삼각 분할 범주

호몰로지 대수학에서 **삼각 분할 범주**(三角分割範疇, triangulated category)는 유도 범주 및 안정 호모토피 범주와 유사한 성질을 가지는 범주이다. 이 위에 일반적인 코호몰로지 함자의 개념을 정의할 수 있다.
# 정의

## 삼각형
범주 \mathcal C 위의 자기 동치 \Sigma\colon\mathcal C\to\mathcal C가 주어졌다고 하자. (\mathcal C,\Sigma) 위의 **삼각형**(triangle)은 다음과 같은 꼴의 사상들이다. :X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X 이를 (f,g,h)로 쓰자. (\mathcal C,\Sigma) 속의 두 삼각형 :X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X :X'\xrightarrow{f'}Y'\xrightarrow{g'}Z'\xrightarrow{h'}\Sigma X' 사이의 **동형**은 다음 조건을 만족시키는 동형 사상 :i_X\colon X\to X' :i_Y\colon Y\to Y' :i_X\colon Z\to Z' 이다. :f'=i_Y\circ f\circ i_X^{-1} :g'=i_Z\circ g\circ i_Y^{-1} :h'=\Sigma(i_Z)\circ h\circ i_Z^{-1}
## 삼각 분할 범주
**삼각 분할 범주**는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * \operatorname{Ab}-풍성한 범주 \mathcal C * 자기 동치 \Sigma\colon\mathcal C\to\mathcal C * 삼각형들로 구성된 모임. 이 모임의 원소를 **특별 삼각형**(distinguished triangle)이라고 한다. 이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다. * \mathcal C는 유한 완비 범주이다. (즉, 가법 범주이다.) 이에 따라 \mathcal C는 영 대상을 갖는다. * 임의의 대상 X에 대하여, X\xrightarrow{\operatorname{id}_X}X\to0\to\Sigma X는 특별 삼각형이다. * 임의의 사상 f\colon X\to Y에 대하여, X\xrightarrow f Y\to Z\to\Sigma X와 같은 꼴의 특별 삼각형이 존재한다. 이 경우 Z를 f의 **사상뿔**(mapping cone)이라고 한다. * 특별 삼각형과 동형인 삼각형은 특별 삼각형이다. * 특별 삼각형 X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X이 주어졌을 때, Y\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X\xrightarrow{\Sigma f}Y 및 Z\xrightarrow h\Sigma X\xrightarrow{\Sigma f}\Sigma Y\xrightarrow{\Sigma g}\Sigma Z 역시 특별 삼각형이다. * **정팔면체 공리**(octahedral axiom)가 성립한다. 이에 따르면, 사상 f\colon X\to Y 및 g\colon Y\to Z가 주어졌을 때, f, g, g\circ f에 대한 세 개의 삼각뿔 Z', X', Y'이 주어졌을 때 이들을 짜기워 특별 삼각형 Z'\to Y'\to X'\to\Sigma Z'을 만들 수 있다. 즉, 다음과 같은 정팔면체 그림이 존재한다. *:\begin{matrix} X'&&\to&&Z;\\\ &\searrow&\scriptstyle\mathsf d&\nearrow\\\ \downarrow&\scriptstyle\mathsf c&Y;&\scriptstyle\mathsf c&\uparrow\\\ &\swarrow&\scriptstyle\mathsf d&\nwarrow\\\ Z'&&\to&&X; \end{matrix} \qquad\begin{matrix} X'&&\to&&Z;\\\ &\nwarrow&\scriptstyle\mathsf c&\swarrow\\\ \downarrow&\scriptstyle\mathsf d&Y;'&\scriptstyle\mathsf d&\uparrow\\\ &\nearrow&\scriptstyle\mathsf c&\searrow\\\ Z'&&\to&&X; \end{matrix} 위 그림은 정팔면체의 북반구와 남반구를 분리하여 그린 것이다. 여기서 * \mathsf c는 가환 삼각형을 나타낸다. * \mathsf d는 특별 삼각형을 나타낸다. * Z'\to X, X'\to Y, Y'\to X, X'\to Z'은 (특별 삼각형의 셋째 변이므로) 등급이 1이다. 즉, 사실 Z'\to\Sigma X와 같은 사상이다. 이 정팔면체 그림은 다음과 같이 나타낼 수도 있다. :\begin{matrix} &&&&\scriptstyle\mathsf d\\\ Z'&&\xrightarrow\exists&&Y;'&&\xrightarrow\exists&&X;'\\\ &\scriptstyle\mathsf c&&\swarrow&\scriptstyle\mathsf d&\nwarrow&&\scriptstyle\mathsf c\\\ \|&&X;&&\to&&Z;&&\|\\\ &\nearrow&\scriptstyle\mathsf d&\searrow&\scriptstyle\mathsf c&\nearrow&\scriptstyle\mathsf d&\searrow\\\ Z'&&\leftarrow&&Y;&&\leftarrow&&X;' \end{matrix} \qquad 여기서 맨 위의 \mathsf d는 이 그림의 둘레를 따르는 삼각형 Z'\to Y'\to X'\to\Sigma Z'이 특별 삼각형임을 뜻한다. 이 그림에서 사각형 :\begin{matrix} Y&\to&Z;\\\ \downarrow&&\downarrow\\\ Z'&\to&Y;' \end{matrix} 및 :\begin{matrix} Y'&\to&X;\\\ \downarrow&&\downarrow\\\ X'&\to&Y; \end{matrix} 역시 가환 사각형을 이루어야 한다. 또한, 이 정팔각형 그림은 다음과 같이 나타낼 수도 있다. : \begin{matrix} X\\\ \downarrow&\searrow\\\ Y&\to&Z;\\\ \downarrow&&\downarrow&\searrow\\\ Z'&\overset\exists\to&Y;'&\overset\exists\to&X;'\\\ &\searrow&\downarrow&&\downarrow&\searrow\\\ &&\Sigma X&\to&\Sigma Y&\to&\Sigma Z' \end{matrix} 이 그림에서는 모든 삼각형·사각형이 가환 다각형이다.
# 성질
삼각 분할 범주에서, 모든 단사 사상은 분할 단사 사상이며 모든 전사 사상은 분할 전사 사상이다. 삼각 분할 범주 위에서 코호몰로지의 개념을 정의할 수 있다. 삼각 분할 범주에서 두 특별 삼각형 X\to Y\to Z\to\Sigma X 및 X'\to Y'\to Z'\to\Sigma X' 및 처음 두 꼭짓점들 사이의 사상 X\to X', Y\to Y'이 주어졌을 때, 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 Z\to Z'이 존재한다. :\begin{matrix} X&\to&Y;&\to&Z;&\to&\Sigma X\\\ \downarrow&&\downarrow&&{\scriptstyle\exists}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\Sigma\\\ X'&\to&Y;'&\to&Z;'&\to&\Sigma X' \end{matrix} 이 성질은 베르디에의 원래 논문에서 삼각 분할 범주의 4개의 공리 가운데 셋째(TR3)로 제시되었으나, 이후 존 피터 메이(Jon Peter May)가 셋째 공리를 다른 공리들로부터 유도할 수 있음을 보였다.언어=en41, Lemma 2.2
# 예

## 벡터 공간
체 K 위의 벡터 공간들의 범주 \operatorname{Vect}_K 위에 다음과 같이 삼각 분할 범주의 구조를 줄 수 있다. * 자기 동치는 항등 함자 \Sigma=\operatorname{Id}이다. * 특별 삼각형은 완전열 U\to V\to W\to U\to V이다.
## 아벨 범주의 유도 범주
아벨 범주 \mathcal A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 호모토피 범주 \mathcal K(\mathcal A) (즉, 대상은 사슬 복합체, 사상은 사슬 사상의 호모토피류)는 삼각 분할 범주를 이룬다. 이 경우 특별 삼각형은 호몰로지 대수학에서의 사상뿔과 동형인 삼각형이다. 아벨 범주 \mathcal A의 호모토피 범주 \mathcal K(\mathcal A)의 약한 동치를 국소화하면 유도 범주 \operatorname D(\mathcal A)를 얻는다. 이 역시 삼각 분할 범주를 이룬다. 이는 약한 동치의 국소화가 삼각 분할 구조와 호환되기 때문이다.
## 안정 호모토피 범주
스펙트럼들로 구성된 안정 호모토피 범주 역시 삼각 분할 범주를 이룬다. 자기 동치 \Sigma는 스펙트럼의 현수이다.
# 역사
장루이 베르디에가 1963년 박사 학위 논문에서 유도 범주와 함께 정의하였다.날짜=1996 베르디에는 유도 범주에서 등장하는 특별 삼각형들의 성질들을 공리화하여 삼각 분할 범주의 개념을 추출하였다.