도널드슨 불변량

위상수학에서 **도널드슨 불변량**(Donaldson不變量, Donaldson invariant)은 4차원 매끄러운 다양체의 불변량의 하나로, 게이지 이론의 순간자 모듈라이 공간의 성질을 나타낸다.url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198502692.dodoi=10.1007/978-1-4613-9703-8언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en 도널드슨 불변량은 더 계산하기 쉬운 자이베르그-위튼 불변량과 동치인 것으로 추측된다. 도널드슨 불변량을 연구하는 위상수학의 분야를 **도널드슨 이론**(Donaldson理論, Donaldson theory)이라고 한다.
# 정의
**도널드슨 불변량**은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체 M의 불변량이며, 대수적 위상수학 또는 초대칭 위상 양자장론을 통해 정의할 수 있다.
## 수학적 정의
푸앵카레 쌍대성과 합곱을 사용해 2차 코호몰로지 \operatorname H^2(M;\mathbb Q) 위에 다음과 같은 **교차 형식**(intersection form)을 정의할 수 있다. :I\colon\operatorname H^2(M;\mathbb Q)\times\operatorname H^2(M;\mathbb Q)\to\mathbb Q :I(\alpha,\beta)=[M]\frown(\alpha\smile\beta) 여기서 [M]은 M의 기본류다. 이 형식의 양의 고윳값의 수를 b_2^+(M), 음의 고윳값의 수를 b_2^-(M)이라고 하자. 물론 :b_2^+(M)+b_2^-(M)=b_2f(M) 은 M의 2차 베티 수이다. 앞으로, b_2^+>1이라고 가정하자. M에 임의의 리만 계량 g와 SU(2) 벡터다발 E\twoheadrightarrow M을 부여하자. 이 경우, E의 SU(2) 양-밀스 순간자들의 모듈라이 공간 \mathcal M_{E,g}를 생각할 수 있다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이루고, 그 차원은 다음과 같다.(2), (3) :\dim\mathcal M_E=\begin{cases} -8c_2(E)-3(1-b_1(M)+b_2^-(M))&c;_2(E)0 \end{cases} 으로 주어진다. (만약 이 수가 음수라면 \mathcal M_{E,g}는 공집합이다.) 여기서 c_2(E)는 E의 2차 천 수이고, b_i(M)은 M의 i차 베티 수이다. (게이지 군이 SU(2)이므로, 1차 천 특성류는 항상 0이다.) \mathcal C_E가 E 위에 존재하는 모든 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간이라고 하자. 이는 무한 차원 공간이다. 이 경우, 전자는 후자의 자연스러운 부분공간을 이룬다. :\mathcal M_{E,g}\hookrightarrow\mathcal C_E \mathcal M_{E,g}는 물론 리만 계량 g에 의존하지만, b_2^+(M)>1이라면 호몰로지류 [\mathcal M_{E,g}]\in\operatorname H_\bullet(\mathcal C_E)는 g에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 따라서 :[\mathcal M_E]\in\operatorname H_\bullet(\mathcal C_E) 를 정의할 수 있다. 이는 리만 계량에 의존하지 않지만, M의 미분 구조에 의존한다. 즉, 이는 위상동형(위상다양체로서 동형)이지만 미분동형(매끄러운 다양체로서 동형)이지 않은 다양체들을 구분할 수 있다. 스펙트럼 열을 사용하여, 다음과 같은 군 준동형을 정의할 수 있다. :\mu\colon\operatorname H_k(M;\mathbb Q)\to H^{4-k}(\mathcal C_E;\mathbb Q) M은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체라고 가정하였으므로, M의 (유리수 계수) 호몰로지는 다음과 같다. :\operatorname H_0(M;\mathbb Q)=\mathbb Q :\operatorname H_1(M;\mathbb Q)=0 :\operatorname H_2(M;\mathbb Q)=\mathbb Q^{b_2}=\operatorname{span}\\{\gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}\\} :\operatorname H_3(M;\mathbb Q)=0 :\operatorname H_4(M;\mathbb Q)=\mathbb Q 여기서 \gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}는 임의로 잡은 H_2(M;\mathbb Q)의 기저다. 그렇다면 다음을 보일 수 있다. * \mu(\operatorname H_4(M;\mathbb Q))=0 * \mathcal C_E의 코호몰로지 환 H^\bullet(\mathcal C_E;\mathbb Q)는 \mu에 의하여 다항식환 \mathbb Q[x,\gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}]와 표준적(canonical)으로 동형이다. 여기서 x는 H_0(M;\mathbb Q)에 대응하는 생성원이다. 이제, **도널드슨 다항식**(Donaldson多項式, Donaldson polynomial) D_E\colon\mathbb Q[x,\gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}]\to\mathbb Q은 다음과 같은 사상이다. :Q_E(p)=[\mathcal M_E]\frown p\left(\mu(x),\mu(\gamma_1),\dots,\mu(\gamma_{b_2})\right)
## 물리학적 정의
4차원 다양체 M의 도널드슨 다항식 불변량은 M 위에 존재하는 \mathcal N=2 초대칭 게이지 이론의 상관 함수로 정의할 수 있다. M 위에 임의의 리만 계량을 부여하고, 그 위에 게이지 군이 콤팩트 반단순 리 군 G인 \mathcal N=2 초대칭 양-밀스 이론을 생각하자. 이 이론은 로런츠 대칭과 R대칭을 갖는데, 로런츠 군 :\operatorname{SU}(2)_\text{left}\times\operatorname{SU}(2)_\text{right}\cong\operatorname{Spin}(4) 는 4차원 스핀 군이고, \mathcal N=2 R대칭군은 SU(2)R이다. 이제 새 로런츠 부분군 \operatorname{SU}(2)_\text{right}'을 \operatorname{SU}(2)_\text{right}와 \operatorname{SU}(2)_\text{R}의 대각 성분으로 정의하여, 위상 뒤틀림(topological twist)을 가한다. 그렇다면 이론의 장들은 다음과 같다. {| class=wikitable ! 기호 !! 설명 !! 뒤틀기 전 군 표현 SU(2)left×SU(2)right×SU(2)R×U(1)R !! 뒤튼 뒤 군 표현 SU(2)left×SU(2)right×U(1)R !! 뒤튼 뒤 설명 |- | Q_\alpha || 왼쪽 초전하 || (½, 0, ½)−1 || (½, ½)−1 || Q_\mu |- | rowspan=2 | \bar Q_{\dot\alpha} | rowspan=2 | 오른쪽 초전하 | rowspan=2 | (0, ½, ½)+1 || (0,0)+1 || BRST 연산자 Q |- | (0, 1)+1 || Q_{\mu\nu} |- | A_\mu || 게이지 보손 || (½, ½, 0)0 || (½,½)0 || A_\mu 게이지 보손 |- | \psi || 왼손 게이지노 || (½, 0, ½)+1 || (½,½)+1 || \psi_\mu 유령 |- | rowspan =2 | \bar\psi | rowspan=2 | 오른손 게이지노 | rowspan=2 | (0, ½, ½)−1 || (0,1)−1 || \chi_{\mu\nu} 반유령 (F^+=0 제약에 대응) |- | (0,0)−1 || \eta 반유령 |- | \phi || 스게이지노(sgaugino) || (0, 0, 0)+2 || (0,0)+2 || \phi (게이지 변환 매개변수) |- | \phi^* || 반스게이지노(antisgaugino) || (0, 0, 0)−2 || (0,0)−2 || \lambda 유령 |} 따라서, 뒤튼 뒤에는 두 개의 스칼라장과 두 개의 벡터장만이 존재한다. 이 경우, (A_\mu,\psi_\mu), (\lambda,\eta)는 Q에 대한 초다중항을 이룬다. \chi는 F^+=0 제약에 대응하며, \phi는 게이지 변환의 매개변수에 대응한다. 이제, 초대칭 연산자 Q를 BRST 대칭으로 생각하여, 모든 관측가능량을 Q에 의한 코호몰로지에 닫혀 있게 한다. 그렇다면 이 이론은 위튼형 위상 양자장론을 이룬다. 이제, 다음과 같은 게이지 불변, Q-닫힌 연산자를 생각하자. :\mathcal O_0=\frac1{8\pi^2}\operatorname{tr}\phi^2 이제 다음과 같은 일련의 연산자들을 정의할 수 있다. :d\mathcal O_0=i\\{Q,\mathcal O_1\\} :d\mathcal O_1=i\\{Q,\mathcal O_2\\} :d\mathcal O_2=i\\{Q,\mathcal O_3\\} :d\mathcal O_3=i\\{Q,\mathcal O_4\\} :d\mathcal O_4=0 \mathcal O_k는 k차 코호몰로지류이다. 따라서, 임의의 k_i차 호몰로지류 \Sigma_i들에 대하여, 다음과 같은 상관 함수를 정의할 수 있다. :\left\langle\int_{\Sigma_1}\mathcal O_{k_1}\cdots\int_{\Sigma_i}\mathcal O_{k_i}\cdots\right\rangle 이 경우, \mathcal O_4\propto F\wedge F\propto c_2(E)는 CP 위반항이므로, :\int_M\mathcal O_4\sim\int_MF\wedge F=[M]\frown c_2(E) 는 단순히 순간자수(게이지 주다발의 2차 천 특성류)이다. 따라서 \mathcal O_4의 삽입은 상관 함수를 특별히 변화시키지 않는다. 2차 호몰로지 류 \Sigma_i\in H_2(M) 및 0차 호몰로지 류 x_i\in H_0(M)를 사용하여, 상관 함수 :\left\langle\int\mathcal O_0(x_1)\cdots\int_{\Sigma_1}\mathcal O_2\cdots\right\rangle 를 정의할 수 있다. 이를 **도널드슨 다항식**이라고 하며, 이는 위상수학으로 정의한 도널드슨 다항식과 일치함을 보일 수 있다.
## 크론하이머-므로카 기본류
게이지 군 G가 SU(2)일 경우를 생각하자. 4차원 매끄러운 다양체 M 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 **단순형 다양체**(manifold of simple type)라고 하자. :Q_{8+\deg p}(x^2p(x,\vec\gamma))=4Q_{\deg p}(p(x,\vec\gamma)) 여기서 p\in\mathbb Q[x,\vec\gamma]이며, \deg p는 x를 차수 4, \vec\gamma를 차수 2로 하여 센 다항식의 차수이다. 이 경우, 도널드슨 불변량은 다음과 같은 생성 함수로 완전히 결정된다. :D(\vec\gamma)=\sum_n\left(\frac{Q_{2n}(\gamma^d)}{d!}+\frac{Q_{2n+4}(x\gamma^d)}{2d!}\right) :\mathbb D(\vec\gamma)=D(0,\vec\gamma)+\frac12\frac{\partial}{\partial x}D(0,\vec\gamma) 이 생성 함수는 다음과 같은 간단한 형태로 나타내어진다. :\mathbb D(\gamma)=\exp(\gamma.\gamma/2)\sum_{x\in H^2(M;\mathbb Z)}\exp(x\cdot\gamma)n_x 여기서 n_x\ne0인 2차 코호몰로지 원소들을 **크론하이머-므로카 기본류**(Kronheimer–Mrowka basic class)라고 하며, 이러한 기본류들의 수는 유한하다. 이 n_x들은 자이베르그-위튼 불변량과 같다고 추측된다.
# 역사
사이먼 도널드슨이 1983년에 도입하였다.언어=en 이후 에드워드 위튼이 1994년에 이를 초대칭 게이지 이론의 위상 양자장론으로 정의할 수 있음을 보였다.언어=en 피터 크론하이머와 토머스 므로카(Thomasz S. Mrowka)가 1994년에 도널드슨 불변량을 크론하이머-므로카 기본류에 대한 합으로 나타낼 수 있음을 보였다.언어=en언어=en 같은 해에 에드워드 위튼은 자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들의 크론하이머-므로카 기본류와의 관계를 제시하였다.언어=en언어=en