마팅게일

변수가 어떤 상계에 이르면 멈추게 되는 1차원 브라운 운동은 마팅게일의 한 예이다. 이는 돈이 다 떨어지면 파산하게 되는 도박꾼을 나타내는 확률론적 모형이다. 확률론에서 **마팅게일**(마턴게일, 마르탱갈)은 확률 과정의 하나로, 과거의 모든 정보를 알고 있다면 미래의 기댓값이 현재 값과 동일한 과정이다.언어=en
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 전순서 집합 (T,\le) * 여과 확률 공간 (\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in T} * 유클리드 공간 \mathbb R^d. 이는 보렐 가측 공간으로 가정한다. (르베그 시그마 대수가 아니다.) 그렇다면, (\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in T\cup\\{\infty\\ 위의 순응 확률 과정 (X_t\colon \Omega\to)_{t\in T}이 만약 다음 두 조건을 만족시킨다면, **마팅게일**이라고 한다. * (기댓값의 존재) 임의의 t\in T에 대하여, \operatorname E(\|X_t\|) < \infty. 즉, X_t \in \operatorname L^1(\Omega;\mathbb R^d)이다. * (마팅게일 성질) 임의의 s,t\in T에 대하여, 만약 s\le t라면, \mathbb E(X_s | \mathcal F_s ) = \mathbb E(X_t | \mathcal F_s)\colon\mathcal F_s\to \mathbb R^d이다. 즉, 임의의 A\in\Sigma_s에 대하여, \mathbb E(X_t|A) = \mathbb E(X_s|A)\in\mathbb R^d이다. 여기서 1_A\colon \Omega\to\mathbb R는 A의 지시 함수이다. ** 물론, 이 정의에서 s = t인 경우는 자명하게 참이다. 여기서 \mathbb E(-|-)는 조건부 기댓값을 뜻한다. 마팅게일의 정의의 둘째 조건은 다음과 같이 풀어 해석할 수 있다. :현재 s까지의 정보(A\in\mathcal F_s)만을 알고 있다면, 미래 t\ge s에서의 X의 값 X_t의 기댓값 \mathbb E(X_t|A)은 현재의 기댓값 \operatorname E(X_s|A)과 같다.
## 열마팅게일과 우마팅게일
d=1이라고 하자. 마팅게일의 정의에서, 둘째 조건을 다음과 같이 대체할 경우, **열마팅게일**(劣martingale, 서브마팅게일)의 개념을 얻는다. * (열마팅게일 조건) 임의의 s,t\in T에 대하여, 만약 s\le t라면, \mathbb E(X_s | \mathcal F_s ) \le \mathbb E(X_t | \mathcal F_s)\colon\mathcal F_s\to \mathbb R^d이다. 마찬가지로, 마팅게일의 정의에서, 둘째 조건을 다음과 같이 대체할 경우, **우마팅게일**(優martingale, 슈퍼마팅게일)은 의 개념을 얻는다. * (우마팅게일 조건) 임의의 s,t\in T에 대하여, 만약 s\le t라면, \mathbb E(X_s | \mathcal F_s ) \ge \mathbb E(X_t | \mathcal F_s)\colon\mathcal F_s\to \mathbb R^d이다. 만약 (X_t)_{t\in\mathbb T}가 열마팅게일이라면, (-X_t)_{t\in T}는 우마팅게일이며, 그 역도 마찬가지다. 열마팅게일이자 우마팅게일인 확률 과정은 마팅게일이다.
## 이산 시간 마팅게일
다음과 같은 특별한 경우를 생각하자. * (\Omega,\mathcal F_t,\Pr)가 (Y_t\colon\Omega\to\mathbb R^d)_{t\in T}의 자연 여과 확률 공간이다. 그렇다면, 마팅게일의 정의의 둘째 조건은 다음과 같이 나타내어진다. * \mathbb E(X_t|\\{Y_r\\}_{r\le s}) = \mathbb E(X_s|\\{Y_r\\}_{r\le s}) 특히, X=Y인 경우를 생각할 수 있다. 예를 들어, T = \mathbb N=\\{0,1,2,\dotsc\\} (자연수 집합)인 경우를 생각하자. 이는 이산 시간 확률 과정에 해당한다. 이 경우, (X_t\colon\Omega\to\mathbb R^d)_{t\in\mathbb Z}가 마팅게일이 될 조건은 다음과 같다. * (기댓값의 존재) 임의의 t\in\mathbb N에 대하여, \mathbb E(\|X_t\|) < \infty * (마팅게일 성질) \mathbb E(X_{s+1} | X_0,X_1,\dotsc,X_s) = \operatorname E(X_s) 이 조건은 t=s+1인 경우로, 일반적 정의보다 더 약한 것처럼 보이지만, 사실 :\mathbb E(X_{s+2} | X_0,\dotsc,X_s) = \mathbb E(X_{s+2}|X_0,\dotsc,X_s,X_{s+1}) \restriction \mathcal F_s = \mathbb E(X_{s+1}|X_0,\dotsc,X_s,X_{s+1}) \restriction \mathcal F_s = \mathbb E(X_{s+1}|X_0,\dotsc,X_s) = \mathbb E(X_s) 와 같이 수학적 귀납법으로 모든 t\ge s에 대하여 성립함을 보일 수 있다. 여기서 \mathcal F_s는 X의 자연 여과 확률 공간이다.
# 예
마팅게일의 대표적인 예로는 무작위 행보가 있다.
# 역사
마팅게일(마르탱갈)이라는 단어는 프랑스 남부의 지명 마르티그에서 유래한다. 마르탱갈은 18세기 프랑스에서 유행하였던 도박 전략의 하나를 일컫는 단어였다.언어=fr§2 이 전략은 한 판을 이겼을 때 얻는 금액과 한 판을 졌을 때 잃는 금액이 같고 이길 확률과 질 확률 역시 동일한 형태의 도박을 할 때 사용할 수 있는 전략으로, 졌을 때 다음 판에 이번 판의 두 배에 해당하는 판돈을 걸면 결국 언젠가 이기는 순간 첫 판의 판돈에 해당하는 금액이 최종 수익으로 남게 된다는 점에 착안하여 이에 상응하는 베팅 방식을 고수한다. 만약 도박을 하는 사람의 재산이 무한하다면 거의 확실하게 이기는 순간이 오기 때문에 언젠가는 돈을 딸 수 있지만, 실제로는 재산이 유한하기 때문에 돈을 따기 전에 가진 돈을 잃을 확률이 존재하게 된다. ‘마르탱갈’이라는 단어는 이 전략의 어리석음을 마르티그 지방 사람들의 (파리 사람들의 편견에 따르면) 어리숙하고 순진함에 빗댄 것이다.108, §4 폴 피에르 레비(Paul Pierre Lévy)가 처음으로 확률론에 이 마팅게일 전략을 도입하였으며, 조지프 두브 역시 마팅게일의 이론적 발전에 크게 기여하였다. 확률론에 마팅게일이 도입된 이유 중의 하나는 마팅게일 전략으로 도박을 통해 수익을 얻는 것이 불가능하다는 것을 증명하고자 하는 데 있었다.