감마 함수의 역수

Machine translation 날짜=2024-01-02 Γ(*x*)의 그래프 Γ(*z*)의 그래프. 수학에서 **감마 함수의 역수**는 감마 함수 Γ(*z*)에 역수를 취한 함수이다. : f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)}, 감마 함수는 복소 평면 전체에서 유리형 함수이고 영점이 없으므로 그 역수는 전해석 함수이다. 이 함수는 감마 함수를 수치 근사하는 데에 사용되며 일부 소프트웨어 라이브러리에서는 이를 일반 감마 함수와 별도로 제공한다. 카를 바이어슈트라스는 이 함수를 "factorielle"이라고 부르고 이를 바이어슈트라스의 곱 정리에 사용했다.
# 무한곱 전개
감마 함수의 무한곱꼴 정의에서 다음과 같이 유도된다. 모든 복소수 *z*에서 성립하며, *γ*는 오일러-마스케로니 상수이다. : \begin{align} \frac{1}{\Gamma(z)} &= z \prod_{n=1}^\infty \frac{1+\frac{z}{n{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z} \\\ \frac{1}{\Gamma(z)} &= z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n \end{align}
# 테일러 급수
1=*z*=0에서의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.확인날짜=2021-06-15 : \frac{1}{\ \Gamma(z)\ } = z + \gamma\ z^2 + \left(\frac{\gamma^2}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right)\ z^3 + \left(\frac{\gamma^3}{6} - \frac{\gamma\pi^2}{12} + \frac{\zeta(3)}{3}\ \right)z^4 + \cdots\ 여기서 *γ* 는 오일러-마스케로니 상수이다. *n* > 2일 때 *z**'n* 항의 계수 *a**'n*은 다음 점화식이나 적분으로 계산할 수 있다.doi=10.1090/S0025-5718-1968-0237078-4 and

doi=10.1090/S0025-5718-1973-0319344-9웹사이트=HAL archives *ζ* 는 리만 제타 함수이다. 적분꼴은 2014년에 Fekih-Ahmed이 발견했다. : a_n = \frac{\ {a_2\ a_{n-1} + \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^{j+1}\ \zeta(j)\ a_{n-j\ }{n-1} = \frac{\ \gamma\ a_{n-1} - \zeta(2)\ a_{n-2} + \zeta(3)\ a_{n-3}-\cdots\ }{n-1} : a_n = \frac{(-1)^n}{\pi n!}\int_0^\infty e^{-t}\ \operatorname{Im}\Bigl[\ \bigl( \log(t)-i\pi \bigr)^n\ \Bigr]\ \mathrm{d} t ~. 처음 30개의 항의 값은 다음과 같다. {| class="wikitable collapsible collapsed" !*n* !*a**n* |- |1 | +1.0000000000000000000000000000000000000000 |- |2 | +0.5772156649015328606065120900824024310422 |- |3 |−0.6558780715202538810770195151453904812798 |- |4 |−0.0420026350340952355290039348754298187114 |- |5 | +0.1665386113822914895017007951021052357178 |- |6 |−0.0421977345555443367482083012891873913017 |- |7 |−0.0096219715278769735621149216723481989754 |- |8 | +0.0072189432466630995423950103404465727099 |- |9 |−0.0011651675918590651121139710840183886668 |- |10 |−0.0002152416741149509728157299630536478065 |- |11 | +0.0001280502823881161861531986263281643234 |- |12 |−0.0000201348547807882386556893914210218184 |- |13 |−0.0000012504934821426706573453594738330922 |- |14 | +0.0000011330272319816958823741296203307449 |- |15 |−0.0000002056338416977607103450154130020573 |- |16 | +0.0000000061160951044814158178624986828553 |- |17 | +0.0000000050020076444692229300556650480600 |- |18 |−0.0000000011812745704870201445881265654365 |- |19 | +0.0000000001043426711691100510491540332312 |- |20 | +0.0000000000077822634399050712540499373114 |- |21 |−0.0000000000036968056186422057081878158781 |- |22 | +0.0000000000005100370287454475979015481323 |- |23 |−0.0000000000000205832605356650678322242954 |- |24 |−0.0000000000000053481225394230179823700173 |- |25 | +0.0000000000000012267786282382607901588938 |- |26 |−0.0000000000000001181259301697458769513765 |- |27 | +0.0000000000000000011866922547516003325798 |- |28 | +0.0000000000000000014123806553180317815558 |- |29 |−0.0000000000000000002298745684435370206592 |- |30 | +0.0000000000000000000171440632192733743338 |} a_n의 근사공식은 다음과 같다. : a_n \approx \frac{(-1)^n}{\ (n-1)!\ } \ \sqrt{ \frac{2}{\ \pi n \ }\ }\ \operatorname{Im} \left( \frac{\ z_0^{\left( 1/2 - n \right)}\ e^{-n z_0}\ }{\sqrt{ 1 + z_0\ \right)\ , 여기서 z_0 = -\frac{1}{n} \exp\\!\Bigl( W_{-1}(-n) \Bigr)\ , W_{-1} 는 람베르트 W 함수의 -1번째 분지이다.
# 이상적분
양의 실수축 위에서의 이상적분 값은 다음과 같으며, 이를 프랑세즈-로빈슨 상수라고 한다. : \int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx \approx 2.80777024 또한 다음과 같은 공식이 알려져 있다.issn=0072-5285 : \int_0^\infty \dfrac{a^x}{\Gamma(x)}\,dx=ae^a+a\int_0^\infty\dfrac{e^{-ax{\log^2(x)+\pi^2}\,dx
# 참고자
25em 위키데이터 속성 추적 분류:해석 함수 분류:감마 함수 및 관련 함수