정상 집합

집합론에서 **클럽 집합**(club集合, club set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "거의 대부분"을 포함하는 집합이며, **정상 집합**(定常集合, stationary set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "충분한 수"를 포함하여, 임의의 클럽 집합과 하나 이상의 원소를 공유하는 집합이다. 즉, 이 두 개념의 관계는 공집합이 아닌 열린집합과 조밀 집합의 관계와 같다.
# 정의

## 클럽 집합
극한 순서수 \alpha가 주어졌다고 하자. 부분 집합 :C\subseteq\alpha 가 다음 두 조건을 만족시키면 \alpha-**클럽 집합**(\alpha-club set)이라고 한다. * 순서 위상에 대하여 닫힌집합이다. 즉, 임의의 순서수 0\omega 이를 **말로 연산**(Mahlo演算, Mahlo operation)이라고 한다.18 기수 \kappa에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 **말로 기수**(Mahlo基數, Mahlo cardinal)라고 한다. * 만약 P가 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, \kappa\in\operatorname{Mahlo}(P)이다.언어=en21 * 임의의 R\subseteq V_\kappa에 대하여, \langle V_\alpha,\in,R\cap V_\alpha\rangle\prec\langle V_\kappa,\in, R\rangle가 되는 도달 불가능한 기수 \alpha<\kappa가 존재한다.57, Proposition 6.2(b) 여기서 V_\alpha는 폰 노이만 전체의 단계이며, \langle V_\kappa,\in,R\rangle는 이항 연산 \in과 상수 기호 R를 갖춘 구조이며, \prec는 기본 매장의 존재를 의미한다. 마찬가지로, 만약 P가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, \operatorname{Mahlo}(P)의 원소를 **약한 말로 기수**(弱-Mahlo基數, weakly Mahlo cardinal)라고 한다.17 일반화 연속체 가설을 가정한다면 약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 도달 불가능한 기수의 개념과 일치하므로,18 마찬가지로 약한 말로 기수의 개념은 말로 기수의 개념과 일치한다. 말로 연산은 다음과 같이 초한 귀납법으로 반복할 수 있다. :\operatorname{Mahlo}^\alpha(P)= \begin{cases} \operatorname{Mahlo}(\operatorname{Mahlo}^\beta(P))&\beta+1=\alpha\\\ P\cap\bigcap_{\beta<\alpha}\operatorname{Mahlo}^\beta(P)&\nexists\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta+1=\alpha \end{cases} 이를 사용하여, **\alpha-말로 기수**의 개념을 정의할 수 있다. 즉, 0-말로 기수는 도달 불가능한 기수이며, 1-말로 기수는 말로 기수이다. 말로 기수는 큰 기수의 일종이다. 즉, 말로 기수의 존재 또는 부재는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리(ZFC)로부터 증명할 수 없다. (이는 물론 ZFC가 무모순적이라는 것을 전제로 한다.) 기수에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. (즉, 이는 무모순성 관계보다 더 강하다.) :도달 불가능한 기수 ⇐ 말로 기수 ⇐ 약콤팩트 기수 ⇐ 강콤팩트 기수 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.언어=en§9 :\operatorname{Inaccble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Inaccble})\supseteq\operatorname{Measble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Measble})\supseteq\operatorname{Supercomp}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Supercomp})\supseteq\operatorname{Extble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Extble})\supseteq\operatorname{Superhuge} 여기서 * \operatorname{Inaccble}: 도달 불가능한 기수의 모임 * \operatorname{Measble}: 가측 기수의 모임 * \operatorname{Supercomp}: 초콤팩트 기수의 모임 * \operatorname{Extble}: 확장 가능 기수(extendible cardinal)의 모임 * \operatorname{Superhuge}: 초거대 기수(superhuge cardinal)의 모임
## 다이아몬드 원리
기수 \kappa 및 \kappa-정상 집합 S\subseteq\kappa에 대하여, **(\kappa,S)-다이아몬드 집합렬**((\kappa,S)-diamond sequence) A\colon S\to\mathcal P(\kappa)은 다음 조건을 만족시키는 함수이다. * 임의의 \alpha\in S에 대하여, A_\alpha\subseteq\alpha * 임의의 T\subseteq\kappa에 대하여, \\{\alpha\in S\colon T\cap\alpha=A_\alpha\\}는 \kappa-정상 집합이다. **(\kappa,S)-다이아몬드 원리**((\kappa,S)-diamond原理, (\kappa,S)-diamond principle) \diamondsuit_\kappa(S)는 (\kappa,S)-다이아몬드 집합렬이 존재한다는 명제이다.언어=en \diamondsuit_{\omega_1}(\omega_1)은 흔히 **다이아몬드 원리** \diamondsuit라고 표기한다. 구성 가능성 공리는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 수슬린 가설의 부정 및 연속체 가설을 함의한다. :V=L\implies\diamondsuit\implies(\lnot\mathsf{SH}\land\mathsf{CH}) 즉, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리로 증명하거나 반증할 수 없다.
# 역사
1911년에 프리드리히 파울 말로(Friedrich Paul Mahlo, 1883~1971)가 약한 말로 기수의 개념을 "ρ0-수"(ρ0-Zahl)라는 이름으로 1911년에 도입하였다.언어=de언어=de언어=de 정상 집합의 개념은 제라르 블로크(Gérard Bloch)가 1953년에 도입하였다.언어=fr§1.1 포도르 정리는 포도르 게저(Fodor Géza, 1927~1977)가 1956년에 증명하였다.url-status=dead 솔로베이 정상 집합 분할 정리는 로버트 솔로베이가 1971년에 증명하였다.언어=en 다이아몬드 원리는 로널드 비언 젠슨(Ronald Björn Jensen, 1936~)이 1972년에 도입하였다.언어=en "클럽 집합"(club set)이라는 이름은 영어로 "닫힌집합이자 비유계 집합"(**cl**osed and **u**n**b**ounded)의 머리글자를 딴 것이다.Definition 1.1