호흐실트 호몰로지

추상대수학에서 **호흐실트 호몰로지**(Hochschild homology)와 **호흐실트 코호몰로지**(Hochschild cohomology)는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 호몰로지 · 코호몰로지 이론이다.
# 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 가환환 K * K-결합 대수 A * (A,K,A)-쌍가군 _AM_A. 즉, M은 (A,A)-쌍가군이며, 또한 M 위의 왼쪽 K-작용이 오른쪽 K-작용과 일치한다고 하자. 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다. * 호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다. * 호흐실트 (코)호몰로지는 **호흐실트 (공)사슬 복합체**(Hochschild (co)chain complex)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다. * 호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다. 흔히, _AM_A={}_AA_A인 특수한 경우가 자주 사용된다.
## 추상적 정의
A의 **포락 대수**(包絡代數, enveloping algebra) :A^{\operatorname{e=A\otimes_KA^{\operatorname{op 를 정의할 수 있다. 이는 K-결합 대수이며, M은 A^{\operatorname{e-왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, A도 A^{\operatorname{e의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로, :(a\otimes_K b^{\operatorname{op)\cdot m=a\cdot m\cdot b\qquad\forall a,b\in A,m\in M :(a\otimes_K b^{\operatorname{op)\cdot c=a\cdot c\cdot b\qquad\forall a,b,c\in A 이다. A의 M계수의 **호흐실트 호몰로지 군** \operatorname{HH}_n(A;M) 및 **호흐실트 코호몰로지 군** \operatorname{HH}^n(A;M)은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다. :\operatorname{HH}_n(A;M)=\operatorname{Tor}_n^{A^{\operatorname{e(A,M) :\operatorname{HH}^n(A;M)=\operatorname{Ext}^n_{A^{\operatorname{e(A,M)
## 구체적 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 가환환 K * K-가군 범주의 단체 대상 (X_\bullet,\partial_{\bullet,i},s_{\bullet,i}) 그렇다면, :\partial_n=\sum_{i=0}^n(-)^i\partial_{n,i} 를 정의하면, :\partial_n\circ\partial_{n+1} = 0 이 되어, 사슬 복합체 :\dotsb\xleftarrow\partial X_2\xleftarrow\partial X_1\xleftarrow\partial X_0\to0 를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군 X_\bullet의 **호흐실트 호몰로지**라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체 :X^n = \hom_K(X_n,K) :0\to X^1\to X^2\to\dotsb 의 코호몰로지를 단체 가군 X_\bullet의 **호흐실트 코호몰로지**라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상 s_{\bullet,i}이 쓰이지 않는다.) 특히, 만약 위와 같이 K 위의 결합 대수 A와 (A,K,A)-쌍가군 M이 주어졌다면, 다음과 같은 **호흐실트 단체 가군**(Hochschild simplicial module) C_\bullet(A;M)을 정의할 수 있다.언어=en45, (1.6.1.2) :C_n(A;M) = M\otimes_K A^{\otimes_Kn} :\partial_{n,i} \colon C_n (A;M)\to C_{n+1}(A;M) :\partial_{n,i}\colon m\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n\mapsto \begin{cases} (ma_1)\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n&i;=0\\\ m\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\otimes_Ka_ia_{i+1}\otimes_Ka_{i+2}\otimes_K\cdots\otimes_Ka_n&0 :s_{n,i} \colon C_n (A;M)\to C_{n-1}(A;M) :s_{n,i}\colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n\mapsto m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i\otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K a_n 결합 대수 A의 M계수 **호흐실트 호몰로지**란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다. C_\bullet(A;M)은 사슬 복합체로서 :M\otimes_{A^{\operatorname{e\operatorname{Bar}_\bullet(A,A,A) 의 꼴이다. 여기서 \operatorname{Bar}_\bullet(A,A,A)는 A의 막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체 :C^\bullet(A;M) = \hom_{A^{\operatorname{e(\operatorname{Bar}_\bullet(A,A,A), M) 를 정의할 수 있으며, A의 M^\vee계수 **호흐실트 코호몰로지**란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.
## 위상수학적 정의
A 계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. * 가환환 K * \operatorname{Mod}_K 속의 단체 대상 X \colon \triangle^{\operatorname{op \to \operatorname{Mod}_K. 여기서 \triangle은 단체 범주이다. 그렇다면, 단체 가군의 범주 \hom(\triangle^{\operatorname{op,\operatorname{Mod}_K)은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다. 이 경우, X의 **호흐실트 호몰로지**와 **호흐실트 코호몰로지**는 각각 다음과 같다.§6.2 :\operatorname{HH}_n(X)=\operatorname{Tor}_n^{\hom(\triangle^{\operatorname{op,\operatorname{Mod}_K)}(K_\bullet,X) :\operatorname{HH}^n(X)=\operatorname{Ext}^n_{\hom(\triangle^{\operatorname{op,\operatorname{Mod}_K)}(X,K_\bullet) 여기서 K_\bullet는 모든 성분이 1차원 자유 가군 K이며, s_n^i 및 d_n^i 모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다. (사실, 만약 A=M이라면, 호흐실트 단체 가군 C_n(A;A)는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주 \hom(\triangle_{\operatorname{Cyc^{\operatorname{op,\operatorname{Mod}_K)에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.213, Theorem 6.2.8214, Theorem 6.2.9)
# 성질
가환환 K 위의 결합 대수 A 및 (A,K,A)-쌍가군 M에 대하여, 호흐실트 호몰로지 \operatorname{HH}^n(A;M) 및 호흐실트 코호몰로지 \operatorname{HH}^n(A;M)는 K-가군이며, 사실 \operatorname Z(A)-가군을 이룬다.10, §1.1.5
## 함자성
임의의 가환환 K 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주 \operatorname{Alg}_K와, K-결합 대수 A가 주어졌을 때 (A,K,A)-쌍가군의 범주 _A\operatorname{Mod}_A를 생각하자. 그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.10, §1.1.4 :\operatorname{HH}_n \colon {}_A\operatorname{Mod}_A \to \operatorname{Mod}_{\operatorname Z(A)} :\operatorname{HH}^n \colon {}_A\operatorname{Mod}_A \to \operatorname{Mod}_{\operatorname Z(A)} 또한, 임의의 K-결합 대수 준동형 :\phi\colon B\to A 및 (A,K,A)-쌍가군 M에 대하여, \phi^*M은 (B,K,B)-쌍가군을 이루며, 이는 호흐실트 호몰로지의 사상10, §1.1.4 :\phi_*\colon \operatorname{HH}^\bullet(B;\phi^*M) \to \operatorname{HH}_n(A;M) 및 호흐실트 코호몰로지의 사상38, §1.5.1 :\phi^*\colon \operatorname{HH}^\bullet(A;M) \to \operatorname{HH}^n(B;\phi^*M) 을 유도한다. 특히, 만약 M=A일 때, 이는 K-결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서 K-가군의 범주로 가는 함자 :\operatorname{HH}_n(-)\colon \operatorname{Alg}_K \to\operatorname{Mod}_K :\operatorname{HH}^n(-)\colon \operatorname{Alg}_K^{\operatorname{op \to\operatorname{Mod}_K 를 정의한다.
# 예

## 0차 호흐실트 (코)호몰로지
가환환 K 위의 결합 대수 A 및 (A,K,A)-쌍가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다. :C_0(A;M) = M :C_1(A;M) = M\otimes_K A :\partial_1 = \partial_{1,0} - \partial_{1,1} :\partial_{1,0} \colon m \otimes_K a \mapsto ma :\partial_{1,1} \colon m \otimes_K a \mapsto am 이에 따라, :\operatorname{HH}_0(A;M) = \frac M{[M,A]} 이다.10, §1.1.6 마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다. :C^0(A;M) = M :C^1(A;M) = M \otimes A^\vee :\mathrm d^0 \colon C^0(A;M) \to C^1(A;M) :\mathrm d^0(m)(a) = ma - am 이에 따라, :\operatorname{HH}^0(A;M) = \\{m\in M\colon am=ma\qquad\forall a\in A\\} 는 환의 중심의 개념의 일반화이다.38, §1.5.2
## 1차 호흐실트 코호몰로지
가환환 K 위의 결합 대수 A 및 (A,K,A)-쌍가군 M이 주어졌다고 하자. 1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다.38, §1.5.2 1차 호흐실트 공순환은 K-가군 준동형 :\delta \colon A\to M 가운데 :\delta(ab) = a \delta(b) + \delta(a) b 와 같은 곱 규칙을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 **미분**(derivation)이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는 :[m,-]\colon A\to M \qquad(m\in M) 와 같은 꼴의 K-가군 준동형이다. 즉, 이러한 것들을 **내부 미분**(inner derivation)이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 **외부 미분**(outer derivation)의 공간으로 여겨질 수 있다.
## 가환 대수
가환환 K 위의 가환 결합 대수 A 및 A-가군 M에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.언어=en307, Proposition 9.2.211, Proposition 1.1.10 :\operatorname{HH}_0(A;M)\cong M :\operatorname{HH}_1(A;M)\cong M\otimes_A\Omega_{A/K} 여기서 \Omega_{A/K}는 켈러 미분의 가군이다. 즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.
## 다항식환
복소수 계수 다항식환 \mathbb C[\vec x] (\vec x\in\mathbb C^k)의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다. :\operatorname{HH}_n(\mathbb C[\vec x];\mathbb C[\vec x])=\mathbb C[\vec x]\otimes_{\mathbb C}\Lambda^n(\mathbb C^k) 여기서 \Lambda^n(-)는 외대수이다. 구체적으로, n차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다. :C_n(\mathbb C[\vec x])=\mathbb C[\vec x_0,\vec x_1,\dotsc,\vec x_n] 호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다. :p(\vec x_0,\dotsc,\vec x_n)\mapsto\sum_{i_1=1}^k\sum_{i_2=1}^k\dotsi\sum_{i_n=1}^k\left.\frac\partial{\partial(x_1)^{i_1\frac\partial{\partial(x_2)^{i_2\dotsm\frac\partial{\partial(x_n)^{i_np\right|_{\vec x_0=\vec x_1=\vec x_2=\dotsb=\vec x_n=\vec x}\mathrm d(x_1)^{i_1}\wedge\mathrm d(x_2)^{i_2}\wedge\dotsb\wedge\mathrm d(x_n)^{i_n}
# 역사
게르하르트 호흐실트가 1945년에 체 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다.pages=58–67 이후 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.언어=en