피카르-린델뢰프 정리

동역학계 이론에서 **피카르-린델뢰프 정리**(Picard–Lindelöf theorem) 또는 **피카르 유일성 정리**(Picard’s uniqueness theorem) 또는 **코시-립시츠 정리**(Cauchy–Lipschitz theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.
# 정의
초깃값 문제 :y'(t)=f(t,y(t)) :y(t_0)=y_0 를 생각하자.
## 립시츠 조건
열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 및 연속 함수 f\colon[t_0,t_0+a]\times U\to\mathbb R^n가 주어졌고, f가 y에 대하여 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 L\ge 0가 존재한다고 하자 (**립시츠 조건**, Lipschitz condition). :|f(t,y)-f(t,z)|\le L|y-z|\qquad\forall(t,y),(t,z)\in[t_0,t_0+a]\times U **피카르-린델뢰프 정리**에 따르면, 임의의 y_0\in U에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 00 및 :0<\delta\le\min\left\\{a,\frac b{\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f|}\right\\} 를 취하자. 그렇다면 연속 함수 [t_0,t_0+\delta]\to\mathbb R^n들의 집합 \mathcal C([t_0,t_0+\delta],\mathbb R^n) 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다. :\Vert\phi\Vert=\Vert t\mapsto\exp(-Lt)\phi(t)\Vert_\infty=\sup_{t\in[t_0,t_0+\delta]}\exp(-Lt)|\phi(t)| 이 노름은 상한 노름 \Vert\cdot\Vert_\infty과 동치이므로 (\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\mathbb R^n),\Vert\cdot\Vert)은 바나흐 공간이다. 연속 함수 [t_0,t_0+\delta]\to\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)의 집합 \mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))은 \mathcal C([t_0,t_0+a],\mathbb R^n)의 닫힌집합이므로 (\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)),\Vert\cdot\Vert) 역시 바나흐 공간이다. 이제 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자. :T\colon\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))\to\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)) :T\phi\colon t\mapsto y_0+\int_{t_0}^tf(s,\phi(s))\mathrm ds 이 작용소의 공역을 \mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))로 제한할 수 있는 것은 임의의 \phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)) 및 t\in[t_0,t_0+\delta]에 대하여 :|(T\phi)(t)-y_0|\le\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))|\mathrm ds\le\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f|\cdot\delta\le b 이기 때문이다. 정리 속 초깃값 문제의 해 \phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))는 자명하게 T의 고정점과 동치이다. 바나흐 고정점 정리에 따라, 이러한 고정점이 유일하게 존재함을 보이려면 T가 (노름 \Vert\cdot\Vert에 대하여) 축약 사상임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 f의 립시츠 조건에 따라 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의 \phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)) 및 t\in[t_0,t_0+\delta]에 대하여, :\begin{align} \exp(-Lt)|(T\phi-T\psi)(t)| & \le \exp(-Lt)\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))-f(s,\psi(s))|\mathrm ds \\\ & \le \exp(-Lt)\int_{t_0}^tL|\phi(s)-\psi(s)|\mathrm ds \\\ & = \exp(-Lt)\int_{t_0}^tLe^{Ls}e^{-Ls}|\phi(s)-\psi(s)|\mathrm ds \\\ & \le \exp(-Lt)\int_{t_0}^tLe^{Ls}\mathrm ds\Vert\phi-\psi\Vert \\\ & = (1-\exp(-Lt))\Vert\phi-\psi\Vert \\\ & \le (1-\exp(-L(t_0+\delta)))\Vert\phi-\psi\Vert \end{align} 마지막으로, 위 증명은 \delta가 고정되었을 때 b를 (\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)\subseteq U를 만족시키는) 더 큰 수로 대체하여도 유효하므로, 초깃값 문제의 해 [t_0,t_0+\delta]\to U는 유일하게 존재한다. 만약 U=\mathbb R^n일 경우 b=\infty와 \delta=a를 취하면 대역적 해의 존재와 유일성을 얻는다. 증명 끝 부제=그뢴발 부등식을 통한 증명 국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 국소적 해의 유일성은 그뢴발 부등식을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. \phi,\psi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U (0<\delta\le a)가 정리 속 초깃값 문제의 두 해라고 하고, h=|\phi-\psi|라고 하자. 그렇다면, 임의의 t\in[t_0,t_0+\delta]에 대하여, :h(t)\le\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))-f(s,\psi(s))|\mathrm ds\le L\int_{t_0}^t|\phi(s)-\psi(s)|\mathrm ds=L\int_{t_0}^th(s)\mathrm ds 이다. 그뢴발 부등식에 따라 h=0이며, 즉 \phi=\psi이다. 증명 끝
## 국소 립시츠 조건
열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 및 연속 함수 f\colon[t_0,t_0+a]\times U\to\mathbb R^n가 주어졌고, f가 y에 대하여 국소 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 임의의 y_0\in U에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 y_0의 근방 \widetilde U\subseteq U 및 음이 아닌 실수 L\ge 0가 존재한다고 하자 (**국소 립시츠 조건**, local Lipschitz condition). :|f(t,y)-f(t,z)|\le L|y-z|\qquad\forall(t,y),(t,z)\in[t_0,t_0+a]\times\widetilde U **피카르-린델뢰프 정리**에 따르면, 임의의 y_0\in U에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 0<\delta\le a에 대하여 유일한 국소적 해 \phi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U를 갖는다.doi=10.1016/S0022-247X(03)00096-9265 특히, 만약 y에 대한 편미분 \partial f/\partial y이 연속 함수라면, f는 국소 립시츠 조건을 만족시키므로, 유일한 국소적 해가 존재한다. 증명 임의의 y_0\in U를 고정하였을 때, f는 [t_0,t_0+a]\times\widetilde U로 제한되었을 때 립시츠 조건을 만족시키며, 따라서 정리 속 초깃값 문제는 어떤 [t_0,t_0+\delta]에서 유일한 국소적 해를 갖는다. 증명 끝
## 해의 근사
반복법을 사용하여 위 초깃값 문제의 해로 균등 수렴하는 함수열 \phi_n\colon[t_0,t_0+\delta]\to U을 다음과 같이 구성할 수 있다. :\phi_0\colon t\mapsto y_0 :\phi_{n+1}\colon t\mapsto y_0+\int_{t_0}^tf(s,\phi_n(s))\mathrm ds 이 경우 실제 해 \phi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U와의 오차는 다음과 같다. :|\phi_n(t)-\phi(t)|\le\frac{L^n}{(n+1)!}|t-t_0|^{n+1}\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f| 증명 :|\phi_0(t)-\phi(t)|\le\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))|\mathrm ds\le|t-t_0|\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f| :\begin{align} |\phi_{n+1}(t)-\phi(t)| & \le \int_{t_0}^t|f(s,\phi_n(s))-f(s,\phi(s))|\mathrm ds \\\ & \le L\int_{t_0}^t|\phi_n(s)-\phi(s)|\mathrm ds \\\ & \le \frac{L^{n+1{(n+1)!}\int_{t_0}^t|s-t_0|^{n+1}\mathrm ds\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f| \\\ & = \frac{L^{n+1{(n+2)!}|t-t_0|^{n+2}\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f| \end{align} 증명 끝
# 다른 정리와의 관계
피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분조건(립시츠 조건)을 제시한다. 오스굿 유일성 정리는 이 충분조건을 약화하여 얻는 정리이다. 페아노 존재 정리는 립시츠 조건 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리(Carathéodory's existence theorem)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(weak solution)의 존재만을 결론내린다.
# 역사
샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프(Ernst Leonard Lindelöf)언어=fr가 증명하였다.