망원급수

수학에서 **망원급수**(telescoping series)란 부분적 항들의 합이 소거 후에 결과적으로 고정된 값만이 남는 수열을 일컫는다.Tom M. Apostol, *Calculus, Volume 1,* Blaisdell Publishing Company, 1962, pages 422-3Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, *Elementary Real Analysis, Second Edition*, CreateSpace, 2008, page 85 이러한 테크닉은 “차(差)의 방법”, 또는 “상쇄 합”이라고도 불린다. 예를 들어, :\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} 와 같은 급수는 :\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\\ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\\ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) } \right\rbrack \\\ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack { 1 + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left( - \frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack = 1. \end{align} 으로 단순화된다.
# 일반적인 경우
먼저 a_n 을 수열로 정의하자. 이때, :\sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n-1}\right) = a_N - a_{0}, 이고, a_n \rightarrow 0 이라면 :\sum_{n=1}^\infty \left(a_n - a_{n-1}\right) = - a_{0}.
# 함정
비록 상쇄 합은 유용한 테크닉이나, 잘못 사용할 경우 쉽게 함정에 빠질 수도 있다. 그란디 급수라고도 불리는 다음의 경우를 살펴보면, :0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty (1-1) = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1 + 1) = 1\, 는 잘못된 결론인데, 이런 오류는 각 항이 0으로 수렴하지 않는 급수를 다루었기 때문에 발생한다. 이런 오류를 미연에 방지하기 위해서는 N번째 항에 대한 합을 구한 다음에 N이 무한으로 발산할 경우를 따져 보면 된다. : \begin{align} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\\ & {} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} -\frac{1}{N+1}\right) \\\ & {} = 1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \+ \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots \+ \left(-\frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} \\\ & {} = 1 - \frac{1}{N+1}\to 1\ \mathrm{as}\ N\to\infty. \end{align}
# 다른 예시
* 많은 삼각함수는 차로써의 표현이 인정되므로 망원급수에서 쓰이는 소거법이 연속된 항들에 적용될 수 있다. :: \begin{align} \sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) & {} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right) \\\ & {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right) \\\ & {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right). \end{align} * 다음과 같은 형태의 합 ::\sum_{n=1}^N {f(n) \over g(n)}, :”f”와 “g”가 다항식이고 각 항이 부분 분수로 쪼개질 수 있을 때, 상쇄 합 방법은 실패할 수도 있다. 예를 들어, :: \begin{align} \sum^\infty_{n=0}\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} & {} =\sum^\infty_{n=0}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right) \\\ & {} = \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \cdots \\\ & {} \cdots + \left(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right) + \cdots \\\ & {} =\infty. \end{align} : 문제는 각 항이 소거, 상쇄되지 않는다는 점이다. * ‘’k’’를 양의 정수라 하자. 이때 ::\sum^\infty_{n=1} {\frac{1}{n(n+k) = \frac{H_k}{k} :*H**k*는 ‘’k’’번째 조화수이다. 1/(*k* − 1) 이후의 모든 항은 소거된다.