극대 원환면

리 군론에서 **극대 원환면**({極大圓環面, 맥시멀 토러스)은 어떤 콤팩트 리 군 속의 연결 콤팩트 닫힌 아벨 부분군 가운데 극대 원소인 것이다.
# 정의
G가 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. G 속의, 원환면 \mathbb T^n과 미분 동형인 닫힌 부분군 :T\subseteq G 들의 집합을 생각하자. 이들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 G의 **극대 원환면**이라고 한다.
# 성질
연결 콤팩트 리 군 G 및 그 극대 원환면이 주어졌을 때, 모든 원소 g \in G는 (임의의) 극대 원환면 T의 원소와 켤레 동치이다. 즉, 항상 x^{-1}gx \in T가 되는 x\in G를 찾을 수 있다.

**증명:**

임의의 g\in G에 대하여, x^{-1}gx \in T가 되는 x\in G를 찾아야 한다. 이러한 x는 :gx \in xT 이므로, G/T 위의 G의 왼쪽 군 작용의 고정점을 이룬다. T가 부분군이므로, 반대로 G/T의 모든 고정점 xT은 이러한 x에 대응한다. G/T가 콤팩트 공간이므로, 렙셰츠 고정점 정리를 사용하여, g의 작용의 렙셰츠 수가 0이 아님을 보이면 족하다. 렙셰츠 수는 호모토피류에 대하여 불변량이다. G가 경로 연결 공간이므로, g의 작용은 1_G\in G의 작용(즉, 항등 함수)과 호모토픽하며, 항등 함수의 렙셰츠 수는 오일러 지표와 같다. 즉, G/T의 오일러 지표 \chi(G/T)가 0이 아님을 보이면 족하다. 이를 계산하기 위하여, 원소 t\in T 가운데, t로 생성되는 부분군 t^\mathbb Z가 T의 조밀 집합을 이루는 것을 고르자. (T가 원환면이므로, 이는 항상 가능하며, 거의 모든 t\in T에 대하여 이러한 성질이 성립한다.) 그렇다면, t의 작용의 고정점은 T의 정규화 부분군 \operatorname N_G(T)의 원소이다. 즉, G/T 위의 고정점의 집합은 \operatorname N_G(T)/T이다. T가 극대 원환면이라면, 이는 유한 집합이다. 그 모든 원소들은 서로 켤레이므로, 같은 지표를 갖는다. 따라서, 고정점 T = 1_GT \in \operatorname N_GT의 지표가 0이 아님을 보이면 족하다. 이는 1임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉, \chi(G/T) = |\operatorname N_G(T)/T| \ge 1이며, 모든 g\in G에 대하여 x^{-1}gx\in T인 x\in G가 존재한다.

## 존재와 유일성
모든 연결 콤팩트 리 군은 하나 이상의 극대 원환면을 갖는다. 극대 원환면은 일반적으로 유일하지 않지만, 연결 콤팩트 리 군 G의 모든 극대 원환면들은 서로 켤레 동치이다.

**증명:**

임의의 두 극대 원환면 T, T'이 주어졌으며, t\in T 및 t'\in T'에 대하여, t로 생성되는 부분군이 T의 조밀 집합이며, t'도 T'에 대하여 마찬가지라고 하자. 그렇다면, 항상 gtg^{-1} = t'인 g\in G를 찾을 수 있으므로, gTg^{-1} = T'가 된다.

즉, 연결 콤팩트 리 군 G의 경우 바일 군이 유일하게 정의된다. 단순 리 군과 단순 리 대수는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다.
## 차원
연결 콤팩트 리 군 G의 극대 원환면의 차원은 G의 계수와 같다. 즉, 그 리 대수 \mathfrak{lie}(G)를 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합 :\mathfrak{lie}(G) = \mathfrak s \oplus \mathfrak a 으로 분해하였을 때, T의 차원은 \mathfrak a의 차원과 \mathfrak s의 딘킨 도표의 꼭짓점의 수의 합과 같다. :\dim T = \dim\mathfrak a \oplus |\operatorname V(\operatorname{Dynkin}(\mathfrak s))|
## 바일 군의 작용
연결 콤팩트 리 군 G의 극대 원환면 T가 주어졌을 때, 그 바일 군 :\operatorname{Weyl}(G,T) = \operatorname N_G(T)/\operatorname C_G(T) 은 T 위에 자연스럽게 작용한다. 이에 대한 몫공간 :T / \operatorname{Weyl}(G/T) 은 G의 켤레류의 공간과 동형이다.
# 예
유니터리 군 \operatorname U(n)의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다. :T = \left\\{\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\theta_1),\exp(\mathrm i\theta_2),\dotsc,\exp(\mathrm i\theta_n)) \colon \theta_1,\theta_2,\dotsc,\theta_n\in\mathbb R\right\\} \le \operatorname U(n) 특수 유니터리 군 \operatorname{SU}(n)의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다. :T = \left\\{\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\theta_1),\exp(\mathrm i\theta_2),\dotsc,\exp(\mathrm i\theta_{n-1}),\exp(-\mathrm i(\theta_1+\theta_2+\dotsb+\theta_{n-1})) \colon \theta_1,\theta_2,\dotsc,\theta_{n-1}\in\mathbb R\right\\} \le \operatorname{SU}(n) 특수 직교군 \operatorname{SO}(2n)의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다. :T = \left\\{\operatorname{diag}(R(\theta_1),R(\theta_2),\dotsc,R(\theta_n))\colon \theta_1,\dotsc,\theta_n\in\mathbb R\right\\} \le \operatorname{SO}(2n) 여기서 :R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\\ -\sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix} 이다. 특수 직교군 \operatorname{SO}(2n+1)의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다. :T = \left\\{\operatorname{diag}(R(\theta_1),R(\theta_2),\dotsc,R(\theta_n),0_{1\times1})\colon \theta_1,\dotsc,\theta_n\in\mathbb R\right\\} \le \operatorname{SO}(2n+1)