자기 동형탑

군론에서, 어떤 군의 **자기 동형탑**(自己同型塔, automorphism tower)은 자기 동형군을 반복적으로 취하여 만들어지는 군의 열이다.
# 정의
군 G의 **자기 동형탑** (\operatorname{Aut}^\alpha(G),\phi_{\alpha\beta})은 다음과 같은 데이터들의 튜플이다. * 순서수 \alpha에 대하여, 군 \operatorname{Aut}^\alpha(G) * \alpha\le\beta인 순서수 \alpha,\beta에 대하여, 군 준동형 \phi_{\alpha\beta}\colon\operatorname{Aut}^\alpha(G)\to\operatorname{Aut}^\beta(G). 또한, \alpha=\beta인 경우, \phi_{\alpha\alpha}는 항등 함수이다. 이는 초한 재귀를 통해 다음과 같이 정의된다. * \operatorname{Aut}^0(G)=G * 따름 순서수 \alpha+1에 대하여, ** \operatorname{Aut}^{\alpha+1}(G)=\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}^\alpha(G))는 \operatorname{Aut}^\alpha(G)의 자기 동형군이다. ** \phi_{\alpha,\alpha+1}\colon\operatorname{Aut}^\alpha(G)\to\operatorname{Aut}^{\alpha+1}(G)는 임의의 g\in\operatorname{Aut}^\alpha(G)를 그에 대응하는 내부 자기 동형 \phi_{\alpha,\alpha+1}(g)\colon h\mapsto ghg^{-1}으로 보내는 자연스러운 군 준동형이다. * 극한 순서수 \alpha에 대하여, (\operatorname{Aut}^\alpha(G),(\phi_{\beta\alpha})_{\beta<\alpha})는 유향 체계 ((\operatorname{Aut}^\beta(G))_{\beta<\alpha},(\phi_{\beta\gamma})_{\beta\le\gamma<\alpha})의 귀납적 극한이다. 군 G의 **자기 동형탑 높이**(automorphism tower height) \tau_{\operatorname{Aut(G)는 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수이다. * \phi_{\tau_{\operatorname{Aut(G),\tau_{\operatorname{Aut(G)+1}는 군의 동형이다. 즉, \operatorname{Aut}^{\tau_{\operatorname{Aut(G)}(G)는 완비군이다. 이 경우, 임의의 순서수 \beta\ge\alpha\ge\tau_{\operatorname{Aut(G)에 대하여 \phi_{\alpha\beta}는 군의 동형이다. 즉, \tau_{\operatorname{Aut(G)는 자기 동형탑을 만드는 과정이 멈추는 시점이다.
# 성질

## 무중심군
임의의 군 G에 대하여, 그 내부 자기 동형군은 자기 동형군의 정규 부분군을 이룬다. 만약 G의 중심이 자명군이라면, 그 내부 자기 동형군의 자기 동형군에서의 중심화 부분군은 자명군이다. :\operatorname C_{\operatorname{Aut}(G)}(\operatorname{Inn}(G))=1 특히, 만약 G의 중심이 자명군이라면, \operatorname{Aut}(G)의 중심 역시 자명군이다. 자명한 중심을 갖는 조건은 자연스러운 군 준동형 \phi_{0,1}\colon G\to\operatorname{Aut}(G)이 단사 함수인 조건과 동치이다. 따라서, 자명한 중심을 갖는 군 G의 자기 동형탑 :G\vartriangleleft\operatorname{Aut}(G)\vartriangleleft\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}(G))\vartriangleleft\dotsb\vartriangleleft\operatorname{Aut}^\omega(G)\vartriangleleft\operatorname{Aut}^{\omega+1}(G)\vartriangleleft\dotsb 은 점점 커지는 일련의 (정규) 부분군들의 열이다. 자기 동형탑이 유한·가산 시간 내에 멈출 일부 충분조건은 다음과 같다. * 만약 G가 자명한 중심을 갖는 유한군이라면, \tau_{\operatorname{Aut(G)<\omega이다. * 만약 G가 자명한 중심을 갖는 체르니코프 군(Černikov群, Chernikov group)이라면, \tau_{\operatorname{Aut(G)<\omega이다. * 만약 G가 자명한 중심을 갖는 다순환군(多循環群, polycyclic group)이라면, \tau_{\operatorname{Aut(G)<\omega_1이다. * 만약 G가 자명한 중심을 갖는 유한 생성 군이라면, \tau(G)<\omega_1이다.zbl=0919.2002695, Theorem 1.6 임의의 무한 기수 \kappa가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기 \kappa의 군 G의 자기 동형탑 높이는 (2^\kappa)^+ 미만이며 (여기서, (2^\kappa)^+는 2^\kappa의 따름 기수이다), 이는 선택 공리를 필요로 하지 않는다.arxiv=math/0606216 또한, 임의의 순서수 \alpha<\kappa^+에 대하여, 자기 동형탑 높이가 \alpha인, 크기 \kappa의 자명한 중심을 갖는 군 G가 존재한다. 즉, \kappa에 대하여, \tau_{\operatorname{Aut(\kappa)가 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수라고 하자. * 임의의 크기 \kappa의 자명한 중심을 갖는 군 G에 대하여, \tau_{\operatorname{Aut(G)<\tau_{\operatorname{Aut(\kappa) 그렇다면, 위 결론들에 따라 \kappa^+\le\tau_{\operatorname{Aut(\kappa)\le(2^\kappa)^+이다. 하지만 크기 \kappa의 자명한 중심을 갖는 군은 2^\kappa개이므로, 다음과 같은 더 강한 결론이 성립한다. :\kappa^+\le\tau_{\operatorname{Aut(\kappa)<(2^\kappa)^+ 즉, (2^\kappa)^+는 크기 \kappa의 무중심군의 자기 동형군 높이 \tau_{\operatorname{Aut(G)에 대한 ‘최적의 근사’가 아니다. 반면, 만약 \kappa가 비가산 기수라면, (2^\kappa)^+는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 명제 \tau_{\operatorname{Aut(\kappa)<(2^\kappa)^+를 증명 가능한 최소의 순서수이며, 이는 강제법을 사용하여 보일 수 있다.arxiv=math/0003120245, Theorem 1.4 (이러한 일이 가능한 것은 \tau_{\operatorname{Aut(\kappa)의 값이 모형마다 다를 수 있기 때문이다.)
## 일반적인 군
임의의 군 G에 대하여, \operatorname{Aut}^\alpha(G)의 중심이 자명군인 순서수 \alpha가 존재한다. 특히, 모든 군의 자기 동형탑은 결국 멈춘다.