정규화 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 **정규화 사슬 복합체**(正規化사슬複合體, normalized chain complex)는 아벨 범주의 단체 대상에 대하여 정의되는 사슬 복합체이다. 이는 아벨 범주의 단체 대상의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 동치를 정의하며, 이 동치를 **돌트-칸 대응**(Dold–Kan對應, Dold–Kan correspondence)이라고 한다.언어=en
# 정의

## 무어 복합체
다음이 주어졌다고 하자. * 아벨 범주 \mathcal A * 준단체 대상 M_\bullet \colon \triangle_{\operatorname{pre^{\operatorname{op\to \mathcal A 이제, 다음을 정의하자. :\operatorname C_n(M) = M_n \qquad (n\in\mathbb N) :\partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i} M_i \qquad (n\in\mathbb N) 그렇다면, (\operatorname C_\bullet(M),\partial_\bullet)은 사슬 복합체를 이루며, 이를 준단체 대상 M_\bullet의 **무어 사슬 복합체**(Moore chain complex)라고 한다.언어=en45, Definition 1.6.2

**증명**:

편의상 집합 :S=\\{0,\dotsc,n-1\\} \times \\{0,\dotsc, n\\} 및 :S_+ = \\{(i,j)\in S\colon i < j \\} :S_- = \\{(i,j)\in S\colon i \ge j \\} 을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수 :S_+ \to S_- :(j,i+1) \mapsto (i,j) 가 존재한다. 그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다. : \begin{aligned} \partial_{n-1} \circ \partial_n &= \sum_{(i,j)\in S} \partial_{n-1,i}\circ\partial_{n,j} \\\ &=\sum_{(i,j)\in S_+} (-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j}+\sum_{(i,j)\in S_-} (-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j} \\\ &=\sum_{(i,j)\in S_-} \left( (-)^{j+i-1} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j} \+ (-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j} \right)=0 \end{aligned}

## 사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상
다음이 주어졌다고 하자. * 아벨 범주 \mathcal A * \mathcal A 속의 자연수 등급 사슬 복합체 *:\dotsb \to C_2 \xrightarrow{\partial_2} C_1 \xrightarrow{\partial_1} C_0 \to 0 이제, C_\bullet에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다. :M(n) = C_n :M(\partial_{n,i}) \colon C_n \to C_{n-1} :M(\partial_{n,i}) = \begin{cases} 0 & 0 \le i \le n-1 \\\ (-)^n \partial_n & i = n \end{cases}
## 퇴화 복합체와 정규화 복합체
다음이 주어졌다고 하자. * 아벨 범주 \mathcal A * 단체 대상 M_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op\to \mathcal A 이제, 다음을 생각하자. :f_n \colon \coprod_{i=0}^{n-1} s_{n,i} \colon M_{n-1}^{\oplus n} \to M_n :g_n \colon \prod_{i=0}^{n-1} \partial_{n,i} \colon M_n \to M_{n+1}^{\oplus n} (※ g_n에서, 합이 i=n을 포함하지 않는다.) 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다. :\operatorname D_\bullet(M) = \operatorname{im} f_n :\operatorname N_\bullet(M) = \ker g_n 그렇다면, (\operatorname D_\bullet(M),\partial_\bullet)와 (\operatorname N_\bullet(M),\partial_\bullet) 둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다. \operatorname D_\bullet(M)을 **퇴화 사슬 복합체**(退化사슬複合體, degenerate chain complex)라고 하며, \operatorname N_\bullet(M)을 **정규화 사슬 복합체**(正規化사슬複合體, normalized chain complex)라고 한다.

**퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:**

퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다. :\partial_{n+1} \circ s_{n,i} = \sum_{j=0}^n s_{n,j}\circ \phi_{i,j} 여기서 \phi_{i,j}는 임의의 사상이다. 그런데 : \begin{aligned} \partial_{n+1}\circ \circ s_{n,i} & = \sum_{j=0}^{n+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} \\\ & = \sum_{j=0}^{i-1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} + \sum_{j=i}^{i+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} + \sum_{j=i+1}^{n+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} \\\ &= \sum_{j=0}^{i-1}(-)^j s_{n-1,i-1} \circ \partial_{n,j} + \sum_{j=i}^{i+1}(-)^j + \sum_{j=i+1}^{n+1}(-)^j s_{n-1,i} \circ \partial_{n,j-1} \\\ &= s_{n-1,i-1} \circ \left(\sum_{j=0}^{i-1} (-)^j \partial_{n,j}\right) - s_{n-1,i} \circ \left(\sum_{j=i}^n(-)^j \partial_{n,j}\right) \\\ \end{aligned} 이다.

**정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:**

g_{n+1}의 핵의 경계가 g_n의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다. :\partial_{n,i}\circ\partial_{n+1} = \sum_{j=1}^n \phi_{i,j} \circ \partial_{n+1,j} \qquad(j < n) 여기서 \phi_{i,j}는 임의의 사상이다. 그런데 : \begin{aligned} \partial_{n,i}\circ\partial_{n+1} &= \sum_{j=0}^{n+1} \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \\\ &= \left(\sum_{j=0}^n \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \right) \+ (-)^{n+1} \partial_{n,i} \circ \partial_{n+1,n+1} \\\ &= \left(\sum_{j=0}^n \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \right) \+ (-)^{n+1} \partial_{n,n} \circ \partial_{n+1,i} \\\ \end{aligned} 이다.

## 준단체 대상에 대응하는 단체 대상
우선, 다음 기호를 정의하자. * \operatorname{Surj}(n,m)\subseteq\hom_\triangle(n,m)은 모든 전사 증가 함수 \\{0,1,\dotsc,n\\} \twoheadrightarrow \\{0,1,\dotsc,m\\} (0 \le m \le n)들의 집합이다. 아벨 범주 \mathcal A 속의 준단체 대상 :C \colon \triangle_{\operatorname{pre^{\operatorname{op \to \mathcal A 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 \mathcal A 위의 단체 대상을 정의할 수 있다. :\sigma(C_n) = \bigoplus_{m=0}^n \bigoplus_{\operatorname{Surj}(n,m)} C_m 즉, 각 \phi\in\operatorname{Surj}(n,m)에 대하여 포함 사상 :\beta_\phi \colon C_m \hookrightarrow \sigma(C_n) 이 있다. 그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주 \triangle 속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수와 단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다. 임의의 단체 범주 사상 :f\in \hom_\triangle(m,n) 에 대하여, :\sigma(f) \colon \sigma(C_n) \to \sigma(C_m) 은 다음과 같다. :\sigma(f) = \coprod_{ \scriptstyle g\in \operatorname{Surj}(n,k) \atop \scriptstyle \iota\circ\phi = g\circ f } \beta_\phi \circ C(\iota) 여기서, * \iota\circ\phi = g\circ f은 (\iota,\phi)가 g\circ f\in \hom_\triangle(m, k)의, 단사 함수(\iota\colon\\{0,\dotsc, n'\\}\hookrightarrow \\{0,\dotsc, k\\})와 전사 함수(\phi\colon\\{0,\dotsc, m\\}\twoheadrightarrow\\{0,\dotsc, n'\\})로의 (유일한) 분해임을 뜻한다. * C(\iota) \colon C_k \to C_{n'}은 함자 C\colon\triangle_{\operatorname{pre^{\operatorname{op \to \mathcal A 아래의, \iota\in\hom_{\triangle_{\operatorname{pre(n',k)의 상이다.
# 성질

## 짧은 완전열
아벨 범주 \mathcal A 속의 단체 대상 M_\bullet에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체의 짧은 완전열이 존재한다. :0 \to \operatorname D_\bullet(M) \to \operatorname C_\bullet(M) \to \operatorname N_\bullet(M) \to 0 즉, :\operatorname N_\bullet (M) \cong \frac{\operatorname C_\bullet(M)}{\operatorname D_\bullet(M)} 이다.
## 정규 사슬 복합체의 표준 분해
아벨 범주 \mathcal A 속의 단체 대상 M_\bullet에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다. :i_n \colon \bigoplus_{m=0}^n \bigoplus_{\operatorname{Surj}(n,m)} \operatorname N_k(M) \cong \operatorname C_n(M) 이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다. :i_n = \coprod_{m=0}^n \coprod_{f\in\operatorname{Surj}(n,m)} M(f^{\operatorname{op) 여기서 :M(f^{\operatorname{op) \colon \operatorname N_m(M) \to M_n 은 함자 M \colon \triangle^{\operatorname{op \to \mathcal A 아래 f^{\operatorname{op\in\hom_{\triangle^{\operatorname{op(m^{\operatorname{op,n^{\operatorname{op)의 상이다.
## 돌트-칸 대응
아벨 범주 \mathcal A 위에서, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다. :\operatorname s(\mathcal A) \leftrightarrows \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A) 여기서 * \operatorname s(\mathcal A)는 \mathcal A 위의 단체 대상의 범주이다. * \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)는 \mathcal A 위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체들의 범주이다. 이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다. * \operatorname N\colon \operatorname s(\mathcal A) \to \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)는 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다. * \Gamma \colon \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A) \to \operatorname s(\mathcal A)는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다. 또한, 이 범주의 동치는 자연 동형으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형 :\operatorname N \circ \operatorname \Gamma \Rightarrow 1_{\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)} : \operatorname \Gamma \circ \operatorname N \Rightarrow 1_{\operatorname s(\mathcal A) } 가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다. :\operatorname N\dashv \operatorname \Gamma :\operatorname\Gamma\dashv \operatorname N
## 모형 구조
돌트-칸 대응을 사용하여, \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A) 위의 모형 범주 구조를 \operatorname s(\mathcal A)에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은 \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)와 \operatorname s(\mathcal A) 사이의 퀼런 동치를 이룬다. 이 경우, \operatorname s(\mathcal A)의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다.
# 역사
돌트-칸 대응은 알브레히트 돌트언어=en와 다니얼 칸언어=en이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다.언어=de