헤일스-주에트 정리

**헤일스-주에트 정리**(Hales–Jewett theorem))doi-access=free는 수학 분야 중 조합론과 관련된 램지 이론의 근본적인 결과 중 하나로, 알프레드 W. 헤일스와 로버트 I. 주에트의 이름을 따서 명명되었다. 이 정리는 고차원 개체가 필연적으로 보여야 하는 어떤 조합적 구조의 정도에 관한 것이다. 정리의 비공식적인 기하학적 설명은 다음과 같다. 임의의 양의 정수 n과 c에 대해, 숫자 H가 존재하여 H차원 n×n×n×...×n 큐브의 셀을 c개의 색으로 색칠할 때, 길이가 n인 한 행, 열 또는 특정 대각선(자세한 내용은 아래 참조)이 모두 같은 색이어야 한다. 즉, n과 c가 고정되어 있다고 가정하면, n-행과 c명의 플레이어를 가진 틱택토 게임의 고차원 다중 플레이어 일반화는 아무리 n이 크더라도, 아무리 많은 사람 c가 플레이하더라도, 그리고 어떤 플레이어가 각 차례를 플레이하더라도, 충분히 높은 차원 H의 보드에서 플레이된다면 무승부로 끝날 수 없다. 표준적인 전략 훔치기 논증에 의해, 두 플레이어가 번갈아 플레이한다면, H가 충분히 클 때 첫 번째 플레이어는 승리 전략을 갖는다는 결론을 내릴 수 있지만, 이 전략을 얻기 위한 실용적인 알고리즘은 알려져 있지 않다.
# 공식적인 진술
큐브에서의 조합적 선 문자 n개로 된 알파벳으로 길이가 H인 단어의 집합을 Wp=H라고 하자. 즉, 길이가 H인 {1, 2, ..., n}의 순서열 집합이다. 이 집합은 정리의 주제인 초입방체를 형성한다. Wp=H 상의 변수 단어 w(x)는 여전히 길이가 H이지만, 하나 이상의 문자를 대신하여 특수 요소 x를 포함한다. 특수 요소 x의 모든 인스턴스를 1, 2, ..., n으로 대체하여 얻은 단어 w(1), w(2), ..., w(n)은 공간 Wp=H에서 조합적 선을 형성한다. 조합적 선은 초입방체의 행, 열 및 (일부) 대각선에 해당한다. 헤일스-주에트 정리는 주어진 양의 정수 n과 c에 대해, n과 c에 의존하는 양의 정수 H가 존재하여, Wp=H를 c개의 부분으로 분할할 때, 전체 조합적 선을 포함하는 부분이 적어도 하나 존재한다고 진술한다. 예를 들어, n = 3, H = 2, c = 2라고 하자. 이 경우 초입방체 Wp=H는 표준 틱택토 보드로, 아홉 개의 위치를 갖는다. {| | 11 || 12 || 13 |- | 21 || 22 || 23 |- | 31 || 32 || 33 |} 일반적인 조합적 선은 단어 2x로, 선 21, 22, 23에 해당한다. 또 다른 조합적 선은 xx로, 선 11, 22, 33이다. (틱택토 게임에서는 유효한 선이지만 13, 22, 31은 조합적 선으로 간주되지 않는다.) 이 특정 경우, 헤일스-주에트 정리는 적용되지 않는다. 틱택토 보드를 두 집합, 예를 들어 {11, 22, 23, 31}과 {12, 13, 21, 32, 33}으로 나눌 수 있으며, 이들 중 어느 것도 조합적 선을 포함하지 않는다 (그리고 틱택토 게임에서 무승부에 해당할 것이다). 반면에 H를 8로 늘리면 (보드는 이제 38 = 6561개의 위치를 가진 8차원이 된다), 이 보드를 두 집합("O"와 "X")으로 나누면, 두 집합 중 하나는 조합적 선을 포함해야 한다 (즉, 이 틱택토 변형에서는 무승부가 불가능하다). 증명은 아래를 참조하라.
# 헤일스-주에트 정리의 증명 (특수한 경우)
이제 위에서 논의된 특수한 경우 n = 3, c = 2, H = 8에 대해 헤일스-주에트 정리를 증명한다. 아이디어는 이 작업을 헤일스-주에트 정리의 더 간단한 버전 (이 특정 경우에서는 n = 2, c = 2, H = 2 및 n = 2, c = 6, H = 6의 경우)을 증명하는 작업으로 축소하는 것이다. 유사한 방법을 사용하여 수학적 귀납법을 사용하여 헤일스-주에트 정리의 일반적인 경우를 증명할 수 있다. 초입방체 Wp=8의 각 요소는 1부터 3까지의 여덟 개의 숫자로 된 문자열이다. 예를 들어 13211321은 초입방체의 요소이다. 우리는 이 초입방체가 "O"와 "X"로 완전히 채워져 있다고 가정한다. 우리는 귀류법을 사용하여 O 집합이나 X 집합 모두 조합적 선을 포함하지 않는다고 가정할 것이다. 이러한 문자열의 처음 여섯 요소를 고정하고 마지막 두 요소를 변경하면 일반적인 틱택토 보드를 얻는다. 예를 들어 "132113??"은 이러한 보드를 제공한다. 각 보드 "abcdef??"에 대해 위치 "abcdef11", "abcdef12", "abcdef22"를 고려한다. 이들 각각은 O 또는 X로 채워져야 하므로, 비둘기집 원리에 의해 이들 중 두 개는 같은 기호로 채워져야 한다. 이들 위치 중 임의의 두 개는 조합적 선의 일부이므로, 그 선의 세 번째 요소는 반대 기호로 채워져야 한다 (조합적 선 중 어떤 것도 세 요소가 모두 같은 기호로 채워져 있지 않다고 가정했기 때문이다). 즉, "abcdef"의 각 선택 (6차원 초입방체 Wp=6의 요소로 생각할 수 있다)에 대해 여섯 가지 (겹치는) 가능성이 있다. # abcdef11과 abcdef12는 O; abcdef13은 X이다. # abcdef11과 abcdef22는 O; abcdef33은 X이다. # abcdef12와 abcdef22는 O; abcdef32는 X이다. # abcdef11과 abcdef12는 X; abcdef13은 O이다. # abcdef11과 abcdef22는 X; abcdef33은 O이다. # abcdef12와 abcdef22는 X; abcdef32는 O이다. 따라서 우리는 6차원 초입방체 Wp=6을 위의 여섯 가지 가능성 각각에 해당하는 여섯 개의 클래스로 분할할 수 있다. (요소 abcdef가 여러 가능성을 충족하는 경우, 임의로 하나를 선택할 수 있다. 예를 들어 위 목록에서 가장 높은 것을 선택한다). 이제 Wp=6의 일곱 가지 요소 111111, 111112, 111122, 111222, 112222, 122222, 222222를 고려한다. 비둘기집 원리에 의해 이들 요소 중 두 개는 같은 클래스에 속해야 한다. 예를 들어 111112와 112222가 클래스 (5)에 속한다고 가정하면, 11111211, 11111222, 11222211, 11222222는 X이고 11111233, 11222233은 O이다. 그러나 이제 위치 11333233을 고려하라. 이 위치는 X 또는 O로 채워져야 한다. X로 채워져 있다면, 조합적 선 11xxx2xx는 완전히 X로 채워져 우리의 가설에 모순된다. 대신 O로 채워져 있다면, 조합적 선 11xxx233는 완전히 O로 채워져 다시 우리의 가설에 모순된다. 마찬가지로 Wp=6의 위의 일곱 요소 중 다른 두 개가 같은 클래스에 속한다면 마찬가지이다. 모든 경우에 모순이 있으므로 원래 가설은 거짓이어야 한다. 따라서 완전히 O 또는 완전히 X로 구성된 조합적 선이 적어도 하나 존재해야 한다. 위의 논증은 다소 낭비적이었다. 사실 H = 4에서도 같은 정리가 성립한다.mr=3186481 위의 논증을 n과 c의 일반적인 값으로 확장하면, H는 매우 빠르게 증가한다. c = 2 (2인 틱택토에 해당)일 때조차 위의 논증에서 주어진 H는 아커만 함수만큼 빠르게 증가한다. 첫 번째 원시 재귀 함수 경계는 사하론 셸라흐의 결과이며,doi-access=free 일반적인 헤일스-주에트 수 H = H(n, c)에 대해 여전히 가장 잘 알려진 경계이다.
# 다른 정리와의 연결
위 논증은 또한 다음의 따름정리를 제공한다. 모든 자리가 1, 2, 3인 여덟 자리 숫자의 집합을 A라고 하자 (따라서 A는 11333233과 같은 숫자를 포함한다). 그리고 A를 두 가지 색으로 색칠하면, A는 길이가 3인 십진법 표기법으로 된 등차수열 중 하나를 포함한다. 이 등차수열의 모든 요소는 같은 색이다. 이는 헤일스-주에트 정리의 위 증명에 나타나는 모든 조합적 선이 십진법에서 등차수열을 형성하기 때문이다. 이 논증의 더 일반적인 공식화는 헤일스-주에트 정리가 반 데르 바르던의 정리를 일반화한다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다. 실제로 헤일스-주에트 정리는 훨씬 더 강력한 정리이다. 반 데르 바르던의 정리에 세메레디의 정리라는 더 강력한 밀도 버전이 있는 것처럼, 헤일스-주에트 정리에도 밀도 버전이 있다. 이 강화된 버전의 헤일스-주에트 정리에서, 전체 초입방체 Wp=H를 c개의 색으로 색칠하는 대신, 주어진 밀도 0 < δ < 1을 가진 초입방체 Wp=H의 임의의 부분 집합 A가 주어진다. 이 정리는 H가 n과 δ에 따라 충분히 크다면, 집합 A는 필연적으로 전체 조합적 선을 포함해야 한다고 말한다. 밀도 헤일스-주에트 정리는 원래 퓌르스텐베르크와 카첼슨이 에르고딕 이론을 사용하여 증명했다.s2cid=123036744 2009년에 폴리매스 프로젝트(Polymath Project)는 코너스 정리(corners theorem) 증명에서 나온 아이디어를 바탕으로 밀도 헤일스-주에트 정리의 새로운 증명을 개발했다.doi-access=freeeditor2-link= József Solymosi 도도스, 카넬로풀로스, 티로스는 Polymath 증명의 간소화된 버전을 제시했다.arxiv=1209.4986 헤일스-주에트 정리는 그레이엄-로스차일드 정리에 의해 일반화된다. 이 정리는 고차원 조합적 큐브에 관한 것이다.