화살집 게이지 이론

양자장론에서 **화살집 게이지 이론**(화살집gauge異論, quiver gauge theory)은 특정한 꼴의 화살집으로 정의되는 게이지 이론이다.
# 정의
편의상, 4차원 시공간의 \mathcal N=1 초대칭 게이지 이론을 생각하자. **화살집 게이지 이론**은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 유한 화살집 Q * Q의 각 꼭짓점 v\in\operatorname V(Q)에 대하여, 연결 콤팩트 리 군 G_v. 이는 유니터리 군 \operatorname U(N), 특수 유니터리 군 \operatorname{SU}(N), 특수 직교군 \operatorname{SO}(N), 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(N) 가운데 하나이어야 한다. 이 경우, 화살집 게이지 이론은 다음과 같은 4차원 \mathcal N=1 초대칭 게이지 이론이다. * 게이지 군은 \textstyle\prod_{v\in\operatorname V(Q)}G_v이다. * Q의 각 변 e\colon u\to v에 대하여, 정의 표현(defining representation) \bar N_u \otimes N_v로 변환하는 손지기 초장 \Phi_e이 존재한다. 이러한 표현을 **쌍기본 표현**(bifundamental representation)이라고 한다. 예를 들어, \mathrm{SU}(2)와 \mathrm{SU}(3) 사이에 있는 변은 6차원 표현 \bar{\mathbf2}_{\operatorname{SU}(2)}\otimes{\mathbf3}_{\operatorname{SU}(3)}으로 변환한다. 다른 차원의 경우도 마찬가지의 꼴로 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다. 화살집 도형은 특히 등각 게이지 이론을 나타내는 데 편하다. 화살집 도형의 구조로 이론이 등각 대칭을 보존하는지 여부를 쉽게 확인할 수 있다.
# 성질

## 변칙 상쇄 조건
편의상, 4차원 \mathcal N=1 SU(N)×…×SU(N) 양-밀스 이론을 생각하자. 이는 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 유한 화살집 Q * 함수 N \colon \operatorname V(Q)\to \\{2,3,\dotsc\\}. 즉, 각 꼭짓점 v\in\operatorname V(Q)에 대하여, 2 이상의 정수 N_v. 즉, 이 꼭짓점은 게이지 군 \operatorname U(N_v)에 대응한다. 이제, 다음과 같은 |\operatorname E(Q)|\times|\operatorname V(Q)| 부호 결합 행렬(signed incidence matrix)을 정의하자. :B_Q\in\operatorname{Mat}(|\operatorname V(Q)|,|\operatorname E(Q)|;\mathbb Z) :M(e,v) = \begin{cases} +1 & v = t(e) \ne s(e)\\\ -1 & v = s(e) \ne t(e)\\\ 0 & v = t(e) = s(e) \\\ 0 & s(e) \ne v \ne t(e) \end{cases} 그렇다면, 부호 인접 행렬(signed adjacency matrix) :A_Q=B_Q^\top B_Q 을 정의할 수 있다. 또한, N을 |\operatorname V(Q)|\times 1 열벡터로 간주하자. (Q,N)에 대응되는 화살집 게이지 이론이 게이지 변칙을 갖지 않으려면, 다음 조건이 성립해야 한다.issn=0015-8208(2.4) :B_Q^\top B_Q N = 0 이는 각 꼭짓점 \operatorname{SU}(N_v)에서, 기본 표현과 반기본 표현의 수의 합이 0이 되어야 하기 때문이다. (만약 N_v=2일 경우, 대역적 위튼 변칙이 발생한다.)
## 끈 이론을 통한 구성
일부 화살집 게이지 이론은 점근 국소 유클리드 공간 위에 평행한 D-막들을 놓았을 때, 이 D-막의 포갬 위에 존재하는 유효 장론으로 구성될 수 있다.언어=en§2.2 구체적으로, SU(2)의 유한 부분군 \Gamma\le\operatorname{SU}(2)가 주어졌을 때, \mathbb R^4 \cong \mathbb C^2의 뒤발 특이점 :\mathbb C^2/\Gamma 을 정의할 수 있다. 이는 오비폴드이므로, 이 위의 초끈 이론을 정의할 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 오비폴드의 특이점에 N개의 D5-막을 배치하자. 그렇다면, 이 위에는 \Gamma의 매케이 화살집에 해당하는 5+1차원 \mathcal N=(1,0) 화살집 게이지 이론이 존재한다.언어=en§4언어=en§2.1 이는 오비폴드를 가하기 이전의 6차원 \mathcal N=(1,1) 이론에 오비폴드를 가한 것으로 볼 수 있다. 이는 (\mathcal N=(1,0)의 언어를 사용하면) 하나의 딸림표현 벡터 초다중항과 하나의 딸림표현 하이퍼 초다중항으로 구성된다. 이론의 각 오비폴드 섹터는 일반적으로 천-페이턴 지표 공간 \mathbb C^N은 \Gamma의 유니터리 표현으로 분류된다. 이러한 표현을 \Gamma의 기약 표현으로 분해하자. :\mathbb C^N = \bigoplus N_i\rho_i 그렇다면, 이 경우 \operatorname U(N) 게이지 군은 :\prod_i \operatorname U(N_i) 로 깨지게 된다. (이 가운데 U(1) 성분은 나머지 성분과 상호작용하지 않아, 이는 \textstyle\prod_i\operatorname{SU}(N_i)로 여겨도 무방하다.) 하이퍼 초다중항의 경우, SU(2) R대칭의 **2**를 따라 변환하므로, 이들은 **2**에 대한 매케이 화살집의 변들에 해당하는 게이지 표현을 갖는다. D5-막 대신 T-이중성을 가하여 6차원 이하의 임의의 차원에서 위와 같은 16개의 초전하를 갖는 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다. 예를 들어, 4차원의 경우 이는 \mathcal N=2 초대칭에 해당한다. 마찬가지로, SU(3)의 유한 부분군 \Gamma\le\operatorname{SU}(3)가 주어졌을 때, \mathbb R^4 \cong \mathbb C^3의 오비폴드 :\mathbb C^3/\Gamma 를 생각할 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 오비폴드의 특이점에 N개의 D3-막을 배치하자. 그렇다면, 이 위에는 \Gamma의 매케이 화살집에 해당하는 3+1차원 \mathcal N=1 화살집 게이지 이론이 존재한다. 이는 4차원 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론에서 R대칭 SU(4) 가운데 SU(3)만큼을 부분군을 통하여 오비폴드를 가하는 것에 해당한다. (SU(4) 전체에 속하는 일반적 부분군을 사용하면, 아무 초대칭이 남지 못한다.) 이 경우, 스칼라 보손들은 SU(3)의 **3**⊕**3** (SU(4)의 **6**) 표현을 따르며, 페르미온들은 SU(3)의 **3**⊕**1** (SU(4)의 **4**) 표현을 따른다. 즉, 이들은 해당 표현에 대한 매케이 화살집으로 묘사되는 게이지 표현을 따른다. 이 가운데 **3**(또는 **3**)에 해당하는 것은 4차원 \mathcal N=1 손지기 초다중항을 이루며, **1**에 해당하는 페르미온은 \mathcal N=1 벡터 초다중항의 일부이다.
# 예
표준 모형의 한 세대의 장들은 다음과 같이 화살집으로 표기된다. : 1 \, \overset L\to \, \operatorname{SU}(2) \, \overset Q\to \, \operatorname{SU}(3) \, \overset{ U^{\mathsf c{\underset{D^{\mathsf c\rightrightarrows} \, 1 이로서, \operatorname{SU}(2) 및 \operatorname{SU}(3)에 대하여 게이지 변칙이 발생하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다. (그러나 이는 U(1)을 표기하지 못한다.)
# 역사
수컷 말코손바닥사슴은 화려한 뿔을 가진다. 게이지 이론의 구조를 화살집으로 나타내는 아이디어는 하워드 조자이가 1985년에 최초로 도입하였다.언어=en 조자이는 이러한 화살집을 “무스”(moose)라고 불렀는데, 이는 말코손바닥사슴을 뜻한다. 이는 화살집의 모양을 수컷 말코손바닥사슴의 뿔에 빗댄 것이다. 마이클 더글러스(Michael R. Douglas, 1961~)와 그레고리 윈스럽 무어가 이러한 꼴의 이론이 끈 이론에서 자연스럽게 발생한다는 것을 1996년에 증명하였다.언어=en