마우러-카르탕 형식

미분기하학에서 **마우러-카르탕 형식**(Maurer-Cartan形式, Maurer–Cartan form)은 리 군 위에 정의된, 리 대수 값의 1차 미분 형식이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다.
# 정의
마우러-카르탕 형식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 모두 서로 동치이다. 편의상, 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 함수를 다음과 같이 정의하자. :\mathsf L_g,\mathsf R_g \colon G\to G\qquad(g\in G) :\mathsf L_g \colon h\mapsto gh :\mathsf R_g \colon h\mapsto hg
## 내재적 정의
리 군 G가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터장의 밂 :\mathsf L_{g*}\colon \mathrm T_hG \mapsto \mathrm T_{gh}G 를 정의할 수 있다. G의 리 대수는 항등원에서의 접공간과 같다. :\mathfrak g=\mathrm T_1G 이제, 각 점 g\in G에서, **마우러-카르탕 형식** :\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g) 은 다음과 같은 성분을 갖는 리 대수 값 1차 미분 형식이다. :\omega_g(v) = \mathsf L_{g^{-1}*}(v) \in \mathrm T_1G = \mathfrak g\qquad(g\in G,\;v\in\mathrm T_gG)
## 외재적 정의
임의의 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 일반 선형군 \operatorname{GL}(n;\mathbb R) 위의 매끄러운 함수 :f_{ij}\colon \operatorname{GL}(n;\mathbb R)\to \mathbb R\qquad(i,j\in\\{1,2,\dotsc,n\\}) 가 행렬의 (i,j)번째 성분을 고르는 함수라고 하자. 그렇다면, 1차 미분 형식 :\mathrm df_{ij} \in \operatorname\Omega^1(M) 들을 정의할 수 있다. 이들을 모아 :\mathrm df \in \operatorname\Omega^1(M)\otimes\mathbb R^{n^2} = \Omega^1(M;\mathfrak{gl}(n;\mathbb R)) 를 정의할 수 있다. \operatorname{GL}(n;\mathbb R) 위의 **마우러-카르탕 형식**은 다음과 같다. :\omega|_M = M^{-1}\,\mathrm df 이제, 다음이 주어졌다고 하자. * (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군 G 및 그 리 대수 \operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g 그렇다면, 다음을 임의로 고르자. 우선, \mathfrak g는 유한 차원 실수 리 대수이므로, 충분히 큰 n\in\mathbb N에 대하여 항상 다음과 같은 단사 실수 리 대수 준동형이 존재한다. :\mathfrak g\hookrightarrow\operatorname{\mathfrak{gl(n;\mathbb R) 이는 마찬가지로 매끄러운 군 준동형 :\phi\colon G\to\operatorname{GL}(n;\mathbb R) 을 정의한다. 이는 (정의에 따라) 항상 몰입이지만, 일반적으로 단사 함수일 필요가 없다. 그렇다면, G의 **마우러-카르탕 형식** :\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g) 는 \operatorname{GL}(n;\mathbb R)의 마우러-카르탕 형식 \omega_{\operatorname{GL}(n;\mathbb R)}의 당김 :\phi^*\omega_{\operatorname{GL}(n;\mathbb R)}\in \Omega^1(G;\mathfrak{gl}(n;\mathbb R)) 이다. 이는 사실 \mathfrak g\subseteq\mathfrak{gl}(n;\mathbb R)에 속하는 것을 보일 수 있다. :\phi^*\omega \in \Omega^1(G;\mathfrak g) 또한, 이 표현은 (\phi,n)의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 단일 연결이 아닌 연결 리 군 G의 마우러-카르탕 형식은 그 범피복군 :q\colon\tilde G\twoheadrightarrow G 에 대하여, :q^*\omega_G = \omega_{\tilde G} 가 되는 유일한 미분 형식이다.
## 공리적 정의
리 군 G 위의 **마우러-카르탕 형식**은 다음 조건들을 모두 만족시키는 유일한 \mathfrak g값 1차 미분 형식 :\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g) 이다. * \omega_1 = \operatorname{id} \colon \mathrm T_1G\to \mathrm T_1G=\mathfrak g * 임의의 g\in G에 대하여, \omega_g = \operatorname{Ad}(g^{-1})\mathsf R_{g^{-1^*\omega_1 이 정의는 주접속의 정의과 같다. 즉, G를 한원소 공간 \\{\bullet\\} 위의 주다발 :G\twoheadrightarrow\\{\bullet\\} 로 간주하면, **마우러-카르탕 형식**은 그 위의 유일한 주접속이다.
# 성질
임의의 벡터장 X\in\Gamma^\infty(\mathrm TG)에 대하여, 만약 :\mathsf L_{g*}X = X 라면, \omega(X)\in\mathcal C^\infty(G,\mathbb R)는 상수 함수이다.

**유도:**

임의의 g\in G에 대하여, :\omega|_g(X|_g) = (\mathsf L_{g^{-1}*}X)|_g = X|_1

## 마우러-카르탕 방정식
마우러-카르탕 형식은 다음 조건을 만족시킨다. :\mathrm d\omega + \frac12[\omega\wedge\omega] = 0 이를 **마우러-카르탕 방정식**(Maurer-Cartan方程式, Maurer–Cartan equation)이라고 한다.

**유도:**

임의의 두 벡터장 X,Y\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)이 왼쪽 곱셈 밂에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, \omega(X)와 \omega(Y)는 둘 다 상수 함수이다. 따라서, :\partial_X \omega(Y) = \partial_Y \omega(X) = 0 이다. 따라서, :\mathrm d\omega(X,Y) = \partial_X\omega(Y) - \partial_Y\omega(X) - \omega([X,Y]) = -\omega([X,Y]) = -\frac12[\omega\wedge\omega](X,Y) 이다. 그런데 왼쪽 불변인 벡터장들은 G의 각 점에서의 접공간의 기저를 이루므로, 위 방정식은 점별로 모든 벡터장에 대하여 성립한다. 즉, :\mathrm d\omega = -\frac12[\omega\wedge\omega] 이다.

### 마우러-카르탕 방정식의 일반화
리 군 G 위의, \mathfrak g 값의 미분 형식들은 미분 등급 리 대수 \Omega(G;\mathfrak g)를 이룬다. 이에 따라, 마우러-카르탕 방정식은 임의의 미분 등급 리 대수 \mathfrak g에 대하여 일반화된다. 즉, :\mathfrak g=\bigoplus_{n\in\mathbb N}\mathfrak g^n 위의 마우러-카르탕 방정식은 1차 원소에 대한 방정식 :\mathrm d\omega+\frac12[\omega,\omega] = 0 이다. 그러나 그 해는 일반적으로 유일하지 못하다. (차수 조건을 생략할 경우, 예를 들어 \omega=0 역시 마우러-카르탕 방정식을 자명하게 만족시킨다.) 보다 일반적으로, 임의의 L∞-대수 \mathfrak g를 생각하자. L∞-대수에서, 미분 연산 \mathrm d는 1항 괄호에 해당한다. 이 경우, \mathfrak g 위의 **마우러-카르탕 방정식**은 다음과 같다. :\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!} [\overbrace{\omega,\dotsc,\omega}^k]_k = 0
# 역사
루트비히 마우러(Ludwig Maurer, 1859~1927)와 엘리 카르탕언어=fr의 이름을 땄다. Ludwig 마우러 카르탕
# 예
아벨 군 G=\mathbb R^n을 생각하자. 그 위의 마우러-카르탕 형식은 단순히 :(\omega|_v)_i{}^j = \delta_i^j \qquad i,j\in\\{1,2,\dotsc,n\\} 이다. 이 경우, 마우러-카르탕 방정식은 단순히 :\mathrm d\omega = 0 이므로, 마우러-카르탕 방정식은 마우러-카르탕 원소를 완전히 결정하지 못한다.