R대칭

초대칭 이론물리학에서 **R대칭**(R對稱, *R*-symmetry)은 서로 다른 초대칭 생성원(초전하)들을 섞는 (보손) 대칭이다. 가장 간단한 (\mathcal N=1) 초대칭에서는 U(1)이지만, 확장 초대칭의 경우 아벨 군이 아닐 수 있다.
# 정의
시공간 대칭 L이 주어졌다고 하자. 예를 들어, 부호수 (p,q)의 민코프스키 공간에서, 이는 푸앵카레 대칭 \operatorname{ISO}(p,q)이며, 반 더 시터르 공간이나 등각 장론에서는 이는 \operatorname{SO}(p+1,q+1)의 꼴이다. 이 위에 초대칭 이론을 정의한다고 하자. 그렇다면, 초대칭의 리 초대수 \mathfrak g의 보손 성분 \mathfrak g_0를 생각하자. 콜먼-맨듈라 정리 및 하크-워푸샨스키-조니우스 정리 등에 따라서, 이는 일반적으로 :\mathfrak g_0 = \operatorname{Lie}(L) \oplus \mathfrak r 의 꼴이다. 즉, 시공간 대칭과 가환하는 대칭의 리 대수 \mathfrak r가 존재한다. 이 리 대수에 대응하는 대칭을 **R대칭**이라고 한다. 스피너 표현이 실수 또는 복소수 또는 사원수 표현인지 여부에 따라서, R대칭군은 각각 직교군 또는 유니터리 군 또는 심플렉틱 군이 된다. 구체적으로, 시공간 부호수 (p,q)에서, 초대칭의 R대칭은 다음과 같다. {| class=wikitable |- ! (p-q)\bmod 8 !! 스피너 종류 !! R대칭 |- | 0 || 마요라나-바일 || \operatorname{SO}(\mathcal N) |- | ±1 || 마요라나 || \operatorname{SO}(\mathcal N) |- | ±2 || 마요라나, 바일 || \operatorname U(\mathcal N) |- | ±3 || 디랙 || \operatorname{USp}(\mathcal N) |- | 4 || (심플렉틱-마요라나) 바일 || \operatorname{USp}(\mathcal N) |} 물론, 이 가운데 일부는 상호 작용에 의하여 깨지거나 게이지 대칭이 될 수 있다.
# 성질
일반적인 초대칭 양자장론에서, R대칭은 (이름과 달리) 실제 이론의 대칭이 아닐 수 있다. 즉, 해밀토니언 연산자와 가환하지 않을 수 있다. 이 깨짐은 직접적으로 (R대칭을 따르지 않는 라그랑지언 항), 또는 변칙적으로 일어날 수 있다. 그러나 등각 장론의 경우, 등각 대수가 닫히기 위해서 R대칭이 꼭 필요하며, 따라서 R대칭이 깨질 수 없다. 4차원에서, 중심 전하(central charge)가 없는 \mathcal N 초대칭 이론의 경우 R대칭은 \operatorname U(\mathcal N)이다 (\mathcal N=4일 경우, \operatorname{SU}(4)). 만약 중심 전하 Z_{ij}가 주어질 경우, R대칭은 중심 전하를 보존하는 부분군인 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(\mathcal N)으로 깨지게 된다.언어=en40
# 예
민코프스키 공간 위의 초대칭 이론 (특히 양-밀스 이론)의 R대칭군은 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 시공간 차원 !! 초대칭 수(𝒩) !! R대칭군 !! 주석 |- | (1,1) || (2,2) || U(1)A×U(1)V || 물질에 따라서 U(1)A 또는 U(1)V 둘 다 변칙을 겪을 수 있음 |- | (2,1) || 4 || SO(4) = SU(2)×SU(2) |- | (3,1) || 1 || U(1) |- | (3,1) || 2 || SU(2) || U(1) 성분은 변칙적으로 \mathbb Z_{4N_\text{c로 깨짐, 게이지 군 SU(N_\text{c}) |- | (3,1) || 4 || SU(4) |- | (5,1) || (1,0) || USp(2) = SU(2) |- | (5,1) || (1,1) || USp(2)×USp(2) = SU(2)×SU(2) |- | (5,1) || (2,0) || USp(4) = Spin(5)url-status=dead |} 이들 가운데 일부는 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다. * 4차원 \mathcal N=4 양-밀스 이론의 SU(4)=Spin(6) R대칭군은 AdS/CFT 대응성을 통해, 반 더 시터르 공간의 등거리군으로 설명할 수 있다. 또한, 4차원 \mathcal N=4는 10차원 \mathcal N=1 양-밀스 이론에서 6개의 차원을 축소화하여 얻으며, 이에 따라 Spin(6)=SU(4)를 얻는다. * 6차원 \mathcal N=(1,1) 이론의 경우, 10차원 \mathcal N=1 양-밀스 이론에서 4개의 차원을 축소화하여 얻을 수 있다. 이에 따라 R대칭군은 Spin(4)=USp(2)×USp(2)이다. * 6차원 \mathcal N=(2,0) 이론의 경우, M5-막 위에 존재한다. 따라서, 11차원 M이론을 사용하여, M5-막에 수직인 5개의 차원으로부터 R대칭 Spin(5)=USp(4)를 얻는다. * 3차원 \mathcal N=4 이론은 6차원 \mathcal N=1 이론에서 세 개의 차원을 축소화하여 얻을 수 있다. 이 경우, 6차원 \mathcal N=1 이론은 USp(2) R대칭을 가지며, 축소화한 3개의 차원으로부터 Spin(3)=SU(2) R대칭이 추가로 발생한다. 따라서 총 R대칭은 Spin(4)=SU(2)×SU(2)이다.
## 등각 대칭 / (반) 더 시터르
실수 단순 리 초대수 가운데, 그 보손 부분 대수가 :\mathfrak o(p,q) \oplus [콤팩트 리 대수] 의 꼴인 것들은 다음이 있다. {| class=wikitable ! 리 대수 || 시공간 부호수 || R대칭 ! 리 대수 || 시공간 부호수 || R대칭 |- | \mathfrak{su}(2,2|\mathcal N) || (4,2) || \mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R | \mathfrak{psu}(2,2|4) || (4,2) || \mathfrak{su}(4) |- | \mathfrak{su}(4|\mathcal N) || (6,0) || \mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R | \mathfrak{psu}(4|4) || (6,0) || \mathfrak{su}(4) |- | \mathfrak{su}(2|\mathcal N) || (3,0) || \mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R | \mathfrak{psu}(2|2) || (3,0) || \mathfrak{su}(2) |- | \mathfrak{su}(1,1|\mathcal N) || (2,1) || \mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R | \mathfrak{psu}(1,1|2) || (2,1) || \mathfrak{su}(2) |- | \mathfrak{osp}(\mathcal N|4;\mathbb R) || (3,2) || \mathfrak o(\mathcal N) |- | \mathfrak{osp}(\mathcal N|2;\mathbb R) || (2,1) || \mathfrak o(\mathcal N) |- | \mathfrak{osp}(4|2,\alpha) || (2,1) || \mathfrak o(4) |- | \mathfrak f(4) || (2,1) || \mathfrak o(7) |- | \mathfrak f(4) || (3,0) || \mathfrak o(7) |- | \mathfrak f(4) || (7-p,p) || \mathfrak{su}(2) |- | \mathfrak g(3) || (2,1) || \mathfrak g_2 |} 이들은 초등각 장론 또는 이에 대응하는 반 더 시터르 공간이나 더 시터르 공간 위의 초대칭 이론에서 사용된다.언어=en