Ext 함자

호몰로지 대수학에서 **Ext 함자**(Ext函子, Ext functor)는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다.
# 정의
Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다. * Ext 함자는 특정 완전열들의 동치류 집합으로 정의할 수 있다. 이는 가장 구체적이지만 복잡하며, 또 집합론적 문제가 발생할 수 있다 (즉, Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다). 이 정의는 요네다 노부오가 도입하였다. * 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, Ext 함자는 오른쪽 유도 함자 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 이는 단사 대상 또는 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다. * 유도 범주의 개념을 사용하면 Ext 함자는 매우 간단하게 정의된다. 그러나 유도 함자의 존재 역시 여러 집합론적 문제를 야기한다. 대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.
## 완전열을 통한 정의

### 0차 Ext
임의의 아벨 범주 \mathcal A에 대하여, **0차 Ext 함자**는 다음과 같은 사상군 함자이다. :\operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}(-,-)=\hom_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op\times\mathcal A\to\operatorname{Ab}
### 1차 Ext
임의 아벨 범주 \mathcal A의 대상 A,B\in\mathcal A에 대하여, A의 B에 대한 **확대**(extension of A by B)는 다음과 같은 짧은 완전열이다. :0\to B\to X\to A\to0 두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 X\to X'이 존재한다면, 두 확대가 서로 **동치**라고 한다. :\begin{matrix} 0\to&B;&\to&X;&\to&A;&\to0\\\ &\|&&\downarrow\scriptstyle\wr&&\|\\\ 0\to&B;&\to&X;'&\to&A;&\to0 \end{matrix} (이 사상 X\to X'은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다. 확대의 동치류들은 **베어 합**(Baer sum)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.78, Definition 3.4.4 두 확대 0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0, 0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0가 주어졌을 때, Y를 X와 X'의 A에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다. :X\oplus X\supseteq Y=\\{(x,x')\in X\oplus X'\colon \pi(x)=\pi'(x)\\}\supseteq\iota(B)\oplus\iota'(B) 즉, Y는 B를 두 번 부분 대상으로 포함한다. 대각 사상 \operatorname{diag}_B\colon B\to B\oplus B사용하여, Y의 몫대상 :X*=\frac Y{\left((\iota,-\iota')\circ\operatorname{diag}_B\right)(B)} 을 정의할 수 있다. 이는 Y 속에 존재하는 두 개의 B를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면 :0\to B\to X*\to A\to0 는 짧은 완전열을 이룬다. 0\to X\to X''\to A\to0의 동치류를 0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0, 0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0의 동치류의 **베어 합**(Baer sum)이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 0\to B\to A\oplus B\to A\to0이며, 확대 0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0의 베어 합에 대한 역원은 0\to B\xrightarrow{-\iota}X\xrightarrow\pi A\to0 또는 0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow{-\pi} A\to0이다. (이 둘은 서로 동치이다.) \mathcal A 속의 대상 A,B\in\mathcal A에 대하여, **1차 Ext 함자** \operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(A,B)는 A의 B에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자 :\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op\times\mathcal A\to\operatorname{Ab} 를 정의한다. 또한, 각 A\in\mathcal A에 대하여 :\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op\to\operatorname{Ab} :\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op\to\operatorname{Ab} 는 둘 다 가법 함자를 이룬다. 위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다.언어=en131, Exercise 6.A 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.
### 고차 Ext
2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.언어=en언어=en언어=en79–80, Vista 3.4.6언어=en82–87, §III.5 아벨 범주 \mathcal A가 주어졌다고 하자. \mathcal A 속의 대상 A, B에 대하여, A의 B에 대한 n차 **확대**(n-fold extension of A by B)는 다음과 같은 완전열이다. :0\to B\to X_n\to X_{n-1}\to\cdots\to X_1\to A\to0 두 n차 확대 (B,X_\bullet,A), (B',X_\bullet',A') 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, (B,X_\bullet,A)가 (B',X_\bullet',A')의 **닮은 확대**(similar extension)라고 한다. :\begin{matrix} 0\to &B;&\to&X;_n&\to&\cdots&\to&X;_1&\to&A;&\to0\\\ &\|&&\downarrow&&\cdots&&\downarrow&&\|\\\ 0\to &B;'&\to&X;_n'&\to&\cdots&\to&X;_1'&\to&A;'&\to0 \end{matrix} 닮음 관계를 (B,X_\bullet,A)\prec(B',X_\bullet',A')로 표기하자. 닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 n차 확대 (B,X_\bullet,A), (B',X_\bullet',A') 사이에 다음과 같은 n차 확대들의 열 :(B,X_\bullet,A)=(B^{(0)},X_\bullet^{(0)},A^{(0)}),(B^{(1)},X_\bullet^{(1)},A^{(1)}),\dots,(B^{(k)},X_\bullet^{(k)},A^{(k)})=(B',X_\bullet',A') 이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, (B,X_\bullet,A)와 (B',X_\bullet',A')가 서로 **동치**라고 하자. :모든 i=1,2,\dots,k에 대하여, (B^{(i-1)},X_\bullet^{(i-1)},A^{(i-1)})\prec(B^{(i)},X_\bullet^{(i)},A^{(i)})이거나 또는 (B^{(i)},X_\bullet^{(i)},A^{(i)})\prec(B^{(i-1)},X_\bullet^{(i-1)},A^{(i-1)})이다. 사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.언어=en * (B,X_\bullet,A)와 (B',X_\bullet',A')가 서로 동치이다. * (B,X_\bullet,A)\prec(B*,X_\bullet*,A*)\succ(B',X_\bullet',A')인 n차 확대 (B*,X_\bullet*,A*)가 존재한다. * (B,X_\bullet,A)\succ(B*,X_\bullet*,A*)\prec(B',X_\bullet',A')인 n차 확대 (B*,X_\bullet*,A*)가 존재한다. 그렇다면, n차 **Ext 함자** \operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)는 A의 B에 대한 n차 확대들의 동치류 집합이다. 두 n차 확대 (B,X_\bullet,A), (B',X_\bullet',A')가 주어졌을 때, Y_i를 다음과 같이 정의하자. * i=1일 때, Y_1은 X_1과 X_1'의 A에 대한 당김이다. * 1일 때, Y_i=X_1\oplus X_1'이다. * i=n일 때, X_n\xrightarrow f\tilde Y\xleftarrow{f'}X_n'를 B\xrightarrow\iota X_n과 B\xrightarrow{\iota'}X_n의 B에 대한 밂이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 \operatorname{diag}_B\colon B\to B\oplus B를 사용하여, (f\circ\iota,-f'\circ\iota')\circ\operatorname{diag}_B\colon B\to\tilde Y를 정의할 수 있다. 그렇다면, Y_n=\tilde Y/((f\circ\iota,-f'\circ\iota')\circ\operatorname{diag}_B)(B)이다. 그렇다면 (B,Y_\bullet',A)는 n차 확대를 이룬다. (B,X_\bullet,A)의 동치류와 (B',X_\bullet',A')의 동치류의 합을 (B,Y_\bullet',A)의 동치류로 정의하자. :[(B,X_\bullet,A)]+[(B',X_\bullet',A')]=[(B,Y_\bullet',A)] 그렇다면, 이 합에 대하여 \operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자 :\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op\times\mathcal A\to\operatorname{Ab} 를 이루며, 각 A\in\mathcal C에 대하여 :\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab} :\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op\to\operatorname{Ab} 둘 다 가법 함자를 이룬다.
### 요네다 합성
Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 \mathcal A의 대상 A,B,C\in\mathcal A에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 \otimes는 아벨 군의 텐서곱이다.) :\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)\otimes\hom_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,C) :\hom_{\mathcal A}(A,B)\otimes\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,C) 이는 \operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}=\hom_{\mathcal A}와 \operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}를 곱하는 것으로 볼 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 자연수 m,n\in\mathbb N에 대하여 다음과 같은, **요네다 합성**(Yoneda composition)이라는 군 준동형들이 존재한다.82–87, §III.5 :\operatorname{Ext}^m_{\mathcal A}(A,B)\otimes\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^{m+n}_{\mathcal A}(A,C) 이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열 :0\to A\to X_1\to\cdots\to X_m\xrightarrow\pi B\to 0\qquad(m\ge1) :0\to B\xrightarrow\iota Y_1\to\cdots\to Y_n\to C\to0\qquad(m\ge1) 이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다. :0\to A\to X_1\to\cdots\to X_m\xrightarrow{\iota\circ\pi}Y_1\to\cdots\to Y_n\to C\to0 그렇다면 (A,X_\bullet,B)의 동치류와 (B,Y_\bullet,C)의 동치류의 **요네다 합성**은 (A,X_\bullet,Y_\bullet,C)의 동치류이다. 요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주 \operatorname{GrAb}_{\mathbb N} 위의 풍성한 범주 \operatorname{Ext}\mathcal A를 다음과 같이 정의할 수 있다. * \operatorname{Ext}\mathcal A의 대상은 \mathcal A의 대상과 같다. * \operatorname{Ext}\mathcal A의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다. *:\hom_{\operatorname{Ext}\mathcal A}(A,B)=\bigoplus_n\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B) * \operatorname{Ext}(\mathcal A에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다. * \operatorname{Ext}\mathcal A에서 항등 사상은 \mathcal A에서의 항등 사상과 같다. \operatorname{Ext}\mathcal A에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, \operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}=\hom_{\mathcal A}만 남으므로 원래 범주 \mathcal A를 얻는다. 특히, 대상 A\in\mathcal A에 대하여, \operatorname{Ext}\mathcal A에서의 자기 사상 등급 아벨 군 :\hom_{\operatorname{Ext}\mathcal A}(A,A)=\bigoplus_n\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,A) 은 자연수 등급환을 이룬다.
## 유도 함자를 통한 정의
아벨 범주 \mathcal A 속의 대상 A\in\mathcal A에 대하여, :\hom_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab} 는 왼쪽 완전 함자이며, :\hom_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op\to\operatorname{Ab} 는 오른쪽 완전 함자이다. 따라서, 만약 \mathcal A가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면 \hom_{\mathcal A}(A,-)의 오른쪽 유도 함자를 **Ext 함자**라고 한다. :\operatorname{Ext}_{\mathcal C}^n(A,-)=\operatorname R^n\hom_{\mathcal C}(A,-) 만약 \mathcal A가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면 \hom_{\mathcal A}(-,A)의 왼쪽 유도 함자를 **Ext 함자**라고 한다. :\operatorname{Ext}_{\mathcal C}^n(-,A)=\operatorname L^n\hom_{\mathcal C}(-,A) 이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주는 단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다. 특히, 환 R 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 R\text{-Mod}는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를 \operatorname{Ext}_R^n(-,-)로 표기한다.
## 유도 범주를 통한 정의
Ext 함자는 유도 범주의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다. 아벨 범주 \mathcal A가 주어졌다고 하자. \mathcal A의 대상을 하나의 성분만이 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 간주한다면, \mathcal A는 사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}(\mathcal A)의 충만한 부분 범주를 이룬다. \mathcal A 속의 사슬 복합체 A에 대하여, :A[i]^\bullet=X^{\bullet+i} :d_{A[i]}=(-1)^nd|_A 로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 \deg d=+1이다.) 또한, \mathcal A의 유도 범주가 국소적으로 작은 범주라고 하자. 그렇다면, \mathcal A의 두 대상 A,B\in\mathcal A에 대한 n차 **Ext 함자**는 유도 범주 \operatorname D(\mathcal A)의 다음과 같은 사상군이다. :\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)=\hom_{\operatorname D(\mathcal A)}(A,B[i]) (이 경우, 집합론적 문제는 원래 아벨 범주가 국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있는 것이다.)
# 성질
만약 M이 사영 가군이거나 N이 단사 가군이라면, :\operatorname{Ext}^n_R(M,N)=0\qquad\forall n>0 이다. 또한, 다음이 성립한다. :\operatorname{Ext}^n_R\left(\bigoplus_{i\in I}M_i,\prod_{j\in J}N_j\right)\cong\prod_{i\in I}\prod_{j\in J}\operatorname{Ext}^n_R(M_i,N_j)
# 예

## 벡터 공간
체 K 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 V의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다. :0\to V\to I^0=V\to0 :0\to P^0=V\to V\to0 따라서, K 위의 벡터 공간 V, W가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. :\operatorname{Ext}^0_K(V,W)=\hom(V,W) :\operatorname{Ext}^n_K(V,W)=0\qquad\forall n>0
## 아벨 군
정수환 \mathbb Z 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 G는 자유 아벨 군 P^0의 몫군 P^0/P^1으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다. :0\to G\to P^0\to P^1\to0 마찬가지로, 임의의 아벨 군 G는 나눗셈군 I^0의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로 다음은 단사 분해를 이룬다. :0\to G\to I^0\to I^1\to0 아벨 군 G, H가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. G의 사영 분해가 G\cong P^0/P^1이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다. :0\to\hom_{\operatorname{Ab(P^0,H) \xrightarrow{\operatorname{res \hom_{\operatorname{Ab(P^1,H)\to0 여기서 \operatorname{res}\colon\hom_{\operatorname{Ab(P^0,H)\to \hom_{\operatorname{Ab(P^1,H)은 포함 사상 P^1\hookrightarrow P^0으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다. 따라서, :\operatorname{Ext}^0_{\mathbb Z}(G,H)\cong\hom_{\operatorname{Ab(G,H) 이며, :\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)\cong\hom_{\operatorname{Ab(P^1,H)/\operatorname{res}(\hom_{\operatorname{Ab(P^0,H)) 는 군의 확대 :0\to H\to E\to G\to0 들의 동형류와 일대일 대응한다. 나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다. :\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z}(G,H)=0\qquad\forall n\ge2 또한, 임의의 나눗셈군 H에 대하여 :\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)=0 이다. 특히, 유리수의 군 \mathbb Q나 그 몫군 \mathbb Q/\mathbb Z은 나눗셈군이므로 :\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,\mathbb Q)=\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,\mathbb Q/\mathbb Z)=0 이다. {| class=wikitable |+ \operatorname{Ext}^0_{\mathbb Z}(G,H)=\hom_{\operatorname{Ab(G,H) ! G\backslash H || \mathbb Z || \mathbb Z/(n) || \mathbb Q |- ! \mathbb Z | \mathbb Z || \mathbb Z/(n) || \mathbb Q |- ! \mathbb Z/(m) | 0 || \mathbb Z/(\gcd\\{m,n\\}) || 0 |- ! \mathbb Q | 0 || 0 || \mathbb Q |} {| class=wikitable |+ \operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H) ! G\backslash H || \mathbb Z || \mathbb Z/(n) || \mathbb Q |- ! \mathbb Z | 0 || 0 || 0 |- ! \mathbb Z/(m) | \mathbb Z/(m) || \mathbb Z/(\gcd\\{m,n\\}) || 0 |- ! \mathbb Q | \mathbb Q^{\oplus 2^{\aleph_0 || 0 || 0 |}
## 리 대수 코호몰로지
리 대수 코호몰로지 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.
## 층 코호몰로지
위상 공간 X 위의 아벨 군층 \mathcal F의 층 코호몰로지는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다. :\operatorname H^\bullet(X,\mathcal F) = \operatorname{Ext}^\bullet(\underline{\mathbb Z},\mathcal F) 여기서 * Ext 함자는 X 위의 아벨 군층의 아벨 범주에서 취한 것이다. * \underline{\mathbb Z}는 정수환 값의 상수층이다. 스킴 X 위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다. :\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_X,\mathcal O_X) = \operatorname H^1(X,\mathcal O_X)
# 어원
‘Ext’는 extension(확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 G를 다른 아벨 군 H로 확대한다면, 가능한 확대들은 \operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)와 일대일 대응한다.