부피 형식

수학에서 **부피 형식**(Volume form) 또는 **최고차 형식**(top-dimensional form)은 미분 다양체 차원과 동일한 차수를 가진 미분 형식이다. 따라서 n차원 다양체 M에서 부피 형식은 제 n미분 형식이다. 선다발 \textstyle{\bigwedge}^n(T^*M)의 단면 공간 \Omega^n(M)의 원소이다. 다양체는 방향을 잡을 수 있는 경우에만 사라지지 않는 부피 형식을 허용한다. 유향 다양체는 무한히 많은 부피 형식을 가진다. 왜냐하면 부피 형식을 여기서에도 모든 곳에서 영이 되지 않는 실수 값 함수로 곱하면 또 다른 부피 형식이 생성되기 때문이다. 방향이 지정되지 않는 다양체에서는 대신 밀도라는 약한 개념을 정의할 수 있다. 부피 형식은 미분 다양체에서 함수의 적분을 정의 할 수 있게 한다. 다른 말로, 부피 형식은 함수가 적절한 르베그 적분에 의해 적분될 수 있는 것과 관련하여 측도를 제공한다. 부피 형식의 절대값은 부피 요소 로 꼬인 부피 형식 또는 준 *부피 형식*이라고도 다양하게 알려져 있다. 또한 측도를 정의하지만 방향 지정 가능 여부에 관계없이 미분 가능 다양체에 존재한다. 리만 기하학에서 **부피 형식**은 유향 준 리만 다양체에 대하여 정의되는 특별한 최고 차수 실수 미분 형식이다. 이를 적분하여, 다양체의 구역의 부피를 정의할 수 있다. 복소 다양체인 켈러 다양체는 자연적으로 방향이 지정되어 있으므로 부피 형식을 가진다. 보다 일반적으로, 심플렉틱 다양체에서 심플렉틱 형식의 n외승은 부피 형식이다. 많은 다양체 종류들에는 정규 부피 형식이 있다: 선호하는 부피 형식을 선택할 수 있는 추가 구조가 있다. 유향 준-리만 다양체는 연관된 표준 부피 형식을 가진다.
# 방향
다음은 미분 다양체의 방향에 관한 것이다(위상 다양체에서 정의된 보다 일반적인 개념임). 다양체는 모든 추이 함수에 양의 야코비 행렬식을 갖는 아틀라스가 있는 경우 유향이다. 이러한 극대 아틀라스의 선택은 M에서 방향을 결정한다. M 위의 부피 형식 \omega은 M의 아틀라스처럼 자연스러운 방식으로 \omega를 유클리드 부피 형식 dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n의 양의 배수로 보내는 방향을 제시한다. 부피 형식은 또한 M에서 선호하는 틀의 지정을 허용한다. 접벡터의 기저 (X_1, \ldots, X_n)가 만약1이면 오른손잡이라고 한다. 양의 행렬식을 가진 n차원 일반 선형 사상군 \mathrm{GL}^+(n)이 모든 오른손잡이 틀의 모임에 작용한다. 이는 M의 선형 틀 다발의 \mathrm{GL}^+(n)-부분 주다발을 형성하고, 따라서 부피 형식와 관련된 방향은 M의 틀 다발을 구조 군 \mathrm{GL}^+(n)이 있는 부분 다발로 표준 축소를 제공한다. 즉, 부피 형식이 M의 \mathrm{GL}^+(n)-구조에 발생한다. 틀을 고려하면 더 많은 축소가 가능하다.\omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) > 0.따라서 부피 형식은 \mathrm{SL}(n) -구조를 발생시킨다. 반대로 주어진 \mathrm{SL}(n)-구조에 대해, 특수 선형 틀이 (1)을 만족하도록 하고, 필요한 n-형식 \omega이 동차성을 가져야함을 통해 풀면 부피 형식을 복원 할 수 있다. 다양체는 여기서에도 모든 곳에서 영이 아닌 부피 형식이 있는 경우에만 방향을 지정할 수 있다. 물론, \mathrm{GL}^+ = \mathrm{SL} \times \R^+이므로 \mathrm{SL}(n) \to \mathrm{GL}^+(n)는 변형 수축이다. 여기서 양의 실수는 스칼라 행렬로 포함된다. 따라서, 모든 \mathrm{GL}^+(n) 구조는 \mathrm{SL}(n) 구조로 축약가능하며, \mathrm{GL}^+(n) 구조는 M에 주어진 방향과 일치한다. 보다 구체적으로, 행렬식 다발 \Omega^n(M)의 자명함 은 다양체의 가향성과 동일하며 선다발은 모든 곳에서 영이 아닌 단면이 있는 경우에만 자명하다. 따라서 부피 형식의 존재는 가향성과 동일하다.
# 측도와의 관계
유향 다양체에 주어진 부피 형식 \omega에 대해, 밀도 |\omega|는 방향을 잊어버리고 얻은 무방향 다양체의 준 부피 형식이다. 밀도는 비방향성 다양체에서 더 일반적으로 정의될 수도 있다. 모든 준 부피 형식 \omega(따라서 모든 부피 형식)은 보렐 집합에 대한 측도를 다음과 같이 정의한다.\mu_\omega(U) = \int_U\omega .차이점은 측도값이 (Borel) *부분 집합*에 대해 적분될 수 있는 반면 부피 양식은 방향이 있는 상자에 대해서만 적분 될 수 있다는 것이다. 일변수 미적분에서 \int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx임은 dx를 단순한 측도가 아닌 부피 형식으로 본다는 뜻이다, 그리고 \int_b^a는 "상자 [a,b] 전체에서 반대 방향으로 적분"을 나타낸다." 또한 일반적인 측도는 연속적이거나 매끄러울 필요가 없다. 부피 형식으로 정의할 필요가 없으며 더 구체적으로, 주어진 부피 형식에 대한 라돈-니코딤 도함수가 절대 연속일 필요는 없다.
# 발산
M에 주어진 부피 형식 \omega에 대해 벡터장 X의 발산을 \operatorname{div} X로 표시되는 유일한 스칼라 값 함수로 정의할 수 있다.(\operatorname{div} X)\omega = L_X\omega = d(X \mathbin{\\!\rfloor} \omega) ,여기서 L_X는 X를 따른 리 미분을 나타낸다. 그리고 X \mathbin{\\!\rfloor} \omega는 내부곱 또는 X을 따른 \omega의 왼쪽 수축을 나타낸다. 만약에 X가 콤팩트 지지 벡터장이며 M는 경계가 있는 다양체이면 스토크스의 정리는 다음을 의미한다.\int_M (\operatorname{div} X)\omega = \int_{\partial M} X \mathbin{\\!\rfloor} \omega,이는 발산 정리의 일반화이다. 솔레노이드 벡터장은 \operatorname{div} X = 0 이 성립하는 벡터장이다. 리 미분의 정의에 따르면 솔레노이드 벡터장의 흐름에서 부피 형식이 보존된다. 따라서 솔레노이드 벡터장은 정확히 부피 보존 흐름을 갖는 것이다. 이 사실은 예를 들어 속도장의 발산이 유체의 압축성을 측도하는 유체역학에서 잘 알려져 있으며, 이는 다시 유체의 흐름을 따라 부피가 보존되는 정도를 나타낸다.
# 주요 예제들

## 리 군
모든 리 군에 대해 자연스러운 부피 형식은 병진 변환에 의해 정의될 수 있다. 즉, 만약 \omega_e가 {\textstyle\bigwedge}^n T_e^*G,의 원소이면, 왼쪽 불변 형식은 \omega_g = L_{g^{-1^*\omega_e,과 같이 정의될 수 있다. 여기서 L_g는 왼쪽 병진 변환이다. 결과적으로 모든 리 군에 방향을 지정할 수 있다. 이 부피 형식은 스칼라곱을 기준으로 유일하며 해당 측도를 하르 측도라고 한다.
## 심플렉틱 다양체
모든 심플렉틱 다양체(또는 버금 심플렉틱 다양체)에는 자연스러운 부피 형식이 있다. 만약에 M이 심플렉틱 형식 \omega이 주어진 2 n 차원 의 차원 다양체이면, \omega^n는 심플렉틱 형식의 비퇴화성의 결과로 모든곳에서 0이 아니다. 결과적으로 모든 심플렉틱 다양체는 방향을 지정할 수 있다(실제로, 방향이 지정되어 있다). 다양체가 심플렉틱이면서 리만인 경우 다양체가 켈러이면 두 부피 형식이 일치한다.
## 리만 부피 형식
임의의 유향 준-리만(리만을 포함) 다양체는 자연스러운 부피 형식을 가지고 있다. 국소 좌표계에서, 이는\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n로 표현될 수 있다. 여기서 dx^i는 다양체의 여접다발에 대해 양의 방향 기저를 형성하는 제 1미분형식이다. 여기서, |g|는 다양체에서 계량 텐서의 행렬 표현의 행렬식의 절대값이다. 부피 형식은 다음과 같이 다양하게 표시된다.\omega = \mathrm{vol}_n = \varepsilon = {\star}(1).여기서, {\star}는 호지 별이므로 마지막 형식 {\star} (1)은 부피 형식이 레비-치비타 *텐서* \varepsilon와 동일한 다양체의 상수 사상의 호지 쌍대임을 강조한다. 그리스 문자 \omega는 부피 형식을 나타내는 데 자주 사용되지만 이 표기법은 완전히 보편적이지는 않다. 기호 \omega는 종종 미분 기하학에서 많은 다른 의미(예: 심플렉틱 형식)를 뜻한다.
# 부피 형식의 불변량
부피 형식은 유일하지 않다. 그것들은 다음과 같이 다양체에서 모든 곳에서 영이 아닌 함수 위에 꼬임을 형성한다: M에 부피 형식 \omega과 모든 곳에서 영이 아닌 함수 f가 주어지면, f\omega는 M의 부피 형식이다. 반대로 두 가지 부피 형식 \omega, \omega'이 주어지면 이들이 비는 모든 곳에서 영이 아닌 함수이다(동일한 방향을 정의하면 양수, 반대 방향을 정의하면 음수). 좌표에서 둘 다 단순히 모든 곳에서 영이 아닌 함수 곱하기 르베그 측도이며 비는 좌표 선택과 무관한 함수의 비이다. 내재적으로 이것은 \omega에 대한 \omega'의 라돈-니코딤 도함수이다. 유향 다양체에서 두 부피 형식의 비는 라돈-니코딤 정리의 기하학적 형태로 생각할 수 있다.
## 국소 구조의 부재
다양체의 부피 형식은 작은 열린 집합에서 주어진 부피 형식와 유클리드 공간의 부피 형식을 구별하는 것이 불가능하다는 점에서 국소 구조가 없다 1972. 즉, 모든 점 p\in M에 대해 p의 열린 이웃 U과 U에서 부피 형식이 \varphi를 따라 dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n를 당긴 것이 되는 U에서 \R^n의 열린 집합으로 가는 미분동형사상 \varphi가 존재한다. 결과적으로, 만약 M, N이 각각 부피 형식 \omega_M, \omega_N 을 갖는 두 가지 다양체이면, 모든 점 m \in M, n \in N 에 대해 m의 열린 이웃 U과 n의 열린 이웃 V, 그리고 V에 제한된 N 위의 부피 형식이 U에 제한된 M의 부피 형식으로 당겨지는(즉, f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U) 함수f : U \to V가 있다. 1차원에서 다음과 같이 증명할 수 있다. \R에 주어진 부피 형식 \omega에 대해f(x) := \int_0^x \omega.로 정의 하자. 그러면 표준 르베그 측도 dx는 \omega로 당겨진다. 즉, f : \omega = f^*dx. 구체적으로, \omega = f'\,dx. 더 높은 차원에서, 어떤 점 m \in M이 주어졌을 때, 그것은 국소적으로 \R\times\R^{n-1} 과 위상동형인 이웃을 가지고 있고, 동일한 절차를 적용할 수 있다.
## 대역 구조: 부피
연결 다양체 M의 부피 형식은 단일 전역 불변량, 즉 (전체) 부피 \mu(M)를 가진다. 이는 부피 형식 보존 사상에 대해 불변이다. 이것은 \R^n에서 르베그 측도과 같이 무한대 일 수 있다. 연결이 아닌 다양체에서 각 연결 성분의 부피는 불변량이다. 만약 f : M \to N가 \omega_N를 \omega_M로 당기는 위상 동형이면,\mu(N) = \int_N \omega_N = \int_{f(M)} \omega_N = \int_M f^*\omega_N = \int_M \omega_M = \mu(M)\,이고 두 다양체는 동일한 부피를 가진다. 피복 사상으로 부피 형식을 다시 가져올 수도 있다. 이 경우 부피에 올의 기수를 곱한다(공식적으로는 올를 따라 적분하여). 무한 덮개의 경우(예: \R \to S^1), 유한 부피 다양체의 부피 형식은 무한 부피 다양체의 부피 형식으로 당겨진다.
# 준 리만 다양체에서 정의
n=p+q차원 유향 준 리만 다양체 (M,g)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 부피 형식은 다음과 같은 n차 실수 미분 형식 :\omega \in \Omega^n(M;\mathbb R) 이다. :\omega = \sqrt{(-)^q\det g}\,\mathrm dx^1\wedge\dotsb\wedge\mathrm dx^n 여기서 * (x_1,\dotsc,x_n)은 M의 (홀로노믹) 국소 좌표계이며, 그 방향은 양의 방향이다. * \det g는 다음과 같은, 리만 계량의 성분으로 구성된 n\times n 대칭 행렬의 행렬식이다. *:\begin{pmatrix} g_{11}&\dotsm & g_{1n} \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ g_{n1} & \dotsm & g_{nn} \end{pmatrix} \det g는 만약 q가 짝수라면 양수이며, q가 홀수라면 음수이다. 즉, :(-)^q \det g = \left|\det g\right| 이다.
# 성질
부피 형식은 준 리만 다양체의 방향에 의존한다. 만약 방향을 뒤집는다면, 부피 형식은 :\omega\mapsto -\omega 로 변환한다. 비가향 다양체의 경우, 부피 형식을 정의할 수 없다(다만, 부피의 개념 자체는 밀도의 개념을 사용하여 정의될 수 있다).