삼각 함수의 덧셈 정리

이 문서는 **삼각함수의 덧셈 정리**에 대해 설명한다. :\sin \left(x + y \right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y :\sin \left(x - y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y :\cos \left(x + y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y :\cos \left(x - y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y :\tan \left(x + y\right)=\tan x + \tan y} \over{ 1- \tan x \tan y :\tan \left(x - y\right)=\tan x - \tan y} \over{ 1+ \tan x \tan y
# 사인함수의 덧셈정리
right 예각 삼각형 ABC의 넓이 \triangle ABC에 대해서,유클리드 기하학 원론 2권 법칙13 (구텐베르크 프로젝트,John Casey, 퍼블릭 도메인)유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) :\triangle ABC= \triangle AHB+\triangle AHC :\triangle ABC= {1 \over{2 {b}c \sin(\alpha+\beta) :\triangle AHB+\triangle AHC :={1 \over{2\; \overline{BH}\;\overline{AH} + {1 \over{2\; \overline{CH}\;\overline{AH} :={1 \over{2c \sin \alpha \; b \cos \beta + {1 \over{2 b \sin \beta \; c \cos \alpha :={1 \over{2c b (\sin \alpha \;\cos \beta + \sin \beta \; \cos \alpha) 따라서, : {1 \over{2 {b}c \sin(\alpha+\beta) = {1 \over{2c b (\sin \alpha \;\cos \beta + \sin \beta \; \cos \alpha) : \sin(\alpha+\beta) = (\sin \alpha \;\cos \beta + \sin \beta \; \cos \alpha)
# 코사인의 덧셈정리
right 둔각삼각형 \triangle{ABC}에서, \;\overline{BD}의 임의의 한점 C에 대해서,유클리드 기하학 원론 2권 법칙12 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)유클리드 기하학 원론 2권 법칙4 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) 유클리드 기하학 원론 2권 법칙7 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) :\overline{BD}^2=\overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right) :\overline{AB}^2=\overline{BD}^2 + \overline{AD}^2 \;\; 그리고, :\overline{AC}^2=\overline{CD}^2 + \overline{AD}^2 \;\; :\overline{AC}^2-\overline{CD}^2 = \overline{AD}^2 \;\; 따라서, :\overline{AB}^2=\overline{BD}^2 + \overline{AD}^2 :\overline{AB}^2= \left(\overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right) \right) + \left( \overline{AC}^2-\overline{CD}^2 \right) :\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right) 그리고 :\cos (\pi - \alpha) = \overline{CD \over{ \overline{AC} } } :\overline{CD} = \overline{AC} \cos (\pi - \alpha) :\overline{CD} = - \overline{AC} \cos \alpha 따라서, :\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right) :\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 - 2 \left(\overline{BC}\cdot {\overline{AC} \cos \alpha} \right) :c^2= a^2 +b^2 - 2ab \cos \alpha 이것은 제2코사인법칙이고,
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유클리드 원론 3권 법칙3 에서,유클리드 기하학 원론 3권 법칙3 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) 두 점 사이의 거리를 가정하면, :l^2 = {({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2}이므로, :P= (\cos \; \alpha, \sin \; \alpha) \;\; , \;\; Q= (\cos \beta, \sin \beta) 일때, :\overline{PQ}^2= (\cos \beta - \cos \; \alpha )^2 + ( \sin \beta - \sin \; \alpha)^2 := \left ( (\cos \beta - \cos \; \alpha ) \cdot (\cos \beta - \cos \; \alpha ) \right) + \left( ( \sin \beta - \sin \; \alpha) \cdot ( \sin \beta - \sin \; \alpha) \right) := \left ( (\cos \beta)^2 - 2\cos \alpha \cos \beta + (\cos \; \alpha)^2 \right) + \left( ( \sin \beta)^2 -2 \sin\alpha \sin \beta + (\sin \alpha)^2 \right) := (\cos \beta)^2 + (\cos \; \alpha)^2 + ( \sin \beta)^2 + (\sin \alpha)^2 - 2\cos \alpha \cos \beta -2 \sin\alpha \sin \beta := (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta ) + (\cos^2 \; \alpha + \sin^2 \alpha ) - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right) 그리고 삼각 함수 항등식의 피타고라스 정리에서, : \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 따라서, := 1 + 1 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right) :\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)
한편, :이것은, 제2코사인법칙에서는, :\overline{PQ}^2= \overline{OP}^2 +\overline{OQ}^2 - 2 \left(\overline{OP}\cdot {\overline{OQ} \cos (\alpha-\beta)} \right) :\overline{PQ}^2= 1^2 +1^2 - 2 \left(1\cdot {1 \cos (\alpha-\beta)} \right) :\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ \cos (\alpha-\beta)} \right) 그리고 두 점 사이의 거리에서, :\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ \cos (\alpha-\beta)} \right)= 2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right) 따라서, : { \cos (\alpha-\beta)} = \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)
# 탄젠트의 덧셈정리
:\tan x=\sin x} \over{\cos x :\tan \left(x + y \right)=\sin \left(x + y \right)} \over{\cos\left(x + y \right) :\tan \left(x + y \right)={ {\sin x \cos y + \cos x \sin y } \over{\cos x \cos y - \sin x \sin y} } :\tan \left(x + y \right)={ { { {\sin x \cos y}\over{\cos x \cos y} } + { { {\cos x \sin y} \over{\cos x \cos y } } \over { { {\cos x \cos y} \over{\cos x \cos y -{ {\sin x \sin y} \over{\cos x \cos y } } :\tan \left(x + y \right)={ { { \tan x} + { \tan y } } \over { 1 -{ \tan x \tan y } } }
# 덧셈정리의 변형
right :\sin (-\theta) = -\sin \theta \;\; , \;\; \cos (-\theta)= \cos \theta 따라서, :\sin \left(x + (-y )\right)=\sin x \cos (-y) + \cos x \sin (-y) :\sin \left(x - y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y 그리고, :\cos \left(x - (-y)\right)=\cos x \cos (-y) + \sin x \sin (-y) :\cos \left(x + y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y 그리고, :\tan (-\theta)=\sin (-\theta)} \over{\cos (-\theta)={-{\sin \theta} \over{\cos \theta=- \tan \theta :\tan (x+(-y))={ { { \tan x} + { \tan(-y)} } \over { 1 -{ \tan x \tan (-y) } } } :\tan (x-y)={ { { \tan x} -{\tan y} } \over { 1 +{ \tan x \tan y } } }
# 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9를 이용한 정리

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:정삼각형에서 \overline{AE}= 1 을 예약하고,유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain) : \overline{AF \over {1= { \cos \alpha} : \overline{EF \over {1 = { \sin \alpha} : \overline{FD\over{AF= \sin \beta :: {\overline{FD= {\overline{GC = {\sin \beta {\overline{AF={\sin \beta \cos \alpha} : \overline{EG \over{\overline{EF= \cos \beta :: {\overline{EG = \cos \beta{\overline{EF ={\cos \beta} { \sin \alpha} : {\sin(\alpha + \beta)}= \overline{EG+{\overline{GC }\over {1 : {\sin(\alpha + \beta)}= \cos \beta} { \sin \alpha+\sin \beta \cos \alpha 이것은 사인함수이다. :한편,예약된 정삼각형에서,유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain) : \overline{AE}= 1 , \angle A = \angle E = \angle B, \angle A = \angle \alpha + \angle \beta , \angle \alpha = \angle \beta : \overline{EF \over {1 = { \sin \alpha} : \overline{AF \over {1 = { \cos \alpha} : \overline{AD\over{AF= \cos \beta :: {\overline{AD= { \cos \beta} {\overline{AF :: {\overline{AD= { \cos \beta} { \cos \alpha} : \overline{GF \over{\overline{EF= \sin \beta : \overline{GF}= \sin \beta {\overline{EF : \overline{GF}= \sin \beta {\sin \alpha} :: {\overline{GF ={\overline{CD ={ \sin \beta} { \sin \alpha} : {\cos(\alpha + \beta)}= \overline{AC }\over {1 : {\cos(\alpha + \beta)}= \overline{AD }-{\overline{CD : {\cos(\alpha + \beta)}= \cos \beta} { \cos \alpha-\sin \beta \sin \alpha 이것은 코사인함수이다.

# 행렬을 이용한 정리
{| | |- | : \sin (-\theta) = -\sin \theta \;\; , \;\; \cos (-\theta)= \cos \theta 이고, 삼각함수의 점의 좌표 ( \text{cosine} , \text{sine} )에서, : P = (x,y) \;\; , \;\; P' = (x',y') : P = (\cos,\sin) \;\; , \;\; P' = (\cos',\sin')이고, : \theta = 90^\circ로, : P' = ( \alpha +\theta , \alpha +\theta )을 예약해보면,(유클리드 기하학 원론 3권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)(유클리드 기하학 원론 3권 법칙3 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) : P' = ( \alpha+\pi}\over{2 , \alpha+\pi}\over{2) : P' = ( x\cos \alpha+{x} \cos \theta , y\cos \alpha+{y} \sin \theta) : P' = \left( x\cos \alpha+{x} \cos \pi}\over{2 , y\cos \alpha+{y} \sin \pi}\over{2 \right) 삼각함수의 값에서, : P' = ( x\cos \alpha+{y} \sin (-\theta) , y\cos \alpha+{x} \cos (-\theta) ) : P' = ( x\cos \alpha - {y} \sin \theta , y\cos \alpha+{x} \cos \theta ) 그리고, : x'= {x} \cos \alpha - {y} \sin \theta : y'= {x} \sin \alpha +{y} \cos \theta 따라서, : \alpha = 90^\circ로 변형해서, : \theta = \alpha = 90^\circ : {x} \cos \theta - {y} \sin \theta =x' : {x} \sin \theta +{y} \cos \theta =y' : \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x' \\\ y' \end{pmatrix} : \begin{pmatrix} \cos y & -\sin y \\\ \sin y & \cos y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos x \\\ \sin x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (x+y) \\\ \sin(x+y) \end{pmatrix} : cos x \cos y - \sin x \sin y=\cos \left(x + y\right) : \cos x \sin y+ \sin x \cos y =\sin \left(x + y\right) | |}