분수 아이디얼

가환대수학과 대수적 수론에서 **분수 아이디얼**(分數ideal, fractional ideal)은 분모가 허용되는, 아이디얼의 일반화이다. 아이디얼 유군을 정의할 때 사용된다.
# 정의

## 분수 아이디얼
가환환 R가 주어졌다고 하고, 그 전분수환을 \operatorname{Frac}(R)라고 하자. R의 **분수 아이디얼** \mathfrak I\subseteq\operatorname{Frac}R는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다. * \mathfrak I는 R에 대한 가군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. ** I는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 a,b\in\mathfrak I에 대하여, a+b\in\mathfrak I이다. ** 임의의 r\in R 및 a\in\mathfrak I에 대하여, ra\in\mathfrak I이다. * r\mathfrak I\subseteq R인 r\in R가 존재한다. 두 분수 아이디얼 \mathfrak I,\mathfrak J의 **곱**은 다음과 같다. :\mathfrak I\mathfrak J=\left\\{a_1b_1+\cdots+a_nb_n\colon a_1,\dots,a_n\in\mathfrak I,\;b_1,b_2,\dots,b_n\in\mathfrak J,\;n\in\mathbb N\right\\} 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, R는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 (\mathfrak IR=R\mathfrak I=\mathfrak I). 따라서, 정역 R의 분수 아이디얼들의 집합 \operatorname{FracIdeal}(R)은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다. 분수 아이디얼들의 가환 모노이드의 가역원을 **가역 분수 아이디얼**(invertible fractional ideal)이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 아벨 군 \operatorname{FracIdeal}(R)^\times\subsetneq\operatorname{FracIdeal}(R)을 이룬다. 두 분수 아이디얼 \mathfrak I,\mathfrak J\subseteq\operatorname{Frac}R의 **합** :\mathfrak I+\mathfrak J=\\{a+b\colon a\in\mathfrak I,b\in\mathfrak J\\} 역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약 r,s\in R에 대하여 r\mathfrak I,s\mathfrak J\subseteq R라면 rs(\mathfrak I+\mathfrak J)\subseteq R이기 때문이다.) 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 영 아이디얼 \\{0\\}은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 분배 법칙 역시 성립하므로, \operatorname{FracIdeal}(R)는 반환을 이룬다. 유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들 (\mathfrak I_i)_{i\in I}의 교집합 :\bigcap_{i\in I}\mathfrak I 역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 (\operatorname{Frac}R 자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다.
## 주 분수 아이디얼
다음과 같은 곱셈 모노이드 준동형이 존재한다. :(\operatorname{Frac}R,\times)\to(\operatorname{FracIdeal}(R),\times) :a\mapsto Ra=\\{ra\colon r\in R\\} :(Ra)(Rb)=R(ab)\qquad\forall a,b\in R 그러나 일반적으로 Ra+Rb\ne R(a+b)이므로 이는 반환의 준동형을 이루지 못한다. R의 **주 분수 아이디얼**(主分數ideal, principal fractional ideal)의 집합 \operatorname{PrFracIdeal}(R)\subseteq\operatorname{FracIdeal}(R)은 이 모노이드 준동형의 치역이다. 즉, 주 분수 아이디얼은 Ra의 꼴로 나타낼 수 있는 분수 아이디얼이다. 이 모노이드 준동형의 핵은 다음과 같다. :Ra=Rb\iff\exists u\in R^\times\colon a=ub 즉, 다음과 같다. :\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times\cong\frac{\operatorname{Frac}(R)^\times}{R^\times}
## 인자 아이디얼
\operatorname{Frac}R의 R-부분 가군 \mathfrak I에 대하여, 다음 기호를 정의하자. :(R:\mathfrak I)=\\{a\in\operatorname{Frac}R\colon a\mathfrak I\subseteq R\\} 즉, (R:(R:\mathfrak I))는 \mathfrak I를 부분 집합으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다. 만약 분수 아이디얼 \mathfrak I가 :\mathfrak I=(R:(R:\mathfrak I)) 를 만족시킨다면, \mathfrak I를 **인자 아이디얼**(因子ideal, divisorial ideal)이라고 한다. 그 집합을 \operatorname{DivIdeal}(R)로 표기하자. \operatorname{DivIdeal}(R) 위에 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다. :\mathfrak I\cdot\mathfrak J=(R:(R:\mathfrak I\mathfrak J)) 이 곱에 대하여 \operatorname{DivIdeal}(R)는 가환 모노이드를 이룬다. 만약 R가 뇌터 정수적으로 닫힌 정역의 경우 이는 아벨 군을 이루며, 이 경우 I의 역원은 (R:I)이다. a\in(\operatorname{Frac}R)^\times에 대하여 (R:Ra)=Ra^{-1}이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우 (R:\mathfrak I)=\mathfrak I^{-1}이다.
# 성질
임의의 정역 R에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :\begin{matrix} &\operatorname{FracIdeal}(R)^\times&\subseteq&\operatorname{DivIdeal}(R)&\subsetneq&\operatorname{FracIdeal}(R)\\\ &\cup&&&&\cup\\\ \operatorname{PrFracIdeal}(R)\cap\operatorname{FracIdeal}(R)^\times=&\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times&&\subsetneq&&\operatorname{PrFracIdeal}(R) \end{matrix}
## 크룰 정역
크룰 정역에서, 인자의 이론은 인자 아이디얼을 통해 전개할 수 있다. 크룰 정역 R에서 높이가 1인 소 아이디얼들은 인자 아이디얼을 이루며, \operatorname{DivIdeal}(R)를 생성한다. 이 경우, 몫군 :\frac{\operatorname{DivIdeal}(R)}{\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times}=\operatorname{Div}(R) 을 R의 **인자 유군**이라고 하며, 이는 아이디얼 유군을 부분군으로 갖는다.
## 데데킨트 정역
데데킨트 정역의 경우, 0이 아닌 모든 분수 아이디얼이 가역 분수 아이디얼이다. 즉, 다음이 성립한다. :주 아이디얼 ⊆ 주 분수 아아디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 구체적으로, 정역 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * R는 데데킨트 정역이다. * R의 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다. 이 경우, 몫군 :\frac{\operatorname{FracIdeal}(R)}{\operatorname{PrFracIdeal}(R)}=\operatorname{Cl}(R) 을 R의 **아이디얼 유군**이라고 한다. 두 데데킨트 정역 R\subseteq S이 주어졌으며, S가 R의 (분수체 \operatorname{Frac}S 속의) 정수적 폐포라고 한다면, **아이디얼 노름**이라는 곱셈 모노이드 준동형 :\operatorname N_{S/R}\colon\operatorname{FracIdeal}S\to\operatorname{FracIdeal}R 을 정의할 수 있으며, 이는 (주 분수 아이디얼에 대하여 적용한다면) 체 노름의 일반화이다.
## 유일 인수 분해 정역
유일 인수 분해 정역의 경우, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 즉, 유일 인수 분해 정역의 경우 다음이 성립한다. :주 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 ⊆ 분수 아이디얼 구체적으로, 정역 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * R는 유일 인수 분해 정역이다. * R는 크룰 정역이며, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다.
## 주 아이디얼 정역과 체
주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이자 유일 인수 분해 정역이므로, 다음이 성립한다. :주 아이디얼 = 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 체에서는 아이디얼이 (0)과 (1)밖에 없다. 이 경우, 다음이 성립한다. :주 아이디얼 = 아이디얼 = {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 = {(0), (1)}
# 예
정수환 \mathbb Z의 경우, 임의의 유리수 p/q\in\mathbb Q에 대하여 :(p/q)=\frac pq\mathbb Z=\\{np/q\colon n\in\mathbb Z\\} 는 정수환의 분수 아이디얼이다. 이는 p/q\in\mathbb Q에 의하여 생성되므로, 주 분수 아이디얼이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 분수 아이디얼이 이러한 꼴이다. 만약 p/q\ne0이라면 :(\mathbb Z:(p/q))=\frac qp\mathbb Z=(q/p) 이며, :(\mathbb Z:(q/p))=\frac1n\mathbb Z 이다. 따라서 이는 인자 아이디얼을 이룬다. 만약 p/q=0이라면, :(\mathbb Z:(0))=\mathbb Q :(\mathbb Z:\mathbb Q)=(0) 이므로, 영 아이디얼 역시 인자 아이디얼이다.