음함수 정리

섬네일 미적분학 다변수 미적분학에서 **음함수 정리**(陰函數定理, implicit function theorem)는 변수들에 대한 방정식이 국소적으로 충분히 매끄러운 함수 관계를 나타낼 충분 조건을 제시하는 정리이다.
# 도입
2차원 유클리드 공간 \mathbb R^2 위에서 원점 (0,0)을 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 원의 방정식 :x^2+y^2-1=0 을 생각하자. 이 방정식은 [-1,1]\times[0,\infty)에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다. :y=\sqrt{1-x^2}\qquad\forall x\in[-1,1] 또한 이 방정식은 [-1,1]\times(-\infty,0]에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다. :y=-\sqrt{1-x^2}\qquad\forall x\in[-1,1] 이 방정식을 만족시키는 연속 함수는 [-1,1]\times\mathbb R에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나 (0,1)을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자. :z=x^2+y^2-1\qquad\forall x,y\in\mathbb R 이렇게 정의한 F의 그래프는 \mathbb R^3에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면 z=0의 교선이다. (0,1) 주변에서 x'^2+y'^2-1=0인 점 (x',y')을 임의로 취하자. 여기에는 특히 (x',y')=(0,1) 역시 포함된다. x=x'가 고정되었을 때, z={x'}^2+y^2-1는 y=y' 주변에서 y에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로 y에 대하여 zy'에 대하여 z>0이 성립한다. 따라서 z=x^2+y^2-1의 영점 집합은 (0,1)에서 국소적으로 어떤 함수 y=y(x)의 그래프와 일치한다. z가 y에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은 \partial z/\partial y\ne 0이다. 이를 만족시키지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 방정식을 만족시키며 (1,0)을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이 조건을 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실 \partial z/\partial y\ne 0은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립 :z_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0 :\vdots :z_m(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0 에서 (y_1,\dots,y_m)가 국소적으로 (x_1,\dots,x_n)의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다. :\det\frac{\partial(z_1,\dots,z_m)}{\partial(y_1,\dots,y_m)}\ne 0 이 부등식의 좌변은 함수 z_1,\dots,z_m의 변수 y_1,\dots,y_m에 대한 야코비 행렬식이다. 특히, 만약 :z_1=a_{11}x_1+\cdots a_{1n}x_n+b_{11}y_1+\cdots+b_{1m}y_m :\vdots :z_m=a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n+b_{m1}y_1+\cdots+b_{mm}y_m 일 경우, 위에서 정의한 야코비 행렬식은 x_1,\dots,x_n을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식 \det(b_{ij})_{m\times m}이다.
# 정의
열린 근방 \mathbf a\in U\subseteq\mathbb R^n와 \mathbf b\in V\subseteq\mathbb R^m 및 연속 함수 \mathbf f\colon U\times V\to\mathbb R^m, (\mathbf x,\mathbf y)\mapsto\mathbf f(\mathbf x,\mathbf y) (\mathbf x\in U, \mathbf y\in V)가 다음을 만족시킨다고 하자. *\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f 역시 연속 함수이다. 여기서 (\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f)_{ij}=\partial f_i/\partial y_j이다. *\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b)=\mathbf 0 *\det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b)\ne 0 그렇다면, 다음을 만족시키는 열린 근방 \mathbf a\in W\subseteq U 및 유일한 연속 함수 \mathbf g\colon W\to\mathbb R^m가 존재한다. *\mathbf g(W)\subseteq V *\mathbf b=\mathbf g(\mathbf a) * 임의의 \mathbf x\in W에 대하여, \mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=\mathbf 0 또한, k\in\\{1,2,\dots\\}에 대하여, 만약 \mathbf f가 \mathcal C^k 함수라면, \mathbf g 역시 \mathcal C^k 함수이며, \mathbf g의 도함수 \mathrm D\mathbf g는 다음과 같다. :\mathrm D\mathbf g(\mathbf x)=- (\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x)))^{-1} \mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))\qquad\forall\mathbf x\in W 여기서 (\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f)_{ij}=\partial f_i/\partial x_j이다. 이를 **음함수 정리**라고 한다. \mathbf f가 \mathcal C^k 함수임을 가정하지 않을 경우, \mathbf g의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.
## 가장 간단한 경우
두 열린구간 a\in U\subseteq\mathbb R와 b\in V\subseteq\mathbb R 및 연속 함수 f\colon U\times V\to\mathbb R가 다음을 만족시킨다고 하자. *\partial f/\partial y 역시 연속 함수이다. *f(a,b)=0 *(\partial f/\partial y)(a,b)\ne 0 그렇다면, 다음을 만족시키는 열린구간 a\in W\subseteq U 및 유일한 연속 함수 g\colon W\to\mathbb R가 존재한다. *g(W)\subseteq V *b=g(a) * 임의의 x\in W에 대하여, f(x,g(x))=0 또한, k\in\\{1,2,\dots\\}에 대하여, 만약 f가 \mathcal C^k 함수라면, g 역시 \mathcal C^k 함수이며, g의 도함수 g'는 다음과 같다. :g'(x)=-\frac{(\partial f/\partial x)(x,g(x))}{(\partial f/\partial y)(x,g(x))}\qquad\forall x\in W 이는 음함수 정리에서 n=m=1을 취한 가장 간단한 경우이다.
# 증명

## 수학적 귀납법을 통한 증명
수학적 귀납법을 사용하자. ==== m=1 ==== 먼저 m=1일 경우를 증명하자. 편의상 (\partial f/\partial y)(a,b)>0라고 가정하자. 그러면 \partial f/\partial y에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는 \delta_1>0가 존재한다. * \operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\subseteq U * \operatorname B(b,\delta_1)\subseteq V * 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1) 및 y\in\operatorname B(b,\delta_1)에 대하여, (\partial f/\partial y)(\mathbf x,y)>0 이에 따라 f(\mathbf a,y)가 \operatorname B(b,\delta_1)에서 순증가 함수이며, 또한 f(\mathbf a,b)=0이므로, f(\mathbf a,b-\delta_1)0에 대하여, f(\mathbf x',g(\mathbf x')-\epsilon)0가 존재한다. * \operatorname B(\mathbf x',\delta_3)\subseteq\operatorname B(\mathbf a,\delta_2) * 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_3)에 대하여, f(\mathbf x,g(\mathbf x')-\epsilon)0가 존재한다. * \operatorname B(\mathbf x',\delta_4)\subseteq\operatorname B(\mathbf a,\delta_2) * 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)에 대하여, h(\mathbf x)\in\operatorname B(b,\delta_1) 따라서, 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)에 대하여, h(\mathbf x)=g(\mathbf x)이다. 즉, A는 \operatorname B(\mathbf a,\delta_2)의 열린집합이다. 또한 임의의 \mathbf x'\in A'\cap\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, g,h의 연속성에 의하여 \mathbf x'\in A이다. 즉, A는 \operatorname B(\mathbf a,\delta_2)의 닫힌집합이다. \operatorname B(\mathbf a,\delta_2)는 연결 집합이며, 또한 A\ne\varnothing이므로, A=\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)이다. 즉, 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, g(\mathbf x)=h(\mathbf x)이다. 이제 f가 \mathcal C^k 함수일 때 g의 \mathcal C^k성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 j\in\\{1,\dots,n\\} 및 \mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, 다음과 같이 표기하자. :\Delta y(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)=g(\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)-g(\mathbf x') 그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는 01 ==== 이제 m>1일 경우를 증명하자. V의 원소를 \mathbf y=(y_1,\tilde\mathbf y)로 쓰고, \mathbf f=(f_1,\tilde\mathbf f)와 같이 표기하자. 또한 편의상 \det(\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f\\!(\mathbf a,\mathbf b))\ne 0이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 \tilde\mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^{m-1}가 존재하게 되는 \delta_1>0가 존재한다. *\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\subseteq U *\operatorname B(b_1,\delta_1)\times\tilde\mathbf g(\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1))\subseteq V *\mathbf b'=\tilde\mathbf g(\mathbf a,b_1) * 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1) 및 y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1) 및 i\in\\{2,\dots,m\\}에 대하여, f_i(\mathbf x,y_1,\tilde\mathbf g(\mathbf x,y_1))=0 다음과 같은 함수 F\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^m를 정의하자. :F(\mathbf x,y_1)=f_1(\mathbf x,y_1,\tilde\mathbf g(\mathbf x,y_1)) \qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1),\;y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1) 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1) 및 y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1)에 대하여 다음이 성립한다. :\begin{align}\frac{\partial F}{\partial y_1} &=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+\sum_{j=2}^m\frac{\partial f_1}{\partial y_j}\frac{\partial h_{j-1{\partial y_1}\\\ &=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+ \mathrm D_{\tilde\mathrm y}f_1 (\mathrm D_{\tilde\mathrm y}\tilde f)^{-1} \mathrm D_{y_1}\tilde f\\\ &=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+ \sum_{i=2}^m\sum_{j=2}^m(-1)^{i+j} \frac 1{\det\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f} \frac{\partial f_i}{\partial y_1} \frac{\partial f_1}{\partial y_j} \det\mathrm D_{(y_2,\dots,y_{j-1},y_{j+1},\dots,y_m)}(f_2,\dots,f_{i-1},f_{i+1},\dots,f_m) \\\ &=\frac{\det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f}{\det\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f} \end{align} 따라서 (\partial F/\partial y_1)(\mathbf a,b_1)\ne 0이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 g_1\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R가 존재하게 되는 00가 존재한다. * \bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\subseteq U * \bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)\subseteq V * 임의의 \mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_1) 및 \mathbf y\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)에 대하여, \mathrm D_{\mathbf y}\mathbf F(\mathbf x,\mathbf y)이며 \det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf y)\ne 0 또한, \mathbf F(\mathbf a,\mathbf b)=\mathbf b이므로, 다음을 만족시키는 00\qquad\forall y\in\mathbb R 이므로, f(x,g(x))=0인 유일한 g(x)\in\mathbb R가 존재한다. 음함수 정리에 따라, 이러한 함수 g\colon\mathbb R\to\mathbb R는 \mathcal C^\infty 함수이다. 다시 말해, 케플러 방정식은 어떤 유일한 (\mathcal C^\infty) 함수를 정의한다. 그러나 이러한 함수 g는 닫힌 형식으로 나타낼 수 없다.
## 충분 조건의 비필요성
다음과 같은 연속 함수 f,g\colon\mathbb R^2\to\mathbb R 및 h\colon\mathbb R\to\mathbb R를 생각하자. :f(x,y)=|y|\qquad\forall x,y\in\mathbb R :g(x,y)=y^3\qquad\forall x,y\in\mathbb R :h(x)=0\qquad\forall x\in\mathbb R 그러면 x,y\in\mathbb R에 대하여 다음 세 가지가 동치이다. * f(x,y)=0 * g(x,y)=0 * y=h(x) 즉, h는 f 또는 g가 유도하는 음함수이다. 그러나 f_y(0,0)는 존재하지 않으며, g_y(0,0)=0이다.