천-사이먼스 형식

미분위상수학에서 **천-사이먼스 형식**([陳]-Simons型式, Chern–Simons form)은 리 대수 값 미분형식에 대해 곡률 특성 형식(curvature characteristic form)을 자명화시키는 미분형식이다. 이차 특성류 가운데 하나로 볼 수도 있다. 1974년 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다.Chern, Shiing-Shen; Simons, James Harris (1974). “Characteristic forms and geometric invariants”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 99 (1): 48–69. doi:10.2307/1971013. ISSN 0003-486X. JSTOR 1971013. MR 0353327. Zbl 0283.53036 특수한 경우로서 G-주다발과 접속이 주어진 홀수 차원 매끄러운 다양체에서 정의하기도 한다.
# 정의

## 천-사이먼스 원소
다음이 주어졌다고 하자. * 유한 차원 실수 리 대수 \mathfrak g * \mathfrak g의 n차 불변 다항식 p \in \operatorname{Sym}(\mathfrak g^*) 그렇다면, \mathfrak g로 구성되는 베유 대수 \operatorname W(\mathfrak g)를 정의할 수 있다. 이는 가환 미분 등급 대수이다. 또한, 불변 다항식의 공간 \operatorname{inv}(\mathfrak g)은 자연스럽게 베유 대수의 부분 공간으로 간주될 수 있다. :\operatorname{inv}(\mathfrak g)\to\operatorname W(\mathfrak g)\to\operatorname{CE}(\mathfrak g) 이제, p\in \operatorname{inv}(\mathfrak g)의 원소는 베유 대수 \operatorname W(\mathfrak g) 속에서 항상 닫힌 원소이며, 베유 대수의 코호몰로지는 (정의에 따라) 자명하다. 따라서, :\mathrm d\mathsf c = p 가 되는 2n-1차 원소 :\mathsf c \in \operatorname W^{2n-1}(\mathfrak g) 를 찾을 수 있다. 이를 p의 **천-사이먼스 원소**(Chern–Simons element)라고 한다. 이과 같은 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화된다.
## 리 대수 값 미분 형식의 천-사이먼스 형식
다음이 주어졌다고 하자. * 매끄러운 다양체 M * 유한 차원 실수 리 대수 \mathfrak g * \mathfrak g값의 1차 미분 형식 A \in \Omega^1(P;\mathfrak g) 그렇다면, A는 가환 미분 등급 대수의 준동형 :\mathsf A\colon\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname\Omega(M) 과 같은 데이터를 갖는다. 구체적으로, \mathfrak g의 기저를 (t_i)_{i\in I}라고 하고, \operatorname W(\mathfrak g)의, 이에 대응하는 등급 1의 생성원을 (t^i)_{i\in I} \subseteq \operatorname W(\mathfrak g)라고 할 때, 미분 등급 대수 준동형 \mathsf A에 대응하는 1차 미분 형식은 A = t_i\mathsf A(t^i) \in \operatorname\Omega^1(M;\mathfrak g) 이다. 이에 따라서, \mathfrak g의 n차 불변 다항식 p에 대한 \operatorname W(\mathfrak g) 속의 대수적 천-사이먼스 원소 :\mathsf c \in \operatorname W^{2n-1}(\mathfrak g) 에 대하여, 그 상 :\operatorname{CS}(A,p) = \mathsf A(\mathsf c) \in \operatorname\Omega^{2n-1}(M) 은 M 위의 2n-1차 미분 형식을 이룬다. 즉, 이는 :\mathrm d\operatorname{CS}(A,p) = p(A) 를 만족시킨다.
## 주접속의 천-사이먼스 형식
다음이 주어졌다고 하자. * 매끄러운 다양체 M * 리 군 G 및 그 리 대수 \mathfrak g * G-주다발 G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M * P 위의 주접속 A \in \Omega^1(P;\mathfrak g) 그렇다면, P의 주접속의 공간은 \operatorname\Omega^1(M;\mathfrak g)에 대한 아핀 공간이지만, 이는 표준적인 원점을 갖지 않는다. 원점을 고르는 것은 주접속 P의 임의의 자명화 및 각 자명화의 단면을 선택하는 것에 해당한다. 즉, 충분히 섬세한 열린 덮개 (U_\beta)_{\beta\in B} 및 미분 동형 U_\beta \times G \to (P\restriction U_\beta)들을 고르면, 주접속 A는 덮개의 각 원소 위의 \mathfrak g값 1차 미분 형식들의 모임 :A\restriction U_\beta \in \operatorname\Omega^1(U;\mathfrak g) 의 데이터로 주어진다. 이에 따라, 선택한 불변 다항식 p\in\operatorname{inv}(\mathfrak g)에 대한 각 조각별 천-사이먼스 형식들을 정의하여 짜깁기하여 M 전체에 정의된 미분 형식 :\omega_{2n-1} \in \operatorname\Omega^{2n-1}(M) 을 얻을 수 있다. 이렇게 하여 얻은 미분 형식은 p가 게이지 불변이므로 무한소 게이지 변환(즉, 항등 함수와 호모토픽한 게이지 변환 \in\operatorname{Aut}(P) = \mathcal C^\infty(M,G))에 대하여 자동적으로 게이지 불변이다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환(즉, \operatorname{Aut}(P) = \mathcal C^\infty(M,G)의 자명하지 않은 연결 성분)에 대하여 불변이지 않다. 즉, 이는 일반적으로 대역적으로 잘 정의되지 않는다. 다만, 만약 (예를 들어) M이 2n-1차원 매끄러운 다양체라면, 그 적분 :S_{\operatorname{CS=\int_M\omega_{2n-1}\in\mathbb R 을 생각할 수 있다. 이 경우, 큰 게이지 변환의 군 :\pi_0(\mathcal C^\infty(M,G)) 은 이 값 위에 작용하게 된다. 만약 \pi_0(\mathcal C^\infty(M,G))의 작용이 :S_{\operatorname{CS \mapsto S_{\operatorname{CS + (\Delta S_{\operatorname{CS)\mathbb Z 의 꼴이라면, 이 경우 :\exp(2\pi\mathrm iS_{\operatorname{CS) \in \operatorname U(1) 는 잘 정의된다. 이와 같은 구성은 이론물리학에서 천-사이먼스 이론의 정의에 사용되며, 큰 게이지 변환의 작용은 물리학적으로 천-사이먼스 이론의 전위(level)의 양자화로 귀결된다.
# 성질
매끄러운 다양체 M 위의 평탄 주접속 A의 (임의의 불변 다항식)에 대한) 천-사이먼스 형식은 (정의에 따라) 닫힌 미분 형식이다. 마찬가지로, n차 불변 다항식 p에 대하여, 만약 :\dim M = 2n - 1 이라면, 천-사이먼스 형식은 최고차이므로 닫힌 미분 형식이다. 이와 같은 경우, 천-사이먼스 형식은 실수 계수 코호몰로지류를 정의한다.
# 예
가장 자주 사용되는 천-사이먼스 형식은 다음과 같다. 리 대수 \mathfrak g의 유한 차원 표현 :\rho \colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(N;\mathbb R) 이 주어졌을 때, :p_n(x^i) = \operatorname{tr}\left(\left(\sum_ix^i\rho(t_i)\right)^n\right) 는 대각합의 순환성에 의하여 항상 2n차 불변 다항식이다. 따라서, 이에 대한 2n-1차 천-사이먼스 형식 \omega_{2n-1}을 정의할 수 있다. 즉, :\omega_{2n-1} = \operatorname{tr}(\rho(F)^n) 이 된다. 여기서 \rho(F)^n이란 \rho를 사용하여 t_i\mathsf A(\delta t^i) = F \in \operatorname\Omega^2(M;\mathfrak g)를 2차 미분 형식의 N\times N 정사각 행렬로 간주한 뒤, 행렬 곱셈과 미분 형식 쐐기곱을 합성한 연산에 대한 제곱이다. 만약 \mathfrak g=\mathfrak u(n)일 때, \omega_1,\omega_3,\dotsc,\omega_{2n-1}들은 \mathfrak u(n)의 n개 불변 다항식에 각각 대응한다. (만약 \mathfrak g=\mathfrak{su}(n)일 경우, \omega_1 =0 이 된다.) 이러한 7차 이하의 천-사이먼스 형식들은 다음과 같다. :\omega_1=\operatorname{tr}A :\omega_3=\operatorname{tr}\left(F\wedge A-\frac13A\wedge A\wedge A\right) :\omega_5=\operatorname{tr}\left(F\wedge F\wedge A-\frac12F\wedge A\wedge A\wedge A+\frac1{10}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\right) :\omega_7=\operatorname{tr}\left(\frac47A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+2dA\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+\frac83dA\wedge dA\wedge A\wedge A\wedge A+\frac43dA\wedge A\wedge dA\wedge A\wedge A+dA\wedge dA\wedge dA\wedge A\right) 이러한 식에서, \wedge는 사실 (리 대수의 표현을 사용하여) 미분 형식의 정사각 행렬로 간주한 것들의 행렬곱이다. 즉, 리 대수의 지표는 (정사각 행렬로 표현하여) 행렬곱을 취하고, 행렬의 각 성분인 미분 형식은 쐐기곱을 취하는 것이다.
## 천-사이먼스 형식의 계산
이러한 꼴의 불변 다항식에 대한 천-사이먼스 형식은 다음과 같이 대수적으로 모형화될 수 있다. 하나의 등급 1의 생성원 \mathsf a로 생성되는 유리수 계수 자유 미분 대수 :\mathcal A = \mathbb Q\langle \mathsf a,\mathrm d\mathsf a\rangle 를 생각하자. 이는 등급 가환 법칙을 따르지 않지만, 미분 연산 \mathrm d는 멱영 연산이며 \mathsf a에 대한 곱셈과 등급 가환한다. 즉, :\mathrm d^2\mathrm a = 0 :\mathrm d \colon \mathsf a p \mapsto (\mathrm d\mathsf a) p-\mathsf a(\mathrm dp)\qquad\forall p\in A :\mathrm d \colon (\mathrm d\mathsf a) p \mapsto (\mathrm d\mathsf a) (\mathrm dp) \qquad\forall p\in A 이다. 이제, 다음과 같은 꼴의 항들로 생성되는 부분 벡터 공간을 생각하자. :V = \operatorname{Span}_{\mathbb Q}\left\\{ pq \- (-)^{\deg p\deg q} qp \colon p,q \in\mathcal A \right\\}\subsetneq \mathcal A (이는 대각합의 순환성에 의하여 대각합을 취하면 0이 되는 항들의 공간이며, 특히 아이디얼이 아니다. 예를 들어, \mathsf a^2\in V이지만 \mathsf a^3\not\in V이다.) 그렇다면, 임의의 양의 정수 k\in\mathbb Z^+에 대하여, :\mathrm d\mathsf w_{2k-1} - (\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2)^k \in V 가 되는 원소 \mathsf w_{2k-1} \in \mathcal A가 존재함을 보일 수 있으며, 그 동치류 \mathsf w_{2k-1} + V \in \mathcal A/V는 유일하다. 이것이 2n-1차 천-사이먼스 형식이 된다. 특히, 천-사이먼스 형식을 계산할 때, :\mathsf a^{2k} \in V 이라는 사실이 자주 사용된다. 이를 통해, 처음 몇 개의 천-사이먼스 형식을 다음과 같이 계산할 수 있다. 여기서 편의상 \mathsf f=\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2이며, “대각합” \operatorname{tr}(-)은 \mathcal A/V로 동치류를 취하는 것이다.

**1차 천-사이먼스 형식의 계산:**

\operatorname{tr}(\mathsf f) = \operatorname{tr}(\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2) = \operatorname{tr}(\mathrm d\mathsf a)

**3차 천-사이먼스 형식의 계산:**

\begin{aligned} \operatorname{tr}(\mathsf f^2) &= \operatorname{tr}\left( (\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2) (\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2) \right) \\\ &= \operatorname{tr}\left(\mathrm d\mathsf a^2+2(\mathrm d\mathsf a) \mathsf a^2\right) \\\ &= \operatorname{tr}\left(\mathrm d((\mathrm d\mathsf a) \mathsf a) +\frac23\mathsf a^3\right) \\\ &= \operatorname{tr}\mathrm d\left((\mathrm d\mathsf a) \mathsf a+\frac23 \mathsf a^3\right)\\\ &= \operatorname{tr}\mathrm d\left( \mathsf f\mathsf a - \frac13 \mathsf a^3 \right) \end{aligned}

# 역사
천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 1974년에 도입하였다.언어=en 천싱선과 사이먼스는 리만 다양체의 폰트랴긴 특성류를 조합론적으로 계산하려고 하였는데, 이러한 공식의 존재에 대한 방해물로 천-사이먼스 형식을 발견하였다.
# 물리학에 응용
1978년 러시아 수리물리학자 알베르트 시바르츠는 천-사이먼스 형식을 이용하여 3차원 위상 양자장론 가운데 하나인 천-사이먼스 이론을 최초로 발견하였다.Schwartz, A. S. (1978). “The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants”. 《Letters in Mathematical Physics》 (English) 2 (3): 247–252. doi:10.1007/BF00406412. 이는 3차원 양자중력과도 연결되며Achúcarro, A.; Townsend, P. (1986). “A Chern–Simons action for three-dimensional anti-De Sitter supergravity theories”. 《Physics Letters B》 (영어) 180: 89. Bibcode:1986PhLB..180...89A. doi:10.1016/0370-2693(86)90140-1. 분수 양자 홀 효과를 설명하기도 한다.Lopez, Ana; Eduardo Fradkin. “Fermionic Chern-Simons Field Theory for the Fractional Hall Effect” (영어). Bibcode:1997cond.mat..4055L. 또한 양-밀스 이론과도 연결되어 topologically massive Yang-Mills theory같은 물리학 이론을 만든다.