초타원 곡선

섬네일 대수기하학에서 **초타원 곡선**(超楕圓曲線, hyperelliptic curve)은 사영 직선 위의 2차 분지 피복을 이루는 대수 곡선이다.archive-url=https://web.archive.org/web/20181222121914/http://cacr.uwaterloo.ca/~ajmeneze/publications/hyperelliptic.pdf
# 정의
체 K 위의 **초타원 곡선**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.url-status = dead287, Definition 7.4.7 * 크룰 차원이 1인 스킴 C * 매끄러운 사상 \phi\colon C \to \operatorname{Spec}K. 또한, \phi가 기하학적 기약 사상(geometrically irreducible morphism)이라고 하자. (즉, C\otimes_K\bar K은 기약 스킴이다.) ** 이 조건에 따라서 C는 기약 스킴이자 축소 스킴이다. * K 위의, 차수가 2인 분해 가능 유한 사상 f\colon C\to \mathbb P^1_K. (즉, 체의 확대 \mathcal K(C) / K는 2차 분해 가능 확대이다.) 여기서 \mathbb P^1_K는 사영 직선이다. ** 이 조건에 따라서 \phi는 유한형 사상이다. 특히, 만약 K가 대수적으로 닫힌 체라면, 그 위의 초타원 곡선은 다음과 같다. * 크룰 차원이 1인 정칙 기약 스킴 K * K 위의, 차수 2의 유한 사상 f\colon C \to \mathbb P^1_K
# 분류
종수 g의 초타원 곡선 (C,f)는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선, \mathbb P^1_K = \operatorname{Proj}(x_0,x_1)에서 아핀 좌표 :x = x_1/x_0 :\tilde x = x_0/x_1 = 1/x 를 고르자. 그렇다면, 만약 \operatorname{char}K \ne 2인 경우, f는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다. :\phi \colon K[x] \to K[x,y]/(y^2 - P(x)) :\tilde\phi \colon K[\tilde x] \to K[\tilde x,\tilde y] / (\tilde y^2 - \tilde P(\tilde x)) :\tilde P(\tilde x) = \tilde x^{2g+2}P(1/\tilde x) :P(x) = x^{2g+2}\tilde P(1/x) :P \ne 0 :\deg P \in \\{2g+1,2g+2\\} 이 경우 C를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다. :y = x^{g+1}\tilde y :\tilde y= \tilde x^{g+1}y 즉, 다음과 같다. :\begin{matrix} \displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(y^2-P(x))} & \supset & \displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(y^2-P(x))} \setminus \frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(x,y^2-P(x))} & \overset{y=x^{g+1}\tilde y}{\underset{\tilde x^{g+1}y=\tilde y}\cong} & \displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde y^2-\tilde P(\tilde x))} \setminus \frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde x,\tilde y^2-\tilde P(\tilde x))} & \subset & \displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde y^2-\tilde P(\tilde x))}\\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\\ \operatorname{Spec}K[x] & \supset & \operatorname{Spec}K[x] \setminus \displaystyle\operatorname{Spec}\frac{K[x]}{(x)} & \underset{x=1/\tilde x}{\overset{1/x=\tilde x}\cong} & \operatorname{Spec}K[\tilde x] \setminus \displaystyle\operatorname{Spec}\frac{K[\tilde x]}{(\tilde x)} & \subset & \operatorname{Spec}[\tilde x] \end{matrix} 표수가 2인 경우, f는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다. :\phi \colon K[x] \to K[x,y]/(y^2 - Q(x)y - P(x)) :\tilde\phi \colon K[\tilde x] \to K[\tilde x,\tilde y] / (\tilde y^2 - \tilde Q(\tilde x)\tilde y - \tilde P(\tilde x)) :\tilde P(\tilde x) = \tilde x^{2g+2}P(1/\tilde x) :P(x) = x^{2g+2}\tilde P(1/x) :\tilde Q(\tilde x) = \tilde x^{g+1}Q(1/\tilde x) :Q(x) = x^{g+1}\tilde Q(1/x) :\\{P,Q\\} \ne \\{0\\} :\max\\{\deg P, 2\deg Q\\} \in \\{2g+1,2g+2\\} 이 경우 C를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다. :y = x^{g+1}\tilde y :\tilde y= \tilde x^{g+1}y 즉, 다음과 같다. :\begin{matrix} \displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(y^2-Q(x)y-P(x))} & \supset & \displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(y^2-Q(x)y-P(x))} \setminus \frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(x,y^2-Q(x)y-P(x))} & \overset{y=x^{g+1}\tilde y}{\underset{\tilde x^{g+1}y=\tilde y}\cong} & \displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde y^2-\tilde Q(\tilde x)\tilde y-\tilde Q(\tilde x)\tilde y-\tilde P(\tilde x))} \setminus \frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde x,\tilde y^2-\tilde Q(\tilde x)\tilde y-\tilde P(\tilde x))} & \subset & \displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde y^2-\tilde Q(\tilde x)\tilde y-\tilde P(\tilde x))}\\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\\ \operatorname{Spec}K[x] & \supset & \operatorname{Spec}K[x] \setminus \displaystyle\operatorname{Spec}\frac{K[x]}{(x)} & \underset{x=1/\tilde x}{\overset{1/x=\tilde x}\cong} & \operatorname{Spec}K[\tilde x] \setminus \displaystyle\operatorname{Spec}\frac{K[\tilde x]}{(\tilde x)} & \subset & \operatorname{Spec}[\tilde x] \end{matrix} 표수가 2가 아닌 경우, 항상 :y \mapsto y + Q(x)/2 를 통해 Q = \tilde Q = 0으로 놓을 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 변환을 하더라도 이로서 정의되는 초타원 곡선은 동형이다. :\operatorname{char}K\ne 2: P \mapsto \lambda^2 P\qquad(\lambda\in K^\times) :\operatorname{char}K=2: (P,Q) \mapsto (\lambda^2P,\lambda Q), (P,Q)\mapsto (P+f^2+Qf,Q)\qquad(f\in K[x],\;\deg f \le g+1) 즉, 이 경우 가중 사영 공간 :\mathbb P_K(1,g+1,1) = \mathbb P^1_K[s,t,u] 속에서 부분 대수다양체 :t^2 = Q(u/s)s^{g+1}t + P(u/s)s^{2g+2} 를 이룬다. 이 경우 f는 :C \to \mathbb P^1_K = \operatorname{Proj}K[s,u] :[s:t:u] \mapsto [s:u] 이다.
## 분지점
표주가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체인 경우, 이러한 사상 C는 짝수 개의 분지점을 갖는다. (분지점은 \mathbb P^1_K의 닫힌 점 x\in \mathbb P^1_K 가운데, 올 f^{-1}(x)이 하나의 점만으로 구성된 경우이다. 분지점이 아니라면, f^{-1}(x)는 항상 두 개의 점으로 구성된다.) 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 P의 사영 공간에서의 근이다. 즉, * \deg P = 2g+2라면, 분지점은 P의 2g+2개의 근이다. * \deg P = 2g+1라면, 분지점은 P의 2g+1개의 근 및 \infty이다. 이는 가중 사영 공간에서 대합 :[s,t,u] \mapsto [s,-t,u] 의 고정점이다. 표수가 2인 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 Q의 근이다. 이는 가중 사영 공간에서 대합 :[s,t,u] \mapsto [s,t+Q(s/u)u^{g+1},u] 의 고정점이다. 다음 조건이 주어졌다고 하자. * 분지점의 수가 r라고 할 때, |K| > r이다. 이 경우, \mathbb P^1_K \setminus\\{\infty\\} = \mathbb A^1_K = \operatorname{Spec}K[x] 위에서 f는 다음과 같은 꼴이 된다. :y^2 = f(x) = \sum_{i=0}^d a_dx^d :f \in K[x]
## 모듈러스 공간
K가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체이며 종수가 g\ge2일 때, 초타원 곡선은 그 2g+2개의 분지점의 집합만으로 완전하게 결정된다. 즉, 그 모듈라이 공간은 :\frac{\operatorname{Conf}_0(2g+2)}{\operatorname{Aut}(\mathbb P^1_K)} 이다. 그 차원은 :2g+2 - 3 = 2g-1 이다. 보다 일반적으로, 표수가 2가 아닌 체에서, 초타원 곡선은 가중 사영 공간에서 :y^2 = B(x,z) 의 꼴로 표현되며, B(x,z)는 (종수 g의 경우) 2g+2차 2변수 형식(binary form)이다. 따라서 그 분류는 2변수 형식의 분류로 귀결된다.