고전적 수반 행렬

선형대수학에서 **고전적 수반 행렬**(古典的隨伴行列, adjugate, classical adjoint)은 여인자 행렬의 전치 행렬이다.LinearAlgebraHoffmanAndKunze 기호는 \operatorname{adj}.
# 정의
가환환 R 위의 n\times n 정사각 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;R)의 **고전적 수반 행렬**은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. :\operatorname{adj}M=\mathrm C(M)^\top\in\operatorname{Mat}(n;R) 즉, \operatorname{adj}M의 (i,j)-성분은 M의 j번째 행 및 i번째 열을 지운 여인자이다. :(\operatorname{adj}M)_{ij}=\mathrm C(M)_{ji}=(-1)^{i+j}\det(M_{\\{1,\dots,n\\}\setminus\\{j\\},\\{1,\dots,n\\}\setminus\\{i\\) 여기서 \det는 행렬식이다.
# 성질
가환환 R 위의 n\times n 정사각 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;R)에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다. :M\operatorname{adj}M=(\operatorname{adj}M)M=(\det M)1_{n\times n} 특히, 만약 \det M\in R가 가역원이라면 (R가 체인 경우 이는 \det M\ne 0이라는 조건과 같다), M의 역행렬은 다음과 같다. :M^{-1}=(\det M)^{-1}\operatorname{adj}M 그 밖에 다음 항등식들이 성립한다. :\det(\operatorname{adj}M)=(\det M)^{n-1} :\operatorname{adj}(M^\top)=\operatorname{adj}M
# 예제

## 1 × 1 일반 행렬
0이 아닌 1×1 행렬 (실수 혹은 허수)의 수반행렬은 \mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}이고, adj(0) = 0으로 정의한다.
## 2 × 2 일반 행렬
2×2 행렬 :\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix} 의 수반행렬은 : \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\\ -c & a \end{bmatrix}. 이고, 직접 대입으로 다음을 보일 수 있다. :\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} ad - bc & 0 \\\ 0 & ad - bc \end{bmatrix} = (\det \mathbf{A})\mathbf{I}. 이 경우에는 det(adj(**A**)) = det(**A**)이 성립하고, 결국 adj(adj(**A**)) = **A**이다.
## 3 × 3 일반 행렬
다음 3×3 행렬은 : \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}. 다음과 같이 여인자_행렬을 구하고 : \mathbf{C} = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\\ \\\ -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\\ \\\ +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}, 여기서 : \begin{vmatrix} a_{im} & a_{in} \\\ a_{jm} & a_{jn} \end{vmatrix} =\det\begin{bmatrix} a_{im} & a_{in} \\\ a_{jm} & a_{jn} \end{bmatrix} . 수반행렬은 이 여인자행렬의 전치 행렬로 다음과 같이 구해진다. : \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\\ & & \\\ -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\\ & & \\\ +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}.
## 3 × 3 행렬 수치 계산 예
다음 행렬의 수반행렬은 아래와 같이 구해진다. :\operatorname{adj} \begin{bmatrix} -3 & 2 & -5 \\\ -1 & 0 & -2 \\\ 3 & -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 & 18 & -4 \\\ -5 & 12 & -1 \\\ 4 & -6 & 2 \end{bmatrix}. 이 수반행렬이 원래 행렬의 역행렬에 행렬식 −6을 곱한 것과 같다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 수반행렬의 두번째 행 세번째 열에 −1은 다음과 같이 구해진다. 수반행렬의 (2행,3열)값은 여인자행렬의 (3행,2열)값이다. 여인자는 해당 행과 열을 없앤 부분_행렬, :\begin{bmatrix} -3 & -5 \\\ -1 & -2 \end{bmatrix}. 과 (3행,2열)에 해당하는 부호값을 이용하여 다음과 같이 구해진다. :(-1)^{3+2}\operatorname{det}\begin{bmatrix}-3&-5\\\\-1&-2\end{bmatrix}=-(-3 \cdot -2 - -5 \cdot -1)=-1, 그러므로 수반행렬의 (2행,3열)값은 −1이다.