군 스킴

대수기하학에서 **군 스킴**(群scheme, group scheme, schéma en groupe)은 군과 유사한 구조를 갖는 스킴이다. 즉, 대수군의 정의에서 대수다양체를 스킴으로 대체한 것이다.
# 정의
**군 스킴**은 스킴 범주의 군 대상으로, 또는 특정한 함자로 정의할 수 있다.
## 군 대상을 통한 정의
스킴 S가 주어졌다고 하자. S 위의 **군 스킴**은 스킴의 범주의 조각 범주 \operatorname{Sch}/S 속의 군 대상이다. 즉, 군 스킴 (G,m,e,i)은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * G/S는 S-스킴이다. * m\colon G\times_SG\to G는 S-스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다. * e\colon S\to G는 S-스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다. * i\colon G\to G는 S-스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다. 이들은 군 대상의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다.
## 함자를 통한 정의
스킴 S 위의 **군 스킴**은 다음 조건을 만족시키는 함자 :G\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op\to\operatorname{Grp} 이다. * \operatorname{Forget}\circ G\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op\to\operatorname{Set}는 표현 가능 함자이다. 즉, \operatorname{Forget}\circ G\cong\hom_{\operatorname{Sch}/S}(-,X)가 되는 S-스킴 X가 존재한다. 여기서 :\operatorname{Forget}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Set} 는 군의 구체적 범주의 망각 함자이다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, \operatorname{Sch}/S 속의 군 대상 G가 주어졌을 때, 표현 가능 함자 \hom(-,G)는 둘째 정의에 부합한다.
# 성질
스킴의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 표준적인 망각 함자 :\operatorname{Sch} \to \operatorname{Top} 를 생각하자. 이는 충실한 함자가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 위상군(또는 군)을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 곱 또는 올곱은 곱공간(또는 곱집합)에 대응하지 않는다. 반면, 임의의 체 K에 대하여, \operatorname{Spec}K 위의 군 스킴 G의 K-유리점의 집합 G(K)을 취할 수 있다. 이 경우, :(G \times_{\operatorname{Spec}K} G)(K) = G(K) \times_{\operatorname{Set G(K) 이므로, 집합 G(K) 위에는 군의 구조가 존재한다. 복소수체 \mathbb C 위의 군 스킴 가운데 비특이 대수다양체를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 복소다양체를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 대수군이라고 하며, 이에 대응하는 복소다양체는 복소수 리 군을 이룬다.
# 예

## 곱셈 군 스킴
스킴 S 위의 군 스킴 \mathbb G_{\operatorname m}은 스킴으로서 원점을 제거한 S-아핀 직선 \mathbb A^1_S\setminus\\{0\\}이다. 함자로서 이는 다음과 같다. :\mathbb G_{\operatorname m}\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op\to\operatorname{Grp} :\mathbb G_{\operatorname m}\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\Gamma(X,\mathcal O_X^\times) 여기서 \Gamma는 아벨 군 층의 단면군을 뜻하며, \mathcal O_X^\times는 구조층 \mathcal O_X의 가역원군층이다. 특히, 만약 S=\operatorname{Spec}R가 아핀 스킴이라면, 그 군 스킴은 R계수 로랑 다항식환의 스펙트럼이다. :\mathbb G_{\operatorname m}\cong\operatorname{Spec}[x,x^{-1}] = \operatorname{Spec}R[x,y]/(xy-1) 이 경우, 군 이항 연산 :\mathbb G_{\operatorname m} \times_{\operatorname{Spec}R} \mathbb G_{\operatorname m} \to \mathbb G_{\operatorname m} 은 다음과 같은 R-결합 대수의 준동형에 대응한다. :R[x,x^{-1}] \to R[y,y^{-1},z,z^{-1}] = R[y,y^{-1}] \star_R R[z,z^{-1}] :x \mapsto yz 마찬가지로, 항등원 :\operatorname{Spec}R \to \mathbb G_{\operatorname m} 은 다음과 같은 R-결합 대수의 준동형에 대응한다. :R[x,x^{-1}] \to R :x \mapsto 1 이는 로랑 다항식환 R[x,x^{-1}]의 호프 대수 구조에서 유래한다. 보다 일반적으로, 스킴 S 위의 **일반 선형군 스킴**(一般線型郡scheme, general linear group scheme) \operatorname{GL}(n;S)는 함자로서 다음과 같다. :\operatorname{GL}(n;S)\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op\to\operatorname{Grp} :\operatorname{GL}(n;S)\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\operatorname{Mat}(n;\Gamma(X,\mathcal O_X^\times)) 여기서 \operatorname{Mat}(;)는 행렬환을 뜻한다. 이 경우 \mathbb G_{\operatorname m}=\operatorname{GL}(1;S)이다.
## 덧셈 군 스킴
스킴 S 위의 군 스킴 \mathbb G_{\operatorname a}는 스킴으로서 S-아핀 직선 \mathbb A^1_S=\operatorname{Spec}(S[x])이다. 함자로서 이는 다음과 같다. :\mathbb G_{\operatorname a}\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op\to\operatorname{Grp} :\mathbb G_{\operatorname a}\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\Gamma(X,\mathcal O_X) 여기서 \Gamma는 아벨 군 층의 단면군을 뜻한다. 특히, 만약 S=\operatorname{Spec}R가 아핀 스킴이라면, \mathbb G_{\operatorname a}=\mathbb A^1_S=\operatorname{Spec}R[x]이다. 이 경우, 군의 이항 연산 :\mathbb G_{\operatorname a} \times_{\operatorname{Spec}R} \mathbb G_{\operatorname a} \to \mathbb G_{\operatorname a} 은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다. :R[x] \to R[y,z] = R[y] \star_R R[z] :x \mapsto y+z 군의 항등원 사상 :\operatorname{Spec}R \to \mathbb G_{\operatorname a} 은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다. :R[x] \to R :x \mapsto 0
## 1의 거듭제곱근 군 스킴
양의 정수 n에 대하여, **1의 n제곱근 군 스킴**(group scheme of nth roots of unity) \mathbb\mu_n은 n제곱 사상 \mathbb G_{\operatorname m}\to\mathbb G_{\operatorname m}의 핵이다. 함자로서 이는 다음과 같다. :\mathbb\mu_n\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op\to\operatorname{Grp} :\mathbb\mu_n\colon(X,\mathcal O_X)\to\\{s\in\Gamma(X,\mathcal O_X)\colon s^n=1_{\Gamma(X,\mathcal O_X)}\\} 특히, 만약 S=\operatorname{Spec}R가 아핀 스킴이라면, \mathbb\mu_n=\operatorname{Spec}(R[x]/(x^n-1))이다.
## 상수 군 스킴
군 G가 주어졌다고 하자. 스킴 S 위의 **상수 군 스킴**(constant group scheme) G_S는 스킴으로서 분리합집합 S^{\sqcup G}이다 (즉, 위상 공간으로서 G에 이산 위상을 준다면 G\times S이다). 그 위의 군 스킴의 구조는 G의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다. :G_S\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op\to\operatorname{Grp} :G_S \colon X \mapsto G^{\times\operatorname{conn\,comp}(X)} 여기서 \operatorname{conn\,comp}(X)는 X의 연결 성분의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 연결 성분의 수만큼의 군 직접곱에 대응시킨다. 특히, G가 자명군인 경우, 항등 사상을 갖춘 S/S는 S 위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든 S 위의 스킴을 자명군에 대응시킨다.
## 대각화 가능 군 스킴
아벨 군 G가 주어졌다고 하자. 스킴 S 위의 **대각화 가능 군 스킴**(diagonalizable group scheme) \operatorname{Diag}(G)는 함자로서 다음과 같다. :\operatorname{Diag}(G)\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op\to\operatorname{Grp} :\operatorname{Diag}(G)\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\hom_{\operatorname{Ab\left(G,(\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times\right) 만약 S=\operatorname{Spec}R가 아핀 스킴이라면, \operatorname{Diag}G=\operatorname{Spec}(R[G])는 군환 R[G]의 스펙트럼이다.
## 아핀 군 스킴
가환환 R 위의 가환 호프 대수 H가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 \operatorname{Spec}H는 표준적으로 \operatorname{Spec}R-군 스킴을 이룬다. 반대로, \operatorname{Spec}R 위의 모든 아핀 군 스킴은 R 위의 가환 호프 대수의 스펙트럼과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 호프 대수로서의 연산과 다음과 같이 대응한다. {| class=wikitable |- ! 군 스킴 !! 호프 대수 |- | 곱 \Delta^{\operatorname{op\colon\operatorname{Spec}H\times_R\operatorname{Spec}H=\operatorname{Spec}(H\otimes_RH)\to \operatorname{Spec}H | 쌍대곱 \Delta\colon H\to H\otimes_RH |- | 항등원 \epsilon^{\operatorname{op\colon\operatorname{Spec}R\to\operatorname{Spec}H | 쌍대항등원 \epsilon\colon H\to R |- | 역원 S^{\operatorname{op\colon\operatorname{Spec}H\to\operatorname{Spec}H | 앤티포드 S\colon H\to H |- | \operatorname{Spec}R-스킴의 구조 사상 \eta^{\operatorname{op\operatorname{Spec}H\to\operatorname{Spec}R | 항등원 \eta\colon R\to H |- | 대각 사상 \operatorname{diag}_{\operatorname{Spec}H/R}=\nabla^{\operatorname{op\colon\operatorname{Spec}H\to\operatorname{Spec}H\times_R\operatorname{Spec}H=\operatorname{Spec}(H\otimes_RH) | 곱 \nabla\colon H\otimes_RH\to H |}