등급 대수

대수 구조 환론에서 **등급 대수**(等級代數, graded algebra)는 그 원소들이 어떤 **등급**(等級, grade)을 가진 결합 대수이다.
# 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 가환환 K * 모노이드 (N,\cdot) * 각 n\in N에 대하여, K-가군 A_n. 편의상 \textstyle A=\bigoplus_{n\in N}A_n로 표기하자. * A 위의 K-결합 대수 구조 이 구조가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. * A_mA_n\subseteq A_{mn}\qquad(\forall m,n\in N) * \phi(K)\subseteq A_1 이 경우, A를 N등급을 가진 **등급 대수**라고 한다. K=\mathbb Z (정수환) 위의 단위 결합 대수는 환이므로, \mathbb Z 위의 등급 대수는 **등급환**(等級環, graded ring)이라고 한다. 통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우 N=\mathbb N (음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이 \mathbb Z/2 (2차 순환군)인 경우, 등급 대수를 **초대수**(超代數, superalgebra)라고 부르기도 한다.
## 동급 원소
등급 대수 A의 원소 a\in A는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다. * 만약 a\in A_n인 n\in N이 존재할 경우 a를 **동급 원소**(同級, homogeneous element)라고 한다. 만약 a\ne0이라면 이는 유일하며, n을 a의 **등급**이라고 한다. 이는 보통 \deg A로 표현한다. (0은 동급 원소이지만, 그 등급은 유일하게 정의될 수 없다.) * 만약 a\in A_n인 n이 존재하지 않을 경우 a를 **비동급 원소**(inhomogeneous element)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다.
## 준동형
가환환 K 위의, 모노이드 N 등급의 두 등급 대수 A, B 사이의 **등급 대수 준동형**(graded-algebra homomorphism) f\colon A\to B은 다음과 같은 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다. :\deg f(a)=\deg a\qquad\forall n\in N,\;a\in A_n\setminus\\{0\\} 즉, 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 이에 따라, K 위의 N등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 범주 (대수 구조 다양체) :\operatorname{grAlg}_{K,N} 를 이룬다. 보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 모노이드 준동형 \phi\colon M\to N 및 K 위의 M등급 대수 A와 N등급 대수 B가 주어졌을 때, \phi 위의 **등급 대수 준동형** f\colon A\to B은 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다. :\deg f(a)=\phi(\deg a)\qquad\forall n\in N,\;a\in A_n\setminus\\{0\\}
# 성질
가환 모노이드 (N,+,0)가 추가로 가환 반환의 구조 (N,+,\cdot,0,1)를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 모노이드 준동형이 존재한다고 하자. :\sigma\colon(N,+,0)\to\left(\\{k\in K\colon k^2=1\\},\cdot\right) 만약 (N,+)-등급 K-대수 A가 다음 조건을 만족시킨다면, K가 **등급 가환 대수**(graded-commutative algebra)라고 한다. :ab=\sigma(mn)ba\qquad\forall a\in A_m,\;b\in A_n 물론, 만약 K의 표수가 2 또는 1이라면 (즉, +1=-1이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다.
# 연산

## 직합
가환환 K와 모노이드 N, N'이 주어졌을 때, N-등급 K-대수 A 및 N'-등급 K-대수 A'의 **직합**(direct sum) A\oplus A'은 다음과 같은 N\times N'-등급 K-대수이다. * K-가군으로서 A\oplus A'은 가군의 직합이다. * (A\oplus A')_{n,n'}=A_n\oplus A'_{n'} * (a,a')(b,b')=(ab,a'b')\qquad\forall a,b\in A,\;a',b'\in A')
## 텐서곱
가환환 K와 가환 모노이드 (N,+)이 주어졌을 때, N-등급 K-대수 A, A'의 **텐서곱**(tensor product) A\otimes_KA'은 다음과 같은 N-등급 K-대수이다. * K-텐서곱으로서 A\otimes_KA'은 가군의 텐서곱이다. * (A\otimes_KA')_n=\bigoplus_{n_1,n_2\in N\colon n_1+n_2=n}A_n\otimes_KA'_n * (a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=(ab)\otimes(a'b')\qquad\forall a,b\in A,\;a',b'\in A' 보다 일반적으로, N이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우 (N,+)-등급 K-대수 A에 대하여 :A_mA_n\subseteq A_{m+n} 이 된다. 또한, 모노이드 준동형 :\sigma\colon(N,+)\to\left(\\{k\in K\colon k^2=1\\},\cdot\right) 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두 (N,+)-등급 K-대수 A, A'에 대하여 **등급 텐서곱**(graded tensor product) A\hat\otimes_KA'은 다음과 같은 N-등급 K-대수이다. * K-텐서곱으로서 A\hat\otimes_KA'은 가군의 텐서곱 A\otimes_KA'이다. * (A\hat\otimes_KA')_n=\bigoplus_{n_1,n_2\in N\colon n_1+n_2=n}A_n\otimes_KA'_n * (a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=\sigma(m,n)(ab)\otimes(a'b')\qquad\forall a\in A,\;b\in A_m,\;a'\in A'_n,\;b'\in A' 이는 흔히 N=\mathbb Z 또는 N=\mathbb N 또는 N=\mathbb Z/2이며, :\sigma\colon n\mapsto (-1)^n 인 경우 사용된다. 두 등급 가환 \mathbb Z/2-등급 K-대수 A, A'이 주어졌을 때, 등급 텐서곱 A\hat\otimes_KA' 역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱 A\otimes_KA'는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.
## 등급의 망각
모노이드 N 등급을 갖는, 가환환 K 위의 등급 대수 (A_n)_{n\in N}가 주어졌으며, 모노이드 준동형 :q\colon N\to \tilde N 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (A_n)_{n\in N}에서 등급 구조를 망각하여 :A_{\tilde n}=\bigoplus_{n\in q^{-1}(\tilde n)}A_n 를 정의할 수 있으며, :\bigoplus_{\tilde n\in\tilde N}A_{\tilde n} 은 \tilde N-등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자 :\operatorname{grAlg}_{K,N}\to\operatorname{grAlg}_{K,\tilde N} 를 이룬다. 예를 들어, 자연수 등급의 대수 (A_n)_{n\in\mathbb N}는 \mathbb N\to\mathbb Z/2를 통해 등급을 망각하여 초대수 (A_n)_{n\in\mathbb Z/2}로 만들 수 있다.
## 무관 아이디얼
가환환 K 위의, 자연수 등급의 등급 대수 A=(A_n)_{n\in\mathbb N}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, :A_+=\bigoplus_{n>0}A_n 은 A의 양쪽 아이디얼을 이룬다. 이 양쪽 아이디얼을 **무관 아이디얼**(無關ideal, irrelevant ideal)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다. :A/A_+\cong A_0 :a+A_+\mapsto a\qquad\forall a\in A_0
# 예
* 위상 공간 X 위의 코호몰로지 환 \operatorname H^\bullet(X)은 코호몰로지류의 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다. * 매끄러운 다양체 M 위의 미분 형식의 공간 \Omega^\bullet(M)은 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 \mathbb R-등급 대수이다. * 모노이드 M에 대한 모노이드 환은 M 등급을 가진 등급환이다. * 클리퍼드 대수는 \mathbb Z/2\mathbb Z등급을 가진 등급 대수이다. * 가환환 K 위의 가군 M 위의 텐서 대수 \operatorname T(M;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty M^{\otimes_Kn}는 \mathbb N-등급 K-대수이며, 이 경우 \operatorname T_n(M;K)=M^{\otimes_Kn}이다. * 가환환 K 위의 가군 M 위의 외대수 \Lambda(M;K)=\operatorname T(M;K)/(m^2)_{m\in M}는 \mathbb N-등급 K-대수이다. * 가환환 K 위의 가군 M 위의 대칭 대수 \operatorname{Sym}(M;K)=\operatorname T(M;K)/(mn-nm)_{m,n\in M}는 \mathbb N-등급 K-대수이다. 특히, 가환환 K 위의 다항식환 K[x_1,...,x_n]은 \mathbb N-등급 K-대수를 이룬다. 이 경우, 등급 대수를 이루는 각 A_n 들은 (0을 포함한) n차 동차다항식들의 집합과 같다.