정수적 원소

가환대수학에서 **정수적 원소**(整數的元素, integral element)는 어떤 부분환에 계수를 갖는 일계수 다항식의 근으로 나타낼 수 있는 가환환 원소이다.
# 정의
가환환 S의 부분환 R\subseteq S 및 s\in S에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 s를 R의 S에 대한 **정수적 원소**라고 한다. * p(s)=0인 일계수 다항식 p\in R[x]가 존재한다. * R와 \\{s\\}로 생성되는 부분환 R[s]는 R의 유한 생성 가군이다. * R[s]\subseteq\tilde R이며 R-유한 생성 가군을 이루는 부분환 \tilde R\subseteq S가 존재한다. * sM\subseteq M이며 \operatorname{Ann}_S(M)\cap R[s]=\\{0\\}인 R-유한 생성 가군 M이 존재한다. 여기서 * R[s]=\operatorname{eval}_{x\mapsto s}(S[x])=\\{p(s)\colon p\in S[x]\\}\subseteq S이다. * \operatorname{Ann}_S(M)=\\{a\in S\colon aM=\\{0_M\\}\\}은 M의 소멸자이다. 가환환 S의 부분환 R\subseteq S에 대한 **정수적 폐포**(整數的閉包, integral closure)는 R에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는 S의 부분환을 이룬다. 가환환 S는 그 전분수환 \operatorname{Frac}S의 부분환이다. 만약 S의 \operatorname{Frac}S 속에서의 정수적 폐포가 S라면, S를 **정수적으로 닫힌 가환환**(整數的으로 닫힌 可換環, integrally closed commutative ring)이라고 한다.
## 도수
가환환 S의 부분환 R\subseteq S이 주어졌으며, S가 R 위에서 정수적으로 닫혀 있다고 하자, R-가군 S/R의 소멸자 \operatorname{Ann}_R(S/R)\subseteq R를 R의 S 속의 **도수**(導手, 콘덕터, 퓌러, 콩뒤크퇴르) \mathfrak f(S/R)라고 한다.언어=en79 :\mathfrak f(S/R)=\operatorname{Ann}_R(S/R)=\\{r\in R\colon rS\subseteq R\\} 이는 소멸자이므로 R의 아이디얼을 이루며, R의 아이디얼이자 S의 아이디얼이 되는 가장 큰 집합이다. R가 정역이며, S가 R의 \operatorname{Frac}R 속의 정수적 폐포라고 하고, S/R가 R-유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면 R의 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * \mathfrak p\subseteq\mathfrak f(S/R) * 국소화 R_{\mathfrak p}는 S 속에서 정수적으로 닫힌 국소환이다. * (S/R)\otimes_RR_{\mathfrak p}=0이다. 즉, S\otimes_RR_{\mathfrak p}=R_{\mathfrak p}이다. R-가군 S/R는 \operatorname{Spec}R 위의 가군층으로 여길 수 있으며, 그 지지 집합은 다음과 같이 도수 \mathfrak f(S/R)로부터 정의되는 (자리스키 위상에서의) 열린집합 V(\mathfrak f(S/R))의 여집합이다. :\operatorname{supp}(S/R)=\\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon(S/R)\otimes_RR_{\mathfrak p}\ne0\\}=\\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak p\not\subseteq\mathfrak f(S/R)\\}=(\operatorname{Spec}R)\setminus V(\mathfrak f(S/R))
## 나가타 환
정역 R가 다음 조건을 만족시킨다면, **N-1환**이라고 한다. * R의 \operatorname{Frac}R 속의 정수적 폐포 S는 R-유한 생성 가군이다. 정역 R가 다음 조건을 만족시킨다면, **N-2환**이라고 한다. * \operatorname{Frac}R의 모든 유한 확대 L/\operatorname{Frac}R에 대하여, R의 L 속의 정수적 폐포는 R-유한 생성 가군이다. 뇌터 가환환 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 **나가타 환**(Nagata ring)이라고 한다.언어=en264 * 임의의 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R에 대하여, 몫환 R/\mathfrak p는 N-2환이다. * 임의의 정역 S 및 환 준동형 R\to S에 대하여, 만약 이를 통하여 S가 R-유한 생성 가군을 이룬다면, S는 N-2환이다.
## 정환
정역 R 및 그 분수체 K=\operatorname{Frac}R가 주어졌다고 하자. K-단위 결합 대수 A에 대하여, A 속의 R-**정환**(整環, order, Ordnung) \mathcal o\subseteq A는 다음 조건들을 만족시키는 A의 부분환이다. * \mathcal o는 K-단위 결합 대수이다. * \mathcal o는 R-자유 가군이다. (즉, R-격자를 이룬다.) * K\mathcal o=A이다. A 속의 R-정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. A가 가환환일 때, A 속의 R-정환 \mathcal o\subset A의 모든 원소는 R-정수적 원소이다. 따라서, 최대 R-정환이 존재하며, 이는 R의 A 속의 정수적 폐포이다. (이는 A가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)
# 성질
다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체
## 정수적으로 닫힐 필요충분조건
정역 S에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * 정수적으로 닫힌 가환환이다. * 임의의 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}S에 대하여, 국소화 S_{\mathfrak p}는 정수적으로 닫힌 국소환이다. * 임의의 극대 아이디얼 \mathfrak m\subseteq S에 대하여, S_{\mathfrak m}은 정수적으로 닫힌 국소환이다. 뇌터 정역 R에 대하여 다음 두 조건들이 서로 동치이다. * 정수적으로 닫힌 가환환이다. * 다음 두 조건이 성립한다. ** R는 높이가 1인 소 아이디얼 \mathfrak p들에 대한 국소화 R_{\mathfrak p}\subseteq\operatorname{Frac}R들의 (분수체 \operatorname{Frac}R 속에서의) 교집합이다. **:R=\bigcap_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}^{\operatorname{ht}\mathfrak p=1}R_{\mathfrak p}\subseteq\operatorname{Frac}R ** 임의의 높이가 1인 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R에 대하여, R_{\mathfrak p}는 이산 값매김환이다. 크룰 차원이 1인 뇌터 국소 정역 (R,\mathfrak m)에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * R는 정수적으로 닫힌 가환환이다. * \mathfrak m은 주 아이디얼이다. * R는 이산 값매김환이다. * R는 데데킨트 정역이다. * R는 정칙 국소환이다.
## 코언-사이던버그 정리
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 가환환 S * S의 부분환 R\subseteq S. 또한, S의 모든 원소는 R-정수적 원소이다. * R-소 아이디얼들의 사슬 (\mathfrak p_i)_{1\le i\le k} 및 S-소 아이디얼들의 사슬 (\mathfrak q_i)_{m\le i\le n} (1\le m\le n\le k). 또한, m\le i\le n에 대하여 \mathfrak q_i\mid\mathfrak p_i이다. 즉, \mathfrak q_i\cap R=\mathfrak p_i이다. *: \begin{matrix} &&&&\mathfrak q_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak q_n&&&&&\qquad\subseteq S\\\ \mathfrak p_1&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_{m-1}&\subseteq&\mathfrak p_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak p_n&\subseteq&\mathfrak p_{n+1}&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_k&\qquad\subseteq R \end{matrix} 또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자. * S는 정역이며, R는 (\operatorname{Frac}R 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다. * m=1이다. 그렇다면, **코언-사이던버그 정리**(Cohen–Seidenberg theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. * \mathfrak q_i\mid\mathfrak p_i\forall 1\le i\le k가 되게 소 아이디얼 사슬 \\{\mathfrak q_i\\}를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는 S-소 아이디얼 \\{\mathfrak q_i\\}_{i\in\\{1,\dots,m-1,n+1,\dots,k}\\}가 존재한다. *: \begin{matrix} \exists\mathfrak q_1&\subseteq\cdots\subseteq&\exists\mathfrak q_{m-1}&\subseteq&\mathfrak q_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak q_n&\subseteq&\exists\mathfrak q_{n+1}&\subseteq\cdots\subseteq&\exists\mathfrak q_k&\qquad\subseteq S\\\ \mathfrak p_1&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_{m-1}&\subseteq&\mathfrak p_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak p_n&\subseteq&\mathfrak p_{n+1}&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_k&\qquad\subseteq R \end{matrix} 여기서 \mathfrak q_i\mid\mathfrak p_i라는 것은 (\mathfrak q_i)\cap R=\mathfrak p_i임을 뜻한다. 즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며(going up), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다(going down).
## 크룰-아키즈키 정리
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * R는 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 축소환이다. K=\operatorname{Frac}R는 그 전분수환이다. * L은 가환환이며, 단사 함수인 환 준동형 \iota\colon K\hookrightarrow L이 주어져 있다. 또한, 덧셈 몫군 L/K는 유한군이다. * S\subseteq L은 R의 L 속의 정수적 폐포이다. **크룰-아키즈키 정리**(Krull-[秋月]定理, Krull–Akizuki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. * S 역시 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 환이다. * S의 임의의 아이디얼 \mathfrak a\subseteq S에 대하여, 만약 \mathfrak a가 영 아이디얼이 아니라면, 덧셈 몫군 (S/\mathfrak a)/(R/(R\cap\mathfrak a))는 유한군이다. (그러나 덧셈 몫군 S/R는 유한군이 아닐 수 있다. 즉, 이는 \mathfrak a가 영 아이디얼일 때 성립하지 못할 수 있다.) * 만약 R가 추가로 데데킨트 정역이라면, S 역시 데데킨트 정역이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * R는 가환 뇌터 축소환이다. K=\operatorname{Frac}R는 그 전분수환이다. * S는 R의 K 속의 정수적 폐포이다. * R는 n개의 극소 소 아이디얼 (소 아이디얼들의 포함 관계에 대한 극소 원소, 즉 높이가 0인 소 아이디얼)들을 갖는다. **모리-나가타 정리**([森]-[永田]定理, Mori–Nagata theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. * S는 n개의 크룰 정역들의 직접곱이다. 이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 가환환에 대한 부분적 일반화이다.
# 역사
코언-사이던버그 정리는 어빈 솔 코언과 에이브러햄 사이던버그(Abraham Seidenberg, 1916~1988)가 증명하였다. 크룰-아키즈키 정리는 볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(秋月 康夫, 1902~1984)가 증명하였다. 모리-나가타 정리는 모리 요시로(森 誉四郎)언어=en와 나가타 마사요시언어=en 가 증명하였다.