중심화 부분 모노이드

추상대수학에서 **중심화 부분 모노이드**(中心化部分monoid, centralizer (submonoid), commutant)는 어떤 모노이드의 부분 집합과 가환하는 모든 원소로 구성된 부분 모노이드이다. 군의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 부분군을 이루며, 이 경우 이를 **중심화 부분군**(中心化部分群, centralizer (subgroup))이라고 한다. 마찬가지로, 환의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, **중심화 부분환**(中心化部分環, centralizer (subring))이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 폰 노이만 대수의 이론에 등장한다.
# 정의
모노이드 M의 부분 집합 S\subseteq M의 **중심화 부분 모노이드**는 다음과 같은 M의 부분 집합이다.언어=en41, §1.4언어=frAI.7, Définition A1.9 :\operatorname C_M(S)=\\{x\in M\colon\forall s\in S\colon sx=xs\\} 이는 M의 부분 모노이드를 이룬다. (함수해석학에서는 보통 이를 (-)'으로 표기한다.) S의 **이중 중심화 부분 모노이드**(double centralizer, bicentralizer, bicommutant) \operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq M은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.AI.8
# 성질
일반적 모노이드 M의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다. :\operatorname C_M(\varnothing)=\operatorname C_M(\operatorname Z(M))=M :\operatorname C_M(M)=\operatorname Z(M) :\forall S\subseteq M\colon \operatorname C_M(S)=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S)))AI.8 :\forall S\subseteq M\colon\operatorname Z(M)\subseteq\operatorname C_M(S) :\forall S\subseteq M\colon\operatorname C_M(S)=\bigcap_{s\in S}\operatorname C_M(\\{s\\}) :\forall \mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)=\bigcap_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(S)AI.7 :\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(S)\supseteq\operatorname C_M(T) 여기서 \operatorname Z(-)는 모노이드의 중심이다. 이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수 :\operatorname C_M(-)\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)^{\operatorname{op 를 이룬다. (여기서 \operatorname{Pow}(M)은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, (-)^{\operatorname{op은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)
## 이중 중심화 부분 모노이드
일반적 모노이드 M의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다. :\operatorname C_M(\operatorname C_M(\varnothing))=\operatorname Z(M) :\operatorname C_M(M))=M :\forall S\subseteq M\colon S\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S)))) :\forall\mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)\right)=\bigcup_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(\operatorname C_M(S)) :\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(T)) 이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수 :\operatorname C_M(\operatorname C_M(-))\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M) 를 이룬다. 특히, 집합 M\setminus\operatorname Z(M) 위에 폐포 :\operatorname{cl}(S)=\operatorname C_M(S)\setminus\operatorname Z(M)\qquad(S\subseteq M\setminus\operatorname Z(M)) 를 정의하면, 이는 M\setminus\operatorname Z(M) 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.
## 군
군의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, **중심화 부분군**이라고 한다. 군 G의 부분 집합 S의 중심화 부분군은 항상 S의 정규화 부분군의 정규 부분군이다. :\operatorname Z(G)\trianglelefteq\operatorname C_G(S)\trianglelefteq\operatorname N_G(S) 여기서 \operatorname Z(-)는 군의 중심이며, \operatorname N_G(-)는 정규화 부분군이다. 군 G의 부분군 H\le G의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은 H의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 (**N/C 정리**, N/C theorem). :\operatorname N_G(H)/\operatorname C_G(H)\lesssim\operatorname{Aut}(H) 여기서 \operatorname{Aut}(-)는 자기 동형군이다. 한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다. :\operatorname C_G(\\{g\\})=\operatorname N_G(\\{g\\})\qquad\forall g\in G 군 G의 부분군 H\le G에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * H=\operatorname C_G(\operatorname C_G(H)). 즉, H는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다. * H=\operatorname C_G(S)가 되는 부분 집합 S\subseteq G가 존재한다. 즉, H는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다. 임의의 두 군 H, K 및 군 준동형 :\phi\colon K\to\operatorname{Aut}(H) 에 대하여, 반직접곱 H\rtimes_\phi K 및 포함 사상 H,K\subseteq H\rtimes_\phi K을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다. :\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H=\operatorname N_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H :\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(H)\cap K=\ker\phi
## 환
환 R의 부분 집합 S\subseteq R의 (곱셈에 대한) 가환식 S'\subseteq R는 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 이를 **중심화 부분환**(中心化部分環, centralizer subring)이라고 한다. 임의의 나눗셈환 K의 임의의 부분 집합 S\subseteq K에 대하여, 중심화 부분환 \operatorname C_K(S) 역시 나눗셈환이다.

**증명:**

\operatorname C_K(S)는 부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 족하다. 임의의 a\in\operatorname C_K(S)\setminus\\{0\\} 및 s\in S에 대하여, a^{-1}s=a^{-1}saa^{-1}=a^{-1}asa^{-1}=sa^{-1}이다.

## 가군
균형 잡힌 쌍가군 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 환 R * 환 S * (R,S)-쌍가군 _RM_S 그렇다면, S-오른쪽 가군의 자기 사상환 :\operatorname{End}(M_S) 을 정의할 수 있으며, M은 \operatorname{End}(M_S)-왼쪽 가군을 이룬다. 또한, 자연스러운 환 준동형 :\phi_M\colon R\to\operatorname{End}(M_S) :\phi_Mr\colon m\mapsto rm\qquad(r\in R,\;m\in M) 이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라 :\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R))=\operatorname{End}(M_R) 이다. (여기서 우변은 R-오른쪽 가군의 자기 사상환이다.) 만약 \phi_M(R)가 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이라면, 즉 만약 :\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R)))=\phi_M(R) 이라면, M을 균형 잡힌 가군이라고 한다.
## 폰 노이만 대수
복소수 힐베르트 공간 V 위의 유계 작용소 폰 노이만 대수 \operatorname B(V,V)의 부분 대합 대수 S\subseteq\operatorname B(V,V)를 생각하자. (즉, S는 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, **폰 노이만 이중 중심화 정리**(von Neumann bicommutant theorem)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다. * S의 이중 중심화 부분환 \operatorname C_{\operatorname B(V,V)}(\operatorname C_{\operatorname B(V,V)}(S)) * S의 약한 작용소 위상에서의 폐포 * S의 강한 작용소 위상에서의 폐포 * S로부터 생성되는 폰 노이만 대수 (다만, S의 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)
# 예
만약 M이 가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 S\subseteq M에 대하여 S'=M이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다. 만약 M=\Sigma^*가 \Sigma로 생성되는 자유 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다. :\operatorname C_{\Sigma^*}(S)=\\{s\in\Sigma^*\colon\\{s\\}^*\supseteq S\\}^* 사원수 대수 \mathbb H에서, \mathrm i의 중심화 부분환은 \mathbb R+\mathbb Ri이다. 보다 일반적으로, 임의의 x\in\mathbb H에 대하여, \operatorname{Im}x=(x-\bar x)/2를 생각하면, \operatorname C_{\mathbb H}(\\{x\\})=\mathbb R+\mathbb R\operatorname{Im}x이다. 만약 \operatorname{Im}x\ne0이라면 \operatorname C_{\mathbb H}(\\{x\\})는 (환으로서) 복소수체와 동형이다.