슈바르츠 보조정리

복소해석학에서 **슈바르츠 보조정리**(-補助定理, Schwarz lemma)는 푸앵카레 원판 위의 정칙 함수의 성질을 다루는 보조정리이다.
# 정의
열린 단위 원판 \operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C 위의 정칙 함수 f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)가 f(0)=0을 만족시킨다고 하자. **슈바르츠 보조정리**에 따르면, 다음이 성립한다.고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 275-276쪽. * 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여, |f(z)|\le|z|이다. * |f'(0)|\le 1 * 다음 두 조건이 서로 동치이다. ** |f(z)|=|z|인 0\ne z\in\operatorname B(0,1)가 존재하거나, |f'(0)|=1이다. ** 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 f(z)=az이다. 여기서 a\in\mathbb C는 |a|=1인 상수이다. (즉, f는 \operatorname B(0,1) 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.) 이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다.
# 증명
함수 g\colon\operatorname B(0,1)\to\mathbb C를 다음과 같이 정의하자. :g(z)=\begin{cases} f(z)/z&z;\ne 0\\\ f'(0)&z;=0 \end{cases}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1) 그렇다면, g는 정칙 함수이다. 최대 절댓값 원리에 의하여, 임의의 z\in\operatorname B(0,1) 및 |z|에 대하여, :|g(z)|\le\sup_{|w|=r}|g(w)|\le\frac 1r 이며, 따라서 :|g(z)|\le\lim_{r\to 1^-}\frac 1r=1 이다. 즉, z\ne 0일 경우 |f(z)|\le|z|이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한 |f'(0)|\le 1이다. 만약 |f(z)|=|z|인 0\ne z\in\operatorname B(0,1)가 존재하거나, |f'(0)|=1이라면, |g|는 \operatorname B(0,1)에서 최댓값 1을 가지므로, 상수 함수이다. 즉, 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 g(z)=a인 a\in\mathbb C가 존재하며, |a|=1이다. 즉, 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여, f(z)=az이다. 만약 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 f(z)=az이며, a\in\mathbb C가 |a|=1인 상수라면, 자명하게 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 |f(z)|=|z|이며, 또한 |f'(0)|=1이다.
# 따름정리

## 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류
열린 단위 원판 \operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C 위의 쌍정칙 함수 f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, f는 뫼비우스 변환이며, 다음과 같은 꼴이다. :f(z)=a\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1) 여기서 a,z_0\in\mathbb C는 |a|=1이며 |z_0|<1인 상수이다.
## 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류의 증명
이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수 \varphi_{f(0)}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)를 다음과 같이 정의하자. :\varphi_{f(0)}(z)=\frac{z-f(0)}{1-\overline{f(0)}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1) 이는 \operatorname B(0,1) 위의 쌍정칙 함수이며, \varphi_{f(0)}(f(0))=0이다. 따라서, :g=\varphi_{f(0)}\circ f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1) 는 \operatorname B(0,1) 위의 쌍정칙 함수이며, g(0)=0이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, :1\le\frac 1{|(g^{-1})'(0)|}=|g'(0)|\le 1 이므로, |g'(0)|=1이다. 따라서, 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 g(z)=az인 a\in\mathbb C가 존재하며, |a|=1이다. 즉, z\in\operatorname B(0,1)에 대하여, :f(z)=\varphi_{f(0)}^{-1}(g(z))=a\frac{z+f(0)a^{-1{1+\overline{f(0)}az} 이다. 즉, z_0=-f(0)a^{-1}를 취하면 된다.
## 슈바르츠-픽 보조정리
열린 단위 원판 \operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C 위의 정칙 함수 f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)가 주어졌다고 하자. **슈바르츠-픽 보조정리**(-補助定理, Schwarz-Pick lemma)에 따르면, 다음이 성립한다. * 임의의 z,w\in\operatorname B(0,1)에 대하여, *:\left|\frac{f(z)-f(w)}{1-\overline{f(z)}f(w)}\right|\le\left|\frac{z-w}{1-\bar zw}\right| * 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여, *:|f'(z)|\le\frac{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2} * 다음 두 조건이 서로 동치이다. ** 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z,w\in\operatorname B(0,1)이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z\in\operatorname B(0,1)이 존재한다. ** 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 f(z)=a(z-z_0)/(1-\overline{z_0}z)이다. 여기서 a,z_0\in\mathbb C는 |a|=1이고 |z_0|<1인 상수이다. (즉, f는 \operatorname B(0,1) 위의 쌍정칙 함수이다.) 이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리 :d(z,w)=\tanh^{-1}\left|\frac{z-w}{1-\bar zw}\right| 를 증가시키지 않는다.
## 슈바르츠-픽 보조정리의 증명
임의의 w\in\operatorname B(0,1)를 취하고, 다음과 같은 함수 \varphi_w,\varphi_{f(w)}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)을 정의하자. :\varphi_w(z)=\frac{z-w}{1-\bar wz} :\varphi_{f(w)}(z)=\frac{z-f(w)}{1-\overline{f(w)}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1) 이들은 \operatorname B(0,1) 위의 쌍정칙 함수이며, \varphi_w(w)=\varphi_{f(w)}(f(w))=0이므로, :g=\varphi_{f(w)}\circ f\circ\varphi_w^{-1}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1) 는 정칙 함수이며, g(0)=0이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여, :|g(\varphi_w(z))|\le|\varphi_w(z)| :|g'(0)|\le 1 이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z,w\in\operatorname B(0,1)이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z\in\operatorname B(0,1)이 존재하는 것은 :g=\varphi_{f(w)}\circ f\circ\varphi_w^{-1} 가 \operatorname B(0,1) 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는 f가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다.
# 역사
독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 땄다.