행렬의 합동

선형대수학에서, 행렬의 **합동**(合同, congruence)은 두 행렬이 같은 이차 형식의 서로 다른 기저에 대한 표현임을 나타내는 관계이다.
# 정의
체 K 위의 두 n\times n 행렬 A,B\in\operatorname{Mat}(n;K)에 대하여, 만약 다음을 만족시키는 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(n;K)가 존재한다면, A,B가 서로 **합동**이라고 한다. :P^\top AP=B 여기서 (-)^\top는 전치 행렬이다. 행렬의 합동은 동치 관계를 이룬다.
# 예

## 대칭 행렬
표수가 2가 아닌 체 K를 원소로 하는 대칭 행렬 A\in\operatorname{Mat}(n;K)은 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(n;K)가 존재한다. :P^\top AP=\begin{pmatrix} d_1\\\ &\ddots\\\ &&d;_r\\\ &&&0\\\ &&&&\ddots\\\ &&&&&0\end{pmatrix}\qquad(d_i\ne 0,\;0\le r\le n) 0이 아닌 대각 원소의 개수 r는 A의 계수와 같다. 부제=행렬의 언어를 사용하여 서술 행렬의 크기에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 우선, 1\times1 행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이다. 이제, (n-1)\times(n-1) 행렬에 대하여 성립한다고 가정하고 n\times n 행렬 A에 대하여 성립함을 증명하자. 영행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이므로, A\ne0인 경우만을 생각하자. 그렇다면, A_{ij}\ne0인 1\le i,j\le n이 존재한다. 만약 i\ne j라면, A의 i번째 행에 j번째 열을 더한 뒤, 다시 i번째 열에 j번째 열을 더하여 얻는 행렬 (I+E_{ij})^\top A(I+E_{ij})은 원래 행렬과 합동이며, i번째 대각 원소는 2A_{ii}이며, 체의 표수가 2가 아니므로 2A_{ii}\ne0이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 i=j라고 할 수 있다. 만약 i\ne1이라면, A의 1번째 행과 i번째 행을 교환한 뒤, 1번째 열과 i번째 행을 교환하여 얻는 행렬 (I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})^\top A(I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})은 원래의 행렬과 합동이며, 1번째 대각 원소가 A_{ii}\ne0이므로, 일반성을 잃지 않고 i=1라고 할 수 있다. 즉, A가 A_{11}\ne0를 만족시킨다고 보아도 무방하다. 이제 다시 다음과 같은 일련의 기본 행 연산의 합성을 생각하자. :P=I-\sum_{i=2}^nA_{11}^{-1}A_{i1}E_{i1} 그렇다면, P^\top AP는 원래 행렬과 합동이며, :0=(P^\top AP)_{12}=\cdots=(P^\top AP)_{1n}=(P^\top AP)_{21}=(P^\top AP)_{n1} 이 성립한다. 또한, 그 오른쪽 아래의 부분 행렬 ((P^\top AP)_{ij})_{i,j=2}^n은 (n-1)\times(n-1) 행렬이므로 수학적 귀납법의 가정에 따라 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 d_2,\dots,d_n\in K 및 Q\in\operatorname{GL}(n-1;K)가 존재한다. :Q^\top((P^\top AP)_{ij})_{i,j=2}^nQ=\operatorname{diag}(d_2,\dots,d_n) 따라서, A는 다음과 같은 대각 행렬과 합동이다. :\begin{pmatrix}1\\\&Q;\end{pmatrix}^\top P^\top AP\begin{pmatrix}1\\\&Q;\end{pmatrix} ::=\begin{pmatrix}1\\\&Q;^\top\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_{11}\\\ &(P^\top AP)_{22}&\cdots&(P^\top AP)_{2n}\\\ &\vdots&\ddots&\vdots\\\ &(P^\top AP)_{n2}&\cdots&(P^\top AP)_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\&Q;\end{pmatrix} ::=\begin{pmatrix}A_{11}\\\&d;_2\\\&&\ddots\\\&&&d;_n\end{pmatrix} 증명 끝 부제=쌍선형 형식의 언어를 사용하여 서술 대칭 쌍선형 형식 B\colon V\times V\to K가 있다고 하자. 증명하려는 바는 B(u_i,u_j)=0 (1\le i)인 기저 \\{u_1,\cdots,u_n\\}의 존재이다. 벡터 공간의 차원에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 1차원의 경우는 자명하다. (n-1)차원의 경우에 대하여 성립한다고 가정하고, n차원의 경우에 대하여 증명하자. B=0인 경우는 자명하므로, B\ne0의 경우만을 생각하자. 이 경우, B(u_1,u_1)\ne0인 0\ne u_1\in V가 존재한다. (그렇지 않다면, B(u+v,u+v)=B(u,u)+2B(u,v)+B(v,v)이며 K의 표수가 2가 아님에 따라 B=0이므로 모순이다.) 그렇다면, B를 직교 여공간 :(\operatorname{Span}\\{u_1\\})^\perp=\\{v\in V\colon B(u_1,v)=0\\} 에 제한시켰을 때 여전히 쌍선형 형식을 이루므로, 수학적 귀납법의 가정에 따라, B(u_i,u_j)=0 (2\le i)인 (\operatorname{Span}\\{u_1\\})^\perp의 기저 \\{u_2,\dots,u_n\\}이 존재한다. 또한, 직교 여공간의 정의에 따라, :0=B(u_1,u_2)=\cdots=B(u_1,u_n) 이며, \\{u_1,\dots,u_n\\}는 V의 기저를 이룬다. 증명 끝 부제=이차 형식의 언어를 사용하여 서술 이차 형식이 0인 경우 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이므로, 0이 아닌 이차 형식에 대하여 증명하면 된다. 체 K의 표수가 2가 아니므로, 그 위의 이차 형식은 다음과 같은 꼴이다. :\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j\qquad(a_{ij}=a_{ji}\in K) 이차 형식의 변수의 개수 n에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 1변수의 경우, 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이다. (n-1)변수에 대하여 성립한다고 가정하고 n변수에 대하여 증명하자. 만약 계수가 0이 아닌 제곱항을 가진다면, 일반성을 잃지 않고 a_{11}\ne0라고 하자. 그렇다면, 이차 형식을 다음과 같이 변형할 수 있다. :\begin{align} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j &=a_{11}x_1^2+2x_1\sum_{j=2}^na_{1j}x_j+\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j\\\ &=a_{11}\left(x_1^2+2a_{11}^{-1}x_1\sum_{j=2}^na_{1j}x_j+a_{11}^{-2}\left(\sum_{j=2}^na_{1j}x_j\right)^2-a_{11}^{-2}\left(\sum_{j=2}^na_{1j}x_j\right)^2\right)+\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j\\\ &=a_{11}\left(x_1+a_{11}^{-1}\sum_{j=2}^na_{1j}x_j\right)^2-a_{11}^{-1}\left(\sum_{j=2}^na_{1j}x_j\right)^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j \end{align} 오른쪽의 :-a_{11}^{-1}\left(\sum_{j=2}^na_{1j}x_j\right)^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j 는 (n-1)변수 이차 형식이므로, 제곱합이 되는 가역 변수 변환이 다음과 같이 존재한다. :x_2=\qquad b_{22}y_2+\cdots+b_{2n}y_n :\vdots :x_n=\qquad b_{n2}y_2+\cdots+b_{nn}y_n 또한, 변수 y_1를 다음과 같이 정의하자. :\begin{align}x_1 &=y_1-a_{11}^{-1}a_{12}x_2+\cdots+a_{11}^{-1}a_{1n}x_n\\\ &=y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n \end{align} 그렇다면, 이러한 변수 변환은 가역 변환이며, 원래의 이차 형식을 제곱합으로 만든다. 만약 모든 제곱항의 계수가 0이라면, 이차 형식이 0이 아니라고 전제하였으므로, 일반성을 잃지 않고 a_{12}\ne0이라고 하자. 그렇다면, 가역 변수 변환 :x_1=y_1+y_2 :x_2=y_1-y_2 :x_3=y_3 :\vdots :x_n=y_n 을 통해 원래의 이차 형식은 :2a_{12}(y_1^2-y_2^2)+\sum_{1\le i 로 바뀌며, 이는 계수가 0이 아닌 제곱항이 있는 이차 형식이므로 다시 가역 변수 변환을 통해 제곱합으로 만들 수 있다. 증명 끝 표수가 2가 아닌 체 위의 대칭 행렬에 일련의 서로 전치 기본 행 연산의 쌍들을 가하여 그와 합동인 대각 행렬로 만들 수 있다. 실수 대칭 행렬의 경우 고윳값을 대각 원소로 하는 대각 행렬을 취하면 된다.
### 복소수 대칭 행렬
복소수 대칭 행렬 A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb C)는 1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 동치이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(n;\mathbb C)가 존재한다. :P^\top AP=\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix}1\\\&\ddots\\\&&1\end{matrix}\right\\}{\scriptstyle r}\\\ &\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! \begin{matrix}0\\\&\ddots\\\&&0\end{matrix} \end{pmatrix}\qquad(0\le r\le n) 1의 개수 r는 합동의 완전한 불변량이다.
### 실수 대칭 행렬
실수 대칭 행렬 A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)는 1, -1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(n;\mathbb R)가 존재한다. :P^\top AP=\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix}1\\\&\ddots\\\&&1\end{matrix}\right\\}{\scriptstyle p}\\\ &\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! \left.\begin{matrix}-1\\\&\ddots\\\&&-1\end{matrix}\right\\}{\scriptstyle q}\\\ &&\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! \begin{matrix}0\\\&\ddots\\\&&0\end{matrix} \end{pmatrix}\qquad(0\le p,q\le p+q\le n) 1의 개수 p와 -1의 개수 q는 합동의 완전한 불변량이다. 이를 실베스터 관성 법칙이라고 한다. 부제=쌍선형 형식의 언어를 사용하여 서술 대칭 쌍선형 형식 B\colon V\times V\to K가 다음을 만족시키는 기저 \\{u_1,\dots,u_n\\}를 갖는다고 하자. :B(u_1,u_1)=\cdots=B(u_p,u_p)=1 :B(u_{p+1},u_{p+1})=\cdots=B(u_r,u_r)=-1 :B(u_i,u_j)=B(u_{r+1},u_{r+1})=\cdots=B(u_n,u_n)=0\qquad(1\le i 다음을 보이는 것으로 족하다. :p=\max\\{\dim W\colon W\subset V,\;B(u,u)>0\forall0\ne u\in W\\} 우선, B는 \operatorname{Span}\\{u_1,\dots,u_p\\}에 제한시켰을 때 양의 정부호 형식이며, \operatorname{Span}\\{u_{p+1},\dots,u_r\\}에 제한시켰을 때 음의 정부호 형식임은 자명하다. 이제, B|_{W\times W}가 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간 W\subset V를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. :\operatorname{Span}\\{u_{p+1},\dots,u_r\\}\oplus\operatorname{rad}B\oplus W 이는 만약 u\in\operatorname{Span}\\{u_{p+1},\dots,u_r\\}이며 v\in\operatorname{rad}B이며 w\in W이며 u+v+w=0이라면, :B(u,u)\le0\le B(w,w) :0=B(u-w,u+v+w)=B(u,u)-B(w,w) 이므로, B(u,u)=B(w,w)=0이며,u=w=0=v이기 때문이다. 따라서 p\ge\dim W이다. 또한 B|_{\operatorname{Span}\\{u_1,\dots,u_p\\}\times\operatorname{Span}\\{u_1,\dots,u_p\\ 역시 양의 정부호 형식이므로, p는 B의 제한이 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간의 최대 차원이며, p는 유일하다. 증명 끝 부제=이차 형식의 언어를 사용하여 서술 귀류법을 사용하여, 두 이차 형식 :Q(x_1,\dots,x_n)=x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_r^2 :R(y_1,\dots,y_n)=y_1^2+\cdots+y_{p'}^2-y_{p'+1}^2-\cdots-y_r^2 이 서로 동치이며, p>p'라고 가정하자. 또한, 이 둘 사이의 가역 선형 변환이 다음과 같다고 하자. :y_1=P_{11}x_1+\cdots+P_{n1}x_n :\vdots :y_n=P_{1n}x_1+\cdots+P_{nn}x_n 그렇다면, p>p'이므로, 연립 일차 방정식 :0=P_{11}x_1+\cdots+P_{n1}x_p :\vdots :0=P_{1q}x_1+\cdots+P_{nq}x_p 은 0이 아닌 해 (x_1^{(0)},\dots,x_p^{(0)})를 가진다. 이 경우, :0 이며, 이는 모순이다. 증명 끝
## 반대칭 행렬
표수가 2가 아닌 체 K 위의 반대칭 행렬 A\in\operatorname{Mat}(n;K)는 A\in\operatorname{Mat}(n;K)는 몇 개의 2\times 2 행렬 ((0,1),(-1,0))과 하나의 영행렬의 직합과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(n;K)가 존재한다.LinearAlgebraHoffmanAndKunze377 :P^\top AP=\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix}\begin{matrix}&1\\\\-1\end{matrix}\\\&\ddots\\\&&\ddots\\\&&&\begin{matrix}&1\\\\-1\end{matrix}\end{matrix}\right\\}{\scriptstyle 2k}\\\ &\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! \begin{matrix}0\\\&\ddots\\\&&0\end{matrix} \end{pmatrix}\qquad(0\le 2k\le n)