2차원 𝒩=2 초등각 장론

양자장론에서, **2차원 \mathcal N=2 초등각 장론**(二次元\mathcal N=2超等角場論, two-dimensional \mathcal N=2 superconformal theory)은 두 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 한다. == 𝒩=2 초등각 대수 == 2차원 \mathcal N=2 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.zbl=1175.81001 {| class=wikitable |- ! 기호 || 이름 || 무게 h || U(1) R대칭 전하 q |- | T(z) || 에너지-운동량 텐서 || 2 || 0 |- | G^\pm(z) || 초전류 || 3/2 || ±½ |- | J(z) || R대칭 보존류 || 1 || 0 |- | c || 중심 원소 || 0 || 0 |} 통상적으로, \hat c를 다음과 같이 정의한다. :\hat c=c/3 이는 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다. 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.언어=en(2.1) 여기서 \cdots는 z\to0에서 비특이항을 뜻한다. :T(z)T(0)=\frac32\hat cz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots :T(z)G^\pm(0)=\frac32z^{-2}G^\pm(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots :T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots :J(z)J(0)=\hat cz^{-2}+\cdots :J(z)G^\pm(0)=\pm z^{-1}G^\pm(0)+\cdots :G^\pm(z)G^\pm(0)=\cdots :G^\pm(z)G^\mp(0)=\hat cz^{-3}\pm z^{-2}J(0)+z^{-1}\left(T(0)\pm\frac12\partial J(0)\right)+\cdots
## 모드 전개
\mathcal N=2 대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.(2.2) :T(z)=\sum_nz^{n-2}L_{-n} :G^\pm(z)=\sum_{r\in\mathbb Z\pm\eta}z^{r-3/2}G_{-r}^\pm :J(z)=\sum_nz^{n-1}J_{-n} 여기서 NS 경계 조건의 경우 \eta=0이며 R 경계 조건의 경우 \eta=1/2이다. 이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.178, (5.14)(2.3)(1.1) :*c*는 모든 원소와 가환 :[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n} +\frac14\hat c(m^3-m) \delta_{m+n,0} :[L_m,J_n]=-nJ_{m+n} :[J_m,J_n]=\hat cm\delta_{m+n,0} :\\{G_r^+,G_s^-\\}=L_{r+s} +\frac12(r-s)J_{r+s} +\frac12\hat c(r^2-{1\over 4}) \delta_{r+s,0} :\\{G_r^+,G_s^+\\}=0=\\{G_r^-,G_s^-\\} :[L_m,G_r^{\pm}]=(m/2-r) G^\pm_{r+m} :[J_m,G_r^\pm]= \pm G_{m+r}^\pm
## 대역적 대수
NS 대수에서, L_0, L_{\pm1}, J_0, G^\pm_{1/2}, G^\pm_{-1/2}는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 \mathfrak{osp}(2|2)이다. 이 리 초대수의 보손 성분 \mathfrak{so}(2)\oplus\mathfrak{usp}(2)\cong\mathfrak u(1)\oplus\mathfrak{so}(3)는 각각 R대칭 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다. R 대수에서, L_0, J_0, G^\pm_0, c는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다. :\\{G^+_0,G^-_0\\}=L_0-c/24 :[J_0,G^\pm_0]=\pm G^\pm_0 :[L_0,G^\pm_0]=[L_0,L_0]=[L_0,J_0]=\\{G^\pm_0,G^\pm_0\\}=[J_0,J_0]=0 이는 콤팩트 리만 다양체에서 \Delta, d, d^\dagger가 이루는 대수와 같다.
# 표현

## 베르마 가군
비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, \mathcal N=2 초등각 대수의 기약 표현은 **초1차장**(超一次場, superprimary field) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다. 초1차장 |\phi\rangle은 다음 조건을 만족시킨다. :L_n|\phi\rangle=G_r|\phi\rangle=0\qquad\forall n,r>0 초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다. :L_{-n_1}L_{-n_2}\cdots L_{-n_k}G_{-r_1}^+G^+_{-r_2}\cdots G^+_{-r_p}G_{-s_1}^-G^-_{-s_2}\cdots G^-_{-s_q}|\phi\rangle\qquad(0 여기서 r_i 및 s_i인 것은 :(G_r^+)^2+=(G_s^-)^2=0 이기 때문이다. 또한, 0인 것은 라몽 대역 초등각 대수 (G_0^+,G_0^-,L_0,J_0,c)의 작용을 대각화시켜, 초1차장 |h,q\rangle에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다. :G_0^+|h,q\rangle=0
## 유니터리 초1차장의 범위
c=6 \mathcal N=2 NS 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 g_r^{\operatorname{NS=0으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 f_{1,2}^{\operatorname{NS=0에 의하여 정의된다. c=6 \mathcal N=2 R 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 g_r^{\operatorname{R=0으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 f_{1,2}^{\operatorname{R=0에 의하여 정의된다. 다음과 같은 함수들을 정의하자. :g_r^{\text{NS(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^2-1/4)\quad(r\in\mathbb Z+1/2) :g_r^{\text{R(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^2-1/4)-1/4\quad(r\in\mathbb Z) :f_{1,2}^{\text{NS(c,h,q)=2(c/3-1)h-q^2+\frac14(c/3+1)^2-\frac14(c/3-1)^2 :f_{1,2}^{\text{R(c,h,q)=2(c/3-1)(h-c/24)-q^2+\frac14(c/3+1)^2 :q_{k,l,m}^{\text{NS=-\frac m{k+2} :q_{k,l,m}^{\text{R=-\frac m{k+2}+\frac12 :h_{k,l,m}^{\text{NS=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)} :h_{k,l,m}^{\text{R=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}+\frac18 g_r=0은 (q,h) 반평면에 직선을 정의하며, f_{1,2}=0은 (q,h) 반평면에 포물선을 정의한다. 그렇다면, \mathcal N=2 대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다.언어=en언어=en언어=en언어=fr {| class=wikitable ! || c 범위 || NS 조건 || R 조건 |- ! 유질량 표현 | c\ge3 | \forall r\in\mathbb Z+\tfrac12\colon g_r^{\text{NS>0 || \forall r\in\mathbb Z\colon g_r^{\text{R>0 |- ! 무질량 표현 | c\ge3 | f_{1,2}^{\operatorname{NS\ge0,\;\exists r\in\mathbb Z+\tfrac12\colon g_r^{\text{NS=0,\;g_{r+\operatorname{sgn}r}\le0 | f_{1,2}^{\operatorname{R\ge0,\;\exists r\in\mathbb Z\colon g_r^{\text{R=0,\;g_{r+\operatorname{sgn}r}\le0 |- ! 최소 모형의 표현 | c=3k/(k+2)<3,\quad(k=1,2,\dots) || \exists l,m\colon(h,q)=(h_{k,l,m}^{\text{NS,q_{k,l,m}^{\text{NS), 0\le l\le k, |m|\le l | \exists l,m\colon(h,q)=(h_{k,l,m}^{\text{R,q_{k,l,m}^{\text{R), 0\le l\le k, m\in[1-l,l-1]\cup\\{l+1\\} |} c\ge3일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. c<3일 경우, 가능한 유니터리 표현들은 \mathcal N=2 최소 모형에 등장하는 것들이다. 특히, G^+_r에서 r\in\mathbb Z+\epsilon이라고 한다면, :0\le\langle h,q|G^\pm_{\epsilon}G^\mp_{-\epsilon}|h,q\rangle+\langle h,q|G^\mp_{-\epsilon}G^\pm_{+\epsilon}|h,q\rangle =\langle h,q|\\{G^\pm_{\epsilon},G^\mp_{-\epsilon}\\}|h,q\rangle =\langle h,q|(L_0\pm \epsilon J_0+c(\epsilon^2-1/4)/6)|h,q\rangle=h\pm \epsilon q+c\frac{4\epsilon^2-1}{24} 이므로, 항상 :h+c\frac{4\epsilon^2-1}{24}\ge|\epsilon q| 가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는 :h\ge 2|q| 이며 (g_{\pm1/2}^{\text{NS\ge0), R 경계 조건에서는 :h\ge c/24 이다 (g_0^{\text{R\ge0). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다. g_r=g_{r+\operatorname{sgn}r}=0이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다. :\frac{q^2}{2(c/3-1)}=\begin{cases}h&\text{NS}\\\h-1/8&\text{R}\end{cases} 즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 h\ge q^2/(2(c/3)-1)+\\{0,1/8\\}에만 존재할 수 있다. === *c*=3인 경우 === 유니터리 표현의 분류는 c=3인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우, :g_r^{\text{NS(c,h,q)=2(h-rq)\quad(r\in\mathbb Z+1/2) :g_r^{\text{R(c,h,q)=2(h-rq)-1/4\quad(r\in\mathbb Z) :f_{1,2}^{\text{NS(c,h,q)=f_{1,2}^{\text{R(c,h,q)=1-q^2 이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다. :|q|\le1 :h=\begin{cases}|q|/2,3|q|/2,5|q|/2,\dots&\text{NS}\\\ 1/8,|q|+1/8,2|q|+1/8,\dots&\text{R}\end{cases}
## BPS 상태
NS 초1차장 가운데 만약 :q=\pm 2h 인 상태 |h,\pm2h\rangle가 있다면, :G^{\pm}_{-1/2}|h,\pm2h\rangle=0 이 된다. 이는 BPS 상태의 일종이며, + 부호일 경우 **손지기장**(chiral field), − 부호일 경우 **반손지기장**(antichiral field)이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우 f_{1,2}^{\text{NS\ge0 조건에 의하여 :2h=|q|\le c/3 이다.언어=en378 특별한 경우로, 진공 h=q=0일 경우에는 :L_{-1}|0,0\rangle=G^\pm_{-1/2}|0,0\rangle=0 이다. 라몽 초1차장 가운데, 만약 h=c/24일 경우, :G_0^\pm|c/24,q\rangle=0 이 성립한다. 이는 g_0^{\text{R=0과 같은 조건이다. 이 역시 BPS 상태의 일종이며, 이러한 상태를 **라몽 바닥 상태**(Ramond ground state)라고 한다. 유니터리 라몽 초1차장의 경우 f_{1,2}^{\text{R\ge0 조건에 의하여 :|q|\le c/6+1/2 이다.
## 초공간
2차원 \mathcal N=(2,2) 초대칭은 초공간 \mathbb R^{2|4}를 사용하여 나타낼 수 있다.271–276 이 경우, 보손 좌표 \mathbb R^2는 복소평면 \mathbb C로 여겨, 복소수 좌표 (z,\bar z)로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 반가환 복소수 (\theta^\pm,\bar\theta^\mp)로 나타낼 수 있다. 이 때 :(\theta^\pm)^*=\bar\theta^\mp 이다. 이 경우, \theta^\pm 및 \bar\theta^\pm은 각각 스핀 \pm1/2를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 외대수 :\mathcal C^\omega(\mathbb C)\otimes_{\mathbb C}\bigwedge(\mathbb C^2) 의 층을 갖는 환 달린 공간이다. 일반적 초장은 :\Phi(z,\bar z,\theta^\pm,\bar\theta^\mp)=\phi(z,\bar z)+\theta^+f_+(z,\bar z)+\theta^-f_-(z,\bar z)+\bar\theta^+g_+(z,\bar z)+\bar\theta^-g_-(z,\bar z)+\theta^+\theta^-h(z,\bar z) 와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 D^\pm, \bar D^\pm을 정의하면 **손지기 초장**(chiral superfield) :\bar D_\pm\Phi=0 및 **반손지기 초장**(antichiral superfield :\bar D_\pm\Phi=0 및 **뒤틀린 손지기 초장**(twisted chiral superfield) :\bar D_+\Phi=D_-\Phi=0 및 **뒤틀린 반손지기 초장**(twisted antichiral superfield) :D_+\Phi=\bar D_-\Phi=0 이 존재한다. 이들은 \mathcal N=(2,2) 초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다.
# 성질

## 위상 뒤틀림
정칙 \mathcal N=2 초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간 \mathcal H 위에 :Q^2=(G^\pm_{-1/2})^2=0 이므로, 이를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다. 즉, G^\pm_{-1/2}를 BRST 연산자로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 위상 양자장론을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은 :h=\pm q/2 인 것들, 즉 (Q=G^+_{-1/2}인 경우) 손지기장 또는 (Q=G^-_{-1/2}인 경우) 반손지기장이다. 이들은 BPS 상태이며, 각각 손지기환(chiral ring) 및 반손지기환(antichiral ring)이라는 등급 가환환을 이룬다. 비정칙 \mathcal N=(2,2) 초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.mr=2003030403 :Q_A=\bar G^+_{-1/2}+G^-_{-1/2} :Q_B=\bar G^+_{-1/2}+G^+_{-1/2} 이 경우, A-뒤틀림은 :(h,\bar h)=(-q/2,\bar q/2) 인 것들을 남기고 (ac환 ac ring), B-뒤틀림은 :(h,\bar h)=(q/2,\bar q/2) 인 것들을 남긴다 (cc환 cc ring). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기((anti)chiral)의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다.
## 스펙트럼 흐름
\mathcal N=2 NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 동형이며, 이 동형을 **스펙트럼 흐름**(spectral flow)이라고 한다. 스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 \eta\in\mathbb R에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, \eta=1/2라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, \eta=1이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 R대칭 전하는 다음과 같이 변환한다.186, (5.35) :h\mapsto h-\eta q+c\eta^2/6 :q\mapsto q-c\eta/3 스펙트럼 흐름 아래 :h-\frac 3{2c}q^2 는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 로런츠 변환과 유사하게 작용한다. :\binom{\sqrt{2ch/3q\mapsto\begin{pmatrix} \cosh\theta&\sinh\theta\\\ \sinh\theta&\cosh\theta \end{pmatrix}\binom{\sqrt{2ch/3q 여기서 :\sqrt{2ch/3}\,d\theta=\frac c3\,d\eta 이므로, :\eta=\sqrt{6h/c}(\sinh\theta)+\frac{3q}c(\cosh\theta-1) 이다. 이에 따라, \eta=1/2일 때 손지기장 h=q/2은 (h',q')=(c/24,q-c/6)인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, \eta=1인 경우, 손지기장 h=q/2는 반손지기장 (h',q')=(c/6-q/2,q-c/3)으로 대응된다. {| class="wikitable" |- ! \eta=-1!! \eta=-1/2 !! \eta=0 !! \eta=1/2 !! \eta=1 |- || || || 손지기장 (h,q)=(h,2h) || 라몽 바닥 상태 (h,q)=(c/24,2h-c/6) || 반손지기장 (h,q)=(c/6-h,2h-c/3) |- || || 손지기장 (h,q)=(c/12+q/2,c/6+q) || 라몽 바닥 상태 (h,q)=(c/24,q) || 반손지기장 (h,q)=(c/12-q/2,q-c/6) |- || 손지기장 (h,q)=(c/6-h,c/3-2h) || 라몽 바닥 상태 (h,q)=(c/24,-2h+c/6) || 반손지기장 (h,q)=(h,-2h) |}
## 모듈러 불변성
\mathcal N=(2,2) 초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 퓨가시티 :y=\exp(2\pi iz) :\bar y=\exp(-2\pi i\bar z) :q=\exp(2\pi i\tau) :\bar q=\exp(-2\pi i\bar \tau) 를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다. :Z(q,\bar q,y,\bar y)=\operatorname{tr}_{\operatorname{NS\left(q^{L_0-c/24}\bar q^{\bar L_0-c/24}y^{J_0}\bar y^{\bar J_0}\right)= \sum_{(h,\bar h,q,\bar q)}q^{h-c/24}\bar q^{\bar h-c/24}y^j\bar y^{\bar j} 이는 모듈러 군의 S변환 :S\colon(\tau,z)\mapsto(\tau',z')=(-1/\tau,z/\tau) 아래 다음과 같이 변환한다.언어=en :Z(\tau,z)=\exp(-\pi icz^2/3\tau)\exp(\pi ic\bar z^2/3\bar\tau)Z(\tau',z') 즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다. 이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 (-1)^F=\exp(i\pi(J_0-\bar J_0))를 삽입하여, 다음과 같은 **타원 종수**(楕圓種數, elliptic genus)를 정의할 수 있다.언어=en언어=en(2.1) :Z(\tau,z)=\operatorname{tr}_{\operatorname{R\left((-1)^Fq^{L_0-c/24}\bar q^{\bar L_0-c/24}y^{J_0}\right) 이는 위튼 지표의 일반화이며, \tau 및 z에 대하여 정칙 함수이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.(2.4), (2.5), (2.6) :Z(\tau,z)=Z(\tau,-z)=Z(\tau+1,z) :Z(\tau,z)=\exp(-\pi icz^2/3\tau)Z(-1/\tau,z/\tau) 따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 \hat c/2의 약한 야코비 형식을 이룬다.
# 예

## 자유 이론
2차원 \mathcal N=2 초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 c=3을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다. {| class=wikitable ! 경계 조건 !! 장 !! 무게 h || R대칭 전하 q || 설명 |- || || 1 || 0 || 1 || 진공 |- || NS || Q^+=\psi^+\partial\phi^* || 3/2 || +1 || 초전류 |- || NS || Q^-=\psi^-\partial\phi || 3/2 || −1 || 반초전류 |- || NS || J=\psi^+\psi^- || 1 || 0 || R대칭 보존류 |- || NS || \psi^+ || ½ || +1 || 페르미온 |- || NS || \partial\phi=G_{-1/2}^-\partial\psi^+ || 1 || 0 || 보손 |- || NS || \psi^- || ½ || −1 || 반페르미온 |- || NS || \partial\phi^*=G_{-1/2}^+\partial\psi^- || 1 || 0 || 반보손 |- | R || U_{1/2}1=U_{-1/2}\psi^- || ⅛ || −½ || 라몽 바닥 상태 |- || R || U_{1/2}\psi^+=U_{-1/2}1 || ⅛ || ½ || 라몽 바닥 상태 |} 이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 \psi^+과 하나의 반손지기 초1차장 \psi^-를 갖는다. 즉, 손지기환은 \mathbb Z/(2)와 동형이다. 이들로부터 정의되는 \mathcal N=2 대수는 구체적으로 다음과 같다.언어=en240 복소수 보손 \phi의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 a_n, b_n이라고 하고, 복소수 페르미온 \psi의 모드 전개를 e_r라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다. : \displaystyle{[a_m,a_n]={m\over 2}\delta_{m+n,0},\,\,\,\, [b_m,b_n]={m\over 2}\delta_{m+n,0,\,\,\,\, a_n^*=a_{-n},\,\,\,\, b_n^*=b_{-n} : \displaystyle{\\{e_r,e^*_s\\}=\delta_{r,s},\,\,\,\, \\{e_r,e_s\\}=0.} 그렇다면 다음과 같이 \hat c=1 \mathcal N=2 초등각 대수를 구성할 수 있다. :L_n = \sum_m : a_{-m+n} a_m : + \sum_m : b_{-m+n} b_m : + \sum_r (r+{n\over 2}): e^*_{r}e_{n+r} : :J_n = \sum_r : e_r^*e_{n+r} : : G^+_r=\sum (a_{-m} + i b_{-m}) \cdot e_{r+m} :G_r^-=\sum (a_{r+m} - ib_{r+m}) \cdot e^*_{m}
## 최소 모형
최소 모형 (등각 장론) \hat c<1인 일련의 \mathcal N=2 최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙 \mathcal N=2 모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다.언어=en
## 잉여류 모형
단순 리 군 G 및 닫힌 부분군 H\le G가 주어졌으며, \operatorname{rank}G=\operatorname{rank}H이며, H의 중심의 차원이 양수일 때, 잉여류 공간 G/H는 콤팩트 켈러 다양체이며, 그 위에 **가자마-스즈키 모형**(Kazama–Suzuki model)이라는 \mathcal N=2 등각 장론을 정의할 수 있다.언어=en 이는 가자마 요이치(風間 洋一)와 스즈키 히사오(鈴木 久男)가 도입하였다.
## 시그마 모형
복소수 d차원 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 2차원 시그마 모형은 \hat c=c/3=d인 \mathcal N=(2,2) 초등각 장론을 이룬다. 임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다.언어=en언어=en * 0-BPS 상태. 즉, 왼쪽 손지기도, 오른쪽 손지기도 아니다. 이는 칼라비-야우 다양체의 기하학적 (비(非)위상수학적) 성질로부터 결정된다. * ¼-BPS 상태. 왼쪽 손지기이지만 오른쪽 손지기가 아니거나, 그 반대이다. 이는 타원 종수로부터 결정된다. * ½-BPS 상태. 왼쪽 · 오른쪽 손지기이다. 이는 위상 뒤틂으로 얻어지는 (c,c) 또는 (a,c) 환에 속하며, 이러한 상태의 수는 칼라비-야우 다양체의 호지 수에 의하여 결정된다. 타원 종수는 야코비 형식을 이루는데, 낮은 차원 (d\le3)의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다.
# 응용
\mathcal N=2 초등각 장론은 초끈 이론에서 4차원 \mathcal N=1 진공해를 얻기 위하여 사용된다.191–192
# 역사
1976년에 초끈 이론에서 최초로 발견되었고,언어=en 1977년에 빅토르 카츠가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다.언어=en언어=en 그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다. 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다.언어=en