리 대응

리 군론에서 **리 대응**(Lie對應, Lie correspondence)은 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 표준적인 함자이다. 즉, 각 리 군에 표준적 실수 리 대수가 대응되며, 리 군의 매끄러운 군 준동형에 실수 리 대수의 준동형이 대응된다.
# 정의
리 군 G 위에는 각 g\in G에 대하여 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다. :\mathsf L_g\colon G\to G\qquad(g\in G) :\mathsf L_g\colon h\mapsto gh G 위의 매끄러운 벡터장 X\in\Gamma^\infty(X)가 다음 조건을 만족시키면, **왼쪽 불변 벡터장**이라고 한다. :\mathsf L_{g*}(X^\mu(h))=X^\mu(gh)\qquad\forall g,h\in G 여기서 * \mathsf L_{g*}\colon\mathrm T_hG\to\mathrm T_{gh}G는 \mathsf L_g에 대한 벡터장의 밂이다. 그렇다면, 다음 두 실수 벡터 공간 사이에 표준적인 동형이 존재하며, 이 실수 벡터 공간을 \operatorname{Lie}(G)라고 한다. * G 위의 왼쪽 불변 벡터장들의 벡터 공간 * G의 항등원 1\in G에서의 접공간 T_1G 또한, \operatorname{Lie}(G)는 (왼쪽 불변 벡터장의) 리 미분 :[X,Y]=\mathcal L_XY 에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서, 이를 부여하면 \operatorname{Lie}(G)는 리 대수를 이룬다. 이를 **리 대응**이라고 한다. 만약 G가 복소수 리 군이라면, \operatorname{Lie}(G)는 자연스럽게 복소수 벡터 공간을 이루며, 따라서 복소수 리 대수가 된다. 마찬가지로, 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형 :f\colon G\to H 및 G 위의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장 X\in\operatorname{Lie}(G)에 대하여, 밂 f_*X \in \Gamma^\infty(G)는 H의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장을 정의한다. 이는 리 대수의 준동형 :\operatorname{Lie}(f) = \mathrm df\restriction \operatorname{Lie}(G) \colon \operatorname{Lie}(G)\to\operatorname{Lie}(H) 를 정의한다. 통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 \operatorname{Lie}(\operatorname{SO}(5)) = \mathfrak{so}(5)이다.
# 성질

## 함자성
\operatorname{Lie}는 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 충실한 함자를 정의한다. :\operatorname{Lie}\colon\operatorname{LieGrp} \to \operatorname{LieAlg}_{\mathbb R}
## 연산과의 호환
리 대응은 차원을 보존한다. 즉, n차원 리 군에 대응되는 실수 리 대수는 n차원 실수 리 대수이다. :\dim\operatorname{Lie}(G)=\dim G 리 대응 아래, 반대군은 리 괄호에 −1을 곱하는 것에 대응한다. :\operatorname{Lie}(G^{\operatorname{op) = (\operatorname{Lie}(G))^{\operatorname{op :(V,[-,-]_V)^{\operatorname{op = (V,-[-,-]_V)^{\operatorname{op 리 대응은 리 군의 직접곱을 리 대수의 직합으로 대응시킨다. :\operatorname{Lie}(G\times H) = \operatorname{Lie}(G)\oplus\operatorname{Lie}(H) 리 대응은 리 군의 (닫힌 부분군에 대한) 짧은 완전열을 실수 리 대수의 짧은 완전열로 대응시킨다. :1\to K\to G\to G/H\to1 :0\to\operatorname{Lie}(K)\to\operatorname{Lie}(G)\to\frac{\operatorname{Lie}(G)}{\operatorname{Lie}(K)}\to0 마찬가지로, 리 대응은 리 군의 닫힌 부분군을 실수 리 대수의 부분 리 대수로 대응시킨다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.)
## 전사성 · 단사성
함자 \operatorname{Lie}\colon\operatorname{LieGrp} \to \operatorname{LieAlg}_{\mathbb R}는 대상의 동형류에 대하여 단사 함수도, 전사 함수도 아니다. * 단사성은 리 대수가 국소적인 정보만을 담기 때문이다. 예를 들어 SO(3)과 SU(2)는 국소적으로 같으므로 (SU(2)는 SO(3)의 범피복군) 같은 리 대수 \mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)를 지닌다. * 전사성의 실패는 무한 차원에서 일어난다. 모든 유한 리 대수에 대하여 대응되는 리 군이 존재하지만, 이는 무한 차원 리 대수에 대해서는 성립하지 않는다. (정의에 따라 모든 매끄러운 다양체는 유한 차원이지만, 무한 차원 다양체의 개념을 도입하여도 이 문제는 쉽게 해결할 수 없다.) 그러나 **리 제3 정리**(Lie第三定理, Lie's third theorem)에 따르면, 이 함자를 유한 차원 리 대수 및 (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군에 국한한다면, 이 함자는 (동형을 무시하면) 범주의 동치를 이룬다. 즉, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다. * 연결 단일 연결 리 군의 동형류 * 실수 유한 차원 리 대수의 동형류 이 함수는 구체적으로 G\mapsto\operatorname{Lie}(G)이다. 또한, 임의의 두 연결 단일 연결 리 군 G, H에 대하여, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다. :\hom(G,H)\to\hom(\operatorname{Lie}(G),\operatorname{Lie}(H)) 여기서 좌변은 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형의 집합이며, 우변은 두 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형의 집합이다.
## 부분 리 대수에 대응하는 부분군
리 군 G의 부분군 H\le G에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군을 **해석적 부분군**(analytic subgroup) 또는 **몰입 부분군**(immersed subgroup)이라고 한다.언어=en71언어=en95 * H에 적절한 위상을 주면 연결 리 군 \tilde H으로 만들 수 있으며, 이 경우 포함 함수 \tilde H\to G는 매끄러운 다양체의 매끄러운 몰입을 이룬다. * H에 부분 공간 위상을 주면, H는 경로 연결 공간이다. 그러나 후자를 경로 연결성에서 연결성으로 약화시킬 수 없다.언어=en H가 리 군 (즉, 매끄러운 다양체)이 되게 하는 위상과 G로부터의 부분 공간 위상은 일반적으로 다르다. 모든 닫힌 부분군은 해석적 부분군이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 만약 G가 연결 단일 연결 리 군일 경우, **리 제2 정리**(Lie第二定理, Lie’s second theorem)에 따르면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.72언어=en101 * G의 해석적 부분군들의 집합 * G의 리 대수 \mathfrak g의 부분 리 대수들의 집합 구체적으로, G의 해석적 부분군 H\le G에 대응하는 부분 리 대수는 H 위에 다른 위상을 주어 리 군 \tilde H로 만들었을 때, \tilde H의 리 대수 \mathfrak h이다.
## 리 군 표현에 대응하는 리 대수 표현
리 군에 대응하는 리 대수의 특별한 경우로, 리 군 G의 유한 차원 표현 :\rho\colon G\to\operatorname{GL}(n;K) 를 생각하자. 여기서 K는 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환이다 (즉, K\in\\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\\}이다). 이 경우, 이에 대응하는 실수 리 대수 준동형 :\operatorname{Lie}(\rho)\colon\operatorname{Lie}(G)\to\mathfrak{gl}(n;K) 를 정의할 수 있다. 이는 \rho에 대응하는 리 대수의 표현이다.
# 예
n차원 아벨 리 군 G에 대하여 대응하는 리 대수는 아벨 리 대수 \mathbb R^n이다. (0차원 리 군으로 간주한) 이산군에 대응하는 리 대수는 0차원 실수 리 대수 0이다. K\in\\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\\}일 때, n\times n 직교 행렬의 리 군 \operatorname O(n;K)의 리 대수는 n\times n 반대칭 행렬의 리 대수 \mathfrak o(n;\mathbb K)이다.
## 닫힌집합이 아닌 해석적 부분군
원환면 리 군 \operatorname U(1)\times\operatorname U(1)=\\{(\exp(i\alpha),\exp(i\beta))\colon\alpha,\beta\in\mathbb R\\}에서, 임의의 실수 c에 대하여 부분군 \\{(\exp(i\alpha),\exp(ic\alpha))\colon\alpha\in\mathbb R\\}를 정의하자. 그렇다면, c가 유리수일 경우 이는 닫힌집합인 부분군이지만, 아닐 경우 이는 닫힌집합이 아닌 해석적 부분군이다.
# 역사
리 대응 및 리의 제2·제3 정리는 소푸스 리가 도입하였다.