최소 다항식

추상대수학에서 **최소 다항식**(最小多項式, minimal polynomial)은 체에 대한 결합 대수의 원소가 만족시키는 가장 간단한 일계수 다항식이다.mr=2302523
# 정의
체 K에 대한 멱결합 대수 A의 원소 a\in A에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자. :\mathfrak J_a=\\{p\in K[x]\colon p(a)=0\\} (만약 A가 1을 갖지 않는다면, \mathfrak J_a\subseteq(x)K[x]이다.) 그렇다면 \mathfrak J_a는 K[x]의 아이디얼이다. K[x]는 주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다. * \mathfrak J_a=(0)이다. 이 경우, a는 초월원이며, A는 초월 대수이다. * \mathfrak J_a=(p_a(x))가 되는 일계수 다항식 p_a(x)\in K[x]가 존재한다. 이 경우, p_a(x)를 a의 **최소 다항식**이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며, \mathfrak J_a에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은 p_a보다 차수가 더 크다.)
# 성질
멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건은 대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.
## 체의 확대
체의 확대 L/K에 대하여, L은 가환 K-단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서, L/K에서 a\in L의 최소 다항식 p_a\in K[x]가 인수 분해가 가능하다면 (p_a=qr), K는 정역이므로 q(a)=0이거나 r(a)=0이며, \deg q,\deg r<\deg p이다. 그러나 p_a는 \mathfrak J_a의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다. 대수적 확대 L/K에서, K가 완전체라면 임의의 a\in L에 대하여 p_a(x)\in K[x]\subset\bar K[x]의 (대수적 폐포 \bar K에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 K가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 L/K가 **분해 가능 확대**가 아니라고 한다.
## 행렬
체 K 위의 n\times n 정사각 행렬의 유한 차원 K-단위 결합 대수 \operatorname{Mat}(n;K)에서, 임의의 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;K)은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬 G\in\operatorname{GL}(n;K)에 대하여, M과 G^{-1}MG의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 L이 K를 포함하는 더 큰 체일 경우, M의 \operatorname{Mat}(n;K)에서의 최소 다항식과 \operatorname{Mat}(n;L)에서의 최소 다항식은 일치한다. 체 K 위의 n\times n 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;K)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * M의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다. * M은 삼각화 가능 행렬이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * M의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다. * M은 대각화 가능 행렬이다. 케일리-해밀턴 정리에 따라, M\in\operatorname{Mat}(n;K)의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, M\in\operatorname{Mat}(n;K)의 최소 다항식의 소인수 분해가 :p_M(x)=\prod_pp^{n_p}(x) 라면, :\deg p\mid\dim\ker p^{n_p}(M) :n_p\le\dim\ker p^{n_p}(M)/\deg p :\det(x-M)=\prod_{p}p^{\dim\ker p^{n_p}(M)/\deg p} 이다.LinearAlgebraHoffmanAndKunze196, §6.3, (6-8); 237, §7.2, Theorem 4
# 예
체의 확대 L/K에서, a\in K라면, p_a(x)=x-a\in K[x]이다. 실수체의 확대인 복소수체 \mathbb C/\mathbb R에서, z\in\mathbb C의 최소 다항식은 다음과 같다. :p_z(x)=\begin{cases} x-z&z;\in\mathbb R\\\ (x-z)(x-\bar z)=x^2-2(z+\bar z)x+z\bar z&z;\in\mathbb C\setminus\mathbb R \end{cases} 실수 행렬 :M= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\\ 0 & 2 & 0 \\\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix} \in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R) 의 특성 다항식은 :\det(x-M)=(x+1)(x-1)(x-2) 이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, M의 최소 다항식 역시 :p_M(x)=(x+1)(x-1)(x-2) 이다.
## 대수적 수체
이차 수체 \mathbb Q(\sqrt{d})/\mathbb Q에서, d가 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면 \sqrt d의 최소 다항식은 x^2-d\in\mathbb Q[x]이다. \sqrt2+\sqrt3의 \mathbb Q 위에서의 최소 다항식은 다음과 같다. :p_{\sqrt2+\sqrt3}(x)= x^4-10x^2 + 1 = (x-\sqrt2-\sqrt3)(x+\sqrt2-\sqrt3)(x-\sqrt2+\sqrt3)(x+\sqrt2+\sqrt3) 원분체 \mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q에서, \zeta_n의 최소 다항식은 **원분 다항식** \Phi_n이라고 하며, 다음과 같다. :\Phi_1(x) = x - 1 :\Phi_2(x) = x + 1 :\Phi_3(x) = x^2 + x + 1 :\Phi_4(x) = x^2 + 1 :\Phi_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1 :\Phi_6(x) = x^2 - x + 1 :\Phi_7(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 :\Phi_8(x) = x^4 + 1 :\Phi_9(x) = x^6 + x^3 + 1 :\Phi_{10}(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 :\vdots 특히, n이 소수일 경우 :\Phi_n(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1} 이다.
## 분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식
분해 가능 확대가 아닌 체의 확대 (\mathbb F_p(x)[y]/(y^p-x))/\mathbb F_p(x)에서, y\in\mathbb F_p(x)[y]/(y^p-x)의 최소 다항식은 :p_y(X)=X^p-x\in \mathbb F_p(x)[X] 이다. 이 경우, \overline{\mathbb F_p(x)} 위에서 :p_y(X)=(X^p-(\sqrt[p]x)^p)=(X-\sqrt[p]x)^p 이다. 즉, p_y는 분해 가능 다항식이 아니다.