균등 수렴

미적분학 해석학 및 일반위상수학에서 **균등 수렴**(均等收斂, uniform convergence) 또는 **고른 수렴** 또는 **평등 수렴**(平等收斂) 또는 **일양 수렴**(一樣收斂)은 함수열이 모든 점에서 “동일한 속도”로 주어진 함수로 수렴하는 성질이다. 점별 수렴보다 더 강한 개념이며, 점별 수렴이 보존하지 않는 여러 성질을 보존한다. 예를 들어, 연속 함수의 열의 균등 극한은 연속 함수다.
# 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 집합 X * 균등 공간 (Y,\mathcal E_Y) * 함수의 그물 (f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)} * 함수 f\colon X\to Y 만약 이들이 다음 조건을 만족시킨다면, (f_n)_{n\in N}이 f로 **균등 수렴**한다고 하며, f를 (f_n)_{n\in N}의 **균등 극한**이라고 한다. * 임의의 측근 \epsilon\in\mathcal E_Y에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 N_\epsilon\in N이 존재한다. ** 임의의 n\gtrsim N_\epsilon 및 x\in X에 대하여, f_n(x)\approx_\epsilon f(x) 이는 흔히 :f_n\rightrightarrows f 라고 쓴다. 예를 들어, 만약 Y=\mathbb R가 실수선이며, 함수의 그물 (f_n\colon X\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}이 실수 값 함수의 열이라면, 이 조건은 다음과 같다. * 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 N_\epsilon\in\mathbb N이 존재한다. ** 임의의 n\ge N_\epsilon 및 x\in X에 대하여, |f_n(x)-f(x)|\le\epsilon 사실, 균등 수렴은 함수 집합 Y^X의 균등 수렴 위상에서의 수렴이다. 특히, Y=\mathbb R인 경우, 균등 수렴은 \mathbb R^X 위에 균등 거리 함수 :d(f,g)=\sup_{x\in X}|f(x)-g(x)| 로부터 유도되는 위상에 대한 수렴이다.
# 성질

## 함의 관계
집합 X를 정의역으로 하고 균등 공간 (Y,\mathcal E_Y)를 공역으로 하는 함수의 그물 (f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}이 함수 f\colon X\to Y로 균등 수렴한다면, (f_n)_{n\in N}은 f로 점별 수렴한다. 집합 X를 정의역으로 하고 아벨 위상군 (Y,+)를 공역으로 하는 함수열 (f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}의 급수 \textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n이 균등 수렴한다면, (f_n)_{n\in\mathbb N}는 상수 함수 0\colon X\to Y로 균등 수렴한다. 집합 X를 정의역으로 하고 완비 균등 공간 (Y,\mathcal E_Y)를 공역으로 하는 함수의 그물 (f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다. * f_n은 균등 수렴한다. * f_n은 (Y^X의 균등 수렴 균등 구조에 대하여) 코시 그물이다. 즉, 임의의 측근 \epsilon\in\mathcal E_Y에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 N_\epsilon\in N이 존재한다. ** 임의의 m,n\gtrsim N_\epsilon 및 x\in X에 대하여, f_m(x)\approx_\epsilon f_n(x) (표준적인 균등 구조를 갖춘) 실수선 Y=\mathbb R은 완비 균등 공간이다. 또한, 함수의 열 (f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}은 그물의 특수한 경우다. 이 경우, 코시 그물 조건은 다음과 같다. * 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 N_\epsilon\in\mathbb N이 존재한다. ** 임의의 m,n\ge N_\epsilon 및 x\in X에 대하여, |f_m(x)-f_n(x)|\le\epsilon 만약 Y의 완비성을 가정하지 않는다면, 균등 수렴하는 함수 그물은 코시 그물이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, X가 한원소 집합인 경우를 생각할 수 있다. 균등 수렴을 위한 다양한 수렴 판정법이 존재한다. * 바이어슈트라스 M-판정법 * 균등 수렴에 대한 디리클레 판정법 * 균등 수렴에 대한 아벨 판정법
## 연속 함수의 보존
위상 공간 X를 정의역으로 하고 균등 공간 (Y,\mathcal E_Y)를 공역으로 하는 연속 함수의 그물 (f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}이 함수 f\colon X\to Y로 균등 수렴한다면, f 역시 연속 함수다. 증명 임의의 x_0\in X 및 임의의 측근 \epsilon\in\mathcal E_Y에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 U\ni x_0을 찾아야 한다. * 임의의 x\in U에 대하여, f(x)\approx_\epsilon f(x_0) 다음을 만족시키는 측근 \epsilon/3\in\mathcal E_Y을 고르자. :(\epsilon/3)\circ(\epsilon/3)\circ(\epsilon/3)\subset\epsilon :(\epsilon/3)^{-1}=\epsilon/3 가정에 따라, 다음을 만족시키는 N_\epsilon\in N이 존재한다. * 임의의 n\gtrsim N_\epsilon 및 x\in X에 대하여, f_n(x)\approx_{\epsilon/3}f(x) f_{N_\epsilon}은 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 U\ni x_0이 존재한다. * 임의의 x\in U에 대하여, f_{N_\epsilon}(x)\approx_{\epsilon/3}f_{N_\epsilon}(x_0) 이에 따라, 임의의 x\in U에 대하여, :f(x)\approx_{\epsilon/3}f_{N_\epsilon}(x)\approx_{\epsilon/3}f_{N_\epsilon}(x_0)\approx_{\epsilon/3}f(x_0) 이므로 :f(x)\approx_\epsilon f(x_0) 이다. 증명 끝 반대로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 콤팩트 공간 X * 연속 함수의 단조 그물 (f_n\colon X\to\mathbb R)_{n\in(N,\lesssim)}. 즉, 다음 두 조건이 성립한다. ** (연속 함수의 그물) 모든 f_n은 연속 함수다. ** (단조 그물) 임의의 x\in X 및 n\lesssim n'에 대하여, f_n(x)\le f_{n'}(x) * 연속 함수 f\colon X\to\mathbb R **디니 정리**에 따르면, 만약 f_n이 f로 점별 수렴한다면, f_n은 f로 균등 수렴한다. 이는 X가 콤팩트 공간이라고 가정하지 않으면 참이 아니다. 예를 들어, 연속 함수의 단조열 (x\mapsto x^n)\colon(0,1)\to\mathbb R (n\in\mathbb N)은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 단조 그물의 가정 역시 필수적이다. 예를 들어, 연속 함수의 열 (x\mapsto nx\exp(-nx^2))\colon[0,1]\to\mathbb R은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 증명 임의의 양의 실수 \epsilon\in\mathbb R^+가 주어졌다고 하자. 임의의 n\in N에 대하여, :K_{\epsilon,n}=\\{x\in X\colon|f(x)-f_n(x)|\ge\epsilon\\}\subseteq X 라고 정의하자. K_{\epsilon,n}은 콤팩트 공간 X의 닫힌집합이며, 따라서 콤팩트 집합이다. 임의의 n\lesssim n'에 대하여, :|f(x)-f_n(x)|=f(x)-f_n(x)\gtrsim f(x)-f_{n'}(x)=|f(x)-f_{n'}(x)| 이므로, K_n\supset K_{n'}이다. 따라서 (K_{\epsilon,n})_{n\in N}은 하향 집합을 이룬다. 임의의 x\in X에 대하여, (f_n(x))_{n\in N}이 f(x)로 수렴하므로, x\not\in K_{\epsilon,n}인 n\in N이 존재한다. 즉, \textstyle\bigcap_{n\in N}K_{\epsilon,n}=\varnothing이다. 칸토어 교점 정리에 따라, K_{\epsilon,N_\epsilon}=\varnothing인 N_\epsilon\in N이 존재한다. 하향성에 따라, 임의의 n\gtrsim N_\epsilon에 대하여 K_{\epsilon,n}=\varnothing이다. 즉, (f_n)_{n\in N}은 f로 균등 수렴한다. 증명 끝
## 적분과의 호환
리만 적분 가능 함수의 열 (f_n\colon[a,b]\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}이 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R로 균등 수렴한다면, f 역시 리만 적분 가능 함수이며, 또한 :\int_a^bf\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n\,dx 이다.
## 미분과의 호환
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 미분 가능 함수의 열 (f_n\colon[a,b]\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N} * 함수 g\colon[a,b]\to\mathbb R 또한, 이들이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. * \lim_{n\to\infty}f_n(x_0)\in\mathbb R이 존재하는 x_0\in[a,b]가 존재한다. * f_n'은 g로 균등 수렴한다. 그렇다면, 다음이 성립한다. * f_n은 어떤 미분 가능 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R로 균등 수렴한다. * f'=g
## 정칙 함수의 보존
복소평면의 열린집합 U\subseteq\mathbb C를 정의역으로 하는 복소수 값 정칙 함수의 열 (f_n\colon U\to\mathbb C)_{n\in\mathbb N}이 함수 f\colon U\to\mathbb C로 균등 수렴한다면, f는 정칙 함수다. 이는 모레라 정리의 따름정리다.
# 예
함수열 :f_n\colon[0,1]\to\mathbb R\qquad(n\in\mathbb Z^+) 을 생각하자. 만약 :f_n(x)=x/n\qquad(\forall n\in\mathbb Z^+,\;x\in[0,1]) 라면, f_n은 0으로 균등 수렴한다. 반면, 만약 :f_n(x)=x^n\qquad(\forall n\in\mathbb Z^+,\;x\in[0,1]) 라면, f_n은 함수 :f\colon[0,1]\to\mathbb R :f(x)=\begin{cases}0&x;\in[0,1)\\\1&x;=1\end{cases} 로 점별 수렴하지만, 균등 수렴하지 않는다.