단사 대상

범주론에서 **단사 대상**(單射對象, injective object)은 이 대상을 공역으로 삼는 사상의 정의역을 임의로 확장할 수 있는 대상이다. 단사 가군의 개념을 일반화한 개념이다. 마찬가지로, 이에 대한 쌍대 개념인 **사영 대상**(射影對象, projective object)은 이 대상을 정의역으로 삼는 사상의 공역을 임의로 확장할 수 있는 대상이다.
# 정의
범주 \mathcal C의 **단사 대상**은 다음 성질을 만족하는 대상 Q\in\operatorname{ob}(\mathcal C)이다. * 모든 사상 f\colon A\to Q와 단사 사상 h\colon A\hookrightarrow B에 대하여, g\circ h=f인 사상 g\colon B\to Q가 존재한다. *:\begin{matrix} A&\overset{\forall h}\hookrightarrow&B;\\\ {\scriptstyle\forall f}\downarrow&\swarrow\scriptstyle\exists g\\\ Q\end{matrix} 만약 \mathcal C가 끝 대상 1\in\mathcal C을 가진다면, **단사 대상** Q는 유일한 사상 Q\to1이 모든 단사 사상에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 대상이다. 마찬가지로, 범주 \mathcal C의 **사영 대상**은 다음 성질을 만족하는 대상 P\in\operatorname{ob}(\mathcal C)이다. * 모든 사상 f\colon P\to B와 전사 사상 h\colon A\twoheadrightarrow B에 대하여, h\circ g=f인 사상 g\colon P\to A가 존재한다. *:\begin{matrix} &&P;\\\ &{\scriptstyle\exists g}\swarrow&\downarrow\scriptstyle\forall f\\\ A&\underset{\forall h}\twoheadrightarrow&B; \end{matrix} 만약 \mathcal C가 시작 대상 0\in\mathcal C을 가진다면, **사영 대상** P는 유일한 사상 0\to P이 모든 전사 사상에 대하여 왼쪽 올림 성질을 만족시키는 대상이다. 만약 \mathcal C 속의 임의의 대상 X에 대하여, X에서 어떤 단사 대상으로 가는 단사 사상이 존재한다면, \mathcal C를 **단사 대상을 충분히 가지는 범주**(單射對象을 充分히 가지는 範疇, category with enough injective objects)라고 한다. 마찬가지로, 만약 \mathcal C 속의 임의의 대상 X에 대하여, 어떤 사영 대상에서 X로 가는 전사 사상이 존재한다면, \mathcal C를 **사영 대상을 충분히 가지는 범주**(射影對象을 充分히 가지는 範疇, category with enough projective objects)라고 한다. 보다 일반적으로, 단사 사상 또는 전사 사상 대신 다른 종류의 사상 H로 유사한 개념을 정의할 수 있다. 이 경우를 H-단사 대상(*H*-injective object) 및 H-사영 대상(H-projective object)이라고 한다.
## 단사 껍질
덮개 (대수학) 단사 대상을 충분히 가지는 범주 \mathcal C에서, 대상 X의 **단사 껍질**(injective hull/envelope) (\iota,Q)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * Q는 단사 대상이다. * \iota\colon X\to Q는 본질적 단사 사상이다. 마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 \mathcal C에서, 대상 X의 **사영 덮개** (P,\pi)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * P는 사영 대상이다. * \pi\colon P\to X는 잉여적 전사 사상이다.
# 성질
국소적으로 작은 범주 \mathcal C 속의 대상 Q에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * Q는 단사 대상이다. * 표현 가능 함자 \hom_{\mathcal C}(-,Q)\colon\mathcal C^{\operatorname{op\to\operatorname{Set}는 전사 사상을 보존한다. 즉, \mathcal C^{\operatorname{op의 전사 사상 (=\mathcal C의 단사 사상)은 사상 집합의 전사 함수를 유도한다. 국소적으로 작은 범주 \mathcal C 속의 대상 P에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * P는 사영 대상이다. * 표현 가능 함자 \hom_{\mathcal C}(P,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}는 전사 사상을 보존한다. 즉, \mathcal C의 전사 사상은 사상 집합의 전사 함수를 유도한다.
## 아벨 범주의 경우
아벨 범주 \mathcal A 속의 대상 Q에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * Q는 단사 대상이다. * 함자 \hom_{\mathcal A}(-,Q)\colon\mathcal A^{\operatorname{op\to\operatorname{Ab}는 완전 함자이다. 아벨 범주 \mathcal A 속의 대상 P에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * P는 사영 대상이다. * 함자 \hom_{\mathcal A}(P,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab}는 완전 함자이다. 아벨 범주 \mathcal A 속의 짧은 완전열 :0\to A\to B\to C\to0 이 주어졌다고 하자. * 만약 A가 단사 대상이라면, ** 이 짧은 완전열은 분할 완전열이다. ** B와 C 둘 다 단사 대상이거나 둘 다 단사 대상이 아니다. (이는 B\cong A\oplus C이기 때문이다.) * 만약 C가 사영 대상이라면, ** 이 짧은 완전열은 분할 완전열이다. ** A와 B 둘 다 사영 대상이거나 둘 다 사영 대상이 아니다. (이는 B\cong A\oplus C이기 때문이다.)
## 분할의 충분 조건
임의의 범주에서, 정의역이 단사 대상인 단사 사상은 분할 단사 사상이다. 마찬가지로, 임의의 범주에서, 공역이 사영 대상인 전사 사상은 분할 전사 사상이다. 다시 말해, 어떤 대상의 부분 대상이 단사 대상이라면 이는 항상 분할 부분 대상이며, 어떤 대상의 몫 대상이 사영 대상이라면 이는 항상 분할 몫 대상이다.

**증명:**

단사 대상 Q\in\mathcal C 및 단사 사상 f\colon Q\hookrightarrow X에 대하여, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자. :\begin{matrix} &Q;\\\ {\scriptstyle\operatorname{id\\!\\!\\!&\uparrow&\nwarrow&\\!\\!\\!\\!\\!\\!^\exists\\\ &Q;&\underset f\hookrightarrow&X; \end{matrix} 단사 대상의 정의에 의하여 f의 왼쪽 역사상 g\colon X\to Q이 존재하며, 따라서 f는 분할 단사 사상이다. 사영 대상의 경우도 마찬가지로 증명된다.

## 연산에 대한 닫힘
단사 대상의 분할 부분 대상(=분할 몫 대상)은 단사 대상이다. 마찬가지로, 사영 대상의 분할 부분 대상(=분할 몫 대상)은 사영 대상이다. 증명 단사 대상 Q_1\in\mathcal C 및 분할 부분 대상 :i\colon Q_2\to Q_1 :r\colon Q_1\to Q_2 :r\circ i=\operatorname{id}_{Q_2} 이 주어졌다고 하자. 임의의 사상 f\colon X\to Q_2 및 단사 사상 g\colon X\to Y에 대하여, 다음 가환 그림을 생각하자. :\begin{matrix} Q_2\\\ {\scriptstyle\operatorname{id\uparrow&\nwarrow{\scriptstyle r}\\\ Q_2&\underset i\rightarrow&Q;_1\\\ {\scriptstyle f}\uparrow&&\uparrow{\scriptstyle h}\\\ X&\underset g\hookrightarrow&Y; \end{matrix} Q_1이 단사 대상이므로, h\circ g=i\circ f인 사상 h\colon Y\to Q_1이 존재한다. 이 경우, 사상 r\circ h\colon Y\to Q_2는 :(r\circ h)\circ g=r\circ(h\circ g)=r\circ(i\circ f)=(r\circ i)\circ f=f 를 만족시킨다. 따라서, Q_2는 단사 대상이다. 사영 대상의 경우의 증명은 유사하다. 증명 끝 단사 대상들의 곱은 단사 대상이다. 마찬가지로, 사영 대상들의 쌍대곱은 사영 대상이다.
## 섀뉴얼 보조정리
아벨 범주 \mathcal A에서 대상 A_0=A'_0 및 두 완전열 :0\to A_n\to\cdots\to A_1\to A_0\to0 :0\to A'_n\to\cdots\to A'_1\to A'_0\to0 이 주어졌으며, 다음이 성립한다고 하자. * A_1,\dots,A_{n-1}은 사영 대상이다. * A'_1,\dots,A'_{n-1} 역시 사영 대상이다. 그렇다면, **섀뉴얼 보조정리**(Schanuel’s lemma)에 따르면 다음이 성립한다. * 만약 n이 짝수라면, *:A_n\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_1\cong A'_n\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus\cdots\oplus A'_2\oplus A_1 * 만약 n이 홀수라면, *:A_n\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_1'\cong A'_n\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_2\oplus A'_1

**증명:**

수학적 귀납법을 사용한다. 우선, n\le1인 경우는 자명하다. **n=2일 경우:** :0\to A_2\to A_1\xrightarrow\pi A_0\to0 :0\to A_2'\to A_1'\xrightarrow{\pi'}A'_0\to0 에서, 다음과 같은 동등자를 정의하자. :X=\\{(a_1,a_1')\in A_1\oplus A_1'\colon \pi(a_1)=\pi'(a_1')\\} 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다. :\begin{matrix} &&&&0&&0\\\ &&&&\downarrow&&\downarrow\\\ &&&&\ker\phi&=&A;'_2\\\ &&&&\downarrow&&\downarrow\\\ 0&\to&\ker\phi'&\to&X;&\overset{\phi'}\to&A;'_1&\to&0\\\ &&\|&&{\scriptstyle\phi}{\downarrow}{\color{White}\scriptstyle\phi}&&{\color{White}\scriptstyle\pi'}{\downarrow}{\scriptstyle\pi'}\\\ 0&\to&A;_2&\to&A;_1&\underset\pi\to&A;_0&\to&0\\\ &&&&\downarrow&&\downarrow\\\ &&&&0&&0 \end{matrix} (특히, X의 정의에 따라 :\ker\phi=\ker\pi'=A_2' :\ker\phi'=\ker\pi=A_2 이다.) 위 그림에서, 전사 사상 :\phi'\colon X\to A_1 :\phi'\colon X\to A_1' 은 사영 대상을 공역으로 하므로 분할 전사 사상이며, 따라서 다음이 성립한다. :A_1\oplus A'_2=A_1\oplus\ker\phi\cong X\cong A'_1\oplus\ker\phi'=A'_1\oplus A_2 **n>2인 경우:** n'에 대하여 섀뉴얼 보조정리가 성립한다고 가정하자. 그렇다면, :0\to A_n\xrightarrow\iota A_{n-1}\to\cdots\to A_0\to0 :0\to A'_n\xrightarrow{\iota'}A'_{n-1}\to\cdots\to A'_0\to0 를 다음과 같이 더 짧은 길이의 완전열들로 분해하자. :0\to A_n\xrightarrow\iota A_{n-1}\to\operatorname{coker}\iota\to0 :0\to A'_n\xrightarrow{\iota'}A'_{n-1}\to\operatorname{coker}\iota'\to0 :0\to\operatorname{coker}\iota\to A_{n-2}\to\cdots\to A_0\to0 :0\to\operatorname{coker}\iota'\to A'_{n-2}\to\cdots\to A'_0\to0 그렇다면, 만약 :B'=A'_{n-2}\oplus A_{n-3}\oplus A'_{n-4}\oplus\cdots\oplus\begin{cases} A_1&2\mid n\\\ A'_1&2\nmid n \end{cases} :B=A_{n-2}\oplus A'_{n-3}\oplus A_{n-4}\oplus\cdots\oplus\begin{cases} A'_1&2\mid n\\\ A_1&2\nmid n \end{cases} 를 정의한다면, 귀납 가정에 의하여 :\operatorname{coker}\iota\oplus B'\cong\operatorname{coker}\iota'\oplus B 이며, 따라서 다음과 같은 두 짧은 완전열들을 얻는다. :0\to A_n\to A_{n-1}\oplus B'\to\operatorname{coker}\iota\oplus B'\to0 :0\to A'_n\to A'_{n-1}\oplus B\to\operatorname{coker}\iota'\oplus B\to0 사영 대상들의 직합은 사영 대상이므로, 따라서 귀납 가정에 의하여 :A_n\oplus B'\cong A'_n\oplus B 이다.

마찬가지로, 대상 A_0=A'_0 및 두 완전열 :0\leftarrow A_n\leftarrow\cdots\leftarrow A_1\leftarrow A_0\leftarrow0 :0\leftarrow A'_n\leftarrow\cdots\leftarrow A'_1\leftarrow A'_0\leftarrow0 이 주어졌을 때, 만약 A_1,A_2,\dots,A_{n-1} 및 A'_1,A'_2,\dots,A'_{n-1}이 단사 대상이라면, 다음이 성립한다. * 만약 n이 짝수라면, *:A_n\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_1\cong A'_n\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus\cdots\oplus A'_2\oplus A_1 * 만약 n이 홀수라면, *:A_n\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_1'\cong A'_n\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_2\oplus A'_1
# 예
일부 범주에서 단사 대상 및 사영 대상들은 다음과 같다. (이 가운데 일부는 선택 공리를 필요로 한다.) {| class=wikitable ! 범주 !! 아벨 범주? || 단사 대상을 충분히 가짐? !! 단사 대상 !! 사영 대상을 충분히 가짐? !! 사영 대상 |- ! 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab} || 예 || 예 || 나눗셈군 || 예 || 자유 아벨 군 |- ! 유한 아벨 군의 범주 \operatorname{finAb} || 예 || 아니오 || 자명군url-status=dead620, Example IX.5.6 || 아니오 || 자명군620, Example IX.5.6 |- ! 유한 생성 아벨 군의 범주 \operatorname{fgAb} || 예 || 아니오 || 자명군언어=enExercise 8.1620 || 예 || 유한 생성 자유 아벨 군 |- ! 환 R에 대한 왼쪽 가군들의 범주 R\text{-Mod} || 예 || 예 || 단사 가군 || 예 || 사영 가군 |- ! 환 R에 대한 왼쪽 유한 생성 가군들의 범주 R\text{-fgMod} || 예 || 아닐 수 있음 || 유한 생성 단사 가군 || 예 || 유한 생성 사영 가군 |- ! 체 K 위의 벡터 공간의 범주 \operatorname{Vect}_K | 예 || 예 || 모든 벡터 공간 || 예 || 모든 벡터 공간 |- ! 작은 위치 X 위의 아벨 군 값을 갖는 층의 범주 \operatorname{Sh}(X,\operatorname{Ab}) | 예 || 예 || 단사층 || 아닐 수 있음 || (이름이 없음) |- ! 환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위의 가군층의 범주 \mathcal O_X\text{-Mod} | 예 || 예 || 단사 가군층 || 아닐 수 있음 || (이름이 없음) |- ! 대수다양체 X 위의 준연접층의 범주 \operatorname{QCoh}(V) | 예 || 예 || 단사 가군층인 준연접층 || 아닐 수 있음 || (이름이 없음) |- ! 대수다양체 X 위의 연접층의 범주 \operatorname{Coh}(V) | 예 || 아닐 수 있음 || 단사 연접층 || 아닐 수 있음 || (이름이 없음) |- ! 집합의 범주 \operatorname{Set} | 아니오 || 예 || 공집합이 아닌 집합 || 예 || 모든 집합 |- ! 유한 집합의 범주 \operatorname{finSet} | 아니오 || 예 || 공집합이 아닌 유한 집합 || 예 || 모든 유한 집합 |- ! 군의 범주 \operatorname{Grp} | 아니오 || 아니오 || 자명군언어=en || 예 || 자유군언어=en2, Corollary I.1.5 |- ! 위상 공간의 범주 \operatorname{Top} | 아니오 || 예 || 공집합이 아닌 비이산 공간 || 예 || 이산 공간 |} 국소 연결 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \operatorname{Sh}(X,\operatorname{Ab})는 사영 대상을 충분히 가진다. * X는 알렉산드로프 공간이다. 즉, (무한 개일 수 있는) 임의의 수의 열린집합들의 교집합은 열린집합이다. 고립점이 없는 국소 연결 하우스도르프 공간 위의, 아벨 군 값의 층 가운데 사영 대상인 것은 자명군 상수층 \underline0 밖에 없다.언어=en30–31, Exercise I.4 모든 토포스는 단사 대상을 충분히 가진다. 토포스에서 임의의 대상 X의 멱대상 \mathcal P(X)는 단사 대상이며, 단사 사상 X\hookrightarrow\mathcal P(X)이 존재한다.
# 역사
섀뉴얼 정리는 스티븐 섀뉴얼이 증명하였다. 이에 대하여 어빙 커플랜스키는 다음과 같이 적었다. 165, Part III