ADM 형식

**아노윗-데세르-미스너 수식 체계**(Arnowitt-Deser-Misner數式體系, Arnowitt–Deser–Misner formalism, 약자 **ADM 수식 체계**)는 일반 상대성 이론을 해밀턴 역학으로 표현하는 방법이다.언어=en 언어=en언어=ru 영역 zbl=1177.83021언어=en 언어=enbibcode=2011arXiv1103.1220D 시공간에 공간적 엽층을 준 뒤, 엽층의 각 잎의 (시공의 부분 다양체로서) 유도된 계량 텐서에 대하여 일반화 운동량을 정의한다. 잎의 계량 텐서 및 그 운동량에 포함되지 않는 (질량 껍질 밖) 자유도는 라그랑주 승수 꼴로 나타나, 이론에 제약을 준다.
# 전개
그리스 문자 첨자 \mu,\nu,\dots=0,1,\dots,D는 D+1차원 시공간을, 로마자 첨자 i,j,\dots=1,\dots,D는 D차원 공간만을 나타낸다. 여기서는 −+++ 계량 부호수를 쓴다. 편의상 c=1로 놓자.
## 계량 텐서의 분해
D+1차원에서, 일반 상대성 이론의 동적 변수는 대칭 텐서인 계량 텐서 g^{(D+1)}_{\mu\nu}의 (D+1)(D+2)/2개의 성분들이다. 그러나 일반 상대성 이론은 임의의 미분 동형 사상을 게이지 대칭으로 가지며, 이는 (국소적으로) x^\mu\mapsto x^\mu+\delta x^\mu와 같은 꼴이므로, g^{(D+1)}_{\mu\nu}의 성분 가운데 D+1개는 게이지 변환을 통해 흡수될 수 있으며, 따라서 실제 동적인 장들은 그 가운데 :\frac12(D+1)(D+2)-(D+1)=\frac12D(D+1) 개이다. 즉, 계량 텐서를 다음과 같은 꼴로 표시할 수 있다.(3.9a), (3.10), (3.11a), (3.11b) :g^{(D+1)}_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} g^{ij}N_iN_j-N^2&N;_i\\\ N_i&g;_{ij} \end{pmatrix} :g_{(D+1)}^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} -1/N^2&g;^{ij}N_jN^2\\\ g^{ij}N_j/N^2&g;^{ij}-g^{im}g^{jn}N_mN_n/N^2 \end{pmatrix} 여기서 보조장 N과 (N_i)_{i=1,\dots,D}는 각각 **경과장**(經過場, 랩스) 및 **이동장**(移動場, 시프트)이라고 불린다. (g^{ij})_{i,j=1,\dots,D})는 (g_{ij})_{i,j=1,\dots,D}의 역행렬이다(특히, (g^{(D+1)}_{\mu\nu})_{\mu,\nu=0,\dots,D})의 역행렬의 성분이 아니다). g_{(D+1)}^{0,0}는 (g^{(D+1)}_{\mu\nu})_{\mu,\nu=0,\dots,D}의 역행렬의 한 성분이다. 이 경우, D+1차원 계량 텐서의 행렬식은 다음과 같다.(3.12) :-\det(g_{\mu\nu})=N^2\det(g_{ij}) 즉, 경과장 N은 D+1차원 계량으로 측정한 D+1차원 초부피 원소(야코비 행렬식)와 D차원 계량으로 측정한 D차원 부피 원소(야코비 행렬식)의 비이다. 이러한 분해는 전자기 퍼텐셜 A_\mu=(A_0,A_i)의 분해와 마찬가지다. 전자기학에서 A_0가 게이지 변환에 의하여 라그랑주 승수 보조장이 되는 것처럼, N과 N_i 역시 마찬가지 역할을 한다.
## 운동량과 작용
일반 상대성 이론은 아인슈타인-힐베르트 작용으로 나타낼 수 있다. :16\pi G\mathcal L=\sqrt{-\det(g_{\mu\nu}^{(D+1)})}R^{(D+1)} 여기서 g_{\mu\nu}는 계량 텐서, R^{(D+1)}은 g_{\mu\nu}^{(D+1)}로 계산한 리치 스칼라다. 이제 편의상 D+1=3+1인 경우만을 생각하자. g_{ij}에 대한 일반화 운동량 \pi^{ij}를 계산하면 다음과 같다. :\pi^{ij}=\frac{\delta\mathcal L}{\delta(\dot g_{ij})}=\frac1{16\pi G}\sqrt{-\det g_{\mu\nu \left(\Gamma^0_{pq} - g_{pq} \Gamma^0_{rs}g^{rs} \right) g^{ip}g^{jq} g_{ij}에 대하여 해밀토니언을 정의하자. 그렇다면 작용은 다음과 같다. :16\pi G\mathcal L=-g_{ij}\dot\pi^{ij}-NH-N_iP^i+\partial_i(\cdots)^i 여기서 :H=-\frac1{16\pi G}\sqrt{-\det g_{ij\left(R+\frac1{\det g_{ij\left(\frac12(\det\pi^{ij})^2-\pi^{ij}\pi_{ij}\right)\right) :P^i=-\frac1{8\pi G}\nabla_j\pi^{ij} 이다. 즉 N과 N_i는 라그랑주 승수가 되며, 그 운동 방정식에 따라 H=P^i=0이다.
# 성질

## 운동 방정식
g_{ij} 및 \pi^{ij}에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다. :\dot g_{ij} = 2Ng^{-1/2} \left( \pi_{ij} - \frac12 \pi g_{ij} \right) + 2\nabla_{(i;j)} :\dot\pi^{ij} = -N\sqrt{\det(g_{ij})} ( R^{ij} - \frac12 R g^{ij} ) + \frac12 N(\det(g_{ij}))^{-1/2}g^{ij} ( \pi^{mn}\pi_{mn} - \frac12 \pi^2) - 2Ng^{-1/2} ( \pi^{in}\pi_{n}{}^{j} - \frac12\pi\pi^{ij} ) ::-\sqrt{\det(g_{ij})}(\nabla^{i}\nabla^{j}N -g^{ij}\nabla^2N) + \nabla_{n}( \pi^{ij}N^{n} ) -2\pi^{n(i}\nabla_nN^{j)} 보조장들에 대한 운동 방정식은 다음과 같다. :H=0 :P^i=0 이들은 위상 공간의 제약을 나타내며, 전자기장의 가우스 법칙 제약과 유사하다. 보조장 N 및 N_i 자체는 임의로 값을 줄 수 있다. 이는 일반 상대성 이론에서 미분 동형 사상 대칭이 게이지 대칭이기 때문이다.
## 위상 공간
일반적으로, d+1차원 시공간 \Sigma\times\mathbb R에서, ADM 수식 체계에 의한, 일반 상대성 이론의 위상 공간은 \Sigma 위의 매끄러운 올다발의 매끄러운 단면의 공간이다. 이 올다발의 올의 차원은 (d+1)(d-2)이다.언어=en§2 이는 다음과 같이 얻어진다. :{| class=wikitable ! 설명 !! 성분 |- | 계량 텐서 g_{ij} 및 그 일반화 운동량 || d(d+1) |- | 에너지 제약 H=0 및 그 게이지 조건 || −2 |- | 운동량 제약 P^i = 0 및 그 게이지 조건 || -2d |- ! 계 || d(d+1) - 2-2d = d^2-d-2 = (d+1)(d-2) |}
# 역사
아노윗 (左) · 데세르 (中) · 미스너 (右). 2009년 사진 리처드 루이스 아노윗(Richard Lewis Arnowitt, 1928~2014) · 스탠리 데세르(Stanley Deser, 1931~) · 찰스 미스너(Charles W. Misner, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.bibcode=2008GReGr..40.1989Pbibcode=1959PhRv..113..745A언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en