자이베르그 이중성

양자장론에서 **자이베르그 이중성**(זייברג二重性, Seiberg duality)은 서로 다른 4차원 \mathcal N=1 초대칭 게이지 이론의 저에너지 유효 이론이 일치하는 현상이다.언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en 즉, 이 두 이론들은 재규격화군 흐름에 의하여 같은 등각 장론 부동점으로 흘러가고, 이 등각 장론은 서로 다른 두 고에너지 이론에 대응하는, 서로 다른 두 개의 변수 집합으로 기술할 수 있다.
# 역사
나탄 자이베르그가 1994년 발견하였다.언어=en
# 전개

## 원래 이론과 이중 이론
다음과 같은 4차원 \mathcal N=1 SU(*N*) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. * SU(*N*c) 벡터 초장 (글루온과 글루이노) * *F*개의 기본 표현 오른손 초장 Q 및 왼손 초장 Q^c (쿼크와 스쿼크) 이에 대응하는 이중 이론은 다음과 같은 초장을 포함하는 4차원 \mathcal N=1 SU(\tilde N) 초대칭 게이지 이론이다. * 초퍼텐셜은 0이다. 특히, 쿼크 질량은 0이다. 이에 대응하는, 다음과 같은 이중 4차원 \mathcal N=1 SU(*Ñ*) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. * SU(*Ñ*) 벡터 초장 (이중 글루온과 이중 글루이노) * *F*개의 기본 표현 오른손 초장 Q 및 왼손 초장 Q^c (이중 쿼크와 이중 스쿼크) * F\otimes\bar F 맛깔 표현의 손지기 초장 M (중간자) * 초퍼텐셜 \tilde W=M\tilde{Q^c}\tilde Q. 그렇다면 **자이베르그 이중성**에 따라, N+\tilde N=F인 경우, 이 두 이론의 저에너지 재규격화군 부동점은 서로 같다. 두 이론의 대칭군은 SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R로 같으며, 이에 대한 장들은 다음과 같다. {| class="wikitable" |+ 원래 이론의 기본 입자와 합성 입자 |- ! 기호 !! 설명 !! SU(*N*) !! SU(*F*)L !! SU(*F*)R !! 중입자수 U(1)B!! R대칭 U(1)R |- | A || 글루온 (벡터 초장) || 딸림표현 || **1** || **1** || 0 || 0 |- | Q || 왼손 스쿼크 (손지기 초장) || □ || □ || **1** || 1/*N*c || (F-N)/F |- | Q^c || 왼손 반스쿼크 (반손지기 초장) || □ || **1** || □ || −1/*N* || (F-N)/F |- | QQ^c || 중간자 (손지기 초장) || **1** || □ || □ || 0 || 2(F-N)/F |- | \overbrace{QQ\dots Q}^N || 중입자 (손지기 초장) || **1** || \textstyle\bigwedge^N\square || **1** || 1 || N(F-N)/F |- | \theta || 초공간 반가환 좌표 || **1** || **1** || **1** || 0 || 1 |- | \bar\theta || 초공간 반가환 좌표 || **1** || **1** || **1** || 0 || −1 |} {| class="wikitable" |+ 이중 이론의 기본 입자와 합성 입자 |- ! 기호 !! 설명 !! SU(*Ñ*) !! SU(*F*)L !! SU(*F*)R !! 중입자수 U(1)B!! R대칭 U(1)R |- | \tilde A || 이중 글루온 (벡터 초장) || 딸림표현 || **1** || **1** || 0 || 0 |- | \tilde Q || 이중 왼손 스쿼크 (손지기 초장) || □ || □ || **1** || 1/(*F*−*N*) || (F-\tilde N)/F |- | \tilde Q^c || 이중 왼손 반스쿼크 (반손지기 초장) || □ || **1** || □ || −1/*Ñ* || (F-\tilde N)/F |- | M || 중간자 (손지기 초장) || **1** || □ || □ || 0 || 2\tilde N/F |- | \overbrace{QQ\dots Q}^{\tilde N} || 중입자 (손지기 초장) || **1** || \textstyle\bigwedge^{\tilde N}\square || **1** || 1 || \tilde N(F-\tilde N)/F |- | \theta || 초공간 반가환 좌표 || **1** || **1** || **1** || 0 || 1 |- | \bar\theta || 초공간 반가환 좌표 || **1** || **1** || **1** || 0 || −1 |}
## 초대칭 게이지 이론의 상
*F*개의 기본 표현 디랙 페르미온을 포함하는, 4차원 \mathcal N=1 SU(*N*) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 이 경우, 저에너지 유효 이론은 다음과 같은 상들을 가질 수 있다.§1.6 * F=0인 경우 (물질이 없는 경우) 이론은 색가둠을 보이며, 낮은 에너지 자유도는 무색의 글루볼이다. * 0인 경우 양자역학적인 진공이 존재하지 않는다. * F=N인 경우 이론은 색가둠을 보인다.§4.2 이 경우 저에너지 자유도는 무질량 강입자(중간자와 중입자)이다. 이 경우 손지기 대칭 SU(*F*)L×SU(*F*)R이 변칙적으로 부분군으로 깨지며, 정확히 어떤 군이 살아남는지는 모듈러스 공간 위치에 따라 다르다. 이 경우 이중 이론은 무질량 강입자들을 기본 입자로 하고, 게이지 대칭이 없는 손지기 유효 이론(chiral effective theory)이다. * F=N+1인 경우에도 이론은 색가둠을 보인다.§4.3 그러나 이 경우 손지기 대칭이 깨지지 않으며, 고전적 모듈러스 공간이 양자역학적인 보정을 받지 않는다. 이중 이론은 F=N 경우와 마찬가지인 손지기 유효 이론이다. * N+2\le F\le(3/2)N인 경우, 이론은 자유 자기 상에 있다. 즉, 낮은 에너지에서 결합 상수가 로그 꼴로 발산하고, 반대로 자기 결합 상수는 점근 자유성을 보인다. 낮은 에너지에서 자유 입자는 무질량 중간자와 분수 중입자수 및 자하를 가진 솔리톤이다. 즉, 중입자들이 여러 솔리톤들로 분해된다. 이 입자들은 이중 이론의 기본 입자들에 해당한다. * (3/2)N인 경우, 재규격화군 흐름에 자명하지 않은 저에너지 부동점이 존재한다. 즉, 저에너지 유효 이론은 일종의 초등각 장론이다. 이 경우 이론은 쿨롱 상에 있다. 이 경우를 **등각 창**(conformal window)라고 한다. * 3N\le F인 경우, 이론은 점근 자유성을 상실하고, 자유 전기 상에 있다. 이 경우 쿼크, 스쿼크, 글루온, 글루이노 등 유색 입자들은 가둠을 받지 않고 자유롭다. 높은 에너지에서 이 이론은 란다우 극을 보여, 결합 상수가 무한대로 발산하며, 이론이 더 이상 일관적이지 않게 된다. 자이베르그 이중성은 N+2\le F인 경우에 적용된다. 이 경우 원래 이론과 이중 이론의 상들은 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! colspan=2 | 맛깔 수 F !! 원래 이론의 상 !! 이중 이론의 상 !! 원래 저에너지 자유도 || 이중 저에너지 자유도 |- | N\le F\le N+1 || 0\le\tilde N\le1 || 가둠 상 || (게이지 대칭 無) || 복합 입자인 무질량 중간자와 중입자 || 기본 입자인 중간자와 중입자 |- | N+2\le F\le(3/2)N || 6\le3\tilde N\le F || 자유 자기 상 || 자유 전기 상 || 무질량 중간자, 분수 중입자수의 자기 홀극 솔리톤 || 이중 글루온 \tilde A, 중간자 M, 이중 쿼크 \tilde Q, \tilde Q^c |- | (3/2)N || (3/2)\tilde N || 쿨롱 상 || 쿨롱 상 || (A,Q,Q^c) ||| (\tilde A,\tilde Q,\tilde Q^c,M) |- | 6\le3N\le F || \tilde N+2\le F\le (3/2)\tilde N || 자유 전기 상 || 자유 자기 상 || 글루온 A, 스쿼크 Q, Q^c || 무질량 중간자, 분수 중입자수의 자기 홀극 솔리톤 |}
## 원래 이론과 이중 이론의 관계
자이베르그 이중성은 S-이중성의 일종이다. 즉, 원래 이론에서 결합 상수가 큰 경우, 이중 이론에서 결합 상수가 작게 된다. 구체적으로, 다음과 같은 대응 관계가 성립한다. * 원래 이론의 글루온은 이중 이론에서 게이지 자기장이 된다. 즉, 이는 전기-자기 이중성의 일종이다. * 원래 이론의 쿼크는 이중 이론의 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이 된다. 반대로, 이중 이론의 쿼크는 원래 이론의 자기 홀극이다. * 합성 입자인 원래 이론의 중간자 QQ^c들은 이중 이론에서 기본 입자 M으로 대응된다. * 합성 입자인 원래 이론의 중간자 Q\dots Q들은 이중 이론에서도 합성 입자 \tilde Q\dots\tilde Q가 된다. 그러나 중입자에 포함되는 쿼크 수는 물론 다르다 (원래 이론의 경우 *N*, 이중 이론의 경우 *Ñ*). * 원래 이론의 가둠 상은 이중 이론의 힉스 상이 된다. * 두 이론의 대역적인 대칭 SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R은 일치한다. 대응되는 장들은 이 대칭에 대하여 같은 양자수들을 가진다. * 두 이론의 게이지 대칭은 일반적으로 서로 다르다. 그러나 게이지 대칭은 낮은 에너지에서 (가둠 또는 힉스 메커니즘을 통해) 관찰할 수 없으므로 이는 일치하지 않아도 된다. 이중 이론에서 중간자가 기본 입자로 존재하는 것은 손지기 섭동 이론(chiral perturbation theory, χPT)에서 기본 중간자장 U=\exp(iM)를 도입하는 것과 유사하다. 원래 이론이 가둠 상에 있는 경우, 이중 이론에서의 이중 글루온은 힉스 메커니즘을 통해 무게를 얻게 된다. 이는 벡터 중간자인 로 중간자에 해당한다. 로 중간자가 힉스 메커니즘을 거친, 숨겨진 맛깔 게이지 대칭에 대한 게이지 보손이라는 가설은 오래된 개념으로, 이미 1960년대부터 거론되어 왔다.언어=en언어=en 자이베르그 이중성을 도입하면 이를 엄밀하게 해석할 수 있다.언어=en
## 시험
자이베르그 이중성은 여러 가지로 확인해 볼 수 있다. * 두 이론은 같은 대칭군을 가진다. 또한, 이들을 게이지화하려 할 경우, 이에 대한 변칙들이 일치한다 (변칙 일치 조건). * 두 이론의 무색 합성 입자(중입자와 중간자)들이 같은 양자수들을 가진다. * 두 이론의 모듈러스 공간이 일치한다. * 이는 끈 이론에서 하나니-위튼 전이에서와 유사한 D-막 교차점 유효 이론으로 설명할 수 있다. {| class="wikitable" border="1" |+ 변칙 일치 조건 |- ! 변칙 ! 원래 이론 ! 이중 이론 |- | SU(F)_L^3 | Nd^{(3)}(F) | Nd^{(3)}(F) |- | SU(F)_L^2 U(1)_B | d^{(2)}(F) | d^{(2)}(F) |- | SU(F)_L^2 U(1)_R | -\frac{N^2}{F}d^{(2)}(F) | \frac{-N^2}{F}d^{(2)}(F) |- | U(1)_R | -N^2 -1 | -N^2 -1 |- | U(1)_R^3 | -2\frac{N^4}{F^2} + N^2 -1 | -2\frac{N^4}{F^2} + N^2 -1 |- | U(1)_B^2 U(1)_R | -2 | -2 |}
# 다른 게이지 군의 자이베르그 이중성
SO(*N*)과 USp(2*N*) 게이지 군의 경우에도 자이베르그 이중성이 존재한다.
## 특수직교군
SO(*N*)의 경우, 자이베르그 이중성은 다음과 같다.182–187§5.1–5.6 이중 초대칭 게이지 이론은 SO(*Ñ*) 게이지 군을 가지고, 이 경우 :N+\tilde N=F+4 이다. {| class="wikitable" |+ 원래 이론의 기본 입자와 합성 입자 |- ! 기호 !! 설명 !! SU(*N*) !! SU(*F*) !! R대칭 U(1)R |- | A || 글루온 (벡터 초장) || □
□ || **1** || 0 |- | Q || 스쿼크 (손지기 초장) || □ || □ || (F-N+2)/F |- | QQ || 중간자 || **1** || □□ || 2(F-N+2)/F |- | \overbrace{QQ\dots Q}^N || 중입자 || **1** || \bigwedge^N\square || N(F-N+2)/F |- | A\overbrace{QQ\dots Q}^{N-2} || 혼합(hybrid) 중입자 || **1** || \bigwedge^{N-2}\square || (N-2)(F-N+2)/F |- | AA\overbrace{QQ\dots Q}^{N-4} || 혼합(hybrid) 중입자 || **1** || \bigwedge^{N-4}\square || (N-4)(F-N+2)/F |} {| class="wikitable" |+ 이중 이론의 기본 입자와 합성 입자 |- ! 기호 !! 설명 !! SU(*Ñ*) !! SU(*F*) !! R대칭 U(1)R |- | \tilde A || 이중 글루온 (벡터 초장) || □
□ || **1** || 0 |- | \tilde Q || 이중 스쿼크 (손지기 초장) || □ || □ || (F-\tilde N+2)/F |- | M || 중간자 (손지기 초장) || **1** || □□ || 2(\tilde N-2)/F |- | \overbrace{\tilde Q\tilde Q\dots\tilde Q}^{\tilde N} || 중입자 || **1** || \bigwedge^{\tilde N}\square || \tilde N(F-\tilde N+2)/F |- | \tilde A\overbrace{\tilde Q\tilde Q\dots\tilde Q}^{\tilde N-2} || 혼합(hybrid) 중입자 || **1** || \bigwedge^{\tilde N-2}\square || (\tilde N-2)(F-\tilde N+2)/F |- | \tilde A\tilde A\overbrace{\tilde Q\tilde Q\dots\tilde Q}^{\tilde N-4} || 혼합(hybrid) 중입자 || **1** || \bigwedge^{\tilde N-4}\square || (\tilde N-4)(F-\tilde N+2)/F |} 이 경우 무색 입자들은 다음과 같이 대응한다. {| class="wikitable" |- ! 입자 !! 원래 이론 !! 이중 이론 |- | 중간자 || QQ || M |- | 중입자 || Q^N || \tilde A^2\tilde Q^{\tilde N-4} |- | 중입자 || A^2Q^{N-4} || \tilde Q^{\tilde N} |- | 중입자 || AQ^{N-2} || \tilde A\tilde Q^{\tilde N-2} |}
## 심플렉틱 군
USp(2*N*)의 경우, 자이베르그 이중성은 다음과 같다.187–188§5.7언어=en 이중 초대칭 게이지 이론은 USp(2*Ñ*) 게이지 군을 가지고, 이 경우 :N+\tilde N=F-2 이다. {| class="wikitable" |+ 원래 이론의 기본 입자와 합성 입자 |- ! 기호 !! 설명 !! USp(2*N*) !! SU(2*F*) !! R대칭 U(1)R |- | A || 글루온 (벡터 초장) || □□ || **1** || 0 |- | Q || 스쿼크 (손지기 초장) || □ || □ || (F-N-1)/F |- | QQ || 중간자 || **1** || □
□ || 2(F-N-1)/F |} {| class="wikitable" |+ 이중 이론의 기본 입자와 합성 입자 |- ! 기호 !! 설명 !! USp(2*Ñ*) !! SU(2*F*) !! R대칭 U(1)R |- | \tilde A || 이중 글루온 (벡터 초장) || □□ || **1** || 0 |- | \tilde Q || 이중 스쿼크 (손지기 초장) || □ || □ || (F-\tilde N-1)/F |- | M || 중간자 (손지기 초장) || **1** || □
□ || 2(\tilde N+4)/F |} 심플렉틱 군의 경우 중입자가 존재하지 않는다. 이는 레비치비타 기호가 심플렉틱 형식들로 나타내어지기 때문이다. 즉, 중입자 연산자는 중간자 연산자들로 나타낼 수 있다. :\epsilon_{i_1i_2\dots i_{2N=J_{[i_1i_2}J_{i_3i_4}\cdots J_{i_{2N-1}i_{2N}]}
## 예외적 군
예외적 리 군의 경우에 대해서는 아직 확실히 알려진 바가 없다.언어=en언어=en
# 끈 이론에서의 해석
자이베르그 이중성은 끈 이론에서 하나니-위튼 전이와 같은 꼴로 해석할 수 있다.언어=en