토브-너트 공간

일반 상대성 이론에서 **토브-너트 공간**(-空間, Taub–NUT space [tɔːb nʌt speɪs])은 아인슈타인 방정식의 4차원 진공해이며, 특히 4차원 초켈러 다양체이자 점근 국소 평탄 공간이다. 이 해는 여러 매우 특이한 성질들을 가진다.언어=en
# 정의
토브-너트 공간은 4차원 비콤팩트 초켈러 다양체이며, \mathbb R^4와 미분 동형이다.§2.3 이는 다양한 방법으로 구성할 수 있다.
## 기번스-호킹 가설 풀이를 통한 구성
그 위의 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표 :\tau\in\mathbb R / (4\pi\mathbb Z) :\vec r \in \mathbb R^3 를 정의하자. 그렇다면, 토브-너트 공간의 계량은 다음과 같다. :\mathrm ds^2 = V(|\vec r|) \mathrm d\vec r^2 + \frac1{V(|\vec r|)} (\mathrm d\tau+\omega)^2 :V(|\vec r|) = L + \frac1{2|\vec r|} 여기서 :\omega = \vec\omega \cdot \mathrm d\vec r \in \Omega^1(\mathbb R^3) 는 \mathbb R^3 위의 1차 미분 형식 가운데 :\mathrm d\omega = \star \mathrm dV 인 것이다. 이는 사실 \mathbb S^3 위의 1차 미분 형식으로 확장될 수 있다. L과 M은 상수이다. 여기서 L은 무한대에서 호프 원다발의 올의 크기 4\pi/\sqrt L를 결정하는 상수이다. 일반 상대성 이론에서는 이 해를 로런츠 계량 부호수 −+++로 해석적 연속을 취할 수 있다. 이는 \tau \mapsto \mathrm it의 치환에 해당한다. 보다 일반적으로, V를 :V(\vec r) = L + \sum_{i=1}^N \frac1{2|\vec r-\vec R_i|} 로 치환한다면, 여러 개의 토브-너트들이 공존하는 **다중 토브-너트 공간**(multi-Taub–NUT space)을 얻는다. 이는 A형 점근 국소 평탄 공간에 해당한다.
## 초켈러 축소를 통한 구성
토브-너트 공간은 심플렉틱 몫공간 연산을 통해 정의할 수 있다.공저자=M. A. Rodríguez§2.5 구체적으로, 초켈러 공간 :\mathbb R^4 \times \mathbb R^3 \times \frac{\mathbb R}{\beta\mathbb Z} 위에서 U(1)의 작용을 생각하자. 구체적으로, 평탄한 유클리드 공간 \mathbb R^4 위의 적절한 좌표계 (\vec r=(r_1,r_2,r_3),\,\psi)에서 평탄한 리만 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같다. :\mathrm ds^2 = \frac1{|\vec r|} \mathrm d\vec r^2 + |\vec r|\left(\mathrm d\psi + \vec\omega\cdot\vec\mathrm dr\right) 여기서 \psi\sim\psi+4\pi이며, :\vec\omega = (\omega_1,\omega_2,\omega_3) 은 :\epsilon_i{}^{jk}\partial_j \omega_k = \partial_i \frac1{|\vec r|} 을 따른다. 즉, 미분 형식 표기법으로는 :\omega = \omega_i \mathrm dr^i :\star\mathrm d\omega = \mathrm d\frac1{|\vec r|} 이다. 마찬가지로, \mathbb R^3 \times \mathbb S^1 위의 좌표를 (\vec x=(x_1,x_2,x_3),\,\theta)라고 하자. 그 위의 리만 계량은 :\mathrm ds^2 = L\mathrm d\vec x^2 + L^{-1} \mathrm d\theta^2 :\beta = 4\pi L^{-1/2} 이며, \theta \sim \theta + 4\pi이다. 이 위에 U(1)의 작용은 :\exp(\mathrm it)\colon (\psi,\theta) \mapsto (\psi+t,\theta+t) 이며, 초켈러 운동량 사상은 :\vec\mu = \vec r + \vec x 이다. 초켈러 운동량 사상에 대한 0의 원상은 \vec r = -\vec x에 해당한다. 즉, 게이지 불변 좌표 \chi = \psi-\theta를 정의하며 원상의 좌표는 :\mathrm ds^2 = V(\vec r) \mathrm d\vec r^2 + V(\vec r)^{-1} (\mathrm d\chi + \vec\omega\cdot\mathrm d\vec r)^2+ (r+\lambda^2) \left(\mathrm d\theta + \frac {|\vec r|}{|\vec r|+L^{-1 \left(\mathrm d\chi + \vec\omega\cdot\mathrm d\vec r\right)\right)^2 :V(\vec r) = \frac1{|\vec r|} + L 이다. U(1) 게이지 변환에 대한 동치류를 취하려면, 킬링 벡터장 \partial/\partial\theta에 대한 직교 성분을 취해야 하므로, 마지막 항을 생략하는 것에 해당한다. 즉, 구체적 계량 :\mathrm ds^2 = V(\vec r) \mathrm d\vec r^2 + V(\vec r)^{-1} (\mathrm d\chi + \vec\omega\cdot\mathrm d\vec r)^2+ (r+\lambda^2) 을 얻는다.
## 남 방정식을 통한 구성
bow diagram) 토브-너트 공간은 활 그림(bow diagram)으로 구성할 수 있다.언어=en§3 구체적으로, 이에 대응되는 활은 다음과 같다. * 하나의 구간과 하나의 변으로 구성된다. * 구간의 길이는 L (기번스-호킹 가설 풀이에서 퍼텐셜의 상수항)이다. * 구간 위의 벡터 다발의 차원은 1이다. (즉, 선다발이다.) 즉, 그 해는 남 방정식 :T_0,T_1,T_2,T_3\colon[-L/2,L/2] \to \mathbb R :\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm ds} - \mathrm iT_0\right) \vec T(s) = 0 및 복소수 :B_0,B_1 \in \mathbb C 로 정의된다. B_0,B_1은 선다발의, 구간 양끝의 올 사이의 (쌍방향의) 선형 변환에 해당한다. 이 위에는 게이지 군 :\mathcal C^\infty([-L/2,L/2], \operatorname U(1)) 이 작용한다. 게이지 군의 원소 :g\colon [-L/2,L/2] \to \operatorname U(1) 는 다음과 같이 작용한다. :T_0 \mapsto g^{-1}T_0g + \mathrm ig^{-1}\dot g :T_i \mapsto g^{-1}T_ig :B_0 \mapsto g^{-1}(-L/2)B_0g(l/2) :B_1 \mapsto g^{-1}(L/2)B_0g(-l/2) 이를 사용하여, 게이지 퍼텐셜 T_0을 상수 함수로 놓을 수 있다. 그렇다면, 남 방정식에 따라서 T_1,T_2,T_3 역시 상수 함수가 된다. :\underbrace{\mathbb S^1 \times \mathbb R^3}_{(T_0,T_1,T_2,T_3)} \times \underbrace{\mathbb R^4}_{B_0,B_1} /\\!/\\!/ \operatorname U(1) 즉, 이는 \mathbb R^4 \times \mathbb R^3 \times \mathbb S^1의 초켈러 축소로 귀결된다.
# 성질

## 점근적 형태
토브-너트 계량은 점근 국소 평탄 공간이다. 즉, |\vec r|\to\infty 극한에서, 토브-너트 계량은 \mathbb S^1 \times \mathbb R^3의 꼴을 가진다. \mathbb R^3의 무한인 \mathbb S^2 위에서, \mathbb S^1은 호프 올뭉치의 꼴을 하며, 따라서 등각 무한의 위상은 사실 \mathbb S^3가 된다. 이 경우, \mathbb S^1은 무한대에서 유한한 크기를 갖는다. 다중 토브-너트 공간도 마찬가지로 점근 국소 평탄 공간을 이루며, 이 경우 일반적으로 등각 무한은 :\mathbb S^3 / \operatorname{Cyc}(n) = \frac{\\{(z,w)\in\mathbb C^2 \colon |z|^2+|w|^2= 1 \\{(z,w)\sim(tz,tw)\quad(t^n = 1)} 의 꼴이다. 이들은 역시 올다발 :\mathbb S^1 \hookrightarrow \mathbb S^3 / \operatorname{Cyc}(n) \twoheadrightarrow \mathbb S^2 :[(z,w)] \mapsto (|z|^2-|w|^2,2z\bar w) 를 구성한다.
## 극한
L \to 0 극한을 취하면, 이 해들은 점근 국소 유클리드 공간을 이룬다. 이 경우 마찬가지로 ALE 분류가 존재하며, 가장 간단한 경우는 에구치-핸슨 공간이다.
## 대칭
토브-너트 공간의 등거리 대칭군은 :\operatorname U(2) \cong \frac{\operatorname U(1) \times \operatorname{SU}(2)}{\operatorname{Cyc}(2)} 이다.296, §3 여기서 \operatorname{SU}(2)는 :\operatorname{SO}(4) = \frac{\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)}{\operatorname{Cyc}(2)} 의 한 부분군이며, 구체적으로 \mathbb S^3의 SO(4) 회전 가운데 \omega를 보존하는 것들이다. 즉, 토브-너트 공간은 4개의 킬링 벡터장을 갖는다. 이 대칭군은 토브-너트 공간 위에 추이적 작용을 가지므로, 토브-너트 공간은 동질 공간(homogeneous space)이다. 즉, 모든 점이 다 똑같이 보인다. 그러나 토브-너트 공간은 등방적(isotropic)이지 못하다. 즉, 주어진 점에서부터 서로 다른 방향들이 다르게 보인다. SO(2) 대칭 아래서, 토브-너트 공간은 하나의 고정점을 가지며, 이는 고정점의 분류에서 (1,1)차 너트에 해당한다.언어=en 반대로, 볼트는 존재하지 않는다. 일반적 다중 토브-너트 공간의 대칭군은 N\ge3일 때 O(2)이며, 이에 대한 고정점들은 모두 너트이다. 이는 기번스-호킹 가설 풀이의 퍼텐셜의 N개의 특이점들에 해당한다. N=2일 때는 대칭군은 U(1)×U(1)이며, 둘째 U(1)은 두 너트를 통과하는 축을 중심으로 하는 회전이다.
# 역사
에이브러햄 토브 (1968년 사진) 에이브러햄 해스켈 토브(Abraham Haskel Taub, 1911〜1999)가 1951년에 발견하였다.언어=en§7issn=0001-7701 에즈라 시어도어 뉴먼(Ezra Theodore Newman, 1929〜)과 루이스 탐부리노(Louis A. Tamburino), 시어도어 운티(Theodore Unti)가 1963년에 토브의 해를 특이점을 넘겨 연장시켰다.언어=en 로런츠 부호수의 토브-너트 공간은 여러 기묘한 성질을 보이며, 이 때문에 찰스 미스너(Charles W. Misner, 1932〜)는 “토브-너트 공간은 거의 모든 명제에 대한 예외”라는 제목의 논문을 쓰기도 했다.언어=en 다중 토브-너트 공간은 스티븐 호킹이 1977년에 발견하였다.언어=en언어=en
# 응용
토브-너트 공간은 초켈러 다양체이므로, 끈 이론에서 매우 중요한 역할을 한다. 특히, M이론에서 D6-막은 토브-너트 공간으로 표현된다. 구체적으로, ⅡA종 초끈 이론에서, 어떤 7차원 준 리만 다양체 M이 주어졌을 때, M\times\mathbb R^3에서 M에 1개의 D6-막을 감은 상태는 M이론을 M \times \operatorname{TN} 위에 축소화한 것에 해당한다.언어=en§3.4.3 (여기서 TN은 토브-너트 공간을 뜻한다.) 여러 개의 D6-막을 감은 상태는 다중 토브-너트 공간에 해당한다. 로런츠 계량 부호수의 토브-너트 공간은 일반 상대성 이론의 해로 간주할 수 있다. 이 경우, 이 해는 여러 기묘한 성질을 가진다.issn=0001-7701567–568