정칙 범주

범주론에서 **정칙 범주**(正則範疇, regular category)는 모든 유한 극한을 갖고, 모든 사상을 그 치역으로의 전사 사상과 치역에서 공역으로 가는 단사 사상으로 유일하게 분해할 수 있는 범주이다.
# 정의

## 정칙 사상
범주 \mathcal C에서, 어떤 두 사상 f,g\colon X\to Y의 쌍대 동등자 :\operatorname{coeq}\\{f,g\\}\colon Y\to Q 로 나타낼 수 있는 사상을 **정칙 전사 사상**(regular epimorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (쌍대 극한이므로) 항상 단사 사상이다. 마찬가지로, 범주 \mathcal C에서, 어떤 두 사상 f,g\colon X\to Y의 동등자 :\operatorname{eq}\\{f,g\\}\colon K\to X 로 나타낼 수 있는 사상을 **정칙 단사 사상**(regular monomorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (극한이므로) 항상 단사 사상이다.
## 유효 사상
사상 f\colon X\to Y가 스스로와의 당김 :\pi_1,\pi_2\colon X\times_YX\to X 을 가지며, \pi_1,\pi_2의 쌍대 동등자가 f와 같다면, f를 **유효 전사 사상**(effective epimorphism)이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 **핵쌍**(kernel pair)이라고 하며, 대략 대수 구조에서의 합동 관계의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "합동 관계"에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다. 사상 f\colon X\to Y가 스스로와의 밂 :\iota_1,\iota_2\colon Y\to Y\sqcup_XY 을 가지며, \iota_1,\iota_2의 동등자가 f와 같다면, f를 **유효 단사 사상**(effective monomorphism)이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서, \iota_1,\iota_2의 동등자는 f의 "치역"으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 정의역과 치역 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다.
## 정칙 범주
범주 \mathcal C가 다음 조건들을 만족시킨다면 **정칙 범주**라고 한다. * 유한 완비 범주이다. * 임의의 사상 f\colon X\to Y의 스스로에 대한 당김 \xleftarrow{\pi_1}XX\times_YX\xrightarrow{\pi_2}X에 대하여, \pi_0,\pi_1\colon X\times_YX\to X의 쌍대 동등자가 존재한다. 이는 f의 **핵쌍**이라고 한다. * 정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다. 두 정칙 범주 사이의 **정칙 함자** F\colon\mathcal C\to\mathcal D는 다음 조건을 만족시키는 함자이다. * 유한 연속 함자이다. 즉, 유한 극한을 보존한다. * 핵쌍의 쌍대 동등자를 보존한다. 작은 정칙 범주와 정칙 함자의 범주를 \operatorname{RegCat}라고 하자.
## 유효 정칙 범주
정칙 범주 \mathcal C가 다음 조건을 만족시킨다면, **유효 정칙 범주**(effective regular category) 또는 **바 완전 범주**(Barr-exact category)라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.) * 임의의 대상 X가 주어졌으며, X\times X의 부분 대상 r\colon Y\hookrightarrow X\times X가 동치 관계를 이룰 때, r는 핵쌍으로부터 유도된다.
# 성질
정칙 범주 \mathcal C에서, 모든 정칙 전사 사상들의 모임 \operatorname{RegEpi}(\mathcal C)과 단사 사상들의 모임 \operatorname{Mono}(\mathcal C)은 분해계를 이룬다. 즉, 임의의 사상 f\colon X\to Y에 대하여, :f=m\circ e 인 정칙 전사 사상 e\colon X\to Y'과 단사 사상 m\colon Y'\to Y이 존재한다. Y의 부분 대상 m을 f의 **치역**이라고 한다.
## 정칙 사상
임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 정칙 전사 사상이자 단사 사상이다. * 전사 사상이자 정칙 단사 사상이다. * 동형 사상이다. (반면, 임의의 범주에서는 전사 사상이자 단사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상이 존재할 수 있다.) 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상 :동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상 :동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상 :동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상 분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 f\colon X\to Y 및 그 왼쪽 역사상 r\colon Y\to X이 주어졌을 때 f=\operatorname{eq}\\{f\circ r,\operatorname{id}_Y\\}이기 때문이다. 마찬가지로, 분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 f\colon X\to Y 및 그 오른쪽 역사상 s\colon Y\to X이 주어졌을 때 f=\operatorname{eq}\\{s\circ f,\operatorname{id}_X\\}이기 때문이다. 어떤 범주에서 모든 사상 f\colon X\to Y의 스스로와의 당김 X\times_YX이 존재한다면, 이 범주에서 정칙 전사 사상의 개념과 유효 전사 사상의 개념이 일치한다. 토포스(또는 더 일반적으로 준토포스)에서, 다음이 성립한다. * 모든 전사 사상은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다. * 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다. 아벨 범주에서, 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.
## 완전열
정칙 범주 \mathcal C 속에서, **짧은 완전열**은 다음과 같은 꼴의 그림이다. :N\overset{\iota}{\underset{\iota'}\rightrightarrows}X\overset q\to Q 여기서 * \\{\iota,\iota'\\}는 q의 핵쌍이다. 만약 \mathcal C가 추가로 아벨 범주라면, N\overset{\iota}{\underset{\iota'}\rightrightarrows}X\overset q\to Q가 (정칙 범주의) 짧은 완전열인 것은 :0\to N\overset{\iota-\iota'}\to X\overset q\to Q\to0 가 (아벨 범주의) 완전열인 것과 동치이다.
## 정칙 논리
1차 논리에서 **정칙 공식**(regular formula)은 * 명제 변수 P_1,P_2,\dots * 논리곱 \land * 존재 기호 \exists 만으로 나타낼 수 있는 공식이다. **정칙 논리**는 :\forall x\colon(\phi(x)\to\phi'(x)) 꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, 1차 논리를 약화시킨 논리이다. 정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주 \mathcal C의 끝 대상 1\in\mathcal C을 골랐을 때, 다음과 같은 대응이 존재한다. {| class="wikitable" ! 정칙 논리 !! 정칙 범주 |- | 종류(sort) || \mathcal C의 대상 X\in\mathcal C |- | \forall(x:X),(x':X)\colon x=x'인 종류 X || 끝 대상 1\in\mathcal C |- | 종류 X의 상수 c || 사상 c\colon1\to X |- | 종류 X\to Y의 함수 f || 사상 f\colon X\to Y |- | 함수의 합성 f\circ g || 사상의 합성 f\circ g |- | \forall(x\colon X),(x'\colon X)\colon f(x)=f(x')\implies x=x'가 성립하는 함수 f || 단사 사상 f\colon X\hookrightarrow Y |- | 종류 Y에 대한 술어 R(y)\iff\exists x\in X\colon f(x)=y || 부분 대상 f\colon X\hookrightarrow Y |- | \forall(y\colon Y)\exists(x\colon X)\colon f(x)=y가 성립하는 함수 f || 정칙 전사 사상 f\colon X\twoheadrightarrow Y |- | \forall(z,z'\colon X\times Y)\colon\pi_X(z)=\pi_X(z')\land\pi_Y(z)=\pi_Y(z')\implies z=z',
\forall(x\colon X)\forall(y\colon Y)\exists(z\colon X\times Y)\colon(\pi_X(z)=x\land\pi_Y(z)=y) || 곱 X\overset{\pi_X}\leftarrow X\times Y\overset{\pi_Y}\to Y |- | \forall(x\colon X)\colon f(x)=g(x)\implies\exists(y:Y)\colon h(y)=x || 동등자 h\colon Y\hookrightarrow X\overset f{\underset g\rightrightarrows}Y |}