리 지수 사상

리 군론에서 **리 지수 사상**(指數寫像, Lie exponential map)은 어떤 리 군을 공역으로 하고, 그 리 대수를 정의역으로 하는 특별한 함수이다. 행렬군의 경우 이는 행렬의 지수 함수와 같다.
# 정의
(유한 차원) 리 군 G의 리 대수 \operatorname{Lie}(G)=\mathrm T_1G = \mathfrak g를 생각하자. 그렇다면, 임의의 x\in \mathfrak g에 대하여, :\gamma_x\colon \mathbb R\to G :\gamma_x(0) = 1 :\dot\gamma_x(0) = x \in \mathrm T_1G = \mathfrak g 가 되는 매끄러운 함수인 군 준동형이 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 이에 따라, G의 **리 지수 사상**은 다음과 같은 함수이다. :\exp_G \colon \mathfrak g \to G :\exp_G \colon x \mapsto \gamma_x(1)
## 구체적 정의
리 군 G가 다음과 같이 행렬군의 부분군이라고 하자. :G \hookrightarrow \operatorname{GL}(n;\mathbb R) 즉, G가 충실한 n차원 실수 표현을 갖는다고 하자. 그렇다면, G의 리 대수 \operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g 역시 실수 표현 :\mathfrak g \hookrightarrow\mathfrak{gl}(n;\mathbb R) 을 갖는다. 이 경우, G의 리 지수 사상은 행렬 지수 함수와 같다. :\exp_G\colon\mathfrak g\to G :\exp_G\colon x \mapsto \sum_{k=0}^\infty \frac1{k!}x^n=1+x+\frac12x^2+\dotsb
# 성질
리 지수 사상은 매끄러운 함수이며, 그 치역은 리 군 G의 항등원을 포함하는 연결 성분 G_1의 부분 집합이다. :\exp_G \colon \mathfrak g\to G_1
## 항등식
리 지수 사상은 다음을 만족시킨다. :\exp((s+t)x) = \exp(sx) \exp(tx)\qquad(s,t\in\mathbb R,\;x\in\mathfrak g) :\exp(-x) = \exp(x)^{-1} \qquad(x\in\mathfrak g) :\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)\qquad(x,y\in\mathfrak g,\;[x,y]=0) 또한, 리 군의 스스로의 리 대수 위의 딸림표현 :\operatorname{Ad}\colon G\times\mathfrak g\to\mathfrak g :\operatorname{Ad}\colon (g,x)\mapsto \operatorname{Ad}_g(x) 에 대하여, 다음이 성립한다. :\operatorname{Ad}_{\exp x}(y) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{k!}\operatorname{ad}_x^k(y) =y + [x,y] + \frac12[x,[x,y]] + \frac16[x,[x,[x,y]]] + \dotsb
## 함자성
리 지수 함수는 유한 차원 실수 리 대수의 범주 \operatorname{fdLie}_{\mathbb R}에서, 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형 :f\colon G\to H 가 주어졌다고 하자. 이는 리 대수 사이의 준동형 :f_*\colon \operatorname{Lie}(G)\to\operatorname{Lie}(H) 를 유도한다. 그렇다면, 지수 함수는 다음 그림을 가환 그림으로 만든다. 즉, 리 지수 함수는 함자성을 갖는다. :\begin{matrix} \operatorname{Lie}(G) & \overset{f_*}\to & \operatorname{Lie}(H) \\\ {\scriptstyle\exp}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exp} & & {\color{White}\scriptstyle\exp}\downarrow {\scriptstyle\exp}\\\ G &\underset f\to & H \end{matrix}
## 전사성
리 군 G가 만약 다음 세 조건 가운데 적어도 하나 이상을 만족시킨다면, 그 리 지수 사상은 전사 함수이다. * G는 연결 공간이며 콤팩트 공간이다. * G는 연결 공간이며 멱영군이다. * G는 \operatorname{GL}(n;\mathbb C)의, 이산군에 대한 몫군이다.
# 예

## 아벨 리 군
G=\mathbb R^n이 아벨 리 군이라고 하자. 그렇다면, 그 리 지수 사상은 다음과 같다. :\mathfrak g=\mathbb R^n :\exp_G\colon\mathfrak g\to G :\exp_G\colon (x_1,\dotsc,x_n) \mapsto (\exp x_1,\dotsc,\exp x_n) 마찬가지로, G=\operatorname U(1) = \\{z\in\mathbb C\colon |z|=1\\}가 아벨 리 군이라고 하자. 그렇다면, 리 지수 사상은 다음과 같다. :\mathfrak g = \mathrm i\mathbb R :\exp_G \colon \mathfrak g\to G :\exp_G \colon \mathrm i\theta \mapsto \exp(\mathrm i\theta)
## SU(2)
SU(2) SU(2)는 절댓값이 1인 사원수의 리 군과 동형이다. :\operatorname{SU}(2) = \\{q\in\mathbb H\colon|q|=1\\} 이 경우, 그 리 대수는 순수 허수 성분만을 갖는 사원수의 실수 벡터 공간이다. :\mathfrak{su}(2) = \mathrm i\mathbb R + \mathrm j\mathbb R + \mathrm k\mathbb R = \\{a\mathrm i+b\mathrm j+c\mathrm k\colon a,b,c\in\mathbb R\\} = \\{q\in\mathbb H\colon \bar q=-q\\} 이 경우, 리 지수 함수는 사원수의 지수 함수와 같다. :\exp(q) = \begin{cases}\cos|q| + \frac{q\sin|q|}{|q|}&q;\ne 0\\\1 & q=0\end{cases}
## SL(2;ℝ)
2차원 실수 특수선형군 리 군 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)의 리 지수 사상은 전사 함수가 아니다. 그 치역은 다음 조건들 가운데 적어도 하나를 만족시키는 2×2 실수 행렬들로 구성된다.언어=enExercise 3.22 * 복소수체에서 대각화가 가능하며, 그 고윳값은 모두 실수이다. * 복소수체에서 대각화가 가능하며, 그 고윳값은 모두 절댓값이 1인 복소수이다. * 고윳값 1이 중복해서 등장한다. * \operatorname{diag}(-1,-1)이다. 특히, 예를 들어 \operatorname{diag}(-1,-2)\in \operatorname{SL}(2;\mathbb R)는 리 지수 사상의 치역에 포함되지 않는다.