3차원 거울 대칭

이론물리학에서 **3차원 거울 대칭**(三次元거울對稱, three-dimensional mirror symmetry)은 서로 다른 저(低)에너지 묘사를 갖는 두 2+1차원 \mathcal N=4 (또는 \mathcal N=2) 초대칭 게이지 이론이 사실 같은 모듈라이 공간 위에 위치해 있게 되는 현상이다.
# 정의
2+1차원 \mathcal N=4 (8개의 초전하) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 이 경우, \mathcal N=4 초대칭 대수의 R대칭은 다음과 같은 꼴이다. :\operatorname{Spin}(4) = \operatorname{SU}(2)_{\text{L \times \operatorname{SU}(2)_{\text{R 여기서 SU(2)R은 6차원 \mathcal N=(1,0)의 R대칭이며, SU(2)L은 6차원을 3차원으로 차원 축소하였을 때 얻어지는 SO(3) 로런츠 대칭이다. 3차원 \mathcal N=4 초대칭의 초다중항은 두 종류가 있다. (이는 4차원 \mathcal N=2 또는 6차원 \mathcal N=(1,0)의 차원 축소이다.) * 벡터 초다중항(vector supermultiplet): 양-밀스 장 (스핀 1) + 스칼라장 3개 + 게이지노 (2개의 마요라나 스피너) ** 이는 6차원 벡터 초다중항에서 유래하며, 스칼라장은 6차원 벡터의 축소화된 성분들이다. 따라서 세 복소수 스칼라장은 SU(2)L의 표현 **3**로서 변환한다. ** 아벨 게이지 군의 벡터 초다중항의 경우, 2+1차원에서는 쌍대화를 통해 하이퍼 초다중항과 동치이다. 그러나 이는 비아벨 게이지 군의 경우 성립하지 못한다. ** 벡터 초다중항의 스칼라장이 진공 기댓값을 가진다면, 일반적으로 게이지 군은 카르탕 부분군으로 깨지며, (쿨롱 법칙을 따르는) 아벨 게이지 군이 된다. 그 모듈라이 공간은 **쿨롱 가지**(Coulomb branch)라고 한다. * 하이퍼 초다중항(hypermultiplet): 스칼라장 4개 + 페르미온 (2개의 마요라나 스피너) ** 이는 6차원 하이퍼 초다중항에서 유래한다. 따라서 두 복소수 스칼라장은 SU(2)L에 변환하지 않으며, SU(2)R에서 정의(定義) 표현 **2**로서 변환한다. ** 그 스칼라장이 진공 기댓값을 가진다면, 일반적으로 게이지 군은 힉스 메커니즘을 따라 전부 깨진다. 그 모듈라이 공간은 **힉스 가지**(Higgs branch)라고 한다. 따라서, 어떤 주어진 이론을 힉스 · 쿨롱 가지를 통하여 어떤 모듈라이 공간을 따라 변화시킬 수 있다. 일부 경우, 같은 모듈라이 공간의 서로 다른 두 점 근처에서, 서로 다른 섭동 이론적 표현이 존재하게 된다. 특이, 이 경우 다음과 같은 대응이 존재하며, 이를 **3차원 거울 대칭**이라고 한다. {| class=wikitable |- ! 대상 !! 쌍대 대상 |- | SU(2)L R대칭군 || SU(2)R R대칭군 |- | 쿨롱 가지 진공 모듈러스 || 힉스 가지 진공 모듈러스 |- | 라그랑지언의 질량항 || 페예-일리오풀로스 D항 |} 이는 낮은 에너지 극한에서 적용된다. 즉, 이들은 3차원 초등각 장론으로서 서로 동형이다.
# 끈 이론으로의 해석
이 구성은 ⅡB종 끈 이론의 S-이중성으로 설명할 수 있다. 구체적으로, ⅡB종 초끈 이론에서, 다음과 같은 NS5-막과 D5-막 및 D3-막의 배치를 생각하자. {| class=wikitable || 012 || 345 || 6 || 789 |- ! | NS5 | — || — || • || • |- ! | D5 | — || • || • || — |- ! | D3 | — || • || [—] || • |} 이 경우, 10차원 로런츠 대칭은 \operatorname{SO}(1,2)\times \operatorname{SO}(3)\times\operatorname{SO}(3)으로 깨지게 된다. NS5-막들은 789-공간 속의 점에 위치해 있으며, D5-막들은 345-공간 속의 점에 위치해 있다. 위 표에서, D3-막은 x^6 방향에서 무한히 연장돼 있지 않고, 대신 유한한 폭을 갖는다. D3-막의 양끝은 NS5-막 또는 D5-막에 붙어 있다. D3-막은 x^6 방향에서 유한한 폭을 가지므로, 이를 적분하여 2+1차원 유효 이론을 정의할 수 있으며, 이는 2+1차원 \mathcal N=4 (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론을 이룬다. 이 경우, D3-막의 배열에 따라 다음과 같은 초다중항이 존재한다. {| class=wikitable ! 끝 1 || 끝 2 || 무질량 초다중항 || 비고 |- | NS5 (노이만) || NS5 (노이만) || 벡터 |- | D5 (디리클레) || D5 (디리클레) || 하이퍼 || |- | NS5 (노이만) || D5 (디리클레) || (없음) || 각 NS5–D5 쌍 사이에는 최대 1개의 D3-막이 존재할 수 있다 (s-규칙 s-rule) |} 이 경우, 2+1차원 \mathcal N=4 초대칭 게이지 이론의 각 성질들은 ⅡB 초끈 이론과 다음과 같이 대응한다. {| class=wikitable ! 2+1차원 \mathcal N=4 게이지 이론 !! ⅡB 초끈 이론 |- | SO(1,2) 로런츠 군 || 012방항 로런츠 군 |- | SU(2)L R대칭 || 345방향 로런츠 군 |- | SU(2)R R대칭 || 789방향 로런츠 군 |- | 벡터 초다중항 || NS5–NS5 사이의 D3-막 |- | 하이퍼 초다중항 || D5–D5 사이의 D3-막 |- | 전기 게이지 군 U(*N*) || 두 NS5-막 사이의, 겹친 *N*개의 D3-막 |- | 자기 게이지 군 U(*N*) || 두 D5-막 사이의, 겹친 *N*개의 D3-막 |- | 질량 간극을 갖는 U(1) 게이지장 || NS5-막과 D5-막 사이의 하나의 D3-막 |- | 전기 결합 상수 1/g_{\text{e^2 || 두 NS5-막 사이의 거리 (×비례 상수) |- | 자기 결합 상수 1/g_{\text{m^2 || 두 D5-막 사이의 거리 (×비례 상수) |- | 거울 대칭 || S-이중성 + 345방향을 789방향으로 바꾸는 시공간 회전 |- | 쿨롱 가지 모듈라이 공간 || NS5-막 위의 자기 홀극(붙은 D3-막)들의 모듈라이 공간 |- | 힉스 가지 모듈라이 공간 || D5-막 위의 자기 홀극들(붙은 D3-막)의 모듈라이 공간 |- | 모듈라이 공간 속의 상전이 || 분리된 D3-막이 서로 이어지거나, NS5-막/D5-막이 교차하면서 새 D3-막을 생성 (하나니-위튼 전이) |}
# 역사
3차원 \mathcal N=4 (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론에서의 거울 대칭은 케네스 인트릴리가토어(Kenneth Intriligator)와 나탄 자이베르그가 1996년에 제안하였다.언어=en 이후 아미하이 하나니(עַמִיחַי חַנַנִי)와 에드워드 위튼은 곧 이는 IIB종 끈 이론의 S-이중성에서 비롯된다는 사실을 보였다.언어=en 이 과정에서 하나니와 위튼은 하나니-위튼 전이를 발견하였으며, 이는 3차원 초대칭 게이지 이론 거울 대칭에 중요한 역할을 한다.