합성열

추상대수학에서 **합성열**(合成列, composition series)은 군이나 가군을 보다 단순한 부분들로 분해하는 방법 중 하나이다. 합성열은 존재하지 않을 수도 있고, 존재한다 해도 유일하지 않을 수 있다. 그러나 카미유 조르당과 오토 횔더의 이름을 딴 **조르당-횔더 정리**(Jordan–Hölder theorem)에 따르면 합성열에 나타나는 몫군이나 몫가군들의 동형류와 각각의 동형류가 나타나는 횟수는 유일하게 결정된다. 단, 합성열 안에서 각 동형류가 나타나는 순서는 달라질 수 있다. 이는 슈라이어 세분 정리를 통해 보일 수 있다. 조르당-횔더 정리는 초한 오름차순 합성열에 대해서도 성립하지만, 초한 내림차순 합성열에 대해서는 성립하지 않는다. 1934 합성열과 비슷한 개념으로 **주합성열**(principal series, chief series)이 있다. 합성열은 극대 부분정규열인 데 비해, 주합성열은 극대 정규열이다. (모든 정규열은 부분정규열이지만, 주합성열이 합성열일 필요는 없다.) 작용소군의 개념을 사용하면 군과 가군의 합성열 및 군의 주합성열을 통일되게 기술할 수 있다.
# 정의

## 작용소군
모노이드 \Omega 위의 작용소군 _\Omega G의 **부분정규열**(subnormal series)은 다음 두 조건을 만족시키는, G의 부분 작용소군들의 열 :1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_n=G 이다. * 모든 G_i는 G_{i+1}의 부분 작용소군이다. * 모든 G_i는 G_{i+1}의 정규 부분군이다 (G_i\vartriangleleft G_{i+1}). 부분정규열에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분정규열을 **합성열**이라고 한다. * 몫 작용소군 G_{i+1}/G_i들은 단순 작용소군(=자명군과 스스로를 제외한 정규 부분 작용소군이 없는 비자명 작용소군)이다. 이 몫군들을 **합성인자**(composition factor)라고 부른다. * 모든 i에 대하여, G_i\ne G_{i+1}이며, G_i\vartriangleleft H\vartriangleleft G_{i+1}인 부분 작용소군 H\ne G_i,G_{i+1}가 존재하지 않는다. * 모든 G_i는 G_{i+1}의 극대 정규 부분 작용소군이다. 즉, 합성열은 더 큰 부분정규열의 일부가 아닌 부분정규열이다.
## 군
군 G 위에는 다음과 같은 두 작용소군 구조를 부여할 수 있다. * 자명 모노이드 \Omega=1의 자명한 작용. 이 작용소군 구조에 대한 부분정규열과 합성열은 군 G의 **부분정규열**과 **합성열**이다. * 내부 자기 동형군 \Omega=\operatorname{Inn}(G)의 작용. 이 작용소군의 부분정규열을 군 G의 **정규열**(normal series)이라고 하며, 이 작용소군의 합성열을 군 G의 **주합성열**이라고 한다. 즉, 군 G의 부분군의 열 :1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_n=G 에 대하여, * 만약 모든 G_i가 G_{i+1}의 정규 부분군이라면, 이 부분군의 열을 **부분정규열**이라고 한다. * 만약 부분정규열이며, 몫군 G_{i+1}/G_i들이 단순군이라면 (즉, G_i\ne G_{i+1}이며, G_i를 포함하는 G_{i+1}의 정규 부분군이 G_i와 G_{i+1}밖에 없다면), 이 부분군의 열을 **합성열**이라고 한다. * 만약 모든 G_i가 G의 정규 부분군이라면, 이 부분군의 열을 **정규열**이라고 한다. * 만약 정규열이며, 몫군 G_{i+1}/G_i들이 G/G_i의 극소 정규 부분군이라면 (즉, G_i\ne G_{i+1}이며, G_i와 G_{i+1} 사이에 G의 정규 부분군이 G_i와 G_{i+1}밖에 없다면), 이 부분군의 열을 **주합성열**이라고 한다. 따라서, 주합성열은 더 큰 정규열에 포함되지 않는 정규열이다. 아벨 군의 경우, 모든 부분군이 정규 부분군이므로, 부분정규열과 정규열의 개념이 일치하며, 합성열과 주합성열 역시 같은 개념이다.
## 가군
왼쪽 가군은 그 환의 작용을 갖춘 작용소군으로 여길 수 있다. 이 경우, 부분 작용소군·정규 부분 작용소군·부분 가군의 개념이 일치한다. 따라서, 환 R 위의 왼쪽 가군 _RM의 **부분정규열**은 단순히 부분 가군의 열 :0=M_0\subset M_1\subset M_2\subset\cdots\subset M_n=M 이며, 모든 몫가군 M_{i+1}/M_i가 단순 가군일 때 이 열은 **합성열**이다.
# 성질

## 존재
임의의 모노이드 \Omega 및 \Omega-작용소군 _\Omega G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * G는 합성열을 갖는다. * G의 부분정규 부분 작용소군의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건과 내림 사슬 조건을 만족한다. * 다음 두 조건이 성립한다. ** 임의의 G의 부분 작용소군의 열 G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft\cdots에 대하여, 만약 모든 G_i가 G_{i+1}의 정규 부분군이라면, G_n=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots인 n\in\mathbb N이 존재한다. ** 임의의 G의 부분 작용소군의 열 G_0\vartriangleright G_1\vartriangleright\cdots에 대하여, 만약 모든 G_i가 G_{i-1}의 정규 부분군이라면, G_n=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots인 n\in\mathbb N이 존재한다. 특히, 모든 유한군은 합성열을 갖는다. 무한군은 합성열을 갖지 않을 수 있다. 예컨대 \mathbb Z는 합성열이 없다.
## 유일성
**조르당-횔더 정리**에 따르면, 임의의 작용소군의 두 합성열은 ‘동형’이다. 즉, 모노이드 \Omega 및 \Omega-작용소군 _\Omega G 및 G의 두 합성열 :1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_m=G :1=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G 이 주어졌을 때, 다음이 성립한다. * m=n * 모든 i에 대하여 G_i와 H_{\sigma(i)}가 동형이 되는 \\{1,\dots,n\\}의 순열 \sigma가 존재한다. 부제=조르당-횔더 정리 슈라이어 세분 정리에 의해 두 합성열은 동형인 세분을 갖는다. 그러나 합성열의 몫군은 모두 단순 작용소군이므로 어떠한 합성열도 더 이상의 세분을 갖지 않는다. 따라서 임의의 두 합성열은 동형이다. 증명 끝