카라테오도리 확장 정리

측도론에서 **카라테오도리 확장 정리**(Carathéodory擴張定理, Carathéodory’s extension theorem) 또는 **한-콜모고로프 정리**(Hahn-Колмого́ров定理, Hahn–Kolmogorov theorem)는 완비 측도를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 집합 X * **집합 반환**(集合半環, semiring of sets) \Sigma_0\subseteq\mathcal P(X). 즉, 이는 다음 세 조건을 만족시키는 집합족이다. ** \varnothing\in\Sigma_0 ** (유한 교집합에 대한 닫힘) 임의의 A,B\in\Sigma_0에 대하여, A\cap B\in\Sigma_0 ** 임의의 A,B\in\Sigma_0에 대하여, \textstyle A\setminus B=\bigcup_{i=1}^nC_i인 유한 개의 서로소 집합 C_1,\dots,C_n\in\Sigma_0이 존재한다. * **준측도**(準測度, premeasure) \mu_0\colon\Sigma_0\to[0,\infty]. 즉, 이는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다. ** \mu_0(\varnothing)=0 ** (준측도 가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합 A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0에 대하여, 만약 \textstyle \bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\Sigma_0이라면, \textstyle\mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i) *** (단조성) 특히, 만약 A,B\in\Sigma_0이며 A\subseteq B라면, \textstyle\mu_0(A)\le\mu_0(B)이다. (아래 증명 참고) *** (준측도 가산 준가법성) 특히, 만약 A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0이며 \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\Sigma_0이라면, \textstyle\mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\le\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)이다. (아래 증명 참고) 또한, :\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty] :\mu^*\colon A\mapsto\inf\left\\{\sum_{i=0}^\infty\mu_0(A_i)\colon A\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\;A_i\in\Sigma_0\right\\}\qquad(A\subseteq X) 가 \mu_0으로 유도된 외측도라고 하고, :\Sigma=\\{A\subseteq X\colon\forall S\subseteq X\colon\mu^*(S)=\mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A)\\} 가 \mu^*-카라테오도리 가측 집합의 집합이라고 하자. **카라테오도리 확장 정리**에 따르면, 다음이 성립한다. * \Sigma는 \mathcal P(X)의 부분 시그마 대수를 이룬다. * \mu=\mu^*|_\Sigma는 완비 측도를 이룬다. * \Sigma_0\subseteq\Sigma (따라서 \sigma(\Sigma_0)\subseteq\Sigma) * \mu|_{\Sigma_0}=\mu_0 * 만약 \mu_0이 시그마 유한 준측도라면 (즉, \textstyle X=\bigcup_{i=1}^\infty A_i이며 \forall i\in\mathbb Z^+\colon\mu_0(A_i)0 및 i\in\mathbb Z^+에 대하여, :\sum_{j=1}^\infty\mu_0(A_{ij})\le\mu^*(A_i)+\frac\epsilon{2^i} 이며 \textstyle A_i\subseteq\bigcup_{j=1}^\infty A_{ij}인 A_{i1},A_{i2},\dots\in\Sigma_0이 존재한다. 그렇다면 \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty\bigcup_{j=1}^\infty A_{ij}이므로, :\mu^*\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\le\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty\mu_0(A_{ij})\le\sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i)+\epsilon 이다. \mu^*-카라테오도리 가측 집합의 집합 \Sigma가 \mathcal P(X)의 부분 시그마 대수라는 사실과 \mu=\mu^*|_\Sigma는 그 위의 완비 측도라는 사실은 \mu^*가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. 우선, \Sigma가 \mathcal P(X)의 부분 불 대수임을 보이자. 우선 자명하게 \varnothing\in\Sigma이며, 임의의 A\in\Sigma에 대하여 X\setminus A\in\Sigma이다. 따라서 \Sigma가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 A,B\in\Sigma 및 S\subseteq X에 대하여, :\begin{align} \mu^*(S) & = \mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A) \\\ & = \mu^*((S\cap A)\cap B)+\mu^*((S\cap A)\setminus B)+\mu^*((S\setminus A)\cap B)+\mu^*((S\setminus A)\setminus B)) \\\ & = \mu^*(S\cap(A\cap B))+\mu^*(S\cap(A\setminus B))+\mu^*(S\cap(B\setminus A))+\mu^*(S\setminus(A\cup B)) \\\ & \ge \mu^*(S\cap(A\cup B))+\mu^*(S\setminus(A\cup B)) \\\ & \ge \mu^*(S) \end{align} 이므로, A\cup B\in\Sigma이다. 여기서 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각 A,B\in\Sigma 때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는 \mu^*의 가산 준가법성 때문이다. 이제, \Sigma가 \mathcal P(X)의 부분 시그마 대수임을 보이자. 이는 \Sigma가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합 A_1,A_2,\dots,\in\Sigma 및 임의의 부분 집합 S\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 n\in\mathbb Z^+에 대하여, :\begin{align} \mu^*(S) & = \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^nA_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^nA_i\right) \\\ & \ge \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^nA_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\\ & =\mu^*(S\cap A_n)+\mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\\ & =\mu^*(S\cap A_n)+\mu^*(S\cap A_{n-1})+\mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^{n-2}A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\\ & \vdots \\\ & =\sum_{i=1}^n\mu^*(S\cap A_i)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \end{align} 이다. 여기서 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각 \textstyle\bigcup_{i=1}^nA_i,A_n\in\Sigma 때문이며, 둘째 줄의 등호는 \mu^*의 단조성 때문이다. 이에 n에 대한 극한을 취하면 :\begin{align} \mu^*(S) & \ge \sum_{i=1}^\infty\mu^*(S\cap A_i)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\\ & \ge \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\\ & \ge \mu^*(S) \end{align} 를 얻는다. 여기서 둘째, 셋째 부등식은 \mu^*의 가산 준가법성 때문이다. 이제, \mu=\mu^*|_\Sigma가 \Sigma 위의 완비 측도를 이룸을 보이자. 위 증명에서 \textstyle S=\bigcup_{j=1}^\infty A_j를 취하면 :\begin{align} \mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right) & = \sum_{i=1}^\infty\mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\cap A_i\right) \+ \mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\\ & = \sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i)+\mu^*(\varnothing) \\\ & = \sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i) \end{align} 를 얻으며, 이에 따라 \mu는 \Sigma 위의 측도를 이룬다. 따라서 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이 \mu^*-카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. 이제 A\subseteq X가 \mu^*(A)=0을 만족시키며, 또한 B\subseteq A라고 하자. 그렇다면, :\begin{align} \mu^*(S) & \le \mu^*(S\cap B)+\mu^*(S\setminus B) \\\ & = \mu^*(S\setminus B) \\\ & \le \mu^*(S) \end{align} 이다. 첫째 줄의 부등호는 \mu^*의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는 S\cap B\subseteq A 및 \mu^*의 단조성, 셋째 줄의 부등호는 S\setminus B\subseteq S 및 \mu^*의 단조성 때문이다. 이제, \Sigma_0\subseteq\Sigma를 증명하자. 임의의 A\in\Sigma_0 및 S\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, :\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)\le\mu^*(S)+\epsilon 이며 \textstyle S\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty A_i인 A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0이 존재한다. 각 i\in\mathbb Z^+에 대하여, \textstyle A_i\setminus A=\bigcup_{j=1}^{n_i}B_{ij}인 서로소 집합 B_{i1},\dots,B_{in_i}\in\Sigma_0을 취하자. 그렇다면, :S\cap A\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty(A_i\cap A) :S\setminus A\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty(A_i\setminus A)=\bigcup_{i=1}^\infty\bigcup_{j=1}^{n_i}B_{ij} 이므로, :\begin{align} \mu^*(S) & \le \mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A) \\\ & \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i\cap A)+\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij}) \\\ & = \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i) \\\ & \le \mu^*(S)+\epsilon \end{align} 이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 \mu^*의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도 \mu_0의 가산 가법성 때문이다. 이제, \mu_0의 단조성을 증명하자. A,B\in\Sigma_0이며 A\subseteq B라고 하자. 그렇다면 \textstyle B\setminus A=\bigcup_{i=1}^nC_i인 서로소 집합 C_1,\dots,C_n\in\Sigma_0을 고를 수 있다. 그렇다면 :\mu_0(B)=\mu_0(A)+\sum_{i=1}^n\mu_0(C_i)\ge\mu(A) 이다. 이제, 준측도 \mu_0의 가산 준가법성을 증명하자. A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0이며 \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\Sigma_0이라고 하자. 그렇다면 각 i\in\mathbb Z^+에 대하여, :B_i = A_i\setminus\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j = \bigcup_{j=1}^{n_i}B_{ij} 인 서로소 집합 B_{i1},\dots,B_{in_i}\in\Sigma_0을 고를 수 있다. 그렇다면 각 i\in\mathbb Z^+에 대하여 :C_i = A_i\cap\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j = A_i\cap\bigcup_{k=1}^{i-1}B_k=\bigcup_{k=1}^{i-1}\bigcup_{j=1}^{n_j}(A_i\cap B_{kj}) 이므로, :\begin{align} \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i) & = \sum_{i=1}^\infty\mu_0(B_i\cup C_i) \\\ & = \sum_{i=1}^\infty\left(\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij})+\sum_{k=1}^{i-1}\sum_{j=1}^{n_k}\mu_0(A_i\cap B_{kj})\right) \\\ & \ge \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij}) \\\ & = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \end{align} 이다. 여기서 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도 \mu_0의 가산 가법성 때문이다. 이제, \mu|_{\Sigma_0}=\mu_0를 증명하자. 임의의 A\in\Sigma_0이 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, :\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)<\mu^*(A)+\epsilon 이며 \textstyle A\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty A_i인 A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0이 존재한다. 그렇다면 :\begin{align} \mu^*(A) & \le \mu_0(A) \\\ & = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty(A\cap A_i)\right) \\\ & \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A\cap A_i) \\\ & \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i) \\\ & < \mu^*(A)+\epsilon \end{align} 이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 \mu^*의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도 \mu_0의 가산 준가법성, 단조성 때문이다. 마지막으로, 확장된 측도의 \sigma(\Sigma_0)에서의 유일성을 증명하자. 임의의 두 측도 \mu_1,\mu_2\colon\Sigma\to[0,\infty]에 대하여, 만약 \mu_1|_{\Sigma_0}=\mu_2|_{\Sigma_0}이며, 준측도 \mu_1|_{\Sigma_0}이 시그마 유한 준측도라면, \mu_1|_{\sigma(\Sigma_0)}=\mu_2|_{\sigma(\Sigma_0)}임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는 \Sigma_0가 π계(즉, 유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한 \Sigma_0에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다. :\mathcal A=\\{A\in\Sigma\colon\forall B\in\Sigma_0\setminus\mu_1^{-1}(\infty)\colon\mu_1(A\cap B)=\mu_2(A\cap B)\\} 라고 하자. 그렇다면, \mathcal A는 λ계이며 \Sigma_0\subseteq\mathcal A이므로, π-λ 정리에 따라 \sigma(\Sigma_0)\subseteq\mathcal A이다. \textstyle X=\bigcup_{i=1}^\infty B_i이며 \textstyle\forall i\in\mathbb Z^+\colon\mu_1(B_i)<\infty인 B_1,B_2,\dots\in\Sigma_0을 취하자. 그렇다면, 임의의 A\in\sigma(\Sigma_0)에 대하여, :\begin{align} \mu_1(A) & = \mu_1\left(\bigcup_{i=1}^\infty(A\cap B_i)\right) \\\ & = \lim_{n\to\infty}\mu_1\left(\bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\right) \\\ & = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1<\cdots 이다. 여기서 셋째 줄의 등호는 포함배제의 원리 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각 1\le i_1<\cdots에 대하여 B_{i_1}\cap\cdots\cap B_{i_k}\in\Sigma_0\setminus\mu_1^{-1}(\infty)이기 때문이다.
# 역사
오늘날 카라테오도리 가측 집합이라고 불리는 개념은 콘스탄티노스 카라테오도리가 도입하였다.날짜=1914날짜=1918 오늘날 카라테오도리 확장 정리라고 불리는 정리는 모리스 르네 프레셰가 증명하였다.날짜=1924 얼마 지나지 않아 카라테오도리의 방법을 통한 카라테오도리 확장 정리의 더 간단한 증명이 발견되었으며, 이는 안드레이 콜모고로프,날짜=1929날짜=1933 한스 한,날짜=1933 에베르하르트 호프날짜=1934날짜=1937의 논문·저서에 소개되었다.