원분 다항식

대수적 수론에서, **원분 다항식**(圓分多項式, cyclotomic polynomial)은 1의 거듭제곱근을 근으로 하는 정수 계수 일계수 기약 다항식이다.
# 정의
양의 정수 n에 대하여, **n번째 원분 다항식** :\Phi_n\in\mathbb Z[x] 은 다음과 같다. :\begin{align} \Phi_n(x) & = \prod_{1\le k\le n}^{\gcd\\{k,n\\}=1}(x-\exp(2\pi ik/n)) \\\ & = \prod_{1\le d\le n}^{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)} \\\ & = (x^n-1)\prod_{1\le d 첫째 정의에서, \gcd\\{k,n\\}=1은 k와 n이 서로소라는 조건이며, 이 경우 \exp(2\pi ik/n)는 모든 1의 원시 n제곱근에 해당한다. (\exp(2\pi ik/n)은 흔히 e^{2\pi ik/n}으로 쓴다.) 이 정의에 따라, \Phi_n(x)는 1의 원시 n제곱근들을 근으로 갖는 일계수 다항식이며, \phi(n)차 다항식이다 (\phi는 오일러 피 함수). 둘째 정의에서, \mu는 뫼비우스 함수이다. 셋째 정의는 재귀적이며, 이를 통해 \Phi_n(x)가 정수 계수 다항식임을 쉽게 알 수 있다. \Phi_n(x)가 기약 다항식임은 세 정의로부터 자명하지 않다. \Phi_n(x)이 \exp(2\pi i/n)의 \mathbb Q에 대한 최소 다항식이라는 사실은 원분 다항식의 정의로 삼을 수 있다.
# 성질
다음 성질들이 성립한다. * \Phi_n(x)는 \mathbb Q[x]의 기약 다항식이다. 물론, \Phi_n은 일계수 다항식이므로 원시 다항식이며, 따라서 \mathbb Z[x]의 기약원이기도 하다. * \Phi_n(x)의 차수는 \phi(n)이며, 특히 n\ge3일 때 짝수이다. *:\deg\Phi_n=\phi(n) * 모든 1의 n제곱근은 어떤 유일한 n의 (양의) 약수에 대한 원시 제곱근이므로, 다음 항등식이 성립한다. *:x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x) * 이에 대한 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다. *:\Phi_n(x)=\prod_{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)} * \textstyle n'=\prod_{p\mid n}p가 n의 제곱 인수가 없는 약수 가운데 가장 큰 하나일 때, 다음이 성립한다. 이에 따라, 원분 다항식의 계산은 제곱 인수가 없는 지표의 경우로 귀결된다. *:\Phi_n(x)=\Phi_{n'}(x^{n/n'})
## 계수
원분 다항식의 계수에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. * 모든 정수는 어떤 원분 다항식의 계수이다. 특히, (낮은 차수에서와 달리) 원분 다항식의 계수는 \\{-1,0,1\\}로 이루어질 필요가 없다. * n\ge2에 대하여, \Phi_n(x)의 계수들은 “회문”을 이룬다 (a_0=a_{\phi(n)}=1,a_1=a_{\phi(n)-1},\dots). * n\ge3에 대하여, \Phi_n(x)의 가운데 항 계수(즉, n/2차항 계수)는 0이거나 (n\in\\{2^2,2^3,\dots\\}) 홀수이다 (n\not\in\\{2^2,2^3,\dots\\}).
## 값
원분 다항식의 특정 수에서의 값들은 다음과 같다. :\Phi_n(0)=1 :\Phi_n(1)=\begin{cases} 0 & n=1 \\\ p & \exists p\in\\{2,3,5,7,11,\dots\\}\colon n\in\\{p,p^2,p^3,\dots\\} \\\ 1 & n\ne1\land\not\exists p\in\\{2,3,5,7,11,\dots\\}\colon n\in\\{p,p^2,p^3,\dots\\} \end{cases} :\Phi_n(-1)=\begin{cases} -2 & n=1 \\\ 0 & n=2 \\\ 1 & n\in\\{3,5,7,9,\dots\\} \\\ -n & n\in\\{4,6,8,10,\dots\\} \end{cases}
# 예

## 작은 지표
처음 몇 원분 다항식은 다음과 같다. :\Phi_1(x) = x - 1 :\Phi_2(x) = x + 1 :\Phi_3(x) = x^2 + x + 1 :\Phi_4(x) = x^2 + 1 :\Phi_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1 :\Phi_6(x) = x^2 - x + 1 :\Phi_7(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 :\Phi_8(x) = x^4 + 1 :\Phi_9(x) = x^6 + x^3 + 1 :\Phi_{10}(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 :\Phi_{11}(x) = x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 :\Phi_{12}(x) = x^4 - x^2 + 1 :\Phi_{13}(x) = x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 :\Phi_{14}(x) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 :\Phi_{15}(x) = x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 원분 다항식의 계수가 \\{-1,0,1\\}에 속할 필요는 없다. 예를 들어, 105번째 원분 다항식 \Phi_{105}(x)의 7차항은 -2x^7이다. 이는 처음 오는 반례이며, 105=3\times5\times7은 서로 다른 세 소수의 곱이다.
## Φp
소수 p에 대하여, :\Phi_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+\cdots+x+1 이다. \Phi_p(x)가 기약 다항식임을 보이는 것은 아이젠슈타인 판정법에 따라 더 쉽다.
## Φpq
임의의 두 소수 p에 대하여, :(p-1)(q-1)=r(p,q)p+s(p,q)q 인 유일한 음이 아닌 정수 r(p,q),s(p,q)가 존재한다. 두 소수 p에 대하여, :\begin{align} \Phi_{pq}(x) & = \frac{\Phi_p(x^p)}{\Phi_p(x)} \\\ & = \frac{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^p-1)(x^q-1)} \\\ & = \biggl(\sum_{i=0}^{r(p,q)}x^{ip}\biggr)\biggl(\sum_{j=0}^{s(p,q)}x^{jq}\biggr)-x^{-pq}\biggl(\sum_{i=r(p,q)+1}^{q-1}x^{ip}\biggr)\biggl(\sum_{j=s(p,q)+1}^{q-1}x^{jq}\biggr) \end{align} 이다. 특히, \Phi_{pq}(x)는 \phi(pq)=(p-1)(q-1)차 다항식이며, 계수는 \\{-1,0,1\\}로 이루어지며, 계수 1의 항이 계수 −1의 항보다 하나 더 많다 (\Phi_{pq}(1)=1). 또한, \Phi_{pq}(x)의 가운데 항 계수((p-1)(q-1)/2차항 계수)는 (-1)^{r(p,q)}이다.jstor=2974668