모스 이론

미분위상수학에서 **모스 이론**(Morse理論, Morse theory)은 다양체의 위상수학을 그 위에 정의된 매끄러운 함수로 분석하는 분야이다.언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en 이 경우 함수의 임계점을 통해 콤팩트 매끄러운 다양체 M의 호몰로지를 모스 이론으로 구성할 수 있다. 이 구성을 **모스 호몰로지**라고 한다.
# 정의

## 모스 지표
M이 매끄러운 다양체라고 하고, 그 위에 매끄러운 함수 f\colon M\to\mathbb R이 있다고 하자. f의 **임계점**들은 f의 기울기가 0인 M의 부분 집합이다. 이를 :\operatorname{Crit}(f) = \\{x\in M\colon \mathrm df = 0 \in\mathrm T^*_xM\\} \subseteq M 로 표기하자. \operatorname{Crit}(f)에 속하는 M의 부분 다양체 :\Sigma\subseteq \operatorname{Crit}(f) \subseteq M 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, M의 접다발을 어떤 임의의 리만 계량을 사용하여 \Sigma 위에서 접다발과 법다발로 분해할 수 있다. :\mathrm TM\restriction \Sigma = \mathrm T\Sigma \oplus \mathrm N_M\Sigma (물론, 만약 \Sigma = \\{x\\}가 한원소 공간일 경우, \mathrm T\Sigma = 0이며 \mathrm TM\restriction \Sigma = \mathrm N_M\Sigma이다.) 이 경우, x\in \Sigma 및 그 근방의 국소 좌표계에 대하여, 헤세 행렬 :(\mathcal H_xf)_{ij} = \partial_i \partial_j f 을 정의할 수 있으며, 이를 \mathrm N_M\Sigma에 제한할 수 있다. 이 경우, f의 \Sigma에 대한 **모스-보트 지표**(Morse-Bott指標, Morse–Bott index) \operatorname{ind}_f(\Sigma)는 \mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma의 음의 고윳값의 수이다. (이는 사용한 국소 좌표계 및 x\in \Sigma의 선택 및 리만 계량에 의존하지 않는다.) 특히, 만약 \Sigma = \\{x\\}인 경우, \operatorname{ind}_f(\\{x\\})는 단순히 헤세 행렬 \mathcal H_xf의 음의 고윳값의 수이다. 이를 \operatorname{ind}_f(x)라고 쓰며, f의 x에서의 **모스 지표**(Morse指標, Morse index)라고 한다.
## 모스 함수와 모스-보트 함수
매끄러운 함수 f\colon M\to\mathbb R가 다음 조건들을 만족시킨다면, f를 **모스-보트 함수**(Morse-Bott函數, Morse–Bott function)라고 한다.Definition 3.1 * \operatorname{Crit}(f)는 M의 부분 다양체들의 합집합이다. (각 연결 성분들은 서로 다른 차원을 가질 수 있으나, 이들은 맞닿을 수 없다.) * \operatorname{Crit}(f)의 임의의 연결 성분 \Sigma를 골랐을 때, 모든 x\in \Sigma에 대하여 제한된 헤세 행렬 \mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma는 비퇴화 쌍선형 형식이다. 이 경우, \Sigma의 **모스-보트 지표**(Morse-Bott指標, Morse–Bott index) \operatorname{ind}_f(\Sigma)는 \mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma의 음의 고윳값의 수이다. (이는 x\in\Sigma에 의존하지 않는다.) 이 경우, 각 \Sigma_i \subseteq \operatorname{Crit}(f)를 f의 **임계 부분 다양체**(臨界部分多樣體, critical submanifold)라고 한다. 또한, 매끄러운 함수 f\colon M\to\mathbb R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 **모스 함수**라고 한다. * **모스 함수**(Morse函數, Morse function)는 모든 임계점들의 헤세 행렬이 비퇴화 쌍선형 형식인 함수다. 즉, 헤세 행렬이 0을 고윳값으로 갖지 않는다. * \operatorname{Crit}(f)의 모든 연결 성분이 0차원인 모스-보트 함수이다.
# 성질

## 모스 함수의 조밀성
매끄러운 함수 M\to\mathbb R의 공간 \mathcal C^\infty(M,\mathbb R) 위에 임의의 리만 계량을 가해, 다음과 같은 일련의 노름들로 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다. :\Vert f\Vert|_k=\sup_M|f|^2+\sup_M\Vert\nabla f\Vert^2+\cdots+\sup_M\Vert\nabla^kf\Vert^2 이 프레셰 위상을 \mathcal C^\infty 위상이라고 하고, 이는 사실 사용된 리만 계량에 의존하지 않는다. 이 위상에서, 모스 함수들의 부분 공간은 \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)의 조밀 집합을 이룬다.
## 모스 세포 구조
다음이 주어졌다고 하자. * 콤팩트 매끄러운 다양체 M * M 위의 모스 함수 f 그렇다면, 각 a\in\mathbb R에 대하여 부분 공간 :M^a=f^{-1}(-\infty,a] \subseteq M 을 정의할 수 있다. 이는 사실 경계다양체를 이룬다. 그렇다면, 임의의 a,b\in\mathbb R, a에 대하여, 다음이 성립한다. * 만약 f^{-1}[a,b]\subseteq M이 f의 임계점을 포함하지 않는다면, M^a와 M^b는 서로 미분 동형이다. * 만약 f^{-1}(a,b)이 f의 임계점 가운데 하나 x\in M를 포함하며, 또한 f^{-1}[a,b]가 x 이외의 다른 임계점을 포함하지 않는다면, M^b는 M^a에 \gamma(x)차 세포를 추가한 공간과 호모토피 동치이다. 따라서, 만약 서로 다른 두 임계점에 대하여 f의 값이 항상 서로 다르다면, f는 모스 함수 f는 다양체 M와 호모토피 동치인 세포 복합체를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가 k인 특이점은 k차 세포에 대응된다. 또한, 모든 매끄러운 다양체에 대하여 이와 같은 꼴의 모스 함수를 찾을 수 있음을 보일 수 있다. {| class=wikitable |- ! 모스 이론 !! 세포 복합체 |- | 모스 함수의 임계점 || 세포 |- | 모스 함수의 임계점의 모스 지표 || 세포의 차수 |- | M^a (a는 임계값이 아님) || f(x) < a인 임계점들 x\in M에 대응하는 세포들로 구성된 뼈대 |}
## 모스 부등식
매끄러운 다양체 M 위의 모스-보트 함수 f가 주어졌다고 하면, 다음과 같은 **모스-보트 다항식**(Morse–Bott polynomial)을 정의할 수 있다.Definition 3.4 :\operatorname{MB}_f(t) = \sum_i \operatorname P_{\Sigma_i}(t) t^{\gamma(\Sigma_i)} 이는 물론 모스 다항식의 일반화이다. 만약 f가 모스 함수일 경우, 이를 **모스 다항식**(Morse polynomial)이라고 한다. 이제, M이 콤팩트 가향 다양체이며, 각 \Sigma_i 또한 모두 가향 다양체라고 하자. (만약 f가 모스 함수라면, 둘째 조건은 자명하게 성립한다.) 그렇다면, **모스-보트 부등식**에 따르면, :\operatorname{MB}_f(t) = \operatorname P_M(t) + (1+t) R(t) 가 되는, 자연수(음이 아닌 정수) 계수의 다항식 :R(t) \in \mathbb N[t] 이 존재한다.언어=enTheorem 3.5 여기서 :\operatorname P_M(t) = \sum_{n=0}^\infty (\dim_{\mathbb Q}\operatorname H_n(M;\mathbb Q)) t^n 는 M의 푸앵카레 다항식이다. 특히, 만약 t=-1일 경우 :\operatorname{MB}_f(-1) = \operatorname P_M(-1) = \chi(M) 이 된다. 여기서 \chi(M)은 오일러 지표이다. (만약 f가 모스 함수일 때, 이 사실은 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.) f가 모스 함수일 때, 위 다항식을 차수별로 분해하면, :|\\{x\in \operatorname{Crit}(f)\colon \gamma(x) = k\\}| \ge \dim_{\mathbb Q}\operatorname H_k(M;\mathbb Q) 이다. 즉, k차 임계점의 수는 k차 베티 수의 상계를 이룬다. (이 역시 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.)
# 예

## 초구
n+1차원 유클리드 공간 속의 표준적 (반지름 1의) n차원 초구 :\mathbb S^n = \\{x=(t_0,t_1,\dotsc,t_n)\in\mathbb R^{n+1} \colon t_0^2 + t_1^2 + \dotsb + t_n^2 = 1\\} 를 생각하자. 이 경우, 높이 t_0는 모스 함수를 이루며, 이는 두 개의 임계점 :x_\pm = (\pm 1,0,0,\dotsc,0) 을 가지며, x_+는 북극, x_-는 남극에 해당한다. 이 경우, x_+의 모스 지표는 n이며, x_-의 모스 지표는 0이다. 이로부터 정의되는 세포 복합체 구조는 하나의 0차원 세포(남극) 및 하나의 n차원 세포(남극을 제외한 모든 점)으로 구성된다.
## 수직 원환면
2차원 원환면 \mathbb T^2을 3차원 유클리드 공간에 다음과 같이 매장하였을 때, 높이 함수는 모스 함수를 이룬다. 이는 네 개의 임계점을 가지며, 그 지표는 (아래서부터) 각각 0, 1, 1, 2이다. 이는 원환면의 다음과 같은 세포 복합체 구조를 정의한다. 우선, :\mathbb T^2 = \mathbb S^1 \times \mathbb S^1 이다. 임의의 두 점 t,t' \in \mathbb S^1을 골랐을 때, :e_0 = \\{(t,t')\\} :e_1 = \\{t\\}\times (\mathbb S^1 \setminus \\{t'\\}) :e_1' = (\mathbb S^1 \setminus \\{t\\}) \times \\{t'\\} :e_2 = \mathbb S^1 \setminus\\{t\\} \times \mathbb S^1 \setminus \\{t'\\} 는 원환면의 세포 복합체를 정의하며, 이는 위의 모스 함수를 통하여 얻은 것과 동치이다. 보다 일반적으로, 종수 g의 콤팩트 가향 곡면 \Sigma_g를 위와 같이 배치하자. 그렇다면, 높이 함수는 모스 함수이며, 이는 2g+2개의 임계점을 갖는다. 이를 각각 순서대로 x_1,x_2,\dotsc,x_{2g+2}라고 할 때, :\gamma(x_1) = 0 :\gamma(x_2) = \dotsb = \gamma(x_{2g+1}) = 1 :\gamma(x_{2g+2}) = 2 이다. 이것이 정의하는 세포 복합체 구조에서, x_2, \dotsc,x_{2g+1}는 \operatorname H_1(\Sigma_g) \cong \mathbb Z^{2g}의 표준적 기저에 해당한다.
## 수평 원환면
반대로, 2차원 원환면을 3차원 유클리드 공간 속에서, xy 평면에 회전 대칭을 갖도록 매장하자. 이 경우, z방향 높이는 모스 함수를 이루지 못하지만, 모스-보트 함수를 이룬다. 이 경우 두 개의 임계 부분 다양체 C_\pm가 존재한다. 이 경우 * C_-는 “남극”에 있는 원이며, 그 모스-보트 지표는 0이다. * C_+는 “북극”에 있는 원이며, 그 모스-보트 지표는 1이다. 원의 푸앵카레 대항식은 :\operatorname P_{\mathbb S^1}(t) = 1 + t 이므로, 이 모스-보트 함수의 모스-보트 다항식은 :\operatorname{MB}_f(t) = (1+t) + (1+t)t = (1+t)^2 이다. 원환면의 푸앵카레 다항식은 :\operatorname P_{\mathbb T^2}(t) = (\operatorname P_{\mathbb S^1}(t))^2 = (1 + t)^2 이므로, 이 경우 모스-보트 부등식이 포화된다 (즉, R(t) = 0 이다).
## 모스 함수가 아닌 함수
1차원 이상의 매끄러운 다양체 위에서, 상수 함수를 생각하자. 이 경우 모든 점이 임계점이며, 모든 임계점의 헤세 행렬은 0이다. 그러므로 이는 모스 함수가 되지 못한다. (그러나 0차원 다양체(즉, 이산 공간)의 경우 이는 모스 함수를 이룬다.) 임의의 다양체 M, N 및 M 위의 함수 f에 대하여, M\times N 위에 f\circ \operatorname{proj}_M \colon M \times N \to \mathbb R를 정의할 수 있다. 만약 N이 1차원 이상이라면, 이는 항상 모스 함수가 아니다. 그러나 만약 f가 모스 함수라면 f\circ \operatorname{proj}_M는 모스-보트 함수를 이룬다.
# 역사와 어원
마스턴 모스 이전에도 이미 아서 케일리언어=en와 제임스 클러크 맥스웰언어=en 등이 측량학에 관련하여, 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다. 마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 모스 이론을 1934년 도입하였다.언어=en 이후 모스는 평생을 주로 모스 이론을 연구하는 데 바쳤다. 이후 스티븐 스메일 · 라울 보트 · 에드워드 위튼 등이 모스 이론에 공헌하였다.