C* 대수

함수해석학에서 **C* 대수**(시스타 대수, C*-algebra)는 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다.
# 정의
C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다. * 추상적으로, 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 여길 수 있다. * 사실, 복소수 바나흐 공간 구조는 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 수 있다. 따라서, C* 대수를 순수하게 대수학적으로 특별한 꼴의 복소수 대합 대수로 정의할 수 있다. * 구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 여길 수 있다. 이 정의에서, 복소수 힐베르트 공간 위의 *-표현은 C* 대수의 정의에 포함되지 않는다. 이 정의들은 모두 서로 동치이다.
## 추상적 정의
복소수 벡터 공간 A 위에 다음과 같은 두 구조가 주어졌다고 하자. * (A,^*)는 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수이다. (즉, 임의의 a\in A 및 \lambda\in\mathbb C에 대하여 (\lambda a)^*=\bar\lambda a^*이다.) * (A,\|\|)는 복소수 바나흐 대수이다. 그렇다면, (A,^*,\|\|)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 만약 (A,^*,\|\|)가 이를 만족시킨다면 **C* 대수**라고 한다. * (**C* 항등식** C* identity) \Vert x^*x\Vert=\Vert x\Vert\Vert x^*\Vert * (**B* 항등식** B* identity) \Vert x\Vert=\Vert x^*\Vert (C* 항등식이 B* 항등식을 함의하는 것은 자명하지만, 반대 방향의 함의를 증명하는 것은 자명하지 않다.) 일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다.
## 대수적 정의
(복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 (A,^*)가 다음 조건을 만족시킨다면, **C* 대수**라고 한다. * a\mapsto\sup\operatorname{sp}(a^*a)는 A 위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. ** 임의의 a\in A에 대하여, 스펙트럼 \operatorname{sp}(a^*a)\subseteq\mathbb C는 유계 집합이다. ** 임의의 a\in A\setminus\\{0\\}에 대하여, 1+\lambda a^*a가 가역원이 아니게 만드는 복소수 \lambda\in\mathbb C가 존재한다. ** (삼각 부등식) 임의의 a,b\in A에 대하여, \sup\operatorname{sp}(a^*a+b^*b+a^*b+b^*a)\le \sup\operatorname{sp}(a^*a)+\sup\operatorname{sp}(b^*b)이다. * a\mapsto\sup\operatorname{sp}(a^*a)는 완비 노름을 이룬다. 이 대수적 정의는 위의 정의와 동치이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상 \|a\|=\sup\operatorname{sp}(a^*a)=\operatorname{sp}(aa^*)임을 보일 수 있으며, 반대로 임의의 복소수 바나흐 대수에서 \operatorname{sp}(ab)\cup\\{0\\}=\operatorname{sp}(ba)\cup\\{0\\}이므로 이는 B* 항등식을 함의한다.
## 구체적 정의
복소수 대합 대수 A의 ***-표현**(*-representation)은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H * 유계 작용소들의 복소수 바나흐 대수 \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)로 가는 단사 복소수 대합 대수 준동형 \iota\colon A\hookrightarrow \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H). 즉, \iota는 단사 함수이며, 복소수 선형 변환이며, (항등원을 보존하는) 환 준동형이며, 대합을 보존한다 (즉, \iota(a^*)=\iota(a)*\;\forall a\in A. 여기서 우변의 (-)^*는 유계 작용소의 에르미트 수반이다.) 만약 복소수 대합 대수가 그 상이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 갖는다면, 이를 **C* 대수**라고 한다. (마지막 조건을 노름 위상 대신 강한 작용소 위상 또는 약한 작용소 위상에 대한 닫힌집합인 것으로 강화시키면, 대신 폰 노이만 대수의 개념을 얻는다.) **겔판트-나이마르크 정리**(Гельфанд-Наймарк定理, Gelfand–Naimark theorem)에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수 A의 경우, 어떤 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H 위의 작용 :\iota\colon A\to\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H) 가 존재하며, 또한 이는 단사 함수이자 복소수 선형 변환이자 등거리 변환이며, 또한 수반 연산 ^*에 대한 준동형이며, 그 상은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다.
## C* 대수의 원소
A가 C* 대수라고 하고, x\in A라고 하자. * 만약 y\in A가 존재하여 y^*y=x라면, x를 **음이 아닌 원소**(陰-元素, nonnegative element)라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다. * 만약 x=x^*라면, x를 **자기 수반 원소**라고 한다. 자기 수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다. * xx^*=x^*x=1이라면, x를 **유니터리 원소**라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다. * x의 **스펙트럼** \sigma(x)\subset\mathbb C는 \lambda\cdot1-x가 가역원이 아니게 되는 \lambda\in\mathbb C들의 집합이다. 일반적으로, \sigma(x^*)=\bar\sigma(x)이다. * x의 스펙트럼의 절댓값들의 상한 \sup|\sigma(x)|=\nu(x)를 x의 **스펙트럼 반지름**이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다. *:\nu(x)=\lim_{n\to\infty}\Vert x^n\Vert^{1/n}
# 연산

## 직합
유한 또는 무한 개의 C* 대수 (A_i)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간 :\widehat\bigoplus_{i\in I}A_i \subseteq\prod_{i\in I}A_i :a\in \widehat\bigoplus_{i\in I}A_i \iff \sup_{i\in I}\|a_i\|_{A_i}<\infty 위에 균등 노름 :\|a\|_{\widehat\bigoplus_i A_i}=\sup_{i\in I}\|a_i\|_{A_i} 및 성분별 곱셈 :(ab)_i=a_ib_i\qquad(i\in I) 을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은 1_{\widehat\bigoplus_iA_i}=(1_{A_i})_{i\in I} 이다. 물론, 만약 I가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 \textstyle\bigoplus_{i\in I}A_i과 같다.
## 몫대수
다음이 주어졌다고 하자. * C* 대수 A * A의 양쪽 아이디얼 \mathfrak I\subseteq A. 또한, \mathfrak I가 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, 그 몫환 A/\mathfrak I 역시 C* 대수를 이룬다.
## 행렬 대수
C* 대수 A 및 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 행렬 대수 \operatorname{Mat}(n;A)는 A 성분의 n\times n 정사각 행렬들로 구성되며, 이 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 V에 대하여 A\subseteq\operatorname B(V,V)라면, \operatorname{Mat}(n;A)\subseteq\operatorname B(V^{\oplus n},V^{\oplus n})으로 여길 수 있다. 만약 n=0일 경우, 이는 자명환이다.
# 성질

## C* 대수 사이의 사상
다음이 주어졌다고 하자. * (항등원을 갖는) 두 C* 대수 A, B * (항등원을 보존하는) 복소수 대합 대수 준동형 f\colon A\to B. 즉, f는 복소수 선형 변환이자 환 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 (f(a^*)=f(a)^*\;\forall a\in A). 그렇다면, f는 작용소 노름이 1 이하인 유계 작용소이다.

**증명:**

임의의 a\in A에 대하여, C* 항등식에 따라 :\|a\|_A^2=\|a^*a\|_A 이다. a^*a는 음이 아닌 원소이므로, 그 노름은 스펙트럼 반지름과 같다. :\|a^*a|_A=\operatorname{sp\,rad}_A(a^*a) A의 가역원의 상은 B의 가역원이므로 다음이 성립한다. :\operatorname{sp}_A(a^*a)\supseteq \operatorname{sp}_B(f(a^*a)) 여기서 \operatorname{sp}(-)는 스펙트럼이다. 특히 :\operatorname{sp\,rad}_A(a^*a)\ge\operatorname{sp\,rad}_B(f(a^*a)) 이다. 이에 따라 :\|f(a)\|_B^2=\|f(a^*a)\|_B=\operatorname{sp\,rad}_B(f(a^*a))\le \operatorname{sp\,rad}_A(a^*a)=\|a^*a\|_A=\|a\|_A^2 이며, 즉 \|f\|\le1이다.

또한, 만약 f가 추가로 단사 함수라면, 이는 등거리 변환이다. 즉, \|a\|_A=\|f(a)\|_B\;\forall a\in A이다. 이에 따라, C* 대수와 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주 \operatorname{C*Alg}를 이룬다.
## 스펙트럼
스펙트럼 (함수해석학) C* 대수의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수 A의 원소 a\in A에 대하여 :\operatorname{sp}(a^*)=\\{\bar\lambda\colon\lambda\in\operatorname{sp}(a)\\} 이다. C* 대수의 자기 수반 원소의 스펙트럼은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 유니터리 원소의 스펙트럼은 \\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\\}의 부분 집합이다.
# 분류
모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 복소수 힐베르트 공간 속의 유계 작용소 C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, 이 C* 대수를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수를 정의할 수 있으며, 원래 C* 대수는 이 폰 노이만 대수의 강한 연산자 위상에서의 조밀 집합을 이룬다. 폰 노이만 대수의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다.
# 예

## 자명한 C* 대수
한원소 집합 \\{\bullet\\} 위의 유일한 환 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.
## 유한 차원 C* 대수
임의의 유한 차원 C* 대수 A는 다음과 같은 꼴이다. :A=\bigoplus_{i\in I}\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C) 여기서 \operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C)는 작용소 노름이 부여된, n\times n 복소수 정사각 행렬들의 C* 대수이다.
## 가환 C* 대수
(항등원을 갖는) 가환 C* 대수 A의 **스펙트럼**(spectrum)은 다음과 같은 집합이다. (이 개념은 C* 대수의 원소의 스펙트럼의 개념과 관계가 없다.) :\hat A=\hom(A,\mathbb C)\subseteq A^* 즉, A\to\mathbb C *-준동형들의 집합이다. *-준동형의 작용소 노름은 1 이하이므로, :\hat A\subseteq\operatorname{cl}\left(\operatorname{ball}_{A^*}(0,1)\right) 이다. (여기서 우변은 연속 쌍대 공간 A^*의 닫힌 단위 공이다.) 우변에 약한-* 위상을 주고, 좌변을 그 부분 공간으로 간주하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 \hat A는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 이 연산은 함자 :\hat{\color{White}{A\colon\operatorname{comC*Alg}\to\operatorname{CompHausTop}^{\operatorname{op 를 정의한다. 여기서 * 정의역은 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수와, *-준동형들의 구체적 범주이다. * 공역은 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수들의 구체적 범주의 반대 범주이다. 반대로, 다음과 같은 함자 :\mathcal C^0(X,-)\colon\operatorname{CompHausTop}^{\operatorname{op\to\operatorname{comC^*Alg} 를 정의할 수 있다. * 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 대하여, \mathcal C^0(-,\mathbb C)는 복소수 값 연속 함수들의 공간이다. 이 위에 ∞-르베그 노름 \|f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f| 및 점별 덧셈 · 곱셈 · 복소수 켤레를 부여하면, 이는 가환 C* 대수를 이룬다. * 임의의 두 콤팩트 하우스도르프 공간 X, Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y의 \mathcal C^0(-,\mathbb C)에 대한 상은 다음과 같다. *:\mathcal C^0(f,\mathbb C)\colon\mathcal C^0(Y,\mathbb C)\to\mathcal C^0(X,\mathbb C) *:\mathcal C^0(f,\mathbb C)\colon\phi\mapsto\phi\circ f **겔판트 표현 정리**(Гельфанд表現定理, Gelfand representation theorem)에 따르면, \mathcal C^0(-,\mathbb C)와 \hat{\color{White}{A 함자는 사실 두 범주 \operatorname{comC*Alg}와 \operatorname{CompHausTop}^{\operatorname{op 사이의 범주의 동치를 정의한다. 특히, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 A에 대하여 :A\cong\mathcal C^0(\hat A,\mathbb C) 이며, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 A는 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다.
## 유계 작용소 대수
임의의 복소수 힐베르트 공간 V 위의 모든 유계 작용소들의 집합 \operatorname B(V,V)은 함수의 합성을 곱셈으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 인자 대수이다.) 특히, 만약 V=\mathbb C^n가 유한 차원이라면, 이는 n\times n 복소수 행렬들로 구성된다.
## 콤팩트 작용소 대수
임의의 복소수 힐베르트 공간 V 위의 모든 콤팩트 작용소들의 집합 \operatorname K(V,V)은 \operatorname B(V,V)의 닫힌 양쪽 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫환 :\frac{\operatorname B(V,V)}{\operatorname K(V,V)} 은 C* 대수를 이룬다. 이를 **콜킨 대수**(Calkin algebra)라고 한다.
# 응용
C* 대수의 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다. 겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 수학적 분야를 비가환 기하학이라고 한다.