열핵

다른 뜻 해석학에서 **열핵**(熱核, heat kernel)은 열 방정식의 그린 함수이다.언어=en언어=en 해석학에서 함수를 매끄럽게 만들기 위해 쓰인다.
# 정의

## 일반화 라플라스 연산자
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * n차원 리만 다양체 (M,g) * 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M E 위의 **라플라스형 연산자**는 (임의의 국소 좌표계에서) 다음과 같은 꼴의, E 위의 2차 미분 연산자이다.언어=en65, Definition 2.2 :H\colon \Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E) :H=g^{ij}(x)\partial_i\partial_j+A^i(x)\partial_i+B(x)\qquad(A^i\in\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm TM),\;B\in\Gamma^\infty(E)) 여기서 \Gamma^\infty는 매끄러운 단면의 공간을 뜻한다. 마찬가지로, 연속 단면을 \Gamma^0로 표기하자. 다시 말해, 라플라스형 연산자는 어떤 임의의 리만 계량 g와 코쥘 접속 \nabla 및 매끄러운 단면 T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*)에 대하여 :Hs=g^{ij}\nabla_i\nabla_js+Ts 의 꼴로 나타내어지는 미분 연산자이다.
## 열핵
이제, |\Lambda(M)|^{1/2}가 M 위의, 무게 n/2의 밀도 다발이라고 하자. (이는 M의 방향과 관계없이 정의된다.) 그렇다면, \mathbb R^+\times M\times M 위에 다음과 같은, (\dim E)^2차원 벡터 다발을 생각하자. :F=(E\otimes_{\mathbb R}|\Lambda(M)|^{1/2})\boxtimes (E^*\otimes_{\mathbb R}|\Lambda(M)|^{1/2}) M이 콤팩트 공간일 경우, H의 **열핵** :K(t,x,y)\in\Gamma^0(F) 은 다음 조건들을 만족시키는, F의 (연속) 단면이다. * t에 대하여 \mathcal C^1 함수이다. 즉, \partial K(t,x,y)/\partial t가 존재하며, 연속 함수 \mathbb R^+\times M\times M\to F를 이룬다. * x에 대하여 \mathcal C^2 함수이다. 즉, \partial^2K(t,x,y)/\partial x^i\partial x^j가 연속적으로 존재한다. * 열 방정식이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다. *: \left(\frac\partial{\partial t}-H\right)K(t,x,y)=0 * (초기 조건) 다음과 같은 경계 조건이 성립한다. 임의의 s\in\Gamma^\infty(\mathcal E\otimes_{\mathbb R}|\Lambda(M)|^{1/2})에 대하여, *: \lim_{t\to0}\int K(t,x,y)s(y)\,\mathrm dy=s(x) 여기서 극한은 M 위의 균등 노름에 대한 것이다. 만약 M이 콤팩트 공간이 아니라면, 적절한 경계 조건을 주어야 한다.
## 경계다양체 위의 열핵
만약 M이 리만 계량이 주어진 콤팩트 매끄러운 경계다양체라고 하고, E가 그 위의 매끄러운 벡터 다발이라고 하자. 또한, 마찬가지로 E 위의 라플라스형 연산자가 주어졌다고 하자. 이 경우, 열핵을 정의하기 위해서는 경계 조건을 주어져야 한다. 구체적으로, 경계에서의 수직 단위 벡터를 n이라고 하자. 그렇다면, 단면 s\in\Gamma^\infty(E) 위에 다음과 같은 꼴의 디리클레 경계 조건을 생각할 수 있다. :s\restriction\partial M=s_0 또는 다음과 같은 일반화 노이만 경계 조건을 생각할 수 있다. :(\nabla_Xs)\restriction\partial M+A(s\restriction\partial M)=s_0 여기서 :A\in\Gamma^\infty(\partial M,\operatorname{End}E) 이다. 이와 같은 경계 조건을 부여하면, 마찬가지로 열핵을 (유일하게) 정의할 수 있다.
# 성질

## 존재 조건
만약 M이 콤팩트 리만 다양체라면, 그 위의 임의의 라플라스형 연산자는 열핵을 가지며, 이는 유일하다.
## 적분
콤팩트 리만 다양체 M 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 라플라스형 연산자를 생각하자. :Hf=\Delta f+\nabla_Xf+C 여기서 X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)는 M 위의 임의의 벡터장이며, C\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)는 임의의 스칼라장이다. 이 경우, 열핵의 적분은 부분 적분을 통해 다음 성질을 만족시킨다. :\frac{\partial}{\partial t}\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx =\int_MHK(t,x,y)\,\mathrm dx = \int_M(\Delta+\nabla_X+C)K(t,x,y)\,\mathrm dx =C(y)\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx 즉, :F(t,y)=\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx 로 놓으면 다음이 성립한다. :F(t_0+s,y)=\exp(C(y)s)F(t_0,y) 특히, 만약 C=0이라고 하면, F(t,y)는 t에 의존하지 않으며, 이 경우 t\to0에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수 :F(t,y)=1 가 된다.
## 반군 성질
콤팩트 리만 다양체 M 위의 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 위의 라플라스형 연산자 H의 열핵 K(t,x,y)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. :K(t+t',x,y)=\int_MK(t,x,z)K(t',z,y)\,\mathrm dz 즉, 이는 반군 준동형 :K\colon (\mathbb R^+,+)\to (E\otimes|\Lambda M|^{1/2})\boxtimes(E^*\otimes|\Lambda M|^{1/2}) :K\colon t\mapsto K(t,-,-) 을 정의한다. (여기서 (\mathbb R^+,+)는 양의 실수들의 덧셈 반군이다. 이는 항등원 0을 갖지 않으므로 모노이드가 아니다.) 이를 열핵의 **반군 성질**(半群性質, semigroup property)이라고 한다. 이를 사용하여 열핵의 다양한 성질들을 증명할 수 있다. 예를 들어, E=M\times\mathbb R가 자명한 선다발이라고 하고, 라플라스형 연산자가 상수항을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 시각 t_0\in\mathbb R^+에서, 콤팩트 공간 M\times M 위의 실수 값 연속 함수 K(t_0,-,-)는 최댓값 :\max_{(x,y)\in M^2} K(t_0,x,x)=C_{t_0} 을 갖는다. 그렇다면, t_0 초과의 임의의 시각 t\in\mathbb R^+, t>t_0에서, :K(t,x,y)= \int_MK(t_0,x,z)K(t-t_0,z,y)\,\mathrm dz \le C_{t_0} \int_MK(t-t_0,z,y)\,\mathrm dz = C_{t_0} 이다. 따라서, 함수 :C\colon \mathbb R^+\to\mathbb R^+ :C\colon t\mapsto \max_{(x,y)\in M^2}K(t,x,y) 는 항상 감소 함수이다.
## 점근적 전개
콤팩트 n차원 리만 다양체 M 위의 매끄러운 벡터 다발 E 위의 라플라스형 연산자 H가 주어졌을 때, 그 열핵 K_H는 다음과 같은 꼴로 전개된다.81–82, §2.5(1.13) :K_H(t,x,y)=\frac1{(4\pi t)^{n/2\exp(-d(x,y)/4t)\sum_{i=0}^\infty t^if_i(x,y) 여기서 :f_i\in \Gamma^\infty\left((E\otimes\sqrt{|\Lambda M|})\boxtimes (E^*\otimes\sqrt{|\Lambda M|})\right) 이다. 약간 다르게, 다음과 같은 전개를 사용할 수도 있다. 임의의 f\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}(E))에 대하여,(2.21) :\operatorname{tr}(f\exp(-tH))=\sum_{i\in2\mathbb N}t^{(i-n)/2}a_i(f,H) 위 합에서는 오직 짝수 i만이 등장한다.§4.1 만약 M이 콤팩트 경계다양체인 경우, (적절한 경계 조건 아래) 홀수 i 역시 등장할 수 있다.
## 고윳값
M 위의 라플라스형 연산자 H=g^{ij}\nabla_i\nabla_j+T가 주어졌다고 하자. 만약 M이 콤팩트 다양체이며, T가 에르미트 작용소라고 하자. 그렇다면, H를 복소수 힐베르트 공간 :\mathcal H=\operatorname L^2(M;E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C) 에 확장시킬 수 있으며, 스펙트럼 정리에 의하여 그 실수 고윳값들이 존재한다. 또한, 만약 T의 고윳값들이 추가로 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다. :0=\lambda_0<-\lambda_1\le-\lambda_2\le-\lambda_3\le\cdots 이에 대응하는, 복소수 힐베르트 공간 \operatorname L^2(M;E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)의 정규 직교 기저를 \phi_i라고 하면, 열핵은 다음과 같은 점근적 급수로 주어진다. :K(t,x,y)=\sum_{i=0}^\infty \exp(-\lambda_i)\phi_i(x)\phi_i(y) 그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다.
# 예

## 유클리드 공간
유클리드 공간 \mathbb R^n 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스형 연산자 :H=\Delta+C 의 열핵은 다음과 같다.언어=en(1.12) :K(t,x,y)=\frac1{(4\pi t)^{n/2\exp(tC-\|x-y\|^2/4t)
## 대칭 공간
이 밖에도, 일부 리 군 또는 대칭 공간 위의 경우 열핵의 급수 표현이 알려져 있다.언어=en 예를 들어, 구 \mathbb S^2=\operatorname{SU}(2)/\operatorname U(1) 위의 (표준적) 라플라스 연산자의 경우, 열핵은 다음과 같다.언어=en328, (1) :K(t,g\operatorname U(1),1_{\operatorname{SU}(2)}\\!\operatorname U(1))=\sum_{n=0}^\infty(2n+1)\exp(-n(n+1)t/2)\operatorname P_n\left( \frac{ \left(\operatorname{tr}g\right)^2 \+ \left(\operatorname{tr}(\mathrm i\sigma_3g)\right)^2 }2 -1 \right)\qquad\left(t\in\mathbb R^+,\;g\in\operatorname{SU}(2)\right) 여기서 :\mathrm i\sigma_3=\begin{pmatrix}\mathrm i&0\\\0&-\mathrm i\end{pmatrix}\in\operatorname{SU}(2) 는 파울리 행렬이며, \mathrm P_n(-)는 르장드르 다항식이다.
## 멜러 핵
실수선 \mathbb R 위의 다음과 같은 라플라스형 연산자를 생각하자. :H=\frac1{2m}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}-\frac 12mx^2-E 이는 무게 m의 조화 진동자의 해밀토니언 연산자이다. H의 열핵은 다음과 같다. :K(t,x,y)=\sqrt{\frac m{2\pi \sinh t \exp\left(-\frac{m(x^2+y^2)}{2\tanh t}+\frac{mxy}{\sinh(mxy)}-Et\right) 이를 **멜러 핵**(Mehler核, Mehler kernel)이라고 한다.154, §4.2
# 역사
멜러 핵은 구스타프 페르디난트 멜러(Gustav Ferdinand Mehler, 1835~1895)가 도입하였다.pages=161–176173–174