크룰 차원

가환대수학과 대수기하학에서 **크룰 차원**(Krull次元, Krull dimension)은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.
# 정의

## 위상 공간의 차원
위상 공간 X의 **기약 집합**(irreducible set)은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다.3 (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.) X의 **크룰 차원**은 X의 기약 집합들의 사슬 :I_0\subsetneq I_1\subsetneq\cdots I_{n-1}\subsetneq I_n 의 길이들의 상한 n\in\mathbb N\cup\\{+\infty,-\infty\\}이다.5 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은 -\infty이다. 보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환의 스펙트럼의 크룰 차원은 -\infty이다. 위상 공간 X의 열린 덮개 \\{U_i\\}_{i\in I}가 주어졌을 때, 다음이 성립한다. :\dim X=\sup_{i\in I}\dim U_i
## 가군의 차원
가환환 R 위의 가군 M의 **크룰 차원**은 다음과 같다.226 :\dim_RM=\dim\operatorname{Spec}(R/\operatorname{Ann}_R(M)) 여기서 \operatorname{Ann}_R(M)은 M의 소멸자이며, \operatorname{Spec}은 환의 스펙트럼이다. 대수기하학적으로, 이는 M을 \operatorname{Spec}R 위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다.
## 아이디얼의 높이
가환환 R의 소 아이디얼 \mathfrak p의 **높이**(height) \operatorname{ht}_R\mathfrak p는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 n이다. :\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\mathfrak p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n\subseteq\mathfrak p 이는 국소화 R_{\mathfrak p}의 크룰 차원과 같다. :\dim R_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}_R\mathfrak p 가환환 R의 아이디얼 \mathfrak a의 **높이**(height) \operatorname{ht}_R\mathfrak a는 \mathfrak a를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다. :\operatorname{ht}_R\mathfrak a=\inf_{\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\operatorname{ht}_R\mathfrak p (초른 보조정리에 따라, \mathfrak a를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.) 대수기하학적으로, 이는 \operatorname{Spec}(R/\mathfrak a)\subseteq\operatorname{Spec}R의 여차원과 같다. :\operatorname{codim}_R(R/\mathfrak a)=\operatorname{ht}_R\mathfrak a
# 성질

## 가환환의 차원
R가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 R의 소 아이디얼들 \mathfrak p_i가 다음과 같은 진부분집합의 사슬 :\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\mathfrak p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n 을 이룰 때, 음이 아닌 정수 n을 집합 H(R)\subset\mathbb N의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 R의 **크룰 차원**은 H(R)의 상한이다.issn=0072-52856 즉, :\dim R=\sup H(R)\in\mathbb N\sqcup\\{\infty\\} 자명환의 경우, 크룰 차원은 -\infty이다. 그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다. * R의 환으로서의 크룰 차원 * 스펙트럼 \operatorname{Spec}R의 크룰 차원 * R를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, R의 가군 크룰 차원 가환환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 체이다. * 크룰 차원이 0인 정역이다. 가환환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.227, Corollary 9.190, Theorem 8.5 * 아르틴 환이다. * 크룰 차원이 0인 뇌터 환이다. 일반적인 가환환 R에 대하여, 다음이 성립한다. :\dim R+1\le\dim R[x]\le2\dim R+1 만약 R가 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.언어=enCorollary 10.13 :\dim R[x]=1+\dim R
## 대수다양체의 차원
대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다. 대수적으로 닫힌 체 K에 대한 아핀 대수다양체 V=\operatorname{Spec}K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p (\mathfrak p는 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.124–125 * V의 크룰 차원이 d이다. * V의 임의의 비특이점에서의 뇌터 국소환의 크룰 차원이 d이다. * V의 유리 함수체 \Gamma(V,\mathcal K_V)=\operatorname{Frac}(K[x_1,\dots,x_n/\mathfrak p)의 K에 대한 초월 차수가 d이다. * K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p의 힐베르트 다항식이 d차 다항식이다. 대수적으로 닫힌 체 K에 대한 사영 대수다양체 V=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p (\mathfrak p는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. * V의 크룰 차원이 d이다. * V의 임의의 비특이점에서의 국소환의 크룰 차원이 d이다. * K[x_0,\dots,x_n]/\mathfrak p의 K에 대한 초월 차수가 d+1이다.
## 뇌터 국소환의 차원
뇌터 국소환 (R,\mathfrak m)의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.언어=en119 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다. * R의 크룰 차원 \dim R * R에서, R/(r_1,r_2,\dots,r_\delta)가 자명환이 아닌 아르틴 환이 되는 아이디얼 (r_1,\dots,r_\delta)의 생성원들의 최소 크기 \delta * \mathfrak q가 임의의 \mathfrak m-으뜸 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 형식적 멱급수P(t)=\sum_{n=0}^\infty \ell(\mathfrak q^n/\mathfrak q^{n+1}))t^n\in\mathbb Zt를 정의할 수 있다 (\mathfrak q^0=R, \ell은 가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, P(t)\in\mathbb Z(t)의 t=1에서의 극점의 차수를 d라고 하자. 이 값은 \mathfrak q의 선택에 관계없다. 이렇게 정의하면, 항상 :\dim R=\delta=d<\infty 이다.
## 정칙 국소환의 차원
정칙 국소환 (R,\mathfrak m)의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.123, Theorem 11.22 * 뇌터 국소환으로서의 차원 \dim R (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.) * \dim_{R/\mathfrak m}(\mathfrak m/\mathfrak m^2). 여기서 \dim_{R/\mathfrak m}은 체 R/\mathfrak m 위의 벡터 공간의 차원이다. * \mathfrak m의 최소 생성 집합의 크기 * \textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n+1}\cong(R/\mathfrak m)[x_1,x_2,\dots,x_d]일 때, d. 여기서 \mathfrak m^0=R이다.
# 예

## 가환환의 차원
크룰 차원이 -\infty인 유일한 가환환은 자명환이다. 체의 소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 체는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다. k가 체라고 하자. 그렇다면 k[x]는 주 아이디얼 정역이므로 \dim k[x]=1이다. 보다 일반적으로, \dim k[x_1,x_2,\dots,x_n]=n이다.6 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 가환환 \mathbb Z/(n)의 크룰 차원은 다음과 같다. :\dim\mathbb Z/(n)=\begin{cases}1&n;=0\\\\-\infty&n;=1\\\0&n;\ne0,1\end{cases}
## 위상 공간의 차원
위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간의 경우, 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다. 시에르핀스키 공간 X=\\{0,1\\}, \mathcal T=\\{\varnothing,\\{1\\},X\\}의 기약 집합은 \\{0\\} 및 \\{0,1\\}이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.
## 벡터 공간의 크룰 차원
체 K 위의 벡터 공간 V의 가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 \operatorname{Ann}_K(V)=(0)이며, \operatorname{Spec}(K/(0))=\operatorname{Spec}K는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.
## 무한 차원의 뇌터 가환환
체 K에 대하여, 무한 개의 변수의 다항식환 :R=K[x_1,x_2,x_3,\dots] 를 생각하자. 임의의 증가 정수열 :0=n_1 가 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열 :\mathfrak p_i=(x_{n_{i-1}+1},x_{n_{i-1}+2},\dots,x_n)\qquad(i=1,2,3,\dots) 을 생각하자. 그렇다면 R를 :S=K[x_1,x_2,x_3,\dots]\setminus\bigcup_{i=1}^\infty\mathfrak p_i 에 국소화하면, S^{-1}R는 뇌터 환이며, 그 크룰 차원은 :\dim S^{-1}R=\sup\\{n_i-n_{i-1}\colon i\in\mathbb Z^+\\} 이다. 만약 \sup\\{n_i-n_{i-1}\colon i\in\mathbb Z^+\\}=\infty라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.언어=enAppendix, Example E1229, Exercise 9.6
# 역사
볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.doi=10.1007/BF01181179