무게 (표현론)

리 대수 이론에서, **무게**(weight)는 리 대수의 표현을 분류하는 일련의 수들이다.
# 정의
체 K에 대한 리 대수 \mathfrak g의 **무게** \lambda\in\mathfrak g^\vee는 다음 성질을 만족시키는 K-선형 범함수이다. (여기서 (-)^\vee는 쌍대 공간이다.) :\lambda([a,b])=0\qquad\forall a,b\in\mathfrak g 무게는 리 괄호에 대하여 0이므로, 리 대수 \mathfrak g의 무게는 그 가환화 \mathfrak g/[\mathfrak g,\mathfrak g]의 무게로 제한될 수 있다. 즉, \mathfrak g의 무게는 (\mathfrak g/[\mathfrak g,\mathfrak g])^*의 원소를 정의한다.
## 무게 가군
다음이 주어졌다고 하자. * 체 K * K-리 대수 \mathfrak g * \mathfrak g의 표현 \mathfrak g\to\operatorname{\mathfrak{gl(V;K) * \mathfrak g의 무게 \lambda\in\mathfrak g^* 그렇다면, V 속의, 무게 \lambda의 **무게 공간**(weight space) V_\lambda는 V의 다음과 같은 부분 공간이다. :V_\lambda=\\{v\in V\colon \forall a\in\mathfrak g\colon av=\lambda(a)v\\} V_\lambda\ne\\{0\\}이라면 \lambda를 V의 **무게**라고 하고, 무게 공간의 원소를 **무게 벡터**(weight vector)라고 한다. 만약 V가 그 무게 공간들의 직합이라면, V를 \mathfrak g의 **무게 가군**(-加群, weight module)이라고 한다. 마찬가지로, 다음을 정의하자. V 속의, 무게 \lambda의 **일반화 무게 공간**(generalized weight space) V_\lambda는 V의 다음과 같은 부분 공간이다.언어=en130 :V_\lambda=\\{v\in V\colon \forall a\in\mathfrak g\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon(a-\lambda(a))^nv=v\\} V_\lambda\ne\\{0\\}이라면 \lambda를 V의 **일반화 무게**(generalized weight)라고 하고, 무게 공간의 원소를 **일반화 무게 벡터**(generalized weight vector)라고 한다. (유한 차원 V의 경우 사실 항상 n=\dim V로 잡을 수 있다.) 마찬가지로, 일반화 무게 공간들의 직합으로 표현되는 표현을 **일반화 무게 가군**(generalized weight module)이라고 한다.
# 성질
복소수체 위의 유한 차원 멱영 리 대수 \mathfrak n의 모든 유한 차원 표현은 항상 일반화 무게 가군이다.130, Proposition II.2.4 복소수체 위의 유한 차원 아벨 리 대수 \mathfrak a의 모든 유한 차원 표현은 항상 무게 가군이다.
## 반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수의 무게
만약 \mathfrak g가 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g를 고르자. [\mathfrak g,\mathfrak g]=\mathfrak g이므로, \mathfrak g 위의 모든 무게는 자명하다. 그러나 아벨 리 대수 \mathfrak h는 (물론) 자명하지 않을 수 있다. 이 경우, \mathfrak g의 모든 유한 차원 표현은 (\mathfrak h에 제한되었을 때) \mathfrak h의 무게 가군을 이룬다. 딸림표현 V=\mathfrak g의 \mathfrak h-무게들을 \mathfrak g의 **근**(根, root)이라고 하며, 이들은 \mathfrak h^*의 벡터들의 집합으로서 근계를 이룬다. 근 \lambda에 대응하는 **쌍대근**(雙對根, coroot) \lambda^\vee\in\mathfrak h은 :\lambda^\vee=\frac{2\lambda}{\langle\lambda,\lambda\rangle} 이다.
## 단순 리 대수의 무게
\mathfrak g가 복소수체 위의 유한 차원 단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g를 고르자. \mathfrak g의 **정수 무게**(整數-, integral weight) \lambda\in\mathfrak h^*는 다음 조건을 만족시키는 무게이다. * 모든 쌍대근 \gamma^\vee=2\gamma/\langle\gamma,\gamma\rangle에 대하여, \lambda(\gamma^\vee)\in\mathbb Z. (다시 말해, 모든 근 \gamma에 대하여, 2\langle \lambda,\gamma\rangle/\langle\gamma,\gamma\rangle \in \mathbb Z.) 정수 무게들의 집합 P(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\mathbb h는 (덧셈군으로서) \mathbb Z^{\oplus\dim\mathfrak h}와 동형이며, 이를 **정수 무게 격자**(integral weight lattice)라고 한다. \mathfrak g의 근계의 양근 \Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\Delta(\mathfrak g,\mathfrak h) 및 이를 생성하는 단순근 \operatorname S(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq \Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)를 고르자. 그렇다면, \mathfrak g의 **기본 무게**(基本-, fundamental weight) \lambda_i는 (선택한 양근 집합에 대한) 단순근에 대응되는 쌍대근들의 집합의 쌍대 기저의 원소이다. 즉, 단순근 집합 \operatorname S(\mathfrak g,\mathfrak h)=(\alpha_i)_{i\in\\{1,\dotsc,\dim_{\mathbb h}\\에 대하여 다음 조건을 만족시키는 무게 (\omega_i)_{i\in\\{1,\dotsc,\dim_{\mathbb h}\\\subseteq\mathfrak h이다. :2\frac{\langle\omega_i,\alpha_j\rangle}{\langle\alpha_j,\alpha_j\rangle} = \delta_{ij} 이에 따라, 정수 무게는 기본 무게의 정수 계수 선형 결합이 된다. \mathfrak g의 **우세 무게**(優勢-, dominant weight)는 기본 무게의 음이 아닌 실수 계수 선형 결합이다. 즉, 무게 \gamma\in\mathfrak h가 우세 무게가 될 필요 충분 조건은 모든 양근 (또는 단순근) \alpha에 대하여 :\langle \gamma,\alpha\rangle\ge0 인 것이다. \mathfrak g의 **우세 정수 무게**(優勢-, dominant integral weight)는 기본 무게들의 음이 아닌 정수 계수의 선형 결합이다. 우세 무게들의 닫힌집합(즉, 우세 정수 무게들의 볼록포)를 **기본 바일 방**(fundamental Weyl chamber)이라고 한다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :{| | 무게 || ⊃ || 정수 무게 || ⊃ || *근* || ⊃ || _*양근*_ || ⊃ || _*단순근*_ |- | ∪ || || ∪ |- | _우세 무게_ || ⊃ || _우세 정수 무게_ || ⊃ || _*기본 무게*_ |- | || || ⟒ |- | || || *영벡터* (0) |} 여기서 * _밑줄_ 로 강조된 것들은 양근의 선택에 의존하지만, 나머지는 그렇지 않다. * *기울어지게* 쓰인 것들은 유한 집합이며, 나머지는 무한 집합이다.
# 예
다음과 같은 A2 근계를 생각하자. :파일:Weights for A2 root 여기서 * 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.) * 삼각형 격자의 모든 꼭짓점은 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.) * 굵게 칠해진 꼭짓점들은 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.) * 굵게 칠해진 꼭짓점들의 볼록포인 60° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.) * 화살표의 머리들(\pm\gamma_1, \pm\gamma_2, \pm(\gamma_1+\gamma_2))은 근이다. (즉, 총 6개의 근이 있다.) * 양근은 \gamma_1, \gamma_2, \gamma_1+\gamma_2이다. (즉, 총 3개의 양근이 있다.) * 단순근은 \gamma_1, \gamma_2이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.) * 기본 무게는 \omega_1, \omega_2이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.) 다음과 같은 B2 근계를 생각하자. : 여기서 * 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.) * 격자 \mathbb Z\alpha + \mathbb Z\beta/2의 원소는 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.) * \mathbb N(\alpha+\beta)+\mathbb N(\alpha+\beta/2)의 원소는 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.) * 제1사분면의 점 가운데, y좌표가 x좌표보다 더 큰 점들로 구성된 45° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.) * 화살표의 머리들(\pm\alpha, \pm\beta, \pm(\alpha+\beta) \pm(2\alpha+\beta))은 근이다. (즉, 총 8개의 근이 있다.) * 양근은 \alpha, \beta, \alpha+\beta, 2\alpha+\beta이다. (즉, 총 4개의 양근이 있다.) * 단순근은 \alpha, \beta이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.) * 기본 무게는 \alpha+\beta, \alpha+\beta/2이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)