리만-로흐 정리

대수기하학에서 **리만-로흐 정리**(Riemann-Roch 定理, Riemann–Roch theorem)는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형 함수들의 개수에 대한 정리다.
# 정의
M이 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. M 위의 인자는 M의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자 D는 다음과 같은 꼴이다. :D=\sum_in_ix_i (x_i\in M, n_i\in\mathbb Z) 인자의 **차수**(degree)는 다음과 같다. :\deg\sum_in_ix_i=\sum_in_i. \alpha가 M 위의 유리형 복소 미분 형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.) \alpha는 극점과 영점(zero)들을 갖는다. 극들이 p_i이고, 그 차수가 각각 -n(p_i)라고 하자. 영점들이 q_j이고, 그 차수가 각각 n(q_j)라고 하자. 그렇다면 \alpha의 인자를 다음과 같이 정의한다. :\operatorname{div}(\alpha)=\sum_in(p_i)p_i+\sum_jn(q_j)q_j. 유리형 함수(즉, 0차 유리형 복소 미분 형식)의 인자를 **주인자**(principal divisor)라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식의 인자를 **표준 인자**(canonical divisor)라고 한다. 인자 D에 대하여, \operatorname{div}(f)+D의 계수가 모두 음이 아닌 유리형 함수 f들의 복소 벡터 공간의 (복소) 차원을 I(D)라고 하자. D가 M 위의 인자이고, K가 표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. :I(D)-I(K-D)=\deg D+\chi(M)/2. 여기서 \chi(M)은 M의 오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus) g로 쓰면 :I(D)-I(K-D)=\deg D-g+1 이다.
## 선다발의 경우
인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면 M 위에 정칙 선다발 L이 있다고 하자. 그렇다면 층 코호몰로지 (L 계수 돌보 코호몰로지) \operatorname H^0(M,\mathcal O(L)) 및 \operatorname H^1(M,\mathcal O(L))을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을 \dim\operatorname H^k=h^k로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다. :\chi(M,L)=\dim\operatorname H^0(M,\mathcal O(L))-\dim \operatorname H^1(M,\mathcal O(L))=\deg L-g+1 (여기서 \chi(M,L)은 L의 오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여, :\operatorname H^1(M,\mathcal O(L))^*\cong\operatorname H^0(M,\mathcal O(L^{-1}\otimes K)) 따라서, L에 대응하는 인자류가 [D]라고 한다면 :h^0(M,\mathcal O(L))=I(D) :h^1(M,\mathcal O(L))=I(K-D) 가 된다. 보다 일반적으로, 리만 곡면 M 위의 (임의의 계수의) 정칙 벡터 다발 E가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대하여 다음과 같은 리만-로흐 정리가 성립한다. :\chi(M,E)=\dim \operatorname H^0(M,E)-\dim \operatorname H^1(M,E)=\deg E+(1-g)\operatorname{rk}E 여기서 * \operatorname{rk}E는 E의 계수이다. (즉, 선다발의 경우 1이다.) * 정칙 벡터 다발의 차수는 \deg E = \deg (E^{\wedge\operatorname{rk}E})이다. 여기서 E^{\wedge\operatorname{rk}E}는 E의 올별 최고차 외대수로 구성된 정칙 선다발이다.
# 표
x가 바이어슈트라스 점이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원 I(D)는 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 종수 || D=0 || D=x || D=2x || D=3x || D=4x || D=5x || … || I(nx)의 생성원 (n\ge g) |- ! 0 (리만 구) | 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || … || 1,z^{-1},\dots,z^{-n} |- ! 1 (타원 곡선) | 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || … || 타원 함수 \wp,\dots,\wp^{\lfloor n/2\rfloor},\wp\wp',\dots,\wp^{\lfloor n-3\rfloor}\wp' |- ! 2 | 1 || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || … || |- ! 3 | 1 || 1 || 1 || 1 || 2 || 3 || … || |} g\ge 2이며 \deg D\le g인 경우, 특수한 점에서 I(D)가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는 I(K-D)>g-\deg D이다. 이를 **바이어슈트라스 점**이라고 한다. 예를 들어, g=2인 경우 I(2x)=2인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다.
# 예
리만-로흐 정리를 써서, 곡면 종수가 g인 콤팩트 리만 곡면의 표준 인자 K의 차수가 \deg K=2g-2임을 보일 수 있다. # 콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수는 상수함수밖에 없다. 즉, I(0)=1이다. 물론 \deg(0)=0이다. # D=0으로 놓자. 그렇다면 1-I(K)=-g+1이다. 즉, I(K)=g이다. # D=K로 놓자. 그렇다면 I(K)-1=\deg K-g1이다. 즉, \deg K=2g-2이다. 예를 들어, g=0인 경우인 리만 구 \mathbb P^1를 생각하자. 이 경우, 각 차수 k\in\mathbb Z에 대하여 정확히 한 개의 선다발 동형류 \mathcal O(k)가 존재하며, 그 단면의 차원은 :\dim\operatorname H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(k)) = \max\\{k+1,0\\} :\dim\operatorname H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(k)) = \dim\operatorname H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(-2-k)) = \max\\{-k-1,0\\} 이다. 그 특별한 경우는 다음과 같다. * 0차 선다발은 자명한 선다발이다. 이 경우, \dim\operatorname H^1(\mathbb P^1,\mathcal O(1)) = 1이다. 이는 상수 함수 f(z) = 1에 의하여 생성된다. (다시 말해, 리만 구 저체 위의 정칙 함수는 상수 함수 밖에 없다.) * 2차 선다발은 정칙 접다발 \mathcal O(2) \cong \mathrm T\mathbb P^1이다. (예를 들어, 벡터장 \partial/\partial z는 w=1/z에서 -w^2 \partial/\partial w가 된다.) 이 경우, \dim\operatorname H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(2)) = 3이며, 그 기저는 \\{\partial/\partial z,z\partial/\partial z,z^2\partial/\partial z\\}이다. * −2차 선다발은 표준 선다발 \mathcal O(-2) \cong \mathrm T^*\mathbb P^1이다. (예를 들어, 복소수 미분 형식 \mathrm dz는 w=1/z에서 -w^{-2} \mathrm dw가 된다.) 이 경우, \dim\operatorname H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(-2)) = 0이다. 즉, 그 대역적 단면은 0 밖에 없다. 반면 \dim\operatorname H^1(\mathbb P^1,\mathcal O(-2)) = 1이며, 돌보 코호몰로지에서 그 대표원은 푸비니-슈투디 계량 (1+z\bar z)^{-2}\,\mathrm dz\wedge\mathrm d\bar z로 주어진다. * 1차 선다발은 스피너 다발이다. 그 단면 공간은 2차원이며, 그 기저는 \textstyle\\{\sqrt{\partial/\partial z},z\sqrt{\partial/\partial z}\\}이다.
# 곡면 리만-로흐 정리
대수 곡면에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다.issn=0072-5285362–363 대수적으로 닫힌 체 k에 대한 비특이 대수 곡면 (2차원 비특이 완비(complete) 대수다양체) X 위에 베유 인자 D가 존재한다고 하고, 그 (정칙) 오일러 지표를 \chi(D)라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. :\chi(D)=1+p_{\text{a(X)+\frac12 D.(D-K(X)) 여기서 K(X)는 X의 표준 인자이고, D.D'는 두 인자 사이의 교차수(intersection number)이며, p_\text{a}는 X의 산술종수이다.
# 일반화
곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 일반화되며, 이 또한 아티야-싱어 지표 정리나 그로텐디크-리만-로흐 정리로 일반화된다.
# 역사
구스타프 로흐 곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만이 1857년 표준 인자 항 I(K-D)를 무시한, 부등식의 형태로 증명하였다.언어=de 리만의 제자였던 구스타프 로흐가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다.언어=de 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 결핵에 걸려 26세의 나이로 요절하였다. 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보가 1896년에 증명하였다.