델 (연산자)

\nabla

나블라 기호를
사용하여 표시하는
**델 연산자**

**델 연산자**는 벡터 미적분학에서 많이 쓰이는 연산자로써 나블라 기호로 표현하며 함수의 발산이나 회전 등을 나타내는데 사용된다. 어떤 함수 y=f\left( x\right)를 미분할 때 미분을 하나의 과정으로 볼 수 있지만 하나의 연산, 즉 y를 \frac{d}{dx}라는 연산자를 사용하여 연산하는 방법으로 바라볼 수도 있다. 델 연산자는 미분 연산자와 마찬가지로 그래디언트를 하나의 연산자로 바라본 것이다.
# 수학적 정의
3차원 공간 \mathbb{R}^3에서 **델 연산자**는 \nabla =\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}로 정의된다. 비슷한 방식으로 n차원 공간에서의 **델 연산자**는 다음과 같이 정의된다. :\nabla =\sum_{i=1}^{n}\mathbf{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i} 여기서 \mathbf{e}_i는 i번째 좌표만 1이고 나머지는 0으로 채워진 n차원의 표준기저를 의미한다.
# 그래디언트
**델 연산자**를 어떤 함수 f:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}에 적용시키자. 다시 말해서 f를 어떤 스칼라 함수라 하고, \overrightarrow{A}=(A_x,A_y,A_z)를 3차원 공간상의 어떤 벡터라 하자. 각각은 x,y,z 에 대한 함수다. 이 때, 4가지 연산의 정의는 이렇게 쓸 수가 있다. :\nabla f=\left(\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\right) f=\mathbf{i}\frac{\partial f}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial f}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial f}{\partial z} 이는 그래디언트의 정의와 같다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자를 이용하여 정의된다.
# 발산
발산 (벡터) 어떤 벡터장 \mathbf{F}:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3의 **발산** 또는 **다이버전스**는 **델 연산자**와의 스칼라곱으로 정의된다. :\operatorname{div}\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\left(\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left( F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}\right) =\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z} 여기서 F_1,~F_2,~F_3는 벡터장 \mathbf{F}의 성분 스칼라장들이다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자와 n차원 벡터장의 스칼라곱으로 정의된다.
# 회전
회전 (벡터) 어떤 벡터장 \mathbf{F}:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3의 **회전** 또는 **돌개**는 **델 연산자**와의 벡터곱으로 정의된다. :\operatorname{curl}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\F_1&F;_2&F;_3\end{vmatrix}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{k} 여기서 F_1,~F_2,~F_3는 벡터장 \mathbf{F}의 성분 스칼라장들이며 회전연산자의 결과 \operatorname{curl}F 또는 \nabla\times F는 같은 차원의 벡터장이다. 3차원이 아닌 공간에서는 정의되지 않지만 2차원 평면에서는 \mathbf{k}성분이 없는 3차원 벡터로 놓고 계산하는 경우도 있다.
# 라플라시안
라플라스 연산자 **라플라시안** 또는 **라플라스 연산자** \nabla^2은 그래디언트의 발산으로 정의된다. :\nabla^2f=\nabla\cdot\left(\nabla f\right) =\left(\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left(\mathbf{i}\frac{\partial f}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial f}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial f}{\partial z}\right) =\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2} 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 그래디언트의 n차원 발산으로 정의된다.
# 관련된 여러 성질들
c는 상수이고 함수 f,~g,~\mathbf{F},~\mathbf{G}는 다음과 같이 정의된다. f:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},~g:B\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},~\mathbf{F}:C\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,~\mathbf{G}:D\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 # \nabla\left( f+g\right) =\nabla f+\nabla g # \nabla\left( cf\right) =c\nabla f # \nabla\left( fg\right) =f\nabla g+g\nabla f # g\left(\mathbf{x}\right)\ne 0인 \mathbf{x}에 대해서 \nabla\left(\frac{f}{g}\right) =\frac{g\nabla f-f\nabla g}{g^2} # \nabla\cdot\left(\mathbf{F}+\mathbf{G}\right) =\nabla\cdot\mathbf{F}+\nabla\cdot\mathbf{G} # \nabla\cdot\left( c\mathbf{F}\right) =c\nabla\cdot\mathbf{F} # \nabla\cdot\left( f\mathbf{F}\right) =f\nabla\cdot\mathbf{F}+\mathbf{F}\cdot\nabla f # \nabla\cdot\left(\nabla f\times\nabla g\right) =0 # \nabla\times\left(\mathbf{F}+\mathbf{G}\right) =\nabla\times\mathbf{F}+\nabla\times\mathbf{G} # \nabla\times\left( c\mathbf{F}\right) =c\nabla\times\mathbf{F} # \nabla\times\left( f\mathbf{F}\right) =f\nabla\times\mathbf{F}+\nabla f\times\mathbf{F} # \nabla\times\nabla f=\mathbf{0} # \nabla\cdot\nabla\times\mathbf{F}=0 # \nabla^2\left( fg\right) =f\nabla^2g+2\left(\nabla f\cdot\nabla g\right) +g\nabla^2f # \nabla\cdot\left( f\nabla g-g\nabla f\right) =f\nabla^2g-g\nabla^2f 1번과 2번 성질에 의하여 그래디언트가, 5번과 6번 성질에 의하여 발산이, 9번과 10번 성질에 의하여 회전이 선형변환임을 알 수 있다.
# 역사
**델 연산자**는 윌리엄 로언 해밀턴이 사원수를 연구하면서 생각해낸 개념으로 그는 \nabla =\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}로 정의하였다. 만약 3차원 공간의 스칼라장 f와 곱하면 f의 그래디언트를 얻을 수 있고 3차원 벡터장과 사원수 곱을 하면 스칼라 성분은 발산의 음수, 벡터성분은 회전이다.(\nabla\mathbf{V}=-\nabla\cdot\mathbf{V}+\nabla\times\mathbf{V}, 여기서 \nabla\mathbf{V}는 그래디언트가 아니라 단순히 델과 **V**의 곱이다.) 그는 이러한 개념들에서 물리적 의미를 찾을 수는 없었지만 중요한 물리적 의미가 있을 것이라고 예상하고 있었다. 델 연산자와 발산, 회전의 물리적 의미를 처음으로 발견한 사람은 제임스 클러크 맥스웰이다. 맥스웰은 그의 논문 >에서는 발산과 회전을 각각 그 당시 많이 사용되던 단어인 컨버전스(convergence)와 로테이션(rotation)이라 이름 붙이고 전기장과 자기장 사이의 상호작용을 설명하였다. 그는 발산의 물리적 의미를 가우스의 발산정리를 이용하여 설명하였으나 회전의 경우 깊은 물리적 의미를 찾지는 못하였다. 지금의 이름인 ‘발산(divergence)’과 ‘회전(curl)’을 붙인 것은 조사이어 윌러드 기브스이다. 그는 맥스웰보다 발산과 회전의 훨씬 더 근본적인 물리적 의미를 찾아냈다. 그가 찾아낸 발산의 의미는 공간에서 유체의 속도벡터와 공간 상의 어느 한 점에서 유체가 빠져나가는 속도를 잇는 연산자였고, 회전의 의미는 어떤 강체 각 지점의 속도 벡터와 강체의 각속도를 연결짓는 연산자였다.