보손 끈 이론

끈 이론 **보손 끈 이론**(boson끈理論, bosonic string theory)은 초대칭을 도입하지 않은 끈 이론이다.
# 전개
**끈**이란 시공을 통해 움직이는 1차원의 개체다. 고리 모양인 (원과 동형인) **닫힌 끈**(closed string)과 끊어진 (선분과 동형인) **열린 끈**(open string)이 있다. 따라서 끈은 (0+1차원의 세계선을 지니는 점입자와 달리) 1+1차원의 세계면으로 나타내어진다. 1+1차원의 세계면은 두 좌표로 나타낼 수 있다. 세계면 좌표를 \xi^a (a\in\\{0,1\\})로 쓰자. 세계면 좌표는 단위를 쓰지 않는다 (무차원). 끈은 시공간 안에 존재한다. 시공간을 1차원의 시간과 D-1 차원의 공간으로 이루어져 있다고 가정하자. (관측에 따르면 D=4이나, 보손 끈 이론은 추가 차원을 필요로 한다.) 시공의 좌표를 X^\mu (\mu\in\\{0,1,\dots,D-1\\})로 쓰자. 시공간의 계량 텐서를 G_{\mu\nu}로 표기하자. 끈의 시공 속의 위치를 매장 X^\mu(\xi^a)로 나타낼 수 있다. 시공의 계량 텐서로부터 세계면 계량 텐서 :h_{ab}=\partial_aX^\mu\partial_bX^\nu G_{\mu\nu} 를 정의할 수 있다.
## 작용
끈을 다루는 가장 간단한 작용은 난부-고토 작용 :S[X^\mu]=-T\int d^2\xi\;\sqrt{-\det h} 이나, 이는 제곱근 때문에 양자화가 어렵다. 따라서 세계면 계량 텐서를 보조장으로 승격시킨 폴랴코프 작용 :S[X^\mu,h_{ab}]=-\frac12T\int d^2\xi\;\sqrt{-\det h}h^{ab}\partial_aX\cdot\partial_bX 를 쓴다. 여기서 T=1/(2\pi\alpha')는 작용을 무차원화시키기 위한 상수로서, 끈의 장력 또는 에너지 밀도를 나타낸다. \alpha'는 **레제 기울기**(Regge slope) 또는 "알파 프라임"으로 불리는 상수다. 보다 일반적으로, 보손 끈은 일반적으로 운동 방정식 :p^2 = 0 만으로 결정된다.§2 (여기서 p^\mu는 끈 전체의 운동량이다.) 이로부터 작용을 다음과 같이 재구성할 수 있다. 좌표 \xi=(\tau,\sigma)에 대하여, 세계면 위의, \partial_a X^\mu에 대응하는 정준 운동량장 P^\mu_a(\xi)를 정의하자. 그렇다면, 작용 :S \propto \int\mathrm d^2\xi \sqrt{-\det h}h_{ab}g^{\mu\nu}(X(\xi))P_\mu^a(\xi)P_\nu^b(\xi) + P_\mu^a(\xi) \partial_aX^\mu(\xi) 을 적을 수 있다. 여기서 첫째 항은 운동 방정식 p^2 = 0에서 오며, 둘째 항은 P^a_\mu와 \partial_aX^\mu 사이의 정준 관계를 나타낸다. 이제, P^a_\mu(\xi)의 오일러-라그랑주 방정식은 :P^a_\mu(\xi) = -g_{\mu\nu}(X(\xi))\eta^{ab}\partial_b X^\nu 가 된다. 이를 작용에 대입하면, 폴랴코프 작용 : S \propto \int\mathrm d^2\xi \sqrt{-\det h} G_{\mu\nu}(X(\xi)\eta^{ab}\partial_aX^\mu(\xi)\partial_bX^\nu(\xi) 를 얻는다. 사실, 닫힌 끈의 경우, 끈의 공간 좌표 \xi^1 = \sigma \in [0,2\pi)라고 할 때, P(\tau,\sigma)는 서로 상호작용하지 않는 두 개의 장 P^\pm(\tau,\sigma)이다. 반면, 열린 끈의 경우, 공간 좌표가 \xi^1 = \sigma \in [0,\pi]라고 할 때, 하나의 P_\mu^a가 \sigma\in[-\pi,\pi]에 정의되게 된다. 두 경우 모두, P_\mu^a는 원 위의 주기적 경계 조건을 만족시킨다. 즉, 닫힌 끈은 (\sigma의 범위를 무시하면) 서로 상호작용하지 않는 두 개의 열린 끈으로 취급할 수 있다.
## 게이지 대칭
보손 끈의 폴랴코프 작용은 세계면 계량 텐서 h_{ab}에 대한 미분 동형 사상 게이지 대칭을 가지며, 따라서 편의상 게이지 고정 :h_{ab} = \begin{pmatrix} -1&0\\\ 0&1 \end{pmatrix} 을 가할 수 있다. 사실, 흔히 빛원뿔 좌표계가 사용된다. 이 게이지 대칭은 작용 L \propto \eta P^2 + P\partial X에서 생성원 P^2(\sigma)에 의하여 생성된다. 이것의 리 괄호는 : \left[\frac12P^2(\sigma),\frac12P^2(\sigma')\right] =\mathrm i\delta'(\sigma'-\sigma) \left( \frac12P^2(\sigma)+\frac12P^2(\sigma') \right) 이다.(2.2b) (여기서 \delta'(-)은 디랙 델타의 분포로서의 도함수이다.) 즉, 이는 일종의 아핀 리 대수를 이룬다. 이 게이지 대칭에 대응하는 BRST 연산자는 유령장 C에 대하여 :Q = \int\mathrm d^1\sigma \,\left( \frac12 P(\sigma)^2C(\sigma) +\mathrm iC'(\sigma)\frac{\delta}{\delta C(\sigma)} \right) 이다.언어=en(2.4) 여기서, 서로 정준 교환 관계를 갖는 C(\sigma), \delta/\delta C는 양자화 이후 (c,b) 유령장에 대한 2차원 등각 장론을 이룬다.
## 방식 전개
폴랴코프 작용을 h_{ab}=\operatorname{diag}(-1,1)인 등각 게이지로서 풀면, 운동 방정식 :\square X^\mu=0 과 게이지 조건 :(\partial_0\pm\partial_1X)^2=0 을 얻는다. 운동 방정식은 단순히 파동 방정식이므로, 경계 조건이 주어지면 간단히 풀 수 있다. 우선 닫힌 끈의 경우 X^\mu(\xi^0,\xi^1)=X^\mu(\xi^0,\xi^1+2\pi)의 주기성 (periodicity) 조건을 주자. 그리고 편의상 빛원뿔 좌표계 :\xi^\pm=\xi^0\pm\xi^1 를 정의하자. 그렇다면 파동 방정식의 해는 (왼쪽 방식(mode)과 오른쪽 방식을 구분해 쓰면) :X^\mu(\xi)=X^\mu_\mathrm L(\xi^+)+X^\mu_\mathrm R(\xi^-) :X^\mu_\mathrm L(\xi^+)=\frac12x^\mu+\frac12\alpha'p^\mu+\sqrt{\frac{\alpha'}2}\sum_{n\ne0}\frac1n\exp(-\mathrm in\xi^+)\alpha_n^\mu :X^\mu_\mathrm R(\xi^-)=\frac12x^\mu+\frac12\alpha'p^\mu+\sqrt{\frac{\alpha'}2}\sum_{n\ne0}\frac1n\exp(-\mathrm in\xi^-)\beta_n^\mu 이 된다. 여기서 p^\mu는 뇌터 정리를 쓰면 끈의 운동량임을 알 수 있다. 방식으로 전개한 이 표현에 게이지 조건 (\partial_\pm X)^2=0을 적용하면 임의의 m\in\mathbb Z에 대하여 :0=\sum_{n=-\infty}^\infty\exp(-\mathrm in\xi^+)\alpha_{-n+m}\cdot\alpha_n=\sum_{n=-\infty}^\infty\exp(-\mathrm in\xi^-)\beta_{-n+m}\cdot\beta_n 의 조건을 얻는다. (여기서 :\alpha_0^\mu=\beta_0^\mu=\sqrt{\frac{\alpha'}2}p^\mu 로 정의한다.) 이 가운데 m=0인 조건으로부터 끈의 질량 공식 :M^2=-p^2=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n 을 얻는다.
## 양자화
끈은 여러 가지 방법으로 양자화할 수 있으나, 그 가운데 빛원뿔 좌표계를 쓰는 양자화가 가장 간단하다. 우선, 시공의 빛원뿔 좌표 :X^\pm=\frac1{\sqrt2}(X^0\pm X^1) 을 정의하자. 그리고 잉여 게이지 자유로 :X^+(\xi)=x^\mu+\alpha'p^\mu\xi^0 으로 쓰자. 이렇게 쓰면 계의 자유도는 x^\pm, p^+, x^i, p^i,\alpha^i,\beta^i (i\in\\{2,\dots,D-2\\})이다. 다음에 바른틀 교환자 관계 (canonical commutation relation)를 적용시킨다. :[x^i,p^i]=\mathrm i\delta^{ij} :[x^\pm,p^\mp]=-\mathrm i :[\alpha^i_m,\alpha^j_n]=n\delta^{ij}\delta_{m+n,0}. (p^-는 계의 고전적 자유도가 아니므로, 이는 양자화한 뒤에 연산자식으로 구속한다.) 이렇게 쓰면 정렬 모호성(ordering ambiguity)으로 인해 질량 공식이 :M^2=\frac4{\alpha'}\left(-\frac{D-2}{24}+\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n\right)=\frac4{\alpha'}\left(-\frac{D-2}{24}+\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n\right) 가 된다. 여기서 연산자 :N=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n :\tilde N=\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n 을 **준위**(準位, level) 연산자로 부르고, 이들은 자연수의 고윳값을 갖는다. N=\tilde N=0인 경우 M^2<0이므로 이는 타키온을 나타낸다. N=\tilde N=1인 경우엔 로런츠 대칭을 위하여 M^2=0이어야 하므로, D=26임을 알 수 있다. 즉 보손 끈 이론의 임계 차원은 26차원이다. 이 경우 입자는 무질량 입자인데, 이는 스핀 2의 중력자 G_{\mu\nu}, 스핀 1의 캘브-라몽 장 B_{\mu\nu} (Kalb–Ramond field), 스핀 0의 딜라톤 \Phi을 포함한다. 이들을 통틀어 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장 (Neveu–Schwarz–Neveu–Schwarz field)으로 부른다. N=2이상의 입자는 질량이 \propto1/\sqrt{\alpha'}이므로 (대략 플랑크 질량으로 추정) 너무 커 관측되지 않는다.
# 성질
보손 끈 이론은 끈 이론 가운데 가장 단순하여, 장난감 모형으로 쓰인다. 보손 끈 이론은 다음과 같은 특성을 지닌다. * 보손 끈 이론은 초대칭이 없으므로 페르미온을 포함하지 않는다. 즉 오직 NS-NS 장만을 포함한다. * 보손 끈 이론은 타키온을 포함한다. 따라서 보손 끈 이론의 진공은 자명하지 않으며, 그 참 진공은 아직 잘 밝혀지지 않았다. (이에 반하여 초끈 이론은 GSO 사영을 통하여 타키온을 없앨 수 있다.) * 보손 초끈 이론은 임계 차원이 26=3^3-1차원이다. 즉, 26차원이 아닌 다른 차원에서는 일반적으로 로런츠 대칭을 보존하면서 유령 상태를 없앨 수 없다. (초끈 이론에서는 초대칭에 따른 \beta, \gamma 유령 입자에 의하여 임계 차원이 10차원으로 줄어든다.)
# 역사
보손 끈 이론은 1960년대에 끈 이론 가운데 최초로 발견되었다. 이는 원래 강입자의 스펙트럼을 설명하기 위하여 등장하였다. 현대적인 용어로, 중간자를 구성하는 두 쿼크를 잇는 글루온은 마치 끈처럼 행동하며, 그 진동 모드 스펙트럼을 끈 이론으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 상수 \alpha'은 중간자의 질량-스핀 그래프의 기울기로 나타난다. \alpha'의 이름인 “레제 기울기”는 툴리오 레제의 이름을 땄으며, 여기서 유래하였다. 보손 끈 이론의 임계 차원이 26차원이라는 사실은 클로드 러블레이스(Claud Lovelace, 1934~2012)가 1971년에 발견하였다.doi=10.1016/0370-2693(71)90665-4isbn=9780521197908