아즈마야 대수

환론과 대수적 수론과 대수기하학에서 **아즈마야 대수**([東屋]代數, Azumaya algebra)는 가환환 또는 스킴 위의 단위 결합 대수 가운데, 자리스키 위상에서 각 줄기가 유한 차원 자유 가군이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. 대수기하학적으로, 아즈마야 대수는 올이 사영 공간인 올다발에 해당한다. 아즈마야 대수들의 동치류는 **브라우어 군**(Brauer群, Brauer group)이라는 군을 정의한다. 이는 벡터 다발의 동치류들이 K군을 정의하는 것과 마찬가지다.
# 정의
가환 국소환 (R,\mathfrak m) 위의 **아즈마야 대수** \phi\colon R\to A는 다음 조건을 만족시키는 R-단위 결합 대수이다.언어=en136, §IV.1 * R-가군으로서 양의 유한 차원 자유 가군 R^n과 동형이다. * a\otimes_Rb\mapsto(x\mapsto axb)에 의하여, A\otimes_RA^{\operatorname{op\cong\operatorname{Mat}(n;R)=\operatorname{End}(_RA)이다. 여기서 A\otimes_RA^{\operatorname{op=A^{\operatorname e}는 A의 포락 대수(enveloping algebra)이다. 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 **아즈마야 대수** \mathcal A는 다음 조건을 만족시키는 \mathcal O_X-단위 결합 대수 층이다.140, §IV.2 * \mathcal A는 \mathcal O_X-가군층으로서 연접층이며, 각 닫힌 점 x\in X에 대하여, 줄기 \mathcal A_x는 가환 국소환 \mathcal O_{X,x} 위의 아즈마야 대수이다.
## 브라우어 군
스킴 S 위의 두 아즈마야 대수 \mathcal A, \mathcal A'에 대하여, 텐서곱 \mathcal A\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal A' 역시 S 위의 아즈마야 대수를 이룬다. 따라서, S 위의 아즈마야 대수들은 텐서곱에 대하여 모노이드를 이룬다. 스킴 S 위의 두 아즈마야 대수 \mathcal A, \mathcal A'에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 \mathcal O_X-국소 자유 가군층 \mathcal E 및 \mathcal E'이 존재한다면, 서로 **브라우어 동치**(Brauer-equivalent)라고 한다.§2, 141 :\mathcal A\otimes_{\mathcal O_X}\underline{\operatorname{End(_{\mathcal O_X}\mathcal E) \cong\mathcal A'\otimes_{\mathcal O_X}\underline{\operatorname{End(_{\mathcal O_X}\mathcal E') 이는 S-아즈마야 대수의 동치 관계를 이룬다. 브라우어 동치 관계는 텐서곱은 보존하며, 따라서 S-아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 사실 군을 이루며, 이를 S의 **브라우어 군**(Brauer group) \operatorname{Br}(S)라고 한다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수의 동치류 [\mathcal A]의 역원은 그 반대 대수층의 동치류 [\mathcal A^{\operatorname{op]이다.
# 성질

## 체 위의 아즈마야 대수
체 K 위의 단위 결합 대수 f\colon K\to A에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * A는 K 위의 아즈마야 대수이다. * f는 단사 함수이며, \operatorname Z(A)=K이며, \dim_KA는 유한하다. * A는 양의 정수 차원 K-벡터 공간이며, 다음 조건을 만족시키는 유한 차수 분해 가능 확대 L/K 및 양의 정수 n\in\mathbb Z^+이 존재한다. ** A\otimes_KL\cong\operatorname{Mat}(n;K) 이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 **중심 단순 대수**(中心單純代數, central simple algebra)라고 한다.
## 가환환 위의 아즈마야 대수
가환환 R 위의 단위 결합 대수 A에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * A는 R 위의 아즈마야 대수이다. * _RA는 충실한 가군이며, 사영 가군이며, A\otimes_RA^{\operatorname{op\to\operatorname{End}(_RA)는 R-단위 결합 대수의 동형 사상이다.언어=en * _RA는 유한 생성 가군이며, 모든 극대 아이디얼 \mathfrak m\subseteq R에 대하여 A/\mathfrak mA는 R/\mathfrak m-중심 단순 대수이다.Theorem 1.5.3
## 스콜렘-뇌터 정리
**스콜렘-뇌터 정리**(Skolem–Noether theorem)에 따르면, 아즈마야 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형이다.142, Proposition IV.2.3 즉, 스킴 S 위의 아즈마야 대수 \mathcal A의 임의의 자기 동형 f\colon\mathcal A\to\mathcal A에 대하여, :f|_{U_i}\colon a\mapsto u_iau_i^{-1}\qquad\forall i\in I 가 되는 S의 아핀 열린 덮개 \\{U_i\\}_{i\in I} 및 u_i\in\operatorname{Unit}(\Gamma(U_i,\mathcal A))가 존재한다. (여기서 \operatorname{Unit}(-)는 환의 가역원군을 뜻하며, \Gamma는 층의 단면 집합을 뜻한다.) 특히, S=\operatorname{Spec}K가 체 K의 스펙트럼일 경우, 모든 K-중심 단순 대수 A의 자기 동형 f\colon A\to A에 대하여 f\colon a\mapsto uau^{-1}가 되는 가역원 u\in\operatorname{Unit}(A)가 존재한다.
## 브라우어 군과 에탈 코호몰로지
스킴 S의 브라우어 군 \operatorname{Br}S에서 \mathbb G_{\operatorname m} 계수의 2차 에탈 코호몰로지 군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.142–145, Theorem IV.2.5 :\iota\colon\operatorname{Br}S\to\operatorname H^2_{\operatorname{\acute et(S;\mathbb G_{\operatorname m}) 구체적으로, 이는 다음과 같다. S 위의 아즈마야 대수 \mathcal A가 주어졌을 때, 작은 에탈 위치 S_{\operatorname{\acute et 위에 다음과 같은 올범주 \mathcal F_{\mathcal A}이 존재한다. 에탈 위치의 대상 \left(\iota_U\colon(U,\mathcal O_U)\to(S,\mathcal O_S)\right)\in S_{\operatorname{\acute et에 대하여, * 올 \mathcal F_{\mathcal A}(U)의 대상 (\mathcal E,\alpha)는 유한 차원 \mathcal O_U-국소 자유 가군층 \mathcal E와 동형 사상 \alpha\colon\underline{\operatorname{End(_{\mathcal O_U}\mathcal E)\to\mathcal A\otimes_{\mathcal O_S}{\iota_U}_*\mathcal O_U의 순서쌍이다. * 올 \mathcal F_{\mathcal A}(U)의 사상 (E,\alpha)\to(E',\alpha')은 적절한 가환 그림들을 만족시키는 동형 사상 E\to E'이다. 이 올범주는 스택이자 제르브이며, \mathbb G_{\operatorname m}는 그 위에 다음과 같이 작용한다. :\mathbb G_{\operatorname m}(U)=\Gamma(U,\mathcal O_U^\times)\to\operatorname{Aut}_U(\mathcal E,\alpha) :\left(g\in\Gamma(U,\mathcal O_U^\times)\right)\mapsto(g\cdot\colon\mathcal E\to\mathcal E) 따라서, 이 제르브는 2차 에탈 코호몰로지 군 \operatorname H^2_{\operatorname{\acute et(S;\mathbb G_{\operatorname m})의 원소를 표현한다. 또한, 만약 S가 오직 유한 개의 연결 성분만을 갖는다면, 단사 군 준동형 \iota\colon\operatorname{Br}S\hookrightarrow\operatorname H_{\operatorname{\acute et^2(S;\mathbb G_{\operatorname m})의 상은 꼬임 부분군 \operatorname{Tors}(\operatorname H_{\operatorname{\acute et^2(S;\mathbb G_{\operatorname m}))에 속한다. 즉, 이 경우 다음과 같은 포함 관계가 존재한다. :\operatorname{Br}S\subseteq\operatorname{Tors}(\operatorname H_{\operatorname{\acute et^2(S;\mathbb G_{\operatorname m}))\subseteq\operatorname H_{\operatorname{\acute et^2(S;\mathbb G_{\operatorname m})
## 수체 위의 중심 단순 대수
대수적 수체 K 위의 중심 단순 대수 A가 주어졌다고 하자. **앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리**(Albert–Brauer–Hasse–Noether theorem)에 따르면, 만약 모든 자리 v에 대하여 :A\otimes_KK_v\cong\operatorname{Mat}(\dim_KA;K_v) 라면, A\cong\operatorname{Mat}(\dim_KA;K)이다. 이는 대수적 수론의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 국소체 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다.
# 역사
체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 나눗셈환의 분류의 일환으로 19세기 말부터 연구되어 왔다. 1878년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스는 (현대적 용어로는) 실수체 \mathbb R의 브라우어 군 \operatorname{Br}(\mathbb R)\cong\mathbb Z/2을 계산하였다 (프로베니우스 정리).언어=de 조지프 웨더번은 1905년에 (현대적 용어로) 유한체의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였다 (웨더번 소정리).언어=en 그러나 웨더번의 첫 증명은 약간의 결함이 있었으며, 레너드 유진 딕슨이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.언어=en 브라우어 군은 리하르트 브라우어가 1932년에 정의하였다.언어=deurl=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0166%7CLOG_0025 아즈마야 고로가 1951년에 "고유 극대 중심 대수"(proper maximally central algebra)라는 이름으로 도입하였다.언어=en128§1.6 (엄밀히 말해, 아즈마야는 이 용어를 정의할 때 자유 가군이어야 한다는 조건을 추가하였다.) 이후 1964~1965년 니콜라 부르바키 세미나에서 알렉산더 그로텐디크가 그 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 도입하였다.언어=fr언어=fr