호지-라플라스 연산자

미분기하학에서 **호지-라플라스 연산자**(Hodge-Laplace演算子, Hodge–Laplace operator) 또는 **호지-드람 라플라스 연산자**(Hodge-de Rham-Laplace演算子, Hodge–de Rham Laplacian) 또는 **라플라스-드람 연산자**(Laplace-de Rham演算子, Laplace–de Rham operator)는 콤팩트 리만 다양체 위의 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이다. 호지-라플라스 연산자의 값이 0인 미분 형식을 **조화 미분 형식**(調和微分形式, harmonic differential form)이라고 하며, 호지 이론에 따라 이는 실수 계수 코호몰로지류와 표준적으로 대응된다.
# 정의
콤팩트 리만 다양체 (M,g) 위의 미분 형식의 실수 벡터 공간 :\Omega^\bullet(M) 을 생각하자. 임의의 n\in\\{0,1,\dotsc,\dim M\\}에 대하여, n차 미분 형식의 벡터 다발의 x\in M에서의 올공간 :\bigwedge^n\mathrm T^*_xM 은 \textstyle\binom{\dim M}n차원 실수 벡터 공간이며, 리만 계량 g|_x로 인하여 이는 실수 내적 공간을 이룬다. 즉, n차 미분 형식의 벡터 다발은 양의 정부호 내적을 가지게 되며, 이를 통하여 미분 형식의 공간에 다음과 같은 내적을 줄 수 있다. :\langle \alpha|\beta\rangle = \frac1{(n!)^2}\int_M \alpha_{i_1i_2\dotsb i_n}\beta_{j_1j_2\dotsb j_n}g^{i_1j_1}\dotsm g^{i_nj_n}\sqrt{\det g}\,\mathrm d^{\dim M}x\qquad\forall \alpha,\beta\in\Omega^n(M) 이에 따라 \Omega(M)의 완비화 \bar\Omega(M)를 취할 수 있으며, 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이 구조를 사용하여, 미분 형식의 외미분 :\mathrm d\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet+1}(M) 의 에르미트 수반 :\mathrm d^\dagger\colon\operatorname{dom}(\mathrm d^\dagger)\to\bar\Omega(M) :\langle\alpha|\mathrm d^\dagger\beta\rangle = \langle \mathrm d\alpha|\beta\rangle\qquad\forall\alpha,\beta\in\Omega(M) :\operatorname{dom}\mathrm d^\dagger \subseteq\bar\Omega^\bullet(M) 을 \bar\Omega(M)의 조밀 집합 위에 정의할 수 있다. 마찬가지로 (\mathrm d^\dagger)^2 = 0이다. **호지-라플라스 연산자**는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이며, 다음과 같다. :\Delta_{\text{dR = \mathrm d \mathrm d^\dagger + \mathrm d^\dagger \mathrm d = (\mathrm d + \mathrm d^\dagger)^2 그 핵은 **조화 미분 형식**이라고 한다.
# 성질

## 스펙트럼
\Delta_{\text{dR = (\mathrm d+\mathrm d^\dagger)^2이므로, 라플라스-드람 연산자의 스펙트럼은 모두 음이 아닌 실수이다.
## 접속을 통한 라플라스 연산자와의 관계
리만 다양체 M 위의 임의의 (p,q)차 텐서장 :X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q} 에 대하여, 레비치비타 접속을 사용하여 다음과 같은 **라플라스-벨트라미 연산자**를 정의할 수 있다. :(\Delta X)X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q} = g^{kl}\nabla_k\nabla_l X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q} 만약 p = 0일 경우, (0,q)차 텐서장은 q차 미분 형식과 같다. 이 경우, 일반적으로 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자와 다르며, 그 차는 리만 곡률에 비례하는 (0차 미분) 국소 선형 연산자이다. 이 관계를 **바이첸뵈크 항등식**(Weitzenböck identity)이라고 한다. 다만, 스칼라 함수의 경우 (p=q=0), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 −1배)와 같다. :g^{ij}\nabla_j\partial_i f = -\mathrm d^\dagger\mathrm d f = - \Delta_{\text{dR f

**증명**:

차수로 인하여, f\in\Omega^0(M)에 대하여 \mathrm d^\dagger f = 0이다. 따라서 :\Delta_{\text{dR f = \mathrm d\mathrm d^{\dagger} f + \mathrm d^\dagger \mathrm df = \mathrm d^\dagger \mathrm df 이다. 따라서, 임의의 함수 g\in\Omega^0(M)에 대하여 :\int_M g^{ij}\nabla_i \nabla_j f\,\sqrt{\det g}\,\mathrm dx = \langle \mathrm dg|\mathrm df\rangle 임을 보이면 족하다. 그런데 스토크스 정리에 의하여 :\int_M g^{ij}\nabla_i \nabla_j f\,\sqrt{\det g}\,\mathrm dx = -\int_M g^{ij} \nabla_i f \nabla_j g \,\sqrt{\det g} = - \langle \mathrm df|\mathrm dg\rangle 이다.

## 조화 미분 형식
\Delta_{\text{dR가 타원형 미분 연산자이므로, 조화 미분 형식들의 실수 벡터 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지 \operatorname H(M;\mathbb R)와 표준적으로 동형이다. 구체적으로, 닫힌 미분 형식 \alpha\in\Omega^k(M)의 동치류 :[\alpha] = \\{\beta\in\Omega^k(M)\colon\exists \gamma\in\Omega^{K-1}(M)\colon \alpha-\beta = \mathrm d\gamma\\} 를 생각하자. 이 위에 힐베르트 공간 노름은 함수 :\|-\| \colon [\alpha] \to [0,\infty) 를 정의하며, 조화 미분 형식은 이 함수를 최소화한다. 이러한 대표원은 각 동치류 속에서 유일하게 존재함을 보일 수 있다.