영다양체

미분위상수학에서 **영다양체**(零多樣體, nilmanifold)는 멱영 리 군의 몫공간으로 얻어지는 동차공간이다. 해다양체의 특수한 경우이며, 기하화 추측에서 3차원 다양체를 분류하는 기하 가운데 하나이다.
# 정의
연결 멱영 리 군 N 속의 **격자**(lattice)는 다음 조건들을 만족시키는 부분군 \Gamma\le N이다. * \Gamma는 이산 공간이다. * 몫공간 N/\Gamma는 콤팩트 공간이다. 연결 멱영 리 군 N에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * N은 (하나 이상의) 격자를 갖는다. * (말체프 조건 Mal’cev condition) 모든 구조 상수가 유리수가 되는 리 대수 \operatorname{Lie}(N)의 기저가 존재한다. 연결 매끄러운 다양체 M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 연결 매끄러운 다양체를 **영다양체**라고 한다. * 연결 멱영 리 군에 대한 동차 공간이다. 즉, 연결 멱영 리 군 N의 추이적 작용 \cdot\colon N\times M\to M이 존재하며, 모든 g\in N에 대하여 g\cdot\colon M\to M이 미분 동형을 이룬다. * M\cong \Gamma\backslash N이 되는 연결 멱영 리 군 N 및 격자 \Gamma\le N이 존재한다. * 반복된 U(1) 주다발과 유클리드 공간의 곱공간과 미분 동형이다. 즉, M \cong \mathbb R^k \times P_n이며 M_0 = \\{\bullet\\}(한원소 공간)인 매끄러운 주다발의 열 \operatorname U(1) \to M_i \to M_{i-1} (i\in\\{1,\dotsc,n\\})이 존재한다.언어=enTheorem 1 즉, 멱영 리 군에 대한 동차 공간의 안정자군은 격자를 이룬다.
# 성질
모든 영다양체는 자명하게 해다양체이며, 따라서 해다양체의 성질들을 만족시킨다. 특히, 영다양체의 2차 이상 호모토피 군은 모두 자명하며, 콤팩트 영다양체는 그 기본군으로 완전히 분류된다. 모든 영다양체는 콤팩트 영다양체와 유클리드 공간의 곱공간이다. 따라서 영다양체의 분류는 콤팩트 영다양체의 분류로 귀결된다. 원환면이 아닌 콤팩트 영다양체는 형식적 공간이 아니며, 특히 켈러 구조를 가질 수 없다. 정의에 따라, 모든 영다양체는 가향 다양체이며, 추가로 평행화 가능 다양체이다.163, Corollary 4.1.3 군 G에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * G\cong\pi_1(M)이 되는 영다양체 M이 존재한다. * G는 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군이다.
# 예
모든 연결 아벨 리 군은 영다양체이다. 특히, 원환면 \mathbb T^n\cong\mathbb R^n/\mathbb Z^n은 콤팩트 영다양체이다. 하이젠베르크 군 \operatorname H(n;\mathbb R)는 n(n-1)/2차원 멱영 리 군을 이룬다. 정수 계수 하이젠베르크 군 \operatorname H(n;\mathbb Z)은 그 속의 격자를 이루며, \operatorname H(n;\mathbb R)/\operatorname H(n;\mathbb Z)은 영다양체를 이룬다.
## 낮은 차원의 영다양체

### 2차원 이하
2차원 이하의 연결 영다양체는 원환면과 유클리드 공간의 곱공간 밖에 없다. 콤팩트 영다양체를 구성하려면, 1차원에서는 한원소 공간 위에 하나의 U(1) 주다발이 존재하며, 2차원에서는 원 위의 U(1) 주다발은 역시 하나 밖에 없다. (원 위에는 두 개의 원다발이 존재하며, 이는 각각 원환면과 클라인 병에 해당한다. 그러나 후자의 경우는 U(1) 주다발을 이루지 못한다.)
### 3차원 콤팩트 영다양체
3차원 콤팩트 영다양체는 자연수에 의하여 분류된다. 구체적으로, 2차원 원환면 \mathbb T^2 위의 U(1) 주다발 P는 그 연관 복소수 선다발의 천 특성류의 적분인 2차 코호몰로지 :\operatorname c_1(P) \in \operatorname H^2(\mathbb T^2)\cong\mathbb Z 로 분류된다. 그런데 이 경우 P와 반대 방항을 갖는 주다발 \bar P은 서로 미분 동형인 다양체를 정의한다. 즉, 3차원 연결 콤팩트 영다양체의 미분 동형 동치류는 자연수 p\in\mathbb N로 분류된다. 이 가운데, 3차원 원환면은 p=0에 해당한다. 이는 다음과 같이 하이젠베르크 군의 몫으로 표현될 수 있다.언어=en161, Example 4.1.1 하이젠베르크 군 :\operatorname{Heis}(1;\mathbb R) = \left\\{ \begin{pmatrix} 1&x;&z;\\\ 0&1&y;\\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \colon x,y,z\in\mathbb R \right\\} 속에서, 리 군 곱셈 규칙이 :(x,y,z) \cdot (x',y',z') = (x+x',y+y',xy'+z+z') 이므로, 격자 : \Gamma_{m,n,p} = \left\\{ \begin{pmatrix} 1&x;&z;\\\ 0&1&y;\\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \colon x\in m^{-1}\mathbb Z,\;y\in n^{-1}\mathbb Z,\;z\in m^{-1}n^{-1}p^{-1}\mathbb Z \right\\}\qquad(m,n,p\in\mathbb Z^+) 를 고를 수 있으며, :\Gamma_{m,n,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R) 는 콤팩트 영다양체를 이룬다. 사영 사상 :\Gamma_{m,n,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R) \twoheadrightarrow (\mathbb R/m^{-1}\mathbb Z)\times (\mathbb R/n^{-1}\mathbb Z) = \mathbb T^2 :(x,y,z) \mapsto (x,y) 아래, 이는 2차원 원환면 위의 원다발을 이룬다. 이 경우, \Gamma_{m,n,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R) 는 \Gamma_{1,1,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R) 와 미분 동형이다.163, §4.1.3 다시 말해, 모든 3차원 콤팩트 연결 영다양체는 \mathbb T^3 또는 \Gamma_{1,1,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R) (p\in\mathbb Z^+)와 미분 동형이다.162–163, Corollary 4.1.2
# 역사
아나톨리 말체프가 1949년에 도입하였고, ‘영다양체’(닐므노고오브라지예)라는 용어를 정의하였다.언어=ru