대칭 작용소

작용소 이론에서 **대칭 작용소**(對稱作用素, symmetric operator)는 스스로의 정의역 위에서, 스스로가 에르미트 수반과 일치하는 작용소이다.언어=en 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다. 자기 수반 작용소의 개념과 달리, 그 정의역이 에르미트 수반의 정의역보다 더 작을 수 있다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * \mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\} (실수체 또는 복소수체 가운데 하나) * \mathbb K-위상 벡터 공간 E * E의 조밀 부분 벡터 공간 \operatorname{dom}A * \mathbb K-선형 변환 A\colon \operatorname{dom}A \to E^* 만약 A가 다음 조건을 만족시킨다면, A를 **대칭 작용소**라고 한다. :\langle Ax|y\rangle = \overline{\langle Ay|x\rangle}\qquad\forall x,y\in\operatorname{dom}A 여기서 * E^*는 E의 연속 쌍대 공간이다. * \bar{\color{White}a}\colon \mathbb K \to \mathbb K는 \mathbb K=\mathbb C일 경우 복소켤레이며, \mathbb K=\mathbb R일 경우 항등 함수이다. * \langle|\rangle는 E와 E^* 사이의 자연스러운 곱 (즉, 연속 범함수의 값매김)이다.
## 힐베르트 공간의 경우
H가 힐베르트 공간이라고 하자. 리스 표현 정리에 따라 H\cong H^*이다. 이 경우, 대칭 작용소는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다. \mathbb K-힐베르트 공간 (H,\langle\cdot|\cdot\rangle)의 조밀 부분 벡터 공간 \operatorname{dom}A\subseteq H에 정의된 선형 변환 :A\colon\operatorname{dom}A\to H 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.58–59 * A는 대칭 작용소이다. * 모든 u,v\in\operatorname{dom}A에 대하여, \langle u|A|v\rangle=\langle Au|v\rangle이다. * \operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}A^*이며, 모든 u\in\operatorname{dom}A에 대하여 Au=A^*u이다. 여기서 A^*는 에르미트 수반이다. 힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상 \operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}A^*이며, 따라서 \operatorname{dom}A^* 역시 조밀 집합이다. 대칭 작용소 A의 경우, \operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^*일 필요는 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, **자기 수반 작용소**의 개념을 얻는다.
# 성질

## 함의 관계
힐베르트 공간 H의 조밀 부분 벡터 공간 D 위에 정의된 작용소 D\to H들의 종류에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :{| | 자기 수반 작용소 || ⊂ || 대칭 작용소 || ⊂ || 작용소 |- | ∪ || || ∪ || || ∪ |- | 유계 자기 수반 작용소 || = || 유계 대칭 작용소 || ⊂ || 유계 작용소 |} 여기서 둘째 줄(유계 작용소)의 경우 D = H이다. 즉, **헬링거-퇴플리츠 정리**(Hellinger–Toeplitz theorem)에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 유계 작용소이다.67 유한 차원 힐베르트 공간 \mathbb C^n 위의 작용소 A에 대하여, 다음이 서로 동치이다. * A는 대칭 작용소이다. * A는 자기 수반 작용소이다. * A의 행렬은 에르미트 행렬이다.
## 결점 지표
복소수 힐베르트 공간 H 위의 대칭 작용소 :A\colon\operatorname{dom}A\to H 를 생각하자. 즉, 부분 공간 :\operatorname{dom}A \subseteq \operatorname{dom}A^* \subseteq H 이 존재한다. 이제 다음과 같은 두 부분 공간을 정의하자. :N_\pm = \operatorname{im}(A \pm \mathrm i)^\perp = \left\\{y\in H\colon \forall x\in \operatorname{dom}A\colon \langle y|A|x\rangle = - \mathrm i\langle y|x\rangle \right\\} 이들은 직교 여공간이므로 닫힌집합이며, 특히 힐베르트 공간을 이룬다. 그 차원 :\dim N_\pm 을 A의 **결점 지표**(缺點指標, deficiency index)라고 한다. **폰 노이만 공식**(von Neumann formula)에 따르면, 다음이 성립한다. :N_\pm = \ker(A^* \mp \mathrm i)
## 대칭 확장
\mathbb K-힐베르트 공간 H 위의 대칭 작용소 A\colon\operatorname{dom}A\to H의 **대칭 확장**(對稱擴張, symmetric extension)은 다음을 만족시키는 작용소 \tilde A\colon\operatorname{dom}\tilde A\to H이다. 이 경우 A\subseteq\tilde A라고 표기하자. * \operatorname{dom}A\subseteq\operatorname{dom}\tilde A * \forall v\in\operatorname{dom}A\colon Av=\tilde Av 즉, 이는 :\operatorname{graph}A\subseteq\operatorname{graph}\tilde A\subseteq H\oplus H 인 조건과 같다. 대칭 확장 관계를 통해, H 위의 대칭 작용소들의 집합은 부분 순서 집합을 이룬다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다. \mathbb K=\mathbb C라고 추가로 가정하자. 대칭 작용소 A의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.81–84 :U\colon N_+ \to N_- 특히, A가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 같은 것이다. :\dim N_+=\dim N_- 또한, A가 유일한 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 모두 0인 것이다. :0=\dim N_+=\dim N_-
# 예
다음을 생각하자. :H = \operatorname L^2([0,1];\mathbb C) :\operatorname{dom}A = \\{f\in \mathcal C^1([0,1],\mathbb C) \colon f(0) = f(1) = 0\\} \subsetneq H :A \colon \operatorname{dom}A \to H :A \colon f \mapsto -\mathrm i \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} 그렇다면, A는 대칭 작용소이다. 이 경우, N_\pm은 다음과 같은 미분 방정식의 해의 공간이다. :\mp\frac{\mathrm du}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} 이는 각각 1차원이며, 구체적으로 :N_\pm = \operatorname{Span} \\{ x\mapsto \exp(\mp x)\\} 이다. 따라서 A는 자기 수반 연산자가 아니지만, 자기 수반 확장을 갖는다. 자기 수반 확장의 공간은 \operatorname U(1)과 동형이다. 구체적으로, :\operatorname{dom}\tilde A = \\{f\in \mathcal C^1([0,1],\mathbb C) \colon f(0) = f(1)\\} \subsetneq H :\tilde A \colon \operatorname{dom}A \to H :\tilde A \colon f \mapsto -\mathrm i \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} 을 생각하자. 이는 A의 대칭 확장인데, 이 경우 N_+(\tilde A) = N_-(\tilde A) = 0이므로, 유일한 자기 수반 확장을 갖는다.