마타이-퀼런 형식

미분기하학과 이론물리학에서 **마타이-퀼런 형식**(മത്തായി-Quillen形式, Mathai–Quillen form)은 벡터 다발의 톰 특성류를 표현하는 미분 형식이며, 벡터 다발의 올 방향으로 가우스 함수를 따른다. 무한 차원 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 대하여 정의될 수 있으며, 이는 위상 양자장론과 깊은 관계를 가진다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * (유한 차원) 연결 유향 매끄러운 다양체 M * (유한 차원) 콤팩트 리 군 G * G-주다발 G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M * 유한 짝수 차원 실수 내적 공간 (F,\langle-,-\rangle) * G의 유한 짝수 차원 직교 표현 \rho\colon G\to\operatorname O(F). ** 이로부터 연관 벡터 다발 유한 짝수 차원 벡터 다발 F \hookrightarrow E \,\overset{\pi}\twoheadrightarrow\, M을 정의할 수 있으며, 그 올 위에는 양의 정부호 내적이 주어진다. * P 위의 주접속 \nabla ** 이로부터 E의 단면에 대해서도 벡터 다발 접속이 주어진다. 그렇다면, P \times F 위에 다음과 같은 미분 형식을 정의하자. :\Phi_\nabla(E)|_\xi = \frac1{(2\pi)^{2m \int_{\mathbb R^{2m\mathrm d^{2m}B \int_{\mathbb R^{2m \mathrm d^{2m}\chi,\exp(S[\xi,\chi,\Omega_\nabla,B]) :S[\xi,\chi,\Omega_\nabla,B] = - B^iB_i/2 + i\xi^iB_i - \chi_i \mathrm i\nabla\xi^i + \chi_i \Omega^{ij}\chi_j/2 여기서 * i,j,\dotsc는 F의 벡터 지표이다. 이는 F의 내적을 통하여 올리거나 내릴 수 있다. * \rho_{ij}(\Omega_\nabla)\in\operatorname{End}(F)는 주접속 \nabla의 주곡률 \Omega_\nabla의 \rho에 의한 표현이다. * (\xi^1,\dotsc,\xi^{2m})은 F 위의 데카르트 좌표계를 이룬다. 이들의 공변 미분 \nabla\xi^i는 P\times F 위의 G-불변 1차 미분 형식들이다. 공변 미분의 정의에 따라, 이는 P\times_GF = E 위의 1차 미분 형식을 이룬다. * \textstyle\int\mathrm d^{2m}\chi는 2m개의 형식적 반가환 변수 \chi^1,\dotsc,\chi^{2m}에 대한 베레진 적분이다. 변수 \chi^i는 홀수차 (가환) 미분 형식과 반가환한다. * \chi^i\rho_{ij}(\Omega_\nabla) \chi^j + \mathrm i\chi_i\nabla\xi^i은 P\times F 위의 2차 미분 형식과 1차 미분 형식의 합이다. 그 (형식적) 지수 함수는 미분 형식 쐐기곱에 대한 멱급수 전개로 정의된다. 베레진 적분은 이 멱급수에서, 미분 형식 등급이 2m인 항만을 골라낸다. * \textstyle\int\mathrm dB는 스칼라 보조장 B에 대한 적분이다. 즉, 다음과 같다. {| class=wikitable |- ! 기호 !! 설명 !! G\le \operatorname O(F)에 대한 변환 !! 가환성 !! P\times F 위의 미분 형식 차수 |- | \xi^i || 데카르트 좌표 || 기본 표현 || 가환 || 0 |- | \nabla\xi^i || 데카르트 좌표 || 기본 표현 || 가환 || 1 |- | \chi_i || 형식적 그라스만 변수 || (쌍대) 기본 표현 || 반가환 || 0 |- | \rho_{ij}(\Omega_\nabla) || 주곡률 || 딸림표현 || 가환 || 2 |- | B_i || 보조장 || 기본 표현 || 가환 || 0 |} 보조장 B에 대한 적분을 취하면, 다음을 얻는다. :\Phi_\nabla(E)|_\xi = \frac1{(2\pi)^m} \int_{\mathbb R^{2m \mathrm d^{2m}\chi,\exp(S'[\xi,\chi,\Omega_\nabla]) :S'[\xi,\chi,\Omega_\nabla] = - \xi_i\xi^j/2 - \chi_i \mathrm i\nabla\xi^i + \chi_i \Omega^{ij}\chi_j/2 이 작용은 초대칭 :\delta\chi_i = B_i :\delta\xi_i = \nabla\xi_i :\delta B^i = \Omega^{ij}\chi_j 을 가지며, 이에 따라 :S = \delta (\chi_i(\mathrm i\xi^i - B^i/2)) 이다. 베레진 적분에 의하여, \Phi_\nabla(E)는 P\times F 위의 2m차 미분 형식을 이룬다. 정의에 따라 이는 G-불변이므로, 연관 벡터 다발 E = P\times_GF 위의 2m차 미분 형식을 이룬다. 또한, 이는 초대칭 \delta에 의하여 닫힌 미분 형식이다. 이를 **마타이-퀼런 형식**이라고 한다. 무한 차원에서는 m 등이 무한대가 되기 때문에 이 공식을 직접 해석할 수 없지만, 일부 경우 양자장론의 경로 적분 등을 사용하여 이 값을 정의할 수 있다.
# 성질
만약 X가 유한 차원 매끄러운 다양체일 때, s의 마타이-퀼런 형식 :\Phi_\nabla(E) \in \Omega^{2m}(E) 의 드람 코호몰로지 동치류 :[\Phi_\nabla(E)]_{\text{dR \in \operatorname H^{2m}(E) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb R 는 E의 오일러 특성류 :\operatorname e(E) \in \operatorname H^{2m} 의 실수 계수와 같다. :(\operatorname e(E) \otimes_{\mathbb Z}\mathbb R) = [\Phi_\nabla(E)]_{\text{dR 특히, 이는 사용한 단면 s\colon M\to E에 의존하지 않는다. 그러나 무한 차원에서는 마타이-퀼런 형식은 일반적으로 s에 의존하게 된다.
# 예

## 초대칭 양자 역학 (드람 코호몰로지)
다음과 같은 경우를 생각하자. * (M,g)는 n차원 유한 차원 콤팩트 리만 다양체이다. * \mathbb S^1_\beta = [0,\beta]/(0\sim\beta)는 둘레가 \beta\in\mathbb R^+인 원이다. * X = \operatorname L^{1,2}(\mathbb S^1_\beta,M)는 유한 에너지 고리들로 구성된 소볼레프 공간이다. 이는 힐베르트 다양체이며, M의 고리 공간(과 호모토피 동치)이다. 즉, 가측 함수 f\colon\mathbb S^1\to M 가운데, 미분 \dot f가 거의 어디서나 존재하며, L2 르베그 공간에 속하는 것들로 구성된다. * G는 직교군 \operatorname O(n)에 대한 게이지 군 \\{\phi\colon M\to\operatorname O(n)\\}이며, P는 리만 다양체 M의 틀다발로서 유도된다. * F = \operatorname L^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^n)이며, \rho는 함수의 합성으로 정의된다. 이에 따라, E = P\times_G F = \mathrm TX는 그 접다발이다. * 단면 s \colon X \to E는 속력 \gamma\mapsto \dot\gamma이다. 그 영점은 상수 함수 고리들의 공간이다. 이 경우, :Z = (2\pi)^{-(\dim M)/2}\int_M \operatorname{Pf}(\operatorname{Riem}) = (2\pi)^{-(\dim M)/2)}\chi(M) 을 얻는다. 이는 \Omega(M)의 L2 완비화를 힐베르트 공간으로 하는 초대칭 양자역학의 분배 함수와 일치한다.
## 도널드슨 이론
도널드슨 이론 만약 * X는 어떤 4차원 매끄러운 다양체 M 위의 G-주다발 P의 주접속들의 공간이다. * E는 M 위의, \mathfrak g-값 자기 쌍대 2차 미분 형식들의 공간이다. * s \colon F \mapsto F + *F는 2차 미분 형식을 자기 쌍대 성분으로 대응시킨다. 이에 따라, s의 영점은 반 자기 쌍대 미분 형식들의 공간이다. 만약 이 공간이 0차원이라면 (점으로 구성된다면), 도널드슨 이론은 이 공간의 점의 수를 계산한다.
# 역사
마타이 바르기스(മത്തായി വർഗീസ്, Mathai Varghese)와 대니얼 퀼런이 1986년에 도입하였다.pages=85–110 이후 마이클 아티야와 리사 제프리(Lisa Jeffrey)가 이 개념이 무한 차원에서 위상 양자장론에 해당한다는 것을 증명하였다.