전사 사상

집합 사이의 전사 사상 범주론에서 **전사 사상**(全射寫像, epimorphism)은 두 사상의 등식에서 오른쪽에서 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 단사 사상의 반대 개념이다.
# 정의
범주 \mathcal C의 사상 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **전사 사상**이라고 한다. * 임의의 대상 Z 및 사상 g_1,g_2\colon Y\to Z에 대하여, 만약 g_1\circ f=g_2\circ f라면 g_1=g_2이다. *:X\xrightarrow fY\overset{g_1}{\underset{g_2}{\rightrightarrowsZ
## 정규 전사 사상
여핵 영 사상을 갖는 범주 \mathcal C에서, 어떤 사상 f\colon X\to Y의 여핵 \operatorname{coker} f\colon K\to X으로 나타낼 수 있는 사상을 **정규 전사 사상**(normal epimorphism)이라고 한다. 정규 전사 사상은 (쌍대극한이므로) 항상 전사 사상이다.
## 강한 전사 사상
범주 \mathcal C에서, **강한 전사 사상**(強-全射寫像, strong epimorphism)은 모든 단사 사상에 대하여 왼쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 전사 사상이다. 즉, 전사 사상 \pi\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 전사 사상이라고 한다. :임의의 가환 사각형 ::\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y;\\\ \downarrow & &\downarrow\\\ A&\xrightarrow[i]{}&B; \end{matrix} :에서 i가 단사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 Y\to A가 존재한다. ::\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y;\\\ \downarrow &{\scriptstyle\exists!}\swarrow &\downarrow\\\ A&\xrightarrow[i]{}&B; \end{matrix}
## 극단 전사 사상
범주 \mathcal C의 전사 사상 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **극단 전사 사상**(極端全射寫像, extremal epimorphism)이라고 한다. * 임의의 대상 Z 및 사상 g\colon X\to Z 및 단사 사상 h\colon Z\to Y에 대하여, 만약 f=h\circ g라면 h는 동형 사상이다. *: \begin{matrix} X\\\ {\scriptstyle g}\downarrow&\searrow\scriptstyle f\\\ Z&\xrightarrow[h]{}&Y; \end{matrix}
# 성질
다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상 :동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상 :동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상 분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 f\colon X\to Y 및 그 오른쪽 역사상 s\colon Y\to X이 주어졌을 때 f=\operatorname{eq}\\{s\circ f,\operatorname{id}_X\\}이기 때문이다.
## 요네다 매장
요네다 매장을 통하여, 전사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 \mathcal C 속의 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * f는 전사 사상이다. * 임의의 대상 Z에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 (\circ f)\colon\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\to\hom_{\mathcal C}(X,Z)는 단사 함수이다. * 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 \operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op)^{\operatorname{op로 가는 요네다 매장 함자 \hom_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op)^{\operatorname{op 아래서, f의 상 (f\circ)\colon\hom_{\mathcal C}(-,X)\to \hom_{\mathcal C}(-,Y)은 쌍대 준층 토포스 \operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op)에서의 단사 사상 (즉, 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 \operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op)^{\operatorname{op에서의 전사 사상)이다.
## 반대 범주
범주 \mathcal C의 전사 사상은 그 반대 범주 \mathcal C^{\operatorname{op의 단사 사상이다.
# 예
구체적 범주에서, 함수로서 전사 함수인 사상은 항상 전사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 전사 사상이 전사 함수인 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다. * 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}에서의 전사 사상은 전사 함수이다. * 군과 군 준동형의 범주 \operatorname{Grp}에서의 전사 사상은 전사 군 준동형이다. * 체 K에 대하여, K 위의 벡터 공간과 선형 변환들의 범주 K\text{-Vect}에서의 전사 사상은 전사 선형 변환이다. * 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 전사 사상은 전사 연속 함수이다. 전사 함수가 아닌 전사 사상이 존재하는 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다. * 모노이드의 범주 \operatorname{Mon}에서, 자연수의 덧셈 모노이드에서 정수의 덧셈 모노이드로 가는 포함 함수 \mathbb N\to\mathbb Z는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다. 보다 일반적으로, 모노이드 M의 군화 (망각 함자의 왼쪽 수반 함자) G가 주어졌을 때, 포함 모노이드 준동형 M\to G는 항상 전사 사상이자 단사 사상이자 단사 함수이지만, (M이 군이 아니라면) 전사 함수가 아니다. * 환의 범주 \operatorname{Ring}에서, 포함 함수 \mathbb Z\to\mathbb Q는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다. * 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname{Haus}에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다. 예를 들어, 포함 함수 \mathbb Q\to\mathbb R는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.
## 집합의 범주
집합과 함수의 토포스 \operatorname{Set}에서는 다음이 성립한다. * 전사 사상은 전사 함수이다. * 전사 사상 · 정칙 전사 사상 · 유효 전사 사상의 개념이 일치한다. (이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)
## 군의 범주
군과 군 준동형의 범주 \operatorname{Grp}에서는 다음이 성립한다. * 전사 사상은 전사 함수인 군 준동형이다. * 모든 전사 사상은 정규 전사 사상이다.
## 위상 공간의 범주
위상 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{Top}에서는 다음이 성립한다. * 전사 사상은 전사 함수인 연속 함수이다. * 정칙 전사 사상은 몫사상이다. * 모든 정칙 전사 사상은 유효 전사 사상이다. (이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 전사 사상을 정의할 수 없다.)