모리타 동치

환론에서 **모리타 동치**([森田]同値, Morita equivalence)는 두 환 위의 가군 범주가 서로 동치가 되는 현상이다.
# 정의

## 모리타 동치
환 R 위의 오른쪽 가군 U_R가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥 (R,S,U,V,\phi,\psi)을 다음과 같이 정의할 수 있다. * S=\hom_R(U_R,U_R) * {}_RV=\hom_R(_SU_R,_RR_R) * \phi\colon U\otimes_RV\to S, (u\otimes v)\mapsto (u'\mapsto uv(u')) * \psi\colon V\otimes_SU\to R, (v\otimes u)\mapsto v(u) U_R가 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 \operatorname{Mod}_R의 생성 대상이라고 하자. 그렇다면, U_R에 대응되는 모리타 문맥 (R,S,U,V,\phi,\chi)에 대하여, * \otimes_RV_S\colon\operatorname{Mod}_R\rightleftarrows\operatorname{Mod}_S\colon\otimes_SU_R는 범주의 동치를 이룬다. * _SU\otimes_R\colon{}_R\operatorname{Mod}\rightleftarrows{}_S\operatorname{Mod}_S\colon _SV\otimes_R는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다. 반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 \operatorname{Mod}_R의 생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치 :F\colon\operatorname{Mod}_R\rightleftarrows\operatorname{Mod}_S\colon G 가 주어졌을 때, * _SU_R=G(_SS_S) * _RV_S=F(_RR_R) 로 놓으면, U_R는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 \operatorname{Mod}_R의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는 U_R에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다. :F\cong \otimes_RV :G\cong \otimes_SU 또한, 임의의 두 환 (R,S)에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다. * 가법 동치 \operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Mod}_S의 (자연 동형에 대한) 동형류 * 다음 두 조건을 만족시키는 (S,R)-쌍가군 _SU_R들의 동형류 ** U_R는 사영 가군이며, 유한 생성 가군이며, 범주 \operatorname{Mod}_R의 생성 대상이다. ** _SU_R는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군이다. 이와 같이, 두 환 R, S 위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 **모리타 동치**(Morita-equivalent)라고 하며, :R\approx S 로 표기한다.
## 모리타 쌍대성
쌍가군 _SU_R이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다. :\hom_R\left((-)_R,_SU_R\right)\colon\operatorname{Mod}_R\to{}_S\operatorname{Mod}^{\operatorname{op :\hom_S\left(_S(-),_SU_R\right)\colon{}_S\operatorname{Mod}\to\operatorname{Mod}_R^{\operatorname{op 이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다. :\hom_R\left((-)_R,_SU_R\right)\dashv \hom_S\left(_S(-),_SU_R\right) 수반 함자의 성분인 자연스러운 사상 :M_R\to \hom_S\left(\hom_R(M_R,_SU_R),_SU_R\right) 이 동형 사상일 경우, R-오른쪽 가군 M_R를 **U-반사 가군**(U-reflexive module)이라고 하자. 마찬가지로 S-왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를 \operatorname{Mod}_R[U] 및 _S\operatorname{Mod}[U]로 표기하자. 이 경우, \operatorname{Mod}_R[U]와 _S\operatorname{Mod}[U]^{\operatorname{op는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다. 아벨 범주 \mathcal A의 충만한 부분 가법 범주 \mathcal C가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다. :짧은 완전열 0\to A\to B\to C\to0에 대하여, A,C\in\mathcal C라면 B\in\mathcal C이다. 쌍가군 _SU_R에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다. * \operatorname{Mod}_R[U]는 \operatorname{Mod}_R의 세르 부분 범주이며, _S\operatorname{Mod}[U]는 _S\operatorname{Mod}의 세르 부분 범주이며, R_R\in \operatorname{Mod}_R[U]이며, _SS\in_S\operatorname{Mod}[U]이다. * R_R, U_R, _SS, _SU의 모든 몫가군은 U-반사 가군이다. * U_R는 단사 가군이자 \operatorname{Mod}_R의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로 _SU는 단사 가군이자 _S\operatorname{Mod}의 쌍대 생성 대상이며, 또한 _SU_R는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다. 이 경우, U가 **모리타 쌍대성**(Morita duality)을 정의한다고 한다. 또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은 U-반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는 U 및 U'에 대하여, U-반사 가군인지 여부는 U'-반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은 U에 의존하지 않는다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.
# 예
모든 환 R 및 양의 정수 n에 대하여, R는 \operatorname{Mat}(n;R)와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 모리타 문맥은 R-자유 가군 U=R^{\oplus n}에 의하여 생성된다. 즉, * S=\operatorname{End}_R(R^{\oplus n})=\operatorname{Mat}(n;R) * _RU_S=R^{\oplus n}. 이는 행벡터(=1\times n 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다. * _SV_R=R^{\oplus n}. 이는 열벡터(=n\times1 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다. * \phi\colon _RU\otimes_SV_R\to {}_RR_R는 행벡터와 열벡터의 스칼라곱이다. * \psi\colon _SV\otimes_RU_S\to _SS_S는 열벡터와 행벡터의 외적이다. 아르틴-웨더번 정리에 따라서, 모든 반단순환 R는 유한 개의 나눗셈환 D_1,\dots,D_k 위의 행렬환 \operatorname{Mat}(n_i,D_i)들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다. :R\cong\operatorname{Mat}(n_1;D_1)\times\cdots\times\operatorname{Mat}(n_k;D_k)\approx D_1\times\cdots\times D_k
# 역사
모리타 동치와 모리타 쌍대성은 모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 도입하였다.언어=en