근계

근계리 예외 G2의 근계. \alpha와 \beta는 단순근이다.]] 리 군 이론에서, **근계**(根系, root system)는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한 차원 벡터의 집합이다. 근계의 원소인 벡터는 **근**(根, root)이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 **단순근**(單純根, simple root)의 집합을 고를 수 있고, 이를 **딘킨 도표**(Dynkin diagram)로 나타내어 분류할 수 있다. 반단순 리 군에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다. 모든 근계는 **기약 근계**(旣約根系, irreducible root system)의 합으로 나타낼 수 있다. 기약 근계(의 동형류)는 복소수체 위의 단순 리 대수(의 동형류)와 일대일로 대응한다.
# 정의
유한 차원 실수 내적 공간 (V,(\cdot,\cdot)) 속의 부분 집합 \Phi\subseteq V가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, **근계**라고 한다. * (선형 생성) V=\operatorname{Span}_{\mathbb R}\Phi. 즉, V의 모든 원소는 \Phi의 원소들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. (이는 유일하지 않을 수 있다.) * (스칼라배의 제한) \alpha\in\Phi라면, -\alpha\in\Phi이고, 그 밖의 다른 스칼라배 t\Phi (t\in\mathbb R)는 \Phi의 원소가 아니다. * (반사에 대한 닫힘) 임의의 \alpha,\beta\in\Phi에 대하여, \alpha에 대하여 수직인 초평면에 대한 \beta의 반사\beta-2\alpha(\alpha,\beta)/(\alpha,\alpha)도 \Phi의 원소다. 즉, 근들은 다른 근에 대한 반사에 대하여 닫혀 있다. * (정수성) 0\not\in\Phi이며, \forall \alpha,\beta\in\Phi\colon 2(\alpha,\beta)/(\alpha,\alpha)\in\mathbb Z * 유한 집합이다. 근계의 원소는 **근**이라고 부른다. 근계의 **계수**(階數, rank)는 V의 차원이다. 두 실수 내적 공간 V, V' 및 그 속의 근계 \Phi\subseteq V, \Phi'\subseteq V'에 대하여, 만약 f(\Phi)=\Phi'가 되는 전단사 실수 선형 변환 f\colon V\to V'이 존재하며, 또한 :\frac{(f(\alpha),f(\beta))_{V'{(f(\alpha),f(\alpha))_{V'=\frac{(\alpha,\beta)_V}{(\alpha,\alpha)_V}\qquad\forall\alpha,\beta\in \Phi 라면, (V,\Phi)와 (V',\Phi')를 서로 **동형**이라고 한다. 특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수 (V,(-,-))\to(V,2(-,-)) 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 \sqrt2로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 1 또는 \sqrt{2/3}이다.) 통상적으로, 다음과 같은 표기를 사용한다. :\langle\alpha,\beta\rangle=\frac{2(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} (이는 물론 쌍선형 형식을 이루지 못한다.)
## 양근과 단순근
근계 \Phi의 **양근의 집합**(陽根의 集合, set of positive roots) \Phi^+\subset\Phi는 다음을 만족하는 부분집합이다. * 임의의 \alpha\in\Phi에 대하여, \alpha\in\Phi^+이거나 -\alpha\in\Phi^+이지만, \\{\alpha,-\alpha\\}\subset\Phi^+는 아니다. * \alpha,\beta\in\Phi^+이고, \alpha+\beta\in\Phi이면 \alpha+\beta\in\Phi^+이다. 양근의 집합의 원소를 **양근**(陽根, positive root)이라고 한다. 양근의 집합 \Phi^+\subseteq\Phi이 주어졌을 때, 격자 :\\{v\in V\colon \forall\alpha\in\Phi\colon \alpha^\vee(v)\in\mathbb Z\\} 위에 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다. :u\le v\iff \forall\alpha\in\Phi^+\colon \alpha^\vee(v-u)\ge0 이 구성은 리 대수의 표현론에 등장하며, 이 경우 위의 격자는 정수 무게의 격자에 해당한다.
## 단순근
어떤 양근의 집합이 주어졌을 때, **단순근**(單純根, simple root)은 두 양근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근들의 집합은 V의 기저를 이룬다.
## 카르탕 행렬
근계 \Phi와 그 위의 순서를 매긴 단순근의 열 \alpha_1,\dots,\alpha_r이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 **카르탕 행렬**(Cartan matrix) M은 다음과 같은 r\times r 정사각 행렬이다. :M=(M_{ij})_{i,j=1,\dots,r} :M_{ij}=2\frac{(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_i,\alpha_i)} 정의에 따라, 카르탕 행렬의 대각선 성분의 값은 모두 2이다. 카르탕 행렬이 주어지면, 이에 대응하는 근계 (및 복소수 반단순 리 대수)를 재구성할 수 있다.
## 딘킨 도표
기약근계의 딘킨 도표 각 근계 (V,\Phi)에 대하여, **딘킨 도표**(Дынкин圖表, Dynkin diagram)라는, 일종의 유향 그래프를 대응시킬 수 있다. 우선, 임의로 (V,\Phi)의 양근의 집합 \Phi^+\subseteq\Phi를 고르자. * 딘킨 도표는 각 단순근에 대응하는 꼭짓점을 갖는다. * 두 꼭짓점 사이에는 0개, 1개, 2개, 또는 3개의 변(邊)이 존재할 수 있다. 변이 2개 또는 3개인 경우, 변은 방향을 가지며, 이 방향은 항상 더 짧은 단순근을 가리킨다. (이 경우 두 단순근의 길이는 항상 다르다.) * 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 두 단순근 사이의 각도에 대응하며, 다음 표를 따른다. :{| class=wikitable !근 사이 각 (라디안) || 근 사이 각 (°) || 변의 종류 |- | \pi/2 || 90° || 변 없음 |- | 2\pi/3 || 120° || 하나의 변 |- | 3\pi/4 || 135° || 두 개의 변 + 화살표 |- | 5\pi/6 || 150° || 세 개의 변 + 화살표 |} 딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다. 기약 근계의 딘킨 도표는 연결되어 있다. 딘킨 도표의 연결 성분 분해는 근계의 (기약 근계들로의) 직합 분해와 같다.
# 성질
정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각은 \pi/2, \pi/3, \pi/4, \pi/6 또는 이들의 여각이다. 근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다. : \mathbb Z\ni 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \cdot 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)} = 4 \frac{(\alpha,\beta)^2}{\vert \alpha \vert^2 \vert \beta \vert^2} = 4 \cos^2(\theta) = (2\cos(\theta))^2. 2\cos(\theta) \in [-2,2]이므로, :\cos\theta=0, \pm \tfrac12, \pm\tfrac{\sqrt2}2, \pm\tfrac{\sqrt3}2, \pm1 이다. 즉, \theta는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.
# 연산

## 스칼라배
근계 (V,\Phi) 및 임의의 실수 t\in\mathbb R\setminus\\{0\\} 및 임의의 직교 행렬 M\in\operatorname O(V;\mathbb R)에 대하여, (V,tM\Phi) 역시 근계를 이루며, 이는 원래 근계 (V,\Phi)와 동형이다.
## 직합
두 근계 (V,\Phi), (V',\Phi')가 주어졌을 때, 그 **직합** \Phi\oplus\Phi'은 다음과 같은 근계이다. :\Phi\oplus\Phi'=\iota(\Phi)\cup\iota'(\Phi') :V\xrightarrow\iota V\oplus V'\xleftarrow{\iota'}V' 여기서 \iota와 \iota'은 직합의 정의에 등장하는 표준 포함 사상이다. **기약 근계**(旣約根系, irreducible root system)는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약 근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 **긴 근**(long root), 짧은 것은 **짧은 근**(short root)으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 \sqrt2이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 \sqrt2로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) 1로 잡는다.)
## 쌍대 근계
근계 (V,\Phi)의 **쌍대 근계**(雙對根系, dual root system)는 다음과 같다. * V^\vee는 V의 (대수적) 쌍대 공간이다. 물론, 내적을 사용하여 표준적인 동형 사상 V\to V^\vee이 존재한다. * \Phi^\vee=\\{\alpha^\vee\colon\alpha\in\Phi\\} * 임의의 u,v\in V에 대하여, u^\vee\in V^*, u^\vee(v)=\langle u,v\rangle=2(u,v)/(u,u) 그렇다면 (V^\vee,\Phi^\vee) 역시 근계를 이룬다. 임의의 근계 (V,\Phi)는 그 이중 쌍대 근계 (V^{\vee\vee},\Phi^{\vee\vee})와 표준적으로 동형이다. 단순 근계 가운데, B_n의 쌍대 근계는 C_n이다. 다른 단순 근계들(A_n, D_n, E_6,E_7,E_8,F_4,G_2)은 스스로의 쌍대 근계이다.
# 분류

## 기약 근계의 목록
기약 근계는 다음과 같이 분류한다. **고전 근계**(classical root system)는 네 개의 족 A_n, B_n, C_n, D_n으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 **예외 근계**(exceptional root system) G_2, F_4, E_6, E_7, E_8이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 고전군(직교군, 특수 유니터리 군, 심플렉틱 군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외 근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 \sqrt2가 되도록 정규화하였다.언어=en {| class=wikitable !근계 || 근의 수 || 짧은 근 수 || 긴 근 부분격자의 지표 || 카르탕 행렬식 || 바일 군의 크기 || 콕서터 수 h || 이중 콕서터 수 h^\vee || 딘킨 도표 || 콕서터 라벨언어=en43 || 이중 콕서터 라벨43 |- align=center |A*n* (*n* ≥ 1) || *n*(*n* + 1) || || || *n* + 1 || (*n* + 1)! | colspan=2 | n+1 || \bullet-\bullet-\cdots-\bullet | colspan=2 | 1-1-\cdots-1 |- align=center |B*n* (*n* ≥ 2) || 2*n*2 || 2*n*|| 2 || 2 || 2*n* *n*! || 2n || 2n-1 || \bullet-\bullet-\cdots-\bullet\Rightarrow\bullet || 1-2-\cdots-2\Rightarrow2 || 1-2-\cdots-2\Rightarrow1 |- align=center |C*n* (*n* ≥ 3) || 2*n*2 || 2*n*(*n* − 1)|| 2 || 2 || 2*n* *n*! || 2n || n+1 || \bullet-\bullet-\cdots-\bullet\Leftarrow\bullet || 2-2-\cdots-2\Leftarrow1 || 1-1-\cdots-1\Leftarrow1 |- align=center |D*n* (*n* ≥ 4) || 2*n*(*n* − 1) || || || 4 || 2*n* − 1 *n*! |colspan=2| 2n-2 || \bullet-\bullet-\cdots-\bullet\bullet-\bullet |colspan=2 | {1-2\atop1-2}>3-2 |- align=center | E7 || 126 || || || 2 || 210×34×5×7 | colspan=2 | 18 || {\bullet\atop{{-\atop{{\bullet\atop\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet |colspan=2 | {2\atop{{-\atop{{3\atop2}>4-3-2-1 |- align=center |E8 || 240 || || || 1 || 214×35×52×7 | colspan=2 | 30 || {\bullet\atop{{-\atop{{\bullet\atop\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet |colspan=2 | {2\atop{{-\atop{{4\atop3}>6-5-4-3-2 |- align=center | F4 || 48 || 24|| 4 || 1 || 27×32 || 12 || 9 || \bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet || 2-3\Rightarrow4-2 || 2-3\Rightarrow2-1 |- align=center | G2 || 12 || 6 || 3 || 1 || 22×3 || 6 || 4 || \bullet\Rrightarrow\bullet || 2\Rrightarrow3 || 2\Rrightarrow1 |}
## 고전적 기약 근계
A_n형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 \mathbb R^{n+1}의 원소로 표기하였다.) :\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0) :\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0) :\vdots :\alpha^n=(0,0,\dots,1,-1) B_n형 근계의 단순근은 다음과 같다. :\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0) :\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0) :\vdots :\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1) :\alpha^n=(0,0,\dots,0,1) C_n형 근계의 단순근은 다음과 같다. :\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0) :\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0) :\vdots :\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1) :\alpha^n=(0,0,\dots,0,2) D_n형 근계의 단순근은 다음과 같다. :\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0) :\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0) :\vdots :\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1) :\alpha^n=(0,0,\dots,1,1)
## 예외적 기약 근계
예외적 기약 근계는 E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다. {| class=wikitable |+E8 |- | 1||-1||0||0||0||0||0||0 |- |0|| 1||-1||0||0||0||0||0 |- |0||0|| 1||-1||0||0||0||0 |- |0||0||0|| 1||-1||0||0||0 |- | 0||0||0||0|| 1||-1||0||0 |- |0||0||0||0||0|| 1||-1||0 |- |0||0||0||0||0||1|| 1||0 |- | -½||-½||-½||-½||-½||-½||-½||-½ |} {| class=wikitable |+ F4 |- | 1||-1||0||0 |- |0|| 1||-1||0 |- |0||0|| 1||0 |- | -½||-½||-½||-½ |} {| class=wikitable |+ G2 |- | \sqrt{2/3} || 0 |- |-\sqrt{3/2} || 1/\sqrt2 |}
# 예

## 낮은 차원의 근계
0차원 근계는 (자명하게) 하나밖에 없다. 1차원 근계는 하나밖에 없으며, \\{-\sqrt2,\sqrt2\\}\subset\mathbb R이다. 2차원 근계는 총 4개가 있으며, 이들 가운데 3개는 기약 근계이다. (아래 표에서, B_2와 C_2는 서로 동형이며, A_1\times A_1과 D_2 역시 서로 동형이다.) {| class="wikitable" |+**2차원 근계** |- align=center | Root system A1 \+ A1 | Root system A2 | Root system B2 |- align=center | A_1 \times A_1 | A_2 | B_2 |- align=center | Root system C2 | Root system D2 | Root system G2 |- align=center | C_2 | D_2 | G_2 |} 3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 정육면체·정팔면체의 모양을 가진다. :파일:Root vectors b3
## 반단순 리 대수에 대응되는 근계
무게 (표현론) 복소수체 위의 반단순 리 대수 \mathfrak g 및 그 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g가 주어졌다고 하자. \mathfrak h는 \mathfrak g의 킬링 형식을 통해 자연스럽게 유한 차원 실수 내적 공간을 이룬다. 그렇다면, \mathfrak g의 딸림표현에 대응하는 \mathfrak h-무게들 :\Phi=\\{\alpha\in \mathfrak h^\vee\colon \mathfrak g_\alpha\ne0\\}\subseteq\mathfrak h^\vee 을 생각하자. 그렇다면, (\mathfrak h^\vee,\Phi)는 근계를 이룬다. 또한, 다음이 성립한다. * \mathfrak g의 단순 리 대수들로의 직합 분해는 (\mathfrak h^\vee,\Phi)의 기약 근계들로의 직합 분해와 대응한다. * 특히, 단순 리 대수에 대응하는 근계는 기약 근계이다. * 두 반단순 리 대수가 서로 동형일 필요 충분 조건은 그 대응하는 근계가 서로 동형인 것이다.
# 역사
근계의 이론은 복소수 반단순 리 대수의 표현론에서 비롯하였다. 각 반단순 리 대수에는 근계를 대응시킬 수 있으며, 단순 리 대수에 대응되는 근계는 기약 근계이다. 카르탕 행렬의 개념은 엘리 카르탕이 도입하였다. 딘킨 도표의 개념은 예브게니 딘킨이 도입하였다.