스펙트럼 열

호몰로지 대수학에서 **스펙트럼 열**(spectrum列, spectral sequence)은 어떤 호몰로지 또는 코호몰로지에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다.
# 정의
어떤 아벨 범주 \mathcal C의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) (p,q)\in\mathbb Z^2을 가진다고 하자. 이 경우, **(코호몰로지) 스펙트럼 열** E^{p,q}_r는 다음과 같은 대상들로 이루어진다. * 어떤 정수 r_0\in\mathbb Z * 모든 r\ge r_0에 대하여, \mathcal C의 대상 E_r^{p,q} * 공경계 사상 d_r^{p,q}\colon E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q+1-r} 이들은 다음을 만족시킨다. * 모든 정수 r\ge r_0에 대하여, d_r\circ d_r=0이다. ::\cdots\to E_r^{p-2r,q-2+2r}\xrightarrow{d_r}E_r^{p-r,q-1+r}\xrightarrow{d_r}E_r^{p,q}\xrightarrow{d_r}E_r^{p+r,q+1-r}\xrightarrow{d_r}E_r^{p+2r,q+2-2r}\to\cdots * H(E^{p,q}_r) = \ker d_r^{p,q} / \operatorname{im}d_r^{p-r,q-1+r}\cong E^{p,q}_{r+1}이다. **호몰로지 스펙트럼 열**의 경우 대신 E^r_{p,q}로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상 :\partial_r\colon E^r_{p,q}\to E^r_{p-r,q-1+r} 을 사용한다. 코호몰로지 스펙트럼 수열 E_2^{p,q}의 형상화 그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 r에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 r_0,r_0+1,\dots인 "책"을 이루며, 책의 r\ge r_0번째 쪽에는 (p,q)에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.
## 수렴과 퇴화
스펙트럼 열 E_r^{p,q}이 주어졌다고 하자. 만약 각 (p,q)에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 r_0(p,q)가 존재한다고 하자. :d_r^{p-r,q+r+1}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q) :d_r^{p,q}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q) 그렇다면, 주어진 (p,q)에 대하여 E^{p,q}_r는 충분히 큰 r에 대하여 같아진다. 이를 E^{p,q}_\infty라고 하고, E_r^{p,q}가 **여과 지표**(濾過指標, filtration index) p에 대하여 E^{p,q}_\infty로 **수렴**(收斂, converge, abut)한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다. :E^{p,q}_r\Rightarrow_p E^{p,q}_\infty 보통 E^{p,q}_\infty는 여과 F^\bullet E^n_\infty가 갖추어져 있는 대상 E^n_\infty으로부터 다음과 같이 얻어진다. :E^{p,q}_\infty=\frac{F^p E^{p+q}_\infty}{F^{p+1}E^{p+q}_\infty} 이 경우 마찬가지로 :E^{p,q}_r\Rightarrow_p E^n_\infty 로 표기한다. 스펙트럼 열 E_r^{p,q}이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 정수 r_0가 존재한다면, E_r^{p,q}가 r_0에서 **퇴화**(退化, degenerate)한다고 한다. :d_r^{p,q}=0\qquad\forall p,q\in\mathbb Z,\;r\ge r_0 스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다.
## 제1 사분면 스펙트럼 열
**제1 사분면 스펙트럼 열**(第一四分面spectrum列, first-quadrant spectral sequence)는 다음 조건을 만족시키는 스펙트럼 열이다. * 만약 p<0 또는 q<0이라면 E^{p,q}_r=0 즉, 모든 쪽에서 성분이 오직 제1 사분면에서만 영 대상이 아닌 스펙트럼 열이다. 사실, r번째 쪽에서 성분이 제1 사분면에만 존재한다면 그 다음에 오는 모든 쪽에서 성분들은 제1 사분면에서만 존재하게 된다. 따라서, 이 조건은 첫 번째 쪽에서만 확인하면 된다. 제1 사분면 스펙트럼 열은 항상 수렴한다. 구체적으로, 제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열의 경우 :E^{p,q}_\infty= E^{p,q}_{\max\\{p+1,q+2\\ 이며, 호몰로지 스펙트럼 열의 경우 역시 :E_{p,q}^\infty=E_{p,q}^{\max\\{p+1,q+2\\ 이다.
### 코호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열
제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열 :E^{p,q}_2\Rightarrow_p E_\infty^{p+q} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 셋째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다. :\left|\underline{\begin{matrix} \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\ E^{0,2}_3&E;^{1,2}_3&E;^{2,2}_3&E;^{3,2}_3&\cdots\\\ E^{0,1}_3&E;^{1,1}_3&E;^{2,1}_3&E;^{3,1}_3&\cdots\\\ E^{0,0}_3&E;^{1,0}_3&E;^{2,0}_3&E;^{3,0}_3&\cdots \end{matrix\right. \qquad=\qquad\left|\underline{\begin{matrix} \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\ \ker d_2^{0,2}&\ker d_2^{1,2}&\tfrac{\ker d_2^{2,2{\operatorname{im}d_2^{0,3&\tfrac{\ker d_2^{3,2{\operatorname{im}d_2^{1,3&\cdots\\\ \ker d_2^{0,1}&\ker d_2^{1,1}&\tfrac{\ker d_2^{2,1{\operatorname{im}d_2^{0,2&\tfrac{\ker d_2^{3,1{\operatorname{im}d_2^{1,2&\cdots\\\ E^{0,0}_2&E;^{1,0}_2&\operatorname{coker}d_2^{0,1}&\operatorname{coker}d_2^{1,1}&\cdots \end{matrix\right. 넷째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다. :\left|\underline{\begin{matrix} \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\ E^{0,2}_4&E;^{1,2}_4&E;^{2,2}_4&E;^{3,2}_4&\cdots\\\ E^{0,1}_4&E;^{1,1}_4&E;^{2,1}_4&E;^{3,1}_4&\cdots\\\ E^{0,0}_4&E;^{1,0}_4&E;^{2,0}_4&E;^{3,0}_4&\cdots \end{matrix\right. \qquad=\qquad\left|\underline{\begin{matrix} \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\ \ker d_3^{0,2}&\ker d_3^{1,2}&\ker d_3^{2,2}&\tfrac{\ker d^{3,2}_3}{\operatorname{im}d^{0,4}_3}&\cdots\\\ \ker d_2^{0,1}&\ker d_2^{1,1}&\tfrac{\ker d_2^{2,1{\operatorname{im}d_2^{0,2&\operatorname{coker}d_3^{0,3}&\cdots\\\ E^{0,0}_2&E;^{1,0}_2&\operatorname{coker}d_2^{0,1}&\operatorname{coker}d_3^{0,2}&\cdots \end{matrix\right. 즉, 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 성분들로 수렴한다. :\left|\underline{\begin{matrix} \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\ E^{0,2}_\infty&E;^{1,2}_\infty&E;^{2,2}_\infty&E;^{3,2}_\infty&\cdots\\\ E^{0,1}_\infty&E;^{1,1}_\infty&E;^{2,1}_\infty&E;^{3,1}_\infty&\cdots\\\ E^{0,0}_\infty&E;^{1,0}_\infty&E;^{2,0}_\infty&E;^{3,0}_\infty&\cdots \end{matrix\right. \qquad=\qquad\left|\underline{\begin{matrix} \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\ \ker d_3^{0,2}&\ker d_3^{1,2}&\ker d_3^{2,2}&\tfrac{\ker d^{3,2}_3}{\operatorname{im}d^{0,4}_3}&\cdots\\\ \ker d_2^{0,1}&\ker d_2^{1,1}&\tfrac{\ker d_2^{2,1{\operatorname{im}d_2^{0,2&\operatorname{coker}d_3^{0,3}&\cdots\\\ E^{0,0}_2&E;^{1,0}_2&\operatorname{coker}d_2^{0,1}&\operatorname{coker}d_3^{0,2}&\cdots \end{matrix\right. 수렴한 성분들이 E_\infty^\bullet의 여과에 의하여 주어진다고 하자. :E_\infty^{p,q}=\frac{F^pE_\infty^{p+q{F^{p+1}E_\infty^{p+q 그렇다면 다음이 성립한다. :E_2^{1,0}\cong E_\infty^{1,0}=\frac{F^1E_\infty^1}{F^2E_\infty^1}=F^1E_\infty^1 :\ker d_2^{0,1}\cong E_\infty^{0,2}=\frac{F^0E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}=\frac{E_\infty^1}{F^1E_\infty^1} :\operatorname{coker} d_2^{0,1}\cong E_\infty^{2,0}=\frac{F^2E_\infty^2}{F^3E_\infty^2}=F^2E_\infty^2 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다. :0\to E_2^{1,0}\cong F^1E_\infty^1\hookrightarrow E_\infty^1\to \frac{E_\infty^1}{F^1E_\infty^1} \cong \ker d_2^{0,1}\hookrightarrow E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1 E_2^{2,0} \twoheadrightarrow\operatorname{coker} d_2^{0,1} \cong F^2 E^2_\infty \hookrightarrow E^2_\infty 여기서 \ker d_2^{0,1}와 \operatorname{coker} d_2^{0,1}을 생략하면, 다음과 같은 완전열을 얻는다. :0\to E_2^{1,0}\to E_\infty^1\to E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1 E_2^{2,0}\to E^2_\infty 이를 **5항 완전열**(五項完全列, five-term exact sequence)이라고 한다.
### 호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열
마찬가지로, 수렴하는 제1 사분면 호몰로지 스펙트럼 열 :E^2_{p,q}\Rightarrow_p E^\infty_{p+q} 이 주어졌다고 하고, 수렴한 성분들이 E^\infty_\bullet의 여과에 의하여 주어진다고 하자. :E^\infty_{p,q}=\frac{F_pE^\infty_{p+q{F_{p-1}E^\infty_{p+q 그렇다면, 스펙트럼 열의 처음 몇 성분은 다음과 같다. :E^2_{1,0}\cong E^\infty_{1,0}=\frac{F_1E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}=\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty} :\ker\partial^2_{2,0}\cong E_{2,0}^\infty =\frac{F_2E^\infty_2}{F_1E^\infty_2} =\frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2} :\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong E_{0,1}^\infty=\frac{F_0E_\infty^2}{F_{-1}E_\infty^2}=F_0E_\infty^2 이따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다. :E_2^\infty \twoheadrightarrow \frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}\cong\ker\partial^2_{2,0} \hookrightarrow E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0 E_{0,1}^2\twoheadrightarrow\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong F_0E_1^\infty\hookrightarrow E_1^\infty \twoheadrightarrow\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}\cong E_{1,0}^2\to 0 여기서 \ker\partial^2_{2,0}와 \operatorname{coker}\partial^2_{2,0}을 생략하면, 다음과 같은 **5항 완전열**을 얻는다. :E_2^\infty \to E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0 E_{0,1}^2\to E_1^\infty \to E_{1,0}^2\to 0
# 구성
스펙트럼 열은 보통 **완전쌍**이나 사슬 복합체의 **여과**로부터 발생한다.
## 완전쌍
어떤 아벨 범주 속에서의 **완전쌍**(完全雙, exact couple) (A,E,f,g,h)은 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 두 개의 대상 A, E * 사상 A\xrightarrow fA\xrightarrow g E\xrightarrow hA 이들은 :\operatorname{im}f=\ker g :\operatorname{im}g=\ker h :\operatorname{im}h=\ker f 를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 완전열을 이룬다. :\begin{matrix} A\qquad&\xrightarrow f&\qquad A\\\ {\scriptstyle h}\nwarrow&&\swarrow\scriptstyle g\\\ &E; \end{matrix} 완전쌍 (A,E,f,g,h)의 **유도 완전쌍**(誘導完全雙, derived exact couple) (A',E',f',g',h')은 다음과 같은 완전쌍이다. * d=g\circ h * A'=\operatorname{im}f * E'=\ker d/\operatorname{im}d * f'=f|_A\colon A'\to A' * g'\colon A'\to E'는 (모든 아벨 범주는 구체적 범주로 나타낼 수 있으므로) g'\colon a'\mapsto g(f^{-1}(a'))이다. 이 경우, f^{-1}(a')의 선택이 상관없음을 보일 수 있다. * h'\colon E'\to A'는 h\colon C\to A에 의하여 유도된다. 즉, h\colon[e]\mapsto h(e)이다. 이 경우, g(h(e))=0이므로 항상 g(h(e))=f(a)인 a\in A가 존재하며, 따라서 h(e)\in f(A)=A'이다. 이를 반복하여, n차 유도 완전쌍 (A^{(n)},E^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})을 정의할 수 있다. 그렇다면, :E^{(0)} \stackrel d\Rightarrow E^{(1)}\stackrel{d^{(1)\Rightarrow E^{(2)}\Rightarrow\cdots 는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, A 및 C는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다.
## 여과 복합체의 스펙트럼 열
사슬 복합체 (C_\bullet,\partial_\bullet)에 증가하는 여과 F_\bullet(C_\bullet)가 주어졌다고 하자. 즉, :F_pC_\bullet\subseteq F_{p+1}C_\bullet 라고 하자. 또한, 경계 \partial가 여과와 호환된다고 하자. 즉, :\partial(F_pC_n)\subseteq \partial(F_pC_{n+1}) 이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다. :\begin{matrix} &\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\\ &\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\\ \cdots\to&H;_{n+1}(F_pC^\bullet)&\xrightarrow g&H;_{n+1}(F_pC^\bullet/F_{p-1}C^\bullet)&\xrightarrow h&H;_n(F_{p-1}C^\bullet)&\xrightarrow g&H;_n(F_{p-1}C^\bullet/F_{p-2}C^\bullet)&\to\cdots\\\ &\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\\ \cdots\to&H;_{n+1}(F_{p+1}C^\bullet)&\xrightarrow g&H;_{n+1}(F_{p+1}C^\bullet/F_pC^\bullet)&\xrightarrow h&H;_n(F_pC^\bullet)&\xrightarrow g&H;_n(F_pC^\bullet/F_{p-1}C^\bullet)&\to\cdots\\\ &\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\\ &\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots \end{matrix} 여기에 :A=\bigoplus_{p,q} H_q(F_pC^\bullet) :E=\bigoplus_{p,q} H_q(F_pC^\bullet/F_{p-1}C^\bullet) 를 정의한다면, * f\colon A\to A * g\colon A\to E * h\colon E\to A 를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.
# 예
X가 CW 복합체이며, X_p가 그 p차원 뼈대라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.언어=en :\begin{matrix} &\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\\ &\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\\ \cdots\to&H;_{n+1}(X_p)&\xrightarrow g&H;_{n+1}(X_p,X_{p-1})&\xrightarrow h&H;_n(X_{p-1})&\xrightarrow g&H;_n(X_{p-1},X_{p-2})&\to\cdots\\\ &\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\\ \cdots\to&H;_{n+1}(X_{p+1})&\xrightarrow g&H;_{n+1}(X_{p+1},X_p)&\xrightarrow h&H;_n(X_p)&\xrightarrow g&H;_n(X_p,X_{p-1})&\to\cdots\\\ &\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\\ &\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots \end{matrix} 이에 따라, :A=\bigoplus_{p,q} H_q(X_p) :E=\bigoplus_{p,q} H_q(X_p, X_{p-1}) 로 놓으면, * f\colon A\to A * g\colon A\to E * h\colon E\to A 를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 E^2_{p,q}에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 동형임을 보일 수 있다.
# 역사
장 르레가 1946년 층 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.언어=fr언어=fr 이는 오늘날 **르레 스펙트럼 열**로 불리며, 유도 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.언어=fr 르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"(anneau spectral)라는 용어를 사용하였고,언어=frurl-status=dead언어=en 이듬해 장피에르 세르가 이를 "스펙트럼 열"(suite spectrale)으로 개량하였다.언어=fr 존 매클리어리(John McCleary)에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 미분 연산자의 스펙트럼을 구성하는 고윳값에 비유하여 붙인 것이라고 한다. 라비 바킬(Ravi Vakil)은 스펙트럼 열(스펙트럴 시퀀스)이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신(스펙터)처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"(terrifying, evil, and dangerous) 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다.언어=en 1952년에 윌리엄 슈마허 매시(William Schumacher Massey)는 스펙트럼 열을 정의하는 완전쌍의 개념을 발견하였다.언어=en언어=en 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 층 코호몰로지의 르레 스펙트럼 열과 군 코호몰로지의 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 그로텐디크 스펙트럼 열로 일반화하였다. 곧 애덤스 스펙트럼 열(Adams spectral sequence), 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열(Atiyah–Hirzebruch spectral sequence), 복시테인 스펙트럼 열 등 스펙트럼 열의 수많은 예들이 발견되었다.