교차 가군

군론과 대수적 위상수학에서 **교차 가군**(交叉加群, crossed module)은 2-군의 데이터를 담고 있는 대수적 구조이다.언어=en 구체적으로, 서로 군 준동형 및 작용을 갖는 두 군으로 구성된다.
# 정의
교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 군 G * 군 H * 군 준동형 (\cdot)\colon G\to\operatorname{Aut}(H) * 군 준동형 d\colon H\to G 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. :d(g\cdot h) = gd(h)g^{-1}\qquad\forall g\in G,\;h\in H :d(h)\cdot h' = hh'h^{-1}\qquad\forall h,h'\in H (**파이퍼 항등식** Peiffer identity) 가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다. :\begin{matrix} G\times H & \overset{(\cdot)}\to & H \\\ \\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!{\scriptstyle\operatorname{id}_G\times d}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\operatorname{id}_G\times d}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! && {\color{White}.}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!{\color{White}\scriptstyle d} \downarrow {\scriptstyle d}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! {\color{White}.}\\\ G\times G & \underset{\\!\\!\\!\operatorname{Ad}_G\\!\\!\\!}\to & G \end{matrix} :\begin{matrix} H\times H & \overset{d\times\operatorname{id\to & G\times H \\\ \| && \\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!{\color{White}\scriptstyle(\cdot)} \downarrow {\scriptstyle(\cdot)}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\\ H\times H & \underset{\operatorname{Ad}_H}\to & H \end{matrix} 이 개념은 사실 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같다. 전자의 경우, 대상의 군은 G이며, 사상의 군은 H\rtimes G이다.언어=en 이 경우 :\operatorname{dom}(h,g) = g :\operatorname{codom}(h,g) = d(h)g 이며, 항등 사상은 포함 군 준동형 G\to H\rtimes G이다. 구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 대상의 군 \operatorname{Ob}\mathcal G * 사상의 군 \operatorname{Mor}\mathcal G * 항등 사상을 정의하는 군 준동형 i \colon \operatorname{Ob}\mathcal G \to \operatorname{Mor}\mathcal G * 사상의 정의역을 정의하는 군 준동형 \operatorname{dom} \colon \operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G * 사상의 공역을 정의하는 군 준동형 \operatorname{codom} \colon \operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G * 사상의 합성을 정의하는 군 준동형 \\{(f,g)\in (\operatorname{Mor}\mathcal G)^2\colon \operatorname{dom}f=\operatorname{codom}g\\} \to \operatorname{Mor}\mathcal G 이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다. {| class=wikitable ! 교차 가군 !! 군의 범주의 내적 범주 |- | G || \operatorname{Ob}\mathcal G |- | H || \ker \operatorname{dom} \le \operatorname{Mor}\mathcal G |-ke | H\rtimes G || \operatorname{Mor}\mathcal G |- | d\colon H \to G || \operatorname{codom}\restriction (\ker \operatorname{dom}) |- | (\cdot)\colon G\times H\to H || (g,h)\mapsto i(g) h i(g)^{-1} \in \ker\operatorname{dom} |- | H\rtimes G\to G, (h,g)\mapsto g || \operatorname{dom}\colon\operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G |- | H\rtimes G\to G, (h,g)\mapsto d(h)g || \operatorname{codom}\colon\operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G |}
# 예

## 정규 부분군
임의의 군 G의 정규 부분군 N이 주어졌을 때, :d\colon N\hookrightarrow G :g\cdot n = gng^{-1}\qquad(g\in G,\;n\in N) 로 잡으면, 이는 교차 가군을 이룬다.
## 가군
군의 가군 다음 두 개념이 서로 동치이다. * 군 G의 군환 \mathbb Z[G]의 왼쪽 가군 _{\mathbb Z[G]}H * d=1_G (치역이 G의 항등원인 상수 함수)인 교차 가군 (G,H)

**증명:**

\mathbb Z[G]의 왼쪽 가군 H가 주어졌다고 하자. 이제, d=1_G으로 놓으면, 이는 교차 가군의 데이터를 이룬다 (H의 군 연산은 가군의 덧셈). 만약 d=1_G일 때, 교차 가군의 두 조건 가운데 하나는 자명하며 다른 하나(파이퍼 항등식)는 H가 아벨 군임을 의미한다. 반대로, d=1_G인 교차 가군 (G,H)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교차 가군의 조건(파이퍼 항등식)에 의하여 H는 아벨 군이며, 작용 G\to\operatorname{Aut}(H)는 H 위에 \mathbb Z[G]-가군의 구조를 정의한다.

즉, \mathbb Z[G]-왼쪽 가군의 범주는 G에 대한 교차 가군의 범주의 부분 범주를 이룬다. 다시 말해, 교차 가군의 개념은 군의 가군의 개념의 일반화이다. 사실, 파이퍼 항등식을 :hh' = (d(h)\cdot h')h \qquad\forall h,h'\in H 와 같이 쓰면, 이는 H가 “뒤틀린 교환 법칙”을 따른다는 것으로 해석될 수 있다.
## 중심 확대
군의 짧은 완전열 :1\to A\to H \,\xrightarrow d\,G \to 1 에서, A가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면, :g\cdot h = khk^{-1} \qquad\forall k \in d^{-1}(g) \subseteq H 을 정의하면, (G,H,d,\cdot)는 교차 가군을 이룬다. 특히, 만약 G = 1이며 A=H가 임의의 아벨 군일 경우, 이는 교차 가군을 이룬다. 마찬가지로, 만약 A=1이며 G=H가 임의의 군일 경우, 이 역시 교차 가군을 이룬다. 이 경우 :d = \operatorname{id}_G :g\cdot h = ghg^{-1} 이다.언어=enExample A.9
## 자기 동형군
임의의 군 H가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 표준적인 군 준동형 :d\colon H\to\operatorname{Aut}(H) :d\colon h \mapsto (h' \mapsto hh'h^{-1}) 이 존재한다. 즉, 이는 군 원소를 내부 자기 동형에 대응시킨다. 이에 따라, (\operatorname{Aut}(H),H)는 교차 가군을 이루며, 이를 \operatorname{AUT}(H)라고 한다.§2

**증명:**

파이퍼 항등식은 정의에 따라 성립한다. 나머지 한 조건은 :d(f(h)) = f \circ d(h) \circ f^{-1}\qquad\forall h\in H,\;f\in\operatorname{Aut}(H) 이다. 이를 확인하려면, 임의의 h'\in H에 대하여, 좌변은 :d(f(h))(h') = f(h)h'f(h)^{-1} 인데, 우변은 :\left(f \circ d(h) \circ f^{-1}\right)(h') = f(hf^{-1}(h')h^{-1}) = f(h)f(f^{-1}(h')) f(h)^{-1} = f(h)h'f(h)^{-1} 이므로, 따라서 이 조건 역시 참이다.

## 2-기본군
위상 공간 X의 부분 공간 A\subseteq X 및 x\in A\subseteq X에 대하여, :G = \pi_1(A,x) (기본군) :H = \pi_2(X,A,x) (2차 호모토피 군) 을 정의하고, :d \colon H \to G 가 상대 호모토피류의 경계로 정의되는 군 준동형이라고 하자. 그렇다면, 이는 교차 가군을 이룬다.
## 리 교차 가군
교차 가군 (G,H)에서, 만약 G와 H가 리 군이라고 하고, 또 모든 작용 및 군 준동형이 매끄러운 함수라고 하자. 이 경우, 교차 가군 (G,H)의 구조를 그 리 대수에 제한할 수 있다. 구체적으로, \operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g, \operatorname{Lie}(H)=\mathfrak h라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다. * 두 유한 차원 실수 리 대수 \mathfrak g, \mathfrak h * 리 대수 준동형 \rho\colon\mathfrak g\to\mathfrak{der}(\mathfrak h) (공역은 \mathfrak h의 미분 리 대수) * 리 대수 준동형 d\colon \mathfrak h\to\mathfrak g 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. :d(\rho(g)h) = [g,d(h)] :\rho(d(h)) = [h,-] = \operatorname{ad}_{\mathfrak h}(h) (무한소 파이퍼 항등식) 특히, 파이퍼 항등식으로부터, \mathfrak h의 리 괄호가 완전히 결정된다. 따라서, :[-,-] \colon \mathfrak g \otimes_{\mathbb R}\mathfrak h \to \mathfrak h :[g,h] = \rho(g)h : \deg \mathfrak g = 0 : \deg \mathfrak h = 1 를 정의하면, (\mathfrak g\oplus\mathfrak h,d, [-,-])는 등급이 0 또는 1인 미분 등급 리 대수이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) L∞-대수의 특수한 경우이다.
# 역사
존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 최초로 도입하였으며,언어=en 화이트헤드는 1949년에 ‘교차 가군’(crossed module)이라는 용어를 최초로 사용하였다.언어=en453, §2 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다. 453, §2