프로베니우스 대수

추상대수학에서 **프로베니우스 대수**(Frobenius algebra)는 호환되는 내적이 주어진 유한 차원 단위 결합 대수이다.
# 정의
체 K 위의 유한 차원 결합 대수 A가 주어졌다고 하자. 이는 스스로 위의 쌍가군 _AA_A을 이룬다. 마찬가지로, 그 쌍대 가군 :A^\vee = \hom_K(A,K) 역시 스스로 위의 쌍가군 _A{A^\vee}_A을 이룬다. 구체적으로, :a\cdot \phi \cdot b \colon x \mapsto \phi(bxa) 이다. 그렇다면, 다음 조건들이 서로 동치이다. * A-왼쪽 가군의 동형 _AA \cong {}_AA^\vee이 존재한다. * A-오른쪽 가군의 동형 A_A \cong {A^\vee}_A이 존재한다.

**증명:**

왼쪽 가군의 동형 :\lambda\colon {}_AA \to {}_AA^\vee 이 주어졌다고 하자. 즉, :\lambda(a)(x) = \lambda(a,x) 에 대하여, :\lambda(a,xb) = \lambda(ba,x) 라고 하자. 그렇다면, :\rho \colon A\to A^\vee :\rho(a)(x) = \lambda(x,a) 를 정의하면, :(\rho(a)\cdot b)(x) = \rho(a)(bx) = \lambda(bx,a) =\lambda(x,ab) = \rho(ab)(x) 이므로, \rho는 오른쪽 가군의 동형이다. 반대 방향의 함의도 마찬가지다.

또한, 이러한 동형이 존재할 필요 조건은 물론 A가 유한 차원 K-벡터 공간인 것이다. 이러한 동형이 갖추어진 K-결합 대수를 **프로베니우스 대수**라고 한다. 프로베니우스 대수 (A,\lambda\colon {}_AA \to {}_AA^\vee)가 주어졌다면, 다음과 같은 구조들을 추가로 정의할 수 있다. 우선, :\langle a,b\rangle = \lambda(1)(ab) 를 정의하자. 그렇다면, :\langle ac,b\rangle = \lambda(1)(acb) = \langle a,cb\rangle 이 성립한다. \lambda가 벡터 공간의 동형이므로, \langle-,-\rangle는 비퇴화 쌍선형 형식이다. 이를 **프로베니우스 형식**이라고 한다. 또한, **대각합** :\operatorname{tr} \colon A \to k :\operatorname{tr}\colon a \mapsto \lambda(1)(a) 을 정의할 수 있다. 만약 \operatorname{tr}(ab)=\operatorname{tr}(ba)라면, V를 **대칭 프로베니우스 대수**(symmetric Frobenius algebra)이라고 한다. 가환환인 프로베니우스 대수를 **가환 프로베니우스 대수**(commutative Frobenius algebra)라고 한다.
## 프로베니우스 대상
보다 일반적으로 모노이드 범주 (\mathcal C, \otimes,1)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 반대 범주 (\mathcal C^{\operatorname{op, \otimes,1) 역시 같은 텐서곱으로 모노이드 범주를 이룬다. \mathcal C 속의 **프로베니우스 대상**(Frobenius object)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 모노이드 대상 (A,\mu\colon A\otimes A\to1,\eta\colon 1\to A) * 쌍대 모노이드 대상 (즉, \mathcal C^{\operatorname{op의 모노이드 대상) (A,\delta\colon A\to A\otimes A,\eta\colon A\to1) 이 두 구조는 다음과 같은 호환 관계를 만족시켜야 한다. :\begin{matrix} & & \\!\\!\\!\\!A^{\otimes3}\\!\\!\\!\\!\\\ &{\\!\\!\\!\\!^{\delta\otimes\operatorname{id\\!\\!\\!\\!}\nearrow{\color{White}^{\delta\otimes\operatorname{id\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!} & & {\color{White}\\!\\!\\!\\!^{\operatorname{id}\otimes\mu}\\!\\!\\!\\!}\searrow{\\!\\!\\!\\!^{\operatorname{id}\otimes\mu}\\!\\!\\!\\!} \\\ A^{\otimes2} \\!\\!\\!\\!& \\!\\!\\!\\!\underset\mu\to \\!\\!\\!\\!& \\!\\!\\!\\!A\\!\\!\\!\\! & \\!\\!\\!\\!\underset\delta\to\\!\\!\\!\\!& \\!\\!\\!\\!A^{\otimes2} \\\ & {\\!\\!\\!\\!_{\operatorname{id}\otimes\delta}\\!\\!\\!\\!}\searrow {\color{White}_{\operatorname{id}\otimes\delta}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!}& & {\color{White}\\!\\!\\!\\!_{\mu\otimes\operatorname{id\\!\\!\\!\\!}\nearrow{\\!\\!\\!\\!_{\mu\otimes\operatorname{id\\!\\!\\!\\!} \\\ & & \\!\\!\\!\\!A^{\otimes3}\\!\\!\\!\\!\\\ \end{matrix} (편의상, 모노이드 범주의 결합자 등을 생략하였다.)
# 위상 양자장론과의 관계
pair of pants). 이 곡면에서의 분배 함수는 가환 프로베니우스 대수의 곱셈을 정의한다. 2차원 위상 양자장론은 가환 프로베니우스 대수로 나타내어진다.날짜=1994언어=en24–27 정확히 말하면, (복소) 가환 프로베니우스 대수의 범주는 2차원 위상 양자장론의 범주와 동치이다. 프로베니우스 대수와 위상 양자장론은 다음과 같이 대응된다. {| class="wikitable" |- ! 기호 !! 가환 프로베니우스 대수 !! 2차원 위상 양자장론 |- | V || 프로베니우스 대수 || 원 S^1의 힐베르트 공간 E(S^1) |- | \langle\cdot,\cdot\rangle || 프로베니우스 형식 || 힐베르트 공간의 내적 |- | \cdot\colon V\times V\to V || 곱셈 || 바지 곡면(:en:pair of pants (mathematics))의 분배 함수 |- | 1\in V || 곱셈의 단위원 || 원판의 분배 함수 Z(D^2)\in E(\partial D^2)=E(S^1) |}
# 예
체 K 위의 행렬환 \operatorname{Mat}(n;K) 위의 임의의 부분환 R \subseteq \operatorname{Mat}(n;K)이 주어졌을 때, 프로베니우스 형식 :\langle a,b\rangle = \operatorname{tr}(ab) 을 주면, 이는 K 위의 프로베니우스 대수를 이룬다. n>1이면 이는 가환 대수가 아니다. 모든 유한 차원 호프 대수는 프로베니우스 대수이다.
## 군환
임의의 유한군 G에 대하여, 군환 K[G] 위에 프로베니우스 형식 :\langle a,b\rangle = \operatorname{proj}_{K1_G} (ab) 을 부여하면, 프로베니우스 대수를 이룬다. 여기서 \operatorname{proj}_{K1_G} \colon K[G] \to K는 군의 항등원으로 생성되는 1차원 부분 공간으로의 사영이다. 즉, :\left\langle \sum_{g\in G}a_gg,\sum_{h\in G}b_hh\right\rangle = \sum_{g\in G}a_gb_{g^{-1 이다. 이 경우, 대각합은 :\operatorname{tr}\colon \sum_{g\in G}a_gg \mapsto a_1 이다.
## 표현환
유한군 G가 주어졌다고 하자. G의 유리수 계수 유니터리 표현환 :A = \operatorname{RU}(G) \otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q 위에 프로베니우스 형식 :\langle \rho,\rho'\rangle = \operatorname{proj}_1 \rho\otimes \rho' 를 부여하자. 여기서 :\operatorname{proj}_1 \colon A\to \mathbb Q 은 자명한 표현으로의 사영 사상이다. 이 경우 :\langle\rho_1 \otimes\rho_2,\rho_3\rangle = \langle \rho_1, \rho_2 \otimes \rho_3\rangle 은 \rho_1 \otimes \rho_2 \otimes \rho_3의 기약 표현 분해에 포함된 자명한 표현의 차원이 된다.
# 역사 및 어원
리하르트 브라우어와 세실 네스빗(Cecil J. Nesbitt)이 1937년 도입하였고,pages=236–240 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 땄다.