피복 공간

피복 공간의 정의. 국소적으로, 충분히 작은 원상은 U의 분리합집합이다.]] 위상수학에서 **피복 공간**(被覆空間, covering space) 또는 **덮개 공간**은 어떤 공간을, 여러 겹의 "피복"을 이루며 둘러싸는 위상 공간이다.
# 정의
**피복 공간**은 올이 이산 공간인 올다발이다. 구체적으로, 위상 공간 B의 **피복 공간** (E,F,\pi)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.mr=0464128336 * E는 위상 공간이다. * \pi\colon E\to B는 전사 연속 함수이다. * F는 집합이다. 여기에 이산 위상을 부여하여 이산 공간으로 생각할 수 있다. 이 데이터가 피복 공간을 이루려면, 임의의 b\in B에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 U\ni b가 존재하여야 한다. * \tilde U=\pi^{-1}(U)에 부분 공간 위상을 주고, F에 이산 위상을 주면, 위상 동형 \iota\colon U\times F\to\tilde U가 존재하며, 또한 모든 f\in F에 대하여 \pi|_{\iota(f\times U)}\colon\iota(f\times U)\to U 역시 위상 동형이다. 이 경우, \pi를 **피복 함수**(被覆函數, covering function)라고 하며, F를 피복의 **올**(fiber)이라고 한다. 위 조건을 만족시키는 근방을 **피복 근방**(被覆近傍, covering neighborhood)이라고 한다. 올이 F인 피복 공간을 **|F|겹 피복 공간**(-fold covering space)이라고 한다. 여기서 |F|는 집합의 크기를 뜻한다. 만약 E가 단일 연결 공간이라면, (E,F,\pi)를 **범피복 공간**(凡被覆空間, universal covering space)이라 한다. 피복 공간의 **사상**(morphism)은 올다발 사상과 같다. 즉, B 위의 두 피복 공간 (F,E,\pi) 및 (F',E',\pi') 사이의 사상은 다음 그림을 가환하게 만드는 연속 함수 f\colon E\to E'이다. :\begin{matrix} E&\xrightarrow f&E;'\\\ {\scriptstyle\pi}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\pi'\\\ B&\xrightarrow[\operatorname{id}]{}&B; \end{matrix} 이에 따라, 주어진 위상 공간 B 위의 피복 공간들은 범주 \operatorname{TopCov}(B)를 이룬다. 피복 공간의 자기 동형은 **피복 변환**(被覆變換, deck transformation)이라고 한다. 이들이 이루는 군은 **피복 변환군**(被覆變換群, deck transformation group)이라고 한다.
# 성질
피복 공간 (F,E,B,\pi)의 사영 함수 \pi는 항상 열린 함수이다. 다양체의 가산 피복 공간은 역시 피복 공간이다. 리 군의 범피복 공간은 리 군을 이루며, 이를 **범피복군**(凡被覆群, universal covering group)이라고 한다.
# 분류

## 연결 공간의 경우
점을 가진 공간 (B,\bullet_B)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자가 존재한다. :F\colon\operatorname{Cov}(B)\to\operatorname{Set}_{\pi_1(B,\bullet_B)} 여기서 \operatorname{Cov}(B)는 B의 피복 공간들의 범주이며, \operatorname{Set}_{\pi_1(B,\bullet_B)}는 기본군 \pi_1(B,\bullet_B)의 작용을 갖춘 집합의 범주이다. 이 함자는 구체적으로 다음과 같다. :F\colon(\pi\colon E\twoheadrightarrow B)\mapsto \pi^{-1}(\bullet_B) 기본군 \pi_1(B,\bullet_B)의 \pi^{-1}(\bullet_B) 위의 작용은 호모토피 올림 성질에 의하여 주어진다. 또한, 만약 B가 연결 국소 경로 연결 반국소 단일 연결 공간이라면 이는 범주의 동치를 이룬다.
## 연결 공간이 아닌 경우
연결 공간이 아닐 수 있는 경우, 범주의 동치를 얻으려면 기본군 대신 기본 준군을 사용하여야 한다. 두 준군 E, B 사이의 **피복 사상** \pi\colon E\to B을, 다음과 같은 **호모토피 올림 성질**(homotopy lifting property)을 만족시키는 준군 사상으로 정의하자. * 임의의 E의 대상 \tilde x\in\operatorname{Ob}(E) 및 B의 사상 g\colon p(x)\to y에 대하여, \pi(\tilde y)=y이며 \pi(\tilde g)=g인 대상 \tilde e\in\operatorname{Ob}(E) 및 사상 \tilde g\colon\tilde x\to\tilde y가 유일하게 존재한다. :\begin{matrix} \tilde x\xrightarrow{\exists!\tilde g}\exists!\tilde y\\\ \Downarrow\pi\\\ \pi(\tilde x)\xrightarrow gy \end{matrix} B가 국소 경로 연결 반국소 단일 연결 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.언어=en388, 10.6.1 :\operatorname{Cov}(B)\simeq\operatorname{GpdCov}(\Pi_1B) 여기서 * \Pi_1B는 B의 기본 준군이다. * \operatorname{GpdCov}(\Pi_1B)는 \Pi_1B 위의 준군 피복 사상들의 범주이다. 특히, 다음이 성립한다. * B 위의 피복 공간(들의 동치류)들은 기본군 \Pi_1(B)의 부분군들의 켤레 동치류들과 일대일 대응한다. * B의 범피복 공간이 존재하며, (동치 아래) 유일하다.
# 역사
피복 공간의 개념은 베른하르트 리만이 복소함수의 모노드로미를 리만 곡면으로 다루면서 발생하였다.언어=en294 이에 대하여 장 디외도네는 다음과 같이 적었다. 294 이후 앙리 푸앵카레는 1883년에 리만 곡면의 범피복 공간에 대하여 서술하였다.295 1932년에 헤르베르트 자이페르트는 올다발의 개념을 공리적으로 정의하면서, 이에 대한 특수한 경우로 "피복 공간"(Überlagerungsraum)의 개념을 정의하였다.언어=de194, §9 여기서 자이페르트는 피복 변환을 데크베베궁 또는 데크트란스포르마치온이라고 표현하였다.236, Anhang 4 이는 데케 (피복) + 베베궁 (운동) 또는 트란스포르마치온 (변환)에서 유래하였다. 이후 이를 영어로 번역하는 과정에서, 독일어 용어가 deck transformation으로 오역되게 되었다.