보바인 적분

**보바인 적분**(Borwein integral)은 수학자 데이비드 보바인과 조너선 보바인이 2001년 발표한 특이한 속성을 가진 적분이다. 보바인 적분은 \mathrm{sinc}(x)=\sin(x)/x이고 x = 0에서 극한값으로 \mathrm{sinc}(0)=1라고 정의하는 싱크함수의 변형형인 \mathrm{sinc}(ax) 함수의 적분의 계산이다. 보바인 적분은 같은 패턴을 보이는 적분값이 어느 순간 패턴이 깨지고 전혀 다른 값으로 나오는 예시 중 하나이다.
# 설명
싱크 함수의 양의 무한적분 값은 다음과 같다. :\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \frac \pi 2 여기서, \mathrm{sinc}(ax)에 들어가는 a 값을 1, 3, 5 등 홀수로 늘려가며 이어나가 곱한 함수의 적분값을 구하면 다음과 같다. : \begin{align} & \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx= \frac \pi 2 \\\\[10pt] & \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \frac \pi 2 \\\\[10pt] & \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \frac \pi 2 \end{align} 이 함수의 적분값은 a를 13까지 늘렸을 때까지 일치한다. :\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2. 하지만, a값이 15를 넘어서게 되면 다음과 같이 패턴이 달라지게 된다.A068214 : \begin{align} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx &= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\\\[5pt] &= \frac \pi 2 - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\\\[5pt] &\approx \frac \pi 2 - 2.31\times 10^{-11}. \end{align} 일반적으로, 3, 5, 7…과 같이 붙은 a값의 역수들의 총 합이 1보다 작을 경우 적분값은 항상 2이다. 위의 예시의 경우, 13 1.로 15서부터는 1을 넘어서서 적분값이 달라진다. 싱크함수 앞에 2\cos(x)를 곱하게 되면 더 오랫동안 패턴이 유지되는데, :\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111} \, dx = \frac \pi 2, 하지만, :\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111}\frac{\sin(x/113)}{x/113} \, dx 2여서 위처럼 값이 어긋나게 되는 것이다. 원래 싱크함수의 적분값과 그의 확장형값이 같다가 어느 순간 값이 달라지는 이유는 직관적인 수학적 설명으로 증명되었다.access-date= 특히 인과관계 논리가 있는 무작위 행보 재규격화에서는 패턴이 깨지는 이유를 밝혀주며 여기에 여러 일반화까지 덧붙여진다.
# 일반화 공식과 증명
0이 아닌 실수 수열 a_0, a_1, a_2,\ldots에서 위 싱크함수의 일반적인 무한적분 공식은 다음과 같다. : \int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sin(a_kx)}{a_kx} \, dx 위 공식을 사용하러면 a_k까지의 합계를 알아야 한다. 만약 \gamma = (\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n)\in\\{\pm 1\\}^n에서 각각의 값이 \pm 1인 n-튜플이라면 위 식을 a_k까지의 교대급수인 b_{\gamma}=a_0+\gamma_1a_1+\gamma_2a_2+\cdots+\gamma_na_n이라고 할 수 있고 우리는 \varepsilon_\gamma=\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n라고 정의할 수 있으며 이 값은 \pm 1이다. 즉 푸리에 변환을 이용해 위 표기법으로 싱크함수의 무한적분을 정리하면 다음과 같다. : \int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sin(a_kx)}{a_kx} \, dx = \frac{\pi}{2a_0} C_n 여기서 : C_n = \frac 1 {2^nn!\prod_{k=1}^na_k} \sum_{\gamma\in\\{\pm 1\\}^n} \varepsilon_\gamma b_\gamma^n \sgn(b_\gamma) 이다. (sgn은 부호함수) 만약 a_0 > |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| 이면 \sgn(b_\gamma) = \sgn(a_0)이므로 C_n=1 가 된다. 또한 각각의 k=0,\ldots,n-1 에 대해 0이고 a_1+a_2+\cdots+a_{n-1} < a_0 < a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n 인 n 이 존재한다면 처음부터 n 번째까지의 부분합이 a_0을 넘는 첫 n 값이며 k=0,\ldots,n-1 까지는 C_k=1 이지만 : C_n = 1 - \frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n-a_0)^n}{2^{n-1}n! \prod_{k=1}^na_k} 이 된다. 위의 설명 첫 예시를 예로 들면, a_k=\frac{1}{2k+1} 가 된다. n=7 에서 a_7=\frac{1}{15} 이며 \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\approx 0.955 이지만 n이 15가 될 경우 \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}\approx 1.02 즉 a_0=1 를 넘게 되므로 13까지는 : \int_0^\infty \frac{\sin(x)} x \frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2 가 되지만, n=15 에서 : \begin{align} & \int_0^\infty \frac{\sin(x)} x \frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx \\\\[5pt] = {} & \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{(3^{-1} + 5^{-1} + 7^{-1} + 9^{-1} + 11^{-1} + 13^{-1} + 15^{-1}-1)^7}{2^6\cdot 7! \cdot (1/3 \cdot 1/5 \cdot 1/7 \cdot 1/9 \cdot 1/11 \cdot 1/13 \cdot 1/15)}\right) \end{align} 즉 위에서 나열한 값과 같다.