아티야-싱어 지표 정리

미분기하학에서 **아티야-싱어 지표 정리**(-指標定理, Atiyah–Singer index theorem)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다.url-status=dead언어=kourl-status=§10–11언어=ko언어=en성=Melrose언어=en§12.8, 477–480; §12.10, 487–500언어=en언어=en 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다.
# 정의
M이 m차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, E^i가 M 위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자. M 위의 타원 복합체 :\cdots\stackrel{D_{i-2{\longrightarrow}\Gamma(E_{i-1}) \stackrel{D_{i-1{\longrightarrow} \Gamma(E_i) \stackrel{D_i}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i+1})\stackrel{D_{i+1{\longrightarrow} \cdots 의 **해석적 지표**(analytical index)는 다음과 같다. :\operatorname{ind}(D_{\bullet})=\sum_i(-1)^i\dim(\ker D_i/\operatorname{im}D_{i-1}) 이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 \operatorname{ind}는 프레드홀름 지표이다. 타원 복합체의 **위상 지표**(topological index)는 다음과 같다.Theorem 12.2 :\operatorname{ind}(D_{\bullet})=(-)^{m(m+1)/2}\int_M \operatorname{ch}\left(\bigoplus_i(-1)^iE_i\right) \frac{\operatorname{Td}(\mathrm TM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)}{\mathrm e(\mathrm TM)} 여기서 * \operatorname{ch}는 매끄러운 벡터 다발의 천 지표이다. * \operatorname{Td}(\mathrm TM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)는 M의 접다발 \mathrm TM의 복소화의 토드 특성류이다. * \operatorname e(\mathrm TM)은 접다발 \mathrm TM의 오일러 특성류이다. 이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다. **아티야-싱어 지표 정리**에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다. 여기서, m=\dim M이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.) 특히, 하나의 프레드홀름 미분 연산자 :D \colon \Gamma(E) \to \Gamma(F) 에 대하여, 이를 타원 복합체 :0 \to \Gamma(E) \,\overset D\to\,\Gamma(F)\to0 로 간주하면, 다음을 얻는다. :\dim\ker D - \dim\ker D^\dagger = (-)^{m(m+1)/2}\int_M (\operatorname{ch}E - \operatorname{ch}F) \frac{\operatorname{Td}(\mathrm TM^{\mathbb C})}{\operatorname e(\mathrm TM)}
# 예
수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.
## 오일러 지표
M이 콤팩트 유향 다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체 :0\to\Omega^0(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\Omega^1(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\Omega^2(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\dotsb 에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 \chi(M)이다. 그 위상 지표는 오일러 특성류 e(M)의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리(Chern–Gauss–Bonnet theorem) :\chi(M)=\int_Me(M) 를 얻는다.

**계산:**

미분 형식 벡터 다발의 천 지표는 분할 원리를 사용하여 계산하면 다음과 같다. :\operatorname{ch}\bigwedge^k (\mathrm T^*M \otimes\mathbb C) = \sum_{1\le i_1 여기서 x_i는 \mathrm T^*M \otimes \mathbb C를 분할 원리로 m개의 복소수 선다발들의 직합이라고 가정할 때 i번째 복소수 선다발의 1차 천 특성류이다. 이는 실수 벡터 다발의 복소화이므로 :x_{i+m/2} = -x_i 로 놓을 수 있다. 즉 :\sum_{k=0}^m(-)^k\operatorname{ch}\bigwedge^k (\mathrm T^*M \otimes\mathbb C) = \prod_{i=1}^k (1-\exp(-x_i)) 이다. 토드 특성류와 오일러 특성류는 각각 :\operatorname{Td} = \prod_{i=1}^m \frac{x_i}{1-\exp(-x_i)} :\operatorname e = \prod_{i=1}^{m/2} x_i 이므로, 지표 밀도는 :(-)^{m(m+1)/2}\left(\sum_{k=0}^m(-)^k\operatorname{ch}\bigwedge^k (\mathrm T^*M \otimes\mathbb C)\right) \frac{\operatorname{Td{\operatorname e} =(-)^{m(m+1)/2} \prod_{i=m/2+1}^m x_i = (-)^{m(m+2)/2} \prod_{i=1}^{m/2} x_i =\operatorname e(\mathrm TM) 이다.

## 히르체브루흐-리만-로흐 정리
히르체브루흐-리만-로흐 정리 아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다. M이 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터 다발 E가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체 :\Omega^{p,0}(E)\xrightarrow{\bar\partial}\Omega^{p,1}(E)\xrightarrow{\bar\partial}\dotsb 에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 E의 코호몰로지의 오일러 지표 :\chi(M,E)=h^0(M,E)-h^1(M,E)+h^2(M,E)-\dotsb 이고, 그 위상 지표는 :\int_M\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(TM) 이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.

**계산:**

복소수 차원이 n=m/2라고 하자. 분할 원리에 따라, 복소수 접다발이 복소수 선다발의 직합이라고 하자. :\mathrm T^+M = L_1 \oplus \dotsb \oplus L_n 또한 :\operatorname c_1(L_i) = x_i 라고 하자. 그렇다면 :\operatorname{ch}\left(\bigwedge^p\mathrm T^{-*}M \right) = \sum_{1\le i_1 이며, 따라서 : \sum_{p=0}^n (-)^p \operatorname{ch} \left( E \otimes \bigwedge^p\mathrm T^{-*}M \right) = \operatorname{ch}(E) \prod_{i=1}^p(1-\exp x_i) 이다. 이제 :\operatorname{Td}(\mathrm TM \otimes \mathbb C) = \operatorname{Td}(\mathrm T^+M) \operatorname{Td}(\mathrm T^-M) = \prod_{i=1}^m \frac{x_i(-x_i)}{(1-\exp(-x_i))(1-\exp x_i)} :\operatorname e(\mathrm TM) = x_1x_2\dotsm x_n 이므로, 지표 밀도는 : (-)^{n(2n+1)}\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(\mathrm T^+M) \prod_{i=1}^n \frac{(-x_i)(1-\exp x_i)}{x_i (1-\exp x_i)} = \operatorname{ch}(E) \operatorname{Td}(\mathrm T^+M) 이다.

E가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수 \operatorname{ind}\bar\partial이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발의 토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다. :\operatorname{ind}\bar\partial=\int_M\operatorname{Td}(TM)
## 디랙 연산자
M이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 스피너 다발 :\mathrm S(M)=\mathrm S^+(M)\oplus\mathrm S^-(M) 을 생각하자. 그렇다면 **디랙 연산자** :i\gamma^\mu\nabla_\mu=\begin{pmatrix} 0&D;\\\D^\dagger&0 \end{pmatrix} 는 다음과 같이 작용한다. :S^+(M)\xrightarrow DS^-(M) :S^+(M)\xleftarrow{D^\dagger}S^-(M) 이에 따라, 디랙 연산자 D의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다. :\operatorname{ind}(D)=\ker D-\ker D^\dagger=\int_M\hat A 여기서 \hat A는 **디랙 종수**(Dirac genus) 또는 **Â 종수**(에이 햇 지너스)라고 불리는 특성류로, :\hat A=\prod_{i=1}^{\dim M}\frac{x_i/2}{\sinh(x_i/2)}=1-\frac1{24}p_1+\frac1{5760}(-4p_2+7p_1^2)+\dotsb\in\operatorname H^{2\bullet}(M;\mathbb Q) 이다. 여기서 p_i는 폰트랴긴 특성류이고, x_i는 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률 R의 고윳값들 :-R/2\pi=\begin{pmatrix} 0&x;_1\\\ -x_1&0\\\ &&0&x;_2\\\ &&-x_2&0\\\ &&&&0&x;_3\\\ &&&&-x_3&0\\\ &&&&&&\ddots \end{pmatrix} 이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.
# 역사
마이클 아티야와 이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다.언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다.url-status=dead 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.url-status=언어=en언어=en 1983년에 루이스 알바레스가우메(Luis Álvarez-Gaumé)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다.doi=10.1007/BF01205500언어=en 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러(Ezra Getzler)가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다.url-status=dead 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다.