리 대수 아이디얼

리 군론에서 **리 대수 아이디얼**(Lie代數ideal, Lie algebra ideal)은 몫을 취할 수 있는 리 대수의 부분 리 대수이다. 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념이다.
# 정의
가환환 K 위의 리 대수 (\mathfrak g,[-,-])의 **부분 리 대수**(部分Lie代數, Lie subalgebra) \mathfrak h는 리 괄호에 대하여 닫힌 K-부분 가군이다. 즉, \mathfrak h\subset\mathfrak g이며 [\mathfrak h,\mathfrak h]\subset\mathfrak h이다. 가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 부분 집합 I\subseteq\mathfrak g에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 **리 대수 아이디얼**(Lie algebra ideal)이라고 한다. * K-부분 가군이며, [\mathfrak g,I]\subseteq I이다. * \ker \phi = I 인 리 대수 준동형 \phi \colon\mathfrak g\to\mathfrak h가 존재한다. 리 대수 아이디얼에 대하여, **몫 리 대수**(quotient Lie algebra) \mathfrak g/I를 정의할 수 있다.
## 리 초대수의 경우
위의 개념들은 리 초대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다. 가환환 K 위의 리 초대수 (\mathfrak g,[-,-\\})의 **부분 리 초대수**(部分Lie初代數, Lie sub-superalgebra) \mathfrak h\subseteq\mathfrak g는 리 초괄호에 대하여 닫힌 K-부분 가군이다. 즉, :[\mathfrak h,\mathfrak h\\} \subseteq\mathfrak h 이다. 가환환 K 위의 리 초대수 (\mathfrak g,[-,-\\})의 **아이디얼**(ideal) \mathfrak h\subseteq\mathfrak g는 다음 조건을 만족시키는 K-부분 가군이다. * [\mathfrak g,\mathfrak h\\} \subseteq\mathfrak h 즉, \mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1이라고 할 때, * \mathfrak h_0\subseteq\mathfrak g_0는 리 대수 \mathfrak g_0의 아이디얼이다. * \mathfrak h_1\subseteq\mathfrak g_1는 \mathfrak g_0의 표현을 이루며 ([\mathfrak g_0,\mathfrak h_1\\} \in\mathfrak h_1), 또한 \\{\mathfrak g_1,\mathfrak h_1\\} \subseteq \mathfrak h_1을 만족시킨다.
## L∞-대수의 경우
위의 개념들은 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다. 가환환 K 위의 L∞-대수 \mathfrak g의 **부분 L∞-대수**(部分L∞-代數, L∞-subalgebra) \mathfrak h\subseteq\mathfrak g는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차 K-부분 가군이다. 즉, :[\overbrace{\mathfrak h,\mathfrak h,\dotsc,\mathfrak h}^k]_k \subseteq\mathfrak h\qquad(k\in\mathbb Z^+) :\operatorname{proj}_n (\mathfrak h) \subseteq\mathfrak h\qquad(n\in\mathbb N) 이다. 여기서 \operatorname{proj}_n은 등급 n의 성분을 취하는 사영 함수이다. 가환환 K 위의 L∞-대수 \mathfrak g의 **아이디얼**(ideal) \mathfrak h\subseteq\mathfrak g는 다음 조건을 만족시키는 K-부분 가군이다. :[\mathfrak h,\overbrace{\mathfrak g,\mathfrak g,\dotsc,\mathfrak g}^k]_k \subseteq\mathfrak h\qquad(k\in\mathbb Z^+) :\operatorname{proj}_n (\mathfrak h) \subseteq\mathfrak h\qquad(n\in\mathbb N) 특히, k=1일 때 이 조건은 :\mathrm d\mathfrak h \subseteq\mathfrak h 이다. 즉, \mathfrak h는 \mathfrak g의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.
# 성질

## 함의 관계
모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆ K-부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합
## 다른 성질과의 관계
표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak g에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다. {| class=wikitable ! 리 대수의 종류 !! 리 대수 아이디얼을 통한 정의 |- | 단순 리 대수 || 정확히 두 개의 아이디얼 (즉, \\{0\\} \ne \mathfrak g)을 가지며, 아벨 리 대수가 아님 |- | 반단순 리 대수 || 아벨 아이디얼은 \\{0\\} 밖에 없음 |- | 아벨 리 대수 || 모든 K-부분 가군이 리 대수 아이디얼임 |- | \\{0\\} || 정확히 한 개의 아이디얼을 가짐 |}
# 예

## 자명한 리 대수 아이디얼
모든 리 대수 \mathfrak g에 대하여, \\{0\\}\subseteq\mathfrak g과 \mathfrak g\subseteq\mathfrak g는 (자명하게) \mathfrak g의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다. :\mathfrak g/\\{0\\} \cong \mathfrak g :\mathfrak g/\mathfrak g \cong \\{0\\}
## 직합 성분
같은 가환환 위의 두 리 대수 \mathfrak g, \mathfrak h의 직합 \mathfrak g\oplus\mathfrak h에서, \mathfrak g\oplus0,0\oplus\mathfrak h\subseteq \mathfrak g\oplus\mathfrak h는 각각 \mathfrak g\oplus\mathfrak h의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다. :\frac{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}{\mathfrak g} \cong \mathfrak h :\frac{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}{\mathfrak h} \cong \mathfrak g
## 리 대수 중심
가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 **중심**(中心, center) \operatorname Z(\mathfrak g)은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다. :\operatorname Z(\mathfrak g)=\\{x\in\mathfrak g\colon[x,\mathfrak g]=0\\} 이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.
## 유도 리 대수
가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g가 주어졌을 때, 부분 공간 :[\mathfrak g,\mathfrak g] = \left\\{[x_1,y_1]+\dotsb+[x_n,y_n] \colon n \in \mathbb N,\,x_1,x_2,\dotsc,x_n,y_1,y_2,\dotsc,y_n\in\mathfrak g\right\\}\subseteq\mathfrak g 는 \mathfrak g의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를 \mathfrak g의 **유도 리 대수**(derived Lie algebra)라고 한다.
## 리 대수 근기
리 대수 근기 리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.