6차원 회전군

리 군론에서 **6차원 회전군**(六次元回轉群, six-dimensional rotation group)은 6차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(6) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 복소수의 4×4 특수 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.
# 정의
**6차원 회전군**은 6차원 실수 계수 직교군 \operatorname O(6;\mathbb R)이다. 그 딘킨 도표는 :\bullet - \bullet - \bullet 이다. 6차원 스핀 군은 4차원 특수 유니터리 군 SU(4)와 동형이다. :\operatorname{Spin}(6) \cong \operatorname{SU}(4) 즉, \operatorname{SO}(6;\mathbb R)는 \operatorname{SU}(4) / (\mathbb Z/2)이다. 그 실수 형태는 다음 다섯 가지가 있다. {| class=wikitable ! 킬링 형식의 부호수 !! 기호 !! 직교군 기호 !! 유니터리·선형군 기호 !! 사타케 도표 !! 보건 도표 !! 비고 |- | (0,15) || || Spin(6) || SU(4) || \bullet-\bullet-\bullet || \circ-\circ-\circ || 콤팩트 형태 |- | (5,10) || A₃Ⅱ, D₃Ⅱ || Spin(1,5) || \operatorname{SL}(2;\mathbb H) = \operatorname{SU}^*(4) || \bullet-\circ-\bullet || \underbrace{\circ-\circ-\circ} |- | (8,7) || A₃Ⅲ, D₃Ⅱ || Spin(2,4) || SU(2,2) || \underbrace{\circ-\circ-\circ} || \circ-\bullet-\circ |- | (9,6) || A₃Ⅰ, D₃Ⅰ || Spin(3,3) || \operatorname{SL}(4;\mathbb R) || \circ-\circ-\circ || \underbrace{\circ-\bullet-\circ} || 분할 형태 |- | (10,5) || A₃Ⅲ, D₃Ⅲ || SO*(6) || SU(3,1) || \underbrace{\circ-\bullet-\circ} || \bullet-\circ-\circ |} 사타케 도표에서, 중괄호 (\underbrace{\color{White}m})는 화살표(\leftrightarrow)를 나타낸다.
# 성질

## 콤팩트 형태
Spin(6)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 8차원 마요라나 스피너이다. 이 표현은 SU(4)의 정의(定義) 표현 \mathbf4 및 그 복소수 켤레 \overline{\mathbf4}에 해당한다. 마찬가지로, SO(6)의 정의(定義) 표현인 6차원 실수 표현 \mathbf6은 실수 조건을 가한 SU(4)의 반대칭 2차 텐서에 해당한다. Spin(6)의 군의 중심은 크기 4의 순환군이다. \operatorname{SU}(4)에서, 이는 :\\{\mathrm i^a1_{4\times4}\colon a\in\\{0,1,2,3\\}\\} \subsetneq\operatorname{SU}(4) 에 해당한다. 이 중심은 몫군 \operatorname{SO}(6)에서 크기 2의 부분군이 되며, 이는 마찬가지로 \\{\pm1_{6\times 6}\\}에 해당한다.
## 분할 형태
Spin(3,3)의 군의 중심은 크기 2의 순환군이다. \operatorname{SL}(4;\mathbb R)에서, 이는 :\\{\pm1_{4\times4}\\} \subsetneq\operatorname{SL}(4;\mathbb R) 에 해당한다. Spin(3,3)의 최소 스피너는 4차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 \operatorname{SL}(4;\mathbb R)의 정의 표현 및 그 쌍대 표현에 해당한다. SO(3,3)의 6차원 정의 표현은 \operatorname{SL}(4;\mathbb R)의 반대칭 2차 텐서 표현에 해당한다. :{| class=wikitable ! 실수 차원 !! Spin(3,3) 묘사 !! \operatorname{SL}(4;\mathbb R) 묘사 !! \operatorname{SL}(4;\mathbb R) 영 타블로 |- | 4 || 오른쪽 마요라나-바일 스피너 || 벡터 (정의 표현) | | □ |- | 4′ || 왼쪽 마요라나-바일 스피너 || (0,1)-텐서 (쌍대 벡터) | | □
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□ |- | 6 || 벡터 (정의 표현) || 반대칭 2-텐서 | | □
□ |- | 10 || 자기 쌍대 3-텐서 || 대칭 (2,0)-텐서 | | □□ |- | 10′ || 자기 반쌍대 3-텐서 || 대칭 (0,2)-텐서 | | □□
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□□ |- | 15 || 반대칭 2-텐서 (딸림표현) || 무대각합 (1,1)-텐서 (딸림표현) | | □□
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□ |- | 20 || 대칭 무대각합 2-텐서 || 대칭-반대칭 4-텐서 | | □□
□□ |- | 20′ || 오른손 벡터-스피너 || 대칭-반대칭 (3,0)-텐서 | | □□
□ |- | 20″ || 왼손 벡터-스피너 || 대칭-반대칭 (0,3)-텐서 | | □□
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□ |- | 20‴ || 자기 쌍대 3-텐서-스피너 || 완전 대칭 (3,0)-텐서 | | □□□ |- | 20⁗ || 자기 반쌍대 3-텐서-스피너 || 완전 대칭 (0,3)-텐서 | | □□□
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□□□ |} 이들의 텐서곱은 다음과 같다. :\mathbf4\otimes\mathbf4 = \mathbf4'\otimes\mathbf4' = \mathbf6\oplus\mathbf{10} :\mathbf4\otimes\mathbf4' = \mathbf1\oplus\mathbf{15} :\mathbf4\otimes\mathbf6 = \mathbf4' \oplus \mathbf{20}' :\mathbf4'\otimes\mathbf6 = \mathbf4 \oplus \mathbf{20}''
## SO(1,5)
Spin(1,5)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이며, 마요라나 스피너는 존재하지 않는다. 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb H)의 사원수 2차원 정의 표현 (또는 \operatorname{SU}^*(4)의 4차원 복소수 정의 표현)에 해당한다. Spin(1,5)의 6차원 실수 정의 표현은 \operatorname{SL}(2;\mathbb H)에서 사원수 2-텐서 가운데, 어떤 복소수 기저에서도 반대칭 2-텐서가 되는 것들의 표현이다. (사원수는 비가환이므로, 복소수 기저를 고르지 않고서는 (반)대칭성을 논할 수 없다.)
## SO(2,4)
Spin(2,4)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 및 마요라나 스피너이다. 이는 \operatorname{SU}(2,2)의 4차원 정의 표현 및 그 복소수 켤레에 해당한다.
## SU(1,3)
\operatorname{SO}^*(6)은 실수 6차원 정의 표현을 갖는다. 이는 \operatorname{SU}(1,3)의 반대칭 2-텐서 표현이다. 또한, \operatorname{SU}(1,3)의 복소수 4차원 정의 표현 및 그 켤레는 \operatorname{SO}^*(6)의 왼쪽과 오른쪽 “바일 스피너”에 해당한다.