순환 범주

호몰로지 대수학에서 **순환 범주**(循環範疇, cycle category)는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주를 정의역으로 갖는 함자를 **순환 대상**(循環對象, cyclic object)이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다.
# 정의

## 순환 범주
**순환 범주**(循環範疇, cycle category) \operatorname{Cyc}는 다음과 같은 작은 범주이다.언어=en202, Definition 6.1.1 * \operatorname{Cyc}의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) n\in\mathbb N이다. * \operatorname{Cyc}의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다. *:\delta^i_n\colon n-1\to n \qquad(0\le i\le n) (**면 사상**) *:\sigma^i_n\colon n+1\to n \qquad(0\le i\le n) (**퇴화 사상**) *:\tau_n \colon n\to n (**순환 사상**) * 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, \tau를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 \triangle의 정의에 등장하는 것과 같다.) *:\delta^j_{n-1}\circ\delta^i_n = \delta^i_{n-1}\circ\delta^{j-1}_n\qquad(0\le i *:\sigma^j_{n+1}\circ\sigma^i_n = \sigma^i_{n+1} \circ \sigma^{j+1}_n\qquad(0\le i\le j) *:\sigma^j_n\circ\delta^i_{n+1} = \begin{cases} \delta^i_n\circ\sigma^{j-1}_{n-1}&i; j+1 \end{cases} *:\overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1} = \operatorname{id}_n *:\tau_n \circ \delta^i_n = \delta^{i-1}_n \circ \tau_{n-1} \qquad(1\le i\le n) *:\tau_n\circ\sigma^i_n = \sigma^{i-1}_n\circ\tau_{n+1} \qquad(1\le i\le n) 이제, 임의의 범주 \mathcal C 위의 **순환 대상**은 순환 범주의 반대 범주에서 \mathcal C로 가는 함자 :\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op\to\mathcal C 이다.
## 순환 대상의 구체적 정의
구체적으로, 범주 \mathcal C 속의 **순환 대상**은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 단체 대상 (X_\bullet,\partial_\bullet^i,d_\bullet^i). 여기서 \partial_\bullet^i\colon X_\bullet\to X_{\bullet-1}는 면(面)이며, s_\bullet^i\colon X_\bullet\to X_{\bullet-1}는 퇴화 단체이다. * 일련의 동형 사상들 t_n\colon X_n\to X_n, n\in\mathbb N 이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다. * (순환의 순환성) \overbrace{t_n\circ\dotsb\circ t_n}^{n+1} = \operatorname{id}_{X_n}. 특히, t_0 = \operatorname{id}_{X_0}이다. * (순환과 면의 호환) \partial^i_n\circ t_n = t_{n-1} \circ \partial^{i-1}_n\qquad(1\le i\le n) * (순환과 퇴화 단체의 호환) s^i_n \circ t_n = t_{n+1}\circ s^{i-1}_n \qquad (1\le i\le n)
## 일반적 정의
순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다. **교차단체군**(交叉單體群, crossed simplicial group)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 단체 집합 G_\bullet\colon \triangle^{\operatorname{op \to \operatorname{Set} * 임의의 n\in\mathbb N에 대하여, G_n 위의 군 구조 * 임의의 m,n\in\mathbb N에 대하여, \hom_\triangle(m,n) 위의, G_n의 오른쪽 군 작용 \hom_\triangle(m,n)\times G_n \to \hom_\triangle(m,n) 이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.205, Proposition 6.1.6 * 임의의 \phi\in \hom_\triangle(m,n) 및 \chi\in\hom_\triangle(n,p) 및 g\in G_p에 대하여, *: (\chi \circ \phi)\cdot g = (\chi\cdot g) \circ \left(\phi \cdot G(\chi^{\operatorname{op)(g) \right) \in \hom_\triangle(m,p) * 임의의 g,h\in G_n 및 \phi\in\hom_\triangle(m,n)에 대하여, *:G(\phi^{\operatorname{op)(gh) = G(\phi\cdot h)^{\operatorname{op(g) G(\phi^{\operatorname{op)(h) \in G_m 교차단체군의 예는 다음이 있다. * 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.) * 순환군 G_n=\operatorname{Cyc}(n+1) * 정이면체군 G_n = \operatorname{Dih}(n+1) * 쌍순환군 G_n=\operatorname{Dic}(n+1) * 대칭군 G_n = \operatorname{Sym}(n+1) 교차단체군 G_\bullet이 주어졌을 때, 임의의 \phi\in\hom_\triangle(m,n) 및 g\in G_n에 대하여 편의상 :g\cdot\phi = G(\phi^{\operatorname{op)(g) \in G_m 로 표기하자. 이는 :g\cdot(\phi\circ\chi) = (g\cdot\phi)\cdot\chi 를 만족시킨다. 교차단체군 G_\bullet가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주 \triangle_{G_\bullet}를 정의할 수 있다. * \triangle_{G_\bullet}의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주 \triangle의 대상과 같다. * \triangle_{G_\bullet}의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다. *:\hom_{\triangle_{G_\bullet(m, n) = \hom_\triangle(m,n) \times G * 사상의 합성은 다음과 같다.207, Corollary 6.1.7 여기서, g\in G_n에 대하여 \tau_g\colon \hom_{\triangle_{G_\bullet(n,n)은 (\operatorname{id}_n,g)에 대응하는 사상이며, \phi\in\hom_\triangle(m,n)이다. *:\phi \circ \tau_g = (\phi,g) \qquad(\phi\in\hom_\triangle(m,n),\;g\in G_m)) *:\tau_g \circ \phi = (\phi\cdot g) \circ \tau_{g\cdot\phi} \qquad(\phi\in\hom_\triangle(m,n),\;g\in G_n)) 그렇다면, 범주 \mathcal C 속의 **G_\bullet-대상**은 함자 :\triangle_{G_\bullet}^{\operatorname{op\to\mathcal C 이다. 특히, 다음과 같은 경우를 생각하자. :G_n=\operatorname{Cyc}(n+1) = \langle t_n| t_n^{n+1} = 1\rangle :\delta^i \cdot g = \begin{cases} \delta^{i-1} & 1\le i \le n \\\ \delta^n & i = 0 \end{cases} :\sigma^i \cdot g = \begin{cases} \sigma^{i-1} & 1\le i \le n \\\ \sigma^n & i = 0 \end{cases} :t_n\cdot\delta^i_n = \begin{cases} t_{n-1} & i \ge 1 \\\ 1 & i=0 \end{cases} :t_n\cdot\sigma^i_n = \begin{cases} t_{n+1} & i \ge 1\\\ t_{n+1}^2 & i = 0 \end{cases} 그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한 G_\bullet-대상은 **순환 대상**이라고 한다.
# 성질
순환 범주 \operatorname{Cyc}는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.208, Proposition 6.1.11 :\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op\to\operatorname{Cyc} :n^{\operatorname{op\mapsto n :(\delta_n^i)^{\operatorname{op \mapsto\begin{cases} \sigma_{n-1}^i & i < n\\\ \sigma^0_{n-1} \circ \tau_n^{-1} & i = n \end{cases} :(\sigma_n^i)^{\operatorname{op \mapsto \delta^{i+1}_{n+1}
## 사상
순환 범주 \triangle_{\operatorname{Cyc에서, 모든 사상 f\colon m\to n는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.203, Theorem 6.1.3(2) : f'\circ \overbrace{t_m\circ\dotsb\circ t_m}^k\qquad(f'\in\hom_\triangle(m,n),\;k\in \\{0,1,\dotsc,n\\}) 보다 일반적으로, 임의의 교차단체군 G_\bullet에 대하여, 범주 \triangle_{G_\bullet}에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다. :\phi \circ \tau_g \colon \phi\in\hom_\triangle(m,n),\;g\in G_m 순환 범주 \triangle_{\operatorname{Cyc에서, 다음이 성립한다.202, Definition 6.1.1 * \tau_n\circ \delta^0_n = \delta^n_n

**증명:**

\begin{aligned} \tau_n\circ\delta^0_n &= \tau_n\circ\delta^0_n\circ \overbrace{\tau_{n-1}\circ\dotsb\circ\tau_{n-1^n \\\ &= \tau_n\circ\tau_n\circ \delta^1_n\circ \overbrace{\tau_{n-1}\circ\dotsb\circ\tau_{n-1^{n-1} \\\ &= \tau_n\circ\tau_n\circ\tau_n\circ \delta^2_n\circ \overbrace{\tau_{n-1}\circ\dotsb\circ\tau_{n-1^{n-2} \\\ &\qquad\vdots \\\ &= \overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1}\circ \delta^n_n \\\ &= \delta_n \end{aligned}

* \tau_n\circ\sigma^0_n = \sigma^n_n\circ\tau_{n+1}\circ\tau_{n+1}

**증명:**

\begin{aligned} \tau_n\circ\sigma^0_n &= \tau_n\circ\sigma^0_n\circ \overbrace{\tau_{n+1}\circ\dotsb\circ\tau_{n+1^{n+2} \\\ &= \tau_n\circ\tau_n\circ\sigma^1_n\circ \overbrace{\tau_{n+1}\circ\dotsb\circ\tau_{n+1^{n+1} \\\ &= \tau_n\circ\tau_n\circ\tau_n\circ\sigma^1_n\circ \overbrace{\tau_{n+1}\circ\dotsb\circ\tau_{n+1^n \\\ &\qquad\vdots\\\ &= \overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1}\circ\sigma^1_n\circ\tau_{n+1}\circ\tau_{n+1} \\\ &= \sigma^1_n\circ\tau_{n+1}\circ\tau_{n+1} \end{aligned}

## 단체와의 관계
단체 범주 \triangle에서 순환 범주로 가는 포함 함자 :\triangle\hookrightarrow\triangle_{\operatorname{Cyc 가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉, \triangle_{\operatorname{Cyc에는 t_n으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다). 이에 따라, 임의의 범주 \mathcal C에 대하여, \mathcal C-순환 대상의 범주에서 \mathcal C-단체 대상의 범주로 가는 망각 함자 :\hom(\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op,\mathcal C) \to\hom(\triangle^{\operatorname{op,\mathcal C) 가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다.
# 예
모든 성분이 자명군인 교차단체군 1을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 \triangle_1은 단체 범주 \triangle와 같다. 각 성분이 대칭군인 교차단체군 :G_n = \operatorname{Sym}(n+1) 을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 \triangle_{\operatorname{Sym는 유한 집합과 함수의 작은 범주 \operatorname{finSet}와 동치이다.
## 결합 대수의 순환 가군
가환환 K 위의 결합 대수 A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다. :C\colon n\mapsto A^{\otimes_K(n+1)} :C({\delta^i_n}^{\operatorname{op) \colon C_n \to C_{n-1} :C({\delta^i_n}^{\operatorname{op) \colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto \begin{cases} a_0\otimes_K\dotsb \otimes_K a_{i-1} \otimes_K a_ia_{i+1} \otimes_K a_{i+2}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n & 0 \le i < n \\\ a_na_0 \otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_{n-1} & i = n \end{cases} 45, (1.6.1.2) :C({\sigma^i_n}^{\operatorname{op) \colon C_n \to C_{n+1} :C({\sigma^i_n}^{\operatorname{op) \colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto a_0\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i\otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K a_n 45, (1.6.1.2) :C(\tau_n^{\operatorname{op) \colon C_n \to C_n :C(\tau_n^{\operatorname{op)\colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto (-)^n a_n\otimes_K a_0 \otimes_K\dotsb\otimes_K a_{n-1}53, §2.1.0 즉, 이는 K-가군 범주 \operatorname{Mod}_K 속의 순환 가군을 이룬다. 이를 **A에 대응되는 순환 가군**(cyclic module associated to A)이라고 한다. 이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.
# 역사
알랭 콘이 1983년에 도입하였다.archive-url=https://web.archive.org/web/20160304212700/http://www.alainconnes.org/docs/n83.pdf§2 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “\Lambda”라고 표기하였다.§2201, Chapter 6 교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치(Zbigniew Fiedorowicz)와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.언어=en