꼬임 없는 가군

환론에서 **꼬임 없는 가군**(torsion-free module)은 r\in R 및 m\in M에 대하여 "특별한 이유가 없다면" rm\ne0인 가군 _RM이다. 마찬가지로, **나눗셈 가군**(divisible module)은 r\in R 및 m\in M에 대하여 "특별한 이유가 없다면" r^{-1}m이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 _RM이다. 꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다. 보다 구체적으로, 임의의 환 R 및 왼쪽 가군 M에서, 임의의 r,s\in R에 대하여 만약 rs=0이라면, 당연히 r(sM)=0이다. 따라서, 임의의 m\in M에 대하여 rm\ne0일 필요 조건은 m\not\in sM인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, M을 **꼬임 없는 가군**이라고 한다. 마찬가지로, 임의의 환 R 및 왼쪽 가군 M에서, 임의의 s,r\in R에 대하여 sr=0이라고 하자. 그렇다면 s(rM)=0이므로, 임의의 m\in M에 대하여 r^{-1}m이 존재할 필요 조건은 sm=0인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, M을 **나눗셈 가군**이라고 한다.
# 정의
환 R의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 **나눗셈 왼쪽 가군**(divisible left module)이라고 한다. * 임의의 r\in R 및 m\in M에 대하여, \operatorname{Ann}(_Rr)m=0이라면, m\in rM이다.언어=en§1언어=en70, Definition 3.16 * 임의의 r\in R에 대하여, \operatorname{Ext}_R^1(R/Rr,M)=0이다.Proposition 1′ 환 R의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 **꼬임 없는 왼쪽 가군**(torsion-free left module)이라고 한다. * 임의의 r\in R 및 m\in M에 대하여, m\not\in\operatorname{Ann}(r_R)M이라면, rm\ne0이다.§183, §2.8 * 임의의 r\in R에 대하여, \operatorname{Tor}^R_1(R/rR,M)=0이다.Proposition 1 * 임의의 r\in R에 대하여, 자연스러운 군 준동형 rR\otimes_RM\to rM은 아벨 군의 동형이다.언어=en83, Proposition 2.8.4 여기서 :\operatorname{Ann}(_Rr)=\\{s\in R\colon sr=0\\} :\operatorname{Ann}(r_R)=\\{s\in R\colon rs=0\\} 는 각각 r의 왼쪽·오른쪽 소멸자이며, :\operatorname{Ann}(r_R)M=\\{s_1m_1+s_2m_2+\cdots+s_km_k\colon k\in\mathbb N,\;\vec s\in R^k,\;\vec m\in M^k\\} 이며, Tor는 Tor 함자이며, Ext는 Ext 함자이다.
# 성질
모든 왼쪽 단사 가군은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.Proposition 2Corollary 3.17′ 이는 왼쪽 가군 M이 단사 가군일 필요충분조건은 모든 왼쪽 아이디얼 _R\mathfrak A에 대하여 \operatorname{Ext}_R^1(R/\mathfrak A,M)=0인 것이기 때문이다.언어=enLemma 4.1.11 환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **폰 노이만 정칙환**(von Neumann regular ring) 또는 **절대 평탄환**(absolutely flat ring)이라고 한다. * 임의의 r\in R에 대하여, r=rsr인 s\in R가 존재한다. * 모든 R-왼쪽 가군은 꼬임 없는 왼쪽 가군이다.149, §2 * 모든 R-오른쪽 가군은 꼬임 없는 오른쪽 가군이다.149, §2 * 모든 R-왼쪽 가군은 나눗셈 왼쪽 가군이다.149, §2 * 모든 R-오른쪽 가군은 나눗셈 오른쪽 가군이다.149, §2 * 모든 R-왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다. * 모든 R-왼쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다. * 모든 주 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r\in R에 대하여, Rr=Re이자 e^2=e인 e\in R가 존재한다. * 모든 주 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r\in R에 대하여, rRr=eR이자 e^2=e인 e\in R가 존재한다. * 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r_1,r_2,\dots,r_k\in R에 대하여, Rr_1+Rr_2+\cdots+Rr_k=Re이자 e^2=e인 e\in R가 존재한다. * 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r_1,r_2,\dots,r_k\in R에 대하여, Rr_1+Rr_2+\cdots+Rr_k=Re이자 e^2=e인 e\in R가 존재한다.
## 평탄 가군과의 관계
모든 왼쪽 평탄 가군 _RM은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼이라면 (예를 들어, 베주 정역의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.Proposition 2128, Proposition 4.20 이는 왼쪽 가군 M이 평탄 가군일 필요충분조건은 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼 \mathfrak A_R에 대하여 \operatorname{Tor}_R^1(R/\mathfrak A,M)=0인 것이기 때문이다. 꼬임 없는 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.84, Proposition 2.8.5 * 평탄 왼쪽 가군이다. * 임의의 오른쪽 아이디얼 \mathfrak A_R,\mathfrak B_R\subseteq R에 대하여, \mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M이다. * 임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼 \mathfrak A_R,\mathfrak B_R\subseteq R에 대하여, \mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M이다. 여기서 :\mathfrak AM=\\{a_1m_1+a_2m_2+\cdots+a_km_k\colon k\in\mathbb N,\;\vec a\in\mathfrak A^k,\;\vec m\in M^k\\} 이다.