제트 (수학)

미분기하학에서 **제트**(jet)는 어떤 매끄러운 함수 또는 단면의 테일러 급수를 유한 차수로 절단한 것이다. 제트는 **제트 다발**(jet bundle)이라는 올다발의 단면을 이룬다. (그러나 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.)
# 정의
n차원 매끄러운 다양체 M 위의 올다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow M이 주어졌다고 하자. 또한, E의 올 역시 k차원의 매끄러운 다양체라고 하자. 점 x\in M의 근방에 정의되는, E의 매끄러운 단면의 공간을 \Gamma_x(E)라고 표기하자.
## 제트
E의 두 매끄러운 국소 단면 s,t\in\Gamma_x(E)이 x\in M에서 같은 **r차 제트**(rth jet)를 갖는다는 것은 다음과 동치이다. :임의의 M의 국소 좌표계 및 E의 국소 자명화 및 다중지표 \alpha\in\mathbb N^n에 대하여, 만약 |\alpha|\le r이라면 \partial^\alpha s|_x=\partial^\alpha t|_x 즉, x\in M에서의 r차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면 s\in\Gamma_x(E)의 x\in M에서의 r차 제트를 j^r_xs로 표기한다.
## 제트 공간
임의의 x\in M에 대하여, r차 제트들의 집합 J^r_xE에는 다음과 같이 :\dim J^r_xE=k\sum_{i=0}^r\binom{i+n-1}i =k\binom{r+n}r 차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다. M의 \pi(e)\in M에서의 국소 좌표계 (x^1,\dots,x^n) 및 이를 확장하는 E의 e\in E에서의 국소 좌표계 (x^1,\dots,x^n,e^1,\dots,e^k)가 주어졌다면, :(\partial^\alpha e^i)_{\alpha\in\mathbb N^n,\;|\alpha|\le r,\;i\in\\{1,\dots,k\\ 는 J^r_xE의 국소 좌표계를 정의한다. J^r_xE를 E의 **r차 제트 공간**(r次jet空間, rth jet space)이라고 한다. r차 제트 공간에서 s차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다. :J^r_xE\to J^s_xE 그러나 s차 제트 공간에서 r>s차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.
## 제트 다발
M 위에, r차 제트 공간 J^r_xE을 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를 r차 **제트 다발** J^rE\twoheadrightarrow M이라고 한다. 즉, 제트 다발 J^rE의 전체 공간은 \textstyle n+k\binom{r+n}r차원이다. 자연스러운 사영 J^rE\twoheadrightarrow E이 존재하므로, 이는 E 위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상 :j^r\colon \Gamma_x(E)\to \Gamma_x(J^rE) :j^r\colon s\mapsto j^rs\qquad\forall s\in\Gamma_x(E) 이 존재한다. j^rs를 s의 **r차 제트 연장**(r次jet延長, rth jet prolongation)이라고 한다. 제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.
## 무한 제트 다발
제트 다발 사이에는 사영 사상 :J^rE\to J^sE\qquad(s 이 존재한다. 이에 대한 역극한 :J^\infty E=\varprojlim_rJ^rE 을 **무한 제트 다발**(infinite jet bundle)이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간(diffeological space)의 구조를 줄 수 있다.
## 편미분 방정식
매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 M 위의, 올다발 E의 단면에 대한 **r차 편미분 방정식**은 r차 제트 다발 J^rE의 매끄럽게 매장된 부분 다양체 P\hookrightarrow J^rE이다. 편미분 방정식 P의 **해**(解, solution)는 제트 연장 j^rs\colon M\to J^rE의 상 j^rs(M)이 P에 속하는, E의 매끄러운 단면 s\in\Gamma(E)이다. :\operatorname{Sol}(P)=\\{s\in\Gamma(E)\colon j^rs(M)\subseteq P\\}
## 변분 이중 복합체
무한 제트 다발 J^\infty E은 미분학적 공간(diffeological space)의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다. J^\infty E 위의 미분 형식 공간 \Omega^nJ^\infty E에서, 차수 n=h+v은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다. * X 방향의 차수 h. 이를 **수평 차수**(horizontal degree)라고 한다. * 무한 제트 다발의 올 J^\infty_eE 방향의 차수 v. 이를 **수직 차수**(vertical degree)라고 한다. 따라서, :\Omega^nE=\bigoplus_{h+v=n}\Omega^{h,v}J^\infty E 가 된다. 이를 E\twoheadrightarrow M의 **변분 이중 복합체**(變分二重複合體, variational bicomplex)라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분 \mathbf d 역시 수평 방향 d와 수직 방향 \delta로 분해할 수 있다. :\mathbf d=d+\delta :d\colon\Omega^{h,v}J^\infty E\to\Omega^{h+1,v}J^\infty E :\delta\colon\Omega^{h,v}J^\infty E\to\Omega^{h,v+1}J^\infty E 이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다. 예를 들어, n차원 시공간 M 위의 라그랑주 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발 E\twoheadrightarrow M의 단면 \phi\in\Gamma(E)이 되고, 라그랑지언 밀도는 미분 형식 \mathcal L(j^\infty\phi)\in\Omega^{n,0}J^\infty E이다. 이를 시공간 위에 적분하면 작용 :S=\int_M\mathcal L(j^\infty\phi) 을 얻으며, 오일러-라그랑주 방정식은 :\delta L\in\operatorname{im}d :d\colon\Omega^{n,1}J^\infty E\to\Omega^{n,1}J^\infty E 가 된다.
# 성질
올다발 E\twoheadrightarrow M 위의 변분 이중 복합체를 사용하여, 다음과 같은 **오일러-라그랑주 복합체**(Euler–Lagrange complex)를 정의할 수 있다. :0\to\mathbb R\to\Omega^{0,0}\xrightarrow d\Omega^{1,0}\xrightarrow d\Omega^{2,0}\xrightarrow d\cdots\xrightarrow d\Omega^{n,0}\to\mathcal F^1(J^\infty E)\xrightarrow\delta F^2(J^\infty E)\to\cdots 여기서 :\mathcal F^v(E)=\Omega^{n,v}/d(\Omega^{n-1,s}) 는 \Omega^{\bullet,\bullet}을 0번째 쪽으로 하는 스펙트럼 열의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계 :\mathcal F^v(E)\hookrightarrow \Omega^{n,v} 가 존재한다. 오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지는 올다발의 전체 공간 E의 드람 코호몰로지와 동형이다.
# 예

## 0차 제트
임의의 올다발 :E\twoheadrightarrow M 의 0차 제트 다발은 E이다. :J^0E=E 즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다. :j^0s=s\qquad\forall s\in\Gamma(E)
## 자명한 올다발의 1차 제트
자명한 올다발 :E=M\times N\twoheadrightarrow M 의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수와 같다. :\Gamma(E)=\mathcal C^\infty(M;N) 매끄러운 함수 f\colon M\to N의 1차 제트는 함수의 미분이다. :j^1_xf=Df(x)\in T^*_xM\otimes T_{f(x)}N 여기서 T^*M 및 TN은 각각 공변접다발과 접다발이다. 따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은 :J^1E=\operatorname{pr}_M^*T^*M\otimes\operatorname{pr}_NTN 이다. 여기서 :\operatorname{pr}_M\colon M\times N\twoheadrightarrow M :\operatorname{pr}_N\colon M\times N\twoheadrightarrow N 는 곱공간의 자연스러운 사영 사상이며, \operatorname{pr}_M^*은 이러한 사영 사상에 대한 벡터 다발의 당김이다. 특히, M=\mathbb R^n일 경우 :J^1E=\mathbb R^n\times(TN)^{\otimes n} 이며, 반대로 N=\mathbb R^k일 경우 :J^1E=(T^*M)^{\otimes k}\times\mathbb R^k 이다. 후자에서 k=1인 경우는 자연스럽게 접촉다양체를 이룬다. 구체적으로, T^*M\times\mathbb R의 국소 좌표계 (x^i,p_i,t)를 잡는다면, 접촉 형식은 다음과 같다. :dt+\sum_ip_idx^i
## 일반적 올다발의 1차 제트
올과 밑공간이 매끄러운 다양체인 올다발 :\pi\colon E\twoheadrightarrow M :\dim M=n :\dim E=n+k 을 생각하자. 이 경우, 올다발의 접다발 TE의 자연스러운 부분 다발인 **수직 다발**(vertical bundle) VE를 다음과 같이 정의할 수 있다. :V_eE=T_eE_{\pi(e)} 즉, 올다발 E의 수직 다발 VE의 올 V_eE는 E의 올의 접공간이다. VE는 E 위의 k차원 벡터 다발을 이룬다. 그렇다면, E\twoheadrightarrow M 위의 1차 제트 다발은 (E 위의 올다발로서) 다음과 같다. :J^1E=VE\otimes_E \pi^*T^*M :\dim J^1E=nk+k+n J^1E\twoheadrightarrow E의 단면 \theta는 (\pi^*T^*M\subset T^*E이므로) E 위의 VE값의 1차 미분 형식을 정의한다. 또한, \theta를 다발 사상 TE\to VE\subset TE로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) 사영작용소를 이룰 경우, 그 핵 \ker \theta\subset TE는 E 위의 에레스만 접속을 이룬다. 즉, :TE=\ker\theta\oplus VE 가 되어, \ker\theta를 수평 다발로 여길 수 있다.
## 피복 공간의 제트
n\in\mathbb Z^+\cup\\{\infty\\}겹 피복 공간 :E\twoheadrightarrow M 은 올이 n개의 점의 이산 공간인 올다발이다. 이 경우, E\twoheadrightarrow M의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 국소 상수 함수가 되므로 임의의 r에 대하여 r차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해, :E=J^0E=J^1E=J^2E=\cdots 가 된다.
# 역사
제트의 개념은 샤를 에레스만이 도입하였다.언어=fr