모듈러 군

수학에서 **모듈러 군**(modular group) 또는 **보형군**(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환의 군이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 S, T로 주어진다. 기호는 \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z) 또는 \Gamma.
# 정의
**모듈러 군** \Gamma는 다음과 같은 표시를 갖는 군이다. :\Gamma=\langle \mathsf S,\mathsf T|\mathsf S^2=(\mathsf S\mathsf T)^3=1\rangle 즉, 이는 2차 순환군과 3차 순환군의 자유곱이다. :\Gamma=\operatorname{Cyc}(2) \star \operatorname{Cyc}(3)
# 성질
모듈러 군은 가산 무한 개의 원소를 가지는 군이며, 아벨 군이 아니다. 그 중심은 자명군이다.
## 상반평면 위의 작용
모듈러 군은 상반평면 \mathbb H=\\{\tau\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}\tau>0\\}에 유리 함수로 작용한다. 이 경우 생성원 \mathsf S, \mathsf T의 작용은 다음과 같다. :\mathsf S\colon z\mapsto-1/z :\mathsf T\colon z\mapsto z+1 따라서 모듈러 군의 일반적인 원소는 다음과 같이 작용한다. :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix}\colon z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}. (\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)) 이 경우 행렬 +M,-M\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)의 작용이 같으므로, 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z)/(-I)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)=\Gamma의 작용임을 알 수 있다. 모듈러 군의 작용의 표준적인 기본 영역(fundamental domain)은 다음과 같다. :\\{z\in\mathbb H\colon|\operatorname{Re}(z)|\le1/2,\;|z|\ge1\\} 가운데 보다 일반적으로, 이 작용은 리만 구의 반구 :\\{\tau\in\mathbb C\colon \operatorname{Im}\tau \ge 0 \\} \sqcup \\{\infty\\} = \mathbb H \sqcup \mathbb P^1_{\mathbb R} 위로 확장될 수 있다. 이 경우, 이는 실수 사영 직선 \mathbb P^1_{\mathbb R}=\mathbb R \sqcup\\{\infty\\} 위에 다음과 같이 따로 작용한다. 사실, 이 작용은 대수적 수의 집합(+∞) 또는 유리수체(+∞)로 제한될 수 있다. 즉, 모듈러 군은 다음과 같은 부분 집합 위에 각각 작용한다. * \mathbb H (허수 성분이 양수인 복소수) * \mathbb R\setminus \bar{\mathbb Q} (초월수) * \bar\mathbb Q \cap \mathbb R \setminus \mathbb Q (대수적 무리수) * \mathbb Q \sqcup \\{\infty\\} (유리수 및 무한대)
## 유리수체 위의 작용
모듈러 군은 유리수 사영 직선 \mathbb P^1_{\mathbb Q} = \mathbb Q \sqcup \\{\infty\\} 위에 작용한다. 구체적으로, 다음과 같은 집합을 생각하자. :X = \\{(p,q)\in\mathbb Z^2\colon \gcd\\{p,q\\}=1,\; pq \ne 0\\} 그렇다면, 그 위에 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z)의 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다. :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix} \cdot \frac pq = \frac{ap+bq}{cp+dq}\qquad\left(\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\right) 이 경우, 위 행렬이 특수 선형군에 속하므로 그 행렬식이 1이다. 즉, ad-bc=1다. 따라서, \gcd\\{p,q\\}=1일 때 :\gcd\\{ap+bq,cp+dq\\}=1 이게 된다. 이 작용은 추이적 작용이다. 즉, 임의의 (p,q),(p',q')\in X에 대하여, 항상 M\cdot (p,q) = (p',q')인 M\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)이 존재한다. 이제, 다음과 같은 전사 함수를 생각하자. :X \to \mathbb P^1_{\mathbb Q} = \mathbb Q \sqcup\\{\infty\\} :(p,q) \mapsto \frac pq\qquad(q\ne0) :(\pm1,0) \mapsto \infty 즉, (p,q)를 약분 불가능 분수 p/q로 간주하자. 물론 p/q=(-p)/(-q)이므로, 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z)의 몫군 \operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)의, 유리수 사영 직선 위의 작용을 정의한다. 이 작용 역시 따라서 추이적 작용이다. 이 작용 아래 \mathsf S와 \mathsf T의 작용은 다음과 같다. :\mathsf S \cdot \frac pq = -\frac qp :\mathsf T \cdot \frac pq = \frac{p+q}q = \frac pq+1 이 작용은 모듈러 군의, 복소수 상반평면 위의 작용을 유리수로 제한한 것이다.
## 꼬임군과의 관계
모듈러 군의 보편 중심 확대는 3차 꼬임군 \operatorname{Braid}(3)이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다. :\begin{matrix} \operatorname{Cyc}(\infty)& \hookrightarrow & \operatorname{Braid}(3) & \twoheadrightarrow & \operatorname{PSL}(2;\mathbb Z) \\\ \| && \downarrow && \downarrow \\\ \operatorname{Cyc}(\infty) & \hookrightarrow & \overline{\operatorname{SL}(2;\mathbb R)} & \twoheadrightarrow & \operatorname{PSL}(2;\mathbb R) \end{matrix} 여기서 \overline{\operatorname{SL}(2;\mathbb R)}는 2차원 실수 특수선형군의 범피복군이며, \operatorname{Cyc}(\infty)는 무한 순환군(정수의 덧셈군)이다.
## 합동 부분군
모듈러 군은 **합동 부분군**(congruence subgroup)이라는 일련의 부분군들을 가진다. 일반적으로, **합동 부분군**은 (아래에 정의된) \Gamma(N)을 부분군으로 가지는 \Gamma의 부분군 \Gamma(N)\subset G\subset\Gamma(1)이다. 이 경우, 이러한 최소 N을 합동 부분군 G의 **준위**(레벨, 슈튜페)라고 한다. 흔히 쓰이는 합동 부분군으로는 \Gamma(N), \Gamma_0(N), \Gamma_1(N)이 있다. 이들은 다음과 같은 관계를 가진다. :\Gamma(N)\subset\Gamma_1(N)\subset\Gamma_0(N)
### 모듈러 군 Γ(*N*)
모듈러 군 \Gamma는 **주합동 부분군**(主合同部分群, principal congruence subgroup)이라는 중요한 부분군들을 가진다. N\ge2가 양의 정수라고 하면, 2×2 정수 행렬의 모든 수를 N에 대한 동치류들로 치환하는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다. :\Gamma=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)\to\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z/N\mathbb Z) 이 군 준동형의 핵을 **레벨 *N*의 주합동 부분군** \Gamma(N)이라고 한다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다. :1\to\Gamma(N)\hookrightarrow\Gamma\twoheadrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z/N\mathbb Z)\to1 구체적으로, \Gamma(N)은 다음과 같은 꼴의 행렬들로 이루어진다. 행렬 :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix} 에 대하여, :a\equiv d\equiv\pm1\pmod N :b\equiv c\equiv 0\pmod N 특히, \Gamma(2)=\Lambda는 **Λ 모듈러 군**(modular group *Λ*)라고 불린다. 이 경우 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z/2)\cong\operatorname{Sym}(3)은 3차 순환군이므로 크기가 6이다. 즉, \Lambda는 지표가 6인 부분군이다.
### 모듈러 군 Γ1(*N*)
**모듈러 군 Γ1(*N*)**은 \Gamma의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬 :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix} 에 대하여, :a\equiv d\cong1 :c\equiv0\pmod N
## 모듈러 군 Γ0(*N*)
**모듈러 군 Γ0(*N*)**은 \Gamma의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬 :\begin{pmatrix}a&b;\\\c&d;\end{pmatrix} 에 대하여, :c\equiv0\pmod N 즉, 위와 같이 \Gamma\to\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z/N\mathbb Z)와 같은 군 준동형에서, 상이 상삼각행렬인 원소들이다. \Gamma(N)은 \Gamma_0(N)의 부분군이다.