초켈러 다양체

미분기하학에서 **초켈러 다양체**(超Kähler多樣體, hyper-Kähler manifold)는 그 접공간이 사원수의 좌표를 가진 공간의 구조를 가지는 리만 다양체이다.언어=en언어=en
# 정의
매끄러운 다양체 M이 주어졌을 때, 접다발의 대수 :\operatorname{End}(\mathrm TM) = \Omega^1(M;\mathrm TM) 를 생각하자. 실수체 위의 결합 대수의 준동형 :\mathcal J\colon\mathbb H \to \operatorname{End}(\mathrm TM) 이 주어졌다고 하자. 만약 절댓값 1의 순허수 사원수 q\in \mathbb H, \bar q=-q=q^{-1}에 대하여 \mathcal J(q)가 항상 복소구조라면, (M,\mathcal J)를 **초복소다양체**(hypercomplex manifold)라고 한다. 즉, 세 복소구조 :\mathcal J(\mathrm i) = I :\mathcal J(\mathrm j) = J :\mathcal J(\mathrm k) = K 가 주어졌을 때, :I^2 = J^2 = K^2 = -1 :IJ = -JI = K :JK = -KJ = I :KI = -IK = J 이 성립한다. 즉, 초복소다양체 위에는 복소구조의 모듈라이 공간 \mathbb S^2 = \\{q\in\mathbb H\colon \bar q=-q=q^{-1}\\}이 존재한다. 리만 다양체 (M,g) 위의 초복소구조 \mathcal J 가운데, 만약 q\in \operatorname{Im}\mathbb H, \|q\|=1, \bar q=-q에 대하여 \mathcal J(q)가 항상 켈러 구조라면, \mathcal J를 **초켈러 구조**라고 하며, 초켈러 구조를 갖춘 리만 다양체를 **초켈러 다양체**라고 한다. 즉, 초켈러 다양체 위에는 켈러 구조의 모듈라이 공간 \mathbb S^2 = \\{q\in\mathbb H\colon \bar q=-q=q^{-1}\\}이 존재한다. 즉, 지표로 쓰면, 리만 다양체 (M,g_{\mu\nu}) 위의 **초켈러 구조**는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.§2.1 * 세 개의 (1,1)차 텐서장 J^{\mu i}_\nu (i=1,2,3은 \mathfrak{su}(2) 좌표) 이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시킨다. * J^{\mu i}_\nu J^{\nu j}_\rho=-\delta^{ij}\delta^\mu_\rho-\epsilon^{ij}{}_kJ^{\mu k}_\rho (사원수 대수 및 개복소구조) * g_{\mu\nu}J^{\mu i}_{\mu'}=-g_{\mu'\nu'}J^{\nu'i}_\nu (에르미트성) * \nabla_\mu J^{\nu i}_\rho=0 (복소구조의 적분가능성) 이들 데이터로부터 세 개의 심플렉틱 구조 :\omega_{\mu\nu}^i=J^{\mu'i}_\mu g_{\mu'\nu} 를 정의할 수 있다.
# 성질
초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다.
## 위상수학적 성질
다양체가 초켈러 다양체의 구조를 가지려면, 위상수학적으로 특수한 성질들을 만족시켜야 한다.언어=en 4n차원 콤팩트 초켈러 다양체의 베티 수 b_k 및 오일러 지표 \chi(M)에 대하여, 다음이 성립한다.언어=en :\sum_{k=0}^{4n}(-1)^k(6k^2-2n(12n+1))b_i=0 :b_{2k}\ge\binom{k+2}2\qquad(k\le n) :4\mid b_{2k+1}\forall k :12\mid n\chi(M) 8차원 콤팩트 초켈러 다양체의 가능한 베티 수에 대해서는 많은 정보가 알려져 있다.언어=en
## 호지 이론적 성질
4n차원 콤팩트 초켈러 다양체의 호지 수 h^{p,q}에 대하여, 다음이 성립한다. :h^{p,q}=h^{q,p}=h^{2n-p,2n-q}=h^{2n-q,2n-p}=h^{2n-p,q}=h^{2n-q,p}\qquad\forall 0\le p,q\le 2n :h^{p,q}\ge h^{p+1,q-1}\forall p\ge q
## 리만 기하학적 성질
4n차원 초켈러 다양체의 홀로노미는 \operatorname{USp}(4n)의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체(quaternion-Kähler manifold)이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가 \operatorname{SU}(n)의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가 \operatorname{USp}(4n)\times\operatorname{USp}(4)인 경우다. \operatorname{USp}(4n)\subset\operatorname{SU}(4n)이다.)
## 복소기하학적 성질
초켈러 다양체 (M,\omega_1,\omega_2,\omega_3)의 임의의 한 심플렉틱 형식 \omega_1을 골라, 켈러 다양체로 여긴다고 하자. 그렇다면, 2차 복소수 미분 형식 :\omega_{\mathbb C} = \omega_2 + \mathrm i\omega_3 \in \Omega^{2,0}(M) 은 정칙 미분 형식이며, 켈러 다양체 (M,\omega_1) 위의 심플렉틱 형식을 이룬다. 이를 **정칙 심플렉틱 형식**(holomorphic symplectic form)이라고 한다. 즉, 이 경우 두 심플렉틱 형식 :\omega_1 = \omega_{\mathbb R} \in \Omega^{1,1}(M) :\omega_{\mathbb C} \in \Omega^{2,0}(M) 이 존재한다. 반대로, **칼라비-야우 정리**(Calabi–Yau theorem)에 따라, 정칙 심플렉틱 형식을 갖춘 콤팩트 켈러 다양체는 항상 초켈러 다양체를 이룬다. (콤팩트 조건을 생략할 수 없다.)
# 응용
초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 \mathcal N=2)를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다.언어=enissn=0010-3616 마찬가지로, 초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 \mathcal N=(4,4) 초등각 장론을 이룬다.
# 역사
에우제니오 칼라비가 1979년에 도입하였다.언어=fr 이 논문에서 칼라비는 다음과 같이 적었다. nous allons trouver […] des métriques kàhlériennes […] dont le groupe d’holonomie est le groupe compact \operatorname{Sp}(n) (n=1,2,\dotsc) […]; ce sont apparemment les premiers exemples connus de telles structures, qui ont été appelées « structures tangentielles quaternioniennes », mais pour lesquelles nous préférons l’appellation de « structures hyperkählériennes » […]