야코비 타원함수

sn(*u*)의 그래프. 붉은 선은 m=0.05^2, 녹색 선은 m=1.05^2이다. cn(*u*)의 그래프. 붉은 선은 m=0.05^2, 녹색 선은 m=1.05^2이다. dn(*u*)의 그래프. 붉은 선은 m=0.25^2, 녹색 선은 m=1.05^2이다. 수학에서 **야코비 타원함수**(Jacobi楕圓函數, Jacobi elliptic function)는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.
# 정의
**야코비 타원함수** sn, cn, dn은 두 개의 변수 (u,m)에 대한 함수이다. 여기서 0\le m\le 1이다. 다음과 같은 타원 적분을 생각하자. :u=\int_0^\phi\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta 그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다. :\operatorname{sn}(u;m)=\sin\phi :\operatorname{cn}(u;m)=\cos\phi :\operatorname{dn}(u;m)=\sqrt{1-m\sin^2\phi} 저자에 따라, 간혹 매개변수 *m* 대신 k=\sqrt m 또는 \alpha=\arcsin\sqrt m을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 0\le k\le 1, 0\le\alpha\le\pi/2이다.
## 타원과의 관계
긴 반지름이 a\ge1이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다. :x^2/a^2+y^2=1 이들을 극좌표계 (r,\theta)=(\sqrt{x^2+y^2},\arctan(x/y))로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다. :x=x(\theta) :y=y(\theta) :r=r(\theta)=\sqrt{x(\theta)^2+y(\theta)^2} 또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다. :u=\int_0^\theta\,r(\phi)\,d\phi 그렇다면, u의 함수로서 x, y, r은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다. :\operatorname{cn}(u)=x(\theta)/a :\operatorname{sn}(u)=y(\theta) :\operatorname{dn}(u)=r(\theta)/a 이 경우, m은 타원의 이심률의 제곱이다. :m=k^2=1-1/a^2
## 보조 야코비 타원함수
간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다. {| class=wikitable || sn(*u*) || cn(*u*) || dn(*u*) |- ! 1 || ns(*u*)=1/sn(*u*) || nc(*u*)=1/cn(*u*) || nd(*u*)=1/dn(*u*) |- ! sn(*u*) || 1 || sc(*u*)=sn(*u*)/cn(*u*) || sd(*u*)=sn(*u*)/dn(*u*) |- ! cn(*u*) || cs(*u*)=cn(*u*)/sn(*u*) || 1 || cd(*u*)=cn(*u*)/dn(*u*) |- ! dn(*u*) || ds(*u*)=dn(*u*)/sn(*u*) || dc(*u*)=dn(*u*)/cn(*u*) || 1 |}
# 성질

## 주기성
야코비 타원함수는 타원 함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다. f가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면, :f(u;m)=f(u+4K(m);m)=f(u+4iK'(m);m) 여기서 K(m)과 K'(m)은 각각 **실사분주기**(real quarter period)와 **허사분주기**(imaginary quarter period)라는 특수 함수이며, 다음과 같다. :K(m)=\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta :K'(m)=K(1-m) 즉, 야코비 타원함수는 타원 곡선 \mathbb C/\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\\{4K(m),4iK'(m)\\} 위에 정의된 유리형 함수이다.
## 극점과 영점
sn, cn, dn 모두 :u=iK'(m) 에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다. sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다. :\operatorname{sn}(0;m)=0 :\operatorname{cn}(K(m);m)=0 :\operatorname{dn}(K(m)+iK'(m);m)=0
## 삼각함수·쌍곡함수와의 관계
m=0일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다. :\operatorname{sn}(u;0)=\sin u :\operatorname{cn}(u;0)=\cos u :\operatorname{dn}(u;0)=1 반대로, m=1일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다. :\operatorname{sn}(u;1)=\tanh u :\operatorname{cn}(u;1)=\operatorname{dn}(u;1)=\frac1{\cosh u}
## 항등식
야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다. :\operatorname{sn}^2(u;m)+\operatorname{cn}^2(u;m)=1 :m\operatorname{sn}^2(u;m)+\operatorname{dn}^2(u;m)=1
## 합 공식
다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 *m*은 생략한다. : \begin{align} \operatorname{cn}(x+y) & = {\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) \- \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y), \\\\[8pt] \operatorname{sn}(x+y) & = {\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) + \operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y), \\\\[8pt] \operatorname{dn}(x+y) & = {\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) \- k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y). \end{align}
## 미분
야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 *m*은 생략한다. :\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}z}\, \operatorname{sn} z = \operatorname{cn}z\operatorname{dn}z :\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}z}\, \operatorname{cn}z = -\operatorname{sn}z \operatorname{dn}z :\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}z}\, \operatorname{dn}z = - m\operatorname{sn}z \operatorname{cn}z
# 역사
카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum)에서 도입하였다.날짜=1829