곱

수학에서 곱셈의 결과 값 수학에서 **곱**(product)은 곱셈 연산의 결과가 되는 값, 또는 곱하는 요소들을 표현한 식이다. 예를 들어 6은 2와 3의 곱(곱셈의 결과값)이며, x\cdot (2+x) 은 x 와 (2+x)의 곱이다. 실수 또는 복소수는 곱해지는 순서가 결과에 영향을 주지 않는데, 이를 곱셈의 교환법칙이라 한다. 반면 행렬이나 결합 대수의 여러 대수 구조들은 일반적으로 곱해지는 순서에 따라 그 결과가 달라진다. 즉 행렬 곱셈은 비가환이다. 수학에는 다양한 종류의 곱이 존재한다. 일반적인 수의 곱셈 외에도 다항식이나 행렬, 대수 구조 등에 대해 곱을 정의할 수 있다.
# 두 수의 곱
곱셈
## 두 자연수의 곱
3 곱하기 4는 12이다. 두 자연수 m과 n의 곱은 m을 n번 더한 값이며, m\times n 또는 m\cdot n으로 쓴다. n을 m번 더한 값과도 같다. 즉 아래와 같다. : m\cdot n = \underbrace{m+m+\cdots+m }_{n\text{번 = \underbrace{n+n+\cdots+n }_{m\text{번 예를 들어 3과 4의 곱은 3\cdot 4=3+3+3+3=4+4+4=12이다.
## 두 정수의 곱
정수는 양수와 음수, 그리고 0을 말한다. 두 정수의 곱은 각 정수의 절댓값을 곱한 값에 다음 규칙에 맞는 부호를 달아 구할 수 있다. :\begin{array}{|c|c c|} \hline \cdot & \- & \+ \\\ \hline \- & \+ & \- \\\ \+ & \- & \+ \\\ \hline \end{array} 즉 양수와 음수를 곱하면 음수가 되고, 양수와 양수 또는 음수와 음수를 곱하면 그 결과값은 양수가 된다. 예를 들어 3과 -4의 곱은 3\cdot(-4)=-(3\cdot4)=-12이고, -1과 -1의 곱은 (-1)\cdot(-1)=1\cdot1=1이다. 정수의 곱에서 부호는 두 정수 간 덧셈과 곱셈의 분배법칙으로부터 유도되는 결과이다. -1 참고.
## 두 유리수의 곱
두 유리수의 곱은 각 유리수를 분수로 나타낸 뒤 분자와 분모끼리 곱하여 구할 수 있다. : \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}
## 두 실수의 곱
두 실수의 곱의 엄밀한 정의는 실수의 구성에 따른 결과로 나타난다. 실수를 구성했을 때, 임의의 실수 a에 대해 유리수를 원소로 가지고 a가 상한인 집합 A가 존재한다. :a=\sup_{x\in A} x b가 집합 B의 상한이 되는 실수일 때, 두 실수의 곱 a\cdot b는 :a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y 로 정의된다. 이 경우 두 실수의 곱은 어떤 집합 A와 B를 선택하느냐에 관계없이 같다. 즉 집합의 상한이 변하는 것이 아니라면, 어떤 집합을 선택하든지 두 실수의 곱 a\cdot b는 동일하다.
## 두 복소수의 곱
두 복소수의 곱은 i^2=-1이라는 정의와 분배법칙을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다. :\begin{align} (a + b\, i) \cdot (c + d\, i) &= a \cdot c + a \cdot d\, i + b \, i \cdot c + b \cdot d \cdot i^2\\\ &= (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \, i \end{align}
### 복소수 곱셈의 기하학적 의미
r이고 각이 \varphi인 복소수 a + b\, i. 복소수는 극좌표에 점으로 나타낼 수 있다. 복소수 a + b\, i가 극좌표에서 반지름이 r이고 각이 \varphi이면 :a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) ) = r \cdot e ^{ i \varphi} 이다. 한편 :c + d\, i = s \cdot ( \cos(\psi) + i\sin(\psi) ) = s \cdot e^{i\psi} 라 하면 두 복소수 a + b\, i와 c + d\, i의 곱은 아래와 같다. :(a + b\, i) \cdot (c + d\, i) = (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)} 즉, 극좌표에서 두 복소수의 곱은 두 복소수의 반지름의 곱을 반지름으로 하고 두 복소수의 각의 합을 각으로 가지는 복소수가 된다.
## 두 사원수의 곱
사원수 사원수 참조. 사원수의 곱셈에서는 일반적으로 a \cdot b와 b \cdot a가 같지 않다.
# 수열의 곱
수열의 곱에서는 곱셈 연산자로 대문자 그리스어 알파벳 파이 Π를 사용한다.(합 기호로 대문자 시그마 Σ를 쓰는 것과 유사하다.)language=en 예를 들어, \textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2는 1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36를 의미한다.url-status= 하나의 수로만 이루어진 수열의 곱은 그 수 자신과 같다. 수열에서 곱할 수가 없는 경우 그 수열의 곱은 1과 같다.
# 가환환
가환환에도 곱 연산이 존재한다.
## 정수의 합동류
모듈러 산술#성질 환의 \Z/N\Z의 합동류의 덧셈은 아래와 같고, :(a + N\Z) + (b + N\Z) = a + b + N\Z 곱은 아래처럼 정의된다. :(a + N\Z) \cdot (b + N\Z) = a \cdot b + N\Z
## 합성곱
합성곱 방형파의 자기 자신에 대한 합성곱은 삼각형함수가 된다. 두 실함수를 곱하는 또다른 방법으로 합성곱이 있다. 두 함수 f, g가 : \int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|\,\mathrm{d}t 0인 모든 0 \not= v \in V에 대해 스칼라곱은 아래와 같이 정의되는 이중선형사상이다. :\cdot : V \times V \rightarrow \R n차원 유클리드 공간에서 스칼라곱(점곱이라고도 한다.)은 다음과 같다. :\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i 스칼라곱으로부터 노름을 \|v\| := \sqrt{v \cdot v} 로 정의할 수 있다. 두 벡터 사이의 각 또한 스칼라곱으로 정의한다. :\cos\angle(v, w) = \frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}
## 3차원 공간의 벡터곱
벡터곱 3차원 공간에서 두 벡터의 벡터곱은 두 벡터로부터 만들어지는 평행사변형의 넓이를 길이로 가지는 벡터가 된다. 벡터곱은 아래와 같은 행렬식으로도 구할 수 있다. :\mathbf{u \times v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \\\ \end{vmatrix}
## 선형 사상의 합성
함수의 합성 체 **F** 위의 두 벡터 공간 *V*와 *W*에 대하여 아래조건을 만족하는 함수 *f*를 선형 사상이라 한다.pages=9–10 :f(t_1 x_1 + t_2 x_2) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2), \forall x_1, x_2 \in V, \forall t_1, t_2 \in \mathbb{F}. 유한 차원 벡터 공간에 대해, **bV**와 **bW**를 각각 *V*와 *W*의 기저라 하고 *vi*를 **v**의 **bV***i* 방향 성분이라 하면 다음과 같이 된다. :f(\mathbf{v}) = f\left(v_i \mathbf{b_V}^i\right) = v_i f\left(\mathbf{b_V}^i\right) = {f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j, 여기서 식은 아인슈타인 표기법을 따랐다. 그러면 이제 유한 차원 벡터 공간 위의 두 선형 사상에 대하여 함수를 합성할 수 있다. *f*를 *V*에서 *W*로의 선형 사상, *g*를 *W*에서 *U*로의 선형 사상이라 하자. 그러면 *V*에서 *U*로 가는 *f*와 *g*의 합성 1=*g* ∘ *f*는 다음과 같이 구할 수 있다. :g \circ f(\mathbf{v}) = g\left({f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j\right) = {g^j}_k {f^i}_j v_i \mathbf{b_U}^k. 또는 행렬 **F**와 **G**에 대해 *Fij=fji*, *Gij=gji*라 하면 함수의 합성은 다음과 같다. :g \circ f(\mathbf{v}) = \mathbf{G} \mathbf{F} \mathbf{v}, 둘 이상의 선형 사상의 합성은 행렬 곱셈을 이용해 비슷한 방식으로 나타낼 수 있다.
## 두 행렬의 곱
행렬 곱셈 두 행렬 :A = (a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r} \in \R^{s\times r} :B = (b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \R^{r\times t} 에 대해 두 행렬의 행렬곱은 아래와 같다. :B \cdot A = \left( \sum_{j=1}^r a_{i,j} \cdot b_{j,k} \right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t} \;\in\R^{s\times t}
## 벡터 공간의 텐서곱
텐서곱 두 유한 차원 벡터 공간 *V*와 *W*에 대해, 두 벡터 공간의 텐서곱은 다음을 만족하는 (2, 0)-텐서로 정의할 수 있다.edition=2nd :V \otimes W(v, m) = V(v) W(w), \forall v \in V^*, \forall w \in W^*, 여기서 *V**와 *W**는 각각 *V*와 *W*의 쌍대 공간이다.
## 선형대수학에서의 기타 곱
* 아다마르 곱 * 크로네커 곱 * 텐서의 곱: ** 쐐기곱 ** 내부곱 ** 외적 ** 텐서곱
# 데카르트 곱
데카르트 곱 집합론에서, 데카르트 곱은 여러 집합으로부터 새로운 집합을 만드는 연산이다. 즉, 집합 *A*와 *B*에 대해 데카르트 곱 *A* × *B*는 a ∈ *A*이고 b ∈ *B*인 모든 순서쌍 (a, b)들로 이루어진 집합이다.edition=2nd
# 기타 대수 구조에서의 곱
* 집합의 데카르트 곱 * 군의 직접곱, 반직접곱, 화환곱 * 군의 자유곱 * 환의 곱 * 아이디얼의 곱 * 곱위상 * 대수적 위상수학의 교곱, 합곱, 매시 곱 * 호모토피의 분쇄곱, 쐐기곱
# 범주론에서의 곱
이전까지의 곱들은 보다 일반화한 개념인 범주론에서의 곱의 특수한 경우에 해당한다. 한편 범주론에는 다른 종류의 곱들도 존재한다. * 당김 * 초곱