이름 (강제법)

집합론에서 **이름**(name)은 강제법에 등장하는, 집합의 개념의 일종의 일반화인 누적 위계이다. 집합의 경우 무언가가 집합의 원소인지 여부는 참 또는 거짓이지만, 무언가가 이름의 원소인지 여부는 보다 일반적인 원순서 집합 또는 완비 불 대수의 원소에 따라 나타내어진다.
# 정의

## 이름
임의의 집합 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산 :Q\colon S\mapsto\mathcal P(S\times X) 에 대한 누적 위계를 X-**이름 위계**(hierarchy of X-names)라고 하며,188, Definition VII.2.5 \operatorname{Name}_{X,\alpha}로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다. 임의의 두 이름 \sigma,\tau\in\operatorname{Name}_X에 대하여, \sigma\in\tau의 "참·거짓 여부"는 다음과 같은 X의 부분 집합으로 나타내어진다. :\\{x\in X\colon (\sigma,x)\in \tau\\} 즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수 \\{\top,\bot\\} 대신 불 대수 \mathcal P(X)로 나타내어진다. 임의의 순서수 \alpha에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자. :\operatorname{dom}\colon\operatorname{Name}_{X,\alpha}\to\mathcal P(\operatorname{Name}_{X,\alpha}) :\operatorname{dom}(\tau)=\\{\sigma\colon(\sigma,x)\in X\\}
## 좋은 이름
원순서 집합 (X,\lesssim)와 P-이름 \tau가 주어졌다고 하자. 또한, 함수 f\colon\operatorname{dom}\tau\to\mathcal P(X)의 치역의 모든 원소가 P의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다. :\sigma=\\{(\tau',x)\colon \tau'\in\operatorname{dom}\tau,\;x\in f(\tau')\\} 이러한 꼴의 이름을 \tau에 대한 **좋은 이름**(nice name)이라고 한다.208, Definition VII.5.11 특히, \tau에 대한 좋은 이름 \sigma가 주어졌을 때, 다음이 성립한다. :\operatorname{dom}\sigma\subseteq\operatorname{dom}\tau
# 성질

## 범주론적 성질
임의의 순서수 \alpha에 대하여, \operatorname{Name}_{-,\alpha}\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}는 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, :\operatorname{Name}_{f,\alpha}\colon N\mapsto \\{ \left(\operatorname{Name}_{f,\beta}(a),f(x)\right) \colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname{Name}_{X,\beta},\;\beta<\alpha \\} 이다. 보다 일반적으로, \operatorname{Rel}이 집합과 이항 관계의 범주일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다. :\operatorname{Name}_{-,\alpha}\colon\operatorname{Rel}\to\operatorname{Set} :\operatorname{Name}_{R,\alpha}\colon\sigma\mapsto \\{ \left(\operatorname{Name}_{R,\beta}(\tau),y\right) \colon (\tau,x)\in\sigma,\;(x,y)\in R\\} 임의의 부분 집합 S\subseteq X 및 한원소 집합 \\{\bullet\\}에 대하여, 다음과 같은 이항 관계 R_S를 생각하자. :(x,\bullet)\in R_S\iff x\in S 그렇다면, 함수 :\operatorname{Name}_{R_S}\colon\operatorname{Name}_X\to\operatorname{Name}_{\\{\bullet\\\cong V 를 생각하자. 이를 X-이름의 S-**해석**이라고 하며, :\operatorname{val}_S\colon\operatorname{Name}_X\to V 로 표기한다.189, Definition VII.2.7 강제법에서, \operatorname{val}_S(u)는 포괄적 순서 아이디얼 S를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다.
## 모형 이론적 성질
이름의 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대하여 절대적이다.언어=en188, §VII.2 즉, ZFC의 표준 추이적 모형 M 및 X\in M 및 집합 \tau\in M에 대하여, 다음이 성립한다. :\left(M\models(\tau\in\operatorname{Name}_X)\right)\iff \tau\in\operatorname{Name}_X 다시 말해, (\operatorname{Name}_X)^M=\operatorname{Name}_X\cap M이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 개념은 절대적이다. ZFC의 표준 추이적 모형 M 및 원순서 집합 X\in M 및 두 이름 \mu,\sigma\in M\cap\operatorname{Name}_X에 대하여, 다음이 성립하는 \sigma-좋은 이름 \tau가 존재한다. :\forall x\in X\colon x\Vdash (\mu\subseteq\sigma\implies \mu=\tau) 다시 말해, 임의의 X의 포괄적 순서 아이디얼 G 및 \sigma\in\operatorname{Name}_X\cap M 및 S\in \mathcal P(\operatorname{val}_G(\sigma))\cap M[G]에 대하여, \operatorname{val}_G(\tau)=S인 \sigma-좋은 이름 \tau가 존재한다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 만약 \tau가 \sigma-좋은 이름일 때, \operatorname{val}_G(\tau)\subseteq\operatorname{val}_G(\sigma)일 필요는 없다.209)
# 예
만약 X가 공집합이라면 \operatorname{Name}_\varnothing=\\{\varnothing\\}이다. 만약 X가 한원소 집합이라면 Q는 멱집합 연산과 동형이며, 이름 위계는 폰 노이만 전체와 동형이다. 이에 따라 이름 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 여길 수 있다.