호몰로지 차원

환론과 호몰로지 대수학에서 **호몰로지 차원**(homology次元, homological dimension)은 환 및 그 가군 위에 정의될 수 있는 일련의 정수 값 차원들이다.
# 정의
아래 정의에서, 항상 :\sup\varnothing=-\infty :\inf\varnothing=+\infty 로 놓는다.
## 함자의 차원
두 아벨 범주 \mathcal A, \mathcal B 사이의 가법 함자 :F\colon\mathcal A\to\mathcal B 가 주어졌다고 하자. 만약 \mathcal A가 단사 대상을 충분히 가지는 범주일 때, F의 **코호몰로지 차원**(cohomology次元, cohomological dimension)은 다음과 같다.언어=en394, Definition 10.5.10 :\operatorname{cohd}F=\sup\\{n\in\mathbb N\colon\operatorname R^nF(A)=0\qquad\forall A\in\mathcal A\\}\in\mathbb N\sqcup\\{-\infty,+\infty\\} 여기서 \operatorname R^n은 n차 오른쪽 유도 함자를 뜻한다. 만약 F=0이라면 \operatorname{cohd}F=-\infty이다. 만약 \mathcal A가 사영 대상을 충분히 가지는 범주일 때, F의 **호몰로지 차원**(homology次元,homological dimension)은 다음과 같다.394, Definition 10.5.10 :\operatorname{hd}F=\sup\\{n\in\mathbb N\colon\operatorname L_nF(A)=0\qquad\forall A\in\mathcal A\\}\in\mathbb N\sqcup\\{-\infty,+\infty\\} 여기서 \operatorname L_n은 n차 왼쪽 유도 함자를 뜻한다. 만약 F=0이라면 \operatorname{hd}F=-\infty이다.
## 아벨 범주의 대상(가군)의 차원
Ext 함자 및 Tor 함자는 유도 함자의 특수한 경우이다. 이들을 사용하여, 아벨 범주의 대상에 대하여 여러 차원들을 정의할 수 있다.
### 사영 차원
아벨 범주 \mathcal C의 대상 M\in\mathcal A의 **사영 차원**(射影次元, projective dimension) :\operatorname{pd}_{\mathcal C}M\in\mathbb Z^+\cup\\{0,-\infty,+\infty\\} 은 다음과 같다. :\operatorname{pd}_{\mathcal C}M=\sup_{N\in\mathcal C}\\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\\} 여기서 \sup_{N\in\mathcal C}은 모든 대상 N\in\mathcal A에 대한 상한이며, \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}는 Ext 함자이다. 만약 \mathcal A가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다. * \operatorname{pd}_{\mathcal C}M은 M의 사영 분해(projective resolution) 0\to P_n\to P_{n-1}\to\cdots\to P_0\to M\to0 의 길이 n들의 하한이다. * \operatorname{pd}_{\mathcal C}M=\operatorname{cohd}\hom_{\mathcal C}(M,-) 특히, 영 대상 0\in\mathcal C의 사영 차원은 -\infty이다.
### 단사 차원
아벨 범주 \mathcal C의 대상 N\in\mathcal A의 **단사 차원**(單射次元, injective dimension) :\operatorname{id}_{\mathcal C}N\in\mathbb Z^+\cup\\{0,-\infty,+\infty\\} 은 다음과 같다. :\operatorname{id}_{\mathcal C}N=\sup_{M\in\mathcal C}\\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\\} 만약 \mathcal A가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다. * \operatorname{pd}_{\mathcal C}N은 M의 단사 분해(injective resolution) 0\rightarrow Q_n\rightarrow Q_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow Q_0\rightarrow N\to0의 길이 n들의 하한이다. * \operatorname{pd}_{\mathcal C}N=\operatorname{hd}\hom_{\mathcal C}(-,N) 특히, 영 대상 0\in\mathcal C의 단사 차원은 -\infty이다.
### 평탄 차원
환 R 위의 오른쪽 가군 M_R의 **평탄 차원**(平坦次元, flat dimension) 또는 **약한 차원**(弱-次元, weak dimension)은 다음과 같다. :\operatorname{fd}_R M = \sup_{N\in{}_R\operatorname{Mod\\{\operatorname{Tor}_n^R(M,N) \ne 0\\} 마찬가지로, R 위의 왼쪽 가군 _RN의 **평탄 차원** 또는 **약한 차원**은 다음과 같다. :\operatorname{fd}_R N = \sup_{M\in\operatorname{Mod}_R}\\{\operatorname{Tor}_n^R(M,N) \ne 0\\} 이는 M 또는 N의, 평탄 가군으로 구성된 분해의 길이들의 하한과 같다.
## 아벨 범주(환)의 차원
아벨 범주 \mathcal C의 **대역 차원**(大域次元, global dimension) \operatorname{gd}\mathcal C는 다음과 같다. :\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M,N\in\mathcal C}\\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\\} =\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{cohd}(\hom_{\mathcal C}(M,-)) =\sup_{N\in\mathcal C}\operatorname{cohd}(\hom_{\mathcal C}(-,N)) 만약 \mathcal C가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 단사 차원의 상한과 같다. :\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{id}_RM 만약 \mathcal C가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 사영 차원의 상한과 같다. :\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{pd}_RM 환 R 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 R\text{-Mod}는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 또한, 환 R 위의 왼쪽 유한 생성 가군들의 아벨 범주 R\text{-fgMod}는 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. (그러나 이는 일반적으로 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.) 이 두 아벨 범주의 대역 차원은 일치하며, 이를 R의 **왼쪽 대역 차원**(left global dimension)이라고 한다. :\operatorname{gd_L}R=\operatorname{gd}R\text{-Mod}=\operatorname{gd}R\text{-fgMod} 마찬가지로, (유한 생성) 오른쪽 가군들의 아벨 범주의 차원을 R의 **오른쪽 대역 차원**(right global dimension이라고 한다. :\operatorname{gd_R}R=\operatorname{gd}\text{Mod-}R=\operatorname{gd}\text{fgMod-}R=\operatorname{gd_L}R^{\operatorname{op 가환환의 경우 물론 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 일치한다. (비가환) (양쪽) 뇌터 환의 경우 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 서로 일치한다. 그러나 이는 일반적인 비가환환에 대하여 성립하지 않는다. 환 R의 **평탄 대역 차원**(平坦大域次元, flat global dimension) 또는 **약한 대역 차원**(弱-大域次元, weak global dimension) \operatorname{wgd}\mathcal C는 다음과 같다. :\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\operatorname{Mod}_R,\,N\in{}_R\operatorname{Mod\\{n\colon \operatorname{Tor}_n^K(M,N)\ne0\\} =\sup_{N\in{}_R\operatorname{Mod\operatorname{hd}(\otimes N) 여기서 \otimes N\colon \operatorname{Mod}_R\to \operatorname{Ab}는 텐서곱 함자이다. 이 개념들 사이의 관계는 다음과 같다. {| class=wikitable | 사영 차원 || 단사 차원 || 평탄 차원 |- ! 차원을 계산하는 가군 분해 | 사영 가군 분해 || 단사 가군 분해 || 평탄 가군 분해 |- ! 대응하는 대역 차원 | colspan=2 | 대역 차원 || 평탄 대역 차원 |- ! 함자 | \hom(M,-) || \hom(-,M) || \otimes M |- ! 유도 함자 | colspan=2 | Ext 함자 || Tor 함자 |}
# 성질

## 대역 차원
R가 (가환환이 아닐 수 있는) 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다. :\operatorname{gd_L}R = \operatorname{gd_R}R = \operatorname{fd}R R가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이 \mathfrak m이라면, 다음이 성립한다. :\operatorname{gd}R=\operatorname{pd}R/\mathfrak m 가환 뇌터 국소환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 대역 차원이 유한하다. * 정칙 국소환이다. 또한, 가환 뇌터 정칙 국소환의 경우 대역 차원은 크룰 차원과 같다.
## 오슬랜더-북스바움 공식
가군의 깊이 R가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이 \mathfrak m이며, M이 R 위의 유한 생성 아이디얼이며, 그 사영 차원이 유한하다고 하자. 그렇다면, 사영 차원과 가군의 깊이 사이에는 다음이 성립한다 (**오슬랜더-북스바움 공식** Auslander–Buchsbaum formula).언어=enTheorem 3.7 :\operatorname{pd}_RM+\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M=\operatorname{depth}_{\mathfrak m}R
# 예

## 체
체 K 위의 가군은 벡터 공간 V이며, 이 경우 모든 가군이 단사 가군이자 사영 가군이다. 따라서, 양의 차원의 모든 벡터 공간의 사영 차원 · 단사 차원 · 평탄 차원이 0이다. :\operatorname{pd}_KV=\operatorname{id}_KV=\operatorname{fd}_KV=\begin{cases} 0& V \ne 0\\\ -\infty & V = 0 \end{cases} 따라서, 체의 대역 차원과 평탄 대역 차원은 항상 0이다. :\operatorname{gd}K=\operatorname{fgd}K=0 체는 가환 뇌터 정칙 국소환이므로, 체의 크룰 차원 역시 0이다. (이는 체의 스펙트럼이 한원소 공간이므로 자명하게 알 수 있다.)
## 주 아이디얼 정역
R가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 정리가 성립한다. * 주 아이디얼 정역 위의 자유 가군의 부분 가군은 항상 자유 가군이다. *:따라서, 임의의 R-가군 M은 M=F/G와 같은 꼴(F와 G는 자유 가군)로 표현될 수 있다. * 주 아이디얼 정역 위의 모든 사영 가군은 자유 가군이다. (이는 유한 생성 가군 조건이 없이도 성립한다.) 이에 따라, 주 아이디얼 정역 위의 가군 M의 사영 차원과 평탄 차원은 다음과 같다. {| class=wikitable }_RM !! 평탄 차원 \operatorname{fd}_RM |- | 영가군 0 | −∞ || −∞ |- | 영가군이 아닌 자유 가군 | 0 || 0 |- | 자유 가군이 아닌 평탄 가군 | 1 || 0 |- | 평탄 가군이 아닌 가군 | 1 || 1 |} 특히, 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 대역 차원은 1이다. 정수환 \mathbb Z 위의 가군은 아벨 군 G이다. 정수환 위의 사영 가군 및 평탄 가군은 자유 아벨 군이며, 정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이다. 마찬가지로, 대역 차원이 1이므로, 주 아이디얼 정역 위의 모든 가군의 단사 차원은 다음과 같다. {| class=wikitable }_RM |- | 영가군 || −∞ |- | 영가군이 아닌 단사 가군 || 0 |- | 단사 가군이 아닌 가군 || 1 |}
## 자명환
자명환 0 위의 모든 가군은 자명군이다. 따라서, 그 대역 차원과 평탄 대역 차원은 -\infty이다.
## 다항식환
**힐베르트 삭망 정리**(Hilbert朔望定理, Hilbert’s syzygy theorem)에 따르면, R가 뇌터 가환환이며, 그 대역 차원이 유한하다면, \operatorname{gd}R[x]=\operatorname{gd}R+1이다. 뇌터 가환환 위의 다항식환은 물론 뇌터 가환환이므로, 이를 반복하면 다음을 얻는다. :\operatorname{gd}R[x_1,x_2,\dotsc,x_n] = \operatorname{gd}R+n 특히, 체 K 위의 다항식환 K[x_1,\dots,x_n]의 대역 차원은 n이다. 또한, 이 경우, 모든 가군은 길이 n 이하의 자유 가군으로 구성된 사영 분해를 갖는다.
# 역사
힐베르트 삭망 정리는 체의 경우 다비트 힐베르트가 1890년에 증명하였다.언어=en492, Theorem Ⅲ