8차원 회전군

리 군론에서 **8차원 회전군**(八次元回轉群, eight-dimensional rotation group)은 8차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(8) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 **삼중성**(triality)이라는 특별한 대칭을 갖는다.
# 정의
**8차원 회전군**은 8차원 실수 계수 직교군 \operatorname O(8;\mathbb R)이다. 그 딘킨 도표는 :\bullet - \bullet \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet} 이다. 이 그래프는 중심 밖의 꼭짓점의 순열에 대하여 3차 대칭군 \operatorname{Sym}(3) 대칭을 갖는데, 이를 **삼중성**(triality)이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다. 그 복소수 리 대수 \mathfrak o(8;\mathbb C)은 5개의 실수 형태를 갖는다. 이에 대응하는 리 군들은 다음이 있다. {| class=wikitable ! 킬링 형식의 부호수 !! 기호 !! 직교군 기호 !! 사타케 도표 !! 보건 도표 !! 비고 |- | (0,28) || || Spin(8) || \bullet - \bullet \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet} || \circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} || 콤팩트 형태 |- | (7,21) || D₄Ⅱ || Spin(1,7) || \circ - \bullet \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet} || \circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ}\\} |- | (12,16) || D₄Ⅱ, D₄Ⅲ || SO*(8)=SO(2,6) || \circ - \circ \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet} || \bullet - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} |- | (15,13) || D₄Ⅱ || Spin(3,5) || \circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ}\\} || \bullet - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} \\} |- | (16,12) || D₄Ⅰ || Spin(4,4) || \circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} || \circ - \bullet \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} || 분할 형태 |}
# 성질

## 콤팩트 형태
Spin(8)의 최소 스피너는 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 8차원 벡터 표현과 같은 크기이며, 삼중성은 이 세 표현 위에 작용한다. Spin(8)의 군의 중심은 클라인 4원군 :\operatorname Z(\operatorname{Spin}(8))\cong\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2) 이며, 이는 유한체 \mathbb F_2 위의 2차원 벡터 공간 \mathbb F_2^{\oplus2}의 벡터들의 덧셈군으로 여겨질 수 있다. 이 군의 자기 동형군은 :\operatorname{Aut}\left(\operatorname Z(\operatorname{Spin}(8))\right) \cong \operatorname{GL}(2;\mathbb F_2) \cong \operatorname{Sym}(3) 이다. 구체적으로, \mathbb F_2^{\oplus2}는 영벡터가 아닌 세 개의 벡터 (0,1), (1,0), (1,1)을 갖는데, 자기 동형군은 이 위의 순열로서 작용한다. 특수 직교군 \operatorname{SO}(8;\mathbb R)에서, 이 중심군은 \operatorname{Cyc}(2)로 깨지며, 이에 따라 삼중성 역시 깨지게 된다. 이는 스피너가 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다. 물론, 모든 중심을 몫군을 취해 없애 사영 특수 직교군 \operatorname{PSO}(8;\mathbb R)을 취하면, 다시 삼중성이 존재하게 된다. 이는 벡터 표현 또한 사영 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.
## 분할 형태
\operatorname{SO}^+(4,4)의 군의 중심은 \operatorname{Cyc}(2)이며, 위상수학적으로 그 호모토피 유형은 \operatorname{SO}(4)\times\operatorname{SO}(4)이므로, 그 기본군은 \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)이다. 다시 말해, \operatorname{SO}^+(4,4)의 범피복군의 군의 중심은 :\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2) \cong \mathbb F_2^{\oplus3} 이다. 그 자기 동형군은 크기 168의 유한 단순군 :\operatorname{GL}(3;\mathbb F_2) \cong \operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7) 이며, 삼중성은 그 위에 작용한다. Spin(4,4)의 최소 스피너는 8차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 삼중성은 이 두 스피너와 8차원 벡터 표현 위에 작용한다.
## SO(3,5)
Spin(3,5)의 최소 스피너는 복소수 8차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 실수 16차원 마요라나 스피너이다. \operatorname{SO}(3,5)의 범피복군의 군의 중심은 마찬가지로 \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)이다. === SO(2,6) = SO*(8)
## 실수 리 대수 \mathfrak o(2,6)은 \mathfrak o^*(8)과 일치한다. 이에 대응하는 리 군의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 (1,5)차원 민코프스키 공간의 등각군으로 해석될 수 있다. 동형 사상 :\mathfrak o(2,6) \cong \mathfrak o^*(8) 은 6차원 회전군의 동형 사상 :\mathfrak{su}(1,3) \cong \mathfrak o^*(6) 을 확장시킨다.
로런츠 형태 SO(1,7) === 실수 리 대수 \mathfrak o(1,7)은 실수 16차원 마요라나 스피너 및 복소수 8차원 바일 스피너를 갖는다. 이는 6차원 유클리드 공간의 등각군으로 해석될 수 있다.