기약표현

수학에서, 특히 군 및 대수의 표현론에서 **기약 표현**(旣約表現, Irreducible representation) (\rho, V) 또는 **irrep**는 부분 표현을 가지지 않는 0이 아닌 표현이다. 즉, (\rho|_W,W)에서 W \subset V는 \\{ \rho(a) : a\in A \\}의 작용에 대해 닫혀 있는 자명하지 않은 부분 공간이 없다. 힐베르트 공간 V 상의 모든 유한 차원 유니터리 표현은 기약 표현의 직합이다. 기약 표현은 항상 **분해 불가능**이지만 (즉, 표현의 직합으로 더 이상 분해될 수 없다), 그 역은 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 상삼각 행렬에 의해 작용하는 실수에 대한 2차원 표현은 분해 불가능이지만 가약이다.
# 역사
군 표현론은 1940년대부터 리하르트 브라우어에 의해 일반화되어, 실수나 복소수 위의 벡터 공간이 아닌 임의의 표수 K를 가진 체 위의 벡터 공간에 행렬 연산자가 작용하는 모듈러 표현론을 제공했다. 결과 이론에서 기약 표현에 해당하는 구조는 단순 가군이다.
# 개요
군의 표현 \rho: G \to GL(V)를 군 G의 준동형으로 표현이라 하자. 여기서 V는 체 F 위의 벡터 공간이다. V의 기저 B를 선택하면, \rho는 군에서 가역 행렬 집합으로 가는 함수(준동형)로 생각할 수 있으며 이 맥락에서 **행렬 표현**이라고 불린다. 그러나 기저 없이 공간 V를 생각하면 훨씬 간단해진다. \rho는 그것이 작용하는 벡터 공간 V의 차원이 d이면 **d차원**이다. 선형 부분 공간 W\subset V는 모든 g\in G 및 모든 w\in W에 대해 \rho(g)w\in W이면 **G-불변**이라고 한다. G-불변 부분 공간 W\subset V의 일반 선형 군에 대한 \rho의 공역 제한을 **부분 표현**이라고 한다. 표현 \rho: G \to GL(V)는 자명한 부분 표현만 가지면 **기약**이라고 한다 (모든 표현은 자명한 G-불변 부분 공간, 예를 들어 전체 벡터 공간 V, 및 {0}{로부터 부분 표현을 형성할 수 있다). 적절한 자명하지 않은 불변 부분 공간이 있으면 \rho는 **가약**이라고 한다.
## 군 표현의 표기법 및 용어
군 요소는 행렬로 표현될 수 있지만, "표현"이라는 용어는 이 맥락에서 특정하고 정확한 의미를 갖는다. 군의 표현은 군 요소에서 행렬의 일반선형군으로의 사상이다. 표기법으로, a, b, c, ...는 군 곱을 기호 없이 나타내는 군 G의 요소를 나타낸다. 따라서 ab는 a와 b의 군 곱이며 G의 요소이기도 하다. 그리고 표현은 D로 나타낸다. **a의 표현**은 다음과 같이 쓰여진다. :D(a) = \begin{pmatrix} D(a)_{11} & D(a)_{12} & \cdots & D(a)_{1n} \\\ D(a)_{21} & D(a)_{22} & \cdots & D(a)_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ D(a)_{n1} & D(a)_{n2} & \cdots & D(a)_{nn} \\\ \end{pmatrix} 군 표현의 정의에 따라, 군 곱의 표현은 표현의 행렬 곱셈으로 변환된다. :D(ab) = D(a)D(b) e가 군의 항등원이면 (따라서 1=ae = ea = a, 등), D(e)는 단위 행렬이거나 동일하게 단위 행렬의 블록 행렬이어야 한다. 왜냐하면 다음과 같아야 하기 때문이다. :D(ea) = D(ae) = D(a)D(e) = D(e)D(a) = D(a) 그리고 다른 모든 군 요소에 대해서도 마찬가지이다. 마지막 두 진술은 D가 군 준동형사상이라는 요구 사항에 해당한다.
## 가약 표현과 기약 표현
표현이 자명하지 않은 G-불변 부분 공간을 포함하면 가약이다. 즉, 모든 행렬 D(a)는 동일한 가역 행렬 P에 의해 상삼각 블록 형태로 놓일 수 있다. 다시 말해, 닮음 변환이 존재한다. : D'(a) \equiv P^{-1} D(a) P, 이는 표현의 모든 행렬을 동일한 패턴의 상삼각 블록으로 매핑한다. 모든 순서가 지정된 부블록은 군 부분 표현이다. 즉, 예를 들어 표현이 2차원이면 다음과 같다. D'(a) = P^{-1} D(a) P = \begin{pmatrix} D^{(11)}(a) & D^{(12)}(a) \\\ 0 & D^{(22)}(a) \end{pmatrix}, 여기서 D^{(11)}(a)는 자명하지 않은 부분 표현이다. 만약 D^{(12)}(a) = 0도 만족시키는 행렬 P 를 찾을 수 있다면, D(a)는 가약일 뿐만 아니라 분해 가능하기도 하다. '주의:' 표현이 가약이더라도 행렬 표현은 여전히 상삼각 블록 형태가 아닐 수 있다. 위에서 언급한 행렬 P^{-1}을 표준 기저에 적용하여 얻을 수 있는 적절한 기저를 선택해야만 이 형태를 갖게 된다.
## 분해 가능 표현과 분해 불가능 표현
모든 행렬 D(a)가 동일한 가역 행렬 P에 의해 블록 대각 형태로 놓일 수 있으면 표현은 분해 가능하다. 다시 말해, 닮음 변환이 존재한다.publisher=Academic press : D'(a) \equiv P^{-1} D(a) P, 이는 표현의 모든 행렬을 동일한 패턴의 대각 블록으로 대각화한다. 각 블록은 다른 블록과 독립적인 군 부분 표현이다. 표현 *D*(*a*)와 *D′*(*a*)는 **동치 표현**이라고 한다.isbn=978-997-1966-560 ('k'차원 표현이라고 하자) 표현은 *k* > 1개 행렬의 직합]]으로 분해될 수 있다. :D'(a) = P^{-1} D(a) P = \begin{pmatrix} D^{(1)}(a) & 0 & \cdots & 0 \\\ 0 & D^{(2)}(a) & \cdots & 0 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ 0 & 0 & \cdots & D^{(k)}(a) \\\ \end{pmatrix} = D^{(1)}(a) \oplus D^{(2)}(a) \oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a), 따라서 *D*(*a*)는 **분해 가능**하며, 분해된 행렬은 괄호 안에 위첨자를 사용하여 1=*n* = 1, 2, ..., *k*에 대해 *D*(*n*)(*a*)와 같이 표기하는 것이 일반적이지만, 일부 저자는 괄호 없이 숫자 레이블만 쓰기도 한다. *D*(*a*)의 차원은 블록 차원의 합이다. :\dim[D(a)] = \dim[D^{(1)}(a)] + \dim[D^{(2)}(a)] + \cdots + \dim[D^{(k)}(a)]. 이것이 불가능하다면, 즉 1=*k* = 1이면 표현은 분해 불가능하다.isbn=978-997-1966-560 **주의**: 표현이 분해 가능하더라도 행렬 표현은 대각 블록 형태가 아닐 수 있다. 위에서 언급한 행렬 P^{-1}을 표준 기저에 적용하여 얻을 수 있는 적절한 기저를 선택해야만 이 형태를 갖게 된다.
## 기약 표현과 분해 불가능 표현의 관계
기약 표현은 본질적으로 분해 불가능한 표현이다. 그러나 역은 성립하지 않을 수 있다. 하지만 일부 조건 하에서는 분해 불가능한 표현이 기약 표현이 된다. * 군 G가 유한하고, **C** 위에서 표현을 가질 때, 분해 불가능한 표현은 기약 표현이다.pages=295 * 군 G가 유한하고, 체 K 위에서 표현을 가질 때, 만약 char(K)\nmid |G|이면, 분해 불가능한 표현은 기약 표현이다.
# 기약 표현의 예시

## 자명한 표현
모든 군 G는 모든 군 요소를 항등 변환에 매핑하여 0차원의 기약 자명한 표현을 갖는다.
## 1차원 표현
모든 1차원 표현은 적절한 비자명 불변 부분 공간을 가지지 않기 때문에 기약이다.
## 기약 복소 표현
유한군 G의 기약 복소 표현은 지표 이론의 결과를 사용하여 특징화할 수 있다. 특히, 모든 복소 표현은 irreps의 직접 합으로 분해되며, G의 irreps 수는 G의 켤레류 수와 같다.isbn=978-0-387-90190-9 * \Z / n\Z의 기약 복소 표현은 정확히 1 \mapsto \gamma 맵으로 주어진다. 여기서 \gamma는 n번째 1의 거듭제곱근이다. * V를 기저 \\{v_i\\}^n_{i=1}를 갖는 S_n의 n차원 복소 표현이라 하자. 그러면 V는 다음과 같이 irreps의 직접 합으로 분해된다. V_\text{triv} = \Complex \left ( \sum^n_{i=1} v_i \right ) 그리고 다음으로 주어지는 직교 부분 공간 V_\text{std} = \left \\{ \sum^n_{i=1} a_i v_i : a_i \in \Complex, \sum^n_{i=1} a_i = 0 \right \\}. 전자의 irrep는 1차원이며 S_n의 자명한 표현과 동형이다. 후자는 n-1차원이며 S_n의 표준 표현으로 알려져 있다. * G를 군이라 하자. G의 정규 표현은 군 작용 g \cdot e_{g'} = e_{gg'}이 있는 기저 \\{e_g\\}_{g \in G}에 대한 자유 복소수 벡터 공간 \Complex G이다. G의 모든 기약 표현은 \Complex G를 irreps의 직접 합으로 분해하는 데 나타난다.
## **F***p* 상의 기약 표현의 예시
*G를 p 군으로 하고 V = \mathbb{F}_p^{n}을 \mathbb{F}_p 위의 G의 유한 차원 기약 표현으로 하자. 궤도-안정자 정리(Orbit-stabilizer theorem)에 의해, p 군 G에 의해 작용된 모든 V 요소의 궤도 크기는 p의 거듭제곱이다. 이 모든 궤도의 크기가 G의 크기와 합산되고, 0 \in V는 자신만을 포함하는 크기 1 궤도에 있기 때문에, 합이 일치하기 위해서는 크기 1인 다른 궤도가 있어야 한다. 즉, 모든 g \in G에 대해 gv = v인 일부 v\in V가 존재한다. 이것은 \mathbb{F}_p 위의 p 군의 모든 기약 표현이 1차원이어야 함을 강제한다.
# 이론 물리학 및 화학에서의 응용
양자 물리학 및 양자화학에서, 축퇴된 에너지 준위의 각 집합은 해밀턴 연산자의 대칭 군 표현을 위한 벡터 공간 V을 구성하며, "다중항"은 기약 부분으로의 환원을 통해 가장 잘 연구된다. 따라서 기약 표현을 식별함으로써 상태를 라벨링하고 섭동 하에서 어떻게 분할될 것인지 예측할 수 있다. 또는 V의 다른 상태로 전이할 수 있다. 따라서 양자 역학에서 시스템의 대칭 군의 기약 표현은 시스템의 에너지 준위를 부분적으로 또는 완전히 라벨링하여 선택규칙을 결정할 수 있도록 한다.quote=Each possible set of symmetry eigenvalues ... is called a symmetry species (or symmetry type). The group theory term is irreducible representation.
# 리 군
리 군의 표현론
## 로런츠 군
로런츠 군의 표현론 회전 생성자 **J**와 부스트 생성자 **K**의 기약 표현 *D*(**K**) 및 *D*(**J**)는 로런츠 군의 스핀 표현을 구성하는 데 사용될 수 있다. 이는 양자 역학의 스핀 행렬과 관련이 있기 때문이다. 이를 통해 상대론적 파동 방정식을 유도할 수 있다.bibcode=1992AnPhy.216..226J
## 결합 대수
* 단순 가군 * 분해 불가능 대상 * 결합 대수의 표현
## 리 군
* 리 대수의 표현론 * SU(2)의 표현론 * SL2(R)의 표현론 * 갈릴레이 군의 표현론 * 미분동형사상 군의 표현론 * 푸앵카레 군의 표현론 * 최고 가중치 정리
## 서적
* author-link=헤르만 바일 * isbn=0-7503-0941-5* isbn=978-0-07-084011-9 * isbn=978-0-07-084011-9 * isbn=978-048-6675-855 * isbn=978-0-13-146100-0 * isbn=978-0-470-03294-7 * * * * title-link=The Road to Reality * isbn=978-0-19-855129-4
## 논문
* doi-access=free * url-status = dead
# 더 읽을거리
*location=Chapter V