결합 대수

대수 구조 incidence)를 추상화한 대수적 구조 추상대수학에서 **결합 대수**(結合代數, associative algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수이다. 즉, 가군과 유사환의 구조를 동시에 갖춘 대수 구조이다. 가군이 아벨 군을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 환을 일반화한다.
# 정의

## 유사 결합 대수
가환 유사환 R 위의 **유사 결합 대수**((possibly) non-unital associative algebra) (M,0,+,\\{r\cdot\\}_{r\in R},*)는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다. * (M,0,+,\\{r\cdot\\}_{r\in R})는 R의 가군을 이룬다. * (M,0,+,*)은 유사환을 이룬다. 이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다. * 모든 r\in R 및 m,n\in M에 대하여, r\cdot(m*n)=(r\cdot m)*n=m*(r\cdot n) 이는 유사환의 준동형 R\to Z(M)과 같다. 여기서 Z(M)=\\{z\in M\colon m*z=z*m\\}은 M의 중심이다. 유사 결합 대수의 **준동형**은 (0,+,\\{r\cdot\\}_{r\in R},*)를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 유사환의 준동형을 이루는 함수이다. 유사 결합 대수와 유사 대수 준동형의 범주를 R\text{-nuAssoc}이라고 하자.
## 결합 대수
가환환 R 위의 **(단위) 결합 대수**(單位結合代數, (unital) associative algebra) (M,0,+,\\{r\cdot\\}_{r\in R},*,1)는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다. * (M,0,+,\\{r\cdot\\}_{r\in R},*)는 R 위의 유사 결합 대수를 이룬다. * (M,0,1,+,*)은 환을 이룬다. 이는 환 준동형 R\to Z(M)과 같다. 여기서 Z(M)=\\{z\in M\colon m*z=z*m\\}은 M의 중심이다. 결합 대수의 **준동형**은 (0,1,+,\\{r\cdot\\}_{r\in R},*)를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 환 준동형을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를 R\text{-Assoc}이라고 하자.
## 가환 대수
가환환 R 위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 **가환 대수**(commutative algebra)라고 한다. R 위의 단위 가환 대수 M은 가환환 준동형 R\to M과 같다.
# 성질
결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 대수 구조 다양체를 이루며, 이에 따라 곱 · 쌍대곱 · 시작 대상 · 끝 대상의 존재를 알 수 있다. {| class=wikitable ! 구조 || 유사 결합 대수 || 결합 대수 |- ! 시작 대상 | 영가군 || R |- ! 끝 대상 | 영가군 || 영가군 |- ! 곱 | 유사환으로서의 곱 || (유사)환으로서의 곱 |- ! 쌍대곱 | 결합 대수의 자유곱 || 단위 결합 대수의 자유곱 |} 즉, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만, 결합 대수의 경우는 시작 대상과 끝 대상이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, 곱집합과 호환되지만, 쌍대곱은 서로 다르다. 또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 **텐서곱** \otimes_R이 존재하며, 이는 R 위의 가군의 텐서곱과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주를 이룬다.
## 망각 함자
유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자 :R\text{-nuAssoc}\to\operatorname{Rng} 및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자 :R\text{-Assoc}\to\operatorname{Ring} 가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자는 S\mapsto R\otimes_{\mathbb Z}S이다. 또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자 :R\text{-Assoc}\to R\text{-nuAssoc} 가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 단위원이 없는 유사 결합 대수 A를 :A\mapsto R\oplus A 로 대응시킨다 (\oplus는 아벨 군의 직합). 이 경우, R\oplus A 위의 연산은 다음과 같다. :s\cdot(r,a)=(sr,s\cdot a) :(r,a)*(s,b)=(rs,s\cdot a,r\cdot b,a*b)
# 분류
복소수체 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.언어=en
## 3차원 이하 복소수 결합 대수
\mathbb C 위의 1차원 결합 대수는 \mathbb C 자체 밖에 없다. \mathbb C 위의 2차원 단위 결합 대수는 두 개가 있으며, 다음과 같다. :\mathbb C[x]/(x^2-1) :\mathbb C[x]/(x^2) 둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점 \pm1으로 구성되어 있으며, 후자는 (축소환이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수이다. \mathbb C 위의 3차원 결합 대수는 다섯 개가 있으며, 다음과 같다. :\mathbb C[x,y]/(x^2-x,y^2-y,xy) :\mathbb C[x,y]/(x^2-x,y^2,xy) :\mathbb C[x,y]/(x^2,y^2,xy) :\mathbb C[x]/(x^4) :\mathbb C\langle x,y\rangle/\left(x^2-1,y^2,(x-1)y,y(x-1)\right) 이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.
# 예

## 환론
특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다. {| class=wikitable ! 가환환 R || R 위의 유사 결합 대수 || R 위의 결합 대수 |- | 정수환 \mathbb Z || 유사환 || 환 |- | \mathbb Z/(n) || 표수가 n의 약수인 유사환 (ns=0\forall s) || 표수가 n의 약수인 환 |} 모든 환 S는 스스로의 중심 Z(S)\\{r\in S\colon rs=sr\forall s\in S\\}에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 가환환 R에 대하여 환 준동형 R\to Z(S)가 주어졌다면, S는 R 위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형 R\to S가 주어졌다면, S는 R 위의 가환 결합 대수를 이룬다.
## 추가 구조를 갖는 대수
리 대수의 보편 포락 대수는 결합 대수이다. 마찬가지로, 클리퍼드 대수나 외대수는 결합 대수이다. 복소수체 \mathbb C와 사원수 대수 \mathbb H는 실수 위의 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계 a+bi\subseteq\\{a+bi+cj+dk\\}를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 결합 대수를 이룬다.
## 함수 대수
R가 위상환이라고 하자. 위상 공간 X 위의 연속 함수 \mathcal C(X;R)의 집합은 자연스럽게 R 위의 결합 대수의 구조가 존재한다. :r\cdot f\colon x\mapsto r\cdot f(x) :f*g\colon x\mapsto f(x)\cdot g(x) :0\colon x\mapsto 0_R :1\colon x\mapsto 1_R 마찬가지로, 매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 함수의 집합 \mathcal C^\infty(M;\mathbb R)은 실수체 위의 결합 대수의 구조를 가진다.