부호 측도

조르당 표준형 측도론에서 **부호 측도**(符號測度, signed measure)는 측도를 음의 값을 취할 수 있도록 일반화한 개념이다.zbl=1125.60001
# 정의
가측 공간 (X,\Sigma) 위의 **부호 측도**는 다음 조건들을 만족시키는 함수 \mu\colon\Sigma\to\bar\mathbb R이다. * (가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합들의 족 \mathcal A\subset\Sigma (|\mathcal A|\le\aleph_0)에 대하여, \textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal A\right)=\sum_{A\in\mathcal A}\mu(A) ** 특히, 이는 \mu(\varnothing)=0을 함의한다. ** 특히, 부호 측도는 양과 음의 무한대 값을 동시에 가질 수 없다. 증명 가산 가법성에서 \mathcal A=\varnothing을 취하면 \mu(\varnothing)=0을 얻는다. 만약 :\mu(A)=\infty :\mu(B)=-\infty 인 두 가측 집합 A,B\in\Sigma가 존재한다면, :\infty=\mu(A)+\mu(B\setminus A)=\mu(A\cup B)=\mu(B)+\mu(A\setminus B)=-\infty 이며, 이는 모순이다. 증명 끝
# 성질

## 한 분해와 조르당 분해
가측 공간 (X,\Sigma) 위의 부호 측도 \mu에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 X의 두 가측 집합 X^+,X^-\in\Sigma가 존재하며, 이를 \mu의 **한 분해**(-分解, Hahn decomposition)라고 한다. :X^+\cap X^-=\varnothing :X=X^+\cup X^- :\mu(A\cap X^-)\le 0\le\mu(A\cap X^+)\qquad\forall A\in\Sigma 한 분해는 일반적으로 유일하지 않지만, \mu의 두 한 분해 (X^+_1,X^-_1), (X^+_2,X^-_2)에 대하여, 항상 다음이 성립한다. :\mu(A\cap(X^+_1\bigtriangleup X^+_2))=\mu(A\cap(X^-_1\bigtriangleup X^-_2))=0\qquad\forall A\in\Sigma 여기서 \bigtriangleup은 대칭차이다. 가측 공간 (X,\Sigma) 위의 부호 측도 \mu에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, (X,\Sigma) 위의 특이 측도 \mu^+, \mu^-가 유일하게 존재하며, 이를 \mu의 **조르당 분해**(-分解, Jordan decomposition)라고 한다. :\mu=\mu^+-\mu^- 만약 특이 조건을 없앨 경우 이러한 분해는 유일하지 않다. 조르당 분해는 두 측도의 차로의 분해 가운데 ‘최소’이다. 즉, \mu=\nu-\lambda를 만족시키는 두 측도 \nu, \lambda에 대하여, 항상 :\mu^+\le\nu :\mu^-\le\lambda 이다. 조르당 분해는 구체적으로 다음과 같다. :\mu^+(A) =\mu(A\cap X^+) =\sup_\scriptstyle B\in\Sigma\atop\scriptstyle B\subseteq A\mu(B) :\mu^-(A) =\mu(A\cap X^-) =\sup_\scriptstyle B\in\Sigma\atop\scriptstyle B\subseteq A(-\mu(B)) \qquad\forall A\in\Sigma
## 전변동
가측 공간 (X,\Sigma) 속의 가측 집합 A\in\Sigma에 대하여, \operatorname{Part}(A)가 A의 가산 가측 분할들의 집합이라고 하자. 가측 공간 (X,\Sigma) 위의 부호 측도 \mu의 **전변동 측도**(全變動測度, total variation measure) |\mu|는 다음과 같다. :|\mu|(A) =\mu^+(A)+\mu^-(A) =\sup_{\mathcal P\in\operatorname{Part}(A)}\sum_{P\in\mathcal P}|\mu(P)| \qquad\forall A\in\Sigma 가측 공간 (X,\Sigma) 위의 부호 측도 \mu의 **전변동 노름**(全變動-, total variation norm)은 다음과 같다. :\|\mu\|=|\mu|(X)
## 시그마 유한 부호 측도와 유한 부호 측도
**시그마 유한 부호 측도**(-有限符號測度, sigma-finite signed measure)는 전변동 측도가 시그마 유한 측도인 부호 측도이다. **유한 부호 측도**(有限符號測度, finite signed measure)는 전변동 측도가 유한 측도인 부호 측도이다. 즉, 전변동 노름이 유한한 부호 측도이다. 측도와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 측도에 대한 모든 절대 연속 부호 측도는 라돈-니코딤 도함수를 갖는다. 특히, 모든 시그마 유한 부호 측도는 전변동 측도에 대한 라돈-니코딤 도함수 \mathrm d\mu/\mathrm d|\mu|를 가지며, 이는 |\mu|-거의 어디서나 유한하므로 유한한 값의 함수로 취할 수 있다. 유한 부호 측도는 \mathrm d\mu/\mathrm d|\mu|가 적분 가능한 조건과 동치이다. 시그마 유한 부호 측도 \mu에 대하여, :X^+=\left\\{x\in X\colon\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d|\mu|}\ge 0\right\\} :X^-=\left\\{x\in X\colon\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d|\mu|}<0\right\\} 은 \mu의 한 분해를 이루며, \mu의 조르당 분해는 :\mu^+=\int_X\max\left\\{\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d|\mu|},0\right\\}\mathrm d|\mu| :\mu^+=\int_X\max\left\\{-\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d|\mu|},0\right\\}\mathrm d|\mu| 이다. 측도와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 부호 측도에 대하여, 모든 시그마 유한 부호 측도는 르베그 분해를 갖는다. 가측 공간 (X,\Sigma) 위의 유한 부호 측도의 집합은 자연스럽게 실수 벡터 공간을 이루며, 전변동 노름을 갖췄을 때 실수 바나흐 공간을 이룬다.124, Proposition 4.2.6 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 유계 변동 함수이다. * 어떤 (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) 위의 유한 부호 측도 \mu에 대하여 f\colon x\mapsto\mu([a,x]) (x\in[a,b]) 꼴로 나타낼 수 있다.