디랙 연산자

미분기하학과 이론물리학에서 **디랙 연산자**(Dirac演算子, Dirac operator)는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.언어=de언어=enChapter 3
# 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 리만 다양체 (M,g) * 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M * E 위의 코쥘 접속 \nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M) * E\otimes E^*의 매끄러운 단면 T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*). (흔히 T=0으로 잡는다.) 그렇다면, 라플라스 연산자 :\Delta=g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E) 및 일반화 라플라스 연산자 :\Delta+T\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E) 를 정의할 수 있다. 이 경우, **디랙 연산자** :D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E) 는 :D^2=\Delta 를 만족시키는 1차 미분 연산자이다. 보다 일반적으로, **디랙형 연산자**(Dirac形演算子, Dirac-type operator) 또는 **일반화 디랙 연산자**(generalized Dirac operator) :D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E) 는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉, :D^2=\Delta+T 를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.
## 등급 디랙 연산자
클리퍼드 대수는 자연스럽게 \mathbb Z/2-등급 대수를 이룬다. :\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\oplus\operatorname{Cliff}^-(V,Q;K) 이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.언어=en116, Definition 3.36 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 리만 다양체 (M,g) * 두 매끄러운 벡터 다발 E^\pm\twoheadrightarrow M. 편의상 E=E^+\oplus E^-로 표기하자. * E 위의 초접속 \nabla\colon\Omega^\bullet(M;E)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E) * E^\pm\otimes(E^\mp)^*의 매끄러운 단면 T^\pm\in\Gamma^\infty(E^\pm\otimes{E^\mp}^*) (복부호 동순) 그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자 :\Delta+T\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E) 를 정의할 수 있다. 그렇다면, **등급 디랙 연산자**(graded Dirac operator) :D^\pm\colon\Gamma^\infty(E^\pm)\to\Gamma^\infty(E^\mp) (복부호 동순) 는 :D^-D^+=\Delta+T :D^+D^-=\Delta+T 를 만족시키는 두 미분 연산자이다.
# 분류

## 클리퍼드 가군 다발 접속
리만 다양체 (M,g) 위의 클리퍼드 가군 다발 E 위의 코쥘 접속 \nabla가 다음 조건을 만족시킨다면, **클리퍼드 가군 다발 접속**이라고 하자. :\nabla_X(a\cdot s)=a\cdot\nabla_Xs+(\nabla_Xa)\cdot s\qquad\forall a\in\Gamma^\infty(\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)),\;s\in\Gamma^\infty(E),\;X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM) 여기서 \nabla_Xa는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다. 마찬가지로, **클리퍼드 가군 다발 초접속**을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는, \mathbb Z/2-등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다.
## 디랙 연산자의 분류
리만 다양체 (M,g) 위의 매끄러운 벡터 다발 E 위에 디랙 연산자 D가 주어졌을 때, E 위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발 \operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올 E_x이 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(\mathrm T_xM,g_x)의 왼쪽 가군을 이룬다.116, Proposition 3.38 구체적으로, 이는 다음과 같다. :D(fs)-f(Ds)=(\mathrm df)\cdot s 여기서 * f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)는 M 위의 실수 값 매끄러운 함수이다. * \mathrm df\in\Omega^1(M)=\Gamma^\infty(\mathrm T^*\\!M)은 그 기울기인 1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상 \Omega^1(M)\hookrightarrow\operatorname{Cliff}(\mathrm T^*\\!M,g^{-1})\cong\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)이 존재한다. * \cdot은 클리퍼드 대수의 원소의 작용이다. 클리퍼드 다발 \operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)의 매끄러운 단면은 벡터장 X=(\mathrm df)^\sharp으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라, E는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉, * 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다. * 주어진 클리퍼드 가군 다발 E \+ 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 \operatorname{End}(E) 꼴의 아핀 공간이다. * 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 \mathbb Z/2-등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다. * 주어진 클리퍼드 가군 다발 \mathbb Z/2-등급 다발 E^\pm \+ 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 \operatorname{End}^+(E) 꼴의 아핀 공간이다.
# 예

## 곡선 위의 벡터다발
계량이 주어진 곡선 \gamma 위의 다발 E\twoheadrightarrow\gamma의 경우, 디랙 연산자는 단순히 :D=\nabla 이다.
## 접다발
리만 다양체 (M,g) 위의 접다발 \mathrm TM에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 M이 스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발 :\mathrm TM\hookrightarrow\mathrm SM 으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다. \mathrm SM은 2^{\lfloor\dim M/2\rfloor}차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발 \operatorname{Cl}(\mathrm TM,g) 위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장 :\gamma\colon\mathrm TM\hookrightarrow\operatorname{Cl}(M,g) :\gamma\colon v^i\mapsto v^i\gamma_i 이 존재한다. 이 경우 디랙 연산자는 :D=g^{ij}\gamma_i\nabla_j 이다. 즉, :D^2=\\{D,D\\}/2=\frac12\\{\gamma^i\gamma^j\\}\nabla_i\nabla_j=g^{ij}\nabla_i\nabla_j=\Delta 이다. 만약 M이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다. :\mathrm SM=\mathrm S^+M\oplus\mathrm S^-M 이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다. :D^\pm=(D\restriction\Gamma^\infty(\mathrm S^\pm M))\colon\Gamma^\infty(\mathrm S^\pm M)\to\Gamma^\infty(\mathrm S^\mp M)) (복부호 동순) 따라서, 이는 \mathrm S^\pm M 위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.
## 호지-드람 연산자
매끄러운 다양체 M 위의 미분 형식의 다발 :E = \bigwedge^\bullet \mathrm T^*M 을 생각하자. 즉, :\Gamma(E) = \Omega(M) 이다. 만약 M이 콤팩트 다양체라면, 외미분 :\mathrm d\colon\Omega^\bullet(M) \to \Omega^{\bullet+1}(M) 의 에르미트 수반 :\mathrm d^\dagger \colon \Omega^\bullet(M) \to \Omega^{\bullet-1}(M) 을 정의할 수 있다. 그렇다면, :(\mathrm d+\mathrm d^\dagger)^2 = \\{\mathrm d,\mathrm d^\dagger\\} = \Delta 이 된다. 여기서 \Delta는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서 :D = \mathrm d + \mathrm d^\dagger 를 정의하면, D는 E 위의 디랙 연산자를 이룬다.
# 역사
최초의 디랙 연산자는 폴 디랙이 양자전기역학을 연구하는 도중 발견하였다.