3차원 특수 유니터리 군

리 군론에서 **3차원 특수 유니터리 군** SU(3)는 행렬식이 1인 3×3 유니터리 행렬들의 리 군이다.url-status=dead날짜=2009
# 정의
단순 리 군의 분류에서, \mathsf A_2형의 딘킨 도표는 콤팩트 리 군 \operatorname{SU}(3) 또는 \operatorname{SL}(3;\mathbb R) = \operatorname{SU}(1,2)에 대응한다. 이는 다음과 같은 실수 형식을 갖는다. {| class=wikitable ! 기호 !! 설명 !! 기본군 !! 중심 !! 극대 콤팩트 부분군 !! 사타케 도표 !! 보건 도표 |- | SU(3) || 단일 연결 콤팩트 형식 || 0 || Cyc(3) || SU(3) | rowspan=2 | \bullet-\bullet | rowspan=2 | \circ-\circ |- | PSU(3) || 무중심 콤팩트 형식 || Cyc(3) || 0 || PSU(3) |- | SL(3;ℝ) || 분할 형식 || 0 || Cyc(2) || SO(3;ℝ) |rowspan=2 | \circ-\circ | rowspan=2 | \underbrace{\circ-\circ} |- | \operatorname{\widetilde{SL(3;\mathbb R) || 분할 형식 ||Cyc(2) || 0 || Spin(3) |- | SU(1,2) || || Cyc(∞) || Cyc(3) || U(2) | rowspan=3 | \underbrace{\circ-\circ} | rowspan=3 | \bullet-\circ |- | PSU(1,2) || || Cyc(∞)⊕Cyc(3) || 0 || PU(2) |- | \operatorname{\widetilde{SU(1,2) || ||0 || Cyc(∞)⊕Cyc(3) || \operatorname{\tilde U}(2) |}
# 성질

## 위상수학적 성질
\operatorname{SU}(3)는 8차원 연결 단일 연결 콤팩트 매끄러운 다양체이다.
## 표현론
SU(3)은 정의 표현 \mathbf3 및 그 복소수 켤레 \bar{\mathbf3} 및 딸림표현 \mathbf8을 갖는다. 이들 사이의 관계는 다음과 같다. :\mathbf3\otimes\bar{\mathbf3}=\mathbf8\oplus\mathbf1 :\mathbf3\otimes\mathbf3=\mathbf6\oplus\bar{\mathbf3} 여기서 \mathbf6는 복소수 대칭 행렬에 해당한다. SU(3)의 모든 표현은 두 자연수 (p,q)로 유일하게 결정되며, 이는 \mathbf3^{\otimes p}\otimes \bar{\mathbf3}^{\otimes q} 속의 최고 무게 표현이다. (p,q)차 표현의 차원은 :d(p,q)=\frac12(p+1)(q+1)(p+q+2) 이다. p개의 길이 1의 열과 q개의 길이 2의 열로 구성된 영 타블로에 대응된다. 이 가운데 p=q인 표현은 실수 표현이며, 아닌 경우는 복소수 표현이다. 복소수 표현의 켤레 표현은 p와 q를 맞바꾸는 것에 해당한다. 낮은 차원의 표현은 다음과 같다. {| class=wikitable |- ! 기호 || (*p*,q'') || 설명 || 영 타블로 |- | **1** || (0,0) || 자명한 표현 || |- | **3** || (1,0) || 정의(定義) 표현 || □ |- | **3** || (0,1) || 반정의(反定義) 표현 || □
□ |- | **6** || (2,0) || || □□ |- | **6** || (0,2) || || □□
□□ |- | **8** || (1,1) || 딸림표현 || □□
□ |- | **10** || (3,0) || || □□□ |- | **10** || (0,3) || || □□□
□□□ |- | **15** || (2,1) || || □□□
□ |- | **15** || (1,2) || || □□□
□□ |- | **15′** || (4,0) || || □□□□ |- | **15′** || (0,4) || || □□□□
□□□□ |- | **21** || (5,0) || || □□□□□ |- | **21** || (0,5) || || □□□□□
□□□□□ |- | **24** || (3,1) || || □□□□
□ |- | **24** || (1,3) || || □□□□
□□□ |- | **27** || (2,2) || || □□
□□ |}
## 리 대수의 기저
**겔만 행렬**(Gell-Mann行列, Gell-Mann matrices)은 특수 유니터리 리 대수 \mathfrak{su}(3)의 기본 표현의 표준 기저를 이루는, 8개의 3×3 에르미트 행렬이다. (이는 파울리 행렬이 \mathfrak{su}(2)의 표준적인 생성원인 것과 같다.) 이들은 다음과 같다. :{| |\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} |\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\\ i & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} |\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & -1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} |- |\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} |\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\\ 0 & 0 & 0 \\\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} |\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} |- |\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & -i \\\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} |\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} | |} 이들은 :\operatorname{tr}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij} :\sum_{i=1}^8\lambda_i\lambda_i = \frac{16}31_{3\times3} 를 만족시키며, 이 경우, 구조 상수 :[\tfrac12\lambda_i,\tfrac12\lambda_j]=\tfrac12\mathrm if_{ijk}\lambda_k 는 다음과 같다. :f_{123}=1 :f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}=\frac12 :f_{458}=f_{678}=\frac12\sqrt3 나머지 구조 상수들은 0이다. (즉, 8\times7\times6/6!=56개의 구조 상수 가운데 9개만이 0이 아니다.) 특히, 구조 상수가 0이 아닐 필요 조건은 3개의 지표가 {2,5,7}의 원소를 홀수 개 (즉, 1개 또는 3개) 포함해야 한다는 것이다.
# 역사
겔만 행렬은 쿼크 모형을 개발하기 위하여 머리 겔만이 도입하였다.언어=en
# 응용
SU(3)은 3개의 맛깔의 쿼크(u, d, s)에 대한 맛깔 대칭의 리 군으로서 이론물리학에 등장하며, 강입자들은 그 유한 차원 표현을 이룬다.