비라소로 대수

리 군론과 이론물리학에서 **비라소로 대수**(Virasoro代數, Virasoro algebra)는 원의 미분 동형 자기 동형군의 리 대수의 (유일하게 자명하지 않은) 중심 확대인 무한 차원 리 대수이다.언어=en 물리학에서, 2차원 등각 장론의 대칭으로 사용된다.
# 정의

## 대수적 구성
비라소로 대수 \mathfrak{Vir}는 L_n (n\in\mathbb Z)과 c로 인하여 생성되는 복소수 리 대수이며, 다음과 같은 리 괄호를 가진다. :[\mathsf c,\mathsf L_n]=0 :[\mathsf L_m,\mathsf L_n]=(m-n)\mathsf L_{m+n}+\frac{\mathsf c}{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n} 중심 원소 c가 0인 대수를 **비트 대수**(Witt algebra) \mathfrak{Witt}라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다. 이에 따라, 복소수 리 대수의 짧은 완전열 :0 \to \mathbb C{\mathsf c} \to \mathfrak{Vir} \to \mathfrak{Witt} \to 0 이 존재한다. 비라소로 대수는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. (이는 복소수 벡터 공간 위의 반선형(antilinear) 사상이다.) :\mathrm i \mapsto -\mathrm i :\mathsf L_n \mapsto - \mathsf L_{-n} :\mathsf c \mapsto -\mathsf c 이는 \mathsf L_n을 원 위의 벡터장 :\mathsf L_n = -\mathrm i\exp(-\mathrm int)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}77, §5.2 으로 간주하여 유도한 것이다. 그렇다면, 이에 대한 고정점 :\mathsf L_n - \mathsf L_{-n} :\mathrm i(\mathsf L_n + \mathsf L_{-n}) :\mathrm i\mathsf c 을 생각하자. 이는 실수 리 대수 :\mathfrak{Vir}^{\mathbb R} \subsetneq \mathfrak{Vir} 를 생성하며, 마찬가지로 실수 리 대수의 짧은 완전열 :0 \to \mathrm i\mathbb R\mathsf c \to \mathfrak{Vir}^{\mathbb R} \to \mathfrak{Witt}^{\mathbb R} \to 0 을 구성한다. 정의에 따라 자연스러운 포함 관계 :\mathfrak{Witt}^{\mathbb R} \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) 가 존재한다.
## 원을 통한 리 대수의 구성
1차원 매끄러운 다양체인 원 \mathbb S^1 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수 :\mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) 를 생각하자. 이는 실수 프레셰 공간이다. 그 속에는 푸리에 급수로 인하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :\mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \otimes_{\mathbb R} \mathbb C :\mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) :\mathsf z \mapsto \exp(\mathsf it)\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\qquad(t\in\mathbb R/(2\pi\mathbb Z)) 이는 다음과 같은 리 대수 코호몰로지 2차 공사슬을 갖는다. :\mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \times \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to \mathbb R :\left(f(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt},g(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right) \mapsto \oint \frac{\mathrm df}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d^2g}{\mathrm dt^2}\,\mathrm dt = - \oint\frac{\mathrm df^2}{\mathrm dt^2}\frac{\mathrm dg}{\mathrm dt}\,\mathrm dt \qquad(f,g\in\mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\mathbb R)) 이를 **겔판트-푹스 공사슬**(Gelfand–Fuchs cocycle)이라고 한다.언어=en67, Definition/Proposition Ⅱ.2.1 이에 대한 중심 확장 :0\to \mathbb R\mathsf c \to \widehat{\mathfrak{Vir \to \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to 0 을 생각할 수 있다. \widehat{\mathfrak{Vir 역시 프레셰 공간이다. \widehat{\mathfrak{Vir \otimes\mathbb C 속에서, \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]과 \mathbb C\mathsf c로 생성되는 부분 리 대수를 **비라소로 대수**라고 한다. :\mathfrak{Vir} \subsetneq \widehat{\mathfrak{Vir
## 원을 통한 리 군의 구성
1차원 매끄러운 다양체인 원 \mathbb S^1을 생각하자. 그 (매끄러운) 자기 미분 동형 사상들의 군 :\operatorname{Diff}(\mathbb S^1) 을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이룬다. 이는 두 개의 연결 성분을 가지는데, 만약 원에 임의의 방향을 부여하여 유향 다양체로 만든다면, 한 연결 성분은 방향을 보존하지만, 다른 한 연결 성분은 방향을 뒤집는다. 물론, 항등 함수는 전자에 속한다. 그 연결 부분군을 \operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1)이라고 하자. 이 경우, 그 실수 리 대수를 취할 수 있으며, 이는 실수 프레셰 공간이 된다. 구체적으로, 이는 원 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수 \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)이다. 프레셰 리 군 \operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1)은 특별한 1차원 중심 확대를 가지며, 기하학적으로 이는 리 군의 U(1) 주다발을 이룬다. 이는 다음과 같이 구성된다.84, §5.4§6.8 우선, 르베그 복소수 힐베르트 공간 :H = \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C) \cong \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C) 을 생각하자. 여기서 동형 사상은 푸리에 급수에 의한 것이다. 이 가운데, 다음과 같은 부분 복소수 힐베르트 공간을 생각할 수 있다. :H^+ = \operatorname L^2(\mathbb N;\mathbb C) \subsetneq \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C) :H^- = \operatorname L^2(\mathbb Z \setminus \mathbb N;\mathbb C) \subsetneq \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C) :H = H^+ + H^- \cong H^+ \oplus H^-- (여기서 \mathbb N=\\{0,1,2,\dotsc,\\}은 자연수의 집합이다.) 즉, 이는 각각 음이 운동량 성분을 갖지 않는 파동 함수와 음의 운동량만을 갖는 파동 함수의 부분 공간들이다. 이제, \operatorname{Diff}(\mathbb S^1)은 H 위에 다음과 같은 유니터리 표현을 갖는다. :\rho \colon \operatorname{Diff}(\mathbb S^1) \to \operatorname U(H) :|f'(\theta)|^{1/2}\langle f(\theta)|(\rho f)|\psi\rangle = \langle \theta|\psi\rangle\qquad(\theta\in\mathbb R/(2\pi\mathbb Z),\;\psi \in \mathcal C^1(\mathbb S^1,\mathbb C) \subsetneq H) 그렇다면, 이제 다음과 같은 유니터리 작용소들의 부분 공간을 정의할 수 있다.53, Definition 3.16언어=en§6.2 :\operatorname{U_{res(H^+,H^-) = \left\\{ \begin{pmatrix} T_{++} & T_{+-} \\\ T_{-+} & T_{--} \end{pmatrix} \in \operatorname U(H^+ \oplus H^-) \colon T_{+-} \in \mathfrak S_2(H^-,H^+),\; T_{-+} \in \mathfrak S_2(H^+,H^-) \right\\} 여기서 * \mathfrak S_2(H^+,H^-)는 H^+ \to H^- 힐베르트-슈미트 작용소들의 공간이다. 이제, H를 어떤 양자장론의 위상 공간으로 삼고, H = H^+ \oplus H^-를 그 심플렉틱 구조로 삼자. 그렇다면, 기하학적 양자화에 따라, 다음과 같은 페르미온 포크 공간을 얻는다. :\mathcal H = \left(\bigwedge H^++ \otimes \bigwedge \bar H^- \right)^{\hat{ 여기서 * (-)^{\hat{은 내적 공간을 힐베르트 공간으로 만드는 완비화이다. * \bar H^-는 H^-의 복소켤레 a\bar v = \overline{\bar av}\qquad(v\in H^-)이다. * \textstyle\bigwedge는 외대수이다. 기하학적 양자화에 따라, 자연스럽게 유계 작용소로의 표현 :\Phi \colon H \to \operatorname B(\mathcal H) 가 존재한다. (\operatorname B(\mathcal H)는 \mathcal H\to\mathcal H 유계 작용소의 공간이다.) 이에 따라서, H 위의 유니터리 작용소 U \in \operatorname U(H)가 다음과 같이 \mathcal H 위에 \tilde U \in \operatorname U(\mathcal H)로 표현될 수 있는지를 따질 수 있다. :\tilde U \Phi(v) = \Phi(Uv) \tilde U \qquad\forall f\in H 이 경우, 위 조건을 만족시키는 \tilde U가 존재할 필요 충분 조건은 U \in \operatorname{U_{res(H^+,H^-)인 것이다. 이러한 \tilde U는 노름 1의 복소수 스칼라 곱셈을 무시하면 유일하다. 따라서, 이와 같은 유니터리 연산자의 공간 :\operatorname{\tilde U_{res(H^+,H^-) = \\{\tilde U\in\operatorname U(\mathcal H)\colon \exists U\in\operatorname U(H)\forall f\in H\colon \tilde U \Phi(v) = \Phi(Uv) \tilde U\\} 을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열 :1 \to \operatorname U(1) \to \operatorname{\tilde U_{res(H^+,H^-) \to \operatorname U(H^+,H^-) \to 1 을 이룬다. 이제, 단사 군 준동형 :\operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1) \hookrightarrow \operatorname{U_{res(H^+,H^-) 을 통해 \operatorname{\tilde U_{res(H^+,H^-) 속에 부분군 :\operatorname{\widetilde {Diff(\mathbb S^1) \subsetneq\operatorname{\tilde U_{res(H^+,H^-) 을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열 :1 \to \operatorname U(1) \to \operatorname{\widetilde{Diff^+(\mathbb S^1) \to \operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1) \to 1 을 이룬다. 이 짧은 완전열의 모든 항들은 프레셰 다양체이다. 이에 대한 실수 리 대수의 짧은 완전열을 취할 수 있다. :0 \to \mathbb R\mathsf c \to \widehat{\mathfrak{Vir \to \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to 0 이 짧은 완전열의 각 항은 프레셰 공간이다. 특히, 복소수 리 대수 \widehat{\mathfrak{Vir \otimes \mathbb C 속에 다음과 같은 부분 집합 : \\{\mathsf c \\} \cup \left\\{ \exp(\mathrm int)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\colon n\in\mathbb Z \right\\} 으로 생성되는 (대수적) 부분 리 대수 :\mathfrak{Vir} \subsetneq \widehat{\mathfrak{Vir \otimes \mathbb C 를 **비라소로 대수**라고 한다. \widehat{\mathfrak{Vir \otimes \mathbb C는 비라소로 대수의 (프레셰 공간으로의) 완비화이며, \operatorname{\widetilde{Diff^+(\mathbb S^1)는 그 실수 형태에 대응되는 프레셰 리 군이다.
# 성질

## 유니터리 표현
비라소로 대수의 복소수 힐베르트 공간 H 위의 표현 :\rho \colon \mathfrak{Vir} \to \operatorname B(H) 가운데, 만약 다음이 성립한다면, 이를 비라소로 대수의 **유니터리 표현**이라고 한다. :\rho(\mathsf L_n)^\dagger = \rho(\mathsf L_{-n}) 비라소로 대수의 유니터리 표현은 모두 기약 표현들의 직합으로 분해된다. 비라소로 대수의 아벨 부분 리 대수 :\operatorname{Span}_{\mathbb C}\\{\mathsf L_0,\mathsf c\\} \subsetneq \mathfrak{Vir} 를 생각하자. 각 기약 표현 \rho에서 :\rho(\mathsf c) \in [0,\infty) \operatorname{id}_H :\rho(\mathsf L_0) \in [0,\infty) \operatorname{id}_H 이게 되며, 반대로 주어진 두 실수 (c,h) = (\rho(\mathsf c),\rho(\mathsf L_0))에 대응되는 기약 유니터리 표현은 (동형 아래) 유일하다. 주어진 (c,h)에 대응되는 기약 표현은 베르마 가군의 몫으로 구성될 수 있다. 비라소로 대수의 기약 유니터리 표현들의 목록은 다음과 같다.언어=en * c\ge1인 경우, 모든 h\ge0에 대한 표현 (c,h)가 존재한다. * 0\le c<1인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다. *: c=1-\frac6{m(m+1)} *: h=h(c;p,q)=\frac{((m+1)p-mq)^2-1}{4m(m+1)} *: m=2,3,4,\dots *: p=1,2,\dots,m-1 *: q=1,2,\dots,p 0\le c<1의 경우는 2차원 등각 장론의 일종인 **최소 모형**의 구성에 등장한다. 함수 h(c;p,q)는 다음과 같은 대칭을 가진다. :h(c;p,q) = h(c;m-p,m+1-q) 특히, p = q = 1인 경우 h = 0이며, 이는 2차원 등각 장론의 진공 또는 대칭류(current)에 해당한다. (2차원 등각 장론은 두 개의 비라소로 대수 대칭을 갖는데, 진공의 경우 h가 둘 다 0이지만, 대칭류의 경우 둘 가운데 하나만이 0이다.) m-1 = p = q = 1인 경우는 (c,h) = (0,0)이며, 이는 1차원 자명한 표현에 해당한다. 비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 (c,h)=(0,0)을 제외하면 무한 차원 표현이다. ((c,h)=(0,0)인 자명한 표현은 물론 1차원이다.)
## 복소수 비라소로 군의 부재
비라소로 대수의 실수 형태 \mathfrak{Vir}^{\mathbb R}의 실수 프레셰 공간으로의 완비화는 어떤 프레셰 리 군의 리 대수이다. 그러나 이 리 군은 복소화될 수 없으며, 복소수 비트 대수와 복소수 비라소로 대수는 복소수 리 군의 리 대수가 될 수 없다.82–84, §5.4
## 리 지수 사상의 비(非)전사성
비트 대수의 지수 사상 :\exp \colon \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to \operatorname{Diff}(\mathbb S^1) 을 생각하자. 이는 존재하지만, 프레셰 다양체 \operatorname{Diff}(\mathbb S^1)에서 항등 함수의 임의의 근방에서, \exp의 치역에 포함되지 않는 원소가 존재한다.언어=en14, Proposition 1.23언어=en28, Proposition 3.3.1
# 역사
엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수를 발견하였고, 에른스트 비트가 이를 유한체의 경우에 대하여 1930년대에 연구하였다. 비트 대수의 중심 확장은 리처드 얼 블록(Richard Earl Block)doi=10.1090/S0002-9947-1966-0188356-3과 이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스(Дми́трий Бори́сович Фукс) (1968)가 발견하였다. 아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로(Miguel Ángel Virasoro)가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다.bibcode=1970PhRvD...1.2933V 이후 그 중심 확장은 와이스 (J. H. Weis)가 도입하였다.