스피어만 브라운 공식

**스피어만 브라운 공식**(Spearman-Brown formula) 혹은 **브라운 스피어만 공식**은 심리측정 및 교육측정 분야에서 스피어만 브라운 예측 공식, 스피어만 브라운 예언 공식 등으로도 지칭된다. 스피어만 브라운 공식은 검사의 길이를 변경시켰을 때 검사의 신뢰도를 예측하는 공식으로 사용된다. 혹은, 검사의 임의의 반분간 상관관계에서 항목간 신뢰도를 구하기 위한 반분 신뢰도 공식으로도 사용된다.
# 예측식의 계산
예측 공식 {\rho}^*_{xx'}은 다음과 같다. {\rho}^*_{xx'}=\frac{n{\rho}_{xx'{1+(n-1){\rho}_{xx'. 여기서, n은 새롭게 만들어진 검사가 현재 검사의 몇 배인지의 비율, {\rho}^*_{xx'}은 현재 검사의 신뢰도이다. 이 공식은 현재 검사의 n배, 즉 현재 검사와 평행(parallel)인 n개의 검사를 만들었을 때 새 검사의 신뢰도를 예측한다. 예를 들어, n=2는 현재 검사와 동일한 속성을 가진 항목을 추가하여 검사의 길이를 두 배로 늘린다는 것을 의미한다. 1보다 작은 n을 쓸 경우, 검사를 줄일 때의 효과를 예측할 수 있다.
# 검사 길이의 예측
위의 공식을 정리하면, 특정 수준의 신뢰도를 얻기 위해서는 현재의 검사가 얼마나 더 길어져야 하는지도 예측할 수 있다. n=\frac\rho}^*_{xx'}(1-{\rho}_{xx'})} \rho}_{xx'}(1-{\rho}^*_{xx'})}
# 반분 신뢰도
타우동등 신뢰도(tau-equivalent reliability)Kuder, G. F., & Richardson, M. W. (1937). The theory of the estimation of test reliability. Psychometrika, 2, 151-160. doi:10.1007/BF02288391. 가 개발되기 전까지, 반분 신뢰도는 항목간 신뢰도를 구하는 유일한 방법으로 활용되었다Kelley, T. L. (1924). Note on the Reliability of a Test: A reply to Dr. Crum’s criticism. Journal of Educational Psychology, 15, 193–204. doi:10.1037/h0072471. . 즉, 전체 항목을 임의의 절반으로 나눈 후, 항목간 상관관계를 스피어만 브라운 공식에 의해 신뢰도로 변환하는 것이다. {\rho}_{xx'}=\frac{2{\rho}_{12{1+{\rho}_{12 여기서, {\rho}_{12}은 예를 들면 짝수문항번호와 홀수문항번호간의 반절씩 반분한 피어슨 상관관계를 표현한다. 위의 공식은 앞서 제시한 예측식에서 n=2를 대입한 것이다. 타우동등 신뢰도의 개발 이후 반분 신뢰도 계수로서 스피어만 브라운 공식은 거의 사용되지 않지만, 경우에 따라 이 방법이 유용하다고 주장하는 학자들도 있다.Eisinga, R.; Te Grotenhuis, M.; Pelzer, B. (2013). "The reliability of a two-item scale: Pearson, Cronbach or Spearman-Brown?". International Journal of Public Health. 58 (4): 637–642. doi:10.1007/s00038-012-0416-3 한편 크론바흐 알파 계수도 신뢰도가 높다.
## 다른 반분 신뢰도 계수와의 관계

### 반분 평행 신뢰도
Cho(2016)Cho, E. (2016). Making reliability reliable: A systematic approach to reliability coefficients. Organizational Research Methods, 19, 651-682. doi:10.1177/1094428116656239.는 기존의 신뢰도 계수들이 역사적으로 부정확하고 무의미한 이름과 무원칙적이고 비일관적인 공식 표현을 갖고 있다고 비판하면서 체계적 명칭과 공식 표현을 사용할 것을 제안하였다. 스피어만 브라운 공식의 가정은 두 반분이 평행(parallel)하다는 것, 즉 두 반분의 분산이 같다는 것이다. 스피어만 브라운 공식에 제안된 체계적 명칭은 반분 평행 신뢰도(split-half parallel reliability)이다. 또한, 다음과 같은 체계적 공식이 제안되었다. {\rho}_{SP}=\frac{4{\rho}_{12{4{\rho}_{12}+2(1-{\rho}_{12})}
### 반분 타우동등 신뢰도
반분 평행 신뢰도는 현실의 자료가 쉽게 충족하기 어려운 엄격한 가정을 요구한다. 반분 타우동등 신뢰도(Split-half tau-equivalent reliability)는 두 반분의 분산이 서로 같지 않은 경우에 사용될 수 있는 반분 신뢰도 계수이다. Flanagan-RulonFlanagan, J. C. (1937). A proposed procedure for increasing the efficiency of objective tests. Journal of Educational Psychology, 28, 17-21. doi:10.1037/h0057430.Rulon, P. J. (1939). A simplified procedure for determining the reliability of a test by split-halves. Harvard Educational Review, 9, 99-103.({\rho}_{FR1}, {\rho}_{FR2}), GuttmanGuttman, L. (1945). A basis for analyzing test-retest reliability. Psychometrika, 10, 255-282. doi:10.1007/BF02288892.({\lambda_4})에 의해 다음과 같은 공식들이 제안되었다. {\rho}_{FR1}=\frac{4{\rho}_{12}{\sigma}_{1}{\sigma}_{2\sigma}^2_1+{\sigma}^2_2+2{\rho}_{12}{\sigma}^2_1{\sigma}^2_2}, {\rho}_{FR2}=1-\frac\sigma}^2_{D\sigma}^2_{X, {\lambda}_4=2(1-\frac\sigma}^2_1+{\sigma}^2_2}\sigma}^2_{X). 여기서 {\sigma}_{1}, {\sigma}_{2}, {\sigma}_{X},{\sigma}_{D}는 각각 첫번째 반분, 두번째 반분, 두 반분의 합, 두 반분의 차이의 분산이다. 겉보기와는 달리, 이 공식들은 모두 대수적으로 동일하다. 그 체계적 공식Cho, E. (2016). Making reliability reliable: A systematic approach to reliability coefficients. Organizational Research Methods, 19, 651-682. doi:10.1177/1094428116656239.은 다음과 같다. {\rho}_{ST}=\frac{4{\rho}_{12\sigma}^2_{X.
### 반분 동류 신뢰도
반분 타우동등 신뢰도는 두 반분의 길이가 같다는 가정을 갖고 있다. 반분 동류 신뢰도(Split-half congeneric reliability)는 이 가정을 완화시킨 반분 신뢰도이다. 단, 주어진 정보보다 추정해야 하는 모수가 더 많기 때문에 또 다른 가정이 필요하다. Raju(1970)Raju, N. S. (1970). New formula for estimating total test reliability from parts ofunequal length. Proceedings of the 78th Annual Convention ofAPA, 5, 143-144.는 각 반분의 상대적 길이가 알려져 있을 때의 반분 동류 신뢰도 계수를 발표하였다. Angoff(1953)Angoff, W. H. (1953). Test reliability and effective test length. Psychometrika, 18(1), 1-14.과 Feldt(1975)Feldt, L. S. (1975). Estimation of the reliability of a test divided into two parts of unequal length. Psychometrika, 40(4), 557-561.는 각 반분의 길이가 각각의 분산과 공분산의 합에 비례한다고 가정했을 때의 반분 동류 신뢰도를 발표하였다Cho, E. (2016). Making reliability reliable: A systematic approach to reliability coefficients. Organizational Research Methods, 19, 651-682. doi:10.1177/1094428116656239..
# 역사
스피어만 브라운 공식은 Brown (1910)Brown, W. (1910). Some experimental results in the correlation of mental abilities. British Journal of Psychology, 3, 296-322.과 Spearman (1910)Spearman, C. (1910). Correlation calculated from faulty data. British Journal of Psychology, 1904-1920, 3, 271-295. doi:10.1111/j.2044-8295.1910.tb00206.x.이 *British Journal of Psychology*에 동시에 발표한 논문에서 유래한다. 찰스 스피어만은 킹스 칼리지 런던에 함께 근무하던 칼 피어슨과 사이가 좋지 않았으며, 둘은 서로를 비판하고 조롱하는 논문을 주고 받았다.Cowles, M. (2005). Statistics in psychology: An historical perspective. New York: Psychology Press. 브라운은 피어슨의 지도를 받아 박사학위를 받았다. Brown은 박사 학위 논문나중에 책으로 출판됨 Brown, W. (1911). The essentials of mental measurement. London: Cambridge University Press.의 중요한 부분을 Spearman의 연구Spearman, C. (1904). The proof and measurement of association between two things. American Journal of Psychology, 15, 72-101.를 비판하는 데 할애했다. 이 공식에서 스피어만이 브라운보다 먼저 등장하는 것은 스피어만이 브라운보다 더 명성이 높은 학자이기 때문이다.Cho, E. & Chun, S. (2018). Fixing a broken clock: A historical review of the originators reliability coefficients including Cronbach's alpha. Survey Research, 19(2), 23-54. 예를 들어, 스피어만은 신뢰도에 대한 최초의 이론을 정립하였으며,Spearman, C. (1904). The proof and measurement of association between two things. American Journal of Psychology, 15, 72-101. "고전적 신뢰도 이론의 아버지"라고 지칭된다.Cronbach, L. J., Rajaratnam, N., & Gleser, G. C. (1963). Theory of generalizability: A liberalization of reliability theory. British Journal of Statistical Psychology, 16, 137-163. doi:10.1111/j.2044-8317.1963.tb00206.x. 즉, 마태 효과 혹은 스티글러의 명명법칙의 한 사례이다. 다음의 이유에서 이 공식은 브라운 공식, 혹은 브라운 스피어만 공식으로 지칭되어야 한다.Cho, E. & Chun, S. (2018). Fixing a broken clock: A historical review of the originators reliability coefficients including Cronbach's alpha. Survey Research, 19(2), 23-54. 첫째, 오늘날 우리가 사용하는 공식은 Spearman(1910)이 제안한 버전이 아니라, Brown(1910)이 제안한 버전이다. 반분신뢰도 공식도 Brown(1910)만이 명시적으로 제시하였다. 둘째, Brown(1910)의 공식 유도가 Spearman(1910)보다 더 간결하고 우아하다.Traub, R. E. (1997). Classical test theory in historical perspective. Educational Measurement: Issues and Practice, 16, 8-14. doi:10.1111/j.1745-3992.1997.tb00603.x. 셋째, Brown(1910)의 논문이 Spearman(1910)보다 먼저 쓰여졌을 가능성이 높다. Brown(1910)은 그의 박사 학위 논문에 기반하고 있으며, 이 논문이 발표될 당시에 그는 이미 박사학위를 취득한 상태였다. Spearman(1910)은 Brown(1910)을 비판했지만, Brown(1910)은 Spearman(1904)만을 비판하였다.넷째, 저자들을 알파벳 순서로 표기하는 것이 미국 심리학회의 인용 원칙(APA 양식)이다.