특수 유니터리 군

수학에서 **특수 유니터리 군**(特殊unitary群, special unitary group)은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군의 부분군이다.
# 정의
체 K가 자기 동형 :\bar{\quad}\colon K\to K 를 가진다고 하자. K 위의 유한 차원 벡터 공간 V와, V 위의 비퇴화 반쌍선형 형식 :Q\colon V\times V\to K :Q(au+bv,w)=\bar aQ(u,w)+\bar bQ(v,w) :Q(w,au+bv)=aQ(w,a)+bQ(w,b) 가 주어졌을 때, **특수 유니터리 군** \operatorname{SU}(V,Q)는 다음 조건을 만족시키는 특수선형군의 원소들의 군이다. :\operatorname{SU}(V,Q)=\\{M\in\operatorname{SL}(V)\colon Q(Mu,Mv)=Q(u,v)\forall u,v\in V\\} 특히, 만약 V가 n차원 벡터 공간이며, Q가 자명한 항등 이차 형식 :Q(u,v)=\sum_{i=1}^n\bar uv 일 경우, 이를 \operatorname{SU}(n;K)라고 쓴다. 만약 K를 생략하는 경우, K=\mathbb C를 뜻한다. 또한, 만약 K=\mathbb C이며, 그 자기 동형이 복소수 켤레이며, V가 (p+q)차원 복소수 벡터 공간이며, Q의 계량 부호수가 (p,q)라면, 이는 \operatorname{SU}(p,q)라고 쓴다.
## 리 대수
\operatorname{SU}(n;K)의 리 대수 :\mathfrak{su}(n;K) = \\{M\in\mathfrak{gl}(n;K)\colon M^\dagger = -M\\} 은 n\times n 반에르미트 행렬들로 구성된다. 여기서 M^\dagger = (\bar M)^\top = \overline{M^\top}은 M에 각 성분로 켤레를 가한 뒤 전치 행렬을 취한 것이다. 특히, \mathfrak{su}(2)는 파울리 행렬로 생성되며, \mathfrak{su}(3)는 겔만 행렬로 생성된다.
## SU*(2*n*)
\mathfrak{su}(2n;\mathbb C)의 경우, \mathfrak{su}^*(2n) 또는 \mathfrak{sl}(n;\mathbb H)로 표기되는 특별한 실수 형태가 존재한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 체 K 위의 벡터 공간 V 위에 심플렉틱 구조 :\Omega \in\operatorname{GL}(V;K) :\Omega^2 = -1 :\Omega = -\Omega^\top 가 주어졌다고 하자. (만약 V가 유한 차원일 때, V는 짝수 차원이 되며, 적절한 기저에서 \Omega를 :\Omega = \begin{pmatrix} 0_{n\times n}&1_{n\times n}\\\ -1_{n\times n}&0_{n\times n} \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2n;K) 의 꼴로 놓을 수 있다.) 그렇다면, 다음과 같은 리 군을 정의할 수 있다. :\operatorname U^*(2n) = \\{M\in\operatorname{GL}(2n;\mathbb C)\colon \bar M\Omega = \Omega M\\} :\operatorname{SU}^*(2n) = \operatorname U^*(2n) \cap \operatorname{SL}(2n;\mathbb C) 만약 K = \mathbb C일 때, \operatorname{SU}^*(2n)의 실수 리 대수는 \mathfrak{su}(2n)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C의 실수 형태이다. K=\mathbb C일 때, 이 구성은 사원수로 적을 수 있다. 우선, 사원수 벡터 공간 \mathbb H^n 위의 사원수 선형 변환의 리 군 :\operatorname{GL}(n;\mathbb H) = \operatorname{Aut}_{\mathbb H}(\mathbb H^n) = \operatorname U^*(2n) 을 생각하자. 이는 실수 4n^2차원의 리 군이다. 이제, 임의의 :\iota \in \\{q\in\mathbb H\colon q^2 = -1,\;\bar q=-q\\} = \\{v_1\mathrm i+v_2\mathrm j+v_3\mathrm k\colon v_1^2+v_2^2+v_3^2=1\\} 는 \mathbb H의 복소구조 :j \colon q \mapsto \iota q 를 정의하며, 이 복소구조에 대하여 :\operatorname{SL}(n;\mathbb H)=\operatorname{GL}(n;\mathbb H) \cap \operatorname{SL}(2n;\mathbb C) = \operatorname{SU}^*(2n) 를 정의할 수 있다. 이 정의는 \iota의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.
# 성질

## 군론적 성질
특수 유니터리 군의 중심은 다음과 같은 순환군이다. :\operatorname Z(\operatorname{SU}(n))=\\{\exp(2\pi ik/n)1_{n\times n}\colon k=0,1,\dots,n-1\\}\cong\mathbb Z/n 중심에 대한 몫군을 **사영 특수 유니터리 군**(projective special unitary group)이라고 한다. :1\to\mathbb Z/n\cong\operatorname Z(\operatorname{SU}(n))\to\operatorname{SU}(n)\to\operatorname{PSU}(n)\to1
## 리 이론적 성질
특수 유니터리 군 \operatorname{SU}(n) 은 n^2-1차원 단순 리 군이며, 계수는 n-1이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는 A_{n-1}이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다. :\bullet-\bullet-\cdots-\bullet 특수 유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다. :\left\\{\operatorname{diag}\left(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_{n-1},\prod_{i=1}^{n-1}\lambda_i^{-1}\right)\colon\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}\in\operatorname U(1)\right\\}\subset\operatorname{SU}(n) 특수 유니터리 군의 바일 군은 다음과 같은 대칭군이다. :\operatorname{Weyl}(\operatorname{SU}(n))=\operatorname{Sym}(n) 대칭군 \operatorname{Sym}(n)은 n차원 순열 표현(permutation representation) 및 그 부분 표현인 n-1차원의 표준 표현(standard representation)을 갖는다. 특수 유니터리 군의 바일 군은 n차원 공간의 기저에 순열 표현으로서 작용하고, 극대 원환면의 기저에는 표준 표현으로 작용한다.
## 위상수학적 성질
\operatorname{SU}(n)은 콤팩트 공간이며 연결 공간이며 단일 연결 공간이다. \operatorname{SU}(2)는 3차원 초구 \mathbb S^3와 위상동형이다.
## 포함 관계
다음과 같은 포함 관계가 성립한다. * \operatorname{SO}(2n)\supset\operatorname{SU}(n). 이는 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한 것이다. 이는 \operatorname{SO}(2n) 딘킨 도표에서 \circ로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다. *: \overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^{n-3}-\overset\bullet-\bullet\qquad\to\qquad\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^{n-3}-\bullet-\bullet * \operatorname{SU}(n)\supset\operatorname{SO}(n). 이는 실수 n\times n 행렬을 복소수 n\times n 행렬의 특수한 경우로 간주한 것이다. * \operatorname{SU}(n+1)\supset\operatorname{U}(n). 이는 \operatorname{SU}(n+1) 딘킨 도표에서 \circ로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다. *: \overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^n-\circ\qquad\to\qquad\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^n * \operatorname{SU}(2n)\supset\operatorname{USp}(2n). 이는 \operatorname{SU}(2n)의 딘킨 도표를 반으로 접어서 얻는다. *: \overbrace\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\atop\bullet-\bullet-\cdots-\bullet^{n-1}\rangle\bullet\qquad\to\qquad\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^{n-1}\Leftarrow\bullet * E_7\supset\operatorname{SU}(8)/(\mathbb Z/2).§4.12 이는 E7 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다. *: \bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad {\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet * E_8\supset\operatorname{SU}(9)/(\mathbb Z/3).언어=en§5.11 이는 E8의 \mathbb Z/3 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다. *: \bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes} * G_2\supset\operatorname{SU}(3)
## 예외적 동형
낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 **예외적 동형**(exceptional isomorphism)이 성립한다. :\operatorname{SU}(1)\cong1 :\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Spin}(3) :\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3) :\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Spin}(4) :\left(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\right)/(\mathbb Z/2)\cong\operatorname{SO}(4) :\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6) :\operatorname{SU}(4)/(\mathbb Z/2)\cong\operatorname{SO}(6) :\operatorname{PSU}(4)\cong\operatorname{PSO}(6)
## 표현론
\operatorname{SU}(n)의 유한 차원 연속 표현들은 영 타블로에 의하여 분류된다. 이 경우, **정의 표현**(defining representation) \square은 n차원 표현이며, 그 켤레 \bar\square 역시 n차원 표현이다. 또한, n^2-1차원 딸림 표현이 항상 존재한다. \operatorname{SU}(2)의 표현들은 매우 간단하며, 반정수 j\in\tfrac12\mathbb Z에 의하여 분류된다. 이를 표현의 **스핀**이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 클렙슈-고르단 계수에 의하여 정해진다.
# 응용
SU(n)은 입자물리학의 표준 모형에서 쓰인다. SU(2)는 약전자기력에, SU(3)은 양자 색역학에 쓰인다.