이차 리 대수

리 군론에서 **이차 리 대수**(二次Lie代數, quadratic Lie algebra)는 리 괄호와 호환되는 비퇴화 쌍선형 형식이 주어진 유한 차원 리 대수이다.
# 정의
가환환 K 위의 **이차 리 대수**는 다음과 같은 데이터로 주어진다. * K-리 대수 \mathfrak g * K-비퇴화 쌍선형 형식 \mathfrak g\otimes_K\mathfrak g\to K, x\otimes y \mapsto \langle x,y\rangle 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. :\langle [x,y]|z\rangle = \langle y|[z,x]\rangle 아인슈타인 표기법을 사용하여, \mathfrak g의 원소를 t^i와 같이 윗첨자로 표기하고, \mathfrak g의 구조 상수를 :[t^i,t^j] = f^k{}_{ij}t^i t^j 와 같이 적고 (f^k{}_{ij} = - f^k_{ji}), 쌍선형 형식을 :\langle t^i|t^j\rangle = C_{ij}t^i t^j 와 같이 적을 경우 (C_{ij} = C_{ji}), 위 조건은 다음과 같다. :0 = C_{l(j}f^l{}_{k)i} = C_{lj}f^l{}_{ki} + C_{lk}f^l{}_{ji} 여기서 (\dotso)는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.
# 연산
같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.
## 이중 확대
다음이 주어졌다고 하자. * 체 K * K-이차 리 대수 (\mathfrak g,\langle-|-\rangle) * K-리 대수 \mathfrak h 및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 \langle-|-\rangle_{\mathfrak h} (이는 비퇴화가 아닐 수 있다) * K-리 대수 준동형 (\cdot) \colon \mathfrak h \to \mathfrak{der}(\mathfrak g)\cap\mathfrak o(\mathfrak g) (여기서 \mathfrak o(\mathfrak g)는 대칭 쌍선형 형식 \langle-|-\rangle에 대한 직교 리 대수) 그렇다면, 직합 K-벡터 공간 :\mathfrak g\oplus\mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다. :\langle (g',h',h'^\vee)|(g,h,h^\vee) \rangle = \langle g'|g\rangle + \langle h^\vee|h'\rangle + \langle h'^\vee|h\rangle + \langle h'|h\rangle :[(g,0,0),(g',0,0)] = ([g,g'],0,\omega(g,g')) :[(0,h,0),(0,h',0)] = (0,[h,h'],0) :[(0,0,h^\vee),(g,0,h'^\vee)] = 0 :[(0,h,0),(0,g,0)] = (h \cdot g,0,0) :[(0,0,h^\vee),(0,h,0)] = (0,0,h^\vee \circ \operatorname{ad}_h) 여기서 :\omega(g,g') \in\mathfrak h^* :\omega(g,g')(h) = \langle h\cdot g|g'\rangle 이다. 이를 \mathfrak g의, \mathfrak h를 통한 **이중 확대**(double extension)라고 한다.553–554, §0.2 만약 K=\mathbb R일 때, \mathfrak g의 부호수가 (m_+,m_-)이며, \mathfrak h가 n차원이라면, h 위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이, \mathfrak g의 \mathfrak h를 통한 이중 확대의 부호수는 (m_++n,m_-+n)이다.

**증명:**

이중 확대 \mathfrak g\oplus\mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee에서, \mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee의 부호수를 계산하면 된다. \mathfrak h 위의 대칭 쌍선형 형식을 대각화하였을 때, \mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee 위의 대칭 쌍선형 형식은 :\begin{pmatrix} 0&1\\\ 1&a; \end{pmatrix}\qquad(a\in\\{0,1,-1\\}) 의 꼴의 블록들로 구성된 블록 대각 행렬이 된다. 이 블록들은 a의 값에 관계 없이 모두 부호수가 (1,1)임을 쉽게 확인할 수 있다.

# 성질
비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다. 실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.언어=en340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3 * 양의 정부호의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다. * 콤팩트 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.

**증명:**

실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수들의 직합을 취할 수 밖에 없다.

# 분류
실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.언어=frThéorème Ⅱ 즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.언어=frThéorème Ⅱ 마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.Théorème Ⅲ * 직합 * 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대 \mathfrak g \mapsto \mathfrak g\oplus\mathbb R\oplus\mathbb R
# 예
표수 0의 체 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다. 임의의 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.
## 비콤팩트 이차 리 대수
가환환 K 위의 이차 리 대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 \mathfrak g[t] 위에 리 괄호 :[p,q]_{\mathfrak g[t]}(t) = [p(t),q(t)]_{\mathfrak g} 를 줄 수 있다. 또한, 임의의 n\in\mathbb N에 대하여, :t^n\mathfrak g[t]\subseteq\mathfrak g 는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수 :\frac{\mathfrak g[t] }{t^n\mathfrak g[t]} =\oplus_{i=0}^{n-1}\mathfrak gt^i 를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자. :\langle x_0+x_1t+\dotsb+x_{n-1}t^{n-1}|y_0+y_1t+\dotsb+y_{n-1}t^{n-1}\rangle = \langle x_{n-1}|y_{n-1}\rangle_{\mathfrak g} 그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다. 이제, 만약 예를 들어 K가 표수 0의 체이며, \mathfrak g가 단순 리 대수이며, n\ge2일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다.
## 아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수
다음과 같은 리 대수를 생각하자.Proposition 2.2 :\mathfrak g_4 = \operatorname{Span}_{\mathbb R}\\{C,L_+,L_-,C^*\\} :[C,L_\pm]=\pm L_\pm :[L_+,L_-]=C^* :[L_\pm,L_\pm]=0 :[C,C^*] = [L_\pm,C^*] = 0 여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식 :\langle C^*|C\rangle = 1 :\langle L_\pm|L_\mp\rangle = 1 :\langle L_\pm|L_\pm\rangle = \langle C|C\rangle = \langle C^*|C^*\rangle = \langle C^*|L_\pm\rangle = \langle C | L_\pm\rangle = 0 을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다. 이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다. 또한, 다음을 생각하자.Proposition 2.3 :\mathfrak g_5 = \operatorname{Span}_{\mathbb R}\\{x_1,x_2,t,x^1,x^2\\} :\langle x_i|x^j\rangle = \delta_i^j :\langle x_i|x_j\rangle = 0 :\langle t|t\rangle = 1 :[x_1,x_2]=t :[x_i,t]=-\epsilon_{ij} x^j :[x^j,t] = [x_i,x^j] = 0 여기서 \delta_i^j는 크로네커 델타이며, \epsilon_{ij}는 레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다. 이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다. 이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.
## 낮은 차원의 이차 리 대수
6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.언어=enurl=http://eastwestmath.org/index.php/EWM/article/view/305/282언어=en 실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다. {| class=wikitable |+ 가해 리 대수가 아닌 10차원 이하의 기약 실수 이차 리 대수Theorem 4.11 ! 차원 || 이차 리 대수 |- | rowspan=2 |3 || \mathfrak{sl}(2;\mathbb R) |- | \mathfrak o(3;\mathbb R) |- | rowspan=3 | 6 || \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\to\mathfrak{der}(0)에 의한 이중 확대 0\oplus \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)^* |- | \mathfrak o(3;\mathbb R)\to\mathfrak{der}(0)에 의한 이중 확대 0\oplus \mathfrak o(3;\mathbb R)\oplus\mathfrak o(3;\mathbb R)^* |- | \mathfrak{sl}(2;\mathbb C) |- | rowspan=3 | 8 || \mathfrak{sl}(3;\mathbb R) |- | \mathfrak{su}(3;\mathbb R) |- | \mathfrak{su}(2,1;\mathbb R) |- | rowspan=2 | 9 || \mathfrak{sl}(2;\mathbb R[x]/(x^3)) = \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R} \mathbb R[x]/(x^3) |- | \mathfrak o(3;\mathbb R[x]/(x^3)) = \mathfrak o(3;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R} \mathbb R[x]/(x^3) |- | rowspan=5 | 10 || \mathfrak o(3,2) |- | \mathfrak o(4,1) |- | \mathfrak o(5) |- | V = \mathbb R^2일 때, 이중 확대 V\otimes V\oplus \mathfrak{sl}(V) \oplus\mathfrak{sl}(V)^*.Example 3.11 여기서 \langle u\otimes v,u'\otimes v'\rangle = \langle u,v\rangle\langle u',v'\rangle이며 M \cdot (u\otimes v) = Mu \otimes v (u,v\in V,\; M\in\mathfrak{sl}(V)) |- | W = \mathbb C^2일 때, 이중 확대 V \oplus \mathfrak{su}(W) \oplus\mathfrak{su}(W)^*.Example 4.7. 여기서 \langle u,v\rangle = \langle u,v\rangle_{\mathbb C} + \langle v,u\rangle_{\mathbb C}이며 \langle-,-\rangle_{\mathbb C}는 복소수 힐베르트 공간 내적이다. |- | 11 || (총 3개) |- | 12 || (총 9개) |- | 13 || (총 4개) |} {| class=wikitable |+ 아벨 리 대수가 아닌 6차원 이하의 기약 가해 실수 이차 리 대수Proposition 2.2, 2.3, 3.8 ! 차원 || 이차 리 대수 |- | 4 || \mathfrak g_4 (※위 문단을 참고) |- | 5 || \mathfrak g_5 (※위 문단을 참고) |- | 6 || (2개의 리 대수와 연속적인 족 1개가 존재) |}