귀납적 차원

0차원 일반위상수학에서 **귀납적 차원**(歸納的次元, inductive dimension)은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다.
# 정의
위상 공간 X의 **작은 귀납적 차원**(small inductive dimension) \operatorname{ind}X는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 n\in\\{-1,0,1,2,\dots\\}이다. * 임의의 x\in X 및 열린 근방 U\ni x에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 V\ni x가 존재한다. ** \operatorname{cl}V\subseteq U ** \operatorname{ind}\partial V\le n-1 위상 공간 X의 **큰 귀납적 차원**(large inductive dimension) \operatorname{Ind}X는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 n\in\\{-1,0,1,2,\dots\\}이다. * 임의의 닫힌집합 C\subseteq X의 열린 근방 U\supseteq C에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 V\supseteq C가 존재한다. ** \operatorname{cl}V\subseteq U ** \operatorname{Ind}\partial V\le n-1 공집합의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게 \operatorname{ind}\varnothing=-1이다.
# 성질

## 서로 다른 차원들의 비교
T1 공간 X 또는 정칙 공간 X의 경우, 모든 점의 폐포가 점의 열린 근방에 다시 포함되므로, :\operatorname{ind}X\le\operatorname{Ind}X 이다.9, Proposition 2.7 임의의 위상 공간 X에 대하여, :\dim X\le\operatorname{Ind}X 이다.18, Corollary 3.5 여기서 \dim은 르베그 덮개 차원이다. 거리화 가능 공간 X의 경우, :\operatorname{ind}X\le\dim X=\operatorname{Ind}X 이다.zbl=0232.54044219, Theorem 10 린델뢰프 공간 X의 경우, :\dim X\le\operatorname{ind}X 이다.27, Proposition 5.3 린델뢰프 완전 정규 공간 X171 또는 완비 파라콤팩트(completely paracompact) 완전 정규 공간 Xzbl=1030.54023296, Theorem F2의 경우, :\dim X\le\operatorname{ind}X=\operatorname{Ind}X 이다. **우리손 정리**에 따르면, 제2 가산 정칙 공간 X의 경우 :\operatorname{ind}X=\dim X=\operatorname{Ind}X 이다.51, Theorem 1.7.7
## 부분 집합
위상 공간 X 및 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, :\operatorname{ind}Y\le\operatorname{ind}X 이다.8, Proposition 2.3 만약 추가로 Y가 닫힌집합이거나,9, Proposition 2.6 X가 완전 정규 공간이라면,21, Corollary 3.13 :\operatorname{Ind}Y\le\operatorname{Ind}X 이다.
## 합집합
완비 정규 공간 X 및 부분 집합 Y,Z\subseteq X에 대하여, 만약 X=Y\cup Z라면, :\operatorname{ind}X\le\operatorname{ind}Y+\operatorname{ind}Z+1 :\operatorname{Ind}X\le\operatorname{Ind}Y+\operatorname{Ind}Z+1 이다.2203, 2206 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 **우리손 부등식**이라고 한다. 위상 공간 X 및 닫힌집합 Y,Z\subseteq X에 대하여, 만약 X=Y\cup Z라면, :\operatorname{ind}X\le\max\\{\operatorname{ind}Y,\operatorname{ind}Z\\}+1 이다.zbl=1161.540172203, (1) 만약 추가로 X가 정규 공간이라면, :\operatorname{Ind}X\le\operatorname{Ind}Y+\operatorname{Ind}Z 이다.2206
## 곱공간
제2 가산 정칙 공간 X,Y의 경우, 귀납적 차원이 르베그 덮개 차원과 일치하므로 :\operatorname{ind}(X\times Y)\le\operatorname{ind}(X)+\operatorname{ind}(Y) :\operatorname{Ind}(X\times Y)\le\operatorname{Ind}(X)+\operatorname{Ind}(Y) 이다. 위상 공간 X,Y가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. * 임의의 닫힌집합 A,B\subseteq X에 대하여, \operatorname{ind}(A\cup B)\le\max\\{\operatorname{ind}A,\operatorname{ind}B\\} * 임의의 닫힌집합 A,B\subseteq Y에 대하여, \operatorname{ind}(A\cup B)\le\max\\{\operatorname{ind}A,\operatorname{ind}B\\} 그렇다면, :\operatorname{ind}(X\times Y)\le\operatorname{ind}X+\operatorname{ind}Y 이다.2203, (2) 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 거리화 가능 공간이 존재하며,zbl=1471.54001Chapter 20 위 조건을 만족시키지 않는 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.Chapter 14 위상 공간 X,Y에 대하여, 만약 \operatorname{ind}X=0이라면, :\operatorname{ind}(X\times Y)=\operatorname{ind}Y 이다.12, Exercise 2.27 콤팩트 하우스도르프 공간 X,Y에 대하여, 만약 \operatorname{Ind}X=0이라면, :\operatorname{Ind}(X\times Y)\le\operatorname{Ind}Y 이다. 위상 공간들의 집합 \\{X_i\\}_{i\in I} 및 곱공간 :X=\prod_{i\in I}X_i 에 대하여, 만약 모든 i\in I에 대하여 \operatorname{ind}X_i=0이라면, \operatorname{ind}X=0이다.12, Exercise 2.28
## 스톤-체흐 콤팩트화
정규 하우스도르프 공간 X 및 그 스톤-체흐 콤팩트화 \beta X에 대하여, :\operatorname{Ind}X=\operatorname{Ind}\beta X 이다.zbl=0872.54002137, Theorem 2.2.10
## 0차원
경계가 공집합일 필요충분조건은 열린닫힌집합인 것이다. 따라서, 위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \operatorname{ind}X=0 * X는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 갖는다. 위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.10, Proposition 2.9 * \dim X=0 * \operatorname{Ind}X=0 위상 공간 X에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다. * 만약 \operatorname{ind}X=0이라면, X는 완비 정칙 공간이다. * 만약 \operatorname{ind}X=0이며, X가 콜모고로프 공간이라면, X는 완전 분리 공간이자 티호노프 공간이다. * 반대로, 만약 X가 완전 분리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, \operatorname{ind}X=0이다.362, Theorem 6.2.9 * 만약 \dim X=0이라면, X는 정규 공간이다. * 만약 \dim X=0이며, X가 T1 공간이거나 정칙 공간이라면, \operatorname{ind}X=0이다. * 반대로, 만약 \operatorname{ind}X=0이며, X가 린델뢰프 공간 X이라면, \dim X=0이다. 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.362, Theorem 6.2.9 * \operatorname{ind}X=0 * 완전 분리 공간이다. 국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간 X이 주어졌을 때, X는 항상 서로소 린델뢰프 열린닫힌집합들의 합집합이다. 따라서, X에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.zbl=0684.54001362, Theorem 6.2.10 * 완전 분리 공간이다. * \operatorname{ind}X=0 * \dim X=0 작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 **0차원 공간**(零次元空間, zero-dimensional space)이라고 한다. 르베그 덮개 차원이 0인 위상 공간은 흔히 **강한 0차원 공간**(强-零次元空間, strongly zero-dimensional space)이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건을 추가한다.
## 매장
T1 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.363, Theorem 6.2.16zbl=1059.54001323, §f-6 * \operatorname{ind}X=0 * 두 점 이산 공간의 곱공간 \\{0,1\\}^{\operatorname{Clopen}(X)}의 부분 집합과 위상 동형이다. (여기서 \operatorname{Clopen}(X)는 열린닫힌집합들의 집합이다.) 이 경우, 곱공간으로의 매장은 다음과 같이 잡을 수 있다. :\mu\colon X\to\\{0,1\\}^{\operatorname{Clopen}(X)} :\mu(x)_U= \begin{cases} 1 & x\in U\\\ 0 & x\not\in U \end{cases} 모든 0차원 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 실수들의 집합과 위상 동형이다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간(=분해 가능 거리화 가능 공간) X에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.20, Theorem 1.3.15 * \operatorname{ind}X=0 * X는 칸토어 집합 C\cong\\{0,1\\}^{\aleph_0}의 부분 집합과 위상 동형이다. * X는 무리수 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q\cong\mathbb N^{\aleph_0}의 부분 집합과 위상 동형이다. 실수들의 집합 X\subseteq\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \operatorname{ind}X=0 * (둘 이상의 점을 갖는) 구간을 포함하지 않는다. **뇌벨링-폰트랴긴 정리**에 따르면, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \operatorname{ind}X0을 잡자. |X|<2^{\aleph_0}이므로, :d(x,y)\ne s\forall y\in X 인 0이 존재한다. 따라서, :\partial\operatorname{ball}(x,s)=\\{y\in X\colon d(x,y)=s\\}=\varnothing 이다. 증명 끝 순서 위상을 가한 전순서 집합 (X,\le)의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.12, Exercise 2.24 :\operatorname{ind}X\le 1