핵 구조

핵물리학 원자핵의 구조를 이해하는 것은 핵물리학의 핵심 과제 중 하나이다.
# 모형

## 클러스터 모형
클러스터 모형은 양성자-중성자 그룹(예: 알파 입자)의 분자 같은 집합체에 핵을 묘사하며, 하나 이상의 원자가 중성자가 분자 궤도를 차지한다.bibcode=2023PhyOJ..16.s167Ebibcode=2023PhRvL.131u2501Lbibcode=2012Natur.487..341Ebibcode=1958NucPh...7..150W
## 액체 방울 모형
반경험적 질량 공식 액체 방울 모형은 카를 프리드리히 폰 바이츠제커가 1935년에 제안한 핵 구조의 첫 번째 모형 중 하나이다.s2cid=118231854 이 모형은 핵을 중성자와 양성자로 이루어진 반고전적인 유체로 설명하며, 양성자의 수에 비례하는 내부 반발 정전기력을 가진다. 이 입자들의 양자 역학적 특성은 같은 종류의 두 핵자는 같은 상태에 있을 수 없다는 파울리 배타 원리를 통해 나타난다. 따라서 이 유체는 실제로 페르미 액체로 알려져 있다. 이 모형에서 Z 양성자와 N 중성자를 가진 핵의 결합 에너지는 다음과 같이 주어진다. :E_{B} = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - a_{C} \frac{Z^2}{A^{1/3 - a_{A} \frac{(N - Z)^{2{A} - \delta(A,Z) 여기서 A=Z+N은 총 핵자의 수(질량수)이다. A와 A^{2/3}에 비례하는 항은 액체 방울의 부피와 표면 에너지를 나타내고, Z^{2}에 비례하는 항은 정전기 에너지를 나타내며, (N-Z)^{2}에 비례하는 항은 파울리 배타 원리를 나타내고, 마지막 항 \delta(A,Z)는 짝짓기 항으로, 양성자 또는 중성자의 짝수 개수에 대해 에너지를 낮춘다. 계수 a_{V},a_{S},a_{C},a_{A}와 짝짓기 항의 강도는 이론적으로 추정하거나 데이터에 맞춰 조정할 수 있다. 이 간단한 모형은 핵의 결합 에너지의 주요 특징을 재현한다. 핵을 페르미 액체 방울로 가정하는 것은 핵 전체 차트에서 핵 결합 에너지의 좋은 재현과 알려지지 않은 핵에 대한 예측에 필요한 정확성으로 인해 유한 범위 방울 모형(FRDM)의 형태로 여전히 널리 사용된다.osti=6441187
## 껍질 모형
핵 껍질 모형 "껍질 모형"이라는 표현은 두 가지 다른 대상을 지칭한다는 점에서 모호하다. 이전에는 현재 평균장 이론이라고 불리는 접근 방식에 따라 핵자 껍질의 존재를 설명하는 데 사용되었다. 오늘날에는 양자화학에서 사용되는 배열 상호작용 형식론과 유사한 형식론을 지칭한다.
## 껍질 개념의 도입
Z>7인 중성자 수에 따른 액체 방울 모형 예측과 실험적 결합 에너지의 차이 원자핵의 결합 에너지에 대한 체계적인 측정은 액체 방울 모형에서 추정된 값과 체계적인 편차를 보여준다. 특히, 특정 수의 양성자 및 중성자를 가진 일부 핵은 액체 방울 모형이 예측하는 것보다 더 강하게 결합되어 있다. 이러한 핵을 단일/이중 마법수 핵이라고 한다. 이러한 관찰은 과학자들로 하여금 핵 내부의 핵자(양성자와 중성자)가 원자 내부의 전자와 같은 껍질 구조를 가지고 있다고 가정하게 했다. 실제로 핵자는 양자 개체이다. 엄밀히 말하면 개별 핵자의 에너지에 대해 이야기해서는 안 되는데, 그 이유는 핵자들이 서로 모두 상관되어 있기 때문이다. 그러나 근사적으로는 핵자들이 개별적으로 전파되는 평균 핵을 상상할 수 있다. 양자적 특성으로 인해 핵자들은 이산적인 에너지 준위만 차지할 수 있다. 이 준위들은 결코 균일하게 분포되어 있지 않다. 일부 에너지 구간은 밀집되어 있고 일부는 비어 있어 가능한 에너지에 틈이 생긴다. 껍질은 넓은 빈 틈으로 다른 준위들과 분리된 이러한 준위들의 집합이다. 에너지 준위는 다른 모든 핵자들에 의해 생성된 평균 퍼텐셜 내에서 움직이는 단일 핵자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀어 찾는다. 각 준위는 핵자에 의해 점유되거나 비어 있을 수 있다. 일부 준위는 같은 에너지를 가진 여러 다른 양자 상태를 수용한다. 이들은 퇴화되었다고 한다. 이는 특히 평균 핵이 구형 모양과 같은 특정 대칭을 나타낼 때 발생한다. 껍질 개념은 일부 핵이 다른 핵보다 더 강하게 결합되는 이유를 이해하는 데 도움이 된다. 이는 같은 종류의 두 핵자가 같은 상태에 있을 수 없기 때문이다(파울리 배타 원리). 베르너 하이젠베르크는 아이소 스핀 개념의 도입을 통해 파울리 배타 원리를 핵자로 확장했다.url-access=subscription 핵자들은 두 종류의 입자, 즉 중성자와 양성자로 구성되어 있다고 생각되며, 이들은 아이소 스핀 양자수와 관련된 본질적인 특성이 다르다. 이 개념은 중수소의 결합 상태를 설명할 수 있게 하는데, 중수소에서는 양성자와 중성자가 스핀과 아이소 스핀을 두 가지 다른 방식으로 결합할 수 있다. 따라서 핵의 최저 에너지 상태는 핵자들이 바닥에서 어떤 준위까지 모든 에너지 준위를 채우는 상태이다. 양성자 또는 중성자의 홀수 개수를 가진 핵은 짝수 개수를 가진 핵보다 덜 강하게 결합된다. 완전한 껍질을 가진 핵은 예외적으로 안정하며, 이는 설명될 것이다. 전자 껍질 모형의 전자와 마찬가지로, 가장 바깥쪽 껍질에 있는 양성자는 그 껍질에 양성자가 거의 없을 경우 핵 중심에서 가장 멀리 떨어져 있기 때문에 핵에 비교적 약하게 결합된다. 따라서 완전한 외부 양성자 껍질을 가진 핵은 비슷한 총 양성자 수를 가진 다른 핵보다 더 강하게 결합되고 더 높은 결합 에너지를 갖는다. 이는 중성자의 경우에도 마찬가지이다. 더 나아가, 핵을 들뜨게 하는 데 필요한 에너지(즉, 핵자를 더 높은, 이전에 비어 있던 준위로 이동시키는 것)는 이러한 핵에서 예외적으로 높다. 이 비어 있던 준위가 완전한 껍질 다음의 준위일 때, 핵을 들뜨게 하는 유일한 방법은 핵자 하나를 틈을 넘어 들어 올리는 것이므로 많은 양의 에너지가 소모된다. 그렇지 않은 경우, 가장 높은 점유 에너지 준위가 부분적으로 채워진 껍질에 있다면 핵자를 같은 껍질 내에서 더 높은 상태로 들어 올리는 데 훨씬 적은 에너지가 필요하다. 안정된 핵에서 관찰되는 껍질 구조의 일부 진화는 안정성 계곡에서 멀리 떨어진 곳에서 예상된다. 예를 들어, 불안정한 동위 원소의 관찰은 껍질 구조를 구성하는 단일 입자 준위의 이동 및 심지어 재배열을 보여주었다.s2cid=118524326 이는 때로는 역전의 섬의 생성 또는 전통적인 마법수 위의 여기 에너지 갭 감소로 관찰된다.
### 기본 가설
껍질 모형에 정확한 개념적 틀을 제공하기 위해 몇 가지 기본 가설이 제시된다. *원자핵은 양자 N체 시스템이다. *핵 내 핵자의 내부 운동은 비상대론적이며, 그 행동은 슈뢰딩거 방정식에 의해 지배된다. *핵자는 내부 구조가 없는 점입자로 간주된다.
### 형식론에 대한 간략한 설명
껍질 모형 계산에 사용되는 일반적인 과정은 다음과 같다. 먼저 핵에 대한 해밀토니언이 정의된다. 일반적으로 계산의 실용성을 위해 이 정의에서는 1체 및 2체 항만 고려된다. 상호작용은 유효 이론이다. 즉, 실험 데이터에 맞춰야 하는 자유 매개변수를 포함한다. 다음 단계는 단일 입자 상태의 기저를 정의하는 것, 즉 가능한 모든 핵자 상태를 설명하는 파동 함수 집합을 정의하는 것이다. 대부분의 경우 이 기저는 하트리-폭 계산을 통해 얻어진다. 이 1입자 상태 집합으로 슬레이터 행렬식이 구성된다. 즉, Z개의 양성자 변수 또는 N개의 중성자 변수에 대한 파동 함수이며, 단일 입자 파동 함수의 반대칭 곱이다(반대칭이란 임의의 핵자 쌍에 대한 변수 교환 시 파동 함수가 부호만 바뀐다는 의미이다). 원칙적으로 유한한 에너지에서 단일 핵자에 사용할 수 있는 양자 상태의 수는 유한하다. 이를 n이라고 하자. 핵의 핵자 수는 사용 가능한 상태 수보다 작아야 한다. 그렇지 않으면 핵이 모든 핵자를 보유할 수 없다. 따라서 n개의 가능한 상태 중에서 Z(또는 N)개의 상태를 선택하는 여러 가지 방법이 있다. 조합론에서 n개 중에서 Z개의 개체를 선택하는 방법의 수는 이항 계수 Cp=Z이다. n이 Z(또는 N)보다 훨씬 크면 이 수는 대략 nZ처럼 증가한다. 실질적으로 이 수는 너무 커서 A=N+Z가 8보다 큰 경우 모든 계산이 불가능해진다. 이러한 어려움을 극복하기 위해 가능한 단일 입자 상태 공간은 화학과 유사하게 코어와 원자가로 나뉜다(핵심부 전자 및 원자가 전자 참조). 코어는 비활성으로 간주되는 단일 입자 집합이다. 즉, 잘 결합된 최저 에너지 상태이며, 그 상황을 다시 조사할 필요가 없다고 가정한다. 이들은 슬레이터 행렬식에 나타나지 않는다. 반대로 원자가 공간의 상태는 코어에 없는 모든 단일 입자 상태이지만, (Z-) N체 파동 함수의 구성 선택에서 고려될 수 있는 상태이다. 원자가 공간에서 가능한 모든 슬레이터 행렬식의 집합은 (Z-) N체 상태에 대한 기저를 정의한다. 마지막 단계는 이 기저 내에서 해밀토니언의 행렬을 계산하고 대각화하는 것이다. 코어의 고정으로 인한 기저 차원의 감소에도 불구하고 대각화할 행렬은 쉽게 109 차원에 도달하며, 특정 대각화 기술을 요구한다. 껍질 모형 계산은 일반적으로 실험 데이터와 훌륭하게 일치한다. 그러나 이들은 주로 두 가지 주요 요인에 크게 의존한다. *단일 입자 공간을 코어와 원자가로 나누는 방법. *유효 핵자-핵자 상호작용.
# 평균장 이론

## 독립 입자 모형(IPM)
핵자 간 상호작용은 강한 상호작용의 결과로 핵자를 핵 내부에 결속시키며, 유한한 범위의 특이한 행동을 보인다. 즉, 두 핵자 간의 거리가 너무 멀어지면 사라지고, 중간 범위에서는 인력적이며, 아주 짧은 범위에서는 반발적이다. 이 마지막 특성은 두 페르미온(핵자는 페르미온이다)이 같은 양자 상태에 있을 수 없다는 파울리 배타 원리와 관련이 있다. 이로 인해 핵 내 핵자의 평균 자유 거리가 매우 크게 예측된다.isbn=9781139443074 독립 입자 접근 방식의 주요 아이디어는 핵자가 핵 내의 특정 퍼텐셜 우물(핵에 결속시키는) 내에서 다른 핵자와 독립적으로 움직인다는 것이다. 이는 N체 문제(N개 입자가 상호작용하는)를 N개의 단일체 문제로 대체하는 것과 같다. 이 문제의 본질적인 단순화는 평균장 이론의 초석이다. 이들은 원자물리학에서도 널리 사용되는데, 전자가 중심 핵과 전자 구름 자체로 인한 평균장 내에서 움직인다. 독립 입자 모형과 평균장 이론(여러 변형이 존재함을 알 수 있다)은 유효 상호작용이나 유효 퍼텐셜에서 시작하여 핵의 특성을 설명하는 데 큰 성공을 거두었으며, 따라서 원자핵 이론의 기본 부분이다. 또한 핵자 짝짓기나 핵자의 회전 또는 진동과 같은 집단 운동과 같은 효과를 도입하기 위해 형식론에 해당 에너지 항을 추가하여 모형을 확장하기가 상당히 쉽다는 점에서 충분히 모듈식이라는 점도 주목해야 한다. 이는 많은 표현에서 평균장이 집단 여기 및 핵자 전달과 같은 특성을 재현하는 상관 관계를 도입하는 보다 완전한 설명을 위한 출발점에 불과하다는 것을 의미한다.isbn=978-3-540-21206-5s2cid = 56380507
## 핵 퍼텐셜과 유효 상호작용
평균장 이론에서 발생하는 실제적인 어려움의 대부분은 평균장 자체의 퍼텐셜의 정의(또는 계산)이다. 크게 두 가지 접근 방식으로 나눌 수 있다. ***현상학적** 접근 방식은 적절한 수학적 함수로 핵 퍼텐셜을 매개변수화하는 것이다. 역사적으로 이 절차는 스벤 예스타 닐손이 (변형된) 양자 조화 진동자 퍼텐셜을 사용하여 가장 큰 성공을 거두었다. 가장 최근의 매개변수화는 예를 들어 산란 실험을 더 정확하게 설명하는 보다 현실적인 함수를 기반으로 한다. 특히 우즈-삭슨 퍼텐셜로 알려진 형태를 언급할 수 있다. ***자기 일관적** 또는 하트리-폭 접근 방식은 유효 핵자-핵자 상호작용으로부터 핵 퍼텐셜을 수학적으로 유도하는 것을 목표로 한다. 이 기술은 퍼텐셜이 결정될 파동 함수에 의존하기 때문에 초기 파동 함수에서 시작하여 변분적으로 개선하는 반복적인 방식으로 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것을 의미한다. 후자는 슬레이터 행렬식으로 작성된다. 하트리-폭 접근 방식의 경우, 문제는 핵 퍼텐셜을 가장 잘 설명하는 수학적 함수를 찾는 것이 아니라 핵자-핵자 상호작용을 가장 잘 설명하는 함수를 찾는 것이다. 실제로 상호작용이 알려져 있는(쿨롬 상호작용) 원자물리학과 달리 핵 내부의 핵자-핵자 상호작용은 분석적으로 알려져 있지 않다. 이러한 사실에는 두 가지 주요 이유가 있다. 첫째, 강한 상호작용은 핵자를 구성하는 쿼크들 사이에서 본질적으로 작용한다. 진공 상태의 핵자-핵자 상호작용은 쿼크-쿼크 상호작용의 단순한 결과이다. 후자는 높은 에너지에서는 표준 모형의 틀에서 잘 이해되지만, 색가둠과 점근 자유성으로 인해 낮은 에너지에서는 훨씬 더 복잡하다. 따라서 쿼크-쿼크 상호작용으로부터 핵자-핵자 상호작용을 유도할 수 있는 근본적인 이론은 아직 없다. 더욱이 이 문제가 해결된다 하더라도 진공 상태에서 상호작용하는 두 핵자의 이상적인(그리고 개념적으로 더 간단한) 경우와 핵 물질 내에서 상호작용하는 이들 핵자의 경우 사이에는 큰 차이가 남을 것이다. 더 나아가기 위해서는 유효 상호작용 개념을 발명해야 했다. 후자는 기본적으로 여러 임의의 매개변수를 가진 수학적 함수이며, 이들은 실험 데이터와 일치하도록 조정된다. 대부분의 현대 상호작용은 토니 스카임이 도입한 것처럼 두 핵자가 접촉할 때만 작용하는 영거리이다.issue=1 도미니크 보테린과 데이비드 M. 브링크의 획기적인 논문url-access=subscription에서 밀도 의존적인 스카임 힘이 원자핵의 기본 특성을 재현할 수 있음을 입증했다. 다른 일반적으로 사용되는 상호작용은 유한 범위의 고그니 힘이다.url-access=subscription
## 하트리-폭 유형의 자기 일관적 접근 방식
하트리-폭 접근 방식의 N체 문제에서 출발점은 N개의 운동 에너지 항과 퍼텐셜 항을 포함하는 해밀토니언이다. 앞에서 언급했듯이 평균장 이론 가설 중 하나는 2체 상호작용만 고려한다는 것이다. 해밀토니언의 퍼텐셜 항은 N개의 페르미온 집합에서 가능한 모든 2체 상호작용을 나타낸다. 이것이 첫 번째 가설이다. 두 번째 단계는 시스템의 파동 함수가 1입자 스핀-궤도함수의 슬레이터 행렬식으로 작성될 수 있다고 가정하는 것이다. 이 진술은 독립 입자 모형의 수학적 번역이다. 이것이 두 번째 가설이다. 이제 이 슬레이터 행렬식의 구성 요소, 즉 핵자의 개별 파동 함수를 결정해야 한다. 이를 위해 시스템의 총 파동 함수(슬레이터 행렬식)가 에너지를 최소화한다고 가정한다. 이것이 세 번째 가설이다. 기술적으로는 (알려진) 2체 해밀토니언의 기댓값을 (알려지지 않은) 슬레이터 행렬식에 대해 계산하고, 그 수학적 변분이 0이 되도록 해야 한다. 이는 개별 파동 함수가 미지수인 방정식 집합, 즉 하트리-폭 방정식으로 이어진다. 이 방정식을 풀면 핵자의 파동 함수와 개별 에너지 준위가 얻어지고, 따라서 핵의 총 에너지와 파동 함수가 얻어진다. 하트리-폭 방법의 간략한 설명은 왜 이 방법이 변분적 접근 방식이라고도 불리는지 설명한다. 계산 시작 시 총 에너지는 "개별 파동 함수의 함수"(이른바 범함수)이며, 이 범함수가 최소값을 갖도록(바라건대 절대 최소값이며 국소 최소값이 아닌) 이 파동 함수를 최적화하기 위해 모든 것이 이루어진다. 더 정확히 말하면, 에너지는 개별 파동 함수의 제곱의 합으로 정의되는 밀도의 범함수임을 언급해야 한다. 하트리-폭 방법은 원자물리학 및 응집물질물리학에서도 밀도 범함수 이론(DFT)으로 사용된다. 하트리-폭 방정식을 푸는 과정은 반복적일 수밖에 없다. 이 방정식은 사실 슈뢰딩거 방정식인데, 여기서 퍼텐셜은 밀도에 따라 달라지며, 이는 정확히 결정되어야 하는 파동 함수에 달려 있다. 실제로 알고리즘은 대략적으로 합리적인 개별 파동 함수(일반적으로 양자 조화 진동자의 고유 함수) 집합으로 시작된다. 이를 통해 밀도를 계산하고, 거기서부터 하트리-폭 퍼텐셜을 계산한다. 이 작업이 끝나면 슈뢰딩거 방정식을 새로 풀고, 계속해서 진행한다. 계산은 두 successive 반복에 대한 파동 함수 또는 에너지 준위 간의 차이가 고정된 값보다 작을 때 – 수렴에 도달한다 – 중단된다. 그러면 평균장 퍼텐셜이 완전히 결정되고, 하트리-폭 방정식은 표준 슈뢰딩거 방정식이 된다. 해당 해밀토니언은 하트리-폭 해밀토니언이라고 불린다.
## 상대론적 평균장 접근 방식
1970년대 존 더크 발레카의 양자 하드론 동역학 연구에서 처음 시작된 핵의 상대론적 모형은 1980년대 후반 P. 링과 동료들에 의해 더욱 정교해졌다. 이 접근 방식의 출발점은 양자장론이다. 이 맥락에서 핵자 상호작용은 가상 입자인 중간자의 교환을 통해 발생한다. 첫 번째 단계는 이러한 상호작용 항을 포함하는 라그랑지언을 구성하는 것이다. 두 번째로, 최소 작용 원리를 적용하여 운동 방정식을 얻는다. 실제 입자(여기서는 핵자)는 디랙 방정식을 따르고, 가상 입자(여기서는 중간자)는 클라인-고든 방정식을 따른다. 강한 상호작용의 비섭동적 특성과 또한 핵자 그룹 간의 이 상호작용의 정확한 퍼텐셜 형태가 비교적 잘 알려져 있지 않다는 점을 고려할 때, 원자핵의 경우에 이러한 접근 방식을 사용하는 것은 급진적인 근사값을 필요로 한다. 주요 단순화는 방정식에서 모든 장 항(수학적 의미에서 연산자)을 기댓값(함수)으로 대체하는 것이다. 이러한 방식으로 연립 미분-적분 방정식을 얻는데, 이는 분석적으로 해결할 수 없다면 수치적으로 해결할 수 있다.
## 상호작용하는 보손 모형
상호작용하는 보손 모형(IBM)은 핵자들이 쌍으로 표현되는 핵물리학 모형으로, 각 쌍은 0, 2 또는 4의 정수 스핀을 가진 보손 입자로 작용한다. 이는 더 큰 핵에 대한 계산을 가능하게 한다. 이 모형에는 여러 가지 분기가 있는데, 그 중 하나(IBM-1)에서는 모든 유형의 핵자를 쌍으로 묶을 수 있고, 다른 것들(예를 들어 IBM-2)에서는 양성자와 중성자를 쌍으로 따로 고려한다.
## 핵물리학에서의 자발적 대칭 깨짐
모든 물리학의 초점 중 하나는 대칭이다. 핵자-핵자 상호작용 및 실제로 사용되는 모든 유효 상호작용은 특정 대칭성을 갖는다. 이들은 평행 이동(방향이 변경되지 않도록 기준 프레임을 변경하는 것), 회전(어떤 축을 중심으로 기준 프레임을 회전시키는 것) 또는 반전성(축의 방향을 변경하는 것)에 대해 불변하다. 즉, 상호작용은 이러한 연산 중 어느 것에 의해서도 변하지 않는다. 그러나 하트리-폭 접근 방식에서는 이러한 대칭성에 대해 불변하지 않은 해가 나타날 수 있다. 이때 자발 대칭 깨짐이라고 부른다. 정성적으로 이러한 자발적 대칭 깨짐은 다음과 같이 설명할 수 있다. 평균장 이론에서 핵은 독립 입자 집합으로 설명된다. 평균장에 들어가지 않는 핵자들 간의 대부분의 추가 상관 관계는 무시된다. 그러나 이는 평균장 해밀토니언의 대칭이 깨짐으로써 나타날 수 있는데, 이는 단지 근사치일 뿐이다. 하트리-폭 과정의 반복을 시작하는 데 사용되는 밀도가 특정 대칭을 깨뜨리면, 최종 하트리-폭 해밀토니언은 총 에너지 관점에서 이러한 대칭이 깨진 상태를 유지하는 것이 유리하다면 이러한 대칭을 깨뜨릴 수 있다. 또한 대칭 해로 수렴할 수도 있다. 어떠한 경우든 최종 해가 대칭성을 깨뜨리면, 예를 들어 회전 대칭을 깨뜨려 핵이 구형이 아니라 타원형으로 나타나면, 이 변형된 핵에서 회전에 의해 유도된 모든 구성은 하트리-폭 문제에 대한 마찬가지로 좋은 해가 된다. 이때 핵의 바닥 상태는 퇴화된다. 핵자 짝짓기에서도 유사한 현상이 발생하는데, 이는 바리온 수 보존을 위반한다(아래 참조).
# 평균장 이론의 확장

## 핵자 짝짓기 현상
평균장 이론에 가장 일반적으로 확장되는 것은 핵자 짝짓기이다. 짝수 개의 핵자를 가진 핵은 홀수 개의 핵자를 가진 핵보다 체계적으로 더 강하게 결합된다. 이는 각 핵자가 다른 핵자와 결합하여 쌍을 형성하며, 결과적으로 시스템이 공통 평균장에 노출된 독립 입자로 설명될 수 없음을 의미한다. 핵이 짝수 개의 양성자와 중성자를 가질 때, 각각의 핵자는 짝을 찾는다. 이러한 시스템을 들뜨게 하려면 최소한 한 쌍을 깨뜨릴 만큼의 에너지를 사용해야 한다. 반대로 홀수 개의 양성자 또는 중성자를 가진 경우, 짝을 이루지 못한 핵자가 존재하며, 들뜨게 하는 데 더 적은 에너지가 필요하다. 이 현상은 고체 물리학의 1종 초전도 현상과 매우 유사하다. 핵자 짝짓기에 대한 첫 번째 이론적 설명은 1950년대 후반 오게 닐스 보어, 벤 모텔손, 그리고 데이비드 파인즈에 의해 제안되었다(보어와 모텔손의 1975년 노벨 물리학상 수상에 기여했다).doi=10.1142/8526 이는 금속 초전도 현상을 설명하는 바딘, 쿠퍼, 슈리퍼의 BCS 이론과 유사했다. 이론적으로 BCS 이론에 의해 설명되는 짝짓기 현상은 평균장 이론과 결합된다. 핵자들은 평균장 퍼텐셜과 짝짓기 상호작용 모두의 영향을 받는다. 하트리-폭-보고류보프(HFB) 방법은 짝짓기 및 평균장 상호작용을 일관되게 동등하게 고려할 수 있는 보다 정교한 접근 방식이다.title = Hartree-Fock-Bogoliubov Method HFB는 이제 핵 시스템의 평균장 처리에서 사실상의 표준이다.
## 대칭 복원
평균장 방법의 특징은 명시적인 대칭 깨짐을 통해 핵 속성을 계산하는 것이다. 자기 일관적인 방법(예: 하트리-폭)으로 평균장을 계산하는 것은 회전 대칭을 깨뜨리고, 짝짓기 속성을 계산하는 것은 입자 수를 깨뜨린다. 좋은 양자수에 투영하여 대칭을 복원하는 여러 기술이 개발되었다.bibcode = 1960NucPh..15...33B
## 입자 진동 결합
평균장 방법(궁극적으로 대칭 복원을 고려하는)은 독립 입자 시스템을 가정하더라도 시스템의 바닥 상태에 대한 좋은 근사치이다. 고차 보정은 입자들이 상관 관계를 통해 서로 상호작용한다는 사실을 고려한다. 이러한 상관 관계는 독립 입자 자유도의 결합, 양성자 및 중성자의 짝수 시스템의 저에너지 집단 여기를 고려하여 도입할 수 있다. 이러한 방식으로, 들뜬 상태는 랜덤 위상 근사 (RPA)를 통해 재현될 수 있으며, 궁극적으로 바닥 상태에 대한 보정(예: 핵장 이론을 통해)을 일관되게 계산할 수 있다.
# 더 읽어보기

## 일반 대중
*James M. Cork; Radioactivité & physique nucléaire, Dunod (1949).
## 입문서
*Luc Valentin; Le monde subatomique - Des quarks aux centrales nucléaires, Hermann (1986). *Luc Valentin; Noyaux et particules - Modèles et symétries, Hermann (1997). *David Halliday; Introductory Nuclear Physics, Wiley & Sons (1957). *Kenneth Krane; Introductory Nuclear Physics, Wiley & Sons (1987). *Carlos Bertulani; Nuclear Physics in a Nutshell, Princeton University Press (2007).
## 기본서
* 피터 E. 호지슨; Nuclear Reactions and Nuclear Structure. Oxford University Press (1971). *Irving Kaplan; Nuclear physics, the Addison-Wesley Series in Nuclear Science & Engineering, Addison-Wesley (1956). 2nd edition (1962). *A. Bohr & B. Mottelson; Nuclear Structure, 2 vol., Benjamin (1969–1975). Volume 1 : Single Particle Motion; Volume 2 : Nuclear Deformations. Réédité par World Scientific Publishing Company (1998), . *P. Ring & P. Schuck; The nuclear many-body problem, Springer Verlag (1980), *A. de Shalit & H. Feshbach; Theoretical Nuclear Physics, 2 vol., John Wiley & Sons (1974). Volume 1: Nuclear Structure; Volume 2: Nuclear Reactions,