클리퍼드 군

이차 형식 이론에서, **클리퍼드 군**(Clifford群, Clifford group)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 군이며, 직교군의 특정한 확대이다.
# 정의

## 국소 동차 원소
가환환 K가 주어졌을 때, \mathbb Z/2-등급 K-대수 A의 원소 a\in A에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 **국소 동차 원소**(locally homogeneous element)라고 한다.언어=en233, Lemma 5.1.4언어=en149, §III.6.1 * (1-k)a\in A_0, ka\in A_1인 원소 k\in K가 존재한다. * 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}K에 대하여, a\in A\otimes_KK_{\mathfrak p}는 동차 원소이다. 여기서 \operatorname{Spec}K는 환의 스펙트럼이며, K_{\mathfrak p}는 K\setminus\mathfrak p에서의 가환환의 국소화이다. * 모든 극대 아이디얼 \mathfrak m에 대하여, a\in A\otimes_KK_{\mathfrak m}는 동차 원소이다. 여기서 K_{\mathfrak m}는 K\setminus\mathfrak m에서의 가환환의 국소화이다. (물론 K가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 A_{\text{lh^\times은 A의 가역원군 A^\times의 부분군을 이룬다. :A_0^\times\subseteq A_{\text{lh^\times\subseteq A^\times 국소 동차 가역원 a\in A_{\text{lh^\times가 주어졌으며, k\in K가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, A=(1-k)A\oplus kA이며, 다음과 같은 A-자기 동형을 정의할 수 있다.234158, §III.6.5 :\Theta_a\colon A\to A :\Theta_a\colon b\mapsto(1-k)xax^{-1}+kx\alpha(a)x^{-1} 여기서 :\alpha\colon (a_0+a_1)\mapsto(a_0-a_1)\qquad\forall a_0\in A_0,a_1\in A_1 는 \mathbb Z/2 등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.
## 클리퍼드 군
가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q)의 **클리퍼드 군**(Clifford group) :\Gamma(V,Q;K)\subseteq(\operatorname{Cliff}(V,Q))_{\text{lh^\times 은 다음과 같은 원소 x\in\operatorname{Cliff}(V,Q)로 구성된, 가역원군의 부분군이다.228, §IV.6.1 * x는 가역원이며 국소 동차 원소이다. * \Theta_x(V)\subseteq V이다. * 모든 v\in V에 대하여, Q(\Theta_x(v))=Q(v)이다. 즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다. 가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q)의 **특수 클리퍼드 군**(special Clifford group) :\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)\subseteq\Gamma(V,Q;K)\subseteq\operatorname{Cliff}(V,Q)^\times 은 다음과 같다.228, §IV.6.1 :\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)=\Gamma(V,Q;K)\cap\operatorname{Cliff}_0(V,Q;K) 즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.
## 스핀 군과 핀 군
클리퍼드 군 \Gamma(V,Q;K)의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 **핀 군**(pin group)이라고 한다.230, §IV.6.2 :\operatorname{Pin}(V,Q;K)=\left\\{x\in\Gamma(V,Q;K)\colon \alpha(x)x=1\right\\} 마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 **스핀 군**(spin group)이라고 한다.230, §IV.6.2 :\operatorname{Spin}(V,Q;K)=\operatorname{Pin}(V,Q;K)\cap\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)
# 성질
임의의 가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :\begin{matrix} \operatorname{Spin}(V,Q;K)&\subset&\operatorname{Pin}(V,Q;K)\\\ \cap&&\cap\\\ \operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\subset&\operatorname\Gamma(V,Q;K)\\\ \cap&&\cap\\\ \operatorname{Cliff}_0(V,Q;K)^\times&\subset&\operatorname{Cliff}(V,Q;K)^\times \end{matrix}
## 체 위의 클리퍼드 군
K가 체라고 하고, V가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, Q가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 K-대수군의 짧은 완전열을 이룬다. :\begin{matrix} &&1&&1&&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\mu_2(K)&\to&K;^\times&\to&(K^\times)^2&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\operatorname{Pin}(V,Q;K)&\to&\operatorname\Gamma(V,Q;K)&\to&K;^\times&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\operatorname{\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname O(V,Q;K)&\to&K;^\times/(K^\times)^2&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ &&1&&1&&1 \end{matrix} 여기서 * \mu_2(K)=\\{a\in K^\times\colon a^2=1\\}은 K에서 1의 제곱근의 대수군이다. 만약 K의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다. * (K^\times)^2\subseteq K^\times는 K^\times 속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군 K^\times/(K^\times)^2는 K의 제곱 유군이다. * 준동형 \Gamma(V,Q;K)\to K^\times은 스피너 노름이다. 마찬가지로 \operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다. * \operatorname\Omega(V,Q;K)\subseteq\operatorname O(V,Q;K)는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군 \operatorname O(V,Q;K)의 부분군이다. * 준동형 \operatorname\Gamma(V,Q;K)\to\operatorname O(V,Q;K)는 클리퍼드 군의 V 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. \operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\operatorname{\Omega}(V,Q;K) 역시 마찬가지다. 위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다. :\begin{matrix} &&1&&1&&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\mu_2(K)&\to&K;^\times&\to&(K^\times)^2&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\operatorname{Spin}(V,Q;K)&\to&\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\to&K;^\times&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\operatorname{S\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname{SO}(V,Q;K)&\to&K;^\times/(K^\times)^2&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ &&1&&1&&1 \end{matrix} (스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다. :\begin{matrix} &&1&&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\mu_2(K)&\to&\mu_2(K)&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\operatorname{Spin}(V,Q;K)&\to&\operatorname{Pin}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\operatorname{S\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname{\Omega}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ &&1&&1&&1 \end{matrix} 마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다. :\begin{matrix} &&1&&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&K;^\times&\to&K;^\times&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\to&\operatorname{\Gamma}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\operatorname{SO}(V,Q;K)&\to&\operatorname{O}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ &&1&&1&&1 \end{matrix} 여기서 * \operatorname{\Gamma}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2는 딕슨 불변량이며, \operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2는 그 제한이다. * \operatorname O(V,Q;K)\to\mathbb Z/2는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, \operatorname{SO}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2는 그 제한이다.
## 실수 계수
K=\mathbb R이며, V가 n차원 실수 벡터 공간이며, Q가 비퇴화 이차 형식일 때, \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)의 가역원군 \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)^\times은 2^n차원 리 군을 이룬다. 만약 Q가 음의 정부호 이차 형식이라면, \Gamma(0,n;\mathbb R)는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 \Gamma_0(V,Q;\mathbb R)는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다. :1\to\mathbb R^\times\to\operatorname\Gamma(0,n;\mathbb R)\to\operatorname O(n;\mathbb R)\to1 :1\to\mathbb R^\times\to\operatorname{S\Gamma}(0,n;\mathbb R)\to\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\to1 즉, \Gamma(0,n;\mathbb R)는 n(n-1)/2+1차원 리 군이다. 전체 가역원군 \operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)^\times은 2^n차원 리 군이므로, 이는 여차원 2^n-n(n-1)/2-1의 부분군이다.
## 직교군과의 관계
정의에 따라, 클리퍼드 군 \Gamma(V,Q;K)는 V 위의 K-선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 Q를 보존하며, 따라서 직교군 :\operatorname O(V,Q;K)=\\{f\in\operatorname{End}_K(V)\colon Q\circ f=Q\\} 으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다. :\Gamma(V,Q;K)\to\operatorname O(V,Q;K) 클리퍼드 군 \Gamma(V,Q;K)는 \\{v\in V\colon Q(v)\in K^\times\\}를 부분 집합으로 포함한다 (K^\times는 K의 가역원군). 이 경우 :v^{-1}=\frac v{Q(v)} :vu\alpha(v)^{-1} = -\frac{vuv}{Q(v)} =\frac{v^2u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)} =u-v\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}\qquad\forall u\in V 이다. 즉, v\in V의 작용은 u를 축 v에 대하여 반사시키는 것이다.
## 딕슨 불변량
K가 체이며, V가 유한 차원 벡터 공간이며, Q가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 **딕슨 불변량**(Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다. :D\colon\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2 :D\colon x\mapsto \operatorname{rank}(u\mapsto u-xu\alpha(x)^{-1})\bmod2 즉, 이는 u로 인하여 생성되는 V-선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 K의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다. :D(x)=(-1)^{\det(u\mapsto xu\alpha(x)^{-1})} 핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다. :\operatorname{Spin}(V,Q;K)=\ker D=\\{x\in\operatorname{Pin}(V,Q;K)\colon D(x)=0\\}
## 갈루아 코호몰로지와의 관계
체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V 위의 비퇴화 이차 형식 Q에 대하여, 짧은 완전열 :1\to\mu_2(K^{\operatorname{sep)\to\operatorname{Pin}(V,Q;K^{\operatorname{sep)\to\operatorname O(V,Q;K^{\operatorname{sep)\to1 에서 뱀 보조정리로 유도되는, 군 코호몰로지 \operatorname H^\bullet(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K);-)의 긴 완전열을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 긴 완전열은 다음과 같다. :1\to\mu_2(K)\to\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2 \to \operatorname H^1(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K);\operatorname{Pin}(V,Q;-))\to\operatorname H^1(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K);\operatorname O(V,Q;-))\to\operatorname H^2(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K);\mu_2(-)) 여기서 0차 갈루아 코호몰로지 :\operatorname H^0(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K);\operatorname{Pin}(V,Q;-))=\operatorname{Pin}(V,Q;K) 등은 단순히 K 계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지 :\operatorname H^1(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K);\mu_2(-))\cong K^\times/(K^\times)^2 는 제곱 유군이며, 연결 사상 \operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2는 스피너 노름이 된다.