단조 정규 공간

일반위상수학에서 **단조 정규 공간**(monotonically normal space)은 서로소 닫힌집합을 분리하는 서로소 열린집합을 단조함수를 통해 고를 수 있는 정규 공간이다.
# 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 위상 공간 (X,\mathcal T_X) * X의 부분 집합의 순서쌍들의 집합 \mathcal A\subseteq \mathcal P(X)\times\mathcal P(X) 그렇다면, **단조 정규성 연산자**(monotone normality operator) G\colon\mathcal A\to\mathcal T_X는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다. * \mathcal A에 부분 순서 (A,B)\le(A',B')\iff A\subseteq A'\land B\supseteq B'를 주었을 때, G는 단조함수이다. * \forall(A,B)\in\mathcal A\colon A\subseteq G(A,B)\subseteq\operatorname{cl}G(A,B)\subseteq X\setminus B 만약 다음 조건을 추가로 만족시키면, **자기 서로소 단조 정규성 연산자**(self-disjoint monotonical normality operator)라고 한다. :\forall(A,B)\in\mathcal A\cap\mathcal A^{-1}\colon G(A,B)\cap G(B,A)=\varnothing 단조 정규성 연산자 G\colon\mathcal A\to\mathcal T_X가 주어졌을 때, 만약 \mathcal A=\mathcal A^{-1}라면, :H\colon\mathcal A\to\mathcal T_X :H(E,F)=G(E,F)\setminus\operatorname{cl}G(F,E) 는 자기 서로소 단조 정규성 연산자를 이룬다. 다음과 같은 집합들을 정의하자. :\mathcal S_X=\\{(A,B)\in\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)^{\operatorname{op\colon A\cap\operatorname{cl}B=\operatorname{cl}A\cap B=\varnothing\\}\subseteq\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)^{\operatorname{op :\mathcal D_X=\\{(E,F)\colon\operatorname{Clsd}(X)\times\operatorname{Clsd}(X)^{\operatorname{op\colon E\cap F=\varnothing\\}\subseteq\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)^{\operatorname{op :\mathcal N_X=\\{(x,F)\in X\times\operatorname{Clsd}(X)^{\operatorname{op\colon x\in X\setminus F\\}\subseteq\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)^{\operatorname{op 그렇다면, 항상 \mathcal D_X\subseteq\mathcal S_X이며, X가 T1 공간이라면 \mathcal N_X\subseteq\mathcal D_X이다. 위상 공간 (X,\mathcal T_X)가 다음 조건을 만족시키면, **단조 정규 공간**이라고 한다. * 단조 정규성 연산자 \mathcal D_X\to\mathcal T_X가 존재한다. T1 공간 (X,\mathcal T_X)에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.zbl=0269.54009Lemma 2.2 * 단조 정규성 연산자 \mathcal S_X\to\mathcal T_X가 존재한다. * 단조 정규성 연산자 \mathcal D_X\to\mathcal T_X가 존재한다. * 자기 서로소 단조 정규성 연산자 \mathcal N_X\to\mathcal T_X가 존재한다. 증명 X가 T1 공간이므로, :\mathcal N_X\subseteq\mathcal D_X\subseteq\mathcal S_X 이다. 따라서, 만약 G\colon\mathcal S_X\to\mathcal T_X가 단조 정규성 연산자라면, G\restriction\mathcal D_X\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X 역시 단조 정규성 연산자이다. 만약 G\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X가 자기 서로소 단조 정규성 연산자라면, G\restriction\mathcal N_X\colon\mathcal N_X\to\mathcal T_X 역시 자기 서로소 단조 정규성 연산자이다. 즉, 첫 번째 조건은 두 번재 조건을 함의하며, 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의한다. 이제, 자기 서로소 단조 정규성 연산자 :G\colon\mathcal N_X\to\mathcal T_X 가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자. :H\colon\mathcal S_X\to\mathcal T_X :H(A,B)=\bigcup_{a\in A}G(a,\operatorname{cl}B) 만약 :(A,B),(A',B')\in\mathcal S_X :A\subseteq A' :B\supseteq B' 라면, 자명하게 H(A,B)\subseteq H(A',B')이다. 또한, 임의의 (A,B)\in\mathcal S_X에 대하여, :A=\bigcup_{a\in A}\\{a\\}\subseteq\bigcup_{a\in A}G(a,\operatorname{cl}B)=H(A,B) :B=\bigcup_{b\in B}\\{b\\}\subseteq\bigcup_{b\in B}G(b,\operatorname{cl}A)=\operatorname{int}\bigcup_{b\in B}G(b,\operatorname{cl}A)\subseteq\operatorname{int}(X\setminus H(A,B))=X\setminus\operatorname{cl}H(A,B) :H(A,B)\cap H(B,A)=\bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}(G(a,\operatorname{cl}B)\cap G(b,\operatorname{cl}A))\subseteq\bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}(G(a,b)\cap G(b,a))=\bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}\varnothing=\varnothing 이다. 따라서, H는 단조 정규성 연산자이다. 증명 끝
# 성질

## 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :{| | 거리화 가능 공간 || → || 단조 정규 하우스도르프 공간 || → || 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간 || → || 집합족적 정규 하우스도르프 공간 |- | || ↘ || || || ↓ || || ↓ |- | || || 완전 정규 하우스도르프 공간 (T6) || → || 완비 정규 하우스도르프 공간 (T5) || → || 정규 하우스도르프 공간 (T4) |} 부제=거리화 가능 공간 → 단조 정규 하우스도르프 공간 모든 거리 공간 (X,d)가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자. :G\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X :G(E,F)=\left\\{x\in X\colon\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}\in[0,1/2)\right\\} 그렇다면, :x\mapsto\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)} 가 연속 함수 X\to[0,1]이므로, G(E,F)\subseteq X는 열린집합이다. 만약 :(E,F),(E',F')\in\mathcal D_X :E\subseteq E' :F\supseteq F' 라면, :\forall x\in X\colon\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}\ge\frac{d(x,E')}{d(x,E')+d(x,F')} 이므로, :G(E,F)\subseteq G(E',F') 이다. 또한, :E=\left\\{x\in X\colon\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}=0\right\\}\subseteq G(E,F) :F=\left\\{x\in X\colon\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}=1\right\\}\subseteq\left\\{x\in X\colon\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}\in(1/2,1]\right\\}\subseteq X\setminus\operatorname{cl}G(E,F) 이다. 즉, G\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X는 단조 정규성 연산자이다. 증명 끝 부제=단조 정규 하우스도르프 공간 → 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간 단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간 X 및 자기 서로소 단조 정규성 연산자 :G\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X 및 닫힌집합들의 이산 집합족 :\mathcal F\subseteq\mathcal P(X) :\forall x\in X\exists U\in\mathcal T_X\colon x\in U\land|\\{F\in\mathcal F\colon U\cap F\ne\varnothing\\}|<\aleph_0 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합들의 서로소 집합족 :\\{U(F)\\}_{F\in\mathcal F}\subseteq\mathcal T_X :\forall E\in\mathcal F\forall F\in\mathcal F\setminus\\{E\\}\colon U(E)\cap U(F)=\varnothing :\forall F\in\mathcal F\colon F\subseteq\mathcal U(F) 을 찾으면 충분하다. 모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, 닫힌집합들의 이산 집합족의 합집합은 닫힌집합이다. 이제, 임의의 F\in\mathcal F에 대하여, :U(F)=G\left(F,\bigcup\mathcal F\setminus\\{F\\}\right)\subseteq X 라고 하자. G의 정의에 따라, U(F)는 열린집합이며, F\subseteq U(F)이다. 만약 E,F\in\mathcal F이며 E\ne F라면, :U(E)\cap U(F)\subseteq G(E,F)\cap G(F,E)=\varnothing 이다. 즉, \\{U(F)\\}_{F\in\mathcal F}는 서로소 집합족이다. 증명 끝 순서 위상을 갖춘 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.Theorem 5.3 증명 임의의 전순서 집합 (X,\le) 위에 순서 위상을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다. * (T1) 모든 한원소 집합은 닫힌집합이다. * (단조 정규성) 자기 서로소 단조 정규성 연산자 G\colon\mathcal N_X\to\mathcal T_X가 존재한다. **T1.** 임의의 x\in X에 대하여, :\\{x\\}=[x,x]=X\setminus\left((-\infty,x)\cup(x,\infty)\right) 이므로 한원소 집합 \\{x\\}는 닫힌집합이다. **단조 정규성.** 선택 공리와 동치인 정렬 정리에 따라, X 위에 임의의 정렬 전순서 W를 주자. 임의의 닫힌집합 F\subseteq X 및 점 x\in X\setminus F에 대하여, 다음과 같이 정의하자. * C(x,F)는 x를 포함하는 X\setminus F의 순서 볼록 성분이다. * 만약 C(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing이라면, a(x,F)=\min\nolimits_{(X,W)}(C(x,F)\cap(-\infty,x)) * 만약 C(x,F)\cap(x,\infty)\ne\varnothing이라면, b(x,F)=\min\nolimits_{(X,W)}(C(x,F)\cap(x,\infty)) 이제, :G(x,F)= \begin{cases} (a(x,F),b(x,F))&C;(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing\ne C(x,F)\cap(x,\infty)\\\ (a(x,F),x]&C;(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing=C(x,F)\cap(x,\infty)\\\ {}[x,b(x,F))&C;(x,F)\cap(-\infty,x)=\varnothing\ne C(x,F)\cap(x,\infty)\\\ \\{x\\}&C;(x,F)\cap(-\infty,x)=\varnothing=C(x,F)\cap(x,\infty) \end{cases} 라고 하자. G\colon\mathcal N_X\to\mathcal T_X가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다. * G(x,F)는 열린집합이다. ** C(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing=C(x,F)\cap(x,\infty)인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) x\in X\setminus F이며 X\setminus F가 열린집합이므로, x\in (a,b)\subseteq X\setminus F인 a,b\in X가 존재한다. (a,b)는 x를 포함하는 순서 볼록 집합이므로, (a,b)\subseteq C(x,F)이다. C(x,F)\cap(x,\infty)=\varnothing이므로, (x,b)=\varnothing이다. 따라서, (a(x,F),b)=(a(x,F),x]=G(x,F)이다. * x\in G(x,F) ** 이는 자명하다. * \operatorname{cl}G(x,F)\subseteq X\setminus F ** C(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing=C(x,F)\cap(x,\infty)인 경우를 생각하자. 이 경우, \operatorname{cl}G(x,F)=\operatorname{cl}(a(x,F),x]\subseteq[a(x,F),x]\subseteq C(x,F)\subseteq X\setminus F이다. * 만약 E,F\subseteq X가 닫힌집합이며, x\in X\setminus F\subseteq X\setminus E라면, G(x,E)\subseteq G(x,F) ** C(x,E)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing=C(x,E)\cap(x,\infty)이며 C(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing=C(x,F)\cap(x,\infty)인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, G(x,E)=(a(x,E),x], G(x,F)=(a(x,F),x]이다. 만약 a(x,E)=a(x,F)라면, G(x,E)=G(x,F)이며, 특히 G(x,E)\subseteq G(x,F)이다. 이제, a(x,E)\ne a(x,F)라고 가정하자. X\setminus F\subseteq X\setminus E이므로, C(x,F)\subseteq C(x,E)이다. 따라서, a(x,E)\le_W a(x,F)이며, a(x,E)\ne a(x,F)이므로 a(x,E)<_Wa(x,F)이다. a(x,F)의 정의에 따라, a(x,E)는 C(x,F)의 원소일 수 없다. 따라서, a(x,E)이며, G(x,E)\subseteq G(x,F)이다. * 임의의 서로 다른 x,y\in X에 대하여, G(x,y)\cap G(y,x)=\varnothing ** C(x,y)\cap(-\infty,x)=\varnothing\ne C(x,y)\cap(x,\infty)이며 C(y,x)\cap(-\infty,y)\ne\varnothing=C(y,x)\cap(y,\infty)인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, G(x,y)=[x,b(x,y)), G(y,x)=(a(y,x),y]이다. 귀류법을 사용하여, G(x,y)\cap G(y,x)\ne\varnothing이라고 가정하자. [x,b(x,y)]\subseteq C(x,y)\subseteq X\setminus\\{y\\}, [a(y,x),y]\subseteq C(y,x)\subseteq X\setminus\\{x\\}이므로, x일 수밖에 없다. 따라서 a(y,x)=\min\nolimits_{(X,W)}(x,y)=b(x,y)이며, 이는 모순이다. 증명 끝
## 연산에 대한 닫힘
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 반대로, 위상 공간 X가 단조 정규 하우스도르프 닫힌집합들로 구성된 국소 유한 덮개를 갖는다면, 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 증명 단조 정규 하우스도르프 공간 X 및 단조 정규성 연산자 :G\colon\mathcal S_X\to\mathcal\mathcal T_X 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 Y\subseteq X에 대하여, :\mathcal S_Y\subseteq\mathcal S_X 이며, :H\colon\mathcal S_Y\to\mathcal T_Y :H(A,B)=G(A,B)\cap Y 는 단조 정규성 연산자이다. 증명 끝 단조 정규 하우스도르프 공간 X 및 닫힌 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 그 상 f(X)는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.Theorem 2.6 증명 편의상 f(X)=Y라고 하자. 단조 정규성 연산자 :G\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X 가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 정의하자. :H\colon\mathcal D_Y\to\mathcal T_Y :H(E,F)=Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F))) 이는 자명하게 단조함수이다. :f^{-1}(H)\subseteq G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)) :f^{-1}(K)\subseteq X\setminus\operatorname{cl}G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)) 이므로, :H\subseteq Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))=H(E,F) :\begin{align} K &\subseteq Y\setminus f(\operatorname{cl}G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\\ &=\operatorname{int}(Y\setminus f(\operatorname{cl}G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))))\\\ &=\operatorname{int}f(X\setminus G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\\ &=\operatorname{int}(X\setminus H(E,F))\\\ &=X\setminus\operatorname{cl}H(E,F) \end{align} 이다. 따라서, H는 단조 정규성 연산자이다. 증명 끝 단조 정규 하우스도르프 공간 X,Y 및 닫힌집합 Z\subseteq X 및 연속 함수 f\colon Z\to Y에 대하여, 붙임 공간 X\cup_fY는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.zbl=0512.54011Theorem 1.1 증명 다음 두 조건을 보이는 것으로 충분하다. * X\cup_fY는 T1 공간이다. 즉, 모든 한원소집합은 닫힌집합이다. * X\cup_fY는 단조 정규 공간이다. 즉, 단조 정규성 연산자 G\colon\mathcal D_{X\cup_fY}\to\mathcal T_{X\cup_fY}가 존재한다. **T1.** 표준적인 연속 함수 :g\colon X\to X\cup_fY :h\colon Y\to X\cup_fY 를 생각하자. 그렇다면, 부분 집합 U\subseteq X\cup_fY이 열린집합일 필요충분조건은 g^{-1}(U)\subseteq X와 h^{-1}(U)\subseteq Y가 둘 다 열린집합인 것이다. 마찬가지로, 닫힌집합일 필요충분조건은 g^{-1}(U)\subseteq X와 h^{-1}(U)\subseteq Y가 둘 다 닫힌집합인 것이다. 또한, g\restriction X\setminus Z는 열린 위상수학적 매장이며, h는 닫힌 위상수학적 매장이며, :g(X\setminus Z)\cup h(Y)=X\cup_fY :g(X\setminus Z)\cap h(Y)=\varnothing 이다. (그러나 X\cup_fY는 두 상의 분리합공간일 필요가 없다.) 이제, 임의의 x\in X\setminus Z 및 y\in Y에 대하여, :g^{-1}(g(x))=\\{x\\}\subseteq X :h^{-1}(g(x))=\varnothing\subseteq Y :g^{-1}(h(y))=f^{-1}(y)\subseteq Z\subseteq X :h^{-1}(h(y))=\\{y\\}\subseteq Y 이다. 따라서, g(x)와 h(y)는 닫힌집합이며, X\cup_fY는 T1 공간이다. **단조 정규성.** 단조 정규성 연산자 :G_1\colon\mathcal S_X\to\mathcal T_X :G_2\colon\mathcal S_Y\to\mathcal S_Y 가 주어졌다고 하자. 임의의 서로소 닫힌집합 E,F\subseteq X\cup_fY에 대하여, :(g^{-1}(E),g^{-1}(F))\in\mathcal D_X\subseteq\mathcal S_X :(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\in\mathcal D_Y\subseteq\mathcal S_Y 이다. 이제, :A(E,F)=g^{-1}(E)\cup f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X :B(E,F)=g^{-1}(F)\cup Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X 라고 하자. 그렇다면, (A,B)\in\mathcal S_X이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다. : \begin{align} \operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))) &\subseteq f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\\ &=Z\setminus(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))) \end{align} : \begin{align} \operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))) &=\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cap Z\\\ &=\operatorname{cl}_Z(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\\ &=Z\setminus\operatorname{int}_Zf^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\\ &\subseteq X\setminus\operatorname{int}_Zf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\\ &=X\setminus f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))) \end{align} : \begin{align} \operatorname{cl}_Xg^{-1}(E) &\subseteq g^{-1}(\operatorname{cl}_{X\cup_fY}E)\\\ &=g^{-1}(E)\\\ &\subseteq(X\setminus Z)\cup(g^{-1}(E)\cap Z)\\\ &=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(E))\\\ &\subseteq(X\setminus Z)\cup f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\\ &\subseteq(X\setminus\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\cup(X\setminus\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\\\ &=X\setminus\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))) \end{align} : \begin{align} \operatorname{cl}_Xg^{-1}(F) &\subseteq g^{-1}(\operatorname{cl}_{X\cup_fY}F)\\\ &=g^{-1}(F)\\\ &\subseteq(X\setminus Z)\cup(g^{-1}(F)\cap Z)\\\ &=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(F))\\\ &\subseteq(X\setminus Z)\cup f^{-1}(Y\setminus\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\\ &\subseteq(X\setminus\operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup(X\setminus\operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\\ &=X\setminus\operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))) \end{align} 이제, :f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))=V(E,F)\cap Z 인 열린집합 V(E,F)\subseteq X을 잡고, :U(E,F)=G_1(A(E,F),B(E,F))\cap(X\setminus Z\cup V(E,F))\subseteq X :G(E,F)=g(U(E,F))\cup h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X\cup_fY 라고 하자. : \begin{align} g^{-1}(G(E,F)) &=U(E,F)\cup f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\\ &=U(E,F)\cup(f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\cap G_1(A(E,F),B(E,F)))\cap\\\ &=U(E,F)\cup(V(E,F)\cap Z\cap G_1(A(E,F),B(E,F)))\\\ &=U(E,F)\cup(U(E,F)\cap Z)\\\ &=U(E,F)\subseteq X \end{align} : \begin{align} h^{-1}(G(E,F)) &=h^{-1}(g(U(E,F)\cap Z))\cup h^{-1}(h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\\ &=h^{-1}(g(f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\\\ &=G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\subseteq Y \end{align} 는 모두 열린집합이므로, G(E,F)\subseteq X\cup_fY는 열린집합이다. 또한, : \begin{align} E &=(E\cap g(X\setminus Z))\cup(E\cap h(Y))\\\ &\subseteq g(g^{-1}(E)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\\ &\subseteq g(A(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\\ &\subseteq g(G_1(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\\ &\subseteq g(U(E,F))\cup h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\\ &=G(E,F) \end{align} : \begin{align} F &=(F\cap g(X\setminus Z))\cup(F\cap h(Y))\\\ &\subseteq g(g^{-1}(F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\\ &\subseteq g(B(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\\ &\subseteq g(X\setminus\operatorname{cl}_XG_1(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup(X\cup_fY\setminus h(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\\ &\subseteq X\cup_fY\setminus\operatorname{cl}_{X\cup_fY}G(E,F) \end{align} 이며 (g\restriction X\setminus Z가 열린 매장이며 h가 닫힌 매장이라는 사실을 사용하였다), 만약 :(E,F),(E',F')\in\mathcal D_{X\cup_fY} :E\subseteq E' :F\supseteq F' 라면 :U(E,F)\setminus Z\subseteq U(E',F')\setminus Z :U(E,F)\cap Z\subseteq U(E',F')\cap Z 이므로 :G(E,F)\subseteq G(E',F') 이다. 따라서, G\colon\mathcal D_{X\cup_fY}\to\mathcal T_{X\cup_fY}는 단조 정규성 연산자이다. 증명 끝