분지점

섬네일 복소해석학에서 **분지점**(分枝點, ramification point)은 두 리만 곡면 사이의 정칙 함수가 국소적으로 피복 공간을 이루지 못하는 점이며, 그 상을 **가지점**(-點, branch point)이라고 한다. 이러한 정칙 함수의 역함수를 정의하려면, 가지점들을 잇는 선분 또는 반직선에서 정의되지 않거나 또는 이 점들에서 불연속적이게 된다. 이러한 선분 또는 반직선을 **분지 절단**(分枝切斷, branch cut)이라고 한다.
# 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 두 리만 곡면 \Sigma, \Sigma' * 정칙 함수 f\colon\Sigma\to\Sigma'. 또한, f가 국소적으로 상수 함수가 아니라고 하자. 그렇다면, 점 z\in\Sigma에 대하여, 두 조건을 생각하자. :제한 함수 f\restriction f^{-1}(U)\colon f^{-1}(U)\to f(U)가 피복 공간이 되는, f(z)의 근방 U\ni f(z)가 존재한다. 이 조건이 성립하지 않는 점들의 집합은 \Sigma 속의 이산 공간을 이루며, 특히 만약 \Sigma가 콤팩트 공간이라면 유한 집합이다. 이 조건이 성립하지 못하는 점 z\in\Sigma를 f의 **분지점**(分枝點, ramification point)이라고 하며, 그 상 f(z)\in\Sigma'을 f의 **가지점**(-點, branch point)이라고 한다.
## 분지점의 차수
두 리만 곡면 \Sigma, \Sigma' 사이의 정칙 함수 f\colon\Sigma\to\Sigma' 및 점 z\in\Sigma가 주어졌다고 하자. 만약 z 근처에, 다음 조건을 만족시키는 * z\in\Sigma'의 열린 근방 U\ni z * 열린집합 V\supseteq f(U) * 복소평면의 0을 포함하는 두 열린집합 \tilde U,\tilde V\subseteq\mathbb C, 0\in\tilde U\cap\tilde V * 전단사 정칙 함수 \iota_U\colon U\to \tilde U, \iota_V\colon V\to\tilde V * 자연수 n\in\mathbb N 가 존재한다면, z의 **분지 지표**(分枝指標, ramification index)를 n이라고 한다. :\iota_V\circ f\circ \iota_U^{-1}=(z\mapsto z^n) 만약 어떤 점의 분지 지표가 0이라면, f는 (그 점을 포함하는 연결 성분에 제한하면) 상수 함수이다. 만약 어떤 점의 분지 지표가 1이라면, 이 점은 분지점이 아니다. 만약 어떤 점의 차수가 2 이상이라면, 이는 분지점이다. 분지 지표를 갖지 않는 점은 분지점이며, 이 경우를 **초월 분지점**(超越分枝點, transcendental ramification point)이라고 한다.
## 분지 절단
정칙 함수 :f\colon\Sigma\to\Sigma' 가 상수 함수가 아니며, 전단사 함수도 아니라면, f는 분지점을 갖는다. 이 경우, f의 역함수를 잘 정의하기 위해서는, f의 가지점들 및 (비콤팩트 리만 곡면의 경우 무한대)를 잇는 선분 또는 반직선들을 제거하거나 또는 이 점들에서 불연속이게 해야 한다. 이 과정을 **분지 절단**(branch cut, 分枝切斷)이라고 한다. 즉, 이러한 선분 L\subsetneq\Sigma'을 골랐을 때, 정칙 함수인 역함수 :f^{-1}\colon(\Sigma'\setminus L)\times B\to\Sigma 를 정의할 수 있다. 여기서 B는 피복 공간 f^{-1}(\Sigma'\setminus L)\twoheadrightarrow\Sigma'\setminus L의 올인 이산 공간이다.
# 예

## 제곱근
정의역과 공역이 리만 구 \mathbb{CP}^1인 정칙 함수 :f\colon\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1 :f\colon z\mapsto z^2 를 생각하자. 이는 두 개의 분지점을 가지며, 그 분지 지표는 다음과 같다. {| class=wikitable ! 분지점 z || 가지점 f(z) || 분지 지표 |- | 0 || 0 || 2 |- | ∞ || ∞ || 2 |} 이 경우, 역함수 f^{-1}, 즉 복소수 제곱근 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선 :\mathbb R^- 으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 제곱근 함수 :f^{-1}\colon\mathbb{CP}^1\setminus\mathbb R^-\to\mathbb{CP}^1 :f^{-1}\colon z\mapsto z^{1/2} 를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다. :f^{-1}\colon \begin{cases}r\exp(\mathrm i\theta)\mapsto\sqrt r\exp(\mathrm i\theta/2)&r;\in[0,\infty),\;\theta\in(-\pi,\pi)\\\ \infty\mapsto\infty \end{cases} 물론, 다른 분지 절단을 고를 수 있다. 예를 들어, 양의 실수 반직선을 대신 절단할 수도 있다. 이렇게 하여 얻는 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다. :f^{-1}\colon \begin{cases}r\exp(\mathrm i\theta)\mapsto\sqrt r\exp(\mathrm i\theta/2)&r;\in[0,\infty),\;\theta\in(0,2\pi)\\\ \infty\mapsto\infty \end{cases}
## 로그
정의역과 공역이 복소평면인 정칙 함수 :f\colon\mathbb C\to\mathbb C :f\colon z\mapsto\exp z 를 생각하자. 그 유일한 분지점은 z=0이며, 이는 초월 분지점이다. (이 복소수 지수 함수는 ∞에서 본질적 특이점을 가져, \mathbb{CP}^1 위의 정칙 함수로 정의할 수 없다.) 그 역함수 f^{-1}, 즉 복소수 자연 로그 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선 :\mathbb R^- 으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 자연 로그 함수 :f^{-1}\colon\mathbb C\setminus\mathbb R^-\to\mathbb C :f^{-1}\colon z\mapsto\ln z 를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다. :f^{-1}\colon r\exp(\mathrm i\theta)\mapsto (\ln r)+\mathrm i\theta\qquad\left(r\in[0,\infty),\;\theta\in(-\pi,\pi)\right)
## 복잡한 예
다음과 같은 역함수를 갖는 함수를 생각하자. :f^{-1}\colon z\mapsto\sqrt z\sqrt{1-z} 이 함수 f의 정의역은 사실 리만 구의 2겹 분지 피복 공간이 되는, 종수 0의 리만 곡면 \Sigma_0이다. 구체적으로, 집합으로서 이는 다음과 같다. :\Sigma_0=\left(\mathbb{CP}^1\setminus[0,1]\right)\times\\{\mathsf A,\mathsf B\\}\sqcup (0,1)\times \\{\mathsf C,\mathsf D\\}+\\{0,1,\infty\\} 여기서 \mathsf A, \mathsf B, \mathsf C, \mathsf D는 임의의 네 기호이다. 이 조각들을 다음과 같이 이어붙인다. :\lim_{b\to 0^+} (a+\mathrm ib, \mathsf A)= \lim_{b\to 0^+} (a-\mathrm ib, \mathsf B) =(a,\mathsf C)\qquad\left(0 :\lim_{b\to 0^+} (a+\mathrm ib, \mathsf B)= \lim_{b\to 0^+} (a-\mathrm ib, \mathsf A) =(a,\mathsf D)\qquad\left(0 :\lim_{b\to0^+}(b,\mathsf C)=\lim_{b\to0^+}(b,\mathsf D) =\lim_{z\to 0} (z, \mathsf A) =\lim_{z\to 0} (z, \mathsf B) =0 :\lim_{b\to1^-}(b,\mathsf C)=\lim_{b\to1^-}(b,\mathsf D) =\lim_{z\to 1} (z, \mathsf A) =\lim_{z\to 1} (z, \mathsf B) =1 이는 두 개의 분지점, 즉 0과 1을 갖는다. 두 분지점의 분지 지표는 둘 다 2이다. 분지점 밖에서, f\colon\Sigma_0\to\mathbb{CP}^1는 2겹 피복 공간을 정의한다. 반대로, 그 역함수 f^{-1}를 정의하려면, 열린구간 (0,1)에 분지 절단을 가해야 한다. 위상수학적으로, \Sigma_0은 하나의 “홈”이 파인 두 리만 구를 짜깁기한 것이다. “홈”이 파인 리만 구는 반구와 위상 동형이므로, \Sigma_0은 위상수학적으로 구를 이룬다 (즉, 리만 구이다). 사실, 임의의 종수의 콤팩트 리만 곡면을 위와 같이 리만 구 \mathbb{CP}^1의 분지 피복으로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 종수 g의 리만 곡면 \Sigma_g의 경우, 위와 같은 “홈”이 g+1개 파인 두 리만 구를 짜깁기하여 얻는다.
# 역사
제곱근이나 로그 등, 복소수에 대한 여러 함수가 일반적으로 어떤 점에서 정의되지 못하거나, 또는 “여러 개의 값을 갖는다”는 현상은 복소수의 발견 이후 곧 알려졌다. 베른하르트 리만이 1851년에 리만 곡면을 도입하였으며, 이 현상을 엄밀하게 묘사하였다. “분지”(分枝)는 나뭇가지(枝)가 갈라진다(分)는 뜻으로, 이는 분지점의 상 근처에서 정칙 함수의 “역함수”가 “여러 값을 갖는” 모양을 빗댄 것이다.