트위스터 공간

수학에서 **트위스터 공간**(twistor空間, twistor space)은 트위스터 방정식 \nabla_{A'}^{(A}\Omega^{B)}=0 의 해들로 이뤄진 복소선형공간이다. 1960년대에 로저 펜로즈와 말콤 맥콜럼(Malcolm MacCallum)이 묘사하였다.R. Penrose and M. A. H. MacCallum, Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time. 10.1016/0370-1573(73)90008-2 민코프스키 공간에 대해 트위스터 방정식의 해들은 다음과 같은 형태이다: : \Omega^A(x)=\omega^A-ix^{AA'}\pi_{A'} 여기서 \omega^A 와 \pi_{A'}는 두 상수 바일 스피너들이고 x^{AA'}=\sigma^{AA'}_\mu x^{\mu}는 민코프스키 공간의 한 점이다. 트위스터 공간은 4차원 민코프스키 공간의 등각 대칭을 자명하게 드러내는 한 방법이기도 하다.언어=en언어=en언어=en 펜로즈는 양자 중력 이론의 하나인 트위스터 이론을 발표하며, 트위스터 공간이 양자 중력 이론의 근본적 배경이고, 여기서 기존의 시공간 개념이 자연스럽게 나온다고 제안했다. 엔드류 호지스에 따르면, 트위스터 공간은 복소수 4개를 가지고 광자의 움직임을 개념화 하는데 유용하다고 한다. 또한 트위스터 공간은 약한 상호작용의 비대칭성을 이해하는데 도움을 줄지 모른다고 한다.page=142
# 정의
트위스터 공간은 다양한 시공간 차원에 대하여 정의될 수 있다.
## 4차원 트위스터 공간
다음이 주어졌다고 하자. * 체 K ** 수리물리학에서는 K = \mathbb R 또는 K = \mathbb C인 경우만 생각한다. * 2차원 K-벡터 공간 \Delta_+, \Delta_- ** 수리물리학에서, 이는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 (K=\mathbb C인 경우) 또는 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너(K = \mathbb R인 경우)에 해당한다. 그렇다면, 4차원 K-벡터 공간 :V = \Delta_+ \otimes_K \Delta_- 을 정의할 수 있다. (물리학적으로, 이는 [복소화한] 시공간에 해당한다.) 그 위에는 비퇴화 이차 형식 :Q(v) = \det v 이 존재한다. (K=\mathbb R인 경우 이는 부호수 (2,2)를 가진다.) V 위에는 \operatorname{GL}(\Delta_+) \times \operatorname{GL}(\Delta_-)가 작용하며, 이 가운데 \operatorname{SL}(\Delta_+) \times \operatorname{SL}(\Delta_-)의 작용은 Q를 보존한다. 즉, 이는 동형 사상 :\operatorname{SO}(V,Q) \cong \frac{\operatorname{SL}(\Delta_+) \times \operatorname{SL}(\Delta_-)}{\\{(1,1),(-1,-1)\\ 을 정의한다. 사실, 4차원 벡터 공간 V를 이렇게 2차원 벡터 공간의 텐서곱으로 나타내는 구조는 V 위의 선형 등각 구조와 동치이다.

**설명:**

구체적으로, \Delta_\pm에 임의의 심플렉틱 벡터 공간 구조 \omega^\pm를 주었을 때 비퇴화 쌍선형 형식 :g \colon V \otimes V \to K :g_{\alpha\dot\alpha\beta\dot\beta} = \omega^+_{\alpha\beta}\omega^-_{\dot\alpha\dot\beta} 을 정의할 수 있다. \Delta_\pm 위의 심플렉틱 벡터 공간 구조들은 모두 서로 비례하며, 이에 따라 등각 계량 동치류 [g] = \\{\lambda g\colon \lambda\in K^\times\\}는 잘 정의된다. 반대로, V 위에 등각 계량이 주어졌을 때, 이를 사용하여 직교군 \operatorname{SO}(V)을 정의할 수 있다. 리 군 표현론에 의하여 \operatorname{SO}(V)의 4차원 표현 V는 두 바일 스피너 표현의 텐서곱으로 주어지며, 이 두 공간이 \Delta_\pm에 해당한다.

이제, 다음과 같은 공간을 생각하자. :F=\mathbb P(\Delta_+^\vee) \times V = \mathbb P(\Delta_+^\vee) \times \Delta_+ \otimes \Delta_- 이 5차원 비특이 대수다양체 F를 **대응 공간**(對應空間, correspondence space)이라고 한다. 그 국소 좌표는 :(x^{\alpha\dot\alpha},[\lambda_\alpha]) 로 쓸 수 있다. 여기서 \alpha는 \Delta_+의 지표이며, \dot\alpha는 \Delta_-의 지표이다. 그렇다면, \Delta_+와 그 쌍대 공간 \Delta_+^\vee 사이의 쌍대성으로 인하여 다음과 같은 사영 사상이 유도된다. : \mathbb P(\Delta_+^\vee) \times (\Delta_+ \otimes \Delta_-) \to \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_+^\vee) \cong \mathbb P^3_K :(x^{\alpha\dot\alpha},[\lambda_\alpha])\mapsto\left[\sum_\alpha \lambda_\alpha x^{\alpha\dot\alpha}:\lambda_\alpha\right] 이 함수는 전사 함수가 아니며, 그 상은 다음과 같다. :T = \\{[\psi:\lambda] \colon \psi\in \Delta_-,\;\lambda\in\Delta_+^\vee,\;\lambda \ne 0 \\} \subsetneq \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_+^\vee) 이는 3차원 복소수 사영 공간 속의 열린 부분 스킴을 이루며, 그 여집합은 \\{[\psi:0]\colon \psi \in \Delta_- \\} \cong \mathbb P(\Delta_-)이다. 즉, T는 3차원 준사영 대수다양체를 이룬다. 이를 **트위스터 공간**이라고 하며, 그 속의 임의의 원소 [\psi:\lambda]를 **트위스터**(twistor)라고 한다. 이는 사영 사상 :T \to \mathbb P(\Delta_+^\vee) :[\psi:\lambda] \mapsto [\lambda]\qquad(\psi\in\Delta_-,\;\lambda\in\Delta_+^\vee) 을 가지며, 이 사영 아래 T는 \mathbb P(\Delta_+^\vee) \cong \mathbb P^1_K 위의 2차원 벡터 다발 :\mathcal O(1) \oplus \mathcal O(1) 의 전체 공간과 동형이다. 즉, 대응 공간 F는 (복소화) 시공간과 트위스터 공간 둘 다 위의 올다발을 이룬다. :\mathbb P(\Delta_+^\vee)\twoheadleftarrow T \twoheadleftarrow \mathbb P(\Delta_+^\vee) \times V \twoheadrightarrow V
### 앰비트위스터
왼쪽·오른쪽 바일 스피너를 고르는 대신, 둘 다 사용할 수 있다. 이 경우 더 큰 트위스터 공간을 얻으며, 이를 **앰비트위스터 공간**(ambitwistor space)이라고 한다. 구체적으로, **대응 공간** :F = \Delta_+ \otimes \Delta_- \oplus \mathbb P(\Delta_+^\vee) \oplus \mathbb P(\Delta_-^\vee) 을 생각하자. 그렇다면, 이는 사상 :F \to \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_+^\vee) \times \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_-^\vee) :(x,\lambda^+,\lambda^-) \mapsto ([x^{ij}\lambda^+_i,\lambda^+], [x^{ij}\lambda^-_j,\lambda_-]) = ([\xi_+,\lambda^+],[\xi_-,\lambda^-]) 을 정의한다. 그 상은 :\lambda^+ \ne 0 :\lambda^- \ne 0 :\xi_+^\alpha\lambda^+_\alpha = \xi_-^{\dot\alpha}\lambda^-_{\dot\alpha} 를 따른다. 즉, 이는 두 3차원 사영 공간의 곱공간 속의 이차 초곡면이다. 이 5차원 초곡면 T_5를 **앰비트위스터 공간**이라고 한다. 앰비트위스터 공간은 물론 왼쪽 또는 오른쪽 트위스터 공간 T_3으로의 사영 사상 :T_5 \twoheadrightarrow T_3 을 갖는다. 또한, 이로부터 다음과 같은 사영 사상이 존재한다. :T_5 \to \mathbb P(\Delta_+^\vee \otimes \Delta_-^\vee \oplus K) \cong \mathbb P^4 :([x^{\alpha\dot\alpha}\lambda^+_\alpha:\lambda^+], [x^{\alpha\dot\alpha}\lambda^-_{\dot\alpha}:\lambda^-]) \to [x^{\alpha\dot\alpha}\lambda^+_\alpha:\lambda^+:\lambda^+\otimes\lambda^-] 그 상은 4차원 사영 공간 \mathbb P(\Delta_+^\vee \otimes \Delta_-^\vee \oplus K) 속에서 :\det (\lambda^+ \otimes \lambda^-) = 0 으로 정의되는 3차원 이차 초곡면이다. 이 T_3'는 **초평면 트위스터 공간**(hyperplane twistor space)이라고 한다. 이는 세그레 사상 :\mathbb P(\Delta_+^\vee) \times \mathbb P(\Delta_-^\vee) \to \mathbb P(\Delta_+^\vee\otimes\Delta_-^\vee) 을 통하여, 사실 \mathbb P(\Delta_+^\vee) \times \mathbb P(\Delta_-^\vee) 위의 선다발 :\mathcal O_{\mathbb P(\Delta_+^\vee) \times \mathbb P(\Delta_-^\vee)}(1,1) 의 전체 공간과 같다.
## 6차원 트위스터 공간
다른 차원에서도 유사하게 트위스터 공간을 구성할 수 있다. 예를 들어, 6차원을 생각하자. 즉, 다음이 주어졌다고 하자. * 체 K * 4차원 K-벡터 공간 \Delta (6차원 마요라나-바일 스피너) 그렇다면 :V = \bigwedge^2\Delta 를 정의하면, V 위에는 \operatorname{SL}(\Delta) \times \operatorname{SL}(\Delta)가 작용한다. V 위에는 비퇴화 이차 형식 :Q(v) = \epsilon_{ijkl}v^{ij}v^{kl} 이 작용하며, 이에 대하여 불변이다. (여기서 \epsilon_{ijkl}은 레비치비타 기호이다. K = \mathbb R일 때 이는 부호수 (3,3)를 가진다.) 이는 동형 사상 :\operatorname{SO}(3,3) \cong \frac{\operatorname{SL}(4)} {\\{1,-1\\ 에서 유래한다. 이 경우, 마찬가지로 공간 :\left(\bigwedge^2\Delta\right) \times \mathbb P(\Delta^\vee) 은 다음과 같은 사영 사상을 갖는다. :\bigwedge^2\Delta \times\mathbb P(\Delta^\vee)\to \mathbb P(\Delta\oplus\Delta^\vee) :(v^{ij},[\lambda_i]) \mapsto \left[\sum_iv^{ij}\lambda_i:\lambda_i\right] 이는 마찬가지로 \mathbb P(\Delta^\vee \oplus \Delta) \cong \mathbb P^7의 부분 집합이다. 그런데 :\sum_{i,j}(v^{ij}\lambda_i)\lambda_j = 0 이므로, 그 상은 :T = \\{[\xi:\lambda]\colon \xi^i\lambda_i = 0,\;\lambda \ne 0 \\} \subsetneq \mathbb P(\Delta\oplus\Delta^\vee) 이다. 이는 6차원 준사영 대수다양체이다. 이 공간 T를 6차원 공간의 **트위스터 공간**이라고 하며, 그 원소 [\xi:\lambda]를 **트위스터**라고 한다. T는 3차원 사영 공간 \mathbb P(\Delta^\vee) 위의 3차원 벡터 다발을 이룬다. 이는 4차원 벡터 다발 :\Delta\otimes\mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)} 의 부분 다발이며, 짧은 완전열 :0 \to T \to \Delta\otimes\mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)} \,\overset{(\xi,\lambda) \mapsto \xi^i\lambda_i} \to\, \mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)}(2) \to 0 을 따른다.언어=en(3.9) : \begin{matrix} \bigwedge^2\Delta&\twoheadleftarrow & \left(\bigwedge^2\Delta\right) \times \mathbb P(\Delta^\vee) & \twoheadrightarrow & T & \twoheadrightarrow & \mathbb P(\Delta^\vee) \\\ &&& & \cap \\\ &&& & \operatorname{Spec}\frac{K[\Delta\oplus\Delta^\vee]}{(\xi^i\lambda_j\colon \xi\in \Delta,\;\lambda\in\Delta^\vee)} \\\ &&& & \cap \\\ &&& & \mathbb P(\Delta\oplus\Delta^\vee) \end{matrix}
## 3차원 트위스터 공간
3차원에서도 마찬가지로 트위스터 공간을 정의할 수 있다. 이 경우의 트위스터 공간은 간혹 **미니트위스터 공간**(minitwistor space)라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. * 체 K * 2차원 K-벡터 공간 \Delta (3차원 [마요라나-]바일 스피너의 공간) 그렇다면 3차원 벡터 공간 :V = \operatorname{Sym}^2\Delta 를 정의할 수 있다. \dim\Delta=2이므로, \Delta 위의 심플렉틱 벡터 공간 구조는 모두 서로 비례한다. 임의의 심플렉틱 벡터 공간 구조 \omega\colon\Delta\to\Delta^\vee를 고른다면, V는 딸림표현 \mathfrak{sl}(\Delta)와 동형이며, 이는 킬링 형식을 갖춘다. 이는 2×2 행렬의 행렬식에 비례한다. (K = \mathbb R일 때, V 위의 이차 형식의 부호수는 (2,1)이므로, 이는 3차원 민코프스키 공간이다.) 즉, 이는 동형 사상 :\operatorname{SL}(\Delta) \cong \operatorname{SO}(V,\det) / \\{\pm1\\} 을 실현한다. 물론, 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조를 \omega \mapsto \lambda\omega와 같이 바꾸더라도, 우변에서 이는 이차 형식을 스칼라배 재정의하는 것에 불과하므로, 우변은 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조에 불변이다. 이 경우, 대응 공간 :F = V \times \mathbb P(\Delta^\vee) 으로부터, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다. :F \to \mathbb P(K[1]\oplus\Delta^\vee)\cong\mathbb P(2,1,1) :(x^{ij},\lambda_i) \mapsto [x^{ij}\lambda_i\lambda_j : \lambda_1 : \lambda_2] 여기서 K[1] \oplus \Delta^\vee는 1등급 성분이 \Delta^\vee이며 2등급 성분이 K인 등급 벡터 공간이며, 이에 대하여 가중 사영 공간을 취할 수 있다. 이 사상의 상을 **트위스터 공간** T라고 한다. 이는 2차원 준사영 대수다양체이다. 즉, 이는 가중 사영 공간의 열린집합을 정의한다. 사실, 사영 사상 : \mathbb P(K[1]\oplus\Delta^\vee) \to \mathbb P(\Delta^\vee) \cong \mathbb P^1 :[\xi:\lambda_1 : \lambda_2 ] \mapsto [\lambda_1 : \lambda_2] 에 대하여, 이는 선다발을 이룬다. 그 단면 \xi = x^{ij}\lambda_i\lambda_j는 (\lambda_1,\lambda_2)에 대한 2차 함수이므로, 이는 선다발 \mathcal O(2)에 해당한다. 이는 사실 사영 직선 위의 접다발에 해당한다. 즉, T \cong \mathrm T\mathbb P(\Delta^\vee)이다. 가중 사영 공간은 물론 다음과 같이 4차원 사영 공간으로 매장된다. :\mathbb P(K[1]\oplus\Delta^\vee) \to \mathbb P(K\oplus\operatorname{Sym}^2\Delta^\vee) \cong \mathbb P^4 :[\xi:\lambda_i] \mapsto [\xi:\lambda_i \lambda_j] 즉, T는 4차원 사영 공간 속의 2차원 준사영 대수다양체이다. : \begin{matrix} \operatorname{Sym}^2\Delta&\twoheadleftarrow & (\operatorname{Sym}^2\Delta) \times \mathbb P(\Delta^\vee) & \twoheadrightarrow & \mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)}(2) & \twoheadrightarrow & \mathbb P(\Delta^\vee) \\\ &&& & \cap \\\ &&& & \mathbb P(K[1] \oplus\Delta^\vee) \\\ &&& & \cap \\\ &&& & \mathbb P(K\oplus\operatorname{Sym}^2\Delta^\vee) \end{matrix}
# 성질

## 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계

### 4차원
4차원 트위스터 공간 :T \,\overset{\pi_T}\twoheadleftarrow\, F \,\overset{\pi_V}\twoheadrightarrow\, V = \Delta_+ \otimes \Delta_- 을 생각하자. 이 경우, 시공간 V와 트위스터 공간 T 사이에 다음과 같은 대응이 존재한다. {| class=wikitable ! 시공간 !! 트위스터 공간 !! 대응에 대한 설명 |- | 점 || 복소수 사영 직선 ||

**설명:**

복소화 시공간의 임의의 점 x^{\alpha\dot\alpha}\in V에 대응하는 트위스터 공간의 부분 공간 \pi_T(\pi_V^{-1}(x))\subset T는 다음과 같다. :\pi_T\circ\pi_V^{-1}(x)=\\{[x^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha:\lambda_\alpha]\colon \lambda\in\Delta_+^\vee\\}\subsetneq T 이는 트위스터 공간의 한 사영 직선 \mathbb P^1\hookrightarrow T에 해당한다. 즉, 시공간의 점은 트위스터 공간에서의 직선에 대응한다.

|- | 영평면 || 점 |

**설명:**

복소화 시공간의 임의의 두 점 x^{\alpha\dot\alpha},y^{\alpha\dot\alpha}\in V이 트위스터 공간의 같은 점 [\xi^{\dot\alpha}:\lambda_\alpha]에 대응된다고 하자. :x^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = \xi^{\dot\alpha} :y^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = \xi^{\dot\alpha} 그렇다면 :(x-y)^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = 0 이다. \lambda \ne 0이므로, 이것이 성립할 필요 충분 조건은 어떤 \lambda' \in \Delta_-에 대하여 :(x-y)^{\alpha\dot\alpha}=\epsilon^{\alpha\beta}{\lambda'}^{\dot\alpha}\lambda_\beta 인 것이다. 즉, [\xi:\lambda]에 대응하는 시공간의 점들은 :x^{\alpha\dot\alpha} + \epsilon^{\alpha\beta}{\lambda'}^{\dot\alpha}\lambda_\beta 의 꼴이다. 이는 (2차원) 평면을 이루며, 정의에 따라서 이는 영평면이다.

|- | 등각 구조 (빛원뿔 집합) || 복소구조 (사영 직선의 집합) |- | x와 y의 차의 노름이 0 || 두 사영 직선이 서로 교차 |

**설명:**

시공간의 두 점 x,y\in V에 대응하는 직선이 서로 교차할 필요 충분 조건은 :\exists \lambda \in \Delta_+^\vee \colon x^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = y^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha 이다. 그런데 :(x-y)^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = 0 이 되려면, :(x-y)^{\alpha\dot\alpha} = \psi^{\dot\alpha} \epsilon^{\alpha\beta}\lambda_\beta 가 되어야 함을 보일 수 있다. 이 조건은 사실 :\det (x-y) = 0 인 것과 동치이다. 물리학적으로, 이는 x가 (적절한 실수 조건을 가했을 때) y의 빛원뿔 위에 위치함을 뜻한다.