슈바르츠실트 계량

일반 상대성 이론에서 **슈바르츠실트 계량**(Schwarzschild計量, Schwarzschild metric) 또는 **슈바르츠실트 해**(Schwarzschild解, Schwarzschild solution)는 구형 대칭이며 대전되거나 회전하지 않고, 정적인 질량 분포를 나타내는 아인슈타인 방정식의 해이다. 중심의 천체가 주변에 미치는 공간의 왜곡을 나타내므로, 일반 상대성 이론의 효과를 계산할 때 제일 근사치로서 천체 주위의 물체의 운동을 계산하는 등의 경우에 널리 응용된다. 이 계량으로 나타내어지는, 즉 회전하거나 대전되지 않는 블랙홀을 **슈바르츠실트 블랙홀**(Schwarzschild black hole)이라고 한다.
# 정의
일반적으로, 털없음 정리에 따라, 블랙홀은 질량 · 각운동량 · 전하 · 자하만으로 결정된다. **슈바르츠실트 계량**은 전하·자하가 0인 정적인, 점근적으로 민코프스키 공간에 존재하는 유일한 구면 대칭 해이며, 회전하거나 대전되어 있지 않는 구형 별을 나타낸다. 만약 별의 크기가 슈바르츠실트 계량보다 작다면 블랙홀이 된다. 편의상 광속을 c=1로 놓고, −+++… 계량 부호수를 사용하면 d>3차원 시공간에서 **슈바르츠실트 계량**은 :\mathrm ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{d-3}\right)\mathrm dt^2+\left(1-(r_0/r)^{d-3}\right)^{-1}\mathrm dr^2+r^2\,\mathrm d\Omega^2_{d-2} 이 된다.doi=10.12942/lrr-2008-611 여기서, * r_0는 길이의 단위를 가지는, 사건 지평선의 위치를 나타내는 임의의 매개 변수이다. * d\Omega_{d-2}^2는 반지름이 1인 d-2차원 초구 S^{d-2}의 부피 원소로, 예를 들어 4차원 d=4인 경우, 이는 다음과 같은 구면 좌표계 넓이의 원소이다. :\mathrm d\Omega^2 = \mathrm d\theta^2 + \sin^2 \theta\mathrm d\phi^2 3차원 이하에서는 이와 같은 사건의 지평선을 갖는 슈바르츠실트 해가 존재하지 않는다. (다만 음의 우주 상수의 경우 BTZ 블랙홀이라는 해가 존재한다.)
# 성질

## 질량과 열역학
슈바르츠실트 계량의 ADM 질량 M은 다음과 같다.11 :M=\frac{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-3{16\pi G} 여기서 G는 d차원 중력 상수이며, :\operatorname{vol}(S^{d-2})=\frac{(d-1)\pi^{(d-1)/2{\Gamma((d+1)/2)} 는 d-2차원 초구의 부피이다. 예를 들어, 4차원의 경우 :M=r_0/2G 이다. 윅 회전을 통해 계산하면, 임의의 차원에서 슈바르츠실트 블랙홀의 온도는 다음과 같다. :T=\frac{\hbar c}{4\pi k_{\text{Br_0} 다시 말해, 슈바르츠실트 블랙홀은 이 온도의 호킹 복사를 방출한다. 사건 지평선의 넓이가 :A=\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-2} 이므로, 슈바르츠실트 해의 엔트로피는 :S=A/4G 이다.
## 인과 구조
슈바르츠실트 계량은 점근적으로 평탄하다. 즉, 원점에서 매우 멀리 떨어진 곳에서는 민코프스키 공간에 근접한다. 슈바르츠실트 계량은 r=r_0에서 사건 지평선을 갖는다. 이를 슈바르츠실트 반지름이라고 한다. 이 점에서 계량 텐서가 발산하는 것처럼 보이지만, 지평선은 사실 좌표 특이점에 불과하며, 다른 좌표계를 사용해 지평선 내부가 존재함을 보일 수 있다.
## 대칭
슈바르츠실트 계량은 \operatorname O(d-1) \times \mathbb R 대칭을 갖는다. 즉, 이는 d-1차원 공간의 회전에 대하여 불변이며, 또한 시간 변화에 대하여 불변이다. 즉, 이는 총 (d-1)(d-2)/2+1개의 킬링 벡터장에 해당한다. 버코프의 정리에 의하여, 진공이면서 구면 대칭을 갖는 아인슈타인 방정식의 해는 슈바르츠실트 계량 밖에 없다.
## 일반화
슈바르츠실트 블랙홀에 전하를 띠게 한 해는 라이스너-노르드스트룀 계량이다. 현실에서의 중력 붕괴 현상으로 형성되는 블랙홀은 회전하는 블랙홀이 될 것으로 여겨진다. 회전하는 블랙홀에 대한 해는 커 계량이, 거기에 더해 전하를 띠는 경우에는 커-뉴먼 계량이 유일한 해이다.
# 슈바르츠실트-더 시터르 계량
양의 우주 상수 \Lambda=(d-1)(d-2)R^{-2}/2를 가진, d>3차원의 더 시터르 공간에서, 구형 대칭의 정적 비대전 계량은 **슈바르츠실트-더 시터르 계량**(Schwarzschild-de Sitter計量, Schwarzschild–de Sitter metric)이라고 하고, 다음과 같다.언어=en :\mathrm ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{d-3}-r^2/R^2\right)\mathrm dt^2+\left(1-(r_0/r)^{d-3}-r^2/R^2\right)^{-1}dr^2+r^2\,\mathrm d\Omega_{d-2}^2
## 질량과 열역학
슈바르츠실트-더 시터르 계량의 질량은 다음과 같다. :M=\frac{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-3{16\pi G} 이는 더 시터르 공간의 질량이 0이라고 가정한 것이다.
## 인과 구조
슈바르츠실트-더 시터르 계량은 :1=(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2 인 곳에서 킬링 지평선(킬링 벡터 \partial/\partial t가 영벡터가 되는 점)을 가진다. 이 식은 일반적으로 두 개의 해를 가지는데, 안쪽의 것은 블랙홀의 지평선, 바깥쪽의 것은 더 시터르 공간의 우주론적 지평선(cosmological horizon)이다. 이 두 지평선은 일반적으로 서로 다른 온도를 가지며, 따라서 서로 다른 온도의 호킹 복사를 방출한다.언어=en언어=en
# 슈바르츠실트-반 더 시터르 계량
음의 우주 상수 \Lambda=-(d-1)(d-2)R^{-2}/2를 가진, d>2차원의 반 더 시터르 공간에서, 구형 대칭의 정적 비대전 계량은 **슈바르츠실트-반 더 시터르 계량**(Schwarzschild-反de Sitter計量, Schwarzschild–anti-de Sitter metric)이라고 하고, 다음과 같다.56 :ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2\right)dt^2+\left(1-(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega_{d-2}^2 우주 상수가 없는 경우와 달리, 이 경우 3차원에서도 블랙홀이 존재한다. 이를 BTZ 블랙홀이라고 한다.
## 질량과 열역학
슈바르츠실트-반 더 시터르 계량의 질량은 다음과 같다. :M=\frac{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-3{16\pi G} 이는 반 더 시터르 공간의 질량이 0이라고 가정한 것이다. 반 더 시터르 공간의 온도를 질량에 따른 함수 T(M)라고 하자. 이 함수는 어떤 M_0에 대하여, M\le M_0인 경우 감소하지만 M\ge M_0인 경우 증가한다. 즉, 같은 온도를 가지지만 서로 다른 에너지를 가진 두 블랙홀이 존재하며, 블랙홀의 최저 온도 T_\text{min}가 존재한다. 이 온도에서 블랙홀은 1차 상전이를 겪는다. 이를 **호킹-페이지 전이**(Hawking–Page transition)라고 하며, 스티븐 호킹과 돈 페이지(Don Page)가 발견하였다.언어=en 이는 AdS/CFT 대응성을 통해, 대응하는 등각 장론의 상전이로 해석할 수 있다.
## 인과 구조
이 계량은 :1-(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2=0 이 되는 r에서 사건 지평선을 갖는다.
# 슈바르츠실트 막
d차원 민코프스키 공간에서, 여차원이 n인 슈바르츠실트 검은 막은 다음과 같다. :\mathrm ds^2=-\left(1-(r_0/r)^n\right)\,\mathrm dt^2+\left(1-(r_0/r)^n\right)^{-1}\,dr^2+r^2\,\mathrm d\Omega^2_{n-1}+dx_1^2+\cdots+\mathrm dx_{d-n-1}^2 이는 n+1차원 공간에서의 슈바르츠실트 계량과 d-n-1차원 유클리드 공간의 곱공간이며, 리치 곡률이 0인 두 다양체의 곱공간 역시 리치 곡률이 0이므로 이 또한 아인슈타인 방정식의 진공해를 이룬다.§3.2 이 경우, 검은 막의 질량 밀도는 다음과 같다. :\rho=\frac{(n-1)\operatorname{vol}(S^{n-1})r_0^{n-2{16\pi G} 이 검은 막의 온도는 다음과 같다. :T=\frac{\hbar c}{4\pi k_\text{B}r_0} 슈바르츠실트 검은 막은 r=r_0에서 사건 지평선을 갖는다.
# 역사
카를 슈바르츠실트가 1916년 1월에 제출한 8쪽의 짧은 논문에서 유도하였다.언어=de 제1차 세계 대전 당시 슈바르츠실트는 출병 전에 일반 상대성 이론을 접한 뒤, 전쟁터에서 계산에 힘써 이 해를 도출해냈다. 그는 그 연구 결과를 알베르트 아인슈타인에게 보내고 같은 해 5월에 전사했다. 자신이 발견한 해에 대하여 슈바르츠실트는 다음과 같이 평했다. 190