화살집 표현

**화살집 표현**(-表現, quiver representation)은 환론에서 화살집의 각 꼭짓점에 가군을 대응시키며 각 변에 가군 준동형을 대응시키는 수학 구조이다.언어=en
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 가환환 K * 화살집 Q
## 추상적 정의
Q의 K 계수 **화살집 표현** R는 다음과 같은 함자이다. :R\colon \operatorname{Free}(Q)\to \operatorname{Mod}_K 여기서 \operatorname{Free}(Q)는 Q로 생성되는 자유 범주이며, \operatorname{Mod}_K는 K-가군의 범주이다. 두 화살집 표현 R, S 사이의 **사상** \phi \colon R\to S은 함자 사이의 자연 변환이다.
## 구체적 정의
Q의 K 계수 **화살집 표현** R은 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 각 꼭짓점 v\in\operatorname V(Q)에 대하여, K-가군 R_v * 각 변 e\colon u\to v에 대하여, K-가군 준동형 R_e\colon R_u\to R_v 두 화살집 표현 R, S 사이의 **사상** \phi \colon R\to S은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 각 꼭짓점 v\in \operatorname V(Q)에 대하여, K-가군 준동형 \phi_v\colon R_v\to S_v 이는 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다. 임의의 변 e\colon u\to v에 대하여, :\begin{matrix} R_u & \overset{\phi_u}\to & S_u \\\ {\scriptstyle R_e}\downarrow{\color{White}\scriptstyle R_e} && {\color{White}\scriptstyle S_e}\downarrow\scriptstyle S_e \\\ R_v & \underset{\phi_v}\to & S_v \end{matrix}
## 환론적 정의
화살집 Q 속의, 길이 n\in\mathbb N의 **보행**(walk, path)은 다음 조건을 만족시키는 유한 개의 꼭짓점과 변들의 열 :v_n, e_{n-1},\dotsc,e_1,v_1, e_0, v_0 이다. :s(e_i)= v_i \forall i\in\\{0,\dotsc,n-1\\} :t(e_i)= v_{i+1} \forall i\in\\{0,\dotsc,n-1\\} (보행 속에서 같은 꼭짓점 또는 변이 중복되어 등장할 수 있으며, 길이 0의 보행 역시 가능하다. 길이 0의 보행들의 집합은 꼭짓점 집합과 일대일 대응한다.) Q의 보행들을 기저로 갖는 K-자유 가군 위에 다음과 같은 곱을 정의하자. * 임의의 두 보행 \alpha=(v_n,e_{n-1},\dotsc,e_0,v_0), \beta=(v'_{n'},e'_{n'-1},\dotsc,e'_0,v'_0)에 대하여, ** 만약 v_0=v'_{n'}이라면, \alpha\beta = (v_n,e_{n-1},\dotsc,e_0,v_0,e'_{n'-1},\dotsc,v'_0) ** 만약 v_0\ne v'_{n'}이라면, \alpha\beta=0 이는 유사환을 이루며, 만약 Q가 유한 개의 꼭짓점을 갖는다면, 이는 항등원 :1=\sum_{v\in\operatorname V(Q)}(v) 을 가져 환을 이룬다. 이를 Q 위의 **보행 대수**(walk algebra, path algebra) K[Q]라고 한다. 이제, 만약 Q의 꼭짓점 집합이 유한 집합일 경우, Q의 **K-표현**은 보행 대수 K[Q]의 왼쪽 가군 R이다. 이 정의들은 다음과 같이 대응한다. {| class=wikitable ! 범주론적 정의 !! 구체적 정의 !! 환론적 정의 |- | 꼭짓점 v에 대응하는 대상의 상 R(v) | 꼭짓점 v에 대응되는 가군 R_v | (v)R ((v)는 길이 0의 보행) |- | 변 e에 대응하는 사상의 상 R(e) | 변 e\colon u\to v에 대응하는 가군 준동형 R_e\colon R_u\to R_v | 길이 1의 보행 (u,e,v)의 작용 (u,e,v)\colon (v)R\to (u)R |- | 보행 (v_n,\dotsc,e_0,v_0)에 대응하는 사상의 상 R(e_{n-1})\circ\dotsb\circ R(e_0) | 보행의 변들에 대응하는 가군 준동형들의 합성 R_{e_{n-1\circ\dotsb\circ R_{e_0}\colon R_{v_0}\to R_{v_n} | 보행의 작용 |}
# 연산

## 분리합
화살집들의 집합 (Q_i)_{i\in I} 및 각 i\in I에 대하여 Q_i의 표현 R^{(i)}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 \textstyle\bigsqcup_{i\in I}Q_i의 K-표현 \textstyle\bigsqcup_{i\in I}R^{(i)}이 자연스럽게 존재한다. 반대로, \textstyle\bigsqcup_{i\in I}Q_i의 모든 K-표현은 Q_i들의 표현들의 족 (R^{(i)})_{i\in I}의 분리합으로 유일하게 나타내어진다. (이는 화살집의 분리합집합이 대응되는 범주의 쌍대곱에 대응하기 때문이다.)
## 직합
화살집 Q의 K-표현들의 집합 (R^{(i)})_{i\in I}의 **직합**은 다음과 같은 화살집 표현이다. :R_v = \bigoplus_{i\in i}R^{(i)}_v\qquad(v\in\operatorname V(Q)) :R_e = \bigoplus_{i\in i}R^{(i)}_e\qquad(e\in\operatorname E(Q)) 직합의 항등원은 모든 성분이 영가군인 **영 표현**(零表現, zero representation)이다. 하나 이상의 영 표현이 아닌 화살집 표현들의 직합으로 표현될 수 없는 화살집 표현을 **분해 불가능 표현**(分解不可能表現, indecomposable representation)이라고 한다.
# 성질
임의의 가환환 K 및 화살집 Q에 대하여, Q의 K-표현들의 범주는 (작은 범주에서 아벨 범주로 가는 함자 범주이므로) 아벨 범주이다.
## 가브리엘 정리
\mathsf A_n · \mathsf D_n · \mathsf E_n 꼴의 근계의 [[딘킨 도표]] **가브리엘 정리**(Gabriel定理, Gabriel’s theorem)에 따르면, 화살집 Q에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 분해 불가능 복소수 표현의 동형류의 수가 유한하다. * 유한 개의 연결 성분을 가지며, 각 연결 성분은 (변의 방향을 망각하면) \mathsf A_n · \mathsf D_n · \mathsf E_6 · \mathsf E_7 · \mathsf E_8 꼴의 딘킨 도표를 이룬다. (특히, 다중 그래프일 수 없다.) 또한, 위와 같은 꼴의 연결 화살집의 분해 불가능 K-표현의 동형류는 이에 대응되는 (A/D/E 꼴의) 근계의 양근과 일대일 대응한다.
# 예
임의의 가환환 K가 주어졌다고 하자. 공집합(즉, 0개의 꼭짓점을 갖는 화살집)은 유일한 (자명한) K-표현을 갖는다.
## A₁
하나의 꼭짓점을 갖는 화살집 \mathsf A_1의 표현들은 K-가군이다. 특히, 만약 K가 체일 때, \mathsf A_1의 분해 불가능 K-표현은 1차원 표현 K 밖에 없다. (이는 \mathsf A_1 근계의 유일한 양근에 대응한다.)
## A₂
\mathsf A_2 근계는 세 개의 양근 \alpha, \beta, \alpha+\beta를 갖는다. 두 개의 꼭짓점을 갖는 화살집 \mathsf A_2의 표현들은 두 K-가군 사이의 가군 준동형이다. 특히, 만약 K가 체일 때, :\mathsf A_2=\underset u\bullet\overset e-\underset v\bullet 의 분해 불가능 K-표현은 다음 세 개이다. (이는 \mathsf A_2 근계의 세 양근에 대응한다.) * R_u = K, R_v = 0, R_e는 값이 0인 상수 함수 * R_u = 0, R_v = K, R_e는 값이 0인 상수 함수 * R_u = R_v = K, R_e는 항등 함수
# 역사
가브리엘 정리는 피에르 가브리엘(Pierre Gabriel, 1933~2015)이 1972년에 증명하였다.언어=de73, §1.2, Satz