거듭제곱근

수학에서, **거듭제곱근**은 거듭제곱의 역연산이다. **승근**(乘根), **누승근**(累乘根) 또는 **멱근**(冪根)이라고도 한다. 구체적으로, 만약 x^n=a이라면, x가 a의 n제곱근이라고 한다. a^2,a^3,a^4,a^5,\dots,a^n\dots({}=a의 제곱, a의 세제곱, a의 네제곱, a의 다섯제곱, ..., a의 n제곱, ...)을 통틀어 a의 거듭제곱이라고 하는 것처럼, a의 제곱근, a의 세제곱근, a의 네제곱근, a의 다섯제곱근, ... a의 n제곱근, ...을 통틀어 a의 거듭제곱근이라고 한다.
# 정의
양의 정수 n이 주어졌다고 하자. 실수 또는 복소수 a의 **n제곱근**(n-th root)은 :x^n=a 인 실수 또는 복소수 x를 일컫는다. 여기서 :x^n=\underbrace{x\times x\times\cdots\times x}_n 은 x의 n제곱이다.
## 실수의 거듭제곱근
임의의 실수 또는 복소수의 n제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 n개가 있으며, a\ne0인 경우 이들은 서로 다르다. 실수 a\in\mathbb R의 경우, 그 가운데 하나 :\sqrt[n]a\in\mathbb R 를 다음과 같이 고를 수 있다. 만약 a=0인 경우, 0의 n제곱근은 0으로 유일하다. :\sqrt[n]0=0 만약 a\ne0이며, n이 홀수라면, a의 n제곱근 가운데 실수인 하나 \sqrt[n]a\in\mathbb R가 유일하게 존재한다. 구체적으로, 실수의 완비성을 사용하여, 특정 부분 집합의 상한 또는 하한으로 정의할 수 있다. :\begin{align} \sqrt[n]a &= \sup\\{x\in\mathbb R\colon x^na\\} \end{align} 만약 a>0이며, n이 짝수라면, a의 n제곱근 가운데 실수인 것은 둘이 존재하며, 서로 덧셈 역원이다. 이 가운데 양의 실수인 하나를 \sqrt[n]a로 정의하자. 그렇다면 나머지 하나는 -\sqrt[n]a이다. \sqrt[n]a의 구체적인 표현은 다음과 같다. :\begin{align} \sqrt[n]a &= \sup\\{x\in\mathbb R^+\colon x^na\\} \end{align} 만약 a<0이며, n이 짝수라면, a의 n개의 n제곱근은 모두 실수가 아니다. a는 실수이므로, 복소수이다. 따라서, 복소수의 특별한 n제곱근을 고르는 방법을 사용한다.
## 복소수의 거듭제곱근
복소수 a\in\mathbb C의 n제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 총 n개가 있으며, a\ne0인 경우 이들은 서로 다르다. 이 가운데 하나가 :\sqrt[n]a\in\mathbb C 라면, n개의 거듭제곱근들은 다음과 같다. :\sqrt[n]a\mathrm e^{2k\pi\mathrm i/n}\qquad(k=0,1,\dots,n-1) 특별한 거듭제곱근 \sqrt[n]a를 고르는 방법은 유일하지 않다. 0이 아닌 복소수 a\in\mathbb C\setminus\\{0\\}를 그 절댓값 |a|과 편각 \arg a를 사용하여 :a=|a|\mathrm e^{\mathrm i\arg a} 로 나타내자. 절댓값 |a|은 음이 아닌 실수이므로, 그 표준적인 실수 거듭제곱근 \sqrt[n]{|a|}를 고를 수 있다. 이 경우, a의 모든 n제곱근은 다음과 같다. :\sqrt[n]{|a|}\mathrm e^{\mathrm i(\arg a+2k\pi)/n}\qquad(k=0,1,\dots,n-1) 또한, a의 표준적인 거듭제곱근을 다음과 같이 고를 수 있다. :\sqrt[n]a=\sqrt[n]{|a|}\mathrm e^{\mathrm i\arg a/n} 얼핏 \sqrt[n]a를 고르는 방법을 유일하게 결정한 것처럼 보이지만, 편각의 선택은 유일하지 않으므로 \sqrt[n]a를 고르는 방법은 유일하지 않다. 예를 들어, 편각 :\arg a\in(-\pi,\pi] 에 대한 거듭제곱근과 :\arg a\in[0,2\pi) 에 대한 거듭제곱근은 일반적으로 다르다.
## 용어와 표기법
작은 n에 대한 거듭제곱근은 다음과 같다. * 만약 n=2인 경우, a의 n제곱근을 a의 **제곱근**이라고 하며, \sqrt[2]a 대신 \sqrt a라고 쓴다. * 만약 n=3인 경우, a의 n제곱근을 a의 **세제곱근** \sqrt[3]a이라고 한다. * 만약 n=4인 경우, a의 n제곱근을 a의 **네제곱근**(fourth root) \sqrt[3]a이라고 한다. * 만약 n=5인 경우, a의 n제곱근을 a의 **다섯제곱근**(fifth root) \sqrt[3]a이라고 한다. 거듭제곱근 \sqrt[n]a은 거듭제곱을 사용하여 :a^{1/n} 이라고 쓸 수 있다.
# 성질
음이 아닌 실수의 거듭제곱근의 경우, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. :\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\cdot\sqrt[n]b :\sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}\qquad(b\ne0) 그러나, 이는 음의 실수나 복소수의 거듭제곱근에서 성립하지 않는다. 예를 들어, :\sqrt{(-1)\cdot(-1)}=\sqrt1=1 이지만, :\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=-1 이다.
## 갈루아 군
체 K가 주어졌다고 하자. 양의 홀수 n이 주어졌고, \operatorname{char}K\nmid n이며, \zeta_n이 1의 원시 n제곱근이라고 하자. 또한, 체의 원소 a\in K가 주어졌으며, 임의의 소수 p\mid n에 대하여 K가 a의 p제곱근을 포함하지 않는다고 하자. 그렇다면, a의 n제곱근들을 근으로 하는 다항식 x^n-a\in K[x]의 분해체 K(\sqrt[n]a,\zeta_n)의 갈루아 군은 다음과 같다.mr=1878556300, Theorem 9.4 :\operatorname{Gal}(K(\sqrt[n]a,\zeta_n)/K)\cong\mathbb Z/n\rtimes(\mathbb Z/n)^\times 구체적으로, c\in\mathbb Z/n 및 d\in(\mathbb Z/n)^\times의 순서쌍에 대응하는 자기 동형 사상은 다음과 같다. :\sqrt[n]a\mapsto a\zeta_n^c :\zeta_n\mapsto\zeta_n^d
# 예
2^3=8이다. 따라서, :\sqrt[3]8=2 이다. 이는 8의 유일한 실수 세제곱근이다. 8의 세제곱근은 3개가 있으며, 이는 다음과 같다. :2,2\mathrm e^{2\pi/3},2\mathrm e^{4\pi/3} 3^4=81이다. 따라서, :\sqrt[4]{81}=3 이다. 81의 실수 네제곱근은 3과 −3 둘이다. 81의 네제곱근은 4개가 있으며, 다음과 같다. :3,3\mathrm i,-3,-3\mathrm i