업샘플링

디지털 신호 처리에서 **업샘플링**(upsampling)은 리샘플링 과정과 관련된 용어이다. 다중 속도 디지털 신호 처리 시스템에서 업샘플링은 확장과 동의어이거나 확장 및 필터링(보간)의 전체 과정을 설명할 수 있다. 신호 또는 다른 연속 함수의 샘플 시퀀스에 업샘플링을 수행하면 더 높은 속도(또는 사진의 경우 밀도)로 신호를 샘플링하여 얻었을 시퀀스의 근사치를 생성한다. 예를 들어, 44,100 샘플/초의 콤팩트 디스크 오디오를 5/4 인자로 업샘플링하면 결과 샘플 속도는 55,125가 된다. 그림 1: L=4, n=9, j=3인 경우 하나의 스칼라곱(초록색)으로 하나의 출력 샘플을 나타낸 그림. 각 입력 샘플 쌍 사이에 세 개의 개념적인 "삽입된 영"이 묘사되어 있다. 이들을 계산에서 제외하는 것이 다중 속도 필터와 단일 속도 필터를 구별한다.
# 정수 인자로 업샘플링
정수 인자 L에 의한 속도 증가는 2단계 과정으로 설명될 수 있으며, 더 효율적인 동등한 구현이 가능하다**:** #확장**:** 원래 샘플 x[n]을 L-1개의 0으로 구분하여 시퀀스 x_L[n]을 생성한다. 이 연산에 대한 표기법은**:** x_L[n] = x[n]_{\uparrow L}이다. #보간**:** 0을 대체하는 저역 통과 필터를 사용하여 불연속성을 부드럽게 만든다. 이 응용에서 필터는 **보간 필터**라고 불리며, 그 설계는 아래에서 논의된다. 보간 필터가 FIR 유형일 때, 0은 스칼라곱 계산에 아무런 기여도 하지 않으므로 효율성을 향상시킬 수 있다. 데이터 스트림과 계산에서 0을 생략하는 것은 쉬운 일이다. 각 출력 샘플에 대해 다중 속도 보간 FIR 필터가 수행하는 계산은 스칼라곱이다**:**크로치에르와 래비너 "2.3". p 38. 식 2.80, 여기서 m \triangleq j+nL, 또한 n = \bigl\lfloor \tfrac{m}{L} \bigr\rfloor, 그리고 j = m - nL. 필요. Eq.1 여기서 h 시퀀스는 보간 필터의 임펄스 응답이며, K는 h[j+kL]이 0이 아닌 가장 큰 k 값이다. title=식 1 유도 보간 필터 출력 시퀀스는 컨볼루션으로 정의된다**:** :y[m] = \sum_{r=-\infty}^\infty x_L[m-r]\cdot h[r] x_L[m-r]이 0이 아닐 수 있는 유일한 항은 m-r이 L의 정수 배수인 경우이다. 따라서**:** m-r = \bigl\lfloor\tfrac{m}{L}\bigr\rfloor L - kL 정수 k, 에 대해 컨볼루션은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다**:** : \begin{align} y[m] &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_L\left[\bigl\lfloor\tfrac{m}{L}\bigr\rfloor L - kL\right]\cdot h\Bigl[\overbrace{m - \bigl\lfloor\tfrac{m}{L}\bigr\rfloor L + kL}^{r}\Bigr]\\\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x\left[\bigl\lfloor\tfrac{m}{L}\bigr\rfloor - k\right]\cdot h\left[m - \bigl\lfloor\tfrac{m}{L}\bigr\rfloor L + kL\right]\quad \stackrel{m\ \triangleq\ j + nL}{\longrightarrow}\quad y[j+nL] = \sum_{k=0}^K x[n-k]\cdot h[j+kL],\ \ j = 0,1,\ldots,L-1 \end{align} 글 숨김 끝 L=2, 인 경우 함수 h는 하프 밴드 필터로 설계될 수 있으며, 여기서 계수의 거의 절반이 0이므로 스칼라곱에 포함될 필요가 없다. L 간격으로 취해진 임펄스 응답 계수는 부분 시퀀스를 형성하며, 이러한 부분 시퀀스(**위상**이라고 함)는 L개이다. 임펄스 응답의 L개 위상 각각은 x 데이터 스트림의 동일한 순차 값을 필터링하고 L개의 순차 출력 값 중 하나를 생성한다. 일부 다중 프로세서 아키텍처에서는 이러한 스칼라곱이 동시에 수행되는데, 이 경우 **폴리페이즈** 필터라고 불린다. 완전성을 위해, 각 위상의 가능한, 그러나 가능성은 낮은 구현은 h 배열의 복사본에서 다른 위상의 계수를 0으로 대체하고 x_L[n] 시퀀스를 원래 입력 속도보다 L배 빠르게 처리하는 것이다. 그러면 L개의 출력 중 L-1개가 0이 된다. 원하는 y 시퀀스는 위상들의 합이며, 각 합의 L-1개 항은 동일하게 0이다. 위상의 유용한 출력 사이에 L-1개의 0을 계산하고 이를 합에 추가하는 것은 효과적으로 다운샘플링이다. 이는 전혀 계산하지 않는 것과 동일한 결과이다. 이러한 동등성은 두 번째 노블 항등식으로 알려져 있다. 이는 때때로 폴리페이즈 방법의 유도에 사용된다.
# 보간 필터 설계
[[파일:Spectral views of zero-fill and interpolation by lowpass filtering.pdf|섬네일||그림 2: 첫 번째 그래프의 첫 번째 삼각형은 연속 함수 x(t)의 푸리에 변환 X(f)를 나타낸다. 첫 번째 그래프 전체는 연속 함수 x(t)를 1/T의 낮은 속도로 샘플링하여 형성된 시퀀스 x[n]의 이산시간 푸리에 변환을 나타낸다. 두 번째 그래프는 원래 샘플 사이에 0 값을 가진 샘플을 삽입하여 구현된 더 높은 데이터 속도에서 저역 통과 필터의 적용을 나타낸다. 세 번째 그래프는 필터 출력의 DTFT이다. 하단 표는 필터 설계 도구에서 사용되는 다양한 주파수 단위의 최대 필터 대역폭을 나타낸다.]] x[n] 시퀀스와 동일한 간격 T에서 샘플링된 함수 x(t)의 푸리에 변환을 X(f)라고 하자. 그러면 x[n] 시퀀스의 이산시간 푸리에 변환 (DTFT)은 X(f)의 푸리에 급수 표현이다:해리스 2004. "2.2". p 23. 그림 2.12 (상단). Eq.2 T가 초 단위이고 f가 헤르츠 (Hz) 단위일 때. L배 더 빠르게 샘플링(간격 T/L에서)하면 주기성은 L배 증가한다:해리스 2004. "2.2". p 23. 그림 2.12 (하단). Eq.3 이는 또한 보간의 원하는 **결과**이다. 이 두 분포의 예는 그림 2의 첫 번째 및 세 번째 그래프에 묘사되어 있다. 추가 샘플이 0으로 삽입되면 샘플 간격이 T/L로 줄어든다. 푸리에 급수의 0 값 항을 생략하면 다음과 같이 쓸 수 있다: :\sum_{n=0, \pm L, \pm 2L,..., \pm \infty}{} x(nT/L)\ e^{-i 2\pi f nT/L} \quad \stackrel{m\ \triangleq\ n/L}{\longrightarrow} \sum_{m=0, \pm 1, \pm 2,..., \pm \infty}{} x(mT)\ e^{-i 2\pi f mT}, 이는 L 값에 관계없이 Eq.2와 동일하다. 이러한 동등성은 그림 2의 두 번째 그래프에 묘사되어 있다. 유일한 차이점은 사용 가능한 디지털 대역폭이 L/T로 확장되어 새로운 대역폭 내에서 주기적 스펙트럼 이미지의 수가 증가한다는 것이다. 일부 저자는 이를 새로운 주파수 성분으로 설명한다. 두 번째 그래프는 또한 저역 통과 필터와 L=3을 묘사하고 있으며, 결과적으로 원하는 스펙트럼 분포(세 번째 그래프)를 보여준다. 필터의 대역폭은 원래 x[n] 시퀀스의 나이퀴스트 진동수이다.구현 가능한 저역 통과 필터는 응답이 거의 1에서 거의 0으로 감소하는 전이 대역을 갖는다. 따라서 실제로는 차단 주파수가 이론적 차단 주파수보다 충분히 낮게 설정되어 필터의 전이 대역이 이론적 차단 주파수 아래에 포함되도록 한다. Hz 단위에서 그 값은 \tfrac{0.5}{T}, 이지만 필터 설계 응용 프로그램은 일반적으로 정규화된 단위를 요구한다. (그림 2, 표 참조)
# 분수 인자로 업샘플링
L/M을 업샘플링 인자라고 하자. 여기서 L > M이다. #L 인자로 업샘플링 #M 인자로 다운샘플링 업샘플링은 데이터 속도를 증가시킨 후 저역 통과 필터가 필요하며, 다운샘플링은 데시메이션 전에 저역 통과 필터가 필요하다. 따라서 두 작업은 두 차단 주파수 중 낮은 주파수를 갖는 단일 필터로 수행될 수 있다. L > M인 경우, 보간 필터 차단 주파수인 \tfrac{0.5}{L} 중간 샘플당 사이클은 더 낮은 주파수이다.
# 내용주
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# 페이지 인용
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# 추가 자료
* title=디지털 오디오 리샘플링 홈페이지 (대역 제한 보간 기술 논의) * url=http://www.dsplog.com/2007/05/12/polyphase-filters-for-interpolation/ 디지털 신호처리 위키데이터 속성 추적 분류:디지털 신호 처리 분류:신호 처리