킬링 형식

리 군 이론에서, **킬링 형식**(Killing形式, Killing form)은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 대칭 쌍선형 형식이다.언어=en언어=en 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.
# 정의

## 추상적 정의
가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하고, 또한 \mathfrak g가 유한 차원 K-자유 가군이라고 하자. 이제, \mathfrak g의 딸림표현 :\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{GL}(\mathfrak g;k) :\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y] 를 생각하자. 그렇다면, \mathfrak g의 **킬링 형식** :B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K 는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다. :B(a,b)=\operatorname{tr}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right) 여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.
### 리 초대수의 경우
보다 일반적으로, 체 K 위의 리 초대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하고, 또한 \mathfrak g가 유한 차원 K-초벡터 공간이라고 하자. 이제, \mathfrak g의 딸림표현 :\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{End}(\mathfrak g;K) :\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y\\} 를 생각하자. 그렇다면, \mathfrak g의 **킬링 형식** :B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K 는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.§23 :B(a,b)=\operatorname{str}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right) 여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.
## 성분을 통한 정의
체 위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak g의 기저 (x_i)_{i\in I}를 잡고, 이에 대한 구조 상수가 :[x_i,x_j] = f_{ij}{}^kx_k 라고 하자. 그렇다면, \mathfrak g의 **킬링 형식**은 다음과 같다. :B(x_i,x_j) = B_{ij} = \sum_k\sum_l f_{ik}{}^lf_{jl}{}^k
# 성질
킬링 형식은 대각합의 순환성(\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX))에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이룬다. 킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다. :B([x,y],z)=B(x,[y,z])
## 리 초대수의 킬링 형식
체 K 위의 유한 차원 리 초대수 \mathfrak g의 킬링 형식 B는 다음과 같은 성질을 갖는다.언어=en§23 :B(\mathfrak g_0,\mathfrak g_1) = 0 :B(x,y) = (-)^{\deg x\deg y}B(y,x)\qquad \forall x,y\in \mathfrak g_0 \cup\mathfrak g_1 :B([x,y\\},z) = B(x,[y,z\\}) \qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g 단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.§23 * \mathfrak{sl}(n|n) * \mathfrak{osp}(4|2;\alpha) * \mathfrak{osp}(2n+2|2n) * \mathfrak p(n) * \mathfrak q(n) 나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.
## 직합
체 K 위의 두 유한 차원 리 (초)대수 \mathfrak g, \mathfrak g'에 대하여, 그 직합 \mathfrak g\oplus\mathfrak g'의 킬링 형식은 다음과 같다. :B_{\mathfrak g\oplus\mathfrak g'}(x\oplus x',y\oplus y') = B_{\mathfrak g}(x,y) + B_{\mathfrak h}(x',y')\qquad(x,y\in\mathfrak g,\;x',y'\in\mathfrak g')
## 실수체 위의 리 대수
만약 \mathfrak g가 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다. 리 대수가 반단순 리 대수인 필요 충분 조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 쌍선형 형식인 것이다. 이를 **카르탕 조건**(Cartan條件, Cartan criterion)이라고 한다. 실수체 위의 콤팩트 리 대수의 킬링 형식은 항상 음의 정부호 쌍선형 형식이다.
# 예

## 아벨 리 대수
임의의 체 K 위의 유한 차원 아벨 리 대수 \mathfrak g의 킬링 형식은 항상 0이다.
## 행렬 리 대수
임의의 체 K 및 자연수 n에 대하여, 일반 선형 리 대수 \operatorname{\mathfrak{gl(n;K)의 킬링 형식은 다음과 같다. :B_{\mathfrak{gl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY) - 2\operatorname{tr}(X)\operatorname{tr}(Y) 또한, 특수 선형 리 대수 \operatorname{\mathfrak{sl(n;K)의 킬링 형식은 다음과 같다. :B_{\mathfrak{sl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY)

**증명:**

편의상, \mathfrak{gl}(n;K)의 기저 (e_{ij})_{1\le i,j\le n}가 (i,j)번째 성분만이 1이며, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이라고 하자. 그렇다면, :[M,e_{ij}]_{ab} = \delta_{jb} M_{ai} - \delta_{ia}M_{jb} 이다. 이제, 야코비 항등식에 의하여, :[M,[N,e_{ij}]] + [e_{ij},[M,N]] + [N,[e_{ij},M]] = 0 이다. 따라서, :c_{ij} = ([M,[N,e_{ij}])_{ij} :B(M,N) = \sum_{ij} c_{ij} 라고 놓으면, :c_{ij} = \left(\sum_{a=1}^nM_{ia}N_{ai}\right) \- M_{ii}N_{jj} \- N_{ii}M_{jj} \+ \left(\sum_{a=1}^nN_{ja}M_{aj}\right) 가 된다. 따라서, :B(M,N) = \sum_{i,j=1}^n \left( \left(\sum_{a=1}^nM_{ia}N_{ai}\right) \- M_{ii}N_{jj} \- N_{ii}M_{jj} \+ \left(\sum_{a=1}^nN_{ja}M_{aj}\right)\right) = 2n \operatorname{tr}(MN) - 2\operatorname{tr}M\operatorname{tr}N 이다. 특수 선형 리 대수의 경우, 표준적인 분해 :\mathfrak{sl}(n;K) \oplus K \cong \mathfrak{gl}(n;K) 아래, 아벨 리 대수 K의 킬링 형식이 0이므로, 이는 일반 선형 리 대수의 경우의 표현을 그대로 사용할 수 있다. (물론, 이 경우 둘째 항이 0이 된다.)

행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 리 대수 || 설명 || 킬링 형식 |- | **gl**(*n*, ℂ) || *n*×*n* 복소수 행렬 || 2*n* tr(*XY*) − 2 tr(*X*)tr(*Y*) |- | **sl**(*n*, ℝ) ||*n*×*n* 무대각합 복소수 행렬 || 2*n* tr(*XY*) |- | **su**(*n*) || *n*×*n* 반에르미트 행렬 || 2*n* tr(*XY*) |- | **so**(*n*, ℝ) || *n*×*n* 반대칭 실수 행렬 || (*n*−2) tr(*XY*) |- | **so**(*n*, ℂ) || *n*×*n* 반대칭 복소수 행렬 || (*n*−2) tr(*XY*) |- | **sp**(2*n*, ℝ) || 2*n*×2*n* 실수 해밀턴 행렬 || (2*n*+2) tr(*XY*) |- | **sp**(2*n*, ℂ) || 2*n*×2*n* 복소수 해밀턴 행렬 || (2*n*+2) tr(*XY*) |}
## 리 대수의 계량과 이중 콕서터 수
단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 \sqrt2가 되게 규격화한다.언어=en27날짜=1997§13.1.10 이 경우 짧은 근의 길이는 B*n*, C*n*, F4인 경우 1 또는 G2의 경우 \sqrt{2/3}이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 리 대수 || 행렬 표현 || 규격화 계량 형식 |- | **su**(*n*) || *n*×*n* 반에르미트 행렬 || − tr(*XY*) |- | **so**(*n*, ℝ) || *n*×*n* 반대칭 행렬 || − ½tr(*XY*) |- | rowspan=2 | **usp**(2*n*) | 2*n*×2*n* 반에르미트 해밀턴 행렬 || − tr(*XY*) |- | *n*×*n* 사원수 반에르미트 행렬 || − tr(*XY* + *YX*) |- | **e**6 || 27×27 반에르미트 행렬 || − (9/4) tr(*XY*) |- | **e**7 || 56×56 반대칭 행렬 || − (3/2) tr(*XY*) |- | **e**8 || 248×248 반대칭 행렬 || − (41/10) tr(*XY*) |- | **f**4 || 26×26 반대칭 행렬 || − (4/3) tr(*XY*) |- | **g**2 || 7×7 반대칭 행렬 || − (5/8) tr(*XY*) |} 이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 초구로부터의 임의의 연속 함수 f\colon\mathbb S^3\to G에 대하여 항상 : \frac1{48\pi}\int_G\langle g^{-1}dg,[g^{-1}dg,g^{-1}dg]\rangle\in\mathbb Z 이다.url-status=dead 이렇게 규격화한 계량 형식을 \langle\cdot,\cdot\rangle로 놓으면, :K=-2h^\vee\langle\cdot,\cdot\rangle 이다.doi=10.1017/CBO9780511626234§6.1§13.1.2 여기서 h^\vee는 단순 리 대수의 **이중 콕서터 수**(dual Coxeter number)이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다. {| class="wikitable" |- ! scope = "row" | 리 대수 | **a***n* || **b***n* || **c***n* || **d***n* || **e**6 || **e**7 || **e**8 || **f**4 || **g**2 |- ! scope = "row" | 다른 이름 | SU(*n*+1) || SO(2*n*+1) || USp(2*n*) || SO(2*n*) | colspan=5 | — |- ! scope = "row" | 이중 콕서터 수 | *n*+1 || 2*n*−1 || *n*+1 || 2*n*−2 || 12 || 18 || 30 || 9 || 4 |}
# 역사
엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다.year=1894 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.