켤레기울기법

날짜=2013-5-15 최적 단계를 갖는 경사 하강법(초록색)과 주어진 선형 계에 관한 이차함수를 최소화하는 켤레기울기법(붉은색)의 비교. 정확한 계산이 이루어졌다고 가정하면, 켤레기울기법은 그 계의 행렬의 크기가 n에 대하여 최대로 n단계내에 수렴한다. (여기서, n=2) **켤레기울기법** 또는 **공역기울기법**(Conjugate Gradient Method, 共役勾配法)이란 수학에서 대칭인 양의 준정부호행렬(陽-準定符號行列, 영어: positive-semidefinite matrix)을 갖는 선형계의 해를 구하는 수치 알고리즘이다. 이는 보통 반복알고리즘으로 풀리고, 따라서 숄레스키 분해와 같은 방법이나 직접 풀기에 너무 큰 계가 갖는 희소행렬 등에 사용하기 적합하다. 그러한 계는 편미분 방정식들이나 최적화 문제들을 수치적으로 풀 때 자주 등장한다. 켤레기울기법은 또한 에너지 최소화같은 제약조건이 없는 최적화문제를 풀 수 있다. 이것은 Magnus Hestenes와 Eduard Stiefel에 의해 개발되었다.
# 방법의 설명
우리는 다음과 같은 선형 계의 방정식을 풀기 원한다고 가정하자. :**Ax** = **b** **A**는 n x n 대칭행렬이고 (i.e. **A**T = **A**), 양의 정부호행렬 positive definite (i.e. **R***n*에서 모두 0이 아닌 벡터들 **x**에 관하여 **x**T**Ax** > 0 )이고, 실수이고, x, b는 n x 1 실수 인 열벡터이다. 여기서 우리는 이 계의 유일한 해를 \scriptstyle \mathbf{x}_*라고 하자.
# 직접적 방법으로서 공역 구배법
다음과 같이 : \mathbf{u}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{v} = 0. 일 때, 두개의 영이 아닌 벡터들을 *u* 과 *v*를 켤레라고 하자. (*A*에 대하여) **A**는 대칭이고 양의 정부호를 갖는 행렬이기 때문에 왼쪽 변이 내적으로 정의 된다. : \langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle_\mathbf{A} := \langle \mathbf{A} \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{A}^\mathrm{T} \mathbf{v}\rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{A}\mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{v}. 만일 두개의 벡터가 이 내적에 대하여 수직이면 그것들을 켤레라고 한다. 켤레가 되는것은 대칭관계이다: 만일 **u**가 **v**에 켤레이면 **v**가 **u**에 켤레이다. P=\\{\mathbf{p}_k: \forall i\neq k, i, k \in [1,n], \langle\mathbf{p}_i,\mathbf{p}_k\rangle_{A}=0 \\} 는 n개 상호적인 켤레 방향들의 집합이라고 가정하자. 그러면 P는 \mathbb{R}^n의 기저이고, 그래서 P내에서 우리는 그 해 \mathbf{Ax} = \mathbf{b}의 \mathbf{x}_*를 확장시킬 수 있다: : \mathbf{x}_* = \sum^{n}_{i=1} \alpha_i \mathbf{p}_i 그리고 우리가 보면 : \mathbf{b}=\mathbf{A}\mathbf{x}_* = \sum^{n}_{i=1} \alpha_i \mathbf{A} \mathbf{p}_i. 어떤 \mathbf{p}_k \in P에 관하여, : \mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{b}=\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A}\mathbf{x}_* = \sum^{n}_{i=1} \alpha_i\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_i=\alpha_k\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_k. (왜냐하면 \forall i\neq k, p_i, p_k는 상호적인 켤레이기 때문에) : \alpha_k = \frac{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{b{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_k} = \frac{\langle \mathbf{p}_k, \mathbf{b}\rangle}{\,\,\,\langle \mathbf{p}_k, \mathbf{p}_k\rangle_\mathbf{A = \frac{\langle \mathbf{p}_k, \mathbf{b}\rangle}{\,\,\,\|\mathbf{p}_k\|_\mathbf{A}^2}. 이 결과는 위에 정의된 내적을 고려하면서 이 결과는 아마도 매우 명백하다. 이것은 **Ax** = **b** 방정식을 풀 때 다음의 방법을 쓴다. : n개의 켤레 방향들의 수열을 찾고, 그런뒤 그 계수들 \scriptstyle \alpha_k을 계산한다.
# 반복적 방법으로서 공역 구배법
만일 우리가 켤레 벡터들을 **p***k* 신중하게 선택하고, 우리는 그 해 \scriptstyle \mathbf{x}_* 의 좋은 근사 값을 얻기 위해서 그들의 모두가 필요하지 않을 수 있다. 그래서 우리는 반복적인 방법으로서 공역 구배법을 보기를 원한다. *n*이 매우 커서 직접적인 방법으로 풀기에 시간이 매우 많이 걸리는 계들의 경우 이 방법을 거의 정확하게 풀게 해준다. \scriptstyle \mathbf{x}_*의 초기 추측값을 **x**0라고 하자. 우리는 일반성을 잃지 않고 **x**0 = 0 (마찬가지로, 대신에 그 계를 **Az** = **b** − **Ax**0 ) 라고 가정할 수 있다. **x**0와 함께 시작하여 우리는 그 해를 찾고, 각각의 반복에서 우리는 그 해 \scriptstyle \mathbf{x}_*(우리에게 잘알려지지 않은 해) 에 근접한게 무엇인지 알려주는 측도가 필요하다. 이 측도는 그 해 \scriptstyle \mathbf{x}_*가 또한 다음의 이차함수의 유일하게 최소치라는 사실로부터 나왔다. 그래서 만일 f(**x**)가 반복에 있어서 작아진다면 그것은 우리가 \scriptstyle \mathbf{x}_*에 가까이 간다는 것을 의미한다. : f(\mathbf{x}) = \frac12 \mathbf{x}^\mathrm{T} \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{x}^\mathrm{T} \mathbf{b} , \quad \mathbf{x}\in\mathbf{R}^n. **x** = **x**0에서 *f*의 구배(영어:gradient)의 음의 값이 되도록 처음 기저 **p**0를 잡는다. 그 *f*의 구배(영어:gradient)가 **Ax**−**b**와 같고, 추측 해**x**0를 가지고 시작한다. (우리는 만일 우리가 다른 어떤 것을 추측할 이유가 없다면 \scriptstyle \mathbf{x}_* 가 **0** 이고 그 집합을 **x**0 **0**으로 항상 추측할 수 있다. ) 이것을 **p**0 = **b**−**Ax**0라고 두자. 그 기저안에 다른 벡터들은 그 구배(영어:gradient)에 켤레가 될 것이다. 그래서 이 방법의 이름이 *공역 구배법*(영어:*conjugate gradient method*)이다. 우선 *k*번째 단계에서 **r***k*를 *유수*(영어:residue)라고 하자: \mathbf{r}_k = \mathbf{b} - \mathbf{Ax}_k. \, **r***k*는 **x** = **x***k*에서 음의 *f*의 구배(gradient)라는 점을 염두에 두고, 그래서 경사 하강법은 **r***k* 방향에서 움직일 것이다. 여기, 우리는 그 방향들 **p***k*이 각각 다른것과 켤레라고 주장한다. 이 시행은 충분히 합리적인데, 우리는 또한 다음 찾는 방향은 최근의 유수와 이전의 모든 검색방향들에 의해서 정하게 한다. 그 공역 제약조건은 직교-유형의 제약조건이고 그래서, 그 알고리즘은 *그램 -슈미트*와 유사하다. 이것은 다음의 표현과 같다: : \mathbf{p}_{k} = \mathbf{r}_{k} - \sum_{i < k}\frac{\mathbf{p}_i^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{r}_{k{\mathbf{p}_i^\mathrm{T}\mathbf{A} \mathbf{p}_i} \mathbf{p}_i (수렴에 켤레성 제약조건의 영향에 관한 문서의 상단에 있는 그림을 참조) 이 방향에 따르면, 그 다음 최적의 위치는 다음에 의해 주어진다. : \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k + \alpha_k \mathbf{p}_k : \alpha_{k} = \frac{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{b{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_k} = \frac{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} (\mathbf{r}_{k-1}+\mathbf{Ax}_{k-1})}{\mathbf{p}_{k}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_{k = \frac{\mathbf{p}_{k}^\mathrm{T} \mathbf{r}_{k-1{\mathbf{p}_{k}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_{k, 를 포함함 (**p***k* 와**x***k-1* 가 켤레이기 때문에 마지막 등식이 성립한다.)
## 그 결과의 알고리즘
그 위에 알고리즘은 공역 구배법의 가장 간단한 설명을 제공한다. 일견에, 그 알고리즘에 명시된대로 이전의 검색 방향들과 유수 벡터들의 저장이 필요할 뿐만 아니라 많은 행렬 벡터의 곱셉들이 필요로 하고, 따라서 계산하는데 비용이 많이 들 수 있다. 그러나 그 알고리즘의 근접한 분석은 다음 과 같이 볼 수 있다. 모든 *i < k*에 관하여 **r***k+1*는 **p***i*과 켤레이다. (예를 들어 귀납법에 의해 증명될 수 있다) 그러므로 오직 **r***k*, **p***k*, 그리고 **x***k* 이 **r***k+1*, **p***k+1*, 그리고 **x***k+1*를 세우는데 필요로 한다. 게다가 오직 하나의 행렬-벡터 곱셈이 각각의 반복적인 계산마다 필요하다. 실수이고, 대칭행렬이고 양의 정부호 행렬인 **A**에 관하여 **Ax** = **b**를 푸는 알고리즘 방법은 밑에 상세히 설명되어 있다. 그 입력 벡터 **x**0는 거의 정확한 초기 해나 **0**이 될 수 있다. 이것은 위에 명시된 정확한 절차의 다른 식이다. \begin{align} & \mathbf{r}_0 := \mathbf{b} - \mathbf{A x}_0 \\\ & \mathbf{p}_0 := \mathbf{r}_0 \\\ & k := 0 \\\ & \hbox{repeat} \\\ & \qquad \alpha_k := \frac{\mathbf{r}_k^\mathrm{T} \mathbf{r}_k}{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A p}_k} \\\ & \qquad \mathbf{x}_{k+1} := \mathbf{x}_k + \alpha_k \mathbf{p}_k \\\ & \qquad \mathbf{r}_{k+1} := \mathbf{r}_k - \alpha_k \mathbf{A p}_k \\\ & \qquad \hbox{if } r_{k+1} \hbox{ is sufficiently small then exit loop} \\\ & \qquad \beta_k := \frac{\mathbf{r}_{k+1}^\mathrm{T} \mathbf{r}_{k+1{\mathbf{r}_k^\mathrm{T} \mathbf{r}_k} \\\ & \qquad \mathbf{p}_{k+1} := \mathbf{r}_{k+1} + \beta_k \mathbf{p}_k \\\ & \qquad k := k + 1 \\\ & \hbox{end repeat} \\\ & \hbox{The result is } \mathbf{x}_{k+1} \end{align} 이것은 일반적으로 자주 사용되는 알고리즘이다. 이와 같은 식은\beta_k은 비선형 공역 구배법인 플레처 리브스에서 또한 사용된다.
### 알파와 베타의 계산
알고리즘에서, \alpha_k 는 \mathbf{r}_{k+1}가 \mathbf{r}_k에 직교가 되도록 선택된다. 그 분모는 다음과 같이 단순화된다. \alpha_k = \frac{\mathbf{r}_{k}^\mathrm{T} \mathbf{r}_{k{\mathbf{r}_{k}^\mathrm{T} \mathbf{A p}_k} = \frac{\mathbf{r}_k^\mathrm{T} \mathbf{r}_k}{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A p}_k} \mathbf{r}_k = \mathbf{p}_k-\mathbf{\beta}_{k-1}\mathbf{p}_{k-1}때문에 그 \beta_k는 \mathbf{p}_{k+1} 가 \mathbf{p}_k에 켤레가 되도록 선택된다. 처음에, \beta_k 는 \beta_k = - \frac{\mathbf{r}_{k+1}^\mathrm{T} A \mathbf{p}_k}{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} A \mathbf{p}_k} \mathbf{r}_k = \mathbf{r}_{k-1} - \alpha_{k-1} A \mathbf{p}_{k-1}를 이용하고, 마찬가지로 A \mathbf{p}_{k-1} = \frac{1}{\alpha_{k-1 (\mathbf{r}_{k-1} - \mathbf{r}_k), \beta_k의 분자는 다음과 같이 다시 쓰면, \mathbf{r}_{k+1}^\mathrm{T} A \mathbf{p}_k = \frac{1}{\alpha_k} \mathbf{r}_{k+1}^\mathrm{T} (\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_{k+1}) = - \frac{1}{\alpha_k} \mathbf{r}_{k+1}^\mathrm{T} \mathbf{r}_{k+1} \mathbf{r}_{k+1} 과 \mathbf{r}_k 처음 구상에 의해 직교이기 때문에 그분모는 다음과 같이 다시 쓰면, \mathbf{p}_k^\mathrm{T} A \mathbf{p}_k = (\mathbf{r}_k + \beta_{k-1} \mathbf{p}_{k-1})^\mathrm{T} A \mathbf{p}_k = \frac{1}{\alpha_k} \mathbf{r}_k^\mathrm{T} (\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_{k+1}) = \frac{1}{\alpha_k} \mathbf{r}_k^\mathrm{T} \mathbf{r}_k 검색 방향들 \mathbf{p}_k은 켤레이고 다시 그 유수들과 직교라는 사실을 이용하여 이 알고리즘에서 \alpha_k를 제거한 후\beta를 얻는다.
### 함수 (프로그래밍) 예제
function [x] = conjgrad(A,b,x) r=b-A*x; p=r; rsold=r'*r; for i=1:1e6 Ap=A*p; alpha=rsold/(p'*Ap); x=x+alpha*p; r=r-alpha*Ap; rsnew=r'*r; if sqrt(rsnew)<1e-10 break; end p=r+rsnew/rsold*p; rsold=rsnew; end end
## 수치적 예제
공역 구배법을 설명하기 위해서, 우리는 간단한 예를 들겠다. 다음과 같은 선형 계인 **Ax** = **b**을 고려하면 :: \mathbf{A} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} 4 & 1 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\\ 2 \end{bmatrix} , 그 계의 거의 정확한 해를 찾기 위해서 우리는 초기 추측값을 설정하여 공역 구배법의 두 단계만에 수행할 것이다. :: \mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 2 \\\ 1 \end{bmatrix}
### 해
참고에 따르면 정확한 해는 :: \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{1}{11} \\\\\\\ \frac{7}{11} \end{bmatrix} 우리의 첫번째 단계는 **x**0과 연관된 유수 벡터 **r**0를 계산 하는 것이다. 이 유수는 식 **r**0 = **b** - **Ax**0으로부터 계산되고, 그리고 우리에 경우에는 다음과 같다. :: \mathbf{r}_0 = \begin{bmatrix} 1 \\\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 1 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-8 \\\ -3 \end{bmatrix}. 이것은 첫번째 반복 계산이기 때문에, 우리는 우리의 초기 검색방향**p**0 으로써 유수 벡터 **r**0를 사용할 것이다. 앞으로의 반복 계산에서 **p**k를 선택하는 방법은 변할 것이다. 우리는 이제 위의 관계를 이용하여 이제 스칼라 α0를 계산한다. :: \alpha_0 = \frac{\mathbf{r}_0^\mathrm{T} \mathbf{r}_0}{\mathbf{p}_0^\mathrm{T} \mathbf{A p}_0} = \frac{\begin{bmatrix} -8 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 \\\ -3 \end{bmatrix{ \begin{bmatrix} -8 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 \\\ -3 \end{bmatrix} } = \frac{73}{331}. 우리는 그 식을 이용하여 **x**1을 계산 할 수 있다. :: \mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_0 + \alpha_0\mathbf{p}_0 = \begin{bmatrix} 2 \\\ 1 \end{bmatrix} + \frac{73}{331} \begin{bmatrix} -8 \\\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.2356 \\\ 0.3384 \end{bmatrix}. 이 결과는 첫번째 반복 계산을 완료되고, 그 계에 "향상된" 거의 정확한 해**x**1가 된다. 우리는 이제 이동하여 이 식을 이용하여 새로운 유수 벡터 **r**1를 계산할 것이다. :: \mathbf{r}_1 = \mathbf{r}_0 - \alpha_0 \mathbf{A} \mathbf{p}_0 = \begin{bmatrix} -8 \\\ -3 \end{bmatrix} - \frac{73}{331} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 \\\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.2810 \\\ 0.7492 \end{bmatrix}. 그 과정속에서 우리의 다음 단계는 다음 검색 방향 **p**1를 결정하는데 결과적으로 사용될 스칼라 β0를 계산하는 것이다. :: \beta_0 = \frac{\mathbf{r}_1^\mathrm{T} \mathbf{r}_1}{\mathbf{r}_0^\mathrm{T} \mathbf{r}_0} = \frac{\begin{bmatrix} -0.2810 & 0.7492 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.2810 \\\ 0.7492 \end{bmatrix{\begin{bmatrix} -8 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 \\\ -3 \end{bmatrix = 0.0088. 이제, 이 스칼라 β0를 이용하여, 우리는 그 관계를 이용하여 다음 검색 방향 **p**1을 계산 할 수 있다. :: \mathbf{p}_1 = \mathbf{r}_1 + \beta_0 \mathbf{p}_0 = \begin{bmatrix} -0.2810 \\\ 0.7492 \end{bmatrix} + 0.0088 \begin{bmatrix} -8 \\\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.3511 \\\ 0.7229 \end{bmatrix}. 우리는 α0에서 사용했던 같은 방식으로 새로 얻은 **p**1를 이용하여 이제 스칼라 α1를 계산 할 수 있다. :: \alpha_1 = \frac{\mathbf{r}_1^\mathrm{T} \mathbf{r}_1}{\mathbf{p}_1^\mathrm{T} \mathbf{A p}_1} = \frac{\begin{bmatrix} -0.2810 & 0.7492 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.2810 \\\ 0.7492 \end{bmatrix{ \begin{bmatrix} -0.3511 & 0.7229 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.3511 \\\ 0.7229 \end{bmatrix} } = 0.4122. 마지막으로, 우리는 **x**1을 찾았던 같은 방법으로 **x**2를 찾는다. :: \mathbf{x}_2 = \mathbf{x}_1 + \alpha_1 \mathbf{p}_1 = \begin{bmatrix} 0.2356 \\\ 0.3384 \end{bmatrix} + 0.4122 \begin{bmatrix} -0.3511 \\\ 0.7229 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.0909 \\\ 0.6364 \end{bmatrix}. 그 결과, **x**2는 그 계의 해에 **x**1 과 **x**0보다 "더나은" 근사치가 된다. 만일 제한된 정밀도 대신에 이 예에서 정확한 계산이 되었다면, 그 정확한 해는 이론적으로 *n*=2 반복수행 후 도달 할 것이다. (*n*은 그 계의 크기임).