절댓값 (대수학)

대수학 및 대수적 수론에서 **절댓값**(絶對값, absolute value)은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다.
# 정의
정역 D 위의 **절댓값**은 다음 조건들을 만족시키는 함수 |\cdot|\colon D\to\mathbb R_{\ge0}이다.언어=en116, Definition 3.1 * 임의의 x\in D에 대하여, |x|=0\iff x=0 * 임의의 x,y\in D에 대하여, |xy|=|x||y| * (삼각 부등식) 임의의 x,y\in D에 대하여, |x+y|\le|x|+|y| 정역 D 위의 절댓값은 그 분수체 K=\operatorname{Frac}D 위로 다음과 같이 확장할 수 있다. :|x/y|=|x|/|y|\qquad\forall x,y\in D 절댓값을 갖춘 정역 (D,|\cdot|) 위에는 다음과 같이 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다. :d(x,y)=|x-y| 절댓값의 공리에 따라, |1|=|-1|=1이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다. :|n|\le n\qquad\forall n\in\mathbb N
## 비아르키메데스 절댓값
정역 D 위의 절댓값 |\cdot|에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 **비아르키메데스 절댓값**(non-Archimedean absolute value)이라고 한다. * (초거리 부등식) 임의의 x,y\in D에 대하여, |x+y|\le\max\\{|x|,|y|\\} * \\{|\overbrace{1+1+\cdots+1}^n|\colon n\in\mathbb N\\}이 유계 집합이다. 비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 **아르키메데스 절댓값**(Archimedean absolute value)이라고 한다. 비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면, a\mapsto-\log|a|는 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김 v가 주어졌다면, 그 지수 함수 a\mapsto\exp(-v(a))는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다. 비아르키메데스 절댓값 |\cdot|을 갖춘 체 K에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 K의 |\cdot|에 대한 **정수환**(ring of integers)이라고 한다.
## 자리
같은 정역 D 위의 두 절댓값 |\cdot|, |\cdot|'에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 두 절댓값들이 서로 **동치**라고 한다. * 임의의 x\in D에 대하여, 만약 |x|<1이면 |x|'<1이다. * 임의의 x\in D에 대하여, |x|<1과 |x|'<1이 동치이다. * |\cdot|과 |\cdot|'은 D 위에 같은 위상을 정의한다. * |\cdot|=|\cdot|^s인 양의 실수 s\in\mathbb R^+가 존재한다. 절댓값의 동치는 동치 관계이며, 이에 대한 자명하지 않은 동치류를 **자리**(place)라고 한다.
## 완비화
절댓값을 갖춘 정역 D는 거리 공간을 이루므로, 코시 열을 정의할 수 있으며, 이들은 각 성분의 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다. 절댓값들이 0으로 수렴하는 코시 열 (x_i)_{i\in\mathbb N}\subset D들은 코시 열들의 환의 소 아이디얼을 이루며, 따라서 그 몫환은 정역을 이룬다. 이 정역을 D의 절댓값 |\cdot|에 대한 **완비화**(completion)라고 한다. 이는 거리 공간으로서의 완비화와 일치한다.
# 예
임의의 정역 D 위의 **자명 절댓값**(trivial absolute value)은 다음과 같다. :|x|_0=\begin{cases}0&x;=0\\\1&x;\ne0\end{cases} 유리수체와 실수체, 복소수체의 경우, 초등 수학의 절댓값은 대수적 절댓값을 이룬다. :|\cdot|_{\mathbb R}\colon x\mapsto\begin{cases}x&x;\ge0\\\\-x&x;<0\end{cases} :|\cdot|_{\mathbb C}\colon x+iy\mapsto\sqrt{x^2+y^2}
## 𝔭진 절댓값
데데킨트 정역 D가 주어졌을 때, D의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여 **\mathfrak p진 절댓값**(\mathfrak p-adic absolute value) |\cdot|_{\mathfrak p}은 D 위의 절댓값이며, 다음과 같다. :|x|_{\mathfrak p}=\begin{cases}0&x;=0\\\\\exp(-n)&(x)=\mathfrak p^n\mathfrak q,\qquad\mathfrak p\nmid\mathfrak q,\qquad n\in\mathbb N\end{cases} 이는 물론 \operatorname{Frac}D 위의 절댓값으로 확대할 수 있다.
## 대수적 수체
**오스트롭스키 정리**(Островский定理, Ostrowski theorem)에 따르면, 대수적 수체 K 위의 자리들의 목록은 다음과 같다. * 자명 절댓값 |\cdot|_0과 동치인 자리. 이를 **자명 자리**(trivial place)라고 한다. * 대수적 정수환 \mathcal O_K의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, \mathfrak p진 절댓값의 자리. 이를 **유한 자리**(finite place)라고 한다. * 실수로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R에 대하여, |\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb R}\circ\iota. 여기서 |\cdot|_{\mathbb R}는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 **실 무한 자리**(real infinite place)라고 한다. * 복소수로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb C에 대하여 (\iota(K)\not\subset\mathbb R), |\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb C}\circ\iota. 여기서 |\cdot|_{\mathbb C}는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, \iota와 \bar\iota는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 **복소 무한 자리**(complex infinite place)라고 한다. 예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다. * 자명 자리 |\cdot|_0 * 소수 p에 대하여, p진 자리 |\cdot|_p * 하나의 실 무한 자리 |\cdot|_\infty **겔판트-토른하임 정리**(Гельфанд-Tornheim定理, Gelfand–Tornheim theorem)에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 체는 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다. 대수적 수체 K의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환들의 교집합이다.언어=en192
# 역사
퀴르샤크 요제프가 1913년에 도입하였다.언어=de