아딘크라 (물리학)

물리학에서 **아딘크라**(adinkra)는 초대칭 대수의 표현을 나타내는 일종의 그래프이다.언어=en
# 정의
자연수 n\in\mathbb N에 대하여, **n차원 아딘크라**(n-dimensional adinkra)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * \Gamma는 유한 연결 n차 정규 그래프이다. (특히, 같은 양끝을 갖는 변은 존재하지 않으며, 서로 다른 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 1개 또는 0개이다.) * \Gamma 위에는 두 개의 색의 그래프 색칠이 주어져 있다. 꼭짓점의 색을 \\{\mathsf B,\mathsf F\\}라고 하자. (이는 보손과 페르미온의 머릿글자이다.) 특히, \Gamma는 이분 그래프이어야 한다. * 또한, \Gamma의 각 꼭짓점에는 정수가 주어져 있다. 이를 꼭짓점의 **계수**(rank)라고 하자. * \Gamma 위에는 \\{1,2,\dots,n\\}에 대한 변 색칠이 주어져 있다. * 또한, \Gamma의 각 변에는 부호 \\{+,-\\}가 붙어 있다. (그러나 같은 부호의 변들이 맞닿을 수 있어, 이는 변 색칠을 이루지 않을 수 있다.) 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. * * 각 변의 양끝은 서로 다른 색의 꼭짓점이며, 그 계수의 차는 1이다. * 각 꼭짓점에 닿은 n개의 변에 붙은 색들은 모두 서로 다르다. * 임의의 두 정수 1\le i에 대하여, i 또는 j가 붙은 변들의 집합은 서로 교차하지 않는, 길이 4의 순환들의 분리 합집합을 이룬다. 또한, 이러한 길이 4의 순환 속에서, 부호가 -인 변의 수는 홀수 개(즉, 1개 또는 3개)이다.
## 아딘크라의 동형
두 n차원 아딘크라 \Gamma, \Gamma'가 주어졌다고 하자. 또한, 각 \sigma\in\\{\mathsf B,\mathsf F\\} 및 각 계수 h\in\mathbb Z에 대하여, \Gamma 속의 (\sigma,h)-꼭짓점의 수는 \Gamma' 속의 (\sigma,h)-꼭짓점의 수와 같다고 하자. 또한, 이러한 꼭짓점의 집합을 \operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma) 및 \operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma')로 표기하자. 이 두 아딘크라 사이의 **C-동형**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.§7.2 * 각 \sigma\in\\{\mathsf B,\mathsf F\\} 및 각 계수 h\in\mathbb Z에 대하여, 전단사 함수 f\operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma,\sigma,h)\to\operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma') * 각 v\in \operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma,\sigma,h)에 대하여, 부호 s(v)\in\\{\pm1\\} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. * (색의 보존) 각 변 (u,v)\in\operatorname E(\Gamma)에 대하여, (u,v)의 색 \in\\{1,\dotsc,n\\}은 (f(u),f(v))의 색과 같다. * (부호의 보존) 임의의 변 (u,v)\in\operatorname E(\Gamma)의 부호가 \sigma\in\\{\pm1\\}이라고 할 때, (f(u),f(v))\in\operatorname E(\Gamma')의 부호는 s(u)s(v)\sigma이다. 이 데이터는 성분이 \\{0,-1,+1\\}에 속하는 가역 행렬로 나타낼 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 복소수 가역 행렬을 허용하면 아딘크라의 **동형**의 개념을 얻는다. 그러나 이 개념은 아딘크라의 그래프 자체를 그래프 동형이 아닌 다른 그래프로 변환할 수 있다.§7.2 아딘크라의 **크로모토폴로지**(chromotopology)는 아딘크라의 정의에서 * 꼭짓점에 칠해진 색깔 \\{\mathsf B,\mathsf F\\} * 변에 주어진 부호 \\{\pm\\} * 꼭짓점의 계수 (및 부분 순서) 를 잊고, 대신 * 그래프 구조 * 변의 색깔 \\{1,\dotsc,n\\} 만을 남긴 구조이다.
# 성질

## 초대칭 표현과의 관계
생성원 (H,Q_1,\dotsc,Q_n)을 갖는 초대칭 대수 :\\{Q_i,Q_j\\}=2\delta_{ij}H :[Q_i,H]=0 를 생각하자. 이는 리 초대수 \mathfrak{po}(1|n)을 이룬다. 여기서, 해밀토니언 연산자의 단위는 [시간]−1이며, 따라서 초대칭 연산자 Q_i의 단위는 [시간]−½이다. 이 경우, 아딘크라 \Gamma가 주어졌을 때, :V=\bigoplus_{v\in\operatorname V(\Gamma)}V_v :V_v\cong\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C) 를 생각하자. 이 복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은 \mathfrak{po}(1|n)의 표현을 생각하자. :H=\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} :변 ::\underset u\bullet \;\overset{i,\sigma}{-\\!\\!\\!-\\!\\!\\!-}\; \underset v\bullet ::\operatorname{rank}u=\operatorname{rank}v-1=h ::i\in\\{1,\dotsc,n\\} ::\sigma\in\\{\pm1\\} :에 대하여, 만약 u가 보손이며 v가 페르미온이라면, ::Q_i\phi_u=\sigma \phi_v\qquad(\phi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C)) ::Q_i\phi_v=\sigma \mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_u\qquad(\phi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C)) :만약 u가 페르미온이며 v가 보손이라면, ::Q_i\psi_u=\sigma\mathrm i\psi_v\qquad(\psi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C)) ::Q_i\psi_v=\sigma\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\psi_u\qquad(\psi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C)) 이를 **아딘크라 \Gamma에 대응하는 초대칭 표현**이라고 한다. 아딘크라와 이 아딘크라에 대응하는 초대칭 표현 (초다중항) 사이의 관계는 다음과 같다. :{| class=wikitable ! 아딘크라 || 초다중항 |- | \mathsf B가 붙은 꼭짓점 || 보손 장 |- | \mathsf F가 붙은 꼭짓점 || 페르미온 장 |- | 변 || 초대칭의 작용 |- | 변에 붙은 숫자 \in\\{1,\dotsc,n\\} || 작용하는 초대칭 연산자 Q_1,\dotsc,Q_n |- | 변에 붙은 부호 \in\\{+,-\\} || 초대칭 연산자가 작용했을 때 붙는 부호 (Q_i\colon \phi\mapsto \pm\psi) |- | 꼭짓점의 계수 || 장의 단위 ([시간]−*k*/2에서의 *k*) |} 이와 같이 n차원 아딘크라로 표시될 수 있는 \mathfrak{po}(1|n)의 표현을 **아딘크라 표현**(adinkra表現, adinkraic representation)이라고 한다.
## 리만 곡면
모든 크로모토폴로지에는 표준적으로 어떤 리만 곡면을 대응시킬 수 있으며, 이 대응은 데생당팡을 사용한다.언어=en 구체적으로, N차원 아딘크라와, 이 N개 변 색깔들의 전순서가 주어졌다고 하자. (후자를 **무지개**(rainbow)라고 하기도 한다.) 그렇다면, * 아딘크라의 그래프에, 무지개의 정보를 추가하면, 띠그래프를 이룬다. * 띠그래프의 각 변에 길이 1을 부여하면, 이는 계량 띠그래프이다. * 계량 띠그래프에는 항상 벨리 사상 및 \bar{\mathbb Q}-대수 곡선 (리만 곡면)을 대응시킬 수 있다. * 또한, 이 데이터에는 마찬가지로 데생당팡이 대응된다. 이에 따라, 아딘크라의 구조는 다음과 같은 데이터에 대응된다. {| class=wikitable |- ! 아딘크라 || 기하학 |- | 크로모토폴로지 (그래프 + 변 색칠) + 변의 색 위의 전순서 || 리만 곡면 및 리만 구 위의 분지 피복 |- | 변에 붙은 부호 \pm(의 동치류) || 리만 곡면 위의 스핀 구조 |- | 꼭짓점의 계수 || 리만 곡면 위의 인자 |}
# 분류
(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 크로모토폴로지의 분류는 다음과 같다. \mathbb F_2-벡터 공간 \mathbb F_2^n 속의 선형 부호 C\subseteq \mathbb F_2^n가운데, 만약 모든 원소 c\in C에 대하여 4\mid\operatorname{d_H}(c,0)라면, C를 **겹짝 선형 부호**(doubly even linear code)라고 한다. (여기서 \operatorname{d_H}는 해밍 거리이다.) (아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 n차원 크로모토폴로지는 \mathbb F_2^n/C의 꼴의 그래프로 나타내어진다.Theorem 4.5 여기서 \mathbb F_2^n은 초입방체 크로모토폴로지이며, C는 겹짝 선형 부호이다.
# 예

## 간단한 예
2차원 아딘크라의 예는 다음과 같다. Ｂ ¹／ ＼² Ｆ Ｆ ₂＼ ／₁ Ｂ 여기서 변에 붙은 부호는 검은 색 또는 붉은 색으로 표시하였으며, 꼭짓점의 계수는 그림에서의 높이로 표시된다 (즉, 그림을 하세 도표로 생각한다). 이는 초다중항 :(\phi,\psi,\chi,A) :Q_1\phi=\psi :Q_2\phi=\chi :Q_1\chi=-Q_2\psi=A :Q_1\psi=Q_2\chi=H\phi :Q_1A=H\chi :Q_2A=-H\psi 을 나타낸다. 1차원 아딘크라의 예는 다음과 같다. Ｆ ｜§4
## 초입방체가 아닌 크로모토폴로지
초입방체가 아닌 가장 간단한 연결 크로모토폴로지는 4차원이며, 다음과 같은 이진 선형 부호에 대응한다. :\\{(0,0,0,0),(1,1,1,1)\\}\subseteq \mathbb F_2^{\oplus 4} 즉, 다음과 같은 꼴이다.Figure 5 (편의상 변의 색칠을 생략하였다.)

_ F, G, H _
/ / \ \
B C D E
\ \ / /
`- A -´

즉, 여기서 F, G, H는 각각 B, C, D, E와 모두 변으로 연결돼 있지만, F와 G와 H 사이에는 변이 존재하지 않는다.
# 역사
아샨티족의 아딘크라 문양 2004년에 마이클 폭스(Michael Faux)와 실베스터 제임스 게이츠 2세(Sylvester James Gates, Jr.)가 초대칭 양자장론을 분석하기 위하여 도입하였다.언어=en “아딘크라”라는 단어는 아샨티족의 문화에서 사용되는 일종의 문양인 아딘크라(adinkra)에서 유래하였다.