모듈러 곡선

수론과 대수기하학에서 **모듈러 곡선**(modular曲線, modular curve)은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다.언어=en 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.
# 정의
모듈러 군 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\cong\Gamma(1)의 부분군 G\subset\Gamma(1)가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 N에 대하여 \Gamma(N)\supset G라면, G를 모듈러 군의 **합동 부분군**(合同部分群, congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 N을 합동 부분군 G의 **준위**(레벨)라고 한다. Γ(1)은 자연스럽게 상반평면 \mathbb H=\\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\\}에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 G 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 G\setminus\mathbb H를 (비콤팩트) **모듈러 곡선** Y(G)라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다. 콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 **확장 상반평면**(extended upper-half plane) :\mathbb H^*=\mathbb H\cup\mathbb Q\cup\\{i\infty\\} 을 정의하자. 그렇다면 **콤팩트 모듈러 곡선**을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.58 X(G)=G\setminus\mathbb H^*=Y(G)\cup G\setminus(\mathbb Q\cup\\{i\infty\\}) 대표적인 합동 부분군 Γ0(*N*), Γ1(*N*) 및 Γ(*N*)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 *X*0(*N*), *X*1(*N*), *X*(*N*)이라고 적는다.
# 타원점과 첨점
합동 부분군 G의 **타원점** \tau\in\mathbb H는 그 점에서의 \mathbb H-작용에 대한 안정자군 G_\tau가 자명하지 않는 (\pm1\subset G보다 더 큰) 점이다.48 이 경우, G_\tau/\\{\pm1\\}의 크기를 타원점 \tau의 **계수**(order)라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 G의 모듈러 곡선 Y(G) 위의 한 점으로 간주할 수 있다. 합동 부분군 G의 **첨점**(尖點, cusp)은 :G\setminus(\mathbb Q\cup\\{i\infty\\})=X(G)-Y(G) 의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.
# 타원곡선과의 관계
모듈러 곡선은 소위 **준위 구조**(level structure)를 가진 복소 타원곡선의 모듈라이 공간이다. 예를 들어, X(1)은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. \tau\in\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)는 타원 곡선 :\mathbb C/\Lambda(z,\tau z) 과 대응된다. 여기서 \Lambda=\Lambda(\langle z,\tau z)는 0\ne z,\tau z\in\mathbb C에 의하여 생성되는 2차원 격자이며, z는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 z를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)
## *X*(*N*)
*X*(*N*)의 경우, 타원곡선 E 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 p,q\in E이다.언어=en440 * p와 q의 차수는 N의 약수이다. 즉, Np=Nq=0이다. * p와 q의 베유 쌍(Weil pairing)은 e_N(p,q)=\exp(2\pi i/N)이다. 복소수체의 경우, 두 N차 점 :p=(a+b\tau)/N :q=(c+d\tau)/N :a,b,c,d\in\mathbb Z/N 의 베유 쌍은 :e_N(p,q)=\exp(2\pi i(ad-bc)/N) 이다. 이에 따라서 \\{p,q\\}는 *N*차 꼬임 부분군 :\\{z\in\mathbb C\colon Nz\in\Lambda\\} 의 기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의 \tau\in\Gamma(N)\backslash\mathbb H에 대하여 이는 :(p,q)=(1/N,\tau/N)\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau) 로 주어진다.
## *X*0(*N*)
*X*0(*N*)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 *N*차 순환 부분군 :i\colon\mathbb Z/n\hookrightarrow C/\Lambda 이다.440 구체적으로, \tau\in\Gamma_0(N)\backslash\mathbb H에 대하여 이는 :\\{0,1/N,2/N,\dots,(N-1)/N\\}\subset\mathbb C/\Lambda(1,\tau) 이다.
## *X*1(*N*)
*X*1(*N*)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 N인 점 (즉, Nz\in\Lambda인 z\in\mathbb C)이다.439 구체적으로, \tau\in\Gamma_1(N)\backslash\mathbb H에 대하여 이는 :1/N\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau) 이다.
# 성질
모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 G의 콤팩트 모듈러 곡선 X(G)의 종수(genus)는 다음과 같다.68 :g(X(G))=1+|\Gamma(1):G|/12-r_2/4-r_3/3-r_\infty/2 여기서 * |\Gamma(1):G|는 부분군의 지표다. * r_2는 G의 계수가 2인 타원점들의 수이다. * r_3는 계수가 3인 타원점들의 수이다. * r_\infty는 G의 첨점들의 수이다.
# 예

## Γ(1)
모듈러 군 \Gamma(1)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 X(1)은 리만 구 \hat{\mathbb C}와 동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다. :j\colon \Gamma(1)\backslash\mathbb H\to\hat{\mathbb C} 이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다. * 계수가 2인 타원점 1개 (i\in\mathbb H) * 계수가 3인 타원점 1개 ((1+i\sqrt 3)/2\in\mathbb H) * 첨점 1개 (i\infty) 를 가진다. 따라서 :g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0 이다. 이는 리만 구에 해당한다.
## Γ(*N*)
Γ(*N*)의 경우 N>1이면 타원점이 없다.57 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.106 :|\Gamma(1):\Gamma(N)|=\begin{cases} \frac12N^3\prod_{p|N}(1-1/p^2)&N;>2\\\ 6&N;=2 \end{cases} 또한, 이 경우 |\Gamma(1):\Gamma(N)|/N개의 첨점이 있다.106 따라서 이 경우 종수는 :g=1+|\Gamma(1):\Gamma(N)|(1/12-1/2N) 이다. 예를 들어, N=2인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는 :g=1+6(1/12-1/4)=0 이다. *N*이 소수 *p*일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. A191590 :g=(p+2)(p-3)(p-5)/24 따라서 Γ1(*N*)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.107 부분군의 지표는 A001766, 첨점의 수는 A000114, 종수는 A001767이다. {| class="wikitable" |- ! *N* !! 지표 !! 첨점의 수 !! 계수 2 타원점의 수 !! 계수 3 타원점의 수 !! 종수 |- | 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 0 |- | 2 || 6 || 3 | rowspan=10 | 0 | rowspan=10 | 0 | 0 |- | 3 || 12 || 4 || 0 |- | 4 || 24 || 6 || 0 |- | 5 || 60 || 12 || 0 |- | 6 || 72 || 12 || 1 |- | 7 || 168 || 24 || 3 |- | 8 || 192 || 24 || 5 |- | 9 || 324 || 36 || 10 |- | 10 || 360 || 36 || 13 |- | 11 || 66 || 60 || 26 |} *X*(1)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 j-불변량 j\colon\mathbb H/\Gamma(1)\to\hat{\mathbb C}에 의해 주어지고, *X*(2)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 모듈러 람다 함수 \lambda\colon\mathbb H/\Gamma(2)\to\hat{\mathbb C}에 의해 주어진다.
## Γ1(*N*)
Γ1(2)와 Γ1(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ1(*N*)의 경우 *N*>3이면 타원점이 없다.57 Γ1(*N*)의 지표는 :|\Gamma(1):\Gamma_1(N)|=|\Gamma(1):\Gamma(N)|/N 이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.107 :r_\infty=\begin{cases} 2&N;=2,3\\\ 3&N;=4\\\ \frac12\sum_{d|N}\phi(d)\phi(N/d)&N;>4 \end{cases} (\phi는 오일러 피 함수이다.) 따라서 Γ1(*N*)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.107언어=en 여기서 부분군의 지표는 A000114, 첨점의 수는 A029936, 종수는 A029937이다. {| class="wikitable" |- ! *N* !! 지표 !! 첨점의 수 !! 계수 2 타원점의 수 !! 계수 3 타원점의 수 !! 종수 |- | 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 0 |- | 2 || 3 || 2 || 1 || 0 || 0 |- | 3 || 4 || 2 || 0 || 1 || 0 |- | 4 || 6 || 3 | rowspan="9" | 0 | rowspan="9" | 0 || 0 |- | 5 || 12 || 4 || 0 |- | 6 || 12 || 4 || 0 |- | 7 || 24 || 6 || 0 |- | 8 || 24 || 6 || 0 |- | 9 || 36 || 8 || 0 |- | 10 || 36 || 8 || 0 |- | 11 || 60 || 10 || 1 |- | 12 || 48 || 10 || 0 |}
## Γ0(*N*)
Γ0(*N*)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다. :r_2=\begin{cases}0&4 | N\\\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-1}p))&4 \not| N\end{cases} :r_3=\begin{cases}0&9 | N\\\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-3}p))&4 \not| N\end{cases} :r_\infty=\sum_{0 여기서 \phi는 오일러 피 함수이고, (\tfrac ab)는 르장드르 기호이다. a|b는 a가 b의 인수라는 뜻이다. p|b는 p가 b의 소인수라는 뜻이다. 이 경우 부분군의 지표는 A001615, 계수 2의 타원점의 수는 A000089, 계수 3의 타원점의 수는 A000086, 첨점의 수는 A001616, 모듈러 곡선의 종수는 A001617이다. {| class="wikitable" |- ! *N* !! 지표 !! 첨점의 수 !! 계수 2 타원점의 수 !! 계수 3 타원점의 수 !! 종수 |- | 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 0 |- | 2 || 3 || 2 || 1 || 0 || 0 |- | 3 || 4 || 2 || 0 || 1 || 0 |- | 4 || 6 || 3 || 0 || 0 || 0 |- | 5 || 6 || 2 || 2 || 0 || 0 |- | 6 || 12 || 4 || 0 || 0 || 0 |- | 7 || 8 || 2 || 0 || 2 || 0 |- | 8 || 12 || 4 || 0 || 0 || 0 |- | 9 || 12 || 4 || 0 || 0 || 0 |- | 10 || 18 || 4 || 2 || 0 || 0 |- | 11 || 12 || 2 || 0 || 0 || 1 |}