S-이중성

끈 이론 이론물리학에서 **S-이중성**(S-二重性, S-duality)은 서로 다른 듯한 두 물리 이론이 결합 상수의 역수를 취하는 변환에 의하여 서로 동등한 현상이다. 즉, 결합 상수가 작은 한 이론은 결합 상수가 큰 다른 이론과 동등하게 된다. 양자장론과 끈 이론에서 나타난다.
# 양자장론의 S-이중성
양자장론에서는 여러 가지의 S-이중성을 찾을 수 있다. 이들은 대부분 일종의 초대칭을 가정하며, 궁극적으로 초끈 이론의 S-이중성에서 비롯된다.
## 전기-자기 이중성
S-이중성의 가장 기본적인 형태는 맥스웰 방정식의 **전기-자기 이중성**(電氣磁氣二重性, electric–magnetic duality)이다. 대전 입자를 포함하지 않는 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장을 치환하여도 동등하다. 여기에 전기적으로 대전된 입자만 추가하면 전기-자기 이중성이 깨지지만, 자기적으로 대전된 입자도 추가하면 다시 전기-자기 이중성이 성립한다. 여기서 전기적으로만 대전된 입자는 전기 홀극, 자기적으로만 대전된 입자는 자기 홀극, 전기와 자기 둘 다 대전된 입자를 **다이온**이라고 한다. 부호수가 (p,4-p)인 4차원 다양체 M를 생각하자. 그 가운데 호몰로지 H^2(M)에 다음과 같은 연산자 N_\tau\colon H^2(M;\mathbb C)\to H^2(M;\mathbb C)를 정의하자. :N_\tau=\operatorname{Re}\tau+s*\operatorname{Im}\tau 여기서 p\equiv0\pmod2인 경우 s=i, 그렇지 않은 경우 s=1로 놓는다. 이 경우, (s*)^2=-1이므로, N_\tau의 역은 :(N_\tau)^{-1}=N_{1/\tau} 이다. 즉, 이러한 꼴의 연산자는 단순히 복소수로 생각할 수 있다. U(1) 게이지 이론은 다음과 같이 기술할 수 있다. U(1) 접속의 곡률을 F라고 하자. 이는 선다발의 천 특성류와 같다. :c_1=[F/2\pi]\in H^2(M;\mathbb Z) 게이지 이론의 작용을 다음과 같이 적자. :S_\tau=\frac1{4\pi}\int_MF\wedge N_\tau F 통상적으로, 그 성분들은 :\tau=\theta/2\pi+4\pi i/g^2 으로 적는다. 여기서 * g는 결합 상수 * \theta는 CP 위반 각 이다. 즉, 텐서 표기법으로 쓰면 :S=\int_M\sqrt{|\det g|}\,\left(\frac1{2g^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{\theta}{32\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}\right) 이다. 이 작용은 :F\mapsto F_D=\frac{\delta S}{\delta F}=N_\tau F :\tau\mapsto-1/\tau 에 대하여 불변이다. 이는 고전 전자기학의 전기-자기 이중성이다. 이 이론을 양자화하게 되면, 그 경로 적분은 :Z=\int DA\,\exp(iS) 이다. 이 경우, [F/2\pi]\in H^2(M;\mathbb Z)이므로, :S_{\tau+1}-S_\tau=(\theta/2)\int_M(F/2\pi)\wedge(F/2\pi) 이다. 만약 M이 스핀 다양체라면, 2차 미분형식의 교차 형식(intersection form)은 짝수이므로, 항상 \int_M(F/2\pi)^2는 짝수다. 따라서 :S_{\tau+1}-S_\tau\in\mathbb Z 이고, 이 경우 경로 적분에 등장하는 \exp(iS)는 불변이다. 즉, 양자역학적으로 :\tau\mapsto\tau+1 또한 대칭이다. 이들을 합성하면 모듈러 군 :\tau\mapsto\frac{a\tau+b}{c\tau+d} (\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix}\in\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z) 을 이루게 된다. 유클리드 계량 부호수의 경우, 이는 구체적으로 경로 적분을 계산해 확인할 수 있다. 맥스웰 방정식을 만족시키는 장세기 F는 :dF=d*F=0 이므로 조화형식(harmonic form)을 이루며, 이는 호지 이론에 따라 코호몰로지류 H^2(M;\mathbb R)에 대응한다. 유클리드 계량 부호수에서는 2차 형식에 대한 호지 쌍대가 *^2=1이므로, 호지 쌍대의 고윳값에 따라 임의의 장세기를 :F=2\pi(p_++p_-) :*F=2\pi(p_++-p_-) :p_\pm\in H^2_\pm(M;\mathbb Z) 로 분해할 수 있다. 그렇다면 :N_\tau F=2\pi(\tau p_++\bar\tau p_-) 이다. 따라서 작용은 :S=\pi\left(\tau\langle p_+, p_+\rangle-\bar\tau\langle p_-,p_-\rangle\right) 가 된다. 따라서, 경로 적분은 다음과 같다.언어=en언어=en언어=en89–91 :Z(\tau)\sim\sum_{p_+\in H^2_+(M;\mathbb Z)}q^{p_+^2/2}\sum_{p_-\in H_-^2(M;\mathbb Z)}\bar q^{p_-^2/2} (q=\exp(2\pi i\tau)) 이는 서로 다른 선다발들의 합만 고려한 것이다. 여기에 유한 에너지 모드들의 기여를 고려하면, 각 모드의 에너지는 \operatorname{Im}\tau=1/g^2에 비례하며, 경로 적분에는 (에너지 연산자의 행렬식의 제곱근이므로) 각 모드가 \sqrt{\operatorname{Im}\tau}를 기여한다. 이 인자는 경로 적분의 측도를 국소적으로 재정의해 없앨 수 있다. 그러나 게이지 고정을 할 경우 상수 게이지 변환은 진동 모드에 영향을 미치지 않으므로 \operatorname{Im}\tau)^{-1/2}를 곱해야 하고, 또한 b_1 (1차 베티 수) 개의 영에너지 모드는 게이지 변환에 영향을 받지 않으므로 이들은 (\operatorname{Im}\tau)^{b_1/2}를 기여한다. 즉, 총 경로 적분은 다음과 같은 꼴이다. :Z(\tau)\sim(\operatorname{Im}\tau)^{(b_1-1)/2}\sum_{p_+\in H^2_+(M;\mathbb Z)}q^{p_+^2/2}\sum_{p_-\in H_-^2(M;\mathbb Z)}\bar q^{p_-^2/2} 이는 세타 함수의 일종이며, 이는 무게가 :\frac12(\chi-\sigma,\chi+\sigma) 인 (비정칙) 모듈러 형식이다. 여기서 \chi는 M의 오일러 지표이고, \chi=b_2^+-b_2^-는 교차 형식의 부호수이다. 무게가 0이 아닌 경우에는 고전적인 모듈러 군 대칭에 변칙이 생기는 것을 알 수 있다.
## 몬토넨-올리브 이중성
1=𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론 4차원에서, \mathcal N=4 초대칭을 갖는 비가환 양-밀스 이론에서도 일종의 S-이중성이 성립하는데, 이를 **몬토넨-올리브 이중성**(Montonen–Olive duality)이라고 한다.날짜=1996-09-10bibcode=1996NuPhS..45...88O bibcode=1996NuPhS..46....1O 이는 클라우스 몬토넨(Claus Montonen)과 데이비드 이언 올리브(David Ian Olive)가 1977년 발견하였다.bibcode=1977PhLB...72..117M 몬토넨-올리브 이중성은 ⅡB종 초끈 이론으로 설명할 수 있다.doi=10.1142/S0217751X96001899bibcode=2005stth.book.....P186–187 \mathcal N=4 U(N) 양-밀스 이론은 N개의 겹친 D3-막들 위에 존재하는 유효 이론이다. D3-막에는 기본 끈(F-끈)과 D1-막(D-끈)이 붙어 있는데, F-끈의 끝은 전기 홀극, D-끈의 끝은 자기 홀극을 이룬다. ⅡB종 초끈 이론에서는 S-이중성은 F-끈과 D-끈을 맞바꾸게 되고, 이 이중성은 물론 D3-막의 유효 이론도 따르게 된다. 이 이중성이 몬토넨-올리브 이중성이다.
## 자이베르그 이중성
자이베르그 이중성 4차원 \mathcal N=1 초대칭 양-밀스 이론에서도 **자이베르그 이중성**(Seiberg duality)이라는 S-이중성이 존재한다.날짜=2011 이 경우, 서로 대응하는 두 이론은 일반적으로 똑같지 않지만, 낮은 에너지 눈금에서는 재규격화군 흐름에 의하여 서로 같아진다. 서로 대응하는 두 이론의 모듈러스 공간은 서로 동형이다. 나탄 자이베르그가 1994년 발견하였다.bibcode=1995NuPhB.435..129S 보다 일반적으로, 맛깔 대칭(flavour symmetry)들을 게이지하면, **이중성 폭포**(duality cascade)라는 일련의 관계들을 얻는다.doi= 10.1142/9789812775108_0005
## 자이베르그-위튼 이론
자이베르그-위튼 이론 **자이베르그-위튼 이론**(Seiberg–Witten theory)은 \mathcal N=2 4차원 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간(moduli space)을 다루는 이론이다. 나탄 자이베르그와 에드워드 위튼이 1994년 발표하였다.doi=10.1016/0550-3213(94)90124-4 이에 따라, 많은 경우 양자 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간을 정확히 계산할 수 있고, 서로 다른 것처럼 보이는 이론들이 S-이중성에 따라 사실 같은 양자장론임을 알 수 있다.
## 6차원 (2,0) 초등각 장론으로 인한 이중성
6차원 (2,0) 초등각 장론 6차원 (2,0) 초등각 장론을 각종 차원의 다양체에 콤팩트화하면, 여러 다양한 S-이중성을 얻는다. 특히, 이를 콤팩트 리만 곡면에 축소하면, 4차원 초대칭 게이지 이론의 이중성들의 여러 일반화를 얻는다.
# 끈 이론의 S-이중성
초끈 이론들 사이의 이중성 초끈 이론들도 S-이중성을 나타낸다.날짜=1996 ⅡB종 초끈 이론은 스스로에게 대응한다. 즉, 결합 상수 g의 ⅡB종 초끈 이론은 결합 상수 1/g의 이론과 같다. Ⅰ종 초끈 이론은 SO(32) 잡종 끈 이론과 대응한다. ⅡA종 초끈 이론과 E8 잡종 이론은 축소화한 M이론에 대응하게 된다. 따라서, 일반적으로 M이론의 이중성들의 군은 T-이중성과 S-이중성들로 생성된다. T-이중성과 S-이중성을 합성한 이중성을 **U-이중성**이라고 한다.날짜=1999-09 S-이중성 아래, 기본 끈(F-끈)은 D1-막(D-끈)과 맞바뀌고, D5-막은 NS5-막(F5-막)과 맞바뀐다.url=http://arxiv.org/html/hep-th/9802001v1/page4.html#Effects%20of
## Ⅰ종/Spin(32) 잡종 이중성
{| class="wikitable" |- ! Ⅰ종 막 !! Spin(32) 잡종 막 |- | 기본 끈 || (없음) |- | D1-막 || 기본 끈 |- | D5-막 || NS5 |- | D0-막 (非BPS) || Spin(32) 스피너 상태 입자 (非BPS) |} Ⅰ종 끈 이론의 기본 끈은 다른 끈 이론의 끈과 달리 BPS가 아니어서, 일반적으로 안정하지 않다 (즉, 끊어질 수 있다). 이는 Ⅰ종 끈 이론은 캘브-라몽 장을 포함하지 아니하므로, 끈이 보존되는 전하에 대하여 대전되어 있지 않기 때문이다. 결합 상수가 작을 경우 끈이 끊어지는 속도가 느려 섭동 이론을 전개할 수 있지만, 그 S-이중 이론은 결합 상수가 큰 경우에 해당하므로 Ⅰ종 끈은 곧 붕괴해 버린다. 반면 Spin(32) 잡종 끈은 BPS이므로 안정하며, I종 이론에서 D1-막 (D-끈)으로 존재한다.
### Spin(32)의 스피너 상태
Spin(32) 잡종 끈 이론의 (기본 끈의) 스펙트럼에는 게이지 군 Spin(32)의 스피너 표현으로 변환하는 상태가 존재한다. 이는 질량을 가지며, BPS 상태가 아니지만, Spin(32) 게이지 전하의 보존으로 인하여 이러한 상태 가운데 가장 가벼운 것은 안정하다. S-이중성에 따라서, Ⅰ종 끈 이론에도 이에 대응하는 안정한 상태가 존재한다. S-이중성의 성질에 의하여 이는 물론 Ⅰ종 기본 끈의 스펙트럼에 등장하지 않는다. (Ⅰ종 기본 끈의 스펙트럼의 모든 상태는 SO(32)의 텐서 표현을 따른다.) 다만, 초중력 근사에서, 이러한 상태는 호모토피 군 :\pi_8(\operatorname{Spin}(32)) \cong \operatorname{Cyc}(2) 로서 존재함을 알 수 있다.언어=en 즉, 9+1차원 시공간 속에서, 입자 주위의 9차원 공간의 등각 무한대인 8차원 초구 \mathbb S^8를 생각하자. 이 경우 호모토피 군의 존재로 인하여, 무한대에서 위와 같이 위상수학적으로 자명하지 않은 꼴을 취하는 게이지 장의 상태를 취할 수 있다. 이는 양-밀스 방정식의 해를 이루지 않으며, 이와 같은 꼴의 해의 최저 에너지 상태는 (만약 존재한다면) 고에너지 물리학(즉, 초끈 이론)에 의존한다. Ⅰ종 끈 이론의 관점에서, 이는 BPS 조건을 따르지 않는 D0-막으로 여길 수 있다.언어=en언어=en 이는 BPS가 아니지만, 게이지 전하의 보존으로 인하여 안정하다.
## ⅡB 자기 이중성
{| class="wikitable" |- ! ⅡB종 막 !! ⅡB종 막 |- | 기본 끈 || D1-막 |- | D3-막 || D3-막 |- | D5-막 || NS5-막 |- | D7-막 || S7-막언어=en522 |- | D9-막 || S9-막522 |} ⅡB 이론은 스스로의 S-이중 이론이다. 또한, ⅡB 이론의 S-대칭은 SL(2,\mathbb Z)이다. 이에 따라 기본 끈((1,0)-끈)은 일반적으로 *p*개의 기본 끈과 *q*개의 D-끈으로 이루어진 **(*p*,*q*)-끈**에 대응되게 된다. 마찬가지로 (*p*,*q*) 5-막도 존재한다. D3-막은 S-이중성에 따라 변환하지 않는다. 7-막과 9-막의 변환은 더 복잡하다. D7-막은 여차원이 2이므로, 초중력에서 그 해는 부족각(不足角, deficit angle)을 가지며, 액시온(0차 라몽-라몽 장)과 딜라톤은 그 주위에서 모노드로미를 갖는다. 7-막들은 이 액시오딜라톤의 SL(2;ℤ) 모노드로미 행렬로서 분류된다. 부족각의 존재 때문에, 충분히 많은 7-막을 사용하면 ⅡB 초끈 이론의, 양의 곡률을 갖는 다양체 위의 축소화를 정의할 수 있으며, 이 경우 7-막들은 F이론에 의하여 타원 곡선 올의 퇴화에 해당한다. 9-막의 경우, 이는 시공간을 채우는 막이므로, 올챙이(tadpole) 파인먼 도표의 상쇄를 위하여 특정한 수의 D9-막과 오리엔티폴드를 가해야 하며, 이 경우 Ⅰ종 초끈 이론을 얻는다.
## ⅡA / 잡종 이중성
ⅡA종 끈 이론을 K3 곡면 위에 축소화하여 얻는, 6차원 \mathcal N=(1,1) 초끈 이론은 잡종 끈 이론을 4차원 원환면 위에 축소화하여 얻는 6차원 \mathcal N=(1,1) 초끈 이론과 같다.언어=enProposition 1 이 경우, 끈 결합 상수가 서로 반비례하므로, 이는 S-이중성의 한 형태이다.
# ⅡB종 초중력의 S-이중성
ⅡB종 초중력은 ⅡB종 초끈 이론의 저에너지 유효이론이다. ⅡB종 초끈 이론이 SL(2,\mathbb Z) S-이중성을 가지는 것처럼, ⅡB종 초중력도 SL(2,\mathbb R) S-이중성을 가진다. (초중력을 초끈 이론으로 양자화하는 과정에서, 양자역학적 효과에 의하여 SL(2,\mathbb R)가 SL(2,\mathbb Z)로 깨진다.) ⅡB종 초중력의 보손 장들은 SL(2,\mathbb R)에 대하여 다음과 같이 변환한다. {| class="wikitable" |- ! 장 !! 행렬 M=\begin{pmatrix} a&b;\\\c&d; \end{pmatrix}\in SL(2,\mathbb R)에 대한 변환 |- | 캘브-라몽 장 B_2 및 라몽-라몽 2차 형식 C_2 || \binom{B_2}{C_2}\mapsto M\binom{B_2}{C_2} |- | 딜라톤 \Phi 및 라몽-라몽 0차 형식 C_0 || \tau=C_0+i\exp(-\Phi), \tau\mapsto(a\tau+b)/(c\tau+d) |- | 라몽-라몽 4차 형식 C_4 || 불변 |- | 중력장 (아인슈타인 틀) g^{\text{(E)_{\mu\nu}=\exp(-\Phi/2)g^{\text{(string)_{\mu\nu} || 불변 |- |}
# U-이중성
U-이중성 M이론에서는 T-이중성과 S-이중성에 의하여, 보다 더 큰 이산대칭군이 존재한다. 이를 **U-이중성**이라고 한다.
# 통계역학적 격자 모형의 S-이중성
통계역학에서, 각종 격자 모형들도 S-이중성을 만족한다. 2차원 격자 모형의 S-이중성은 **크라머르스-바니어 이중성**(Kramers–Wannier duality)이라고 하며,doi=10.1103/RevModPhys.51.659 헨드릭 안토니 크라머르스와 그레고리 바니어(Gregory Hugh Wannier)가 1941년 발표하였다.doi=10.1103/PhysRev.60.252 2차원 이상의 차원에도 유사한 이중성들이 존재한다.