게이지 이론

게이지 이론 (수학) 게이지 대칭 (수학) 양자장론 양자장론에서 **게이지 이론**(gauge theory)이란 그 라그랑지언이 국소적으로 대칭인 장론이다. 게이지 이론의 국소적 대칭 변환을 **게이지 변환**(gauge transformation)이라고 부른다. 게이지 이론의 국소적 대칭은 단순(또는 반단순) 콤팩트 리 군을 이룬다. 이 리 군의 리 대수의 각 생성원(generator)은 각각 벡터 장을 이룬다. 이를 게이지 장이라고 한다. 양자장론에서는 각 장에 해당하는 입자가 있는데, 이를 게이지 보손이라고 한다. 고전전자기학이 고전적 게이지 이론의 대표적인 예로, U(1) 대칭을 가진다. 이외에도 고전적 양-밀스 이론 따위가 있다. 양자장론으로는 표준 모형과 이를 이에 포함된 이론들(양자 전기역학, 양자 색역학, 글래쇼-살람-와인버그 이론) 모두 게이지 이론의 일종이다. 예를 들어 양자 전기역학은 아벨 리 군 U(1)을 기반으로 만들어졌고, 양자 색역학은 특수 유니타리 군SU(3)으로 만들어졌다.
# 정의

## 주다발
게이지 이론은 미분기하학의 올다발 이론으로 정의한다. 보통, 게이지 군은 반단순 콤팩트 리 군 G으로 잡는다. 이는 그 리 대수에 자연스러운 내적(킬링 형식)이 존재하여, 게이지 장의 내적을 정의할 수 있기 때문이다. (그러나 천-사이먼스 이론 등 위상 양자장론 따위에서 비콤팩트 리 군을 사용하기도 한다.) 시공간 M은 매끄러운 다양체이다. 게이지 이론에서는 M 위에 존재하는, 올이 G인 주다발 P\twoheadrightarrow M들의 집합을 고려한다. 가능한 주다발들의 종류는 M\to BG 연속함수들의 호모토피류 [M,BG]에 의하여 분류된다. 여기서 BG는 G의 분류 공간이다. 다양체 M이 콤팩트하지 않은 경우, 보통 그 알렉산드로프 콤팩트화 M^+ 위의 주다발을 생각한다. 예를 들어, 통상적인 경우는 4차원 민코프스키 공간의 알렉산드로프 콤팩트화 M^+=S^4를 사용하며, 이 경우 가능한 주다발들은 :[S^4,BG]=\pi_4(BG)=\pi_3(G) 에 의하여 분류된다. 여기서 \pi_k()는 k차 호모토피 군이다. 이러한 가능한 주다발들을 물리학에서는 **순간자**라고 한다. 게이지 이론을 양자화하는 과정에서, 경로 적분은 가능한 모든 주다발(들의 동형에 대한 동치류)들에 대하여 적분한다. 이는 일반적으로 중요하지 않지만, 예를 들어 게이지 군이 유한군인 데이크흐라프-위튼 모형(Dijkgraaf–Witten model)의 경우에는 국소적 자유도가 없으므로 이러한 대역적 자유도가 중요하다.언어=en언어=en 가장 간단한 경우인 G=U(1) (전기역학)의 경우, BU(1)=\mathbb CP^\infty이다. 즉, U(1) 다발은 복소 선다발과 대응하게 된다. 복소 선다발 L은 특성류 이론에 따라서 그 천 특성류 c_1(L)\in H^2(M;\mathbb Z)에 따라서 분류된다. 천 특성류는 선다발의 접속의 곡률의 코호몰로지류이므로, 천 특성류는 이는 장세기의 코호몰로지류이다. 즉, 장세기의 코호몰로지류는 정수 계수의 코호몰로지에 속하게 된다. 이는 디랙 양자화(Dirac quantization)를 의미한다.
## 게이지 변환
일반적으로, 물리적인 장들은 P 위에 정의된 동변(equivariant) 벡터장이다. 예를 들어, 군 표현 R\colon G\to U(V)이고 V가 복소수 벡터 공간이라면, 이에 따른 연관 벡터다발(associated vector bundle) P\times_GV를 생각할 수 있다. 스칼라장은 이 벡터다발의 단면 :\phi\in\Gamma(P\times_GV) 이 된다. 이는 함수 :\phi\in\Omega^0(P,V) 로 생각할 수 있고, 이 경우 \phi는 다음과 같은 동변성(equivariance) 조건을 만족시킨다. 임의의 g\in G에 대하여, :\phi(x\cdot g^{-1})=R(g)\cdot\phi(x) 만약 U\subset M에 단면 s\in\Gamma(P|_U)가 주어졌다고 하자. 그렇다면 s\colon U\to P|_U이므로, 이에 따라 당김을 정의할 수 있다. :s^*\phi\in\Omega^0(U,V) 이에 따라, \phi를 U\subset M 위에 정의된, V값을 갖는 함수로 생각할 수 있다. 물론 이는 단면 s의 선택에 따라 달라진다. 서로 다른 다른 단면 s,s'\in\Gamma(P|_U)의 차는 일반적으로 \alpha\colon U\to G와 같은 함수로 나타내어진다. 즉, :s'(x)=s(x)\cdot\alpha(x)^{-1} 이다. 이러한 함수 \alpha를 **게이지 변환**(gauge transformation)이라고 한다. \phi를 당기는 단면을 바꾸는 것은 다음과 같은 게이지 변환을 가하는 것과 같다. :(s\alpha^{-1})^*\phi=R(\alpha(x))s^*\phi\in\Omega^0(U,V) 만약 표현 R이 자명한 표현이라면, 즉 :(s\alpha^{-1})^*\phi=s^*\phi 라면, \phi는 단면 s\in\Gamma(P|_U)에 관계없이 M 위의 함수로 생각할 수 있다. 이러한 경우 \phi를 **게이지 불변**(gauge-invariant)이라고 한다.
## 거대 게이지 변환과 미세 게이지 변환
게이지 변환 \alpha\colon M\to G들의 집합 :\mathcal G=\mathcal C(M,G) 는 각 점마다의 합성을 통해 위상군을 이룬다. 이 게이지 변환군은 일반적으로 연결 공간이 아닐 수 있고, 그 연결 조각들은 호모토피류 :\mathcal G/\mathcal G_0=[M,G] 에 따라서 분류된다. 여기서 \mathcal G_0은 \mathcal G에서 단위원을 포함하는 연결 조각이다. 이러한 연결 조각들을 **거대 게이지 변환**(large gauge transformation)이라고 한다. 예를 들어, 4차원 민코프스키 공간(의 콤팩트화)의 경우, 거대 게이지 변환들은 호모토피 군 :[S^4,G]=\pi_4(G) 에 의하여 분류된다. 반면, \mathcal G의 리 대수 \mathcal C(M,\mathfrak g)의 원소들은 **미세 게이지 변환**(small gauge transformation)이라고 한다. 어떤 물리량이 게이지 불변임을 보이려면, 미세 게이지 변환과 거대 게이지 변환에 따라서 불변임을 보이면 된다. 어떤 물리량이 미세 게이지 변환에 대하여 불변이라면 이는 \mathcal G_0\subset\mathcal G (단위원을 포함하는 연결 조각)에 대하여 불변이며, 여기에 또한 \mathcal G/\mathcal G_0에 따라서 불변이라면 이는 \mathcal G 전체에 대하여 불변이기 때문이다.
## 접속과 게이지장
주다발 P\twoheadrightarrow M이 주어지면, 여기에 주접속 A 를 잡을 수 있다. 이 주접속은 물리학에 **게이지 퍼텐셜**(gauge potential)이라고 한다. G의 리 대수를 \mathfrak g라고 하자. 주접속 A\in\Omega^1(P,\mathfrak g)는 P 위에 정의된 동변 함수다. 여기서 동변성을 정의할 때는 리 대수 \mathfrak g 위에 자연스럽게 존재하는 딸림표현 \operatorname{Ad}\colon G\times\mathfrak g\to\mathfrak g을 사용한다. 위와 같이, 만약 국소적인 단면 s\in\Gamma(P|_U)가 주어지면, 주접속은 국소적으로 \mathfrak g값을 가진 미분형식 s^*A\in\Omega^1(U,\mathfrak g)로 나타낼 수 있다. 주접속의 게이지 변환은 :(s\alpha^{-1})^*A=\operatorname{Ad}(\alpha(x))s^*A+\alpha(x)d\alpha(x)^{-1}\in\Omega^1(U,\mathfrak g) 이다. 주접속의 곡률 :F=dA+\frac12[A\wedge A]\in\Omega^2(P,\mathfrak g) 을 정의할 수 있다.여기서 d는 외미분이고, [\wedge A]는 리 괄호와 쐐기곱을 합성한 것이다. 주접속의 곡률은 물리학에서 **게이지 장세기**(gauge field strength)라고 한다. 맥스웰 방정식에서의 패러데이 텐서는 U(1) 장세기의 특수한 경우다. 마찬가지로, 단면 s\in\Gamma(P|_U)이 주어지면 곡률 또한 s^*F\in\Omega^2(U,\mathfrak g)로 나타낼 수 있다. 곡률의 게이지 변환은 :(s\alpha^{-1})^*F=\operatorname{Ad}(\alpha(x))s^*F\in\Omega^2(U,\mathfrak g) 이다. 즉, 게이지 변환이 단순하므로 게이지 장세기는 (게이지 퍼텐셜과 달리) P\times_G\mathfrak g의 단면으로 여길 수 있다. :F\in\Omega^2(M,P\times_G\mathfrak g)
## 공변 미분
스칼라장 \phi\in\Omega^0(P,V)가 주어졌다면, 그 도함수 :d\phi\in\Omega^1(P,V) 는 게이지 퍼텐셜과 유사하게 다음과 같이 게이지 변환한다. :(s\alpha^{-1})^*d\phi=R(\alpha(x))s^*d\phi+d(R(\alpha))\wedge s^*\phi\in\Omega^1(U,V) 반면 dR(A)\wedge\phi는 다음과 같이 변환한다. 여기서 dR\colon\mathfrak g\to\mathfrak u(V)는 리 대수의 표현으로, 리 군 표현 R\colon G\to U(V)의 무한소 버전이다. :(s\alpha^{-1})^*(dR(A)\wedge\phi)=R(\alpha)s^*(dR(A)\wedge\phi)-d(R(\alpha))\wedge s^*\phi 따라서, 다음과 같이 :D\phi=d\phi+dR(A)\wedge\phi\in\Omega^1(P,V) 를 정의하자. 그렇다면 :(s\alpha^{-1})^*D\phi=R(\alpha)s^*D\phi 가 되어, \phi와 같은 꼴로 게이지 변환하게 된다. 이 연산 D를 **공변 미분**(covariant derivative)이라고 한다. 이는 :D\colon\Omega^0(M,P\times_GV)\to\Omega^1(M,P\times G_V) 로 생각할 수 있다.
## 페르미온
스칼라장과 게이지 퍼텐셜 말고도, 페르미온이 존재할 수 있다. M이 스핀 구조를 가졌다고 하자. 그렇다면 위와 같이 표현 R\colon G\to U(V)가 주어졌을 때, 적절한 복소 스피너 다발 \Delta\twoheadrightarrow M을 골라, 이에 따르는 **페르미온** :\psi\in\Gamma(\Delta\otimes V) 을 생각할 수 있다. 여기서 \Gamma는 복소벡터다발 \Delta\otimes V의 단면(section)들의 집합이다. 이러한 물질은 게이지 변환 \alpha\colon M\to G에 대하여 :\psi(x)\mapsto R(\alpha(x))\cdot\psi(x) 으로 변환한다. 보다 일반적으로, 스핀 구조가 없더라도 적절한 스핀C 구조가 존재한다면 게이지에 대하여 대전된 페르미온이 존재할 수 있다.
## 작용과 라그랑지언
양자장론은 **작용**이라는 값 :S\in\mathbb R/2\pi 에 의하여 정의된다. 이에 따라, 경로 적분에 등장하는 값 :\exp(iS)\in\mathbb C 을 정의할 수 있다. 보통 작용은 참된 실수 S\in\mathbb R이지만, 특수한 경우에는 그렇지 않을 수 있다 (예를 들어 베스-추미노-위튼 모형 등). 작용은 보통 **라그랑지언**이라는 함수 \mathcal L\colon M\to\mathbb R의 적분으로 나타내어진다. :S=\int_M\sqrt{|\det g|}\mathcal L 대표적으로, M에 (유사) 리만 계량이 주어져 있다고 하자. 그렇다면 :\langle F,F\rangle\in\Omega^0(P) 를 정의할 수 있다. (여기서 리 대수 지수의 경우 킬링 형식을 사용한다.) 이는 게이지 불변이므로, M 위의 실수값 함수로 간주할 수 있다. 따라서 이를 라그랑지언으로 놓아, 작용을 다음과 같이 놓을 수 있다. :S=\frac1{4g^2}\int\langle F,F\rangle 여기서 g^2\in\mathbb R^+는 **결합 상수**라고 불리는 임의의 실수이다. 이러한 S를 **양-밀스 작용**(Yang–Mills action)이라고 한다. 여기에 변분법을 적용하여 운동 방정식을 유도할 수 있다. 만약 G=U(1)인 경우는 맥스웰 방정식을 얻고, G=SU(n)인 경우는 양-밀스 방정식을 얻는다. 또한, 만약 M이 4차원이라면 :\int_MF\wedge F 또한 게이지 불변이다. 여기서도 암묵적으로 킬링 형식을 사용하였다. 이 경우에는 M의 계량 텐서가 필요없다는 것에 주목하라. 이러한 항은 양자 색역학의 **CP 위반항**으로 알려져 있다. 물질의 경우, 마찬가지로 다음과 같은 꼴들의 항을 라그랑지언으로 사용할 수 있다. :g^{\mu\nu}\delta_{\bar\imath j}\overline{D_\mu\phi}^{\bar\imath}D_\nu\phi^j :\delta_{\bar\imath j}\bar\phi^{\bar\imath}\phi^j 여기서 g^{\mu\nu}는 리만 계량 텐서의 역이고, \delta_{\bar\imath j}는 V 위에 정의된 내적이다.
## 윌슨 고리
작용에 다른 게이지 불변항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 닫힌 곡선 *γ*가 있으면, 다음과 같이 윌슨 고리 W를 정의할 수 있다. :W=\chi^{(\rho)}\left(\mathcal{P}\exp\int_\gamma A\right) 여기서 \chi는 복소 군 표현의 지표고, \mathcal{P}는 경로순서화 연산자다. 그러니 이런 항은 일반적인 시공에서는 대개 로런츠 대칭을 따르지 않는다. 칼루차-클라인 이론에서는 축소화된 차원에 따라 이런 항을 적을 수 있다.