고유 궤도 에너지

천체동역학 이체 문제에서 **고유 궤도 에너지** \epsilon(specific orbital energy) 또는 **활력에너지**(vis-viva energy)는 궤도에 관여하는 두 물체의 위치 에너지 \epsilon_p와 운동 에너지 \epsilon_k의 합을 환산 질량으로 나눈 값으로, 활력방정식에 의해 이 값은 시간과 관계없이 일정하게 유지된다. 단위는 J/kg = m2⋅s−2 또는 MJ/kg = km2⋅s−2이다. :\begin{align} \epsilon &= \epsilon_k + \epsilon_p \\\ &= \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r} = -\frac{1}{2} \frac{\mu^2}{h^2} \left(1 - e^2\right) = -\frac{\mu}{2a} \end{align} *v은 상대 궤도 속도이다. *r은 두 물체 사이의 거리이다. *\mu = {G}(m_1 + m_2)은 두 물체의 표준 중력 변수의 합이다. *h은 상대 비각운동량이다. *e은 궤도 이심률이다. *a은 궤도 긴반지름이다. 타원 궤도에서 고유 궤도 에너지는 해당 궤도를 도는 1 kg의 물체를 탈출 궤도로 진입시키는 데 필요한 에너지의 역수이며, 쌍곡선 궤도의 경우에는 포물선 궤도에 비해 추가로 보유한 에너지의 양과 같다.
# 각 궤도에 대한 방정식 형태
타원 궤도에서 고유 궤도 에너지의 식은 상대 비각운동량과 결합하면 다음으로 단순화된다.url=https://archive.org/details/spacevehicledyna00wieb_0/page/220 :\epsilon = -\frac{\mu}{2a} *\mu = G\left(m_1 + m_2\right)은 표준 중력 변수이다. *a은 궤도 긴반지름이다. ;증명 :타원 궤도에서 고유 각운동량 *h*는 다음으로 구해진다. ::h^2 = \mu p = \mu a \left(1 - e^2\right) :고유 궤도 에너지 식의 일반형은 다음과 같다. ::\epsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r} :궤도 근점에서의 상대 속도와 관련시키면 다음과 같이 변한다. :: v_p^2 = {h^2 \over r_p^2} = {h^2 \over a^2(1 - e)^2} = {\mu a \left(1 - e^2\right) \over a^2(1 - e)^2} = {\mu \left(1 - e^2\right) \over a(1 - e)^2} :따라서 고유 궤도 에너지 방정식은 다음과 같이 변형된다. :: \epsilon = {\mu \over a}{\left[ { 1 - e^2 \over 2(1 - e)^2} - {1 \over 1 - e} \right]} = {\mu \over a}{\left[ {(1 - e)(1 + e) \over 2(1 - e)^2} - {1 \over 1 - e} \right]} = {\mu \over a}{\left[ { 1 + e \over 2(1 - e)} - {2 \over 2(1 - e)} \right]} = {\mu \over a}{\left[ { e - 1 \over 2(1 - e)} \right]} = -{\mu \over 2a} 포물선 궤도에서 고유 궤도 에너지는 다음으로 고정된다. :\epsilon = 0 쌍곡선 궤도에서는 *a*의 표시 방법에 따라, 타원 궤도와 형태가 같게 표시하거나 부호를 반전하여 표시한다. 이 경우의 고유 궤도 에너지는 특성 에너지(C_3)로서 간주할 수 있으며, 포물선 궤도에 비해 추가로 소유한 에너지의 양과 같다. :\epsilon = {\mu \over 2a} 쌍곡선 초과 속도 v_\infty와는 다음의 관계가 있다. :2\epsilon = C_3 = v_\infty^2. 따라서, 궤도 위치 벡터 \mathbf{r} 또는 궤도 속도 벡터 \mathbf{v}를 알고 있으면 고유 궤도 에너지와 공전 속도를 계산할 수 있다.
## 변화율
타원 궤도에서 궤도 긴반지름의 변화에 대한 고유 궤도 에너지의 변화율은 다음과 같다. :\frac{\mu}{2a^2} * \mu={G}(m_1 + m_2)은 표준 중력 변수이다. *a\,\\!은 궤도 긴반지름이다.
## 추가 에너지
궤도 중심체의 반지름이 *R*이라 하면, 중심체 표면에 대한 타원 궤도에서 필요한 추가적인 고유 궤도 에너지는 다음과 같다. : \ -\frac{\mu}{2a}+\frac{\mu}{R} = \frac{\mu(2a-R)}{2aR} 2a-R은 중심체의 중심과 표면으로부터의 거리를 각각 더한 값과 같다. 지구의 경우 a가 R에 비해 큰 차이가 없는 경우에는 추가로 필요한 고유 궤도 에너지는 (gR/2)로 구해지며, 이는 속도의 수평 성분에 대한 운동 에너지이다. : \frac{V^2}{2} = \frac{gR}{2}, V=\sqrt{gR}
# 예시

## 보이저 1호
보이저 1호의 궤도 수치는 다음과 같다. *태양의 표준 중력 변수: \mu = GM = 132,712,440,018 km3⋅s−2 *r = 17 km *v = 17.1 km/s 따라서 고유 궤도 에너지는 다음으로 구해진다. : \epsilon = \epsilon_k + \epsilon_p = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r} = 146 km2⋅s−2 − 8 km2⋅s−2 = 138 km2⋅s−2 또한, 쌍곡선 초과 속도는 다음으로 구해진다. :v_\infty = 16.6nbspkm/s
# 추력의 적용
로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화는 \mathbf{v} \cdot \mathbf{a}으로 표현할 수 있으며, 이는 운동 에너지 측의 값 \mathbf{v} \cdot (\mathbf{a}-\mathbf{g})과 위치 에너지 측의 값 \mathbf{v} \cdot \mathbf{g}의 합이다. ***a**은 추력으로 인해 생기는 가속도로, 시간당 델타 V가 소모되는 비율이다. ***g**은 중력장의 세기이다. ***v**은 로켓의 속도이다. 로켓의 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는 다음으로 표현되며, :\frac{\mathbf{v \cdot a{|\mathbf{a}|} 이는 |**v**|에 **v**와 **a** 사이 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같다. 따라서 고유 궤도 에너지를 증가시키기 위해 델타 V를 가할 때, 가속도 **a**가 **v**의 방향과 같은 방향으로 가해졌을 때 가장 효율이 높다. 로켓을 처음 발사할 때나 더 높은 궤도로 올라갈 때, 즉 **v**와 **g** 사이의 각도가 둔각일 경우, 델타 V를 최대한 빠르고 짧게 가하는 것이 가장 효율이 높다. 즉 행성을 근접 통과할 때는 행성에 가장 가까운 지점에서 분사하는 것이 가장 효율이 좋다는 뜻으로, 오베르트 효과와 같은 뜻이다. 반대로 고유 궤도 에너지를 감소시킬 때는, **a**가 **v**와 반대 방향일 때 효율이 가장 높으며, **v**와 **g** 사이 각도가 예각인 착륙이나 낮은 궤도로 내려가는 경우에는 델타 V를 최대한 늦게 가하는 것이 효율이 높다. **a**의 방향이 **v**와 같다면 식은 다음이 된다. :\Delta \epsilon = \int v\, d (\Delta v) = \int v\, a dt
## 고도별 속도와 고유 궤도 에너지의 값
{| class=wikitable ! 궤도 ! 거리
(중심부터 중심까지) ! 고도
(지구의 표면부터) ! 공전 속도 ! 공전 주기 ! 고유 궤도 에너지 |- bgcolor=lightgray | *지구의 자전 (비교용)* | *6,378nbspkm* || *0nbspkm* | *465.1nbspm/s* | *23nbsp시간 56nbsp분* || *−62.6nbspMJ/kg* |- | 지구 표면에서의 이론적인 궤도 (적도) | 6,378nbspkm || 0nbspkm || 7.9nbspkm/s || 1nbsp시간 24nbsp분 18nbsp초 || −31.2nbspMJ/kg |- | 지구 저궤도 | 6,600–8,400nbspkm || 200–2,000nbspkm | 타원: 6.5–8.2nbspkm/s | 1nbsp시간 29nbsp분 – 2nbsp시간 8nbsp분 || −29.8nbspMJ/kg |- | 몰니야 궤도 | 6,900–46,300nbspkm || 500–39,900nbspkm || 1.5–10.0nbspkm/s|| 11nbsp시간 58nbsp분 || −4.7nbspMJ/kg |- | 정지 궤도 | 42,000nbspkm || 35,786nbspkm || 3.1nbspkm/s || 23nbsp시간 56nbsp분 || −4.6nbspMJ/kg |- | 달의 궤도 | 363,000–406,000nbspkm || 357,000–399,000nbspkm || 0.97–1.08nbspkm/s || 27.3nbsp일|| −0.5nbspMJ/kg |}