단순 확대

체론에서 **단순 확대**(單純擴大, simple extension)는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대이다.
# 정의
체의 확대 L/K가 주어졌다고 하자. 만약 L=K(\alpha)가 되는 \alpha\in L이 존재한다면, L/K를 **단순 확대**라고 하고, \alpha를 **원시 원소**(原始元素, primitive element)라고 한다. 만약 \alpha가 K-초월 원소라면, K(\alpha)\cong K(x)는 K의 일변수 유리 함수체와 동형이다. 만약 \alpha가 K-대수적 원소라면, K의 다항식환의 어떤 몫환 :K(\alpha)\cong K[x]/(p(x)) :[K(\alpha):K]=\deg p 과 동형이다. 여기서 p는 \alpha의 K-최소 다항식이다. 이는 기약 다항식이므로, (p(x))는 극대 아이디얼이며, K[x]/(p(x))는 체를 이룬다.
# 성질
유한 확대의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 **원시 원소 정리**(原始元素定理, primitive element theorem)에 의하여 주어진다. 원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대 L/K에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * L/K는 단순 확대이다. * L/K 사이에, K\subseteq M\subseteq L이 되는 체 M의 수는 유한하다. 증명 L/K 사이의 체의 수가 유한하다고 가정하자. 만약 K가 유한체라면, L 역시 유한체이며, 곱셈군 L^\times=L\setminus\\{0\\}은 순환군이다. 임의의 생성원 \alpha가 주어졌을 때, L=K(\alpha)이다. 이제, K가 무한체라고 하자. 그렇다면, 임의의 \alpha,\beta\in L에 대하여, :K(\alpha+c\beta)=K(\alpha+c'\beta) :c\ne c' 인 c,c'\in K가 존재한다. :\beta=((\alpha+c\beta)-(\alpha+c'\beta))/(c-c')\in K(\alpha+c\beta) :\alpha=(\alpha+c\beta)-c\beta\in K(\alpha+c\beta) 이므로, K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c\beta)이다. 수학적 귀납법에 따라, L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)이라고 하였을 때, :L=K(\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots+c_n\alpha_n) 인 c_2,\dots,c_n\in K가 존재한다. 즉, L/K는 단순 확대이다. 반대로, L=K(\alpha)가 K의 단순 확대라고 가정하자. L/K 사이의 임의의 체 K\subseteq M\subseteq L에 대하여, p_M\in M[x]가 \alpha의 M-최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, p_M(x)는 p_K(x)의 약수이므로, 유한 개밖에 없다. 따라서 M\mapsto p_M이 단사 함수임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식 p\in K[x]에 대하여, S_{p}가 p(x)의 계수들의 집합이라고 하자. 그렇다면, p\in K(S_{p})[x]이다. 임의의 체 K\subseteq M\subseteq L에 대하여, p_M(x)는 M-기약 다항식이며, K(S)\subseteq M이므로, p_M(x)는 K(S_{p_M})-기약 다항식이다. 즉, p_M은 \alpha의 K(S_{p_M})-최소 다항식이기도 하다. 따라서, :[L:K(S_{p_M})]=[K(S_{p_M})(\alpha):K(S_{p_M})]=\deg p_M=[M(\alpha):M]=[L:M] :[K(S_{p_M}):K]=[L:K]/[L:K(S_{p_M})]=[L:K]/[L:M]=[M:K] 이다. M/K는 유한 확대이며, K(S_{p_M})\subseteq M이므로, M=K(S_{p_M})이다. 만약 K\subseteq M,M'\subseteq L이며 p_M=p_{M'}이라면, M=K(S_{p_M})=K(S_{p_{M')=M'이다. 즉, M\mapsto p_M은 단사 함수가 맞다. 증명 끝 또한, 만약 L/K가 유한 분해 가능 확대라면, L/K는 항상 단순 확대이다. 조금 더 일반적으로, 만약 L/K가 유한 분해 가능 확대이며, M/L이 대수적 단순 확대라면, M/K는 단순 확대이다. 부제=갈루아 이론을 통한 증명 유한 분해 가능 확대가 단순 확대라는 사실은 원시 원소 정리와 갈루아 이론을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 원시 원소 정리에 따라, L/K 사이의 체의 수가 유한함을 보이면 충분하다. M/L이 L/K의 정규 폐포라고 하자. 그렇다면, M/K는 유한 갈루아 확대를 이룬다. L/K 사이의 체들은 M/K 사이의 체들이며, M/K 사이의 체들은 갈루아 군 \operatorname{Gal}(M/K)의 부분군과 일대일 대응하며, :|{\operatorname{Gal}(M/K)}|=[M:K]<\aleph_0 이므로, L/K 사이의 체들의 수는 유한하다. 증명 끝 부제=직접적 증명 유한 분해 가능 확대의 대수적 단순 확대가 단순 확대라는 사실은 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 K가 유한체라면, M 역시 유한체이며, 곱셈군 M^\times은 순환군이다. 순환군 M^\times의 임의의 생성원은 원시 원소이다. 이제, K가 무한체라고 가정하자. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 체 K 및 분해 가능 확대 K(\alpha)/K 및 대수적 확대 K(\alpha,\beta)/K(\alpha)에 대하여, K(\alpha,\beta)/K의 원시 원소를 찾으면 충분하다. 이를 위해, \gamma=c\alpha+\beta가 원시 원소가 아닌 c\in K의 수가 유한함을 보이면 충분하다. :c\in K :\gamma=c\alpha+\beta :K(\gamma)\subsetneq K(\alpha,\beta) 라고 하자. 그렇다면 \alpha\not\in K(\gamma)이다. (만약 \alpha\in K(\gamma)라면, \beta=\gamma-c\alpha\in K(\gamma)이므로 K(\gamma)=K(\alpha,\beta)이다.) 이제, p,q\in K[x]가 \alpha,\beta의 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, K(\alpha)/K가 분해 가능 확대이므로 p(x)는 중근을 갖지 않는다. 또한, \alpha는 두 다항식 :p(x),q(\gamma-cx)\in K(\gamma)[x] 의 공통의 근이다. 만약 \alpha가 유일한 공통의 근이라면, 두 다항식의 최대 공약수는 x-\alpha이다. 유클리드 호제법에 따라, :x-\alpha=u(x)p(x)+v(x)q(\gamma-cx) 인 u,v\in K(\gamma)[x]이 존재하며, 특히 \alpha\in K(\gamma)이다. 이는 모순이다. 즉, :p(\alpha')=0 :q(\gamma-c\alpha')=0 인 \alpha'\ne\alpha가 (어떤 대수적 폐포 \bar K 속에) 존재한다. :\gamma-c\alpha'=\beta' 라고 하자. 그렇다면 :c=(\beta'-\beta)/(\alpha-\alpha') 이며, \alpha'은 p의 근이며, \beta'은 q의 근이다. p와 q의 근의 수는 유한하므로, 가정을 만족시키는 c의 수 역시 유한하다. 증명 끝
# 예

## 단순 유한 확대
\mathbb C/\mathbb R는 단순 확대이며, 원시 원소는 i=\sqrt{-1}이다. 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt d)/\mathbb Q 역시 단순 확대이며, 그 원시 원소는 \sqrt d이다. \mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q를 생각하자. 이는, 차수가 4인 유한 확대이며, 또한 표수가 0이므로 분해 가능 확대이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다. 구체적으로, \alpha=\sqrt2+\sqrt3으로 적자. 그렇다면 \\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\\}은 \mathbb Q 위에서 선형 독립이며, 이를 \\{1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6\\} 기저로 전개할 수 있다. 따라서 \alpha는 원시 원소이다.
## 단순 무한 확대
체 K의 유리 함수체 K(x)는 단순 확대이지만, 무한 확대이다.
## 단순하지 않은 유한 확대
\mathbb F_p(x,y)의 확대 :\mathbb F_p(x,y)[X,Y]/(X^p-x,Y^p-y) 를 생각하자. 이는 차수 p^2의 유한 확대이다. 임의의 a\in \mathbb F_p(x,y)[X,Y]/(X^p-x,Y^p-y)에 대하여, a^p\in \mathbb F_p(x,y)이므로, 하나의 원소로 생성되는 확대의 차수는 항상 p 이하이다. 따라서, 이는 단순 확대가 될 수 없다.