외대수

방향을 갖춘 선분 · 평행사변형 · 평행육면체로 해석할 수 있다. 외대수 원소의 노름은 평행육면체의 부피와 같다.]] 추상대수학과 미분기하학에서 **외대수**(外代數, exterior algebra) 또는 **그라스만 대수**(Graßmann代數, Grassmann algebra)는 어떤 주어진 벡터 공간에 대하여, 그 벡터들의 완전 반대칭 조합들로 구성된 벡터 공간 및 그 위에 정의된 이항 연산으로 구성되는 단위 결합 대수이자 호프 대수이다. 기하학적으로, 이는 부호수를 갖는 넓이 또는 부피를 나타낸다.
# 정의
가환환 K 위의 가군 V가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서 대수 :T(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty T^n(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty\overbrace{V\otimes_KV\otimes_K\cdots\otimes_KV}^n 를 정의할 수 있다. 이 위에는 겹선형 이항 연산 :\otimes\colon T^m(V)\otimes_KT^n(V)\to T^{m+n}(V) :(u_1\otimes u_2\otimes\cdots u_m)\otimes(v_1\otimes v_2\otimes\cdots v_n)=u_1\otimes u_2\otimes\cdots u_m\otimes v_1\otimes v_2\otimes\cdots v_n) 이 정의되어 있으며, 이에 따라 T(V)는 이는 K 위의 자연수 등급을 갖는 등급 단위 결합 대수를 이룬다. T(V)의 다음과 같은 아이디얼을 생각하자. :I=(\\{v\otimes v\colon v\in V\\})=\operatorname{Span}\\{v_1\otimes v_2\otimes\cdots v_n\colon\exists i,j\colon v_i=v_j\\} 그렇다면, 이 아이디얼에 대하여 몫대수를 취할 수 있으며, 이를 **외대수** :\bigwedge(V)=T(V)/I :\bigwedge(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty \bigwedge^n(V) 라고 한다. 아이디얼에 대하여 몫을 취했으므로, 이 역시 K 위의 단위 결합 대수이다. 외대수에서의 이항 연산은 통상적으로 :\wedge\colon\bigwedge^mV\otimes\bigwedge^nV\to\bigwedge^{m+n}V :\alpha\wedge\beta = \alpha\otimes\beta \pmod I 로 쓰며, **쐐기곱**(wedge product) 또는 **외적**(外積, exterior product)이라고 한다. 외대수의 n차 원소 a\in\bigwedge^nV는 **n-블레이드**(n-blade) 또는 **n-벡터**(n-vector) 또는 **n-다중벡터**(n-multivector) 따위로 불린다.
# 성질
체 K 위의 벡터 공간 V 위의 외대수 \bigwedge(V)는 K 위의 단위 결합 대수이며, 자연수 등급을 갖는 등급 대수이다. 또한, 이항 연산은 등급 가환 법칙을 따른다. 즉, 임의의 :a\in\bigwedge^mV :b\in\bigwedge^nV 에 대하여, :a\wedge b=(-1)^{mn}b\wedge a :\deg(a\wedge b)=m+n 이다. 보다 일반적으로, 임의의 :a_i\in\bigwedge^{n_i}V\qquad(i=1,2,\dots,k) 및 순열 :\sigma\in\operatorname{Sym}(k) 에 대하여, :a_{\sigma(1)}\wedge a_{\sigma(2)}\wedge\cdots\wedge a_{\sigma(k)}=(-1)^\sigma a_1\wedge a_2\wedge\cdots a_k 이다. (이는 K의 표수가 2가 아니라면 쐐기곱의 등급 가환성과 동치이지만, 표수가 2일 경우에는 자명하지 않다.) 만약 V가 유한 차원 벡터 공간이며 \dim_K V=d라면, :\dim_K \bigwedge^n(V)=\binom dn :\dim_K \bigwedge(V)=\sum_{n=0}^d\binom dn=2^d 이다. 즉, \bigwedge(V)의 (자명하지 않은) 등급은 0,1,\dots,d가 된다. 같은 체 위의 임의의 두 벡터 공간 V, W에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다. :\bigwedge(V\oplus W)\cong\bigwedge V\otimes\bigwedge W :\bigwedge^n(V\oplus W)\cong\sum_{p+q=n}\bigwedge^pV\otimes\bigwedge^qW
## 함자성
외대수는 벡터 공간의 범주 K\text{-Vect}에서, K 위의 단위 결합 대수의 범주 K\text{-uAssoc}로 가는 함자를 정의한다. 구체적으로, 선형 변환 :T\colon V\to W 에 대응하는 외대수 준동형은 다음과 같다. :\bigwedge T\colon\bigwedge V\to\bigwedge W :\bigwedge T\colon v_1\wedge\cdots\wedge v_n\mapsto T(v_1)\wedge\cdots\wedge T(v_n) 또한, 외대수 함자는 왼쪽 완전 함자이다. 즉, 벡터 공간의 아벨 범주에서의 짧은 완전열 :0\to U\to V\to W\to0 이 주어졌을 때, :0\to\bigwedge U\to\bigwedge V 는 완전열이다. 또한, :0\to\bigwedge^1U\wedge\bigwedge V\to\bigwedge V\to\bigwedge W\to0 역시 완전열이다.
## 호프 대수 구조
외대수는 단위 결합 대수의 구조뿐만 아니라, 호프 대수의 구조를 갖는다. 이 경우, 쌍대곱(coproduct)은 다음과 같다. :\Delta\colon\bigwedge^nV\to\bigwedge^nV\otimes\bigwedge^nV :\Delta(v_1\wedge\dots\wedge v_n) = \sum_{p=0}^n \sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(p,n-p)} (-1)^\sigma (v_{\sigma(1)}\wedge\dots\wedge v_{\sigma(p)})\otimes (v_{\sigma(p+1)}\wedge\dots\wedge v_{\sigma(k)}) 여기서 \operatorname{Sh}(p,k-p)\subset\operatorname{Sym}(n)은 (p,n-p)-셔플 순열의 집합이다. 쌍대단위원(counit)은 :\epsilon\colon\bigwedge^nV\to K :\epsilon\colon v\mapsto\begin{cases}0&v;\in\bigwedge^n V,\qquad n>0\\\v&v;\in\bigwedge^0V\cong K\end{cases} 이다. 앤티포드(antipode)는 :S\colon\bigwedge^nV\to\bigwedge^nV :S\colon v\mapsto(-)^{\deg v}v 이다. (모든 연산들은 혼합 등급을 갖는 원소에 대하여 선형으로 정의된다.)
## 내적과 호지 쌍대
V가 실수체 위의 유한 차원 내적 공간이라고 하자. 그렇다면 \bigwedge V 위에도 자연스러운 내적이 존재하며, 다음과 같다. 임의의 :a=u_1\wedge u_2\wedge\cdots\wedge u_m\in\bigwedge^mV :b=v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_n\in\bigwedge^nV 에 대하여, :\langle a,b\rangle=\begin{cases}\det(\langle a_i,b_j\rangle)_{ij}&m;=n\\\0&m;\ne n\end{cases} 이다. V에 추가로 방향이 주어졌다고 하자. 즉, 정규 직교 기저의 순서 (\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_d)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \bigwedge V 위에는 다음과 같은 **호지 쌍대**를 정의할 수 있다. :*\colon\bigwedge^mV\to\bigwedge^{d-m}V :*\colon\mathbf e_1\wedge\cdots\wedge\mathbf e_m\mapsto\mathbf e_{m+1}\wedge\cdots\wedge\mathbf e_d
# 기하학적 해석
두 변의 좌표로 만든 행렬의 행렬식의 관점에서 평행사변형의 넓이 V가 실수체 위의 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면 \bigwedge^nV의 원소는 부호를 갖는 n차원 초부피로 해석할 수 있다. 구체적으로, 일차 독립 벡터들의 열 :v_1,v_2,\dots,v_n\in V 이 주어졌을 때 :v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_n\in\bigwedge^nV 는 \\{v_i\\}_{i=1,\dots,n}을 변으로 하는 평행체(parallelepiped)를 나타낸다. V가 내적을 가졌을 때, 내적으로 주어지는 노름 :\|v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_n\in\bigwedge^nV\| 은 이 평행체의 초부피와 같다. 예를 들어, n=1일 경우 \bigwedge^1V\cong V는 V 속의 방향을 가리키며, 그 내적은 벡터의 길이와 같다. n=2일 경우 u\wedge v는 u와 v를 변으로 하는 평행사변형을 나타내며, 노름을 취하면 평행사변형의 넓이를 얻는다.
# 3차원 벡터와의 관계
쐐기곱 (**연보라색** 평행사변형)과 관련지어 나타낸 벡터곱 (**파란색** 벡터). 평행한 단위 벡터 (**빨간색**)의 길이에 대한 벡터곱의 길이는 기준 평행사변형 (**연한 빨간색**)의 넓이에 대한 쐐기곱의 넓이가 된다. 3차원 유클리드 공간 \mathbb R^3에서의 외대수를 생각하자. 이 경우, :\bigwedge^0\mathbb R^3\cong\mathbb R :\bigwedge^1\mathbb R^3\cong\mathbb R^3 :\bigwedge^2\mathbb R^3\cong\mathbb R^3 :\bigwedge^3\mathbb R^3\cong\mathbb R 이므로, 호지 쌍대에 따라 외대수의 1차 및 2차 원소를 둘 다 3차원 벡터로 여길 수 있다. 이 경우, 외대수의 쐐기곱을 벡터의 벡터곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\mathbf u\times\mathbf v=*(\mathbf u\wedge\mathbf v)\qquad(u,v\in\mathbb R^3) 즉, 3차원 벡터의 벡터곱은 쐐기곱의 특수한 경우이다. 그러나 3차원이 아닌 다른 차원에서는 \dim\bigwedge^1V\ne\dim\bigwedge^2V이므로, 두 벡터의 곱을 벡터로 여길 수 없다. 마찬가지로, 3차원 벡터의 삼중곱은 다음과 같이 쐐기곱으로 나타낼 수 있다. :\mathbf u\cdot\mathbf v\times\mathbf w=*(\mathbf u\wedge\mathbf v\wedge\mathbf w)
# 역사
헤르만 그라스만이 1844년에 《선형 확장 이론: 수학의 새 분야》(Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik)언어=de에서 도입하였다. 그라스만은 자신의 이론을 "확장 이론"(Ausdehnungslehre)이라고 불렀다. 이후 그라스만의 이론은 오랫동안 잊혀져 있다가, 1888년에 주세페 페아노가 그의 이론을 재발견하였고 재조명하였다. 이후, 앙리 푸앵카레 · 엘리 카르탕 · 가스통 다르부 등에 의해, 미분 형식의 형태로 현대 미분기하학의 핵심적인 위치를 차지하게 되었다.
# 응용
미분기하학에서는 접다발의 각 올인 접공간에 각각 외대수를 취하여 얻는 벡터 다발의 단면을 **미분 형식**이라고 한다. 미분 형식은 현대 미분기하학에서 핵심적인 위치를 차지한다. 물리학에서, 외대수는 페르미온 값을 갖는 장들을 나타내기 위하여 쓰인다. 이들은 반가환수의 값을 갖는데, 반가환수는 외대수의 원소로 정의할 수 있다. 또한, 초대칭 이론의 경우 초장들은 초다양체 위에 정의되는데, 이는 국소적으로 외대수를 갖춘 유클리드 공간 매끄러운 함수환과 동형인 층을 갖춘 위상 공간이다.