근 판정법

미적분학 미적분학에서 **근 판정법**(根判定法, root test)은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 가리는 수렴 판정법의 하나다. 물론, 이는 실수 항 급수의 절대 수렴 여부를 가릴 수 있음을 의미한다. 급수의 항의 거듭제곱근의 극한(또는 상극한)을 사용한다.
# 정의
음이 아닌 실수 항의 급수 \sum_{n=0}^{\infty}a_n (a_n\ge0\forall n\ge0)이 주어졌다고 하자. 또한, :C=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\in[0,\infty] 라고 하자. (이는 항상 존재한다.) **근 판정법**에 따르면, 다음이 성립한다. * 만약 C1이라면, 급수는 발산한다. * 만약 C=1이라면, 급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 다른 방법을 사용하여야 한다. 만약 극한 :\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\in[0,\infty] 이 존재한다면, 이는 위에서 정의한 상극한과 일치한다. 이 경우에도 극한이 1인 경우 수렴 여부를 알 수 없다. 증명 만약 C1이라면, 무한히 많은 수의 n에 대하여 :\sqrt[n]{a_n}>1 이다. 즉, 무한히 많은 수의 n에 대하여 :a_n>1 이다. 특히, (a_n)_{n=0}^\infty은 0으로 수렴할 수 없다. 따라서 급수 \sum_{n=0}^{\infty}a_n는 발산한다. 증명 끝 절대 수렴의 개념을 사용하여 적으면 다음과 같다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * \mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\} * \mathbb K-바나흐 공간 (V,\lVert\rVert) * V 항의 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n (a_n\in V) ** 만약 \mathbb K=V=\mathbb R라면, 이는 실수 항 급수다. ** 만약 \mathbb K=V=\mathbb C라면, 이는 복소수 항 급수다. 또한, :C=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lVert a_n\rVert}\in[0,\infty] 라고 하자. (만약 V=\mathbb K라면, 노름은 절댓값이며, \lVert a_n\rVert는 |a_n|이다.) **근 판정법**에 따르면, 다음이 성립한다. * 만약 C1이라면, 급수는 발산한다. * 만약 C=1이라면, 급수가 절대 수렴할 수도, 조건 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 다른 방법을 사용하여야 한다. 근 판정법의 이 형태는 이전 형태보다 조금 더 강하다. 예를 들어, 두 번째 명제에서 급수가 “절대 수렴하지 않는다”고 하는 데 그치지 않고 조건 수렴도 불가능하다고 결론 내린다. 또한, 세 번째 항목은 절대 수렴 여부를 알 수 없을 뿐 아니라, 세 가지 가능성이 존재한다고 주해한다. “\mathbb K-바나흐 공간” 조건을 “\mathbb K-노름 공간”으로 약화하여도 좋지만, 이 경우 절대 수렴이 수렴을 함의하지 않는다. 증명 근 판정법의 증명을 음이 아닌 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty\lVert a_n\rVert에 적용한다. 증명 끝
# 비 판정법과의 관계
근 판정법은 비 판정법보다 강한 명제다. 즉, 어떤 급수의 수렴 여부를 비 판정법을 통하여 알 수 있다면, 근 판정법을 통해서도 알 수 있다. 이는 임의의 음이 아닌 실수의 수열 (a_n)_{n=0}^\infty (a_n\ge0\forall n\ge0)에 대하여, 다음 부등식이 성립하기 때문이다. :\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1{a_n}\le\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1{a_n} 증명 두 번째 부등식은 자명하다. (임의의 수열의 하극한은 상극한을 넘지 않는다.) 남은 두 부등식은 실질적으로 동치다. (하나에 수열 (1/a_n)_{n=0}^\infty을 대입하면 다른 하나가 된다.) 따라서 부등식 :\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1{a_n} 을 보이면 족하다. 이는 임의의 :q>\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1{a_n} 에 대하여 :\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le q 임을 보이는 것으로 충분하다. 상극한의 정의에 따라, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여 :\frac{a_{n+1{a_n} 이다. 따라서, 임의의 n\ge N에 대하여 :\begin{align} a_n &=a_N\cdot\frac{a_{N+1{a_N}\cdot\frac{a_{N+2{a_{N+1\cdot\cdots\cdot\frac{a_n}{a_{n-1\\\ &\le a_Nq^{n-N} \end{align} 이다. 즉, 임의의 n\ge N에 대하여 :\sqrt[n]{a_n}\le\sqrt[n]{a_Nq^{-N\cdot q 이다. \sqrt[n]{a_Nq^{-N은 1로 수렴하므로, 양변에 상극한을 취하면 :\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le q 를 얻는다. 증명 끝
# 예
급수 :\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^{\lfloor n/2\rfloor=1+1+\frac12+\frac12+\frac14+\frac14+\cdots 를 생각하자. 여기서 \lfloor\rfloor는 바닥 함수다. 근 판정법을 사용하자. 항상 a_{2n}=a_{2n+1}이므로, :\begin{align} C &=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\\\ &=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{2n\\\ &=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/2^n}\\\ &=1/2\\\ &<1 \end{align} 이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. 비 판정법·라베 판정법·베르트랑 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다. 비 판정법 문서는 라베 판정법을 적용할 수 있지만 근 판정법을 적용할 수는 없는 급수의 예를 제시한다. 즉, 근 판정법과 라베 판정법은 어느 하나가 다른 하나보다 강하지 않다. === *C* = 1 === 급수 :\sum_{n=1}^\infty\frac1n=1+\frac12+\frac13+\cdots 또는 급수 :\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots 는 C=1를 만족하므로, 근 판정법을 통하여 수렴 여부를 알 수 없으며, 특히 비 판정법을 사용할 수도 없다. 실제로 첫 번째 급수는 발산하며 (조화급수), 두 번째 급수는 수렴한다. 이는 라베 판정법의 표준적인 증명에서 사용되는 사실의 특수한 경우다 (따라서 라베 판정법을 사용하는 것은 일종의 순환논법이다). 두 급수에 대하여 유효한 수렴 판정법으로는 적분 판정법과 코시 응집 판정법이 있다.
## 멱급수의 수렴 반지름
코시-아다마르 정리 근 판정법은 멱급수의 수렴 반지름에 대한 코시-아다마르 정리의 증명에 사용된다. 이에 따르면, 멱급수 :f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n\qquad(c_n,z_0\in\mathbb C) 의 수렴 영역은 z_0를 중심으로 하며 다음 음이 아닌 확장된 실수를 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공 사이에 있다.r=\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|\in[0,\infty]
# 역사
프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 처음 고안하였다.