외측도

측도론에서 **외측도**(外測度, outer measure)는 집합의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수이다.zbl=1125.60001isbn=978-0-471-00710-4
# 정의
집합 X 위의 **(추상적) 외측도**((抽象的)外測度, (abstract) outer measure)는 다음 세 조건을 만족시키는 함수 :\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty] 이다. * \mu^*(\varnothing)=0 * 임의의 S\subseteq T\subseteq X에 대하여, \mu^*(S)\le\mu^*(T) * (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 \mathcal S\subseteq\mathcal P(X) (|\mathcal S|\le\aleph_0)에 대하여, \textstyle\mu^*\left(\bigcup\mathcal S\right)\le\sum\mu^*(\mathcal S) 집합 X 위의 외측도 \mu^*에 대한 **카라테오도리 가측 집합**(Καραθεοδωρή可測集合, Carathéodory measurable set)은 다음 조건을 만족시키는 집합 S\subseteq X이다. * 임의의 T\subseteq X에 대하여, \mu^*(T)=\mu^*(S\cap T)+\mu^*(T\setminus S) 카라테오도리 가측 집합의 집합은 \mathcal M(\mu^*)로 표기한다.
# 성질
집합 X 위의 외측도 \mu^*에 대하여, \mathcal M(\mu^*)는 \mathcal P(X)의 부분 시그마 대수를 이루며, \mu^*|_{\mathcal M(\mu^*)}는 (X,\mathcal M(\mu^*)) 위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉, (X,\mathcal M(\mu^*),\mu^*|_{\mathcal M(\mu^*)})는 완비 측도 공간이다.
## 거리 외측도
거리 공간 (X,d_X) 속 두 집합 S,T\subseteq X 사이의 **거리**는 다음과 같다. :d_X(S,T)=\inf_\scriptstyle s\in S\atop t\in Td_X(s,t) 거리 공간 (X,d_X) 위의 외측도 \mu^*에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \mu^*를 **거리 외측도**(距離外測度, metric outer measure)라고 한다. * 임의의 S,T\subseteq X에 대하여, 만약 d_X(S,T)>0이라면, \mu^*(S\cup T)=\mu^*(S)+\mu^*(T) * \mathcal B(X)\subseteq\mathcal M(\mu^*). 즉, 모든 보렐 집합은 \mu^*-카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 (X,\mathcal B(X),\mu^*|_{\mathcal B(X)})는 측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.)lccn=2006933997140, §7.14.x, Theorem 7.14.29 * 모든 열린집합은 \mu^*-카라테오도리 가측 집합이다. 거리 공간 (X,d_X) 위의 거리 외측도 \mu^*가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수와 하반연속 함수 (X,\mathcal M(\mu^*))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))는 가측 함수이다.issn=1225-293X53, Property 2. 2
## 카라테오도리 확장 정리
카라테오도리 확장 정리 집합 X 속의 **집합 반환**은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 \mathcal S\subseteq\mathcal P(X)이다. * \varnothing\in\mathcal S * (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 S,T\in\mathcal S에 대하여, S\cap T\in\mathcal S * 임의의 S,T\in\mathcal S에 대하여, \textstyle S\setminus T=\bigcup\mathcal F인 유한 개의 서로소 집합들의 족 \mathcal F\subseteq\mathcal S (|\mathcal F|0에 대하여, :\sum_{(c,d]\in\mathcal S}\epsilon_{(c,d]}=\epsilon 인 \epsilon_{(c,d]}>0을 취하자. 그렇다면 x\mapsto F(x^+)가 우연속 함수임에 따라 :F({e_{(c,d]^+) 인 e_{(c,d]}>d가 존재한다. \\{(c,e_{(c,d]})\\}_{(c,d]\in\mathcal S}는 [a,b]의 열린 덮개를 이루며, 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 유한 부분 덮개 :\\{(c,e_{(c,d]})\\}_{(c,d]\in\mathcal F} :\mathcal F\subseteq\mathcal S :|\mathcal F|b 때문이다. 여기에 \epsilon\to 0을 취하면 :\mu_F((a,b]) \le \sum_{(c,d]\in\mathcal S}\mu_F((c,d]) 를 얻으며, 다시 a\to \widetilde a 및 b\to\infty를 취하면 x\mapsto F(x^+)의 우연속성에 따라 :\mu_F((\widetilde a,\infty)) \le \sum_{(c,d]\in\mathcal S}\mu_F((c,d]) 를 얻는다. 증명 끝
## *n*차원 르베그-스틸티어스 외측도
르베그-스틸티어스 측도 임의의 a_1,b_1\in\mathbb R에 대하여, 선형 연산자 :\Delta_{n,a_1,b_1}\colon{\mathbb R}^{\mathbb R^n}\to{\mathbb R}^{\mathbb R^{n-1 :\Delta_{n,a_1,b_1}\colon F\mapsto F(b_1,\cdot)-F(a_1,\cdot) 를 정의하자. 또한, 임의의 a,b\in\mathbb R^n에 대하여, :\Delta_{a,b}=\Delta_{1,a_n,b_n}\circ\Delta_{2,a_{n-1},b_{n-1\circ\cdots\circ\Delta_{n,a_1,b_1}\colon{\mathbb R}^{\mathbb R^n}\to\mathbb R 라고 하자. 함수 :F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R :\Delta_{a,b}F\ge 0\qquad(a_i\le b_i) 가 주어졌을 때, 집합 반환 :\mathcal S_n=\left\\{\prod_{i=1}^nS_i\colon S_i\in\mathcal S_1\right\\} :\mathbb R^n\in\mathcal S_n :\sigma(\mathcal S_n)=\mathcal B(\mathbb R^n) 위에 준측도 :\mu_F\colon\prod_{i=1}^n(a_i,b_i]\mapsto\lim_{\delta_i,\epsilon_i\to 0^+}\Delta_{a+\delta,b+\epsilon}F 를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간 (\mathbb R^n,\mathcal M(\mu_F^*),\mu_F^*|_{\mathcal M(\mu_F^*)})을 구성할 수 있다.
## 르베그 외측도
르베그 측도 함수 :F\colon\mathbb R\to\mathbb R :F\colon x\mapsto x 또는 :F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R :F\colon x\mapsto x_1x_2\cdots x_n 에 대한 르베그-스틸티어스 외측도를 **르베그 외측도**라고 하며, 이에 대응하는 측도를 **르베그 측도**라고 한다.
## 하우스도르프 외측도
하우스도르프 측도 하우스도르프 외측도는 거리 외측도이다.1140, §7.14.x, Theorem 7.14.30