보렐 집합

측도론에서 **보렐 집합**(Borel集合, Borel set)은 열린집합들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합이다.
# 정의
위상 공간 (X,\mathcal U)의 **보렐 시그마 대수**(Borelσ代數, Borel sigma-algebra) \mathcal B(X) 또는 \boldsymbol\Delta_1^1(X)는 열린집합들의 집합 \mathcal U를 포함하는 최소의 시그마 대수이다.68, §11.A언어=en83, §3.1 (후자의 기호는 사영 위계의 표기법에서 유래한다.) X의 **보렐 집합**은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, 열린집합으로부터 가산 번의 가산 합집합·가산 교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다. **보렐 측도**(Borel測度, Borel measure)는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다. 위상 공간 X의 **보렐 가측 공간**(Borel measurable space)은 보렐 시그마 대수를 갖춘 가측 공간이다.
## 보렐 위계
만약 (X,\mathcal U)가 거리화 가능 공간일 경우, 보렐 시그마 대수 \boldsymbol\Delta^1_1(X)는 초한 귀납법을 사용하여, 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다. 임의의 순서수 \alpha>0에 대하여, 다음과 같은 **보렐 위계**(Borel位階, Borel hierarchy)를 정의하자.68, §II.B :\boldsymbol\Sigma^0_1(X)=\mathcal U (모든 열린집합들의 집합) :\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)=\\{X\setminus S\colon S\in\boldsymbol\Sigma^0_\alpha\\} :\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)=\left\\{\bigcup_{i\in\mathbb N}X_i\colon \forall i\in\mathbb N(X_i\in\boldsymbol\Pi^0_{\alpha_i}\land\alpha_i1) :\boldsymbol\Delta^0_\alpha(X)=\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)\cap\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X) 그렇다면 다음이 성립한다. * \bigcup_{\alpha0에 대하여, \boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)\subseteq\boldsymbol\Delta^0_{\alpha+1}(X) 즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.69, §11.B :\begin{matrix}&&\boldsymbol\Sigma^0_1&&&&\boldsymbol\Sigma^0_2&&&\cdots\\\ &\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow\\\ \boldsymbol\Delta^0_1&&&&\boldsymbol\Delta^0_2&&&&\boldsymbol\Delta^0_3&\cdots\\\ &\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\\ &&\boldsymbol\Pi^0_1&&&&\boldsymbol\Pi^0_2&&&\cdots \end{matrix} 여기서 A\to B는 A\subseteq B를 의미한다. 보렐 위계의 일부 단계의 원소들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다. {| class="wikitable ! 보렐 위계의 단계 !! 이름 |- | \boldsymbol\Delta^0_1 || **열린닫힌집합**들의 집합 |- | \boldsymbol\Sigma^0_1 || **열린집합**들의 집합 |- | \boldsymbol\Pi^0_1 || **닫힌집합**들의 집합 |- | \boldsymbol\Sigma^0_2 || **Fσ 집합**(Fσ集合, Fσ set)들의 집합44, §2.11, §1.A |- | \boldsymbol\Pi^0_2 || **Gδ 집합**(Gδ集合, Gδ set)들의 집합44, §2.11, §1.A |}
# 성질

## 연산에 대한 닫힘
두 위상 공간 X,Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y는 (보렐 시그마 대수에 대하여) 가측 함수이다. 즉, 보렐 집합 S\subseteq Y의 원상 f^{-1}(S)\subseteq X은 보렐 집합이다. (반면, 만약 X=Y=\mathbb R일 경우, 르베그 가측 집합의 연속 함수에 대한 원상은 일반적으로 르베그 가측 집합이 아니다.) 보렐 집합의 연속 함수에 대한 상은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 X와 Y가 폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석적 집합이다. 다음이 성립한다.116 {| class=wikitable || 유한 교집합에 대해 닫힘 || 가산 교집합에 대해 닫힘 || 유한 합집합에 대해 닫힘 || 가산 합집합에 대해 닫힘 || 여집합에 대해 닫힘 || 연속 함수에 대한 상 || 보렐 가측 함수에 대한 원상 |- ! \boldsymbol\Delta^0_\alpha | ⭕ || ❌ || ⭕ || ❌ || ⭕ || ❌ || ❌ |- ! \boldsymbol\Sigma^0_\alpha | ⭕ || ❌ || ⭕ || ⭕ || ❌ || ❌ || ❌ |- ! \boldsymbol\Pi^0_\alpha | ⭕ || ⭕ || ⭕ || ❌ || ❌ || ❌ || ❌ |- ! \boldsymbol\Delta^1_1 | ⭕ || ⭕ || ⭕ || ⭕ || ⭕ || ❌ || ⭕ |}
## 보렐 집합의 수
폴란드 공간 X의 보렐 집합의 수는 다음과 같다. :|\boldsymbol\Delta^1_1(X)|= 2^{\min\\{|X|,\aleph_0\\

**증명:**

가산 폴란드 공간은 이산 공간이므로 자명하다. 따라서, X가 비가산 폴란드 공간(즉, \mathbb R)라고 하자. 보렐 시그마 대수의 초한 귀납법 작도를 생각하자. 이 경우 |\boldsymbol\Sigma^0_1(\mathbb R)|=2^{\aleph_0}이며, 초한 귀납법의 각 단계에서 :(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0} 이므로 집합의 크기는 2^{\aleph_0}을 초과하지 않는다.

반면, 실수의 르베그 가측 집합의 수는 :|\mathcal L(\mathbb R)|=2^{2^{\aleph_0 이다. 이는 크기가 2^{\aleph_0}이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분 집합은 르베그 가측 집합이기 때문이다.
## 분리 정리
**루진-노비코프 분리 정리**에 따르면, 임의의 폴란드 공간 X 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 \\{A_i\\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Sigma^1_1(X), |I|\le\aleph_0에 대하여, 만약 \textstyle\bigcap_{i\in I}A_i=\varnothing이라면, \forall i\in I\colon B_i\supseteq A_i이자 \textstyle\bigcap_{i\in I}B_i=\varnothing인 보렐 집합들의 집합족 \\{B_i\\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Delta^1_1(X)이 존재한다.언어=en219, Theorem 28.5155, Theorem 4.6.1
## 베르 범주와의 관계
임의의 위상 공간 X의 임의의 제1 범주 집합 M\subseteq X에 대하여, M\subseteq\tilde M\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X)인 제1 범주 집합 \tilde M이 존재한다.

**증명:**

정의에 따라, M은 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합 \\{M_i\\}_{i\in\mathbb N}들의 합집합으로 나타낼 수 있다. :M=\bigcup_{i\in\mathbb N}M_i 조밀한 곳이 없는 집합의 폐포는 (자명하게) 조밀한 곳이 없는 집합이므로, :\tilde M=\bigcup_{i\in\mathbb N}\operatorname{cl}(M_i) 로 놓으면 자명하게 M\in\tilde M\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X)이다.

준열린집합들의 집합족 \operatorname{BP}(X)은 열린집합과 제1 범주 집합을 포함하는 최소의 시그마 대수이므로,47, Proposition 8.32 모든 보렐 집합은 준열린집합이다.71, Proposition 11.5 :\boldsymbol\Delta^1_1(X)\subseteq\operatorname{BP}(X)
# 예
수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 예를 들어, 실수 집합 \mathbb R 속의 다음과 같은 부분 집합들의 보렐 위계에서의 위치는 다음과 같다. * 공집합 \varnothing: \boldsymbol\Delta^0_1(\mathbb R) * 실수 집합 \mathbb R: \boldsymbol\Delta^0_1(\mathbb R) * 양의 실수 집합 \mathbb R^+: \boldsymbol\Sigma^0_1(\mathbb R) * 음이 아닌 실수 집합 \mathbb R_{\ge0}: \boldsymbol\Pi^0_1(\mathbb R) * 정수 집합 \mathbb Z: \boldsymbol\Pi^0_1(\mathbb R) * 유리수 집합 \mathbb Q: \boldsymbol\Sigma^0_2(\mathbb R) * 무리수 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q: \boldsymbol\Pi^0_2(\mathbb R)
## Fσ 집합이 아닌 열린집합
거리화 가능 공간의 모든 열린집합은 Fσ 집합이다. 그러나 이는 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않는다. 최소 비가산 순서수 \omega_1은 순서 위상을 부여하면 위상 공간을 이룬다. U가 \omega_1의 고립점들의 집합이라고 하자. 그렇다면 U는 열린집합이며 비가산 집합이다. 반면 \omega_1은 가산 콤팩트 공간이므로, 닫힌집합은 유한 집합과 동치이며, 따라서 U는 Fσ 집합이 아니다.url-status=dead
## 보렐 집합이 아닌 집합
실수선 \mathbb R에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.) 집합 A\subseteq\mathbb R가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자. * a\in A의 연분수 표현mindent|a = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,의 계수 a_i 가운데, a_{k_i}\mid a_{k_{i+1인 부분 수열 a_{k_0},a_{k_1},\ldots이 존재한다. 그렇다면 A는 보렐 집합이 아닌 해석적 집합이다.
# 역사
보렐 집합의 개념은 에밀 보렐이 1905년에 도입하였다.언어=frxisettheory0000jech_f7i4153, §11 "Fσ 집합"이라는 용어에서, F는 페르메(닫힌집합)의 머리글자이며, σ는 솜(합집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.언어=en23, §1.3 마찬가지로, "Gδ 집합"이라는 용어에서, G는 게비트(근방)의 머리글자이며, δ는 두르슈니트(교집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.23, §1.3