준연접층

대수기하학과 복소기하학에서 **준연접 가군층**(準連接加群層, quasicoherent sheaf of modules, faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 **준연접층**은 벡터 다발(국소 자유층)의 핵 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 이는 연접층의 개념의 일반화이다. 연접 가군층의 범주는 아벨 범주를 이루지만, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 범주가 아니므로 그 층 코호몰로지를 정의하기가 복잡하다. 이 대신, 모든 무한 차원일 수 있는 벡터 다발을 포함하는 아벨 범주인 준연접 가군층의 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며, 따라서 층 코호몰로지를 쉽게 정의할 수 있다.
# 정의
환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F를 **국소 단면 생성 가군층**(局所斷面生成加群層, sheaf of modules locally generated by sections)이라고 한다. * 임의의 x\in X에 대하여, 층의 완전열 \mathcal O_X^{\oplus\lambda}|_U\to\mathcal F|_U\to0이 존재하게 되는 열린 근방 U\ni x와 기수 \lambda가 존재한다. 환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F를 **준연접 가군층**(準連接加群層, quasicoherent sheaf of modules, faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 **준연접층**이라고 한다.url-status = dead45, (5.1.3) * 임의의 x\in X에 대하여, 층의 완전열 \mathcal O_X^{\oplus\kappa}|_U\to\mathcal O_X^{\oplus\lambda}|_U\to\mathcal F|_U\to0이 존재하게 되는 열린 근방 U\ni x와 기수 \kappa,\lambda가 존재한다. 국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, 기수 \kappa,\lambda가 자연수이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 유한 생성 가군층/유한 표시 가군층의 개념을 얻는다.
# 성질

## 함의 관계
임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :연접층 ⊆47, (5.3.2) 유한 표시 가군층 ⊆46, (5.2.5) 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층 :국소 자유 가군층 ⊆ 준연접 가군층48, (5.4.1) 국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.Stacks project: 29.9 :유한 계수 국소 자유 가군층 ⊆48, (5.4.1) 연접층 = 유한 표시 가군층 = 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층
## 동치 조건
스킴 X 위의 가군층 \mathcal F에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * \mathcal F는 준연접 가군층이다. * 임의의 아핀 열린 부분 스킴 \operatorname{Spec}R\subseteq X에 대하여, \mathcal F|_{\operatorname{Spec}R}는 \mathcal O_{\operatorname{Spec}R}-가군층으로서 어떤 R-가군으로부터 유도된 \mathcal O_{\operatorname{Spec}R}-가군층과 동형이다. * X의 어떤 아핀 열린 덮개 \\{\operatorname{Spec}R_i\\}_{i\in I}에 대하여, \mathcal F|_{\operatorname{Spec}R_i}는 \mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}-가군층으로서 어떤 R_i-가군으로부터 유도된 \mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}-가군층과 동형이다.
## 연산
다음이 주어졌다고 하자. * 두 스킴 X, Y * 스킴 사상 f\colon X\to Y 그렇다면, Y 위의 준연접층 \mathcal F의 당김 f^*\mathcal F는 X 위의 준연접층이다. 반대로, X 위의 준연접층 \mathcal E가 주어졌으며, f가 준콤팩트 준분리 사상이라면 \mathcal E의 밂 f_*\mathcal F는 Y 위의 연접층이다.
## 준연접층의 범주
일반적 환 달린 공간 위의 준연접 가군층의 범주 \operatorname{QCoh}(X)는 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 하지만, 만약 X가 스킴일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다. * 그로텐디크 아벨 범주이다. 특히, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 완비 쌍대 완비 아벨 범주이다. * 포함 함자 I\colon \operatorname{QCoh}(X)\to\mathcal O_X\text{-Mod}는 오른쪽 수반 함자 Q\colon \mathcal O_X\text{-Mod}\to\operatorname{QCoh}(X)를 가진다. ** 따라서, I는 모든 쌍대 극한을 보존하며 오른쪽 완전 함자이다. (모든 가군층의 범주 \mathcal O_X\text{-Mod} 역시 그로텐디크 아벨 범주이며 특히 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.) ** 따라서, Q는 모든 극한을 보존하며 왼쪽 완전 함자이다. 즉, \operatorname{QCoh}(X)에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다. \operatorname{QCoh}(X)에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에 Q를 가한 것이다.
## 아핀 스킴 위의 준연접층
가환환 R 위의 다음과 같은 두 범주는 서로 동치이다. * R-가군의 범주 \operatorname{Mod}_R * R의 스펙트럼 위의 준연접 가군층의 범주 \operatorname{QCoh}(\operatorname{Spec}R) 구체적으로, R-가군 M에 대응하는 준연접 가군층은 다음 조건을 만족시키는 유일한 가군층 \tilde M이다. * 임의의 r\in R에 대하여, \Gamma(\operatorname{Spec}(R_r);\tilde M)=R_r\otimes_RM 여기서 :R_r=(\\{1,r,r^2,\dots\\})^{-1}R 는 r로 생성되는 곱셈 모노이드에서의 국소화이며, 그 스펙트럼은 \operatorname{Spec}R의 열린집합을 정의한다. 반대로, \operatorname{Spec}R 위의 준연접 가군층 \mathcal F에 대응하는 R-가군은 \Gamma(\operatorname{Spec}R;\mathcal F)이다.
# 예
스킴 X의 닫힌 부분 스킴 Y\subseteq X에 대응하는 아이디얼 층은 준연접 가군층이다. 특히, X 전체에 대응하는 영 준연접층 0은 (자명하게) 준연접층이며, 공집합 \varnothing에 대응하는 구조층 \mathcal O_X 역시 준연접층이다. (반면, 국소 뇌터 스킴이 아닌 스킴의 경우 구조층이 연접층이 아닐 수 있다.) 체 K의 스펙트럼 \operatorname{Spec}K 위에서는 준층과 층과 준연접층의 개념이 일치하며, 이들은 모두 K-벡터 공간으로 주어진다. (이 가운데 연접층은 유한 차원 K-벡터 공간이다.)
## 이산 값매김환 위의 준연접층과 준연접층이 아닌 가군층
이산 값매김환 (D,\mathfrak m,\kappa=D/\mathfrak m)의 스펙트럼 \operatorname{Spec}D는 시에르핀스키 공간이며, 이는 두 개의 점으로 구성된다. 이 경우, 닫힌점은 극대 아이디얼 \mathfrak m에 대응하며, 이는 잉여류체 \kappa에 해당한다. 닫힌점이 아닌 점은 영 아이디얼 0에 대응하며, 이는 분수체 \operatorname{Frac}D = K에 해당한다. 시에르핀스키 공간 위에서는 열린집합의 부분 순서 집합이 (크기 3의) 전순서 집합이며, 특히 두 열린집합의 합집합을 취하여 더 큰 열린집합을 만들 수 없다. 따라서, 이 경우 모든 준층이 층을 이룬다. \operatorname{Spec}D 위의 임의의 가군 (준)층 \mathcal F는 따라서 다음과 같은 데이터로 구성된다. * \Gamma(\mathcal F,\operatorname{Spec}D) = M. 이는 D-가군이다. * \Gamma(\mathcal F,\\{0\\}) = N. 이는 K-벡터 공간이다. * \operatorname{Spec}D \to \\{0\\}의 제약 사상 \phi \colon M \otimes_DK \to N. 이는 K-선형 변환이다. 즉, \operatorname{Spec}D 위의 가군층은 위와 같은 (M,N,\phi)로 주어진다. 아핀 스킴 \operatorname{Spec}D 위의 준연접 가군층은 D-가군 M만으로 주어진다. 이 경우, \\{0\\}의 단면은 (가군에 대응하는 준연접층의 정의에 따라) M\otimes_AK이다. 즉, \operatorname{Spec}D-가군층 (M,N,\phi) 가운데 준연접층인 것은 \phi가 K-벡터 공간의 동형 사상인 것이다.