마티외 군

군론에서 **마티외 군**(Mathieu群, Mathieu group) M_{11}, M_{12}, M_{22}, M_{23}, M_{24}는 각각 11개·12개·22개·23개·24개의 원소들 위의 대칭군의 부분군으로 나타낼 수 있는 5개의 산재군이다.
# 정의
**마티외 군** M_{11}, M_{12}, M_{22}, M_{23}, M_{24}는 5개의 유한 단순군이다. M_k는 각각 대칭군 \operatorname{Sym}(k)의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 구체적으로 다음과 같이 작도할 수 있다.
## 슈타이너 계를 통한 정의
유한체 \mathbb F_{p^n} 위의 아핀 평면 \mathbb A^2_{\mathbb F_{p^n에서, 2개의 직선은 유일한 점을 결정하므로, 이는 슈타이너 계 S(2,p^n,p^{2n})를 이룬다. 유한체 \mathbb F_3 위의 아핀 평면은 슈타이너 계 S(2,3,9)를 이루며, 이 슈타이너 계는 유일하다. S(2,3,9)에 점들을 추가하여, S(3,4,10), S(4,5,11), S(5,6,12)를 만들 수 있다. 이들 역시 동형에 대하여 유일하다. 슈타이너 계 S(5,6,12)의 자기 동형군은 대칭군 \operatorname{Sym}(12)의 부분군이며, 이는 M_{12}와 같다. 즉, 마티외 군 M_{12} 크기 12의 집합 \\{1,2,\dots,12\\}에 작용하며, 이 작용은 5-정추이적(sharply 5-transitive)이다. 따라서, k=1,2,3,4,5에 대하여, 점들의 k-튜플에 대한 안정자군은 튜플의 선택에 관계없이 서로 동형이다. 이로서 6개의 군 :M_{12-k}\qquad(k=0,1,2,3,4,5) 을 정의할 수 있으며, 마지막 군 M_7은 자명군이다. 슈타이너 계 S(5,8,24) 역시 유일하며, 이를 **비트 디자인**(Witt design)이라고 한다. 이 슈타이너 계의 자기 동형군은 마티외 군 M_{24}와 동형이며, M_{24}의 크기 24의 집합 위의 작용은 5-추이적(transitive)이지만 5-정추이적이지 않다. 위와 마찬가지로, 1~5개의 점들에 대한 안정자군을 취하여, 6개의 군 :M_{24-k}\qquad(k=0,1,2,3,4,5) 을 정의할 수 있다. 작용이 정추이적이지 않으므로, 마지막 군 M_{19}는 자명군이 아니다. 이 군들 가운데, 오직 M_{24}, M_{23}, M_{22}, M_{21}, M_{12}, M_{11}만이 단순군이고, 이 가운데 M_{21}은 예외적인 동형으로 인하여 산재군이 아니다.
## 순열군으로서의 표현
체 K 위의 사영 특수선형군 \operatorname{PSL}_2(K)는 K 위의 사영 직선 K\sqcup\\{\infty\\} 위의 분수선형변환(뫼비우스 변환)들의 군과 같다.
### M12
크기 144×660의 마티외 군 M_{12}는 크기 660의 사영 특수선형군 \operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})을 부분군으로 가지며, 이는 극대 부분군이다. \operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})를 사영 직선 \mathbb P^1_{\mathbb F_{11 위의 순열군으로 나타내자. 그렇다면, M_{12}\setminus\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})에 속하는 임의의 한 원소만을 제시하면, 이로부터 M_{12}가 생성된다. 이러한 원소의 예로는 다음이 있다. * (0123456789A) * (1A)(25)(37)(48)(69) * (26A7)(3945) 여기서 :\mathbb P^1_{\mathbb F_{11=\\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm A,\infty\\} 이다.
### M24
크기가 40320×6072인 군 M_{24}는 크기가 6072인 부분군 \operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{23})을 가지며, 이는 극대 부분군이다. 따라서, 마찬가지로 M_{24}\setminus \operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{23})에 속하는 임의의 원소를 제시하면 M_{24}가 완전히 결정된다. 이러한 원소의 예로는 다음이 있다. * (0123456789ABCDEFGHIJKLM) * (0∞)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI) * (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF) 여기서 :\mathbb P^1_{\mathbb F_{23=\\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C,\mathrm D,\mathrm E,\mathrm F,\mathrm G,\mathrm H,\mathrm I,\mathrm J,\mathrm K,\mathrm L,\mathrm M,\infty\\} 이다.
## 이진 골레 부호로의 작도
이진 골레 부호는 24차원 벡터 공간 \mathbb F_2^{24}의 특별한 12차원 부분 공간이다. 이진 골레 부호의 자기 동형군은 마티외 군 M_{24}와 동형이다. 이진 골레 부호는 12비트의 정보를 24비트의 부호에 저장한다. 12개의 비트 1로 구성된 부호(dodecad)의 안정자군은 마티외 군 M_{12}와 동형이다.
# 성질
마티외 군들의 크기와 성질은 다음과 같다. {| class="wikitable" ! 군 ! 크기 ! 성질 |- | M24 | 48·20·21·22·23·24 | 5-추이군, 단순군 |- | M23 | 48·20·21·22·23 | 4-추이군, 단순군 |- | M22 | 48·20·21·22 | 3-추이군, 단순군 |- | M21 = PSL3(𝔽4) | 48·20·21 | 2-추이군, 단순군 |- | M20 | 48·20 | 단순군이 아님 |- | M19 | 48 | 단순군이 아님 |- | M12 | 8·9·10·11·12 | 5-정추이군, 단순군 |- | M11 | 8·9·10·11 | 4-정추이군, 단순군 |- | M10 | 8·9·10 | 3-정추이군. 단순군이 아님 |- | M9 = PSU3(𝔽4/𝔽2) | 8·9 | 2-정추이군. 단순군이 아님 |- | M8 = Q8 | 8 | 사원수군. 1-정추이군. 단순군이 아님 |- | M7 = 1 | 1 | 자명군 |} 마티외 군 M_{19}는 구체적으로 다음과 같은 꼴의 행렬군이다.언어=en4 :\left\\{\begin{pmatrix} a&0&0\\\ b&a;^{-1}&0\\\ c&0&1 \end{pmatrix}\colon a\in\mathbb F_4^\times,\;b,c\in\mathbb F_4\right\\}
## 다중 추이군
임의의 유한군 G에 대하여, 순환군 \operatorname{Sym}(n)은 항상 n-정추이군(sharply n-transitive group)이며, 교대군 \operatorname{Alt}(n+2) 역시 n-정추이군이다. * 모든 6-추이군은 순환군이나 교대군이다. * 순환군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데, 5-추이군인 것은 M_{24}와 M_{12}밖에 없으며, 이 가운데 M_{12}만이 5-정추이군이다. * 순환군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데, 4-추이군이지만 5-추이군이 아닌 것은 M_{23}과 M_{11}밖에 없으며, 이 가운데 M_{11}만이 4-정추이군이다.
# 역사
프랑스의 수학자 에밀 마티외(Émile Mathieu)가 1861년 논문언어=fr에서 M_{12}271와 M_{24}274를 최초로 언급하였고, 이후 1873년에 이들 두 군에 대한 추가 성질들을 제시하였다.pages=25–46url=http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1873_2_18_A2_0 그러나 마티외가 제시한 두 군이 실재하는지, 이들이 교대군과 동형이 아닌지는 이후 수십 년 동안 논란의 대상이었다. 1898년에 미국의 수학자 조지 에이브럼 밀러(George Abram Miller, 1863~1951)는 M_{24}가 존재하지 않는다는 "증명"을 발표하였으나,언어=en 이후 1900년에 자신이 "증명"이 오류였음을 시인하였다.언어=fr 1938년에 에른스트 비트(Ernst Witt)가 마티외 군들을 슈타이너 계의 자기 동형군으로 나타내었고, 마티외 군에 대한 논란을 종식시켰다. 언어=de언어=de 마티외 군들은 산재군들 가운데 최초로 발견된 것이었으며, 1965년에 얀코 군 J_1이 발견되기 이전에 알려진 유일하게 알려진 산재군이었다.