다변량 안정 분포

char = 텍스트 참조 **다변량 안정 분포**(multivariate stable distribution)는 단변량 안정 분포의 다변량 일반화인 다변량 확률 분포이다. 다변량 안정 분포는 안정 분포 주변 분포 간의 선형 관계를 정의한다. 단변량의 경우와 마찬가지로, 이 분포는 특성 함수를 사용하여 정의된다. 다변량 안정 분포는 다변량 정규분포의 확장으로 생각할 수도 있다. 이 분포는 0 < α ≤ 2 범위에서 정의되는 매개변수 α를 가지며, α = 2일 때는 다변량 정규분포와 동일하다. 비대칭 분포를 허용하는 추가적인 왜도 매개변수를 가지는데, 다변량 정규분포는 대칭이다.
# 정의
\mathbb{S} 를 \mathbb R^d의 유클리드 단위 구, 즉 \mathbb{S} = \\{u \in \mathbb R^d\colon|u| = 1\\}이라고 하자. 확률 벡터 X 는 다변량 안정 분포—X \sim S(\alpha, \Lambda, \delta)로 표기됨—를 가지며, X의 결합 특성 함수는 다음과 같다.J. Nolan, Multivariate stable densities and distribution functions: general and elliptical case, BundesBank Conference, Eltville, Germany, 11 November 2005. See also http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html : \operatorname{E} \exp(i u^T X) = \exp \left\\{-\int \limits_{\mathbb S}\left\\{|u^Ts|^\alpha + i \nu (u^Ts, \alpha) \right\\} \, \Lambda(ds) + i u^T\delta\right\\}, 여기서 0 < α < 2이고, y\in\mathbb R에 대해 :\nu(y,\alpha) =\begin{cases} -\operatorname{sign}(y) \tan(\pi \alpha / 2)|y|^\alpha & \alpha \ne 1, \\\ (2/\pi)y \ln |y| & \alpha=1. \end{cases} 이것은 본질적으로 펠트하임(Feldheim)의 결과이며,Feldheim, E. (1937). Etude de la stabilité des lois de probabilité . Ph. D. thesis, Faculté des Sciences de Paris, Paris, France. 어떤 안정 확률 벡터도 스펙트럼 측정 \Lambda (구 \mathbb S에 대한 유한 측정)와 이동 벡터 \delta \in \mathbb R^d로 특징화될 수 있다는 것이다.
# 사영을 이용한 매개변수화
안정 확률 벡터를 설명하는 또 다른 방법은 사영을 이용하는 것이다. 어떤 벡터 u 에 대해서도 사영 u^TX는 어떤 왜도 \beta(u), 척도 \gamma(u), 그리고 어떤 이동 \delta(u)를 가진 단변량 \alpha-안정이다. X \sim S(\alpha,\beta,\gamma,\delta) 표기는 X가 u^TX \sim s(\alpha,\beta(u),\gamma(u),\delta(u)) 모든 u \in \mathbb R^d에 대해 안정일 경우 사용된다. 이를 사영 매개변수화라고 한다. 스펙트럼 측정은 사영 매개변수 함수를 다음과 같이 결정한다: : \gamma(u) = \Bigl( \int_{\mathbb{S |u^Ts|^\alpha \, \Lambda(ds) \Bigr)^{1/\alpha} : \beta(u) = \gamma(u)^{-\alpha} \int_{\mathbb{S|u^Ts|^\alpha \operatorname{sign}(u^Ts) \, \Lambda(ds) : \delta(u)=\begin{cases}u^T \delta & \alpha \ne 1\\\u^T \delta -\int_{\mathbb{S\frac{\pi}{2} u^Ts \ln|u^Ts| \, \Lambda(ds)&\alpha=1\end{cases}
# 특수한 경우
다변량 특성 함수가 더 간단한 형태를 취하는 특수한 경우가 있다. 안정 주변 분포의 특성 함수를 다음과 같이 정의한다. : \omega(y|\alpha,\beta) = \begin{cases}|y|^\alpha\left[1-i \beta(\tan \frac{\pi\alpha}{2})\operatorname{sign}(y)\right]& \alpha \ne 1\\\ |y|\left[1+i \beta \tfrac{2}{\pi} \operatorname{sign}(y)\ln |y|\right] & \alpha = 1\end{cases}
## 등방성 다변량 안정 분포
여기서 특성 함수는 E \exp(i u^T X)=\exp\\{-\gamma_0^\alpha|u|^\alpha+i u^T \delta)\\}이다. 스펙트럼 측정은 구의 균일 분포의 스칼라 배수이며, 이는 방사형/등방성 대칭으로 이어진다.User manual for STABLE 5.1 Matlab version, Robust Analysis Inc., http://www.RobustAnalysis.com 가우스의 경우 \alpha=2일 때는 독립적인 성분과 일치하지만, \alpha<2일 때는 그렇지 않다. 등방성은 타원성의 특수한 경우이다(다음 단락 참조)—그냥 \Sigma를 단위 행렬의 배수로 취하면 된다.
## 타원형 다변량 안정 분포
타원형 다변량 안정 분포는 다변량 안정 분포의 특수한 대칭 경우이다. X는 α-안정이며 타원형인 경우에만 결합 특성 함수를 가진다. E \exp(i u^T X)=\exp\\{-(u^T\Sigma u)^{\alpha/2}+i u^T \delta)\\} 이는 어떤 이동 벡터 \delta \in \mathbb{R}^d (존재할 경우 평균과 같음)와 어떤 양의 준정부호 행렬 \Sigma (상관 관계의 일반적인 정의는 무의미하지만 상관 행렬과 비슷함)에 대해 성립한다. 다변량 정규분포의 특성 함수와의 관계에 주목하라: E \exp(i u^T X)=\exp\\{-(u^T\Sigma u)+i u^T \delta)\\}, 이는 α = 2일 때 얻어진다.
## 독립 성분
주변 분포는 X_j \sim S(\alpha, \beta_j, \gamma_j, \delta_j)일 때 독립이다. 특성 함수는 다음과 같다. : E \exp(i u^T X) = \exp\left\\{-\sum_{j=1}^m \omega(u_j|\alpha,\beta_j)\gamma_j^\alpha +i u^T \delta\right\\}. α = 2일 때 이 함수는 다시 다변량 정규분포로 축소된다는 점을 관찰하라. α < 2일 때는 i.i.d. 경우와 등방성 경우가 일치하지 않는다. 독립 성분은 스펙트럼 측정이 표준 단위 벡터에 의해 지지되는 이산 스펙트럼 측정(다음 단락 참조)의 특수한 경우이다. {| |- |α = 1인 다변량(이변량) 독립 안정 분포를 보여주는 히트맵 || α = 2인 다변량(이변량) 독립 안정 분포를 보여주는 히트맵 |}
## 이산
스펙트럼 측정이 s_j \in \mathbb{S} 에서 질량 \lambda_j를 가진 이산이라면, j=1,\ldots,m, 특성 함수는 다음과 같다. : E \exp(i u^T X)= \exp\left\\{-\sum_{j=1}^m \omega(u^Ts_j|\alpha,1)\lambda_j^\alpha +i u^T \delta\right\\}.
# 선형 속성
X \sim S(\alpha, \beta(\cdot), \gamma(\cdot), \delta(\cdot)) 가 d차원 \alpha-안정이고, A가 m × d 행렬이며, b \in \mathbb{R}^m,이라면 AX + b는 척도 함수 \gamma \circ A^T, 왜도 함수 \beta \circ A^T, 위치 함수 \delta \circ A^T + b^T를 가진 m차원 \alpha-안정이다.
# 독립 성분 모델에서의 추론
빅슨(Bickson)과 게스트린(Guestrin)은 독립 성분 모델을 포함하는 선형 모델(또는 동등하게 인자 분석 모델)에서 닫힌 형태로 추론을 계산하는 방법을 보여주었다.D. Bickson and C. Guestrin. Inference in linear models with multivariate heavy-tails. In Neural Information Processing Systems (NIPS) 2010, Vancouver, Canada, Dec. 2010. https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable/ 더 구체적으로, X_i \sim S(\alpha, \beta_{x_i}, \gamma_{x_i}, \delta_{x_i}) (i=1,\ldots,n)는 안정 분포에서 추출된 미관측 단변량의 i.i.d. 패밀리라고 하자. 크기 n \times n의 알려진 선형 관계 행렬 A가 주어졌을 때, 관측값 Y_i = \sum_{i=1}^n A_{ij}X_j는 숨겨진 요인 X_i의 컨볼루션으로 분포된다고 가정되며, 따라서 Y_i = S(\alpha, \beta_{y_i}, \gamma_{y_i}, \delta_{y_i})이다. 추론 작업은 선형 관계 행렬 A와 관측값 Y_i가 주어졌을 때 가장 가능성이 높은 X_i를 계산하는 것이다. 이 작업은 O(n^3)에서 닫힌 형태로 계산될 수 있다. 이 구성의 응용 프로그램은 안정적이고 비가우스 잡음이 있는 다중 사용자 감지이다.
# 내용주
각주 multivariate 위키데이터 속성 추적 분류:연속분포