대각화 가능 행렬

선형대수학에서 **대각화 가능 행렬**(對角化可能行列, diagonalizable matrix)은 적절한 가역 행렬로의 켤레를 취하여 대각 행렬로 만들 수 있는 정사각 행렬이다.
# 정의
환 K 위의 n\times n 정사각 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;K)이 다음 조건을 만족시킨다면, **대각화 가능 행렬**이라고 한다. * G^{-1}MG이 대각 행렬이 되는 가역 행렬 G \in\operatorname{Unit}(\operatorname{Mat}(n;K))이 존재한다.
# 성질

## 연산에 대한 닫힘
환 K 위의 정사각 행렬 M \in \operatorname{Mat}(n;K)이 대각화 가능 행렬이라면, 임의의 자연수 k\in\mathbb N에 대하여 M^k\in\operatorname{Mat}(n;K) 역시 대각화 가능 행렬이다.

**증명:**

만약 G\in\operatorname{Unit}(\operatorname{Mat}(n;K))에 대하여 G^{-1}MG = \operatorname{diag}(a_1,\dotsc,a_n)가 대각 행렬이라고 하자. 그렇다면, :\operatorname{diag}(a_1^k,\dotsc,a_n^k) = \operatorname{diag}(a_1,\dotsc,a_n)^k =(G^{-1}MG)^k =G^{-1}M^kG 이다.

또한, 만약 추가로 K가 대수적으로 닫힌 체이며 M이 가역 행렬이라면, 임의의 정수 k\in\mathbb Z에 대하여 M^k\in\operatorname{Mat}(n;K) 역시 대각화 가능 행렬이다. 그러나 대각화 가능 행렬의 합이나 곱은 (심지어 복소수체 위에서도) 일반적으로 대각화 가능 행렬이 아니다.
## 필요 조건과 충분 조건
체 K 위의 n\times n 정사각 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;K)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. * M은 대각화 가능 행렬이다. * M의 고유 공간들의 차원들의 합이 n이다. * p(M) = 0이 되는 최소차 일계수 다항식 p \in K[x]의 차수가 k라고 할 때, p는 k개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근들을 갖는다. 체 K 위의 n\times n 정사각 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;K)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 행렬은 대각화 가능 행렬이다. * 고유 다항식 \chi_M(x) = \det(x-M) \in K[x]은 n개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근을 갖는다. 이는 충분 조건이지만, 필요 조건이 아니다.
## 대각화 가능 행렬의 밀도
복소수체 위에서, 대각화 가능 행렬들의 부분 공간은 n^2차원 아핀 공간 \operatorname{Mat}(n;\mathbb C)의 부분 공간을 이루며, 그 여집합은 영집합이다 (그 르베그 측도가 0이다). 즉, 거의 모든 복소수 정사각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 반면, 실수체 위에서, 만약 n\ge2일 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다.
## 동시 대각화
환 K 위의 n\times n 정사각 행렬들의 족 \mathcal M\subseteq\operatorname{Mat}(n;K)이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 G \in\operatorname{Unit}(\operatorname{Mat}(n;K))이 존재한다면, \mathcal M을 **동시 대각화 가능 행렬족**(同時對角化可能行列族, simultaneously diagonalizable family of matrices)이라고 한다. * 임의의 M\in\mathcal M에 대하여, G^{-1}MG는 대각 행렬이다. 체 K 위의 n\times n 정사각 행렬들의 족 \mathcal M\subseteq\operatorname{Mat}(n;K)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.LinearAlgebraHoffmanAndKunze206, §6.5; 207, §6.5, Theorem 3 * \mathcal M은 동시 대각화 가능 행렬족이다. * M의 모든 원소는 대각화 가능 행렬이며, \mathcal M은 가환 행렬족이다 (즉, 임의의 M,N\in\mathcal M에 대하여 MN=NM).
# 예
모든 대각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능 행렬이다.
## 대각화 불가능 행렬
임의의 체 K에서, 행렬 :\begin{pmatrix} 0&1\\\ 0&0 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2;K) 은 대각화될 수 없다. 이 행렬의 고윳값은 0 밖에 없으며, 그 고유 공간은 1차원이다. 다음과 같은 행렬을 생각하자. :\begin{pmatrix} 0&1\\\ -1&0 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2;K) K가 체일 때, 이 행렬이 대각화 가능 행렬이 될 필요 충분 조건은 다음과 같다. * K에서 -1이 두 개의 제곱근을 갖는다. 즉, 만약 K의 표수가 2가 아니며, -1의 제곱근 \mathrm i \in K가 존재할 경우 이 행렬은 두 고윳값 \pm\mathrm i을 가지며, 따라서 대각화 가능 행렬이다. 만약 K에서 -1이 제곱수가 아닐 경우, 이 행렬은 고윳값을 갖지 않으며, 따라서 대각화 가능 행렬이 아니다. 만약 K의 표수가 2일 경우, -1=1은 하나의 제곱근만을 가지며, 이 행렬은 하나의 고윳값 (1)을 가지며, 그 고유 공간은 1차원이므로, 따라서 이 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다.
## 대각화의 예
임의의 환 K에서, 다음과 같은 행렬을 생각하자. :M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\\ 0 & 3 & 0 \\\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(3;K) 이는 세 개의 고윳값 : \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1 을 가져, 대각화 가능 행렬을 이룬다. 각 고윳값의 고유 벡터는 다음과 같다. :v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\\ -1 \\\ 2 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\\ 0 \\\ 2 \end{pmatrix} 따라서, :P= \begin{pmatrix}v_1&v;_2&v;_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\\ -1 & 0 & 0 \\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} :P^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\\2&0&1\\\\-1&1&0\end{pmatrix} 를 정의하면, :P^{-1}MP = \operatorname{diag}(3,2,1) 이 된다.