띠그래프

띠그래프의 예. 각 꼭짓점에 인접한 변들의 집합 위에는 순환 순열이 주어지며, 이 순환은 원형 점선 화살표로 표시되었다. 그래프 이론과 위상수학에서, **띠그래프**(리본 그래프) 또는 **뚱뚱한 그래프**(fat graph)는 주어진 꼭짓점에 인접한 변들에 대한 순환 순열이 주어진 그래프이다. 주어진 띠그래프로부터, 이에 대응하는 곡면을 구성할 수 있다.
# 정의
그래프 \Gamma의 **반변**(半邊, half-edge) 또는 **유향변**(有向邊, oriented edge)는 꼭짓점 v\in\operatorname V(\Gamma)와, 이에 인접한 변 e=\\{v,u\\}\in\operatorname E(\Gamma)의 순서쌍이다. (이는 변 (v,u)의 v쪽 “절반”, 즉 “(v,[u+v]/2)”로 생각할 수 있다. 이에 따라, 반변의 집합 \operatorname{\bar E}(\Gamma)\subseteq \operatorname V(\Gamma)\times\operatorname V(\Gamma)은 \operatorname V(\Gamma)\times\operatorname V(\Gamma)의 부분 집합이다. 반변의 집합 \operatorname{\bar E}(\Gamma) 위에는 다음과 같은 자연스러운 집합의 분할이 존재한다. :\operatorname{\bar E}(\Gamma)=\bigsqcup_{v\in V}\operatorname{\bar E}_v(\Gamma) :\operatorname{\bar E}_v(\Gamma)=\\{(v,u)\colon (v,u)\in\operatorname{\bar E}(\Gamma),\;u\in\operatorname V(\Gamma)\\} **띠그래프** (\Gamma,\sigma)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.언어=enDefinition 1.5 * \Gamma는 그래프이며, 모든 꼭짓점의 차수는 유한하다. 즉, 임의의 v\in\operatorname V(\Gamma)에 대하여 \operatorname{\bar E}_v(\Gamma)는 유한하다. * \sigma\colon\operatorname{\bar E}(\Gamma)\to\operatorname{\bar E}(\Gamma)는 전단사 함수(즉, 순열)이며, 다음 조건을 만족시킨다. *:순열 \sigma에 따라, \operatorname{\bar E}(\Gamma)는 \sigma의 순환들로 분할되는데, 이 분할은 \textstyle\bigsqcup_{v\in V}\operatorname{\bar E}_v(\Gamma)과 일치한다.
## 띠그래프에 대응되는 곡면
띠그래프 (\Gamma,\sigma)가 주어졌을 때, 다음을 정의하자. * 각 꼭짓점 v\in\operatorname V(\Gamma)에 대하여, \deg v=k일 때, k-정다각형 e_v. 정다각형의 변들은 각각 v와 인접한 반변 (v,u_1),\dotsc,(v,u_k)들과 대응시킬 수 있으며, 이들은 (시계 반대 방향으로) \sigma에 의하여 정의된 순환 순열에 따라 배치된다. 그렇다면, 이 정다각형의 족 (e_v)_{v\in\operatorname V(\Gamma)}가 주어졌을 때, 이들을 다음과 같이 짜깁기할 수 있다. * 각 변 (u,v)\in\operatorname E(\Gamma)에 대하여, e_u에서 v에 대응하는 변과 e_v에서 u에 대응하는 변을 (방향을 보존하며) 짜깁기한다. 그렇다면, 어떤 유향 곡면(2차원 다양체) \Sigma_{\Gamma,\sigma}를 얻는다. 이를 띠그래프 (\Gamma,\sigma)의 **기하학적 실현**(geometric realization)이라고 한다.
## 띠그래프에 대응되는 리만 곡면
**계량 띠그래프**(metric ribbon graph) (\Gamma,\sigma,\ell)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * (\Gamma,\sigma)는 유한 개의 꼭짓점과 변을 갖는 연결 띠그래프이다. * \ell\colon\operatorname E(\Gamma)\to\mathbb R^+는 각 변에 양의 실수를 대응시키는 함수이다. 이를 변의 **길이**(length)라고 한다. 그렇다면, 각 계량 띠그래프에 표준적으로 어떤 연결 콤팩트 리만 곡면 \Sigma 및 그 속의 유한 집합 \\{z_1,\dotsc,z_n\\} 및 이에 대한 슈트레벨 미분을 대응시킬 수 있다.§5 또한, \Sigma\setminus\\{z_1,\dotsc,z_n\\}은 (\Gamma,\sigma)의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 구체적으로, 계량 띠그래프 (\Gamma,\sigma,\ell)에 대하여 다음을 정의하자. * \textstyle r=\min_{(u,v)\in\operatorname E(\Gamma)}\ell(u,v). (사실 이는 이 값 이하의 임의의 양의 실수로 놓아도 된다.) * 각 꼭짓점 v\in\operatorname V(\Gamma)에 대하여, 원 U_v= \\{z\in\mathbb C\colon |z|. * 각 유향변 (u,v)\in\operatorname{\bar E}(\Gamma)에 대하여, 복소평면의 부분 집합 U_{(u,v)}=\\{z\in\mathbb C\colon00\\}\to U_b *:h_{b,k}\colon z\mapsto \exp\left(2\pi\mathrm i\frac{\left(\ell(v_0,v_1)+\ell(v_1,v_2)+\dotsb+\ell(v_{k-1},v_k)+z)\right)}{\ell(v_0,v_1)+\ell(v_1,v_2)+\dotsb+\ell(v_{n-1},v_n)}\right) 그렇다면, * 모든 U_v들과 U_{(u,v)}들과 U_b들을 정칙 함수 f,g,h들로 짜깁기하여 리만 곡면 \Sigma를 만들 수 있다. U_{(u,v)}의 경계들은 모두 U_v 및 U_b에 의하여 덮이므로, 이는 콤팩트 리만 곡면이다. * 또한, U_b들의 원점들은 특별한 유한 집합 \\{z_1,\dotsc,z_n\\}\subsetneq\Sigma을 구성한다. * U_{(u,v)} 위의 상수 정칙 이차 미분들은 짜깁기를 통해 \Sigma\setminus\\{z_1,\dotsc,z_n\\} 위의 정칙 이차 미분을 구성한다. 이는 각 z_i 근처에서 2차 극을 가져, \Sigma\setminus\\{z_1,\dotsc,z_n\\}의 슈트레벨 미분을 이룬다. 이 경우, 경계 성분 b에 대응되는 양의 실수는 b를 구성하는 유향변들의 길이들의 합이다.
## 띠그래프에 대응되는 벨리 사상
(\Gamma,\sigma,\ell)가 계량 띠그래프이며, 그 어떤 꼭짓점도 차수가 0, 1 또는 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.Theorem 6.5 * (\Gamma,\sigma,\ell)로 정의되는 리만 곡면 \Sigma는 대수적 수의 체 \bar{\mathbb Q} 위의 대수 곡선을 이룬다. 즉, 벨리 사상 \Sigma\to\mathbb{CP}^1 및 이에 대응되는 데생당팡이 존재한다. * 모든 변의 길이가 같다.
# 성질

## 조합론적 성질
그래프 \Gamma 위의 띠그래프 구조들의 수는 다음과 같다. :\prod_{v\in\operatorname V(\Gamma)}(\deg_\Gamma v-1)! 여기서 \deg_\Gamma(-)는 꼭짓점의 차수(즉, 꼭짓점과 인접한 변의 수)이다. 특히, 모든 꼭짓점의 차수가 2 이하라면, 띠그래프 구조는 유일하다.
## 위상수학적 성질
띠그래프는 (CW 복합체로 여겼을 때) 그 기하학적 실현과 항상 호모토피 동치이지만, 보통 위상 동형이 아니다. 띠그래프 (\Gamma,\sigma)가 주어졌을 때, 전단사 함수 :i\colon\operatorname{\bar E}(\Gamma)\to\operatorname{\bar E}(\Gamma) :i\colon (u,v)\mapsto(v,u) 를 생각하자. 그렇다면, f\circ i와 i\circ f의 순환들을 생각할 수 있다. 그렇다면, 다음 세 집합 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다. * 순열 \sigma\circ i의 순환들의 집합 * 순열 i\circ \sigma의 순환들의 집합 * \Sigma_{\Gamma,\sigma}의 구멍들의 집합 또한, \Gamma가 연결 유한 그래프이고, \Sigma_{\Gamma,\sigma}의 구멍들의 수를 n이라고 하고, 그 종수를 g라고 할 때, 다음이 성립한다. :g=\frac12\left(2-|\operatorname V(\Gamma)|+|\operatorname E(\Gamma)|-n\right)
# 예

## 나무
나무에 대응되는 곡면은 (띠그래프 구조에 상관 없이) 항상 \Sigma_{0,1}, 즉 하나의 구멍이 뚫린 구이다.
## 순환 그래프
꼭짓점 k개의 순환 그래프는 유일한 띠그래프 구조를 갖는다. 구체적으로, 꼭짓점들을 (v_i)_{i\in\mathbb Z/(k)}라고 하면, :\sigma\colon (v_i,v_{i+1})\mapsto (v_i,v_{i-1}) :\sigma\colon (v_i,v_{i-1})\mapsto (v_i,v_{i+1}) 이다. 이에 대응하는 곡면은 \Sigma_{0,2}, 즉 두 개의 구멍이 뚫린 구이다. 순환 그래프 \Gamma의 경우 :|\operatorname V(\Gamma)|=|\operatorname E(\Gamma)|=k 이며, 순열 :\sigma\circ i\colon (v_i,v_{i+1})\mapsto (v_{i+1},v_{i+2}) :\sigma\circ i\colon (v_i,v_{i-1})\mapsto (v_{i-1},v_{i-2}) 및 :i\circ\sigma\colon (v_i,v_{i+1})\mapsto (v_{i-1},v_i) :i\circ\sigma\colon (v_i,v_{i-1})\mapsto (v_{i+1},v_i) 둘 다 각각 두 개의 순환을 갖는다. 이에 따라 종수가 :g=\frac12(2-k+k-2)=0 임을 알 수 있다.