아다마르 행렬

선형대수학에서 **아다마르 행렬**(또는 하다마드 행렬, Hadamard行列, Hadamard matrix)은 모든 성분이 ±1이며, 행벡터들과 열벡터들이 각각 서로 직교하는 정사각 행렬이다.언어=en언어=en언어=en
# 정의
실수 성분 n\times n 정사각 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb R)에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 M을 **아다마르 행렬**이라고 한다. * 모든 성분이 \pm1이며, M/\sqrt n은 직교 행렬이다. * 모든 성분이 \pm1이며, 모든 행벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 i,i'\in\\{1,\dotsc,n\\}에 대하여 \textstyle\sum_{j=1}^nM_{ij}M_{i'j}=n\delta_{ij}이다. 즉, MM^\top=n1_{n\times n}이다. * 모든 성분이 \pm1이며, 모든 열벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 j,j'\in\\{1,\dotsc,n\\}에 대하여 \textstyle\sum_{i=1}^nM_{ij}M_{ij'}=n\delta_{jj'}이다. 즉, M^\top M=n1_{n\times n}이다. * 모든 성분이 절댓값 1 이하의 실수이며, \det M=\pm n^{n/2}이다. 여기서 \delta는 크로네커 델타이다.
## 아다마르 설계
첫째 행과 첫째 열이 모두 +1만으로 구성된 아다마르 행렬을 **표준형 아다마르 행렬**(標準型Hadamard行列, standard Hadamard matrix)이라고 한다. 모든 아다마르 행렬은 행 및 열의 순열 및 −1을 곱하는 것을 통해 표준형으로 만들 수 있다. n\times n 표준형 아다마르 행렬 M_{n\times n}이 주어졌을 때, # 첫째 행과 첫째 열을 제거하고, # 성분을 (+1,-1)\mapsto (+1,0)으로 치환하자. 그렇다면, 성분이 0 또는 1인 (n-1)\times(n-1) 정사각 행렬을 얻는다. 만약 n이 4의 배수일 경우, 이 (n-1)\times(n-1) 행렬은 (t=2,n/2-1,n-1)-블록 설계의 결합 행렬을 이루며, :\lambda_0=n-1 :\lambda_1=n/2-1 :\lambda_2=n/4-1 이다. 즉, * n-1개의 블록이 있으며, * 모든 점은 n/2-1개의 블록에 속하며, * 서로 다른 임의의 두 점은 n/4-1개의 블록에 공통적으로 속한다. 이를 **아다마르 설계**(Hadamard設計, Hadamard design)라고 한다. 반대로, \lambda_0=n-1인 (2,n/2,n-1)-블록 설계가 주어졌을 때, 위와 같이 표준형 아다마르 행렬을 재구성할 수 있다.
# 성질

## 존재
임의의 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, n\times n 아다마르 행렬이 존재할 필요 조건은 다음과 같다. :n\in\\{1,2\\}이거나, 또는 n은 4의 배수이다. 이 조건이 필요 충분 조건이라는 추측은 **아다마르 추측**(Hadamard推測, Hadamard conjecture)이라고 하며, 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 다만, 적어도 n<668에 대해서는 위 조건이 필요 충분 조건이다. n\times n 아다마르 행렬이 존재하기 위한 알려진 충분 조건은 다음이 있다. * n은 다음과 같은 꼴의 양의 정수들의 곱이다. ** 2 ** q+1, q\equiv 3\pmod 4, q는 소수의 거듭제곱 ** 2(q+1), q\equiv 1\pmod 4, q는 소수의 거듭제곱
## 행렬식
행렬 공간 \mathcal X_n=\\{M\in\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb R)\colon |M_{ij}|\le1\;\forall i,j\\}을 정의하자. 그렇다면, **아다마르 부등식**(Hadamard inequality)에 따르면, :\forall M\in\mathcal X_n\colon |\det M|\le n^{n/2} 이다. n\times n 아다마르 행렬의 행렬식은 \pm n^{n/2}이다. 즉, 만약 n\times n 아다마르 행렬이 존재한다면, 이는 \mathcal X_n 위에서 행렬식 절댓값 함수 M\mapsto |\det M|를 최대화한다.
## 정칙 아다마르 행렬
n\times n 아다마르 행렬 H의 **초과량**(超過量, excess)은 그 모든 성분들의 합이다. :\operatorname E(H)=\sum_{i,j}H_{i,j}\in\mathbb Z 이는 다음과 같은 상계를 갖는다. :|\operatorname E(H)|\le n^{3/2} n\times n 아다마르 행렬 H에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아다마르 행렬을 **정칙 아다마르 행렬**(regular Hadamard matrix)이라고 한다. * \operatorname E(H)= n^{3/2} * 각 행의 합과 각 열의 합이 각각 일정하다. 즉, 임의의 i,i'\in\\{1,2,\dotsc,n\\}에 대하여, \textstyle\sum_{j=1}^n(M_{i,j}-M_{i',j})=\sum_{j=1}^n(M_{j,i}-M_{j,i'})=0이다. 정칙 아다마르 행렬의 크기는 항상 제곱수이다. 즉, 1\times1 또는 4m^2\times 4m^2의 꼴이다.
# 연산
만약 H가 아다마르 행렬이라면, -H 역시 아다마르 행렬이다. 보다 일반적으로, 아다마르 행렬에 다음 연산을 가해도 아다마르 행렬을 이룬다. * 임의의 한 열에 −1을 곱하기 * 임의의 한 행에 −1을 곱하기 * 열의 순서를 뒤바꾸기 * 행의 순서를 뒤바꾸기
## 실베스터 구성
임의의 두 아다마르 행렬 :H_{m\times m}\in\operatorname{Mat}(m,m;\mathbb R) :H_{n\times n}\in\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb R) 이 주어졌을 때, 그 크로네커 곱 :H_{m\times m}\otimes H_{n\times n}=H_{mn\times mn} 은 역시 아다마르 행렬이다. 특히, :H_{2\times2}=\begin{pmatrix}1&1\\\1&-1\end{pmatrix} 를 사용하여, 크기 2^k의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다. 이를 **실베스터 구성**(Sylvester’s construction)이라고 한다. 이에 따라, :H_{1\times 1}=\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} 로부터 시작하여 2^k\times 2^k 크기의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다.
## 페일리 구성
**페일리 구성**(Paley construction)은 유한체를 사용하여 아다마르 행렬을 구성하는 방법이다. q가 홀수 소수의 거듭제곱이라고 하자. 이제, 함수 :\chi\colon\mathbb F_q\to \\{-1,0,1\\} :\chi\colon a\mapsto\begin{cases} 0&a;=0\\\ 1&a;\in\\{a^2\colon a\in \mathbb F_q^\times\\}\\\ -1&a;\not\in\\{a^2\colon a\in \mathbb F_q\\} \end{cases} 를 정의하자. (여기서 \mathbb F_q는 유한체이다.) 이제, 임의의 전단사 함수 :\\{1,2,\dotsc,q\\}\to\mathbb F_q :i\mapsto a_i 를 고르자. 그렇다면, q\times q 행렬 :Q_{ij}=\chi(a_i-a_j) 를 정의할 수 있다. 이를 **야콥스탈 행렬**(Jacobsthal matrix)이라고 한다. 만약 q\equiv1\pmod4일 경우 -1\in\mathbb F_q은 제곱수이며, Q는 대칭 행렬이다 (Q_{ij}=Q_{ji}). 반면, 만약 q\equiv3\pmod4일 경우 -1은 제곱수가 아니며, Q는 반대칭 행렬이다 (Q_{ij}=-Q_{ji}). 이제, (q+1)\times(q+1) 행렬 :M_{(q+1)\times(q+1)}=\begin{pmatrix} 0&j;_{1\times q}\\\ -j_{q\times1}&Q;_{q\times q} \end{pmatrix} 을 정의할 수 있다. 여기서 :j_{1\times q}=\begin{pmatrix}1&1&\dotsm&1\end{pmatrix} :j_{q\times1}=\begin{pmatrix}1\\\1\\\\\vdots\\\1\end{pmatrix} 이다. 만약 q\equiv3\pmod4일 경우, H_{(q+1)\times(q+1)}=1_{(q+1)\times(q+1)}+M_{(q+1)\times(q+1)} 는 (q+1)\times(q+1) 아다마르 행렬이다. 만약 q\equiv1\pmod4일 경우, M의 각 성분을 :0\mapsto \begin{pmatrix}1&-1\\\\-1&-1\end{pmatrix} :\pm1\mapsto \pm\begin{pmatrix}1&1\\\1&-1\end{pmatrix} 로 치환하면, 2(q+1)\times2(q+1) 아다마르 행렬을 얻는다.
# 예
1×1 행렬 :\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} 및 :\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix} 은 아다마르 행렬이다. 이는 추가로 정칙 아다마르 행렬이다. 2×2 행렬 :\begin{pmatrix}1&1\\\1&-1\end{pmatrix} 은 표준형 아다마르 행렬이지만, 정칙 아다마르 행렬이 아니다.
# 역사
1867년에 제임스 조지프 실베스터가 2^k\times2^k 크기의 아다마르 행렬을 최초로 구성하였다.언어=en 이후 1893년에 자크 아다마르가 행렬의 행렬식의 절댓값의 최댓값의 상계를 발표하였으며,언어=fr 이 때문에 이를 포화시키는 행렬이 “아다마르 행렬”이라고 불리게 되었다. 1933년에 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907~1933)가 유한체를 사용한 페일리 구성을 발견하였다.언어=en