삼중성 리 대수

팔원수에 대응되는 삼중성 리 대수 \mathfrak d_4 = \mathfrak o(8) = \mathfrak{tri}(\mathbb O)의 [[딘킨 도표는 삼중성에 의하여 Sym(3) 대칭을 갖는다.]] 추상대수학에서 **삼중성 리 대수**(三重性Lie代數, triality Lie algebra)는 합성 대수로부터 정의되는, 3차 대칭군의 작용을 갖는 특별한 리 대수이다. 가장 대표적인 예는 팔원수로부터 정의되는 실수 리 대수 \mathfrak o(8)이며, 이에 따라 이 리 대수의 8차원 벡터 표현 및 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너들이 서로 삼중성 아래 순열로 변환한다.
# 정의
K가 2와 3이 가역원인 체라고 하자. K 위의 합성 대수 A 에 대하여, 다음을 정의하자. :\mathfrak{tri}(A)=\\{(A,B,C) \in \mathfrak o(A,Q)^{\oplus3} \colon A(x\star y) = x\star By + Cx \star y\qquad\forall x,y\in A\\} 여기서 \mathfrak o(A,Q)는 A의 이차 형식 Q\colon A\to K(에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다. 이는 \mathfrak o(A,Q)^{\oplus3}의 부분 리 대수를 이룬다. 이를 A의 **삼중성 리 대수**라고 하며, \mathfrak{tri}(A)로 표기한다.언어=en§4.1언어=en18–24 이는 다음과 같은 K-벡터 공간 동형 사상을 갖는다. :\mathfrak{tri}(A) \cong \mathfrak{der}(A) \oplus \operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(A)

**증명:**

각 a\in A에 대하여, 교환자 :[x,y,z] = (x\star y)z - x(y\star z) 를 정의하면, 교대 법칙에 의하여 :[a,x,y] + [x,a,y] = 0 이며, 이는 :(\mathsf L_a,-\mathsf L_a, \mathsf L_a +\mathsf R_a) \in \mathfrak{tri}(A)\qquad\forall a\in A 로 번역된다. 마찬가지로 :[x,y,b] + [x,b,y] = 0 은 :(\mathsf R_b, \mathsf L_b + \mathsf R_b, -\mathsf R_b) \in \mathfrak{tri}(A) 로 번역된다. 이들은 각각 선형 변환 :K \hookrightarrow \mathfrak{tri}(A) 를 정의한다. 이에 따라, K-선형 변환 :\mathfrak{der}(A) \oplus K \oplus K \to \mathfrak{tri}(A) :(\delta,a,b) \mapsto (\delta,0,0) + (\mathsf L_a,-\mathsf L_a, \mathsf L_a +\mathsf R_a) + (\mathsf R_b, \mathsf L_b \mathsf R_b, -\mathsf R_b) 이 존재한다. 또한, 이는 왼쪽 역사상 :(A,B,C) \mapsto (A - \mathsf L_a + \mathsf R_b, a,b) :a = \frac13B(1) + \frac23C(1) :b = \frac23B(1) + \frac13C(1) 를 갖는 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 이 왼쪽 역사상은 단사 함수인 것을 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다. :B(y) = A(1\star y) - C(1)\star y :C(x) = A(x\star1) - x\star B(1)

# 성질

## 3차 대칭군의 작용
\mathfrak{tri}(A) 위에는 다음과 같은 자기 동형이 존재한다. :\theta, \zeta\colon\mathfrak{tri}(A) \to \mathfrak{tri}(A) :\theta\colon (A,B,C) \mapsto (B^*,C,A^*) :\zeta \colon (A,B,C) \mapsto (A^*,C^*, B^*) 여기서 :A^*(x) = (A(x^*))^* 를 뜻한다. 그렇다면, :\theta^2 \colon (A,B,C) \mapsto (C^*,A^*,B) :\theta^3 = \zeta^2 = \operatorname{id} :\zeta\circ\theta = \theta^2\circ\zeta \colon (A,B,C) \mapsto (B,A,C^*) :\theta\circ\zeta =\zeta\circ\theta^2 \colon (A,B,C) \mapsto (C,B^*,A) 가 된다. 즉, 이는 군 준동형 :\operatorname{Sym}(3) \to \operatorname{Aut}(\mathfrak{tri}(A)) 를 정의한다 (\operatorname{Sym}(3)은 3차 대칭군). 이를 **삼중성**(triality)이라고 한다. 또한, \mathfrak{der}(A)와 \mathfrak{tri}(A) 사이에, \operatorname{Im}(A)^{\oplus2}의 대각 성분으로 구성되는, 벡터 공간으로서 \mathfrak{der}(A)\oplus\operatorname{Im}(A)인 리 대수 \mathfrak{tri}'(A)가 존재한다. 이 위에는 \operatorname{Sym}(3) 삼중성이 \operatorname{Sym}(2) 이중성으로 깨지게 된다.
## 프로이덴탈 마방진과의 관계
두 실수 합성 대수 A, B에 대하여, 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.Theorem 4.4, §4.3 :\mathfrak {freud}(3; A, B) \cong \mathfrak{tri}(A) \oplus \mathfrak{tri}(B) \oplus (A\otimes_{\mathbb R}B)^{\oplus3} 여기서 \mathfrak{freud}(3;A,B)는 A와 B로 정의되는 3×3 프로이덴탈 마방진 실수 리 대수이다. 특히, 우변에서 \mathfrak{tri}(A)\oplus\mathfrak{tri}(B)는 \mathfrak{freud}(3;A,B)의 부분 리 대수를 이룬다. 또한, 임의의 실수 합성 대수 A에 대하여, 그 위의 3×3 에르미트 행렬로 구성된 실수 요르단 대수 \operatorname H(3;A)의 미분 리 대수는 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상을 갖는다.Theorem 4.1, §4.1 :\mathfrak{der}(\operatorname H(3;A)) \cong \mathfrak{tri}(A) \oplus A^{\oplus3} 특히, 우변에서 \mathfrak{tri}(A)는 \mathfrak{der}(\operatorname H(3;A))의 부분 리 대수이다.
# 예
실수 합성 대수에 대하여, 삼중성 리 대수는 다음과 같다. {| class=wikitable || \mathfrak{der}(A) || \mathfrak{tri}'(A) || \mathfrak{tri}(A) |- | \mathbb R || 0 || 0 || 0 |- | \mathbb C || 0 || \mathfrak o(2) || \mathfrak o(2)^{\oplus2} |- | \tilde{\mathbb C} || 0 || \mathfrak o(1,1) || \mathfrak o(1,1)^{\oplus2} |- | \mathbb H || \mathfrak o(3) || \mathfrak o(4) || \mathfrak o(3)^{\oplus3} |- | \tilde{\mathbb H} || \mathfrak o(1,2) || \mathfrak o(2,2) || \mathfrak o(1,2)^{\oplus3} |- | \mathbb O || \mathfrak g_2 || \mathfrak o(7) || \mathfrak o(8) |- | \tilde{\mathbb O} || \mathfrak g_{2(2)} || \mathfrak o(3,4) || \mathfrak o(4,4) |} 여기서 \tilde{\mathbb C}=\mathbb R\oplus\mathbb R, \tilde{\mathbb H}=\operatorname{Mat}(2,\mathbb R), \tilde{\mathbb O}=\operatorname{Zorn}(\mathbb R)는 각각 분할복소수 · 분할 사원수 · 분할 팔원수의 실수 합성 대수이다.