양-밀스 순간자

미분기하학에서 **양-밀스 순간자**(楊-Mills瞬間子, Yang–Mills instanton)는 4차원 매끄러운 다양체 위의 주다발의 주접속 가운데, 그 주곡률의 호지 쌍대가 스스로의 −1배와 같은 것이다. 양자역학에서, 이는 양-밀스 이론의 특별한 (고전적) 해에 해당하며, 순간자로 해석될 수 있다. 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간으로부터 도널드슨 불변량을 정의할 수 있다.언어=en언어=en
# 정의

## (반) 자기 쌍대 형식
다음이 주어졌다고 하자. * 2n차원 유향 콤팩트 리만 다양체 (M,g,\omega) * M 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 및 그 위의 양의 정부호 내적 \langle-,-\rangle 그렇다면, 벡터 값 미분 형식의 공간 \Omega^\bullet(M;E)를 정의할 수 있으며, 그 호지 쌍대 :*\colon\Omega^\bullet(M;E) \to \Omega^{2n-\bullet}(M;E) :\alpha\wedge*\beta = \langle \alpha,\beta\rangle\omega 를 정의할 수 있다. 물론, k차 미분 형식에 대하여 *^2 = (-)^{k(2n-k)}이다. 특히, 가운데 차수 (n차) 미분 형식에 대하여, 호지 쌍대는 자기 사상을 이루며, 이 경우 *^2 = (-)^{n^2}이다. 만약 n이 짝수일 경우, * \restriction \Omega^n(M;E)의 고윳값은 ±1이 된다. 이에 따라, 가운데 차수 미분 형식의 공간을 호지 쌍대의 고유 공간에 따라 다음과 같이 분해할 수 있다. :\Omega^n(M;E)=\Omega^{n,+}(M;E)\oplus\Omega^{n,-}(M;E) 여기서 \Omega^{n,+}(M)의 원소는 **자기 쌍대 미분 형식**(self-dual differential form), \Omega^2_-(M)의 원소는 **반 자기 쌍대 미분 형식**(anti-self-dual differential form)라고 한다. 이에 대한 사영 사상을 :\operatorname{proj}^\pm \colon \Omega^n(M;E) \to \Omega^{n,+}(M;E) 라고 표기하자. (만약 n이 홀수라면, *의 고윳값은 \pm\mathrm i가 된다. 따라서 복소수 계수에서 유사한 분해를 가할 수 있다.) 다양체 M의 방향을 뒤집으면, 자기 쌍대 미분 형식은 반 자기 쌍대 미분 형식이 되며, 그 역도 마찬가지다. 즉, 자기 쌍대 / 반 자기 쌍대의 선택은 임의적이다.
## 순간자수
다음이 주어졌다고 하자. * 4차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 M * 콤팩트 리 군 G * \mathfrak{lie}(G) 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 K(-,-) * G-매끄러운 주다발 G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M 그렇다면, P의 천-베유 준동형 :\operatorname{CW}_P\colon\mathbb C[\mathfrak{lie}(G)]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C) 을 정의할 수 있으며, K(-,-)의 천-베유 준동형 아래의 상 :\operatorname{CW}_P(K) \in \operatorname H^4(M;\mathbb C)\cong \mathbb C 를 정의할 수 있다. 이는 천 특성류로 정의되는 특성수이며, 모든 가능한 주다발들에 대하여 그 값들은 어떤 \lambda \in \mathbb C에 대하여 :\operatorname{CW}_P(K) \in \lambda \mathbb Z\subsetneq\mathbb C 의 꼴이다. 이 경우, \lambda^{-1}\operatorname{CW}_P(K) \in \mathbb Z를 주다발 P의 **순간자수**(instanton number)라고 한다. (이는 \lambda\mapsto-\lambda 아래 부호의 모호성을 가진다.) 만약 M = \mathbb S^4 (4차원 초구)이며, G가 콤팩트 단순 리 군이라면, \mathbb S^4 위의 G-주다발은 순간자수만으로 완전히 분류된다.

**증명 개략**:

\mathbb S^4 위의 주다발이 주어졌다고 하자. 그 위에 임의의 주접속 A를 부여하자. 또한, 어떤 임의의 점 \infty \in \mathbb S^4을 무한대로 여겨, \mathbb R^4 \cong \mathbb S^4 \setminus\\{\infty\\}로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간 \mathbb R^4은 축약 가능 공간이므로, 그 위의 G-주다발은 하나 밖에 없으며, 이를 자명한 주다발로 여길 수 있다. A는 그 위의 주접속으로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간 \mathbb R^4의 무한대는 \mathbb S^3이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속 함수 :\mathbb S^3 \to G 를 나타낸다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 같은 \mathbb S^4 위의 서로 동형인 주다발에 정의될 수 있다. 따라서, 주다발들은 \mathbb S^3 \to G 호모토피류, 즉 G의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다. 그런데 G가 콤팩트 단순 리 군이라면 이는 \mathbb Z이며, 이는 순간자수에 해당한다.

## (반) 자기 쌍대 주접속
다음이 주어졌다고 하자. * 4차원 유향 콤팩트 리만 다양체 (M,g,\omega) * 콤팩트 리 군 G * \mathfrak{lie}(G) 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 K(-,-) * G-매끄러운 주다발 P\twoheadrightarrow M 그렇다면, P의 주접속들을 생각하자. 연관 벡터 다발 :\operatorname{ad}(P) = P \times_G \operatorname{ad}(G) 을 정의하면, 주접속 모듈라이 공간은 :\Omega^1(M;\operatorname{ad}(P)) 에 대한 아핀 공간이다. (\operatorname{ad}(G)는 G의 딸림표현이다.) 주접속 A로부터, 주곡률 F \in \Omega^2(M;\operatorname{ad}(G))을 정의할 수 있다. K(-,-)가 양의 정부호 2차 불변 다항식이므로, 이는 \operatorname{ad}(G) 위의 양의 정부호 내적을 정의한다. 따라서 주곡률의 호지 쌍대를 정의할 수 있다. 주접속 가운데, 그 주곡률이 반 자기 쌍대인 것을 **반 자기 쌍대 주접속**(anti-self-dual connection) 또는 **양-밀스 순간자**(Yang–Mills instanton)라고 한다. 이 경우, 게이지 변환에 대하여 서로 동치인 주접속은 같은 순간자로 간주한다. 이 경우 게이지 변환군은 :\mathcal G = \mathcal C^\infty(M,G) 이다. 이 대신, M에 임의의 밑점을 골라 점을 가진 공간 (M,\bullet)을 만들어, 밑점에서 자명한 게이지 변환들의 부분군 :\mathcal G_0 = \mathcal C_\bullet^\infty((M,\bullet),(G,1_G)) 을 생각할 수 있다. 이는 짧은 완전열 :1 \to \mathcal G_0 \to \mathcal G \to G \to 1 을 이룬다. \mathcal G_0에 대한 반 자기 쌍대 주접속의 동치류를 **틀 갖춘 순간자**(framed instanton)이라고 한다. 순간자의 모듈라이 공간을 \mathcal M, 틀 갖춘 순간자의 모듈라이 공간을 \tilde{\mathcal M}이라고 하면, 이는 G-주다발 :G \hookrightarrow \tilde{\mathcal M} \twoheadrightarrow\mathcal M 을 이룬다.
# 성질

## 순간자 모듈라이 공간의 국소 모형
반 자기 쌍대 주접속의 모듈라이 공간 \mathcal M_{\text{ASD(M,G)의 접공간은 다음과 같이 묘사할 수 있다. 우선, 반 자기 쌍대 주접속 [A]\in\mathcal M_{\text{ASD(M,G)이 주어졌을 때, 다음과 같은 짧은 완전열을 정의할 수 있으며, 이를 **순간자 변형 복합체**(瞬間子變形複合體, instanton deformation complex)라고 한다. :0 \to \Omega^0(M;\operatorname{ad}(P)) \,\xrightarrow{\nabla_A}\, \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P)) \,\xrightarrow{\operatorname{proj}^+\nabla_A}\,\Omega^{2,+}(M;\operatorname{ad}(P)) \to 0

**완전열 조건의 증명**:

임의의 \phi\in\Omega^0(M;\operatorname{ad}(P))가 주어졌을 때, :\nabla_A\nabla_A\phi = [F,\phi] 이다. 여기서 F\in\Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))는 A의 주곡률이다. F가 반 자기 쌍대 2차 미분 형식이라고 가정하였으므로, :\operatorname{proj}^+(\nabla_A\nabla_A\phi) = [\operatorname{proj}^+(F),\phi] = 0 이다.

여기서 * \Omega^{2,+}(M;\operatorname{ad}(P))는 자기 쌍대 미분 형식으로 구성된, \Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))의 부분 실수 벡터 공간이다. * \operatorname{proj}^+ \colon \Omega^2(\operatorname{ad}(P)) \to \Omega^{2,+}(\operatorname{ad}(P))는 자기 쌍대 2차 미분 형식에 대한 사영이다. * \nabla_A \colon\Omega^\bullet(M;\operatorname{ad}(P)) \to \Omega^{\bullet+1}(M;\operatorname{ad}(P))는 A에 대한 공변 미분이다. 순간자 변형 복합체의 (가운데) 코호몰로지 군 :\operatorname H^1 = \frac{\ker (\operatorname{proj}^+ \circ \nabla_A)}{\operatorname{im}\nabla_A} 은 \mathcal M_{\text{ASD(M,G)의, A \in\mathcal M_{\text{ASD(M,G)에서의 접공간과 표준적으로 동형이다. 그 해석은 다음과 같다. 임의의 X \in \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))에 대하여, * \operatorname{proj}^+ (\nabla_A X) = 0 조건은 반 자기 쌍대 조건이 성립해야 함을 뜻한다. * \nexists\phi\in\Omega^0(M;\operatorname{ad}(P))\colon \nabla_A\phi = X 조건은 게이지 변환군의 작용에 대한 몫을 취한 것이다. 순간자 변형 복합체의 오일러 지표 :\operatorname{ind} = -\dim \operatorname H^0 + \dim \operatorname H^1 - \dim \operatorname H^2 를 모듈라이 공간의 **가상 차원**(假想次元, virtual dimension)이라고 한다. 이는 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산될 수 있으며, 모듈라이 공간의 실제 차원의 하계를 이룬다. 많은 주접속의 경우, 이는 실제 차원과 일치한다. 주다발 P에 대하여, 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 다음과 같다. :\operatorname{ind} = 4h^\vee(G)|k| \le \dim\tilde{\mathcal M} 여기서 k는 순간자수이며, h^\vee(G)는 G의 이중 콕서터 수이다. 즉, 이는 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 하계이다. 틀이 없는 순간자 모듈라이 공간의 차원은 물론 이보다 |G|만큼 작다. :4h^\vee(G)|k| - \dim G \le \dim\mathcal M
## 순간자 모듈라이 공간
양-밀스 순간자의 모듈라이 공간 \mathcal M_{\text{ASD(P)를 생각하자. 그 위에는 M의 리만 계량 및 \mathfrak{lie}(G) 위의 2차 불변 다항식으로 유도되는 리만 계량이 존재한다. 만약 M이 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화라면, 이에 따라 틀 달린 순간자 모듈라이 공간 \mathcal M_{\text{ADS(P)는 (특이점을 제외하면 국소적으로) 초켈러 다양체를 이룬다. 특히, 그 가상 차원은 항상 4의 배수이다. 4차원 유클리드 공간(의 콤팩트화) 위에서, 게이지 군이 G일 경우, 1차 및 2차 베티 수가 0이므로, 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 일치하며, 다음과 같다.언어=en언어=en§2 :\dim\tilde{\mathcal M}(k,G)=4|k|h^\vee(G) :\dim\mathcal M(k,G)=4|k|h^\vee(G)-\dim G 모든 순간자들을 평행 이동시킬 수 있고, 이 방향으로는 모듈라이 공간이 평탄하다. 즉, 모듈라이 공간 \tilde M은 \mathbb R^4 등거리 대칭을 갖는다. 이에 대한 몫을 취하면, 4|k|h^\vee(G)-4 차원의 초켈러 다양체를 얻는다.
## ADHM 작도
ADHM 작도 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화 (즉, 4차원 초구) \mathbb S^4 위의 양-밀스 순간자 모듈라이 공간은 \mathcal N=2 게이지 이론의 힉스 가지(Higgs branch)로 나타낼 수 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈라이로 작도할 수 있다. 이를 **ADHM 작도**라고 한다.언어=en언어=en 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다.언어=en
## 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식
(반) 자기 쌍대 주접속은 **보고몰니-프라사드-소머필드 부등식**(Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound, BPS 부등식)을 충족시킨다.언어=ruissn=0031-9007 M 위의 부피 형식 \omega가 리만 계량에 의하여 주어지며, 또한 \mathfrak{lie}(G) 위에 양의 정부호 쌍선형 형식을 이루는 2차 불변 다항식 K(-,-)이 주어졌다고 하자. (반단순 리 대수의 경우, 이는 킬링 형식에 비례한다.) 이 경우, \Omega^2(M;\operatorname{ad}(P)) 위에 자연스러운 양의 정부호 내적 :\langle B,C\rangle = \int_M K(B\wedge*C) 이 주어진다. 이 내적 아래, 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간과 반 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간은 서로 수직이다. 이에 대한 주곡률의 노름 \langle F,F\rangle을 주접속의 **양-밀스 작용**(Yang–Mills action)이라고 하며, 이는 양-밀스 이론의 작용이다. 임의의 주곡률 :F \in \Omega^2(M;\operatorname{ad}(P)) 의 (반) 자기 쌍대 성분을 F^\pm이라고 하자 (F = F^+ + F^-, *F = F^+ - F^-). 그렇다면 :\langle F,F\rangle =\langle F_+,F_+\rangle+\langle F_-,F_-\rangle \ge |\langle F_+,F_+\rangle-\langle F_-,F_-\rangle| = \langle F,*F\rangle = \left|\int_M K(F\wedge F)\right| 이다. 우변은 F의 (어떤 충실한 표현에 대한 연관 벡터 다발의) 2차 천 특성류(의 절댓값)에 비례한다. 즉, 양-밀스 작용은 천 특성류의 절댓값에 의하여 하계를 갖는다. 이를 주접속의 **보고몰니-프라사드-소머필드 부등식**이라고 한다. (반) 자기 쌍대 접속의 경우, F^+ 또는 F^-가 0이므로, 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 부등식이 포화된다. 즉, (반) 자기 쌍대 접속은 양-밀스 작용을 (국소적으로) 최소화시킨다.
# 예

## 유클리드 공간
4차원 유클리드 공간 \mathbb R^4 위의, 게이지 군 G의 양-밀스 순간자를 생각하자. \mathbb R^4의 콤팩트화 \mathbb S^4는 자명한 위상을 가지므로, 그 위의 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 같다. :\dim\mathcal M(G,k) = 4h^\vee(G)|k| 예를 들어, G=\operatorname{SU}(N)인 경우 이중 콕서터 수는 h^\vee=N이며, 틀 달린 순간자 모듈라이 공간의 차원은 4N|k|이다.9–12 하나의 순간자(k=1)인 경우, 이는 다음과 같다. * 4차원 공간 속의 점입자이므로, 4개의 평행 이동(translation) 자유도가 있다. * 4차원 순수 양-밀스 이론(또는 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론)은 등각 장론이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 수 있다. 이에 따라 1개의 확대 변환(dilatation) 자유도가 있다. * \operatorname{SU}(2)\cong S^3이므로, 원점에서 무한히 떨어진 S^3에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 이 SU(2)를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수 게이지 변환 3개가 있다. * \operatorname{SU}(N)에서 SU(2) 부분군을 골라야 하는데, 이 모듈라이 공간은 잉여류 공간 ::\frac{\operatorname{SU}(N)}{(\operatorname U(2)\times\operatorname U(N-2))/\operatorname U(1)}=\frac{\operatorname U(N)}{\operatorname U(2)\times\operatorname U(N-2)} :이고, 그 차원은 ::N^2-4-(N-2)^2=4N-8 :이다. 따라서, 순간자수 1의 모듈라이 공간의 가상 차원은 :4+1+3+4N-8=4N 이다. 만약 순간자수가 k라면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이 4kN이 되며, 모듈라이 공간의 가상 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다. 하나의 순간자의 모듈라이 공간은 :\mathbb R^4 \times \mathbb R^4 / \operatorname{Cyc}(2) 이다.1.25 이 경우, 오비폴드의 특이점은 작은 순간자 극한에 해당한다.
## 칼로론
칼로론 \mathbb R^3 \times \mathbb S^1 위의 양-밀스 순간자는 **칼로론**이라고 하며, 잘 알려져 있다.
## 초켈러 다양체
점근 국소 유클리드 공간언어=en과 토브-너트 공간언어=en언어=en의 경우에도 양-밀스 순간자가 알려져 있다. 토브-너트 공간 위의 [[SU(2) 순간자 모듈라이 공간을 나타내는 활 도형]] 토브-너트 공간 위의 (무한대에서 주어진 모노드로미 행렬 \operatorname{diag}(\exp(2\pi\lambda/l),\exp(-2\pi\lambda/l))을 갖는) k개의 SU(2) 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간은 초켈러 축소 :\frac{\mathrm{TGL}(k;\mathbb C) \times \mathbb H^k \times \operatorname{TGL}(k;\mathbb C) \times \mathbb H^k \times \operatorname{TGL}(k;\mathbb C) \times \mathbb H^{k^2{\operatorname U(k)\times\operatorname U(k)\times\operatorname U(k)\times\operatorname U(k)} 로 주어진다.(11), §4 이는 활 도형(bow diagram)으로 유도할 수 있다. 따라서, 모듈라이 공간의 실수 차원은 :\dim\mathcal M_{l,\lambda,k} = 4\left(k^2 + k + k^2 + k + k^2 + k^2 - k^2 - k^2 - k^2-k^2\right) = 8k 이다.
# 역사
양-밀스 순간자의 수학적 중요성은 사이먼 도널드슨이 1983년에 지적하였다.