일반화 복소다양체

미분기하학에서 **일반화 복소다양체**(一般化複素多樣體, generalized complex manifold)는 복소다양체와 심플렉틱 다양체의 공통적인 일반화이다. 물리학적으로, 캘브-라몽 장 B가 존재하는 IIB 초끈 이론 축소화를 나타낸다.
# 정의
n차원 매끄러운 다양체 M 위의 **일반화 개복소구조**(一般化槪複素構造, generalized almost complex structure)는 실수 벡터 다발 TM\oplus T^*M 위의 개복소구조이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 다발 사상 J\colon\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M\to \mathrm TM\oplus\mathrm T^*M이다. * J^2=-\operatorname{id} * \langle J(X+\xi),J(Y+\eta)\rangle=\langle X,\eta\rangle+\langle Y,\xi\rangle 여기서 \langle,\rangle는 부호수 (n,n)의 자연스러운 내적 사상이다. 일반화 개복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 **일반화 개복소다양체**(一般化槪複素多樣體, generalized complex manifold)라고 한다. 일반화 개복소다양체 위의 **일반화 정칙접다발**(generalized holomorphic tangent bundle)은 다음과 같은 복소수 벡터 다발이다. :E=\\{X+\xi\in\Gamma((\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M)\otimes\mathbb C)\colon J(X+\xi)=\mathrm i(X+\xi)\\} 이에 따라 :(\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M)\otimes C\cong E\oplus\bar E 가 된다. \mathrm TM\oplus\mathrm T^*M의 두 매끄러운 단면 X+\xi, Y+\eta에 대하여, 다음과 같이 **쿠란트 괄호**(Courant括弧, Courant bracket)를 정의하자. :[X+\xi,Y+\eta]=[X,Y] +\mathcal{L}_X\eta-\mathcal{L}_Y\xi -\frac12d(\langle X,\eta\rangle-\langle Y,\xi\rangle) 여기서 \mathcal L_X는 리 미분이며, d는 외미분이다. 일반화 개복소구조 가운데, E의 매끄러운 단면들이 쿠란트 괄호에 대하여 닫혀 있는 것들을 **일반화 복소구조**(一般化複素構造, generalized complex structure)라고 하며, 일반화 복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 **일반화 복소다양체**(一般化複素多樣體, generalized complex manifold)라고 한다.
# 순수 스피너
순수 스피너 n차원 실수 벡터 공간 V가 주어졌을 때, V\oplus V^* 위에는 자연스러운 \operatorname{SO}(n,n) 구조가 존재한다. 이 경우, 리 대수의 작용은 :\mathfrak{so}(V\oplus V^*)\cong\mathfrak{gl}(V;\mathbb R)\oplus\bigwedge^2V^*\oplus\bigwedge^2V 이다. V\oplus V^*는 외대수 \textstyle\bigwedge^\bullet V^* 위에 다음과 같은 작용을 갖는다. :(X+\eta)\cdot\phi=\iota(X)\phi+\xi\wedge\phi 이 경우 :(X+\eta)\cdot\left((X+\eta)\cdot\phi\right)=\langle X,\eta\rangle\phi 이며, 이는 디랙 행렬과 같은 형태이다. 이를 사용하여, V\oplus V^*의 디랙 스피너 공간을 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다. :\Delta(V\oplus V^*)\cong\sqrt{\bigwedge^n V}\otimes\bigwedge^\bullet V^* 이는 짝수 차원 디랙 스피너 공간이며, 이는 바일 스피너 공간의 직합으로 나타낼 수 있다. :\Delta(V\oplus V^*)=\Delta^+(V\oplus V^*)\oplus\Delta^-(V\oplus V^*) :\Delta^+(V\oplus V^*)\cong \sqrt{\bigwedge^n V}\otimes\bigwedge^{2\bullet}V^* :\Delta^-(V\oplus V^*)\cong \sqrt{\bigwedge^n V}\otimes\bigwedge^{2\bullet+1}V^* 스피너 \phi\in\Delta^\pm(V\oplus V^*) 가운데, :\dim\ker(\cdot\phi)=\dim\\{X+\eta\in V\oplus V^*\colon (X+\eta)\cdot\phi=0\\}=n 인 것을 V\oplus V^*의 **순수 스피너**(純粹spinor, pure spinor)라고 한다. 이 모든 정의들은 벡터 공간 대신, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에 대하여 정의할 수 있다.
# 일반화 칼라비-야우 다양체
매끄러운 다양체 M의 일반화 접다발 \mathrm TM\oplus\mathrm T^*M이 자명한 순수 스피너 복소수 선다발을 갖는다면, (M,E)를 **일반화 칼라비-야우 다양체**라고 한다. 즉, :\phi\in\Omega^\pm M\otimes\mathbb C 가 \mathrm TM\oplus\mathrm T^*M의 순수 스피너이며, d\phi=0이며, 또한 모든 곳에서 \langle\phi,\bar\phi\rangle\ne0이라면 M은 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 일반화 칼라비-야우 다양체 (M,\phi)가 주어졌을 때, \ker(\cdot\phi)\subset(\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M)\otimes\mathbb C은 M위의 일반화 복소구조를 정의한다. 즉, 모든 일반화 칼라비-야우 다양체는 일반화 복소다양체를 이룬다.
# 예

## 복소다양체
모든 복소다양체는 자명하게 일반화 복소다양체를 이루며, 모든 칼라비-야우 다양체는 자명하게 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 복소수 k차원 복소다양체 M의 경우, E는 정칙 벡터장 및 (1,0)-복소수 미분 형식들의 다발의 직합이다. :E=\mathrm T^+M\oplus\Omega^{1,0}M 이 경우, 순수 스피너는 (k,0)-복소수 미분 형식이며, 칼라비-야우 다양체의 경우 정칙 부피 형식 \Omega\in\Gamma(\Omega^{k,0}M)이 존재하므로 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.
## 심플렉틱 다양체
모든 심플렉틱 다양체 역시 일반화 복소다양체를 이루며, 또한 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 2k차원 심플렉틱 다양체 (M,\omega)가 주어졌을 때, 순수 스피너는 다음과 같은 꼴의 복소수 미분 형식이다. :\exp(\mathrm i\omega)f\qquad(f\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb C)) 순수 스피너의 다발은 항상 자명하므로, 이는 항상 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룸을 알 수 있다. 이 경우, 일반화 정칙 접다발은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다. :X-\mathrm i\omega(X,-)\qquad(X\in\Gamma(\mathrm TM))
# 역사
나이절 히친이 2002년에 거울 대칭을 다루기 위하여 도입하였다.언어=en 이후 히친의 박사 과정 학생인 마르코 괄티에리(Marco Gualtieri)가 박사 학위 논문에서 이를 체계적으로 연구하였다.언어=en