결정 코호몰로지

대수기하학에서 **결정 코호몰로지**(結晶cohomology, crystalline cohomology, cohomologie cristalline)는 양의 표수를 가지는 가환환 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 코호몰로지 이론이다.언어=fr언어=fr
# 정의

## 결정 열린 몰입
스킴 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X 속으로의 **결정 열린 몰입**(crystalline open immersion) (U,T,\delta)은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 스킴 (U,\mathcal O_U) * (자리스키) 열린 몰입 U\hookrightarrow X * U의 (자리스키) 닫힌 부분 스킴 T. 이는 물론 어떤 준연접 \mathcal O_U-아이디얼 층 \mathcal I\subseteq\mathcal O_U를 정의한다. * \delta는 (U,\mathcal I) 위의 분할 거듭제곱 구조이다. 즉, (U,\mathcal I,\delta)는 분할 거듭제곱 스킴을 이룬다.
## 결정 위치
다음이 주어졌다고 하자. * 분할 거듭제곱 스킴 (S,\mathcal I,\gamma) * 스킴 X 및 스킴 사상 X\to S **(작은) 결정 위치**(-結晶位置, (small) crystalline site) \operatorname{Cris}(X/S)는 범주로서 다음과 같다. * \operatorname{Cris}(X/S)의 대상은 X 속으로의 결정 열린 몰입 (U,T,\delta) 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다. ** U와 T는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다. * \operatorname{Cris}(X/S)의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상 (U,T,\delta)\to(U',T',\delta') 가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 (S,\mathcal I,\gamma)로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다. 이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다. 유사하게, 다음과 같은 **큰 결정 위치**(big crystalline site) \operatorname{CRIS}(X/S)를 정의할 수 있다. 이는 작은 범주를 이루지 못한다. * \operatorname{CRIS}(X/S)의 대상은 분할 거듭제곱 스킴 사상 (U,T,\delta)\to(S,\mathcal I,\gamma) 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다. ** U와 T는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다. * \operatorname{CRIS}(X/S)의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상 (U,T,\delta)\to(U',T',\delta') 가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 (S,\mathcal I,\gamma)로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다. 이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다. 작은 결정 위치 위의 층의 층 코호몰로지 군 :\operatorname H^i(\operatorname{Cris}(X/S);\mathcal F) 을 **결정 코호몰로지**라고 한다.
## 결정
다음이 주어졌다고 하자. * 스킴 사상 X\to S. 이를 통해 결정 위치 \operatorname{Cris}(X/S)를 정의할 수 있다. * 결정 위치 \operatorname{Cris}(X/S) 위의 \mathcal O_{X/S}-가군층 \mathcal F 그렇다면, \operatorname{Cris}(X/S) 속의 임의의 두 대상 (U,T,\delta), (U',T',\delta') 사이의 사상 :f\colon(U,T,\delta)\to(U',T',\delta') 에 대하여, 자연스러운 사상 :f^*\mathcal F_T\longrightarrow\mathcal F_{T'} 이 존재한다. 만약 이 사상이 항상 \operatorname{Cris}(X/S)의 동형 사상이라면, \mathcal F를 **결정**(結晶, 크리스털)이라고 한다. 이는 X/S에 있는 결정 구조에 \mathcal F가 “자연스럽게 배여 있다”는 것이다. 구조층 \mathcal O_{X/S} 자체는 \operatorname{Cris}(X/S) 위의 결정을 이룬다.
# 성질

## 적분 가능 접속
다음이 주어졌다고 하자. * 가환환 K * 분할 거듭제곱 환 (R,\mathfrak I,\gamma) * 환 준동형 f\colon K\to R * R-가군 M\in\operatorname{Mod}_R M 속의 **접속**(接續, connection)이란 다음 조건을 만족시키는 가군 준동형 :\nabla\colon M\to \Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\otimes_RM 이다. :\nabla(rm)=r\nabla m+m\otimes_B\mathrm dr\qquad\forall m\in M,\;r\in R 여기서 \Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}는 (R,\mathfrak I,\gamma) 위의 분할 거듭제곱 미분 가군이다. 이 경우, 항등식 :\nabla(m\otimes_R\omega)=\nabla m\wedge\omega+m\otimes_R\mathrm d\omega\qquad(m\in M,\;\omega\in\Omega^\bullet_{R/K,\mathfrak I,\gamma}) 를 통해 임의의 차수 미분 형식들에 대한 미분 :\nabla\colon M\otimes_R\Omega^\bullet_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\to M\otimes_R\Omega^{\bullet+1}_{R/K,\mathfrak I,\gamma} 을 정의할 수 있다. 만약 이 연산이 멱영 연산이라면, 즉, 만약 :M\otimes_R\Omega^0_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow\nabla M\otimes_R\Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow\nabla M\otimes_R\Omega^2_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\to\dotsb 가 사슬 복합체라면, 접속 \nabla를 M 속의 **적분 가능 접속**(積分可能接續, integrable connection)이라고 한다.
## 결정 위의 적분 가능 미분
결정 위에는 표준적인 적분 가능 미분이 존재하며, 따라서 드람 복합체를 구성할 수 있다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자. * 분할 거듭제곱 스킴 (S,\mathcal I,\gamma) * 스킴 X 및 스킴 사상 X\to S * X의 결정 열린 부분 스킴 (U,T,\delta)\in\operatorname{Cris}(X/S) * \operatorname{Cris}(X/S) 위의 결정 \mathcal F 그렇다면, :\mathcal O_{T'}:=\mathcal O_T\otimes \Omega^1_{T,\delta},(U(1),T(1),\delta(1))=(U,T,\delta)\times_{(S,I,\gamma)}(U,T,\delta) 로 정의하고, p_0,p_1\colon T(1)\to T로 사영을 잡았을 때, :p_0^*\mathcal F_T\overset{c_0}{\longrightarrow} \mathcal{F}_{T'}\overset{c_1}{\longleftarrow}p^*_1\mathcal F_T 를 생각할 수 있으며, 양 화살표는 가정에 의해서 모두 동형 사상이다. s\in \Gamma(T,\mathcal F_T)를 생각하면 :\nabla(s)=p^*_1s-c(p^*_0s) 로 정의하자. 여기에서 c=c_1^{-1}\circ c_0다. 이것은 보통 접속을 정의할 때 쓰는 리 미분 \nabla_X(Y)=XY-YX를 모방한 것이다. 그러면 이는 :\nabla\colon\Gamma(T,\mathcal F_{T})\longrightarrow \Gamma(T,\mathcal{F}_{T}\otimes_{\mathcal{O}_{X/S\Omega^1_{T/X,\delta}) 를 만들고, 이는 적분 가능 접속이 된다. 미분은 당연히 다항식에서 해야 하고, 표수는 불편하니 다음을 정의하자. (A,I,\gamma)가 분할 거듭제곱 환이고 A\to B가 환 준동형이라면 적당한 P=A[x_i]를 잡아서 P\to C가 전사 준동형이 되도록 하자. 그리고 그 핵을 J라고 하면 :D=\varprojlim_{e}D_{B,\gamma}(J)/p^eD_{B,\gamma}(J) 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 여기 위에서 적절한 성질을 가진 적분 가능 접속과 X/S의 (결정 위치에서) 준연접층은 서로 일대일 대응한다.
## 푸앵카레 보조정리
다음을 생각하자. * 가환환 K * 유한 집합 I * K계수의, I개 변수 분할 거듭제곱 다항식환 P=K\langle(x_i)_{i\in I}\rangle * K 위의 임의의 가군 M 그렇다면, 분할 거듭제곱 드람 복합체 \Omega^\bullet_{P/K}의 각 항에 M의 텐서곱을 취하여도, 이는 완전열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 완전열이 존재한다. :0\to M\to M\otimes_K\Omega^1_{P/K}\to M\otimes_K\Omega^2_{P/K}\to M\otimes_K\Omega^3_{P/A}\to \cdots 이 완전열의 존재는 일종의 “푸앵카레 보조정리”에 해당하며, 반면 일반 다항식환 A[x_i]의 경우에는 성립하지 않는다 ((x^n)'=nx^{n-1}이기 때문). 보다 일반적으로, 다음을 생각하자. * 가환환 K * 분할 거듭제곱 환 (R,\mathfrak I,\gamma) 및 환 준동형 f\colon K\to R * R 위의 분할 거듭제곱 다항식환 P=R\langle (x_i)_{i\in I}\rangle * R 위의 가군 M * M 위의 적분 가능 접속 \nabla\colon M\to M\otimes_R\Omega^1_{R/K,\delta} 그렇다면, P 속의 아이디얼 :\mathfrak J=\mathfrak IP+P_+ 를 생각하자. 여기서 P_+\subseteq P는 양의 차수 항들로 구성된 P의 부분 집합이다. 또한, (P,\mathfrak J) 위에 자명한 분할 거듭제곱 구조 \delta를 부여한다. 그렇다면, K-가군 범주의 유도 범주 \operatorname D(\operatorname{Mod}_K) 안에서 :M\otimes_R\Omega^\bullet_{R/K,\gamma}\xrightarrow\sim M\otimes_P\Omega^\bullet_{P/K,\delta} 이라는 유사 동형 사상이 있다 (즉, 이는 코호몰로지 군 사이의 동형을 정의한다).
## 결정 코호몰로지와 분할 거듭제곱 드람 코호몰로지의 비교
이제 다음을 생각하자. X/S의 결정 위치를 \mathrm{Cris}(X/S)로 표기하자. :D(n)=\prod^{n}D 그러면 D(0)\longrightarrow D(1)\longrightarrow \cdots는 \mathrm{R}\Gamma(\mathrm{Cris}(X/S),\mathcal{F})하고 유사동형사상이다. 이는 마치 체흐 신경과 비슷한 역할을 한다. 이것과 드람 복합체와의 스펙트럼 열을 계산하면 \mathcal{F}를 결정 위치에서 준연접층이라고 하고 M를 \mathcal{F}하고 대응되는 p진으로 완벽한 D-가군이라고 하면 \mathrm{R}\Gamma(\mathrm{Cris}(X/S),\mathcal{F})는 대응되는 적분 가능 접속으로 만들어지는 M\otimes_{D}\Omega^*_{D} 하고 유사 동형이 된다. 즉, 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것이란 곧 드람 복합체를 계산하는 것과 동치이다.
# 역사
알렉산더 그로텐디크가 1966년에 도입하였다.언어=en 이후 피에르 베르틀로(Pierre Berthelot)가 그 이론에 공헌하였다.
# 응용
결정 코호몰로지는 대수적 수론에서 중요한 역할을 한다. 어떤 유한체 \mathbb F_q 위의 스킴 X/\mathbb F_q가 주어졌을 때, 그냥 결정 코호몰로지 군 \operatorname H^i_{\mathrm{cris(X/\mathbb F_{q},\mathcal O_X)를 계산하는 것은 별로 도움이 되지 않는다. 이는 정수론도 그냥 다항식을 쓰는데, 결정 코호몰로지는 위에서 확인한 바에 의하면 A\langle x_i\rangle만이 진짜 미분을 정의하고 따라서 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것도 이것이기 때문이다. 하지만 표수가 커지면 커질수록 A\langle x_i\rangle는 A[x_i]와 “가까워진다”. 따라서, 비트 벡터를 생각해서 :\operatorname H^i_{\mathrm{cris(X):=\varprojlim H^i_{\mathrm{cris(X/W_n(\mathbb F_q),\mathcal O_X) 를 생각할 수 있고, 이것을 \ell=p일 때의 코호몰로지로 에탈 코호몰로지 대신 쓸 수 있다.