구성 가능 전체

집합론에서 **구성 가능 전체**(構成可能全體, constructible universe)는 재귀적으로 1차 논리로 정의 가능한 집합들로 구성된 모임이다. 구성 가능 전체는 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형을 이루며, 그 속에는 선택 공리 · 일반화 연속체 가설 · 다이아몬드 원리와 같은 여러 명제들이 성립한다. **구성 가능성 공리**(構成可能性公理, axiom of constructibility, 기호 V=L)는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다.
# 정의
모임 A_1,A_2,\dots,A_n이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 1항 관계 \mathsf A_1(-),\dots,\mathsf A_n(-)가 추가된 언어 \mathcal L_{\in,\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n}의 모형 \langle X,\in,\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n\rangle를 생각하자. 이 모형에서 \mathsf A_i(x)의 해석은 x\in A_i이며, x\in y의 해석은 표준적이다 (즉, 추이적 모형이다). 그렇다면, 집합 X의 **(A_1,\dots,A_n)-구성 가능 멱집합**(-構成可能冪集合, (A_1,\dots,A_n)-constructible power set) \operatorname{Def}_{A_1,\dots,A_n}(X)는 유한 개의 매개 변수를 이용하여 \mathcal L_{\in,\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n} 언어의 1차 논리 술어로 정의할 수 있는 X의 부분 집합들의 집합족이다. 즉, 이항 관계 \in 및 1항 관계 \mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n에 대한, n+1개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 술어 \phi\in\mathcal L_{\in,\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n} 및 x_1,\dots,x_n\in X에 대하여, 다음과 같다. :\operatorname{Def}(X)=\left\\{\\{y\in X\colon\langle X,\in,\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n\rangle\models\phi(y,x_1,\dots,x_n)\\}\colon\phi\in\mathcal L_{\in},\;x_1,\dots,x_n\in X\right\\} 정의 가능 멱집합 연산 \operatorname{Def}_{A_1,\dots,A_n}은 집합을 그 멱집합의 부분 집합으로 대응시키며, 따라서 누적 위계를 정의한다. 추이적 집합 X가 주어졌을 때, \operatorname{Def}_{A_1,\dots,A_n}에 의하여 정의되는 누적 위계를 L_\alpha[A_1,\dots,A_n](X)로 표기하며, **구성 가능 위계**(constructible hierarchy)라고 한다. 흔히 X=\varnothing일 경우 L[A_1,A_2,\dots,A_n](\varnothing)=L로 표기하며, n=0일 경우 흔히 L(X)로 표기한다. (일부 문헌에서는 L(X)를 대신 L(\\{X\\}\cup X)로 정의한다. 물론, 만약 X\in L이라면 이는 차이가 없다.) L의 원소를 **구성 가능 집합**(構成可能集合, constructible set)이라고 한다. L(-)과 L[-]의 차이에 대하여 가나모리 아키히로는 다음과 같이 적었다. 235
# 성질
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자. 일반적으로 다음이 성립한다. :\operatorname{Def}(X)\subseteq\operatorname{Def}_A(X)\subseteq\mathcal P(X) 물론, 만약 A\cap X\in\operatorname{Def}(X)라면 :\operatorname{Def}_A(X)=\operatorname{Def}(X) 이다. 항상 :\\{Y\subseteq X\colon |Y|<\aleph_0\\}\subseteq\operatorname{Def}(X) :\\{Y\subseteq X\colon |X\setminus Y|<\aleph_0\\}\subseteq\operatorname{Def}(X) 이다. 특히, 만약 X가 유한 집합이라면 임의의 A에 대하여 :\operatorname{Def}(X)=\operatorname{Def}_A(X)=\mathcal P(X) 이다. \operatorname{Def}(X) 및 \operatorname{Def}_A(X)는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있어, \mathcal P(X)의 부분 불 대수를 이룬다.
## 구성 가능 전체
항상 다음이 성립한다. :X\subseteq L(X) 그러나 X\in L(X)일 필요는 없으며, A\subseteq L[A]이거나 A\in L[A]일 필요는 없다. 각 순서수 \alpha에 대하여 :L_\alpha\subseteq V_\alpha :L_\alpha\subseteq L_\alpha(A)[X] 이다. 또한, 만약 \alpha가 유한하다면 L_\alpha=V_\alpha이다. **구성 가능성 공리**는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다. 즉, V=L이라는 명제이다 (V는 폰 노이만 전체). 즉, 구성 가능성 공리에 따르면 임의의 집합 S에 대하여 S\in L_\alpha인 순서수 \alpha가 존재한다. 만약 구성 가능성 공리가 성립하고, 또한 순서수 \alpha에 대하여 \alpha=\aleph_\alpha라면, :L_\alpha=V_\alpha 이다. (예를 들어, 이는 \alpha가 도달 불가능한 기수일 경우 성립한다.)
## 모형 이론적 성질
L은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이며, 폰 노이만 전체 V의 내부 모형이다. 특히, V에서 선택 공리가 성립하지 않아도, L은 선택 공리를 만족시킨다. 이는 L은 정의 가능한 정렬 순서가 존재하기 때문이다. 구체적으로, L_\alpha의 정렬 순서가 주어졌다면, L_{\alpha+1}의 원소는 L_\alpha의 유한 개의 원소들 및 (사전식으로 정렬되는) 1차 논리 술어로서 명시되므로, 이로서 정렬할 수 있다. 이러한 정렬 순서가 주어졌다면, 선택 공리에서 요구되는 선택 함수는 단순히 이 정렬 순서에 대한 최솟값으로 정의할 수 있다. 또한, L에서는 다음 명제들이 성립한다. (따라서 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리는 아래 명제들을 함의한다.) * 선택 공리 * 일반화 연속체 가설 \mathsf{GCH} * 구성 가능성 공리 V=L * 수슬린 가설의 부정 \lnot\mathsf{SH} * 모든 화이트헤드 군은 자유 아벨 군 * 모든 집합은 순서수 정의 가능 집합 V=\mathsf{HOD} * 다이아몬드 원리 \diamondsuit * 0^\\#의 부재 (또한 그보다 더 강한 큰 기수의 부재) * 르베그 가측 집합이 아닌 해석적 집합의 존재 L은 다음 조건을 만족시키는, 체르멜로-프렝켈 집합론의 가장 작은 표준 모형이다. * V의 내부 모형이다. * 모든 순서수들을 포함한다. 다시 말해, 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리로부터, 선택 공리를 비롯한 위 명제들을 증명할 수 있다. 특히, 구성 가능성 공리가 큰 기수들의 존재와 모순되기 때문에, 플라톤주의적 수리철학 아래 보통 구성 가능성 공리는 집합론의 공리로 가정되지 않는다. 이에 대하여 퍼넬러피 매디(Penelope Maddy)는 다음과 같이 적었다. 506, §IV 마찬가지로, 이에 대하여 가나모리 아키히로와 메나헴 마기도르는 다음과 같이 적었다. 131, §7
# 역사
1935년 가을에 쿠르트 괴델이 구성 가능 전체 L을 도입하였으며,언어=en270, §4.9280, §4.10 이를 통하여 이 선택 공리 및 일반화 연속체 가설이 체르멜로-프렝켈 집합론과 모순되지 않음을 증명하였다. 이 결과는 1938년에 출판되었다.언어=enurl-status=dead234 L(X)는 1956년에 허이널 언드라스(Hajnal András, 1931~)가 도입하였으며,언어=en언어=en234 L[A]는 1957년에 아즈리엘 레비가 도입하였다.언어=fr언어=en235 이후 1972년에 로널드 비언 젠슨(Ronald Björn Jensen)이 구성 가능 전체의 미세 구조(fine structure)의 이론을 **젠슨 위계**(Jensen hierarchy)를 통해 정립하였다.언어=en