4차원 회전군

리 군론에서 **4차원 회전군**(四次元回轉群, four-dimensional rotation group)은 4차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다.
# 정의
4차원 특수 직교군 \operatorname{SO}(4;\mathbb R) 및 이를 2겹 몫군으로 갖는 스핀 군 \operatorname{Spin}(4)이 있다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준 :\operatorname{SO}(1,3) (4차원 로런츠 군) :\operatorname{SO}(2,2) 및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다. 이 군에 대응하는 딘킨 도표는 :\bullet\qquad\bullet 이다. 딘킨 도표가 연결 그래프가 아닌 것은 이 군이 반단순 리 군이지만 단순 리 군이 아니기 때문이다. 이들은 다음과 같이 대응된다. :{| class=wikitable ! 킬링 형식의 부호수 !! 실수 기반 기호 !! 복소수 · 사원수 기반 기호 !! 군의 중심 !! 기본군 !! 비고 |- | rowspan=3 | (0,4) | Spin(4) || \operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)=\operatorname{USp}(2)\times\operatorname{USp}(2)=\operatorname{SL}(1;\mathbb H)\times\operatorname{SL}(1;\mathbb H) || \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2) || 0 || 단일 연결 콤팩트 형태 |- | SO(4) || (\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2))/\\{(\pm1,\pm1)\\} || \operatorname{Cyc}(2) || \operatorname{Cyc}(2) || |- | PSO(4) || \operatorname{PSU}(2)\times\operatorname{PSU}(2) || 0 || 0 || 무중심 콤팩트 형태 |- | rowspan=3 | (4,2) | Spin(2,2) || \operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R) || \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2) || 0 || 단일 연결 분할 형태 |- | SO⁺(2,2) || (\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R))/\\{(+1,+1),(-1,-1)\\} || \operatorname{Cyc}(2) || \operatorname{Cyc}(2) || |- | PSO⁺(2,2) || \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{PSL}(2;\mathbb R) || 0 || \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2) 무중심 분할 형태 || |- | rowspan=2 | (3,3) | Spin(1,3) || \operatorname{SL}(2;\mathbb C) || \operatorname{Cyc}(2) || 0 || 단일 연결 로런츠 군 |- | SO⁺(1,3) || \operatorname{PSL}(2;\mathbb C) || 0 || \operatorname{Cyc}(2) || 무중심 로런츠 군 |- | (2,4) | SO*(4) || — || \mathbb Z/2 || \mathbb Z || |}
# 성질

## 콤팩트 형태
Spin(4)의 최소 스피너는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 \operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현 :\mathbf2\otimes\mathbf1 :\mathbf1\otimes\mathbf2 에 해당한다. 마찬가지로, \operatorname{SO}(4)의 4차원 실수 정의(定義) 표현은 \operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)의 쌍벡터 표현 :\mathbf2\otimes\mathbf2 에 해당한다. 부호수 (4,0)에서, 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 대합을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서(2차 미분 형식)에 대하여 호지 쌍대에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은 \operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다. {| class=wikitable ! 차원 !! SO(4) 묘사 !! SU(2)² 묘사 (스핀) |- | 2 (복소수) || 오른쪽 스피너 || (0,½) |- | 2 (복소수) || 왼쪽 스피너 || (½,0) |- | 4 (실수) || 벡터 || (½,½) |- | 3 (실수) || 자기 쌍대 반대칭 2-텐서 || (0,1) |- | 3 (실수) || 자기 반쌍대 반대칭 2-텐서 || (1,0) |- | 6 (복소수) || 오른쪽 라리타-슈윙거 장 || (½,1) |- | 6 (복소수) || 왼쪽 라리타-슈윙거 장 || (1,½) |- | 9 (실수) || 무대각합 대칭 2-텐서 || (1,1) |} 4차원 유클리드 공간을 사원수의 공간 :\mathbb H 으로 생각하자. 그 위에는 양의 정부호 쌍선형 형식 :\langle x,y\rangle = \frac12\operatorname{tr}(xy^*) 가 주어져 있다. 여기서 우변의 y^*는 사원수의 켤레이다. 사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다. :v \mapsto avb^*\qquad(a,b\in \mathbb H) 즉, 이는 \mathbb H 위의, 가역 사원수의 리 군 \operatorname{Unit}(\mathbb H) = \mathbb H\setminus\\{0\\}의 2차 직접곱 :\operatorname{Unit}(\mathbb H)\times\operatorname{Unit}(\mathbb H) 의 표현을 정의한다. 이는 일반적으로 쌍선형 형식 \langle-,-\rangle을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 사원수로 구성된 부분군 :\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\times\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{SL}(1;\mathbb H)\times\operatorname{SL}(1;\mathbb H)\le \operatorname{Unit}(\mathbb H)\times\operatorname{Unit}(\mathbb H) 은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 군 준동형 :\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\times\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\to \operatorname{SO}(4;\mathbb R) 를 정의하며, 그 핵은 다음과 같은 2차 순환군이다. :\\{(+1,+1),(-1,-1)\\} \subsetneq\mathbb H\times\mathbb H
## 분할 형태
Spin(2,2)은 (1,1)차원 민코프스키 공간의 (대역적) 등각군이다. (국소적 등각군은 비트 대수로 주어진다.) \operatorname{Spin}(2,2)의 최소 스피너는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현 :\mathbf2\otimes\mathbf1 :\mathbf1\otimes\mathbf2 에 해당한다. 부호수 (2,2)에서도, 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 대합을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)^2의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다. {| class=wikitable ! 차원 !! SO(2,2) 묘사 !! SL(2)² 묘사 (스핀) |- | 2 (실수) || 오른쪽 마요라나-바일 스피너 || (0,½) |- | 2 (실수) || 왼쪽 마요라나-바일 스피너 || (½,0) |- | 4 (실수) || 벡터 || (½,½) |- | 3 (실수) || 자기 쌍대 반대칭 2-텐서 || (0,1) |- | 3 (실수) || 자기 반쌍대 반대칭 2-텐서 || (1,0) |- | 6 (실수) || 오른쪽 라리타-슈윙거 장 || (½,1) |- | 6 (실수) || 왼쪽 라리타-슈윙거 장 || (1,½) |- | 9 (실수) || 무대각합 대칭 2-텐서 || (1,1) |} 이 군의 중심은 크기 4의 아벨 군 :\operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)) = \operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb R))\times\operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb R)) \cong \operatorname{Cyc}(2)\times\operatorname{Cyc}(2) 이다. 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)^2에서 :\\{(\sigma 1_{2\times2},\sigma'1_{2\times 2})\colon \sigma,\sigma'\in \\{\pm1\\}\\} 에 해당하며, \operatorname{SO}(2,2)에서 이 중심 부분군은 몫군 :\operatorname Z(\operatorname{SO}(2,2))=\\{\pm1_{4\times4}\\} 에 해당한다. 중심에 대한 몫군은 :\operatorname{PSO}(2,2) \cong \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{PSL}(2;\mathbb R) 이다. 구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간 \operatorname{Mat}(2,2;\mathbb R) 위에, 행렬식 :\det\begin{pmatrix} a&b;\\\c&d; \end{pmatrix}=ad-bc 은 실수 이차 형식을 이루며, 이에 대응하는 실수 쌍선형 형식 :\left\langle \begin{pmatrix} a&b;\\\c&d; \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a'&b;'\\\c'&d;' \end{pmatrix} \right\rangle = \frac12 \left(ad'-bc'+da'-cb'\right) 을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 정규 직교 기저는 다음과 같다. :{| class=wikitable ! 기저 벡터 | 1_{2\times2}=\begin{pmatrix} 1&0\\\0&1 \end{pmatrix} | \sigma_1=\begin{pmatrix} 0&1\\\1&0 \end{pmatrix} | \mathrm i\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&1\\\\-1&0 \end{pmatrix} | \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\\0&-1 \end{pmatrix} |- ! 노름 | +1 || −1 || +1 || −1 |} \operatorname{Mat}(2,2;\mathbb R) 위에는 \operatorname{GL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{GL}(2;\mathbb R)가 다음과 같이 작용한다. :(g,h)\cdot v = gvh^{-1} 이는 일반적으로 쌍선형 형식 \langle,\rangle을 보존하지 않으나, 그 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R) 부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 군 준동형 :\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\to\operatorname{SO}(2,2) 을 정의한다. 이는 전사 함수이며, 그 핵은 2차 순환군 :\left\\{ \left(+1_{2\times2},+1_{2\times2}\right), \left(-1_{2\times2},-1_{2\times2}\right) \right\\} 이다.
## 로런츠 형태
로런츠 군 \operatorname{Spin}(1,3)은 2차원 유클리드 공간의 (대역적) 등각군이다. 즉, 이는 사실 리만 구의 자기 동형군(뫼비우스 변환들의 군) :\operatorname{Spin}(1,3) \cong \operatorname{SL}(2;\mathbb C) \cong \operatorname{Aut}(\mathbb{CP}^1) 이다. \operatorname{Spin}(1,3)의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb C)의 정의 표현 \mathbb2 및 그 복소수 켤레 \bar{\mathbf2}에 대응한다. \operatorname{SO}(1,3)의 4차원 실수 정의 표현 \mathbf4는 \operatorname{SL}(2;\mathbb C)의 표현 :\mathbf2\otimes\bar{\mathbf2} 에 대응한다. 이 부호수에서, 호지 쌍대는 2차 미분 형식의 대합이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식 F에 대하여 :**F = -F 이다. 이에 따라 2차 미분 형식의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는 \operatorname{Spin}(1,3)이 두 군의 직접곱으로 분해되지 못하여, 그 딸림표현이 기약 표현이기 때문이다. 구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 실수 벡터 공간을 생각하자. : V=\left\\{ \begin{pmatrix} z&\mathrm ix\\\ \mathrm iy&\bar z \end{pmatrix} \colon z\in\mathbb C,\;x,y\in\mathbb R \right\\} V 위에는 다음과 같은 실수 쌍선형 형식이 존재한다. :\langle u,v\rangle = \frac12\operatorname{Re}(\operatorname{tr}(u\bar v)) 이 쌍선형 형식의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 정규 직교 기저는 다음과 같다. :{| class=wikitable ! 기저 벡터 | 1_{2\times2}=\begin{pmatrix} 1&0\\\0&1 \end{pmatrix} | \mathrm i\sigma_3 = \begin{pmatrix} \mathrm i&0\\\0&-\mathrm i \end{pmatrix} | \mathrm i\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&\mathrm i\\\\\mathrm i&0 \end{pmatrix} | \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-\mathrm i\\\\\mathrm i&0 \end{pmatrix} |- ! 노름 | +1 || +1 || +1 || −1 |} 즉, V를 민코프스키 공간 \mathbb R^{1,3}으로 여길 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 꼴의 \operatorname{SL}(2;\mathbb C)의 작용이 존재한다. :v \mapsto Gv\bar G^{-1}\qquad(G\in \operatorname{SL}(2;\mathbb C),\;v\in V) 이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형 :\operatorname{SL}(2;\mathbb C)\to\operatorname{SO}(1,3) 을 정의한다. 그 핵은 물론 :\left\\{ \pm1_{2\times2} \right\\} = \operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb C)) 이다.
## SO*(4)
SO(4)는 SO*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자. :\operatorname{SO}(4;\mathbb C)\hookrightarrow\operatorname{SL}(4;\mathbb C)\,\overset\phi\twoheadrightarrow\,\operatorname{SO}(6;\mathbb C) 여기서 첫째 화살표는 자명한 부분군 관계이며, 둘째 화살표 \phi는 2겹 몫군 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다. :\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\hookrightarrow\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(6;\mathbb R) :\operatorname{SO}(2,2)\hookrightarrow\operatorname{SU}(2,2)\cong\operatorname{Spin}(4,2)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(4,2) :\operatorname{SO}(3,1)\hookrightarrow\operatorname{SU}(3,1)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}^*(6) :\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\hookrightarrow\operatorname{SL}(4;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}(3,3)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(3,3) :\operatorname{SO}^*(4)\hookrightarrow\operatorname{SU}^*(4)\cong\operatorname{Spin}(5,1)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(5,1) 즉, SO*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다. :\operatorname{SO}^*(4) = \operatorname{SU}^*(4)\cap\operatorname{SL}(4;\mathbb R) = \phi^{-1}(\operatorname{SO}(5,1)) \cap \operatorname{SL}(4;\mathbb R) 다시 말해, 이는 (5,1)차원 민코프스키 공간의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 실수 선형 변환 가운데, (5,1)차원 로런츠 변환에 속하는 것들이다.