모노이드 범주

범주론에서 **모노이드 범주**(monoid範疇, monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙이 성립하고 동형 사상 아래 왼쪽·오른쪽 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다.언어=en언어=en 모노이드 범주 속에는 모노이드 대상의 개념을 정의할 수 있다.
# 정의
**모노이드 범주** (\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 범주 \mathcal C * 함자 \otimes\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C * 대상 I\in\mathcal C. 이를 **항등원**(恒等元, identity element)이라고 한다. * 함자 (-\otimes-)\otimes-\colon\mathcal C\times\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C, -\otimes(-\otimes-)\colon\mathcal C\times\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C 사이의 자연 동형 \alpha\colon(-\otimes-)\otimes-\Rightarrow-\otimes(-\otimes-). 그 성분을 \alpha_{XYZ}\colon(X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes(Y\otimes Z)로 쓰자. 이를 **결합자**(結合子, associator)라고 한다. * 함자 I\otimes\colon\mathcal C\to\mathcal C, \operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C 사이의 자연 동형 \lambda\colon I\otimes\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}. 그 성분을 \lambda_X\colon I\otimes X\to X로 쓰자. 이를 **왼쪽 항등자**(왼쪽恒等子, left unitor)라고 한다. * 함자 \otimes I\colon\mathcal C\to\mathcal C, \operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C 사이의 자연 동형 \rho\colon \otimes I\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}. 그 성분을 \rho_X\colon X\otimes I\to X로 쓰자. 이를 **오른쪽 항등자**(오른쪽恒等子, right unitor)라고 한다. 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. * (결합자의 일관성) 임의의 대상 X,Y,Z,W\in\mathcal C에 대하여, \alpha_{X,Y,Z\otimes W}\circ\alpha_{X\otimes Y,Z,W}=\operatorname{id}_X\otimes\alpha_{Y,Z,W}\circ\alpha_{X,Y\otimes Z,W}\circ\alpha_{X,Y,Z}\otimes\operatorname{id}_W. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다. *:\begin{matrix} ((X\otimes Y)\otimes Z)\otimes W &\xrightarrow\alpha &(X\otimes(Y\otimes Z))\otimes W &\xrightarrow\alpha &X;\otimes((Y\otimes Z)\otimes W)\\\ &{\scriptstyle\alpha}\searrow&&&\downarrow\scriptstyle\alpha\\\ &&(X\otimes Y)\otimes(Z\otimes W) &\xrightarrow[\alpha]{} &X;\otimes(Y\otimes(Z\otimes W)) \end{matrix} * (항등원의 일관성) 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, \alpha_{X,I,Y}\circ\operatorname{id}_X\otimes\lambda_Y=\rho_X\otimes\operatorname{id}_Y. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다. *:\begin{matrix} (X\otimes I)\otimes Y&\xrightarrow \alpha&X;\otimes(I\otimes Y)\\\ &{\scriptstyle\rho}\searrow&\downarrow\scriptstyle\lambda\\\ &&X;\otimes Y \end{matrix}
## 모노이드 함자
두 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)와 (\mathcal C',\otimes',I',\alpha',\lambda',\rho') 사이의 **(강한) 모노이드 함자**(monoid函子, (strong) monoidal functor) (F,\xi,\xi_0)은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal C' * 자연 동형 \xi\colon F(-)\otimes'F(-)\to F(-\otimes -). 그 성분을 \xi_{X,Y}\colon F(X)\otimes'F(Y)\to F(X\otimes Y)로 쓰자. * 동형 사상 \xi_0\colon I' \to F(I) 이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. * (결합자의 보존) 임의의 대상 X,Y,Z\in\mathcal C에 대하여, F\alpha_{X,Y,Z}\circ\xi_{X\otimes Y,Z}\circ(\xi_{X,Y}\otimes\operatorname{id}_{F(Z)})=\xi_{X,Y\otimes Z}\circ(\operatorname{id}_{F(X)}\otimes\xi_{Y,Z})\circ\alpha'_{F(X),F(Y),F(Z)}. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다. *:\begin{matrix} (F(X)\otimes' F(Y))\otimes' F(Z) &\xrightarrow{\xi\otimes\operatorname{id &F;(X\otimes Y)\otimes' F(Z) &\xrightarrow{\xi} &F;((X\otimes Y)\otimes Z)\\\ \downarrow\scriptstyle\alpha'&&&&\downarrow\scriptstyle F\alpha\\\ F(X)\otimes'(F(Y)\otimes' F(Z)) &\xrightarrow[\operatorname{id}\otimes\xi]{} &F;(X)\otimes'F(Y\otimes Z) &\xrightarrow[\xi]{} &F;(X\otimes(Y\otimes Z)) \end{matrix} * (왼쪽 항등자의 보존) 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, \lambda'_{F(X)}=F\lambda_X\circ\xi_{I,X}\circ(\xi_0\otimes\operatorname{id}_{F(X)}). 즉, 다음 그림이 가환 그림이다. *:\begin{matrix} I'\otimes' F(X) &\xrightarrow{\xi_0\otimes\operatorname{id &F;(I)\otimes' F(X)\\\ {\scriptstyle\lambda'}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle \xi\\\ F(X)&\xleftarrow{F\lambda}&F;(I\otimes X) \end{matrix} * (오른쪽 항등자의 보존) 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, \rho'_{F(X)}=F\rho_X\circ\xi_{X,I}\circ(\operatorname{id}_{F(X)}\otimes\xi_0). 즉, 다음 그림이 가환 그림이다. *:\begin{matrix} F(X)\otimes' I' &\xrightarrow{\operatorname{id}\otimes\xi_0} &F;(X)\otimes' F(I)\\\ {\scriptstyle\rho'}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle \xi\\\ F(X)&\xleftarrow{F\rho}&F;(X\otimes I) \end{matrix} 자연 동형 \xi를 자연 변환으로 약화시키고, 동형 사상 \xi_0을 사상으로 약화시키면 **약한 모노이드 함자**(lax monoidal functor)의 정의를 얻는다.
## 모노이드 자연 변환
두 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)와 (\mathcal C',\otimes',I',\alpha',\lambda',\rho') 사이의 두 모노이드 함자 (F,\xi,\xi_0)와 (G,\phi,\phi_0) 사이의 **모노이드 자연 변환**(monoid自然變換, monoidal functor)은 다음 두 조건을 만족시키는 자연 변환 \eta\colon F\Rightarrow G이다. * (모노이드 함자 구조의 보존) 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, \eta_{X\otimes Y}\circ\xi_{X,Y}=\phi_{X,Y}\circ(\eta_X\otimes\eta_Y). 즉, 다음 그림이 가환한다. *:\begin{matrix} F(X)\otimes F(Y) &\xrightarrow{\xi} &F;(X\otimes Y)\\\ {\scriptstyle\eta\otimes\eta}\downarrow &&\downarrow{\scriptstyle\eta}\\\ G(X)\otimes G(Y) &\xrightarrow[\phi]{} &G;(X\otimes Y) \end{matrix} * (모노이드 함자 구조의 보존) \phi_0=\eta_I\circ\xi_0. 즉, 다음 그림이 가환한다. *:\begin{matrix} I' & \xrightarrow{\xi_0} & F(I) \\\ & {\scriptstyle\phi_0}\searrow & \downarrow{\scriptstyle\eta_I} \\\ && G(I) \end{matrix}
# 추가 구조와 종류

## 대칭 모노이드 범주
대칭 모노이드 범주 모노이드 범주에서, 이항 연산은 일반적으로 교환 법칙을 만족시키지 않는다. 즉, 임의의 두 대상 X,Y에 대하여, X\otimes Y\cong Y\otimes X일 필요가 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, **대칭 모노이드 범주**의 개념을 얻는다.
## 닫힌 모노이드 범주
닫힌 모노이드 범주 모노이드 범주에서, 모노이드 연산과 호환되는 일종의 지수 대상의 존재에 대한 조건을 추가하면, **닫힌 모노이드 범주**의 개념을 얻는다.
# 예
(끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 모노이드 범주를 **데카르트 모노이드 범주**(Cartesian monoidal category)라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 모노이드 범주를 **쌍대 데카르트 모노이드 범주**(co-Cartesian monoidal category)라고 한다. {| class=wikitable ! 범주 !! 연산 \otimes !! 항등원 I !! 대칭 모노이드 범주? |- | 집합의 범주 \operatorname{Set} || 곱집합 \times || 한원소 집합 || 예 |- | 집합의 범주 \operatorname{Set} || 분리합집합 \sqcup || 공집합 || 예 |- | 작은 범주의 범주 \operatorname{Cat} || 곱범주 || 하나의 대상 및 하나의 사상을 가진 범주 \mathbb1 || 예 |- | 가환환 R 위의 가군의 범주 R\text{-Mod} || 가군의 텐서곱 \otimes_R || 1차 자유 가군 R || 예 |- | 가환환 R 위의 가군의 범주 R\text{-Mod} || 가군의 직합 \oplus || 자명 가군 0 || 예 |- | 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}\simeq \mathbb Z\text{-Mod} || 아벨 군의 텐서곱 \otimes_{\mathbb Z} || 무한 순환군 \mathbb Z || 예 |- | 모노이드 M의 원소를 대상으로 하고, 모든 사상이 항등 사상인 작은 범주 || 모노이드 이항 연산 || 모노이드 항등원 || 아닐 수 있음 |}
# 역사
손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였고, 모노이드 범주가 만족시켜야 하는 (무한한 수의) 항등식 가환 그림들이 오직 5개의 가환 그림만으로 함의된다는 **매클레인 일관성 정리**(Mac Lane一貫性定理, Mac Lane coherence theorem)를 증명하였다.언어=en 조금 더 정확히 말하면, 모든 모노이드 범주는 결합자와 두 항등자가 모두 항등 자연 변환인 모노이드 범주와 (모노이드 범주로서) 동치이다. 이후 그레고리 맥스웰 켈리(Gregory Maxwell Kelly, 1930~2007)가 매클레인의 5개의 가환 그림이 2개(오각형과 삼각형)의 가환 그림만으로 함의된다는 것을 보였다.언어=enTheorem 3′