비트 벡터

가환대수학에서 **비트 벡터 환**(Witt vector環, ring of Witt vectors)은 주어진 가환환 속의 열들의 집합 위에 줄 수 있는 특별한 가환환 구조이다. *p*진 정수환의 일반화이다.
# 정의
**비트 다항식**(Witt polynomial)들은 다음과 같은 다항식열이다. :W_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{d\mid n}dx_d^{n/d}\in\mathbb Z[x_1,x_2,\dots,x_n]\qquad\forall n\in\mathbb Z^+ 가환환 R가 주어졌을 때, R 속의 열의 집합 R^{\mathbb Z^+} 위에 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다. :W_{n,R}\colon R^{\mathbb Z^+}\to R^{\mathbb Z^+} :W_R\colon(r_1,r_2,\dots)\mapsto\left(W_1(r_1),W_2(r_1,r_2),W_3(r_1,r_2,r_3),\dots\right) 그렇다면, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식들 :p^{(i)}\in\mathbb Z[x_1,\dots,y_1,y_2,\dots]\qquad\forall i\in\mathbb Z^+ :s^{(i)}\in\mathbb Z[x_1,\dots,y_1,y_2,\dots]\qquad\forall i\in\mathbb Z^+ 이 유일하게 존재한다. * \vec w+\vec w'=(s^{(1)}(\vec w,\vec w'),s^{(2)}(\vec w,\vec w'),\dots) 및 (\vec w)(\vec w')=(p^{(1)}(\vec w,\vec w'),p^{(2)}(\vec w,\vec w'),\dots)를 정의하였을 때, R^{\mathbb Z^+}은 환을 이룬다. 이 환을 \operatorname{WittVector}(R)이라고 하자. * W\colon\operatorname{WittVector}(R)\to R^{\mathbb Z^+}는 환 준동형을 이룬다. 여기서 정의역은 위에서 정의한 환 구조이며, 공역 R^{\mathbb Z^+}은 가환환 R의 가산 무한 개 직접곱이다. 이 가환환을 **R 계수의 비트 벡터 환**(ring of Witt vectors with coefficients in R)이라고 한다. 비트 벡터 환은 가환환의 범주 위의 자기 함자를 이룬다. :\operatorname{WittVector}\colon\operatorname{CRing}\to\operatorname{CRing}
## *p*-비트 벡터
가환환 R와 집합 :1\in S\subseteq\mathbb Z^+ 이 다음 조건을 만족시킨다고 하자. :d\mid n,\;n\in S\implies d\in S (즉, S는 약수에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 그렇다면, 비트 벡터 환의 환 준동형 :W\colon\operatorname{WittVector}(R)\to R^{\mathbb Z^+} 에서, 아이디얼 :R^S\subseteq R^{\mathbb Z^+} 의 원상 :W^{-1}(R^S)=\operatorname{WittVector}_p(R)\subseteq\operatorname{WittVector}(R) 을 생각하자. 이 역시 곱셈에 대하여 가환환을 이루며, 이를 **R 계수의 S-비트 벡터 환**(ring of S-Witt vectors with coefficients in R)이라고 한다. (그러나 이는 \operatorname{WittVector}(R)의 항등원을 포함하지 않으므로, \operatorname{WittVector}(R)의 부분환이 아니다.) 그 위에는 마찬가지로 환 준동형 :(W_i)_{i\in S}\colon\operatorname{WittVector}_S(R)\to R^S\cong R^{\mathbb Z^+} 이 존재한다. 이들 역시 다음과 같은 자기 함자를 정의한다. :\operatorname{WittVector}_S\colon\operatorname{CRing}\to\operatorname{CRing} 특히, 소수 p에 대하여, S=\\{1,p,p^2,p^3,\dots\\}일 경우를 **R 계수의 p-비트 벡터 환**(ring of p-Witt vectors with coefficients in R)이라고 한다. 또한, 소수 p 및 양의 정수 n에 대하여, S=\\{1,p,p^2,\dots,p^n\\}일 경우를 **R 계수의 길이 n의 p-비트 벡터 환**(ring of p-Witt vectors of length n with coefficients in R)이라고 한다. 구체적으로, *p*-비트 벡터의 연산은 다음과 같다. :\vec r+\vec s=\left(r_0+s_0,r_1+s_1+(r_0^p+s_0^p-(r_0+s_0)^p)/p,\dots\right) :\vec r\vec s=\left(r_0s_0,r_0^ps_1+s_1r_0^p+pr_1s_1,\dots\right)
# 성질
S-비트 벡터 환 위의 표준적 환 준동형 :W_S\colon\operatorname{WittVector}_S(R)\to R^S 및 유일한 환 준동형 :\iota\colon\mathbb Z\to R 을 생각하자. * 만약 \iota(S)\subseteq R^\times이라면 (즉, S의 모든 원소들이 R에서 가역원이라면), W_S는 전단사 함수이다. * 만약 \iota(S)\subseteq R가 모두 영인자가 아니라면, W_S는 단사 함수이다. 가환환 R 위의 비트 벡터 \operatorname{WittVector}(R)=\operatorname{WittVector}_{\mathbb Z^+}(R)는 표준적으로 람다 환의 구조를 갖는다.
# 예
만약 S=\\{1\\}일 경우, \operatorname{WittVector}_{\\{1\\(R)\cong R이다.
## p진 정수
소수 p에 대하여, 유한체 \mathbb F_p 위의 p-비트 벡터 환은 p진 정수환 \mathbb Z_p과 동형이다. 구체적으로, p진 정수환 \mathbb Z_p의 **타이히뮐러 대표원**의 집합은 0 및 \mathbb Z_p 속의 1의 p제곱근 가운데 1이 아닌 것들로 구성된다. :\\{0\\}\cup\\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\\} (이들은 헨젤 보조정리에 의하여 항상 존재한다.) 몫환 사영 사상 :f\colon\mathbb Z_p\to\mathbb Z_p/(p)\cong\mathbb F_p 아래 :f|_{\\{0\\}\cup\\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\\\colon\\{0\\}\cup\\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\\}\to\mathbb F_p 는 전단사 함수를 이루며, 따라서 타이히뮐러 대표원들의 집합은 유한체 \mathbb F_p로 여길 수 있다. 타이히뮐러 대표원들을 사용하여, 모든 p진 정수는 다음과 같은 형식적 멱급수로 나타낼 수 있다. :a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots\qquad(a_i\in\\{0\\}\cup\\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\\}\forall i\in\mathbb N) 그렇다면, p진 정수의 합과 곱은 비트 벡터의 합과 곱으로 주어진다.
# 역사
에른스트 비트가 1936년에 아르틴-슈라이어-비트 이론(표수 p>0의 체 위의 p^n차 순환 확대의 이론)을 전개하기 위하여 도입하였다.언어=de