바탈린-빌코비스키 대수

이론물리학과 수학에서 **바탈린-빌코비스키 대수**(Batalin–Vilkovisky algebra)는 게이지 이론을 BRST 양자화할 때 등장하는 대수이다.언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en
# 정의

## 고차 미분 연산자
(단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수 :A = \bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i :ab = (-)^{\deg a\deg b}ba 가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자 :\mathsf L_ab = ab 및 초괄호 :[a,b\\} = ab - (-)^{\deg a\deg b}ba 를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다. 이 위의 연산자 :D \colon A_\bullet \to A_{\bullet_k} :\deg D = k 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 **n차 k등급 미분 연산자**(nth-order degree-k operator)라고 한다. :D(1_A) = 0 :[\dotsoD,\mathsf L_{a_0}\\}, \mathsf L_{a_1}\\},\dotsc, \mathsf L_{a_n} \\} (1_A) = 0 \qquad\forall a_0,\dotsc,a_k\in A 여기서 초괄호에서 \deg \mathsf L_a = \deg a 및 \deg D = k로 간주한다. 예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우 :D1 = 0 인 것이다. 1차 미분 연산자는 :0 = [[D,\mathsf L_a\\},\mathsf L_b\\}1 = D(ab) - (-)^{k\deg a}a(Db) - (-)^{(k+\deg a)\deg b}b(Da) 인 것이다. 즉, :D(ab) = (Da)b + (-)^{k\deg a}a(Db) 이며, 이는 [[곱 규칙이다. 홀수 등급 2차 미분 연산자 \Delta는 :\Delta(abc)-\Delta(ab)c-(-1)^{\deg a}a\Delta(bc)-(-1)^{(\deg a+1)\deg b}b\Delta(ac)+\Delta(a)bc-(-1)^{\deg a}a\Delta(b)c+(-1)^{\deg(ab)}ab\Delta(c)=0 를 만족시킨다.
## 거스틴해버 괄호
등급 가환 결합 대수 :A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i 및 A 위의 사슬 복합체 구조 :\partial \colon A_\bullet \to A_{\bullet-1} :\partial_1 = 0 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다. :\Phi^{n+1}(a_0,a_1,\dotsc,a_n) = \dotsb[[\partial,\mathsf L_{a_0}\\},\mathsf L_{a_1}\\},\dotsc\\},\mathsf L_{a_n}\\}1 이를 n+1항 **거스틴해버 괄호**라고 한다. 예를 들어 :\Phi^0() = 0 :\Phi^1(a) = \partial a :\Phi^2(a,b) = \partial (ab) - (-)^{\deg a}a\partial b - (\partial a)b 이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면, :(A,\Phi^\bullet) 는 [[L∞-대수를 이룬다. 물론, 만약 \partial이 n차 미분 연산자라면, 오직 \Phi^1,\dotsc,\Phi^n만이 0이 아닐 수 있다. 바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 **거스틴해버 괄호**(Gerstenhaber bracket) 또는 **반괄호**(antibracket) (a,b)를 정의할 수 있다. :(a,b)=(-1)^{\deg a}\Phi^2(a,b) 이는 다음과 같은 성질들을 따른다. * (차수 −1) \deg(a,b)=\deg a+\deg b-1 * (등급가환성) (a,b)=-(-1)^{(\deg a+1)(\deg b+1)}(b,a) * (등급 야코비 항등식) (-1)^{(\deg a+1)(\deg c+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(\deg b+1)(\deg a+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(\deg c+1)(\deg b+1)}(c,(a,b))=0 * (등급 라이프니츠 규칙) (ab,c)=a(b,c)+(-1)^{\deg a\deg b}b(a,c)
## 바탈린-빌코비스키 대수
**바탈린-빌코비스키 대수** (A,\Delta)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.§8 * 등급 가환 결합 대수 A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i * A 위의 2차 −1등급 미분 연산자 \Delta\colon A_\bullet\to A_{\bullet-1}. 이를 **바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자**라고 한다.
# 게이지 이론의 양자화
바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다. 게이지 이론이 장 \phi^i와 고전적 작용 S_0(\phi)에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자. :\delta\phi^i=R_{\alpha_1}^i\epsilon^{\alpha_1} 여기서 \epsilon^{i_1}는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다. :R^{i_p}_{i_{p+1R_{i_p}^{i_0}=C^{ij}_{\alpha_{p+1\frac{\delta S_0}{\delta\phi^{j_0 이다. 여기서 C^{ij}_{\alpha_{p+1는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은 * 1차 게이지 변환 \delta\phi^i/\delta\epsilon^{\alpha_1} * 2차 게이지 변환 \delta\epsilon^{\alpha_1}/\delta\epsilon^{\alpha_2} * 3차 게이지 변환 \delta\epsilon^{\alpha_2}/\delta\epsilon^{\alpha_3} 등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다. 그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환 \delta/\delta\epsilon^{\alpha_p}에 대응하는 유령장 c^{\alpha_p}을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장 \phi^i에 대응하는 **반대장**(反對場, antifield) \phi^*_i, c^*_{\alpha_p}를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 **유령수**(幽靈數, ghost number)라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, p차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 p, 그리고 유령수 g에 대응하는 반대장은 유령수 -g-1을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 장 || 기호 || 통계 \sigma(\Phi^A) (+1: 보손, −1: 페르미온) !! 유령수 \deg\Phi^A |- | 물리적 장 || \phi^i || \sigma(\phi^i) (보손: +1, 페르미온: −1) || 0 |- | 물리적 반대장 || \phi^*_i || -\sigma(\phi^i) || −1 |- | 유령장 || c^{\alpha_p} || -\sigma(\epsilon^{\alpha_p}) (일반 대칭: −1, 초대칭: +1) || p |- | 유령 반대장 || c^*_{\alpha_p} || \sigma(\epsilon^{\alpha_p}) || -p-1 |} 즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수를 이룬다.
## Δ 연산자와 거스틴해버 괄호
모든 장들을 통칭해 :\Phi^A=(\phi^i,c^{\alpha_p}) :\Phi^*_A=(\phi^*_i,c^*_{\alpha_p}) 로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다. :\Delta=(-1)^{\sigma(\Phi^A)}\frac{\delta^L}{\delta\Phi^A}\frac{\delta^L}{\delta\Phi^*_A} 또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다. :(X,Y)=\frac{\delta^RX}{\delta\Phi^A}\frac{\delta^LY}{\delta\Phi^*_A}- \frac{\delta^RX}{\delta\Phi^*_A}\frac{\delta^LY}{\delta\Phi^A}. 이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 \delta^L/\delta\Phi^A와 \delta^R/\delta\Phi^A는 각각 좌·우미분이다.
## 고전 으뜸 방정식
고전적 작용 S_0(\phi^i)는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다. :S=S_0+S_1+S_2+\dots 여기서 S_p는 p개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, S의 유령수는 0이다. :\deg S=0 이렇게 교정된 작용 S는 다음과 같은 **고전 으뜸 방정식**(classical master equation)을 만족시킨다. :(S,S)=0 이로부터 S를 완전히 계산할 수 있다. 이 경우, 이론의 BRST 대칭은 :\delta_{\text{BRST=(S,\cdot) 의 꼴이다. 이 경우 자동적으로 :\delta_{\text{BRSTS=(S,S)=0 이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다. \delta_{\text{BRST^2=0임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지 :H^p(\delta_{\text{BRST) 를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 H^0(\delta_{\text{BRST)의 원소이다. 고전적인 연산자 O_0가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다. :O=O_0+O_1+O_2+\cdots :\delta_{\text{BRSTO=(S,O)=0
## 게이지 고정
유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 \psi를 선택하자. 이를 **게이지 고정 페르미온**(gauge-fixing fermion)이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.§6§6.1 :\Phi^*_A\mapsto\frac{\delta\psi}{\delta\Phi^A} 작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다. 게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.§6.2
## 양자 으뜸 방정식
양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분의 측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건은 :\Delta S=0 이다.§6 예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다. 만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 \hbar에 비례하게 된다. 즉, S=\hat S^{(0)}으로 놓으면, :\hat S=\hat S^{(0)}+\hbar S^{(1)}+\hbar^2S^{(2)}+\cdots 이다. 이에 대한 **양자 으뜸 방정식**(quantum master equation)은 :\Delta(\exp(i\hat S/\hbar))=0 이다.§9 다음 표현은 위와 동치이다. :(\hat S,\hat S)=2i\hbar\Delta\hat S 이다. 이를 전개하면 :(\hat S^{(0)},\hat S^{(0)})=0 :(\hat S^{(0)},\hat S^{(1)})=i\Delta \hat S^{(0)} :(\hat S^{(0)},\hat S^{(2)})+\frac12(\hat S^{(1)},\hat S^{(1)})=i\Delta \hat S^{(1)} 등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다. 피적분량 X를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다.§6.1 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분 :\int\exp(iS/\hbar) 를 고려하면 양자 으뜸 방정식 :\Delta\exp(iS/\hbar)=0 이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 O가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로 :(W,O)=i\hbar\Delta O 가 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서, \exp(iS/\hbar)를 다중벡터(multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도 D\Phi를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, D\Phi\,\exp(iS/\hbar)는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 \Delta이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간 N 위의 적분은 :\int_N \Delta X=0 이고, 또한 만약 \Delta Y=0이라면 :\int_N Y 는 N의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, N의 호몰로지류에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 D\Phi\,O\exp(iS/\hbar)가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다.
# 예

## 양-밀스 이론
로런츠 지표는 \mu,\nu,\dots로, 게이지 리 대수 지표는 a,b,\dots로 쓰자. 비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 A^a_\mu는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다. :\delta A^a_\mu=\partial_\mu\epsilon^a+gf^{abc}A_\mu^b\epsilon^c 따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 c^a 및 반대장 \phi^*_a, c^*_a가 존재한다. 작용 :S_0=-\frac14\int d^dx\,F^2 에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.§5.2 :S=S_0+\int d^dx\, A_a^{*\mu}D_\mu c^a+\frac12\int d^dx\,c_a^*f^a{}_{bc}c^bc^c 게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 \bar c_a와 유령수 0의 보손 b_a를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.§6 :S'=S-i\int d^dx\,\bar c^{*a}b_a 그렇다면 게이지 고정 페르미온 :\psi=i\int d^dx\,\bar c_a\left(\partial^\mu A_\mu^a+\xi b^a/2\right) 를 삽입한다. 여기서 \xi는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다. :S=\int d^dx\,\left(-\frac14F^2-i\partial^\mu\bar c_aD_\mu c^a+\left(\partial^\mu A^a_\mu+\xi b^a/2\right)b_a\right) {| class="wikitable" |- ! 장 !! 기호 !! 통계 !! 유령수 |- | 게이지 장 || A^a_\mu || + || 0 |- | 게이지 반대장 || A^{*\mu}_a || − || −1 |- | 유령장 || c^a || − || 1 |- | 유령 반대장 || c^*_a || + || −2 |- | 보조장 || b_a || + || 0 |- | 보조 반대장 || b^*_a || − || −1 |- | 보조 유령장 || \bar c^a || − || −1 |- | 보조 유령 반대장 || \bar c^*_a || + || 0 |}
## 미분형식 전기역학
*p*차 미분형식 전기역학의 경우, *p*차 미분형식 게이지 퍼텐셜 A^{(p)}는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다. :\frac{\delta A^{(p){\delta\epsilon^{(p-1)=d\epsilon^{(p-1)} :\frac{\delta\epsilon^{(p-1){\delta\epsilon^{(p-2)=d\epsilon^{(p-2)} :⋮ :\frac{\delta\epsilon^{(1){\delta\epsilon^{(0)=d\epsilon^{(0)} 여기서 \epsilon^{(k)}는 k차 미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다. {| class="wikitable" |- ! 장 !! 기호 !! 통계 !! 유령수 |- | 게이지 장 || A^{(p)} || + || 0 |- | 유령장 || c^{(k)} || − || *p*−*k* |- | 게이지 반대장 || A^{*(p)} || − || −1 |- | 유령 반대장 || c^{*(k)} || + || *k*−*p*−1 |} 유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.§5.5 :S=\int d^dx\,\left(-\frac12F^{(p+1)}\wedge*F^{(p+1)}+*A^{*(p)}\wedge dc^{(p-1)} +\sum_{k=0}^{p-2}*c^{*(k+1)}\wedge dc^{(k)} \right)
# 역사
이고리 아니톨리예비치 바탈린(И́горь Анато́льевич Бата́лин)과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키(Григо́рий Александро́вич Вилковы́ский)가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다.언어=en언어=en 오류 정정 언어=en 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.