정규 확대

체론에서 **정규 확대**(正規擴大, normal extension)는 일련의 다항식들의 분해체인 대수적 확대이다.
# 정의
체 K의 대수적 확대 L/K에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 **정규 확대**라고 한다. * K[x]의 기약 다항식 p(x)가 L에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면, p(x)는 L[x]에서 완전히 인수분해된다. 즉, p(x)=a\prod_{i=1}^n(x-b_i) (a,b_i\in L)의 꼴로 나타낼 수 있다. * L/K는 일련의 다항식들의 집합 P\subset K[x]의 분해체와 (K의 확대로서) 동형이다. * 모든 매장 L\to\bar K는 L의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 \iota_{KL}\colon K\hookrightarrow L로 쓰자. 또한, L은 대수적 확대이므로, K의 대수적 폐포 \iota_{K\bar K}\colon K\hookrightarrow\bar K로 가는 매장 \iota_{L\bar K}\colon L\hookrightarrow\bar K이 존재하며, 또한 \iota_{L\bar K}\circ\iota_{KL}=\iota_{K\bar K}이도록 잡을 수 있다. (이는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장 \tilde\iota_{L\bar K}\colon L\hookrightarrow\bar K에 대하여, \tilde\iota_{L\bar K}\circ\iota_{KL}=\iota_{K\bar K}라면 \iota_{L\bar K}(L)=\tilde\iota_{L\bar K}(L)\subset\bar K이다. 증명 첫째 조건 ⇒ 둘째 조건. 임의의 a\in L에 대하여, p_a\in K[x]가 a의 K에 대한 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, 가정한 첫째 조건에 따라 L은 모든 p_a의 모든 근을 포함한다. 즉, L은 \\{p_a\colon a\in L\\}의 K에 대한 어떤 분해체를 포함한다. 임의의 a\in L은 p_a의 근이므로 이 분해체에 속한다. 즉, L은 \\{p_a\colon a\in L\\}의 분해체를 이룬다. 둘째 조건 ⇒ 셋째 조건. :\iota_{KL}\colon K\to L :\iota_{K\bar K}\colon K\to\bar K :\iota_{L\bar K}\colon L\to\bar K :\tilde\iota_{L\bar K}\colon L\to\bar K :\iota_{L\bar K}\circ\iota_{KL}=\tilde\iota_{L\bar K}\circ\iota_{KL}=\iota_{K\bar K} 가 셋째 조건에서 정의한 매장들이라고 하자. 편의상 K\subseteq L\subseteq\bar K이며 \iota_{KL}, \iota_{K\bar K}, \iota_{L\bar K}가 이에 대응하는 포함 함수들이라고 하자. 이 경우 조건 \tilde\iota_{L\bar K}\circ\iota_{KL}=\iota_{K\bar K}는 \tilde\iota_{L\bar K}|_K=\operatorname{id}_K가 된다. S\subseteq L이 P 속 다항식들의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 가정한 둘째 조건에 따라 :L=K(S) :\tilde\iota_{L\bar K}(L)=K(\tilde\iota_{L\bar K}(S)) 이다. 따라서, \tilde\iota_{L\bar K}(L)=L임을 보이려면 \tilde\iota_{L\bar K}(S)=S임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식 :p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in P 가 주어졌다고 하자. 그 L[x]에서의 인수 분해가 :p(x)=a_n(x-b_1)\cdots(x-b_n) 이라고 하자. 이는 기본 대칭 다항식들이 등장하는 일련의 등식 :a_0=(-1)^na_nb_1\cdots b_n :a_1=(-1)^{n-1}a_n(b_2\cdots b_n+\cdots+b_1\cdots b_{n-1}) :\vdots :a_n=a_n 과 동치이다. 여기에 매장 \tilde\iota_{L\bar K}\colon L\to\bar K를 가하면 b_i가 \tilde\iota_{L\bar K}(b_i)로 대체된 등식들을 얻는다. :a_0=(-1)^na_n\tilde\iota_{L\bar K}(b_1)\cdots\tilde\iota_{L\bar K}(b_n) :a_1=(-1)^{n-1}a_n(\tilde\iota_{L\bar K}(b_2)\cdots\tilde\iota_{L\bar K}(b_n)+\cdots+\tilde\iota_{L\bar K}(b_1)\cdots\tilde\iota_{L\bar K}(b_{n-1})) :\vdots :a_n=a_n a_0,a_1,\dots,a_n은 K의 원소들이므로 변하지 않는다. 즉, p(x)의 \bar K에서의 인수 분해는 :p(x)=a_n(x-\tilde\iota_{L\bar K}(b_1))\cdots(x-\tilde\iota_{L\bar K}(b_n)) 이다. \bar K[x]는 유일 인수 분해 정역이므로, p(x)의 두 인수 분해는 일치한다. 즉, \\{b_1,\dots,b_n\\}과 \\{\tilde\iota_{L\bar K}(b_1),\dots,\tilde\iota_{L\bar K}(b_n)\\}은 중복집합으로서 같고, 특히 집합으로서 같다. 그런데 S는 모든 p들에 대한 \\{b_1,\dots,b_n\\}들의 합집합이며, \tilde\iota_{L\bar K}(S)는 모든 p들에 대한 \\{\tilde\iota_{L\bar K}(b_1),\dots,\tilde\iota_{L\bar K}(b_n)\\}들의 합집합이다. 따라서, S=\tilde\iota_{L\bar K}(S)이다. 셋째 조건 ⇒ 첫째 조건. K를 부분체로 포함하는 L을 부분체로 포함하는 K의 대수적 폐포 K\subseteq L\subseteq\bar K를 잡자. 기약 다항식 p\in K[x] 및 p의 근 a\in L 및 p의 근 b\in\bar K가 주어졌다고 하자. 이제, 다음과 같은 함수를 생각하자. :K(a)\to K(b) :f(a)\mapsto f(b)\qquad(\forall f\in K[x]) 만약 f(a)=g(a)라면, (f-g)(a)=0이므로 p(x)\mid f(x)-g(x)이며, 따라서 f(b)=g(b)이다. 즉, 이 함수는 잘 정의된다. 마찬가지로, 만약 f(b)=g(b)라면 f(a)=g(a)이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다. 이 함수는 자명하게 환 준동형이다. 또한, 이는 자명하게 전사 함수이며, K의 원소를 움직이지 않으므로, 체의 확대 K(a)/K와 K(b)/K 사이의 동형 사상을 이룬다. L/K(a)는 대수적 확대이며, \bar K는 K(b)의 대수적 폐포를 이루므로, 이 동형 사상을 확장하는 체의 매장 :\iota\colon L\hookrightarrow\bar K :\iota|_K=\operatorname{id}_K :\iota\colon a\mapsto b 가 존재한다. 이는 초른 보조정리을 통해 보일 수 있다. 가정한 셋째 조건에 따라, \iota(L)=L이며, 특히 b=\iota(a)\in\iota(L)=L이다. 이에 따라, L은 p의 모든 근을 포함하며, p는 L에서 1차 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다. 증명 끝 대수적 확대 L/K의 **정규 폐포**(正規閉包, normal closure)는 다음 두 조건을 만족시키는 체의 확대 N/L이다. * N/K는 정규 확대이다. * 임의의 중간체 L\subseteq M\subseteq N에 대하여, 만약 M/K가 정규 확대라면, M=N이다. 임의의 대수적 확대는 정규 폐포를 가지며, 체의 확대의 동형 아래 유일하다. 구체적으로, 임의의 a\in L에 대하여 p_a가 a의 L/K에서의 최소 다항식이라고 하였을 때, \\{p_a\colon a\in L\\}\subseteq K[x]의 분해체는 L/K의 정규 폐포를 이룬다. 또한, 대수적 폐포 \bar K/L/K가 주어졌을 때, \bar K 속 L/K의 정규 폐포는 다음과 같다. :N=K\left(\bigcup_{\sigma\in\hom(L,\bar K)}^{\sigma|_K=\operatorname{id}_K}\sigma(L)\right)\subseteq\bar K 여기서 :K\left(\bigcup_{i\in I}K_i\right)=\left\\{\frac{a_1+\cdots+a_m}{b_1+\cdots+b_n}\colon a_1\in K_{i_1},\dots,a_m\in K_{i_m},\;b_1\in K_{j_1},\dots,b_n\in K_{j_n},\;i_1,\dots,i_m,j_1,\dots,j_n\in I\right\\} 는 주어진 체 L/K_i/K들을 포함하는 최소의 체이다.
# 분류
임의의 정규 확대 L/K에 대하여, :M=\begin{cases} K & \operatorname{char}K=0 \\\ \\{a\in L|\exists n\in\mathbb N\colon a^{p^n}\in K\\} & \operatorname{char}K=p>0 \end{cases} 가 L/K의 최대 완전 비분해 부분 확대라고 하자. 그렇다면, L/M은 갈루아 확대이다. (반대로, 완전 비분해 확대의 갈루아 확대는 항상 정규 확대이다.)
# 성질
체 K의 유한 차수 대수적 분해 가능 확대 L/K에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * L/K는 정규 확대이다. * L은 어떤 기약 다항식 p\in K[x]의 분해체 K[x]/(p)와 동형이다. 대수적 확대 L/K의 정규 폐포 N/L에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. * L/K가 유한 확대라면, N/K 역시 유한 확대이다. * L/K가 분해 가능 확대라면, N/K은 갈루아 확대이다. 이 경우 N/L을 L/K의 **갈루아 폐포**(Galois closure)라고 한다. 체의 확대의 탑 M/L/K에 대하여, 만약 M/K가 정규 확대라면, M/L 역시 정규 확대이다. 체의 확대의 다이아몬드 M\supseteq L,L'\supseteq K에 대하여, 만약 L/K가 정규 확대라면, K(L\cup L')/L' 역시 정규 확대이다. 체의 확대 M/K의 부분 확대 M\supseteq L_i\supseteq K(i\in I)들에 대하여, 만약 모든 L_i/K가 정규 확대라면, \textstyle K\left(\bigcup_{i\in I}L_i\right)/K와 \textstyle\bigcap_{i\in I}L_i/K 역시 정규 확대이다. 정규 확대의 정규 확대는 정규 확대일 필요가 없다. 예를 들어, 대수적 확대 \mathbb Q(\sqrt[4]2)/\mathbb Q는 두 번의 정규 확대 :\mathbb Q(\sqrt[4]2)/\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q 로 얻어지지만, x^4-2의 허근들을 포함하지 않으므로 정규 확대가 아니다.
# 예
대수적 확대 \mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q는 정규 확대이다. 대수적 확대 \mathbb Q(\sqrt[3]2)/\mathbb Q는 정규 확대가 아니다. \mathbb Q[x]의 기약 다항식 x^3-2는 \mathbb Q(\sqrt[3]2)에서 :x^3-2=(x-\sqrt[3]2)\left(x^2+\sqrt[3]2x+(\sqrt[3]2)^2\right) 이므로 하나의 근을 갖지만 완전히 인수분해되지 않는다. 모든 갈루아 확대는 정규 확대이다. 모든 순수 비분해 확대는 정규 확대이다.