초등각 장론

양자장론에서 **초등각 장론**(超等角場論, superconformal field theory, 약자 SCFT)은 등각 대칭과 초대칭을 동시에 갖는 양자장론이다.
# 4차원 초등각 장론
4차원 초등각 장론은 4차원 초등각 대칭을 따르는 양자장론이며, 4차원 초대칭 양자장론의 재규격화군흐름의 적외선 극한으로 얻어진다.
## 4차원 초등각 대수
4차원에서, 초전하의 수가 4\mathcal N개인 초등각 대수는 \operatorname{PSU}(2,2|\mathcal N)이다.url-status=dead 그 보손 성분은 :\operatorname{PSU}(2,2)\times\operatorname U(\mathcal N) 이다. 다만, \mathcal N=4일 경우 U(1) R대칭이 깨져, :\operatorname{PSU}(2,2)\times\operatorname{SU}(4) 가 된다. 4차원 초등각 대수의 생성원 및 이들의 보손 대칭 표현은 다음과 같다. {| class=wikitable |- ! 생성원 || 기호 || \Delta || \operatorname U(\mathcal N) R대칭 표현 || 로런츠 표현 || 에르미트 수반 |- | 운동량 || P_\mu || +1 || **1** || (½,½) || (P_\mu)^\dagger=K^\mu |- | 왼손 초전하 || Q_\alpha^i || +½ || \mathcal N || (½,0) || (Q_\alpha^i)^\dagger=S^\alpha_i |- | 오른손 초전하 || \bar Q^{\dot\alpha i} || +½ || \bar{\mathcal N} || (0,½) || (\bar Q^{\dot\alpha}_i)^\dagger=\bar S_{\dot\alpha}^i |- | 확대 || D || 0 || **1** || (0,0) || D^\dagger=-D |- | 각운동량 || J_{\mu\nu} || 0 || **1** || (1,0) ⊕ (0,1) || (J_{\mu\nu})^\dagger=J^{\mu\nu} |- | R대칭 || R^i{}_j || 0 || \mathfrak u(\mathcal N) || (0,0) || (R^i{}_j)^\dagger=R_j{}^i |- | 왼손 특수 초전하 || S^\alpha_i || −½ || \bar{\mathcal N} || (½,0) || (S^\alpha_i)^\dagger=Q_\alpha^i |- | 오른손 특수 초전하 || \bar S^{\dot\alpha i} || −½ || \mathcal N || (0,½) || (\bar S_{\dot\alpha}^i)^\dagger=\bar Q^{\dot\alpha}_i |- | 특수 등각 변환 || K_\mu || −1 || **1** || (½,½) || (K^\mu)^\dagger=P_\mu |} J_{\mu\nu}, P_\mu, K^\mu, D 사이의 리 괄호는 등각 대칭과 같으며. 나머지 리 괄호들은 다음과 같다.언어=en :\\{ Q_\alpha^i, \bar Q_{\dot\beta j}\\}=2 \delta^i_j\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta} P_\mu :\\{\bar S^{\dot\alpha}_i, S^{\beta j}\\} = 2\delta_i^j\bar\sigma^{\mu\dot\alpha\dot\beta}K_\mu :\\{Q^i_\alpha,S_j^\beta\\} = \delta^i_j(\sigma^\mu\bar\sigma^\nu)_\alpha{}^\beta J_{\mu\nu} + \delta^\beta_\alpha (\frac32R^i_j+\delta^i_jD) :\\{\bar Q_{\dot\alpha i},\bar S^{\dot\beta i}\\} = \delta_i^j(\bar\sigma^\mu \sigma^\nu)^{\dot\alpha}{}_{\dot\beta}J_{\mu\nu} + \delta^{\dot\beta}_{\dot\alpha}(\frac32R^i_j-\delta^i_jD) :[K^\mu,Q_\alpha^i]=i\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}\bar S^{\dot\beta i} :[K^\mu,\bar Q_{\dot\alpha}^i]=i\bar\sigma^{\mu\dot\alpha\beta}S_\beta^i :[P^\mu,S_{\alpha i}]=i\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}\bar Q^{\dot\beta i} :[P^\mu,\bar S^{\dot\alpha i}]=i\bar\sigma^{\mu\dot\alpha\beta}Q_\beta^i :[P,Q]=[P,\bar Q]=[K,S]=[K,\bar S]=\\{Q,Q\\} = \\{\bar Q, \bar Q\\}=\\{Q,\bar S\\} = \\{\bar Q, S\\} = \\{S,S\\}=\\{\bar S,\bar S\\}=0 여기서 :P_{\alpha\dot\beta}=\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}P_\mu :K_{\alpha\dot\beta}=\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}K_\mu 이다.
## 표현
4차원 초등각 장론에서의 1차 등각장은 R대칭 표현과 등각 무게 \Delta 및 로런츠 표현에 의하여 결정된다. 유니터리 초등각 장론의 경우 이 값들에 대하여 **유니터리 하한**(unitarity bound)이라는 부등식들이 존재한다.언어=en
# 3차원 초등각 장론
3차원 초등각 대수는 \mathfrak{osp}(\mathcal N|4)이며, 그 보손 부분군은 :\operatorname{SO}(\mathcal N)\times\operatorname{Sp}(4,\mathbb R)\cong\operatorname{SO}(\mathcal N)\times\operatorname{Spin}^+(3,2) 이다. 즉, R대칭군은 \operatorname{SO}(\mathcal N)이다.언어=en
# 2차원 초등각 장론
1=2차원 𝒩=1 초등각 장론 1=2차원 𝒩=2 초등각 장론 2차원 초등각 대수는 비라소로 대수를 포함하므로 무한 차원의 리 초대수이며, 이에 따라 2차원 초등각 장론들은 여러 특수한 성질들을 갖는다.
# 성질
4차원 \mathcal N=1 초등각 장론의 R전하 및 등각 무게는 **a-최대화**(a-maximization)라는 방법으로 계산할 수 있다.언어=en언어=en 즉, 이들 값들은 항상 대수적 수이다.
# 예
\mathcal N=4 초대칭 양-밀스 이론은 4차원 \mathcal N=4 초등각 장론이며, 이는 D3-막의 세계부피 이론이다. 6차원 (2,0) 초등각 장론을 리만 곡면에 축소화하면, **𝒮류 이론**(theories of class 𝒮)이라는 \mathcal N=2 초등각 장론들을 얻는다.언어=en 4차원 \mathcal N=1 초등각 장론에 대하여서는 자이베르그 이중성이라는 이중성이 존재한다. 3차원에서는 베스-추미노 모형이 재규격화군 흐름의 고정점을 만나, 초등각 장론을 이룬다.arxiv = hep-th/9805055 그러나 4차원에서는 베스-추미노 모형의 적외선 극한은 자유 이론이다. 6차원에서는 6차원 (2,0) 초등각 장론이 존재한다. 이는 M5-막의 세계부피 이론이다.