비 판정법

미적분학 미적분학에서 **비 판정법**(比判定法, ratio test) 또는 **달랑베르 비 판정법**(d'Alembert's ratio test) 또는 **코시 비 판정법**(Cauchy ratio test)은 양의 실수 항의 급수의 수렴 여부를 가리는 수렴 판정법이다. 실수 항의 급수의 절대 수렴 여부를 판단할 수도 있다. 이웃하는 두 항의 비의 극한을 사용한다. 공비에 따른 기하급수의 수렴 여부에 기반한다. 다른 급수를 “표준 급수”로 삼아 더 정교한 판정법을 만들 수 있다. 그러나 이렇게 만든 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다. 즉, 임의의 급수에 대하여, 이 급수에 기반한 판정법이 효력을 잃는 급수를 구성할 수 있다.
# 정의와 증명
양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n가 주어졌다고 하자 (a_n>0\forall n\ge0). 또한, 극한 :L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1{a_n}\in[0,\infty] 가 존재한다고 하자. **비 판정법**에 따르면, 다음이 성립한다. * 만약 L1이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다. 증명 만약 L1이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여 :\frac{a_{n+1{a_n}>1 이다. 즉, (a_N,a_{N+1},\dots)은 양의 실수의 증가수열이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다. 증명 끝 보다 일반적으로, 양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n가 주어졌다고 하자 (a_n>0\forall n\ge0). 또한, :R=\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1{a_n}\in[0,\infty] :r=\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1{a_n}\in[0,\infty] 라고 하자 (이는 항상 존재하며, 항상 r\le R이다). **비 판정법**에 따르면, 다음이 성립한다. * 만약 R1이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다. 만약 극한 L이 존재한다면 L=R=r이다. 따라서 후자가 더 일반적인 결과다. 만약 r\le1\le R이라면 (특히, 만약 L=1이라면), 비 판정법을 적용할 수 없으므로 다른 방법을 사용하여야 한다. 만약 충분히 큰 n에 대하여 \frac{a_{n+1{a_n}\ge 1이라면, \lim_{n\to\infty}a_n=0일 수 없으므로 \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다. (만약 r>1이라면 이 조건이 성립한다. 만약 이 조건이 성립한다면 r\ge1이지만, r>1일 필요는 없다.) 근 판정법이나 라베 판정법 등 더 정교한 방법을 사용할 수도 있다. 증명 만약 R1이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여 :\frac{a_{n+1{a_n}>1 이다. 즉, (a_N,a_{N+1},\dots)은 양의 실수의 증가수열이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다. 증명 끝
# 예

## 수렴급수
급수 \sum_{n=1}^\infty\frac n{2^n}을 생각하자. a_n=\frac n{2^n}이라고 하자. 이웃하는 두 항의 비의 극한은 : L =\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1{a_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1\cdot\frac{2^n}n\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n} =\frac12 1 이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다. 급수 \sum_{n=1}^\infty\frac{3^nn!}{n^n}을 생각하자. a_n=\frac{3^nn!}{n^n}이라고 하자. 그렇다면, :L =\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1{a_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1\cdot\frac{n^n}{3^nn!}\right) =\lim_{n\to\infty}\frac3{(1+1/n)^n} =\frac3{\mathrm e} >1 이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다. 급수 \sum_{n=0}^\infty1을 생각하자. 자명하게 L=1이다. 하지만 a_n=1이라고 하였을 때, 충분히 큰 n에 대하여 \frac{a_n}{a_{n+1\ge1이다. 따라서 비 판정법의 더 일반적인 형태에 의하여, 이 급수는 발산한다. 사실, 비 판정법을 사용하지 않더라도, 이 급수의 항이 0으로 수렴하지 않음은 자명하므로, 급수가 발산함은 자명하다.
# 라베 판정법

## 정의와 증명
양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n가 주어졌다고 하자 (a_n>0\forall n\ge0). **라베 판정법**(Raabe’s test)에 따르면, 다음이 성립한다. * 만약 s=\liminf_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1-1\right)>1이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다. * 만약 s'=\limsup_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1-1\right)1이라면 s'=-\infty이다. 따라서 라베 판정법은 비 판정법을 일반화한다. 라베 판정법은 급수 \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^t}의, t\in\mathbb R에 따른 수렴 여부에 기반한다. 이 급수는 t>1일 때 수렴하며, t\le1일 때 발산한다. (이는 코시 응집 판정법이나 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, s'u>1이 주어졌을 때, 어떤 \epsilon_{t,u}>0 및 임의의 0\le x0 이며, f'이 연속 함수이기 때문이다. 만약 s>t>u>1이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여 :\frac{a_n}{a_{n+1>1+\frac tn\ge\left(1+\frac1n\right)^u=\frac{(n+1)^u}{n^u} 이다. 즉, :n^ua_n>(n+1)^ua_{n+1} 이다. 따라서, 임의의 n\ge N에 대하여 :n^ua_n\le(n-1)^ua_{n-1}\le\cdots\le N^ua_N 이다. 즉, :a_n\le\frac{N^ua_N}{n^u} 이다. 급수 \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^u}가 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다. 만약 s'1 이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. (라베 판정법의 표준적인 증명은 이 급수가 수렴한다는 사실을 사용한다는 데 주의하자.) 적분 판정법이나 코시 응집 판정법을 사용할 수도 있다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다. 급수 \sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}를 생각하자. a_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}이라고 하자. 그렇다면, : s' =\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1-1\right) =\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}-1\right) =\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{2n+2}{2n+1}-1\right) =\lim_{n\to\infty}\frac n{2n+1} =\frac12 0\forall n\ge0). **베르트랑 판정법**(Raabe’s test)에 따르면, 다음이 성립한다. * 만약 b=\liminf_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1-1\right)-1\right)>1이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다. * 만약 b'=\limsup_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1-1\right)-1\right)1이라면, b=\infty이다. 만약 s'1일 때 수렴하며, t\le1일 때 발산한다. (이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, b'u>1이 주어졌을 때, 어떤 \epsilon_{t,u}>0 및 임의의 0\le xt>u>1이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여 :\begin{align} \frac{a_n}{a_{n+1 &>1+\frac1n+\frac t{n\ln n}\\\ &\ge\frac1n+\left(1+\frac1{n\ln n}\right)^u\\\ &=\frac1n+\left(\frac{n\ln n+1}{n\ln n}\right)^u\\\ &=\frac1n+\left(\frac{\ln n+1/n}{\ln n}\right)^u\\\ &\ge\frac1n+\left(\frac{\ln n+\ln(1+1/n)}{\ln n}\right)^u\\\ &=\frac1n+\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^u\\\ &=\frac1n+\frac{\ln^u(n+1)}{\ln^un}\\\ &=\frac{\ln^u(n+1)+n\ln^u(n+1)}{n\ln^un}\\\ &=\frac{(n+1)\ln^u(n+1)}{n\ln^un} \end{align} 이다. 급수 \sum_{n=2}^\infty\frac1{n\ln^un}이 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다. 만약 b'0\forall n\ge0). **쿠머 판정법**(Kummer’s test)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.zbl=0804.40001Theorem, (1) * \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다. * 어떤 양의 실수의 수열 (b_n)_{n=0}^\infty (b_n>0\forall n\ge0)에 대하여, \liminf_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1-b_{n+1}\right)>0 마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.Theorem, (2) * \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다. * 어떤 양의 실수의 수열 (b_n)_{n=0}^\infty (b_n>0\forall n\ge0)에 대하여, \sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}은 발산하며, 모든 n에 대하여 \limsup_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1-b_{n+1}\right)\epsilon>0이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여 :b_na_n-b_{n+1}a_{n+1}>\epsilon a_{n+1}>0 이다. 따라서 (b_na_n)_{n=N}^\infty은 양의 실수로 구성된 감소 수열이며, 특히 수렴한다. 양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty(b_na_n-b_{n+1}a_{n+1})을 생각하자. 이 급수의 부분합은 :\sum_{k=0}^n(b_ka_k-b_{k+1}a_{k+1})=b_0a_0-b_{n+1}a_{n+1} 이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. b_na_n-b_{n+1}a_{n+1}>\epsilon a_{n+1}이므로, 비교 판정법에 의하여 \sum_{n=0}^\infty a_n 역시 수렴한다. 만약 (b_n)_{n=0}^\infty이 양의 실수의 수열이며, \sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}이 발산하며, \limsup_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1-b_{n+1}\right)\frac12 임을 보이면 충분하다. (그렇다면 급수의 부분합은 코시 열이 아니며, 따라서 이 급수는 발산한다.) 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n이 발산하므로, 임의의 N\ge0이 주어졌을 때 어떤 n_N\ge N에 대하여 :\sum_{i=N}^{n_N}a_i\ge\sum_{i=0}^{N-1}a_i 이다. 따라서 : \sum_{i=N}^{n_N}\frac1{b_i} =\sum_{i=N}^{n_N}\frac{a_i}{a_0+a_1+\cdots+a_i} \ge\frac{a_N+a_{N+1}+\cdots+a_{n_N{a_0+a_1+\cdots+a_{n_N \ge\frac12 이다. 증명 끝 쿠머 판정법의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다. {| class="wikitable" ! b_n !! 수렴 판정법 |- | b_n=1 || 비 판정법 |- | b_n=n || 라베 판정법 |- | b_n=n\ln n || 베르트랑 판정법 |} 다른 판정법과 달리, 쿠머 판정법은 양의 항의 급수가 수렴·발산할 필요충분조건을 제시하며, 모든 급수에 대하여 유효하다. 하지만 쿠머 판정법은 적절한 (b_n)_{n=0}^\infty을 찾는 방법을 제공하지 않는다. 또한, 모든 급수에 대하여 유효한 하나의 (b_n)_{n=0}^\infty은 존재하지 않는다. 구체적으로, 임의의 양의 실수 항 수렴급수 \sum_{n=0}^\infty x_n에 대하여, \lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n}=\infty인 양의 실수 항 수렴급수 \sum_{n=0}^\infty y_n가 존재하며, 또한 임의의 양의 실수 항 발산급수 \sum_{n=0}^\infty x_n에 대하여, \lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n}=0인 양의 실수 항 발산급수 \sum_{n=0}^\infty y_n가 존재한다.
# 역사
비 판정법은 장 르 롱 달랑베르가 처음 발표하였다. 쿠머 판정법(의 충분성 부분)은 1835년에 에른스트 쿠머가 제시하였다.zbl=013.0480cj 이후 반 세기 동안 수 차례 재발견되었으며, 최초의 발견자에 대하여 논란이 일었다.