준열린집합

일반위상수학에서 **준열린집합**(準-集合, almost open set) 또는 **베르 성질 집합**(Baire性質集合, set with the property of Baire)은 열린집합 또는 닫힌집합에 제1 범주 집합만큼 가까운 집합이다.
# 정의
위상 공간 X 속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자. * \operatorname{Meag}(X)=\\{S\subseteq X\colon\operatorname{int}(\operatorname{cl}(X))=\varnothing\\}: 제1 범주 집합들의 족 * \boldsymbol\Sigma^0_1(X): 열린집합들의 족 * \boldsymbol\Pi^0_1(X): 닫힌집합들의 족 * \boldsymbol\Sigma^0_2(X): Fσ 집합들의 족 * \boldsymbol\Pi^0_2(X): Gδ 집합들의 족 * \boldsymbol\Delta^1_1(X): 보렐 집합들의 족 또한, \operatorname\sigma(\mathcal F)가 집합족 \mathcal F를 포함하는 최소의 시그마 대수라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를 \operatorname{BP}(X)라고 표기하자. : \begin{aligned} \operatorname{BP}(X)&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\right)\\\ &=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_1(X)\right)\\\ &=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Delta^1_1(X)\right)\\\ &=\left\\{S\subseteq X\colon\exists U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}U\in\operatorname{Meag}(X)\right\\}\\\ &=\left\\{S\subseteq X\colon\exists F\in\boldsymbol\Pi^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}F\in\operatorname{Meag}(X)\right\\}\\\ &=\\{A\setminus M\colon A\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\\}\\\ &=\\{A\cup M\colon A\in\boldsymbol\Pi^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\\}\\\ \end{aligned} 여기서 A\mathop{\triangle}B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)은 대칭차이다. \operatorname{BP}(X)의 원소를 X의 **준열린집합**이라고 한다.언어=en47–48, Definition 8.21, Proposition 8.22, Proposition 8.23

**증명:**

다음 기호를 정의하자. :\begin{aligned} \mathcal A&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\right)\\\ \mathcal A'&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_1(X)\right)\\\ \mathcal A*&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Delta^1_1(X)\right)\\\ \mathcal B&=\left\\{S\subseteq X\colon\exists U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}U\in\operatorname{Meag}(X)\right\\}\\\ \mathcal B'&=\left\\{S\subseteq X\colon\exists F\in\boldsymbol\Pi^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}F\in\operatorname{Meag}(X)\right\\}=\\{X\setminus S\colon S\in\mathcal B\\}\\\ \mathcal C&=\\{A\setminus M\colon A\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\\}\\\ \mathcal C'&=\\{A\cup M\colon A\in\boldsymbol\Pi^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\\}=\\{X\setminus S\colon S\in\mathcal C\\}\\\ \end{aligned} 보렐 시그마 대수는 정의에 따라 \boldsymbol\Delta^1_1(X)=\sigma(\boldsymbol\Sigma^0_1(X))=\sigma(\boldsymbol\Pi^0_1(X))이므로, 자명하게 :\mathcal A=\mathcal A'=\mathcal A* 이다. 또한, 자명하게 :\mathcal C\cup\mathcal C'\subseteq\mathcal A''\subseteq\sigma(\mathcal B)=\sigma(\mathcal B') 이다. 또한, :\mathcal B\subseteq\mathcal C'\iff\mathcal B'\subseteq\mathcal C 임을 쉽게 알 수 있다. 따라서, :\mathcal B\subseteq\mathcal C' :\mathcal B=\sigma(\mathcal B) 를 보이면 족하다. * \mathcal B\subseteq\mathcal C': 임의의 집합 S\in\mathcal B 및 U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)에 대하여, S\triangle U\subseteq A_0\cup A_1\cup\cdots이며, (A_i)_{i\in\mathbb N}가 조밀한 곳이 없는 집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, M=\operatorname{cl}(A_0)\cup\operatorname{cl}(A_1)\cup\cdots\in\operatorname{Meag}(X)\cap\boldsymbol\Sigma^0_2(X)이다. 이제 \tilde S=U\setminus M\in\boldsymbol\Pi^0_2(X)을 정의하자. 그렇다면, S\setminus\tilde S\subseteq M이므로 S\setminus\tilde S\in\operatorname{Meag}(X)이며, S=\tilde S\cup(S\setminus\tilde S)이다. * \mathcal B=\sigma(\mathcal B): ** 가산 합집합에 대한 닫힘: 열린집합의 합집합은 열린집합이며, 제1 범주 집합들의 가산 합집합은 제1 범주 집합이므로, 이는 자명하게 참이다. ** 여집합에 대한 닫힘: 편의상, A\triangle B\in\operatorname{Meag}(X)를 A\approx B로 표기하자. 임의의 A\in\mathcal B에 대하여, U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)이며 A\approx U라고 하자. 그렇다면, X\setminus A\approx X\setminus U이며, U\approx\operatorname{cl}(U)이므로 X\setminus A\approx X\setminus\operatorname{cl}(U)\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)이다.

# 성질

## 함의 관계
위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. :{| | colspan=2 | || 정칙 열린집합 ⇒ 열린집합 |- | || ⇗ || || ⇘ |- | 열린닫힌집합 |colspan=3| || 보렐 집합 |- | || ⇘ || || ⇗ || || ⇘ |- | colspan=2 | || 정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합 | colspan=3 | || 준열린집합 ⇒ 부분 집합 |- | colspan=5 | || ⇗ |- | colspan=5 | 조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 제1 범주 집합 |}
## 연산에 대한 닫힘
위상 공간 X 위의 준열린집합들은 시그마 대수를 이룬다. 즉, * 준열린집합의 여집합은 준열린집합이다. * 가산 개의 준열린집합들의 합집합은 준열린집합이다. * 가산 개의 준열린집합들의 교집합은 준열린집합이다. 모든 열린집합과 닫힌집합을 비롯한 모든 보렐 집합은 준열린집합이다. 만약 사영 결정 공리를 가정한다면, 모든 사영 집합은 준열린집합이다.
# 예
선택 공리를 가정하면, 실수선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 준열린집합이 아니다.
# 역사
르네루이 베르가 1905년에 도입하였다.언어=fr