2차원 𝒩=4 초등각 장론

양자장론에서, **2차원 \mathcal N=4 초등각 장론**(二次元\mathcal N=4超等角場論, two-dimensional \mathcal N=4 superconformal theory)은 네 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다.
# 정의
2차원 \mathcal N=4 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다. {| class=wikitable |- ! 기호 || 이름 || 무게 h || SU(2) R대칭 표현 || 페르미온 수 F |- | T(z) || 에너지-운동량 텐서 || 2 || **1** || 0 |- | G^a(z) || 초전류 || 3/2 || \mathbf2 || +1 |- | \bar G^{\bar a}(z) || 초전류 || 3/2 || \bar{\mathbf2} || −1 |- | J^i(z) || R대칭 보존류 || 1 || \mathbf3=\mathfrak{su}(2) || 0 |- | k || 중심 원소 || 0 || **1** || 0 |} 위 표에서 G^a를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며, G^a의 에르미트 수반은 \bar G^{\bar a}이다. 중심 원소 k=0,1,2,3,\dots는 SU(2) 아핀 리 대수의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하 c는 다음과 같다. :c=6k=0,6,12,18,\dots 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 \cdots는 z\to0에서 비특이항을 나타낸다. :T(z)T(0)=3kz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots :T(z)G(0)=\frac32z^{-2}G(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots :T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots :J^i(z)J^j(0)=\frac12kz^{-2}\delta^{ij}+iz^{-1}\epsilon^{ijk}J^k+\cdots :J^i(z)G^a(0)=-\frac12\sigma_{ab}^iz^{-1}G^b(0)+\cdots :G^a(z)\bar G^{\bar b}(0)= 4k\delta^{ab}z^{-3} -4\sigma_{a\bar b}^iz^{-2}J^i(0) +z^{-1}\left(2\delta^{ab}T(z)-2\sigma_{a\bar b}^i\partial J^i(0)\right)+\cdots 이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다. :T(z)=\sum_nz^{n-2}L_{-n} :G(z)=\sum_{r\in\mathbb Z+\eta}z^{r-3/2}G_{-r} :J^i(z)=\sum_nz^{n-1}J_{-n}^i 여기서 NS 경계 조건의 경우 \eta=0이며 R 경계 조건의 경우 \eta=1/2이다. 그렇다면 모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다.언어=en :[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac12k(m^3-m)\delta_{m+n,0} :[L_m,G_r^a]=(m/2-r)G_{m+r}^a :[L_m,J_n^i]=-nJ_{m+n}^i :[J^i_m,J^j_n]=i\epsilon^{ijk}J^k_{m+n}+\frac12mk\delta^{ij}\delta_{m+n,0} :[J_m^i,G_r^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG^b_{m+r} :\\{G_r^a,G_s^b\\}=0 :\\{G_r^a,\bar G_s^{\bar b}\\} =2\delta^{a\bar b}L_{r+s}-2(r-s)\sigma_{a\bar b}^iJ^i_{r+s}+\frac12k(4r^2-1)\delta_{r+s,0}
## 대역적 대수
NS 대수에서, L_{\pm1}, L_0, G_{\pm1/2}^a, \bar G_{\pm1/2}^{\bar a}, J^i_0는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 리 초대수이다. :[L_1,L_{-1}]=2L_0 :[L_{\pm1},L_0]=\pm L_0 :[G_{\pm12}^a,L_0]=\pm\frac12G_{\pm12}^a :[L_1,G_{1/2}^a]=[L_{-1},G_{-1/2}^a]=0 :[L_{\pm1},G_{\mp1/2}^a]=\pm G_{\pm1/2}^a :[J_0^i,L_0]=[J_0^i,L_{\pm1}]=0 :[J_0^i,J_0^j]=i\epsilon^{ijk}J_0^k :\\{G_{\pm 1/2}^a,G_{\pm 1/2}^b\\}=\\{G_{\pm 1/2}^a,G_{\mp 1/2}^b\\}=0 :\\{G_{\pm 1/2}^a,\bar G_{\pm 1/2}^b\\}=2\delta^{a\bar b}L_{\pm1} :\\{G_{\pm 1/2}^a,\bar G_{\mp 1/2}^b\\}=2\delta^{a\bar b}L_0\mp\sigma^i_{a\bar b}J^i_0 :[J_0^i,G_{\pm1/2}^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG_{\pm1/2}^b 마찬가지로, R 대수에서, L_0, G_0^a, \bar G_0^{\bar a}, J^i_0, k는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. :[L_0,L_0]=[G_0^a,L_0]=[\bar G_0^{\bar a},L_0]=0 :[J_0^i,L_0]=[J_0^i,L_{\pm1}]=0 :[J_0^i,J_0^j]=i\epsilon^{ijk}J_0^k :\\{G_0^a,G_0^b\\}=0 :\\{G_0^a,\bar G_0^b\\}=2\delta^{a\bar b}L_0-\frac12k :[J_0^i,G_0^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG_0^b
# 표현
2차원 \mathcal N=4 초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게 h 및 SU(2) 아이소스핀 l=0,1/2,1,\dots에 따라 분류된다. 이는 **유질량 표현**(massive representation)과 **무질량 표현**(massless representation)으로 나뉜다.언어=en {| class=wikitable ! || NS 경계 조건 || R 경계 조건 |- ! 무질량 표현 | h=k/4, 0\le l\le k/2 || h=l, 0\le l\le k/2 |- ! 유질량 표현 | h>k/4, 0\le l\le k/2-1/2 || h>l, 1/2\le l\le k/2 |} 유니터리 이론의 경우, 힐베르트 공간의 모든 상태는 다음 BPS 부등식을 만족시킨다. :h\ge k/4\qquad(\text{NS}) :h\ge|l|\qquad(\text{R}) 무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 위튼 지표가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다.
## 분배 함수
\mathcal N=4 초등각 장론에서는 \mathcal N=2인 경우와 달리 (-1)^F\ne (-1)^{J_0}이며, 따라서 분배 함수에는 아이소스핀 (SU(2) R대칭의 카르탕 부분군 U(1)에 대한 전하) q에 대한 퓨가시티 z와 페르미온 수 F에 대한 퓨가시티 y를 다음과 같이 독립적으로 삽입할 수 있다. :Z(q,z,y)=\sum_{(h,q,F)}q^{h-k/4}z^qy^F 이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다.
# 예
초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 \mathcal N=(4,4) 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, 4k 실수 차원의 초켈러 다양체는 SU(2) 아핀 리 대수 준위가 k인 초등각 장론을 이룬다. K3 곡면 위의 시그마 모형이 대표적인 예이며, 이 경우 k=1이다.
# 응용
\mathcal N=4 초등각 장론에 위상 뒤틂을 가하여 \mathcal N=4 위상 끈 이론을 정의할 수 있다.언어=en