적분의 점화식

적분 미적분학에서 **적분의 점화식**은 점화식의 형태로 된 적분 공식이다. 주로 초등함수의 거듭제곱, 초월함수와 n차다항식의 곱의 형태 같은 정수 매개변수를 포함하는 수식을 직접 적분하기 어려울 때 쓰인다. 이러한 점화식과 다른 적분법을 이용하면 피적분함수를 정수 매개변수의 값이 더 작은 동일하거나 유사한 형태의 식으로 바꾸어 쉽게 적분이 가능하도록 단순화 할 수 있다.Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, 이 방식은 가장 초기에 사용된 적분법 중 하나이다.
# 적분의 점화식을 유도하는 원리
적분의 점화식은 치환 적분, 부분 적분, 삼각 치환, 부분 분수에 의한 적분 등과 같은 일반적인 적분법을 이용하여 유도할 수 있다. 핵심은 정수 매개 변수를 이용하여 나타낼 수 있는 함수 I_n (예 : 거듭 제곱)를 더 낮은 값의 매개 변수(더 낮은 거듭 제곱)를 포함하는 함수(예 : I_{n-1} 또는 I_{n-2} )에 대하여 나타내는 것이다. 즉 원래의 적분을 점화식의 형태로 나타내는 것이다. 결론적으로 적분의 점화식은 다음과 같이 적분 I_n =\int f(x,n) \,\text{d}x, 을 k인 정수 k 에 대하여 : I_k = \int f(x,k) \,\text{d}x, 의 형태로 나타내는 것이다. :
# 적분의 점화식을 이용한 함수의 적분
점화식을 이용하여 함수를 적분하기 위해서 I_n 의 적분을 점화식을 사용하여 I_{n-1} 또는 I_{n-2} 에 대한 적분으로 나타내야 한다. I_n 이 쉽게 적분될 때까지 (주로 n=1 또는 n=0일 때까지) 점화식을 반복적으로 사용하여, 결과를 적분하고, 다시 대입하여 I_n 을 계산한다.Further Elementary Analysis, R.I. Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978,
## 예시
아래는 점화식을 이용한 적분 과정의 예시이다. **코사인함수의 적분** 일반적으로 : \int \cos^n x \,\text{d}x, \,\\! 와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다. *n* = 1, 2 ... 30인 경우의\int \cos^n (x) \,\text{d}x\\! : I_n = \int \cos^n x\,\text{d}x . \,\\! 라고 하자. : I_n = \int \cos^ {n-1} x \cos x \,\text{d}x, \,\\! : \cos x \,\text{d}x = \text{d} ( \sin x) , \,\\! 라고 치환하면 : I_n = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x) . \\! 부분 적분을 이용하면 : \begin{align} \int \cos^n x \,\text{d}x & = \cos^{n-1} x \sin x - \int \sin x \,\text{d}(\cos^{n-1} x) \\\ & = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \sin x \cos^{n-2} x\sin x \,\text{d}x\\\ & = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \,\text{d}x\\\ & = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1-\cos^2 x )\,\text{d}x\\\ & = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x - (n-1)\int \cos^n x \,\text{d}x\\\ & = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n , \end{align} \, : I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} x \sin x\ + \ (n-1) I_{n-2}, \, : n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin x\ + (n-1) I_{n-2}, \, : I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2}, \, 따라서 적분의 점화식은 다음과 같다. : \int \cos^n x \,\text{d}x\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x . \\! 이 예시를 보충하기 위해 *n* = 5를 대입해 보면. : I_5 = \int \cos^5 x \,\text{d}x . \,\\! n=5, n=3을 대입하면 : n=5, \quad I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \tfrac{4}{5} I_3, \, : n=3, \quad I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3} I_1, \, 결과를 대입하면 : \because I_1\ = \int \cos x \,\text{d}x = \sin x + C_1,\, : \therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3}\sin x + C_2, \quad C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1,\, : I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \sin x\right] + C,\, 여기서 *C*는 적분상수이다. **지수함수의 적분** 또 다른 전형적인 예는 다음과 같다. : \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\\! : I_n = \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\\! 라고 하자. 치환 적분을 하면 : x^n \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( x^{n+1})}{n+1} , \,\\! 로 치환하면 : I_n = \frac{1}{n+1} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) , \\! 부분 적분을 하면 : \begin{align} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) & = x^{n+1}e^{ax} - \int x^{n+1} \,\text{d}(e^{ax}) \\\ & = x^{n+1}e^{ax} - a \int x^{n+1} e^{ax}\,\text{d}x , \end{align} \\! : (n+1) I_n = x^{n+1}e^{ax} - a I_{n+1} , \\! *n + 1* → *n*, *n* → *n* – 1으로 바꾸면 : n I_{n-1} = x^ne^{ax} - a I_n , \\! : I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ) , \,\\! 따라서 적분의 점화식은 다음과 같다. : \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \\! e^{ax}를 치환하여 이 공식을 유도하는 다른 방법도 있다. e^{ax} \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( e^{ax})}{a} , \,\\! I_n = \frac{1}{a} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) , \\! \begin{align} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) & = x^{n}e^{ax} - \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n}) \\\ & = x^{n}e^{ax} - n \int e^{ax} x^{n-1}\,\text{d}x , \end{align} \\! 결과를 다시 대입하면 점화식을 구할 수 있다. I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ), \,\\! 즉 : \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \\!
# 적분의 점화식의 표

## 유리함수
다음의 적분http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list 은 아래를 포함한다: * 선형 라디칼 \sqrt{ax+b}\,\\! * 선형 인수 {px+q}\,\\! 또는 선형 라디칼 \sqrt{ax+b}\,\\! * 이차식 x^2+a^2\,\\! * 이차식 x^2-a^2\,\\! (x>a\,\\!) * 이차식 a^2-x^2\,\\! (x) * (기약 다항식) ax^2+bx+c\,\\! * 기약 다항식\sqrt{ax^2+bx+c}\,\\!의 라디칼 {| class="wikitable" !적분 !적분의 점화식 |- |I_n = \int \frac{x^n}{\sqrt{ax+b \,\text{d}x\,\\! |I_n = \frac{2x^n\sqrt{ax+b{a(2n+1)} - \frac{2nb}{a(2n+1)} I_{n-1}\,\\! |- |I_n = \int \frac{\text{d}x}{x^n\sqrt{ax+b\,\\! |I_n = -\frac{\sqrt{ax+b{(n-1)bx^{n-1-\frac{a(2n-3)}{2b(n-1)}I_{n-1}\,\\! |- |I_n = \int x^n\sqrt{ax+b}\,\text{d}x\,\\! |I_n = \frac{2x^n\sqrt{(ax+b)^3{a(2n+3)}-\frac{2nb}{a(2n+3)}I_{n-1}\,\\! |- |I_{m,n} = \int \frac{\text{d}x}{(ax+b)^m(px+q)^n}\,\\! |I_{m,n} = \begin{cases} -\frac{1}{(n-1)(bp-aq)} \left [ \frac{1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1+a(m+n-2)I_{m,n-1} \right ] \\\ \frac{1}{(m-1)(bp-aq)} \left [ \frac{1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1+p(m+n-2)I_{m-1,n} \right ] \end{cases}\,\\! |- |I_{m,n} = \int \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^n} \,\text{d}x\,\\! |I_{m,n} = \begin{cases} -\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}\left [ \frac{(ax+b)^{m+1{(px+q)^{n-1+a(n-m-2)I_{m,n-1} \right ] \\\ -\frac{1}{(n-m-1)p}\left [ \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1+m(bp-aq)I_{m-1,n} \right ] \\\ -\frac{1}{(n-1)p}\left [ \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1-amI_{m-1,n-1} \right ] \end{cases}\,\\! |} {| class="wikitable" ! 적분 ! 적분의 점화식 |- | I_n=\int \frac{(px+q)^n}{\sqrt{ax+b \,\text{d}x\,\\! | \int (px+q)^n\sqrt{ax+b} \,\text{d}x = \frac{2(px+q)^{n+1}\sqrt{ax+b{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}I_n\,\\! I_n=\frac{2(px+q)^n\sqrt{ax+b{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}I_{n-1}\,\\! |- | I_n=\int \frac{\text{d}x}{(px+q)^n\sqrt{ax+b\,\\! | \int \frac{\sqrt{ax+b{(px+q)^n}\,\text{d}x = -\frac{\sqrt{ax+b{p(n-1)(px+q)^{n-1+\frac{a}{2p(n-1)}I_{n}\,\\! I_n= -\frac{\sqrt{ax+b{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1+\frac{a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}I_{n-1}\,\\! |} {| class="wikitable" ! 적분 ! 적분의 점화식 |- | I_n= \int \frac{\text{d}x}{(x^2+a^2)^n}\,\\! | I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\\! |- | I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2+a^2)^n}\,\\! | a^2I_{n,m}= I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\\! |- | I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2+a^2)^n} \,\text{d}x\,\\! | I_{n,m}= I_{m-2,n-1}-a^2I_{m-2,n}\,\\! |} {| class="wikitable" ! 적분 ! 적분의 점화식 |- | I_n= \int \frac{\text{d}x}{(x^2-a^2)^n}\,\\! | I_n= -\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2-a^2)^{n-1-\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\\! |- | I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2-a^2)^n}\,\\! | {a^2}I_{n,m}= I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\\! |- | I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2-a^2)^n} \,\text{d}x\,\\! | I_{n,m}= I_{m-2,n-1}+a^2I_{m-2,n}\,\\! |} {| class="wikitable" ! 적분 ! 적분의 점화식 |- | I_n= \int \frac{\text{d}x}{(a^2-x^2)^n}\,\\! | I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(a^2-x^2)^{n-1+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\\! |- | I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(a^2-x^2)^n}\,\\! | {a^2}I_{n,m}= I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\\! |- | I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(a^2-x^2)^n} \,\text{d}x\,\\! | I_{n,m}= a^2I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\\! |} {| class="wikitable" ! 적분 ! 적분의 점화식 |- | I_n = \int \frac{\text{d}x}x^n}(ax^2+bx+c)}\,\\! | -cI_n =\frac{1}{x^{n-1}(n-1)}+ bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\\! |- | I_{m,n}=\int \frac{x^m \,\text{d}x}{(ax^2+bx+c)^n}\,\\! | I_{m,n}= -\frac{x^{m-1{a(2n-m-1)(ax^2+bx+c)^{n-1 - \frac{b(n-m)}{a(2n-m-1)}I_{m-1,n} + \frac{c(m-1)}{a(2n-m-1)}I_{m-2,n}\,\\! |- | I_{m,n}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(ax^2+bx+c)^n}\,\\! | -c(m-1)I_{m,n}= \frac{1}{x^{m-1}(ax^2+bx+c)^{n-1+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\\! |- |} {| class="wikitable" ! 적분 ! 적분의 점화식 |- | I_n = \int (ax^2+bx+c)^n\,\text{d}x\,\\! | 8a(n+1)I_{n+\frac{1}{2 = 2(2ax+b)(ax^2+bx+c)^{n+\frac{1}{2 + (2n+1)(4ac-b^2)I_{n-\frac{1}{2\,\\! |- | I_n = \int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,\text{d}x\,\\! | (2n-1)(4ac-b^2)I_{n+\frac{1}{2 = \frac{2(2ax+b)}{(ax^2+bx+c)^{n-\frac{1}{2+{8a(n-1)}I_{n-\frac{1}{2\,\\! |- |} 지수법칙에 따라: : I_{n+\frac{1}{2 = I_{\frac{2n+1}{2 =\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2\,\text{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1\,\text{d}x\,\\!
## 초월함수
다음의 적분http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list 은 아래의 함수들을 포함하는 함수들이다: * 사인 * 코사인 * 사인 및 코사인의 곱 또는 나누었을 때의 몫 * *x*의 거듭 제곱과 지수함수의 곱 * 사인 / 코사인과 지수함수의 곱 {| class="wikitable" ! 적분 ! 적분의 점화식 |- | I_n=\int x^n \sin{ax} \,\text{d}x\,\\! | a^2I_n=-ax^n \cos{ax} + nx^{n-1} \sin{ax} - n(n-1) I_{n-2} \,\\! |- | J_n=\int x^n \cos{ax} \,\text{d}x \,\\! | a^2J_n=ax^n \sin{ax} + nx^{n-1} \cos{ax} - n(n-1) J_{n-2} \,\\! |- | I_n = \int \frac{\sin{ax{x^n} \,\text{d}x\,\\! J_n = \int \frac{\cos{ax{x^n} \,\text{d}x \,\\! | I_n = -\frac{\sin{ax{(n-1)x^{n-1+\frac{a}{n-1}J_{n-1}\,\\! J_n = -\frac{\cos{ax{(n-1)x^{n-1-\frac{a}{n-1}I_{n-1}\,\\! 공식을 결합하여 *I n*의 개별적인 방정식을 얻을 수 있다. J_{n-1} = -\frac{\cos{ax{(n-2)x^{n-2-\frac{a}{n-2}I_{n-2}\,\\! I_n = -\frac{\sin{ax{(n-1)x^{n-1-\frac{a}{n-1}\left [\frac{\cos{ax{(n-2)x^{n-2+\frac{a}{n-2}I_{n-2}\right ] \,\\! \therefore I_n = -\frac{\sin{ax{(n-1)x^{n-1-\frac{a}{(n-1)(n-2)}\left (\frac{\cos{ax{x^{n-2+aI_{n-2}\right ) \,\\! 그리고 *J n* : I_{n-1} = -\frac{\sin{ax{(n-2)x^{n-2+\frac{a}{n-2}J_{n-2}\,\\! J_n = -\frac{\cos{ax{(n-1)x^{n-1-\frac{a}{n-1}\left [-\frac{\sin{ax{(n-2)x^{n-2+\frac{a}{n-2}J_{n-2} \right ]\,\\! \therefore J_n = -\frac{\cos{ax{(n-1)x^{n-1-\frac{a}{(n-1)(n-2)}\left (-\frac{\sin{ax{x^{n-2+aJ_{n-2} \right )\,\\! |- | I_n = \int \sin^n{ax} \,\text{d}x\,\\! | anI_n = -\sin^{n-1}{ax}\cos{ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\\! |- | J_n = \int \cos^n{ax} \,\text{d}x\,\\! | anJ_n = \sin{ax}\cos^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\\! |- | I_n = \int \frac{\text{d}x}{\sin^n{ax\,\\! | (n-1)I_n = - \frac{\cos{ax{a\sin^{n-1}{ax+ (n-2)I_{n-2}\,\\! |- | J_n = \int \frac{\text{d}x}{\cos^n{ax\,\\! | (n-1)J_n = \frac{\sin{ax{a\cos^{n-1}{ax+ (n-2)J_{n-2}\,\\! |- |} {| class="wikitable" ! 적분 ! 적분의 점화식 |- | I_{m,n} = \int \sin^m{ax}\cos^n{ax}\,\text{d}x\,\\! | I_{m,n} = \begin{cases} -\frac{\sin^{m-1}{ax}\cos^{n+1}{ax{a(m+n)}+\frac{m-1}{m+n}I_{m-2,n} \\\ \frac{\sin^{m+1}{ax}\cos^{n-1}{ax{a(m+n)}+\frac{n-1}{m+n}I_{m,n-2} \\\ \end{cases}\,\\! |- | I_{m,n} = \int \frac{\text{d}x}{\sin^m{ax}\cos^n{ax\,\\! | I_{m,n} = \begin{cases} \frac{1}{a(n-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax+\frac{m+n-2}{n-1}I_{m,n-2} \\\ -\frac{1}{a(m-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax+\frac{m+n-2}{m-1}I_{m-2,n} \\\ \end{cases}\,\\! |- | I_{m,n} = \int \frac{\sin^m{ax{\cos^n{ax\,\text{d}x\,\\! | I_{m,n} = \begin{cases} \frac{\sin^{m-1}{ax{a(n-1)\cos^{n-1}{ax-\frac{m-1}{n-1}I_{m-2,n-2} \\\ \frac{\sin^{m+1}{ax{a(n-1)\cos^{n-1}{ax-\frac{m-n+2}{n-1}I_{m,n-2} \\\ -\frac{\sin^{m-1}{ax{a(m-n)\cos^{n-1}{ax+\frac{m-1}{m-n}I_{m-2,n} \\\ \end{cases}\,\\! |- | I_{m,n} = \int \frac{\cos^m{ax{\sin^n{ax\,\text{d}x\,\\! | I_{m,n} = \begin{cases} -\frac{\cos^{m-1}{ax{a(n-1)\sin^{n-1}{ax-\frac{m-1}{n-1}I_{m-2,n-2} \\\ -\frac{\cos^{m+1}{ax{a(n-1)\sin^{n-1}{ax-\frac{m-n+2}{n-1}I_{m,n-2} \\\ \frac{\cos^{m-1}{ax{a(m-n)\sin^{n-1}{ax+\frac{m-1}{m-n}I_{m-2,n} \\\ \end{cases}\,\\! |- |} {| class="wikitable" ! 적분 ! 적분의 점화식 |- | I_{n} = \int x^n e^{ax}\,\text{d}x\,\\! n > 0\,\\! | I_{n} = \frac{x^n e^{ax{a} - \frac{n}{a}I_{n-1} \,\\! |- | I_{n} = \int x^{-n} e^{ax} \,\text{d}x\,\\! n > 0\,\\! n \neq 1\,\\! | I_{n} = \frac{- e^{ax{(n-1)x^{n-1 + \frac{a}{n-1}I_{n-1} \,\\! |- | I_{n} = \int e^{ax} \sin^n{bx} \,\text{d}x\,\\! | I_{n} = \frac{e^{ax} \sin^{n-1}{bx{a^2+(bn)^2}\left ( a\sin bx - bn\cos bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\\! |- | I_{n} = \int e^{ax} \cos^n{bx} \,\text{d}x\,\\! | I_{n} = \frac{e^{ax} \cos^{n-1}{bx{a^2+(bn)^2}\left ( a\cos bx + bn\sin bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\\! |- |}
# 서지
* Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition. 위키데이터 속성 추적 분류:적분학