리만 다양체

미분기하학에서 **리만 다양체**(Riemann多樣體, Riemannian manifold)는 각 점의 접공간 위에 양의 정부호 쌍선형 형식이 주어져, 두 점 사이의 거리를 측정할 수 있는 매끄러운 다양체이다. 이 구조를 **리만 계량**(Riemann計量, Riemannian metric)이라고 하며, 이를 사용하여 다양체 위에서 평행 운송 · 각도 · 길이 · 부피 · 곡률 따위의 기하학적 개념들을 정의할 수 있다. 리만 다양체와 관련된 구조를 연구하는 미분기하학의 분야를 리만 기하학(Riemann幾何學, Riemannian geometry)이라고 한다.
# 정의
n차원 매끄러운 다양체 M 위에 공변접다발 T^*M의 2차 대칭승 \operatorname{Sym}^2T^*M 벡터 다발을 생각하자. 이는 접다발의 대칭승 \operatorname{Sym}^2TM의 쌍대 다발과 같다. 이 벡터 다발은 M 위의 n(n+1)/2차원 벡터 다발이다. \operatorname{Sym}^2T^*M의 매끄러운 단면은 M의 각 점 x\in M에서의 접공간 T_xM 위에 쌍선형 형식을 정의한다. \operatorname{Sym}^2TM은 (TM)^{\otimes2}의 몫공간이므로, 그 쌍대 다발인 \operatorname{Sym}^2T^*M은 (T^*M)^{\otimes2}의 부분 공간이 된다. 따라서\operatorname{Sym}^2T^*M의 매끄러운 단면은 M 위의 (0,2)-텐서장 ((T^*M)^{\otimes2}의 매끄러운 단면)으로 생각할 수 있다. M 위의, \operatorname{Sym}^2T^*M의 매끄러운 단면 g\in\Gamma(\operatorname{Sym}^2T^*M)가 다음 조건을 만족시킨다면, g를 M 위의 **리만 계량**(Riemann計量, Riemannian metric)이라고 한다. * (양의 정부호성) 임의의 x\in M 및 X\in T_xM에 대하여, 만약 X\ne0이라면 g(X,X)>0 리만 계량을 갖춘 매끄러운 다양체 (M,g)를 **리만 다양체**라고 한다. 두 리만 다양체 (M,g_M), (N,g_N) 사이의 **등거리 변환**(isometric map)은 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 함수 f\colon M\to N이다. * 임의의 x\in M 및 X,Y\in T_xM에 대하여, g_N(df(X),df(Y))=g_M(X,Y) 여기서 df(X)\in T_{f(x)}N는 X의 f에 대한 밂이다.
# 성질
모든 매끄러운 다양체에는 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다. 물론, 이는 표준적이지 않다.
## 유클리드 공간으로의 매장
**내시 매장 정리**(Nash embedding theorem)에 따라, 모든 연결 리만 다양체는 충분히 높은 차원의 유클리드 공간 \mathbb R^n으로의 등거리 매장을 갖는다. 즉, 리만 다양체는 내재적으로 정의하는 대신 항상 외재적으로 유클리드 공간의 부분 공간으로 여길 수 있다. 물론, 리만 다양체 자체의 데이터는 유클리드 공간으로의 매장을 포함하지 않는다.
## 거리
연결 리만 다양체 위에는 자연스럽게 거리 공간의 구조가 주어진다. [모든 (하우스도르프 파라콤팩트) 다양체는 거리화 가능 공간이지만, 리만 계량과 같은 구조가 없다면 거리 함수를 표준적으로 정의할 수 없다.] 구체적으로, 연결 리만 다양체 (M,g) 위의 매끄러운 곡선 :\gamma\colon[0,1]\to M 의 **길이**는 다음과 같다. :L(\gamma)=\int_0^1\sqrt{g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}\,dt\in[0,\infty) 곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 매끄러운 함수 s\colon[0,1]\to[0,1]에 대하여, L(\gamma\circ s)=L(\gamma)이다. 임의의 두 점 x,y\in M 사이의 **거리**(distance)는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다. :d(x,y)=\inf_{\gamma\colon[0,1]\to M}^{\gamma(0)=x,\;\gamma(1)=y}L(\gamma) 이는 거리 함수의 조건들을 모두 만족시킴을 보일 수 있으며, 추가로 길이 거리 공간을 이룬다. 연결 공간이 아닌 리만 다양체의 경우, 각 연결 성분 위에 (유한한) 거리를 정의할 수 있지만, 서로 다른 연결 성분 위에 있는 두 점 사이의 거리는 무한대가 된다. 리만 기하학에서는 다음과 같은 하이네-보렐 정리가 성립한다. 연결 리만 다양체 M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * M은 콤팩트 공간이다. * M은 완비 거리 공간이며, (거리 공간으로서의) 지름이 유한하다.
## 레비치비타 접속
레비치비타 접속 리만 계량을 사용하여, 접다발 위에 **레비치비타 접속**이라는 아핀 접속을 정의할 수 있다. 이는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 접속이다. * 벡터의 평행 운송은 리만 계량에 대한 길이를 보존한다. * 비틀림이 0이다. 리만 다양체의 **리만 곡률**은 레비치비타 접속의 곡률이다. 리만 곡률 텐서장을 축약하여 **리치 곡률** · **바일 곡률** · **스칼라 곡률** · **아인슈타인 텐서**를 정의할 수 있다.
## 측지선
측지선 리만 다양체 (M,g) 위에는 **측지선**의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 (매개 변수화를 무시하면) 국소적으로 두 점 사이의 거리를 최소화하는 곡선이다.
# 예
유클리드 공간 \mathbb R^n · 초구 \mathbb S^n · 원환면 \mathbb T^n은 모두 리만 다양체를 이룬다. 반단순 리 군의 경우, 킬링 형식은 양의 정부호이므로 리만 계량을 이룬다. 따라서 반단순 리 군의 경우 표준적으로 리만 다양체를 이룬다. 리만 다양체 (M,g_M)과 그 속의 몰입된 부분 다양체 \iota\colon N\hookrightarrow M가 주어졌다면, M 위에 리만 계량을 다음과 같이 정의할 수 있다. :g_M(X,Y)=g_M(d\iota(X),d\iota(Y))\qquad\forall x\in N,\;X,Y\in T_xN 여기서 d\iota(X)\in T_{\iota(x)}N는 X의 밂이다. 따라서 (M,g_M)은 리만 다양체를 이룬다.
## 확장 불가능 완비 다양체
3차원 공간 속에, 다음과 같은 꼭짓점을 제거한 원뿔을 생각하자. :\\{(x,y,z)\colon x^2+y^2=z^2,\;z>0\\} 이는 확장 불가능 리만 다양체를 이룬다. (꼭짓점을 추가하면 특이점이 생기게 되어 리만 다양체를 이루지 못한다.) 그러나 이는 완비 다양체가 아니다. 꼭짓점을 향하는 측지선은 유한한 시간 안에 꼭짓점에 도달하여, 더 이상 연장할 수 없게 된다.