힐베르트 스킴

대수기하학에서, **힐베르트 스킴**(Hilbert scheme)은 어떤 스킴의 부분 스킴들의 모듈라이 공간인 스킴이다. 모든 사영 대수다양체는 힐베르트 스킴을 가진다. 이 경우, 섬세한 모듈러스 공간의 정의에서, 부분 스킴의 족은 평탄 사상을 뜻한다. 평탄 사상의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 가지므로, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대응하는 성분들로 분해된다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 스킴 K * 스킴 S, X 및 스킴 사상 T \to K \leftarrow X. 즉, S/K와 X/K는 K 위의 스킴이며, 조각 범주 \operatorname{Sch}/K의 대상이다. 그렇다면, **K 위의, 매개 변수 공간 S에 대한 X의 부분 스킴의 족**(family of subschemes of X parametrized by S)은 닫힌 부분 스킴 :Y \subseteq X \times_K S 가운데, 표준적 K-스킴 사상 :Y/K \to S/K 이 평탄 사상인 것이다. S에 대한 X의 부분 스킴의 족의 집합을 \operatorname{Hilb}_{X/K}(S)라고 하자. K-스킴 사상 f\colon S'/K \to S/K 및 S 위의 부분 스킴의 족 Y \subseteq X \times_K S이 주어졌을 때, 사상 :(X,f) \colon X \times_K S' \to X \times_K S 아래 X의 원상 :Y' \subseteq X \times_K S' 을 정의할 수 있다. 즉, \operatorname{Hilb}_{X/K}는 * K 위의 조각 범주의 반대 범주 (\operatorname{Sch}/K)^{\operatorname{op에서 * 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}로 가는 함자를 정의한다. 즉, 이는 \operatorname{Sch}/K 위의 준층이다. 만약 이 함자가 표현 가능 함자라면, 이를 표현하는 스킴을 \operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n}이라고 한다. 즉, 표준적으로 :\hom_{\operatorname{Sch}/K}(S,\operatorname{Hilb}_{X/K}) = \operatorname{Hilb}_{X/K}(S) 이다. 물론, K = \operatorname{Spec}\mathbb Z로 놓아, 절대적 힐베르트 스킴을 정의할 수 있다. 이 경우 :\hom_{\operatorname{Sch(S,\operatorname{Hilb}_X) = \operatorname{Hilb}_X(S) 이다.
# 성질

## 존재
만약 S가 국소 뇌터 스킴이며, X/S가 사영 스킴이라면, \operatorname{Hilb}_{X/S}가 존재한다. 특히, 정수 계수의 사영 공간 :\mathbb P_{\mathbb Z}^n = \operatorname{Proj}[x_0,x_1,\dotsc,x_n] 은 힐베르트 스킴을 갖는다. 반면, 힐베르트 스킴을 갖지 않는 대수다양체가 존재한다. 구체적으로, 히로나카 헤이스케는 사영 대수다양체가 아닌 어떤 복소수 비특이 완비 대수다양체 X에 대하여, 대수 공간 X^2 / \operatorname{Sym}(2)가 스킴으로서 존재하지 않음을 보였으며, 이에 따라 모듈러스 공간 \operatorname{Hilb}_X(2)는 스킴이 아니다.
## 힐베르트 다항식으로의 분해
K가 국소 뇌터 스킴이며, X = \mathbb P^n_K = \mathbb P^n_{\mathbb Z} \times K가 K 계수의 사영 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 K-부분 스킴에 대하여 힐베르트 다항식을 정의할 수 있다. 이는 유리수 계수 다항식이다. 평탄 스킴 족의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 갖는다. 따라서, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대한 성분들의 분리합집합이다. :\operatorname{Hilb}_{\mathbb P_K^n/K} = \bigsqcup_{p\in \mathbb Q[x]}\operatorname{Hilb}_{\mathbb P_K^n/K}(p) 즉, 각 유리수 계수 다항식 p \in \mathbb Q[x]에 대하여, \operatorname{Hilb}_{\mathbb P_K^n/K}(p)는 힐베르트 다항식이 p인 닫힌 부분 스킴의 모듈라이 공간이다.
## 사영 공간의 힐베르트 스킴의 구성
정수 계수 사영 공간 \mathbb P^n_{\mathbb Z}의 힐베르트 스킴 \operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n_{\mathbb Z은 다음과 같이 구체적으로 구성된다. 다항식 p \in \mathbb Q[t]의 **고츠만 수**(Gotzmann數, Gotzmann number)는 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 D이다. * \mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]의 임의의 포화 아이디얼 \mathfrak I\subseteq \mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n], \mathfrak I = \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty(\mathfrak I:(x_0,x_1,\dotsc,x_n)^i)에 대하여, 만약 \mathfrak I의 힐베르트 다항식이 p라면, \mathfrak I는 D차 이하의 생성원만으로부터 생성될 수 있다. 힐베르트 스킴 \operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n}(p)는 구체적으로 다음과 같이 표현될 수 있다. :\operatorname{Hilb}_{\mathbb P^n}(p) = \left\\{(V,W) \in \operatorname{Grass}\left(\binom{n+D}n-p(D),\mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]_D\right) \times \operatorname{Grass}\left(\binom{n+D}n-p(D),\mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]_D\right) \colon\forall i\colon x_iV \subseteq W\right\\} 여기서 * \operatorname{Grass}(a,V)는 벡터 공간 V 속의 a차원 부분 벡터 공간의 모듈라이 공간인 그라스만 다양체이다. * D\in\mathbb N는 p의 고츠만 수이다. * \mathbb Z[x_0,x_1,\dotsc,x_n]_D는 변수 x_0,x_1,\dotsc,x_n에 대한 D차 동차다항식들의 공간이다. * \textstyle\binom ab는 이항 계수이다.
# 예
임의의 국소 뇌터 스킴 X에 대하여, 힐베르트 다항식이 상수 n인 힐베르트 스킴 \operatorname{Hilb}_X(n)을 생각하자. 이는 X 위의 n개의 점으로 구성된 아르틴 부분 스킴의 모듈라이 공간이며, 따라서 짜임새 공간 X^n / \operatorname{Sym}(n)이다 (\operatorname{Sym}(n)은 대칭군). 특히, \operatorname{Hilb}_X(1) = X이다.