특이 호몰로지

대수적 위상수학에서 **특이 호몰로지**(特異homology, 싱귤러 호몰로지)는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.
# 정의
X가 위상 공간이며, R가 (1을 갖는) 환이라고 하자. 그렇다면, X의, R 계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.
## 사슬
n차원 **표준 단체**(標準單體, standard simplex) \Delta^n\subset\mathbb R^{n+1}은 다음과 같다. :\Delta^n=\left\\{(x_0,x_1,\dots,x_n)|0\le x_i\le1,\;\sum_ix_i=1\right\\}. 이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다. X 위의 n차원 **특이 단체**(特異單體, singular complex)는 연속 함수 :\sigma_n\colon\Delta^n\to X 를 뜻한다. X 위의, R 계수의 n차원 **사슬**(chain)은 모든 n차원 특이 단체로 의하여 생성되는, R 위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을 C_n(X;R)라고 쓰자. (만약 R=\mathbb Z일 경우, 이는 자유 아벨 군이 된다.)
## 경계
표준 단체 \Delta^n의 꼭짓점들을 p_1,\dots,p_n이라고 하자. 표준 단체 \Delta^n의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 n+1개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어 :[p_0,p_2,\dots,p_{k-1},p_{k+1},\dots,p_n] 의 꼴이다. 이를 편의상 :[p_0,p_1,\dots,p_{k-1},\hat p_k,p_{k+1},\dots,p_n] 로 쓰자. n차원 특이 단체 \sigma_n\colon\Delta^n\to X의 **경계**(境界, boundary) \partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X;R)는 다음과 같다. :\partial_n\sigma_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}. 경계 연산자 \partial_n는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 \partial_n\colon C_n\to C_{n-1}이다. 이는 R 위의 가군의 가군 준동형을 이룬다. 또한, \partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)는 항상 0이다. 따라서 (C_\bullet(X),\partial_\bullet)은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지 :\operatorname H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1} 들을 **특이 호몰로지**라고 한다. 이는 R 위의 왼쪽 가군을 이룬다. (사슬 가군은 자유 가군이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)
## 특이 코호몰로지
X 위의 **공사슬**(共-, cochain)은 가군 준동형 \phi^n\colon C_n(X;R)\to R이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, C^n(X;R)=\hom(C_n(X;R),R)으로 쓴다. 공사슬의 **공경계**(共境界, coboundary) \delta_n\colon C^n(X;R)\to C^{n+1}(X;R)은 다음과 같다. :\delta_n(\phi^n)(\sigma_{n+1})=\phi^n(\partial_{n+1}\sigma_{n+1}). (C^\bullet(X;R),\delta_\bullet)은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지 :\operatorname H^n(X)=\ker\delta_n/\operatorname{im}\delta_{n-1} 들을 **특이 코호몰로지**(singular cohomology)라고 한다.
# 성질
K가 체라면, 보편 계수 정리에 따라서 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 대수적 쌍대 공간이다. :\operatorname H^\bullet(X;K)=\operatorname H_\bullet(X;K)^*=\hom_{K\text{-Vect(\operatorname H_\bullet(X;K),K) 그러나 이는 (정수환을 포함한) 일반적인 환에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 특이 코호몰로지는 사슬을 쌍대화한 뒤 호몰로지를 취한 것이지, 호몰로지를 취한 뒤 쌍대화한 것이 아니다.
# 예

## 초구
n차원 초구 S^n의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다. :\operatorname H_k(S^n;R)=\begin{cases} R&k;\in\\{0,n\\}\\\ 0&k;\not\in\\{0,n\\} \end{cases}\qquad(n>0) :\operatorname H^k(S^n;R)=\begin{cases} R&k;\in\\{0,n\\}\\\ 0&k;\not\in\\{0,n\\} \end{cases}\qquad(n>0) :\operatorname H_k(S^0;R)=\begin{cases}R^2&k;=0\\\0&k;\ne0\end{cases} :\operatorname H^k(S^0;R)=\begin{cases}R^2&k;=0\\\0&k;\ne0\end{cases}
## 사영 공간
복소수 사영 공간 \mathbb CP^n의 특이 호몰로지는 다음과 같다. :\operatorname H_k(\mathbb CP^n;R)=\begin{cases} R&2\mid q\le 2n\\\ 0&q;\nmid q\lor q>2n \end{cases} :\operatorname H^k(\mathbb CP^n;R)=\begin{cases} R&2\mid q\le 2n\\\ 0&q;\nmid q\lor q>2n \end{cases} 실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다. :\operatorname H_k(\mathbb RP^n;\mathbb Z)= \begin{cases} \mathbb Z & k = 0 \lor 2\nmid i = n \\\ \mathbb Z/(2) & 0 :\operatorname H_k(\mathbb RP^n;\mathbb F_2)=\begin{cases}\mathbb F_2&k;\le n\\\0&k;\ge n\end{cases} :\operatorname H_k(\mathbb RP^n;K)= \begin{cases} K & k = 0 \lor 2\nmid i = n\\\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases} 여기서 K는 표수가 2가 아닌 임의의 체이다.
## 원환면
n차원 원환면 T^n의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다. :\operatorname H_k(T^n;\mathbb Z)=\mathbb Z^{\binom nk}. 여기서 \binom nk는 이항계수로, k>n인 경우 0으로 정의한다.