설리번 대수

호모토피 이론에서 **설리번 대수**(Sullivan代數, Sullivan algebra)는 특별한 형태의 유리수 계수 가환 미분 등급 대수이다. 이를 통하여, 위상 공간의 호모토피 군에서, 꼬임 부분군을 제외한 나머지 부분(즉, 유리수와의 텐서곱)을 계산할 수 있으며, 이 이론을 **유리수 호모토피 이론**(有理數homotopy理論, rational homotopy theory)이라고 한다.언어=en
# 정의
체 K 위의 **설리번 대수** (B,\le,\deg,\mathrm d)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.Definition 1.10 * 정렬 집합 (B,\le). 이로부터 K-벡터 공간 V=\operatorname{Span}_KB을 정의할 수 있다. * 함수 \deg\colon B\to\mathbb N. 이로부터 등급 벡터 공간 \textstyle V=\bigoplus_{i\in\mathbb N}V_i, \textstyle V_i=\operatorname{Span}\\{b\in B\colon\deg b=i\\}을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 \textstyle\bigwedge(V)를 정의할 수 있으며, 이는 가환 K-등급 대수를 이룬다. * 함수 \textstyle\mathrm d\colon B\to\bigwedge(V). 이는 선형성 및 곱 규칙을 사용하여 미분 연산 \textstyle\mathrm d\colon \bigwedge(V)\to \bigwedge(V)로 연장된다. 이는 두 다음 조건을 만족시켜야 한다. * 임의의 b\in B에 대하여, \textstyle\mathrm db\in\bigwedge(\operatorname{Span}_K\\{c\in B\colon c이다. * \textstyle(\bigwedge(V),\wedge,\mathrm d)는 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 설리번 대수 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 다음 조건을 만족시킨다면, **최소 설리번 대수**(最少Sullivan代數, minimal Sullivan algebra)라고 한다. :\deg\colon(B,\le)\to(\mathbb N,\le)는 증가 함수이다. 즉, 임의의 b,c\in B에 대하여 b\le c라면 \deg b\le \deg c이다.언어=enDefinition 1.10
## 상대 설리번 대수
보다 일반적으로, 설리번 대수의 개념을 다음과 같이 상대화할 수 있다. 체 K 위의 가환 미분 등급 대수 A 위의 **상대 설리번 대수**(相對Sullivan代數, relative Sullivan algebra)는 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 정렬 집합 (B,\le). 이로부터 K-벡터 공간 V=\operatorname{Span}_KB을 정의할 수 있다. * 함수 \deg\colon B\to\mathbb N. 이로부터 등급 벡터 공간 \textstyle V=\bigoplus_{i\in\mathbb N}V_i, \textstyle V_i=\operatorname{Span}\\{b\in B\colon\deg b=i\\}을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 \textstyle\bigwedge(V)를 정의할 수 있으며, 이는 가환 K-등급 대수를 이룬다. * 함수 \textstyle\mathrm d\colon B\to A\otimes_K\bigwedge(V). 이를 선형성 및 곱 규칙에 따라 \textstyle\mathrm d\colon A \otimes_K \bigwedge(V) \to A \otimes_K \bigwedge(V)로 연장시킬 수 있다. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. * 임의의 a\in A 및 b\in B에 대하여, \textstyle\mathrm db\in A\otimes_K\bigwedge(\operatorname{Span}_K\\{c\in B\colon c이다. * \textstyle(A\otimes_K\bigwedge(V),\wedge,\mathrm d)는 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 정의에서, 만약 \deg\colon (B,\le)\to (\mathbb N,\le)가 증가 함수라면, 이를 **최소 상대 설리번 대수**(最小相對Sullivan代數, minimal relative Sullivan algebra)라고 한다. 설리번 대수는 (K,\mathrm d=0) 위의 상대 설리번 대수와 같으며, 최소 설리번 대수는 (K,\mathrm d=0) 위의 최소 상대 설리번 대수와 같다.
# 연산
가환 미분 등급 대수 A에 대한 임의의 상대 설리번 대수 (B,\le,\deg,\mathrm d)에 대하여, 임의의 b\in B에 대하여, B'=\\{b'\in B\colon b' 1 및 자연수 N\in\mathbb N이 존재한다.Theorem 2.33 * 임의의 k\ge1에 대하여, \pi_i(X) \ne 0이며 k인 i\in\mathbb Z가 존재한다.Theorem 2.34 * 임의의 k\gg1에 대하여, \forall n\ge N\colon \sum_{i=k+1}^{k+n-1}\dim\pi_i(X)\ge \frac{\dim\pi_k(X)}{\dim\operatorname H^\bullet(X)} 인 k가 존재한다.Theorem 2.34
# 예

## 자명한 설리번 대수
임의의 정렬 집합 (B,\le) 및 임의의 증가 함수 :\deg \colon B\to \mathbb N 에 대하여, 자명한 미분 :\mathrm db =0 을 부여하자. 그렇다면, (B,\le,\deg,0)은 최소 설리번 대수를 이룬다. 특히, B=\varnothing일 때, (K,\mathrm d=0)은 K 위의 최소 설리번 대수를 이룬다.
## 홀수 차원 초구
n차원 초구 \mathbb S^n의 유리수 계수 코호몰로지는 다음과 같다. :\dim_{\mathbb Q}\operatorname H^k(\mathbb S^n)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q=\begin{cases}1&k;=0,n\\\0&k;\ne0,n\end{cases} 따라서, 홀수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 n의 생성원 a 하나만을 가지며, 이 경우 \mathrm da=0이다.언어=en259–260, Example 19.1 즉, :B=\\{a\\} :\deg\colon a\mapsto 1 :\mathrm da=0 이다.
## 짝수 차원 초구
짝수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 n의 생성원 a를 가지지만, a가 짝수 차수를 가지므로 a^2\ne0이다. 따라서, a^2가 코호몰로지류를 이루는 것을 막기 위해, 2n-1차의 생성원 b를 추가해야 한다. 즉, 최소 설리번 대수는 다음과 같다.260, Example 19.2 :B=\\{a,b\\} :a :\deg \colon a\mapsto n :\deg \colon b\mapsto 2n-1 :\mathrm da=0 :\mathrm db=a^2 이에 따라, 초구의 호모토피 군의 계수를 계산할 수 있다. (그러나 초구의 호모토피 군의 꼬임 부분군을 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다.)
## 복소수 사영 공간
복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^n의 유리수 계수 코호몰로지는 :\dim_{\mathbb Q}\operatorname H^k(\mathbb{CP}^n)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q=\begin{cases}1&k;=0,2,\dots,2n\\\0&k;\ne0,2,\dots,2n\end{cases} 이다. 따라서, 이 경우 최소 설리번 모형은 다음과 같다.260, Example 19.3 :B=\\{a,b\\} :a :\deg a=2 :\deg b=2n+1 :\mathrm da=0 :\mathrm db=a^{n+1} 무한 차원 복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^\infty의 경우, 최소 설리번 모형은 다음과 같이 생성원 b가 없어져 더 간단하다. :\deg a=2 :\mathrm da=0
## 비형식적 최소 설리번 대수
형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예로는 다음을 들 수 있다. :B=\\{a,b,x,y\\} :a :\deg a=2,\quad\deg b=\deg x=3,\quad\deg y=4 :\mathrm da=\mathrm db=0,\qquad\mathrm dx=a^2,\qquad\mathrm dy=ab 이 설리번 대수의 코호몰로지는 [a], [b], [xb-ay]로 구성된다. 최소 설리번 대수에서 그 코호몰로지로 가는 등급 대수 준동형 f는 차수의 제약에 따라 :f(a)\propto[a] :f(y)=0 :f(b)\propto[b] :f(x)\propto[b] 가 되는데, 따라서 :f(xb-ay)=f(x)f(b)-f(a)f(y)=0 이 된다. 따라서, f는 유사동형이 될 수 없다.
## 설리번 대수가 아닌, 외대수 위의 미분 등급 대수 구조
다음과 같은 구성을 생각하자. :B=\\{x,y,z\\} :\deg x=\deg y=\deg z=1 :V=\bigwedge(\operatorname{Span}_KB) :\mathrm dx=yz :\mathrm dy=zx :\mathrm dz=xy 이는 가환 미분 등급 대수를 이루며, V는 B로 생성되는 외대수이지만, B 위에는 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 설리번 대수가 되게 하는 전순서 \le를 줄 수 없으며, \operatorname{Span}_KB의 다른 기저를 잡더라도 이를 설리번 대수로 만들 수 없다.Example 1.12
# 역사
데니스 설리번이 1970년대에 제창하였다.언어=en