베르누이 수

수론에서, **베르누이 수**(Bernoulli數, Bernoulli numbers)는 거듭제곱수의 합이나 탄젠트의 멱급수 전개 따위의 다양한 공식에 등장하는 유리수 수열이다. 야코프 베르누이와 세키 다카카즈가 비슷한 시기에 독립적으로 발견하였다.
# 정의
**베르누이 수열** B_n은 다음과 같은 생성함수로 정의할 수 있다. :\frac t{\exp(t)-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_nt^n}{n!} 보다 일반적으로, 다음이 성립한다. :\frac{te^{xt{e^t-1}=\sum_n\frac{t^n}{n!}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_{n-k}x^k 따라서, 베르누이 수열 B_0,B_1,B_2,\dots은 다음과 같다. :1, −1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, 0, −1/30, … 여기서 분자는 A027641이며, 분모는 A027642이다. 일부 저자들은 첫 베르누이 수를 -1/2 대신 +1/2로 사용하기도 한다. 여기서는 이를 \tilde B로 표기하자. :\tilde B_i=(-1)^iB_i=\begin{cases}+1/2&i;=1\\\B_n&i;\ne1\end{cases} :\frac t{1-\exp(-t)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\tilde B_nt^n}{n!}
## 베르누이 다항식
베르누이 다항식. 점차 사인 또는 코사인에 수렴하는 것을 알 수 있다. 베르누이 수 B_n가 주어졌을 때, 이로부터 다음과 같은 **베르누이 다항식**(Bernoulli polynomial) B_n(x)\in\mathbb Q[x]을 정의할 수 있다. :B_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkB_{n-k}x^k 이는 아펠 다항식열을 이룬다. 그렇다면, 베르누이 수는 베르누이 다항식으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다. :B_n=B_n(0) :\tilde B_n=B_n(1)
# 성질
B_1=-1/2을 제외하고, 홀수차 베르누이 수는 모두 0이다. 4의 배수차 베르누이 수는 음수이며, 4의 배수가 아닌 짝수차 베르누이 수는 양수이다. :\operatorname{sgn}B_n=\begin{cases} -1&n;=1\\\ 0&1\ne n\equiv1,3\pmod4\\\ -1&n;\equiv0\pmod4\\\ +1&n;\equiv2\pmod4\end{cases}
## 생성 함수
베르누이 다항식의 생성 함수는 다음과 같다. :\sum_{n=0}^\infty B_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{t\exp(xt)}{\exp(t)-1} 따라서, 베르누이 수의 생성 함수는 다음과 같다. :\sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}=\frac t{\exp t-1} :\sum_{n=0}^\infty \tilde B_n\frac{t^n}{n!}=\frac{t\exp t}{\exp t-1}
## 대칭
베르누이 다항식은 다음 항등식들을 만족시킨다. :B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x)\qquad n\ge0 :(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}
## 삼각 함수의 멱급수
베르누이 수는 탄젠트 및 코탄젠트의 매클로린 급수에 등장한다. :\tan x=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1{(2n)!}\qquad(|x| <\pi/2) :\cot x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1{(2n)!} 마찬가지로, 쌍곡 탄젠트의 매클로린 급수는 다음과 같다. :\tanh x = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n{(2n)!}\;x^{2n-1}\qquad(|x| < \pi/2)
## 푸리에 급수
베르누이 다항식의 푸리에 급수는 다음과 같다. :B_n(x) = -\frac{n!}{(2\pi i)^n}\sum_{k\not=0 }\frac{e^{2\pi ikx{k^n}= -2 n! \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos\left(2 k \pi x- \frac{n \pi} 2 \right)}{(2 k \pi)^n} 따라서, 베르누이 다항식은 다음과 같이 사인 또는 코사인으로 수렴하는 것을 알 수 있다. :\frac{(2\pi)^n}{n!}B_n(x)= -2 \cos\left(2\pi x- \frac{n \pi} 2 \right) + O(2^{-n})
## 제타 함수와의 관계
-x\zeta(1-x)의 그래프 베르누이 수는 리만 제타 함수의 특수한 값이다. :\tilde B_n=(-)^nB_n=-n\zeta(1-n)=-\frac 2{(2\pi)^n}\sin\left(\pi(1-n)/2\right)n!\zeta(n) 따라서, 리만 제타 함수는 베르누이 수의 복소수 n에 대한 해석적 연속으로 볼 수 있다. n=0일 경우 리만 제타 함수는 극을 갖지만, 이 경우 다음과 같이 극한을 취할 수 있다. :\tilde B_0=B_0=1=\lim_{n\to0}-n\zeta(1-n) :\tilde B_1=-B_1=-2\lim_{n\to1}\frac{\sin(\pi(1-n)/2)}{(2\pi)^n}n!\zeta(n)=1/2 따라서, 스털링 공식에 따라 짝수차 베르누이 수의 절댓값에 대하여 다음과 같은 점근 공식이 성립한다. :|B_{2 n}| =\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n\zeta(2n)\sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n}\qquad(n\gg1) 보다 일반적으로, 베르누이 다항식은 후르비츠 제타 함수 \zeta(s,q)의 특수한 값이다. :B_n(x) = -n \zeta(1-n,x) :\tilde B_n=B_n(1)=-n\zeta(1-n,1)=-n\zeta(1-n) 따라서, 후르비츠 제타 함수는 베르누이 다항식의 복소수 n에 대한 해석적 연속으로 볼 수 있다.
## 스털링 수와의 관계
베르누이 다항식과 베르누이 수는 제2종 스털링 수와 하강 포흐하머 기호로 다음과 같이 나타낼 수 있다. :B_{n+1}(x) = B_{n+1} + \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left\\n\atop k}\right\\}x^{\underline{k+1 :B_n=\sum_{k=0}^k(-1)^k\frac{k!}{k+1}\left\\n\atop k}\right\\} 이 경우 B_1=-1/2이 된다. 반대로, 하강 포흐하머 기호를 베르누이 다항식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. :x^{\underline{n+1 = \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left[ {n\atop k}\right] \left(B_{k+1}(x) - B_{k+1} \right) 여기서 \textstyle [{n\atop k}]는 제1종 스털링 수이다.
## 거듭제곱수의 합
임의의 자연수 m과 n에 대하여, 처음 n개의 m제곱수들의 합은 다음과 같다. :\sum_{k=1}^n k^m =\frac1{m+1}\sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m+1}kB_k n^{m+1-k} =\frac1{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(0)\right) 이를 **베르누이 공식**(Bernoulli公式, Bernoulli’s formula) 또는 **파울하버 공식**(Faulhaber’s formula)이라고 한다. 예를 들어, m=1일 경우, 1부터 n까지의 자연수의 합인 삼각수 공식을 얻을 수 있다. : 1 + 2 +3+ \cdots + n = \frac12(B_0 n^2-2B_1 n^1) = \frac12(n^2+n) m=2,3일 경우, 제곱수·세제곱수의 합 공식을 얻을 수 있다. : 1^2 + 2^2+3^2 + \cdots + n^2 = \frac13(B_0 n^3-3B_1 n^2+3B_2 n^1 ) = \frac13\left(n^3+\frac32n^2+\frac12n\right) : 1^3 + 2^3+3^3 + \cdots + n^3 = \frac14(B_0n^4-4B_1n^3+6B_2n^2-4B_3n^1)=\frac14(n^4+2n^3+n^2) 베르누이 공식은 음계산법을 통하여 간단하게 적을 수 있다. 우선, 음변수 \mathsf b에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자. :L\colon\mathsf b^n\mapsto B_n 그렇다면 :L\colon(a+\mathsf b)^n\mapsto B_n(a) 가 된다. 따라서, :\sum_{k=1}^n k^m =\frac1{m+1}L\left((n+1+\mathsf b)^{m+1}-\mathsf b^{m+1}\right)=L\int_{\mathsf b}^{\mathsf b+n+1}x^m\,dx 이다.
## 알고리즘
베르누이 수를 계산하는 효율적인 알고리즘들이 알려져 있으며,언어=en언어=en언어=enurl-status=dead B_n를 계산하는 가장 빠른 알려진 알고리즘의 시간 복잡도는 :O(n^2\log^{2+\epsilon}n) 이다.
## 수론적 성질
**폰 슈타우트-클라우젠 정리**(von Staudt–Clausen theorem)에 따르면, 모든 양의 정수 n에 대하여, 만약 B_n\ne0이라면 다음이 성립한다. :B_n + \sum_{(p-1)\mid n} \frac1p\in\mathbb Z 여기서 \textstyle\sum_{(p-1)\mid n}은 p-1이 n의 약수가 되는 모든 소수 p에 대한 합이다. 즉, B_n\ne0의 분모는 \textstyle\prod_{(p-1)\mid n}p이다. 소수 p에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 소수를 **정규 소수**이라고 한다. * p\nmid B_{2n}\qquad\forall 2n\in\\{2,4,6,\dots,p-3\\} * p\nmid h_{\mathbb Q(\zeta_p))}. 여기서 h_K는 K의 유수이며, \mathbb Q(\zeta_p)는 원분체이다. 이를 정규 소수의 **쿠머 조건**(Kummer’s criterion)이라고 한다.
# 표
낮은 차수의 베르누이 수는 다음과 같다. A367, A2445 {| class="wikitable" |- ! *n* ! *B**n* |- | 0 | 1 |- | 1 | −1/2 |- | 2 | 1/6 |- | 4 | −1/30 |- | 6 | 1/42 |- | 8 | −1/30 |- | 10 | 5/66 |- | 12 | −691/2730 |- | 14 | 7/6 |- | 16 | −3617/510 |- | 18 | 43867/798 |} 낮은 차수의 베르누이 다항식은 다음과 같다. : B_0(x) =1 :B_1(x)=x-\frac12 :B_2(x)=x^2-x+\frac16 :B_3(x)=x^3-\frac32x^2+\frac12x :B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac1{30} :B_5(x)=x^5-\frac52x^4+\frac53x^3-\frac16x :B_6(x)=x^6-3x^5+\frac52x^4-\frac12x^2+\frac1{42}
# 역사
세키의 《괄요산법》 베르누이의 《추측술》 97쪽 (현대적으로 재조판) 러브레이스의 베르누이 수 계산 프로그램. 이는 세계 최초의 컴퓨터 프로그램이다. 1631년에 요한 파울하버(Johann Faulhaber, 1580~1635)는 거듭제곱수의 합을 계산하는 알고리즘을 출판하였다.언어=de 파울하버의 알고리즘은 효율적이지만, 파울하버는 이를 베르누이 수를 통하여 나타내지 않았다. 이에 대하여 도널드 커누스는 다음과 같이 적었다. 언어=en 세키 다카카즈(1642~1708)는 1712년 사후에 출판된 《괄요산법》(括要算法가쓰요산포)언어=ja에 거듭제곱수의 합에 대한 일반 공식 및 베르누이 수를 제시하였다. 《괄요산법》에는 산가지로 표기된 파스칼 삼각형 밑에 다음과 같이 처음 12개의 베르누이 수가 수록돼 있다. :{| lang="ja" class=wikitable |- | 一級 || 全 |- | 二級 || 取㆓二分之一㆒爲㆑加 |- | 三級 || 取㆓六分之一㆒爲㆑加 |- | 四級 || 空 |- | 五級 || 取㆓三十分之一㆒爲㆑減 |- | 六級 || 空 |- | 七級 || 取㆓四十二分之一㆒爲㆑加 |- | 八級 || 空 |- | 九級 || 取㆓三十分之一㆒爲㆑減 |- | 十級 || 空 |- | 十一級 || 取㆓六十六分之五㆒爲㆑加 |- | 十二級 || 空 |} 즉, 분수 k/n은 *n*分之*k*로 표시돼 있고, 부호는 양수일 경우 爲加, 음수일 경우 爲減로 표시돼 있다. (㆑, ㆒, ㆓와 같은 부호는 간분의 가에리텐(返り点)이다.) 세키와 거의 동시에, 야코프 베르누이는 1713년 사후에 출판된 저서 《추측술》(아르스 코녝탄디)언어=la 2부 3장 97쪽에 거듭제곱수의 합의 일반 공식을 제시하였지만, 증명하지 않았다. 이 책에서 베르누이는 다음과 같이 적었다. 98 1830년대에 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린은 오일러-매클로린 공식을 발견하면서 베르누이 수를 재발견하였다. 아브라암 드무아브르와 레온하르트 오일러는 "베르누이 수"라는 표현을 최초로 사용하였다.언어=de 1834년에 카를 구스타프 야코프 야코비는 베르누이 공식을 엄밀하게 증명하였다.언어=la 에이다 러브레이스는 1843년에 찰스 배비지의 해석기관에 대한 책언어=en의 주석 G(Note G)에 베르누이 수를 계산하는 알고리즘을 기술하였다. 이 주석 G는 세계 최초의 컴퓨터 프로그램으로 여겨진다. 폰 슈타우트-클라우젠 정리는 카를 게오르크 크리스티안 폰 슈타우트(Karl Georg Christian von Staudt)언어=de와 토마스 클라우젠(Thomas Clausen)언어=de 이 1840년에 독자적으로 발견하였다. 정규 소수의 쿠머 조건은 에른스트 쿠머가 1850년에 증명하였다.url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002146738