최소 모형 (등각 장론)

이론물리학에서 **최소 모형**(最小模型, minimal model)은 중심 전하가 1 미만인 유리 2차원 등각 장론(rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다.
# 비초대칭 최소 모형
유니터리 최소 모형은 하나의 정수 :k=0,1,2,\dots 으로 정의된다. 이는 :\frac{\widehat{\mathfrak{su(2)_k\times\widehat{\mathfrak{su(2)_1}{\widehat{\mathfrak{su(2)_{k+1 잉여류로 정의되며,104 이 경우 중심 전하는 :c=\frac{3k}{k+2}+1-\frac{3(k+1)}{k+3}=1-\frac6{(k+2)(k+3)} 이 된다. 최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다. : h = h_{r,s}(c) = \frac{((k+3)r-(k+2)s)^2-1 }{4(k+2)(k+3)} 여기서 :r=1,2,3,\dots,k+1 :s=1,2,3,\dots r 이다. 최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공 h=0은 생략하였다.) {| class="wikitable" |- ! *k* !! 중심 전하 *c* !! 1차장 무게 *h* !! 설명 |- | 1 || 1/2 || 1/16, 1/2 || 임계 이징 모형. 여기서 일차장들은 각각 단위원, 스핀 밀도, 에너지 밀도이다. |- | 2 || 7/10 || 3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2 || 삼중 임계(tricritical) 이징 모형 |- | 3 || 4/5 || 1/40, 1/15, 1/8, 2/5, 21/40, 2/3, 7/5, 13/8, 3 || 임계 3상태 포츠 모형 |- | 4 || 6/7 || 1/56, 1/21, 5/56, 1/7, 3/8, 10/21, 33/56, 5/7, 4/3, 85/56, 12/7, 23/8, 22/7, 5 || 삼중임계(tricritical) 3상태 포츠 모형 |} == 𝒩=1 초등각 최소 모형 == \mathcal N=1 초등각 장론의 유니터리 최소 모형들은 잉여류 :\frac{\widehat{\mathfrak{su(2)_k\times\widehat{\mathfrak{su(2)_2}{\widehat{\mathfrak{su(2)_{k+2\qquad(k=1,2,3,\dots) 에 의하여 정의된다.175 \widehat{\mathfrak{su(2)_k의 중심 전하는 c=3k/(k+2)이므로, \mathcal N=1 최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다.106174–175 :c=\frac{3k}{k+2}+\frac32-\frac{3(k+2)}{(k+4)}=\frac32\left(1-\frac 8{(k+2)(k+4)}\right) 이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다.url-status=dead언어=en :h_{r,s}=\frac{((k+4)r-(k+2)s)^2-4}{8(k+2)(k+4)}+\frac1{32}(1-(-1)^{r-s}) 여기서 r=1,2,\dots,k+1이며, s에 대한 조건은 다음과 같다. * 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건에서는 r-s는 짝수이며, 1\le s\le r이다. * 라몽(R) 경계 조건에서는 r-s는 홀수이며, 다음이 성립한다. :1\le s\le\begin{cases}r-1&r;\le(k+1)/2\\\r+1&r;>(k+1)/2\end{cases} 이에 따라, 진공을 포함해 총 \lfloor(k+2)^2/2\rfloor 개의 초1차장이 존재하며, 그 가운데 절반은 느뵈-슈워츠 경계 조건에, 나머지 절반은 라몽 경계 조건에 속한다. 또한, 짝수 k의 경우 라몽 바닥 상태(h=c/24인 상태)가 하나 존재한다. 처음 몇 개의 \mathcal N=1 최소 모형은 다음과 같다. NS 비라소로 1차장 가운데, 진공 (h=0) 및 G_{-1/2}를 가하여 얻을 수 있는 것들은 생략하였다. {| class=wikitable |- ! *k* || 중심 전하 *c* || NS 1차장 || R 1차장 || 설명 |- | 1 || 7/10 || 1/10 || 7/16, 3/80 | 삼중 임계 이징 모형 (k=2 비초대칭 최소 모형)의 \mathbb Z/2 불변 부분175 |- | 2 || 1 || 1/16, 1/6, 1 || 3/8, 1/24, 9/16, 1/16 | 반지름이 \sqrt 3인 원 위의 시그마 모형. k=1 \mathcal N=2 최소 모형과 같음언어=en |- | 3 || 81/70 || 3/70, 9/10, 3/70, 8/7, 3/14 || 27/80, 269/560, 29/560, 31/16, 73/112, 9/112 |- | 4 || 5/4 || 1/32, 1/12, 5/32, 1/4, 5/6, 33/32, 5/4, 3 || 5/96, 1/16, 3/32, 5/16, 41/96, 9/16, 23/32, 29/16, 67/32 |} == 𝒩=2 초등각 최소 모형 == \mathcal N=2 초등각 장론의 경우, 유니터리 최소 모형들은 다음과 같다.mr=2848105178–179 :c=\frac{3k}{k+2}\qquad(k=1,2,3,\dots) 이들은 :\frac{\widehat{\mathfrak{su(2)_k\times\widehat{\mathfrak{u(1)_2}{\widehat{\mathfrak{u(1)_{k+2 잉여류로 정의할 수 있다.188 이 경우 \widehat{\mathfrak{su(2)_k의 중심 전하는 c=3k/(k+2)이며 \widehat{\mathfrak u}(1)_k의 중심 전하가 c=1이므로, 올바른 중심 전하를 얻는다.
## 장들의 목록
\mathcal N=2 최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 세 개의 수 (l,k,s)로 정해지며,언어=en 여기서 :l=0,1,2,\dots,k :m\in\mathbb Z/(2k+4) :s\in\mathbb Z/4 :l+m+s\equiv0\pmod2 이며, :(l,m,s)\sim(k-l,m+k+2,s+2) 이면 같은 등각장을 나타낸다. s가 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약 :|m-s|\le l 이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하 q 및 등각 무게 h는 다음과 같다. :q=-\frac m{k+2}+\frac s2 :h=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}+\frac{s^2}8 스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다. :(l,m,s)\mapsto(l,m-2\eta,s-2\eta) 이에 따라 :h_{l,m,s}\mapsto h_{l,m,s}-\eta q+\eta^2c/6 :q_{l,m,s}\mapsto q_{l,m,s}-c\eta/3 이 된다.
## NS 장
NS 경계 조건의 초1차장들은 :0\le l\le k :-l\le m\le l :s=0 에 대응하며, 총 (k+1)(k+2)/2개가 있다. \mathcal N=2 최소 모형의 장 가운데, 손지기장(chiral field, h=q/2인 장)은 l=-m, s=0인 것들이며, 반손지기장(antichiral field, h=-q/2인 장)은 l=m, s=0인 것들이다. 이들은 (진공을 제외하고) 각각 k개가 있다. 라몽 바닥 상태(h=c/24인 장)는 (m,s)=(\pm(l+1),\pm1)인 것들이며, 이 경우 q=\pm(k-l)/2(k+2)이다. 이들은 총 k+1개가 있으며, 이들은 진공을 포함한 손지기장과 대응한다. 손지기장들의 경우, G^+_{-1/2} 코호몰로지를 취하여 환으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환의 몫환 :H^\bullet(\mathcal H_k,G^+_{-1/2})\cong\mathbb C[x]/(x^{k+1}) 이다. 여기서 x^l은 (l,m,s)=(l,-l,0)에 대응한다.
## R 장
R 경계 조건의 초1차장들은 :0\le l\le k :m\in[-l+1,l-1]\cup\\{l+1\\} :s=1 에 대응하며, 이 가운데 m=l+1인 경우는 라몽 바닥 상태이다. NS장과 마찬가지로 총 (k+1)(k+2)/2개의 라몽 초1차장이 존재하며, 이 가운데 k+1개는 라몽 바닥 상태, k(k+1)/2개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다.
## 예
처음 몇 개의 \mathcal N=2 최소 모형들은 다음과 같다. NS 1차장 가운데, 진공 및 수록된 것들에 G^\pm_{-1/2} 또는 G^+_{-1/2}G^-_{1/2}를 가하여 얻을 수 있는 것은 생략하였다. {| class=wikitable |- ! *k* || 중심 전하 *c* || 진공을 제외한 (반)손지기장의 전하 *q* || 기타 NS 장 (h,q) || R 바닥 상태 *q* || 기타 R 장 (h,q) || 설명 |- | 1 || 1 || ±⅓ || (없음) || ±⅙ || (⅜,±½) | 반지름이 \sqrt 3인 원 위의 시그마 모형. k=2 \mathcal N=1 최소 모형과 같음 |- | 2 || 3/2 || ±¼, ±½ || (½,0) || 0, ±¼ || (5/16,±½), (9/16,±¼), (9/16,±¾) |- | 3 || 9/5 || ±⅕, ±⅖, ±⅗ || (⅖,0), (7/10,±⅕) || ±1/10, ±3/10 || (11/40,±½), (19/40,±3/10), (19/40,±7/10), (27/40,±1/10), (27/40,±9/10), (7/8,±1/2) |- | 4 || 2 || ±⅙, ±⅓, ±½, ±⅔ || (⅓,0), (7/12,±⅙), (⅔,±⅔), (¾,±½), (⅚,±⅓), (1,0), (4/3,±⅔) || 0, ±⅙, ±⅓ || (생략) |}
# 예
=== *c*=½ 최소 모형 === c=1/2 최소 모형은 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다.언어=en 하나는 이징 모형의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다.
### 이징 모형 표현
(외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형은 \mathbb Z/2 대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 위 또는 아래로 정렬돼 있는 상을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상을 보인다. 이 두 상 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 이 임계 온도에서 이징 모형은 c=1/2 최소 모형으로 나타내어진다. 2차원 이징 모형에서, 각 스핀이 \sigma_{i,j}=\pm1이라고 하자. 그렇다면 평균 스핀 장\langle\sigma\rangle을 생각할 수 있다. 그 2점 함수는 :\langle\sigma_\alpha\sigma_\beta\rangle\sim d(\alpha,\beta)^{-\eta} 의 꼴을 갖는다. 여기서 d(\alpha,\beta)는 두 점 사이의 거리이다. 또한, 평균 에너지 장 :\epsilon_{\alpha}=\sum_{(\alpha,\beta)}\sigma_\alpha\sigma_\beta 를 생각하자. 여기서 \sum_{(\alpha,\beta)}는 \alpha와 근접한 모든 \beta에 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수 :\langle\epsilon_\alpha\epsilon_\beta\rangle\sim d(\alpha,\beta)^{2/\nu-2} 를 정의할 수 있다. 이 경우, 임계 지수 \alpha와 \nu는 c=1/2 최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 두 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가 (h,\bar h)=(1/2,1/2)인 스칼라장에, 평균 에너지 장은 (h,\bar h)=(1/16,1/16)인 스칼라장에 대응한다.
### 자유 페르미온
2차원 마요라나-바일 스피너장 \psi(z,\bar z)는 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식에 따라서 :\psi(z,\bar z)=\psi(z)+\bar\psi(\bar z) 와 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 이 경우, \psi(z)는 무게가 (h,\bar h)=(1/2,0)인 장이며, \bar\psi(\bar z)는 무게가 (0,1/2)인 장이다. 스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, **뒤틀림장**(twist field)이라고 한다.§6.2 정칙 성분의 뒤틀림장은 (h,\bar h)=(1/16,0), 반정칙 성분의 뒤틀림장은 (h,\bar h)=(0,1/16)이다. 정칙 자유 페르미온의 이론은 c=1/2 정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 이 경우 \psi(z)\bar\psi(\bar z)는 무게 (h,\bar h)=(1/2,1/2)인 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다. === *c*=7/10 최소 모형 === c=7/10 최소 모형은 삼중 임계 이징 모형(tricritical Ising model)의 임계점 근처 현상을 나타낸다.언어=en 삼중 임계 이징 모형에서 각 스핀은 \sigma\in\\{-1,0,+1\\}의 값을 가지며, 이 경우 해밀토니언은 :H=K\sum_{\langle ij\rangle}\sigma_i\sigma_j-\Delta\sum_i\sigma_i^2 이다. 이 이론에서는 온도 T 및 (입자수 \sum_i\sigma_i^2에 대응하는) 퓨가시티 z=\exp(-\mu)를 조절할 수 있다. 만약 퓨가시티가 z\to0이라면, 이는 이징 모형과 같으며, 일정한 온도 T=T_0(z=0)에서 2차 상전이가 존재한다. 반대로, T=0이며 z>0인 경우 어떤 z=z_0에서 1차 상전이가 존재한다. (z\to0이라면 두 개의 독립된 바닥 상태가 존재하지만, z\to\infty라면 입자수 밀도가 0으로 가 하나의 바닥 상태가 존재하기 때문이다.) 따라서, T와 z를 둘 다 조절한다면, 1차 상전이가 2차 상전이로 바뀌는 시점이 존재한다. 이를 삼중 임계 이징 모형의 **삼중점**(tricritical point)이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은 c=7/10 최소 모형으로 나타내어진다. 이 경우, 각 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다.언어=en {| class=wikitable ! 무게 (h,\bar h) || 설명 |- | (0,0) || 진공 |- | (3/80,3/80) || 평균 스핀 (자기화) \sigma |- | (7/16,7/16) || 자기화 준밀도(subleading magnetization density) |- | (1/10,1/10) || 에너지 밀도 |- | (3/5,3/5) || 양공 밀도(vacancy) = 에너지 밀도의 초대칭짝 |- | (3/2,3/2) || 에너지 준밀도(subleading energy density) = 초전류 |} === *c*=1 초대칭 최소 모형 === c=1 \mathcal N=2 초대칭 최소 모형은 반지름이 \sqrt3인 원 위의 시그마 모형으로 나타낼 수 있다.언어=enurl=http://www.mth.kcl.ac.uk/~anderl/lgcft/1989%20--%20Lerche,%20Vafa,%20Warner%20--%20Chiral%20Rings%20in%20N=2%20Superconformal%20Theories.pdf 이 경우, 주기 경계 조건과 호환되는 스칼라장 \phi의 지수들은 다음과 같다. :O_{n,\bar n}=\exp(i(n\psi(z)+\bar n\bar\psi(\bar z))/\sqrt{12})\qquad(n,\bar n\in\mathbb Z;\;n-\bar n\equiv0\pmod6) :\left(h(O_{n,\bar n}),\bar h(O_{n,\bar n})\right)=(n^2/24,\bar n^2/24) :\left(q(O_{n,\bar n}),\bar q(O_{n,\bar n})\right)=(n/6,-\bar n/6) 이 경우, n과 \bar n이 짝수라면 느뵈-슈워츠 경계 조건, 홀수라면 라몽 경계 조건에 해당한다. 이 이론에서 \mathcal N=2 초등각 대수의 표현은 다음과 같다. :Q^\pm(z)=O_{\pm 6,0}(z) :\bar Q^\pm(\bar z)=O_{0,\mp6}(\bar z) :J(z)=i\partial\phi(z)/\sqrt3 :\bar J(\bar z)=-i\bar\partial\bar\phi(\bar z)/\sqrt3 이 경우, NS 및 R 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상 h=\bar h, q=\bar q이다. {| class=wikitable ! (h,q) !! (n,\bar n) |- | NS (반)손지기장 (1/6,\pm1/3) || (\pm2,\pm2) |- | 라몽 바닥 상태 (1/24,\pm1/6) || (\pm1,\pm1) |- | 라몽 상태 (3/8,\pm1/2) || (\pm3,\pm3) |} 이 밖의 다른 상태들은 위 상태들에 G^\pm_{-1/2}를 가하여 얻어진다. 예를 들어, (n,\bar n)=(4,4)는 (n,\bar n)=(-2,-2)에 G^+_{-1/2}\bar G^+_{-1/2}를 가하여 얻는다. 이 모형에, \phi\sim-\phi와 같은 오비폴드를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 또 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면, c=1 \mathcal N=1 초대칭 최소 모형을 얻는다.