멜린 변환

해석학에서 **멜린 변환**(Mellin變換, Mellin transform)은 양의 실수선 위의 함수에 대하여 정의되는 적분 변환의 일종이다.언어=en 푸리에 변환에 지수 함수를 합성한 것이다. 이에 따라, 푸리에 변환이나 라플라스 변환이 평행 이동에 대하여 호환되는 것에 반해, 멜린 변환은 확대 변환에 대하여 호환된다. 원래 함수의 0 또는 무한대에서의 점근적 급수의 계수는 멜린 변환의 극점의 계수로 주어진다.
# 정의
\mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}라고 하자. 양의 실수선 (\mathbb R^+=(0,\infty)) 위에 정의된 실수 값 함수 :f\in\operatorname L^1(\mathbb R^+;\mathbb K) :f\colon(0,\infty)\to\mathbb K 가 주어졌다고 하자. (\operatorname L^1은 1차 르베그 공간, 즉 절댓값 적분 가능 함수 공간이다.) \mathcal Mf의 정의역은 위 적분이 수렴하는 복소수 s\in\mathbb C들의 집합이다. 그렇다면, f의 **멜린 변환**은 (만약 존재한다면) 다음과 같은 적분 변환이다. :\mathcal Mf(s)=\int_0^\infty x^sf(x)\,\frac{\mathrm dx}x
## 확장된 멜린 변환
만약 위와 같은 멜린 변환이 수렴하지 않더라도, 일부 경우 멜린 변환을 다음과 같이 정의할 수 있다.§1 우선, 함수 f\in\operatorname L^1(\mathbb R^+;\mathbb C)가 0 근처에서 점근적 급수 :f(x)\sim\sum_{i=0}^\infty a_ix^{\alpha_i}(\ln x)^{m_i} 를 갖는다고 하자. (이 급수는 점근적 급수이다. 즉, 수렴할 필요는 없다.) 여기서 :\alpha_i\in\mathbb C 는 :\Re\alpha_0\le\Re\alpha_1\le\Re\alpha_2\le\cdots :\sup_{i=0}^\infty\Re\alpha_i=\infty 를 만족시키는 복소수열이며, :m_i\in\mathbb N 는 자연수(음이 아닌 정수)의 수열이다. 그렇다면, 임의의 0에 대하여 "부분 멜린 변환" :\mathcal Mf(s)=\int_0^T x^sf(x)\,\frac{\mathrm dx}x 는 해석적 연속을 가하면 복소평면 위의 유리형 함수이며, 그 극점들은 -\alpha_i에 위치하며, 극점 근처에서의 로랑 급수는 다음과 같다. :\mathcal Mf(s)=\frac{(-1)^{m_i}m_i!a_i}{(s+\alpha_i)^{m_i+1+\mathcal O\left((s+\alpha_i)^{-m_i}\right) 마찬가지로, f가 무한대 근처에서 점근적 급수 :f(x)\sim\sum_{i=0}^\infty b_ix^{\beta_i}(\ln x)^{n_i} 를 갖는다고 하자. 여기서 :\beta_i\in\mathbb C 는 :\Re\beta_0\ge\Re\beta_1\ge\Re\beta_2\ge\cdots :\inf_{i=0}^\infty\Re\beta_i=-\infty 를 만족시키는 복소수열이며, :n_i\in\mathbb N 는 자연수(음이 아닌 정수)의 수열이다. 그렇다면, 임의의 0에 대하여 "부분 멜린 변환" :\mathcal Mf(s)=\int_T^\infty x^sf(x)\,\frac{\mathrm dx}x 는 해석적 연속을 가하면 복소평면 위의 유리형 함수이며, 그 극점들은 -\beta_i에 위치하며, 극점 근처에서의 로랑 급수는 다음과 같다. :\mathcal Mf(s)=-\frac{(-1)^{n_i}n_i!b_i}{(s+\beta_i)^{n_i+1+\mathcal O\left((s+\beta_i)^{-n_i}\right) 이에 따라, 임의의 0에 대하여 (일반화) 멜린 변환을 위와 같은 두 "부분 멜린 변환"의 해석적 연속의 합인 유리형 함수로 정의할 수 있으며, 이는 0의 선택에 의존하지 않는다. 이러한 꼴의 함수에 대하여, 기본대는 :(\alpha_0,\beta_0) 이다. 특히 \beta>\alpha_0일 수 있는데, 이 경우 고전적 멜린 변환은 정의되지 않는다.
# 성질

## 정의역
임의의 f\in\operatorname L^1((0,\infty);\mathbb K)에 대하여, \mathcal Mf의 정의역은 다음과 같은 꼴이다. :(a,b)+\mathrm i\mathbb R\subseteq\mathcal Mf\subseteq[a,b]+\mathrm i\mathbb R\qquad(a,b\in\mathbb R) 즉, 경계에서의 영집합을 제외하면 나머지는 (a,b)+\mathrm i\mathbb R 꼴의, 복소평면의 띠이다. 이를 f의 **기본대**(基本帶, fundamental strip)라고 한다. 특히, 임의의 f\in\operatorname L^2((0,\infty);\mathbb K)에 대하여, f의 기본대는 항상 1/2+\mathrm i\mathbb R를 포함한다. 임의의 두 실수 \alpha,\beta에 대하여, 만약 함수 f\in\operatorname L^1(\mathbb R^+;\mathbb K)가 :f\in\operatorname O(x^{-\alpha})\qquad(x\to0^+) :f\in\operatorname O(x^{-\beta})\qquad(x\to+\infty) 와 같은 점근적 성질을 갖는다면, 열린구간 (\alpha,\beta)\subseteq\mathbb R는 f의 기본대에 속한다.
## 멜린 역변환
멜린 변환은 다음과 같은 역을 갖는다. :\mathcal M^{-1}F(x) =\frac1{2\mathrm\pi i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}x^{-s}F(s)\,\mathrm ds 여기서 c\in\mathbb R는 임의의 상수이며, x^{-s}는 주분지(principal branch)를 사용한다. 특히, 만약 f\in\operatorname L^2((0,\infty);\mathbb K)일 경우, 항상 c=1/2로 잡을 수 있다.
## 연산과의 호환
멜린 변환은 다음 성질들을 만족시킨다.§1, (2) :\mathcal M(x\mapsto f(\alpha x))\colon s\mapsto \alpha^{-s}\mathcal Mf(s) :\mathcal M(x\mapsto x^\alpha f(x))\colon s\mapsto \mathcal Mf(s+\alpha) :\mathcal M(x\mapsto f(x^\alpha))\colon s\mapsto \alpha^{-s}\mathcal Mf(s/\alpha) :\mathcal M(x\mapsto f(1/x))\colon s\mapsto \mathcal Mf(-s) :\mathcal M(x\mapsto \mathrm df(x)/\mathrm dx)\colon s\mapsto (1-s)\mathcal Mf(s-1)
## 유니터리성
복소수 힐베르트 공간 \operatorname L^2(\mathbb R^+;\mathbb C)에서, 다음을 정의하자. :\tilde{\mathcal M}f(s)=\frac1{\sqrt{2\pi\mathcal Mf(s+\mathrm is) :\tilde{\mathcal M}^{-1}F(x)=\frac1{\sqrt{2\pi\int_{-\infty}^\infty x^{-1/2-\mathrm is}F(s)\;\mathrm ds 그렇다면, :\tilde{\mathcal M}\colon\operatorname L^2(\mathbb R^+;\mathbb C)\to\operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb C) 는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유니터리 변환(=등거리 복소수 선형 변환)을 정의한다.
## 다른 변환과의 관계
적절한 조건 아래, 멜린 변환은 다음과 같이 푸리에 변환(\mathcal F)으로 표현된다. :\mathcal Mf(s)=\mathcal F[f\circ\exp](-\mathrm is) :\mathcal Ff(s)=\mathcal M[f\circ(-\ln)](\mathrm is) 마찬가지로, 양쪽 라플라스 변환 \mathcal B와의 관계는 다음과 같다. :\mathcal Bf(s)=\mathcal M[f\circ(-\ln)](s) :\mathcal Mf(s)=\mathcal B[x\mapsto f(\exp(-x))](s)
# 예
수론에서 자주 등장하는 함수 :f(x)=[x>1]x^a 를 생각하자. ([\cdots]는 아이버슨 괄호, 즉 괄호 속의 명제가 참이면 1, 거짓이면 0이다.) 그 멜린 변환은 다음과 같다. :\mathcal Mf(s)=-\frac1{s+a}\qquad(\Re(s+a) 윅 회전 Wick rotation )에 해당한다.
## 연산자의 제타 함수
보다 일반적으로, 콤팩트 매끄러운 다양체 M위의 복소수 매끄러운 벡터 다발 E위의 라플라스형 연산자 H의 열핵 :K(t,-,-)\in\Gamma^\infty((E\otimes|\Lambda M|^{1/2})\boxtimes(E^*\otimes|\Lambda M|^{1/2})\qquad(t\in\mathbb R^+) 를 생각하자. 이 경우, 임의의 함수 f\in \mathcal C^\infty(M;\mathbb R)에 대하여, 힐베르트 공간 :\mathcal H=\operatorname L^2(M;E) 에서의 대각합 :\operatorname{tr}\left(f\exp(-tH)\right) 을 정의할 수 있다. 이제 이것의 t에 대한 멜린 변환을 취하자. :\Gamma(s)\zeta_D(s;f)=\int_0^\infty t^s\operatorname{tr}\left(f\exp(-tH)\right)\,\frac{\mathrm dt}t (편의상 감마 함수 인자 \Gamma(s)를 삽입하였다.) 이 경우, \zeta_D(s;f)는 (적절한 해석적 연속을 가하면) 라플라스형 연산자 H의 **제타 함수**(zeta function)라고 한다. 제타 함수의 특이점들은 라플라스형 연산자에 대한 다양한 정보들을 담고 있다.언어=en§2.2
## 조합론
멜린 변환은 또한 조합론에서도 자주 등장한다.언어=en