스펙트럼 (위상수학)

호모토피 이론에서 **스펙트럼**(spectrum)은 일반화 코호몰로지 이론을 나타내는 위상수학적 구조이다. 서로 특정 연속 함수들로 연결된 점을 가진 공간들의 열로서 표현될 수 있다.
# 정의
**스펙트럼 범주**(category of spectra)는 다음 조건들을 만족시키는 모형 범주 \mathcal S이다. * 함자 \Sigma^\infty\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\mathcal S를 자연스럽게 갖추며, 이는 호모토피 범주의 함자 \operatorname{hTop}_\bullet\to\operatorname{ho}(\mathcal S)를 유도한다. 또한 이는 오른쪽 수반 함자 \Omega^\infty\colon\operatorname{ho}(\mathcal S)\to\operatorname{hTop}_\bullet를 가진다. * 현수 함자 \Sigma\colon\mathcal S\to\mathcal S가 존재하며, 이는 자기 동치이다. 그 역을 \Omega\colon\mathcal S\to\mathcal S라고 하자. * 영 대상 · 유한 쌍대곱 · 유한 곱을 가지며, 가법 범주를 이룬다. (즉, 유한 쌍대곱과 곱이 일치한다.) 쌍대곱을 \vee (쐐기합)이라고 쓰자. * 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 또한, 이 닫힌 모노이드 범주 구조는 모형 범주 구조와 호환된다. ** 텐서곱 연산을 \wedge (분쇄곱)라고 쓴다. ** 지수 대상을 [-,-]로 쓴다. ** 모노이드 범주의 항등원은 \mathbb S (초구 스펙트럼)라고 쓴다. ** [\mathbb S,X]=\pi(X) (안정 호모토피 군)으로 쓴다. * \Sigma에 대한 삼각 분할 범주를 이룬다. 이 조건들을 모두 만족시키는 모형 범주는 모두 서로 동형인 호모토피 범주를 유도한다. 따라서, 정확히 어떤 스펙트럼 범주를 사용하는지는 이론적으로 크게 중요하지 않다.
# 구성
스펙트럼 범주는 여러 방법으로 구성할 수 있다. 흔히 사용되는 구성들은 다음이 있다. * **S-가군**(S-module)의 범주.언어=en 이는 오퍼라드 이론을 사용하며 대수적이다. * **직교 스펙트럼**(orthogonal spectrum)의 범주.언어=en 더 위상수학적이며, 직교군의 연속적 작용을 갖춘 위상 공간들로 구성된다. 위상 공간 대신 단체 집합을 사용하기 힘들다. * **대칭 스펙트럼**(symmetric spectrum)의 범주.언어=en 대칭군의 작용을 갖춘 위상 공간 또는 단체 집합들로 구성된다. 이들 사이에는 다음과 같은 퀼런 동치가 존재한다.언어=en언어=en (퀼런 동치의 존재는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아님에 주의하자.) :준스펙트럼 ⇆ 대칭 스펙트럼 ⇆ 직교 스펙트럼 ⇆ S-가군 여기서 \mathcal C\leftrightarrows\mathcal D는 \mathcal C\to\mathcal D 방향의 함자 (왼쪽 퀼런 함자)가 쌍대올뭉치를 보존하고 \mathcal D\to\mathcal C 방향의 함자(오른쪽 퀼런 함자)가 올뭉치를 보존한다는 뜻이다.
## 준스펙트럼
**준스펙트럼**(準spectrum, prespectrum)은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 점을 가진 공간의 열 (X_i,x_i)_{i\in\mathbb N}) * 점을 보존하는 연속 함수 (s_i\colon \Sigma X_i\to X_{i+1})_{n\in\mathbb N}. 여기서 \Sigma는 축소 현수이다. 두 준스펙트럼이 유한 개의 성분을 제외하고 서로 동일하다면, 서로 **동치**(equivalent)라고 한다. 점을 가진 공간 X에 대하여, 함자 \Sigma^\infty를 다음과 같이 정의하자. :\Sigma^\infty X=(X,\Sigma X,\Sigma\Sigma X,\dots) 여기서 함수 s_i는 모두 항등 함수이다. 두 준스펙트럼 X_\bullet, Y_\bullet 사이의 **사상** f\colon X_\bullet\to Y_\bullet은 다음 그림을 가환하게 만드는 연속 함수 f_i\colon X_i\to Y_i들의 열이다. : \begin{matrix} \Sigma X_i&\to&X;_{i+1}\\\ {\scriptstyle\Sigma f_i}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f_{i+1}\\\ \Sigma Y_i&\to&Y;_{i+1}\\\ \end{matrix} 준스펙트럼의 분쇄곱과 쐐기합을 성분별로 정의할 수 있다. 준스펙트럼의 분쇄곱은 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, 서로 다르게 괄호를 씌워 계산한 값은 항상 호모토피 동치이다. 준스펙트럼의 호모토피 범주는 닫힌 모노이드 범주를 이루며, 스펙트럼 범주의 호모토피 범주를 이룬다.
## 대칭 스펙트럼
**대칭 스펙트럼**은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 점을 가진 단체 집합들의 열 (X_n)_{n\in\mathbb N} * 대칭군 \operatorname{Sym}(n)의 X_n 위의 작용 * 각 n\in\mathbb N에 대하여, 점을 보존하는 사상 \sigma_n\colon\mathbb S^1\wedge X_n\to X_{n+1}. 이를 **구조 사상**이라고 한다. 이 경우 구조 사상으로부터 얻어지는 사상 \mathbb S^m\wedge X_n\to X_{m+n}은 항상 \operatorname{Sym}(m)\times\operatorname{Sym}(n)-등변 함수이어야 한다 (m>0, n\ge0). 대칭 스펙트럼 X, Y 사이의 **사상**은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 각 n\in\mathbb N에 대하여, 사상 f\colon X_n\to Y_n 이는 다음과 같은 그림들을 가환하게 만들어야 한다. : \begin{matrix} X_n\wedge\mathbb S^1&\xrightarrow{f_n\wedge\mathbb S^1}&Y;_n\wedge\mathbb S^1\\\ \downarrow&&\downarrow\\\ X_{n+1}&\xrightarrow[f_{n+1}]{}&Y;_{n+1} \end{matrix}
## 직교 스펙트럼
직교 스펙트럼 대칭 스펙트럼의 개념과 유사하지만, 대칭ᄀᆍᆫ 대신 직교군을 사용한 개념을 **직교 스펙트럼**이라고 한다. (이 경우, 대칭군의 경우와 달리, 단체 집합 대신 위상 공간을 사용해야 한다.)
# 예

## 초구 스펙트럼
가장 기본적인 예는 **초구 스펙트럼** :\mathbb S=\Sigma^\infty(\mathbb S^0) 이다. (\mathbb S^0은 임의의 밑점을 가진 0차원 초구이다.) 이에 대하여 정의되는 코호몰로지는 안정 호모토피 군이다.
## 특이 코호몰로지
아벨 군 G 계수의 특이 코호몰로지 \operatorname H^\bullet(-;G)는 브라운 표현 정리에 따라서 다음과 같다. :\operatorname H^\bullet(X;G)\cong [X,K(G,n)]_\bullet 여기서 [,]_\bullet은 적절한 점을 가진 공간의 범주에서의 점 보존 호모토피류 집합이며, K(G,n)은 에일렌베르크-매클레인 공간이다. 에일렌베르크-매클레인 공간 사이에는 다음과 같은 호모토피 동치가 존재한다. :\Omega K(G,n)\simeq K(G,n-1) 따라서, 이들은 **에일렌베르크-매클레인 스펙트럼** \mathrm HG를 이룬다. 준스펙트럼의 구조 사상 :\Sigma K(G,n-1) \to K(G,n) 은 임의의 X에 대하여 사상 :\operatorname H^{n-1}(X;G)=[X,\mathbb S^1\wedge K(G,n-1)] \to [X,K(G,n)] = \operatorname H^n(X;G) 을 유도하는데, 이는 축소 현수의 코호몰로지 사상이다.
## 위상 K이론
위상 K이론 위상 K이론 역시 스펙트럼으로 나타내어진다.
## 위상 공간의 현수 스펙트럼
점을 가진 CW 복합체 (X,\bullet_X)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, :X_i = \mathbb S^n \wedge X 를 정의하자 (\wedge는 분쇄곱). 즉, :X_0 = \mathbb S^0 \wedge X = X :X_1 = \mathbb S^1 \wedge X = \Sigma X (축소 현수) :X_{i+1} = \Sigma X_i 이다. 이 경우 축소 현수의 표준적 사상 X_i \to \Sigma X_i = X_{i+1}이 주어져, 이는 준스펙트럼을 이룬다. 이를 X의 **현수 스펙트럼**(suspension spectrum)이라고 한다.