미분 연산자

수학에서 **미분 연산자**(微分演算子, differential operator)는 미분 연산을 포함할 수 있는, 함수 또는 단면 공간 위의 국소적 선형 변환이다.
# 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 매끄러운 다양체 M * 두 매끄러운 벡터 다발 E,F\twoheadrightarrow M 그렇다면, E와 F의 매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간 :\Gamma^\infty(E) :\Gamma^\infty(F) 을 생각하자. E와 F 사이의 **미분 연산자**는 특별한 꼴의 실수 선형 변환 :D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F) 이다. 이는 다음과 같이 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
## 구체적 정의
임의의 국소 좌표계에서, 다음과 같은 꼴의 연산자를 생각하자. :s\nabla_{X_1}\nabla_{X_2}\cdots\nabla_{X_k}\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F) 여기서 * k\in\mathbb N는 자연수(음이 아닌 정수)이다. * \nabla는 E의 임의의 코쥘 접속이다. * s\in\Gamma^\infty(E^*\otimes F)는 E^*\otimes F의 임의의 매끄러운 단면이다. * X_1,\dots,X_k\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)는 M 위의 매끄러운 벡터장이다. 그렇다면, **미분 연산자**는 위와 같은 꼴의 연산자 (D_i)_{i\in I}들의 합으로 나타내어지는 연산자이다. 여기서 합이 잘 정의되기 위해서는 다음 조건이 성립해야 한다. * 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 (U_j)_{j\in J}에 대하여, 각 j\in J에 대하여 \\{i\in I\colon D_i\restriction U_j\ne\varnothing\\}은 유한 집합이다. (만약 M이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.) 위와 같은 꼴에서 가능한 최소의 k를 미분 연산자의 **차수**(degree)라고 한다. (만약 M이 콤팩트 공간이 아니라면 이는 무한할 수 있다.)
## 제트 다발을 통한 정의
실수 선형 변환 :D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F) 가 주어졌다고 하자. 만약 다음과 같은 꼴의 분해가 존재한다면, D를 **k차 미분 연산자**라고 한다. :D=T\circ \mathrm j^k 여기서 * \mathrm j^k\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(\mathrm J^kE)는 E의 k차 제트 연장이다. * \mathrm J^kE는 E의 k차 제트 다발이다. * T\colon\mathrm J^kE\to F는 벡터 다발 사상이다. **미분 연산자**는 미분 연산자들의 합으로 정의되는 국소 연산자이다. 즉, 그렇다면, **미분 연산자**는 위와 같은 꼴의 연산자 (D_i)_{i\in I}들의 합으로 나타내어지는 연산자이며, 다음 조건이 성립해야 한다. * 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 (U_j)_{j\in J}에 대하여, 각 j\in J에 대하여 \\{i\in I\colon D_i\restriction U_j\ne\varnothing\\}은 유한 집합이다. (만약 M이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)
## 페트레 정리를 통한 정의
실수 벡터 공간 값의 층 사상 :D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F) 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. * 임의의 매끄러운 단면 s\in\Gamma^\infty(E)에 대하여, \operatorname{supp}(Ds)\subseteq\operatorname{supp}s. 여기서 \operatorname{supp}은 층의 지지 집합이다. 그렇다면, D를 **미분 연산자**라고 한다. 이 정의가 위의 두 정의와 동치라는 사실은 자명하지 않으며, **페트레 정리**(Peetre定理, Peetre’s theorem)라고 한다.
# 성질
콤팩트 매끄러운 다양체 M 위의 두 벡터 다발 E,F가 주어졌다고 하자. E\to F 미분 연산자의 공간을 \mathcal D(E,F)로 표기하자. 그렇다면, 모든 미분 연산자 \Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F)는 유한한 차수를 가지며, 따라서 차수에 따라 자연스러운 오름 여과 :\Gamma^\infty(E^*\otimes F)=\mathcal D_0(E,F)\subseteq\mathcal D_1(E,F)\subseteq\cdots\subseteq\mathcal D_\infty(E,F)=\mathcal D(E,F) 가 존재한다. 그러나 이 여과는 자연스럽게 등급을 이루지 않는다. 미분 연산자의 차수 여과는 합성에 대하여 다음과 같이 호환된다. :\mathcal D_n(E',E*)\circ\mathcal D_m(E,E')\subseteq \mathcal D_{m+n}(E,E*) 매끄러운 다양체 M 위의 \mathcal C^\infty(M,\mathbb C)\to\mathcal C^\infty(M,\mathbb C) 미분 연산자는 유사 미분 연산자이다.
## 등급 대수
콤팩트 매끄러운 다양체 M 위의 벡터 다발 E이 주어졌다고 하자. 편의상 \mathcal D(E)=\mathcal D(E,E)와 같이 표기하자. 이제, 다음과 같이 등급 대수를 정의할 수 있다. :\operatorname{gr}\mathcal D(E)=\bigoplus_{i=0}^\infty\frac{\mathcal D_i(E)}{\mathcal D_{i-1}(E)} (여기서 편의상 \mathcal D_{i-1}(E)=\\{0\\}으로 간주한다.) 이에 대하여 다음과 같은 등급 대수 동형 사상이 존재한다.언어=en64, Proposition 2.1 :\Gamma^\infty\left(\operatorname{Sym}(\mathrm TM)\otimes\operatorname{End}(E)\right)\cong\operatorname{gr}\mathcal D(E) 여기서 * \operatorname{Sym}(\mathrm TM)은 그 올이 접공간의 대칭 대수인 벡터 다발이다. * \operatorname{End}(E)=E\otimes E^*는 E 위의 자기 벡터 다발 사상으로 구성된 벡터 다발이다. 이는 다음과 같다. :X_1\otimes X_2\otimes\cdots\otimes X_k\otimes T\mapsto [T\nabla_{X_1}\nabla_{X_2}\cdots\nabla_{X_k}]\qquad\forall X_1,\dots,X_k\in\Gamma^\infty(\mathrm TM),\;T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*) 여기서 \nabla는 E 위에 정의된 임의의 코쥘 접속이다.
## 주표상
**주표상**(主表象, principal symbol)은 미분 연산자의 차수를 나타내는, 여접다발 위에 정의되는 완전 대칭 다항식이다. 대략 미분 연산자의 최고차항에서 편미분 연산자를 형식적인 변수 \partial_i\mapsto\xi_i로 치환한 것이다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 M 위의 두 매끄러운 벡터 다발 E,F\to X 사이의 미분 연산자 D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(F)를 생각하자. 임의의 매끄러운 단면 u\in\Gamma^\infty(E)에 대하여, 국소 좌표계에서 D가 :D\colon u(x)\mapsto\sum_IP^I(x)\partial_Iu 의 꼴이라고 하자. 여기서 I는 다중지표이고, D^I\colon E\to F는 다발 사상이다. 여기서 D^I는 다중지표의 성분들의 순열에 무관하다. D의 차수 :k=\max\\{|I|\colon P^I\ne0\\} 가 유한하다고 하자. 그렇다면 미분 연산자 D의 **주표상** :\sigma_D\in\Gamma^\infty\left(\operatorname{Sym}^k(\mathrm TX)\otimes E^*\otimes F\right) 은 (k,0)차 완전 대칭 텐서장이며, 다음과 같다. :\sigma_D=\sum_{|I|=k}P^I 이것이 텐서장으로서 변환한다는 사실을 보일 수 있다.
# 예
실수선 위의 미분 연산자는 이는 다음과 같은 꼴이다. :D=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n} 여기서 위 합이 국소적으로 유한하려면 다음 조건이 성립해야 한다. :\forall x\in\mathbb R\exists\epsilon\in\mathbb R^+\forall y\in (x-\epsilon,x+\epsilon)\exists N\in\mathbb N\forall n>N\colon f_n(y)=0
## 벡터 연산자
유클리드 공간 \mathbb R^n 위의 실수 값 매끄러운 함수는 자명한 벡터 다발 \mathbb R\times\mathbb R^n의 매끄러운 단면이며, 벡터장은 자명한 벡터 다발 \mathbb R^n\times\mathbb R^n=\operatorname T\mathbb R^n의 매끄러운 단면이다. 이 경우, 매끄러운 함수의 기울기 :\operatorname{grad}\colon\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R)\to\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R^n) 와 발산 :\operatorname{div}\colon\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R) 및 회전 :\operatorname{curl}\colon\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty(\mathbb R^n,\mathbb R^n) 은 모두 1차 미분 연산자이다.
## 라플라스 연산자
라플라스 연산자 준 리만 다양체 (M,g) 위에는 2차 미분 연산자인 라플라스 연산자 :\Delta\colon C^\infty(X)\to C^\infty(X) 가 존재하며, 그 주표상은 :\sigma_\Delta(\xi)=g^{-1}(\xi,\xi) 이다. 만약 M이 리만 다양체라면 이는 타원형 미분 연산자이다.
## 디랙 연산자
디랙 연산자 스핀 다양체 M 위의 1차 미분 연산자인 디랙 연산자 :D=\gamma^i\nabla_i\colon SM\to SM 의 주표상은 :\sigma_D(\xi)=\gamma^i\xi_i 이다. 여기서 SM은 M의 스피너 다발이고, \gamma^i는 디랙 행렬이다. 이는 항상 약타원형 미분 연산자이다.
# 역사
미분 연산자를 (단순히 함수의 도함수를 나타내는 기호가 아니라) 스스로 존재하는 대상으로 여기는 것은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트(Louis François Antoine Arbogast, 1759~1803)의 1800년 저서언어=fr가 최초라고 여겨진다.언어=en169, §2.1 페트레 정리는 야크 페트레(Jaak Peetre, 1935~)가 증명하였다.