원순서 집합

순서론에서 **원순서 집합**(原順序集合, preordered set, proset)은 그 속의 두 원소를 추이적으로 비교할 수 있는 집합이다. 부분 순서 집합과, 동치 관계를 갖는 집합의 공통적인 일반화이다. 어떤 집합의 몫집합 위의 부분 순서로도 생각할 수 있다.
# 정의
**원순서 집합**의 개념은 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 동치이다. * 순서론적으로, 특별한 이항 관계를 갖춘 집합으로 여길 수 있다. * 범주론적으로, 특별한 작은 범주로 여길 수 있다. * 위상수학적으로, 특별한 종류의 위상 공간으로 여길 수 있다.
## 순서론적 정의
집합 X 위의 **원순서**는 다음 조건들을 만족시키는 이항 관계 {\lesssim}\subseteq X^2이다. * (반사성) 임의의 a\in X에 대하여, a\lesssim a * (추이성) 임의의 a,b,c\in X에 대하여, a\lesssim b\lesssim c라면 a\lesssim c 원순서를 갖춘 집합을 **원순서 집합**(preordered set, proset)이라고 한다. 이 정의에 반대칭성(a\lesssim b\land b\lesssim a\implies a=b)을 추가하면 부분 순서를 얻는다.
## 범주론적 정의
**얇은 범주**(-範疇, thin category) \mathcal C는 다음 조건을 만족시키는 범주이다. * 임의의 두 대상 X,Y\in\mathcal C 및 그 사이의 두 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여, f=g이다. 즉, 사상 모임 \hom_{\mathcal C}(X,Y)는 한원소 집합이거나 공집합이다. 범주론적으로, **원순서 집합**은 얇은 작은 범주이다. 구체적으로, 원순서 집합 (X,\lesssim)은 다음과 같은 범주로 여길 수 있다. * (X,\lesssim)의 대상은 X의 원소이다. * (X,\lesssim)의 사상은 a\lesssim b인 두 원소의 순서쌍 (a,b)이며, 이는 a에서 b로 가는 사상이다. 즉, 사상 모임이 다음과 같다. *:\hom(a,b)=\begin{cases}\\{(a,b)\\}&a;\lesssim b\\\\\varnothing&a;\not\lesssim b\end{cases}
## 위상수학적 정의
**알렉산드로프 공간**(Александров空間, Alexandrov space)은 임의의 열린집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합이 열린집합인 위상 공간이다. 알렉산드로프 공간의 개념은 원순서 집합의 개념과 동치이다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 X에 대하여 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다. :x\lesssim y\iff x\in\operatorname{cl}\\{y\\} 여기서 \operatorname{cl}\\{y\\}는 한원소 집합의 폐포이다. 반대로, 임의의 원순서 집합 (X,\lesssim)이 주어졌을 때, 상집합을 열린집합으로, 하집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 부여할 수 있으며, 이렇게 하여 얻는 위상 공간은 항상 알렉산드로프 공간이다. 사실, 이러한 대응 관계는 원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 \operatorname{Proset} 및 위상 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{Top} 사이의 한 쌍의 수반 함자 :\operatorname{Proset}\leftrightarrows\operatorname{Top} 를 이루며, \operatorname{Top}를 알렉산드로프 공간의 범주로 제한하면 범주의 동형이 된다.
# 성질
원순서 집합 (X,\lesssim)가 주어졌을 경우, X 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. :a\sim b\stackrel{\text{def\iff a\lesssim b\land b\lesssim a 이에 따른 몫집합 X/{\sim} 위에서 \lesssim은 부분 순서를 정의한다. 반대로, 어떤 집합 X의 몫집합 위에 부분 순서가 주어졌다면, 이는 X 위의 원순서를 정의한다. 크기가 n인 유한 집합 위의 가능한 원순서의 수는 다음과 같다 (n=0,1,2,\dots). :1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, A798 유한 집합 위의 위상들과 원순서들 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 위상 \mathcal T (열린집합들의 집합)가 주어졌다면, :a\lesssim b\stackrel{\text{def\iff\left(\forall U\in\mathcal T\colon b\in U\implies a\in U\right) 와 같이 원순서를 정의할 수 있다. 반대로, 원순서 \lesssim가 주어졌다면, :\\{\\{a\colon a\lesssim b\\}\colon b\\} 를 기저로 하는 위상을 정의할 수 있다.
# 예
범주 \mathcal C 속의 대상 X\in\mathcal C가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 \operatorname{Mono}(\mathcal C)/X를 다음과 같이 정의하자. * \operatorname{Mono}(\mathcal C)/X의 대상은 공역이 X인 \mathcal C-단사 사상 m\colon Y\hookrightarrow X이다. * \operatorname{Mono}(\mathcal C)/X의 두 대상 \iota\in\hom_{\mathcal C}(Y,X), \iota'\in\hom_{\mathcal C}(Y',X) 사이의 사상 f\colon\iota\to\iota'는 \iota=\iota'\circ f가 되는 \mathcal C-사상 f\colon Y\to Y'이다. 그렇다면, \operatorname{Mono}(\mathcal C)/X는 (단사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 X의 부분 대상들의 모임 \operatorname{Sub}(X)이다. 마찬가지로, 범주 X\backslash\operatorname{Epi}(\mathcal C)를 다음과 같이 정의하자. * X\backslash\operatorname{Epi}(\mathcal C)의 대상은 정의역이 X인 \mathcal C-전사 사상 \pi\colon X\twoheadrightarrow Y이다. * X\backslash\operatorname{Epi}(\mathcal C)의 두 대상 \pi\in\hom_{\mathcal C}(X,Y), \pi'\in\hom_{\mathcal C}(X,Y') 사이의 사상 f\colon\pi\to\pi'는 f\circ\pi=\pi'가 되는 \mathcal C-사상 f\colon Y\to Y'이다. 그렇다면, X\backslash\operatorname{Epi}(\mathcal C)는 (전사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 X의 몫 대상들의 모임 \operatorname{Quot}(X)이다.