체 (범주론)

범주론에서 **체**(sieve, crible)는 주어진 대상을 향하는 일부 사상들을 골라 내는 구조이며, 추상적으로 표현 가능 준층의 부분 준층이다. 작은 범주 위에서, 모든 체들의 집합을 대응시키는 준층은 준층 토포스의 부분 대상 분류자를 이룬다. 체의 개념은 그로텐디크 위상을 정의할 때 사용된다.
# 정의
범주 \mathcal C 및 그 위의 대상 U\in\mathcal C가 주어졌다고 하자. 그렇다면, U 위의 체는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다. "체"라는 용어는 체 S가 U로 향하는 특정 사상들을 마치 체로 치듯 골라 내기 때문이다.
## 추상적 정의
국소적으로 작은 범주 \mathcal C 위의 대상 U\in\mathcal C 위의 **체** S는 표현 가능 준층 \hom(-,U)\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)의 부분 준층이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 준층 S\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)이다. * 모든 V\in\mathcal C에 대하여, S(V)\subset\hom(V,U) * 모든 f\in\hom_{\mathcal C}(V,W)에 대하여, S(f)\colon S(W)\to S(V);g\mapsto g\circ f.
## 구체적 정의
범주 \mathcal C 위의 대상 U\in\mathcal C 위의 **체**는 다음 조건들을 만족시키는, \mathcal C의 사상들의 모임 S\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)이다. * S에 속하는 모든 사상 f\in S의 공역이 U이다. * (합성에 대한 닫힘) 임의의 사상 g\colon X\to Y 및 f\colon Y\to U에 대하여, 만약 f\in S라면 f\circ g\in S이다. 두 정의는 다음과 같이 대응된다. {| class=wikitable |- ! 추상적 정의 !! 구체적 정의 |- | 대상 X\in\mathcal C에 대하여, S(X)\subset\hom(X,U) || S(X):=\\{f\in S\colon\operatorname{dom}f=X\\} |- | 사상 f\colon X\to Y에 대하여, S(f)\colon S(Y)\to S(X) || (g\in S)\mapsto (g\circ f\in S) |} 여기서 \operatorname{dom}은 사상의 정의역이다. 즉, S(X)는 체에 속한 사상 가운데, 정의역이 X인 사상들로 구성된 부분 모임이다.
## 당김
대상 U\in\mathcal C 위의 체 S 및 사상 f\colon V\to U이 주어졌을 때, S의 **당김**(pullback) f^*S은 다음과 같은, V 위의 체이다. :f^*S(W)=(f\circ)^{-1}(S(W))=\\{g\in\hom(W,V)|f\circ g\in S(W)\\} 작은 범주 \mathcal C의 대상 U\in\mathcal C에 대하여, U 위의 모든 체들의 집합을 \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)라고 하자. 그렇다면, :U\mapsto\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U) :(f\colon U\to V)\mapsto\left(f^*\colon\operatorname{Sieve}(V)\to\operatorname{Sieve}(U)\right) 는 함자 :\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}\colon\mathcal C^{\operatorname{op\to\operatorname{Set} 를 이룬다. 즉, \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}는 \mathcal C 위의 (집합 값의) 준층을 이룬다. \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}는 \mathcal C 위의 준층의 그로텐디크 토포스 \operatorname{PSh}(\mathcal C)에서의 부분 대상 분류자를 이룬다.
## 체 준층의 부분 준층
작은 범주 \mathcal C가 주어졌을 때, 그 체 준층 \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)의 부분 준층 J\subseteq\operatorname{Sieve}\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 각 대상 U\in\mathcal C에 대하여, U 위의 체들의 집합 J(U). 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. * 임의의 사상 f\colon U\to V에 대하여, f^*(J(V))\subseteq J(U)이다. 이 조건은 그로텐디크 위상이 만족시키는 조건 가운데 하나이다.
# 성질
작은 범주 \mathcal C가 주어졌다고 하자. 그 속의 대상 U\in\mathcal C 위의 체들의 집합 \\{S_i\\}_{i\in I}\subseteq\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)에 대하여, 그 교집합 \textstyle\bigcup_{i\in I}S_i과 합집합 \textstyle\bigcup_{i\in I}S_i 역시 체를 이룬다. \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)의 최대 원소는 \\{f\in\operatorname{Mor}(\mathcal C)\colon\operatorname{codom}U\\} (즉, 표현 가능 준층 \hom_{\mathcal C}(-,U))이며, 최소 원소는 공집합 (즉, 공집합 값을 갖는 상수 함자)이다. 따라서, \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)는 포함 관계에 대하여 유계 완비 격자를 이룬다.
# 예
위치 (\mathcal C,J)가 주어졌을 때, 대상 U\in\mathcal C 위의 각 덮개체는 체를 이룬다.
## 사상 모임으로부터 생성되는 체
같은 공역 U을 갖는 사상들의 모임 \mathfrak F가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이들을 포함하는 가장 작은 체 S_{\mathfrak F}가 존재하며, 다음과 같다. :S_{\mathfrak F}=\\{g\circ f\colon f\in\mathfrak F,\;\operatorname{dom}g=\operatorname{codom}f\\} 여기서 \operatorname{dom}과 \operatorname{codom}은 각각 사상의 정의역과 공역이다.
## 조각 범주
\mathcal C 속의 임의의 사상 u\colon U\to B 및 체 S\subseteq\hom(-,U)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주 \mathcal C/B의 대상 u 위의 다음과 같은 체를 정의할 수 있다. :S/B=\left\\{ \begin{matrix} V&\overset f\to&U;\\\ &{\scriptstyle v}\searrow&\downarrow\scriptstyle u\\\ &&B; \end{matrix} \colon f\in S \right\\}
## 부분 순서 집합
부분 순서 집합 (P,\le)는 작은 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 원소 x\in P 위의 체는 x를 상계로 갖는, 하향 닫힘 부분 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 S\subseteq P이다. * (상계) 모든 s\in S에 대하여 s\le x * (하향 닫힘) 모든 s\in S에 대하여, \\{t\in P\colon t\le s\\}\subseteq S