나폴레옹 정리

나폴레옹 정리 도해 기하학에서 **나폴레옹 정리**(Napoléon定理, Napoleon theorem)는 주어진 삼각형의 각 변 위에 모두 외부를 향하거나 모두 내부를 향하도록 덧그린 정삼각형의 중심을 이어 만든 삼각형은 정삼각형이라는 정리이다.
# 정의
삼각형 ABC의 외측에서 삼각형 E_ABC, E_BCA, E_CAB가 정삼각형이 되게 만드는 점 E_A, E_B, E_C를 잡고 (예를 들어 E_A는 BC에 대하여 A의 반대쪽에 위치한다), 정삼각형 E_ABC, E_BCA, E_CAB의 무게 중심을 각각 N_A, N_B, N_C라고 하자. 마찬가지로, 삼각형 ABC의 내측에서 삼각형 E_A'BC, E_B'AC, E_C'AB가 정삼각형이 되게 만드는 점 E_A', E_B', E_C'를 잡고 (예를 들어 E_A'는 BC에 대하여 A와 같은 쪽에 위치한다), 정삼각형 E_A'BC, E_B'AC, E_C'AB의 무게 중심을 각각 N_A', N_B', N_C'라고 하자. **나폴레옹 정리**에 따르면, 삼각형 N_AN_BN_C와 N_A'N_B'N_C'은 모두 정삼각형이다. 삼각형 N_AN_BN_C를 삼각형 ABC의 **외측 나폴레옹 삼각형**(外側Napoléon三角形, outer Napoleon triangle)이라고 하고, 삼각형 N_A'N_B'N_C'를 삼각형 ABC의 **내측 나폴레옹 삼각형**(內側Napoléon三角形, inner Napoleon triangle)이라고 한다. 즉, 나폴레옹 정리는 임의의 삼각형의 내측 및 외측 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.
# 역사
1825년에 영국의 수학자 윌리엄 러더퍼드(William Rutherford)가 《레이디스 다이어리》(The Ladies' Diary)의 〈새로운 수학 문제〉(New Mathematical Questions)란에 기고한 글에서 처음 공개되었다.495 프랑스의 황제 나폴레옹 보나파르트의 이름이 붙었으나, 나폴레옹이 제시한 결과라는 증거는 존재하지 않는다.zbl=1264.01010497
# 증명
다음은 외측 나폴레옹 삼각형에 대한 증명들이다. 일부는 내측 나폴레옹 삼각형에 대해서도 적용 가능하다.
## 닮음을 통한 증명
외측 나폴레옹 삼각형 N_AN_BN_C의 세 변의 길이가 같다는 사실을 보이자. N_AN_B와 N_AN_C에 대해서만 보이면 족하다. 정삼각형의 무게 중심과 내심은 일치하므로, N_A, N_B, N_C는 각각 정삼각형 E_ABC, E_BCA, E_CAB의 세 내각의 이등분선의 교점이다. 특히 :\angle N_ACB=30^\circ=\angle N_BCA 이며, 양변에 \angle ACB를 더하면 :\angle N_ACA=\angle N_BCB 를 얻는다. 또한 :N_AC=\frac 1{\sqrt 3}E_AC,\;N_BC=\frac 1{\sqrt 3}AC 이므로, 삼각형 N_AN_BC와 E_AAC는 서로 닮음이다. 다시 말해, 삼각형 N_AN_BC를 C를 중심으로 30도 회전한 뒤 C를 중심으로 하고 1/\sqrt 3를 비로 하는 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 E_AAC를 얻으므로, 두 삼각형은 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형 N_AN_CB와 E_AAB 역시 서로 닮음이며, 이에 대한 닮음비 역시 1/\sqrt 3이다. 따라서 :N_AN_B=\frac 1{\sqrt 3}E_AA=N_AN_C 가 성립한다.
## 외접원을 통한 증명
우선 삼각형 E_ABC, E_BCA, E_CAB의 외접원이 같은 점을 지난다는 사실을 보이자.isbn=0-88385-619-061-63, §3.3 편의상 삼각형 E_ABC, E_BCA의 외접원의 C가 아닌 교점을 P라고 하자. 편의상 P가 BC, AC에 대하여 각각 A, B와 같은 쪽에 위치한다고 하자. 그렇다면 :\angle BPC=180^\circ-\angle BE_AC=120^\circ :\angle APC=180^\circ-\angle AE_BC=120^\circ 이므로 :\angle APB=360^\circ-\angle BPC-\angle APC=120^\circ=180^\circ-\angle E_CAB 이며, P는 삼각형 E_CAB의 외접원 위의 점이다. 즉, 세 외접원은 모두 이 점을 지난다. 이제 외측 나폴레옹 삼각형 N_AN_BN_C의 세 내각이 60도라는 사실을 보이자. 편의상 \angle N_BN_AN_C에 대해서만 보이면 족하다. 삼각형 E_ABC와 E_BCA의 외접원의 중심선 N_AN_B는 공통현 PC의 수직 이등분선이다. 마찬가지로 삼각형 E_ABC와 E_CAB의 외접원의 중심선 N_AN_C 역시 공통현 PB의 수직 이등분선이다. 따라서 :\angle N_BN_AN_C=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle BPC=60^\circ 이다.
## 삼각법적 증명
외측 나폴레옹 삼각형 N_AN_BN_C의 변 N_AN_B의 길이를 원래 삼각형 ABC의 세 변의 길이 BC=a, CA=b, AB=c에 대한 함수로 나타내자. 이 함수가 대칭 함수라면 남은 두 변 N_BN_C, N_CN_A의 길이 역시 같은 함수로 표현되므로 증명이 완성된다. 삼각형 N_AN_BC에서 :\angle N_ACN_B=C+60^\circ :N_AC=\frac 1{\sqrt 3}a,\;N_BC=\frac 1{\sqrt 3}b 이므로, 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다. :\begin{align}{N_AN_B}^2 &=N_AC^2+N_BC^2-2\cdot N_AC\cdot N_BC\cdot\cos\angle N_ACN_B\\\ &=\frac 13(a^2+b^2-2ab\cos(C+60^\circ))\\\ &=\frac 13\left(a^2+b^2-ab\cos C+\sqrt 3ab\sin C\right)\\\ &=\frac 16(a^2+b^2+c^2+4\sqrt 3S) \end{align} 여기서 S는 삼각형 ABC의 넓이이다. 마지막 함수는 a, b, c의 순열에 대하여 불변이므로 대칭 함수가 맞다.
# 나폴레옹 삼각형의 성질

## 변의 길이와 넓이
삼각형 ABC의 꼭짓점 A, B, C의 대변의 길이를 a, b, c라고 하고, 넓이를 S라고 할 경우, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형 N_AN_BN_C, N_A'N_B'N_C'의 변의 길이는 :N_AN_B=N_BN_C=N_CN_A=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt 3S}6} :N_A'N_B'=N_B'N_C'=N_C'N_A'=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2-4\sqrt 3S}6} 이며, 넓이는 :S_{\triangle N_AN_BN_C}=\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt 3S}{8\sqrt 3} :S_{\triangle N_A'N_B'N_C'}=\frac{a^2+b^2+c^2-4\sqrt 3S}{8\sqrt 3} 이다. 특히, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 넓이의 차는 원래 삼각형의 넓이와 같다.64, Theorem 3.38
## 무게 중심
삼각형의 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심은 같다.65, §3.3, Exercise 4 또한 이는 원래 삼각형의 무게 중심과 일치한다. 다음은 외측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심이 원래 삼각형의 무게 중심과 같다는 사실을 벡터에 대한 선형 변환을 사용하여 증명한다. 내측 나폴레옹 삼각형 역시 같은 방법으로 증명할 수 있다. 178-179, §5F 삼각형 ABC의 무게 중심을 G라고 하자. 편의상 삼각형 ABC의 꼭짓점이 시개 반대 방향으로 열거되었다고 하자. 삼각형 ABC의 평면 위의 벡터들에 대한 변환 T가 모든 벡터를 시계 반대 방향으로 60도 회전시킨다고 하자. 즉, 평면 위 임의의 점 X, Y에 대하여 :\overrightarrow{XY} 와 :T(\overrightarrow{XY}) 사이의 유향각은 시계 반대 방향 60도이다. 그렇다면 T는 선형 변환이다. 삼각형 E_ABC는 정삼각형이고 꼭짓점이 시계 방향으로 열거되었으므로 :\overrightarrow{CE_A}=T(\overrightarrow{CB}) 이며, 또한 N_A은 삼각형 E_ABC의 무게 중심이므로 :\begin{align}\overrightarrow 0 &=\overrightarrow{N_AE_A}+\overrightarrow{N_AB}+\overrightarrow{N_AC}\\\ &=\overrightarrow{N_AC}+\overrightarrow{CE_A}+\overrightarrow{N_AB}+\overrightarrow{N_AC}\\\ &=\overrightarrow{N_AB}+2\overrightarrow{N_AC}+T(\overrightarrow{CB}) \end{align} 이다. 마찬가지로, :\overrightarrow 0=\overrightarrow{N_BC}+2\overrightarrow{N_BA}+T(\overrightarrow{AC}) :\overrightarrow 0=\overrightarrow{N_CA}+2\overrightarrow{N_CB}+T(\overrightarrow{BA}) 가 성립한다. 세 등식의 양변을 서로 더하면 :\begin{align}\overrightarrow 0 & =\overrightarrow{N_AB}+2\overrightarrow{N_AC} +\overrightarrow{N_BC}+2\overrightarrow{N_BA} +\overrightarrow{N_CA}+2\overrightarrow{N_CB}\\\ & =3(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}) -3(\overrightarrow{GN_A}+\overrightarrow{GN_B}+\overrightarrow{GN_C})\\\ & =-3(\overrightarrow{GN_A}+\overrightarrow{GN_B}+\overrightarrow{GN_C}) \end{align} 를 얻는다. 즉, G는 외측 나폴레옹 삼각형 N_AN_BN_C의 무게 중심이다. 증명 끝
# 일반화
삼각형 ABC의 외측에서 :P+Q+R=180^\circ 를 만족시키는 점 P, Q, R를 잡자. 그렇다면, 삼각형 PBC, AQC, ABR의 외접원은 같은 점을 지난다. 특히, 삼각형 PBC, AQC, ABR가 정삼각형일 경우 전제 조건이 만족되며, 세 외접원이 공통으로 지나는 점은 제1 나폴레옹 점이 된다. 삼각형 ABC의 외측에서 삼각형 PBC, AQC, ABR가 닮음이고 같은 위치에 오는 점들끼리 대응점이게 하는 점 P, Q, R를 잡고, 삼각형 PBC, AQC, ABR의 무게 중심을 각각 D, E, F라고 하자. 그렇다면, 삼각형 DEF는 이 세 삼각형과 닮음이다. 특히, 나폴레옹 정리는 삼각형 PBC, AQC, ABR가 정삼각형인 특수한 경우이다.