위상 양자장론

물리학과 수학에서 **위상 양자장론**(位相量子場論, topological quantum field theory, 약자 TQFT)은 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론이다. 미분구조조차 고려하지 않는 위상다양체에서 하는 것은 아니고, 정확히는 리만 계량을 고려하지 않는 미분다양체에서 하므로 위상 양자장론보다는 미분 위상 양자장론이 더 어울리는 이름이다. 입자 물리학과 끈 이론, 응집물질물리학과 대수적 위상수학, 매듭 이론에서 쓰인다.
# 정의
대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간의 계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 **위상 양자장론**이라고 한다. 오늘날 알려진 위상 양자장론은 **시바르츠형**(Schwarz-type)과 **코호몰로지형**(cohomological, 또는 **위튼형** Witten-type)) 크게 두 종류가 있다.
## 시바르츠형 위상 양자장론
**시바르츠형 위상 양자장론**은 계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 나타내어진다.언어=en d차원 시공간에서, d차 미분형식을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 미분 형식을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 천-사이먼스 이론과 BF 모형 등이 있다. 알베르트 시바르츠가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고,언어=en 다음과 같은 꼴이다. :S=\int_MA\wedge dA. 여기서 A는 1차 미분형식이고, M은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.
## 코호몰로지형 위상 양자장론
**코호몰로지형 위상 양자장론** 또는 **위튼형 위상 양자장론**은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 **위상 뒤틂**(topological twist)을 가하여 만든다.언어=en 에드워드 위튼이 1988년 최초의 예를 발표하였다.언어=en 위튼은 4차원 N=2 초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틂을 가하여, 이 이론이 도널드슨 불변량을 재현함을 보였다. 시바르츠형 위상 양자장론은 특성류를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) 다양체 위에 정의할 수 있지만, 코호몰로지형 위상 양자장론은 그 매끄러운 다양체 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 위상동형이지만 다른 미분 구조를 가진 두 매끄러운 다양체를 코호몰로지형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다. *d*차원 **코호몰로지형 위상 양자장론**은 푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 \mathcal H와, 다음과 같은 두 연산자 Q,G_\mu로 구성된다.언어=en63–66 :\\{Q,Q\\}=\\{G_\mu,G_\nu\\}=0 :\\{Q,G_\mu\\}=P_\mu 여기서 P_\mu는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 Q,G_\mu는 스칼라/벡터 "초대칭"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 스피너이다.) 또한, 진공 상태 |0\rangle가 Q에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다). :Q|0\rangle=0 그렇다면 Q를 BRST 연산자로 생각하여, **물리적 힐베르트 공간** \mathcal H_\text{phys}을 Q에 대한 코호몰로지로 정의한다. :\mathcal H_\text{phys}=H_Q(\mathcal H)=\ker Q/\operatorname{im}Q 또한, \mathcal H 위의 연산자들에 대해서도 [Q,\cdot\\}에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, 관측 가능량들의 공간은 Q에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 Q에 대하여 닫혀 있다. 주어진 물리적 스칼라 연산자 O^{(0)}에 대하여, G_\mu를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다. :O^{(i+1)}=[G,O^{(i)}] O^{(i)}는 i차 미분형식을 이루며, 다음과 같은 **내림 방정식**(descent equation)을 만족시킨다. 이는 야코비 항등식으로부터 유도할 수 있다. :dO^{(i)}=[Q,O^{(i+1)}] 따라서 i>0의 경우, O^{(i)}는 Q에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, 시공간 M의 임의의 i차 호몰로지 C_i\in H_i(M;\mathbb Z)에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉, :\int_{C_i}O^{(i)} 은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다. :\left\langle\cdots\int_{C_i}O^{(i)}\cdots\right\rangle 예를 들어, 도널드슨 불변량을 이러한 형태의 상관 함수로 나타낼 수 있다.
# 아티야 공리계
마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 공리계를 제안하였다.언어=en 이에 따라, d+1차원 **위상 양자장론**은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 모든 d차원 콤팩트 (경계가 없는) 유향 다양체 Y에 대하여, 복소일부 경우, 실수 및 유한체에 대한 벡터 공간도 사용 가능하다. 벡터 공간인 **상태 공간** E(Y) * 모든 d+1차원 (경계를 가진) 유향 다양체 (X,\partial X)에 대하여, **경로 적분** Z(X)\in E(\partial X) 이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다. # (함자성) ## (공간 대칭의 작용) 임의의 방향을 보존시키는 미분 동형 f\colon Y\to Y'에 대하여, 벡터 공간의 동형사상 E(f)\colon E(Y)\to E(Y')가 존재한다. ## (시공간 대칭의 작용) 또한, 임의의 방향 및 경계를 보존시키는 미분 동형 g\colon X\to X'에 대하여, E(f|_{\partial X})\colon Z(X)\mapsto Z(X')이다. # (대합성) -Y를 Y에 반대 방향을 준 유향 다양체라고 한다면, E(-Y)=E(Y)^*이다. 여기서 V^*는 V의 쌍대 공간이다. # (승법성) ## (상태 공간의 승법성) E(Y\sqcup Y')=E(Y)\otimes E(Y') ## (짜깁기 법칙 sewing law) \partial X_1=Y_1\sqcup Y_3, \partial X_2=Y_2\sqcup-Y_3이라면, X_1과 X_2를 Y_3으로 이어붙여 X=X_1\cup X_2, \partial X=Y_1\sqcup Y_2를 만들 수 있다. 이 경우, Z(X)=\langle Z(X_1),Z(X_2)\rangle이다. 여기서 \langle\cdot,\cdot\rangle\colon E(Y_1)\otimes E(Y_3)\otimes E(Y_3)^*\otimes E(Y_2)\to E(Y_1)\otimes E(Y_2)는 E(Y_3)의 내적이다. # (비자명성) ## (상태 공간의 비자명성) E(\varnothing)=\mathbb C이다. ## (경로 적분의 비자명성) Z(\varnothing)=1이다. ## (시간 변화) Z(Y\times[0,1])=\operatorname{Id}_{E(Y)}\in E(Y)\otimes E(Y)^*이다. 여기서 [0,1]은 닫힌 구간이고, \operatorname{Id}_{E(Y)}\colon E(Y)\to E(Y)는 E(Y)의 항등함수다. 일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 E(Y)에는 내적이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 관측가능량 및 해밀토니언을 정의하기 위하여 에르미트 연산자의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 쌍대공간의 동형사상 E(Y)\cong E^*(Y)이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다.
# 다양한 차원에서의 위상 뒤틂
초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원~4차원에서 가능하다. === 2차원 𝒩=(2,2) 위상 뒤틂 === 위상 끈 이론 2차원 \mathcal N=(2,2) 초등각 장론의 R대칭은 U(1)2이며, 두 개의 위상 뒤틂이 존재한다. 이를 **A-뒤틂**(A-twist) 및 **B-뒤틂**(B-twist)라고 하며, 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형을 이렇게 뒤틀면 두 개의 위상 끈 이론을 얻는다. 이들 사이에는 거울 대칭이라는 관계가 존재한다. === 4차원 𝒩=2 위상 뒤틂 === 4차원 \mathcal N=2 초대칭은 SU(2) R대칭을 가지므로, 유일한 위상 뒤틂을 갖는다. SU(2) 초대칭 게이지 이론을 뒤틀면 도널드슨 이론을 얻는다. === 4차원 𝒩=4 위상 뒤틂 === 코호몰로지형 위상 양자장론의 대표적인 예는 위상 \mathcal N=4 초대칭 게이지 이론의 위상 뒤틂이다. \mathcal N=4 양-밀스 이론의 대칭군은 :\operatorname{SU}(2)_{\text{l\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r\times\operatorname{SU}(4)_{\text{R 이다. 여기서 SU(2)l×SU(2)r=Spin(4)는 (유클리드) 로런츠 대칭이며, SU(4)는 R대칭이다. 초전하 (Q,\bar Q)는 표현 :(1/2, 0, \mathbf4)\oplus(0, 1/2,\mathbf4) 를 따른다. (SU(2) 표현은 스핀 j=0,1/2,1,3/2,\dots으로 표기하였고, 다른 군의 표현은 그 차원을 굵은 글씨로 표기하였다.) 따라서, 위상 뒤틂은 군 준동형 :\operatorname{SU}(2)_{\text{l}'}\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r}'} \to\operatorname{SU}(2)_{\text{l\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r\times\operatorname{SU}(4)_{\text{R 에 의하여 정의되며, 이 가운데 초전하 (Q,\bar Q)의 성분 가운데 적어도 하나가 새 로런츠 군에 대하여 스칼라가 되어야 한다. 이러한 위상 뒤틂은 3가지가 있으며, 다음과 같다.arxiv=1306.4320Table 6 {| class=wikitable |- ! 이름 !! 정의 !! 성질 !! 문헌 |- | 도널드슨-위튼(Donaldson–Witten) || \operatorname{SU}(4)_{\text{R\supset\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\times\operatorname U(1), 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음 || 자기 홀극. \mathcal N=4 이론을, 딸림표현의 물질을 갖는 \mathcal N=2 이론으로 간주. || |- | 바파-위튼(Vafa–Witten) || \operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{SO}(6)\supset\operatorname{SO}(3)^2, 두 SO(3) 가운데 하나를 로런츠 SO(3)와 대각선으로 섞음 || 순간자 ||언어=en |- | 마커스(Marcus) 또는 카푸스틴-위튼(Kapustin–Witten) || \operatorname{SU}(4)_{\text{R\supset\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\times\operatorname U(1), 두 SU(2)의 대각 부분군을 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음|| 기하 랭글랜즈 프로그램과 관계 있음 ||언어=en저자링크2=에드워드 위튼 |} 바파-위튼 뒤틂 · 마커스 뒤틂은 간혹 각각 **A-뒤틂** 및 **B-뒤틂**으로 불리기도 한다.§4.2 장들의 분해는 다음과 같다. {| class=wikitable |- ! 장 !! 설명 !! 뒤틀기 전 표현
SU(2)l×SU(2)r×SU(4)R !! 도널드슨-위튼 뒤틂
SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)F×U(1)U !! 바파-위튼 뒤틂
SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)U !! 마커스 뒤틂
SU(2)l′×SU(2)r′×U(1)U |- | Q_\alpha^I\;(I=1,\dots,4) || 왼손 초전하 || (½, 0, **4**) || (½, ½, 0)+1 ⊕ (½, 0, ½)−1 || (½, ½, ½) || (½, ½)+1 ⊕ (1, 0)−1 ⊕ (0, 0)−1 |- | \bar Q^{\bar I}_{\dot\alpha}\;(\bar I=\bar 1,\dots,\bar 4) || 오른손 초전하 || (0, ½, **4**) || (0, 1, 0)−1 ⊕ (0, 0, 0)−1 ⊕ (0, ½, ½)+1 || (0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½) || (½, ½)+1 ⊕ (0, 1)−1 ⊕ (0, 0)−1 |- | A_\mu || 게이지 보손 || (½, ½, **1**) || (½, ½, 0)0 || (½, ½, 0) || (½, ½, 0)0 |- | \psi^I_\alpha\quad(I=1,\dots,4) || 왼손 게이지노 || (½, 0, **4**) || (½, ½, 0)+1 ⊕ (½, 0, ½)−1 || (½, ½, ½) || (½, ½)+1 ⊕ (1, 0)−1 ⊕ (0, 0)−1 |- | \bar\psi^{\bar I}_{\dot\alpha}\quad(\bar I=\bar1,\dots,\bar4) || 오른손 게이지노 || (0, ½, **4**) || (0, 1, 0)−1 ⊕ (0, 0, 0)−1 ⊕ (0, ½, ½)+1 || (0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½) || (½, ½)+1 ⊕ (0, 1)−1 ⊕ (0, 0)−1 |- | \phi^i\quad(i=1,\dots,6) || 스게이지노 || (0, 0, **6**) || (0, ½, ½)0 ⊕ (0, 0, 0)±2 (복소 스칼라장) || (0, 0, 1) ⊕ (0, 1, 0) || (½, ½)0 (실수 벡터장) ⊕ (0, 0)±2 (복소 스칼라장) |} **도널드슨-위튼 뒤틂**(Donaldson–Witten twist)에서는 \operatorname{SU}(4)_{\text{R 대칭을 :\operatorname{SU}(4)_{\text{R\to\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)_{\text{F\times\operatorname{U}(1)_{\text{U 으로 깬 뒤, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 군 \operatorname{SU}(2)_{\text{r와 섞어 얻는다. 이에 따라, 남은 \operatorname{SU}(2)_{\text{F는 맛깔 대칭, \operatorname{U}(1)_{\text{U는 유령수 대칭이 된다. 이 깨짐 아래, \operatorname{SU}(4)의 표현들은 다음과 같이 깨진다.§1 :\mathbf 4\to(1/2,0)^{+1}\oplus(1/2,0)^{-1} :\mathbf 6\to(1/2,1/2)^0\oplus(0,0)^{\pm2} **바파-위튼 뒤틂**(Vafa–Witten twist) 또는 **A-뒤틂**(A-twist)에서는 \operatorname{SU}(4)_{\text{R 대칭군을 우선 :\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6)\to\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2) 로 깬 뒤, 두 SU(2) 성분 가운데 하나를 오른쪽 로런츠 군 \operatorname{SU}(2)_{\text{r와 섞는다. 따라서, 나머지 한 SU(2) 부분군은 SU(2) 유령수 대칭군 \operatorname{SU}(2)_{\text{U로 남게 된다. R대칭의 깨짐에 따라서, SU(4)의 표현들은 다음과 같은 \operatorname{SU}(2)^2 표현으로 깨진다. :\mathbf4\to(1/2,1/2) :\mathbf6\to(1,0)\oplus(0,1) 유령수 대칭이 SU(2) 단순군이므로, 바파-위튼 뒤틂에서는 (다른 뒤틂과 달리) 유령수가 변칙적이지 않다. **마커스 뒤틂**(Marcus twist) 또는 **B-뒤틂**(B-twist)은 도널드슨-위튼 뒤틂에서 남아 있던 SU(2)F 맛깔 대칭을 왼쪽 로런츠 대칭 SU(2)l과 한 번 더 뒤틀어 얻는다. 이에 따라 U(1)U 유령수 대칭만이 남게 된다. === 3차원 𝒩=4 위상 뒤틂 === 3차원에서는 \mathcal N=1 초대칭은 2개의 초전하를 갖고, R대칭은 \operatorname{SO}(\mathcal N)이 된다. 이 경우, 위상 뒤틂을 위해서는 \mathcal N\ge4이어야 한다. 3차원 \mathcal N=4에서, R대칭은 \operatorname{Spin}(4)\cong \operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R이다. 3차원 \mathcal N=4에서, 벡터 초장의 \operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R 표현은 다음과 같다. (SU(2) 표현은 스핀으로 표현하였다.) {| class=wikitable |- ! 초장 || 장 || 대칭군 \operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R 표현 |- || || 초전하 Q_\alpha^a\quad(a=1,2,3,4) || (½, ½, ½) |- | rowspan=3 | 벡터 초장 | 게이지 보손 A_\mu || (1, 0, 0) |- | 게이지노 \chi_\alpha^i\quad(i=1,2) || (½, ½, ½) |- | 스게이지노 \eta_\alpha^I\quad(I=1,2,3) || (0, 1, 0) |- | rowspan=2 | 하이퍼 초장 | 페르미온 \psi_\alpha^i\quad(i=1,2) || (½, ½, ½) |- | 스칼라 \phi || (0, 0, 0) + (0, 0, 1) |} 따라서, 뒤튼 후의 로런츠 군 \operatorname{SU}(2)_{E'}을 \operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_R의 대각선 부분군으로 잡거나, \operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N의 대각선 부분군으로 잡을 수 있다. 2차원 위상 끈 이론과 유사하게, 전자는 **A-뒤틂**(A-twist), 후자는 **B-뒤틂**(B-twist)이라고 한다. 초켈러 다양체 위의 3차원 시그마 모형의 경우, A-뒤틂은 **카푸스틴-비아스 모형**(Kapustin–Vyas model),언어=en, B-뒤틂은 **로잔스키-위튼 모형**(Rozansky–Witten model)언어=en이라고 한다. 3차원 초대칭 게이지 이론의 B-뒤틂은 **블라우-톰프슨 모형**(Blau–Thompson model)이라고 한다.언어=en§4.3 === 3차원 𝒩=8 위상 뒤틂 === 3차원 \mathcal N=8 이론의 위상 뒤틂은 총 4가지가 있다.§5.1 * 하나는 4차원 \mathcal N=4 이론의 바파-위튼 뒤틂 또는 마커스 뒤틂의 축소화이다. (이들은 축소화하면 서로 같아진다.) 뒤튼 뒤, 4개의 스칼라 초대칭을 갖는다. * 하나는 4차원 \mathcal N=4 이론의 도널드슨-위튼 뒤틂의 축소화이다. 뒤튼 뒤, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다. * 하나는 4개의 스칼라 초대칭을 갖는 뒤틂을 한 번 더 추가로 뒤틀어서 얻으며, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다. * 하나는 1개의 스칼라 초대칭을 갖는다.