붙임 공간

위상수학에서 **붙임 공간**(-空間, attaching/adjunction space)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 밂이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 쌍대올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 밂을 이루지 않는다.) 이러한 경우, **호모토피 붙임 공간**(homotopy adjunction space)을 사용하여야 한다. 마찬가지로, **당김 공간**(-空間, pullback space)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 당김이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 당김을 이루지 않는다.) 이러한 경우, **호모토피 당김 공간**(homotopy pullback space)을 사용하여야 한다.
# 정의

## 붙임 공간
같은 정의역을 가진 두 연속 함수 :Y\xleftarrow gZ\xrightarrow fX 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 X\sqcup Y 위에 다음과 같은 이항 관계를 정의하자. :f(z)\succ g(z)\qquad\forall z\in Z 이는 일반적으로 대칭 관계도, 추이적 관계도 아니다. 이를 포함하는 가장 작은 동치 관계를 \sim라고 표시하자. 즉, x,y\in X\sqcup Y에 대하여, x\sim y라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다. :\forall x\in X,y\in Y\colon\left( x\sim y\iff\exists x_0,\dots,x_k\in X,y_0,\dots,y_k\in Y\colon x=x_0\succ y_0\prec x_1\succ y_1\prec x_2\succ\cdots\succ y_k=y\right) 마찬가지로, x,x'\in X에 대하여 x\sim x'이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다. :\forall x,x'\in X\colon\left( x\sim x'\iff\exists x_0,\dots,x_k\in X,y_1,\dots,y_k\in Y\colon x=x_0\succ y_1\prec x_1\succ y_2\prec x_2\succ\cdots\prec x_k=x'\right) 마찬가지로, y,y'\in Y에 대하여 y\sim y'이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다. :\forall y,y'\in Y\colon\left( y\sim y'\iff\exists x_1,\dots,x_k\in X,y_1,\dots,y_k\in Y\colon y=y_0\prec x_1\succ y_1\prec x_2\succ\cdots\succ y_k=y'\right) X와 Y의 f 및 g를 통한 **붙임 공간**은 분리합집합의 다음과 같은 몫공간이다. :X\cup_{f,g}Y=\frac{X\sqcup Y}{\sim} 이는 위상 공간의 범주의 밂을 이룬다. 붙임 공간의 구성에 따라, 붙임 공간은 Z의 위상에 의존하지 않는다. 따라서, Z에 f와 g에 대한 시작 위상을 부여하거나 이산 위상을 부여할 수 있다.
## 호모토피 붙임 공간
붙임 공간은 f나 g 가운데 하나가 쌍대올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 **호모토피 붙임 공간**을 사용하여야 한다. 연속 함수 :Y\xleftarrow gZ\xrightarrow fX 가 주어졌을 때, **호모토피 붙임** 또는 **이중 사상 기둥**(double mapping cylinder)은 다음과 같다. :X\cup_f Z\times[0,1]\cup_gY 이 경우, 표준적인 함수 :X\overset f\hookrightarrow X\cup_f Z\times[0,1]\cup_gY :Y\overset g\hookrightarrow X\cup_f Z\times[0,1]\cup_gY 는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) 쌍대올뭉치를 이룬다.
## 당김 공간
같은 공역을 가진 두 연속 함수 :Y\xrightarrow gZ\xleftarrow fX 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 **당김 공간**(pullback space)은 다음과 같은, 곱공간 X\times Y의 부분 공간이다. :X\times_{f,g}Y=\\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\\}\subseteq X\times Y 이는 위상 공간의 범주의 당김을 이룬다. 이 경우, 표준적 연속 함수 :X\times_ZY\to X :X\times_ZY\to Y 가 존재하지만, 이들은 일반적으로 올뭉치가 아니다.
## 호모토피 당김 공간
당김 공간은 f나 g 가운데 하나가 올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 **호모토피 당김 공간**을 사용하여야 한다. 같은 공역을 가진 두 연속 함수 :Y\xrightarrow gZ\xleftarrow fX 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 **당김 공간**(pullback space)은 다음과 같은, 곱공간 X\times\operatorname{path}(Z)\times Y의 부분 공간이다. :\\{(x,\gamma,y)\in X\times\operatorname{path}(X)\times Y\colon \gamma(0)=f(x),\;\gamma(1)=g(y)\\} 여기서 X^I는 (콤팩트-열린집합 위상을 부여한) 경로 공간이다.
# 예

## 사상뿔
연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \\{\bullet\\}\leftarrow X\xrightarrow fY에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 \\{\bullet\\}은 한원소 공간이다.) 이에 대한 붙임 공간은 Y의 몫공간 Y/f(X)이다. 그러나 이는 일반적으로 각종 분리 공리를 따르지 않는다. 반면, 호모토피 붙임 공간은 다음과 같은 뿔로 구성된다. :\operatorname{cone}(X)\cup_fY=\frac{(X\times[0,1])/(X\times\\{0\\})\sqcup Y}{((x,1)\sim f(x)\;\forall x\in X} 이를 **사상뿔**(寫像-, mapping cone)이라고 한다. 만약 X와 Y가 각종 분리 공리를 만족시킨다면, 그 사상뿔 역시 각종 분리 공리를 만족시킨다. 이는 호모토피 범주에서의 "몫공간"으로 생각할 수 있다. 사상뿔은 몫공간보다 더 나은 성질을 보이므로, 상대 호몰로지 \operatorname H_\bullet(X,A)는 보통 포함 함수 A\hookrightarrow X의 사상뿔의 축소 호몰로지로 정의된다. 특히, X=Y이며 f=\operatorname{id}_X일 경우, 이는 X 위의 **뿔**(cone) \operatorname{cone}(X)=X\times[0,1]/(X\times\\{0\\})이 된다.
## 사상기둥
연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X\xleftarrow{\operatorname{idX\xrightarrow fY에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 \operatorname{id}는 항등 함수이다.) 붙임 공간은 다음과 같은 X\sqcup Y의 몫공간이며, 이는 Y와 위상 동형이다. :X\cup_{\operatorname{id},f}Y=\frac{Y\sqcup X}{f(x)\sim x\;\forall x\in X}\cong Y 호모토피 붙임 공간은 다음과 같이, X 위의 기둥을 Y에 붙인 것이다. :X\times[0,1]\cup_{f\times\\{1\\Y=\frac{X\times[0,1]\sqcup Y}{f(x)\sim(x,1)\;\forall x\in X} 이를 **사상기둥**(寫像-, mapping cylinder) M_f라고 한다. :\begin{matrix} X&\xrightarrow f&Y;\\\ \|&&\downarrow\\\ X&\to&M;_f \end{matrix} 이 경우, 변형 수축 :M_f\to Y 이 존재하며, 따라서 M_f와 Y는 서로 호모토피 동치이다. 또한, :\tilde f\colon X\to M_f 는 쌍대올뭉치를 이룬다. 따라서, 모든 함수는 쌍대올뭉치 및 호모토피 동치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 쌍대올분해(cofibrant resolution)이다. 특히, X=Y이고 f=\operatorname{id}_X일 경우 사상기둥은 단순히 **기둥** X\times[0,1]이 된다.
## 이음
이음 (위상수학) 두 선분(녹색 및 청색으로 표시)의 이음은 위와 같이 사면체를 이룬다. 다음과 같은, 곱공간의 사영 사상의 (호모토피) 붙임 공간을 생각하자. :X\leftarrow X\times Y\to Y 이에 대한 붙임 공간은 한원소 공간이다. (이는 곱공간 사영 사상이 쌍대올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 반면, 이에 대한 호모토피 붙임 공간 :X*Y=\frac{X\times Y\times[0,1]}{(x,y,0)\sim(x,y',0),\;(x,y,1)\sim(x',y,1)\;\forall x,x'\in X,\;y,y'\in Y} 은 X와 Y의 **이음**이라고 하며, 일반적으로 축약 가능 공간이 아니다. 특히, 0차원 초구 \mathbb S^0=\\{0,1\\}와의 이음은 현수 \mathbb S^0*X=\operatorname SX라고 한다. 마찬가지로, 한원소 공간과의 이음은 뿔 \\{\bullet\\}*X=\operatorname{cone}(X)을 이룬다.
## 사상 경로 공간
함수의 그래프 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X\xrightarrow fY\xleftarrow{\operatorname{idY에 대한 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. (여기서 \operatorname{id}는 항등 함수이다.) 당김 공간의 경우는 이는 X\times Y의 부분 공간 위상을 부여한 f의 그래프 :\operatorname{graph}f=\\{(x,f(x))\in X\times Y\colon x\in X\\}\subseteq X\times Y 이며 따라서 X와 위상 동형이다. 호모토피 당김 공간의 경우, 이는 :\operatorname{cocyl}f=\\{(x,\gamma)\in X\times \operatorname{path}(Y)\colon f(x)=\gamma(0)\\} 를 이루며, 이를 **사상 경로 공간**(寫像經路空間, mapping path space) 또는 **사상 쌍대기둥**(mapping cocylinder)이라고 한다. 그렇다면, 가환 그림은 다음과 같다. :\begin{matrix} X&\to&Y;\\\ \downarrow&&\|\\\ \operatorname{cocyl}f&\to&Y; \end{matrix} 여기서 \operatorname{cocyl}f는 X와 약한 호모토피 동치이며 \tilde f\colon\operatorname{cocyl}f\to Y는 올뭉치이다. 따라서, 모든 함수는 호모토피 동치 및 올뭉치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 올분해(fibrant resolution)이다.
## 경로 공간
위상 공간 X의 두 점 x,x'\in X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, :\\{\bullet\\}\xrightarrow xX\xleftarrow{x'}\\{\bullet\\} 의 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. 당김 공간은 단순히 한원소 공간이다. (이는 점 포함 사상이 올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 그러나 호모토피 당김 공간은 더 많은 정보를 가진다. 구체적으로, 이는 X 위의, x에서 x'으로 가는 경로들의 공간이다. 만약 x=x'이라면, 이 호모토피 당김 공간의 경로 연결 성분들은 기본군 \pi_1(X,x)을 이룬다.
## 쐐기합
쐐기합 점을 가진 공간 (X,x), (Y,y)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, :X\xleftarrow x\\{\bullet\\}\xrightarrow yY 의 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. 붙임 공간은 쐐기합 X\vee Y=(X\sqcup Y)/\\{x,y\\}이다. 호모토피 붙임 공간은 :\frac{X\sqcup Y\sqcup[0,1]}{0\sim x,\;1\sim y} 이다. 즉, 선분 [0,1]의 양끝에 X와 Y를 각각 점에서 붙인 것이다. 이는 쐐기합과 호모토피 동치이다.