적분 변환

함수해석학에서 **적분 변환**(積分變換, integral transform)은 어떤 **핵**(kernel)과의 적분으로 정의되는, 함수 공간 또는 단면 공간 위의 선형 변환이다. 원래 함수의 특성을 좀 더 쉽게 포착하고 응용하기 위해 사용한다. 보통은 변환된 함수를 역변환을 통해 원래 함수 공간으로 매핑할 수 있다.
# 간단한 형태
적분 변환은 어떤 변환 T에 대해 다음과 같이 나타난다. :(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t) K (t,u) dt f는 선형 변환에 사용한 함수를, Tf는 변환된 함수를 나타낸다. 적분 변환은 일종의 수학적 연산자이다. K는 원래의 함수와 변환된 함수의 변수를 모두 가지고 있는 함수로, 적분변환은 이 함수를 잘 선택하여 얻는다. 위 식에서 K를 변환의 **커널**(kernel) 혹은 **핵**이라고 부른다. 어떤 커널들은 자신과 연관된 (간단하게 말해서)역커널 K^{-1} (u,t)이 존재하고, 그것에 대해 역변환을 생각할 수 있다. f(t) = \int_{u_1}^{u2} (Tf)(u) K^{-1} (u,t) du 한편, 커널의 변수의 위치를 바꿔도 커널이 바뀌지 않는 커널을 대칭커널이라고 한다.. 다시 말해서 K(t,u)=K(u,t)인 커널 K은 대칭커널이다. 적분 방정식에서 대칭 커널은 자기 수반 연산자이다.쪽=908
# 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.언어=en * 매끄러운 다양체 M * 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 및 F\twoheadrightarrow M 그렇다면, 곱공간 M\times M의 사영 함수 :\operatorname{proj}_1,\operatorname{proj}_2\twoheadrightarrow M 를 통해, M\times M 위의 매끄러운 벡터 다발 :E\boxtimes F^*=\operatorname{proj}_1^*E\otimes\operatorname{proj}_2^*F^* 를 정의할 수 있다. (E,F)-**핵**(核函數, kernel)은 다음과 같은 꼴의 매끄러운 단면이다. :K\in\Gamma^\infty\left(\left(E\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\boxtimes\left(F^*\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\right) (여기서 \Gamma^\infty는 매끄러운 단면의 공간을 뜻하며, \sqrt{|\Lambda(M)|}는 무게 (\dim M)/2의 텐서 밀도의 실수 선다발을 뜻한다.)
## 일반화 단면
E에 추가로 매끄러운 노름이 주어졌다고 하자. 이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자. :\Gamma_\text{comp}^\infty(\mathcal E^*\otimes|\Lambda(M)|) 여기서 * \Gamma_\text{comp}^\infty(-)는 콤팩트 지지 매끄러운 단면들의 공간이다. * |\Lambda(M)|은 M 위의, 무게 \dim M의 텐서 밀도의 실수 선다발이다. 이 위에는 균등 노름을 부여하여 노름 공간으로 만들 수 있다. E의 **일반화 단면**(一般化斷面, generalized section)의 위상 벡터 공간은 위 노름 공간의 연속 쌍대 공간이다. 이를 :\Gamma^{-\infty}(E) 로 표기하자.
## 적분 변환
(E,F)-핵 K에 대응되는 **적분 변환**은 다음과 같은 꼴의 실수 선형 변환이다. :\Gamma^{-\infty}(E)\to\Gamma^\infty(F) :s\mapsto\int_MK(x,y)s(x)\,\mathrm dx
# 성질
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 콤팩트 매끄러운 다양체 M * M 위의 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 및 F\twoheadrightarrow M * E와 F 위의 (매끄러운) 노름 **슈와르츠 핵 정리**(Schwartz核定理, Schwartz kernel theorem)에 따르면, 콤팩트 공간 M 위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에는 다음과 같은 표준적인 전단사 실수 선형 변환이 존재한다. :\Gamma^\infty\left(\left(E\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\boxtimes\left(F^*\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\right)\to\operatorname B\left(\Gamma^{-\infty}(E\otimes\sqrt{|\Lambda M|}),\Gamma(F\otimes\sqrt{|\Lambda M|})\right) :K\mapsto \left(s\mapsto \left(y\mapsto \int_Ms(x)K(x,y)\,\mathrm dx\right)\right)\qquad\left( K\in\Gamma^\infty\left(\left(E\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\boxtimes\left(F^*\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\right),\; s\in\Gamma^{-\infty}(E\otimes\sqrt{|\Lambda M|}),\; y\in M \right) 여기서 \operatorname B(-,-)는 유계 작용소들의 노름 공간을 뜻한다.
# 예
유클리드 공간 위의, 흔히 사용되는 적분 변환들은 다음과 같다. {| class="wikitable" |+ 적분 변환 목록 |- ! scope="col" | 변환 ! scope="col" | 기호 ! scope="col" | K ! scope="col" | t1 ! scope="col" | t2 ! scope="col" | K^{-1} ! scope="col" | u1 ! scope="col" | u2 |- | 푸리에 변환 | \mathcal{F} | \frac{e^{-iut{\sqrt{2 \pi | -\infty\, | \infty\, | \frac{e^{+iut{\sqrt{2 \pi | -\infty\, | \infty\, |- | 하틀리 변환 | \mathcal{H} | \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi | -\infty\, | \infty\, | \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi | -\infty\, | \infty\, |- | 멜린 변환 | \mathcal{M} | t^{u-1}\, | 0\, | \infty\, | \frac{t^{-u{2\pi i}\, | c\\!-\\!i\infty | c\\!+\\!i\infty |- | 양측 라플라스 변환 | \mathcal{B} | e^{-ut}\, | -\infty\, | \infty\, | \frac{e^{+ut{2\pi i} | c\\!-\\!i\infty | c\\!+\\!i\infty |- | 라플라스 변환 | \mathcal{L} | e^{-ut}\, | 0\, | \infty\, | \frac{e^{+ut{2\pi i} | c\\!-\\!i\infty | c\\!+\\!i\infty |- | 바이어슈트라스 변환 | \mathcal{W} | \frac{e^{-(u-t)^2/4{\sqrt{4\pi\, | -\infty\, | \infty\, | \frac{e^{+(u-t)^2/4{i\sqrt{4\pi | c\\!-\\!i\infty | c\\!+\\!i\infty |- | 항켈 변환 | | t\,J_\nu(ut) | 0\, | \infty\, | u\,J_\nu(ut) | 0\, | \infty\, |- | 아벨 변환 | | \frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2 | u\, | \infty\, | \frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\\!-\\!t^2\frac{d}{du} | t\, | \infty\, |- | 힐베르트 변환 | \mathcal{H}il | \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} | -\infty\, | \infty\, | \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} | -\infty\, | \infty\, |- | 푸아송 핵 | | \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} | 0\, | 2\pi\, | | | |- | 동일 변환 | | \delta (u-t)\, | t_1 | t_2>u\, | \delta (t-u)\, | u_1\\!\\!t |}
# 역사
슈와르츠 핵 정리는 로랑 슈와르츠가 1952년에 유클리드 공간에 대하여 발표하였다.L. Schwartz, "Théorie des noyaux" , Proc. Internat. Congress Mathematicians (Cambridge, 1950) , 1 , Amer. Math. Soc. (1952) pp. 220–230