베르 공간

준열린집합 일반위상수학에서 **베르 공간**(Baire空間, Baire space)은 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합이 조밀할 수 있도록, ‘충분한 수의’ 점들을 갖는 위상 공간이다.
# 정의

## 쇼케 게임
공집합이 아닌 위상 공간 X가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) 게임을 생각하자. # 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다. # 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 공집합이 아닌 열린집합 U\subseteq X를 고르는 것이다. 수들을 (U_0,U_1,U_2,\dots)라고 하자. (즉, 갑은 U_0,U_2,U_4,\dots를 두고, 을은 U_1,U_3,U_5,\dots를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 U_0\supseteq U_1\supseteq U_2\supseteq\cdots이어야 한다. # 만약 U_0\cap U_1\cap\cdots=\varnothing라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다. 이를 **쇼케 게임**(Choquet game) \operatorname{Choq}(X)이라고 한다.언어=en43, Definition 8.10url-status=dead39–40, §1언어=en234, §4 공집합이 아닌 위상 공간 X가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) 게임을 생각하자. # 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다. # 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 열린집합과 그 속의 점의 순서쌍 (U,x)를 고르는 것이다. 수들을 ((U_0,x_0),(U_1,x_1),(U_2,x_2),(U_3,x_3),\dots)라고 하자. (즉, 갑은 (U_0,x_0),(U_2,x_2),(U_4,x_4),\dots를 두고, 을은 (U_1,x_1),(U_3,x_3),(U_5,x_5),\dots를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 U_0\supseteq U_1\supseteq U_2\supseteq\cdots이며 x_0=x_1\land x_2=x_3\land\cdots이어야 한다. # 만약 U_0\cap U_1\cap\cdots=\varnothing라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다. 이를 **강한 쇼케 게임**(strong Choquet game) \operatorname{StrChoq}(X)이라고 한다.
## 베르 공간과 쇼케 공간
위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **베르 공간**이라고 한다. * ㈀ 내부가 공집합인, 임의의 가산 개의 닫힌집합들의 합집합의 내부는 항상 공집합이다. * ㈁ 임의의 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합은 조밀 집합이다.41, Proposition 8.1(iii) * ㈂ 제1 범주 열린집합은 공집합 밖에 없다.41, Proposition 8.1(i) * ㈃ 모든 제1 범주 집합의 여집합이 조밀 집합이다.41, Proposition 8.1(ii) * ㈄ 공집합이거나, 또는 쇼케 게임 \operatorname{Choq}(X)에서, 갑이 필승 전략을 갖지 않는다.43, Theorem 8.1141, Theorem 1 증명 조건 ㈀ ⇒ 조건 ㈂: X가 조건 ㈀을 만족시키며, S\subseteq X가 제1 범주 열린집합이라고 하자. \textstyle S=\bigcup_{i=0}^\infty S_i이며, S_i가 조밀한 곳이 없는 집합이라고 하자. 그렇다면 \textstyle\varnothing=\operatorname{int}\left(\bigcup_{i=0}^\infty\operatorname{cl}S_i\right)\supseteq\operatorname{int}S=S이다. 조건 ㈂ ⇒ 조건 ㈃: X가 조건 ㈀을 만족시키며, S\subseteq X가 제1 범주 집합이라고 하자. 그렇다면, \operatorname{int}S는 제1 범주 열린집합이다. 따라서, \varnothing=\operatorname{int}S=\operatorname{cl}X\setminus S이다. 따라서 X\setminus S는 조밀 집합이다. 조건 ㈃ ⇒ 조건 ㈁: X가 조건 ㈃을 만족시키며, (U_i)_{i=0}^\infty가 조밀 열린집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, \textstyle S=\bigcup_{i=0}^\infty X\setminus U_i는 제1 범주 집합이다. 따라서, \textstyle X\setminus S=\bigcap_{i=0}^\infty U_i는 조밀 집합이다. 조건 ㈁ ⇒ 조건 ㈄: 쇼케 게임 \operatorname{Choq}(X)의 합법적인 수들로 구성된 나무를 T로 쓰자. \operatorname{Choq}(X)에서 갑의 필승 전략 \sigma가 주어졌다고 하자. 즉, \sigma는 함수이며, 다음 두 조건을 만족시킨다. * 만약 (\sigma(),U_1,\sigma(U_1),U_3,\sigma(U_1,U_3),U_5,\dots,U_{2i-1})\in T라면, (\sigma(),U_1,\sigma(U_1),U_3,\sigma(U_1,U_3),U_5,\dots,U_{2i-1},\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1}))\in T * 만약 (\sigma(),U_1,\sigma(U_1),U_3,\sigma(U_1,U_3),U_5,\dots)가 T의 극대 사슬이라면, \sigma()\cap U_1\cap\sigma(U_1)\cap U_3\cap\sigma(U_1,U_3)\cap U_5\cap\dots=\varnothing 그렇다면, \sigma()에서 조건 ㈁이 거짓임을 보이면 족하다. :T'=\\{(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})\colon(\sigma(),U_1,\sigma(U_1),U_3,\sigma(U_1,U_3),U_5,\dots,U_{2i-1})\in T\\} 라고 쓰자. 초른 보조정리에 따라, 임의의 \vec U=(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})\in T'에 대하여, \mathcal U(\vec U)가 다음 두 조건을 만족시키는 극대 집합족이라고 하자. * 임의의 U_{2i+1}\in\mathcal U(\vec U)에 대하여, (U_1,U_3,\dots,U_{2i+1})\in T' * \\{\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i+1})\colon U_{2i+1}\in\mathcal U(\vec U)\\}는 서로소 집합들의 집합이다. 그렇다면, \textstyle\bigcup_{U_{2i+1}\in\mathcal U(\vec U)}\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i+1})은 \sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})의 조밀 집합이다. (만약 V가 \sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})의 공집합이 아닌 열린집합이며, \textstyle\bigcup_{U_{2i+1}\in\mathcal U(\vec U)}\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i+1})와 서로소라면, \mathcal U(\vec U)\cup\\{V\\}가 위 두 조건을 만족시키므로, 모순이다.) 이제, :T*=\\{(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})\in T'\colon\forall j\colon U_{2j-1}\in\mathcal U((U_1,U_3,\dots,U_{2j-3}))\\} :W_i=\bigcup_{(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})\in T*}\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1}) 라고 하자. 그렇다면, 각 W_i는 W_{i-1}의 조밀 집합이다. 따라서, 각 W_i는 W_0=\sigma()의 조밀 열린집합이다. 따라서, \textstyle\bigcap_{i\in\mathbb N}W_i=\varnothing을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, \textstyle x\in\bigcap_{i\in\mathbb N}W_i라고 가정하자. 그렇다면, 나무 T''에서, 각 i\in\mathbb N에 대하여 x\in\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})인 극대 사슬 (U_1,U_3,U_5,\dots)을 취할 수 있다. 이 경우 x\in\sigma()\cap\sigma(U_1)\cap\sigma(U_1,U_3)\cap\cdots이며, 이는 \sigma가 갑의 필승 전략인 것과 모순이다. 조건 ㈄ ⇒ 조건 ㈀: (F_i)_{i=0}^\infty가 내부가 공집합인, X의 닫힌집합들의 열이지만, \textstyle S=\bigcup_{i=0}^\infty F_i의 내부가 공집합이 아니라고 하자. 그렇다면, 쇼케 게임 \operatorname{Choq}(X)에서 갑의 필승 전략을 찾으면 족하다. 지금까지 둔 수가 (U_0,U_1,\dots,U_{2i-1})일 때, 갑이 U_{2i}=(\operatorname{int}S\cap U_0\cap\cdots\cap U_{2i-1})\setminus F_i를 두는 갑의 전략을 생각하자. (F_i의 내부가 공집합이므로, 반드시 U_{2i}\ne\varnothing이다.) 그렇다면, U_{2i-1}\subseteq\operatorname{int}S\setminus(F_0\cup F_1\cup\cdots\cup F_i)이므로, U_0\cap U_1\cap U_2\cap\cdots=\varnothing이다. 즉, 이는 갑의 필승 전략이다. 증명 끝 위상 공간 X가 공집합이거나, 또는 그 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, X를 **쇼케 공간**(Choquet空間, Choquet space)이라고 한다.Definition 8.12 위상 공간 X가 공집합이거나, 또는 그 강한 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, X를 **강한 쇼케 공간**(Choquet空間, strong Choquet space)이라고 한다. 따라서, 모든 쇼케 공간은 베르 공간이며, 모든 강한 쇼케 공간은 쇼케 공간이나, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 공집합이 아닌 위상 공간들은 그 쇼케 게임의 성질에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다. {| class="wikitable" | 갑이 필승 전략을 가짐 || 갑·을 아무도 필승 전략을 갖지 못함 || 을이 필승 전략을 가짐 |- ! 위상 공간의 성질 | 베르 공간이 아닌 공간 || 쇼케 공간이 아닌 베르 공간 || 쇼케 공간 |}
# 성질
베르 공간의 공집합이 아닌 열린집합은 제1 범주 집합이 아니다. 특히, 공집합이 아닌 베르 공간의 제1 범주 집합의 여집합은 공집합이 아니다.
## 함의 관계
**베르 범주 정리**(Baire範疇定理, Baire category theorem)는 어떤 위상 공간이 베르 공간이 될 충분조건을 제시하는 두 개의 정리를 일컫는다.언어=ko415–417 * (**제1 베르 범주 정리**) 완비 거리화 가능 공간은 베르 공간이다.296url-status=dead97언어=ko34541, Theorem 8.4언어=en57, Theorem I.17.1 * (**제2 베르 범주 정리**) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이다.url-status=23441, Theorem 8.457, Theorem I.17.1

**제1 베르 범주 정리의 증명:**

완비 거리 공간 (X,d) 속의 조밀 열린집합들의 열 (U_i)_{i=0}^\infty 및 임의의 점 x_0\in X 및 양의 실수 r_0\in\mathbb R^+가 주어졌다고 하자. 그렇다면, :x\in B(x_0,r_0)\cap\textstyle\bigcap_{i=0}^\infty U_i\ne\varnothing 인 x\in X가 존재함을 보이면 족하다. 이제, U_i는 모두 조밀 열린집합이므로 *\operatorname{cl}(B(x_{i+1},r_{i+1}))\subset U_i\cap B(x_i,r_i) *r_{i+1}\le 1/(i+1) 인 점렬 (x_i)_{i=0}^\infty\subseteq X 및 양의 실수열 (r_i)_{i=0}^\infty\subseteq\mathbb R^+을 고를 수 있다. 그렇다면, (x_i)_{i=0}^\infty는 코시 열이므로 극한 \textstyle\lim_{i\to\infty}x_i=x\in X를 가지며, 정의에 따라 :x\in B(x_0,r_0)\cap U_0\cap U_1\cap\cdots 이다.

**제2 베르 범주 정리의 증명:**

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 조밀 열린집합들의 열 (U_i)_{i=0}^\infty 및 임의의 공집합이 아닌, 그 폐포가 콤팩트 집합인 열린집합 \varnothing\ne V_0\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, V_0\cap U_0\cap U_1\cap\cdots가 공집합이 아님을 보이면 족하다. 이제, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 모든 점은 상대 콤팩트 근방들로 구성된 국소 기저를 가지므로, 다음 조건들을 만족시키는 열린집합들의 열 (V_i)_{i=0}^\infty을 고를 수 있다. * \operatorname{cl}V_{i+1}\subseteq V_i\cap U_i * \operatorname{cl}V_{i+1}는 콤팩트 집합이다. * V_{i+1}는 공집합이 아니다. 이제 칸토어 교점 정리에 의하여 :\bigcap_{i=0}^\infty\operatorname{cl}V_i\subseteq \textstyle V_0\cap U_0\cap U_1\cap\cdots 는 공집합이 아니다.

제1 베르 범주 정리를 증명하기 위해서는 의존적 선택 공리가 필요하다.언어=en 사실, 모든 완비 거리화 가능 공간과 모든 국소 콤팩트 차분한 공간arxiv=1902.1114212, Proposition 9.1은 강한 쇼케 공간이다. (“국소 콤팩트 차분한 공간”에서, “국소 콤팩트”는 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 조건을 일컫는다.) 즉, 다음이 성립한다. {| | || || 완비 거리화 가능 공간 |- | || || ||⇘ |- | || || || || 강한 쇼케 공간 || ⇒ || 쇼케 공간 || ⇒ || 베르 공간 |- | || || ||⇗ |- | 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 || ⇒ || 국소 콤팩트 차분한 공간 |} 부제=국소 콤팩트 차분한 공간은 강한 쇼케 공간 국소 콤팩트 차분한 공간 X의 쇼케 게임을 생각하자. 갑이 둔 수가 (U,x)일 때, :x\in V\subseteq K\subseteq U 인 콤팩트 포화 집합 K와 열린집합 V를 찾을 수 있다. 이 경우 을이 (V,x)를 수로 둔다고 하자. 을이 이러한 전략을 취했을 때, 갑과 을이 둔 수들의 교집합은 어떤 콤팩트 포화 집합의 하강 열의 교집합과 같다. 차분한 공간에 대한 칸토어 교점 정리에 의하여, 이는 공집합이 아니다. 즉, 이 전략은 을의 필승 전략이다. 증명 끝
## 연산에 대한 닫힘
베르 공간의 임의의 열린집합은 베르 공간이다.29741, Proposition 8.3 마찬가지로, 쇼케 공간의 열린집합은 쇼케 공간이다.44, Exercise 8.13 그러나 베르 공간의 닫힌집합은 베르 공간이 아닐 수 있다. 부제=베르 공간의 열린집합은 베르 공간 X가 베르 공간이며 U\subseteq X가 열린집합이며, (U_i)_{i\in\mathbb N}이 U의 조밀 열린집합의 열이라고 하자. 그 교집합이 U의 조밀 집합임을 보이면 족하다. (U_i\cup(X\setminus\operatorname{cl}U))_{i\in\mathbb N}은 X의 조밀 열린집합의 열이다. (이는 :\operatorname{cl}(U_i\cup(X\setminus\operatorname{cl}U))=\operatorname{cl}U_i\cup\operatorname{cl}(X\setminus\operatorname{cl}U)=\operatorname{cl}\operatorname{cl}U_i\cup\operatorname{cl}(X\setminus\operatorname{cl}U)\supseteq\operatorname{cl}U\cup(X\setminus\operatorname{cl}U)=X 이기 때문이다.) 따라서 그 교집합 :\bigcap_{i\in\mathbb N}U_i\cup X\setminus\operatorname{cl}U 은 X의 조밀 집합이다. 따라서 :\bigcap_{i\in\mathbb N}U_i 는 U의 조밀 집합이다 (\operatorname{cl}(X\setminus\operatorname{cl}U)\subseteq X\setminus U). 증명 끝 베르 공간 조건은 국소적이다. 즉, 위상 공간 X의 모든 점들이 베르 근방을 가질 때 X도 베르 공간이 된다.299 베르 공간들의 곱공간은 베르 공간이 아닐 수 있다. 그러나 쇼케 공간들의 곱공간은 항상 쇼케 공간이다.44, Exercise 8.13 X가 베르 공간, Y가 거리화 가능 공간이라 하자. 이때 연속 함수들의 열 f_i\colon X\to Y(i\in\mathbb N)이 어떤 함수 f\colon X\to Y로 점별 수렴한다면, f가 연속 함수인 점들의 집합은 X의 조밀 집합이다.297
# 예
공집합은 (자명하게) 베르 공간이다. 무리수 집합은 베르 공간이다.mr=0464128299 모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 (국소 콤팩트 공간이므로) 베르 공간이다. 모든 폴란드 공간은 (완비 거리화 가능 공간이므로) 베르 공간이다.
## 연속 함수 공간
연속 함수의 집합 \mathcal C([0, 1],\mathbb R) 위에 거리 함수 \textstyle d(f, g)=\sup_{x\in[0,1]}\\{|f(x) - g(x)|\\}를 주면, 이는 완비 거리 공간이며, 따라서 베르 공간이다. 적어도 한 점에서 미분 가능한 [0,1]\to\mathbb R 연속 함수의 집합은 \mathcal C([0,1],\mathbb R) 안에서 제1 범주 집합임을 보일 수 있다. 따라서, 그 여집합은 공집합이 아니다. 이는 어떤 점에서도 미분 가능하지 않은 함수의 예이다.238–240
## 유리수에서만 연속인 함수의 부재
실수선 \mathbb R는 완비 거리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 따라서 베르 공간이다. A\subseteq\mathbb R가 조밀 집합이며, 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R가 A에서 연속 함수라고 하자. 이 경우, f가 연속이 아닌 실수들의 집합은 제1 범주 집합이다. 무리수의 집합은 제1 범주 집합이 아니므로, 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.237–238
## 극대 원소 집합
연속 dcpo (X,\le) 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 그 극대 원소의 집합 \max X는 강한 쇼케 공간이며, 특히 베르 공간이다.zbl=1026.06012182, Theorem 5.1
# 역사
실수선 위의 베르 범주 정리는 미국의 수학자 윌리엄 포그 오스굿(William Fogg Osgood, 1864~1943)이 1896년 8월에 최초로 발표하였다.언어=en언어=en 이후 이와 독자적으로 프랑스의 수학자 르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 유클리드 공간에서의 베르 범주 정리와 제1 범주 집합의 개념을 도입하였다.언어=fr언어=en 쇼케 게임은 귀스타브 쇼케(Gustave Choquet, 1915~2006)가 1958년에 도입하였다.언어=fr언어=en