점을 가진 공간

호모토피 이론에서 **점을 가진 공간**(pointed space)은 위상 공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다.
# 정의
범주 \mathcal C가 시작 대상 1\in\mathcal C을 갖는다고 하자. \mathcal C 위의 **점을 가진 범주**(pointed category) \mathcal C_\bullet는 쌍대 조각 범주 1\backslash\mathcal C이다. 즉, * \mathcal C_\bullet의 대상은 \mathcal C의 사상 \bullet_X\colon 1\to X이다. 이는 X와 그 속의 "점" \bullet_X의 순서쌍 (X,\bullet_X)으로 생각할 수 있다. 이를 X의 **밑점**(-點, basepoint)이라고 한다. * \mathcal C_\bullet의 대상 (X,\bullet_X),(Y,\bullet_Y)\in\mathcal C_\bullet 사이의 사상 f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)은 다음 그림을 가환하게 하는 \mathcal C에서의 사상 f\colon X\to Y이다. *:\begin{matrix} 1&\xrightarrow{\bullet_X}& X\\\ &{\scriptstyle\bullet_Y}\\!\\!\searrow&\downarrow\scriptstyle f\\\ &&Y; \end{matrix} 즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.
# 성질
시작 대상 1\in\mathcal C을 가진 범주 \mathcal C 위의 점을 가진 범주 \mathcal C_\bullet는 항상 영 대상 1\in\mathcal C_\bullet을 가진다. 영 대상을 가진 범주 \mathcal C 위의 점을 가진 범주는 \mathcal C와 동치이다. 즉, 범주 \mathcal C에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \mathcal C는 영 대상을 가진다. * \mathcal C\simeq\mathcal D_\bullet인, 시작 대상을 가진 범주 \mathcal D가 존재한다.
## 망각 함자
시작 대상 1\in\mathcal C을 가진 범주 \mathcal C 위의 점을 가진 범주 \mathcal C_\bullet는 원래 범주 \mathcal C로 가는 자연스러운 망각 함자 :F\colon\mathcal C_\bullet\to\mathcal C 를 갖는다. 만약 \mathcal C가 유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자 :(-)_+\colon\mathcal C\to\mathcal C_\bullet :(-)_+\colon (X\in\mathcal C)\mapsto X_+=(X\sqcup1,1\hookrightarrow X\sqcup1) :(-)_+\dashv F 를 갖는다. 이를 **밑점 추가**(adjoining disjoint basepoint)라고 한다.
## 분쇄곱
(\mathcal C,\otimes)가 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면 \mathcal C_\bullet 역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. \mathcal C_\bullet에서의 텐서곱은 **분쇄곱**(smash product) \wedge이라고 한다. 또한, 만약 (\mathcal C,\otimes)가 대칭 모노이드 범주라면 (\mathcal C_\bullet,\wedge) 역시 대칭 모노이드 범주이다. 구체적으로, \mathcal C_\bullet 속의 두 대상 (X,\bullet_X), (Y,\bullet_Y)의 **분쇄곱** (X,\bullet_X)\wedge(Y,\bullet_Y)은 다음과 같은 밂이다. :\begin{matrix} (X\otimes1)\sqcup(1\otimes Y)&\to&1\\\ \downarrow&&\downarrow\\\ X\otimes Y&\to&X;\wedge Y \end{matrix} 이 네모의 왼쪽 변은 :\otimes\bullet_Y\colon X\otimes1\to X\otimes Y :\bullet_X\otimes\colon 1\otimes Y\to X\otimes Y 로부터 유도되는 사상 :(\otimes\bullet_Y)\sqcup(\bullet_X\otimes) \colon (X\otimes1)\sqcup(1\otimes Y)\to X\otimes Y 이다. \mathcal C_\bullet에서의 지수 대상 [-,-]_\bullet은 다음과 같은 당김이다. :\begin{matrix} [X,Y]_\bullet&\to&1\\\ \downarrow&&\downarrow\scriptstyle{\bullet_Y}\\\ {}[X,Y]&\xrightarrow[\circ{\bullet_X}]{}&[1,Y] \end{matrix} [X,Y]_\bullet의 점은 유일한 사상 X\to 1\xrightarrow{\bullet_Y}Y에 대응한다.
# 예

## 점을 가진 집합
집합의 범주에서, 시작 대상은 한원소 집합이다. 따라서, **점을 가진 집합**(pointed set)의 범주 \operatorname{Set}_\bullet의 원소는 집합 S와 그 속의 원소 \bullet_S\in S의 순서쌍 (S,\bullet_S)이다. 점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)
## 점을 가진 공간
위상 공간의 범주 \operatorname{Top}에서 끝 대상은 한원소 공간 \\{\bullet\\}이며, 한원소 공간에서 위상 공간 X로 가는 연속 함수 \\{\bullet\\}\to X는 X 속의 한 점 \bullet_X\in X을 제시하는 것과 같다. 즉, **점을 가진 공간**(pointed space) (X,x_0)은 위상 공간 X와 그 속의 한 점 x_0\in X로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주 \operatorname{Top_\bullet}의 사상인 **점을 보존하는 연속 함수**(basepoint-preserving continuous map) f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)는 :f(\bullet_X)=\bullet_Y 인 연속 함수이다.
## 영 대상을 가진 범주
군의 범주 \operatorname{Grp}나 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}, 나아가 임의의 아벨 범주는 모두 영 대상을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다. 예를 들어, 모든 군 또는 아벨 군 G에 대하여, 항등원 1_G\in G는 그 "점"을 이룬다.