단체 집합

호모토피 이론에서 **단체 집합**(單體集合, simplicial set)은 위상 공간의 조합론적인 표현의 일종이다.언어=en언어=en언어=en언어=en 위상 공간이나 단체 복합체 등과 달리, 단체 집합의 범주는 토포스를 이루므로, 그 속에서 호모토피 이론을 전개하기가 용이하다.
# 정의
**단체 집합**은 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set} 속의 단체 대상, 즉 함자 :X_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op \to\operatorname{Set} 이다. 마찬가지로, **첨가 단체 집합**(添加單體集合, augmented simplicial set)은 \operatorname{Set} 속의 첨가 단체 대상, 즉 함자 :X_\bullet \colon\triangle_+^{\operatorname{op \to\operatorname{Set} 이다. 여기서 \triangle은 단체 범주이며, \triangle_+는 첨가 단체 범주이다. 다시 말해, X_{-1}=S인 첨가 단체 집합 X_\bullet은 조각 범주 \operatorname{Set}/S 위의 단체 대상과 같다.
# 연산

## 범주론적 연산
단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, 곱 · 쌍대곱 · 밂 등이 모두 존재한다. 단체 집합의 범주에서, 시작 대상은 공집합 :\varnothing_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op \to \operatorname{Set} :\varnothing_\bullet \colon n \mapsto \varnothing\qquad\forall n \in\triangle 이며, 끝 대상은 한원소 공간 :1_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op \to \operatorname{Set} :1_\bullet \colon n \mapsto \\{\bullet\\}\qquad\forall n\in\triangle 이다. (여기서 \\{\bullet\\}은 한원소 집합이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.
## 기하학적 실현과 특이 단체
단체 집합의 범주 \operatorname s(\operatorname{Set})와 위상 공간의 범주 \operatorname{Top} 사이에 다음과 같은 두 개의 함자들이 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다. :\operatorname s(\operatorname{Set})\, \overset S{\underset{|\cdot|}\leftrightarrows} \,\operatorname{Top} :|\cdot|\dashv\operatorname{Sing} 여기서 \operatorname{Sing}을 **특이 단체 함자**(特異單體函子, singular simplex functor), |\cdot|을 **기하학적 실현 함자**(幾何學的實現函子, geometric realization functor)라고 한다.
### 특이 단체
특이 호몰로지 위상 공간 Y가 주어졌을 때, 이에 대응하는 **특이 단체 집합**(singular simplicial set) \operatorname{Sing}(Y)는 다음과 같다. :\operatorname{Sing}(Y)_n=\hom_{\operatorname{top(\triangle^n,Y) 여기서 \triangle^n은 n차원 단체이다. 즉, 함자 \operatorname{Sing}(Y)의 n차 성분은 Y의 n차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 특이 호몰로지에서 사용되는 특이 단체와 같다.
### 기하학적 실현
단체 집합 X에 대응하는 **기하학적 실현** |X|는 다음과 같은 위상 공간이다. :|X|=\left(\bigsqcup_nX_n\times\triangle^n\right)/{\sim} 여기서 \triangle^n은 n차원 표준 단체이며, \sim은 :(x,S_i(p))\sim(s_i(x),p)\qquad\forall p\in\triangle^n :(x,D_i(p))\sim(d_i(x),p)\qquad\forall p\in\triangle^n 로부터 생성되는 동치 관계이다. 여기서 :d_i\colon\\{0,1,\dots,n-1\\}\to\\{0,1,\dots,n\\} 는 상이 \\{0,1,\dots,n\\}\setminus\\{i\\}인 유일한 증가 단사 함수이며, :s_i\colon\\{0,1,\dots,n\\}\to\\{0,1,\dots,n-1\\} 는 i\in\\{0,1,\dots,n\\}를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 전사 함수이다. D_i\colon\triangle^n\to\triangle^{n+1} 및 S_i\colon\triangle^n\to\triangle^{n-1}는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 연속 함수들이다.
## 단체 호몰로지
단체 집합 X_\bullet이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취하자. :C_n = \mathbb Z^{\oplus X_n} 그렇다면, 이 위에 \partial_{n,i} 및 s_{n,i}를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, C_n은 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체 :\partial_n \colon C_n \to C_{n-1} :\partial_n = \sum_{i=0}^n \partial_{n,i} 의 호몰로지를 단체 집합 X의 **단체 호몰로지**(單體homology, simplicial homology)라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)
## 유리수 계수 다항식 미분 형식
표준 단체 :\triangle^n=\left\\{\vec t\in\mathbb R^{n+1}\colon\sum_{i=0}^nt_i=1\right\\} 위의 **유리수 계수 다항식 미분 형식**(rational-coefficient polynomial differential form)은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다. :\phi_{i_0,i_1,\dotsc,i_n}\mathrm dt_{i_0}\wedge\mathrm dt_{i_1}\wedge\dotsb\wedge\mathrm dt_{i_n}\qquad(\phi_{i_0,i_1,\dotsc,i_n}\in\mathbb Q[t_0,\dotsc,t_n],\;i_0 이들의 유리수 벡터 공간을 \Omega_{\text{PL(n)으로 표기하자. 이는 외미분 및 쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이제, 함자 :\Omega_{\text{PL\colon\triangle\to\operatorname{CDGA}_{\ge0}^{\operatorname{op 를 다음과 같이 정의할 수 있다. * \Omega_{\text{PL\colon n\mapsto\Omega_{\text{PL(n) * 임의의 증가 함수 f\colon\\{0,1,\dotsc,m\\}\to\\{0,1,\dotsc,n\\}에 대하여, *: \Omega_{\text{PL(f)\colon t_i\mapsto\sum_{j\in f^{-1}(i)}t_j *: \Omega_{\text{PL(f)\colon \mathrm dt_i\mapsto \sum_{j\in f^{-1}(i)}\mathrm dt_j 그렇다면, 이 함자의 왼쪽 칸 확대를 통해 함자 :\Omega_{\text{PL\colon \operatorname s(\operatorname{Set})\to\operatorname{CDGA}_{\ge0}^{\operatorname{op 를 얻을 수 있다. 이를 단체 집합 위의 **유리수 계수 다항식 미분 형식**들의 유리수 계수 자연수 등급 가환 미분 등급 대수라고 한다. 이는 오른쪽 수반 함자 :R\colon \operatorname{CDGA}^{\operatorname{op_{\ge0}\to\operatorname s(\operatorname{Set}) 를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자 :\Omega_{\text{PL\dashv R 를 이룬다.언어=en§8
# 성질

## 범주론적 성질
단체 집합의 범주 \operatorname s(\operatorname{Set})는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.
## 위상수학적 성질
기하학적 실현 함자 |\cdot|:\operatorname s(\operatorname{Set})\to \operatorname{Top}는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname{CGHaus} 따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.언어=en49 또한, 단체 집합 X의 기하학적 실현 |X|는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.p. 46
## 모형 범주 구조
단체 집합의 범주 \operatorname s(\operatorname{Set})는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다. * 약한 호모토피 동치는 그 기하학적 실현들에 대한 약한 호모토피 동치와 같다. * 올뭉치는 **칸 올뭉치**(Kan올뭉치, Kan fibration)이다. * 올대상은 **칸 복합체**(Kan複合體, Kan complex)이다.
### 칸 올뭉치
단체 집합 E, B 사이의 사상 \pi\colon E\to B가 다음 조건을 만족시킨다면, **칸 올뭉치**(Kan fibration)라고 한다. :임의의 단체 \triangle^n의 뿔 \iota\colon\wedge^n_k\hookrightarrow\triangle^n 및 사상 \tilde f_0\colon\wedge^n_k\to X 및 f\colon\triangle^n\to B에 대하여, 만약 f\circ\iota=\pi\circ\tilde f_0라면, \tilde f\circ \iota = \tilde f_0이고 \pi\circ \tilde f = f인 \tilde f\colon\triangle^n\to E가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다. ::\begin{matrix} \wedge^n_k&\xrightarrow{\tilde f_0}&E;\\\ {\scriptstyle\iota}\downarrow&\nearrow\scriptstyle\exists\tilde f&\downarrow\scriptstyle\pi\\\ \triangle^n&\xrightarrow[f]{}&B; \end{matrix} 이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다. \bullet이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, **칸 복합체**(Kan複合體, Kan complex)는 \bullet으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.
# 예

## 표준 단체와 뿔
자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 단체 집합의 범주에서 **표준 n차원 단체**(standard n-simplex) \triangle^n는 \hom_{\triangle}(-,\Delta_n)로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해 :\hom_{\operatorname s(\operatorname{Set})}(\triangle^n, Y) \cong Y(n) 가 성립한다. 표준 n차원 단체 \triangle^n가 주어졌을 때, k\in\\{0,\dots,n\\}에 대하여, \wedge^n_k가 \partial\triangle^n에서 k번째 면들을 제거한 n-1차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 **뿔**(horn)이라고 한다.
## 구체적 범주 속의 단체 대상
만약 \mathcal C\to \operatorname{Set}가 구체적 범주일 경우, \mathcal C 속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.
## 단체 복합체
단체 복합체 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * (추상적) 단체 복합체 (\Sigma_n)_{n\in\mathbb N}. 여기서 \Sigma_0은 꼭짓점들의 집합이며, \Sigma_i\subseteq\mathcal P(\Sigma_0)는 i+1개의 서로 다른 꼭짓점들의 집합이다. * 꼭짓점 집합 \Sigma_0 위의 전순서 \le 그렇다면, 다음을 정의하자. * 양의 정수 n\in\mathbb N에 대하여, 집합 \Delta_n의 원소 M은 \Sigma_0의 원소들로 구성된, 크기 n+1의 중복집합 M 가운데, 중복 원소를 제거한 집합 |M|이 \textstyle\bigsqcup_{n=0}^\infty\Sigma_n에 속하는 것이다. * 꼭짓점 중복집합 M\in\Delta_n이 주어졌다고 하자. M에서, i+1번째로 작은 원소를 m_i\in\Sigma_0라고 하자 (0\le i\le n). 그렇다면, \partial_n^i(M) 및 s_n^i(M)을 다음과 같이 정의하자. ** \partial_n^i(M)=M\setminus\\{m_i\\}\in\Delta_{n-1} ** s_n^i(M)=M\sqcup\\{m_i\\}\in\Delta_{n+1} 그렇다면, (\Delta_n,\partial_n^i,s_n^i)_{n,i}는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체 (\Sigma_n)_{n\in\mathbb N}의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.
## 신경
신경 (범주론) 작은 범주 \mathcal C가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 \operatorname{nerve}\mathcal C가 존재하며, 이를 \mathcal C의 **신경**이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자 :\operatorname{nerve}\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet} 를 정의한다.
# 역사
단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다.