분수체

추상대수학에서 **분수체**(分數體, field of fractions)는 정역에 대하여 정의할 수 있는 체이다. 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체다. 일반적인 가환환의 국소화의 특수한 경우다.
# 정의
(곱셈 항등원을 갖는) 환 R에 대하여, :S=R\setminus\left(\\{r\in R\colon 0\in rR\\}\cup \\{r\in R\colon 0\in Rr\\}\right) 가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, (R,S)가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, R의 **전분수환**(全分數體, total ring of fractions) \operatorname{Frac}(R)는 국소화 S^{-1}R이다. 이 경우, 오레 조건에 의하여 단사 함수인 환 준동형 :R\to\operatorname{Frac}R 이 존재하며, R는 그 전분수환의 부분환을 이룬다. 만약 R가 가환환일 경우, 오레 조건은 자동적으로 성립한다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 가환환의 전분수환은 항상 가환환이다. 특히, 만약 R가 (가환) 정역일 경우 이는 체를 이루며, \operatorname{Frac}R를 R의 **분수체**라고 한다.
## 구성
R가 정역일 경우, 분수체는 일반적인 국소화보다 간단하게 구성할 수 있다. 순서쌍 (a,b) (a,b\in R, b\ne0)들에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. :(a,b)\sim(ar,br)\forall r\in R\setminus\\{0\\} 이러한 순서쌍의 동치류를 a/b라고 쓰자. 이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 체의 구조를 줄 수 있다. :\frac ab\frac cd=\frac{ac}{bd} :\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd} 이는 분수체 \operatorname{Frac}R이며, 표준적인 단사 환 준동형 :R\to\operatorname{Frac}R :r\mapsto\frac r1 이 존재한다.
# 성질
환 R의 전분수환이 특별한 성질을 가질 충분조건은 다음과 같다. {| class=wikitable |- ! 충분조건 !! 전분수환의 성질 !! 비고 |- | 오른쪽 뇌터 반소환 | rowspan=2 | 반단순환 (즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환들에 대한 행렬환들의 직접곱과 동형) | rowspan=2 | 골디 정리 |- | 왼쪽 뇌터 반소환 |- | 오른쪽 뇌터 소환 |rowspan=2| 나눗셈환 위의 행렬환과 동형 |rowspan=2 | 골디 정리Theorem 7.1 |- | 왼쪽 뇌터 소환 |- | 가환 뇌터 축소환 || 가환 반단순환 (즉, 유한 개의 체들의 직접곱과 동형) ||언어=en42, Exercise 6.5 |- | 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역 | rowspan=2 | 나눗셈환 |- | 왼쪽 오레 조건을 만족시키는 영역 |- | 정역 || 체 |} **골디 정리**(Goldie’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. * 오른쪽 뇌터 반소환 R는 오른쪽 오레 조건을 만족시키며, \operatorname{Frac}(R)는 반단순환이다.언어=en ** 특히, 만약 R가 오른쪽 뇌터 소환이라면 \operatorname{Frac}(R)는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다. * 오른쪽 뇌터 반소환은 왼쪽 오레 조건을 만족시키며, \operatorname{Frac}(R)는 반단순환이다. ** 특히, 만약 R가 왼쪽 뇌터 소환이라면 \operatorname{Frac}(R)는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다. 골디 정리에서, 만약 R가 가환환이라고 한다면, 반소환 조건은 축소환 조건과 같아진다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 만약 R가 가환 뇌터 축소환인 경우, \operatorname{Frac}R는 유한 개의 체들의 직접곱이다. 구체적으로, R의 소 아이디얼 가운데, 포함 관계에 따라 극소 원소인 것을 \mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n이라고 하자. (그 수는 항상 유한함을 보일 수 있다.) 그렇다면 :\operatorname{Frac}(R)\cong\prod_{i=1}^n\operatorname{Frac}(R/\mathfrak p_i) 이다. 우변에서 R/\mathfrak p_i는 모두 정역이므로, 우변은 유한 개의 체들의 직접곱이다. 만약 R가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역이라면, \operatorname{Frac}(R)는 항상 나눗셈환이며, R는 그 부분환을 이룬다. (오레 조건 없이는 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약 R가 정역이라면 물론 \operatorname{Frac}(R)는 체이다.
# 예
수체 K의 대수적 정수환 \mathcal O_K의 분수체는 K이다. :\operatorname{Frac}\mathcal O_K=K 특히, (유리수의) 정수환 \mathbb Z=\mathcal O_{\mathbb Q}의 분수체는 유리수체이다. :\operatorname{Frac}\mathbb Z=\mathbb Q 체의 분수체는 스스로이다. 즉, 임의의 체 K에 대하여, 다음이 성립한다. :\operatorname{Frac}K=K 다항식환의 분수체는 유리 함수체이다. 즉, 임의의 체 K에 대하여, 다음이 성립한다. :\operatorname{Frac}K[x_1,x_2,\dots,x_n]=K(x_1,x_2,\dots,x_n)
# 응용
대수기하학에서, 분수체의 개념은 스킴의 유리 함수층의 개념으로 일반화된다. 만약 스킴이 아핀 정역 스킴인 경우 이는 단순히 각 열린집합에서 단면 가환환의 분수체를 취하는 것이다. 스킴이 정역 스킴이 아닌 경우, 일반적으로는 단순히 전분수환을 취하는 것보다 더 복잡한 구성을 취해야 한다.
# 역사
1927년에 하인리히 그렐(Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.언어=de299언어=en57 에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.언어=en300 오레 조건을 만족시키는 영역의 전분수환은 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.언어=en466언어=en299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.300) 골디 정리는 앨프리드 윌리엄 골디(Alfred William Goldie, 1920~2005)가 도입하였다.언어=en언어=en