르레 스펙트럼 열

층 이론에서, **르레 스펙트럼 열**(Leray spectrum列, Leray spectral sequence)은 층 코호몰로지를 그 직상의 층 코호몰로지로부터 계산하는 스펙트럼 열이다. **세르 스펙트럼 열**(Serre spectrum列, Serre spectral sequence)은 세르 올뭉치에 대한, 층 코호몰로지가 단순히 특이 코호몰로지가 되는, 르레 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.
# 정의
**르레 스펙트럼 열**(Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.언어=fr언어=fr :\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{f_*}\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\Gamma_X}\operatorname{Ab} 여기서 f_*는 위상 공간 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y에 의하여 유도되는 층의 직상이며, \Gamma_X는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 \operatorname{Sh}(\\{\bullet\\},\operatorname{Ab})\simeq\operatorname{Ab}로의 직상)이다. 층의 직상 f_*\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상 :f^*\colon\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab}) :f^*\dashv f_* 을 가지므로, 직상 f_*은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다. 르레 스펙트럼 열은 구체적으로 다음과 같다. :E^{p,q}_2(\mathcal F)=\operatorname H^p(Y;\operatorname R^qf_*\mathcal F)\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(X;\mathcal F) 여기서 \operatorname H^\bullet(-;-)은 층 코호몰로지이다. 이를 사용하여 X 위의 층 코호몰로지를 Y 위의 층 코호몰로지로서 계산할 수 있다.
## 세르 스펙트럼 열
르레 스펙트럼 열의 특수한 경우로, f\colon X\to Y가 올이 F인 세르 올뭉치라고 하고, \mathcal F=\underline{G}가 X 위의, 아벨 군 G 값의 상수층이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. * Y는 경로 연결 CW 복합체이다. * 기본군 \pi_1(Y)는 \operatorname H^\bullet(Y;G) 위에 자명하게 작용한다. 그렇다면 :\operatorname R^qf_*\mathcal F=\underline{\operatorname H^q(F;G)} 가 된다. 즉, \operatorname R^qf_*\mathcal F는 올의 코호몰로지 값의 상수층이다. 따라서, 르레 스펙트럼 열은 다음과 같다.언어=en8, Theorem 1.3 :E^{p,q}_2=\operatorname H^p\left(Y;\operatorname H^q(F;G)\right)\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(X;G) 여기서 \operatorname H는 특이 코호몰로지이다. 이를 **세르 스펙트럼 열**(Serre spectral sequence)이라고 한다.
# 예

## 고리 공간
양의 정수 n>0이 주어졌다고 하자. 임의로 밑점이 부여된 초구 (\mathbb S^n,\bullet_{\mathbb S^n})에 대하여, 경로 공간 올뭉치 :\Omega\mathbb S^n\hookrightarrow\mathcal P\mathbb S^n\twoheadrightarrow\mathbb S^n 를 생각하자. (n=0인 경우, 0차원 초구는 경로 연결 공간이 아니므로 이는 올뭉치를 이루지 않는다.) 여기서 \Omega는 고리 공간이며, \mathcal P는 밑점에서 시작하는 (그러나 임의의 점에서 끝날 수 있는) 경로들의 공간이다. 이 경우, 호몰로지 세르 스펙트럼 열은 다음과 같다. :E^2_{p,q} = \operatorname H_p(\mathbb S^n; \operatorname H_q(\Omega \mathbb S^n)) \Omega\mathbb S^n은 경로 연결 공간이므로, q=0일 경우 :E^2_{p,0}=\operatorname H_p(\mathbb S^n;\mathbb Z)=\begin{cases}0&p;\ne 0,n\\\\\mathbb Z&p;=0,n\end{cases} 이다. 특히, 모든 쪽에서 0이 아닐 수 있는 유일한 열은 p=0 및 p=n 밖에 없다. 경로 공간은 (밑점에서의 상수 함수로) 축약 가능 공간이므로, :E^\infty_{p,q}=\begin{cases}\mathbb Z&p;=q=0\\\0&p;\ne0\lor q\ne0\end{cases} 이다. 따라서, 둘째 쪽에 있는 E^2_{n,0}=\mathbb Z 성분이 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 성분이 0이 아닌 열은 p=0 및 p=n밖에 없으므로, E^2_{n,0}는 오직 n번째 쪽에서만 상쇄될 수 있다. n번째 쪽에서 :\deg d^n=(-n,n-1) 이므로, E^2_{n,0}은 E^2_{0,n-1}과 상쇄되어야 한다. 즉, :E^2_{0,n-1}=\operatorname H_0(\mathbb S^n;\operatorname H_{n-1}(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z))=\mathbb Z 이다. 따라서 :\operatorname H_{n-1}(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z)=\mathbb Z 이다. 그런데 이제 E^2_{n,n-1}=\mathbb Z 역시 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 마찬가지로, 이 성분이 상쇄될 수 있는 유일한 쪽은 n번째 쪽이며, 이는 E^2_{0,2(n-1)}과 상쇄되어야 한다. 따라서 :E^2_{0,2(n-1)}=\operatorname H_0(\mathbb S^n;\operatorname H_{2(n-1)}(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z))=\mathbb Z 이며 :\operatorname H_{2(n-1)}(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z)=\mathbb Z 이다. 이 논리를 계속해서 반복하면 고리 공간의 호몰로지를 다음과 같이 계산할 수 있다. :\operatorname H_k(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z)=\begin{cases} \mathbb Z&k;\mid n-1\\\ 0&k;\nmid n-1 \end{cases}
## 귀진 완전열
귀진 완전열 올이 초구인 세르 올뭉치 :\mathbb S^k\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B 가 주어졌을 때, 그 세르 스펙트럼 열 E^{p,q}_\bullet은 오직 q=0,k인 행에서만 성분을 가지며, 따라서 이는 k+2번째 쪽에서 퇴화한다. 이를 통해 E의 코호몰로지와 B의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열을 적을 수 있는데, 이를 **귀진 완전열**이라고 한다.
# 역사
1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.언어=fr