지배 수렴 정리

해석학에서 **지배 수렴 정리**(支配收斂定理, dominated convergence theorem, 약자 DCT)는 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다.
# 정의

## 확장 지배 수렴 정리
측도 공간 (X,\mathcal S,\mu) 위의 가측 함수의 열 f_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) (n\in\mathbb N) 및 함수 f\colon X\to\mathbb R에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수의 열 g_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) (n\in\mathbb N) 및 가측 함수 g\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))가 존재한다고 하자. * 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다. ** (점별 수렴) f_n은 f로 점별 수렴하며, g_n은 g로 점별 수렴한다. ** (거의 어디서나 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 거의 어디서나 수렴하며, g_n은 g로 거의 어디서나 수렴한다. ** (측도 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 측도 수렴하며, g_n은 g로 측도 수렴한다. * (적분 가능성) \int_X|g|\mathrm d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X|g_n|\mathrm d\mu<\infty * (적분 가능 함수열에 의한 지배) 모든 n\in\mathbb N에 대하여, 거의 어디서나 |f_n|\le g_n 그렇다면, **확장 지배 수렴 정리**(擴張支配收斂定理, extended dominated convergence theorem, 약자 EDCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.zbl=1125.6000157, §2.3, Theorem 2.3.11 * (적분 가능성) \int_X|f|\mathrm d\mu<\infty * (*L*1 수렴) \lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0 * (적분과 극한의 교환) \lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu 사실, 이 경우 셰페 정리(Scheffé's theorem)에 따라 g_n 역시 g로 *L*1 수렴한다. 부제=점별 수렴 또는 거의 어디서나 수렴 가측 함수의 점별 극한이 존재한다면, 이는 가측 함수이다. 따라서 거의 어디서나 수렴의 경우를 증명하면 충분하다. 적분 가능성: 가정에 따라 f와 g는 가측 함수이며, 파투 보조정리에 따라 :\int_X|f|\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_X|f_n|\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_X|g_n|\mathrm d\mu=\int_X|g|\mathrm d\mu<\infty 이다. *L*1 수렴: 삼각 부등식에 의하여, 거의 어디서나 :|f_n-f|\le|f_n|+|f|\le g_n+g 이므로, g_n+g-|f_n-f|는 거의 어디서나 음이 아닌 가측 함수이다. 이 함수에 파투 보조정리를 적용하면 :\begin{align}\int_X2g\mathrm d\mu &\le\liminf_{n\to\infty}\int_X(g_n+g-|f_n-f|)\mathrm d\mu \\\ &=\int_X2g\mathrm d\mu-\limsup_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu \end{align} 를 얻는다. 적분과 극한의 교환: 삼각 부등식에 따라 :\limsup_{n\to\infty}\left|\int_Xf_n\mathrm d\mu-\int_Xf\mathrm d\mu\right|\le\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0 이다. 증명 끝 부제=측도 수렴 측도 수렴 가정에 따라, 임의의 부분열 f_{n_k} (k\in\mathbb N)에 대하여, 각각 f, g로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 f_{n_{k_j, g_{n_{k_j가 존재한다. 거의 어디서나 수렴에 대한 확장 지배 수렴 정리에 따라 :\lim_{j\to\infty}\int_X|f_{n_{k_j-f|\mathrm d\mu=0 이다. 이에 따라 :\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0 이다. 증명 끝
## 지배 수렴 정리
측도 공간 (X,\mathcal S,\mu) 위의 가측 함수의 열 f_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) (n\in\mathbb N) 및 함수 f\colon X\to\mathbb R에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수 g\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))가 존재한다고 하자. * 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다. ** (점별 수렴) f_n은 f로 점별 수렴한다. ** (거의 어디서나 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 거의 어디서나 수렴한다. ** (측도 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 측도 수렴한다. * (적분 가능성) \int_X|g|\mathrm d\mu<\infty * (적분 가능 함수에 의한 지배) 모든 n\in\mathbb N에 대하여, 거의 어디서나 |f_n|\le g 그렇다면, **지배 수렴 정리**에 따르면 다음 조건들이 성립한다.url-status=dead2657, §2.3, Corollary 2.3.12 * (적분 가능성) \int_X|f|\mathrm d\mu<\infty * (*L*1 수렴) \lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0 * (적분과 극한의 교환) \lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu 증명 확장 지배 수렴 정리에서 g_n=g를 취한다. 증명 끝
## 유계 수렴 정리
유한 측도 공간 (X,\mathcal S,\mu) (\mu(X)<\infty) 위의 가측 함수의 열 f_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) (n\in\mathbb N) 및 함수 f\colon X\to\mathbb R가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. * 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다. ** (점별 수렴) f_n은 f로 점별 수렴한다. ** (거의 어디서나 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 거의 어디서나 수렴한다. ** (측도 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 측도 수렴한다. * \sup_{n\in\mathbb N}\|f_n\|_\infty<\infty 그렇다면, **유계 수렴 정리**(有界收斂定理, bounded convergence theorem, 약자 BCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.57, §2.3, Corollary 2.3.13 * (적분 가능성) \int_X|f|\mathrm d\mu<\infty * (*L*1 수렴) \lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0 * (적분과 극한의 교환) \lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu 증명 지배 수렴 정리에서 :g\colon x\mapsto\sup_{n\in\mathbb N}\|f_n\|_\infty 를 취한다. 증명 끝
# 역사
역사적으로, 앙리 르베그는 르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.언어=ko313 구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.313 * 어떤 함수 f가 실수 상의 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수가 유계라면, \int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a). 이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속 함수이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다.