폰 노이만 대수

함수해석학에서 **폰 노이만 대수**(von Neumann代數, von Neumann algebra)는 어떤 복소수 바나흐 공간의 연속 쌍대 공간으로 나타낼 수 있는 C* 대수이다. 이러한 C* 대수는 항상 적절한 위상에 대하여 닫힌집합을 이루는, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 나타낼 수 있다.언어=frurl-status=dead언어=en언어=en언어=en
# 정의
폰 노이만 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다. * 추상적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 특별한 성질을 만족시키는 C* 대수로 정의될 수 있다. * 구체적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 적절한 위상에 대하여 닫힌집합인, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 C* 대수로 정의될 수 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.
## 추상적 정의
C* 대수 \mathcal A가 주어졌다고 하자. 이는 복소수 바나흐 대수, 특히 복소수 바나흐 공간을 이룬다. 만약 \mathcal A\cong V^*가 되는 복소수 바나흐 공간 V가 존재한다면, \mathcal A를 **폰 노이만 대수**라고 한다. (여기서 \cong은 복소수 바나흐 공간 사이의 등거리 복소수 선형 전단사 함수의 존재이며, V^*는 V의 복소수 연속 쌍대 공간이다.) 사실, 이러한 복소수 바나흐 공간 V는 (등거리 복소수 선형 전단사 함수 아래) 유일하다. 이를 \mathcal A의 **원쌍대 공간**(predual)이라고 한다.
## 구체적 정의
복소수 힐베르트 공간 \mathcal H 위의 유계 작용소들의 C* 대수 \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)를 생각하자. 그 부분 집합 \mathcal A\subseteq \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)가 덧셈과 합성과 에르미트 수반과 복소수 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으며 항등원을 포함한다고 하자. 이제, 집합 :\mathcal A'=\\{T\in\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)\colon\forall A\in\mathcal A\colon TA=AT\\} 및 :\mathcal A*=\\{T\in\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)\colon\forall A'\in\mathcal A'\colon TA'=A'T\\} 를 정의할 수 있다. 그렇다면, **폰 노이만 정리**에 따르면, \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)의 다음 세 부분 집합이 모두 같다. * \mathcal A의 강한 작용소 위상(즉, 점별 노름 수렴 위상)에서의 폐포 * \mathcal A의 약한 작용소 위상(즉, 점별 약한-* 위상 수렴 위상)에서의 폐포 * \mathcal A* 만약 \mathcal A=\mathcal A*이라면, \mathcal A(와 동형인 C* 대수)를 **폰 노이만 대수**라고 한다. 이 정의에 따라, 임의의 부분 집합 \mathcal S\subseteq\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)가 주어졌을 때 \mathcal S를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수 :\operatorname{vN}(\mathcal S) =\left( \operatorname{Span}_{\mathbb C}\\{S_1S_2\dotsm S_n\colon n\in\mathbb N, S_1,S_2,\dotsc,S_n\in\mathcal S\cup \mathcal S^* \\}\right)* 가 존재함을 알 수 있다. 이를 **\mathcal S로 생성되는 폰 노이만 대수**(von Neumann algebra generated by \mathcal S)라고 한다. 추상적 정의에 따른 임의의 폰 노이만 대수에 대하여, 겔판트-나이마르크 정리를 통해 이를 힐베르트 공간 위의 작용소 대수로 표현할 수 있다. 반대로, 구체적 정의에 대한 폰 노이만 대수는 (힐베르트 공간 위의 작용을 무시할 때) 항상 추상적 정의에 부합한다.
## 무게
폰 노이만 대수 A의 원소 a\in A에 대하여, 만약 a=b^*b인 b\in A가 존재한다면, a를 **양원소**(陽元素, positive element)라고 한다. 양원소의 집합을 A^+로 표기하자. 이들의 집합은 반환 [0,\infty) 위의 가군을 이룬다. 마찬가지로, [0,\infty]는 [0,\infty) 위의 가군을 이룬다. [0,\infty)-선형 함수 :\omega\colon A^+\to[0,\infty] 를 **무게**라고 한다. 즉, 무게는 다음 조건을 만족시켜야 한다. :\omega(\alpha a+\beta b)=\alpha \omega(a)+\beta\omega(b)\qquad\forall\alpha,\beta\in\mathbb R,\;a,b\in A^+ 위 정의에서 0\cdot\infty=0으로 놓는다. 만약 무게 \omega가 \omega(1)=1을 만족시킨다면, 이를 **상태**(狀態, state)라고 한다. 무게 \omega가 :\omega(aa^*)=\omega(a^*a)\qquad\forall a\in A 를 만족시킨다면, 이를 **대각합**(對角合, trace)이라고 한다.
# 분류
폰 노이만 대수 A 가운데, 만약 \operatorname Z(A)=\mathbb C\cdot1_A라면, A를 **폰 노이만 인자**(von Neumann因子, von Neumann factor)라고 하자. (여기서 \operatorname Z(-)는 환으로서의 중심이다.) 모든 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분(direct integral) :A=\int_X^\oplus A_x\;\mathrm d\mu(x) 으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 사실상 유일하다. 따라서, 폰 노이만 대수의 분류는 인자 대수의 분류로 귀결된다. 인자 대수의 분류는 상당 부분 알려져 있다.
# 예

## 유계 작용소
임의의 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H에 대하여, 모든 유계 작용소의 대수 \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)는 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, 그 원쌍대 공간은 대각합을 부여한, 대각합류 작용소의 복소수 바나흐 공간 (\mathfrak S_1(\mathcal H,\mathcal H),\operatorname{tr})이다.
## 르베그 공간
X가 시그마 유한 측도 공간이라고 하자. 복소수 값 ∞-르베그 공간 \operatorname L^\infty(X;\mathbb C)은 (점별 덧셈과 곱셈 및 복소수 켤레에 대하여) 폰 노이만 대수를 이룬다. 그 원쌍대 공간은 1-르베그 공간 \operatorname L^1(X;\mathbb C)이다. \operatorname L^\infty(X;\mathbb C)는 복소수 힐베르트 공간 \operatorname L^2(X;\mathbb C) 위에 작용하는 유계 작용소 대수로 여길 수 있다. 즉, 다음과 같은 표준적인 매장이 존재한다. :\operatorname L^\infty(X;\mathbb C)\hookrightarrow \operatorname B(\operatorname L^2(X;\mathbb C),\operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb C)) :[f]\mapsto([g]\mapsto [fg])
## 이중 연속 쌍대 공간
**셔먼-다케다 정리**(Sherman-[武田]定理, Sherman–Takeda theorem)에 따르면, 임의의 C*-대수 A에 대하여, 그 이중 연속 쌍대 공간 A^{**}는 표준적으로 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, A^{**}를 A의 **포락 폰 노이만 대수**(enveloping von Neumann algebra)라고 한다.
# 역사
폰 노이만 정리는 존 폰 노이만이 증명하였다.언어=de언어=en 이후 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(Francis Joseph Murray, 1911~1996)가 폰 노이만 대수의 기초적 연구를 진행하였다.언어=en언어=en언어=en 폰 노이만 대수의 추상적인 정의는 사카이 쇼이치로(境 正一郎, 1928~)가 도입하였다.언어=en 셔먼-다케다 정리는 시모어 셔먼(Seymour Sherman, 1917~1977)이 1950년에 증명 없이 발표하였으며,archive-url=https://web.archive.org/web/20130718060722/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1950.1/Main/icm1950.1.0448.0476.ocr.pdf#page=23 1954년에 다케다 지로(武田 二郎)가 증명을 출판하였다.언어=en 이후 알랭 콘과 본 존스 등이 폰 노이만 대수의 이론에 크게 공헌하였다.