유도 함자

호몰로지 대수학에서 **왼쪽 유도 함자**(-誘導函子, left derived functor)와 **오른쪽 유도 함자**(-誘導函子, right derived functor)는 각각 오른쪽 완전 함자 또는 왼쪽 완전 함자가 왼쪽 또는 오른쪽에서 완전하지 못한 정도를 측정하는 함자이다.언어=en
# 정의
**유도 함자**의 개념은 원래 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 아벨 범주의 대상 대신 그 속의 사슬 복합체에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 **초유도 함자**(超誘導函子, hyperderived functor) 또는 **초코호몰로지**(超cohomology, hypercohomology)라고 한다. 초유도 함자의 값은 사슬 복합체의 유사동형에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 유도 범주 위에 정의된다. 사슬 복합체의 범주는 자연스럽게 모형 범주를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.
## 단사 · 사영 분해를 통한 정의

### 단사 분해
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A에서, 임의의 대상 A\in\mathcal A에 대하여 **단사 분해**, 즉 다음과 같은 꼴의 긴 완전열이 존재한다. :0\to A\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots 여기서 I^\bullet\in\operatorname{Ch}_{\ge0}^\bullet(\mathcal A)는 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체이다. 이러한 긴 완전열을 대상 A의 **단사 분해**(injective resolution)이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체의 유사동형과 같다. :\begin{matrix} 0&\to&A;&\to&0&\to&0&\to&\cdots\\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 0&\to&I;^0&\to&I;^1&\to&I;^2&\to&\cdots \end{matrix}\qquad\operatorname H^i(I)=\begin{cases}A&i;=0\\\0&i;>0\end{cases} 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A와 아벨 범주 \mathcal B 및 그 사이의 왼쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \mathcal A의 대상 A\in\mathcal A에 대하여, 그 (임의의) 단사 분해의 F에 대한 상을 생각하자. :\begin{matrix} 0&\to&F;(A)&\to&0&\to&0&\to&\cdots\\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 0&\to&F;(I^0)&\to&F;(I^1)&\to&F;(I^2)&\to&\cdots \end{matrix} F는 두 행의 유사동형을 보존하지 않는다. 즉, I^\bullet는 완전열이었지만, F(I^\bullet)은 더 이상 완전열이 아니다. F(I^\bullet)의 코호몰로지를 F의 **오른쪽 유도 함자**의 값으로 정의한다. :\operatorname R^\bullet F\colon\mathcal A\to\operatorname{Ch}^\bullet_{\le0} :\operatorname R^\bullet F(A)=\operatorname H^\bullet(F(I)) 특히, \operatorname R^0F(A)=F(A)이다. 보다 일반적으로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A 속의 자연수 차수 공사슬 복합체 A^\bullet\in\operatorname{Ch}_{\ge0}^\bullet(\mathcal A)가 주어졌을 때, 항상 단사 대상으로 구성된 유사동형 공사슬 복합체를 찾을 수 있다. :\begin{matrix} 0&\to&A;^0&\to&A;^1&\to&A;^2&\to&\cdots\\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 0&\to&I;^0&\to&I;^1&\to&I;^2&\to&\cdots \end{matrix}\qquad\operatorname H^i(I)=\operatorname H^i(A) 이를 공사슬 복합체 A^\bullet의 **단사 분해**라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 공사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 임의의 공사슬 복합체 A^\bullet\in\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(\mathcal A)에 대하여, 왼쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B는 두 행의 유사동형을 일반적으로 보존하지 않는다. F의 **오른쪽 초유도 함자**(right hyperderived functor)의 값은 A^\bullet의 단사 분해 I^\bullet의 상 F(I)의 코호몰로지이다. :\operatorname R^\bullet F\colon\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(F)\to\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(\mathcal B) :\operatorname R^\bullet F(A)=\operatorname H^\bullet(F(A)) 서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자 R^iF\colon\mathcal A\to\mathcal B는 가법 함자임을 보일 수 있다.
### 사영 분해
단사 대상 대신, 사영 대상을 사용해 오른쪽 완전 함자 G의 **왼쪽 유도 함자**(left derived functor) \operatorname L_iG도 유사하게 정의할 수 있다. 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A에서, 대상 A\in\mathcal A의 **사영 분해**(projective resolution) P_\bullet를 생각하자. :\begin{matrix} \cdots&\to&P;_2&\to&P;_1&\to&P;_0&\to&0\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ \cdots&\to&0&\to&0&\to&A;&\to&0\\\ \end{matrix}\qquad\operatorname H_i(I)=\begin{cases}A&i;=0\\\0&i;>0\end{cases} 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A와 아벨 범주 \mathcal B 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B의 **왼쪽 유도 함자** \operatorname L_iF(A)는 A의 사영 분해의 상의 호몰로지이다. :\begin{matrix} \cdots&\to&F;(P_2)&\to&F;(P_1)&\to&F;(P_0)&\to&0\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ \cdots&\to&0&\to&0&\to&F;(A)&\to&0\\\ \end{matrix}\qquad\operatorname H_i(F(P_\bullet))=\operatorname L_iF(P_\bullet) :\operatorname L_\bullet F\colon\mathcal A\to\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}(\mathcal B) 보다 일반적으로, 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A 속의 자연수 차수 사슬 복합체 A_\bullet\in\operatorname{Ch}^{\ge0}_\bullet(\mathcal A)가 주어졌을 때, 항상 사영 대상으로 구성된 유사동형 사슬 복합체를 찾을 수 있다. :\begin{matrix} \cdots&\to&P;_2&\to&P;_1&\to&P;_0&\to&0\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ \cdots&\to&A;_2&\to&A;_1&\to&A;_0&\to&0\\\ \end{matrix}\qquad\operatorname H_i(I_\bullet)=\operatorname H_i(A_\bullet) 이를 사슬 복합체 A_\bullet의 **사영 분해**라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A와 아벨 범주 \mathcal B 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B의 **왼쪽 초유도 함자**(left hyperderived functor) :\operatorname L_\bullet F\colon\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}\mathcal A\to\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}(\mathcal B) 는 A_\bullet의 사영 분해의 상의 호몰로지이다. :\begin{matrix} \cdots&\to&F;(P_2)&\to&F;(P_1)&\to&F;(P_0)&\to&0\\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ \cdots&\to&F;(A_2)&\to&F;(A_1)&\to&F;(A_0)&\to&0 \end{matrix}\qquad\operatorname H_i(F(P_\bullet))=\operatorname L_iF(P_\bullet)
## 모형 범주를 통한 정의
단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의 (공)사슬 복합체의 범주는 모형 범주를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 모형 범주 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다. 모형 범주 \mathcal M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자 :\mathcal M\to\operatorname{ho}(\mathcal M) 가 존재한다. 이 함자는 모형 범주 \mathcal M의 약한 동치 사상을 호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal M)의 동형 사상으로 대응시킨다. 모형 범주에서 올뭉치를 \twoheadrightarrow, 쌍대올뭉치를 \hookrightarrow, 약한 동치를 \xrightarrow\sim로 표기하자. 시작 대상은 \\{\bullet\\}\in\mathcal M이며, 끝 대상은 \varnothing\in\mathcal M로 표기하자.
### 올 분해
모형 범주 \mathcal M에서 범주 \mathcal D로 가는 함자 F\colon\mathcal M\to\mathcal D가 \mathcal M의 올대상 사이의 약한 동치를 \mathcal B의 동형 사상으로 보낸다고 하자. 임의의 대상 A\in\mathcal M에 대하여, 그 **올분해**(fibrant resolution) :A\xrightarrow\sim I\twoheadrightarrow\\{\bullet\\} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F의 **오른쪽 초유도 함자** \operatorname RF는 다음과 같다. :\operatorname RF\colon\operatorname{ho}(\mathcal M)\to\mathcal D :\operatorname RF\colon A\mapsto F(I) 이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal M)위에 정의된다. {| class=wikitable ! 공사슬 복합체 !! 모형 범주 |- | 공사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(\mathcal A) || 모형 범주 \mathcal M |- | 공사슬 복합체 범주의 유도 범주 \operatorname D^\bullet_{\ge0}(\mathcal A) || 모형 범주의 호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal M) |- | 유도 범주 \operatorname D(\mathcal B) || 범주 \mathcal D |- | 오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B로부터 정의된 함자 F^*\colon\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}\to\operatorname D(\mathcal B) || 함자 F\colon\mathcal M\to\mathcal D |- | 단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체 I^\bullet || 올 대상 I\twoheadrightarrow\\{\bullet\\} |- | 단사 분해 A^\bullet\to I^\bullet || 올 분해 A\xrightarrow\sim I\twoheadrightarrow\\{\bullet\\} |- | 오른쪽 초유도 함자 \operatorname RF\colon\operatorname D^\bullet_{\ge0}(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal B) || 오른쪽 초유도 함자 \operatorname RF\colon\mathcal M\to\mathcal D |}
### 쌍대올 분해
모형 범주 \mathcal M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자 :\mathcal M\to\operatorname{ho}(\mathcal M) 가 존재한다. 모형 범주 \mathcal M에서 범주 \mathcal D로 가는 함자 F\colon\mathcal M\to\mathcal D가 \mathcal M의 쌍대올대상 사이의 약한 동치를 \mathcal B의 동형 사상으로 보낸다고 하자. 임의의 대상 A\in\mathcal M에 대하여, 그 쌍대올분해 :\varnothing\hookrightarrow Q\to A 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F의 **왼쪽 초유도 함자** \operatorname LF는 다음과 같다. :\operatorname LF\colon\operatorname{ho}(\mathcal M)\to\mathcal D :\operatorname LF\colon A\mapsto F(Q) {| class=wikitable ! 사슬 복합체 !! 모형 범주 |- | 사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}(\mathcal A) || 모형 범주 \mathcal M |- | 사슬 복합체 범주의 유도 범주 \operatorname D_\bullet^{\ge0}(\mathcal A) || 모형 범주의 호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal M) |- | 유도 범주 \operatorname D(\mathcal B) || 범주 \mathcal D |- | 오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B로부터 정의된 함자 F^*\colon\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}\to\operatorname D(\mathcal B) || 함자 F\colon\mathcal M\to\mathcal D |- | 사영 대상으로 구성된 사슬 복합체 P_\bullet || 쌍대올 대상 0\hookrightarrow P |- | 사영 분해 P_\bullet\to A_\bullet || 쌍대올 분해 0\hookrightarrow P\to A |- | 왼쪽 초유도 함자 \operatorname LF\colon\operatorname D_\bullet^{\ge0}\to\operatorname D(\mathcal B) || 왼쪽 초유도 함자 \operatorname LF\colon\mathcal M\to\mathcal D |}
## 칸 확대를 통한 정의
모형 범주에서는 약한 동치의 모임이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 칸 확대의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.언어=en 약한 동치의 모임이 주어진 범주 \mathcal C 및 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 약한 동치들에 대한 국소화를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) 호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal C) 및 포함 함자 J\colon\mathcal C\to\operatorname{ho}(\mathcal C)를 정의할 수 있다. 그렇다면, F의 **왼쪽 유도 함자** \operatorname LF\colon\operatorname{ho}(\mathcal C)\to\mathcal D는 (만약 존재한다면) F의 J에 대한 오른쪽 칸 확대이다. :\begin{matrix} \mathcal C&\overset F\to&\mathcal D\\\ \downarrow&\\!\\!\\!\\!{\color{White}_{\mathrm LF\nearrow_{\mathrm LF}\\!\\!\\!\\!\\\ \\!\\!\\!\\!\operatorname{ho}(\mathcal C)\\!\\!\\!\\! \end{matrix} 오른쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여 자연 변환의 성분 \operatorname LF(J(X))\to F(X)이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 X의 쌍대올 분해 0\hookrightarrow P\to X의 상 F(P)\to F(X)이다. 마찬가지로, F의 **오른쪽 유도 함자** \operatorname RF\colon\operatorname{ho}(\mathcal C)\to\mathcal D는 (만약 존재한다면) F의 J에 대한 왼쪽 칸 확대이다. 왼쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여 자연 변환의 성분 F(X)\to \operatorname RF(J(X))이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 X의 올 분해 X\to I\twoheadrightarrow\\{\bullet\\}의 상 F(X)\to F(I)이다. :\begin{matrix} \mathcal C&\overset F\to&\mathcal D\\\ \downarrow&\\!\\!\\!\\!{\color{White}_{\mathrm LF\nearrow_{\mathrm LF}\\!\\!\\!\\!\\\ \\!\\!\\!\\!\operatorname{ho}(\mathcal C)\\!\\!\\!\\! \end{matrix}
# 성질
원래 함자 F는 왼쪽 완전 함자라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분 :0\to X^0\to I^0\to I^1 의 상 :0\to F(X^0)\to F(I^0)\to F(I^1) 은 완전열이다. 따라서, F(X^0)\to F(I^0)은 단사 사상이며, :\operatorname R^0F(X)=\ker(F(I^0)\to F(I^1))=\operatorname{im}(F(X)\to F(I^0))\cong F(X) 이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형이다. 즉, R^0F\simeq F이다. 만약 X가 단사 대상이라면, 단사 분해를 :0\to X\to X\to 0 으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의 상 :0\to F(X)\to F(X)\to 0 의 호몰로지는 자명하다. 즉, 모든 i>0에 대하여 \operatorname R^iF(X)=0이고, 단사 대상의 유도 함자에 대한 상은 항상 0이다.
## 긴 완전열
왼쪽 완전 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D 및 \mathcal C의 짧은 완전열 :0\to A\to B\to C\to 0 이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다. :0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to\operatorname R^1F(A)\to\operatorname R^1F(B)\to\operatorname R^1F(C)\to\operatorname R^2F(A)\to\cdots 마찬가지로, 오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D 및 \mathcal C의 짧은 완전열 :0\to A\to B\to C\to 0 이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다. :\cdots\to\operatorname L_2F(C)\to\operatorname L_1F(A)\to\operatorname L_1F(B)\to\operatorname L_1F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0
# 예
흔히 쓰이는 많은 호몰로지 및 코호몰로지 이론들은 유도 함자로서 정의할 수 있다. {| class=wikitable ! 적용 대상 !! 함자 !! 완전성 방향 !! 유도 함자 |- | 위상 공간 X || 아벨 군층의 단면 \Gamma(-,X)\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab} || 왼쪽 완전 함자 || 층 코호몰로지 \operatorname R^\bullet\Gamma(-,X)=\operatorname H^\bullet(X,-) |- | 환 R의 왼쪽 가군 A || 가군 준동형 군 \hom(A,-)\colon R\text{-Mod}\to\operatorname{Ab} || 왼쪽 완전 함자 || Ext 함자 \operatorname R^\bullet\hom(A,-)=\operatorname{Ext}^\bullet(A,-) |- | 환 R의 왼쪽 가군 A || 텐서곱 \otimes A\colon\text{Mod-}R\to\operatorname{Ab} || 오른쪽 완전 함자 || Tor 함자 \operatorname L_\bullet(\otimes A)=\operatorname{Tor}_\bullet(-,A) |- | 군 G || 가군의 불변원 (-)^G\colon\mathbb Z[G]\text{-Mod}\to\operatorname{Ab} || 왼쪽 완전 함자 || 군 코호몰로지 \operatorname R^\bullet(-)^G=\operatorname H^\bullet(G,-) |- | 군 G || 가군의 쌍대불변원 (-)_G\colon\mathbb Z[G]\text{-Mod}\to\operatorname{Ab} || 오른쪽 완전 함자 || 군 호몰로지 \operatorname L_\bullet(-)_G=\operatorname H_\bullet(G,-) |- | 스킴 X || 에탈 층의 단면 \Gamma(-)\colon\operatorname{Sh}(\operatorname{\acute Et}/X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab} || 왼쪽 완전 함자 || 에탈 코호몰로지 \operatorname R^\bullet\Gamma(-)=\operatorname{H_{\acute et^\bullet(-) |}