특잇값

유클리드 공간 위의 선형 변환은 단위 공을 타원체로 대응시키며, 선형 변환의 특잇값들은 [[타원체의 주축 반지름들이다.]] 함수해석학에서 **특잇값**(特異값, singular value)은 콤팩트 작용소와 그 에르미트 수반의 합성의 고윳값의 제곱근이다. 항상 양의 실수이다. 이를 통해, 임의의 콤팩트 작용소를 **특잇값 분해**(特異값分解, singular value decomposition, 약자 SVD)라는 특별한 꼴로 표현할 수 있다. 고윳값과 달리, 특잇값은 서로 다른 (특히, 서로 다른 차원의) 힐베르트 공간 사이의 작용소(예를 들어, 정사각이 아닌 행렬)에 대해서도 정의된다. 고윳값에 고유 벡터가 대응되는 것과 마찬가지로, 각 특잇값에는 **왼쪽 특이 벡터**(왼쪽特異vector, left singular vector) 및 **오른쪽 특이 벡터**(오른쪽特異vector, right singular vector)가 대응된다. 그러나 고유 벡터의 경우와 달리 특이 벡터는 좌우를 구별해야 한다.
# 정의
\mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자. 두 \mathbb K-힐베르트 공간 V, W 사이의 콤팩트 작용소 :T\colon V\to W 의 특잇값 및 왼쪽·오른쪽 특이 벡터의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
## 고윳값을 통한 정의
두 \mathbb K-힐베르트 공간 V, W 사이의 콤팩트 작용소 :T\colon V\to W 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 에르미트 수반 :T^*\colon W\to V 을 사용하여, 작용소 :T^*T\colon V\to V 및 :TT^*\colon W\to W 를 정의할 수 있다. 이들은 자기 수반 작용소를 이루며, 따라서 이 둘의 실수 고윳값들을 정의할 수 있다. 이들은 항상 음이 아닌 실수이다. TT^*와 T^*T의 고윳값들 가운데, 0이 아닌 것들은 서로 일치하며, 그 중복수 또한 일치한다. 0의 경우, 다음과 같은 세 가지가 가능하다. * 경우 1: TT^*와 T^*T 둘 다 0을 고윳값으로 갖거나 둘 다 0을 고윳값으로 갖지 않는다. 전자의 경우, 0의 중복수 역시 같다. * 경우 2: TT^*와 T^*T 둘 다 0을 고윳값으로 갖지만, 그 중복수가 서로 다르다. * 경우 3: TT^*와 T^*T 가운데 하나는 0을 고윳값으로 갖지만 다른 하나는 0을 고윳값으로 갖지 않는다. 이 경우, 특잇값들과 그 중복수는 각각 다음과 같다. * 경우 1: T의 특잇값은 T^*T 또는 TT^*의 고윳값들의 제곱근들이며, 그 중복수는 고윳값들의 중복수와 같다. * 경우 2: T의 특잇값은 (0을 포함하여) T^*T 또는 TT^*의 고윳값들의 제곱근들이다. 0이 아닌 고윳값의 경우, 그 중복수는 대응하는 고윳값의 중복수와 같다. 0의 경우, 그 중복수는 T^*T에서의 중복수와 TT^*에서의 중복수 가운데 더 작은 것과 같다. * 경우 3: T의 특잇값은 T^*T 또는 TT^*의 고윳값들 가운데 0이 아닌 것들의 제곱근이며, 그 중복수는 고윳값들의 중복수와 같다. 이 경우, 주어진 특잇값에 대응하는 **왼쪽 특이 벡터**는 T^*T에서의 고유 벡터이며, 주어진 특잇값에 대응하는 **오른쪽 특이 벡터**는 TT^*에서의 고유 벡터이다.
## 특잇값 분해를 통한 정의
\mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}라고 하자. 두 \mathbb K-힐베르트 공간 V, W 사이의 콤팩트 작용소 :T\colon V\to W 는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있으며, 이를 **슈미트 표현**(Schmidt表現, Schmidt representation)언어=en232, §1 또는 **특잇값 분해**라고 한다. :T=\sum_{0\le i 여기서 * N\in\\{0,1,\dotsc,\infty\\}이다. * (s)_{0\le i는 양의 실수들의 수열이며, 감소수열이다. 즉, \lambda_0\ge\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots이다. * (v_i)_{0\le i은 V 속의 정규 직교 벡터열이다. (그러나 정규 직교 기저가 될 필요는 없다.) * (w_i)_{0\le i은 W 속의 정규 직교 벡터열이다. (그러나 정규 직교 기저가 될 필요는 없다.) 이 경우, s_i를 T의 **특잇값**이라고 하며, v_i를 s_i의 **왼쪽 특이 벡터**, w_i를 s_i의 **오른쪽 특이 벡터**라고 한다. 이에 따라, (v_i)_{0\le i 및 (w_i)_{0\le i에 다른 벡터들을 추가하여 각각 V 및 W의 정규 직교 기저로 만들 수 있다. 그러나 이는 물론 일반적으로 유일하지 않다.
## 유한 차원의 경우
특히, 만약 V=\mathbb K^m, W=\mathbb K^n가 유한 차원 힐베르트 공간일 경우, 임의의 \mathbb K성분 n\times m 행렬 T\in\operatorname{Mat}(n,m;\mathbb K)는 \mathbb K-선형 변환 :T\colon\mathbb K^m\to\mathbb K^n 을 정의한다. 유한 차원에서는 모든 작용소가 콤팩트 작용소이다. 이 경우, 만약 벡터 v\in\mathbb K^m과 w\in\mathbb K^n과 음이 아닌 실수 s\in\mathbb R_{\ge0}에 대하여 :Tv=sw :T^*w=sv 가 성립한다면, s를 T의 **특잇값**이라고 하며, v를 s에 대응하는 **왼쪽 특이 벡터**, u를 s에 대응하는 **오른쪽 특이 벡터**라고 한다. 유한 차원의 경우, 특잇값 분해는 다음과 같은 행렬 분해를 정의한다. :T=U\Sigma V^* 여기서 * U는 m\times m 크기의 유니터리 행렬이다. (\mathbb K=\mathbb R일 경우 이는 직교 행렬과 같다.) * \Sigma는 m\times n 크기의 대각 행렬이며, 그 성분들은 모두 음이 아닌 실수이다. 즉, 예를 들어 m이라면 다음과 같은 꼴이다. *:\Sigma=\begin{pmatrix} s_1&0&0&\dotsm&0&0&\dotsm&0\\\ 0&s;_2&0&\dotsm&0&0&\dotsm&0\\\ 0&0&s;_3&&&0&\cdots&0\\\ \vdots&\vdots&&\ddots&&\vdots&&\vdots\\\ 0&0&&&s;_m&0&\dotsm&0 \end{pmatrix} * V^*는 n\times n 크기의 유니터리 행렬이다. (\mathbb K=\mathbb R일 경우 이는 직교 행렬과 같다.) 이 경우, \Sigma의 대각 성분들이 T의 특잇값들이며, V^*의 열벡터(=V의 행벡터)들이 T의 왼쪽 특이 벡터들이며, U의 행벡터들이 T의 오른쪽 특이 벡터들이다. 특잇값 분해에서, \Sigma는 (특잇값들의 순열을 무시하면) 유일하게 결정되지만, U와 V^*는 일반적으로 그렇지 않다.
## 기하학적 정의
같은 유한 차원의 두 실수 힐베르트 공간(=유클리드 공간) 사이의 실수 선형 변환의 특잇값들은 기하학적으로 해석될 수 있다. 구체적으로, 임의의 실수 선형 변환 T\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n은 (자명하게) 콤팩트 작용소이며, 이 경우 T는 단위 공을 타원체로 대응시킨다. 이 경우, T의 **특잇값**들은 이 타원체의 주축 반지름들과 같다.
# 성질
두 힐베르트 공간 사이의 콤팩트 작용소 T의 특잇값 가운데 최대인 것은 T의 작용소 노름과 같다.
## 특잇값의 수
m\times n 행렬은 (중복수를 포함하여) \min\\{m,n\\}개의 특잇값들을 갖는다. 여기서, 특잇값들은 중복될 수 있다. 즉, 모든 \min\\{m,n\\}개의 특잇값들이 죄다 같을 수 있다.
## 고윳값과의 관계
만약 T\colon V\to V가 \mathbb K-힐베르트 공간 V 전체에 정의된 콤팩트 자기 수반 작용소일 경우, T 특잇값들은 T의 고윳값들의 절댓값들이며, 각 특잇값에 대응하는 특이 벡터는 고유 벡터이다.
# 예
다음과 같은 실수 4×5 행렬을 생각하자. :T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} 이 행렬의 특잇값 분해 T=U\Sigma V^*는 다음과 같다. : T= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0 & -1\\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{Red}{4} & 0 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & \color{Red}{3} & 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & \color{Red}{\sqrt5} & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0 & \color{Red}{0} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\ 1/\sqrt5 & 0 & 0 & 0 & 2/\sqrt5\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\ -2/\sqrt5 & 0 & 0 & 0 & 1/\sqrt5\end{pmatrix} 즉, T의 특잇값들은 가운데 행렬에서 붉게 표시된 성분들인 4,3,\sqrt5,0이다. 특잇값 분해는 유일하지 않다. 예를 들어, 위와 같은 분해에서, 마지막 인자 V^*를 :V^* = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\ 1/\sqrt5 & 0 & 0 & 0 & 2/\sqrt5 \\\ \sqrt{2/5} & 0 & 0 & 1/\sqrt2 & -1/\sqrt{10}\\\ -\sqrt{2/5} & 0 & 0 & 1/\sqrt2 & 1/\sqrt{10} \end{pmatrix} 로 교체할 수도 있다.
# 역사
특잇값의 개념은 에르하르트 슈미트가 1907년에 도입하였다. url-status=dead 슈미트는 특잇값을 "고윳값"(Eigenwert)이라고 일컬었으나, 이후 1937년에 프랭크 스미디스(Frank Smithies, 1912~2002)가 "특잇값"(singular value)이라는 용어를 도입하였다.언어=en
# 응용
행렬의 특잇값 분해는 신호 처리와 통계학 등의 분야에서 자주 사용된다. 특히, 통계학에서 특잇값 분해를 통한 분석은 **주성분 분석**이라고 불린다.