삼각군

군론과 기하학에서 **삼각군**(三角群, triangle group)은 음 또는 양 또는 0의 곡률을 갖는 평면에서, 삼각형을 이루는 세 개의 직선에 대한 반사들로 생성되는 군이다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 2 이상의 세 수 l,m,n\in\\{2,3,4,\dotsc,\infty\\}. (l,m,n)-**삼각군** \triangle(l,m,n)은 군이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다. * 대수적으로, 삼각군은 콕서터 군의 일종이다. * 기하학적으로, 삼각군은 어떤 평면의 삼각형 테셀레이션을 정의하는 대칭군이다. 세 정수 (l,m,n)의 순열을 취해도 서로 동형인 군을 얻는다. 따라서, 보통 l\le m\le n인 순서로 배열한다.
## 대수적 정의
(l,m,n)-**삼각군** \triangle(l,m,n)은 다음과 같은 표시를 갖는 콕서터 군이다. :\triangle(l,m,n) = \langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m = (ca)^n = 1 \rangle 여기서, l 또는 m 또는 n이 ∞라면, 해당 관계를 생략하는 것으로 처리한다. 예를 들어, :\triangle(l,m,\infty) = \langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m = 1 \rangle 이다.
## 기하학적 정의
X를 다음과 같이 정의하자. * 만약 1/l+1/m+1/n1라면, X는 실수 사영 평면 \operatorname{\mathbb{RP^2이다. 이 경우, X 위에, 세 각이 각각 (\pi/l,\pi/m,\pi/n) 라디안인 삼각형을 그릴 수 있다. (여기서 \pi/\infty=0이다.) 이 삼각형의 세 변을 축으로 하는 반사들로 생성되는 군을 (l,m,n)-**삼각군**이라고 한다. 이에 따라, 예를 들어 만약 1/l+1/m+1/n=1라면 삼각군 \triangle(l,m,n)은 2차원 유클리드 군 :\operatorname{IO}(2;\mathbb R) =\mathbb R^2\rtimes\operatorname O(2;\mathbb R) 의 부분군이 된다. 쌍곡 평면에서는 세 각 가운데 일부가 0인 삼각형이 존재한다. 유클리드 평면에서, 각이 (\pi/2,\pi/2,0)으로 이루어진 “삼각형”은 무한한 넓이의 도형, 예를 들어 :\\{(x,y)\colon x\ge0,0\le y\le 1\\} 이다.
## 폰 뒤크 군
**폰 뒤크 군**(von Dyck群, von Dyck group) \operatorname D(l,m,n)\le\triangle(l,m,n)은 (l,m,n)-삼각군 \triangle(l,m,n)의, 다음과 같은 부분군이다. * 대수적 정의: (l,m,n)-삼각군 \triangle(l,m,n)=\langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m = (ca)^n = 1 \rangle의 원소들 가운데, 짝수 개의 생성원 (a,b,c)로 생성되는 원소들의 군이다. 즉, (x,y)=(ab,bc)로 놓으면, \operatorname D(l,m,n)=\langle x,y|x^l=y^m=(xy)^n=1\rangle이다. * 기하학적 정의: (l,m,n)-삼각군 \triangle(l,m,n) 가운데, 국소적으로 방향을 보존하는 것이다. (가향 다양체인 쌍곡 평면 및 유클리드 평면의 경우, 이는 대역적으로 방향을 보존하는 것이지만, 실수 사영 평면은 가향 다양체가 아니므로 대역적인 방향의 개념이 존재하지 않는다.)
# 성질
삼각군 \triangle(l,m,n)이 유한군일 필요 충분 조건은 구형인 경우, 즉 1/l+1/m+1/n>1인 것이다. 이는 쌍곡 평면이나 유클리드 평면과 달리, 실수 사영 평면은 콤팩트 공간이기 때문이다. 쌍곡 폰 뒤크 군은 푹스 군이다.
# 분류
구형 삼각군, 즉 1/l+1/m+1/n>1인 경우의 목록은 다음과 같다. * (2,2,n), n=2,3,4,\dotsc * (2,3,3). 이는 정사면체의 대칭군이다. * (2,3,4). 이는 정육면체 및 정팔면체의 대칭군이다. * (2,3,5). 이는 정십이면체 및 정이십면체의 대칭군이다. 파일:Spherical square 파일:Spherical hexagonal 파일:Spherical octagonal 파일:Spherical decagonal 파일:Spherical dodecagonal 파일:E2 tiling 22i-2 파일:Tetrahedral reflection 파일:Octahedral reflection 파일:Icosahedral reflection 유클리드 삼각군, 즉 1/l+1/m+1/n=1인 경우의 목록은 다음과 같다. * (2,3,6). 이는 평면의 정육각형을 통한 테셀레이션에 대응한다. * (2,4,4). 이는 평면의 정사각형을 통한 테셀레이션에 대응한다. * (3,3,3). 이는 평면의 정삼각형을 통한 테셀레이션에 대응한다. 파일:Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected 대응하는 테셀레이션 파일:Tile V488 대응하는 테셀레이션 파일:Tiling Regular 3-6 대응하는 테셀레이션 위 목록에 속하지 않은 것들은 모두 쌍곡 삼각군이다. 즉, 그 목록은 다음과 같다. * (2,3,n), n=7,8,9,\dotsc * (2,4,n), n=5,6,7,\dotsc * (3,3,n), n=4,5,6,\dotsc * (3,m,n), 4\le m\le n * (l,m,n), 4\le l\le m\le n 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:Hyperbolic domains 932 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers 파일:H2checkers
# 예
(2,3,7)-폰 뒤크 군은 클라인 4차 곡선의 이론에서 등장한다. 모듈러 군 :\langle S,T|S^2=(ST)^3=1\rangle 은 (2,3,∞)-폰 뒤크 군이다.
# 역사
1856년에 이미 윌리엄 로언 해밀턴이 정이십면체의 대칭군이 폰 뒤크 군 \operatorname D(2,3,5)임을 증명하였으며, 이 군을 “정이십면체 산법”(아이코시언 캘큘러스)이라고 불렀다.언어=en 이 논문에서 해밀턴은 다음과 같이 적었다. 인용문2| 나는 최근 **비가환 1의 거듭제곱근**의 새로운 체계 — 또는 **체계들의 족(族)** —를 발견하였다. 이는 사원수[…]와 어떤 면에서는 유사하지만, 전혀 다르다. 또한, 이들은 사원수보다도 더 쉽게 **기하학적인 해석**을 갖는다. 이 새 족 가운데 현재 가장 흥미롭다고 생각되는 것은 다음과 같은 관계를 따르는 세 개의 기호 \iota, \kappa, \lambda로 구성된다. : \left. { {\textstyle\iota^2=1,\qquad\kappa^3=1,\qquad\lambda^5=1,}\atop {\textstyle\lambda=\iota\kappa;} } \right\\}\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad\mathrm{(A)} 여기서 \iota\kappa는 \kappa\iota와 **다르다** […].
lang|en|I have lately been led to the conception of a new system, or rather *family of systems*, of *non-commutative roots of unity*, which are entirely distinct from […] the quaternions, though having some general analogy thereto; and which admit, even more easily than the quaternion symbols do, of *geometrical interpretation*. In the system which seems at present to be the most interesting one, among those included in this new family, I assume three symbols, \iota, \kappa, \lambda, such that : \left. { {\textstyle\iota^2=1,\qquad\kappa^3=1,\qquad\lambda^5=1,}\atop {\textstyle\lambda=\iota\kappa;} } \right\\}\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad\mathrm{(A)} where \iota\kappa must be *distinguished* from \kappa\iota […]. |446 “폰 뒤크 군”이라는 용어는 독일의 수학자 발터 프란츠 안톤 폰 뒤크(Walther Franz Anton von Dyck, 1856~1934)의 이름을 딴 것이다.