열대 기하학

열대 3차 곡선 수학에서 **열대 기하학**(tropical geometry)은 덧셈이 최소 함수로, 곱셈이 일반적인 덧셈으로 바뀌었을 때 다항식과 그 기하학적 성질에 대한 연구이다. 열대 기하학에서 두 실수의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의된다. : x \oplus y = \min\\{x, y \\} : x \otimes y = x + y 예를 들어, 고전적인 다항식 x^3 + 2xy + y^4는 열대 기하학에서\min\\{x+x+x,\; 2+x+y,\; y+y+y+y\\}이 된다. 이러한 다항식과 그 해는 최적화 문제, 예를 들어 기차 네트워크의 출발 시간 최적화 문제 등에 중요하게 응용된다. 열대 기하학은 다항식의 그래프가 조각별 선형 메쉬와 유사하고 체 대신 열대 반환의 수를 사용하는 대수기하학의 변형이다. 고전 기하학과 열대 기하학은 밀접하게 관련되어 있기 때문에 결과와 방법을 서로 변환할 수 있다. 대수다양체는 열대 다양체에 사상될 수 있고, 이 과정은 여전히 원래 다양체에 대한 일부 기하학적 정보를 유지하므로 열대 기하학의 도구를 사용하여 브릴–뇌터 정리와 같은 대수기하학의 고전적 결과를 증명하고 일반화하는 데 도움이 될 수 있다.확인날짜=2018-12-12
# 역사
열대 해석학의 기본 아이디어는 다양한 분야의 수학자들이 동일한 표기법을 사용하여 독자적으로 개발했다.See 추신=none and references therein. 열대 기하학의 중심 아이디어는 여러 초기 작업에서 다양한 형태로 나타났다. 예를 들어 Victor Pavlovich Maslov는 통합 프로세스의 열대 버전을 도입했고, 해밀턴-야코비 방정식의 르장드르 변환 해가 열대적인 선형 연산이라는 사실을 알아냈다.doi=10.1070/RM1987v042n03ABEH001439 그러나 이론의 기본 정의를 통합하려는 노력은 1990년대 이후에야 이루어졌다. 이는 막심 콘체비치의 아이디어와 Grigory Mikhalkindoi=10.1090/S0894-0347-05-00477-7의 작업을 사용한 열거 대수기하학에의 응용을 통해 동기가 부여되었다. 열대라는 형용사는 이 분야에서 연구한 헝가리 태생의 브라질 컴퓨터 과학자 Imre Simon을 기리기 위해 프랑스 수학자들이 만들었다. Jean-Éric Pin은 발명을 Dominique Perrin에게 돌린 반면,isbn=9780511662508 시몬 자신은 단어를 Christian Coffrut에게 돌렸다.isbn=978-3-540-50110-7
# 대수학 배경
열대 기하학은 열대 반환을 기반으로 한다. 열대 반환은 관례에 따라 최대 또는 최소를 사용한 두 가지 방식으로 정의된다. **최소 열대 반환**(min tropical semiring)은 연산 x \oplus y = \min\\{x, y \\}, x \otimes y = x + y을 갖는 반환 (\R \cup \\{+\infty\\}, \oplus, \otimes)이다. : : 연산 \oplus, \otimes은 각각 **열대 덧셈**과 **열대 곱셈**이라고 한다. \oplus에 대한 항등원은 +\infty이고, \otimes에 대한 항등원은 0이다. 유사하게, **최대 열대 반환**(max tropical semiring)은 연산 x \oplus y = \max\\{x, y \\}, x \otimes y = x + y을 갖는 반환(\R \cup \\{-\infty\\}, \oplus, \otimes)이다. : : \oplus에 대한 항등원은 -\infty이고, \otimes에 대한 항등원은 0이다. 최소 열대 반환과 최대 열대 반환은 동형 사상 x \mapsto -x에 의해 동형이다. 일반적으로 둘 중 하나를 선택하고 열대 반환으로 부른다. 관례는 저자와 분야에 따라 다르다. 일부는 *최소* 규칙을 사용하고 일부는 *최대* 규칙을 사용한다. 열대 반환의 연산은 값매김 체에서 덧셈과 곱셈에 따라 값매김이 어떻게 작용하는지 모사한다. 열대 기하학에서 발생하는 몇 가지 일반적인 값매김 체(최소 규칙 포함)는 다음과 같다. * \Q 또는 \Complex와 자명한 값매김: 모든 a\ne 0에 대해 v(a) = 0. * \Q 또는 p진 값매김을 통한 확장: p와 서로소인 정수 b에 대해 v_p(p^n a/b) = n. * 로랑 급수의 체 \Complex(\\!(t)\\!) (정수 거듭제곱) 또는 (복소 계수) 퓌죄 급수의 체 \Complex\\{\\!\\{t\\}\\!\\}와 급수에 나타나는 t의 가장 작은 지수 값매김.
# 열대 다항식
**열대 다항식**(tropical polynomial)은 유한한 수의 단항식의 열대 합으로 표현될 수 있는 함수 F\colon \R^n\to \R이다. 단항식은 상수와 변수 X_1,\ldots, X_n의 열대 곱 또는 몫이다. 따라서 열대 다항식 *F*는 변수가 정수 계수를 갖는 선형 함수의 유한 집합의 최솟값이므로 오목, 연속 및 조각별 선형이다. : \begin{align} F(X_1,\ldots,X_n) &= \left(C_1 \otimes X_1^{\otimes a_{11 \otimes \cdots \otimes X_n^{\otimes a_{n1\right) \oplus \cdots \oplus \left(C_s \otimes X_1^{\otimes a_{1s \otimes \cdots \otimes X_n^{\otimes a_{ns\right)\\\ &= \min \\{C_1+a_{11}X_1+\cdots+a_{n1}X_n,\; \ldots,\; C_s+a_{1s}X_1+\cdots+a_{ns}X_n\\}. \end{align} 값매김 체 *K*의 로랑 다항식 환 K[x_1^{\pm 1},\ldots ,x_n^{\pm 1}]에서 다항식 *f* 가 주어졌을 때 *f* 의 **열대화**(tropicalization)는 덧셈과 곱셈을 열대 덧셈과 열대 곱셈으로 바꾸고 상수를 그 값매김으로 바꾸어 얻은 열대 다항식이다. *f*의 열대화는 \operatorname{Trop}(f)으로 표기한다. 즉, A_1,\cdots,A_s \in \Z^n에 대해 f = \sum_{i=1}^s c_i x^{A_i} 의 열대화는 \operatorname{Trop}(f) = \bigoplus_{i=1}^s v(c_i) \otimes X^{\otimes A_i} 이다. 열대 다항식 *F* 가 미분 불가능한 점의 집합을 **열대 초표면**(tropical hypersurface)이라고 한다. *F*의 열대 초표면은 다항식의 영집합과 비슷하게 \mathrm{V}(F)으로 표기한다. 동등하게, \mathrm{V}(F)는 *F* 의 항 중 최소값이 두 번 이상 달성되는 점의 집합이다.
## 열대 대수학의 기본정리
f(x)를 1변수 x에 대한 열대 다항식이라고 하자. 그러면 f(x)는 같은 열대 다항식(same tropical polynomial)일 필요가 없는 동등한 열대 다항식(equivalent tropical polynomial)으로 치환이 가능하고 동등한 열대 다항식들 중 열대 일차 다항식(tropical linear polynomial)들만으로 인수분해가 가능한 동등한 열대 다항식이 존재한다. 바꿔 말하면, 모든 열대 다항식은 동등한 열대 다항식으로 치환되고 이 동등한 열대 다항식 중 적어도 하나는 열대 일차식들의 열대 곱셈으로 표현된다. 이를 열대 대수학의 기본정리라고 한다(fundamental theorem of tropical algebra).
### 예시
* f(x) = x^{\otimes 2}\oplus 7 \otimes x\oplus 21로 두자. 그러면 f(x) = x^{\otimes 2}\oplus 7 \otimes x\oplus 21 = (x\oplus 7)\otimes(x\oplus 14)로 인수분해된다. 즉, 2차식이 1차식 두 개로 인수분해가 가능하다. * f(x) = x^{\otimes 2}\oplus 21 \otimes x\oplus 7로 두자. 이 경우에는 바로 인수분해를 할 수 없고, 동등한 열대 다항식으로 바꿔주는 작업이 필요하다. 동등한 열대 다항식으로 f(x)를 치환하면, \hat{f}(x) = x^{\otimes 2}\oplus 21 \otimes x\oplus 7 = x^{\otimes 2} \oplus 7이 된다. 그런데 신입생의 꿈(freshman's dream)은 열대 다항식에서 항상 성립하므로, \hat{f}(x) = x^{\otimes 2}\oplus 21 \otimes x\oplus 7 = x^{\otimes 2} \oplus 7 = (x\oplus \frac{7}{2})^{\otimes 2}가 성립한다. 이 경우는 위의 경우와 다르게 주어진 열대 다항식을 동등한 열대 다항식으로 치환하는 과정이 고려되었다.
# 열대 다양체

## 정의
algebraic torus (K^{\times})^n안의 대수다양체 *X*의 경우, *X*의 열대 다양체 또는 *X*의 열대화는 \operatorname{Trop}(X)으로 표기하는 \R^n의 부분집합이고, 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다. 이러한 정의의 동등성을 **열대 기하학의 기본 정리**(fundamental theorem of tropical geometry)라고 한다.
### 열대 초면의 교차점
K[x_1^{\pm 1},\ldots ,x_n^{\pm 1}]에서 \mathrm{I}(X)를 *X*에서 영이 되는 로랑 다항식의 아이디얼이라고 하자. X의 열대화는 \operatorname{Trop}(X) = \bigcap_{f \in \mathrm{I}(X)} \mathrm{V}(\operatorname{Trop}(f)) \subseteq \R^n 으로 정의한다. : *X* 가 초표면일 때, 아이디얼 \mathrm{I}(X)는 로랑 다항식 *f* 에 의해 생성된 주 아이디얼이며, 열대 다양체 \operatorname{Trop}(X)는 정확히 열대 초표면 \mathrm{V}(\operatorname{Trop}(f))이다. 모든 열대 다양체는 유한한 수의 열대 초표면의 교집합이다. 다항식의 유한 집합 \\{f_1,\ldots,f_r\\}\subseteq \mathrm{I}(X) 다음과 같은 경우 *X* 에 대한 **열대 기저**(tropical basis)라고 한다. \operatorname{Trop}(X) 열대 초표면의 교차점이다. \operatorname{Trop}(f_1),\cdots,\operatorname{Trop}(f_r) . 일반적으로 \mathrm{I}(X)의 생성 집합은 열대 기저를 형성하기에 충분하지 않다. 유한한 수의 열대 초표면의 교차점을 열대 전다양체 이라고 하며 일반적으로 열대 다양체가 아니다.isbn=9780821851982
### 값매김 사상의 상
*X* 가 \R에서의 상이 조밀한 값매김 *v* 를 갖는 체 *K* 에 대한 다양체라고 하자. (예: 퓌죄 급수의 체). 좌표에 따라 *v*는 대수 원환면 (K^{\times})^n에서 \R^n으로의 사상을 정의한다. 열대화는 다음과 같이 정의된다. : \operatorname{Trop}(X) = \overline{\\{(v(x_1),\ldots,v(x_n)) : (x_1,\ldots,x_n) \in X \\, 여기서 위 직선은 유클리드 위상의 폐포를 나타낸다. *K* 의 값매김이 \R에서 조밀하지 않은 경우, 위의 정의는 조밀한 값매김이 있는 더 큰 체로 스칼라를 확장하여 적용할 수 있다. 이 정의는 \operatorname{Trop}(X)가 대수적으로 닫힌 비아르키메데스 체 *K* 에 대한 비아르키메데스 label=아메바임을 보여준다.편집자3-링크=Mikhail Leonidovich Gromov *X* 가 \Complex 위의 다양체인 경우, \operatorname{Trop}(X)는 로그의 밑 *t* 가 무한대로 갈 때의 아메바 \operatorname{Log}_t(X)의 극한 대상으로 간주 될 수 있다.
## 열대 곡선
1차원 열대 다양체인 **열대 곡선**(tropical curve)에 대한 연구는 특히 잘 발달되어 있으며 그래프 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 열대 곡선의 Divisor (algebraic geometry) 이론은 열대 곡선과 관련된 그래프의 chip-firing game과 관련이 있다.이름3=Serguei 다음 결과를 포함하여, 대수 기하학의 많은 고전적 정리에는 열대 기하학에 대응하는 항목이 있다. * 파푸스의 육각형 정리issn=1073-7928 * 베주 정리 * 종수-차수 공식 * 리만-로흐 정리issn=1432-1823 * 타원곡선의 군zbl=1312.14142
# 최초형식

## 값매김 사상과 국소환
체 K가 있고 이 체 위에 값매김 사상 \text{val}이 주어져 있다고 하자. 그리고 다음 집합을 생각하자. : R = \\{a\in K: \text{val}(a)\geq 0\\} 이 집합 R는 환 구조를 가진다. 그리고 이 환 R은 국소환(local ring)이다. 즉, 극대 아이디얼(maximal ideal)을 단 하나 가지고, 그 극대 아이디얼은 : \mathfrak{m} =\\{a\in K: \text{val}(a)> 0\\} 로 주어진다. 이제 잉여류체(residue field) \mathbb{k}:=R/\mathfrak{m}을 생각한다. 그러면 체 K에서 \mathbb{k}로 가는 자연스러운 사상을 생각할 수 있고, 이 사상에 의한 원소 a의 이미지를 \overline{a}로 표기한다.
## 값매김 사상의 분리
K가 값매김 사상이 주어진 체라고 하고 대수적으로 닫혀있다고 하자. 또한 값매김 사상 \text{val}:K^{\ast}\to\Gamma_{\text{val이 전사가 되도록 하는 \Gamma_{\text{val를 정의하자. 즉, \Gamma_{\text{val는 가역원소들의 값매김 사상에 의한 치역이다. 이 때 \Gamma_{\text{val가 아벨 군이 됨을 기억하자. 그러면 가역 원소들에 의한 값매김 사상 \text{val}:K^{\ast}는 쪼개진다(split). 즉, 준동형사상(homomorphism) \psi:(\Gamma_{\text{val,+)\to(K^{\ast},\cdot)가 존재하여 \text{val}(\psi(w))=w가 모든 w\in\Gamma_{\text{val에 대해 성립한다. 이러한 사상 \psi:(\Gamma_{\text{val,+)\to(K^{\ast},\cdot)에 의한 원소 w의 이미지를 t^w로 쓴다.
## 최초형식
f=\bigoplus_{u\in\mathbb{N}^{n+1c_ux^u가 다항식이라고 하자. 그리고 $f의 열대화를 \operatorname{Trop}(f)=\min\\{=\text{val}(c_u)+w\cdot u:u\in\mathbb{N}^{n+1}\text{ and }c_u\neq0\\}로 정의하자. 또한 무게 벡터(weight vector) w\in\mathbb{R}^{n+1}를 고정하고 W=\operatorname{Trop}(f)(w)라는 상수를 정의하자. 그러면 w에 대한 f의 최초 형식(initial form)은 : \operatorname{in}_w(f) = \sum_{u\in\mathbb{N}^{n+1},\text{val}(c_u)+w\cdot u=W}\overline{c_ut^{-\text{val}(c_u)}x^u}\in\mathbb{k}[x_0,\cdots,x_n] 으로 정의된다.
# 열대 기하학의 기본정리

## 카프라노브 정리
카프라노브 정리는 다음처럼 주어진다: K를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 비자명한 값매김 사상이 주어져있다고 하자. 로랑 다항식 f=\bigoplus_{u\in\mathbb{Z}^{n+1c_ux^u를 고정하자. 그러면 다음 세 대상들은 동일하다: * \mathbb{R}^n에서의 열대 초곡면 \operatorname{Trop}(V(f)) * \\{w\in\mathbb{R}^n:\text{in}_w(f)\text{ is not a monomial}\\} * \mathbb{R}^n에서 \\{(\text{val}(y_1), \cdots, \text{val}(y_1)):(y_1, \cdots, y_n)\in V(f)\\}의 폐포
# 열대 기하학에서의 리만-로흐 정리

## 열대 기하학에서의 인자
열대 기하학에서도 리만-로흐 정리(Riemann-Roch Theorem)가 성립한다. 열대 기하학에서 인자(Divisor)는 대수기하학에서의 인자와 동일한 방법으로 정의된다. 열대 곡선 \Gamma가 있다고 하자. 이 열대 곡선 \Gamma위의 인자는 \Gamma의 점들이 이루는 자유 아벨 군이다. \Gamma위의 모든 인자들의 모임을 \text{Div}(\Gamma)로 쓴다. 인자 D의 차수(degree)는 D=\sum_ia_iP_i인 경우에 \text{deg}(D)=\sum_ia_i로 정의된다. 따라서 명백히 차수 함수 \text{deg}는 군 준동형사상을 이룬다.
# 응용
2007년 금융위기 당시 잉글랜드 은행이 사용한 폴 클렘퍼러의 경매 디자인에 열대 직선이 사용되었다.url-status= 시오자와 요시노리는 (최소-덧셈 또는 최대-덧셈 대신) 최소-곱셈 또는 최대-곱셈을 사용한 아열대 대수(subtropical algebra)를 정의하였다. 그는 리카디안 무역 이론(투입 무역이 없는 국제 무역)이 아열대 볼록 대수로 해석될 수 있음을 발견했다.doi=10.1007/s40844-015-0012-3 This is a digest of Y. Shiozawa, "Subtropical Convex Geometry as the Ricardian Theory of International Trade" draft paper. 열대 기하학은 또한 ReLU 활성화로 피드포워드 신경망의 복잡성을 분석하는 데 사용되었다doi=10.48550/arXiv.1805.07091. 또한 작업 일정, 위치 분석, 운송 네트워크, 의사 결정 및 이산 사건 역학계에서 발생하는 여러 최적화 문제를 열대 기하학의 체계에서 공식화하고 해결할 수 있다.편집자3-성=Joseph V. Romanovsky 아벨-야코비 사상의 열대 대응물은 수정 디자인에 적용될 수 있다.isbn=9784431541769 가중 유한 상태 변환기의 가중치는 열대 반환이 되어야 하는 경우가 많다. 열대 기하학은 자체 조직화된 임계 값을 나타낼 수 있다.이름6=E.
# 추가 자료
* editor3-first=Xander * 열대 기하학과 거울 대칭