반완전환

환론에서 **반완전환**(半完全環, semiperfect ring)은 모든 유한 생성 가군이 사영 덮개를 갖는 환이다.
# 정의
환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **반완전환**(semiperfect ring)이라고 한다. * 1=e_1+e_2+\cdots+e_k가 되는, 국소 멱등원들의 직교 유한 집합 \\{e_1,e_2,\dots,e_k\\}가 존재한다.언어=en347, Theorem 23.6 * R/\operatorname{rad}(R)는 반단순환이며, R/\operatorname{rad}(R)의 모든 멱등원 [e]\in R/\operatorname{rad}(R)에 대하여 e\in[e]가 되는 R-멱등원 e\in R가 존재한다.346, Definition 23.1 * 모든 R-유한 생성 왼쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다. * 모든 R-유한 생성 오른쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다. (여기서 모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환·오른쪽 아르틴 환이며, \operatorname{rad}R는 제이컵슨 근기를 뜻한다.) 환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **왼쪽 완전환**(-完全環, left perfect ring)이라고 한다. * 모든 R-왼쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다. * 모든 R-평탄 왼쪽 가군은 사영 왼쪽 가군이다. * (배스 정리 P Bass’s theorem P) R-주 오른쪽 아이디얼들 \\{rR\colon r\in R\\}은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (※ 왼쪽이 아니라, 주 오른쪽 아이디얼이다.) * R/\operatorname{rad}R는 반단순환이며, 임의의 열 j_0,j_1,j_2,\dots\in\operatorname{rad}R에 대하여 j_0j_1j_2\cdots j_n=0이 되는 자연수 n\in\mathbb N이 존재한다. * R/\operatorname{rad}R는 반단순환이며, 모든 R-왼쪽 가군은 영가군이 아니라면 극대 부분 가군을 갖는다. 마찬가지로 **오른쪽 완전환**(-完全環, right perfect ring)의 개념을 정의할 수 있다. 반완전환과 달리, 완전환의 개념은 왼쪽·오른쪽이 서로 다르다.
# 성질
반완전환·왼쪽 완전환·오른쪽 완전환의 개념은 (가군만을 통해 정의되므로) 모리타 동치에 대하여 불변이다.
## 함의 관계
임의의 (곱셈 항등원을 갖는) 환에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.335 {| | 오른쪽 아르틴 환 || ⇒ || 오른쪽 뇌터 환 || || 오른쪽 완전환 |- | || ⇘ || || ⇗ || || ⇘ |- | || || 반으뜸환 || || 국소환 || ⇒ || 반완전환 || ⇒ || 반국소환 |- | || ⇗ || || ⇘ || || ⇗ |- | 왼쪽 아르틴 환 || ⇒ || 왼쪽 뇌터 환 || || 왼쪽 완전환 |} 여기서 **반으뜸환**(半-環, semiprimary ring)은 그 제이컵슨 근기 \operatorname{rad}R가 멱영 아이디얼이며, 제이컵슨 근기에 대한 몫환 R/\operatorname{rad}R가 반단순환인 환 R를 뜻한다.
## 사영 가군
R가 반완전환이며, \\{e_1,\dots,e_k\\}가 서로 직교인 국소 멱등원들의 집합이라고 하자. 반완전환 R 위의 모든 유한 생성 사영 왼쪽 가군 _RM은 다음과 같은 꼴의 유한 직합으로 분해된다. :M=(Re_1)^{\oplus n_1}\oplus(Re_2)^{\oplus n_2}\oplus\cdots\oplus (Re_k)^{\oplus n_k} 여기서 각 n_k\in\mathbb N은 자연수이다. R가 추가로 왼쪽 완전환이라고 하자. R 위의 모든 사영 왼쪽 가군 _RM은 다음과 같은 꼴 직합으로 분해된다. :M=(Re_1)^{\oplus\kappa_1}\oplus(Re_2)^{\oplus\kappa_2}\oplus\cdots\oplus (Re_k)^{\oplus\kappa_k} 여기서 각 \kappa_i는 (무한 또는 유한) 기수이다.
## 주 분해 불가능 가군
R가 반완전환이라고 하자. 그렇다면, 원시 멱등원 e\in R에 대하여, Re와 같은 꼴의 왼쪽 가군을 **주 분해 불가능 왼쪽 가군**(principal indecomposable left module)이라고 한다. 이들은 분해 불가능 가군이며 사영 가군이다. 그렇다면, R 위의 단순 왼쪽 가군들의 동형류 집합은 R 위의 주 분해 불가능 왼쪽 가군들의 동형류 집합과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 원시 멱등원 e\in R가 주어졌을 때, 주 분해 불가능 왼쪽 가군 Re에 대응하는 단순 왼쪽 가군은 :\frac{Re}{\operatorname{rad}(R)e} 이다.
## 나카야마 순열
반완전환 R가 유한 개의 원시 멱등원 \\{e_1,\dots,e_n\\}을 갖는다고 하자. 만약 :\operatorname{soc}(Re_{\sigma(i)})\cong\frac{Re_i}{\operatorname{rad}(R)e_i} :\operatorname{soc}(e_iR)\cong{Re_{\sigma(i){e_{\sigma(i)}\operatorname{rad}(R)} 라면, \sigma를 R의 **나카야마 순열**([中山]順列, Nakayama permutation)이라고 한다. 이는 나카야마 다다시가 도입하였다.
# 분류
반완전환 R는 다음과 같은 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.361, Theorem 25.4 :R=e_1R\times e_2R\times\cdots\times e_kR 여기서 각 e_i\in\operatorname Z(R)는 중심에 속하는 원시 멱등원들이다. 각 e_iR는 항등원 e_i\in e_iR를 갖는 반완전환이다. 반완전환 R의 **기초 멱등원**(basic idempotent) e\in R는 다음과 같은 꼴의 멱등원이다. :e=e_1+e_2+\cdots+e_k 여기서 * 각 e_i\in R는 원시 멱등원이며, e_ie_j=e_je_i\qquad\forall i,j이다. * \\{Re_1,Re_2,\dots,Re_k\\}는 각각 서로 동형이 아닌 주 분해 불가능 가군들에 대응한다. 기초 멱등원 e\in R가 주어졌을 때, eRe는 반완전환을 이루며, 이는 R의 모리타 동치류의 표준적인 대표원을 이룬다.364
# 역사
1956년에 사무엘 에일렌베르크는 모든 대상이 사영 덮개를 갖는 아벨 범주를 "완전 범주"(perfect category)라고 명명하였다.언어=en 이후 에일렌베르그의 용어를 차용하여, 하이먼 배스가 1960년에 완전환 및 반완전환의 개념을 도입하였다.언어=en