밀너 환

대수적 K이론에서 **밀너 환**(Milnor環, Milnor ring)은 각 등급 성분이 대수적 K군으로 가는 자연스러운 군 준동형을 갖는 등급환이다. 그 0~2등급 성분은 대수적 K군과 동형이지만, 이는 고차 등급 성분에서 성립하지 않는다.
# 정의
체 K 위의 n차 **밀너 환** \operatorname K^{\operatorname M}(K)은 다음과 같다. :\operatorname K^{\operatorname M}(K)=\frac{\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)}{(a\otimes_{\mathbb Z}(1-a))_{a\in K\setminus\\{0,1\\ 여기서 * K^\times=K\setminus\\{0\\}는 K의 가역원군이다. * \textstyle\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)=\bigoplus_{n=0}^\infty(K^\times)^{\otimes_{\mathbb Z}n}는 정수 계수 n차 텐서 대수이다. * (a\otimes_{\mathbb Z}(1-a))_{a\in K\setminus\\{0,1\\는 \\{a\otimes_{\mathbb Z}(1-a)\colon a\in K\setminus\\{0,1\\}\\}으로부터 생성되는 \operatorname T(K^\times;\mathbb Z)의 양쪽 아이디얼이다. 이는 자연수 계수 등급환을 이룬다. 자연수 n에 대하여, 밀너 환의 등급 n 성분을 **n차 밀너 K군**(n次Milnor K群, nth Milnor K-group) \operatorname K^{\operatorname M}_n(K)이라고 한다. 밀너 환의 n등급 원소는 보통 :\\{a_1,a_2,\dots,a_n\\}\in\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)\qquad a_1,\dots,a_n\in K^\times 로 표기하며, n차 **기호**(記號, symbol)라고 하기도 한다. (이는 힐베르트 기호 등과 비유한 것이다. 힐베르트 기호는 밀너 환과 유사한 (a,1-a)=1이라는 항등식을 만족시킨다. 여기서 우변이 0 대신 1인 것은 군 연산을 덧셈 대신 곱셈으로 표기하기 때문이다.)
# 성질
밀너 환은 등급 가환 등급환이다. 밀너 K군에서 (퀼런) 대수적 K군으로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다. :\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)\to\operatorname K_n(K)\;\forall n\in\mathbb N 이는 n\le2에 대하여 동형 사상이지만, n\ge3일 때는 일반적으로 동형 사상이 아니다.
## 블록-가토 추측
임의의 체 K 및 K의 표수의 배수가 아닌 정수 l\in\mathbb Z\setminus(\operatorname{char}K)\mathbb Z이 주어졌다고 하자. \mu_l이 1의 l거듭제곱근으로 구성된, K의 주어진 분해 가능 폐포 K^{\operatorname{sep에 대한 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K)의 가군이라고 하자. **블록-가토 추측**(Bloch-[加藤]推測, Bloch–Kato conjecture)에 따르면, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다. :\frac{\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}{l\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}\to\operatorname H_{\operatorname{\acute et^n(K;\mu_l^{\otimes n})=\operatorname H^n(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K);\mu_l^{\otimes n}) 여기서 좌변은 l차 꼬임 군이 되는 몫군이며, 우변은 절대 갈루아 군의 군 코호몰로지(=에탈 코호몰로지)이다. 이 동형 사상을 **갈루아 기호**(Galois記號, Galois symbol)라고 한다. 블록-가토 추측은 스펜서 재니 블록(Spencer Janney Bloch)과 가토 가즈야가 제시하였고, 블라디미르 보예보츠키가 2008년에 모티브 코호몰로지를 사용하여 증명하였다.언어=en
## 이차 형식과의 관계
K가 표수가 2가 아닌 체라고 하자. 그 비트 환 \operatorname W(K)의 **기본 아이디얼**(fundamental ideal) \mathfrak i(K)\subseteq \operatorname W(K)은 다음과 같은 군 준동형의 핵이다. :\operatorname W(K)\to\mathbb Z/2 :[(V,Q)]\mapsto\dim_KV\bmod2 즉, 기본 아이디얼은 짝수 차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식들의 비트 동치류들로 구성된 아이디얼이다. 그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다. :\frac{\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}{2\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}\to\frac{\mathfrak i(K)^n}{\mathfrak i(K)^{n+1 :\\{a_1,a_2,\dots,a_n\\}\mapsto\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes\cdots\otimes\operatorname{diag}(1,-a_n) 여기서 \operatorname{diag}(a,b)는 대각화된 2차원 이차 형식을 뜻하며, 우변의 \otimes는 이차 형식의 텐서곱이다. (우변과 같은 꼴의 이차 형식을 **피스터 형식**(Pfister形式, Pfister form)이라고 하며, 이는 알브레히트 피스터(Albrecht Pfister)가 1965년에 도입하였다.언어=de) **밀너 추측**(Milnor推測, Milnor conjecture)에 따르면, 이는 항상 아벨 군의 동형 사상을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프(Дми́трий Орло́в) · 알렉산드르 비시크(Алекса́ндр Вишик) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.언어=en
# 예
임의의 체 K에 대하여, :\operatorname K^{\operatorname M}_0(K)\cong\mathbb Z :\operatorname K^{\operatorname M}_1(K)\cong K^\times 이다. 유한체의 경우 :\operatorname K^{\operatorname M}_n(\mathbb F_q)=0\qquad\forall n\ge2 이다. \operatorname K_2^{\operatorname M}(\mathbb C)는 비가산 집합이며, 유리수체 위의 벡터 공간이다. 유리수체의 2차 K군은 다음과 같다. :\operatorname K_2^{\operatorname M}(\mathbb Q)=\operatorname{Cyc}(2)\oplus\bigoplus_{p=3,5,7,11,\dots}\mathbb F_p^\times 여기서 \operatorname{Cyc}(n)은 n차 순환군을 뜻한다.
# 역사
존 밀너가 1970년에 도입하였다.url-status=dead 이는 역사적으로 2차 대수적 K군의 최초의 올바른 구성이였다. 밀너는 마찬가지로 고차 밀너 K군을 정의하였는데, 이는 사실 고차 대수적 K군과 다르다는 것이 훗날 밝혀졌다. 그러나 고차 밀너 K군은 대수적 K군보다 더 다루기 편하며, 또 그 자체로 여러 흥미로운 성질(블록-가토 추측 등)을 가진다는 것이 밝혀졌다.