아핀 리 대수

비틀리지 않은 아핀 딘킨 도표들. 새로 추가한 꼭짓점은 녹색이다. 비틀린 아핀 딘킨 도표들. 리 대수 이론에서, **아핀 리 대수**(affine Lie代數, affine Lie algebra)는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다.언어=en언어=en언어=enisbn=0-387-94785-Xisbn=0-8218-2130-Xisbn=0-19-853535-X 물리학의 등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다.
# 정의
아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다. * 아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특별한 종류이다. * 아핀 리 대수는 단순 리 대수 계수의 로랑 다항식의 리 대수의 중심 확대이다. * 아핀 리 대수는 어떤 특별한 프레셰 리 군의 리 대수(의 복소화의 부분 공간)이다. 이 정의들은 서로 동치이다.
## 카츠-무디 대수로서의 정의
**아핀 리 대수**는 카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 A가 양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 \mathfrak g가 n+1개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 (n+1)\times(n+1) 정사각 행렬이며 그 계수는 l이다.
## 대수적 구성
다음이 주어졌다고 하자. * 복소수체 위의 유한 차원 이차 리 대수 (\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C},\langle |\rangle \colon\stackrel\circ{\mathfrak g}\otimes_K\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}\to\mathbb C). (만약 \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}가 반단순 리 대수라면, 이는 킬링 형식으로 잡을 수 있다. 만약 \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}가 아벨 리 대수라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.) 그렇다면, **아핀 리 대수** \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C}는 K-벡터 공간으로서 다음과 같다. :\hat{\mathfrak g}=\stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]\oplus \mathbb C\mathsf k. 즉, \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}의 계수를 가진 로랑 다항식 \mathfrak g^{\mathbb C}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]에 중심 확대 \mathsf k를 더한 것이다. 물리학적으로 \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]는 대칭의 보존류들을 나타내고, \mathsf k는 대칭의 변칙을 나타낸다. \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} 위에는 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. a,b\in\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}라고 하면, :[a\mathsf z^m,b\mathsf z^n]=[a,b]\mathsf z^{m+n}+\delta_{m+n,0}m\langle a|b\rangle\mathsf k :[\mathsf k,a\mathsf z^n]=[\mathsf k,\mathsf k]=0 \mathsf k는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열 :0 \to \mathbb C\mathsf k \to \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} \to \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C} \otimes \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \to 0 이 존재한다. 형식적 변수 \mathsf z 대신, \stackrel\circ{\mathfrak g}의 정규 직교 기저 g^a를 잡아, 직접 :g^a_m = g^a \mathsf z^m 를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다. :[g^a_m,g^b_n]=f^{ab}{}_cg^c_{m+n}+\delta_{m+n,0}m\delta^{ab}\mathsf k :[\mathsf k,g^a_m] = 0 여기서 f^{ab}{}_c는 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 구조 상수이다.
### 실수 형태
\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}가 실수 이차 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb R}의 복소화라고 하자. 그렇다면, 복소수 아핀 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. :\mathsf z \mapsto \mathsf z^{-1} :\mathrm i \mapsto -\mathrm i :\mathsf k \mapsto \mathsf k :x \mapsto x \qquad\forall x\in \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb R} 즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형(antilinear) 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점 :\hat{\mathfrak g}^{\mathbb R} = \stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R}\mathbb R[z+z^{-1},\mathrm i(z-z^{-1})] + \mathbb R\mathsf k 은 실수 리 대수를 이룬다.
### 미분 연산의 추가
복소수 벡터 공간 :\tilde{\mathfrak g}^{\mathbb C} = \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} \oplus \mathbb C\mathsf d 위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다. :[\mathsf d,az^m]=-\mathrm ima\mathsf z^m \qquad \forall a\in\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C} :[\mathsf d,\mathsf c]=0 즉, :[\mathsf d,-] = -\mathrm i\mathsf z \frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf z} 이다. 만약 형식적으로 \mathsf z = \exp(\mathrm i\mathsf t)로 놓는다면, :[\mathsf d,-] = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf t} 가 된다. 또한, :[\mathsf d,a(z+z^{-1})] = - a\mathrm i(z - \mathsf z^{-1}) :[\mathsf d,\mathrm ia(z-z^{-1})] = a(z + \mathsf z^{-1}) 이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 \hat{\mathfrak g}^{\mathbb R}에도 잘 정의된다.
### 뒤틀린 아핀 리 대수
\stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉, z=\exp(\mathrm i\mathsf t)로 놓으면, \stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]를 주기적 함수 \mathbb S^1\to\stackrel\circ{\mathfrak g}로 해석할 수 있다. 즉, a(0)=a(2\pi)의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다. 만약 \stackrel\circ{\mathfrak g}가 자명하지 않은 자기 동형 \sigma\in\operatorname{Aut}(\stackrel\circ{\mathfrak g})를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다. :\sigma a(0)=a(2\pi). 이와 같은 경우를 **뒤틀린 아핀 리 대수**(twisted affine Lie algebra)라고 한다. 마찬가지로 **뒤틀린 카츠-무디 대수**(twisted Kač–Moody algebra)를 정의할 수 있다.
## 아핀 리 대수의 기하학적 정의
아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수를 통해 구성될 수 있다.824, §4.1 구체적으로, 킬링 형식이 음의 정부호인 실수 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간 :\mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\stackrel\circ{\mathfrak g}) 을 정의할 수 있다. 이는 \stackrel\circ{\mathfrak g}값의 매끄러운 주기 함수로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간을 갖는다. :\iota\colon \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g} \subseteq \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R} \mathbb C :\iota(\mathsf z^n \otimes x)\colon t \mapsto \exp(\mathrm itn)x \qquad(x\in\mathfrak g,\;t\in \mathbb R/2\pi\mathbb Z = \mathbb S^1) 이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는 :\iota_{\mathbb R} \colon \mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g} \to \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} 이다. 고리 리 대수 \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g}의 리 대수 코호몰로지에서, 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다. :\alpha \colon \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \times \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \to \mathbb R :\alpha\colon (x, y) \mapsto \frac{\delta^2}{2\pi}\int_{\mathbb S^1} \langle x(t)|y(t)\rangle \,\mathrm dt 여기서 * \langle-|-\rangle은 \stackrel\circ{\mathfrak g} 위의 어떤 임의의 불변 비퇴화 이차 형식이다. (이는 킬링 형식의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 쌍대 공간 \stackrel\circ{\mathfrak g}^* 위의 비퇴화 이차 형식으로도 여길 수 있다. * \delta^2는 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은 \langle-|-\rangle에 따른 것이다. * \mathbb S^1의 측도 \mathrm dt에 따르면, \textstyle\int_{\mathbb S^1}\mathrm dt = 2\pi이다. 이 2차 공사슬은 리 대수의 짧은 완전열 :0 \to \mathbb R \to \bar{\mathfrak g} \to \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \to 0 을 정의한다. 이 경우, \mathfrak g에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}는 자연스럽게 다음과 같이 \bar{\mathfrak g}의 부분 리 대수가 된다. : \begin{matrix} 0 & \to & \mathbb R & \to & \hat{\mathfrak g} & \to & \stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R} \mathbb R[z+z^{-1}, \mathrm i(z-z^{-1})] & \to & 0 \\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\\ 0 &\to & \mathbb R& \to & \bar{\mathfrak g} & \to & \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} & \to & 0 \end{matrix}
## 리 군의 기하학적 정의
실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.825, §4.1 구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 \stackrel\circ G와 그 실수 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다. :\mathrm L\stackrel\circ G = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1, \stackrel\circ G) 즉, 이는 \stackrel\circ G값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다. 아핀 리 대수는 \mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g}의 중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열 :1\to \operatorname U(1) \to \hat G \to \mathrm L\stackrel\circ G \to 1 에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다. 구체적으로, 원판 \mathbb D^2를 생각하자. 이제, :\mathrm L\stackrel\circ G = G_{\mathbb D^2} / \mathcal G :G_{\mathbb D^2} = \mathcal C^\infty(\mathbb D^2, G) :\mathcal G = \\{\alpha\in G_{\mathbb D^2} \colon \alpha \restriction \partial\mathbb D^2 = 1_{\stackrel\circ G} \\} \cong \mathcal C^\infty_\bullet(\mathbb S^2, \stackrel\circ G) 이다. 여기서 \mathcal G는 일종의 게이지 변환군으로 여길 수 있다. 이제, G_{\mathbb D^2} 위의 다음과 같은 함수를 생각하자. :\gamma \colon G_{\mathbb D^2} \times G_{\mathbb D^2} \to \mathbb R :\gamma (g,h) = \frac1{4\pi\delta^2}\int_{\mathbb D^2} \langle g^{-1}\mathrm dg|h^{-1}\mathrm dh\rangle 여기서 * \langle-|-\rangle는 \stackrel\circ{\mathfrak g} 위의 불변 비퇴화 이차 형식이며, (예를 들어) 딸림표현에서의 대각합 \langle x,y\rangle = \operatorname{tr}(xy)으로 여길 수 있다. * \delta^2는 \langle-|-\rangle에 따른, \stackrel\circ{\mathfrak g}의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 그렇다면, :\exp(\mathrm il\gamma(-,-)) \colon G_{\mathbb D^2} \times G_{\mathbb D^2} \to \mathbb C\qquad(l\in\mathbb Z) 는 (자명한 계수의) \mathcal C^\infty(\mathbb D^2, G)의 군 코호몰로지의 2차 공사슬을 이루며, 이는 G_{\mathbb D^2}의 중심 확대 :1\to\operatorname U(1) \to \hat G_{\mathbb D^2} \to G_{\mathbb D^2} \to 1 를 정의한다. 이제, 임의의 \alpha\in\mathcal G에 대하여, :\iota_l \colon \mathcal G \to \hat G_{\mathbb D^2} :\iota_l \colon \alpha \mapsto \left(\alpha, \exp\left( \frac{\mathrm il}{12\pi\delta^2} \int_{\mathbb D^3} \operatorname{tr}(\bar\alpha^{-1} \mathrm d\bar\alpha)^3 \right)\right) 를 정의할 수 있다. 여기서 :\bar\alpha \colon \mathbb D^3 \to\stackrel\circ G :(\bar\alpha \restriction \partial\mathbb D^3) = \alpha 는 \alpha\colon \mathbb S^2 \to\stackrel\circ G의, 3차원 공 \mathbb D^3으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 \bar\alpha의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형의 작용의 항에 해당한다. 이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며, \iota_l(\mathcal G)는 \hat G_{\mathbb D^2}의 정규 부분군이다. 따라서, 몫군 :\hat G_l = \frac{\hat G_{\mathbb D^2{\iota_l(\mathcal G)} 을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열 :1 \to \operatorname U(1) \to \hat G_l \to \mathrm LG \to 1 을 구성한다. (정수 l \in \mathbb Z은 \hat{\mathfrak g}의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, \hat G_l의 리 대수는 (l\ne 0일 경우, l의 값에 상관없이) \hat{\mathfrak g}이다.
# 성질
아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.
## 콕서터 수와 쌍대 콕서터 수
아핀 리 대수 \mathfrak g의 단순근들이 \alpha_0,\dots,\alpha_n이며, 단순 쌍대근들이 \alpha_0^\vee,\dots,\alpha_n^\vee라고 하자. **콕서터 라벨**(Coxeter label) a_i와 **쌍대 콕서터 라벨**(dual Coxeter label) a_i^\vee는 카르탕 행렬 A에 대하여 :0=a^\top A=Aa^\vee 를 만족시키는 벡터이다.96, (2.1.16) 이 경우, a 및 a^\vee의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다. 아핀 리 대수의 **콕서터 수**(Coxeter number) h와 **쌍대 콕서터 수**(dual Coxeter number) h^\vee는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다. :\mathsf h(\mathfrak g)=\sum_{i=0}^na_i :\mathsf h^\vee(\mathfrak g)=\sum_{i=0}^na_i^\vee 아핀 리 대수 \mathfrak g의 **표준 중심 원소**(標準中心元素, canonical central element) k\in\mathfrak h는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g의 원소이다. :k=\sum_{i=0}^na_i^\vee\alpha_i^\vee 그렇다면, \mathfrak g의 중심은 1차원 부분 대수 :\operatorname Z(\mathfrak g)=\mathbb C\mathsf k 이다. 마찬가지로, :\delta=\sum_{i=0}^na_i\alpha_i 를 정의하자.
## 근계의 구조
아핀 리 대수 \mathfrak g의 기본 단순 리 대수가 \stackrel\circ{\mathfrak g}라고 하자. r가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수라고 하자. 예를 들어, \tilde D_4^{(3)}의 경우, r=3이다. 그렇다면, \mathfrak g의 실근들의 집합 \Delta^{\text{re(\mathfrak g)는 구체적으로 다음과 같다.83, Proposition 6.3a,b,c :\Delta^{\text{re(\mathfrak g)=\begin{cases} \stackrel\circ\Delta+\mathbb Z\delta&r;=1\\\ (\stackrel\circ\Delta_\text{short}+\mathbb Z\delta)\cup(\stackrel\circ\Delta_{\text{long+r\mathbb Z\delta)&r;\in\\{2,3\\},\;\mathfrak g\not\cong A_{2n}^{(2)}\\\ \frac12\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long+(2\mathbb Z-1)\delta\right)\cup \left(\stackrel\circ\Delta_{\text{short+\mathbb Z\delta\right)\cup \left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long+2\mathbb Z\delta\right) &\mathfrak g\cong A_{2n}^{(2)} \end{cases} \mathfrak g의 허근들의 집합 \Delta^{\text{im(\mathfrak g)는 다음과 같다.64, Theorem 5.6b :\Delta^{\text{im(\mathfrak g)=(\mathbb Z\setminus\\{0\\})\delta (영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, \delta는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.64, Theorem 5.6b :\Delta^{\text{im},+}(\mathfrak g)=\mathbb Z^+\delta
## 기본 단순 리 대수
단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, \mathfrak g의 **축척 원소**(scaling element) d\in\mathfrak h는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다. :\langle\alpha_i,d\rangle=\delta_{i,0} 축척 원소를 선택하였다면, \mathfrak g와 그 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다. :\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g]\oplus\mathbb C\mathsf d :\mathfrak h=\operatorname{Span}\\{\alpha_0^\vee,\dots,\alpha_r^\vee,d\\} \mathfrak h에서, k 및 d에 수직이 되는 부분 공간을 \stackrel\circ{\mathfrak h}라고 하자. :\mathfrak h=\stackrel\circ{\mathfrak h}\oplus\mathbb C\mathsf k\oplus\mathbb C\mathsf d 아핀 리 대수 \mathfrak g의 슈발레 생성원을 :(e_0,f_0),\dots,(e_n,f_n) 이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 \mathfrak g의 **기본 단순 리 대수**(underlying simple Lie algebra) \stackrel\circ{\mathfrak g}\subsetneq\mathfrak g는 \stackrel\circ{\mathfrak h} 및 (e_1,f_1),\dots,(e_n,f_n)로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 카르탕 부분 대수는 \stackrel\circ{\mathfrak h}이며, 그 근계 및 쌍대 근계는 :\stackrel\circ\Delta=\Delta\cap\stackrel\circ{\mathfrak h}^* :\stackrel\circ\Delta^\vee=\Delta^\vee\cap\stackrel\circ{\mathfrak h} 이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각 :\\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\\} :\\{\alpha_1^\vee,\dots,\alpha_n^\vee\\} 이다.
## 바일 군
아핀 리 대수 \mathfrak g의 바일 군 \operatorname{Weyl}(\mathfrak g)은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 바일 군 \operatorname{Weyl}(\stackrel\circ{\mathfrak g})과 어떤 자유 아벨 군의 반직접곱이다.88, Proposition 6.5 :\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)=\operatorname{Weyl}(\stackrel\circ{\mathfrak g}) \rtimes M 여기서 :M=\begin{cases}\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta&r;=1\\\ \operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta^\vee&r;\in\\{2,3\\} \end{cases} 는 \stackrel\circ{\mathfrak h} 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 \circ{\mathfrak h}\cong\circ{\mathfrak h}^*를 암묵적으로 사용하였다.
## 표현론
\stackrel\circ\mathfrak g의 유한 차원 유니터리 표현 :\stackrel\circ\rho\colon \mathfrak g \to \mathfrak u(n) 이 주어졌으며, 자연수 k\in\mathbb N가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}에서, 포함 관계 \iota\colon\stackrel\circ{\mathfrak g} \to \hat{\mathfrak g}에 대하여 :\stackrel\circ\rho = \rho \circ \iota 이며 :\rho(\mathsf k) = k 가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간으로 가는 기약 표현 :\rho \colon \hat{\mathfrak g} \to \mathcal L(\mathcal H,\mathcal H) 이 유일하게 존재한다.
## 스가와라 구성
단순 리 대수 \stackrel\circ\mathfrak g에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수 \hat\mathfrak g=\mathbb g[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \oplus \mathbb C\mathsf c의 표현 V가 주어졌다고 하자. 이 경우, V에 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다. :\mathsf L_n = \frac1{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\mathfrak g)} \sum_{m \in\mathbb Z} \eta_{ab} (x^a\mathsf z^m)(x^b\mathsf z^{-m}) \qquad (n\ne0) :\mathsf L_0 = \frac2{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\mathfrak g)} \sum_{m =0}^\infty \eta_{ab} (x^a\mathsf z^m)(x^b\mathsf z^{-m}) :\mathsf c = \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak g{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})} 이를 **스가와라 구성**([菅原]構成, Sugawara construction)이라고 한다.언어=en언어=en(4.15), §4.2 여기서 * \mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})는 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 이중 콕서터 수이다. * \eta_{ab}는 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 킬링 형식의 스칼라배이며, 이 비퇴화 이차 형식에 따라서 \mathfrak g의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.) * \mathsf k는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다. * 합이 무한해 보이지만, 이들이 사다리 연산자로 작용하므로, 실제로는 각 베르마 가군에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다. * \mathsf L_0의 정의가 특별한 것은 표준 순서를 가했기 때문이다. 보다 일반적으로, 반단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 표현 V 및 부분 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak h}\subseteq\stackrel\circ{\mathfrak g}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \hat{\mathfrak g}에 대응하는 스가와라 구성 :(\mathsf L'_n,\mathsf c')_{\mathbb Z} 및 \hat{\mathfrak h}에 대응하는 스가와라 구성 :(\mathsf L*_n,\mathsf c*)_{\mathbb Z} 이 주어진다. 이 경우, :\mathsf L_n = \mathsf L'_n - \mathsf L*_n :\mathsf c = \mathsf c' - \mathsf c* = \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak g{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})} - \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak h{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak h})} 를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다.언어=en 이를 **공액류 구성**(coset construction) 또는 **고더드-켄트-올리브 구성**(Goddard–Kent–Olive construction) 또는 **GKO 구성**(GKO construction)이라고 한다. 이를 통하여 비라소로 대수의 모든 c\bullet | colspan=2 | 11 | colspan=2 | n+1 |- align=center !\tilde B_n | B_n^u | B_n | B_n^{(1)} | 2 | 2n(n-1) | 2n (길이 1) | \bullet\Leftarrow\bullet-\cdots-\bullet\bullet-\bullet-\cdots-\bullet2-2-\cdots-2\bullet-\bullet-\bullet | colspan=2 | {1-2\atop1-2}>3-2-1 | colspan=2 | 12 |- align=center !\tilde E_7 | E_7^u=E_7^t | E_7 | E_7^{(1)} | 1 | 126 | 0 | {\bullet-\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet | colspan=2 | {1-2-3\atop1-2-3}>4-2 | colspan=2 | 18 |- align=center !\tilde E_8 | E_8^u=E_8^t | E_8 | E_8^{(1)} | 1 | 240 | 0 | {\bullet\atop{{-\atop{{\bullet\atop\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet | colspan=2 | {2\atop{{-\atop{{4\atop3}>6-5-4-3-2-1 | colspan=2 | 30 |- align=center !\tilde F_4 | F_4^u | F_4 | F_4^{(1)} | 2 | 24 | 24 (길이 1) | \bullet-\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet | 1-2-3\Rightarrow4-2 | 1-2-3\Rightarrow2-1 | 12 | 9 |- align=center !\tilde G_2 | G_2^u | G_2 | G_2^{(1)} | 2 | 6 | 6 (길이 \sqrt{2/3}) | \bullet-\bullet\Rrightarrow\bullet | 1-2\Rrightarrow3 | 1-2\Rrightarrow1 | 6 | 4 |- align=center ! \tilde A_{2n-1}^{(2)} | C_n^t | B_n^\vee | C_n^{(2)} | 3 | 2n | 2n(n-1) (길이 1) | \bullet\Rightarrow\bullet-\cdots-\bullet0) :\mathsf z^n = \sqrt n\mathsf q_n\qquad(n>0) :\mathsf k = \hbar 로 놓으면, :[\mathsf q_m,\mathsf p_n] = \delta_{m,n}\hbar 가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 (\mathsf z^0으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수의 직합이 된다.§2.4 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간 \mathbb C[\mathsf x_1,\mathsf x_2,\dotsb] 위에 표준적으로 작용한다.(2.19) 이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.(2.23) :\mathsf L_n = - \frac12\sum_{m\in\mathbb Z} \mathsf z^{\min\\{m,n-m\\ \mathsf z^{\max\\{m,n-m\\ :\mathsf c = 1 물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다.
# 역사
아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 빅토르 카츠와 로버트 무디(Robert Moody)가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군이 근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다. 스가와라 구성은 스가와라 히로타카(すがわら ひろたか)가 1968년에 발견하였다.언어=en 공액 구성은 피터 고더드(Peter Goddard, 1945〜) · 에이드리언 켄트(Adrian Kent) · 데이비드 올리브(David Olive, 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다.언어=en