초대칭 대수

초대칭 **초대칭 대수**(超對稱代數, supersymmetry algebra)는 푸앵카레 대칭과 초대칭을 나타내는 리 초대수다.
# 정의
푸앵카레 대수는 시공에 대한 병진 P_\mu와 로런츠 변환 M_{\mu\nu}로 이루어진다. 이들은 보손적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온적 생성자 Q_\alpha^i와 \bar Q_{\dot\alpha}^i를 추가한다. (만약 \mathcal N개의 초대칭이 있으면 i=1,2,\dots,\mathcal{N}.) 이들은 초대칭을 나타낸다. 푸앵카레 대수는 D차원의 시공에서 D개의 병진 생성자와 D(D-1)/2개의 로런츠 변환으로 총 D+D(D-1)/2차원이다. (D=4일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 \mathcal N개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심 전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 D+D(D-1)/2+\dim(\text{spinor})\times\mathcal{N}차원이 된다. 주어진 시공간 차원에서, 초전하(supercharge)의 수는 그 차원에서의 최소 스피너 표현의 차원의 정수배이다. 이 정수를 통상적으로 \mathcal N이라고 쓴다. 가장 간단한 초대칭은 \mathcal N=1이며, \mathcal N>1인 경우를 **확장 초대칭**(extended supersymmetry)이라고 한다. 4차원 민코프스키 공간에서의 최소 스피너 표현은 4차원 바일 또는 마요라나 스피너이므로, \mathcal N=1 초대칭은 4개의 초전하를 가진다. 초대칭은 서로 다른 스핀의 입자들을 연관지으므로, 초대칭이 더 많을 수록 더 높은 스핀의 입자가 필요하다. 스핀이 2를 초과하는 경우는 (일반적으로) 상호작용하는 이론을 정의할 수 없다. 만약 초전하의 수가 32를 초과하는 경우 스핀이 2를 초과하는 입자가 필요하므로, 초전하는 최대 32개가 존재할 수 있다. 32개의 초전하의 경우 스핀이 2인 입자(중력자)가 필요하므로, 이는 초중력 이론을 이룬다. 11차원 초중력이나 10차원 IIA/B 초중력, 4차원 \mathcal N=8 초중력언어=en 등이 그 예이다. 만약 중력을 포함하지 않으려면, 입자의 스핀은 최대 1이어야 한다. (스핀이 1½인 경우는 그래비티노로, 중력이 없이는 상호작용하는 그래비티노를 포함할 수 없다.) 이 경우에는 초전하의 수는 최대 16이다. 10차원 \mathcal N=1 초대칭 양-밀스 이론이나 4차원 \mathcal N=4 초대칭 양-밀스 이론언어=en 이 그 예이다. 다양한 시공간 차원에서 가능한 초대칭의 종류는 다음과 같다. (12차원 이상에서는 자명하지 않은 초대칭 이론이 존재할 수 없다고 여겨진다.) {| class="wikitable" |- ! 시공간의 차원 !! \mathcal N=1의 초전하수 |+ 다양한 차원의 민코프스키 공간에서의 최소 초대칭 수 |- | 11 || 32 |- | 10, 9, 8, 7 || 16 |- | 6, 5 || 8 |- | 4 || 4 |- | 3 || 2 |- | 2,1 || 1 |} {| class="wikitable" |- ! 시공간의 차원 ! colspan="2" | 32개의 초전하 ! colspan="2" | 16개의 초전하 !! 8개의 초전하 !! 4개의 초전하 ! colspan="2" | 2개의 초전하 |+ 차원 축소에 따른 초대칭. 주어진 칸의 초대칭을 차원 축소하면 그 밑에 있는 초대칭들을 얻는다. |- | 11 || \mathcal N=1 |colspan="7" | (불가능) |- | 10 || \mathcal N=(1,1) (IIA종) || \mathcal N=(2,0) (IIB종) || \mathcal N=(1,0) (I종) |colspan="5" rowspan="4" | (불가능) |- | 9 |colspan="2"| \mathcal N=2 || \mathcal N=1 |- | 8 |colspan="2"| \mathcal N=2 || \mathcal N=1 |- | 7 |colspan="2"| \mathcal N=2 || \mathcal N=1 |- | 6 | colspan="2" | \mathcal N=(2,2) || \mathcal N=(1,1) || \mathcal N=(2,0) || \mathcal N=(1,0) | colspan="3" rowspan="2" | (불가능) |- | 5 | colspan="2" | \mathcal N=4 | colspan="2" | \mathcal N=2 || \mathcal N=1 |- | 4 | colspan="2" | \mathcal N=8 | colspan="2" | \mathcal N=4 || \mathcal N=2 || \mathcal N=1 | colspan="2" | (불가능) |- | 3 | colspan="2" | \mathcal N=16 | colspan="2" | \mathcal N=8 || \mathcal N=4 || \mathcal N=2 || \mathcal N=1 || (불가능) |- | 2 | colspan="2" | \mathcal N=(16,16) | colspan="2" | \mathcal N=(8,8) || \mathcal N=(4,4) || \mathcal N=(2,2) || \mathcal N=(1,1) || \mathcal N=(2,0) |}
# 4차원 초대칭
4차원에서, \mathcal N=1 초대칭은 (디랙 스피너이므로) 총 4개의 초전하를 가진다. 즉, 일반적으로는 4\mathcal N개의 초전하가 존재한다. 이 경우, 흔히 볼 수 있는 것은 \mathcal N=1, \mathcal N=2, \mathcal N=4 및 \mathcal N=8 초중력이다. 중력을 포함하지 않는 경우, \mathcal N>4인 경우는 와인버그-위튼 정리에 걸려 자명한 이론이 되고, 중력을 포함한다고 해도 \mathcal N=8까지만 가능하다. 주어진 \mathcal N에 대하여, 초대칭 대수의 생성원은 다음과 같다. * 병진 변환 P_\mu * 회전 J_{\mu\nu} * 초대칭 Q^i_\alpha, \bar Q^i_{\dot\alpha} (i=1,\dots,\mathcal N). 이는 R대칭군의 크기가 \mathcal N인 "벡터 표현"을 따른다. 이 표현을 b^{ai}{}_j라고 쓰자. * R대칭 R^a는 R대칭군 R\subseteq U(\mathcal N)의 딸림표현을 따른다. 이 표현을 f^{ab}{}_c라고 쓰자. * 중심 원소 Z^{ij} 이들의 리 초괄호는 다음과 같다. :[P_\mu, P_\nu] = 0 :[J_{\mu\nu}, P_\rho] = i\left(\eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\right) :[J_{\mu\nu}, J_{\rho\sigma}] = i\left(\eta_{\mu\rho} J_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} J_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} J_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} J_{\mu\rho}\right) :\\{Q_\alpha^i,Q_\beta^j\\}=\epsilon_{\alpha\beta}Z^{ij} :[Q_\alpha^i,M_{\mu\nu}]=\frac12(\sigma_{\mu\nu})^\beta{}_\alpha Q^i_\beta :[\bar Q_{\dot\alpha}^i,M_{\mu\nu}]=-\frac12(\sigma_{\mu\nu})^{\dot\beta}{}_{\dot\alpha}\bar Q^i_{\dot\beta} :\\{\bar Q^i,\bar Q^j\\}=-\epsilon_{\dot\alpha\dot\beta}(Z^{ij})\dagger) :\\{Q_\alpha^i,\bar Q_{\dot\alpha}^j\\}=2\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}\delta^{ij}P_\mu :[Q^i,R^a]=b^{ai}{}_jQ^j :[Q^i,R^a]=-(b^{ai}{}_j)^\dagger \bar Q^j :[\bar Q^i,R^a]=-(b^{ai}{}_j)^\dagger Q^j :[\bar Q^i,R^j{}_k]=-\delta^i_k\bar Q^j :[Z^{ij},P_\mu]=[Z^{ij},J_{\mu\nu}]=[Z^{ij},R^a]=[Z^{ij},Q]=0 즉, 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.
## 위상 뒤틀림
4차원에서는 \mathcal N=2 또는 \mathcal N=4인 경우 위상 뒤틀림(topological twist)을 가해 위상 양자장론으로 만들 수 있다. 이 경우, \mathcal N=2인 경우는 SU(2) R대칭을 \operatorname{Spin}(4)=\operatorname{SU}(2)^2 로런츠 대칭의 두 좌·우 성분 가운데 하나와 대각군을 취하며, \mathcal N=4인 경우는 서로 동일하지 않는 3가지의 가능한 뒤틀림이 존재한다.
## 초다중항
4차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다. * \mathcal N=1 ** **손지기 초다중항**(chiral multiplet): 복소 스칼라장, 바일 스피너 ** **벡터 초다중항**(vector multiplet): 바일 스피너, 게이지장 ** **중력자 초다중항**(graviton supermultiplet): 중력자, 바일 그래비티노 * \mathcal N=2 ** **하이퍼 초다중항**(hypermultiplet): 복소 스칼라장(×2), 디랙 스피너 *** 서로 다른 나선도의 두 \mathcal N=1 손지기 초다중항으로 구성된다. 게이지 대칭이 있는 경우, 하나는 표현 *R*, 다른 하나는 그 복소 켤레 표현 *R*을 따른다. ** **벡터 초다중항**: 복소 스칼라장, 디랙 스피너, 게이지장 *** \mathcal N=1 벡터 초다중항과 (게이지 딸림표현) \mathcal N=1 손지기 초다중항으로 구성된다. ** **중력자 초다중항**: 중력자, 디랙 그래비티노, 중력광자 * \mathcal N=4 ** **벡터 초다중항**: 실수 스칼라장 (×6), 바일 스피너 (×6), 게이지장 ** **중력자 초다중항** * \mathcal N=8 ** **중력자 초다중항**
# 3차원 초대칭
3차원 민코프스키 공간에서의 초대칭은 다음과 같다.언어=en 이 경우 \mathcal N=1 초대칭은 2개의 초대칭을 가지며, 마요라나 스피너가 된다. :\\{Q^i,\bar Q^j\\}=i\sigma^\mu_{\alpha\beta}\delta^{ij}P_\mu+Z^{ij} 여기서 중심 확대 Z^{ij}는 반대각화하여 \lfloor \mathcal N/2\rfloor개의 실수 고윳값으로 나타낼 수 있다. \mathcal N=2 초대칭에서는 하나의 중심 전하 Z가 존재하며, 이 경우 모든 물리적 상태들의 질량 M은 BPS 부등식 :M\ge Z 를 만족시킨다.(19) 3차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다. 3차원에서는 게이지장을 *F=\phi로 실수 스칼라로 이중화할 수 있다. 즉, 3차원에서는 스칼라장 및 (마요라나) 페르미온만이 존재한다. * \mathcal N=1: 실수 스칼라장 (×1), 마요라나 스피너 (×1). R대칭은 없다. * \mathcal N=2언어=en: 실수 스칼라장 (×2), 마요라나 스피너 (×2). R대칭은 U(1). 이 경우는 4차원 \mathcal N=1을 축소화하여 얻는다. 이 경우 게이지 이론의 거울 대칭이 존재한다. * 마찬가지로 \mathcal N=4,8,16 등이 존재한다.
# 6차원 초대칭
6차원 민코프스키 공간에서는 2차 미분형식 퍼텐셜 게이지장이 존재한다. 이 경우, 질량껍질 위에서, (1차 미분형식) 게이지장은 4개의 자유도를, 바일 스피너는 4개의 자유도를, 2차 미분형식 게이지장은 3개의 자유도를 가진다. * \mathcal N=1. R대칭은 SU(2)이다. ** 하이퍼 초다중항: 실수 스칼라장 (×4), 바일 스피너 (×1) ** 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1) ** 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1), 실수 스칼라 (×1) * \mathcal N=(1,1). R대칭은 SO(4)이다. ** 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 디랙 스피너 (×1), 실수 스칼라장 (×4) * \mathcal N=(2,0). R대칭은 SO(5)이다. ** 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 왼쪽 바일 스피너 (×2), 실수 스칼라장 (×5)
# 2차원 초대칭
1=2차원 𝒩=1 초등각 장론 1=2차원 𝒩=2 초등각 장론 1=2차원 𝒩=4 초등각 장론