초기하함수

Plot of the hypergeometric function 2F1(a,b; c; z) with a=2 and b=3 and c=4 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D 수학에서 가우스 또는 일반 **초기하 함수**(hypergeometric function) 2F1(a, b; c; z)는 다른 많은 특수 함수를 특정 또는 극한 사례로 포함하는 **초기하 급수**로 표현되는 특수 함수이다. 이것은 2차 선형 상미분 방정식(ODE)의 해이다. 세 개의 정칙 특이점을 갖는 모든 2차 선형 ODE는 이 방정식으로 변환될 수 있다. 초기하 함수를 포함하는 수천 개의 출판된 항등식의 체계적인 목록은 1953 및 2010의 참고 문헌을 참조하라. 모든 항등식을 정리하는 알려진 시스템은 없으며, 실제로 모든 항등식을 생성할 수 있는 알려진 알고리즘도 없다. 여러 가지 다른 알고리즘이 다른 계열의 항등식을 생성하는 것으로 알려져 있다. 항등식의 알고리즘적 발견 이론은 활발한 연구 주제로 남아있다.
# 역사
"초기하 급수"라는 용어는 존 월리스가 1655년 저서 『Arithmetica Infinitorum』에서 처음 사용했다. 초기하 급수는 레온하르트 오일러에 의해 연구되었으나, 최초의 완전한 체계적인 처리는 year=1813에 의해 이루어졌다. 19세기 연구에는 year=1836의 연구와 초기하 함수가 만족하는 미분 방정식을 통한 리만의 근본적인 특성 규명(year=1857)이 포함된다. 리만은 복소 평면에서 조사된 2F1(z)에 대한 2차 미분 방정식이 (리만 구에서) 세 개의 정칙 특이점에 의해 특징지어질 수 있음을 보였다. 해가 대수함수인 경우는 헤르만 슈바르츠가 발견했다(슈바르츠 목록).
# 초기하 급수
초기하 함수는 수학|!z! 0 \end{cases} a 또는 b가 음이 아닌 정수인 경우 이 급수는 유한하며, 이 경우 함수는 다항식으로 환원된다. {}_2F_1(-m,b;c;z) = \sum_{n=0}^m (-1)^n \binom{m}{n} \frac{(b)_n}{(c)_n} z^n. z ≥ 1인 복소 인수 z에 대해, 이 함수는 1과 무한대의 분기점을 피하는 복소 평면상의 모든 경로를 따라 해석적 연속될 수 있다. 실제로, 초기하 함수의 대부분의 컴퓨터 구현은 선 z ≥ 1을 따라 분지 절단을 채택한다. m이 음이 아닌 정수일 때, c → −m이면 2F1(z) → ∞이 된다. 감마 함수의 값 Γ(c)로 나누면 다음 극한을 얻는다. \lim_{c\to -m}\frac}_2F_1(a,b;c;z)}{\Gamma(c)}=\frac{(a)_{m+1}(b)_{m+1{(m+1)!}z^{m+1}{}_2F_1(a+m+1,b+m+1;m+2;z) 2F1(z)는 가장 일반적인 유형의 일반화된 초기하급수 pFq이다.
# 미분 공식
항등식 (a)_{n+1}=a (a+1)_n을 사용하여 다음을 보인다. \frac{d }{dz} \ {}_2F_1(a,b;c;z) = \frac{a b}{c} \ {}_2F_1(a+1,b+1;c+1;z) 그리고 더 일반적으로, \frac{d^n }{dz^n} \ {}_2F_1(a,b;c;z) = \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \ {}_2F_1(a+n,b+n;c+n;z)
# 특수 사례
많은 일반적인 수학 함수는 초기하 함수로 표현될 수 있거나 그 극한 사례로 표현될 수 있다. 몇 가지 전형적인 예는 다음과 같다. \begin{align} _2F_1\left(1, 1; 2; -z\right) &= \frac{\ln(1+z)}{z} \\\ _2F_1(a, b; b; z) &= (1-z)^{-a} \quad (b \text{ 임의의}) \\\ _2F_1\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; z^2\right) &= \frac{\arcsin(z)}{z} \\\ \,_2F_1\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}; \frac{3}{2}; -\frac{27x^2}{4}\right) &= \frac{\sqrt[3]{\frac{3x\sqrt{3}+\sqrt{27x^2+4{2-\sqrt[3]{\frac{2}{3x\sqrt{3}+\sqrt{27x^2+4{x\sqrt{3 \end{align} a = 1이고 b = c일 때, 급수는 단순한 등비급수로 환원된다. 즉, \begin{align} _2F_1\left(1, b; b; z\right) &= {_1F_0}\left(1;;z\right) = 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + \cdots \end{align} 따라서 초기하라는 이름이 붙는다. 이 함수는 등비급수의 일반화로 볼 수 있다. 합류 초기하 함수(또는 쿠머 함수)는 초기하 함수의 극한으로 주어질 수 있다. M(a,c,z) = \lim_{b\to\infty}{_2F_1}(a,b;c;b^{-1}z) 따라서 베셀 함수와 같이 본질적으로 이 함수의 특수 사례인 모든 함수는 초기하 함수의 극한으로 표현될 수 있다. 여기에는 수학 물리학에서 일반적으로 사용되는 대부분의 함수가 포함된다. 르장드르 함수는 3개의 정칙 특이점을 갖는 2차 미분 방정식의 해이므로 여러 가지 방식으로 초기하 함수로 표현될 수 있다. 예를 들어 {}_2F_1(a,1-a;c;z) = \Gamma(c)z^{\tfrac{1-c}{2(1-z)^{\tfrac{c-1}{2P_{-a}^{1-c}(1-2z) 야코비 다항식 Pb=n 및 그 특수 사례인 르장드르 다항식, 체비쇼프 다항식, 게겐바우어 다항식, 제르니케 다항식을 포함한 여러 직교 다항식은 다음을 사용하여 초기하 함수로 표현될 수 있다. {}_2F_1(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x) = \frac{n!}{(\alpha+1)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(1-2x) 특수 사례인 다른 다항식에는 크라우추크 다항식, 마이크스너 다항식, 마이크스너-폴라체크 다항식이 포함된다. z\in\mathbb{C}\setminus\\{0,1\\}이 주어지면, 다음이라고 하자. \tau = {\rm{i\frac}_2F_1 \bigl( \frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z \bigr)}}_2F_1 \bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z \bigr)}. 그러면 \lambda (\tau) = \frac{\theta_2(\tau)^4}{\theta_3(\tau)^4}=z 는 모듈러 람다 함수이며, 여기서 \theta_2(\tau)=\sum_{n\in\mathbb{Ze^{\pi i\tau (n+1/2)^2},\quad \theta_3(\tau)=\sum_{n\in\mathbb{Ze^{\pi i\tau n^2}. J-불변량, 즉 모듈러 형식은 \lambda (\tau)의 유리 함수이다. 불완전 베타 함수 Bx(p, q)는 다음과 같이 관련되어 있다. B_x(p,q) = \tfrac{x^p}{p}{}_2F_1(p,1-q;p+1;x). 완전 타원 적분 K와 E는 다음과 같이 주어진다.doi-access=free \begin{align} K(k) &= \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right), \\\ E(k) &= \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right). \end{align}
# 초기하 미분 방정식
초기하 함수는 오일러의 초기하 미분 방정식의 해이다. z(1-z)\frac {d^2w}{dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {dw}{dz} - ab\,w = 0. 이 방정식은 세 개의 정칙 특이점: 0, 1, ∞를 갖는다. 세 개의 임의의 정칙 특이점에 대한 이 방정식의 일반화는 리만의 미분 방정식에 의해 주어진다. 세 개의 정칙 특이점을 갖는 모든 2차 선형 미분 방정식은 변수 변환을 통해 초기하 미분 방정식으로 변환될 수 있다.
## 특이점에서의 해
초기하 미분 방정식의 해는 초기하 급수 2F1(a, b; c; z)로 구성된다. 이 방정식은 두 개의 선형 독립 해를 갖는다. 세 개의 특이점 0, 1, ∞ 각각에서, 일반적으로 xs에 x의 정칙 함수를 곱한 형태의 두 개의 특수 해가 존재한다. 여기서 s는 지표 방정식의 두 근 중 하나이고 x는 정칙 특이점에서 소멸하는 국소 변수이다. 이는 다음과 같이 3 × 2 = 6개의 특수 해를 제공한다. z = 0 지점 근처에서 c가 음이 아닌 정수가 아닌 경우 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다. _2F_1(a,b;c;z) 그리고 c가 정수가 아니라는 조건하에, z^{1-c} {_2F_1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z) c가 음이 아닌 정수 1 − m인 경우, 첫 번째 해는 존재하지 않으며 z^mF(a+m,b+m;1+m;z)로 대체되어야 한다. c가 1보다 큰 정수인 경우 두 번째 해는 존재하지 않으며, c가 다른 정수인 경우 첫 번째 해 또는 그 대체 해와 동일하다. 따라서 c가 정수인 경우, 두 번째 해에 대해 첫 번째 해에 ln(z)를 곱한 것과 z의 거듭제곱으로 이루어진 다른 급수, 그리고 디감마 함수를 포함하는 더 복잡한 표현이 사용되어야 한다. 자세한 내용은 2010을 참조하라. z = 1 근처에서 c − a − b가 정수가 아니면 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다. \, _2F_1(a,b;1+a+b-c;1-z) 그리고 (1-z)^{c-a-b} \;_2F_1(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z) z = ∞ 근처에서 a − b가 정수가 아니면 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다. z^{-a}\, _2F_1 \left (a,1+a-c;1+a-b; z^{-1} \right) 그리고 z^{-b}\, _2F_1 \left (b,1+b-c;1+b-a; z^{-1} \right ). 다시 말해, 정수가 아닌 조건이 충족되지 않을 때, 더 복잡한 다른 해들이 존재한다. 위 6가지 해 중 임의의 3가지는 해 공간이 2차원이므로 선형 관계를 만족하며, 이로 인해 (b=3) = 20가지 선형 관계가 발생하는데, 이를 **연결 공식**이라고 한다.
## 쿠머의 24가지 해
n개의 특이점을 갖는 2차 푸크스형 방정식은 해에 (사영적으로) 작용하는 대칭군을 가지며, 이는 차수 2n−1n!인 콕서터 군 W(Dn)과 동형이다. 초기하 방정식은 n = 3인 경우로, 차수 24인 군이 4개의 점에 대한 대칭군과 동형이며, 이는 쿠머가 처음 설명했다. 대칭군의 등장은 우발적이며 3개 이상의 특이점에 대해서는 유비가 없으므로, 때로는 이 군을 3개의 점에 대한 대칭군 (3개의 특이점의 순열로 작용)에 클라인 4군 (그 원소가 짝수 개의 특이점에서 지수 차이의 부호를 변경)을 확장한 것으로 생각하는 것이 더 좋다. 쿠머의 24개 변환군은 해 F(a, b; c; z)를 다음 중 하나로 변환하는 세 가지 변환에 의해 생성된다. \begin{align} (1-z)^{-a} F \left (a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1} \right ) \\\ F(a,b;1+a+b-c;1-z) \\\ (1-z)^{-b} F \left(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1} \right ) \end{align} 이것들은 1, 2, 3, 4의 4개 점에 대한 대칭군과의 동형 아래에서 전위 (12), (23), (34)에 해당한다. (이 중 첫 번째와 세 번째는 실제로는 F(a, b; c; z)와 같으며, 두 번째는 미분 방정식의 독립적인 해이다.) 쿠머의 24 = 6×4 변환을 초기하 함수에 적용하면 위에서 설명한 6 = 2×3개의 해가 각 3개 특이점의 2가지 가능한 지수에 해당하며, 각각은 다음 항등식 때문에 4번 나타난다. \begin{align} {}_2F_1(a,b;c;z) &= (1-z)^{c-a-b} \, {}_2F_1(c-a,c-b;c;z) && \text{오일러 변환} \\\ {}_2F_1(a,b;c;z) &= (1-z)^{-a} \, {}_2F_1(a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1}) && \text{파프 변환} \\\ {}_2F_1(a,b;c;z) &= (1-z)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1}) && \text{파프 변환} \end{align}
## Q-형식
초기하 미분 방정식은 u = wv로 치환하고 1차 미분 항을 제거하여 Q-형식으로 변환할 수 있다. \frac{d^2u}{dz^2}+Q(z)u(z) = 0 Q는 다음과 같다. Q=\frac{z^2[1-(a-b)^2] +z[2c(a+b-1)-4ab] +c(2-c)}{4z^2(1-z)^2} 그리고 v는 다음 해로 주어진다. \frac{d}{dz}\log v(z) = - \frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)} =-\frac{c}{2z}-\frac{1+a+b-c}{2(z-1)} 이것은 v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}. Q-형식은 슈바르치안 pp=307–401과의 관계에서 중요하다.
## 슈바르츠 삼각형 사상
슈바르츠 삼각형 함수 **슈바르츠 삼각형 사상** 또는 **슈바르츠 *s*-함수**는 쌍의 해의 비율이다. s_k(z) = \frac{\phi_k^{(1)}(z)}{\phi_k^{(0)}(z)} 여기서 k는 점 0, 1, ∞ 중 하나이다. 다음 표기법 D_k(\lambda,\mu,\nu;z)=s_k(z) 도 때때로 사용된다. 연결 계수는 삼각형 사상에 대한 뫼비우스 변환이 된다는 점에 유의하라. 각 삼각형 사상은 각각 z ∈ {0, 1, ∞}에서 정칙이며, \begin{align} s_0(z) &= z^\lambda (1+\mathcal{O}(z)) \\\ s_1(z) &= (1-z)^\mu (1+\mathcal{O}(1-z)) \end{align} 이고 s_\infty(z)=z^\nu (1+\mathcal{O}(\tfrac{1}{z})). λ, μ, ν가 실수이고 0 ≤ λ,μ,ν 1인 경우에만 유한하다. 슈바르츠 목록 또는 코바치치 알고리즘을 참조하라.
# 적분 공식

## 오일러 유형
B가 베타 함수이면 \Beta(b,c-b) {_2F_1}(a,b;c;z) = \int_0^1 x^{b-1} (1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a} \, dx \qquad \real(c) > \real(b) > 0, 단, z는 1보다 크거나 같은 실수가 아니다. 이것은 (1 − zx)−a를 이항 정리를 사용하여 확장하고, 절댓값이 1보다 작은 z에 대해 항별로 적분한 다음, 다른 곳에서는 해석적 연속을 통해 증명할 수 있다. z가 1보다 크거나 같은 실수인 경우, 해석적 연속이 사용되어야 하는데, (1 − zx)가 적분의 지지점의 어느 지점에서 0이 되므로 적분 값이 제대로 정의되지 않을 수 있기 때문이다. 이것은 1748년 오일러에 의해 제시되었으며 오일러의 및 파프의 초기하 변환을 의미한다. 다른 주가지에 해당하는 다른 표현은 동일한 피적분 함수를 취하지만 적분 경로를 다양한 순서로 특이점을 둘러싸는 닫힌 포흐하머 주기로 취하여 주어진다. 이러한 경로는 모노드로미 작용에 해당한다.
## 반스 적분
반스는 유수 이론을 사용하여 반스 적분을 평가했다. \frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)} (-z)^s \, ds 다음과 같이 \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(c)}\,_2F_1(a,b;c;z), 여기서 등고선은 극점 0, 1, 2...를 극점 −a, −a − 1, ..., −b, −b − 1, ... 와 분리하도록 그려진다. 이것은 z가 음이 아닌 실수값이 아닌 한 유효하다.
## 존 변환
가우스 초기하 함수는 존 변환 loc=2.1.2으로 쓸 수 있다.
# 가우스의 인접 관계
여섯 가지 함수 {}_2F_1 (a\pm 1,b;c;z), \quad {}_2F_1 (a,b\pm 1;c;z), \quad {}_2F_1 (a,b;c\pm 1;z) 는 2F1(a, b; c; z)에 인접한다고 불린다. 가우스는 2F1(a, b; c; z)가 a, b, c, 그리고 z의 유리 계수를 갖는 그 인접 함수 중 임의의 두 함수의 선형 조합으로 쓰일 수 있음을 보였다. 이는 다음을 제공한다. \begin{pmatrix} 6 \\\ 2 \end{pmatrix} = 15 오른쪽의 두 줄을 식별함으로써 주어진 15개의 관계는 다음과 같다. \begin{align} z\frac{dF}{dz} &= z\frac{ab}{c}F(a+,b+,c+) \\\ &=a(F(a+)-F) \\\ &=b(F(b+)-F) \\\ &=(c-1)(F(c-)-F) \\\ &=\frac{(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z} \\\ &=\frac{(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z} \\\ &=z\frac{(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)} \end{align} 여기서 F = 2F1(a, b; c; z), F(a+) = 2F1(a + 1, b; c; z), 등등이다. 이러한 관계를 반복적으로 적용하면 다음과 같은 형식의 임의의 세 함수 사이에 **C**(z)에 대한 선형 관계가 주어진다. {_2F_1} (a+m,b+n;c+l;z), 여기서 m, n, l은 정수이다.mr=2764057 url=https://koreascience.kr/article/JAKO199910736809506.page
## 가우스의 연분수
가우스 연분수 가우스는 인접 관계를 이용하여 두 초기하 함수의 몫을 연분수로 쓰는 여러 가지 방법을 제시했다. 예를 들면 다음과 같다. \frac}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}}_2F_1(a,b;c;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)} z}{1 + {}\ddots
# 변환 공식
변환 공식은 인자 z의 다른 값에서 두 초기하 함수를 관련시킨다.
## 분수 선형 변환
오일러의 변환은 다음과 같다. {}_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b} {}_2F_1 (c-a, c-b;c ; z). 이는 두 가지 파프 변환을 결합하여 얻어진다. \begin{align} {}_2F_1 (a,b;c;z) &= (1-z)^{-b} {}_2F_1 \left (b,c-a;c;\tfrac{z}{z-1} \right ) \\\ {}_2F_1 (a,b;c;z) &= (1-z)^{-a} {}_2F_1 \left (a, c-b;c ; \tfrac{z}{z-1} \right ) \\\ \end{align} 이는 다시 오일러의 적분 표현에서 비롯된다. 오일러의 1차 및 2차 변환의 확장については 2007 및 2011을 참조하라. 또한 선형 결합으로 다음과 같이 쓸 수 있다. \begin{align} {}_2F_1(a,b;c;z) = {} & \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{}_2F_1(a,b;a+b+1-c;1-z) \\\\[6pt] & {} + \frac{\Gamma(c)\Gamma(a+b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}(1-z)^{c-a-b} {}_2F_1(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z). \end{align}
## 이차 변환
숫자 1 − c, c − 1, a − b, b − a, a + b − c, c − a − b 중 두 개가 같거나 그 중 하나가 1/2이면, 초기하 함수에는 이차 방정식으로 관련된 z의 다른 값으로 연결되는 **이차 변환**이 있다. 첫 번째 예시는 1836에 의해 제시되었고, 완전한 목록은 1881에 의해 제시되었다. 일반적인 예시는 다음과 같다. {}_2F_1(a,b;2b;z) = (1-z)^{-\frac{a}{2 {}_2F_1 \left (\tfrac{1}{2}a, b-\tfrac{1}{2}a; b+\tfrac{1}{2}; \frac{z^2}{4z-4} \right)
## 고차 변환
1−c, a−b, a+b−c가 부호만 다르거나 그 중 두 개가 1/3 또는 −1/3이면, 초기하 함수에는 3차 방정식으로 관련된 z의 다른 값으로 연결되는 **3차 변환**이 있다. 첫 번째 예시는 1881에 의해 제시되었다. 일반적인 예시는 다음과 같다. {}_2F_1 \left (\tfrac{3}{2}a,\tfrac{1}{2}(3a-1);a+\tfrac{1}{2};-\tfrac{z^2}{3} \right) = (1+z)^{1-3a} \, {}_2F_1 \left (a-\tfrac{1}{3}, a; 2a; 2z(3+z^2)(1+z)^{-3} \right ) 4차 및 6차 변환도 일부 존재한다. 다른 차수의 변환은 a, b, c가 특정 유리수인 경우에만 존재한다. 2005. 예를 들어, {}_2F_1 \left (\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{8};\tfrac{7}{8}; z \right) (z^4-60z^3+134z^2-60z+1)^{1/16} = {}_2F_1 \left (\tfrac{1}{48}, \tfrac{17}{48}; \tfrac{7}{8}; \tfrac{-432 z (z-1)^2 (z+1)^8}{(z^4-60z^3+134z^2-60z+1)^3} \right ).
# 특수점 z에서의 값
특수점에서 합 공식 목록은 loc=Appendix III를 참조하고, 대부분은 1935에도 나타난다. 1982는 더 많은 지점에서의 추가 평가를 제공한다. 1995는 이 항등식들 대부분이 컴퓨터 알고리즘으로 어떻게 검증될 수 있는지 보여준다. === z = 1에서의 특수 값 === 카를 프리드리히 가우스의 이름을 딴 가우스 합산 정리는 항등식이다. {}_2F_1 (a,b;c;1)= \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}, \qquad \Re(c)>\Re(a+b) 이는 오일러의 적분 공식에서 z = 1을 대입하여 얻어진다. 여기에는 반데르몽드 항등식이 특수 사례로 포함된다. a=-m 인 특수한 경우, {}_2F_1 (-m,b;c;1)=\frac{ (c-b)_{m} }{(c)_{m} } 두갈의 공식은 이를 z = 1에서의 쌍방 초기하 급수로 일반화한다. === 쿠머의 정리 (z = −1) === 초기하 함수는 이차 변환을 사용하여 z = −1을 z = 1로 변경한 다음 가우스의 정리를 사용하여 결과를 평가함으로써 z = −1에서 평가할 수 있는 경우가 많다. 전형적인 예는 쿠머의 이름을 딴 쿠머의 정리이다. {}_2F_1 (a,b;1+a-b;-1)= \frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+\tfrac12a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+\tfrac12a-b)} 이는 쿠머의 이차 변환에서 비롯된다. \begin{align} _2F_1(a,b;1+a-b;z)&= (1-z)^{-a} \;_2F_1 \left(\frac a 2, \frac{1+a}2-b; 1+a-b; -\frac{4z}{(1-z)^2}\right)\\\ &=(1+z)^{-a} \, _2F_1\left(\frac a 2, \frac{a+1}2; 1+a-b; \frac{4z}{(1+z)^2}\right) \end{align} 그리고 첫 번째 항등식에 z = −1을 대입하여 가우스의 정리를 적용한 결과이다. 쿠머의 합산의 일반화については 1996을 참조하라. === z = 1/2에서의 값 === 가우스의 두 번째 합산 정리는 다음과 같다. _2F_1 \left(a,b;\tfrac12\left(1+a+b\right);\tfrac12\right) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\Gamma(\tfrac12\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac12\left(1+b\right))}. 베일리의 정리는 다음과 같다. _2F_1 \left(a,1-a;c;\tfrac12\right)= \frac{\Gamma(\tfrac12c)\Gamma(\tfrac12\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac12\left(1+c-a\right))}. 가우스의 두 번째 합산 정리 및 베일리의 합산 정리의 일반화については 1996을 참조하라.
## 기타 지점
초기하 함수를 매개변수의 특정 유리수 값에서 대수적 숫자로 제공하는 다른 많은 공식이 있으며, 그 중 일부는 1982 및 1995에 나열되어 있다. 몇 가지 전형적인 예는 다음과 같다. {}_2F_1 \left(a,-a;\tfrac{1}{2};\tfrac{x^2}{4(x-1)} \right ) = \frac{(1-x)^a+(1-x)^{-a{2}, 다음과 같이 다시 표현될 수 있다. T_a(\cos x)={}_2F_1\left(a,-a;\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2}(1-\cos x)\right)=\cos(a x) −π < x < π이고 T가 (일반화된) 체비쇼프 다항식인 경우.