군의 확대

군론에서 **군의 확대**(群-擴大, group extension)는 군을 정규 부분군과 몫군으로 나타내는 방법이다.
# 정의
군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다고 하자. :1\rightarrow N\xrightarrow\iota G\xrightarrow\pi Q\rightarrow 1 즉, :G/\iota(N)\cong Q 이다. 그렇다면 G를 N에 의한 Q의 **확대**(extension of *Q* by *N*)라고 한다. 만약 N이 G의 중심의 부분군이라면, 즉 :\iota(N)\subset Z(G) 이라면 이를 **중심 확대**(中心擴大, central extension)라고 한다. N의 Q로의 두 확대 :1\to N\xrightarrow\iota G\xrightarrow\pi Q\to 1 :1\to N\xrightarrow{\iota'}G'\xrightarrow{\pi'}Q\to 1 에 대하여, 만약 다음 그림 :\begin{matrix} 1&\to& N&\xrightarrow\iota &G;&\xrightarrow\pi &Q;&\to&1\\\ &&\|&&{\scriptstyle\phi}\downarrow\\!{\wr}&&\|\\\ 1&\to& N&\xrightarrow[\iota']{}&G;'&\xrightarrow[\pi']{}&Q;&\to&1 \end{matrix} 을 가환하게 하는 군 동형 \phi\colon G\to G'이 존재한다면, G와 G'을 서로 **동형인 확대**라고 한다.
# 분류
군의 확대들의 동형류들은 2차 군 코호몰로지에 의하여 분류된다.
## 아벨 군의 범주 속에서의 확대
N과 Q가 아벨 군이며, 확대된 군 G 역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 Ext 함자에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 아벨 군의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은 :\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N) 과 표준적으로 일대일 대응한다.
## 아벨 정칙 부분군의 경우
N이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면, N의 Q에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다. :\bigsqcup_{\phi\in\hom(Q,\operatorname{Aut}N)}\operatorname H^2_\phi(Q,N) 여기서 \operatorname H^2_\phi(Q,N)은 N을 작용 \phi를 갖춘 Q-가군으로 보았을 때의 2차 군 코호몰로지이다. 즉, 군의 확대 N\to G\to Q가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형 :\phi\colon Q\to\operatorname{Aut}N :\phi\colon q\mapsto(n\mapsto qnq^{-1}) 이 유도되는데, 주어진 준동형 \phi에 대응하는 확대들은 2차 군 코호몰로지 \operatorname H^2_\phi(Q,N)과 표준적으로 대응한다. 이는 반직접곱 N\rtimes_\phi Q가 표준적인 밑점(basepoint)을 제공하기 때문이다. 특히, Q의 아벨 군 N에 대한 중심 확대는 자명한 작용 q\cdot n=n\;\forall q\in Q,n\in N에 대응하며, 중심 확대는 자명한 Q-가군 계수의 2차 군 코호몰로지 \operatorname H^2(Q,N)와 표준적으로 일대일 대응한다.
## 무중심 정칙 부분군의 경우
N의 중심이 자명군일 경우, N의 Q에 대한 확대의 동형류들은 군 준동형 :Q\to\operatorname{Out}N=\operatorname{Aut}N/\operatorname{Inn}N 과 일대일 대응한다.언어=en106, Corollary 6.8; Exercise 6.1 이는 가환 그림 :\begin{matrix} 1&\to&N;&\hookrightarrow&G;&\twoheadrightarrow& Q&\to&1\\\ &&\| &&\downarrow\scriptstyle\phi^*&&\downarrow\scriptstyle\phi\\\ 1&\to&\operatorname{Inn}N&\hookrightarrow&\operatorname{Aut}N&\twoheadrightarrow&\operatorname{Out}N&\to&1 \end{matrix} 에서, \phi^*\colon G\to\operatorname{Aut}N이 \phi\colon Q\to\operatorname{Out}N으로부터 완전히 결정되기 때문이다. 특히, N이 자명한 중심을 갖고, 또한 외부자기동형군 역시 자명하다면, N의 모든 확대는 직접곱이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 **완비군**(完備群, complete group)이라고 한다.
## 외부 자기 동형을 갖지 않는 정칙 부분군의 경우
만약 \operatorname{Out}N이 자명군이라면, 준동형 Q\to\operatorname{Out}N은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대들은 2차 군 코호몰로지 \operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))와 표준적으로 일대일 대응하며, 0\in\operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))은 직접곱 N\times Q에 대응한다. 구체적으로, :\begin{matrix} &&1&&1&&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\operatorname Z(N)&\hookrightarrow&\operatorname C_G(N)&\twoheadrightarrow&\operatorname C_G(N)/\operatorname Z(N)&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\!\wr\\\ 1&\to&N;&\hookrightarrow&G;&\twoheadrightarrow& Q&\to&1\\\ &&\downarrow &&\downarrow&&\downarrow\\\ 1&\to&\operatorname{Inn}N&\cong&\operatorname{Aut}N&\to&1\\\ &&\downarrow&&\downarrow\\\ &&1&&1 \end{matrix} 이므로, 짧은 완전열 :1\to\operatorname Z(N)\to\operatorname C_G(N)\to Q\to1 이 존재한다. \operatorname Z(N)이 아벨 군이며, \operatorname Z(N)의 \operatorname C_G(N)에 대한 작용은 자명하므로 가능한 \operatorname C_G(N)들은 \operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진 \operatorname C_G(N)에 대하여 G는 짧은 완전열 :1\to\operatorname C_G(N)\to G\to\operatorname{Aut}N\to1 에서 유일하게 결정된다.
## 일반적 정칙 부분군의 경우
일반적인 N의 경우, 군의 확대의 동형류들은 여전히 2차 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점(basepoint)이 유일하지 않으므로 이 대응은 더 이상 표준적이지 않다. 구체적으로, 확대 :1\to N\to G\to Q\to1 가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형 :Q\to\operatorname{Out}N=\operatorname{Aut}N/\operatorname{Inn}N 이 존재한다. 임의의 준동형 \phi\colon Q\to\operatorname{Out}N에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.105, Theorem 6.7 * \phi를 유도하는 군의 확대 G가 존재한다. * 어떤 특정한 \theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)\in \operatorname H^3_\phi(Q,\operatorname Z(N))에 대하여, \theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)=0이다. 즉, \phi를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다. 만약 위 조건이 성립한다면, \phi를 통한 임의의 두 확대 G,G'에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로 \operatorname H^2_\phi(G,\operatorname Z(N))과 일대일 대응시킬 수 있다.105, Theorem 6.6 즉, \phi를 통한 확대들은 \operatorname H^2_\phi(G,\operatorname Z(N))과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만, \phi가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대 G=N\times Q를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다. 구체적으로, 이 걸림돌 \theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)는 다음과 같다.105, Theorem 6.7 완전열 :1\to\operatorname Z(N)\to N\to\operatorname{Aut} N\to\operatorname{Out}N\to1 에 의하여, 원소 :u\in\operatorname H^3(\operatorname{Out}N,\operatorname Z(N)) 가 주어진다. 또한, 군 준동형 \phi\colon Q\to\operatorname{Out}N에 의하여, 코호몰로지 군 사이의 준동형 :\phi^*\colon\operatorname H^\bullet(\operatorname{Out},\operatorname Z(N))\to\operatorname H^\bullet(Q,\operatorname Z(N)) 이 주어진다. 그렇다면 :\theta=\phi^*u 이다.