고전군

리 군론에서, **고전군**(古典群, classical group)은 실수, 복소수, 또는 사원수 계수의, 특별한 쌍선형 형식 또는 에르미트 형식을 보존하는 정사각 행렬로 구성되는 리 군이다. 이들은 모두 (중심에 대한 몫을 취하면) 단순 리 군을 이룬다. 고전군이 아닌 단순 리 군은 F₄, G₂, E₆, E₇, E₈ 밖에 없다.
# 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환 K \in \\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\\} (실수체, 복소수체, 또는 사원수 대수) * K 위의 유한 차원 왼쪽 가군 (벡터 공간) _KV\cong {}_KK^{\oplus n} * 실수 결합 대수의 준동형 \sigma\colon K\to K^{\operatorname{op, \sigma \in \\{\operatorname{id}, a\mapsto\bar a\\}. 즉, 이는 항등 함수이거나 또는 (K\in\\{\mathbb C,\mathbb H\\}일 때) 켤레 연산이다. ** 특히, K=\mathbb H일 때, \operatorname{id}\colon\mathbb H\to\mathbb H는 환 준동형이 아니므로, \sigma \colon a\mapsto \bar a이어야 한다. 따라서, (K,\sigma) \in \\{(\mathbb R,\operatorname{id}), (\mathbb C,\operatorname{id}), (\mathbb C,a\mapsto\bar a),(\mathbb H,a\mapsto\bar a)\\} 네 가지가 있다. * V 위의 함수 Q \colon V \times V \to K. 이는 실수 계수 쌍선형 형식이어야 하며, 또한 다음 조건을 만족시켜야 한다. *:Q(ua,vb) = \sigma(a)Q(u,v)b \qquad\forall u,v\in V,\;a,b\in K 그렇다면, 이 데이터로 정의되는 **고전군**은 다음과 같은 부분군이다. :G = \\{T \in \operatorname{GL}(V;K) \colon Q(Tu,Tv) = Q(u,v)\;\forall u,v\in V\\}
# 분류
V 위의, 위와 같은 함수 Q\colon V\times V\to K는 항상 다음과 같이 분해된다. :Q(u,v) = Q^+(u,v) + Q^-(u,v) :Q^\pm(u,v) = \frac12 (Q(u,v) \pm \sigma(Q(v,u))) 그렇다면, Q^\pm는 다음과 같은 성질을 갖는다. :Q^\pm(u,v) = \pm \sigma(Q(v,u)) 따라서, Q로 정의되는 고전군은 Q^+와 Q^-로 정의되는 두 고전군의 교집합이다. 또한, 만약 K=\mathbb H이며, \sigma=\operatorname{id}인 경우, 가능한 Q는 Q=0 밖에 없다 (즉, 자명하지 않은 사원수 쌍선형 형식은 존재하지 않는다). 이제, 가능한 경우는 다음 밖에 없으며, 각 경우 이차 형식을 다음과 같은 표준 형식으로 놓을 수 있다. {| class=wikitable ! 계수 K || Q의 조건 || 고전군 || 표준 형식 || 리 대수 형태 |- | rowspan=3 | 실수체 || 0 || \operatorname{GL}(n;\mathbb R) || 0 || \mathsf A_{n-1} |- | 대칭 쌍선형 || \operatorname O(p,n-p;\mathbb R) || x_1y_1+\dotsb+x_py_p - (x_{p+1}y_{p+1} + \dotsb + x_ny_n) || \mathsf B_{(n-1)/2} 또는 \mathsf D_{n/2} |- | 반대칭 쌍선형 || \operatorname{Sp}(n;\mathbb R) (n 짝수) || x_1y_2 - x_2y_1 + x_3y_4 - x_4y_3 + \dotsb + x_{n-1}y_{n} - x_{n}y_{n-1} || \mathsf C_n |- | rowspan = 5 | 복소수체 || 0 || \operatorname{GL}(n;\mathbb C) || 0 || \mathsf A_{n-1} |- | 대칭 쌍선형 || \operatorname O(n;\mathbb C) || x_1y_1 + \dotsb + x_ny_n || \mathsf B_{(n-1)/2} 또는 \mathsf D_{n/2} |- | 반대칭 쌍선형 || \operatorname{Sp}(n;\mathbb C) (n 짝수) || x_1y_2 - x_2y_1 + x_3y_4 - x_4y_3 + \dotsb + x_{n-1}y_{n} - x_{n}y_{n-1} || \mathsf C_n |- | 에르미트 | rowspan=2 | \operatorname U(p,n-p) || \bar x_1y_1 + \dotsb + \bar x_ny_n | rowspan=2 | \mathsf A_{n-1} |- | 반에르미트 || \mathrm i(\bar x_1 y_1 + \dotsb + \bar x_ny_n) |- | rowspan = 3 | 사원수 대수 || 0 || \operatorname U^*(2n) || 0 || \mathsf A_{2n-1} |- | 에르미트 || \operatorname{USp}(2p,2(n-p)) || \bar x_1y_1 + \dotsb + \bar x_py_p - (\bar x_{p+1}y_{p+1} + \dotsb + \bar x_ny_n) || \mathsf C_n |- | 반에르미트 || \operatorname O^*(2n) || \bar x_1\mathrm iy_1 + \dotsb + \bar x_n\mathrm iy_n || \mathsf D_n |}
# 성질
고전군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :\operatorname U(p,q) \subseteq \operatorname{GL}(p+q;\mathbb C)\cap\operatorname O(2p,2q;\mathbb R) :\operatorname O(p,q;\mathbb R) \subseteq \operatorname U(p,q) \cap \operatorname O(p+q;\mathbb C) :\operatorname{Sp}(p,q;\mathbb R)\subseteq\operatorname{Sp}(p+q;\mathbb C) :\operatorname{USp}(p,q) = \operatorname U(p,q) \cap \operatorname{Sp}(p+q;\mathbb C) :\operatorname U^*(2n) \subseteq\operatorname{GL}(2n;\mathbb C) :\operatorname O^*(2n) = \operatorname O(2n;\mathbb C) \cap \operatorname U(n,n) :\operatorname U(n/2) \cong \operatorname O(n;\mathbb R) \cap \operatorname{Sp}(n;\mathbb R)
# 역사
‘고전군’(classical group)이라는 용어는 헤르만 바일이 1939년에 최초로 사용하였다.언어=en