블록 행렬

2*i* × 2*j* (*i*, *j* = 1, 2, 3)의 행렬 블록들로 분할된 14 × 14 행렬 수학에서 **블록 행렬**(block行列, block matrix) 또는 **분할 행렬**(分割行列, partitioned matrix)은 더 작은 행렬 블록들로 분할되었다고 간주된 행렬이다.quote=We shall find that it is sometimes convenient to subdivide a matrix into rectangular blocks of elements. This leads us to consider so-called *partitioned*, or *block*, *matrices*.url=https://books.google.com/books?id=ayVxeUNbZRMC&lpg;=PM40&dq;=block%20multiplication&pg;=PM37 즉, 행렬의 행과 열을 수평선 및 수직선들을 통해 분할하는 것이다.quote=M matrix can be subdivided or ***partitioned*** into smaller matrices by inserting horizontal and vertical rules between selected rows and columns. 블록 행렬은 행렬의 구조를 더 알기 쉽게 만들며, 행렬의 연산을 호환되는 블록 행렬 연산으로 대신할 수 있다.
# 정의
체 K 위의 m\times n 행렬 M\in\operatorname{Mat}(m,n;K)가 주어졌다고 하자. 또한, :m=m_1+m_2+\cdots+m_p :n=n_1+n_2+\cdots+n_q\qquad(m_i,n_i\in\mathbb Z^+) 라고 하자. 그렇다면 M은 다음과 같은 **블록 행렬**로 나타낼 수 있다. :M= \begin{pmatrix} M_{11}&M;_{12}&\cdots&M;_{1q}\\\ M_{21}&M;_{22}&\cdots&M;_{2q}\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\ M_{p1}&M;_{p2}&\cdots&M;_{pq} \end{pmatrix} 여기서 M_{ij}는 다음과 같은 m_i\times n_j 행렬이다. :M_{ij}(k,l)=M(m_1+\cdots+m_{i-1}+k,n_1+\cdots+n_{j-1}+l)
# 종류
특별한 성질들을 만족시키는 블록 행렬을 정의할 수 있다. * **블록 대각 행렬**(block對角行列, block diagonal matrix): 대각선 이외의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 대각 행렬이 된다. * **블록 상(하)삼각 행렬**(block上(下)三角行列, block upper (lower) triangular matrix): 대각선 아래(위)의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 상(하)삼각 행렬이 된다.
# 성질

## 행렬 곱셈
블록 행렬의 곱셈의 예시 행렬 곱셈은 블록 행렬을 통해 나타낼 수 있다. 다만, 행렬 곱셈에서 왼쪽 행렬의 열수와 오른쪽 행렬의 행수가 같아야 하는 것과 같이, 블록 행렬 곱셈에서는 왼쪽 행렬의 열의 분할 방법과 오른쪽 행렬의 행의 분할 방법이 같아야 한다. 즉, M\in\operatorname{Mat}(m,n;K)가 체 K 위의 m\times n 행렬이며, 임의의 i\in\\{1,\dots,q\\} 및 j\in\\{1,\dots,r\\}에 대하여, 블록 M_{ij}가 m_i\times n_j 행렬이라고 하자. 마찬가지로, N\in\operatorname{Mat}(n,p;K)가 K 위의 n\times p 행렬이며, 임의의 i\in\\{1,\dots,q\\} 및 j\in\\{1,\dots,s\\}에 대하여, 블록 N_{ij}가 n_i\times p_j 행렬이라고 하자. 그렇다면, 곱 MN의 각 블록 (MN)_{ij}는 다음과 같은 m_i\times p_j 행렬이다. :(MN)_{ij}=\sum_{k=1}^rM_{ik}N_{kj}\qquad(i\in\\{1,\dots,q\\},j\in\\{1,\dots,s\\}) 이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다. : \begin{pmatrix} M_{11}&M;_{12}&\cdots&M;_{1r}\\\ M_{21}&M;_{22}&\cdots&M;_{2r}\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\ M_{q1}&M;_{q2}&\cdots&M;_{qr} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N_{11}&N;_{12}&\cdots&N;_{1s}\\\ N_{21}&N;_{22}&\cdots&N;_{2s}\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\ N_{r1}&N;_{r2}&\cdots&N;_{rs} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^rM_{1k}N_{k1}&\sum_{k=1}^rM_{1k}N_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^rM_{1k}{ks}\\\ \sum_{k=1}^rM_{2k}N_{k1}&\sum_{k=1}^rM_{2k}N_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^rM_{2k}{ks}\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\ \sum_{k=1}^rM_{qk}N_{k1}&\sum_{k=1}^rM_{qk}N_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^rM_{qk}{ks} \end{pmatrix}
## 항등식
다음과 같은 항등식들이 성립한다. (단, 우변의 각 역행렬이 존재하여야 한다.) :\det \begin{pmatrix} A_{m\times m}&B;_{m\times n}\\\ C_{n\times m}&D;_{n\times n} \end{pmatrix} =\det(D)\det(A-BD^{-1}C)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B) :\begin{pmatrix} A_{m\times m}&B;_{m\times n}\\\ C_{n\times m}&D;_{n\times n} \end{pmatrix} ^{-1}= \begin{pmatrix} A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{pmatrix}
# 예
행렬 :P= \begin{pmatrix} 2&1&0&0&0\\\ 0&2&0&0&0\\\ 0&0&1&1&0\\\ 0&0&0&1&1\\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix} 는 블록 행렬로 다음과 같이 나타낼 수 있다. :P= \begin{pmatrix} J_{2\times 2}(2)\\\ &J;_{3\times 3}(1) \end{pmatrix} 여기서 :J_{n\times n}(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda_1&1\\\ &\lambda_2&1\\\ &&\ddots&\ddots\\\ &&&\lambda_{n-1}&1\\\ &&&&\lambda_n \end{pmatrix} \qquad(\lambda_1=\cdots=\lambda_n=\lambda) 따라서, P는 블록 대각 행렬이다.