삼각행렬

선형대수학에서 **삼각행렬**(三角行列, triangular matrix)은 정사각행렬의 특수한 경우로, 주대각선을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다. 주대각선 다음과 같은 모양을 가지는 행렬 \mathbf{L}을 **하삼각행렬**(lower triangular matrix)로 정의한다.2013 :\mathbf{L}= \begin{bmatrix} l_{1,1} & & & & 0 \\\ l_{2,1} & l_{2,2} & & & \\\ l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots & & \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\\ l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n} \end{bmatrix} 다음과 같은 모양을 가지는 행렬 \mathbf{U}을 **상삼각행렬**(upper triangular matrix)로 정의한다.2013 :\mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n} \\\ & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n} \\\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\\ & & & \ddots & u_{n-1,n}\\\ 0 & & & & u_{n,n} \end{bmatrix} 만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 **순삼각행렬**(strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 **순하삼각행렬**, **순상삼각행렬**로 부른다.
# 성질
* 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다. * 삼각행렬이면서 정규행렬인 행렬은 대각행렬이다. * 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 행렬은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다. ** 단, 순삼각행렬 등과 같이 행렬식이 0의 값을 가질 경우 역행렬이 존재하지 않으므로, 역행렬에 대해 닫혀있기 위해서는 삼각행렬이 가역행렬이어야 한다는 추가 조건이 있다. * 삼각행렬의 행렬식은 대각항들의 곱과 같다. * 대각행렬과 사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 형태이다.
# 예
* (순)상삼각행렬(식)소행렬식의 라플라스전개에의한 실베스터 행렬의 4차방정식 판별식 유도 중에서 : +eee\begin{vmatrix} {\color{red}{ 4a & 3b & 2c & d \\\ 0 & {\color{red}{ 4a & 3b & 2c \\\ 0 & 0 & {\color{red}{ 4a & 3b \\\ 0 & 0 & 0 & {\color{red}{ 4a \\\ \end{vmatrix} = +eee \left( {\color{red}{ 4a\begin{vmatrix} {\color{red}{ 4a & 3b & 2c \\\ 0 & {\color{red}{ 4a & 3b \\\ 0 & 0 & {\color{red}{ 4a \\\ \end{vmatrix} -3b\begin{vmatrix} 0 & 3b & 2c \\\ 0 & 4a & 3b \\\ 0 & 0 & 4a \\\ \end{vmatrix} +2c\begin{vmatrix} 0 & 4a & 2c \\\ 0 & 0 & 3b \\\ 0 & 0 & 4a \\\ \end{vmatrix} -d\begin{vmatrix} 0 & 4a & 3b \\\ 0 & 0 & 4a \\\ 0 & 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} \right) : +eee{\color{red}{ 4a\begin{vmatrix} {\color{red}{ 4a & 3b & 2c \\\ 0 & {\color{red}{ 4a & 3b \\\ 0 & 0 & {\color{red}{ 4a \\\ \end{vmatrix} = +eee{\color{red}{ 4a \left( {\color{red}{ 4a\begin{vmatrix} {\color{red}{ 4a & 3b \\\ 0 & {\color{red}{ 4a \\\ \end{vmatrix} -3b\begin{vmatrix} 0 & 3b \\\ 0 & 4a \\\ \end{vmatrix} +2c\begin{vmatrix} 0 & 4a \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} \right) : -eee3b\begin{vmatrix} 0 & 3b & 2c \\\ 0 & 4a & 3b \\\ 0 & 0 & 4a \\\ \end{vmatrix} = -eee3b \left( \cancel{ 0 \begin{vmatrix} 4a & 3b \\\ 0 & 4a \\\ \end{vmatrix} } -3b\begin{vmatrix} 0 & 3b \\\ 0 & 4a \\\ \end{vmatrix} +2c\begin{vmatrix} 0 & 4a \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} \right) : +eee2c\begin{vmatrix} 0 & 4a & 2c \\\ 0 & 0 & 3b \\\ 0 & 0 & 4a \\\ \end{vmatrix}= +eee2c \left( \cancel{ 0\begin{vmatrix} 0 & 3b \\\ 0 & 4a \\\ \end{vmatrix -4a\begin{vmatrix} 0 & 3b \\\ 0 & 4a \\\ \end{vmatrix} +2c\begin{vmatrix} 0 & 0 \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} \right) : -eeed\begin{vmatrix} 0 & 4a & 3b \\\ 0 & 0 & 4a \\\ 0 & 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} = -eeed \left( \cancel{ 0\begin{vmatrix} 0 & 4a \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} } -4a\begin{vmatrix} 0 & 4a \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} +3b\begin{vmatrix} 0 & 0 \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} \right) : +eee{\color{red}{ 4a4a\begin{vmatrix} {\color{red}{ 4a & 3b \\\ 0 & {\color{red}{ 4a \\\ \end{vmatrix}=+eee{\color{red}{ 4a4a({\color{red}{ 4a4a-\cancel{3b0})=+{\color{red}{ 4^4 a^4 e^3=+{\color{red}{ 256a^4 e^3 : -eee4a3b\begin{vmatrix} 0 & 3b \\\ 0 & 4a \\\ \end{vmatrix}=-eee4a3b(04a-3b0)=0 : +eee4a2c\begin{vmatrix} 0 & 4a \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} = +eee4a2c(00-4a0)=0 : +eee3b3b\begin{vmatrix} 0 & 3b \\\ 0 & 4a \\\ \end{vmatrix} =+eee3b3b(04a-3b0)=0 : -eee3b2c\begin{vmatrix} 0 & 4a \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix}= -eee3b2c(00-4a0)=0 : -eee2c4a\begin{vmatrix} 0 & 3b \\\ 0 & 4a \\\ \end{vmatrix}=-eee2c4a(04a-3b0)=0 : +eee2c2c\begin{vmatrix} 0 & 0 \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix}=+eee2c2c(00-00)=0 : +eeed4a\begin{vmatrix} 0 & 4a \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} =+eeed4a(00-4a0)=0 : -eeed3b\begin{vmatrix} 0 & 0 \\\ 0 & 0 \\\ \end{vmatrix} =-eeed3b(00-00)=0 * (순)하삼각행렬(식) : aaa\begin{vmatrix} {\color{red}{ d & 0 & 0 & 0 \\\ 2c & {\color{red}{ d & 0 & 0 \\\ 3b & 2c & {\color{red}{ d & 0 \\\ 4a & 3b & 2c & {\color{red}{ d \\\ \end{vmatrix} = aaa \left( {\color{red}{ d\begin{vmatrix} {\color{red}{ d & 0 & 0 \\\ 2c & {\color{red}{ d & 0 \\\ 3b & 2c & {\color{red}{ d \\\ \end{vmatrix} -\cancel{ 0\begin{vmatrix} 2c & 0 & 0 \\\ 3b & d & 0 \\\ 4a & 2c & d \\\ \end{vmatrix} +0\begin{vmatrix} 2c & d & 0 \\\ 3b & 2c & 0 \\\ 4a & 3b & d \\\ \end{vmatrix} -0\begin{vmatrix} 2c & d & 0 \\\ 3b & 2c & d \\\ 4a & 3b & 2c \\\ \end{vmatrix \right) : aaa{\color{red}{ d\begin{vmatrix} {\color{red}{ d & 0 & 0 \\\ 2c & {\color{red}{ d & 0 \\\ 3b & 2c & {\color{red}{ d \\\ \end{vmatrix}= aaa{\color{red}{ d \left( {\color{red}{ d \begin{vmatrix} {\color{red}{ d & 0 \\\ 2c & {\color{red}{ d \\\ \end{vmatrix} \cancel{ -0\begin{vmatrix} 2c & 0 \\\ 3b & d \\\ \end{vmatrix} +0\begin{vmatrix} 2c & d \\\ 3b & 2c \\\ \end{vmatrix \right) : aaa{\color{red}{ dd\begin{vmatrix} {\color{red}{ d & 0 \\\ 2c & {\color{red}{ d \\\ \end{vmatrix}=aaa{\color{red}{ dd({\color{red}{ dd-\cancel{02c})=a^3{\color{red}{ d^4 * 삼각행렬 A에 대해서 xI-A도 역시 삼각행렬이기 때문에, 고유행렬식 det(xI-A)은 대각항들을 근으로 가진다. 따라서 A의 고윳값은 각 대각항이 된다. * 단위 하삼각행렬 : \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\ \blacksquare & 1 & 0 & 0 \\\ \blacksquare& \blacksquare & 1 & 0 \\\ \blacksquare &\blacksquare &\blacksquare & 1 \\\ \end{bmatrix}
# 전진 대입과 후진 대입
행렬 방정식 \mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b} 또는 \mathbf{U}\mathbf{x} = \mathbf{b}의 형태에서 각각 하삼각행렬에 대한 전진대입( forward substitution) 및 상 삼각행렬에대한 후진대입(back substitution)이라고하는 반복적 프로세스로 해결하기가 용이하다. 우선 소위 하삼각행렬의 경우의 프로세스는 x_{1}을 첫번째 계산으로 해서 다음 방정식으로 대입하여 x_ {2} , ~ x_{n}까지 반복한다. 상삼각행렬에서는 역으로 작동하는데 , 첫번째 계산은 x_{n} , 그런 다음 이를 이전 방정식으로 대입하여 x_{n-1} , 반복하여 x_{1}에 이른다. 행렬을 뒤집는것은 아니다. * 전진대입 행렬 방정식 L x = b는 선형 방정식의 시스템(연립)으로 쓸 수 있다 : \begin{matrix} \ell_{1,1} x_1 & & & & & = & b_1 \\\ \ell_{2,1} x_1 & \+ & \ell_{2,2} x_2 & & & = & b_2 \\\ \vdots & & \vdots & \ddots & & & \vdots \\\ \ell_{(m-1),1} x_1 & \+ & \ell_{(m-1),2} x_2 & \+ \dotsb + & \ell_{(m-1),(m-1)} x_{(m-1)} & = & b_{(m-1)} \\\ \ell_{m,1} x_1 & \+ & \ell_{m,2} x_2 & \+ \dotsb + & \ell_{m,m} x_m & = & b_m \\\ \end{matrix} 여기서 x_1는 첫 번째 방정식 (\ell_{1,1} x_1 = b_1) 에만 관련된다. 이어서 두 번째 방정식은 x_1 과 x_2에 관련된다. 따라서 이미 해결 된 값으로 대입하여 풀수있게된다. 계속해서 마지막의 직전은 x_m이전에 접근한 값 x_{m-1}이다. 그리고 맨 마지막 m번째 방정식은 x_m이다. 이러한 x_1,x_2,\dots,x_{m-1},x_m 결과 수식은 다음과 같다. : x_1 {\ell_{1,1 = {b_1} : x_1 = \frac{b_1}{\ell_{1,1 이고, : x_2 {\ell_{2,2 + \ell_{2,1} x_1 = b_2 : x_2 = \frac{b_2 - \ell_{2,1} x_1}{\ell_{2,2 이고, : x_3 {\ell_{3,3 +x_2 {\ell_{2,2 + \ell_{2,1} x_1 = b_3 : x_3 = b_3 -x_2 {\ell_{2,2 - \ell_{2,1} x_1}\over{\ell_{3,3 이고, :정리하면, : x_1 = \frac{b_1}{\ell_{1,1 : x_2 = \frac{b_2 - \ell_{2,1} x_1}{\ell_{2,2 : x_3 = b_3 -x_2 {\ell_{2,2 - \ell_{2,1} x_1}\over{\ell_{3,3 :계속해서 , :: \vdots :일반화하면 : x_m = b_m - \left( \sum_{i=1}^{m-1} \ell_{m,i}x_i \right) } \over {\ell_{m,m } * 후진대입 :상삼각행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 역방향에서 같은 방식으로 적용하여 접근할 수 있다.