2차원 등각 장론

끈 이론 수학과 물리학에서 **2차원 등각 장론**(二次元等角場論, two-dimensional conformal field theory)은 등각 장론의 2차원에서의 특수한 경우이다. 즉, 2차원 시공간에 존재하며, **비라소로 대수**라는 무한 차원 리 대수 대칭을 갖는 양자장론이다.언어=enurl-status=zbl=1175.81001언어=en언어=en언어=enissn=0015-8208issn=0587-4254언어=en언어=en언어=ko 2차원 등각 장론은 고차원 등각 장론에서 찾을 수 없는 여러 특수한 성질을 가진다. 끈 이론 및 응집물질물리학에서 쓰인다.
# 정의

## 비라소로 대수
비라소로 대수 비라소로 대수는 L_n (n\in\mathbb Z)과 c로 인하여 생성되는 대수로, 다음과 같은 리 괄호를 가진다. :[c,L_n]=0 :[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac c{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n} 중심 원소 c가 0인 대수를 **비트 대수**(Witt algebra)라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다. 이는 고전적으로 다음과 같은 벡터장들로 의하여 생성된다. :L_n=-z^{n+1}\frac\partial{\partial z}
## 비라소로 대수의 표현
임의의 정칙 사상 f\colon\mathbb C\to\mathbb C에 대하여, 장들은 일반적으로 복잡하게 변환한다. 그 가운데, **일차장**(primary field)들은 다음과 같이 변환한다. :(f^*O)(z,\bar z)=(\partial f)^h(\bar\partial\bar f)^{\bar h}O(f(z),\bar f(\bar z)) 여기서 (h,\bar h)는 일차장 O의 **등각 무게**(conformal weight)라고 한다. 또한, 이들로부터 **스핀** s와 **차원**(scaling dimension) \Delta를 다음과 같이 정의한다.3615675 :s=h-\bar h :\Delta=h+\bar h 일차장의 변환이 잘 정의되기 위해서는 스핀과 차원이 둘 다 정수여야 한다.156 다만, 무게 (h,\bar h) 자체는 정수일 필요가 없다. 일차장들은 에너지-운동량 텐서 T(z)와 다음과 같은 연산자 곱 전개를 가진다.20 :T(z)O(w,\bar w)=\frac h{(z-w)^2}O(w,\bar w)+\frac1{z-w}\partial_w\Phi+\cdots :\bar T(\bar z)O(w,\bar w)=\frac{\bar h}{(\bar z-\bar w)^2}O(w,\bar w)+\frac1{\bar z-\bar w}\bar\partial_{\bar w}O(w,\bar w)+\cdots 즉, 모든 n>0에 대하여, 일차장들은 L_n, \bar L_n에 의하여 상쇄된다. :L_n|\phi\rangle=\bar L_n|\phi\rangle=0\forall n>0 :L_0|\phi\rangle=h|\phi\rangle :\bar L_0|\phi\rangle=\bar h|\phi\rangle 반대로, :\langle\phi|L_{-n}=\langle\phi|\bar L_{-n}=0\forall n>0 :\langle\phi|L_0=h\langle\phi| :\langle\phi|\bar L_0=\bar h\langle\phi| 이다. 일차장의 조건에서, 모든 양의 n 대신 n=1인 경우의 조건만을 적용시키면, **준일차장**(quasiprimary field)의 개념을 얻는다. 즉, 일차장은 비라소로 대수 전체에 대하여 잘 변환하는 반면, 준일차장은 비라소로 대수의 대역적 부분 대수 \\{L_0,L_{\pm1},\bar L_0,\bar L_{\pm1}\\}에 대하여 잘 변환한다. 일차장에 L_{-n} (n>0)을 가하여, 다양한 **이차장**(secondary field)들을 정의할 수 있다. 즉, 만약 \phi가 일차장이라면 다음은 모두 이차장이다. :L_{-1}\phi\qquad L_{-3}L_{-2}\qquad L_{-4}L_{-2}^2L_{-1}\phi 주어진 일차장 \phi로부터 정의되는 이차장들을 \phi의 **자손**( 자손, descendent)이라고 한다. L_{-n}을 가하면 무게 h가 n만큼 증가하고, 마찬가지로 \bar L_{-n}을 가하면 무게 \bar h가 n만큼 증가한다. 일차장과 여기에 음수 차수 비라소로 연산자들을 가하여 얻은 이차장들의 집합을 **베르마 가군**이라고 하며, 베르마 가군의 **무게**는 그 일차장의 무게이다. 무게가 (h,\bar h)인 베르마 가군에서, 무게가 (h+n,\bar h+\bar n)인 이차장들의 수는 :p(n)p(\bar n) 이다. 여기서 p(k)는 분할수 함수이다. 다만, 베르마 가군의 원소 가운데 노름이 0 또는 음수인 경우는 물리적 힐베르트 공간에 포함시키지 않는다. 항등 연산자(진공) 1은 일차장이며, 그 무게는 (h,\bar h)=(0,0)이다. 에너지-운동량 텐서 T(z), \bar T(\bar z)는 1의 자손이며, 구체적으로 다음과 같다. :T(z)=L_{-2}1 :\bar T(z)=\bar L_{-2}1 비라소로 대수의 표현은 중심 원소 c의 값에 따라 분류된다. 표현이 어떤 최고 무게(highest weight) *h*로부터 생성되는 경우를 **최고 무게 표현**(highest weight representation)이라고 한다. 유니터리 기약 최고 무게 표현은 그 중심 원소 *c*와 최고 무게 *h*로 분류된다. 유니터리 표현의 경우 :c,h\ge0 이다. 가능한 c의 값들은 다음과 같다.언어=en c\ge1인 경우, 모든 h\ge0에 대한 표현 (c,h)가 존재한다. c3이면 더 이상 0차원이 아니기 때문이다. 즉, 리만 구의 등각 대칭(뫼비우스 변환)을 사용하여 임의의 3개의 점을 원하는 위치로 고정시킬 수 있지만, 4번째의 점은 이렇게 고정시키지 못한다.
## 카디 엔트로피
2차원 등각 장론의 경우, 모듈러 불변성을 사용하여, 매우 높은 에너지 E에서의 상태 밀도 N(E)가 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.bibcode=1986NuPhB.270..186C날짜=1998-11언어=en§3.1164–166언어=en38url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html89–91 :N(E)\sim\exp(4\pi\sqrt{cE/6}) 여기서 *c*는 등각 장론의 중심 원소다. 즉, 그 로그를 취하면 2차원 등각 장론의 엔트로피는 다음과 같다. :S(E)\approx4\pi\sqrt{cE/6} 이를 **카디 엔트로피 공식**(Cardy entropy formula)이라고 한다. 이 공식은 끈 이론에서 블랙홀 엔트로피를 계산할 때 쓰인다.
## *c*-정리
c-정리 임의의 2차원 양자 장론에 대하여, *c*라는 값이 존재한다. 이는 * c는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다. * c의 재규격화군 부동점 g_i=g_i^*에서는 c(g_i^*,\mu)는 에너지에 상관없이 일정하다. 또한 이 경우 c의 값은 비라소로 대수의 중심원소의 값과 일치한다. 이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 **c-정리**(c-theorem)으로 일컫는다.
## 아핀 리 대수
등각 장론은 등각 대칭 말고도 다른 대역적인 대칭을 가질 수 있다. 예를 들어, 이론이 콤팩트 리 군 G 꼴의 대칭을 가진다고 하자. 즉, 이 경우 대칭의 생성원들 Q^a (a=1,\dots,\dim G)은 G의 리 대수 \mathfrak g값을 가진 연산자들이며, 이들은 :[Q^a,Q^b]=if^{ab}{}_cQ^c 꼴의 교환 관계를 만족시킨다. 그러나 등각 장론이 대칭 G를 가질 경우, 대칭의 생성원뿐만 아니라, 대칭에 따른 보존류 j^a들도 연산자 곱 전개에 의하여 대수를 이룬다. 이 보존류들은 무게가 1인 1차장들이며, 이들의 푸리에 급수를 :j^a=\sum_nj_n^az^{-n-1} 로 정의하면 :j^a_0=Q^a 가 된다. 이들의 교환 관계는 다음과 같다. :[j^a_m,j^b_n]=\frac12km\delta^{ab}\delta_{m+n,0}+if^{ab}{}_cj^c_{m+n} 이들은 무한 차원 리 대수를 이루며, 이를 **아핀 리 대수** 또는 **카츠-무디 대수**(Kač–Moody algebra)라고 부른다.}url-status=dead68–69 여기서 k\in\mathbb Z는 이론마다 다른 정수이며, 아핀 리 대수의 **레벨**(level)이라고 한다. 대표적으로, 과녁 공간이 리 군 G인 시그마 모형을 생각할 수 있다. 이 경우, 적절한 항들을 추가시키면 이론을 등각 장론으로 만들 수 있다. 이러한 모형을 **베스-추미노-위튼 모형**이라고 하며, 리 군 속에서 움직이는 끈을 나타낸다.
# 예

## 2차원 자유 스칼라장
2차원 등각 장론의 가장 간단한 예는 하나의 자유 스칼라장을 포함하는 모형이다.21–2477–82 실수 스칼라장 \Phi(z,\bar z)를 포함하는, 다음과 같은 작용을 생각하자. :S=\frac1{4\pi\alpha'}\int d^2z\,\partial\Phi\bar\partial\Phi 그렇다면 스칼라장 \Phi는 다음과 같은 2점 함수를 가진다. :\langle\Phi(z,\bar z)\Phi(z,\bar\Phi)=-\frac12\alpha'\ln|z-w|^2 이 작용의 오일러-라그랑주 방정식 :\partial\bar\partial\Phi(z,\bar z)=0 을 사용하여, \Phi를 다음과 같이 분해할 수 있다. :\Phi(z,\bar z)=\phi(z)+\bar\phi(\bar z) 이 경우, 이들은 다음과 같은 2점 함수를 가진다. :\langle\phi(z)\phi(z')\rangle=-\frac12\alpha'\ln(z-z') :\langle\bar\phi(z)\bar\phi(z')\rangle=-\alpha'\ln(\bar z-\bar z') 이 경우 \partial\phi의 2점 함수는 :\langle\partial\phi(z)\partial\phi(z')\rangle=-\frac{\alpha'}{2(z-w)^2}+\cdots 이므로, \phi, \bar\phi는 1차장이 아니지만 \partial\phi, \bar\partial\bar\phi는 1차장을 이루는 것을 알 수 있다. 또한, \exp(ik\phi)도 1차장을 이룬다. 즉, 이론의 1차장들과 그 무게는 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 1차장 !! 무게 (h,\bar h) |- | 1 || (0,0) |- | \partial\phi(z) || (1,0) |- | \bar\partial\bar\phi(\bar z) || (0,1) |- | :\exp(ik\phi(z)/\sqrt{\alpha'}): || (k^2/4,0) |- | :\exp(-ik\bar \phi(\bar z)/\sqrt{\alpha'}): || (0,k^2/4) |} 이 이론의 중심 전하는 (c,\bar c)=(1,1)이다. 보다 일반적으로, n개의 스칼라장을 포함하는 등각 장론의 중심 전하는 c=n이다. 이는 끈 이론에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 보손 끈 이론에서는 시공간의 각 차원마다 이에 해당하는 실수 스칼라장이 존재한다. bc 유령 등각 장론이 c=-26이며, 끈 이론의 일관성을 위하여 총 중심 전하가 c=0이어야 하므로, 총 26개의 차원(스칼라장)이 존재해야 한다. 즉, 보손 끈 이론은 26차원의 시공간에서 존재한다. 자유 스칼라장 등각 장론을 복소 구조 모듈러스가 \tau\in\mathbb H인 타원곡선 위에 정의하면, 그 분배 함수는 다음과 같다.120–122 :\mathcal Z(\tau,\bar\tau)=\frac1{\sqrt{\operatorname{Im}\tau\frac1{\eta(\tau)\bar\eta(\bar\tau)} 여기서 \eta(\tau)는 데데킨트 에타 함수다. 인자 1/\sqrt{\operatorname{Im}\tau}는 끈 이론에서 끈의 질량 중심의 운동량 모드에 해당한다. 이는 다른 진동 모드와 달리 (축소화하지 않은 시공간에서) 국한돼 있지 않으므로, 다른 진동 모드와 달리 특별히 다뤄진다.
## 축소화 자유 스칼라장
자유 스칼라장 모형을 약간 변화시켜, **축소화 자유 스칼라장**을 생각할 수 있다. 이 경우, \Phi(z,\bar z)를 실수값 대신 \mathbb R/2\pi R\cong S^1 값을 가진 장으로 생각한다. 여기서 R\in\mathbb R은 \Phi의 주기이다. 끈 이론에서는 이는 시공간을 반지름이 R이게 축소화하는 것에 해당한다. 이 경우, \exp(ik\phi) 꼴의 1차장들은 :\exp(in\phi/R) (n\in\mathbb Z) 로 국한된다. 또한, 이 경우 (등각 대칭을 깨고) 퍼텐셜을 추가한다면 감음수에 따른 솔리톤 상태가 존재한다. 예를 들어, 사인-고든 모형이 이에 해당한다. 축소화 스칼라장을 복소 구조 모듈러스가 \tau\in\mathbb H인 타원곡선에 축소화시켰을 때, 그 분배 함수는 다음과 같다.122–130 :Z(\tau,\bar\tau)=\frac1{\eta(\tau)\bar\eta(\bar\tau)}\sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{n=-\infty}^\infty q^{(m/R+Rn/2)^2/2}\bar q^{(m/R-Rn/2)^2/2} 여기서 * \eta(\tau)는 데데킨트 에타 함수다. * q=\exp(2\pi i\tau)이다. 이 분배 함수는 축소화 주기를 :R\mapsto 2/R 과 같이 치환하여도 바뀌지 않는다. 이는 끈 이론의 T-이중성에 해당한다.
## 자유 페르미온
하나의 페르미온 \psi을 포함하는 등각 장론의 중심 전하는 c=1/2이다. 보손화를 통해, 두 개의 페르미온은 하나의 보손과 같다는 사실을 보일 수 있다.
### 경계 조건
페르미온의 경우 **느뵈-슈워츠 경계 조건**(Neveu–Schwarz boundary condition)과 **라몽 경계 조건**(Ramond boundary condition) 두 가지 가능한 경계 조건이 있다. 이들의 구체적인 형태는 공간의 좌표에 따라 달라진다. 공간을 z\in\widehat{\mathbb C}로 잡고, 무한 과거가 z=0, 무한 미래가 z=\widehat\infty인 좌표를 쓸 수도 있고, 대신 z=\exp w로 하여, 무한 과거가 w=-\infty, 무한 미래가 w=+\infty인 좌표를 쓸 수도 있다. 이 경우, 등각 무게가 (h,\bar h)=(1/2,0)인 페르미온 장 \psi(z)의 경계 조건은 다음과 같다.72–73,80–8258122–124 * **느뵈-슈워츠 경계 조건**에서는 ::\psi(e^{2\pi i}z)=+\psi(z) ::\psi(w+2\pi i)=-\psi(w) :이다. 즉, 평면(*z*)에서는 주기적이고, 원기둥(*w*)에서는 반주기적이다. * **라몽 경계 조건**에서는 ::\psi(e^{2\pi i}z)=-\psi(z) ::\psi(w+2\pi i)=+\psi(z) 이다. 즉, 평면(*z*)에서는 반주기적이고, 원기둥(*w*)에서는 주기적이다. w\to z로 좌표를 바꾸면, 무게가 반정수이기 때문에 경계 조건이 주기적에서 반주기적으로 바뀌게 된다.81114–115
### 분배 함수
복소 구조가 \tau인 타원 곡선에서, 자유 페르미온의 분배 함수는 다음과 같다.136 :\mathcal Z(\tau,\bar\tau)=\frac1{2|\eta(\tau)|}\left(|\vartheta_2(\tau)|+|\vartheta_3(\tau)|+|\vartheta_4(\tau)|\right) 여기서 \vartheta_i(\tau)는 야코비 세타 함수다. * |\vartheta_3|/|\eta|는 느뵈-슈워츠 경계 조건의 페르미온의 분배 함수다. * |\vartheta_4|/|\eta|는 느뵈-슈워츠 경계 조건의 페르미온에서, (-)^F (F는 페르미온 수) 연산자를 삽입한 분배 함수 \operatorname{Tr}(-)^F\exp(\dots)다. 즉, \frac12(|\vartheta_3|+|\vartheta_4|)/|\eta|는 분배 함수에 사영 연산자 (1+(-1)^F)/2를 삽입한 것과 같다. 이를 **GSO 사영**이라고 한다. * |\vartheta_2|/|\eta|는 라몽 경계 조건의 페르미온의 분배 함수다. 이렇게 GSO 사영을 가하고 느뵈-슈워츠 경계 조건 및 라몽 경계 조건 둘 다 포함시키지 않으면, 분배 함수는 모듈러 변환에 더 이상 불변이지 않게 된다. 즉, 등각 장론의 일관성에 의하여 GSO 사영이 불가피하다. 끈 이론에서는 이 과정을 통해 타키온 바닥 상태가 없어지게 된다.
## 유령장
**유령장**은 끈 이론에서 (초)등각 대칭을 게이지 고정시킬 때 등장하는 파데예프-포포프 유령장이다.114–11775–77 유령장들의 등각 장론에 등장하는 1차장들은 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 1차장 !! 무게 *h* |- | 1 || 0 |- | b(z) || \lambda |- | c(z) || 1-\lambda |} 여기서 \lambda는 임의의 매개변수이다. 이 경우 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다. :T(z)=-\lambda:b\partial c:\pm(\lambda-1):c\partial b: 여기서 만약 b, c가 가환수이면(보스-아인슈타인 통계를 따르면) −, 반가환수이면 (페르미-디랙 통계를 따르면) +를 취한다. 이 이론의 중심 전하는 다음과 같다 (복부호 동순). :c=\mp2(6\lambda^2-6\lambda+1)
## 기타 예
이 밖에도 대표적인 2차원 등각 장론으로는 다음이 있다. * 리우빌 장론 * 베스-추미노-위튼 모형 * 최소 모형 * 게프너 모형(Gepner model) * 칼라비-야우 다양체 위의 2차원 시그마 모형
# 역사
아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로(Miguel Ángel Virasoro)가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다.bibcode=1970PhRvD...1.2933V 이후 그 중심 확장은 와이스 (J. H. Weis)가 도입하였다. 1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈(Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин)과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프가 2차원 등각 장론을 현대적으로 정의하고, 그 대표적인 성질들을 제시하였다.언어=en
# 응용

## 끈 이론
끈 이론에서, 비라소로 대수는 끈의 에너지-운동량 텐서의 (빛원뿔 좌표계에서의) ++, −−원소의 진동모드 전개로 등장한다. (닫힌 끈의 경우엔 이들이 각각 다른 비라소로 대수를 이루나, 열린 끈의 경우에는 하나의 비라소로 대수밖에 없다.) 미분동형사상(좌표 변환) 불변성에 의하여 물리적 상태에서는 에너지-운동량 텐서가 (고전적으로) 0이 되어야 하므로, 고전적으로 L_m=0이다. 이를 양자화하면, 오직 :(L_m-a\delta_{m0})|\psi\rangle=0 (m\ge0) 만을 만족시키면 된다. 여기서 |\psi\rangle는 임의의 실재하는 상태고, a는 이론에 따라 다른 상수다. (보존 끈 이론에서는 a=1이고, 초끈 이론에서는 NS의 경우에는 a=1/2, R의 경우에는 a=0이다.) 보손 끈 이론에서는 등각 대칭의 게이지 고정을 통하여 \lambda=2인 반가환수 유령장들 b(z), c(z), \bar b(\bar z), \bar c(\bar z)이 존재한다. 이에 따라, 보손 끈 이론의 유령장들의 중심 전하는 :(c,\bar c)=(-26,-26) 이다. 이에 따라서 보손 끈 이론은 26차원에 존재한다. 초끈 이론에서는 등각 대칭의 게이지 고정을 통하여 위의 \lambda=2 반가환수 유령뿐만 아니라, 초등각 대칭의 게이지 고정에 의한, \lambda=3/2의 가환수 유령장들이 존재한다. (초대칭의 생성원은 반가환수이므로, 이에 대응하는 유령장은 그 반대 통계를 따른다.) 이 경우 전자를 ***bc* 유령**으로, 후자를 ***βγ* 유령**으로 부른다. *βγ* 유령장들의 중심 전하는 :(c,\bar c)=(11,11) 이므로, 유령장들의 총 중심 전하는 −26+11=15이다. 각 차원에서는 하나의 보손(*c*=1)과 하나의 페르미온(*c*=1/2)이 존재하므로, 초끈 이론은 :15/(1+1/2)=10 차원의 시공간에 존재한다. N=2 초끈 이론은 세계면 이론이 2차원 \mathcal N=2 초등각 장론인 초끈 이론이다.출판사=World Scientificissn=1389-2185 이 경우 유령장들은 다음과 같다. * 등각 대칭의 게이지 고정으로부터, c=-26인 *bc* 유령 * 초대칭 게이지 고정으로부터, *βγ*유령. \mathcal N=2 초대칭이므로 두 쌍이 존재하며, 따라서 c=2\times11이다. * 또한, \mathcal N=2 초대칭은 U(1) 게이지 대칭을 포함한다. 이는 \lambda=1 유령 등각장론을 이루며, 보통 ***b*′*c*′ 유령**으로 불린다. 이는 c=-2이다. \mathcal N=2 초대칭의 초다중항은 하나의 복소 스칼라와 하나의 복소 페르미온으로 이루어져 있으므로, 이는 c=2(1+1/2)=3이다. 즉, \mathcal N=2 초끈 이론은 :d_{\mathbb C}=(-26+2\cdot 11-2)/3=2 개의 초다중항을 포함한다. 하나의 초다중항은 두 개의 실수 스칼라장을 포함하므로, \mathcal N=2 초끈 이론의 임계 차원은 4차원이다. 이 경우 일반적으로, 시공간은 복소 2차원 켈러 다양체를 이루며, 계량 부호수는 (4,0)이거나 (2,2)여야 한다.
## 임계 현상
일반적으로 임계 현상은 등각 장론에 의하여 나타내어지며, 특히 2차원 계의 임계 현상은 2차원 등각 장론에 의하여 나타내어진다. 2차원 계의 경우 평균장 이론이 적용되지 않는 경우가 많으며, 이러한 경우 2차원 등각 장론의 기법으로 임계 현상을 설명할 수 있다. 예를 들어, 이징 모형의 경우 4차원 이상에서는 평균장 이론이 잘 적용되지만, 2차원에서는 적용되지 않는다. 이 경우, 2차원 등각 장론의 하나인 최소 모형으로 그 임계 현상을 설명할 수 있다. (3차원의 경우는 현재에도 잘 이해되지 않고 있다.)