티호노프 공간

분리공리 일반위상수학에서 **티호노프 공간**(Тихонов空間, Tychonoff space) 또는 **T3½ 공간**(*T*3½ space)은 점과 닫힌집합을 연속 함수로 분리할 수 있는 하우스도르프 공간이며, 이는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 공간인 조건과 동치이다.
# 정의
위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **완비 정칙 공간**(完備正則空間, completely regular space)이라고 한다. * (점과 닫힌집합의 실함수를 통한 분리) 임의의 닫힌집합 C\subseteq X 및 x\in X\setminus C에 대하여, f(x)=0이며 f(C)=\\{1\\}인 연속 함수 f\colon X\to[0,1]이 존재한다.231 * X의 위상은 어떤 연속 함수들의 집합 \mathcal F\subseteq\mathcal C(X,\mathbb R)에 대한 시작 위상이다.zbl=0327.4604040, Theorem 3.6–3.748, Exercise 1.5.E, (a) * X의 위상은 연속 함수의 집합 \mathcal C(X,\mathbb R)에 대한 시작 위상이다.40, Theorem 3.6 * X의 위상은 유계 연속 함수의 집합 \mathcal C_{\text{bd(X;\mathbb R)에 대한 시작 위상이다.40, Theorem 3.6 * (균등화 가능성 uniformizability) X 위에 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다. 위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **티호노프 공간**이라고 한다. * X는 콜모고로프 공간이며 완비 정칙 공간이다. * X는 T1 공간이며 완비 정칙 공간이다.언어=ko231 * X는 하우스도르프 공간이며 완비 정칙 공간이다. * X는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.231 * X는 콤팩트 하우스도르프 공간의 조밀 집합과 위상 동형이다.231 * X는 [0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}의 부분 집합과 위상동형이다.231 여기서 \mathcal C(X,Y)는 X에서 Y로 가는 연속 함수들의 집합이며, [0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}는 표준 위상을 부여한 단위 구간 [0,1]의 |\mathcal C(X,[0,1])|개 만큼의 곱공간이다. 이는 티호노프 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. * X에서 그 스톤-체흐 콤팩트화 \beta X로 가는 연속 함수 \iota\colon X\to\beta X에 대하여, X는 그 상과 위상 동형이다. * X 위에, 그 위상과 호환되는 하우스도르프 균등 공간 구조가 존재한다.
# 성질
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.231–232 :정규 하우스도르프 공간(T4) ⊊ 티호노프 공간(T3½) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T3) ∩ 완비 하우스도르프 공간) 완비 정칙 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 곱공간은 완비 정칙 공간이다.zbl=0625.54001141mr=0464128211 하우스도르프 공간의 부분 공간과 곱공간은 하우스도르프 공간이므로, 티호노프 공간의 부분 공간과 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다. 증명 완비 정칙 공간 X와 그 부분 공간 Y\subseteq X가 주어졌다고 하자. 닫힌집합 C\subseteq Y 및 y\in Y\setminus F가 주어졌다고 하자. 그렇다면 C=F\cap Y인 닫힌집합 F\subseteq X가 존재하며, 이에 대하여 f(y)=0, f(F)=\\{1\\}인 연속 함수 f\colon X\to[0,1]이 존재한다. g=f\restriction Y라고 하자. 그렇다면 g는 연속 함수이며, g(y)=0 및 g(C)=\\{1\\}을 만족시킨다. 완비 정칙 공간들의 집합 \\{X_i\\}_{i\in I}가 주어졌다고 하자. 곱공간 X=\textstyle\prod_{i\in I}X_i의 닫힌집합 C 및 x\in X\setminus C가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 x의 열린 근방 \textstyle\prod_{i\in I}U_i를 취하자. :x\in\prod_{i\in I}U_i\subseteq X\setminus C :U_i\in\operatorname{Open}(X_i) :U_i=X_i\qquad\forall i\in I\setminus\\{i(1),\dotsc,i(n)\\} 그렇다면 각 j\in\\{1,\dotsc,n\\}에 대하여, f_j(x_{i(j)})=0, f_j(X_{i(j)}\setminus U_{i(j)})=\\{1\\}인 연속 함수 f_j\colon X_{i(j)}\to[0,1]이 존재한다. :g\colon X\to[0,1] :g\colon y\mapsto 1-(1-f_1(y_{i(1)}))\cdots(1-f_n(y_{i(n)})) 라고 하자. 그렇다면 g는 연속 함수이며, g(x)=0 및 g(C)=\\{1\\}을 만족시킨다. 증명 끝
# 예

## 티호노프 공간이 아닌 정칙 완비 하우스도르프 공간
티호노프 공간이 아닌 정칙 (완비) 하우스도르프 공간의 구성은 복잡한 편이다. 한 가지 간단한 구성은 다음과 같다. 집합 :X=\\{(0,-1)\\}\cup\mathbb R\times[0,\infty) 위에 각 점이 다음과 같은 국소 기저를 갖는 위상을 주자. * 모든 (x,y)\in\mathbb R\times(0,\infty)은 고립점이다 (즉, \\{(x,y)\\}는 (x,y)의 열린 근방이다). * (x,0)\in\mathbb R\times\\{0\\} 및 유한 집합 F에 대하여, (\\{x\\}\times[0,2]\cup\\{(x+y,y)\colon y\in[0,2]\\})\setminus F는 (x,0)의 열린 근방이다. * n\in\mathbb N에 대하여, \\{(0,-1)\\}\cup[n,\infty)\times\mathbb R는 (0,-1)의 열린 근방이다. 그렇다면, X는 하우스도르프 공간이며, 완비 하우스도르프 공간이며, 정칙 공간이지만, 티호노프 공간이 아니다.zbl=0451.54019zbl=0684.5400140, Example 1.5.9 증명 X가 하우스도르프 공간임은 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 완비 하우스도르프 조건을 확인하기 위해, 서로 다른 두 점 (x,y),(x',y')\in X가 주어졌다고 하자. 편의상 (x,y)\ne(0,-1)이라고 하자. 하우스도르프 조건에 따라, U와 V가 (x,y)와 (x',y')의 서로소 국소 기저 원소라고 하자. 그렇다면, U는 열린닫힌집합이다. 따라서, 지시 함수 1_U\colon X\to[0,1]은 연속 함수이며, (x,y)와 (x',y')을 분리한다. 이제, X의 정칙성을 확인하자. (x,y)\in\mathbb R\times[0,\infty)의 국소 기저 원소들은 열린닫힌집합이므로, 임의의 (x,y)\in\mathbb R\times[0,\infty)는 이를 포함하지 않는 닫힌집합과 서로소 근방을 통해 분리된다. 따라서, (0,-1)과 (0,-1)\not\in F인 임의의 닫힌집합 F를 서로소 근방으로 분리하는 것으로 충분하다. :(\\{(0,-1)\\}\cup[n,\infty))\cap F=\varnothing 인 n\in\mathbb N을 취하자. 그렇다면 :U=\\{(0,-1)\\}\cup[n+2,\infty)\times\mathbb R :V=X\setminus(\\{(0,-1)\\}\cup[n+2,\infty)\times\mathbb R\cup[n,n+2]\times\\{0\\}) 는 각각 (0,-1)와 F의 열린 근방이며, U\cap V=\varnothing이다. 이제, X가 티호노프 공간이 아님을 보이자. [0,1]\times\\{0\\}은 닫힌집합이며, (0,-1)\not\in[0,1]\times\\{0\\}이다. f([0,1]\times\\{0\\})=\\{0\\}인 연속 함수 f\colon X\to\mathbb R가 항상 f((0,-1))=0을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 각 n\in\mathbb N에 대하여 K_n=f^{-1}(0)\cap([n,n+1]\times\\{0\\})이 무한 집합임을 보이는 것으로 충분하다. 수학적 귀납법을 사용하여, 가산 무한 집합 C\subseteq K_n이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 (c,0)\in C에 대하여, :\\{(c+y,y)\colon y\in[0,2]\\}\setminus f^{-1}(0)=\bigcup_{i=1}^\infty\\{(c+y,y)\colon y\in[0,2]\\}\setminus f^{-1}((-1/i,1/i)) 는 가산 개의 유한 집합의 합집합이므로 가산 집합이다. C가 가산 집합이므로, :P=\left\\{(x,0)\colon (x,y)\in\bigcup_{c\in C}\\{(c+y,y)\colon y\in[0,2]\\}\setminus f^{-1}(0)\right\\} 은 가산 집합이며, ([n+1,n+2]\times\\{0\\})\setminus P는 무한 집합이다. 임의의 (x,0)\in([n+1,n+2]\times\\{0\\})\setminus P 및 (c,0)\in C에 대하여, \\{x\\}\times[0,2]와 \\{(c+y,y)\colon y\in[0,2]\\}의 교점은 f^{-1}(0)에 속한다. C가 무한 집합이므로, (x,0)의 모든 근방은 f^{-1}(0)의 점을 포함한다. f의 (x,0)에서의 연속성에 따라 f((x,0))=0이다. 즉, ([n+1,n+2]\times\\{0\\})\setminus P\subseteq K_{n+1}이며, K_{n+1}은 무한 집합이다. 증명 끝
## 정규 공간이 아닌 티호노프 공간
**니미츠키 평면**(Niemytzki plane)은 닫힌 상반평면 \mathbb R\times[0,\infty) 위에, 그 통상적인 열린집합들과 다음과 같은 꼴의 집합들을 기저로 하는 위상을 부여한 위상 공간이다. :\\{x\\}\cup\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon)\qquad(x\in\mathbb R\times\\{0\\},\;\epsilon>0) 즉, 추가된 열린집합들은 상반평면의 경계선에 접하는 (통상적인 거리 함수에 대한) 열린 원판과 그 접점의 합집합들이다. 니미츠키 평면은 티호노프 공간이며, 모든 닫힌집합이 Gδ 집합이지만, 정규 공간이 아니다.zbl=0386.54001101, 82.2–82.341, Example 1.5.10; 48, Exercise 1.5.H, (a) 증명 니미츠키 평면이 하우스도르프 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 완비 정칙 조건을 확인하자. 위상 공간의 부분 기저 \mathcal S가 주어졌을 때, 완비 정칙 조건은 임의의 S\in\mathcal S와 s\in S에 대하여, s와 S의 여집합이 실함수를 통해 분리되는 것과 동치이다. \mathbb R\times[0,\infty)는 통상적인 위상을 주었을 때 티호노프 공간이며, 니미츠키 평면의 위상은 통상적인 위상보다 섬세하므로, 모든 통상적인 열린집합의 점과 그 여집합은 실함수를 통해 분리된다. 임의의 x\in\mathbb R\times\\{0\\} 및 \epsilon>0에 대하여, y\in\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon)과 \mathbb R\times[0,\infty)\setminus\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon)이 실함수를 통해 분리되므로, y와 \mathbb R\times[0,\infty)\setminus(\\{x\\}\cup\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon)) 역시 같은 실함수를 통해 분리된다. 따라서, 임의의 x\in\mathbb R\times\\{0\\} 및 \epsilon>0에 대하여, :f(x)=0 :f(\mathbb R\times[0,\infty)\setminus(\\{x\\}\cup\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon)))=\\{1\\} 인 연속 함수 :f\colon\mathbb R\times[0,\infty)\to[0,1] 를 찾으면 충분하다. 편의상 x=0이라고 하자. 그렇다면, :f\colon y\mapsto 1/\inf\\{t\in[1,\infty)\colon ty\not\in\\{0\\}\cup\operatorname{ball}((0,\epsilon),\epsilon)\\} 는 원하는 조건을 만족시킨다. 이제, 니미츠키 평면의 열린집합 U\subseteq\mathbb R\times[0,\infty)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, U\cap(\mathbb R\times(0,\infty))는 \mathbb R\times(0,\infty)의 열린집합이며, 따라서 가산 개의 (통상적 거리 함수에 대한) 열린 공들의 합집합이다. 각 열린 공은 가산 개의 닫힌 공들의 합집합이며, 닫힌 공은 니미츠키 평면의 닫힌집합이므로, U\cap(\mathbb R\times(0,\infty))는 Fσ 집합이다. \mathbb R\times\\{0\\}의 모든 부분 집합은 니미츠키 평면의 닫힌집합이며, 특히 U\cap(\mathbb R\times\\{0\\})은 닫힌집합이다. 따라서 U는 Fσ 집합이다. 이제, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아니라고 가정하자. 임의의 A\subseteq\mathbb R\times\\{0\\}가 주어졌다고 하자. A와 (\mathbb R\times\\{0\\})\setminus A는 모두 닫힌집합이므로, 서로소 열린 근방 U_A와 V_A를 갖는다. 함수 :\mathcal P(\mathbb R\times\\{0\\})\to\mathcal P(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q)) :A\mapsto U_A\cap(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q)) 를 생각하자. A,B\subseteq\mathbb R\times\\{0\\}이며 A\setminus B\ne\varnothing이라고 하자. 그렇다면, A\setminus B\subseteq U_A\cap V_B이며, \mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q)가 조밀 집합이므로, :\varnothing\ne U_A\cap V_B\cap(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q))\subseteq(U_A\cap(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q)))\setminus(U_B\cap(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q))) 이다. 이에 따라, 위 함수는 단사 함수이며, :2^{2^{\aleph_0=|\mathcal P(\mathbb R\times\\{0\\})|\le|\mathcal P(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q))|=2^{\aleph_0} 이다. 이는 모순이다. 증명 끝
# 역사
안드레이 티호노프의 이름이 붙어 있다.