사영 스펙트럼

대수기하학에서 **사영 스펙트럼**(射影spectrum, projective spectrum)은 등급환으로부터 스킴을 만드는 한 방법이다.issn=0072-528576–77 이를 다항식들의 등급환에 적용하면 통상적인 사영 공간을 얻는다. 기호는 Proj(*R*).
# 정의
가환환 R 위에 자연수 등급이 주어져 등급환 :R=\bigoplus_{i=0}^\infty R_i = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2\oplus \dotsb 을 이룬다고 하자. (즉, 등급 가환이 아니라 가환이다.) 이 등급환의 무관 아이디얼 \textstyle R_+=\bigoplus_{i=1}^\infty R_i을 생각하자. 그렇다면, R의 **사영 스펙트럼** \operatorname{Proj}R는 집합으로서 다음 조건들을 만족시키는 R의 소 아이디얼 \mathfrak a들의 집합이다. # 동급이다. 즉, 임의의 r\in\mathfrak a에 대하여, 그 성분들을 r_i\in R_i라고 하면, \forall i\in\mathbb N\colon r_i\in\mathfrak a이다. # 무관 아이디얼을 부분 집합으로 포함하지 않는다. 즉, R_+\not\subseteq\mathfrak a이다. 여기서 두 번째 조건은 (고전적) 사영 공간에서 무관 아이디얼을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 공집합이기 때문이다.
## 자리스키 위상
\operatorname{Proj}R에 다음과 같은 **자리스키 위상**을 주어, 위상 공간으로 만든다. \operatorname{Proj}R의 열린집합들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들로 이루어진다. R의 임의의 동급 아이디얼 \mathfrak a에 대하여, :U(\mathfrak a)=\\{\mathfrak b\in\operatorname{Proj}R|b\not\subset\mathfrak a\\}\subset\operatorname{Proj}R 이다. 이들은 위상 공간의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.
## 구조층
\operatorname{Proj}R에 다음과 같은 가환환 값의 층 \mathcal O를 주어, 환 달린 공간으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합 U에 대하여, \mathcal O(U)는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들 :f\colon\mathcal O(U)\to\bigcup_{\mathfrak p\in U}R_{\mathfrak p} 이 이루는 가환환이다. 여기서 S\subset R\setminus\mathfrak p를 \mathfrak p의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, R_{(\mathfrak p)}는 R의 S에서의 국소화이다. 모든 \mathfrak p\in U에 대하여, # f(\mathfrak p)\in R_{(\mathfrak p)} # \mathfrak p는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 \mathfrak p\in V\subset U가 존재하여, 모든 \mathfrak q\in V에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 r,s\in R가 존재한다. ## f(\mathfrak q)=r/s ## r와 s는 둘 다 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, r,s\in R_i인 i\in\mathbb N이 존재한다. ## s\not\in\mathfrak q. 이렇게 층을 주면, \operatorname{Proj}R는 스킴의 구조를 이루는 것을 보일 수 있다.
## 사영 스펙트럼 위의 가군층
등급환 R 위에 등급 가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면 사영 스펙트럼의 정의와 유사하게, \operatorname{Proj}R 위의 가군층 \tilde M을 정의할 수 있다. 구체적으로, 임의의 열린집합 U에 대하여, \mathcal O_{\tilde M}(U)는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들 :f\colon\mathcal O_{\tilde M}(U)\to\bigcup_{\mathfrak p\in U}M_{\mathfrak p} 이 이루는 가환환이다. 여기서 S\subset R\setminus\mathfrak p를 \mathfrak p의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, M_{(\mathfrak p)}는 M의 S에서의 국소화이다. 모든 \mathfrak p\in U에 대하여, # f(\mathfrak p)\in M_{(\mathfrak p)} # \mathfrak p는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 \mathfrak p\in V\subset U가 존재하여, 모든 \mathfrak q\in V에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 m\in M, s\in R가 존재한다. ## f(\mathfrak q)=m/s ## m과 s는 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, m\in M_i, s\in R_i인 i\in\mathbb N이 존재한다. ## s\not\in\mathfrak q. 특히, R 자체를 R의 등급 가군으로 간주하면, \tilde R는 \operatorname{Proj}R의 구조층이다. 임의의 등급 가군 \textstyle M=\bigoplus_iM_i가 주어지면, 임의의 정수 l\in\mathbb Z에 대하여 그 **뒤틀림**(twist) M(l)은 :M(l)_i=M_{i+l} 인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히 l만큼 이동시킨 것이다. 이 연산을 층에 정의하면, 층 \tilde M의 **뒤틀림** \tilde M(l)을 정의할 수 있다. 구조층 \tilde R=\mathcal O의 뒤틀림 \mathcal O(1)은 **세르 뒤틀림 층**(Serre twisting sheaf)이라고 한다. 이는 항상 가역층이며, 장피에르 세르의 이름을 딴 것이다.
## 대역적 사영 스펙트럼
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 스킴 (X,\mathcal O_X) * \mathcal O_X-준연접층들의 족 (\mathcal S_i)_{i\in\mathbb N}. 또한, \textstyle\mathcal S=\bigoplus_{i\in\mathbb N}\mathcal S_i로 놓자. * 각 열린집합 U\in\operatorname{Open}(X)에 대하여, \textstyle\bigoplus_{i\in\mathbb N}\Gamma(U,\mathcal S_i) 위의 \mathbb N-등급 \mathcal O_X(U)-결합 대수 구조 그렇다면, 각 아핀 열린집합 U\subseteq X에 대하여 다음과 같은 스킴을 정의하자. :Y_U=\operatorname{Proj} \Gamma(U,\mathcal S) 이제, 자연스러운 스킴 사상 :\pi_U\colon Y_U\to U 이 존재한다. (이는 \Gamma(U,\mathcal S)가 \mathcal O_X(U)-등급 대수이기 때문이다.) 이에 따라, 위 스킴 사상들을 통해 \pi_U들을 짜깁기할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 스킴을 **대역적 사영 스펙트럼**(大譯的射影spectrumglobal projective spectrum) 또는 **상대 사영 스펙트럼**(相對射影spectrum, relative projective spectrum) \operatorname{\underline{Proj\mathcal S라고 한다. (이 단계에서 준연접층 조건이 필요하다.)
# 성질
\operatorname{Proj}R의 구조층 \mathcal O의 \mathfrak p\in\operatorname{Proj}R에서의 줄기 \mathcal O_{\mathfrak p}=R_{(\mathfrak p)}이다.76 여기서 R_{(\mathfrak p)}는 \mathfrak p의 원소가 아닌 동급 원소들에 대한 국소화다. 이러한 환은 항상 국소환이다.
## 함자성의 실패
아핀 스펙트럼은 가환환의 범주의 반대 범주에서 스킴의 범주로 가는 함자를 이룬다. 반면, 사영 스펙트럼은 함자를 이루지 않는다. 즉, 등급환 사이의 등급 준동형은 일반적으로 그 사영 스펙트럼 사이의 스킴 사상을 정의할 필요가 없다. 다만, 가환 등급환 R의 동차 아이디얼 \mathfrak i이 주어졌을 때, 몫 사상 R \to R/\mathfrak i는 사영 스펙트럼 사이의 닫힌 몰입 :\operatorname{Proj}\frac R{\mathfrak i} \to \operatorname{Proj}R 을 정의한다.언어=en100, §Ⅲ.2.2 아핀 스펙트럼의 경우 서로 다른 아이디얼은 서로 다른 닫힌 부분 스킴에 대응하지만, 사영 스펙트럼의 경우 서로 다른 동차 아이디얼이 같은 닫힌 부분 스킴에 대응될 수 있다.100, §Ⅲ.2.2, Exercise Ⅲ-15 예를 들어, 체 K에 대한 사영 공간 \operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dotsc,x_n]에 대하여, 임의의 동차 아이디얼 \mathfrak i가 주어졌을 때, \mathfrak i와 \textstyle\sum_{n\ge N}\mathfrak i_n은 같은 닫힌 부분 스킴을 정의한다 (N\ge 0은 임의의 자연수).
# 예

## 자명한 사영 스펙트럼
임의의 (단위원을 가진) 가환환 R이 주어지면, 여기에 모든 등급을 0으로 매겨 이를 자명한 등급환으로 취급할 수 있다. 이는 0개의 변수를 가지는 다항식환 R\cong R[]이다. 이 등급환의 사영 스펙트럼(즉, 0차원 사영 공간 \mathbb P_R^0)은 공집합이다. 이는 무관 아이디얼이 영 아이디얼 R_+=(0)이며, 이는 모든 아이디얼의 부분 아이디얼이기 때문이다. 보다 일반적으로, 등급환 \textstyle R=\bigoplus_{i\in\mathbb N}R_i에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.80 * 사영 스펙트럼이 공집합이다. 즉, \operatorname{Proj}R=\varnothing이다. * \textstyle R_+\subseteq\sqrt{(0)}이다. 즉, R_+의 모든 원소가 멱영원이다.
## 사영 공간
사영 공간 K가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. 그렇다면 K에 대한 ***n*차원 사영 공간** \mathbb P_K^n은 등급환 K[x_0,x_1,\dots,x_n]의 사영 스펙트럼이다.77 사영 공간 \mathbb P_K^n=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]의 경우, 세르 뒤틀림 층 \mathcal O(1)의 단면은 1차 동차다항식 :\sum_ic_ix_i 의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 가역층이고, 그 역은 사영 공간의 표준 선다발이다. 특히, 0차원 사영 공간은 아핀 스펙트럼과 같다. 즉, 임의의 가환환 K에 대하여 :\operatorname{Proj}K[x] = \operatorname{Spec}K 이다.
## 준연접층에 대응되는 대역적 사영 스펙트럼
다음이 주어졌다고 하자. * 스킴 (X,\mathcal O_X) * \mathcal O_X-준연접층 \mathcal E 그렇다면, 대칭 대수의 층 :\operatorname{\underline{Sym_{\mathcal O_X}(\mathcal E)\colon U\mapsto\operatorname{Sym}_{\mathcal O_X(U)}\Gamma(U,\mathcal E) 및 이에 대응하는 대역적 사영 스펙트럼 :\operatorname{\underline{Proj\left(\operatorname{\underline{Sym_{\mathcal O_X}(\mathcal E)\right)=\mathbb P(\mathcal E) 를 정의할 수 있다. 특히, 만약 추가로 \mathcal E가 유한 생성 가군층일 때, 만약 어떤 닫힌 몰입 \iota에 대하여 :Y\xrightarrow\iota \mathbb P(\mathcal E)\to X 의 꼴로 분해될 수 있는 스킴 사상 Y\to X를 **사영 사상**(射影寫像, projective morphism)이라고 한다.