모듈러스 (수론)

유체론에서 **모듈러스**(modulus)는 아벨 확대에 대한 분기화 현상을 나타내는 대상이다. 효과적 베유 인자의 개념의 대수적 수체에 대한 일반화이다.
# 정의

## 대역체의 아라켈로프 인자
대역체 K의 **아라켈로프 인자**(Аракелов因子, Arakelov divisor) 또는 **충만 아이디얼**(充滿ideal, replete ideal) \mathfrak A은 다음과 같은 데이터로 구성된다.언어=en34, §I.6 * 각 아르키메데스 자리 \mathfrak p에 대하여, 정수 \operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\in\mathbb Z * 각 비아르키메데스 자리 (즉, 대수적 수체의 실수 또는 복소수 자리) \mathfrak p에 대하여, 실수 \operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\in\mathbb R 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. * 중복수가 0이 아닌 자리의 수는 유한하다. *: \left|\\{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(\mathcal O_K)\colon\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)>0\\}\right|0인 모든 자리 \mathfrak p에 대하여 다음 조건이 성립한다면, a와 b가 m에 대하여 **합동**(congruent)이라고 하고, a\equiv b\pmod m으로 적는다. * \mathfrak p가 유한 자리이라면, \operatorname{ord}_{\mathfrak p}(a/b-1)\ge\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p) * \mathfrak p가 실수 매장 \sigma\colon K\hookrightarrow\mathbb R에 대한 실수 자리라면, \sigma(a/b)>0 여기서 \operatorname{ord}_{\mathfrak p}는 \mathfrak p에 대응되는 절댓값이 :|a|_{\mathfrak p}=\exp(-\operatorname{ord}(a)) 와 동치가 되는 전사 함수 \operatorname{ord}_{\mathfrak p}\colon K\to\mathbb Z\sqcup\\{\infty\\}이다.
## 대수 곡면의 아라켈로프 인자
대수적 수체 위의 대수 곡면의 아라켈로프 인자는 수렌 아라켈로프가 최초로 정의하였으며, 다음과 같다.언어=en71–76 대수적 수체 K가 주어졌다고 하자. \mathcal O_K-스킴 p\colon X/\operatorname{Spec}(\mathcal O_K)이 2차원 정역 정칙 스킴이며, p가 고유 사상이자 평탄 사상이라고 하자. 또한, \mathcal O_X의 일반점이 \eta라고 하자. K의 아르키메데스 자리 \sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)에 대하여, X의 \sigma에서의 올 X_\sigma는 다음과 같다. :X_\sigma=X\times_{\mathcal O_K}\bar K_\sigma 이는 리만 곡면을 이룬다. X 위의 **아라켈로프 인자**의 아벨 군 \widehat{\operatorname{Div(X)은 다음과 같다. :\widehat{\operatorname{Div(X)=\operatorname{Div}(X)\oplus\bigoplus_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}\mathbb R\sigma 여기서 \textstyle\bigoplus_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}\mathbb R\sigma는 K의 아르키메데스 위치들에 의하여 생성되는 실수 벡터 공간이다. 가역 유리 함수 f\in\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)=\left(\operatorname{Frac}\Gamma(X;\mathcal O_X)\right)^\times에 대응하는 **주 아라켈로프 인자**(principal Arakelov divisor) (f)\in\widehat{\operatorname{Div(X)는 다음과 같다.75–76 :(f)=(f)_0+\sum_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}(f)_\sigma\sigma :(f)_\sigma=-\int_{X_\sigma}\ln|f_\sigma|\;\mathrm d\mu_\sigma 여기서 * \mathrm d\mu_\sigma는 콤팩트 리만 곡면 X_\sigma 위의, \textstyle\int_{X_\sigma}\mathrm d\mu_\sigma=1이 되는 표준적 부피 형식이다. 구체적으로, X_\sigma 위의 (1,0)-복소수 미분 형식 \alpha에 대하여 \alpha\wedge\bar\alpha는 (1,0)-복소수 미분 형식의 가역층 위의 에르미트 계량을 정의하며, 이로부터 부피 형식을 정의할 수 있다. * (f)_0은 베유 주인자를 뜻한다. 이는 군 준동형 :(-)\colon \Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to \widehat{\operatorname{Div(X) 을 이루며, 그 여핵을 **아라켈로프 인자 유군**(Arakelov divisor class group)이라고 한다.76
# 예
유리수체 \mathbb Q의 아라켈로프 인자는 :(r)\infty^a\qquad(r\in\mathbb Q^\times,\;a\in\mathbb R) 의 꼴이다. 유리수체 \mathbb Q의 모듈러스는 :(n)\infty^a\qquad(n\in\mathbb Z^+,\;a\in\\{0,1\\}) 의 꼴이다. 만약 n\in\mathbb Z^+의 소인수 분해가 :n=\prod_ip^{n_i} 라면, a,b\in\mathbb Q에 대하여 :a\equiv b\pmod{(n)}\iff\exists m,k\colon m(a-b)\in n\mathbb Z,\qquad m\nmid n 이며, :a\equiv b\pmod{(n)\infty}\iff\left(a/b>1\land a\equiv b\pmod{(n)}\right) 이다.
# 역사
아라켈로프 인자의 개념은 수렌 아라켈로프가 도입하였다.언어=ru 영역 언어=enarchive-url=https://web.archive.org/web/20141030151303/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/Main/icm1974.1.0405.0408.ocr.pdf 인도자
# L/K의 "정의 모듈러스"와 "인도자"
이 글의 본문은 아르틴 상호 법칙입니다. :K가 대수적 수체이며, L/K를 유한 아벨 확대로 가정하면, S가 L/K에서 파생되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, S에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 I^S_K에서 갈루아 군 \operatorname{Gal}(L/K)으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 **아르틴 사상**(Artin map)이라고 한다. :I^S_K\to\operatorname{Gal}(L/K) 아르틴 상호 법칙에서 어떤 모듈러스 c 에 대하여, 군 준동형의 핵은 다음과 같은 형태이다. :i(K_{\mathfrak m,1})\operatorname N_{L/K}(I^{\mathfrak m}_L) 여기서 K_{\mathfrak m,1}은 \mathfrak m에 대한 반직선이며, \operatorname N_{L/K}는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 L/K의 **정의 모듈러스**(defining modulus)라고 하며, 여기서, 최소한의 L/K정의모듈러스를 L/K의 **인도자**(引導者, conductor)라고 한다.