볼록한 고른 테셀레이션의 목록

스페인의 세비야의 교회 바닥 타일이다]] 이 표는 유클리드 평면에서의 볼록한 고른 타일링(정타일링과 반정타일링)과 그 쌍대 타일링 11가지를 보여준다. 평면에서 정타일링은 세 개가 있고 반정타일링은 여덟 개가 있다. 반정타일링은 그 쌍대로 새로운 타일링을 만들고, 각각은 정다각형이 아닌 한 종류의 면에서 만들어졌다. 존 콘웨이는 아르키메데스의 다면체의 연장으로 고른 쌍대를 *아르키메데스 타일링*이라고 불렀다**.** 고른 타일링은 꼭짓점에 존재하는 면의 수열인 꼭짓점 배치를 따라 나열되었다. 예를 들어 *4.8.8*은 한 꼭짓점에 정사각형 하나와 정팔각형 두 개를 의미한다. 이 고른 타일링 11가지는 32가지의 다른 *균일 색칠*을 가진다. 균일 색칠은 점추이성이나 꼭짓점 간 변환 합동을 유지하면서 꼭짓점에 있는 동일한 다각형을 다른 색으로 칠할 수 있다(참고: 아레의 일부 타일링 그림은 색-균일하지 않을 수 있다) 볼록 고른 타일링 11가지에다가 또한 별 다각형을 사용하고 꼭짓점 배치가 원점 반전된 볼록하지 않은 타일링 14가지가 있다.
# 라브스 타일링
1987년에 *Tilings and Patterns*에서 브랑코 그린바움(Branko Grünbaum)은 점추이 타일링을 아르키메데스의 다면체의 연장으로 아르키메데스 타일링이라고 불렀다. 그 쌍대 타일링은 결정학자 프리츠 라브스(Fritz Laves)의 이름을 따 ***라브스 타일링***이라고 불린다.pages=59, 96The Symmetries of things, Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Euclidean Plane Tessellations, p. 288 이것은 또한 슈브니코프, 알렉세이 바실레비치(Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich)의 이름을 따와 **슈브니코프–라브스 타일링**이라고도 부른다.Encyclopaedia of Mathematics: Orbit - Rayleigh Equation edited by Michiel Hazewinkel, 1991 존 콘웨이는 고른 쌍대를 카탈랑의 다면체의 연장선상으로 ***카탈랑 타일링***이라고 불렀다. 콘웨이 타일링은 존슨의 다면체의 확장 개념인데, 각 면이 정다각형이며, 점추이가 아니며 평면의 면이 있으면서 볼록한 테셀레이션을 뜻한다(물론 면의 수가 유한한 것도 해당된다). 라브스 타일링의 꼭짓점은 정다각형의 중심에 가지고 있고, 변은 변을 공유하는 정다각형의 중심을 연결한다. 라브스 타일링의 타일은 **planigons**이라고 부른다. 이것은 정타일링 3개(정삼각형, 정사각형, 정육각형)와 정타일링이 아닌 8개를 포함한다.last=Ivanov 각 꼭짓점은 주변에 균일하게 거리를 둔 변이 있다. *planigons*의 삼차원 해석은 스테레오헤드론이라고 부른다. 이 쌍대 타일링은 면 배치를 따라서 나열되어 있고, 면배치는 면의 꼭짓점에 모인 면의 개수를 의미한다. 예를 들어 *V4.8.8*은 한 쪽 꼭짓점에 삼각형이 네 개고, 두 꼭짓점에는 삼각형이 여덟 개가 있다는 것을 의미한다. {| class="wikitable" |+열한가지 planigons ! colspan="4" |삼각형 ! colspan="3" |사각형 ! colspan="3" |오각형 !육각형 |- align="center" valign="bottom" |40x40픽셀
V6.6.6
|40x40픽셀
V4.8.8
|60x60픽셀
V4.6.12
|60x60픽셀
V3.12.12
|40x40픽셀
V4.4.4.4
|60x60픽셀
V3.6.3.6
|46x46픽셀
V3.4.6.4
|50x50픽셀
V3.3.4.3.4
|50x50픽셀
V3.3.3.3.6
|43x43픽셀
V3.3.3.4.4
|40x40픽셀
V3.3.3.3.3.3

(플라톤과 아르키메데스) !꼭짓점 도형과 쌍대 면
위토프 기호
대칭군
콕서터 다이어그램 !쌍대-고른 타일링
(라브스 또는 카탈랑 타일링) |- Us Uts Uns |}
## . [6,3] 그룹
{| class="wikitable" !플라톤과 아르키메데스 타일링 !꼭짓점 도형과 쌍대 면
위토프 기호
대칭군
콕서터 다이어그램 !쌍대 라브스 타일링 |- Uh Uht Uth Ut Urth Ugrth Unh |}
## 위토프가 아닌 고른 타일링
{| class="wikitable" !플라톤과 아르키메데스 타일링 !꼭짓점 도형과 쌍대 면
위토프 기호
대칭군
콕서터 다이어그램 !쌍대 라브스 타일링 |- Uet |}
## 균일 색칠
고른 타일링 11가지에 대한 균일 색칠은 32가지가 있다: # 정삼각형 타일링 - 9 균일 색칠, 4 위토프, 5 비-위토프 #* 80x80픽셀80x80픽셀80x80픽셀80x80픽셀80x80픽셀80x80픽셀80x80픽셀80x80픽셀80x80픽셀 # 정사각형 타일링 - 9 색칠: 7 위토프, 2 비-위토프 #* 80x80픽셀80x80픽셀80x80픽셀81x81픽셀81x81픽셀81x81픽셀81x81픽셀81x81픽셀81x81픽셀 # 정육각형 타일링 - 3 색칠, 모두 위토프 #* 80x80픽셀80x80픽셀80x80픽셀 # 삼육각형 타일링 - 2 색칠, 둘 다 위토프 #* 80x80픽셀80x80픽셀 # 부풀린 정사각형 타일링 - 2 색칠, 둘 다 교대된 위토프 #* 80x80픽셀80x80픽셀 # 깎은 정사각형 타일링 - 2 색칠, 둘 다 위토프 #* 80x80픽셀80x80픽셀 # 깎은 정육각형 타일링- 1 색칠, 위토프 #* 80x80픽셀 # 마름모삼육각형 타일링 - 1 색칠, 위토프 #* 80x80픽셀 # 깎은 삼육각형 타일링- 1 색칠, 위토프 #* 80x80픽셀 # 부풀린 정육각형 타일링- 1 색칠, 교대된 위토프 #* 80x80픽셀 # 비틀어 늘린 사각형 타일링- 3 색칠, 비-위토프 #* 80x80픽셀
# 추가 자료
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, *The Symmetries of Things* 2008, (Chapter 19, Archimedean tilings, table 19.1, Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p288 table). * H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, *Uniform polyhedra*, **Phil. Trans.** 1954, 246 A, 401–50. * The Geometrical Foundation of Natural Structure (book) (Section 2–3 Circle packings, plane tessellations, and networks, pp 34–40). * Asaro, et. al. "[http://faculty.washington.edu/cemann/uniform-edge-coloring.pdf Uniform edge-*c*-colorings of the Archimedean Tilings", * Grünbaum, Branko & Shepard, Geoffrey (Nov. 1977). "[http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1978/0025570x.di021102.02p0230f.pdf Tilings by Regular polygons url=https://web.archive.org/web/20160303235526/http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1978/0025570x.di021102.02p0230f.pdf", Vol. 50, No. 5. * Dale Seymour and Jill Britton, *Introduction to Tessellations*, 1989, , pp. 50–57, 71-74