프로베니우스 사상

가환대수학과 체론에서 **프로베니우스 사상**(Frobenius寫像, Frobenius morphism)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.
# 정의
가환환 R의 환의 표수가 p>0이며, p가 소수라고 하자. 그렇다면 R의 **프로베니우스 사상** \operatorname{Frob}_R\colon R\to R은 다음과 같다. :\operatorname{Frob}_R\colon r\mapsto r^p 이는 환 준동형을 이룬다. 이는 :(r+s)^p=\sum_{i=0}^p \binom{p}{i} r^is^{p-i}=r^p+s^p\qquad\forall r,s\in R\qquad\left(\because p\mid \binom pi\qquad\forall 1\le i\le p-1\right) 이기 때문이다. 위 항등식은 **신입생의 꿈**(新入生-, freshman’s dream) 또는 **1학년의 꿈**이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, (1+1)^p=2^p\ne 2=1^p+1^p이다).
## 스킴의 프로베니우스 사상
소수 p가 주어졌을 때, 유한체 \mathbb F_p 위의 스킴 X/\operatorname{Spec}\mathbb F_p가 주어졌다고 하자. X의 임의 아핀 부분 스킴 U에 대하여, \Gamma(U,\mathcal O_X)는 K-단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 \mathbb F_p-스킴 사상 \operatorname{Frob}_X\colon X\to X을 X의 **절대 프로베니우스 사상**이라고 한다.url-status = dead94, Definition 3.2.21 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다. :\operatorname{Frob}_{/\mathbb F_p}\colon\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}\Rightarrow \operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p} 여기서 \operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}는 \mathbb F_p-스킴의 범주 \operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p의 항등 함자이다.
### 산술·기하 프로베니우스 사상
\mathbb F_p-스킴 S 위의 스킴 f\colon X\to S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, S의 절대 프로베니우스 사상 \operatorname{Frob}_S\colon S\to S와의 올곱을 취하면 :X^{(p/S)}=X\times_S\operatorname{Frob}_S 를 정의할 수 있다. 이는 함자 :\operatorname{Sch}/S\to\operatorname{Sch}/S 를 이루며, **프로베니우스 스칼라 확대**(extension of scalars by Frobenius)라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상 :\operatorname{Frob}_{\operatorname a,X/S}\colon X^{(p/S)}\to X 을 **산술 프로베니우스 사상**(arithmetic Frobenius morphism)이라고 한다. :\begin{matrix} X^{(p/S)}&\overset{\operatorname{Frob_a\to&X;\\\ \downarrow&&\downarrow\\\ S&\underset{\operatorname{Frob\to&S; \end{matrix} 만약 S의 절대 프로베니우스 사상 \operatorname{Frob}_S\colon S\to S이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, S가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 \operatorname{Frob}_S^{-1}에 대한 올곱 :X^{(p^{-1}/S)}=X\times_S\operatorname{Frob}_S 을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상 :\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/S}\colon X^{(p^{-1}/S)}\to X 을 **기하 프로베니우스 사상**(geometric Frobenius morphism)이라고 한다. :\begin{matrix} X^{(p^{-1}/S)}&\overset{\operatorname{Frob_g\to&X;\\\ \downarrow&&\downarrow\\\ S&\underset{\operatorname{Frob}^{-1\to&S; \end{matrix}
### 상대 프로베니우스 사상
\mathbb F_p-스킴 S 위의 스킴 f\colon X\to S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 \operatorname{Frob}_{/S}\colon X\to X^{(p/S)}이 존재한다. :\begin{matrix} &&X;\\\ &{\scriptstyle f}\swarrow&\downarrow\scriptstyle\exists!&\searrow\scriptstyle{\operatorname{Frob\\\ S&\leftarrow&X;^{(p/S)}&\underset{\operatorname{Frob_a\to&X;\\\ &\scriptstyle{\operatorname{Frob\searrow&&\swarrow\scriptstyle f\\\ &&S; \end{matrix} 이를 **상대 프로베니우스 사상**(relative Frobenius morphism)이라고 한다.94, Definition 3.2.23 이는 자연 변환 :\operatorname{Frob}_{/S}\colon\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/S}\to\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/S} 을 이룬다. 물론, S=\operatorname{Spec}\mathbb F_p라면 (또는 보다 일반적으로 \operatorname{Frob}_S=\operatorname{id}_S라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.
# 성질
소수 표수의 가환환 R 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 R가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다. 양의 표수의 체 K에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 K가 완전체인 것이다.
## 고정점
유한체 \mathbb F_p 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리). :a^p=a\qquad\forall a\in\mathbb F_p 양의 표수 p>0의 체 K/\mathbb F_p 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 x^p-x\in K[x]의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 p차 다항식의 근의 수는 p개 이하이며, \mathbb F_p\subseteq K는 이미 p개의 근을 이루므로, K 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 \mathbb F_p이다. 보다 일반적으로, 양의 표수 p>0의 정역 D에 대해서, 항상 분수체 \operatorname{Frac}D\supseteq D\supseteq\mathbb F_p를 취할 수 있으므로, 표수 p의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 \mathbb F_p이다. :\\{a\in D\colon a^p=a\\}=\mathbb F_p
## 갈루아 군
유한체 \mathbb F_p의 유한 확대 \mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p의 갈루아 군은 순환군이다. :\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n 프로베니우스 자기 동형 :\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^n\in\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p) 은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다. 마찬가지로, 유한체 \mathbb F_{p^m}의 유한 확대 \mathbb F_{p^{mn/\mathbb F_{p^m}의 갈루아 군은 순환군 :\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^{mn/\mathbb F_{p^m})\cong\mathbb Z/n 이며, 프로베니우스 자기 동형의 m제곱 :\overbrace{ \operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m \circ \cdots \circ \operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m^m\in\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^{mn/\mathbb F_m) 은 그 생성원을 이룬다. 증명 \mathbb F_{p^{mn의 곱셈군 F_{p^{mn^\times은 p^{mn}-1차 순환군이므로, 임의의 a\in\mathbb F_{p^{mn^\times에 대하여 a^{p^{mn}-1}=1이며, 따라서 임의의 a\in\mathbb F_{p^{mn에 대하여 a^{p^{mn=a이다. 임의의 0에 대하여, x^{p^mi}=x의 근의 수는 p^{mi} 이하이므로, a^{p^{mi\ne a인 a\in\mathbb F_{p^{mn이 존재한다. 즉, :\phi=\overbrace{ \operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m \circ \cdots \circ \operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m^m 를 생성원으로 하는 순환군은 n차 순환군이다. \phi가 갈루아 군의 원소이므로, 이 순환군의 n개의 원소 역시 갈루아 군의 원소들이다. 그런데 갈루아 군의 원소의 수는 확대의 차수 :[\mathbb F_{p^{mn:\mathbb F_{p^m}]=n 이하여야 한다. 따라서 이 순환군은 갈루아 군 전체와 같다. 증명 끝
## 스킴 위의 갈루아 군의 작용
유한체 \mathbb F_{p^n} 위의 스킴 X/\mathbb F_{p^n}가 주어졌다고 하자. 유한체 \mathbb F_{p^n}은 완전체이므로 \mathbb F_{p^n}의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, X^{(p/\mathbb F_{p^n})} 및 X^{(p^{-1}/\mathbb F_{p^n})}은 X와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 X 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다. 이제, X의 \mathbb F_{p^n}-점들의 집합 X(\mathbb F_{p^n}) 위에는 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다. :(\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)\mapsto (\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow{\operatorname{Frob\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X) 또한, X(\mathbb F_{p^n}) 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다. :(\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)\mapsto (\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X\xrightarrow{\operatorname{Frob_aX) 이 두 작용은 서로 일치한다. 따라서, 산술 프로베니우스 사상 \operatorname{Frob}_{\operatorname a,X/\mathbb F_{p^n\colon (X^{(p/\mathbb F_{p^n})}\cong X)\to X은 \mathbb F_{p^n}-점의 집합 위의 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n의 작용을 나타낸다.
## 에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상
유한체 \mathbb F_p 위의 스킴 X/\mathbb F_p가 주어졌다고 하자. \bar X=X\otimes_{\mathbb F_p}\operatorname{Spec}\bar{\mathbb F}_p 위의 작은 에탈 위치 \bar X_{\operatorname{\acute et를 생각하자. 그렇다면, X 위의 상대 프로베니우스 사상 :\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}\colon \bar X\to\bar X 과 기하 프로베니우스 사상 :\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}X\colon \bar X\to\bar X 은 토포스 \bar X_{\operatorname{\acute et 위의 같은 기하학적 사상 :f\colon\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}=\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}\colon \bar X_{\operatorname{\acute et\to \bar X_{\operatorname{\acute et을 유도한다. 특히, \bar X_{\operatorname{\acute et 위의 아벨 군 값의 층 \mathcal F이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 \mathcal F의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다. :\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}^* =\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}^* \colon\operatorname H_{\operatorname{\acute et^\bullet(\bar X;\mathcal F) \to\operatorname H_{\operatorname{\acute et^\bullet(\bar X;f^*\mathcal F)
## 수론적 성질
대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 **프로베니우스 원소**(Frobenius element)라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.
### 국소체
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 두 비아르키메데스 국소체 L, K 사이의 비분기 유한 갈루아 확대 L/K 대수적 정수환 \mathcal O_L의 유일한 극대 아이디얼을 \mathfrak P\in\operatorname{Spec}\mathcal O_L라고 하고, \mathcal O_K의 유일한 극대 아이디얼을 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathcal O_K라고 하자. 그렇다면, 잉여류체 \mathcal O_L/\mathfrak P와 \mathcal O_K/\mathfrak p는 둘 다 유한체이며, :[\mathcal O_L/\mathfrak P:\mathcal O_K/\mathfrak p]=[L:K] 이다. (여기서 [:]는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소 :\operatorname{Frob}_{L/K}\in\operatorname{Gal}\left(\frac{\mathcal O_L/\mathfrak P}{\mathcal O_K/\mathfrak p}\right) 가 존재하며, 이를 L/K의 **프로베니우스 원소**라고 한다. :\operatorname{Frob}_{L/K}(x)\equiv x^{|\mathcal O_K/\mathfrak p|}\pmod{\mathfrak P}\qquad\forall x\in\mathcal O_L
### 대역체
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * K/\mathbb Q가 갈루아 확대인 대수적 수체 K * 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}(\mathcal O_K) (\mathcal O_K는 대수적 정수환). 소수 p에 대하여 \mathfrak p\mid p이며, \mathfrak p\mid p가 비분기라고 하자. \mathfrak p가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)은 \mathfrak p를 고정시킨다. 즉, \mathfrak p에서의 분해군(decompsition group) :G_{\mathfrak p}=\\{g\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)\colon g\cdot\mathfrak p=\mathfrak p\\} 은 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K/\mathbb Q) 전체이다. 이 경우, :g(x)\equiv x^p\pmod{\mathfrak p}\qquad\forall x\in\mathcal O_{K_{\mathfrak p 를 만족시키는 유일한 원소 :g\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}/\mathbb F_p) 가 존재한다. (여기서 K_{\mathfrak p}는 \mathfrak p진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 \mathbb F_p인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 \mathfrak p의 **프로베니우스 원소** \operatorname{Frob}_{\mathfrak p}\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}/\mathbb F_p)라고 한다.
# 예
유한체 계수의 유리 함수체 \mathbb F_p(t)의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, t는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 \mathbb F_p(t)는 완전체가 아니다.
# 역사
페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.url-status=dead