해바라기 (수학)

이 벤 다이어그램에서, 만약 AB=BC=AC=\varnothing이라면 이는 해바라기를 이룬다. 그러나 ABC=\varnothing일 필요는 없다. 집합론과 조합론에서 **해바라기**(sunflower)는 서로 다른 두 원소의 교집합이 항상 일정한 집합족이다.
# 정의
부분 순서 집합 P가 만남 반격자라고 하자 (즉, 임의의 두 원소에 대하여 그 하한 a\land b이 존재한다고 하자). P 속의 부분 집합 A\subseteq P가 다음 조건을 만족시킨다면, **하향 해바라기**(downward sunflower)라고 한다.언어=en :\forall a,b,a',b'\in A\colon (a\ne b,\;a'\ne b'\implies a\land b=a'\land b') 이 경우, \textstyle\bigwedge S\in P는 S의 **핵**(核, kernel, core)이라고 한다. 마찬가지로, 만약 P가 이음 반격자일 경우, **상향 해바라기**(upward sunflower)는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 S\subseteq P이다. :\forall a,b,a',b'\in A\colon (a\ne b,\;a'\ne b'\implies a\lor b=a'\lor b') 집합 S 속의 **해바라기**란 멱집합 (\mathcal P(S),\subseteq) 속의 하향 해바라기를 뜻한다.url-status=dead49, Definition II.1.4언어=en89, §6.1 * 임의의 A,B,A',B'\in\mathcal A에 대하여, 만약 A\ne B이며 A'\ne B'이라면, A\cap B=A'\cap B'이다.
# 성질

## 수
크기 n의 집합 S 위의 해바라기 \mathcal A\subseteq\mathcal P(S)의 수는 다음과 같다. :2\sum_{k=0}^{n+1}k\left\\n+1\atop k}\right\\} 여기서 \textstyle\left\\\bullet\atop\bullet}\right\\}는 제2종 스털링 수이다.

**증명:**

해바라기에는 항상 그 핵을 추가하거나 제거할 수 있으므로, 총 해바라기의 수는 핵을 원소로 갖지 않는 해바라기들의 수의 2배이다. 따라서, 핵을 원소로 갖지 않는 해바라기의 수를 세자. S에 새 원소 \bullet를 추가한 집합 S_\bullet=S\sqcup\\{\bullet\\}의, 0\le k\le n+1 조각으로의 분할 \mathcal P를 생각하자. 그 가짓수는 제2종 스털링 수 \textstyle\\n+1\atop k}\\}이다. 또한, \mathcal P에서 임의의 원소 Q\in\mathcal P를 고르자. 이제, 이 데이터 (\mathcal P,Q)에 다음과 같은, 핵을 원소로 갖지 않는 해바라기 \mathcal A를 대응시킬 수 있다. * 만약 \bullet\in Q라면, \mathcal A=\\{P\cup Q\setminus\\{\bullet\\}\colon P\in\mathcal P\\}. 그 핵은 Q\setminus\\{\bullet\\}이다. * 만약 \bullet\not\in Q이고 \bullet\in R\in\mathcal P라면, \mathcal A=\\{P\cup R\setminus\\{\bullet\\}\colon P\in\mathcal P\setminus\\{Q,R\\}\\}. 그 핵은 R\setminus\\{\bullet\\}이며, \textstyle Q=S\setminus\bigcup\mathcal A는 해바라기의 "바깥"이다. 따라서, 이러한 데이터 (\mathcal P,Q)의 집합은 핵을 원소로 갖지 않는 해바라기들의 집합과 표준적으로 일대일 대응한다. 이러한 데이터의 집합의 크기는 물론 :\sum_{k=0}^{n+1}k\left\\n+1\atop k}\right\\} 이다.

## 해바라기 정리
임의의 두 기수 \kappa,\lambda에 대하여, f(\kappa,\lambda)를 다음 조건이 성립하는 최소의 기수 \mu라고 하자. (이러한 \mu가 존재하지 않는다면 f(\kappa,\lambda)=\infty로 놓자.) * 임의의 집합 S 및 그 속의 집합족 \mathcal A\subseteq\mathcal P(S)에 대하여, 만약 모든 A\in\mathcal A에 대하여 |A|<\kappa이며, |\mathcal A|\ge\mu라면, 임의의 기수 \alpha<\lambda에 대하여 \mathcal A 속에는 크기 \alpha의 해바라기 \mathcal B\subseteq\mathcal A가 존재한다. 다음과 같은 성질이 알려져 있다. * 1\le\kappa<\aleph_0, 2\le\lambda<\aleph_0라면, f(\kappa,\lambda)\le(\kappa-1)!(\lambda-2)^{\kappa-1}+1이다.언어=en89–90, §6.1 * f(\aleph_0,\aleph_2)=\aleph_1이다.49, Theorem II.1.5 * 만약 \aleph_0\le\kappa<\theta이며, \theta가 정칙 기수이며, 임의의 \alpha<\theta에 대하여 |\alpha^{<\kappa}|<\theta일 경우, f(\kappa,\theta^+)=\theta이다.49, Theorem II.1.6 * 자명하게, \lambda\le f(\kappa,\lambda)^+이다. (이는 집합족은 스스로보다 더 큰 해바라기를 포함할 수 없기 때문이다.) * 자명하게, 임의의 기수 \kappa에 대하여 1\le\lambda\le3일 경우, f(\kappa,\lambda)=\lambda-1이다. (이는 크기가 2 이하인 집합족은 항상 해바라기이기 때문이다.) 물론 f(\kappa,0)=0이다. * 자명하게, 만약 \kappa\le\kappa'이라면 f(\kappa,\lambda)\le f(\kappa',\lambda)이다. 마찬가지로, 만약 \lambda\le\lambda'이라면 f(\kappa,\lambda)\le f(\kappa,\lambda')이다. 이와 같은, f(\kappa,\lambda)에 대한 상계·하계들을 **해바라기 정리**(sunflower theorem)라고 한다.
# 예
크기 2 이하의 집합족은 항상 (자명하게) 해바라기이다. 짝마다 서로소 집합족(즉, 서로 다른 두 원소가 항상 서로소인 집합족)은 (핵이 공집합인) 해바라기이다.
# 역사
"해바라기"라는 용어는 식물 해바라기의 [[꽃차례에 비유한 것이다.]] 1980년에 에르되시 팔과 리하르트 라도가 유한 해바라기에 대한 해바라기 정리를 증명하였다. 에르되시와 라도는 해바라기를 "델타 계"(Δ界, Δ-system)라고 불렀다. "해바라기"(sunflower)라는 용어는 적어도 1981년부터 사용되기 시작하였다.언어=en "해바라기"라는 용어는 식물 해바라기의 꽃차례에 비유한 것이다. 이는 (유한) 해바라기의 벤 다이어그램을 대칭적으로 그리면, 이는 마치 꽃과 유사하기 때문이다. 구체적으로, 해바라기의 꽃차례는 중심의 갈색의 작은 관꽃들과, 이를 둘러싸는 노랗고 길쭉한 혀꽃들로 구성되어 있다. (흔히, 후자를 "꽃잎"으로 일컫는다.) 이 비유에서, 수학적 해바라기의 핵은 관꽃들의 집합에 해당하며, 수학적 해바라기의 각 원소는 모든 관꽃들의 집합과 하나의 혀꽃으로 구성된다.