분해 불가능 대상

범주론에서 **분해 불가능 대상**(分解不可能對象, indecomposable object)은 더 작은 대상들의 쌍대곱으로 나타낼 수 없는 대상이다.
# 정의
시작 대상 0\in\mathcal C 및 모든 쌍대곱을 갖는 범주 \mathcal C의 대상 X가 다음 조건을 만족시킨다면, **분해 불가능 대상**(indecomposable object)이라고 한다. * 임의의 대상들의 집합 \\{X_i\\}_{i\in I} 및 동형 \coprod_{i\in I}X_i\colon X에 대하여, X\cong X_{i_0}이며 X_i\cong0\forall i\in I\setminus\\{i_0\\}가 되는 i_0\in I가 유일하게 존재한다. 여기서 \textstyle\coprod는 쌍대곱을 뜻한다. 마찬가지로, 끝 대상 1\in\mathcal C 및 모든 곱을 갖는 범주 \mathcal C의 대상 X가 다음 조건을 만족시킨다면, **쌍대 분해 불가능 대상**(coindecomposable object)이라고 한다. * 임의의 대상들의 집합 \\{X_i\\}_{i\in I} 및 동형 \prod_{i\in I}X_i\colon X에 대하여, X\cong X_{i_0}이며 X_i\cong1\forall i\in I\setminus\\{i_0\\}가 되는 i_0\in I가 유일하게 존재한다. 여기서 \textstyle\prod는 곱을 뜻한다.
# 예

## 집합
집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}에서, 분해 불가능 대상은 한원소 집합이다.
## 준층
작은 범주 \mathcal C가 주어졌을 때, 준층 범주 \operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op 속의 대상 \mathcal F에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.언어=enProposition 1.5 * 분해 불가능 대상이며, 사영 대상이다. * \mathcal F에서 어떤 표현 가능 준층 \hom_{\mathcal C}(-,X)으로 가는 분할 단사 사상 \mathcal F\to\hom_{\mathcal C}(-,X)이 존재한다.
## 가군
환 R가 주어졌을 때, **분해 불가능 왼쪽 가군**(indecomposable left module)은 R-왼쪽 가군 범주 _R\operatorname{Mod}의 분해 불가능 대상이다. (오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉, M=M'\oplus M''와 같은 꼴로 분해할 수 없는 가군을 뜻한다. 환 R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 분해 불가능 가군이다. * 영가군이 아니며, 자기 사상환 \operatorname{End}(_RM,_RM)의 모든 멱등원은 0 또는 1이다. 이는 만약 자기 사상환 \operatorname{End}(_RM,_RM)의 멱등원 f\colon M\to M이 주어졌을 때, M=\ker f\oplus\operatorname{im}f가 되기 때문이다. 환 R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 유한한 길이를 갖는다. * 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다. * 합성열을 갖는다. 환 R 위의 왼쪽 가군 _RM이 유한한 길이를 갖는다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 분해 불가능 가군이다. * 영가군이 아니며, 자기 사상환 \operatorname{End}(_RM,_RM)은 국소환이다. * (**피팅 보조정리**, Fitting lemma) 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다. 이는 자기 사상 f\colon M\to M이 주어졌을 때, 충분히 큰 k\in\mathbb N에 대하여 M=\ker f^k\oplus\operatorname{im}f^k임을 보여 증명할 수 있다. 체 K 위의 가군(=벡터 공간)의 경우, 분해 불가능 벡터 공간은 1차원 벡터 공간과 동치이다. 모든 왼쪽 아르틴 가군은 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군들의 직합과 동형이다. **크룰-슈미트 정리**(Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 환 R 위의 왼쪽 가군 _RM이 유한한 길이를 갖는다면, M을 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 M이 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합 M_1\oplus\cdots\oplus M_r 및 N_1\oplus\cdots\oplus N_s와 동형이라면, r=s이며, M_i\cong N_{j(i)}\forall i\in\\{1,\dots,r\\}인 j\in\operatorname{Sym}(r)가 존재한다. 모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이다. 그러나 단순 가군이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다.
## 군
군에 대하여 가군과 유사한 결과들이 존재한다. 군 G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 쌍대 분해 불가능 군이다. 즉, 군의 범주 \operatorname{Grp}의 쌍대 분해 불가능 대상이다. 즉, 만약 G\cong H\times K라면, H=1과 K=1 가운데 정확히 하나가 성립한다. * 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는, 자기 사상 모노이드 \operatorname{End}(G)의 멱등원은 0 또는 1이다. (여기서 0은 모든 원소를 군의 항등원으로 대응시키는 자기 사상 g\mapsto 1이다.) 군 G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족한다. * 주합성열을 갖는다. 군 G의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 쌍대 분해 불가능 군이다. * 자명군이 아니며, 임의의 두 자기 사상 \phi,\psi\in\operatorname{End}(G)에 대하여, 만약 \phi와 \psi가 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하며, \phi(G)의 원소와 \psi(G)의 원소가 가환하며, \phi와 \psi가 자기 동형 사상이 아니라면, 자기 사상 \phi+\psi\colon g\mapsto\phi(g)\psi(g) 역시 자기 동형 사상이 아니다.156, Corollary 2 * (**피팅 보조정리**, Fitting lemma) 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다. (여기서 멱영 함수는 충분히 거듭 합성하면 0이 되는 함수를 뜻한다.)156, Corollary 1 군 G의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, G는 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군의 직접곱과 동형이다. **크룰-슈미트 정리**(Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 군 G의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, G를 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 G가 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱 G_1\times\cdots\times G_r 및 H_1\times\cdots\times H_s와 동형이라면, r=s이며, G_i\cong H_{j(i)}\forall i\in\\{1,\dots,r\\}인 j\in\operatorname{Sym}(r)가 존재한다.zbl=0326.00001156–157