파데 근사

해석학에서, **파데 근사**(Padé近似, Padé approximant)는 어떤 함수를 유리 함수로 근사하는 방법이다. 테일러 급수의 일반화이다.
# 정의
매끄러운 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R 및 음이 아닌 정수 m,n\in\mathbb N이 주어졌다고 하자. f의 **(m,n)차 파데 근사** [m/n]_f는 다음과 같은 꼴의 유리 함수이다. :[m/n]_f(x)=\frac{\sum_{j=0}^ma_jx^j}{1+\sum_{i=1}^nb_ix^i} 이는 다음 성질을 만족시켜야 한다. :f^{(k)}(0)=[m/n]_f^{(k)}(0)\qquad\forall k\in\\{0,\dots,m+n\\} 즉, (m,n)차 파데 근사는 m+n차 도함수까지 원래 함수와 일치한다. 주어진 (m,n)에 대하여, 파데 근사는 (만약 존재한다면) 유일하다. n=0이라면, 파데 근사는 매클로린 급수가 된다. 마찬가지로, m=0이며 f(0)\ne0이라면 f 파데 근사는 1/f의 매클로린 급수의 역수이다.
# 계산
매끄러운 함수 f의 파데 근사를 계산한다고 하자. f(x)의 m+n차 매클로린 급수를 T(x)\in\mathbb R[x]라고 하자. :f(x)=T(x)+\mathcal O(x^{m+n+1}) 만약 :[m/n]_f(x)=\frac{p(x)}{1+xq(x)} 라면, 이는 :p(x)=T(x)(1+xq(x))\pmod{x^{m+n+1 과 동치이다. 이는 양변을 전개하여, m+n개의 변수에 대한 m+n개의 연립 1차 방정식으로 놓을 수 있으므로, 쉽게 풀 수 있다.
# 예
지수 함수 x\mapsto\exp x의 파데 근사들은 다음과 같다. {| class = "wikitable" |- ! *m* \ *n* !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 |- ! 0 | \frac{1}{1} ||\frac{1}{1 - z} ||\frac{1}{1 - z + {\scriptstyle\frac{1}{2z^2} ||\frac{1}{1 - z + {\scriptstyle\frac{1}{2z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{6z^3} |- ! 1 | \frac{1 + z}{1} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2z}{1 - {\scriptstyle\frac{1}{2z} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{3z} {1 - {\scriptstyle\frac{2}{3z + {\scriptstyle\frac{1}{6z^2} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{4z} {1 - {\scriptstyle\frac{3}{4z + {\scriptstyle\frac{1}{4z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{24z^3} |- ! 2 | \frac{1 + z + {\scriptstyle\frac{1}{2z^2}{1} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{3z + {\scriptstyle\frac{1}{6z^2} {1 - {\scriptstyle\frac{1}{3z} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2z + {\scriptstyle\frac{1}{12z^2} {1 - {\scriptstyle\frac{1}{2z + {\scriptstyle\frac{1}{12z^2} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{5z + {\scriptstyle\frac{1}{20z^2} {1 - {\scriptstyle\frac{3}{5z + {\scriptstyle\frac{3}{20z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{60z^3} |- ! 3 | \frac{1 + z + {\scriptstyle\frac{1}{2z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{6z^3}{1} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{3}{4z + {\scriptstyle\frac{1}{4z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{24z^3} {1 - {\scriptstyle\frac{1}{4z} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{3}{5z + {\scriptstyle\frac{3}{20z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{60z^3} {1 - {\scriptstyle\frac{2}{5z + {\scriptstyle\frac{1}{20z^2} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2z + {\scriptstyle\frac{1}{10z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{120z^3} {1 - {\scriptstyle\frac{1}{2z + {\scriptstyle\frac{1}{10z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{120z^3} |- ! 4 | \frac{1 + z + {\scriptstyle\frac{1}{2z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{6z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{24z^4}{1} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{4}{5z + {\scriptstyle\frac{3}{10z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{15z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{120z^4} {1 - {\scriptstyle\frac{1}{5z} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{3z + {\scriptstyle\frac{1}{5z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{30z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{360z^4} {1 - {\scriptstyle\frac{1}{3z + {\scriptstyle\frac{1}{30z^2} ||\frac{1 + {\scriptstyle\frac{4}{7z + {\scriptstyle\frac{1}{7z^2 + {\scriptstyle\frac{2}{105z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{840z^4} {1 - {\scriptstyle\frac{3}{7z + {\scriptstyle\frac{1}{14z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{210z^3} |} 일반적으로, \exp(x)의 (m,n)차 파데 근사는 :R_{m,n}(x)=\frac}_1F_1(-m;-m-n;x)}}_1F_1(-n;-m-n;-x)} 이다. 여기서 {}_1F_1은 초기하 함수의 하나이다.
# 역사
프랑스의 수학자 앙리 외젠 파데(Henri Eugène Padé, 1863~1953)가 박사 학위 논문에서 도입하였다.