미분 등급 대수

호몰로지 대수학에서 **미분 등급 대수**(微分等級代數, differential graded algebra, 약자 DGA)는 곱 규칙을 만족시키는 공경계 연산이 주어진 공사슬 복합체이다. 미분 대수의 개념의 일반화이다.
# 정의
가환환 K가 주어졌다고 하자.
## 추상적 정의
음이 아닌 차수 공사슬 복합체의 아벨 범주 \operatorname{Ch}^{\ge0}(\operatorname{Mod}_K)를 생각하자. 이는 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 모노이드 대상과 가환 모노이드 대상을 정의할 수 있다. **미분 등급 대수**는 \operatorname{Ch}^{\ge0}(\operatorname{Mod}_K)의 모노이드 대상이다. **가환 미분 등급 대수**(可換微分等級代數, commutative differential graded algebra, CDGA)는 \operatorname{Ch}^{\ge0}(\operatorname{Mod}_K)의 가환 모노이드 대상이다. 이들의 범주를 각각 \operatorname{DGA}^{\ge0}_K 및 \operatorname{CDGA}^{\ge0}_K이라고 표기하자. 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 대신, 모든 정수 차수의 공사슬 복합체를 사용할 수도 있다. 이들을 사용하여 얻는 범주를 각각 \operatorname{DGA}^{\mathbb Z}_K 및 \operatorname{CDGA}^{\mathbb Z}_K라고 표기하자.
## 구체적 정의
K에 대한 **미분 등급 대수** (A,\mathrm d)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * \textstyle A=\bigoplus_{i\in\mathbb N}A_i는 결합 K-등급 대수이다. * d\colon A_i\to A_{i+1}는 등급이 1인 K-선형 변환이다. 이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. * (멱영성) \mathrm d^2=0. 즉, (A,\mathrm d)는 공사슬 복합체이다. * (곱 규칙) 모든 동차 원소 a,b\in A에 대하여, \mathrm d(ab)=(\mathrm da)b+(-1)^{\deg a}a(\mathrm db) K에 대한 **가환 미분 등급 대수**는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데, (-)^{\deg}에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉, :ab=(-1)^{\deg a\deg b}ba 이다.
# 연산

## 직접곱
가환환 K 위의 (유한 개 또는 무한 개의) 미분 등급 대수들의 족 (A^{(i)})_{i\in I}이 주어졌을 때, 이들의 곱집합 :A_n = \prod_{i\in I}A_n^{(i)} :A = \bigoplus_{n\in\mathbb N}A_n 은 미분 등급 대수를 이룬다.
## 몫
가환환 K 위의 미분 등급 대수 A의 **미분 등급 아이디얼**(微分等級ideal, differential graded ideal) \mathfrak a\subseteq A는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 부분 집합이다. * A의 양쪽 아이디얼이다. * 등급 벡터 공간이다. 즉, 임의의 a\in\mathfrak a에 대하여, \textstyle a=\sum_ia_i, a_i\in A_i라면, 모든 i\in\mathbb N에 대하여 a_i\in \mathfrak a이다. * 공사슬 복합체이다. 즉, 임의의 a\in\mathfrak a에 대하여, \mathrm da\in\mathfrak a이다. 미분 등급 아이디얼 \mathfrak a가 주어졌을 때, **몫 미분 등급 대수**(quotient differential graded algebra) A/\mathfrak a를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 준동형 A\to B의 핵은 미분 등급 아이디얼을 이룬다.
## 코호몰로지
미분 등급 대수의 코호몰로지 \operatorname H^\bullet(A,\mathrm d)는 \mathrm d=0인 미분 등급 대수를 이룬다. 모든 미분 등급 대수는 스스로의 코호몰로지로 가는 미분 등급 대수 준동형 :[-]_A\colon A\to \operatorname H(A) 을 갖는다. 또한, 임의의 미분 등급 대수 준동형 f\colon A\to B은 그 코호몰로지의 미분 등급 대수 준동형 :f_* \colon \operatorname H(A)\to \operatorname H(B) 을 유도한다. 만약 미분 등급 대수 준동형 f에 대하여, f_*가 동형 사상이라면, f를 **유사동형**(類似同型, quasi-isomorphism)이라고 한다. (이름과 달리, 두 미분 등급 대수 사이의 유사동형의 존재는 동치 관계를 이루지 않으며, 동치 관계를 얻기 위해서는 이들을 포함하는 가장 작은 동치 관계를 취해야 한다. 구체적으로, 이는 유사동형들의 지그재그가 된다.) 만약 [-]_A\colon A\to \operatorname H(A)가 유사동형이라면, A를 **형식적 미분 등급 대수**(形式的微分等級代數, formal differential graded algebra)라고 한다. 형식성은 유사동형에 대하여 불변이다.
# 성질
표수 0인 체 K 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자. * 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 \operatorname{CDGA}^{\ge0}_K * 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주 \operatorname{DGA}^{\ge0}_K * 정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 \operatorname{CDGA}^{\mathbb Z}_K * 정수 등급의 미분 등급 대수의 범주 \operatorname{DGA}^{\mathbb Z}_K \operatorname{CDGA}^{\ge0}_K 및 \operatorname{DGA}^{\ge0}_K 위에는 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다. * 약한 동치는 유사동형이다. * 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다. ** 모든 대상이 올대상이다. * 쌍대올뭉치는 상대 설리번 대수의 왼쪽 역사상이다. ** 쌍대올대상은 설리번 대수이다. 이들은 항상 가환 대수이다. \operatorname{DGA}^{\ge0}_K의 경우, 망각 함자 \operatorname{CDGA}^{\ge0}_K\to\operatorname{DGA}^{\ge0}_K는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다. \operatorname{CDGA}^{\mathbb Z}_K의 경우, 다음과 같은 모형 구조를 줄 수 있다. * 약한 동치는 유사동형이다. * 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다. ** 모든 대상이 올대상이다. * 쌍대올뭉치는 약한 동치와 올뭉치로서 결정된다. 만약 K가 표수 0이 아닐 경우, 위와 같은 정의들은 모형 범주 구조를 정의하지 못한다.
# 예
매끄러운 다양체 M 위의 미분 형식 \Omega^\bullet(M)은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우, \mathrm d는 외미분이고, 대수 연산은 쐐기곱이다. 위상 공간 X의 특이 코호몰로지 환 \operatorname H^\bullet(X)은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우 \mathrm d는 복시테인 준동형이며, 연산은 코호몰로지류의 컵곱이다. 리 대수의 코쥘 복합체나 기저가 주어진 벡터 공간 V의 텐서 대수 \operatorname T^\bullet(V) 역시 미분 등급 대수의 구조를 줄 수 있다.