부분 아핀 공간

섬네일 아핀 기하학에서 **부분 아핀 공간**(部分affine空間, affine subspace)은 새로운 아핀 공간을 이루는 주어진 아핀 공간의 부분 집합이다. 즉, 이는 부분 벡터 공간이 주어진 아핀 공간 위에 평행 이동으로 작용하는 데 대한 궤도이며, 벡터 공간의 부분 아핀 공간은 평행 이동에 대한 부분 벡터 공간의 상이다.
# 정의
체 K 위의 아핀 공간 A의 부분 집합 B\subseteq A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 B를 A의 **부분 아핀 공간**이라고 한다. * B-a가 V(A)의 부분 벡터 공간이 되는 a\in B가 존재한다. (여기서 B-a=\\{b-a\colon b\in B\\}이며, V(-)는 평행 이동의 벡터 공간이다.) * 임의의 a\in B에 대하여, B-a는 V(A)의 부분 벡터 공간이다. 부분 아핀 공간 B\subseteq A에 대하여, V(B)=B-a는 a\in B의 선택과 무관하며, 이는 B의 평행 이동들로 구성된다. 또한, 임의의 a\in B에 대하여, :B=a+V(B) 이다.
## 생성된 부분 공간
체 K 위의 아핀 공간 A의 부분 집합 \varnothing\ne S\subseteq A가 공집합이 아니라고 하자. **S로 생성된 부분 아핀 공간**(affine subspace spanned by S) \operatorname{Aff\,Span}_K(S)는 S를 포함하는 A의 가장 작은 부분 아핀 공간이다. 이는 S를 포함하는 A의 모든 부분 아핀 공간의 교집합과 같다. 또한, 임의의 s\in S에 대하여, :\operatorname{Aff\,Span}_K(S)=s+\operatorname{Span}_K(S-s) 이다. 여기서 \operatorname{Span}_K(-)는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다.
## 평행
체 K 위의 아핀 공간 A의 두 부분 아핀 공간 B,C\subseteq A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 B,C를 **평행**한다고 하고, 이를 B\parallel C로 표기한다. * V(B)=V(C) * C=B+u인 u\in V(A)가 존재한다. 체 K 위의 아핀 공간 A의 두 부분 아핀 공간 B,C\subseteq A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 B를 C에 **약하게 평행**(weakly parallel)한다고 한다. * V(B)\subseteq V(C) * B\parallel B'인 부분 아핀 공간 B'\subseteq C가 존재한다.
# 성질
체 K 위의 아핀 공간 A의 부분 집합 \varnothing\ne B\subseteq A가 공집합이 아니며, K의 표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * B는 A의 부분 아핀 공간이다. * 임의의 a,b\in B에 대하여, \operatorname{Aff\,Span}_K(\\{a,b\\})\subseteq B이다. 즉, 체의 표수가 2가 아닐 경우, 주어진 부분 집합이 부분 아핀 공간일 필요충분조건은 아핀 직선에 대하여 닫혀있는 것이다. 표수 2의 체의 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 크기 2의 유한체 \mathbb F_2 위의 아핀 공간의 모든 부분 집합은 아핀 직선에 대하여 닫혀있다. 주어진 아핀 공간의 부분 아핀 공간의 평행은 동치 관계를 이루며, 약한 평행은 부분 순서를 이룬다. 평행은 약한 평행을 함의한다. 체 K 위의 아핀 공간 A의 두 부분 아핀 공간 B,C\subseteq A가 약하게 평행한다면, B=C이거나 B\cap C=\varnothing이다. 또한, 임의의 부분 아핀 공간 B\subseteq A 및 이에 포함되지 않는 점 a\in A\setminus B에 대하여, a\in B'이며 B\parallel B'인 유일한 부분 아핀 공간 B'\subseteq A가 존재한다. 이는 에우클레이데스의 평행선 공준의 내용과 일치한다. 체 K 위의 아핀 공간 A의 부분 아핀 공간 B,C\subseteq A에 대하여, 다음이 성립한다. :\dim\operatorname{Aff\,Span}_K(B\cup C)=\begin{cases} \dim(V(B)+V(C))+1&B;\cap C=\varnothing\\\ \dim(V(B)+V(C))&B;\cap C\ne\varnothing \end{cases}
## 해석기하학적 성질
체 K 위의 유한 d차원 아핀 공간 A와 음이 아닌 정수 0\le d'\le d가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 부분 집합 B\subseteq A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * B는 A의 d'차원 부분 아핀 공간이다. * 다음을 만족시키는 d-d'차원 부분 벡터 공간 V\subseteq\operatorname{Hom}_K(A,K)가 존재한다. (여기서 \operatorname{Hom}_K(-,K)는 아핀 형식들로 구성된 벡터 공간이다.) ** 1\not\in V ** B=V^\perp (여기서 (-)^\perp는 직교 여공간이다.) 이에 따라, 직교 여공간은 A의 d'차원 부분 아핀 공간들과 상수 함수를 포함하지 않는 \operatorname{Hom}_K(A,K)의 d-d'차원 부분 벡터 공간들 사이의 일대일 대응이며, 후자의 기저를 통해 전자를 연립 일차 방정식의 해의 공간으로 나타낼 수 있다. 즉, V의 기저 :(f_1,\dots,f_{d-d'})\subseteq V 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다. :B=\ker f_1\cap\cdots\cap\ker f_{d-d'} 이 경우, 주어진 B의 직교 여공간 V는 유일하나, 이를 해의 공간으로 하는 연립 일차 방정식은 V의 기저의 선택에 의존하므로 유일하지 않다.
# 예
주어진 아핀 공간의 0차원 부분 아핀 공간은 한원소 집합들이며, 유한 d차원 아핀 공간의 d차원 부분 아핀 공간은 자기 자신으로 유일하다. 체 K 위의 아핀 공간 A의 두 점 a,b\in A로 생성된 부분 아핀 공간은 a\ne b일 경우 a, b를 지나는 아핀 직선이다.
## 3차원 공간의 부분 공간
체 K 위의 3차원 아핀 공간 A의 아핀 기저 (o;e_1,e_2,e_3)이 주어졌다고 하자. A의 2차원 부분 아핀 공간은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합들이다. :\\{o+xe_1+ye_2+ze_3\colon x,y,z\in K,\;ax+by+cz+d=0\\} 여기서 (a,b,c)\in K^3\setminus\\{(0,0,0)\\}이다. 이는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합과 동치이다. :a+Ku+Kv=\\{a+\lambda u+\mu v\colon\lambda,\mu\in K\\} 여기서 a\in A이며 \\{u,v\\}\subseteq V(A)는 선형 독립 집합이다. 이 경우 (a;u,v)는 이 부분 아핀 공간의 아핀 기저이다. 1차원 부분 아핀 공간은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합들이다. :\\{o+xe_1+ye_2+ze_3\colon x,y,z\in K,\;ax+by+cz+d=a'x+b'y+c'z+d'=0\\} 여기서 \\{(a,b,c),(a',b',c')\\}\subseteq K^3\setminus\\{(0,0,0)\\}은 선형 독립 집합이다. 이는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합과 동치이다. :a+Ku=\\{a+\lambda u\colon\lambda\in K\\} 여기서 a\in A이며 u\in V(A)\setminus\\{0\\}이다. 이 경우 (a;u)는 이 부분 아핀 공간의 아핀 기저이다.