카츠-무디 대수

리 이론에서, **카츠-무디 대수**(Кац-Moody代數, Kač–Moody algebra)는 복소수 리 대수의 일종이다. 단순 리 대수와 아핀 리 대수의 공통적인 일반화이다.
# 정의
**카츠-무디 대수** (A,\mathfrak h,\\{(\alpha_i,\alpha^\vee_i)\\}_{i\in\\{1,2,\dots,n\\)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)는 정수 성분의 n\times n 정사각 행렬이며, 그 계수는 r이다. 이를 **(일반화) 카르탕 행렬**(一般化Cartan行列, (generalized) Cartan matrix)이라고 한다. * \mathfrak h는 2n-r차원 복소수 벡터 공간이다. 이를 **카르탕 부분 대수**(Cartan部分代數, Cartan subalgebra)라고 한다. * \alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathfrak h^*은 n개의 선형 독립 벡터이며, \alpha^\vee_1,\dots,\alpha^\vee_n\in\mathfrak h는 n개의 선형 독립 벡터이다. \alpha_i를 **단순근**(單純根, simple root), \alpha^\vee_i를 **단순쌍대근**(單純雙對根, simple coroot)이라고 한다. 이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다. * 모든 i,j\in\\{1,2,\dots,n\\}에 대하여, \alpha_i(\alpha^\vee_j)=A_{ij} * 모든 i\in\\{1,2,\dots,n\\}에 대하여, A_{ii}=2 * 모든 i,j\in\\{1,2,\dots,n\\}에 대하여, 만약 i\ne j라면 A_{ij}\le0 * 모든 i,j\in\\{1,2,\dots,n\\}에 대하여, 만약 A_{ij}=0이라면 A_{ji}=0 이 경우, **카츠-무디 대수** \mathfrak g는 \mathfrak h 및 생성원 e_1,\dots,e_n, f_1,\dots,f_n으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다. :[h,h']=0\qquad\forall h,h'\in\mathfrak h :[h,e_i]=\alpha_i(h)e_i\qquad\forall h\in\mathfrak h,\;i\in\\{1,\dots,n\\} :[h,f_i]=-\alpha_i(h)f_i\qquad\forall h\in\mathfrak h,\;i\in\\{1,\dots,n\\} :[e_i,f_i]=\delta_{ij}\alpha_i^\vee\qquad\forall i,j\in\\{1,\dots,n\\} :\overbrace{[e_i,[e_i,\cdots,[e_i,}^{1-A_{ije_j]\cdots]]=\overbrace{[f_i,[f_i,\dots,[f_i,}^{1-A_{ijf_j]\cdots]]=0\qquad\forall i\ne j 여기서 (e_i,f_i)를 **슈발레 생성원**(Chevalley generator)라고 한다. 만약 카츠-무디 대수 \mathfrak g의 카르탕 행렬 A에 대하여, A=DS인 대각 행렬 D\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)와 대칭 행렬 S\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)가 존재한다면, \mathfrak g를 **대칭화 가능 카츠-무디 대수**(symmetrizable Kač–Moody algebra)라고 한다. 카츠-무디 대수 \mathfrak g의 **계수**(rank) \operatorname{rank}\mathfrak g는 그 카르탕 행렬의 계수 r=\operatorname{rank}A와 같다.
## 근계
카츠-무디 대수 \mathfrak g가 주어졌을 때, 만약 x\in\mathfrak g\setminus\\{0\\} 및 \lambda\in\mathfrak h^*\setminus\\{0\\}에 대하여 :[h,x]=\lambda(h)x\qquad\forall h\in\mathfrak h 라면, \lambda를 \mathfrak g의 **근**(根, root)이라고 하고, x를 \lambda의 **근 벡터**(根vector, root vector)라고 한다. \mathfrak g의 모든 근들의 집합을 \Delta\subset\mathfrak h^*라고 하자. \mathfrak g의 근 \lambda\in\Delta에 대응하는 **근공간**(root space) \mathfrak g_\lambda은 \lambda에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉, 다음과 같다. :\mathfrak g_\lambda=\\{x\in\mathfrak g\colon \forall h\in\mathfrak h\colon[h,x]=\lambda(h)x\\} 이는 복소수 벡터 공간을 이룬다. 모든 카츠-무디 대수 \mathfrak g는 복소수 벡터 공간으로서 다음과 같은 직합으로 나타내어진다. :\mathfrak g=\mathfrak h\oplus_{\lambda\in\Delta}\mathfrak g_\lambda 또한, 모든 근 \lambda는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 이 경우 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 아니면 모두 음의 정수이다. :\lambda=\sum_{i=1}^nz_i\alpha_i\qquad(z_1,\dots,z_n\in\mathbb Z,\;\operatorname{sgn}z_1=\cdots=\operatorname{sgn}z_n\ne0) 이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 **양근**(陽根, positive root), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 **음근**(陰根, negative root)이라고 한다. 모든 단순근 \alpha_i는 양근이며, -\alpha_i는 음근이다. 또한, e_i 및 f_i는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다. :e_i\in\mathfrak g_{\alpha_i} :f_i\in\mathfrak g_{-\alpha_i}
## 딘킨 도표
카츠-무디 대수는 **딘킨 도표**(Дынкин圖表, Dynkin diagram)로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬 A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다. * 딘킨 도표의 꼭짓점은 n개가 있으며, 1,\dots,n에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다. * i\ne j일 때, 두 꼭짓점 i,j 사이의 변의 수는 A_{ij}A_{ji}이다. * 만약 A_{ij}\le-2라면, i와 j 사이의 변에 i로 향하는 화살표를 그린다.
## 실근과 허근
카츠-무디 대수 \mathfrak g의 근 \alpha\in\Delta(\mathfrak g)는 다음과 같이 두 종류로 분류된다. * 만약 w(\alpha)가 단순근인 바일 군 원소 w\in W(\mathfrak g)가 존재한다면, \alpha를 **실근**(實根, real root)이라고 한다. * 실근이 아닌 근을 **허근**(虛根, imaginary root)이라고 한다.
# 분류
대칭화 가능 카츠-무디 대수 \mathfrak g의 카르탕 행렬 A는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱 A=DS로 나타낼 수 있다. 카츠-무디 대수는 S의 부호수에 따라서 다음과 같이 분류된다. * 만약 S가 양의 정부호일 경우, \mathfrak g는 (유한 차원) **단순 리 대수**이다. 이 경우, r=n이다. * 만약 S가 양의 준정부호이지만 양의 정부호가 아닐 경우, \mathfrak g는 **아핀 리 대수**이다. 이 경우, r=n-1이다. * 만약 S가 부정부호일 경우, \mathfrak g는 **부정부호 카츠-무디 대수**(indefinite Kač–Moody algebra)이다. * 대각선 성분들이 양수이므로, S는 음의 정부호이거나 음의 준정부호일 수 없다. 이들 가운데, 단순 리 대수 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 또한, 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 **쌍곡선형 카츠-무디 대수**(hyperbolic Kač–Moody algebra)라는 것은 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다.언어=en 그러나 단순 리 대수 · 아핀 리 대수 · 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다.
# 역사
캐나다의 로버트 본 무디(Robert Vaughan Moody)언어=en언어=en 가 토론토 대학교 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이와 독자적으로 소비에트 연방의 빅토르 카츠가 거의 동시에 이들을 발견하였다.언어=ru 영역 언어=en