단면 곡률

리만 기하학에서 **단면 곡률**(斷面曲率, sectional curvature)은 특정한 접평면에 대한 방향으로 리만 다양체가 굽는 양을 나타내는 실수이다. 단면 곡률에 상한 또는 하한을 가하면, 리만 다양체의 다양한 미분기하학·미분위상수학적 정보를 유추할 수 있다.
# 정의
리만 다양체 (M,g) 위의 점 x\in M 및 접공간 T_xM의 2차원 부분 벡터 공간 \sigma\subset T_xM이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의로 기저 :\sigma=\operatorname{Span}\\{u,v\\} 를 고르자. 접벡터 u,v\in T_xM에 대하여, \sigma 방향의 **단면 곡률** \operatorname{sect}(\sigma)는 다음과 같다. :\operatorname{sect}(\sigma)=\operatorname{sect}(u,v)=\frac{g(\operatorname{Riem}(u,v),u)}{g(u,u)g(v,v)-g(u,v)^2} 여기서 \operatorname{Riem}은 리만 곡률 텐서이다. \operatorname{sect}(\sigma)는 \sigma의 기저 (u,v) 및 방향에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 리만 다양체 (M,g) 위에, 2-그라스만 다발 \operatorname{Gr}(2,TM)을 정의할 수 있다. 즉, 2-그라스만 다발의 x\in M에서의 올은 그라스만 다양체 \operatorname{Gr}(2,T_xM)이다. 이 경우, 단면 곡률 :K\colon\operatorname{Gr}(2,TM)\to\mathbb R 은 2-그라스만 다발의 전체 공간 위의 실수 값 매끄러운 함수를 이룬다.
# 성질
리만 다양체 (M,g) 및 양의 실수 \lambda가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리만 계량 \tilde g=\lambda^2g에 대하여, (M,\tilde g)의 \sigma\in\operatorname{Gr}(2,T_xM)에서의 단면 곡률 \operatorname{sect}_{\tilde g}는 다음과 같다. :\operatorname{sect}_{\tilde g}(\sigma)=\lambda^{-2}\operatorname{sect}_g(\sigma) 즉, 단면 곡률의 단위는 리만 곡률과 마찬가지로 [길이]−2이다.
## 공간 형식
모든 단면 곡률이 일정한 완비 리만 다양체는 **공간 형식**(空間形式, space form)이라고 한다. 모든 연결 단일 연결 공간 형식은 다음 세 가지 가운데 하나이다. * 쌍곡 공간 (\operatorname{sect}0) * 유클리드 공간 (\operatorname{sect}=0) 다시 말해, 모든 공간 형식은 쌍곡 공간 · 초구 · 유클리드 공간의 몫공간들의 분리합집합이다. **슈어 보조정리**(Schur’s lemma)에 따르면, 2차원이 아닌 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 공간 형식이다. * 임의의 점 x\in M 및 임의의 \sigma\in\operatorname{Gr}(2,T_xM)에 대하여 \operatorname{sect}(\sigma)=f(x)가 되는 함수 f\colon M\to\mathbb R가 존재한다. 그러나 이는 2차원에서 성립하지 않는다. 2차원 이하에서 두 번째 조건은 자명하게 성립하지만, 공간 형식이 아닌 2차원 완비 리만 다양체가 존재한다. (1차원에서 이 정리는 자명하게 성립한다.) 슈어 보조정리의 증명은 다음과 같다. 편의상 지표 표기법을 사용하자. 두 번째 조건이 성립한다고 하면, :R_{ijkl}=f(x)(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}) 가 된다. 그런데 이 경우 제2 비안키 항등식은 다음과 같이 된다. :0=R_{ijkl;m}+R_{ijlm;k}+R_{ijmk;l}\propto f_{;n}(\cdots)_{ijklm}{}^n 괄호 (\cdots)에 속한 성분은 리만 계량 g_{ij}으로 구성되며, \dim M\ge3일 경우 항상 0이 아니다. 따라서 f_{;n}=0이다.
## 단면 곡률이 하한을 갖는 다양체
완비 리만 다양체 M 위의, 측지선으로 구성된, 꼭짓점이 x,y,z\in M인 삼각형 \triangle xyz를 생각하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. * M의 모든 단면 곡률이 하한 K\ge\delta를 만족시킨다. * \overline{xy}는 x,y 사이의 최단 측지선이다. * 만약 \delta>0일 경우, \overline{xy}의 길이 d_M(x,y)는 \pi/\sqrt\delta 미만이다. M'이 단면 곡률이 \delta인 부피 형식이라고 하고, \triangle x'y'z'이 M' 속의 측지선으로 구성된 삼각형이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. (이는 삼각형의 SAS 합동 조건이다.) * d_{M'}(x',y')=d_M(x,y) * d_{M'}(x',z')=d_M(x,z) * \angle zxy=\langle z'x'y' 그렇다면, **토포고노프 정리**(Topogonov theorem)에 따르면 다음이 성립한다. :d(y,z)\le d(y',z') **그로우에-피터슨 유한성 정리**(Grove–Petersen finiteness theorem)에 따르면, 임의의 차원 n, 실수 C\in\mathbb R 및 D,V\in\mathbb R^+에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 리만 다양체들의 호모토피 유형들의 수는 유한하다. * 단면 곡률이 \operatorname{sect}\ge C이다. * 지름이 D 이하이다. * 부피가 V 이상이다. 이는 카르스텐 그로우에(Karsten Grove)와 피터 피터슨(Peter Petersen)이 증명하였다.
## 단면 곡률이 유계인 다양체
**치거 유한성 정리**(Cheeger finiteness theorem)에 따르면, 임의의 자연수 n 및 상수 C,D,V\in\mathbb R^+에 대하여, 콤팩트 n차원 리만 다양체 가운데 * 단면 곡률이 어디서나 -C\le \operatorname{sect}\le C * 지름이 D 이하 * 부피가 V 이상 인 것들의 미분 동형류의 수는 유한하다. 매끄러운 다양체 M이 임의의 양의 실수 \epsilon에 대하여 다음 조건을 만족시키는 리만 계량 g_\epsilon을 갖는다면, M을 **거의 평탄 다양체**(almost flat manifold)라고 한다. * 모든 단면 곡률이 -\epsilon<\operatorname{sect}<\epsilon이다. * 지름이 1 이하이다. **그로모프 거의 평탄 다양체 정리**(Gromov’s theorem on almost flat manifold)에 따르면, 임의의 차원 n에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 \epsilon_n\in\mathbb R^+가 존재한다. * 임의의 n차원 리만 다양체 M에 대하여, 만약 M의 모든 단면 곡률이 -\epsilon_n\le\operatorname{sect}\le \epsilon_n이라면, M은 거의 평탄 다양체이다. **그로모프-루 정리**(Gromov–Ruh theorem)에 따르면, 임의의 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 거의 평탄 다양체이다. * M\cong N/\Gamma인 리 군 N 및 이산군 \Gamma가 존재하며, 이는 다음 조건들을 만족시킨다. ** N은 단일 연결 멱영 리 군이다. ** F\le\operatorname{Aut}(N)은 유한군이다. ** \Gamma\le N\rtimes F는 이산군이며, N 위에 자유롭게 작용한다. 특히, 어떤 영다양체(nilmanifold) \tilde M에 의한 유한 겹 피복 공간 \tilde M\twoheadrightarrow M이 존재한다. 연결 단일 연결 완비 리만 다양체 M이 다음 조건을 만족시킨다고 하자. * M의 모든 단면 곡률은 1<\operatorname{sect}\le4를 만족시킨다. 그렇다면, **초구 정리**(超球定理, sphere theorem)에 따르면 M은 같은 차원의 초구와 미분 동형이다. (미분 동형인 것을 증명하는 것은 위상 동형인 것을 증명하는 것보다 더 어렵다.) 초구 정리는 구간을 (1,4]에서 [1,4]로 약화시키면 성립하지 않는다. 예를 들어, 푸비니-슈투디 계량을 준 복소수 사영 공간의 단면 곡률은 1\le\operatorname{sect}\le 4이지만, 초구와 미분 동형을 갖지 않는다.
## 단면 곡률이 0 이하인 다양체
**카르탕-아다마르 정리**(Cartan–Hadamard theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. 연결 단일 연결 완비 리만 다양체 M의 모든 단면 곡률이 K\le0이라면, M은 유클리드 공간과 미분 동형이다. 따라서, 단면 곡률이 0 이하인 완비 리만 다양체의 구조는 그 기본군에 의하여 완전히 결정되며, 이러한 다양체의 기본군에 대해서는 **프라이스만 정리**(Preissmann’s theorem)라는 정리가 존재한다. 콤팩트 리만 다양체 M의 모든 단면 곡률이 \operatorname{sect}<0이라면, M 위의 측지선 흐름은 에르고딕하다. (물론, 원환면의 경우 \operatorname{sect}=0이지만 이는 성립하지 않는다.) 모든 단면 곡률이 \operatorname{sect}\le\kappa가 되는 완비 리만 다양체 M은 CAT(*κ*) 공간을 이룬다. 특히, 만약 \operatorname{sect}\le\kappa<0이라면, 그 기본군 \pi_1(M)은 그로모프 쌍곡군(Gromov hyperbolic group)을 이룬다.
## 단면 곡률이 0 초과인 비콤팩트 다양체
영혼 (기하학) 연결 비콤팩트 완비 리만 다양체 M의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이라고 하자. **영혼 정리**(靈魂定理, soul theorem)에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 부분 다양체 S\subset M가 존재한다. * S는 콤팩트 공간이다. * (완전 측지성 completely geodesic) S 속의 모든 측지선은 M 속의 측지선을 이룬다. * (완전 볼록성 completely convex) 임의의 x,y\in S에 대하여, x와 y를 잇는 모든 측지선은 S에 속한다. * M은 S의 법다발의 전체 공간과 미분 동형이다. 이러한 S를 M의 **영혼**(靈魂, soul)이라고 한다. 따라서, 양의 단면 곡률의 완비 리만 다양체의 분류는 콤팩트한 경우의 분류로 귀결된다. 또한, **영혼 추측**(soul conjecture)에 따르면, 연결 비콤팩트 완비 리만 다양체 M의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이며, 또한 모든 방향으로의 단면 곡률이 양수인 점 x\in M이 존재한다면, M의 영혼은 한원소 공간이다. 즉, M은 유클리드 공간과 미분 동형이다. (이름과 달리, 이는 현재 증명된 정리이다.)
## 단면 곡률이 0 초과인 콤팩트 다양체
단면 곡률이 어디서나 0 초과인 n차원 연결 콤팩트 리만 다양체 M에 대하여, 다음이 성립한다. * (싱 정리 Synge’s theorem) M은 홀수 차원 가향 다양체이거나, 짝수 차원 단일 연결 가향 다양체이거나, 기본군이 2차 순환군 \operatorname{Cyc}(2)인 짝수 차원 비가향 다양체이다. * (마이어스 정리 Myers’ theorem) 만약 M의 단면 곡률의 최솟값이 \kappa라면, \operatorname{diam}M\le \pi/\sqrt{\kappa/(n-1)}이다. **그로모프 베티 수 정리**(Gromov’s theorem on Betti numbers)에 따르면, 임의의 차원 n에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 C(n)\in\mathbb Z^+가 존재한다. * 단면 곡률이 어디서나 0 초과인 임의의 연결 콤팩트 n차원 다양체 M에 대하여, M의 베티 수들의 합은 C(n) 이하이다. *:\sum_{i=0}^nb_n(M)\le C(n) 이러한 다양체의 알려진 예는 드물다.언어=en
# 역사

## 19세기
슈어 보조정리는 독일의 수학자 프리드리히 하인리히 슈어(Friedrich Heinrich Schur, 1856~1932)가 증명하였다.언어=de언어=enurl=http://maths-people.anu.edu.au/~andrews/book183, Lemma 11.22 카르탕-아다마르 정리는 한스 카를 프리드리히 폰 망골트(Hans Carl Friedrich von Mangoldt, 1854~1925)가 곡면에 대하여 1881년에 증명하였고, 1898년에 자크 아다마르가 같은 정리를 독자적으로 증명하였다. 이후 엘리 카르탕이 1928년에 이를 임의의 차원의 리만 다양체에 대하여 일반화하였다.
## 20세기 초
싱 정리는 아일랜드의 수학자 존 라이턴 싱(John Lighton Synge, dʒɒn laɪtən sɪŋ, 1897~1995)이 1936년에 증명하였다.pages=316–320 마이어스 정리는 미국의 수학자 섬너 바이런 마이어스(Sumner Byron Myers, 1910~1955)가 1941년에 증명하였다.언어=en
## 20세기 후반 ~ 21세기
토포고노프 정리는 러시아의 수학자 빅토르 안드레예비치 토포노고프(Ви́ктор Андре́евич Топоно́гов, 1930~2004)가 증명하였다.쪽=291–336 영혼 정리는 1972년에 제프 치거와 데틀레프 그로몰(Detlef Gromoll)이 증명하였으며,언어=en 같은 논문에서 영혼 추측을 추측하였다. 그리고리 페렐만은 1994년에 영혼 추측을 13쪽 밖에 되지 않는 짧은 논문으로 간단히 증명하였다.언어=en 미분 동형에 대한 초구 정리는 2007년에 지몬 브렌들레(Simon Brendle)와 리처드 숀(Richard Schoen)이 증명하였다.언어=en언어=en언어=en