이차 수체

대수적 수론에서 **이차 수체**(二次數體, quadratic field)는 차원이 2인 대수적 수체이다.
# 정의
**이차 수체**는 \mathbb Q(\sqrt d)의 꼴인 대수적 수체이다. 여기서 d는 +1이 아닌 (음 또는 양의) 제곱 인수가 없는 정수이다. 만약 d>0이면 \mathbb Q(\sqrt d)를 **실수 이차 수체**(實數二次數體, real quadratic field)라고 하고, d<0이면 **복소 이차 수체**(複素二次數體, complex quadratic field)라고 한다. 이차 수체의 대수적 정수환의 원소를 **이차 정수**(二次整數, quadratic integer)라고 한다.
# 성질

## 정수환
이차 수체 \mathbb Q(\sqrt d)의 대수적 정수환은 다음과 같다. :\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}\mathbb Z+\frac12(1+\sqrt d)\mathbb Z&d;\equiv1\pmod4\\\\\mathbb Z+\sqrt d\mathbb Z&d;\not\equiv1\pmod4\end{cases}
## 판별식
이차 수체 \mathbb Q(\sqrt d)의 판별식은 다음과 같다. :\Delta_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}d&d;\equiv1\pmod4\\\4d&d;\not\equiv1\pmod4\end{cases} 이는 d\not\equiv1\pmod4인 경우에는 :\Delta=\left(\det\begin{pmatrix}1&\sqrt d\\\1&-\sqrt d\end{pmatrix}\right)^2=4d 이지만, d\equiv1\pmod4인 경우에는 :\Delta=\left(\det\begin{pmatrix}1&(1+\sqrt d)/2\\\1&(1-\sqrt d)/2\end{pmatrix}\right)^2=d 이기 때문이다. 사실, 판별식이 \Delta\equiv0,1\pmod4인 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt\Delta)의 대수적 정수환은 다음과 같이 쓸 수 있다. :\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt\Delta)}=\mathbb Z\left[\frac{\Delta+\sqrt\Delta}2\right] =\begin{cases} \mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt\Delta}2\right]&d;=\Delta\equiv1\pmod4\\\ \mathbb Z[\sqrt{\Delta/4}]&4d=\Delta\equiv0\pmod4 \end{cases} 보다 일반적으로, 임의의 제곱수가 아닌 \Delta\equiv0,1\pmod4에 대하여, \mathbb Z\left[\tfrac{\Delta+\sqrt\Delta}2\right]는 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt\Delta) 속의, 판별식 \Delta 정환(order)을 이룬다. 반대로, 이차 수체 속의, 판별식이 \Delta인 정환은 이것 밖에 없다.url-status=dead273, (2)
## 소수의 분기화
체의 확대 \mathbb Q(\sqrt d)/\mathbb Q에서, 유리 소수 p\in\mathbb Z는 확대에 따라서 다음과 같은 분기화를 보인다. * 만약 크로네커 기호 \left(\tfrac\Delta p\right)=-1이라면, (p)는 \mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}에서 여전히 소 아이디얼이다. * 만약 크로네커 기호 \left(\tfrac\Delta p\right)=+1이라면, (p)는 \mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}에서 두 개의 서로 다른 소 아이디얼의 곱이다. * 만약 p\mid\Delta라면, (p)는 \mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}의 어떤 소 아이디얼의 제곱이다.
## 유수
이차 수체의 유수는 매우 불규칙하다.
### 실수 이차 수체
유수가 h인 실수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt d)의 d들의 목록은 다음과 같다. {| class=wikitable ! *h* || OEIS 번호 || *d* |- ! 1 | A3172 || 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, … |- ! 2 | A29702 || 10, 15, 26, 30, 34, 35, 39, 42, 51, 55, 58, 65, … |- ! 3 | A29703 || 79, 142, 223, 229, 254, 257, 321, 326, 359, 443, … |- ! 4 | A29704 || 82, 130, 145, 170, 195, 210, 219, 231, 255, 274, … |- ! 5 | A29705 || 401, 439, 499, 727, 817, 982, 1093, 1126, 1327, … |}
### 허수 이차 수체
유수가 h인 허수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt{-d})의 d들의 목록은 다음과 같다. 작은 d에 대하여 이 목록은 유한하며, 특히 h=1인 경우를 **헤그너 수**라고 한다. {| class=wikitable ! *h* || OEIS 번호 || *d* |- ! 1 | A3173 || 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 |- ! 2 | A5847 || 5, 6, 10, 13, 15, 22, 35, 37, 51, 58, 91, 115, 123, 187, 235, 267, 403, 427 |- ! 3 | A6203 || 23, 31, 59, 83, 107, 139, 211, 283, 307, 331, 379, 499, 547, 643, 883, 907 |- ! 4 | A46085 || 14, 17, 21, 30, 33, 34, 39, 42, 46, 55, 57, 70, 73, 78, 82, 85, 93, 97, 102, 130, 133, 142, 155, 177, 190, 193, 195, 203, 219, 253, 259, 291, 323, 355, 435, 483, 555, 595, 627, 667, 715, 723, 763, 795, 955, 1003, 1027, 1227, 1243, 1387, 1411, 1435, 1507, 1555 |- ! 5 | A46002 || 47, 79, 103, 127, 131, 179, 227, 347, 443, 523, 571, 619, 683, 691, 739, 787, 947, 1051, 1123, 1723, 1747, 1867, 2203, 2347, 2683 |- ! 6 | A55109 || 26, 29, 38, 53, 61, 87, 106, 109, 118, 157, 202, 214, 247, 262, 277, 298, 339, 358, 397, 411, 451, 515, 707, 771, 835, 843, 1059, 1099, 1147, 1203, 1219, 1267, 1315, 1347, 1363, 1563, 1603, 1843, 1915, 1963, 2227, 2283, 2443, 2515, 2563, 2787 |}