결합 도식

조합론에서 **결합 도식**(結合圖式, 어소시에이션 스킴) 또는 **일관 구조**(一貫構造, coherent configuration)는 어떤 특별한 조건을 만족시키는 일련의 이항 관계들이 주어진 유한 집합이며, 변 색칠이 주어진 완전 그래프로도 간주될 수 있다.언어=en언어=en언어=en언어=en 주어진 결합 도식으로부터 그 구조를 나타내는 결합 대수인 **보스-메스너 대수**(बसु-Mesner代數, Bose–Mesner algebra)가 존재한다.
# 정의
결합 도식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.
## 조합론적 정의
**결합 도식** (X,\mathcal R)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.2479, Definition 11, §1.1 * 유한 집합 X * X\times X의, n+1개의 부분 집합들 \mathcal R, |\mathcal R|=n+1 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. * ㉠ \mathcal R는 X\times X의 분할을 이룬다. 즉, R,R'\in\mathcal R이며 R\ne R'이라면 R\cap R'=\varnothing이며, 또한 \textstyle\bigcup\mathcal R=X\times X이다. * ㉡ \textstyle\\{(x,x)\colon x\in X\\}=\bigcup\mathcal R'인 부분 집합 \mathcal R'\subseteq \mathcal R가 존재한다. * ㉢ \varnothing\not\in\mathcal R * ㉣ 임의의 R\in\mathcal R에 대하여, R^{\operatorname{op\in\mathcal R * ㉤ 임의의 R,R',R*\in\mathcal R 및 (x,y)\in R에 대하여, |\\{z\in X\colon x\sim_{R'}y\sim_{R*}z\\}|\in\mathbb N는 (x,y)에 의존하지 않는다. 여기서 * R\in\mathcal R에 대하여, x\sim_Ry는 (x,y)\in R를 뜻한다. * R^{\operatorname{op=\\{(y,x)\colon(x,y)\in R\\}는 R의 반대 이항 관계이다. 흔히, \mathcal R의 원소는 (R_0,R_1,\dotsc,R_n)으로 표기되며, 이 경우 R_0=\\{(x,x)\colon x\in X\\}이다. 또한, :p_{ij}^k=|\\{z\in X\colon x\sim_iy\sim_jz\\}|\qquad(x\sim_ky) 는 결합 도식의 **구조 상수**(構造常數, structure constant)라고 한다.
## 행렬을 통한 정의
**결합 도식** (X,n,\mathcal A)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.13–14, §1.3 * 유한 집합 X=\\{0,1,\dotsc,q-1\\} * 자연수 n * n개의, 모든 성분이 0 또는 1인 q\times q 정사각 행렬들의 족 \mathcal A=\\{A_0,A_1,\dotsc,A_n\\}. 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. * ㉠ \textstyle\sum_{i=0}^nA_i는 모든 성분이 1인 k\times k 정사각 행렬이다. * ㉡ \textstyle1_{k\times k}=\sum\mathcal A'인 \mathcal A'\subseteq \mathcal A가 존재한다. * ㉢ 0_{k\times k}\not\in\mathcal A. * ㉣ 임의의 A\in\mathcal A에 대하여, A^\top\in\mathcal A * ㉤ 임의의 A_i,A_j\in\mathcal A에 대하여, 그 곱 A_iA_j는 \mathcal A의 원소들의 자연수 계수 선형 결합이다. 즉, 각 0\le i,j,k\le k에 대하여, \textstyle A_iA_j=\sum_{k=0}^np^k_{ij}A_k인 자연수 p^k_{ij}가 존재한다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 즉, 두 정의 사이를 번역하려면, 각 이항 관계 \sim_i를 대신 정사각 행렬 :(A_i)_{x,y}=x\sim_iy\qquad(x,y\in X) 로 치환하면 된다.
## 기하학적 정의
결합 도식의 개념은 거리 공간과 유사하게 정의될 수도 있다.2479, §Ⅱ.A **결합 도식** (X,D,\partial)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 유한 집합 X * 유한 집합 D * 함수 \partial\colon X\times X\to D. 이는 **거리 함수**(距離函數, distance)라고 한다. 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. * ㉡ 임의의 x,y,z\in X에 대하여, 만약 \partial(x,x)=\partial(y,z)라면, y=z이다. * ㉢ \partial은 전사 함수이다. * ㉣ 임의의 x,y,x',y'\in X에 대하여, \partial(x,y)=\partial(x',y')라면 \partial(y,x)=\partial(y',x') * ㉤ 임의의 x,y,x',y'\in X에 대하여, 만약 \partial(x,y)=\partial(x',y')라면, \forall z\in X\colon \partial(x,z)=\partial(x',f(z))이자 \forall z\in X\colon\partial(z,y)=\partial(f(z),y')가 되는 전단사 함수 f\colon X\to X가 존재한다. 이 정의 역시 나머지 두 정의와 서로 동치이다. 즉, 각 \alpha\in D에 대하여 이항 관계 :x\sim_\alpha y\iff \partial(x,y)=\alpha 를 대응시키면 된다.
## 부분 결합 도식
같은 집합 X 위의 두 결합 도식 (X,\mathcal R) 및 (X,\mathcal R')에 대하여, 만약 \mathcal R\subseteq\mathcal R'이라면, (X,\mathcal R)를 (X,\mathcal R')의 **부분 결합 도식**(部分結合圖式, subscheme)이라고 한다.
## 결합 도식 준동형
다음이 주어졌다고 하자. * 유한 집합 X 위의 결합 도식 (X,\mathcal R) * 유한 집합 X' 위의 결합 도식 (X',\mathcal R') 그렇다면, **결합 도식 사상**(morphism of association schemes) (f,g)\colon (X,\mathcal R)\to(X',\mathcal R')은 다음과 같은 데이터로 구성된다.83, Chapter 5 * 함수 f\colon X\to X' * 함수 g\colon \mathcal R\to\mathcal R' 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. :임의의 x,y\in X 및 R\in\mathcal R에 대하여, 만약 x\sim_Ry라면, f(x)\sim_{g(R)}f(y)이다. 이는 사실 이항 관계가 주어진 구조 사이의 준동형의 특수한 경우이다.
# 종류
결합 도식 X에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 **대칭 결합 도식**(對稱結合圖式, symmetric association scheme)이라고 한다.2479, §II.A * 조합론적 정의 (X,\mathcal R)에서, \mathcal R의 모든 원소는 대칭 관계이다. 즉, 만약 R\in\mathcal R라면, R=R^{\operatorname{op이다. * 행렬을 통한 정의 (X,\mathcal A)에서, 모든 A\in\mathcal A는 대칭 행렬이다. * 기하학적 정의 (X,\partial)에서, 임의의 x,y\in X에 대하여 \partial(x,y)=\partial(y,x)이다. 결합 도식 (X,\mathcal R)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 **가환 결합 도식**(可換結合圖式,commutative association scheme)이라고 한다. * 그 보스-메스너 대수가 가환환이다. * 조합론적 정의에서, 임의의 R,R',R*\in\mathcal R 및 (x,y)\in R에 대하여, |\\{z\in X\colon x\sim_{R'}z\sim_{R*}y\\}|=|\\{z\in X\colon x\sim_{R''}z\sim_{R'}y\\}| * 행렬을 통한 정의 (X,\mathcal A)에서, 임의의 A,B\in\mathcal A에 대하여 AB=BA이다. * 기하학적 정의 (X,\partial)에서, 임의의 x,y\in X에 대하여, \forall z\in X\colon (\partial(x,z),\partial(z,y))=(\partial(y,f(z)),\partial(f(z),x))가 되는 자기 전단사 함수 f\colon X\to X가 존재한다. 결합 도식 (X,\mathcal R)이 다음 조건을 만족시킨다면, **균등 결합 도식**(均等結合圖式, homogeneous association scheme)이라고 한다. * 조합론적 정의 (X,\mathcal R)에서, \\{(x,x)\colon x\in X\\}\in\mathcal R이다. * 행렬을 통한 정의 (X,\mathcal A)에서, 1_{|X|\times|X|}\in\mathcal A이다. * 기하학적 정의 (X,\partial)에서, \forall x,y\in X\colon \partial(x,x)=\partial(y,y)이다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :대칭 결합 도식 ⊊ 가환 결합 도식 ⊊ 균등 결합 도식 ⊊ 결합 도식
# 연산

## 올
결합 도식 (X,\partial)이 주어졌을 때, X 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다. :x\approx y\iff \partial(x,x)=\partial(y,y) 이 동치 관계에 대한 동치류를 X의 **올**(fibre)이라고 하자. 올들로 구성된 집합의 분할을 (X_\alpha)_{\alpha\in I}로 표기할 때, 다음이 성립한다. :\forall R\in\mathcal R\exists \alpha,\beta\in I\colon R\subseteq X_\alpha\times X_\beta

**증명:**

임의의 x,y,y'\in X가 주어졌으며, 귀류법을 사용하여 :\partial(x,y)=\partial(x,y') :\partial(y,y)\ne\partial(y',y') 이라고 가정하자. 그렇다면, :\\{z\in X\colon \partial(x,z)=\partial(x,y),\;\partial(z,y)=\partial(y,y)\\} = \\{y\\} :\\{z\in X\colon \partial(x,z)=\partial(x,y),\;\partial(z,y')=\partial(y,y)\\} = \varnothing 이므로, 이는 결합 도식의 정의와 모순된다.

이에 따라, 결합 도식 (X,\partial)의 임의의 올 X_i이 주어졌을 때, :(X_i,\partial\restriction X_i^2) 는 균등 결합 도식을 이룬다.
## 직접곱
유한 개의 결합 도식 :(X_i,\mathcal R_i)_{i\in I} :|I|<\aleph_0 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 :X=\prod_{i\in I}X_i 위에 이항 관계 :\mathcal R=\prod_{i\in I}\mathcal R_i :(x_i)_{i\in I}\sim_{(R_i)_{i\in I(y_i)_{i\in I}\iff\forall i\in I\colon x_i\sim_{R_i}y_i 를 줄 수 있다. 그렇다면, (X,\mathcal R)는 결합 도식을 이루며, 이를 (X_i,\mathcal R_i)_{i\in I}의 **직접곱**(直接곱, direct product)이라고 한다.140, Chapter 7 이는 군의 직접곱의 개념의 일반화이다.
# 성질

## 구조 상수
임의의 결합 도식 X의 구조 상수들 (p_{ij}^k)_{1\le i,j,k\le n}은 다음을 만족시킨다. :\sum_{i,j,k=0}^np_{ij}^k|R_k|=|X|^3 만약 :R_i^{\operatorname{op=R_{\bar\imath} :R_j^{\operatorname{op=R_{\bar\jmath} :R_k^{\operatorname{op=R_{\bar k} 일 때, 다음이 성립한다. :p_{jk}^i=p_{\bar k\bar\jmath}^{\bar\imath} 균등 결합 도식 (X,\mathcal R)의 구조 상수들 (p_{ij}^k)_{1\le i,j,k\le n}은 다음을 만족시킨다.26, Exercise 1.1(a) :p_{0i}^j=p_{i0}^j=\delta_i^j :p_{ij}^0=p_{\bar\jmath\bar\imath}^0=\delta_j^{\bar\imath}p_{i\bar\imath}^0 :\sum_{i,j=0}^np_{ij}^0=\sum_{i=0}^np_{i\bar\imath}^0=|X| (여기서 \delta_i^j는 크로네커 델타이다.)
## 대칭 결합 도식에 대응되는 변 색칠
대칭 결합 도식 (X,\mathcal R)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, X의 원소를 꼭짓점들로 하는 완전 그래프 K_X 위에, \mathcal R\setminus\\{R_0\\}의 원소를 색으로 하는 변 색칠 c\colon \operatorname E(K_X)\to \mathcal R\setminus\\{R_0\\}을 정의할 수 있다. :c\colon (x,y)\mapsto R\iff (x,y)\in R\qquad(R\in\mathcal R,\;R\ne R_0) 이에 따라, 대칭 결합 도식은 특별한 변 색칠이 주어진 유한 완전 그래프로 여겨질 수 있다.7–8, §1.2
## 보스-메스너 대수
(행렬을 통한 정의의) 결합 도식 (X,\mathcal A)이 주어졌을 때, \mathcal A의 선형 생성 :\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\mathcal A\subseteq\operatorname{Mat}(|X|,|X|;\mathbb Z) 은 정수 계수 결합 대수를 이룬다. 이를 X에 대응하는 **보스-메스너 대수**라고 한다 (흔히, 정수 계수 대신 실수나 복소수 계수가 사용된다).2480, Definition 2 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있는 복소수 행렬 결합 대수이므로, 복소수 계수 보스-메스너 대수는 항상 반단순 대수이다. 아르틴-웨더번 정리에 따라서, 복소수 계수 보스-메스너 계수는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현된다. :\prod_{a=1}^k\operatorname{Mat}(m_a,m_a;\mathbb C) 이에 따라, 위 분해에 등장하는 멱등원 :E_a=(0,0,\dotsc,0,1_{m_a\times m_a},0,\dotsc,0) 들을 정의할 수 있으며, 이들은 :E_aE_b=\delta_{ab}E_a\qquad(a,b\in\\{0,\dotsc,k\\}) 를 만족시킨다 (\delta_{ab}는 크로네커 델타). 또한, 편의상 :E_0=\frac1{|X|}\mathsf J_{|X|\times|X|}. 로 놓는다. 여기서 \mathsf J_{|X|\times|X|}는 모든 성분이 1인 |X|\times|X| 정사각 행렬(즉, 아다마르 곱의 항등원)이다. 이는 결합 도식의 공리에 따라 보스-메스너 대수의 원소이며, 0이 아닌 고윳값이 1개 밖에 없는 멱영원이므로 위 분해에 항상 등장한다. 특히, E_a를 D_i로 전개하였을 때의 계수 :|X|E_a=\sum_{i=0}^nQ_{ai}D_j 를 정의할 수 있다.
## 가환 결합 도식의 쌍대성
가환 결합 도식 X의 경우, 최소 멱등원의 수는 |X|=n와 같으며, 멱영원들 (E_a)_{0\le a\le n}은 보스-메스너 대수 \mathcal A의 기저를 이룬다. 이에 따라, 다음을 정의할 수 있다. :D_i=\sum_{a=0}^nP_{i,a}E_a 또한, D_i들은 모두 아다마르 곱에 대하여 닫혀 있으므로, E_a들의 아다마르 곱에 대한 구조 상수 :E_a\bigcirc E_b=q_{ab}^cE_c 를 정의할 수 있다. (아다마르 곱은 교환 법칙을 따르므로 q_{ab}^c=q_{ba}^c이다.) 이에 따라, 다음과 같은 쌍대성이 존재한다. {| class=wikitable |- ! 이항 연산 | 아다마르 곱 \bigcirc || 행렬의 곱 |- ! 기저 | D_i || E_a |- ! 기저의 직교성 | D_i\bigcirc D_j=\delta_{ij}D_i || E_aE_b=\delta_{ab}E_a |- ! 멱등원 조건 | D_i의 모든 성분은 0 또는 1 (아다마르 곱의 멱등원) || E_a의 모든 고윳값은 0 또는 1 (행렬곱의 멱등원) |- ! 항등원 | D_0=1_{n\times n} || E_0 = \mathsf J_{n\times n} / |X| |- ! 기저 원소의 쌍대성 | D_{\bar\imath} = D_i^\top || E_{\bar a} = E_a^\top = \bar E_a (각 성분의 복소켤레) |- ! 기저의 합 | \textstyle\sum_iD_i=\mathsf J_{|X|\times|X|} || \textstyle\sum_aE_a=1_{|X|\times|X|} |- ! 차수 | v_i=\\{y\in X\colon x\sim_iy\\}\;(\forall x\in X) || m_a=\dim_{\mathbb C}\operatorname{im}E_a |- ! 차수의 합 | \textstyle\sum_iv_i=|X| | \textstyle\sum_am_a=|X| |- ! 구조 상수 | D_iD_j=p_{ij}^kD_k | | |X|E_a\bigcirc E_b=q_{ab}^cE_c |- ! 기저 변환 | | \textstyle D_i=\sum_{a=0}^nP_{ia}E_a | \textstyle E_a=\sum_{i=0}^nQ_{ai}D_i |} 이 표에서, 배경색이 노란 칸은 가환 결합 도식일 경우에만 정의되는 것이다. 이에 따라, 만약 두 결합 도식 X, Y의 복소수 계수 보스-메스너 대수 \mathcal A_X, \mathcal A_Y가 각각 :(\mathcal A_X,\cdot,\bigcirc,(D_i)_i)\cong(\mathcal A_Y,\bigcirc,\cdot,(E_a)_a) 라면, 서로 **쌍대**(dual)라고 한다. 즉, 반선형 변환(antilinear map) :f\colon \mathcal A_X\to\mathcal A_Y :f(\lambda M)=\bar\lambda f(M)\qquad(\lambda\in\mathbb C,\;M\in\mathcal A_X) :f(MN)=f(M)\bigcirc f(N) :f(M\bigcirc N)=f(M)f(N) 를 만족시킬 경우, 이들이 서로 쌍대라고 한다. 아다마르 곱은 항상 교환 법칙을 따르므로, 쌍대성은 오직 두 가환 결합 도식 사이에만 존재할 수 있다.url-status= 특히, 해밍 결합 도식은 스스로의 쌍대이다.2482, Example 1 (continued)
# 예
다음은 n=3인 대칭 결합 도식의 한 예이다. 여기서 X=\\{\mathsf A,\mathsf B,\mathsf C,\mathsf D,\mathsf E,\mathsf F\\}이다. :{| class=wikitable |- ! !! A !! B !! C !! D !! E !! F |- ! A | 0 || 1 || 1 || 2 || 3 || 3 |- ! B | 1 || 0 || 1 || 3 || 2 || 3 |- ! C | 1 || 1 || 0 || 3 || 3 || 2 |- ! D | 2 || 3 || 3 || 0 || 1 || 1 |- ! E | 3 || 2 || 3 || 1 || 0 || 1 |- ! F | 3 || 3 || 2 || 1 || 1 || 0 |} 그 구조 상수는 다음과 같다. :1 = p_{00}^0 = p_{01}^1 = p_{02}^2 = p_{03}^3 = p_{11}^1 = p_{23}^1 = p_{33}^1 = p_{22}^2 = p_{12}^3 = p_{13}^3 :2 = p_{11}^0 = p_{33}^0 = p_{13}^2 여기서 p_{ij}^k가 수록되었다면 p_{ji}^k는 생략하였으며, 수록되지 않은 구조 상수는 모두 0이다.
## 자명한 결합 도식
크기가 2 이상인 임의의 유한 집합 X 위에 :R_0=\\{(x,x)\colon x\in X\\} :R_1=X\times X\setminus R_0 :\mathcal R=\\{R_0,R_1\\} 을 정의하면, (X,2,\mathcal R)는 결합 도식을 이루며, 이를 **자명한 결합 도식**(自明-結合圖式, trivial association scheme)이라고 한다.§1.1 그 구조 상수는 다음과 같다. :p_{00}^0=p_{01}^1=p_{10}^1=1 :p_{00}^1=p_{01}^0=p_{10}^0=0 :p_{11}^0=|X|-1 :p_{11}^1=|X|-2 이는 사실 n=1인 해밍 결합 도식과 같다.
## 이산 결합 도식
임의의 유한 집합 X 위에, :\mathcal R=\\{\\{(x,y)\\}\colon x,y\in X\\} 를 정의하면, (X,\mathcal R) 역시 결합 도식을 이룬다. 이를 **이산 결합 도식**(離散結合圖式, discrete association scheme)이라고 한다.§1.1 그러나 |X|\ge2일 경우 이는 균등 결합 도식이 아니다.
## 작은 결합 도식
크기 1의 결합 도식은 유일하며, 이는 대칭 결합 도식이다. {| class=wikitable |- ! !! A |- ! A | 0 |} 크기 2의 결합 도식은 다음 두 가지가 있다. {| class=wikitable |+ (가) |- ! !! A !! B |- ! A | 0 || 1 |- ! B | 1 || 0 |} {| class=wikitable |+ (나) |- ! !! A !! B |- ! A | 0 || 2 |- ! B | 3 || 1 |} (가)는 자명한 결합 도식이며, (나)는 이산 결합 도식이다. (가)는 대칭 결합 도식이지만, (나)는 균등 결합 도식이 아니다. 주어진 집합 X 위의, 특별한 조건을 만족시키는 결합 도식의 수는 다음과 같다.언어=enTable 1 {| class=wikitable ! |X| || 균등 결합 도식의 수
57495 || 대칭 결합 도식의 수 |- ! 1 | 1 || 1 |- ! 2 | 1 || 1 |- ! 3 | 2 || 1 |- ! 4 | 4 || 3 |- ! 5 | 3 || 2 |- ! 6 | 8 || 4 |- ! 7 | 4 || 2 |- ! 8 | 21 || 10 |- ! 9 | 12 || 6 |- ! 10 | 13 || 8 |- ! 11 | 4 || 2 |- ! 12 | 59 || 21 |}
## 해밍 결합 도식과 존슨 결합 도식
해밍 결합 도식 존슨 결합 도식 임의의 곱집합 X=F^n 위에, 두 벡터 사이의 해밍 거리가 0,1,\dotsc,n인 것을 각각 이항 관계로 삼으면, 이는 결합 도식을 이룬다. 이를 **해밍 결합 도식**이라고 한다. 특히, F=\\{0,1\\}일 때, 주어진 해밍 무게의 벡터들만을 취한 부분 결합 도식을 **존슨 결합 도식**이라고 한다.
## 정추이적 작용
유한군 G의, 유한 집합 X 위의 왼쪽 정추이적 작용이 주어졌다고 하자. (특히, |G|=|X|이다.) 그렇다면, :n=|G| :\mathcal R=\\{\\{(x,gx)\colon x\in X\\}\colon g\in G\\} 를 정의하면, (X,n,\mathcal R)는 결합 도식을 이루며, 그 구조 상수는 :p_{gh}^k=\begin{cases} 1&gh;=k\\\ 0&gh;\ne k \end{cases}\qquad(g,h,k\in G) 이다. 이에 대응하는 보스-메스너 대수는 군환 :\mathbb Z[G] 과 동형이다. 또한, G에 대응하는 결합 도식이 가환 결합 도식일 필요 충분 조건은 G가 아벨 군인 것이다.
## 일반적 군 작용
유한군 G의, 유한 집합 X 위의 왼쪽 작용이 주어졌다고 하자. 그렇다면, G는 X^2=X\times X 위에 다음과 같이 작용한다. :g\cdot(x,y)=(g\cdot x,g\cdot y)\qquad(x,y\in X,\;g\in G) 그렇다면, G의 작용에 대한 궤도들은 X^2의 분할 X^2/G을 정의한다. 이 경우, (X,X^2/G)는 결합 도식을 이룬다.2482, §II.D 또한, 이 결합 도식이 각종 조건을 만족시킬 필요 충분 조건은 다음과 같다. {| class=wikitable ! 결합 도식 !! 군의 작용 |- | 올 || X 위의 G-작용의 궤도 |- | 균등 결합 도식 || G\to\operatorname{Sym}(X)가 추이적 작용 |- | 대칭 결합 도식 || 임의의 x,y\in X에 대하여, (g\cdot x,g\cdot y)=(y,x)가 되는 g\in G가 존재 |- | 자명 결합 도식 || G\to\operatorname{Sym}(X)가 2-추이적 작용 |- | 이산 결합 도식 || G\to\operatorname{Sym}(X)가 자명한 작용 (즉, g\cdot x=x\forall g\in G,\;x\in X) |}
# 역사
1952년에 라지 찬드라 보스와 시마모토(T. Shimamoto)가 블록 설계의 이론에 대한 응용을 위해 결합 도식의 개념 및 용어를 도입하였다.언어=en 보스와 시마모토의 논문에서, “결합 도식”(association scheme)이라는 용어는 대칭 결합 대수를 뜻했다. 1959년에 라지 찬드라 보스와 데일 마시 메스너(Dale Marsh Mesner)는 보스-메스너 대수를 도입하였다.언어=en 이후 도널드 고든 히그먼(Donald Gordon Higman, 1928~2006)이 1970년에 군론에서의 응용을 위하여 본 문서의 결합 도식과 동치인 개념을 도입하였으며, 히그먼은 이 개념을 “일관 구조”(coherent configuration)라고 불렀다.언어=en6, §3