동축원 다발

기하학에서 **동축원 다발**(同軸圓-, pencil of coaxal circles)은 같은 근축을 공유하는 원들의 족이다.
# 정의
평면 \mathbb R^2 위에서 서로 다른 두 원 \Gamma,\Gamma'의 방정식이 :a(x^2+y^2)-2bx-2cy+d=0 :a'(x^2+y^2)-2b'x-2c'y+d'=0 이라고 하자. 여기서 (a,b,c,d)와 (a',b',c',d')은 실수 동차 좌표이다. (이 두 원은 각각 일반적인 실원이거나, 점원 또는 허원이거나, 유한 직선이거나, 무한원 직선이다.) **두 원 \Gamma,\Gamma'으로 생성된 동축원 다발**은 방정식이 :\lambda(a(x^2+y^2)-2bx-2cy+d)+\lambda'(a'(x^2+y^2)-2b'x-2c'y+d')=0 인 원 :\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma' 들의 족 \mathcal C이다. 여기서 (\lambda,\lambda')은 실수 동차 좌표이다.
# 분류
평면 \mathbb R^2 위에서 서로 다른 두 원 \Gamma,\Gamma'으로 생성되는 동축원 다발 \mathcal C는 적어도 하나의 실원 또는 유한 직선을 포함한다. 편의상 \mathcal C가 실원을 포함할 경우 \Gamma가 실원이라고 가정하고, 그렇지 않을 경우 \Gamma가 유한 직선이라고 가정하자. 임의의 실수 동차 좌표 (\lambda,\lambda')에 대하여, :\Delta_{\Gamma,\Gamma'}(\lambda,\lambda')=\lambda^2(b^2+c^2-ad)+\lambda\lambda'(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))+{\lambda'}^2({b'}^2+{c'}^2-a'd') 와 같이 표기하자. 이는 (\lambda,\lambda')에 대한 실수 이차 형식이다. \lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'이 직선이 아닐 경우 이는 \lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'의 반지름의 제곱에 비례한다. 특히, 만약 \lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'이 직선이 아니고 \Delta_{\Gamma,\Gamma'}(\lambda,\lambda')이 양수·0·음수일 경우, \lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'은 각각 실원·점원·허원이다. 이 이차 형식 \Delta_{\Gamma,\Gamma'}의 행렬식은 다음과 같다. :4\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}=4(b^2+c^2-ad)({b'}^2+{c'}^2-a'd')-(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))^2 동축원 다발 \mathcal C는 이차 형식 \Delta_{\Gamma,\Gamma'}의 성질에 따라 다음과 같이 분류된다.
## 타원형 동축원 다발
만약 \det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}>0이라면, \Delta_{\Gamma,\Gamma'}은 양의 정부호 이차 형식이며, \mathcal C 속 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 \Gamma와 \Gamma'은 서로 다른 두 교점 P,Q에서 만난다. 보다 일반적으로 \mathcal C는 P와 Q를 지나는 모든 원들의 족이며, 특히 \mathcal C의 근축은 직선 PQ이다. 이 경우 \mathcal C를 **타원형 동축원 다발**(楕圓型同軸圓-, elliptic pencil of coaxal circles) 또는 **교차 동축원 다발**(交叉同軸圓-, intersecting pencil of coaxal circles)이라고 하고, 두 공통 교점 P,Q를 \mathcal C의 **기저점**(基底點, base point)이라고 한다. 만약 두 교점 가운데 하나가 확장 복소평면의 무한대 Q=\widehat\infty일 경우, \mathcal C는 교점이 P인 공점선 다발이다.isbn=0-486-63830-8
## 포물형 동축원 다발
만약 \det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}=0이라면, :\Delta_{\Gamma,\Gamma'}\colon(\lambda,\lambda')\mapsto\left(\lambda\sqrt{b^2+c^2-ad}\pm\lambda'\sqrtb'}^2+{c'}^2-a'd'}\right)^2 은 완전 제곱의 꼴이고, \mathcal C는 유일한 점원 P를 가지며, 이를 제외한 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 \Gamma와 \Gamma'은 어떤 점 P에서 서로 접한다. 보다 일반적으로 \mathcal C 속 임의의 두 원은 P에서 접하며, 특히 \mathcal C의 근축은 P에서의 공통 접선이다. 이 경우 \mathcal C를 **포물형 동축원 다발**(抛物型同軸圓-, parabolic pencil of coaxal circles) 또는 **접동축원 다발**(接同軸圓-, tangent pencil of coaxal circles)이라고 한다. 만약 P=\widehat\infty일 경우, \mathcal C는 평행선 다발이다.
## 쌍곡형 동축원 다발
만약 \det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}0이라면, \mathcal C는 극한점이 (\sqrt c,0)인 쌍곡형 동축원 다발이며, 위 방정식은 a\in(-\infty,-\sqrt c)\cup(\sqrt c,\infty)에 대하여 실원을 나타내고, a=\pm\sqrt c에 대하여 점원을, a\in(-\sqrt c,\sqrt c)에 대하여 허원을 나타낸다.
## 직교 동축원 다발
임의의 동축원 다발 \mathcal C에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 동축원 다발 \mathcal C^\perp가 존재하며, 이를 \mathcal C의 **직교 동축원 다발**(直交同軸圓-, orthogonal pencil of coaxal circles)이라고 한다. * 임의의 \Gamma\in\mathcal C 및 \Gamma'\in\mathcal C^\perp에 대하여, \Gamma와 \Gamma'은 서로 직교한다. (즉, (실수) 교점을 가지고, 교점에서의 두 접선은 서로 수직이다.) 자명하게 \mathcal C^{\perp\perp}=\mathcal C가 성립한다. \mathcal C의 직교 동축원 다발 \mathcal C^\perp의 중심선과 근축은 각각 \mathcal C의 근축과 중심선이다. 만약 \mathcal C가 기저점이 P,Q인 타원형 동축원 다발이라면, \mathcal C^\perp는 극한점이 P,Q인 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히, 만약 \mathcal C가 교점이 P인 공점선 다발이라면, \mathcal C^\perp는 중심이 P인 동심원 다발이다. 만약 \mathcal C가 포물형 동축원 다발이라면, \mathcal C^\perp는 역시 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 \mathcal C가 평행선 다발이라면, \mathcal C^\perp 역시 평행선 다발이다. 만약 \mathcal C가 극한점이 P,Q인 쌍곡형 동축원 다발이라면, \mathcal C^\perp는 기저점이 P,Q인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 \mathcal C가 중심이 P인 동심원 다발이라면, \mathcal C^\perp는 교점이 P인 공점선 다발이다.
## 반전에 대한 상
원에 대한 반전에 대한 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 상은 역시 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발이다. 타원형 동축원 다발의 중심이 한 기저점인 원에 대한 반전을 가하면 교점이 다른 한 기저점의 상인 공점선 다발을 얻는다. 포물형 동축원 다발에 중심이 다발의 중심인 원에 대한 반전을 가하면 다발의 근축에 평행하는 평행선 다발을 얻는다. 쌍곡형 동축원 다발에 중심이 한 극한점을 중심으로 하는 원에 대한 반전을 가하면 중심이 다른 한 극한점의 상인 동심원 다발을 얻는다. 동축원 다발 속 임의의 원은 직교 동축원 다발 속 임의의 원에 대한 반전에 대하여 불변이며, 특히 이러한 반전에 대한 동축원 다발의 상은 자기 자신이다.
## 입체 사영에 대한 상
동축원 다발은 입체 사영을 통해 공선면 다발과 일대일 대응한다. 구체적으로, 공간 \mathbb R^3 속 단위구 :\mathbb S^2=\\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\colon x^2+y^2+z^2=1\\} 와 평면 z=0 사이의, 북극 (0,0,1)에 대한 입체 사영 :\varphi\colon\mathbb S^2\to\mathbb R^2\sqcup\\{\widehat\infty\\} :\varphi\colon(x,y,z)\mapsto\left(\frac x{1-z},\frac y{1-z}\right)\qquad((x,y,z)\in\mathbb S^2) 를 생각하자. 평면 z=0 속 두 원 \Gamma,\Gamma'의 원상 \varphi^{-1}(\Gamma),\varphi^{-1}(\Gamma')은 다음과 같은 방정식을 갖는 평면이다. :-2bx-2cy+(a-d)z+(a+d)=0 :-2b'x-2c'y+(a'-d')z+(a'+d')=0 이 두 평면 \varphi^{-1}(\Gamma),\varphi^{-1}(\Gamma')은 단위구 \mathbb S^2와 원을 교선으로 갖거나, 접하거나, 만나지 않을 수 있다. 즉, 만약 \Gamma가 실원 또는 유한 직선이라면 \varphi^{-1}(\Gamma)는 \mathbb S^2의 실원이고, 점원 또는 무한원 직선이라면 \varphi^{-1}(\Gamma)는 점원이며, 허원이라면 \varphi^{-1}(\Gamma) 역시 \mathbb S^2 허원이다. 특히 만약 \Gamma가 단위 허원이라면 \varphi^{-1}(\Gamma)는 무한원 평면이다. 마찬가지로 만약 \Gamma'이 실원 또는 유한 직선, 점원 또는 무한원 직선, 허원이라면 \varphi^{-1}(\Gamma')은 각각 \mathbb S^2의 실원·점원·허원이며, 특히 만약 단위 허원이라면 \varphi^{-1}(\Gamma')은 무한원 평면이다. 동축원 다발 \mathcal C=(\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma')_{(\lambda,\lambda')}은 교선이 \varphi^{-1}(\Gamma)\cap\varphi^{-1}(\Gamma')인 공선면 다발 :\varphi^{-1}(\mathcal C)=(\lambda\varphi^{-1}(\Gamma)+\lambda'\varphi^{-1}(\Gamma'))_{(\lambda,\lambda')} 과 일대일 대응한다. 만약 \varphi^{-1}(\mathcal C)의 교선이 단위구 \mathbb S^2와 서로 다른 두 점 P,Q에서 만난다면, \mathcal C는 기저점이 \varphi^{-1}(P),\varphi^{-1}(Q)인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 한 교점이 북극 Q=(0,0,1)이라면, \mathcal C는 교점이 \varphi^{-1}(P)인 공점선 다발이다. 만약 \varphi^{-1}(\mathcal C)의 교선이 단위구 \mathbb S^2에 점 P에서 접한다면, \mathcal C는 중심이 \varphi^{-1}(P)이고 근축이 \varphi^{-1}(\mathcal C)의 교선과 평면 z=0의 교점과 \varphi^{-1}(P)를 잇는 직선인 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 접점이 북극 P=(0,0,1)이라면, \mathcal C는 \varphi^{-1}(\mathcal C)의 교선에 평행하는 평행선 다발이다. 만약 \varphi^{-1}(\mathcal C)의 교선이 단위구 \mathbb S^2와 만나지 않는다면, \mathcal C는 \varphi^{-1}(\mathcal C)의 단위구 \mathbb S^2에 접하는 두 원소의 두 접점 P,Q에 대한 원상 \varphi^{-1}(P),\varphi^{-1}(Q)를 극한점으로 하는 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히 만약 두 접점 가운데 하나가 북극 Q=(0,0,1)이라면, \mathcal C는 중심이 \varphi^{-1}(P)인 동심원 다발이다. 서로 직교하는 두 동축원 다발 \mathcal C,\mathcal C^\perp이 주어졌다고 하자. 그렇다면, \varphi^{-1}(\mathcal C^\perp)의 원소들의 극은 모두 \varphi^{-1}(\mathcal C)의 교선 위의 점이며, \varphi^{-1}(\mathcal C)의 원소들의 극은 모두 \varphi^{-1}(\mathcal C^\perp)의 교선 위의 점이다. 특히, 만약 \mathcal C가 쌍곡형 동축원 다발일 경우, \varphi^{-1}(\mathcal C^\perp)의 교선은 \varphi^{-1}(\mathcal C)의 원소와 \mathbb S^2의 두 접점을 잇는 직선이다. 또한 만약 \mathcal C가 포물형 동축원 다발일 경우 \varphi^{-1}(\mathcal C^\perp)의 교선은 \varphi^{-1}(\mathcal C)의 교선과 같은 접점에서 이와 수직인 접선이다.