구면 삼각형

구면 삼각형 ABC 수학에서 **구면 삼각형**(球面三角形, spherical triangle)은 구 위의 세 대원호에 둘러싸인 구면 위 도형이다. 유클리드 기하학의 평면 삼각형의 구면 기하학 버전이다. 구면 삼각형을 연구하는 수학 분야를 **구면 삼각법**(球面三角法, spherical trigonometry)이라고 한다.
# 정의
원점을 중심으로 하며, 1을 반지름으로 하는 (2차원) 구 \mathbb S^2\subseteq\mathbb R^3의 **볼록 구면 다각형**(-球面多角形, convex spherical polygon)은 다음을 만족시키는 부분 집합 P\subseteq\mathbb S^2이다.doi=10.1007/978-3-540-93816-3 * P는 \mathbb S^2의 반구 H_1,\dots,H_n\subseteq\mathbb S^2의 유한 교집합 \textstyle P=\bigcap_{k=1}^nH_k으로 나타낼 수 있다. * \operatorname{int}P\ne\varnothing. 즉, P는 내부점을 가진다. * P\cap(-P)=\varnothing. 즉, P는 대척점쌍을 포함하지 않는다. 각 반구 H_k에 대응하는 \mathbb R^3의 반공간 \widehat{H_k}들의 교집합 \textstyle\widehat P=\bigcap_{k=1}^n\widehat{H_k}은 볼록추를 이루는데, 이 \widehat P의 모서리와 \mathbb S^2의 교점을 P의 **꼭짓점**(-點, vertex)이라고 하며, \widehat P의 면과 \mathbb S^2의 교선을 P의 **변**(邊, edge)이라고 한다. 꼭짓점의 수가 3일 경우 P를 **(볼록) 구면 삼각형**((-)球面三角形, (convex) spherical triangle)이라고 한다.
# 성질
구 \mathbb S^2 위의 세 점 A,B,C\in\mathbb S^2에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다. * A,B,C\in\mathbb S^2는 구면 삼각형을 이룬다. * \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\in\mathbb R^3은 \mathbb R-선형 독립이다.
## 변의 길이와 각의 크기
구면 삼각형 ABC의 변의 길이 a,b,c는 두 꼭짓점 사이에 놓인 대원호의 길이로 정의되며, 이는 그 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다. :a=BC=\arccos(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}) :b=AC=\arccos(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}) :c=AB=\arccos(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}) 구면 삼각형 ABC의 각의 크기 A,B,C는 한 꼭짓점에서 남은 두 꼭짓점을 향하는 두 접선 사이의 각도로 정의되며, 이는 그 한 꼭짓점을 지나는 두 변과 원점이 결정하는 두 평면 사이의 이면각과 같다. :A=\arccos\frac{( \overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OA})\cdot( \overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC})\overrightarrow{OA})}{| \overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OA}|\cdot| \overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC})\overrightarrow{OA}|}= \arccos\frac{\mathbf n_{OAB}\cdot\mathbf n_{OAC{|\mathbf n_{OAB}||\mathbf n_{OAC}|} :B=\arccos\frac{( \overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC})\overrightarrow{OB})\cdot( \overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OB})}{| \overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC})\overrightarrow{OB}|\cdot| \overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OB}|}= \arccos\frac{\mathbf n_{OBC}\cdot\mathbf n_{OBA{|\mathbf n_{OBC}|\cdot|\mathbf n_{OBA}|} :C=\arccos\frac{( \overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC})\cdot( \overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC})}{| \overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC}|\cdot| \overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC}|}= \arccos\frac{\mathbf n_{OCA}\cdot\mathbf n_{OCB{|\mathbf n_{OCA}|\cdot|\mathbf n_{OCB}|}
## 극삼각형
구 위의 (대원이 아닐 수 있는) 원의 **극**(極, pole)은 그 원이 놓인 평면과 수직인 지름의 두 끝점이다. 구면 삼각형 ABC가 주어졌다고 하자. A'는 BC의 대원의 두 극 가운데 A와 같은 쪽에 있는 하나이며, B'는 CA의 대원의 두 극 가운데 B와 같은 쪽에 놓인 하나이며, C'는 AB의 대원의 두 극 가운데 C와 같은 쪽에 있는 하나라고 하자. 그렇다면 A'B'C'는 구면 삼각형을 이루며, 이를 ABC의 **극삼각형**(極三角形, polar triangle)이라고 한다. 즉, 이는 다음을 만족시키는 삼각형이다. :0=\overrightarrow{OA'}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA'}\cdot\overrightarrow{OC} =\overrightarrow{OB'}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB'}\cdot\overrightarrow{OC} =\overrightarrow{OC'}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC'}\cdot\overrightarrow{OB} :\overrightarrow{OA'}\cdot\overrightarrow{OA}>0 :\overrightarrow{OB'}\cdot\overrightarrow{OB}>0 :\overrightarrow{OC'}\cdot\overrightarrow{OC}>0 극삼각형의 극삼각형은 자기 자신이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 삼각형 ABC의 극삼각형이 A'B'C'라고 하자. 그렇다면, B',C'가 각각 변 AC,AB의 극이므로, AB',AC'는 모두 4분원호다. 따라서, A는 변 B'C'의 극이다. 또한, A,A'가 BC의 같은 쪽에 있으므로, AA'는 4분원호보다 작으며, 따라서 A,A'는 B'C'의 같은 쪽에 있다. 이로써 원하는 명제를 얻는다. 구면 삼각형 ABC의 극삼각형 A'B'C'의 변 a',b',c' 및 각 A',B',C'은 원래의 삼각형과 다음과 같은 관계를 갖는다. :a+A'=b+B'=c+C'=a'+A=b'+B=c'+C=\pi 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. B'C'와 AB의 교점을 D, B'C'와 AC의 교점을 E라고 하자. 그렇다면, 각 A는 대원호 DE와 같다. 또한, B'E,C'D는 모두 4분원호이므로, B'C'+A는 반원호와 같다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.
## 사인 법칙과 코사인 법칙
구면 코사인 법칙 구면 삼각형에 대한 사인 법칙은 다음과 같다. :\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C} 구면 삼각형 ABC에 대한 제1 코사인 법칙은 다음과 같다. :\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A :\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B :\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C 구면 삼각형 ABC에 대한 제2 코사인 법칙은 극삼각형에 제1 법칙을 적용한 결과이며, 이는 다음과 같다. :\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a :\cos B=-\cos C\cos A+\sin C\sin A\cos b :\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c 다음과 같은 항등식은 코사인 법칙 및 사인 법칙을 사용하여 증명할 수 있다. :\cot a\sin b=\cot A\sin C+\cos b\cos C :\cot b\sin a=\cot B\sin C+\cos a\cos C :\cot b\sin c=\cot B\sin A+\cos c\cos A :\cot c\sin b=\cot C\sin A+\cos b\cos A :\cot c\sin a=\cot C\sin B+\cos a\cos B :\cot a\sin c=\cot A\sin B+\cos c\cos B
## 기타 항등식

### 반각과 반변
구면 삼각형의 반각 및 반변의 삼각 함수들은 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\sin\frac A2=\sqrt{\frac{\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c :\cos\frac A2=\sqrt{\frac{\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c :\tan\frac A2=\sqrt{\frac{\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a) :\sin\frac a2=\sqrt{-\frac{\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C :\cos\frac a2=\sqrt{\frac{\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C :\tan\frac a2=\sqrt{-\frac{\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C) 여기서 2S=A+B+C이다. 이에 따라 구면 삼각형의 각과 변의 삼각 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\sin A= \frac{2\sqrt{\sin s\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c){\sin b\sin c}= \frac{\sqrt{1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c{\sin b\sin c} :\sin a= \frac{2\sqrt{-\cos S\cos(S-A)\cos(S-B)\cos(S-C){\sin B\sin C}= \frac{\sqrt{1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C-2\cos A\cos B\cos C{\sin B\sin C}
### 네이피어 동류식
다음과 같은 4개의 항등식을 **네이피어 동류식**(-同類式, Napier's analogies)이라고 한다. :\tan\frac{A+B}2=\frac{\cos\frac{a-b}2}{\cos\frac{a+b}2}\cot\frac C2 :\tan\frac{A-B}2=\frac{\sin\frac{a-b}2}{\sin\frac{a+b}2}\cot\frac C2 :\tan\frac{a+b}2=\frac{\cos\frac{a-b}2}{\cos\frac{a+b}2}\tan\frac c2 :\tan\frac{a-b}2=\frac{\sin\frac{a-b}2}{\sin\frac{a+b}2}\tan\frac c2
### 들랑브르 동류식
다음과 같은 4개의 항등식을 **들랑브르 동류식**(-同類式, Delambre's analogies) 또는 **가우스 정리**(-定理, Gauss's theorems)이라고 한다. :\cos\frac{A+B}2\cos\frac c2=\cos\frac{a+b}2\sin\frac C2 :\cos\frac{A-B}2\sin\frac c2=\sin\frac{a+b}2\sin\frac C2 :\sin\frac{A+B}2\cos\frac c2=\cos\frac{a-b}2\cos\frac C2 :\sin\frac{A-B}2\sin\frac c2=\sin\frac{a-b}2\cos\frac C2
## 넓이와 구과량
구면 다각형 A_1A_2\cdots A_n의 **구과량**(球過量, spherical excess) 또는 **구면 과잉**(球面過剩)은 다음과 같다. :E=\sum_{k=1}^nA_k-(n-2)\pi 특히, 구면 삼각형 ABC의 구과량은 다음과 같다. :E=A+B+C-\pi 구면 다각형 A_1\cdots A_n의 넓이는 그 구과량과 같다. :\operatorname{area}(P)=E=\sum_{k=1}^nA_k-(n-2)\pi 특히, 구면 삼각형 ABC의 넓이는 다음과 같으며, 이에 따라 구면 삼각형의 내각합은 항상 180도보다 크다. :\operatorname{area}(T)=E=A+B+C-\pi 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 다각형은 여러 개의 구면 삼각형으로 쪼갤 수 있으므로, 구면 삼각형에 대하여 증명하는 것을 족하다. a변이 놓인 대원호를 경계로 하며 A를 한 점으로 포함하는 반구를 생각하자. 이는 네 가지 구역으로 나뉘는데, 첫째는 구면 삼각형 ABC, 둘째는 각 B만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 ABC를 제외한 부분, 셋째는 각 C만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 ABC를 제외한 부분, 마지막 넷째는 각 A만큼 벌어진 구면 이각형에서 A,B,C의 대척점 -A,-B,-C이 이루는 구면 삼각형을 제외한 부분이다. 구의 넓이가 4\pi이며, 구면 이각형의 넓이는 벌어진 각에 비례하며, 구면 삼각형 -A,-B,-C의 넓이가 ABC와 같다는 사실에 주의하면, 반구의 넓이를 다음과 같은 두 가지 방법으로 나타낼 수 있으며, 이를 정리하면 증명하려던 공식을 얻는다. :\begin{align}2\pi &=\operatorname{area}(T)+(2A-\operatorname{area}(-T))+(2B-\operatorname{area}(T))+(2C-\operatorname{area}(T))\\\ &=2A+2B+2C-2\operatorname{area}(T)\end{align} 다음 항등식은 시몽 륄리에가 제시하였다. :\tan\frac E4=\sqrt{\tan\frac s2\tan\frac{s-a}2\tan\frac{s-b}2\tan\frac{s-c}2} 여기서 2s=a+b+c이다.
# 응용
구면 삼각법은 천문학, 측지학 및 항법에서 계산에 매우 중요하다.
# 역사
그리스 수학에서 구면 삼각법의 기원과 이슬람 수학의 주요 발전은 중세 이슬람의 삼각법과 수학의 역사에서 논의된바있다. 이 주제는 존 네이피어(John Napier) , 장 밥티스트 조제프 델람브레(Delambre) 및 다른 사람들의 중요한 발전으로 초기 근대에 실현되었으며 19세기 말 토드헌터(Todhunter)가 저술한 전문서적인 대학 및 학생을 위한 구면 삼각법의 출판으로 본질적으로 완전한 형태를 갖추었다.날짜=1886 이 책은 현재 웹에서 쉽게 퍼블릭 도메인인 구텐베르크 프로젝트로부터 사용할 수 있다. 그 이후로 중요한 발달로는 정리의 도출과 복잡한 계산을 수행하기위한 컴퓨터의 사용을 위한 벡터 방법의 적용이 있어왔다.