감쇠장

**감쇠장**(減衰場, evanescent field) 또는 **소산장**(消散場)이란 전자파(빛),가 특정한 조건 하에서 금속 같은 반사성이 있는 매질 내부에서 야기하는 전자장의 변동을 말한다. 감쇠장에서 방출(반사)되는 전자파인 **소멸파**(消滅波, evanescent wave)는 지수함수적으로 세기가 감소하는 전자기파로 근접장파의 일종이다.
# 도체 속에서의 전자기파David J. Griffiths(2008), *Introduction to Electrodynamics*(영어).
일반적으로 도체 내에서는 전하의 움직임을 조절할 수 없고, 또한 \vec{J_{free \ne 0이다. 옴의 법칙에 따르면, \vec{J_{free=\sigma\vec{E}이다. 따라서 맥스웰 방정식은 다음과 같이 정리된다. \vec{\triangledown}\cdot\vec{E} = \frac{\rho_{free{\epsilon} \vec{\triangledown}\cdot\vec{B} = 0 \vec{\triangledown}\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B{\partial t} \vec{\triangledown}\times\vec{B} = \mu\sigma\vec{E}+\mu\epsilon\frac{\partial \vec{E{\partial t} 이 때, 자유전하에 대한 연속방정식은 다음을 만족한다. \frac{\partial \rho_{free{\partial t} = -\sigma(\vec{\triangledown}\cdot\vec{E})=-\frac{\sigma}{\epsilon}\rho_{free} 따라서 이를 만족하는 해는 다음과 같이 지수함수적으로 감소하는 형태의 자유전하를 보인다. \rho_{free}(t) = e^{-\frac{\sigma}{\epsilon}t}\rho_{free}(0) 이 때, 고유시간 \tau=\epsilon/\sigma 는 초기 자유전하가 흩어지는데 소모되는 characteristic time으로, 완벽한 도체에서는 \sigma=\infty 이므로 \tau=0 이다. 따라서 우리는 도체의 자유전하를 0으로 둘 수 있고, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 고쳐진다. \vec{\triangledown}\cdot\vec{E} = 0 \vec{\triangledown}\cdot\vec{B} = 0 \vec{\triangledown}\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B{\partial t} \vec{\triangledown}\times\vec{B} = \mu\sigma\vec{E}+\mu\epsilon\frac{\partial \vec{E{\partial t} 이를 정리하면 다음과 같이 전기장과 자기장에 대한 미분방정식을 각각 얻을 수 있다. \triangledown^2\vec{E} = \mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec{E{\partial t^2}+\mu\sigma\frac{\partial \vec{E{\partial t} \triangledown^2\vec{B} = \mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec{B{\partial t^2}+\mu\sigma\frac{\partial \vec{B{\partial t} 이 미분방정식을 만족하는 해는 다음과 같다. \widetilde{\vec{E(z,t) = \widetilde{\vec{E_0e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)} \widetilde{\vec{B(z,t) = \widetilde{\vec{B_0e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)} 이 때, \widetilde{k}^2=\mu\epsilon\omega^2+i\mu\sigma\omega 이므로, \widetilde{k} 는 복소수이고, \widetilde{k} = k+i\kappa 라고 할 때, k = \omega\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{2[\sqrt{1+(\frac{\sigma}{\epsilon\omega})^2}+1]^\frac{1}{2} \kappa = \omega\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{2[\sqrt{1+(\frac{\sigma}{\epsilon\omega})^2}-1]^\frac{1}{2} 로 정리된다. 따라서 전자기장의 편광과 위상, 실수 부분을 고려하여 실질적인 전자기장은 다음과 같이 나타난다. \vec{E}(z,t) = E_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta_{E}) \vec{B}(z,t) = B_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta_{E}+\phi) 이 때, 지수함수적으로(e^{-\kappa z}) 감쇠하는 부분에 의해 이는 소멸파로 분류되는 현상 중 하나이다.
# 이방성(anisotropic) 매질에서의 전자기파Aki, K. and Richards, P. G., 1980. Quantitative Seismology. Theory and Methods.W. N. Freeman & Co.Alkhalifah, T. and Tsvankin, I., 1995. Velocity analysis in transversely isotropic media. Geophysics, 60: 1550-1566.Brekhovskikh, L. M., 1980. Waves in Layered Media. Academic Press.Carcione, J. M., 2001. Wave Fields in Real Media: Wave propagation in Anisotropic, Anelastic, and Porous media. Pergamon Press.�Cerven�y, V. and Aranha, P. R. A., 1992. Tunneling of seismic body waves through thin high-velocity layers in complex structures. Studia Geophys. and Geod.,36: 115-138.Crampin, S., 1975. Distinctive particle motion of surface waves as a diagnostic of anisotropic layering. Geophys. J. R. Astr. Soc., 40: 177-186.Crampin, S. and Taylor, D. B., 1971. The propagation of surface waves in anisotropic media. Geophys. J. R. Astr. Soc., 25: 71-87.Helbig, K., 1994. Foundations of Elastic Anisotropy for Exploration Seismics. Pergamon Press.Hron, F. and Mikhailenko, B. G., 1981. Numerical modeling of nongeometricale�ects by the Alekseev-Mikhailenko method. Bull. Seismol. Soc. Amer., 71:1011-1029.Phinney, R. A., 1961. Propagation of leaking interface waves. Bull. Seismol. Soc. Amer., 51: 527-555.Ruger, A., 2001. Reflection Coe�cients and Azimuthal AVO Analysis in Anisotropic Media. Society of Exploration Geophysicists.Thomsen, L., 1986. Weak elastic anisotropy. Geophysics, 51: 1954-1966.Tsvankin, I., 1995. Seismic Wave�elds in Layered Isotropic Media. Samizdat Press, Colorado School of Mines.Tsvankin, I., 2005. Seismic Signatures and Analysis of Reflection Data in Anisotropic Media, 2nd Edition. Elsevier Science Publ. Co., Inc.Tsvankin, I. and Chesnokov, E. M., 1990. Synthesis of body wave seismograms from point sources in anisotropic media. J. Geophys. Res., 95(B7): 11317-11331.Wang, Z., 2002. Seismic anisotropy in sedimentary rocks, part 2: Laboratory data. Geophysics, 67: 1423-1440.Zhu, Y. and Tsvankin, I., 2006. Plane-wave propagation in attenuative transversely isotropic media. Geophysics, 71: T17-T30.

## 소개
평면파가 소멸파라는 것은 평면파의 slowness vector의 성분 중 적어도 하나가 복소수라는 것이다. 이 복소수의 허수 부분은 공간상에서의 진폭 감쇠 효과를 낳는다.
## 소멸파에 대한 Christoffel equation
조화 평면파가 homogeneous, arbitrarily한 이방성 매질을 통과한다고 가정하자. 이 때, 평면파는 다음과 같이 표현된다. u_{n} = U_{n}e^{i\omega(m_{j}x_{j}-t)} (이 때, \vec{u} 는 변위벡터, \vec{U} 는 단위 편광 벡터, \omega 는 각속도 \vec{m} 은 slowness 벡터이다. 그리고 우리가 알고 있듯이 일반적으로 \vec{k}=\omega\vec{m} 이다.) 이제 slowness 벡터의 성분 중 적어도 하나가 복소수라고 가정하자. m_{j} = m_{j}^{re} +im_{j}^{im} u_{n}=U_{n}e^{i\omega(m_{j}^{re}x_{j}-t)-\omega m_{j}^{im}x_{j 이 평면파는 파동 방정식을 만족해야 하므로 다음의 식이 유도된다. \rho\frac{\partial^{2}u_{i{\partial t^{2-c_{ijkl}\frac{\partial^{2}u_{k{\partial x_{j} \partial x{l=0 (일반적으로 c_{ijkl}은 christoffel matrix라고 물리우며, G_{ik} 로 쓰인다. 여기서 \delta_{ik} 는 Kronecker symbol이다.) 소멸파의 조건에 의해서 slowness 벡터와 변위 벡터는 일반적으로 모두 복소수이다. 따라서 위 식의 좌변은 실수부와 허수부로 나뉠 수 있고, 이는 \ vec{m}, \vec{U} 에 대한 coupled equation을 준다. 지금 우리는 non-attenuative, 즉 purely elastic model에 대해 다루고 있다고 할 때, 매질이 elastic하고, isotropic 하다면 slowness 벡터의 실수부와 허수부가 서로에 대해 수직하다. 게다가 purely isotropic tensor c_{ijkl} 는 방정식을 다음의 두 관계식으로 나타내준다. |\vec{m}^{re}|^{2} = \frac{1}{V^2}+|\vec{m}^{im}|^2 \vec{m}^{re} \cdot \vec{m}^{im}=0 (이 때, V는 P- 또는 S- wave의 속도이고, \vec{m}^{im} 에 의해 결정되는 진폭의 감쇠 방향과 \vec{m}^{re} 에 의해 결정되는 파동의 진행방향이 서로 수직하다. \vec{m}^{im} 의 크기는 소멸파의 frequency-normalized 진폭 감쇠 요인을 나타내고, 소멸파의 속도( \frac{1}{|\vec{m}^{re}|} )는 |\vec{m}^{im}| 의 증가에 의해 매질의 속도 V부터 0까지 감소하게 된다. 이 때, 소멸파는 [ x_{1} , x_{2} ] plane으로 진행하며, x_{3} 방향으로 감쇠한다고 가정하자. 또한 매질은 수직축에 대해 transversely isotropic하므로, VTI 모델은 azimuthally isotropic하며, 모든 수직 평면은 동일하므로 slowness 벡터를 좌표평면 [ x_{1} , x_{3} ]에서 다루기에 충분하다. 따라서 m_{2}=0 이다. \vec{m}^{re}=\\{m_{1}^{re},0,0\\}, \vec{m}^{im}=\\{0,0,m_{3}^{im}\\} 따라서 평면파는 다음과 같이 표현된다. u_{n} = U_{n}e^{i\omega(m_{1}x_{1}-t)-\omega m_{3}x_{3 그리고 VTI 모델의 stiffness tensor와 위의 단순화된 slowness 벡터를 c_{ijkl}m_{j}m_{l}-\rho\delta_{ik}=0 에 대입하면, 다음의 세가지 식을 얻는다. [c_{11}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{1}+i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{3}=0 [c_{66}(m_{1}^{re})^2-c_{55}(m_{3}^{im})^2-\rho]U_2=0 i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{1}+[c_{55}(m_{1}^{re})^{2}-c_{33}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{3}=0 여기서 SH-wave는 두 번째 식으로부터 유도되는 소멸파이고, P-wave와 SV-wave는 각각 첫 번째, 세 번째 식에서 유도되는 소멸파이다.
## SH-wave에 대한 정확한 해
SH-wave의 편광 벡터는 파동의 진행 평면인 [x_{1}, x_{3}]에 수직하고, slowness 벡터의 수평성분과 수직성분은 위에 주어진 두 번째 식에 의해 연관되어 있다. c_{66}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho =0 이 때, slowness 벡터의 수평성분은 다음과 같이 표현할 수 있다. m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{hor,SH}^{2+\frac{c_{55{c_{66m_{3}^{2} = \frac{1}{1+2\gamma}(\frac{1}{V_{S0}^{2}+m_{3}^{2) V_{hor,SH} = \sqrt{\frac{c_{66{\rho = V_{S0}\sqrt{1+2\gamma} (여기서 \gamma 는 Thomsen anisotropy parameter이며, \gamma=\frac{c_{66}-c_{55{2c_{55 이고, V_{S0} 는 shear-wave vertical velocity로 V_{S0}=\sqrt{\frac{c_{55{\rho 이다. 또한 V_{hor,SH} 는 homogeneous SH-wave의 수평 속도이다.) 등방성 매질에 대해서 SH-소멸파의 속도는 V_{hor,SH} 보다 |m_{3}| 만큼 작았다. 일반적으로 \gamma 는 0보다 크기 때문에 이는 주어진 m_{1} 값에 대해 m_{3}^{2} 값을 증가시킨다. 따라서 진폭 감쇠 요인을 증가시킨다.
## P-wave와 SV-wave의 정확한 해
P-wave와 SV-wave는 각각 [c_{11}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{1}+i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{3}=0 i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{1}+[c_{55}(m_{1}^{re})^{2}-c_{33}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{3}=0 에 의해서 유도되는 소멸파인데, 이 두 방정식은 실수 변위 벡터 \vec{U} 에 대해 일반적으로 동시에 풀 수 없다. 이는 물리학적으로 수직축과 수평축의 편광 성분 사이의 위상 변화가 발생하고, 소멸파의 편광이 비선형적이라는 것을 의미한다. 등방성 매질에 대한 문제에서는 이 위상 변화가 90도임을 보였는데, 이방성 매질에 대해서도 이를 적용하고 단순화를 위해 U_{1}, U_{3} 를 각각 실수, 허수로 정하였다. (단, 위의 두 식에선 편광 성분들 사이의 비율만이 주어져 있기 때문에 U_{1}, U_{3} 는 언제든지 complex로 정할 수 있다.) 만일 U_{1} 이 실수이고, U_{3}=i|U_{3}| 라고 하면, 위의 두 식은 다음과 같이 정리된다. (c_{11}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho)U_{1}-(c_{13}+c_{55})m_{1}m_{3}|U_{3}|=0 (c_{13}+c_{55})m_{1}m_{3}U_{1}+(c_{55}m_{1}^{2}-c_{33}m_{3}^{2}-\rho)|U_{3}|=0 위 방정식에 대해서 non-trivial한 해를 얻기 위해서는 U_{1} 과 |U_{3}| 에 대한 선형 방정식의 판별식이 0이 되어야 하므로, (c_{11}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho)(c_{55}m{1}^{2}-c_{33}m_{3}^{2}-\rho)+(c_{13}+c_{55})^{2}m_{1}^{2}m_{3}^{2}=0
## P-wave에 대한 약한 이방성 근사
m_{1} 과 m_{3} 에 대한 정확한 표현은 간단하지 않다. 하지만 P-wave에서 |m_{1}| 이 |m_{3}| 보다 약간 작은 것을 도입하면 다음과 같이 표현할 수 있다. m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{hor}^{2+m_{3}^{2}(1-4\epsilon+2\delta)-2m_{3}^{4}V_{P0}^{2}(\epsilon-\delta) (단, V_{hor} = V_{P0}\sqrt{1+2\epsilon} ) 만일 \epsilon=\delta=0 이라면 m_{1}^{2}=\frac{1}{V_{P0}^{2+m_{3}^{2} 이므로, m_{1} 은 m_{3} 가 증가함에 따라 단조증가 하게 되고, 이는 소멸파의 진폭이 수직 방향에 대해서 더 빠르게 감쇠한다는 것을 의미한다. 만일 \epsilon 과 \delta 가 V_{hor} 과 m_{3}^{2} 항에 대해 큰 변화를 주고, m_{3}^{4} 항이 순수하게 이방성을 띤다면, 식은 다음과 같이 정리할 수 있다. \frac{m_{1}^{2{\frac{1}{V_{P0}^{2+m_{3}^{2 = 1-2\epsilon-2m_{3}^{2}V_{P0}^{2}(\epsilon-\delta) m_{3}V_{P0} 의 값이 작은 소멸파에 대해선 (즉 작은 진폭 감쇠에 대해) 위 식의 이방성 성분이 주로 \epsilon 에 의해서 조정된다. 일반적인 TI 모델은 \epsilon > 0, \epsilon > \delta 인 성질을 갖고 있으므로, 이방성 부분은 주어진 m_{3} 에 대해 m_{1} 를 줄이게 된다. 이는 주어진 수평 slowness vector인 m_{1} 에 대해서 이방성 성분이 m_{3} 을 증가시키는 것을 뜻하므로 진폭의 감쇠가 일어난다.
## SV-wave에 대한 약한 이방성 근사
P-wave와 마찬가지의 과정에 따라 SV-wave에 대한 방정식은 다음과 같이 정리된다. m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{S0}^{2+m_{3}^{2}(1+2\sigma)+2m_{3}^{4}V_{S0}^{2}\sigma 그리고 \rho = (V_{P0}^{2}/V_{S0}^{2})(\epsilon-\delta) 이므로, m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{S0}^{2+m_{3}^{2}(1+2\sigma)+2m_{3}^{4}V_{P0}^{2}(\epsilon-\delta) 이방성은 homogeneous SV-wave의 수평 속도를 변화시키지 않으므로, 수평속도는 수직속도 V_{S0} 와 같다. 일반적으로 \sigma 는 0보다 크기 때문에 이는 m_{3} 를 줄이기 때문에, 고정된 m_{1} 에 대해서 진폭 감쇠 효과가 일어난다.