역감마 분포

확률분포 정보 | name = 역감마 | type = density | pdf_image = | cdf_image = | parameters = \alpha>0 형상 (실수)
\beta>0 척도 (실수) | support = x\in(0,\infty)! | pdf = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{-\alpha - 1} \exp \left(-\frac{\beta}{x}\right) | cdf = \frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \\! | mean = \frac{\beta }{\alpha-1}\\! for \alpha > 1 | median = | mode = \frac{\beta}{\alpha+1}\\! | variance = \frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\\! for \alpha > 2 | skewness = \frac{4\sqrt{\alpha-2{\alpha-3}\\! for \alpha > 3 | kurtosis = \frac{6(5\,\alpha-11)}{(\alpha-3)(\alpha-4)}\\! for \alpha > 4 | entropy = \alpha\\!+\\!\ln(\beta\Gamma(\alpha))\\!-\\!(1\\!+\\!\alpha)\psi(\alpha)
(see 디감마 함수) | mgf = 존재하지 않음 | char = \frac{2\left(-i\beta t\right)^{\\!\\!\frac{\alpha}{2{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4i\beta t}\right) 확률론과 통계학에서, **역감마 분포**(Inverse-gamma distribution)는 양의 실직선 상에서 연속 확률 분포의 두 모수족이며, 이는 감마 분포에 따라 분포된 변수의 곱셈 역원의 분포이다. 아마도 역감마 분포의 주요 용도는 베이즈 통계학인데, 여기서 이 분포는 비정보적 사전분포가 사용될 경우 정규 분포의 알려지지 않은 분산에 대한 주변 사후 분포로 나타나고, 정보적 사전분포가 필요한 경우 해석적으로 다루기 쉬운 켤레사전분포로 나타난다.pages=67–88 일부 베이즈주의자들 사이에서는 정규 분포의 대체 모수화를 분산의 역수인 정밀도의 관점에서 고려하는 것이 일반적이며, 이는 감마 분포를 켤레사전분포로 직접 사용할 수 있게 한다. 다른 베이즈주의자들은 역감마 분포를 척도화 역카이제곱 분포로 다르게 모수화하는 것을 선호한다.
# 특징

## 확률 밀도 함수
역감마 분포의 확률 밀도 함수는 지지집합 x > 0 위에서 정의된다. : f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} (1/x)^{\alpha + 1}\exp\left(-\beta/x\right) 형상 모수 \alpha와 척도 모수 \beta를 가진다.access-date=9 April 2018 여기서 \Gamma(\cdot)는 감마 함수를 나타낸다. 다소 유사한 지수 항을 포함하는 감마 분포와 달리, \beta는 밀도 함수가 다음을 만족하므로 척도 모수이다. : f(x; \alpha, \beta) = \frac{f(x / \beta; \alpha, 1)}{\beta}
## 누적 분포 함수
누적 분포 함수는 정규화된 감마 함수이다. :F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma\left(\alpha,\frac{\beta}{x}\right)}{\Gamma(\alpha)} = Q\left(\alpha, \frac{\beta}{x}\right)\\! 여기서 분자는 상부 불완전 감마 함수이고 분모는 감마 함수이다. 많은 수학 패키지들은 정규화된 감마 함수인 Q의 직접 계산을 허용한다.
## 모멘트
\alpha > n이라고 가정하면, 역감마 분포의 n차 모멘트는 다음과 같이 주어진다.access-date=3 Dec 2018 :\mathrm{E}[X^n] = \beta^n \frac{\Gamma(\alpha - n)}{\Gamma(\alpha)} = \frac{\beta^n}{(\alpha - 1) \cdots (\alpha - n)}.
## 특성 함수
역감마 분포는 특성 함수를 가진다. \frac{2\left(-i\beta t\right)^{\\!\\!\frac{\alpha}{2{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4i\beta t}\right) 여기서 K_\alpha는 제2종 변형 베셀 함수이다.
# 속성
\alpha>0 및 \beta>0일 때, : \mathbb{E}[\ln(X)] = \ln(\beta) - \psi(\alpha)\, 그리고 : \mathbb{E}[X^{-1}] = \frac{\alpha}{\beta},\, 정보 엔트로피는 다음과 같다. : \begin{align} \operatorname{H}(X) & = \operatorname{E}[-\ln(p(X))] \\\ & = \operatorname{E}\left[-\alpha \ln(\beta) + \ln(\Gamma(\alpha)) + (\alpha+1)\ln(X) + \frac{\beta}{X}\right] \\\ & = -\alpha \ln(\beta) + \ln(\Gamma(\alpha)) + (\alpha+1)\ln(\beta) - (\alpha+1)\psi(\alpha) + \alpha\\\ & = \alpha + \ln(\beta\Gamma(\alpha)) - (\alpha+1)\psi(\alpha). \end{align} 여기서 \psi(\alpha) 는 디감마 함수이다. Inverse-Gamma(αp, βp)와 Inverse-Gamma(αq, βq) 간의 쿨백-라이블러 발산은 Gamma(αp, βp)와 Gamma(αq, βq) 간의 KL-발산과 동일하다. D_{\mathrm{KL(\alpha_p,\beta_p; \alpha_q, \beta_q) = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho(X)}{\pi(X)}\right] = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho(1/Y)}{\pi(1/Y)}\right] = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho_G(Y)}{\pi_G(Y)}\right], 여기서 \rho, \pi 는 역감마 분포의 PDF이고 \rho_G, \pi_G 는 감마 분포의 PDF이며, Y 는 Gamma(αp, βp) 분포를 따른다. : \begin{align} D_{\mathrm{KL(\alpha_p,\beta_p; \alpha_q, \beta_q) = {} & (\alpha_p-\alpha_q) \psi(\alpha_p) - \log\Gamma(\alpha_p) + \log\Gamma(\alpha_q) + \alpha_q(\log \beta_p - \log \beta_q) + \alpha_p\frac{\beta_q-\beta_p}{\beta_p}. \end{align}
# 관련 분포
* 만약 X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \beta)이면 k X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, k \beta) \, ( k > 0 ). * 만약 X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \tfrac{1}{2})이면 X \sim \mbox{Inv-}\chi^2(2 \alpha)\, (역카이제곱 분포) * 만약 X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\tfrac{\alpha}{2}, \tfrac{1}{2})이면 X \sim \mbox{Scaled Inv-}\chi^2(\alpha,\tfrac{1}{\alpha})\, (척도화 역카이제곱 분포) * 만약 X \sim \textrm{Inv-Gamma}(\tfrac{1}{2},\tfrac{c}{2})이면 X \sim \textrm{Levy}(0,c)\, (레비 분포) * 만약 X \sim \textrm{Inv-Gamma}(1,c)이면 \tfrac{1}{X} \sim \textrm{Exp}(c)\, (지수 분포) * 만약 X \sim \mbox{Gamma}(\alpha, \beta)\, (속도 모수 \beta를 가진 감마 분포)이면 \tfrac{1}{X} \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \beta)\, (자세한 내용은 다음 단락의 유도 참조). * 만약 X \sim \mbox{Gamma}(k, \theta) (척도 모수 \theta를 가진 감마 분포)이면 1/X \sim \mbox{Inv-Gamma}(k, 1/\theta) * 역감마 분포는 유형 5 피어슨 분포의 특수 사례이다. * 역감마 분포의 다변량 일반화는 역위샤트 분포이다. * 독립적인 역감마 변수들의 합의 분포에 대해서는 Witkovsky (2001)를 참조하라.
# 감마 분포로부터의 유도
X \sim \mbox{Gamma}(\alpha, \beta)라고 하자. 감마 분포의 PDF는 다음과 같다. : f_{X}(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}, x > 0. 여기서 \beta 는 감마 분포 관점에서의 속도 모수이다. 변환 Y = g(X) = \tfrac{1}{X}를 정의하자. 그러면 Y의 PDF는 다음과 같다. :\begin{align} f_Y(y) &= f_X \left( g^{-1}(y) \right) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| \\\\[6pt] &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{y} \right)^{\alpha-1} \exp \left( \frac{-\beta}{y} \right) \frac{1}{y^2} \\\\[6pt] &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{y} \right)^{\alpha+1} \exp \left( \frac{-\beta}{y} \right) \\\\[6pt] &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} y^{-\alpha-1} \exp \left( \frac{-\beta}{y} \right) \\\\[6pt] \end{align} 여기서 {\beta} 는 역감마 분포 관점에서의 척도 모수이다. 이는 {\beta} 가 척도 모수로서의 조건을 만족함을 직접적으로 보여줌으로써 쉽게 증명될 수 있다. :\begin{align} \frac{f(y / \beta; \alpha, 1)}{\beta} &= \frac{1}{\beta} \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{y}{\beta} \right)^{-\alpha-1} \exp \left(-\frac{1}{y / \beta}\right) \\\\[6pt] &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} y^{-\alpha-1} \exp \left(-\frac{\beta}{y}\right) \\\\[6pt] &= f(y; \alpha, \beta) \end{align}
# 발생
* 위너 확률 과정의 도달 시간 분포는 \alpha=0.5인 역감마 분포의 특수한 경우인 레비 분포를 따른다.url-status=dead