이중 타원 전이

**이중 타원 전이**(Bi-elliptic transfer)는 우주선을 한 궤도에서 다른 궤도로 이동시키는 방법 중 하나로, 반으로 잘린 타원 궤도 두 개가 사용된다. 출발 궤도에서 첫 번째 분사를 통해 중심체에서 궤도 원점이 r_b만큼 떨어진 궤도로 옮겨간 다음, 원점에서의 두 번째 분사를 통해 근점을 최종 목표 궤도의 고도로 맞춘 다음, 세 번째 분사로 목표 궤도에 진입한다.url = https://books.google.com.mx/books?id=6aO9aGNBAgIC 호만 전이에 비해 엔진 분사가 한 번 더 필요하고 전이 시간도 길지만, 조건에 따라서 이중 타원 전이가 호만 전이보다 델타 V의 소모량이 적은 경우도 있다.url = https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC&printsec;
# 계산

## 델타 V
저고도 궤도(파랑)에서 고고도 궤도(빨강)로 올라가는 이중 타원 전이의 모습. 세 번의 속도 변화는 모두 활력방정식에서 직접 유도할 수 있다. :v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right), * v은 위성의 속도이다. * \mu = GM은 중심체의 표준 중력 변수이다. * r은 중심체와 위성 사이의 거리, 즉 궤도 반지름이다. * a은 위성의 궤도 긴반지름이다. 이를 이용해 다음 기호를 정의할 수 있다. * r_1은 출발 궤도의 반지름이다. * r_2은 최종 궤도의 반지름이다. * r_b은 두 전이 궤도의 공통 원점 고도로, 이중 타원 전이의 자유 변수이다. * a_1와 a_2은 두 타원 전이 궤도의 긴반지름으로, 다음과 같이 구할 수 있다. *: a_1 = \frac{r_1 + r_b}{2}, *: a_2 = \frac{r_2 + r_b}{2}. 반지름 r_1인 원 궤도에서 시작할 때, 순행 방향으로 분사하여 첫 번째 타원 전이 궤도로 들어가게 된다. 이 때 필요한 델타 V는 다음과 같다. :\Delta v_1 = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_1} - \frac{\mu}{a_1 - \sqrt{\frac{\mu}{r_1. 첫 번째 타원 전이 궤도의 원점에 도달했으면 궤도 중심체와의 거리는 r_b가 된다. 둘째 분사를 통해 근지점의 궤도를 목표 원궤도로 올리면, 우주선의 궤도는 두 번째 타원 전이 궤도가 된다. 이 때 필요한 델타 V는 다음과 같다. :\Delta v_2 = \sqrt{\frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_2 - \sqrt{\frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_1. 마지막으로 고도 r_2인 지점에 도달하면, 역행 방향으로 분사하면 궤도가 원형이 되고, 목표 궤도에 진입하게 된다. 마지막 분사에 필요한 델타 V는 다음과 같다. :\Delta v_3 = \sqrt{\frac{2 \mu}{r_2} - \frac{\mu}{a_2 - \sqrt{\frac{\mu}{r_2. 만약 r_b = r_2라면 일반적인 호만 전이가 되며, \Delta v_3 = 0이 된다. 따라서 호만 전이는 이중 타원 전이에서 분사가 2번밖에 없는 특수한 경우로 정의할 수 있다. 저고도 궤도(파랑)에서 고고도 궤도(빨강)로 올라가는 이중 포물선 전이의 모습. r_b = \infty로 둔다면 델타 V 절약량의 최대치를 계산할 수 있으며, 총 \Delta v는 \sqrt{\mu/r_1} \left(\sqrt{2} - 1\right) \left(1 + \sqrt{r_1/r_2}\right)로 단순화된다. 이 경우에는 타원 대신 포물선 궤도를 사용하기 때문에, 이중 포물선 전이라고 하기도 한다. 전이 시간은 무한이 된다.
## 전이 시간
호만 전이와 유사하게 이중 타원 전이에서도 타원 궤도의 반을 이용하기 때문에, 전이 시간은 각 궤도 주기의 반씩을 더한 것과 같다. 공전 주기를 계산하는 식은 다음과 같다. :T = 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu. 총 전이 시간 t는 각 궤도에서 보내는 시간의 합과 같다. :t_1 = \pi \sqrt{\frac{a_1^3}{\mu \quad \text{,} \quad t_2 = \pi \sqrt{\frac{a_2^3}{\mu :t = t_1 + t_2.
# 호만 전이와의 비교

## 델타 V
반지름 비의 함수로 나타낸, 호만 전이(두꺼운 검은 선)와 이중 타원 전이(색이 있는 선)의 델타 V 소모량. 반지름의 비 R \equiv r_2 / r_1이 11.94보다 작을 시 호만 전이의 효율이 항상 좋다. 반면 R이 15.58이 넘을 시, 전이 궤도의 원점 r_b에 상관없이, 이중 타원 전이의 효율이 항상 좋다. 11.94와 15.58 사이에서는 r_b의 값에 따라 어느 전이 방법이 더 효율적인지가 결정된다.bibcode= 1969AIAAJ...7..801D {| class="wikitable" |+ 이중 타원 전이의 \Delta v 소모량이 호만 전이보다 더 작게끔 해주는 \alpha \equiv r_b/r_1의 최솟값isbn = 978-0-471-24528-5 ! 반지름의 비 R \equiv \frac{r_2}{r_1} ! 최소 \alpha \equiv \frac{r_b}{r_1} ! 참조 |- | 15.58 || > \frac{r_2}{r_1} || 이중 타원 전이가 항상 우세 |}
## 전이 시간
: t = \pi\sqrt{\frac{a_1^3}{\mu + \pi\sqrt{\frac{a_2^3}{\mu 이중 타원 전이의 긴 소요 시간은 큰 단점이며, 포물선이 될 경우 무한으로 발산한다. 호만 전이는 전이 궤도가 하나밖에 없기 때문에, 전이 시간은 이중 타원 전이의 절반 이하이다.
# 예시
*r*0 = 6700 km인 지구 저궤도에서 *r*1 = 93 800 km인 궤도로 올라가기 위해서는, 호만 전이를 이용할 시 Δ*v* = 2825.02 + 1308.70 = 4133.72 m/s이 된다. 여기서 *r*1 = 14*r*0 > 11.94*r*0이기 때문에, 이중 타원 전이로 효율을 더 높일 수 있다. 우주선이 처음에 3061.04 m/s만큼 가속하면 *r*2 = 40*r*0 = 268 000 km인 타원 궤도로 진입하고, 608.825 m/s를 추가로 가속하면 *r*1 = 93 800 km인 타원 궤도로 진입하며, 마지막으로 447.662 m/s만큼 감속하면 목표 원궤도에 진입한다. 이 때의 총 Δv는 4117.53 m/s로, 호만 전이에 비해 16.19 m/s (0.4%) 적다. Δ*v* 절약량은 전이 궤도의 원점 고도를 증가시킴으로써 늘릴 수 있으며, 전이 시간도 같이 늘어난다. 예시로, 75.8*r*0 = 507 688 km(달 궤도의 1.3배)까지 올라간다면 호만 전이에 비해 Δ*v*를 1% 절약할 수 있으나, 전이 시간이 17일로 증가한다. 극적인 예시로, 1757*r*0 = 11 770 000 km(달 궤도의 30배)까지 올라간다면 Δ*v*를 2% 절약할 수 있지만, 전이 시간이 4.5년으로 늘며, 태양계 다른 천체들의 섭동을 받을 수 있다. 참고로 호만 전이로는 15시간 34분이 소요된다. {| class='wikitable' |+ 다양한 궤도 전이의 Δ*v* ! colspan=2 | 종류 ! 호만 ! colspan=4 | 이중 타원 |- ! colspan=2 | 원지점 (km) | 93 800 || 268 000 || 507 688 || 11 770 000 || ∞ |- ! rowspan=3 | 분사
(m/s) ! 1 | 증가 2825.02 || 증가 3061.04 || 증가 3123.62 || 증가 3191.79 || 증가 3194.89 |- ! 2 | 증가 1308.70 || 증가 608.825 || 증가 351.836 || 증가 16.9336 || 보합 0 |- ! 3 | 보합 0 || 감소 447.662 || 감소 616.926 || 감소 842.322 || 감소 853.870 |- ! colspan=2 | 총합 (m/s) | 4133.72 || 4117.53 || 4092.38 || 4051.04 || 4048.76 |- ! colspan=2 | 호만 전이에 대한 비 | 100% || 99.6% || 99.0% || 98.0% || 97.94% |} 감소 역행 방향의 Δ*v* 이중 타원 전이는 최초 분사에서의 델타 V 사용량이 더 높으며, 이로 인해 고유 궤도 에너지에 영향을 더 크게 준다. 또한 전체 델타 V가 감소하는 것은 오베르트 효과에 의한 것이다.