수소형 원자

**수소형 원자**(Hydrogen-like atom또는 **수소성 원자**(hydrogenic atom))는 단일 원자가 전자를 가진 모든 원자 또는 이온이다. 이 원자들은 수소와 등전자성이다. 수소형 원자의 예로는 수소 자체, Rb 및 Cs과 같은 모든 알칼리 금속, Ca+ 및 Sr+과 같은 단일 이온화된 알칼리 토금속, 그리고 He+, Li2+, Be3+과 같은 다른 이온 및 위의 어떤 동위 원소도 포함되지만 이에 국한되지 않는다. 수소형 원자는 원자핵과 핵심부 전자로 구성된 양전하를 띤 핵과 단일 원자가 전자를 포함한다. 헬륨은 우주에서 흔하기 때문에 단일 이온화된 헬륨의 분광학은 예를 들어 DO 백색왜성의 EUV 천문학에서 중요하다. 수소 원자에 대한 비상대론적 슈뢰딩거 방정식과 상대론적 디랙 방정식은 두 입자 물리계의 단순성 때문에 분석적으로 풀 수 있다. 단일 전자 파동 함수 해는 수소형 원자 궤도함수라고 불린다. 수소형 원자는 해당 궤도함수가 수소 원자 궤도함수와 유사성을 갖기 때문에 중요하다. 뮤오늄(반뮤온 주위를 도는 전자), 포지트로늄(전자와 양전자), 특정 별난 원자(다른 입자로 형성됨) 또는 리드버그 원자(하나의 전자가 너무 높은 에너지 상태에 있어 나머지 원자를 효과적으로 점전하로 보는 경우)와 같은 다른 계도 "수소형 원자"라고 불릴 수 있다.
# 슈뢰딩거 해
비상대론적인 슈뢰딩거 방정식의 해에서, 수소형 원자 궤도함수는 단일 전자 각운동량 연산자 **L**과 그 z 성분 Lz의 고유함수이다. 수소형 원자 궤도함수는 주양자수 n, 방위 양자수 l, 자기양자수 m의 값에 의해 고유하게 식별된다. 에너지 고유값은 l 또는 m에 의존하지 않고 오직 n에만 의존한다. 여기에 스핀 양자수 ms = ±1/2의 이중 값이 추가되어 쌓음 원리의 기반을 마련한다. 이 원리는 다중 전자 원자의 전자 배열에서 네 가지 양자수의 허용 값을 제한한다. 수소형 원자에서는 고정된 n과 l, m과 s가 특정 값 사이에서 변하는 모든 퇴화 궤도함수(아래 참조)가 원자 껍질을 형성한다. 전자 간의 쿨롱 상호작용으로 인한 계산상의 어려움 때문에, 둘 이상의 전자를 가진 원자 또는 이온의 슈뢰딩거 방정식은 분석적으로 풀리지 않았다. 양자 역학 계산에서 (근사적인) 파동 함수 또는 기타 특성을 얻기 위해서는 수치적 방법을 적용해야 한다. 해밀토니언의 구형 대칭성 때문에, 원자의 총 각운동량 **J**는 보존량이다. 많은 수치적 절차는 단일 전자 연산자 **L** 및 Lz의 고유함수인 원자 궤도함수의 곱으로부터 시작한다. 이 원자 궤도함수의 반경 부분은 때로는 수치 테이블이거나 때로는 슬레이터 궤도함수이다. 각운동량 결합에 의해 **J**2 (그리고 아마도 **S**2)의 다전자 고유함수가 구성된다. 양자화학 계산에서 수소형 원자 궤도함수는 완전하지 않기 때문에 확장 기저로 사용될 수 없다. 완전한 집합을 얻기 위해서는 (즉, 단일 전자 힐베르트 공간의 모든 것을 포함하기 위해서는) 비제곱 적분 가능한 연속체 (E > 0) 상태를 포함해야 한다.This was observed as early as 1928 by E. A. Hylleraas, Z. f. Physik vol. **48**, p. 469 (1928). English translation in H. Hettema, Quantum Chemistry, Classic Scientific Papers, p. 81, World Scientific, Singapore (2000). Later it was pointed out again by H. Shull and P.-O. Löwdin, J. Chem. Phys. vol. **23**, p. 1362 (1955). 가장 간단한 모델에서, 수소형 원자/이온의 원자 궤도함수는 구형 대칭 퍼텐셜에서의 슈뢰딩거 방정식에 대한 해이다. 이 경우, 퍼텐셜 항은 쿨롱 법칙에 의해 주어진 퍼텐셜이다: V(r) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r} 여기서 * ε0는 진공의 유전율, * Z는 원자 번호(핵에 있는 양성자 수), * e는 기본 전하(전자의 전하), * r은 핵으로부터 전자의 거리이다. 파동 함수를 함수의 곱으로 작성하면: \psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi) (구면 좌표에서), 여기서 Y_{\ell m}은 구면 조화 함수이며, 다음 슈뢰딩거 방정식을 얻는다: \- \frac{\hbar^2}{2\mu} \left[\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial R(r)}{\partial r}\right) - \frac{l(l+1)R(r)}{r^2} \right] + V(r)R(r) = E R(r), 여기서 \mu는 대략 전자의 질량이며 (더 정확하게는 전자와 핵으로 구성된 시스템의 환산 질량이다), \hbar는 환산 플랑크 상수이다. l의 다른 값은 다른 각운동량을 가진 해를 제공하며, 여기서 l (음이 아닌 정수)은 궤도 각운동량의 양자수이다. 자기양자수 m (-l\le m\le l을 만족)은 z축 상의 궤도 각운동량의 (양자화된) 투영이다. 이 방정식의 해를 도출하는 단계는 여기를 참조하라.
## 비상대론적 파동 함수 및 에너지
n = 4까지의 \psi_{nlm} 고유함수의 완전한 집합. 고체 궤도함수는 특정 확률 밀도 임계값 위의 부피를 둘러싼다. 색상은 복소 위상을 나타낸다. l과 m 외에, R에 가해진 경계 조건으로부터 세 번째 정수 n > 0이 나타난다. 위 방정식을 푸는 함수 R과 Y는 이러한 정수값에 의존하며, 이 정수들을 양자수라고 부른다. 파동 함수에 의존하는 양자수 값을 아래첨자로 쓰는 것이 일반적이다. 정규화된 파동 함수의 최종 표현은 다음과 같다: \psi_{n \ell m} = R_{n \ell}(r)\, Y_{\ell m}(\theta,\phi) R_{n \ell} (r) = \sqrt \left ( \frac{2 Z}{n a_{\mu \right ) }^3\frac{(n-\ell-1)!}{2n{(n+\ell)! } e^{- Z r / {n a_{\mu \left ( \frac{2 Z r}{n a_{\mu \right )^{\ell} L_{n-\ell-1}^{(2\ell+1)} \left ( \frac{2 Z r}{n a_{\mu \right ) 여기서: * L_{n-\ell-1}^{(2 \ell+1)}는 일반화 라게르 다항식이다. * a_{\mu} = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{\mu e^2} = \frac{\hbar c}{\alpha\mu c^2} =\frac{m_{\mathrm{e{\mu} a_0Paragraph break 여기서 \alpha 는 미세 구조 상수이다. 여기서 \mu는 핵-전자 시스템의 환산 질량, 즉 \mu = m_{\mathrm{N m_{\mathrm{e\over{m_{\mathrm{N+m_{\mathrm{e이며, m_{\mathrm{N은 핵의 질량이다. 일반적으로 핵은 전자보다 훨씬 무겁기 때문에 \mu \approx m_{\mathrm{e이다 (하지만 포지트로늄의 경우 \mu=m_{\mathrm{e/2). a_0는 보어 반지름이다. * E_{n} = -\left(\frac{Z^2 \mu e^4}{32 \pi^2\epsilon_0^2\hbar^2}\right)\frac{1}{n^2} = -\left(\frac{Z^2\hbar^2}{2\mu a_{\mu}^2}\right)\frac{1}{n^2} = -\frac{\mu c^2Z^2\alpha^2}{2n^2}. * Y_{\ell m} (\theta,\phi)\, 함수는 구면 조화 함수이다. 각 파동 함수로 인한 반전성은 {\left ( {-1} \right ) }^\ell이다.
## 양자수
양자수 n, \ell 및 m은 정수이며 다음 값을 가질 수 있다: n=1,2,3,4, \dots \ell=0,1,2,\dots,n-1 m=-\ell,-\ell+1,\ldots,0,\ldots,\ell-1,\ell 이러한 양자수들의 군 이론적 해석은 이 문서를 참조하라. 특히, 이 문서는 \ell 0\\\ Y_{-a-1,b}(\theta,\phi)& \text{if }a<0 \end{cases} 여기서 P_a^b는 연관 르장드르 다항식이다. (Ω의 정의는 Y_{0,1}와 같이 존재하지 않는 구면 조화 함수를 포함할 수 있지만, 그 계수는 0이 될 것이다.) 다음은 이러한 각 함수들의 일부 동작이다. 표현을 단순화하기 위해 정규화 인자는 생략되었다. :\Omega_{-1,-1/2}\propto\binom 0 1 :\Omega_{-1,1/2}\propto\binom 1 0 :\Omega_{1,-1/2}\propto\binom{(x-iy)/r}{z/r} :\Omega_{1,1/2}\propto\binom{z/r}{(x+iy)/r} 이로부터 S1/2 궤도함수(k = −1)에서 Ψ의 위 두 성분은 슈뢰딩거 S 궤도함수처럼 궤도 각운동량이 0이지만, 아래 두 성분은 슈뢰딩거 P 궤도함수와 같은 궤도함수임을 알 수 있다. P1/2 해(k = 1)에서는 상황이 역전된다. 두 경우 모두, 각 성분의 스핀은 z축 주위의 궤도 각운동량을 보상하여 z축 주위의 총 각운동량에 대한 올바른 값을 제공한다. 두 Ω 스피너는 다음 관계를 따른다: :\Omega_{k,m}=\begin{pmatrix} z/r & (x-iy)/r\\\ (x+iy)/r & -z/r \end{pmatrix}\Omega_{-k,m} 함수 g_{n,k}(r)와 f_{n,k}(r)를 쓰기 위해 스케일된 반지름 ρ를 정의하자: :\rho\equiv 2Cr 단, :C=\frac{\sqrt{\mu^2c^4-E^2{\hbar c} 여기서 E는 위에 주어진 에너지(E_{n\,j})이다. 또한 γ를 다음과 같이 정의한다: :\gamma\equiv\sqrt{k^2-Z^2\alpha^2} g_{n,k}(r)\text{ 및 }f_{n,k}(r)는 차수 n-|k|-1 및 n-|k|의 두 일반화 라게르 다항식을 기반으로 한다: :g_{n,k}(r)=A\rho^\gamma e^{-\rho/2}\left(Z\alpha\rho L_{n-|k|-1}^{(2\gamma+1)}(\rho)+(\gamma-k)\frac{\gamma\mu c^2-kE}{\hbar cC}L_{n-|k|}^{(2\gamma-1)}(\rho)\right) :f_{n,k}(r)=A\rho^\gamma e^{-\rho/2}\left((\gamma-k)\rho L_{n-|k|-1}^{(2\gamma+1)}(\rho)+Z\alpha\frac{\gamma\mu c^2-E}{\hbar cC}L_{n-|k|}^{(2\gamma-1)}(\rho)\right) 여기서 A는 감마 함수를 포함하는 정규화 상수이다: :A=\frac 1{\sqrt{2k(k-\gamma)\sqrt{\frac C{n-|k|+\gamma}\frac{(n-|k|-1)!}{\Gamma(n-|k|+2\gamma+1)}\frac 1 2\left(\left(\frac{Ek}{\gamma\mu c^2}\right)^2+\frac{Ek}{\gamma\mu c^2}\right)} f는 g에 비해 작다 (아주 작은 r을 제외하고는). 이는 k가 양수일 때 첫 번째 항이 지배적이고 α가 γ−k에 비해 크며, k가 음수일 때 두 번째 항이 지배적이고 α가 γ−k에 비해 작기 때문이다. 지배적인 항은 해당 슈뢰딩거 해와 상당히 유사하다는 점에 유의하라 – 라게르 다항식의 위쪽 지수는 약간 작고 (2ℓ+1 대신 2γ+1 또는 2γ−1, 가장 가까운 정수), ρ의 거듭제곱도 마찬가지이다 (ℓ 대신 γ 또는 γ−1, 가장 가까운 정수). 지수 붕괴는 슈뢰딩거 해보다 약간 빠르다. 정규화 인자는 절대값의 제곱의 전 공간 적분 값을 1로 만든다. === k = −n인 특수 경우 === k = −n (주어진 n에 대해 가능한 가장 높은 j에 해당, 예: 1S1/2, 2P3/2, 3D5/2...)일 때, g_{n,k}(r) 및 f_{n,k}(r)은 다음과 같다: :g_{n,-n}(r)=A(n+\gamma)\rho^\gamma e^{-\rho/2} :f_{n,-n}(r)=AZ\alpha\rho^\gamma e^{-\rho/2} 여기서 A는 다음과 같이 축소된다: :A=\frac 1{\sqrt{2n(n+\gamma)\sqrt\frac C{2\gamma^2n^2\Gamma(2\gamma+1)} 인자 Zα 때문에 f(r)이 g(r)에 비해 작다는 점에 유의하라. 또한 이 경우 에너지는 다음과 같이 주어진다: :E_{n,n-1/2}=\frac\gamma n\mu c^2=\sqrt{1-\frac{Z^2\alpha^2}{n^2\,\mu c^2 그리고 반경 붕괴 상수 C는 다음과 같다: :C=\frac{Z\alpha}n\frac{\mu c^2}{\hbar c}.
## 1S 궤도함수
여기에 1S1/2 궤도함수(스핀 업, 정규화되지 않음)가 있다: :\Psi\propto\begin{pmatrix} (1+\gamma)r^{\gamma-1}e^{-Cr}\\\ 0\\\ iZ\alpha r^{\gamma-1}e^{-Cr}z/r\\\ iZ\alpha r^{\gamma-1}e^{-Cr}(x+iy)/r \end{pmatrix} γ는 1보다 약간 작으므로, 위 함수는 r의 지수적으로 감소하는 함수와 유사하지만, 아주 작은 r에서는 이론적으로 무한대로 간다. 하지만 r^{\gamma-1}의 값은 10^{1/(\gamma-1)}보다 작은 r 값에서만 10을 초과하며, 이는 Z가 매우 크지 않는 한 매우 작은 숫자(양성자 반지름보다 훨씬 작음)이다. 1S1/2 궤도함수(스핀 다운, 정규화되지 않음)는 다음과 같다: :\Psi\propto\begin{pmatrix} 0\\\ (1+\gamma)r^{\gamma-1}e^{-Cr}\\\ iZ\alpha r^{\gamma-1}e^{-Cr}(x-iy)/r\\\ -iZ\alpha r^{\gamma-1}e^{-Cr}z/r \end{pmatrix} 이들을 혼합하여 스핀이 다른 방향으로 향하는 궤도함수를 얻을 수 있다: :\Psi\propto\begin{pmatrix} (1+\gamma)r^{\gamma-1}e^{-Cr}\\\ (1+\gamma)r^{\gamma-1}e^{-Cr}\\\ iZ\alpha r^{\gamma-1}e^{-Cr}(x-iy+z)/r\\\ iZ\alpha r^{\gamma-1}e^{-Cr}(x+iy-z)/r \end{pmatrix} 이는 스핀과 각운동량 축이 x 방향을 가리키는 것에 해당한다. "다운" 스핀에 i를 곱하여 "업" 스핀에 더하면 y 방향으로 향하는 궤도함수가 된다.
## 2P1/2 및 2S1/2 궤도함수
다른 예로, 2P1/2 궤도함수(스핀 업)는 다음에 비례한다: :\Psi\propto\begin{pmatrix} \rho^{\gamma-1} e^{-\rho/2}\left(Z\alpha\rho+(\gamma-1)\frac{\gamma\mu c^2-E}{\hbar cC}(-\rho+2\gamma)\right)z/r\\\ \rho^{\gamma-1} e^{-\rho/2}\left(Z\alpha\rho+(\gamma-1)\frac{\gamma\mu c^2-E}{\hbar cC}(-\rho+2\gamma)\right)(x+iy)/r\\\ i\rho^{\gamma-1}e^{-\rho/2}\left((\gamma-1)\rho+Z\alpha\frac{\gamma\mu c^2-E}{\hbar cC}(-\rho+2\gamma)\right)\\\ 0 \end{pmatrix} ( \rho=2rC임을 기억하라. C는 1S 궤도함수의 약 절반이지만, γ는 여전히 동일하다.) ρ가 α에 비해 작을 때(또는 r이 \hbar c/(\mu c^2)에 비해 작을 때) "S"형 궤도함수가 지배적이라는 점(비스피너의 세 번째 성분)에 유의하라. 2S1/2 스핀 업 궤도함수의 경우 다음과 같다: :\Psi\propto\begin{pmatrix} \rho^{\gamma-1} e^{-\rho/2}\left(Z\alpha\rho+(\gamma+1)\frac{\gamma\mu c^2+E}{\hbar cC}(-\rho+2\gamma)\right)\\\ 0\\\ i\rho^{\gamma-1}e^{-\rho/2}\left((\gamma+1)\rho+Z\alpha\frac{\gamma\mu c^2+E}{\hbar cC}(-\rho+2\gamma)\right)z/r\\\ i\rho^{\gamma-1}e^{-\rho/2}\left((\gamma+1)\rho+Z\alpha\frac{\gamma\mu c^2+E}{\hbar cC}(-\rho+2\gamma)\right)(x+iy)/r \end{pmatrix} 이제 첫 번째 성분은 S-유형이며 ρ = 2 근처의 반경에서 0이 되는 지점이 있는 반면, 아래 두 성분은 P-유형이다.
## 음의 에너지 해
핵으로부터 무한히 분리된 전자의 에너지보다 낮은 에너지를 갖는 속박 상태 외에도, 핵과 상호작용하는 구속되지 않은 전자에 해당하는 더 높은 에너지에서 디랙 방정식의 해가 존재한다. 이 해들은 정규화될 수 없지만, r이 무한대로 갈 때 0으로 수렴하는 해를 찾을 수 있다 (이는 |E|<\mu c^2일 때, 위에서 언급된 속박 상태의 E 값을 제외하고는 불가능하다). E<-\mu c^2.인 유사한 해들도 존재한다. 이 음의 에너지 해들은 핵이 전자를 끌어당기는 대신 밀어내는 경우에 대해 반대 에너지를 갖는 양의 에너지 해와 유사하지만, 위 두 성분의 해가 아래 두 성분의 해와 자리를 바꾼다는 점이 다르다. 디랙 방정식의 음의 에너지 해는 핵에 의해 가해지는 쿨롱력이 없는 경우에도 존재한다. 디랙은 이러한 상태의 거의 전부가 이미 채워져 있다고 가정할 수 있다고 가설을 세웠다. 이 음의 에너지 상태 중 하나가 채워져 있지 않다면, 이는 양전하를 띤 핵에 의해 반발되는 전자가 있는 것처럼 나타난다. 이는 디랙이 양전하를 띤 전자의 존재를 가설화하도록 촉발시켰고, 그의 예측은 양전자의 발견으로 확인되었다.
# 고르돈의 디랙 방정식 해를 넘어서
점 같은 비자성 핵에 의해 생성되는 단순 쿨롱 퍼텐셜을 가진 디랙 방정식은 최종적인 답이 아니었으며, 그 예측은 앞서 언급했듯이 실험 결과와 차이가 있다. 더 정확한 결과에는 램 이동(양자 전기역학에서 발생하는 복사 보정)For the radiative correction, see Nendzig, opus citatum. 및 초미세 구조가 포함된다.