자기 수반 작용소

작용소 이론에서 **자기 수반 작용소**(自己隨伴作用素, self-adjoint operator) 또는 **자기 수반 연산자**는 스스로의 에르미트 수반이 자신과 같은 작용소이다.언어=en 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.
# 정의
\mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. \mathbb K-힐베르트 공간 H 위의 조밀 부분 집합 D\subseteq H가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환 :A\colon D\to H 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 것을 D 위의 **자기 수반 작용소**라고 한다. :A\colon D\to H * 대칭 작용소이며, \operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^*이다. * 임의의 x,y\in D에 대하여, \langle x|A|y\rangle = \langle Ax|y\rangle이다. 또한, 임의의 x,y\in H에 대하여, 만약 \langle x|A = \langle y| \colon H\to\mathbb K라면, x\in D이다. ** 특히, 임의의 x\in D에 대하여, \langle x|A = \langle Ax|\colon D\to\mathbb K는 유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 H\to\mathbb K로 유일하게 확장된다. * \operatorname{dom}A=\operatorname{dom}A^*이며, 모든 u\in\operatorname{dom}A에 대하여 Au=A^*u이다. 여기서 A^*\colon\operatorname{dom}A^*\to H는 에르미트 수반이다. * 그래프 \operatorname{graph}(A) = \\{(x,Ax)\colon x\in H\\}\subseteq H\oplus H 및 심플렉틱 사상 J\colon H\oplus H\to H\oplus H, (x,y)\mapsto(-y,x)에 대하여, (J\operatorname{graph}A)^\perp = \operatorname{graph}A이다. * 다음 조건들을 모두 만족시키는 측도 공간 X과 가측 함수 f \colon X \to (\mathbb R,\operatorname{Borel}(X))과 전단사 유니터리 작용소 UH \to \operatorname L^2(X;\mathbb K)가 존재한다. (여기서 T_f \colon \operatorname{dom}T_f \to \operatorname L^2(X;\mathbb K),\;\phi \mapsto f\phi는 f와의 점별 곱셈이다.) ** U\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}T_f ** UA = T_fU 마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 **곱셈 연산자**(multiplication operator)라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.
# 성질
단사 자기 수반 작용소의 역함수는 자기 수반 작용소이다.65 유한 차원 힐베르트 공간 \mathbb C^n 위의 작용소 A에 대하여, 다음이 서로 동치이다. * A는 대칭 작용소이다. * A는 자기 수반 작용소이다. * A의 행렬은 에르미트 행렬이다.
# 대칭 확장
대칭 작용소 A\colon\operatorname{dom}A\to\mathcal H의 **자기 수반 확장**(self-adjoint extension)은 다음을 만족시키는 자기 수반 작용소 \tilde A\colon\operatorname{dom}\tilde A\to\mathcal H이다. * \operatorname{dom}A\subseteq\operatorname{dom}\tilde A * \forall v\in\operatorname{dom}A\colon Av=\tilde Av 대칭 연산자 A의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.81–84 :U\colon\operatorname{range}(A+i)^\perp\to\operatorname{range}(A-i)^\perp (\operatorname{range}(A+i)^\perp은 \mathcal H의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.) 특히, A가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 :\dim\operatorname{range}(A+i)^\perp=\dim\operatorname{range}(A-i)^\perp 이다. 양변의 두 수를 A의 **결점 지표**(deficiency index)라고 한다. 유일한 자기 수반 확장을 갖는 대칭 작용소를 **본질적 자기 수반 작용소**(essentially self-adjoint operator)라고 한다.
# 예
제곱 적분 가능 함수로 구성된 복소수 힐베르트 공간 :H = \operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb C) 을 생각하자. 이 위에서, 작용소 :A \colon f \mapsto (x\mapsto xf(x)) 를 생각하자. 만약 f가 제곱 적분 가능 함수라도 x\mapsto xf(x)가 제곱 적분 가능 함수일 필요는 없으므로, A는 H 전체에 정의될 수 없다. 즉, :\operatorname{dom}A = \\{f\in H\colon (x\mapsto xf(x)) \in H\\}\subsetneq H 이다. 이는 H의 조밀 부분 공간이며, 임의의 f,g\in\operatorname{dom}H에 대하여 :\langle f|A|g\rangle = \int_{\mathbb R}\overline{f(x)}(xg(x))\,\mathrm dx = \int_{\mathbb R}(\overline{xf(x)})g(x)\,\mathrm dx = \langle Af|g\rangle 이다. 따라서 A는 대칭 작용소이다. 또한, 임의의 f,g\in H에 대하여, 만약 :\langle f|A = \langle g| 라고 하자. 즉, :\forall h\in\operatorname{dom}A\colon \int_{\mathbb R} \overline{f(x)}xh(x)\,\mathrm dx = \int \overline{g(x)}h(x) 이다. 그렇다면 리스 표현 정리에 따라서 :g = (x\mapsto xf(x)) \in H 이므로, 정의에 따라 (x\mapsto xf(x)) \in \operatorname{dom}A이게 된다. 즉, A는 자기 수반 작용소이다.
## 곱셈 연산자
다음이 주어졌다고 하자. * 측도 공간 X * 가측 함수 f\colon X \to (\mathbb R,\operatorname{Borel}(\mathbb R)) (\operatorname{Borel}(-)은 보렐 시그마 대수) * \mathbb K \in \\{\mathbb R,\mathbb C\\} 그렇다면, H = \operatorname L^2(X;\mathbb K) 위에 작용소 :T_f \colon \phi \mapsto \phi f 를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 **곱셈 연산자**라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. * \operatorname L^2(X;\mathbb K) 위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다. * 임의의 \mathbb K-힐베르트 공간 H 및 자기 수반 작용소 A\colon\operatorname{dom}A\to H에 대하여, U\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}T_f이자 UA = T_fU가 되는 측도 공간 X와 가측 함수 f\colon X\to\mathbb R와 (전단사) 유니터리 작용소 U\colon H\to \operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb K)가 존재한다. 특히, 만약 H = \mathbb K^n이 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는 n\times n 에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값 :\\{\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_n\\} 들은 모두 실수이다. 이 경우 * X = \\{1,2,\dotsc,n\\} (크기 n의 이산 가측 공간) * \mu(S) = |S| (셈측도) * f\colon i \mapsto \lambda_i 가 된다.