테일러 정리

미적분학 미적분학에서 **테일러 정리**(-定理, Taylor's theorem)는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다.
# 정의

## 페아노 나머지항
만약 f\colon(a-r,a+r)\to\mathbb R가 n계 도함수를 가진다면, 다음이 성립한다. :f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o(x-a)^n\qquad(x\to a) 여기서 o(x-a)^n는 (x-a)^n과 어떤 0으로 수렴하는 함수의 곱을 나타낸다. 이는 함수와 어떤 다항식의 차가 (x-a)^n보다 빠르게 0으로 수렴함을 나타낸다. 이러한 다항식을 **n차 테일러 다항식**(-次-多項式, n-th order Taylor polynomial)이라고 하고, 함수와 테일러 다항식의 차를 **나머지항**(-項, remainder term)이라고 한다. 위와 같이 나타낸 나머지항 o(x-a)^n을 **페아노 나머지항**(-項, Peano remainder term)이라고 한다. 사실, 주어진 함수와의 차가 페아노 나머지항인 n차 이하의 다항식은 테일러 다항식으로 유일하다.
## 라그랑주 나머지항
만약 f\colon[a',b']\to\mathbb R가 n번 연속 미분 가능 함수이며, (a',b')에서 (n+1)계 도함수를 가진다면, 임의의 a,x\in[a',b']에 대하여, 다음이 성립한다.isbn=978-89-966211-8-815 :f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} 여기서 \xi\in\\{a+\theta(x-a)\colon 0<\theta<1\\}이다. 이와 같은 나머지항을 **라그랑주 나머지항**(-項, Lagrange remainder term)이라고 한다. 이는 평균값 정리의 일반화이다.
## 적분 나머지항
만약 I가 구간이며, f\colon I\to\mathbb R가 (n+1)번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 a,x\in I에 대하여, 다음이 성립한다.lccn=200306667383, Theorem 16 :f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac 1{n!}\int_a^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\mathrm dt 이와 같은 나머지항을 **적분 나머지항**(積分-項, integral remainder form)이라고 한다.
## 코시 나머지항
만약 I가 구간이며, f\colon I\to\mathbb R가 (n+1)번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 a,x\in I에 대하여, 다음이 성립한다. :f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a) 여기서 \xi\in\\{a+\theta(x-a)\colon 0<\theta<1\\}이다. 이와 같은 나머지항을 **코시 나머지항**(-項, Cauchy remainder term)이라고 한다.
# 다변수 함수의 경우

## 페아노 나머지항
만약 f\colon\operatorname B_{\mathbb R^d}(\mathbf a,r)\to\mathbb R의 모든 n계 편도함수가 연속 함수라면, 다음이 성립한다. :f(\mathbf x) =\sum_{k=0}^n\frac 1{k!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_k=1}^d \frac{\partial^kf(\mathbf a)}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_k (x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_k}-a_{j_k}) +o(\Vert\mathbf x-\mathbf a\Vert^n)\qquad(\mathbf x\to\mathbf a)
## 라그랑주 나머지항
만약 D\subseteq\mathbb R^d가 연결 열린집합이며, f\colon D\to\mathbb R의 모든 (n+1)계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 t\in[0,1]에 대하여 \mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a)\in D라면, 다음이 성립한다. :f(\mathbf x) =\sum_{k=0}^n\frac 1{k!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_k=1}^d \frac{\partial^kf(\mathbf a)}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_k (x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_k}-a_{j_k}) +\frac 1{(n+1)!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_{n+1}=1}^d \frac{\partial^{n+1}f(\boldsymbol\xi)}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_{n+1 (x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_{n+1-a_{j_{n+1) 여기서 \boldsymbol\xi\in\\{\mathbf a+\theta(\mathbf x-\mathbf a)\colon 0<\theta<1\\}이다.
## 적분 나머지항
만약 D\subseteq\mathbb R^d가 연결 열린집합이며, f\colon D\to\mathbb R의 모든 (n+1)계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 t\in[0,1]에 대하여 \mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a)\in D라면, 다음이 성립한다.lccn=200305051613-14 :f(\mathbf x) =\sum_{k=0}^n\frac 1{k!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_k=1}^d \frac{\partial^kf(\mathbf a)}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_k (x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_k}-a_{j_k}) +\frac 1{n!}\int_0^1\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_{n+1}=1}^d \frac{\partial^{n+1}f(\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a))}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_{n+1 (x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_{n+1-a_{j_{n+1)(1-t)^n\mathrm dt
# 증명

## 페아노 나머지항의 증명
함수 f의 테일러 다항식을 \operatorname T_{n,f,a}(x)로 표기하자. 페아노 나머지항의 테일러 정리는 다음을 의미한다. :\lim_{x\to a}\frac{f(x)-\operatorname T_{n,f,a}(x)}{(x-a)^n}=0 모든 k\in\\{0,\dots,n\\}에 대하여 f^{(k)}(a)=\operatorname T_{n,f,a}^{(k)}(a)이므로, 로피탈 법칙을 사용하면 다음을 얻는다. :\begin{align}\lim_{x\to a}\frac{f(x)-\operatorname T_{n,f,a}(x)}{(x-a)^n} &=\lim_{x\to a}\frac{f^{(n-1)}(x)-\operatorname T_{n,f,a}^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}\\\ &=\lim_{x\to a}\frac 1{n!}\left(\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{x-a}-f^{(n)}(a)\right)\\\ &=0 \end{align} 첫 등호는 로피탈 법칙을 (n-1)번 반복한 결과이며, 마지막 등호는 f^{(n)}(a)의 정의에 의한다.
### 테일러 다항식의 유일성의 증명
다음이 성립한다고 가정하자. :f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\cdots+a_n(x-a)^n+o(x-a)^n\qquad(x\to a) 여기서 a_0,\dots,a_n\in\mathbb R는 상수이다. 이 식에 x\to a를 취하면 a_0=f(a)를 얻는다. 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자. :\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=a_1+a_2(x-a)^2+\cdots+a_n(x-a)^{n-1}+o(x-a)^{n-1}\qquad(x\to a) 여기에 x\to a를 취하면 a_1=f'(a)를 얻는다. 마찬가지로 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자. :\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{(x-a)^2}=a_2+a_3(x-a)+\cdots+a_n(x-a)^{n-2}+o(x-a)^{n-2}\qquad(x\to a) 여기에 x\to a를 취하면 a_2=f''(a)/2를 얻는다. 이와 같이 반복하면 모든 k\in\\{0,\dots,n\\}에 대하여 a_k=f^{(k)}(a)/k!임을 알 수 있다. 모든 테일러 정리는 페아노 나머지항을 유도할 수 있으므로 모든 테일러 정리의 테일러 다항식은 유일하다.
## 라그랑주 나머지항의 증명
편의상 x\ne a라고 가정하자. 다음과 같은 두 함수 F,G\colon[a,x]\cup[x,a]\to\mathbb R를 정의하자. :F(t)=f(x)-\left(f(t)+f'(t)(x-t)+\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n\right) :G(t)=(x-t)^{n+1} 그러면 F,G는 연속 함수이며, 임의의 t\in(a,x)\cup(x,a)에 대하여 다음이 성립한다. :F'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n :G'(t)=-(n+1)(x-t)^n 또한 F(x)=G(x)=0이므로, 코시 평균값 정리에 따라 다음이 성립한다. :\frac{F(a)}{G(a)}=\frac{F(a)-F(x)}{G(a)-G(x)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} 여기서 \xi\in(a,x)\cup(x,a)이다. 따라서 라그랑주 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.
## 적분 나머지항의 증명
미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립한다. :f(x)=f(a)+\int_a^xf'(t)\mathrm dt 부분 적분을 반복하면 다음을 얻는다. :\begin{align}f(x) &=f(a)-\int_a^xf'(t)\mathrm d(x-t)\\\ &=f(a)+f'(a)(x-a)+\int_a^x(x-t)f*(t)\mathrm dt\\\ &=f(a)+f'(a)(x-a)-\frac 12\int_a^xf*(t)\mathrm d(x-t)^2\\\ &=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f*(a)}2(x-a)^2+\frac 12\int_a^x(x-t)^2f*'(t)\mathrm dt\\\ &\vdots\\\ &=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac 1{n!}\int_a^x(x-t)^nf^{(n+1)}(t)\mathrm dt \end{align} 따라서 적분 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.isbn=978-8-96-105054-8224–225 적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 라그랑주 나머지항을 유도할 수 있다.
## 코시 나머지항의 증명
적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 다음을 얻는다. :\begin{align}\frac 1{n!}\int_a^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\mathrm dt &=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n\int_a^x\mathrm dt\\\ &=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a) \end{align} 여기서 \xi\in\\{a+\theta(x-a)\colon 0<\theta<1\\}이다. 따라서 코시 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.
## 다변수 함수의 경우의 증명
라그랑주 나머지항의 경우를 증명하자. 그 밖의 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다. 다음과 같은 함수 g\colon[0,1]\to\mathbb R을 정의하자. :g(t)=f(\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a)) 그러면 g는 (n+1)번 연속 미분 가능 함수이므로, 일변수 함수의 경우에 따라 다음이 성립한다. :g(1)=\sum_{k=0}^n\frac{g^{(k)}(0)}{k!}+\frac{g^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!} 여기서 \theta\in(0,1)이다. 또한, 연쇄 법칙에 따라 다음이 성립한다. :\begin{align}g^{(k)}(t) &=\left(\sum_{j=1}^d(x_j-a_j)\frac{\partial}{\partial x_j}\right)^kf(\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a))\\\ &=\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_k=1}^d\frac{\partial^kf(\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a))}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_k (x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_k}-a_{j_k}) \end{align} 이를 대입하면 다음과 같은 다변수 함수의 경우를 얻는다. :f(\mathbf x) =\sum_{k=0}^n\frac 1{k!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_k=1}^d \frac{\partial^kf(\mathbf a)}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_k (x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_k}-a_{j_k}) +\frac 1{(n+1)!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_{n+1}=1}^d \frac{\partial^{n+1}f(\mathbf a+\theta(\mathbf x-\mathbf a))}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_{n+1 (x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_{n+1-a_{j_{n+1)