점류

집합론에서 **점류**(點類, pointclass)는 어떤 구체적 범주(예를 들어, 폴란드 공간들의 범주)의 각 대상에 대하여 그 부분 집합들의 집합족을 대응시키며, 특정 함수 아래의 원상에 대하여 닫혀 있는 구조이다.
# 정의
구체적 범주 F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}가 주어졌다고 하자. 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set} 위에는 다음과 같은 멱집합 자기 함자가 존재한다. :\operatorname{Pow}\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}^{\operatorname{op :\operatorname{Pow}\colon X\mapsto\operatorname{Pow}(X) :\operatorname{Pow}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto\left(f^{-1}\colon\operatorname{Pow}(Y)\to\operatorname{Pow}(X)\right) 그렇다면, \operatorname{Pow}\circ F는 \mathcal C 위의 준층을 이룬다. \operatorname{Pow}\circ F의 부분 준층을 (\mathcal C,F) 위의 **점류**라고 한다. 즉, 구체적으로 **점류** \Gamma는 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, 집합족 \Gamma(X)\subseteq\operatorname{Pow}(X) * 또한, 임의의 부분 집합 B\subseteq Y 및 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 만약 B\in\Gamma(Y)라면 f^{-1}(B)\in\Gamma(X)이다. 구체적 범주 \mathcal C 위의 점류 \Gamma에 대하여, \check\Gamma는 다음과 같은 점류이다. :\check\Gamma(X)=X\setminus\Gamma(X) 이를 \boldsymbol\Gamma의 **쌍대 점류**(雙對點類, dual pointclass)라고 한다.언어=en167, §22.A 또한, \mathcal C 위의 점류들의 집합 \\{\Gamma_i\\}_{i\in I}에 대하여, :\bigcap_{i\in I}\Gamma_i\colon X\mapsto\bigcap_{i\in i}\Gamma_i(X) :\bigcup_{i\in I}\Gamma_i\colon X\mapsto\bigcup_{i\in i}\Gamma_i(X) 역시 점류이다. 특히, \Gamma\cap\check\Gamma를 \Gamma의 **모호 점류**(模糊點類, ambiguous pointclass)라고 한다.167, §22.A언어=en114, §3D 흔히 (\mathcal C,F)가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 \operatorname{PolTop}이거나, 또는 표준 보렐 가측 공간과 보렐 가측 함수의 구체적 범주 \operatorname{stdBorelMeasbl}를 사용한다.
# 성질
임의의 기수 \kappa 및 점류 \Gamma에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, \Gamma가 **\kappa 미만 합집합에 대하여 닫혀 있다**고 한다. * 임의의 대상 X\in\mathcal C 및 \mathcal A\subseteq\Gamma(X)에 대하여, 만약 |\mathcal A|<\kappa라면 \textstyle\bigcup\mathcal A\in\Gamma(X)이다. 임의의 기수 \kappa 및 점류 \Gamma에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, \Gamma가 **\kappa 미만 교집합에 대하여 닫혀 있다**고 한다. * 임의의 대상 X\in\mathcal C 및 \mathcal A\subseteq\Gamma(X)에 대하여, 만약 |\mathcal A|<\kappa라면 \textstyle\bigcap\mathcal A\in\Gamma(X)이다. 만약 \Gamma=\check\Gamma라면, \Gamma가 **여집합에 대하여 닫혀 있다**고 한다.
## 폴란드 공간의 점류
(\mathcal C,F)가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 \operatorname{PolTop}인 경우를 생각하자. \operatorname{PolTop} 위의 점류 \Gamma에 대하여, 다음 성질들을 정의하자. * 임의의 폴란드 공간 X 및 집합렬 A_0,A_1,\dots\subseteq X에 대하여, A\in X\times\mathbb N\iff\forall i\in\mathbb N\colon A_i\in\Gamma(X)이라면, \Gamma가 **합리적 점류**(合理的點類, reasonable pointclass)라고 한다.171, §22.C (여기서 \mathbb N은 자연수 집합으로 여긴 가산 무한 이산 공간이다.) \operatorname{PolTop} 위의 점류 \Gamma 및 기수 \kappa가 다음 조건을 만족시킨다면, \Gamma가 **\kappa-분리 성질**(\kappa-separation property)을 만족시킨다고 한다.170, Definition 22.14 :임의의 폴란드 공간 X 및 임의의 집합족 \\{A_i\\}_{i\in I}\subseteq\Gamma(X)에 대하여, 만약 |I|<\kappa이며 \textstyle\bigcap_{i\in I}A_i=\varnothing이라면, \forall i\in I\colon A_i\subseteq B_n이자 \textstyle\bigcap_{i\in I}B_i=\varnothing인 B_0,B_1,\dots\in\Gamma(X)\cap\check\Gamma(X)가 존재한다. \operatorname{PolTop} 위의 점류 \Gamma 및 기수 \kappa가 다음 조건을 만족시킨다면, **\kappa-축소 성질**(\kappa-reduction property)을 만족시킨다고 한다.170, Definition 22.14 :임의의 폴란드 공간 X 및 임의의 집합족 \\{A_i\\}_{i\in I}\subseteq\Gamma(X)에 대하여, 만약 |I|<\kappa이라면, 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 \\{B_i\\}_{i\in I}\subseteq\Gamma(X)가 존재한다. :* \forall i\in I\colon B_i\subseteq A_n :* \forall i,j\in I\colon i\ne j\implies B_i\cap B_j=\varnothing :* \textstyle\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcup_{i\in I}B_i \operatorname{PolTop} 위의 점류 \Gamma가 만약 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 축소 성질을 갖는다면, \check\Gamma는 가산 분리 성질을 갖는다.
## 균등화 성질
집합 R (푸른색)의 균등화 f (붉은색) 집합 X, Y 및 부분 집합 R\subseteq X\times Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, R의 **균등화 집합**(uniformizing set) S\subseteq R은 다음 조건들을 만족시키는 집합이다. * 임의의 (x,y)\in R에 대하여, (x,y')\in S인 y'\in Y가 유일하게 존재한다. 폴란드 공간 Y가 주어졌을 때, \operatorname{PolTop} 위의 점류 \Gamma가 다음 조건을 만족시킨다면, **Y-균등화 성질**(Y-均等化性質, Y-uniformization property)을 만족시킨다고 한다. :임의의 폴란드 공간 X과 부분 집합 R\in\Gamma(X\times Y)에 대하여, R의 균등화 S\in\Gamma(X\times Y)가 존재한다. 모든 폴란드 공간 Y에 대하여 Y-균등화 성질을 만족시키는 점류의 경우, **균등화 성질**을 만족시킨다고 한다. 그렇다면, \operatorname{PolTop} 위의 점류 \Gamma에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 합리적이며, 가산 분리 성질을 갖는다. * 합리적이며, \mathbb N-균등화 성질을 갖는다. (\mathbb N은 가산 무한 이산 공간이다.)
## 계급 점류
구체적 범주 \mathcal C 위의 점류 \Gamma와 폴란드 공간 X 및 그 부분 집합 A\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 \phi\colon A\to\operatorname{Ord}에 대하여, 만약 다음 세 조건을 모두 만족시키는, X 위의 두 이항 관계 \le_\phi^\Gamma, \le_\phi^{\check\Gamma}가 존재한다면, \phi가 A 위의 **\Gamma-계급 함수**(\Gamma-階級函數, \Gamma-rank)라고 한다. * \le_\phi^\Gamma\in\Gamma(X^2) * \le_\phi^{\check\Gamma}\in\check\Gamma(X^2) * 임의의 a\in A 및 x\in X에 대하여, (x\in A\land\phi(x)\le\phi(a))\iff x\le_\phi^\Gamma a\iff x\le_\phi^{\check\Gamma}a이다. \operatorname{PolTop} 위의 점류 \Gamma가 다음 조건을 만족시킨다면, **계급 점류**(ranked pointclass)라고 한다.171, Definition 22.14 :임의의 폴란드 공간 X 및 A\in\Gamma(X)에 대하여, \Gamma-계급 함수가 존재한다. 계급 점류 \Gamma가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. * 모든 열린닫힌집합들을 포함한다. 즉, \boldsymbol\Delta^0_1\subseteq\Gamma이다. * 가산 교집합과 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다. 그렇다면, \Gamma는 가산 축소 성질과 \mathbb N-균등화 성질과 가산 분리 성질을 만족시킨다.
## 눈금
폴란드 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X 위의 계급 함수의 열 (\phi_i)_{i\in\mathbb N}이 다음 조건을 만족시킨다면, **눈금**(scale)이라고 한다. :A 속의 임의의 점렬 (a_i)_{i<\omega}\subseteq A에 대하여, 만약 :* (a_i)_{i<\omega}는 X 속에서 x\in X로 수렴하며, :* \forall i\ge N\colon\phi_n(a_i)=\lambda_n이 되는 N_n<\omega와 \lambda_n\in\operatorname{Ord}가 존재한다면, :x\in A이자 \forall i\in\mathbb N\colon\phi_i(x)\le\lambda_i이다. \operatorname{PolTop} 위의 점류 \Gamma 및 폴란드 공간 X 및 그 부분 집합 A\subseteq X 및 A 위의 눈금 (\phi_i)_{i\in\mathbb N}에 대하여, 만약 모든 i\in\mathbb N에 대하여 \phi_i\colon A\to\operatorname{Ord}가 \Gamma-계급 함수라면, (\phi_i)_{i\in\mathbb N}를 **\Gamma-눈금**이라고 한다. \operatorname{PolTop} 위의 점류 \Gamma가 다음 조건을 만족시킨다면, **눈금 점류**(scaled pointclass)라고 한다.171, Definition 22.14 :임의의 A\in\Gamma에 대하여, A 위의 \Gamma-눈금이 존재한다. 눈금 점류는 항상 계급 점류이다. \operatorname{stdBorelMeasbl} 위의 눈금 점류 \Gamma가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. * 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, \boldsymbol\Delta^1_1\subseteq\Gamma이다. * 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다. * 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. * (쌍대 사영에 대핟 닫힘) 임의의 A\in\Gamma(X\times Y)에 대하여, \operatorname{\forall}^Y(A)=\\{x\in X\colon\\{x\\}\times Y\subseteq A\\}\in\Gamma(X)이다. 그렇다면, \Gamma는 균등화 성질을 갖는다. 즉, 만약 폴란드 공간의 점류 \Gamma가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. * 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, \boldsymbol\Delta^1_1\subseteq\Gamma이다. * 보렐 가측 함수의 원상에 대하여 닫혀 있다. * 가산 합집합과 가산 교집합 및 쌍대 사영에 대하여 닫혀 있다. * 합리적 점류이다. 그렇다면, 다음 함의 관계가 존재한다. :{| | 눈금 점류 || ⇒ || 계급 점류 || ⇒ || 가산 축소 점류 || ⇒ || 가산 분리 점류의 쌍대 점류 |- | ⇓ | colspan=3 | || ⇳ |- | 균등화 점류 | colspan=3 | ⇒ || \mathbb N-균등화 점류 |}
## 주기성 정리
\operatorname{stdBorelMeasbl} 위의 점류 \Gamma가 다음 성질들을 만족시킨다고 하자. * 모든 보렐 집합을 포함한다. * 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. * 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다. * 사영에 대하여 닫혀 있다. * 임의의 S\in\Gamma(\mathbb N^{\aleph_0})\cap\check\Gamma(\mathbb N^{\aleph_0})에 대하여, S는 결정 집합이다. * 눈금 점류이다. 그렇다면, **주기성 정리**(periodicity theorem)에 따르면, \forall^{\mathbb N^{\aleph_0\Gamma 역시 눈금 점류이다.336–337, Theorem 39.8 특히, 사영 위계의 집합들은 결정 집합·눈금 점류 성질을 제외한 나머지를 만족시킨다. \boldsymbol\Pi_1^1은 눈금 점류이므로, 따라서 만약 사영 결정 공리를 가정할 경우, \boldsymbol\Pi^1_{2n+1}과 \boldsymbol\Sigma^1_{2n+2}는 눈금 점류가 된다.
# 예
보렐 위계의 단계들 \boldsymbol\Delta^0_\alpha, \boldsymbol\Sigma^0_\alpha, \boldsymbol\Pi^0_\alpha은 \operatorname{PolTop} 위의 점류를 이룬다 (즉, 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다). 사영 위계의 단계들 \boldsymbol\Delta^1_n, \boldsymbol\Sigma^1_n, \boldsymbol\Pi^1_n은 \operatorname{PolTop} 위의 점류를 이루며, 또한 \operatorname{stdBorelMeasbl} 위의 점류를 이룬다 (즉, 보렐 가측 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).