생성 집합

범주론에서 **생성 집합**(生成集合, generating set, separating set)은 그 원소들의 쌍대곱의 몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다.
# 정의
범주 \mathcal C 속의 대상들의 집합 \mathfrak G가 다음 조건을 만족시킨다면, \mathcal C의 **생성 집합**이라고 한다.Definition 7.14 * 임의의 두 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여, 만약 f\ne g라면, f\circ h\ne g\circ h가 되는 대상 G\in\mathfrak G 및 사상 h\colon G\to X가 존재한다. *:G\overset{\exists h}\to X\underset g{\overset f\rightrightarrows}Y 만약 \mathcal C가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다. * 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다. *:\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set} *:\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon X\mapsto \prod_{G\in\mathfrak G}\hom(G,X) *:\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon(X\overset f\to Y)\mapsto\left((h_G\colon G\to X)_{G\in\mathfrak G}\mapsto(f\circ h_G\colon G\to Y)_{G\in\mathfrak G}\right) 만약 \mathcal C가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 쌍대곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다. * 모든 대상 X\in\mathcal G에 대하여, 다음과 같은 사상이 전사 사상이다. *:\pi=\coprod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom_{\mathcal C}(G,X)}h *:\pi\colon\coprod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom(G,X)}G\to X 다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 쌍대곱의 몫 대상과 동형이다. 만약 생성 집합 \mathfrak G=\\{G\\}가 한원소 집합이라면, G를 \mathcal C의 **생성 대상**(generating object, generator)이라고 한다. 위 개념을 모두 쌍대화하여 **쌍대 생성 집합**(cogenerating set, coseparating set)과 **쌍대 생성 대상**(cogenerating object, cogenerator, coseparator)을 정의할 수 있다. 범주 \mathcal C 속의 대상들의 집합 \mathfrak G가 다음 조건을 만족시킨다면, \mathcal C의 **쌍대 생성 집합**이라고 한다.Definition 7.16 * 임의의 두 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여, 만약 f\ne g라면, h\circ f\ne h\circ g가 되는 대상 G\in\mathfrak G 및 사상 h\colon Y\to G가 존재한다. *:X\underset g{\overset f\rightrightarrows}Y\overset{\exists h}\to G 만약 \mathcal C가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다. * 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다. *:\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon\mathcal C^{\operatorname{op\to\operatorname{Set} *:\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon X\mapsto\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(X,G) *:\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon(X\overset f\to Y)\mapsto\left((h_G\colon Y\to G)_{G\in\mathfrak G}\mapsto(h_G\circ f\colon X\to G)_{G\in\mathfrak G}\right) 만약 \mathcal C가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다. * 모든 대상 X\in\mathcal G에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다. *:\pi=\prod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom_{\mathcal C}(X,\mathfrak G)}h *:\pi\colon X\to\prod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom(X,G)}G 다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 곱의 부분 대상과 동형이다.
## 대수 구조의 경우
대수 구조 다양체의 범주 \mathcal V는 항상 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 오른쪽 수반 함자인 자유 대상 함자 :\operatorname{Forget}\colon\mathcal V\rightleftarrows\operatorname{Set}\colon\operatorname{Free} 를 생각하자. 이 경우, 한원소 집합 위의 자유 대상 \operatorname{Free}(\\{\bullet\\})은 항상 \mathcal V의 생성 대상을 이룬다. 한원소 집합 위의 자유 대상의 쌍대곱은 더 큰 집합 위의 자유 대상이다. 즉, 모든 집합 S에 대하여 다음이 성립한다. :\coprod_{s\in S}\operatorname{Free}(\\{s\\})\cong\operatorname{Free}(S) 따라서, \operatorname{Free}(\\{\bullet\\})이 생성 대상이라는 것은 \mathcal V에 속하는 모든 대수는 자유 대수의 몫대수로 나타낼 수 있음을 뜻한다. 대수 A를 이와 같이 자유 대수의 몫대수로 나타내는 것을 A의 **표시**(presentation)라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다. :A\cong\langle S|(t_1=t_2)_{(t_1,t_2)\in\sim}\rangle 여기서 * S는 집합이다. * \sim은 전사 사상 \operatorname{Free}(S)\to A를 정의하는, \operatorname{Free}(S) 위의 합동 관계이다. 즉, S의 원소와 대수 구조 다양체 \mathcal V의 연산들로 적을 수 있는 두 항 t_1,t_2\in\operatorname{Free}(S)에 대한 등식 t_1=t_2의 꼴로 적을 수 있다. 군의 표시는 대수 구조의 표시의 특수한 경우다. 반면, 일반적으로 대수 구조 다양체의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다.
# 예

## 집합
집합 S에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}의 생성 대상이다. * 공집합이 아니다. 집합 S에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.언어=enExample 7.18(1) * 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}의 쌍대 생성 대상이다. * 공집합이나 한원소 집합이 아니다.
## 위상 공간
위상 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{Top}는 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다. 이 범주에서 한원소 공간 \\{\bullet\\}은 생성 대상이다. 구체적으로, 한원소 공간들의 쌍대곱은 이산 공간이며, 임의의 위상 공간 X에 대하여 X 위에 이산 위상을 부여한 공간 \operatorname{Disc}(\operatorname{Points}(X))을 정의한다면, 수반 함자 :\operatorname{Points}\colon\operatorname{Top}\rightleftarrows\operatorname{Set}\colon\operatorname{Disc} 의 쌍대단위원 :\eta\colon\operatorname{Disc}\circ\operatorname{Points}\Rightarrow\operatorname{Id}_{\operatorname{Top 은 연속 함수 :\eta_X\colon\operatorname{Disc}(\operatorname{Points}(X))\to X 를 정의하며, 이는 (전단사 함수이므로) 전사 사상이자 단사 사상이다. 즉, 모든 위상 공간은 이산 공간의 범주론적 몫 대상으로 나타낼 수 있다. 위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.Example 7.18(4) * 위상 공간의 범주의 쌍대 생성 대상이다. * 콜모고로프 공간이 아니다.
## 가군
모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자. 환 R 위의 왼쪽 가군의 범주 _R\operatorname{Mod}는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 한원소 집합 위의 자유 가군 _RR는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로, R_R는 오른쪽 가군의 범주 \operatorname{Mod}_R의 생성 대상을 이룬다. 환 R 위의 왼쪽 가군의 범주 _R\operatorname{Mod}는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환 R의 모든 왼쪽 단순 가군(=극대 왼쪽 아이디얼 _R\mathfrak M에 대한 _RR의 몫가군 R/\mathfrak M)들의 (동형류의) 단사 껍질들의 직합 :\bigoplus_{_R\mathfrak M}{}E(_RR/\mathfrak M) 을 _R\operatorname{Mod}의 **표준 쌍대 생성 가군**(canonical cogenerator)이라고 하며, 이는 _R\operatorname{Mod}의 쌍대 생성 대상을 이룬다.508, Theorem 19.10 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다. 일반적으로, 자유 가군 _RR는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환 R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.514, Theorem (19.25) * 모든 충실한 R-왼쪽 가군은 _R\operatorname{Mod}의 쌍대 생성 대상이다. * _RR는 단사 가군이며 유한 쌍대 생성 가군이다. * _RR는 단사 가군이며, R의 모든 왼쪽 단순 가군은 왼쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, 왼쪽 카슈 환(left Kasch ring)이다.) * _RR는 _R\operatorname{Mod}의 쌍대 생성 대상이며, R의 모든 오른쪽 단순 가군은 오른쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, R는 오른쪽 카슈 환이다.) * _RR는 _R\operatorname{Mod}의 쌍대 생성 대상이며, 오른쪽 단순 가군의 동형류의 수는 유한하다. 이 조건을 만족시키는 환을 **왼쪽 유사 프로베니우스 환**(left pseudo-Frobenius ring)이라고 한다.
## 아벨 군
아벨 군의 개념은 정수환 \mathbb Z 위의 가군과 같다. 이 경우 단순 가군은 소수 크기의 순환군 \mathbb Z/p이며, 그 단사 껍질은 프뤼퍼 군 \mathbb Z(p^\infty)이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 직합인 나눗셈군 :\mathbb Q/\mathbb Z=\bigoplus_p\mathbb Z(p^\infty) 이다.언어=en509, Example (19.11)(1) 즉, 모든 아벨 군 G는 직접곱 :\prod_{|G|}(\mathbb Q/\mathbb Z) 보다 일반적으로, 임의의 데데킨트 정역 D에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 분수체의 몫가군 (\operatorname{Frac}D)/D이다.509, Example (19.11)(1)
## (쌍대) 생성 집합이 없는 범주
범주 \operatorname{Set}\times\operatorname{Set}는 생성 대상을 갖지 않는다. 그러나 :\left\\{(\\{\bullet\\},\varnothing),(\varnothing,\\{\bullet\\})\right\\} 는 \operatorname{Set}\times\operatorname{Set} 생성 집합을 이룬다.Example 7.15(3) 다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.Example 7.18(8) * 군의 범주 \operatorname{Grp}. (단순군의 크기는 상한을 갖지 않는다.) * 환의 범주 \operatorname{Ring}. (단순환, 특히 체의 크기는 상한을 갖지 않는다.) * 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname{HausTop}