대칭 모노이드 범주

범주론에서 **대칭 모노이드 범주**(對稱monoid範疇, symmetric monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙과 교환 법칙이 성립하고, 동형 사상 아래 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. (교환 법칙이 성립하지 못할 수 있는) 모노이드 범주의 개념의 특수한 경우이다.
# 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho) * 함자 \otimes\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C,\;(X,Y)\mapsto X\otimes Y, \otimes\circ\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C,\;(X,Y)\mapsto Y\otimes X 사이의 자연 동형 \sigma\colon\otimes\Rightarrow\otimes\circ\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}. 여기서 \sigma_{\mathcal C,\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C, (X,Y)\mapsto(Y,X)는 곱범주 위의 표준적인 자연 동형이다. 이 데이터에 대하여 다음 조건들을 생각하자. * (결합자와의 호환) 임의의 대상 X,Y,Z\in\mathcal C에 대하여, \alpha_{Y,Z,X}\circ\sigma_{X,Y\otimes Z}\circ\alpha_{X,Y,Z}=(\operatorname{id}_Y\otimes\sigma_{X,Z})\circ\alpha_{Y,X,Z}\circ(\sigma_{X,Y}\otimes\operatorname{id}_Z). 즉, 다음 그림은 가환 그림이다. *:\begin{matrix} (X\otimes Y)\otimes Z&\xrightarrow\sigma&(Y\otimes X)\otimes Z\\\ {\scriptstyle\alpha}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\alpha\\\ X\otimes(Y\otimes Z)&&Y;\otimes(X\otimes Z)\\\ {\scriptstyle\sigma}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\sigma\\\ (Y\otimes Z)\otimes X&\xrightarrow[\alpha]{}&Y;\otimes(Z\otimes X)\\\ \end{matrix} * (결합자의 역원과의 호환) 임의의 대상 X,Y,Z\in\mathcal C에 대하여, \alpha^{-1}_{Z,X,Y}\circ\sigma_{X\otimes Y,Z}\circ\alpha^{-1}_{X,Y,Z}=(\sigma_{X,Z}\otimes\operatorname{id}_Y)\circ\alpha^{-1}_{X,Z,Y}\circ(\operatorname{id}_X\otimes\sigma_{Y,Z}). 즉, 다음 그림은 가환 그림이다. *:\begin{matrix} X\otimes(Y\otimes Z)&\xrightarrow\sigma& X\otimes(Z\otimes Y)\\\ {\scriptstyle\alpha^{-1\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\alpha^{-1}\\\ (X\otimes Y)\otimes Z&&(X\otimes Z)\otimes Y\\\ {\scriptstyle\sigma}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\sigma\\\ Z\otimes(X\otimes Y)&\xrightarrow[\alpha^{-1}]{}&(Z\otimes X)\otimes Y\\\ \end{matrix} * (멱등성) 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, \operatorname{id}_{X\otimes Y}=\sigma_{Y,X}\circ\sigma_{X,Y}. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다. *:\begin{matrix} X\otimes Y&\xrightarrow\sigma&Y;\otimes X\\\ \|&\swarrow\scriptstyle\sigma\\\ X\otimes Y \end{matrix} 이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (결합자의 역원과의 호환) 그림을 가환 그림으로 만든다면, **꼬임 모노이드 범주**(braided monoidal category)라고 한다. 이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (멱등성) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 이를 **대칭 모노이드 범주**(對稱monoid範疇, symmetric monoidal category)라고 한다. (결합자와의 호환) 및 (멱등성)이 성립한다면 (결합자의 역원과의 호환) 역시 자동적으로 성립한다. 즉, 모든 대칭 모노이드 범주는 꼬임 모노이드 범주이다.
## 대칭 모노이드 함자
두 꼬임 모노이드 범주 :(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho,\sigma) :(\mathcal C',\otimes',I',\alpha',\lambda',\rho',\sigma') 사이의 **꼬임 모노이드 함자**(braided monoidal functor)는 다음 조건을 만족시키는 모노이드 함자 :(F\colon\mathcal C\to\mathcal C',\xi\colon F(-)\otimes F(-)\Rightarrow F(-\otimes-),\xi_0\colon I'\to F(I)) 이다. * (꼬임과의 호환) 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, F(\sigma_{X,Y})\circ\xi_{X,Y}=\xi_{Y,X}\circ\sigma'_{F(X),F(Y)}. 즉, 다음 그림이 가환한다. *:\begin{matrix} F(X)\otimes'F(Y) & \xrightarrow{\sigma'} & F(Y)\otimes'F(X) \\\ {\scriptstyle\xi}\downarrow && \downarrow{\scriptstyle\xi} \\\ F(X\otimes Y) & \xrightarrow{F\sigma} & F(Y\otimes X) \end{matrix} 두 대칭 모노이드 범주 사이의 **대칭 모노이드 함자**(symmetric monoidal functor)는 단순히 둘 사이의 꼬임 모노이드 함자이다. 두 꼬임·대칭 모노이드 범주 사이의 두 꼬임·대칭 모노이드 함자 사이의 **꼬임·대칭 모노이드 자연 변환**(braided/symmetric monoidal functor)은 단순히 둘 사이의 모노이드 자연 변환이다.
# 성질
모든 꼬임 모노이드 범주는 다음 조건을 자동적으로 만족시킨다.언어=en * (항등원과의 호환) 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, \rho_X=\lambda_X\circ\sigma_{X,I}. 즉, 다음 그림이 가환한다. *:\begin{matrix} X\otimes I&\xrightarrow\sigma&I;\otimes X\\\ {\scriptstyle\rho}\downarrow&\swarrow\scriptstyle\lambda\\\ X \end{matrix}
## 대칭 구조가 유일할 조건
주어진 모노이드 범주 위의 대칭 구조는 존재하지 않을 수 있으며, 유일하지 않을 수 있다. 만약 (\mathcal C,\otimes,I)가 국소적으로 작은 닫힌 모노이드 범주이며, 표현 가능 함자 \hom_{\mathcal C}(I,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}가 충실한 함자라면, (\mathcal C,\otimes,I) 위의 대칭 구조는 (만약 존재한다면) 유일하다.zbl=0192.10604536, Proposition III.6.1zbl=1086.1800112, §1.4
# 예
(끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 대칭 모노이드 범주를 **데카르트 모노이드 범주**(Cartesian monoidal category)라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 대칭 모노이드 범주를 **쌍대 데카르트 모노이드 범주**(co-Cartesian monoidal category)라고 한다.
# 역사
손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였다.언어=en 꼬임 모노이드 범주는 앙드레 주아요(André Joyal, 1943~)와 로스 하워드 스트리트(Ross Howard Street)가 도입하였다.언어=en언어=en