디리클레 적분

페터 구스타프 르죈 디리클레 미적분학 수학에는 독일 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레의 이름을 딴 여러 적분이 있으며, 그중 하나는 양의 실수선에 대한 싱크함수의 이상 적분이다. \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \,dx = \frac{\pi}{2}. 이 적분은 절대 수렴하지 않으므로, 양의 실수선에 대한 \left| \frac{\sin x}{x} \right|의 르베그 또는 리만 이상 적분은 무한하다. 따라서 싱크함수는 양의 실수선에 대해 르베그 적분 가능하지 않다. 그러나 싱크함수는 이상 리만 적분 또는 일반화된 리만 또는 헨스톡-쿠르츠바일 적분의 의미에서 적분 가능하다.url-status=deadchapter=Chapter 10: The Generalized Riemann Integral 이는 이상 적분에 대한 디리클레 판정법을 사용하여 알 수 있다. 이 적분은 특정 적분을 평가하는 특별한 기술의 좋은 예시이다. 특히 싱크함수의 역도함수인 사인 적분이 초등함수가 아니므로 적분 함수의 초등 역도함수가 없기 때문에 미적분학의 기본 정리를 직접 적용하는 것이 유용하지 않을 때 더욱 그렇다. 이 경우 이상 적분은 라플라스 변환, 이중 적분, 적분 기호 아래 미분, 경로 적분, 디리클레 핵 등 여러 가지 방법으로 결정할 수 있다. 그러나 적분 함수가 짝함수이므로 적분 영역을 음의 실수선으로 확장할 수도 있다.
# 평가

## 라플라스 변환
t \geq 0일 때 정의된 함수 f(t)가 있다고 하자. 그러면 그 라플라스 변환은 다음과 같다. \mathcal{L} \\{f(t)\\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt, 적분이 존재한다면 말이다.chapter=Chapter 7: The Laplace Transform 이상 적분 평가에 유용한 라플라스 변환의 속성은 다음과 같다. \mathcal{L} \left [ \frac{f(t)}{t} \right] = \int_{s}^{\infty} F(u) \, du, 단, \lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t}가 존재해야 한다. 다음 과정에서는 함수 \sin t의 라플라스 변환인 \mathcal{L}\\{\sin t\\} = \frac{1}{s^2 + 1} 결과와 아벨 정리의 한 버전(라플라스 변환에 대한 최종값 정리의 결과)이 필요하다. 그러므로 \begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt &= \lim_{s \to 0} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \frac{\sin t}{t} \, dt = \lim_{s \to 0} \mathcal{L} \left [ \frac{\sin t}{t} \right] \\\\[6pt] &= \lim_{s \to 0} \int_{s}^{\infty} \frac{du}{u^2 + 1} = \lim_{s \to 0} \arctan u \Biggr|_{s}^{\infty} \\\\[6pt] &= \lim_{s \to 0} \left[ \frac{\pi}{2} - \arctan (s)\right] = \frac{\pi}{2}. \end{align}
## 이중 적분
라플라스 변환을 사용하여 디리클레 적분을 평가하는 것은 적분 순서를 변경하여 동일한 이중 정적분을 계산하는 것과 동일하다. 즉, \left( I_1 = \int_0^\infty \int _0^\infty e^{-st} \sin t \,dt \,ds \right) = \left( I_2 = \int_0^\infty \int _0^\infty e^{-st} \sin t \,ds \,dt \right), \left( I_1 = \int_0^\infty \frac{1}{s^2 + 1} \,ds = \frac{\pi}{2} \right) = \left( I_2 = \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \,dt \right), \text{ 단, } s > 0. 순서 변경은 모든 s > 0에 대해 적분이 절대 수렴한다는 사실로 정당화된다.
## 적분 기호 아래 미분 (파인만의 트릭)
먼저 적분을 추가 변수 s의 함수, 즉 \frac{\sin t} t의 라플라스 변환으로 다시 작성한다. 따라서 다음과 같이 놓는다. f(s)=\int_0^\infty e^{-st} \frac{\sin t} t \, dt. 디리클레 적분을 평가하려면 f(0)을 결정해야 한다. f의 연속성은 부분 적분 후 지배 수렴 정리를 적용하여 정당화할 수 있다. s>0에 대해 미분하고 적분 기호 아래 미분에 대한 라이프니츠 규칙을 적용하면 다음을 얻는다. \begin{align} \frac{df}{ds} & = \frac{d}{ds}\int_0^\infty e^{-st} \frac{\sin t}{t} \, dt = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial s}e^{-st}\frac{\sin t} t \, dt \\\\[6pt] & = -\int_0^\infty e^{-st} \sin t \, dt. \end{align} 이제 오일러 공식 e^{it} = \cos t + i\sin t를 사용하여 사인 함수를 복소 지수 형태로 표현할 수 있다. \sin t = \frac{1}{2i} \left( e^{i t} - e^{-it}\right). 그러므로 \begin{align} \frac{df}{ds} & = -\int_0^\infty e^{-st} \sin t \, dt = -\int_{0}^{\infty} e^{-st} \frac{e^{it} - e^{-it{2i} dt \\\\[6pt] &= -\frac{1}{2i} \int_{0}^{\infty} \left[ e^{-t(s-i)} - e^{-t(s + i)} \right] dt \\\\[6pt] &= -\frac{1}{2i} \left [ \frac{-1}{s - i} e^{-t (s - i)} - \frac{-1}{s + i} e^{-t (s + i)}\right]_0^{\infty} \\\\[6pt] &= -\frac{1}{2i} \left[ 0 - \left( \frac{-1}{s - i} + \frac{1}{s + i} \right) \right] = -\frac{1}{2i} \left( \frac{1}{s - i} - \frac{1}{s + i} \right) \\\\[6pt] &= -\frac{1}{2i} \left( \frac{s + i - (s -i)}{s^2 + 1} \right) = -\frac{1}{s^2 + 1}. \end{align} s에 대해 적분하면 f(s) = \int \frac{-ds}{s^2 + 1} = A - \arctan s, 여기서 A는 결정해야 할 적분 상수이다. \lim_{s \to \infty} f(s) = 0이므로, 주값을 사용하여 A = \lim_{s \to \infty} \arctan s = \frac{\pi}{2}이다. 이는 s > 0일 때 다음을 의미한다. f(s) = \frac{\pi}{2} - \arctan s. 마지막으로, s = 0에서의 연속성에 의해 f(0) = \frac{\pi}{2} - \arctan(0) = \frac{\pi}{2}이 된다. 이는 이전과 같다.
## 복소 경로 적분
f(z) = \frac{e^{iz z를 고려하자. 복소 변수 z의 함수로서 원점에 단순 극점을 가지며, 이는 조르단 보조정리의 적용을 방해한다. 조르단 보조정리의 다른 가설들은 만족된다. 그러면 새로운 함수를 정의한다.Appel, Walter. Mathematics for Physics and Physicists. Princeton University Press, 2007, p. 226. . g(z) = \frac{e^{iz{z + i\varepsilon}. 극점은 음의 허수축으로 이동되었으므로, g(z)는 z = 0을 중심으로 하는 반경 R의 반원 \gamma를 따라 양의 허수 방향으로 확장하고, 실수축을 따라 닫힌 경로에서 적분할 수 있다. 그런 다음 \varepsilon \to 0의 극한을 취한다. 유수 정리에 의해 복소 적분은 0이다. 왜냐하면 적분 경로 \gamma 내부에 극점이 없기 때문이다. 0 = \int_\gamma g(z) \,dz = \int_{-R}^R \frac{e^{ix{x + i\varepsilon} \, dx + \int_0^\pi \frac{e^{i(Re^{i\theta} + \theta){Re^{i\theta} + i\varepsilon} iR \, d\theta. R이 무한대로 갈 때 두 번째 항은 사라진다. 첫 번째 적분에 대해서는 실수축에 대한 적분에 대한 소호츠키-플레멜리 정리의 한 버전을 사용할 수 있다. 실수축에서 정의되고 연속적으로 미분 가능한 복소수 값 함수 f와 a 0에 대해. 이는 적분이 절대 적분 가능함을 보여주며, 이는 원래 적분이 존재함을 의미하고, \lambda에서 n으로 전환하는 것이 실제로 정당화되었음을 의미하며 증명이 완료된다.