리 군 위의 입자

물리학에서 **리 군 위의 입자**(particle on a Lie group)는 리 군의 구조를 가진 공간 속에서 움직이는 입자를 나타내는 물리학 모형이다.언어=en§2 고전적으로 그 해(리 군의 측지선)는 간단하게 표현될 수 있으며, 대칭으로 인하여 쉽게 양자화될 수 있다.
# 정의
콤팩트 연결 리 군 G가 주어졌다고 하자. G의 리 대수 \mathfrak{lie}(G) 위의 양의 정부호 2차 대칭 불변 다항식 :g(t,t') = g_{ab}t^a {t'}^b \qquad(t,t'\in\mathfrak{lie}(G)) 은 G 위의 리만 계량을 정의하며, 이는 G의 왼쪽 · 오른쪽 작용에 대하여 불변이다. 즉, 군의 준동형 :G \times G \to \operatorname{Isom}(G,g) 이 존재한다 (\operatorname{Isom}(-)은 전단사 등거리 변환의 군). 이 경우, 라그랑지언 :L(g,\dot g) = -\frac 12 \operatorname{tr} \left(g^{-1} \dot g\right)^2 을 정의할 수 있다. (편의상, 입자의 질량을 리만 계량 속에 흡수하였다.) 그 변분은 :\delta \operatorname{tr}\left(g^{-1}\dot g\right)^2 = -2\operatorname{tr}\left(g^{-1}\delta g \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1} \dot g)\right) 이다.

**유도**:

우선, :0 = \delta 1= \delta(g^{-1}g) = \delta(g^{-1}) g + g^{-1}\delta g 이므로, :\delta (g^{-1}) = - g^{-1} \delta g g^{-1} 이며, :\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g^{-1} = -g^{-1} \dot g g^{-1} 이다. 따라서, 대각합의 순환성 및 부분 적분을 사용하여, 다음과 같이 계산할 수 있다. : \begin{aligned} \delta \operatorname{tr} (g^{-1} \dot g)^2 &= 2\operatorname{tr} \left( g^{-1} \dot g \delta (g^{-1} \dot g)\right) \\\ &= 2\operatorname{tr} \left( g^{-1} \dot g \delta (g^{-1}) \dot g \+ g^{-1} \dot g g^{-1} \delta\dot g \right) \\\ &= - 2\operatorname{tr} \left( g^{-1} \dot g g^{-1}\delta g g^{-1} \dot g\right) \- 2 \operatorname{tr}\left(\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot gg^{-1}) \right) \+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g) \\\ &= 2\operatorname{tr} \left(\delta g g^{-1} \dot g \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} g^{-1} \right) \- 2 \operatorname{tr}\left(\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot gg^{-1}) \right) \+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g) \\\ &= - 2 \operatorname{tr}\left(\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot g)g^{-1}) \right) \+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g) \\\ &= - 2 \operatorname{tr}\left(g^{-1}\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot g)) \right) \+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g) \end{aligned} 이다. 여기서 둘째 항은 완전 적분이므로 오일러-라그랑주 방정식을 구할 때 무시할 수 있다.

오일러-라그랑주 방정식(측지선 방정식)은 :\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left(g^{-1} \dot g\right) = 0 이다. 그 해는 항상 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다. :g(t) = g_{\mathrm L} \exp(t\lambda) g_{\mathrm R}^{-1} 여기서 * g_{\mathrm L},g_{\mathrm R} \in G는 상수이다. 특히, g(0) = g_{\mathrm L}g_{\mathrm R}^{-1}는 초기 조건이다. * \mathfrak h\subseteq \mathfrak{lie}(G)는 G의 리 대수의 카르탕 부분 대수이다. * \lambda \in \mathfrak h는 카르탕 부분 대수의 임의의 원소이다. 이에 따라, (g_{\mathrm L},g_{\mathrm R},\lambda)를 위상 공간의 좌표계로 여길 수 있다. 그러나 위상 공간은 2\dim G차원이므로 (측지선은 초기 위치와 초기 속력으로 완전히 결정되므로), 2\dim G+\operatorname{rank}G개의 성분을 갖는 (g_{\mathrm L},g_{\mathrm R},\lambda) 좌표계는 \operatorname{rank}G차원의 게이지 변환을 갖는다. 구체적으로, 이 게이지 군은 G의 극대 원환면 \exp(\mathfrak h)\le G이며, 이에 따라 좌표는 다음과 같이 변환한다. :g_{\mathrm L} \mapsto g_{\mathrm L}h :g_{\mathrm R} \mapsto \exp(t\alpha)h :\lambda \mapsto \lambda :h \in \exp(\mathfrak h) \le G 게이지 변환을 도입하면, 계의 G\times G 대칭이 :(h_{\mathrm L},h_{\mathrm R}) \cdot (g_{\mathrm L}, g_{\mathrm R},\lambda) = (h_{\mathrm L}g_{\mathrm L}, g_{\mathrm R}h_{\mathrm R}^{-1},\lambda) 와 같이 분해된다.
## 해밀턴 역학
위상 공간은 리 군의 공변접다발 \mathrm T^*G이며, 그 위에는 표준적인 심플렉틱 형식이 존재한다. 이 위의 심플렉틱 형식은 (g_{\mathrm L},g_{\mathrm R},\lambda) 좌표계에서 다음과 같은 꼴로 두 성분으로 분해된다. :\omega(\lambda,g_{\mathrm L},g_{\mathrm R}) = \omega_{\mathrm L}(\lambda,g_{\mathrm L}) \+ \omega_{\mathrm R}(\lambda,g_{\mathrm R})
## 양자화
콤팩트 연결 리 군 G 위의 입자의 힐베르트 공간은 G 위의 복소수 2차 르베그 공간 :\operatorname L^2(G;\mathbb C) 이다. 이 경우 사용한 측도는 하르 측도이다. (콤팩트 리 군의 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도가 일치한다.) 이 위에는 G\times G의 왼쪽 군 작용이 다음과 같이 존재한다. :G \times G \times \operatorname L^2(G;\mathbb C) \to \operatorname L^2(G;\mathbb C) :((g_{\mathrm L},g_{\mathrm R}) \cdot \phi)(x) = \phi(g_{\mathrm L}^{-1}xg_{\mathrm R}) 이에 따라서, \operatorname L^2(G;\mathbb C)는 G\times G의 표현들로 분해된다. 구체적으로, 이는 다음과 같다. :\operatorname L^2(G;\mathbb C) = \widehat\bigoplus_{R\in\operatorname{IrRep}(G)} V_R \otimes V_{\bar R} :(g_{\mathrm L},g_{\mathrm R})\cdot(v \otimes \bar v) = (g_{\mathrm L} \cdot v) \otimes (g_{\mathrm R}\cdot v)\qquad(v\in V_R,\;\bar v\in V_{\bar R}) 여기서 * \operatorname{IrRep}(R)는 G의 모든 복소수 기약 표현들의 동형류들의 가산 집합이다. * \textstyle\widehat{\bigoplus}는 가산 무한 개의 유한 차원 내적 공간들의 직합으로 구성되는 분해 가능 힐베르트 공간이다. * V_R는 기약 표현 R\colon G \to \operatorname U(V_R)의 표현 공간인 유한 차원 복소수 벡터 공간이다. * \bar R는 기약 표현 R의 켤레 표현이다.
## 해밀토니언
G\times G의 무한소 작용을 나타내는 연산자 :\langle g|J_{\mathrm L}(t^a)|\phi\rangle = \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\epsilon}\right|_{\epsilon = 0} \phi(\exp(-\epsilon t^a)g)\rangle :\langle g|J_{\mathrm R}(t^a)|\phi\rangle = \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\epsilon}\right|_{\epsilon = 0} \phi(g\exp(\epsilon t^a))\rangle 를 생각하자. 그렇다면, :\frac12 H = \Delta_g = g_{ab} J(t^a)(J^b) = g_{ab}\tilde J^a \tilde J^b 는 G 위의 (양의 고윳값) 라플라스-벨트라미 연산자이다. 이 해밀토니언은 기약 표현에 대한 분해에 대하여 대각형이다. 구체적으로, V_R\otimes V_{\bar R} 위에서, 해밀토니언의 고윳값 E_R은 :g_{ab}R(t^a) R(t^b) = 2E_R 1_{V_R} g_{ab}t^a t^b 로 주어진다.
## 양자 모형과 고전 모형 사이의 관계
양자 모형과 고전 모형 사이의 관계는 파인먼-카츠 공식으로 주어진다. 즉, 해밀토니언 H의 핵(즉, G 위의 열핵)은 다음과 같이 주어진다. : \frac1{\operatorname{vol}G}\sum_{R\in\operatorname{IrRep}(G)}(\dim V_R)\exp(-\beta E_R) \operatorname{tr}_{V_R}(g_0g_1^{-1}) = K(g_0,g_1;\beta) = \int_{g \in \operatorname W(g_0,g_1)} \exp(-S[g]) \;\mathrm Dg 여기서 * \operatorname W(g_0,g_1)은 g(0) = g_0, g_\beta = g_\beta인 연속 함수 g\colon [0,\beta]\to G로 구성된 위너 공간이다. * \mathrm Dg는 이 위너 공간 위의 확률 측도이다. * \textstyle S[g]= \frac12\int_0^\beta \langle g^{-1}\dot g,g^{-1}\dot g\rangle\,\mathrm dt는 고전 모형의 작용이다. * \operatorname{tr}_R(-)는 표현 R의 지표이다. 특히, \beta \to0 극한에서 이는 디랙 델타가 된다.
# 예

## 원군
G = \operatorname U(1)인 경우(원군)를 생각하자. 이 경우 고전적으로 모든 상수 속도 곡선이 측지선이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은 :\mathcal H = \operatorname L^2(\operatorname U(1);\mathbb C) 이다. \operatorname U(1) = \mathbb R / (2\pi \mathbb Z)로 좌표 \theta를 주었을 때, 이는 정규 직교 기저 :|n\rangle = \exp(\mathrm in\theta)\qquad(n\in\mathbb Z) 를 갖는다. 원군의 기약 표현은 (아벨 군이므로) 모두 1차원이며, :R_n \colon \operatorname U(1) \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \mathbb C^\times :R_n \colon \theta \mapsto \exp(\mathrm i\theta) 이다. 즉, 그 기약 표현들의 집합은 정수의 집합과 표준적으로 일대일 대응된다. :\operatorname{IrRep}(\operatorname U(1)) \cong \mathbb Z 힐베르트 공간의 분해 :H = \widehat\bigoplus_{n\in\mathbb Z} \mathbb C \otimes \mathbb C = \sum_{n\in\mathbb Z}\mathbb C|n\rangle 는 H의 정규 직교 기저 |n\rangle에 대한 분해이다. 해밀토니언 :H = -\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d\theta^2} 에 대하여, 각 정규 직교 기저의 고윳값은 :H|n\rangle = n^2|n\rangle 이다. 그 위의 열핵은 :K(\theta_0,\theta_1;\beta) = \frac1{2\pi}\sum_{n\in\mathbb Z} \exp(-\beta n^2)\exp(\mathrm in(\theta_1-\theta_0)) =\int_{ {\scriptstyle\theta\colon[0,\beta]\to \operatorname U(1)} \atop {\scriptstyle \theta(0) = \theta_0,\;\theta(\beta) = \theta_1} }\exp\left(-\frac12\int_0^\beta \dot g^2\right)\,\mathrm Dg 이며, 사실 :\frac1{2\pi}\sum_{n\in\mathbb Z}\exp(-n^2\beta)\exp(\mathrm in\theta) =\frac1{\sqrt{4\pi\beta\sum_{n\in\mathbb Z}\exp\frac{(\theta-2n\pi)^2}{4\beta} 이다.
## 3차원 초구
G = \operatorname{SU}(2) \cong\mathbb S^3인 경우(3차원 초구)를 생각하자. 이 경우, 측지선은 대원이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은 :\mathcal H = \operatorname L^2(\operatorname{SU}(2);\mathbb C) 이다. \operatorname{SU}(2)의 기약 표현은 스핀 j \in \\{0,1/2,1,3/2,2,,\dotsb\\} = \operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2))에 의하여 결정된다. 힐베르트 공간의 분해는 :\mathcal H = \widehat\bigoplus_j \mathbb C^{2j+1} \otimes \mathbb C^{2j+1} 이다. 2j+1차원 기약 표현에서, 해밀토니언 연산자의 고윳값은 (적절한 비례 상수에 대하여) :E_j = j(j+1) 이다.