리 대수 코호몰로지

리 군론에서 **리 대수 코호몰로지**(Lie代數cohomology, Lie algebra cohomology)는 리 대수 위에 정의되는 코호몰로지 이론이다. Ext 함자의 특수한 경우이다.
# 정의
가환환 R 위의 리 대수 \mathfrak g의 보편 포락 대수가 U\mathfrak g라고 하고, M이 \mathfrak g의 표현(즉, U 위의 가군)이라고 하자. R를 \mathfrak g의 자명한 표현이라고 여기면, **리 대수 코호몰로지**는 다음과 같은 Ext 함자이다. :\operatorname H^n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Ext}^n_{U\mathfrak g}(R;M) 즉, 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자 :M\mapsto M^{\mathfrak g}=\\{m\in M\colon\mathfrak gm=0\\} 의 오른쪽 유도 함자이다. 마찬가지로, **리 대수 호몰로지**(Lie algebra homology)는 다음과 같은 Tor 함자이다. :\operatorname H_n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Tor}_n^{U\mathfrak g}(R;M) 즉, 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자 :M\mapsto M_{\mathfrak g}=M/\mathfrak gM 의 왼쪽 유도 함자이다.
# 성질
연결 콤팩트 리 군 G에 대하여, 그 드람 코호몰로지는 그 리 대수 \operatorname{Lie}(G)의 리 대수 코호몰로지와 (등급 가환 대수로서) 일치한다. :\operatorname H^\bullet(G;\mathbb R)\cong\operatorname H^\bullet(\operatorname{Lie}(G);\mathbb R) (같은 리 대수에 여러 개의 연결 리 군이 대응할 수 있는데, 이는 꼬임 부분군을 포함하지 않는 실수 계수인 드람 코호몰로지로 구별할 수 없다.)
## 슈발레-에일렌베르크 복합체
체 K 위의 리 대수 코호몰로지는 **슈발레-에일렌베르크 복합체**(Chevalley-Eilenberg複合體, Chevalley–Eilenberg complex)라는 공사슬 복합체로 계산할 수 있다. 구체적으로, **n차 슈발레-에일렌베르크 공사슬**(Chevalley–Eilenberg n-cochain)은 K-선형 변환 :\hom_K\left(\bigwedge^n\mathfrak g;M\right) 이며, 그 공경계는 다음과 같다. :(\delta f)(x_1,\ldots,x_{n+1})=\sum_i (-1)^{i+1}x_i\, f(x_1,\ldots,\hat x_i,\ldots,x_{n+1})+\sum_{i 여기서 \hat x_i는 해당 항을 생략하라는 뜻이다. 만약 \mathfrak g가 콤팩트 단일 연결 리 군 G의 리 대수인 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체는 G 위의 M 계수 G-불변 미분 형식의 드람 복합체와 동형이다.
# 낮은 차원의 리 대수 코호몰로지

## 0차 코호몰로지
정의에 따라, 0차 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 작용에 대하여 불변인 가군 원소들로 구성된 부분 가군이다. :\operatorname H^0(\mathfrak g;M)=M^{\mathfrak g}=\\{m\in M\mid \mathfrak gm=0\\}
## 1차 코호몰로지
리 대수의 **미분**(derivation)은 다음 조건을 만족시키는 R-가군 준동형이다. :\delta\colon\mathfrak g\to M :\delta[x,y]=x\delta y-y\delta x\qquad\forall x,y\in\mathfrak g 미분들은 R-가군을 이루며, 이를 \operatorname{Der}(\mathfrak g;M)이라고 쓰자. 임의의 가군 원소 m\in M에 대하여, x\mapsto xm\;\forall x\in\mathfrak g는 미분을 이룬다. 이렇게 나타낼 수 있는 미분을 **내부 미분**(inner derivation)이라고 한다. 내부 미분들 역시 R-가군을 이루며, 이를 \operatorname{IDer}(\mathfrak g;M)이라고 쓰자. 그렇다면, 1차 리 대수 코호몰로지는 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 몫가군이다. :\operatorname H^1(\mathfrak g;M)\cong\operatorname{Der}(\mathfrak g;M)/\operatorname{IDer}(\mathfrak g;M)
## 2차 코호몰로지
2차 리 대수 코호몰로지 군 \operatorname H^2(\mathfrak g;M)은 리 대수의 확대 :0\to M\to\mathfrak h\to\mathfrak g\to0 의 동치류들의 아벨 군과 동형이다. (여기서 M은 아벨 리 대수로 간주한다.)
# 예

## 아벨 리 대수
체 K 위의 아벨 리 대수 V와 그 자명한 표현 W를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 리 괄호가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다. :\operatorname H^\bullet(V;W)=\hom_{K\text{-Vect(\bigwedge^\bullet V;W) 특히, W=K라고 하자. 그렇다면 :\operatorname H^\bullet(V;K)=\bigwedge^\bullet V^* 이며, V가 유한 차원일 경우 :\dim_K\operatorname H^\bullet(V;K)=\binom{\dim V}\bullet 이다. 기하학적으로, K=\mathbb R라고 하고, 아벨 리 군 \operatorname U(1)^n을 생각하자. 이는 위상수학적으로 n차원 원환면이며, 그 드람 코호몰로지는 :\operatorname H^\bullet_{\text{dR(\mathbb T^n)\cong\mathbb R^{\binom n\bullet} 이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. 호지 이론에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 리만 계량을 주었을 때) 조화 형식의 벡터 공간과 표준적으로 동형이다. 평탄한 리만 계량을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변인 것이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응함을 쉽게 알 수 있다.
## 코쥘 복합체
코쥘 복합체 가환환 R 위의 가군 M 및 가군 준동형 \phi\in\hom_{R\text{-Mod(M,R)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M을 R 위의 아벨 리 대수로 여길 수 있으며, 또한 R 위에 :m\cdot r=\phi(m)r 로 정의하여 R를 아벨 리 대수 M의 표현으로 생각하자. 이 경우, R 계수의 M의 슈발레-에일렌베르크 복합체는 (R,M,\phi)에 대한 코쥘 공사슬 복합체와 같다. 즉, 코쥘 복합체는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다.
## 2차원 비아벨 리 대수
체 K 위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수 :\mathfrak g=\operatorname{Span}\\{x,y\\} :[x,y]=x 가 주어졌다고 하자. 이는 가해 리 대수이다. 그렇다면, K 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다. :\delta_1\colon C_1\to C_0 :\delta_1\colon x,y\mapsto0 :\delta_2\colon C_2\to C_1 :\delta_2\colon x\wedge y\mapsto-[x,y]=-x 즉, K 계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다. :\operatorname H_0=C_0\cong K :\operatorname H_1=C_1/\operatorname{im}\delta_2=\operatorname{Span}\\{y\\}\cong K :\operatorname H_2=\ker\delta_2=\\{0\\} 즉, 호몰로지 베티 수는 각각 \dim_K\operatorname H_0=1, \dim_K\operatorname H_1=1, \dim_K\operatorname H_2=0이다. 마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다. :d_0\colon C^0\to C^1 :d_0\colon a\mapsto (x,y\mapsto0) :d_1\colon C^1\to C^2 :d_1\colon (x\mapsto a,\,y\mapsto b)\mapsto(x\wedge y\mapsto -a) 따라서, 코호몰로지의 차원도 \dim_K\operatorname H^0=1, \dim_K\operatorname H^1=1, \dim_K\operatorname H^2=0이다.
## 3차원 직교 대수
3차원 직교군의 리 대수 \mathfrak{so}(3;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(2)의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보자. \mathfrak{so}(3)의 기저는 다음과 같다. [x,y]=z :[y,z]=x :[z,x]=y 따라서, \mathbb R 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다. :\partial_1\colon C_1\to C_0 :\partial_1\colon x,y,z\mapsto0 :\partial_2\colon C_2\to C_1 :\partial_2\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-z :\partial_2\colon y\wedge z\mapsto-[y,z]=-x :\partial_2\colon z\wedge x\mapsto-[z,x]=-y :\partial_3\colon C_3\to C_2 :\partial_3\colon x\wedge y\wedge z\mapsto0 따라서, 이 경우 :\dim_{\mathbb R}\operatorname H_0=1 :\dim_{\mathbb R}\operatorname H_1=0 :\dim_{\mathbb R}\operatorname H_2=0 :\dim_{\mathbb R}\operatorname H_3=1 이다. 리 군 \operatorname{SU}(2)=\operatorname{Spin}(3)은 3차원 초구 \mathbb S^3와 위상 동형이며, 위 값들은 3차원 초구의 베티 수와 일치한다.
# 역사
클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크가 1948년에 도입하였다.언어=en