콤팩트 생성 공간

위상수학에서 **콤팩트 생성 공간**(compact生成空間, compactly generated space) 또는 **k-공간**(k-space)은 연속 함수들의 공간이 항상 잘 정의되는 위상 공간이다. 즉, 콤팩트 생성 공간의 범주는 모든 위상 공간들의 범주와 달리 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.
# 정의
위상 공간 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **k-연속 함수**라고 하자. * 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 K 및 연속 함수 t\colon K\to X에 대하여, f\circ t\colon K\to Y는 연속 함수이다. 위상 공간 X의 부분 집합 A가 다음 조건을 만족시키면 **k-닫힌집합**이라고 하자. * 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 K 및 연속 함수 t\colon K\to X에 대하여, t^{-1}(A)는 닫힌집합이다. 모든 연속 함수는 k-연속 함수이지만, 연속 함수가 아닌 k-연속 함수가 존재한다. 비슷하게, 모든 닫힌집합은 k-닫힌집합이지만, 닫힌집합이 아닌 k-닫힌집합이 존재한다. 위상 공간 X에 대하여 다음 네 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 **콤팩트 생성 공간**이라고 한다.언어=en182, Prop. 5.9.1isbn=978-02-2651-183-239 * X를 정의역으로 하는 모든 k-연속 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 Y 및 k-연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, f는 연속 함수이다. * X의 모든 k-닫힌집합은 닫힌집합이다. * X는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 분리합집합의 몫공간이다. 즉, X\cong\left(\bigsqcup_{i\in I}K_i\right)/{\sim}인 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 \\{K_i\\}_{i\in I} 및 \bigsqcup_{i\in I}K_i 위의 동치 관계 \sim가 존재한다. * 다음 조건을 성립시키는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 \\{K_i\\}_{i\in I} 및 함수들의 집합 \\{f_i\colon K_i\to X\\}_{i\in I}이 존재한다. ** 임의의 부분 집합 A\subseteq X에 대하여, A가 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 i\in I에 대하여 f_i^{-1}(A)\subseteq K_i가 닫힌집합인 것이다. * X는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫공간이다. 콤팩트 생성 공간과 (k-)연속 함수의 범주를 \operatorname{CGTop}라고 하고, 위상 공간과 연속 함수의 범주를 \operatorname{Top}라고 하고, 위상 공간과 k-연속 함수의 범주를 \operatorname{Top_k}라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다. :\operatorname{CGTop}\to\operatorname{Top}\to\operatorname{Top_k} 이를 합성하여 얻는 함자 \operatorname{CGTop}\to \operatorname{Top_k}는 범주의 동치를 이룬다.
# 성질
모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 콤팩트 생성 공간이다.183, 5.9.2a231, Theorem 7.13 모든 제1 가산 공간은 콤팩트 생성 공간이다.183, 5.9.2b231, Theorem 7.13http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/GaunceApp.pdf 모든 CW 복합체는 콤팩트 생성 공간이다.139, Exercise 4.7.10
## 콤팩트 생성 공간의 범주론적 연산
포함 관계 :\operatorname{CGTop}\to\operatorname{Top} 에 따라, \operatorname{CGTop}는 \operatorname{Top}의 반사 부분 범주를 이루며, 그 수반 :k\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{CGTop} 을 **콤팩트 생성화**(kaonization)라고 한다. 위상 공간 X의 콤팩트 생성화 k(X)는 집합으로서 X와 같지만 X보다 더 섬세한 위상을 갖는다. 구체적으로, k(X)의 닫힌집합은 X의 k-닫힌집합이다. \operatorname{CGTop}는 (\operatorname{Top}와 마찬가지로) 완비 범주이며 쌍대완비 범주이다. \operatorname{CGTop}에서의 쌍대극한은 \operatorname{Top}와 같으며, \operatorname{CGTop}에서의 극한은 \operatorname{Top}에서의 극한의 콤팩트 생성화이다. 예를 들어, \operatorname{CGTop}에서의 곱은 다음과 같으며, 일반적으로 (위상 공간의) 곱공간과 다르다. :X\times_{\operatorname{CGTopY=k(X\times_{\operatorname{TopY) \operatorname{CGTop}는 (\operatorname{Top}와 달리) 데카르트 닫힌 범주이다. 임의의 두 콤팩트 생성 공간 X, Y 사이의 (k-)연속 함수들의 집합 \mathcal C(X,Y)에 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상을 부여하자. * 임의의 열린집합 U\subseteq Y 및 콤팩트 하우스도르프 공간 K 및 연속 함수 t\colon K\to X에 대하여, \\{f\in K(X,Y)\colon f\circ t(K)\subseteq U\\}. 만약 X가 하우스도르프 공간이라면, 이는 콤팩트-열린집합 위상과 같다. 그렇다면, \operatorname{CGTop}에서의 지수 대상 Y^X는 \mathcal C(X,Y)의 콤팩트 생성화이다. :(Y^X)_{\operatorname{CGTop=k(\mathcal C(X,Y))
## 콤팩트 생성 하우스도르프 공간
위와 마찬가지로, 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname{CGHaus} 및 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname{CGWH}를 정의할 수 있다. 이들 역시 완비 범주이자 쌍대완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이다.
# 역사
이 개념은 원리 비톨트 후레비치가 도입하였다.언어=en 이후 로널드 브라운(Ronald Brown)이 1961년 박사 학위 논문에서 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 데카르트 닫힌 범주임을 증명하였다.199언어=en언어=en언어=en 이후 1967년에 노먼 스틴로드는 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 대수적 위상수학을 전개하기에 가장 편리한 범주라고 제안하였다.언어=en
# 예
흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 콤팩트 생성 공간이 아닌 공간의 예로는 다음이 있다. 비가산 기수 \kappa\ge\aleph_1에 대하여, 실수선의 비가산 무한 곱공간 \mathbb R^\kappa는 콤팩트 생성 공간이 아니다.184zbl=0306.54002240, Exercise 7J(b)