룽게-쿠타 방법의 목록

**룽게-쿠타 방법**은 다음 상미분방정식의 수치해법이다 : \frac{d y}{d t} = f(t, y) 이 수치해법은 다음의 형태를 가진다. : y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i : k_1 = f(t_n, y_n), : k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+h(a_{21}k_1)), : k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+h(a_{31}k_1+a_{32}k_2)), : \vdots : k_i = f\left(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j = 1}^{i-1} a_{ij} k_j\right), 이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 Butcher 테이블로 정의하였다: : \begin{array}{c|cccc} c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\\ c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\\ c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\\ \hline & b_1 & b_2 & \dots & b_s\\\ \end{array}
# 명시적 방법
명시적 방법은 행렬 [a_{ij}]이 하삼각행렬인 방법이다.
## 오일러
오일러 방법은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다. : \begin{array}{c|c} 0 & 0 \\\ \hline & 1 \\\ \end{array}
## 명시적 중간점 방법
(명시적) 중간점 방법은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라): : \begin{array}{c|cc} 0 & 0 & 0 \\\ 1/2 & 1/2 & 0 \\\ \hline & 0 & 1 \\\ \end{array}
## 호인의 방법
호인의 방법은 두 단계의 이차 방법이다(또한 명시적 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다): : \begin{array}{c|cc} 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 1 & 0 \\\ \hline & 1/2 & 1/2 \\\ \end{array}
## 랄스톤 방법
랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다: : \begin{array}{c|cc} 0 & 0 & 0 \\\ 2/3 & 2/3 & 0 \\\ \hline & 1/4 & 3/4 \\\ \end{array}
## 일반적인 이차 방법
: \begin{array}{c|ccc} 0 & 0 & 0 \\\ x & x & 0 \\\ \hline & 1-\frac{1}{2x} & \frac{1}{2x} \\\ \end{array}
## 쿠타 삼차 방법
: \begin{array}{c|ccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\\ 1 & -1 & 2 & 0 \\\ \hline & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\\ \end{array}
## 고전적 사차 방법
"원조" 룽게-쿠타 방법이다. : \begin{array}{c|cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\ 1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0\\\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0\\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\ \hline & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\\ \end{array}
## 3/8-규칙 사차 방법
이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다(Kutta, 1901). : \begin{array}{c|cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 0\\\ 2/3 & -1/3 & 1 & 0 & 0\\\ 1 & 1 & -1 & 1 & 0\\\ \hline & 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8\\\ \end{array}
# 내장형 방법
내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 적응형 단계 크기로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다. 낮은차수의 단계는 다음과 같다 : y^*_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b^*_i k_i, 이때 k_i는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다 : e_{n+1} = y_{n+1} - y^*_{n+1} = h\sum_{i=1}^s (b_i - b^*_i) k_i, 이 오차는 O(h^p). 이런 종류의 방법의 Butcher 테이블은 b^*_i : \begin{array}{c|cccc} c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\\ c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\\ c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\\ \hline & b_1 & b_2 & \dots & b_s\\\ & b_1^* & b_2^* & \dots & b_s^*\\\ \end{array}
## 호인-오일러
가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다: : \begin{array}{c|cc} 0&\\\ 1& 1 \\\ \hline & 1/2& 1/2\\\ & 1 & 0 \end{array} 추정 오차는 단계크기를 조절하는데 사용된다.
## 펠베르크 RK1(2)
펠베르크 방법url=https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19690021375은 일차와 이차의 두 방법을 가진다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다: {| cellpadding="" cellspacing="" | | 0 |- | | 1/2 | 1/2 |- | |1 | |1/256 | |255/256 |- |1/256 |255/256 |0 |- |1/512 |255/256 |1/512 |} *b* 계수의 첫 줄은 일차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.
## 보가키–샴폐인
보가키-샴폐인 방법은 이차와 삼차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다: {| cellpadding="" cellspacing="" | | 0 |- | | 1/2 | 1/2 |- | | 3/4 | 0 | 3/4 |- | | 1 | | 2/9 | | 1/3 | | 4/9 |- | 2/9 | 1/3 | 4/9 | 0 |- | 7/24 | 1/4 | 1/3 | 1/8 |} *b* 계수의 첫 줄은 삼차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.
## 펠베르크
룽게-쿠타-펠베르크 방법은 5차와 4차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다: {| cellpadding="" cellspacing="" | | 0 |- | | 1/4 | 1/4 |- | | 3/8 | 3/32 | 9/32 |- | | 12/13 | 1932/2197 | −7200/2197 | 7296/2197 |- | | 1 | 439/216 | −8 | 3680/513 | −845/4104 |- | | 1/2 | | -8/27 | | 2 | | −3544/2565 | | 1859/4104 | | −11/40 |- | 16/135 | 0 | 6656/12825 | 28561/56430 | −9/50 | 2/55 |- | 25/216 | 0 | 1408/2565 | 2197/4104 | −1/5 | 0 |} *b* 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.
## 캐쉬-카프
캐쉬와 카프는 펠버그의 원래 아이디어를 수정했다. 캐쉬-카프 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다: {| cellpadding="" cellspacing="" | | 0 |- | | 1/5 | 1/5 |- | | 3/10 | 3/40 | 9/40 |- | | 3/5 | 3/10 | −9/10 | 6/5 |- | | 1 | −11/54 | 5/2 | −70/27 | 35/27 |- | | 7/8 | | 1631/55296 | | 175/512 | | 575/13824 | | 44275/110592 | | 253/4096 |- | 37/378 | 0 | 250/621 | 125/594 | 0 | 512/1771 |- | 2825/27648 | 0 | 18575/48384 | 13525/55296 | 277/14336 | 1/4 |} *b* 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.
## 도르몬드–프린스
도르몬드-프린스 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다 {| cellpadding="" cellspacing="" | | 0 |- | | 1/5 | 1/5 |- | | 3/10 | 3/40 | 9/40 |- | | 4/5 | 44/45 | −56/15 | 32/9 |- | | 8/9 | 19372/6561 | −25360/2187 | 64448/6561 | −212/729 |- | | 1 | 9017/3168 | −355/33 | 46732/5247 | 49/176 | −5103/18656 |- | | 1 | | 35/384 | | 0 | | 500/1113 | | 125/192 | | −2187/6784 | | 11/84 |- | 35/384 | 0 | 500/1113 | 125/192 | −2187/6784 | 11/84 | 0 |- | 5179/57600 | 0 | 7571/16695 | 393/640 | −92097/339200 | 187/2100 | 1/40 |} *b* 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.
# 암시적 방법

## 역 오일러
역 오일러 방법은 일차이다. 선형 확장 문제에 대해서 조건적 안정하고 진동이 없다. : \begin{array}{c|c} 1 & 1 \\\ \hline & 1 \\\ \end{array}
## 암시적 중간점
암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 배열 방법 중 가우스 방법이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 사교 적분자이다. : \begin{array}{c|c} 1/2 & 1/2 \\\ \hline & 1 \end{array}
## 가우스-르장드르 방법
이 방법들은 가우스-르장드르 구적법에 기반하고 있다. 4차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다: : \begin{array}{c|cc} \frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{6} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{\sqrt3}{6} \\\ \frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{6} & \frac{1}{4}+\frac{\sqrt3}{6} &\frac{1}{4} \\\ \hline & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\ & \frac12+\frac12 \sqrt3 & \frac12-\frac12 \sqrt3 \\\ \end{array} 6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다: : \begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15{10} & \frac{5}{36} & \frac{2}{9}- \frac{\sqrt{15{15} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15{30} \\\ \frac{1}{2} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15{24} & \frac{2}{9} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15{24}\\\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15{10} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15{30} & \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{15{15} & \frac{5}{36} \\\ \hline & \frac{5}{18} & \frac{4}{9} & \frac{5}{18} \\\ & -\frac56 & \frac83 & -\frac56 \end{array}
## 로바토 방법
로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 수학 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 리후엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2*s-*2차 방법이며, 모두 *c*1 = 0이고 *c**s* = 1이다. 다른 어떤 명시적 방법과는 달리, 이 방법들은 더 큰 단계도 가능하다. 로바토는 룽게와 쿠타가 고전적인 사차 방법을 만들기 전에 살았었다.
### 로바토 IIIA 방법
로바토 IIIA 방법은 배열 방법이다. 이차 방법은 사다리꼴 공식으로 알려져있다: : \begin{array}{c|cc} 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 1/2 & 1/2\\\ \hline & 1/2 & 1/2\\\ & 1 & 0 \\\ \end{array} 4차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|ccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 1/2 & 5/24& 1/3 & -1/24\\\ 1 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\\ \hline & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\\ & -\frac12 & 2 & -\frac12 \\\ \end{array} 이 방법은 A-안정하지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.
### 로바토 IIIB 방법
로바토 IIIB 방법은 배열 방법이 아니지만 불연속적 배열 방법으로 볼 수 있다. 이차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|cc} 0 & 1/2 & 0 \\\ 1 & 1/2 & 0 \\\ \hline & 1/2 & 1/2\\\ & 1 & 0 \\\ \end{array} 4차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|ccc} 0 & 1/6 & -1/6& 0 \\\ 1/2 & 1/6 & 1/3 & 0 \\\ 1 & 1/6 & 5/6 & 0 \\\ \hline & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\\ & -\frac12 & 2 & -\frac12 \\\ \end{array} 로바토 IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.
### 로바토 IIIC 방법
로바토 IIIC 방법도 불연속적 배열 방법이다. 이차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|cc} 0 & 1/2 & -1/2\\\ 1 & 1/2 & 1/2 \\\ \hline & 1/2 & 1/2 \\\ & 1 & 0 \\\ \end{array} 4차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|ccc} 0 & 1/6 & -1/3& 1/6 \\\ 1/2 & 1/6 & 5/12& -1/12\\\ 1 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\\ \hline & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\\ & -\frac12 & 2 & -\frac12 \\\ \end{array} 이것은 L-안정하다. 이것들은 게다가 대수적으로 안정하고, 따라서 B-안정하기 때문에 딱딱한 방정식에 적합하다.
### 로바토 IIIC* 방법
로바토 IIIC* 방법은 문헌에서 로바토 III 방법(Butcher, 2008), Butcher의 로바토 방법(Hairer et al, 1993), 그리고 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000)이라고도 알려져 있다.http://homepage.math.uiowa.edu/~ljay/publications.dir/Lobatto.pdf 아차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|cc} 0 & 0 & 0\\\ 1 & 1 & 0 \\\ \hline & 1/2 & 1/2 \\\ \end{array} 4차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|ccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 1/2 & 1/4 & 1/4 & 0\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\ \hline & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\\ \end{array} 이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다. s = 2.
### 일반화된 로바토 방법
다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 실수 변수 (\alpha_{A},\alpha_{B},\alpha_{C}) : a_{i,j}(\alpha_{A},\alpha_{B},\alpha_{C}) = \alpha_{A}a_{i,j}^A + \alpha_{B}a_{i,j}^B + \alpha_{C}a_{i,j}^C + \alpha_{C*}a_{i,j}^{C*} , 여기서, : \alpha_{C*} = 1 - \alpha_{A} - \alpha_{B} - \alpha_{C}. 예를 들면, (Nørsett and Wanner, 1981)에 소개되었고 로바토 IIINW라고도 불리는 로바토 IIID는 다음의 형태를 가진다 : \begin{array}{c|cc} 0 & 1/2 & 1/2\\\ 1 & -1/2 & 1/2 \\\ \hline & 1/2 & 1/2 \\\ \end{array} 그리고 : \begin{array}{c|ccc} 0 & 1/6 & 0 & -1/6 \\\ 1/2 & 1/12 & 5/12 & 0\\\ 1 & 1/2 & 1/3 & 1/6 \\\ \hline & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\\ \end{array} 이 방법은 \alpha_{A} = 2, \alpha_{B} = 2, \alpha_{C} = -1, 그리고 \alpha_{C*} = -2. 이 방법은 L-안정적이다. 또한 대수적으로 안정적이기 때문에 B-안정적이다.
## 라다우 방법
라다우 방법은 완전히 암시적 방법이다(이런 방법의 행렬 *A*는 어떤 구조도 가질 수 있다). 라다우 방법은 *s* 단계에 2*s*-1차이다. 라다우 방법은 A-안정적이지만 구현하는데 비용이 많이 든다. 게다가 차수의 감소로 어려움이 있을 수 있다. 일차 라다우 방법은 역 오일러 방법과 유사하다
### 라다우 IA 방법
삼차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|cc} 0 & 1/4 & -1/4 \\\ 2/3 & 1/4 & 5/12 \\\ \hline & 1/4 & 3/4 \\\ \end{array} 5차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|ccc} 0 & \frac{1}{9} & \frac{-1 - \sqrt{6{18} & \frac{-1 + \sqrt{6{18} \\\ \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6{360} & \frac{11}{45} - \frac{43\sqrt{6{360}\\\ \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{43\sqrt{6{360} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6{360} \\\ \hline & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6{36} & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6{36} \\\ \end{array}
### 라다우 IIA 방법
이 방법의 *c*i는 다음의 근이다 : P_{s}(2x-1) - P_{s-1}(2x-1) = 0, P_s. 삼차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|cc} 1/3 & 5/12 & -1/12\\\ 1 & 3/4 & 1/4 \\\ \hline & 3/4 & 1/4 \\\ \end{array} 5차 방법은 다음과 같다 : \begin{array}{c|ccc} \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6{10} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6{360} & \frac{37}{225} - \frac{169\sqrt{6{1800} & -\frac{2}{225} + \frac{\sqrt{6{75} \\\ \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{6{10} & \frac{37}{225} + \frac{169\sqrt{6{1800} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6{360} & -\frac{2}{225} - \frac{\sqrt{6{75}\\\ 1 & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6{36} & \frac{1}{9} \\\ \hline & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6{36} & \frac{1}{9} \\\ \end{array}