야코비 다양체

대수기하학에서 **야코비 다양체**(Jacobi多樣體, Jacobian variety)는 대수 곡선 위에 존재하는 0차 선다발들의 모듈라이 공간이다. 피카르 군에서 단위원을 포함한 연결 성분이며, 이에 따라 주극성화 아벨 다양체를 이룬다. 카를 구스타프 야코프 야코비의 이름을 땄다.
# 정의
복소수체에 대한 완비 비특이 대수 곡선 (리만 곡면)의 경우, 야코비 다양체는 다음과 같이 작도할 수 있다. 이 작도는 닐스 헨리크 아벨이 정의하였고, 카를 구스타프 야코프 야코비가 이 작도가 0차 선다발의 모듈라이 공간과 동형임을 보였다. 이를 **아벨-야코비 정리**(Abel–Jacobi theorem)라고 한다. 곡면 종수가 g \in\mathbb N인 복소수 대수 곡선 \Sigma_g를 생각하자. 그 호지 수들은 :{| | || 1 |- | g || || g |- | || 1 |} 이다. 즉, 위상수학적으로 :\Lambda=\operatorname H_1(\Sigma_g;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^{2g} 이다. (리만 곡면의 경우, 호몰로지에 꼬임 부분군이 없다.) 또한, :V=(\operatorname H^{1,0}(\Sigma_g))^*=(\operatorname H^0(\Sigma_g,\mathcal K_{\Sigma_g}))^*\cong\mathbb C^g 를 정의할 수 있다. 여기서 * \operatorname H^{1,0}(\Sigma_g) = \operatorname H^0(\Sigma_g,\mathcal K_{\Sigma_g})는 (1,0)차 복소수 미분 형식들의 복소수 벡터 공간이며, ((1,−1)차 복소수 미분 형식이 존재하지 않으므로) (1,0)차 돌보 코호몰로지와 같다. (\mathcal K_{\Sigma_g}는 대수 곡선의 표준 선다발이며, 기하학적으로 그 단면은 (1,0)차 복소수 미분 형식이다.) * (-)^*는 유한 차원 복소수 벡터 공간의 쌍대 공간이다. 정수 계수 코호몰로지가 꼬임 부분군을 갖지 않으므로, 자연스럽게 \Lambda\subseteq V이다. 이는 (1,0)차 복소수 미분 형식을 실수 1차원 부분 다양체에 대하여 적분하는 것에 해당한다. 이 경우, **야코비 다양체** \operatorname{Jac}(\Sigma_g)는 g차원 복소수 아벨 다양체 :\operatorname{Jac}(\Sigma_g)=V/\Lambda\cong\mathbb T^{2g} 이다.
## 주극성화
야코비 다양체는 자연스럽게 주극성화 아벨 다양체의 구조를 갖는다. 구체적으로, 복소수 벡터 공간 V^*에는 교차 형식(intersection form)에 의하여 다음과 같은 반쌍선형 심플렉틱 형식이 존재한다. :\omega^{-1}\colon\bar V^*\times V^*\to\mathbb C :\omega^{-1}\colon(\bar a,b)=\int_{\Sigma_g}\bar a\wedge b\qquad(a,b\in V^* = \Omega^{1,0}(\Sigma_g)) 이 형식이 비퇴화이므로, 그 역 \omega\colon\bar V\times V\to\mathbb C는 V 위의 반쌍선형형 심플렉틱 형식이다. 또한, \omega(\Lambda,\Lambda)=\mathbb Z임을 알 수 있다. 구체적으로, \Lambda의 적절한 기저 \\{\alpha_i,\beta_i\\}_{i=1,\dots,g}에서 :\omega(\alpha_i,\beta_i)=-\omega(\beta_i,\alpha_i)=\delta_{ij} :\omega(\alpha_i,\beta_i)=\omega(\beta_i,\beta_j)=\delta_{ij} 로 놓을 수 있다. 즉, \omega(\mathrm ia,b)는 V 위의 켈러 형식이며, 동형 :\bar V\cong V^* :\bar\alpha \mapsto \omega(\alpha,-) 을 정의한다. 따라서, \operatorname{Jac}(\Sigma_g)는 \omega에 의하여 주극성화 아벨 다양체를 이룬다.
# 성질
야코비 다양체는 차수 0의 정칙 선다발들의 모듈라이 공간이다. 여기서 차수란 기하학적으로 천 특성류의 적분이며, 차수가 0인 것은 그 천 접속의 곡률이 0임을 뜻한다. 이러한 선다발들은 텐서곱에 따라서 아벨 군을 이루는데, 야코비 다양체의 (아벨 다양체로서의) 군 구조는 이와 일치한다. 모든 차수의 정칙 선다발들의 모듈라이 공간은 **피카르 다양체**라고 하며, 야코비 다양체는 그 속의, 항등원을 포함하는 연결 성분이다.
## 아벨-야코비 사상
리만 곡면 \Sigma가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \Sigma의 0차 인자의 공간 \operatorname{Div}_0(\Sigma)에서 야코비 다양체로 가는 다음과 같은 사상이 존재한다. :\operatorname{AJ}_\Sigma\colon \operatorname{Div}_0(\Sigma) \to \operatorname{Jac}(\Sigma) :\operatorname{AJ}_\Sigma\colon\sum_{i=1}^k (p_i - q_i) \mapsto \left [ \omega \mapsto \sum_{i=1}^k\int_{q_i}^{p_i}\omega_1\right]\qquad p_1,\dotsc,p_k,q_1,\dotsc,q_k\in \Sigma,\;\omega\in\Omega^{1,0}(\Sigma)=V^* 여기서 \textstyle\int_{q_i}^{p_i}\omega는 q_i와 p_i를 끝점으로 갖는 \Sigma 속의 임의의 곡선 :\gamma\colon[0,1]\to\Sigma :\gamma(0) = q_i :\gamma(1) = p_i 에 대한 1차 미분 형식 \omega의 적분이다. 이는 물론 사용한 곡선 \gamma의 호모토피류에 의존하지만, 서로 다른 곡선을 사용하였을 때의 차는 \Lambda에 속한다. 즉, 이는 야코비 다양체 속의의 점을 잘 정의한다. 이 사상은 전사 함수이자 두 아벨 군 사이의 군 준동형이며, 그 핵은 주인자의 부분군 \operatorname{PDiv}(\Sigma) \le\operatorname{Div}_0(\Sigma)이다. 즉, 다음과 같은, 아벨 군의 짧은 완전열이 존재한다. :0 \to \operatorname{PDiv}(\Sigma) \to \operatorname{Div}_0(\Sigma) \to \operatorname{Jac}(\Sigma) \to 0 0차 정칙 선다발은 인자류 [\textstyle \sum_ip_i-q_i]\operatorname{Div}_0(\Sigma) / \operatorname{PDiv}(\Sigma)에 의하여 분류되므로, 이는 0차 선다발의 모듈라이 공간과 야코비 다양체 사이의 동형을 정의한다. 특히, g\ge1인 경우를 생각하자. 이 경우, 임의의 q\in \Sigma에 대하여, :\overbrace{\Sigma \times \dotsb \times \Sigma}^g \to \operatorname{Jac}(\Sigma) :(p_1,\dotsc, p_g) \mapsto \operatorname{AJ}_\Sigma\left(\sum_{i=1}^g(p_g-q)\right) 를 생각하자. 이는 대칭군 \operatorname{Sym}(g)의 작용에 대하여 불변이므로, 이는 짜임새 공간 \operatorname{Conf}(\Sigma,g) = \Sigma^g / \operatorname{Sym}(g) 위에 정의된다. 이 사상 :\operatorname{Conf}(\Sigma,g) \to \operatorname{Jac}(\Sigma) 은 항상 전사 함수이며, 거의 어디서나 단사 함수이다. 즉, 이 사상이 단사 함수가 아닌 점들은 양의 여차원의 부분 다양체를 이룬다.
# 예
종수 1의 리만 곡면 \Sigma의 야코비 다양체는 원래 리만 곡면과 동형이며, 그 동형 사상은 아벨-야코비 사상 \Sigma = \operatorname{Conf}(\Sigma,1) \to \operatorname{Jac}(\Sigma)에 의하여 주어진다. 종수 0의 리만 곡면(즉, 리만 구)의 야코비 다양헤는 0차원 아벨 다양체이므로 한원소 공간이다. 다시 말해, 리만 구 위에서, 모든 0차 인자는 주인자이며, 유일한 0차 정칙 선다발은 자명하다. (천 접속의 곡률이 0이므로, 이러한 정칙 선다발은 모노드로미로 정의되는데, 리만 구는 단일 연결 공간이므로 모노드로미가 존재하지 않는다.)