케일리 변환

기하학에서 **케일리 변환**(Cayley變換, Cayley transform)은 환 위의 사영 직선의 특별한 자기 동형이다. 행렬의 경우, 이는 반대칭 행렬과 직교 행렬 사이의 대응을 정의하며, 복소수체의 경우, 이는 허수축과 단위 원 사이의 대응을 정의한다.
# 정의
2가 가역원인 환 R\ni 2^{-1} 위의 사영 직선 :\mathbb P_R^1 = R^2 / \sim :[x,y] \sim [ax,ay]\qquad\forall x,y,a\in R 을 생각하자. 그 위의 **케일리 변환**은 다음과 같다. :f \colon [x,y] \mapsto [y-x,x+y] 이는 멱등 함수이다. :f \circ f = 1 따라서, 이는 R-사영 직선 위의 전단사 함수를 정의한다. 보다 일반적으로, 임의의 가역원 u \in \operatorname{Unit}(R)에 대하여, :f_u \colon [x,y] \mapsto [yu-x,yu+x] 를 정의할 수 있다. 그 역사상은 다음과 같다. :f_u^{-1} \colon [x,y] \mapsto [y-x,(x+y)u^{-1}]
# 성질

## 복소수
케일리 변환 :f \colon z \mapsto \frac{1-z}{1+z} 은 리만 구 \mathbb P^1_{\mathbb C} = \mathbb C \cup \\{\infty\\} 위의 뫼비우스 변환을 이룬다. 이는 다음과 같은 성질을 갖는다. :{| class=wikitable |- ! *z*=*f*(*f*(z)) || *f*(*z*) |- | 0 || 1 |- | i || −i |- | ∞ || −1 |- | \mathbb i\mathbb R\cup\\{\infty\\} || U(1) |- | \mathbb R\cup\\{\infty\\} || \mathbb R\cup\\{\infty\\} |- | \\{z \in\mathbb C\colon \operatorname{Re}z\ge 0\\} \cup \\{\infty\\} || \\{z\in\mathbb C\colon |z|\le1\\} |- | \\{z \in\mathbb C\colon \operatorname{Re}z\le 0\\} \cup \\{\infty\\} || \\{z\in\mathbb C\colon |z|\ge1\\} \cup\\{\infty\\} |} 즉, 이는 허수축과 단위원을 뒤바꾸며, 실수축을 고정시킨다. 또한, 음이 아닌 실수 성분을 가진 반평면은 닫힌 원판에 대응된다.
## 행렬
n\times n 실수 정사각 행렬의 환 \operatorname{Mat}(n;\mathbb R) 위의 케일리 변환을 생각하자. :f \colon \operatorname{Mat}(n;\mathbb R) \setminus X \to \operatorname{Mat}(n;\mathbb R) :M \mapsto (1-M)(1+M)^{-1} = (1+M)^{-1}(1-M) 여기서 X는 1+M이 가역 행렬이 아니게 되는 행렬들의 부분 집합이다. 이 변환에서, 만약 M\in\mathfrak o(n;\mathbb R)이 반대칭 행렬이라면 (M^\top = -M), 1+M은 항상 가역 행렬이며, :f(M)^\top = (1-M)(1+M)^{-1} = (1-M)^{-1}(1+M) 이므로 :f(M)^\top f(M) = f(M)f(M)^\top = 1 이 된다. 즉, f(M) \in \operatorname O(n;\mathbb R)이며, 특히 \det f(M) \in \\{\pm1\\}이다. 그런데 :\det \circ (f \restriction \mathfrak o(n;\mathbb R)) \colon \mathfrak o(n;\mathbb R) \setminus X \to \\{\pm1\\} 은 연속 함수이며, 그 정의역 \mathfrak o(n;\mathbb R)은 연결 공간이다. 따라서 이는 상수 함수이며, 그 값은 \det f(0) = 1이다. 즉, 케일리 변환은 매끄러운 함수 :f \colon \mathfrak o(n;\mathbb R) \to \operatorname{SO}(n;\mathbb R) :f \colon 0 \mapsto 1 를 정의한다. (물론, 이는 전사 함수가 아니다. \mathfrak o(n;\mathbb R)는 축약 가능 공간이지만 \operatorname{SO}(n;\mathbb R)는 축약 가능 공간이 아니기 때문이다.) 마찬가지로, 복소수 정사각 행렬의 환 :\operatorname{Mat}(n;\mathbb C) 위의 케일리 변환을 생각하자. 이를 제한하면 마찬가지로 매끄러운 함수 :(f_1 \restriction \mathfrak o(n;\mathbb C)) \colon \mathfrak o(n;\mathbb C) \to \operatorname{SO}(n;\mathbb C) :(f_1 \restriction \mathfrak u(n;\mathbb C)) \colon \mathfrak u(n;\mathbb C) \to \operatorname U(n;\mathbb C) 를 정의할 수 있다. 여기서 * \mathfrak o(n;\mathbb C)는 복소수 반대칭 행렬의 복소수 리 대수이다. * \mathfrak u(n;\mathbb C)는 복소수 반에르미트 행렬의 실수 리 대수이다. * \operatorname{SO}(n;\mathbb C)는 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬로 구성된 리 군이다. * \operatorname U(n;\mathbb C)는 유니터리 군이다.
## 사원수
사원수 대수 \mathbb H 위의 케일리 변환 :f \colon \mathbb H\cup\\{\infty\\} \to \mathbb H\cup\\{\infty\\} :f \colon q \mapsto \frac{1-q}{1+q} 을 생각하자. (1-q와 1+q는 서로 가환하므로 나눗셈을 왼쪽에서 취하든, 오른쪽에서 취하든 상관이 없다.) 이는 순허수 성분 사원수로 구성된 3차원 유클리드 공간의 알렉산드로프 콤팩트화 :(\mathrm i\mathbb R+\mathrm j\mathbb R+\mathrm k\mathbb R) \cup \\{\infty\\} 를 절댓값이 1인 사원수로 구성된 3차원 초구 :\mathbb S^3 = \\{q\in\mathbb H \colon |q| = 1 \\} 에 대응시킨다. 이는 리 대수 \mathfrak{su}(2)(의 알렉산드로프 콤팩트화)와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 여길 수 있다. (이는 리 대응과 다른 사상이다.)
# 역사
아서 케일리가 반대칭 행렬에 대하여 1846년에 최초로 도입하였다.doi=10.1515/crll.1846.32.119