기하학적 양자화

양자역학 수리물리학에서 **기하학적 양자화**(幾何學的量子化, geometric quantization)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 계를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 양자화하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다.
# 정의
대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 심플렉틱 다양체 (M,\omega). 이는 계의 **상태 공간(phase space)**이다. * 해밀토니언 H\colon M\to\mathbb R. 이는 계의 시간 변화를 나타낸다. 고전적 관측가능량들은 M 위의 함수로 나타내어진다. **기하학적 양자화**는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다. # 준양자화(prequantization) # 양자화 # 메타플렉틱 보정(metaplectic correction)
## 준양자화
심플렉틱 형식 \omega가 다음과 같은 **준양자화 조건**(準量子化條件, prequantization condition)을 만족시킨다고 하자. :[\omega/2\pi]\in\operatorname H^2(M;\mathbb Z) 즉, \omega/2\pi의 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지는 물론 실수 계수이다.) 매끄러운 다양체 (M,\omega) 위의 **준양자 구조**(準量子構造, prequantum structure)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * M 위의 복소수 선다발 L\twoheadrightarrow M * L 위의 코쥘 접속 \nabla 준양자화 조건을 만족시키는 심플렉틱 다양체 (M,\omega)에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 표준적인 준양자 구조가 존재한다. :\operatorname c_1(L)=[\omega/2\pi] :F_\nabla = \mathrm i\omega 여기서 c_1은 1차 천 특성류이다. (사실, 둘째 조건은 첫째 조건을 함의한다.) (M,\omega)의 준양자 구조 (\mathcal L,\nabla)가 주어졌다면, \mathcal L\to\mathcal L^{\otimes n}은 (M,n\omega)의 준양자 구조를 이룬다. 일반화 위치 q^i를 고정시킨다면 일반화 운동량이 :p_i=q_j\omega_{ij} 이므로, 이는 :p_i\mapsto np_i 와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용 S는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는 :S/\hbar\mapsto nS/\hbar=S/(\hbar/n) 이다. 양자역학의 파인만 경로 적분은 S/\hbar에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수의 재정의 :\hbar\mapsto\hbar/n 으로 생각할 수 있다. 따라서, n\to\infty 극한은 \hbar\to0, 즉 반고전적(semiclassical) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.
## 양자화
다양체 M 위의 **극성화**(極性化, polarization)는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발의 복소화 TM^{\mathbb C}의 부분 벡터 다발 P\subset TM^{\mathbb C}이다.언어=enDefinition 7.4 언어=en§4 * (적분 가능성) 모든 u,v\in P에 대하여, [u,v]\in P이다. 여기서 [\cdot,\cdot]는 리 미분이다. * (극대성) P보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (즉, M이 유한 차원이라면, P의 차원은 \dim_{\mathbb R}P=\dim M이다.) 극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 (M,L,\nabla,P)에 대하여, \mathcal H는 L의 제곱 적분 가능 단면 가운데, P의 방향으로 일정한 단면들이다. :\mathcal H=\\{s\in \operatorname L^2(M, L)\colon\nabla_Ps=0\\} 이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화(projectivization)가 양자역학의 상태 공간이다. 여기서 ‘제곱 적분 가능 단면’이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. P는 적분 가능하므로, 프로베니우스 정리에 따라서 엽층을 정의하며, 그 엽공간(leaf space) M/P를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는 M으로부터 유도된 측도가 존재한다. \nabla_Ps=0을 만족시키는 단면의 경우 M/P 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 M/P 위에 유도된 측도에 대한 것이다.
## 메타플렉틱 보정
양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 **메타플렉틱 구조**(metaplectic structure)를 정의해야 한다. 심플렉틱 다양체 (M,\omega)의 접다발 TM은 심플렉틱 구조로 인해 \operatorname{Sp}(\dim M,\mathbb R) 구조를 갖는다. **메타플렉틱 군** \operatorname{Mp}(2k,\mathbb R)는 \operatorname{Sp}(2k,\mathbb R)의 연결 두 겹 피복군이다. (\pi_1(\operatorname{Sp}(2k,\mathbb R))=\mathbb Z이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체 (M,\omega)의 **메타플렉틱 구조**는 접다발의 \operatorname{Sp}(\dim M,\mathbb R) 구조를 메타플렉틱 구조 \operatorname{Mp}(\dim M,\mathbb R)로의 올림(lift)이다. (이는 스핀 구조의 정의와 유사하다.) 준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체 N\subset M과 그 위에 정의된 L의 단면 s\in\Gamma(N,L\otimes\sqrt{\det T^*N})이다. s^2는 N 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 \mathcal H의 원소 \tilde s\in\operatorname L^2(M,L)로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 f\colon M\to\mathbb R 또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다. 특히, 이 경우 자주 선다발 L을 L \otimes \sqrt K로 대체한다. 여기서 K = \textstyle\bigwedge^{\dim M}(\mathrm TM/P)^*이다. 만약 P가 정칙 극성화라면 K는 복소다양체의 표준 인자에 대응되는 정칙 선다발이며, 만약 P가 실수 극성화라면 K는 일반화 좌표의 매끄러운 다양체 위의 최고차 미분 형식의 선다발이다. 예를 들어, \mathrm T^*N의 실수 극성화의 경우, 상태는 N 위의 함수 f(x) 대신 f(x) \sqrt{\mathrm d^{\dim N}x}의 꼴이게 되며, 그 제곱 |f(x)|^2\,\mathrm d^{\dim N}x은 자연스럽게 N 위에서 적분될 수 있다. 이러한 보정을 가하면, 조화 진동자의 에너지가 n\omega\hbar 대신 (n+1/2)\omega\hbar가 된다.
# 극성화의 종류
기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다. * M이 공변접다발 M=\mathrm T^*N인 경우. 이는 짜임새 공간 N이 존재하여, 라그랑주 역학이 적용 가능한 경우다. * M이 켈러 다양체인 경우.
## 공변접다발
공변접다발 :M = \mathrm T^*N 의 경우, 심플렉틱 미분 형식 \omega=\mathrm dp_i\wedge\mathrm dq^i에 대한 리우빌 미분 형식 :\theta=p_i\wedge\mathrm dq^i 이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, \omega=\mathrm d\theta는 완전 형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소수 선다발 :\mathcal L\cong M\times\mathbb C 은 자명하고, 그 위에 \theta를 성분으로 가지는 코쥘 접속을 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적으로 :\mathrm T_{(x,p)}M \cong \mathrm T_xN \oplus \mathrm T^*_xN \qquad(x\in M,\;p\in\mathrm T^*_xM) :\mathrm T_{(x,p)}M^{\mathbb C} \cong \mathrm T_xN^{\mathbb C} \oplus \mathrm T^*_xN^{\mathbb C} \qquad(x\in M,\;p\in\mathrm T^*_xM) 이므로, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다. :\mathcal P=\mathrm T^*N^{\mathbb C}\subset TM^{\mathbb C} 이는 파동 함수가 일반화 위치의 함수이며, 일반화 운동량에 의존하지 않는 것에 해당한다. 따라서 복소수 힐베르트 공간은 N 위의 르베그 공간 :\mathcal H=\operatorname L^2(N,\mathbb C) 과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은 :\hat x^i\colon f\mapsto x_if :\hat p_i\colon f\mapsto-i\partial_if 으로 대응된다.
## 켈러 다양체
그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 2\pi배)인 켈러 다양체 M을 생각하자. 이 경우, \omega/2\pi에 대응하는 정칙 선다발 L\twoheadrightarrow M이 존재하며, 그 위에 곡률이 i\omega인 접속을 정의할 수 있다. 켈러 다양체의 복소구조를 사용하여, 복소화 접다발 TM^{\mathbb C}를 다음과 같이 분해할 수 있다. :\mathrm TM^{\mathbb C}=\mathrm TM^+\oplus\mathrm TM^- 여기서 \mathrm TM^+는 정칙 벡터장들의 다발이고, \mathrm TM^-는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를 :\mathcal P=\mathrm TM^- 로 잡을 수 있다. 이에 따라서, :\mathcal H=H^0(M,L) 은 L의 (제곱 적분 가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은 :\hat z^i\colon f\mapsto z^if :-\mathrm i\partial_i\colon f\mapsto-\mathrm i\partial_if 에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다.
# 예

## 유클리드 공간의 공변접다발 극성화
구체적으로, 위상 공간이 2n차원 유클리드 공간 \mathbb R^{2n} 인 계를 생각하자. 이를 공변접다발 :\mathbb R^{2n}\cong T^*\mathbb R^n =\operatorname{Span}_{\mathbb R}\\{x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n\\} 으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜 :\theta=\sum_{i=1}^np_idx_i 에 대응하는 접속은 다음과 같다. :\nabla_{\partial/\partial p_i}=\frac\partial{\partial p_i} :\nabla_{\partial/\partial q_i}=\frac\partial{\partial q_i}-2\pi i p_i 극성화 : \operatorname{Span}\left\\{\frac\partial{\partial p}\right\\} 에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다. :\mathcal H=\left\\{f\in L^2(\mathbb R^{2n})\colon \frac{\partial f}{\partial p^i}=0\forall i=1,\dots,n\right\\} \cong L^2(\mathbb R^n) 반대로, 운동량 방향의 극성화 : \operatorname{Span}\left\\{\frac\partial{\partial x}\right\\} 에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.Example 7.5 :\mathcal H=\left\\{f\in L^2(\mathbb R^{2n})\colon \frac{\partial f}{\partial x^i}-2\pi i p_if(x)=0\forall i=1,\dots,n\right\\} 즉, :f(x,p)=f(p)\exp\left(2\pi i\sum_{i=1}^np_ix_i\right) 의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다.
## 유클리드 공간의 켈러 극성화
평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, 조화 진동자의 힐베르트 공간을 얻는다.Example 7.10 구체적으로, 위상 공간이 2n차원 유클리드 공간 \mathbb R^{2n}인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다. :\nabla_i=\frac\partial{\partial x_i}+x_i 여기에 복소구조를 주어 :\mathbb R^{2n}\cong\mathbb C^n :z_i=x_i+x_{i+n},\quad i=1,\dots,n :\frac\partial{\partial z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}-i\frac\partial{\partial y}\right) :\frac\partial{\partial\bar z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+i\frac\partial{\partial y}\right) 으로 생각하고, 켈러 극성화 :\mathcal P=\operatorname{Span}_{\mathbb C}\left\\{\frac\partial{\partial\bar z}_1,\dots,\frac\partial{\partial\bar z}\right\\} 를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 L2 함수 s\colon\mathbb C^n\to\mathbb C가운데 :\nabla_{\partial/\partial z}s(z,\bar z)= \left(2\frac\partial{\partial\bar z}+z\right)s(z,\bar z)=0 인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는 :s(z,\bar z)=f(z)\exp\left(-\sum_iz_i\bar z^i/2\right) 의 꼴이며, 여기서 f\colon\mathbb C\to\mathbb C는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다. :\int_{\mathbb C}|f(z)|^2\exp\left(-\sum_iz_i\bar z_i\right)\,d^{2n}z<\infty 이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다. :s_\alpha=z^\alpha\exp(-z\bar z/2),\qquad \alpha\in\mathbb N^n 이들은 n차원 조화 진동자의 \alpha번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 **시걸-바르그만-포크 공간**(Segal–Bargmann–Fock space)이라고 한다.
## 리만 구의 양자화
리만 구 \hat{\mathbb C} 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻으며, 이는 비가환 기하학적으로 퍼지 구로 이해할 수 있다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 k의 인자 D에 대응하는 선다발 \mathcal O(D)로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다. :\mathcal H(k)=\\{f\in\Gamma(\mathcal O(D))\colon\bar\partial f=0\\} 이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 :\dim_{\mathbb C}\mathcal H(k)=\max\\{k+1,0\\} 이다. 이는 스핀 k/2의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우, k를 k-1로 치환하여야 한다.) 보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면 \Sigma 위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 인자 D에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 층 코호몰로지 공간 :\mathcal H(D)=H^0(\Sigma,\mathcal O(D)) 을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 계산할 수 있다.
## 콤팩트 켈러 다양체의 양자화
보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체 M 위에, 양의 정수 k\in\mathbb Z^+에 대하여 곡률이 k\omega가 되는 복소수 정칙 선다발 \mathcal L^{\otimes k}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 층 코호몰로지 :\mathcal H(k)=H^0(M,\mathcal L^{\otimes n}) 가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰 k에 대하여 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 계산할 수 있다.Example 7.11 :\mathcal H(k)=\int_M\exp(k\omega)\operatorname{Td}M\qquad(k\gg1) 여기서 \operatorname{Td}M은 토드 특성류이다. 특히, M이 복소수 n차원이라면 :\int_M\exp(k\omega)\operatorname{Td}M =\sum_{i=0}^n\int_M\frac{k^i\omega^i}{i!}\operatorname{Td}M =k^n\int_M\omega^n/n!+\frac1{(n-1)!2}k^{n-1}\int_M\omega c_1+\cdots 이 되므로, 고전 극한 k\to\infty에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간의 부피 \int_M(k\omega)^n/n!에 수렴하는 것을 알 수 있다.