탈레스 정리 (평행)

기하학에서, **탈레스 정리**(Thales' theorem)는 삼각형의 밑변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다.
# 정의
평면 위 3개의 서로 다른 평행선 l, l', l*이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 l, l', l*과 하나는 각각 점 A, A', A*에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 B, B', B*에서 만난다고 하자. **탈레스 정리**에 따르면, 다음이 성립한다. :\frac{\overrightarrow{AA*{\overrightarrow{AA' =\frac{\overrightarrow{BB*{\overrightarrow{BB' 특히, 만약 A*이 A에 대하여 A'과 같은 쪽에 있다면, B* 역시 B에 대하여 B'과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 A*이 A에 대하여 A'과 다른 쪽에 있다면, B* 역시 B에 대하여 B'과 다른 쪽에 있다.
# 증명
우선 \overrightarrow{AA*}/\overrightarrow{AA'}=1/2인 경우를 보이자. A를 지나는 BB'의 평행선과 l*의 교점을 C*이라고 하고, A*을 지나는 BB'의 평행선과 l'의 교점을 C'이라고 하자. 그렇다면 \angle A*AC*=\angle A'A*C', AA*=A*A', \angle AA*C*=\angle A*A'C'이므로, 삼각형 AA*C*과 A*A'C'은 합동이며, 특히 \overrightarrow{AC*}=\overrightarrow{A*C'}이다. 사각형 ABB*C*, A*B*B'C'은 모두 평행 사변형이므로, :\overrightarrow{BB*}=\overrightarrow{AC*}=\overrightarrow{A*C'}=\overrightarrow{B*B'} 이다. 즉, \overrightarrow{BB*}/\overrightarrow{BB'}=1/2가 성립한다. 이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 m과 양의 정수 n에 대하여 \overrightarrow{BB*}/\overrightarrow{BB'}=m/n이라고 하자. 선분 AA'을 n등분하고, 직선 AA'의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 n등분점을 지나는 l의 평행선과 직선 BB'의 교점 역시 선분 BB'을 n등분하며, 또한 직선 BB'의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 \overrightarrow{AA*}/\overrightarrow{AA'}=m/n이 성립한다. 이제 \overrightarrow{AA*}/\overrightarrow{AA'}=\lambda가 일반적인 실수인 경우를 보이자. \overrightarrow{BB*}/\overrightarrow{BB'}=\mu이라고 가정하자. 임의의 유리수 q에 대하여, 직선 AA' 위에서 \overrightarrow{AP}=q\overrightarrow{AA'}인 점 P를 취하고, P를 지나는 l의 평행선과 직선 BB'의 교점을 Q라고 하자. 그렇다면 \overrightarrow{BQ}=q\overrightarrow{BB'}이다. A*B*과 PQ는 평행하므로, 만약 \lambda라면 \mu, 만약 \lambda=q라면 \mu=q, 만약 \lambda>q라면 \mu>q이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, \mu=\lambda가 성립한다.
# 따름정리와 일반화

## 닮음 삼각형의 성질
삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 직선과 점 B', C'에서 만나는 직선 B'C'이 다른 한 변 BC에 평행한다고 하자. 그렇다면, :\frac{\overrightarrow{AB{\overrightarrow{AB' =\frac{\overrightarrow{AC{\overrightarrow{AC' =\frac{\overrightarrow{BC{\overrightarrow{B'C' 이다.doi=10.1007/978-3-642-56127-625, §I.3, Corollary 3.3 증명 점 A를 지나는 BC의 평행선과 직선 BC, B'C'에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다. :\frac{\overrightarrow{AB{\overrightarrow{AB' =\frac{\overrightarrow{AC{\overrightarrow{AC'=\lambda 라고 하자. 그렇다면, :\frac{\overrightarrow{BC{\overrightarrow{B'C' =\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB{\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB' =\frac{\lambda\overrightarrow{AC'}-\lambda\overrightarrow{AB'{\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'=\lambda 이다. 증명 끝
## 중심 닮음 변환의 성질
평면 위의 중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다. 증명 우선, 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 이제, 중심 닮음 변환의 중심을 O라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 A, B를 취하자. A의 상을 A'이라고 하고, A'을 지나는 AB의 평행선과 직선 OB의 교점을 B'이라고 하자. 그렇다면 :\frac{\overrightarrow{OB'{\overrightarrow{OB=\frac{\overrightarrow{OA'{\overrightarrow{OA 이므로, B' 역시 B의 상이다. 따라서 직선 AB의 상직선 A'B'은 원래 직선에 평행한다. 증명 끝
## 다차원 아핀 공간 일반화
체 K 위의 아핀 공간 A의 서로 다른 평행 아핀 초평면 H,H',H*\subseteq A가 주어졌고, 어떤 아핀 직선 L\subseteq A가 H, H', H*과 각각 점 :a=H\cap L :a'=H'\cap L :a*=H*\cap L 에서 만난다고 하자. 그렇다면, :\frac{\overrightarrow{aa*{\overrightarrow{aa'\in K 은 아핀 초평면 H, H', H*에만 의존하며, 아핀 직선 L의 선택과 무관하다.doi=10.1007/978-3-540-93815-649, §2.5, Proposition 2.5.1 증명 아핀 초평면 H의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간 V(H)에 대한 몫아핀 공간 A/V(H)로 가는 아핀 사영 변환 :P\colon A\to A/V(H) 를 생각하자. 그렇다면 P는 아핀 변환이며, 유도된 선형 변환 \overrightarrow P를 갖는다. 이제 :\overrightarrow{aa*}=\lambda\overrightarrow{aa'}\qquad(\lambda\in K) 라고 가정하자. 그렇다면 :\overrightarrow P(\overrightarrow{aa*})=\lambda\overrightarrow P(\overrightarrow{aa'}) 이며, \overrightarrow P의 정의에 의하여 :\overrightarrow{P(a)P(a*)}=\lambda\overrightarrow{P(a)P(a')} 이다. 따라서, :\lambda =\frac{\overrightarrow{P(a)P(a*){\overrightarrow{P(a)P(a') =\frac{\overrightarrow{P(H)P(H''){\overrightarrow{P(H)P(H') 은 아핀 직선 L의 선택과 무관하다. 증명 끝
# 역사
고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다.