톰-쿡 알고리즘

**톰–쿡 알고리즘**(Toom–Cook algorithm)은 안드레이 톰과 스테픈 쿡이 제안한 곱셈 알고리즘으로 큰 두 정수를 곱할 때 사용된다. 톰-쿡 알고리즘에서는 큰 정수 *a*와 *b*를 곱하기 위해, 두 수를 작은 조각으로 나눈다. 조각의 수를 *k*라고 할때, *k*가 커질수록 곱셈의 내부 연산법은 복잡해지지만, 전체 시간 복잡도는 낮아진다. 이 곱셈 방법은 나눠진 각각의 조각에 대해서도 다시 적용할 수 있기 때문에, 조각이 작아질때까지 재귀적으로 사용할 수 있다. 톰-3 알고리즘은 *k*가 3일 경우를 가리키며, 9번의 곱셈을 5번으로 단축시켜, Θ(*n*log(5)/log(3)), 즉 Θ(*n*1.465) 시간 안에 곱셈을 완료한다. 일반적으로 톰-*k* 알고리즘은 Θ(*c*(*k*) *ne*) 시간에 수행될 수 있다. 여기서 *e* = log(2*k* − 1) / log(*k*), *ne*은 조각들 간의 곱셈에 걸리는 시간, *c*는 덧셈이나 뺄셈, 혹은 작은 상수와의 곱셈에 걸리는 시간을 뜻한다.커누스, p. 296 카라슈바 알고리즘은 톰-쿡 알고리즘에서 *k*가 2인 특별한 경우로, 4번의 곱셈을 3번으로 줄여 Θ(*n*log(3)/log(2)) 시간 안에 수행된다. *k*가 1인 경우는 일반적인 곱셈 알고리즘과 동일해지며 시간 복잡도는 Θ(*n*2)가 된다. *k*값을 증가시켜서 *e*값을 거의 1에 가깝게 낮출수 있지만, 이 경우 *c*의 값이 급속하게 커져 소용이 없다.Crandall & Pomerance, p. 474 이런 부가적인 연산 때문에 톰-쿡 알고리즘은 작은 정수의 곱셈에 적용하면 일반 곱셈법보다 느려지기에 이 알고리즘은 적당히 큰 정수에 사용되며, 정수 크기가 훨씬 더 커질 경우는 시간복잡도가 Θ(*n* log *n* log log *n*)인 쇤하게-슈트라센 알고리즘이더빠 르게 된다. 톰은 1963년에 처음 이 알고리즘을 제시하였고, 쿡은 1966년에 그의 박사 논문에서 이 알고리즘을 개량시켰다.Positive Results, chapter III of Stephen A. Cook: *On the Minimum Computation Time of Functions*.
# 상세
이 단락은 톰-*k* 알고리즘이 어떻게 작동하는지를 간략하게 설명한다.Marco Bodrato. Towards Optimal Toom–Cook Multiplication for Univariate and Multivariate Polynomials in Characteristic 2 and 0. In *WAIFI'07 proceedings*, LNCS 4547권, 116 쪽–133. 2007년 6월 21–22일. 저자의 웹 사이트 알고리즘은 크게 5단계를 거쳐 완료된다. # 분할 # 평가 # 점별 곱셈 # 보간 # 합성 큰 정수를 구현하는데 있어서, 대개 위치 기수법으로 각 자리의 정수를 표현하는 방법이 자주 사용된다. 이 때의 밑을 *b*라고 하자. 이 예시에서는 *b* = 10000을 사용할 것이므로, 한 자리에는 4개의 10진 정수가 들어가게 된다. (실제 컴퓨터 구현에서는 연산의 효율성을 위해 *b*값으로 2의 거듭제곱이 사용된다.) 두 큰 정수를 다음과 같다고 하자. {| |*m* || = ||12||3456||7890||1234||5678||9012 |- |*n* || = |align=right|9||8765||4321||9876||5432||1098. |} 물론 이 정수들은 톰-쿡 알고리즘을 사용하기엔 작아서, 그냥 일반 곱셈법이 훨씬 빠르다. 하지만 설명을 위해 이 값을 사용하도록 한다.
## 분할
첫번째 단계는 정수를 *k*개의 조각으로 자르기 위한 적절한 단위인 *B* = *b**'i*를 찾는 것이다. 일반적으로 *i*는 다음과 같이 구할 수 있다. :i = \max\\\lfloor}{\lfloor}\log_b m{\rfloor}/k{\rfloor}, {\lfloor}{\lfloor}\log_b n{\rfloor}/k{\rfloor}\\} + 1. 이 예제에서는 톰-3 알고리즘을 사용할 것이므로, *B* = *b*2 = 108가 된다. 이 B값을 단위로 *m*과 *n*을 자르면 *m**'i*, *n**'i*는 다음과 같이 될 것이다. : \begin{align} m_2 & {} = 123456 \\\ m_1 & {} = 78901234 \\\ m_0 & {} = 56789012 \\\ n_2 & {} = 98765 \\\ n_1 & {} = 43219876 \\\ n_0 & {} = 54321098 \end{align} 우리는 이 수를 계수로 하는 *k*−1차 다항식을 만들것이다. :p(x) = m_2x^2 + m_1x + m_0 = 123456x^2 + 78901234x + 56789012 \, :q(x) = n_2x^2 + n_1x + n_0 = 98765x^2 + 43219876x + 54321098 \, 다항식을 이렇게 정의하면 *p*(*B*) = *m*, *q*(*B*) = *n*이 된다. 이렇게 정의한 목적은 두 다항식의 곱인 *r*(*x*) = *p*(*x*)*q*(*x*)를 구하기 위해서이다. 즉 우리가 구하고자 하는 결과는 이 다항식에 *B*를 대입함으로써 얻을 수 있다. *r*(*B*) = *m*×*n* *m*과 *n*을 일반적인 곱셈법으로 곱하면 (여기서는 3 조각으로 나누었으므로), 조각 간의 곱셈이 9번 필요하다. 하지만, *r*(*x*)는 2(*k*−1)차 다항식(*k*가 3이므로 4차 다항식)이므로, 2*k*−1개의 미지 계수를 구하기 위해서는 2*k*-1개의 방정식만 있으면 된다. 이 방정식은 선형 대수를 이용하여 간단한 방법으로 풀어낼 수 있으므로, 결과적으로 일반 곱셈법보다 적은 수의 곱셈을 사용하여 결과를 얻을 수 있게 된다. 만약 곱하는 두 수의 자리수가 다를 경우 *k*값을 *m*과 *n*에 따라 다르게 주는 것이 유용하다. *톰-2.5* 알고리즘에서는 *k**'m* = 3 and *k**n* = 2 와 같은 값을 사용한다. 이 때의 *i*는 다음과 같이 구할 수 있다. :i = \max\\\lfloor}{\lceil}\log_b m{\rceil}/k_m{\rfloor}, {\lfloor}{\lceil}\log_b n{\rceil}/k_n{\rfloor}\\}.
## 평가
앞서 언급했듯, 톰-쿡 알고리즘에서는 *r*(*B*)를 구하기 위해 *r*(*x*)의 각 계수를 구한다. 이 계수를 구하기 위해 적당한 *x*를 선정하여 *p*(*x*)와 *q*(*x*)의 값을 구한다. (*k*가 3인 경우 *r*(*x*)는 4차식이 되고, 미지계수는 5개이므로 총 5개의 지점을 구해야한다.) 간단한 계산을 위해 대개 *x*는 0이나 1, 2, &minus1;, &minus2; 등의 값을 넣는다. 특별한 지점으로 흔히 무한대로 표기하는 값이 있는데, 이는 극한 표기를 간단하게 적은 것으로 최고 차항의 계수를 뜻한다. 이 예제에서는 *x*에 0, 1, −1, −2, ∞을 넣어 계산해볼 것이다: : \begin{align} p(0) & {} = m_0 + m_1(0) + m_2(0)^2 = m_0 \\\ p(1) & {} = m_0 + m_1(1) + m_2(1)^2 = m_0 + m_1 + m_2 \\\ p(-1) & {} = m_0 + m_1(-1) + m_2(-1)^2 = m_0 - m_1 + m_2 \\\ p(-2) & {} = m_0 + m_1(-2) + m_2(-2)^2 = m_0 - 2m_1 + 4m_2 \\\ p(\infty) & {} = m_2 \end{align} *q*에 대해서도 마찬가지. 예시의 값을 실제로 대입하면 다음과 같다: {| |*p*(0) || = || *m*0 || = || 56789012 || = || 56789012 |- |*p*(1) || = || *m*0 \+ *m*1 \+ *m*2 || = || 56789012 + 78901234 + 123456 || = || 135813702 |- |*p*(−1) || = || *m*0 − *m*1 \+ *m*2 || = || 56789012 − 78901234 + 123456 || = || −21988766 |- |*p*(−2) || = || *m*0 − 2*m*1 \+ 4*m*2 || = || 56789012 − 2×78901234 + 4×123456 || = || −100519632 |- |*p*(∞) || = || *m*2 || = || 123456 || = || 123456 |- |*q*(0) || = || *n*0 || = || 54321098 || = || 54321098 |- |*q*(1) || = || *n*0 \+ *n*1 \+ *n*2 || = || 54321098 + 43219876 + 98765 || = || 97639739 |- |*q*(−1) || = || *n*0 − *n*1 \+ *n*2 || = || 54321098 − 43219876 + 98765 || = || 11199987 |- |*q*(−2) || = || *n*0 − 2*n*1 \+ 4*n*2 || = || 54321098 − 2×43219876 + 4×98765 || = || −31723594 |- |*q*(∞) || = || *n*2 || = || 98765 || = || 98765. |} 위에 보이는대로 결과값이 음수가 될 수도 있다. 다음과 같이 행렬로 간단하게 표현할 수 있다. 이 표현은 보간 과정에서도 유용하게 쓸 수 있다. : \left(\begin{matrix}p(0) \\\ p(1) \\\ p(-1) \\\ p(-2) \\\ p(\infty)\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0^0 & 0^1 & 0^2 \\\ 1^0 & 1^1 & 1^2 \\\ (-1)^0 & (-1)^1 & (-1)^2 \\\ (-2)^0 & (-2)^1 & (-2)^2 \\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}m_0 \\\ m_1 \\\ m_2\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\\ 1 & 1 & 1 \\\ 1 & -1 & 1 \\\ 1 & -2 & 4 \\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}m_0 \\\ m_1 \\\ m_2\end{matrix}\right).
### 빠른 평가
평가 시 각 지점에서 중복되는 연산을 줄여 더 빠르게 계산하는 방법이 있다. 이 방법을 사용할 경우 덧셈/뺄셈의 수를 줄일 수 있다. 여기에서는 톰-3의 경우만 제시한다. {| |*p*0 || ← || *m*0 \+ *m*2 || = || 56789012 + 123456 || = || 56912468 |- |*p*(0) || = || *m*0 || = || 56789012 || = || 56789012 |- |*p*(1) || = || *p*0 \+ *m*1 || = || 56912468 + 78901234 || = || 135813702 |- |*p*(−1) || = || *p*0 − *m*1 || = || 56912468 − 78901234 || = || −21988766 |- |*p*(−2) || = || (*p*(−1) + *m*2)×2 − *m*0 || = || (− 21988766 + 123456 )×2 − 56789012 || = || − 100519632 |- |*p*(∞) || = || *m*2 || = || 123456 || = || 123456. |} 이 과정은 오직 5번의 덧셈/뺄셈이 필요하다. 이는 단순 계산보다 1회 적은 것이다.
## 점별 곱셈
두 다항식 *p*(*x*)와 *q*(*x*)를 통째로 곱하는 대신, 앞에서 구한 여러 개의 지점에 대해서 *p*(*a*)*q*(*a*)를 구한다. 이는 원래 목표였던 큰 정수끼리의 곱셈보다 훨씬 작은 수끼리의 연산이 된다. 게다가 점별 곱셈 과정에 톰-쿡 알고리즘을 재귀적으로 사용하여 실제로 곱하게 되는 수를 일반 곱셈법으로도 충분히 빠르게 곱할 수 있는 크기로 줄일 수 있다. 이 예시의 결과물은 다음과 같을 것이다. {| |*r*(0) || = || *p*(0)*q*(0) || = || 56789012 × 54321098 || = || 3084841486175176 |- |*r*(1) || = || *p*(1)*q*(1) || = || 135813702 × 97639739 || = || 13260814415903778 |- |*r*(−1) || = || *p*(−1)*q*(−1) || = || −21988766 × 11199987 || = || −246273893346042 |- |*r*(−2) || = || *p*(−2)*q*(−2) || = || −100519632 × −31723594 || = || 3188843994597408 |- |*r*(∞) || = || *p*(∞)*q*(∞) || = || 123456 × 98765 || = || 12193131840. |} 이 과정이 가장 시간을 오래 잡아먹는 부분이다. 나머지 과정은 *m*과 *n*의 크기와 선형의 시간복잡도를 갖기만, 오직 이 과정만 그보다 큰 시간복잡도를 갖는다.
## 보간
이 과정은 전체 과정 중 가장 복잡한 과정으로, 위에서 구한 점별 곱셈 결과를 이용하여 다항식 *r*(*x*)의 미지계수를 구하는 과정이다. : \begin{align} \left(\begin{matrix}r(0) \\\ r(1) \\\ r(-1) \\\ r(-2) \\\ r(\infty)\end{matrix}\right) & {} = \left(\begin{matrix} 0^0 & 0^1 & 0^2 & 0^3 & 0^4 \\\ 1^0 & 1^1 & 1^2 & 1^3 & 1^4 \\\ (-1)^0 & (-1)^1 & (-1)^2 & (-1)^3 & (-1)^4 \\\ (-2)^0 & (-2)^1 & (-2)^2 & (-2)^3 & (-2)^4 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}r_0 \\\ r_1 \\\ r_2 \\\ r_3 \\\ r_4\end{matrix}\right) \\\ & {} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\\ 1 & -2 & 4 & -8 & 16 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}r_0 \\\ r_1 \\\ r_2 \\\ r_3 \\\ r_4\end{matrix}\right). \end{align} 이 행렬은 평가 과정에서 만들었던 행렬과 같은 방식으로 만들어진 것이다. 가우스 소거법을 통해 이 행렬의 역행렬을 구할수도 있지만, 이는 너무 느리다. 하지만 우리가 앞서 고른 지점이 0, 1, &minus1;, 2, &minus2; 등으로 단순하므로 복잡한 계산과정 없이 행렬을 풀어낼 수 있다. : \begin{align} \left(\begin{matrix}r_0 \\\ r_1 \\\ r_2 \\\ r_3 \\\ r_4\end{matrix}\right) & {} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\\ 1 & -2 & 4 & -8 & 16 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)^{-1} \left(\begin{matrix}r(0) \\\ r(1) \\\ r(-1) \\\ r(-2) \\\ r(\infty)\end{matrix}\right) \\\ & {} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 1/2 & 1/3 & -1 & 1/6 & -2 \\\ -1 & 1/2 & 1/2 & 0 & -1 \\\ -1/2 & 1/6 & 1/2 & -1/6 & 2 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}r(0) \\\ r(1) \\\ r(-1) \\\ r(-2) \\\ r(\infty)\end{matrix}\right). \end{align} 이제 남은 과정들은 모두 행렬-벡터 간의 곱셈이다. 행렬에 분수가 들어있지만, 그 결과는 정수로 나온다. 그렇기에 이 과정은 정수 간의 덧셈/뺄셈과 작은 상수를 곱하고 나누는 연산만 가지고 수행할 수 있다. 하지만 이 과정을 효율적으로 짜는 것은 쉽지 않은 일이다. 여기에서는 톰-3 알고리즘의 효율적인 방법을 소개한다. {| |*r*0 || ← || *r*(0) || = || 3084841486175176 |- |*r*4 || ← || *r*(∞) || = || 12193131840 |- |*r*3 || ← || (*r*(−2) − *r*(1))/3 || = || (3188843994597408 − 13260814415903778)/3 |- | || || || = || −3357323473768790 |- |*r*1 || ← || (*r*(1) − *r*(−1))/2 || = || (13260814415903778 − (−246273893346042))/2 |- | || || || = || 6753544154624910 |- |*r*2 || ← || *r*(−1) − *r*(0) || = || −246273893346042 − 3084841486175176 |- | || || || = || −3331115379521218 |- |*r*3 || ← || (*r*2 − *r*3)/2 \+ 2*r*(∞) || = || (−3331115379521218 − (−3357323473768790))/2 \+ 2×12193131840 |- | || || || = || 13128433387466 |- |*r*2 || ← || *r*2 \+ *r*1 − *r*4 || = || −3331115379521218 + 6753544154624910 − 12193131840 |- | || || || = || 3422416581971852 |- |*r*1 || ← || *r*1 − *r*3 || = || 6753544154624910 − 13128433387466 |- | || || || = || 6740415721237444. |} 이제 다항식 *r*(*x*)의 모든 계수를 알게 되었다: : \begin{align} r(x) & {} = 3084841486175176 \\\ & {} \quad + 6740415721237444x \\\ & {} \quad + 3422416581971852x^2 \\\ & {} \quad + 13128433387466x^3 \\\ & {} \quad + 12193131840x^4. \end{align} 만약 두 정수의 크기가 다르거나, 평가 지점이 다르다면 이 행렬 계산식 역시 달라질 것이다. 하지만 이는 사전에 계산될 수 있는 부분이므로 미리 효율적으로 작성해 둘 수 있다.
## 합성
최종적으로 다항식 *r*(*x*)에 *B*를 대입하여 결과를 얻어낼 수 있다. 여기서 b = 104였으므로, B = b2 = 108이다. {| | || || || || || || || ||3084||8414||8617||5176 |- | || || || || || ||6740||4157||2123||7444|| || |- | || || || ||3422||4165||8197||1852|| || || || |- | || |align=right| 13||1284||3338||7466|| || || || || || |- | + ||121||9313||1840|| || || || || || || || |- |colspan=100|

* * *

|- | ||121||9326||3124||6761||1632||4937||6009||5208||5858||8617||5176 |} 위 결과가 1234567890123456789012와 987654321987654321098의 곱이다.
# *k*값에 따른 보간 행렬
*k*값에 따른 보간 행렬을 몇 가지 정리해두었다.
## 톰-1
톰-1 (*k**'m* = *k**'n* = 1)은 1개의 지점만을 필요로 한다. 여기서는 0을 잡았다. 사실 이는 일반 곱셈알고리즘과 동일하다: : \left(\begin{matrix}1\end{matrix}\right)^{-1} = \left(\begin{matrix}1\end{matrix}\right).
## 톰-1.5
톰-1.5 (*k**'m* = 2, *k**'n* = 1)는 2개의 지점을 필요로 한다. 여기서는 0과 ∞를 잡았다. 보간 행렬은 단위행렬과 동일하다: : \left(\begin{matrix}1 & 0 \\\ 0 & 1\end{matrix}\right)^{-1} = \left(\begin{matrix}1 & 0 \\\ 0 & 1\end{matrix}\right).
## 톰-2
톰-2 (*k**'m* = 2, *k**'n* = 2)은 3개의 지점을 필요로 하고, 대개 0, 1, ∞를 잡는다. 이는 카라슈바 알고리즘과 동일하다: : \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\\ 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)^{-1} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\\ -1 & 1 & -1 \\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right).
## 톰-2.5
톰-2.5 (*k**'m* = 3, *k**'n* = 2)는 4개의 평가지점을 필요로 한다. 여기에서는 0, 1, -1, ∞를 잡았다: : \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\ 1 & -1 & 1 & -1 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)^{-1} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 1/2 & -1/2 & -1 \\\ -1 & 1/2 & 1/2 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right).