쌍각뿔

{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" |정 쌍각뿔의 집합 |- |align=center colspan=2|hexagonal bipyramid
(육각형 형태를 예시로 들었다) |- |bgcolor=#e7dcc3|콕서터 다이어그램||node |- |bgcolor=#e7dcc3|슐레플리 기호||{ } + {*n*} |- |bgcolor=#e7dcc3|면||2*n* 삼각형 |- |bgcolor=#e7dcc3|모서리||3*n* |- |bgcolor=#e7dcc3|꼭짓점||2 + *n* |- |bgcolor=#e7dcc3|면 배치||V4.4.*n* |- |bgcolor=#e7dcc3|대칭군||D*n*h, [*n*,2], (**n*22), 4*n*차 |- |bgcolor=#e7dcc3|회전군||D*n*, [*n*,2]+, (*n*22), 2*n*차 |- |bgcolor=#e7dcc3|쌍대다면체||*n*각기둥 |- |bgcolor=#e7dcc3|특성||볼록, 면추이 |- |bgcolor=#e7dcc3|전개도||쌍*n*각뿔의 전개도, 여기서는 오각쌍뿔을 예로 들었다 |} 빨대와 [[고무줄로 만든 쌍각뿔이다. 축의 빨대는 이것이 단순한 다면체로 존재하지 않기 때문에 추가했다]] *n*각 **쌍각뿔**은 *n*각뿔과 그 거울상을 밑면에서 밑면끼리 연결하여 생긴 다면체이다. 쌍*n*각뿔은 2*n*개의 삼각형 면과 3*n*개의 모서리, 그리고 2 + *n*개의 꼭짓점을 가진다. 쌍각뿔의 이름에 쓰였던 *n*각형은 외부의 면이 아니라 내부의 면이다. 두 각뿔 절반을 연결하는 주 대칭면에 존재한다.
# 정-, 불규칙- 그리고 오목 쌍각뿔
**정 쌍각뿔**의 두 꼭짓점은 그 밑면의 중심의 위와 아래에 존재한다. 정 쌍각뿔이 아닌 쌍각뿔은 **불규칙 쌍각뿔**이라고 부른다. **정 쌍각뿔**은 정다각형의 내부의 면을 가지고 대부분 *직 쌍각뿔*의 의미를 내포한다. 직 쌍각뿔은 내부의 다각형 P에 대해서 { } + P라고 나타낼 수 있고, 정 쌍*n*각뿔은 { } + {*n*}으로 나타낼 수 있다. **오목 쌍각뿔**은 오목한 내부의 다각형을 가진다. : 면추이 정 쌍각뿔은 고른 각기둥의 쌍대다면체이고, 일반적으로 이등변삼각형 면을 가진다. 구나 지구의에 쌍각뿔은 극에서 극으로 가는 *n*개의 등간격의 경도와 적도를 따라 이등분 하는 선으로 투영될 수 있다. 구면 삼각형으로 투영된 쌍각뿔 면들은 이면체 대칭 D*n*h의 기본 영역을 나타낸다.
# 부피
쌍각뿔의 부피는 *V* =3*Bh*이며, *B*는 밑면의 넓이이고 *h*는 밑면에서 꼭대기 까지의 높이이다. 이 공식은 꼭대이의 위치에 관계없이, *h*가 밑면을 포함하는 평면에 수직한 거리로 측정되었으면 성립한다. 따라서 밑면이 변의 길이가 *s*인 정*n*각형으로 이루어졌고 높이가 *h*인 쌍각뿔의 부피는 다음과 같다: :V = \frac{n}{6}hs^2 \cot\frac{\pi}{n}
# 정삼각형 쌍각뿔
세 종류의 쌍각뿔만이 모든 모서리의 길이가 같을 수 있다 (이것은 모든 면이 정삼각형이라는 것을 암시하며 따라서 쌍각뿔은 삼각형다면체이다): 삼각, 사각, 그리고 오각쌍뿔이다. 모서리의 길이가 동일한 삼각이나 오각쌍뿔은 존슨의 다면체(J12과 J13)로 계수되는 반면, 모서리의 길이가 동일한 사각쌍뿔, 또는 정팔면체는 플라톤의 다면체로 계수한다.. {| class=wikitable |- align="center" valign="bottom" | | | |- align="center" valign="top" |삼각쌍뿔 |사각쌍뿔
(정팔면체) |오각쌍뿔 |}
# Kalidescopic 대칭
밑면이 정다각형이고 꼭대기들을 통과하는 선이 밑면의 중심을 통과할 때, *n*각쌍뿔의 대칭군은 4*n*차의 이면체 대칭 D*n*h를 가진다. 예외적으로 정팔면체의 경우는 더 큰 48차의 정팔면체 대칭군 Oh을 가지고 세 종류의 D4h을 부분군으로 가진다. 회전군은 2*n*차의 D*n*를 가지고, 정팔면체는 더 큰 24차의 대칭군 O를 가지며 세 종류의 D4를 부분군으로 가진다. 구면 2*n*각쌍뿔의 이각형 면은 삼차원의 이면체 대칭의 기본 영역을 나타낸다: D*n*h, [*n*,2], (**n*22), 4*n*차. 반사 영역은 교대로 색칠된 삼각형을 거울상으로 볼 수 있다. {| class="wikitable" !D1h !D2h !D3h !D4h !D5h !D6h !... |- | | | | | | |}
# 직 정쌍각뿔
쌍각뿔
# 부등변 다면체
**부등변 다면체**는 위상적으로 2*n*각쌍뿔과 같으나 동일한 부등변삼각형들로 이루어져있다. 두 종류가 존재하는데, 한 종류는 중심 주변의 2*n*개의 꼭짓점이 위아래로 교대된 고리를 이루고, 다른 종류는 꼭짓점 2*n*개는 같은 평면에 있지만 두 반지름이 교대되어있다. 첫 번째는 둘레에 있는 모서리의 중점의 2-fold 회전축과, 꼭짓점을 통한 대칭면, 그리고 그 축의 n-fold 회전대칭을 가지며, 대칭 D*n*d, [2+,2*n*], (2**n*), 2*n*차를 나타낸다. 결정학에서, 변이 8개와 12개가 있는 부등변다면체가 존재한다.url-status= 이 모든 형태는 점추이이다. 두 번째는 대칭 D*n*, [2,*n*], (**nn*2), 2*n*차를 가진다. 가장 작은 부등변다면체는 면이 8개이고 위상적으로 정팔면체와 동일하다. 두번째 종류는 *마름모 쌍각뿔*이다. 첫번째 종류는 (0,0,±1), (±1,0,*z*), (0,±1,−*z*)으로 나타나는 꼭짓점 6개를 가진다. 여기서 *z*는 0과 1사이의 변수이며, *z* = 0 일 때 정팔면체를 만들고, *z* = 1일 때는 동일한 면에 있는 면을 병합하면 맞붙인 쐐기꼴이 된다. *z* > 1일 때, 이것은 오목해진다. {| class=wikitable |+ 4-부등변 다면체의 기하학적 변형 !*z* = 0.1 !*z* = 0.25 !*z* = 0.5 !*z* = 0.95 !*z* = 1.5 |- | | | | | |}
# 별 쌍각뿔
자기 교차하는 쌍각뿔은 별 다각형을 중심도형으로 가져서 존재하고, 각각의 다각형 변을 이 두 점으로 연결하는 삼각형 면으로 정의되었다. {p/q} 쌍각뿔은 콕서터 다이어그램 node를 가진다. {| class=wikitable |- align=center !5/2 !7/2 !7/3 !8/3 !9/2 !9/4 !10/3 !11/2 !11/3 !11/4 !11/5 !12/5 |- align=center valign=top |
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node |} 면추이 짝수 변의 별은 다음 {8/3} 형태와 같이 비평면 지그재그형 꼭짓점, 안팎 변추이 형태, 또는 둘 다로 만들어질 수 있다: {| class=wikitable !정다각형 !지그재그 정다각형 !변추이 !지그재그 변추이 |- | | | | |}
# 서지학
* isbn= 0-520-03056-7 Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms