구보-마틴-슈윙거 상태

warunek Kubo-Martina-Schwingera”) 함수해석학과 양자역학에서 **구보-마틴-슈윙거 상태**([久保]-Martin-Schwinger狀態, Kubo–Martin–Schwinger state, 약자 KMS 상태)는 특정하게 열역학적 평형을 이룬 순수 또는 혼합 상태이다.
# 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * C* 대수 \mathcal A (“관측 가능량 대수”) * 상태 \phi\colon\mathcal A\to\mathbb C * 양의 실수 \beta\in\mathbb R^+ (“온도의 역수”) * 군 준동형 \alpha\colon(\mathbb R,+)\to\operatorname{Aut}(\mathcal A), t\mapsto\alpha_t (“시간 변화”) 만약 임의의 A,B\in\mathcal A에 대하여 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 연속 함수 :F_{AB}\colon\mathbb R+\mathrm i[0,\beta]\to\mathbb C 가 존재한다면, \phi를 **\beta에서의 구보-마틴-슈윙거 상태**(Kubo–Martin–Schwinger state at \beta)라고 한다.언어=en153, Definition 6.63 * F_{AB}의 치역은 유계 집합이다. * F_{AB}\restriction\left(\mathbb R+\mathrm i(0,\beta)\right)는 정칙 함수이다. * F_{AB}(t)=\phi(A\alpha_tB)\qquad\forall t\in\mathbb R (실수선에서의 경계 조건) * F_{AB}(t+\mathrm i\beta)=\phi((\alpha_tB)A)\qquad\forall t\in\mathbb R (실수선+\mathrm i\beta에서의 경계 조건) 물리학적으로, F_{AB}는 현재 관측 가능량 A와 시각 t에서의 관측 가능량 B 사이의 상관 함수이다.
# 성질
구보-마틴-슈윙거 상태는 시간 불변이다. 즉, (\alpha,\beta)-구보-마틴-슈윙거 상태 \phi에 대하여, 다음이 성립한다.153, Proposition 6.64(2) :\phi\circ\alpha_t=\phi\qquad\forall t\in\mathbb R
# 예
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 V=\mathbb C^N * N\times N 에르미트 행렬 H (“해밀토니언 연산자”) * 양의 실수 \beta\in\mathbb R^+ 그렇다면, 모든 N\times N 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 \operatorname B(V,V)=\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C)를 생각하자. 이 위에는 자기 동형 :\alpha_t\colon A\mapsto \exp(\mathrm itH)A\exp(-\mathrm itH) 이 존재하며, 이는 군 준동형 :\alpha\colon(\mathbb R,+)\to\operatorname{Aut}(\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C))\cong\operatorname U(n) :\alpha\colon t\mapsto\alpha_t 을 정의한다. 이 경우, 임의의 복소수 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C)에 대하여 기브스 상태 :\omega(A;\beta)=\frac{\operatorname{tr}\left(\exp(-\beta H)A\right)}{\operatorname{tr}\exp(-\beta H)} 및 함수 :F_{AB}\colon\mathbb R+\mathrm i[0,\beta]\to\mathbb C :F_{AB}(z)=\omega(A\exp(\mathrm izH)B;\beta) 를 정의하자. 그렇다면 F_{AB}(-)가 구보-마틴-슈윙거 경계 조건을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있으며, 이에 따라 \omega(-;\beta)는 구보-마틴-슈윙거 상태를 이룬다.

**증명:**

유일하게 자명하지 않은 것은 z\in\mathbb R+\mathrm i\beta에서의 경계 조건이다. 이는 대각합의 순환 성질을 사용하면 쉽게 보일 수 있다. : \begin{aligned} \left(\operatorname{tr}\exp(-\beta H)\right)F_{AB}(t+\mathrm i\beta)&= \operatorname{tr}\left( \exp(-\beta H) A\exp(\mathrm i(t+\mathrm i\beta)H)B \exp(-\mathrm i(t+\mathrm i\beta)H) \right)\\\ &= \operatorname{tr}\left( \exp(\mathrm i(t+\mathrm i\beta)H)B \exp(-\mathrm i(t+\mathrm i\beta)H) \exp(-\beta H) A \right)\\\ &= \operatorname{tr}\left( \exp(-\beta H) \exp(\mathrm itH)B \exp(-\mathrm itH) A\right) \end{aligned}

보다 일반적으로, 임의의 복소수 힐베르트 공간 V(의 조밀 부분 공간) 위의 자기 수반 작용소 H\colon D\to V가 주어졌다고 하자. 이에 따라, 임의의 t\in\mathbb R에 대하여 유니터리 작용소 \exp(\mathrm itH)\colon V\to V를 정의할 수 있다. V 위의 모든 유계 작용소들은 1종 인자 대수 \operatorname B(V,V)를 이루며, :\alpha_t\colon A\mapsto \exp(\mathrm itH)A\exp(-\mathrm itH) 는 그 위의 자기 동형을 정의한다. 이 경우, \alpha에 대한, 온도의 역수 \beta에서의 구보-마틴-슈윙거 상태가 존재할 필요 충분 조건은 \exp(-\beta H)가 대각합류 작용소인지 여부이다.154, §6.4.4 만약 이 조건이 성립한다면, 유일한 구보-마틴-슈윙거 상태는 다음과 같은 기브스 상태이다.154, §6.4.4 :\phi_H\colon A\mapsto\frac{\operatorname{tr}(\exp(-\beta H)A)}{\operatorname{tr}\exp(-\beta H)}
# 역사
줄리언 슈윙거 구보 료고언어=en579, (4.13)와 폴 세실 마틴(Paul Cecil Martin, 1931~2016)과 줄리언 슈윙거언어=en가 1950년대에 도입하였다. “구보-마틴 슈윙거 경계 조건”(Kubo–Martin–Schwinger boundary condition)이라는 용어는 1967년에 최초로 사용되었다.언어=en