스톤-바이어슈트라스 정리

수학적 해석학에서 **바이어슈트라스 근사 정리**(Weierstrass approximation theorem)는 닫힌 구간 [a, b]에서 정의된 모든 연속 함수는 다항식 함수에 의해 원하는 만큼 가깝게 균등하게 근사될 수 있다고 명시한다. 다항식은 가장 단순한 함수 중 하나이며, 컴퓨터가 다항식을 직접 평가할 수 있기 때문에 이 정리는 특히 다항식 보간법에서 실용적이고 이론적인 중요성을 갖는다. 이 결과의 원래 버전은 카를 바이어슈트라스가 1885년 바이어슈트라스 변환을 사용하여 확립했다. 마셜 하비 스톤은 이 정리를 상당히 일반화하고 증명을 단순화했다.; **21** (5), 237–254. 그의 결과는 **스톤-바이어슈트라스 정리**(Stone–Weierstrass theorem)로 알려져 있다. 스톤-바이어슈트라스 정리는 바이어슈트라스 근사 정리를 두 가지 방향으로 일반화한다. 실수 구간 [a, b] 대신 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 X를 고려하고, 다항 함수들의 대수 대신 X 상의 다양한 다른 연속 함수족이 충분하다는 것을 보여준다. 이는 아래에 자세히 설명되어 있다. 스톤-바이어슈트라스 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간 상의 연속 함수 대수 연구에 중요한 결과이다. 또한, 스톤-바이어슈트라스 정리를 비콤팩트 티호노프 공간으로 일반화한 버전이 있다. 즉, 티호노프 공간 상의 모든 연속 함수는 스톤-바이어슈트라스 정리에 나타나고 아래에 설명된 유형의 대수에 의해 콤팩트 집합 상에서 균등하게 근사된다. 바이어슈트라스의 원래 정리의 또 다른 일반화는 메르게리안의 정리로, 복소평면의 특정 부분집합에 정의된 함수로 일반화한다.
# 바이어슈트라스 근사 정리
바이어슈트라스가 처음 발견한 근사 정리의 진술은 다음과 같다. Math theorem| name = 바이어슈트라스 근사 정리 | math_statement = f가 실수 구간 [a, b]에서 정의된 연속 실함수라고 가정하자. 모든 ε > 0에 대해 다항식 p가 존재하여 [a, b]의 모든 x에 대해 수학|!f(x) − p(x)! a_n인 함수 f가 존재한다.url-access=subscription
## 응용
바이어슈트라스 근사 정리의 결과로, 공간 C[a, b]가 분해 가능하다는 것을 보일 수 있다. 다항 함수는 조밀하며, 각 다항 함수는 유리수 계수를 가진 다항식에 의해 균등하게 근사될 수 있다. 유리 계수를 가진 다항식은 가산 개만 존재한다. C[a, b]가 거리화 가능하고 분해 가능하므로, C[a, b]의 농도는 최대 2ℵ0이다. (참고: 이 농도 결과는 실수 상의 연속 함수가 유리수 제한에 의해 유일하게 결정된다는 사실에서도 도출된다.)
# 스톤-바이어슈트라스 정리, 실수 버전
[a, b] 상의 연속 실함수 집합 C[a, b]는 최고값 노름 f (x)과 함께 바나흐 대수이다 (즉, 결합 대수이자 g가 모든 f, g에 대해 성립하는 바나흐 공간이다). 모든 다항 함수의 집합은 C[a, b]의 부분대수를 형성하며 (즉, 함수 곱셈에 대해 닫힌 C[a, b]의 벡터 부분 공간이다), 바이어슈트라스 근사 정리의 내용은 이 부분대수가 C[a, b]에서 조밀하다는 것이다. 스톤은 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 X에서 시작하여 최고값 노름으로 유도된 위상과 함께 X 상의 실수 값 연속 함수 대수 C(X, **R**)를 고려한다. 그는 조밀한 C(X, **R**)의 부분대수를 찾고자 한다. 부분대수가 만족해야 할 결정적인 속성은 점을 분리한다는 것이다. X에 정의된 함수 집합 A는 X의 서로 다른 두 점 x와 y에 대해 p(x) ≠ p(y)인 함수 p가 A에 존재하면 점을 분리한다고 말한다. 이제 다음과 같이 진술할 수 있다. C(X, **R**)에서 조밀하다. 이는 [a, b]의 다항식이 상수를 포함하고 점을 분리하는 C[a, b]의 부분대수를 형성하기 때문에 바이어슈트라스의 원래 진술을 함축한다.
## 국소 콤팩트 버전
스톤-바이어슈트라스 정리의 버전은 X가 단순히 국소 콤팩트일 때도 성립한다. C0(X, **R**)를 무한대에서 소멸하는 X 상의 실수 값 연속 함수 공간이라고 하자. 즉, 연속 함수 f는 모든 ε > 0에 대해 X \ K에서 f 0이 있다면, 모든 [a, b]의 x와 [c, d]의 y에 대해 ! f (x, y) − p(x, y) ! 0에 대해 n > 0과 X 상의 연속 함수 f1, ..., fn 및 Y 상의 연속 함수 g1, ..., gn이 존재하여 f − Σ fi gi 0에 대해 ! f (x) − φ(x)! < ε 및 ! f (y) − φ(y)! < ε인 어떤 f ∈ L이 존재한다는 것이다.
# 비숍 정리
스톤-바이어슈트라스 정리의 또 다른 일반화는 에렛 비숍에 의한 것이다. 비숍 정리는 다음과 같다. Math theorem| name = 비숍 정리 | math_statement = A를 최고값 노름을 사용하는 콤팩트 하우스도르프 공간 X 상의 연속 복소수 값 함수들의 복소 바나흐 대수 C(X, **C**)의 닫힌 부분대수라고 하자. S ⊂ X에 대해 수학|1=AS = {g!S : g ∈ A라고 쓰자. f ∈ C(X, **C**)가 다음 속성을 가진다고 가정하자. f !S ∈ AS이다. 그러면 f ∈ A이다. 1962는 크레인-밀만 정리와 한-바나흐 정리를 본질적으로 사용하여 비숍 정리의 짧은 증명을 제시한다. 이는 1959의 과정이다. loc=§5.7도 참조하라.
# 나흐빈 정리
나흐빈 정리는 매끄러운 다양체 상의 복소수 값 매끄러운 함수 대수에 대한 스톤-바이어슈트라스 정리의 유사한 버전을 제공한다. 나흐빈 정리는 다음과 같다. C∞(M)에서 조밀하다.
# 편집 역사
1885년에는 "실변수의 임의 함수에 분석적 표현을 부여할 가능성에 관하여(On the possibility of giving an analytic representation to an arbitrary function of real variable)"라는 제목의 영어 버전 논문으로도 출판되었다.url-status=liveurl-status=liveoclc=912348549 수학자 야밀렛 퀸타나(Yamilet Quintana)에 따르면, 바이어슈트라스는 "어떤 해석 함수라도 멱급수로 표현될 수 있다고 의심했다."arxiv=math/0611034 (arXiv 0611034v3). Citing: D. S. Lubinsky, Weierstrass' Theorem in the twentieth century: a selection, in Quaestiones Mathematicae18 (1995), 91–130.access-date=July 3, 2021 (arXiv 0611038v2).
# 내용주
각주
## 역사적 저작
바이어슈트라스의 역사적 출판물 (독일어)은 베를린 브란덴부르크 과학 아카데미의 디지털 온라인 아카이브에서 자유롭게 이용할 수 있다. * K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II). Paragraph break Erste Mitteilung (part 1) pp. 633–639, Zweite Mitteilung (part 2) pp. 789–805.