퀴네트 정리

대수적 위상수학에서 **퀴네트 정리**(Künneth theorem)는 곱공간의 호몰로지 및 코호몰로지에 대한 정리다. 체 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 각 성분의 (코)호몰로지의 곱이다. 주 아이디얼 정역 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 꼬임 부분군을 포함하는 분할 완전열로 나타내어진다. 일반적 가환환 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 스펙트럼 열의 극한으로 계산할 수 있다.
# 정의

## 체 계수
X와 Y가 위상 공간이라고 하고, \operatorname H_\bullet(-;K)가 체 K의 계수를 가진 특이 호몰로지라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. :\bigoplus_{i+j=k}\operatorname H_i(X;K)\otimes_K\operatorname H_j(Y;K)\cong\operatorname H_k(X\times Y;K) 이를 **퀴네트 정리**라고 한다. 이에 따라, 베티 수에 대해서는 다음이 성립한다. :b_X(t)=\sum_it^i\dim_{\mathbb Q}\operatorname H_i(X;\mathbb Q) 가 베티 수의 생성함수라고 하자. 그렇다면 :b_X(t)b_Y(t)=b_{X\times Y}(t) 이다. 호몰로지 대신 코호몰로지로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 코호몰로지 환을 \operatorname H^\bullet이라고 적으면, 다음이 성립한다. :\operatorname H^\bullet(X;K)\otimes_K\operatorname H^\bullet(Y;K)\cong\operatorname H^\bullet(X\times Y;K) 여기서 좌변은 등급환의 K-텐서곱이다.
## 주 아이디얼 정역 계수
만약 계수가 체가 아닌 일반적인 가환환인 경우, 퀴네트 정리는 꼬임 때문에 더 복잡해진다. 만약 계수가 주 아이디얼 정역 R인 경우, **퀴네트 정리**에 따르면 다음과 같은 R-가군의 짧은 완전열이 존재한다. :0\to\bigoplus_{i+j=k}\operatorname H_i(X;R)\otimes_R\operatorname H_j(Y;R)\to\operatorname H_k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k-1}\operatorname{Tor}^R_1(\operatorname H_i(X;R),\operatorname H_j(Y;R))\to0 여기서 \operatorname{Tor}는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다. 마찬가지로, 주 아이디얼 정역 R 계수의 코호몰로지에 대하여, R-가군의 짧은 완전열이 존재한다. :0\to \bigoplus_{i+j=k}\operatorname H^i(X;R)\otimes_R\operatorname H^j(Y;R)\to\operatorname H^k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k+1}\operatorname{Tor}^R_1(\operatorname H^i(X;R),\operatorname H^j(Y;R))\to 0 여기서 \operatorname{Tor}는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다.
## 호몰로지 스펙트럼 열
임의의 가환환 R 계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 **퀴네트 스펙트럼 열**(Künneth spectral sequence) E_{\bullet\bullet}^\bullet로 표현된다.언어=en§3.1 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다. :E_{pq}^2 = \bigoplus_{q_1 + q_2 = q} \operatorname{Tor}^R_p\left(\operatorname H_{q_1}(X; R), \operatorname H_{q_2}(Y; R)\right) 이 스펙트럼 열은 곱공간의 호몰로지로 수렴한다. :E_{pq}^2 \Rightarrow E_{pq}^\infty\cong\operatorname H_{p+q}(X \times Y; R) 보다 일반적으로, 위상군 G가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간 X 및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간 Y가 주어졌고, Y\twoheadrightarrow Y/G가 G-주다발을 이룬다고 하자. 이 경우 G의 호몰로지 \operatorname H_\bullet(G;R)는 자연스럽게 환을 이루며, 이는 X와 Y의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열, :E_{pq}^2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^{\operatorname H_\bullet(G;R)}\left(\operatorname H_{q_1}(X; R), \operatorname H_{q_2}(Y; R)\right) 은 다음과 같은 G-곱공간의 호몰로지로 수렴한다.§3.1 :E_{pq}^2\Rightarrow E_{pq}^\infty\cong\operatorname H_{p+q}(X\times_GY;R) 여기서 :X\times_GY=\frac{X\times Y}{(x,g\cdot y)\sim(x\cdot g,y)\;\forall g\in G,x\in X,y\in Y} 이다. 이는 G가 자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.
## 코호몰로지 스펙트럼 열
마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.§3.2 :E^{pq}_2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^R\left(\operatorname H^{q_1}(X;R),\operatorname H^{q_2}(Y;R)\right) 만약 X와 Y의 코호몰로지가 각 차수에서 R-유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은 X\times Y의 코호몰로지로 수렴한다. :E^{pq}_2\Rightarrow E^{pq}_\infty\cong\operatorname H^{p+q}(X\times Y;R) 보다 일반적으로, 연속 함수 f\colon X\to B, g\colon Y\to B가 주어졌으며 g는 올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면 \operatorname H^\bullet(B;R)는 X와 Y의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자. * B는 단일 연결 공간이다. * X, Y, B의 코호몰로지는 각 차수에서 R-유한 생성 가군이다. 그렇다면 스펙트럼 열 :E^{pq}_2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^{\operatorname H^\bullet(B;R)}\left(\operatorname H^{q_1}(X;R),\operatorname H^{q_2}(Y;R)\right) 은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.§3.2 :E^{pq}_2\Rightarrow E^{pq}_\infty\cong\operatorname H^{p+q}(X\times_B Y;R) 여기서 X\times_BY는 범주론적 당김 :X\times_BY=\\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\\} 이다. 이는 B가 한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.
# 역사
독일의 수학자 헤르만 퀴네트(Hermann Künneth)가 1923년에 발표하였다.언어=de언어=de