켤레류

군론에서 **켤레류**(-類, conjugacy class)는 켤레 원소를 취하는 군의 작용의 궤도이다.언어=en
# 정의
군 G의 원소 g\in G의 **켤레류**는 다음과 같다.algebra0000arti_e8q5_2edi196 :\operatorname{Cl}(g) = \\{hgh^{-1}\colon h\in G\\} \subseteq G 즉, 이는 G의 자기 자신 위의 켤레 작용 :G\times G\to G :(h,g)\mapsto hgh^{-1} 의 궤도이다. 즉 G 위의 켤레 관계 :g\sim g'\iff\exists h\in G\colon g'=hgh^{-1} 의 동치류이다. G의 모든 켤레류들의 집합을 \operatorname{Cl}(G)로 표기하자. 만약 G가 위상군이라면, \operatorname{Cl}(G)는 그 몫공간이므로 자연스러운 위상 공간 구조를 가진다.
# 성질

## 켤레류의 크기
유한군 G의 원소 g\in G의 켤레류의 집합의 크기는 궤도-안정자군 정리에 따라 다음과 같다. :|{\operatorname{Cl(g)|=\frac{|G|}{|{\operatorname C}_G(g)|} 여기서 \operatorname C_G(-)는 중심화 부분군이다.
## 켤레류의 수
유한군 G의 켤레류의 수는 번사이드 보조정리에 따라 다음과 같다. :|{\operatorname{Cl(G)|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|{\operatorname C}_G(g)| 여기서 \operatorname C_G(-)는 중심화 부분군이다.
## 켤레류 방정식
유한군 G의 켤레류들은 G의 분할을 이룬다. 따라서, 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 **켤레류 방정식**(-類方程式, class equation)이라고 한다. :|G| = \sum_{\operatorname{Cl}(g)\in\operatorname{Cl}(G)} |{\operatorname{Cl(g)| = |G|\sum_{\operatorname{Cl}(g)\in \operatorname{Cl}(G)} \frac1{|{\operatorname C}_G(g)|} = |{\operatorname Z}(G)| + |G|\sum_{\operatorname{Cl}(g)\in\operatorname{Cl}(G) \setminus\\{\\{c\\}\colon c\in\operatorname Z(G)\\ \frac1{|{\operatorname C}_G(g)|} 여기서 \operatorname C_G(-)는 중심화 부분군이며, \operatorname Z(-)는 군의 중심이다. 특히, :1 = \sum_{\operatorname{Cl}(g)\in\operatorname{Cl}(G)} \frac1{|{\operatorname C}_G(g)|} 이므로, 이는 1의 이집트 분수 분해를 이룬다. 1을 주어진 개수의 이집트 분수들로 분해하는 방법은 유한하므로, 따라서 주어진 수의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 유한하다. 예를 들어, 아벨 군의 경우 이러한 이집트 분수 분해는 :1 = \underbrace{\frac1{|G|}+\frac1{|G|}+\dotsb+\frac1{|G|_{|G|} 이다.
## 콤팩트 리 군
G가 콤팩트 리 군이라고 하자. 이 경우, G는 항상 극대 원환면 T \le G을 가지며, 모든 원소 g\in G는 T의 어떤 원소와 켤레 동치이다. 또한, 임의의 g\in G의 켤레류와 T의 교집합은 T의 어떤 원소 t\in T의 바일 군 궤도와 같다. :\forall g\in G\exists t\in T\colon \operatorname{Cl}(g) \cap T = \operatorname{Weyl}(T,G) \cdot t 다시 말해, G의 켤레류들의 공간은 몫공간인 오비폴드 :\operatorname{Cl}(G) \cong T / \operatorname{Weyl}(T,G) 와 표준적인 일대일 대응을 갖는다. 특히, 항등원 근처의 ‘무한소 원소’(즉, 그 리 대수의 원소)의 ‘켤레류’는 카르탕 부분 대수의 바일 군 궤도, 즉 바일 방의 원소가 된다.
# 예

## 아벨 군
아벨 군 G의 경우, 켤레류는 (자명하게) 한원소 집합이며, 따라서 :\operatorname{Cl}(G) \cong G 이다.
## 대칭군
n차 대칭군 \operatorname{Sym}(n)을 생각하자. 그 원소가 다음과 같은 꼴의 순환 분해를 갖는다고 하자. :(a_{1,1}\dotsm a_{1,n_1})(a_{2,1}\dotsm a_{2,n_2}) \dotsb (a_{k,1}\dotsm a_{k,n_k}) 즉, * k개의 순환이 존재한다. * 각 순환의 길이는 n_1,n_2,\dotsc,n_k이다. 편의상 1 \le n_1 \le n_2 \le \dotsc \le n_k이며 \textstyle\sum_{i=1}^kn_i = n이라고 하자. 즉, (n_1,n_2,\dotsc,n_k)는 n의 자연수 분할을 이룬다. 그렇다면, 대칭군의 두 원소 g, h에 대하여, 만약 :k(g) = k(h) :n_i(g) = n_i(h) \qquad\forall i\in\\{1,\dotsc,k(g)\\} 일 경우, 두 원소가 같은 **순환형**(cycle type)이라고 하자. 그렇다면, 대칭군에서, 두 원소가 켤레 동치일 필요 충분 조건은 같은 순환형을 갖는 것이다. 즉, 그 켤레류의 집합은 다음과 같다. :\operatorname{Cl}(\operatorname{Sym}(n)) \cong \operatorname{Part}(n) 여기서 우변은 n의 자연수 분할들의 집합이다. 자연수 분할 (n_1,n_2,\dotsc,n_k)이 주어졌을 때, :a(p) = |\\{i\in \\{1,\dotsc,k\\}\colon p = n_i \\}| \in \mathbb N 를 정의하자. 그렇다면, 이 자연수 분할에 대응하는 켤레류의 크기는 :\frac{n!}{\prod_{p=1}^n a(p)! p^{a(p) 이다. 다시 말해, 이 자연수 분할에 대응하는 중심화 부분군의 크기는 :\prod_{p=1}^n a(p)! p^{a(p)} 이다.
## SU(2)
리 군 \operatorname{SU}(2)를 생각하자. 기하학적으로, 이는 3차원 초구 \mathbb S^3와 미분 동형이다. 이 경우, 극대 원환면은 (1차원) 원군 T=\operatorname U(1)이며, 이는 2×2 대각 행렬의 부분군 :T = \left\\{\begin{pmatrix} \exp(\mathrm i\theta) & 0 \\\ 0& \exp(-\mathrm i\theta) \end{pmatrix}\colon \theta \in \mathbb R\right\\} \le \left\\{ M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb C) \colon \det M = 1,\;M^\dagger M = 1_{2\times2}\right\\} = \operatorname{SU}(2) 으로 여길 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 대칭군이며, 그 두 원소 가운데 항등원이 아닌 것은 원군 위에 다음과 같이 작용한다. :\theta \mapsto -\theta 즉, SU(2)의 켤레류들의 공간은 반원 \theta\in[0,\pi]에 해당한다. 구체적으로, 행렬군 위에서 대각합과 행렬식은 유함수이다. SU(2)의 경우 행렬식은 물론 상수 함수 1이지만, 그 대각합은 자명하지 않으며, 사실 켤레류는 대각합으로 완전히 결정된다. 즉, : \operatorname{tr} \begin{pmatrix} \exp(\mathrm i\theta) & 0 \\\ 0& \exp(-\mathrm i\theta) \end{pmatrix} = 2 \cos\theta 이므로, 대각합의 값은 [-2,+2]의 원소이다. 이는 3차원 초구의 ‘위도’로 해석할 수 있다. 켤레류는 같은 ‘위도’에 있지만, 다른 ‘경도’를 가지는 점들의 집합이며, 이는 (위도가 ‘북극’ 또는 ‘남극’이 아니라면) 2차원 구를 이룬다. ‘북극’과 ‘남극’은 각각 대각합이 \pm2가 되는 경우, 즉 \theta \in \\{0,\pi\\}인 경우이며, 이 경우 켤레류는 한원소 집합 \\{\pm1_{2\times2}\\}이다.
## 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군
켤레류 방정식을 통하여, 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군들의 목록을 계산할 수 있다. 켤레류의 수가 5개 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다.언어=enTable 1 {| class=wikitable ! 켤레류의 수 || 군 || 이집트 분수 분해 |- | 1 || 자명군 1 || \tfrac11 |- | 2 || 2차 대칭군 \operatorname{Sym}(2) || \tfrac12+\tfrac12 |- | rowspan=2 | 3 || 3차 교대군 || \tfrac13+\tfrac13+\tfrac13 |- | 3차 대칭군 \operatorname{Sym}(3) || \tfrac16+\tfrac13+\tfrac12 |- | rowspan=4 | 4 || 4차 교대군 \operatorname{Alt}(4) || \tfrac1{12}+\tfrac14+\tfrac13+\tfrac13 |- | 5차 정이면체군 \operatorname{Dih}(5) || \tfrac1{10}+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac12 |- | 4차 순환군 \operatorname{Cyc}(4) | rowspan=2 | \tfrac14+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14 |- | 클라인 4원군 \operatorname{Cyc}(2)^2 |- |rowspan=8 | 5 || 5차 순환군 \operatorname{Cyc}(5) || \tfrac15+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15 |- | 4차 정이면체군 \operatorname{Dih}(4) | rowspan=2 | \tfrac18+\tfrac18+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14 |- | 사원수군 Q_8 |- | 5차 교대군 \operatorname{Alt}(5) || \tfrac1{60}+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac14+\tfrac13 |- | 4차 대칭군 \operatorname{Sym}(4) || \tfrac1{24}+\tfrac18+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac13 |- | 7차 정이면체군 \operatorname{Dih}(7) || \tfrac1{14} + \tfrac17+\tfrac17+\tfrac17+\tfrac12 |- | 프로베니우스 군 \operatorname{Cyc}(5) \rtimes \operatorname{Cyc}(4) || \tfrac1{20}+\tfrac15+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14 |- | 프로베니우스 군 \operatorname{Cyc}(7) \rtimes \operatorname{Cyc}(3) || \tfrac1{21}+\tfrac17+\tfrac17+\tfrac13+\tfrac13 |} 정확히 n개의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 다음과 같다. A73043 :1, 1, 2, 4, 8, 8, 12, 21, 26, 38, 35, 32, …