거울 대칭 가설

**거울 대칭 가설**(Mirror symmetry conjecture)은 특정 칼라비-야우 다양체와 그 다양체의 "거울 다양체"사이의 관계에 대한 추측이다. 이 추측으로 칼라비-야우 다양체 상의 유리 곡선의 수를 대수다형체(algebraic variety) 족에서 적분과 관련시킬 수 있다. 거울 대칭 가설을 다루는 몇 가지 관점이 있으며, 대표적으로 호몰로지 거울 대칭 가설과 SYZ 가설이 있다. 호몰로지 거울 대칭 가설은 호몰로지 대수학을 기반으로 삼는 반면, SYZ 추측은 더욱 기하학적인 서술이다.
# 5차 삼중체를 구성하기
처음에 거울 대칭 다양체를 구성하는 과정은 다소 엉성하였다. 본질적으로 일반 5차 삼중체 X \subset \mathbb{CP}^4에 대하여 다중 특이점을 가진 1-매개변수 칼라비-야우 다양체 족 X_\psi이 존재해야 한다. 여기서 이 특이점들을 부풀리기 한 후 특이점을이 없어지며 뒤집힌 호지 다이아몬드를 가진 새로운 칼라비-야우 다양체 X^\vee가 구성된다. 특히, 다음과 같은 동형사상들이 존재한다: H^q(X,\Omega_X^p) \cong H^q(X^\vee, \Omega_{X^\vee}^{3-p}).
## 복소 모듈라이
일반 5차 삼중체확인날짜=for example, as a set, a Calabi-Yau manifold is the subset of complex projective space\\{[x_0:x_1:x_2:x_3:x_4] \in \mathbb{CP}^4 : x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5 = 0 \\}X \subset \mathbb{P}^4이 5차 동차 다항식으로 정의됨을 기억하라. 이 다항식은 선형 다발 f \in \Gamma(\mathbb{P}^4,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^4}(5))이름4=Lindadoi=10.1090/S0894-0347-1993-1179538-2의 global section으로도 묘사된다. 대역 단면의 선형 공간 차원은\dim {\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O_{\mathbb {P} ^{4(5))} = 126이다. 이 다항식들은 두 가지 동등성을 가진다: 첫째, 대수적 토러스 \mathbb{G}_m로 스케일링하는 다항식Which can be thought of as the \mathbb{C}^*-action on \mathbb{C}^5 - \\{ 0\\} constructing the complex projective space \mathbb{CP}^4. 둘째, 사영적 동등성은 24 차원인 \mathbb{P}^4의 자기동형군 \text{PGL}(5)에 의해 주어진다. 126 - 24 - 1 = 101이므로 이것은 기하 불변 이론을 사용하여 구성 할 수 있는 101 차원 매개 변수 공간U_{\text{smooth \subset \mathbb{P}(\Gamma(\mathbb{P}^4,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^4}(5)))/PGL(5)을 준다. 집합 U_{\text{smooth은 \mathbb{P}^4안의 매끄러운 칼라비-야우 5차 삼중체를 정의하는 다항식들의 동치류들에 해당한다.More generally, such moduli spaces are constructed using projective equivalence of schemes in a fixed projective space on a fixed Hilbert scheme 이제 세르 쌍대성과 각 칼라비-야우 다양체에 자명한 표준 선다발 \omega_X이 있다는 사실을 이용하여, deformation 공간에는 다음과 같은 동형사상:H^1(X,T_X) \cong H^2(X,\Omega_X)과 H^3(X)위의 호지 구조의 (2,1) 부분을 가진다. 렙셰츠 초평면 정리를 이용하면, 유일한 자명하지 않은 코호몰로지 군은 H^3(X)이다. 왜냐하면 다른 것들은 H^i(\mathbb{P}^4)와 동형이기 때문이다.오일러 지표와 top 천 특성류인 오일러 특성류를 사용하면 이 군의 차원은 204이다. 이는

> \begin{align} \chi(X) &= -200 \\\ &= h^0 + h^2 - h^3 +h^4 + h^6 \\\ &= 1 + 1 - \dim H^3(X) + 1 + 1 \end{align}

이기 때문이다. 호지 구조를 이용하여 각 구성 요소의 차원을 구할 수 있다. 첫째, X가 칼라비-야우이므로, .\omega_X \cong \mathcal{O}_X이다. 그래서H^0(X,\Omega_X^3) \cong H^0(X,\mathcal{O}_X) 가 호지 번호 h^{0,3} = h^{3,0} = 1를 알 수 있다. 즉,\dim H^2(X,\Omega_X) = h^{1,2} = 101은 칼라비-야우 다양체의 모듈라이 공간의 차원이다. Bogomolev-Tian-Todorov 정리로 인해 이러한 모든 deformation들이 방해받지 않으므로 매끄러운 공간 U_{\text{smooth은 사실 5차 삼중체의 모듈라이 공간다. 이 구성의 요점은, 이 모듈라이 공간의 복소 매개 변수가 어떻게 거울 다양체의 켈러 매개 변수로 변환되는지 보여주는 것이다.
## 거울 다양체
Dwork 족이라 불리는 칼라비-야우 다양체 X_\psi들의 다양체 족은 다음과 같은 \text{Spec}(\mathbb{C}[\psi])위의 사영족 X_\psi

> X_\psi = \text{Proj} \left( \frac{\mathbb{C}[\psi][x_0,\ldots, x_4]}{(x_0^5 + \cdots + x_4^5 - 5\psi x_0x_1x_2x_3x_4)} \right)

이다. 이 다양체 족의 complex deformation의 차원은 하나뿐이며 거울 다양체 \check{X}의 호지 다이아몬드가 다음과 같이 때문이다:

> \dim H^{2,1}(\check{X}) = 1.

다양체 족\\{X_{\psi}\\}는

> (a_0,\ldots,a_4)\cdot [x_0:\cdots:x_4] = [e^{ a_0\cdot 2\pi i/5}x_0:\cdots : e^{ a_4\cdot 2\pi i/5}x_4]

과 같이 작용하는 대칭군

> G = \\{ (a_0,\ldots, a_4) \in (\mathbb{Z}/5)^5 : \sum a_i = 0 \\}

을 가지고 있다. 조건

> \sum a_i = 0

는 X_\psi의 사영성 때문에 들어가있다. 연관된 몫 variety X_\psi / G는 100개의 특이점을 부풀리기 해서 주어지는 crepant resolution

> \check{X} \to X_\psi / G

를 가지고 있고 이를 통해 새로운 칼라비-야우 다양체 \check{X}를 얻는다.
## 책 / 노트
* Mirror Symmetry 클레이 수학연구소 eBook * Mirror Symmetry and Algebraic Geometry -Cox, Katz * On the work of Givental relative to mirror symmetry
## 초창기 증명들
* Equivariant Gromov-Witten Invariants- projective complete intersections에 대한 Givental의 원래 증명 * The mirror formula for quintic threefolds * Rational curves on hypersurfaces (after A. Givental) -Givental의 증명에 대한 설명 * Mirror Principle I -Lian, Liu, Yau의 증명은 Givental의 증명에서 미완인 부분을 완성한다. 이 증명에는 당시 알려지지 않은 플뢰어 호몰로지에 대한 이론이 필요했다. * Dual Polyhedra and Mirror Symmetry for Calabi-Yau Hypersurfaces in Toric Varieties - 칼라비-야우 다양체에 대한 최초의 일반적인 mirror variety 구성
## 연구
* Mirror symmetry: from categories to curve counts -호몰로지 거울 대칭과 고전적 거울 대칭 간의 관계 * Intrinsic mirror symmetry and punctured Gromov-Witten invariants
## 호몰로지 거울 대칭
* Categorical Mirror Symmetry: The Elliptic Curve * An Introduction to Homological Mirror Symmetry and the Case of Elliptic Curves * Homological mirror symmetry for the genus two curve * Homological mirror symmetry for the quintic 3-fold * Homological Mirror Symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in projective space * Speculations on homological mirror symmetry for hypersurfaces in (\mathbb{C}^*)^n