음계산법

조합론에서 **음계산법**(陰計算法, umbral calculus)은 특정 수열 · 다항식열에서의 아랫첨자를 마치 거듭제곱처럼 여겨 계산하는 계산법이다.
# 정의
표수가 0인 체 K가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 다항식환 K[x]는 K 위의 벡터 공간을 이룬다. 이 속의 **다항식열**(polynomial sequence)은 다음과 같은 조건들을 만족시키는 열이다. :p\colon\mathbb N\to K[x] :p\colon i\mapsto p_i\in K[x] :\deg p_i=i\qquad\forall i\in\mathbb N
## 음합성
다항식 :p(x)=\sum_{i\in\mathbb N}p_ix^i 와 다항식열 :q_i(x)=\sum_{j\in\mathbb N}q_{i,j}x^j 의 **음합성**(umbral composition)은 다음과 같은 다항식열이다. :(p\circ q)(x)=\sum_{j\in\mathbb N}p_iq_j(x) 마찬가지로, 두 다항식열 p_i,q_i의 **음합성**은 다음과 같다. :(p\circ q)_i=p_i\circ q 이에 따라, 다항식열들은 모노이드를 이룬다. 음합성의 항등원은 다음과 같다. :\delta_n(x)=x^n
## 셰퍼 다항식열
다항식열 p_i가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 K-선형 작용소를 정의할 수 있다. :Q\colon K[x]\to K[x] :Q\colon p_i\mapsto ip_{i-1} 이를 다항식열 p_i의 **델타 연산자**(delta operator)라고 한다. 또한, 임의의 a\in K에 대하여, 다음과 같은 K-선형 작용소를 정의할 수 있다. :T_a\colon K[x]\to K[x] :T_ap_i(x)=p_i(x+a) 만약 Q가 모든 T_a와 가환한다면, p_i를 **셰퍼 다항식열**(Sheffer sequence)이라고 한다. :QT_ap=T_aQp\qquad\forall a\in K,p\in K[x] 두 셰퍼 다항식열의 음합성 역시 셰퍼 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 셰퍼 다항식열들은 군을 이룬다. 셰퍼 다항식열 p_i의 지수 생성 함수는 다음과 같은 꼴이다. :\sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n = A(t) \exp(x B(t)) :A,B\in Kt 따라서, 셰퍼 다항식열은 일반화 아펠 다항식열의 특수한 경우이다.
## 아펠 다항식열
셰퍼 다항식열 p_i에 대하여, 델타 연산자가 다항식의 미분과 같다면, p_i를 **아펠 다항식열**(Appell sequence)이라고 한다. 두 아펠 다항식열의 음합성 역시 아펠 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 아펠 다항식열들은 아벨 군을 이룬다. 이는 셰퍼 다항식열의 군의 정규 부분군이다. 모든 아펠 다항식열 p_i(x)은 어떤 수열 a_i에 대하여 :p_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nka_{n-k}x^k 의 꼴임을 보일 수 있다. 역으로, 아펠 다항식열이 주어졌다면 :a_n=p_n(0) 이 된다. 아펠 다항식열의 예로는 다음이 있다. * 베르누이 다항식 B_n(x). 이에 대응하는 수열은 베르누이 수이다. * (확률론의) 에르미트 다항식 H_n(x). 이에 대응하는 수열은 h_{2k}=(-1)^k2k(2k-2)(2k-4)\cdots2, h_{2k+1}=0이다. * 오일러 다항식 * p_n(x)=x^n. 이에 대응하는 수열은 a_n=\delta_{n,0}이다 (\delta는 크로네커 델타).
## 이항형 다항식열
셰퍼 다항식열 p_i에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 셰퍼 다항식열을 **이항형 다항식열**(sequence of binomial type)이라고 한다. * p_0(x)=1이며 p_n(0)=0\qquad\forall n\ge1이다. * 다음 항등식이 성립한다. *:p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n\binom nkp_k(x)p_{n-k}(y) 이항형 다항식열은 음합성에 대하여, 셰퍼 다항식열의 군의 부분군을 이룬다. 이는 정규 부분군이 아니며, 아벨 군이 아니다. 셰퍼 다항식열의 군 \operatorname{Sheffer}은 아펠 다항식열의 군 \operatorname{Appell}과 이항형 다항식열의 군 \operatorname{Binom}의 반직접곱이다. :\operatorname{Sheffer}\cong\operatorname{Appell}\rtimes\operatorname{Binom} 이항형 다항식열은 그 델타 연산자로부터 완전히 결정된다. 이항형 다항식열의 예로는 다음이 있다. * p_n(x)=x^n. 이에 대응하는 델타 작용소는 미분 d/dx이다. * 하강 포흐하머 기호 p_n(x)=x^{\underline n}. 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분 \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)이다. * 상승 포흐하머 기호 p_n(x)=x^{\overline n} * 아벨 다항식 p_n(x)=x(x-an)^{n-1} * 투샤르 다항식 \textstyle p_n(x)=\sum_{k=0}^n\left\\n\atop k}\right\\}x^n. 여기서 \textstyle\left\\n\atop k}\right\\}는 제2종 스털링 수이다.
## 아펠 다항식의 음계산법
아펠 다항식열 :p_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkp_{n-k}x^k 이 주어졌다고 하자. 이 경우, 형식적 변수 \mathsf p에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의할 수 있다. :L\colon K[\mathsf p]\to K :L\colon\mathsf p^n\mapsto p_n 이 경우, \mathsf p를 **음변수**(umbral variable)라고 한다. L을 가하면, \mathsf p^n의 윗첨자(거듭제곱)가 p_n의 아랫첨자로 바뀌는 것을 알 수 있다. 그렇다면, 다음과 같은 식들이 성립한다. :L\left((a+\mathsf p)^n\right)=p_n(a)\qquad\forall a\in K :L\left(\frac d{da}(a+\mathsf p)^n\right)=\frac d{da}L\left((a+\mathsf p)^n\right) 따라서, p_n(x)를 포함하는 표현을 L(\cdots)로 나타낸 뒤, 음변수 \mathsf p의 다항식으로 다룰 수 있다. 이를 **음계산법**이라고 한다. 예를 들어, 다음과 같은 항등식을 음계산법으로 쉽게 보일 수 있다. :\begin{align} p_n(x+y)&=L\left((x+y+\mathsf p)^n\right)\\\ &=L\sum_{k=0}^n\binom nk(y+\mathsf p)^{n-k}x^k\\\ &=\sum_{k=0}^n\binom nkL((y+\mathsf p)^{n-k})x^k\\\ &=\sum_{k=0}^n\binom nkp_{n-k}(y)x^k\\\ \end{align}
## 이항형 다항식의 음계산법
델타 연산자 Q에 대응하는 이항형 다항식 p_n(x)이 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자. :L\colon K[\mathsf p]\to K[x] :L\colon\mathsf p^n\mapsto p_n(x) 그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다. :L\colon a\mapsto a\qquad\forall a\in K :L\left(\frac d{d\mathsf p}f(\mathsf p)\right)=Q(Lf) :L\left(\operatorname{eval}_{\mathsf p\mapsto0}f(\mathsf p)\right)=\operatorname{eval}_{x\mapsto0}L\left(f(\mathsf p)\right) 따라서, 아펠 다항식의 경우와 같이 p_n(x)를 포함하는 표현을 L(\cdots)로 나타내어 편하게 다룰 수 있는 음계산법이 성립한다. 특히, 임의의 f(x)\in K[x]에 대하여, \deg p_n(x)=n이므로 :f=L(g(\mathsf p)) 인 다항식 :g(\mathsf p)\in K[x] :g(\mathsf p)=\sum_{k=0}^\infty g_k\mathsf p^k 가 존재한다. 이 경우, :g_k=L(g_k)=\frac1{k!}L\left(\operatorname{eval}_{\mathsf p\mapsto0}\frac{d^n}{d\mathsf p^n}g(\mathsf p)\right) =\frac1{k!}\operatorname{eval}_{x\mapsto0}Q^nL(g(\mathsf p))=\frac1{k!}Q^nf(0) 이다. 따라서, :f(x)=\sum_{n=0}^\infty L\left(g_n\mathsf p^n\right)=\sum_{n=0}^\infty g_np_n(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{k!}Q^nf(0)p_n(x) 가 된다. 이를 **음 테일러 급수**(umbral Taylor series)라고 한다. 특히, p_n(x)이 하강 포흐하머 기호 :p_n(x)=x^{\underline n}=x(x-1)\cdots(x-n+1) 일 경우, :p_n(x+1)-p_n(x)=np_{n-1}(x) 이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분 :\Delta f(x)=f(x+1)-f(x) 이다. 따라서 :f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{k!}\Delta^nf(0)x^{\underline n} 이다. 이는 뉴턴 급수라고 한다. 보다 일반적으로, 셰퍼 다항식열은 아펠 다항식열과 이항형 다항식열의 음합성이므로, 이에 대한 음계산법을 개발할 수 있다.
# 예

## 베르누이 공식
베르누이 다항식 B_n(x)\in\mathbb Q[x]은 아펠 다항식열을 이룬다. 따라서, 선형 작용소 :L\colon\mathbb Q[\mathsf b]\to\mathbb Q[x] :L\colon\mathsf b^n\mapsto B_n 를 정의하자. (여기서 B_n은 B_1=-1/2인 베르누이 수이다.) 그렇다면, 음계산법을 사용한다면 거듭제곱수의 합에 대한 베르누이 공식은 다음과 같이 깔끔하게 적을 수 있다. : \begin{align} \sum_{k=1}^n k^m &= \frac1{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(0)\right)\\\ &=L\left(\frac{(n+1+\mathsf b)^{m+1}-\mathsf b^{m+1{m+1}\right)\\\ &=L\int_{\mathsf b}^{\mathsf b+n+1} x^p\,dx \end{align}
## 역관계
두 수열 a_n, b_n에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. :\forall n\colon a_n=\sum_{k=0}^n\binom nkb_n\iff \forall n\colon b_n=\sum_{k=0}^n(-)^k\binom nka_n 이는 다음과 같이 음계산법으로 쉽게 유도할 수 있다.url-status = dead185–186 우선 :L\colon K[\mathsf a]\to K :L\colon \mathsf a^n\mapsto a_n 라고 하자. 그렇다면, 만약 :b_n=\sum_{k=0}^n\binom nkb_n=L\left((1+\mathsf a)^n\right) 라면, :\mathsf b=1+\mathsf a 로 정의할 수 있다. 그렇다면 :a_n=L(\mathsf a^n)=L\left((\mathsf b-1)^n\right)=\sum_{k=0}^n(-)^k\binom nkb_k 임을 알 수 있다. (반대 방향의 함의도 마찬가지로 성립한다.)
# 역사
음계산법은 1861년에 존 블리사드(John Blissard)가 도입하였다.언어=en 그러나 블리사드는 선형 범함수를 사용하지 않았으며, 단순히 특정 경우 아랫첨자를 윗첨자처럼 간주할 수 있다는 선에서 음계산법을 이해하였다. 이후 음계산법은 에두아르 뤼카와 제임스 조지프 실베스터 등에 의하여 널리 사용되었으나, 오랫동안 음계산법이 왜 성립하는지는 의문에 싸여 있었다. 1938년에 에릭 템플 벨(Eric Temple Bell)은 음계산법을 엄밀하게 유도하려고 시도하였으나, 그리 성공적이지 못하였다.언어=en 1970년대에 잔카를로 로타는 선형 범함수를 사용하여 음계산법을 엄밀하게 유도하였다.언어=en 1부, 2부, 3부, 4부 아펠 다항식열은 프랑스의 수학자 폴 에밀 아펠(Paul Émile Appell, 1855~1930)이 도입하였다. 셰퍼 다항식열은 미국의 수학자 이자도어 미첼 셰퍼(Isador Mitchell Sheffer, 1901~1992)가 도입하였다.