고리 공간

호모토피 이론에서 **고리 공간**(-空間, loop space)은 어떤 공간 위에 존재하는, 밑점을 보존하는 고리들의 공간이다.언어=en url-status=dead언어=en 축소 현수의 오른쪽 수반 함자이다.
# 정의
점을 가진 공간 X 위의 **고리 공간**은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간 \hom_{\operatorname{Top}_\bullet}(\mathbb S^1,X)이며, \Omega X로 쓴다. 위상 공간 X 위의 **자유 고리 공간**(free loop space)은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간 \hom_{\operatorname{Top(\mathbb S^1,X)이며, \mathcal L X로 쓴다.
## 고리군
고리군 위상군 G는 항등원 1\in G을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간 \Omega G 및 자유 고리 공간 \mathcal LG는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다. :\alpha\beta\colon \theta\mapsto\alpha(\theta)\beta(\theta) 이를 각각 **고리군**(loop group) 및 **자유 고리군**(free loop group)이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형 :\operatorname{ev}_0\colon\mathcal LG\to G :\operatorname{ev}_0\colon \alpha\mapsto\alpha(0) 이 존재하며, 그 핵은 고리군이다. :\Omega G=\ker\operatorname{ev}_0
## 유한 에너지 고리의 힐베르트 다양체
M이 (유한 차원) 리만 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 고리 공간 위에 일종의 다양체 구조를 주는 것을 생각할 수 있다. 구체적으로, M 위의 고리 :\gamma\colon [0,1]\to M :\gamma(0) = \gamma(1) 가운데, 일종의 소볼레프 공간 \operatorname L^{1,2}(\mathbb S^1,M)에 속하는 것들을 생각하자. 즉, :\int_{[0,1]}g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,\mathrm dt < \infty 인 것들을 생각하자. 다시 말해, 이는 유한 에너지 고리들의 공간이다. 그렇다면, 이는 힐베르트 다양체(국소적으로 실수 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간) \mathcal LM을 이룬다.url-status=dead 국소적으로 이는 실수 힐베르트 공간 :\operatorname L^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^{\dim M}) 과 동형이다. 또한, 표준적으로 :\mathrm T\mathcal LM \cong \mathcal L\mathrm TM 가 된다. 소볼레프 매장 정리(Sobolev embedding theorem)에 의하여, 모든 \operatorname L^{1,2} 함수 동치류는 연속 대표원을 갖는다. 즉, 이 공간은 연속 고리들로 구성된 것으로 간주할 수 있으며, 또한 모든 연속 고리들의 공간과 호모토피 동치이다.
## 매끄러운 고리들의 프레셰 다양체
M이 (유한 차원) 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 매끄러운 함수 :\gamma\colon\mathbb S^1 \to M 들의 공간 \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,M)에는 프레셰 다양체 구조를 줄 수 있다. 이는 국소적으로 프레셰 공간 :\mathcal C^\infty(\mathbb S,\mathbb R^{\dim M}) 과 동형이다.
# 성질

## 위상수학
고리 공간의 호모토피 군은 다음과 같다. :\pi_{k+1}(X)=\pi_k(\Omega X) 특히, 고리 공간의 기본군은 항상 아벨 군이며, 단일 연결 공간의 고리 공간은 항상 경로 연결 공간이다. 에크만-힐튼 쌍대성에 의해, 임의의 점을 가진 공간 X, Y에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군의 동형이 존재한다. :[\Sigma X,Y] \cong [X, \Omega Y] 여기서 \Sigma X는 X의 축소 현수이며, [-,-]는 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다. 또한 다음과 같은 자연스러운 전단사 함수가 존재하지만 이는 동형 사상은 아니다. :[X\times\mathbb S^1,Y] \leftrightarrow [X, \mathcal LY] 고리 공간의 임의의 두 원소가 주어지면, 고리를 이어붙이는 이항 연산 :\Omega X\times\Omega X\to\Omega X 이 존재한다. 이는 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, "호모토피 아래" 결합 법칙을 따른다. 이 연산으로써 고리 공간은 A∞-공간을 이룬다.
## 미분기하학
유한 차원 매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 자유 고리 공간 \mathcal LM을 생각하자. 이 위에는 원군 U(1)이 자연스럽게 다음과 같이 작용한다. :(\exp(2\pi\mathrm it)\cdot \gamma)(s) = \gamma(s+t) 이는 벡터장 :X \in \Gamma(\mathrm T\mathcal LM) 을 정의하며, 따라서 미분 형식 위에는 표준적으로 내부곱 :X\lrcorner \colon \Omega^\bullet(\mathcal LM) \to \Omega^{\bullet-1}(\mathcal LM) 이 존재한다. 고리 공간 위에는 **천 미분 형식**(Chen differential form) 또는 **반복 적분**(iterated integral)이라는 특별한 미분 형식들이 존재한다.언어=en 구체적으로, 유한 차원 매끄러운 다양체 M 위의 미분 형식 :\alpha_1,\dotsc,\alpha_k \in \Omega(M) :\deg \alpha_i = n_i+1 일 때, **천 미분 형식** :\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k) \in \Omega^{n_1+\dotsb+n_k+1}(\mathcal LM) 을 정의할 수 있다. 이는 구체적으로 다음과 같다. :\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k) = \int\dotsi\int_{0\le t_1\le \dotsb\le t_k\le1}\mathrm dt_1\dotsm\mathrm dt_k (X\lrcorner\operatorname{ev}_{t_1}^*\alpha_1) \wedge \dotsb\wedge(X\lrcorner\operatorname{ev}_{t_k}^*\alpha_k) 여기서 * t\in[0,1]에 대하여, 값매김 사상 \operatorname{ev}_t \colon \mathcal LM \to M은 \gamma\mapsto \gamma(t)이다. \operatorname{ev}_t^*은 이에 대한, 미분 형식의 당김이다. * \textstyle\int\dotsi\int_{0\le t_1\le \dotsb\le t_k\le1}은 k차원 단체 \triangle_k 위의 적분이다. 특히, 만약 한 1차 미분 형식 A만이 주어졌을 때, 이는 함수 :\mathcal LM \to \mathbb R :\gamma \mapsto \int_\gamma A 에 해당한다. 천 미분 형식은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있다. 구체적으로, 천 미분 형식의 쐐기곱은 다음과 같다. :\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k)\wedge\int(\alpha_{k+1},\dotsc,\alpha_{k+l}) = \sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(k,l)} (-)^\sigma\int(\alpha_{\sigma(1)},\dotsc,\alpha_{\sigma(k+l)}) 여기서 * \operatorname{Sh}(k,l)은 셔플 순열의 집합이다. 즉, \\{1,\dotsc,k+l\\}의 순열 가운데 \sigma(1)\le \dotsb\le\sigma(k)이며 \sigma(k+1)\le\dotsb\le\sigma(k+l)인 것이다. * (-)^\sigma\in\\{\pm1\\}는 순열의 홀짝성이다. 천 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.Proposition 1.6 :\mathrm d\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k) = -\sum_{i=1}^k (-)^{n_1+\dotsb+n_{i-1 \int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_{i-1},\mathrm d\alpha_i,\alpha_{i+1},\dotsc,\alpha_k) \- \operatorname{ev}_0^*\alpha_1\wedge\int(\alpha_k,\dotsc,\alpha_k) -(-)^{n_1}\int(\alpha_1\wedge\alpha_2,\alpha_3,\dotsc,\alpha_k) -(-)^{n_1+n_2}\int(\alpha_1,\alpha_2\wedge\alpha_3,\alpha_4,\dotsc,\alpha_k) -\dotsb -(-)^{n_1+\dotsb+n_{k-1\left(\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_{k_1})\right)\wedge\operatorname{ev}_1^*\alpha_k