방멱

그림 1. 방멱의 도해 기하학에서 **방멱**(方冪, power)은 평면 위의 어떤 점과 원에 의하여 결정되는 수이다. 이는 점과 원의 중심 사이의 거리의 제곱과 원의 반지름의 제곱의 차와 같다. 원 외부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 접선의 길이의 제곱이며, 원 내부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 가장 짧은 반현의 길이의 제곱의 −1배이다.isbn=0-86720-475-329, §41
# 정의
평면 위에서, 중심이 O이고 반지름이 r인 원 \Gamma의 점 P에 대한 **방멱**은 다음과 같이 정의된다. :OP^2-r^2
## 점원에 대한 방멱
한 점 O로 이루어진 집합은 중심이 O이고 반지름이 0인 원으로 볼 수 있으며, 이를 점원이라고 한다. 이 경우 점원 O에 대한 P의 방멱은 단순히 :OP^2 이다.원본연도=192930, §43
## 직선에 대한 방멱
직선 l은 반지름이 무한대인 원으로 볼 수 있다. 이 경우 직선 l에 대한 P의 방멱은 정의되지 않는다. 그러나 방멱과 지름의 비의 절댓값은 다음과 같은 과정을 통해 직선에까지 확장할 수 있다. 우선 P를 지나는 l의 수선의 발이 A라고 하고, 직선 PA 위의 점 O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 \Gamma가 직선 PA와 두 점 A,B에서 만난다고 하자. 그렇다면, \Gamma에 대한 P의 방멱과 \Gamma의 지름의 비의 절댓값은 :\left|\frac{OP^2-r^2}{2r}\right|=\frac{|OP+r||OP-r|}{2r}=\frac{PA\cdot PB}{AB} 이다. A가 고정되고 O와 B가 A에서 무한히 멀어질 때, PB와 AB의 비는 1로 수렴하므로, 방멱과 지름의 비의 극한은 PA로 수렴한다. 따라서, 직선 l과 점 P 사이의 거리 :d(P,l) 을 '방멱과 지름의 비의 절댓값'으로 삼을 수 있다.30, §43
# 성질
평면 위에서 원 \Gamma와 점 P가 주어졌다고 하자. 그렇다면, * P가 \Gamma 내부의 점일 필요충분조건은 \Gamma에 대한 P의 방멱이 양수인 것이다. * P가 \Gamma 위의 점일 필요충분조건은 \Gamma에 대한 P의 방멱이 0인 것이다. * P가 \Gamma 외부의 점일 필요충분조건은 \Gamma에 대한 P의 방멱이 음수인 것이다. 평면 위에서 중심이 O이고 반지름이 r인 원 \Gamma가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \Gamma에 대한 방멱이 k인 점들의 집합은 k>-r^2일 경우 중심이 O이고 반지름이 \sqrt{r^2+k}인 원이며, k=-r^2일 경우 점원 O이며, k<-r^2일 경우 공집합이다.30, §44 평면 위에서 동심원이 아닌 두 원 \Gamma,\Gamma'에 대한 방멱이 같은 점들의 집합은 직선을 이룬다. 이를 두 원 \Gamma,\Gamma'의 **근축**이라고 부른다.
## 방멱 정리
평면 위에서 점 P를 지나는 직선이 원 \Gamma와 (같을 수 있는) 두 점 A,B에서 만나며, P를 지나는 또 다른 직선이 \Gamma와 (같을 수 있는) 두 점 C,D에서 만난다고 하자. **방멱 정리**(方冪定理, power theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.isbn=0-88385-619-028, §2.1, Theorem 2.11 :\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD} 여기서 \cdot은 벡터의 스칼라곱이다. 특히, 한 직선이 O를 지나도록 하면 이 스칼라곱은 방멱임을 알 수 있다. 이에 따라, \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}는 직선 PAB의 선택과 무관하다. 방멱 정리는 흔히 원 C에 대한 점 P의 상대적인 위치와 직선의 두 교점이 같은지 여부에 따라 다음과 같은 경우로 나뉘어 서술된다.
### 두 현에 대한 방멱 정리
원 \Gamma의 두 현 AB와 CD가 \Gamma 내부의 점 P에서 만난다고 하자. 그렇다면, :PA\cdot PB=PC\cdot PD 이다. 특히, 이는 \Gamma에 대한 P의 방멱의 −1배와 같다. 28, §2.1 각 \angle BAD와 \angle DCB는 모두 호 BD에 대한 원주각이므로, :\angle BAD=\angle DCB 이다. 각 \angle APD와 \angle BPC는 맞꼭지각이므로, :\angle APD=\angle BPC 이다. 따라서, 삼각형 \triangle PDA와 \triangle PBC는 서로 닮음이며, 따라서 :\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB} 이다. 증명 끝
### 두 할선에 대한 방멱 정리
원 \Gamma의 두 현 AB와 CD의 연장선이 \Gamma 외부의 점 P에서 만난다고 하자. 그렇다면, :PA\cdot PB=PC\cdot PD 이다. 특히, 이는 \Gamma에 대한 P의 방멱과 같다. 28, §2.1 편의상 PA이고 PC라고 하자. 그렇다면 각 \angle ABC와 ADC는 호 AC에 대한 원주각이므로, :\angle{ABC}=\angle{ADC} 이다. 또한 삼각형 \triangle PBC와 \triangle PDA는 각 \angle P를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서 :\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB} 이다. 증명 끝
### 할선과 접선에 대한 방멱 정리
원 \Gamma의 현 AB의 연장선과 \Gamma 위의 점 T에서의 접선 PT가 \Gamma 외부의 점 P에서 만난다고 하자. 그렇다면, :PA\cdot PB=PT^2 이다. 특히, 이는 \Gamma에 대한 P의 방멱과 같다. 28, §2.1 편의상 PA라고 하자. 그렇다면 각 \angle PBT와 \angle PTA는 각각 호 AT에 대한 원주각과 접현각이므로, :\angle PBT=\angle PTA 이다. 또한 삼각형 PBT와 PTA는 각 \angle P를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서 :\frac{PA}{PT}=\frac{PT}{PB} 이다. 증명 끝
## 방멱 정리의 역
반대로, 만약 직선 AB와 CD가 점 P에서 만나고, :\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD} 를 만족시킨다면, A,B,C,D는 공원점이다.30, §42 30, §42 편의상 C가 직선 AB 위의 점이 아니라고 하자. 점 A,B,C를 지나는 원 \Gamma가 직선 CD와 점 D'에서 만난다고 하자. 그렇다면, 방멱 정리에 의하여 :\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD'} 이므로, D=D'이다. 증명 끝
## 원의 직교와의 관계
중심이 O,O'이고 반지름이 r,r'인 두 원 \Gamma,\Gamma'에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * \Gamma와 \Gamma'은 서로 직교한다. (즉, 교점에서의 접선이 서로 수직이다.) * \Gamma에 대한 O'의 방멱은 {r'}^2이다. * \Gamma'에 대한 O의 방멱은 r^2이다.
# 역사
'방멱'이라는 개념은 스위스의 수학자 야코프 슈타이너가 처음 사용하였다.30, §2.1