아벨 확대

유리수체에 \exp(2\pi i/5)를 추가한 원분체는 그 [[갈루아 군이 5차 순환군이므로 순환 확대이자 아벨 확대이다.]] 체론에서 **아벨 확대**(Abel擴大, Abelian extension)는 그 갈루아 군이 아벨 군이 되는 갈루아 확대이다.
# 정의
**아벨 확대**는 갈루아 군이 아벨 군인 갈루아 확대이다. **순환 확대**(cyclic extension)는 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확대이다.
# 분류
특정 경우, 주어진 체 위의 모든 순환 확대 및 아벨 확대를 분류할 수 있다. * **쿠머 이론**(Kummer理論, Kummer theory)은 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하는 체 위의 아벨 확대들을 분류한다. 이에 따르면, 이러한 체 위의 모든 아벨 확대는 거듭제곱근들을 첨가하여 얻을 수 있다. * 쿠머 이론은 확대의 차수가 체의 표수와 겹치는 경우 사용될 수 없다. 이 경우 **아르틴-슈라이어 이론**(Artin–Schreier theory)은 차수가 표수와 같은 경우의 순환 확대를 분류하며, 이를 일반화한 **아르틴-슈라이어-비트 이론**(Artin–Schreier–Wit theory)은 차수가 표수의 거듭제곱인 순환 확대를 분류한다. 이를 통해 차수가 표수의 거듭제곱인 모든 유한 아벨 확대를 분류할 수 있다. 이에 따르면, 이러한 경우 모든 아벨 확대는 비트 벡터를 사용하여 구성되는 특정 다항식의 근들을 첨가하여 얻을 수 있다. * 만약 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하지 않지만, 체가 대역체 또는 국소체인 경우, 유체론을 사용하여 모든 아벨 확대를 분류할 수 있다. 유한 생성 아벨 군의 구조론에 따라, 모든 유한 아벨 군은 크기가 소수의 거듭제곱인 순환군들의 직접곱으로 나타낼 수 있다. 따라서, 유한 아벨 확대를 분류하려면 소수 거듭제곱 크기의 순환 확대들을 분류하는 것으로 족하다.
## 쿠머 이론
**쿠머 이론**에 따르면, 1의 원시 n제곱근(즉, \\{\zeta_n^0,\zeta_n,\dots,\zeta_n^{n-1}\\}이 모두 서로 다른, \zeta_n^n=1인 원소 \zeta_n\in K)을 갖는 체 K (\operatorname{char}K\nmid n) 위의 확대 L/K에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.Theorem 1.1 * n차 순환 확대 L/K이다. * L/K\cong K(\sqrt[n]a)/K가 되는 a\in K가 존재한다. * 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 L\cong K\otimes_{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]이 성립하는 원소 a\in K^\times가 존재한다. *:\begin{matrix} L&\leftarrow&K;[x,x^{-1}]\\\ \uparrow&&\uparrow&\scriptstyle x\mapsto x^n\\\ K&\underset{x\mapsto a}\leftarrow&X; \end{matrix} * 다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 K-스킴 사상 a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)이 존재한다. *:\begin{matrix} \operatorname{Spec}L&\to&\mathbb G_{\operatorname m}\\\ \downarrow&&\downarrow&\scriptstyle x\mapsto x^n\\\ \operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb G_{\operatorname m} \end{matrix} 여기서 * \mathbb G_{\operatorname m}(K)=\operatorname{Spec}K[x,x^{-1}]=\operatorname{Spec}K[x,y]/(xy-1)은 K 위의 곱셈 군 스킴이다. 이에 따라, K 위의 n차 순환 확대는 K-스킴 사상 \operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)에 의하여 주어진다. 보다 일반적으로, n이 가역원인 체 K에 대하여, 다음과 같은 K-군 스킴의 짧은 완전열이 존재하며, 이를 **쿠머 완전열**(Kummer exact sequence)이라고 한다. :1\to\mu_n(K)\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)\xrightarrow{(-)^n}\mathbb G_{\operatorname m}(K)\to1 여기서 * \mu_n(K)=\operatorname{Spec}K[x]/(x^n-1)는 K 속의 1의 n제곱근들로 구성된 군 스킴이다. * \mathbb G_{\operatorname m}(K)는 K의 가역원군에 해당하는 군 스킴이다. * (-)^n\colon\mathbb G_{\operatorname m}(K)\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)는 n제곱에 해당하는 군 스킴 사상이다.
## 아르틴-슈라이어 이론
양의 표수 p>0의 체 K에서는 (x-1)^p=x^p-1이므로, 1의 p제곱근이 중복되며, 따라서 차수가 p의 거듭제곱인 순환 확대에 대해서는 쿠머 이론을 적용시킬 수 없다. 이 경우 대신 아르틴-슈라이어(-쿠머) 이론을 적용시킬 수 있다. **아르틴-슈라이어 이론**에 따르면, 양의 표수 p>0의 체 K 위의 확대 L/K에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * p차 순환 확대 L/K이다. * L이 x^p-x-a\in K[x]의 분해체가 되는 a\in K가 존재한다. * 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 L\cong K\otimes_{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]이 성립하는 원소 a\in K^\times가 존재한다. *:\begin{matrix} L&\leftarrow&K;[x]\\\ \uparrow&&\uparrow&\scriptstyle x\mapsto x^p-x\\\ K&\underset{x\mapsto a}\leftarrow&K;[x] \end{matrix} * 다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 K-스킴 사상 a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)이 존재한다. *:\begin{matrix} \operatorname{Spec}L&\to&\mathbb G_{\operatorname a}\\\ \downarrow&&\downarrow&\scriptstyle\operatorname{Frob}-\operatorname{id}\\\ \operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb G_{\operatorname a} \end{matrix} 여기서 * \mathbb G_{\operatorname a}(K)=\operatorname{Spec}K[x]은 K 위의 덧셈 군 스킴이다. * \operatorname{Frob}-\operatorname{id}\colon\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)는 프로베니우스 사상과 항등 사상의 차이다. 이는 다항식환의 자기 사상 \operatorname{eval}_{x\mapsto x^p-x}\colon K[x]\to K[x]으로부터 정의된다. 표수가 p인 체 K 위에서 다음과 같은 군 스킴의 짧은 완전열이 존재하며, 이를 **아르틴-슈라이어 완전열**(Artin–Schreier exact sequence)이라고 한다. :1\to(\mathbb Z/p)_{/K}\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)\xrightarrow{\operatorname{Frob}-\operatorname{id\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to1 여기서 * (\mathbb Z/p)_{/K}=\operatorname{Spec}K[x]/(x^p-x)는 프로베니우스 사상의 고정점들로 구성된 군 스킴이다.
## 아르틴-슈라이어-비트 이론
**아르틴-슈라이어-비트 이론**은 p차 순환 확대에 적용되는 아르틴-슈라이어 이론을 p^k차에 대하여 일반화한 것이다. **아르틴-슈라이어-비트 이론**에 따르면, 표수 p>0의 체 K의 확대 L/K에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.언어=en§7언어=enTheorem 1.2 * 확대 L/K가 p^n차 순환 확대이다. * L/K\cong K(f^{-1}(\vec a))인 비트 벡터 \vec a\in\mathbb W_{n,p}(K)\setminus f(\mathbb W_{n,p}(K)가 존재한다. 여기서 f\colon\mathbb W_{n,p}\to\mathbb W_{n,p}는 f\colon(a_1,a_p,a_{p^2}\dots)\mapsto(a_1^p,a_p,a_{p^2}^p,\dots,a_{p^{n-1^p)- (a_1,a_p,a_{p^2},\dots,a_{p^{n-1)이며, 여기서 -는 비트 벡터의 뺄셈이다 (성분별 뺄셈과 다르다). K(f^{-1}(\vec a))는 비트 벡터의 연산으로 정의되는 n개의 다항식 (f(\vec x)-\vec a)_{p^i}\in K[x]\qquad(i\in\\{0,1,\dots,n-1\\}들의 분해체를 뜻한다. * 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 L\cong K\otimes_{K[\vec x]}K[\vec x]이 성립하는 원소 a\in\mathbb W_{n,p}(K)가 존재한다. (여기서 \vec x=(x_0,x_1,\dots,x_{n-1})는 비트 벡터의 성분으로 간주한 형식적 변수들이며, \vec x^{(p)}-\vec x에서 -는 비트 벡터로서의 뺄셈이며, \vec x^{(p)}=(x_0^p,x_1^p,\dots,x_{n-1}^p)는 프로베니우스 사상이다.) *:\begin{matrix} L&\leftarrow&K;[\vec x]\\\ \uparrow&&\uparrow&\scriptstyle\vec x\mapsto\vec x^{(p)}-\vec x\\\ K&\underset{\vec x\mapsto\vec a}\leftarrow&K;[\vec x] \end{matrix} * 다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 K-스킴 사상 a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)이 존재한다. *:\begin{matrix} \operatorname{Spec}L&\to&\mathbb W_{n,p}(K)\\\ \downarrow&&\downarrow&\scriptstyle(-)^{(p)}-\operatorname{id}\\\ \operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb W_{n,p}(K) \end{matrix} 여기서 * \mathbb W_{n,p}(K)는 길이 n+1의 p진 비트 벡터의 군이다. 스킴으로서 이는 n차원 아핀 공간 \mathbb A_K^n=\operatorname{Spec}K[x_0,\dots,x_{n-1}]=\operatorname{Spec}[x_0,\dots,x_{n-1}]이며, 그 위의 군 스킴의 구조는 \vec x 위의 비트 벡터 연산으로부터 유도된다. 특히, n=0일 경우 \mathbb W_{0,p}(K)\cong\mathbb G_{\operatorname a}(K)가 된다. * (-)^{(p)}-\operatorname{id}\colon\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)는 프로베니우스 사상과 항등 사상의 차이다. 이는 다항식환 K[\vec x]의 자기 사상 \operatorname{eval}_{\vec x\mapsto\vec x^{(p)}-\vec x}\colon K[x]\to K[x]으로부터 정의된다. 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하며, 이를 **아르틴-슈라이어-비트 완전열**(Artin–Schreier–Witt exact sequence)이라고 한다. 이는 아르틴-슈라이어 완전열의 일반화이다. :1\to(\mathbb Z/p^n)_{/K}\to\mathbb W_{n,p}(K)\to\xrightarrow{(-)^p-\operatorname{id\mathbb W_{n,p}(K)\to1 여기서 * (\mathbb Z/p^n)_{/K}=\operatorname{Spec}K[\vec x]/(\vec x^{(p)}-\vec x)는 프로베니우스 사상 (-)^{(p)}\colon\mathbb W_{n,p}(K)\to\mathbb W_{n,p}(K)의 고정점들로 구성된 군 스킴이다.
## 유체론
유체론 쿠머 이론은 1의 거듭제곱근을 충분히 가지는 체에 대해서만 적용된다. 만약 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하지 않지만, 체가 대역체 또는 국소체인 경우, 그 아벨 확대들은 유체론을 통해 분류된다.
# 예
대표적인 예로, 원분체는 유리수체의 순환 확대이자 아벨 확대이다. 일반적으로, 소수 차수의 갈루아 확대는 (소수 크기의 군은 순환군 밖에 없으므로) 순환 확대이다.
# 역사
쿠머 이론은 에른스트 쿠머가 1840년대에 페르마의 마지막 정리를 연구하기 위하여 도입하였다. 이후 에밀 아르틴과 오토 슈라이어가 1927년에 아르틴-슈라이어 이론을 도입하였다.언어=de 에른스트 비트가 1936년에 비트 벡터의 개념을 도입하여 아르틴-슈라이어 이론을 아르틴-슈라이어-비트 이론으로 일반화하였다.언어=de