로지스틱 사상

로지스틱 사상의 움직임을 거미줄 그림으로 나타낸 그림. 초기 조건을 0.2로 해 매개변수(그림의 r)을 1부터 4까지 늘렸을 때 일어나는 움직임의 변화가 애니메이션으로 나타난다. **로지스틱 사상**(logistic map)이란 *x**'n*+1 = *axn*(1 − *xn*)라는 이차 함수의 차분 방정식(점화식)으로 정해진 이산역학계이다. 단순한 이차 함수의 식이면서 매우 복잡한 움직임을 내는 것으로 알려져 있다. **로지스틱 맵**쪽 = 60쪽 = 7052p=83이나 **이산형 로지스틱 방정식**(discrete logistic equation)쪽 = 106p=82, 단순히 **이차 사상족**p=25p=9이나 **이차 함수족**쪽 = 42p=24라고도 불린다. 로지스틱 사상의 a는 매개변수라 불리는 상수, x가 변수로, 적당히 a의 값을 정하고 처음 *x*0을 정해 계산하면 *x*0, *x*1, *x*2, …라는 수열을 얻을 수 있다. 이 수열을 역학계 분야에서는 궤도라 부르고, 궤도는 a에 어느 값을 주는가에 따라 변화한다. 매개변수 a를 변화시키면 로지스틱 사상의 궤도는 하나의 값으로 떨어지거나, 몇 개의 값을 주기적으로 반복하거나, 혼돈이라 불리는 비주기적 변동을 보이거나 여러 모양으로 변화한다. 로지스틱 사상을 생물의 개체수를 나타내는 모델로 해 보는 입장에서는 변수 xn는 1세대, 2세대…라는 세대로 나타낸 개체수를 의미하고, 로지스틱 사상이란 현재의 개체수 xn로부터 다음 세대의 개체수 *x**'n*+1를 계산하는 식이다. 생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상은 어느 생물의 개체수가 어느 환경 안에서 생식하고, 더욱이 그 환경과 외부와의 사이에서 개체의 이출입이 없는 상황을 상정하고 있고, xn는 정확히는 개체수 그 자체가 아닌, 그 환경 안에 존재 가능한 최대 개체수에 대한 비율을 의미한다. 미분방정식으로 개체수를 모델링하는 로지스틱 방정식의 이산화로부터도 로지스틱 사상은 유도 가능하고, '로지스틱 사상'이라는 이름도 그것에서 유래한다. 이차 함수의 역학계로의 연구는 20세기 초반부터 있었으나, 1970년대, 특히 수리생물학자 로버트 메이의 연구에 의해 로지스틱 사상은 널리 알려지게 됐다. 메이 이외에도 스타니스와프 울람과 존 폰 노이만, Pekka Myrberg, Oleksandr Sharkovsky, Nicholas Metropolis, 미첼 파이겐바움 등이 로지스틱 사상의 움직임 해명에 관한 일을 하였다.
# 정의와 배경
단순히 말하면 **로지스틱 사상**이란 다음과 같은 이차 함수이다p=14. 1-1 식 안의 a는 상수를 의미하고 **매개변수**라 불린다p=19. a 이외에는 μ나 r이나 λ를 매개변수의 기호로 사용하는 경우도 있다3p=238. 식 (1-1)에 대해 먼저 상수 a의 구체적인 수치를 결정한다. 더욱이 변수 x의 값을 적당히 정하고, 식에서 y의 값을 계산한다. 그리고, 얻은 y의 값을 새로운 x의 값으로 보고 식을 대입해 새로운 y의 값을 계산한다. 이러한 계산을 반복하는 것이 로지스틱 사상을 사용하는 것이다p=14. 예시로 a를 2, 처음의 x를 0.01로 했을 때의 반복 계산을 5회째까지 행하면 이하의 표처럼 된다p=4. {| class="wikitable" |+ *a*를 2, 처음 *x*를 0.01로 했을 때 로지스틱 사상의 계산을 반복한 예시p=4
（소숫점 이하 10행까지로 계산） |- | 계산 횟수 || 입력한 *x*의 값 || *y* = 2*x*(1 − *x*)의 계산 결과 |- | 1 || 0.01 || 2 × 0.01 × (1 − 0.01) = 0.0198 |- | 2 || 0.0198|| 2 × 0.0198 × (1 − 0.0198) = 0.03881592 |- | 3 || 0.03881592 || 2 × 0.03881592 × (1 − 0.03881592) = 0.0746184887 |- | 4 || 0.0746184887 || 2 × 0.0746184887 × (1 − 0.0746184887) = 0.1381011397 |- | 5 || 0.1381011397 || 2 × 0.1381011397 × (1 − 0.1381011397) = 0.2380584298 |} 로지스틱 사상 자체는 중학교에서 배우는 딱히 특별한 것 없는 이차 함수이고, 계산 자체도 중학생도 가능할 정도의 수준이다2p=98. 반복의 계산도 계산기로 가능하고, 컴퓨터의 스프레드시트를 사용하면 더욱 간단하게 가능하다pp=14, 34. 로지스틱 사상은 점화식 혹은 차분 방정식의 형식으로 다음과 같이도 쓸 수 있다2p=2. 1-2 *x*0의 값을 정하면 이 차분 방정식에 따라 그 뒤의 변수의 값 *x*1, *x*2, *x*3,…이 순차적으로 계산 가능하다pp=15-16. 이러한 수열을 만드는 차분 방정식을 **역학계**(다이내미컬 시스템)이라고도 부른다p=20. 역학계란 시간과 함께 상태가 변화하는 계(시스템)으로, 특히 현재의 상태가 정해지면 그 후의 상태도 일의적으로 정해지는 계를 가리킨다p=5. 차분 방정식 (1-2)과 같은 형식으로 정의된 역학계는 특히 **이산 역학계**라고 불린다pp=20-21. 역학계적인 시점에서는 변수 xn의 밑첨자 n을 **시각**이나 **시간**으로 부른다2p=51. 수열의 초기 조건 *x*0은 **초기 조건**이라 불린다.p=15 변수의 시간 변화의 모습을 명확한 전문용어는 아니나, **움직임**이라 부른다.pp=20, 230 그러나 시각 n은 물리적인 시간을 정말로 의미하고 있는 것은 아니고, 어떠한 현상의 진행을 표시하고 있는 편의적인 레이블이다.p=51 나중에 후술하듯이, 로지스틱 사상은 생물의 개체수의 변화를 생각하는 식으로 세상에 알려진 측면을 가진다.p=17 이 경우, xn는 어느 세대의 생물의 개체수를 서식 환경에서 가능한 최대 서식 개체수로 나눈 값을 의미하고 있다.p=5 차분 방정식(1-2)에 의해 n세대째의 개체수부터 *n*+1세대째의 개체수가 계산이 가능하다는 것이 생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상의 의미이다.p=62 개체수가 증가하면 개체수의 증가 속도는 감소하는 것으로, 이 효과를 로시특 사상에서는 (1 − *xn*)라는 항으로 도입하고 있다.p=18 예를 들면, 어느 세대에서 개체수가 최대 서식 개체수에 가깝고, *xn* = 0.9999라고 하면 항 (1 − *xn*)는 0에 매우 가까운 수치로 되므로, 다음 세대의 개체수 *x**'n*+1은 급격하게 감소하는 것으로 된다.p=19 '로지스틱 사상'의 이름에서 나오는 **사상**이란 어느 집합의 원소를 또 어느 집합의 원소에 대응시키는 규칙을 가리키는 용어이다.loc=역주 함수와 비슷한 것이나, 함수를 수 이외의 집합도 다루는 경우도 포함해 더욱 일반화한 것이 사상이라 할 수 있다.쪽 = 41-42 사상이라는 시점에서는 로지스틱 사상은 실수의 한 점을 실수의 한 점으로 대응시키는 규칙이라고 할 수 있다.2p=16 단, '함수'와 '사상'에 수학 전체에서 공유되는 엄밀한 구분은 존재하지 않고, 실제로 어느 쪽의 말을 사용할지는 각 분야의 관습에 의한 것이 크다.쪽 = 256 역학계 분야에서는 식 (1-2)와 같은 차분 방정식을 사상으로 잡아 사상이라는 말로 부르는 경우도 많다.5p=123 로지스틱 사상을 사상의 형태로 표현하면 1-3 이나 1-4 와 같이 나온다.2p=217 사상이 매개변수 a에 의존하고 있는 것을 명확히 하기 위해 1-5 와 같이 사상의 기호에 매개변수 기호의 첨자를 붙여 나타내는 경우도 있다.2pp=142-143 식 (1-3))이나 식 (1-4)와 같은 사상으로의 표현은 식 (1-2)와 같은 차분 방정식의 표현과 실질적으로 동등하나, 시각 n을 하나하나 적지 않아도 되는 편리성도 있기에 종종 사용된다.pp=26-27 이산 역학계의 수열 *x*0, *x*1, *x*2,…은 사상 f를 반복해 적용시켜 만들어낸다는 것으로도 볼 수 있다.2p=2 초기 조건을 *x*0라고 하면 1-6 와 같이 수열은 *x*0에 사상을 반복해 적용시켜 만들어진 것으로도 적을 수 있다.p=11 이와 같이 사상을 반복해 적용시키는 조작을 사상의 반복(iteration) 등으로 부른다.2p=57 간단하게 표기하기 위해 사상의 반복을 1-7 와 같이 적는다.p=6 *f* *n* (*x*0)으로 *x*0에 대한 f의 n회 반복을 의미하고 있다.p=2 그리고 차분 방정식으로부터 얻어지는 1-8 라는 열, 혹은 사상의 반복으로부터 얻어지는 1-9 라는 열을 역학계에서는 **궤도'''라고 부른다.2p=6 역학계라는 분야의 관심은 주어진 역학계의 궤도의 움직임을 연구하는 것이다.쪽 = 17 입력과 결과가 단순한 비례 관계로 이어져있는 시스템을 선형이라고 하고, 비례 관계로 나타내는 것이 불가능한 시스템을 비선형이라고 한다.pp=21-23 로지스틱 사상은 생각할 수 있는 한 가장 단순한 비선형 함수인 2차 함수로 정의된다.2p=14 그러나 그 꽤나 간단한 식과는 정반대로 로지스틱 사상은 꽤나 복잡한 움직임을 만들어낸다.p=35 2차 함수의 반복 계산이라는 설정이 현대 수학의 주제의 하나로, 다양한 수학 이론을 야기한다.2p=13 후술하듯이 로지스틱 사상에서는 혼돈(카오스)이라는 현상이 나타나고, 혼돈 입문으로 적합한 제재이기도 하다.pp=14-15
# 정의역과 그래프
그래프. (*x**'n*+1과 *x**'n*의 함수) 그래프는 포물선의 형태를 하고 있고, 매개변수 *a*가 변하면 포물선의 꼭짓점이 바뀐다.]] 전술했듯이, 로지스틱 사상에서는 생물의 개체수의 변동을 생각하는 모델로의 측면이 있다. 이때, 로지스틱 사상의 변수 x는 생물의 개체수를 최대 서식지로 나눈 값이었으므로 x가 취할 수 있는 수치는 0 ≤ *x* ≤ 1의 사이로 한정된다.p=347 그러한 사정도 있고, 로지스틱 사상의 변수의 범위를 닫힌구간 0, 1로 한정해 그 움직임이 의논되는 경우가 많다.4pp=15-17 변수를 항상 0 ≤ *x* ≤ 1으로 한정하려 하면 필연적으로 매개변수 a가 취하는 범위는 0부터 4까지 (0 ≤ *a* ≤ 4)로 한정된다.pp=16-17 왜냐하면, *xn*이 0, 1의 범위 내에 있으면 *x**'n*+1의 최댓값은 수학|4}로 된다.p=18 따라서 *a* > 4에서는 *x**'n*+1의 값이 1을 넘을 가능성이 나온다.pp=16-17 한편, a가 음수일 때는 x가 음의 값을 취하게 돼버린다. 사상의 그래프를 이용하는 것으로, 그 움직임의 대부분을 알 수도 있다.2p=31 로지스틱 사상 *x**'n*+1 = *ax*(1 − *xn*)의 그래프는 가로축을 *xn*(혹은 x)로 하고, 세로축을 *x**'n*+1(혹은 *f* (*x*))로 해서 평면상에 *xn*과 *x**'n*+1의 관계를 나타낸 곡선이다.pp=52-53 로지스틱 사상의 그래프는 *a* = 0의 경우를 제외하고, 2-1 을 꼭짓점으로 하는 포물선의 형태를 하고 있다.4p=52 a를 변화시키면 꼭짓점은 상하로 움직이고, 포물선은 형태를 바꾼다.p=391 또, 로지스틱 사상의 포물선은 가로축 (*x**'n*+1 = 0의 직선)과 두 점에서 만난다.p=128 (*x**'n*, *x**'n*+1) = (0, 0)과 (*x**'n*, *x**'n*+1) = (1, 0)이 그 두 개의 교점으로 이들의 위치는 a의 값에 영향을 받지 않고 일정하다.p=128 로지스틱 사상의 그래프 상에서 거미줄 그림에 따른 궤도를 그린 예시. 또, 그래프 상의 [[고정점 *x**'f* 1, *x**'f* 2의 위치.]] 사상의 그래프는 특히 로지스틱 사상과 같은 1 변수의 사상의 그래프는 그 사상의 움직임을 이해하기 위한 열쇠이다.p=31 그래프의 효과의 하나는 **고정점**이라 불리는 점의 표시이다.p=148 사상의 그래프에 겹쳐지듯이 *y* = *x*의 직선（45°의 직선）을 긋는다. 이 45° 직선과 그래프가 만나는 점이 있으면, 그 점이 고정점이다.2p=31 식으로 적으면 고정점은 2-2 을 만족하고 있는 점으로, 사상을 적용해도 변화하지 않는 점을 의미한다.p=382 고정점을 *xf*으로 표기하는 것으로 한다. 로지스틱 사상의 경우에 식 (2-2)를 만족하는 고정점은 *ax*(1 − *x*) = *x*를 풀어 2-3 2-4 의 두 점이다.（*a* = 0의 경우를 제외한다.)2p=22 고정점의 개념은 이산 역학계에 있어 가장 중요하다.p=21 1 변수 사상에 대해 사용할 수 있는 또 하나의 그래프를 이용한 기술이 **거미줄 그림**(cobweb plot)으로 불리는 수법이다.p=5 가로축 위에 초기 조건 *x*0을 정한 뒤 그곳에서 *f* (*x*)의 곡선까지 세로 방향으로 직선을 긋는다. *f* (*x*)의 곡선과 만나는 곳애서 *y* = *x*의 45° 직선까지 가로 방향으로 직선을 긋고, 45° 직선에 만난 곳에서 *f* (*x*)의 곡선까지 세로 방향으로 직선을 긋는다. 이를 반복하는 것으로, 평면 위에 거미줄상 내지 계단상의 그림이 나온다.p=218 사실 이 작도는 도시적으로 궤도의 계산하는 것과 마찬가지로, 작성된 거미줄상의 그림은 *x*0에서 출발하는 궤도를 나타낸다.pp=5-6 이 그림에 의해 궤도의 전체적인 움직임을 한 눈에 보는 것이 가능하다.p=383
# 움직임, 매개변수 *a*에 의한 변화
로지스틱 사상의 매개변수(그림에서는 r)가 0.02부터 4까지 변화될 때의 움직임의 변화를 나타낸 애니메이션. 가로축이 반복수 *n*（그림에서는 t）, 세로축이 *x*로, 반복 계산 200회까지의 *x*를 나타내고 있다. 상술했듯이, 로지스틱 사상 자체는 어떠한 특별한 것 없는 2차 함수이고, 궤도의 계산 자체도 중학생이어도 가능할 정도이다.2p=98 역학계적으로 중요한 문제는 매개변수 a를 변화시키면 궤도의 움직임이 어떻게 바뀌는가에 있다.p=19 a의 수치에 따라, 로지스틱 사상의 궤도의 움직임은 단순하게도 복잡하게도 바뀐다.p=162 이하, a를 늘였을 때에 로지스틱 사상의 움직임이 어떤 식으로 변화해가는가를 순차적으로 설명한다. ===0 ≤ *a* ∞의 극한으로 xn은 0으로 수렴한다.p=9 이 수렴한 *xn* = 0이라는 점은 식 (2-3)으로 나타낸 고정점 *x**'f* 1이다.p=44 이렇게 주변의 궤도가 수렴하는 타입의 고정점은 **점근적 안정**, **안정** 혹은 **흡인적**이라고 불린다.2p=9 반대로 시간 n의 증가와 함께 *x**'f*의 부근의 궤도가 *x**'f*로부터 떨어져간다면, 그 고정점 *x**'f*는 **불안정**이나 **반발적**이라고 불린다.2p=9 매개변수 *a* = 0.9의 거미줄 그림(왼쪽）과 시계열(*n*과 *xn*의 관계）의 그림（오른쪽). 궤도는 0을 향해 단조 감소로 수렴한다. 고정점이 점근적 안정인지 아닌지를 알기 위해서는 사상 f의 미분을 구한다는 일반적으로 간단한 방법이 있다.p=10 *f* (*x*)의 미분 *dx*를 *f* ′(*x*)로 나타내는 것이다. 이 미분이 고정점 xf로 3-3 를 만족할 때, xf는 불안정하다.p=10 매개변수가 p=12 ===2 3부터는 궤도는 한 점으로 수렴하지 않게 되고, 충분한 시간 n이 진행한 뒤에도 큰 값과 작은 값을 번갈아 계속 취하게 되는 움직임으로 변한다.pp=52-53 예를 들면 *a* = 3.3라면, 변수는 0.4794…과 0.8236…이라는 두 개의 값을 번갈아 계속해서 취한다.pp=14-15 그림2 = 이와 같이 같은 값을 주기적으로 계속 도는 궤도를 **주기 궤도**라고 부른다.p=32 이 경우, *n* -> ∞의 변수의 최종적인 움직임은 두 주기의 주기 궤도이다.p=131 주기 궤도를 구성하는 하나하나의 값(점)을 **주기점**(Periodic point)이라고 부른다.p=32 *a* = 3.3의 예로 말하면 0.4794…와 0.8236…이 각각 주기점이다.p=14 어느 x가 주기점이라고 하면, 두 주기점의 경우는 x에 사상을 2회 적용하면 본래로 돌아오므로 3-4 라는 관계가 성립한다.p=36 이 식에 로지스틱 사상의 식 (1-4)을 적용하면 3-5 라는 4차 방정식을 얻을 수 있다.2p=31 이 방정식의 해가 주기점이다.pp=29-30 실은 고정점 *x**'f* 1 = 0과 고정점 *a* 또한 식 (3-4)를 만족한다.p=392 따라서, 식 (3-5)의 해 중 두 개의 해는 *x**'f* 1과 *x**'f* 2에 상당하고, 남은 두 개의 해가 두 주기점이다.p=392 두 주기점을 각각 *x*(2)*f* 1, *x*(2)*f* 2로 나타낸다고 한다. 식 (3-5)을 푸는 것으로 *x*(2)*f* 1, *x*(2)*f* 2를 다음과 같이 얻을 수 있다.pp=29-30 3-6 고정점의 안정성과 같은 것을 주기점에 대해서도 말할 수 있다.p=36 즉, 주위의 궤도를 끌어당기는 주기점은 점근적 안정적인 주기점으로 불리고, 주위의 궤도가 멀어지는 주기점은 불안정한 주기점이라고 불린다.p=45 주기점의 안정성 판별도 고정점과 같이 가능하다.p=48 일반적인 경우를 상정해 사상을 k회 반복시킨 *f* *k*(*x*)에 대해 생각한다. 이 미분 *dx*를 (*f* *k*)′(*x*)라고 나타낸다고 한다. 어느 k-주기점 *x*(*k*)*f*가 3-8 을 만족시키면 *x*(*k*)*f*는 불안정하다.p=46 이상의 주기점의 안정성의 논의도 고정점과 같이 그래프 묘사에 따라 이해하기 쉽게 된다.p=23 이 그림에서는 가로축 xn에 대해 세로축을 *x**'n*+2로 하고, *x**'n*+2와 xn의 관계를 나타내는 곡선을 그린다.p=461 이 곡선과 45° 직선의 교점은 식 (3-4)를 만족시키는 점이므로 교점은 고정점과 두 주기점을 나타내고 있다.p=461 로지스틱 사상의 *f* 2(*x*)의 그래프를 그리면 고정점 *x**'f* 2에서의 접선의 기울기는 *a* = 3을 경계로 1을 넘어 불안정화하는 것이 관찰 가능하다.p=461 동시에 새로운 두 개의 교점이 나타나고, 이들이 주기점 *x*(2)*f* 1과 *x*(2)*f* 2이다.p=461 설명3 = *a* = 3.3의 경우의 *x**'n*+2와 *xn*의 관계. *x**'f* 2는 불안정화하고, 궤도는 주기점 *x*(2)*f* 1 과 *x*(2)*f* 2로 수렴한다. 두 주기점의 미분계수를 로지스틱 사상에 대해 실제로 계산하면 3-9 로 된다.p=394 이를 식 (3-7)에 대입하면 매개변수 a가 *a*∞의 범위는 **혼돈 영역**(Chaotic region)이라고 불린다.4p=5 혼돈이 가지는 본질의 한 가지가 나비 효과라는 말로 상징되는 예측 불가능성이다.p=141 이는 혼돈에 의해 초기의 상태의 미세한 차이가 뒤의 상태에 거대한 차이를 가져오는 성질에 기인한다.p=141 이산 역학계에서 말하면 2개의 초기 조건 *x*0과 *x*0이 아무리 가까운 값이라 해도 시간 n이 어느 정도 진행되면, 각각의 목적지 xn와 *x**'n*은 현저히 떨어져버린다.p=16 예를 들면 *a* = 3.95를 사용하고, *x*0 = 0.1과 *x*0 = 0.1000000001이라는 극히 가까운 2개의 초기 조건으로 각각의 궤도를 계산하면, 그 차는 반복 29회를 넘었을 때부터 그림에서는 확실히 알 정도로 거시적인 차이로 성장한다.p=9 이상과 같은 초기 조건의 민감성(initial condition sensitivity)라 불리는 혼돈의 성질은 랴푸노프 지수(Lyapunov exponent)에 의해 정량적으로 나타난다. 1차원 사상의 경우, 랴푸노프 지수 λ는 다음과 같이 계산 가능하다.p=87 3-14 여기서 log는 자연로그를 의미한다. 이 λ는 2개의 궤도의 거리（xn과 *x**'n*의 거리)가 지수 함수적으로 어느 정도의 속도로 멀어지는가를 의미하는 지표로, λ의 값이 양수라면 초기 조건 민감성을 가진 계임을 의미하고, 0 또는 음수라면 초기 조건 민감성이 없는 것임을 의미한다.pp=86-87 실제로 로지스틱 사상의 λ를 수치적으로 계산하면 *a* *a*∞의 범위에서 λ가 양수를 취하게 되는 것을 확인할 수 있다.pp=164-166
### 창, 간헐성
매개변수가 *a*∞을 넘어서도 움직임의 매개변수 a 로의 의존의 방법은 단순하지 않다.p=57 *a* > *a*∞ 의 혼돈 영역에서는 많은 정교한 수학적 구조가 숨어 있다.2002 이 영역에서는 계속 혼돈이 이어지는 것은 아니고, 안정적인 주기 궤도도 다시 나타난다.p=57 *P* = *Λ*를 만족한다.임이 증명 가능하다.2pp=57-60 *a* = 4일 경우의 불변 측도 *ρ* (*x*)의 그래프. 점（높이를 *ρ* (*x*)로 맞춤)은 10000회 반복으로 얻은 실제 점의 빈도를 보인다. 점의 밀도는 불변 측도 *ρ* (*x*)도 *a* = 4의 경우는 다음과 같은 정확한 함수로 얻을 수 있다.p=90 3-17 여기서 *ρ* (*x*)는 사상을 반복했을 때의 점 xn의 모든 점 수에 대해 점 xn이 미소 구간 *x*, *x*+*dx*에 들어가는 점의 수의 비율이 *ρ* (*x*)*dx*로 주어진다는 의미를 가진다.p=89 *a* = 4의 로지스틱 사상의 빈도 분포는 닫힌구간 0, 1의 양쪽 사이드 부근에서 밀도가 높고, *x* = 0.5에서 가장 밀도가 낮은 형태를 하고 있다. *a* = 4의 경우, 혼돈 궤도와는 달리 모든 주기의 주기 궤도도 존재한다.pp=25, 213 자연수 n에 대해 *f**'a*=4*n*(*x*)의 그래프는 2*n*−1개의 극대와 2*n*−1 − 1개의 극소가 존재하는 곡선으로 되고, 게다가 이 모든 극대와 극소는 0과 1에 접하는 상태로 된다.p=40 따라서 대각선과 그래프의 교점의 수는 2*n*개 있고, *f* *n*(*x*)의 고정점은 2*n*개 존재한다.p=40 이 2*n*개의 고정점에는 n주기점도 반드시 포함되므로 *f**'a*=4 *n*(*x*)에서는 임의의 n주기 궤도가 존재한다.pp=25, 213 이와 같이 *a* = 4의 경우 닫힌구간 0, 1 위에서는 주기점이 무한히 존재하나, 이들 주기점은 모두 불안정하다.p=29 또, 닫힌구간 0, 1이라는 비가산 무한의 집합에 대해 이들 주기점의 수는 가산 무한이고, 거의 모든 초기 조건에서 시작되는 궤도는 주기 궤도로는 되지 않고 비주기 궤도로 된다.p=29 로지스틱 사상 *f**a*=4의 궤도를 0과 1의 기호열로 변환하면 모든 기호열이 재현 가능하다. 혼돈의 중요성의 하나로 결정론적 성질과 확률론적 성질의 이중성이 있다.p=109 역학계는 결정론적인 과정이지만, 변수가 취하는 범위를 적당히 조망화(coarse graining)하면 확률적인 과정과 구별이 가능하게 된다.p=109 *a* = 4의 로지스틱 사상의 경우면 모든 동전 던지기의 결과를 로지스틱 사상의 궤도로 기술 가능하다.p=109 이를 상술하면 다음과 같다.2pp=54–57 2의 확률로 앞뒤가 나오는 동전 던지기를 가정하고, 몇 번이고 동전 던지기를 계속한다. 앞면이 나올 때를 0, 뒷면이 나올 때를 1이라 하면 앞, 뒤, 앞, 앞, 뒤hellip;라는 결과는 01001…과 같이 기호열로 된다. 한편, 로지스틱 사상의 궤도 *x0*, *x1*, *x2*,…에 대해서 *x* = 0.5 이하의 것은 0으로, *x* = 0.5을 넘는 것은 1로 변환해 궤도를 0과 1에서 생기는 기호열로 치환한다. 예를 들어 초기 조건 *x*0 = 0.2으로 하면 *x*1 = 0.64, *x*2 = 0.9216, *x*3 = 0.28901, …로 되므로 궤도는 0110…이라는 기호열로 된다. 전자의 동전 던지기에 의한 기호열을 SC라 하고, 후자의 로지스틱 사상에 의한 기호열을 SL로 한다. 기호열 SC에서는 랜덤한 동전 던지기에서 기호를 정한 것으로 모든 패턴의 수열이 생겨날 수 있다. 따라서 로지스틱 사상에 의한 기호열 SL이 어떤 것이라 해도 SC의 안에 동일한 것이 존재한다. 그리고 이 역이 성립한다. 즉, 어떠한 SC의 기호열이어도, 초기 조건을 적절히 고르기만 하면 로지스틱 사상의 궤도 SL에 의해 실현 가능하다. 즉, 임의의 SC에 대해 *SC* = *SL*로 되는 *x*0이 닫힌구간 0, 1 안에 그저 한 점 존재한다.2pp=54–57
## *a* > 4의 경우
[[파일:A=4.5のロジスティック写像.png|섬네일||*a* = 4.5의 로지스틱 사상에서는 닫힌구간 [0, 1]의 거의 모든 점에서 출발하는 궤도는 마이너스 무한대로 향한다.]] 매개변수 a가 4를 넘으면 로지스틱 사상의 그래프의 꼭짓점 *a*/4는 1을 넘는다.p=11 그래프가 1을 돌파한 범위에서 궤도는 닫힌구간 0, 1을 바져나오게 된다.p=11 그 결과, 닫힌구간 0, 1의 거의 모든 점에서 출발하는 궤도는 어느 시점에서 닫힌구간 0, 1을 빠져나오고, 최종적으로 마이너스 무한대로 발산한다.p=17 이 *a* = 4에서 일어나는 분기도 고비현상의 일종으로, 특히 **경계 고비현상** 혹은 **경계 분기점**(boundary crisis)이라고 불린다.p=122 이 경우의 경계 고비현상에서는 닫힌구간 0, 1에 있던 끌개가 불안정화·붕괴하고, 게다가 바깥쪽에 끌개도 존재하지 않기에 궤도가 무한히 멀리 발산한다.p=122 한편, *a* > 4의 조건 하에서도 닫힌구간 0, 1의 안에 계속 머무르는 궤도가 있다.2p=104 알기 쉬운 예시는 닫힌구간 0, 1 안의 고정점이나 주기점으로, 이들은 닫힌구간 0, 1의 안에서 계속 머무른다.2p=104 그러나 닫힌구간 0, 1의 안에서 계속 머무르는 궤도에는 고정점이나 주기점 이외의 궤도도 존재한다.p=116 *f* (*x*) > 1을 만족하는 x의 구간을 *A*0으로 한다. 위와 같이 변수 xn이 *A*0으로 일단 들어가면 마이너스 무한대로 발산한다. 사상을 1회 적용하면 *A*0으로 대응하는 x도 닫힌구간 0, 1의 안에 존재한다. 이 x의 구간은 두 개로 나뉘고 이들을 묶어서 *A*1로 한다. 비슷하게 사상을 1회 적용하면 *A*1으로 대응하는 구간도 네 개 존재하고, 이들을 *A*2로 한다. 이하도 같게 n회 반복으로 *A*0에 이르는 구간 An이 2*n*개 존재한다.p=354 따라서 다음과 같이 닫힌구간 0, 1에서 An을 무한 번 제거한 구간 Λ가 I의 안에 계속 머무르는 궤도의 모임이다.pp=354-355 3-18 닫힌구간 0, 1에서 An을 제거하는 작업은 상술한 칸토어 집합의 구성 과정과 비슷하고, 실제로 Λ는 칸토어 집합(닫힌 완전 분리로 닫힌구간 0, 1의 완전 부분집합)의 형태로 닫힌구간 0, 1의 안에 존재한다.2p=12 그리고 더욱이 Λ 위에 로지스틱 사상 *f**'a*>4는 혼돈적이다.pp=357-361 === *a* *X*와 *g* : *Y* -> *Y*가 위상동형사상 *h* : *X* -> *Y*에 의해 4-4 라는 관계를 가질 때, f와 g는 **위상 공액**(phase conjugation)라고 한다.p=18 위상 공액인 f와 g는 본질적으로 동일한 움직임을 보이고, f의 움직임이 주기적이면 g도 주기적이며, f의 움직임이 혼돈적이면 g도 혼돈적이다.p=113 특히 위상동형사상 h가 선형이면 f와 g는 선형 공액(linearly conjugation)이라고 한다.p=99 모든 이차 함수는 다른 모든 이차 함수와 선형 공액이다.p=100 따라서 4-5 4-6 4-7 등은 임의의 매개변수 a의 로지스틱 사상과 선형 공액이다.2p=46 식 (4-6)이나 식 (4-7)의 형태도 로지스틱 사상이라고 불리기도 한다.2p=83 특히 식 (4-7)의 형태라면 계산량이 줄기에 장시간을 필요로 하는 수치 계산에 편리하다.p=46 4-8)의 궤도의 모양. *a* = 4의 로지스틱 사상과 [[위상 공액인 관계를 가진다.]] 또 *a* = 4의 로지스틱 사상 *f**'a*=4는 다음의 텐트 사상(tent map) *T* (*x*)나 베르누이 시프트 사상(Bernoulli shift map) *B* (*x*)과 위상 공액인 관계이다.p=10 4-8 B(x_n)=\begin{cases} 2 x_n & \left (0 \le x_n 4는 시프트 사상과 위상 공액이므로 이를 이용해 Λ 위의 *f**a*>4가 혼돈적임을 이끌어낼 수 있다.pp=360-361
# 생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상

## 이산형 개체군 모델
로지스틱 사상은 영국의 수리생물학자 로버트 메이(Robert McCredie May)의 연구를 발단으로 생물의 개체수의 변화를 생각하는 식으로 세상에 널리 알려졌다.2p=17 이러한 생물 개체수로의 로지스틱 사상에서는 변수 xn은 어느 환경 안에서 서식하는 생물의 개체수(보다 전문적으로는 개체군 사이즈)를 의미한다.pp=5-6, 44-46 더욱이 개체가 그 환경에서 나오거나 외부의 개체가 환경으로 들어오거나 하지 않는 경우(혹은 이출입이 있어도 실질적인 영향이 없는 경우)를 가정하고, 이러한 상황에서의 개체수의 증감을 생각하는 수리 모델이 수리생물학 상의 로지스티컬 사상이다.pp=8, ,77, 79-81 생물의 개체수의 증식을 생각하는 수리 모델에는 차분 방정식을 사용한 이산적인 시간의 모델과 미분방정식을 사용한 연속적인 시간의 모델의 두 종류가 있다.p=70 예를 들면 알을 낳으면 바로 죽는 종류의 곤충으로는 그 곤충의 개체수는 1세대째의 개체수, 2세대째의 개체수…라는 식으로 각 세대마다로 셀 수 있다.p=1 이와 같은 예시는 전자의 이산 시간 모델로 적합하다.p=459 한편, 각 세대가 연속적으로 서로 겹치는 경우는 연속 시간 모델과 친화성이 있다.p=41 로지스틱 사상은 이러한 이산형 혹은 세대 분산형의 개체군 모델에 상당한다.2pp=41-58 어느 환경 안의 단일종 생물의 개체수를 N으로 나타낸다고 한다. 가장 단순한 개체수의 증식의 방법으로 개체수에 대해 항상 일정한 비율로 계속 증가하는 모델을 생각할 수 있다. 그러한 개체수 증가 모델은 맬서스 성장 모델이라고 불리며, 다음과 같은 형태로 나타난다.p=38 5-1 여기서 Nn은 n세대째의 개체수를 의미하고, α는 개체수의 증식률로 양의 정수이다.p=2 그러나 모델 (5-1)에서는 개체수가 무진장으로 계속 늘어나며 대부분의 실현상에 대해 비현실적인 모델이라 할 수 있다.2p=38 어느 환경이 길러낼 수 있는 개체수에는 한도가 있으므로 개체수 Nn이 증가하면 증식률 α는 저하하는 것이 자연스럽다고 여겨진다.p=26 이와 같이 개체수 밀도의 변화에 따라 증식률이 변화하는 것을 밀도의존성이라고 부른다.p=5 밀도의존성을 모델 (5-1)에 반영한 개량 모델로 가장 단순한 것으로 해 다음과 같은 차분 방정식이 생각된다.p=45 5-2 여기서 a는 그 환경 안에서 가능한 최대증식률을 의미하고, b는 밀도의존성의 영향의 강도를 의미한다.p=45 모델 (5-2)는 증식률이 개체수에 단순히 비례해 낮아지는 것으로 가정한다.p=44 식 (5-2)의 Nn을 5-3 으로 변수 변환하면 이하의 로지스틱 사상이 도출된다.pp=45-46 5-4 생물의 개체수로 식 (5-2) 혹은 식 (5-4)를 다룰 때에는 Nn 혹은 xn이 음수로 되면 개체수로의 의미를 하지 않게 된다.pp=80-82 그렇게 되지 않기 위해 초기 조건 *x*0에 대해 0 ≤ *x*0 ≤ 1이라는 조건이 매개변수 a에 대해 0 ≤ *a* ≤ 4라는 조건이 요구된다.pp=45-46 외에는 가정하고 있는 환경이 길러낼 수 있는 최대 개체수 K를 가정하고, 이를 사용해 5-5 라는 형태로 밀도의존성을 이용한 차분 방정식을 생각하고, *xn* = *Nn*/*K*로 변수 변환해 로지스틱 사상을 이끌어내는 것도 있다.쪽 = 227-228pp=4-5 이 경우, 변수 xn은 최대 개체수 K에 대한 개체수 Nn의 비율을 의미한다.pp=4-5
## 로지스틱 방정식의 이산화
로지스틱 사상은 연속 시간형의 개체군 모델인 로지스틱 방정식의 이산화로부터도 도출 가능하다.pp=76–78 로지스틱 사상의 이름도 로버트 메이가 로지스틱 방정식의 이산화에서 로지스틱 사상을 도입한 것에서 유래한다.p=218쪽 = 51 로지스틱 방정식이란 다음과 같은 생물 개체수의 시간 변화를 나타내는 상미분 방정식이다.pp=18, 20, 25 5-6 여기서 N은 생물 개체수나 개체수 밀도, t는 연속적인 시간, K와 r가 매개변수이다. K는 환경용량, r는 생물 번식 능력이라고도 불리고, 보통은 양수를 취한다.p=7 이 식의 좌변 *dt*은 시각 t의 개체군 사이즈의 변화 속도를 의미한다.p=20 로지스틱 방정식의 해의 예시. 개체수 *N*은 시간 *t*가 경과하면 초기 조건에 따르지 않고 환경용량 *K*로 수렴한다. 로지스틱 방정식 (5-6)은 로지스틱 사상 (5-4)와 비슷해보이나, 해의 움직임은 로지스틱 사상과는 크게 다르다.p=41 초기 조건 *N*0이 양수인 한, 로지스틱 방정식의 개체수 N은 항상 단조롭게 K로 수렴할 뿐이다.p=3 이 로지스틱 방정식에 1계 상미분 방정식의 수치 해석적 방법의 하나인 오일러 방법에 의한 차분화 근사를 실행하는 것에 따라 로지스틱 사상을 도출 가능하다.*dt*을 이하와 같이 근사한다. : \frac{dN(t)}{dt} \approx \frac{N(t + \Delta t) - N(t)}{\Delta t} ... (B) 식 (A)에 식 (B)를 대입하면 다음 식이 주어진다. : \frac{N(t + \Delta t) - N(t)}{\Delta t} = r N(t) \left( 1-\frac{N(t)}{K} \right) ... (C) 여기서 *t*를 *Δt*의 배수로 간주하고, *t* = *nΔt*로 치환하면 *N*(*t*) = *N*(*nΔt*) 및 *N*(*t*+*Δt*) = *N*(*nΔt* +*Δt*)이다. *N*(*nΔt*)를 *N**'n*으로 나타내고, *N*(*nΔt* +*Δt*)를 *N**'n*+1으로 나타낸다. 이들을 식 (C)에 반영시켜 정리하면 다음 식이 주어진다. : N_{n+1} = N_n \left[ (1+r \Delta t)-\frac{r \Delta t}{K} N_n \right] ... (D) 더욱이 다음과 같은 새로운 변수 *xn*과 새로운 상수 *a*를 도입한다. :x_n=\frac{r \Delta t}{K(1+r \Delta t)} N_n :a=1+r \Delta t 이들을 식 (D)에 대입하면 이하의 로지스틱 사상의 식이 주어진다. : x_{n+1} = a x_n (1-x_n) 오일러 방법의 차분화 근사란 적당한 시간 간격 Δt를 도입하고, 증식률 *dt*을 이하와 같이 근사하는 것이다.p=58 5-7 이 근사의 결과, 다음의 로지스틱 사상을 이끌어낼 수 있다.2p=218 5-8 단, 이 식의 xn과 a는 전의 매개변수, 변수, 시간 간격으로 다음과 같은 관계를 가진다.2p=218 5-9 5-10 Δt가 충분히 작다면 식 (5-8)은 전의 식 (5-6)의 유효한 근사로 작동하고, *Δt* -> 0에서는 전의 식의 해와 일치한다.pp=83-84 한편, Δt가 크면 전의 식의 해에서 벗어난다.pp=83-84 또, 식 (5-10)의 관계에서 Δt를 크게 하는 것은 매개변수 a를 크게 하는 것에 상당한다.p=134 따라서, Δt를 크게 할 수록, 전의 방정식과의 오차를 단순히 크게하는 것 뿐만 아니라 해에 혼돈적 움직임을 만들어내는 것으로 된다.pp=134–135
## 자리매김
위와 같이, 생물의 개체군 동태론 상에서는 로지스틱 사상은 이산형 증식 과정의 모델의 하나이다. 단, 생물의 개체수의 모델로의 로지스틱 사상은 물리학의 법칙 등과는 달리, 직접적인 실험 결과나 보편적으로 성립하는 원리에서 이끌어내진 것은 아니다.p=132 도출 과정의 사고방식에 어느 정도의 합리성은 있으나, 기본적으로는 머릿속에서 생각된 '모델'에 그친다.p=132 로지스틱 사상을 저명하게 한 메이 또한, 논하고 있는 모델이 개체수의 증감을 정확히 표현하고 있다고 주장하고 있는 것은 아니다.쪽 = 360 생물 개체군 역학계의 연구 상에서도 역사적으로 다용돼온 것은 미분 방정식에 의한 연속 시간 모델이고, 이들 연속 시간 모델의 적용에 따라 생물 개체군 역학계의 이해를 깊이 해왔다.p=70 밀도의존성을 고려한 이산 시간 개체군 모델로도 개체수가 음수로 되지 않는 리커 모델(Ricker model) 쪽이 더욱 현실적이라 할 수 있다.p=41 일반적으로 말할 수 있는 것으로, 수리 모델은 개체군 역학계에 관한 중요한 정성적 정보를 제공해주는 것도 있지만, 실험적인 뒷받침이 없다면 수리 모델에서 나오는 결과를 너무 진지하게 받아들이면 안 된다.p=57 수리 모델의 결론이 생물학적 연구 결과로부터 벗어나는 경우가 있어도, 더욱이 수리 모델에 의한 연구가 의미가 있는 것은 유용한 대조로 될 수 있기 때문이다.p=2 모델의 구성 과정이나 설정 혹은 모델이 전제로 한 생물학적 식견이나 가설을 재점검하는 것에 따라 생물학적 논점을 제시할 수 있는 가능성이 있다.p=2 생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상은 너무 단순해 현실적이지는 않으나, 로지스틱 사상이 보이는 결과는 환경으로부터의 불규칙적인 영향 등에 무관계하게 개체군 그 자체에 내재하는 역학계에 의해 개체수의 다양한 변동이 일어날 수 있는 가능성을 암시한다.쪽 = 343
# 응용

## 결합 사상계
1 변수의 로지스틱 사상은 계로의 자유도 혹은 차원은 1이다.2p=157 한편 실제 자연계에서는 시간적으로 흐트러질 뿐만 아니라 다수의 공간 자유도를 가지고 공간적으로도 흐트러지는 다자유도의 혼돈이 많다고 추정된다.pp=79-80 혹은 혼돈적 운동을 행하는 진동자의 동기화 현상도 연구 대상이다.p=144쪽 = 185-232 이러한 것을 조사하기 위해 차분 방정식(사상)을 여러 번 결합시킨 결합 사상(coupled map)의 수법이 있다.pp=372-373 결합 사상 모델 연구의 제재로 로지스틱 사상이 종종 채용된다.5p=192 그 이유로는 로지스틱 사상 자체는 이미 혼돈의 전형적 모델로 잘 알려져 있고, 그 조사의 축적이 있음을 들 수 있다.p=83 결함 사상 모델에서의 구체적인 결합의 방법으로는 다양한 수법이 존재한다.p=375 전부 N개의 사상이 결합하고, i번째의 사상의 시각 n의 상태가 *x**'n*(*i*)로 나타낸다고 한다. 대국적 결합 사상(globally coupled map)이라고 불리는 수법에서는 *x**'n*+1(*i*)를 다음과 같이 정식화한다.2p=125 6-1 결합 진동자의 연구의 흐름에서는 다음과 같이 변수의 차분에서 진동자 두 개 x와 y를 결합시킨 가장 간단한 다음의 모델 등을 들 수 있다.p=133 6-2 이들의 식 안의 *f* (*x*)가 결합 사상 모델에 집어넣는 구체적인 사상이고, 로지스틱 사상이 사용되는 경우는 여기에서 적용된다.2p=144 6-2)의 두 개의 변수의 변화（위쪽）과 이들의 차（아래쪽）. 두 개의 변수는 동기화 후에 갑자기 비동기화 상태로 되고, 다시 동기화 상태로 돌아온다. 식 (6-1) 및 (6-2) 안의 ε이나 D는 결합 계수(coupling coefficient) 등으로 불리는 사상끼리의 결합의 세기를 의미하는 매개변수이다.2p=144 한편, 로지스틱 사상을 결합 사상 모델에 집어넣는 경우, 로지스틱 사상의 매개변수 a는 모델의 비선형성의 세기를 의미한다.p=194 a의 값과 ε 또는 D의 값을 변화시키는 것으로 로지스틱 사상의 결합 사상계에서는 다양한 현상이 나타난다. 예를 들면 모델 (6-2)에서는 D를 어떤 값 *Dc* 이상으로 크게 하면 x와 y는 동기화하면서 혼돈 진동을 일으킨다.p=145 *Dc* 미만에서도 항상 제각기 다른 혼돈 진동이 일어날 뿐만이 아니다.pp=144-145 D가 있는 범위일 때는 *a* = 4임에도 불구하고 x와 y는 2주기 진동을 일으킨다.pp=144-145 *a* = 3.8에서는 동기화 상태와 비동기화 상태가 교대로 계속 일어나는 움직임도 보인다.pp=136-137 대자유도의 대국적 결합 사상 (6-1)에 로지스틱 사상을 적용한 연구에서는 혼돈적 순회 혹은 혼돈적 편력(chaotic itinerancy)이라고 불리는 현상도 발견됐다.2p=152 이는 몇 개의 군집(cluster)으로 모여 진동하는 질서적인 상태에서 흐트러진 상태로 되고, 다시 다른 군집 상태로 되고, 또다시 흐트러진 상태로 되고…라는 움직임을 반복하는 현상으로, 위상 공간 상에서 끌개의 잔해(the remains of an attractor)라고 불리는 영역을 궤도가 돌아다니는 것에서 일어난다고 추정된다.2p=151
## 유사난수 생성기
컴퓨터 시뮬레이션이나 정보 보안 분야에서는 계산기로 유사난수를 작성하는 것이 중요한 기술의 하나로, 유사난수를 만드는 수법의 하나로 혼돈의 활용이 생각된다.형식 = pdf 혼돈으로부터의 유사난수 생성기로 충분한 성질을 가진 것은 아직 실현되지 않았으나, 여태 몇 가지의 수법이 제안돼왔다. 로지스틱 사상에 대해서도 여태 혼돈에 기반한 유사난수 생성기의 가능성이 여러 연구자들에 의해 연구돼왔다.쪽 = 2843-2850쪽 = 2-3 로지스틱 사상의 유사난수 생성에는 매개변수 *a* = 4가 잘 이용되고 있다.전자문서 = cond-mat/9310004쪽= 65-66쪽= 294 역사적으로도 후술과 같이 전자 계산기의 탄생으로부터 곧 1947년에 스타니스와프 울람과 존 폰 노이만도 *a* = 4의 로지스틱 사상을 사용한 유사난수 생성기의 가능성을 지적했다. 그러나 로지스틱 사상 *f**'a*=4의 점의 분포는 식 (3-17)에서 나타나는 분포로 돼있고, 나오는 수치가 0과 1 가까이로 치우친다. 이로 인해 치우치지 않는 균일난수를 얻기 위해서는 어떠한 처리를 필요로 한다. 그 방법으로는 #얻은 수치를 텐트 사상 (4-8)과의 관계를 이용해 균일분포로 변환하는 방법 #얻은 수치를 상술한 동전 던지기의 비유와 같이 역치(threshold)를 사용해 0이나 1로 변환하고, 이를 반복해서 균일난수의 비트열을 얻는 방법 등이 있다. 또, 로지스틱 사상에서 얻은 수열의 *xn*과 *x**'n*+1은 강한 상관 관계를 지니고 있고, 유사난수의 수열로는 문제가 있다. 이를 해소하는 방법 중 하나는 사상 1회 적용마다의 수열 *x*0, *x*1, *x*2, …를 만드는 것이 아닌 적당한 *τ* > 1회 반복마다 수열 *x*0, *x**'τ*, *x*2*τ*, …를 만들 필요가 있다. 예를 들면 가장 좋은 방법에 대해서는 *τ* > 10 또는 *τ* > 13이고, 두 번째로 좋은 방법은 *τ* > 16으로 양호한 유사난수를 얻을 수 있다고 여겨진다. 컴퓨터를 사용해 디지털로 혼돈을 계산하는 일반적 문제로 컴퓨터에서는 유한 계산 정밀도로 계산하기 때문에 혼돈 본래의 진정으로 비주기적인 수열을 원리적으로 얻을 수 없고, 대신 유한 주기열이 출력된다는 문제점이 있다.doi =10.1016/j.chaos.2011.12.006 원리적으로 비주기열을 얻을 수 없는 경우여도 유사난수 생성을 위해서는 가능한 한 긴 주기의 수열이 바람직하다. 그러나 단정밀도 부동소수점 수(single-precision floating-point) 계산에서 로지스틱 사상 *f**'a*=4가 실제로 출력하는 수열의 주기성을 조사한 결과에 따르면 할당된 비트수에서 가능한 최대 주기에 비해 실제로 출력되는 수열의 주기는 매우 작게 되는 것이 보고됐고, 이 관점에서 메르센 트위스터와 같은 기존의 유사난수 생성기에 비해 로지스틱 사상에 의한 유사난수 생성은 뒤떨어진다고 지적됐다. 또, 로지스틱 사상 *f**a*=4에서는 계산 도중에 수치가 고정점 0으로 떨어지고, 그대로 일정하게 유지될 위험도 있다. 한편, 로지스틱 사상에서는 열린구간 0, 1의 안에서 항상 값을 취하므로 부동소수점 뿐만 아니라 고정소수점에서도 문제 없이 계산 가능하고, 고정소수점 계산의 이점을 누릴 수 있다.쪽 = 28-32 고정소수점이면 같은 비트수로 비교해 부동소수점보다 긴 주기의 수열로 되는 것이나 의도하지 않은 0으로의 수렴이 없어진다는 것이 지적되고 있다.
## 복소수로의 확장
궤도 다이어그램(위쪽)과 망델브로 집합（아래쪽）의 대응 관계]] 이는 복소 해석함수로 정의된 역학계도 흥미를 가질 수 있는 대상으로,p=229 그 예시가 다음의 이차 함수에서 정의되는 역학계이다.2p=191 6-3 단, 여기서의 매개변수 c와 변수 z는 복소수이다.2p=191 이 사상은 로지스틱 사상 (1-2)와 기본적으로는 같은 것이라 할 수 있다.p=118 위에서도 서술했듯, 사상 (6-3)은 선형 함수에 의해 로지스틱 사상 (1-2)와 위상 공액인 관계이다.2p=236 매개변수 c를 고정하고, 초기 조건 *z*0을 바꾸면서 사상 (6-3)의 반복의 이후를 계산할 때, *n* -> ∞에서도 zn이 무한대로 발산하지 않는 *z*0의 집합을 충만한 쥘리아 집합(filled Julia set)이라고 한다.p=202 더욱이 충만한 쥘리아 집합의 경계를 쥘리아 집합이라고 한다.p=202 또, 초기 조건을 *z*0 = 0으로 고정하고, 매개변수 c를 바꾸면서 사상 (6-3)의 반복을 계산했을 때, z가 무한대로 발산하지 않는 c의 집합을 망델브로 집합이라고 한다.p=203 사상 (6-3)의 쥘리아 집합이나 망델브로 집합으로부터 프랙탈 도형이 생성된다.2p=174 특히 망델브로 집합에서는 도형의 각 원반은 어떠한 주기의 점근적 안정인 주기 궤도의 영역에 상당한다.p=281 로지스틱 사상의 궤도 다이어그램과 망델브로 집합의 도형을 나란히 하면 로지스틱 사상 궤도 다이어그램의 점근적 안정인 고정점, 주기배가 분기, 주기 3의 창 등이 망델브로 집합 도형과 실수축 위에서 대응하고 있음을 알 수 있다.2p=281
## 시간 지연을 가진 경우
지연 로지스틱 사상의 궤도의 모습. 좌우의 그림에서 초기 조건 (*x*0, *y*0)은 같으나, *a* = 2에서의 분기를 경계로 궤도가 끌어당겨진 곳이 닫힌 곡선（왼쪽）과 점（오른쪽）으로 나뉘어져있다. 로지스틱 사상을 생물의 각 세대의 개체수를 나타내는 모델로 해석하면 다음 세대의 개체수가 현재 세대의 개체수 뿐만 아니라 그 하나 이전 세대의 개체수도 현재 세대에 영향을 주는 경우도 생각된다.p=1 그러한 예시가 6-4 라는 차분 방정식으로, 하나 이전 세대의 개체수 *x**'n*−1이 마이너스의 밀도의존성으로 식에 들어가있다.p=1 *x**'n*+1 = *y**'n*으로 두면 식 (6-4)는 다음과 같은 2 변수 차분 방정식으로 치환할 수 있다.p=157 6-5 이 역학계는 준주기 끌개(quasi-periodic attractor)의 분기의 연구 등에서 이용되고, **지연 로지스틱 사상*'(delayed logistic map)이라고 불린다.p=157쪽 = 74-76 지연 로지스틱 사상에서는 *a'' = 2에서 네이마르크-색커 분기(Neimark-Sacker bifurcation)(Neimark는 Ju. I. Neimark이고, Sacker는 R. Sacker이다)가 일어나고, 점근적 안정적인 고정점이 불안정하게 되며, 그 불안정한 고정점의 주변에 점근적 안정적인 불변 곡선이 생긴다.pp=157-158
# 연구사

## 혼돈 명명 이전
사상의 반복이 동역학계와 관련한 의미를 가지기 이전의 시대에는 수학자 가스통 쥘리아와 피에르 파투(Pierre Fatou)가 복소함수의 반복에 대해서 연구했다.쪽 = 290 쥘리아와 파투의 연구는 해석 함수를 중심으로 한 광범위한 것이었는데p=64 특히 식 (6-3)에서도 보인 이하의 복소 이차 함수의 움직임이 1920년대에 그들에 의해 연구됐다.p=202 7-1 쥘리아와 파투도 쥘리아 집합의 안에 혼돈적 움직임을 이해하고 있었으나, 당시는 컴퓨터 그래픽 등도 없었기에 그들을 잇는 인물이 나타나지 않고, 연구는 그치게 되었다.p=7 이후 1970년대 후반까지 복소 역학계(complex dynamics) 연구는 계속해서 시들했고, 복소평면 위의 사상의 역학계적 움직임이 주목되는 것은 브누아 망델브로 등의 등장을 기다리게 된다.p=230 스타니스와프 울람 존 폰 노이만 1947년, 수학자 스타니스와프 울람과 존 폰 노이만은 “On combination of stochastic and deterministic processes”（확률론적 과정과 결정론적 과정의 결합에 관해）라는 짧은 보고서에서 7-2 라는 이차 함수의 반복 합성으로 유사난수를 생성할 수 있다는 것을 지적했다.pp=62-63 이 식은 현재의 시점으로는 *a* = 4의 로지스틱 사상에 상당한다.pp=97-98 당시 '혼돈'이라는 말도 아직 사용돼지 않았으나, 울람과 폰 노이만은 비선형 함수에 의한 복잡한 수열의 생성에 이미 주목했던 것이라고 할 수 있다.쪽 = 8-9 또, 울람과 폰 노이만의 보고서에서는 사상 (7-2)와 텐트 사상이 위상 공액의 관계에 있는 것이나, 이 사상의 수열의 불변 측도가 식 (3-17) 에서 주어지는 것도 밝혔다.p=10 이후 임의의 매개변수 a를 갖춘 형식의 이차 사상에 대해서도 상세한 조사가 몇 가지 있었다.저자 = 스티븐 울프럼 1958년부터 1963년에 걸쳐 핀란드의 수학자 페카 뮈르버그(Pekka Myrberg)는 λ를 매개변수로 하는 7-3 라는 형식의 이차 사상의 분기 현상을 조사했다.쪽 = 92, 117 이 일련의 연구는 역학계로서 본질적인 것으로, 뮈르버그는 이 사상의 주기배가 분기 캐스케이드를 조사해 집적점 *λ* = 1.401155189…의 존재도 보였다. 외에는 1964년 소련의 올렉산드르 샤르코우스키(Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky), 1969년 프랑스의 이고르 구모브스키(Igor Gumowski)와 크리스찬 미라(Christian Mira), 1973년의 니콜라스 메트로폴리스(Nicholas Constantine Metropolis) 등의 작업이 로지스틱 사상과 같은 단순한 1 변수 차분 방정식의 이상한 움직임을 밝혀냈다.p=160
## 로버트 메이의 연구
로버트 메이(2009년 촬영) 이후 1970년 초반에 수리생물학자 로버트 메이(Robert McCredie May)가 생태학의 문제에 몰두하는 과정에서 식 (1-2)의 모델을 알게 된다.p=159 메이는 로지스틱 방정식의 이산 시간화부터 식 (1-2) 즉 로지스틱 사상을 도입했다.p=19 로지스틱 사상의 움직임을 수리적으로 해석했고, 메이는 1973년과 1974년에 그 성과를 발표했다.pp=84, 308 로지스틱 사상의 수치 실험이 행해졌고, 매개변수 a에 의한 움직임의 변화가 조사됐다.p=77 1976년에는 ”Simple mathematical models with very complicated dynamics”(극히 복잡한 움직임을 지니는 단순한 수리 모델)이라는 논문을 *네이처*에서 발표했다.p=17 1976년의 논문은 고찰 논문으로, 로지스틱 사상을 제재로 하면서 단순한 비선형 함수에서도 주기배가 분기 캐스케이드나 혼돈과 같은 복잡한 움직임이 일어나는 것에 대해 강조했고, 주의를 재촉하는 내용이었다.2pp=161-162 특히 이 논문은 메이의 수리생물학자로의 지위, 연구 결과의 명쾌함, 그리고 무엇보다 단순한 포물선의 식이 복잡한 움직임을 만들어낸다는 충격적인 내용으로 큰 반향을 일으켜 과학계에 받아들여졌다.p=104 이러한 메이의 연구를 거쳐 로지스틱 사상은 많은 연구자를 혼돈 연구로 이끌었고, 혼돈 연구의 흐름을 새로이 재시작시켰다고 평가될 정도로 저명한 수리 모델로 되었다.2p=34
## 메이의 연구 이후
메이는 리톈옌(Tien-Yien Li)과 J. A. 요크(J. A. Yorke)가 논문 ”Period three implies chaos”(3주기는 혼돈을 의미한다)에서 사용한 '혼돈'이라는 표현을 적극적으로 사용했고, 이 논문도 주목됐다.쪽 = 168-170 이론도 있으나, 이 리와 요크의 논문은 '혼돈'이라는 말을 수학 용어로 처음 사용했다고 추정되며, 해당 논문에 의해 결정론적인 무질서적 움직임을 가리키는 용어 '혼돈'이 생겨났다고 여겨진다.4loc=역주 리와 요크는 1973년에 해당 논문을 일단 완성시켰으나, *더 아메리칸 매스매티컬 먼슬리*(The American Mathematical Monthly)에 투고한 결과 연구 색이 너무 강하므로 알기 쉽게 대폭 다시 쓰라는 통보를 받고 게재가 기각됐다.pp=102-103 이후 논문은 수정되지 않고 내버려져 있었다. 그러나 이듬해 1974년에 리와 요크가 있던 메릴랜드 대학교에 메이가 특별 초대 강의로 찾아와 로지스틱 사상의 이야기를 했다. 당시 메이는 로지스틱 사상의 혼돈 영역에서 무엇이 일어나는지 아직 이해를 하지 못했으나, 리와 요크 또한 로지스틱 사상의 주기배가 캐스케이드에 대해서 알지 못했다.p=159 메이의 이야기에 흥분한 리와 요크는 강의 후 메이를 붙잡아 둘이서 얻어낸 결과의 이야기를 했다.p=103 바로 리와 요크는 기각된 논문을 다시 썼고, 재제출된 논문은 1975년에 출판됐다.p=104 미첼 파이겐바움(2006년 촬영) 또 1975년 즈음, 수리생물학자 미첼 파이겐바움은 로지스틱 사상의 주기배가 캐스케이드에 주목했고, 분기값이 등비수열적으로 수렴하는 척도 법칙을 알게 됐고, 오늘날 파이겐바움 상수라고 불리는 상수의 존재를 수치 실험에서 발견했다.pp= 286, 294-297 메이도 조지 오스터(George Frederick Oster)와 함께 그 척도 법칙을 알게 됐으나, 깊이 들어가지는 못했다.p=151 파이겐바움은 식 (4-1)에서 보인 사인 함수에서도 같은 상수가 나타나는 것을 발견했고, 이 척도 법칙에는 로지스틱 사상만으로 그치지 않는 보편성이 있다는 것을 알게 됐다.pp= 298-302 1980년에는 이 결과에 대한 엄밀한 증명이 P. 콜렛(Pierre Collet), J-P. 에크맨(Jean-Pierre Eckmann), 오스카 랜포드(Oscar Lanford) 등에 의해 나오게 됐다.3pp=32, 208-209 파이겐바움과 거의 동시기 혹은 그 뒤, 물리학자들에 의해 실제 현상에 같은 주기배가 캐스케이드와 파이겐바움 상수가 발견됐고, 어디까지나 수학적 현상으로 간주됐던 혼돈은 물리학 방면에서도 큰 충격을 주었다.4p=112 단 혼돈 유행 이전의 연구 성과가 경시됐고, 그들의 연구 성과의 대부분이 로지스틱 사상 등을 이용한 재발견자의 공적 취급을 받는 풍조에 대한 비판도 있다. 메이 자신도 선행 연구가 있었다는 것을 존중한 뒤 자신의 공적은 '이차 사상의 기괴한 수학적 거동을 독립적으로 최초로 발견'이라고 한 것이 아닌 자신은 '마지막으로 과학의 그 광범위한 의미를 강조한 연구자들' 중 한 명이라고 자리매김했다.p=160 수학자 로버트 L. 드바니(Robert L. Devaney)는 저서에서 로지스틱 사상의 해설에 들어가기 전에 다음과 같이 말했다.p=347 *x*0. This sounds simple, but I dare to point out that it was only in the late 1990s, after the efforts of hundreds of mathematicians, that the iteration of this simple quadratic function was fully understood. *x*0의 운명을 예측할 수 있다는 것을 의미한다. 간단한 이야기로 들리겠지만, 굳이 말해두자면, 이 단순한 이차 함수의 반복을 완전히 이해할 수 있게 된 것은 수백 명의 수학자들의 노력 끝에 1990년대 후반에야 된 것이다.
## 내용주
notelist
## 참조주
각주