반단순 리 대수

리 대수 이론에서, **반단순 리 대수**(半單純Lie代數, semisimple Lie algebra)는 단순 리 대수들의 직합인 리 대수이다.
# 정의
체 K 위의 리 대수 \mathfrak g가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **단순 리 대수**(單純Lie代數, simple Lie algebra)라고 한다.32 * \mathfrak g의 리 대수 아이디얼은 \\{0\\}과 \mathfrak g 전체 밖에 없다. * \mathfrak g는 아벨 리 대수가 아니다. 즉, [x,y]\ne0인 x,y\in\mathfrak g가 존재한다. K의 표수가 0이라고 하고, \mathfrak g가 K 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 **반단순 리 대수**라고 한다. * \mathfrak g의 가해(solvable) 아이디얼은 \\{0\\}밖에 없다. 즉, \mathfrak g의 근기(radical)가 \sqrt{\mathfrak g}=\\{0\\}이다.32 * \mathfrak g의 아벨 아이디얼은 \\{0\\}밖에 없다. * \mathfrak g는 단순 리 대수들의 직합이다. * (카르탕 반단순성 조건 Cartan’s criterion for semisimplicity) \mathfrak g의 킬링 형식 K(x,y)=\operatorname{tr}_K\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)는 비퇴화 쌍선형 형식이다.언어=en50, Theorem 1.45
## 반단순 리 군
**반단순 리 군**(半單純Lie群, semisimple Lie group)은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다.105 마찬가지로, **단순 리 군**(單純Lie群, semisimple Lie group)은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.
# 분류
복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라 A_n, B_n, C_n, D_n, E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 복소수체 위의 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 단순군의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다.
## 복소수 단순 리 대수
복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다. 모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다. * \mathfrak a_k=\mathfrak{sl}(k+1,\mathbb C)=\mathfrak{su}(k+1)\otimes\mathbb C, k=1,2,\dots (복소 무대각합(無對角合, traceless) 행렬 대수) * \mathfrak b_k=\mathfrak{so}(2k+1,\mathbb C), k=2,3,\dots (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수) * \mathfrak c_k=\mathfrak{sp}(2k,\mathbb C), k=2,3,\dots (복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix) 대수) * \mathfrak d_k=\mathfrak{so}(2k,\mathbb C), k=4,5,\dots (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수) * 𝖊6, 𝖊7, 𝖊8 * 𝖋4 * 𝖌2 이 가운데, 처음 네 가지를 **고전적**(classical), 나머지를 **예외적**(exceptional)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.
## 실수 단순 리 대수
대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 \mathfrak g의 경우, 우선 그 대수적 폐포 \bar K 위의 대수 \mathfrak g\otimes_K\bar K를 분류한 뒤, 이를 \bar K에서 K로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다. 실수체 K=\mathbb R의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 **복소화**(complexification) \mathfrak g\mapsto\mathfrak g\otimes\mathbb C라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은 **실수 형식**(real form)이라고 한다. 실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.
# 목록
복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다. :{| class=wikitable ! 복소수 리 대수 !! 차원 !! 실수 리 대수 !! 로마 숫자 표기 !! 다른 이름 !! 극대 콤팩트 부분 리 대수 |- ! rowspan=4 | A*n* | rowspan=4 | n^2+2n | A*n*(−*n*2−2*n*) (콤팩트) || || \mathfrak{su}(n+1;\mathbb R) || \mathfrak{su}(n+1) |- | A*n*(*n*) (분할) || AⅠ || \mathfrak{sl}(n+1;\mathbb R) || \mathfrak o(n+1) |- | A*n*(−*n*−2) || AⅡ || \mathfrak{sl}(m;\mathbb H), \mathfrak{su}^*(2m) (2m-1=n) || \mathfrak{usp}(2m) |- | || AⅢ || \mathfrak{su}(p,q) (p+q=n+1) || \mathfrak{su}(p)\oplus\mathfrak{su}(q)\oplus\mathfrak u(1) |- ! rowspan=3 | B*n* | rowspan=3 | 2n^2+n | B*n*(−2*n*2−*n*) (콤팩트) || || \mathfrak o(2n+1;\mathbb R) || \mathfrak o(2n+1) |- | B*n*(*n*) (분할) || BⅠ || \mathfrak{o}(n,n+1;\mathbb R) || \mathfrak o(n)\oplus\mathfrak o(n+1) |- | || BⅡ || \mathfrak{o}(p,q+1;\mathbb R) (p+q=n) || \mathfrak o(p)\oplus\mathfrak o(q) |- ! rowspan=3 | C*n* | rowspan=3 | 2n^2+n | C*n*(−2*n*2−*n*) (콤팩트) || || \mathfrak{usp}(2n), \mathfrak u(n;\mathbb H) || \mathfrak{usp}(2n) |- | C*n*(*n*) (분할) || CⅠ || \mathfrak{sp}(2n;\mathbb R) || \mathfrak{su}(n)\oplus\mathfrak u(1) |- | || CⅡ || \mathfrak{usp}(2p,2q) (p+q=n) || \mathfrak{usp}(2p)\oplus\mathfrak{usp}(2q) |- ! rowspan=4 | D*n* | rowspan=4 | 2n^2-n | D*n*(−2*n*2+*n*) (콤팩트) || || \mathfrak o(2n;\mathbb R) || \mathfrak o(2n) |- | D*n*(*n*) (분할) || DⅠ || \mathfrak o(n,n;\mathbb R) || \mathfrak o(n)\oplus\mathfrak o(n) |- | || DⅡ || \mathfrak o(p,q;\mathbb R) (p+q=2n) || \mathfrak o(p)\oplus\mathfrak o(q) |- | D*n*(−*n*) || DⅢ || \mathfrak{o}^*(2n) || \mathfrak{su}(n)\oplus\mathfrak u(1) |- ! rowspan=5 | E6 | rowspan=5 | 78 | E6(−78) (콤팩트) || || || \mathfrak e_6 |- | E6(6) (분할) || EⅠ || || \mathfrak{su}(8) |- | E6(2) || EⅡ || || \mathfrak{su}(6)\oplus\mathfrak{su}(2) |- | E6(−14) || EⅢ || || \mathfrak o(10)\oplus\mathfrak u(1) |- | E6(−26) || EⅣ || || \mathfrak f_4 |- ! rowspan=4 | E7 | rowspan=4 | 133 | E7(−133) (콤팩트) || || || \mathfrak e_7 |- | E7(7) (분할) || EⅤ || || \mathfrak{su}(8) |- | E7(−5) || EⅥ || || \mathfrak o(12)\oplus\mathfrak{su}(2) |- | E7(−25) || EⅦ || || \mathfrak e_6\oplus\mathfrak u(1) |- ! rowspan=3 | E8 | rowspan=3 | 248 | E8(−248) (콤팩트) || || || \mathfrak e_8 |- | E8(8) (분할) || EⅧ || || \mathfrak o(16) |- | E8(−24) || EⅨ || || \mathfrak e_7\oplus\mathfrak{su}(2) |- ! rowspan=3 | F4 | rowspan=3 | 52 | F4(−52) (콤팩트) || || || \mathfrak f_4 |- | F4(4) (분할) || FⅠ || || \mathfrak{sp}(3) \oplus \mathfrak{su}(2) |- | F4(−20) || FⅡ || || \mathfrak o(9) |- ! rowspan=2 | G2 | rowspan=2 | 14 | G2(−14) (콤팩트) || || || \mathfrak g_2 |- | G2(2) (분할) || GⅠ || || \mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2) |} 위 표에서, * n은 항상 복소수 리 군의 계수이다. * A_{n(k)}과 같은 표기에서, 킬링 형식의 부호수가 (p,q)일 때, k= p-q이다. 즉, k는 리 대수의 차원 − 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우 n=k이며, 콤팩트 형식의 경우 k는 −1 × 리 대수의 차원이다. 위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다. *\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)\cong\mathfrak o(3;\mathbb C) (3차원 회전군) **\mathfrak{su}(2) \cong\mathfrak{sl}(1;\mathbb H)\cong\mathfrak o(3;\mathbb R) **\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(1,1)\cong\mathfrak o(1,2) *\mathfrak{sp}(4;\mathbb C)\cong\mathfrak o(5;\mathbb C) (5차원 회전군) **\mathfrak{usp}(4) \cong\mathfrak o(5;\mathbb R) **\mathfrak{usp}(2,2) \cong\mathfrak o(1,4) **\mathfrak{sp}(4;\mathbb R) \cong\mathfrak o(2,3) *\mathfrak{sl}(4;\mathbb C)\cong\mathfrak o(6;\mathbb C) (6차원 회전군) **\mathfrak{su}(4)\cong\mathfrak o(6;\mathbb R) **\mathfrak{sl}(2;\mathbb H)\cong\mathfrak o(5,1) **\mathfrak{su}(2,2)\cong\mathfrak o(4,2) **\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)\cong\mathfrak o(3,3) **\mathfrak{su}(1,3)\cong\mathfrak o^*(6) *\mathfrak o^*(8) \cong\mathfrak o(2,6) (8차원 회전군) 또한, \mathfrak o(4) \cong\mathfrak{su}(2)^{\oplus2}는 단순 리 대수가 아니다.
# 역사
복소수 반단순 리 대수는 엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다.언어=fr 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르(Фе́ликс Руви́мович Гантма́хер)가 1939년에 분류하였다.언어=en