복소수 미분 형식

미분기하학에서 **복소수 미분 형식**(複素數微分形式, complex differential form)은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. (실수) 매끄러운 다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.
# 정의
n차원의 복소다양체 M을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화 \mathrm T^{\mathbb C}M는 복소구조 J\colon \mathrm TM\to\mathrm TM, J^2=-1의 고윳값 \pm\mathrm i에 따른 고유 공간 :\mathrm T^{\mathbb C}M = \mathrm T^+M\oplus\mathrm T^-M 으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이 가운데 \mathrm T^+M은 항상 정칙 벡터 다발이지만, \mathrm T^-M은 일반적으로 그렇지 않다. 이들에 각각 올별 복소수 쌍대 공간을 취하면, 복소수 벡터 다발 :\mathrm T^{+*}M = \Omega^{1,0}M :\mathrm T^{-*}M = \Omega^{0,1}M 을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발 :\Omega^{p,q} = \underbrace{\Omega^{1,0}M \wedge \dotsb \wedge \Omega^{1,0}M}_p \wedge \underbrace{\Omega^{0,1}M \wedge \dotsb \wedge \Omega^{0,1}M}_q 을 취할 수 있다. (만약 q = 0이라면 이는 역시 정칙 벡터 다발이다.) 이 다발의 매끄러운 단면을 **(p,q)차 복소수 미분 형식**이라고 한다. \Omega^{p,0}은 정칙 벡터 다발이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다. \Omega^{p,0}의 정칙 단면을 p차 **정칙 미분 형식**(正則微分形式, holomorphic differential form)이라고 한다. 보다 일반적으로, 복소다양체 M 위의 정칙 벡터 다발 E \twoheadrightarrow M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, **E값의 복소수 미분 형식**(E-valued complex differential form)을 \Omega^{p,q}\otimes_{\mathbb C}E의 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 마찬가지로, **E값의 p차 정칙 미분 형식**은 정칙 벡터 다발 \Omega^{p,0}\otimes_{\mathbb C}E의 정칙 단면이다.
## 국소 좌표계로의 표현
국소적으로, M의 임의의 점의 근방 U에 복소수 좌표 z^i,\bar z^i (i=1\dots n)를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식 :\mathrm dz^i \in \Omega^{1,0}(U)\qquad(i\in\\{1,\dotsc,n\\}) :\mathrm d\bar z^i \in \Omega^{0,1}(U)\qquad(i\in\\{1,\dotsc,n\\}) 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로 :\alpha=\sum_{i,j,\dotsc,k,l,\dotsc} f_{ij\dotso kl\dotso}\mathrm dz^i\wedge\mathrm dz^j\wedge\dotsb\mathrm d\bar z^k\wedge\mathrm d\bar z^l\wedge\dotsb :f_{ij\dotso kl\dotso} \in \mathcal C^\infty(U,\mathbb C) 꼴의 형식을 취한다. 여기서 \mathrm dz가 p 개, \mathrm d\bar z가 q개 있으면 이를 (p,q)-형식으로 부른다. 국소 좌표계로는 *p*차 정칙 미분 형식 \alpha는 다음과 같이 쓸 수 있다. :\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,\mathrm dz^I 여기서 f_I\colon U \to \mathbb C는 정칙 함수다. 즉, p차 정칙 미분 형식은 :\bar\partial\alpha=0 을 만족하는 (p,0)차 복소수 미분 형식 \alpha이다.
# 성질

## 실수 미분 형식과의 관계
복소다양체 M은 복소구조를 잊으면 매끄러운 다양체이므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우 :(\mathrm T^*M)^{\mathbb C} = \Omega^{1,0}M \oplus \Omega^{0,1}M 이므로, :\Omega^k(M) \otimes_{\mathbb R}\mathbb C= \Omega^k(M;\mathbb C) = \bigoplus_{q=0}^k \Omega^{k-q,q}(M) 이 된다. 이 경우, 외미분 :\mathrm d \colon \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M) 은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상 :\mathrm d^{\mathbb C} \colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p,q+1}(M) \oplus \Omega^{p+1,q}(M) 임을 보일 수 있다. 즉, :\partial\colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p+1,q}(M) :\bar\partial\colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p,q+1}(M) 로 정의하면, :\mathrm d = \partial + \bar\partial 이다. 이 두 미분 연산자 \partial과 \bar\partial을 **돌보 연산자**(Dolbeault演算子, Dolbeault operator)라고 부른다. 국소 좌표계로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉 (p,q)-형식 \alpha의 경우, :\alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^I\wedge d\bar z^J\in\Omega^{p,q} 그 돌보 연산자는 다음과 같다. :\partial\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ{\partial z^\ell}\,dz^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J :\bar\partial\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ{\partial \bar{z}^\ell}d\bar{z}^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J 여기서 I, J는 다중지표다.
## 돌보 코호몰로지
복소다양체의 돌보 연산자들은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다. :\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0 따라서 \partial 또는 \bar\partial로서 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 가운데, \bar\partial로 정의되는 것은 \Omega^{p,0}의 정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산하며, 반대로 \partial로 정의되는 것은 \Omega{0,q}의 반정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산한다. 보통 정칙 함수 및 정칙 단면의 개념을 사용하므로, 보통 \bar\partial로 정의되는 코호몰로지를 사용한다. 즉, 다음과 같은, 복소수 벡터 공간(의 층)으로 구성된 사슬 복합체를 생각하자. :\Omega^{p,0}\stackrel{\bar\partial_0}\to\Omega^{p,1}\stackrel{\bar\partial_1}\to\Omega^{p,2}\stackrel{\bar\partial_2}\to\cdots 그 코호몰로지는 다음과 같이 (p,q)-형식의 동치류 공간이다. :\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}=\ker\bar\partial_q/\operatorname{im}\,\bar\partial_{q-1} 이를 **돌보 코호몰로지**(Dolbeault cohomology)라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 **호지 수**(Hodge number)라고 부른다. 즉 호지 수 h^{p,q}는 다음과 같다. :h^{p,q}=\dim\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}\in\mathbb N\sqcup\\{\infty\\} 호지 수는 (복소수 벡터 공간의 차원이므로) 음이 아닌 정수 또는 무한대이다. 만약 복소다양체가 콤팩트하면 호지 수는 유한하다. 호지 수는 드람 코호몰로지의 차원인 베티 수 b^k에 대응하며, 특히 다음이 성립한다. :b^k(M) = \sum_{p+q=k} h^{p,q}(M) n차원 복소다양체는 총 (n+1)^2개의 호지 수 :h^{p,q} \qquad(p,q\in\\{0,\dotsc,n\\}) 를 가진다. 이 가운데 h^{0,0} = b^0은 M의 연결 성분의 수이다. 또한, 콤팩트 연결 복소다양체의 경우 세르 쌍대성 :\operatorname H^q(V,\mathcal O) \cong \operatorname H^q(V,\Omega^{n,0})^* 에 의하여 :h^{0,q} = h^{n,q} 가 성립한다. 만약 M이 켈러 다양체의 구조를 가질 경우, 항상 :h^{p,q} = h^{q,p} = h^{n-p,n-q} 가 성립한다.
## 층 코호몰로지
돌보 복합체 :0\to\Omega^{p,0}(M) \xrightarrow{\bar\partial} \Omega^{p,1}(M) \xrightarrow{\bar\partial} \Omega^{p,2}(M) \to \dotsb 는 섬세층으로 구성되며, p차 정칙 단면들의 층의 분해를 이룬다. 즉, 그 코호몰로지는 p차 정칙 단면의 층의 층 코호몰로지와 같다. :\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}(M)\cong\operatorname H^q(M,\Omega^{p,0}) 이를 **돌보 정리**(Dolbeault's theorem)라고 한다. 특히, 만약 p = 0일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다. 이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지가 상수층 \underline{\mathbb R}의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다. 보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발 E가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 복합체 :0\to\Gamma^\infty(E) = \Omega^{0,0}(M;E) \xrightarrow{\bar\partial} \Omega^{0,1}(M;E) \xrightarrow{\bar\partial} \Omega^{0,2}(M;E) \to \dotsb 는 E의 층 코호몰로지의, 섬세층으로 구성된 분해를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는 E의 층 코호몰로지와 일치한다. (p>0인 경우는 정칙 벡터 다발 E' = E \otimes_{\mathbb C} \Omega^{p,0}의 층 코호몰로지이므로, p=0인 경우로 귀결된다.) 예를 들어 :\operatorname H^0(E) = \ker(\bar\partial \restriction \Omega^{0,0}(M;E)) 는 \bar\partial\alpha = 0인 E 값의 (0,0)차 미분 형식의 복소수 벡터 공간, 즉 E의 정칙 단면의 복소수 벡터 공간이다.
# 예
리만 구 \operatorname{\mathbb CP}^1 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다. :\bigoplus_i \mathcal O(d_i) 여기서 \mathcal O(d)는 d차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로 \Omega^{1,0}은 표준 선다발과 같으며, 이는 \mathcal O(-2)이다. (리만-로흐 정리에 의하여, 종수 g의 리만 곡면의 표준 선다발의 차수는 2g-2이며, 리만 구는 g=0인 경우이다.) 리만-로흐 정리에 의하여, :\operatorname H^{0,0}(\operatorname{CP}^1) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(0)) = \mathbb C :\operatorname H^{1,0}(\operatorname{CP}^1) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(-2)) = 0 이다. 즉, * \operatorname{\mathbb CP}^1 위에 대역적으로 정의되는 0차 정칙 미분 형식(즉, 정칙 함수)은 상수 함수 밖에 없다. * \operatorname{\mathbb CP}^1 위에는 대역적으로 정의되는 1차 정칙 미분 형식이 존재하지 않는다. 마찬가지로, :\operatorname H^{1,1}(\operatorname{\mathbb CP}^1) = \operatorname H^1(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(-2)) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(2))^* \cong \mathbb C :\operatorname H^{0,1}(\operatorname{\mathbb CP}^1) = \operatorname H^1(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(0)) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(-2))^* = \operatorname H^{1,0}(\operatorname{\mathbb CP}^1)^* = 0 이다. 여기서 세르 쌍대성을 사용하였다. 물론, \operatorname{\mathbb CP}^1 위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다.