프라티니 부분군

군론에서 **프라티니 부분군**(Frattini部分群, Frattini subgroup)은 어떤 군의, “매우 작은” 원소들만으로 구성된 정규 부분군이다. 구체적으로, “너무 작아서” 군을 생성할 때 불가결할 경우가 절대 없으며, 또한 모든 극대 진부분군에 속하는 원소들만으로 구성된다.
# 정의
군 G의 부분군들의 족을 :\operatorname{Sub}(G) 라고 하자. 이는 부분 집합 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이루며, 이는 사실 완비 격자를 이룬다. 이 완비 격자에서, 하한은 교집합이다. (그러나 상한은 합집합이 아니다.) 그 최대 원소는 물론 G\in\operatorname{Sub}(G)이다. 이제, \operatorname{Sub}(G) \setminus \\{G\\}의 극대 원소들의 집합 :\max(\operatorname{Sub}(G) \setminus \\{G\\})\subseteq \operatorname{Sub}(G) \setminus \\{G\\} 을 생각하자. (이는 공집합일 수 있다.) 군 G의 원소 a가 다음 조건을 만족시킨다면, **비생성원**(非生成元, non-generating element)라고 하자. * 만약 부분 집합 S\subseteq G가 G를 생성하며, a\in S라면, S\setminus \\{a\\} 역시 G를 생성한다. 이제, 다음 두 부분 집합이 일치하며, 이를 G의 **프라티니 부분군**이라고 하고, \operatorname\Phi(G)로 표기한다. * \textstyle\bigcap\max(\operatorname{Sub}(G)\setminus\\{G\\}) (즉, G의 모든 극대 진부분군들의 교집합) * G의 비생성원들의 집합 (여기서, \textstyle\bigcap\varnothing = G이다. 즉, 만약 극대 진부분군이 없다면, 프라티니 부분군은 G 전체이다.)

**증명 (비생성원 ⇒ 모든 극대 진부분군에 속함)**:

g\in G가 비생성원이라고 하고, M \in \max(\operatorname{Sub}(G)\setminus\\{G\\})가 G의 극대 진부분군이라고 하자. 이제, a\not\in M이라면, M\cup\\{g\\}로 생성되는 부분군을 생각하자. M이 극대 진부분군이므로, 이는 G이다. 그런데 M\cup \\{a\\}은 G의 생성 집합이지만 M은 G의 생성 집합이 아니다. 따라서 이는 모순이다.

**증명 (비생성원이 아님 ⇒ 속하지 않는 극대 진부분군이 존재)**:

어떤 원소 g\in G 및 부분 집합 S\subseteq G에 대하여, 만약 S\cup\\{g\\}가 G를 생성하지만, S는 G를 생성하지 않는다고 하자. 이제, S를 포함하며, g를 포함하지 않는 모든 부분군들의 족 :\\{H\in\operatorname{Sub}(G)\colon g\not\in H\supseteq S\\} 을 생각하자. 초른 보조정리에 따라, 이는 적어도 하나의 극대 원소 M\le G를 갖는다. 이제, 이 부분군이 G의 극대 진부분군임을 보이면 족하다. M을 포함하는 임의의 부분군 M를 생각하자. 이제, M이 \\{H\in\operatorname{Sub}(G)\colon g\not\in H\supseteq S\\}의 극대 원소이므로, g\in N이다. 그러므로, N = G이다. 따라서, M은 g를 포함하지 않는, G의 극대 진부분군이다.

# 성질
군 G의 프라티니 부분군은 항상 G의 정규 부분군이다.

**증명**:

G의 프라티니 부분군은 G의 부분군들의 완비 격자에 의하여 결정된다. G의 극대 진부분군의 집합은 G의 모든 자기 동형 사상 아래 불변이며, 따라서 그 교집합인 프라티니 부분군 역시 마찬가지다. 특히, 켤레 사상은 군의 자기 동형 사상이므로, 프라티니 부분군은 정규 부분군이다.

만약 G가 유한군이라면, 그 프라티니 부분군은 멱영군이다.

**증명**:

유한군이 멱영군일 필요충분조건은 모든 쉴로브 부분군이 정규 부분군인 것이므로, 임의의 소수 p 및 \Phi(G)의 쉴로브 p-부분군 P에 대하여, P가 \Phi(G)의 정규 부분군임을 보이는 것으로 족하다. \Phi(G)\vartriangleleft G이므로, 프라티니 논증에 따라 :G=\Phi(G)\operatorname N_G(P) 이다. 이는 \operatorname N_G(P)=G를 함의한다. 사실, 만약 \operatorname N_G(P)가 G의 진부분군이라면, G가 유한군이므로, \operatorname N_G(P)를 포함하는 G의 극대 진부분군이 존재한다. 그런데 이 극대 진부분군은 \Phi(G) 역시 포함하므로, G 전체이다. 이는 모순이다. 따라서 \operatorname N_G(P)=G이다. 즉, P는 G의 정규 부분군이며, 특히 \Phi(G)의 정규 부분군이다.

임의의 군 G 및 유한 정규 부분군 N\vartriangleleft G에 대하여, :\Phi(N)\le\Phi(G) 이다.

**증명**:

\Phi(N)을 포함하지 않는 극대 진부분군 M가 존재한다고 가정하자. N\vartriangleleft G이며 \Phi(N)이 N의 특성 부분군이므로, \Phi(N)\vartriangleleft G이다. 따라서, \Phi(N)\cup M으로 생성되는 부분군은 M\Phi(N)이다. M이 극대 진부분군이므로, M\Phi(N)=G이며, :(M\cap N)\Phi(N)=N 이다. M은 \Phi(N)을 포함하지 않으므로, N 역시 포함하지 않으며, M\cap N은 N의 진부분군이다. N이 유한군이므로, M\cap N을 포함하는 N의 극대 진부분군이 존재한다. 그런데 이 극대 진부분군은 \Phi(N) 역시 포함하므로, N 전체이다. 이는 모순이다.

임의의 두 유한군 G, H에 대하여, :\operatorname\Phi(G\times H) = \operatorname\Phi(G)\times\operatorname\Phi(H) 이다.
## *p*-군
**번사이드 기저 정리**(Burnside basis theorem)에 따르면, 임의의 유한 *p*-군 G에 대하여, 다음이 성립한다.zbl=0836.20001140, §5.3.2 * \Phi(G)=G^pG^{(1)}. 여기서 G^p는 G의 원소의 p제곱들로 생성된 G의 부분군이며, G^{(1)}는 G의 교환자 부분군이다. 따라서, \Phi(G)는 G/\Phi(G)가 유한 개의 크기 p의 순환군의 직접곱이 되게 만드는, G의 최소의 정규 부분군이다. * [G:\Phi(G)]=p^r라고 하자. 그렇다면, 만약 S가 G의 생성 집합이라면, S'\subseteq S이며, 크기가 r인 G의 생성 집합 S'이 존재한다. 특히, G의 임의의 극소 생성 집합의 크기는 r이다. 특히, G가 순환군일 필요충분조건은 G/\Phi(G)가 순환군인 것이다. 번사이드 기저 정리는 유한 *p*-군의 이론에서 여러 응용이 있다. 예를 들어, 임의의 유한 *p*-군 G의 극대 진부분군의 수는 :\frac{[G:\Phi(G)]-1}{p-1} 이다.
# 예
크기 8의 정이면체군 \operatorname{Dih}(4)의 부분군들의 하세 도표는 다음과 같다. : 이 경우, 극대 진부분군들은 위에서 둘째 줄의 세 부분군들이다. \operatorname{Dih}(4)의 프라티니 부분군은 이들의 교집합(하한)인, 셋째 줄의 가운데에 있는 부분군 {F, Ⅎ}이다. 초특별군의 프라티니 부분군은 그 중심과 일치하며, 소수 크기의 순환군이다.
## 극대 진부분군이 없는 군
유리수체의 덧셈군 (\mathbb Q,+)을 생각하자. 이는 극대 진부분군을 갖지 않으며, 따라서 그 프라티니 부분군은 \mathbb Q 전체이다. 마찬가지로, 자명군은 극대 진부분군을 갖지 않으며, 그 진부분군은 자명군이다.
# 역사
프라티니 (1900년대 촬영 사진) 조반니 프라티니(Giovanni Frattini, 1852~1925)가 1885년에 도입하였다.언어=it 이 논문에서 프라티니는 프라티니 부분군의 두 정의가 서로 동치임을 증명하였다.