점렬 공간

일반위상수학에서 **점렬 공간**(點列空間, sequential space)은 위상수학적 구조를 그물 대신 점렬만으로 다룰 수 있는 위상 공간이다. 점렬성은 제1 가산 공간의 조건을 매우 약화시킨 것이다. 점렬 공간의 범주는 범주론적으로 여러 좋은 성질들을 갖는다.
# 정의
위상 공간 X의 부분 집합 U\subseteq X이 다음 조건을 만족시키면, **점렬 열린집합**(點列-集合, sequentially open set)이라고 한다. * 임의의 점렬 (x_i)_{i=0}^\infty\subseteq X에 대하여, 만약 x_i\to u인 u\in U가 존재한다면, 충분히 큰 i에 대하여 x_i\in U이다. 위상 공간 X의 부분 집합 C\subseteq X이 다음 조건을 만족시키면, **점렬 닫힌집합**(點列-集合, sequentially closed set)이라고 한다. * 임의의 점렬 (x_i)_{i=0}^\infty\subseteq C에 대하여, 만약 x_i\to x인 x\in X가 존재한다면, x\in C이다. 위 정의에서, "점렬"을 그물 또는 필터로 대체하면 표준적인 열린집합·닫힌집합의 정의와 동치인 개념을 얻는다. 즉, 모든 열린집합은 점렬 열린집합이며 모든 닫힌집합은 점렬 닫힌집합이지만, 그 역은 성립하지 않을 수 있다. 임의의 위상 공간 X에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **점렬 공간**이라고 한다. * 모든 점렬 열린집합은 열린집합이다. * 모든 점렬 닫힌집합은 닫힌집합이다. * 제1 가산 공간의 몫공간이다. * 거리화 가능 공간의 몫공간이다. * 임의의 위상 공간 Y 및 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 만약 f가 점렬 연속 함수라면 f는 연속 함수이다. 즉, 점렬 공간에서는 열린집합 · 닫힌집합 · 연속 함수의 개념을 그물 또는 필터 대신 점렬만으로 다룰 수 있다.
## 점렬 폐포
위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X의 **점렬 폐포**(點列閉包, sequential closure) \operatorname{cl_{seqA는 A 속의 점렬들의 극한들로 구성된 X의 부분 집합이다. :\operatorname{cl_{seqA=\left\\{x\in X\colon\exists(a_i)_{i=0}^\infty\subseteq A\colon a_i\to x\right\\} 점렬 폐포는 멱등 연산이 아니다. 즉, 일반적으로 :\operatorname{cl_{seq\operatorname{cl_{seqA\ne \operatorname{cl_{seqA 이다. 위상 공간 X의 부분 집합 A에 대하여, **초한 점렬 폐포열**(超限點列閉包列, transfinite sequential closure sequence) A_\alpha는 다음과 같이 정의된다. * A_0=A * 따름 순서수 \alpha+1에 대하여, A_{\alpha+1}=\operatorname{cl_{seqA_\alpha이다. * 극한 순서수 \alpha에 대하여, *:A_\alpha=\bigcup_{\beta<\alpha}A_\beta 임의의 위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X에 대하여, A_\alpha=A_{\alpha+1}이 되는 최소의 순서수 \alpha가 존재하며, 또한 항상 \alpha\le\omega_1이다. (\omega_1은 최소의 비가산 순서수이다.) 이 경우 A_\alpha를 A의 **초한 점렬 폐포**(超限點列閉包, transfinite sequential closure)라고 한다. 점렬 공간 속에서, 초한 점렬 폐포는 항상 (일반적) 폐포와 일치한다. 점렬 공간 X의 **점렬 순서수**(點列順序數, sequential order)는 모든 A\subseteq X에 대하여 A_\alpha=\operatorname{cl}A가 되는 최소의 순서수 \alpha이다.언어=en 위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **프레셰-우리손 공간**(Fréchet-Урысон空間, Fréchet–Urysohn space)이라고 한다.. * X의 모든 부분 집합은 점렬 공간이다. * X의 모든 부분 집합의 폐포는 점렬 폐포와 같다. 즉, X의 점렬 순서수는 1이다.
# 성질
다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :제2 가산 공간 ∪ 거리화 가능 공간 ⊊ 제1 가산 공간 ⊊ 프레셰-우리손 공간 ⊊ 점렬 공간 ⊊ 콤팩트 생성 공간 ∩ 가산 생성 공간
## 점렬성을 보존하는 연산
점렬 공간에 다음과 같은 연산을 가하여도 점렬 공간을 얻는다. * 점렬 공간의 몫공간은 점렬 공간이다. * 점렬 공간 X 및 위상 공간 Y 및 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌고, f가 닫힌 사상이거나 열린 사상이라고 하자. 그렇다면 f(X)는 점렬 공간이다. (그러나 f가 닫힌 사상도, 열린 사상도 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다. * 임의의 수의 점렬 공간들의 분리합집합은 점렬 공간이다. * 점렬 공간의 열린집합과 닫힌집합은 점렬 공간이다. (그러나 일반적인 부분 공간에 대하여 이는 성립하지 않을 수 있다.) 점렬 공간의 곱공간은 일반적으로 점렬 공간이 아니다.
## 범주론적 성질
점렬 공간과 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이루며, 따라서 모든 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다. (점렬 공간의 범주에서의 범주론적 곱은 (위상 공간의 범주에서의) 곱공간과 일치하지 않는다.) 즉, 점렬 공간은 노먼 스틴로드가 정의한 (위상수학에서) "편리한 범주"(convenient category)를 이룬다.언어=en 데카르트 닫힌 범주를 넘어서, 점렬 공간을 충만한 부분 범주로 갖는 토포스를 정의할 수 있으며, 이를 **존스톤 토포스**(Johnstone’s topos)라고 한다.언어=en
# 예
수학에서 다루는 거의 모든 위상 공간은 점렬 공간이다. 모든 CW 복합체와 모든 다양체는 점렬 공간이다.
## 제1 가산 공간이 아닌 프레셰-우리손 공간
가산 무한 개의 원들의 쐐기합 \mathbb R/\mathbb N=\\{\\{r\\}\colon r\in\mathbb R\setminus\mathbb N\\}\cup\\{\mathbb N\\} (즉, 실수 집합에서, 모든 자연수들을 하나의 점으로 이어붙인 몫공간)은 프레셰-우리손 공간이지만 제1 가산 공간이 아니다. 중심 \mathbb N\in\mathbb R/\mathbb N은 가산 국소 기저를 갖지 않기 때문이다.
## 프레셰-우리손 공간이 아닌 점렬 공간
**아렌스 공간**(Arens space) :S_2=\frac{\mathbb N\times(\\{0\\}\cup\\{1/i\colon i\in\mathbb Z^+\\})}{\forall i\in\mathbb Z^+\colon(0,1/i)\sim(i,0)} 은 (제1 가산 공간의 몫공간이므로) 점렬 공간이며, 완전 정규 하우스도르프 공간이지만, 프레셰-우리손 공간이 아니다.언어=enzbl=0684.5400154–55, Example 1.6.19 구체적으로, 점 (0,0)은 집합 S_2\setminus\\{(0,1/i)\colon i\in\mathbb Z^+\\}의 폐포에 속하지만, (0,0)으로 수렴하는 점렬은 상수 점렬과 ((0,1),(0,1/2),\dots)의 부분 점렬밖에 없다.
## 점렬 공간이 아닌 위상 공간
비가산 집합에서, 닫힌집합을 가산 부분 집합으로 정의하자. 이 위상 공간에서, 수렴하는 점렬은 충분히 큰 첨자에 대하여 상수 점렬인 것 밖에 없다. 따라서, 모든 부분 집합은 점렬 열린집합이며, 이 위상 공간은 점렬 공간이 아니다. 아렌스 공간의 부분 공간 S_2\setminus\\{(0,1/i)\colon i\in\mathbb Z^+\\}은 점렬 공간이 아니다.55, Example 1.6.20
# 역사
오랫동안 제1 가산 공간에서는 일반적으로 그물을 사용하여 정의되는 각종 위상수학적 성질들이 점렬을 사용하여 정의되는 것들과 동치인 것이 알려져 있었다. 1956년에 스탠리 프랭클린(Stanley P. Franklin)은 제1 가산 공간에서 이 성질이 성립하는 조건을 추상화하여 점렬 공간의 개념을 도입하였다.언어=en언어=en