Y-Δ 변환

**Y-Δ 변환**(Y-Δ transform, wye-delta transform) 또는 **T-Π 변환**(T-Π transform, star-pi transform)은 전기 회로 분석을 간단하게 할 수 있는 수학적 기술 중 하나이다. 이 변환의 이름은 분석하고자 하는 회로도 모양이 각각 알파벳 Y와 그리스 문자 Δ(델타)로 보인 것에서 따왔다. 이 회로 변환은 1899년 아서 에드윈 케넬리가 처음 발표하였다.A.E. Kennelly, "Equivalence of triangles and three-pointed stars in conducting networks", *Electrical World and Engineer*, vol. 34, pp. 413–414, 1899. 이 변환은 오늘날 3상전력 회로 분석에서 광범위하게 사용된다. Y-Δ 변환은 3개의 저항기가 달린, 스타-매쉬 변환의 특수해라고 볼 수도 있다. 수학에서 Y-Δ 변환은 평면 그래프 이론 해석에서 중요한 역할을 한다.E.B. Curtis, D. Ingerman, J.A. Morrow, Circular planar graphs and resistor networks, *Linear Algebra and its Applications*, vol. 238, pp. 115–150, 1998.
# 명칭
T-Π 변환을 보여주는 그림 Y-Δ 변환은 많은 다른 이름으로도 알려져 있는데, 주로 2가지 모양을 따와서 이름이 붙여있다. 하나는 **Y**를 **T**(또는 star)로 바꿔 부르거나, **Δ**(델타)를 삼각형 또는 **Π**(그리스 문자 파이), 매쉬로 바꿔서 부른다. 보통은 이 변환 이름을 와이-델타, 델타-와이, 티-파이, 파이-티 변환 4가지로 부른다. clear
# 기초 변환
이 글에서 사용되는 Δ 및 Y 회로 이 변환은 3개의 선으로 연결된 서로 다른 모양의 회로망이 실제로는 같은 것임을 보여준다. 3개의 말단부 공통 노드에 전력을 공급하는 능동소자가 하나도 없을 경우, 임피던스 변환을 통해 노드를 없앨 수 있다. 회로가 등가임을 보이기 위하여 두 회로망의 양 끝단 사이 총 임피던스는 항상 같아야 한다. 여기에 주어진 방정식은 실제로 복잡한 임피던스일 경우에도 해당된다.
## Δ에서 Y로의 변환
Y 회로의 양단 임피던스 R_y은 Δ 회로에서의 인접 노드로의 임피던스 R', R*를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. :R_y = \frac{R'R*}{\sum R_\Delta} 여기서 R_\Delta는 Δ 회로에서의 모든 임피던스이다. 이 식을 통하여 각각의 임피던스를 구하면 다음과 같다. :\begin{align} R_1 &= \frac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c} \\\ R_2 &= \frac{R_aR_c}{R_a + R_b + R_c} \\\ R_3 &= \frac{R_aR_b}{R_a + R_b + R_c} \end{align}
## Y에서 Δ로의 변환
Δ 회로에서 임피던스 R_\Delta를 구하는 식은 다음과 같다. :R_\Delta = \frac{R_P}{R_\mathrm{opposite 여기서 R_P = R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1은 Y 회로에서 모든 임피던스 쌍의 곱의 합이며, R_\mathrm{opposite}는 R_\Delta와 정 반대에 있는 양 끝단의 Y 회로의 노드 임피던스이다. 이를 통해 구한 각각의 모서리의 임피던스는 다음과 같다. :\begin{align} R_a &= \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_1} \\\ R_b &= \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_2} \\\ R_c &= \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_3} \end{align}
# 변환의 존재성과 유일성 증명
이 변환의 존재성은 회로 이론의 중첩 정리를 통해 보일 수 있다. 더욱 일반화한 스타-매쉬 변환에서 유도하는 것 보다는 더 짧게 증명할 수 있다. 두 회로가 동등함은 3개 노드(N_1, N_2, N_3)의 외부 전압(V_1, V_2, V_3)과 그에 대응하는 전류(I_1, I_2, I_3)가 Y 회로에서 Δ 회로로, 또는 그 반대로 넘어가도 같음을 보여 증명할 수 있다. 이 증명을 위하여 노드에 주어진 외부 전류를 통해 이를 계산할 것이다. 중첩정리에 따르면, 3개 노드의 전류를 이용하여 3가지 노드 방정식에서 전압의 선형 합을 통해 총 전압을 구할 수 있다. :(1) (I_1-I_2)/3, -(I_1-I_2)/3, 0 :(2) 0,(I_2-I_3)/3,-(I_2-I_3)/3 :(3) -(I_3-I_1)/3, 0, (I_3-I_1)/3 여기서 키르히호프의 전기회로 법칙에 따라 I_1+I_2+I_3=0이다. 이 회로망에는 이상 전류원이 하나만 있기 때문에 각 방정식을 푸는 것은 간단하다. 각 상황에서 양 노드의 전압이 서로 동일하게 될려면 두 회로의 등가저항이 같아야 하는데, 이는 직렬 회로와 병렬 회로의 기초 법칙을 이용해 증명할 수 있다. :R_3+R_1 = \frac{(R_c+R_a)R_b}{R_a + R_b + R_c}, \frac{R_3}{R_1} = \frac{R_a}{R_c}. 6개의 방정식은 3개의 다른 변수 R_a,R_b,R_c로 알고자 하는 변수 R_1,R_2,R_3를 나타내기 충분하나, 이 방정식이 실제 위에 나타낸 것처럼 나타낼 수 있다는 걸 보이는 건 간단하다. 실제로, 중첩정리를 통하여 저항 값 사이의 관계를 보일 수 있을 뿐 아니라, 이 해가 유일함도 보장한다.
# 회로망의 간단화
2개의 단말부가 있는 저항 회로는 이론적으로 1개의 등가저항을 가진 회로로 간단하게 변환할 수 있다. 직렬 및 병렬 변환은 간단화를 위한 가장 기초적인 도구이나 이 문서에 쓰여 있는 브릿지와 같은 복잡한 회로에는 적용하기 어렵다. Y-Δ 변환을 이용하여 아래의 그림과 같이 한번에 1개의 노드를 없애고 더 간단한 회로망을 만들 수 있다. 브릿지 저항회로에서 노드 *D*를 없애기 위해 Y-Δ 변환을 사용하여 더 단순한 회로망으로 바꾼 모습 노드를 추가하는 Δ-Y 변환 같은 경우에는 직병렬 등으로 더욱 회로 선을 단순화할 수 있도록 해준다. 브릿지 저항회로에서, Δ-Y 변환을 이용하여 회로를 간단하게 바꾸는 모습 평면 그래프 모양의 모든 2극 회로망은 직병렬 변환,Δ-Y 변환, Y-Δ 변환을 이용하여 단일 등가저항을 가진 회로로 바꿀 수 있다.Klaus Truemper. On the delta-wye reduction for planar graphs. *J. Graph Theory* 13(2):141–148, 1989. 하지만, 원환면 모양으로 정사각형 회로가 서로 이어져 있는 형태이거나, 페테르센 족 모양과 같이 평면이 아닌 모양의 회로망은 Y-Δ 변환을 사용하여 단일 등가저항을 가진 회로로 단순화할 수 없는 경우가 존재한다.
# 그래프 이론
그래프 이론에서 Y-Δ 변환이란 한 그래프 내의 Y 부분 그래프를 등가의 Δ 부분 그래프로 변환하는 작업을 의미한다. 이 변환은 그래프의 변 수는 그대로이나, 꼭짓점의 수나 순환의 수는 달라질 수 있다. 두 그래프가 한 그래프에서 Y-Δ 변환을 통해 다른 그래프로 모양을 바꿀 수 있다면 이 두 그래프는 **Y-Δ 등가**라고 부른다. 예를 들어, 페테르센 족은 Y-Δ 동치관계이다.
# 예시

## Δ에서 Y로의 변환
이 글에서 사용할 Δ 회로와 Y 회로 Δ 회로에서의 \\{R_a, R_b, R_c\\}를 Y 회로의 \\{R_1,R_2,R_3\\}로 바꾸기 위해, 두 회로에 대응되는 임피던스를 비교하자. 어느 회로에서든 임피던스는 회로에서 노드 중 하나가 끊어진 것과 같이 생각한 상태에서 결정된다. Δ 회로에서 *N*3이 끊어진 상태에서 *N*1과 *N*2 사이의 임피던스는 다음과 같다. :\begin{align} R_\Delta(N_1, N_2) &= R_c \parallel (R_a + R_b) \\\ &= \frac{1}{\frac{1}{R_c} + \frac{1}{R_a + R_b \\\ &= \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c} \end{align} 식을 간단하게 하기 위해, \\{R_a, R_b, R_c\\}를 R_T라고 정의하자. : R_T = R_a + R_b + R_c 따라서, : R_\Delta(N_1, N_2) = \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T} Y 회로에서 N1과 N2 사이에 대응되는 임피던스를 구하는 법은 간단하다. :R_Y(N_1, N_2) = R_1 + R_2 그러므로, :R_1+R_2 = \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T} (1) 위의 계산식을 통하여, R(N_2,N_3)의 값은 다음과 같다. :R_2+R_3 = \frac{R_a(R_b+R_c)}{R_T} (2) R(N_1,N_3)의 값은 다음과 같다. :R_1+R_3 = \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T}. (3) 여기서, 위 3개 방정식의 선형 계산(더하기/빼기)을 통하여 \\{R_1,R_2,R_3\\}를 구할 수 있다. 예를 들어, (1) 식과 (3) 식을 더한 후 (2) 식을 빼면 다음과 같다. : R_1+R_2+R_1+R_3-R_2-R_3 = \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T} \+ \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T} \- \frac{R_a(R_b+R_c)}{R_T} :2R_1 = \frac{2R_bR_c}{R_T} 따라서, :R_1 = \frac{R_bR_c}{R_T}. 여기서, R_T = R_a + R_b + R_c 이다. 식을 정리하면 다음과 같다. :R_1 = \frac{R_bR_c}{R_T} (4) :R_2 = \frac{R_aR_c}{R_T} (5) :R_3 = \frac{R_aR_b}{R_T} (6)
## Y에서 Δ로의 변환
식을 간단하게 하기 위해 다음과 같은 가정을 하자. :R_T = R_a+R_b+R_c. 여기서 우리는 Δ 회로에서 Y 회로로 변환하는 방정식을 다음과 같이 세울 수 있다. :R_1 = \frac{R_bR_c}{R_T} (1) :R_2 = \frac{R_aR_c}{R_T} (2) :R_3 = \frac{R_aR_b}{R_T}. (3) 3개 방정식을 두개씩 묶어 서로 곱해주면 다음과 같다. :R_1R_2 = \frac{R_aR_bR_c^2}{R_T^2} (4) :R_1R_3 = \frac{R_aR_b^2R_c}{R_T^2} (5) :R_2R_3 = \frac{R_a^2R_bR_c}{R_T^2} (6) 여기서, 3개 방정식을 다 더하면 다음과 같다. :R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{R_aR_bR_c^2 + R_aR_b^2R_c + R_a^2R_bR_c}{R_T^2} (7) 여기서 우변 분자의 R_aR_bR_c를 묶어서 R_T를 밖으로 빼면 분모의 R_T와 나눌 수 있다. :R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{(R_aR_bR_c)(R_a+R_b+R_c)}{R_T^2} :R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{R_aR_bR_c}{R_T} (8) (8)의 식과 {(1),(2),(3)} 식은 서로 유사하다. (8)을 (1)로 나누면 다음과 같다. :\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_1} = \frac{R_aR_bR_c}{R_T}\frac{R_T}{R_bR_c}, :\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_1} = R_a, 이 식은 R_a 값에 대한 식이다. (8) 식을 (2)나 (3)으로 나누면 R_b와 R_c를 구할 수 있다.