유계 작용소

함수해석학에서 **유계 작용소**(有界作用素, bounded operator)는 유계 집합을 항상 유계 집합에 대응시키는, 두 위상 벡터 공간 사이의 선형 변환이다. 두 노름 공간 사이의 경우, 유계 작용소의 개념은 연속 선형 변환의 개념과 일치한다.
# 정의
위상체 K 위의 두 위상 벡터 공간 V, W가 주어졌다고 하자. 그렇다면, K-선형 변환 T\colon V\to W가 다음 조건을 만족시키면, T를 **유계 작용소**라고 한다.언어=en24, §1.31 * 임의의 유계 집합의 상은 유계 집합이다. 즉, 이는 유계형 집합의 사상을 이룬다. 여기서, 위상 벡터 공간 V의 부분 집합 B\subseteq V이 다음 조건을 만족시킨다면 유계 집합이라고 한다. * 임의의 0의 근방 U\ni 0에 대하여, B\subseteq\alpha U인 \alpha\in K가 존재한다. V와 W 사이의 유계 작용소들의 집합은 \operatorname B(V,W)라고 한다. 이는 자연스럽게 K-벡터 공간을 이룬다.
## 균등 공간 구조
위상체 K 위의 두 위상 벡터 공간 V, W이 주어졌을 때, * V 위에는 모든 유계 집합들로 구성된 덮개 \operatorname{Born}(V)가 존재한다. * W 위에는 (덧셈 위상군으로서의) 균등 공간 구조가 존재한다. 이에 따라, 함수 집합 W^V 위에 균등 수렴 위상 및 균등 구조를 부여할 수 있으며, 그 부분 집합 \operatorname B(V,W)\subseteq W^V에도 자연스럽게 균등 공간 구조 및 위상을 부여할 수 있다. 이에 따라 \operatorname B(V,W)는 K-위상 벡터 공간을 이룬다. 만약 K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}이며 V와 W가 노름 공간일 경우, 이 위상은 작용소 노름으로 정의된 거리 위상과 같다.
## 작용소 위상
유계 작용소의 공간 위에 균등 위상 (또는 균등 위상에 대한 약한 위상) 대신, 다음과 같은 더 엉성한 위상인 **강한·약한 작용소 위상**을 부여할 수도 있다. 함수 집합 W^V에 곱위상을 부여하면, \operatorname B(V,W)\subseteq W^V이므로 \operatorname B(V,W)에 부분 공간 위상을 부여할 수 있다. 이를 **강한 작용소 위상**(強한作用素位相, strong operator topology)이라고 한다. 마찬가지로, W에 약한 위상을 부여한 것을 W^{\text{weak로 놓고, 함수 집합 (W^{\text{weak)^V에 곱위상을 부여하면, 부분 공간 위상 \operatorname B(V,W)\subseteq (W^{\text{weak)^V을 **약한 작용소 위상**(弱한作用素位相, weak operator topology)이라고 한다. 강한·약한 작용소 위상은 정의에 따라 V의 노름이나 위상에 의존하지 않는다.
# 성질

## 연속성과의 관계
위상체 K 위의 두 위상 벡터 공간 V, W 사이의 모든 연속 K-선형 변환은 유계 작용소이다.24, Theorem 1.32언어=frIII.4, Proposition III.1.4

**증명:**

연속 K-선형 변환 T\colon V\to W가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 집합 B\subseteq V 및 임의의 0_W의 근방 0\in U\subseteq W가 주어졌다고 하자. 그렇다면, T^{-1}(U)는 0_V의 근방이며, B가 유계 집합이므로 \alpha T^{-1}(U)\supseteq B가 되는 스칼라 \alpha\in K를 찾을 수 있다. 그렇다면 \alpha U\supseteq T(B)이다. 따라서 T(B)는 유계 집합이다.

만약 \mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}이며, V와 W가 \mathbb K-노름 공간일 경우, 유계 작용소 · 연속 선형 변환 · 균등 연속 선형 변환 · 립시츠 연속 선형 변환의 개념이 서로 동치이다.24, Theorem 1.32 (그러나 이는 일반적인 위상 벡터 공간에 대하여 성립하지 않는다.언어=en253, Example 8.8.8)
## 작용소 노름
작용소 노름 만약 \mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}이며, V와 W가 \mathbb K-노름 공간일 경우, \operatorname B(V,W)는 **작용소 노름**을 통해 노름 공간을 이룬다.92–93, Theorem 4.1 만약 W가 바나흐 공간이라면, \operatorname B(V,W) 역시 바나흐 공간을 이룬다.92–93, Theorem 4.1
## 유계 작용소 공간 위의 위상의 관계
자명하게 다음과 같은 관계가 성립한다. :{| | 균등 수렴 위상 || ⊃ || 강한 작용소 위상 |- | ∪ || || ∪ |- | 균등 수렴 위상의 약한 위상 || || 약한 작용소 위상 |} 여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 섬세한 위상이라는 뜻이다. 실수체 또는 복소수체 위의 두 노름 공간 사이의 유계 작용소 공간의 경우, 다음이 추가로 성립한다. :{| | 균등 수렴 위상 || ⊃ || 강한 작용소 위상 |- | ∪ || || ∪ |- | 균등 수렴 위상의 약한 위상 || ⊃ || 약한 작용소 위상 |}

**증명:**

두 노름 공간 V,W 사이의 작용소열 T_0,T_1,\dotsc\in\operatorname B(V,W) 및 T_\infty\in\operatorname B(V,W)가 주어졌다고 하자. 만약 T_i가 T_\infty로 약한 바나흐 위상에서 수렴할 경우, 약한 작용소 위상에서 수렴함을 보이면 족하다. 약한 바나흐 위상에서의 수렴은 다음과 같다. :\forall \phi\in\operatorname B(V,W)'\colon \phi(T_i)\to \phi(T_\infty) 약한 작용소 위상에서의 수렴은 다음과 같다. :\forall v\in V\forall \chi\in W'\colon \chi(T_iv) \to \chi(T_\infty v) 즉, 임의의 (v,\chi)\in V\oplus W'에 대하여, :\phi_{v,\chi}\colon \operatorname B(V,W)\to K :\phi_{v,\chi}\colon T\mapsto \chi(Tv) 를 정의하면, \phi_{v,\chi}\in\operatorname B(V,W)'인 것을, 즉 (\operatorname B(V,W)의 작용소 노름 위상에 대하여) 유계 작용소인 것을 증명하면 족하다. 그런데 이는 :|\chi(Tv)| \le \|\chi\| \|Tv\| \le \|\chi\| \|T\| \|v\|\qquad\forall T\in\operatorname B(V,W) 이므로 :\|\phi_{v,\chi}\|\le\|\chi\| \|v\|<\infty 이다.

# 예
두 유한 차원 노름 공간 사이의 모든 선형 변환은 유계 작용소이다. 르베그 실수열 공간 \ell^2(\mathbb R) 위의 연산자 :L\colon(x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_0,x_1,x_2,\dots) 는 노름이 1인 유계 작용소이다. 라플라스 연산자 :\Delta\colon\operatorname H^2(\mathbb R^n)\to L^2(\mathbb R^n) 는 유계 작용소이다. 여기서 \operatorname H^2는 하디 공간이며, L^2는 *L*p 공간의 하나이다.