보고몰니 방정식

양자장론에서 **보고몰니 방정식**(Богомольный方程式, Bogomol’nyi equation)은 3차원 공간 위의 주접속과 딸림표현 스칼라장에 대한 1차 비선형 편미분 방정식이다.언어=en 그 해는 자기 홀극을 나타낸다.
# 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 3차원 유향 리만 다양체 (M,g) ** 이를 통하여, 호지 쌍대 *\colon\Omega^\bullet(M) \to \Omega^{3-\bullet}(M)가 존재한다. * 콤팩트 단순 리 군 G * G-주다발 \pi\colon P \twoheadrightarrow M ** 이로부터 G의 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발 \operatorname{ad}(P) = P \times_G \mathfrak{lie}(G)을 정의할 수 있다. * \pi의 주접속 \nabla_A ** 그 곡률을 F \in\Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))라고 하자. * \operatorname{ad}(P)의 매끄러운 단면 \phi \in \Gamma^\infty (\operatorname{ad}(P)) ** 이에 대한 공변 미분 \nabla_A \phi \in \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))을 정의할 수 있다. 그렇다면, 이 데이터에 대한 다음과 같은 1차 편미분 방정식을 **보고몰니 방정식**이라고 한다. :F_A = * \nabla_A\phi 보고몰니 방정식의 해는 물리학적으로 **자기 홀극**을 나타낸다.
## 자기 홀극
편의상, 게이지 군 G=\operatorname{SU}(2) 및 M=\mathbb R^3를 생각하자. 보고몰니 방정식의 해 가운데, 유한한 에너지 :\int_M (\langle F,F\rangle + \langle \mathrm D\phi,\mathrm D\phi\rangle)\,\mathrm d^3x <\infty 를 가지는 것들의, 게이지 변환군 :\mathcal C^\infty(\mathbb R^3,\operatorname{SU}(2)) 의 작용에 대한 동치류를 **자기 홀극**이라고 한다. 만약 M = \mathbb R^3인 경우, 이는 다음 조건을 함의한다.15, (2.4) :|\phi| = \phi_0 - \frac k{2r} + \mathcal O(r^{-2}) :\frac{\partial|\phi|}{\partial\theta} = \mathcal O(r^{-2}) :|\mathrm D\phi| = \mathcal O(r^{-2}) 여기서 \theta는 \mathbb R^3의 구면 좌표에서 임의의 방향으로의 각 좌표이며, r는 원점으로부터의 거리이다. \Phi_0는 임의의 상수이며, k\in\mathbb Z는 **자하**(磁荷, magnetic charge)이다. 주어진 자하의 보고몰니 방정식의 모듈라이 공간을 \mathcal N_k라고 하자. 이 대신, \mathbb R^3의 임의의 한 방향을 골라, 이 방향의 무한대에서 게이지 변환이 자명하다는 조건을 가할 수 있다. 이러한 게이지 환의 군을 :\mathcal G_0 \le \mathcal G = \mathcal C^\infty(\mathbb R^3,\operatorname{SU}(2)) 라고 하자. 그렇다면 유한 에너지 보고몰니 방정식 해의 \mathcal G_0 동치류를 **틀 갖춘 자기 홀극**(framed monopole)이라고 하자.15–16. 자하가 k인 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간을 \mathcal M_k라고 하자. 그렇자면 정의에 따라 이는 U(1) 주다발 :\operatorname U(1) \hookrightarrow \mathcal M_k \twoheadrightarrow \mathcal N_k 을 이룬다.
# 성질

## 순간자와의 관계
보고몰니 방정식은 4차원 양-밀스 순간자가 따르는 자기 쌍대성 방정식 :F^{(4)}=\pm*F^{(4)} 을 차원 축소하여 얻을 수 있다. 이 경우, 4차원의 게이지 퍼텐셜 A는 3차원의 게이지 퍼텐셜과 스칼라장으로 분해된다. 즉, 4차원 주접속의 곡률은 :F^{(4)} = \begin{pmatrix} 0 & \nabla_A \Phi \\\ -\nabla_A\Phi & F \end{pmatrix} 의 꼴이다. 따라서, 이 경우 자기 (반)쌍대 방정식은 :F = \pm*\nabla_A\Phi 가 된다. 물론, 부호 ±는 \Phi를 재정의하여 없앨 수 있다.
## 모듈라이 공간
\mathbb R^3 위의 SU(2) 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간 \mathcal M_k는 4k차원 리만 다양체이며, 초켈러 다양체이다. (그 위의 리만 계량은 해의 L2 계량으로 주어진다.) 즉, \mathcal N_k는 4k-1차원 리만 다양체이다. 또한, 이 위에는 아벨 리 군 \mathbb R^3 \times \operatorname U(1)이 작용하며, 이에 대한 몫공간 :\frac{\mathcal M_k}{\mathbb R^3\times\operatorname U(1)} = \tilde{\mathcal M}_k 을 정의할 수 있다. \tilde{\mathcal M}_k는 4(k-1)차원 초켈러 다양체이다. 특히, \mathcal M_1 = \mathbb R^3 \times \operatorname U(1)이다. 즉, 하나의 자기 홀극은 자명한 모듈라이 공간을 갖는다. 이러한 k=1 해는 **프라사드-소머필드 해**(Prasad–Sommerfield solution)라고 하며, 다음과 같다. :A = \left(\frac1{\sinh r}-\frac1r\right)\epsilon_{ijk} \frac{x^j}r\sigma^k \,\mathrm dx^i :\phi = \left(\frac1{\tanh r}-\frac1r \right)\frac{x^i}r\sigma_i 여기서 \sigma_i는 리 대수 \mathfrak{su}(2)의 기저를 이루는 파울리 행렬이다. k=2일 때, \tilde{\mathcal M}_2는 **아티야-히친 다양체**이다.언어=en 이는 점근 국소 평탄 공간이며, ADE 분류에서 D0형에 해당한다.언어=en (반면, A−1형은 \mathbb R^3\times\mathbb S^1이며, A₀형은 토브-너트 공간이며, A*n*은 (n-1)중 토브-너트 공간이다. E형은 존재하지 않는다.) 아티야-히친 다양체는 SU(2) 등거리군을 가지며, 이는 원점을 중심으로 하는 회전에 해당한다. 아티야-히친 다양체의 2겹 피복 공간은 D₁형 점근 국소 평탄 공간이다.
## 남 방정식
남 방정식 보고몰니 방정식의 해는 남 방정식으로 구성된다.Chapter 16
# 역사
예브게니 보리소비치 보고몰니(Евге́ний Бори́сович Богомо́льный)가 도입하였다.언어=ru