볼차노-바이어슈트라스 정리

해석학과 일반위상수학에서, **볼차노-바이어슈트라스 정리**(Bolzano-Weierstraß定理, Bolzano–Weierstrass theorem)는 유계 실수 수열의 수렴 부분 수열이 항상 존재한다는 정리이다. 볼차노-바이어슈트라스 정리는 수열의 균등 연속성을 증명하거나 반례를 들 때 도구로 사용한다.
# 정의
**볼차노-바이어슈트라스 정리**에 따르면, 임의의 균등 공간 (X,\mathcal U)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 점렬 콤팩트 공간이다. 즉, 모든 점렬은 수렴하는 부분 점렬이 존재한다. * 다음 두 조건을 만족시킨다. ** 점렬 완비 균등 공간(sequentailly complete uniform space)이다. 즉, 모든 코시 점렬은 수렴한다. ** 점렬 완전 유계 공간(sequentially totally bounded space, sequentially precompact space)이다. 즉, 모든 점렬은 코시 부분 점렬이 존재한다. 증명 (X,\mathcal U)가 점렬 콤팩트 공간이라고 하자. 그렇다면, 모든 코시 점렬은 수렴 부분 점렬을 가지므로, 수렴한다. 또한, 모든 점렬은 수렴 부분 점렬을 가지며, 이는 물론 코시 부분 점렬이다. (X,\mathcal U)가 점렬 완비 균등 공간이자 점렬 완전 유계 공간이라고 하자. 그렇다면, 모든 점렬은 코시 부분 점렬을 가지며, 이 코시 부분 점렬은 수렴한다. 즉, 모든 점렬은 수렴 부분 점렬을 가진다. 증명 끝
## 유클리드 공간
유클리드 공간 \mathbb R^n의 부분 집합 X\subseteq\mathbb R^n 위에는 표준적인 균등 공간 구조가 존재한다. 이 경우, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 점렬 완비 균등 공간이다. * 완비 균등 공간이다. * 닫힌집합이다. 또한, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 점렬 완전 유계 공간이다. * 완전 유계 공간이다. * 유계 집합이다. 따라서, 유클리드 공간 \mathbb R^n의 부분 집합 X\subseteq\mathbb R^n에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 점렬 콤팩트 공간이다. * 유계 집합이며, 닫힌집합이다. 특히, 유클리드 공간 속 유계 점렬은 항상 수렴하는 부분 점렬을 갖는다. 제목=직접적인 증명 실수에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리로부터 유도할 수 있다. **유계 닫힌집합 ⇒ 점렬 콤팩트 공간:** \mathbb R^n 속 임의의 유계 점렬 :((x_{k,1},x_{k,2},\ldots,x_{k,n}))_{k\in\mathbb N}\subseteq\mathbb R^n 의 수렴 부분 점렬을 찾으면 충분하다. (x_{k,1})_{k\in\mathbb N}은 유계 실수 수열이므로, 어떤 실수 x_1\in\mathbb R로 수렴하는 부분 수열 (x_{k_1(j),1})_{j\in\mathbb N}이 존재한다 (k_1\colon\mathbb N\to\mathbb N은 순증가 함수). 마찬가지로, (x_{k_1(j),2})_{j\in\mathbb N}은 유계 실수 수열이므로, 어떤 실수 x_2\in\mathbb R로 수렴하는 부분 수열 (x_{k_2(j),2})_{j\in\mathbb N}이 존재한다 (k_1\colon\mathbb N\to k_1(\mathbb N)은 순증가 함수). 이 경우, ((x_{k_2(j),1},x_{k_2(j),2}))_{j\in\mathbb N}은 (x_1,x_2)로 수렴한다. 이를 반복하면, 결국 다음 조건을 만족시키는 일련의 순증가 함수 :k_1\colon\mathbb N\to\mathbb N :k_2\colon\mathbb N\to k_1(\mathbb N) :\vdots :k_n\colon\mathbb N\to k_{n-1}(\mathbb N) 와 일련의 실수 x_1,\dots,x_n\in\mathbb R를 얻는다. * 각 i=1,\dots,n에 대하여, ((x_{k_i(j),1},\dots,x_{k_i(j),i}))_{j\in\mathbb N}는 (x_1,\dots,x_i)로 수렴한다. 특히, (x_{k_n(j),1},\dots,x_{k_n(j),n})_{j\in\mathbb N}은 ((x_{k,1},x_{k,2},\ldots,x_{k,n}))_{k\in\mathbb N}의 부분 점렬이며, (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n으로 수렴한다. **점렬 콤팩트 공간 ⇒ 유계 집합:** 만약 S\subseteq\mathbb R가 유계 집합이 아니라면, :x_0\in S :x_{n+1}\in S\setminus B(x_0,n)\setminus B(x_0,d(x_n,x_0)) 인 S 속의 점렬 (x_n)_{n\in\mathbb N}이 존재하며, 이는 수렴 부분 점렬을 갖지 않으므로, S는 점렬 콤팩트 공간이 아니다. **점렬 콤팩트 공간 ⇒ 닫힌집합:** 만약 S가 점렬 콤팩트 공간이며, S 속의 점렬 (x_n)_{n\in\mathbb N}이 어떤 x\in\mathbb R^n으로 수렴한다면, (x_n)_{n\in\mathbb N}은 어떤 x'\in S로 수렴하는 부분 점렬을 가지며, 자명하게 x=x'\in S이다. 즉, S는 닫힌집합이다. 증명 끝
## 실수
1차원 유클리드 공간은 실수선 \mathbb R이다. 실수선 \mathbb R의 부분 집합 X\subseteq\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 점렬 콤팩트 공간이다. * 유계 집합이며, 닫힌집합이다. 특히, 모든 유계 실수 수열은 항상 수렴하는 부분 수열을 갖는다.Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006102 제목=직접적인 증명 **단조 부분 수열 정리**에 따르면, 실수 수열은 항상 단조 부분 수열을 갖는다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 실수 수열 (x_n)_{n\in\mathbb N}이 주어졌을 때, :P=\\{n\in\mathbb N\colon\forall m>n\colon x_n>x_m\\} 라고 하자. 즉, 다음에 오는 모든 항보다 큰의 항의 지표의 집합이다. 만약 P가 무한 집합이며, :n_0 가 P의 원소라면, (x_{n_k})_{k\in\mathbb N}은 단조 부분 수열이다. 만약 P가 유한 집합이라면, :n_0>\max P 인 자연수 n_0\in\mathbb N을 고르자 (P=\varnothing라면 \max P=-1으로 놓는다). 임의의 n\ge n_0에 대하여 n\not\in P이므로, :x_{n_0}\le x_{n_1}\le x_{n_2}\le\cdots 인 :n_0 가 존재하며, (x_{n_k})_{k\in\mathbb N}은 단조 부분 수열이다. 실수에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리는 단조 부분 수열 정리와 단조 수렴 정리를 사용하여 증명할 수 있다. 임의의 유계 실수 수열 (x_n)_{n\in\mathbb N}이 주어졌을 때, 이는 단조 부분 수열 (x_{n_k})_{k\in\mathbb N}을 가지며, 이는 유계 수열이다. 단조 수렴 정리에 따라, 이는 수렴한다. 증명 끝
# 역사
보헤미아의 수학자 베르나르트 볼차노가 처음 증명하였다. 이후 독일의 수학자 카를 바이어슈트라스가 독립적으로 재증명하였다.