2차원 실수 특수선형군

**2차원 실수 특수선형군**(二次元實數特殊線型群, 2×2 real special linear group) \operatorname{SL}(2;\mathbb R)는 수학과 물리학에 자주 등장하는 3차원 리 군이다. 2×2 행렬군으로, 또는 실수 선형 분수 변환군으로, 또는 3차원 민코프스키 공간의 로런츠 군으로 여길 수 있다.
# 정의
다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다. * 2×2 실수 특수선형군 \operatorname{SL}(2;\mathbb R) * 2×2 실수 심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2;\mathbb R) * 부정부호 특수 유니터리 군 \operatorname{SU}(1,1) * **분할 사원수 대수**(split-quaternion algebra) \left(\bigwedge(i\mathbb R\oplus j\mathbb R\oplus k\mathbb R)\right)/(ij-k,jk+i,ki-j)에서, 절댓값을 |a+ib+jc+kd|^2=a^2+b^2-c^2-d^2로 정의하면, 단위 분할 사원수들의 곱셈군 * 3차원 스핀 군 \operatorname{Spin}^+(2,1) 다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다. * 2×2 실수 사영 특수선형군 \operatorname{PSL}(2;\mathbb R). 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)에서, 중심 \\{\pm1_{2\times2}\\}에 대한 몫군이다. * 복소수 단위 원판 \mathbb D=\\{z\in\mathbb C\colon|z|0\\}을 보존하는 부분군 * 실수 사영 직선 \mathbb{RP}^1=\mathbb R\cup\\{\infty\\}의 방향 보존 사영 변환군 * 3차원 로런츠 군의 연결 성분 \operatorname{SO}^+(2,1)
## 실수 사영 직선 위의 작용
\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)는 실수 사영 직선 \mathbb{RP}^1=\mathbb R\cup\\{\infty\\} 위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다. :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix}\colon \mathbb R\cup\\{\infty\\}\to\mathbb R\cup\\{\infty\\} :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix}\colon x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}
## 상반평면 위의 작용
\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)는 복소수 상반평면 \mathbb H=\\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\\} 위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다. :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix}\colon\mathbb H\to\mathbb H :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix}\colon z\mapsto\frac{az+b}{cz+d} 이를 상반평면의 경계인 실수축에 국한하면, 실수 사영 직선 위의 작용을 얻는다.
## 딸림표현
\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)는 3차원 리 군이며, 따라서 \mathbb R^3 위에 딸림표현을 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같다. :\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\hookrightarrow\operatorname{GL}(3;\mathbb R) :\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a^2 & 2ac & c^2 \\\ ab & ad+bc & cd \\\ b^2 & 2bd & d^2 \end{pmatrix} 이는 단사 함수이다. \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)의 킬링 형식의 부호수는 (2,1)이며, 따라서 이는 \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)와 로런츠 군 \operatorname{SO}^+(2,1) 사이의 동형을 정의한다.
# 성질

## 켤레류
\operatorname{SL}(2;\mathbb R)의 임의의 원소 M\in\operatorname{SL}(2;\mathbb R)는 다음 원소들 가운데 정확히 하나와 켤레 원소이다. * |\operatorname{tr}M|2인 경우: \pm\operatorname{diag}(\exp(t),\exp(-t)),t\in\mathbb R^+. 이러한 경우를 **쌍곡선형 원소**(雙曲線型元素, hyperbolic element)라고 한다.
## 대수학적 성질
\operatorname{SL}(2;\mathbb R)는 비가산 군이며, 아벨 군이 아니다. \operatorname{SL}(2;\mathbb R)의 중심은 \\{\pm1_{2\times2}\\}이며, 이에 대한 몫군 \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)는 단순군이다. \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)의 이산 부분군은 **푹스 군**이라고 하며, 모듈러 군 \operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)이 대표적인 예이다. 원군 \operatorname{SO}(2)는 \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{SO}^+(2,1)의 극대 콤팩트 부분군이다. 마찬가지로, 이보다 두 겹 더 큰 원군은 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)의 극대 콤팩트 부분군이다.
## 위상수학적 성질
\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)와 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)는 둘 다 연결 3차원 매끄러운 다양체이며, 콤팩트 공간이 아니다. 위상수학적으로, \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)는 상반평면 \mathbb H의 접다발 T\mathbb H 속의 단위 벡터로 구성되는 원다발의 전체 공간과 위상동형이다. \operatorname{SL}(2;\mathbb R)는 이 원다발의 두 겹 피복 공간이며, 일종의 스피너 다발로 생각할 수 있다. \mathbb H는 축약 가능 공간이며, 따라서 \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)와 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)는 원 \mathbb S^1과 호모토피 동치이다. 즉, 그 호모토피 군은 다음과 같다. :\pi_n(\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\cong\pi_n(\operatorname{SL}(2;\mathbb R))\cong\begin{cases}1&n;\ne1\\\\\mathbb Z&n;=1\end{cases} 범피복 공간 \widetilde{\operatorname{SL}(2;\mathbb R)}에 왼쪽 곱셈 불변 리만 계량을 부여한다면, 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나를 이룬다.
## 표현론

### 유한 차원 표현
\operatorname{SL}(2;\mathbb R)의 유한 차원 표현론은 \operatorname{SU}(2)의 유한 차원 표현론과 동형이다. 즉, 각 음이 아닌 정수 n=0,1,\dots에 대하여 2n+1차원 기약 표현이 존재한다. 이 표현들은 (n=0인 자명 표현을 제외하면) 모두 유니터리 표현이 아니다.
### 무한 차원 표현
\operatorname{SL}(2;\mathbb R)의 무한 차원 표현론은 \operatorname{SU}(2)의 경우와 전혀 다르다. \operatorname{SL}(2;\mathbb R)의 무한 차원 기약 허용 표현(admissible representation)은 완전히 분류되었고, 다음과 같다. * 모든 0이 아닌 정수 \mu\in\mathbb Z\setminus\\{0\\}에 대하여, **이산열 표현**(離散列表現, discrete series representation) D_\mu * 이산열 표현의 극한 D_{+0}, D_{-0} * **주열 표현**(主列表現, principal series representation) I_{\epsilon,\mu}, \mu\in\mathbb C, \epsilon\in\\{\pm1\\}, \epsilon\ne-(-1)^\mu. I_{\epsilon,\mu}는 I_{\epsilon,-\mu}와 동형이다. 이들 가운데 유니터리 표현인 것은 다음과 같다. * 모든 이산열 표현 D_\mu 및 극한 D_{\pm0} * 주열 표현 I_{\pm,i\mu}, \mu\in\mathbb R * 주열 표현 I_{+,\mu}, 0<|\mu|<1