라그랑주 네 제곱수 정리

수론에서 **라그랑주 네 제곱수 정리**(-數定理, Lagrange's four-square theorem)는 모든 양의 정수가 많아야 4개의 제곱수의 합이라는 정리이다.오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 177쪽.
# 정의
양의 정수 n\in\mathbb Z^+가 주어졌다고 하자. **라그랑주 네 제곱수 정리**에 따르면, 다음을 만족시키는 4개의 음이 아닌 정수 x,y,z,w\in\mathbb Z^+\cup\\{0\\}이 존재한다. :n=x^2+y^2+z^2+w^2 사실, 4개라는 조건은 더 적은 개수로 대신할 수 없다. 즉, n,k\in\mathbb Z^+\cup\\{0\\}에 대하여, 4^n(8k+7)는 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없으며, 이러한 꼴을 제외한 모든 정수들은 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다. 또한, 음이 아닌 정수라는 조건은 양의 정수로 대신할 수 없다. 예를 들어, n\in\mathbb Z^+\cup\\{0\\}에 대하여, 2^{2n+1}는 4개의 0이 아닌 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 또한, 다음과 같은 12개의 수를 제외한 모든 양의 정수는 5개의 0이 아닌 제곱수의 합이다. :1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33 A047701
# 증명
사실 n=p가 소수일 경우를 보이는 것으로 충분하다. 이는 다음과 같은 오일러의 네 제곱수 항등식 때문이다. :\begin{align} (x^2+{}&y;^2+z^2+w^2)({x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2)\\\ ={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^2+(xy'-yx'-zw'+wz')^2\\\ &+(xz'+yw'-zx'-wy')^2+(xw'-yz'+zy'-wx')^2\qquad\forall x,y,z,w,x',y',z',w'\in\mathbb Z^+\cup\\{0\\} \end{align} 또한, p=2일 경우는 자명하므로, p>2라고 가정하자. 이제 다음을 만족시키는 k\in\\{1,2,\dots,p-1\\} 및 x,y\in\\{0,1,\dots(p-1)/2\\}가 존재함을 보이자. :kp=x^2+y^2+1 다음과 같은 두 집합이 서로소가 아님을 보이면 된다. :\\{\phi_p(x^2)\colon x\in\\{0,1,\dots,(p-1)/2\\}\\}\subseteq\mathbb Z/(p) :\\{\phi_p(-y^2-1)\colon y\in\\{0,1,\dots,(p-1)/2\\}\\}\subseteq\mathbb Z/(p) 여기서 \phi_p(-)는 p에 대한 나머지이며, \mathbb Z/(p)는 p에 대한 모든 나머지의 집합이다. 임의의 x,x'\in\\{0,1,\dots,(p-1)/2\\}에 대하여, 만약 :x^2\equiv{x'}^2\pmod p 라면, :x\equiv x'\pmod p 이거나 :x+x'\equiv 0\pmod p 이므로, x=x'이다. 즉, 이 두 집합의 크기는 모두 (p+1)/2이며, \mathbb Z/(p)의 크기는 p이므로 이 두 집합은 서로소가 아니다. k인 이유는 다음과 같다. :kp=x^2+y^2+1 이제 p가 4개의 제곱수의 합임을 증명하자. 다음과 같은 m을 정의하고, m=1임을 보이면 충분하다. :m=\min\\{k\in\mathbb Z^+\colon\exists x,y,z,w\in\mathbb Z^+\cup\\{0\\}\colon kp=x^2+y^2+z^2+w^2\\}\in\mathbb Z^+ 귀류법을 사용하여, m>1이라고 가정하자. 다음을 만족시키는 x,y,z,w\in\mathbb Z^+\cup\\{0\\}이 존재한다. :mp=x^2+y^2+z^2+w^2 만약 m이 짝수라면, 편의상 x^2+y^2와 z^2+w^2가 짝수라고 가정할 수 있으며, 이 경우 다음이 성립한다. :\begin{align}mp/2 &=(x^2+y^2)/2+(z^2+w^2)/2\\\ &=((x+y)/2)^2+((x-y)/2)^2+((z+w)/2)^2+((z-w)/2)^2 \end{align} 이는 모순이므로, m은 홀수이다. 다음과 같은 x',y',z',w'\in\\{-(m-1)/2,\dots,(m-1)/2\\}를 취하자. :x\equiv x',\;y\equiv y',\;z\equiv z',\;w\equiv w'\pmod m 그렇다면, :{x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2\equiv 0\pmod m :{x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2 이므로, 다음을 만족시키는 0\le m'이 존재한다. :mm'={x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2 만약 m'=0이라면, :x\equiv y\equiv z\equiv w\equiv 0\pmod m 이므로, :p/m=(x/m)^2+(y/m)^2+(z/m)^2+(w/m)^2\in\mathbb Z 이다. 이는 1에 모순이다. 따라서, m'\ge 1이며, 또한 다음이 성립한다. :\begin{align} m^2m'p=(x^2+{}&y;^2+z^2+w^2)({x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2)\\\ ={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^2+(xy'-yx'-zw'+wz')^2\\\ &+(xz'+yw'-zx'-wy')^2+(xw'-yz'+zy'-wx')^2 \end{align} 마지막 등식의 각 항의 나머지를 생각하면 다음을 얻는다. :xx'+yy'+zz'+ww'\equiv x^2+y^2+z^2+w^2\equiv 0\pmod m :xy'-yx'-zw'+wz'\equiv xy-yx-zw+wz\equiv 0\pmod m :xz'+yw'-zx'-wy'\equiv xz+yw-zx-wy\equiv 0\pmod m :xw'-yz'+zy'-wx'\equiv xw-yz+zy-wx\equiv 0\pmod m 즉, m'p는 4개의 제곱수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\begin{align} m'p={}&((xx'+yy'+zz'+ww')/m)^2+((xy'-yx'-zw'+wz')/m)^2\\\ &+((xz'+yw'-zx'-wy')/m)^2+((xw'-yz'+zy'-wx')/m)^2 \end{align} 이는 모순이다. 따라서, m=1이며, p는 4개의 제곱수의 합이다.
# 역사
디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스의 클로드 가스파르 바셰가 1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 **바셰의 추측**이라는 이름이 붙었으나, 조제프루이 라그랑주가 1770년에 완전히 증명에 성공하였다.