합성 대수

추상대수학에서 **합성 대수**(合成代數, composition algebra)는 대략 “절댓값의 제곱이 잘 정의되는” 대수 구조이다. 구체적으로, 이는 (결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있는) 쌍선형 이항 연산이 주어져 있으며, 이와 호환되는 (양의 정부호가 아닐 수 있는) 비퇴화 쌍선형 형식 또는 비퇴화 이차 형식이 주어진 벡터 공간으로 구성된다.언어=en
# 정의
가환환 K 위의 **합성 대수**는 다음과 같은 데이터로 주어진다. * K-가군 A * K-선형 변환 A\otimes_KA \to A, a\otimes_K b \mapsto a\star b. (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따를 필요가 없다.) * \star에 대한 양쪽 항등원 1_A \in A * A 위의 비퇴화 이차 형식 Q\colon A\to K. (즉, \operatorname{rad}Q = \\{a\in A\colon Q(a,A) = 0\\} = \\{0\\}이다.) 또한, 이는 Q(1_A) = 1_K 및 Q(a\star b) = Q(a)Q(b)\qquad\forall a,b\in A를 만족시킨다. (그러나 이 이차 형식이 양의 정부호일 필요는 없다.) (일부 문헌에서는 합성 대수의 정의에서 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)
# 연산
합성 대수는 다음과 같은 자연스러운 추가 구조들을 갖는다.
## 내적
합성 대수 A 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다. :\langle -,-\rangle \colon A\otimes A \to K :\langle a,b\rangle = Q(a+b)-Q(a)-Q(b) 만약 가환환 K에서 2가 가역원이라면, 비퇴화 이차 형식의 개념은 비퇴화 대칭 쌍선형 형식의 개념과 동치이며, 이 경우 Q를 쌍선형 형식으로부터 다음과 같이 재구성할 수 있다. :Q(a) = \frac12 \langle a,a\rangle 즉, 대신 비퇴화 대칭 쌍선형 형식을 사용하여 위와 동치인 정의를 적을 수 있다.
## 대각합과 켤레
K-합성 대수 A 위에는 다음과 같은 **대각합**이 존재한다. :\operatorname{tr}a = Q(a+1) - Q(a) - 1 \qquad\forall a\in A 이는 K-선형 변환 :\operatorname{tr}\colon A \to K 을 정의하며, 또한 정의에 따라 :\operatorname{tr}1_A = 2 이다. 대각합으로부터, 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다. :a^* = \operatorname{tr}(a)1_A - a 이는 물론 K-선형 변환 :(-)^* \colon A \to A 를 정의한다.
## 리 대수
미분 리 대수 삼중성 리 대수 프로이덴탈 마방진 합성 대수 A로부터, **미분 리 대수** \mathfrak{der}(A) 및 이를 포함하는 **삼중성 리 대수** \mathfrak{tri}(A)를 구성할 수 있다. 또한, 합성 대수와 요르단 대수로부터 **프로이덴탈 마방진**이라는 구성을 통해 예외적 단순 리 대수를 포함한 여러 리 대수들을 구성할 수 있다.
# 성질
K-합성 대수 A는 다음과 같은 항등식들을 따른다.156–157, §Ⅱ.2.4 :\operatorname{tr}(a^*) = \operatorname{tr}a :1_A^* = 1_A :Q(a^*) = Q(a) :a^{**} = a :a^*\star(a\star b) = a\star(a^*\star b) =(b\star a)\star a^* = (b\star a^*)\star a = Q(a) b :a\star a - \operatorname{tr}(a)a + Q(a) = 0 :\langle ab,c\rangle = \langle b,a^*c\rangle =\langle a,cb^*\rangle
# 분류
일반적으로, 표수가 2가 아닌 임의의 체 K 위에서, 합성 대수의 차원은 1, 2, 4, 또는 8 가운데 하나이며, 이들은 모두 K 위에 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.
## 실수체 위의 합성 대수
실수체 \mathbb R 위의 합성 대수는 정확히 7개가 있으며, 이들은 다음과 같다. * 실수체 \mathbb R * 복소수체 \mathbb C * 사원수 대수 \mathbb H * 팔원수 대수 \mathbb O * 분할복소수 대수 \tilde{\mathbb C} = \mathbb R[x]/(x^2 - 1) \cong \mathbb R\oplus\mathbb R * **분할 사원수**(split-quaternion) 대수 \tilde{\mathbb H}. 이는 \operatorname{Mat}(2;\mathbb R)와 동형이며, 그 제곱 노름은 2×2 행렬의 행렬식과 같다. * **분할 팔원수**(split-octonion) 대수 \tilde{\mathbb O}=\operatorname{Zorn}(\mathbb R)
## 이차 폐체 위의 합성 대수
체 K 위의 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군에 의하여 분류된다. 따라서, 만약 K가 이차 폐체일 경우, 각 단계에서 케일리-딕슨 구성은 유일하다. 따라서, 만약 K가 표수가 2가 아닌 이차 폐체일 경우, 그 위의 합성 대수는 정확하게 네 개가 있다. * K * K\oplus K. 만약 K=\mathbb C일 경우, 이는 \mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C로 여겨질 수 있다. * \operatorname{Mat}(K;2) 만약 K=\mathbb C일 경우, 이는 \mathbb H\otimes_{\mathbb R} \mathbb C로 여겨질 수 있다. * \operatorname{Zorn}(K). 만약 K=\mathbb C일 경우, 이는 \mathbb O\otimes_{\mathbb R}\mathbb C로 여겨질 수 있다.
# 예
임의의 체 K에 대하여, (K, a\mapsto a^2)는 스스로 위의 1차원 합성 대수를 이룬다. 이는 교환 법칙과 결합 법칙을 따른다.
## 2차원 벡터 공간
임의의 체 K에 대하여, 가환 K-결합 대수 K\oplus K를 생각하자. 즉, 그 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 성분별로 정의된다. :(a,b)+(a',b') = (a+a',b+b') :(a,b)(a',b') = (aa',bb') 이 위에 비퇴화 이차 형식 :Q(a,b) = ab 을 정의하면, 이는 2차원 K-합성 대수를 이룬다. 이 경우 대각합은 :\operatorname{tr}(a,b) = a+b 이며, 대칭 쌍선형 형식은 :\langle (a,b), (a',b')\rangle = ab' + a'b 이다. 대합은 다음과 같이 두 성분의 순서를 바꾸는 것이다. :(a,b)^* = (b,a)
## 2×2 행렬 대수
임의의 체 K에 대하여, 2×2 행렬 대수 \operatorname{Mat}(2;K)를 생각하자. 여기서 Q = \det (행렬식)을 잡으면, (\operatorname{Mat}(2;K),\det)은 결합 법칙을 따르는 4차원 합성 대수를 이룬다. 그러나 이는 교환 법칙을 따르지 않는다. 이 경우 합성 대수 대각합은 2×2 행렬의 대각합과 같다. 쌍선형 형식은 다음과 같다. : \left\langle \begin{pmatrix} a&b;\\\c&d; \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a'&b;'\\\c'&d;' \end{pmatrix}\right\rangle = ad' + a'd - bc' - b'c 대합은 다음과 같다. :\begin{pmatrix} a&b;\\\c&d; \end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix} d&-b\\\\-c&a; \end{pmatrix} \operatorname{Mat}(2;K)는 K-합성 대수 K\oplus K를 대각 행렬로서 포함한다.
## 초른 대수
임의의 체 K가 주어졌을 때, 8차원 벡터 공간 \operatorname{Zorn}(K) = K^8의 원소를 다음과 같은 형식적 2×2 행렬로 적자. :\operatorname{Zorn}(K) = \left\\{ \begin{bmatrix} a&\mathbf u\\\ \mathbf v&b; \end{bmatrix} \colon a,b\in K,\;\mathbf u,\mathbf v\in K^3 \right\\} 이 위에, 다음과 같은 “곱셈”을 정의하자. 이는 행렬의 곱셈과 유사하나, 3차원 벡터의 벡터곱에 해당하는 추가 항들이 등장한다. : \begin{bmatrix} a&\mathbf u\\\ \mathbf v&b; \end{bmatrix}\star \begin{bmatrix} a'&\mathbf u'\\\ \mathbf v'&b;' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} aa' + \mathbf u\cdot\mathbf v' & a\mathbf u' + \mathbf ub' + \mathbf v\times\mathbf v' \\\ \mathbf va' + b\mathbf v' - \mathbf u \times \mathbf u' & \mathbf v\cdot\mathbf u' + bb' \end{bmatrix} 그 위의 이차 형식은 다음과 같은 “행렬식”이다. :Q\left(\begin{bmatrix} a&\mathbf u\\\ \mathbf v&b;\end{bmatrix}\right) =\det\begin{bmatrix} a&\mathbf u\\\ \mathbf v&b;\end{bmatrix} = ab - \mathbf u\cdot\mathbf v 그렇다면, 이는 K 위의 합성 대수를 이루지만, 일반적으로 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않는다. 이를 K의 **초른 대수**(Zorn algebra)라고 한다.158–160, Example Ⅱ.2.4.2

**합성 대수를 이룸의 증명:**

: \begin{aligned} \det\left(\begin{bmatrix} a&\mathbf u\\\ \mathbf v&b; \end{bmatrix}\star \begin{bmatrix} a'&\mathbf u'\\\ \mathbf v'&b;' \end{bmatrix}\right) &=\det\begin{bmatrix} aa' + \mathbf u\cdot\mathbf v' & a\mathbf u' + \mathbf ub' + \mathbf v\times\mathbf v' \\\ \mathbf va' + b\mathbf v' - \mathbf u \times \mathbf u' & \mathbf v\cdot\mathbf u' + bb' \end{bmatrix} \\\ & = (aa'+\mathbf u\cdot\mathbf v')(\mathbf v\cdot\mathbf u' + bb') \- (a\mathbf u' + \mathbf ub' + \mathbf v\times\mathbf v') \cdot (\mathbf va' + b\mathbf v' - \mathbf u \times \mathbf u') \\\ &= (aa'+\mathbf u\cdot\mathbf v')(\mathbf v\cdot\mathbf u' + bb') \- (a\mathbf u' + \mathbf ub')\cdot(\mathbf va' + b\mathbf v') \+ (\mathbf u\times\mathbf u') \cdot (\mathbf v\times\mathbf v') \\\ &= aa'bb'- ab\mathbf u'\cdot \mathbf v'- a'b' \mathbf u\cdot\mathbf v \+ (\mathbf u\cdot\mathbf v)(\mathbf u'\cdot\mathbf v') \\\ &= (ab - \mathbf u\cdot\mathbf v)(a'b' - \mathbf u'\cdot\mathbf v') \\\ &= \left(\det \begin{bmatrix} a&\mathbf u\\\ \mathbf v&b; \end{bmatrix}\right) \left(\det \begin{bmatrix} a'&\mathbf u'\\\ \mathbf v'&b;' \end{bmatrix}\right) \end{aligned} 여기서 항등식 :(\mathbf u\times\mathbf u')\cdot(\mathbf v\times\mathbf v') =(\mathbf u\cdot\mathbf v)(\mathbf u'\cdot\mathbf v') -(\mathbf u\cdot\mathbf v')(\mathbf v\cdot\mathbf u') 을 사용하였다.

그 항등원은 다음과 같은 “단위 행렬”이다. :1_{\operatorname{Zorn}(K)} = \begin{bmatrix} 1_K& \mathbf 0\\\ \mathbf 0 & 1_K \end{bmatrix} 또한, 그 대각합은 마찬가지로 “2×2 행렬”의 “대각합”이다. :\operatorname{tr} \begin{bmatrix} a&\mathbf u\\\ \mathbf v&b;\end{bmatrix} =a+b 그 위의 대합은 다음과 같다. :\begin{bmatrix} a&\mathbf u\\\ \mathbf v&b;\end{bmatrix}^* = \begin{bmatrix} b&-\mathbf u\\\ -\mathbf v&a; \end{bmatrix} \operatorname{Zorn}(K)는 K-합성 대수 K\oplus K를 “대각 행렬”로서 포함하며, 또 3차원 벡터 공간 속의 임의의 방향을 고르면 K-합성 대수 \operatorname{Mat}(2;K)를 포함한다.
# 역사
“합성 대수”라는 이름은 이러한 대수 구조에서 노름이 곱셈과 호환된다는 조건이 제곱들의 합 두 개의 곱을 제곱들의 합으로 나타내는 항등식을 정의하기 때문이다. 예를 들어, 복소수 z=a+b\mathrm i의 경우, 노름이 곱셈과 호환된다는 조건은 항등식 :(aa'-bb')^2 + (ab'+a'b)^2 = (a^2+b^2)(a'^2+b'^2) 을 정의하며, 마찬가지로 분할복소수 z=a+b\mathrm j (\mathrm j^2=1)의 경우는 항등식 :(aa'+bb')^2 - (ab'+a'b)^2 = (a^2-b^2)(a'^2-b'^2) 을 정의한다. 즉, 이러한 항등식은 제곱들의 합 두 개의의 곱을 또다른 제곱들의 합으로 “합성”한다. 복소수체의 노름에 해당하는 항등식은 이미 기원후 3세기에 디오판토스에게 알려져 있었다.언어=grcⅢ §19 브라마굽타는 628년에 디오판토스의 항등식을 일반화하였으며, 특히 이 항등식은 분할복소수에 대응하는 항등식을 특별한 경우로 포함한다.언어=sa 1748년에 레온하르트 오일러는 사원수의 노름에 대응하는 항등식을 발견하였으며, 1818년에 덴마크의 페르디난드 데겐(Ferdinand Degen)은 팔원수의 노름에 해당하는 항등식을 발견하였다. 1843년에 윌리엄 로언 해밀턴은 오일러의 항등식을 사용하여 사원수의 대수를 구성하였다. 같은 해에 존 토머스 그레이브스(John Thomas Graves, 1806~1870)는 팔원수의 대수를 구성하였으며, 이듬해에 아서 케일리는 팔원수의 대수를 독자적으로 재발견하였다. 1848년에는 합성 대수 \mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C에 해당하는 대수를 제임스 코클(James Cockle, 1819~1895)이 “테사린”(tessarine)이라는 이름으로 발견하였다. 1919년에 레너드 유진 딕슨이 케일리-딕슨 구성을 도입하였으며, 이를 사용하여 양의 정부호 노름을 갖는, 실수체 위의 합성 대수들을 체계적으로 구성하였다. 1923년에는 아돌프 후르비츠가 양의 정부호 노름을 갖는, 실수체 위의 합성 대수는 총 네 개(\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H, \mathbb O)가 있다는 사실을 증명하였다. 1931년에 막스 초른은 케일리-딕슨 구성을 일반화하여, 분할 팔원수 \tilde{\mathbb O}의 합성 대수를 구성하였다.언어=de 이후 1958년에 네이선 제이컵슨이 합성 대수의 자기 동형군을 묘사하였다.언어=en