직교 스펙트럼

호모토피 이론에서 **직교 스펙트럼**(直交spectrum, orthogonal spectrum)은 직교군의 등변 작용을 갖춘 스펙트럼의 일종이다.url-status= 이들의 범주는 분쇄곱을 가져 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 그 속에서 환 스펙트럼이 잘 정의된다.
# 정의
\operatorname{CGWH}가 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주라고 하자. 이는 (모든 위상 공간의 범주와 달리) 데카르트 닫힌 범주를 이룬다. 이 범주에 대하여, 점을 가진 공간의 범주 :\operatorname{CGWH}_\bullet = \operatorname{CGWH} \backslash \\{\bullet\\} 를 한원소 공간 \\{\bullet\\} 위의 쌍대 조각 범주로서 취할 수 있다. 이제, 곱공간과 분쇄곱 연산은 이 범주에서 취한다고 하자. G가 다음 세 가지 가운데 하나라고 하자. :{| class=wikitable ! 이름 !! G(n) !! \mathbb K || k=\dim_{\mathbb R}\mathbb K !! G구조 스펙트럼의 이름 |- | 직교군 || \operatorname O(n) || \mathbb R 실수체 || 1 || **직교 스펙트럼**(orthogonal spectrum) |- | 유니터리 군 || \operatorname U(n) || \mathbb C 복소수체 || 2 || **유니터리 스펙트럼**(unitary spectrum) |- | 콤팩트 심플렉틱 군 || \operatorname{USp}(2n)=\operatorname{Sp}(n) || \mathbb H 사원수 대수 || 4 || **심플렉틱 스펙트럼**(symplectic spectrum) |} 다음과 같은 범주 \mathcal V_{\mathbb K}를 생각하자. * \mathcal V_{\mathbb K}의 대상은 유한 차원 \mathbb K-내적 공간이다. * \mathcal V_{\mathbb K}의 사상은 같은 차원의 내적 공간 사이의 유니터리 변환들이다. 즉, 그 사상 집합은 \hom_{\mathcal V_{\mathbb K(V,V)\cong G(\dim_{\mathbb K}V)이다. 이는 내적 공간의 직합에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 실수 nk차원 유클리드 공간 V의 알렉산드로프 콤팩트화 \hat V는 nk차원 초구 \mathbb S^{nk}이며, 이에 따라 함자 :{\hat{\color{White}m\colon \mathcal V\to\operatorname{CGWH}_\bullet 가 존재한다. (밑점은 알렉산드로프 콤팩트화에 의하여 추가된 점이다.) 이 경우, **G구조 스펙트럼**(spectrum with G-structure) X는 다음과 같은 데이터로 구성된다.Definition 7.2 * 함자 X\colon \mathcal V_{\mathbb K}\to\operatorname{CGWH}_\bullet. n차원 내적 공간의 상을 X(n)=X(\mathbb K^n)\in \operatorname{CGWH}_\bullet이라고 하자. 특히, X(n) 위에는 \operatorname{Aut}_{\mathcal V_{\mathbb K(\mathbb K^n) = G(n)의 연속 작용이 주어진다. * 각 V,W\in \mathcal V_{\mathbb K}에 대하여, 밑점을 보존하는 연속 함수 f_{V,W}\colon\hat V\wedge X(W)\to X(V\oplus W). 이를 **구조 사상**(構造寫像, structure map)이라고 한다. 이는 또한 다음 조건들을 만족시켜야 한다. ** (등변성) f_{V,W}\colon\hat V\wedge X(W)\to X(V\oplus W)는 G(V)\times G(W)의 작용에 대하여 등변 함수이다. ** (항등원) f_{0,V} = \operatorname{id}_{X(V)} (항등 함수) ** (결합성) f_{W,U\oplus V} \circ f_{V,U} = f_{W\oplus V,U} \colon \widehat{W \oplus V} \wedge X(U) \to X(W\oplus V \oplus U)이다. (여기서 초구의 분쇄곱 사이의 표준적 사상 \widehat{W\oplus V} \cong \widehat W \wedge \hat V를 사용하였다.) 두 직교 스펙트럼 X, Y 사이의 **사상**은 구조 사상과 호환되는 자연 변환 f\colon X\to Y이다. 여기서 구조 사상과 호환된다는 것은 다음 그림이 가환한다는 것이다. : \begin{matrix} X(V)\wedge\mathbb S^k&\xrightarrow{f_V\wedge\mathbb S^k}&Y;(V)\wedge\mathbb S^k\\\ \downarrow&&\downarrow\\\ X(V\oplus\mathbb K)&\xrightarrow[f_{V\oplus\mathbb K}]{}&Y;(V\oplus\mathbb K) \end{matrix} \mathbb K=\mathbb R일 때, 직교군 구조 스펙트럼을 줄여서 **직교 스펙트럼**이라고 한다. 마찬가지로, \mathbb K = \mathbb C인 경우는 **유니터리 스펙트럼**, \mathbb K = \mathbb H인 경우는 **심플렉틱 스펙트럼**이다.
# 성질
대칭군 \operatorname{Sym}(n)은 \operatorname O(n)의 부분군이므로, 직교 스펙트럼은 (추가 구조를 갖춘) 대칭 스펙트럼이다. 직교 스펙트럼 X의 **안정 호모토피 군**(stable homotopy group)은 다음과 같다. :\pi_\bullet(X)=\varinjlim_{n\to\infty}\pi_{\bullet+n}(X(\mathbb R^n)) 직교 스펙트럼 사이의 **약한 동치**(weak equivalence)는 안정 호모토피 군의 동형을 유도하는 직교 스펙트럼 사상이다. 이에 따라 직교 스펙트럼의 범주 위에는 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따른 호모토피 범주는 다른 스펙트럼 범주의 호모토피 범주와 동치이다.
# 예

## 현수 스펙트럼
임의의 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, :X(V) = \hat V \wedge X 를 정의하고, 그 위의 G(V) 작용은 V 위의 작용으로부터 유도된다고 하자. 그 위의 구조 사상은 초구의 분쇄곱 사이의 동형으로부터 유도된다. 그렇다면, 이는 G구조 스펙트럼을 이룬다. 이를 X의 **현수 스펙트럼**(suspension spectrum)이라고 한다. 특히, X = \mathbb S^0(0차원 초구 = 크기 2의 이산 공간)일 때, 이를 **초구 스펙트럼**(sphere spectrum)이라고 한다.
## 자유 직교 스펙트럼
임의의 유한 차원 \mathbb K-벡터 공간 V에 대하여, V차 성분을 고르는 함자 :U_V\colon \operatorname{Spectrum}_G \to \operatorname{CGWH}_G :U_V \colon X \mapsto X(V) 가 존재한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자 :F_V\colon \operatorname{CGWH}_G \to \operatorname{Spectrum}_G :F_V \dashv U_V 를 가지며, 구체적으로 :(F_VX)(V\oplus W) = G(V\oplus W)_+ \wedge_{G(W)} X\wedge \widehat W :(F_VX)(W) = \\{\bullet\\} \qquad (\dim W < \dim V) 이다.언어=en§7.1
## 톰 스펙트럼
톰 스펙트럼 실수에 대한 톰 스펙트럼 \operatorname{MO}은 자연스럽게 직교 스펙트럼을 이룬다. 마찬가지로 \operatorname{MU}는 유니터리 스펙트럼을 이룬다.