5차원 회전군

리 군론에서 **5차원 회전군**(五次元回轉群, five-dimensional rotation group)은 5차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 사원수의 2×2 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.
# 정의
단순 리 대수의 분류에서, \mathsf B_2=\mathsf C_2형을 생각하자. 이는 딘킨 도표 :\bullet\Rightarrow\bullet 에 대응한다. 이에 대응하는 리 군은 B₂(직교군)로, 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다. 이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군 \operatorname{SO}(5;\mathbb R) 및 그 스핀 군 \operatorname{Spin}(5)의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준 :\operatorname{SO}(1,4) (5차원 로런츠 군) :\operatorname{SO}(2,3) 및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다. 마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군은 :\operatorname{USp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(2;\mathbb H) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C) \cap \operatorname U(r) 이며, 마찬가지로 분할 형태 :\operatorname{Sp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C)\cap\operatorname{GL}(4;\mathbb R) 가 존재한다. 이들은 다음과 같이 대응한다. :{| class=wikitable ! 킬링 형식의 부호수 !! 기호 !! 직교군 기호 !! 심플렉틱 군 기호 !! 군의 중심 !! 기본군 !! 사타케 도표 !! 보건 도표 !! 비고 |- | rowspan=2 | (0,10) | rowspan=2 | B₂, C₂ || Spin(5) || \operatorname{USp}(4)=\operatorname U(2;\mathbb H) || \operatorname{Cyc}(2) || 0 | rowspan=2 | \bullet\Rightarrow\bullet | rowspan=2 | \circ\Rightarrow\circ | 단일 연결 콤팩트 형태 |- | SO(5) || \operatorname{PUSp}(4)=\operatorname{PU}(2;\mathbb H) || 0 || \operatorname{Cyc}(2) || 무중심 콤팩트 형태 |- | rowspan=2 | (6,4) | rowspan=2 | B₂Ⅰ, C₂Ⅰ || Spin(2,3) || \operatorname{Sp}(4;\mathbb R) || \operatorname{Cyc}(2) || \operatorname{Cyc}(\infty) | rowspan=2 | \circ\Rightarrow\circ | rowspan=2 | \bullet\Rightarrow\circ || 분할 형태 |- | SO⁺(2,3) || \operatorname{PSp}(4;\mathbb R) || 0 || \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(\infty) || 무중심 분할 형태 |- | rowspan=2 | (4,6) | rowspan=2 | B₂Ⅱ, C₂Ⅱ || Spin(1,4) || \operatorname{USp}(2,2)=\operatorname U(1,1;\mathbb H) || \operatorname{Cyc}(2) || 0 | rowspan=2 | \circ\Rightarrow\bullet | rowspan=2 | \circ\Rightarrow\bullet |- || SO⁺(1,4) || \operatorname{PUSp}(2,2)=\operatorname{PU}(1,1;\mathbb H) || 0 || \operatorname{Cyc}(2) |}
# 성질

## 콤팩트 형태
Spin(5)의 최소 스피너는 복소수 4차원 디랙 스피너이다. 이는 \operatorname{USp}(4) 또는 \operatorname U(2;\mathbb H)의 정의(定義) 표현이다. 콤팩트 형태에서, \operatorname{Spin}(4) = \operatorname{USp}(4)=\operatorname U(2;\mathbb H)는 2×2 사원수 유니터리 행렬의 군이다. 즉, :\\{M \in \operatorname{GL}(2;\mathbb H) \colon M^\dagger M = 1_{2\times2}\\} 이다. (여기서 (-)^\dagger는 에르미트 수반이다. 즉, 전치 행렬에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.) 이것의 군의 중심은 다음과 같다. :\operatorname Z(\operatorname U(2;\mathbb H)) = \left\\{ \pm1_{2\times 2} \right\\} 이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 특수 직교군을 얻는다. :\operatorname{SO}(5;\mathbb R) \cong \frac{\operatorname U(2;\mathbb H)}{\\{\pm1\\ \operatorname U(2;\mathbb H)의 실수 5차원 표현은 구체적으로 다음과 같다. :V = \\{M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb H)\colon M = M^\dagger \\} = \left\\{ \begin{pmatrix} a& b\\\ \bar b&a; \end{pmatrix} \colon a\in\mathbb R,\;b\in \mathbb H \right\\} :M\cdot v = MvM^\dagger \qquad(M\in\operatorname U(2;\mathbb H),\;v\in V)
## 분할 형태
Spin(2,3)은 (1,2)차원 민코프스키 공간의 등각군이다. \operatorname{Spin}(2,3)의 최소 스피너는 실수 4차원 마요라나 스피너이다. 이는 \operatorname{Sp}(4;\mathbb R)의 4차원 실수 정의(定義) 표현에 해당한다. 이는 심플렉틱 군 :\operatorname{Sp}(4;\mathbb R) =\\{M\in\operatorname{GL}(4;\mathbb R) \colon M^\top JM = J\\} :J = \begin{pmatrix} 0_{2\times2}&-1_{2\times2}\\\ 1_{2\times2}&0_{2\times2} \end{pmatrix} 에 대응한다. 이 경우, 마찬가지로 군의 중심은 \\{\pm1_{4\times 4}\\}<\operatorname{Sp}(4;\mathbb R)에 해당한다.
## 로런츠 형태
이 경우는 (1,4)차원 민코프스키 공간의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간의 등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다. 심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다. :\operatorname U(1,1;\mathbb H) = \\{M \in \operatorname{GL}(2;\mathbb H)\colon M^\dagger\Omega M = \Omega\\} :\Omega = \begin{pmatrix}0&1\\\1&0\end{pmatrix} 이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다. :V = \left\\{\begin{pmatrix} a&b;\\\ -b&\bar a \end{pmatrix} \colon a\in\mathbb H,\;b\in\mathbb R\right\\} :M\cdot v = Mv\Omega M\Omega^{-1} \qquad(v\in V)
## 표현론
이 리 군의 낮은 차원 표현들 및 그 영 타블로는 다음과 같다. :{| class=wikitable |- ! 표현 || SO(5) 해석 || SO(5) 영 타블로 || USp(4) 해석 || USp(4) 영 타블로 |- | **4** ||스피너 | | ■ | 벡터 | | □ |- | **5** || 벡터 | | □ | 무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1) | | □
□ |- | **10** || 반대칭 2-텐서 (5×4/2!) | | □
□ | 대칭 2-텐서 (4×5/2!) | | □□ |- | **14** || 무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1) | | □□ | 4-텐서 | | □□
□□ |- | **16** || 라리타-슈윙거 장 (4×(5−1)) | | □■ || 3-텐서 | | □□
□ |} 즉, :\mathbf4\otimes\mathbf4=\mathbf5\oplus\mathbf{10}\oplus\mathbf1 :\mathbf5\otimes\mathbf5=\mathbf{14}\oplus\mathbf{10}\oplus\mathbf1 :\mathbf4\otimes\mathbf5=\mathbf{16}\oplus\mathbf4 이다.