이중 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 **이중 사슬 복합체**(二重사슬複合體, double chain complex, bicomplex)는 사슬 복합체와 유사하지만, 1차원 대신 2차원인 구조이다.언어=en 즉, 모든 항들은 두 개의 첨자를 달고 있으며, 각 항 위에는 수직 및 수평 방향의 두 개의 경계 사상이 정의되며, 이들은 서로 교환 법칙을 만족시켜야 한다. 이중 사슬 복합체 위에는 **도롱뇽 정리**(도롱[龍]定理, salamander lemma) 및 그 특수한 경우인 **3×3 정리**(三×三定理, 3×3 lemma) · **뱀 정리**와 같은 정리들이 성립한다.
# 정의
아벨 범주 \mathcal A 위의 사슬 복합체의 범주 \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 **이중 사슬 복합체**라고 한다. 구체적으로, 이중 사슬 복합체 C_{\bullet,\bullet} \in \operatorname{Ch}_\bullet(\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A))는 다음과 같은 꼴이다. : \begin{matrix} && \vdots && \vdots \\\ && \downarrow && \downarrow \\\ \dotsb & \to & C_{m,n} & \overset{\partial_{m,n}^{\text{h\to & C_{m-1,n} & \to & \dotsb \\\ && {\scriptstyle \partial_{m,n}^{\text{v\downarrow {\color{White}\scriptstyle \partial_{m,n}^{\text{v&& {\color{White}\scriptstyle \partial_{m-1,n}^{\text{v\downarrow {\scriptstyle \partial_{m-1,n}^{\text{v\\\ \dotsb & \to & C_{m,n-1} & \underset{\partial_{m,n-1}^{\text{h\to & C_{m-1,n-1} & \to & \dotsb \\\ && \downarrow && \downarrow \\\ && \vdots && \vdots \end{matrix} 즉, 이는 **수평 경계 사상**(水平境界寫像, horizontal boundary map) :\partial_{\bullet,\bullet}^{\operatorname h} \colon C_{\bullet,\bullet} \to C_{\bullet-1,\bullet} 및 **수직 경계 사상**(垂直境界寫像, vertical boundary map) :\partial_{\bullet,\bullet}^{\operatorname v} \colon C_{\bullet,\bullet} \to C_{\bullet, \bullet-1} 을 가지며, 이들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다. :\partial_{m-1,n}^{\operatorname h}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h} = 0 :\partial_{m,n-1}^{\operatorname v}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v} = 0 :\partial_{m-1,n}^{\operatorname v}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h} = \partial_{m,n-1}^{\operatorname h}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v}
## 전체 사슬 복합체
\mathcal A에서 가산 무한 직합이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때), 이중 사슬 복합체 C_{\bullet,\bullet}\in\operatorname{Ch}_\bullet(\operatorname{Ch}_\bullet\mathcal A))의 **전체 사슬 복합체**(全體사슬複合體, total chain complex) \operatorname{Tot}_\bullet(C) \in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)는 다음과 같은 사슬 복합체이다. :\operatorname{Tot}_n(C) = \bigoplus_{p+q=n} C_{p,q} :\partial_n^{\operatorname{Tot}(C)} = \bigoplus_{p+q=n} \partial_{p,q}^{\operatorname h} + (-)^p \partial_{p,q}^{\operatorname v} 이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 호몰로지를 취할 수 있다. 이를 **전체 호몰로지**(total homology)라고 한다.
## 이중 사슬 복합체의 다른 부호 규칙
문헌에 따라서, 이중 사슬 복합체를 표기할 때 위와 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 다음과 같은 변환을 가하자. :\partial_{m,n}^{\operatorname h\prime} = \partial_{m,n}^{\operatorname h} :\partial_{m,n}^{\operatorname v\prime} = (-)^n \partial_{m,n}^{\operatorname v} 즉, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.) 그렇다면, 이들은 다음을 만족시킨다. :\partial_{m-1,n}^{\operatorname h\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h\prime} = 0 :\partial_{m,n-1}^{\operatorname v\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v\prime} = 0 :\partial_{m-1,n}^{\operatorname v\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h\prime} + \partial_{m,n-1}^{\operatorname h\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v\prime} = 0 즉, 수평 경계 사상과 수직 경계 사상이 서로 교환 법칙 대신 반교환 법칙을 따르게 된다. 이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 다음과 같이 더 간단해진다. :\partial_n^{\operatorname{Tot}(C)} = \bigoplus_{p+q=n} \partial_{p,q}^{\operatorname h\prime} + \partial_{p,q}^{\operatorname v\prime}
## 수직 · 수평 호몰로지
아벨 범주 \mathcal A 위의 이중 사슬 복합체 C_{\bullet,\bullet}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, **수평 호몰로지**(垂直homology, horizontal homology) :\operatorname H^{\operatorname h} = \frac{\ker^{\operatorname h{\operatorname{im}^{\operatorname h 및 **수직 호몰로지**(水平homology, vertical homology) :\operatorname H^{\operatorname v} = \frac{\ker^{\operatorname v{\operatorname{im}^{\operatorname v 를 정의할 수 있다.
## 교내 사상과 교외 사상
임의의 대상 A=C_{m,n}에 대하여, 다음 사상들이 존재한다. :\begin{matrix} \searrow^{\partial^{\operatorname{vh&\downarrow{\scriptstyle\partial^{\operatorname h\\\ \overset{\partial^{\operatorname h\to &A; &\overset{\partial^{\operatorname h\to\\\ & \downarrow{\scriptstyle\partial^{\operatorname h & \searrow^{\partial^{\operatorname{vh \end{matrix} 위 그림에서, \partial^{\operatorname{vh=\partial^{\operatorname h}\circ\partial^{\operatorname v} =\partial^{\operatorname v}\circ\partial^{\operatorname h}는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다. 편의상, 다음과 같은 기호들을 정의하자.Definition 1.1 :{| class=wikitable ! 용어 !! 기호 !! 정의 |- | **수평 호몰로지** || _{=}A || \frac{\ker\partial^{\operatorname h}_{mn{\operatorname{im}\partial^{\operatorname h}_{m-1,n |- | **수직 호몰로지** || A^\| || \frac{\ker\partial^{\operatorname v}_{mn{\operatorname{im}\partial^{\operatorname v}_{m,n-1 |- | **기증자**(寄贈者, donor) |A_\square||\frac{\ker\partial^{\operatorname{vh_{mn{\operatorname{im}(\partial^{\operatorname h}_{m-1,n}\sqcup \partial^{\operatorname v}_{m,n-1})} |- | **수령자**(受領者, receptor) ||^\square A||\frac{\ker(\partial^{\operatorname v}_{mn}\times\partial^{\operatorname h}_{mn})}{\operatorname{im}\partial^{\operatorname{vh_{m-1,n-1 |} 이들의 기호를 위와 같이 이상하게 정의하는 이유는 다음 때문이다. 우선, _=A · A^\| · ^\square A · A_\bullet는 모두 A의 부분 대상들의 몫 대상이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다. :\begin{matrix} ^\square A & \to & A^\|\\\ \downarrow && \downarrow\\\ _=A & \to & A_\square \end{matrix} 이는 다음과 같이 적을 수 있다. : \overset\square{\underset ={\scriptstyle\downarrow \overset\to{\underset\to A}\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow 이 사상들을 **교내 사상**(校內寫像, intramural map)이라고 하자.Definition 1.3 또한, 수평 경계 사상 :A\to B 이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다. :A_\square\to {}^\square B 이는 다음과 같이 그릴 수 있다. :A_\square\nearrow {}^\square B 마찬가지로, 수직 경계 사상 :\begin{matrix}A\\\\\downarrow\\\B\end{matrix} 이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다. :\begin{matrix}A_\square\\\\\downarrow\\\^\square B\end{matrix} 이는 다음과 같이 그릴 수 있다. :\begin{matrix}A_\square\\\\\swarrow\\\^\square B\end{matrix} 이 사상들을 **교외 사상**(校外寫像, extramural map)이라고 하자.Definition 1.5
# 성질

## 도롱뇽 정리
이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분 : \begin{matrix} C \\\ \downarrow \\\ A &\rightarrow &B; \\\ && \downarrow \\\ && D \end{matrix} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, **도롱뇽 정리**에 따르면, 다음과 같은 6항 **도롱뇽 완전열**(도롱[龍]完全列, salamander exact sequence)이 존재한다.Lemma 1.7 : \begin{matrix} && ^\square A\\\ &\\!\\!\\!\\!\nearrow\\!\\!\\!\\! && \\!\\!\\!\\!\searrow\\!\\!\\!\\!\\\ C_\square & & \\!\\!\\!\\!\\!\\!\longrightarrow \\!\\!\\!\\!\\!\\! && _= A \to A_\square \to {}^\square B\to {}_= B && \\!\\!\\!\\!\\!\\!\longrightarrow \\!\\!\\!\\!\\!\\! && ^\square D\\\ &&&&& \\!\\!\\!\\!\searrow\\!\\!\\!\\! && \\!\\!\\!\\!\nearrow\\!\\!\\!\\! \\\ &&&&&& B_\square \end{matrix} 여기서 삼각형들은 가환 삼각형이며, 위의 모든 사상들은 교내 사상 또는 교외 사상 또는 (완전열의 양끝의 경우) 교내 사상과 교외 사상의 합성이다. 이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다. : \begin{matrix} {\color{White}_\square}C\underset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} \\\ \swarrow \\\ \underset ={\overset\square{\scriptstyle\downarrow \underset\to A_\square &\nearrow &\overset \square{\underset ={\scriptstyle\downarrow \underset\to B_\square \\\ && \swarrow \\\ && \overset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} D\color{White}_\square \end{matrix} 특히, 만약 _=A \cong {}_= B \cong 0이라면, 교외 사상 A_\square \to {}^\square B는 동형 사상이다. 마찬가지로, 이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분 : \begin{matrix} C & \to & A \\\ && \downarrow \\\ && B &\to & D \end{matrix} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 6항 **도롱뇽 완전열**이 존재한다. : \begin{matrix} && ^\square A\\\ &\\!\\!\\!\\!\nearrow\\!\\!\\!\\! && \\!\\!\\!\\!\searrow\\!\\!\\!\\!\\\ C_\square & & \\!\\!\\!\\!\\!\\!\longrightarrow \\!\\!\\!\\!\\!\\! && A^\| \to A_\square \to {}^\square B\to {}B^\| && \\!\\!\\!\\!\\!\\!\longrightarrow \\!\\!\\!\\!\\!\\! && ^\square D\\\ &&&&& \\!\\!\\!\\!\searrow\\!\\!\\!\\! && \\!\\!\\!\\!\nearrow\\!\\!\\!\\! \\\ &&&&&& B_\square \end{matrix} 이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다. : \begin{matrix} {\color{White}_\square} C\underset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} & \nearrow & {}^{^{\scriptstyle \square \overset\to A\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow \\\ && \swarrow \\\ && ^{^{\scriptstyle\square \overset\to B\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow &\nearrow & \overset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow}D\color{White}^\square\end{matrix} 특히, 만약 A^\| \cong B^\| \cong 0이라면, 교외 사상 A_\square \to {}^\square B는 동형 사상이다.
## *n*×*n* 정리
아벨 범주에서, 다음과 같은 이중 사슬 복합체가 주어졌다고 하자. :\begin{matrix} && 0 && 0 && 0\\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow\\\ 0 &\to &A; & \to & B &\to & C \\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow\\\ 0 &\to &D; & \to & E &\to &F; \\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow\\\ 0 &\to & G & \to & H &\to & I \\\ \end{matrix} 또한, 다음 조건들이 주어졌다고 하자. * 첫째 · 둘째 · 셋째 열이 완전열이다. * 둘째 · 셋째 행이 완전열이다. **3×3 정리**에 따르면, 첫째 열 또한 완전열이다.11, Exercise 1.3.2

**도롱뇽 완전열을 통한 증명**:Lemma 2.3

_= A \cong {}_=B \cong 0임을 보이면 족하다. 가정에 따라서, 모든 열이 완전열이므로 : X^\| \cong 0 \qquad (X\in \\{A,B,D,E\\}) 이다. 또한, 둘째 · 셋째 행이 완전열이므로 : _=X \cong 0 \qquad (X\in\\{D,E,G,H\\}) 이다. 도롱뇽 정리에 따라서, 다음과 같은 교외 사상들은 모두 동형 사상이다. :\begin{matrix} && 0_\square && 0_\square\\\ && \color{Red}\swarrow && \color{Green}\swarrow && \\\ 0_\square & & ^\square A_\square & & ^\square B_\square \\\ && \color{Blue}\swarrow && \color{Red}\swarrow && \\\ 0_\square & \color{Blue}\nearrow & ^\square D_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square E_\square \\\ && \color{Red}\swarrow && && \\\ 0_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square G_\square \\\ \end{matrix} 물론, 0_\square \cong 0이므로, 이를 따라서 교외 사상의 지그재그로 연결된 ^\square D, A_\square, {}^\square G, D_\square, \dotsc 등이 모두 0임을 알 수 있다. 이제, ^\square A \cong A_\square \cong {}^\square B \cong B_\square \cong 0이므로, 다음과 같은 도롱뇽 완전열으로부터 _=A \cong {}_=B \cong 0임을 알 수 있다. : \begin{matrix} {\color{White}_\square}0_\square \\\ \swarrow \\\ \underset ={\overset\square{\scriptstyle\downarrow \underset\to A_\square &\nearrow &\overset \square{\underset ={\scriptstyle\downarrow \underset\to B_\square \\\ && \swarrow \\\ && ^\square E\color{White}_\square \end{matrix}

**뱀 완전열을 통한 증명:**

처음 두 행에 대하여 뱀 정리를 적용한다. 모든 열이 짧은 완전열이므로, 핵들은 모두 0이 된다.

보다 일반적으로, **n\times n 정리**에 따르면, 임의의 자연수 n에 대하여, n\times n개의 대상을 갖는 이중 사슬 복합체 :\begin{matrix} && 0 && 0 \\\ && \downarrow && \downarrow\\\ 0 &\to &A;_{n-1,n-1} & \to \dotsb\to & A_{0,n-1} \\\ && \downarrow && \downarrow \\\ &&\vdots &\ddots& \vdots\\\ && \downarrow && \downarrow \\\ 0 &\to & A_{n-1,n-1} & \to\dotsb \to & A_{0,0} \\\ \end{matrix} 가 주어졌을 때, 만약 * 모든 열이 완전열이며, * 첫째 행을 제외한 나머지 행들이 완전열이라면, 첫째 행 또한 완전열이다.

**증명**:

그 증명은 3×3의 경우와 동일하다. 즉, 대략 * 교외 사상들의 지그재그를 통해, _\square(-) \cong (-)^\square \cong 0임을 보인다. * 첫째 행의 각 수평 경계 사상에 대한 도롱뇽 완전열을 사용하여, 그 수평 호몰로지가 0임을 보인다.

(물론, 0×0 및 1×1 및 2×2인 경우는 자명하게 참이다.)
# 예

## 사슬 복합체의 텐서곱
가환환 K 위의 결합 대수 A 위의 (A,A)-쌍가군들의 아벨 범주 \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A) 를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체 :C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A) 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 E_{\bullet,\bullet}를 정의할 수 있다. :E_{m,n} = C_m \otimes_A D_n :\partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m-1,n} : \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} = \partial^C_m \otimes\operatorname{id}_{D_n} :\partial^{\operatorname v,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m,n-1} : \partial^{\operatorname v,E}_{m,n} = \operatorname{id}_{C_m} \otimes\partial^D_n 이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체는 두 사슬 복합체의 텐서곱 :(C\otimes D)_\bullet = \operatorname{Tot}_\bullet(E) = \bigoplus_{p+q=\bullet} C_p \otimes_A D_q 과 같다.
## 순환 호몰로지
순환 호몰로지 순환 호몰로지는 어떤 특별한 이중 복합체의 전체 호몰로지로서 정의된다.
# 역사
책을 장식하는 도롱뇽 그림 (1920년대, 미국) 3×3 정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다. 데이비드 북스바움은 1955년 논문언어=en에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 3×3 정리가 등장한다.Lemma 5.5 1971년에 칼 에릭 린더홀름(Carl Eric Linderholm)은 농으로 3×3 정리의 (올바른) 증명을 다음과 같이 묘사하였다. 201 도롱뇽 정리 및 “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 조지 마크 버그먼(George Mark Bergman, 1943~)이 1970년대에 도입하였다.언어=en “도롱뇽 정리”라는 이름은 이에 등장하는, S자 또는 갈지자 (之) 모양의 사상들의 열을 몸을 굽히며 움직이는 도룡뇽에 비유한 것이다. “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 이는 같은 기호 A의 각 첨자 ^\square_=A_\square^{\|}를 “학교”로 여길 경우, 교내 사상 :\overset\square{\underset ={\scriptstyle\downarrow \overset\to{\underset\to A}\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow 은 같은 “학교” 안의 대상들을 잇지만, 교외 사상 :A_\square \nearrow {}^\square B 은 서로 다른 “학교”에 속하는 대상들을 잇기 때문이다.