분리 집합쌍

일반위상수학에서 **분리 집합쌍**(分離集合雙, separated pair of sets)은 서로의 폐포와 겹치지 않는 두 개의 집합을 뜻한다. 이 개념 및 이를 강화한 조건들을 통해, 위상 공간의 다양한 **분리공리**(分離公理, separation axiom)들을 정의할 수 있다.
# 정의
위상 공간 X의 두 부분 집합 A,B\subseteq X에 대하여, 다음을 정의한다. * 만약 A\cap B=\varnothing이라면, A와 B는 **서로소 집합쌍**(-素集合雙, disjoint pair of sets)이다. * 만약 A\cap\operatorname{cl}(B)=\varnothing이거나 또는 \operatorname{cl}(A)\cap B=\varnothing이라면, A와 B는 **위상 구별 가능 집합쌍**(位相區別可能集合雙, topologically distinguishable pair of sets)이다. * 만약 A\cap\operatorname{cl}(B)=\operatorname{cl}(A)\cap B=\varnothing이라면, A와 B는 **분리 집합쌍**(分離集合雙, separated pair of sets)이다. * 만약 \tilde A\cap\tilde B=\varnothing이 되는 A의 근방 \tilde A\supseteq A 및 B의 근방 \tilde B\supseteq B가 존재한다면, A와 B는 **근방 분리 집합쌍**(近傍分離集合雙, neighborhood-separated pair of sets)이다. * 만약 \tilde A\cap\tilde B=\varnothing이 되는 A의 닫힌 근방 \tilde A\supseteq A 및 B의 닫힌 근방 \tilde B\supseteq B가 존재한다면, A와 B는 **닫힌 근방 분리 집합쌍**(-近傍分離集合雙, closed-neighborhood-separated pair of sets)이다. * 만약 f(A)=\\{0\\}이자 f(B)=\\{1\\}인 연속 함수 f\colon X\to[0,1]가 존재한다면, A와 B는 **함수 분리 집합쌍**(函數分離集合雙, functionally separated pair of sets)이다. * 만약 f^{-1}(0)=A이자 f^{-1}(1)=B인 연속 함수 f\colon X\to[0,1]가 존재한다면, A와 B는 **정밀 함수 분리 집합쌍**(精密函數分離集合雙, precisely functionally separated pair of sets)이다. 이 경우, A는 닫힌집합 \\{0\\}의 원상이므로 X의 닫힌집합이며, 또한 가산 개의 열린집합들 \\{f^{-1}([0,1/n))\\}_{n\in\mathbb Z^+}의 교집합이므로 Gδ 집합이다. 이는 B도 마찬가지다. 이들 사이에는 서로 함의 관계 전순서가 존재한다. :서로소 ⇐ 분리 ⇐ 근방 분리 ⇐ 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리 ⇐ 정밀 함수 분리 이 가운데 자명하지 않은 것은 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리로, 만약 A와 B가 f\colon X\to[0,1]에 의하여 서로 함수 분리라면, \tilde A=f^{-1}([0,1/3]), \tilde B=f^{-1}([2/3,1])로 놓으면 이들이 닫힌 근방 분리임을 알 수 있다.
# 성질
위상 공간 X에 대하여, 다음과 같은 꼴의 조건을 정의할 수 있다. :〜인 부분 집합 A,B\subseteq X에 대하여, 만약 A\cap B=\varnothing이라면, A와 B는 〜분리이다. 이러한 조건을 **분리공리**라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다. (아래 표에서, "점"이란 사실 한원소 집합을 뜻한다.) {| class="wikitable" || 분리 ||근방 분리 || 닫힌 근방 분리 || 함수 분리 || 정밀 함수 분리 |- ! 점과 점 || 콜모고로프 공간 || T1 공간 || 하우스도르프 공간 || 우리손 공간 || 완비 하우스도르프 공간 || ㉢ |- ! 점과 닫힌집합 || 모든 위상 공간 || R0 공간 | colspan=2 | 정칙 공간 || 완비 정칙 공간 || ㉣ |- ! 닫힌집합과 닫힌집합 | colspan=2 | 모든 위상 공간 | colspan=3 | 정규 공간 || 완전 정규 공간 |- ! 점과 열린집합 |rowspan=2| 모든 위상 공간 | colspan=4 | ㉠ || 이산 공간 |- ! 열린집합과 닫힌집합 | colspan=5 | ㉠ |- ! 열린집합과 열린집합 | colspan=3 | 모든 위상 공간 | ㉡ | colspan=2 | ㉠ |} 여기서 * ㉠은 모든 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. (마찬가지로, 모든 닫힌집합도 열린닫힌집합이다.) * ㉡은 모든 정칙 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. 이는 ㉠보다 약한 조건이다. (예를 들어, 시에르핀스키 공간은 ㉡을 만족시키지만 ㉠을 만족시키지 않는다.) * ㉢에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 공간 + (모든 한원소 집합이 Gδ 집합)에 의하여 함의된다. * ㉣에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 하우스도르프 공간 + (모든 닫힌집합이 Gδ 집합)을 함의하며, 완전 정규 하우스도르프 공간에 의하여 함의된다.

'''증명 (㉠과 동치인 조건들):

다음 함의 관계들을 증명하면 족하다. * (A) 열린집합과 닫힌집합이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치 * (A′) 열린집합과 점이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치 * (A″) 열린집합과 열린집합이 함수 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치 * (B) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 열린(닫힌)집합은 정밀히 함수 분리 * (B′) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 점은 함수 분리 (A): 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, U와 닫힌집합 X\setminus U가 분리되었다고 하자. 그렇다면 \varnothing=(X\setminus U)\cap\operatorname{cl}(U)=\operatorname{cl}(U)\setminus U이므로 U는 닫힌집합이다. (A′): 귀류법을 통해, 닫힌집합이 아닌 열린집합 U\subseteq X이 존재한다면, x\in\operatorname{cl}(U)\setminus U를 고를 수 있으며, 이 경우 \\{x\\}와 U는 서로 분리되지 않는다. (A″): 함수 분리되는 두 집합은 항상 닫힌집합이다. (B): X에서 모든 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 임의의 두 서로소 열린닫힌집합 A,B\subseteq X에 대하여, :f\colon X\to[0,1] :f\colon x\mapsto\begin{cases} 0&x;\in A\\\ 1&x;\in B\\\ 1/2&x;\in X\setminus(A\cup B) \end{cases} 는 A와 B를 정밀히 분리하는 연속 함수이다. (B′): X에서 열린집합과 닫힌집합이 일치한다고 하자. 열린집합 U\subseteq X와 x\in X\setminus U를 고른 뒤, V=\operatorname{cl}(\\{x\\})로 놓자. 그렇다면 (B)에 의하여 U와 V를 분리하는 함수가 존재한다.

**증명 (㉡과 동치인 조건):**

다음 함의 관계들을 증명하면 족하다. * (C) 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리 ⇒ 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합 * (C′) 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합 ⇒ 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리 (C): X의 임의의 정칙 열린집합 U에 대하여, V=\operatorname{int}(X\setminus U)라고 하자. 그렇다면 :\operatorname{cl}V=X\setminus U 이다. 이제, U와 가 닫힌 근방 분리된다는 것은 :\varnothing=\operatorname{cl}(U)\cap\operatorname{cl}(V)=\operatorname{cl}U\setminus U 를 뜻하므로, U는 닫힌집합이다. 따라서, 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합이다. (C′): X에서 모든 정칙 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, X의 두 서로소 열린집합 U,V\subseteq X에 대하여, :\tilde U=\operatorname{int}(\operatorname{cl}(U))=\operatorname{cl}U :\tilde V=X\setminus\operatorname{cl}(U) 라고 하자. 그렇다면 \tilde U는 U의 닫힌 근방이며, :U\subseteq\operatorname{cl}(U)\subseteq X\setminus V 이므로 \tilde V는 V의 닫힌 근방이다. 따라서 U와 V는 닫힌 근방으로 분리된다.

'''증명 (이산 공간과 동치인 조건):

한원소 집합과 열린집합이 정밀히 함수로 분리된다는 것은 모든 열린집합이 닫힌집합이며, 또 한원소 집합이 닫힌집합이어야 한다는 것을 함의한다. 후자는 T1 공간의 정의이며, 따라서 이러한 공간은 이산 공간이다. 반대 방향 함의는 자명하다.

'''증명 (㉢의 함의):

완비 정칙 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.id=G-delta subspace * 모든 한원소 집합이 Gδ 집합이다. * 임의의 x\in X에 대하여, f^{-1}(\max_{y\in X}f(y))=\\{x\\}인 연속 함수 f\colon X\to\mathbb R가 존재한다. 따라서, 임의의 x,x'\in X에 대하여 :f^{-1}(\max_{y\in X}f(y))=\\{x\\} :f'^{-1}(\max_{y\in X}f'(y))=\\{x'\\} 인 f,f'\colon X\to\mathbb R를 고른다면, :y\mapsto \frac12+ \frac{f(x)-\max\\{f(y),f(x')\\{2(f(x)-f(x'))} -\frac{f'(x')-\max\\{f'(y),f'(x)\\{2(f'(x)-f(x))} 는 x와 x'을 정밀히 분리한다.