지붕 (기하학)

{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" |+ 지붕의 집합 |- |align=center colspan=2|Pentagonal cupola
오각지붕 (예시) |- |bgcolor=#e7dcc3|슐레플리 기호||{*n*} || t{*n*} |- |bgcolor=#e7dcc3|면||정삼각형 *n*개,
정사각형 *n*개,
*n*각형 1개,
2*n*각형 1개 |- |bgcolor=#e7dcc3|모서리||5*n* |- |bgcolor=#e7dcc3|꼭짓점||3*n* |- |bgcolor=#e7dcc3|대칭군||C*n*v, [1,*n*], (**nn*), 2n차 |- |bgcolor=#e7dcc3|회전군||C*n*, [1,*n*]+, (*nn*), n차 |- |bgcolor=#e7dcc3|쌍대||Trapyramids |- |bgcolor=#e7dcc3|특성||볼록 |} 기하학에서 **지붕**은 하나는 (밑면) 다른 것의 변의 두 배를 가진 두 다각형을 이등변삼각형과 직사각형이 번갈아 나타나는 띠로 연결한 다면체이다. 삼각형이 정삼각형이고, 사각형이 정사각형일 때, 밑면과 그 반대면이 정다각형이라면, 삼각, 사각, 그리고 오각지붕은 모두 존슨의 다면체로 계수되고, 각각 육팔면체, 마름모육팔면체, 그리고 마름모십이이십면체의 일부로 만들어진다. 지붕은 한 쪽 다각형이 교대 꼭짓점을 병합해서 절반으로 만든 각기둥으로 볼 수 있다. 지붕은 확장된 슐레플리 기호로 {*n*} || t{*n*}로 주어질 수 있으며, 정다각형 {n}이 평행한 그 깎은 형태, t{n} 또는 {2n}과 결합한 것을 나타낸다. 지붕은 기둥형 다면체의 부분그룹이다.
# 예시
지붕 육각지붕"이다.]] 위에서 언급된 세 다면체는 유일한 정다각형 면을 가지는 자명하지 않은 볼록한 지붕이다. "육각지붕"은 평면 도형이다. 하지만, 높은 차수의 지붕은 비정다각형 삼각형과 직사각형 면으로 만들어질 수 있다. 다음은 지붕과 관련된 고른 다면체이다. 삼각지붕과 관련된 고른 다면체:육팔면체(밑면끼리 비틀어 붙임) 사각지붕과 관련된 고른 다면체:마름모육팔면체(서로 맞붙이고 그 사이에 정팔각기둥(4.4.8)을 끼워 넣음) 오각지붕과 관련된 고른 다면체:마름모십이이십면체 육각지붕 (평면)과 관련된 고른 타일링:마름모삼육각형 타일링
# 꼭짓점의 좌표
사십각지붕은 이등변삼각형 (파란색) 40개, 직사각형 (노란색) 40개, 상부의 정사십각형 (빨간색)과 하부의 정[[팔십각형 (가려짐)을 가진다.]] 지붕의 정의는 밑면(또는 윗면이라고 불리는 밑면의 반대면)이 정다각형일 필요는 없지만, 지붕이 최대의 대칭 C*n*v를 가질 때는 정다각형으로 고려하는 것이 편리하다. 이 경우에는, 윗면은 정*n*각형이고 밑면이 정2*n*각형이거나 두 다른 길이가 교대로 나타나고 정2*n*각형과 각이 같은 2*n*각형이다. 좌표계를 이동시켜서 밑면이 *xy*평면에 놓이고, 윗면을 *xy*평면에 평행하게 하는 것이 편리하다. *z*축은 *n*-fold 축이고 거울면은 *z*축을 지나면서 밑면의 변을 이등분한다. 이것은 또한 윗면의 변이나 각 또는 둘 다를 이등분한다. (*n*이 짝수일 때, 거울면의 절반은 윗면의 변을 이등분하고 나머지 절반은 각을 이등분하고, *n*이 홀수이면, 모든 거울면은 한쪽은 윗면의 변을, 한쪽은 각을 이등분 한다.) 밑면의 꼭짓점은 V1에서 V2*n*까지 지정할 수 있고, 윗면의 꼭짓점은 V2*n*+1에서 V3*n*까지 지정할 수 있다. 이 정의로, 꼭짓점의 좌표는 다음과 같이 쓸 수 있다: **V*2*j*−1: (*rb* cos[2π(*j* − 1) / *n* + α], *rb* sin[2π(*j* − 1) / *n* + α], 0) **V*2*j*: (*rb* cos(2π*j* / *n* − α), *rb* sin(2π*j* / *n* − α), 0) **V*2*n*+*j*: (*rt* cos(π*j* / *n*), *rt* sin(π*j* / *n*), *h*) 이때 *j* = 1, 2, ..., *n*이다. 또 다각형 *V*1*V*2*V*2*n*+2*V*2*n*+1,등은 직사각형이기 때문에, 이것은 *rb*, *rt*, 그리고 α의 값에 제약을 준다. *V*1*V*2의 길이는 다음과 같다: :*rb*{[cos(2π / *n* − α) − cos α]2 \+ [sin(2π / *n* − α) − sin α]2}2 := *rb*{[cos2(2π / *n* − α) − 2cos(2π / *n* − α)cos α + cos2 α] + [sin2(2π / *n* − α) − 2sin(2π / *n* − α)sin α + sin2 α]}2 := *rb*{2[1 − cos(2π / *n* − α)cos α − sin(2π / *n* − α)sin α]}2 := *rb*{2[1 − cos(2π / *n* − 2α)]}2 그리고 *V*2*n*+1*V*2*n*+2의 길이는 다음과 같다: :*rt*{[cos(π / *n*) − 1]2 \+ sin2(π / *n*)}2 := *rt*{[cos2(π / *n*) − 2cos(π / *n*) + 1] + sin2(π / *n*)}2 := *rt*{2[1 − cos(π / *n*)]}2. 이것들은 같으며, 공통 모서리는 *s*로 표시된다, :*rb* = *s* / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}2 :rt = *s* / {2[1 − cos(π / *n*)]}2 이 값들은 먼저 주어진 꼭짓점의 좌표 공식에 대입할 수 있다.
# 별 지붕
별-지붕 별-지붕형 다면체 별 지붕은 6/5 2일 때, 삼각형과 사각형은 밑면 전체를 덮지 않고, 작은 막은 단순히 빈 공간을 덮기 위해 밑면에 남는다. 따라서 위에서 나타낸 {5/2}와 {7/2} 기둥형 다면체는 (채워지지 않은) 막을 가진다. 반면에 위에서 나타낸 {5/4}와 {7/4} 기둥형 다면체는 막을 가지지 않는다. {*n*/*d*}지붕의 높이 *h*는 다음의 공식으로 주어진다: h = \sqrt{1-\frac{1}{4 \sin^{2} (\frac{\pi d}{n}). 특히, *n*/*d* = 6과 *n*/*d* = 6/5에서 극한적으로 *h* = 0이고, *n*/*d* = 2에서 (삼각기둥,삼각형이 직립일 때) *h*는 최대화된다.http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola1.htmlhttp://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola2.html 위의 그림에서, 별 지붕은 그들의 면을 구분하는 것을 돕기 위해 일관된 색 구성으로 주어졌다: 밑면 *n*/*d*각형은 빨간색, 밑면 2*n*/*d*각형은 노란색, 사각형은 파란색, 그리고 삼각형은 초록색이다. 지붕형 다면체는 밑면 다른 밑면이 사라진 것처럼 *n*/*d*각형을 빨간색, 사각형은 노란색, 그리고 삼각형은 파란색으로 칠했다.
# 역지붕
{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" |+ 역지붕의 집합 |- |align=center colspan=2|역오각지붕
오각형 예시 |- |bgcolor=#e7dcc3|슐레플리 기호||s{*n*} || t{*n*} |- |bgcolor=#e7dcc3|면||삼각형 3*n*개
*n*각형 1개,
2*n*각형 1개 |- |bgcolor=#e7dcc3|모서리||6*n* |- |bgcolor=#e7dcc3|꼭짓점||3*n* |- |bgcolor=#e7dcc3|대칭군||C*n*v, [1,*n*], (**nn*), 2*n*차 |- |bgcolor=#e7dcc3|회전군||C*n*, [1,*n*]+, (*nn*), *n*차 |- |bgcolor=#e7dcc3|쌍대||? |- |bgcolor=#e7dcc3|특성||볼록 |} *n*각 **역지붕**은 정2*n*각형 밑면과, 두 종류의 삼각형 3*n*개와, 정*n*각형 윗면으로 이루어져있다. *n*=2일 때, 이각형 윗면은 변 하나로 줄어든다. 윗면의 꼭짓점은 낮은 다각형의 꼭짓점과 정렬되어있다. 대칭은 C*n*v, 2*n*차이다. 역지붕은 일부는 정다각형으로 만들 수는 있지만 전부 정다각형 면으로는 만들수 없다. *n*각형 윗면과 삼각형이 정다각형이라고 하면, 2*n*각형 밑면은 평면다각형이나 정다각형이 될 수 없다. 이런 경우에서, *n*=6일 때는 밑면이 큰 육각형처럼 생겨서 일직선에 놓인 모서리를 가지는 대칭적인 12각형인 부피가 없는 다면체로 다듬은 정육각형 타일링의 정육각형과 둘러싸는 정삼각형을 생성한다. 역지붕 둘을 밑면끼리 붙여서 맞붙인 역지붕을 만들 수 있다. {| class=wikitable width=400 |+ 볼록 역지붕족 |- !n||2 !!3 !!4 !!5 !!6... |- !이름 || s{2} || t{2} || s{3} || t{3} || s{4} || t{4} || s{5} || t{5} || s{6} || t{6} |- align=center !그림 |valign=bottom|
이각 |valign=bottom|
삼각 |valign=bottom|
사각 |valign=bottom|
오각 |valign=bottom|
육각 |- align=center !투명 | | | | | |- align=center !전개도 | | | | | |} -
# 초지붕
**초지붕** 또는 **다면체 지붕**은 고르지 않은 4차원 볼록 다포체족이고, 지붕과 유사하다. 각각의 밑면은 플라톤의 다면체와 그 확장이다.Convex Segmentochora Dr. Richard Klitzing, Symmetry: Culture and Science, Vol. 11, Nos. 1-4, 139-181, 2000 {| class="wikitable" |- |정사면체 지붕 !colspan="2"|정육면체 지붕 !colspan="2"|정팔면체 지붕 !colspan="2"|정십이면체 지붕 !colspan="2"|정육각형 타일링 지붕 |- align=center !슐레플리 기호 !colspan=2|{3,3} || rr{3,3} !colspan=2|{4,3} || rr{4,3} !colspan=2|{3,4} || rr{3,4} !colspan=2|{5,3} || rr{5,3} !colspan=2|{6,3} || rr{6,3} |- align=center !Segmentochora
지표 !colspan="2"|K4.23 !colspan="2"|K4.71 !colspan="2"|K4.107 !colspan="2"|K4.152 !colspan="2"| |- align=center !외접반지름 |colspan="2"|1 |colspan="2"|sqrt((3+sqrt(2))/2)
= 1.485634 |colspan="2"|sqrt(2+sqrt(2))
= 1.847759 |colspan="2"|3+sqrt(5)
= 5.236068 |colspan="2"| |- align=center !그림 |colspan="2" | |colspan="2" | |colspan="2" | |colspan="2" | |colspan="2"| |- align=center !덮개 세포 |colspan="2"| |colspan="2"| |colspan="2"| |colspan="2"| |colspan="2"| |- align=center !꼭짓점 |colspan="2" |16 |colspan="2" |32 |colspan="2" |30 |colspan="2" |80 |colspan="2" |∞ |- align=center !모서리 |colspan="2" |42 |colspan="2" |84 |colspan="2" |84 |colspan="2" |210 |colspan="2" |∞ |- !면 |align=right |42 |24 {3} + 18 {4} |align=right |80 |32 {3} + 48 {4} |align=right |82 |40 {3} + 42 {4} |align=right |194 |80 {3} + 90 {4} + 24 {5} |align=right |∞ || |- !세포 |align=right |16 |정사면체 1개
삼각기둥 4개
삼각기둥 6개
삼각뿔 4개
육팔면체 1개 |align=right |28 |정육면체 1개
사각기둥 6개
삼각기둥 12개
삼각뿔 8개
마름모육팔면체 1개 |align=right |28 |정팔면체 1개
삼각기둥 8개
삼각기둥 12개
사각뿔 6개
마름모육팔면체 1개 |align=right |64 |정십이면체 1개
오각기둥 12개
삼각기둥 30개
삼각뿔 20개
마름모십이이십면체 1개 |align=right|∞ ||정육각형 타일링 1개
육각기둥 ∞개
삼각기둥 ∞개
삼각뿔 ∞개
마름모삼육각형 타일링 1개 |- align=center !관련
고른
4차원
다포체 |colspan="2" |runcinated 정오포체
node_1 |colspan="2" |runcinated 정팔포체
node_1 |colspan="2" |runcinated 정이십사포체
node_1 |colspan="2" |runcinated 정백이십포체
node_1 |colspan="2" |runcinated 정육각형 타일링 벌집
node_1 |}