신경 (범주론)

범주론에서 **신경**(神經, nerve)은 작은 범주로부터 구성되는 단체 집합이다.
# 정의
**신경**은 작은 범주 · 함자 · 자연 변환의 2-범주 \operatorname{Cat}에서 단체 집합 · 단체 집합 사상 · 단체 집합 호모토피의 2-범주 \operatorname{sSet}로 가는 함자이다. :\operatorname{nerve}\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet} 즉, 신경 함자는 다음과 같은 대응을 정의한다. * 작은 범주 → 단체 집합 * 작은 범주 사이의 함자 → 단체 집합 사이의 사상 * 작은 범주 사이의 두 함자 사이의 자연 변환 → 단체 집합 사이의 두 사상 사이의 호모토피 단체 집합의 2-범주에서 위상 공간의 2-범주로 가는 기하학적 실현 함자 :|-|\colon\operatorname{sSet}\to\operatorname{Top} 또한 존재한다. 신경과 기하학적 실현을 합성한 함자를 **분류 공간**(classifying space) 함자라고 한다. :|\operatorname{nerve}(-)|\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{Top} 신경은 추상적으로 간단히 정의할 수 있으며, 추상적 정의를 구체적으로 길게 풀어서 정의할 수도 있다.
## 추상적 정의
작은 범주 \mathcal C가 주어졌다고 하자. 단체 범주 \triangle은 유한 전순서 집합과 순서 보존 함수의 범주이다. 모든 전순서 집합은 (보다 일반적으로, 모든 부분 순서 집합은) 가는(thin) 작은 범주로 생각할 수 있다. 함자 \operatorname{nerve}\mathcal C\colon\triangle^{\operatorname{op\to\operatorname{Set}를 다음과 같이, 전순서 집합에서 \mathcal C로 가는 함자들의 집합으로 정의하자. :\operatorname{nerve}\mathcal C\colon n\mapsto \hom_{\operatorname{Cat(n,\mathcal C) 이러한 꼴의 함자는 단체 집합이라고 한다. 단체 집합 \operatorname{nerve}\mathcal C를 \mathcal C의 **신경**이라고 한다. 정의에 따라, 신경은 작은 범주의 범주에서 단체 집합의 범주로 가는 함자 :\operatorname B\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet} 를 이룬다.
## 구체적 정의
아랫글=가환 삼각형은 신경의 2차원 단체(삼각형)에 대응한다. 신경의 추상적인 정의는 구체적으로 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다. 작은 범주 \mathcal C가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수 n\in\mathbb N에 대하여 집합 \Delta_n을 다음과 같은, 합성이 가능한 \mathcal C-사상들의 열 :X_0\xrightarrow{f_1}X_1\xrightarrow{f_2}X_2\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n 들의 집합이라고 하자. (특히, \Delta_0은 단순히 \mathcal C의 대상의 집합이며, \Delta_1은 단순히 \mathcal C의 사상의 집합이다.) 또한, 각 양의 정수 n\in\mathbb Z^+ 및 자연수 0\le i\le n에 대하여 함수 \partial_n^i를 다음과 같이, i번째 대상을 생략하는 함수로 정의하자. :\partial_n^i\colon\Delta_n\to\Delta_{n-1} :\partial_n^i\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{i-1}\xrightarrow{f_{i+1}\circ f_i}X_{i+1}\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n) :\partial_n^0\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n) :\partial_n^n\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}) 또한, 각 자연수 n\in\mathbb N 및 자연수 0\le i\le n에 대하여 함수 s_n^i를 다음과 같이, i번째 대상을 반복하며 그 사이에 항등 사상을 삽입하는 함수로 정의하자. :s_n^i\colon\Delta_n\to\Delta_{n+1} :s_n^i\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_i\xrightarrow{\operatorname{id}_{X_iX_i\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n) 그렇다면 (\Delta_n,\partial_n^i,s_n^i)_{n,i}는 단체 집합을 이룬다. 이를 작은 범주 \mathcal C의 **신경** \operatorname{nerve}\mathcal C이라고 한다.
# 성질
신경 함자 \operatorname{nerve}\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}는 충실충만한 함자이다. 단체 집합 S에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \operatorname{nerve}\mathcal C\cong S인 작은 범주 \mathcal C가 존재한다. * 끝 대상으로 가는 유일한 사상 S\to1은 모든 내부 뿔 포함 사상 \wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n (n\in\mathbb Z^+, 0)에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다. 단체 집합 S에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \operatorname{nerve}\mathcal G\cong S인 준군 \mathcal G가 존재한다. * 끝 대상으로 가는 유일한 사상 S\to1은 모든 뿔 포함 사상 \wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n (n\in\mathbb Z^+, 0\le i\le n)에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다. 작은 범주 \mathcal C에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. * \mathcal C는 준군이다. * \operatorname{nerve}\mathcal C는 칸 복합체이다. 즉, 끝 대상으로 가는 유일한 사상 \operatorname{nerve}\mathcal C\to1은 모든 뿔 포함 사상 \wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n (n\in\mathbb Z^+, 0\le i\le n)에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다. * 끝 대상으로 가는 유일한 사상 \operatorname{nerve}\mathcal C\to1은 모든 뿔 포함 사상 \wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n (n\in\mathbb Z^+, 0\le i\le n)에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다. 위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * X\cong |S|인 단체 집합 S가 존재한다. * X\cong|\operatorname{nerve}\mathcal C|인 작은 범주 \mathcal C가 존재한다.
# 예
이산 위상을 부여한 군 G의 분류 공간 \operatorname BG를 정의할 수 있다. 군 G는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 여길 수 있다. 그렇다면, 범주로서 G의 분류 공간은 이산 위상군으로서의 분류 공간과 호모토피 동치이다.