스틴로드 대수

대수적 위상수학에서 **스틴로드 대수**(Steenrod代數, Steenrod algebra)는 유한체 계수의 안정 코호몰로지 연산들로 구성되는 호프 대수이다.
# 정의
소수 p에 대하여, **스틴로드 대수**는 안정 코호몰로지 연산으로 구성된, \mathbb F_p 위의 등급 호프 대수이다.
## 홀수 표수
홀수 소수 p에 대하여, \mathbb F_p 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다. :\operatorname P^i \colon\operatorname H^n(X;\mathbb F_p) \to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb F_p) :\beta\colon\operatorname H^n(X;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{H+1}(X;\mathbb F_p) \operatorname P^i는 i차 **스틴로드 축소 거듭제곱**(Steenrod reduced power)이라고 한다. \beta는 아벨 군 짧은 완전열 0\to\mathbb Z/p\to\mathbb Z/p^2\to\mathbb Z_p\to0에 대응하는 복시테인 준동형이다. 이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다. * \operatorname P^i는 자연 변환 \operatorname H^n(-;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{n+2i(p-1)}(-;\mathbb F_p)을 정의한다. * \operatorname P^0은 항상 항등 함수이다. * \operatorname P^i|_{\operatorname H^{2i}(-;\mathbb F_p)}\colon\alpha\mapsto\alpha^{\smile p}이다. * 만약 2i>n이라면 \operatorname P^i|_{\operatorname H^n(X;\mathbb F_p)}=0이다. * (카르탕 공식 Cartan formula) \operatorname P^n(\alpha\smile\beta)=\sum_{i+j=n}\operatorname P^i\alpha\smile\operatorname P^j\beta이다.
## 짝수 표수
\mathbb F_2 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다. :\operatorname{Sq}^i \colon\operatorname H^n(X;\mathbb F_2) \to H^{n+i}(X;\mathbb F_2) 이를 i차 **스틴로드 제곱**(Steenrod square)이라고 한다. (짝수 표수의 경우, \operatorname P^i=\operatorname{Sq}^{2i}이며 \beta=\operatorname{Sq}^1이다.) 이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다. * \operatorname{Sq}^i는 자연 변환 \operatorname H^n(-;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{n+2i(p-1)}(-;\mathbb F_p)을 정의한다. * \operatorname{Sq}^0은 항상 항등 함수이다. * \operatorname{Sq}^i|_{\operatorname H^i(-;\mathbb F_p)}\colon\alpha\mapsto\alpha^{\smile2}이다. * 만약 i>n이라면 \operatorname{Sq}^i|_{\operatorname H^n(X;\mathbb F_p)}=0이다. * (카르탕 공식 Cartan formula) \operatorname{Sq}^n(\alpha\smile\beta)=\sum_{i+j=n}\operatorname{Sq}^i\alpha\smile\operatorname{Sq}^j\beta이다.
# 구성
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 크기 n의 집합 위에 자유롭게 작용하는 유한군 G * 위상 공간 X 그렇다면, n제곱 함수 :\operatorname H^i(X)\to\operatorname H^{ni}(X) :\alpha\mapsto\alpha^{\smile n} 를 생각하자. (만약 코호몰로지가 소수 크기 유한체 \mathbb F_p 계수이며 n=p라면 이는 프로베니우스 사상이며, \mathbb F_p-선형 변환을 이룬다. 그러나 일반적으로 이는 선형이 아니다.) 이는 다음과 같이 분해될 수 있다. :\begin{matrix} \operatorname H^i(X)&\to&\operatorname H^{ni}(\operatorname EG\times_GX^n)&\to&\operatorname H^{ni}(X^n)\\\ &&\downarrow&&\downarrow\\\ &&\operatorname H^{ni}(\operatorname BG\times X)&\to&\operatorname H^{ni}(X) \end{matrix} 여기서 각 사상은 다음과 같다. * \operatorname{diag}_X^*\colon\operatorname H^\bullet(X^n)\to\operatorname H^\bullet(X^n)는 코호몰로지에 의한 \operatorname{diag}_X\colon X\to X^n의 당김이다. * \operatorname H^i(X)\to\operatorname H^{ni}(\operatorname EG\times_GX^n)=\operatorname H^{ni}_G(X^n): \alpha\in\operatorname H^i(X)에 대하여, \alpha^{\times p}\in\operatorname H^{ni}(X^n)을 정의하자. 이는 G의 X^n 위의 작용에 대하여 불변이므로, 등변 코호몰로지 \operatorname H^{ni}_G(X^n)에 속한다. * (\operatorname{id}_{\operatorname BG},\operatorname{diag}_X)^*\colon\operatorname H^\bullet(\operatorname EG\times_GX^n)\to\operatorname H^\bullet(\operatorname BG\times X)는 코호몰로지에 의한 (\operatorname{id}_{\operatorname BG},\operatorname{diag}_X)\colon\operatorname BG\times X\to\operatorname BG\times X^n의 당김이다. \operatorname{diag}_X(X)\subseteq X^n는 G의 작용의 고정점으로 구성되므로, \operatorname EG\times_G\operatorname{diag}_X(X^n)=\operatorname BG\times X이다. * \operatorname H^\bullet(\operatorname EG\times_GX^n)\to\operatorname H^\bullet(\operatorname EG\times X^n)\cong\operatorname H^\bullet(X^n): 몫공간 사상 q\colon \operatorname EG\times X^n\twoheadrightarrow\operatorname EG\times_G X^n의 코호몰로지에 의한 당김이다. * \operatorname H^\bullet(\operatorname BG\times X)\to\operatorname H^\bullet(X)는 생성원 \alpha\in\operatorname H_0(\operatorname BG)와의 경사곱이다. 이제, n=p가 소수이며 G=\operatorname{Cyc}(p)가 순환군이라고 하자. 그렇다면 :\operatorname B\operatorname{Cyc}(p)=\mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(p) 이다. 특히, p=2인 경우 분류 공간은 무한 실수 사영 공간 :\operatorname B\operatorname{Cyc}(2)=\mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(2)=\mathbb{RP}^\infty 이며, 그 \mathbb F_2 계수 코호몰로지는 :\operatorname H^\bullet(\mathbb{RP}^\infty;\mathbb F_2)=\mathbb F_2[w_1],\;\deg w_1=1 이다. (여기서 w_1은 자명한 실수 선다발의 슈티펠-휘트니 특성류이다.) 체 계수의 퀴네트 정리에 따라서 :\operatorname H^\bullet(\operatorname BG\times X;\mathbb F_p)=\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_p)[w_1]\quad(\deg w_1=1) 이다. 따라서, 합성 :\operatorname{Sq}\colon\operatorname H^i(X;\mathbb F_2)\to\operatorname H^{2i}(\mathbb{RP}^\infty\times X;\mathbb F_2) 을 :\operatorname{Sq}=\sum_{k=0}^i\operatorname{Sq}^kw_1^{i-k} 로 전개한다면 스틴로드 제곱 :\operatorname{Sq}^k\colon\operatorname H^i(X;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{i+k}(X;\mathbb F_p) 을 얻는다. 마찬가지로, p가 홀수 소수일 경우를 생각하면 스틴로드 축소 거듭제곱을 얻는다.
# 성질

## 아뎀 관계
스틴로드 대수는 **아뎀 관계**(Ádem relation)라는 관계들을 만족시킨다.언어=en 이들은 다음과 같다.언어=en p=2일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자. :\operatorname{Sq}(t)=\sum_{i=0}^\infty t^i\operatorname{Sq}^i 그렇다면, **아뎀 관계**는 다음과 같다. :\operatorname{Sq}(s^2+st)\operatorname{Sq}(t^2)=\cdots[s\leftrightarrow t] 여기서 우변은 좌변과 같지만, s와 t를 서로 바꾼 것이다. p>2일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자. :\operatorname P(t)=\sum_{i=0}^\infty t^i\operatorname P^i 그렇다면, **아뎀 관계**는 다음과 같다. :(1+s\operatorname{Ad}\beta)\operatorname P(t^p+t^{p-1}s+\cdots+ts^{p-1})\operatorname P(s^p)=\cdots[s\leftrightarrow t] 여기서 (\operatorname{Ad}\beta)\operatorname P=\beta\operatorname P-\operatorname P\beta이며, 우변은 좌변과 같지만, s와 t를 서로 바꾼 것이다.
## 애덤스 스펙트럼 열
유한 차원 CW 복합체 X, Y가 주어졌을 때, \mathbb F_p 계수의 코호몰로지 군은 스틴로드 대수 A_p 위의 가군을 이룬다. 이 경우, **애덤스 스펙트럼 열**(Adams spectral sequence)은 다음과 같은 스펙트럼 열이다.언어=en :E_2^{p,q}=\operatorname{Ext}^{p,q}_{A_p}\left(\operatorname H^\bullet(Y;\mathbb F_p),\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_p)\right) 이는 호모토피 군 [X,Y]의 p차 꼬임 부분군으로 수렴한다. 특히, X와 Y가 초구일 때, 애덤스 스펙트럼 열은 초구의 호모토피 군을 계산한다.
# 역사
p=2의 경우는 노먼 스틴로드가 1947년에 도입하였고,언어=en p>2인 경우는 노먼 스틴로드가 1953년에 도입하였다.언어=en 아뎀 관계는 멕시코의 수학자 호세 아뎀 차인(José Ádem Chaín, 1921~1991)이 1952년에 도입하였다. 애덤스 스펙트럼 열은 1958년에 존 프랭크 애덤스가 도입하였다.