이국적 초구 모노이드

미분위상수학에서 **이국적 초구**(異國的超球, exotic sphere)는 n차원 초구와 위상 동형이지만 미분 동형은 아닌 다양체를 말한다. 다시 말해 위상적으로는 구와 같지만 매끄러움 구조가 일반적인 구와 다른 다양체이다. 일반적인 구를 항등원으로, 연결합을 연산으로 놓으면 각 n차원에 대해서 이국적 구는 가환 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 n=4인 경우를 제외하면 유한 아벨 군이 된다.
# 개요
위상수학에서는 어떤 다양체가 단위 n차원 초구 \\{ (x_1, x_2, \ldots , x_{n+1}) | x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{n+1}^2 = 1 \\} \in \R^n 사이에 위상동형사상이 존재하면 그 다양체를 ‘n차원 초구’라 부른다. 한편 미분위상수학에서는 두 다양체 사이에 미분동형사상이 있으면서 그 사상과 역사상이 무한 번 미분 가능한 매끄러운 사상일 경우 두 다양체의 매끄러움 구조가 같다고 말한다. 이 때 단위 초구(‘표준 초구’)와 위상동형이지만 매끄러움 구조가 서로 다른 다양체를 ‘이국적 초구’라 부른다.
# 분류
같은 차원의 이국적 초구 두 개를 연결합을 하면 초구와 위상 동형이 된다. (\mathbb S^n\\#\mathbb S^n \cong_{\operatorname{TopMfd \mathbb S^n.) 또한 연결합은 교환 법칙과 결합 법칙을 따르므로 각각의 n차원 이국적 초구는 가환 모노이드를 이룬다. 이 가환 모노이드는 n \ne 4일 때 역원이 존재하는 아벨군이 되며, n차원 호모토피 초구들이 이루는 h-보충 경계류들의 군 \Theta_n과 동형이 된다. n=4일 때 초구가 존재하는지, 얼마나 많은지, 모노이드가 어떤 구조인지는 미해결 문제이다.
## 성질
* \Theta_n은 유한 아벨 군이다. * 표준 매끄러운 초구는 \Theta_n의 항등원을 이룬다. * n\in\\{0,1,2,3,5,6,12,56,61\\}일 때, \Theta_n은 자명군이다.언어=enCorollary 1.15 * n이 1, 3, 5, 61이 아닌 홀수라면, |\Theta_n|>1이다.Corollary 1.13 * \Theta_7은 크기 28의 순환군이다.
## 평행화 가능 다양체
군 \Theta_n의 원소 중 평행화 가능 다양체의 경계가 될 수 있는 초구들의 집합 bP_{n+1}은 \Theta_n의 부분 순환군을 이룬다. 그 몫군 \Theta_n / bP_{n+1}의 발견은 수술 이론 발전에 기여했다. bP_{n+1}는 n이 짝수일 때는 자명군이며, n=4k+1일 때는 원소 1개 또는 2개의 군이다. 언제 2가 되는지는 Kervaire invariant과 관련이 있으며 n=125인 경우를 제외하고는 전부 밝혀져 있다. n=4k-1, k \ge 2인 경우 : |bP_{n+1}| = |bP_{4k}| = 2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B 이며, 여기서 B는 4B_{2k}/k의 분모이고 B_{2k}는 베르누이 수이다. (베르누이 수는 문헌마다 정의가 조금씩 다르다.)
## 안정 호모토피군과의 관계
몫군 \Theta_n / bP_{n+1}은 Homotopy groups of spheres \pi_n^S과 J-준동형의 상 사이의 몫군과 관련이 있다. 사상 : \Theta_n / bP_{n+1} \to \pi_n^S / \operatorname{im}(J) 은 단사이며 index가 1 또는 2이다. 언제 2가 되는지는 Kervaire invariant과 관련이 있다.
## \Theta_n의 크기
\Theta_n의 크기는 다음과 같다. :{| class="wikitable" |- ! !! OEIS !! n=1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15 !! 16 !! 17 !! 18 !! 19 !! 20 |- ! |\Theta_n| | A1676 | 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 28 || 2 || 8 || 6 || 992 || 1 || 3 || 2 || 16256 || 2 || 16 || 16 || 523264 || 24 |- ! |bP_{n+1}| | A187595 | 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 28 || 1 || 2 || 1 || 992 || 1 || 1 || 1 || 8128 || 1 || 2 || 1 || 261632 || 1 |- ! \Theta_n / bP_{n+1} | | 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 2 || 2×2 || 6 || 1 || 1 || 3 || 2 || 2 || 2 || 2×2×2 || 8×2 || 2 || 24 |- ! \pi_n^s / \operatorname{im}(J) | | 1 || 2 || 1 || 1 || 1 || 2 || 1 || 2 || 2×2 || 6 || 1 || 1 || 3 || 2×2 || 2 || 2 || 2×2×2 || 8×2 || 2 || 24 |- ! index | | – || 2 || – || – || – || 2 || – || – || – || – || – || – || – || 2 || – || – || – || – || – || – |}
# 이국적 초구의 구체적인 예
존 밀너가 발견한 7차원 이국적 초구는 구체적으로 다음과 같다. 경계다양체 \mathbb B^4\times\mathbb S^3\times\\{0,1\\}를 생각하자. 그 경계는 \mathbb S^3\times\mathbb S^3\times\\{0,1\\}이다. 3차원 초구는 단위 절댓값의 사원수의 집합 \\{x\in\mathbb H\colon |x|=1\\}로 여길 수 있다. 이제, 그 경계를 다음과 같이 이어붙이자. :(a,b,0) \sim (a,a^2b a^{-1}, 1) \qquad (a,b \in \mathbb S^3) 여기서 곱셈은 사원수의 곱셈이다. 이렇게 하여 얻는 7차원 매끄러운 다양체 X는 7차원 매끄러운 초구와 위상 동형이지만, 미분 동형이 아니다. 구체적으로, X는 7차원 매끄러운 초구와 달리 다음과 같은 성질들을 갖는다. * 방향을 뒤집는 미분 동형 X \to \bar X이 존재하지 않는다. (반면, 매끄러운 초구의 경우 이것이 간단하게 존재한다.) * 4차 베티 수가 0인 8차원 매끄러운 경계다양체의 경계가 될 수 없다. (반면, 7차원 매끄러운 초구는 물론 자명한 베티 수를 갖는 8차원 공의 경계이다.) 보다 일반적으로, 7차원에서 존재하는 28개의 초구 매끄러움 구조는 다음과 같다. 복소수 벡터 공간 \mathbb C^5=\\{(a,b,c,d,e)\colon a,b,c,d,e\in\mathbb C\\}에서, 다음 다항식으로 정의되는 복소수 4차원 (실수 8차원) 대수다양체를 생각하자. :a^2+b^2+c^2+d^3+e^{6k-1} = 0 \qquad(k\in\\{1,2,\dotsc,28\\}) 이제, \mathbb C^5의 원점에서 충분히 작은 9차원 초구를 생각하자. 9차원 초구와 8차원 다양체의 교집합은 (여차원이 더해지므로) 7차원 매끄러운 다양체를 정의한다. 이제, k\in\\{1,2,\dotsc,28\\}에 대하여 이들은 각각 28개의 7차원 이국적 초구들을 이룬다.
# 역사
에드윈 에버리스트 모이즈 존 밀너 1952년에 에드윈 에버리스트 모이즈(Edwin Evariste Moise, 1918~1998)가 M_3이 자명군이라는 사실을 증명하였다.언어=en (2차원 이하의 경우는 자명하다.) 최초의 이국적 초구는 존 밀너가 1956년에 발견한 7차원 이국적 초구이다.언어=en 이에 대하여 밀너는 훗날 다음과 같이 적었다. 언어=en 이후 1963년에 미셸 케르베르와 존 밀너가 5차원 이상의 경우 M_n이 유한 아벨 군이며, 또한 그 군을 h-보충 경계 이론을 통해 계산할 수 있다는 사실을 증명하였다.언어=en