류스테르니크-시니렐만 범주

좋은 글 대수적 위상수학에서 **류스테르니크-시니렐만 범주**(Люстерник-Шнирельман範疇, Lusternik–Schnirelmann category) 또는 **LS 범주**(LS-category)는 위상 공간에 대한 자연수 값의 호모토피 불변량이다.url-status= dead언어=en 거칠게 말하면 공간이 얼마나 복잡한지를 나타내는 척도 중 하나라고 할 수 있다.
# 정의
류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다.
## 열린 덮개를 통한 정의
CW 복합체와 호모토피 동치인 X로 정의된 점을 가진 공간 (X,\bullet_X)가 주어졌으며 \bullet_X \hookrightarrow X가 쌍대올뭉치라고 하자. (X,\bullet)의 **류스테르니크-시니렐만 범주** \operatorname{cat}(X)를 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 \kappa로 정의한다. : 조건: X를 덮는 어떤 (\kappa+1) 개의 열린 덮개 (U_i,\bullet_X)_{0\le i\le \kappa}가 존재해서, 모든 포함 함수 U_i\hookrightarrow X가 상수 함수와 호모토피 동치이다. 만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, \operatorname{cat}(X)=\infty로 놓는다. 일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를 \kappa 대신 (\kappa + 1)로 정의한다.
## 화이트헤드의 정의
영 대상(시작 대상이자 끝 대상인 대상)을 갖는 모형 범주 \mathcal C가 주어졌다고 하자. 이 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다. :**육면체 공리**(cube axiom): 임의의 정육면체 꼴의 호모토피 가환 그림 :: :에서, 만약 윗면({y}–{x,y}–{x,y,z}–{y,z})이 호모토피 밂이며 모든 네 옆면들이 호모토피 당김이라면, 밑면 (ø–{x}–{x,z}–{z}) 역시 호모토피 밂이다. (육면체 공리는 점을 가진 공간의 모형 범주 \operatorname{Top}\backslash\bullet의 경우 성립한다. 육면체 공리는 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어 점을 가진 공간의 범주의 반대 범주인 (\operatorname{Top}\backslash\bullet)^{\operatorname{op는 \operatorname{Top}\backslash\bullet와 마찬가지로 영 대상을 갖는 모형 범주지만 육면체 공리는 성립하지 않는다.) 이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상 X의 n차 **부케가르니**(bouquet garni) 또는 **뚱뚱한 쐐기합**(fat wedge) T^n \to X^n은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다. * T_1 \simeq \bullet이다. * T_n \to X^n이 주어졌을 때, T_{n+1} \to X^{n+1}은 모형 범주 \mathcal C/X^{n+1}에서의, 다음과 같은 꼴의 호모토피 밂이다. :\begin{matrix} T_n \times \bullet & \to & X^n \times \bullet \\\ \downarrow && \downarrow \\\ T_n \times X & \to & T_{n+1} \end{matrix} 특히, 다음이 성립한다. :T_2 \simeq X\vee X (스스로와의 쌍대곱) 점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다. :T_n = \bigcup_{i=0}^{n-1} X^i \times \\{\bullet\\} \times X^{n-i-1} \subseteq X^n 즉, 이는 T_n은 곱공간 X^n에서, 적어도 한 좌표가 밑점 \bullet이 되는 점들로 구성된 부분 공간이다. (X,\bullet)의 **류스테르니크-시니렐만 범주**는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수 f \colon X\to T_n가 존재하는 최소의 자연수 n이다. :\begin{matrix} X & \overset f \to & T_n \\\ \| & & \downarrow \\\ X & \underset{\operatorname{diag\to & X^n \end{matrix} 여기서 \operatorname{diag} \colon X \to X^n은 대각 사상이다.
## 가네아의 정의
영 대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주 \mathcal C를 생각하자. 올대상이자 쌍대올대상인 대상 X에 대하여, **가네아 구성**은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다. :\begin{matrix} F_0 & \hookrightarrow & G_0 & \twoheadrightarrow & X \\\ \downarrow && \downarrow && \| \\\ F_1 & \hookrightarrow & G_1 & \twoheadrightarrow & X \\\ \downarrow && \downarrow && \| \\\ F_2 & \hookrightarrow & G_2 & \twoheadrightarrow & X \\\ \downarrow && \downarrow && \| \\\ \vdots && \vdots && \vdots \end{matrix} 여기서 * G_0 \simeq \bullet이다. * 다음과 같은 네모들은 호모토피 당김이다. (즉, F_n은 올뭉치 G_n\twoheadrightarrow X의 호모토피 올이다.) *: \begin{matrix} F_n & \hookrightarrow & G_n \\\ \downarrow & & \downarrow \\\ \bullet & \to & X \end{matrix} * 다음과 같은 네모들은 모형 범주 \mathcal C/X에서의 호모토피 밂이다. *: \begin{matrix} F_n & \hookrightarrow & G_n \\\ \downarrow & & \downarrow \\\ \bullet & \to & G_{n+1} \end{matrix} 이를 **가네아 올뭉치**(Ganea fibrations)라고 한다. 이제, X의 **류스테르니크-시니렐만 범주** \operatorname{cat}(X)는 :\pi_n \colon G_n \to X 이 호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면) X\to G_n을 가질 수 있는 최소의 자연수 n이다. 점을 가진 공간의 범주에서, G_0은 경로 공간 \operatorname{Path}(X) = \hom_{\operatorname{Top}\backslash\bullet}(\mathbb I,X)으로 잡을 수 있으며, 그 호모토피 올은 고리 공간 F_0 = \Omega X = \hom_{\operatorname{Top}\backslash\bullet}(\mathbb S^1,X)이다. 이 경우 :F_n = (\Omega X)^{\star n} 으로 잡을 수 있다.언어=en (여기서 \star는 두 위상 공간의 이음이다.) 또한, 이 경우 :G_1 = \Sigma \Omega X 로 잡을 수 있다. 여기서 \Sigma는 축소 현수이다.
## 정의 사이의 관계
영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다.언어=en 또한 그 범주가 \operatorname{Top}\backslash\bullet일 경우, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다.
# 성질
류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다.
## 연산에 대한 호환
다음이 성립한다. (여기서 \vee는 점을 가진 공간의 쐐기합이다.) :\operatorname{cat}(X\vee Y) = \max\\{\operatorname{cat}(X), \operatorname{cat}(Y)\\}14, Proposition 1.27(2), §1.4 :\operatorname{cat}(X\times Y) \le \operatorname{cat}(X) + \operatorname{cat}(Y)18, Theorem 1.37, §1.5 만약 사상 f\colon X\to Y가 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면, \operatorname{cat}(X) \ge \operatorname{cat}(Y)이다.15, Lemma 1.29, §1.4 올뭉치 :F\hookrightarrow E \twoheadrightarrow B 에 대하여, :\operatorname{cat}(E) \le (\operatorname{cat}(F)+1)(\operatorname{cat}(B)+1) - 1 이다.19, Theorem 1.41, §1.5 임의의 점을 가진 공간 (Z,\bullet)의, 크기 2의 열린 덮개 :X, Y \subseteq Z :\bullet \in X\cap Y : X \cup Y = Z 가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다. :\operatorname{cat}(X\cup Y) \le \operatorname{cat}(X) + \operatorname{cat}(Y) + 114, Proposition 1.27(1), §1.4
## 차원과의 관계
위상 공간 X가 (k-1)-연결 공간이라고 하자. 즉, :\pi_i(X) = 0 \qquad\forall i \in\\{0,1,\dotsc,k-1\\} 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. :\operatorname{cat}(X) \le \frac {\dim X}k 여기서 \dim X는 X의 르베그 덮개 차원이다. (다양체의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.)
## 모스 이론과의 관계
연결 콤팩트 매끄러운 다양체 M 위의 연속 미분 가능 함수 f\colon M\to\mathbb R의 임계점의 집합 :\operatorname{Crit}(f) = \\{x\in M \colon \mathrm df = 0 \\} 의 크기 − 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 상계를 이룬다.Theorem 1.15 :|\operatorname{Crit}(f)| \ge \operatorname{cat}(M) + 1

**증명 개략:**언어=en

\operatorname{Crit}(f) = \infty일 경우엔 부등식이 자명하게 성립하므로 f가 유한 개의 임계점만을 가질 경우만 확인하면 충분하다. M에 임의의 리만 다양체 구조를 주고, f의 기울기 흐름 :\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_t (x) = \mathrm d^\\# f|_{\phi_t(x)} 을 생각하자. 그렇다면, 각 임계점 c\in\operatorname{Crit}f에 대하여 :W_c = \left\\{x\in M \colon \lim_{t\to\infty}\phi_t(x) = c\right\\} 를 정의하자. M이 콤팩트 공간이며 임계점들이 유한 개 밖에 없기 때문에, 이들은 M의 덮개를 정의한다. 그 원소들은 닫힌집합이며, 또한 기울기 흐름의 존재에 의하여 W_ c\hookrightarrow M은 모두 상수 함수 W_c \to \\{c\\} \subseteq M와 호모토피 동치이다. 이제, 각 W_c에 대하여, \tilde W_c \supseteq W_c이며, 호모토피 성질을 보존하는 열린 근방 \tilde W_c을 찾을 수 있음을 보일 수 있다.Proposition 2.5(ⅰ) 즉, (\tilde W_c)_{c\in\operatorname{Crit}(f)}는 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의에 등장하는 조건을 만족시키는 열린 덮개이다.

예를 들어, 초구 \mathbb S^n을 유클리드 공간 \mathbb R^{n+1} 위의 단위구로 놓았을 때, 높이 함수는 두 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 등호가 성립한다. 이 성질은 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수의 임계점의 수에 대한 것이다.
## 코호몰로지 길이와의 관계
일반적으로, 위상 공간 X의, n개의 축소 특이 코호몰로지류들의 합곱이 0이 아니라고 하자. :\alpha_1,\dotsc,\alpha_n\in\operatorname{\tilde H}(X) :\\{\alpha_1,\dotsc,\alpha_n\\} \not\ni 0 :\alpha_1\smile \dotsb\smile \alpha_n \ne 0 그렇다면, :\operatorname{cat}(X) \ge n 이다.
## 유리수 류스테르니크-시니렐만 범주
유리수체 위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 \operatorname{cdgAlg}_{\mathbb Q}를 생각하자. 그렇다면, 조각 범주 :\operatorname{cdgAlg}_{\mathbb Q}/\mathbb Q 는 영 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. (CW-복합체와 호모토피 동치이며, 점 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간 \\{\bullet\\}\hookrightarrow X에 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수 A\to\mathbb Q의 류스테르니크-시니렐만 범주를 :\operatorname{cat}_0(X) 라고 표기하자. 이는 사실 X와 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다.언어=en§2.3 특히, 다음이 항상 성립한다. :\operatorname{cat}_0(X) \le \operatorname{cat}(X) 또한, 만약 X와 Y가 단일 연결 공간이며, 그 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.Theorem 2.19 :\operatorname{cat}_0(X \times Y) = \operatorname{cat}_0(X) + \operatorname{cat}_0(Y)
# 예
{| class=wikitable ! 점을 가진 공간 !! 류스테르니크-시니렐만 범주 |- | 축약 가능 공간3, Example 1.6(1) || 0 |- | 초구3, Example 1.6(2) \mathbb S^n, n\ge1 || 1 |- | 축약 불가능한 현수 \Sigma XExample 1.6(2) || 1 |- | 원환면4, Example 1.8(1) \mathbb T^n || n |- | 실수 사영 공간4, Example 1.8(2) \operatorname{\mathbb RP}^n || n |- | 복소수 사영 공간16, Example 1.33 \operatorname{\mathbb CP}^n || n |- | 종수 g의 가향 콤팩트 곡면 \Sigma_g || \min\\{g,2\\} |- | 콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 M44, Exercise 1.20 || (\dim M)/2 |- | \mathbb S^2 \times \mathbb T^219, Example 1.38 || 3 |}

**콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 (M,\omega)에 대하여 \operatorname{cat}M = (\dim M)/2의 증명:**44, Exercise 1.20

심플렉틱 형식 \omega\in\Omega^2(M)의 드람 코호몰로지류 :[\omega]\in\operatorname H^2(M;\mathbb R) 를 생각하자. 그렇다면, :0 \ne [\omega]^{(\dim M)/2} \in \operatorname H^{\dim M}(M;\mathbb R) 이다. (이는 부피 형식을 이룬다.) 따라서 M의 코호몰로지 길이는 (\dim M)/2 이상이며, :\frac{\dim M}2\le\operatorname{cat}M 이다. 반면, M이 단일 연결 공간이므로 \operatorname{cat}M \le (\dim M)/2이다.

# 역사
라자리 류스테르니크 라자리 류스테르니크와 레프 시니렐만이 도입하였다.url=https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1928.4/ICM1928.4.ocr.pdfurl=http://www.mathnet.ru/links/6e45d0c67aba9b89b35bb13e8a8811ad/rm6924.pdf 두 명의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 그 공간 위의 연속 함수의 임계점의 수의 관계를 밝힘으로써 위상수학과 미분기하학 사이에 관계가 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 이 불변량에 ‘범주’(catégorie, категорий)라는 이름을 붙였는데, 이는 범주론의 범주와는 관련이 없고 당시는 아직 범주론이 정립되기 전이었다. 부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 George W. Whitehead가 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 Tudor Ganea가 도입하였다. 1971년 가네아는 LS 범주에 관한 명제인 가네아 추측을 제안했다. 하지만 1998년에 이와세 노리오(岩瀬 則夫)가 이 추측에 대한 반례를 발견하였다.언어=en