심플렉틱 군

군론에서 **심플렉틱 군**(-群, symplectic group) 또는 **사교군**(斜交群)은 고전적 행렬 리 군의 하나다.
# 정의

## 심플렉틱 군 Sp(2*n*; *K*)
K가 체라고 하자. 다음과 같은 2n\times2n 행렬을 정의하자. :\Omega=\begin{pmatrix}0&1_{n\times n}\\\\-1_{n\times n}&0\end{pmatrix}\in\operatorname{GL}(2n;K) 여기서 1_{n\times n}은 n\times n 단위 행렬이다. 그렇다면 \operatorname{Sp}(2n;K)는 M^\top\Omega M=\Omega를 만족하는 2n\times2n 행렬 M들의 곱셈군이다. 즉, :\operatorname{Sp}(2n;K)=\\{M\in\operatorname{GL}(2n;K)|M^\top\Omega M=\Omega\\}. 이 성질을 만족하는 행렬을 **심플렉틱 행렬**이라고 한다.
## 유니터리 심플렉틱 군 USp(2*n*)
**유니터리 심플렉틱 군** \operatorname{USp}(2n)은 2n\times2n 유니터리 심플렉틱 복소수 행렬의 리 군이다. 즉, :\operatorname{USp}(2n)=\operatorname U(2n)\cap\operatorname{Sp}(2n,\mathbb C) 이다. 간혹 USp(2*n*)을 Sp(*n*)으로 쓰기도 한다. 하지만 이는 Sp(*n*,*F*)와 다른 군이다. 유니터리 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(2n)은 사원수의 유니터리 군과 같다. :\operatorname{USp}(2n)\cong\operatorname U(n;\mathbb H)=\\{M\in\operatorname{GL}(n;\mathbb H)\colon M^{-1}=M^\dagger\\}
## 리 대수
\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)에 대응하는 리 대수 \mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)는 **해밀턴 행렬**(Hamiltonian matrix), 즉 \Omega M이 대칭 행렬인 행렬 M들로 구성된다. :\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)=\\{M\in\mathfrak{gl}(2n;\mathbb R)\colon \Omega M=(\Omega M)^\top\\} 복소수체의 경우에도 마찬가지이다. :\mathfrak{sp}(2n;\mathbb C)=\\{M\in\mathfrak{gl}(2n;\mathbb C)\colon \Omega M=(\Omega M)^\top\\} 유니터리 심플렉틱 군의 리 대수 \mathfrak{usp}(2n)는 n\times n 사원수 반에르미트 행렬로 구성된다. 또한, 이는 2n\times2n 복소수 에르미트 행렬이자 2n\times2n 해밀턴 행렬인 것들로 구성할 수도 있다. :\mathfrak{usp}(2n)=\\{M\in\mathfrak{gl}(n;\mathbb H)\colon M=-M^\dagger\\}\cong\mathfrak{sp}(2n;\mathbb C)\cap\mathfrak{u}(2n)
# 성질

## 군론적 성질
\operatorname{USp}(2n)의 중심은 다음과 같다. :\operatorname Z(\operatorname{USp}(2n))=\\{\pm1_{2n\times2n}\\}\cong\mathbb Z/2 만약 K의 표수가 2가 아닐 경우, \operatorname{Sp}(2n;K)의 중심은 다음과 같다. :\operatorname Z(\operatorname{Sp}(2n;K))=\\{\pm1_{2n\times2n}\\}\cong\mathbb Z/2 만약 K의 표수가 2일 경우, \operatorname{Sp}(2n;K)의 중심은 자명군이다. (유니터리) 심플렉틱 군의 중심에 대한 몫군은 **사영 (유니터리) 심플렉틱 군**(projective (unitary) symplectic group)이라고 한다. :\operatorname{Sp}(2n;K)/\operatorname Z(\operatorname{Sp}(2n;K))=\operatorname{PSp}(2n;K) :\operatorname{USp}(2n)/\operatorname Z(\operatorname{USp}(2n))=\operatorname{PUSp}(2n) 유한체에 대한 심플렉틱 군의 크기는 다음과 같다. :|\operatorname{Sp}(2n;\mathbb F_q)|=q^{n^2}\prod_{k=1}^n(q^{2k}-1)
## 리 이론적 성질
심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2n;\mathbb C)는 계수가 n인 단순 리 군이며, 단순 리 군의 분류에서 C_n에 해당한다. 그 콤팩트 실수 형태는 \operatorname{USp}(2n)이며, 분해 실수 형태는 \operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)이다. \operatorname{Sp}(2n;\mathbb C)의 딘킨 도표는 다음과 같다. :\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\Leftarrow\bullet}^n \operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)의 최대 콤팩트 부분군은 유니터리 군 \operatorname{U}(n)이다. \operatorname{USp}(2n)을 n\times n 사원수 유니터리 행렬들의 군으로 생각한다면, \operatorname{USp}(2n)의 극대 원환면은 다음과 같다. :\\{\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\colon\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb C\subset\mathbb H,\,|\lambda_1|=\cdots=|\lambda_n|=1\\} 위 식에서는 사원수 대수 \mathbb H 속에서, 복소수체와 동형인 부분 대수를 임의로 골랐다. 이러한 부분 대수로는 \mathbb R+\mathbb Ri 또는 \mathbb R+\mathbb Rj 또는 \mathbb R+\mathbb Rk 따위를 사용할 수 있다. \operatorname{USp}(2n)의 바일 군은 다음과 같으며, 이는 \operatorname{SO}(2n+1)의 바일 군과 같다. :\operatorname{Weyl}(\operatorname{USp}(2n))\cong(\mathbb Z/2)^n\rtimes\operatorname{Sym}(n) 이는 구체적으로 다음과 같이 작용한다. 각 \epsilon_i\in\\{\pm1\\}는 \lambda_i를 :+1\colon\lambda_i\mapsto\lambda_i :-1\colon\lambda_i\mapsto\bar\lambda_i 와 같이 대응시키며, \sigma\in\operatorname{Sym}(n)은 극대 원환면의 기저에 대하여 순열로 작용한다.
## 위상수학적 성질
복소수 심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2n;\mathbb C)은 n(2n+1) 복소수 차원의 연결 단일 연결 리 군이다. 이는 콤팩트하지 않으며, 다음과 같은 위상 동형이 존재한다. :\operatorname{Sp}(2n;\mathbb C)\cong\operatorname{USp}(2n)\times\mathbb R^{2n^2+n} 실수 심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)은 n(2n+1) (실수) 차원의 연결 리 군이며, 이는 콤팩트하지 않는다. 또한, 다음과 같은 호모토피 동치가 존재한다. :\operatorname{Sp}(2n,\mathbb R)\simeq\mathbb S^1\times\operatorname{SU}(n) 따라서, 그 기본군은 다음과 같다. :\pi_1(\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R))\cong\mathbb Z 이에 따라 두 겹 피복군을 취하면 **메타플렉틱 군**(metaplectic group) :1\to\mathbb Z/2\to\operatorname{Mp}(2n)\to\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)\to1 을 얻는다. 유니터리 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(2n)은 n(2n + 1) (실수) 차원의 콤팩트 연결 단일 연결 리 군이다.
## 포함 관계
유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 포함 관계를 가진다. : \operatorname{USp}(2n) \supset \operatorname{USp}(2n-2) : \operatorname{SU}(2n)\supset\operatorname{USp}(2n) \supset \operatorname{SU}(n) : F_4 \supset \operatorname{USp}(8) : G_2 \supset \operatorname{USp}(2). 낮은 차수의 유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 **예외적 동형**(exceptional isomorphism)을 보인다. :\operatorname{USp}(2)\cong\operatorname{Spin}(3)\cong\operatorname{SU}(2) :\operatorname{PUSp}(2)\cong\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3) :\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb R) :\operatorname{PSp}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}^+(2,1) :\operatorname{USp}(4)\cong\operatorname{Spin}(5) :\operatorname{PUSp}(4)\cong\operatorname{SO}(5) :\operatorname{Sp}(4;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}(3,2) :\operatorname{PSp}(4;\mathbb R)\cong\operatorname{SO}(3,2) 복소군의 경우 이는 해당 딘킨 도표로부터 쉽게 알 수 있다. 모든 체 K에 대하여, 다음과 같은 동형이 성립한다. :\operatorname{Sp}(2;K)=\operatorname{SL}(2;K) 유한체에 대한 심플렉틱 군의 경우 다음과 같은 동형이 존재한다. :\operatorname{Sp}(2;\mathbb F_2)\cong\operatorname{Sym}(3) :\operatorname{Sp}(4;\mathbb F_2)\cong\operatorname{Sym}(6) :\operatorname{PSp}(2;\mathbb F_3)\cong\operatorname{Alt}(4) 여기서 \operatorname{Sym}(n) 및 \operatorname{Alt}(n)은 각각 대칭군과 교대군을 뜻한다.
# 역사
심플렉틱 군은 닐스 헨리크 아벨이 도입하였다. "심플렉틱 군"이라는 이름은 헤르만 바일이 1939년에 도입하였다.언어=en 이 책에서 바일은 다음과 같이 적었다. 165 이 어원에 대하여 다른 저자는 다음과 같이 적었다. 1