모리타 문맥

환론에서 **모리타 문맥**([森田]文脈, Morita context)은 두 개의 쌍가군으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 **모리타 환**([森田]環, Morita ring)이라는, 2×2 행렬들로 구성된 환을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 **삼각환**(三角環, triangular (matrix) ring)이라고 하며, 이는 2×2 상삼각행렬들로 구성된다.
# 정의

## 행렬을 통한 정의
환 R와 S 사이의 **모리타 문맥**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.언어=en486; 503, Exercise §18.18 * (R,S)-쌍가군 {}_RM_S * (S,R)-쌍가군 {}_SN_R * (R,R)-쌍가군 준동형 \phi\colon {}_R(M\otimes_SN)_R\to {}_RR_R * (S,S)-쌍가군 준동형 \psi\colon {}_S(N\otimes_RM)_S\to {}_SS_S 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. * \operatorname{id}_M\otimes_S\psi=\phi\otimes_R\operatorname{id}_N * \psi\otimes_S\operatorname{id}_N=\operatorname{id}_M\otimes_RN 모리타 문맥 (R,S,M,N,\phi,\psi)이 주어졌을 때, 아벨 군 :R\oplus M\oplus N\oplus S 위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 환을 이루며, 이를 **모리타 환**(Morita ring)이라고 한다. :(r,m,n,s)(r',m',n',s')=\left(rr'+\phi(m\otimes_Sn'),rm'+ms',nr'+sn',ss'+\psi(n\otimes_Rm')\right) R\oplus M\oplus N\oplus S의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬 :\begin{pmatrix} r&m;\\\ n&s; \end{pmatrix}\qquad(r\in R,\;m\in M,\;n\in N,\;s\in S) 로 나타내며 \phi와 \psi를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로 :\begin{pmatrix} R&M;\\\ N&S; \end{pmatrix} 로 표기한다. 특수한 경우로, N=0이며 \phi, \psi는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환 (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})은 상삼각행렬로 구성되며, 이를 **삼각환**이라고 한다.언어=en16, Example 1.14503, Exercise §18.18 즉, 이는 아벨 군으로서 직합 R\oplus M\oplus S이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다. :(r,m,s)(r',m',s')=(rr',rm'+ms',ss')\qquad(r,r'\in R,\;m,m'\in M,\;s,s'\in S)
## 멱등원을 통한 정의
삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다.언어=en430, Theorem 6.4(c)언어=en **모리타 문맥** (T,e)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * T는 환이다. * e\in T는 멱등원이다. 즉, e^2=e를 만족시킨다. 이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, (T,e)가 주어졌을 때, :R=eTe :S=(1-e)T(1-e) :M=eT(1-e) :N=(1-e)Te :\phi\colon \left(eT(1-e)\otimes_R(1-e)Te\right)\to eTe :\phi\colon \left(et(1-e)\otimes_R(1-e)t'e\right)\mapsto et(1-e)t'e :\psi\colon \left((1-e)Te\otimes_SeT(1-e)\right)\to(1-e)T(1-e) :\psi\colon \left((1-e)te\otimes_S et'(1-e)\right)\mapsto (1-e)tet'(1-e) 로 놓으면, (R,S,M,N,\phi,\psi)는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥 (R,S,M,N,\phi,\psi)이 주어졌을 때, :T=\begin{pmatrix}R&M;\\\N&S;\end{pmatrix} :e=\begin{pmatrix}1_R&0_M\\\0_N&0_S\end{pmatrix} 로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다. 특히, 만약 N=(1-e)Te=0일 경우, (T,e)는 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})을 정의한다.
## 준가법 범주를 통한 정의
모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다. **모리타 문맥**은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab} 위의 풍성한 범주)이다.430, Theorem 6.4(a) 이러한 준가법 범주 \mathcal C가 주어졌으며, 그 두 대상이 X와 Y라고 하자. 그렇다면 :R=\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)=\hom_{\mathcal C}(X,X) :S=\operatorname{End}_{\mathcal C}(Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,Y) :M=\hom_{\mathcal C}(X,Y) :N=\hom_{\mathcal C}(Y,X) 로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드는 환을 이루므로) R와 S는 자연스럽게 환의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해 M은 (R,S)-쌍가군, N은 (S,R)-쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상 :\phi\colon M\otimes_SN\to R :\psi\colon N\otimes_SM\to S 이 존재한다. 만약 N=0일 경우 이는 삼각환을 정의한다.
## 2-범주를 통한 정의
2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주 \mathcal C 속의 **모리타 문맥** (R,S,M,N,\phi,\psi)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.424–425, Definition 5.1 * R와 S는 \mathcal C의 대상(=0-사상)이다. * M\colon R\to S와 N\colon S\to R는 \mathcal C의 1-사상이다. * \phi\colon N\circ M\Rightarrow\operatorname{id}_R와 \psi\colon M\circ N\to\operatorname{id}_S는 \mathcal C의 2-사상이다. 다음과 같은 쌍가군 2-범주 \operatorname{Bimod}를 생각하자. * \operatorname{Bimod}의 대상(=0-사상)은 환이다. * \operatorname{Bimod}의 두 대상 R, S 사이의 1-사상은 (R,S)-쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱 (_SN_T)\circ(_RM_S)={}_R(M\otimes_SN)_T으로 주어진다. * \operatorname{Bimod}의 두 대상 R, S 사이의 두 1-사상 _RM_S, _RN_S 사이의 2-사상은 (R,S)-쌍가군 준동형 \phi\colon M\to N이다. 그렇다면, 2-범주 \operatorname{Bimod} 속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 동치이다.
# 성질
삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})은 가환환이다. * R와 S는 가환환이며, M=0이다.
## 아이디얼
환 R와 S 및 (R,S)-쌍가군 _RM_S이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})의 왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.17, Proposition 1.17(1) :N\oplus\mathfrak S 여기서 * \mathfrak S\subseteq S는 S의 왼쪽 아이디얼이다. * N\subseteq R\oplus M은 _RR\oplus{}_RM의 R-부분 가군이며, M\mathfrak S\subseteq N\cap M이다. 마찬가지로, 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})의 오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.17, Proposition 1.17(2) :\mathfrak R\oplus N 여기서 * \mathfrak R\subseteq R는 R의 오른쪽 아이디얼이다. * N\subseteq M\oplus S은 M_S\oplus S_S의 S-부분 가군이며, \mathfrak RM\subseteq N\cap M이다. 마찬가지로, 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})의 양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.17, Proposition 1.17(3) :\mathfrak r\oplus N\oplus\mathfrak s 여기서 * \mathfrak r\subseteq R는 R의 양쪽 아이디얼이다. * \mathfrak s\subseteq S는 S의 양쪽 아이디얼이다. * _RN_S\subseteq {}_RM{}_S은 _RM_S의 (R,S)-부분 쌍가군이며, \mathfrak rM\subseteq N이자 M\mathfrak s\subseteq N이다.
## 뇌터·아르틴 조건
삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.19, Theorem 1.22 * (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})은 왼쪽 뇌터 환이다. * R와 S는 왼쪽 뇌터 환이며, _RM은 R-뇌터 가군이다. 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.19, Theorem 1.22 * (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})은 오른쪽 뇌터 환이다. * R와 S는 오른쪽 뇌터 환이며, M_S은 S-뇌터 가군이다. 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.19, Theorem 1.22 * (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})은 왼쪽 아르틴 환이다. * R와 S는 왼쪽 아르틴 환이며, _RM은 R-아르틴 가군이다. 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.19, Theorem 1.22 * (\begin{smallmatrix}R&M;\\\0&S;\end{smallmatrix})은 오른쪽 아르틴 환이다. * R와 S는 오른쪽 아르틴 환이며, M_S은 S-아르틴 가군이다.
# 예

## 자명한 경우
만약 M=N=0이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 환의 직접곱과 같다. :\begin{pmatrix} R&0\\\ 0&S; \end{pmatrix}\cong R\times S 만약 R=S이며, M=\mathfrak m\subseteq R과 N=\mathfrak n\subseteq R이 R의 양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환 :\begin{pmatrix} R&\mathfrak m\\\ \mathfrak n&R; \end{pmatrix}\subseteq\operatorname{Mat}(2;R) 은 R 계수 2×2 행렬환의 부분환이다.
## 오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥
환 R 위의 오른쪽 가군 M_R가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.486 * S=\hom(M_R,M_R) * {}_RN_S=\hom({}_SM_R,{}_RR_R) * \phi\colon M\otimes_RN\to S, (m\otimes_R n)\mapsto (m'\mapsto mn(m')) * \psi\colon N\otimes_SM\to R, (n\otimes_R m)\mapsto n(m) 이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약 M_R가 유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주 \operatorname{Mod}_R의 생성 대상이라면, 이는 R와 S 사이의 모리타 동치를 정의한다.
# 역사
모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치가 모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"(Morita context)이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.언어=en460