데생당팡

대수기하학에서 **데생당팡**(dessin d’enfant)은 리만 곡면을 리만 구 위의 분기화 데이터로 나타내는 그래프이다.언어=en언어=en언어=en언어=fr
# 정의
**데생당팡** (V,E,\Sigma)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * \Sigma는 콤팩트 연결 2차원 가향 다양체이다. * V\subseteq \Sigma는 \Sigma의 유한 부분 집합이다. * V\subseteq \Sigma는 X_0을 포함하는 \Sigma의 부분 집합이며, 다음을 만족시킨다. ** E\setminus V\subseteq \Sigma는 유한 개의 열린 선분들의 분리 합집합이다. 즉, E는 V를 꼭짓점 집합으로 하는 유한 그래프 \Gamma를 정의한다. 또한, 이 그래프는 이분 그래프이어야 한다. 흔히, 데생당팡의 꼭짓점들은 (이분 그래프의 구조를 나타내기 위하여) 검게 또는 희게 칠해진다. 두 데생당팡 (V,E,\Sigma), (V',E',\Sigma') 사이의 **동형 사상**은 다음 조건을 만족시키는 위상 동형 사상 \iota\colon\Sigma\to\Sigma'이다. :\iota(V)=V' :\iota(E)=E' 데생당팡 (\Gamma,\Sigma)에 (각 변의 양끝의 색이 다르게 되는) 흰색·검은색 2색으로의 그래프 색칠이 주어졌다고 하자. 이렇게 색칠된 데생당팡 (V,E,\Sigma)가 다음 조건을 만족시킨다면, **깨끗한 데생당팡**(clean dessin d’enfant)이라고 한다. * 모든 흰색 꼭짓점의 차수(즉, 연결된 변의 수)는 2이다. 깨끗한 데생당팡의 경우, 흰색 꼭짓점들을 삭제하면 (색칠이 없는) 유한 그래프를 이룬다. 반대로, 임의의 유한 그래프 \Gamma에 대하여, 모든 꼭짓점을 검게 칠하고, 각 변의 중심에 새 (차수 2의) 흰 꼭짓점을 추가하면, 이는 깨끗한 데생당팡을 이룬다.
## 벨리 쌍
**벨리 정리**(Белый定理, Belyi’s theorem)에 따르면, \bar{\mathbb Q} 위에 정의된 연결 매끄러운 사영 대수 곡선 X/\operatorname{Spec}\bar{\mathbb Q}에 대하여, 분지점 집합이 \\{0,1,\infty\\}의 부분 집합인 \bar{\mathbb Q}-스킴 사상 :f\colon X\to\mathbb P^1_{\bar{\mathbb Q 가 존재한다. 즉, f를 \mathbb P^1_{\bar{\mathbb Q\setminus\\{0,1,\infty\\}의 원상에 국한하였을 때, 이는 에탈 사상을 이룬다. 즉, 임의의 연결 매끄러운 사영 복소수 대수 곡선(≈연결 콤팩트 리만 곡면) X 및 복소수 대수다양체 사상 :f\colon X\to\mathbb P^1_{\mathbb C} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * f의 분지점의 모든 값들은 세 개 이하이며, 이 세 값 모두 대수적 수이다. * f는 \bar\mathbb Q 위에 정의된다. 이 조건을 만족시키는 사상을 **벨리 사상**(Белый-, Belyi map)이라고 하며, (X,f)를 **벨리 쌍**(Белый雙, Belyi pair)이라고 한다.
## 리만 곡면에 대응되는 데생당팡
벨리 쌍 (X,\beta)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은, 검은색·흰색 그래프 색칠이 주어진 그래프 \Gamma를 구성할 수 있다. * 각 검은색 꼭짓점들은 \beta 아래 0\in\mathbb{CP}^1의 원상에 대응한다. * 각 흰색 꼭짓점들은 \beta 아래 1\in\mathbb{CP}^1의 원상에 대응한다. * 각 변은 \beta 아래 선분 [0,1]\subsetneq\mathbb{CP}^1의 원상에 대응한다. 이는 리만 곡면 X 속의 이분 그래프를 이룬다. 데생당팡과 벨리 사상의 성질은 다음과 같이 대응한다. :{| class=wikitable |- ! 데생당팡 || 벨리 사상 |- | 변 || 분지 피복의 겹 (다항식의 경우, 그 수는 다항식의 차수와 같다) |- | 그래프의 여집합의 연결 성분 || 무한대의 원상 |- | 그래프가 나무인지 여부 || 무한대가 유일한 원상을 가는지 여부 |- | 검은 꼭짓점 || 0의 원상 |- | 흰 꼭짓점 || 1의 원상 |- | 꼭짓점의 차수 (연결된 변의 수) || 분지점의 분지 지표 |}
# 성질
유리수체의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb Q)=\operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q/\mathbb Q)를 생각하자. 이들은 모든 데생당팡의 집합 위에 추이적으로 작용한다. 사실, 이는 나무 데생당팡들의 집합에 국한하여도 추이적 작용을 이룬다. 구체적으로, 임의의 벨리 사상 f\colon X\to\mathbb P^1_{\bar\mathbb Q}이 주어졌을 때, 절대 갈루아 군의 원소 g\in\operatorname{Gal}(\mathbb Q)는 사상 :\phi_g\colon\mathbb P^1_{\bar\mathbb Q}\to\mathbb P^1_{\bar\mathbb Q} 을 정의한다. (이는 물론 무한대 및 모든 유리수를 고정시킨다.) 이에 따라, 또다른 벨리 사상 \phi_g\circ f\colon X\to\mathbb P^1_{\bar\mathbb Q}를 정의할 수 있다. 특히, f와 \phi_g\circ f에 대응하는 데생당팡은 같은 (유한한) 수의 변을 가지므로, 주어진 데생당팡의 안정자군 G\le\operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q)에 대하여, \operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q)/G는 유한군이다. 갈루아 이론에 의하여, G는 \mathbb Q의 유한 확대, 즉 수체에 대응한다. 이 수체를 데생당팡의 **모듈러스 수체**(modulus數體, field of moduli)라고 한다.
# 예

## *K*1,*n*
완전 이분 그래프 K_{1,6}. 이는 벨리 사상 z\mapsto z^6에 대응하는 데생당팡이다. 완전 이분 그래프 K_{1,n}는 데생당팡을 이루며, 이는 벨리 사상 :f\colon\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1 :f\colon z\mapsto z^n 에 대응한다.
## 경로 그래프
꼭짓점을 n+1개 갖는 경로 그래프 \Gamma를 생각하자. 이에 대응하는 벨리 사상은 다음과 같다. :\mathbb{CP^1}\to\mathbb{CP}^1 :z\mapsto\frac12\left(\operatorname T_n(z)+1\right) 여기서 \operatorname T_n은 n차 체비쇼프 다항식이다. (이는 체비쇼프 다항식의 분지점은 ±1이기 때문이다.) :
## 간단한 예
간단한 벨리 사상에 대응하는 데생당팡들은 다음과 같다. :
## 복잡한 예
예를 들어, 벨리 사상 :f\colon\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1 :f\colon z\mapsto-\frac{(z-1)^3(z-9)}{64z} =1-\frac{(z-3+2\sqrt3)^2(z-3-2\sqrt3)^2}{64z} =\frac1{64} \left(-z^3+12z^2-30z+28-\frac9z\right) 를 생각하자. 이 경우, \\{0,1,\infty\\}의 원상인 분지점들은 다음과 같다. :{| class=wikitable |- ! z || f(z) || \deg_zf |- | 1 || 0 || 3 |- | 9 || 0 || 1 |- | 3+2\sqrt3 || 1 || 2 |- | 3-2\sqrt3 || 1 || 2 |- | 0 || ∞ || 1 |- | ∞ || ∞ || 3 |} 이에 따라, 이 벨리 쌍에 대응되는 데생당팡은 다음과 같다. : 이는 깨끗한 데생당팡이다.
# 역사
1879년에 펠릭스 클라인언어=de은 어떤 특별한 리만 곡면을 계산하기 위하여 오늘날의 데생당팡과 사실상 같은 그래프들을 사용하였으며, 리니엔추크(“선형 획”)이라고 불렀다. 클라인은 오늘날 표기의 검은 꼭짓점(0의 원상)과 흰 꼭짓점(1의 원상)을 각각 ⚬와 +로 표기하였다. 클라인이 찾던 리만 곡면은 리만 구의 11겹 분지 피복 \mathbb{CP}^1\twoheadrightarrow\mathbb{CP}^1이었으며, 모노드로미 군 \operatorname{PSL}(2;\mathbb F_{11})을 가진다. 이로부터, 클라인은 이 벨리 사상을 나타내는 데생당팡은 나무이며, 11개의 변과 7개의 흰 꼭짓점과 5개의 검은 꼭짓점을 가지며, 그 가운데 3개의 검은 꼭짓점은 3차 꼭짓점이며 4개의 흰 꼭짓점은 2차 꼭짓점이라는 사실을 유추하였다. 클라인은 이 조건들을 모두 충족시키는 10개의 데생당팡을 모두 나열한 뒤, 이들의 모노드로미 군을 각각 계산하여 자신이 찾는 리만 곡면에 해당하는 데생당팡이 10개의 가능성 가운데 어느 것인지 찾을 수 있었다. 1970년대에 알렉산더 그로텐디크는 벨리 정리를 추측하였으나, 피에르 들리뉴는 이를 거짓이라고 생각하였다.언어=en 그러나 곧 1979년에 겐나디 벨리가 벨리 정리를 증명하였다.언어=ru 이에 대하여 그로텐디크는 다음과 같이 적었다. 14–15 이에 영향을 받아, 알렉산더 그로텐디크가 1984년에 데생당팡을 도입하였다.url=http://wwwmath.uni-muenster.de/reine/u/topos/AG-Leray/Operads/Grothendieck-Esquisse%20d%27un%20programme.pdf “데생당팡”은 프랑스어로 “어린이의 그림”이라는 뜻이다. :데생당팡=데생그림 + 드~의 + 앙팡어린이 이는 데생당팡의 정의에 등장하는 그래프는 한붓그리기가 가능하기 때문에, 마치 크레용을 스케치북에서 떼지 않고 마구 그린 그림과 유사하기 때문이다. 이에 대하여 그로텐디크는 다음과 같이 적었다. 12–13