당김 (범주론)

범주론에서 **당김**(풀백)은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 **올곱**(fibered product, fibred product)이라고 불린다.
# 정의
어떤 범주에서 대상 X,Y,Z 및 사상 :X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY 이 주어졌을 때, X와 Y의 **당김** X\times_ZY는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상 P 및 사상 p_1,p_2으로 구성된다. :\begin{matrix} P&\overset{p_1}\to&X;\\\ {\scriptstyle p_2}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\\ Y&\underset g\to&Z; \end{matrix} 위와 같은 가환 그림을 **당김 사각형**(pullback square)이라고 한다. 이 그림에서, f를 g에 대한 **당김** 또는 **밑 변환**(-變換, base change)이라고 한다. 이는 범주론적 극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상 P' 및 사상 p'_1\colon P'\to X, p'_2\colon P'\to Y에 대하여, 만약 f\circ p'_1=g\circ p'_2라면 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 u\colon P'\to P가 유일하게 존재한다. :\begin{matrix} &&P;'\\\ ^{p'_1}&\swarrow&\downarrow\scriptstyle\exists!u&\searrow&^{p'_2}\\\ X&\leftarrow&P;&\rightarrow&Y;\\\ _f&\searrow&&\swarrow&_g\\\ &&Z; \end{matrix} 만약 X=Y이며 f=g일 경우, X\xrightarrow fZ\xleftarrow fX의 당김은 **핵쌍**(核雙, kernel pair)이라고 한다.
## 밑 변환
범주 \mathcal C의 사상에 대한 어떤 성질 \mathfrak P가 주어졌다고 하자. (즉, \mathcal C의 사상들의 모임 \mathfrak P\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)가 주어졌다고 하자.) 만약 모든 \mathfrak P 사상 f\colon X\to Y 및 임의의 사상 Y'\to Y에 대하여 밑 변환 f'\colon X\times_YY'\to Y' 역시 \mathfrak P 사상이라면, \mathfrak P를 **밑 변환에 대하여 안정적인 성질**(property invariant under base change)이라고 한다. 밑 변환에 대하여 불안정한 성질 \mathfrak P에 대하여, **보편 \mathfrak P 사상**(universally \mathfrak P morphism)은 다음 조건을 만족시키는 사상 f\colon X\to Y이다. * 임의의 사상 Y'\to Y에 대하여, 밑 변환 f'\colon X\times_YY'\to Y'은 \mathfrak P 사상이다. 범주 \mathcal C가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, 밑 변환에 의하여, 임의의 사상 f\colon B'\to B에 대하여 조각 범주 사이의 함자 :f^*\colon\mathcal C/B\to\mathcal C/B' 가 존재하며, 이는 조각 범주의 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다. :f^*\colon (X\to B)\mapsto (X\times_BB'\to B') :f^*\colon \begin{pmatrix} X\\\ {\scriptstyle g}\downarrow&\searrow\\\ Y&\to&B; \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} X\times_BB'\\\ {\scriptstyle f^*g}\downarrow&\searrow\\\ Y\times_BB'&\to&B; \end{pmatrix} 여기서 사상 X\times_BB'\to Y\times_BB'는 다음과 같이, 당김 보조정리에 의하여 존재한다. :\begin{matrix} X\times_BB'&\cong&X;\times_Y(Y\times_BB')&\to&Y;\times_BB'&\to&B;'\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ &&X;&\to&Y;&\to&B; \end{matrix} 즉, 왼쪽·오른쪽 사각형이 둘 다 당김 사각형이므로 전체 사각형 역시 당김 사각형이며, X\times_Y(Y\times_BB')\cong X\times_BB'이 된다. 만약 \mathcal C가 토포스라면, 그 위의 조각 범주 \mathcal C/B, \mathcal C/B' 역시 토포스이며, 밑 변환 함자는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 갖는다. :f_!\dashv f^*\dashv f_* 또한, (f_!,f^*,f_*)는 토포스 사이의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.
# 성질

## 곱과의 관계
(유한) 곱과 동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 곱 :X\xleftarrow{\pi_X}X\times Y\xrightarrow{\pi_Y}Y 이 주어졌을 때, :X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY 의 당김은 :X\times Y\xrightarrow[g\circ\pi_Y]{f\circ\pi_X}Z 의 동등자이다. 반대로, 당김과 곱이 존재하는 범주에서는 동등자가 존재한다. 만약 1이 끝 대상일 경우, X\times_1Y\cong X\times Y이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.
## 당김 사각형의 붙임
다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자. :\begin{matrix} \bullet&\to&\bullet&\to&\bullet\\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ \bullet&\to&\bullet&\to&\bullet\\\ \end{matrix} 이 그림에서, 왼쪽 사각형 · 오른쪽 사각형 · 전체 사각형이 각각 당김 사각형을 이루는지 여부를 고려할 수 있다. 그렇다면, **당김 보조정리**(pullback lemma)에 따르면 다음이 성립한다. * 오른쪽 사각형이 당김 사각형이라고 가정했을 때, 왼쪽 사각형이 당김 사각형인 것은 전체 사각형이 당김 사각형인 것과 동치이다. 그러나 이러한 정리는 왼쪽 사각형에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 두 개의 당김 사각형을 붙여 당김 사각형을 만들 수 있고, 반대로 당김 사각형을 반으로 갈랐을 때 오른쪽이 당김 사각형이라면 왼쪽도 마찬가지다. (그러나 왼쪽이 당김 사각형일 경우 오른쪽은 아닐 수 있다.) 즉, 다음과 같은 경우가 가능하다. (표에서 "예"는 당김 사각형인 경우, "아니오"는 당김 사각형이 아닌 경우이다.) {| class=wikitable |- ! 오른쪽 || 왼쪽 || 전체 || 가능? |- | 예 || 예 || 예 || 가능 |- | 예 || 예 || 아니오 || 불가능 |- | 예 || 아니오 || 예 || 불가능 |- | 예 || 아니오 || 아니오 || 가능 |- | 아니오 || 예 || 예 || 가능 |- | 아니오 || 예 || 아니오 || 가능 |- | 아니오 || 아니오 || 예 || 가능 |- | 아니오 || 아니오 || 아니오 || 가능 |}
# 예

## 대수적 범주
대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우, 당김이 항상 존재하며, 보통 **올곱**으로 불린다. 다음과 같은 대수 구조 및 준동형 :X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY 의 당김은 다음과 같다. :X\times_ZY=\\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\in Z\\}=\bigsqcup_{z\in Z}f^{-1}(z)\times g^{-1}(z)\subset X\times Y 이 경우 사상 X\times_ZY\to X, X_\times ZY\to Y는 자연스러운 사영 함수 (x,y)\mapsto x, (x,y)\mapsto y이다. 예를 들어, 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}는 아무런 연산을 갖지 않는 대수 구조이므로 당김이 존재한다. 마찬가지로, 군의 범주 \operatorname{Grp}, 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}, 유사환의 범주 \operatorname{Rng}, 환의 범주 \operatorname{Ring}, 가환환의 범주 \operatorname{CRing} 등에서도 모두 당김이 존재한다.
## 위상 공간
위상 공간의 범주에서, X\to Z\leftarrow Y의 당김은 곱공간 X\times Y의 다음과 같은 부분 공간이다. :X\times_ZY=\\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=f(y)\\}\subseteq X\times Y 집합으로서 이는 집합의 범주에서의 당김과 같다. 특히, 올다발 \pi\colon E\to B 및 연속 함수 X\to B가 주어졌을 때, E\times_BX는 X 위에서 정의된 \pi의 당김 올다발이다. "당김"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.
## 스킴
스킴의 범주 \operatorname{Sch}는 유한 완비 범주이며, 특히 모든 당김을 갖는다. 스킴의 당김은 (망각 함자 \operatorname{Sch}\to\operatorname{Top} 아래) 일반적으로 위상 공간의 당김과 다르다. 스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 안정적인 것은 다음이 있다. * 전사 함수 * 준콤팩트 함수 * 닫힌 몰입 * 열린 몰입 * 분리 사상 * 준분리 사상 * 유한 사상 * 국소 유한 표시 사상 ** 유한 표시 사상 = 준콤팩트 함수 + 준분리 사상 + 국소 유한 표시 사상 * 국소 유한형 사상 ** 유한형 사상 = 준콤팩트 함수 + 국소 유한형 사상 * 고유 사상 * 평탄 사상 * 형식적 매끄러운 사상 ** 매끄러운 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 매끄러운 사상 * 형식적 비분기 사상 ** 비분기 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 비분기 사상 ** 에탈 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 매끄러운 사상 + 형식적 비분기 사상 스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 불안정한 것은 다음이 있다. * 전단사 함수 * 단사 함수 * 열린 함수 * 닫힌 함수 * 우세 사상 * 위상 동형