균등 공간

일반위상수학에서 **균등 공간**(均等空間, uniform space)은 두 점이 서로 "가까운지" 여부가 주어진 집합이다. 균등 공간 위에는 균등 연속 함수 · 코시 그물 · 완비화 등의 개념을 정의할 수 있다. 균등 공간의 개념은 위상 공간과 거리 공간의 가운데에 있다. 즉, 임의의 거리 공간 위에는 표준적인 균등 공간 구조가 주어지며, 임의의 균등 공간 위에는 표준적인 위상이 주어진다. 거리 공간이 아닌 균등 공간의 대표적인 예로는 위상군과 콤팩트 하우스도르프 공간이 있다.
# 정의
균등 공간의 개념은 **측근**(側近, 앙투라주)의 개념을 사용하여 정의할 수 있으며, 또는 **균등 덮개**(均等-, uniform cover)의 개념을 사용하여 정의할 수도 있다. 두 정의는 서로 동치이다. 대략, 측근은 위상 공간의 열린집합과 유사한 개념이며, 균등 덮개는 위상 공간의 열린 덮개와 유사한 개념이다.
## 측근을 통한 정의
집합 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X 위의 두 이항 관계 E,F\subseteq X^2의 **합성** F\circ E은 다음과 같다. :F\circ E=\\{(x,z)\colon(x,y)\in E,\;(y,z)\in F\\} X 위의 이항 관계 E\subseteq X^2의 **반대 관계**(opposite relation) E^{\operatorname{op는 다음과 같다. :E^{\operatorname{op=\\{(y,x)\colon (x,y)\in E\\} 집합 X 위의 **균등 공간 구조**는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * X\times X의 부분 집합들의 집합 \mathcal E\subseteq\mathcal P(X\times X). 그 원소를 **측근**(側近, 앙투라주)이라고 한다. \mathcal E는 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이루며, 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. * (하계) 대각 부분 집합 \operatorname{diag}_X=\\{(x,x)\colon x\in X\\}는 \mathcal E의 하계를 이룬다. 즉, 임의의 측근 E\in\mathcal E에 대하여, E\supseteq\operatorname{diag}_X이다. * \mathcal E는 부분 순서 집합 (\mathcal P(X^2),\subseteq) 위의 필터를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. ** (자명한 측근) X^2\in\mathcal E이다. ** (상집합성) 임의의 \mathcal E\ni E\subseteq F\subseteq X^2에 대하여, F\in\mathcal E ** (하향성) 임의의 E,F\in\mathcal E에 대하여, E\cap F\in\mathcal E * 만약 E\in\mathcal E라면, F\circ F\subseteq E인 F\in\mathcal E가 존재한다. * (역원에 대한 닫힘) 만약 E\in\mathcal E라면, E^{\operatorname{op\in\mathcal E이다. 균등 공간 구조가 주어진 집합을 **균등 공간**이라고 한다. 주어진 집합 X 위의 균등 공간 구조들은 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 위상의 비교와 마찬가지로, 두 균등 공간 구조 \mathcal E,\mathcal E'\subseteq\mathcal P(X^2)에 대하여, 만약 \mathcal E\subseteq\mathcal E'이라면 \mathcal E를 \mathcal E'보다 더 **엉성한 균등 공간 구조**(coarser uniform structure)라고 하고, \mathcal E'을 \mathcal E보다 더 **섬세한 균등 공간 구조**(finer uniform structure)라고 한다.
## 균등 덮개를 통한 정의
집합 X의 **덮개** \mathcal C\subseteq\mathcal P(X)는 \bigcup\mathcal C=X가 되는 부분 집합들의 족이다. X의 덮개들의 집합을 \operatorname{Cover}(X)로 표기하자. X 위의 두 덮개 \mathcal C,\mathcal C'\in\operatorname{Cover}(X)가 주어졌을 때, \mathcal C'이 \mathcal C의 세분인 것을 \mathcal C'\lesssim\mathcal C로 표기하고, \mathcal C'이 \mathcal C의 성형 세분인 것을 \mathcal C'^\star\lesssim\mathcal C로 표기하자. 세분 관계는 원순서이며, 따라서 (\operatorname{Cover}(X),\lesssim)는 원순서 집합을 이룬다. **균등 공간** (X,\mathfrak C)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.85, Definition 7.12, Definition 1.1 * X는 집합이다. * \mathfrak C\subseteq\operatorname{Cover}(X)는 X 위의 덮개들의 집합이다. \mathfrak C의 원소를 **균등 덮개**(均等-, uniform cover)라고 한다. 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. * (균등 성형 세분의 존재) 임의의 균등 덮개 \mathcal C\in\mathfrak C에 대하여, \mathcal C'^\star\lesssim\mathcal C인 균등 덮개 \mathcal C'\in\mathfrak C가 존재한다. * \mathfrak C는 (\operatorname{Cover}(X),\lesssim) 위의 필터이다. 즉, 다음이 성립한다. ** (자명한 덮개의 균등성) \\{X\\}\in\mathfrak C. 즉, 한원소 덮개 \\{X\\}는 균등 덮개이다. ** (상집합성) 임의의 균등 덮개 \mathcal C\in\mathfrak C 및 덮개 \mathcal C'\in\operatorname{Cover}(X)에 대하여, 만약 \mathcal C\lesssim\mathcal C'이라면, \mathcal C' 역시 균등 덮개이다. ** (하향성) 임의의 두 균등 덮개 \mathcal C,\mathcal C'\in\mathfrak C에 대하여, \\{C\cap C'\colon C\in\mathcal C,\;C'\in\mathcal C\\}\in\mathfrak C이다. 균등 덮개를 통한 정의는 측근을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, 측근을 사용한 정의의 균등 공간 (X,\mathcal E)가 주어졌을 때, 균등 덮개의 집합 \mathfrak C는 다음과 같다. :\mathfrak C=\uparrow\left\\{\\{E[x,-]\colon x\in X\\}\colon E\in\mathcal E\right\\} :E[x,-]=\\{y\colon(x,y)\in E\\} 여기서 :\uparrow\mathfrak S=\\{\mathcal D\in\operatorname{Cover}(X)\colon\exists\mathcal S\in\mathfrak S\colon\mathfrak S\lesssim\mathcal D\\} 는 덮개 집합의 세분 관계에 대한 상폐포이다. 즉, 균등 덮개는 측근 E에 대한 \\{E[x,-]\\}_{x\in X} 꼴의 덮개에 의하여 세분될 수 있는 덮개이다. 반대로, 균등 덮개의 집합 \mathfrak C가 주어졌을 때, 측근의 집합 \mathcal E는 다음과 같다. :\mathcal E=\uparrow\left\\{\bigcup_{C\in\mathcal C}C\times C\colon\mathcal C\in\mathfrak C\right\\} 여기서 :\uparrow\mathcal S=\\{E\subseteq X^2\colon\exists S\in\mathcal S\colon E\supseteq S\\} 는 부분 집합 관계에 대한 상폐포이다.
## 기본계
균등 공간 (X,\mathcal E)에서, 만약 측근 집합 \mathcal B\subseteq\mathcal E가 다음 조건을 만족시킨다면, \mathcal B는 균등 공간 구조 \mathcal E의 **기본계**(基本系, fundamental system)라고 한다. :\mathcal E=\\{E\subseteq X^2\colon\exists B\in\mathcal B\colon B\subseteq E\\} 균등 공간 구조의 기본계는 위상의 기저와 유사한 개념이다.
## 균등 연속 함수
균등 연속 함수 두 균등 공간 (X,\mathcal E), (Y,\mathcal F) 사이의 **균등 연속 함수**(uniformly continuous map)는 다음 조건을 만족시키는 함수 f\colon X\to Y이다. * 측근의 원상은 측근이다. 즉, 임의의 F\in\mathcal F에 대하여, f^{-1}(F)\in\mathcal E이다. 균등 공간들과 균등 연속 함수들은 범주를 이루며, 이를 \operatorname{Unif}라고 표기한다.
# 성질

## 위상수학적 성질
균등 공간 (X,\mathcal E) 위에 표준적인 위상을 정의할 수 있으며, 이를 **균등 위상**(uniform topology)이라고 한다. 균등 위상에서, 임의의 점 x\in X의 근방 필터는 다음과 같이 정의된다. :\mathcal N_x=\left\\{E[x,-]\colon E\in\mathcal E\right\\} :E[x,-]=\\{y\colon(x,y)\in E\\} 모든 균등 공간은 (균등 위상을 부여할 때) 완비 정칙 공간이다. 사실, 이는 필요충분조건이다. 즉, 위상 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * **균등화 가능 공간**(uniformizable space)이다. 즉, 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다. * 완비 정칙 공간이다. 부제=균등 공간은 완비 정칙 공간 (균등 위상을 갖춘) 균등 공간 (X,\mathcal E)가 주어졌다고 하자. 임의의 닫힌집합 C\subseteq X 및 x\in X\setminus C에 대하여, f(x)=0이며 f(C)\subseteq\\{1\\}인 연속 함수 f\colon X\to[0,1]을 찾으면 족하다. 다음과 같은 측근의 열 (E_i)_{i=0}^\infty\subseteq\mathcal E를 취하자. :x\in E_0[x,-]\subseteq X\setminus C :E_0\supseteq E_1\circ E_1\supseteq E_1\supseteq E_2\circ E_2\supseteq\cdots [0,1] 속의 이진 유리수의 집합을 J라고 하자. 다음과 같은 측근 집합 \\{F_j\\}_{j\in J}을 정의하자. 임의의 j\in J에 대하여, j의 이진법 전개가 :j=1/2^{i(0)}+\cdots+1/2^{i(n)} :0\le i(0) 라면, :F_j=E_{i(n)}\circ E_{i(n-1)}\circ\cdots\circ E_{i(0)} 로 정의한다. 이 경우 만약 j,j'\in J이며 j\le j'이라면 F_j\subseteq F_{j'}이다. 이는 :j=1/2^{i(0)}+\cdots+1/2^{i(n)}+1/2^{j(0)}+\cdots+1/2^{j(p)} :j'=1/2^{i(0)}+\cdots+1/2^{i(n)}+1/2^{k(0)}+\cdots+1/2^{k(q)} :0\le i(0)0일 필요는 없다.) 이는 거리 공간의 거리 함수의 개념의 일반화이다. 그렇다면, 다음과 같은 기본계를 사용하여 X 위의 균등 공간 구조를 정의할 수 있다. :\mathcal B=\\{d^{-1}([0,t])\colon t\in\mathbb R^+\\}
## 위상군
위상군 G 위의 **오른쪽 균등 공간 구조**(right uniform structure)는 다음과 같은 기본계로서 정의되는 균등 공간 구조이다. :\mathcal B_{\text{right=\\{\\{(g,h)\colon gh^{-1}\in U\\}\colon U\ni1_G\\} 여기서 U는 항등원 1_G\in G의 임의의 근방이다. 마찬가지로, 위상군 G 위의 **왼쪽 균등 공간 구조**(left uniform structure)는 다음과 같은 기본계로서 정의되는 균등 공간 구조이다. :\mathcal B_{\text{left=\\{\\{(g,h)\colon h^{-1}g\in U\\}\colon U\ni1_G\\} (물론, 아벨 위상군의 경우 두 균등 공간 구조가 일치한다.) 임의의 원소 g\in G에 대하여, 오른쪽의 곱셈 (\cdot g)\colon G\to G는 오른쪽 균등 공간 구조 아래 균등 연속 함수이며, 왼쪽의 곱셈 (g\cdot)\colon G\to G는 왼쪽 균등 공간 구조 아래 균등 연속 함수이다. 위상군은 항상 균등화 가능 공간이다. 오른쪽 균등 위상과 왼쪽 균등 위상은 위상군의 원래 위상과 일치한다.
## 잉여류 공간
위상군 G의 부분군 H\le G에 대하여, 왼쪽 잉여류 공간 G/H 위에 다음과 같은 기본계를 통해 균등 공간 구조를 부여할 수 있다. :\mathcal B=\left\\{(gH,hH)\in(G/H)^2\colon\exists U\ni1_G\colon hg^{-1}\in U\right\\} 여기서 U는 항등원 1_G\in G의 임의의 근방이다. 이로부터 정의되는 균등 위상은 몫공간 위상과 일치한다.
## 콤팩트 하우스도르프 공간
콤팩트 하우스도르프 공간 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X의 위상과 같은 위상을 유도하는 유일한 균등 공간 구조가 존재하며, 이 경우 측근은 곱공간 X\times X에서 대각 부분 집합 \operatorname{diag}_X\subseteq X\times X의 근방으로 주어진다. 이는 필요 조건이 아니다. 구체적으로, 티호노프 공간(즉, 균등화 가능 하우스도르프 공간) X에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * X의 위상과 같은 위상을 유도하는 유일한 균등 공간 구조가 존재한다. * X의 위상과 같은 위상을 유도하는 유일한 완전 유계 균등 공간 구조가 존재한다. * X를 그 스톤-체흐 콤팩트화 \beta X의 부분 집합으로 여겼을 때, |\beta X\setminus X|\le1 이와 유사하게, 티호노프 공간 X에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * X의 위상과 같은 위상을 유도하는 가장 엉성한 균등 공간 구조가 존재한다. * X의 위상과 같은 위상을 유도하는 가장 엉성한 완전 유계 균등 공간 구조가 존재한다. * X는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
## 기본계의 예
임의의 균등 공간 (X,\mathcal E)에서, 다음 측근 집합들은 기본계를 이룬다. * 대칭 측근들의 집합 \\{E\in\mathcal E\colon E=E^{\operatorname{op\\} * (균등 위상의 곱위상에 대한) 열린 측근들의 집합 * (균등 위상의 곱위상에 대한) 닫힌 측근들의 집합 증명 대칭 측근: 임의의 E\in\mathcal E에 대하여, F=E\cap E^{\operatorname{op\subseteq E는 대칭 측근이다. 열린 측근: 임의의 측근 E\in\mathcal E에 대하여, \operatorname{int}E 역시 측근임을 보이는 것으로 충분하다. F\circ F\circ F\subseteq E인 대칭 측근 F=F^{\operatorname{op\in\mathcal E를 취하자. 그렇다면 :F\circ F\circ F=\bigcup_{(x,y)\in F}(\\{x'\in X\colon(x,x')\in F\\}\times\\{y'\in X\colon(y,y')\in F\\}) 가 F의 근방이므로, :F\subseteq\operatorname{int}(F\circ F\circ F)\subseteq\operatorname{int}E 이며, 따라서 \operatorname{int}E\in\mathcal E이다. 닫힌 측근: 임의의 측근 E\in\mathcal E에 대하여, \operatorname{cl}F\subseteq E인 측근 F\in\mathcal E을 찾는 것으로 충분하다. F\circ F\circ F\subseteq E인 대칭 측근 F=F^{\operatorname{op\in\mathcal E를 취하자. 그렇다면, 임의의 (x,y)\in X^2에 대하여, :\\{\\{x'\in X\colon (x,x')\in G\\}\times\\{y'\in X\colon (y,y')\in G\\}\colon G=G^{\operatorname{op\in\mathcal E\\} 은 (x,y)의 국소 기저를 이루며, 이에 따라 :\operatorname{cl}F=\bigcap_\scriptstyle G\in\mathcal E\atop\scriptstyle G=G^{\operatorname{opG\circ F\circ G 임을 보일 수 있다. 따라서 :\operatorname{cl}F\subseteq F\circ F\circ F\subseteq E 이다. 증명 끝
# 역사
거리 공간의 개념을 추상화하기 위하여 앙드레 베유가 1937년에 도입하였다.언어=fr언어=en언어=fr 이후 니콜라 부르바키가 측근을 사용한 정의를 도입하였다.언어=fr 균등 공간의 개념의 필요성에 대하여 수학자 게르하르트 프로이스(Gerhard Preuß, 1940~2011)는 다음과 같이 적었다. xvi