극대 아이디얼

환론에서 **극대 아이디얼**(極大ideal, maximal ideal)은 환 전체가 아닌 아이디얼들의 극대 원소이다.
# 정의

## 극대 부분 가군
환 R 위의 왼쪽 가군 _RM의 부분 가군 N\subseteq M에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 가군을 **극대 부분 가군**(極大部分加群, maximal submodule)이라고 한다. * N\ne M이며, M의 임의의 부분 가군 N'\subseteq M에 대하여, 만약 N'\supseteq N이라면 N'=M이거나 N'=N이다. 즉, N은 부분 순서 집합 \operatorname{Sub}(M)\setminus\\{M\\}의 극대 원소이다. (여기서 \operatorname{Sub}(M)\setminus\\{M\\}은 M의 진부분 가군들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합이다.) * 몫가군 M/N은 단순 가군이다. (이 정의에서, 영가군은 단순 가군이 아니다.) 마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 가군에 대해서도 극대 부분 가군의 개념을 정의할 수 있다. 가군 _RM의 극대 부분 가군들의 집합을 \operatorname{Max}(_RM)이라고 표기하자. 주어진 가군에서, 모든 극대 부분 가군들의 교집합을 그 **근기**라고 한다.
## 극대 아이디얼
환 R가 주어졌을 때, 1차 자유 왼쪽 가군 _RR의 부분 가군은 왼쪽 아이디얼이며, _RR의 극대 부분 가군을 **극대 왼쪽 아이디얼**(maximal left ideal)이라고 한다. 즉, 왼쪽 아이디얼 \mathfrak M\ne R이 극대 왼쪽 아이디얼이라는 것은, 만약 R의 임의의 왼쪽 아이디얼 _R\mathfrak A에 대하여, 만약 \mathfrak M\subseteq\mathfrak A라면 \mathfrak A=R이거나 \mathfrak A=\mathfrak M이라는 것이다. 마찬가지로 **극대 오른쪽 아이디얼**(maximal right ideal)은 1차 자유 오른쪽 가군 R_R의 극대 부분 가군이다. 극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 환을 **국소환**이라 한다. 가환환 R의 아이디얼 \mathfrak m\subseteq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이러한 아이디얼을 **극대 아이디얼**이라고 한다. * 극대 왼쪽 아이디얼이다. * 극대 오른쪽 아이디얼이다. * R/\mathfrak m은 체이다. * 환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}R의 자리스키 위상에서, \\{\mathfrak m\\}은 닫힌 집합이다. 즉, \operatorname{Max}R\subseteq\operatorname{Spec}R는 닫힌 점들로 구성된 부분 공간이다. 극대 아이디얼에 대한 몫환으로 얻어지는 체를 **잉여류체**라고 한다. 단, 비가환환의 경우 극대 아이디얼에 대한 몫환은 나눗셈환이 아닐 수 있다.
# 성질
가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼 특히, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 소 주 아이디얼은 극대 아이디얼이다.
## 존재
**크룰 정리**(Krull’s theorem)에 따르면, 환 R 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군 _RM\ne0은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 즉, \operatorname{Max}(_RM)은 공집합이 아니다.

**증명:**

초른 보조정리를 사용하자. 그렇다면, 공집합이 아닌 임의의 전순서 집합 \mathcal S\subseteq\operatorname{Sub}(_RM)\setminus\\{M\\}에 대하여, :A=\bigcup_{S\in\mathcal S}S 를 정의하였을 때, 다음 두 명제를 증명하면 족하다. * A는 M-부분 가군이다. 즉, 덧셈에 대하여 닫혀 있다. ** 증명: 임의의 a,a'\in A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, a\in S 및 a'\in S'이 되는 S,S'\in\mathcal S를 찾을 수 있다. 그렇다면 a,a'\in\max\\{S,S'\\}이므로 a+a'\in\max\\{S,S'\\}\subseteq A이다. * A\ne M이다. ** 증명: M이 유한 생성 왼쪽 가군이므로, Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_k=M이 되는 m_1,\dots,m_k\in M을 찾을 수 있다. 귀류법을 사용하자. 만약 A=M이라면, m_i\in S_i가 되는 S_1,\dots,S_k\in\mathcal S를 찾을 수 있는데, 이 경우 M=\max\\{S_1,\dots,S_k\\}\in\mathcal S이 되며, 이는 모순이다.

또한, 환 R 위의, 영가군이 아닌 사영 왼쪽 가군 _RM\ne0은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 보다 일반적으로, 사영 덮개를 갖는 왼쪽 가군은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. (이는 왼쪽 가군 _RM은 그 사영 덮개 _RP의 잉여적 부분 가군 S\subseteq P에 대한 몫가군 M\cong P/S이며, 모든 잉여적 부분 가군은 항상 모든 극대 부분 가군에 포함되기 때문이다.) 특히, 자유 왼쪽 가군 _RR는 사영 왼쪽 가군이자 유한 생성 왼쪽 가군이며, R가 자명환이 아니라면 영가군이 아니다. 따라서, R는 항상 하나 아싱의 극대 왼쪽 아이디얼을 갖는다. (위 정리들은 오른쪽 가군/아이디얼에 대해서도 물론 성립한다.) 크룰 정리는 유한 생성 가군이 아닌 가군에 대하여 실패할 수 있다. 환 R의 모든 왼쪽 가군 _RM이 하나 이상의 극대 부분 가군을 가질 충분조건들은 다음을 들 수 있다. * 모든 단순 왼쪽 가군의 단사 껍질은 뇌터 가군이다.언어=enCorollary 1.1 * M의 모든 왼쪽 가군은 사영 덮개를 갖는다. (특히, 왼쪽 아르틴 환에 대하여 이 조건이 성립한다.)
# 예
정수환 \mathbb Z의 극대 아이디얼들은 소수 p에 대한 주 아이디얼 (p)이다. 체의 극대 아이디얼은 영 아이디얼 \\{0\\}밖에 없다. **힐베르트 영점 정리**에 따르면, 대수적으로 닫힌 체 K 위의 유한 차원 다항식환 K[x_1,x_2,\dots,x_k]의 극대 아이디얼은 다음과 같은 꼴의 아이디얼이다. :(x_1-a_1,x_2-a_2,\dots,x_k-a_k)\qquad(a_1,\dots,a_k\in K)
## 극대 부분 가군을 갖지 않는 가군
정수환 \mathbb Z 위의 가군 _{\mathbb Z}\mathbb Q (유리수의 덧셈 아벨 군)을 생각하자. 그렇다면, 이는 극대 부분 가군을 갖지 않는다.
# 역사
크룰 정리는 볼프강 크룰이 1929년에 초한 귀납법을 사용하여 증명하였다.언어=de