카르티에 인자

대수기하학에서 **카르티에 인자**(Cartier因子, Cartier divisor)는 국소환 달린 공간 위에 정의될 수 있는 어떤 아벨 군 층의 단면이며, 특수한 경우 선다발에 대응한다. 적절한 조건을 만족시키는 스킴의 경우, 카르티에 인자에서 베유 인자로 가는 단사 함수가 존재하며, 비특이 대수다양체의 경우에 이는 전단사 함수이다 (즉, 모든 베유 인자는 카르티에 인자이다).
# 정의
국소환 달린 공간 (X,\mathcal O_X)의 유리 함수층 \mathcal K_X를 생각하자. 그렇다면 다음과 같은, 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다. :\underline 1\to\mathcal O^\times_X\to\mathcal K_X^\times\to\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times\to \underline 1 여기서 (-)^\times는 가역원층을 뜻하며, \underline1은 자명군의 상수층이다. X의 **카르티에 인자층**(Cartier主因層, sheaf of Cartier divisors)은 다음과 같은 아벨 군층이다. :\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times X의 **카르티에 인자군**은 카르티에 인자층의 대역 단면들의 아벨 군, 즉 :\operatorname{CaDiv}(X)=\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times) 이다. X의 **카르티에 인자**는 카르티에 인자층의 대역 단면, 즉 카르티에 인자군의 원소이다.언어=en141url-status = dead256, Definition 7.1.17 즉, 구체적으로 X의 카르티에 인자는 X의 열린 덮개 \\{U_i\\}_{i\in I} 및 유리 함수 \\{f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal K_X^\times)\\}_{i\in I}로 정의되며, 이 경우 임의의 i,j\in I에 대하여 만약 U_i\cap U_j\ne\varnothing이라면 :f_i/f_j\in\Gamma(U_i\cap U_j;\mathcal O_X^\times) 이어야 한다.
## 효과적 인자
**효과적 카르티에 인자**(效果的Cartier因子, effective Cartier divisor)는 모노이드 준동형 :\Gamma(X;\mathcal O_X\cap\mathcal K^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K^\times/\mathcal O_X^\times) 의 상에 속하는 카르티에 인자이다.256, Definition 7.1.17 즉, 위와 같이 구체적으로 \\{(U_i,f_i)\\}_{i\in I}로 나타내었을 때, f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal O_X)\cap\Gamma(U_i,\mathcal K_X^\times)로 잡을 수 있는 카르티에 인자이다.145 이 경우, 각 f_i는 아이디얼 층 (f_i)를 정의하며, 이는 여차원이 1인 부분 스킴을 정의한다.
## 카르티에 인자 유군
층의 짧은 완전열에 따라서, 다음과 같은 아벨 군의 긴 완전열이 존재한다. :1\to\Gamma(X;\mathcal O^\times_X)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\xrightarrow{(-)}\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)=\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times)\to\cdots **카르티에 주인자**(Cartier主因子, principal Cartier divisor)는 (-)\colon\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)의 상에 속하는 카르티에 인자이다.256, Definition 7.1.17 이에 대한 몫군 :\frac{\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)}{(\Gamma(X;\mathcal K_X^\times))} 을 **카르티에 인자 유군**(Cartier divisor class group)이라고 한다.256, Definition 7.1.17 완전열의 정의에 따라 카르티에 인자 유군은 피카르 군 \operatorname{Pic}(X)=\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)의 부분군이며, 만약 \operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times)=1이라면 카르티에 인자 유군은 피카르 군과 일치한다. 이것이 성립할 충분 조건은 X가 축소 뇌터 스킴인 것이다.257, Corollary 7.1.19
# 성질
X가 정역 스킴이라고 하자. 그렇다면, 피카르 군 \operatorname{Pic}(X)은 가역층들의 동치류들로 구성될 수 있으며, 카르티에 인자 유군은 피카르 군의 부분군이므로, 카르티에 인자 D에 대응하는 선다발 \mathcal L(D) (또는 가역층 \mathcal O_X(D))을 정의할 수 있으며, 인자의 합은 이 선다발의 텐서곱에 해당한다. 구체적으로, X의 (충분히 섬세한) 열린 덮개 (U_i)_{i\in I}에 대하여, 선다발은 U_i와 U_j 사이의 전이 사상(transition map) h_{ij}\colon U_i\cap U_j\to k^\times들로 정의된다. 카르티에 인자 :\\{[f_i]\\}_{i\in I} :[f_i] \in \Gamma(U_i;\mathcal K_X/\mathcal O_X^\times) :f_i \in \Gamma(U_i;\mathcal K_X) = \operatorname{Frac}(\Gamma(U_i;\mathcal O_X)) 가 주어졌을 때, 전이 사상들을 :h_{ij} = \frac{\operatorname{res}_{U_i\cap U_j}^{U_i}f_i}{\operatorname{res}_{U_i\cap U_j}^{U_j}f_j} \in\Gamma(U_i\cap U_j\in\mathcal K_X) 로 정의하자. 그렇다면, 이는 전이 사상의 성질들 h_{ij}h_{ji}=1, h_{ij}h_{jk}h_{ki}=1을 만족시킴을 쉽게 알 수 있다.
# 역사
베유 인자의 개념을 1950년대에 피에르 카르티에가 개량하여, 층 이론을 사용하여 카르티에 인자를 도입하였다.언어=fr 이로서 후자는 특이점이 있는 공간에도 적용할 수 있게 되었다.