인자 대수

함수해석학에서 **인자 대수**(因子代數, factor algebra)는 ‘분해’되지 못하는 폰 노이만 대수이다. 모든 폰 노이만 대수는 이를 구성하는 인자 대수들로 유일하게 표현된다. 양자역학에서, 인자 대수는 물리계를 구성되는 국소화된 ‘요소’로 해석된다.
# 정의
폰 노이만 대수 A에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 폰 노이만 대수를 **인자 대수**라고 한다. * \operatorname Z(A)=\mathbb C1_A. 즉, A의 중심은 모두 1의 스칼라배이다. * 어떤 복소수 힐베르트 공간 표현 A\hookrightarrow\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)에 대하여, A\cap\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(A)=\mathbb C이다. * 어떤 복소수 힐베르트 공간 표현 A\hookrightarrow\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)에 대하여, \operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(A\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(A)))=\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)이다. 여기서 * \mathcal H는 어떤 복소수 힐베르트 공간이다. * \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)는 \mathcal H\to\mathcal H 유계 작용소의 폰 노이만 대수이다. * \operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(-)는 \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H) 속에서 취한 중심화 부분환이다. 위 세 조건 가운데, 마지막 조건은 \mathcal H 위의 모든 유계 작용소를 A의 원소 및 A와 가환하는 원소들의 곱들의 열의 (약한 작용소 위상 또는 강한 작용소 위상에서의) 극한으로 나타낼 수 있다는 뜻이다. 다시 말해, \mathcal H를 상태 공간으로 하는 양자 역학 계는 A에 속하는 관찰 가능량들과 A와 ‘분리된’ (즉, 가환하는) 관찰 가능량들로 구성되며, A는 \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)를 구성하는 ‘인자’로 여길 수 있다.
## 특별한 원소
C* 대수 A의 원소 a\in A 가운데, a=a^2=a^*인 것을 **사영원**(射影元, projection)이라고 하고, 사영원들의 집합을 \operatorname{Proj}(A)로 표기하자. 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H 위에 표현된 폰 노이만 대수 \mathcal A\subseteq\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)의 사영원 A\in\mathcal A의 상 A\mathcal H\subseteq\mathcal H으로 나타내어지는 부분 공간을 **\mathcal A에 속하는 부분 공간**이라고 하자. 그렇다면, 이는 \mathcal A의 사영원들의 집합과 \mathcal A에 속하는 부분 공간들의 집합 사이에 일대일 대응을 정의한다. 폰 노이만 대수 \mathcal A의 두 사영원 A,B\in\mathcal A에 대하여, 만약 A=CC^*이자 B=C^*C인 C\in\mathcal A가 존재한다면, A와 B가 서로 **머리-폰 노이만 동치**(Murray–von Neumann equivalent)라고 하고, A\sim B로 표기하자. 이는 \mathcal A의 사영원들의 집합 위의 동치 관계를 이룬다. \mathcal A의 사영원들의 집합 위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다. :A\lesssim B\iff\exists C\in\operatorname{Proj}(\mathcal A)\colon A\sim C,\;C\mathcal H\subseteq B\mathcal H 폰 노이만 인자의 경우, 이는 사실 사영원들의 머리-폰 노이만 동치류들의 집합 위의 전순서를 이룬다. \mathcal A의 사영원 A\in\operatorname{Proj}(\mathcal A) 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 **유한 사영원**(finite projection)이라고 한다. :\forall B\in\operatorname{Proj}(\mathcal A)\colon B\mathcal H\subsetneq A\mathcal H\implies B\not\sim A
# 분류
인자들은 통상적으로 **Ⅰ종** · **Ⅱ1종** · **Ⅱ∞종** · **Ⅲ종**으로 분류된다. 이들의 정의는 각각 다음과 같다. *Ⅰ종 인자 A의 경우, \operatorname{Proj}(A)\setminus\\{0\\}은 최소 원소를 갖는다. 즉, 가장 작은, 0이 아닌 사영원 동치류가 존재한다. * Ⅱ종 인자는 Ⅰ종 인자가 아니며, 0이 아닌 유한 사영원을 갖는다. ** Ⅱ1종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이다. ** Ⅱ∞종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이 아니다. * Ⅲ종 인자는 Ⅰ종 인자나 Ⅱ종 인자가 아니다. 이들에 대해서는 각각 다음과 같은 구조 정리가 알려져 있다. * Ⅱ1종 인자는 일반적으로 복잡하다. * Ⅱ∞종 인자는 항상 Ⅰ종 인자와 Ⅱ1종 인자로부터 구성될 수 있다. * Ⅲ종 인자는 항상 Ⅱ1종 인자로부터 구성될 수 있다. 즉, 폰 노이만 대수의 분류는 사실상 Ⅱ1종 인자의 분류로 귀결된다.
## Ⅰ종 인자 대수
Ⅰ종 인자 대수는 어떤 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H에 대하여 \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)와 C* 대수로서 동형이다. 구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H의 임의의 단위 벡터 |v\rangle\in\mathcal H에 대하여, |v\rangle\langle v|는 0이 아닌 유한 사영원이다. 복소수 힐베르트 공간은 그 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류된다. 차원이 기수 \kappa일 때, 이에 대응하는 Ⅰ종 인자 대수를 \operatorname I_\kappa형이라고 한다. (분해 가능 복소수 힐베르트 공간의 경우 차원이 가산 기수이다. 이 경우 \aleph_0차원 경우는 보통 \operatorname I_\infty으로 표기된다.)
## Ⅱ∞종 인자 대수
Ⅱ∞종 인자 대수는 항상 Ⅱ1종 인자 대수와 무한 차원 Ⅰ종 인자 대수의 텐서곱으로 표현될 수 있다.
## Ⅲ종 인자 대수
Ⅲ종 인자의 분류 이론은 **도미타-다케사키 이론**이라고 한다. 구체적으로, 도미타-다케사키 이론에서는 각 폰 노이만 대수 A에 대하여 어떤 음이 아닌 실수 집합 \operatorname S(A)\subseteq[0,\infty)를 대응시키며, 이를 A의 **콘 스펙트럼**(Connes spectrum)이라고 한다. 만약 A가 Ⅲ종 인자 대수일 경우, 가능한 콘 스펙트럼들은 다음과 같다. * \operatorname S(A)\setminus\\{0\\}=\\{1\\}. 이는 Ⅲ0종 인자 대수라고 한다. * \operatorname S(A)\setminus\\{0\\}=\\{\dotsc,\lambda^{-2},\lambda^{-1},1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,\dotsc\\}\quad(0<\lambda<1). 이는 Ⅲ*λ*종 인자 대수라고 한다. * \operatorname S(A)\setminus\\{0\\}=\mathbb R^+. 이는 Ⅲ1종 인자 대수라고 한다. (\operatorname S(A)\setminus\\{0\\}은 항상 \mathbb R^+의 닫힌 부분군이므로 다른 가능성은 존재하지 않는다.)
# 역사
인자 대수의 개념 및 Ⅰ종· Ⅱ종·Ⅲ종 인자 대수로의 분류는 존 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(Francis Joseph Murray, 1911~1996)가 양자역학을 분석하기 위하여 도입하였다.언어=en 도미타-다케사키 이론을 통한 Ⅲ종 인자 대수의 분류는 알랭 콘이 1976년에 완료하였다.언어=en