다르부 함수

미적분학 미적분학과 위상수학에서 **다르부 함수**(Darboux’s function)는 연결 집합의 상이 연결 집합인 함수이다.zbl=1382.26004zbl=1362.26003zbl=1292.46004zbl=1357.26005 실수에서 실수로 가는 함수의 경우 이는 구간의 상이 구간인 함수와 동치이다. **다르부 정리**(Darboux’s theorem) 또는 **다르부 중간값 정리**(Darboux’s intermediate value theorem)에 따르면, 실수 구간에서 실수로 가는 미분 가능 함수의 도함수는 항상 다르부 함수이다. 이는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.
# 정의
두 위상 공간 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **다르부 함수**라고 한다. * 연결 집합의 상은 연결 집합이다. 즉, 임의의 연결 집합 A\subseteq X에 대하여, f(A)\subseteq Y는 연결 집합이다. 실수 집합의 연결 부분 집합은 단순히 구간이다. 따라서, 구간 I\subseteq\mathbb R 위에 정의된 함수 f\colon I\to\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 다르부 함수이다. * 구간의 상은 구간이다. 즉, 임의의 a,b\in I 및 y\in(f(a),f(b))\cup(f(b),f(a))에 대하여, f(x)=y인 x\in(a,b)가 존재한다.
## 어디서나 전사 함수
기수 \kappa가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X과 집합 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **\kappa-어디서나 전사 함수**(\kappa-everywhere surjective function)라고 한다. * 임의의 y\in Y에 대하여, f^{-1}(y)는 \kappa-조밀 집합이다 (즉, 임의의 공집합이 아닌 열린집합 U\subseteq X에 대하여, |U\cap f^{-1}(y)|\ge\kappa). 1-어디서나 전사 함수를 **어디서나 전사 함수**(everywhere surjective function)라고 한다. 즉, 임의의 y\in Y에 대하여, f^{-1}(y)는 조밀 집합이어야 한다. 이는 임의의 공집합이 아닌 열린집합 U\subseteq X에 대하여, f(U)=Y인 조건과 동치이다. 위상 공간 X 위의 |X|-어디서나 전사 함수 X\to X를 **강하게 어디서나 전사 함수**(strongly everywhere surjective function)라고 한다. 위상 공간 X과 집합 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **완전 어디서나 전사 함수**(perfectly everywhere surjective function)라고 한다. * 임의의 공집합이 아닌 완전 집합 P\subseteq X에 대하여, f(P)=Y
## 둘레 연속 함수
두 위상 공간 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **둘레 연속 함수**(peripherally continouous function)라고 한다. * 임의의 x\in X 및 열린 근방 U\ni x, V\ni f(x)에 대하여, \operatorname{cl}W\subseteq U, f(\partial W)\subset V인 열린 근방 W\ni x가 존재한다.
# 성질

## 함의 관계
중간값 정리에 따르면, 모든 연속 함수는 다르부 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 어디서나 전사 함수 \mathbb R\to\mathbb R는 항상 다르부 함수이지만, 연속점을 갖지 않는다. 함수 \mathbb R\to\mathbb R에 대하여, 다음 함의 관계가 성립한다. :완전 어디서나 전사 함수 ⇒ 강하게 어디서나 전사 함수 ⇒ 어디서나 전사 함수 ⇒ 다르부 함수 ⇒ 조밀 그래프를 갖는 함수 ⇒ 둘레 연속 함수 각 함의의 역은 성립하지 않는다.
## 다르부 정리
**다르부 정리**에 따르면, 임의의 폐구간 [a,b]\subseteq\mathbb R 및 미분 가능 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R에 대하여, 도함수 f'\colon[a,b]\to\mathbb R는 다르부 함수이다. 특히, 임의의 y\in(f'(a),f'(b))\cup(f'(b),f'(a))에 대하여, :f'(x)=y 인 x\in(a,b)가 존재한다.Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.224–225 제목=다르부 정리의 증명 편의상 f'(a)라고 하자. :g\colon[a,b]\to\mathbb R :g\colon t\mapsto yt-f(t) 라고 하자. 그렇다면 g는 연속 함수이며, 어떤 x\in[a,b]에서 최댓값 g(x)를 갖는다 (최대 최소 정리). 이제, x=a라고 가정하자. 그렇다면 g(a)가 최댓값이므로, 임의의 t\in[a,b]에 대하여 0\ge (g(t)-g(a))/(t-a)이다. 따라서 0\ge g'(a)=y-f'(a)이며, 이는 모순이다. 즉, x\ne a이다. 마찬가지로 x\ne b임을 보일 수 있다. 이에 따라 x\in(a,b)이며, :0=g'(x)=y-f'(x) 이다 (페르마 임계점 정리). 즉, f'(x)=y이다. 증명 끝
## 충분히 많은 역의 반례의 존재
모든 0이 아닌 원소가 어디서나 전사 함수 \mathbb R\to\mathbb R인 2^{2^{\aleph_0차원 실수 벡터 공간이 존재한다. 즉, 중간값 정리의 역의 반례는 ‘충분히 많이’ 존재한다. 보다 일반적으로, 체 K 위의 벡터 공간 V의 부분 집합 M\subset V에 대하여, \lambda(M)이 W\subset M\cup\\{0\\}인 \kappa차원 부분 벡터 공간 W\subset V가 존재하지 않는 가장 작은 기수 \kappa라고 하자. (특히, \lambda(M)이 따름 기수 \kappa^+일 경우, \kappa는 벡터 공간 W\subset M\cup\\{0\\}의 최대 차원이다.) 그렇다면, V={\mathbb R}^{\mathbb R}에 대하여 다음 결과들이 있다. {| class="wikitable" ! M !! \lambda(M) |- | 완전 어디서나 전사 함수 || (2^{2^{\aleph_0)^+83, Table 1 |- | 완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수 || (2^{2^{\aleph_0)^+83, Table 1 |- | 강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수 || (2^{2^{\aleph_0)^+83, Table 1 |- | 어디서나 전사 함수가 아닌 다르부 함수 || (2^{2^{\aleph_0)^+83, Table 1 |- | 다르부 함수가 아닌 둘레 연속 함수 || (2^{2^{\aleph_0)^+83, Table 1 |- | 전사 연속 함수 || (2^{\aleph_0})^+ |- | 단사 함수 || 1^+83, Theorem 2.17 |}
# 예
함수 :f\colon\mathbb R\to\mathbb R :f\colon x\mapsto\begin{cases}\sin(1/x)&x;\ne 0\\\0&x;=0\end{cases} 는 다르부 함수이지만 0에서 연속이 아니며, 0이 아닌 모든 점에서 연속이다. 다르부 함수는 연속점을 전혀 가지지 않을 수도 있으므로, 이는 중간값 정리의 역의 비교적 ‘약한’ 반례이다. 임의의 무한 기수 \kappa 및 크기 \kappa의 위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 어디서나 전사 함수 X\to X가 존재한다. * 임의의 공집합이 아닌 열린집합의 크기가 \kappa이며, 또한 \kappa개의 서로소 조밀 집합을 갖는다. 구체적으로, \kappa개의 서로소 조밀 집합들의 집합 \mathcal F\subset\mathcal P(X)와 전단사 함수 \phi\colon\mathcal F\to X가 주어졌을 때, 함수 :f\colon X\to X :f\colon x\mapsto\begin{cases}\phi(D)&x;\in D\in\mathcal F\\\0&x;\not\in D\forall D\in\mathcal F\end{cases} 는 어디서나 전사 함수이다. 특히, X=\mathbb R의 경우 \mathcal F=\mathbb R/\mathbb Q로 취할 수 있다.
## 강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수
**콘웨이 13진 함수**(Conway base-13 function) f\colon\mathbb R\to\mathbb R는 다음과 같다. * 만약 x\in\mathbb R의 13진법 전개가 x=a_1a_2\cdots a_p.b_1b_2\cdots b_q\mathrm Ac_1c_2\dots c_r\mathrm Cd_1d_2d_3\cdots_{(13)} (a_i,b_i\in\\{0,1,\dots,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C\\}, c_i,d_i\in\\{0,1,\dots,9\\}) 꼴이라면, f(x)의 십진법 전개는 f(x)=c_1c_2\cdots c_r.d_1d_2d_3\cdots이다. * 만약 x\in\mathbb R의 13진법 전개가 x=a_1a_2\cdots a_p.b_1b_2\cdots b_q\mathrm Bc_1c_2\dots c_r\mathrm Cd_1d_2d_3\cdots_{(13)} (a_i,b_i\in\\{0,1,\dots,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C\\}, c_i,d_i\in\\{0,1,\dots,9\\}) 꼴이라면, f(x)의 십진법 전개는 f(x)=-c_1c_2\cdots c_r.d_1d_2d_3\cdots이다. * 만약 x\in\mathbb R의 13진법 전개가 위 두 가지 형태가 아니라면, f(x)=0이다. 콘웨이 13진 함수는 다음 성질들을 만족시킨다. * 어디서나 전사 함수이다. (따라서 다르부 함수이며, 연속점을 갖지 않는다.) * 강하게 어디서나 전사 함수가 아니다. (사실 임의의 y\ne 0의 원상은 가산 무한 집합이다.) * 주기 1의 주기 함수이다. * 유리수의 상은 유리수이다.
## 완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수
끝점이 유리수인 모든 개구간의 집합 \\{(a_i,b_i)\colon i\in\mathbb N\\}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가산 개의 서로소 칸토어 집합 :C_0\subset(a_0,b_0) :C_1\subset(a_1,b_1)\setminus C_0 :C_2\subset(a_2,b_2)\setminus(C_0\cup C_1) :\vdots 이 존재한다. (이는 칸토어 집합의 르베그 측도가 0이기 때문이다.) 칸토어 집합은 곱공간 :\\{0,1\\}^{\aleph_0}\cong\\{0,1\\}^{\aleph_0}\times\\{0,1\\}^{\aleph_0}=\bigcup_{j\in\\{0,1\\}^{\aleph_0(\\{0,1\\}^{\aleph_0}\times\\{j\\}) 과 위상 동형이므로, 각 C_i는 칸토어 집합과 위상 동형인 2^{\aleph_0}개의 서로소 집합들 C_{ij}의 합집합이다. :C_i=\bigcup_{j<2^{\aleph_0C_{ij} 임의의 전단사 함수 \phi_{ij}\colon C_{ij}\to\mathbb R들을 취하자. 다음 함수를 정의하자. :f\colon\mathbb R\to\mathbb R :f\colon x\mapsto\begin{cases}\phi_{ij}(x)&x;\in C_{ij}\\\0&x;\not\in C_0\cup C_1\cup\cdots\end{cases} 그렇다면, f는 거의 어디서나 0이며, 강하게 어디서나 전사 함수이지만, 완전 어디서나 전사 함수가 아니다 (이는 칸토어 집합 C\subset\mathbb R\setminus(C_0\cup C_1\cup\cdots)이 존재하기 때문이다).490, Example 2.8
## 완전 어디서나 전사 함수
실수의 (공집합이 아닌) 완전 집합의 집합을 \mathcal A\subset\mathcal P(\mathbb R)로 표기하자. 또한, :\mathcal A\times\mathbb R=\\{(P_i,y_i)\colon i<2^{\aleph_0}\\} 이라고 하자. (실수의 닫힌집합의 수는 2^{\aleph_0}이다. 표준적인 칸토어 집합을 평행 이동하여 얻는 집합은 모두 완전 집합이다. 따라서, |\mathcal A|=2^{\aleph_0}이다.) 실수의 완전 집합의 크기는 항상 2^{\aleph_0}이므로, 초한 귀납법을 통해 다음과 같은 실수 집합 \\{x_i\colon i<2^{\aleph_0}\\}\subset\mathbb R을 취할 수 있다. :x_i\in P_i\setminus\\{x_j\colon j 이제, :f\colon\mathbb R\to\mathbb R :f\colon x\mapsto\begin{cases}y_i&x;=x_i\\\0&x;\ne x_i\forall i<2^{\aleph_0}\end{cases} 라고 하자. 그렇다면, f는 완전 어디서나 전사 함수이다.492, Example 2.12
# 역사
일부 오래된 서적에서는 구간의 상이 구간인 성질이 연속 함수 \mathbb R\to\mathbb R의 정의로 잘못 쓰였다. (사실 이는 연속 함수보다 훨씬 약한 성질이다.) 이러한 오류는 장 가스통 다르부가 1875년에 지적하였다.