수슬린 수

일반위상수학에서 **수슬린 수**(Suslin number)는 위상 공간의 서로소 열린집합들의 집합족의 크기의 상한이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 기수 값 불변량을 다룬다.
# 정의

## 무게
제2 가산 공간 위상 공간 X의 **무게**(weight) w(X)는 X의 기저의 최소 크기이다. **제2 가산 공간**은 w(X)\le\aleph_0인 위상 공간이다. 무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다. {| class="wikitable" ! 집합족의 조건 !! 최소 크기 !! 기호 |- | 기저 || 무게 || w |- | 유사 기저 || 유사 무게 || \psi w |- | π-기저 || π-무게 || \pi |- | 망 || 망 무게 || nw |}
### 유사 무게
위상 공간 X의 **유사 기저**(pseudo-base) 또는 **ψ-기저**(ψ-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 \mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)이다. * 임의의 x\in X에 대하여, \\{x\\}=\bigcap_{x\in B\in\mathcal B}B 위상 공간이 유사 기저를 가질 필요충분조건은 T1 공간인 것이다. T1 공간 X의 **유사 무게**(pseudo-weight) 또는 **ψ-무게**(ψ-weight) \psi w(X)는 그 유사 기저의 최소 크기이다.
### π-무게
위상 공간 X의 **π-기저**(π-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 \mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)이다. * \operatorname{Open}(X)\setminus\\{\varnothing\\}의 공시작 집합이다. 즉, \varnothing\not\in\mathcal B이며, 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, 만약 U\ne\varnothing라면, B\subseteq U인 B\in\mathcal B가 존재한다. 위상 공간 X의 **π-무게**(π-weight) \pi(X)는 그 π-기저의 최소 크기이다.
### 망 무게
위상 공간 X의 **망**(network)은 다음 조건을 만족시키는 집합족 \mathcal N\subseteq\mathcal P(X)이다. * 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, U=\bigcup\mathcal S인 \mathcal S\subseteq\mathcal N이 존재한다. 따라서, 기저는 열린집합들로 이루어진 망이다. 위상 공간 X의 **망 무게**(network weight, net weight) nw(X)는 그 망의 최소 크기이다.
## 밀도
분해 가능 공간 위상 공간 X의 **밀도**(density) d(X)는 X의 조밀 집합의 최소 크기이다. **분해 가능 공간**은 d(X)\le\aleph_0인 위상 공간이다.
### 유전적 밀도
위상 공간 X의 **유전적 밀도**(hereditary density) d^*(X) 또는 **너비**(width) z(X)의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다. * d^*(X)는 X의 부분 집합의 밀도의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 \aleph_0을 취한다). *:d^*(X)=\max\left\\{\aleph_0,\sup_{Y\subset X}d(Y)\right\\} * z(X)는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 Y\subseteq X의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 \aleph_0을 취한다). ** 모든 상집합이 열린집합이 되는 Y 위의 정렬 전순서가 존재한다. 즉, :d^*(X)=z(X) 이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다. 증명 d^*(X)\ge z(X)의 증명. Y\subseteq X가 부분 집합이며, \le가 Y 위의 정렬 전순서이며, Y의 모든 상집합이 Y의 열린집합이라고 하자. |Y|\le d^*(X)를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 \kappa\kappa인 Y의 열린 덮개 \mathcal U를 고르자. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 (y_\alpha)_{\alpha<\kappa^+}\subseteq Y 및 (U_\alpha)_{\alpha<\kappa^+}\subseteq\mathcal U을 만들 수 있다. :y_\alpha\in Y\setminus\bigcup_{\beta<\alpha}U_\beta\qquad(\forall\alpha<\kappa^+) 이제, :Z=\\{y_\alpha\colon\alpha<\kappa^+\\}\subseteq Y 라고 하자. Z는 자연스럽게 순서형이 \kappa^+인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, Z의 임의의 하집합 :S=\bigcup_{y_\alpha\in S}\\{y_\beta\colon\beta\le\alpha\\}=\bigcup_{y_\alpha\in S}\left(Z\cap\bigcup_{\beta\le\alpha}U_\beta\right)=Z\cap\bigcup_{y_\alpha\in S}\bigcup_{\beta\le\alpha}U_\beta 은 Z의 열린집합이다. 따라서, :\kappa^+=|Z|\le h(X) 이다. 증명 끝
## 지표
제1 가산 공간 위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X의 **국소 지표**(local character) \chi(S,X)는 S의 국소 기저의 최소 크기이다. 위상 공간 X의 **지표**(character) \chi(X)는 모든 점의 국소 지표의 상한이다. :\chi(X)=\sup_{x\in X}\chi(x,X) **제1 가산 공간**은 \chi(X)\le\aleph_0인 위상 공간이다. 마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다. {| class="wikitable" ! 집합족의 조건 !! 개념 !! 기호 |- | 국소 기저 || (국소) 지표 || \chi |- | 국소 유사 기저 || (국소) 유사 지표 || \psi |- | 국소 π-기저 || (국소) π-지표 || \pi\chi |}
### 유사 지표
위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X의 **국소 유사 기저**(local pseudo-base) 또는 **국소 ψ-기저**(local ψ-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 \mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)이다. :S=\bigcap\mathcal B 위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X의 **국소 유사 지표**(local pseudo-character) 또는 **국소 ψ-지표**(local ψ-character) \psi(S,X)는 S의 국소 유사 기저의 최소 크기이다. T1 공간 X의 **유사 지표**(pseudo-character) 또는 **ψ-지표**(ψ-character) \psi(X)는 모든 점의 국소 유사 지표의 상한이다. :\psi(X)=\sup_{x\in X}\psi(x,X)
### π-지표
위상 공간 X의 점 x\in X의 **국소 π-기저**(local π-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 \mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)이다. * \varnothing\not\in\mathcal B이며, x의 임의의 근방 U\ni x에 대하여, B\subseteq U인 B\in\mathcal B가 존재한다. 위상 공간 X의 점 x\in X의 **국소 π-지표**(local π-character) \pi\chi(x,X)는 x의 국소 π-기저의 최소 크기이다. 위상 공간 X의 **π-지표**(π-character)는 \pi\chi(X)는 모든 점의 국소 π-지표의 상한이다. :\pi\chi(X)=\sup_{x\in X}\pi\chi(x,X)
## 밀착도
가산 생성 공간 위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X 및 그 폐포의 점 x\in\operatorname{cl}S에 대하여, t(x,S,X)가 x\in\operatorname{cl}T인 T\subseteq S의 최소 크기라고 하자. 위상 공간 X의 점 x\in X의 **국소 밀착도**(local tightness)는 다음과 같다. :t(x,X)=\sup_{x\in\operatorname{cl}S\subseteq X}t(x,S,X) 위상 공간 X의 **밀착도**(tightness)는 t(X)는 모든 점의 국소 밀착도의 상한이다. :t(X)=\sup_{x\in X}t(x,X) **가산 생성 공간**은 t(X)\le\aleph_0인 위상 공간이다.
# 성질
위상 공간 X이 주어졌을 때, 다음이 성립한다. * (ㄱ) c(X)\le d(X)\le\pi(X)\le w(X)\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|\le\min\\{2^{|X|},2^{nw(X)}\\} * (ㄴ) \max\\{d(X),L(X)\\}\le nw(X)\le\min\\{|X|,w(X)\\} * (ㄷ) \max\\{t(x,X),\pi\chi(x,X)\\}\le\chi(x,X)\qquad(x\in X) * (ㄹ) \max\\{t(X),\pi\chi(X)\\}\le\chi(X)\le w(X)\le|X|\chi(X) * (ㅁ) \pi\chi(X)\le\pi(X)\le d(X)\pi\chi(X) * (ㅂ) t(X)\le|X| * (ㅅ) \left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|\le\min\\{\pi(X)^{c(X)},2^{d(X)}\\} 부제=ㄱ c(X)\le d(X)의 증명. \mathcal U\subseteq\operatorname{Open}(X)가 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이라고 하자. D\subseteq X가 조밀 집합이라고 하자. |\mathcal U|\le|D|임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의 U\in\mathcal U에 대하여 :x_U\in U\cap D 를 고를 수 있다. \mathcal U가 서로소이므로, U\mapsto x_U는 \mathcal U\to D 단사 함수이다. 따라서 |\mathcal U|\le|D|이다. d(X)\le\pi(X)의 증명. \mathcal B가 X의 π-기저라고 하자. |D|\le|\mathcal B|인 조밀 집합 D\subseteq X를 찾으면 족하다. 임의의 B\in\mathcal B에 대하여 x_B\in B를 고르자. 그렇다면, :D=\\{x_B\colon B\in\mathcal B\\}\subseteq X 는 조밀 집합이며, |D|\le|B|이다. \pi(X)\le w(X)의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다. w(X)\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|의 증명. \operatorname{Open}(X)는 X의 기저를 이루므로 자명하다. \left|\operatorname{Open}(X)\right|\le 2^{|X|}의 증명. \operatorname{Open}(X)\le\mathcal P(X)이므로 자명하다. \left|\operatorname{Open}(X)\right|\le 2^{nw(X)}의 증명. \mathcal N이 X의 망이라고 하자. \left|\operatorname{Open}(X)\right|\le 2^{|\mathcal N|}임을 보이면 족하다. 이는 :\mathcal P(\mathcal N)\to\operatorname{Open}(X) :\mathcal S\mapsto\bigcup\mathcal S 가 전사 함수이므로 자명하다. 증명 끝 부제=ㄴ \max\\{d(X),L(X)\\}\le nw(X)\le\min\\{|X|,w(X)\\} d(X)\le nw(X)의 증명. \mathcal N이 X의 망이라고 하자. |D|\le|\mathcal N|인 조밀 집합 D\subseteq X를 찾으면 족하다. 임의의 N\in\mathcal N에 대하여 x_N\in\mathcal N을 고르자. 그렇다면, :D=\\{x_N\colon N\in\mathcal N\\}\subseteq X 는 조밀 집합이며, |D|\le|\mathcal N|이다. L(X)\le nw(X)의 증명. \mathcal N이 X의 망이라고 하자. \mathcal U가 X의 열린 덮개라고 하자. |\mathcal V|\le|\mathcal N|인 부분 덮개 \mathcal V\subseteq\mathcal U를 찾으면 족하다. :\mathcal S=\\{N\in\mathcal N\colon\exist U\in\mathcal U\colon N\subseteq U\\} 라고 하자. 임의의 N\in\mathcal S에 대하여 :N\subseteq U_N 인 U_N\in\mathcal U를 고르자. 그렇다면, :\mathcal V=\\{U_N\colon N\in\mathcal N\\} 은 \mathcal U의 부분 덮개이며, |\mathcal V|\le|\mathcal N|이다. nw(X)\le|X|의 증명. \\{\\{x\\}\colon x\in X\\}가 X의 망이므로 자명하다. nw(X)\le w(X)의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다. 증명 끝 부제=ㄷ t(x,X)\le\chi(x,X)의 증명. \mathcal B가 x의 국소 기저라고 하자. S\subseteq X이며 x\in\operatorname{cl}S라고 하자. :x\in\operatorname{cl}T :|T|\le|\mathcal B| 인 T\subseteq S를 찾으면 족하다. 임의의 B\in\mathcal B에 대하여, x_B\in B\cap S를 고르자. 그렇다면, :T=\\{x_B\colon B\in\mathcal B\\}\subseteq S 는 위 조건들을 만족시킨다. \pi\chi(x,X)\le\chi(x,X)의 증명. x의 임의의 국소 기저 \mathcal B에 대하여, :\\{\operatorname{int}B\colon B\in\mathcal B\\} 는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히 x의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 증명 끝 부제=ㄹ \max\\{t(X),\pi\chi(X)\\}\le\chi(X)의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다. \chi(X)\le w(X)의 증명. X의 임의의 기저 \mathcal B 및 임의의 x\in X에 대하여, :\\{B\in\mathcal B\colon x\in B\\} 는 x의 국소 기저이므로 자명하다. w(X)\le|X|\chi(X)의 증명. 모든 x\in X에 대하여 국소 기저 \mathcal B_x가 주어졌을 때, :\mathcal B=\left\\{\operatorname{int}B\colon B\in\bigcup_{x\in X}\mathcal B_x\right\\} 는 X의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 증명 끝 부제=ㅁ \pi\chi(X)\le\pi(X)의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다. \pi(X)\le d(X)\pi\chi(X)의 증명. 모든 점 x\in X에 대하여 국소 π-기저 \mathcal B_x가 주어졌고, 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌을 때, :\mathcal B=\bigcup_{x\in D}\mathcal B_x 는 X의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 증명 끝 부제=ㅂ 임의의 S\subseteq X에 대하여 |S|\le|X|이므로 자명하다. 증명 끝 부제=ㅅ \left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|\le\pi(X)^{c(X)}의 증명. X의 임의의 π-기저 \mathcal B\subseteq X가 주어졌다고 하자. \mathcal B의 크기 c(X) 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수 :\operatorname{RegClsd}(X)\to\mathcal P_{\le c(X)}(\mathcal B) 를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합 F\subseteq X에 대하여, :\mathcal U_F\subseteq\mathcal B 가 U\subseteq\operatorname{int}F인 \mathcal B 속의 서로소 열린집합 U\in\mathcal B들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자. (이는 초른 보조정리에 따라 존재하며, 선택 공리에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수 :F\mapsto\mathcal U_F 를 생각하자. 자명하게 |\mathcal U_F|\le c(X)이다. 만약 \mathcal U_E=\mathcal U_F라면, :E=\operatorname{cl}\bigcup\mathcal U_E=\operatorname{cl}\bigcup\mathcal U_F=F 이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다. \left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|\le 2^{d(X)}의 증명. 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수 :\operatorname{RegClsd}(X)\to\mathcal P(D) 를 찾으면 족하다. 함수 :F\mapsto F\cap D 를 생각하자. 만약 E\cap D=F\cap D라면, :E=\operatorname{cl}U :F=\operatorname{cl}V 인 열린집합 U,V\subseteq X를 골랐을 때, :E=\operatorname{cl}U=\operatorname{cl}(\operatorname{cl}U\cap D)=\operatorname{cl}(E\cap D)=\operatorname{cl}(F\cap D)=\operatorname{cl}(\operatorname{cl}V\cap D)=\operatorname{cl}V=F 이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다. 증명 끝 콜모고로프 공간 X에서, 다음이 성립한다. * (ㄱ) |X|\le 2^{w(X)} 부제=ㄱ X의 임의의 기저 \mathcal B가 주어졌다고 하자. 단사 함수 :X\to\mathcal P(\mathcal B) 를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수 :x\mapsto\\{B\in\mathcal B\colon x\in B\\} 는 단사 함수이다. 증명 끝 T1 공간 X에서, 다음이 성립한다. * (ㄱ) \psi w(X)\le\min\\{|X|,w(X)\\}\le|X|\le\left|\operatorname{Open}(X)\right| * (ㄴ) \psi(x,X)\le\chi(x,X)\qquad(x\in X) * (ㄷ) \psi(X)\le\min\\{\chi(X),\psi w(X)\\} * (ㄹ) |X|\le\min\\{2^{\psi w(X)},nw(X)^{\psi(X)}\\} * (ㅁ) nw(X)\le\psi w(X)^{L(X)} 부제=ㄱ \psi w(X)\le|X|의 증명. T1 조건에 따라 \\{X\setminus\\{x\\}\colon x\in X\\}가 X의 유사 기저이므로 자명하다. \psi w(X)\le w(X)의 증명. T1 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다. |X|\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|의 증명. T1 조건에 따라 모든 X\setminus\\{x\\}은 X의 열린집합이므로 자명하다. 증명 끝 부제=ㄴ T1 조건에 따라 x의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다. 증명 끝 부제=ㄷ \psi(X)\le\chi(X)의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다. \psi(X)\le\psi w(X)의 증명. X의 임의의 유사 기저 \mathcal B 및 임의의 x\in X에 대하여, :\\{B\in\mathcal B\colon x\in B\\} 는 x의 국소 유사 기저이므로 자명하다. 증명 끝 부제=ㄹ |X|\le 2^{\psi w(X)}의 증명. X의 임의의 유사 기저 \mathcal B가 주어졌다고 하자. 단사 함수 :X\to\mathcal P(\mathcal B) 를 찾으면 족하다. 함수 :x\mapsto\mathcal\\{B\in\mathcal B\colon x\in B\\} 를 생각하자. 만약 \\{B\in\mathcal B\colon x\in B\\}=\\{B\in\mathcal B\colon y\in B\\}라면, :\\{x\\}=\bigcap_{x\in B\in\mathcal B}B=\bigcap_{y\in B\in\mathcal B}B=\\{y\\} 이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다. |X|\le nw(X)^{\psi(X)}의 증명. X의 임의의 망 \mathcal N이 주어졌다고 하자. \mathcal N의 크기 \psi(X) 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수 :X\mapsto\mathcal P_{\le\psi(X)}(\mathcal N) 를 찾으면 족하다. 임의의 x\in X에 대하여, |\mathcal B_x|\le\psi(X)인 x의 국소 유사 기저 \mathcal B_x를 고르자. 임의의 x\in X 및 B\in\mathcal B_p에 대하여, x\in N_{x,B}\subseteq B인 N_{x,B}\in\mathcal N을 고르자. 이제, 함수 :x\mapsto\mathcal S_x=\\{N_{x,B}\colon B\in\mathcal B\\}\subseteq\mathcal N 생각하자. (|\mathcal S_x|\le|\mathcal B_x|\le\psi(X)이므로 \mathcal S_x\in\mathcal P_{\le\psi(X)}(\mathcal N)이다.) 만약 \mathcal S_x=\mathcal S_y라면, :\\{x\\}=\bigcap\mathcal B_x=\bigcap\mathcal S_x=\bigcap\mathcal S_y=\bigcap\mathcal B_y=\\{y\\} 이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다. 증명 끝 부제=ㅁ X의 임의의 유사 기저 \mathcal B에 대하여, :\mathcal N=\left\\{X\setminus\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\mathcal B,\;|\mathcal S|\le L(X)\right\\} 는 X의 망을 이루며, :|\mathcal N|\le|\mathcal B|^{L(X)} 이다. 증명 끝 하우스도르프 공간 X에서, 다음이 성립한다. * (ㄱ) |X|\le\min\\{2^{2^{d(X),d(X)^{\chi(X)}\\} * (ㄴ) \psi w(X)\le\min\\{\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|,nw(X)\\} 부제=ㄱ |X|\le 2^{2^{d(X)의 증명. 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수 :X\to\mathcal P(\mathcal P(D)) 를 찾으면 족하다. 함수 :x\mapsto\\{U\cap D\colon x\in U\in\operatorname{Open}(X)\\} 를 생각하자. 만약 :\\{U\cap D\colon x\in U\in\operatorname{Open}(X)\\}=\\{U\cap D\colon y\in U\in\operatorname{Open}(X)\\} 라면, 하우스도르프 조건에 따라 :\\{x\\}=\bigcap_{x\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}U=\bigcap_{x\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}(U\cap D)=\bigcap_{y\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}(U\cap D)=\bigcap_{x\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}U=\\{y\\} 이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 \operatorname{cl}U=\operatorname{cl}(U\cap D)이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다. |X|\le d(X)^{\chi(X)}의 증명. 만약 \chi(X)<\aleph_0이라면, X는 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, \chi(X)\ge\aleph_0이라고 하자. 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수 :X\to\mathcal P_{\le\chi(X)}(\mathcal P_{\le\chi(X)}(D)) 를 찾으면 족하다. 임의의 x\in X에 대하여, |\mathcal B_x|\le\chi(X)인 국소 기저 \mathcal B_x를 고르자. 임의의 B\in\mathcal B_x에 대하여 :s_{x,B}\in B\cap D 를 고르고, :S_x=\\{s_{x,B}\colon B\in\mathcal B_x\\}\subseteq D :\mathcal A_x=\\{B\cap S_x\colon B\in\mathcal B_x\\}\subseteq\mathcal P(S_x)\subseteq\mathcal P(D) 라고 하자. 이제, 함수 :x\mapsto\mathcal A_x 를 생각하자. 자명하게 :|S_x|\le\chi (X) :|\mathcal A_x|\le\chi(X) 이다. 하우스도르프 조건에 따라 :\\{x\\}=\bigcap_{B\in\mathcal B_x}\operatorname{cl}B\supseteq\bigcap_{B\in\mathcal B_x}\operatorname{cl}(B\cap S_x)\supseteq\\{x\\} 이다. 따라서, 만약 :\mathcal A_x=\mathcal A_y 라면, :\\{x\\}=\bigcap_{B\in\mathcal B_x}\operatorname{cl}(B\cap S_x)=\bigcap_{B\in\mathcal B_y}\operatorname{cl}(B\cap S_y)=\\{y\\} 이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다. 증명 끝 부제=ㄴ \psi w(X)\le\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|의 증명. 하우스도르프 공간에서, 정칙 닫힌집합들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. \psi w(X)\le nw(X)의 증명. 만약 nw(X)<\aleph_0라면, X는 유한 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, nw(X)\ge\aleph_0이라고 하자. X의 임의의 망 \mathcal N이 주어졌다고 하자. |\mathcal B|\le|\mathcal N|인 유사 기저 \mathcal B를 찾으면 족하다. :\mathcal S=\\{(M,N)\in\mathcal N\times\mathcal N\colon \exists U,V\in\operatorname{Open}(X)\colon M\subseteq U,\;N\subseteq V,\;U\cap V=\varnothing\\} 라고 하자. 임의의 (M,N)\in\mathcal S에 대하여, :M\subseteq U_{(M,N)} :N\subseteq V_{(M,N)} :U_{(M,N)}\cap V_{(M,N)}=\varnothing 인 열린집합 U_{(M,N)},V_{(M,N)}\subseteq X를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라, :\mathcal B=\\{U_{(M,N)}\colon(M,N)\in\mathcal S\\} 는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게 :|\mathcal B|\le|\mathcal N|^2=|\mathcal N| 이다. 증명 끝 정칙 하우스도르프 공간 X에서, 다음이 성립한다. * w(X)\le\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right| 부제=ㄱ 정칙 하우스도르프 공간에서, 정칙 열린집합들은 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 증명 끝 콤팩트 T1 공간 X에서, 다음이 성립한다. * (ㄱ) nw(X)\le\psi w(X) 부제=ㄱ T1 공간에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다. 증명 끝 콤팩트 하우스도르프 공간 X에서, 다음이 성립한다. * \psi(X)=\chi(X) 위상 공간 X 및 부분 집합 Y\subseteq X가 주어졌을 때, 다음이 성립한다. * w(Y)\le w(X) * nw(Y)\le nw(X) * X가 T1 공간일 때, \psi w(Y)\le \psi w(X) * \chi(Y)\le\chi(X) * X가 T1 공간일 때, \psi(Y)\le\psi(X) * t(Y)\le t(X) 만약 f\colon X\to Y가 닫힌 연속 전사 함수라면, 다음이 성립한다. * t(Y)\le t(X)