이토 확률 과정

확률론에서 **이토 확률 과정**([伊藤]確率過程, Itō stochastic process)은 위너 과정의 이토 적분으로 정의되는 확률 과정이다.
# 정의
확률 공간 \Omega 위의 위너 확률 과정 :(W_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)} 이 주어졌다고 하자. 위와 여과 확률 공간 :(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr) 이 W의 자연 여과 확률 공간의 오른쪽 연속 완비화라고 하자. W에 대한 **이토 확률 과정**은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정 :(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)} 이다. :X_t = X_0 + \int_0^t Y_s \,\mathrm ds + \int_0^t Z_s\,\mathrm dW_s 여기서 * (Z_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}는 이토 적분 가능 확률 과정이다. * (Y_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}는 (\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)에 대한 순응 확률 과정이다. * X_0\in\operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)는 W와 독립인 확률 변수이다. * \textstyle\int\mathrm dW는 이토 적분이다. 흔히, 이토 확률 과정의 분해는 상수항 X_0을 생략하고 :\mathrm dX_t = Y_t\,\mathrm dt + Z_t\,\mathrm dW_t 와 같이 표기된다.
## 다양체 위의 이토 확률 과정
보다 일반적으로, 매끄러운 다양체 위의 이토 과정을 생각할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. * 확률 공간 \Omega * 위너 확률 과정 W_t\colon\Omega \to \mathbb R^m * 매끄러운 다양체 M. 이를 보렐 가측 공간으로 간주하자. 그렇다면, M 값의 **이토 확률 과정**은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정 :(X(t)\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)} 이다. (미분 기하학에서 첨자를 널리 사용하므로, 편의상 시간을 첨자 대신 괄호로 표기하였다.) :X^\mu(t) = X^\mu(0) + \int_0^t Y^i(s)e^\mu_i \,\mathrm ds + \int_0^t Z^j_i(t)e^\mu_j\,\mathrm dW^i_s 여기서 * (Z_t\colon\Omega\to\mathbb R^{m\times n})_{t\in[0,\infty)}는 이토 적분 가능 확률 과정이다. * (Y_t\colon\Omega\to\mathbb R^n)_{t\in[0,\infty)}는 (\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)에 대한 순응 확률 과정이다. * X(0)\colon\Omega\to M은 W와 독립인, M 값의 확률 변수이다. * e^\mu_1,\dotsc,e^\mu_n은 M 위의 n개의 벡터장이다. 즉, e \in \Gamma(\mathrm TM \times \mathbb R^n)이다. * 매끄러운 다양체의 접다발의 지표는 \mu,\nu,\dotsc로, 유클리드 공간의 지표는 i,j,\dotsc로 표기하였다.
# 성질

## 이토 보조 정리
이토 적분에서, 변수의 변환은 일반적으로 추가 항을 갖는다. 즉, 통상적인 연쇄법칙이 성립하지 않으며, 위너 확률 과정의 스스로와의 상관 현상에 의한 추가 항이 등장한다. 이를 **이토 보조 정리**([伊藤]補助定理, Itō’s lemma) 또는 **이토-되블린 정리**(Itō–Döblin theorem)라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. * 확률 공간 \Omega * \Omega 위의 위너 확률 과정 (W_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)} * W에 대한 이토 확률 과정 X_t = X_0 + \textstyle\int_0^t Y_s\,\mathrm ds + \int_0^t Z_s\,\mathrm dW_s * 함수 f\colon \mathbb R^+\times\mathbb R \to \mathbb R, (t,x)\mapsto f(t,x). 또한, 이 함수가 첫째 변수에 대하여 \mathcal C^1 (연속 미분 가능) 함수이며, 둘째 변수에 대하여 \mathcal C^2 (2차 연속 미분 가능) 함수라고 하자. 그렇다면, **이토 보조 정리**에 따르면, :X'_t = f(t,X_t) 는 역시 이토 확률 과정을 이루며, 또한 그 분해는 다음과 같다. :f(t,X_t) = f(0,X_0) + \int_0^t \left( \frac{\partial f}{\partial t}(s,X_s) \+ \frac{\partial f}{\partial x}(s,X_s)Y_s \+ \frac12 \int_0^t Z^2_s \frac{\partial^2f}{\partial^2x}(s,X(s)) \right) \,\mathrm ds \+ \int_0^t \frac{\partial f}{\partial x}(s,X_s)Z_s\,\mathrm dW_s 미분 표기법으로는 이토 보조 정리는 다음과 같이 표기된다. :\mathrm df(X_t) = \frac{\partial f}{\partial t}(t,X_t)\,\mathrm dt + \frac{\partial f}{\partial x}(t,X_t)\,\mathrm dX_t + \frac12 Z_t^2 \frac{\partial^2f}{\partial x^2}(t,X_t)\,\mathrm dt 여기서 마지막 항은 비(非)확률 미적분학의 연쇄법칙에 등장하지 않는 것이다. 특히, 만약 X_t = W_t이며, f(t,x)가 t에 직접 의존하지 않는다면, 이토 보조 정리는 다음과 같이 된다. :\mathrm df(W_t) = f'(W_t)\,\mathrm dW_t + \frac12 f''(W_t)\,\mathrm dt
## 무한소 생성원
유클리드 공간 위의 이토 과정 \mathrm dX^i(t) = Y^i(t)\,\mathrm dt + Z^i_j(t)\,\mathrm dW^j_t 의, 시간 t\in[0,\infty)에서의 **무한소 생성원**은 다음과 같은 2차 미분 연산자의 족 (D(t))_{t\in[0,\infty)}이다. :D(t)f(x) = \lim_{h\to0}\frac{\mathbb E(f(X_{t+h})|X_t = x) - f(x)}h 이는 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다. :(D(t)f)^i(x) = Y^j(t) \partial_j f^i + \frac12 Z^l_jZ^l_k(t)\partial_j \partial_kf^i(t) 이 경우, :D(t)p(x,t) = \partial_tp(x,t) 와 같은 편미분 방정식을 **포커르-플랑크 방정식**이라고 한다. 이토 과정의 확률 분포 함수 :\Pr(X_t\in S) = \int_S p(x,t)\,\mathrm dx 는 이 편미분 방정식을 따른다.