모스 호몰로지

미분위상수학에서 **모스 호몰로지**(Morse homology)는 콤팩트 매끄러운 다양체의 호몰로지를 그 위의 실수 값 함수를 통해 구성하는 방법이다.언어=en언어=en 다양체의 위상을 실수 값 함수를 통해 분석하는 이론인 모스 이론의 일부이다.
# 정의

## 모스-스메일 함수
기울이지 않은 원환면 위의 높이 함수는 [[모스 함수이지만, 안장점에서 횡단 교차 조건을 충족시키지 못하여 모스-스메일 함수가 아니다.]] 살짝 기울인 원환면 위의 높이 함수는 모스-스메일 함수이다. 콤팩트 매끄러운 다양체 M 위에 임의의 리만 계량 g와 모스 함수 f를 정의하자. 이 경우 그 기울기 벡터장 \nabla f\in\Gamma(TM)을 정의할 수 있다. 각 임계점 x\in M에 대하여, \nabla f의 안정 부분 공간(stable subspace) W^\text{s}(x)과 불안정 부분 공간(unstable subspace) W^\text{u}(x)을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단 교차(transversal intersection)한다면 (즉, 모든 y\in W^\text{s}(x)\cap W^\text{u}(x)에서 T_yM=T_yW^\text{s}(x)\oplus T_yW^\text{u}(x)이라면) 순서쌍 (g,f)를 **모스-스메일 함수**(Morse-Smale函數, Morse–Smale function)라고 한다.언어=en 이는 마스턴 모스와 스티븐 스메일의 이름을 딴 것이다.
## 모스 호몰로지의 고전적 정의
f의 기울기 흐름(gradient flow)은 f의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 x_i, x_j 사이의 기울기 흐름들의 모듈라이 공간 \mathcal F(x_i,x_j)을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 모스 지표의 차의 절댓값과 같다. :\dim\mathcal F(x_i,x_j)=|\gamma(x_i)-\gamma(x_j)| 모스-스메일 함수 (g,f)가 주어진 콤팩트 매끄러운 다양체 M 위에, **모스 사슬 복합체**(Morse사슬複合體, Morse chain complex) C_i(M)는 모스 지표가 i인 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 그 위에 정의된 경계 연산자 :\partial_i\colon C_i(M)\to C_{i-1}(M) 는 x_i\in C_i(M)을 x_i로부터 시작하는 f의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 호몰로지 :H_\text{M}(M)=\ker\partial_i/\operatorname{im}\partial_{i+1} 를 **모스 호몰로지**라고 한다. 이는 모스-스메일 함수의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론(특이 호몰로지, 세포 호몰로지 등)과 일치함을 보일 수 있다.
## 모스-위튼 코호몰로지
모스 호몰로지는 초대칭 양자역학과 밀접한 관계를 가진다. 이를 사용하여, 모스 (코)호몰로지를 드람 코호몰로지와 호지 이론을 사용하여 재정의할 수 있다.언어=enurl-status=dead 이는 에드워드 위튼이 발견하였고, **모스-위튼 코호몰로지**(Morse–Witten cohomology)라고 불린다. 모스 함수 f가 주어진 콤팩트 리만 다양체 (M,g) 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자. :d_t=\exp(-tf)d\exp(tf) :d^\dagger_t=\exp(-tf)d^\dagger\exp(tf) :\Delta_t=d_td^\dagger_t+d^\dagger_td_t 그렇다면 \Delta_t의 고윳값에 따라, M 위의 k차 미분 형식들의 공간 \Omega^k을 다음과 같이 분해할 수 있다. :\Omega^k=\bigoplus_\lambda\Omega^k_\lambda(t) :\Delta_t\alpha=\lambda\alpha\forall\alpha\in\Omega^k_\lambda(t) 이 경우, t=0일 때 호지 이론에 따라서 :\Omega^k_0(0)\cong H_\text{dR}^k(M) 이다. 여기서 H_\text{dR}^\bullet은 드람 코호몰로지다. 반면, t\to\infty로 보내자. 그렇다면 \Omega^k_0(\infty)는 모스 지표가 k인 임계점 근처에 국소화된 k차 미분형식들로 이루어진 기저를 가진다. 즉, :\dim\Omega^k_0(\infty)=N_k 이다. 여기서 N_k는 모스 지표가 k인 임계점들의 개수다. 이 경우, 다음과 같은 **모스-위튼 복합체**(Morse-Witten複合體, Morse–Witten complex)가 존재한다. :\Omega_0^1(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\Omega_0^1(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\cdots\xrightarrow d\Omega_0^k(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\Omega_0^{k+1}(\infty)\xrightarrow {d_\infty}\cdots 여기서 공경계 연산자 d_\infty는 모스-스메일 호몰로지에서의 기울기 흐름과 대응한다. 이 복합체의 코호몰로지는 드람 코호몰로지와 일치하며, **모스-위튼 코호몰로지**라고 한다. 이는 M을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다. {| class="wikitable" |- ! 기호 !! 수학적 설명 !! 물리학적 설명 |- | C^\infty(M;\mathbb C) || M 위의 매끄러운 함수들 || M 위의 보손들의 힐베르트 공간 |- | \Omega^k(M)\otimes\mathbb C || M 위의 k차 미분 형식들의 공간 || 페르미온 수가 k인 상태들의 힐베르트 공간 |- | d\colon\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M) || 외미분 || 초대칭 연산자의 하나 |- | d^\dagger\colon\Omega^{k+1}(M)\to\Omega^k(M) || 외미분의 수반(adjoint) || 초대칭 연산자의 하나 |- | \Delta=dd^\dagger+d^\dagger d || 라플라스-벨트라미 연산자 || 자유 입자의 해밀토니언 |- | \Omega^k_0(\infty) || 모스 지표가 k인 임계점들로 생성되는 벡터 공간 || 페르미온 수가 k인 섭동적 초대칭 바닥 상태들의 힐베르트 공간 |- | d_\infty^k\colon\Omega^k_0(\infty)\to\Omega^{k+1}_0(\infty) || 모스-위튼 복합체의 공경계 연산자 || 순간자로 매개되는 터널 효과 |- | H_\text{MW}^k=\ker d^k_\infty/\operatorname{im}d^{k-1}_\infty || 모스-위튼 코호몰로지 군 || 참된 (비섭동적인) 초대칭 진공들의 힐베르트 공간 |}
# 역사
마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 1934년에 도입하였다.언어=en 1950년대에, 라울 보트는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 **모스-보트 이론**(Morse-Bott理論, Morse–Bott theory)을 도입하였고, 이를 사용하여 위상 K이론의 보트 주기성(Bott periodicity)을 증명하였다.pages=251–281pages=933–935pages=313–337 1982년에 에드워드 위튼은 모스 이론을 초대칭 양자역학을 사용하여 재정의하였다. 이를 **모스-위튼 이론**(Morse-Witten理論, Morse–Witten theory)이라고 한다.언어=en 1988년에 안드레아스 플뢰어(Andreas Floer)는 함수 공간에서의 모스 코호몰로지를 사용하여, 심플렉틱 다양체 및 3차원 다양체에 대한 **플뢰어 호몰로지**를 정의하였다.