이합체 모형

통계역학과 그래프 이론에서 **이합체 모형**(二合體模型, dimer model)은 어떤 그래프 위의 완벽 부합들의 공간 위에 정의되는 통계역학 모형이다.
# 정의

## 이합체 모형
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 유한 그래프 \Gamma * 실수 값 함수 E\colon\operatorname E(\Gamma)\to\mathbb R. 이를 각 변의 **에너지**라고 한다. 그렇다면, \Gamma의 완벽 부합들의 집합을 :\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)\subseteq\operatorname{Pow}(\operatorname E(\Gamma)) 로 표기하자. 통계 역학에서, 완벽 부합은 보통 **이합체 배치**(二合體配置, dimer configuration)라고 하며, 그래프의 변은 **이합체**라고 한다. 즉, 흔히 사용되는 수학 용어 및 대응되는 물리학 용어는 다음과 같다. {| class=wikitable ! 수학 !! 물리학 |- | 변 || 이합체(dimer) |- | 꼭짓점 || 단량체(monomer) |- | 완벽 부합 || 이합체 배치 |- | 변의 무게(weight) || 이합체의 에너지 |- | 꼭짓점의 무게(weight) || 단량체의 에너지 |- |} 이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다. * 위상 공간은 완벽 부합의 집합 \operatorname{PerfMatch}(\Gamma)이다. * 임의의 완벽 부합 M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)의 **에너지**는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 \textstyle E(M)=\sum_{e\in M}E(e)이다. * 온도 T=1/\beta에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 \operatorname{PerfMatch}(\Gamma)\to\mathbb R로 정의되는 기브스 측도이다. *: Z(\beta;\Gamma)=\sum_{M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)}\exp\left(-\beta\sum_{e\in M}E(e)\right) *: \Pr(M;\beta)=\frac{\exp\left(-\beta E(M)\right)}Z\qquad(M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)) 여기서 값 Z(\beta;\Gamma)는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 **이합체 모형**이라고 한다.
## 단량체-이합체 모형
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 유한 그래프 \Gamma * 실수 값 함수 E_2\colon\operatorname E(\Gamma)\to\mathbb R. 이를 **이합체 에너지**(二合體energy, dimer energy)라고 한다. * 실수 값 함수 E_1\colon\operatorname V(\Gamma)\to\mathbb R. 이를 **단량체 에너지**(單量體energy, monomer energy)라고 한다. 그렇다면, \Gamma의 부합들의 집합을 :\operatorname{Match}(\Gamma)\subseteq\operatorname{Pow}(\operatorname E(\Gamma)) 로 표기하자. 이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다. * 위상 공간은 부합의 집합 \operatorname{Match}(\Gamma)이다. * 임의의 부합 M\in\operatorname{Match}(\Gamma)의 **에너지**는 부합에 속하는 변들의 이합체 에너지들과, 부합에 인접하지 않는 꼭짓점들의 단량체 에너지들의 합이다. *: E(M)=\sum_{e\in M}E_2(e)+\sum_{v\in\operatorname V(\Gamma\setminus M)}E_1(v) * 온도 T=1/\beta에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 \operatorname{Match}(\Gamma)\to\mathbb R로 정의되는 기브스 측도이다. *: Z(\Gamma)=\sum_{M\in\operatorname{Match}(\Gamma)}\exp\left(-\beta E(M)\right) *: \Pr(M)=\frac{\exp\left(-\beta E(M)\right)}Z\qquad(M\in\operatorname{Match}(\Gamma)) 여기서 값 Z(\Gamma)는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 **단량체-이합체 모형**(monomer–dimer model)이라고 한다.
# 성질

## 단량체-이합체 모형과 이합체 모형의 관계
적어도 하나 이상의 완벽 부합을 갖는 유한 그래프 위에서, 만약 단량체 에너지를 무한대로 취할 경우, :E_1\to\infty 단량체-이합체 모형은 이합체 모형으로 수렴한다.
## 상관 함수
유한 그래프 \Gamma 위의 이합체 모형이 주어졌다고 하자. 각 변 e\in\operatorname E(\Gamma)에 대하여, 관측 가능량 \sigma(e;M)을 지시 함수 :\sigma(e;M)=\begin{cases} 1&e;\in M\\\ 0&e;\not\in M \end{cases} 로 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합 :S\subseteq\operatorname E(\Gamma) 에 대하여, **상관 함수** :\left\langle \prod_{e\in S}\sigma(e)\right\rangle =\sum_{S\subseteq M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)}\Pr(M)\in[0,1] 를 정의할 수 있다. 만약 S가 서로 닿는 두 변을 포함한다면, :\left\langle \prod_{e\in S}\sigma(e)\right\rangle=0 이다. 보다 일반적으로, 유한 그래프 \Gamma 위의 단량체-이합체 모형이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 변 e\in\operatorname E(\Gamma) 및 각 꼭짓점 v\in\operatorname V(\Gamma)에 대하여 지시 함수 관측 가능량 :\sigma(e;M)=\begin{cases} 1&e;\in M\\\ 0&e;\not\in M \end{cases} :\sigma(v;M)=\begin{cases} 1&v;\in\operatorname V(\Gamma\setminus M)\\\ 0&v;\not\in\operatorname V(\Gamma\setminus M) \end{cases} 을 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합 :S_2\subseteq\operatorname E(\Gamma) 및 꼭짓점 집합 :S_1\subseteq\operatorname V(\Gamma) 에 대하여, **상관 함수** :\left\langle \prod_{e\in S}\sigma(e)\right\rangle =\sum_{ {\scriptstyle S_2\subseteq M\in\operatorname{Match}(\Gamma)\atop \scriptstyle S_1\subseteq\operatorname V(\Gamma\setminus M) \Pr(M)\in[0,1] 를 정의할 수 있다. 만약 S_2가 서로 닿는 두 변을 포함하거나, 만약 S_2의 원소가 S_1의 원소와 인접한다면, :\left\langle \prod_{v\in S_1}\sigma(v)\prod_{e\in S_2}\sigma(e)\right\rangle=0 이다.
# 예
피셔 격자 2차원 이징 모형은 **피셔 격자**(Fisher lattice)라는 어떤 특별한 평면 삼차 그래프 위의 이합체 모형과 동치이다.언어=en§1 피셔 격자는 정12각형과 정삼각형으로 구성된 평면 테셀레이션의 그래프이다. 구체적으로, 평면의 정사각 격자 그래프에서, 각 꼭짓점 :╳ 을 나비 모양의 삼차 그래프

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로 치환하여 얻는다. 즉, (45도 회전하여 그린) 사각형 격자의 부분

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은 피셔 격자의 부분

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에 대응한다. 이 경우, 각 꼭짓점에서 완벽 부합은 다음과 같은 8개의 가능한 꼴을 가진다. {| class=wikitable |- ! lang=ko | 피셔 격자의 완벽 부합 ! colspan=2 lang=ko | 평면 이징 모형의 스핀 배열 |- |

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|} (굵게 표현된 변이 완벽 부합에 속하는 변이다.) 즉, 이는 2차원 이징 모형의 임의의 상태에서, 각 스핀 사이의 변을 * 서로 다른 스핀 사이의 변은 굵게, * 서로 같은 스핀 사이의 변은 가늘게 칠한 뒤, 각 꼭짓점을 위와 같은 8개의 나비 그래프 가운데 하나로 치환하면, 이징 모형의 각 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이의 2대 1 대응을 얻는다. (2대 1인 것은 이징 모형의 상태에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 완벽 부합에 대응하기 때문이다.) 예를 들어, (45도 기울여서 그린) 평면 이징 모형의 상태의 일부분이

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와 같은 꼴이라면, 이는 다음과 같은 피셔 격자 완벽 부합에 대응한다.

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# 독서 자료
* 언어=en * 언어=en * 언어=en