켈렌-레만 스펙트럼 표현

양자장론 양자장론에서 **켈렌-레만 스펙트럼 표현**(Källén–Lehmann spectral representation)은 상호작용하는 양자장론의 2점 함수의 특이점들을 이론에 존재하는 상태들의 정지 질량들의 스펙트럼으로 표현하는 공식이다.
# 역사
스웨덴의 군나르 켈렌(Gunnar Källén)이 1952년에 도입하고,언어=en 독일의 해리 레만(Harry Lehmann)이 1954년에 개량하였다.doi=10.1007/BF02783624
# 정의
푸앵카레 대칭을 깨지 않는 양자장론에서 에르미트 스칼라장 \phi(x)를 생각하자. 이 스칼라장은 자유장이 아니고 상호작용하는 이론의 하이젠베르크 묘사로 나타난나고 하자. 그렇다면 이 입자의 2점 함수의 **켈렌-레만 스펙트럼 표현**은 다음과 같다. :\langle0|\mathcal T[\phi(x)\phi(y)]|0\rangle =\int_0^\infty\frac{dM^2}{2\pi}\rho(M^2)\Delta_{\text{F(x-y;M). 여기서 |0\rangle는 상호작용하는 장의 진공이고, \Delta_{\text{F(x-y;M)은 질량 M을 갖는 스칼라 입자의 파인먼 전파 인자다. \rho(M^2)는 이론에 따라 다른 함수로, **스펙트럼 밀도**(spectral density)라고 한다. 스펙트럼 함수 \rho(M^2)의 디랙 델타 함수 꼴의 특이점은 하나의 입자를 포함하는 상태들이다. 스펙트럼 함수가 0이 아니고 연속적인 부분들은 다입자 상태들을 나타낸다. 스핀을 가지는 장의 경우에도 유사한 스펙트럼 표현이 존재한다.
# 전개
푸앵카레 대칭을 따르고 (푸앵카레 자발 대칭 깨짐이 일어나지 않고), 진공 |0\rangle을 가진 양자장론을 생각하자. \phi(x)가 국소 에르미트 로런츠 스칼라 연산자라고 하자. 이 연산자는 병진 변환을 사용하여 :\phi(x)=\exp(i\hat P\cdot x)\phi(0)\exp(-i\hat P\cdot x) 로 나타낼 수 있다. 여기서 \hat P^\mu는 사차원 운동량 연산자이다. U(\Lambda)가 로런츠 변환이라고 하자. \phi는 로런츠 스칼라라고 가정하였으므로, :U(\Lambda)\phi(x)U^{-1}(\Lambda)=\phi(\Lambda^\mu_\nu x^\nu) 이다. 여기서 \Lambda^\mu_\nu는 x^\nu에 대한 로런츠 변환 행렬이다. |\lambda_{\mathbf p}\rangle가, 총 사차원 운동량이 p^\mu=(E_{\mathbf p},\mathbf p)=(\sqrt{m^2+\mathbf p^2},\mathbf p)인 상태라고 하자. 그렇다면 :\hat P|\lambda_{\mathbf p}\rangle=p^\mu|\lambda_{\mathbf p}\rangle 이다. U_p가 p^\mu의 질량 중심 관성계로 변환시키는 로런츠 변환 연산자라고 하자. 즉, :U_p|\lambda_{\mathbf p}\rangle=|\lambda_{\mathbf 0}\rangle 이다. 진공은 푸앵카레 대칭에 대하여 불변이므로, :\hat P|0\rangle=0 :U_p|0\rangle=|0\rangle 이다. 따라서 :\langle0|\phi(x)|\lambda_{\mathbf p}\rangle ::=\langle0|\exp(i\hat P\cdot x)\phi(0)\exp(-i\hat P\cdot x)|\lambda_{\mathbf p}\rangle ::=\exp(-ip\cdot x)\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf p}\rangle ::=\exp(-ip\cdot x)\langle0|U_p^{-1}\phi(0)U_p|\lambda_{\mathbf p}\rangle ::=\exp(-ip\cdot x)\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf 0}\rangle 이다. 또한, \phi(x)의 진공 기댓값이 \langle0|\phi(x)|0\rangle=\langle0|\phi(0)|0\rangle=0이라고 가정하자. (그렇지 않는 경우, \tilde\phi(x)=\phi(x)-\langle\phi\rangle로 장을 재정의할 수 있다.) \phi의 2점 함수는 다음과 같다. :\langle0|\mathcal T[\phi(x)\phi(y)]|0\rangle. 여기에 다음과 같은 단위 연산자 :\hat{1}=|0\rangle\langle0|+\sum_\lambda\int\frac{d^3\mathbf p}{(2\pi)^32E_{\mathbf p|\lambda_{\mathbf p}\rangle\langle\lambda_{\mathbf p}| 를 삽입하고, 병진 변환을 사용하면 다음과 같다. :\langle0|\mathcal T[\phi(x)\phi(y)]|0\rangle ::=\sum_\lambda\mathcal T\left[\int\frac{d^3\mathbf p}{(2\pi)^32E_{\mathbf p\langle0|\phi(x)|\lambda_{\mathbf p}\rangle\langle\lambda_{\mathbf p}|\phi(y)|0\rangle \right] ::=\sum_\lambda\left|\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf0}\rangle\right|^2\int\frac{d^3\mathbf p}{(2\pi)^32E_{\mathbf p\exp\left(ip\cdot(y-x)\operatorname{sgn}(x_0-y_0)\right) 여기에 경로적분법을 역으로 사용하여 \int dp^0/2\pi를 추가하자. ::=\sum_\lambda\left|\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf0}\rangle\right|^2\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac i{p^2-m_\lambda^2+i\epsilon}\exp\left(ip\cdot(y-x)\right) ::=\sum_\lambda\left|\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf0}\rangle\right|^2\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac i{p^2-m_\lambda^2+i\epsilon}\exp\left(ip\cdot(y-x)\right) ::=\sum_\lambda\left|\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf0}\rangle\right|^2\Delta_{\text{F(x-y;m_\lambda). 여기서 \Delta_{\text{F(x-y;m_\lambda)는 정지 질량이 m_\lambda인 스칼라 입자의 파인먼 전파 인자이다. 이제 **스펙트럼 밀도**(spectral density) \rho(M^2)를 다음과 같이 정의하자. :\rho(M^2)\equiv2\pi\sum_\lambda\left|\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf0}\rangle\right|^2\delta(M^2-m_\lambda^2). 여기서 \delta()는 디랙 델타 함수이다. 그렇다면 :\langle0|\mathcal T[\phi(x)\phi(y)]|0\rangle =\int_0^\infty\frac{dM^2}{2\pi}\rho(M^2)\Delta_{\text{F(x-y;M) 이다. 이를 **켈렌-레만 스펙트럼 표현**이라고 한다.