람다 환

가환대수학과 대수적 위상수학에서 **람다 환**(λ環, λ-ring)은 벡터 공간의 외대수 연산과 유사한 공리들을 만족시키는 일련의 연산들이 부여된 가환환이다.
# 정의

## 다항식 *P**'n*, *P**'m*,*n*
기본 대칭 다항식 :e_i\in\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]\qquad\forall i\in\\{0,1,\dots,n\\} :e_i(x_1,\dots,x_n)=\sum_{1\le j_1 을 정의하자. 다항식 :P_n\in\mathbb Z[x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n]\qquad\forall n\in\mathbb N :P_{m,n}\in\mathbb Z[x_1,\dots,x_{mn}]\qquad\forall m,n\in\mathbb N 은 다음 성질에 의하여 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.8, §2.1 :\sum_nP_n\left(e_1(\vec x),\dots,e_n(\vec x),e_1(\vec y),\dots,e_n(\vec y)\right)t^n=\prod_{i,j=1}^n(1+x_iy_jt)\in\mathbb Z[t,\vec x,\vec y] :\sum_m P_{m,n}(x_1,\dots,x_{mn})t^m=\prod_{1\le i_1 여기서 다음과 같은 약자를 사용하였다. :\vec x=(x_1,x_2,\dots,x_n) :\vec y=(y_1,y_2,\dots,y_n)
## 람다 환
**람다 환**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.7, Definition 2.1§16.4언어=en7, Definition 1.10 * 가환환 R * 각 자연수(음이 아닌 정수) n\in\mathbb N에 대하여, 함수 \lambda^n\colon R\to R. 이들을 n차 **람다 연산**(nth λ-operation)이라고 한다. 이 함수 \lambda^n들은 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다. :\lambda^0(r)=1\qquad\forall r\in R :\lambda^1(r)=r\qquad\forall r\in R :\lambda^n(1)=0\qquad\forall n\ge2 :(합의 람다 연산) \lambda^n(r+s)=\sum_{i+j=n}\lambda^i(r)\lambda^j(s)\qquad\forall r,s\in R,\;n\in\mathbb N :(곱의 람다 연산) \lambda^n(rs)=P_n(\lambda^1(r),\dots,\lambda^n(r),\lambda^1(s),\dots,\lambda^n(s))\qquad\forall r,s\in R,\;n\in\mathbb N :(람다 연산의 합성) \lambda^m(\lambda^n(r))=P_{m,n}(\lambda^1(r),\dots,\lambda^{mn}(r))\qquad\forall r\in R\;n\in\mathbb N 람다 환의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 람다 환 R, R' 사이의 **준동형**은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, 환 준동형 f\colon R\to R' 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.§16.410, Definition 1.25 :f(\lambda^n(r))=\lambda^n(f(r))\qquad\forall r\in R,\;n\in\mathbb N 람다 환과 람다 환 준동형은 범주 \lambda\text{-Ring}를 이룬다.
## 애덤스 연산
코호몰로지 연산의 일종인 애덤스 연산을 위상 K군으로부터 임의의 람다 환에 대하여 일반화할 수 있다.§2.2 람다 환 R에 대하여, 람다 연산의 생성 함수를 정의하자.(16.10)7, (1.7) :\lambda_t(r)=\sum_{i=0}^\infty\lambda^i(r)t^i\in Rt 그렇다면, R 위의 **애덤스 연산** :\Psi^n\colon R\to R\qquad\forall n\in\mathbb Z^+ :\Psi_t(r)=\sum_{i=1}^\infty\Psi^i(r)t^i\in Rt 은 다음과 같다.§16.20 :\Psi_t(r)=-t\frac{\operatorname d}{\mathrm dt}\ln\left(\lambda_{-t}(r)\right)\qquad\forall r\in R 즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의할 수도 있다.
# 성질
람다 환 R에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. * \lambda_t\colon(R,+)\to Rt^\times는 아벨 군의 준동형을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.7, Proposition 1.13 *:\lambda_t(r+s)=\lambda_t(r)\lambda_t(s)\qquad\forall r,s\in R *:\lambda_t(0)=1 *:\lambda_t(-r)=\lambda_t(r)^{-1}\qquad\forall r\in R * 정수 n\in\mathbb Z에 대하여, \lambda_t(n)=(1+t)^n이다.
## 범주론적 성질
람다 환의 범주에서 가환환의 범주 \operatorname{CRing}로 가는 망각 함자 :F\colon\lambda\text{-Ring}\to\operatorname{CRing} 는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.언어=en§16.1 :S\dashv F\dashv\Lambda 여기서 * 함자 S\colon\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring}는 **자유 람다 환**(free λ-ring) 함자이다. 이는 람다 환이 대수 구조 다양체를 이루므로 항상 존재한다. * 함자 \Lambda\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring}는 가환환 R를 1+xRx 위의 람다 환 구조로 대응시킨다.
# 예

## 이항환
다음 두 조건을 만족시키는 가환환 R를 **이항환**(二項環, binomial ring)이라고 한다. * 덧셈군 (R,+)의 꼬임 부분군이 자명군이다. 즉, 표준적 준동형 \iota\colon R\to R\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q는 단사 함수이다. * 모든 이항 계수 \textstyle\binom rn\;(r\in R)를 원소로 포함한다. 즉, 임의의 r\in R 및 n\in\mathbb N에 대하여, \iota(s)=\textstyle\binom rn=r(r-1)\cdots(r-n+1)/n!\in R\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q가 되는 s\in R가 (유일하게) 존재한다. 이항환 R 위에 \lambda^n(k)=\textstyle\binom kn을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다.Theorem 5.3 예를 들어, (한원소 공간 위의 위상 K군인9, Example 1.16) 정수환 \mathbb Z\cong\operatorname K^0(\\{\bullet\\})는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.6, §1.2.1 이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수인 람다 환의 개념과 동치이다.언어=en
## 비트 벡터
비트 벡터 가환환 R 위의 형식적 멱급수환 Rx 속의, x^0항의 계수가 1인 형식적 멱급수들로 구성된 부분 집합 :\Lambda(R)=1+xRx\subseteq Rx 을 생각하자. 이는 Rx-곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다. \Lambda(R) 위에 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.언어=en7, §2§9.1 * \Lambda(R)의 덧셈은 Rx의 곱셈이다. * \Lambda(R)의 곱셈은 다음과 같다.§9.15 *:(1+r_1x+r_2x^2+\cdots)\cdot(1+s_1x+s_2x^2+\cdots)=1+\sum_{n=1}^\infty P_n(r_1,\dots,r_n,s_1,\dots,s_n)x^n * \Lambda(R)의 람다 연산은 다음과 같다.(16.8) *:\lambda^n(1+r_1x+r_2x^2+\cdots)=1+\sum_{m=1}^\infty P_{m,n}(r_1,\dots,r_{mn})t^m 이 환은 R 계수의 (큰) 비트 벡터 환 \operatorname{WittVector}(R)과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로 R^{\mathbb Z^+} 위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 가환환 구조로 정의된다. 이 경우 :\operatorname{WittVector}(R)\to\Lambda(R) :(x_1,x_2,\dots)\mapsto\frac1{(1-x_1t)(1-x_2t^2)\cdots}\in\mathbb Rt 는 환의 동형을 정의한다.(9.22)Theorem 4.16 이를 **아르틴-하세 지수 함수**(Artin–Hasse exponential map)라고 한다. 이는 함자 :\Lambda\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring} 를 정의하며, 이는 망각 함자 :F\colon\lambda\text{-Ring}\to\operatorname{CRing} 의 오른쪽 수반 함자이다. :F\dashv\Lambda
## 대칭 다항식 환
가산 무한 개의 변수 \vec x=(x_1,x_2,\dots)의 형식적 멱급수환 Z\vec x을 생각하자. Z\vec x의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수 x_i들의 곱이다. 가산 무한 개의 변수 \vec x=(x_1,x_2,\dots)의 **대칭 다항식** p\in Z\vec x은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.§2.2(9.38), (9.39) * 임의의 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb Z^+)에 대하여 p(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\dots)=p(x_1,x_2,\dots)이다. (여기서 \operatorname{Sym}(\mathbb Z^+)는 양의 정수의 집합 위의 대칭군이다.) * p에 속하는 항들의 계수의 집합은 유계 집합이다 (즉, 상계를 갖는다). 대칭 다항식들의 집합은 \mathbb Z\vec x의 부분환을 이루며, 그 모든 원소는 기본 대칭 다항식 :e_i(\vec x)=\sum_{1\le j_1 들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을 \mathbb Z[e_0(\vec x),e_1(\vec x),\dots,]로 표기할 수 있다. 그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.§16.65 :\lambda^m\colon e_n(\vec x)\mapsto P_{m,n}(e_1(\vec x),\dots,e_{mn}(\vec x)) 그렇다면, \mathbb Z[e_1(\vec x),\dots,e_n(\vec x)]는 1변수 정수 계수 다항식환 \mathbb Z[e] 위의 자유 람다 환이다.Theorem 2.1Theorem 16.74 즉, 자유 람다 환 함자 S\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring} 함자 아래 \mathbb Z[e]의 상이다. 또한, S 아래 임의의 환 준동형 :f\colon\mathbb Z[e]\to R :f\colon e\mapsto f(e)\in R 의 상은 다음과 같은 람다 환 준동형이다. :Sf\colon \mathbb Z[e_1(\vec x),\dots,e_n(\vec x)]\to R :Sf\colon e_n\mapsto \lambda^n(f(e))
## 위상 K이론
파라콤팩트 하우스도르프 공간 X 위의 위상 K군 \operatorname K_K^0(X)는 람다 환을 이룬다.9, Example 1.16 이 경우 \lambda^n은 벡터 다발 위의 외대수 \lambda^n[E]=[\Lambda^n(E;K)]이다.
## 표현환
유한군 G 위의 체 K 계수 표현환 \operatorname{Repr}(G;K) (군의 유한 차원 K-벡터 공간 표현들의 반환의 그로텐디크 구성)은 람다 환을 이룬다.9, Example 1.17 이 경우, \lambda^n은 군의 표현의 외대수이다. :\lambda[r-r']=\lambda(r^{\wedge n}-r'^{\wedge n})\qquad (r\colon G\to V,\;r'\colon G\to V',\;r^{\wedge n}\colon G\to\Lambda^nV,\;r'^{\wedge n}\colon G\to \Lambda^nV
# 역사
알렉산더 그로텐디크가 1958년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.언어=fr§16.1 역사적으로, P_n 및 P_{m,n}으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"(special λ-ring)으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.§16.1