근접 대수

associativity)을 만족시키는 일반적인 대수 순서론에서 **근접 대수**(近接代數, incidence algebra)는 부분 순서 집합에 대하여 정의된, 일반화 뫼비우스 반전 공식이 성립하는 단위 결합 대수이다.
# 정의
**국소 유한 부분 순서 집합**(locally finite poset)은 모든 폐구간이 유한집합인 부분 순서 집합이다. 즉, 부분 순서 집합 (P,\le)가 주어지고, 임의의 a,b\in P에 대하여 폐구간 :[a,b]=\\{x\in P\colon a\le x\le b\\} 가 유한집합이라면, (P,\le)를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다. 국소 유한 부분 순서 집합 (P,\le)와, (단위원을 갖는) 가환환 R가 주어졌다고 하고, \mathcal C(P)\subset\mathcal P(P)가 P 속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이라고 하자. P 위의, R 계수의 **근접 대수** I(P;R)는 \mathcal C(P)\to R 꼴의 함수들의 집합이다. f\in I(P;R)에 대하여, 편의상 f([a,b])=f(a,b)로 쓰자. 또한, f\in I(P;R)는 일종의 행렬로 생각할 수 있다. 즉, f(a,b)를 (무한할 수 있는) 행렬 :(f)_{a,b}=\begin{cases} f(a,b)&a;\le b\\\ 0&a;\not\le b \end{cases} 로 생각할 수 있다.
## 점별 덧셈과 곱셈
근접 대수 I(P;R) 위에는 다음과 같은 R-대수 구조 및 합성곱을 정의할 수 있다. * (덧셈) (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b) * (곱셈) (fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b) 덧셈과 곱셈 아래, 근접 대수 ((I(P;R),+,\cdot)는 R-가환 대수를 이룬다. 즉, I(P;R)는 가환환을 이루며, 표준적인 단사 환 준동형 :R\hookrightarrow I(P;R) :r\mapsto ([a,b]\mapsto r) 이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 상수 함수 :\zeta\in I(P;R) :\zeta(a,b)=1\qquad\forall a,b\in P 이며, 이를 **제타 함수**(zeta function)라고 한다. 근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 아다마르 곱에 대응한다.
## 합성곱
또한, 근접 대수 I(P;R) 위에는 **합성곱**(convolution)이라는 다음과 같은 이항 연산 *이 존재한다. :(f*g)(a,b)=\sum_{a\le x\le b}f(a,x)g(x,b) 근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 합성곱은 행렬의 곱에 대응한다. 즉, :(f*g)_{ab}=\sum_xf_{ax}g_{xb} 가 되어 좌변은 행렬의 곱이 된다. 합성곱은 결합 법칙 및 덧셈과의 분배 법칙을 따르지만, 일반적으로 교환 법칙은 따르지 않는다. 합성곱의 항등원은 **델타 함수** \delta\in I(P;R)이다. :\delta(a,b)=\begin{cases}1&a;=b\\\0&a;\ne b\end{cases} 이는 일종의 단위 행렬이다. 따라서, 합성곱 아래 근접 대수 (I(P;R),+,*)는 R 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 체 계수의 근접 대수의 원소 f\in I(P;R)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * f는 합성곱 아래 역원을 갖는다. * 임의의 a\in P에 대하여 f(a,a)\ne0이다. 제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 **뫼비우스 함수** \mu\in I(P;R)라고 하며 다음과 같다. :\mu(a,b)=\begin{cases} 1&a;=b\\\ -\sum_{a\le x< b}\mu(a,x)&a;**: \zeta*\mu=\mu*\zeta=\delta
## 함수 위의 작용
국소 유한 부분 순서 집합 P가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. :|\\{x\in P\colon a\le x\\}|<\aleph_0\qquad\forall a\in P (P가 최대 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 또한, 가환환 R 및 R-가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 근접 대수 (I(P;R),+,*)는 P 위의, M 값을 갖는 함수의 집합 M^P 위에 다음과 같이 작용한다. :(f*\phi)(a)=\sum_{a\le b}f(a,b)\phi(b) 즉, M^P는 환 (I(P;R),+,*)의 왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, 만약 P가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. :|\\{x\in P\colon x\le a\\}|<\aleph_0\qquad\forall a\in P (P가 최소 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 또한, 가환환 R 및 R-가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 근접 대수 (I(P;R),+,*)는 P 위의, M 값을 갖는 함수의 집합 M^P 위에 다음과 같이 작용한다. :(f*\phi)(b)=\sum_{a\le b}\phi(a)f(a,b) 즉, M^P는 환 (I(P;R),+,*)의 오른쪽 가군을 이룬다. 만약 :\chi=f*\phi\qquad(\chi,\phi\in M^P,\;f\in I(P;R)) 이며, f가 합성곱 아래 역원을 갖는다면 :\phi=f^{-1}*\chi 가 된다. 특히, 만약 f=\zeta일 경우 f^{-1}=\mu이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다. :\chi(a)=(\zeta*\phi)(a)=\sum_{a\le b}\phi(b)\iff \phi(a)=(\mu*\chi)(a)=\sum_{a\le b}\mu(a,b)\chi(b) 마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다. :\chi(b)=(\phi*\zeta)(b)=\sum_{a\le b}\phi(a)\iff \phi(b)=(\chi*\mu)(b)=\sum_{a\le b}\chi(a)\mu(a,b) 이를 **뫼비우스 반전 공식**(Möbius inversion formula)이라고 한다. 이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다.
# 예
대표적인 근접 대수들은 다음과 같다. 아래 예들에서 계수환은 항상 R=\mathbb Z이다. {| class="wikitable" |- ! 집합 P !! 부분 순서 a\le b !! 뫼비우스 함수 \mu(a,b) !! 반전 공식 |- | 양의 정수의 집합 \mathbb Z^+ || a는 b의 약수: a \mid b || \mu(b/a) (\mu(r)는 수론에서의 뫼비우스 함수) || 뫼비우스 반전 공식 |- | 음이 아닌 정수의 집합 \mathbb N || a\le b || \begin{cases}1&a;=b\\\\-1&a;+1=b\\\0&a;+1 || 유한 차분의 기본 정리 \Delta\mathcal If=f (\Delta f(n)=f(n)-f(n-1)는 유한 차분, \mathcal If(n)=f(0)+f(1)+\cdots+f(n)) |- | 유한 집합 E의 멱집합 \mathcal P(E) || a\subseteq b || (-1)^{|b\setminus a|} || 포함배제의 원리 |- | 유한 집합 E의 분할들의 집합 || a가 b보다 더 세밀한 분할 || (-1)^{|a|-|b|}(2!)^{|b|_3}(3!)^{|b|_4}\cdots((n-1)!)^{|b|_{|a|. |a|는 a의 블록 수, |b|는 b의 블록 수, |b|_i는 정확하게 i개의 a-블록들을 포함하는 b-블록들의 수 || |}
# 역사
잔카를로 로타가 1964년 정의하였다.언어=en