스핀 표현

수학에서 **스핀 표현**(Spin representation)은 직교군 또는 특수 직교군의 특정한 사영 표현이다. 보다 정확하게는, 특수 직교군의 이중 덮개인 스핀군의 두 가지 표현이다. 일반적으로 실수체 또는 복소수체의 경우에 대해 연구하지만 다른 체에 대해서도 정의하여 연구할 수 있다. 스핀 표현의 원소를 스피너라고 한다. 스핀 표현은 여러 가지 방법으로 구성될 수 있지만, 일반적으로 군의 벡터 표현에서 최대 등방적 부분 공간을 선택하는 것과 암시적으로 연관된다. 실수에 대해서는 일반적으로 벡터 표현을 복소화 해야 한다. 이러한 이유로 먼저 복소수에 대한 스핀 표현을 정의하고 실수 구조를 도입하여 실수 표현을 유도하는 것이 편리하다. 스핀 표현의 속성은 직교군의 차원과 부호수에 따라 달라진다. 특히 스핀 표현은 종종 스핀 군을 고전적인 리 군에 묻는 데 사용할 수 있는 불변 쌍선형 형식을 허용한다. 낮은 차원에서 이러한 묻기는 전사이며 스핀 군과 더 친숙한 리군 사이의 특수 동형을 결정한다. 이것은 이러한 차원에서 스피너의 특성을 설명한다.
# 설정
V를 비축퇴 이차 형식 Q가 주어진 유한 차원 실 또는 복소 선형 공간이라고 하자. Q를 보존하는 선형 사상은 직교군 \text{O}(V,Q) 을 형성한다. 군의 항등 성분은 특수 직교군 \text{SO}(V,Q) 라고 한다. (부정 이차 형식이 주어진 실 선형 공간 V에 대해 이 용어는 표준이 아니다. 특수 직교군은, 이 경우, 두 개의 성분이 있는 부분군으로 정의된다.) 스핀군 \text{Spin}(V,Q) 는 \text{SO}(V,Q) 의 유일한 연결 이중 덮개다. 따라서 군 동형사상 h:\text{Spin}(V,Q)\rightarrow\text{SO}(V,Q) 의 핵에는 1, -1로 표시되는 두 개의 원소가 있으며 여기서 1은 항등원이다. 따라서 \text{Spin}(V,Q) 의 원소 g 와 -g는 \text{SO}(V,Q) 에 대한 준동형함수 값이 동일하다. 즉, \text{Spin}(V,Q) 의 모든 g에 대해 h(g)=h(-g)이다. \text{O}(V,Q) , \text{SO}(V,Q) , \text{Spin}(V,Q) 은 모두 리 군이며, 고정된 (V,Q) 에 대해 이 리 군들의 리 대수는 모두 \mathfrak{so}(V,Q) 이다. V가 실 선형 공간인 경우, V는 V의 복소화 V_{\mathbb C}=V\otimes_{\mathbb R} \mathbb C 의 실 부분 공간이고, 이차 형식 Q는 자연스럽게 V_{\mathbb C} 에서 이차 형식 Q_{\mathbb C} Q_{\mathbb C}로 확장된다. \text{SO}(V_{\mathbb C},Q_{\mathbb C}) 는 부분군으로 \text{SO}(V,Q) 를 포함하므로, \text{Spin}(V,Q) 를 \text{Spin}(V_{\mathbb C},Q_{\mathbb C}) 의 부분군으로 구현할 수 있다. 또한, \mathfrak{so}(V_{\mathbb C},Q_{\mathbb C}) 는 \mathfrak{so}(V,Q) 의 복소화이다. 복소 선형 공간의 경우, 이차 형식은 V의 차원 n에 의해 동형 사상까지 유일하게 결정된다. 구체적으로,V=\mathbb C^{n} 이고V=\mathbb C^n : Q(z_1,\ldots, z_n) = z_1^2+ z_2^2+\cdots+z_n^2. 이라고 가정할 수 있다. 해당 리 군들은 \text{O}(n,\mathbb C), \text{SO}(n,\mathbb C), \text{Spin}(n,\mathbb C) 로 표시되며 리 대수는 \mathfrak{so}(n,\mathbb C) 로 표시된다. 실 선형 공간에서 이차 형식은 음이 아닌 정수 쌍 (p,q)으로 결정된다. 여기서 n=p+q 는 V의 차원이고 p-q는 부호수이다. 구체적으로 V=\mathbb R^n , : Q(x_1,\ldots, x_n) = x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_p^2-(x_{p+1}^2+\cdots +x_{p+q}^2). 이라고 가정할 수 있다. 해당 리 군 및 리 대수는 기호로 \text{O}(p,q), \text{SO}(p,q), \text{Spin}(p,q) ; \mathfrak{so}(p,q) 로 표시한다. 부호수을 명시하기 위해 \mathbb R^n 대신 \mathbb R^{p,q} 를 쓴다. 어떤 의미에서 스핀 표현은 \text{SO}(n,\mathbb C) 와 \text{SO}(p,q) 표현으로부터 나오지 않는 \text{Spin}(n,\mathbb C) 와 \text{Spin}(p,q) 의 가장 간단한 표현이다. 따라서, 스핀 표현은, -1\notin\ker\rho인 군 준동형 사상 \rho:\text{Spin}(n,\mathbb C)\; or \;\text{Spin}(p,q)\longrightarrow \text{GL}(S) 이 주어진 실 또는 복소 선형 공간 S이다. S가 그러한 표현이라면, 리 군과 리 대수의 관계에 따라 리 대수 표현, 즉 \mathfrak{so}(n,\mathbb C) 또는 \mathfrak{so}(p,q) 에서 교환자 괄호가 있는 S의 자기 사상들의 리 대수 \mathfrak{gl}(S) 로의 리 대수 동형 사상을 유도한다. 스핀 표현은 다음에 따라 분석할 수 있다: S가 \text{Spin}(p,q) 의 실 스핀 표현인 경우, 그 복소화는 \text{Spin}(p,q) 의 복소 스핀 표현이다. \mathfrak{so}(p,q) 의 표현으로 \mathfrak{so}(n,\mathbb C) 의 복소 표현으로 확장된다. 역순으로 진행하므로 *먼저* \text{Spin}(n,\mathbb C) 및 \mathfrak{so}(n,\mathbb C) 의 복소 스핀 표현을 구성한 다음 \mathfrak{so}(p,q) 및 \text{Spin}(p,q) 의 복소 스핀 표현으로 제한한 다음 마지막으로 실 스핀 표현에 대한 가능한 축약를 분석한다.
# 복소 스핀 표현
다음이 성립하도록 표준 이차 형식 Q이 주어진 V=\mathbb{C}^n 를 고려하자. : \mathfrak{so}(V,Q) = \mathfrak{so}(n,\mathbb C). Q와 연관된 V의 대칭 쌍선형 형식은 \langle\cdot,\cdot\rangle 로 나타낸다.
## 등방 부분 공간 및 근계
표준적으로, \mathfrak{so}(n,\mathbb C) 의 스핀 표현은 W\cap W^*=0인 V의 (Q에 대한) 극대 완전 등방 부분 공간의 쌍 (W, W^*)의 선택으로 구성된다. V의 차원 n=2m 또는 n=2m+1이면 W와 W^* 둘 다 차원이 m이다. n=2m이면 V=W\oplus W^*이고, n=2m+1 이면 V=W\oplus U\oplus W^*이다. 여기서 U는 W\oplus W^*에 대한 1차원 직교 여공간이다. Q와 연관된 이중 선형 형식 \langle\cdot,\cdot\rangle 는 W와 W^*사이의 쌍을 유도하는데, 이는 W와 W^*가 완전 등방 부분 공간이고 Q가 비축퇴이기 때문에 축퇴되지 않아야 한다. 따라서 W와 W^*는 쌍대 선형 공간이다. 보다 구체적으로, a_1,\dots,a_m가 W의 기저라 하자. 그러면 다음과 같은 W^*의 유일한 기저 \alpha_1,\dots,\alpha_m가 존재한다: : \langle \alpha_i,a_j\rangle = \delta_{ij}. A가 m\times m 행렬이면 A는 이 기저에 대해 W의 자기 사상을 유도하고 전치 A^T는 다음과 같이 W^*의 변환을 유도한다: \forall w \in W, \forall w^* \in W^*, : \langle Aw, w^* \rangle = \langle w,A^\mathrm{T} w^*\rangle W에서 A, W^*에서 -A^T, U에서 0( n이 홀수인 경우)과 같이, V의 자기 사상 \rho_A는 반대칭적이다: : \langle \rho_A u, v \rangle = -\langle u,\rho_A v\rangle\;\; \forall u,v\in V. 따라서 (고전군 참조) \mathfrak{so}(n,\mathbb C)\subset \text{End}(V) 의 원소이다. 이 구성에서 대각 행렬을 사용하여 \mathfrak{so}(n,\mathbb C) 의 카르탕 부분 대수 \mathfrak h를 정의한다. \mathfrak{so}(n,\mathbb C) 의 랭크는 m이고, n\times n 대각 행렬은 m차원 아벨 부분 대수를 결정한다. \epsilon_1, \dots, \epsilon_m을 대각 행렬 A에 대해 \epsilon_k(\rho_A)가 A의 k번째 대각 성분인 \mathfrak h^*의 기저라 하자. 이것은 확실히 \mathfrak h^*의 기저이다. 쌍선형 형식은 \mathfrak{so}(n,\mathbb C) , \wedge^2 V를 다음과 같이 명시적으로 규명한다: : x \wedge y \mapsto \varphi_{x \wedge y}, \quad \varphi_{x \wedge y}(v) = 2(\langle y, v\rangle x - \langle x, v\rangle y),\quad x \wedge y \in \wedge^2V,\quad x,y,v \in V, \quad \varphi_{x \wedge y} \in \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}).1991 Chapter 20, p.303. The factor 2 is not important, it is there to agree with the Clifford algebra construction. 이제 \mathfrak h와 관련된 근계를 쉽게 구성할 수 있다. 근 공간 (\mathfrak h의 작용에 대한 동시 고유 공간)은 다음 원소들로 생성된다. : a_i\wedge a_j,\; i\neq j, 근(동시 고유값) \varepsilon_i + \varepsilon_j : a_i\wedge \alpha_j ( i= j 이면 \mathfrak h에 있음) 근 \varepsilon_i - \varepsilon_j : \alpha_i\wedge \alpha_j,\; i\neq j, 근 -\varepsilon_i - \varepsilon_j n이 홀수이고 u가 U의 0이 아닌 원소인 경우, : a_i\wedge u, 근 \varepsilon_i : \alpha_i\wedge u, 근 -\varepsilon_i. 따라서 기저 \epsilon_1, \dots, \epsilon_m에 대해 근들은 : (\pm 1,\pm 1, 0, 0, \dots, 0) 의 치환인 \mathfrak h^*의 벡터들이다. (n=2m+1인 경우(\pm 1, 0, 0, \dots, 0) 의 치환들) : 양의 근계는 수학|*ε**'i* \+ *ε**'j* (*i* ≠ *j*), *ε**'i* − *ε**'j* (*i* 3 인 경우 짝수이고 n=3 n=3 인 경우 \mathfrak{sp}(1) 이다. 짝수 차원의 경우도 비슷하다. n>2 n>2 의 경우 복소수 반회전 표현은 짝수 차원이다. 우리는 추가로 에르미트 구조와 \mathfrak{sl}(2N,\mathbb C) 의 실 형태를 다루어야 한다: \mathfrak{sl}(2N,\mathbb R) , K+L=2N 일 때 \mathfrak{su}(K,L) , \mathfrak{sl}(N,\mathbb H) . 그 결과 짝수 스핀 표현은 다음 표와 같이 요약된다: {| class="wikitable" |- ! p - q \mod 8 ! ! \mathfrak{so}(2N,\mathbb C)+\mathfrak{so}(2N,\mathbb C) ! \mathfrak{sl}(2N,\mathbb C) ! \mathfrak{sp}(2N,\mathbb C)+\mathfrak{sp}(2N,\mathbb C) |- ! 0 ! \mathbb R+\mathbb R | \mathfrak{so}(N,N)+\mathfrak{so}(N,N)^* | \mathfrak{sl}(2N,\mathbb R) | \mathfrak{sp}(2N,\mathbb R)+\mathfrak{sp}(2N,\mathbb R) |- ! 2,6 ! **\mathbb C ** | \mathfrak{so}(2N,\mathbb C) | \mathfrak{su}(N,N) | \mathfrak{sp}(2N,\mathbb C) |- ! 4 ! \mathbb H+\mathbb H | \mathfrak{so}^*(N,\mathbb H)+\mathfrak{so}^*(N,\mathbb H) | \mathfrak{sl}(N,\mathbb H) | \mathfrak{sp}(N/2,N/2)+\mathfrak{sp}(N/2,N/2)^{\dagger} |} (*) pq=0 의 경우 대신에 \mathfrak{so}(2N)+\mathfrak{so}(2N) \mathfrak{so}(2N)+\mathfrak{so}(2N) (†) N 은 n>4 이고 pq=0 ( N=1 인 n=4 포함)인 경우 짝수이다. 대신 \mathfrak{sp}(N)+\mathfrak{sp}(N) 복소 경우의 저차원 동형 사상은 다음과 같은 실 형식을 갖는다. {| class="wikitable" |유클리드 부호수 | 민코프스키 부호수 | colspan="2" | 기타 부호수 |- | \mathfrak{so}(2)\cong \mathfrak{u}(1) | \mathfrak{so}(1,1)\cong \mathbb R | colspan="2" | |- | \mathfrak{so}(3)\cong \mathfrak{sp}(1) | \mathfrak{so}(2,1)\cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb R) | colspan="2" | |- | \mathfrak{so}(4)\cong \mathfrak{sp}(1)\oplus\mathfrak{sp}(1) | \mathfrak{so}(3,1)\cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb C) | \mathfrak{so}(2,2)\cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2,\mathbb R) | |- | \mathfrak{so}(5)\cong \mathfrak{sp}(2) | \mathfrak{so}(4,1)\cong \mathfrak{sp}(1,1) | \mathfrak{so}(3,2)\cong \mathfrak{sp}(4,\mathbb R) | |- | \mathfrak{so}(6)\cong \mathfrak{su}(4) | \mathfrak{so}(5,1)\cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb H) | \mathfrak{so}(4,2)\cong \mathfrak{su}(2,2) | \mathfrak{so}(3,3)\cong \mathfrak{sl}(4,\mathbb R) |} 이 표에서 누락된 실 리 대수의 유일한 특수 동형 사상은 다음과 같다. \mathfrak{so}^*(3,\mathbb H) \cong \mathfrak{su}(3,1)과 \mathfrak{so}^*(4,\mathbb H)\cong\mathfrak{so}(6,2).