멀티심플렉틱 다양체

미분기하학에서 **멀티심플렉틱 다양체**(multisymplectic多樣體, multisymplectic manifold)는 임의의 0이 아닌 벡터장과의 내부곱이 0이 아닌 닫힌 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다.언어=enChapter 2 심플렉틱 다양체와 부피 형식의 개념의 공통적인 일반화이다.
# 정의
자연수 k\in\mathbb N가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M 위의 **k차 멀티심플렉틱 구조**(k-multisymplectic structure) :\omega\in\Omega^{k+1}(M) 은 다음과 같은 성질을 갖는 k+1차 닫힌 미분 형식이다. * 임의의 점 x\in M 및 접벡터 v\in\mathrm T_xM \setminus\\{0\\}에 대하여, v \lrcorner \omega_x \ne 0 \in \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*_xM이다. 여기서 :\lrcorner \colon \mathrm T_xM \times \bigwedge^{k+1}\mathrm T^*M \to \bigwedge^k\mathrm T^*M 는 x에서, 접벡터와 미분 형식의 내부곱이다. **k차 멀티심플렉틱 다양체**(k-multisymplectic manifold) (M,\omega)는 매끄러운 다양체와 그 위의 k차 멀티심플렉틱 구조의 순서쌍이다.
# 성질
n차원 매끄러운 다양체 위에 k차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건은 다음과 같다. :k+1 \le n \le \binom nk 여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은 k+1차 미분 형식이 존재할 필요 조건이며, 둘째 부등식은 \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*_xM의 차원이 \mathrm T_xM의 차원보다 작지 않을 조건이다. 일반적으로, n\ge6차원 매끄러운 다양체 위에는 2차〜n-4차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.Remark 2.7
## 멀티심플렉틱 다양체에 대응되는 L∞-대수
k차 멀티심플렉틱 다양체 (M,\omega) 위의 **해밀토니언 미분 형식**(Hamiltonian differential form)은 다음 조건을 만족시키는 k-1차 미분 형식 \alpha\in\Omega^{k-1}(M)이다. :\exists X \in \operatorname{Vect}(M) \colon \mathrm d\alpha = X \lrcorner \omega 그 공간을 \Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham(M)이라고 하자. 이제, 등급 벡터 공간 :L = \bigoplus_{i=0}^{n-1}L_i :L_0 = \Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham(M) :L_i = \Omega^{k-1-i}(M)\qquad(i\in\\{1,2,\dotsc,n-1\\} 위에 다음과 같은 L∞-대수의 구조를 줄 수 있다.Theorem 3.14 :[\alpha] = \mathrm d\alpha\qquad\forall \alpha\in L,\;\deg \alpha>0 :[\alpha_1,\dotsc,\alpha_p] = (-)^{1+\lceil p/2\rceil}(X_1\wedge \dotsb \wedge X_p) \lrcorner \omega\qquad(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k\in\Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham(M),\;\forall i\colon \mathrm d\alpha_i = X_i\lrcorner \omega)
# 연산
(서로 다른 차원일 수 있는) 두 k차 멀티심플렉틱 다양체 (M_1,\omega_1), (M_2,\omega_2)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱공간 :M = M_1 \times M_2 :\pi_i \colon M \twoheadrightarrow M_i 에 대하여, :\omega = \pi_1^*\omega_1 + \pi_2^*\omega_2 를 정의하자. 만약 k\ge1이라면, 이는 M 위의 k차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.

**증명**:

임의의 x=(x_1,x_2)\in M에서, 접벡터 :v = (v_1,v_2) \in \mathrm T_xM = \mathrm T_{x_1}M_1 \oplus \mathrm T_{x_2}M_2 에 대하여, :v \lrcorner \omega = v_1\lrcorner\omega_1 + v_2 \lrcorner\omega_2 이다. k>0이라면, 이 두 항은 서로 다른 벡터 공간에 속하므로, 합이 0일 필요 충분 조건은 각 항이 0인 것이다. 그런데 M_1과 M_2가 각각 k차 멀티심플렉틱 다양체이므로, 이것이 0일 필요 충분 조건은 v_1과 v_2가 각각 0인 것이다.

# 예
0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 매끄러운 다양체와 같다. 1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 심플렉틱 다양체의 개념과 같다. n차원 n-1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 부피 형식이 주어진 n차원 매끄러운 다양체의 개념과 같다.
## 리 군
콤팩트 단순 리 군이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에는 표준적인 3차 미분 형식이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 단순 리 대수는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다. G의 실수 리 대수를 :\mathfrak g = \mathfrak{lie}(G) 라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수(string algebra) :\mathfrak{string}(\mathfrak g) = \mathfrak g\oplus \mathbb R[1] :[x,y,z] = \mu(x,y,z) \in \mathbb R[1]\qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g 를 정의할 수 있다. 2-멀티심플렉틱 다양체 G에 대응되는 L₂-대수 :L(G) = \Omega^1_{\operatorname{Ham(G)\oplus\Omega^0(G)[1] 를 생각하자. G는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로 작용하며, 이에 대한 불변 L₂-대수 :L(G)^G = \Omega^1_{\operatorname{Ham(G)^G\oplus\Omega^0(G)^G[1] 를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로 :\Omega^1_{\operatorname{Ham(G)^G \cong \mathfrak g^* \cong \mathfrak g :\Omega^0(G)^G \cong \mathbb R 이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다.
## 특수 홀로노미
홀로노미가 리 군 G₂인 7차원 리만 다양체는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 초켈러 다양체의 세 심플렉틱 구조 \omega_1,\omega_2,\omega_3이 주어졌을 때 :\omega_1\wedge\omega_1+\omega_2\wedge\omega_2+\omega_3\wedge\omega_3 은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.Example 2.11
## 공변접다발의 외대수
매끄러운 다양체 M이 주어졌을 때, 그 공변접다발의 k차 외대수 :\bigwedge^k\mathrm T^*M 을 생각하자. 그 위에는 표준적인 k차 미분 형식 :\theta \in \Omega^k\left(\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right) :\theta|_{(x,p)} = p_{i_1\dotso i_k}\,\mathrm dx^{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k} \qquad\left(x\in M,\;p\in\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right) 이 존재한다. 그 외미분 :\omega = \mathrm d\theta \in \Omega^{k+1}\left(\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right) :\omega|_{(x,p)} = \mathrm dp_{i_1\dotso i_k}\,\mathrm dx^{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k} \qquad\left(x\in M,\;p\in\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right) 은 n+\textstyle\binom nk차원 매끄러운 다양체 \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*M 위의 k차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.Example 2.10
## 시그마 모형
다음이 주어졌다고 하자. * m차원 매끄러운 다양체 M * k차원 매끄러운 다양체 \Sigma * \Sigma 위의 부피 형식 \omega\in\Omega^k(\Sigma) 그렇다면 벡터 다발 :\mathrm T\Sigma \otimes_{M\times\Sigma} \mathrm T^*M 의 전체 공간의 국소 좌표를 :(x^\mu,\phi^i,\pi^\mu_i)\qquad(x\in\Sigma,\;\phi\in M,\;\pi\in\mathrm T_x\Sigma \otimes \mathrm T^*_xM) 위에 다음과 같은 구조를 생각하자. :\theta= \pi^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \frac\partial{\partial x^\mu} \lrcorner \omega 이는 k차 미분 형식을 이룬다. 그 외미분 :\mathrm d\theta= \mathrm d\pi^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \frac\partial{\partial x^\mu} \lrcorner \omega 은 k+1차 미분 형식이며, 만약 k\ge2일 경우 k차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

**증명**:

임의의 :x\in \Sigma :\phi\in M :v^\mu\frac\partial{\partial x^\mu}\in \mathrm T_x\Sigma :\chi^i\frac\partial{\partial\phi^i} \in \mathrm T_\phi M :\nu^i_\mu\,\mathrm d\pi_i^\mu \in \mathrm T_\phi M \otimes \mathrm T^*_x N 에 대하여, : (v,\chi,\nu) \lrcorner \mathrm d\theta = \mathrm d\pi^\mu_i \wedge \mathrm d\phi^i \wedge v^\nu\psi_{\nu\mu} \- \chi^i \mathrm d\pi^\mu_i \wedge \psi_\mu \+ \nu^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \psi_\mu 이다. 여기서 편의상 :\psi_\mu= \frac\partial{\partial x^\nu} \lrcorner \omega :\psi_{\mu\nu} = \frac\partial{\partial x^\mu}\lrcorner \frac\partial{\partial x^\nu} \lrcorner \omega 으로 정의하였다. k\ge2일 경우 \psi_{\nu\mu} \ne 0이게 된다. 즉, 이 경우, 위 표현이 0이 될 필요 충분 조건은 v와 \chi와 \nu가 각각 0인 것이다.

이 구성은 \Sigma\to M 시그마 모형의 공변 위상 공간(covariant phase space)으로 해석할 수 있다. 이 경우 좌표 \pi^\mu_i는 일반화 운동량에 해당한다.