다중근호

**다중근호**(多重根號, nested radical sign)는 루트 근호안에 1개이상의 루트 근호를 포함하는 루트를 말한다. 다중근호는 고차방정식의 해, 수학 상수 등을 표현할 때 중요하게 사용된다. 다중근호의 종류로는 이중근호, 다중근호, 중첩근호 등이 있다.
# 이중근호
루트 근호안에 1개의 루트 근호를 포함한다. : \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab
# 다중근호
루트 근호안에 2개이상의 루트 근호를 포함한다. : \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} , \sqrt{(\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2+2\sqrt{ab
# 중첩근호
루트 근호안에 루트 근호를 갖는 수식이 반복해서 중첩되게 내재한다. :\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1... :\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+ \cdots} } }
# 다중근호의 계산
:\sqrt{\sqrt{(a)^2}+\sqrt{(b)^2}+2\sqrt{ab=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+2\sqrt{ab= \sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b} : \sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5{3 - 2 \sqrt[4]{5 = \frac{ \sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}=\tfrac12\left(3+\sqrt[4]5+\sqrt5+\sqrt[4]{125}\right) : \sqrt[3]{\ \sqrt[3]{2}\ - 1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9 - \sqrt[3]{\frac{2}{9 + \sqrt[3]{\frac{4}{9 format = PostScript : \sqrt{a}+\sqrt{a}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{a})^2} = \sqrt{(\sqrt a)^2+(\sqrt a)^2+2\sqrt{aa = \sqrt{(a+a)+2\sqrt{a^2= \sqrt{(a+a)+2{a = \sqrt{2a+2a} =\sqrt{4a} =2\sqrt{a} : \;\; \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}= \sqrt{(a+b+c)+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)} =\sqrt{\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2+\sqrt{c}^2+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)}\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} +\sqrt{c}\right)}
# 고차방정식의 해
3차방정식이상의 일반적인 근에서 다중근호가 사용된다. 다음은 4차방정식의 근의 공식이다. :\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\ :x= -{b \over 4a} + \left( \sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1 } \over {2a} } \right) , -{b \over 4a} + \left( \sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1 } \over {2a} } \right)
: , -{b \over 4a} - \left( \sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1 } \over {2a} } \right) , -{b \over 4a} - \left( \sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1 } \over {2a} } \right)
# 중첩근호와 일반식
무한한 중첩근호는 일반식으로 표현될 수 있다. :\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...=\sqrt{5}+1}\over{2=\varphi 황금비 :\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...=\sqrt{9}+1}\over{2=2 :\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3...=\sqrt{13}+1}\over{2 :\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4...=\sqrt{17}+1}\over{2 :\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5...=\sqrt{21}+1}\over{2 :\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6...=\sqrt{25}+1}\over{2 :\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7...=\sqrt{29}+1}\over{2 :\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8...=\sqrt{33}+1}\over{2 따라서 이것을 일반화하면, :\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...=\sqrt{((4\cdot n )+1)}+1}\over{2 한편, :x^2-x-1=0을 예약해보면 :-b\pm\sqrt{b^2-4ac\over{2a (근의 공식) :-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)\over{2 :1\pm\sqrt{1+4\over{2 :1\pm\sqrt{5\over{2 이고, 따라서, :\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c... :=\sqrt{((4\cdot c )+1)}+1}\over{2 :x^2-x-c=0이다.
# 루트와 중첩근호
:\sqrt{1}= \sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\dots :\sqrt{2}= \sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\dots :\sqrt{3}= \sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\dots :\qquad\qquad\qquad \vdots :\sqrt{7}= \sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\dots :\sqrt{8}= \sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\dots :\qquad\qquad\qquad\vdots 따라서 이것을 일반화 하면, :\sqrt{x}= \sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\dots 그리고 이것을 확장하면,J. R. Fielding, pers. comm., Oct. 8, 2002 :x^1}\over{(n-1)= \sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\dots
# 자연수와 중첩근호
:2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots :3 = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots :4 = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\dots :\qquad\qquad\qquad\vdots :8 = \sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\dots :\qquad\qquad\qquad\vdots 따라서, 이것을 일반화하면, :x = \sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\dots \qquad (x > 1, x =integer) :x = \sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\dots 한편, 이것을 일반식으로 표현하면, : \left(x\right)^2 - \left(x\right) 에서 x 이고, :\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...=\sqrt{((4\cdot n )+1)}+1}\over{2이므로, :x= \sqrt{\left(x\right)^2 - \left(x\right)+\sqrt{\left(x\right)^2 - \left(x\right)+\sqrt{\left(x\right)^2 - \left(x\right)+\sqrt{\left(x\right)^2 - \left(x\right)+\sqrt{\left(x\right)^2 - \left(x\right)... :=\sqrt{\left(\left(4\cdot \left(x^2 - x\right) \right)+1 \right)}+1}\over{2 :=\sqrt{4x^2 - 4x +1}+1}\over{2 :=\sqrt{(2x-1)^2}+1}\over{2 :=(2x-1)+1}\over{2= x 이다.
# 라마누잔의 중첩근호 공식Ramanujan 1911, Ramanujan 2000, p. 323; Pickover 2002, p. 310
:{x+n+a} = \sqrt{ax+(n+a)^2+x\sqrt{a(x+1n)+(n+a)^2+ (x+1n)\sqrt{a(x+2n)+(n+a)^2+(x+2n)\sqrt{a(x+3n)+(n+a)^2+(x+3n)\sqrt{\cdots :a=0 , n=1일때, :x+1= \sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+ \cdots} } } } :3=2+1 =\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+ \cdots} } }
# 참고
* 매스월드 *(Ramanujan 1911)Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911. *(Ramanujan 2000)Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 327, 2000.