불변 다항식

리 대수 이론에서, **불변 다항식**(不變多項式, invariant polynomial)은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 딸림표현 작용에 대하여 불변인 다항식이다.
# 정의
체 K 위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak g의 쌍대 공간 \mathfrak g^* 위의 대칭 대수 :\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*) 를 생각하자. \alpha\in\textstyle\operatorname{Sym}^n\mathfrak g^*가 다음 조건을 만족시킨다면, \mathfrak g의 **n차 불변 다항식**이라고 한다. :\sum_{i=0}^{n-1}\alpha(x_0,x_1,\dotsc,[x_i,x_{i+1}],\dotsc,x_n) = 0 \mathfrak g 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.
## 베유 대수
유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수 \mathfrak g의 **베유 대수**(Weil algebra) \operatorname W(\mathfrak g)는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며, \mathfrak g^*의 동차 원소 기저를 t^i라고 할 때, \operatorname W(\mathfrak g)의 생성원은 t^i 및 \delta t^i이다 (\deg \delta t^i = 1+\deg t^i). 또한, 그 미분은 다음과 같다. :\mathrm dt^i = \mathrm d_{\mathrm{CEt^i + \delta t^i :\mathrm d\delta t^i = -\delta\mathrm d_{\mathrm{CEt^i 여기서 \mathrm d_{\operatorname{CE란 슈발레-에일렌베르크 대수 \operatorname{CE}(\mathfrak g)의 미분이다. 즉, 이는 \delta^2 = \\{\mathrm d,\delta \\} = 0을 따른다. 물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형 :\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g) : t^i \mapsto t^i : \delta t^i \mapsto 0 이 존재한다.
## L∞-대수의 불변 다항식
유한형 L∞-대수 \mathfrak g의 불변 다항식은 베유 대수 \operatorname W(\mathfrak g)의 원소 \alpha\in\operatorname W(\mathfrak g) 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.언어=enDefinition 4.1.13 :\alpha\in\bigwedge\delta\mathfrak g^* \subseteq\operatorname W(\mathfrak g) :\mathrm d_{\operatorname W(\mathfrak g)} \alpha = 0 즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데, \delta\mathfrak g^*만으로 생성되는 것이다. 이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다. \mathfrak g가 리 대수인 경우, 불변 다항식은 :\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)\subseteq\operatorname W(\mathfrak g) = \operatorname{Sym}(\mathfrak g^*) \otimes \bigwedge(\mathfrak g^*) 의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.
# 성질
리 대수 \mathfrak g에 대하여, :\operatorname{inv}(\mathfrak g)\to\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g) 는 리 군 G의 분류 공간 :\mathrm BG\leftarrow\mathrm EG \leftarrow G 의 (표수 0 특이 코호몰로지의) 모형이다. 즉, 그 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 이 위상 공간들의 (꼬임을 제외한) 특이 코호몰로지와 같다. 다시 말해, :\operatorname H^\bullet(\operatorname W(\mathfrak g)) = \operatorname H^\bullet_{\text{sing(\mathrm EG) = \begin{cases} 0 & \bullet \ne 0\\\ K & \bullet = 0 \end{cases} :\operatorname H^\bullet(\operatorname{CE}(\mathfrak g)) = \operatorname H_{\text{sing^\bullet(G;K) = \operatorname H^\bullet_{\text{LieAlg(\mathfrak g;K) :\operatorname{inv}^\bullet(\mathfrak g) = \operatorname H_{\text{sing^\bullet(\mathrm BG;K) 이다. (\operatorname{inv}(\mathfrak g)의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서 \operatorname H_{\text{LieAlg^\bullet(-)는 리 대수 코호몰로지이다.
# 예
체 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 킬링 형식 :B \in \operatorname{Sym}^2\mathfrak g^* 은 2차 불변 다항식이다. 즉, :B(x,[y,z]) - B([x,y],z) = 0\qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g 이다.
## 단순 리 대수의 불변 다항식
계수 n의 단순 리 대수는 n개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.언어=en59, §3.7 {| class=wikitable ! 단순 리 대수 !! 불변 다항식의 차수 |- | \mathfrak a_n || 2, 3, …, *n*+1 |- | \mathfrak b_n, \mathfrak c_n || 2, 4, 6, …, 2*n* |- | \mathfrak d_n || 2, 4, 6, …, 2*n*−2, *n* |- | \mathfrak e_6 || 2, 5, 6, 8, 9, 12 |- | \mathfrak e_7 || 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 |- | \mathfrak e_8 || 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 |- | \mathfrak f_4 || 2, 6, 8, 12 |- | \mathfrak g_2 || 2, 6 |} 위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 킬링 형식이다. “차수”란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 L∞-대수로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, L∞-대수로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 리 대수의 콤팩트 형식의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가 d_1,d_2,\dotsc,d_r라면, 리 군의 특이 코호몰로지 환은 차수 :\deg x_i = 2d_i-1 의 r개의 생성원으로 생성되는 외대수이다. 특히, :\dim G = \sum_{i=1}^r (2d_i-1) 이다. \mathfrak a_n = \mathfrak{su}(n+1)의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를 (n+1)\times (n+1) 무대각합 반 에르미트 행렬로 표현할 경우, :p_k(M) = \operatorname{tr}_{(n+1)\times(n+1)}(M^k) 이다. 만약 k=1인 경우는 (행렬이 무대각합이므로) p_1 = 0이 되며, k\ge n+2인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다. \mathfrak{so}(n)의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭 n\times n 행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다. :p_k(M) = \operatorname{tr}(M^k) 이 경우 k가 홀수일 때 p_k = 0이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다. n이 홀수일 때 불변 다항식들은 p_2,\dotsc,p_{n-1}로 구성된다. n=2m이 짝수일 때는 추가로 m차 불변 다항식 :q(M) = \epsilon^{i_1j_1i_2j_2\dotsb i_mj_m}M_{i_1j_1} \dotsm M_{i_mj_m} 이 존재한다.