉시 쓸 수 있다. : ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b, \; \; \; \Box \psi = 0 여기서 \phi = \exp(\psi)이고 d\sigma^2 = \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b는 편리한 좌표계(예: 원통형, 극구형 또는 이중 널 좌표)에서 평탄한 시공간의 선 요소이며, \Box는 평탄한 시공간의 일반적인 파동 연산자이다(각각 원통형, 극구형 또는 이중 널 좌표로 표현됨). 그러나 일반적인 3차원 파동 방정식의 일반 해는 잘 알려져 있으며, 매우 명시적인 형태로 주어질 수 있다. 특히, 평탄한 시공간의 원통형 또는 극구형 좌표계(이는 휘어진 로렌츠 다양체에 해당 좌표계를 유도한다)와 같은 특정 좌표계의 경우, 일반 해를 멱급수 형태로 쓸 수 있으며, 특정 코시 문제의 일반 해를 전자기학의 리에나르-비헤르트 퍼텐셜에서 익숙한 방식으로 쓸 수 있다. 노르드스트룀의 장 방정식(진공 또는 기타)의 모든 해에서, \psi를 평탄한 시공간으로부터의 등각 섭동을 제어하는 것으로 간주하면, \psi에 대한 1차 근사에서 다음과 같다. : ds^2 = \exp(2 \, \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b \approx (1 + 2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b 따라서 약장 근사에서 \psi를 뉴턴 중력 퍼텐셜과 동일시할 수 있으며, 이를 평탄한 시공간 배경으로부터의 작은 등각 섭동을 제어하는 것으로 간주할 수 있다. 어떤 계량 중력 이론에서도 모든 중력 효과는 계량의 곡률에서 발생한다. 노르드스트룀 이론의 시공간 모델(일반 상대성이론은 아님)에서는 오직 에너지-운동량 텐서의 대각합에만 의존한다. 그러나 전자기장의 장 에너지는 대각합이 없는 항을 에너지-운동량 텐서에 기여하므로, 노르드스트룀 이론에서는 전자기장 에너지가 중력을 가하지 않는다. 실제로, 이 이론의 장 방정식에 대한 모든 해는 다른 것들 중에서도 평탄한 시공간과 등각적으로 동등한 시공간이기 때문에, 널 측지선은 평탄한 배경의 널 측지선과 일치해야 하므로, 이 이론은 빛의 굽힘을 보일 수 없다. 덧붙여 말하면, 전자기 진공 해(물질이나 전자기장을 제외한 비중력장이 없는 해)에 대한 에너지-운동량 텐서의 대각합이 사라진다는 사실은 노르드스트룀 이론의 일반적인 전자기 진공 해에서 계량 텐서가 진공 해와 동일한 형태를 가지므로, 우리는 단순히 휘어진 시공간에서 맥스웰 방정식을 쓰고 풀면 된다는 것을 보여준다. 그러나 이들은 등각 불변이므로, 우리는 일반적인 전자기 진공 해를 예를 들어 멱급수 형태로 쓸 수도 있다. 노르드스트룀 장 방정식의 해인 어떤 로렌츠 다양체(물질 및 물리적 장을 설명하는 적절한 텐서장을 가짐)에서도 리만 텐서의 등각 부분(즉, 바일 텐서)은 항상 사라진다. 리치 스칼라도 어떤 진공 영역(또는 물질이 없지만 전자기장을 포함하는 어떤 영역)에서 항등적으로 사라진다. 이를 알아보기 위해, 다양체 이론의 중요한 항등식인 리치 분해는 리만 텐서를 각각 리치 스칼라, 대각합 없는 리치 텐서 :S_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{4} \, R \, g_{ab} 및 바일 곡률 텐서로 구성된 세 부분으로 나눈다. 즉시 노르드스트룀 이론은 대각합 없는 리치 텐서를 대수적 관계(이 2차 텐서가 항상 갖는 대칭 속성 외에)에 의해 완전히 제약받지 않도록 남겨둔다. 그러나 모든 (반) 리만 다양체에서 리만 텐서에 대해 성립하는 미분 항등식인 두 번 축약되고 줄어든 비안키 항등식을 고려하면, 노르드스트룀 이론에서는 장 방정식의 결과로 1차 공변 미분 방정식 :S_a}^b}_{;b} = 6 \, \pi \, T_{;a} 을 얻는다. 이는 리만 텐서의 반대각합 부분(대각합 없는 리치 텐서로 구성됨)을 제약한다. 따라서 노르드스트룀 이론에 따르면, 진공 영역에서는 리만 텐서의 반대각합 부분만이 0이 아닐 수 있다. 그러면 S_{ab}에 대한 우리의 공변 미분 제약은 우리 시공간 모델에서 에너지-운동량 텐서의 대각합의 변화가 어떻게 0이 아닌 대각합 없는 리치 텐서를 생성할 수 있고, 따라서 0이 아닌 반대각합 곡률을 생성하여 진공 영역으로 전파될 수 있는지를 보여준다. 이것은 매우 중요한데, 그렇지 않으면 이 이론에 따르면 중력은 진공을 통해 전파될 수 있는 장거리 힘이 아닐 것이기 때문이다. 일반 상대성이론에서는 다소 유사한 현상이 발생하지만, 그곳에서는 리치 텐서가 어떤 진공 영역(그러나 물질이 없지만 전자기장을 포함하는 영역은 아님)에서는 사라지고, 에너지-운동량 텐서의 변화에 의해 미분방정식으로 바일 곡률이 생성(다른 1차 공변 미분 방정식으로)되어 진공 영역으로 전파되어 중력이 진공을 통해 전파될 수 있는 장거리 힘이 되게 한다. 노르드스트룀 이론과 일반 상대성이론의 가장 기본적인 차이점을 다음과 같이 표로 정리할 수 있다. {| class="wikitable" |+**노르드스트룀 이론과 일반 상대성이론 비교** |- ! !! 곡률 유형 !! 노르드스트룀 !! 아인슈타인 |- ! R | 스칼라 || 전자기 진공에서 사라짐 || 전자기 진공에서 사라짐 |- ! S_{ab} | 한 번 대각합 없음 || 중력 복사에 대해 0이 아님 || 진공에서 사라짐 |- ! C_{abcd} | 완전히 대각합 없음 || 항상 사라짐 || 중력 복사에 대해 0이 아님 |} 노르드스트룀 이론의 또 다른 특징은 민코프스키 시공간에서 특정 스칼라 장의 이론으로 쓰일 수 있으며, 이 형태에서는 비중력적 질량-에너지와 중력장 에너지에 대한 예상되는 보존 법칙을 가지지만, 그다지 기억할 만한 힘 법칙은 가지지 못한다. 휘어진 시공간 공식화에서는 시험입자의 운동이 설명되지만(자유 시험입자의 세계선은 시간꼴 측지선이며, 명확한 한계에 의해 레이저 펄스의 세계선은 널 측지선), 보존 법칙은 잃는다. 그러면 어떤 해석이 올바른가? 다시 말해서, 노르드스트룀에 따르면 물리적 실험으로 국소적으로 측정할 수 있는 계량은 무엇인가? 답은 다음과 같다. 휘어진 시공간이 이 이론(모든 계량 중력 이론에서와 같이)에서 물리적으로 관측 가능한 것이다. 평탄한 배경은 일반 진공 해를 쓰거나 약장 한계를 연구하는 것과 같은 목적에는 헤아릴 수 없는 가치를 지니지만, 단지 수학적 허구일 뿐이다. 이 시점에서 우리는 느리게 움직이는 시험입자와 느리게 진화하는 약한 중력장의 한계에서 노르드스트룀 중력 이론이 뉴턴 중력 이론으로 환원된다는 것을 보여줄 수 있다. 이를 자세히 보여주는 대신, 이 이론에서 가장 중요한 두 가지 해를 자세히 연구할 것이다. *구형 대칭 정적 점근적 평탄 진공 해 *이 이론의 일반 진공 중력 평면파 해 첫 번째를 사용하여 상대론적 중력 이론의 4가지 고전적인 태양계 테스트(고립된 구형 대칭 물체의 주변장에서)에 대한 노르드스트룀 이론의 예측을 얻을 것이며, 두 번째를 사용하여 노르드스트룀 이론과 아인슈타인 일반 상대성 이론의 중력 복사를 비교할 것이다.
# 정적 구형 대칭 점근적 평탄 진공 해
노르드스트룀 이론의 정적 진공 해는 다음과 같은 형태의 계량을 갖는 로렌츠 다양체이다. : ds^2 = \exp(2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b, \; \; \Delta \psi = 0 여기서 우리는 오른쪽에 평탄한 시공간 라플라스 연산자를 취할 수 있다. \psi의 1차 근사에서 계량은 다음과 같이 된다. : ds^2 = (1 + 2 \, \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b 여기서 \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b 는 민코프스키 시공간(평탄한 배경)의 계량이다.
## 계량
극구형 좌표를 채택하고 라플라스 방정식의 알려진 구형 대칭 점근적 소멸 해를 사용하면 원하는 정확한 해를 다음과 같이 쓸 수 있다. : ds^2 = (1-m/\rho) \, \left( -dt^2 + d\rho^2 + \rho^2 \, ( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 \, d\phi^2 ) \right) 여기서 우리는 이 좌표계에서 반경 좌표가 직접적인 기하학적 해석을 쉽게 허용하지 않는다는 사실을 직접적으로 보여주는 좌표로 해를 제공한다는 사실에 의해 적분 상수의 선택을 정당화한다. 따라서 대신 슈바르츠실트 좌표를 채택하고 변환 r = \rho \, (1 - m/\rho)를 사용하여 계량을 다음과 같은 형태로 가져온다. : ds^2 = (1+m/r)^{-2} \, (-dt^2 + dr^2) + r^2 \, (d\theta^2 + \sin(\theta)^2 \, d\phi^2 ) : -\infty < t < \infty, \; 0 < r < \infty, \; 0 < \theta < \pi, \; -\pi < \phi < \pi 여기서 r은 이제 좌표 구 r = r_0의 표면적이 4 \pi \, r_0^2이라는 단순한 기하학적 해석을 갖는다. 일반 상대성이론의 해당하는 정적 구형 대칭 점근적 평탄 해에서와 마찬가지로, 이 해는 4차원 리 군 등거리 변환 또는 동등하게 4차원 (실수) 킬링 벡터장의 리 대수를 허용한다. 이들은 쉽게 다음과 같이 결정된다. : \partial_t (시간 번역) : \partial_\phi (원점을 통과하는 축 주위 회전) : -\cos(\phi) \, \partial_\theta + \cot(\theta) \, \sin(\phi) \, \partial_\phi : \sin(\phi) \, \partial_\theta + \cot(\theta) \, \cos(\phi) \, \partial_\phi 이들은 슈바르츠실트 계량의 슈바르츠실트 좌표계에서 발생하는 것과 정확히 동일한 벡터장이며, 이 시공간이 정적이고 구형 대칭이라는 사실을 단순히 표현한다.
## 측지선
측지선 방정식은 측지선 라그랑지언으로부터 쉽게 얻을 수 있다. 언제나 그렇듯이, 이들은 2차 비선형 상미분 방정식이다. \theta=\pi/2로 설정하면 적도 평면에 제한된 시험입자 운동이 가능하며, 이 경우 첫 번째 적분(1차 상미분 방정식)을 쉽게 얻을 수 있다. 먼저, 다음과 같다. : \dot{t} = E \, \left( 1 + m/r \right)^2 \approx E \, \left( 1 + 2 m/r \right) 여기서 m의 1차 근사에서 슈바르츠실트 진공과 동일한 결과를 얻는다. 이는 노르드스트룀 이론이 파운드-렙카 실험의 결과와 일치함을 보여준다. 둘째, 다음과 같다. : \dot{\phi} = L/r^2 이는 슈바르츠실트 진공과 동일한 결과이다. 이는 적도 평면에서 움직이는 시험입자의 궤도 각운동량 보존을 나타내며, 거의 원형 궤도의 주기(원거리 관찰자가 관찰한 대로)가 슈바르츠실트 진공과 동일할 것임을 보여준다. 셋째, 시간꼴, 널, 공간꼴 측지선에 대해 \epsilon = -1,0,1을 사용하면 다음과 같다. : \frac{\dot{r}^2}{ \left( 1+m/r \right)^4} = E^2 - V 여기서 : V = \frac{L^2/r^2 - \epsilon}{ \left( 1 + m/r \right)^2} 는 일종의 유효 퍼텐셜이다. 시간꼴의 경우, 여기서 r_c = L^2/m에서 안정적인 원형 궤도가 존재한다는 것을 알 수 있으며, 이는 뉴턴 이론과 완벽하게 일치한다(이제 r의 각도 해석은 평탄 공간 개념과 일치하지만 반경 해석은 일치하지 않는다는 사실을 무시한다면). 대조적으로, 슈바르츠실트 진공에서는 m의 1차 근사에서 r_c \approx L^2/m - 3 m이라는 표현을 얻는다. 어떤 의미에서, 여기의 추가 항은 진공 아인슈타인 장 방정식의 비선형성에서 비롯된다.
## 정적 관찰자
주어진 질량을 가진 시험입자를 이 정적 구형 대칭 중력장의 원천이라고 가정하는 거대한 물체 위에 유지하는 데 얼마나 많은 힘이 필요한지 묻는 것은 합리적이다. 이를 알아보기 위해 우리는 간단한 좌표계를 채택하기만 하면 된다. :\vec{e}_0 = \left( 1 + m/r \right) \, \partial_t :\vec{e}_1 = \left( 1 + m/r \right) \, \partial_r :\vec{e}_2 = \frac{1}{r} \, \partial_\theta :\vec{e}_3 = \frac{1}{r \, \sin(\theta)} \, \partial_\phi 그러면 우리 시험입자의 세계선의 가속도 벡터는 단순히 다음과 같다. : \nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = \frac{m}{r^2} \, \vec{e}_1 따라서 입자는 친숙한 뉴턴 표현으로 주어진 크기로 방사형으로 바깥쪽으로 유지되어야 한다(그러나 여기서 반경 좌표는 평탄한 공간 반경 좌표와 정확히 동일시할 수 없다는 것을 다시 명심해야 한다). 다른 말로 하면, 이것은 로켓 엔진을 사용하여 자신의 위치를 유지하는 정적 관찰자가 측정한 "중력 가속도"이다. 대조적으로, m의 2차 근사에서 슈바르츠실트 진공에서 정적 관찰자의 방사형 바깥쪽 가속도의 크기는 m r−2 \+ m^2 r−3이다. 여기서도 두 번째 항은 아인슈타인 중력이 노르드스트룀 중력보다 "해당 지점"에서 약간 더 강하다는 사실을 표현한다. 정적 관찰자가 측정한 조석 텐서는 다음과 같다. : E[\vec{X}]_{ab} = \frac{m}{r^3} \, {\rm diag}(-2,1,1) + \frac{m^2}{r^4} \, {\rm diag}(-1,1,1) 여기서 \vec{X}=\vec{e}_0을 취한다. 첫 번째 항은 뉴턴 중력 이론과 일반 상대성이론의 해당 해와 일치한다. 두 번째 항은 조석력이 아인슈타인 중력보다 노르드스트룀 중력에서 약간 더 강하다는 것을 보여준다.
## 근일점의 비뉴턴적 세차 운동
측지선 방정식에 대한 논의에서 우리는 적도 좌표 평면 \theta=\pi/2에서 다음을 얻는다는 것을 보여주었다. : \dot{r}^2 = (E^2 - V) \; ( 1 + m/r )^4 여기서 시간꼴 측지선의 경우 V = (1+L^2/r^2)/(1+m/r)^2이다. 고유 시간 s에 대해 미분하면 다음을 얻는다. : 2 \dot{r} \ddot{r} = \frac{d}{dr} \left( (E^2-V) \, (1+m/r)^4 \right) \; \dot{r} 양변을 \dot{r}로 나누면 다음을 얻는다. : \ddot{r} = \frac{1}{2} \, \frac{d}{dr} \left( (E^2-V) \, (1+m/r)^4 \right) 우리는 이전에 V의 최솟값이 r_c = L^2/m에서 발생하고 E_c = L^2/(L^2+m^2)임을 발견했다. 미분을 평가하고, 이전 결과를 사용하고, \varepsilon = r-L^2/m^2로 설정하면 다음을 얻는다. : \ddot{\varepsilon} = -\frac{m^4}{L^8} \, (m^2+L^2) \, \varepsilon + O(\varepsilon^2) 이는 (1차 근사에서) 단순 조화 운동의 방정식이다. 다른 말로, 거의 원형 궤도는 방사형 진동을 나타낼 것이다. 그러나 뉴턴 중력에서 일어나는 것과는 달리, 이 진동의 주기는 궤도 주기와 완전히 일치하지 않을 것이다. 이는 우리의 거의 원형 궤도의 근일점(최근접점)의 느린 세차 운동 또는 더 생생하게는 준-케플러적 거의 타원형 궤도의 긴 축의 느린 회전을 초래할 것이다. 구체적으로, : \omega_{\rm shm} \approx \frac{m^2}{L^4} \, \sqrt{m^2+L^2} = \frac{1}{r^2} \, \sqrt{m^2+m r} (여기서 L = \sqrt{m r}을 사용하고 r_c에서 아래 첨자를 제거했다), 반면에 : \omega_{\rm orb} = \frac{L}{r^2} = \sqrt{m/r^3} 불일치는 다음과 같다. : \Delta \omega = \omega_{\rm orb} - \omega_{\rm shm} = \sqrt{\frac{m}{r^3 - \sqrt{\frac{m^2}{r^4} + \frac{m}{r^3 \approx -\frac{1}{2} \sqrt{ \frac{m^3}{r^5 따라서 궤도당 근일점 지연은 다음과 같다. : \Delta \phi = 2 \pi \, \Delta \omega \approx -\pi \, \sqrt{\frac{m^3}{r^5 그리고 m의 1차 근사에서 거의 타원형 궤도의 긴 축은 다음과 같은 속도로 회전한다. :\frac{ \Delta \phi}{\omega_{\rm orb \approx -\frac{\pi m}{r} 이는 일반 상대성이론의 슈바르츠실트 진공 해에 대한 해당 표현과 비교할 수 있으며, 이는 (m의 1차 근사에서) 다음과 같다. :\frac{ \Delta \phi}{\omega_{\rm orb \approx \frac{6 \pi m}{r} 따라서 노르드스트룀 이론에서는 거의 타원형 궤도가 시계 반대 방향으로 가로지르면 긴 축은 시계 방향으로 느리게 회전하는 반면, 일반 상대성이론에서는 시계 반대 방향으로 6배 빠르게 회전한다. 첫 번째 경우에는 근일점 지연이라고 말할 수 있고, 두 번째 경우에는 근일점 전진이라고 말할 수 있다. 두 이론 모두에서 더 많은 작업을 통해 더 일반적인 표현을 유도할 수 있지만, 여기서는 거의 원형 궤도의 특수한 경우를 다루는 것으로 만족할 것이다. 예를 들어, 노르드스트룀 이론에 따르면 수성의 근일점은 세기당 약 7초의 각도로 지연되어야 하는 반면, 일반 상대성이론에 따르면 근일점은 세기당 약 43초의 각도로 전진해야 한다.
## 빛 지연
우리 해의 적도 평면에서 널 측지선은 다음을 만족한다. : 0 = \frac{-dt^2 + dr^2}{(1 + m/r)^2} + r^2 \, d\phi^2 널 측지선 상의 두 사건을 고려하자. 원점에 가장 가까운 지점 전후이다. 이러한 거리를 R_1, \, R, \, R_2라고 하자. 여기서 R_1, \, R_2 \gg R이다. \phi를 제거하려고 하므로, R = r \, \cos \phi(극좌표에서의 직선 방정식)로 놓고 미분하여 다음을 얻는다. :0 = -r \sin \phi \, d\phi + \cos \phi \, dr 따라서 :r^2 \, d\phi^2 = \cot(\phi)^2 \, dr^2 = \frac{R^2}{r^2-R^2} \, dr^2 이를 선 요소에 대입하고 dt에 대해 풀면 다음을 얻는다. : dt \approx \frac{1}{\sqrt{r^2-R^2 \; \left( r + m \, \frac{R^2}{r^2} \right) \; dr 따라서 첫 번째 사건에서 최접근 사건까지의 좌표 시간은 다음과 같다. : (\Delta t)_1 = \int_R^{R_1} dt \approx \frac{m+R_1}{R_1} \, \sqrt{R_1^2-R^2} = \sqrt{R_1^2-R^2} + m \, \sqrt{1-(R/R_1)^2} 마찬가지로 : (\Delta t)_2 = \int_R^{R_2} dt \approx \frac{m+R_2}{R_2} \, \sqrt{R_2^2-R^2} = \sqrt{R_2^2-R^2} + m \, \sqrt{1-(R/R_2)^2} 여기서 뉴턴 이론에서 예상되는 경과 좌표 시간은 당연히 다음과 같다. : \sqrt{R_1^2-R^2} + \sqrt{R_2^2-R^2} 따라서 노르드스트룀 이론에 따른 상대론적 시간 지연은 다음과 같다. : \Delta t = m \, \left( \sqrt{1-(R/R_1)^2} + \sqrt{1-(R/R_2)^2} \right) 작은 비율 R/R_1, \; R/R_2의 1차 근사에서 이것은 \Delta t = 2 m 에 불과하다. 일반 상대성이론의 해당 결과는 다음과 같다. : \Delta t = 2 m + 2 m \, \log \left( \frac{4 \, R_1 \, R_2}{R^2} \right) 이는 작은 비율 R/R_1, \; R/R_2에 로그적으로 의존한다. 예를 들어, 금성이 지구에서 보기에 태양 뒤로 막 지나가려고 할 때, 지구에서 방출되어 태양의 가장자리를 스쳐 금성에서 반사되어 다시 지구로 돌아오는 레이더 신호(다시 태양의 가장자리를 스침)의 상대론적 시간 지연은 노르드스트룀 이론에 따르면 약 20 마이크로초이고, 일반 상대성이론에 따르면 약 240 마이크로초이다.
# 결과
위에서 찾은 결과를 다음 표에 요약할 수 있으며, 주어진 표현은 적절한 근사치를 나타낸다. {| class="wikitable" |+**세 가지 중력 이론의 예측 비교** |- ! !! 뉴턴 !! 노르드스트룀 !! 아인슈타인 |- ! 정적 시험입자의 가속도 | **m** **r**−2 || **m** **r**−2 || **m** **r**−2 \+ **m**2 **r**−3 |- ! 초-쿨롱 조석력 | 0 || **m**2 **r**−4 diag(-1,1,1) || 0 |- ! 원형 궤도의 반경 | **R** = **L**2 **m** −1 || **R** = **L**2 **m** −1 || **R** = **L**2 **m**−1 − 3 **m** |- ! 중력 적색편이 계수 | 1 || 1 + **m** **r** −1 || 1 + **m** **r** −1 |- ! 빛의 굽힘 각도 | \delta \phi = \frac{2 \, m}{R} || 0 || \delta \phi = \frac{4 \, m}{R} |- ! 근일점의 세차율 | 0 || \frac{\Delta \phi}{\omega_{\rm orb = -\frac{\pi \, m}{R} || \frac{\Delta \phi}{\omega_{\rm orb = \frac{6 \, \pi \, m}{R} |- ! 시간 지연 | 0 || 2 \, m || 2 \, m + 2 \, m \; \log \left( \frac{4 \, R_1 \, R_2}{R^2} \right) |} 이 표의 마지막 네 줄은 상대론적 중력 이론의 소위 네 가지 고전적인 태양계 테스트를 나열한다. 표에 나타난 세 가지 이론 중 태양계의 실험 및 관측 결과와 일치하는 것은 일반 상대성이론뿐이다. 노르드스트룀 이론은 파운드-렙카 실험에 대해서만 정확한 결과를 제공한다. 놀랍게도 뉴턴 이론은 네 가지 상대론적 테스트에서 모두 실패한다.
# 진공 중력 평면파
민코프스키 시공간의 이중 널 좌표에서, : ds^2 =- 2 \, du \, dv + dx^2 + dy^2, \; \; \; -\infty < u, \, v, \, x, \, y < \infty 파동 방정식의 간단한 해 :\- 2 \, \psi_{uv} + \psi_{xx} + \psi_{yy} = 0 은 \psi = f(u)이며, 여기서 f는 임의의 매끄러운 함수이다. 이는 z 방향으로 전파되는 평면파를 나타낸다. 따라서 노르드스트룀 이론은 정확한 진공 해를 허용한다. : ds^2 = \exp(2 f(u)) \; \left(- 2 \, du \, dv + dx^2 + dy^2 \right), \; \; \; -\infty < u, \, v, \, x, \, y < \infty 이는 중력파의 전파라는 측면에서 해석할 수 있다. 이 로렌츠 다양체는 6차원 리 군 등거리 변환 또는 동등하게 6차원 킬링 벡터장의 리 대수를 허용한다. : \partial_v (널 변환, 파수 벡터장 \partial_u에 "반대") :\partial_x, \; \; \partial_y (파면에 수직인 공간 번역) : -y \, \partial_x + x \, \partial_y (전파 방향과 평행한 축 주위 회전) :x \, \partial_v + u \, \partial_x, \; \; y \, \partial_v + u \, \partial_y 예를 들어, 킬링 벡터장 x \, \partial_v + u \, \partial_x는 다음 1차 매개변수 등거리 변환족을 제공하기 위해 적분된다. :(u,v,x,y) \longrightarrow (u, \; v+ x \, \lambda + \frac{u}{2} \, \lambda^2, \; x + u \, \lambda, \; y) 특수 상대성이론(및 일반 상대성이론)에서와 마찬가지로, 해의 형태를 방해하지 않고 좌표를 변경하여 파동이 \partial_z에 수직인 모든 방향으로 전파되도록 하는 것이 항상 가능하다. 우리의 등거리 변환 그룹은 초곡면 u=u_0에서 전이적이다. 대조적으로, 일반 상대성이론의 일반적인 중력 평면파는 5차원 리 군 등거리 변환만을 갖는다. (두 이론 모두에서 특수 평면파는 추가 대칭을 가질 수 있다.) 잠시 후 이것이 왜 그런지에 대해 더 자세히 설명할 것이다. 프레임 장을 채택하면 : \vec{e}_0 = \frac{1}{\sqrt{2 \, \left( \partial_v + \exp(-2f) \, \partial_u \right) : \vec{e}_1 = \frac{1}{\sqrt{2 \, \left( \partial_v - \exp(-2f) \, \partial_u \right) : \vec{e}_2 = \partial_x : \vec{e}_3 = \partial_y 해당하는 시험입자족은 관성적(자유 낙하)임을 알 수 있는데, 가속도 벡터가 0이기 때문이다. :\nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = 0 f가 사라지면 이 족은 평탄한 (민코프스키) 시공간에서 상호 정지 상태인 시험입자 족이 된다는 점에 유의한다. 시간꼴 단위 벡터장 \vec{X} = \vec{e}_0을 적분하여 얻은 시간꼴 측지선 일치에 대해 팽창 텐서 : \theta[\vec{X}]_{\hat{p} \hat{q = \frac{1}{\sqrt{2 \, f'(u) \, \exp (-2 \, f(u)) \, {\rm diag} (0,1,1) 는 우리 시험입자들이 전파 방향에 수직으로 등방적으로 팽창하거나 수축함을 보여준다. 이것은 횡단 스핀-0 파동에 대해 예상되는 것과 정확히 일치한다. 일반 상대성이론에서 중력 평면파를 만나는 유사한 시험입자 족의 행동은 상당히 다르다. 왜냐하면 이것들은 스핀-2 파동이기 때문이다. 이것은 노르드스트룀 중력 이론이 스칼라 이론인 반면, 아인슈타인 중력 이론(일반 상대성이론)은 텐서 이론이기 때문이다. 반면에 두 이론 모두에서 중력파는 횡파이다. 전자기 평면파는 물론 횡파이기도 하다. 조석 텐서 :E[\vec{X}]_{\hat{p}\hat{q = \frac{1}{2} \, \exp (-4 \, f(u)) \; \left ( f'(u) ^2 - f(u) \right) \, {\rm diag} (0,1,1) 는 노르드스트룀 이론에서 중력 평면파의 스핀-0 특성을 더욱 보여준다. (조석 텐서와 팽창 텐서는 \vec{e}_0에 수직인 초평면 요소에 "존재"하는 3차원 텐서이며, 이 경우 비회전성이므로 이러한 텐서를 수직 초단면에 정의된 것으로 간주할 수 있다.) 여기서 논의하는 정확한 해는 전파하는 중력 평면파로 해석되며, 노르드스트룀 이론에서 중력 복사의 전파에 대한 기본적인 통찰력을 제공하지만, 이 이론에서 중력 복사의 생성에 대한 통찰력은 제공하지 않는다. 이 시점에서 일반 상대성이론의 표준 선형화된 중력파 이론에 대한 노르드스트룀 중력 이론의 아날로그를 논의하는 것이 자연스러울 수 있지만, 우리는 이를 추구하지 않을 것이다.