대수 구조 다양체

보편 대수학에서 **대수 구조 다양체**(variety of algebraic structures)는 어떤 항등식들을 만족시키는 대수 구조들의 모임이다.
# 정의
주어진 형 \tau의 대수 구조들의 모임 \mathcal V에 대하여, 다음 두 성질이 서로 동치이다. * \mathcal V는 다음 세 연산에 대하여 닫혀 있다. ** 준동형에 대한 상. 즉, A\in\mathcal V이고 준동형 \phi\colon A\to B이 존재한다면, \phi(A)\in\mathcal V이다. ** 곱 대수. 즉, \mathcal A\subseteq\mathcal V가 부분 집합이라면, \prod\mathcal A\in\mathcal V이다. (만약 \mathcal A=\varnothing일 경우, \prod\varnothing은 하나의 원소를 가진 자명 대수 1=\\{\bullet\\}이다.) ** 부분 대수. 즉, A\in\mathcal V이고 B\subset A가 부분 대수라면, B\in\mathcal V이다. * \mathcal V는 일련의 항등식 I들을 만족시키는 모든 대수 구조들의 모임이다. 여기서 항등식이란 ::\forall x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n\in A\colon f(x_1,x_2,\dots,x_m)=g(y_1,y_2,\dots,y_n) :꼴의 조건이며, f는 \tau에 속한 연산들 및 변수 x_1,\dots,x_m만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이며, g는 \tau에 속한 연산들 및 변수 y_1,\dots,y_n만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이다. **대수 구조 다양체**(variety of algebraic structures)는 위 조건을 만족시키는, 대수 구조의 집합이다. 위 두 조건이 서로 동치라는 사실은 **버코프 준동형사상-곱-부분대수 정리**(Birkhoff’s HPS theorem)라고 하며, 개릿 버코프가 증명하였다. 대수 구조 다양체를 형 \tau와 항등식 집합 \mathcal I의 순서쌍으로 적자. 두 대수 구조 다양체 (\tau,\mathcal I), (\tau',\mathcal I') 사이의 **준동형** \phi\colon(\tau,\mathcal I)\to(\tau',\mathcal I')은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 각 n항 연산 t\in\tau에 대하여, \tau'의 연산들의 합성으로 정의할 수 있는 연산 \phi(t) 이는 다음 성질을 만족시켜야 한다. * 모든 항등식 I\in\mathcal I에 대하여, I에 등장하는 각 연산 t를 \phi(t)로 대응시킨 항등식은 \mathcal I'으로부터 함의된다. 이에 따라, 대수 구조 다양체들의 모임은 범주를 이룬다.
# 성질
같은 연산들을 갖는 두 다양체의 교모임 역시 다양체를 이룬다. 대수 구조 다양체는 준동형을 사상으로 하는 구체적 범주를 이룬다. 범주론적으로, 모든 대수 구조 다양체는 로비어 이론(Lawvere theory) L로부터 집합의 범주 \operatorname{Set}로 가는, 곱을 보존하는 함자들의 범주 \operatorname{Prod}(L,\operatorname{Set})와 동치이다.url-status= 모든 대수 구조 다양체는 다음 성질을 만족시킨다. * 항상 자유 대수가 존재한다. 즉, 대수 구조 다양체 \mathcal V의 망각 함자 G\colon\mathcal V\to\operatorname{Set}의 왼쪽 수반 함자 F\colon\operatorname{Set}\to\mathcal V, F\dashv G가 존재한다. * 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 극한과 쌍대극한이 존재한다. 이 경우 쌍대극한을 **귀납적 극한**, 극한을 **사영 극한**이라고 한다. ** 범주론적 곱이 항상 존재하며, **직접곱**이라고 한다. 또한, 망각 함자 아래 이는 곱집합 위에 정의된 대수이다. ** 쌍대곱 역시 항상 존재하며, **자유곱**이라고 한다. 이는 일반적으로 집합의 쌍대곱(분리 합집합)과 호환되지 않는다. ** 끝 대상은 하나의 원소만을 갖는 대수이다. ** 시작 대상은 공집합으로부터 생성되는 자유 대수이다.
# 예

## 집합의 다양체
집합의 모임 \operatorname{Set}은 아무런 연산 및 항등식을 갖지 않는 다양체이다. 점 갖춘 집합의 모임 \operatorname{Set}_\bullet은 다음과 같은 다양체이다. * 연산: 영항연산 \bullet * 항등식: 없음 크기가 1 이하인 집합들의 다양체는 다음과 같다. * 연산: 없음 * 항등식: x=y 크기가 1인 집합들의 다양체는 다음과 같다. * 연산: 영항연산 \bullet * 항등식: x=y 유한 집합들의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 이는 유한성은 항등식으로 나타낼 수 없으며, 또한 무한 개의 유한 집합의 곱집합은 유한 집합이 아니기 때문이다. 군 G가 주어졌을 때, G의 작용을 갖춘 집합들의 모임 G\text{-Set}는 다음과 같은 다양체이다. * 연산: 각 g\in G에 대하여, 일항연산 g\cdot * 항등식: ** 모든 g,h\in G에 대하여, g\cdot(h\cdot x)=(gh)\cdot x ** 1\cdot x=x
## 군의 다양체
군의 모임 \operatorname{Grp}은 다음과 같은 다양체이다. * 연산: 이항연산 \cdot, 일항연산 {}^{-1}, 영항연산 1 * 항등식: (x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z), xx^{-1}=1, x^{-1}x=1, 1\cdot x=x, x\cdot 1=x 아벨 군의 모임 \operatorname{Ab}은 군의 다양체의 부분다양체이며, 다음과 같은 항등식이 추가된다. * 항등식: x\cdot y=y\cdot x 이 밖에도, \operatorname{Grp}의 부분다양체들은 다음을 들 수 있다. * n-번사이드 군: 모든 원소의 차수가 n의 약수인 군. * 유도 길이가 k 이하인 가해군 \operatorname{SolvGrp}_k. 예를 들어, \operatorname{SolvGrp}_1=\operatorname{Ab}이며, \operatorname{SolvGrp}_2를 정의하는 항등식은 1=xyx^{-1}y^{-1}zwz^{-1}w^{-1}yxy^{-1}x^{-1}wzw^{-1}z^{-1}이다. * 중심 길이가 k 이하인 멱영군 \operatorname{NilpGrp}_k (\overbrace{[\cdots[G,G],G],G],\cdots]}^k=1인 군 G)
## 환의 다양체
유사환의 모임 \operatorname{Rng}은 다음과 같은 다양체이다. * 연산: 이항연산 \cdot 및 +, 일항연산 -, 영항연산 0 * 항등식: (유사환의 정의) 가환 유사환의 모임 \operatorname{CRng}은 \operatorname{Rng}의 부분다양체이다. 환의 모임 \operatorname{Ring}은 다음과 같은 다양체이다. * 연산: \operatorname{Rng}의 연산 및 영항연산 1 * 항등식: \operatorname{Rng}의 항등식 및 1\cdot x=x\cdot1 가환환의 모임 \operatorname{CRing}은 \operatorname{CRing}의 부분다양체이다. 이 밖에도, 임의의 음이 아닌 정수 n에 대하여, 표수가 n의 약수인 환들의 모임은 다양체를 이룬다. 체의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 체의 곱셈 역원 ^{-1}은 0에 대하여 정의되지 않으며, 이 연산을 무시하고 체를 단순히 \operatorname{Ring}의 부분 모임으로 본다면, 체의 모임은 곱 대수 및 부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않다. 다만, 0^{-1}으로 정의한다면, 체의 모임은 가환 폰 노이만 정규환(commutative von Neumann-regular ring)의 다양체의 부분 모임이며, 이는 체들을 포함하는 가장 작은 다양체이다.언어=en 가환 폰 노이만 정규환의 모임은 다음과 같은 다양체이다. * 연산: \operatorname{CRing}의 연산 및 일항연산 ^{-1} * 항등식: \operatorname{CRing}의 항등식 및 xx^{-1}x=x, x^{-1}xx^{-1}=x^{-1} 이 경우, 항등식들에 따라 항상 0^{-1}=0이 된다.
## 격자의 다양체
격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다. * 연산: 이항연산 \vee 및 \wedge * 항등식: ** (교환 법칙) a\vee b=b\vee a, a\wedge b=b\wedge a ** (결합 법칙) (a\vee b)\vee c=a\vee(b\vee c), (a\wedge b)\wedge c=a\wedge(b\wedge c) ** (흡수 법칙) a\vee(a\wedge b)=a\wedge(a\vee b)=a 모듈러 격자의 모임은 격자의 다양체의 부분다양체를 이루며, 분배 격자의 모임은 모듈러 격자의 다양체의 부분다양체를 이룬다. 유계 격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다. * 연산: 격자의 연산 및 영항연산 \bot 및 \top * 항등식: 격자의 항등식 및 a\vee\bot=a, a\wedge\top=a 헤이팅 대수의 모임과 불 대수의 모임 역시 다양체를 이룬다. 완비 격자의 모임은 다양체를 이루지 않는데, 이는 완비 격자를 공리화하려면 무한항 연산(무한 개의 원소들의 만남·이음)이 필요하기 때문이다.