변형 함자

수학에서, **변형 함자**(變形函子, deformation functor)는 어떤 수학적 대상의 변형을 나타내는 함자이다. 이러한 함자의 연구를 **변형 이론**(變形理論, deformation theory)이라고 한다. 변형 함자의 정의역 범주의 원소는 국소 아르틴 가환환인데, 이는 어떤 점의 ‘무한소 근방’으로 해석할 수 있다. 변형 함자 F의, 어떤 아르틴 가환환 A에 대한 값 F(A)는 다루고자 하는 대상의, A 위의 가능한 변형들의 집합이다. 쌍대적으로, 이는 이러한 국소 아르틴 아핀 스킴들의 범주 위의 준층으로 여길 수 있다. 일부 경우, 이 준층은 어떤 스킴으로 표현될 수 있다. 그러나 일반적으로는 이러한 모듈러스 스킴이 존재하지 않을 수 있다.
# 정의

## 국소 아르틴 가환환의 범주
체 k 위의 대수이며, 자명환이 아닌 아르틴 국소환 (A,\mathfrak m)이 주어졌다고 하자. 이는 벡터 공간으로서 유한 차원이며, 이러한 환의 (유일한) 극대 아이디얼 \mathfrak m의 모든 원소는 멱영원이다. 특히, 이러한 환 A는 항상 완비 국소환이다. 이러한 가환환은 항상 다음과 같은 꼴로 나타내어진다. :A = k[x_1,x_2,\dotsc,x_m] / (x_1^{n_1},x_2^{n_2},\dotsc,x_m^{n_m},p_1,p_2,\dotsc,p_r) :p_1,\dotsc,p_r \in k[x_1,\dotsc,x_m] :p_i(0,0,\dotsc,0) = 0\in k\qquad\forall i\in\\{1,\dotsc,r\\} :\mathfrak m = (x_1,x_2,\dotsc,x_m) \subsetneq A 또한, A의 스펙트럼 \operatorname{Spec}A은 위상 공간으로서 한원소 공간이다. 예를 들어, 체 k가 주어졌을 때 k[x]/(x^2)는 이러한 꼴의 가환환이며, 극대 아이디얼은 \mathfrak m = (x)이다. 체 k에 대하여, 범주 \operatorname{LocArt}(k)를 다음과 같이 정의하자. * \operatorname{LocArt}_k의 대상 i\colon k\to A은 k를 정의역으로, 어떤 국소 아르틴 가환환 (A,\mathfrak m)을 공역으로 하는 환 준동형 가운데, k \to A \to A/\mathfrak m가 환의 동형 사상을 이루는 것이다. * \operatorname{LocArt}_k의 사상 (A,\mathfrak m_A,i_A) \to (B,\mathfrak m_B,i_B)은 구조 사상과 호환되는 환 준동형 f\colon A \to B이다. 즉, f \circ i_A = i_B이어야 한다. 이 범주에서, (k,\mathfrak m_k = (0), \operatorname{id}_k)는 영 대상을 이룬다. 이 범주에서, 두 대상 A, B의 곱 A\times_{\operatorname{LocArt}(k)} B는 곱집합과 다르며, 구체적으로 : (A,\mathfrak m_A,i_A) \times_{\operatorname{LocArt}(k)} (B,\mathfrak m_B,i_B) = \\{(a,b) \in A \times_{\operatorname{SetB \colon i_A^{-1}(a + \mathfrak m_A) = i_B^{-1} (b + \mathfrak m_B) \\} 이다. (여기서 \times_{\operatorname{Set은 곱집합을 뜻한다.) 이 위의 가환환 구조는 가환환의 직접곱 A \times_{\operatorname{CRing B의 부분환으로서 주어진다. 보다 일반적으로, 세 대상 A, B, C 및 사상 A \xrightarrow fC \xleftarrow g B이 주어졌을 때, 올곱 : A\times_CB = \\{(a,b) \in A\times_{\operatorname{Set B \colon f(a) = g(b) \\} 이 존재한다.209 이 범주에서, 대상 A = k[x]/(x^2)을 생각하자. 이 경우, :A \times A \cong k[x,y]/(x^2,y^2,xy) 이다. 표준적인 환 준동형 :A \times A \to A :(a+bx+cy) \mapsto (a+(b+c)x) 을 통해, 이는 군 대상을 이루며, 이는 아벨 군 대상이다.
## 작은 농화
두 국소 아르틴 가환환 :(A,\mathfrak m) (A',\mathfrak m') 사이의 환 준동형 :f\colon A\to A' 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, **작은 농화**(-濃化, small thickening)라고 한다. * 전사 함수이다. * \ker f는 A'의 주 아이디얼이다. * (\ker f)\mathfrak m' = 0이다. 이에 따라, \ker f는 1차원 A/\mathfrak m-벡터 공간이다. 예를 들어, 체 k 및 양의 정수 n에 대하여 :k[x]/(x^{n+1}) \to k[x]/(x^n) 은 작은 농화이다. 두 국소 아르틴 가환환 사이의 모든 전사 환 준동형은 (유한 개의) 작은 농화들의 합성으로 표현될 수 있다.
## 변형 함자
체 k가 주어졌을 때, \operatorname{LocArt}(k)에서 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}로 가는 함자 :F \colon \operatorname{LocArt}(k) \to \operatorname{Set} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \operatorname{LocArt}(k) 속의 두 환 준동형 B \to A \leftarrow C에 대하여, 올곱의 보편 성질에 의하여 함수 :g\colon F(B \times_A C) \to F(B) \times_{F(A)} F(C) 가 표준적으로 존재한다. 이에 대하여, 다음과 같은 조건들을 가할 수 있다. * (H0) 집합 F(k)는 한원소 집합이다. ** 여기서 F(k)의 유일한 원소는 변형하고픈 대상을 뜻한다. * (H1) 만약 C \to A가 작은 농화라면, g가 전사 함수이다. * (H2) 만약 A = k이며, C = k[x]/(x^2)라면, g가 전단사 함수이다. * (H4) 만약 C\to A가 작은 농화이며 B\to A가 동형 사상이라면, g가 전단사 함수이다. (H0), (H1), (H2) 조건들을 만족시키는 함자 F를 **변형 함자**라고 한다. (만약 H0이 성립한다면, 이를 **준변형 함자** pre-deformation functor라고 한다.)
# 성질

## 접공간
변형 함자 F가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합 F(k[x]/(x^2))를 생각하자. 이 위에, 다음과 같은 k-벡터 공간 구조를 정의할 수 있다. :\alpha v = F(\sigma_\alpha) v \qquad\forall \alpha\in k,\;v \in F(k[x]/(x^2)) :v + w = F(\mu)g^{-1}(v,w) 여기서 :\sigma_\alpha \colon k[x]/(x^2) \to k[x]/(x^2) :\sigma_\alpha \colon x \mapsto \alpha x 는 국소 아르틴 가환환의 자기 사상이며, :g \colon F(k[x]/(x^2) \times k[x]/(x^2)) \to F(k[x]/(x^2)) \times F(k[x]/(x^2)) 는 (H2) 공리에 따라 존재하는 전단사 함수이며, :\mu\colon k[x]/(x^2) \times k[x]/(x^2) \to k[x]/(x^2) 는 k[x]/(x^2) 위의 군 대상 구조이다. 이 경우, 벡터 공간 F(k[x]/(x^2))를 변형 함자 F의 **접공간**(接空間, tangent space)이라고 한다.
## 표현 가능성
변형 함자 F \colon \operatorname{LocArt}(k) \to \operatorname{Set}가 주어졌다고 하자. \operatorname{ComplLocNoeth}(k)가 k-대수 가운데, 완비 국소환이며 뇌터 가환환인 것들의 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 완비 국소 뇌터 k-대수 (A,\mathfrak m)에 대하여, 다음을 정의할 수 있다. :\hat F(A) = \varprojlim_{n\to\infty} F(A / \mathfrak m^n) 여기서 유한한 n\in\mathbb N에 대하여 A/\mathfrak m^n이 국소 아르틴 가환환이므로, 우변은 잘 정의된다. 이는 함자 :\hat F \colon \operatorname{ComplLocNoeth}(k) \to \operatorname{Set} 를 정의한다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \hat F가 표현 가능 함자이다. * (H4)가 성립하며, 접공간이 유한 차원 k-벡터 공간이다.
# 예
대수적으로 닫힌 체 k 위의 매끄러운 대수다양체 X_0가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 데이터를 생각하자. * 국소 아르틴 k-대수 A * 스킴 X_A * 평탄 사상 X_A \to \operatorname{Spec}A * 스킴 사상 X_0 \to X 이 데이터에 대하여, 다음 조건들을 생각하자. * 다음 네모가 가환 그림을 이룬다. *: \begin{matrix} X_0 & \to &X;_A \\\ \downarrow && \downarrow \\\ \operatorname{Spec}k & \to & \operatorname{Spec}A\end{matrix} * 이 네모로부터, 올곱의 보편 성질로 정의되는 사상 X_0 \to X_A \times_{\operatorname{Spec}A}\operatorname{Spec} k는 스킴의 동형 사상이다. (다시 말해, ‘원점’에서 — 아무런 변형을 가하지 않았을 때 — 값은 원래 대수다양체 X_0이다.) 그렇다면, F(A)가 위 조건을 만족시키는 모든 데이터들의 집합이라고 하자. 이 경우, F는 변형 함자를 이룬다. 이 변형 함자의 접공간은 :\operatorname H^1(X_0,\mathrm TX_0) 이다.
# 역사
변형 함자의 개념은 1968년에 존 마이클 슐레싱어(John Michael Schlessinger)가 도입하였다.언어=en