카탈랑의 다면체

마름모 십이면체와 그 면 배치이다 면 배치가 V4.6.10인 육방 이십면체는 120개의 면을 가진 가장 큰 카탈랑의 다면체이다. 수학에서, **카탈랑의 다면체** 또는 **아르키메데스 쌍대**는 아르키메데스의 다면체의 쌍대다면체이다. 카탈랑의 다면체는 1865년에 처음으로 기술한 벨기에수학자 외젠 샤를 카탈랑의 이름을 따 왔다. 카탈랑의 다면체는 모두 볼록이다. 또한 면추이지만 점추이는 아니다. 그 이유는 쌍대인 아르키메데스의 다면체가 점추이지만 면추이는 아니기 때문이다. 정다면체와 아르키메데스의 다면체와 다르게 카탈랑의 다면체의 면은 정다각형이 아니다. 하지만 카탈랑의 다면체의 꼭짓점 도형은 정다각형이고, 이면각이 모두 균일하다. 카탈랑의 다면체는 면추이이기 때문에 등방체이다. 게다가 카탈랑의 다면체 중 둘은 변추이이다:마름모십이면체와 마름모삼십면체이다. 이것은 두 준정다면체의 쌍대이다. 각기둥과 엇각기둥을 아르키메데스 다면체로 보지 않는 것과 같이, 쌍각뿔과 엇쌍각뿔은 면추이임에도 불구하고 카탈랑의 다면체로 보지 않는다. 카탈랑의 다면체 중 두개는 카이랄상을 가지고 있다: 다듬은 정육면체와 다듬은 정십이면체의 쌍대인 오각이십사면체와 오각육십면체이다. 이것은 각각 거울상을 만든다. 거울상과 겹각뿔, 엇겹각뿔을 제외하면 카탈랑의 다면체는 총 13개가 있다. {| class="wikitable sortable" !n||아르키메데스의 다면체||카탈랑의 다면체 |- !1 ||깎은 정사면체||삼방사면체 |- !2 ||깎은 정육면체||삼방팔면체 |- !3 ||깎은 육팔면체||육방팔면체 |- !4 ||깎은 정팔면체||사방육면체 |- !5 ||깎은 정십이면체||삼방이십면체 |- !6 ||깎은 십이이십면체||육방이십면체 |- !7 ||깎은 정이십면체||오방십이면체 |- !8 ||육팔면체||마름모십이면체 |- !9 ||십이이십면체||마름모삼십면체 |- !10 ||마름모육팔면체||연꼴이십사면체 |- !11 ||마름모십이이십면체||연꼴육십면체 |- !12 ||다듬은 정육면체||오각이십사면체 |- !13 ||다듬은 정십이면체||오각육십면체 |}
# 대칭성
카탈랑의 다면체에서, 쌍대인 아르키메데스의 다면체를 따라 대칭성으로 묶을 수 있다: 정사면체, 정팔면체 그리고 정이십면체. 각 그룹마다 6가지 형태가 있다. 자기쌍대인 정사면체 그룹은 유일하게 3가지가 있고 나머지 둘은 정팔면체 그룹과 같다 {| | {| class="wikitable" |+ 정사면체 대칭 |- !colspan=11|아르키메데스 |- align=center valign=top | | | |- !colspan=8|카탈랑 |- align=center | | | |} | {| class="wikitable" |+ 정팔면체 대칭 |- !colspan=11|아르키메데스 |- align=center valign=top | | | | | | |- align=center !colspan=11|카탈랑 |- align=center | | | | | | |} |} {| class="wikitable" |+ 정이십면체 대칭 |- !colspan=11|아르키메데스 |- align=center valign=top | | | | | | |- align=center !colspan=11|카탈랑 |- align=center | | | | | | |}
# 목록
{| class="wikitable sortable" ! 이름
(쌍대)
콘웨이 이름 ! 그림 ! 정사영 ! 면 도형 ! 면 ! 모서리 ! 꼭짓점 ! 공간대칭군 |- align=center | 삼방사면체
(깎은 정사면체)
"kT" | Triakis tetrahedronTriakis tetrahedron | | 이등변삼각형

V3.6.6 | 12 | 18 | 8 | Td |- align=center | 마름모십이면체
(육팔면체)
"jC" | Rhombic dodecahedronRhombic dodecahedron | | 마름모

V3.4.3.4 | 12 | 24 | 14 | Oh |- align=center | 삼방팔면체
(깎은 정육면체)
"kO" | Triakis octahedronTriakis octahedron | | 이등변삼각형

V3.8.8 | 24 | 36 | 14 | Oh |- align=center | 사방육면체
(깎은 정팔면체)
"kC" | Tetrakis hexahedronTetrakis hexahedron | | 이등변삼각형

V4.6.6 | 24 | 36 | 14 | Oh |- align=center | 연꼴이십사면체
(마름모육팔면체)
"oC" | Deltoidal icositetrahedronDeltoidal icositetrahedron | | 연꼴

V3.4.4.4 | 24 | 48 | 26 | Oh |- align=center | 육방팔면체
(깎은 육팔면체)
"mC" | Disdyakis dodecahedronDisdyakis dodecahedron | | 부등변삼각형

V4.6.8 | 48 | 72 | 26 | Oh |- align=center | 오각이십사면체
(다듬은 정육면체)
"gC" | Pentagonal icositetrahedronPentagonal icositetrahedron (Ccw) | | 오각형

V3.3.3.3.4 | 24 | 60 | 38 | O |- align=center | 마름모삼십면체
(십이이십면체)
"jD" | Rhombic triacontahedronRhombic triacontahedron | | 마름모

V3.5.3.5 | 30 | 60 | 32 | Ih |- align=center | 삼방이십면체
(깎은 정십이면체)
"kI" | Triakis icosahedronTriakis icosahedron | | 이등변삼각형

V3.10.10 | 60 | 90 | 32 | Ih |- align=center | 오방십이면체
(깎은 정이십면체)
"kD" | Pentakis dodecahedronPentakis dodecahedron | | 이등변삼각형

V5.6.6 | 60 | 90 | 32 | Ih |- align=center | 연꼴육십면체
(마름모십이이십면체)
"oD" | Deltoidal hexecontahedronDeltoidal hexecontahedron | | 연꼴

V3.4.5.4 | 60 | 120 | 62 | Ih |- align=center | 육방이십면체
(깎은 십이이십면체)
"mD" | Disdyakis triacontahedronDisdyakis triacontahedron | | 부등변삼각형

V4.6.10 | 120 | 180 | 62 | Ih |- align=center | 오각육십면체
(다듬은 정십이면체)
"gD" | Pentagonal hexecontahedronPentagonal hexecontahedron (Ccw) | | 오각형

V3.3.3.3.5 | 60 | 150 | 92 | I |}
# 참고 자료
* 외젠 샤를 카탈랑 *Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.* J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865. * Alan Holden *Shapes, Space, and Symmetry*. New York: Dover, 1991. * (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals) * The Geometrical Foundation of Natural Structure (book) (Section 3-9) * isbn= 0-520-03056-7 Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms