사영 평면

사영기하학에서 **사영 평면**(射影平面, projective plane)은 일반적인 평면과 유사하지만, “무한대”의 점이 존재하여 모든 두 직선이 항상 교차하게 되는 결합 구조이다.
# 정의

## 다각형
결합 구조 (X,L,\vartriangleleft) 속의, 크기 n의 유한 집합 P\subseteq X가 다음 조건을 만족시킨다면, **n각형**(n角形, n-gon)이라고 한다. * 임의의 서로 다른 세 점 x,y,z\in P에 모두 인접하는 직선 l\in L은 존재하지 않는다.
## 사영 평면
결합 구조 (X,L,\vartriangleleft) 가운데, 다음 세 조건을 만족시키는 것을 **사영 평면**이라고 한다. * 임의의 서로 다른 두 점 x,y\in X (x\ne y)에 대하여, x\vartriangleleft l\vartriangleright y인 유일한 직선 l\in L이 존재한다. 이를 보통 \overline{xy}로 표기한다. * 임의의 서로 다른 두 선 l,m\in L에 대하여, l\vartriangleright x\vartriangleleft m인 유일한 점 x\in X이 존재한다. 이를 \underline{lm}으로 표기하자. * 사각형이 존재한다.
## 데자르그 사영 평면
사영 평면 (X,L,\vartriangleleft) 속의 두 삼각형 (x,y,z), (x',y',z')이 주어졌다고 하고, 그 변들을 각각 (l,m,n),(l',m',n')이라고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 **축배경적**(axially in perspective)이라고 한다. * \underline{ll'}, \underline{mm'}, \underline{nn'} 세 점에 모두 인접하는 직선이 존재한다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 **중심 배경적**(centrally in perspective)이라고 한다. * \overline{xx'}, \overline{yy'}, \overline{zz'} 세 직선에 모두 인접한 점이 존재한다. 만약 주어진 사영 평면 속의 임의의 두 삼각형에 대하여, 축배경성이 중심 배경성과 동치라면, 이 사영 평면이 **데자르그 사영 평면**(DesarguesDesarguesian projective plane)이라고 한다.
# 연산

## 쌍대 사영 평면
사영 평면 P=(X,L,\vartriangleleft)이 주어졌을 때, (L,X,\vartriangleright), 즉 * P의 각 점에 대응하는 직선을 가지며, * P의 각 직선에 대응하는 점을 가지며, * P에서 인접하는 점과 직선은 인접하는 직선과 점에 대응되는 사영 평면을 구성할 수 있다. 이를 P의 **쌍대 사영 평면**(dual projective plane)이라고 한다.
# 성질
모든 사영 평면 (X,L,\vartriangleright)에 대하여, 다음이 성립한다. * \forall l\in L\colon |\\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\\}|=q+1인 2 이상의 (유한 또는 무한) 기수 q가 존재한다. 즉, 모든 직선은 q+1개의 점과 인접한다. * 모든 점은 q+1개의 직선과 인접한다. * |X|=|L|=q^2+q+1이다. * q\not\in\\{6, 10\\}이다. 다음과 같은 추측이 존재하지만, 이는 아직 미해결 난제이다. :유한 사영 평면의 차수 q는 항상 소수의 거듭제곱이다 (즉, 크기 q의 유한체 \mathbb F_q가 존재한다.) 예를 들어, \mathbb P^2(\mathbb F_q)는 차수 q의 유한 사영 평면이다. 또한, 다음과 같은 추측이 존재하지만, 이 역시 미해결 난제이다. :소수 차수 p의 사영 평면은 \mathbb P^2(\mathbb F_p) 밖에 없다.
# 예

## 사각형이 존재하지 않는 결합 구조
결합 구조 C_7 결합 구조 가운데, 사영 평면의 세 공리 중 처음 두 개를 만족시키지만 셋째를 만족시키지 못하는 것들은 모두 분류되었으며, 다음 세 족 가운데 하나에 속한다. * X=L=\varnothing. 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 A로 표기하자. * X와 L은 공집합이 아닌 임의의 집합, x\in X, l\in L, R=\\{x\\}\times L\cup X\times\\{l\\}. 이를 B_{|X|,|L|}로 표기하자. B_{|X|,|L|}의 쌍대 사영 평면은 B_{|L|,|X|}이다. * S는 임의의 집합, L=\\{l\\}\sqcup S, X=\\{x\\}\sqcup S, R=\\{x\\}\times S \cup S\times \\{l\\}\cup \\{(s,s)\colon s\in S\\}. 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 C_{|X|}로 표기하자. B_{2,2}=C_2이다. 이 경우를 제외하면, 이 세 족들은 서로소이다.
## 데자르그 사영 평면
파노 사영 평면 \mathbb P^2(\mathbb F_2) 모든 데자르그 사영 평면은 분류되었으며, 다음과 같은 꼴이다. 어떤 나눗셈환 K에 대하여, * X=\frac{K\times K\times K\setminus\\{(0,0,0)\\{(x,y,z)\sim(ax,ay,az)\qquad\forall a\in K^\times,x,y,z\in K} * L의 원소는 K\times K\times K 속의 2차원 부분 공간에서 0을 제거한 뒤, 동치 관계를 취한 것이다. 이를 \mathbb P_K^2로 표기한다. 특히, 크기 2의 유한체 \mathbb F_2 위의 사영 평면은 **파노 사영 평면**(Fano projective plane)이라고 한다.
## 작은 유한 사영 평면
작은 차수 q의 유한 사영 평면들을 생각하자. q\le10인 유한 사영 평면들은 다음과 같다. * 유한체 위의 사영 평면 \mathbb P^2(\mathbb F_2), \mathbb P^2(\mathbb F_3), \mathbb P^2(\mathbb F_4), \mathbb P^2(\mathbb F_5), \mathbb P^2(\mathbb F_7), \mathbb P^2(\mathbb F_8), \mathbb P^2(\mathbb F_9) * 이 밖에도, 차수가 9인 세 개의 비(非)데자르그 사영 평면이 존재한다.언어=en
## 비(非)데자르그 사영 평면
교대 대수 (A,+,0,\star)에서, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 그렇다면, A 위의 사영 평면을 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 사영 평면을 **무팡 사영 평면**(Moufang projective plane)이라고 한다. 모든 데자르그 사영 평면은 무팡 사영 평면이다. 반면, 예를 들어 팔원수 위의 사영 평면은 데자르그 사영 평면이 아닌 무팡 사영 평면이다.
## 삼진환을 통한 구성
삼진환 모든 사영 평면은 삼진환으로부터 구성될 수 있다. 반대로, 각 삼진환에는 사각형이 주어진 사영 평면을 대응시킬 수 있다.