위상 끈 이론

이론물리학에서 **위상 끈 이론**(位相끈理論, topological string theory)는 끈 이론의 단순한 종류의 하나이다.mr=2003030 이 경우, 끈의 세계면 위에 존재하는 이론은 통상적인 끈 이론과 달리, 국소적인 자유도를 갖지 않는다. 정확히 말하자면, 위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원 위튼형 위상 양자장론을 이룬다. A형과 B형 두 종류가 있으며, 이들은 서로 거울 대칭에 의하여 연관된다.
# 전개
위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원 \mathcal N=(2,2) 초등각 장론이다. (이는 일반적인 끈 이론의 \mathcal N=(1,1) 초대칭과 다르다.) 이 경우 R대칭은 U(1)V×U(1)A이다. 이 두 성분 가운데 하나를 로런츠 대칭 SO(2)=U(1)E과 대응시켜, 위상적 뒤틂(topological twist)을 가하여 위튼형 위상 양자장론을 만들 수 있다. U(1)V로 뒤틀면 **A-모형**(A-model), U(1)A로 뒤틀면 **B-모형**(B-model)을 얻는다. 만약 세계면 이론이 등각 대칭을 갖지 않는다면 U(1)A 대칭은 깨지게 된다. 이 경우는 오직 A-모형만을 정의할 수 있다. 예를 들어, 과녁 공간이 (칼라비-야우 다양체이 아닌) 켈러 다양체인 시그마 모형의 경우, 오직 A-모형만이 존재한다. 반대로, 과녁 공간이 \mathbb R^n이고 초퍼텐셜을 가진 **란다우-긴즈부르크 모형**(Landau–Ginzburg model)의 경우, 초퍼텐셜이 특수한 형태가 아니라면 U(1)V 대칭이 고전적으로 깨지게 된다. 이 경우는 오직 B-모형만을 정의할 수 있다. A-모형과 B-모형은 거울 대칭에 의하여 서로 연관된다. {| class="wikitable" |- ! 성질 !! A-모형 !! B-모형 |- | 뒤트는 대칭 || U(1)V || U(1)A |- | 과녁 공간의 조건 || (일반화) 켈러 다양체 || 복소다양체 |- | 매장 사상 \Sigma\to M의 국소화 조건 || 정칙 함수 || 상수 함수 |- | 초대칭 D-막 || 특수 라그랑주 부분다양체(special Lagrangian submanifold) || 정칙 부분다양체 |- | 손지기 환(chiral ring) || (a,c) 환 || (c,c) 환 |- | 란다우-긴즈부르크 모형의 손지기 환 || 자명함 || \mathbb C[\phi^1,\dots,\phi^n]/(\partial_iW) (초퍼텐셜 W를 가진 n차원 란다우-긴즈부르크 모형)§16.4.2 |- | 시그마 모형의 손지기 환 || 양자 코호몰로지(quantum cohomology)
(벡터 공간으로서 드람 코호몰로지 H^q(M;\bigvee T^*M)와 같지만 환 연산이 다름. 큰 부피 극한에서는 드람 코호몰로지로 수렴)§16.4.1 || 접다발의 외대수 다발의 돌보 코호몰로지 H^q(M;\bigvee^pTM)§16.4.3 |- | 정칙 변칙의 존재 여부 || 없음 || 있음 (BRST 불변 관측가능량이 모듈러스 공간 위에서 정칙함수가 아닐 수 있음) |- | 관련된 범주 || 후카야 범주(Fukaya category) || 연접층의 범주 |}
# 위상 시그마 모형
M이 콤팩트 칼라비-야우 다양체라고 하고, \Sigma가 콤팩트 리만 곡면(=세계면)이라고 하자. 그렇다면 M 위에 2차원 \mathcal N=(2,2) 시그마 모형을 다음과 같이 정의하자. * (\phi,\psi)\colon\Sigma\to TM는 매끄러운 함수이다. 여기서 TM은 M의 (비정칙) 접다발의 전체 공간이며, 이 경우 \psi(z,\bar z)\in T_{\phi(z,\bar z)}M이다. 이들은 손지기 초장(5.2) :\Phi(\theta^\pm,\bar\theta^\pm)=\phi+\psi_+\theta^++\psi_-\theta^-+\cdots 으로 포함하여 쓸 수 있다. (나머지 성분들은 보조장이거나, \phi 및 \psi의 도함수로 구성된다.) 이들은 R대칭에 대하여 다음과 같은 전하를 갖는다.언어=en(5.23) {| class=wikitable |- ! 장 || U(1)V 전하 || U(1)A 전하 || 스핀 h-\bar h |- | z || 0 || 0 || −1 |- | \bar z || 0 || 0 || +1 |- | \theta^+ || −1 || −1 || −½ |- | \bar\theta^+ || +1 || −1 || −½ |- | \theta^- || −1 || +1 || +½ |- | \bar\theta^- || +1 || −1 || +½ |- | \phi || 0 || 0 || 0 |- | \psi_+ || +1 || +1 || +½ |- | \bar\psi_+ || −1 || −1 || +½ |- | \psi_- || +1 || −1 || −½ |- | \bar\psi_- || −1 || +1 || −½ |} 즉, 초장 \Phi는 로런츠 스칼라이자 모든 R대칭에 대하여 중성이다. 기호에서 윗첨자 ±는 뒤틀기 전 로런츠 스핀을 나타내며, 아랫첨자 ±는 로런츠 스핀의 반대 부호이다. 이 시그마 모형의 두 가지 위상 뒤틂은 각각 다음과 같다.(5.50), (5.67) {| class=wikitable ! 뒤틂 || \psi_+ || \bar\psi_+ || \psi_- || \bar\psi_- |- ! 뒤틀기 이전 | 스핀 +½, \sqrt{\Omega^{1,0}\Sigma}\otimes \phi^*T^{1,0}M || 스핀 +½, \sqrt{\Omega^{1,0}\Sigma}\otimes\phi^*T^{0,1}M || 스핀 −½, \sqrt{\Omega^{0,1}\Sigma}\otimes\phi^*T^{1,0}M || 스핀 −½, \sqrt{\Omega^{0,1}\Sigma}\otimes\phi^*T^{1,0}M |- ! A뒤틂 h'-\bar h'=h-\bar h+q_V/2 | 스핀 +1, \Omega^{1,0}\Sigma\otimes \phi^*T^{1,0}M || 스핀 0, \phi^*T^{0,1}M || 스핀 0, \phi^*T^{1,0}M || 스핀 −1, \Omega^{0,1}\Sigma\otimes\phi^*T^{1,0}M |- ! B뒤틂 h-\bar h'=h-\bar h-q_A/2 | 스핀 +1, \Omega^{1,0}\Sigma\otimes \phi^*T^{1,0}M || 스핀 0, \phi^*T^{0,1}M || 스핀 −1, \Omega^{0,1}\Sigma\otimes\phi^*T^{1,0}M || 스핀 0, \phi^*T^{1,0}M |}
# 다른 이론과의 관계
A모형의 관측 가능량들은 수학적으로 그로모프-위튼 불변량(Gromov–Witten invariant)이라는 이름으로 엄밀히 정의되며, 이는 양자 코호몰로지(quantum cohomology)를 정의한다.
## 유효 이론
일반적으로, (초)끈 이론은 낮은 에너지에서 (초)중력 유효 이론을 이룬다. A형 위상 끈 이론의 유효 이론은 **켈러 중력**(Kähler gravity)이라고 불리며,언어=en 특수한 경우 천-사이먼스 이론으로 해석할 수 있다.언어=en B형 위상 끈 이론의 유효 이론은 **고다이라-스펜서 중력**(Kodaira–Spencer gravity)이다.언어=en
## 쌍대성
**고파쿠마르-바파 쌍대성**(Gopakumar–Vafa duality)에 따르면, 코니폴드 위의 열린 끈 A모형은 U(N) 천-사이먼스 이론의 큰 N 극한과 같다.언어=en 이는 라제시 고파쿠마르와 캄란 바파가 발견하였다. A모형 위상 끈 이론은 또한 통계역학의 결정 융해 모형과 서로 쌍대적이라고 추측된다.arxiv=hep-th/0309208언어=en
## 초대칭 게이지 이론
A모형 위상 끈 이론은 4차원 또는 5차원 \mathcal N=2 초대칭 게이지 이론의 프리퍼텐셜(prepotential)을 계산하는 데 쓰인다. B모형 위상 끈 이론은 4차원 \mathcal N=1 초대칭 게이지 이론의 초퍼텐셜(superpotential)을 계산하는 데 쓰인다. A모형 계산은 또한 BPS 블랙홀의 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 계산하는 데 쓰인다.언어=en
# 역사
에드워드 위튼이 1988년에 도입하였다.언어=en