시프트 행렬

선형대수학에서 **시프트 행렬**(shift matrix)은 초대각선 또는 준대각선의 모든 원소가 1이며 이를 제외한 모든 원소가 0인 정사각 행렬이다.
# 정의
체 K 위의 n\times n **상시프트 행렬**(upper shift matrix) U_n\in\operatorname{Mat}(n;K) 및 **하시프트 행렬** L_n\in\operatorname{Mat}(n;K)은 다음과 같이 정의된다. :(U_n)_{ij}=\delta_{i+1,j}= \begin{cases} 1&j;=i+1\\\ 0&j;\ne i+1 \end{cases} \qquad\forall i,j\in\\{1,\dots,n\\} :(L_n)_{ij}=\delta_{i,j+1}= \begin{cases} 1&i;=j+1\\\ 0&i;\ne j+1 \end{cases} \qquad\forall i,j\in\\{1,\dots,n\\} 여기서 \delta_{ij}는 크로네커 델타이다. 예를 들어, 5\times 5 상시프트 행렬 U_5 및 하시프트 행렬 L_5는 다음과 같다. :U_5= \begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\\\ 0&0&1&0&0\\\ 0&0&0&1&0\\\ 0&0&0&0&1\\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix},\;L_5= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\\ 1&0&0&0&0\\\ 0&1&0&0&0\\\ 0&0&1&0&0\\\ 0&0&0&1&0 \end{pmatrix}
# 성질
체 K 위의 m\times m 상·하시프트 행렬 U_m,L_m\in\operatorname{Mat}(m;K)의 왼쪽 곱셈은 다음과 같다. :U_m\cdot\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K) :U_m\cdot\colon \begin{pmatrix}x_1\\\x_2\\\\\vdots\\\x_{n-1}\\\x_n\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x_2\\\x_3\\\\\vdots\\\x_n\\\0_{1\times n}\end{pmatrix} \qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(1,n;K) :L_m\cdot\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K) :L_m\cdot\colon \begin{pmatrix}x_1\\\x_2\\\\\vdots\\\x_{n-1}\\\x_n\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}0_{1\times n}\\\x_1\\\\\vdots\\\x_{n-2}\\\x_{n-1}\end{pmatrix} \qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(1,n;K) 체 K 위의 n\times n 상·하시프트 행렬 U_n,L_n\in\operatorname{Mat}(n;K)의 오른쪽 곱셈은 다음과 같다. :\cdot U_n\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K) :\cdot U_n\colon \begin{pmatrix}x_1&x;_2&\cdots&x;_{n-1}&x;_n\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}0_{m\times 1}&x;_1&\cdots&x;_{n-2}&x;_{n-1}\end{pmatrix} \qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(m,1;K) :\cdot L_n\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K) :\cdot L_n\colon \begin{pmatrix}x_1&x;_2&\cdots&x;_{n-1}&x;_n\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x_2&x;_3&\cdots&x;_n&0_{m\times 1}\end{pmatrix} \qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(m,1;K) 체 K 위의 n\times n 상시프트 행렬 및 하시프트 행렬 U_n,L_n\in\operatorname{Mat}(n;K)은 n을 멱영 지수로 하는 멱영 행렬이다. :U_n^n=0_{n\times n} :L_n^n=0_{n\times n} :U_n^{n-1}=E_{1n}=(\delta_{i,1}\delta_{j,n})_{i,j=1}^n :L_n^{n-1}=E_{n1}=(\delta_{i,n}\delta_{j,1})_{i,j=1}^n
# 예
행렬 :M= \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&2&3&2&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&1&1&1&1 \end{pmatrix} 이 주어졌다면, :U_5M=\begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\\\ 0&0&1&0&0\\\ 0&0&0&1&0\\\ 0&0&0&0&1\\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&2&3&2&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&1&1&1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2&2&2&1\\\ 1&2&3&2&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&1&1&1&1\\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} :L_5M= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\\ 1&0&0&0&0\\\ 0&1&0&0&0\\\ 0&0&1&0&0\\\ 0&0&0&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&2&3&2&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&1&1&1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\\ 1&1&1&1&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&2&3&2&1\\\ 1&2&2&2&1 \end{pmatrix} :MU_5= \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&2&3&2&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&1&1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\\\ 0&0&1&0&0\\\ 0&0&0&1&0\\\ 0&0&0&0&1\\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1&1&1&1\\\ 0&1&2&2&2\\\ 0&1&2&3&2\\\ 0&1&2&2&2\\\ 0&1&1&1&1 \end{pmatrix} :ML_5= \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&2&3&2&1\\\ 1&2&2&2&1\\\ 1&1&1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\\ 1&0&0&0&0\\\ 0&1&0&0&0\\\ 0&0&1&0&0\\\ 0&0&0&1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1&1&1&0\\\ 2&2&2&1&0\\\ 2&3&2&1&0\\\ 2&2&2&1&0\\\ 1&1&1&1&0 \end{pmatrix} 이다.