가우시안 빔

파면에 대해 두 개의 피크가 있다.]] 상단: 페이지 밖으로 전파되는 가우시안 빔의 횡단면 세기 프로파일. 파란색 곡선: 빔 축으로부터의 방사형 위치에 대한 전기장(또는 자기장) 진폭. 검은색 곡선은 해당 세기이다. 5mW 녹색 레이저 포인터 빔, TEM00 프로파일을 보여줌 광학에서 **가우시안 빔**(Gaussian beam)은 횡단면에서 가우스 함수로 주어진 진폭 포락선을 갖는 전자기파의 이상적인 광선빔이다. 이는 또한 가우스 세기 프로파일을 의미한다. 이 기본(또는 TEM00) 횡모드 가우스 모드는 많은 레이저의 의도된 출력을 설명하는데, 이러한 빔은 다른 어떤 빔보다 덜 퍼지고 더 잘 초점을 맞출 수 있기 때문이다. 가우시안 빔이 이상적인 렌즈에 의해 재초점되면, 새로운 가우시안 빔이 생성된다. 주어진 파장과 편광을 갖는 원형 가우시안 빔을 따라 있는 전기장 및 자기장 진폭 프로파일은 두 가지 매개변수에 의해 결정된다. 가장 좁은 지점에서의 빔 폭을 측정하는 허리 w0와 허리에 대한 상대적인 위치 z이다.Svel토, pp. 153–5. 가우스 함수는 무한한 범위를 가지므로, 완벽한 가우시안 빔은 자연에 존재하지 않으며, 그러한 빔의 가장자리는 모든 유한한 렌즈나 거울에 의해 잘려나갈 것이다. 그러나, 가우스는 빔 내의 렌즈나 거울이 빔의 스폿 크기 w(z)보다 상당히 큰 경우 실제 빔에 대한 유용한 근사치이다. 근본적으로, 가우스는 전자기장 파동 방정식인 근축 헬름홀츠 방정식의 해이다. 다른 해들도 존재하지만, 가우스 계열의 해들은 컴팩트한 빔을 포함하는 문제에 유용하다.
# 수학적 형태
아래 방정식들은 z의 모든 값에서 원형 단면을 가진 빔을 가정한다. 이는 단일 횡단면인 r이 나타나는 것으로 알 수 있다. 타원 단면을 갖거나, 두 횡단면(x 및 y)에 대해 z의 다른 위치에 허리를 갖는 빔(비점수차 빔)도 가우시안 빔으로 설명될 수 있지만, 두 횡단면에 대해 w0의 고유한 값과 1 = z = 0 위치를 갖는다. w0 = 2λ를 갖는 가우시안 빔 세기 프로파일. 가우시안 빔은 횡단면 전자기 모드이다.Svel토, p. 158. 전기장 진폭에 대한 수학적 표현은 근축 헬름홀츠 방정식의 해이다. x 방향으로의 편광과 +z 방향으로의 전파를 가정할 때, 페이저 (전자)(복소수) 표기법으로 전기장은 다음과 같이 주어진다. {\mathbf E(r,z)} = E_0 \, \hat{\mathbf x} \, \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w(z)^2}\right ) \exp \left(\\! -i \left(kz +k \frac{r^2}{2R(z)} - \psi(z) \right) \\!\right) 여기서oclc=492184223 *r은 빔의 중심축으로부터의 반경 거리이며, *z는 빔의 초점(또는 "허리")으로부터의 축 방향 거리이며, *i는 허수 단위이며, *1=k = 2πn/λ는 자유 공간 파장 λ에 대한 파수 (미터당 라디안)이며, n은 빔이 전파되는 매질의 굴절률이며, *1=E0 = E(0, 0)은 원점(1=r = 0, 1=z = 0)에서의 전기장 진폭이며, *w(z)는 빔을 따라 z 평면에서 필드 진폭이 축 값의 1/e로 떨어지는 반경(즉, 세기 값이 축 값의 1/e2로 떨어지는 곳)이며, *1=w0 = w(0)은 허리 반경이며, *R(z)은 z에서의 빔의 파면의 곡률 반경이며, *1=ψ(z) = arctan(z/zR)은 빛의 위상속도에 기인하는 것을 넘어선 추가 위상 항인 z에서의 구이 위상이다. 물리적 전기장은 위에서 주어진 페이저 필드 진폭에 시간 요소를 곱한 실수부를 취하여 얻어진다. \mathbf E_\text{phys}(r,z,t) = \operatorname{Re}(\mathbf E(r,z) \cdot e^{i\omega t}), 여기서 \omega는 빛의 각진동수이고 t는 시간이다. 시간 요소는 복소 켤레 모호성에서 논의된 바와 같이 임의의 부호규약을 포함한다. 이 해는 근축 근사에 의존하므로, 매우 강하게 퍼지는 빔에는 정확하지 않다. 위의 형태는 w0 ≫ λ/n인 대부분의 실제 경우에 유효하다. 해당하는 세기(또는 복사조도) 분포는 다음과 같이 주어진다. I(r,z) = { |E(r,z)|^2 \over 2 \eta } = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w(z)^2}\right), 여기서 상수 η는 빔이 전파되는 매질의 파동 임피던스이다. 자유 공간의 경우, 1=η = η0 ≈ 377 Ω이다. E02/2η는 빔 허리 중앙에서의 세기이다. 만약 P0가 빔의 총 일률이라면, I_0 = {2P_0 \over \pi w_0^2}.
## 변화하는 빔 폭
빔을 따라 (초점으로부터 측정된) z 위치에서, 스폿 크기 매개변수 w는 쌍곡선 관계에 의해 주어진다. w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_\mathrm{R \right)}^2 }, 여기서 z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2 n}{\lambda} 는 아래에서 더 자세히 논의될 레일리 범위라고 불리며, n은 매질의 굴절률이다. 빔을 따라 어떤 위치 z에서의 빔 반경 w(z)는 그 위치에서의 세기 분포의 반치전폭 (FWHM)과 다음과 같이 관련된다.archive-url=https://web.archive.org/web/20160304035034/http://www.zemax.com/support/resource-center/knowledgebase/how-to-convert-fwhm-measurements-to-1-e-squared-ha w(z)={\frac {\text{FWHM}(z)}{\sqrt {2\ln2.
## 파면 곡률
파면은 허리에서 곡률이 0이다(반경 = ∞). 파면 곡률은 허리에서 멀어질수록 크기가 증가하며, 레일리 거리에서 극값에 도달한다(1=z = +zR에서 최대, 1=z = -zR에서 최소). 레일리 거리 너머에서는 z > zR 곡률이 다시 크기가 감소하며 z → ±∞로 갈수록 0에 접근한다. 곡률은 종종 그 역수인 곡률 반경 R로 표현된다. 기본 가우시안 빔의 경우 위치 z에서의 곡률은 다음과 같이 주어진다. \frac{1}{R(z)} = \frac{z} {z^2 + z_\mathrm{R}^2} , 따라서 곡률 반경 R(z)은 R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_\mathrm{R{z} \right)}^2 } \right]. 곡률의 역수인 곡률 반경은 곡률이 0을 통과하는 빔 허리에서 부호가 반전되고 무한대가 된다.
## 타원 및 비점수차 빔
많은 레이저 빔은 타원형 단면을 가지고 있다. 또한 두 횡방향 치수에 대해 허리 위치가 다른 빔(비점수차 빔)도 일반적이다. 이러한 빔은 위의 두 진화 방정식을 사용하여 처리할 수 있지만, x 및 y에 대해 각 매개변수의 고유한 값을 사용하고 1=z = 0 지점의 고유한 정의를 사용한다. 구이 위상은 각 차원의 기여도를 합산하여 올바르게 계산되는 단일 값이며, 각 차원에서 ±π/4 범위 내의 구이 위상이 기여된다. 타원형 빔은 원거리장에서 허리로 전파됨에 따라 타원률이 역전될 것이다. 허리에서 멀리 떨어진 곳에서 더 컸던 차원은 허리 근처에서 더 작아질 것이다.
## 모드로 분해된 가우스
근축 헬름홀츠 방정식의 임의의 해는 에르미트-가우스 모드(진폭 프로파일이 데카르트 좌표계를 사용하여 x와 y로 분리 가능) 또는 라게르-가우스 모드(진폭 프로파일이 원통 좌표계를 사용하여 r과 θ로 분리 가능)의 합으로 분해될 수 있으며, 유사하게 인스-가우스 모드(진폭 프로파일이 타원 좌표계를 사용하여 ξ와 η로 분리 가능)의 조합으로 분해될 수 있다.지그만, p. 642.아마도 Goubau와 Schwering (1961)에 의해 처음 고려되었을 것이다.반드레스와 구티에레스-베가 (2004) 빔을 따라 어떤 지점 z에서도 이러한 모드들은 지정된 모드에 대한 추가 기하학적 요인을 곱하는 기본 가우스 모드와 동일한 가우스 요인을 포함한다. 그러나 다른 모드들은 다른 구이 위상으로 전파된다. 이것이 모드의 중첩으로 인한 순수한 횡단면 프로파일이 z에서 변화하는 이유이며, 반면에 단일 에르미트-가우스(또는 라게르-가우스) 모드의 전파는 빔을 따라 동일한 형태를 유지한다. 다른 횡모드 분해들이 있지만, 가우스는 축을 따라 광학적 출력이 상당히 밀접하게 제한되는 경우, 즉 컴팩트한 빔을 포함하는 문제에 유용하다. 레이저가 기본 가우스 모드로 작동하지 않을 때에도, 그 출력은 일반적으로 이러한 분해를 사용하여 가장 낮은 차수 모드들에서 발견될 것이다. 왜냐하면 고차 모드의 공간적 확장은 레이저 공진기(캐비티)의 경계를 초과하는 경향이 있기 때문이다. "가우시안 빔"은 일반적으로 기본(TEM00) 가우스 모드에 국한된 복사를 의미한다.
# 빔 매개변수
가우시안 빔 필드의 기하학적 의존성은 빛의 파장 λ(유전체 매질 내에서, 자유 공간이 아닌 경우)과 다음 **빔 매개변수**에 의해 결정되며, 이들 모두는 다음 섹션에 자세히 설명된 대로 연결되어 있다.
## 빔 허리
z의 함수로서 zR: [[레일리 범위; Θ: 총 각도 확산]] 주어진 파장 λ을 갖는 가우시안 빔의 모양은 단 하나의 매개변수인 빔 허리 w0에 의해서만 결정된다. 이는 초점 지점(위 방정식에서 1=z = 0)에서의 빔 크기 측정값이며, 이 지점에서 빔 폭 w(z)(위에서 정의된 대로)가 가장 작다(마찬가지로 축상(1=r = 0) 세기가 가장 크다). 이 매개변수로부터 빔 기하학을 설명하는 다른 매개변수들이 결정된다. 여기에는 아래에 자세히 설명된 레일리 범위 zR와 점근적 빔 발산 θ가 포함된다.
## 레일리 범위 및 공초점 매개변수
레일리 길이 레일리 거리 또는 레일리 범위 zR는 가우시안 빔의 허리 크기가 주어지면 결정된다. z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2 n}{\lambda}. 여기서 λ는 빛의 파장이고, n은 굴절률이다. 허리로부터 레일리 범위 zR와 같은 거리에서 빔의 폭 w는 허리에서 1=w = w0일 때보다 2배 더 크다. 이는 또한 그곳에서 축상(1=r = 0) 세기가 최대 세기(1=z = 0)의 절반이라는 것을 의미한다. 빔을 따라 그 지점은 파면 곡률(1/R)이 가장 큰 지점이기도 하다. 두 지점 1=z = ±zR 사이의 거리는 빔의 공초점 매개변수 또는 초점 심도라고 불린다.url-access=subscription
## 빔 발산
빔 발산 가우스 함수의 꼬리가 실제로는 0에 도달하지 않지만, 다음 논의의 목적을 위해 빔의 "가장자리"는 1=r = w(z)인 반경으로 간주된다. 즉, 세기가 축상 값의 1/e2로 떨어진 곳이다. 이제 z ≫ zR의 경우 매개변수 w(z)는 z에 비례하여 선형적으로 증가한다. 이는 허리에서 멀리 떨어진 곳에서 빔 "가장자리"(위에서 언급한 의미에서)가 원뿔형이라는 것을 의미한다. 그 원뿔(whose 1=r = w(z))과 빔 축(r = 0) 사이의 각도는 빔의 발산을 정의한다. \theta = \lim_{z\to\infty} \arctan\left(\frac{w(z)}{z}\right). 우리가 고려해 온 근축의 경우, θ(라디안)는 대략 \theta = \frac{\lambda}{\pi n w_0} 여기서 n은 빔이 전파되는 매질의 굴절률이고, λ는 자유 공간 파장이다. 발산하는 빔의 총 각도 퍼짐, 또는 위에서 설명된 원뿔의 정점 각도는 다음과 같이 주어진다. \Theta = 2 \theta\, . 이 원뿔은 가우시안 빔의 총 일률의 86%를 포함한다. 발산은 스폿 크기에 반비례하므로, 주어진 파장 λ에 대해 작은 스폿에 초점을 맞춘 가우시안 빔은 초점에서 멀어질수록 빠르게 발산한다. 반대로, 원거리장에서 레이저 빔의 발산을 최소화하려면(그리고 먼 거리에서 최대 세기를 높이려면) 허리에서 큰 단면(w0)을 가져야 한다(따라서 발사될 때 큰 직경을 가져야 한다. 왜냐하면 w(z)는 w0보다 작을 수 없기 때문이다). 빔 폭과 발산 사이의 이러한 관계는 회절과 프라운호퍼 회절을 설명하는 푸리에 변환의 근본적인 특성이다. 어떤 지정된 진폭 프로파일을 갖는 빔도 이 역 관계를 따르지만, 기본 가우스 모드는 초점에서의 빔 크기와 원거리장 발산의 곱이 다른 어떤 경우보다 작은 특수한 경우이다. 가우시안 빔 모델은 근축 근사를 사용하므로, 파면이 빔 축에서 약 30° 이상 기울어질 때는 정확하지 않다.지그만 (1986) p. 630. 위 발산식에서 보면, 이는 가우시안 빔 모델이 허리가 약 2λ/π보다 큰 빔에 대해서만 정확하다는 것을 의미한다. 레이저 빔 품질은 빔 매개변수 곱(BPP)으로 정량화된다. 가우시안 빔의 경우, BPP는 빔의 발산과 허리 크기 w0의 곱이다. 실제 빔의 BPP는 빔의 최소 직경과 원거리장 발산을 측정하고 그 곱을 취하여 얻어진다. 실제 빔의 BPP와 동일한 파장에서 이상적인 가우시안 빔의 BPP 비율은 M2 ("M 제곱")로 알려져 있다. 가우시안 빔의 M2는 1이다. 모든 실제 레이저 빔은 1보다 큰 M2 값을 가지지만, 매우 고품질의 빔은 1에 매우 가까운 값을 가질 수 있다. 가우시안 빔의 개구수는 1=NA = n sin θ로 정의되며, 여기서 n은 빔이 전파되는 매질의 굴절률이다. 이는 레일리 범위가 개구수와 다음과 같이 관련된다는 것을 의미한다. z_\mathrm{R} = \frac{n w_0}{\mathrm{NA .
## 구이 위상
구이 위상은 초점 영역 주변에서 빔이 점진적으로 얻는 위상 이동이다. 위치 z에서 기본 가우시안 빔의 구이 위상은 다음과 같이 주어진다. \psi(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R \right). 구이 위상. 구이 위상은 허리 근처(z ≈ 0)에서 겉보기 파장의 증가를 초래한다. 따라서 그 영역에서의 위상속도는 형식적으로 빛의 속도를 초과한다. 이 역설적인 행동은 근거리장 현상으로 이해되어야 하는데, 빛의 위상속도(정확히 평면파에 적용될 것임)와의 편차는 큰 개구수를 가진 빔의 경우를 제외하고는 매우 작다. 이 경우 파면의 곡률(이전 섹션 참조)이 단일 파장의 거리에서 상당히 변한다. 모든 경우에 파동 방정식은 모든 위치에서 만족된다. 구이 위상의 부호는 전기장 페이저에 대해 선택된 부호규약에 따라 달라진다. eiωt 의존성의 경우, 구이 위상은 -π/2에서 +π/2로 변하는 반면, e-iωt 의존성의 경우 축을 따라 +π/2에서 -π/2로 변한다. 기본 가우시안 빔의 경우, 구이 위상은 허리 한쪽의 원거리장에서 다른 쪽의 원거리장으로 이동할 때 빛의 속도에 대해 π 라디안(따라서 위상 반전)에 해당하는 순 위상 불일치를 초래한다. 이 위상 변화는 대부분의 실험에서 관찰할 수 없다. 그러나 이는 이론적으로 중요하며 고차 가우스 모드의 경우 더 넓은 범위로 변한다.
# 조리개를 통한 일률
가우시안 빔이 빔 허리에서 거리 z에 있는 반경 r의 원형 조리개에 중심을 맞추고 있다면, 조리개를 통과하는 일률 P는 다음과 같다.archive-url=https://web.archive.org/web/20160304031525/http://www.pa.msu.edu/courses/2010fall/phy431/PostNotes/PHY431-Notes-GaussianBeamOptics.pdf P(r,z) = P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right], 반경 1=r = w(z)의 원의 경우, 원을 통해 전달되는 일률의 비율은 \frac{P(w(z),z)}{P_0} = 1 - e^{-2} \approx 0.865. 마찬가지로, 빔 일률의 약 90%는 반경 1=r = 1.07 × w(z)의 원을 통해 흐르고, 95%는 반경 1=r = 1.224 × w(z)의 원을 통해, 99%는 반경 1=r = 1.52 × w(z)의 원을 통해 흐른다.
# 복소 빔 매개변수
복소 빔 매개변수 빔을 따라 z의 함수로서 가우시안 빔의 스폿 크기와 곡률은 복소 빔 매개변수 q(z)지그만, pp. 638–40.가르그, pp. 165–168.에 인코딩될 수도 있으며, 이는 다음과 같이 주어진다. q(z) = z + iz_\mathrm{R} . q(z)의 역수는 각각 실수부와 허수부에 파면 곡률과 상대적 축상 세기를 포함한다. {1 \over q(z)} = {1 \over R(z)} - i {\lambda \over n \pi w^2(z)} . 복소 빔 매개변수는 가우시안 빔 전파의 수학적 분석을 단순화하며, 특히 행렬광학을 사용한 광학 공진기 분석에서 그렇다. 이 형태를 사용하면 전기장(또는 자기장)에 대한 이전 방정식이 크게 단순화된다. u를 타원형 가우시안 빔(타원형 축이 x 및 y 방향에 있는)의 상대적 필드 강도라고 하면, 다음과 같이 x 및 y로 분리될 수 있다. u(x,y,z) = u_x(x,z)\, u_y(y,z) , 여기서 \begin{align} u_x(x,z) &= \frac{1}{\sqrtq}_x(z) \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right), \\\ u_y(y,z) &= \frac{1}{\sqrtq}_y(z) \exp\left(-i k \frac{y^2}{2 {q}_y(z)}\right), \end{align} 여기서 qx(z)와 qy(z)는 x 및 y 방향의 복소 빔 매개변수이다. 원형 대칭 빔 프로파일의 일반적인 경우, qx(z) = qy(z) = q(z) 및 1=x2 \+ y2 = r2이며, 이는 다음을 산출한다.지그만 (1986) p. 639 참조. Eq. 29 u(r,z) = \frac{1}{q(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 q(z)}\right) .
# 빔 광학
렌즈를 통과하는 가우시안 빔 다이어그램. 가우시안 빔이 얇은 렌즈를 통과할 때, 빔이 렌즈의 원통형 대칭 축을 따라 이동하고 렌즈가 빔 폭보다 크다면, 나가는 빔도 (다른) 가우시안 빔이 된다. 렌즈의 초점 거리 f, 들어오는 빔의 빔 허리 반경 w_0 및 빔 허리 위치 z_0는 나가는 빔의 빔 허리 반경 w_0' 및 위치 z_0'를 결정하는 데 사용될 수 있다.
## 렌즈 방정식
살레와 타이히가 유도한 바와 같이, 들어오는 빔과 나가는 빔 사이의 관계는 가우시안 빔의 각 점 (x,y)에 렌즈를 통과하면서 추가되는 위상을 고려하여 찾을 수 있다.isbn= 0-471-83965-5 Chapter 3, "Beam Optics" 셀프가 제시한 대안적인 접근 방식은 얇은 렌즈가 가우시안 빔 파면에 미치는 영향을 고려하는 것이다.bibcode=1983ApOpt..22..658S 위 문제의 정확한 해는 확대 M로 간단히 표현된다. : \begin{align} w_0' &= Mw_0\\\\[1.2ex] (z_0'-f) &= M^2(z_0-f). \end{align} w_0와 z_0에 의존하는 확대는 다음과 같이 주어진다. : M = \frac{M_r}{\sqrt{1+r^2 여기서 : r = \frac{z_R}{z_0-f}, \quad M_r = \left|\frac{f}{z_0-f}\right|. 빔 위치 z_0'에 대한 동등한 표현은 다음과 같다. : \frac{1}{z_0+\frac{z_R^2}{(z_0-f)+\frac{1}{z_0'} = \frac{1}{f}. 이 마지막 표현은 \left|\left(\tfrac{z_R}{z_0}\right)\left(\tfrac{z_R}{z_0-f}\right)\right|\ll 1인 한계에서 얇은 렌즈 방정식이 회복된다는 것을 명확히 한다. 또한 \left|z_0+\frac{z_R^2}{z_0-f}\right|\gg f이면 들어오는 빔이 "잘 시준"되어 z_0'\approx f가 된다는 점도 주목할 수 있다.
## 빔 초점
일부 응용 분야에서는 수렴 렌즈를 사용하여 레이저 빔을 매우 작은 지점에 초점을 맞추는 것이 바람직하다. 수학적으로 이것은 확대 M의 최소화를 의미한다. 빔 크기가 사용 가능한 광학 장치의 크기에 의해 제한되는 경우, 이는 일반적으로 가능한 가장 큰 시준 빔을 짧은 초점 거리 렌즈를 통해 보내는 방식으로 가장 잘 달성된다. 즉, z_R을 최대화하고 f를 최소화하는 것이다. 이 상황에서는 z_R^2/(z_0-f)^2\gg 1이라는 근사를 하는 것이 정당하며, 이는 M\approx f/z_R을 의미하고 w_0'\approx fw_0/z_R이라는 결과를 산출한다. 이 결과는 종종 다음과 같은 형태로 제시된다. : \begin{align} 2w_0' &\approx \frac{4}{\pi}\lambda F_\\# \\\\[1.2ex] z_0' &\approx f \end{align} 여기서 : F_\\# = \frac{f}{2w_0}, 이는 매질의 굴절률이 n\approx 1이라고 가정하고 z_R=\pi w_0^2/\lambda를 대입한 후에 얻어진다. 빔 크기를 허리 반경 w_0'와 w_0 대신 빔 허리 직경 2w_0'와 2w_0로 나타내는 것을 선호하는 경우가 많기 때문에 2의 인수가 도입되었다.
# 파동 방정식
전자기파의 특수한 경우로, 가우시안 빔(및 아래에 자세히 설명된 고차 가우스 모드)은 자유 공간 또는 균일한 유전체 매질에서 전자기장 파동 방정식의 해이다.스벨토, pp. 148–9. 이는 E의 컬과 H의 컬에 대한 맥스웰 방정식을 결합하여 얻어진다. \nabla^2 U = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2}, 여기서 c는 매질에서의 빛의 속도이며, U는 전기장 또는 자기장 벡터를 나타낼 수 있다. 어느 한 쪽의 특정 해는 다른 쪽을 결정하기 때문이다. 가우시안 빔 해는 근축 근사에서만 유효하다. 즉, 파동 전파가 축에 대한 작은 각도 내의 방향으로 제한될 때이다. 일반성을 잃지 않고, 그 방향을 +z 방향이라고 가정하자. 이 경우 해 U는 일반적으로 시간 의존성이 없고 공간적으로 상대적으로 부드럽게 변하며, 주요 공간적 변화가 z 방향의 파수 k에 해당하는 u로 표현될 수 있다. U(x, y, z, t) = u(x, y, z) e^{-i(kz-\omega t)} \, \hat{\mathbf x} \, . 이 형태를 근축 근사와 함께 사용하면, ∂2u/∂z2는 본질적으로 무시될 수 있다. 전자기 파동 방정식의 해는 전파 방향(z)에 직교하는 편광에 대해서만 유효하므로, 일반성을 잃지 않고 편광을 x 방향으로 간주하여 이제 u(x, y, z)에 대한 스칼라 방정식을 푼다. 이 해를 위 파동 방정식에 대입하면 스칼라 파동 방정식의 근축 근사가 산출된다. \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2ik \frac{\partial u}{\partial z}. 빛원뿔 좌표계로 파동 방정식을 작성하면 어떤 근사도 사용하지 않고 이 방정식이 반환된다.url-access=subscription 어떤 빔 허리 w0를 가진 가우시안 빔도 스칼라 파동 방정식의 근축 근사를 만족한다. 이는 위에서 정의된 복소 빔 매개변수 q(z)로 z에서의 파동을 표현함으로써 가장 쉽게 확인할 수 있다. 다른 많은 해들이 있다. 선형계의 해로서, 해들의 어떤 조합(덧셈 또는 상수로 곱셈)도 해이다. 기본 가우스는 위에서 언급했듯이 최소 스폿 크기와 원거리장 발산의 곱을 최소화하는 것이다. 근축 해, 특히 기본 가우스 모드가 아닌 레이저 복사를 설명할 해를 찾을 때, 우리는 발산과 최소 스폿 크기의 곱이 점진적으로 증가하는 해의 계열을 찾을 것이다. 이 종류의 두 가지 중요한 직교 분해는 에르미트-가우스 또는 라게르-가우스 모드이며, 각각 직사각형 대칭과 원형 대칭에 해당하며 다음 섹션에 자세히 설명되어 있다. 이 두 가지 모두에서 우리가 고려해 온 기본 가우시안 빔은 가장 낮은 차수 모드이다.
# 고차 모드

## 에르미트-가우스 모드
열두 개의 에르미트-가우스 모드 소위 에르미트-가우스 모드의 직교 집합을 사용하여 일관성 있는 근축 빔을 분해할 수 있으며, 이들 각각은 x의 인자와 y의 인자의 곱으로 주어진다. 이러한 해는 데카르트 좌표계로 작성된 근축 헬름홀츠 방정식에서 x와 y의 분리 가능성 때문에 가능하다.지그만 (1986), p645, eq. 54 따라서 x 및 y 방향을 참조하는 차수 (l, m)의 모드가 주어지면, x, y, z에서의 전기장 진폭은 다음과 같이 주어질 수 있다. E(x,y,z) = u_l(x,z) \, u_m(y,z) \, \exp(-ikz), 여기서 x 및 y 의존성에 대한 인자는 각각 다음과 같이 주어진다. u_J(x,z) = \left(\frac{\sqrt{2/\pi{ 2^J \, J! \; w_0}\right)^{\\!\\!1/2} \\!\\! \left( \fracq}_0}q}(z)}\right)^{\\!\\!1/2} \\!\\! \left(- \fracq}^\ast(z)}q}(z)}\right)^{\\!\\! J/2} \\!\\! H_J\\!\left(\frac{\sqrt{2}x}{w(z)}\right) \, \exp \left(\\! -i \frac{k x^2}{2 {q}(z)}\right) , 여기서 우리는 초점으로부터 z에 있는 허리 w0를 가진 빔에 대해 위에서 정의된 복소 빔 매개변수 q(z)를 사용했다. 이 형태에서 첫 번째 인자는 uJ 집합을 정규직교로 만들기 위한 정규화 상수일 뿐이다. 두 번째 인자는 w(z)/w0에 따라 모드의 공간적 확장을 보상하는 z에 의존하는 추가 정규화이다(마지막 두 인자로 인해). 또한 구이 위상의 일부도 포함한다. 세 번째 인자는 고차 J에 대한 구이 위상 이동을 강화하는 순수한 위상이다. 마지막 두 인자는 x(또는 y)에 대한 공간적 변화를 설명한다. 네 번째 인자는 차수 J의 에르미트 다항식("물리학자 형태", 즉 1=H1(x) = 2x)이며, 다섯 번째 인자는 가우스 진폭 감소 exp(−x2/w(z)2)를 설명하지만, 지수에서 복소 q를 사용하면 명확하지 않다. 그 지수 함수를 확장하면 빔을 따라 z에서의 파면 곡률(1/R(z))을 설명하는 x의 위상 인자도 생성된다. 에르미트-가우스 모드는 일반적으로 "TEMlm"으로 지정된다. 따라서 기본 가우시안 빔은 TEM00으로 언급될 수 있다(여기서 TEM은 횡단면 전자기장이다). ul(x, z)과 um(y, z)을 곱하여 2D 모드 프로파일을 얻고, 선행 인자가 단순히 E0라고 불리도록 정규화를 제거하면, (l, m) 모드를 더 접근하기 쉬운 형태로 작성할 수 있다. \begin{align} E_{l, m}(x, y, z) ={} & E_0 \frac{w_0}{w(z)}\, H_l \\!\Bigg(\frac{\sqrt{2} \,x}{w(z)}\Bigg)\, H_m \\!\Bigg(\frac{\sqrt{2} \,y}{w(z)}\Bigg) \times {} \exp \left( {-\frac{x^2+y^2}{w^2(z) \right) \exp \left( {-i\frac{k(x^2 + y^2)}{2R(z) \right) \times {} \exp \big(i \psi(z)\big) \exp(-ikz). \end{align} 이 형태에서, 매개변수 w0는 이전과 같이 모드 계열을 결정하며, 특히 기본 모드의 허리 및 1=z = 0에서의 다른 모든 모드 패턴의 공간적 범위를 스케일링한다. w0, w(z), R(z)이 위에 설명된 기본 가우시안 빔과 동일하게 정의된다고 가정한다. 1=l = m = 0일 때 이전에 설명된 기본 가우시안 빔을 얻는다는 것을 알 수 있다(1=H0 = 1이므로). 어떤 z에서의 x 및 y 프로파일의 유일한 특정 차이는 차수 번호 l 및 m에 대한 에르미트 다항식 인자에 기인한다. 그러나 z에 대한 모드의 구이 위상 진화에는 변화가 있다. \psi(z) = (N+1) \, \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R \right), 여기서 모드의 결합 차수 N은 1=N = l + m으로 정의된다. 기본 (0,0) 가우스 모드의 구이 위상 변화는 z 전체에서 ±π/2 라디안만 변하지만(±zR 사이에서는 ±π/4 라디안만 변함), 고차 모드의 경우 이 값은 인자 N + 1만큼 증가한다.access-date=2014년 5월 2일 직사각형 대칭을 갖는 에르미트 가우스 모드는 직사각형 방식으로 공동 설계가 비대칭인 레이저에서 나오는 복사의 모드 분석에 특히 적합하다. 반면에 원형 대칭을 갖는 레이저와 시스템은 다음 섹션에서 소개되는 라게르-가우스 모드 집합을 사용하여 더 잘 처리할 수 있다.
## 라게르-가우스 모드
첫 12개 라게르-가우스 모드의 세기 프로파일. 원형 대칭을 갖는 빔 프로파일(또는 원통형 대칭 공동을 갖는 레이저)은 종종 라게르-가우스 모드 분해를 사용하여 가장 잘 해결된다. 이러한 함수는 일반화 라게르 다항식을 사용하여 원통 좌표계로 작성된다. 각 횡모드는 이 경우 반경 지수 p ≥ 0와 양수 또는 음수(또는 0)가 될 수 있는 방위각 지수 l의 두 정수를 사용하여 다시 레이블이 지정된다.s2cid=36312938bibcode=2011PhRvA..83c3816M l=1, p=0인 라게르-가우시안 빔. 빨간색과 파란색은 양수 및 음수 위상에 따른 전기장의 세기를 나타낸다. \begin{align} u(r, \phi, z) ={} &C;^{LG}_{lp}\frac{1}{w(z)}\left(\frac{r \sqrt{2{w(z)}\right)^{\\! |l|} \exp\\! \left(\\! -\frac{r^2}{w^2(z)}\right)L_p^{|l|} \\! \left(\frac{2r^2}{w^2(z)}\right) \times {} \\\ &\exp \\! \left(\\! - i k \frac{r^2}{2 R(z)}\right) \exp(-i l \phi) \, \exp(i \psi(z)) , \end{align} 여기서 Lpl은 일반화 라게르 다항식이다. b=lp는 필요한 정규화 상수이다.여기서 사용된 정규화(고정 z에 대한 총 세기가 1과 같음)는 가우스 모드에 대해 #수학적 형태 섹션에서 사용된 것과 다르다. 1=l = p = 0의 경우 라게르-가우스 모드는 표준 가우스 모드로 축소되지만, 다른 정규화 조건으로 인해 두 공식이 일치하지 않는다. C^{LG}_{lp} = \sqrt{\frac{2 p!}{\pi(p+|l|)! \Rightarrow \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\infty dr\; r \,|u(r,\phi,z)|^2=1,. w(z)와 R(z)은 위와 동일한 정의를 갖는다. 고차 에르미트-가우스 모드와 마찬가지로 라게르-가우스 모드의 구이 위상 이동 크기는 인자 N + 1에 의해 과장된다. \psi(z) = (N+1) \, \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R \right) , 여기서 이 경우 결합된 모드 번호 l + 2p이다. 이전과 마찬가지로 횡방향 진폭 변화는 방정식 상단 줄의 마지막 두 인자에 포함되어 있으며, 이는 다시 r에서의 기본 가우스 감소를 포함하지만 이제 라게르 다항식이 곱해진다. 회전 모드 번호 l의 효과는 라게르 다항식에 영향을 미치는 것 외에도 주로 위상 인자 exp(−ilφ)에 포함되어 있으며, 이 인자에서는 빔 프로파일이 빔 주위로 한 번 회전할 때(φ에서) l개의 완전한 2π 위상만큼 진행(또는 지연)된다. 이것은 위상하전 l의 광학 소용돌이의 한 예이며, 해당 모드의 빛의 궤도 각운동량과 관련될 수 있다.
## 인스-가우스 모드
가장 낮은 차수 짝수 인스-가우스 모드의 횡단면 진폭 프로파일. 타원 좌표계에서는 인스 다항식을 사용하여 고차 모드를 작성할 수 있다. 짝수 및 홀수 인스-가우스 모드는 다음으로 주어진다. u_\varepsilon \left( \xi ,\eta ,z\right) = \frac{w_{0{w\left( z\right) }\mathrm{C}_{p}^{m}\left( i\xi ,\varepsilon \right) \mathrm{C} _{p}^{m}\left( \eta ,\varepsilon \right) \exp \left[ -ik\frac{r^{2{ 2q\left( z\right) }-\left( p+1\right) \zeta\left( z\right) \right] , 여기서 ξ와 η는 다음으로 정의되는 반경 방향 및 각도 타원 좌표이다. \begin{align} x &= \sqrt{\varepsilon /2}\;w(z) \cosh \xi \cos \eta ,\\\ y &= \sqrt{\varepsilon /2}\;w(z) \sinh \xi \sin \eta . \end{align} p=m(η, ε)는 차수 p 및 정도 m의 짝수 인스 다항식이며, 여기서 ε은 타원 매개변수이다. 에르미트-가우스 및 라게르-가우스 모드는 각각 1=ε = ∞ 및 1=ε = 0에 대한 인스-가우스 모드의 특수한 경우이다.
## 초기하-가우스 모드
원통 좌표계에는 합류형 초기하 함수에 비례하는 복소 진폭을 갖는 또 다른 중요한 종류의 근축 파동 모드가 있다. 이 모드들은 특이한 위상 프로파일을 가지며 광자 궤도 각운동량의 고유함수이다. 이들의 세기 프로파일은 단일의 빛나는 고리로 특징지어진다. 라게르-가우스 모드와 마찬가지로, 기본 (0,0) 모드를 제외하고는 중심(광학 축상)에서 세기가 0으로 떨어진다. 모드의 복소 진폭은 정규화된 (무차원) 반경 좌표 1=ρ = r/w0와 정규화된 종방향 좌표 1=Ζ = z/zR로 다음과 같이 작성될 수 있다.카리미 등 (2007) \begin{align} u_{\mathsf{p}m}(\rho, \phi, \Zeta) {}={} &\sqrt{\frac{2^{\mathsf{p} + |m| + 1{\pi\Gamma(\mathsf{p} + |m| + 1)\; \frac{\Gamma\left(\frac{\mathsf{p{2} + |m| + 1\right)}{\Gamma(|m| + 1)}\, i^{|m|+1} \times{} \\\ &\Zeta^{\frac{\mathsf{p{2\, (\Zeta + i)^{-\left(\frac{\mathsf{p{2} + |m| + 1\right)}\, \rho^{|m|} \times{} \\\ &\exp\left(-\frac{i\rho^2}{\Zeta + i}\right)\, e^{im\phi}\, {}_1F_1 \left(-\frac{\mathsf{p{2}, |m| + 1; \frac{\rho^2}{\Zeta(\Zeta + i)}\right) \end{align} 여기서 회전 지수 m은 정수이고, {\mathsf p}\ge-|m| 는 실수값이며, Γ(x)는 감마 함수이고 1F_1(a, b; x)는 합류형 초기하 함수이다. 초기하-가우스 (HyGG) 모드의 일부 하위 계열은 수정된 베셀-가우스 모드, 수정된 지수-가우스 모드 및 수정된 라게르-가우스 모드로 나열될 수 있다. 초기하-가우스 모드 집합은 과도하게 완전하며 직교 모드 집합이 아니다. 복잡한 필드 프로파일에도 불구하고 HyGG 모드는 빔 허리(1=z = 0)에서 매우 간단한 프로파일을 갖는다. u(\rho, \phi, 0) \propto \rho^{\mathsf{p} + |m|}e^{-\rho^2 + im\phi}.
# 내용주