외미분

Multivariable 미분 다양체에서 **외미분**(exterior derivative)은 함수의 미분 개념을 더 높은 차수의 미분 형식으로 확장한다. 외미분은 엘리 카르탕이 1899년에 현재의 형태로 처음 기술했다. 외미분학으로 알려진 결과 미적분학은 스토크스의 정리, 발산 정리, 그린 정리의 벡터 미적분학으로부터 자연적이고 계량 독립적인 일반화를 허용한다. 미분 k-형식이 다양체의 각 점에서 무한소 k-평행다포체를 통한 선속을 측정하는 것으로 생각되면, 그 외미분은 각 점에서 (k + 1)-평행다포체의 경계를 통한 순 선속을 측정하는 것으로 생각할 수 있다.
# 정의
차수 k 미분 형식(이하 간단히 k-형식)의 외미분은 차수 k + 1 미분 형식이다. f가 매끄러운 함수(0-형식)이면, f의 외미분은 f의 미분이다. 즉, df는 모든 매끄러운 벡터장 X에 대해 1=df (X) = dX f를 만족하는 유일한 1-형식이며, 여기서 dX f는 X 방향으로의 f의 방향도함수이다. 미분 형식의 외적(동일한 기호 ∧로 표기)은 그들의 점별 외적으로 정의된다. 일반적인 k-형식의 외미분에는 다양한 등가 정의가 있다.
## 공리적 정의
외미분 d는 k-형식에서 (k + 1)-형식으로의 유일한 ℝ-선형 사상으로 다음 속성을 가진다. *0-형식 f에 적용된 연산자 d는 f의 미분 df이다. *\alpha와 \beta가 두 k-형식이면, 모든 장의 원소 a,b에 대해 d(a\alpha+b\beta)=ad\alpha+bd\beta이다. *\alpha가 k-형식이고 \beta가 l-형식이면, d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta(계량 곱 규칙)이다. *\alpha가 k-형식이면, d(d\alpha)=0 (푸앵카레 보조정리)이다. f와 g가 두 0-형식(함수)이면, 세 번째 속성에서 d(f\wedge g)의 양에 대해 d(fg)가 되며, 익숙한 곱 규칙 d(fg)=g\,df+f\,dg가 복구된다. 세 번째 속성은 예를 들어, \alpha가 k-형식, \beta가 l-형식, \gamma가 m-형식인 경우 다음과 같이 일반화될 수 있다. :d(\alpha\wedge\beta\wedge\gamma)=d\alpha\wedge\beta\wedge\gamma+(-1)^k\alpha\wedge d\beta\wedge\gamma+(-1)^{k+l}\alpha\wedge\beta\wedge d\gamma.
## 국소 좌표계로 표현
또는, 국소 좌표계 n)에서 전적으로 작업할 수 있다. 좌표 미분 n은 각 좌표와 관련된 1차 형식 공간의 기저를 형성한다. 1 ≤ p ≤ k에 대해 k) 다중 지표(및 k를 I로 표기)가 주어지면, : \varphi = g\,dx^I = g\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} n 위의 (단순) k-형식의 외미분은 다음과 같이 정의된다. : d{\varphi} = dg\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} = \frac{\partial g}{\partial x^j} \, dx^j \wedge \,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} (아인슈타인 표기법 사용). 외미분 정의는 일반적인 k-형식(기본 단순 k-형식의 선형 조합으로 표현 가능)으로 선형적으로 확장된다. : \omega = f_I \, dx^I, 여기서 다중 지표 I의 각 구성 요소는 {1, ..., n}의 모든 값을 가진다. j가 다중 지표 I의 구성 요소 중 하나와 같을 때마다 I = 0임을 유의하라 (외적 참조). 국소 좌표에서의 외미분 정의는 이전 공리적 정의에서 파생된다. 실제로 위에서 정의된 k-형식 φ를 사용하면 다음과 같다. : \begin{align} d{\varphi} &= d\left (g\,dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \right ) \\\ &= dg \wedge \left (dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \right ) + g\,d\left (dx^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \right ) \\\ &= dg \wedge dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} + g \sum_{p=1}^k (-1)^{p-1} \, dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1 \wedge d^2x^{i_p} \wedge dx^{i_{p+1 \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \\\ &= dg \wedge dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \\\ &= \frac{\partial g}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \\\ \end{align} 여기서 우리는 g를 0-형식으로 해석하고 외미분의 속성을 적용했다. 이 결과는 일반적인 k-형식 ω로 직접 확장되어 다음과 같다. : d\omega = \frac{\partial f_I}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^I . 특히, 1-형식 ω의 경우, 국소 좌표계에서의 dω의 구성 요소는 다음과 같다. : (d\omega)_{ij} = \partial_i \omega_j - \partial_j \omega_i. 주의: dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}의 의미에 관한 두 가지 관례가 있다. 대부분의 현재 저자는 다음 관례를 따른다. : \left(dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}\right) \left( \frac{\partial}{\partial x^{i_1, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^{i_k \right) = 1 . 반면 Kobayashi와 Nomizu 또는 Helgason과 같은 옛 문헌에서는 다음 관례를 따른다. : \left(dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}\right) \left( \frac{\partial}{\partial x^{i_1, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^{i_k \right) = \frac{1}{k!} .
## 불변 공식
또는, k-형식 ω의 외미분에 대한 명시적 공식이 주어질 수 있다Spivak(1970), p 7-18, Th. 13. 이 공식은 k + 1개의 임의의 매끄러운 벡터장 V0, V1, ..., Vk와 쌍을 이룬다. : d\omega(V_0, \ldots, V_k) = \sum_i(-1)^{i} V_i ( \omega (V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots,V_k )) + \sum_{i 여기서 [Vi, Vj]는 리 괄호를 나타내고, 윗기호는 해당 요소의 생략을 나타낸다. : \omega (V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots, V_k ) = \omega(V_0, \ldots, V_{i-1}, V_{i+1}, \ldots, V_k ). 특히, ω가 1-형식일 때 Y(ω(X)) − ω([X, Y])이다. **참고:** Kobayashi–Nomizu 및 Helgason과 같은 관례에 따르면 공식은 k + 1 계수만큼 다르다. :\begin{align} d\omega(V_0, \ldots, V_k) ={} & {1 \over k+1} \sum_i(-1)^i \, V_i ( \omega (V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots,V_k )) \\\ & {}+ {1 \over k+1} \sum_{i
# 예시
**예시 1.** 스칼라장 u에 대해 1-형식 기저 n에서 2를 고려하자. 외미분은 다음과 같다. : \begin{align} d\sigma &= du \wedge dx^1 \wedge dx^2 \\\ &= \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x^i} \, dx^i\right) \wedge dx^1 \wedge dx^2 \\\ &= \sum_{i=3}^n \left( \frac{\partial u}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^1 \wedge dx^2 \right ) \end{align} 합이 i = 3에서 시작하는 마지막 공식은 외적의 속성에서 쉽게 유도된다. 즉, i = 0이다. **예시 2.** 2에 정의된 1-형식 1=σ = u dx + v dy라고 하자. 각 항에 위 공식을 적용하여(여기서 1 = x 및 2 = y로 간주) 다음 합을 얻는다. : \begin{align} d\sigma &= \left( \sum_{i=1}^2 \frac{\partial u}{\partial x^i} dx^i \wedge dx \right) + \left( \sum_{i=1}^2 \frac{\partial v}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dy \right) \\\ &= \left(\frac{\partial{u{\partial{x \, dx \wedge dx + \frac{\partial{u{\partial{y \, dy \wedge dx\right) + \left(\frac{\partial{v{\partial{x \, dx \wedge dy + \frac{\partial{v{\partial{y \, dy \wedge dy\right) \\\ &= 0 - \frac{\partial{u{\partial{y \, dx \wedge dy + \frac{\partial{v{\partial{x \, dx \wedge dy + 0 \\\ &= \left(\frac{\partial{v{\partial{x - \frac{\partial{u{\partial{y\right) \, dx \wedge dy \end{align}
# 다양체에서의 스토크스의 정리
일반화된 스토크스의 정리 M이 경계가 있는 콤팩트하고 매끄러운 유향 n-차원 다양체이고, ω가 M 위의 (n − 1)-형식이라면, 스토크스의 정리의 일반화된 형태는 다음을 나타낸다. : \int_M d\omega = \int_{\partial{M \omega 직관적으로, M을 무한소 영역으로 나누고 모든 영역의 경계를 통한 선속을 합산하면 내부 경계는 모두 상쇄되고 M의 경계를 통한 총 선속만 남게 된다.
# 추가 속성

## 닫힌 형식과 완전 형식
닫힌 형식과 완전 형식 k-형식 ω는 1=dω = 0이면 닫힌 형식이라고 불린다. 닫힌 형식은 d의 핵이다. ω는 어떤 (k − 1)-형식 α에 대해 1=ω = dα이면 완전 형식이라고 불린다. 완전 형식은 d의 상이다. 2 = 0이므로 모든 완전 형식은 닫힌 형식이다. 푸앵카레 보조정리는 수축 가능한 영역에서 그 역도 성립한다고 말한다.
## 드람 코호몰로지
외미분 d가 2 = 0 속성을 가지므로, 다양체 위의 드람 코호몰로지를 정의하기 위한 미분 (코경계)으로 사용될 수 있다. k-번째 드람 코호몰로지 (군)는 닫힌 k-형식의 벡터 공간을 완전 k-형식으로 나눈 것이다. 이전 섹션에서 언급했듯이, 푸앵카레 보조정리는 이들 벡터 공간이 수축 가능한 영역에서 k > 0에 대해 자명하다는 것을 나타낸다. 매끄러운 다양체의 경우, 형식의 적분은 드람 코호몰로지에서 ℝ 위의 단일 코호몰로지로의 자연스러운 준동형 사상을 제공한다. 드람의 정리는 이 사상이 실제로는 동형 사상이며, 푸앵카레 보조정리의 광범위한 일반화임을 보여준다. 일반화된 스토크스의 정리에서 제안된 바와 같이, 외미분은 단일 심플렉스에서의 경계 사상의 "이중"이다.
## 자연성
외미분은 기술적인 의미에서 자연스럽다. 만약 f : M → N가 매끄러운 사상이고 k가 각 다양체에 다양체 위의 k-형식 공간을 할당하는 반변 매끄러운 함자라면, 다음 다이어그램이 교환한다. : none 따라서 ∗dω이며, 여기서 ∗는 f의 당김을 나타낸다. 이는 ∗ω(·)가 정의에 따라 ω( f∗(·))이기 때문이며, 여기서 f∗는 f의 푸쉬포워드이다. 따라서 d는 k에서 k+1로의 자연 변환이다.
# 벡터 미적분학에서의 외미분
대부분의 벡터 미적분학 연산자는 외미분 개념의 특수한 경우이거나 밀접한 관계를 가진다.
## 기울기
실수 미분 다양체 M 위의 매끄러운 함수 f : M → ℝ는 0-형식이다. 이 0-형식의 외미분은 1-형식 df이다. 내적 langle·,·Rangle이 정의될 때, 함수 f의 기울기 ∇f는 V의 어떤 요소와의 내적이 벡터를 따른 f의 방향도함수와 같도록 하는 V의 유일한 벡터로 정의된다. 즉, : \langle \nabla f, \cdot \rangle = df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\, dx^i . 즉, : \nabla f = (df)^\sharp = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\, \left(dx^i\right)^\sharp , 여기서 sharp은 내적으로 유도된 이전에 언급된 음악 동형 ∗ → V를 나타낸다. 1-형식 df는 공변접다발의 한 단면이며, 각 점에서 공변접공간에서 f에 대한 국소 선형 근사를 제공한다.
## 발산
n 위의 벡터장 1=V = (v1, v2, ..., vn)은 해당 (n − 1)-형식을 가진다. : \begin{align} \omega_V &= v_1 \left (dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n \right) - v_2 \left (dx^1 \wedge dx^3 \wedge \cdots \wedge dx^n \right ) + \cdots + (-1)^{n-1}v_n \left (dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1} \right) \\\ &= \sum_{i=1}^n (-1)^{(i-1)}v_i \left (dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{i-1} \wedge \widehat{dx^{i \wedge dx^{i+1} \wedge \cdots \wedge dx^n \right ) \end{align} 여기서 \widehat{dx^{i는 해당 요소의 생략을 나타낸다. (예를 들어, 1=n = 3, 즉 3차원 공간에서 2-형식 ωV는 국소적으로 V와의 스칼라 삼중곱이다.) 초표면 위의 ωV의 적분은 해당 초표면 위의 V의 선속이다. 이 (n − 1)-형식의 외미분은 n-형식이다. : d\omega _V = \operatorname{div} V \left (dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n \right ).
## 회전
n 위의 벡터장 V는 해당 1-형식도 가진다. : \eta_V = v_1 \, dx^1 + v_2 \, dx^2 + \cdots + v_n \, dx^n. 국소적으로 ηV는 V와의 스칼라곱이다. 경로를 따른 ηV의 적분은 해당 경로를 따른 −V에 대해 수행된 일이다. 1=n = 3일 때, 3차원 공간에서 1-형식 ηV의 외미분은 2-형식이다. : d\eta_V = \omega_{\operatorname{curl} V}.
## 벡터 미적분학 연산자의 불변 공식화
표준 벡터 미적분학 연산자는 모든 준 리만 다양체에 대해 일반화될 수 있으며, 좌표 없는 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다. : \begin{array}{rcccl} \operatorname{grad} f &\equiv& \nabla f &=& \left( d f \right)^\sharp \\\ \operatorname{div} F &\equiv& \nabla \cdot F &=& {\star d {\star} \mathord{\left( F^\flat \right) \\\ \operatorname{curl} F &\equiv& \nabla \times F &=& \left( {\star} d \mathord{\left( F^\flat \right)} \right)^\sharp \\\ \Delta f &\equiv& \nabla^2 f &=& {\star} d {\star} d f \\\ & & \nabla^2 F &=& \left(d{\star}d{\star}\mathord{\left(F^{\flat}\right)} - {\star}d{\star}d\mathord{\left(F^{\flat}\right)}\right)^{\sharp} , \\\ \end{array} 여기서 ⋆는 호지 별 연산자, flat과 sharp은 음악 동형이며, f는 스칼라장이고 F는 벡터장이다. curl에 대한 표현은 sharp이 차수 n − 2 형식인 flat)에 작용해야 한다는 것을 유의해야 한다. 임의 차수의 k-형식으로 sharp을 자연스럽게 일반화하면 이 표현이 모든 n에 대해 의미를 가질 수 있다.
# 내용주
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