영 타블로

조합론과 표현론에서, **영 타블로**(Young tableau, 복수 ~ tableaux)는 대칭군과 일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다.
# 정의
**페러스 그림**(Ferrers diagram)은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈수록 그 길이들이 같거나 더 짧다. 페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다. **영 타블로**(Young tableau)는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다. 영 타블로의 예. **표준 영 타블로**(standard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다. * 각 행에서 오른쪽으로 갈수록 숫자가 항상 증가한다. * 각 열에서 밑으로 갈수록 숫자가 항상 증가한다. **준표준 영 타블로**(semistandard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다. * 각 행에서 오른쪽으로 갈수록 숫자가 항상 감소하지 않는다. * 각 열에서 밑으로 갈수록 숫자가 항상 증가한다. 주어진 페러스 그림에서, (i,j)번째 칸의 **고리 길이**(hook length) \operatorname{hook}(i,j)는 i'\ge i,j=j' 또는 i'=i,j'\ge j인 칸 (i',j')들 (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들, 주어진 칸 자체도 포함) 의 개수이다. 페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들
# 표현론에서의 응용

## 대칭군
대칭군 S_n의 복소수 기약 표현은 총 n개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다. * 각 칸의 숫자는 1,\dots,n 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다. 이 경우, S_n 기약 표현의 차원은 다음과 같다. :\dim r=\frac{n!}{\prod_{i,j}\operatorname{hook}(i,j)} 예를 들어, S_4의 기약 표현들은 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 페러스 그림 !! 고리 길이 !! S4 표현 차원 |- | □□□□ || 4321 || 1 |- | □□□
□ || 421
1 || 3 |- | □□
□□ || 32
21 || 2 |- | □□
□
□ || 41
2
1 || 3 |- | □
□
□
□ || 4
3
2
1 || 1 |}
## 선형군과 유니터리 군
일반선형군 \operatorname{GL}(n,\mathbb C)의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다. * 각 열의 길이는 n 이하다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다. * 각 칸의 숫자는 1,\dots,n 가운데 하나다. 이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다. :\dim r=\prod_{(i,j)}\frac{n-i+j}{\operatorname{hook}(i,j)} 특수선형군 \operatorname{SL}(n,\mathbb C)의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다. * 각 열의 길이는 n 미만이다. 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다. 특수 유니터리 군 \operatorname{SU}(n)의 복소화는 특수선형군 \operatorname{SL}(n,\mathbb C)이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다. {| class="wikitable" |- ! 페러스 그림 !! 고리 길이 !! SU(*n*) 표현 차원 |- | · || · || 1 |- | □ || 1 || n |- | □□ || 21 || n(n+1)/2 |- | □
□ || 2
1 || n(n-1)/2 |- | □□□ || 321 || n(n+1)(n+2)/6 |- | □□
□ || 31
1 || n(n^2-1)/3 |- | □
□
□ || 3
2
1 || n(n-1)(n-2)/6 |} 이들 표현들은 *N*차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 *N*차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면 * 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다. * 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다. 예를 들어, :`i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞` 의 꼴의 영 타블로는 :T^{ijklm} 꼴의 텐서에 대응한다. 이는 :T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]} 의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.
## 직교군
\operatorname{SO}(n)의 경우, \operatorname{SO}(n)\subset\operatorname{SU}(n)을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, \operatorname{SO}(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다. * 각 열의 길이가 \lfloor n/2\rfloor 만약 n이 짝수이고, 길이가 n/2인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(self-dual, SD) 및 반자기쌍대(anti-self-dual, ASD)로 일컬어진다. 주어진 페러스 그림에 대응하는 \operatorname{SO}(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다. i번째 열의 길이를 r_i, i번째 행의 길이를 c_i라고 하자 (i\ge1). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 **내용 함수**(content function)을 정의하자.10 :C(i,j)=\begin{cases}r_i+r_j-i-j&i;\ge j\\\\-c_i-c_j+i+j-2&i; 그렇다면 \operatorname{SO}(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.Cor. 13, Cor. 17, Remark 18 :\dim r=\sum_{(i,j)}\frac{n+C(i,j)}{\operatorname{hook}(i,j)} 만약 n이 짝수이며 길이가 n/2인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다. 영 타블로의 각 칸은 n차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우 * 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다. * 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다. 예를 들어, :`i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞` 의 꼴의 영 타블로는 :T^{ijklm} 꼴의 텐서에 대응하며, :T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]} :0=\delta_{ij}T^{ijklm}=\delta_{ik}T^{ijklm}=\delta_{jk}T^{ijklm}=\delta_{lm}T^{ijklm} 꼴의 (반)대칭성을 가진다. \operatorname{SO}(n)의 경우, \operatorname{SU}(n)과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다. 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자. {| class="wikitable" |- ! 페러스 그림 !! 고리 길이 !! 내용 !! SO(*n*) 표현 차원 !! 페러스 그림 !! Spin(*n*) 표현 차원 (n>6) |- | · || · || · || 1 || · (s) || 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} |- | □ || 1 || +0 || n || □ (s) || 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(n-1) |- | □□ || 21 || +2 −1 || (n+2)(n-1)/2 || □□ (s) || 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-1)/2 |- | □
□ || 21 || +0
−1 || n(n-1)/2 || □ (s)
□ || 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-3)/2 |- | □□□ || 321 || +4 −1 +0 || (n+4)(n-1)n/6 || □□□ (s) || 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-1)(n+1)/6 |- | □□
□ || 31
1 || +2 −2
+0 ||(n+2)(n-2)n/3 || □□ (s)
□ || 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(n-2)(n-1)(n+3/2) |- | □
□
□ || 3
2
1 || +0
−1
−2 || n(n-1)(n-2)/6 ||□ (s)
□
□ || 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-1)(n-5)/6 |} 예를 들어, \operatorname{SU}(2) = \operatorname{Spin}(3)의 기약 표현들은 \operatorname{SU}(2) 영 타블로 또는 \operatorname{SO}(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다. {| class="wikitable" |- ! 스핀 || 0 || ½ || 1 || 1½ || 2 || 2½ || 3 || 3½ |- ! 차원 | 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 |- ! SU(2) 영 타블로 | · || □ || □□ || □□□ || □□□□ || □□□□□ || □□□□□□ || □□□□□□□□ |- ! SO(3) 영 타블로 | · || · (s) || □ || □ (s) || □□ || □□ (s) || □□□ || □□□ (s) |} 마찬가지로, \operatorname{SU}(4) = \operatorname{Spin}(6)의 기약 표현들은 \operatorname{SU}(4) 영 타블로 또는 \operatorname{SO}(6) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다. {| class="wikitable" |- ! 차원 || 1 || 4 || 4 || 6 || 10 || 10 |- ! SU(4) 영 타블로 | · || □ || □
□
□ || □
□ || □□ || □□
□□
□□ |- ! SO(6) 영 타블로 | · || · (s) || · (s) || □ || □ (SD)
□
□ || □ (ASD)
□
□ |} 마찬가지로, \operatorname{SU}(2) \times \operatorname{SU}(2) = \operatorname{Spin}(4)의 기약 표현들은 다음과 같다. {| class=wikitable |- ! 스핀 || (0, 0) || (½, 0) || (0, ½) || (½, ½) || (1, 0) || (0, 1) || (1, ½) || (½, 1) || (1½, 0) || (0, 1½) || (1, 1) || (1½, ½) || (½, 1½) || (2, 0) || (0, 2) |- ! SU(2) 영 타블로 | (·, ·) || (□, ·) || (·, □) || (□, □) || (□□, ·) || (·, □□) || (□□, □) || (□, □□) || (□□□, ·) || (·, □□□) || (□□, □□) || (□□□, □) || (□, □□□) || (□□□□, ·) || (·, □□□□) |- ! SO(4) 영 타블로 | · || s || s || □ || □ (SD)
□ || □ (ASD)
□ || □ (s) || □ (s) || □ (s)
□ || □ (s)
□ || □□ | □□ (SD)
□ || □□ (ASD)
□ || □□ (SD)
□□ || □□ (ASD)
□□ |}
## 심플렉틱 군
짝수 n에 대하여, \operatorname{USp}(n)의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다.url-status=dead 이 경우 :\operatorname{USp}(n)\subset\operatorname{SU}(n) 을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, \operatorname{USp}(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다. * 각 열의 길이가 n/2 이하이다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 \operatorname{USp}(n) 표현의 차원은 다음과 같다.언어=en 페러스 그림 \lambda의 행의 길이가 r_1,r_2,\dots이며, 열의 길이가 c_1,c_2,\dots라고 하자. 우선, 다음과 같은 **내용 함수**(content function)를 정의하자.6 :C(i,j)=\begin{cases} r_i+r_j-i-j+2&i;>j\\\ -c_i-c_j+i+j&i;\le j \end{cases} 그렇다면 \operatorname{USp}(n) 표현의 차원은 다음과 같다.Cor. 9 :\dim r=\prod_{(i,j)}\frac{n+C(i,j)}{\operatorname{hook}(i,j)} 영 타블로의 각 칸은 n차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우 * 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다. * 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, \omega_{\mu\nu}에 의한 축약이 모두 0이다. 예를 들어, :`i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞` 의 꼴의 영 타블로는 :T^{ijklm} 꼴의 텐서에 대응하며, :T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]} :0=\omega_{il}T^{ijklm}=\omega_{jm}T^{ijklm}=0 꼴의 (반)대칭성을 가진다. {| class="wikitable" |- ! 페러스 그림 !! 고리 길이 !! 내용 !! USp(*n*) 표현 차원 |- | · || 1 |- | □ || 1 || 0 || n |- | □□ || 21 || +0 +1 || n(n+1)/2 |- | □
□ || 2
1 || −2
+1 ||(n-2)(n+1)/2 |- | □□□ || 321 || +0 +1 +2 || n(n+1)(n+2)/6 |- | □□
□ || 31
1 || −2 +0
+2 || (n-2)n(n+2)/3 |- | □
□
□ || 3
2
1 || −4
+0
+1 || (n-4)n(n+1)/6 |} 예를 들어, \operatorname{SO}(5) = \operatorname{USp}(4)의 표현들은 다음과 같다. {| class=wikitable ! 차원 | 1 || 4 || 5 || 10 || 14 || 16 |- ! SO(5) 영 타블로 | · || · (s) || □ || □
□ || □□ || □ (s) |- ! USp(4) 영 타블로 | · || □ || □
□ || □□ ||□□
□□ || □□
□ |}
# 역사
영국의 수학자 앨프리드 영(Alfred Young)이 1900년에 도입하였다.title=Alfred Young