스미스 표준형

선형대수학에서, **스미스 표준형**(Smith canonical form)은 주 아이디얼 정역 위에 주어진 임의의 모양의 행렬과 동치인 매우 단순한 꼴의 대각 행렬이다. 스미스 표준형의 존재는 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 자유 가군과 부분 가군의 적절한 기저 사이의 선형 관계는 아주 간단할 수 있다는 사실과 동치이다.
# 정의
주 아이디얼 정역 R (예를 들어, 정수환 \mathbb Z 또는 체 계수 일변수 다항식환 K[x]) 위의 임의의 m\times n 행렬 A\in\operatorname{Mat}(m,n;R)에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(m;R)와 Q\in\operatorname{GL}(n;R) 및 유한 개의 원소 d_1,d_2,\dots,d_r\in R가 존재한다. :PAQ= \begin{pmatrix} d_1 \\\ & d_2 \\\ && \ddots \\\ &&& d_r \\\ &&&& 0_{(m-r)\times(n-r)} \\\ \end{pmatrix} :d_i\ne 0\qquad(i=1,2,\dots,r) :d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_r (여기서 0_{(m-r)\times(n-r)}는 (m-r)\times(n-r) 영행렬이다.) 또한 d_1,d_2,\dots,d_r은 가역원배의 차이를 무시하면 유일하다. 이를 A의 **스미스 표준형**이라고 한다.
# 알고리즘
행렬의 스미스 표준형은 두 행 또는 두 열을 교환하는 연산과 한 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 구할 수 있다. R는 유일 인수 분해 정역이므로, 모든 0이 아닌 원소는 유일한 인수 분해를 갖는다. 임의의 r\in R\setminus\\{0\\}에 대하여, l(r)\in\mathbb N이 r의 소인수의 중복집합의 크기라고 하자. 우선 R 위의 2\times 2 행렬 : \begin{pmatrix} a & b \\\ c & e \end{pmatrix} 을 생각하자. R가 베주 정역이므로, a와 b의 최대공약수 d에 대하여, d=ua+vb인 u,v\in R가 존재한다. a=da', b=db'라고 하자. 그렇다면 ua'+vb'=1이다. 따라서 : \begin{pmatrix} u & -b' \\\ v & a' \end{pmatrix} 은 가역 행렬이며, : \begin{pmatrix} a & b \\\ c & e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u & -b' \\\ v & a' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & 0 \\\ uc+vd & -b'c+a'd \end{pmatrix} 이다. 마찬가지로, 왼쪽에 가역 행렬을 곱하여 첫 행 첫 열 성분이 a와 c의 최대공약수이며 둘째 행 첫 열 성분이 0이도록 만들 수 있다. 이제 일반적인 m\times n 행렬 A를 생각하자. 만약 A=0이라면, A는 이미 스스로의 스미스 표준형이다. A\ne 0이라고 가정하자. 행과 열의 교환을 통해, 편의상 A_{11}\ne 0이라고 가정하자. (보통 과정을 간단하게 만들기 위해 l(A_{11})가 가장 작도록 행·열을 교환한다.) 만약 모든 i,j=2,\dots,n에 대하여 A_{11}\mid A_{ij}라면, 각 열에 첫 열의 배수를 더하고 각 행에 첫 행의 배수를 더하여, 첫 행과 첫 열의 A_{11}을 제외한 모든 성분이 0이 되게 만들 수 있다. 만약 A_{11}\nmid A_{ij}인 i,j=2,\dots,n이 존재한다면, 행과 열의 교환 및 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 A_{11}\nmid A_{12}이거나 A_{11}\nmid A_{21}라고 가정할 수 있다. (예를 들어, 만약 A_{11}\mid A_{12},A_{21}이지만 A_{11}\nmid A_{22}라면, 첫 행의 적절한 배수를 둘째 행에서 빼 둘째 행 첫 열의 성분을 0으로 만들고, 마찬가지로 첫 행 둘째 열의 성분을 0으로 만든 뒤, 다시 둘째 행을 첫 행에 더하면, A_{11}은 변하지 않으며, A_{11}이 바로 오른쪽 성분을 나누지 못하게 된다.) 편의상 A_{11}\nmid A_{12}라고 하자. 그렇다면 : \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} Q'= \begin{pmatrix} A'_{11} & 0 \\\ A'_{21} & A'_{22} \end{pmatrix} :A'_{11}=\gcd\\{A_{11},A_{12}\\} 인 가역 행렬 Q'이 존재한다. 따라서 :Q= \begin{pmatrix} Q' & 0 \\\ 0 & 1_{(n-2)\times(n-2)} \end{pmatrix} 는 가역 행렬이며, 행렬 AQ의 첫 행 첫 열 성분은 A'_{11}이다. 또한 A_{11}\nmid A_{12}이므로 A'_{11}은 :l(A'_{11}) 을 만족시킨다. (A_{11}\nmid A_{21}인 경우에도 가역 행렬의 왼쪽 곱셈을 통해 첫 행 첫 열의 소인수의 수를 감소시킬 수 있다.) 첫 행 첫 열의 원소는 소인수의 수가 줄어들수록 가역원에 가까워져 ‘다른 성분들을 나눌 가능성’이 늘어난다. 따라서 이와 같은 과정을 반복하면 결국 첫 행 첫 열의 성분이 모든 다른 성분을 나누는 행렬을 얻는다. 이제 첫 행의 적절한 배수를 다른 행에 더하고 첫 열의 적절한 배수를 다른 열에 더하면 A는 다음과 같은 꼴의 행렬과 동치가 된다. : \begin{pmatrix} d_1 & 0 \\\ 0 & A' \end{pmatrix} :d_1\mid A'_{ij}\qquad(\forall i,j) 다시 A'에 대하여 같은 과정을 반복하면 A와 동치인 다음과 같은 꼴의 행렬을 얻는다. : \begin{pmatrix} d_1 & 0 \\\ 0 & d_2 \\\ && A* \end{pmatrix} :d_1\mid d_2\mid A*_{ij}\qquad(\forall i,j) 여기서 d_1\mid d_2인 이유는 d_2가 A'의 성분의 선형 결합이기 때문이다. 위와 같은 과정을 반복하면 결국 스미스 표준형을 얻는다.
# 예
유리수 계수 다항식환 \mathbb Q[x] 위의 행렬 : \begin{pmatrix} x+3 & 1 & 1 \\\ 2 & x+2 & 1 \\\ -6 & -3 & x-2 \end{pmatrix} 의 스미스 표준형은 다음과 같이 구할 수 있다. : \begin{align} \begin{pmatrix} x+3 & 1 & 1 \\\ 2 & x+2 & 1 \\\ -6 & -3 & x-2 \end{pmatrix} &\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & x+3 \\\ 1 & x+2 & 2 \\\ x-2 & -3 & -6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & x+3 \\\ 0 & x+1 & -x-1 \\\ 0 & -x-1 & -x^2-x \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & x+1 & -x-1 \\\ 0 & -x-1 & -x^2-x \end{pmatrix} \\\&\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & x+1 & -x-1 \\\ 0 & 0 & -(x+1)^2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & x+1 & 0 \\\ 0 & 0 & -(x+1)^2 \end{pmatrix} \\\&\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & x+1 & 0 \\\ 0 & 0 & (x+1)^2 \end{pmatrix} \end{align}
# 응용

## 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 구조
스미스 표준형을 통해 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 불변 인자 분해를 유도할 수 있다.
# 역사
헨리 존 스티븐 스미스의 이름을 땄다.