Tor 함자

호몰로지 대수학에서 **Tor 함자**(Tor函子, Tor functor)는 가군 텐서곱 함자의 유도 함자다.
# 정의
R이 (단위원을 가진) 환이고, _R{}\operatorname{Mod}이 R에 대한 왼쪽 가군들의 범주, \operatorname{Mod}_R이 R에 대한 오른쪽 가군들의 범주라고 하자. 이 범주들은 아벨 범주를 이룬다. 오른쪽 가군 A\in\operatorname{Mod}_R와 왼쪽 가군 B\in{}_R\operatorname{Mod}의 텐서곱을 취하여 아벨 군 A\otimes_RB\in\operatorname{Ab}를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산 \otimes_R\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}는 쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서 \operatorname{Ab}는 아벨 군들의 범주다. A\otimes_R\colon{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}는 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 그 왼쪽 유도 함자 L^i(A\otimes)를 취할 수 있다. 마찬가지로, \otimes_RB\colon\operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Ab} 또한 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 왼쪽 유도 함자 L^i(\otimes_RB)를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉, :L^i(A\otimes_R)B=A(L^i\otimes_RB)=\operatorname{Tor}^R_i(A,B) 이다. 이 쌍함자 \operatorname{Tor}^R_i\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}를 **Tor 함자**라고 한다.
# 성질
Tor 함자는 직합을 보존한다. 즉, :\operatorname{Tor}_n^R\left(\bigoplus_{i\in I}M_i,\bigoplus_{j\in J}N_j\right)=\bigoplus_{i\in I}\bigoplus_{j\in J}\operatorname{Tor}_n^R(M_i,N_j) 이다. 만약 R가 가환환인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다. :\operatorname{Tor}_n^R(M,N)\cong\operatorname{Tor}_n^R(M,N) 또한, 이 경우 \operatorname{Tor}_n^R(M,N)은 R 위의 가군의 구조를 갖는다. 만약 R가 가환환이며, r\in R가 영인자가 아닐 때, 다음이 성립한다. :\operatorname{Tor}_1^R(R/(r),M)=\ker(r\cdot)=\\{m\in M\colon rm=0\\}
# 예

## 벡터 공간
체 K 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이다. 즉, 벡터 공간 V의 사영 분해는 자명하다. :0\to P_0=V\to V\to0 따라서, K 위의 벡터 공간 V, W가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. :\operatorname{Tor}_0^K(V,W)=V\otimes_KW :\operatorname{Tor}_n^K(V,W)=0\qquad\forall n>0
## 아벨 군
정수환 \mathbb Z 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 G는 자유 아벨 군 P_0의 몫군 P_0/P_1으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다. :0\to G\to P^0\to P^1\to0 아벨 군 G, H가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. G의 사영 분해가 :0\to P^1\xrightarrow{\iota}P_0\to G\to0 이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다. :0\to P_1\otimes_{\mathbb Z} H \xrightarrow{\iota\otimes_{\mathbb Z}\operatorname{id P_0\otimes_{\mathbb Z}H\to0 따라서, :\operatorname{Tor}_0^{\mathbb Z}(G,H)\cong G\otimes_{\mathbb Z}H 이며, :\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(G,H)\cong\ker(\iota\otimes_{\mathbb Z}\operatorname{id}) 이다. 특히, :\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z,H)=0 :\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(0,H)=H :\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z/(n),H)=\operatorname{Tors}_n(H)=\\{h\in H\colon nh=0\\} 이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 직합을 보존하므로, :\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}\left(\bigoplus_i\mathbb Z/(n_i),H\right)=\bigoplus_i\operatorname{Tors}_{n_i}(H) 가 된다. 또한, :\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Q/\mathbb Z,H)=\operatorname{Tors}(H)=\\{h\in H\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon nh=0\\} 이므로 H의 꼬임 부분군이 된다. {| class=wikitable |+ \operatorname{Tor}_0^{\mathbb Z}(G,H)=G\otimes H ! G\backslash H || \mathbb Z || \mathbb Z/(n) || \mathbb Q |- ! \mathbb Z | \mathbb Z || \mathbb Z/(n) || \mathbb Q |- ! \mathbb Z/(m) | \mathbb Z/(m) || \mathbb Z/(\gcd\\{m,n\\}) || 0 |- ! \mathbb Q | \mathbb Q || 0 || \mathbb Q |} {| class=wikitable |+ \operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(G,H) ! G\backslash H || \mathbb Z || \mathbb Z/(n) || \mathbb Q |- ! \mathbb Z | 0 || 0 || 0 |- ! \mathbb Z/(m) | 0 || \mathbb Z/(\gcd\\{m,n\\}) || 0 |- ! \mathbb Q | 0 || 0 || 0 |}
## 리 대수 호몰로지
리 대수 호몰로지 리 대수 호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Tor 함자와 같다.
# 어원
‘Tor’는 토전(꼬임 부분군)의 약자다. 이는 Tor 함자가 아벨 군의 꼬임 부분군과 관련있기 때문이다.