보어-판레이우언 정리

**보어-판레이우언 정리**(Bohr–van Leeuwen theorem)는 통계 역학 분야의 한 정리이다. 이 정리에 의하면, 고전 역학과 통계 역학을 동시에 적용하였을 때, 자화 정도의 열 평균은 항상 0이 된다.존 판블렉(John Hasbrouck van Vleck)은 보어-판레이우언 정리에 대해 다음과 같이 적었다. "어떤 유한한 온도와 유한한 전자기장 하에서, 전자 집합의 알짜 자화는 열 평형 상태에서 동등하게 사라진다". (van Vleck, 1932) 따라서, 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 고체의 자성을 설명할 수 없고, 양자 역학으로만 설명할 수 있다.1996
# 역사
현재 "보어-판레이우언 정리"로 알려진 이 정리는 1911년 닐스 보어(Niels Bohr)가 박사 학위 논문에서 처음으로 언급하였다.1972 이후 1919년 헨드리카 판레이우언(Hendrika Johanna van Leeuwen)가 자신의 박사 학위 논문을 집필하는 과정에서 재발견하였다.1921 1932년에는 물리학자 존 판블렉(John Hasbrouck van Vleck)이 이 정리를 공식화하였으며, 보어가 작성한 전기 감수율과 자화율에 대한 책에 등장한 초기 정리를 토대로 정리를 확장하였다. 이 정리는 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 일련의 자기 현상을 설명할 수 없다는 것을 밝혀내었고, 이를 설명하기 위해서는 양자 역학과 상대성 이론이 필요하다는 점을 밝혀냈다는 점에서 중요한 정리이다. 이 정리의 결과는 보어가 1913년 수소 원자의 보어 모형을 고안하는데 영향을 주었을 것으로 추정된다.
# 증명

## 직관적인 증명
보어-판레이우언 정리는 회전 불가능한 고립계에 적용된다. (회전이 가능한 경우는 해당하지 않는다. 예를 들어, 고립된 별의 경우 자기장의 영향을 받아 회전할 수 있다.)2006 여기에 덧붙여, 만약 어떤 장과 주어진 온도에서 열 평형 상태가 오직 하나만 존재하고, 장이 걸어진 이후에 평형 상태까지 도달할 만큼 충분한 시간이 주어진다고 하면, 그 계는 결국 자화되지 않은 상태가 될 것이다. 계가 어떤 특정한 운동 상태에 있을 확률은 맥스웰-볼츠만 통계로 예측할 수 있는데, 맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 이 확률은 :\exp(-U/k_\mathrm{B}T) 에 비례한다. 여기서 U는 계의 에너지이고, k_\mathrm{B}는 볼츠만 상수, T는 온도에 해당한다. 여기서 에너지는 운동에너지(m가 입자의 질량이고, v가 속력일 때, 입자의 m v^2/2 값)와 위치 에너지이다. 하지만 자기장은 위치 에너지에 전혀 기여하지 않는다. 전하 q의 속도가 \mathbf{v}인 입자에 가해지는 로런츠 힘은
:\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right), 으로 나타난다. 여기서 \mathbf{E}는 전기장이고, \mathbf{B}는 자기장이다. 이 식에서 일률을 구해보면 \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}가 되는데, 이 식에서 일률은 자기장 \mathbf{B}와 무관하다는 것을 알 수 있다. 그러므로 에너지는 자기장에 영향을 받지 않고, 따라서 입자 운동의 분포 역시 자기장에 영향을 받지 않는다. 회전할 수 없다는 가정으로 인하여, 장의 세기가 0인 경우에는 입자들의 알짜 운동이 0이 된다. 따라서 평균 자기 모멘트 역시 0이 될 것이다. 운동의 분포가 자기장에 전혀 영향을 받지 않으므로, 결국 자기장에 관계없이 열평형 상태에서의 자기 모멘트는 0이 된다.
## 수식을 이용한 증명
간결함을 위해 N개의 전자가 존재하는 계를 생각해보자. (고체에서 나타나는 대부분의 자기 효과는 전자로 인해 발생되는 것이고, 또 원한다면 전자를 다른 대전 입자로 치환해 일반화시킬 수도 있으므로, 이 가정은 충분히 일반적이다.) 각 전자들은 질량 m_e와 음의 전하 e를 갖는다. 전자의 위치를 \mathbf{r}라고 하고, 그 속도를 \mathbf{v}라고 한다면, 각 전자는 전류 \mathbf{j} = e\mathbf{v}와
: \boldsymbol{\mu} = \frac{1}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{j} = \frac{e}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{v}
의 자기 모멘트를 갖게 된다. 위 식은 자기 모멘트가 전자의 위치에 대해 선형적이라는 것을 보여준다. 따라서 계 전체 자기 모멘트의 특정 방향 성분은 다음과 같이 선형 함수로 나타나게 된다.
: \mu = \sum_{i=1}^N\mathbf{a}_i\cdot\dot{\mathbf{r_i, 여기서 \mathbf{r}_i 위의 점 표시는 위치의 시간에 대한 미분을 나타낸 것이고, \mathbf{a}_i는 위치 \\{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\\}에 의존적인 벡터 계수이다. 한편 맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 n번째 입자가 운동량 \boldsymbol{p}_n을 갖고, 위치 \boldsymbol{r}_n을 가질 확률을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: dP \propto \exp{\left[-\frac{\mathcal{H}(\boldsymbol{p}_1,\ldots,\boldsymbol{p}_N;\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_N)}{k_\mathrm{B}T}\right]}d\boldsymbol{p}_1,\ldots,d\boldsymbol{p}_Nd\boldsymbol{r}_1,\ldots,d\boldsymbol{r}_N. 여기서 \mathcal{H}는 해밀토니언으로, 계의 전체 에너지와 같다. 이를 이용하여 어떤 일반화 좌표에 대한 함수 f(\boldsymbol{p}_1,\ldots,\boldsymbol{p}_N;\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_N)의 열 평균을 구하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:\langle f\rangle =\frac{\int f dP}{\int dP}. 자기장의 존재 하에 해밀토니언은
: \mathcal{H} = \frac{1}{2m_e}\sum_{i=1}^N \left(\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i \right)^2 + e\phi(\mathbf{q}), 으로 나타난다. 여기서 \mathbf{A}_i는 자기 벡터 퍼텐셜이고, \phi(\mathbf{q})는 전기 스칼라 퍼텐셜이다. 각각의 입자의 운동량 성분 \mathbf{p}_i와 위치 성분 \mathbf{r}_i는 해밀턴 역학에 의하면 다음과 같은 관계를 갖는다:
: \begin{align} \dot{\mathbf{p_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\\ \dot{\mathbf{r_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i. \end{align} 열 평균
:\langle \mu \rangle = \frac{\int \mu dP}{\int dP}, 의 각 항은 : \int_{-\infty}^\infty p dp, 에 비례한다고 할 수 있다. (여기서 p는 일반화 운동량 가운데 하나다.) 그런데 여기서 피적분함수는 p의 기함수이므로, 적분값이 0이 된다. 따라서 자기 쌍극자 모멘트의 열 평균 \langle\mu\rangle=0이 된다.
# 보어-판레이우언 정리의 응용
보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리, 전기기계기술, 전자전기 공항 등 여러 응용 분야에서 유용하게 사용된다.