초등대수학

**초등대수학**(Elementary algebra)은 수학의 주요 분야 중 하나인 대수학의 기본 개념 중 일부를 포함한다. 이 학문은 일반적으로 중등 학교 학생들에게 가르치고 산술에 대한 이해를 바탕으로 한다. 산술이 지정된 숫자를 다루는 반면,H.E. Slaught and N.J. Lennes, *Elementary algebra*, Publ. Allyn and Bacon, 1915, page 1 (republished by Forgotten Books) 대수는 변수로 알려진 고정 값이 없는 양을 도입한다.Lewis Hirsch, Arthur Goodman, *Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students*, Publisher: Cengage Learning, 2005, , 9780534999728, 654 pages, page 2 이러한 변수의 사용은 대수 표기법의 사용과 산술에 도입된 연산의 일반 규칙에 대한 이해를 수반한다. 추상 대수학과 달리 초등대수학은 실수 및 복소수 영역 밖의 대수 구조와 관련이 없다. 수량을 표시하기 위해 변수를 사용하면 수량 간의 일반적인 관계를 공식적이고 간결하게 표현할 수 있으므로 더 넓은 범위의 문제를 해결할 수 있다. 과학과 수학의 많은 양적 관계는 대수 방정식으로 표현된다.
# 대수 표기법
대수 표기법은 수학적 표현을 작성하기 위한 규칙과 관례뿐만 아니라 표현의 일부에 대해 이야기하는 데 사용되는 용어를 설명한다. *계수*는 변수를 곱하는 숫자 값 또는 숫자 상수를 나타내는 문자이다(연산자는 생략됨). *항*은 더하기 및 빼기 연산자에 의해 다른 항과 분리될 수 있는 계수, 변수, 상수 및 지수를 가리킨다.Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, *Introductory Algebra: An Applied Approach*, Publisher Cengage Learning, 2010, , 9781439046043, page 78 문자는 변수와 상수를 나타낸다. 관례에 따라 알파벳 시작 부분의 문자(예: a, b, c )는 일반적으로 상수를 나타내는 데 사용되며 알파벳의 끝 부분(예: x, y 및 z )는 변수를 나타내는 데 사용된다.William L. Hosch (editor), *The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry*, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, , 9781615302192, page 71 일반적으로 이탤릭체로 작성된다.James E. Gentle, *Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics*, Publisher: Springer, 1998, , 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183] 대수 연산 은 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 지수와 같은 산술 연산Horatio Nelson Robinson, *New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies*, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7과 같은 방식으로 작동한다.Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, *Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach*, Publisher: Cengage Learning, 2007, , 9780618851959, 1114 pages, page 6 대수 변수 및 용어에 적용된다. 곱셈 기호는 일반적으로 생략되며 두 변수 또는 항 사이에 공백이 없거나 계수가 사용될 때 암시된다. 예를 들어, 3 \times x^2 로 쓰여진다 3x^2, 그리고 2 \times x \times y 쓰여질 수 있다 2xy .Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in *Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook*, Publisher Panpac Education Pte Ltd, , 9789812738820, page 68 일반적으로 가장 높은 거듭제곱( 지수 )을 가진 항은 왼쪽에 기록된다. 예를 들어, x^2 x 의 왼쪽에 쓴다. 계수가 1이면 일반적으로 생략된다(예: 1x^2는 x^2으로 쓴다 ).David Alan Herzog, *Teach Yourself Visually Algebra*, Publisher John Wiley & Sons, 2008, , 9780470185599, 304 pages, page 72 마찬가지로 지수(제곱)가 1일 때(예: 3x^1는 3x로 쓴다).John C. Peterson, *Technical Mathematics With Calculus*, Publisher Cengage Learning, 2003, , 9780766861893, 1613 pages, page 31 지수가 0이면 결과는 항상 1이다(예: x^0 은 1이다 )로 다시 작성된다.Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, *Algebra for College Students*, Publisher Cengage Learning, 2010, , 9780538733540, 803 pages, page 222 하지만 0^0, 정의되지 않았으므로 표현식에 나타나지 않아야 하며 변수가 지수에 나타날 수 있는 표현식을 단순화하는 데 주의해야 한다.
## 대체 표기법
다른 유형의 표기법은 필요한 형식을 사용할 수 없거나 문자와 기호만 사용할 수 있는 경우와 같이 암시할 수 없는 경우 대수식에 사용된다. 이에 대한 설명으로 지수는 일반적으로 위 첨자를 사용하여 형식이 지정된다. 예: x^2, 일반 텍스트 및 TeX 마크업 언어에서 캐럿 기호 "^"는 지수를 나타낸다. x^2 "x^2".,Ramesh Bangia, *Dictionary of Information Technology*, Publisher Laxmi Publications, Ltd., 2010, , 9789380298153, page 212George Grätzer, *First Steps in LaTeX*, Publisher Springer, 1999, , 9780817641320, page 17 및 Lua와 같은 일부 프로그래밍 언어로 작성된다. Ada,S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, *Ada 2005 Reference Manual*, Volume 4348 of Lecture Notes in Computer Science, Publisher Springer, 2007, , 9783540693352, page 13 Fortran,C. Xavier, *Fortran 77 And Numerical Methods*, Publisher New Age International, 1994, , 9788122406702, page 20 Perl,Randal Schwartz, Brian Foy, Tom Phoenix, *Learning Perl*, Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, , 9781449313142, page 24 파이썬Matthew A. Telles, *Python Power!: The Comprehensive Guide*, Publisher Course Technology PTR, 2008, , 9781598631586, page 46 및 Ruby,Kevin C. Baird, *Ruby by Example: Concepts and Code*, Publisher No Starch Press, 2007, , 9781593271480, page 72 같은 프로그래밍 언어에서는 이중 별표가 사용되므로 x^2 "x**2"로 작성된다. 많은 프로그래밍 언어와 계산기는 곱셈 기호를 나타내기 위해 단일 별표를 사용한다.William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, *Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others*, Publisher MAA, 2004, , 9780883857366, page 75 예를 들어 다음과 같이 명시적으로 사용해야 한다. 3x "3*x"로 기록된다.
# 개념

## 변수
원에 대해 둘레 c 를 직경 d 로 나눈 값은 상수 pi와 같다. \pi (약 3.14).]] 초등대수학은 일반(지정되지 않은) 숫자를 나타내는 변수라는 문자를 도입하여 산술Thomas Sonnabend, *Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8*, Publisher: Cengage Learning, 2009, , 9780495561668, 759 pages, page xvii을 구축하고 확장한다. 이것은 여러 가지 이유로 유용하다. # **변수는 값이 아직 알려지지 않은 숫자를 나타낼 수 있다** . 예를 들어, 오늘의 온도 C가 전날의 온도 P보다 20도 높으면 문제는 대수적으로 다음과 같이 설명할 수 있다. C = P + 20 .Lewis Hirsch, Arthur Goodman, *Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students*, Publisher: Cengage Learning, 2005, , 9780534999728, 654 pages, page 48 # **변수를 사용하면 관련된 양의 값을 지정하지 않고Lawrence S. Leff, *College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys*, Publisher: Barron's Educational Series, 2005, , 9780764129148, 230 pages, page 2 *일반적인* 문제를 설명할 수 있다.** 예를 들어 5분은 다음과 같다고 구체적으로 말할 수 있다. 60 \times 5 = 300 초. 보다 일반적인(대수적) 설명은 초 수, s = 60 \times m, 여기서 m은 분 수이다. # **변수를 사용하면 변할 수 있는 수량 간의 수학적 관계를 설명할 수 있다.**Ron Larson, Kimberly Nolting, *Elementary Algebra*, Publisher: Cengage Learning, 2009, , 9780547102276, 622 pages, page 210 예를 들어, 원의 둘레 *c* 와 지름 *d* 사이의 관계는 다음과 같이 설명된다. \pi = c /d . # **변수를 사용하면 몇 가지 수학적 속성을 설명할 수 있다.** 예를 들어, 덧셈의 기본 속성은 함께 더해지는 숫자의 순서가 중요하지 않다는 가환성이다. 교환성은 다음과 같이 대수적으로 표현된다. (a + b) = (b + a) .Charles P. McKeague, *Elementary Algebra*, Publisher: Cengage Learning, 2011, , 9780840064219, 571 pages, page 49
## 표현식 단순화
산술 연산의 기본 속성( 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 지수 )을 기반으로 대수 표현식을 평가하고 단순화할 수 있다. 예를 들어, * 추가된 항은 계수를 사용하여 단순화된다. 예를 들어, x + x + x 다음과 같이 단순화할 수 있다. 3x (여기서 3은 수치 계수임). * 곱한 항은 지수를 사용하여 단순화된다. 예를 들어, x \times x \times x 로 표현된다 x^3 * 예를 들어,Andrew Marx, *Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores*, Publisher Kaplan Publishing, 2007, , 9781419552885, 288 pages, page 51url=https://books.google.com/books?id=o9GYQjZ7ZwUC&lpg;=PP1&ots;=pT-MpWMJty&dq;=algebra%20addition%20%22like%20terms%22&pg;=PA51과 같은 용어가 함께 추가된다. 2x^2 + 3ab - x^2 + ab 로 쓰여진다 x^2 + 4ab, 포함하는 용어 때문에 x^2 함께 추가되고, 다음을 포함하는 용어 ab 함께 추가된다. * 대괄호는 분배적 속성을 사용하여 "곱할 수 있다". 예를 들어, x (2x + 3) 다음과 같이 쓸 수 있다. (x \times 2x) + (x \times 3) 다음과 같이 쓸 수 있는 2x^2 + 3x * 표현식을 인수분해할 수 있다. 예를 들어, 6x^5 + 3x^2, 두 항을 다음으로 나누어 3x^2 다음과 같이 쓸 수 있다. 3x^2 (2x^3 + 1)
## 등식
등식은 같음 기호 = ( 등호 )를 사용하여 두 식이 같음을 나타낸다.Mark Clark, Cynthia Anfinson, *Beginning Algebra: Connecting Concepts Through Applications*, Publisher Cengage Learning, 2011, , 9780534419387, 793 pages, page 134 가장 잘 알려진 등식 중 하나는 직각삼각형의 변의 길이와 관련된 피타고라스의 법칙을 설명한다.Alan S. Tussy, R. David Gustafson, *Elementary and Intermediate Algebra*, Publisher Cengage Learning, 2012, , 9781111567682, 1163 pages, page 493 : c^2 = a^2 + b^2 이 방정식은 다음을 나타낸다. c^2 빗변인 변의 길이의 제곱을 나타내는, 직각의 반대 변은 길이가 a 와 b 로 표시되는 다른 두 변의 제곱의 합(덧셈)과 같다.
### 평등의 속성
정의에 따르면 평등은 등가 관계이며, 이는 속성이 (a) 재귀적 (즉, b = b ), (b) 대칭 (즉, a = b 그 다음에 b = a ) (c) 타동사 a = b 그리고 b = c 그 다음에 a = c ).Douglas Downing, *Algebra the Easy Way*, Publisher Barron's Educational Series, 2003, , 9780764119729, 392 pages, page 20 또한 두 개의 기호가 동일한 것에 사용되면 첫 번째에 대한 참 진술에서 하나의 기호가 다른 것으로 대체될 수 있고 그 진술은 참으로 유지된다는 중요한 속성을 충족한다. 이는 다음 속성을 의미한다. * 만약 a = b 그리고 c = d 그 다음에 a + c = b + d 그리고 ac = bd ; * 만약 a = b 그 다음에 a + c = b + c 그리고 ac = bc ; * 더 일반적으로, 어떤 함수 f 에 대해, 만약 a=b 그 다음에 f(a) = f(b) .
### 부등식의 속성
~보다 작은 관계 속성이 있다:Ron Larson, Robert Hostetler, *Intermediate Algebra*, Publisher Cengage Learning, 2008, , 9780618753529, 857 pages, page 96 * 만약에 a 0 그 다음에 ac 예를 들어Chris Carter, *Physics: Facts and Practice for A Level*, Publisher Oxford University Press, 2001, , 9780199147687, 144 pages, page 50로 바꿀 수 있다. * a a
## 치환
치환은 새 표현식을 만들기 위해 표현식의 용어를 바꾸는 것이다. a *a**5 표현식에서 3을 대입하면 15 를 의미하는 새로운 표현식 3*5 가 된다. 진술의 조건을 치환하면 새로운 진술이 된다. 원래의 명제가 항의 값과 관계없이 참이면 치환에 의해 생성된 명제도 참이다. 따라서 정의는 상징적 용어로 만들어지고 치환을 통해 해석될 수 있다.
# 대수 방정식 풀기
선형 방정식은 플로팅될 때 직선을 설명하기 때문에 이른바 선형 방정식이다. 풀기 가장 간단한 방정식은 변수가 하나만 있는 선형 방정식이다. 지수가 없는 상수와 단일 변수만 포함한다. 예를 들어 다음을 고려하십시오. : 단어 문제: 아이의 나이를 두 배로 늘리고 4를 더하면 결과는 12이다. 아이는 몇 살입니까? : 등가 방정식: 2x + 4 = 12 여기서 x 는 어린이의 나이를 나타낸다. 이러한 종류의 방정식을 풀기 위해 방정식의 한 쪽에서 변수를 분리하기 위해 방정식의 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누는 기술이다. 변수가 분리되면 방정식의 다른 쪽은 변수 값이다.isbn=0-471-50636-2 이 문제와 해결 방법은 다음과 같다. {| |1. 풀이 방정식: | 2x + 4 = 12 |- | 2. 양쪽에서 4를 뺀다. | 2x + 4 - 4 = 12 - 4 |- | 3. 이렇게 하면 다음이 간소화된다. | 2x = 8 |- | 4. 양변을 2로 나눈다. | \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} |- | 5. 이것은 답을 단순화한다. | x = 4 |} 즉, 아이는 4 살이다.
## 두 개의 변수가 있는 선형 방정식
두 개의 선형 방정식이 교차하는 지점에서 고유한 솔루션을 사용하여 푼다. 두 개의 변수가 있는 선형 방정식에는 많은(즉, 무한한 수) 해가 있다.Sinha, *The Pearson Guide to Quantitative Aptitude for CAT 2/e*Publisher: Pearson Education India, 2010, , 9788131723661, 599 pages, page 195 예를 들어: : 말의 문제: 아버지는 아들보다 22살이 많다. 그들을 몇 살 이니? : 등가 방정식: y = x + 22 여기서 y 는 아버지의 나이이고 x 는 아들의 나이이다. 그것은 스스로 해결할 수 없다. 아들의 나이가 알려지면 더 이상 두 개의 미지수(변수)가 없을 것이다. 그러면 문제는 위에서 설명한 대로 풀 수 있는 변수가 하나만 있는 선형 방정식이 된다. 두 개의 변수(알 수 없음)가 있는 선형 방정식을 풀려면 두 개의 관련 방정식이 필요하다. 예를 들어 다음과 같은 사실도 밝혀진 경우: ; 단어의 문제 : 10년 후에는 아버지의 나이가 아들의 두 배이다. ; 등가 방정식 : \begin{align} y + 10 &= 2 \times (x + 10)\\\ y &= 2 \times (x + 10) - 10 \\\ y &= 2x + 20 - 10 \\\ y &= 2x + 10 \end{align} 이제 두 개의 관련된 선형 방정식이 있다. 각각은 두 개의 미지수를 가지고 있다. 이를 통해 하나의 변수를 다른 변수에서 빼서 선형 방정식을 생성할 수 있다(제거 방법이라고 함).Cynthia Y. Young, *Precalculus*, Publisher John Wiley & Sons, 2010, , 9780471756842, 1175 pages, page 699 : \begin{cases} y = x + 22 & \\\ y = 2x + 10 & \end{cases} : \begin{align} 0 &= x - 12 && \\\ 12 &= x && \\\ x &= 12 && \end{align}
## 이차 방정식
이차 방정식은 지수가 2인 항을 포함하는 방정식이다. 예를 들어, x^2,Mary Jane Sterling, *Algebra II For Dummies*, Publisher: John Wiley & Sons, 2006, , 9780471775812, 384 pages, page 37 지수가 더 높은 항은 없다. 이름은 정사각형을 의미하는 라틴어 *quadrus*에서 파생된다.John T. Irwin, *The Mystery to a Solution: Poe, Borges, and the Analytic Detective Story*, Publisher JHU Press, 1996, , 9780801854668, 512 pages, page 372 일반적으로 이차 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다. ax^2 + bx + c = 0,Sharma/khattar, *The Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E*, Publisher Pearson Education India, 2010, , 9788131723630, 1248 pages, page 621 여기서 a는 0이 아니다(0이면 방정식은 2차가 아니라 선형이 된다). 이 때문에 이차 방정식에는 다음 항이 포함되어야 한다. ax^2, 이는 2차 항으로 알려져 있다. 따라서 a \neq 0, 그래서 우리는 방정식을 a 나누고 방정식을 표준 형식으로 재정렬할 수 있다. : x^2 + px + q = 0 어디 p = \frac{b}{a} 그리고 q = \frac{c}{a} . 이것을 풀기 위한 공식은 다음과 같다. : x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac{2a},
## 지수 및 로그 방정식
지수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖는 방정식이다. a^x = b (a > 0),Aven Choo, *LMAN OL Additional Maths Revision Guide 3*, Publisher Pearson Education South Asia, 2007, , 9789810600013, page 105 풀이는 다음과 같다. : X = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} b > 0일 때는 그러하다. 기본 대수 기술은 솔루션에 도달하기 전에 위의 방식으로 주어진 방정식을 다시 작성하는 데 사용된다. 예를 들어 : 3 \cdot 2^{x - 1} + 1 = 10 그런 다음 방정식의 양변에서 1을 빼고 양변을 3으로 나누면 다음을 얻는다. : 2^{x - 1} = 3 어떻게 : x - 1 = \log_2 3 : x = \log_2 3 + 1.