사영 가군

대수 구조 환론에서 **사영 가군**(射影加群, projective module)은 자유 가군을 직합으로 분해하였을 때의 한 성분으로 나타낼 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 사영 대상이다.
# 정의
환 R 위의 왼쪽 가군 P에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 **사영 왼쪽 가군**이라고 한다. * 모든 짧은 완전열 0\to M\to N\to P \to 0가 분할 완전열이다. * P\oplus Q가 자유 가군인 왼쪽 가군 Q가 존재한다. * 함자 \hom(P,-)\colon R\text{-Mod}\to\operatorname{Ab}가 완전 함자이다. 여기서 \operatorname{Ab}는 아벨 군들의 범주이다. * 모든 가군 준동형 f\colon P\to M 및 전사 가군 준동형 \pi\colon\tilde M\twoheadrightarrow M에 대하여, \pi\circ\tilde f=f인 가군 준동형사상 \tilde f\colon P\to\tilde M이 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.) *:\begin{matrix} &&P;\\\ &{\scriptstyle\exists}\swarrow&\downarrow\\\ \tilde M&\to&M;&\to&0 \end{matrix} 마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 **사영 오른쪽 가군**을 정의할 수 있다.
## 국소 자유 가군
가환환 R 위의 가군 M이 다음 조건을 만족시킨다면 **점별 자유 가군**(pointwise free module)이라고 한다. * 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R에 대하여 R_{\mathfrak p}\otimes_RM은 R_{\mathfrak p}-자유 가군이다. 가환환 R 위의 가군 M이 다음 조건을 만족시킨다면 **국소 자유 가군**(locally free module)이라고 한다. * 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R에 대하여, R_f\otimes_RM가 R_f-자유 가군이 되는 f\in R\setminus\mathfrak p가 존재한다. 이 개념들은 가군층에 대하여 일반화할 수 있다. 일반적으로, 환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위의 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F가 다음 조건을 만족시킨다면, **점별 자유 가군층**(pointwise free sheaf of modules)이라고 한다. * 모든 점 x\in X에 대하여 줄기 \mathcal F_x는 \mathcal O_{X,x}-자유 가군이다. 환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위의 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F가 다음 조건을 만족시킨다면, **국소 자유 가군층**(局所自由加群層, locally free sheaf of modules, faisceau de modules localement libre)이라고 한다.url-status = dead48, (5.4.1) * 모든 점 x\in X에 대하여, \mathcal F|_U\cong\mathcal O_X^{\oplus\kappa}|_U가 되는 열린 근방 U\ni x 및 기수 \kappa가 존재한다.
## 국소 자유 가군층의 기하학적 정의
스킴 Y 위의, 계수 n\in\mathbb N의 **대수적 벡터 다발**(algebraic vector bundle)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 스킴 E * 스킴 사상 \pi\colon E\to Y * 열린 덮개 \mathcal U * 각 U\in\mathcal U에 대하여, 스킴 동형 사상 i_U \colon f^{-1}(U) \to \mathbb A^n_U = \mathbb A^n_{\mathbb Z} \times U 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. * 임의의 U,V\in\mathcal U 및 임의의 아핀 열린집합 \operatorname{Spec}R \hookrightarrow U \cap V에 대하여, i_V \circ i_U^{-1} \colon \mathbb A^n_{\operatorname{Spec}R} \to \mathbb A^n_{\operatorname{Spec}R}는 어떤 R-선형 변환 T_{U,V,R} \in \operatorname{Mat}(n,n;R)에 의하여 유도된다. Y 위의 대수적 벡터 다발의 **동형 사상** :\phi \colon (E,\pi,\mathcal U,i) \to (E',\pi,\mathcal U',i') 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * Y-스킴의 동형 사상 \phi\colon E\to E' 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. * (E,\pi, \mathcal U \cup \mathcal U',(i,i'))는 대수적 벡터 다발을 이룬다. 즉, 임의의 U\in\mathcal U, U'\in\mathcal U' 및 \operatorname{Spec}R \hookrightarrow U\cap U'에 대하여, i_{U'} \circ i_U^{-1} \colon \mathbb A^n_R \to \mathbb A^n_R는 어떤 \operatorname{Mat}(n,n;R)의 원소에 의하여 유도된다. 이 경우, 계수 n의 대수적 벡터 다발의 개념은 계수 n의 국소 자유 가군층의 개념과 동치이다.issn=0072-5285128–129, Exercise Ⅱ.5.18 구체적으로, 대수적 벡터 다발 \pi\colon E\to Y에 대응되는 가군층은 다음과 같다. :\Gamma(E,U) = \\{s\colon U \to E\colon \pi\circ s=\operatorname{id}_U\\}\qquad(U\in\operatorname{Open}(Y))
# 성질

## 일반적 환의 경우
(비가환일 수 있는, 1을 갖는) 환 R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :자유 가군 ⊂ 사영 가군 ⊂ 평탄 가군 ⊂ 꼬임 없는 가군
## 가환환의 경우
국소 가환환이나 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 사영 가군은 자유 가군이다. 가환환 위의 가군에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다. :사영 가군 ⊂ 점별 자유 가군 :국소 자유 가군 ⊂ 점별 자유 가군 가환환 위의 유한 생성 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 사영 가군이다. * 국소 자유 가군이다. **세르-스완 정리**에 따르면, 가환환 R 위의 유한 생성 사영 가군의 범주는 \operatorname{Spec}(R) 위의 유한 계수 국소 자유 가군층들의 범주와 동치이다. 가환환 위의 유한 표시 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 국소 자유 가군이다. * 점별 자유 가군이다. * 사영 가군이다. * 평탄 가군이다. 특히, 뇌터 가환환 위의 모든 유한 생성 가군은 유한 표시 가군이므로, 이 경우 위 조건들이 서로 동치이게 된다.
## 계수
점별 자유 가군층 \mathcal F의 x\in X에서의 **계수**(rank)는 \mathcal O_{X,x}-자유 가군 \mathcal F_x의 계수이며, 이는 함수 :\dim M\colon X\to\operatorname{Card} 를 정의한다. (여기서 \operatorname{Card}는 모든 기수의 모임이다.) \operatorname{Card}(의 충분히 큰 부분 집합)에 이산 위상을 부여하였을 때, 만약 \mathcal F가 국소 자유 가군층이라면 계수 함수 \dim M\colon X\to\operatorname{Card}는 (정의에 따라) 연속 함수이다.
# 예
e\in R가 멱등원이라고 하자 (즉, e^2=e를 만족시킨다고 하자). 그렇다면 e로부터 생성되는 왼쪽 아이디얼 Re는 R의 사영 왼쪽 가군이다.