절대 갈루아 군

실수의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb R)은 2차 [[순환군이다. 이는 \mathbb C가 \mathbb R의 분해 가능 폐포이며, 차수가 2이기 때문이다.]] 대수적 수론 및 체론에서, **절대 갈루아 군**(絶對Galois群, absolute Galois group)은 주어진 체의 최대 갈루아 확대의 갈루아 군이다. 분해 가능 폐포 K^{\operatorname{sep의 선택에 의존하지만, 이는 체의 확대의 동형 아래 유일하므로, 절대 갈루아 군은 “내부 자기 동형” 아래 유일하다. 또한, 절대 갈루아 군의 군 코호몰로지는 분해 가능 폐포의 선택에 의존하지 않는다. 완전 비분해 확대의 자기 동형군은 자명하므로, 절대 갈루아 군은 대수적 폐포 \bar K의 자기 동형군과 동형이지만, 대수적 폐포는 갈루아 확대가 아닐 수 있다. 대역체의 절대 갈루아 군의 구조에 대한 완전한 이해는 요원하며, 이는 대수적 수론 및 산술 기하학의 주요 목표 가운데 하나다.
# 정의
임의의 체 K가 주어졌을 때, 그 분해 가능 폐포 K^{\operatorname{sep는 K의 갈루아 확대를 이룬다. (K가 완전체일 때, K^{\operatorname{sep는 대수적 폐포 \bar K와 같다. 이는 예를 들어 표수 0의 체나 유한체에 대하여 성립한다.) 그 갈루아 군 :\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K) (즉, K 위에서 항등인 K^{\operatorname{sep의 자기 동형 사상들이 함수의 합성에 따라 이루는 군)을 K의 **절대 갈루아 군**이라고 한다. 체 K의 절대 갈루아 군은 K^{\operatorname{sep의 선택에 의존하지만, 동형 아래 유일하다. 구체적으로, L/K와 \sigma(L)/\sigma(K)가 분해 가능 폐포이며, :\sigma\in\operatorname{Isom}(L/K,\sigma(L)/\sigma(K)) 가 그 사이의 K-대수 동형일 때, :\operatorname{Gal}(\sigma(L)/\sigma(K))=\sigma\circ\operatorname{Gal}(L/K)\circ\sigma^{-1} 이다.
# 성질

## 노이키르히-우치다 정리
**노이키르히-우치다 정리**(Neukirch–Uchida theorem)에 따르면, 임의의 두 대수적 수체 K_1, K_2 및 절대 갈루아 군 사이의 위상군 동형 사상 :\phi\colon\operatorname{Gal}(\bar K_1/K_1)\xrightarrow\cong\operatorname{Gal}(\bar K_2/K_2) 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 체 동형 사상 \sigma\colon\bar K_1\xrightarrow\cong\bar K_2가 존재한다. :\sigma(K_1)=K_2 :\phi(g)=\sigma\circ g\circ\sigma^{-1}\qquad\forall g\in\operatorname{Gal}(\bar K_1/K_1) 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다. :\begin{matrix} K_1 & \hookrightarrow & \bar{K_1} & \xrightarrow[\cong]g & \bar{K_1} \\\ {\scriptstyle\sigma|_{K_1\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle\sigma} & & \downarrow{\scriptstyle\sigma} \\\ K_2 & \hookrightarrow & \bar{K_2} & \xrightarrow[\phi(g)]{\cong} & \bar{K_2} \end{matrix} 특히, 임의의 두 대수적 수체 K_1, K_2에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \operatorname{Gal}(\bar{K_1}/K_1)\cong\operatorname{Gal}(\bar{K_2}/K_2) * K_1\cong K_2
## 역문제
모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이지만,12 모든 사유한군이 어떤 절대 갈루아 군과 동형이지는 않다. 예를 들어, 아르틴-슈라이어 정리에 따르면, 유한 절대 갈루아 군은 자명군이거나 2차 순환군이다. 모든 사영 사유한군은 어떤 유사 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군과 동형이다. 이 결과는 알렉산데르 루보츠키(אלכסנדר לובוצקי)와 라우 판덴드리스(Lou van den Dries)가 증명하였다.lccn=2008924174208, 545
# 예
대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군은 자명군이다. 실수체의 절대 갈루아 군 :\operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb R)\cong\mathbb Z/2 은 2차 순환군이며, 이는 항등 함수와 복소켤레로 이루어진다.
## 유한체
임의의 유한체 \mathbb F_q의 절대 갈루아 군은 정수환의 사유한 완비화와 동형이다. :\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb F_q}/\mathbb F_q)\cong\hat\mathbb Z=\varprojlim_n\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\prod_p\mathbb Z_p 또한, 프로베니우스 사상 :\operatorname{Frob}_{\mathbb F_q}\in\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb F_q}/\mathbb F_q) :\operatorname{Frob}_{\mathbb F_q}\colon x\mapsto x^q 은 그 위상 생성원(topological generator)을 이룬다 (즉, 이를 생성원으로 하는 순환군은 절대 갈루아 군의 조밀 부분군이다).
## 유리수체와 샤파레비치 추측
유리수체의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q/\mathbb Q)의 구조는 알려지지 않았다. 예를 들어, 유리수체의 최대 아벨 확대 \mathbb Q^{\operatorname{ab=\mathbb Q(\mu)의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q^{\operatorname{ab)이 가산 계수 자유 사유한군인지 여부는 알려지지 않았다. 이를 **샤파레비치 추측**(Шафаре́вич推測, Shafarevich's conjecture)이라고 하며, 이고리 샤파레비치가 추측하였다.zbl=0948.11001449lccn=2008921043521 만약 샤파레비치 추측이 참이라면, \mathbb Q^{\operatorname{ab의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. (이는 유한 부분 확대의 절대 갈루아 군은 유한 지표 닫힌 부분군이며, 위상군의 유한 지표 닫힌 부분군은 항상 열린 부분군이며, 자유 사유한군의 열린 부분군은 항상 자유 사유한군이기 때문이다.) \operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q/\mathbb Q)에 대하여, 다음과 같은 성질들이 성립한다. * 벨리 정리에 따라, \operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q/\mathbb Q)는 데생당팡들 위에서 충실하게 작용한다. * \operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q/\mathbb Q)는 그로텐디크-타이히뮐러 군(Grothendieck–Teichmüller group)의 부분군과 동형이다.
## 유리 함수체
임의의 대수적으로 닫힌 체 K의 유리 함수체 K(t)의 절대 갈루아 군은 계수 |K|의 자유 사유한군이며, 따라서 K(t)의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. 이는 아드리앙 두아디(Adrien Douady)가 리만 존재 정리를 사용하여 표수 0에 대하여 증명하였다.zbl=0146.42105 일반적인 경우는 데이비드 하베터(David Harbater)url=https://www2.math.upenn.edu/~harbater/harbppra.pdf와 플로리안 포프(Florian Pop)144288가 증명하였으며, Dan Haran과 Moshe Jarden이 대수적으로 재증명하였다.zbl=0979.12002 특히, 대역 함수체에 대한 샤파레비치 추측(대역 함수체 K의 모든 원분체들의 합성체 K(\mu)의 절대 갈루아 군은 자유 사유한군)은 참이다.
## p진 국소체
K가 p진수체 \mathbb Q_p의 유한 확대라고 하자. 만약 p\ne2라면, K의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\bar K/K)는 위상 유한 표시 사유한군이며, [\mathbb K:\mathbb Q_p]+3개의 위상 생성원 및 2개의 관계에 의한 표시를 갖는다. 이는 우베 얀센(Uwe Jannsen)과 카이 빙베르크(Kay Wingberg)가 증명하였다.url=https://epub.uni-regensburg.de/26689/1/jannsen17.pdfTheorem 7.5.10419, Theorem 7.5.14 p=2인 경우는 완전한 묘사가 알려져 있지 않다.§VII.5417, §VII.5
## 기타
유리수체의 대수적 폐포 \bar\mathbb Q의 최대 전실(totally real) 부분체의 절대 갈루아 군 역시 완전히 묘사되었다.확인날짜=2019-09-04