바이어슈트라스 타원함수

바이어슈트라스 타원함수의 그래프. (g_2,g_3)=(1+i,2-3i)인 경우이며, 이 경우 주기는 (\omega_1,\omega_2)\approx(0.79+2.26i,2.44+0.31i)이다. 흰색은 극점, 검은색은 영점을 나타낸다. **바이어슈트라스 타원함수**(Weierstraß楕圓函數, Weierstrass elliptic function)는 타원함수의 하나다. 타원곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 \wp.
# 정의
**바이어슈트라스 타원함수** \wp(z;\omega_1,\omega_2)는 주기에 대한 격자합으로, 또는 이를 정의하는 미분 방정식으로 정의할 수 있다.
## 격자합
z\in\mathbb C, \tau\in\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)에 대하여, **바이어슈트라스 타원함수** \wp(z;\tau)는 다음과 같다. :\wp(z;\tau)=\frac1{z^2}+\sum_{(m,n)\ne(0,0)}\left(\frac1{(z+m+\tau n)^2}-\frac1{(m+\tau n)^2}\right) 타원곡선 모듈러스 \tau 대신 격자 주기 \omega_1,\omega_2를 써서 다음과 같이 \wp(z;\omega_1,\omega_2)를 정의하기도 한다. :\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac1{z^2}+\sum_{(m,n)\ne(0,0)}\left(\frac1{(z+m\omega_1+n\omega_2)^2}-\frac1{(m\omega_1+n\omega_2)^2}\right)=\omega_1^{-2}\wp(z/\omega_1;\omega_2/\omega_1)
## 미분 방정식
바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다. :\wp'(z;\omega_1,\omega_2)^2=4\wp(z;\omega_1,\omega_2)^3-g_2(\omega_1,\omega_2)\wp(z;\omega_1,\omega_2)-g_3(\omega_1,\omega_2) 여기서 \wp'(z;\omega_1,\omega_2u)=\partial \wp(z;\omega_1,\omega_2)}\over{\partial z이다. g_2와 g_3는 **타원 불변량**(elliptic invariant)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 이는 주기 (\omega_1,\omega_2)와 다음과 같은 관계를 가진다. :g_2(\omega_1,\omega_2)=60\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-4} :g_3(\omega_1,\omega_2)=140\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-6} 이는 타원곡선의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수 :f\colon\mathbb C/\Lambda\to\mathbb{CP}^2 :f\colon z\mapsto[1,\wp(z;\tau),\wp'(z;\tau)] 를 정의하면, 이는 원환면 \mathbb C/\Lambda로부터 타원곡선 y^2=4x^3-g_2x-g_3으로 가는, 복소다양체의 동형사상을 이룬다. 여기서 \Lambda는 \tau에 대한 격자 :\Lambda=\\{m+n\tau\colon m,n\in\mathbb Z\\} 이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다.
# 성질
바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로, 다음과 같은 주기성을 가진다. 임의의 n_1,n_2\in\mathbb Z에 대하여, :\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\wp(z+n_1\omega_1+n_2\omega_2;\omega_1,\omega_2) 또한, 모듈러 매개변수 \tau에 대해서는 모듈러 함수의 성질을 가진다. :\wp(z;\tau)=\wp(z;\tau+1)=\wp(z;-1/\tau) 또한, 바이어슈트라스 타원함수는 짝함수이며, 그 도함수는 홀함수이다. :\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\wp(-z;\omega_1,\omega_2) :\wp;(z;\omega_1,\omega_2)=-\wp'(-z;\omega_1,\omega_2) 바이어슈트라스 타원함수 \wp(-;\omega_1,\omega_2)는 타원 곡선 \mathbb C/\langle\omega_1,\omega_2\rangle에서 리만 구면 \hat{\mathbb C}로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로 e_1,e_2,e_3이라고 쓰며, 다음과 같다. :\widehat\infty=\wp(0;\omega_1,\omega_2) :e_1(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_1/2;\omega_1,\omega_2) :e_2(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2) :e_3(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_1/2+\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)
## 덧셈 공식
삼각함수나 야코비 타원함수와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 **덧셈 공식**(addition formula)을 만족시킨다. : \wp(z+y)=\frac14\left( \frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)} \right)^2 -\wp(z)-\wp(y) 만약 z=y인 경우, 위 공식에 극한을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다. :\wp(2z)=\frac14\left(\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right)^2-2\wp(z)
## 야코비 타원함수와의 관계
바이어슈트라스 타원함수는 야코비 타원함수로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다. :\wp(z)=e_3+\frac{e_1-e_3}{\operatorname{sn}^2(w;m)}=e_2+ \left(e_1-e_3\right) \frac{\operatorname{dn}^2(w;m)}{\operatorname{sn}^{2}(w;m)} = e_{1} + \left( e_1-e_3 \right) \frac{\operatorname{cn}^2(w;m)}{\operatorname{sn}^2(w;m)} 여기서 :w=z\sqrt{e_1-e_3} :m=(e_2-e_3)/(e_1-e_3) 이다.
## 역함수
바이어슈트라스 타원함수가 따르는 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 역함수는 다음과 같은 타원적분임을 알 수 있다. :u=\int_{\wp(u;\tau)}^\infty\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_2(\tau)s-g_3(\tau) 이는 리만 구면에서 타원곡선으로 가는 사상으로 볼 수 있으며, \\{e_1,e_2,e_3,\widehat\infty\\}에서 분지점을 갖는다.
# 역사
카를 바이어슈트라스가 1862년 베를린 대학교에서의 타원함수에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 야코비 타원함수들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다.