자유 가군

대수 구조 환론에서 **자유 가군**(自由加群, free module)은 **기저**를 가지는 가군이며, 가군의 대수 구조 다양체에서의 자유 대수이다. 어떤 자유 가군의 **기저**(基底, basis)는 그 가군을 선형생성하는, 선형 독립인 부분 집합이다. 달리 말해, 자유 가군의 임의의 원소에 선형 결합으로서 유일한 표현을 부여하는 가군의 부분 집합이다.
# 정의
모든 환은 곱셈 항등원을 가지며, 모든 가군에 항등원이 항등 함수로 작용한다고 하자.
## 기저
환 R 위의 왼쪽 가군 M의 **기저**(basis) 또는 **하멜 기저**(Hamel basis)는 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합 B\subseteq M이다. * (선형 생성) 임의의 가군 원소 m\in M에 대하여, m=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n인 유한 개의 기저 원소 b_1,b_2,\dots,b_n\in B 및 r_1,r_2,\dots,r_n\in R가 존재한다. * (선형 독립) 임의의 유한 개의 기저 원소 b_1,b_2,\dots,b_n\in B 및 r_1,r_2,\dots,r_n\in R에 대하여, 만약 0=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n이라면, 0=r_1=r_2=\cdots=r_n이다. 오른쪽 가군의 경우도 마찬가지로 정의된다. "하멜 기저"는 특히 바나흐 공간의 샤우데르 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 구분하기 위하여 사용된다. 이에 따라, 만약 왼쪽 가군 _RM의 기저 B가 존재한다면, 가군의 모든 원소 m을 다음과 같은 꼴로 (항의 순서를 무시하면) 유일하게 나타낼 수 있다. :m=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n\qquad(n\in\mathbb N,\;r_1,\dots,r_n\in R\setminus\\{0\\},\;b_1,\dots,b_n\in B) (여기서 \mathbb N은 음이 아닌 정수의 집합이며, 0개의 항의 합은 0\in M으로 정의한다.) **순서 기저**(順序基底, ordered basis)는 임의의 전순서를 부여한 기저이다. 유한 순서 기저 \\{b_1,b_2,\dots,b_n\\}를 가진 자유 가군 M의 임의의 원소 m\in M는 다음과 같이 표준적으로 유일하게 표시할 수 있다. :m=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n\qquad(r_1,\dots,r_n\in R) 이 경우, r_i를 m의 **i번째 좌표**(ith coordinate)라고 한다. 행렬 표기법을 사용할 경우, 흔히 이는 :m=\begin{pmatrix} r_1\\\r_2\\\\\vdots\\\r_n \end{pmatrix} 로 표기한다.
## 자유 가군
(곱셈 항등원을 갖춘) 환 R 위의 **자유 왼쪽 가군**(free left module)은 적어도 하나의 기저를 가질 수 있는 R 위의 왼쪽 가군이다. 오른쪽 가군에 대해서도 기저 및 **자유 오른쪽 가군**(free right module)을 마찬가지로 정의할 수 있다.
# 성질
모든 자유 가군은 사영 가군이다. 반대로, (가환) 국소환 또는 주 아이디얼 정역에 대한 사영 가군은 자유 가군이다. 이들은 다음과 같은 함의 관계의 일부이다. :파일:Module properties in commutative 나눗셈환 위의 모든 왼쪽 가군은 자유 왼쪽 가군이며, 나눗셈환 위의 모든 오른쪽 가군은 자유 오른쪽 가군이다. (이 사실을 증명하기 위해서는 일반적으로 선택 공리가 필요하다.) 특히, 체 위의 가군은 벡터 공간이라고 하며, 벡터 공간은 항상 자유 가군이다. (체는 가환환이므로 왼쪽·오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.)
## 불변 기저 수 성질
환 R가 주어졌을 때, 임의의 두 양의 정수 m,n\in\mathbb Z^+에 대하여 _R(R^m)\cong {}_R(R^n)이라면 (즉, R-왼쪽 가군으로서 서로 동형일 경우) m=n이 성립할 경우, R가 왼쪽 **불변 기저 수 성질**(不變基底數性質, invariant basis number property, 약자 IBN)을 만족시킨다고 한다. 불변 기저 수 성질을 만족시키는 환 위의 자유 가군의 경우, 그 계수를 유일하게 정의할 수 있다. 다음과 같은 환들은 왼쪽 가군에 대한 불변 기저 수 성질을 만족시킨다. * 자명환이 아닌 가환환 * 자명환이 아닌 왼쪽 뇌터 환 * 자명환이 아닌 반국소환(semilocal ring, 제이컵슨 근기에 대한 몫환이 반단순환인 환) 특히, 모든 나눗셈환은 왼쪽·오른쪽 불변 기저 수 성질을 만족시킨다. 불변 기수 성질은 유한 집합에서만 의미가 있는데, 이는 무한 기저의 경우 그 크기가 항상 불변이기 때문이다. 구체적으로, 환 R 위의 왼쪽 가군 V의 두 기저 B,B'\subseteq V가 주어졌다고 하자. 또한, B가 무한 집합이라고 하자. 그렇다면 항상 |B|=|B'|이다.

**증명:**

편의상 :B=\\{b_i\\}_{i\in I} :B'=\\{b'_{i'}\\}_{i'\in I'} 로 표기하자. 기저의 정의에 따라서 :b'_{i'}=\sum_{i\in I}r_{i,i'}b_i 인 r_{i,i'}\in R를 (유일하게) 찾을 수 있다. 또한, :I_{i'}=\\{i\in I\colon r_{i,i'}\ne0\\}\qquad\forall i'\in I' 는 항상 유한 집합이다. 귀류법을 사용하여, |I|>|I'|이라고 가정하자. I'은 유한 집합이거나 무한 집합이며, 두 경우 모두 :\sum_{i'\in I'}|I_{i'}|<|I| 가 성립한다. * **만약 I'이 유한 집합이라면:** \textstyle\sum_{i'\in I'}|I_{i'}| 역시 유한하며, 따라서 *:\sum_{i'\in I'}|I_{i'}|<\aleph_0\le|I| * **만약 I'이 무한 집합이라면:** *:\sum_{i'\in I'}|I_{i'}|\le\sum_{i'\in I'}\aleph_0=\aleph_0|I'|=\max\\{|I',\aleph_0|\\}=|I'|<|I| 따라서, :i_0\in I\setminus\bigcup_{i'\in I}I_{i'} 를 고를 수 있다. 그렇다면 :b_{i_0}=\sum_{i'\in I}s_{i'}b'_{i'}\qquad(s_{i'}\in R) 라고 하면, :b_{i_0}=\sum_{i\in I}\sum_{i'\in I}s_{i'}r_{i,i'}b_i 가 되어, b_{i_0}를 B\setminus\\{b_{i_0}\\}의 유한 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 따라서 B는 기저가 될 수 없으며, 이는 모순이다.

따라서, 불변 기저 수 성질을 만족시키는 환 위의 자유 가군의 경우, 그 기저의 크기는 불변량을 이룬다. 이를 자유 가군의 **계수**(rank) 또는 (특히 나눗셈환 위의 가군의 경우) **차원**(dimension) 또는 **하멜 차원**(Hamel dimension)이라고 한다.
## 불변 기저 수 성질의 강화
환 R 위의 다음과 같은 세 성질을 생각하자.언어=en # R는 왼쪽 자유 기저 수 성질을 만족시킨다. # 임의의 자연수 n에 대하여, 자유 왼쪽 가군 R^n은 n개 미만의 원소로 생성될 수 없다. # 임의의 자연수 n 및 자유 왼쪽 가군 R^n의 크기 n의 부분 집합 \\{v_1,v_2,\dots,v_n\\}\subseteq R^n에 대하여, 만약 Rv_1+Rv_2+\cdots+Rv_n=R^n이라면 \\{v_1,\dots,v_n\\}은 기저를 이룬다. 조건 2는 조건 1을 함의하며, 조건 3은 조건 2를 함의한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 조건 1을 만족시키지만 조건 2를 만족시키지 않는 환이 존재하며, 조건 2를 만족시키지만 조건 3을 만족시키지 않는 환이 존재한다. 이들에 대한 충분 조건은 다음과 같다. * 자명환이 아닌 왼쪽 뇌터 환은 조건 1~3을 만족시킨다.216, Proposition 2.1 * 자명환이 아닌 오른쪽 뇌터 환은 조건 1~3을 만족시킨다.217, Proposition 2.2 * 자명환이 아닌 가환환은 조건 1~3을 만족시킨다.218, Proposition 2.6
# 예
임의의 기수 \kappa에 대하여, R를 스스로에 대한 왼쪽 가군으로 보았을 때, \kappa개의 가군의 직합 R^{\oplus\kappa}은 자유 가군을 이룬다. 반대로, 모든 자유 가군은 이러한 꼴로 나타낼 수 있다. 자유 아벨 군은 정수환 \mathbb Z의 가군으로서 자유 가군인 아벨 군이다.
## 유클리드 공간
유클리드 공간 \mathbb R^3의 세 벡터 :e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix} :e_2 =\begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix} :e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} 는 \mathbb R^3의 기저를 이룬다. 보다 일반적으로, 이를테면 n차 단위 행렬 I_{n}을 구성하는 열벡터의 집합 \\{e_{1},\cdots,e_{n}\\}은 유클리드 공간 \mathbb R^n의 정규 직교 기저이다. 이를 유클리드 공간 \mathbb R^{n}의 **표준 기저**(標準基底, standard basis)라고 한다. 임의의 n차 가역 행렬 A를 구성하는 열벡터의 집합 v=v_1,\cdots,v_n은 유클리드 공간 \mathbb R^n의 기저이다. 따라서 \mathbb R은 표준 기저 외에도 무수히 많은 기저들을 보유한다. 임의의 n차 비가역행렬 B의 추축열인 열벡터들의 집합 v_{c}=v_{c,1},\cdots,v_{c,n}은 B의 열공간을 생성하는 기저이다. 또한 B의 추축행인 행벡터들의 집합 v_{r}=v_{r,1},\cdots,v_{r,n}은 B의 행공간을 생성하는 기저이다.
## 영가군
임의의 환 위의 임의의 왼쪽 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 자유 왼쪽 가군이며, 공집합을 기저로 갖는다. * 영가군이다.
## 불변 기저 수 성질의 실패
자명환 0은 (자명하게) 불변 기저 수 성질을 만족시키지 않는다. 사실, 임의의 (유한 또는 무한) 기수 \kappa에 대하여 0^{\kappa}는 (한원소 집합이므로) 자명환 위의 영가군이다. 임의의 환 R에 대하여, **열 유한 행렬환**(ring of column-finite matrices) \operatorname{CFM}(\mathbb N;R)가 다음과 같은 꼴의 "행렬"로 구성된 환이라고 하자. * \operatorname{CFM}(\mathbb N;R)의 원소 (r_{i,j})_{i,j=0,1,2,\dots} (r_{i,j}\in R)는 R 계수의 \mathbb N\times\mathbb N "행렬"이다. * \operatorname{CFM}(\mathbb N;R)의 원소의 각 열에서, 0이 아닌 성분의 수는 유한하다. 둘째 조건 때문에 두 행렬의 곱은 무한한 합을 필요로 하지 않아 잘 정의된다. 이 경우, 다음과 같은 왼쪽 가군 동형 사상이 존재하므로, 불변 기저 수 성질이 성립하지 않는다. :\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)\to\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)^2 :(r_{i,j})_{i,j\in\mathbb N}\mapsto\left((r_{i,2j})_{i,j\in\mathbb N},(r_{i,2j+1})_{i,j\in\mathbb N}\right) 즉, 이 가군 동형 사상은 짝수 번째 열과 홀수 번째 열을 분리하는 것이다.
# 역사
기저의 개념은 게오르크 프로베니우스의 1844년 저서에 등장하지만,언어=en245 프로베니우스는 이에 대한 용어를 도입하지 않았다. 이후 리하르트 데데킨트는 1894년에 대수적 수론을 다루는 과정에서 기저(바지스)라는 용어를 (오늘날과 같은 뜻으로) 도입하여 사용하였다.248언어=de468, Supplement XI, §164 "하멜 기저"라는 용어는 게오르크 카를 빌헬름 하멜(Georg Karl Wilhelm Hamel, 1877~1954)의 이름을 딴 것이다. 1905년에 하멜은 선택 공리를 사용하여, 실수 집합 \mathbb R가 유리수 벡터 공간으로서 (하멜) 기저를 가짐을 증명하였다.언어=de