아벨 다양체

대수기하학에서 **아벨 다양체**(Abel多樣體, Abelian variety) 또는 **가환다양체**(可換多樣體)는 아벨 군을 이루는 대수다양체다. 가환 리 군에 대응되는 대수기하학적 개념이다.
# 정의
대수적으로 닫힌 체 k 위의 **아벨 다양체**는 k에 대한, 대수군을 이루는 (기약 연결) 사영 대수다양체이다. **등원사상**(等原寫像, 아이소제니)은 두 아벨 다양체 사이의, 핵이 유한 집합인 전사 군 준동형이다.329 영어명 아이소제니는 이소게네스(같은 종족·출신·종류의)에서 왔는데, 이는 등원사상이 아벨 다양체의 원점(군의 항등원)을 보존시키기 때문이다. 아벨 다양체의 **극성화**(極性化, polarization)는 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 등원사상이다. **주극성화**(principal polarization)는 동형사상인 극성화 (즉, 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 동형사상)이다. **(주)극성화 아벨 다양체**((principally) polarized Abelian variety)는 (주)극성화를 갖춘 아벨 다양체이다.
# 복소수체 위의 아벨 다양체

## 아벨 함수와 세타 함수
복소수 아벨 다양체 위의 유리형 함수를 **아벨 함수**(Abel函數, Abelian function)라고 한다. 즉, 이는 g개의 복소수 변수를 갖고, 모든 변수에 대하여 주기적인 유리형 함수이다. 이는 타원 함수의 고차원 일반화이다. 복소수 아벨 다양체 위의 해석적 선다발의 해석적 단면을 **세타 함수**라고 한다.
## 리만 조건
복소수체 \mathbb C에 대한 g차원 아벨 다양체는 해석적으로 원점을 갖춘 복소수 원환면 :V/\Lambda\cong T^{2g} 이다. 여기서 * V\cong\mathbb C^g는 g차원 복소수 벡터 공간이다. * \Lambda\subset V는 V 속의 격자이다. 이러한 해석적 복소수 원환면 위의 **리만 형식**(Riemann形式, Riemann form) h\colon V\times V\to\mathbb C은 격자에 제한한다면 허수 성분은 정수인 반쌍선형 형식이다. 즉, 다음 조건들이 성립한다. * (에르미트성) 임의의 u,v\in V에 대해, \langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle} * (반쌍선형성) 임의의 \alpha,\alpha'\in\mathbb C, u,v,v'\in V에 대해, \langle u,\alpha v+\alpha'v'\rangle=\alpha\langle u,v\rangle+\alpha'\langle u,v'\rangle * (정부호성) 임의의 0이 아닌 u\in V에 대하여, \langle u,u\rangle>0이다. * (정수성) 임의의 u,v\in\Lambda에 대하여, \langle u,v\rangle\in\mathbb R+i\mathbb Z이다. 그렇다면 복소수 원환면 V/\Lambda에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \mathbb C/\Lambda는 아벨 다양체이다. 즉, 복소수 사영 공간으로 가는 매장이 존재한다. * (**리만 조건**, Riemann條件, Riemann conditions) \mathbb C/\Lambda 위에 리만 형식이 존재한다. 리만 형식이 존재한다면, 이로 인하여 (V/\Lambda,h)는 켈러 다양체를 이루며, 그 켈러 형식 :K=\frac12i(h-\bar h)\in H^2(V/\Lambda;\mathbb Z)\qquad(h(a,b)=\langle a,b\rangle) 은 정수 계수 코호몰로지에 속한다. 따라서, 고다이라 매장 정리에 따라 V/\Lambda는 사영 대수다양체를 이룬다. 이 경우, 매장의 좌표는 구체적으로 V 위의 세타 함수들로 주어진다. 리만 조건은 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다. 예를 들어, 에르미트 형식 h의 허수 부분 :Q=\operatorname{Im}h|_{\Lambda\times\Lambda}\colon\Lambda\times\Lambda\to\mathbb Z 은 정수 행렬을 이루며, 이로부터 에르미트 형식 전체를 다음과 같이 복구할 수 있다. :h(u,v)=iQ^{\mathbb R}(u,v)+Q^{\mathbb R}(iu,v)\qquad\forall u,v\in V 여기서 Q^{\mathbb R}\colon V\times V\to\mathbb R는 Q의 실수 계수 선형 확대이다. 따라서, 리만 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다. * \Lambda 위의, 정수값의 반대칭 이차 형식 Q가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.언어=en13–14 *: Q^{\mathbb R}(iu,iv)=Q^{\mathbb R}(u,v)\qquad\forall u,v\in V *: h(u,u)=Q^{\mathbb R}(iu,u)>0\forall u\in V\setminus\\{0\\} 또는 이는 Q^{\mathbb R} 대신 Q^{\mathbb C}를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. \Lambda\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C=V\oplus\bar V로 놓으면, * \Lambda 위의, 정수값의 반대칭 이차 형식 Q가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.언어=en327 *: Q^{\mathbb R}(iu,iv)=Q^{\mathbb R}(u,v)\qquad\forall u,v\in V *: h(u,u)=-iQ^{\mathbb R}(u,\bar u)>0\forall u\in V\setminus\\{0\\}
## 등원사상과 극성화
복소수체 위에서의 등원사상은 아벨 다양체를 정의하는 격자로서 다룰 수 있다. 두 아벨 다양체 V/\Lambda, V/\Lambda'에서 등원사상 :V/\Lambda\twoheadrightarrow V/\Lambda' 이 주어졌다면, 이는 격자의 포함 관계 \Lambda'\hookrightarrow\Lambda와 같다. 즉, 이는 (격자를 자유 아벨 군으로 여길 때) 유한 지표 부분군으로 주어진다. 복소수체에 대한 아벨 다양체의 경우, 주극성화는 리만 형식의 동치류에 의하여 주어진다. 구체적으로, 두 리만 형식 H,H'이 양의 정수 n,n'\in\mathbb Z^+이 존재해 nH=n'H'인 경우, H\sim H'으로 정의한다. 그렇다면 리만 형식의 동치류 [H]는 주극성화를 정의한다.
## 모듈러스 공간
복소수 g차원 주극성화 아벨 다양체의 모듈라이 공간 \mathcal A_g는 다음과 같다. :\mathcal A_g=\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)\backslash\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g) 여기서 \operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)는 리만 형식을 보존하는 심플렉틱 변환들의 집합이고, \operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)는 리만 형식의 동치에 의하여 생성되는 군이다. 여기서 \operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)를 **지겔 상반평면**(Siegel上半平面, Siegel upper half-plane)이라고 하는데, 이는 g=1일 경우 일반적인 복소수 상반평면이기 때문이다. 이는 복소수 g(g+1)/2차원 오비폴드이다. 모든 (대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 원환면들의 모듈러스 공간의 차원은 복소수 g^2차원이므로, g>1인 경우 거의 모든 복소수 원환면은 아벨 다양체가 아니다. 다만, g=1인 경우 (타원곡선) 모든 복소수 원환면은 대수적이다. 예를 들어, g=1인 경우 \operatorname{Sp}(2;\mathbb Z)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)는 모듈러 군이고, :\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)/\operatorname U(1)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)/\operatorname{SO}(2)\cong\\{z\mapsto az+b|a\in\mathbb R^+,b\in\mathbb R\\}\cong \mathbb H 는 (아핀) 복소수 상반평면이므로 :\mathcal A_1=\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z) 는 복소수 타원 곡선의 모듈러스 공간이다.
# 예
아벨 다양체의 주된 예는 대수 곡선의 야코비 다양체 또는 일반적인 대수다양체의 피카르 다양체 및 알바네세 다양체이다. 1차원 아벨 다양체는 타원 곡선이라고 한다.