마요라나 스피너

이론물리학과 표현론에서 **마요라나 스피너**(Majorana spinor)는 특정 차원과 부호수에서 존재하는, 스핀 군의 실수 표현이다.언어=enChapter 3언어=en 마요라나 페르미온의 가능성을 제시하는 물리학적 모형이다.
# 정의
(s,t)차원의 부호수의 내적을 갖는 실수 벡터 공간 \mathbb R^{s,t} 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cl}(s,t)를 생각하자. 즉, :\\{\gamma^i,\gamma^j\\}=2\eta^{ij} 에서, \eta는 s개의 +부호와 t개의 −부호를 갖는다. 또한, 그 속에서 짝수 개의 \gamma만을 포함하는 항들로 구성된 부분 대수 \operatorname{Cl}^+(s,t)\subseteq\operatorname{Cl}(s,t)가 존재한다. 그렇다면, 실수 클리퍼드 대수 \operatorname{Cl}(s,t)는 다음과 같이 분류되며, 이는 스피너와 감마 행렬의 성질을 결정한다. :{| class=wikitable |- ! (s-t)\bmod8 || \operatorname{Cl}(s,t) || \operatorname{Cl}^+(s;t) || 스피너의 성질 || 감마 행렬의 성질 |- | ±4 || \operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H) || \operatorname{Mat}(N/4;\mathbb H)\oplus\operatorname{Mat}(N/4;\mathbb H) || 바일 스피너 (심플렉틱-마요라나-바일 스피너) || 복소수 N\times N |- | +3 || \operatorname{Mat}(N;\mathbb C) || \operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H) || 디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너) || 복소수 N\times N |- | +2 || \operatorname{Mat}(N;\mathbb R) || \operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C) || 마요라나 스피너, 바일 스피너 || 실수 N\times N |- | +1 || \operatorname{Mat}(N;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(N;\mathbb R) || \operatorname{Mat}(N;\mathbb R) || 마요라나 스피너 || 실수 N\times N |- | ±0 || \operatorname{Mat}(N;\mathbb R) || \operatorname{Mat}(N/2;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb R) || 마요라나-바일 스피너 || 실수 N\times N |- | −1 || \operatorname{Mat}(N;\mathbb C) || \operatorname{Mat}(N;\mathbb R) || 마요라나 스피너 || 허수 N\times N |- | −2 || \operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H) || \operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C) || 마요라나 스피너, 바일 스피너 || 허수 N\times N |- | −3 || \operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)\oplus\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H) || \operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H) || 디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너) || 복소수 N\times N |} 여기서 :N(s,t)=2^{\lfloor (s+t)/2\rfloor} 는 디랙 스피너의 복소수 차원이며, \mathbb R, \mathbb C, \mathbb H는 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수를 뜻한다. 위 표에서, * \operatorname{Cl}(s,t)의 계수 \in\\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\\}는 감마 행렬의 성질을 결정한다. ** 계수가 \mathbb R인 경우 (즉, s-t\in\\{0,6,7\\}, 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 핀 군 \operatorname{Pin}(s,t)의 실수 표현이 존재한다. 이를 **마요라나 피너**(Majorana pinor)라고 한다. ** 만약 계수가 \mathbb R가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 계수가 \mathbb R라면 (즉, \operatorname{Cl}(t,s)가 마요라나 피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 **유사 마요라나 피너**(pseudo-Majorana pinor)라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다. ** 계수가 \mathbb H일 경우, 만약 2k 개의 디랙 스피너가 존재하며, 이 2k 차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는 k차원 사원수 벡터 공간 위의 표현을 이룬다. 이를 **심플렉틱-마요라나 피너**(symplectic-Majorana pinor)라고 한다. * \operatorname{Cl}^+(s,t)의 계수는 스피너의 성질을 결정한다.
# 성질

## 디랙 스피너의 실수 조건
n차원 시공간의 **디랙 피너**(Dirac pinor)는 복소수 클리퍼드 대수 :\operatorname{Cl}(n;\mathbb C) = \begin{cases} \operatorname{Mat}(N;\mathbb C)&2\nmid n\\\ \operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)\oplus\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)&2\mid n \end{cases} :N=2^{\lfloor n/2\rfloor} 의 N차원 정의 표현이다. 만약 n이 짝수인 경우, 이는 두 개의 N/2차원 **바일 피너**(Weyl pinor)로 분해된다. 복소수 클리퍼드 대수 \operatorname{Cl}(n;\mathbb C)는 에르미트 형식 :\langle -|-\rangle 을 가지며, 이는 ;\langle \gamma^\mu\psi|\chi\rangle = \pm\langle\psi|\gamma^\mu\chi\rangle 를 만족시킨다. (여기서 \pm는 n의 값에만 의존한다.) 이제, 어떤 부호 \tau\in\\{\pm1\\}를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 쌍선형 형식 \mathsf C가 존재하는지 여부를 따질 수 있다. :\mathsf C(\gamma^\mu \psi,\chi) = \pm \mathsf C(\psi,\gamma^\mu\chi) :\mathsf C(\psi,\chi) = \pm\mathsf C(\chi,\psi) (복부호 동순이 아님) 이 경우, 만약 \mathsf C가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약 \mathsf C가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다. 만약 디랙 피너 공간 V가 실수 구조를 갖는다면, :\mathsf C(\psi,-) = \langle\psi|-\rangle \in V^* 를 만족시키는 디랙 피너를 **마요라나 스피너**라고 한다. 만약 디랙 피너 공간 V가 사원수 구조를 갖는다면, :\mathsf C(\psi,-) = \langle\psi|-\rangle \in V^* 를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 심플렉틱 벡터 공간 (W,\Omega)에 대하여, V\otimes W 위에서, :\mathsf C(\psi,-) = \langle \Omega\psi,-\rangle 를 만족시키는 디랙 피너를 **심플렉틱-마요라나 스피너**라고 한다.
## 감마 행렬의 실수성
마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.
## 물리학적 성질
마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다. 만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 바일 스피너로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.
# 예

## 1차원
1차원에서는 :\operatorname{Cl}(1,0) = \operatorname{Mat}(1;\mathbb C) = \mathbb C :\operatorname{Cl}(0,1) = \operatorname{Mat}(1;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(1;\mathbb R) 이다. 즉, 부호수가 (s,t)=(1,0)일 때는 마요라나 스피너가 존재하며, 이 경우 감마 행렬은 :\gamma^0 = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix} 이다.
## 2차원
2차원에서는 :\operatorname{SO}(2;\mathbb R) \cong\operatorname U(1) :\operatorname{SO}(1,1;\mathbb R) \cong\operatorname R 이며, 이 경우 클리퍼드 대수는 :\operatorname{Cl}(1,1) = \operatorname{Cl}(0,2) = \operatorname{Mat}(2;\mathbb R) :\operatorname{Cl}(2,0) = \operatorname{Mat}(1;\mathbb H) 이다. 즉, 부호수 (t,s) = (1,1)일 때, :\gamma^0 = \mathrm i\sigma^2=\begin{pmatrix}0&1\\\\-1&0\end{pmatrix} :\gamma^1 = \sigma^3=\begin{pmatrix}1&0\\\0&-1\end{pmatrix} 로 놓으면, :\\{\gamma^0,\gamma^0\\} = -1 :\\{\gamma^1,\gamma^1\\} = 1 :\\{\gamma^0,\gamma^1\\} = 0 이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다. 마찬가지로, 부호수 (s,t) = (0,2)일 때, :\gamma^1 = \sigma^1 :\gamma^2 = \sigma^3 로 놓으면, :\\{\gamma^1,\gamma^1\\} = \\{\gamma^2,\gamma^2\\} = 1 :\\{\gamma^1,\gamma^2\\} = 0 이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.
## 3차원
3차원에서, 클리퍼드 대수는 다음과 같다. :\operatorname{Cl}(0,3) = \mathbb H\oplus\mathbb H :\operatorname{Cl}(1,2) = \operatorname{Mat}(2;\mathbb C) :\operatorname{Cl}(2,1) = \operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(2;\mathbb R) :\operatorname{Cl}(3,0) = \operatorname{Mat}(2;\mathbb C) 부호수 (s,t)=(2,1)일 때, :\gamma^0 = \mathrm i\sigma^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\\\-1&0 \end{pmatrix} :\gamma^1 = \sigma^1 = \begin{pmatrix}0&1\\\1&0\end{pmatrix} :\gamma^2 = \sigma^3=\begin{pmatrix}1&0\\\0&-1\end{pmatrix} 는 완전히 실수인 감마 행렬을 이룬다. 이는 (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현의 존재는 동형 사상 :\operatorname{Spin}(2,1) \cong \operatorname{SL}(2;\mathbb R) 에서 비롯한다. 마찬가지로, (s,t)=(1,2)일 때, 위 행렬들에 모두 \mathrm i를 곱하면, 이는 (2,1)차원의 유사 마요라나 스피너 위에 작용하는 완전 허수 감마 행렬을 이룬다. (t,s)=(0,3) 또는 (3,0)일 때는 순수 실수 감마 행렬이 존재할 수 없다. 이 경우, 파울리 행렬 :\sigma^1,\sigma^2,\sigma^3 은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다. 다만, 부호수 (s,t)=(0,3)에서, 만약 짝수 개의 스피너가 존재할 경우, 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 이는 리 군의 동형 사상 :\operatorname{Spin}(3) \cong \operatorname{USp}(1;\mathbb R) = \operatorname U(1;\mathbb H) 에서 유래한다. 즉, 부호수 (s,t)=(0,3)의 경우, 사원수 감마 행렬 :\gamma^{-2} = \begin{pmatrix}\mathrm i\end{pmatrix} :\gamma^{-1} = \begin{pmatrix}\mathrm j\end{pmatrix} :\gamma^0 = \begin{pmatrix}\mathrm k\end{pmatrix} 를 정의하면, :\\{\gamma^{-2},\gamma^{-2}\\} = \\{\gamma^{-1},\gamma^{-1}\\} = \\{\gamma^0,\gamma^0\\} = -2 :\\{\gamma^{-2},\gamma^{-1}\\} = \\{\gamma^{-1},\gamma^0\\} = \\{\gamma^0,\gamma^{-2}\\} = 0 이다.
## 4차원
4차원에서의 클리퍼드 대수는 다음과 같다. :\operatorname{Cl}(4,0) \cong \operatorname{Cl}(0,4) \cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb H) :\operatorname{Cl}(1,3) \cong \operatorname{Cl}(2,2) \cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb R) :\operatorname{Cl}(3,1) \cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb H) 즉, * 부호수 (0,4)일 때(유클리드 공간)는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다. * 부호수 (1,3)일 때(민코프스키 공간)는 마요라나 스피너가 존재한다. * 부호수 (2,2)일 때는 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 예를 들어, (s,t)=(3,1)차원일 때 (대부분 +부호 계량의 4차원 민코프스키 공간), :\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0&1_{2\times2}\\\ -1_{2\times2}&0\end{pmatrix}=\mathrm i\sigma^2 \otimes 1_{2\times2} :\gamma^1 = \begin{pmatrix} 1_{2\times2}&0\\\ 0&-1_{2\times2}\end{pmatrix} = \sigma^3 \otimes 1_{2\times2} :\gamma^2 = \begin{pmatrix} 0&\sigma^1\\\ \sigma^1&0\end{pmatrix} = \sigma^1\otimes \sigma^1 :\gamma^3 = \begin{pmatrix} 0&\sigma^3\\\ \sigma^3&0\end{pmatrix} = \sigma^1\otimes\sigma^3 는 순수 실수 감마 행렬을 이룬다. 이 표현의 존재는 실수 리 대수의 동형 :\mathfrak o(3,1) \cong \operatorname{sl}(2;\mathbb C) 에서 유래한다. 여기서 \otimes는 두 2×2 행렬의 크로네커 곱이다. 부호수가 (s,t)=(2,2)일 때, 실수 리 대수 동형 :\mathfrak o(2,2) \cong\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2,\mathbb R) 이 존재한다. 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이 경우, :\gamma^{-1} = \sigma^1 \otimes \mathrm i\sigma^2 :\gamma^0 = \mathrm i\sigma^2 \otimes 1_{2\times2} :\gamma^1 = \sigma^3 \otimes 1_{2\times2} :\gamma^2 = \sigma^1 \otimes \sigma^1 를 적으면, :\\{\gamma^{-1},\gamma^{-1}\\} = \\{\gamma^0,\gamma^0\\} = -2 :\\{\gamma^1,\gamma^1\\} = \\{\gamma^2,\gamma^2\\} = 2 :\\{\gamma^i,\gamma^j\\} = 0 \qquad(i\ne j) 이다. 부호수 (s,t)=(4,0)일 때, :\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname U(1;\mathbb H)\times\operatorname U(1;\mathbb H) 에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다.
## 5차원
5차원에서 클리퍼드 대수는 다음과 같다. :\operatorname{Cl}(3,2) \cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(4;\mathbb R) :\operatorname{Cl}(0,5)\cong\operatorname{Cl}(2,3) \cong\operatorname{Cl}(1,4)\cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb C) :\operatorname{Cl}(1,4)\cong\operatorname{Cl}(2;\mathbb C)\oplus\operatorname{Cl}(2;\mathbb C) 즉, 부호수가 (s,t)=(3,2)일 때는 실수 4차원의 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 5차원 회전군의 특수한 동형 :\operatorname{Spin}(3,2) \cong \operatorname{Sp}(4;\mathbb R) 에서 기인한다. 다른 부호수의 경우, :\operatorname{Spin}(4,1)\cong\operatorname{USp}(2,2) :\operatorname{Spin}(5)\cong\operatorname{USp}(4) 으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.
## 6차원
6차원에서 실수 클리퍼드 대수는 다음과 같다. :\operatorname{Cl}(0,6) = \operatorname{Cl}(3,3) = \operatorname{Cl}(4,2) = \operatorname{Mat}(8;\mathbb R) :\operatorname{Cl}(1,5) = \operatorname{Cl}(2,4) = \operatorname{Cl}(6,0) = \operatorname{Mat}(4;\mathbb H) :\operatorname{Cl}(5,1) = \operatorname{Mat}(8;\mathbb C) 즉, 부호수 (s,t) = (0,6),(3,3),(4,2)일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 실수 리 대수의 동형 :\mathfrak o(6;\mathbb R) \cong\mathfrak{su}(4;\mathbb C) :\mathfrak o(3,3;\mathbb R) \cong\mathfrak{sl}(4;\mathbb R) :\mathfrak o(2,4) \cong \operatorname{su}(2,2) 에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는 \operatorname{SL}(4;\mathbb R)의 정의 표현이다. 부호수 (1,5)의 경우, 실수 리 대수의 동형 :\mathfrak{sl}(1,5) \cong\mathfrak{su}^*(4) = \mathfrak{sl}(2;\mathbb H) 로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.
# 역사
에토레 마요라나의 이름을 땄다.
# 응용
물리학의 표준 모형에서, 중성미자를 제외한 모든 입자는 바일 스피너이다 (즉, 마요라나 질량항을 갖지 않는다). 다만, 중성미자는 마요라나 스피너를 이룰 가능성이 있다.