L∞-대수

DISPLAYTITLE:L∞-대수 수학에서 **L∞-대수**(L∞-algebra) 또는 **호모토피 리 대수**(homotopy Lie algebra)는 \mathbb Z 등급을 갖는 대수이다.언어=en언어=en언어=en 리 대수의 개념에서, 야코비 항등식이 오직 호모토피에 대하여 성립하도록 약화시킨 것이다.
# 정의

## 괄호를 통한 정의
표수 0의 체 K가 주어졌다고 하자. K 위의 초벡터 공간 V=V_+\oplus V_-이 주어졌을 때, 다음을 정의하자. :\bigwedge V = \frac{\operatorname T(V)}{\mathfrak I} 여기서 \mathfrak I는 텐서 대수 \operatorname T(V)의, 다음 부분 집합으로 생성되는 아이디얼이다. :\mathfrak I = \left(v_1\otimes v_2\otimes\dotsb\otimes v_n - (-)^\sigma(-)^{\sigma,\vec v} v_{\sigma(1)}\otimes v_{\sigma(2)}\otimes\dotsb\otimes v_{\sigma(n)} \colon \sigma \in\operatorname{Sym}(n),\;v_1,\dotsc,v_n \in V_+ \cup V_- \right) 여기서 * (-)^\sigma\in\\{\pm1\\}는 순열의 부호수, 즉 군 준동형 \operatorname{Sym}(n) \to \operatorname{Sym}(2)에 대한 상이다. * (-)^{\sigma,\vec v}\in\\{\pm1\\}는 \sigma가 (v_1,\dotsc,v_n)에 작용할 때, V_-에 속하는 두 원소를 교환할 때의 수가 짝수인 경우 +1, 홀수일 경우 -1이다. 물론 \textstyle\bigwedge V는 자연수 등급을 갖는다. K 위의 **L∞-대수** A는 다음과 같은 일련의 연산이 주어진, K 위의 \mathbb Z-등급 벡터 공간 :A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A^i 이다. * 각 n\ge1에 대하여, 등급 반대칭 n항 연산 [-,-,\dotsc,-]\colon \textstyle\bigwedge^n V \to K. 그 등급은 n-2이다. (즉, 2항 괄호의 등급이 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.) *:\deg[a_1,\dotsc,a_n]_n = n -2 + \sum_{i=1}^n\deg a_i 이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다. :0=\sum_{i+j=n+1}\sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(i,n-i)} e(\sigma)(-1)^{\sigma+i(j-1)}[[a_{\sigma(1)},\dots,a_{\sigma(i)}]_i,a_{\sigma(i+1)},\dots,a_{\sigma(n)}]_j 여기서 * \operatorname{Sh}(i,n-i)는 (i,n-i)-셔플 순열의 집합이다. * e(\sigma)는 순열 \sigma가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 +1, 홀수 번 뒤바꾸었을 때 -1이다. 이를 **코쥘 부호**(Koszul sign)라고 한다.
## 미분 등급 대수를 통한 정의
만약 각 등급별 차원이 유한하다면, L∞-대수는 다음과 같이 정의될 수도 있다. 표수 0의 체 K 위의 위의 **호모토피 리 대수**는 다음과 같은 데이터로 주어진다. * K 위의 양의 정수 등급 벡터 공간 A=\textstyle\bigoplus_{i\in\mathbb Z^+}A_i. 이로부터 다음을 정의할 수 있다. ** A^*는 A의 대수적 쌍대 공간이다. ** \operatorname{Sym}(A^*)은 등급 벡터 공간 A^* 위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다. * \mathrm d \colon \operatorname{Sym}(V^*)\to\operatorname{Sym}(V^*)는 \operatorname{Sym}(V^*) 위의, 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다. ** \mathrm d는 K-선형 변환이다. ** \mathrm d\circ \mathrm d = 0 ** \mathrm d(ab) = (\mathrm da)b + (-)^{\deg a} a\mathrm db이다. 여기서 a는 동차 성분이다. ** \deg(\mathrm da) = 1+\deg a. 여기서 a는 동차 성분이다. 이는 다음 조건을 추가로 만족시켜야 한다. * 표준 사영 (\operatorname{Sym}(V^*),\mathrm d) \to (K,0)는 미분 등급 대수의 준동형이다. (만약 이 조건을 생략한다면, 굽은 L∞-대수curved L∞-algebra의 개념을 얻는다.)
## 두 정의 사이의 관계
이 두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선, 괄호 [-,-,\dotsc,-]_\bullet를 통한 정의에서, A의 임의의 기저 :A = \operatorname{Span}_K\\{t_i\\}_{i\in I} 를 잡자. 그 쌍대 기저는 :A^* = \operatorname{Span}_K\\{t^i\\}_{i\in I} 이며, 또한 :\deg t^i = \deg t_i + 1 로 놓자. 그렇다면, :\mathrm d \colon t^i \mapsto -\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}t^i([t_{i_1},\dotsc,t_{i_n}]_n) t^{i_1} t^{i_2} \dotsm t^{i_n} 이다. 이 경우, 멱영 조건 :\mathrm d^2 = 0 을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다.
# 예

## 미분 등급 리 대수
미분 등급 리 대수 L∞-대수 \mathfrak g에서, 만약 오직 2항 이하 괄호만이 0이 아닌 경우, 이는 미분 등급 리 대수를 이룬다. 즉, 이 경우 :[a]_1 = \mathrm da :[a,b]_2 = [a,b] :[a,b,\dotsc,]_k = 0\qquad(k\ge3) 로 놓으면, (\mathfrak g,\mathrm d,[-,-])가 만족시켜야 하는 항등식들은 미분 등급 리 대수의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 야코비 항등식이 정확히 성립한다. 특히, 만약 추가로 [-]_1 = \mathrm d = 0일 경우, 이는 등급 리 초대수를 이루며, 만약 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 리 대수를 이룬다.
## 리 n-대수
L∞-대수에서, 모든 생성원의 등급이 \\{0,1,\dotsc,n\\}에 속하는 경우를 **리 n-대수**라고 한다. 이 경우, :n \ge \deg [a_1,\dotsc,a_k]_k \ge k-2 이므로, :[-,\dotsc,-]_k = 0 \qquad(k> n+2) 이다. 예를 들어, n=1일 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다. 특히, n=0인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 리 대수의 개념과 동치이다.
## 거스틴해버 대수
거스틴해버 대수 모든 거스틴해버 대수는 L∞-대수를 이룬다.