정칙 이차 미분

리만 곡면 이론에서, **정칙 이차 미분**(正則二次微分, holomorphic quadratic differential)은 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다.언어=en
# 정의
리만 곡면 \Sigma 위의 **정칙 이차 미분**은 그 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.언어=en§4 :\operatorname H^0(\Sigma,K_\Sigma^{\otimes 2}) 여기서 K_\Sigma는 \Sigma의 표준 선다발이다. 즉, \Sigma의 국소 좌표를 z라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로 :f(z)\,\mathrm dz^2 의 꼴이다.
## 표준 좌표계
리만 곡면 \Sigma 위의 정칙 이차 미분 q(z)=f(z)\;\mathrm dz^2가 주어졌다고 하고, 임의의 점 z_0\in\Sigma에 대하여 q|_{z_0}\ne0이라고 하자. 그렇다면, z_0의 어떤 (충분히 작은) 근방 U\ni z_0에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다. :w\colon U\to\mathbb C :w\colon z_1\mapsto \int_{z_0}^{z_1}\sqrt q=\int_{z_0}^{z_1}\sqrt {f(z)}\,\mathrm dz 이를 q로부터 정의되는 **표준 좌표계**(瓢樽座標系, canonical coordinate)라고 한다. 또한, \\{z\in\Sigma\colon q|_z\ne0\\}에서, 리만 계량 :|f(z)|\,\mathrm dz\,\mathrm d\bar z=|f(z)|\,\left(\mathrm dx^2+\mathrm dy^2\right) 를 정의할 수 있다 (z=x+\mathrm iy). 이 리만 계량의 리만 곡률은 0이다.
## 수직엽과 수평엽
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 리만 곡면 \Sigma * \Sigma의 한 점 z_0\in\Sigma * \Sigma\setminus\\{z_0\\} 위의 정칙 이차 미분 q. 또한, q가 z_0 근처에서 k차 극을 갖는다고 하자. 즉, q는 z_0 근처에서 다음과 같은 꼴을 갖는다. *:q(z)\sim\frac{O(1)}{(z-z_0)^k}\mathrm dz^2 그렇다면, 만약 어떤 연속 미분 가능 곡선 :\gamma\colon (a,b)\to \Sigma 에 대하여 다음과 같은 두 조건을 생각하자. :㉠ \forall t\in(a,b)\colon q|_{\gamma(t)}\left(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)\right)\in\mathbb R^+\subsetneq\mathbb C :㉡ \forall t\in(a,b)\colon q|_{\gamma(t)}\left(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)\right)\in\mathbb R^-\subsetneq\mathbb C 이 두 조건은 매개 변수의 재정의 \gamma\mapsto\gamma\circ f에 대하여 (만약 \forall t\colon f'(t)\ne0라면) 불변이다. 즉, 이들은 단순히 \Sigma의 부분 집합으로 취급할 수 있다. ㉠을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 q의 **수평엽**(水平葉, horizontal leaf)이라고 한다. 마찬가지로, ㉡을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 q의 **수직엽**(垂直葉, vertical leaf)이라고 한다.
# 성질
리만 곡면 \Sigma 위의 정칙 이차 미분의 벡터 공간은 그 타이히뮐러 공간의 공변접공간과 표준적으로 동형이다. 리만 곡면 \Sigma 위의 정칙 이차 미분 q의 수직엽들의 족은 리만 곡면 \\{z\in\Sigma\colon q|_z\ne0\\}의 (실수) 여차원 1의 엽층을 이루며, q의 수평엽들의 족 역시 마찬가지다.
## 슈트레벨 미분
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 종수 g의 연결 콤팩트 리만 곡면 \Sigma (g\ge0). * \Sigma 속의 유한 집합 \\{z_1,\dotsc,z_n\\}\subseteq\Sigma. 또한, \min\\{0,2-2g\\}이다. (즉, g=0일 때는 n\ge3이며, g\ge 1일 때는 n\ge1이다.) * 각 z_i에 대하여, 양의 실수 t_i\in\mathbb R^+. 그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 유일한 정칙 이차 미분 :q\in\Gamma(\Sigma\setminus\\{z_1,\dotsc,z_n\\},\operatorname{Sym}^2K_\Sigma) 이 존재하며, 이를 q의 **슈트레벨 미분**(Strebel微分, Strebel differential)이라고 한다.Theorem 4.2 * q는 각 z_i 근처에서, 국소적으로 다음과 같이 2차 극을 갖는다. *:q(z)=\frac{O(1)}{(z-z_i)^2}(\mathrm dz)^2 * q의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간이 아닌 것들의 합집합은 르베그 측도 0인 닫힌집합이다. * q의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간인 것 \gamma\subseteq M은 항상 어떤 z_i\in\\{z_1,\dotsc,z_n\\}을 한 번 휘감는 폐곡선이며, 또한 다음 조건을 만족시킨다. (여기서, 제곱근의 분지는 이 적분이 양수가 되게 택한다.) *:t_i=\oint_\gamma \sqrt q
# 예

## 상수 정칙 이차 미분
\mathrm dz^2의 수평엽(푸른 선)과 수직엽(붉은 선) 비콤팩트 리만 곡면인 복소평면 \mathbb C 위의 상수 정칙 이차 적분 :q=\mathrm dz^2 을 생각하자. 이는 영점을 갖지 않는다. 이 경우, 수평엽의 조건은 :\dot\gamma^2\in\mathbb R^+\subsetneq\mathbb C 인 것이다. 즉, \dot\gamma\in\mathbb R\setminus\\{0\\}이어야 한다. 이에 따라, 수평엽들은 다음과 같은 수평선들이다. :\mathbb R+\mathrm it\qquad(t\in\mathbb R) 마찬가지로, 수직엽의 조건은 :\dot\gamma^2\in\mathbb R^-\subsetneq\mathbb C 인 것이다. 즉, \dot\gamma\in\mathrm i\mathbb R\setminus\\{0\\}이어야 한다. 이에 따라, 수직엽들은 다음과 같은 수직선들이다. :\mathrm i\mathbb R+t\qquad(t\in\mathbb R) 이들은 물론 각각 복소평면의 엽층을 이룬다. 보다 일반적으로, 임의의 리만 곡면 \Sigma 및 임의의 z\in\Sigma 및 임의의 정칙 이차 적분 q에 대하여, 만약 q|_z\ne0이라면, z의 충분히 작은 근방 U\ni z에서 q\restriction U는 (표준 좌표계에서) 상수 정칙 이차 미분이 되며, 표준 좌표계에서 수평엽과 수직엽은 위와 같이 (복소구조로 정의되는 등각 계량에 대하여) 서로 직교한다.Proposition 4.1
## 2차 극 근처의 정칙 이차 미분
\mathrm dz^2/z^2의 수평엽(푸른 반직선)과 수직엽(붉은 원) 복소평면 위의 정칙 이차 미분 :q=\frac{\mathrm dz^2}{z^2} 를 생각하자. 그렇다면, 수평엽의 조건은 :\dot\gamma(z)\in z\mathbb R 이므로, 수평엽은 원점에서 시작하는 반직선 :t\mapsto t\exp(\mathrm i\theta)\qquad(\theta\in\mathbb R) 이다. 마찬가지로, 수직엽의 조건은 :\dot\gamma(z)\in\mathrm iz\mathbb R 이므로, 수직엽은 원점을 중심으로 하는 원 :t\mapsto r\exp(\mathrm it)\qquad(r\in\mathbb R^+) 의 꼴이다.
# 역사
슈트레벨 미분은 스위스의 수학자 쿠르트 슈트레벨(Kurt Strebel, 1921~2013)이 도입하였다.