바젤 문제

원주율 **바젤 문제**(Basel Problem)는 1650년 이탈리아의 수학자 피에트로 멩골리(Pietro Mengoli)에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다. : \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots. 이 문제는 제안된 이후 80여년 동안 많은 수학자들이 도전했지만 풀 수 없었던 난제였다. '바젤 문제'라는 이름은 이 문제를 수학계에 널리 알린 야코프 베르누이가 재직하던 스위스 바젤시의 바젤 대학에서 유래된 것이다. 레온하르트 오일러는 1735년에 이 급수가 \frac{\pi^2}{6} 로 수렴함을 증명하였다.오일러의 바젤문제 증명 url=https://web.archive.org/web/20071027221932/http://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/NYU%20Basel%20Problem%20Paper.PDF, Ed Sandifer, Western Connecticut State University 그러나 그의 초기 증명은 엄밀하지 못하였으며, 그는 1741년에 더욱 엄밀한 증명을 발표하였다. :
# 오일러의 풀이
오일러는 다음과 같은 과정을 통해 바젤 문제의 무한 급수의 수렴값이 \frac{\pi^2}{6}\,임을 도출해 내었다. 원래의 풀이는 엄밀하지 못한 방법이었으나, 약 100년 후 카를 바이어슈트라스가 바이어슈트라스 곱 정리를 통해 오일러의 증명이 타당함을 보였다. 먼저, 사인 함수의 테일러 급수를 생각하면 :\begin{align} \sin x = \sum_{k=0}^\infin \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = x - {\frac{x^3}{3! + {\frac{x^5}{5! - {\frac{x^7}{7! + \cdots \\\ \Rightarrow \frac{\sin x}{x} = \sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} = 1 - {\frac{x^2}{3! + {\frac{x^4}{5! - {\frac{x^6}{7! + \cdots \\\ \end{align} \frac{\sin x}{x} = 0 는 x = n\pi (n\in\mathbb{Z}-\\{0\\}) 가 이 방정식의 근이 되므로 \frac{\sin x}{x} 는 적당한 상수 A 에 대하여 바이어슈트라스의 곱정리에 따라 다음과 같이 인수분해할 수 있다. (오일러는 이 부분에서 엄밀하지 못한 가정을 사용하였다.) :\begin{alignat}{2} \frac{\sin x}{x} & = A \prod_{n\in\mathbb{Z}-\\{0\\ (1 - \frac{x}{n\pi}) = A (1 - \frac{x}{ \pi})(1 + \frac{x}{ \pi})(1 - \frac{x}{2\pi})(1 + \frac{x}{2\pi})\cdots \\\ & = A \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) = A (1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots \\\ \end{alignat} 여기서 양변에 극한을 취함으로써 A 의 값을 알 수 있다. :\begin{alignat}{3} & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} A \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) \\\ & \Longrightarrow\ 1 = A\ (\prod_{n = 1}^\infin 1) \\\ & \Longrightarrow\ A = 1 \\\ \end{alignat} \therefore \frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) = (1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots 이제 우리는 \frac{\sin x}{x} 에 관한 두 개의 식을 이용해 다음과 같은 항등식을 도출할 수 있다. :\sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} = \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) 위 식에서 이차항을 비교하면 :\begin{align} -\frac{1}{3!} = \sum_{n = 1}^\infin (-\frac{1}{n^2 \pi^2}) \\\ \Longrightarrow -\frac{1}{6} = -\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} \\\ \end{align} : 적절한 변형을 통해 우리가 원하는 결론을 얻을 수 있다. :\therefore\ \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.
## 오일러의 접근법을 이용한 바젤 문제의 일반화
위에서 구한 \sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} = \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) 에서 2k 차 항을 비교하면 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다. (단, B_n 은 베르누이 수) :\sum_{k=1}^\infin \frac{1}{k^{2n = \frac{(-1)^{n-1} (2\pi)^{2n{2\cdot(2n)!}B_{2n}. 좌변을 리만 제타 함수로 나타내면 0 이상의 짝수의 함수값을 구할 수 있다. : \zeta(2n) = \frac{(-1)^{n-1} (2\pi)^{2n{2\cdot(2n)!}B_{2n}.
# 리만 제타 함수와의 관계
오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 리만 제타 함수로 일반화하여 모든 0 이상의 짝수에 대하여 수렴값을 닫힌 형식으로 구할 수 있는 방법을 제시하였다. : \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s}\cdots. 오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다. : \zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s= \frac{1}{1-2^{-s\cdot\frac{1}{1-3^{-s\cdot\frac{1}{1-5^{-s\cdot\frac{1}{1-7^{-s \cdots \frac{1}{1-p^{-s \cdots 따라서 제타 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있으며 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다. : \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s