H-보충 경계

소문자 위상수학에서 **h-보충 경계**(h-補充境界, 에이치 코보디즘)는 양끝과 호모토피 동치 관계에 있는 보충 경계이다. 5차원 이상의 다양체를 분류하는 도구로 쓰인다.
# 정의
\mathcal C가 (위상) 다양체 · Piecewise linear manifold · 매끄러운 다양체의 범주 가운데 하나라고 하자. 그리고 두 n차원 \mathcal C-다양체 M, N 사이의 보충 경계 (W,\iota_M,\iota_N)이 주어졌다고 하자. (그러므로 W는 (n+1)차원 \mathcal C-다양체가 된다.) :\iota_M\colon M\hookrightarrow W :\iota_N\colon N\hookrightarrow W 만약 \iota_M과 \iota_N 각각이 모두 호모토피 동치일 경우, (W,\iota_M,\iota_N)을 **h-보충 경계**라고 한다.
# h-보충 경계 정리
h-보충 경계는 다음과 같은 **h-보충 경계 정리**(h-補充境界定理, h-cobordism theorem)가 성립하기 때문에 중요한 의미를 가진다. **h-보충 경계 정리** n\ge5 차원의 두 단일 연결 \mathcal C-다양체 M과 N 사이의 h-보충 경계 (W,\iota_M,\iota_N)이 존재한다고 하자. 이 때, (M\times[0,1], M\times\\{0\\}, N\times\\{1\\}) \mapsto (W, \iota_M (M), \iota_N (N))으로 각각 보내는 \mathcal C-동형이 존재한다. 특히, M과 N이 서로 \mathcal C-동형이다. 즉, 5차원 이상 단일 연결 다양체의 경우, (주어진 범주에서의) h-보충 경계의 존재는 (주어진 범주에서의) 동형과 같다.
## 증명의 골자
주어진 (n+1)차원 보충 경계 W에 모스 함수 f를 줄 수 있다. 그 임계점의 순서를 잘 바꿔서 모스 지표가 오름차순이 되도록 함수 f'를 만들 수 있다. : \forall i,j: x_i < x_j \implies \operatorname{ind}_{f'}(x_i) < \operatorname{ind}_{f'}(x_j) 다시 말해 M에 차원의 오름차순대로 여러 개의 손잡이를 붙여 N을 만들 수 있다는 것이다. 한편, M이 W의 변형 수축이라는 것을 이용해서 대수위상적인 조작을 가하면, 한 손잡이가 다른 손잡이의 경계가 되도록 모든 손잡이들끼리 짝지을 수 있다. (\partial{h_i^{k+1 = h_j^k) \partial{h_i^{k+1 = h_j^k인 손잡이 h_i^{k+1}와 h_j^k는 Whitney embedding theorem을 이용해서 기하학적인 입사점(incidence point)이 정확히 한 개가 되도록 변형시킬 수 있다. \partial{h_i^{k+1 = h_j^k이며 서로의 입사점이 정확히 하나인 h_i^{k+1}와 h_j^k에 다음과 같은 작업을 가한다. * 2 \le k \le n-2일 경우, 서로를 매끄럽게 상쇄시킨다. * k = 0, n일 경우, 양 쪽을 한 번에 매끄럽게 소멸시킨다. * k = 1일 경우, W가 단일 연결이라는 사실과 휘트니 매장을 사용해 1-손잡이를 3-손잡이로 바꿀 수 있다. 그렇게 하면 2-손잡이와 3-손잡이의 짝이 되므로, 위에서 한 것처럼 상쇄시킨다. 이렇게 하면 W에 있었던 모든 손잡이가 사라지므로 M\times[0,1]과 동형이 된다.
## 저차원 다양체
4차원 이하의 다양체에서는 휘트니 매장을 사용할 수 없다. 다시 말해, 4차원 이하의 다양체 안에 매장된 임의의 S^1를 경계로 하며 자기 자신과 교차하지 않는 매장 D^2 \hookrightarrow W가 존재하리라는 보장이 없다. 4차원 h-보충 경계 정리의 경우 Casson handle를 써서 위상적인 h-보충 경계 정리를 증명할 수 있지만, 이는 매끄러운 구조를 보존하지 못한다. 매끄러운 4차원 다양체의 경우 Akbulut cork와 같은 반례가 존재한다. 저차원의 다양체의 h-보충 경계 정리에 대해서는 다음이 알려져 있다. * 4차원 h-보충 경계 정리: 위상 다양체의 경우 성립하지만, 조각적 선형 또는 매끄러운 다양체의 경우 성립하지 않는다. 한편 3차원 이하에서는 위상 · 조각적 선형 · 매끄러운 다양체 범주 각각이 서로 동치이므로 이런 구분이 필요하지 않다. * 3차원 h-보충 경계 정리: 4차원 초구가 비표준 매끄러운 구조를 갖는지 여부와 동치이며, 이는 Generalized Poincaré conjecture으로 유명한 난제이다. * 2차원 h-보충 경계 정리: M과 N이 모두 구면(S^2)인 경우만 보이면 충분하다. 그리고리 페렐만이 증명한 3차원 푸앵카레 추측에 따라 참이다. * 1차원 h-보충 경계 정리: 1차원 단일 연결 다양체는 항상 축약 가능하므로 참이다. * 0차원 h-보충 경계 정리: h-보충 경계는 닫힌 선분이 유일하므로 자명하게 참이다.
# 성질

## 푸앵카레 추측과의 관계
n-1차원 \mathcal C 다양체에 대해 h-보충 경계 정리가 성립할 경우, n차원 \mathcal C 다양체에 대한 Generalized Poincaré conjecture을 유도할 수 있다. : M^n이 구 S^n과 호모토피 동형이라면, 서로 \mathcal C-동형이다. 스티븐 스메일은 5차원 이상의 h-보충 경계 정리를 이용해 6차원 조각적 선형 다양체에 대한 푸앵카레 추측을 증명하였고, 약간의 보조정리를 추가해서 5차원 조각적 선형 다양체에 대한 푸앵카레 추측도 증명하였다.
## s-보충 경계 정리
단일 연결이 아닌 경우, 다음과 같은 **s-보충 경계 정리**(s-補充境界定理, s-cobordism theorem)가 성립한다. n\ge5차원의 \mathcal C-다양체 M, N 사이의 h-보충 경계 (W,\iota_M,\iota_N)가 주어졌다고 하자. **s-보충 경계 정리**에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \iota_M이 Simple-homotopy equivalence이다. 다시 말해, 그 Whitehead torsion이 0이다. * W는 M\times[0,1]과 \mathcal C-동치이다.
# 역사
스티븐 스메일 역사적으로 1차원과 2차원 다양체의 분류는 간단했지만, 3차원과 4차원 다양체의 분류는 매우 어렵다는 것이 밝혀졌다. 이후 수학자들은 5차원 이상의 다양체는 이보다 더 복잡할 것으로 생각하고, 3·4차원의 분류에 주력하였다. 1960년대 초에 스티븐 스메일은 h-보충 경계의 개념 및 h-보충 경계 정리를 발표하였고, 이를 사용하여 5차원 조각적 선형 다양체에 대한 Generalized Poincaré conjecture을 증명하였다.언어=en언어=en 이로서 5차원 이상의 다양체는 수술 이론으로 비교적 간단하게 다룰 수 있다는 것이 밝혀졌고, 다양체 이론에서는 ‘중간 차원’인 3·4차원이 가장 어렵다는 사실이 알려졌다. 이 공로로 스메일은 1966년 필즈상을 수상하였다. ‘h-보충 경계’라는 이름에서 ‘h’는 호모토피(homotopy)의 영명의 머릿글자이다. 1982년 마이클 프리드먼이 Casson handle를 이용해 4차원 h-보충 경계 정리를 증명했다. 한편 사이먼 도널드슨은 h-보충 경계 정리가 4차원 매끄러운 다양체 사이에서는 실패한다는 것을 밝혔다. s-보충 경계 정리는 배리 메이저 · John R. Stallings · Dennis Barden이 독자적으로 증명하였다. ‘s-보충 경계 정리’라는 이름에서 ‘s’는 Simple-homotopy equivalence(simple homotopy equivalence)의 영명의 머릿글자이다.