뇌터 정리

뇌터 정리 출판한 첫 페이지 수리물리학에서 **뇌터의 정리**(-定理, Noether's theorem)란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 독일의 수학자 에미 뇌터가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다.언어=de 여기서 한 물리계의 작용이란 최소 작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 라그랑지안 함수의 시간적분(또는 라그랑지안 밀도 함수의 공간적분)이다. 뇌터 정리는 그동안 실험적 근거만을 가지던 여러 보존 법칙들을 더욱 간단한 물리학 이론의 대칭성들로부터 이끌어 내었다는 근본적인 의미를 갖는다. 이 정리는 현대 이론물리학의 기본적인 도구이며, 현대 이론물리학의 연구 방식에 지대한 영향을 끼쳤다. 이 정리는 라그랑주 역학, 양자장론 등 라그랑지안으로 다룰 수 있는 모든 계에 적용된다. 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, 마찰이나 점성이 있는 계의 경우 레일리 발산 함수(Rayleigh dissipation function)를 사용하여야 한다. 이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 보존 법칙이 존재하지 않을 수도 있다.
# 장론에서의 뇌터 정리
어떤 대칭에 의하여 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환에 대하여 다음과 같이 변환한다고 하자. :x'^\mu=x^\mu+\delta_\epsilon x^\mu :\phi'(x')=\phi(x)+\delta_\epsilon\phi(x)=\phi(x')+\delta_\epsilon\phi(x')-\partial_\mu\phi(x')\delta_\epsilon x^\mu(x') 만약 작용이 라그랑지언에 대하여 불변이라면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야만 한다. :\mathcal L(\phi'(x),\phi'(x),x)-\mathcal L(\phi(x),\phi(x),x)=\partial_\mu(\epsilon J^\mu(x)-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L(x)) (만약 라그랑지언이 정확히 불변이라면 J=0이 된다.) 이제 :\mathcal L(\phi'(x),\phi'(x),x)-\mathcal L(\phi(x),\phi(x),x)=\left(\frac{\partial L}{\partial\phi}+\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu +\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\partial_\mu\partial_\nu +\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\phi)}\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho +\cdots \right)\left(\phi'(x)-\phi(x)\right) ::=\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right) +\partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\right) +\partial_\mu\left(\partial_\nu\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\right) -\partial_\mu\left(\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\right) +\cdots 이다. 여기서 :\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)} +\partial_\mu\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)} -\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\phi)} +\cdots 는 변분이다. 따라서, :\epsilon j^\mu= J^\mu-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L -\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right) -\partial_\nu\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)} +\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)} +\cdots ::=J^\mu-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L -\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right) -\partial_\nu\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)} +\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)} +\cdots 로 정의한다면 :\epsilon\partial\cdot j=-\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right) 이 된다. 오일러-라그랑주 방정식을 따르는 경로의 경우 \delta\mathcal L/\delta\phi=0이므로, 이러한 경로에서는 j^\mu가 보존류를 이루며, 다음과 같은 보존량이 존재한다. :Q=\int j^0(x)\;d^3x
# 역학에서의 뇌터 정리
고전역학은 1차원 시공간 (=시간) 위의 고전장론으로 여길 수 있다. 이에 따라 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이며, :\partial_\mu\mapsto\frac d{dt} :x^\mu\to t 로 치환하여 얻을 수 있다. 즉, 변환 :q'(t')=q(t)+\delta_\epsilon q(t) :t'=t+\delta_\epsilon t 에 대하여, 라그랑지언 L(q,\dot q,\ddot q,\dots,t)가 :L[q'(t),t]-L[q,t]=-\dot L\delta t+\epsilon\dot J 를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 보존량 :Q=J-\delta_\epsilon t\mathcal L -\frac{\partial L}{\partial\dot q}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon t\dot q\right) -\frac d{dt}\left(\delta_\epsilon q-\delta_\epsilon t\dot q\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial\ddot q} +\left(\delta_\epsilon q-\delta_\epsilon t\dot q\right)\frac d{dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\ddot q} +\cdots 은 :\dot Q=-\frac{\delta L}{\delta q}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon t\dot q\right) 이므로, 운동 방정식을 따르는 경로 q(t)에 대하여 보존된다.
# 뇌터 보존량의 예
흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 대칭 !! 보존류 !! 보존량 |- | 시공간 병진 대칭 \delta x^\mu=\delta^\mu_\nu || 에너지-운동량 텐서 T^\mu{}_\nu || 4차원 운동량 (에너지, 운동량) |- | 회전 대칭 \delta x^\mu=\delta^\mu_\nu x_\rho-\delta^\mu_\rho x_\nu || 4차원 각운동량 밀도 T^\mu{}_\nu x_\rho-T^\mu{}_\rho x_\nu || 4차원 각운동량 (3차원 각운동량 \mathbf L, 총 에너지와 질량 중심의 초기 위치의 곱언어=en t\mathbf p-\mathbf x_{\text{comE) |- | 확대 변환 \delta x^\mu=x^\mu || 확대류언어=en T^\mu{}_\nu x^\nu || tE-\iiint dV\,\mathbf x\cdot \frac{d\mathbf p}{dV} (즉, E=\frac d{dt}\iiint dV\,\mathbf x\cdot d\mathbf p/dV) |- | 특수 등각 변환 \delta x^\mu=x^2\delta^\mu_\nu-2x^\mu x_\nu || T^\mu{}_\rho(x^2\delta^\rho_\nu-2x^\rho x_\nu) || |- | 전자기 U(1) 회전 (대전 스칼라장: \delta_\epsilon\phi=i\phi) || 4차원 전류 밀도 j_\mu=\phi^*\partial_\mu\phi || 전하 |- | 복소 페르미온 회전 \delta_\epsilon\psi=i\psi || 페르미온 수 보존류 \bar\psi i\gamma^\mu\psi || 페르미온 수 |- | 파동 함수 회전 \delta_\epsilon\Psi=i\Psi || 확률류 (|\Psi|^2,\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*)) || 1 (=가능한 확률의 합) |}