구면 모형

통계역학에서 **구면 모형**(球面模型, spherical model)은 강자성을 나타내는 간단한 격자 모형이다.언어=enChapter 5언어=en 이징 모형과 유사하나, 이징 모형과 달리 임의의 차원에서 정확히 간단히 풀 수 있다. 2차원 이하에서는 상전이를 갖지 않지만, 2차원 초과에서는 상전이를 갖는다. 이 모형의 임계 지수들은 일반적으로 차원에 의존하는 독특한 현상을 보인다.
# 정의
**구면 모형**은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 유한 그래프 \Gamma * 함수 h\colon\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)\to \mathbb R, i \mapsto h_i. 이는 외부 자기장을 뜻한다. * 함수 \beta\colon \mathsf E(\Gamma)\to\mathbb R, ij \mapsto \beta_{ij}. 이는 온도의 역수를 뜻한다. 이 모형에서, 변수는 그래프 꼭짓점 위의 “스핀”의 분포이다. 여기서 “스핀”은 임의의 실수 값을 가질 수 있지만, 모든 스핀들의 제곱평균제곱근은 1이어야 한다. :\sigma \colon \operatorname{\mathsf V}(\Gamma)\to\mathbb R :\sum_{i\in\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)} \sigma_i^2 = |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)| 즉, 짜임새 공간은 유클리드 공간 \mathbb R^{\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)} 속의, 반지름 \sqrt{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|}의 초구이다. 구형 모형의 분배 함수는 다음과 같다. :Z_\Gamma(\beta,h) = \int_{\mathbb R^{\mathsf V(\Gamma) \mathrm d^{|\mathsf V(\Gamma)|}\sigma \,\exp\left( \sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\beta_{ij}\sigma_i\sigma_j +\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}h_i\sigma_i \right) 이는 다음과 같이 표기할 수 있다. 우선, 실수 힐베르트 공간 :\mathcal H = \mathbb R^{\mathsf V(\Gamma)} 위의 연산자 :M \colon \mathcal H\to\mathcal H : \langle i|M|j\rangle =-\beta_{ij} \langle i|\mathsf A_\Gamma|j\rangle 를 정의하자. 여기서 \mathsf A_\Gamma는 \Gamma의 인접 행렬이다. :\langle i|\mathsf A_\Gamma|j\rangle = \begin{cases} 1 & ij \in \operatorname E(\Gamma) \\\ 0 & ij \not\in\operatorname E(\Gamma) \end{cases} 즉, 만약 \beta가 상수 함수라면 M = -\beta \mathsf A_\Gamma이다. 그렇다면, 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다. : \begin{aligned} Z_\Gamma(\beta,h) &= \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R^{\operatorname{\mathsf V}(\Gamma) \mathrm D\sigma\int_{z+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz \;\exp\left(-\langle \sigma|(M+z)|\sigma\rangle + \langle h|\sigma\rangle + z|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|\right)\\\ \end{aligned} 여기서 디랙 델타를 :\delta(\langle\sigma|\sigma\rangle - |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|) = \int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\;\exp(-z\langle \sigma|\sigma\rangle + z |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|)\qquad(a\gg1) 로 표현하였다. 여기서, a는 M + z의 모든 고윳값의 실수 성분이 양수가 되게 충분히 커야 한다. 즉, 이 경우 :Z_\Gamma(\beta,h) = \frac1{2\pi} \int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\;Z_\Gamma(\beta,h,z)\exp\left(z|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|+\frac14\langle h|(z+M)^{-1}|h\rangle\right)\qquad(a\gg1) :Z_\Gamma(\beta,h,z) = \int_{\mathbb R^{\operatorname{\mathsf V}(\Gamma) \mathrm D\sigma\;\exp\left(-\langle \sigma|(z+M)|\sigma\rangle \right) = \frac{\pi^{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|/2{\sqrt{\det(z+M) 이 된다. 즉, : \begin{aligned} Z_\Gamma(\beta,h) &= \frac12\pi^{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|/2-1} \int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\, \exp\left(z|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|+\frac14\langle h|(z+M)^{-1}|h\rangle\right) \det(z+M)^{-1/2}\qquad(a\gg1)\\\ &= \frac12\pi^{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|/2-1} \int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\, \prod_{\lambda\in\operatorname{Spec}M} \frac{\exp(z+\langle v_\lambda|h\rangle^2/(z+\lambda)^{-1}) }{\sqrt{z+ \lambda \end{aligned} 이다. 여기서 v_\lambda는 M의 고유 벡터로 구성된 정규 직교 기저이다.
# 성질

## 최급강하법 근사
그래프가 매우 큰 경우, 다음과 같이 최급강하법을 사용하여 분배 함수를 근사할 수 있다. 구체적으로, 분배 함수를 다음과 같이 적자. :Z = \frac12 \pi^{|\mathsf V(\Gamma)|/2-1} \int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\; \exp\left( |\mathsf V(\Gamma)| S_\Gamma(z) \right) :S(z) = z + \frac1{|\mathsf V(\Gamma)|}\frac14\langle h|(z+\beta\mathsf A_\Gamma)^{-1}|h\rangle \- \frac12 {\ln \det(z+M)}{|\mathsf V(\Gamma)|} 이다. 여기서 :\ln \det(z+M) \propto |\mathsf V(\Gamma)| :\langle h | (z + M) | h\rangle \propto |\mathsf V(\Gamma)| 라고 가정하였다. (예를 들어, 만약 \Gamma = (\mathsf C_L)^{\square d}가 원환면 그래프(d개의 순환 그래프들의 그래프 데카르트 곱)이며, 자기장 h 또한 상수 함수라면, 위 조건이 성립한다.) 그렇다면, |\mathsf V(\Gamma)| \to \infty인 극한에서, :\frac1{|\mathsf V(\Gamma)|}\ln Z_\Gamma(\beta,h) \approx \max_{z\in a+\mathrm i\mathbb R}S(z;\beta,h) + \frac12\ln\pi + o(1) 가 된다.
## 원환면 그래프
\Gamma=(\mathsf C_L)^{\square d}가 크기 L의 순환 그래프 \mathsf C_L의 d겹 그래프 데카르트 곱이라고 하자. 즉, 이는 주기적 경계 조건이 주어진 d차원 L\times \dotsb \times L 초입방체에 해당한다. 이 경우, \Gamma의 스펙트럼은 다음과 같은 중복집합이다. : \operatorname{Spec}\Gamma = \left\\{ 2 \sum_{i=1}^d\cos \frac{2\pi k_i}L \colon k_i \in \\{0,1,\dotsc,L-1\\} \right\\} 따라서 \beta가 상수 함수일 때, L\to \infty 극한에서, \ln\det(z+M)은 따라서 [0,2\pi]^d 위의 적분으로 근사될 수 있다. 이러한 그래프에서, 상수 함수 자기장 h는 \Gamma의 인접 행렬의 고유 벡터이며, 따라서 이 경우 자기장의 항 역시 계산될 수 있다. 이 경우, 상태 방정식은 다음과 같다.5.3.3 :2(1-m^2) = \beta g'(h/2m+d) 여기서 * T = 1/\beta는 온도이다. * m=\langle\sigma\rangle은 \sigma의 평균값이다. * g(z)는 다음과 같이 정의되는 함수이다. 이는 \ln\det(z+\mathsf A_\Gamma)의 적분 근사에서 유래한다. :g(z) = (2\pi)^{-d} \int_{[0,2\pi]^d} \mathrm d^dt\;\ln\left( z - \sum_{i=1}^d\cos t_i\right) 이 경우 :g'(z) = \int_0^\infty \mathrm dt\,\exp(-tz)\mathsf J_0(\mathrm it)^d(5.4.4) 가 된다. 여기서 \mathsf J_0(-)는 0차 베셀 함수이다. 이 경우 :g'(d) \begin{cases} = \infty & (0 2일 때 구면 모형은 1차 상전이를 갖는다. 즉, 퀴리 온도가 (유한한) 양수이며, 그 역수는 :\beta_0 = \frac12 g'(d) 이다.67, (5.5.1) d>2일 때, 임계 지수들은 다음과 같다. :\alpha = \begin{cases} -\frac{4-d}{d-2} & (2(5.6.7) :\beta = \frac12(5.6.8) :\gamma = \begin{cases} \frac2{d-2} & (2(5.6.11) 즉, 이 경우 임계 지수들이 d에 의존하게 된다.
## 이징 모형과의 관계
물리학적으로, 이는 이징 모형의 근사로 여겨질 수 있다. 이징 모형에서 분배 함수는 |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|차원 유클리드 공간 속의 초입방체의 2N개 꼭짓점에 대한 합을 취하는 것인데, 이 모형은 이를 대신 비슷한 크기의 초구의 표면에 대한 적분으로 근사한다.
# 역사
마레크 카츠 1952년에 시어도어 벌린(Theodore H. Berlin, 1917-1963)과 마레크 카츠(Marek Kac, 1914-1984)가 도입하였다.언어=en