위너 공간

확률론에서 **위너 공간**(Wiener空間, Wiener space) 또는 **추상 위너 공간**(抽象Wiener空間, abstract Wiener space)은 일종의 “정규 분포”에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다.언어=en§1.1arxiv=1607.03591 일반적으로, 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 일컫는다.
# 정의
위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다. * 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다. * 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.
## 푸리에 변환을 통한 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 분해 가능 실수 바나흐 공간 E * E의 보렐 시그마 대수 위의 확률 측도 \mu * 분해 가능 실수 힐베르트 공간 (H,\langle|\rangle) * 단사 연속 실수 선형 변환 \iota\colon H\hookrightarrow E. (이는 등거리 변환일 필요가 없다.) 또한, 그 상이 조밀 집합이라고 하자. 그렇다면, H\subseteq E이므로 :E^* \subseteq H^* = H 이며, E^*는 H의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 (-)^*는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.) 만약 :\int_E \exp(\mathrm i\langle \lambda|x\rangle)\,\mathrm d\mu(x) = \exp\left(- \frac{\langle \lambda|\lambda\rangle_H}2 \right) \qquad\forall \lambda\in E^*\subseteq H 라면, (E,\mu,H)가 **위너 공간**이라고 한다.
## 구체적 정의
위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다. 분해 가능 실수 힐베르트 공간 H 위의 기둥 집합의 족 \operatorname{Cyl}(H) 위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다. :\nu\colon\operatorname{Cyl}(H) \to [0,1] :\nu\colon P^{-1}(S) \mapsto (2\pi)^{n/2}\int_S \exp(-x^2/2)\,\mathrm d^nx\qquad (P\colon H\to\mathbb R^n,\;S\in\operatorname{Borel}(\mathbb R^n)) 특히, :\nu(H) = 1 :\nu(\varnothing) = 0 이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는 \sigma(\operatorname{Cyl}(H)) = \operatorname{Borel}(H) 위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를 H 위의 **기둥 집합 측도**(cylinder-set measure)라고 한다. H 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 \|-\|이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열 :V_1 \le V_2 \le \dotsb \le H 이 존재한다면, 이를 **가측 노름**(measurable norm)이라고 한다. :임의의 유한 차원 부분 공간 W \subseteq H에 대하여, 만약 W\perp V_n이라면, \nu(\\{x\in H\colon \|\operatorname{proj}_Wx\|> 2^{-n}\\}) 0) 또한, 만약 \phi \ne 0라면, C>0이다.
## 존재
임의의 분해 가능 바나흐 공간 E에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 (\mu,H)가 적어도 하나 이상 존재한다.Theorem 4.47
## 페일리-위너 적분
위너 공간 (E,\mu,H)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, :E^* \subseteq H\subseteq E 가 성립한다. 또한, :E^* \subseteq \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R) 임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다. :\|\phi\|_{\operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)} = \sqrt{\langle \phi|\phi\rangle_H} 다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환 :E^* \to \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R) 이 존재한다. E^*는 H의 조밀 집합이므로, 이를 H 전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환 :I\colon H \to \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R) 이 존재한다. 이를 **페일리-위너 사상**(Paley–Wiener map)이라고 한다. 이에 따라서, 임의의 h\in H 및 x\in E에 대하여 :I_h(x) \in \mathbb R 를 정의할 수 있다. 이를 **페일리-위너 적분**(Paley–Wiener integral)이라고 한다.
## 캐머런-마틴 정리
위너 공간 (E,\mu,H) 및 h\in H에 대하여, 다음을 정의하자. :(+h) \colon E \to E :(+h) \colon x \mapsto x+h 그렇다면, E 위의 보렐 확률 측도 :\mu_h = (+h)_*\mu\colon\operatorname{Borel}(E) \to [0,1] 를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수 :\frac{\mathrm d\mu_h}{\mathrm d\mu} 는 다음과 같다. :\frac{\mathrm d\mu_h}{\mathrm d\mu} = \exp\left(I_h(x)) - \frac12 \langle h|h\rangle\right) 여기서 I_h(x)는 페일리-위너 적분이다. 이를 **캐머런-마틴 정리**(Cameron–Martin theorem)라고 한다.
# 연산
두 위너 공간 (E,\mu,H), (E',\mu',H')가 주어졌을 때, (E\oplus E',H\oplus H') 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다. :\mu(S\times S') = \mu_E(S) \mu_{E'}(S')\qquad\forall S\in\operatorname{Borel}(E),\;S'\in\operatorname{Borel}(E')
# 예
만약 H가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, H= E라고 하자. 이 경우, H 위의 위너 공간 구조의 개념은 H 위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다.
## 고전 위너 공간
다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자. :\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) = \\{f\in\mathcal C^0([0,T],\mathbb R^n)\colon f(0) = 0\\} :\|f\|_{\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)} = \max_{[0,T]} \|f\|_{\mathbb R^n} 그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다. :\operatorname W_0^{1,2}\left([0,T],\mathbb R^n\right) = \operatorname W^{1,2}([0,T],\mathbb R^n) \cap \mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) = \\{ f\in\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) ,\; \mathrm df/\mathrm dt \in \operatorname L^2([0,T],\mathbb R^n) \\} 여기서 \operatorname W^{1,2}(-)는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간 \operatorname W^{1,2}_0([0,T],\mathbb R^2)의 원소이다. (도함수의 L2 노름의 제곱은 **에너지**라고 하며, 따라서 \operatorname L_0^{2,1}의 원소는 **유한 에너지 경로**(finite-energy path)라고 한다.) 이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다. :\langle f,g\rangle_{\operatorname L_0^{2,1}\left([0,1],\mathbb R^n\right)} = \int_0^T \langle \dot f(t),\dot g(t)\rangle_{\mathbb R^n}\,\mathrm dt 이제, 임의의 확률 공간 \Omega 및 위너 과정 :(W_t \colon \Omega \to \mathbb R^n)_{t\in[0,T]} 을 생각하자. W의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는 \mathcal C_0([0,T],\mathbb R^n) 위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합 S\subseteq\mathcal C_0^0([0,T],\mathbb R^n)에 대하여, :\mu(S) = \Pr(W \in S) 로 놓는다. 그렇다면, (\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n),\mu,\operatorname L_0^{2,1}\left([0,1],\mathbb R^n\right))는 위너 공간을 이룬다. 이를 **고전 위너 공간**(古典Wiener空間, classical Wiener space)이라고 한다.
## 브라운 다리
원을 :\mathbb S^1 = [0,1]/(0\sim1) 로 정의하자. L∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간 :E = \mathcal C^0_0(\mathbb S^1,\mathbb R^n) = \\{f \in \mathcal C^0(\mathbb S^1,\mathbb R^n)\colon f(0) = f(1) = 0 \\} 을 생각하자. 이 위에, 부분 공간 :H = \operatorname W_0^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^n) = \operatorname W^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^n) \cap E 을 생각하자. 이는 내적 :\langle f,g\rangle = \oint \dot f\dot g 에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다. E 위에, 확률 과정 :X_t = W_t - tW_1 의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서 W_t는 위너 과정이다. 그렇다면, (E,H)는 위너 공간을 이룬다.§4.4
## 힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조
분해 가능 힐베르트 공간 H 및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소 A \colon H\to H가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름 :\|x\|_A = \langle Ax|Ax\rangle_H 을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 (E,\mu,H)에서 E 역시 힐베르트 공간을 이룬다.Corollary 4.62 반대로, 임의의 위너 공간 (E,\mu,H)에서 E가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.Corollary 4.62
# 역사
고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스(Leonard Gross)가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.언어=enurl=http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/1026394.pdf 페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 땄다. 캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(Robert Horton Cameron, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(William Ted Martin, 1911〜2004)이 증명하였다.