꼬마 끈 이론

끈 이론에서 **꼬마 끈 이론**(꼬마 끈理論, little string theory, 약자 LST)은 NS5-막의 적절한 극한에서의 낮은 에너지 유효 이론이다.url-status =언어=en 이 이론에서는 끈이 존재하지만, 이 이론은 중력을 포함하지 않는다.
# 정의
II종 초끈 이론에서, N개의 평탄한 NS5-막이 같은 위치에 존재한다고 하자. 이는 :\operatorname{SO}(1,5)\times\operatorname{SO}(4) 로런츠 대칭을 가지며, 16개의 초전하를 보존한다. 만약 IIA종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 6차원 \mathcal N=(2,0) 초대칭을 가지며, IIB종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 \mathcal N=(1,1) 초대칭을 갖는다. 이제, NS5-막의 6차원 동역학을 10차원 초끈 이론으로부터 분리하기 위하여, 다음과 같은 극한을 취하자. :g_{\text{s \to 0 :E / m_{\text{s = O(1) 즉, 끈 결합 상수를 0으로 보내고, 에너지 눈금 E를 끈의 장력에 고정시킨다. 이 극한에서 얻는 이론을 \mathcal N=(2,0) 또는 \mathcal N=(1,1) **꼬마 끈 이론**이라고 한다.
# 성질
꼬마 끈 이론은 다음과 같은 성질을 갖는다. * 국소적이지 않으며, 끈을 갖는다. * T-이중성이 존재한다. * 6차원 이하의 시공간 차원에 존재하며, 16개 이하의 초전하 (4차원 \mathcal N=4)를 갖는다. * 끈 이론과 마찬가지로, 높은 에너지에서 하게도른 온도를 갖는다. * 끈 이론과 달리, 중력을 포함하지 않는다. * 끈 이론과 달리, 질량껍질 밖의 그린 함수가 존재한다.
## 비자유성
N>1 꼬마 끈 이론은 자유 이론이 아니다. (반면 N=1일 경우 이는 자유 이론이다.) 예를 들어, IIB 초끈 이론의 N개의 NS5-막을 생각하자. S-이중성을 가하면, 이는 N개의 D5-막이 된다. 그 낮은 에너지 이론은 6차원 \mathcal N=(1,1) \operatorname U(N) 게이지 이론이며, 그 게이지 결합 상수 g_{\text{D5는 다음과 같다. :g^{-2}_{\text{D5 = \frac{m_{\text{s^2}{g_{\text{s 다시 S-이중성을 가하면, :g_{\text{D5 \mapsto g_{\text{NS5 :g_{\text{s \mapsto 1/g_{\text{s :m_{\text{s \mapsto m_{\text{s/g_{\text{s 이므로, :g^{-2}_{\text{NS5 = m_{\text{s^2 이다. 따라서, E\sim m_{\text{s인 에너지 눈금에서 이 이론은 상호 작용을 갖게 된다. (엄밀히 말하면, 이 이론은 재규격화될 수 없으므로, E\ll m_{\text{s에서는 g_{\text{NS5\to 0이지만 E\simeq m_{\text{s에서는 게이지 이론 묘사가 더 이상 성립하지 못하지만, 이 경우 어쨌든 이론은 자유 이론일 수 없다.)
## T-이중성
T-이중성 원 위에 축소화된 IIA종 초끈 이론과 원 위에 축소화된 IIB종 초끈 이론은 T-이중성에 따라 서로 동치이다. T-이중성 아래 IIA NS5-막은 IIB NS5-막에 대응된다. 즉, 하나의 차원을 축소화했을 때, T-이중성에 의하여 \mathcal N=(2,0) 꼬마 끈 이론은 \mathcal N=(1,1) 꼬마 끈 이론과 서로 동치이다.
## 상태 밀도
높은 에너지 E에서, 꼬마 끈 이론의 상태 밀도는 다음과 같은 꼴이다. :\rho(E) \sim E^\alpha \exp(\beta_{\text{H E)\left(1+O(1/E)\right) :S(E) = \ln\rho(E) = \beta_{\text{HE +\alpha \ln (E/\Lambda) + O(1/E) 여기서 \beta_{\text{H는 하게도른 온도이다.
## AdS/CFT 대응성
AdS/CFT 대응성 꼬마 끈 이론에 홀로그래피적으로 대응되는 10차원 중력 이론은 다음과 같다. II종 10차원 초중력에서, N개의 NS5-막에 해당하는 해는 (끈 틀 string frame에서) 다음과 같다. :\mathrm ds^2 = \mathrm dx_\mu\,\mathrm dx^\mu + \left(1+\frac{N\alpha'}{r^2}\right)\,\mathrm dx^i\,\mathrm dx_i : \exp(2\Phi) = g_{\text{s^2\left(1+\frac{N\alpha'}{r^2}\right) :H_{ijk} = -\epsilon_{ijkl}\partial^l\Phi 여기서 * \mu,\nu,\dotsc\in\\{0,1,\dotsc,5\\}는 6차원 로런츠 좌표이며, i,j,\dotsc\in\\{6,7,8,9\\}는 NS5-막과 수직인 방향의 좌표이다. * \textstyle r^2 = \sum_{i=6}^9 (x^i)^2이다. * \mathrm ds^2는 계량 텐서이다. * \Phi는 딜라톤이다. * H는 캘브-라몽 장 B의 장세기인 3차 미분 형식이다. * \alpha'는 끈 이론 레제 기울기이며, g_{\text{s는 끈 결합 상수이다. 이제, 꼬마 끈 이론을 얻으려면 r/g_{\text{s = \exp \sigma를 고정시키고 r\to0을 취하면 된다. 그렇다면, :\mathrm ds^2 = \mathrm dx_\mu\,\mathrm dx^\mu + N\alpha'\left(\mathrm d\sigma^2+\mathrm d\Omega_3^2\right) :\Phi = -\sigma 이다. 이 배경은 :\mathbb R^{1,5} \times \mathbb R \times \mathbb S^3 에 해당한다. 여기서 둘째 성분 \mathbb R는 \sigma를 좌표로 하는 실수선이며 셋째 \mathbb S^3는 그 반지름이 \sqrt{N\alpha'}인 3차원 초구이다. 여기서, 3차원 초구 성분은 레벨 N의 베스-추미노-위튼 모형에 해당한다. 이 밖에도, 이 이론은 10개의 자유 페르미온 \psi^\mu과 \mathbb R\times\mathbb S^3에 대응되는 4개의 페르미온을 갖는다. 즉, 이 배경의 II종 끈 이론의 끈 세계면 위의 2차원 등각 장론의 장들은 다음과 같다. {| class=wikitable ! 장 || \operatorname{SO}(1,5) 로런츠 표현 ||\operatorname{SU}(2) 표현 (스핀) || 총 중심 전하 c |- | \mathbb R^{1,5}의 자유 보손 \phi^\mu || 벡터 || 0 || 1×6 |- | \mathbb R^{1,5} 자유 페르미온 \psi^\mu || 스피너 || 0 || ½×6 |- | 딜라톤 \sigma || 스칼라 || 0 || 1+6/N |- | 딜라티노 \psi_\sigma || 스피너 || 0 || ½ |- | SU(2) 베스-추미노-위튼 모형 스칼라장 || 0 || 1 || (N-2)/N×3 |- | 베스-추미노-위튼 모형 페르미온 || 0 || 1 || (1/2+2/N)×3 |} 이에 따라, 비라소로 대수의 총 중심 전하는 다음과 같다. :c = (1+1/2)\times 6 + (1 + 1/2) + \left(\frac{N-2}N + \frac12+\frac2N\right)\times 3 = 15 이는 예상대로 임계 차원 (D=10) 초끈 이론의 중심 전하와 같다. 즉, IIA/B종 꼬마 끈 이론은 이와 같은 굽은 배경에서의 10차원 II(A/B)종 끈 이론과 홀로그래피적으로 쌍대이다. AdS/CFT 대응성에서, 경계 이론(꼬마 끈 이론)의 질량껍질 밖 관측 가능량은 중력 이론(굽은 배경의 II종 끈 이론)의 질량껍질 위 관측 가능량에 대응한다. 즉, 꼬마 끈 이론의 질량껍질 밖 관측 가능량이 존재함을 알 수 있다.