정칙렬

가환대수학에서 **정칙렬**(正則列, 레귤러 시퀀스)은 어떤 가군의 크기를 하나씩 ‘최대한’ 줄이는, 가환환 원소들의 열이다.언어=en123–152, Chapter 6 여기서 가군의 ‘크기를 줄인다’는 것은 가환환의 원소로 생성되는 부분 가군에 대한 몫가군을 취하는 것이다. 구체적으로, 정칙렬에서 임의의 성분 a_i는 그 이전 성분들(a_1,a_2,\dotsc,a_{i-1})로 생성되는 부분 가군 (a_1,a_2,\dotsc,a_{i-1})M에 대한 몫가군 M/(a_1,a_2,\dotsc,a_{i-1})M의 영인자가 아니다. 대수기하학적으로, 정칙렬은 여차원을 양의 정수 만큼씩 줄이는 ‘잘라내기’들로서 정의되는 부분 대수다양체에 해당한다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 가환환 R * R의 아이디얼 \mathfrak a * R의 가군 M. 또한, \mathfrak aM\subsetneq M이라고 하자. 유한 원소열 r_1,\dots,r_n\in R가 다음 조건을 만족시키면, M의 **정칙렬**이라고 한다.언어=en419 * 임의의 i=1,2,\dots,n 및 m\in M에 대하여، 만약 r_im \in (r_1,\dotsc,r_{i-1})M이라면, m \in (r_1,\dotsc,r_{i-1})M이다. (즉, r_i는 M/(r_1,\dots,r_{i-1})M의 영인자가 아니다.) 일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 (r_1,\dotsc,r_n)M \ne M이라는 조건을 추가한다. 이는 가군의 깊이의 개념을 정의하는 데 더 편리하지만, 이 조건은 국소화에 대하여 보존되지 못한다. 기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자 \operatorname{Ann}_RM 속의 일련의 부분 스킴들 :\operatorname{Spec}\frac R{\operatorname{Ann}_RM} \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{\operatorname{Ann}_R(M/r_1M)} \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{\operatorname{Ann}_R(M/(r_1,r_2)M)} \leftarrow\dotsb 에 대응된다. 특히, 만약 M = R인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열 :\operatorname{Spec}R \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1)} \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1,r_2)} \leftarrow \dotsb 에 해당한다.
# 성질
R-가군 M 속의 정칙렬 r_1,r_2,\dotsc,r_d이 주어졌을 때, 임의의 가역원 u_1,u_2,\dots,u_d \in R^\times에 대하여 u_1r_1,\dotsc,u_dr_d 역시 정칙렬이다.
## 국소화
R-가군 M 속의 정칙렬 r_1,\dotsc,r_d이 주어졌으며, R의 곱셈 모노이드 S \subseteq R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 국소화 S^{-1}R로 가는 표준 환 준동형 \phi \colon R \to S^{-1}R에 대하여, 원소열 \phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d) 역시 S^{-1}M의 정칙렬이다.

**증명:**

가군의 국소화는 완전 함자이며, 따라서 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. \phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)가 정칙렬이라는 것은 :(\phi(r_i)\cdot)\colon \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M} \to \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M} 가 단사 함수라는 것인데, 이는 단사 함수 :r_i \colon \frac M{(r_1,\dotsc,r_{i-1})M} \to \frac M{(r_1,\dotsc,r_{i-1})M} 의 상이므로 단사 함수이다.

(※만약 정칙렬의 정의에 (r_1,\dotsc,r_d)M \ne M이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.)
## 순열
정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다. 다만, 뇌터 가환환 R의 유한 생성 가군 M에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 정칙렬 a_1,a_2,\dotsc,a_d의 순열은 역시 정칙렬이다.126, Theorem 16.3 * 아이디얼 (a_1,a_2,\dotsc,a_d)은 R의 근기 \operatorname{rad}R의 부분 집합이다.
## 깊이
가군의 깊이 코언-매콜리 환 뇌터 가환환 R의 아이디얼 \mathfrak a\subsetneq R 및 유한 생성 가군 M이 주어졌을 때, \mathfrak a 속에 포함된 M-정칙렬의 최대 길이를 (\mathfrak a,M)의 **깊이**라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다. 국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 **코언-매콜리 국소환**이라고 한다.
# 예
길이 1의 정칙렬은 단순히 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다.
## 정칙렬이 아닌 정칙렬 순열
\mathbb C[x,y,z]를 스스로 위의 가군으로 간주하자. 이 경우, :x, y(1-x), z(1-x) 는 정칙렬이다. 그러나 그 순열인 :y(1-x),z(1-x),x 는 정칙렬이 아니다.127, §16 구체적으로, y(1-x)는 \mathbb C[x,y,z]의 영인자가 아니지만, z(1-x)는 \mathbb C[x,y,z]/(y(1-x))의 영인자이다. 예를 들어 :z(1-x)\cdot y \in y(1-x)\mathbb C[x,y,z] :y \not \in y(1-x)\mathbb C[x,y,z] 이다. 기하학적으로, \mathbb C[x,y,z]는 3차원 아핀 공간이며, 이 경우 :\mathbb C[x,y,z]/(x) 는 x = 0으로 정의되는 yz 평면이다. 그 속에서 :\mathbb C[x,y,z]/(x,y(1-x)) \cong \mathbb C[x,y,z]/(x,y) 는 z축이며, :\mathbb C[x,y,z]/(x,y(1-x),z(1-x)) \cong \mathbb C[x,y,z]/(x,y,z) 는 그 속의 원점이다. 반면, :\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x)) 는 y=0 평면과 x = 1 평면의 합집합이다. 그 속에서 :\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x),z(1-x)) 는 :y=z=0 축과 x=1 평면의 합집합이므로, 이는 양의 여차원을 갖지 못한다.