대수 다형체의 사상

대수 기하학에서 대수 다형체들 사이의 **사상**은 다항식에 의해 국소적으로 주어진 다형체 사이의 함수이다. **정규 사상** 또는 **정칙 사상**(복소 함수론의 정칙 사상과 혼돈의 여지가 있다)이라고도 한다. 대수 다형체에서 아핀 직선으로 가는 사상은 **정규 함수**라고도 한다. 역도 규칙적인 정규 사상을 **쌍정규**라고 하며 쌍정규 사상은 대수 다형체의 동형사상이다. 정규와 쌍정규는 매우 제한적인 조건이기 때문에 – 사영 다형체 위에서는 모든 정규 함수가 상수 함수다. – 유리 및 쌍유리 사상의 개념도 널리 사용된다. 그들은 다항식 대신 유리 분수에 의해 국소적으로 정의되는 부분 함수이다. 대수 다형체는 자연스럽게 국소적으로 환 달린 공간 구조를 가진다. 대수 다형체 사이의 사상은 정확히 기반이 되는 국소적으로 환 달린 공간의 사상이다.
# 정의
X, Y가 각각 \mathbb{A}^n과 \mathbb{A}^m의 닫힌 부분 다형체(즉 X, Y는 아핀 다형체)이면, 정규 사상 f\colon X\to Y 는 다항식 사상 \mathbb{A}^n\to \mathbb{A}^m의 제한이다. 명시적으로2013 : f = (f_1, \dots, f_m) 형태를 가진다. 여기서 f_i들은 *X*의 좌표 환에 있다. : k[X] = k[x_1, \dots, x_n]/I 여기서 *I*는 *X*를 정의하는 이데알이다. (참고: 두 개의 다항식 *f,g*가 *X*에서 동일한 함수를 정의함과 *f-g가* ***I***의 원소임은 동치이다). 상 *f(X)*는 *Y*에 있으므로 *Y*의 정의 방정식을 충족한다. 즉, 정규 사상 f: X \to Y 구성 원소가 다음 정의 방정식을 만족하는 다항식 사상의 제한과 동일하다. Y . 보다 일반적으로, *f(U)\subset V* 및 제한된 함수 *f*를 충족하는 *x*의 이웃 *U*와 *f(x)*의 이웃 *V*가 있는 경우 두 다형체 사이의 사상 f: X \to Y는 **점** *x*에서 규칙적이다. U\to V*는* *U*와 *V*의 일부 아핀 좌표 조각에서 함수로 규칙적이다. 그런 다음 *f가* *X*의 모든 지점에서 규칙적이라면 *f*를 **정규**라고 한다. * **참고:** 두 정의가 일치한다는 것이 즉시 명백하지는 않다. *X*와 *Y가* 아핀 다형체인 경우 사상 f: X \to Y는 첫 번째 의미에서 규칙적이다. Here is the argument showing the definitions coincide. Clearly, we can assume *Y* = **A**1. Then the issue here is whether the "regular-ness" can be patched together; this answer is yes and that can be seen from the construction of the structure sheaf of an affine variety as described at affine variety#Structure sheaf. 또한 규칙성이 아핀 좌표 조각의 선택에 따라 달라지는지 즉시 명확하지 않다(그렇지 않다.It is not clear how to prove this, though. If *X*, *Y* are quasi-projective, then the proof can be given. The non-quasi-projective case strongly depends on one's definition of an abstract variety). 그러나 이러한 종류의 일관성 문제는 공식 정의를 채택하면 사라진다. (추상적) 대수 다형체는 특정 종류의 국소적으로 환 달린 공간으로 정의된다. 이 정의가 사용될 때 다형체의 사상은 국소적으로 환 달린 공간의 사상일 뿐이다. 정규 사상의 구성은 다시 정규이다. 따라서 대수 다형체는 사상이 정규 사상인 대수 다형체 범주를 형성한다. 아핀 다형체 사이의 정규 사상은 좌표 환 사이의 대수 동형에 대해 일대일로 반변적으로 대응한다. f: X \to Y가 아핀 다형체의 동형이면 대수 준동형 사상 : f^{\\#}: k[Y] \to k[X], \, g \mapsto g \circ f 을 정의한다. 여기서 k[X], k[Y]는 각각 *X*와 *Y*의 좌표 환이다. g \circ f = g(f_1, \dots, f_m)가 k[X]의 원소들로 이뤄진 다항식이므로 이는 잘 정의되어 있다.이다. 반대로, 만약 \phi: k[Y] \to k[X]가 대수 준동형사상이면, 그것은 사상 : \phi^a: X \to Y 을 유도한다. 주어진 : 쓰기 k[Y] = k[y_1, \dots, y_m]/J, : \phi^a = (\phi(\overline{y_1}), \dots, \phi(\overline{y_m})) 여기서 \overline{y}_i는 y_i들의 상들이다.The image of \phi^a lies in *Y* since if *g* is a polynomial in *J*, then, a priori thinking \phi^a is a map to the affine space, g \circ \phi^a = g(\phi(\overline{y_1}), \dots, \phi(\overline{y_m})) = \phi(\overline{g}) = 0 since *g* is in *J*. {\phi^a}^{\\#} = \phi이고 {f^{\\#^a = f임을 주의하라. Proof: {\phi^a}^{\\#}(g) = g(\phi(\overline{y_1}), \dots, \phi(\overline{y_m})) = \phi(g) since φ is an algebra homomorphism. Also, f^{\\#a} = (\overline{y_1} \circ f, \dots, \overline{y_m} \circ f) = f. 특히, *f^{\\#}가* 좌표 환의 동형사상인 경우에만 *f*는 아핀 다형체의 동형사상이다. 예를 들어, *X*가 아핀 다형체 *Y*의 닫힌 부분 다형체이고 *f*가 포함 사상이면 *f^{\\#}*는 *Y*에서 *X*로의 정규 함수 제한이다.
# 정규 함수
Y=A^1인 특별한 경우 정규 사상 f: X \to \mathbb A^1은 **정규 함수**라고 한다. 정규 함수들이 이루는 환 (즉, 좌표 환 또는, 보다 추상적으로, 층 구조의 대역 단면 환)은 아핀 대수 기하학의 기본 대상이다. 사영 다형체에 대한 유일한 정규 함수는 상수 함수이다(복소 해석학에서 리우빌 정리의 대수적 아날로그로 볼 수 있음). 스칼라 함수 *f:X\to \mathbb A^1 *는, 어떤 *x*의 열린 아핀 이웃에서, *x*에서 정규인 유리 함수일 때 점 *x*에서 정규이다. 즉, *x*의 이웃에서 *f=g/h*이고 *h가* *x*에서 0이 아닌 정규 함수 *g,h가* 있다.Proof: Let *A* be the coordinate ring of such an affine neighborhood of *x*. If *f* = *g*/*h* with some *g* in *A* and some nonzero *h* in *A*, then *f* is in *A*[*h*−1] = *k*[*D*(*h*)]; that is, *f* is a regular function on *D*(*h*). 주의: 조건은 모든 쌍*(g,h)*에 대한 것이 아니라 일부 쌍 *(g,h)*에 대한 것이다. *X*가 준사영 다형체이면, 즉, 사영 다형체의 열린 부분 다형체인 경우, 함수 체 *k(X)*는 *X*의 폐포 \overline{X}와 동일하다. 따라서 *X* 위의 유리 함수는 \overline{X}의 동차 좌표 환 k[\overline{X}]에서 동일한 차수의 어떤 동차 원소 *g,h*에 대해 *g/h* 형태이다. 그러면, *X* 위의 유리 함수 *f는* 점 *x*에서 정규임과 *f=g/h*이고 *h는* *x*에서 사라지지 않는 k[\overline{X}] 안의 차수가 같은 동차 원소 *g,h*가 존재함과 동치다. 이는 때때로 정규 함수의 정의로 본다.1997
# 스킴의 사상과 비교
*X=\text{Spec} A*및 *Y=\text{Spec} B*가 아핀 스킴인 경우 각 환 동형사상 \varphi: B \to A은 소 이데알들의 역상을 취함으로써 사상 : \phi^a: X \to Y, \, \mathfrak{p} \mapsto \phi^{-1}(\mathfrak{p}) 을 결정한다. 아핀 스킴 사이의 모든 사상은 이러한 유형이며 이러한 사상를 붙이면 일반적으로 스킴의 사상이 제공된다. 이제 *X*, *Y*가 아핀 다형체인 경우; 즉, *A*, *B *는 대수적으로 닫힌 체 *k*에 대해 유한 생성 대수 정역이다. 그러면 닫힌 점만 사용하여 위의 내용은 정의와 일치한다. (증명: f: X \to Y가 사상이면, \phi = f^{\\#}라 쓰고, : \mathfrak{m}_{f(x)} = \phi^{-1}(\mathfrak{m}_x) 여기서 \mathfrak{m}_x, \mathfrak{m}_{f(x)}는 각각 점 *x*와 *f(x)*에 해당하는 극대 이데알이다. 즉, \mathfrak{m}_x = \\{ g \in k[X] \mid g(x) = 0 \\}. 이것은 즉각적이다. ) 이 사실은 아핀 다형체의 범주가 *k*에 대한 아핀 스킴의 전체 부분 범주로 식별될 수 있음을 의미한다. 다형체의 사상은 아핀 스킴의 사상을 붙여서 스킴의 사상를 얻는 것과 같은 방식으로 아핀 다형체의 사상를 붙여서 얻으므로 다형체의 범주는 *k*에 대한 스킴 범주의 전체 부분 범주가 된다. 자세한 내용은 참조하라.
# 예
* \mathbb A^n에서 정규 함수는 정확히 *n* 변수 다항식이고 \mathbb P^n에서 정규 함수는 정확히 상수 함수이다. * *X를* 아핀 곡선 y = x^2이라 하자. 그러면f: X \to \mathbb{A}^1, \, (x, y) \mapsto x 는 사상이다. 이는 전단사이고 역사상은g(x) = (x, x^2)이다. g 또한 사상이므로 *f*는 다형체의 동형사상이다. * *X*를 아핀 곡선 y^2 = x^3 + x^2이라 하자. 그 다음에f: \mathbb{A}^1 \to X, \, t \mapsto (t^2 - 1, t^3 - t) 은 사상이다. 이는 환 준동형 사상f^{\\#}: k[X \to k[t], \, g \mapsto g(t^2 - 1, t^3 - t),와 대응한다. 이 환 준동형 사상은 일대일이다. * 앞의 예를 계속해서 U=\mathbb A^1-\\{1\\}이라 놓자. U는 초평면 *t* = 1의 여집합이므로 U는 아핀이다. 제한 f: U \to X은 전단사이다. 그러나 해당 환 준동형 사상은 다음 포함 사상 k[X] = k[t^2 - 1, t^3 - t] \hookrightarrow k[t, (t - 1)^{-1}]이다. 이는 동형이 아니므로 제한 *f|_U*는 동형이 아니다. * *X를* 아핀 곡선 x^2+y^2=1,f(x, y) = {1 - y \over x}.로 두자. 그러면 *f*는 *X* 위에서 정의된 유리 함수이다. *f*는 유리식으로 표현 되었음에도 (0,1)에서 정규이다. 왜냐하면, *X* 위에서 정의된 유리 함수로서, *f*는 f(x, y) = {x \over 1 +y }.로 쓸 수 있기 때문이다. * U=\mathbb A^2-\\{(0,0)\\}라 놓자. 그러면 *X*는 다형체의 열린 부분집합이기 때문에 대수 다형체이다. *f*가 *X*에서 정규 함수이면, *f*는 D_{\mathbf{A}^2}(x) = \mathbf{A}^2 - \\{ x = 0 \\}에서 정규 함수이고 k[D_{\mathbf{A}^2}(x)] = k[\mathbf{A}^2][x^{-1}] = k[x, x^{-1}, y]에서도 정규 함수이다. 마찬가지로, k[x, y, y^{-1}]에서도 정규 함수이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다:f = {g \over x^n} = {h \over y^m}여기서 g, h \in k[x,y] . 하지만 이는 *g*가 *x^n*으로 나누어 떨어지고 따라서 *f*는 사실 다항식임을 뜻한다. 즉, *X* 위의 정규 함수 환은 k[x,y] 이다.(이는 또한 *X*가 아핀일 수 없음을 뜻한다. 왜냐하면, 만약 *X*가 아핀이라면, *X*는 그것의 좌표 환으로 결정되고 따라서 *X=\mathbb A^2*이어야 하기 때문이다.) * \mathbb{P}^1 = \mathbb{A}^1 \cup \\{ \infty \\}를 점 (*x* : 1)들을 \mathbb{A}^1의 점 *x로* 보고 \infty=(1:0) 로 보자. \sigma(x:y)=(y:x)로 주어지는 \mathbb{P}^1의 자기동형사상 \sigma가 있다. 특히 \sigma는 0과 \infty 를 바꾼다. *f*가 \mathbb{P}^1에서 정의된 유리 함수인 경우, \sigma^{\\#}(f) = f(1/z)이고, *f*는 \infty 에서 정규임과 *f(1/z)*가 영에서 정규임이 동치이다. * 기약 대수 곡선 *V*의 함수체 *k(V)*를 취하면 함수 체의 함수 *F*는 모두 *V*에서 *k*에 대한 사영 직선 으로의 사상으로 실현될 수 있다. (참조. #속성 ) 이미지는 단일 지점이거나 전체 사영 직선이 된다(이것은 사영 다형체의 완전성의 결과이다). 즉, *F*가 실제로 상수가 아닌 경우 *V*의 일부 점에서 *F*에 값 \infty 를 부여해야 한다. * 임의의 대수 다형체 *X*, *Y*에 대해 사영 p: X \times Y \to X, \, (x, y) \mapsto x은 다형체의 사상이다. 만약 *X*, *Y*가 아핀이면, 대응하는 환 준동형사상은 p^{\\#}: k[X] \to k[X \times Y] = k[X] \otimes_k k[Y], \, f \mapsto f \otimes 1이다. 여기서(f \otimes 1)(x, y) = f(p(x, y)) = f(x)
# 성질
자리스키 위상을 고려 할 때 다형체 사이의 사상은 연속이다. 다형체 사상의 상은 열려 있거나 닫혀 있을 필요가 없다(예를 들어, \mathbf{A}^2 \to \mathbf{A}^2, \, (x, y) \mapsto (x, xy) 열려 지도 닫혀 있지도 않다). 그러나 여전히 다음과 같이 말할 수 있다. *f*가 다형체 사이의 사상이면 *f*의 상은 폐포의 열린 조밀 부분 집합을 포함한다. (cf. 구성 가능한 집합 . ) 대수 다형체의 사상 f: X \to Y가 조밀한 상을 가지면 *지배적*이라고 한다. 이러한 *f*에 대해 *V*가 *Y*의 비어 있지 않은 열린 아핀 부분 집합이면 *f(U)\subset V*가 되는 *X*의 비어 있지 않은 열린 아핀 부분 집합 *U*가 있고 다음 f^{\\#}: k[V] \to k[U] 단사이다. 따라서 지배적 사상 *f는* 함수 체 수준에서 단사를 유도한다. : k(Y) = \varinjlim k[V] \hookrightarrow k(X), \, g \mapsto g \circ f 여기서 제한은 *Y*의 비어 있지 않은 모든 열린 아핀 부분 집합에 대해 실행된다. (보다 추상적으로, 이것은 *Y*의 일반점의 잉여류체에서 *X*의 점으로 유도된 사상이다.) 반대로, 체의 모든 포함 사상 k(Y) \hookrightarrow k(X)은 *X*에서 *Y*로의 우세한 유리 사상에 의해 유도된다.Vakil, Foundations of algebraic geometry, Proposition 6.5.7. 따라서, 위의 구성은 체 *k*에 대한 대수 다형체의 범주와 그들 사이의 지배적 유리적 사상과 *k*의 유한하게 생성된 체 확대의 범주 사이의 반변 동치 관계를 결정한다. 1997 *X*가 매끄러운 완비 곡선(예: **P**1 )이고 *f가* *X*에서 사영 공간 *\mathbb P^m*로 가는 유리 사상인 경우 *f*는 정규 사상 *X\rightarrow\mathbb P^m*이다. 1997 특히, *X*가 매끄러운 완비 곡선일 때, *X*에 대한 임의의 유리 함수는 사상 *X\rightarrow\mathbb P^1*으로 볼 수 있고, 반대로 *X*에 대한 유리 함수와 같은 사상으로 볼 수 있다. 정규 다형체 (특히 매끄러운 다형체)에서 유리 함수는 공동 차원 1의 극점이 없는 경우에만 규칙적이다. Proof: it's enough to consider the case when the variety is affine and then use the fact that a Noetherian integrally closed domain is the intersection of all the localizations at height-one prime ideals. 이것은 하르톡스의 확장 정리의 대수적 유사체이다. 이 사실에 대한 상대적 버전도 있다. 참조하라. 기저 위상 공간 사이의 위상 동형 사상인 대수 다형체 사이의 사상은 동형 사상일 필요가 없다(프로베니우스 사상 t \mapsto t^p가 반례) 반면에, *f*가 전단사 쌍합이고 *f*의 대상 공간이 정규 다형체이면 *f*는 쌍정형이다. (cf. 자리스키의 주요 정리.) 복소 대수 다형체 사이의 정규 사상은 정칙 사상이다. (실제로 약간의 기술적 차이가 있다. 정규 사상은 특이점을 제거할 수 있는 유리형 사상이지만 실제로는 구별이 일반적으로 무시된다.) 특히, 복소수에 대한 정규 사상은 일반적인 정칙 함수일 뿐이다.
# 사영 공간에 대한 사상
사상 : f: X \to \mathbf{P}^m 이 사영 다형체에서 사영 공간으로의 사상이고, *x*가 *X*의 점이라고 하자. 그런 다음 *f(x)*의 *i* 번째 동차 좌표는 0이 아니다. 단순화를 위해 *i* = 0이라고 말한다. 그러면 연속성에 의해 다음과 같은 *x*의 열린 아핀 이웃 *U*가 있다. : f: U \to \mathbf{P}^m - \\{ y_0 = 0 \\} 는 사상이며, 여기서 *y_i*는 동차 좌표이다. 대상 공간은 (a_0 : \dots : a_m) = (1 : a_1 / a_0 : \dots : a_m / a_0) \sim (a_1 / a_0, \dots, a_m / a_0)을 통해 아핀 공간 ***\mathbb A^m***임을 참고하라. 따라서 정의에 따라 제한 *f|_U*는 : f|_U(x) = (g_1(x), \dots, g_m(x)) 로 주어진다. 여기서 *g_i*는 *U*의 정규 함수이다. *X*는 사영이기 때문에 각 *g_i*는 *X*의 동차 좌표 환 *k[X*에서 같은 차수의 동차 원소의 비율이다. 우리는 모든 분수가 동일한 동차 분모 *f_0*를 갖도록 분수를 배열할 수 있다. 그러면 *k[X]*의 어떤 동차 원소 *f_i*에 대해 *g_i=f_i/f_0*을 쓸 수 있다. 따라서 동차 좌표로 돌아가서, *U*의 모든 *x*에 대해, *f_i*가 *x*에서 모두 영이 아니면 *X*의 모든 *x*에 대한 연속성에 의해 : f(x) = (f_0(x) : f_1(x) : \dots : f_m(x)) *X*의 점 *x*에서 모두 영이면 위의 절차에 따라 *x*에서 모두 영은 아닌 *f_i*들의 집합을 선택할 수 있다. 사실, 위의 설명은 사영 다형체 \overline{X}의 열린 부분 다형체인 모든 준사영 다형체 *X*에 유효하다. 차이점은 *f_i*가\overline{X}의 동차 좌표 환에 있다는 것이다. **참고** : 위에서는 사영 다형체에서 사영 공간으로의 사상이 단일 다항식 집합에 의해 제공된다고 말하지 않다(아핀인 경우와 달리). 예를 들어, *X*를 *\mathbb P^2*에서 원뿔곡선 y^2 = xz이라고 하자. 그러면 두 개의 사상 (x : y : z) \mapsto (x : y) 그리고 (x : y : z) \mapsto (y : z) 은 *X*의 열린 부분 집합 \\{ (x : y : z) \in X \mid x \ne 0, z \ne 0 \\}에서 같다. (왜냐하면 (x : y) = (xy : y^2) = (xy: xz) = (y : z) ) 그래서 사상 f: X \to \mathbb{P}^1를 정의한다.
# 사상의 올
다음 정리들은 중요하다:loc=Ch. I, § 8. Theorems 2, 3. **정리.** f: X \to Y가 다형체들의 지배 사상이고 r = \dim X- \dim Y라 하자. 그러면 # 모든 닫힌 기약 부분 집합 W\subset Y과 W 지배적인 f^{-1}(W)의 모든 기약 성분 Z에 대해\dim Z \ge \dim W + r # U\subset f(X), U와 교차하는 모든 닫힌 기약 부분 집합 W\subset Y, f^{-1}(U)와 교차하는 f^{-1}(W)의 모든 기약 성분 Z에 대해 \dim Z = \dim W + r인 공집합이 아닌 U\subset Y가 존재한다. **따름 정리.** f: X \to Y가 다형체들의 사상이고 *X*의 각 점 *x*에 대해,e(x) = \max \\{ \dim Z \mid Z \text{ an irreducible component of } f^{-1}(f(x)) \text{ containing } x \\}.라 하자. 그러면 *e는* 위쪽 준연속 함수이다. 각 정수 *n*에 대해, 집합 : X_n = \\{ x \in X \mid e(x) \ge n \\} 는 닫힌 집합이다. 멈포드의 빨간 책에서 정리는 뇌터 정규화 보조정리를 통해 증명된다. 한편, 일반 자유도가 중요한 역할을 하고 " 보편 현수환"의 개념이 증명의 핵심인 대수적 접근에 대해서는 Eisenbud, Ch. 14 of "Commutative algebra with a view toward algebraic geometry."참조하라. 사실, 거기에 있는 증명은 *f*가 평탄하면 정리 2의 차원 등식이 일반적으로 유지됨을 보여준다(generically만이 아님).
# 유한 사상의 차수
f: X \to Y를 체 *k*에 대한 대수 다형체 사이의 유한 전사적 사상라고 한다. 그러면 정의에 따라 *f*의 차수는 *f^*k(Y)*에 대한 함수 체 *k(X)*의 유한 체 확대의 차수이다. 일반 자유도에 의해, 구조 층 *\mathcal O_X의* *f^{-1}(U)*로의 제한이 *\mathcal O_Y|_U*-가군으로서 자유 가군이 되는 공집합이 아닌 열린 부분 집합 U\subset Y가 존재한다. *f*의 차수는 이 자유 가군의 랭크이다. *f*가 에탈이고 *X,Y*가 완비이면 *Y*의 연접층 *F*에 대해 오일러 특성을 *\chi*라 쓰면, : \chi(f^* F) = \deg(f) \chi (F).1998 (분지된 덮개에 대한 리만-후르비츠 공식은 여기서 "에탈"이 생략될 수 없음을 보여준다. ) 일반적으로 *f*가 유한한 전사이고 *X,Y*가 완비이고 *F*가 *Y위의 연접층*인 경우 르레 스펙트럼 열 \operatorname{H}^p(Y, R^q f_* f^* F) \Rightarrow \operatorname{H}^{p+q}(X, f^* F)에서, 다음을 얻는다. : \chi(f^* F) = \sum_{q=0}^{\infty} (-1)^{q} \chi(R^q f_* f^* F). 특히, *F*가 선다발들의 텐서 거듭제곱 L^{\otimes n}이면 R^q f_*(f^* F) = R^q f_* \mathcal{O}_X \otimes L^{\otimes n}이고, *q*가 양수이면 R^q f_* \mathcal{O}_X의 지지가 양의 여차원을 가지므로, 선행 항을 비교하면 : \operatorname{deg}(f^* L) = \operatorname{deg}(f) \operatorname{deg}(L) (f_* \mathcal{O}_X의 일반적 랭크는 *f*의 차수이다. ) *f*가 에탈이고 *k*가 대수적으로 닫힌 경우 각 기하 올 *f^{-1}(y)*는 정확히 deg( *f* ) 점들로 구성된다.