원환 다양체

대수기하학에서 **원환 다양체**(圓環多樣體, toric variety)는 대수적 원환면 (K^\times)^n을 조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다.언어=en언어=en언어=enarchive-url=https://web.archive.org/web/20120703130124/http://www.cs.amherst.edu/~dac/lectures/tutorial.pdfurl-status=dead언어=en언어=en언어=en
# 정의
체 K가 주어졌다고 하자. K 위의 **원환 다양체** (M,\phi)는 다음과 같은 데이터로 이루어진다. * K-대수다양체 M * 군의 작용 \phi\colon(K^\times)^n\to\operatorname{Aut}(M) (K^\times는 K의 가역원군) 이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다. * 자리스키 조밀 열린집합 T\subseteq M이 존재하여, T가 (K^\times)^n과 (K-대수다양체로서) 동형이며, T에 대한 군 작용이 이 위상 동형 아래 복소수의 곱셈이어야 한다.
## 부채
많은 경우, 복소수체 위의 원환 다양체는 **부채**(팬)라는 데이터로 표현될 수 있다. **강볼록 유리 다면뿔**(強볼록有理多面뿔, strongly convex rational polyhedral cone) \sigma\subseteq\mathbb Q^n은 다음 성질을 만족하는 부분 집합이다. * (강볼록 조건) \sigma\cap-\sigma=\\{0\\} * (스칼라곱에 대한 닫힘) r\in[0,\infty)이고 v\in\sigma라면 rv\in\sigma * (덧셈에 대한 닫힘) \sigma는 덧셈 모노이드이다. 즉, u,v\in\sigma라면 u+v\in\sigma이다. * (유리 벡터에 의한 생성) \sigma=\operatorname{Span}_{[0,\infty)} B가 되는 유한 집합 B\subseteq\mathbb Z^n이 존재한다. 다면뿔 \sigma의 **면**(face)들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들이다. * \phi\colon\mathbb Q^n\to\mathbb Q가 실수 선형 변환이고, \phi \restriction \sigma\ge0이라면, \sigma\cap(\ker \phi). **부채** \Sigma는 다음 성질을 만족하는 강볼록 유리 다면뿔들의 집합이다. * (면에 대한 닫힘) \sigma\in\Sigma이고 \sigma'가 \sigma의 면 가운데 하나라면, \sigma'\in\Sigma. * (교집합에 대한 닫힘) \sigma,\sigma'\in\Sigma라면, \sigma\cap\sigma'는 \sigma의 면 가운데 하나이고, 또한 \sigma'의 면 가운데 하나이다. (\\{0\\}은 모든 다면뿔들의 면이다.) 강볼록 유리 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 \sigma의 격자점 \sigma\cap\mathbb Z^k들은 덧셈에 대하여 유한 생성 모노이드를 이룬다. (여기서 k는 다면뿔 \sigma의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 \sigma의 쌍대뿔 \sigma^\vee=\\{v\colon\langle u,v\rangle\ge0\forall u\in\sigma\\}\subset K^n 또한 유한 생성 모노이드를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 \\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_\alpha,\dots,\mathbf v_k\\}\subset K^n를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자. :\phi\colon(K^*)^n\to K^k :\phi\colon(\exp(iz_1),\dots,\exp(iz_i),\dots,\exp(iz_n))\mapsto\left(\exp(i\sum_jz_nv^{(j)}_1),\dots, \exp(i\sum_jz_jv^{(j)}_\alpha),\dots,\exp(i\sum_jz_jv^{(j)}_k)\right) 다면뿔 \sigma에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 \phi의 상을 포함하는 최소 대수다양체 (자리스키 위상에 대한 닫힘)이다. 부채 \Sigma에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 짜깁기하여 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 자리스키 열린집합을 서로 이어붙인다.
## 다면체에 대응하는 원환 다양체
꼭짓점이 격자점 \mathbb Z^n인 볼록 고차 다면체가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 (n-1)차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 (n-1)차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 (n-1)차원 면이 공유하는 (n-2)차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다. 즉, 다면체 P에 대응되는 원환 다양체 X에 대하여, 표준적인 전사 함수 :X \twoheadrightarrow P 가 존재한다. 이 사상에서, 임의의 점 x\in P에 대응되는 올은 (만약 x가 k차원 면에 속한다면) (K^\times)^k의 꼴이다. P의 (유일한) 내부는 X의 자리스키 조밀 열린집합 (K^\times)^{\dim X}에 해당하며, 따라서 P \subseteq \mathbb Q^{\dim X}이다. 이는 운동량 사상의 특수한 경우이다.
# 연산
두 원환 다양체의 곱공간 역시 원환 다양체이다. 원환 다양체의 특이점 해소(resolution of singularities) 역시 원환 다양체이며, 이는 원래 원환 다양체에서 일부 뿔들을 더 작은 뿔들로 분할하여 얻어진다.
# 성질
\mathbb Q^n 속의 부채 \Sigma로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.Theorem 9.1(1)§4.2 * \Sigma에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 콤팩트 공간이다. * \textstyle\mathbb Q^n = \bigcup\Sigma이다. 즉, 부채에 속하는 뿔들의 합집합은 \mathbb Q^n 전체이다. \mathbb Q^n 속의 부채 \Sigma로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.Theorem 9.1(2) * \Sigma에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 매끄러운 다양체이다. * 모든 뿔 \sigma에 대하여, \sigma \cap\mathbb Z^n은 유한 생성 자유 가환 모노이드이다. \mathbb Q^n 속의 부채 \Sigma로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.Theorem 9.1(2) * \Sigma에 대응되는 원환 다양체는 사영 대수다양체이다. * \Sigma는 \mathbb Z^n의 유한 부분 집합의 볼록 껍질에 대응되는 부채이다. \mathbb Q^n 속의 부채 \Sigma로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.§4.3 * \Sigma에 대응되는 원환 다양체는 칼라비-야우 다양체이다 (즉, 표준 인자가 0이다). * \Sigma에 속하는 모든 1차원 뿔들을 생성하는 정수 계수 벡터들 (v_i)_{i\in I}이 모두 하나의 n-1차원 초평면 위에 존재하게 잡을 수 있다. 즉, \phi(v_i) = 1\,\forall i\in I인 실수 선형 변환 \phi\colon\mathbb Q^n\to\mathbb Q가 존재한다. 특히, 만약 n\ge1이라면, 칼라비-야우 원환 다양체의 복소수 위상은 콤팩트 공간일 수 없다.§4.3
# 예
편의상 유클리드 공간 \mathbb Q^n의 표준 기저를 (\mathrm e_i)_{i=1,\dotsc,n}으로 표기하자. 여기서 K는 임의의 체이다.
## 원환면
(K^\times)^n은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같은 0차원 뿔에 대응된다. :\Sigma = \\{\sigma_0\\} :\sigma_0 = \\{0\\} \subseteq\mathbb Q^n \sigma_0의 쌍대뿔은 \sigma_0^\vee = \mathbb Q^n이며, 이는 :\\{\pm\mathrm e_1,\dotsc,\pm\mathrm e_n\\} 에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는 :\operatorname{Spec}K[\sigma_0^\vee \cap\mathbb Z^n] = \operatorname{Spec}K[t_1,t_1^{-1},t_2,t_2^{-1},\dotsc,t_n,t_n^{-1}] 이다.
## 아핀 공간
아핀 공간 다음과 같은, 하나의 뿔만으로 구성되는 부채를 생각하자.Example 5.1 :\sigma = [0,\infty) \times \dotsb \times [0,\infty) \subseteq \mathbb Q^n 즉, 이는 \mathbb Q^n의 “2*n*분면”이다. 이는 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 기저 :(\mathrm e_1,\mathrm e_2,\dotsc,\mathrm e_n) 에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 n차원 아핀 공간 :\operatorname{Spec}K[\sigma^\vee\cap \mathbb Z^n] = \operatorname{Spec}K[t_1,\dotsc,t_n] 이다. 예를 들어, 아핀 평면 \mathbb A^2_K는 다음과 같은 부채에 대응된다. :\begin{matrix} \uparrow \\\ \bullet & \rightarrow \end{matrix}
## 사영 공간
사영 공간 모든 사영 공간은 원환 다양체이며, n차원 사영 공간에 대응되는 다면체는 n차원 단체이다. 구체적으로, \mathbb Q^n의 표준 기저 (e_1,\dotsc,e_n)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, :\mathrm e_0 = -(\mathrm e_1+\dotsb+\mathrm e_n) 을 정의하고, 다음과 같은 n+1개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각하자.Example 8.4 :\sigma_i =\operatorname{Span}_K \left(\\{\mathrm e_0,\mathrm e_1,\dotsc,\mathrm e_n\\} \setminus \\{\mathrm e_i \\}\right) 즉, 이 부채는 \\{\mathrm e_0,\mathrm e_1,\dotsc,\mathrm e_n\\}의 2^{n+1}-1개의 진부분 집합에 대응되는 뿔들로 구성된다. 이 가운데 n차원의 뿔들은 n+1개가 있으며, 이는 사영 공간의 크기 n+1의 아핀 열린 덮개에 해당한다. 구체적으로, n차원 뿔의 쌍대뿔들은 다음과 같다. * \sigma_0^\vee는 \\{\mathrm e_1,\dotsc,\mathrm e_n\\}으로 생성된다. ** 이에 대응되는 모노이드 대수는 K[x_1,x_2,\dotsc,x_n]이다. * i \in \\{1,\dotsc,n\\}에 대하여, \sigma_i^\vee는 \\{\mathrm e_1-\mathrm e_i,\dotsc,\widehat{\mathrm e_i-\mathrm e_i},\dotsc,\mathrm e_n-\mathrm e_i,-\mathrm e_i\\}로 생성된다. (\hat{\color{White}e}은 이 항만을 생략하라는 뜻이다.) ** 이에 대응되는 모노이드 대수는 K[x_1x_i^{-1},x_2x_i^{-1},\dotsc,\widehat{x_ix_i^{-1,\dotsc,x_nx_i^{-1},x_i^{-1}]이다. 즉, 사영 공간의 동차 좌표를 :[y_0:y_1:\dotsb:y_n] 이라고 한다면, 이는 :(x_1,\dotsc,x_n) \mapsto [1:x_1:\dotsb:x_n] :x_i = y_i/y_0 에 해당한다. 각 \sigma_i는 아핀 공간 \mathbb A^n_K에 대응되며, 이들을 짜깁기하면 사영 공간 \mathbb P^n_K을 얻는다.
### 사영 직선
다음과 같은 \mathbb Q^1 속의 부채를 생각하자.Example 8.3 :\leftarrow \bullet \rightarrow 즉, 그 뿔들은 다음과 같다. :\sigma_1 = [0,\infty) \subsetneq\mathbb Q :\sigma_2 = (-\infty,0] \subsetneq\mathbb Q :\sigma_0 = C_1 \cap C_2 = \\{0\\} \subsetneq \mathbb Q 이 경우, \sigma_1의 쌍대뿔은 \sigma_1^\vee = \sigma_1=[0,\infty) 자신이며, 그 모노이드 대수는 :K[\sigma_1^\vee\cap\mathbb Z]=K[t] 이다. 마찬가지로 \sigma_2=\sigma_2^\vee의 경우 :K[\sigma_2^\vee\cap\mathbb Z]=K[t^{-1}] 이다. 또한, \sigma_0^\vee=\mathbb Q의 모노이드 대수는 로랑 다항식환 :K[\sigma_0^\vee\cap\mathbb Z]=K[t,t^{-1}] 이다. 환 준동형 :K[t] \to K[t,t^{-1}] 에 대응하는 자리스키 열린집합은 아핀 공간 \mathbb A^1_K의 부분 집합 \\{z\in K\colon z\ne0\\} 이다. 따라서, 이는 K[t]와 K[t^{-1}]를 이어붙인 대수다양체, 즉 사영 직선 \mathbb P^1_K을 정의한다.
### 사영 평면
예를 들어, 사영 평면 \mathbb P^2_K는 다음과 같은 부채에 대응된다. :\begin{matrix} & \uparrow \\\ & \bullet & \rightarrow \\\ \swarrow \end{matrix} 이 부채는 다음과 같은 직각 이등변 삼각형에 대응된다.

**부채로 정의되는 사영 평면의 구체적 아핀 덮개**

구체적으로, 이는 세 개의 2차원 뿔로 구성되므로, 다음과 같은 세 개의 아핀 열린집합으로 덮여진다. 이 뿔은 (*x*축부터 시계 반대 방향으로) 다음과 같다. * 뿔 1: 이는 (1,0)과 (0,1)로 생성되며, 스스로의 쌍대뿔이다. 따라서, 이는 아핀 스킴 \operatorname{Spec}K[x,y]에 해당한다. ** 뿔 1과 뿔 2 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (−1,0), (0,1)로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 \operatorname{Spec}K[x,x^{-1},y] = \operatorname{Spec}K[x,y]_x = \operatorname{Spec}K[x^{-1},x^{-1}y]_{x^{-1에 해당한다. * 뿔 2: 이 뿔의 쌍대뿔은 (1,−1)과 (−1,0)으로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 \operatorname{Spec}K[x^{-1},x^{-1}y]에 해당한다. ** 뿔 2와 뿔 3 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (−1,0), (1,−1), (−1,1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 \operatorname{Spec}K[x^{-1},xy^{-1},x^{-1}y] = \operatorname{Spec}K[x^{-1},x^{-1}y]_{x^{-1}y} = \operatorname{Spec}K[y^{-1},xy^{-1}]_{xy^{-1에 해당한다. * 뿔 3: 이 뿔의 쌍대뿔은 (0,−1)과 (1,−1)로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 \operatorname{Spec}K[y^{-1},xy^{-1}]에 해당한다. ** 뿔 3과 뿔 1 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (0,1), (0,−1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 \operatorname{Spec}K[x,y,y^{-1}] = \operatorname{Spec}K[y^{-1},xy^{-1}]_{y^{-1 = \operatorname{Spec}K[x,y]_y에 해당한다. *** 뿔 1〜3 사이의 0차원 뿔의 쌍대뿔은 (0,1), (0,−1), (1,0), (−1,0)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 \operatorname{Spec}K[x,x^{-1},y,y^{-1}]에 해당한다. 여기서 아랫첨자는 해당 원소로 생성되는 곱셈 모노이드에 대한 국소화이다. 이는 아핀 스킴 사이의 열린 몰입을 정의하며, 이는 아핀 열린 덮개의 짜깁기 사상이다.

## 코니폴드
코니폴드 코니폴드는 다음과 같은 \mathbb Q^3 속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.§4.1, (54) :\sigma = \operatorname{Span}_{[0,\infty)} \left\\{ \mathrm e_1, \mathrm e_1+\mathrm e_2, \mathrm e_1+\mathrm e_3, \mathrm e_1+\mathrm e_2+\mathrm e_3 \right\\} 이를 정의하는 네 벡터들은 모두 평면 \\{v\in\mathbb Q^3\colon \langle \mathrm e_1,v\rangle = 1\\} 위에 속하므로, 이는 칼라비-야우 다양체이다. 이 뿔에 대응되는 쌍대뿔은 :\sigma^\vee = \\{(a,b,c)\in\mathbb Q^3 \colon \min\\{a, a+b, a+c,a+b+c \\} \ge 0 \\} 이다. 따라서, 이를 생성하는 격자점은 :(1,−1,0), (1,0,−1), (0,0,1), (0,1,0) 이다. 이들 사이의 유일한 관계는 :(1,−1,0) + (0,1,0) = (1,0,−1) + (0,0,1) 이다. 따라서, 이에 대응되는 아핀 스킴(코니폴드)은 :K[x,y,z,w]/(xy-zw) 이다.§2.1, (15) K의 표수가 2가 아니라면, :X = (x/2+y/2) :Y = (x/2-y/2) :Z = (z/2+w/2) :W = (z/2-w/2) 를 정의하여, 이를 :K[X,Y,Z,W]/(X^2-Y^2-Z^2+W^2) 로 적을 수 있다.
## 오비폴드
다음과 같은 2차원 부채는 오비폴드 K^2/\operatorname{Cyc}(2)를 나타낸다.Figure 2(a) (2차 순환군 \operatorname{Cyc}(2)은 (u,v)\mapsto (-u,-v)와 같이 작용한다.) :\begin{matrix} &\nearrow \\\ \bullet\\\ &\searrow \end{matrix} 이 2차원 뿔 \sigma=\sigma^\vee는 스스로의 쌍대뿔이며, (1,1)과 (1,-1)과 (1,0)에 의하여 생성된다. :(1,1)+(1,-1) = 2\cdot(1,0) 이므로, 이는 아핀 대수다양체 :K[x,y,z]/(xy-z^2) 를 정의한다. 기하학적으로, 이는 2차 초곡면인 뿔이다. 사실, 아핀 공간 \mathbb A^2_K = \operatorname{Spec}K[u,v] 위에 2차 순환군의 작용 :(u,v) \mapsto (-u,-v) 의 작용에 대한 몫은 기하 불변량 이론 몫으로서 다음과 같은 가환환의 스펙트럼이다. :\mathbb A^2_K / \operatorname{Cyc}(2) = \operatorname{Spec} (K[u,v]^{\operatorname{Cyc}(2)}) 여기서 K[u,v]^{\operatorname{Cyc}(2)}는 \operatorname{Cyc}(2)의 작용에 대하여 불변인 원소로 구성된 부분환이다. 이는 :u^2,v^2,uv 로 생성되며, 이 사이의 관계는 :u^2\cdot v^2 = (uv)^2 밖에 없다. 따라서, 이는 스킴의 동형 사상 :\operatorname{Spec} (K[u,v]^{\operatorname{Cyc}(2)}) \cong \operatorname{Spec}\frac{K[x,y,z]}{(xy-z^2)} :(u,v) \mapsto (u^2,v^2,uv) 을 갖는다.
## 델 페초 곡면
델 페초 곡면 다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 \operatorname{dP}_1을 나타낸다.Figure 2(b) :\begin{matrix} &\uparrow \\\ &\bullet & \rightarrow\\\ \swarrow&\downarrow \end{matrix} 구체적으로, 이는 사영 평면에서, 세 2차원 뿔 가운데 하나를 세분한 것이다. 이는 이 점에서의 부풀리기에 해당한다. 다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 \operatorname{dP}_2을 나타낸다.Figure 2(b) :\begin{matrix} &\uparrow \\\ \leftarrow &\bullet & \rightarrow\\\ \swarrow&\downarrow \end{matrix} 다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 \mathbb P^1\times\mathbb P^1을 나타낸다. :\begin{matrix} &\uparrow \\\ \leftarrow&\bullet & \rightarrow\\\ &\downarrow \end{matrix} 이것이 두 사영 직선의 곱임은 부채로부터 쉽게 확인할 수 있다.
# 응용
원환 다양체의 구성은 끈 이론에서 콤팩트화에 사용되는 칼라비-야우 다양체를 구성할 때 자주 사용된다.언어=en언어=en 특히, 거울 대칭은 원환 다양체의 부채에 대한 연산으로 깔끔하게 표현될 수 있다.