클리퍼드 대수

섬네일 환론에서 **클리퍼드 대수**(Clifford代數, Clifford algebra)는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다.언어=en 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.
# 정의
클리퍼드 대수의 개념은 다양하게 정의될 수 있다. * 추상적으로 어떤 보편 성질을 통해 정의될 수 있다. * 구체적으로 텐서 대수의 몫대수로 정의될 수 있다.
## 보편 성질을 통한 정의
가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q\colon V\to K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 **클리퍼드 대수** \operatorname{Cliff}(V,Q)는 다음 공리를 만족시키는, V를 포함하는 가장 일반적인 K-단위 결합 대수다. :v^2=Q(v)\qquad\forall v\in V 즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. K 위의 단위 결합 대수들의 범주 \operatorname{uAssocAlg}_K에서, j(v)^2=Q(v)1_A\forall v\in V를 만족시키는 임의의 대수 (A,j\colon V\to A)가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 f\colon\operatorname{Cliff}(V,Q)\to A가 존재한다. :\begin{matrix} V&\overset i\to&\operatorname{Cliff}(V,Q)\\\ &{\scriptstyle j}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!f\\\ &&A; \end{matrix} 여기서 i\colon V\to\operatorname{Cliff}(V,Q)는 보통 생략한다. 이는 이차 공간(이차 형식을 갖춘 가군)의 범주 \operatorname{QMod}_K에서 단위 결합 대수의 범주로 가는 함자를 정의한다. :\operatorname{Cliff}\colon\operatorname{QMod}_K\to\operatorname{uAssocAlg}_K (\operatorname{QMod}_K의 사상은 가군 준동형 \phi\colon M\to N 가운데 Q_M=\phi\circ Q_N인 것이다.)
## 텐서 대수를 통한 구성
클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다. :\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\operatorname T(V;K)/\mathfrak i(Q) 여기서 \operatorname T(V;K)는 V에 대한 K-텐서 대수 :\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus V\otimes_KV\oplus V\otimes_KV\otimes_KV+\cdots 이며, :\mathfrak i(Q)=(v\otimes v-Q(v))_{v\in V}=\left\\{w\left(\sum_{i=1}^nv_i\otimes v_i-Q(v_i)\right)w'\colon w,w'\in\operatorname T_K(V),\;n\in\mathbb N,\;v_1,\dots,v_n\in V\right\\} 는 \\{v\otimes v-Q(v)\colon v\in V\\}에 의하여 생성되는 양쪽 아이디얼이다. 이 경우 :uv+vu=(u+v)^2-u^2-v^2=Q(u+v)-Q(u)-Q(v) 이므로, 두 벡터 원소의 반교환자는 Q의 연관 쌍선형 형식과 같다.
## 등급과 여과
텐서 대수 \operatorname T(V;K)는 자연스러운 자연수 등급을 갖는다. :\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname T^n(V;K) 클리퍼드 대수는 텐서 대수의 몫인데, 이 경우 몫을 취하는 아이디얼(로 정의되는 동치 관계)은 일반적으로 자연수 등급을 보존하지 않는다. 다만, 이 아이디얼은 \mathbb Z/2 등급을 보존한다. 즉, :\operatorname T^+(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname T^{2n}(V;K) :\operatorname T^-(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname T^{2n+1}(V;K) 을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위 \mathbb Z/2 구조를 보존하며, 따라서 클리퍼드 대수는 K 위의 \mathbb Z/2-등급 대수를 이룬다. :\operatorname{Cliff}^+(V;K)=\frac{\operatorname T^+(V;K)}{\mathfrak i(Q)} :\operatorname{Cliff}^-(V;K)=\frac{\operatorname T^-(V;K)}{\mathfrak i(Q)} 특히, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)에서, 짝수 등급 부분 대수 \operatorname{Cliff}^+(V,Q;K) 역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약 :V=\operatorname{Span}_K\\{a\\}\oplus U :Q(ta+u)=t^2Q(a)+Q|_U(u)\qquad\forall t\in K,\;u\in U :Q(a)\ne0 라면, :\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\cong\operatorname{Cliff}(U,-Q(a)Q|_U;K) 이다. 비록 텐서 대수의 자연수 등급은 등급으로서 살아남지 못하지만, 이는 클리퍼드 대수 위의 자연수 오름 여과를 정의한다. 구체적으로, 텐서 대수 \operatorname T(V;K)의 등급으로 정의되는 오름 여과 :F^n\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{m\le n}\operatorname T^m(V;K)=K\oplus V\oplus V\otimes_KV\oplus\cdots V^{\otimes_Kn} 를 생각하자. 그렇다면, :K=F^0\operatorname T(V;K)\subseteq F^1\operatorname T(V;K)\subseteq F^2\operatorname T(V;K)\subseteq\cdots 이다. 클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼 \mathfrak i(Q)은 이 여과와 호환된다. 구체적으로, (F^n\operatorname T(V;K)\cap\mathfrak i(Q))/\operatorname F^{n+1}\operatorname T(V;K)는 F^n\operatorname T(V;K)/F^{n+1}\operatorname T(V;K)의 아이디얼을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에도 여과 :F^n\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\bigoplus_{m\le n}\operatorname T^m(V;K)/\mathfrak i(Q) 가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다. 이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다. :\bigoplus_{n=0}^\infty\frac{F^n\operatorname{Cliff}(V,Q;K)}{F^{n-1}\operatorname{Cliff}(V,Q;K)}\cong\Lambda(V;K)
## 대합
가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다. :\alpha\colon v_1v_2\cdots v_k\mapsto(-)^kv_1v_2\cdots v_k\qquad(\forall v_1,v_2,\dots,v_k\in V) (만약 가환환 K의 표수가 2라면 이는 항등 함수이다.) \alpha^2는 항등 함수이므로 이는 대합을 이룬다. 마찬가지로, \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에 다음과 같은 반자기 동형(anti-automorphism)이 존재한다. :(-)^\top\colon\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\mapsto \operatorname{Cliff}(V,Q;K)^{\operatorname{op :(-)^\top\colon v_1v_2\cdots v_k\mapsto v_k\cdots v_2v_1\qquad(\forall v_1,v_2,\dots,v_k\in V) (여기서 (-)^{\operatorname{op는 반대환을 뜻한다.) \alpha와 (-)^\top는 서로 가환하며, 이 둘을 합성하면 다음과 같은 **클리퍼드 수반**(Clifford conjugation)을 얻는다. :\bar x=\alpha(x^\top)=(\alpha(x))^\top x\mapsto x^\top와 x\mapsto \bar x 역시 대합을 이룬다. 이 연산들은 \mathbb N 등급이 k인 원소 x에 대하여 다음과 같다. :\alpha(x)=(-)^kx :x^\top=(-)^{k(k-1)/2}x :\bar x=(-)^{k(k+1)/2}x 즉, 이는 k\bmod4에 대하여 다음과 같이 의존한다. {| class=wikitable ! 연산 || k\equiv0\pmod4 || k\equiv1\pmod4 || k\equiv2\pmod4 || k\equiv3\pmod4 |- | \alpha(x) || +x || -x || +x || -x |- | x^\top || +x || +x || -x || -x |- | \bar x || +x || -x || -x || +x |}
## 노름과 내적
가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에 다음과 같은 쌍선형 형식 및 이차 형식을 정의할 수 있다. :\langle x,y\rangle=\langle x^\top y\rangle :\tilde Q(x)=\langle x^\top x\rangle 여기서 \langle-\rangle은 \mathbb N 등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다. 이는 다음 성질을 만족시킨다. :\langle x,ay\rangle=\langle a^\top x,y\rangle
# 성질
만약 Q가 :V=U\oplus W :Q(u+w)=Q(u)\qquad\forall u\in U,w\in W 라면 (즉, Q|_W=0라면), :\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\cong\Lambda(W;K)\hat\otimes_K\operatorname{Cliff}(U,Q;K) 가 된다. 따라서, 만약 V가 반단순 가군이라면 V\cong(\operatorname{rad}Q)\oplus V/(\operatorname{rad}Q)이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, V가 반단순 가군일 때 클리퍼드 대수의 분해는 Q가 비특이 이차 형식인 경우로 귀결된다. 특히, K가 체(또는 유한 개의 체들의 직접곱)라면, 모든 가군은 반단순 가군이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. K가 체이며, V가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 n이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 2^n차원 벡터 공간이다. \\{e_i\\}_{i=1,\dots,n}이 V의 기저라고 하자. 그렇다면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)의 기저는 다음과 같이 주어진다. :\\{e_{i_1}e_{i_2}\dotsb e_{i_k}|1\le i_1
## 외대수와의 관계
체 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 K-가군으로서 외대수 \Lambda_K(V)와 동형이다. 만약 Q=0일 경우 \operatorname{Cliff}(V,0;K)는 외대수 \Lambda(V;K)와 대수로서 동형이지만, Q\ne0일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다.
## 환론적 성질
가환환 K 위의 유한 생성 사영 가군 M 위의 비퇴화 이차 형식 Q의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(M,Q;K)는 등급 아즈마야 대수(graded Azumaya algebra)이다.언어=en152, Corollary 3.7.4 또한, 만약 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}K에 대하여 M\otimes_KK_{\mathfrak p}가 짝수 계수 K_{\mathfrak p}-자유 가군이라면, \operatorname{Cliff}(M,Q;K)는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}K에 대하여 M\otimes_KK_{\mathfrak p}가 홀수 계수 K_{\mathfrak p}-자유 가군이라면, \operatorname{Cliff}(M,Q;K)는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. (여기서 K_{\mathfrak p}는 국소화이다.) 특히, 만약 K가 표수가 2가 아닌 체라면, \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 등급 중심 단순 대수(graded central simple algebra)이다.언어=en109, Theorem 2.1 * 만약 V가 짝수 차원이라면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, \operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))=K이며, \mathbb Z/2-등급 구조를 잊으면 중심 단순 대수를 이룬다. * 만약 V가 짝수 차원이라면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, \mathbb Z/2-등급 구조를 잊으면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 중심 단순 대수가 아니지만, \operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)는 중심 단순 대수를 이룬다.
### 반단순성
표수가 2가 아닌 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V=\operatorname{Span}_K\\{e_1,e_2,\dots,e_n\\} 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다. :Q(a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n)=c_1a_1^2+c_2a_2^2+\cdots+c_na_n^2\qquad(a_1,\dots,a_n,c_1,\dots,c_n\in K) 이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 (유한 차원 K-벡터 공간이므로) 항상 아르틴 환이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.언어=en210, Supplementary Exercise 35(a) * \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 반단순환이다. 즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱이다. * 모든 i=1,2,\dots,n에 대하여 c_i\ne0이다. 또한, \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 2개 이하의 단순환의 직접곱이다.211, Supplementary Exercise 35(b)
### 중심
표수가 2가 아닌 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V=\operatorname{Span}_K\\{e_1,e_2,\dots,e_n\\} 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다. :Q(a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n)=c_1a_1^2+c_2a_2^2+\cdots+c_na_n^2\qquad(a_1,\dots,a_n,c_1,\dots,c_n\in K) 이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)의 중심은 다음과 같다. :\operatorname Z\left(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\right)=\begin{cases} K&2\mid n\\\ K+Ke_1e_2\cdots e_n&2\nmid n \end{cases}
### 스칼라 확대
가환환 K, \tilde K과 환 준동형 \phi\colon K\to\tilde K 및 K-가군 M 및 그 위의 이차 형식 Q가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (M,Q)의 스칼라 확대 (M\otimes_K\tilde K,Q\otimes_K1)의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 \mathbb Z/2-등급 \tilde K-대수이다.언어=en195, Proposition IV.1.2.3 :\operatorname{Cliff}(M\otimes_K\tilde K,Q\otimes_K1)\cong\operatorname{Cliff}(M,Q)\otimes_K\tilde K
## 클리퍼드 군
클리퍼드 군 클리퍼드 대수의 특정 가역원들은 **클리퍼드 군**이라는 군을 이룬다. 핀 군과 스핀 군은 클리퍼드 군의 부분군을 이룬다.
# 분류

## 직합에 대한 분해
가환환 K 및 임의의 두 \mathbb Z/2-등급 K-단위 결합 대수 A, A'가 주어졌다고 하자. 그렇다면, :B=A\otimes_A' 위에 다음과 같은 \mathbb Z/2등급 K-단위 결합 대수의 구조를 부여할 수 있다. :B_0=A_0\otimes_KA'_0\oplus A_1\otimes_KA'_1 :B_1=A_0\otimes_KA'_1\oplus A_1\otimes_KA'_0 :(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=(-)^{\deg a'\deg b'}(ab)\otimes_K(a'b')\qquad(a,b\in A,\;a',b'\in A') 여기서 A_0 및 A_1은 등급이 0 및 1인 성분들의 부분 집합이다. 이 \mathbb Z/2등급 K-단위 결합 대수를 A\hat\otimes_KA'으로 표기하자. 가환환 K 위의 두 이차 공간 (V,Q), (V',Q')이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 직합 (V\oplus V',Q\oplus Q') 위의 클리퍼드 대수는 \mathbb Z/2-등급 K-단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.195, Theorem IV.1.3.1 :\operatorname{Cliff}(V\oplus V',Q\oplus Q';K)\cong\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\hat\otimes_K\operatorname{Cliff}(V',Q';K) 따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.
## 체 위의 클리퍼드 대수의 분류
표수가 2가 아닌 체 K 위의 n차원 벡터 공간 V 위의 비퇴화 이차 형식 Q로 정의되는 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 등급 중심 단순 대수(graded central simple algebra)이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.111, §V.2 * n이 짝수일 때: \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 K 위의 중심 단순 대수이다. ** \operatorname Z(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K))\cong K(\sqrt a) (a\in K^\times/(K^\times)^2))의 꼴이라면, \operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)는 K(\sqrt a) 위의 중심 단순 대수이다. ** \operatorname Z(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K))\cong K\times K의 꼴이라면, \operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\cong A^2는 K 위의 어떤 중심 단순 대수 A의 제곱과 동형이다. * n이 홀수일 때: \operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)는 K 위의 중심 단순 대수이다. ** \operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))\cong K(\sqrt a) (a\in K^\times/(K^\times)^2))의 꼴이라면, \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 확대체 K(\sqrt a) 위의 중심 단순 대수이다. ** \operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))\cong K\times K의 꼴이라면, \operatorname{Cliff}(V,Q;K)\cong A^2은 K 위의 어떤 중심 단순 대수 A의 제곱과 동형이다. 아르틴-웨더번 정리에 의하여, 체 K 위의 2^n차원 중심 단순 대수는 어떤 K-중심 단순 대수인 2^k차원 나눗셈환 D 위의 행렬환 \operatorname{Mat}(2^{n-k};D)과 동형이다.
## 복소수 클리퍼드 대수
K=\mathbb C가 복소수체이며, (V,Q)가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 n=\dim_{\mathbb C}V만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 \operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)로 쓰면, 이는 \mathbb C-단위 결합 대수로서 다음과 같다. :\operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)\cong\begin{cases} \operatorname{Mat}(2^{n/2};\mathbb C)&2\mid n\\\ \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb C)\oplus \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb C)&2\nmid n \end{cases} 즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성이 존재한다. :\operatorname{Cliff}(n+2;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)\otimes_{\mathbb C}\operatorname{Cliff}(n;\mathbb C) 특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다. :\operatorname{Cliff}(0;\mathbb C)\cong\mathbb C :\operatorname{Cliff}(1;\mathbb C)\cong\mathbb C\oplus\mathbb C (테사린, tessarine) :\operatorname{Cliff}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C) (2×2 복소 행렬)
## 실수 클리퍼드 대수
K=\mathbb R가 실수체이며, V가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, Q가 부호수가 (p,q)인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다. :\operatorname{Cliff}(0,0;\mathbb R)\cong\mathbb R (실수) :\operatorname{Cliff}(0,1;\mathbb R)\cong\mathbb C (복소수) :\operatorname{Cliff}(1,0;\mathbb R)\cong\mathbb R\oplus\mathbb R (분할복소수) :\operatorname{Cliff}(0,2;\mathbb R)\cong\mathbb H (사원수) :\operatorname{Cliff}(2,0;\mathbb R)\cong\operatorname{Cliff}(1,1;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R) (2×2 실수 행렬) 또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성이 성립한다. :\operatorname{Cliff}(p+2,q;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(q,p;\mathbb R) :\operatorname{Cliff}(p+1,q+1;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R) :\operatorname{Cliff}(p,q+2;\mathbb R)\cong\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(q,p;\mathbb R) 이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다. 즉, 실수 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)들은 다음과 같은 **클리퍼드 시계**(Clifford時計, Clifford clock)로 나타낼 수 있다. :\begin{matrix} _{\displaystyle\mathsf8}&&^{\displaystyle\mathsf1}&&_{\displaystyle\mathsf2}\\\ &_{\displaystyle\mathbb R}&^{\displaystyle\mathbb R^{\oplus2&_{\displaystyle\mathbb R}\\\ \mathsf7\quad&\mathbb C\quad&&\quad\mathbb C&\quad\mathsf3\\\ &^{\displaystyle\mathbb H}&_{\displaystyle\mathbb H^{\oplus2&^{\displaystyle\mathbb H}\\\ ^{\displaystyle\mathsf6}&&_{\displaystyle\mathsf5}&&^{\displaystyle\mathsf4} \end{matrix} 즉, \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)는 p-q\bmod8이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 \dim_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)=2^{p+q}으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, n\equiv3\pmod8일 때 :\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^n/(2\dim_{\mathbb R}\mathbb H))\oplus\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^n/(2\dim_{\mathbb R}\mathbb H))=\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^{n-3})\oplus\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^{n-3}) 이다.
## 홀수 표수의 유한체
홀수 표수의 유한체 K=\mathbb F_q 위의 n차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 :Q=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n) 이 주어졌다고 하자. 이 경우 :\delta=[(-1)^{n(n-1)/2}a_1a_2\cdots a_n]\in\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2\cong\mathbb Z/2 을 정의하자. 이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다. {| class=wikitable ! \delta || n || \operatorname{Cliff}(\mathbb F_q^n,Q;\mathbb F_q) || \operatorname{Cliff}^+(\mathbb F_q^n,Q;\mathbb F_q) || \operatorname O(V,Q;\mathbb F_q) |- | 제곱수 (Q가 플러스형) || 짝수 || \operatorname{Mat}(2^{n/2};\mathbb F_q) || \operatorname{Mat}(2^{n/2-1};\mathbb F_q)^2 || \operatorname O^+(n;\mathbb F_q) |- | 제곱수 || 홀수 || \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_q)^2 || \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_q) || \operatorname O(n;\mathbb F_q) |- | 제곱수가 아님 (Q가 마이너스형) || 짝수 || \operatorname{Mat}(2^{n/2};\mathbb F_q)|| \operatorname{Mat}(2^{n/2-1};\mathbb F_{q^2}) || \operatorname O^-(n;\mathbb F_q) |- | 제곱수가 아님 || 홀수 || \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_{q^2}) || \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_q) || \operatorname O(n;\mathbb F_q) |} 홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.
## 표수 2의 유한체
표수 2에서는 등급 텐서곱 \hat\otimes이 일반 텐서곱 \otimes과 같다. 표수 2의 유한체 K=\mathbb F_{2^e} 위의 2n차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다. :Q_1=\left(K^2,(k_1,k_2)\mapsto k_1k_2\right) :Q_2\left(K^2,(k_1,k_2)\mapsto(k_1^2+k_1k_2+ak_2^2)\right),\qquad a\in K\setminus\\{b^2+b\colon b\in K\\} 이 경우 \operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^e}^2,Q_1) 및 \operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^n}^2,Q_2) 둘 다 K 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, 2n차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 Q의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다. :\operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^e}^{2n},Q;\mathbb F_{2^e})\cong\operatorname{Mat}(2^n;\mathbb F_{2^e}) \mathbb F_{2^e} 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 이차 형식 Q는 다음과 같이 비퇴화 이차 형식 Q_{\text{nondeg과 다음 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다. :Q=Q_{\text{nondeg\oplus\begin{cases} \operatorname{diag}(0,0,\dots,0,1)\\\ \operatorname{diag}(0,0,\dots,0,0) \end{cases} \operatorname{Cliff}(\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,0);\mathbb F_{2^e}) 및 \operatorname{Cliff}(\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,1);\mathbb F_{2^e} 둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수 :\operatorname{Cliff}\left(\operatorname{diag}(1);K\right)=K[x]/(x^2+1) 에서 y=x+1로 놓으면 y^2=0이므로 이는 단위 결합 대수로서 외대수 \Lambda(K)=K[y]/(y^2)와 동형이다.
# 예
가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 특수한 경우 다음과 같다. * 만약 Q=0이라면 \operatorname{Cliff}(V,0;K)=\Lambda(V;K)는 외대수이다. * 만약 V=0이 자명 가군이며, Q=0이 그 위의 유일한 이차 형식이라면, \operatorname{Cliff}(0,0;K)\cong K이다.
## 1차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수
만약 V=K가 1차원 자유 가군이며, Q\colon k\mapsto ak^2라면, \operatorname{Cliff}(K,Q;K)\cong K[x]/(x^2-a)이다. 따라서, 이 경우는 a=Q(1)의 동치류 [a]\in K/K^2에 의하여 분류된다. 만약 추가로 K가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체라면, :K[x]/(x^2-a)\cong\begin{cases}K\oplus K&a;\ne0\\\\\Lambda(K)&a;=0\end{cases} 이다. 구체적으로, a\ne0일 경우 :y_\pm=\frac12(1\pm x/\sqrt a) 를 정의한다면, :y_\pm^2=y_\pm 이므로 K[x]/(x^2-a)\cong Ky_+\oplus Ky_-가 된다.
## 2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수
체 K 위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 **사원수형 대수**(quaternion algebra, algèbre de quaternions)라고 한다. 체 위의 사원수형 대수는 환으로서 항상 나눗셈환을 이루거나 또는 2×2 K 위의 행렬환 \operatorname{Mat}(2;K)과 동형이다. 후자의 경우, **분할 사원수형 대수**(split quaternion algebra, algèbre de quaternions déployée)라고 한다. K가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다. :\left(\frac{a,b}K\right)=\operatorname{Cliff}\left(\operatorname{Span}_K\\{i,j\\},\operatorname{diag}(a,b);K\right) =\frac{K\langle i,j\rangle}{(i^2-a,j^2-b,ij+ji)}\qquad(\deg i=\deg j=1) 보통 (사원수와 마찬가지로) ij=-ji=k로 표기한다. K가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * (\tfrac{a,b}K)가 분할 사원수형 대수이다. * 힐베르트 기호 (a,b)_K=1이다. 즉, z^2=ax^2+by^2의 해가 K에서 존재한다. 사원수의 환 \mathbb H는 실수체 위의 사원수형 대수 (\tfrac{-1,-1}K)이다.
# 클리퍼드 해석학
복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.언어=en언어=en언어=en
## 디랙 연산자
디랙 연산자 유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 위의 \mathcal C^1 함수 :f\colon U\to\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R) 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 연산자 :D=\sum_{i=1}^ne_i\frac\partial{\partial x_i} 를 생각할 수 있다 (e_i는 \mathbb R^n의 정규 직교 기저). 만약 f가 :0=\overset\rightarrow Df=\sum_{i=1}^n\frac\partial{\partial x_i}(e_if(x)) 를 만족시킨다면, f를 **왼쪽 정칙 함수**(left holomorphic/monogenic/regular function)라고 하며, 만약 f가 :0=f\overset\leftarrow D=\sum_{i=1}^n\frac\partial{\partial x_i}(f(x)e_i) 를 만족시킨다면, f를 **오른쪽 정칙 함수**(right holomorphic/monogenic/regular function)라고 한다. 디랙 연산자의 제곱은 :D^2=\sum_{i,j=1}^ne_ie_j\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j} =-\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}=-\nabla^2 이므로, iD는 라플라스 연산자 \nabla^2의 일종의 제곱근이다.
## 코시 적분 공식
클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분 정리가 성립한다. 즉, * 두 열린집합 V\subseteq \operatorname{cl}(V)\subseteq U\subseteq\mathbb R^n가 주어졌으며 (\operatorname{cl}(V)는 위상수학적 폐포) * V는 유계 집합이자 단일 연결 공간이며, * 경계 \partial V가 조각별 \mathcal C^1 미분 가능 다양체를 이루며, * f,g\colon U\to\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)는 \mathcal C^1 함수이며, * f는 왼쪽 정칙 함수이며 g는 오른쪽 정칙 함수라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. :0=\oint_{\partial V}g(x)\hat n_{\partial V}(x)f(x)\;\mathrm d\\!x^{n-1} 여기서 * \hat n_{\partial V}\colon\partial V\to\mathbb R^n\subset\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)는 \partial V 위의 바깥 방향 수직 단위 벡터이며, * \mathrm d\\!x^{n-1}는 \partial V 위의 르베그 측도이다. 또한, 다음이 성립한다. :f(x_0)=\frac1{\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})}\oint_{\partial V}\frac{(x-x_0)\hat n_{\partial V}(x)f(x)}{\|x-x_0\|^n}\;\mathrm d\\!x^{n-1} :g(x_0)=\frac1{\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})}\oint_{\partial V}\frac{g(x)\hat n_{\partial V}(x)(x-x_0)}{\|x-x_0\|^n}\;\mathrm d\\!x^{n-1} 여기서 :\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})=\frac{2\pi^{n/2{\Gamma(n/2)} 는 n-1차원 단위 초구의 넓이이다.
## 등각 변환
리만 구 \hat{\mathbb C} 위의 등각 변환은 복소수 계수의 뫼비우스 변환 :z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}\qquad(a,b,c,d\in\mathbb C,\;ad-bc\ne0) 로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, \mathbb S^n=\widehat{\mathbb R^n} 위의 등각 변환은 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R) 계수의 뫼비우스 변환 :x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}\qquad\left(a,b,c,d\in\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)\right) 으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬 :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix} 를 등각 변환의 **알포르스-팔렌 행렬**(Ahlfors–Vahlen matrix)이라고 한다. 2×2 행렬 :M=\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(2;\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R))에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.§7.5, 104 * M은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉, \widehat{\mathbb R^n} 위의 등각 변환을 정의한다. * ac^\top,bd^\top\in\mathbb R^n이며, ad^\top-bc^\top\in\mathbb R\setminus\\{0\\}이다. 특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.§7.4, 103 :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}d^\top&-b^\top\\\\-c^\top&a;^\top\end{pmatrix}
# 응용

## K이론
위상 K이론은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성은 실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성은 복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성과 관련된다.
## 물리학
양자장론에서, 4차원 디랙 스피너를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬 \gamma^\mu (\mu=0,1,2,3)들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(4;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb C)를 생성한다. 마찬가지로, 3차원 스피너를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬 \sigma^1,\sigma^2,\sigma^3들은 \\{\sigma^i,\sigma^j\\}=2\delta^{ij}\sigma^i를 만족시키며, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(3,0;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)를 이룬다. 스피너의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군을 이룬다.
# 역사
영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회(London Mathematical Society)에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉(On the classification of geometric algebras)라는 제목의 강의를 하였으며,언어=en 그 미출판 원고는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다.언어=en 루돌프 립시츠는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 또 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.언어=fr언어=de언어=en220, §17.2 알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아의 카를 테오도어 팔렌(Karl Theodor Vahlen)언어=de이 1902년에 도입하였고, 이후 핀란드의 라르스 알포르스언어=en언어=en언어=en가 재발견하였다. 1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로(Arnold Samuel Shapiro)는 클리퍼드 대수가 위상 K이론과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.언어=en