유사 미분 연산자

조화해석학에서 **유사 미분 연산자**(類似微分演算子, pseudodifferential operator, 약자 ΨDO)는 미분 연산자와, 매끄러운 함수와의 곱셈의 공통된 일반화이다. 푸리에 변환 공간에서 위치와 운동량에 의존하는 임의의 매끄러운 함수를 곱한 뒤 다시 역변환시키는 연산이다.
# 정의
유클리드 공간 \mathbb R^n 위의 복소수 값 매끄러운 함수의 집합을 \mathcal C^\infty(\mathbb R^n)이라고 쓰고, 복소수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수의 집합을 \mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)이라고 쓰자. \mathcal C^\infty(\mathbb R^n)은 자연스럽게 프레셰 공간을 이루며, \mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)은 자연스럽게 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다. \mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n) 위에 작용하는 **유사 미분 연산자**는 다음과 같은 꼴의 선형 변환이다. :P(x,D)\colon\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty(\mathbb R^n) :P(x,D)\colon u (x) \mapsto \frac1{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb R^n} \exp(ix\cdot\xi)\tilde P(x,\xi) \hat u(\xi) \, d^n\xi 여기서 :\hat u(\xi)=\int_{\mathbb R^n}\exp(-ix\cdot\xi)u(x)\,d^nx 는 u의 푸리에 변환이며, :\tilde P\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R :\tilde P\colon(x,\xi)\mapsto P(x,\xi) 는 매끄러운 함수이다. \tilde P(x,\xi)를 유사 미분 연산자 P(x,D)의 **표상**(表象, symbol)이라고 한다. \mathbb R^n 위의 다중지표의 집합을 \mathbb N^n으로 쓰자. 어떤 정수 m\in\mathbb Z에 대하여 유사 미분 연산자 P(x,D)의 표상 \tilde P(x,\xi)가 :\sup_{(x,\xi)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^n}\frac{|\partial_\xi^\alpha \partial_x^\beta P(x,\xi)|}{(1+|\xi|)^{m-|\alpha| <\infty \qquad\forall\alpha,\beta\in\mathbb N^n 를 만족시킨다면, P(x,D)를 **m차 유사 미분 연산자**라고 한다. m차 표상들의 집합은 보통 S^m으로 쓰며, m차 유사 미분 연산자의 집합은 \operatorname{\Psi DO}^m(\mathbb R^n)으로 쓴다. 모든 유사 미분 연산자는 \mathcal C_0^\infty(\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n) 함수로서 연속 함수이다.
## 유사 미분 연산자의 분포 위의 작용
\mathbb R^n 위의 분포 :T\colon\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)\to\mathbb R 가 주어졌다고 하자. \mathbb R^n 위의 유사 미분 연산자 P의 표상이 콤팩트 지지라고 하자. 그렇다면, P를 분포 T 위에 작용하도록 확장할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같다. :PT\colon\mathbb C^\infty_0\to\mathbb R :\langle PT|u\rangle=\langle T|P^* u\rangle 여기서 :P^*\colon\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n) 은 P의 에르미트 수반이다. 이에 따라, 콤팩트 지지 표상의 유사 미분 연산자는 분포 공간 \mathcal D'(\mathbb R^n) 위에 작용한다. :P\colon\mathcal D'(\mathbb R^n)\to\mathcal D'(\mathbb R^n)
## 다양체 위의 유사 미분 연산자
매끄러운 다양체는 유클리드 공간의 열린집합 \\{U_i\\}_{i\in I}들을 매끄러운 추이 사상 :\phi_{ij}\colon U_i\cap U_j\to U_i\cap U_j 으로 이어붙여 만든다. 유클리드 공간의 열린집합 U,V,U',V'\subseteq\mathbb R^n 및 유사 미분 연산자 :P\colon\mathcal C^\infty_0(U)\to\mathcal C^\infty(V) 및 미분 동형 ("좌표 변환") :\iota_U\colon U\to U' :\iota_V\colon V\to V' 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환 :P'\colon\mathcal C^\infty_0(U')\to\mathcal C^\infty(V') :P'\colon u\mapsto \iota_V\circ P(f\circ\iota_U^{-1}) 를 정의할 수 있으며, 또한 P' 역시 유사 미분 연산자임을 보일 수 있다. 또한, 만약 P가 m차 유사 미분 연산자라면 P' 역시 m차 유사 미분 연산자이다. 따라서, 좌표 근방계에 조각마다 유사 미분 연산자를 정의한 뒤 이를 짜깁기하여 매끄러운 다양체 위의 m차 유사 미분 연산자의 개념을 정의할 수 있다.§8
## 고전 유사 미분 연산자
m차 표상 \tilde P\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 표상의 열 (\tilde P_i)_{i\in\mathbb N}가 존재한다면, \tilde P를 **고전 표상**(classical symbol)이라고 한다.Definition 5.1 * \tilde P_i\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R는 i차 동차함수이다. 즉, \tilde P_i(\alpha x,\alpha\xi)=\alpha^i\tilde P_i(x,\xi)이다. * 콤팩트 지지 매끄러운 함수 \phi\colon\mathbb R^n\to\mathbb R에 대하여, 만약 \phi(x)=1\forall x\in U가 되는 0의 근방 U\ni0가 존재한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. *:\tilde P(x,\xi)-\sum_{i=0}^{N-1}(1-\phi(\xi))\tilde P_{m-i}(x,\xi) \in S^{m-N}\qquad\forall N\in\mathbb Z^+ **고전 유사 미분 연산자**(classical pseudodifferential operator)는 그 표상이 고전 표상인 유사 미분 연산자이다. 고전 유사 미분 연산자의 집합을 \operatorname{\Psi DO}_{\operatorname{cl^m으로 쓰자.
# 성질
\mathbb R^n 위의, 표상이 \tilde P\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R인 유사 미분 연산자 P(x,D)에 대하여, 만약 \tilde P(x,\xi)가 콤팩트 지지 함수라면, P(x,D)의 상은 \mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)에 속한다. 즉, :P(x,D)\colon\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n) 이다.언어=enTheorem 4.2
# 예
임의의 미분 연산자 :\sum_{\alpha\in\mathbb N^n}c_\alpha\partial_x^\alpha 의 경우, 그 표상 :\tilde P(\xi)=\sum_{\alpha\in\mathbb N^n}c_\alpha\xi^\alpha 을 정의하면 유사 미분 연산자 :u(x)\mapsto\frac1{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^n}\exp(ix\cdot\xi) \tilde P(\xi) \hat u(x)\,d^n\xi 로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 임의의 매끄러운 함수 f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R에 대하여, 곱셈 연산자 :u(x)\mapsto f(x)u(x) 역시 표상이 f(x)인 유사 미분 연산자 :u(x)\mapsto\frac1{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^n}\exp(ix\cdot\xi) \tilde P(x) \hat u(\xi)\,d^n\xi
# 역사
1960년대에 조지프 존 콘(Joseph John Kohn) · 루이스 니런버그 · 라르스 회르만데르 등이 유사 미분 연산자의 이론을 개발하였다. 이후, 유사 미분 연산자의 개념은 아티야-싱어 지표 정리의 증명에 중요한 역할을 하였다.