가산 생성 공간

일반위상수학에서 **가산 생성 공간**(可算生成空間, countably generated space) 또는 **가산 밀착 공간**(可算密着空間, countably tight space)은 그 위상이 가산 부분 공간들에 의하여 결정되는 위상 공간이다. 이와 동치인 정의로서, 부분 집합의 폐포점이 항상 그 가산 부분 집합의 폐포점일 정도로 ‘지나치게 촘촘하지 않은’ 위상 공간이다.
# 정의

## 국소 가산 공간
위상 공간 X 및 점 x\in X에 대하여, \operatorname{loc\,card}(x,X)가 x의 근방의 최소 크기라고 하자. :\operatorname{loc\,card}(x,X)=\min_{U\in\mathcal N_x}|U| 위상 공간 X의 **국소 크기**(局所크기, local cardinality) \operatorname{loc\,card}(X)는 모든 \operatorname{loc\,card}(x,X)들의 상한이다.jstor=2042162148 :\operatorname{loc\,card}(X)=\sup_{x\in X}\operatorname{loc\,card}(x,X) 국소 크기가 \aleph_0 이하인 위상 공간을 **국소 가산 공간**이라고 한다. 즉, 국소 가산 공간은 모든 점이 가산 근방을 갖는 위상 공간이다.149
## 가산 생성 공간
위상 공간 X 및 부분 집합 A\subseteq X 및 x\in\operatorname{cl}A에 대하여, :\operatorname{tight}(x,A,X)=\min_{B\subseteq A}^{x\in\operatorname{cl}B}|B| 라고 하자. 위상 공간 X의 점 x\in X에서의 **국소 밀착도**(局所密着度, local tightness) \operatorname{tight}(x,X)는 다음과 같다.zbl=0318.5400162, §XI.A :\operatorname{tight}(x,X)=\sup_{A\subseteq X}^{x\in\operatorname{cl}A}\operatorname{tight}(x,A,X) 위상 공간 X의 **밀착도**(密着度, tightness) \operatorname{tight}(X)는 국소 밀착도들의 상한이다.62, §XI.A13, §1.2 :\operatorname{tight}(X)=\sup_{x\in X}\operatorname{tight}(x,X) 위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X를 **가산 생성 공간**이라고 한다. * 밀착도가 \aleph_0 이하이다.657 즉, 임의의 A\subseteq X 및 x\in\operatorname{cl}A에 대하여, x\in\operatorname{cl}B인 가산 부분 집합 B\subseteq A가 존재한다. * 임의의 U\subseteq X에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 A\subseteq X에 대하여 U\cap A가 A의 열린집합이라면, U는 열린집합이다. * 임의의 F\subseteq X에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 A\subseteq X에 대하여 F\cap A가 A의 닫힌집합이라면, F는 닫힌집합이다. * 국소 가산 공간의 몫공간이다.zbl=0296.54024657
# 성질
모든 점렬 공간은 가산 생성 공간이자 콤팩트 생성 공간이다. 모든 국소 가산 공간은 가산 생성 공간이다. 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 항상 점렬 공간인지 여부는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 구체적으로, 만약 고유 강제법 공리가 참이라면, 모든 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간은 점렬 공간이다.jstor=2046929755 반면 만약 다이아몬드 원리가 참이라면, 점렬 공간이 아닌 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.755 가산 생성 공간의 범주는 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다.
## 연산에 대한 닫힘
가산 생성 공간은 부분 공간과 몫공간에 대하여 닫혀 있지만, 연속 함수에 대한 상이나 곱공간에 대하여 닫혀 있지는 않다.
### 부분 공간
임의의 위상 공간 X 및 그 부분 공간 Y\subset X에 대하여, :\operatorname{tight}(Y)\le\operatorname{tight}(X) 이다.19, Problem 159 특히, 가산 생성 공간의 부분 공간은 항상 가산 생성 공간이다.
### 몫공간
임의의 위상 공간 X 및 그 몫공간 X/\mathord\sim에 대하여, :\operatorname{tight}(X/\mathord\sim)\le\operatorname{tight}(X) 이다.20, Problem 162 특히, 가산 생성 공간의 몫공간은 항상 가산 생성 공간이다.
### 연속 함수에 대한 상
가산 생성 공간의 연속적 상은 가산 생성 공간이 아닐 수 있다.19, Problem 158 예를 들어, 이산 공간의 밀착도는 1이므로 가산 생성 공간이며, 비(非)린델뢰프 공간의 연속 함수 공간 위에 점별 수렴 위상을 부여하여 만든 공간은 비가산 생성 공간이다. 후자는 그 위상을 이산 위상으로 대체한 공간의 연속적 상이다.
### 곱공간
임의의 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 (X_i)_{i\in I}의 곱공간의 밀착도는 다음과 같다.zbl=0706.0600986, Theorem 10.6 :\operatorname{tight}\left(\prod_{i\in I}X_i\right)=\max\left\\{|\\{i\in I\colon|X_i|\ge 2\\}|,\sup_{i\in I}\operatorname{tight}(X_i)\right\\} 특히, 가산 개의 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 가산 생성 공간이다.
## 콤팩트 공간
기수 \kappa가 주어졌을 때, 위상 공간 X 위의 길이 \kappa의 **자유 점렬**(free sequence)은 다음 조건을 만족시키는 그물 (x_\alpha\colon\alpha<\kappa)\subset X이다. :\operatorname{cl}\\{x_\alpha\colon\alpha<\beta\\}\cap\operatorname{cl}\\{x_\alpha\colon\beta\le\alpha<\kappa\\}=\varnothing\qquad(\forall\beta<\kappa) 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 밀착도는 그 위의 자유 점렬들의 길이들의 상한과 같다.36, Theorem 2.10lccn=201192353738, Problem 328
# 예

## 점렬 공간이 아닌 가산 생성 공간
집합 \mathbb Q\cap[0,1] 위에 다음 집합들을 열린집합으로 하는 위상을 주자. * 통상적인 열린집합 U\subseteq\mathbb Q\cap[0,1] * 통상적인 0의 열린 근방 U\ni 0과, 통상적인 위상에서 0으로 수렴하는, 0이 아닌 수열 (x_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb Q\cap(0,1]에 대하여, U\setminus\\{x_0,x_1,x_2,\dots\\} 이는 (가산 공간이므로) 가산 생성 공간이지만, 점렬 공간이 아니다.zbl=1093.5500162, Excercise 2.10.7 구체적으로, \\{0\\}은 점렬 열린집합이지만, 열린집합이 아니다.
## 함수 공간
티호노프 공간 X가 주어졌을 때, 점별 수렴 위상을 부여한 연속 함수 공간 \mathcal C_{\operatorname{pw(X,\mathbb R)의 밀착도는 다음과 같다.18, Problem 149 :\operatorname{tight}(\mathcal C_{\operatorname{pw(X,\mathbb R))=\sup_{n\in\mathbb N}L(X^n) 여기서 L은 린델뢰프 수이다. 특히, 티호노프 공간 X에 대하여, \mathcal C_{\operatorname{pw(X,\mathbb R)가 가산 생성 공간인 것은 임의의 유한 번 곱공간 X^n이 린델뢰프 공간인 것과 동치이다.