매끄러운 사상

대수기하학에서 **매끄러운 스킴**(smooth scheme)은 국소적으로 아핀 공간과 같이 보이는 체 위의 스킴이며, **매끄러운 사상**(-寫像, smooth morphism)은 각 올이 매끄러운 스킴을 이루는 스킴 사상이다. **비분기 사상**(非分岐寫像, unramified morphism)은 분기화가 일어나지 않는 스킴 사상이며, 미분기하학의 몰입에 해당한다. (대수기하학의 열린 몰입과 닫힌 몰입은 이름과 달리 미분기하학의 매장에 해당한다.) **에탈 사상**(étale寫像, étale morphism)은 스킴 사이의 국소 동형 사상이다. 즉, 미분기하학의 국소 미분동형사상이나, 위상수학의 국소 위상동형사상에 대응되는 개념이다.
# 정의
**형식적으로 매끄러운 사상**/**형식적으로 비분기 사상**/**형식적으로 에탈 사상**은 특정 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 스킴 사상이다. 형식적으로 매끄러운/비분기/에탈 사상 조건에 국소 유한 표시 조건을 추가한다면 **매끄러운 사상**/**비분기 사상**/**에탈 사상** 개념을 얻는다.
## 형식적으로 매끄러운 · 비분기 · 에탈 사상
임의의 가환환 R 및 멱영 아이디얼 \mathfrak n\subseteq R에 대하여, 그 몫 준동형 :(/\mathfrak n)\colon R\to R/\mathfrak n 에 대응하는 아핀 스킴 사상 :(/\mathfrak n)^*\colon\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)\to\operatorname{Spec}R 을 생각할 수 있으며, 이는 항상 닫힌 몰입이다. 직관적으로, \mathfrak n이 멱영 아이디얼이므로 \operatorname{Spec}R는 \operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)을 "무한소"만큼 "연장"시킨 것이다. 즉, 이러한 닫힌 몰입은 닫힌집합의 "무한히 작은 근방"으로의 포함 사상으로 해석할 수 있다. 스킴 사상 f\colon X\to S에 대하여, * 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 올림 성질이 성립한다면, f를 **형식적으로 매끄러운 사상**(formally smooth morphism, morphisme formellement lisse)이라고 한다.56, Définition IV.17.1.1 즉, (/\mathfrak n)^*\colon\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}R,X)\to\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n),X)가 전사 함수이다. * 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 모든 오른쪽 올림이 (만약 존재한다면) 유일하다면, f를 **형식적으로 비분기 사상**(formally unramified morphism, morphisme formellement non ramifié)이라고 한다.56, Définition IV.17.1.1 즉, (/\mathfrak n)^*\colon\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}R,X)\to\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n),X)가 단사 함수이다. * 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질이 성립한다면, f를 **형식적으로 에탈 사상**(formally étale morphism, morphisme formellement étale)이라고 한다.56, Définition IV.17.1.1 즉, (/\mathfrak n)^*\colon\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}R,X)\to\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n),X)가 전단사 함수이다. *: \begin{matrix} \operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)&\to&X;\\\ \downarrow&{\scriptstyle\exists}\nearrow&\downarrow\\\ \operatorname{Spec}R&\to&S; \end{matrix} 이 조건들은 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. * 형식적으로 매끄럽다는 것은 사상 \operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)\to X를 그 무한소 근방 \operatorname{Spec}R로 무한소만큼 확장할 때, "특이점"에 걸려 확장이 불가능한 경우가 없다는 것이다. * 형식적으로 비분기라는 것은 사상 \operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)\to X를 그 무한소 근방 \operatorname{Spec}R로 무한소만큼 확장할 때, "분기점" 때문에 두 개 이상의 가능한 확장이 존재하는 경우가 없다는 것이다. * 형식적으로 에탈이라는 것은 형식적으로 매끄러우며 비분기인 것과 같으므로, "특이점"과 "분기점"이 없어 그 무한소 근방으로의 확장이 항상 유일한 것이다.
## 매끄러운 사상
국소 유한 표시 사상 f\colon X\to S에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 **매끄러운 사상**(smooth morphism, morphisme lisse)이라고 한다. * f는 형식적으로 매끄러운 사상이다.url-status = dead61, Définition IV.17.3.1 * f는 평탄 사상이며, 모든 x\in X 및 s=f(x)에 대하여 올 f^{-1}(f(x))은 국소환의 잉여류체 \kappa(s)=\mathcal O_{S,s}/\mathfrak m(\mathcal O_{S,s}) 위의 매끄러운 스킴이다.67, Théorème IV.17.5.1 * f는 평탄 사상이며, 모든 x\in X 및 s=f(x)에 대하여 올 f^{-1}(s)\to\kappa(s)에 대하여 그 완비화 f^{-1}(s)\times_{\kappa(s)}\bar \kappa(s)는 정칙 스킴이다.issn=0072-5285269–270, Theorem III.10.2 * f는 평탄 사상이며, 켈러 미분층 \Omega_{X/S}는 국소 자유 가군층이며, 그 차원은 f\colon X\to S의 상대 차원과 같다. * 모든 x\in X에 대하여, f|_U=\tilde f\circ c가 되는 열린 근방 U\ni x 및 자연수 n 및 사상 \tilde f\colon U\to\mathbb A^n_S가 존재한다. (c\colon\mathbb A^n_S\to S는 아핀 공간의 표준적 사상이다.) * 임의의 x\in X에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 x\in\operatorname{Spec}R\subseteq X 및 f(\operatorname{Spec}R)\subseteq\operatorname{Spec}S\subseteq Y가 존재한다. ** 가환환 준동형 S\to R은 어떤 표준 매끄러운 대수와 동형이다. 가환환 S가 주어졌을 때, 그 위의 유한 표시 대수 :\frac{S[x_1,\dots,x_n]}{(f_1,\dots,f_k)}\qquad(n,k\in\mathbb N,\;k\le n,\;f_1,\dots,f_k\in R[x_1,\dots,x_n]) 가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 **표준 매끄러운 대수**(standard smooth algebra)라고 한다. :다항식 \det(\partial f_i/\partial x_j)_{i,j=1,\dots,k}\in S[x_1,\dots,x_n]은 S[x_1,\dots,x_n]/(f_1,\dots,f_k) 속의 가역원이다.
## 비분기 사상
국소 유한 표시 사상 f\colon X\to S에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 **비분기 사상**(ramified morphism, morphisme non ramifié)이라고 한다.65, Corollaire IV.17.4.2(c) * f는 형식적으로 비분기 사상이다.62, Définition IV.17.3.7 * \Omega_{X/S}=\underline 0이다. 여기서 \Omega_{X/S}는 켈러 미분층이며, \underline0은 영가군의 상수층이다. * 대각 사상 \Delta_f\colon X\to X\times_SX은 열린 몰입이다. 스킴 사상 f\colon X\to S가 **x\in X에서 비분기이다**는 것은 x의 어떤 열린 근방 U\ni x에 대하여 f|_U가 비분기 사상이라는 것이다.
## 에탈 사상
국소 유한 표시 사상 f\colon X\to S에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 **에탈 사상**(étale morphism, morphisme étale)이라고 한다. * f는 형식적으로 에탈 사상이다.62, Définition IV.17.3.7 * f는 평탄 사상이며 비분기 사상이다. * f는 매끄러운 사상이며 비분기 사상이다. * f는 매끄러운 사상이며 상대 차원(relative dimension)이 0이다. * 모든 점 x\in X에서, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 x\in \operatorname{Spec}R\subseteq X 및 f(\operatorname{Spec}R)\subseteq\operatorname{Spec}S\subseteq Y 및 가 존재한다. ** 준동형 S\to R는 어떤 표준 에탈 대수와 동형이다. 위 정의에서, 가환환 S 위의 **표준 에탈 대수**(standard étale algebra)는 다음과 같은 꼴의 단위 결합 가환 대수이다. :\left(S[x]/(f)\right)_g 여기서 * f\in S[x]는 일계수 다항식이며, g\in S[x]는 임의의 다항식이다. * f의 도함수 \mathrm df/\mathrm dx는 (S[x]/(f))_g에서 가역원이다. 여기서 (\cdots)_g는 국소화이고, (f)는 f로 생성되는 아이디얼이다. 스킴 사상 f\colon X\to S가 **x\in X에서 에탈이다**는 것은 x의 어떤 열린 근방 U\ni x에 대하여 f|_U가 에탈 사상이라는 것이다.
# 성질

## 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다. {| || 국소 유한 표시 사상 || ⊃ || 국소 유한 표시 평탄 사상 || ⊃ || 매끄러운 사상 |- || ∪ | colspan=3 | || ∪ |- || 비분기 사상 | colspan=3 | ⊃ || 에탈 사상 || |- || ∪ | colspan=3 | || ∪ |- | 국소 유한 표시 닫힌 몰입 || ⊃ || 스킴 동형 || ⊂ || 열린 몰입 |} 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴 즉, 임의의 체 K에 대하여 모든 매끄러운 K-스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 K 위의 K-스킴 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * X\to\operatorname{Spec}K는 매끄러운 사상이다. * 정칙 스킴이며, X\to\operatorname{Spec}K는 국소 유한형 사상이다.
## 닫힘
\mathfrak P가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 · 형식적으로 매끄러운 사상 · 형식적으로 비분기 사상 · 형식적으로 에탈 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. * (합성에 대한 닫힘) X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ에 대하여, 만약 f와 g가 \mathfrak P-사상이라면 g\circ f 역시 \mathfrak P-사상이다. * (밑 변환에 대하여 안정) X\xrightarrow fY\leftarrow Y' 에 대하여, 만약 f가 \mathfrak P-사상이라면 밑 변환 f'\colon X\times_YY'\to Y' 역시 \mathfrak P-사상이다. \mathfrak P가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. * (fpqc 위상에서의 내림) X\xrightarrow fY\xleftarrow gY'에 대하여, 만약 밑 변환 f'\colon X\times_YY'\to Y'가 \mathfrak P-사상이며, g가 fpqc 사상이라면 f 역시 \mathfrak P-사상이다. 여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.
# 예

## 매끄러움의 실패
대수적으로 닫힌 체 K가 주어졌을 때, K[a]-대수의 포함 준동형 :f\colon K[a]\hookrightarrow K[x,y,a]/(xy-a) 을 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상 :\operatorname{Spec}K[x,y,a]/(xy-a)\twoheadrightarrow\mathbb A^1_K 을 정의하며, 이는 기하학적으로 아핀 평면 원뿔 곡선들의 족을 정의한다. 이는 유한형 사상이며 평탄 사상이지만, 매끄러운 사상이 아니다. 구체적으로, K[a]-대수 K[z,a]/(a^2)의 멱영 아이디얼 (a)\subset K[z,a]/(a^2)를 생각하자. 이 경우, :g\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^2,a)\cong K[z] :g\colon x\mapsto z :g\colon y\mapsto 0 는 K[a]-대수의 준동형을 이룬다. 하지만, 임의의 K[a]-대수의 준동형 :h\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^2) 에 대하여, :q\colon K[z,a]/(a^2)\twoheadrightarrow K[z]/(a) 와 합성하였을 때 q\circ h=g가 될 수 없다. 기하학적으로, 이는 a=0일 때의 올 xy=0은 특이올을 이루기 때문이다. 더 단순한 예로, K\hookrightarrow K[x,y]/(xy)를 생각하자. 이 경우, K-대수의 준동형 :g\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^2) :g\colon x\mapsto z :g\colon y\mapsto z 이 존재한다. 그러나 몫 준동형 :q\colon K[z]/(z^3)\twoheadrightarrow K[x]/(z^2) 에 대하여, g=q\circ h가 되는 준동형 :h\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^3) 은 존재할 수 없다. 따라서 아핀 대수 곡선 \operatorname{Spec}K[x,y]/(xy)는 원점에서 특이점을 가져 매끄러운 곡선이 아니다.
## 비분기성의 실패
표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체 K 위에, :f\colon K[x]\hookrightarrow K[x,y]/(y^2-x)\cong K[y] 를 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상 :\mathbb A^1_K\twoheadrightarrow\mathbb A^1_K 을 정의한다. 이는 유한형 사상이지만, 비분기 사상이 아니다. 구체적으로, K[x,z]/(x^2,z^2-x)의 멱영 아이디얼 (z)\subset K[x]/(x^2,z^2-x)을 생각하자. 그렇다면, K[x]-대수의 준동형 :g_\pm\colon K[x,y]/(x^2,y^2-x)\to K[x]/(x^2,z^2-x) :g_\pm\colon y\mapsto\pm z 을 정의할 수 있다. 이는 몫 :q\colon K[x,z]/(x^2,z^2-x)\twoheadrightarrow K[x,z]/(x^2,z^2-x,z)\cong K 과 합성하면 :q\circ g_\pm\colon K[x,y]/(x^2,y^2-x)\to K :q\circ g_\pm\colon x,y\mapsto 0 이 되므로, 서로 같아진다. 즉, 기하학적으로, 원점 \operatorname{Spec}K\to\mathbb A^1_K을 그 무한소 근방 \operatorname{Spec}K[x]/(x^2,z^2-x)으로 연장하는 방법이 유일하지 않으므로, 비분기 사상이 될 수 없다.
## 체 위의 에탈 스킴
체 K 위의 스킴 X\to\operatorname{Spec}K에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.Stacks Project Lemma 28.35.11Stacks Project Lemma 28.36.7 * X\to\operatorname{Spec}K는 비분기 사상이다. * X\to\operatorname{Spec}K는 에탈 사상이다. * X\cong\bigsqcup_{i\in I}\operatorname{Spec}K_i이며, K_i/K는 유한 분해 가능 확대이다. 체 K 위의 에탈 스킴들의 범주는 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K)의 작용을 갖춘 집합들의 범주 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep/K)\text{-Set}와 동치이다.Stacks Project Lemma 40.21.2 구체적으로, 에탈 스킴 X에 대응하는 집합은 다음과 같다. :X\mapsto \hom_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}K}(\operatorname{Spec}K^{\operatorname{sep,X) 여기서 K^{\operatorname{sep은 K의 분해 가능 폐포이다.
# 역사
알렉산더 그로텐디크가 《대수기하학 원론》 4권에서 도입하였다.