유리 함수층

대수기하학에서 **유리 함수층**(有理函數層, sheaf of rational functions)는 어떤 대수다양체 위에 존재하는 유리 함수들로 구성된 층이다.
# 정의

## 정역 스킴의 경우
정역 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 **유리 함수층** \mathcal K_X는 다음과 같은 체 값을 갖는 층이다. 임의의 공집합이 아닌 열린집합 U\subseteq X에 대하여, :\Gamma(U;\mathcal K_X)=\operatorname{Frac}(\Gamma(U;\mathcal O_X)) 즉, 각 열린집합에 대응하는 정칙 함수들의 정역에 분수체를 취한 것이다. 물론, 공집합의 경우 층의 값은 항상 자명환이다. :\Gamma(\varnothing;\mathcal K_X)=0
## 일반적 스킴의 경우
임의의 국소환 달린 공간 (X,\mathcal O_X)의 **유리 함수층** \mathcal K_X는 다음과 같이 정의한다.언어=enissn=0072-5285140–141, §II.6 각 열린집합 U\subseteq X 및 x\in U에 대하여, 줄기 \mathcal O_{X,x}로 가는 표준적인 제약 사상 :\operatorname{res}_{U,x}\colon\Gamma(U,\mathcal O_X)\to\mathcal O_{X,x} 이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자. :S_U=\left\\{f\in\Gamma(U;\mathcal O_X)\colon \operatorname{res}_{U,x}(f)\in\operatorname{Reg}(\mathcal O_{X,x})\right\\} =\bigcap_{x\in U}\operatorname{res}_{U,x}^{-1}\left(\operatorname{Reg}(\mathcal O_{X,x})\right)\subset\Gamma(U;\mathcal O_X) 여기서 \operatorname{Reg}(-)는 가환환에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드이다. 이는 곱셈 모노이드들의 교집합이므로 역시 곱셈 모노이드를 이룬다. 그렇다면 X 위의 준층 \tilde{\mathcal K}_X를 다음과 같은 국소화로 정의하자. :\Gamma(U;\tilde{\mathcal K}_X)=S_U^{-1}\Gamma(U;\mathcal O_X) 여기서 S_U^{-1}은 국소화이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화로 유도되는 자연스러운 사상들이다. X 위의 **유리 함수층** \mathcal K_X는 준층 \tilde{\mathcal K}_X의 층화이며, 이는 \mathcal O_X-가군층을 이룬다. 임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 체를 이루지 않을 수 있다.
# 성질

## 줄기
X가 국소 뇌터 스킴이거나, 또는 축소 스킴이며 그 기약 성분의 집합이 국소적으로 유한하다고 하자 (즉, 임의의 점 x에 대하여, 그 기약 성분의 수가 유한한 열린 근방 U\ni x가 존재한다). 그렇다면, 유리 함수층의 줄기는 구조층의 줄기의 전분수환과 같다.205Lemma 7.1.12b :\mathcal K_{X,x}=\operatorname{Frac}(\mathcal O_{X,x})
## 아핀 스킴의 유리 함수층
가환환 R에 대하여, 전분수환 \operatorname{Frac}(R)에서 스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형 :\operatorname{Frac}(R)\to\Gamma(\operatorname{Spec}R;\mathcal K_{\operatorname{Spec}R}) 이 존재하며, 이는 항상 단사 함수이다.url-status = deadRemark 7.1.14 만약 R가 뇌터 환이거나, 또는 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는 축소환이라면, 이는 환의 동형 사상을 이룬다.Lemma 7.1.12b 그러나 일반적으로 이는 동형 사상이 아니다.
## 코호몰로지
국소환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위에는 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다. :1\to\mathcal O_X^\times\to\mathcal K_X^\times\to\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times\to1 여기서 (-)^\times는 가역원층을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열이 존재한다. :1\to\Gamma(X;\mathcal O_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to \Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times) \to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^2(X;\mathcal O_X^\times)\to\cdots 여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다. * \Gamma(X;\mathcal O_X^\times): 가역 정칙 함수군 * \Gamma(X;\mathcal K_X^\times): 가역 유리 함수군 * \Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times): 카르티에 인자 군 * \Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)/\Gamma(X;\mathcal K_X^\times): 카르티에 인자 유군 * \operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times): 피카르 군
# 예
체 K에 대하여, 0차원 아핀 공간 \mathbb A^0_K\operatorname{Spec}K=\\{(0)\\}은 한원소 공간이며, 이 경우 :\Gamma(\operatorname{Spec}K,\mathcal K_{\operatorname{Spec}K})=K :\Gamma(\varnothing,\mathcal K_{\operatorname{Spec}K})=0 이다. 체 K에 대하여, 아핀 직선 \mathbb A^1_K=\operatorname{Spec}K[x]의 경우, :\Gamma(\mathbb A^1_K,\mathcal K_{\mathbb A^1_K})=K(x) 이다. 즉, K의 계수의 유리 함수들의 체이다.
# 역사
알렉산더 그로텐디크가 1967년에 도입하였으나,url-status = dead226–227, Propositions 20.1.1–3 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼(Steven Kleiman)이 1979년에 지적하고 교정하였다.