SYZ 추측

끈 이론 **SYZ 추측**은 수학에서 거울 대칭 가설을 이해하려는 시도들 중 하나이다. 원래의 추측은 스트로밍거, 야우 및 자슬로우의 "거울 대칭은 *T-* 이중성"이라는 제목의 논문에서 제안되었다. SYZ 추측은 호몰로지 거울 대칭 추측과 함께 거울 대칭을 이해하는 데 적용되는 가장 많이 탐구된 도구 중 하나이다. 호몰로지 거울 대칭은 호몰로지 대수학을 기반으로 하는 반면, SYZ 추측은 거울 대칭을 기하학적으로 구현한 것이다.
# 공식화
끈 이론에서 거울 대칭은 IIA 유형과 IIB 유형 이론을 관련시킨다. 유형 IIA와 유형 IIB의 유효장론을 거울 대칭 쌍인 다양체에서 축소화하면 두 이론이 동일해야 한다고 예측한다. SYZ 추측은 이 사실을 사용하여 거울 대칭을 실현한다. 이는 *X*로 압축된 유형 IIA 이론의 BPS 상태, 특히 모듈라이 공간 *X*가 있는 0-막을 고려하는 것부터 시작된다. *Y *로 축소화된 유형 IIB 이론의 모든 BPS 상태는 3막인 것으로 알려져 있다. 따라서 거울 대칭은 유형 IIA 이론의 0-막을 유형 IIB 이론의 3-막 부분 집합으로 사상한다. 초대칭 조건을 고려하여 이러한 3개의 막은 특수 라그랑주 부분 다양체임이 밝혀졌다. 반면에 T-이중성은 이 경우 동일한 변환을 수행하므로 "거울 대칭은 T-이중성"이다.
# 수학적 진술
스트로밍거, 야우 및 자슬로우의 SYZ 추측에 대한 초기 제안은 수학적으로 정확하게 제시되지 않았다. SYZ 추측의 수학적 해결의 한 부분은 어떤 의미에서 추측 자체의 진술을 올바르게 공식화하는 것이다. 수학계 내에서 추측에 대한 정확한 진술에 대해 합의된 것은 없지만 여기에 제시된 추측의 올바른 공식화에 가깝다고 예상되는 일반적인 진술이 있다.Gross, M., Huybrechts, D. and Joyce, D., 2012. Calabi-Yau manifolds and related geometries: lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway, June 2001. Springer Science & Business Media.Gross, M., 2012. Mirror symmetry and the Strominger-Yau-Zaslow conjecture. Current Developments in Mathematics, 2012(1), pp.133-191. 이 진술은 거울 대칭의 위상 수학적 그림을 강조하지만 거울 쌍의 복잡하고 대칭적인 구조 사이의 관계를 정확하게 특성화하지 않거나 관련된 리만 계량을 참조하지 않는다.

> **SYZ 추측:** 모든 6차원 칼라비-야우 다양체 X는 다음과 같은 거울 6차원 칼라비-야우 다양체 \hat{X}와 대응된다: 다음과 같은 3차원 콤팩트 위상 다양체 B로 가는 연속 전사 f: X\to B, \hat{f}:\hat{X} \to B가 존재한다: # 사상 f,\hat{f}이 비특이 특수 라그랑주 3-원환면에 의한 올뭉치인 조밀한 열린 부분 집합 B_{\text{reg\subset B이 존재한다. 게다가 모든 점 b\in B_{\text{reg에 대해 , 원환 올 f^{-1}(b)과 \hat{f}^{-1}(b)는 어떤 의미에서는 서로 쌍대이어야 하며, 이는 아벨 버라이어티의 쌍대성과 유사하다. # 각각 b\in B\backslash B_{\text{reg에 대해, 올 f^{-1}(b)과 \hat f^{-1}(b)는 각 X과 \hat{X}의 3차원 싱귤러 특수 라그랑주 부분 다양체여야 한다.

특수 라그랑주 원환면 올의 그림. B_{\text{reg안의 점들 위에서 올 f: X \to B는 3-원환이고, 싱귤러 집합 B\backslash B_{\text{reg 위에서 올은 아마도 싱귤러 특수 라그랑주 부분다양체 L일 수 있다. B_{\text{reg = B인 경우 특이 궤적이 없다는 것을 SYZ 추측의 *반평탄극한*이라고 하며, 원환 올화를 설명하는 모델 상황으로 자주 사용된다. SYZ 추측은 예를 들어 타원곡선으로 구성된 아벨 버라이어티 및 K3 곡면과 같은 반평형 극한의 일부 간단한 경우에 유지되는 것으로 나타날 수 있다. SYZ 추측의 올바른 공식화는 위의 진술과 다소 다를 것으로 예상된다. 예를 들어 싱귤러 집합 B\backslash B_{\text{reg의 가능한 행동은 잘 이해되지 않았으며 이 집합은 B과 비교하여 상당히 클 수 있다. 거울 대칭은 종종 단일 칼라비-야우 대신에 칼라비-야우 다양체의 퇴행적인 계열이라는 용어로 표현되며 SYZ 추측이 이 언어로 더 정확하게 재구성될 것으로 기대할 수 있다.Gross, M., Huybrechts, D. and Joyce, D., 2012. Calabi-Yau manifolds and related geometries: lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway, June 2001. Springer Science & Business Media.
# 호몰로지 거울 대칭 추측과의 관계
SYZ 거울 대칭 추측은 거울 칼라비-야우 다양체의 호지 수와 관련된 원래 거울 대칭 추측을 개선한 것 중 하나이다. 다른 하나는 콘세비치의 호몰로지 거울 대칭 추측 (HMS 추측)이다. 이 두 가지 추측은 거울 대칭에 대한 예측을 다양한 방식으로 인코딩한다. 즉, *대수적* 방식의 호몰로지 거울 대칭과 *기하학적* 방식의 SYZ 추측이다.Bejleri, D., 2016, July. The SYZ conjecture via homological mirror symmetry. In *Superschool on Derived Categories and D-branes* (pp. 163-182). Springer, Cham. 거울 대칭에 대한 이 세 가지 해석 사이에는 관계가 있어야 하지만, 둘이 동등해야 하는지 아니면 한 제안이 다른 제안보다 더 강한지는 아직 알려지지 않았다. 호몰로지 거울 대칭이 호지 이론의 거울 대칭을 암시한다는 특정 가정 하에서 보여주는 방향으로 진전이 이루어졌다.Ganatra, S., Perutz, T. and Sheridan, N., 2015. Mirror symmetry: from categories to curve counts. *arXiv preprint arXiv:1510.03839*. 그럼에도 불구하고 간단한 설정에서는 SYZ 및 HMS 추측을 연관시키는 명확한 방법이 있다. HMS의 주요 특징은 추측이 거울 기하학적 공간의 대상(부분 다양체 또는 층)와 관련되어 있으므로 HMS 추측을 이해하거나 증명하는 데 필요한 입력에는 거울 쌍의 기하학적 공간이 포함된다는 것이다. SYZ 추측은 이러한 거울 쌍이 어떻게 발생해야 하는지 예측하므로 SYZ 거울 쌍이 발견될 때마다 이 쌍에 대한 HMS 추측을 시도하고 증명하는 것이 좋은 후보이다. SYZ와 HMS 추측을 연관 시키려면, 준 평탄 극한에서 살펴보는것이 편하다. 거울 대칭을 부호화 하는 라그랑주 원환 올화 X,\hat X \to B의 쌍의 가장 중요한 기하학적 특징은 그 올화의 쌍대 원환 올이다. 주어진 라그랑주 원환 T\subset X에 대해, 그 쌍대 원환은 T의 야코비 버라이어티 \hat T = \mathrm{Jac}(T)로 주어진다. 이는 같은 차원을 가진 또다른 원환이다. 그리고 그 쌍대성은 \mathrm{Jac}(\mathrm{Jac}(T)) = T이라서 T와 \hat T들이 정말 쌍대라는 것으로 인코딩 된다. 야코비 버라이어티 \hat T는 T의 선다발들의 모듈라이 공간이라는 중요한 해석을 갖는다. 이러한 쌍대성과 원래 원환의 층의 모듈라이 공간으로서의 쌍대 원환의 해석은 부분 다양체와 부분 층의 데이터를 교환할 수 있게 해준다. 이 현상에 대한 두 가지 간단한 예가 있다. * 만약에 p\in X가 특별한 라그랑주 원환 올화의 어떤 올 p\in T\subset X 내부에 있는 점이면, T = \mathrm{Jac}(\hat T)이므로, 점 p는 \hat T \subset \hat X에서 지지되는 선다발에 해당한다. s(B)=L이 X의 라그랑주 부분 다양체인 라그랑주 단면 s: B \to X을 선택하는 경우, 정확히 s가 SYZ 올의 각 원환 올에서 한 지점을 선택하므로, 이 라그랑주 단면은 거울 다양체 \hat X의 각 원환 올에서 지지되는 선다발 구조 선택에 대한 거울 쌍대이다. 결과적으로 \hat X의 전체 공간에 대한 선다발, 거울 다양체의 유도 범주에 나타나는 연접층의 가장 간단한 예이다. 거울 원환 올이 준 평탄 극한에 속하지 않는 경우 베이스 B의 싱큘러 집합을 교차할 때 특별한 주의를 기울여야 한다. * 라그랑주 부분 다양체의 또 다른 예는 원환 올 자체이며, 그 위에 평탄한 유니타리 선다발의 데이터가 추가된 전체 원환를 라그랑주 다양체 T\subset X로 취하면 호몰로지 거울 대칭에서 종종 필요한 것처럼 다음 쌍대 원환 \hat T \subset \hat X에서 이는 원환 위의 선 다발을 나타내는 단일 점에 해당한다. 쌍대 원환의 해당 점에 지지된 마천루 층을 취하면 *SYZ 올화의 원환 올가 거울 원환 올의 점에 지지된 마천루 층으로 전송되는 것을* 볼 수 있다. 이 두 가지 예는 가장 극단적인 유형의 연접층, 국소적 자유 층 (랭크 1) 및 점에서 지지되는 꼬임 층를 생성한다. 비틀림 여과를 사용하여 연접층을 만드는 것과 유사하게 보다 신중하게 구성하면 더 복합적인 연접층의 예를 구성 할 수 있다. 간단한 예로서, 라그랑주 *다중단면* (*k* 라그랑주 단면들의 합집합)은 거울 다양체의 *k* 랭크 *벡터* *다발*에 대해 거울 쌍대이어야 한다. 그러나 그로모프-위튼 이론의 의미에서 다중 단면의 관점에서, 다중 단면으로 제한된 홀로모르픽 디스크를 세어 인스턴톤 보정을 고려해야 한다. 이러한 방식으로 거울 대칭이 쌍대 대상을 교환하는 방법을 이해하는 데 열거 기하학이 중요해진다. SYZ 추측의 거울 올 기하학과 열거 불변량 및 B 베이스 싱귤러 집합의 구조에 대한 자세한 이해를 결합함으로써, X의 라그랑주 부분 다양체 범주로부터 \hat X의 연접층 범주로 가는 범주 동형 \mathrm{Fuk}(X) \to \mathrm{D}^b \mathrm{Coh}(\hat X)을 구축하기 위해 올화의 기하학을 사용하는 것이 가능하다. 원환 올의 쌍대성을 사용하여 동일한 논의를 역으로 반복함으로써, X의 라그랑주 부분 다양체의 관점에서 \hat X의 연접층을 유사하게 이해할 수 있다.