점근 국소 평탄 공간

미분기하학에서 **점근 국소 평탄 공간**(漸近局所平坦空間, asympotically locally flat [ALF] space)은 무한대에서 3차원 유클리드 공간의 오비폴드 위의 원군 주다발로 수렴하는 4차원 초켈러 다양체이다.
# 정의
4차원 초켈러 다양체 (M,g)가 완비 리만 다양체이며, 리만 곡률이 무한대에서 0으로 수렴하며, 다음 조건을 만족시킨다면, **점근 국소 평탄 공간**이라고 한다.언어=enDefinition 3.1 * 어떤 콤팩트 집합 K \subsetneq M 및 R>0 및 유한군 \Gamma \le \operatorname O(3) 및 원군 주다발 \operatorname U(1)\hookrightarrow\tilde M \twoheadrightarrow (\mathbb R^3 \setminus \operatorname{ball}(R)) / \Gamma 및 그 위의 주접속 A\in\Omega^1(\tilde M)에 대하여, 미분 동형 M \setminus K \cong \tilde M이 존재하며, 이 미분 동형 아래 M의 리만 계량이 다음과 같은 꼴이다. *:g = g_{\mathbb R^3/\Gamma} + A^2 + \mathcal O(r^{-t})\qquad(t>0)
# 분류
점근 국소 평탄 공간은 사용된 유한군 \Gamma \le \operatorname O(3)에 의하여 분류되며, \Gamma = \\{1\\} 및 \Gamma = \operatorname{Cyc}(2) (2차 순환군)이 가능하다. \Gamma=\\{1\\}인 경우는 **순환군형**(循環群型, cyclic type) 또는 **A형**이라고 하며, A−1, A0, A1, …가 있다. \Gamma=\operatorname{Cyc}(2)인 경우는 **정이면체군형**(正二面體群型, dihedral type0 또는 **D형**이라고 하며, D0, D1, …가 있다.
## 순환군형
순환군형은 기호로 A*n*의 꼴이며, 여기서 *n*은 −1 이상의 정수이다. 일반적으로, 순환군형 점근 국소 평탄 공간은 기번스-호킹 가설 풀이로 구성된다. 일반적으로, 3차원 유클리드 공간 속에 n+1개의 점 (너트의 위치) :\vec r_0,\dotsc,\vec r_i \in\mathbb R^3 을 골랐을 때, 퍼텐셜 :V(\vec x) = l + \sum_{i=0}^n \frac1{2\|\vec x-\vec r_i\|} 을 사용하여 기번스-호킹 가설 풀이를 구성하면 A*n*형의 점근 국소 평탄 공간을 얻는다. 여기서 l은 U(1) 주다발의 올의 크기에 반비례하며, 리만 계량 전체에 적절한 상수를 곱하면 1로 놓을 수 있다. 즉, 그 모듈라이 공간은 :\mathcal M = \mathbb R^+\times \frac{\operatorname{Conf}(n+1,\mathbb R^3)}{\operatorname{ISO}(3;\mathbb R)} :\dim \mathcal M_n = \begin{cases} 1 & n \in \\{-1,0\\} \\\ 2 & n = 1 \\\ 3(n-1)+1 & n \ge 2 \end{cases} 이다. 이는 n+1개의 점 가운데, 유클리드 공간의 등거리 변환을 가한 것이다. 추가의 1차원은 l에 해당하며, 리만 계량의 스칼라배에 해당한다.
## 정이면체군형
정이면체군형은 기호로 D*n*의 꼴이며, 여기서 *n*은 음이 아닌 정수이다. 이 경우 여러 가지 구성이 존재한다. 특히, 퍼텐셜 :V(\vec x) = l - \frac2{\|\vec x\|} + \sum_{i=1}^n\left(\frac1{2\|\vec r_i-\vec x\|}+\frac1{2\|\vec r_i+\vec x\|}\right) 을 통한 기번스-호킹 가설 풀이를 생각하자. 이는 \|\vec x\| \ll1인 경우 퍼텐셜이 음수가 돼 정의되지 않지만, 이 부분을 무시하면, 이는 \vec x\mapsto -\vec x에 대하여 대칭이므로 (\mathbb R^3 \setminus \operatorname{ball}(R)) / \operatorname{Cyc}(2) 위의 기번스-호킹 가설 풀이를 정의한다. 만약 l이 충분히 크다면, 가운데에 D0 공간을 이어붙이면 이는 D*n* 점근 국소 평탄 공간을 근사하며, D*n*이 되도록 변형할 수 있다.Remark 3.7 즉, 이 경우 마찬가지로 모듈라이 공간은 :\dim\mathcal M_n = \begin{cases} 1 & n = 0 \\\ 2 & n = 1 \\\ 3n-2 & n \ge 2\\\ \end{cases} 여기서 한 차원은 l에 의한 것이며, 리만 계량에 상수를 곱한 것에 해당한다.
# 성질

## 위상수학적 성질
점근 국소 평탄 공간의 위상수학적 성질은 다음과 같다.§3.2.1, §3.2.2 {| class=wikitable ! 점근 국소 평탄 공간 !! 기본군 \pi_1 !! 베티 수 (b_0,b_1,b_2,b_3,b_4) |- | A−1 || 무한 순환군 Cyc(∞) || (1,1,0,0,0) |- | A*n* (*n*≥0) || 자명군 1 || (1,0,*n*,0,0) |- | D0 || 2차 순환군 Cyc(2) || (1,0,0,0,0) |- | D*n* (*n*≥1) || 자명군 1 || (1,0,*n*,0,0) |} 특히, A−1은 \mathbb R^3\times\mathbb S^1이므로, 원 \mathbb S^1과 호모토피 동치이다. 토브-너트 공간 A0은 유클리드 공간 \mathbb R^4과 미분 동형이다.
## 기하학적 성질
점근 국소 평탄 공간의 킬링 벡터장의 수는 다음과 같다. {| class=wikitable ! 점근 국소 평탄 공간 !! 킬링 벡터장의 수 |- | A−1 || 4 |- | A0 || 4 |- | A1 || 2 |- | A*n* (*n*≥2) || 1 |- | D0 || 3 |} 이는 ISO(3)의 군의 작용의 안정자군의 차원 + 원다발 올 방향의 킬링 벡터 1개로 계산할 수 있다.
# 예
* A−1형 점근 국소 평탄 공간은 \mathbb R^3 \times \mathbb S^1이다. * A0형 점근 국소 평탄 공간은 토브-너트 공간이다. * D0형 점근 국소 평탄 공간은 아티야-히친 공간이다. * D1형 점근 국소 평탄 공간의 모듈라이 공간은 (리만 계량에 상수를 곱하는 것을 제외하면) 3차원이다. 이 모듈라이 공간의 한 점은 아티야-히친 공간의 2겹 범피복 공간이다.
# 응용
점근 국소 평탄 공간은 일반 상대성 이론과 끈 이론에 자주 등장한다. 이는 이들이 초켈러 다양체이므로, 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간이나 일반 상대성 이론의 해를 이루기 때문이다.