리만 곡면 자기 동형군

리만 곡면 이론에서, 리만 곡면의 **자기 동형군**(自己同型群, automorphism group)은 정칙 함수이며 그 역함수 또한 정칙 함수가 되는 전단사 자기 함수들로 구성된 군이다. 종수 1 이하에서는 이는 복소수 리 군을 이루지만, 종수 2 이상에서는 이는 유한군이며, 그 크기의 상계는 **후르비츠 자기 동형군 정리**(Hurwitz automorphism theorem)에 의하여 주어진다. 이 상계를 포화시키는 리만 곡면을 **후르비츠 곡면**(Hurwitz曲面, Hurwitz surface)이라고 한다.
# 정의
리만 곡면 \Sigma의 **자기 동형**은 다음 조건을 만족시키는 자기 함수 :f\colon\Sigma\to\Sigma 이다. * 전단사 함수이다. * 정칙 함수이다. * 그 역함수 f^{-1}\colon\Sigma\to\Sigma 역시 정칙 함수이다. 이들은 합성에 대하여 군을 이룬다. 이를 리만 곡면 \Sigma의 **자기 동형군**이라고 한다.
# 성질
**후르비츠 자기 동형군 정리**(Hurwitz automorphism theorem)에 따르면, 종수 g\ge2의 연결 콤팩트 리만 곡면 \Sigma_g의 자기 동형군의 크기는 다음과 같은 상계를 따른다. :|\operatorname{Aut}(\Sigma_g)|\le 84(g-1)

**증명 스케치**:

균등화 정리에 따라, 모든 쌍곡 리만 곡면 (즉, g>1) \Sigma는 쌍곡 평면의 몫으로 나타낼 수 있다. 가우스-보네 정리에 따라, (표준적 쌍곡 계량에 따른) 이 리만 곡면의 넓이는 다음과 같이, 종수에 의하여 결정된다. :A=4\pi(g-1) 리만 곡면의 넓이가 종수에 의해 고정되므로, \Sigma의 자기 동형군의 크기는 그 작용의 기본 영역(fundamental domain)의 넓이에 의해 결정된다. 즉, 후자를 최소화해야 한다. 기본 영역이 (쌍곡) 삼각형이며, 꼭짓점 각이 각각 \pi/p, \pi/q, \pi/r라고 하자 (p,q,r\in\mathbb Z^+). 쌍곡기하학에서 삼각형의 넓이는 그 꼭짓점의 각들에 의하여 결정되며, 다음과 같다. :S=\pi\left(1-1/p-1/q-1/r\right) 즉, 위의 우변이 가질 수 있는 최소의 양의 실수 값을 찾으면 된다. 이는 :(p,q,r)=(2,3,7) :1-1/p-1/q-1/r=1/42 임을 쉽게 확인할 수 있다. 이에 따라, 방향을 보존하지 않을 수 있는 자기 사상들의 수는 :A/S\le \frac{4\pi(g-1)}{\pi/42} = 168(g-1) 이다. 방향을 보존해야 한다는 조건을 추가하면, :|\operatorname{Aut}(\Sigma_g)|\le \frac12 168(g-1)=84(g-1) 이 된다.

이 상계를 포화시키는 연결 콤팩트 리만 곡면을 **후르비츠 곡면**(Hurwitz surface)이라고 하며, 그 자기 동형군을 **후르비츠 군**(Hurwitz group)이라고 한다.
## 후르비츠 군
모든 후르비츠 군은 (2,3,7)-폰 뒤크 군 \operatorname D(2,3,7)=\langle a,b|a^2=b^3=(ab)^7=1\rangle의 몫군이며, 유한군이며, (정의에 따라) 그 크기는 84의 배수이다.
# 쌍곡선의 관점에서 해석
미분 기하학의 기본 주제 중 하나는 양의 곡률, 영의 곡률, 음의 곡률 *K*의 리만 다양체 사이의 삼분법이다. 그것은 다양한 상황과 여러 수준에서 나타난다. 콤팩트한 리만 곡면 *X* 의 맥락에서 리만 균일화 정리를 통해 이는 서로 다른 위상의 곡면 간의 구별로 볼 수 있다. * *X는* 구, *K* > 0가 있는 종수 0의 콤팩트 리만 곡면 ; * *X* 편평한 원환체 또는 타원 곡선, *K* = 0가 있는 속 1의 리만 곡면; * *X는* 1보다 크고 *K*. < 0*를* 갖는 쌍곡면이다. 처음 두 경우에서 곡면 *X는* 무한히 많은 등각 자기동형사상을 허용하지만(사실 등각 자동형 군은 구의 경우 3차원이고 원환체의 경우 1차원의 복소 리 군이다), 쌍곡선 리만 곡면은 이산형만 허용한다. 자동형 집합. 후르비츠의 정리는 실제로 더 많은 것이 사실이라고 주장한다. 이는 속의 함수로서 자기 동형 군의 차수에 대한 균일한 경계를 제공하고 경계가 날카로운 리만 곡면을 특성화한다.
# 예
각 종수 별로, 자기 동형군의 최대 크기는 다음과 같다. {| class="wikitable" ! 종수 *g* !! 자기 동형군의 최대 크기 !! 후르비츠 상계 포화? !! 곡면의 이름 !! 곡면의 자기 동형군 |- | 0 || 2^{\aleph_0} || N/A || 리만 구 || \operatorname{PGL}(2;\mathbb C) (뫼비우스 변환) |- | 1 || 2^{\aleph_0} || N/A || 타원 곡선 \mathbb C/(z\sim z+1\sim z+\tau) || 항등원의 연결 성분이 콤팩트 아벨 덧셈군인 콤팩트 복소수 리 군 |- | 2 || 48 || ❌ || 볼차 곡선(Bolza curve) \operatorname{Proj}(\mathbb C[x,y,z]/(y^2z^3-x^5+xz^4)) || \operatorname{GL}(2;\mathbb F_3) |- | 3 || 168 || ⭕ || 클라인 4차 곡선 || \operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7) |- | 4||120 || ❌ || 브링 곡선(Bring curve) || \operatorname{Sym}(5) (5차 대칭군) |- | 5 || 192 || ❌ || || |- | 6 || 150 || ❌ || || |- | 7 || 504 || ⭕ ||맥비스 곡선(Macbeath curve)|| \operatorname{PSL}(2;\mathbb F_8) |- | 8 ||336 || ❌ || || |- | 9 || 320 || ❌ || || |- | 10|| 432 || ❌ || || |- | 11 ||240 || ❌ || || |} 후르비츠 상계가 포화되는 종수들의 값들은 무한히 많으며, 마찬가지로 후르비츠 상계가 포화되지 않는 종수들의 값 또한 무한히 많다.언어=en 후르비츠 상계가 포화되는 종수들 가운데 가장 작은 것들은 다음과 같다. A179982 :3, 7, 14, 17, 118, 129, 146, 385, 411, 474, 687, 769, 1009, 1025, 1459, 1537, 2091, 2131, 2185, 2663, 3404, 4369, 4375, 5433, 5489, 6553, 7201, 8065, 8193, 8589, 11626, 11665, … 종수 3과 7에서는 후르비츠 상계를 포화시키는 연결 콤팩트 리만 곡면이 유일하지만, 종수 14에서는 후르비츠 상계를 포화시키는, 세 개의 서로 다른 (서로 동형이 아닌) 연결 콤팩트 리만 곡면들이 존재한다.
## 구성
후르비츠 군과 곡면은 (2,3,7) 슈바르츠 삼각형에 의한 쌍곡선 평면의 쪽매맞춤을 기반으로 구성된다. 후르비츠 군의 예를 얻기 위해 쌍곡선 평면의 (2,3,7) 쪽매맞춤부터 시작하겠다. 전체 대칭 군은 각도 π/2, π/3 및 π/7을 갖는 하나의 기본 삼각형의 측면에 걸친 반사에 의해 생성된 전체 (2,3,7) 삼각형 군이다. 반사는 삼각형을 뒤집고 방향을 변경하므로 삼각형을 쌍으로 결합하여 방향을 유지하는 쪽매맞춤 다각형을 얻을 수 있다. 후르비츠 곡면은 쌍곡선 평면의 무한 쪽매맞춤 부분을 *g* 의 콤팩트한 리만 곡면으로 '닫음'으로써 얻는다. 이는 반드시 정확히 84( *g* − 1)개의 이중 삼각형 타일을 포함한다. 다음 두 개의 일반 쪽매맞춤에는 원하는 대칭 군이 있다. 회전 군은 모서리, 꼭지점 및 면에 대한 회전에 해당하는 반면, 전체 대칭 군에는 반사도 포함된다. 쪽매맞춤의 다각형은 기본 영역이 아니다. (2,3,7) 삼각형에 의한 쪽매맞춤은 이 두 가지를 모두 개선하며 규칙적이지 않다. {| class="wikitable" |100x100픽셀위수 3 칠각형 쪽매맞춤 |100x100픽셀위수 7 삼각형 쪽매맞춤 |} 위토프 구성은 여기에 제공된 두 개의 일반 타일을 포함하여 8개의 균일한 쪽매맞춤을 생성하여 추가로 균일한 쪽매맞춤을 생성한다. 이것들은 모두 후르비츠 곡면으로 내려와 곡면의 쪽매맞춤(삼각형, 칠각형 쪽매맞춤 등)을 생성한다. ). 위의 주장으로부터 후르비츠 군 *G는* 두 개의 생성원 *a* 와 *b* 와 세 개의 관계를 갖는 군의 유한 몫이라는 속성을 특징으로 한다는 것을 추론할 수 있다. : a^2 = b^3 = (ab)^7 = 1, 따라서 *G*는 위수 2와 3인 두 원소에 의해 생성된 유한 군이며, 그 곱의 위수는 7이다. 보다 정확하게는 후르비츠 곡면, 즉 주어진 속의 곡면에 대한 자기 동형 군의 최대 위수를 실현하는 쌍곡면은 주어진 구성에 의해 얻을 수 있다. 이것이 허비츠 정리의 마지막 부분이다.
# 후르비츠 군 및 곡면의 예
클라인 사차 쪽매맞춤의 다면체 몰입이다.Richter Note each face in the polyhedron consist of multiple faces in the tiling – two triangular faces constitute a square face and so forth, as per this explanatory image.]] 가장 작은 후르비츠 군은 168차의 사영 특수 선형 군 PSL(2,7) 이고 해당 곡선은 클라인 4차 곡선이다. 이 군은 PSL(3,2) 와도 동형이다. 다음은 504차 자기동형 군 PSL(2,8)을 갖는 Macbeath 곡선이다. 더 많은 유한 단순 군은 후르비츠 군이다. 예를 들어 교대 군 중 64개를 제외한 모든 군은 후르비츠 군이며, 후르비츠가 아닌 가장 큰 예는 167차이다. 후르비츠 군인 가장 작은 교대 군은 A 15이다. 가장 큰 랭크의 사영 특수 선형군은 후르비츠 군이다 2000. 낮은 랭크의 경우 후르비츠와 같은 군이 더 적다. 7을 법으로 *p*의 위수인 n_p에 대해 *q* =7 또는 *q* = *p* *np* 중 *하나* 인 경우에만 PSL(2, *q* )가 후르비츠라는 것을 알 수 있다. 실제로, PSL(3, *q* )는 *q* = 2인 경우에만 후르비츠이고, PSL(4, *q* )는 결코 후르비츠가 아니며, PSL(5, *q* )는 *q* = 7 4 또는 *q* = *pnp* 인 경우에만 후르비츠이다. 2006 . 마찬가지로 리 유형의 많은 군이 후르비츠이다. 큰 랭크의 유한 고전 군은 후르비츠이다 1999 . G2 유형의 예외적인 리 군과 2G2 유형의 이임학 군은 거의 항상 후르비츠 군이다1990. 낮은 랭크의 예외적이고 비틀린 리 군의 다른 계열은 후르비츠로 표시된다 1995. 후르비츠 군으로 생성될 수 있는 12개의 산재 군들 있다. 얀코 군 J 1, J 2 및 J 4, 피셔 군 Fi 22 및 Fi' 24, 루드발디스 군, Held 군, 톰슨 군, 하라다– 노턴 군, 세 번째 콘웨이 군 Co 3, 라이언스 군 및 괴물군, 2001.
# 역사
후르비츠 자기 동형군 정리는 아돌프 후르비츠가 1893년에 증명하였다.언어=de