대수적 순환

대수기하학에서 **대수적 순환**(代數的循環, algebraic cycle)은 어떤 대수다양체 *V*의 부분 다양체들의 선형 결합으로 나타내어지는 호몰로지류이다. 이를 이용하여, 대수적 위상수학과 대수기하학을 연관시킬 수 있다.
# 정의
스킴 X 위의 **대수적 순환**들의 아벨 군 Z_\bullet(X)는 X의 기약 축소 닫힌 부분 스킴들로 생성되는 자유 아벨 군이다. 이는 부분 스킴의 크룰 차원으로 인하여 등급을 갖는다.
# 타당한 동치
대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영 대수다양체 X 위의 두 대수적 순환 :A=\sum_{Y\subseteq Z}A_YY\in Z(X) :B=\sum_{Y\subseteq Z}B_YY\in Z(X) 에 대하여, 만약 :\dim(Y\cap Y')=\dim Y+\dim Y'-\dim X\qquad\forall Y,Y'\subseteq Z,\;a_Y\ne0,\;b_{Y'}\ne0 이라면, A와 B가 서로 **제대로 교차**(properly intersect)한다고 한다. 대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영 대수다양체 X 위의 대수적 순환들의 **타당한 동치**(妥當한 同値, adequate equivalence relation)는 Z(X) 위에 정의된, 다음 조건을 만족시키는 동치 관계 \sim이다. * (선형성) 임의의 m,n\in\mathbb Z, \alpha,\alpha,\beta,\beta'\in Z(X)에 대하여, 만약 \alpha\sim\alpha', \beta\sim\beta'이라면 m\alpha+n\beta\sim m\alpha'+n\beta'이다. * (저우 이동 보조 정리) 임의의 \alpha,\beta\in Z(X)에 대하여, \alpha와 동치이며 \beta와 제대로 교차하는 \alpha'\sim\alpha가 존재한다. * (밂) 임의의 \alpha\in Z(X) 및 \beta\in Z(X\times Y)에 대하여, 만약 \beta와 \alpha\times Y가 제대로 교차하며, 또한 \alpha\sim0이라면, (\pi_Y)_*(\beta\cdot(\alpha\times Y))\sim 0이다. 여기서 \pi_Y\colon X\times Y\to Y는 사영 사상이다. 대수적 순환의 유리 동치는 타당한 동치를 이룬다. 이 밖에도 흔히 쓰이는 타당한 동치로는 다음 네 가지가 있다. * **유리 동치**(有理同値, rational equivalence) \sim_{\text{rat * **대수적 동치**(代數的同値, algebraic equivalence) \sim_{\text{alg * **호몰로지 동치**(homology同値, homological equivalence) \sim_{\hom} * **수치 동치**(數値同値, numerical equivalence) \sim_{\text{num 이들은 더 엉성해지는 순서로 나열하였다. 즉, 예를 들어 서로 유리 동치인 두 대수적 순환은 항상 대수적 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 대수적 동치와 호몰로지 동치는 여차원 1(인자)인 경우 서로 일치하지만, 더 큰 여차원에서는 서로 일치하지 않으며, 그 차이는 **그리피스 군**(Griffiths group)으로 측정된다.
## 유리 동치
대수적으로 닫힌 체 K위의 비특이 사영 대수다양체 X 위의 부분 다양체 A,B\in Z(X)에 대하여, 만약 다음 두 조건을 만족시키는 대수적 순환 V\in Z(X\times\mathbb P^1_K)이 존재한다면, A와 B가 서로 **유리 동치**라고 한다. * [V \cap X \times \\{0\\}] - [V \cap X \times \\{\infty\\}] = [A] - [B] * 사영 사상 V\twoheadrightarrow\mathbb P^1_K는 평탄 사상이다.
## 대수적 동치
대수적으로 닫힌 체 K위의 비특이 사영 대수다양체 X 위의 부분 다양체 A,B\in Z(X)에 대하여, 만약 다음 두 조건을 만족시키는 * 대수 곡선 C * C 속의 두 닫힌 점 c,d\in C * X\times C 속의 대수적 순환 V 가 존재한다면, A와 B가 서로 **대수적 동치**라고 한다. * [V \cap X \times \\{c\\}] - [V \cap X \times \\{d\\}] = [A] - [B] * 사영 사상 V\twoheadrightarrow C는 평탄 사상이다.
## 호몰로지 동치
복소수체 위의 대수다양체의 경우, 특이 호몰로지를 정의할 수 있으며, 또한 대수적 순환에서 특이 호몰로지로 가는 사상 :Z(X)\to H^{2\bullet}(X) 이 존재한다. 만약 두 대수적 순환이 같은 특이 호몰로지류에 대응한다면, 이들을 서로 **호몰로지 동치**라고 한다. 복소수체가 아닌 체의 경우, 다른 베유 호몰로지 이론을 사용하여 호몰로지 동치를 정의할 수 있다.
## 수치 동치
대수적으로 닫힌 체 K위의 비특이 사영 대수다양체 X 위의 부분 다양체 A,B\in Z^k(X)에 대하여, 만약 임의의 k차원 대수적 순환 T에 대하여 다음이 성립한다면, A와 B가 서로 **수치 동치**라고 한다. * \deg(A\cap T)=\deg(B\cap T)
# 저우 환
대수적으로 닫힌 체 위의 사영 대수다양체 X 위의 대수적 순환들의 자유 아벨 군에 유리 동치에 대한 몫군을 취하여 얻는 군을 A(X)라고 쓰자. 이는 여차원에 따라 다음과 같이 등급으로 분해할 수 있다. :A^\bullet(X) = \bigoplus_{k = 0}^{\dim{X A^k(X) 이 위에 다음과 같이 교차곱을 정의하자. :[Y] \cdot [Z] = [Y \cap Z] 이 때, 동치류의 대표원 Y, Z는 저우 이동 보조 정리를 사용하여 서로 제대로 교차하게 고른다. 위 정의는 대표원의 선택에 상관없음을 보일 수 있으며, 이는 여차원에 대하여 가법적이다. :\cdot\colon A^k(X)\times A^l(X)\to A^{k+l}(X) 이에 따라 (A^k(X),\cdot)은 등급환을 이루며, 이를 X의 **저우 환**([周]環, Chow ring)이라고 한다. 이는 일종의 코호몰로지 환이다. 만약 X가 복소수체 위의 비특이 사영 대수다양체라면, 저우 환에서 (해석적 위상에 대한) 정수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형이 존재하며, 그 상은 모두 짝수 차수에 속한다. 일반적으로 이 준동형은 단사 함수도, (짝수 차수에 국한하여도) 전사 함수도 아니다. :f\colon A^\bullet(X)\to H^{2\bullet}(X^{\operatorname{an;\mathbb Z)
# 예
대수적으로 닫힌 체 위의 기약 대수다양체 X의 여차원 0의 대수적 순환은 X 자체밖에 없다. 즉, 이로부터 생성되는 군은 \mathbb Z와 동형이며, 유리 동치 · 대수적 동치 · 호몰로지 동치 · 수치적 동치가 일치한다. 대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체 X의 여차원 1의 대수적 순환의 군은 카르티에 인자의 군 :\operatorname{CaDiv}(X)=\operatorname H^1(X;\mathcal K^\times_X/\mathcal O_X^\times) 에 해당된다. 이 경우, 여차원 1의 저우 군(=유리 동치에 대한 몫군)은 피카르 군이다. :\operatorname{Pic}(X)=\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times) 이 경우 대수적 동치와 (정수 계수) 호몰로지 동치는 일치하며, 이에 대한 몫군은 네롱-세베리 군이다. :\operatorname{NS}(X)=\operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}_0(X)\subset\operatorname H^2_{\text{sing(X;\mathbb Z) 수치 동치와 (유리수 계수) 호몰로지 동치는 일치하며, 이에 대한 몫군은 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군에 대한 몫군이다. :\operatorname{NS}(X)/\operatorname{Tors}(\operatorname{NS}(X))\subset\operatorname H^2_{\text{sing(X;\mathbb Q)
# 역사
이 용어는 1950년~60년대 몇가지 근본적인 추측이 이루어지기 시작하여 대수적 순환은 대수기하학의 주요 목표가 되었다. 문제의 본질은 매우 설명하기 쉬워 대수적 순환의 존재를 예측하긴 쉽지만, 현재 그것들을 구성하는 게 무엇인지는 불확실하다. 이러한 대수적 순환의 주요 추측으로는 호지 추측 및 테이트 추측이 있다. 또한, 대수적 순환은 대수적 K이론과도 밀접하게 연관되어 있는 것으로 추측된다. 유리 동치에 대한 저우 움직임 정리와 저우 환의 존재는 저우웨이량이 1956년에 증명하였다.언어=en 타당한 동치 관계의 개념은 피에르 사뮈엘(Pierre Samuel)이 1958년에 정의하였다.url-status=dead