그로텐디크 군

K이론에서 **그로텐디크 군**(Grothendieck群, Grothendieck group)은 아벨 범주 또는 퀼런 완전 범주로부터 정의되며, 그 짧은 완전열들에 대한 정보를 담고 있는 아벨 군이다. 0차 대수적 K군과 같다.
# 정의

## 그로텐디크 군
작은 퀼런 완전 범주 (예를 들어, 작은 아벨 범주) \mathcal A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 짧은 완전열 :A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C 에 대하여, 형식적 관계 :[A]+[C]=[B] 를 정의하자. 그렇다면, \mathcal A의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 아벨 군을 \mathcal A의 **그로텐디크 군**이라고 하며, \operatorname K(\mathcal A)로 표기한다. (이 기호 \operatorname K(-)는 K이론에서 딴 것이다.)
## “최소” 퀼런 완전 범주의 경우
작은 가법 범주 \mathcal A 위에, 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 퀼런 완전 범주 구조를 주자. :A\to A\oplus B\to B (여기서 위의 두 사상은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 등장하는 것들이다. \oplus는 곱=쌍대곱이다.) 이는 \mathcal A 위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) 퀼런 완전 범주 구조이다. 이 경우, \mathcal A의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다. 우선, 일반적으로, 가환 모노이드의 범주 \operatorname{CMon}와 아벨 군의 아벨 범주 \operatorname{Ab} 사이의 포함 함자 :\operatorname{Ab}\to\operatorname{CMon} 는 (둘 다 대수 구조 다양체이므로) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 이 함자를 :F\colon\operatorname{CMon}\to\operatorname{Ab} 라고 하자. 이 함자의 구체적 구성은 다음과 같다.

**함자 F의 구성 (자유 아벨 군의 몫군)**:

가환 모노이드 (M,+)의 상은 다음과 같다. :F(M)\cong\operatorname{Span}_{\mathbb Z}(M)/(\\{1\cdot(m+n)-1\cdot m-1\cdot n\colon m,n\in M\\}) 여기서 :\operatorname{Span}_{\mathbb Z}(M)=\\{k_1\cdot m_1+\cdots k_p\cdot m_p\colon p\in\mathbb N,\;k_i\in\mathbb Z,\;m_i\in M\\} 은 집합 M으로 생성된 자유 아벨 군이며, (\\{1\cdot(m+n)-1\cdot m-1\cdot n\colon m,n\in M\\})은 1\cdot(m+n)-1\cdot m-1\cdot n 꼴의 원소들로 생성된 아이디얼이다. 두 가환 모노이드 사이의 모노이드 준동형 f\colon M\to N의 상은 다음과 같다. :F(f)\colon[1\cdot m]\mapsto[1\cdot f(m)]

**함자 F의 구성 (모노이드의 직접곱의 몫)**:

가환 모노이드 (M,+)의 상은 다음과 같다. :F(M)\cong\left(\frac{M\times M}{\sim},+\right) :(m,n)\sim(m',n')\iff\exists p\in M\colon m+n'+p=m'+n+p\qquad(m,n,m',n'\in M) :[(m,n)]_\sim+[(m',n')]_\sim=[(m+m',n+n')]_\sim 여기서 순서쌍 (m,n)의 동치류는 보통 m-n으로 표기된다. 위 연산에서, (m,n)의 의 동치류의 역원은 (n,m)의 동치류이며, 덧셈 항등원은 (임의의 m\in M에 대하여) (m,m)의 동치류이다. 만약 M의 연산이 소거 법칙을 만족시킬 때, \sim의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다. :(m,n)\sim(m',n')\iff m+n'=m'+n\qquad(m,n,m',n'\in M) 이 경우, 소거 법칙은 \sim이 추이적 관계임을 보일 때 사용된다. 두 소거 가환 모노이드 사이의 모노이드 준동형 f\colon M\to N의 상은 다음과 같다. :F(f)\colon [(m,m')]_\sim\mapsto [(f(m),f(m')]_\sim

그렇다면, \mathcal A의 대상들의 (동형 사상에 대한) 동치류들의 집합 \operatorname{Iso}(\mathcal A)을 생각하면, (\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus)는 가환 모노이드를 이룬다. 이 경우 \mathcal A의 그로텐디크 군은 다음과 같다. :\operatorname K(\mathcal A)=F(\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus) 간혹 일부 문헌에서는 함자 F 자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다.
# 예

## 위상 K이론
위상 K이론 \mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 X 위의 유한 차원 \mathbb K-벡터 다발들의 범주 \operatorname{Vect}(X)를 생각하자. 이는 가법 범주이며, 그 대상(들의 동형류)들은 집합을 이룬다. 이 경우, 그 위에 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를 X의 **\mathbb K-위상 K이론**이라고 한다.
## 가군
가환환 R 위의 유한 생성 가군들의 아벨 범주 \operatorname{fgMod}_R를 생각하자. 그렇다면 그 그로텐디크 군 \operatorname K(\operatorname{fgMod}_R)를 취할 수 있다. 또한, 가환환 R 위의 유한 생성 사영 가군들의 가법 범주 \operatorname{fgpMod}_R를 생각하자. 이는 아벨 범주가 아니지만, 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군 \operatorname K(\operatorname{fgpMod}_R)를 취할 수 있다. 또한, 가환환 R 위의 모든 단순군들의 동형류들은 집합을 이루며, 따라서 이로 생성되는 자유 아벨 군 \mathbb Z^{\oplus\operatorname{Iso}(\operatorname{simpleMod}_R)}을 생각할 수 있다. 만약 R가 어떤 체 위의 유한 차원 결합 대수라면, 위의 세 아벨 군은 서로 동형이다. :\operatorname K(\operatorname{fgMod}_R)\cong \operatorname K(\operatorname{fgpMod}_R)\cong \mathbb Z^{\oplus\operatorname{Iso}(\operatorname{simpleMod}_R)}
## 유한 차원 벡터 공간
체 K 위의 유한 차원 벡터 공간들의 아벨 범주 \operatorname{fgMod}_K를 생각하자. 이 아벨 범주의 동형류들은 자연수의 집합과 일대일 대응하며, 이는 차원에 의하여 주어진다. :\dim_K\colon\operatorname{Iso}(\operatorname{fgMod}_K)\to \mathbb N :\dim_K\colon K^{\oplus n}\mapsto n 벡터 공간의 직합은 차원의 덧셈에 대응한다. 따라서, \operatorname{fgMod}_K의 그로텐디크 군은 무한 순환군 F(\mathbb N)=\mathbb Z이다.
# 역사
알렉산더 그로텐디크가 K이론을 다루기 위하여 정의하였다.