완전 유계 공간

해석학에서 **완전 유계 공간**(完全有界空間, totally bounded space) 또는 **원콤팩트 공간**(프리콤팩트 스페이스)은 임의적으로 "작은" 집합들로 구성된 유한 덮개를 갖는 공간이다. 여기서 임의적으로 "작은" 집합의 개념은 거리 공간 구조 또는 보다 일반적으로 균등 공간 구조로 정의된다.
# 정의

## 균등 공간을 통한 정의
균등 공간 (X,\mathcal E)에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 균등 공간을 **완전 유계 공간**이라고 한다. * 임의의 측근 E\in\mathcal E에 대하여, X_1^2,X_2^2,\dots,X_n^2\subseteq E인 유한 X-덮개 X_1,X_2,\dots,X_n\subseteq X, \textstyle\bigcup_{i=1}^nX_i=X가 존재한다. * (X,\mathcal E)의 완비화는 콤팩트 공간이다. * X 위의 모든 필터는 코시 부분 필터를 갖는다. * X 위의 모든 극대 필터는 코시 필터이다.url-status=dead (이 조건들이 동치임을 보이는 것은 선택 공리를 필요로 한다.)
## 근접 공간을 통한 정의
문서 유형=단락 집합 X 위의 **근접 구조**(proximity structure, p-structure)는 다음 조건들을 만족시키는, 멱집합 위의 이항 관계 \delta\subseteq\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)이다. * \forall A\subseteq X\colon\varnothing\nsim_\delta A * \forall x\in X\colon\\{x\\}\sim_\delta\\{x\\} * \forall A,B\subseteq X\colon A\sim_\delta B\implies B\sim_\delta A * \forall A,B,C\subseteq X\colon A\sim_\delta B\subseteq C\implies A\sim_\delta C * \forall A,B,C\subseteq X\colon A\sim_\delta(B\cup C)\implies A\sim_\delta B\lor A\sim_\delta C * \forall A,B\subseteq X\colon A\nsim_\delta X\setminus B\implies(\exists C\subseteq X\colon A\nsim_\delta X\setminus C\land C\nsim_\delta X\setminus B) **근접 공간**(proximity space, p-space)은 근접 구조를 갖춘 집합이다. 두 근접 공간 (X,\delta_X)와 (Y,\delta_Y) 사이의 **근접 함수**(proximity map, p-map)는 다음 조건을 만족시키는 함수 f\colon X\to Y이다. * 임의의 A,B\subseteq X에 대하여, 만약 A\sim_{\delta_X}B라면, f(A)\sim_{\delta_Y}f(B)이다. 다음과 같은 3개의 범주를 생각하자. * \operatorname{Top}: 위상 공간과 연속 함수의 범주 * \operatorname{Prox}: 근접 공간과 근접 함수의 범주. 특히, 근접 함수의 합성은 근접 함수이다. * \operatorname{Unif}: 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 근접 공간 (X,\delta) 위에 다음과 같은 폐포 또는 근방 필터를 정의하여 위상 공간으로 만들 수 있다. :\operatorname{cl}A=\\{x\in X\colon\\{x\\}\sim_\delta A\\} :\mathcal N_x=\\{N\subseteq X\colon\\{x\\}\nsim_\delta X\setminus N\\} 이 경우, 모든 근접 함수는 연속 함수이다. 즉, 이는 충실한 함자 :F\colon\operatorname{Prox}\to\operatorname{Top} 를 이룬다. 임의의 균등 공간 (X,\mathcal E)가 주어졌을 때, \mathcal P(X) 위에 다음과 같은 이항 관계 \delta를 정의하자. :A\sim_\delta B\iff\forall E\in\mathcal E\exists a\in A\exists b\in B\colon a\sim_Eb 그렇다면, (X,\delta)는 근접 공간을 이루며, 그 근접 위상은 균등 위상과 일치한다. 또한, 모든 균등 연속 함수는 근접 함수이다. 즉, 이는 충실한 함자 :G\colon\operatorname{Unif}\to\operatorname{Prox} 를 정의하며, GF는 균등 공간의 범주와 위상 공간의 범주 사이의 충실한 함자와 일치한다. 근접 공간 또는 균등 공간의 범주론적 곱 위의 위상은 곱위상과 일치하지만, 균등 공간의 곱 위의 접근 구조는 일반적으로 곱 근접 구조가 아니다. 즉, F와 GF는 곱을 보존하지만, G는 아니다. 특히, G는 왼쪽 수반 함자를 갖지 않는다. 반대로, 임의의 근접 공간 (X,\delta)에 대하여, 이 근접 구조를 유도하는 균등 구조가 존재한다. 즉, 근접 공간은 균등 공간들의 근접 동형에 따른 동치류로 여길 수 있다. 또한 임의의 근접 공간 (X,\delta)에 대하여, 이 근접 구조를 유도하는 균등 구조 가운데 가장 엉성한 균등 구조가 존재한다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 기본계에 의하여 정의된다. :\mathcal B=\left\\{\bigcup_{i=1}^nD_i\times D_i\colon n\in\mathbb N,\;\C_1,\ldots,C_n,D_1,\ldots,D_n\subseteq X,\;X=\bigcup_{i=1}^nC_i,\;C_i\nsim_\delta X\setminus D_i\right\\} 균등 공간에서 위와 같은 꼴의 균등 공간으로 가는 모든 접근 함수는 균등 연속 함수이다. 따라서, 이는 다음과 같은 충실충만한 매장 함자를 정의하며, 또한 이는 G의 오른쪽 수반 함자를 이룬다. :H\colon\operatorname{Prox}\to\operatorname{Unif} :G\dashv H 이에 따라, \operatorname{Prox}는 \operatorname{Unif}의 어떤 충만한 부분 범주 \operatorname{TBUnif}와 동형이다. 또한, \operatorname{TBUnif}는 \operatorname{Unif}의 반사 부분 범주를 이루며, 또한 전반사 부분 범주이자 단반사 부분 범주이다. \operatorname{TBUnif}의 대상을 **완전 유계 공간**이라고 한다. 즉, 균등 공간 (X,\mathcal E)에 대하여, 만약 \mathcal E가 그와 같은 접근 구조를 유도하는 균등 구조들 가운데 가장 엉성하다면, (X,\mathcal E)를 **완전 유계 공간**이라고 한다. 이 정의는 균등 공간을 통한 정의와 동치이다.
# 성질
완전 유계성은 완비화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 균등 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * X는 완전 유계 공간이다. * X의 완비화 \bar X는 완전 유계 공간이다. 균등 공간에 대한 **하이네-보렐 정리**에 따르면, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.언어=en * 콤팩트 공간이다. * 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이다.
## 완전 유계 거리 공간
거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다. 거리 공간 (X,d)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.mr=0464128275 * 완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 반지름이 \epsilon인 열린 공들로 구성된 유한 X-덮개가 존재한다. * X의 모든 점렬은 코시 부분 점렬을 갖는다. 즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다. 모든 완전 유계 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.
# 예
유클리드 공간의 부분 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 유계 공간이다. * 완전 유계 공간이다.
## 완전 유계 공간이 아닌 유계 공간
임의의 바나흐 공간의 단위 초구는 유계 공간이다. 그러나 임의의 바나흐 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 단위 초구가 완전 유계 공간이다. * 유한 차원 바나흐 공간이다. 모든 (유한 또는 무한) 이산 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 임의의 이산 거리 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 완전 유계 공간이다. * 유한 집합이다.