극값

극점 함수f(x) = cos(3πx)/x, 0.1≤x≤1.1에서의 극값. 일부 극값은 최대/최솟값이기도 하다. 해석학에서, 함수의 **극대점**(極大點, local maximum point)은 주위의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. **극댓값**(極大값, local maximum (value))은 극대점이 갖는 함숫값이다. 마찬가지로, 함수의 **극소점**(極小點, local minimum point)은 주위의 모든 점의 함숫값 이하의 함숫값을 갖는 점이며, **극솟값**(極小값, local minimum (value))은 극소점이 갖는 함숫값이다. 극대점과 극소점을 통틀어 **극점**(極點, local extremum point)이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 **극값**(local extremum (value))이라고 한다. 기하학적으로, 함수의 그래프는 극대점에서 위로 우뚝 솟아있으며, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져있다. 함수의 **최대점**(最大點, global maximum point)과 **최소점**(最小點, global minimum point)은 각각 정의역의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. **최댓값**(最大값, global maximum (value))과 **최솟값**(最小값, global minimum (value))은 각각 최대점과 최소점이 갖는 함숫값이다. 최댓값과 최솟값은 극댓값과 극솟값보다 더 강한 개념이다. 극댓값·극솟값·최댓값·최솟값은 최적화 문제 등에서 응용된다.
# 정의
[[파일:GraphExample.svg|섬네일|300픽셀|함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R의 그래프. 최소점은 A, 최대점은 J, 극소점은 E, G, 극대점은 B, D, F, J.|대체글=폐구간 [a, b]에 정의된 실숫값 함수 f의 그래프. 대부분의 곳에서 매끄러운 곡선이나, 두 곳의 불연속점 존재. a부터 b까지 A~K의 알파벳이 매겨져있음. A의 x좌표는 a, K의 x좌표는 b. AB는 매끄럽게 상승하는 곡선. BC는 매끄럽게 하강하는 곡선. D는 C 바로 위에 있는 제거 가능 불연속점. CE는 매끄럽게 하강하는 곡선. EF는 매끄럽게 상승하는 곡선. FG는 하강하는 직선. GH는 상승하는 직선. I는 H 바로 위에 있는 비약 불연속점. IJ는 매끄럽게 상승하는 곡선. JK는 매끄럽게 하강하는 곡선.]] 다음이 주어졌다고 하자. * 위상 공간 X * 함수 f\colon X\to\mathbb R 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는, x\in X의 근방 x\in U\subseteq X가 존재한다면, x를 f의 **극대점**이라고 하며, f(x)를 f의 **극댓값**이라고 한다. * 임의의 y\in U에 대하여, f(y)\le f(x) 마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는, x\in X의 근방 x\in U\subseteq X가 존재한다면, x를 f의 **극소점**이라고 하며, f(x)를 f의 **극솟값**이라고 한다. * 임의의 y\in U에 대하여, f(y)\ge f(x) 또한, x\in X가 다음 조건을 만족시키면, x를 f의 **최대점**이라고 하며, f(x)를 f의 **최댓값**이라고 한다. * 임의의 y\in X에 대하여, f(y)\le f(x) 마찬가지로, x\in X가 다음 조건을 만족시키면, x를 f의 **최소점**이라고 하며, f(x)를 f의 **최솟값**이라고 한다. * 임의의 y\in X에 대하여, f(y)\ge f(x) 또한, 위의 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값의 정의에서 y\ne x인 경우에 한하여 부등호 \le와 \ge를 로 대신하면, **엄격한 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값**(嚴格한..., strict ...)의 정의를 얻는다. 유계인 닫힌 구간에서 함수가 연속이면 최대 최소 정리로 최대점,최소점은 항상 유일하게 존재한다. 극소점, 극대점은 존재하지 않을 수 있으며 극대점, 극소점이 최대점, 최소점과 다를 수 있다.
# 일계 도함수 판정법
공역에 부분순서가 존재하는 모든 함수가 극대, 극소를 판정할 수 있지만 여기서는 편의상 공역이 실수집합 \mathbb{R}인 함수 f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}를 생각하자.(여기서 U는 열린집합이다.) 만약 이 함수가 미분가능하고 \mathbf{x}_0에서 극값을 가진다면 \mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{0}이다. 즉, \mathbf{x}_0는 함수 f의 임계점이다. 이렇게 임계점을 통해 극값을 찾는 방법을 **일계 도함수 판정법**이라고 한다. 이때 미분 계수가 0이기 위해서는 1부터 n까지의 모든 i에 대해 \frac{\partial f}{\partial x_i}=0임을 알 수 있다. 다만, 극값을 가지기 위해서는 임계점이어야 하지만 임계점이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 위 그래프의 점 I나 점 K의 경우 임계점이긴 하지만 극솟값이나 극댓값은 아니다.
## 증명
**n=1일 때** :극댓값의 정의에 의하여 x\in I\Rightarrow f\left( x\right)\le f\left( x_0\right)를 만족하는 x_0를 포함하는 어떤 개구간 I가 존재한다. 개구간은 열린 집합이므로 \left( x_0-\delta_1,x_0+\delta_1\right)\in I를 만족하는 어떤 양의 실수 \delta_1이 존재한다. f'\left( x_0\right)가 존재하므로 이를 K라하자. 그렇다면 \lim_{h\to 0}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=K이다. 0일 때 \frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}0이므로 \lim_{h\to 0^-}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=K\ge 0이다. K\ge 0인 동시에K\le 0이므로 K=0이다. 극솟값의 경우도 마찬가지이다. 즉, 함수 f가 미분가능하고 x_0에서 극값을 가진다면 f'\left( x_0\right) =0이다. **모든 n에 대해** :임의의 벡터 \mathbf{h}\in\mathbb{R}^n에 대해 함수 g:U'\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}을 g\left( t\right) =f\left(\mathbf{x}_0+t\mathbf{h}\right)로 정의하자. 그렇다면 g는 t=0에서 극값을 가져야 한다. 위에서 증명했듯이 g'(0)=0이므로 연쇄법칙에 의하여 \mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}=0이다. 임의의 \mathbf{h}에 대해 0이므로 \mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0이다.
# 이계 도함수 판정법
함수 f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}이 C^3 함수이고 \mathbf{x}_0\in U가 함수 f의 임계점일 때, \mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}가 양의 정부호이면, 즉 모든 \mathbf{h}\in\mathbb{R}^n에 대하여 0 이상이고 \mathbf{h}=\mathbf{0}일때만 0이라면 \mathbf{x}_0에서 극소이다. 반대로 \mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}가 음의 정부호이면, 즉 모든 \mathbf{h}\in\mathbb{R}^n에 대하여 0 이하이고 \mathbf{h}=\mathbf{0}일때만 0이라면 \mathbf{x}_0에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 **이계 도함수 판정법**이라고 한다. 여기서 n=1이라는 조금 특별하고 조금 더 익숙한 경우를 생각해보자. n=1이라면 \mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}=\frac{1}{2}f*\left( x_0\right) h^2이므로 f*\left( x_0\right) >0일때만 양의 정부호이고 f''\left( x_0\right) 0이다.
3emH는 이차함수이므로 \mathbf{0}이 아닌 모든 \mathbf{h}에 대해 H\left(\mathbf{h}\right) =H\left(\frac{\mathbf{h{\left\Vert\mathbf{h}\right\|}\left\Vert\mathbf{h}\right\|\right) =H\left(\frac{\mathbf{h{\left\Vert\mathbf{h}\right\|}\right)\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2\ge M\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2가 성립한다. \mathbf{h}=\mathbf{0}일때는 자명하다. \mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{0}이므로 테일러 정리에 의하여 f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) -f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+R_2\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{h}\right)이다. 여기서 \lim_{\mathbf{h}\to\mathbf{0\frac{R_2\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{h}\right)}{\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2}=0이다. 만약 \mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}가 양의 정부호라면 **보조 정리**에 의하여 \mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}\ge M\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2를 만족하는 양의 실수 M이 존재하며 극한의 정의에 의하여 00, 즉 f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) >f\left(\mathbf{x}_0\right)이다. 그러므로 \mathbf{x}_0에서 극소이다. 비슷한 방식으로 \mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}가 음의 정부호이면 \mathbf{x}_0에서 극대이다.
## 헤세 행렬식과의 관계
그림과 같은 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 이차 도함수 판정법에 이용된다. 헤세 행렬에서 그림과 같이 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 \mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}가 양의 정부호이고 음과 양이 번갈아서 나올 경우 음의 정부호이다. 즉, 이차 도함수 판정법에 따라서 부분 행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 \mathbf{x}_0에서 극소이고 부분행렬들의 행렬식이 음과 양이 반복될 경우 \mathbf{x}_0에서 극대이다. 만약 두 경우 모두 아니라면 임계점 \mathbf{x}_0는 안장점으로 극대이지도 극소이지도 않다. 예를 들어, 이변수 함수 f\left( x,y\right) :U\sub\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}이고 C^3함수일 경우 만약 \left( x_0,y_0\right)에서 극소라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다. # \frac{\partial f}{\partial x}\left( x_0,y_0\right) =\frac{\partial f}{\partial y}\left( x_0,y_0\right) =0 # \frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left( x_0,y_0\right) >0 # \left( x_0,y_0\right)에서 D=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)\left(\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\right) -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right)^2>0 이때 D는 f의 헤세 행렬의 행렬식이다. 마찬가지로 \left( x_0,y_0\right)에서 극대라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다. # \frac{\partial f}{\partial x}\left( x_0,y_0\right) =\frac{\partial f}{\partial y}\left( x_0,y_0\right) =0 # \frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left( x_0,y_0\right) 0 그리고 \left( x_0,y_0\right)가 이 조건들을 만족시키지 않는 임계점이라면, 즉, \left( x_0,y_0\right)에서 D<0라면 \left( x_0,y_0\right)는 안장점이다. 만약 D=0이라면 이차 도함수 판정법만으로는 극대와 극소를 판별할 수 없는데, 이때 D=0인 임계점을 **퇴화 극점** 또는 **변질 극점**이라고 말한다. 반대로 이차 도함수 판정법으로 극대, 극소, 안장점인지의 여부를 판별할 수 있는 D\ne 0인 임계점을 **정상적인 임계점** 또는 **비퇴화 임계점**이라고 한다.