전자기학 활용 사례의 이론적 고찰

날짜=2018-06-21 아래는 **전자기학 활용 사례의 이론적 고찰**에 대한 설명이다.
# 서론
정전기나 자석과 같은 전기와 자기 현상은 생활 속에서 어렵지 않게 관찰할 수 있다. 실제로 고대 그리스 철학자 탈레스는 호박을 마찰시켰을 때 호박에 작은 물체가 달라붙는 정전기 현상을 발견하기도 하는 등 전기와 자기 현상은 기원전 고대 그리스와 중국에서 이미 잘 알려져있던 현상이다. 그러나, 체계적인 학문으로써의 확립은 19세기부터 시작되었다. 1785년 쿨롱의 법칙이 발견된 이후 외르스테드의 전류에 의한 자기 현상 그리고 패러데이의 전자기 유도 현상이 발견되었고 1873년 이 현상들을 모두 포함하는 4개의 미분방정식인 맥스웰의 방정식이 완성되면서 전자기학의 학문적 체계의 기반이 다져졌다. 맥스웰의 방정식은 영국의 이론물리학자이자 수학자인 J.C.Maxwell에 의해서 완성되었으며 전기와 자기의 현상을 최초로 수학적인 식으로 표현한 것으로, 전기장과 자기장의 회전과 발산을 두 장의 원천인 전하와 전류에 대한 식으로 나타내고 있다. 전자기학은 뉴턴의 역학과 함께 고전 물리학으로 분류되지만, 뉴턴 역학과는 다르게 전자기학은 오늘날까지도 많은 분야에서 다양하게 활용되고 있다. 20세기 초반, 매우 낮은 온도에서 전기적 저항이 사라지는 초전도체가 발견되었다. 초전도체는 전기저항을 획기적으로 감소시킬 수 있기에 에너지 효율성은 물론 기기의 소형화에도 응용될 수 있다. 때문에, 오늘날 이를 상온에서도 사용할 수 있도록하는 연구가 각광받고 있다. 뿐만 아니라, 초전도체에 의한 자기 현상을 이용하여 자기 부상열차 등의 운송 수단에 활용되고 있다. 전자기 현상은 군사적으로도 활용되고 있는데 최근 EMP탄과 이를 방어할 수 있는 차폐 연구도 큰 관심을 받고 있다. EMP는 고에너지의 전자기파인 감마선이 방출되는 현상으로 전자기기의 기능을 마비시키는 것으로 잘 알려져있다. 원래 EMP는 핵 폭탄이 폭발하면서 나오는 것으로 알려져있는데 최근에는 EMP만을 방출시키는 EMP 탄이 개발되었으며 반대로 EMP 탄에 의한 군사시설 마비등을 방지하기 위하여 이를 차폐하는 시설을 구축하고 있는 추세이다. 이 문서는 실생활에서 응용되고 있는 전자기학의 내용들을 이론적으로 접근, 간단한 모형의 문제로 바꾸어 이를 해석하는 방법을 활용하여 그 원리를 이해하는 것이다. 주제는 크게 초전도체와 자기부상열차, 프레넬 방정식과 레이다 그리고 EMP 탄과 전자기 차폐이다.
# 초전도체
시작에 앞서, 전자기학의 맥스웰 방정식은 식 (1)-(4)와 같다. (1)\nabla \cdot \vec{E} = \rho/\epsilon_{0} (2) \nabla \times \vec{E} = \frac{\partial \vec{B{\partial t} (3)\nabla \cdot \vec{B} = 0 (4)\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}(\vec{J} + \epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E{\partial t}) 먼저, 초전도체의 마이스너 효과를 전기장이 0인 완벽한 도체를 이용하여 살펴보자. 전기 전도도가 무한대인 완전한 도체에 알짜 전하가 존재하지 않는 상태를 가정하자. 그러면 전기장, E=0이 된다. 식(2)에 의하면 전기장의 회전은 자기장의 시간에 대한 변화와 같다. 그러나, 완전 도체의 전기장은 0이므로 완전 도체 내부의 자기장은 시간에 대해 일정하다. (5)\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt} 한편, 식(5)의 패러데이의 법칙에 의하면 전기장의 경로에 대한 선적분은 자기선속의 시간 변화와 같다. 전기장이 0이므로 완전 도체의 자기선속도 시간에 대해 일정하다. 초전도체의 경우, 특정한 온도, T_{c} 이하에서 내부자기장이 0으로 일정한 물질을 의미한다. 이를 마이스너 효과(Meissner effect)라고 한다. [[파일:Termpapaper1.png|섬네일|FIG1. 2h만큼 떨어진 두 개의 자기 쌍극자issn=0002-9505; Figure 1은 z=0 평면을 기준으로 대칭적으로 존재하는 두 개의 자기 쌍극자를 나타내고 있다. z>0인 공간에 존재하는 자기 모멘트가 m인 자기 쌍극자는 실제 존재하는 자기 쌍극자이며, z0일 때 \Phi_{1} = 0이고, r->\infty일 때 \Phi_{3} = 0이다. 그리고 r-> \infty일 때, 구를 무시할 수 있으므로, 원래의 자기장인 B = B_{0} \hat{z}이다. r-> \infty일 때, \Phi_{3} = -\frac{B_{0}rcos\theta}{\mu_{0. 이를 정리하면 세 개의 자기 스칼라 전위를 다음과 같이 간단히 할 수 있다. (22)\Phi_{1} = \sum_{l = 0}^{\infty }\frac{B_{1l{r^{l+1P_{l}(cos\theta) (23)\Phi_{2} = \sum_{l = 0}^{\infty }(A_{2l}r^{l}+\frac{B_{2l{r^{l+1)P_{l}(cos\theta) (24)\Phi_{3} = \sum_{l = 0}^{\infty }\frac{B_{3l{r^{l+1P_{l}(cos\theta)-\frac{B_{0}rcos\theta}{\mu_{0 자기 스칼라 전위가 연속이라는 조건, \Phi_{1}(a) = \Phi_{2}(a), \Phi_{2}(b) = \Phi_{3}(b)과 r = a, r = b인 각 경계에서 식(12)-(13)의 경계조건을 만족해야한다는 조건을 사용한다. 그리고 이를 정리하여 구 내부에서 자기장을 구하면 식(25)와 같다. (25)\vec{B_{in = \frac{9\mu_{1}\mu_{0{(2\mu_{1}+\mu_{0})(\mu_{1}+\mu_{0})-2(a/b)^{3}(\mu_{1}-\mu_{0})^{2B_{0}\hat{z} 식 (25)에서 눈여겨 볼 수 있는 것은 \mu_{1}이 0이 되거나, 매우 커지면 (\mu_{1}->\infty) 내부 자기장이 0이 된다. 즉, 외부 자기장에 대하여 차폐를 할 때, 투자율이 큰 물질을 이용하여 방호시설을 구축하면 EMP에 의한 피해를 감소시킬 수 있다. 그러나, 이 경우는 사람이 대피해야할 장소인 0\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}라 모형을 바꾸어놓고 외부 자기장을 H_{0}로 바꾸어 놓으면 0issn=2247-3173. (26)\Phi_{1} = -(H_{0}+H_{1}+H_{2})rcos\theta (27)H_{1} = 3H_{0}(b/a)^{3}\frac{\mu_{3}(\mu_{2}-\mu_{1})}{D} (28)H_{2} = -H_{0}\frac{(\mu_{2}-\mu_{3})[(b/a)^{3}(\mu_{1}+2\mu_{2})-2(\mu_{2}+\mu_{1})]}{D} 이때, \mu_{2} -> \infty, \mu_{2} -> 0이면 \Phi_{1} = 0이 되어, 0issn=2247-3173; Figure 7은 figure 6의 자기장 차폐 모형에서 $0제목=Anteil der im Ausland geborenen Personen an der selbstständigen Beschäftigung in einigen OECD-Ländern, 1999 und 2004; Figure 8은 차폐 방호시설의 출입문이 열렸을 때 EMP가 시설의 내부로 진입하는 것을 막기 위해 설치한 도파관의 모습이다. 방호공간의 출입문의 앞쪽으로 긴 도파관을 설치하면 EMP가 도파관을 통과하면서 진폭이 감소하여 내부까지 진입할 수 없게 된다.]] (29)\bigtriangledown \cdot \vec{E} = 0 (30)\bigtriangledown \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B{\partial t} (31)\bigtriangledown \cdot \vec{B} = 0 (32)\bigtriangledown \times \vec{B} = \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E{\partial t} 이때, 전자기파는 식(33)-(34)처럼 z축 방향으로 진행하는 간단한 형태의 복소함수로 나타낼 수 있고, 이때, 전기장과 자기장의 크기에 대한 벡터를 각각 식(36)-(37)처럼 각 성분별로 나눌 수 있다. 이때, 각 성분들은 상수가 아닌 x,y,z에 대한 스칼라 함수이다. (33)\widetilde{E(x,y,z,t)} = \vec{E_{0}(x,y)}e^{i(kz-wt)} (34)\widetilde{B(x,y,z,t)} = \vec{B_{0}(x,y)}e^{i(kz-wt)} (35)\vec{E_{0 = E_{x}\hat{x} + E_{y}\hat{y} + E_{z}\hat{z} (36)\vec{B_{0 = B_{x}\hat{x} + B_{y}\hat{y} + B_{z}\hat{z} 그리고 이를 맥스웰 방정식에 대입하여 각 성분별로 정리하면 아래의 6개의 식을 얻을 수 있다. (37)E_{x} = \frac{i}{(w/c)^{2}-k^{2(k\frac{\partial E_{z{\partial x}+w\frac{\partial B_{z{\partial y}) (38)E_{y} = \frac{i}{(w/c)^{2}-k^{2(k\frac{\partial E_{z{\partial y}-w\frac{\partial B_{z{\partial x}) (39)B_{x} = \frac{i}{(w/c)^{2}-k^{2(k\frac{\partial B_{z{\partial x}-(w/c^{2})\frac{\partial E_{z{\partial y}) (40)E_{x} = \frac{i}{(w/c)^{2}-k^{2(k\frac{\partial B_{z{\partial y}+(w/c^{2})\frac{\partial E_{z{\partial x}) (41) [\frac{\partial^{2{\partial x^{2+\frac{\partial^{2{\partial y^{2+(w/c)^{2}-k^{2}]E_{z} = 0 (42)[\frac{\partial^{2{\partial x^{2+\frac{\partial^{2{\partial y^{2+(w/c)^{2}-k^{2}]B_{z} = 0 식(41)-(42)의 두 개의 식을 이용하여 해를 구하면 나머지 4개의 해들은 자연스럽게 얻을 수 있으므로, 두 개의 해를 구하는 것이 중요하다. 이때, E_{z} = 0 인 TE mode의 전자기파에 대한 사각형 도파관의 해를 구해보자. issn=0002-9505; Figure 9는 x축으로 a, y축으로 b인 직사각형 모양의 도파관을 나타내고 있다. 전자기파는 z축으로 진행하므로 $z0$인 범위의 도파관을 통과해서 진행한다. B_{z} = X(x)Y(y) 의 변수 분리법과 경계조건을 사용하여 해를 구하면 식(43)와 같으며 그에 대한 파상수 k는 식(44)와 같다. 이때, mn은 0을 포함한 양의 정수이다. (43)B_{z} = B_{0}cos(m\pi x/a)cos(n\pi y/b) (44)k = \sqrt{(w/c)^{2}-\pi^{2}[(m/a)^{2}+(n/a)^{2}]} = \sqrt{(w/c)^{2}-w_{mn}^{2 파상수 k가 0보다 커야 진행한다는 의미이므로, a > b라면 전자기파가 진행할 수 없을 조건(차단 주파수)은 아래와 같다. (45)w 그리고 최저 차단 주파수보다 낮은 진동수 f를 가진 전자기파에 대한 감쇠량은 아래와 같다issn=1226-9883. (46)A = 27.3\frac{L}{a}\sqrt{1-(\frac{f}{f_{c)} dB 따라서, 차폐문에 도파관을 적절히 사용하면 사람이 다닐 수 있는 문을 방호시설에 만들어도 EMP를 막아낼 수 있다. 실제로 사람이 다닐 수 있을만한 크기의 문을 제작하여 80 dB 정도의 감쇠효과를 내려면 EMP의 주파수가 49.8 MHz 이하일 때만 가능한데, 이 이상의 주파수에서는 figure 10과 같이 차폐문 두 개를 수직으로 만드는 구조를 선택하여 EMP가 방호시설 내부까지 들어오는 것을 최대한 막기도 한다. [[파일:Termpapaper10.png|섬네일|FIG10.직사각형 모양의 도파관issn=1226-9883; Figure 10은 두 개의 차폐문을 활용하여 EMP 방호시설의 출입문을 설계한 것이다. 차폐문 하나만으로 충분히 막아낼 수 없는 고주파수의 EMP까지도 완벽히 차단하기 위해서 차폐문 두 개를 수직하게 설치한 모습이다.]]
# 결론
이 보고서는 실생활에서 응용되고 있는 기술이나 구조물 등의 원리를 전자기학을 학습했던 지식을 이용하여 고찰하는 것을 다루고 있다. 먼저, 가상 자기 쌍극자 (Image magnetic dipole)을 이용하여 초전도체 위에 위치하는 자기 물질은 중력을 받음에도 불구하고 위에 떠 있을 수 있다는 것을 확인함으로써 자기 부상열차의 원리를 고찰하였다. 그리고 프레넬 방정식과 브루스터 각을 이용하여 레이저 효율 증가를 위한 브루스터 창(Brewster window)와 다중 경로 현상 방지를 위한 브루스터 각의 활용을 고찰하였다. 세 번째로는 EMP의 원리와 차폐 시설에 관하여 고찰하였으며, 차폐 원리를 알아보기 위해서 일정한 자기장 속에 존재하는 구를 가정하여 구의 투자율이 0이 되거나 매우 커지면 구 내부의 자기장이 0이 되어 차폐가 가능하다는 사실을 확인하였다. 뿐만 아니라, 실제 차폐 방호시설의 경우에는 현실적으로 전기, 물자 등이 조달되는 통로가 필요하며 이 통로를 만들기 위해서는 통로가 닫혀있든 열려있든 항상 EMP에 대한 차폐가 필요하다는 사실을 확인하였다. 이를 통해서 실제 차폐 방호시설의 경우에는 도파관을 설치하며 고주파수 EMP를 대비하여 차폐문을 구조적으로 변형시켜서 EMP에 대한 차폐 방호시설을 만들 수 있다는 것을 이론적으로 확인하였다. 이를 통해서 전자기학이 생활에서 이용되고 있는 부분을 이론적으로 좀 더 확실히 고찰하고 이해할 수 있었다.