중심 닮음 변환

섬네일 아핀 기하학에서 **중심 닮음 변환**(中心-變換, 호모세티)은 주어진 점에 대한 방향을 보존하거나 반전시키되 이 점과의 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 함수이다. 이는 유클리드 공간 위에서만 유효한 정의이나, 임의의 아핀 공간 위에까지 확장될 수 있다. 주어진 아핀 공간 위의 중심 닮음 변환과 평행 이동은 함수의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이는 모든 직선을 이에 평행하는 직선으로 대응시키는 전단사 함수들의 군과 같다.
# 정의
체 K 위의 아핀 공간 A와 점 a_0\in A 및 0이 아닌 상수 \lambda\in K\setminus\\{0\\}이 주어졌다고 하자. a_0을 중심으로 하고 \lambda를 비로 하는 A의 **중심 닮음 변환**은 다음과 같다. :H_{a_0,\lambda}\colon A\to A :H_{a_0,\lambda}\colon a\mapsto a_0+\lambda(a-a_0)\qquad(a\in A) 특히, \lambda=1일 경우 이는 항등 함수이며, \lambda=-1일 경우 이는 중심점에 대한 반사와 같다.
## 확대 변환
체 K 위의 아핀 공간 A 위 함수 D\colon A\to A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 D를 **확대 변환**(擴大變換, dilatation)이라고 한다. * 다음 두 조건을 만족시킨다. ** D는 아핀 변환이다. ** D의 선형 변환 성분은 일반 선형군 \operatorname{GL}(V(A))의 중심 K\setminus\\{0\\}\subseteq\operatorname{GL}(V(A))의 원소이다. (여기서 V(A)는 A의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간이다.) * D는 중심 닮음 변환이거나 평행 이동이다. (사실, 평행 이동은 무한원점을 중심으로 하는 중심 닮음 변환으로 생각할 수 있다.) 증명 만약 D가 중심 닮음 변환이라면, 중심을 a_0\in A라고 하고, 비를 \lambda\in K\setminus\\{0\\}이라고 하자. 그렇다면 임의의 a\in A에 대하여 :D(a)-D(a_0)=(a_0+\lambda(a-a_0))-a_0=\lambda(a-a_0) 이다. 즉, D는 \lambda를 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다. 만약 D\in V(A)가 평행 이동이라면, 평행 이동 벡터를 v\in V(A)라고 하자. 그렇다면 임의의 a,b\in A에 대하여, :D(b)-D(a)=(b+v)-(a+v)=b-a 이다. 즉, D는 항등 함수 1\in K\setminus\\{0\\}을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다. 만약 D가 K\setminus\\{0\\}의 원소 \lambda\in K\setminus\\{0\\}을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이라면, 임의의 a\in A를 취하자. 만약 \lambda=1이라면, 임의의 b\in A에 대하여 :D(b)=D(a)+(b-a)=b+(D(a)-a) 이므로, D는 D(a)-a를 평행 이동 벡터로 하는 평행 이동이다. 만약 \lambda\ne 1이라면, 아핀 결합 :a_0=\frac{D(a)-\lambda a}{1-\lambda} 는 D의 고정점이다. 따라서 임의의 b\in A에 대하여, :D(b)=D(a_0)+\lambda(b-a_0)=a_0+\lambda(b-a_0) 이므로, 이는 a_0을 중심으로 하고 \lambda를 비로 하는 중심 닮음 변환이다. 증명 끝
# 성질

## 대수적 성질
아핀 공간 A 위의 확대 변환들은 아핀 군 \operatorname{Aff}(A)의 정규 부분군 \operatorname{Dil}(A)를 이룬다. 특히, 모든 중심 닮음 변환은 전단사 아핀 변환이다.
## 기하학적 성질
체 K 위의 아핀 공간 A 위 함수 D\colon A\to A가 주어졌고, \dim A\ne 1이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * D는 확대 변환이다. * 다음 두 조건을 만족시킨다. ** D는 전단사 함수이다. ** 임의의 아핀 직선 L\subseteq A에 대하여, D(L)은 L에 평행하는 아핀 직선이다. 증명 편의상 \dim A\ge 2라고 하자. 만약 D가 확대 변환이라면, 우선 D가 아핀 변환이므로, 임의의 아핀 직선 L\subseteq A에 대하여, D(L) 역시 아핀 직선이다. D의 선형 변환 성분을 \lambda라고 하고, 임의의 a,b\in L를 취하자. 그렇다면 :D(b)-D(a)=\lambda(b-a) 이다. 따라서, D(L)은 L에 평행한다. 만약 D가 임의의 아핀 직선의 상이 이와 평행하는 아핀 직선인 전단사 함수라면, 임의의 아핀 직선 L\subseteq A를 취하고, L이 \\{a,b\\}로 생성된다고 하자. 그렇다면 D(L)은 L에 평행하는 아핀 직선이며, \\{D(a),D(b)\\}로 생성된다. 또한, 다음을 만족시키는 유일한 확대 변환 D'\in\operatorname{Dil}(A)가 존재한다. :D'(a)=D(a) :D'(b)=D(b) 임의의 c\in A\setminus L에 대하여, D에 대한 가정에 의하여, \\{D(a),D(c)\\}, \\{D(b),D(c)\\}로 생성된 아핀 직선은 각각 \\{a,c\\}, \\{b,c\\}로 생성된 아핀 직선에 평행한다. D'은 확대 변환이므로, D'(c)는 \\{D(a),D(c)\\}, \\{D(b),D(c)\\}로 생성된 아핀 직선의 교점이다. 즉, D'(c)=D(c)이다. \dim A\ge 2이므로 L과 평행하는 L이 아닌 아핀 직선 L'\subseteq A\setminus L가 존재하며, 이를 L 대신 사용하면 임의의 c\in A\setminus L'에 대하여 D'(c)=D(c)라는 사실을 얻는다. 따라서 D=D'이며, D는 확대 변환이다. 증명 끝 중심 닮음 변환에 대한 상 H_{a_0,\lambda}(a)는 중심 a_0과 원래 점 a를 잇는 직선 위의 점이다. 유클리드 공간의 중심 닮음 변환에 대한 상과 이에 대한 원상은 양의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 같은 쪽이며, 음의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 반대쪽이다. 유클리드 공간의 \lambda를 비로 하는 중심 닮음 변환은 모든 두 점 사이의 거리를 |\lambda|의 비율로 확대·축소시킨다. 즉, 이는 |\lambda|를 비로 하는 닮음 변환이다.
# 예
3차원 유클리드 공간 \mathbb R^3의 원점 (0,0,0)을 중심으로 하고 2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환은 다음과 같다. :H_{(0,0,0),2}\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3 :H_{(0,0,0),2}\colon(x,y,z)\mapsto(2x,2y,2z)\qquad(x,y,z\in\mathbb R)