운동량 사상

심플렉틱 기하학에서 **운동량 사상**(運動量寫像, 모멘텀 맵, 모먼트 맵)은 심플렉틱 다양체 위의 군의 작용을 생성하는 해밀토니언이다.언어=enurl-status=dead언어=en언어=en 해밀턴 역학에서의 운동량과 각운동량을 일반화한 것이다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 심플렉틱 다양체 (M,\omega) * 리 군 G * 매끄러운 군 표현 \rho\colon G\to\operatorname{Ham}(M,\omega)가 주어졌다고 하자. 여기서 \operatorname{Ham}(M,\omega)=\\{f\in\operatorname{Diff}(M)\colon f^*\omega=\omega\\}는 심플렉틱 자기 동형 사상(심플렉틱 형식 \omega를 보존하는 미분 동형 M\to M)들의 군이다. 리 대수의 원소 \xi\in\mathfrak{lie}(G)에 대하여, M 위에는 G의 작용의 무한소 생성원인 다음과 같은 벡터장 v_\xi가 존재한다. :v_\xi=\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_{t=0}\rho(\exp(t\xi))(x) 여기서 \exp는 리 지수 사상이다. G의 작용 \rho의 **운동량 사상** \mu\colon M\to\mathfrak{lie}(G)^*는 임의의 \xi\in\mathfrak{lie}(G)에 대하여 다음을 만족시키는 함수다. :d\langle\mu,\xi\rangle=\omega(v_\xi,\cdot) 이를 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다. :\partial_j\mu_a=\omega_{ij}v_a^i 여기서 i,j는 접다발 \mathrm TM의 지표이고, a는 리 대수 \mathfrak{lie}(G)의 지표다.
# 성질
심플렉틱 다양체 (M,\omega) 위의 리 군 G의 작용의 운동량 사상 \mu\colon M \to \mathfrak g^*가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 :\zeta \in (\mathfrak g^*)^G 에 대하여 \mu+\zeta 역시 운동량 사상을 이룬다. 여기서 \mathfrak g^*는 G의 딸림표현의 쌍대 표현이며, :(\mathfrak g^*)^G = \left\\{\phi\in\mathfrak g^*\colon \forall x,y\in\mathfrak g\colon \phi([x,y]) = 0 \right\\} = \operatorname H^0(\mathfrak g; \mathfrak g^*) 는 그 속의 불변 원소들의 집합(즉, \mathfrak g 위의 무게의 집합, 또는 \mathfrak g^* 계수의 \mathfrak g의 0차 리 대수 코호몰로지)이다.
## 심플렉틱 몫공간
G가 콤팩트 리 군일 경우, 부분 공간 \mu^{-1}(0)\subset M은 G의 작용에 대하여 불변이다. 이 경우 \mu^{-1}(0)/G는 M의 심플렉틱 구조를 물려받는다. 즉, 몫공간 \mu^{-1}(0)/G는 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 **심플렉틱 몫공간**(symplectic quotient) 또는 **마즈든-와인스타인 몫공간**(Marsden–Weinstein quotient)이라고 하며, M/\\!/G라고 쓴다.언어=en 이 경우 :\dim(M/\\!/G)=\dim M-2\dim G 이다. 물론, 0 대신 임의의 \zeta\in (\mathfrak g^*)^G에 대하여 \mu^{-1}(0)를 사용할 수도 있다. 특히, M이 추가로 켈러 다양체 (M,\omega,J)를 이루며, G의 작용이 심플렉틱 구조 \omega 및 복소구조 J를 보존한다고 하자. 그렇다면, 이에 해당하는 심플렉틱 몫공간 :M/\\!/G=\mu^{-1}(0)/G 는 켈러 다양체이다.
## 초켈러 몫공간
초켈러 다양체의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다.언어=en 초켈러 다양체 M은 세 선형 독립 심플렉틱 구조 \omega_I (I=1,2,3)을 가진다. 군의 작용 G\times M\to M이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상 \mu_I\colon M\to\mathfrak g^*이 존재한다. 이들을 합쳐서 :\mu\colon M\to\mathfrak g^*\otimes\mathbb R^3 을 정의하자. 그렇다면 :M/\\!/\\!/G=\mu^{-1}(0)/G 는 초켈러 다양체를 이룬다. 그 차원은 :\dim_{\mathbb R}(M/\\!/\\!/G)=\dim_{\mathbb R}M-4\dim_{\mathbb R}G 이다.
# 예
G가 1차원 아벨 리 군 \mathbb R이라고 하자. 그렇다면 \mu는 해밀턴 벡터장(Hamiltonian vector field) v를 생성시키는 해밀토니언이다.
## 복소수 사영 공간
복소수 내적 공간 \mathbb C^n은 자명하게 켈러 다양체를 이룬다. 이 위에는 리 군 \mathbb C^\times이 곱셈으로 작용하며, 이 가운데 심플렉틱 형식을 보존하는 것은 U(1) 부분군이다. 이에 대한 운동량 사상은 다음과 같다. :\mu \colon \mathbb C^n \to \mathfrak{lie}(\operatorname U(1)) = \mathrm i\mathbb R :\mu \colon z \mapsto \mathrm i\|z\|^2 - \mathrm iC 여기서 C \in \mathbb R는 임의의 실수 상수이다. 이에 대하여 켈러 몫공간을 취하면, C > 0일 때 복소수 사영 공간 \mathbb P^{n-1}_{\mathbb C}을 얻으며, 그 위의 켈러 구조는 푸비니-슈투디 계량이다. 반대로, C < 0일 경우는 공집합을 얻는다.
## 복소수 사영 공간의 접공간
사원수 벡터 공간 W=\mathbb H^n은 자명하게 초켈러 다양체를 이룬다. 구체적으로, 이를 n차원 복소수 내적 공간 V에 대하여 :W = V \oplus V^* = \mathrm T^*V 로 적을 수 있다. 이 경우, U(1) 작용 :(x,\xi) \mapsto (\lambda x,\lambda^{-1}\xi) 에 대한 운동량 사상 :\mu_1(x,\xi) = \mathrm i(\|x\|^2 - \|\xi\|^2) - \mathrm iC :\mu_2(x,\xi) + \mathrm i\mu_3(x,\xi) = \xi(x) - D 를 취하면, D = 0일 때 :\mu^{-1}(0) = \\{(x,\xi)\in \mathrm T^*V \colon \xi \perp x, \; \|x\|^2-\|\xi\|^2 = C \\} 이다. 이 경우 초켈러 몫공간은 V 위의 사영 공간의 공변접다발 \mathrm T^*\mathbb P(V)이다. 특히, 만약 V가 2차원일 때, 이는 에구치-핸슨 공간이다.