거울 대칭

끈 이론 끈 이론과 수리물리학에서 **거울 대칭**(거울對稱, 미러 시메트리)은 서로 다른 두 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 초끈 이론이 서로 동치인 현상이다.archive-url=https://web.archive.org/web/20190706104259/http://webzine.kps.or.kr/contents/data/webzine/webzine/14933714041.pdf언어=kourl-status=mr=2003030url-status=411–415날짜=1994doi=10.1007/s10701-010-9504-5bibcode=1994LNP...436..235H연도=2003날짜=1996 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.
# 정의
초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 초대칭을 보존하려면 이론을 실수 6차원 (복소수 3차원) 콤팩트 연결 칼라비-야우 다양체에 축소화하여야 한다. **거울 대칭**에 따르면, (거의) 모든 칼라비-야우 다양체 M에 대하여, 이에 대응하는 공간 W가 존재한다. 이들의 돌보 코호몰로지 H^{p,q}는 다음 관계를 만족한다. :H^{p,q}(M)=H^{3-p,q}(W). 이에 따라, M에 축소화한 ⅡA형 초끈 이론은 W에 축소화한 ⅡB형 초끈 이론과 동형이다. 이에 대한 대응 관계는 다음과 같다. {| class=wikitable ! ⅡA !! ⅡB |- | 복소구조 모듈라이 || 일반화 켈러 다양체 구조 (g,B) 모듈라이 |- | D0-막 || 특수 라그랑주 부분 다양체를 감는 D3-막 |- | 호지 수 h^{1,1}=h^{2,2} || 호지 수 h^{2,1} = h^{1,2} |- | 호지 수 h^{1,2}=h^{2,1} || 호지 수 h^{1,1} = h^{2,2} |- | h^{1,1}개의 4차원 \mathcal N=2 벡터 초다중항 (g_{i\bar\jmath},B_{i\bar\jmath},C_{\mu i\bar\jmath}) | h^{2,1}개의 4차원 \mathcal N=2 벡터 초다중항 (g_{ij},g_{\bar\imath\bar\jmath},C_{\mu ij\bar k}) |- | h^{2,1}개의 4차원 \mathcal N=2 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 (g_{ij}, g_{\bar\imath\bar\jmath},C_{ij\bar k},C_{\bar\imath\bar\jmath k}))|| h^{1,1}+1개의 4차원 \mathcal N=2 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 (g_{i\bar\jmath},B_{i\bar\jmath},C_{i\bar\jmath},C_{\mu\nu i\bar\jmath})) |- | 1개의 4차원 \mathcal N=2 중력 초다중항 (g_{\mu\nu},C_\mu) || 1개의 4차원 \mathcal N=2 중력 초다중항 (g_{\mu\nu},C_{\mu\bar\imath\bar\jmath\bar k}) |} 이 표에서 등장하는 호지 수들은 단일 연결 콤팩트 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체의 호지 수 가운데 자명하지 않은 두 수이다. {| | || || || 1 |- | || || 0 || || 0 |- | || 0 || || *h*1,1 || || 0 |- | 1 || || *h*1,2 || || *h*1,2 || || 1 |- | || 0 || || *h*1,1 || || 0 |- | || || 0 || || 0 |- | || || || 1 |} 위 표에서, 추가로 등장하는 하이퍼 초다중항의 유래는 다음과 같다. * ⅡA: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 B_{\mu\nu}(의 쌍대 스칼라장) + 3차 라몽-라몽 장 C_{ijk}, C_{\bar\imath\bar\jmath\bar k} * ⅡB: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 B_{\mu\nu}(의 쌍대 스칼라장) + 2차 라몽-라몽 장 C_{\mu\nu}(의 쌍대 스칼라장) + 0차 라몽-라몽 장 C_0
## 2차원 게이지 선형 시그마 모형
위상 끈 이론 거울 대칭의 대표적인 예는 N=(2,2) 게이지 선형 시그마 모형이다. 게이지 선형 시그마 모형은 게이지 보손을 포함하는 초다중항(vector supermultiplet)과 물질을 포함하는 손지기 초다중항(chiral supermultiplet), 그리고 비틀린 손지기 초다중항(twisted chiral supermultplet)을 이루는 장세기(field strength)의 페예-일리오풀로스 항을 가진다. 거울 대칭은 손지기 초다중항과 비틀린 손지기 초다중항을 서로 맞바꾼다. 호리 겐타로(堀 健太朗)와 캄란 바파는 2차원 게이지 선형 시그마 모형에 대하여 거울 대칭을 증명하였다.463–479언어=en 이에 따라, 과녁 공간이 2차원 구인 비선형 시그마 모형은 사인-고든 모형과 대응하고, 보다 일반적으로 과녁 공간이 복소 사영 공간인 비선형 시그마 모형은 아핀 도다 모형(affine Toda model)에 대응한다. 일반적으로, 칼라비-야우 다양체 위의 2차원 \mathcal N=(2,2) 초대칭 비선형 시그마 모형 (또는 란다우-긴즈부르크 모형)은 두 가지로 위상적 뒤틀림을 가해 위튼형 위상 양자장론을 이룰 수 있다. 이를 각각 **A모형**(A-model)과 **B모형**(B-model)이라고 한다.언어=en 거울 대칭은 A모형과 B모형을 관계짓는다. 이 때, 이 두 시그마 모형의 과녁 공간은 일반적으로 다르다. 즉, 거울 대칭은 서로 다른 칼라비-야우 다양체를 관계짓는다. 이들 위상 시그마 모형을 세계면 이론으로 하는 끈 이론을 위상 끈 이론이라고 한다. 거울 대칭은 위상 끈 이론으로 확장된다.
## 3차원 게이지 이론
3차원 거울 대칭 3차원 \mathcal N=4 (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론에서도 일종의 거울 대칭이 존재한다. 이는 4차원 \mathcal N=2 거울 대칭을 3차원으로 차원 축소한 경우이다.
## 스트로민저-야우-재슬로 가설
**스트로민저-야우-재슬로(SYZ) 가설**(Strominger–Yau–Zaslow conjecture)은 수학에서, 여러 가지 거울 대칭 가설의 형태들 가운데 하나이며, 거울 대칭 짝을 T-이중성으로 해석하는 가설이다.언어=en제목=Mirror symmetry and the Strominger–Yau–Zaslow conjecture언어=en언어=en언어=en SYZ 가설에 따르면, 거울 대칭 짝을 가지는 모든 복소 *n*차원 칼라비-야우 다양체는 T*n* (실수 *n*차원 원환면) 올화(fibration)를 가지며, 이 올들은 특수 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 거울 대칭쌍 X,Y는 같은 공간 B 위의 원환면 올다발 \pi_X\colon X\to B, \pi_Y\colon Y\to B를 이루며, 임의의 올 b\in B에 대하여 X_b=\pi_X^{-1}(b)와 Y_b=\pi_Y^{-1}(b)는 :X_b=H^1(Y_b;\mathbb R/\mathbb Z) :Y_b=H^1(X_b;\mathbb R/\mathbb Z) 의 관계를 가진다. 이는 *n*차원 원환면 올에 T-이중성을 가하는 것으로 해석할 수 있다. SYZ 가설(보다 일반적으로, 거울 대칭 자체)은 임의의 칼라비-야우 다양체에 대하여 성립하지 않고, 오직 칼라비-야우 다양체의 족(family)의 특정한 극한에서만 성립한다.언어=enurl=http://intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/cag/content/vols/0011/0005/00025030/index.html 이는 **큰 복소 구조 극한**(large complex structure limit)인데, 이는 부피를 고정시키고 복소 구조 모듈러스 공간의 경계로 극한을 취하는 것이다. 예를 들어, 복소 구조와 켈러 구조를 갖춘 실수2차원 원환면(타원 곡선) \mathbb C/(0\sim 1\sim\tau)의 경우, 원환면의 넓이를 고정시키며 복소 구조 \tau의 극한 \tau\to i\infty를 취하면 원환면은 길쭉하고 가는 직선으로 수렴하게 된다. 거울 대칭은 복소 구조와 켈러 구조를 맞바꾸므로, 큰 복소 구조 극한은 **큰 부피 극한**(large volume limit)에 대응한다. 물리학적으로, SYZ 가설은 IIB종 초끈 이론의 BPS D3-막의 모듈러스 공간을 사용하여 유도된다. D3-막이 BPS이려면, 막은 3차원 특수 라그랑주 부분 다양체를 이루어야 한다. 따라서, D3-막의 모듈러스 공간은 D3-막의 가능한 위치들의 공간 B와, 주어진 위치에서 D3-막의 순수 게이지 윌슨 고리들의 공간으로 이루어진다. 후자는 수학적으로 평탄한 U(1) 접속들의 집합이며, D3-막의 모양이 X_b라면 코호몰로지 H^1(X_b;\mathbb R/\mathbb Z)에 의하여 주어진다. X에 축소화한 IIB종 초끈 이론의 D3-막은 거울 대칭을 통해 Y에 축소화한 IIA종 초끈 이론의 D0-막과 같아야 한다. 즉, X에서의 D3-막의 모듈러스 공간은 Y에서의 D0-막의 모듈러스 공간과 같아야 한다. 그러나 후자는 Y이다. 즉, Y는 올다발 Y\to B 구조를 가지며, 그 올은 Y_b=H^1(X_b;\mathbb R/\mathbb Z)가 된다.
## 호몰로지 거울 대칭
이 주제 또한 수학에서, 여러 가지 거울 대칭 가설의 형태들 가운데 하나이며, 막심 콘체비치는 호몰로지 대수학을 사용하여 거울 대칭을 수학적으로 엄밀하게 정의하였다. 이를 **호몰로지 거울 대칭**(homological mirror symmetry)isbn=3-7643-5153-5zbl=1072.14046 호몰로지 거울 대칭의 여러 특수한 경우가 증명되었다. * 타원곡선의 경우는 1998년에 증명되었다.언어=en * 4차 곡면(quartic surface)의 경우는 2003년에 증명되었다.언어=en 하지만 호몰로지 거울 대칭의 일반적인 증명은 아직 존재하지 않는다. 호몰로지 거울 대칭에 따르면, 거울 대칭 쌍 (M,W) 사이에 다음과 같은 관계가 존재한다. :M의 연접층의 범주의 유도 범주(derived category) = W의 후카야 범주(Fukaya category)의 유도 범주 여기서 양변은 다음과 같다. * 후카야 범주는 특수 라그랑주 부분 다양체를 대상으로 하고, 플뢰어 사슬을 사상으로 하는 범주로, **A-모형**(A-model)을 나타낸다. 3차원 칼라비-야우의 경우, BPS(초대칭) D3-막은 특수 라그랑주 부분 다양체를 감는다. * 연접층의 범주는 **B-모형**(B-model)을 나타낸다.언어=enbibcode=2004hep.th....3166A 이 A/B-모형은 **위상 끈 이론**의 두 종류로, 끈 이론의 위상수학적인 부분만을 나타내는 장난감 모형이다.
# 예

## 타원 곡선
거울 대칭의 가장 기본적인 경우는 (복소) 타원 곡선이다. 타원 곡선 E는 위상수학적으로 2차원 원환면이다. 그 복소구조의 모듈라이 공간은 :\mathbb H/\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z) 이다. 여기서 \mathbb H=\\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\\}는 열린 상반평면이며, \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)는 모듈러 군이다. 만약 타원 곡선 대신 방향이 주어진 타원 곡선을 고려하면, 모듈러 군의 두 생성원 :S\colon z\mapsto-1/z :T\colon z\mapsto z+1 가운데 T만이 허용되고, 따라서 복소구조 모듈라이 공간은 :\mathbb H/\mathbb Z = \mathrm i\mathbb R^+ + (\mathbb R/\mathbb Z) 이다. 반면, 그 켈러 구조는 켈러 형식 K\in H^2(E;\mathbb R)\cong\mathbb R에 의하여 결정된다. 그 모듈라이 공간은 타원 곡선의 넓이 :\langle[E],K\rangle\in\mathbb R^+ 으로 나타낼 수 있다. (여기서 [E]는 타원 곡선의 기본류이다.) 켈러 구조 K에 끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장 B\in\operatorname H^2(E;\mathbb R/2\pi\mathbb Z)를 더하여 다음과 같은 **복소화 켈러 구조**(complexified Kähler structure) \mathcal K를 생각할 수 있다. :\mathcal K=\mathrm iK+\frac1{2\pi}B\in\frac{\operatorname H^2(E;\mathbb C)}{\operatorname H^2(E;\mathbb Z)} 복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간은 타원 곡선의 ‘복소화 넓이’에 의하여 분류된다. :\langle[E],\mathcal K\rangle\in\mathbb H/\mathbb Z = \mathrm i\mathbb R^+ + (\mathbb R/\mathbb Z) 즉, 복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간(**복소화 켈러 뿔** complexified Kähler cone)은 \mathbb H/\mathbb Z이다. 따라서 유향 타원 곡선의 복소 구조 모듈러스 공간과 복소화 켈러 구조 모듈러스 공간이 \mathbb H/\mathbb Z로 일치함을 알 수 있다. 물리학적으로, 한 타원 곡선 위에 축소화한 ⅡA종 초끈 이론이, 그 복소구조와 복소화 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 타원 곡선 위에 축소화한 ⅡB종 초끈 이론과 동형이다. 이 경우의 거울 대칭은 단순히 T-이중성의 특수한 경우이다.
## K3 곡면
대표적인 예로, K3 곡면 위의 IIA종 끈 이론을 생각하자.url-status=dead425 K3 곡면의 모듈라이 공간은 총 58차원이다. 이 가운데 h^{1,1}(K3)=20개는 켈러 모듈라이, 나머지 38개는 복소구조 모듈라이에 해당한다. 여기에, 캘브-라몽 장에 의하여 :b_2(K3)=h^{1,1}(K3)+2=22 개의 모듈라이가 추가된다. 이 가운데 h^{1,1}=20개의 모듈라이는 K3 곡면 켈러 모듈라이와 함께 복소수 20차원(실수 40차원)의 모듈러스를 이룬다. 나머지 40개의 모듈라이들은 (일반화) 복소구조 모듈라이로 간주한다. 이 밖에도, 딜라톤에 의한 하나의 모듈라이가 더 있다. 즉, 총 40+40+1=81개의 모듈라이가 존재한다. 거울 대칭은 40개의 (일반화) 복소구조 모듈라이를 40개의 (일반화) 켈러 구조 모듈라이와 맞바꾼다. 즉, K3 곡면에 축소화한 IIA종 끈 이론은, 복소구조와 켈러 구조 모듈라이를 맞바꾼 K3 곡면에 축소화한 ⅡA종 끈 이론과 동형이다. 딜라톤 모듈라이(끈 결합 상수)는 바뀌지 않는다. 사실, 이 이론은 4차원 원환면 위에 축소화한 잡종 끈 이론과 동치이다. d차원 원환면 위의 나레인 축소화의 모듈라이의 수는 (딜라톤 진공 기댓값 = 끈 결합 상수를 포함하면) (16+d)d+1인데, d=4일 때 이는 ⅡA의 81개의 모듈라이와 대응된다.
# 역사
거울 대칭은 1990년에 최초로 발견되었다. 1990년에 필립 칸델라스(Philip Candelas)와 모니카 링커(Monika Lynker), 롤프 심리크(Rolf Schimmrigk)는 4차원 끈 이론 축소화를 연구하기 위하여 가중 사영 공간 속의 3차원 칼라비-야우 다양체들을 컴퓨터를 사용하여 모두 계산하였는데, 이 경우 오일러 수 \chi = 2h^{1,1} + -2h^{2,1}와 초다중항 수 h^{1,1}+h^{2,1}를 그래프로 표시하였더니 그 그래프가 오일러 수의 부호 \chi\mapsto-\chi에 대하여 거의 대칭이 되는 기적적인 현상을 발견하였다.언어=en 거의 동시에, 이와 독자적으로 브라이언 그린 · 로넨 플레세르(מ. רוֹנֶן פְלֶסֶר)언어=en와 폴 스티븐 애스핀월(Paul Stephen Aspinwall) · 카르스텐 안드레브 뤼트켄(Carsten Andrew Lütken) · 그레이엄 갈런드 로스(Graham Garland Ross)언어=en 등은 거울 대칭이 되는 칼라비-야우 다양체의 쌍을 발견하였다.언어=en날짜=1991-07-29 1994년에 막심 콘체비치는 거울 대칭의 일부분을 수학적으로 공리화한 호몰로지 거울 대칭을 제안하였다. 이후 1996년에 앤드루 스트로민저와 야우싱퉁, 에릭 재슬로(Eric Zaslow)가 거울 대칭을 T-이중성의 특별한 경우로 해석하였다.언어=en 호몰로지 거울 대칭에 대한 공로로 콘체비치는 기본물리학상을 2012년에 수상하였다.날짜=2012-07-31