상집합

상집합(商集合) 집합 \\{1,2,3,4\\}의 부분 집합이 [[부분 순서로 나열되어 있다. 원소 1을 포함하는 모든 집합(녹색)은 상집합이며, 이는 추가로 필터를 이룬다.]] 순서론에서 **상집합**(上集合, upper set, upward-closed set, upset)은 S에 속하는 원소보다 더 큰 임의의 원소 역시 S에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 S이다. 마찬가지로, **하집합**(下集合, lower set, downward-closed set, downset)은 S에 속하는 원소보다 더 작은 임의의 원소 역시 S에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 S이다.
# 정의
원순서 집합 (X, \lesssim)의 부분 집합 S\subseteq X의 **상폐포**(上閉包, upper closure)는 다음과 같은 부분 집합이다. :\uparrow S=\\{x\in X\colon\exists s\in S\colon s\lesssim x\\} 이는 S를 포함하는 최소 상집합이다. 원순서 집합 (X, \lesssim)의 부분 집합 S\subseteq X의 **하폐포**(下閉包, lower closure)는 다음과 같은 부분 집합이다. :\downarrow S=\\{x\in X\colon\exists s\in S\colon x\lesssim s\\} 이는 S를 포함하는 최소 하집합이다. 원순서 집합 (X, \lesssim)의 부분 집합 S\subseteq X에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 **상집합**(上集合, upper set)이라고 한다. * 임의의 x\in S 및 y\in X에 대하여, x\lesssim y라면 y\in S이다. * \uparrow S\subseteq S * \uparrow S=S * s\in S 및 사슬 C\subseteq X에 대하여, 만약 \\{s\\}=\min C라면, C\subseteq S이다. * X\setminus S는 하집합이다. 원순서 집합 (X, \lesssim)의 부분 집합 S\subseteq X에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 **하집합**(下集合, lower set)이라고 한다. * 임의의 x\in S 및 y\in X에 대하여, y\lesssim x라면 y\in S이다. * \downarrow S\subseteq S * \downarrow S=S * s\in S 및 사슬 C\subseteq X에 대하여, 만약 \\{s\\}=\max C라면, C\subseteq S이다. * X\setminus S는 상집합이다.
# 성질
원순서 집합 (X,\lesssim)의 상집합들의 (유한 또는 무한) 족 (U_i)_{i\in I}의 교집합 :\bigcap_{i\in I}U_i 및 합집합 :\bigcup_{i\in I}U_i 역시 상집합이다. 마찬가지로, 하집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합과 합집합 역시 하집합이다. 따라서, 원순서 집합 (X,\lesssim)의 상집합들의 족은 (부분 집합 관계에 대하여) 완비 격자를 이룬다. 마찬가지로, (X,\le)의 하집합들의 족 역시 완비 격자를 이룬다.
## 반사슬과의 관계
부분 순서 집합 (X,\le)의 상집합 U\subseteq X의 극소 원소들의 집합 \min U는 X의 반사슬을 이룬다. 마찬가지로, (X,\le)의 하집합 L\subseteq X의 극대 원소들의 집합 \max L은 X의 반사슬을 이룬다. 반대로, 부분 순서 집합 (X,\le)의 반사슬 A\subseteq X가 주어졌을 때, \uparrow A는 상집합이며 :\min\uparrow A=A :\max\downarrow A=A 이다. 따라서, X의 반사슬 집합에서 상집합 집합으로 가는 함수 :\uparrow\colon\operatorname{Antichain}(X,\le)\to\operatorname{Upper}(X,\le) 는 단사 함수이며, :\max\colon\operatorname{Upper}(X,\le)\to\operatorname{Antichain}(X,\le) 는 그 왼쪽 역사상이자 전사 함수이다. 만약 (X,\le)가 내림 사슬 조건을 만족시킨다면 이 두 함수는 전단사 함수이다. 그러나 일반적 부분 순서 집합에 대해서는 전단사 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 실수의 전순서 집합에서 양의 실수의 부분 집합 \mathbb R^+\subseteq\mathbb R는 상집합이지만 극소 원소를 갖지 않는다.
# 예

## 자명한 상집합·하집합
임의의 원순서 집합 (X,\lesssim)에 대하여, X는 스스로의 상집합이자 하집합이며, 또 공집합 \varnothing\subseteq X 역시 X의 상집합이자 하집합이다.
## 주 필터와 주 아이디얼
필터 (수학) 임의의 원순서 집합 (X,\lesssim)의 원소 x\in X에 대하여, :\uparrow\\{x\\}=\\{y\in X\colon x\lesssim y\\} :\downarrow\\{x\\}=\\{y\in X\colon y\lesssim x\\} 는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 필터와 아이디얼을 이룬다.
## 실직선
실수의 전순서 집합 (\mathbb R,\le)의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다. * (a,\infty) (a\in\mathbb R) * [a,\infty) (a\in\mathbb R) * \mathbb R * \varnothing 마찬가지로, 실수의 전순서 집합 (\mathbb R,\le)의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다. * (-\infty,a) (a\in\mathbb R) * (-\infty,a] (a\in\mathbb R) * \mathbb R * \varnothing
## 정렬 집합
순서수는 스스로 미만의 다른 순서수들의 집합으로 여길 수 있다. :\alpha=\\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\alpha\\} 이 경우, 두 순서수 \alpha,\beta에 대하여, 만약 \alpha\le\beta라면 \alpha는 \beta의 하집합이다. 순서수 \alpha의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다. :\\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta_0\le\beta<\alpha\\} (\beta_0\le\alpha+1) 순서수 \alpha의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다. :\\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\beta_0\\} (\beta_0\le\alpha+1)