입방체 범주

호모토피 이론에서 **입방체 범주**(立方體範疇, cube category)는 각 차원의 초입방체를 대상으로 하는 작은 범주이다. 단체 범주와 유사하지만, 단체 대신 초입방체를 사용한다. 입방체 범주의 반대 범주를 정의역으로 하는 함자를 **입방체 대상**(立方體對象, cubical object)이라고 한다. 이는 다양한 차원의 초입방체들을 짜깁기하여 얻는 일종의 “공간”으로 여겨질 수 있으며, 특히, 집합의 범주 속의 입방체 대상을 **입방체 집합**(立方體集合, cubical set)이라고 한다.
# 정의
**입방체 범주** \square는 다음과 같이 여러 방법으로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다. * 입방체 범주는 구체적으로 초입방체들을 대상으로 하며, 그 사이의 특정 연속 함수를 사상으로 하는 범주로서 정의될 수 있다. * 입방체 범주는 추상적으로 특별한 사상들로 생성되는 모노이드 범주로서 정의될 수 있다. 범주 \mathcal C 위의 **입방체 대상**은 함자 :\square^{\operatorname{op \to \mathcal C 를 뜻한다. \mathcal C 속의 입방체 대상의 범주를 \operatorname c(\mathcal C)로 표기하자. **입방체 집합**은 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set} 위의 입방체 대상이다. 즉, 입방체 범주 \square 위의 (집합 값의) 준층이다. :\operatorname{PSh}(\square)=\hom_{\operatorname{Cat(\square^{\operatorname{op,\operatorname{Set}) 입방체 집합의 범주 \operatorname c(\operatorname{Set})은 물론 그로텐디크 토포스를 이룬다.
## 구체적 정의
**입방체 범주** \square의 대상들은 자연수(음이 아닌 정수) n이다. 이는 n차원 초입방체 \mathbb I^n에 해당한다. 이 사이의 사상들은 다음과 같은 기초적 사상들의 합성이다. * 각 \sigma\in\\{0,1\\} 및 i\in\\{0,1,\dotsc,n\\}에 대하여, \delta_i^\sigma\colon\mathbb I^n\to\mathbb I^{n+1}. 이는 초입방체의 i번째 축에 수직인 두 면 가운데 하나를 취하는 것이며, 어떤 면을 취하는 것인지는 \sigma에 의하여 결정된다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다. *:(t_0,t_1,\dotsc,t_{n-1})\mapsto (t_0,t_1,\dotsc,t_{i-1},\sigma,t_i,t_{n-1}) * 각 i\in\\{0,1,\dotsc,n\\}에 대하여, \epsilon_i\colon\mathbb I^n\to\mathbb I^{n-1}. 이는 n차원 초입방체를 두께가 0인 n+1차원 초입방체로 여기는 것이다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다. *:(t_0,t_1,\dotsc,t_{n-1})\mapsto(t_0,t_1,\dotsc,t_{i-1},t_{i+1},\dotsc,t_{n-1}) 이는 다음을 만족시킨다. :\epsilon_i\circ\delta_i^\sigma=\operatorname{id}_{\mathbb I^n}\qquad(i\in\\{0,1,\dotsc,n\\},\;\sigma\in\\{0,1\\}) 모든 사상들은 이와 같은 유한 개의 기초적 사상들의 합성이다. (특히, 0개의 기초적 사상의 합성은 항등 사상이다.)
## 추상적 정의
우선, 다음과 같은 범주 \square_{\le1}를 생각하자. * \square_{\le1}의 대상은 1과 \mathbb I 두 개이다. * \hom_{\square_{\le1(1,\mathbb I)=\\{\iota_0,\iota_1\\}이며, \hom_{\square_{\le1(\mathbb I,1)=\\{\pi\\}이며, \hom_{\square_{\le1(\mathbb I,\mathbb I)=\\{\iota_0\circ\pi,\pi\circ\iota_1,\operatorname{id}_{\mathbb I}\\}이다. * 사상의 합성은 다음과 같다. *:\pi\circ\iota_0=\pi\circ\iota_1=\operatorname{id}_1 이 범주에서 끝 대상은 1이며, 시작 대상은 존재하지 않는다. 이제, \square_{\le1}로 생성되며, 1을 항등원으로 갖는 엄격한(strict) 모노이드 범주 (\square,\times,1)를 **입방체 범주** \square라고 한다. 즉, 그 대상들은 \mathbb I^n=\mathbb I\times\mathbb I\times\dotsb\times\mathbb I이며, 그 사상들은 모노이드 범주의 정의 및 \square_{\le1}으로 유도된다.
# 성질

## 기하학적 실현
단체 집합과 마찬가지로, **기하학적 실현 함자**(geometric realization functor) :|-|\colon\operatorname{cSet}\to\operatorname{Top} 및 **특이 입방체 복합체 함자**(singular cubical complex functor) :\operatorname{Sing}\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{cSet} 가 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다. :|-|\dashv\operatorname{Sing}
## 호몰로지
단체 집합의 단체 호몰로지와 마찬가지로, 입방체 집합 위에는 **입방체 호몰로지**(cubical homology)를 정의할 수 있다. 이는 삼각 분할의 단체 호몰로지 및 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 일치한다. 구체적으로, 아벨 범주 \mathcal A 속의 입방체 대상 X_\bullet \colon \square^{\operatorname{op \to \mathcal A가 주어졌을 때, 다음과 같은 사슬 복합체를 정의할 수 있다. :\operatorname C_n(X) = X_n :\partial_n \colon\operatorname C_n(X) \to \operatorname C_{n-1}(X) :\partial_n = \sum_{i=0}^n \left(\overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1}^i \otimes \iota_0 \otimes \overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1 \otimes}^{n-i-1}\right)^{\operatorname{op \- \left(\overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1}^i \otimes \iota_1 \otimes \overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1 \otimes}^{n-i-1}\right)^{\operatorname{op (이 사슬 복합체는 단체 대상의 무어 사슬 복합체와 유사하다.) 그렇다면, 이 사슬 복합체의 호몰로지를 X_\bullet의 **입방체 호몰로지**라고 한다. 입방체 집합 X_\bullet의 입방체 호몰로지는 각 성분별 자유 아벨 군으로 정의되는 입방체 아벨 군 :\mathbb Z[X_\bullet] \in\operatorname c(\operatorname{Mod}_{\mathbb Z}) 의 입방체 호몰로지이다.
## 삼각 분할
마찬가지로, n차원 입방체를 n차원 단체들로 분할하는 **삼각 분할 함자**(triangulation functor) :\operatorname{Tri}\colon\square\to\operatorname{sSet} :\operatorname{Tri}\colon\mathbb I^n\to (\triangle^1)^{\times n} 가 존재한다. (여기서 \operatorname{sSet}은 단체 집합의 범주이다.) 이로부터, 임의의 입방체 집합을 단체 집합에 대응시키는 삼각 분할 함자 :\operatorname{cSet}\to\operatorname{sSet} 가 존재한다.
## 모형 범주 구조
입방체 집합의 범주 위에는 표준적인 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따라 그 호모토피 범주는 위상 공간의 (퀼런) 호모토피 범주 \operatorname{hTop} 및 단체 집합의 호모토피 범주와 동치이다.