일차원 격자 속의 입자

양자역학 양자역학에서 **일차원 격자 속의 입자**(Particle in a one-dimensional lattice) 문제는 주기성을 가진 결정 격자(crystal lattice)에서 입자의 파동함수를 모델링하면서 등장한다. 이 주기적 퍼텐셜은 결정 내에 주기적으로 존재하는 이온에 의해 생겨나는 전자기장에 의한 것이다. 결정 내의 전자들의 파동함수는 이 주기를 가진 퍼텐셜에 의해 결정된다. 이는 자유전자 모델을 확장하여 풀어낼 수 있다.
# 크로니-페니 모델
1931년 랄프 크로니(Ralph Kronig)와 윌리엄 페니(William PenneyR. Kronig and W. G. Penney, Proc. Roy. Soc. A130 (1931) 499.>)에 의해서 명명된 크로니-페니 모델은 유한한 주기적인 전위장벽들로 구성된 단순하고 이상적인 양자역학적 시스템이다. 이 모델의 결과로 주기 격자(periodic lattice)에서 전자의 양자역학적 운동의 중요한 요소들을 알 수 있다. 대표적으로, 원자가 결정화(crystallization)가 잘 되어 주기적으로 배열되어 있으면 퍼텐셜(potential)이 주기적인 모양이 된다. 슈뢰딩거 파동방정식과 경계조건을 적용하여 얻은 해로부터 에너지 허용 영역과 금지영역이 생김을 알 수 있다. 1차원 격자 속 입자 모델을 단순화한 전위 함수는 아래와 같다. 일차원 격자 속의 입자는 1차원 주기적 전위 함수, 크로니-페니 모델로 나타낼 수 있다.
## 경계조건
# 위치에너지(전위)는 V(x)=V_0이며 전위장벽(potential wall)의 폭은 b이고 격자상수(lattice constant)는 a+b이다. # 전위장벽의 전위는 입자의 에너지보다 크다. V_0>E
## 유도
1차원 슈뢰딩거 파동방정식의 해는 다음과 같다. \quad \Psi(x,t)=\psi(x)\times\phi(t)=u(x)\exp(j(kx-wt))이고 j^2=-1, w={E \over \hbar}이다. 1차원 시간독립 파동방정식 \quad {d^2 \psi(x) \over dx^2}+{2m \over \hbar^2}\cdot(E-V(x))\psi(x)=0으로부터, 두 번째 경계조건, V_0>E이므로 다시 쓰면 아래와 같다. \quad {-\hbar^2 \over 2m}\cdot{d^2\psi \over dx^2}+(V(x)-E)\psi=0로 나타낼 수 있다.
### 퍼텐셜
전위 장벽 사이 공간(0V(x)=\begin{cases} 0 \qquad \ \ \ \ \ (0 위의 퍼텐셜 조건을 1차원 시간 독립 파동방정식에 경계조건을 대입하면 다음과 같다. \begin{cases} -{\hbar \over 2m}\cdot{d^2\psi_1 \over dx^2}-E\psi_1=0 \qquad (0
### 블로흐 파
크로니-페니 모델 전위함수는 주기적이다. 이 함수의 해 \psi(x)=e^{jkx}\cdot u(x) \ [3]에서 파동의 형성에는 e^{jkx}함수가, 주기성에는 u(x)가 관여한다. 블로흐 파에 따라 u(x)=u(x+d)로 나타낼 수 있고 격자상수 d는 a+b이다.
### 전개
먼저, 영역 1에 대하여 식[3]을 식[1]에 대입하면, \quad {d^2 \over dx^2}(e^{jkx}u_1(x))+{2mE \over \hbar^2}e^{jkx}u_1(x)=0이고 전미분하여 전개하면, \quad {d \over dx}\\{jke^{jkx}u_1(x)+e^{jkx}{du_1(x) \over dx}\\}+{2mE \over \hbar^2}e^{jkx}u_1(x)=0다시 한번 전미분하여 전개하면, \quad j^2k^2e^{jkx}u_1(x)+jke^{jkx}{du_1(x) \over dx}+jke^{jkx}{du_1(x) \over dx}+e^{jkx}{d^2u_1(x) \over dx^2}+{2mE \over \hbar^2}e^{jkx}u_1(x)=0이 된다. j^2=-1이고 e^{jkx}소거하여 정리하면 아래 식으로 표현 할 수 있다. \quad {d^2u_1(x) \over dx^2}+2jk{du_1(x) \over dx}+({2mE \over \hbar^2}-k^2)u_1(x)=0 \qquad [4] 또, 영역 2에 대하여 식[3]을 식[2]에 대입하여 정리하면 \quad {d^2u_2(x) \over dx^2}+2jk{du_2(x) \over dx}+({2m(V_0-E) \over \hbar^2}-k^2)u_2(x)=0 \qquad [5]로 정리할 수 있다.
## 해
식[4]와 식[5]의 해를 구하면 아래와 같다. \quad u_1(x)=Ae^{j(\alpha-k)x}+Be^{-j(\alpha+k)x} \qquad (0 \quad u_2(x)=Ce^{j(\beta-k)x}+De^{-j(\beta+k)x} \qquad (-b 여기서 \alpha^2 = {2mE \over \hbar^2}이고 \beta^2 = {2m(V_0-E) \over \hbar^2}이다. 계수 A, B, C, D는 경계조건을 도입하여 관계식을 만들 수 있다. # u_1(0)=u_2(0)\Longrightarrow A+B-C-D=0 # {du_1(0)\over dx}={du_2(0)\over dx}\Longrightarrow (\alpha-k)A-(\alpha+k)B-(\beta-k)C+(\beta+k)D=0 # u_1(a)=u_2(a)=u_2(-b) # {du_1(a)\over dx}={du_2(a)\over dx}\Longrightarrow (\alpha-k)Ae^{j(\alpha-k)a}+(\alpha+k)Be^{-j(\alpha+k)a}-(\beta-k)Ce^{j(\beta-k)b}+(\beta+k)De^{(\beta+k)b}=0 행렬식으로 표현하면 다음과 같다. \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\\ (\alpha-k) & -(\alpha+k) & -(\beta-k) & (\beta+k) \\\ e^{j(\alpha-k)a} & e^{-j(\alpha+k)a} & -e^{-j(\beta-k)b} & -e^{j(\beta+k)b} \\\ (\alpha-k)e^{i(\alpha-k)a} & -(\alpha+k)e^{-i(\alpha+k)a} & -(\beta-k)e^{-i(\beta-k)b} & (\beta+k)e^{i(\beta+k)b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\\ B \\\ C \\\ D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix} 위의 행렬의 행렬식이 0이 될 때, 해를 얻을 수 있다.
## 풀이
행렬식이 0이 되는 조건으로부터 크로니-페니 모델의 최종식은 아래와 같다. \quad f(\alpha a)=P'{sin{\alpha a} \over \alpha a}+cos{\alpha a}=coska\quad P'={mV_0ba \over \hbar^2} 위의 식은 단결정 격자에 갇혀있는 입자의 에너지와 k의 관계에 관한 식이다. 위 식에서 P'가 증가하면 입자는 전위우물 즉, 원자에 더욱 강하게 결합됨을 의미한다. P는 아래와 같이 나타내며 퍼텐셜 장벽의 크기에 대응한다. \quad P=V_0b
## 해석
입자들이 결정화가 잘 되어서 원자가 주기적으로 배열되어있다면 퍼텐셜은 주기적인 모양이 되고 에너지의 허용영역과 금지영역이 생긴다. 이들은 각각 에너지밴드와 밴드갭으로 불린다.