쿠라토프스키 모노이드

일반위상수학에서 **쿠라토프스키 모노이드**(Kuratowski monoid)는 주어진 위상 공간의 부분 집합 위의 폐포 · 내부 · 여집합 연산들로 구성된 모노이드이다.
# 정의
위상 공간 X가 주어졌다고 하자. 이제, 문자 \\{\mathsf k,\mathsf c\\}로 생성되는 자유 모노이드(클레이니 스타) \\{\mathsf k,\mathsf c\\}^*가 멱집합 \operatorname{Pow}(X) 위에 다음과 같이 작용한다고 하자. :\mathsf k\colon S\mapsto\operatorname{cl}(S) :\mathsf c\colon S\mapsto X\setminus S 즉, \mathsf k는 폐포 연산이며, \mathsf c는 여집합 연산이다. 이제, \operatorname{Pow}(X) 위에 똑같이 작용하는 연산들을 서로 동치로 간주하자. :s\sim t\iff\forall S\subseteq X\colon s(S)=t(S)\qquad(s,t\in\\{\mathsf k,\mathsf c\\}^*) 이는 합동 관계를 이루며, 이에 대한 몫 모노이드 \\{\mathsf k,\mathsf c\\}^*/\sim를 X의 **쿠라토프스키 모노이드**(Kuratowski monoid)라고 한다.
# 분류

## 가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드
가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드는 14개의 원소를 가지며, 다음과 같은 세 항등식으로 정의된다.언어=en9, Theorem 1.1언어=enTheorem 1.1언어=en (\epsilon은 길이 0의 문자열이다.) * (폐포의 멱등성) \mathsf{kk}=\mathsf k * (여집합의 대합성) \mathsf{cc}=\epsilon * (폐포의 내부의 정칙성) \mathsf{kckckck}=\mathsf{kck} ** 편의상, 내부 연산 \mathsf i=\mathsf{ckc}를 정의하면, 이는 \mathsf{ikik}=\mathsf{ik}와 나머지 두 항등식으로부터 함의된다. 즉, 이는 폐포의 내부가 항상 정칙 열린집합임을 나타낸다. 이 사실을 **쿠라토프스키 14개 집합 정리**(Kuratowski十四個集合定理, Kuratowski 14-set theorem)라고 한다. 이 모노이드를 M_\text{K}라고 표기하자. 즉, 쿠라토프스키 14개 집합 정리에 등장하는 14개의 집합들은 다음과 같다. {| class="wikitable" || 설명 || S 위의 작용 ! 문자열 || 설명 || S 위의 작용 |- | \epsilon || 원래 집합 || S | \mathsf c || 여집합 || X\setminus S |- | \mathsf k || 폐포 || \operatorname{cl}S | \mathsf{ck} || 폐포의 여집합 || X\setminus\operatorname{cl}S |- | \mathsf{ckc} || 내부 || \operatorname{int}S | \mathsf{kc} || 내부의 여집합 || X\setminus\operatorname{int}S |- | \mathsf{kckc} || 내부의 폐포 || \operatorname{cl}(\operatorname{int}S) | \mathsf{ckckc} || 내부의 폐포의 여집합 || X\setminus\operatorname{cl}(\operatorname{int}S) |- | \mathsf{ckck} || 폐포의 내부 || \operatorname{int}(\operatorname{cl}S) | \mathsf{kck} || 폐포의 내부의 여집합 || X\setminus\operatorname{int}(\operatorname{cl}S) |- | \mathsf{ckckckc} || 내부의 폐포의 내부 || \operatorname{int}(\operatorname{cl}(\operatorname{int}S)) | \mathsf{kckckc} || 내부의 폐포의 내부의 여집합 || X\setminus\operatorname{int}(\operatorname{cl}(\operatorname{int}S)) |- | \mathsf{kckck} || 폐포의 내부의 폐포 || \operatorname{cl}(\operatorname{int}(\operatorname{cl}S)) | \mathsf{ckckck} || 폐포의 내부의 폐포의 여집합 || X\setminus\operatorname{cl}(\operatorname{int}(\operatorname{cl}S)) |} 그렇다면, 임의의 위상 공간의 임의의 부분 집합의 쿠라토프스키 모노이드는 M_\text{K}의 몫 모노이드이다. 이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.11, Figure 1.1 : \begin{matrix} \operatorname{int}(\operatorname{cl}S)&\subset&\operatorname{cl}(\operatorname{int}(\operatorname{cl}S))&\subset&\operatorname{cl}S\\\ \cup&&\cup\\\ \operatorname{int}(\operatorname{cl}(\operatorname{int}S))&\subset&\operatorname{cl}(\operatorname{int}S)&&\cup\\\ \cup\\\ \operatorname{int}S&&\subset&&S; \end{matrix}
## 위상 공간의 가능한 쿠라토프스키 모노이드
임의의 위상 공간의 쿠라토프스키 모노이드는 다음 7가지 가운데 하나이다.url-status=12, Theorem 2.1 * ㈎ M_{\text{K (가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드) * ㈏ 크기 10의 모노이드. 이는 \mathsf{kckck}=\mathsf{kckc}로 생성되는 합동 관계에 대한 M_{\text{K의 몫 모노이드이다. * ㈐ 크기 10의 모노이드. 이는 \mathsf{kckck}=\mathsf{ckck}로 생성되는 합동 관계에 대한 M_{\text{K의 몫 모노이드이다. * ㈑ 크기 8의 모노이드. 이는 \mathsf{ckck}=\mathsf{kckc}로 생성되는 합동 관계에 대한 M_{\text{K의 몫 모노이드이다. * ㈒ 크기 6의 모노이드. 이는 \mathsf{kck}=\mathsf{ck}로 생성되는 합동 관계에 대한 M_{\text{K의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 모든 열린집합이 열린닫힌집합이지만 이산 공간이 아닌 것이다. * ㈓ 크기 2의 모노이드 (2차 순환군). 이는 \mathsf k=\epsilon로 생성되는 합동 관계에 대한 M_{\text{K의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 공집합이 아닌 이산 공간인 것이다. * ㈔ 크기 1의 모노이드 (자명군). 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가지는 위상 공간은 공집합 밖에 없다. {| class="wikitable" | ㈎ ! colspan=2 | ㈏ ! colspan=2 | ㈐ ! colspan=2 | ㈑ ! colspan=2 | ㈒ ! colspan=2 | ㈓ ! colspan=2 | ㈔ |- | \epsilon || \mathsf c || \epsilon || \mathsf c || \epsilon || \mathsf c || \epsilon || \mathsf c | \epsilon || \mathsf c | rowspan=7 | \epsilon | rowspan=7| \mathsf c | rowspan=7 colspan=2 | \epsilon |- | \mathsf k || \mathsf{ck} | \mathsf k || \mathsf{ck} | \mathsf k || \mathsf{ck} | \mathsf k || \mathsf{ck} | rowspan=3 | \mathsf k | rowspan=3 | \mathsf{ck} |- | \mathsf{ckck} || \mathsf{kck} | \mathsf{ckck} || \mathsf{kck} | rowspan=2 | \mathsf{ckck} | rowspan=2 | \mathsf{kck} | rowspan=4 | \mathsf{ckck} | rowspan=4 | \mathsf{kck} |- | \mathsf{kckck} || \mathsf{ckckck} | rowspan=2 | \mathsf{kckc} | rowspan=2 | \mathsf{ckckc} |- | \mathsf{kckc} || \mathsf{ckckc} | rowspan=2 | \mathsf{kckc} | rowspan=2 | \mathsf{ckckc} | rowspan=3 | \mathsf{ckc} | rowspan=3 | \mathsf{kc} |- | \mathsf{ckckckc} || \mathsf{kckckc} | \mathsf{ckck} || \mathsf{kck} |- | \mathsf{ckc} || \mathsf{kc} | \mathsf{ckc} || \mathsf{kc} | \mathsf{ckc} || \mathsf{kc} | \mathsf{ckc} || \mathsf{kc} |}
# 성질

## 조밀 집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합
M_\text{K}의 원소 s\in M_\text{K}에 대하여, s(S)=\varnothing이 되는 특별한 부분 집합 S\subseteq X을 생각할 수 있다. 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 6개가 있으며, 다음과 같다. {| class="wikitable" || s(S)=\varnothing인 부분 집합 S ! 문자열 s || s(S)=\varnothing인 부분 집합 S |- | \epsilon | rowspan=2 | 공집합 | \mathsf c | rowspan=2 | 공집합의 여집합 |- | \mathsf k | \mathsf{kc} |- | \mathsf{ckck} |rowspan=2| 조밀한 곳이 없는 집합 | \mathsf{ckckc} |rowspan=2| 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 |- | \mathsf{kckck} | \mathsf{kckckc} |- | \mathsf{ckc} |rowspan=3 | 조밀 집합의 여집합 | \mathsf{ck} |rowspan=3 | 조밀 집합 |- | \mathsf{kckc} | \mathsf{kck} |- | \mathsf{ckckckc} | \mathsf{ckckck} |} 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립함을 알 수 있다. :조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 공집합 :조밀 집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 공집합의 여집합
## 열린집합·닫힌집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합
마찬가지로, M_\text{K}의 원소 s\in M_\text{K}에 대하여, s(S)=S가 되는 특별한 부분 집합 S\subseteq X을 생각할 수 있다. s가 \mathsf c를 짝수 개 포함한다고 가정하면, 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 5개가 있으며, 다음과 같다. {| class="wikitable" || s(S)=S인 부분 집합 S ! 문자열 s || s(S)=S인 부분 집합 S |- | \epsilon || (임의의 부분 집합) |- | \mathsf{ckc} || 열린집합 | \mathsf k || 닫힌집합 |- | \mathsf{ckck} |rowspan=2| 정칙 열린집합 | \mathsf{kckc} |rowspan=2| 정칙 닫힌집합 |- | \mathsf{ckckckc} | \mathsf{kckck} |} 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :{| | || ⇗ || 정칙 열린집합 ⇒ 열린집합 || ⇘ |- | 열린닫힌집합 |colspan=3| || 부분 집합 |- | || ⇘ || 정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합 || ⇗ |} 만약 s가 \mathsf c를 홀수 개 포함한다면, s(S)=S인 것은 S=X=\varnothing인 경우 밖에는 불가능하다.

**증명:**

X\ne\varnothing이라고 가정하자. 다음과 같은 7개 경우가 있다. * (0) \mathsf c *:당연히 불가능하다. * (1) \mathsf{kc}=\mathsf{ci} *:이 경우, \varnothing=S\setminus S=S\setminus\mathsf{ci}(S)=\mathsf{i}(S)이다. 따라서 S=\mathsf{ci}(S)=\mathsf{c}(\varnothing)=X이어야 한다. 그런데 X=S=\mathsf{ci}(X)=\varnothing이므로 이는 불가능하다. * (1′) \mathsf{kck}=\mathsf{kic}=\mathsf{cik} *:이 경우, S는 정칙 닫힌집합이므로 S=\mathsf{cik}(S)=\mathsf{ci}(S)인데, 이는 경우 (1)이다. * (1″) \mathsf{kckckc}=\mathsf{kikc}=\mathsf{ciki} *:이 경우, S는 정칙 닫힌집합이므로 S=\mathsf{ciki}(S)=\mathsf{ci}(S)인데, 이는 경우 (1)이다. * (2) \mathsf{ck} *:당연히 불가능하다. * (2′) \mathsf{ckckc}=\mathsf{ikc}=\mathsf{cki} *:이 경우 S는 정칙 열린집합이므로, S=\mathsf{cki}(S)=\mathsf{ck}(S)인데, 이는 경우 (2)이다. * (2″) \mathsf{ckckck}=\mathsf{ikic}=\mathsf{ckik} *:이 경우 S는 정칙 열린집합이므로, S=\mathsf{ckik}(S)=\mathsf{ck}(S)인데, 이는 경우 (2)이다.

# 예
실수선의 쿠라토프스키 모노이드는 M_{\text{K이다. 구체적으로, 실수선의 다음과 같은 부분 집합을 생각하자. :S=(0,1)\cup(1,2)\cup\\{3\\}\cup\left([4,5]\cap\mathbb Q\right)\subseteq\mathbb R 그렇다면, M_{\text{K는 S 위에 서로 다르게 작용한다.
# 역사
쿠라토프스키 14개 집합 정리는 카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다.언어=fr