코호몰로지 연산

대수적 위상수학에서 **코호몰로지 연산**(cohomology演算, cohomology operation)은 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환, 또는 이를 나타내는 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류이다.
# 정의

## 1차 코호몰로지 연산
자연수 m,n\in\mathbb N 및 아벨 군 G,H\in\operatorname{Ab}에 대하여, **(m,n;G,H)형 1차 코호몰로지 연산**(primary cohomology operation of type (m,n;G,H))은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류 :A\colon K(G,m)\to K(H,n) 이다. (m,n;G,H)형 1차 코호몰로지 연산들의 집합은 에일렌베르크-매클레인 공간의 코호몰로지 :\operatorname H^n\left(K(G,m);H\right) 를 이룬다. (m,n;G,H)형 1차 코호몰로지 연산 \alpha는 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환 :A_*\colon \operatorname H^m(-;G)\Rightarrow \operatorname H^n(-;H) 을 유도한다.
## 2차 코호몰로지 연산
에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 세르 올뭉치를 갖는다. :K(H,n-1)\simeq \Omega K(H,n)\hookrightarrow \mathcal PK(H,n)\twoheadrightarrow K(H,n) 여기서 \Omega X=[\mathbb S^1,X]_\bullet는 고리 공간, \mathcal PX=[\mathbb I,X]_\bullet는 밑점에서 시작하는 경로 공간을 뜻한다. 임의의 1차 코호몰로지 연산 \alpha\in \operatorname H^n\left(K(G,m);H\right)에 대하여, 올뭉치의 당김 :K(H,n-1)\stackrel{\iota}\hookrightarrow \alpha^*\mathcal PK(H,n)\stackrel\pi\twoheadrightarrow K(G,m) 을 정의할 수 있다. A 위의 **(H',n')형 2차 코호몰로지 연산**은 A^*\mathcal PK(H,n) 위의 코호몰로지류 :B\in \operatorname H^{n'}(\alpha^*\mathcal PK(H,n),n') 이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다. : \begin{matrix} K(H,n-1)&\stackrel\iota\hookrightarrow &A;^*\mathcal PK(H,n)&\stackrel\pi\twoheadrightarrow &K;(G,m)\\\ &&\downarrow\scriptstyle B\\\ && K(H',n') \end{matrix} 그렇다면, :B\circ\iota\colon K(H,n-1)\to A^*\mathcal PK(H,n)\to K(H',n') 를 사용하여 :(B\circ\iota)_*\colon\operatorname H^{n-1}(X;H)\to \operatorname H^{n'}(X;H') 를 정의할 수 있다. 2차 코호몰로지 연산 B\in \operatorname H^{n'}(\alpha^*\mathcal PK(H,n),n')는 코호몰로지류 위의 함수 :B_*\colon (\ker A_* \subseteq\operatorname H^m(X,G)) \to \frac{\operatorname H^{n'}(X;H')}{(B\circ\iota)_*\operatorname H^{n-1}(X;H)} 를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류 :\alpha\colon X\to K(G,m) 가 주어졌을 때, :B_*(\alpha)=B\circ\pi^{-1}\circ a\colon X\to \operatorname H^{n'}(X;H') 이다. 여기서 사용한 역함수 \pi^{-1}는 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 하지만, * \pi^{-1}는 \ker A_* 위에서 항상 하나 이상의 값을 갖는다. * \pi^{-1}는 일반적으로 여러 개의 값을 가지지만, 가능한 값들의 차는 모두 (B\circ\iota)_*\operatorname H^{n-1}(X;H)에 속한다.
## 고차 코호몰로지 연산
보다 일반적으로, k차 코모홀로지 연산에 대응하는 k+1차 코호몰로지 연산의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 1차 코호몰로지 연산 A_1\colon K(G_0,n_0)\to K(G_1,n_1)에 대한 2차 코호몰로지 연산 A_2\colon A_1^*\mathcal PK(G_1,n_1)\to K(G_2,n_2)이 주어졌다고 할 때, 그 위의 3차 코호몰로지 연산은 호모토피류 A_3\colon A_2^*\mathcal PK(G_2,n_2)\to K(G_3,n_3)이다. 즉, 다음과 같다. : \begin{matrix} K(G_1,n_1-1)&\stackrel{\iota_1}\hookrightarrow &A;_1^*\mathcal PK(G_1,n_1)&\stackrel{\pi_1}\twoheadrightarrow &K;(G_0,n_0)\\\ &&\downarrow\scriptstyle A_2\\\ && K(G_2,n_2) \end{matrix} : \begin{matrix} K(G_2,n_2-1)&\stackrel{\iota_2}\hookrightarrow &A;_2^*\mathcal PK(G_2,n_2)&\stackrel{\pi_2}\twoheadrightarrow &A;_1^*\mathcal PK(G_1,n_1)\\\ &&\downarrow\scriptstyle A_3\\\ && K(G_3,n_3) \end{matrix} 이는 연산 :A_3^*\colon \left(\ker A_2^*\subseteq\operatorname H^{n_0}(-;G_0)\right)\to \frac{\operatorname H^{n_3}(-;G_3)}{(A_3\circ\iota_2)^*\operatorname H^{n_2-1}(-;G_2)} 을 정의한다.
# 예
특이 코호몰로지에 대하여 정의되는 코호몰로지 연산은 다음을 들 수 있다. * 합곱 \smile\colon K(G,m)\times K(G,n)\to K(G,m+n). 이는 불안정 연산이다. * 스틴로드 제곱 \operatorname{Sq}^i\colon K(\mathbb Z/2,n)\to K(\mathbb Z/2,n+i) * 스틴로드 축소 제곱 P^i\colon K(\mathbb Z/p,n)\to K(\mathbb Z/p,n+2i(p-1), p 소수 * 폰트랴긴 제곱 K(\mathbb Z/p^r,2n)\to K(\mathbb Z/p^{r+1},2pn) * 아벨 군의 짧은 완전열 G/N=H에 대하여, 복시테인 준동형 K(H,n)\to K(N,n+1) * 포스트니코프 제곱 * 매시 곱. 이는 2차 코호몰로지 연산이다.