다발 제르브

미분기하학에서 **다발 제르브**(bundle gerbe)는 선다발을 일반화시킨 개념이다.
# 정의
U(1) 주다발은 다음과 같이 간주될 수 있다. * U(1) 주다발은 (정수 계수) 2차 코호몰로지류이다. (즉, 주다발은 그 천 특성류에 의하여 분류된다.) * U(1) 주다발은 어떤 열린 덮개에 대하여, 각 조각 위에 주어진 \operatorname U(1) = \\{z\in\mathbb C\colon |z|=1\\} 인자들로 구성된다. 이 경우, 각 \operatorname U(1)들은 **전이 함수**들로 짜깁기되며, 이들은 **공사슬 조건**을 만족시켜야 한다. * U(1) 주다발은 주다발의 일종이다. 즉, \operatorname U(1) 구조를 갖는 전사 연속 함수이다. 이 세 정의들을 각각 다음과 같이 일반화시킬 수 있으며, 이들은 서로 동치이다. 각 정의에서, 다음이 주어졌다고 하자. * 매끄러운 다양체 M * 자연수 p\in\mathbb N. 그렇다면, M 위의 **(p-2)-다발 제르브**의 개념을 정의할 수 있다. 0-다발 제르브는 U(1) 선다발과 같다.
## 코호몰로지류를 통한 정의
M 위의 (p-2)-다발 제르브는 (정수 계수) p차 코호몰로지 군의 원소 :\alpha\in\operatorname H^p(M;\mathbb Z) 이다.
## 열린 덮개를 통한 정의
M 위의 (p-2)차 **히친-채터지 제르브**(Hitchin–Chatterjee gerbe)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.언어=en218 * M의 열린 덮개 \\{U_i\\}_{i\in I}. 여기서 U_{ijk\cdots}=U_i\cap U_j\cap U_k\cap\cdots로 표기하자. * 모든 \vec\imath=i_1,i_2,\dotsc,i_p\in I에 대하여, **전이 함수**(transition map) \phi_{\vec\imath}\colon U_{\vec\imath}\to\operatorname U(1)=\\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\\} 이들은 다음 두 조건을 만족하여야 한다. * 임의의 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(p)에 대하여, *:\phi_{\sigma(\vec\imath)} = \begin{cases} \phi_{\vec\imath} & (-)^\sigma = +1 \\\ \phi_{\vec\imath}^{-1} & (-)^\sigma = -1 \end{cases} * (**공사슬 조건** cocycle condition) 임의의 i_0,i_1,\dotsc,i_p \in I 및 x\in U_{i_0,\dotsc,i_p}에 대하여, *:1 = \phi_{i_0\dotso i_{p-1(x) \cdot \phi_{i_1\dotso i_p }(x) \cdot \dotsb \cdot \phi_{i_pi_1\dotso i_{p-2(x) 이 정의에서, p=2을 잡으면 U(1) 선다발의 정의를 얻는다. 즉, 매끄러운 다양체 M위의 U(1) 선다발은 다음과 같은 데이터로 정의된다. * M의 열린 덮개 \\{U_i\\}_{i\in I} * 모든 i,j\in I에 대하여, 전이 함수 \phi_{ij}\colon U_{ij}\to U(1)=\\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\\} 이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. 모든 i,j,k\in I에 대하여, * \phi_{ji}=\phi_{ij}^{-1} * (**공사슬 조건**) \phi_{ij}\phi_{jk}\phi_{ki}|_{U_{ijk=1 물론, 선다발의 동치를 적절히 정의하여야 한다. 위 정의는 나이절 히친과 데이비드 소미트라 채터지(David Saumitra Chatterjee, সৌমিত্র চ্যাটার্জী)가 사용한 정의다. 마이클 머리가 사용한 정의는 더 일반적이며, 히친이 정의한 제르브는 머리가 정의한 **국소 다발 제르브**(local bundle gerbe)에 대응한다.언어=en
## 다발을 통한 정의
매끄러운 다양체 M 위의 **다발 제르브**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.Definition 4.1 * 전사 함수 E\twoheadrightarrow M * U(1) 주다발 L \twoheadrightarrow E\times_ME. * U(1) 주다발의 동형 사상 \mu \colon \pi_{12}^* L \otimes \pi_{23}^*L \to \pi_{13}^* L. 여기서 \pi_{12},\pi_{23},\pi_{13} \colon E\times_ME\times_M E\to E\times_ME는 성분별 사영 사상이다. : \begin{matrix} E \times_M E \times_M E \\\ \scriptstyle{\pi_{12\downarrow\; \scriptstyle{\color{White}\pi_{23\downarrow\scriptstyle{\pi_{23 \;\downarrow \scriptstyle{\pi_{13\\\ E\times_M E \\\ \scriptstyle{\pi_1}\downarrow\quad\downarrow \scriptstyle{\pi_2}\\\ E \\\ \downarrow \\\ M \end{matrix} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. * (결합 법칙) \mu \circ \mu_{123} = \mu \circ\mu_{234}. 여기서 \mu_{123}, \mu_{234} \colon E\times_ME\times_ME\times_ME\to E\times_ME\times_ME는 (1,2,3) 또는 (2,3,4)번째 성분에 \mu를 작용시킨 것이다.
## 접속
U(1) 주다발을 나타내는 0차 히친-채터지 제르브 (U_i,\phi_{ij})_{i,j\in I} 위의 주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * A_i\in \Omega^1(U_i;\mathbb R) * \alpha_{ij} \in \Omega^0(U_{ij};\mathbb R) 이들은 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다. :A_j(x)-A_i(x) = -\mathrm i\,\mathrm d\ln\phi_{ij}(x)\qquad(x\in U_{ij}) 이 경우, \mathrm dA_i를 이어붙여 F=\mathrm dA_i를 정의할 수 있으며, [F]/2\pi는 U(1) 주다발의 천 특성류와 같다. :[F]/2\pi = \operatorname c_1(L) 마찬가지로, 1차 히친-채터지 제르브 (U_i,\phi_{ijk})_{i,j,k\in I}위의 **접속**은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * B_i \in \Omega^2(U_i;\mathbb R) * A_{ij} \in \Omega^1(U_{ij};\mathbb R) 이들은 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.219 :B_j(x) - B_i(x) = \mathrm dA_{ij}(x)\qquad(x\in U_{ij}) :A_{ij}(x) + A_{jk}(x) + A_{ki}(x) = -\mathrm i\,\mathrm d\ln\phi_{ijk}(x)\qquad(x\in U_{ijk}) 이 경우, \mathrm dA_i들을 이어붙여 :F\in\Omega^2(M;\mathbb R) :F(x)=\mathrm dA_i(x)\qquad(x\in U_i) 를 정의할 수 있으며, 또한 그 코호몰로지류 [F]/2\mathrm\pi\in\operatorname H^3(M;\mathbb R)가 정수 계수인 것을 보일 수 있다. 보다 일반적으로, (p-2)차 히친-채터지 제르브의 경우, 각 U_i 위에는 (p-1)차 히친-채터지 제르브의 접속이 주어져 있다. -1차 히친-채터지 제르브의 접속 구조는 전이 함수 \phi_i\colon U_i\to\operatorname U(1)의 자연 로그 -\mathrm i\ln\phi_i이다.
# 예

## 0-제르브
매끄러운 다양체 M 위의 0-다발 제르브는 단순히 U(1) 주다발이다. 이 경우 2차 정수 코호몰로지와의 대응 사상은 1차 천 특성류에 의해 주어진다.
## −1-제르브
(−1)-다발 제르브는 함수 M\to\mathbb S^1들의 호모토피류 [f]\in[M,S^1]이다.Example 2.2 \mathbb S^1은 이산군 \mathbb Z의 분류 공간이므로, 이는 \mathbb Z 주다발과 대응한다. 즉, 구체적으로 이는 각 열린 덮개 (U_i)_{i\in I}에 대하여, 임의의 두 i,j\in I에 대하여 “전이 함수”인 정수 :n_{ij}\in\mathbb Z 에 의하여 명시되며, 이는 :n_{ji} = -n_{ij} :n_{ij} + n_{jk} + n_{ki} = 0 을 만족시켜야 한다. 또한, p=1을 잡으면 * M의 열린 덮개 \\{U_i\\}_{i\in I} * 전이 함수 \phi_i \colon U_i \to \operatorname U(1) * (공사슬 조건) 임의의 i,j \in I 및 x\in U_i \cap U_j에 대하여, *:1 = \phi_i(x) \phi_j(x) 즉, 만약 i=j일 경우 \phi_i=1이 된다. 이에 따라, 매끄러운 다양체 M 위: * 전사 함수 E\twoheadrightarrow M * U(1) 주다발 L \twoheadrightarrow \bullet * U(1) 주다발의 동형 사상 \mu \colon \pi_{12}^* L \otimes \pi_{23}^* \to \pi_{13}^* L. 여기서 \pi_{12},\pi_{23},\pi_{13} \colon \bullet \to ??는 성분별 사영 사상이다.
## −2-제르브
(−2)-다발 제르브는 연속 함수 M\to\mathbb Z이다.Example 2.1
## 리 군 위의 제르브
콤팩트 연결 단일 연결 단순 리 군 G 위에는 자연스러운 1-제르브가 정의되어 있다.doi=10.1007/978-0-8176-4741-4_10 이 경우 항상 H^3(G)\cong\mathbb Z이고, 이 대응 사상을 **디미에-두아디 사상**(Dixmier–Douady map)이라고 한다. 이러한 리 군 G는 디스미에-두아디 사상이 1인 코호몰로지류 B_0\in H^3(G)에 대응하는 다발 제르브를 갖춘다. 3차 코호몰로지류로서, 이는 그 리 대수 \mathfrak g의 구조 상수(structure constant) :f\colon \Lambda^3\mathfrak g 의 드람 코호몰로지에 의하여 주어진다. 이러한 1-제르브는 베스-추미노-위튼 모형을 다룰 때 등장하며, 끈 이론의 캘브-라몽 장에 해당한다.언어=en
## 3차원 초구 위의 제르브
구를 남반구와 북반구에 해당하는 열린 덮개로 덮으면, 적도 근방의 겹침 부분에 정의되는 전이 함수 :\mathbb S^1 \times(-\epsilon,\epsilon) \to \operatorname U(1) 를 통해 구 위의 U(1) 주다발을 정의할 수 있다. 이러한 전이 함수는 정수인 감음수로 분류되며, 이 정수는 U(1) 주다발의 (1차) 천 특성류(의 적분)에 해당한다 (\operatorname H^2(\mathbb S^2)\cong\mathbb Z). 마찬가지로, 3차원 초구를 북반구와 남반구에 해당하는 열린 덮개로 덮으면, 적도 근방의 겹침 부분 위에 정의되는 전이 U(1) 주다발 :\operatorname U(1) \hookrightarrow \mathbb S^2 \times (-\epsilon,\epsilon) 을 통해 3차원 초구 위의 다발 제르브를 정의할 수 있다. 이러한 전이 U(1) 주다발은 천 특성류의 적분인 정수로 분류되며, 이 정수는 다발 제르브의 디스미에-두아티 코호몰로지류에 해당한다 (\operatorname H^3(\mathbb S^3) \cong \mathbb Z).Example 4.2
# 응용
제르브는 미분형식 전기역학을 다룰 때 등장한다. 1차 미분형식 전기역학인 양-밀스 이론(맥스웰 방정식)을 다룰 때 주다발을 사용하는 것처럼, 고차 미분형식 전기역학을 다룰 때는 제르브를 사용하게 된다. 즉, 게이지장은 제르브의 접속을 이루고, 게이지 장세기는 제르브 접속의 곡률이다. 특히, 끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장은 제르브로 나타내어진다.언어=en
# 역사
제르브의 일반적인 개념은 알렉산더 그로텐디크의 아이디어들을 발전시켜 장 지로(Jean Giraud, 1936~2007)가 도입하였다.언어 = fr 지로가 지은 이름 "제르브"는 짚단을 뜻한다. 이후 장뤼크 브릴린스키(Jean-Luc Brylinski, 1951~)가 제르브를 더 기하학적인 기법으로 정의하였다.언어=en 다발 제르브는 마이클 머리(Michael K. Murray)가 도입하였다.언어=en