단순 리 초대수

리 초대수 이론에서, **단순 리 초대수**(單純Lie超代數, simple Lie superalgebra)는 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수이다.
# 정의
가환환 K 위의 리 초대수 \mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1의 **아이디얼**은 \mathfrak g의 부분 리 초대수 \mathfrak i\subseteq\mathfrak g 가운데 :[\mathfrak g,\mathfrak i\\} \subseteq\mathfrak i 인 것이다. 표수 0의 체 위의 리 초대수 \mathfrak g가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼을 가질 경우, 이를 **단순 리 초대수**라고 한다. (이 경우, 아이디얼은 \\{0\\}과 \mathfrak g 전체이다. \mathfrak g=\\{0\\}인 경우는 아이디얼이 1개이므로 해당되지 않으며, 이는 1을 소수로 간주하지 않는 것과 마찬가지다.) 표수 0의 체 위의 단순 리 초대수 \mathfrak g가 다음 조건을 만족시킬 경우, **고전 리 초대수**(古典Lie超代數, classical Lie superalgebra)라고 한다. * \mathfrak g_0의, \mathfrak g_1 위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다. 고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 **카르탕형 대수**(Cartan型代數, Cartan-type algebra) 또는 **초고전적 대수**(超古典的代數, hyperclassical algebra)라고 하며, \mathfrak w(n), \mathfrak s(n), \tilde{\mathfrak s}(n), \mathfrak h(n)이 있다.
# 분류

## 복소수 단순 리 초대수
표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.45, Theorem 2 {| class="wikitable" |- ! 이름 !! 기호 !! 조건 !! 보손 부분 대수 !! 보손 차원 !! 페르미온 표현 !! 페르미온 차원 |- | 특수 선형 || \mathfrak{sl}(m|n) || 1\le m || \mathfrak{sl}(m)\oplus\mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak{u}(1) || m^2+n^2-1 || (\mathbf n,\bar{\mathbf m})\oplus(\bar{\mathbf n},\mathbf m) || 2mn |- | 사영 특수 선형 || \mathfrak{psl}(m|m) || m\ge2 || \mathfrak{sl}(m)\oplus\mathfrak{sl}(m) || 2n^2-2 || (\mathbf m,\bar{\mathbf m})\oplus(\bar{\mathbf m},\mathbf m) ||2m^2 |- | 직교-심플렉틱 || \mathfrak{osp}(m|2n) || m\ge1, n\ge1 || \mathfrak o(m)\oplus\mathfrak{sp}(2n) || m(m-1)/2+n(2n+1)|| (\mathbf m,\mathbf{2n}) || 2mn |- | 이상한 || \mathfrak{q}(n) || n\ge3 || \mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak u(1) || n^2 || \mathbf{(n^2-1)} || n^2-1 |- | 페리플렉틱 || \mathfrak p(n) || n\ge3 || \mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak u(1) || n^2 || \mathbf n^{\text{sym}\otimes2}\oplus\bar{\mathbf n}^{\wedge2} || n^2 |- | 예외 || \mathfrak{osp}(4|2;\alpha) || \alpha\ne0,-1,+1 || \mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{sl}(2) || 9 || (\mathbf2,\mathbf2,\mathbf2) || 8 |- | 예외|| \mathfrak f(3|1) || || \mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak o(7) || 24 || (\mathbf2,\mathbf8) || 16 |- | 예외 || \mathfrak g(3) || || \mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{g}_2 || 17 ||(\mathbf 2,\mathbf 7) || 14 |- | 카르탕형 || \mathfrak w(n) || n\ge2 || (복잡함) || n2^{n-1} || (복잡함) || n2^{n-1} |- | 카르탕형 특수 || \mathfrak s(n) || n\ge3 || (복집함) || (n-1)2^{n-1} + (n-2\lfloor n/2\rfloor) || (복잡함) || (n-1)2^{n-1}+1-(n-2\lfloor n/2\rfloor) |- | 카르탕형 특수 || \tilde{\mathfrak s}(n) || 2\mid n\ge4 || (복잡함) || (n-1)2^{n-1} || (복잡함) || (n-1)2^{n-1}+1 |- | 해밀턴형 || \mathfrak h(n) || n\ge4 || (복잡함) || 2^{n-1} -2 + (n-2\lfloor n/2\rfloor) || (복잡함) || 2^{n-1} - (n-2\lfloor n/2\rfloor) |} 위 표에서 \mathbf r^{\text{sym}\otimes2}는 \mathbf r\otimes\mathbf r의 대칭 성분이고, \mathbf r^{\wedge2}는 \mathbf r\otimes\mathbf r의 반대칭 성분이다. 이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다. :\mathfrak{sl}(2|1)=\mathfrak{osp}(2|2) :\mathfrak{osp}(4|2;1)=\mathfrak{osp}(4|2;-2)=\mathfrak{osp}(4|2;-1/2)=\mathfrak{osp}(4|2) :\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)=\mathfrak{osp}(4|2;\alpha^{-1})=\mathfrak{osp}(4|2;-\alpha-1) :\mathfrak w(2) = \mathfrak{sl}(2|1) :\mathfrak s(3) = \mathfrak p(3) :\mathfrak h(4) = \mathfrak{sl}(2|2) 이 밖에 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.
## 실수체 위의 고전 단순 리 초대수
실수체 위의 고전 리 초대수 역시 분류되었다.59, Theorem 9, §3언어=en {| class=wikitable ! 복소화 !! 실수 형태 !! 조건 !! 보손 부분 대수 |- | rowspan=3 | \mathfrak{sl}(m|n) || \mathfrak{sl}(m|n;\mathbb R) || m \ne n || \mathfrak{sl}(m;\mathbb R) \oplus \mathfrak{sl}(n;\mathbb R)\oplus\mathbb R |- | \mathfrak{su}^*(m|n) || m \ne n, 2\mid m,n || \mathfrak{su}^*(m) \oplus \mathfrak{su}^*(n)\oplus\mathbb R |- | \mathfrak{su}(m-p,p|n-q,q) || m \ne n, 0, 0 || \mathfrak{su}(m-p,p)\oplus\mathfrak{su}(n-q,q)\oplus\mathfrak u(1) |- | rowspan=4 | \mathfrak{psl}(m|m) || \mathfrak{psl}(m|m;\mathbb R) || || \mathfrak{sl}(m;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(m;\mathbb R) |- | \mathfrak{psu}^*(m|m) || 2\mid m || \mathfrak{su}^*(m)\oplus\mathfrak{su}^*(m) |- | \mathfrak{psu}(m-p,p|m-q,q) || 0 || \mathfrak{su}(m-p,p)\oplus\mathfrak{su}(m-q,q) |- || (이름 없음) || || \mathfrak{sl}(m;\mathbb C) |- | rowspan=2 | \mathfrak{osp}(m|2n) || \mathfrak{osp}(m-p,p|2n;\mathbb R) || 0\le p\le m || \mathfrak o(m-p,p;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R) |- | \mathfrak{osp}^*(m|2n-2q,2q) || 2\mid m || \mathfrak o^*(m)\oplus\mathfrak{sp}(2n-2q,2q;\mathbb R) |- | \mathfrak{osp}(4|2;\alpha) || \mathfrak{osp}(4-p,p|2;\alpha) || p\in\\{0,1,2\\} || \mathfrak o(4-p,p)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) |- | rowspan=2 | \mathfrak f(4) || \mathfrak f(7-p,p) || p\in\\{0,3\\} || \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak o(7-p,p;\mathbb R) |- || \mathfrak f(7-p,p) || p\in\\{1,2\\} || \mathfrak{su}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak o(7-p,p;\mathbb R) |- | rowspan=2 | \mathfrak g(3) || (이름 없음) || || \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak g_{2(-14)} |- | (이름 없음) || || \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak g_{2(2)} |- | rowspan=2 | \mathfrak p(n) || \mathfrak p^*(n) || 2\mid n|| \mathfrak{su}^*(n) |- | \mathfrak p(n;\mathbb R) || || \mathfrak{sl}(n;\mathbb R) |- | rowspan=3 | \mathfrak q(n) || \mathfrak{uq}(n-p,p;\mathbb R) || 0\le p\le n || \mathfrak{su}(n-p,p) |- | \mathfrak q^*(n) || 2\mid n || \mathfrak{su}^*(n) |- | \mathfrak q(n;\mathbb R) || || \mathfrak{sl}(n;\mathbb R) |}
# 예

## 일반·특수 선형 초대수
(m|n)\times(m|n) **초행렬**은 다음과 같은 꼴의 행렬이다. :\begin{pmatrix}A&B;\\\C&D;\end{pmatrix} 여기서 A는 m\times m이고, B는 n\times n이다. (m|n)\times(m|n) 초행렬의 모임을 **일반 선형 리 초대수**(一般線型Lie超代數, general linear Lie superalgebra) \mathfrak{gl}(m|n)이라고 쓰자. 초행렬의 **초대각합**(超對角合, supertrace)은 다음과 같다.언어=en§25 :\operatorname{str}\begin{pmatrix}A&B;\\\C&D;\end{pmatrix}=\operatorname{tr}A-\operatorname{tr}D **특수 선형 리 초대수**(特殊線型Lie超代數, special lienar Lie superalgebra) \mathfrak{sl}(m|n)는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.§25 :\mathfrak{sl}(m|n)=\\{M\in\mathfrak{gl}(m|n)\colon\operatorname{str}(m|n)=0\\} 단위 행렬 1_{m|n}의 경우 \operatorname{str}1_{m|n}=m-n이므로, 1_{m|n}\in\mathfrak{sl}(m|n)일 필요 충분 조건은 m=n이다. 이 경우, **사영 특수 선형 리 초대수**(射影特殊線型Lie超代數, projective special linear Lie superalgebra) \mathfrak{psl}(m|m)는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다. :\mathfrak{psl}(m|m)=\left\\{[M]_\sim\colon M\in\mathfrak{sl}(m|m),\;M\sim M+1_{m|m}\right\\}
## 직교-심플렉틱 초대수
**직교-심플렉틱 리 초대수**(直交symplectic Lie超代數, orthosymplectic Lie superalgebra) \mathfrak{osp}(m|2n)는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.§25 :\mathfrak{osp}(m|2n)=\left\\{\begin{pmatrix}A&B;\\\C&D;\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(m|n)\colon A^\top=-A,\;D^\top\Omega=-\Omega D,\;B=C^\top\Omega\right\\} 여기서 :\Omega=\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix} 이다.
## 페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수
**페리플렉틱 리 초대수**(periplectic Lie超代數, periplectic Lie superalgebra) \mathfrak p(n)는 다음과 같다.§25zbl=1271.170019, (1.14) :\mathfrak p(n)=\left\\{\begin{pmatrix}A&B;\\\C&D;\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(n|n)\colon A^\top=-D,\;B^\top=B,\;C^\top=-C,\;\operatorname{tr}A=0\right\\} \tilde{\mathfrak q}(n)를 다음과 같이 정의하자. :\tilde{\mathfrak q}(n)=\left\\{\begin{pmatrix}A&B;\\\C&D;\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(n|n)\colon A=D,\;B=C,\;\operatorname{tr}B=0\right\\} 이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 **이상한 리 초대수**(異常한Lie超代數, queer Lie superalgebra) \mathfrak q(n)이라고 한다.§25 :\mathfrak q(n)=\\{[M]_\sim\colon M\in\tilde{\mathfrak q}(n),\;M\sim M+1_{n|n}\\}
## 𝔬𝔰𝔭(4|2;*α*)
\mathfrak{osp}(4|2;\alpha) 또는 \mathfrak{d}(2,1;\alpha)는 구체적으로 다음과 같다.§20 이 리 초대수의 보손 리 대수는 \mathfrak{sl}(2)^{\oplus3}이며, 이에 대한 페르미온 표현은 (\mathbf2,\mathbf2,\mathbf2)이다. 이에 따라, 지표 *a,b\in\\{1,2,3\\}\in\mathbb Z/(3) (\operatorname{Sym}(3)의 정의 표현의 지표) *i\in\\{1,2,3\\} (\mathfrak{sl}(2) 지표) *\alpha,\beta\in\\{1,2\\} (\mathfrak{sl}(2)의 정의 표현의 지표) 를 사용하면, 보손 생성원 t^a 및 페르미온 생성원 F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3}에 대한 리 초괄호는 다음과 같다. :[t_i^a,t_j^b] = \mathrm i\delta^{ab}\epsilon_{ijk}t^a_k :[t^a_i,F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3}] = \frac12\sigma^i_{\alpha_a'\alpha_a}F_{\alpha_1\dotso\alpha_a'\dotso\alpha_3} :\\{F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3},F_{\beta_1\beta_2\beta_3}\\} = \sum_{a=1}^3 s_a (C\sigma^i)_{\alpha_a\beta_a} C_{\alpha_{a+1}\beta_{a+1 C_{\alpha_{a+2}\beta_{a+2 t_i^a\qquad(s_1,s_2,s_3\in\mathbb C) 이다. 여기서 \sigma^i는 파울리 행렬이며, :C = \mathrm i\sigma^2 는 3차원 스피너의 전하 켤레 행렬이다. 페르미온-페르미온 리 초괄호에 등장하는 세 개의 복소수 계수 (s_1,s_2,s_3)는 야코비 항등식에 의하여 :s_1+s_2+s_3=0 을 만족시켜야 하며, 또한 :(s_1,s_2,s_3) \sim (s_{\sigma(1)},s_{\sigma(2)},s_{\sigma(3)}) \sim (\lambda s_1,\lambda s_2,\lambda s_3)\qquad(\lambda\in\mathbb C^\times,\;\sigma\in\operatorname{Sym}(3)) 이다. 즉, [s_1:s_2:s_3]은 3차원 복소수 사영 평면 \mathbb{CP}^2의 동차 좌표를 이루며, 그 속에서 가능한 값은 :s_1 + s_2 + s_3 = 0 으로 정의되는 사영 직선의 \operatorname{Sym}(3)에 대한 몫 오비폴드이다. 이에 따라, :\alpha = s_2 / s_1 \in \mathbb{CP}^1 로 좌표를 잡으면, 그 위의 대칭군 \operatorname{Sym}(3)의 작용은 다음과 같다. :\alpha \sim \alpha^{-1} \sim -(\alpha+1) \sim -\frac1{\alpha+1} \sim -\frac\alpha{\alpha+1} \sim -1-\frac1\alpha 이 경우, \alpha \sim 1 \sim -2 \sim -1/2인 점은 \mathfrak{osp}(4|2)에 해당한다. 실수 계수의 경우, 가능한 보손 리 대수는 다음과 같다.694–695, §5B :{| class=wikitable ! 보손 리 대수 !! 대칭 !! \alpha의 조건 !! \alpha의 동치 관계 !! \alpha의 표준 영역 |- | \mathfrak o(2,2;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) \cong \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)^{\oplus3} || \operatorname{Sym}(3) || \alpha\in\mathbb{RP}^1 || \alpha\sim1/\alpha\sim-1-\alpha || \alpha\in[0,1] |- | \mathfrak o(3,1;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) \cong\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) || 1 || \alpha \in -1/2 + \mathrm i\mathbb R || (없음) || \alpha\in-1/2+\mathrm i\mathbb R |- | \mathfrak o(4;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) \cong\mathfrak{su}(2\mathbb R)^{\oplus2}\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) || \operatorname{Sym}(2) || \alpha\in\mathbb{RP}^1 || \alpha\mapsto 1/\alpha || \alpha\in[-1,1] |} 이 경우, 복소수 계수 \alpha의 가능한 값은 실수 조건을 통해 제한되며, 그 \operatorname{Sym}(3) 대칭 또한 위와 같이 깨지게 된다. 이 경우, 가능한 \alpha의 동치 관계는 위 표와 같으며, 이 동치 관계의 동치류들은 위 표준 영역의 원소와 일대일 대응한다.
## 카르탕형 리 초대수
체 K 위의 벡터 공간 V 위의 외대수 \textstyle\bigwedge V 위의 \mathbb Z/2-등급 미분들, 즉 K-선형 변환 :d\colon \bigwedge(V)\to\bigwedge(V) 가운데 :d(a\vee b) = (da)\wedge b + (-)^{\deg a}a \wedge db\qquad\left(b\in \bigwedge(V),\;a\in\bigwedge_{2\bullet+1}(V) \cup \bigwedge_{2\bullet}(V) \right) 를 만족시키는 것들의 벡터 공간을 \operatorname W(V)라고 하자. V의 기저 (v_i)_{i\in I}를 잡았을 때, d\in \operatorname W(V)는 다음과 같이 표현될 수 있다. :d = \sum_{i\in I} a_i \frac\partial{\partial v_i}\qquad\left(a_i\in \bigwedge(V)\;\forall i\in I\right) \textstyle\bigwedge(V)의 \mathbb Z-등급으로부터, 이는 \operatorname W(V) 위에 \mathbb Z-등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히 :[d,d'] = d\circ d' \pm d'\circ d 이며, 여기서 ± 부호는 \mathbb Z/2 등급에 의하여 결정된다. 만약 V가 2 이상의 유한 차원 벡터 공간이라면, 이는 단순 리 초대수를 이룬다. 이를 \mathfrak w(\dim V)로 표기한다. **특수 카르탕형 리 초대수**(special Cartan-type Lie superalgebra) \mathfrak s(n)과 \mathfrak s(n) 및 **해밀턴형 리 초대수**(Hamilton-type Lie superalgebra) \mathfrak h(n)은 모두 \mathfrak w(n)의 부분 리 초대수이다.
# 역사
단순 리 초대수의 분류는 빅토르 카츠가 1975년에 완성하였다.언어=ru언어=en언어=en