강제법

집합론에서 **강제법**(强制法, forcing)은 특정한 조건을 만족시키는 집합론 모형을 정의하는 방법이다.언어=en언어=en언어=en언어=en 강제법은 주어진 집합론의 모형에 새로운 집합을 추가함으로써 새로운 모형을 만드는 과정이다. 가령, 연속체 가설의 부정이 충족되는 모형을 만드려는 경우를 고려하자. 2^{\aleph_0}\ge\aleph_2이면 연속체 가설이 거짓이므로, 자연수 집합 \mathbb N의 부분 집합을 충분히 많이 추가해서 새로운 모형을 만듦으로써 연속체 가설이 성립하지 않게 만드는 것을 생각할 수 있다. 강제법은 그러한 모형을 만드는 것을 가능하게 해 준다. 강제법에 대하여 파트리크 드오르누아(Patrick Dehornoy)는 다음과 같이 비유하였다. §3
# 정의

## 강제법 언어
M이 추이적 집합이라고 하자. 또한, 임의의 집합 P 및 그 부분 집합 G\subseteq P가 주어졌다고 하자. 그렇다면 :M^P=\\{u\in\operatorname{Name}_P\colon\operatorname{val}_G(u)\in M\\} 을 정의하자. 이는 M에서 G-해석할 수 있는 P-이름들의 집합이다. 그렇다면 **강제법 언어** \mathcal L_P는 집합론의 1차 논리 언어 \mathcal L_\in에 M^P의 원소들을 상수(0항 연산)로 추가한 1차 논리 언어이다. 임의의 원소 x\in M에 대하여, 이름 :\check x=\\{(\check y,p)\colon y\in x,\;p\in P\\}\in M^P 를 정의하자.url-status=dead239, Exercise VIII(B2) 이는 x\in M의 **이름**이라고 한다.
## 강제법 모형
집합 P와 그 부분 집합 G\subseteq P 및 추이적 집합 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, \mathcal L_P의 추이적 모형 M[G]를 다음과 같이 정의하자. * 집합으로서, M[G]=\\{\operatorname{val}(u,G)\colon u\in M^P\\}는 M에 속하는 이름들의 해석들이다. * \in의 해석은 외적인 개념과 같다. * M[G]에서, 상수 u\in M^P의 해석은 \operatorname{val}_G(u)이다. 이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다. 188, §VII.2
## 강제성 관계
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 추이적 집합 M * 원순서 집합 (P,\lesssim) 및 그 부분 집합 G\subseteq P. 대략, p\lesssim q라면 q가 p보다 "더 많은 정보를 제공한다"고 여긴다. * 강제법 언어 \mathcal L_P의 1차 논리 문장 \phi\in\operatorname{Sent}(\mathcal L_P) * 원소 p\in P\in M. 이를 **강제 조건**(forcing condition)이라고 한다. 그렇다면, 다음과 같은 관계를 정의하자. :p\Vdash_{P,M}\phi\iff\forall G\in\operatorname{Generic}(P,M)\colon p\in G\implies M[G]\models\phi 여기서 \operatorname{Generic}(P,M)는 M에 속하는 P의 모든 공종 집합들의 족 \operatorname{Cofin}(P)\cap M에 대하여 모든 \operatorname{Cofin}(P)\cap M-포괄적 순서 아이디얼들의 집합이다. 또한, 다음과 같은 관계 :p\Vdash^*\phi 를 재귀적으로 정의하자.195–196, Definition VII.3.3 (여기서 u,v\in\operatorname{Name}_P는 임의의 두 P-이름이다.) :\left(p\Vdash^* u\in v\right)\iff\forall q\gtrsim p\exists r\gtrsim q\exists(\tilde u,s)\in v\colon r\gtrsim s\land\left(r\Vdash u=\tilde u\right) :\left(p\Vdash^* u=v\right)\iff\forall q\gtrsim p \forall w\in M^P\colon (q\Vdash^* w\in u)\iff(q\Vdash^* w\in v) :\left(p\Vdash^* \lnot\phi\right)\iff\nexists q\gtrsim p\colon q\Vdash\phi :\left(p\Vdash^*\phi\land\chi\right)\iff \left(p\Vdash^*\phi\right)\land\left(p\Vdash^*\phi\right) :\left(p\Vdash^*\forall x\colon\phi(x)\right)\iff\forall u\in M^P\colon\left(p\Vdash^*\phi[u]\right)
# 성질

## 강제법 모형
집합 P와 그 부분 집합 G\subseteq M 및 추이적 집합 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, :\\{\check m\colon M\in M\\}\subseteq M^P 이다. 만약 P\ne\varnothing이라면 :M\to M^P :m\mapsto\check m 은 단사 함수이며, 만약 추가로 G\ne\varnothing이라면 :\forall m\in M\colon\operatorname{val}_G(\check m)=m 이다. 따라서, G\ne\varnothing이라면 M\subseteq M[G]이다. 또한, 만약 \varnothing\ne G\subseteq P\in M일 때, P-이름 :u=\\{(\check p,p)\colon p\in P\\} 을 생각하면 :\operatorname{val}_G(u)=G 이다. 따라서, 이 경우 G\in M[G]이다. 만약 M이 추가로 ZFC의 추이적 모형이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.189, Lemma VII.2.9361, §4 :임의의 M'\supseteq M에 대하여, 만약 M' 역시 ZFC의 추이적 모형이며 M'\ni G라면, M[G]\subseteq M'이다. 즉, M[G]는 G와 M을 포함하는 최소의 ZFC 추이적 모형이다. 이에 대하여 티머시 이청 차우(Timothy Yi-Chung Chow)는 다음과 같이 적었다. 26, §2
## 강제성 관계의 성질
M이 ZFC의 추이적 모형이며, P\in M이며, G가 P 위의 포괄적 순서 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 다음을 보일 수 있다. \mathcal L_P의 (자유 변수가 없는) 명제 \phi에 대하여, * M[G]\models\phi\iff M\models(\exists p\in G\colon p\Vdash^*\phi).200, Theorem VII.3.6(2) 즉, M[G]에서 어떤 명제가 참이려면, 그러할 이유(즉, 명제를 강제하는 p\in P)가 존재해야 한다. * (내적 정의 가능성) 임의의 문장 \phi\in\operatorname{Sent}(\mathcal L_P)에 대하여, p\Vdash\phi\iff M\models\left(p\Vdash^*\phi\right)200, Theorem VII.3.6(1) * (일관성) p\mapsto\\{\phi\in\mathcal L_P\colon p\Vdash\phi\\}는 순서 보존 함수 P\to(\mathcal P(\mathcal L_P),\subseteq)를 정의한다.194, Lemma 3.2(a) 즉, p\Vdash\phi이며 p\lesssim q라면 q\Vdash\phi이다. 이 핵심적인 성질들을 사용하여 각종 성질을 만족시키는 강제법 모형을 구성할 수 있다. 이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 설명하였다. 193, §VII.3
## 기수의 보존
순서수의 개념은 절대적이다. 즉, 모형 속의 순서수의 개념은 모형 밖의 순서수의 개념과 일치한다. 그러나 기수의 개념(즉, 어떤 순서수가 기수인지 여부)은 절대적이지 않으며, 모형 M의 기수가 M[G]에서는 기수가 아닌 순서수일 수 있다. ZFC의 추이적 모형 M 및 P\in M 및 P 위의 원순서 \lesssim가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, P가 **M의 기수를 보존한다**(preserves cardinals of M)고 한다.206, Definition VII.5.6 * 임의의 포괄적 순서 아이디얼 G\subseteq P 및 순서수 \alpha\in\operatorname{Ord}\cap M에 대하여, M\models(\alpha\in\operatorname{Card})\iff M[G]\models(\alpha\in\operatorname{Card})이다. 만약 다음 조건이 성립한다면, P가 **M의 공종도를 보존한다**(preserves cofinalities in M)고 한다.206, Definition VII.5.6 * 임의의 포괄적 순서 아이디얼 G\subseteq P 및 두 순서수 \alpha,\beta\in\operatorname{Ord}\cap M에 대하여, M\models(\operatorname{cf}\alpha=\beta)\iff M[G]\models(\operatorname{cf}\alpha=\beta)이다. (여기서 \operatorname{cf}는 순서수의 공종도를 뜻한다.) 그렇다면, 임의의 P\in M에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.207, Lemma VII.5.8, Theorem VII.5.10 :(M\models(P는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다)) ⇒ P는 M의 공종도를 보존한다 ⇒ P는 M의 기수를 보존한다
# 예

## 무작위 강제법
(P,\le)=(\operatorname{Bor}([0,1]),\supseteq)라고 하자. 여기서 \operatorname{Bor}([0,1])은 단위 구간 [0,1] 위의, 르베그 측도가 양수인 보렐 집합들의 집합족이다. (P,\le)는 최소 원소 [0,1]을 갖는 부분 순서 집합이다. 이 경우, 포괄적 필터 G는 \mathcal P([0,1]) 속의 필터 기저로서 어떤 실수 r로 수렴하게 된다. :\lim G=r\in[0,1]\setminus V 이 경우, V[r]는 **무작위 강제법**(random forcing)이라고 한다.
## 코언 강제법
부분 정의 함수 기수 \kappa에 대하여, \operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)가 정의역의 크기가 \kappa 미만인 부분 정의 함수 X\to Y들의 부분 순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 이 부분 순서 집합에 대한 강제법을 **코언 강제법**(Cohen forcing)이라고 하며, 이를 사용하여 연속체 가설의 독립성을 보일 수 있다.
# 응용
강제법을 사용하여, 집합론의 여러 명제들이 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이라는 것을 보일 수 있다. 연속체 가설이나 구성 가능성 공리가 그 대표적인 예이다. 또한 강제법과 내부 모형을 이용하면 선택 공리의 독립성 또한 보일 수 있다. 계산 가능성 이론에서도 강제법이 응용된다.
# 역사
폴 코언이 ZFC에서 연속체 가설의 독립성을 증명하기 위해 1963년에 도입하였다.언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en 코언이 사용한 기법은 구성 가능 위계를 핵심적으로 사용하였고, 오늘날 **분기 강제법**(分岐強制法, ramified forcing)이라고 불린다. 이후 데이나 스콧과 로버트 솔로베이가 완비 불 대수를 사용하여 구성 가능 위계를 사용하지 않는 기법을 개발하였으나, 출판하지 않았다.언어=en163, §7 이 기법은 조지프 로버트 숀필드가 정리하여 **비분기 강제법**(非分岐強制法, unramified forcing)이라는 이름으로 1971년에 출판하였다.언어=en 비분기 강제법이 더 간편하므로, 오늘날 "강제법"이라는 용어는 통상적으로 후자를 일컫게 되었다. 1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움은 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 **반복 강제법**을 도입하였다.언어=en