제이컵슨 밀도 정리

수학, 특히 비가환 환론, 추상대수학, 가군론에서 **제이컵슨 밀도 정리**(Jacobson density theorem)는 환 R에 대한 단순 가군에 관한 정리이다.Isaacs, p. 184 이 정리는 모든 원시환을 벡터 공간의 선형 변환 환의 "조밀한" 부분환으로 볼 수 있음을 보여주는 데 적용될 수 있다.이러한 선형 변환 환은 전선형환으로도 알려져 있다.Isaacs, Corollary 13.16, p. 187 이 정리는 1945년 네이선 제이컵슨의 유명한 논문 "무한성 가정이 없는 단순 환의 구조 이론(Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions)"에서 처음 등장했다.Jacobson, Nathan "Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions" 이것은 단순환 아르틴 환의 구조에 대한 아르틴-웨더번 정리의 결론을 일종의 일반화로 볼 수 있다.
# 동기와 형식적인 서술
R을 환이라고 하고 U를 오른쪽 단순 R-가군이라고 하자. 만약 u가 U의 0이 아닌 원소이면, u • R = U이다 (여기서 u • R은 u에 의해 생성된 U의 순환 부분가군이다). 그러므로, 만약 u, v가 U의 0이 아닌 원소이면, u를 v로 변환하는 U의 자기 사상을 유도하는 R의 원소가 존재한다. 이제 자연스러운 질문은 이것이 임의의 (유한한) 원소 튜플로 일반화될 수 있는가 하는 것이다. 더 정확하게 말하면, 튜플 (x1, ..., xn)과 (y1, ..., yn)에 대해 각각 필요한 충분 조건을 찾아, 모든 i에 대해 xi • r = yi 속성을 갖는 R의 원소가 존재하도록 하는 것이다. 만약 D가 U의 모든 R-가군 자기 사상들의 집합이라면, 슈어 보조정리는 D가 나눗셈환임을 주장하고, 제이컵슨 밀도 정리는 xi들이 D 위에서 선형 독립이라면 튜플에 대한 질문에 긍정적인 답변을 제공한다. 위 내용을 염두에 두고, 이 정리는 다음과 같이 진술될 수 있다: :**제이컵슨 밀도 정리.** U를 오른쪽 단순 R-가군, D = End(UR), 그리고 X ⊂ U를 유한하고 D-선형 독립인 집합이라고 하자. 만약 A가 U의 D-선형 변환이라면, r ∈ R이 존재하여 X의 모든 x에 대해 A(x) = x • r이 성립한다.Isaacs, Theorem 13.14, p. 185
# 증명
제이컵슨 밀도 정리에서 오른쪽 R-가군 U는 자연스러운 방식으로 D = End(UR)인 왼쪽 D-가군으로 동시에 간주된다: g • u = g(u). 이것이 실제로 U에 대한 왼쪽 가군 구조임을 확인할 수 있다.덧붙여, 이는 또한 D-R 쌍가군 구조이기도 하다. 이전에 언급했듯이, 슈어 보조정리는 U가 단순 가군이면 D가 나눗셈환임을 증명하므로, U는 D 위의 벡터 공간이다. 증명은 또한 1993 p. 185에 증명된 다음 정리에 의존한다: :**정리.** U를 오른쪽 단순 R-가군, D = End(UR), 그리고 X ⊂ U를 유한 집합이라고 하자. R에서 X의 소멸자를 I = annR(X)로 쓰자. U의 원소 u가 u • I = 0을 만족한다고 하자. 그러면 u는 XD에 속한다; 이는 X의 D-선형 생성이다.
## 제이컵슨 밀도 정리의 증명
일반적으로 !X!에 대한 수학적 귀납법을 사용한다. 만약 X가 공집합이면, 정리는 자명하게 참이므로 귀납법의 기본 단계가 확인된다. X가 공집합이 아니라고 가정하고, x를 X의 한 원소로, Y = X \\{x}.로 쓰자. 만약 A가 U의 임의의 D-선형 변환이라면, 귀납 가설에 의해 모든 y in Y에 대해 A(y) = y • s를 만족하는 s ∈ R가 존재한다. I = annR(Y)로 쓰자. x • I는 U의 부분가군임을 쉽게 알 수 있다. 만약 x • I = 0이라면, 이전 정리에 의해 x는 Y의 D-선형 생성에 속하게 되어, X의 D-선형 독립성에 모순된다. 따라서 x • I ≠ 0이다. U는 단순 가군이므로, x • I = U이다. A(x) − x • s ∈ U = x • I이므로, I의 원소 i가 존재하여 x • i = A(x) − x • s이다. r = s + i로 정의하고, Y의 모든 y에 대해 다음을 관찰한다. :\begin{align} y \cdot r &= y \cdot(s + i) \\\ &= y \cdot s + y \cdot i \\\ &= y \cdot s && (\text{since } i\in \text{ann}_R(Y)) \\\ &= A(y) \end{align} 이제 x에 대해 같은 계산을 한다: :\begin{align} x \cdot r &= x \cdot (s + i) \\\ &= x \cdot s + x \cdot i \\\ &= x \cdot s + \left ( A(x) - x \cdot s \right )\\\ &= A(x) \end{align} 따라서, 원하는 대로 X의 모든 z에 대해 A(z) = z • r이 성립한다. 이것으로 증명의 귀납 단계가 완료된다. 이제 수학적 귀납법에 따라 정리는 모든 크기의 유한 집합 X에 대해 참이다.
# 위상적 특성화
환 R은 제이컵슨 밀도 정리의 결론을 만족할 경우 단순 오른쪽 R-가군 U에 **조밀하게 작용한다**고 말한다.Herstein, Definition, p. 40 R을 "조밀하다"고 설명하는 위상적 이유가 있다. 첫째, R의 각 원소를 오른쪽 곱셈에 의해 유도되는 D 선형 변환과 동일시함으로써 End(DU)의 부분환으로 식별할 수 있다. 만약 U에 이산 위상이 주어지고, UU에 곱위상이 주어지며, End(DU)가 UU의 부분공간으로 간주되고 부분공간 위상이 주어졌을 때, R은 이 위상에서 End(DU)의 조밀 집합일 때 그리고 그 때에만 U에 조밀하게 작용한다.이 경우 이 위상은 콤팩트-열린집합 위상과 동일하다는 것이 밝혀졌다. Herstein, p. 41에서는 이 설명을 사용한다.
# 결과
제이컵슨 밀도 정리는 환의 구조 이론에서 여러 중요한 결과를 가진다.Herstein, p. 41 특히 아르틴-웨더번 정리의 단순 오른쪽 아르틴 환의 구조에 대한 결론이 다시 얻어진다. 제이컵슨 밀도 정리는 또한 오른쪽 또는 왼쪽 원시환을 특정 D-벡터 공간 U의 D-선형 변환 환의 조밀한 부분환으로 특성화한다. 여기서 D는 나눗셈환이다.
# 다른 결과와의 관계
이 결과는 힐베르트 공간 H상의 연산자의 *-대수 A에 대해 이중 교환자 A′′가 주어진 유한 벡터 집합에 대해 A로 근사될 수 있음을 나타내는 폰 노이만 이중 교환자 정리와 관련이 있다. 다시 말해, 이중 교환자는 약작용자 위상에서 A의 폐포이다.(폰 노이만 대수 설정에서 카플란스키 밀도 정리도 참조)
# 내용주
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