대칭 중선

대칭 중선과 대칭 중점 기하학에서 **대칭 중선**(對稱中線, 시미디언)은 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 중선을 같은 꼭짓점에서의 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 즉, 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. **대칭 중점**(對稱中點, symmedian point) 또는 **르무안 점**(Lemoine point) 또는 **그레베 점**(Grebe point)은 주어진 삼각형의 세 대칭 중선이 공통으로 지나는 점이다. 즉, 대칭 중점은 무게 중심의 등각 켤레점이다.
# 정의
삼각형 ABC의 **대칭 중선**은 중선의 등각 켤레선이다. 즉, 각 꼭짓점 A, B, C을 지나는 중선의, 내각 \angle A, \angle B, \angle C의 이등분선에 대한 반사상이다. 삼각형 ABC의 **대칭 중점** K은 무게 중심의 등각 켤레점이다. 즉, 세 대칭 중선의 교점이다.
# 성질
직각 삼각형의 대칭 중점은 직각 꼭짓점을 지나는 빗변의 수선의 중점이다.isbn=0-88385-639-559, §7.4, (i) 대칭 중점은 삼각형의 세 변과의 거리의 제곱의 합이 가장 작은 점이다.75, Exercise 7.3 삼각형 ABC의 세 변의 길이를 a=BC, b=AC, c=AB라고 하고, 넓이를 S라고 하고, 브로카르 각을 \omega라고 하자. 그렇다면 대칭 중점 K와 세 변 BC, AC, AB 사이의 거리는 다음과 같다.원본연도=1929268, §[XVI.]438 :d(K,BC)=\frac 12a\tan\omega=\frac{2aS}{a^2+b^2+c^2} :d(K,AC)=\frac 12b\tan\omega=\frac{2bS}{a^2+b^2+c^2} :d(K,AB)=\frac 12c\tan\omega=\frac{2cS}{a^2+b^2+c^2} 삼각형 ABC의 대칭 중선 AK_A, BK_B, CK_C의 발을 K_A, K_B, K_C라고 하고, 대칭 중점을 K라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.76, Exercise 7.4 :\frac{AK}{KK_A}=\frac{b^2+c^2}{a^2} :\frac{BK}{KK_B}=\frac{a^2+c^2}{b^2} :\frac{CK}{KK_C}=\frac{a^2+b^2}{c^2} 삼각형 ABC의 각 꼭짓점 A, B, C을 지나는 대변의 수선의 발을 H_A, H_B, H_C라고 하자. 그렇다면 A, B, C을 지나는 대칭 중선은 각각 수심 삼각형의 변 H_BH_C, H_AH_C, H_AH_B를 이등분한다.60, §7.4, (ii) 삼각형 ABC의 한 꼭짓점 A를 지나는 대칭 중선은 남은 두 꼭짓점 B, C에서의 외접원의 접선의 교점을 지난다.60, §7.4, (iii) 제르곤 삼각형의 대칭 중점은 제르곤 점이다. 이는 위 명제의 따름정리이다. 증명 외접원의 B, C에서의 접선의 교점을 D라고 하자. D를 중심으로 하고 DB를 반지름으로 하는 원이 AB, AC의 연장선과 각각 E, F에서 만난다고 하자. 접현각의 크기는 원주각과 같으므로 :\angle E=\angle DBE=\angle ACB :\angle F=\angle DCF=\angle ABC 이다. 또한 사각형 AEDF에서 :\angle EDF=360^\circ-\angle A-\angle E-\angle F=180^\circ 이므로 E, D, F는 공선점이다. 따라서 삼각형 AEF는 삼각형 ACB와 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 AEF를 \angle A의 이등분선에 대하여 반사시킨 뒤 다시 A를 중심으로 적절한 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 ACB를 얻는다. 이러한 변환은 닮음 변환이며, 특히 아핀 변환이므로 중점을 보존한다. A를 지나는 직선은 A를 중심으로 하는 중심 닮음 변환에 대하여 불변이므로 AD의 상은 자신의 등각 켤레선이다. AD는 삼각형 AEF의 중선이므로 AD의 등각 켤레선은 삼각형 ACB의 중선이다. 즉, AD는 삼각형 ACB의 대칭 중선이다. 삼각형 ABC의 내접원과 꼭짓점 A, B, C의 대변의 접점을 각각 T_A, T_B, T_C라고 하자. 그렇다면 삼각형 ABC의 내접원은 제르곤 삼각형 T_AT_BT_C의 외접원이다. 삼각형 ABC의 각 변은 삼각형 T_AT_BT_C의 외접원의 각 꼭짓점 T_A, T_B, T_C에서의 접선이며, 점 A, B, C는 접선들의 교점이다. 따라서 직선 T_AA, T_BB, T_CC는 삼각형 T_AT_BT_C의 대칭 중선이며, 그 교점인 제르곤 점은 대칭 중점이다. 증명 끝 삼각형 ABC의 한 꼭짓점 A를 지나는 대변의 수선의 중점 M과 대변의 중점 M_A를 잇는 직선은 대칭 중점 K를 지난다.65, §7.4, (vii) 증명 대칭 중점 K를 지나는 외접원의 꼭짓점 B에서의 접선의 평행선 PQ와 변 AB, BC의 교점을 각각 P, Q라고 하자. 대칭 중점 K를 지나는 외접원의 꼭짓점 C에서의 접선의 평행선 RS와 변 AC, BC의 교점을 각각 R, S라고 하자. 그렇다면 선분 PQ, RS는 제2 르무안 원의 두 지름이므로 사각형 PRQS는 직사각형이다. 직사각형의 변 PS, QR의 중점을 각각 D, E라고 하자. 그렇다면 M이 꼭짓점 A에서 내린 대변의 수선 AH_A의 중점이므로 B, D, M은 한 직선 위의 점이며, C, E, M 역시 한 직선 위의 점이다. 대칭 중점 K는 선분 DE의 중점이며 M_A는 선분 BC의 중점이므로 M, K, M_A는 한 직선 위의 점이다. 증명 끝 대칭 중점은 자기 자신의 수족 삼각형의 무게 중심이다.72, §7.4, (x)
## 르무안 원
삼각형 ABC의 대칭 중점 K를 지나는 각 변 BC, CA, AB의 평행선 ST, UP, QR와 남은 두 변의 교점을 각각 S와 T, U와 P, Q와 R라고 하자. 그렇다면 6개의 점 P, Q, R, S, T, U는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 K와 외심 O를 잇는 선분 KO의 중점이다. 이 원을 삼각형 ABC의 **제1 르무안 원**(first Lemoine circle)이라고 한다.88, §9.2 마찬가지로, 삼각형 ABC의 대칭 중점 K를 지나는 각 변 BC, CA, AB의 평행선 ST, UP, QR와 남은 두 변의 교점을 각각 S와 T, U와 P, Q와 R라고 하자. 그렇다면 6개의 점 P, Q, R, S, T, U는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 K이다. 이 원을 삼각형 ABC의 **제2 르무안 원**(second Lemoine circle)이라고 한다.88, §9.2 증명 대칭 중선은 반평행선을 이등분하므로 :SK=TK :UK=PK :QK=RK 이다. 반평행선의 성질에 따라 :\angle KPS=\angle ACB=\angle KSP :\angle KQT=\angle CBA=\angle KTQ :\angle KRU=\angle BAC=\angle KUR 이므로 :PK=SK :QK=TK :RK=UK 이다. 증명 끝 제1·제2 르무안 원은 터커 원의 특수한 경우이다.