매케이 화살집

군 표현론에서, **매케이 화살집**(McKay quiver)은 유한군의 표현에 대하여 대응되는 유한 화살집이다. SL(2;ℂ)의 유한 부분군의 경우 이는 ADE형의 딘킨 도표이다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 유한군 G * 체 K. 또한, \operatorname{char}K \nmid |G|라고 하자. 그렇다면, **마슈케 정리**(Maschke’s theorem)에 의하여 모든 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 유일하게 분해된다. 이제, G의 K계수 기약 표현들이 :(W_i)_{i\in I} 라고 하자. 그렇다면, G의 임의의 유한 차원 표현 V에 대하여 :V \otimes W_i = \bigoplus_{i\in I}n_{ij}V_j 라고 하자 (n_{ij}\in\mathbb N). 그렇다면, V에 대응되는 **매케이 화살집** \Gamma는 다음과 같은 화살집이다. * \operatorname V(\Gamma) = I. 즉, \Gamma의 꼭짓점은 G의 기약 표현이다. * i,j\in I에 대하여, 만약 n_{ij}>0라면 i\to j 변이 존재하며, 그 변의 수는 n_{ij}이다.
# 성질
유한군 G의 표현 \rho의 쌍대 표현 \rho^*의 매케이 화살집은 \rho의 매케이 화살집의 반대 화살집(즉, 변의 방항을 모두 뒤집은 화살집)이다. 특히, 만약 \rho가 스스로의 쌍대 표현과 동형이라면, 그 매케이 화살집은 스스로의 반대 화살집과 동형이다.
# 예

## 자명한 표현의 메케이 화살집
G의 자명한 표현 1에 대한 매케이 화살집은 모든 꼭짓점에 각각 고리(self-loop)가 하나씩 달리며 다른 변은 존재하지 않는 화살집이다.
## SU(2)의 부분군
특히, 만약 G가 \operatorname{SL}(2;\mathbb C)의 유한 부분군이라고 하고, V=\mathbb C^2가 2차원 복소수 정의(定義) 표현이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. * n_{ij} = n_{ji} \in \\{0,1\\}이며, n_{ii}=0이다. 즉, 이 경우 매케이 화살집은 단순히 그래프이며, 이 경우를 **매케이 그래프**라고 한다. * 이 그래프는 ADE형의 확장 딘킨 도표의 하나이다. 이들은 다음과 같다. {| class=wikitable |- ! ADE 표기 || 이름 || SO(3) 부분군 || SO(3) 부분군의 콕서터 군 기호 || 크기 || 다면체 || 기약 표현의 수 || 매케이 그래프 |- | A*n* || 순환군 \operatorname{Cyc}(n+1) | colspan=2 | (없음) || *n*+1 || 정n+1각뿔 || n+1 | \begin{smallmatrix} \displaystyle\overset1\bullet& \displaystyle-& \displaystyle\overset1\bullet& \displaystyle-& \displaystyle\cdots& \displaystyle-& \displaystyle\overset1\bullet& \displaystyle-& \displaystyle\overset1\bullet\\\ \displaystyle|&&&&&&&&\displaystyle|\\\ \displaystyle\underset1\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset1\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\cdots&\displaystyle-&\displaystyle\underset1\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset1\bullet \end{smallmatrix} (원 그래프) |- | D*n* || 쌍순환군 \operatorname{Dic}(n-2) || 정이면체군 || (2,2,*n*−2) || 4(*n*−2) || 정n-2각형 || n+1 || \underset1\bullet-\overset\underset2\bullet-\underset2\bullet-\cdots-\underset2\bullet-\overset\underset2\bullet-\underset1\bullet |- | E6 || 이진 정사면체군 || 정사면체군 || (2,3,3) || 24 || 정사면체 || 7 || \begin{smallmatrix} &&&&\displaystyle\overset1\bullet\\\ &&&&\displaystyle|\\\ &&&&\displaystyle\\!\\!\\!{\scriptstyle2}{}\bullet{}{\scriptstyle\color{White}2}\\!\\!\\!\\\ &&&&\displaystyle|\\\ \displaystyle\underset1\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset2\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset3\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset2\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset1\bullet \end{smallmatrix} |- | E7 || 이진 정팔면체군 || 정팔면체군 || (2,3,4) || 48 || 정육면체 · 정팔면체 | 8 || \underset1\bullet-\underset2\bullet-\underset3\bullet-\overset\underset4\bullet-\underset3\bullet-\underset2\bullet-\underset1\bullet |- | E8 || 이진 정이십면체군 || 정이십면체군 || (2,3,5) || 120 || 정십이면체 · 정이십면체 | 9 || \underset2\bullet-\underset4\bullet-\overset\underset6\bullet-\underset5\bullet-\underset4\bullet-\underset3\bullet-\underset2\bullet-\underset1\bullet |} 매케이 그래프에서, 각 꼭짓점에 붙어 있는 정수는 해당 표현의 크기이다.
## SU(3)의 부분군
SU(3)의 정의 표현 **3**을 사용하여 SU(3)의 유한 부분군에 대하여도 마찬가지로 매케이 화살집을 정의할 수 있다.언어=en G2의 부분군의 경우에도 매케이 화살집들이 분류되었다.언어=en
# 응용
유한군으로 정의된 오비폴드에 D-막을 배치하면, 그 위에는 화살집 게이지 이론이 존재하며, 이 경우 사용되는 화살집은 유한군의 매케이 화살집이다. 이 경우 사용되는 표현은 (각 초다중항에 대하여) R대칭의 표현이다.
# 역사
존 매케이(John McKay)가 도입하였다.언어=en언어=en