점과 직선 사이의 거리

**점과 직선 사이의 거리**는 점에서 직선에 이를 수 있는 가장 가까운 거리를 의미한다. 점에서 직선에 수선의 발을 내릴 때, 그 점과 수선의 발을 이은 선분의 길이와도 같다.
# 공식

## 직선의 방정식
직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 1=*ax* + *by* + *c* = 0 이 때 a, b, c는 모두 실수 상수이고 a와 b는 동시에 0이 될 수 없다. 이 직선에서 점 (*x*0, *y*0)까지의 거리는 다음과 같다.loc=p. 4522007p.14 : \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2 이 때 점 (*x*0, *y*0)과 가장 가까운 직선상의 좌표, 즉 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표는 다음과 같다.loc=p. 522 : x = \frac{b(bx_0 - ay_0)-ac}{a^2 + b^2} \text{, } y = \frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a^2+b^2} **수직선과 수평선의 경우** 위에서 a와 b가 동시에 0이 될 수 없다고 했는데, 이 경우 직선이 정의되지 않기 때문이다. 하지만 a나 b 둘 중 하나만 0이 될 수는 있다. a가 0인 경우 직선의 방정식은 *b*이 되어 수평선의 형태를 띈다. 이 때 점 (*x*0, *y*0)로부터의 거리는 단순히 선분의 길이를 재면 되고, 그 결과 !*b*!로 나타난다. 이와 비슷하게 b만 0인 경우에는 직선이 수직선이 되어 점과 직선 사이의 거리는 가 된다.
## 두 점을 지나는 직선에 대해
방정식이 아니라 두 점 1=*P*1 = (*x*1, *y*1)과 1=*P*2 = (*x2*, *y2*)를 지난다고 정의된 직선의 경우를 한 번 살펴보자. 이 경우 점 (*x*0, *y*0)과 직선 사이의 거리는 다음과 같다.archive-url=https://web.archive.org/web/20210227043421/http://geomalgorithms.com/a02-_lines.html : \frac{|(x_2-x_1)(y_1-y_0)-(x_1-x_0)(y_2-y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 여기서 분모는 점 *P*1와 *P*2 사이의 거리를 나타낸다. 분자는 세 점 (*x*0, *y*0), *P*1, *P*2가 이루는 삼각형의 넓이의 2배와도 같다. 밑변의 길이가 b, 높이가 h라고 할 때 삼각형의 넓이가 2 *bh*인 것을 생각해보자. 이 때 점과 직선 사이의 거리는 이 식에서 h를 남기고 나머지를 이항한 *b*과 다름 없다.
# 증명

## 대수적 증명
이 증명은 a와 b가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다. 1=*ax* + *by* + *c* = 0이 나타내는 직선의 기울기는 −*a*/*b*이므로, 그 직선에 수직한 직선의 기울기는 *b*/*a*이다. 이 때 점 (*x*0, *y*0)을 지나고 기울기가 *b*/*a*인 직선이 1=*ax* + *by* + *c* = 0와 만나는 교점을 (*m*, *n*)이라 해보자. 그러면 기울기의 정의에 의해 다음의 식이 성립한다. : \frac{y_0 - n}{x_0 - m}=\frac{b}{a} 따라서 a(y_0 -n) - b(x_0 - m) = 0이고, 양변을 제곱하면 다음의 식을 얻을 수 있다. : a^2(y_0 - n)^2 + b^2(x_0 - m)^2 = 2ab(y_0 - n)(x_0 - m) 이제 다음을 생각해보자. : \begin{align} (a(x_0 - m) + b(y_0 - n))^2 & = a^2(x_0 - m)^2 + 2ab(y_0 -n)(x_0 - m) + b^2(y_0 - n)^2 \\\ & = \left(a^2 + b^2\right) \left((x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2\right) \end{align} 여기에 (*m*, *n*)이 1=*ax* + *by* + *c* = 0 위의 점이기 때문에 다음의 식도 성립한다. : (a(x_0 - m) + b(y_0 - n))^2 = (ax_0 + by_0 - am - bn)^2 = (ax_0 + by_0 + c)^2 즉 이 둘을 연립하면 아래의 식이 나온다. : \left(a^2 + b^2\right) \left((x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2\right) = (ax_0 + by_0 + c)^2 유클리드 거리의 정의에 의해 (*m*, *n*)과 (*x*0, *y*0)의 거리는 다음과 같이 유도된다. : d=\sqrt{(x_0 - m)^2+(y_0 - n)^2} = \frac{|ax_0+ by_0 +c|}{\sqrt{a^2+b^2Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples
## 기하학적 증명
기하학적 증명의 참고그림 이 증명은 a와 b가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다.1952 do not mention this restriction in their article 점 P(*x*0, *y*0)에서 직선 1=*Ax* + *By* + *C* = 0에 내린 수선의 발을 R이라 하자. 또 P에서 y축에 평행한 직선을 내려 직선과 만나는 교점을 S라 하자. 직선에서 임의의 점 T를 잡아 우측 그림과 같이 직각삼각형 ∆TVU를 만들자. 이 때 직선의 기울기는 -A/B로 쓸 수 있다. ∆PRS와 ∆TVU는 1=∠PSR = ∠TUV인고로 세 내각이 모두 같아 서로 닮음이다.If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles. 이에 따라 다음의 공식이 성립한다. : \frac{|\overline{PR}|}{|\overline{PS}|} = \frac{|\overline{TV}|}{|\overline{TU}|} 점 S의 좌표를 (*x*0, *m*)라 할 때 선분 PS, TV, TU의 길이를 고려하면 식은 다음과 같이 쓸 수 있다. : |\overline{PR} | = \frac{|y_0 - m||B|}{\sqrt{A^2 + B^2 이 때 S가 놓여있는 직선의 방정식을 알기 때문에 m은 다음과 같이 쓸 수 있다. : m = \frac{-Ax_0 - C}{B} 따라서 최종적으로 다음의 식을 얻는다.1952 : |\overline{PR}| = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2
## 벡터의 사영을 사용한 증명
벡터의 사영을 이용한 증명의 참고 그림 점 P(*x*0, *y*0)와 직선 1=*ax* + *by* + *c* = 0 사이의 거리를 구하고 싶다고 해보자. 이 때 직선에서 임의의 점 Q(*x*1, *y*1)을 잡고 이를 출발점으로 직선에 수직한 벡터 1=**n**=(a, b)을 잡는다. 점 P와 직선 사이의 거리는 \overrightarrow{QP}를 1=**n**=(a, b)에 정사영한 길이와 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다. : d = \frac{|\overrightarrow{QP} \cdot \mathbf{n}|}{\| \mathbf{n}\|} \overrightarrow{QP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1)이므로 \overrightarrow{QP} \cdot \mathbf{n} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)이다. \| \mathbf{n} \| = \sqrt{a^2 + b^2}이므로 식은 다음과 같이 정리할 수 있다. : d = \frac{|a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)|}{\sqrt{a^2 + b^2 이 때 Q(*x*1, *y*1)가 놓인 직선의 방정식을 알기 때문에 식은 최종적으로 다음과 같다.loc=pp. 138-9 : d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2.
# 읽을 거리
* 전거 통제 위키데이터 속성 추적 분류:수학 용어 분류:유클리드 기하학 분류:거리