대칭 공간

약한 분리 공리를 만족시키는 위상 공간 리만 기하학과 리 군론에서 **대칭 공간**(對稱空間, symmetric space)은 일반점의 안정자군이 어떤 대합에 의하여 정의되는 동차 공간이다.
# 정의
**대칭 공간** G/H는 다음 조건을 만족시키는 동차 공간이다. :H는 어떤 대합 \sigma\colon G\to G에 대하여, G^\sigma의 열린집합이다. 여기서 :G^\sigma=\\{g\in G\colon\sigma g=g\\} 는 \sigma에 의한 고정점들의 부분 공간이다. 대칭 공간의 **계수**(階數, rank)는 접공간의 부분 벡터 공간 가운데, 곡률이 0인 것의 최대 차원이다. 대칭 공간 가운데 에르미트 다양체인 것들은 항상 자동적으로 켈러 다양체를 이루며, 이를 **에르미트 대칭 공간**(Hermite對稱空間, Hermitian symmetric space)이라고 한다. G의 리 대수가 \mathfrak g라고 하자. 대합 :\sigma\colon\mathfrak g\to\mathfrak g 는 \sigma^2=1이므로 고윳값 \pm1을 갖는다. 이에 따라, \mathfrak g는 두 부분 공간의 직합으로 나타내어지며, 고윳값이 +1인 부분 대수는 H의 리 대수 \mathfrak h와 같다. 고윳값이 -1인 부분 대수는 \mathfrak m이라고 적자. :\mathfrak g=\mathfrak h\oplus\mathfrak m :[\mathfrak h,\mathfrak h]\subset\mathfrak h :[\mathfrak h,\mathfrak m]\subset\mathfrak m :[\mathfrak m,\mathfrak m]\subset\mathfrak h
# 성질

## 함의 관계
리 군 G의 닫힌 부분군 H\le G가 주어졌으며, 이들에 대응하는 리 대수가 각각 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g라고 하자. 또한, 항상 :\mathfrak g = \mathfrak h + \mathfrak m 이 되는 실수 벡터 공간 \mathfrak m\subseteq\mathfrak g를 찾을 수 있다. 이제, \mathfrak m이 가질 수 있는 다음과 같은 일련의 조건들을 정의할 수 있으며, 이 조건들은 다음과 같은 동차 공간들을 정의한다. {| class=wikitable |- ! 공간 !! 조건 |- | 동차 공간 || (없음) |- | 가약 동차 공간 || \operatorname{Ad}(H)\mathfrak h\subseteq\mathfrak m |- | 대칭 공간 || \operatorname{Ad}(H)\mathfrak m \subseteq\mathfrak m, [\mathfrak m,\mathfrak m]\subseteq\mathfrak h |- | 리만 대칭 공간 || 대칭 공간이며, \mathfrak m 위에 \operatorname{Ad}(H)-불변 내적이 존재 |} 여기서, \operatorname{Ad}(H)\mathfrak m\subseteq\mathfrak m인 조건은 :[\mathfrak h,\mathfrak m]\subseteq\mathfrak m 을 함의한다. (만약 H의 중심이 자명하다면 이는 리 대수 조건과 동치이다.) 리만 대칭 공간의 경우, \mathfrak m은 G/H의 접공간과 동형이므로, \mathfrak m 위의 내적은 G/H 위의 리만 계량을 정의한다.
# 분류
콤팩트 대칭 공간은 엘리 카르탕에 의하여 모두 분류되었다.언어=fr언어=fr 모든 연결 단일 연결 콤팩트 대칭 공간은 아래 군들의 직접곱이다. 아래 목록에서, 켈러 다양체가 되는 것은 특별히 표시하였다. {| class="wikitable" |- ! 이름 ! *G* ! *H* ! 차원 ! 계수 ! 켈러 다양체 |- | AI | \operatorname{SU}(n) | \operatorname{SO}(n) | (n-1)(n+2)/2 | n-1 |- | AII | \operatorname{SU}(2n) | \operatorname{USp}(2n) | (n-1)(2n+1) | n-1 |- | AIII | \operatorname{SU}(p+q) | \operatorname{S}(\operatorname{U}(p) \times \operatorname{U}(q)) | 2pq | \min\\{p,q\\} | 켈러 다양체 |- | BDI | \operatorname{SO}(p+q) | \operatorname{SO}(p) \times \operatorname{SO}(q) | pq | \min\\{p,q\\} | q=2인 경우는 켈러 다양체 |- | DIII | \operatorname{SO}(2n) | \operatorname{U}(n) | n(n-1) | \lfloor n/2\rfloor | 켈러 다양체 |- | CI | \operatorname{USp}(2n) | \operatorname{U}(n) | n(n+1) | n | 켈러 다양체 |- | CII | \operatorname{USp}(2p+2q) | \operatorname{USp}(2p) \times \operatorname{USp}(2q) | 4pq | \min\\{p,q\\} |- | EI | E_6 | \operatorname{PUSp}(8) | 42 | 6 |- | EII | E_6 | \operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(2) | 40 | 4 |- | EIII | E_6 | \operatorname{SO}(10)\times\operatorname{U}(1) | 32 | 2 | 켈러 다양체 |- | EIV | E_6 | F_4 | 26 | 2 |- | EV | E_7 | \operatorname{SU}(8)/\\{\pm I\\} | 70 | 7 |- | EVI | E_7 | \operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2) | 64 | 4 |- | EVII | E_7 | E_6\cdot\operatorname{U}(1) | 54 | 3 | 켈러 다양체 |- | EVIII | E_8 | \operatorname{PSpin}(16) | 128 | 8 |- | EIX | E_8 | E_7\cdot\operatorname{SU}(2) | 112 | 4 |- | FI | F_4 | \operatorname{USp}(6)\times \operatorname{SU}(2) | 28 | 4 |- | FII | F_4 | \operatorname{Spin}(9) | 16 | 1 |- | G | G_2 | \operatorname{SO}(4) | 8 | 2 |}
# 예
모든 콤팩트 반단순 리 군은 (킬링 형식에 비례하는 리만 계량을 부여하면) 자명하게 대칭 공간이다. 비콤팩트 반단순 리 군의 경우, 마찬가지로 준리만 다양체로 간주할 경우 대칭 공간을 이룬다. 초구와 유클리드 공간과 쌍곡 공간은 모두 대칭 공간이다. 초구의 경우, 이는 :\mathbb S^n = \operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n) 이며, 이는 BDI의 특별한 경우이다. 유클리드 공간은 :\mathbb R^n = \operatorname{ISO}(n)/\operatorname{SO}(n) 의 꼴로 얻어지며, 쌍곡 공간은 :\mathbb H^n = \operatorname{SO}(n,1) / \operatorname{SO}(n) 의 꼴로 얻어진다. 더 시터르 공간과 반 더 시터르 공간은 준리만 대칭 공간이다.