이산 값매김환

가환대수학에서 **이산 값매김환**(離散-環, discrete valuation ring, 약자 DVR) 또는 **이산 부치환**(離散付値環)은 정확히 하나의 0이 아닌 극대 아이디얼을 갖는 주 아이디얼 정역이다. 대수기하학적으로, 대수 곡선의 비특이점에서의 국소환을 나타낸다. 그 분수체의 원소는 ‘유리형 함수’의 ‘싹’에 해당하며, 원점(유일한 닫힌 점)에서의 ‘극점’ (또는 ‘영점’)의 ‘차수’를 정의할 수 있다. 이 차수는 정수 값이며, 이산 값매김환의 **값매김**이라고 한다.
# 정의
R가 정역이라고 하자. 편의상, R가 만족시킬 수 있는 다음 조건들을 정의하자. * (N) 뇌터 환이다. * (LR): 국소환이다. * (Ded): 데데킨트 정역이다. (이는 (N)을 함의한다.) * (UFD): 유일 인수 분해 정역이다. ((Ded) + (UFD)는 주 아이디얼 정역이라는 것과 같다. 또한, (Ded) + (UFD) + (NF) = (UFD) + (1D)이다.) * (NF) 체가 아니다. * (1D) 크룰 차원이 1이다. (이는 (NF)를 함의한다.) * (VR) 값매김환이다. (이는 (L)을 함의한다.) 그렇다면, 정역에 대하여 다음 조건들은 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 **이산 값매김환**이라고 한다. * (VR) + 값군이 \mathbb Z와 동형이다.78 * (VR) + (N) + (NF)언어=en78, Theorem 11.1(3) * (L) + (Ded) + (NF) * (L) + (N) + (NF) + 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.79, Theorem 11.2(3) * (L) + (N) + (1D) + 정수적으로 닫힌 정역이다.79, Theorem 11.2(4) * (1D) + 정칙 국소환이다.106 * (UFD) + (Ded) + 유일한 0이 아닌 소 아이디얼을 가진다. * (UFD) + (Ded) + 스펙트럼이 시에르핀스키 공간과 위상 동형이다. * (UFD) + (가역원과의 곱에 대한) 유일한 기약원 동치류를 가진다.
# 성질

## 함의 관계
모든 이산 값매김환은 유클리드 정역을 이룬다.
## 연산에 대한 닫힘
이산 값매김환 (D,\mathfrak m,\kappa)의 완비화 :\hat D = \varprojlim_{n\to\infty} \frac D{\mathfrak m^n} 역시 이산 값매김환이다.
## 원소의 구조
이산 값매김환 (D,\mathfrak m,\kappa)의 원소 t\in D에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 원소를 **균등화원**(uniformizing element)이라고 한다. * (t) = \mathfrak m이다. 즉, 유일한 극대 아이디얼 \mathfrak m은 t로 생성되는 주 아이디얼이다. (이산 값매김환은 주 아이디얼 정역이므로 이러한 원소는 항상 존재한다.) * t는 D의 기약원이다. (즉, 가역원 또는 0이 아닌 두 원소의 곱으로 표현될 수 없다. 이산 값매김환은 정역이므로 이 개념이 잘 정의된다.) 균등화원은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 균등화원 t의 경우, 임의의 m,n\in\mathbb N에 대하여 :\forall m,n\in\mathbb N \colon \left( m = n \iff t^m = t^n \right) 이다. 즉, 균등화원의 서로 다른 자연수 지수의 거듭제곱은 항상 서로 다르다. 이산 값매김환 (D,\mathfrak m,\kappa)의 균등화원 t\in D이 주어졌을 때, D의 모든 아이디얼과 모든 원소는 다음과 같이 표준적으로 분류된다. * D 속의 모든 아이디얼은 (0)이거나 또는 어떤 n\in\mathbb N에 대하여 (t^n)의 꼴이다. (여기서 물론 (t^0) = D이다.) * D 속의 모든 0이 아닌 원소 x\in D \setminus\\{0\\}는 다음과 같이, 가역원과 t의 거듭제곱의 곱의 꼴로 유일하게 표현된다. *:x = at^{\nu(x)} \qquad(a\in D^\times) 즉, 이산 값매김환의 곱셈 구조는 그 가역원군 D^\times으로서 완전히 결정된다. 물론, 가환환은 곱셈과 덧셈으로 정의되며, 환의 덧셈 구조는 이와 별개의 데이터이다.
## 대수 곡선의 비특이점의 국소환
이산 값매김환은 1차원 정칙 국소환이므로, 대수기하학에서 이산 값매김환은 대수 곡선 (1차원 스킴) X의 닫힌 비특이점 x\in X에서의 줄기 \mathcal O_{X,x}이다. 특히, 대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 경우는 다음과 같다. k가 대수적으로 닫힌 체라고 하고, C가 k 위의 대수 곡선(1차원 대수다양체)이며, x\in C가 특이점이 아닌 닫힌 점이라고 하자. 그렇다면, 국소환 \mathcal O_{C,x}은 이산 값매김환이며, 포함 관계 :k\subsetneq\mathcal O_{C,x}\subsetneq \mathcal K(C) 가 성립한다. 또한, k는 \mathcal O_{C,x}에서 값매김이 0 또는 \infty인 원소들로만 구성된다. 반대로, k가 대수적으로 닫힌 체이며, D\supsetneq k가 이산 값매김환이며, k의 원소들의 값매김이 0 또는 \infty라고 하자. 그렇다면 D는 유리 함수체 \operatorname{Frac}D를 갖는 어떤 k 위의 대수 곡선의 특이점이 아닌 닫힌 점에서의 국소화이다.issn=0072-528542, Corollary I.6.6 구체적으로, a\in D\setminus k라고 하고, 다항식환 k[a]의 D 속에서의 정수적 폐포를 B라고 하자. 그렇다면, B는 데데킨트 정역이자 K 위의 유한 생성 단위 결합 대수이며, 따라서 \operatorname{Spec}B는 K 위의 아핀 대수 곡선이다. 또한, D의 극대 아이디얼을 \mathfrak m이라고 하면, \mathfrak m\cap B는 \operatorname{Spec}B의 극대 아이디얼이며, \operatorname{Spec}B의 \mathfrak m\cap B에서의 국소환은 D와 동형이다.
## 위상환의 위상
이산 값매김환 (D,\mathfrak m)은 국소 가환환이므로 표준적으로 위상환을 이룬다. 이 위상과 호환되는 다음과 같은 거리 함수가 존재한다. :d(x,y) = \begin{cases} \exp(-\nu(x-y)) & x \ne y \\\ 0 & x = y \end{cases} 여기서 \nu\colon D \setminus \\{0\\} \to \mathbb N은 이산 값매김이다. 이 경우, 이산 값매김환 (D,\mathfrak m,\kappa)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * D는 (위상환으로서) 콤팩트 공간이다. * D는 완비 거리 공간이며, 그 잉여류체 \kappa는 유한체이다.
## 스킴 구조
이산 값매김환 (D,\mathfrak m,\kappa)는 (국소환이므로) 유일한 극대 아이디얼 \mathfrak m을 가지며, (크룰 차원이 1이므로) 소 아이디얼은 두 개 (0), \mathfrak m이다. 즉, 이산 값매김환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}D는 두 개의 점을 가진다. 그 가운데 \mathfrak m은 닫힌 점, (0)은 일반점이다. 특히, \operatorname{Spec}D는 위상 공간으로서 시에르핀스키 공간이다. 이 경우, 이산 값매김환 위의 두 표준적인 환 준동형 :D \twoheadrightarrow \frac D{\mathfrak m} = \kappa :D \hookrightarrow \operatorname{Frac}D = K 은 각각 닫힌 점과 일반점에 대응되는 스킴 사상 :\operatorname{Spec}\kappa \to \operatorname{Spec}D :\operatorname{Spec}K \to \operatorname{Spec}D 에 해당한다.
# 예
데데킨트 정역의, 0이 아닌 소 아이디얼에서의 국소화는 이산 값매김환이다. 특히, 대수적 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이므로, 대수적 정수환을 0이 아닌 소 아이디얼에서 국소화하여 이산 값매김환의 다양한 예를 얻을 수 있다. 예를 들어, 정수환의 0이 아닌 소 아이디얼 (p)에서의 국소화 \mathbb Z_{(p)}는 이산 값매김환이다. 대표적인 이산 값매김환의 예는 다음과 같다. {| class=wikitable ! 이산 값매김환 D || 값매김 v || 극대 아이디얼 \mathfrak m || 잉여류체 D/\mathfrak m || 분수체 \operatorname{Frac}D |- | 소수 p에 대한 p진 정수환 \mathbb Z_p=\varprojlim^{n\to\infty}\mathbb Z/(p^n) || p^n\mapsto n,\;m\mapsto 0\;(p\nmid m) || (p) || \mathbb F_p || p진수체 \mathbb Q_p |- | 정수환의 국소화 \mathbb Z_{(p)}=\\{m/n\colon\gcd\\{m,n\\}=1,\;p\nmid n\\} || p^n\mapsto n,\;m\mapsto 0\;(p\nmid m) || (p) || \mathbb F_p || 유리수체 \mathbb Q |- | 체 K 위의 형식적 멱급수환 Kx || x^n\mapsto n || (x) || K || 형식적 로랑 급수체 K((x)) |- | 국소화 K[x]_{(x)}=\\{p/q\colon p,q\in K[x],\;q(0)\ne0\\} || x^n\mapsto n || (x) || K || 유리 함수체 K(x) |- | 수렴 거듭제곱 급수환 \\{p\in Kx\colon\exists\epsilon>0\forall x\colon|x|<\epsilon\implies p(x)<\infty\\},\,K=\mathbb R,\mathbb C || x^n\mapsto n || (x) || K || 원점 근방의 유리형 함수체 |}