폴란드 공간

일반위상수학에서 **폴란드 공간**(Poland空間, Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술적 집합론을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다.
# 정의
위상 공간 X에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **폴란드 공간**이라고 한다. * 제2 가산 완비 거리화 가능 공간이다.url-status=228 * 분해 가능 완비 거리화 가능 공간이다.언어=en13, Definition 3.1 * [0,1]^{\aleph_0}의 Gδ 집합과 위상 동형이다.언어=en55 (**힐베르트 입방체**(Hilbert cube) [0,1]^{\aleph_0}는 실수의 닫힌구간 [0,1]의 가산 무한 곱공간이다.) * \mathbb R^{\aleph_0}의 닫힌집합과 위상 동형이다. 마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체 또는 \mathbb R^{\aleph_0}는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다. **폴란드 군**(Poland群, Polish group)은 폴란드 공간인 위상군이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.
# 성질

## 연산에 대한 닫힘
**마주르키에비치 정리**(-定理, Mazurkiewicz theorem)에 따르면, 폴란드 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.23017, Theorem 3.11 * A 역시 폴란드 공간이다. * A는 X의 Gδ 집합이다. 특히, 모든 열린집합과 모든 닫힌집합은 Gδ 집합이므로, 폴란드 공간의 열린집합 또는 닫힌집합은 폴란드 공간이다. 폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다. * 가산 개의 폴란드 공간들의 곱공간은 폴란드 공간이다.229 * 가산 개의 폴란드 공간들의 분리합집합은 폴란드 공간이다.229 하우스도르프 공간 X 속의 부분 집합들 (A_i)_{i\in\mathbb N}이 각각 폴란드 공간을 이룬다면, 그 교집합 \bigcap_{i\in\mathbb N}A_i 역시 폴란드 공간을 이룬다.
## 위상수학적 성질
임의의 위상 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * 국소 콤팩트 폴란드 공간이다.29, Theorem 5.3(iv) * 제2 가산 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.29, Theorem 5.3(ii) * 콤팩트 거리화 가능 공간이다.29, Theorem 5.3(iii) * 콤팩트 거리화 가능 공간의 열린집합과 위상 동형이다.29, Theorem 5.3(v) 그러나 폴란드 공간이 국소 콤팩트 공간일 필요는 없다. 폴란드 공간은 제2 가산 공간이므로, 칸토어-벤딕손 정리가 성립한다. 베르 공간 \mathbb N^{\aleph_0}은 가산 무한 이산 공간 \mathbb N의 가산 무한 개 곱공간이다. 칸토어 공간 \\{0,1\\}^{\aleph_0}은 크기 2의 이산 공간 \\{0,1\\}의 가산 무한 개 곱공간이다. 이 경우, * 임의의 폴란드 공간 X에 대하여, 만약 X\ne\varnothing이라면, 연속 전사 함수 \mathbb N^{\aleph_0}\to X가 존재한다.38, Theorem 7.9 * 임의의 폴란드 공간 X에 대하여, \mathbb N^{\aleph_0}의 어떤 닫힌집합 F\subseteq \mathbb N^{\aleph_0}로 가는 연속 전단사 함수 F\to X가 존재한다.38, Theorem 7.9 (그러나 이는 위상 동형 사상이 아닐 수 있다.) * 임의의 폴란드 공간 X에 대하여, 만약 X가 비가산 집합이라면, X는 \\{0,1\\}^{\aleph_0}과 위상 동형인 부분 집합 A\subseteq X을 갖는다. 폴란드 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.40, Exercise 7.15 * 고립점을 갖지 않으며 공집합이 아니다. * 연속 전사 함수 f\colon\mathbb N^{\aleph_0}\to X가 존재한다.
## 집합론적 성질
임의의 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다. :|X|\in\\{0,1,2,\dots,\aleph_0,2^{\aleph_0}\\} 다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 2^{\aleph_0} 이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) \aleph_0<|X|<2^{\aleph_0}인 폴란드 공간 X는 존재하지 않는다.§3.1
## 측도론적 성질
폴란드 공간에 보렐 시그마 대수를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 (가측 공간으로서) 동형인 가측 공간을 **표준 보렐 공간**(標準Borel空間, standard Borel space)이라고 한다. 두 표준 보렐 공간 X, Y에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.언어=en§3.1.2 * X와 Y는 서로 동형이다. 즉, X와 Y 사이에 전단사 함수 f\colon X\to Y가 존재하며, 이는 X와 Y의 보렐 시그마 대수 사이의 동형 f^*\colon\mathcal B(X)\to\mathcal B(Y)을 유도한다. * |X|=|Y|이다. 즉, X와 Y의 크기가 같다. 모든 표준 보렐 공간은 다음 가측 공간 가운데 정확히 하나와 동형이다.§3.1.2 (가측 공간으로서의 동형은 위상 동형보다 더 약하다.) * 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) * 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 (\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N)) * 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 n인 유한 집합 (\\{1,\dots,n\\},\mathcal P(\\{1,\dots,n\\})) (n=0,1,2,\dots)
# 예
이산 공간에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 가산 집합이다. * 제2 가산 공간이다. * 폴란드 공간이다. (이는 비가산 이산 공간은 제2 가산 공간이 아니므로 폴란드 공간이 아니기 때문이다.) 모든 유클리드 공간 \mathbb R^n은 폴란드 공간이다. 보다 일반적으로, 모든 분해 가능 바나흐 공간은 폴란드 공간이다.14, §3.A **힐베르트 입방체**(Hilbert cube) [0,1]^{\aleph_0}는 실수의 닫힌구간 [0,1]의 가산 무한 곱공간이며, 이는 폴란드 공간이다. **베르 공간** \mathbb N^{\aleph_0}은 가산 무한 이산 공간 \mathbb N의 가산 무한 개 곱공간이다. 이는 무리수의 위상 공간 \mathbb R\setminus\mathbb Q과 위상 동형이다. **칸토어 공간** \\{0,1\\}^{\aleph_0}은 크기 2의 이산 공간 \\{0,1\\}의 가산 무한 개 곱공간이다.
# 역사
바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.228 마주르키에비치 정리는 스테판 마주르키에비치가 증명하였다.