가중 사영 공간

대수기하학에서 **가중 사영 공간**(加重射影空間, weighted projective space)은 사영 공간의 개념의 일반화이다.언어=en언어=en 보통 사영 공간에서 동차 좌표의 무게가 모두 같은 데 반하여, 가중 사영 공간에서는 각 동차 좌표가 서로 다른 무게를 가질 수 있다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 가환환 K * 양의 정수 a_0,a_1,\dotsc,a_n \in \mathbb Z^+ 그렇다면, 등급환인 가환환 :A = K[x_0,x_1,\dotsc,x_n] :\deg x_i = a_i 을 정의할 수 있다. 그 사영 스펙트럼 :\operatorname{Proj}A = \mathbb P_K(a_0,a_1,\dotsc,a_n) 을 무게 (a_0,a_1,\dotsc,a_n)의 **가중 사영 공간**이라고 한다. 물론, 이는 정수 계수 가중 사영 공간과 K의 곱이다. :\mathbb P_K(a_0,a_1,\dotsc,a_n) = \mathbb P_{\mathbb Z}(a_0,a_1,\dotsc,a_n) \times K 즉, 만약 K가 체일 때, K^\times는 \operatorname{Spec}K[x_0,\dotsc,x_n] \setminus \operatorname{Spec} K[x_0,\dotsc,x_n]/(x_0,\dotsc,x_n)에 고정점 없이 다음과 같이 작용한다. :\lambda \cdot x_i = \lambda^{a_i}x_i 따라서, 이는 다음과 같은 몫으로 표현된다. :\mathbb P_K(a_0,\dotsc,a_n) = \frac{\operatorname{Spec}K[x_0,\dotsc,x_n] \setminus \operatorname{Spec} K[x_0,\dotsc,x_n]/(x_0,\dotsc,x_n)}{\mathbb G_{\mathrm m}^K} 그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다. :\frac{\\{(x_0,x_1,\dotsc,x_n)\in K^{n+1}\\}\setminus \\{(0,\dotsc,0)\\{ (x_0,\dotsc,x_n) \sim (\lambda^{a_0}x_0,\dotsc,\lambda^{a_0}x_n) \qquad\forall \lambda\in K^\times }
# 분류
K가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 임의의 양의 정수 b\in\mathbb Z^+ 및 i\in\\{0,1,\dotsc,n\\}에 대하여, 다음과 같은 스킴 동형 사상이 존재한다. :\mathbb P(a_0,a_1,\dotsc,a_n) \cong \mathbb P(da_0,da_1,\dotsc,da_{i-1},a_i,da_{i+1},\dotsc,da_n) \cong \mathbb P(da_0,da_1,\dotsc,da_i,\dotsc,da_n) 무게 (a_0,a_1,\dotsc,a_n) 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 **잘 만들어진 무게**(well formed weights)라고 하자. :임의의 n개의 성분들의 최대공약수는 1이다. 즉, 임의의 i\in\\{0,1,\dotsc,n\\}에 대하여, \gcd\\{a_0,\dotsc,\widehat{a_i},\dotsc,a_n\\} = 1. (여기서 \widehat{a_i}는 a_i를 생략하라는 뜻이다.) 따라서, 대수적으로 닫힌 체 위에서, 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이다.
# 성질
정의에 따라, 가중 사영 공간은 원환 다양체이다. 대수적으로 닫힌 체 K 위의 가중 사영 공간은 K 위의 사영 대수다양체를 이룬다.Theorem 4.3.9
## 아핀 덮개
가환환 K에 대하여, 가중 사영 공간 \mathbb P_K(a_0,\dotsc,a_i)는 다음과 같이 n+1개의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 각 i\in\\{0,\dotsc,n\\}에 대하여, x_i로 정의되는 열린집합 :U_i=\\{\mathfrak p \in \mathbb P_K(a_0,\dotsc,a_n)\colon (x_i) \not\subseteq \mathfrak p \\} 은 아핀 스킴이다. 특히, K가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면, U_i에 대응되는 가환환은 다음과 같다. :A_i = K[x_0,\dotsc,\hat x_i,\dotsc, x_n] / \mu_{a_i} 여기서 \mu_{a_i} = \\{\lambda \in K^\times \colon \lambda^{a_i} = 1\\}는 1의 거듭제곱근으로 구성된 순환군이며, 그 작용은 :\lambda \cdot x_j = \lambda^{a_j}x_j 이다. 구체적으로, 이 작용은 고정점을 갖지 않으므로, 이 몫은 기하 불변량 이론 몫(GIT quotient) :A_i = \operatorname{Spec}\left(K[x_0,\dotsc,\hat x_i,\dotsc, x_n]^{\mu_{a_i\right) 이다. 여기서 R^G는 G의 작용에 불변인 R의 원소들의 부분환이다. 이 경우, 만약 (a_0,\dotsc,\hat a_i,\dotsc,a_n) \ne (1,\dotsc,1)인 경우, 이는 원점 (x_0,\dotsc,\hat x_i,\dotsc,x_n)=(0,\dotsc,0)에서 특이점을 갖는다.
# 예
만약 모든 무게들이 1이라면, 무게 사영 공간은 (일반) 사영 공간과 같다. :\mathbb P_K(\underbrace{1,1,\dotsc,1}_{n+1}) = \mathbb P_K^n 0차원 가중 사영 공간은 모두 0차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다. :\mathbb P_K(n) \cong \mathbb P_K^0 = \operatorname{Spec}K 1차원 가중 사영 공간은 모두 1차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다. :\mathbb P_K(m,n) \cong \mathbb P_K(m,1) \cong \mathbb P_K(1,1) = \mathbb P_K^2
## ℙ(1,1,*n*)
2차원에서는 사영 공간과 동형이 아닌 가중 사영 공간이 존재한다. 그 가운데 가장 간단한 것은 \mathbb P_K(1,1,n)이다. 이는 닫힌 몰입 :\mathbb P_K(1,1,n) \to \mathbb P_K^{n+1} :[x:y:z] \mapsto [x^n:x^{n-1}y:y^{n-2}y^2:\dotsb:x^ky^{n-k}:\dotsb:y^n:z] 을 가지며, 이는 사영 대수다양체 :\mathbb P_K(1,1,n) \cong \operatorname{Proj} \frac{K[X_0,X_1,\dotsc,X_n,Y]}{(\\{X_{i-1}X_j - X_iX_{j-1} \colon i,j \in \\{0,1,\dotsc,n-1\\}\\})} 를 이룬다. 이는 좌표 Y에 의존하지 않으므로, 유리 곡선 \operatorname{Proj} K[X_0,\dotsc,X_n] / (\\{X_{i-1}X_j - X_iX_{j-1} \colon i,j \in \\{0,1,\dotsc,n-1\\}\\}) 위의 뿔을 이루며, 뿔의 꼭짓점은 [0:0:\dotsb:0:1]이다. 예를 들어, n=2인 경우 :\mathbb P_K(1,1,2) \to \mathbb P_K^3 :[x:y:z] \mapsto [x^2:xy:y^2:z] 이며, 이는 다음과 같은 사영 대수다양체와 동형이다. :\mathbb P_K(1,1,2) \cong \operatorname{Proj} \frac{K[X,Y,Z,W]}{(XZ-Y^2)} 이는 3차원 사영 공간 속의 이차 초곡면이다.
## ℙ(1,2,3,…)
가환환 K에 대하여, 사영 공간 \mathbb P_K^n = \operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dotsc,x_n]를 생각하자. 그 위에는 대칭군 \operatorname{Sym}(n+1)이 좌표 (x_0,\dotsc,x_n)에 대한 순열로 작용한다. 이에 대한 기하 불변량 이론 몫 :\mathbb P_K^n / \operatorname{Sym}(n+1) = \operatorname{Proj}(K[x_0,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n+1)}) 을 생각하자. 이 경우, K[x_0,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n+1)}은 다음과 같은 기초 대칭 함수로 생성된다. :X_1 = x_0+x_1+\dotsb+x_n :X_2 = x_0x_1 + x_0x_2 + \dotsb + x_i x_j + \dotsb + x_{n-1}x_n :\vdots :X_{n+1} = x_0x_1\dotsm x_n :\deg X_i = i\qquad(i\in\\{1,\dotsc,n+1\\}) 따라서 이는 가중 사영 공간 :\mathbb P_K^n / \operatorname{Sym}(n+1) = \operatorname{Proj}(K[x_0,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n+1)}) = \mathbb P_K(1,2,\dotsc,n,n+1) 을 이룬다.
# 역사
이 개념은 이미 1975년에 샤를 들로름(Charles Delorme)이 ‘비등방 사영 공간’(espace projectif anisotrope)이라는 이름으로 연구하였다.언어=fr