결합 구조

결합 구조의 예. 이는 6개의 점(A, B, C, D, E, P) 및 6개의 직선(l, m, n, o, p, q)을 갖는다. 기하학에서 **결합 구조**(結合構造, incidence structure)는 두 집합 및 그 사이의 어떤 이항 관계로 구성된 수학적 구조이다. 일부 경우, 이는 각각 점과 직선으로 이루어진 기하계로 해석될 수 있다.
# 정의
**결합 구조** (X,L,\vartriangleleft)는 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 집합 X. 그 원소를 **점**(點, point)이라고 한다. * 집합 L. 그 원소를 **직선**(直線, line)이라고 한다. * 부분 집합 \vartriangleleft\subseteq X\times L. 만약 (x,l)\in \vartriangleleft라면 이를 x\vartriangleleft l 또는 l\vartriangleright x로 표기하고, x가 l과 **결합한다**(結合-, incident)고 한다. (이 이항 관계는 x\,\mathsf I\,l 또는 x\in l 등으로 표기되기도 한다.) 결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)에서, 부분 집합 :X'\subseteq X :L'\subseteq L 이 주어졌을 때, (X',L',\vartriangleleft\restriction X'\times L')를 (X,L,\vartriangleleft)의 **부분 결합 구조**(部分結合構造, incidence substructure)라고 한다.
## 균등 결합 구조
결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 **균등 결합 구조**(均等結合構造, uniform incidence structure)라고 한다. * 임의의 두 점 x,y\in X에 대하여, |\\{l\in L\colon x\vartriangleleft l\\}| = |\\{l\in L\colon y\vartriangleleft l\\}|이다. 결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 **정칙 결합 구조**(正則結合構造, regular incidence structure)라고 한다. * 임의의 두 직선 l,m\in L에 대하여, |\\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\\}| = |\\{x\in X\colon x\vartriangleleft m\\}|이다. 이 두 개념은 서로 쌍대이다. 즉, 균등 결합 구조의 쌍대 결합 구조는 정칙 결합 구조이며, 그 역도 성립한다.
## 선형 공간
결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 **준선형 공간**(準線形空間, partial linear space)이라고 한다. * (A) 임의의 서로 다른 두 점 x,y\in X에 대하여, x\vartriangleleft l\vartriangleright y인 직선 l\in L이 적어도 하나 이상 존재한다. * (B) 임의의 직선 l\in L에 대하여, x\vartriangleleft l\vartriangleright y인 서로 다른 두 점 x,y\in X이 항상 존재한다. 다음 조건을 만족시키는 준선형 공간 (X,L,\vartriangleleft)을 **선형 공간**(線形空間, linear space)이라고 한다. * (A′) 임의의 서로 다른 두 점 x,y\in X에 대하여, x\vartriangleleft l\vartriangleright y인 직선 l\in L이 유일하게 존재한다.
# 연산

## 쌍대 결합 구조
결합 구조 P=(X,L,\vartriangleleft)가 주어졌을 때, (L,X,\vartriangleright), 즉 * P의 각 점에 대응하는 직선을 가지며, * P의 각 직선에 대응하는 점을 가지며, * P에서 결합하는 점과 직선은 결합하는 직선과 점에 대응되는 결합 구조를 구성할 수 있다. 이를 P의 **쌍대 결합 구조**(雙對結合構造, dual incidence structure)이라고 한다. 스스로의 쌍대와 동형인 결합 구조를 **자기 쌍대 결합 구조**(自己雙對結合構造, self-dual incidence structure)라고 한다. 만약 P가 사영 평면이라면 그 쌍대 결합 구조 역시 사영 평면이다.
## 결합 행렬
결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)가 주어졌으며, X와 L이 둘 다 유한 집합이라고 하자. X와 L 위에 각각 임의의 전순서를 부여하여 :X=\\{x_1,x_2,\dotsc,x_m\\} :L=\\{l_1,l_2,\dotsc,l_n\\} 로 적자. 그렇다면, 다음과 같은 m\times n 행렬을 정의할 수 있으며, 이를 결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)의 **결합 행렬**(結合行列, incidence matrix)이라고 한다. :M_{ij}=\begin{cases} 1&x;_i\vartriangleleft l_j\\\ 0&x;_i\not\vartriangleleft l_j \end{cases}
## 레비 그래프
결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)가 주어졌을 때, 다음과 같은, 검은색 및 흰색의 그래프 색칠을 갖는 이분 그래프를 정의할 수 있다. * 검은 꼭짓점은 점(X의 각 원소)에 대응한다. * 흰 꼭짓점은 직선(L의 각 원소)에 대응한다. * 검은 꼭짓점 x\in X 및 흰 꼭짓점 l\in L 사이에 변이 있을 필요 충분 조건은 x\vartriangleleft l인지 여부이다. 이를 결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)의 **레비 그래프**(Levi graph)라고 한다.
# 예

## 자명한 결합 구조
임의의 집합 X에 대하여, L=\varnothing으로 정의하면, 유일한 결합 구조 (X,\varnothing,\varnothing)를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 직선이 존재하지 않는다. 마찬가지로, 임의의 집합 L에 대하여, X=\varnothing으로 정의하면, 유일한 결합 구조 (\varnothing,L,\varnothing)를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 점이 존재하지 않는다.
## 그래프
그래프 임의의 그래프 \Gamma가 주어졌을 때, * 점을 \Gamma의 꼭짓점으로 삼으며, * 직선을 \Gamma의 변으로 삼으며, * 결합 관계를 변이 꼭짓점을 끝점으로 갖는지 여부로 삼는 결합 구조 (\operatorname V(\Gamma),\operatorname E(\Gamma),\vartriangleleft)를 정의할 수 있다.
## 다각형
삼각형 결합 구조 2 이상의 정수 n\ge2가 주어졌다고 하자. 집합 :X=\\{x_1,x_2,\dotsc,x_n\\} :L=\\{l_1,l_2,\dotsc,l_n\\} 위에, 다음과 같은 결합 관계를 주자. :x_i\vartriangleleft l_j\iff j-i\equiv 0, 1\pmod n 이 결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)를 **n각형**(n角形, n-gon)이라고 한다. 특히, 만약 n\ge3일 경우 이는 길이 n의 순환 그래프에 대응하는 결합 구조이다.
## 블록 설계
블록 설계 임의의 블록 설계 (X,\mathcal B)가 주어졌을 때, * 점을 X의 원소로 삼으며, * 직선을 블록(즉, \mathcal B의 원소)으로 삼으며, * 결합 관계를 점이 블록의 원소인지 여부로 삼는 결합 구조 (X,\mathcal B,\in)를 정의할 수 있다.
## 사영 평면
파노 평면 \mathbb P^2_{\mathbb F_2}은 [[사영 평면의 한 예이다.]] 사영 평면 **사영 평면**은 특별한 균등 정칙 결합 구조이다.
## 리만 다양체
리만 다양체 임의의 리만 다양체 (X,g)가 주어졌을 때, * 점을 X의 원소로 삼으며, * 직선을 (X,g)의 (확장 불가능) 측지선으로 삼으며, * 결합 관계를 점이 측지선에 속하는지 여부로 삼는 결합 구조를 정의할 수 있다.
## 일반화 다각형
일반화 다각형 **일반화 다각형**은 사영 평면의 일반화이며, 특별한 종류의 준선형 공간이다.
# 역사
“레비 그래프”라는 용어는 독일의 수학자 프리드리히 빌헬름 다니엘 레비(Friedrich Wilhelm Daniel Levi, 1888~1966)의 이름을 딴 것이다.