국소화 (범주론)

범주론에서 **국소화**(局所化, localization)는 범주의 일부 사상들을 동형 사상으로 만드는 과정이다.
# 정의
작은 범주 \mathcal C 및 그 속의 사상들의 집합 \mathfrak W\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)가 주어졌다고 하자. 또한, \mathfrak W가 모든 동형 사상을 포함하며, 또한 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다고 하자. 그렇다면, \mathcal C의 \mathfrak W에서의 **국소화** L\colon\mathcal C\to\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]는 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 범주이다. * 임의의 작은 범주 \mathcal D 및 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D에 대하여, 만약 F가 \mathfrak W에 속하는 모든 사상을 \mathcal D의 동형 사상으로 대응시킨다면, D\simeq U\circ L인 함자 U\colon\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]\to\mathcal D 및 자연 동형 F\Rightarrow U\circ L이 존재한다. :\begin{matrix} \mathcal C&\xrightarrow L&\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]\\\ &{\scriptstyle F}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists U\\\ &&\mathcal D \end{matrix} 작은 범주의 국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 범주의 동치 아래 유일하다. (만약 \mathfrak W가 모든 동형 사상을 포함하지 않거나, 사상의 합성에 대하여 닫혀 있지 않을 경우에도 국소화를 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 만약 \bar{\mathfrak W}를 위 성질에 대한 폐포라고 한다면, \mathcal C[\bar{\mathfrak W}^{-1}]는 \mathcal C[\mathfrak W^{-1}]와 같은 보편 성질을 만족시키게 되어 서로 동형이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 \mathfrak W가 위 성질들을 만족시킨다고 가정할 수 있다.)
## 집합론적 문제
작은 범주의 경우 국소화는 항상 존재한다. 작은 범주가 아닐 경우, 국소화는 일반적으로 존재하지 않을 수 있다. 특히, 국소적으로 작은 범주의 국소화는 (만약 존재한다면) 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있다. 만약 그로텐디크 전체를 사용한다면 물론 국소화는 항상 존재하지만, 이 경우 국소화는 사용되는 그로텐디크 전체에 의존할 수 있다. 만약 범주가 모형 범주의 구조를 갖는다면, 이 개념을 사용하여 약한 동치에서의 국소화를 구성할 수 있다.
# 구성
작은 범주 \mathcal C와, 동형 사상을 포함하며 합성에 대하여 닫혀 있는 사상 집합 \mathfrak W\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 알파벳 집합 :\Sigma=\operatorname{Mor}(\mathcal C)\sqcup\\{\bar w\colon w\in\mathfrak W\\} 의 원소가 사상 f\in\operatorname{Mor}\mathcal C 또는 각 w\in\mathfrak W에 대하여 형식적 기호 \bar w로 구성되었다고 하자. a\in\Sigma에 대하여 다음을 정의하자. * 만약 a\in\operatorname{Mor}\mathcal C라면, \operatorname{dom}a는 a의 정의역이며 \operatorname{codom}a는 a의 공역이다. * 만약 w\in\mathfrak W라면, \operatorname{dom}\bar w=\operatorname{codom}w이며 \operatorname{codom}\bar w=\operatorname{dom}w이다. \Sigma 위의 문자열 :a_0a_1a_2\cdots a_k\in\Sigma^* 가 다음 두 성질을 만족시킨다면, **지그재그**(zigzag)라고 한다. (\Sigma^*는 클레이니 스타이다.) * 길이가 1 이상이다. * 모든 i\in\\{1,\dots,k\\}에 대하여, \operatorname{dom}a_{i-1}=\operatorname{codom}a_i이다. 지그재그는 다음과 같은 꼴의 그림으로 생각할 수 있다. :\bullet\overset\sim\leftarrow\bullet\to\bullet\overset\sim\leftarrow\bullet\to\cdots\to\bullet (여기서 \overset\sim\to는 \mathfrak W에 속한 사상을 뜻한다.) 즉, 순방향으로는 임의의 사상을 사용할 수 있지만, 역방향으로는 항상 \mathfrak W의 원소만을 사용한다. 이 경우, 지그재그의 집합 위에 다음과 같은 관계로부터 생성되는 동치 관계를 부여하자. * 임의의 문자열 s_1,s_2\in\Sigma^*에 대하여, (만약 s_1 및 s_2 가운데 하나가 양의 길이를 갖는다면) s_1\operatorname{id}_Xs_2\sim s_1s_2\sim s_1\overline{\operatorname{id}_X}s_2 * 임의의 문자열 s_1,s_2\in\Sigma^* 및 f,g\in\operatorname{Mor}\mathcal C에 대하여, s_1fgs_2\sim s_1(f\circ g)s_2 * 임의의 문자열 s_1,s_2\in\Sigma^* 및 w,w'\in\mathfrak W에 대하여, s_1\bar w'\bar ws_2\sim s_1\overline{w\circ w'}s_2 *임의의 문자열 s_1,s_2\in\Sigma^* 및 w\in\mathfrak W에 대하여, *:s_1w\bar ws_2\sim s_1\operatorname{id}_{\operatorname{dom}\bar w}s_2 *:s_1\bar wws_2\sim s_1\operatorname{id}_{\operatorname{dom}w}s_2 * 임의의 문자열 s_1,s_2\in\Sigma^* 및 사상 f\colon X\to Y, f'\colon X'\to Y' 및 w_X\colon X\to X', w_Y\colon Y\to Y'이 주어졌고, w_Xf'=fw_Y이며 w_X,w_Y\in\mathfrak W일 때, s_1 f'\bar w_Ys_2\sim s_1\bar w_Xf s_2 *:\begin{matrix} \bullet&\overset\sim\to&\bullet\\\ {\scriptstyle f}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle f'}\\\ \bullet&\underset\sim\to&\bullet \end{matrix} 그렇다면, **국소화** \mathcal C[\mathfrak W^{-1}]는 다음과 같은 범주이다. * \mathcal C[\mathfrak W^{-1}]의 대상은 \mathcal C의 대상과 같다. * \mathcal C[\mathfrak W^{-1}]의 사상은 (\mathcal C,\mathfrak W)의 지그재그의 동치류이다. * 지그재그 a_0a_1\cdots a_n의 정의역은 a_n의 정의역이며, 공역은 a_0의 공역이다. * X\in\mathcal C의 항등 사상은 지그재그 \operatorname{id}_X의 동치류이다.
## 오레 조건
환의 국소화를 오레 조건을 가정하면 더 간단하게 구성할 수 있는 것처럼, 마찬가지로 범주의 국소화의 경우에도 비슷한 **오레 조건**을 가정하여 국소화를 더 간단하게 구성할 수 있다. 범주 \mathcal C 및 그 속의 사상 모임 \mathfrak W가 다음 조건들을 만족시킨다면, **오른쪽 오레 조건**이 성립한다고 한다. (여기서, \mathfrak W의 원소를 \overset\sim\to로 표기하였다.) * \mathfrak W는 모든 동형 사상을 포함한다. * \mathfrak W는 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다. * 임의의 그림 X\to Y\overset\sim\leftarrow Y'에 대하여, 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 X\overset\sim\leftarrow X'\to Y'이 존재한다. *:\begin{matrix} X&\underset{\exists}{\overset\sim\leftarrow}&X;'\\\ \downarrow&&\downarrow\scriptstyle\exists\\\ Y&\underset\sim\leftarrow&Y;' \end{matrix} * 임의의 X\underset g{\overset f{\rightrightarrowsY\underset w{\overset\sim\to}Y'에 대하여, 만약 w\circ f=w\circ g라면, f\circ v=g\circ v가 되는 X'\underset v{\overset\sim\to}X가 존재한다. **오른쪽 지붕**(right roof)은 다음과 같은 꼴의 그림이다. :\bullet\overset\sim\leftarrow\bullet\to\bullet 같은 정의역과 공역을 갖는 두 오른쪽 지붕 : \begin{matrix} &&\bullet\\\ &{^\sim}\\!\swarrow&&\searrow\\\ \bullet&&&&\bullet\\\ &{_\sim}\\!\nwarrow&&\nearrow\\\ &&\bullet \end{matrix} 에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 두 오른쪽 지붕이 서로 동치라고 하자. :\begin{matrix} &&\bullet\\\ &{^\sim}\\!\swarrow&\uparrow&\searrow\\\ \bullet&\overset\sim\leftarrow&\bullet&&\bullet\\\ &{_\sim}\\!\nwarrow&\downarrow&\nearrow\\\ &&\bullet \end{matrix} 만약 (\mathcal C,\mathfrak W)가 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다면, 지그재그의 동치류는 오른쪽 지붕의 동치류와 일대일 대응하며, 따라서 사상을 오른쪽 지붕으로 하는 국소화를 구성할 수 있다. 마찬가지로, 오른쪽 오레 조건을 쌍대화하여 **왼쪽 오레 조건**(left Ore condition)을 정의할 수 있다. 이 경우, 사상을 **왼쪽 지붕**(left roof)으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.
## 모형 범주
모형 범주 모형 범주 (\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)가 주어졌다고 하자. 그 **호모토피 범주** \operatorname{ho}(\mathcal C)는 다음과 같다. * \operatorname{ho}(\mathcal C)의 대상은 \mathcal C의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것이다. * \operatorname{ho}(\mathcal C)의 사상은 \mathcal C의 호모토피류이다. (올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 사이에는 왼쪽·오른쪽 호모토피류가 일치한다.) 그렇다면, 국소화 \mathcal C[\mathfrak W^{-1}]는 호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal C)와 동치이다. 특히, 모형 범주의 호모토피 범주 구성은 \mathcal C가 작은 범주가 아니더라도 국소적으로 작은 범주라면 집합론적으로 문제가 없기 때문에, 이러한 경우에 국소화를 구성하는 데 사용된다.
# 성질
일반적으로, 국소화 함자 L\colon\mathcal C\to\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]는 충실한 함자도, 충만한 함자도 아니다. 예를 들어, 사상 f,g\colon X\to Y 및 w\colon Y\to Y'에 대하여, 만약 f\circ w=g\circ w이지만 f\ne g라면, 국소화 함자 L 아래 Lf=Lg가 된다. :\bullet\underset g{\overset f\rightrightarrows}\bullet\overset\sim\to\bullet 이는 \mathcal C에서 w가 단사 사상이 아니더라도, \mathcal C[\mathfrak W^{-1}]에서는 항상 동형 사상이므로 특히 단사 사상이 되기 때문이다.
# 예
아벨 범주의 유도 범주는 유사동형의 모임에 대한 국소화이다. 위상 공간의 호모토피 범주는 위상 공간의 범주를 호모토피 동치 또는 약한 호모토피 동치에서 국소화하여 얻는다. 이 범주는 작은 범주가 아니지만, 호모토피 범주는 모형 범주 이론을 통해 집합론적 문제를 피하면서 구성할 수 있다. 임의의 아벨 다양체 *A*에서 *B*로 가는 등원 사상(isogeny)은 유한 핵을 갖는 전사 함수이다. 아벨 다양체에 대한 몇몇 정리에서, *등원한 차이를 제외한 아벨 다양체*(abelian variety up to isogeny )라는 개념이 필요할 때가 있다. 예를 들어 푸엥카레 기약성 정리(Poincaré's reducibility theorem)는 다음과 같다: 주어진 아벨 다양체 *A*의 아벨 부분 다양체 *A1*에 대하여 :*A1* × *A2* 가 *A*와 *등원한(isogenous)* 부분 다양체 *A2*가 존재한다.