샤우데르 기저

함수해석학에서 **샤우데르 기저**(Schauder基底, Schauder basis)는 위상 벡터 공간에 대하여 정의되는, 벡터 공간의 기저와 유사한 개념이다.url-status=dead§10, 89–102 그러나 벡터 공간의 기저에서는 모든 원소가 유한 개의 기저 벡터의 합으로 나타내어지는 반면, 샤우데르 기저의 경우 모든 원소는 샤우데르 기저 벡터들의 무한 급수로 나타내어진다.
# 정의
N\in\\{0,1,2,\dots,\infty\\}라고 하자. 위상체 K 위의 위상 벡터 공간 V 위의 **샤우데르 기저** \\{e_i\\}_{i=1}^N\subset V는 다음 조건을 만족시키는 원소들의 열이다. * 임의의 원소 v\in V에 대하여, \textstyle v=\sum_{i=1}^N a_ie_i가 되는 수열 \\{a_i\\}_{i=1}^N\subset K이 유일하게 존재한다. 여기서 N=\infty일 경우 급수의 수렴은 V의 위상으로 정의된다. N=\infty일 경우, 샤우데르 기저의 순서가 중요한데, 이는 위 급수의 수렴이 절대 수렴이 아닐 수 있기 때문이다. 반면, N<\infty일 경우 샤우데르 기저의 순서는 중요하지 않으며, 이 경우 벡터 공간의 일반적 기저의 개념와 일치한다. 바나흐 공간 (V,\|{-}\|) 위의 샤우데르 기저 \\{e_i\\}_{i=1}^N가 다음 조건을 만족시킨다면, **정규 샤우데르 기저**(正規Schauder基底, normalized Schauder basis)라고 한다. * 모든 i=1,\dots,N에 대하여, \|e_i\|=1
## 무조건 샤우데르 기저
N\in\\{0,1,2,\dots,\infty\\}라고 하자. 위상체 K 위의 위상 벡터 공간 V 위의 샤우데르 기저 \\{e_i\\}_{i=1}^N\subset V가 다음 조건을 만족시킨다면, **무조건 샤우데르 기저**(無條件Schauder基底, unconditional Schauder basis)라고 한다. * 임의의 v\in V 및 \\{1,2,\dots,N\\}의 임의의 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(\\{1,2,\dots,N\\})에 대하여, \textstyle v=\sum_{i=1}^Na_ie_i라고 하면, \textstyle\sum_{i=1}^Na_{\sigma(i)}e_{\sigma(i)} 역시 수렴한다. 무조건 샤우데르 기저는 전순서를 무시할 수 있다. N<\infty인 샤우데르 기저는 무조건 샤우데르 기저이다.
# 성질

## 균등 유계성
K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\} 위의 바나흐 공간 V의 샤우데르 기저 \\{e_i\\}_{i=1}^N이 주어졌다고 하자. 그렇다면 :T_i\colon\sum_{i=1}^Na_ie_i\mapsto a_i 는 모두 유계 작용소이다. 사실, 만약 \\{e_i\\}_{i=1}^N가 정규 샤우데르 기저라면, 균등 유계성 원리에 따라 :\sup\\{\|T_i\|\\}_{i=1}^N<\infty 이다. (여기서 \|{-}\|는 작용소 노름)
## 존재
샤우데르 기저를 가지는 바나흐 공간은 항상 분해 가능 공간이다.

**증명:**

K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}이며, K-바나흐 공간 V의 샤우데르 기저 \\{e_i\\}_{i=1}^N이 주어졌다고 하자 (N\in\\{0,1,\dots,\infty\\}). 그렇다면, :\tilde K=\begin{cases}\mathbb Q&K;=\mathbb R\\\ \mathbb Q+\mathrm i\mathbb Q&K;=\mathbb C \end{cases} 를 정의하고, :\tilde V=\left\\{a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n\colon n\in\mathbb N,\;a_1,a_2,\dots,a_n\in\tilde K\right\\}\subset V 를 생각하자. \tilde V는 가산 집합이므로, \tilde V가 조밀 집합임을 보이면 족하다. 임의의 원소 :V\ni v=\sum_{i=1}^Nb_ie_i\qquad(b_i\in K\forall i=1,\dots,N) 및 임의의 양의 실수 \epsilon\in\mathbb R^+가 주어졌다고 하자. 이제, \|v-\tilde v\|<\epsilon인 \tilde v\in D를 찾으면 족하다. \tilde K\subset K의 조밀성으로 인하여, :|b_i-\tilde b_i|<\frac{\epsilon}{2^i\|e_i\|} 인 \tilde b_i\in\tilde K를 고를 수 있다. 그렇다면 :\tilde v=\sum_{i=1}^N\tilde b_ie_i 로 놓으면, 삼각 부등식으로 인하여 :\|v-\tilde v\|\le\sum_{i=1}^N|b_i-\tilde b_i|\cdot\|e_i\| <\epsilon\sum_{i=1}^N2^{-i}\le\epsilon 이다.

그러나 샤우데르 기저를 갖지 않는 분해 가능 바나흐 공간이 존재한다.url-status=dead
## 기본열
바나흐 공간 V의 원소의 열 \\{v_i\\}_{i=1}^\infty\subseteq V가 선형 생성 :\operatorname{Span}\\{v_i\\}_{i=1}^\infty=\\{a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_kv_k\colon k\in\mathbb Z^+,\;a_1,\dots,a_k\in K\\} 의 폐포의 샤우데르 기저를 이룬다면, 이를 **기본열**(基本列, basic sequence)이라고 한다. 만약 기본열이 그 선형 생성의 폐포의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다면, 이를 **무조건 기본열**(無條件基本列, unconditional basic sequence)라고 한다. 모든 무한 차원 바나흐 공간은 기본열을 가진다. 그러나 무조건 기본열을 갖지 않는 무한 차원 바나흐 공간이 존재한다.언어=en
# 예
분해 가능 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 항상 무조건 샤우데르 기저이다. L*p* 공간 \ell^p=\operatorname L^p(\mathbb N)이 주어졌다고 하자. 그렇다면 표준 기저 :\\{(e_n)_i=\delta_{ni}\\}_{n\in\mathbb N} 은 1\le p<\infty에 대하여 샤우데르 기저를 이룬다.
# 역사
페르 엔플로에게 거위를 증정하는 [[스타니스와프 마주르]] 율리우시 샤우데르가 1927년에 도입하였다.언어=de 스타니스와프 마주르는 1936년 11월 6일에 모든 분해 가능 바나흐 공간이 샤우데르 기저를 가지는지에 대한 문제를 제기하였고, 이를 증명하는 이에게 살아있는 거위를 포상하겠다고 공언하였다. 1973년에 스웨덴의 페르 엔플로가 이 문제를 부정적으로 해결하였고, 마주르는 엔플로에게 살아있는 거위를 선물하였다. 이 장면은 전 폴란드에 텔레비전으로 중계되었다.