운동량 연산자

양자역학에서 **운동량 연산자**(Momentum operator)는 운동량과 관련된 연산자이다. 운동량 연산자는 위치 표현에서 미분 연산자의 한 예이다. 하나의 공간 차원에서 하나의 입자의 경우 정의는 다음과 같다. \hat{p} = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} 여기서 ħ는 환산 플랑크 상수, i는 허수 단위, x는 공간 좌표이며, 파동 함수도 시간의 함수이므로 전미분(d/dx) 대신 편미분(\partial/\partial x로 표시)이 사용된다. "모자"는 연산자를 나타낸다. 미분 가능한 파동 함수에 대한 연산자의 "적용"은 다음과 같다. \hat{p}\psi = - i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} 운동량 표현으로 표현된 운동량 고유 상태로 구성된 힐베르트 공간의 기저에서 연산자의 작용은 단순히 p를 곱하는 것이며, 즉 그것은 곱셈 연산자이다. 위치 연산자가 위치 표현에서 곱셈 연산자인 것과 같다. 위의 정의는 정준 운동량이며, 이는 게이지 불변이 아니며 전자기장의 전하를 띤 입자에 대한 측정 가능한 물리량이 아니다. 이 경우, 정준 운동량은 운동량과 같지 않다. 1920년대 양자역학이 개발될 당시, 운동량 연산자는 닐스 보어, 아르놀트 조머펠트, 에르빈 슈뢰딩거, 유진 위그너를 포함한 많은 이론 물리학자들에 의해 발견되었다. 그 존재와 형태는 때때로 양자역학의 기초적인 가정 중 하나로 여겨진다.
# 드 브로이 평면파에서 유래
운동량과 에너지 연산자는 다음과 같이 구성될 수 있다.Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985,
## 1차원
1차원에서 시작하여 단일 자유 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 평면파 해를 사용한다. \psi(x, t) = e^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)}, 여기서 p는 x-방향의 운동량으로 해석되고 E는 입자 에너지이다. 공간에 대한 1차 편미분은 다음과 같다. \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial x} = \frac{ip}{\hbar} e^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)} = \frac{ip}{\hbar} \psi. 이것은 다음 연산자 등가성을 시사한다. \hat{p} = -i\hbar \frac{\partial }{\partial x} 따라서 입자의 운동량과 입자가 평면파 상태에 있을 때 측정되는 값은 위 연산자의 (일반화된) 고유값이다.page=106 편미분은 선형 연산자이므로 운동량 연산자도 선형이며, 모든 파동 함수는 다른 상태들의 양자 중첩으로 표현될 수 있으므로, 이 운동량 연산자가 전체 중첩된 파동에 작용할 때, 각 평면파 성분에 대한 운동량 고유값을 산출한다. 이 새로운 성분들은 중첩되어 새로운 상태를 형성하며, 일반적으로 이전 파동 함수의 배수가 아니다.
## 3차원
3차원에서의 유도는 동일하지만, 하나의 편미분 대신 델 연산자가 사용된다. 3차원에서 슈뢰딩거 방정식의 평면파 해는 다음과 같다. \psi = e^{\frac{i}{\hbar}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-E t)} 그리고 기울기는 다음과 같다. \begin{align} \nabla \psi &= \mathbf{e}_x\frac{\partial \psi}{\partial x} + \mathbf{e}_y\frac{\partial \psi}{\partial y} + \mathbf{e}_z\frac{\partial \psi}{\partial z} \\\ & = \frac{i}{\hbar} \left ( p_x\mathbf{e}_x + p_y\mathbf{e}_y+ p_z\mathbf{e}_z \right)\psi \\\ & = \frac{i}{\hbar} \mathbf{p}\psi \end{align} 여기서 **e**x, **e**y, 및 **e**z는 세 공간 차원에 대한 단위 벡터이므로, \mathbf{\hat{p = -i \hbar \nabla 이 운동량 연산자는 공간 변수에 대해 편미분이 취해졌기 때문에 위치 공간에 있다.
# 정의 (위치 공간)
전하가 없고 스핀이 없는 단일 입자의 경우, 운동량 연산자는 위치 기저에서 다음과 같이 작성될 수 있다.Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, \mathbf{\hat{p=-i\hbar\nabla 여기서 ∇는 기울기 연산자, ħ는 환산 플랑크 상수, 그리고 i는 허수 단위이다. 하나의 공간 차원에서 이것은 다음과 같이 된다.In the position coordinate representation, that is, -i \hbar \int dx \left|x\right\rangle \partial_x \langle x|. \hat{p}=\hat{p}_x=-i\hbar{\partial \over \partial x}. 이것은 정준 운동량의 표현이다. 전자기장 내의 전하 q를 가진 입자의 경우, 게이지 변환 동안 위치 공간 파동 함수는 국소적인 U(1) 군 변환을 겪게 되고,doi-access=free \hat{p}\psi = - i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} 는 그 값이 변한다. 따라서 정준 운동량은 게이지 불변이 아니며, 따라서 측정 가능한 물리량이 아니다. 게이지 불변 물리량인 운동량은 정준 운동량, 스칼라 퍼텐셜 φ 및 벡터 퍼텐셜 **A**로 표현될 수 있다.Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, \mathbf{\hat{P = -i\hbar\nabla - q\mathbf{A} 위 표현을 최소 결합이라고 한다. 전기적으로 중성인 입자의 경우, 정준 운동량은 운동량과 같다.
# 속성

## 에르미트성
운동량 연산자는 대칭 (즉, 에르미트)이며, 양자 상태 공간의 조밀한 부분 공간에서 작용하는 비유계 작용소로 설명될 수 있다. 연산자가 (정규화 가능한) 양자 상태에 작용하는 경우, 연산자는 자기 수반이다. 물리학에서 '에르미트'라는 용어는 대칭 연산자와 자기 수반 연산자 둘 다를 의미하는 경우가 많다.See Lecture notes 1 by Robert Littlejohn date=2012-06-17 for a specific mathematical discussion and proof for the case of a single, uncharged, spin-zero particle. See Lecture notes 4 by Robert Littlejohn for the general case.page=64 (반무한 구간 0, ∞에서의 양자 상태와 같은 특정 인공적인 상황에서는 운동량 연산자를 에르미트화할 방법이 없다.s2cid=16949018 이는 반무한 구간이 병진 대칭성을 가질 수 없다는 사실과 밀접한 관련이 있다. 더 정확히 말하면, 유니터리 변환 연산자를 가지지 않는다. 아래 아래를 참조.)
## 정준 교환 관계
정준 교환 관계 위치 또는 운동량 기저에서 임의의 상태에 교환자를 적용하면 다음을 쉽게 보일 수 있다. \left [ \hat{x}, \hat{p} \right ] = \hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = i \hbar \mathbb{I}, 여기서 \mathbb{I}는 단위 연산자이다.language=de 하이젠베르크의 불확정성 원리는 단일 가관측량 시스템의 운동량과 위치가 동시에 얼마나 정확하게 알려질 수 있는지에 대한 한계를 정의한다. 양자역학에서 위치와 운동량은 켤레 변수이다.
## 푸리에 변환
다음 논의는 브라-켓 표기법을 사용한다. \psi(x)=\langle x|\psi\rangle =\int\\!\\!dp~ \langle x|p\rangle \langle p|\psi\rangle = \int\\!\\!dp~ {e^{ixp/\hbar} \tilde \psi (p) \over \sqrt{2\pi\hbar, 따라서 물결표는 좌표 공간에서 운동량 공간으로 변환할 때 푸리에 변환을 나타낸다. 그러면 다음이 성립한다. \hat{p}= \int\\!\\!dp~ | p \rangle p \langle p|= -i\hbar \int\\!\\!dx~ | x \rangle \frac{ d}{d x} \langle x| ~, 즉, 좌표 공간에서 작용하는 운동량은 공간 주파수에 해당한다. \langle x | \hat{p} | \psi \rangle = - i \hbar \frac{d}{dx} \psi ( x ) . 유사한 결과가 운동량 기저에서 위치 연산자에도 적용된다. \langle p | \hat{x} | \psi \rangle = i \hbar \frac{d}{dp} \psi ( p ), 이는 추가적인 유용한 관계들을 이끌어낸다. \langle p | \hat{x} | p' \rangle = i \hbar \frac{d}{dp} \delta (p - p') , \langle x | \hat{p} | x' \rangle = -i \hbar \frac{d}{dx} \delta (x - x') , 여기서 δ는 디랙 델타 함수를 의미한다.
# 무한소 변환으로부터의 유도
변환 연산자는 T(ε)로 표시되며, 여기서 ε는 변환의 길이를 나타낸다. 다음 항등식을 만족한다. T(\varepsilon) | \psi \rangle = \int dx T(\varepsilon) | x \rangle \langle x | \psi \rangle 이는 다음이 된다. \int dx | x + \varepsilon \rangle \langle x |\psi \rangle = \int dx | x \rangle \langle x - \varepsilon | \psi \rangle = \int dx | x \rangle \psi(x - \varepsilon) 함수 \psi가 해석적이라고 가정하면 (미분 가능한 어떤 복소평면 영역에서), x에 대한 테일러 급수로 확장할 수 있다. \psi(x-\varepsilon) = \psi(x) - \varepsilon \frac{d \psi}{dx} 따라서 ε의 무한소 값에 대해 다음과 같다. T(\varepsilon) = 1 - \varepsilon {d \over dx} = 1 - {i \over \hbar} \varepsilon \left ( - i \hbar { d \over dx} \right ) 고전역학에서 알려진 바와 같이, 운동량은 변환의 생성자이므로, 변환 연산자와 운동량 연산자 사이의 관계는 다음과 같다.location=Cambridge T(\varepsilon) = 1 - \frac{i}{\hbar} \varepsilon \hat{p} 따라서 \hat{p} = - i \hbar \frac{d}{dx}.
# 4차원 운동량 연산자
위의 3차원 운동량 연산자와 에너지 연산자를 4차원 운동량 ((+ − − −) 계량 부호수를 가진 1-형식)에 삽입하면: P_\mu = \left(\frac{E}{c},-\mathbf{p}\right) **4차원 운동량 연산자**를 얻는다. \hat{P}_\mu = \left(\frac{1}{c}\hat{E},-\mathbf{\hat{p\right) = i\hbar\left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) = i\hbar\partial_\mu 여기서 ∂μ는 4-기울기이며, −iħ는 3차원 운동량 연산자 앞에 +iħ가 된다. 이 연산자는 디랙 방정식 및 기타 상대론적 파동 방정식과 같은 상대론적 양자장론에서 나타나는데, 에너지와 운동량이 위의 4차원 운동량 벡터로 결합되고, 운동량과 에너지 연산자가 공간 및 시간 미분에 해당하며, 로런츠 공변성을 위해 1차 편미분이어야 하기 때문이다. 4차원 운동량의 디랙 연산자와 디랙 슬래시는 디랙 행렬과 수축하여 주어진다. \gamma^\mu\hat{P}_\mu = i\hbar \gamma^\mu\partial_\mu = \hat{P} = i\hbar\partial \\!\\!\\!/ 만약 부호수가 (− + + +)였다면, 연산자는 다음이 되었을 것이다. \hat{P}_\mu = \left(-\frac{1}{c}\hat{E},\mathbf{\hat{p\right) = -i\hbar\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla\right) = -i\hbar\partial_\mu 대신에.