가군의 근기

환론에서, 가군의 **근기**(根基, 래디컬)는 모든 극대 부분 가군에 포함되는 가장 큰 부분 가군이다. 반대로, 가군의 **주각**(柱脚, 소클)은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군이다. 환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 **제이컵슨 근기**(Jacobson根基, Jacobson radical)라고 한다. 이는 대략 단순 가군으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼이다.
# 정의
환 R 위의 왼쪽 가군 _RM이 주어졌다고 하자. M의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 **극대 부분 가군**이라고 하자. (즉, 극대 부분 가군 _RN\subsetneq{}_RM은 _R(M/N)이 단순 가군이 되는 것이다.) 마찬가지로, M의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 **극소 부분 가군**(minimal submodule)이라고 하자. 환 R 위의 왼쪽 가군 _RM이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 **근기**(根基, radical) \operatorname{rad}M와 **주각**(柱脚, socle) \operatorname{soc}M을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다. 왼쪽 가군 M의 모든 극대 부분 가군들의 교집합은 M의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치하며, 이를 M의 **근기** \operatorname{rad}M\subseteq M라고 한다. (만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 M과 같다.) 왼쪽 가군 M의 모든 극소 부분 가군들의 합은 M의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치하며, 이를 M의 **주각** \operatorname{soc}M\subseteq M이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) 오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.
## 환의 근기와 주각
환 R를 스스로 위의 왼쪽 가군 _RR 또는 오른쪽 가군 R_R으로 생각할 수 있다. 이 경우, _RR와 R_R의 근기 및 주각을 생각할 수 있다. _RR와 R_R의 근기는 R의 동일한 부분 집합을 정의한다. :\operatorname{rad}(_RR)=\operatorname{rad}(R_R)\subseteq R 이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며, R의 **제이컵슨 근기**(Jacobson radical)라고 한다. 근기의 경우와 달리, 일반적으로 \operatorname{soc}(_RR)(=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과 \operatorname{soc}(R_R)(=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를 R의 **왼쪽 주각**(left socle) 및 **오른쪽 주각**(right socle)이라고 한다.
# 성질
임의의 R-가군 준동형 f\colon {}_RM\to{}_RN에 대하여, 다음이 성립한다. :f(\operatorname{rad}M)\subseteq\operatorname{rad}N :f(\operatorname{soc}M)\subseteq\operatorname{soc}N 모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군 _RM의 경우 M\ne\operatorname{rad}(_RM)이다. 가군의 (유한 또는 무한) 직합 :M=\bigoplus_{i\in I}M_i 에 대하여, 다음이 성립한다. :\operatorname{soc}M\cong\bigoplus_{i\in I}\operatorname{soc}M_i :\operatorname{rad}M\cong\bigoplus_{i\in I}\operatorname{rad}M_i 모든 왼쪽 가군 _RM에 대하여, 다음이 성립한다. :\operatorname{rad}\left(_MR/\operatorname{rad}(_RM)\right)=0 :\operatorname{soc}\left(\operatorname{soc}(_RM)\right)=\operatorname{soc}(_RM)
## 환·가군 성질의 필요충분조건
왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 반단순 가군이다. * \operatorname{soc}(_RM)=M이다. 환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * 반단순환이다. * \operatorname{soc}(_RR)=R이다. * \operatorname{soc}(R_R)=R이다. * 모든 왼쪽 가군 _RM에 대하여 \operatorname{soc}(_RM)=M이다. * 모든 오른쪽 가군 M_R에 대하여 \operatorname{soc}(M_R)=M이다. 환 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 반원시환이다. * \operatorname{rad}R=0이다.
## 아이디얼성
제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환 R의 경우 R\ne\operatorname{rad}(R)이다. 환 R의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다.
## 나카야마 보조정리
환 R 위의 왼쪽 가군 _RM이 주어졌다고 하자. \operatorname{rad}R는 아이디얼이므로, :(\operatorname{rad}R)M=\left\\{r_1m_1+r_2m_2+\cdots+r_km_k\colon k\in\mathbb N,\;r_1,\dots,r_k\in\operatorname{rad}R,\;m_1,\dots,m_k\in M\right\\}\subseteq M 는 _RM의 부분 가군을 이룬다. **나카야마 보조정리**(Nakayama lemma)에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다. * M은 유한 생성 왼쪽 가군이 아니다. * (\operatorname{rad}R)M\subsetneq M이다. * M=0이다.

**증명:**

_RM이 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. m_1,\dots,m_k\in M가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. * (생성 집합) Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_k=M * (극소성) 임의의 1\le i\le k에 대하여, Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_{i-1}+Rm_{i+1}+\cdots+Rm_k\ne M M이 영가군이 아니므로 k\ge1이다. 귀류법을 사용하여, \operatorname{rad}(R)M=M이라고 가정하자. 그렇다면, :\sum_{i=1}^km_i=\sum_{i=1}^kj_ir_im_i 가 되는 r_1,\dots,r_k\in R 및 j_1,\dots,j_k\in\operatorname{rad}(R)가 존재한다. 제이컵슨 근기의 성질에 의하여, 모든 1\le i\le k에 대하여 1-j_ir_i\in R^\times는 가역원이다. 따라서, :m_1=-(1-j_1r_1)^{-1}\sum_{i=2}^k(1-j_ir_i)m_i 가 되며, 이는 \\{m_1,\dots,m_k\\}의 극소성과 모순된다.

## 제이컵슨 근기의 원소의 성질
환 R의 원소 r\in R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * r\in\operatorname{rad}R이다. * 임의의 왼쪽 단순 가군 M에 대하여, rM=\\{0\\}이다. * 임의의 오른쪽 단순 가군 M에 대하여, Mr=\\{0\\}이다. * 모든 왼쪽 극대 아이디얼 \mathfrak m에 대하여, r\in\mathfrak m * 모든 오른쪽 극대 아이디얼 \mathfrak m에 대하여, r\in\mathfrak m * 모든 s\in R에 대하여, 1-rs는 가역원이다. * 모든 s\in R에 대하여, 1-sr는 가역원이다. * 모든 s,s'\in R에 대하여, 1-srs'는 가역원이다. 즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.) 가환환 R의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다. :\sqrt{(0)}\subseteq\operatorname{rad}R 만약 가환환 R가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다.
# 예

## 환의 근기와 주각
체 K는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다. :\operatorname{rad}K=0 :\operatorname{soc}K=K 보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 \mathbb Z의 근기는 영 아이디얼이다. 국소환 (R,\mathfrak m)의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼 \mathfrak m이다. 정수환의 몫환 \mathbb Z/(n)의 극대 아이디얼들은 n\in\mathbb Z의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서, n의 소인수 분해가 :n=\prod_ip_i^{n_i} 라면, \mathbb Z/(n)의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약 n이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다. :\operatorname{rad}(\mathbb Z/(n))=\sqrt{(0)}=(\prod_ip_i)\subseteq\mathbb Z/(n)
## 아벨 군의 근기와 주각
아벨 군은 정수환 \mathbb Z 위의 가군과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.
### 순환군
무한 순환군 \mathbb Z은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수 p에 대하여 p\mathbb Z의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 자명군이다. :\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Z)=\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Z)=0 임의의 자연수 n의 소인수 분해 :n=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기 :\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k 를 정의할 수 있다. n차 순환군 \mathbb Z/n의 극소 부분군은 n의 소인수 p_i 크기의 순환군 (n/p_i)\mathbb Z/n이며, 극대 부분군은 n/p_i 크기의 순환군 (p_i)\mathbb Z/n에 대응한다. 따라서, 이 경우 :\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}(\mathbb Z/n))=(\operatorname{rad}n)\mathbb Z/n\cong\mathbb Z/(n/\operatorname{rad}n)) :\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}(\mathbb Z/n))=(n/\operatorname{rad}n)\mathbb Z/n\cong\mathbb Z/(\operatorname{rad}n) 이다.
### 나눗셈군
나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다. :\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Q)=\mathbb Q :\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Q)=0 프뤼퍼 군의 부분군들은 :0\subsetneq p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z\subsetneq p^{-2}\mathbb Z/\mathbb Z\subsetneq\cdots\subset\mathbb Z(p^\infty) 이므로, 그 유일한 극소 부분군은 p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z이며, 이는 그 주각과 같다. :\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Z(p^\infty))=\mathbb Z(p^\infty) :\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Z(p^\infty))=p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z
# 역사
환의 주각의 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.언어=fr언어=en168 제이컵슨 근기의 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다.언어=en 나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다.언어=en