단위구

_2은 아래의 첫 번째 부분에서 이야기되는 유클리드 공간의 노름이다. 수학에서 **단위구**는 고정된 중심점으로부터의 거리가 1인 점들의 집합이다. 일반화된 거리에 대한 개념이 사용된다; 닫힌 **단위공**은 고정된 중심점에서 거리가 1보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 보통 특정한 점은 연구 중인 공간의 원점으로 구별되고 단위구 또는 단위공이 그 점을 중심으로 한다고 이해된다. 따라서 여기서는 항상 "그" 단위구나 "그" 단위공을 이야기 하는 것이다. 예를 들어, 원의 내부과 표면은 이차원 구이지만, 일차원 구는 그 "원"의 표면이다. 비슷하게, 일반적으로 "구"라고 부르는 유클리드 입체의 내부와 표면은 삼차원 구이지만, 이차원 구는 그 구의 표면이다. 단위구는 단순히 반지름이 1인 구이다. 단위구의 중요한 점은 어떤 구도 평행이동과 크기변환만으로 단위구로 변환될 수 있다는 것이다. 이 때문에 구의 특성은 일반적으로 단위구에 대한 연구로 줄일 수 있다.
# 유클리드 공간에서 단위구와 공
*n*차원 공간의 유클리드 공간에서, (*n*−1)차원 단위구는 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합 (x_1, \ldots, x_n)이다: : x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1 *n*차원 열린 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다: : x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 0일 때만 성립한다. 일부 n값에 따른 표면적과 부피는 다음과 같다: {| class="wikitable" |A_n (표면적) ! colspan=2|V_n (부피) |- ! 0 | 0(1/0!)\pi^0 || 0 || (1/0!)\pi^0 || 1 |- ! 1 | 1(2^1/1!!)\pi^0 || 2 || (2^1/1!!)\pi^0 || 2 |- ! 2 | 2(1/1!)\pi^1 = 2 \pi || 6.283 || (1/1!)\pi^1 = \pi || 3.141 |- ! 3 | 3(2^2/3!!)\pi^1 = 4 \pi || 12.57 || (2^2/3!!)\pi^1 = (4/3)\pi || 4.189 |- ! 4 | 4(1/2!)\pi^2 = 2 \pi^2 || 19.74 || (1/2!)\pi^2 = (1/2)\pi^2 || 4.935 |- ! 5 | 5(2^3/5!!)\pi^2 = (8/3)\pi^2 || 26.32 || (2^3/5!!)\pi^2 = (8/15)\pi^2 || 5.264 |- ! 6 | 6(1/3!)\pi^3 = \pi^3 || 31.01 || (1/3!)\pi^3 = (1/6)\pi^3 || 5.168 |- ! 7 | 7(2^4/7!!) \pi^3 = (16/15)\pi^3 || 33.07 || (2^4/7!!) \pi^3 = (16/105)\pi^3 || 4.725 |- ! 8 | 8(1/4!)\pi^4 = (1/3)\pi^4 || 32.47 || (1/4!)\pi^4 = (1/24)\pi^4 || 4.059 |- ! 9 | 9(2^5/9!!) \pi^4 = (32/105)\pi^4 || 29.69 || (2^5/9!!) \pi^4 = (32/945)\pi^4 || 3.299 |- ! 10 | 10(1/5!)\pi^5 = (1/12)\pi^5 || 25.50 || (1/5!)\pi^5 = (1/120)\pi^5 || 2.550 |} *n* ≥ 2일 때의 확장된 소숫점 아래는 표시된 정확도로 반올림되었다.
### 재귀
*A**'n*값은 재귀를 만족시킨다: :A_0 = 0 :A_1 = 2 :A_2 = 2\pi :A_n = \frac{2 \pi}{n-2} A_{n-2} for n > 2. *V**'n*값도 재귀를 만족시킨다: :V_0 = 1 :V_1 = 2 :V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2} for n > 1.
### 분수 차원
하우스도르프 측도 *A**'n*과 *V**'n*의 공식은 어떤 실수 *n* ≥ 0에 대해서도 계산할 수 있고, *n*이 음이아닌 정수일 때 구의 표면적과 공의 부피를 찾을 수 있는 적절한 환경이 있다. 이것은 (*x*-1)차원 구의 초부피(*즉*, *x*차원 단위공의 표면의 "넓이")를 *x*에 대한 연속 함수로 나타낸다. 이것은 *x*차원 공의 부피를 *x*에 대한 연속 함수로 나타낸다.
### 다른 반지름
구 반지름이 *r*인 (*n*-1)차원 구의 표면적은 *A**'n* *r**'n*−1이고, 반지름이 *r*인 *n*차원 공의 부피는 *V**'n* *r**'n*이다. 예를 들어, 반지름이 *r*인 삼차원 공의 표면적은 *A* = 4*π* *r* 2이다. 반지름이 *r*인 삼차원 공의 부피는 *V* = 4*π* *r* 3 / 3이다.
# 노름 벡터 공간의 단위공
더 정확하게, 노름이 \|\cdot\|의 노름 벡터 공간 V의 **열린 단위구**는 다음과 같다: : \\{ x\in V: \|x\|<1 \\} 이것은 (*V*,||·||)의 **닫힌 단위공**의 내부이다: : \\{ x\in V: \|x\|\le 1\\} 후자는 전자와 그 공통 경계인 **단위구**의 서로소 연합이고, (*V*,||·||)의 **단위구**는 다음과 같다: : \\{ x\in V: \|x\| = 1 \\} *단위공*의 '모양'은 전적으로 선택된 노름에 의존한다; 이것은 충분히 '모퉁이'를 가질 수도 있고, 예를 들면 *R**n*의 노름 *l*∞의 경우에는[−1,1]*n*처럼 보일 수도 있다. *둥근 공*은 일상적인 유클리드 거리의 유한 차원의 경우에 기반하는 힐베르트 공간 노름으로 이해된다; 그 경계는 일반적으로 *단위구*를 의미하는 것이다. 여기에 다양한 값의 *p*에 대한 이차원 \ell^p 공간의 단위공의 그림을 그렸다 (단위공은 *p* < 1일 때는 오목하고 *p* ≥ 1일 때는 볼록하다): 대체=다른 민코프스키 거리 측도를 사용하는 단위원. 모든 노름 공간의 단위공은 삼각 부등식에 의해서 반드시 볼록해야 하기 때문에 이것은 조건 *p* ≥ 1이 \ell^p의 정의에 중요한지 보여준다. 이 이차원 단위공의 지름 C_p에 대해서 주목하라: :C_{0} = C_{\infty} = 8은 최대값이다. :C_{1} = 4 \sqrt{2}은 최솟값이다. :C_{2} = 2 \pi \,.
# 일반화

## 측도 공간
위의 세 정의 모두는 선택한 원점에 대하여 직접적으로 거리 공간으로 일반화 된다. 하지만, 위상적 고려사항(내부, 닫힘, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요는 없다(예를 들면, 초거리 공간에서, 이 세 개 전부는 열려있는 동시에 닫힌 집합이다). 그리고 심지어 단위구는 어떤 거리 공간에서 빌 수도 있다.
## 이차 형식
*V*가 실이차 형식 *F*:*V* → R을 가지는 선형 공간이면 { p ∈ *V* : *F*(p) = 1 }은 단위구Takashi Ono (1994) *Variations on a Theme of Euler: quadratic forms, elliptic curves, and Hopf maps*, chapter 5: Quadratic spherical maps, page 165, Plenum Press, F. Reese Harvey (1990) *Spinors and calibrations*, "Generalized Spheres", page 42, Academic Press, 또는 *V*의 단위 준-구 로 부를 수 도 있다. 예를 들어, 이차 형식 x^2 - y^2에 대해서 집합이 1과 같을 때, 분할복소수평면에서 "단위원"과 같은 역할을 하는 단위 쌍곡선을 만들어낸다. 비슷하게, 이차 형식 x2는 쌍대수평면의 단위 구인 선의 쌍을 얻는다.