순서 위상

순서론에서 **순서 위상**(順序位相, order topology)은 전순서 집합 위의, 열린구간으로부터 생성되는 위상이다.
# 정의
원순서 집합 (X,\lesssim)이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 동치 관계를 :x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x 로 표기하고, 이에 대한 동치류를 :[x]_\sim=\\{y\in X\colon x\sim y\\} 로 표기하자. X 위의 **열린 반직선**(open ray)을 다음과 같이 표기하자. :\mathop\uparrow a\setminus[a]_\sim=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a=\\{b\in X\colon a\lesssim b\not\lesssim a\\} :\mathop\downarrow a\setminus[a]_\sim=\mathop\downarrow a\setminus\mathop\uparrow a=\\{b\in X\colon b\lesssim a\not\lesssim b\\} 여기서 \mathop\uparrow는 상폐포이며, \mathop\downarrow는 하폐포이다.
## 순서 위상
X 위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 **순서 위상**이라고 한다. :\\{\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a\\}_{a\in X}\cup\\{\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b\\}_{b\in X} 즉, X의 기저는 다음과 같은 꼴이다. :(\mathop\uparrow a_1\setminus\mathop\downarrow a_1)\cap\cdots\cap(\mathop\uparrow a_m\setminus\mathop\downarrow a_m) \cap(\mathop\downarrow b_1\setminus\mathop\uparrow b_1)\cap\cdots\cap(\mathop\downarrow b_n\setminus\mathop\uparrow b_n) \qquad(m,n\in\mathbb N,\;a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n\in X) (여기서, 0개의 부분 집합들의 교집합은 X 전체이다.) 만약 X가 격자라면, X의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다. :\\{(\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a)\cap(\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b)\\}_{a,b\in X} \cup\\{\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a\\}_{a\in X}\cup\\{\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b\\}_{b\in X}\cup\\{X\\} 다음과 같이 구간 표기법 :(a,\infty)=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a :(-\infty,b)=\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b :(a,b)=(a,\infty)\cap(-\infty,b) :(-\infty,\infty)=X :(\infty,b)=(a,-\infty)=(\infty,-\infty)=\varnothing 을 적용하면, 이는 다음과 같다. :\\{(a,b)\\}_{a,b\in X\sqcup\\{\pm\infty\\ 만약 X가 유계 격자라면, X의 순서 위상의 한 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다. :\\{(a,b)\\}_{a,b\in X}
## 하위상과 상위상
(X,\lesssim) 위의 **하위상**(lower topology) 또는 **좌위상**(left topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다. :\\{X\setminus\mathop\uparrow b\\}_{a\in X} 만약 X가 전순서 집합이라면, 이 부분 기저의 원소는 열린 반직선 :X\setminus\mathop\uparrow b=\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b=(-\infty,b) 들이다. 마찬가지로, (X,\lesssim) 위의 **상위상**(upper topology) 또는 **우위상**(right topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다. :\\{X\setminus\mathop\downarrow a\\}_{a\in X} 만약 X가 전순서 집합이라면, :X\setminus\mathop\downarrow a=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a=(a,\infty) 이다.
## 하극한 위상과 상극한 위상
(X,\lesssim) 위의 **하극한 위상**(lower limit topology) 또는 **하 조르겐프라이 위상**(lower Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저로 생성된다. :\\{\mathop\uparrow a\cap(\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b)\\}_{a,b\in X}\cup\\{\mathop\uparrow a\\}_{a\in X} 이를 구간 표기법으로 쓰면 다음과 같다. :\\{[a,b)\\}_{a\in X,b\in X\sqcup\\{\infty\\ 만약 X가 격자이거나, X의 반대 순서 집합이 나무라면, 위 부분 기저는 X의 하극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 X가 격자이며, 최대 원소를 가지지 않는다면, 다음 집합족 역시 X의 하극한 위상의 기저를 이룬다. :\\{[a,b)\\}_{a,b\in X} 마찬가지로, (X,\lesssim) 위의 **상극한 위상**(upper limit topology) 또는 **상 조르겐프라이 위상**(upper Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저를 갖는다. :\\{(\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a)\cap\mathop\downarrow b\\}_{a,b\in X}\cup\\{\mathop\downarrow b\\}_{b\in X} 즉, :\\{(a,b]\\}_{a\in X\sqcup\\{-\infty\\},b\in X} 만약 X가 격자이거나 나무라면, 이는 상극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 X가 최소 원소를 갖지 않는 격자라면, 상극한 위상은 다음과 같은 기저를 갖는다. :\\{(a,b]\\}_{a,b\in X}
# 성질
순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이며,67, 39.6 완비 가산 파라콤팩트 공간이며, 완비 직교 콤팩트 공간이다.zbl=0623.5401217 유한 전순서 집합 위의 순서 위상은 이산 위상이다. 전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.68, 39.8 * 선형 연속체이다. * 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다. 전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.zbl=0386.5400167, 39.7 * 완비 격자이다. * 순서 위상을 가했을 때, 콤팩트 공간이다. 전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.zbl=0203.55104199, Theorem 1 * 순서 위상을 가했을 때, 파라콤팩트 공간이다. * 순서 위상을 가했을 때, 메타콤팩트 공간이다.
# 예

## 유한 집합
\\{a,b\\}의 멱집합 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다. :\left\\{\varnothing,\\{a\\},\\{b\\},\\{a,b\\}\right\\} :\left\\{\\{a\\},\\{b\\},\\{a,b\\}\right\\} :\left\\{\\{a\\},\\{b\\},\varnothing\right\\} :\left\\{\\{a\\},\\{b\\}\right\\} :\left\\{\\{a,b\\}\right\\} :\\{\varnothing\\} :\varnothing \\{a,b\\}의 멱집합 위의 상순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다. :\left\\{\varnothing,\\{a\\},\\{b\\},\\{a,b\\}\right\\} :\left\\{\\{a\\},\\{b\\},\\{a,b\\}\right\\} :\left\\{\\{a,b\\}\right\\} :\varnothing \\{a,b\\}의 멱집합 위의 하순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다. :\left\\{\varnothing,\\{a\\},\\{b\\},\\{a,b\\}\right\\} :\left\\{\varnothing,\\{a\\},\\{b\\}\right\\} :\left\\{\varnothing\right\\} :\varnothing
## 자명한 순서
집합 X 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다.
## 순서체
실수체 \mathbb R, 유리수체 \mathbb Q, 정수환 \mathbb Z 자연수 집합 \mathbb N 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. (\mathbb Z와 \mathbb N의 경우 이는 이산 위상이다.) 초실수체 {}^*\mathbb R에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 {}^*\mathbb R는 완전 분리 공간이 된다. 실수체 \mathbb R 위에 하극한 위상을 부여하여 만든 위상 공간을 **조르겐프라이 직선**(Sorgenfrey line)이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 다음 성질들을 만족시킨다. * 완전 정규 하우스도르프 공간이며, 린델뢰프 공간이다. (따라서, 파라콤팩트 공간이다.) * 분해 가능 공간이며, 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다. (따라서, 거리화 가능 공간이 아니다.) *이다. * 완전 분리 공간이다. 두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 **조르겐프라이 평면**(Sorgenfrey plane)이라고 한다. 이는 정규 공간이 아니다. 따라서 이는 파라콤팩트 공간이 아니며, 린델뢰프 공간이 아니다.
## 순서수의 위상
순서수 \alpha는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, \alpha의 극한점은 \alpha보다 작은 극한 순서수이다. 순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 \omega_1은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니며, 완전 정규 공간이 아니다. \omega_1+1은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이며, 완전 정규 공간이 아니다. \omega_1+1은 \omega의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다.
## 전순서 집합의 부분 집합
전순서 집합 (X,\le)의 부분 집합 Y\subseteq X 위에서, 다음 두 가지 위상을 생각할 수 있다. * (X,\le) 위에 순서 위상을 주었을 때, Y 위의 부분 공간 위상 * (Y,\le\restriction Y) 위의 순서 위상 전자는 후자보다 더 섬세한 위상이지만, 전자와 후자는 일반적으로 일치하지 않는다. 예를 들어, 실수의 순서체 \mathbb R의 부분 집합 :(0,1)\cup[2,3) 에서, :[2,3) 는 전자의 위상에 대하여 열린집합이지만, 후자의 위상에 대한 열린집합이 아니다. 만약 Y가 순서 볼록 집합이라면, 이 두 위상은 서로 일치한다.