측지선 완비 준 리만 다양체

리만 기하학에서 **측지선 완비 준 리만 다양체**(測地線完備準Riemann多樣體, geodesically complete pseudo-Riemannian manifold)는 그 측지선들이 중간에 임의로 끊기지 않는 준 리만 다양체이다.
# 정의
(M,g)가 준 리만 다양체라고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, (M,g)를 **측지선 완비 준 리만 다양체**라고 한다. :임의의 x\in M 및 v\in T_xM에 대하여, \gamma(0)=x이며 \dot\gamma(0)=\dot x이며 모든 t\in\mathbb R에 대하여 \sqrt{g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}=1인 측지선 \gamma\colon\mathbb R\to M이 존재한다. 즉, 측지선 완비 준 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 준 리만 다양체이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 리만 다양체이지만, 유클리드 공간의 (전체 공간이 아닌) 열린집합은 측지선 완비 리만 다양체가 아니다. 준 리만 다양체 (M,g) 및 임의의 점 x\in X가 주어졌을 때, 초기 속도에 측지선을 대응시키는 지수 사상 :\exp_x\colon\operatorname{dom}\exp_x\to M :\operatorname{dom}\exp_x\subseteq \operatorname T_xM 을 정의할 수 있다. 물론, 정의역 \operatorname{dom}\exp_x는 0의 근방을 포함한다. 측지선 완비성은 위 지수 사상이 \operatorname T_xM 전체에 정의될 수 있음을 뜻한다. 리만 다양체 (M,g) 속의 점 x\in X의 **단사성 반지름**(單射性半-, injectivity radius)은 \exp_x\restriction \\{v\in\mathrm T_xM\colon g(v,v)가 단사 함수가 되는 R들의 상한이다. (물론 이 개념은 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체에 대하여 무의미하다.)
## 확장 불가능성
준 리만 다양체 (M,g)가 다음 조건을 만족시킨다면, **확장 불가능 준 리만 다양체**(擴張不可能準Riemann多樣體, inextendable pseudo-Riemannian manifold)라고 한다. :임의의 연결 성분 (M_i,g\restriction M_i)에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 연결 준 리만 다양체 (\tilde M,\tilde g) 및 등거리 매장 \iota\colon(M_i,g\restriction M_i)\hookrightarrow(\tilde M,\tilde g)이 존재하지 않는다. :*\iota(M_i)는 \tilde M의 열린집합이다. :*\tilde M\setminus\iota(M)\ne\varnothing이다.
# 성질
임의의 준 리만 다양체에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :측지선 완비 ⇒ 확장 불가능 ⇐ 모든 연결 성분이 콤팩트 ⇐ 콤팩트 리만 다양체의 경우, **호프-리노프 정리**(Hopf-Rinow定理, Hopf–Rinow theorem)에 따르면 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 측지선 완비 준 리만 다양체이다. * 모든 연결 성분이 완비 거리 공간이다. * (하이네-보렐 정리) 각 연결 성분 속에서, 모든 유계 닫힌집합이 콤팩트 집합이다. 여기서, 임의의 연결 리만 다양체 위에는 표준적인 거리 함수를 줄 수 있는데, 위의 "완비 거리 공간" 및 "유계 집합"은 이 거리 함수에 대한 것이다. 그러나 호프-리노프 정리는 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체의 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 클리프턴-폴 원환면은 그 반례이다. 다만, 콤팩트 로런츠 다양체의 리만 곡률이 어디서나 0이라면, 이는 항상 측지선 완비 다양체이다.언어=fr언어=en
# 예
호프-리노프 정리를 만족시키지 않는 로런츠 다양체의 대표적인 예는 **클리프턴-폴 원환면**(Clifton-Pohl圓環面, Clifton–Pohl torus)이다.언어=en193, Example 7.16 이는 콤팩트 공간이지만, 확장 불가능 다양체가 아니다. 원점을 제거한 평면 \tilde M=\mathbb R^2\setminus\\{0\\}=\\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon (x,y)\ne(0,0) 위에 다음과 같은 로런츠 계량을 주자. :\mathrm ds^2=\frac{2\mathrm dx\,\mathrm y}{x^2+y^2} 이를 **클리프턴-폴 평면**(Clifton-Pohl平面, Clifton–Pohl plane)이라고 한다. 그렇다면, 다음과 같은 변환들은 \tilde M 위의 등거리 변환이다. :S_\lambda\colon (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)\qquad\forall \lambda\in\mathbb R^+ 이제, S_2로 생성되는 이산 부분군을 생각하자. 이에 대한 몫공간 :M=\frac{\tilde M}{(x,y)\sim(2x,2y)} 은 원환면 \mathbb S^1\times\mathbb S^1과 미분 동형이며, 특히 콤팩트 공간이다. (M,g)을 **클리프턴-폴 원환면**이라고 한다. (M,g)은 콤팩트 로런츠 다양체이지만, 이는 측지선 완비 다양체가 되지 못한다. 예를 들어, 측지선 :\gamma(t)=\left((1-t)^{-1},0\right) 은 t=1에서 정의되지 않는다. 마찬가지로, 측지선 :\gamma(t)=(\tan t,1) 역시 t\pm\pi/2에서 정의되지 않는다. 사실, 다음과 같은 좌표 변환을 가하자. :(u,v)=(\arctan x,\arctan y) 그렇다면, 클리프턴-폴 평면의 계량은 다음과 같다. :\mathrm ds^2=\frac{2\mathrm du\,\mathrm dv}{\sin^2u\cos^2v+\sin^2v\cos^2u} 이는 자연스럽게 :N=\mathbb R^2\setminus\left\\{(\pi m/2,\pi n/2)\in \colon (m,n)\in\mathbb Z^2,\;m\equiv n\pmod 2 \right\\} 위에 정의된다. 즉, 단사 등거리 변환 :\iota\colon\tilde M\hookrightarrow N 이 존재하며, 그 상은 :\iota(N)=\\{(x,y)\colon |x|<\pi/2,\;|y|,\pi/2,\;(x,y)\ne(0,0)\\} 이다. N을 **확장 클리프턴-폴 평면**(擴張Clifton-Pohl平面, extended Clifton–Pohl plane)이라고 하며, 이는 M과 달리 측지선 완비 다양체이다.언어=fr§1.3 그러나 N의 경우 M을 정의하는 데 사용되었던 자기 등거리 변환이 존재하지 않는다.
# 역사
호프-리노프 정리는 하인츠 호프와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프(Willi Ludwig August Rinow, 1907~1979)가 1931년에 증명하였다.언어=de 클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클리프턴(Yeaton H. Clifton)과 윌리엄 폴(William Pohl)이 발견하였으나, 출판하지 않았다.언어=en95