디랙 괄호

고전역학 해밀턴 역학에서 **디랙 괄호**(Dirac bracket)는 해밀토니언과 가환하지 않는 구속이 가해진 고전적 계에서 시간 변화를 나타내는 괄호다. 폴 디랙이 도입하였다.언어=en언어=en
# 정의

## 구속된 해밀턴 계
해밀턴 계 (M,\omega,H)가 주어졌다고 하자. 여기서 심플렉틱 다양체 (M,\omega)는 계의 위상 공간이고, H는 계의 해밀토니언이다. M 위의 매끄러운 함수들의 대수를 \mathcal C^\infty(M)이라고 하자. 심플렉틱 구조에 의하여, 푸아송 괄호 :\\{f,g\\}=(\omega^{-1})^{\mu\nu}\partial_\mu f\partial_\nu g 가 존재한다. 이 계 위에 주어진 **구속**(constraint) \Phi\subset\mathcal C^\infty는 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 함수들의 집합이다. * \Phi는 \mathcal C^\infty(M)의 아이디얼이자, \mathcal C^\infty(M)에 대한 자유 가군이다. 즉, ** 임의의 함수 f\in\mathcal C^\infty(M) 및 제약 \phi\in\Phi에 대하여, f\phi^i\in\Phi이다. ** 임의의 \phi,\phi'\in\Phi에 대하여, \phi+\phi'\in\Phi이다. ** \Phi의 기저 \\{\phi^i\\}_{i\in I}\subset\Phi가 존재한다. 즉, 임의의 \phi\in\Phi를 \phi=u_i\phi^i (u_i\in\mathcal C^\infty(M))의 꼴로 나타낼 수 있다. * (일관성) 쌍대가군 \Phi^*=\hom(\Phi,\mathcal C^\infty(M))의 원소 u\in\Phi^*가 존재하여, 다음을 만족시킨다.(\\{\phi,H\\}+u_i\\{\phi,\phi^i\\})|_{\tilde M}=0\forall\phi\in\Phi 여기서, \tilde M은 **구속된 상태 공간** \tilde M\subset M으로, 다음과 같다. :\tilde M=\\{x\in M|\phi^i(x)=0\forall \phi\in\Phi\\} 즉, 모든 구속들을 만족시키는 상태들의 집합이다.
## 1종 및 2종 구속
**1종 구속**(first-class constraint)의 집합 \Phi_1\subset\Phi은 다음과 같다. :\Phi_1=\\{\phi_1\in\Phi\colon\\{\phi_1,\Phi\\}|_{\tilde M}=0\\} 모든 1종 구속은 일관성 조건에 따라서 해밀토니언과 가환한다. :\\{\Phi_1,H\\}=0 또한, 1종 구속들의 집합 \Phi_1 역시 \mathcal C^\infty(M)의 아이디얼이자, \mathcal C^\infty(M)-가군을 이룬다. 즉, 임의의 함수 f\in\mathcal C^\infty(M)와 1종 제약 \phi_1\in\Phi_1에 대하여, f\phi_1\in\Phi_1이다. 이에 따라서, 구속들의 가군을 다음과 같이 분해할 수 있다. 짧은 완전열 :0\to\Phi_1\hookrightarrow\Phi\twoheadrightarrow\Phi_2\to0 은 분할 완전열이며, 따라서 \Phi를 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\Phi\cong\Phi_1\oplus\Phi_2 물론 이러한 갈림은 표준적으로(canonical) 정의되지 않지만, 임의로 정의할 수 있다. \Phi_2\cong\Phi/\Phi_1을 **2종 구속**(second-class constraint)들의 집합이라고 한다. 1종 제약은 자유 가군의 부분가군이므로 사영 가군(벡터다발)이다.
## 디랙 괄호
2차 구속 \Phi_2의 기저를 \\{\phi^i_2\\}_{i\in I}로 잡자. 그렇다면 행렬 C_{ij}를 다음과 같이 정의하자. :\\{\phi^i_2,\phi^j_2\\}C_{jk}=\delta_i^k 이 경우, **디랙 괄호** \\{,\\}_{\text{D는 다음과 같다. :\\{f,g\\}_{\text{D=\\{f,g\\}-\\{f,\phi_2^i\\}C_{ij}\\{\phi_2^j,g\\} 제약된 해밀턴 계 (M,\omega,H,\Phi)에서의 시간 변화는 다음과 같이 정의한다. 임의의 함수 f\in\mathcal C^\infty(M)의 시간 변화 \dot f는 다음과 같다. :\dot f=\\{f,H\\}_{\text{D 이 정의에 따라서, 구속을 만족시키는 초기 조건의 시간 변화는 계속해서 제약을 만족시킨다. :\\{\phi,H\\}_{\text{D|_{\tilde M}=0\forall\phi\in\Phi 즉, 임의의 2종 구속 \phi^i_2의 경우 :\\{\phi^i_2,H\\}_{\text{D=0 이고, 임의의 1종 구속 \phi^i_1의 경우 :\\{\phi^i_1,H\\}_{\text{D=\\{\phi^1_1,H\\}=0 이다. 디랙 괄호는 일반적으로 기저 변환에 따라 바뀌지만, \tilde M에 국한하면 유일하다.
# 예

## 강한 자기장에서의 비가환 기하학
심플렉틱 다양체 (M,\omega) 위에, 전하 q의 입자가 자기장 B_{\mu\nu}=B\omega_{\mu\nu}와 위치 에너지 V\colon M\to\mathbb R에 영향을 받는다고 하자.언어=en언어=en 또한, 자기장이 매우 강해 그 운동 에너지가 자기장에 의한 위치 에너지보다 매우 작다고 하자. 그렇다면 운동 에너지 항을 생략한 라그랑지언은 다음과 같다. :L(x,\dot x)=qA_\mu\dot x^\mu-V(x) 여기서 A_\mu는 자기 퍼텐셜로, :(dA)_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=B\omega_{\mu\nu} 를 만족시킨다. 편의상 :A_\nu=\frac12Bx^\mu\omega_{\mu\nu} 으로 놓을 수 있다. 즉, :L(x,\dot x)=\frac12qBx^\mu\dot x^\nu\omega_{\mu\nu}-V(x) 이다. 이 경우, 정준 운동량은 다음과 같다. :p_\nu=\frac{\partial L}{\partial\dot x^\nu}=\frac12qBx^\mu\omega_{\mu\nu} 즉, 해밀토니언은 다음과 같다. :H=p_\mu\dot x^\mu-L=V(x) 또한, 정준 운동량들은 시간 도함수 \dot x, \dot y를 포함하지 않으므로, 다음과 같은 제약들이 존재한다. :\phi_\nu=p_\nu-\frac12qBx^\mu\omega_{\mu\nu}=0 이 경우, 두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다. :\\{\phi_\mu,\phi_\nu\\}=qB\omega_{\mu\nu} 이는 가역행렬이므로 이들은 둘 다 2종 구속들이며, 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같다. :\\{f,g\\}_{\text{D=\\{f,g\\}+\frac1{qB}\\{f,\phi_\mu\\}\omega^{\mu\nu}\\{\phi_\nu,g\\} 특히, :\\{x^\mu,x^\mu\\}_{\text{D=-\omega^{\mu\nu}/(qB) 이므로, 이를 양자화하면 :[x^\mu,x^\nu]=-i\hbar \omega^{\mu\nu}/(qB) 이다. 즉, 비가환 기하학을 얻는다. 이 경우에는 제약에 따라 물리적 공간 M 자체가 사실상 위상 공간이 된다. 이 경우에는 퍼텐셜 A_\mu가 대역적으로(global) 존재하므로, 심플렉틱 구조 \omega_{\mu\nu}의 코호몰로지류 [\omega]\in H^2(M;\mathbb R)가 0이다. 따라서, 기하학적 양자화를 따르는 경우에는 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 리만 계량 g_{\mu\nu}가 심플렉틱 구조 \omega_{\mu\nu}와 호환된다면, 이 구조는 (거의) 켈러 구조를 이뤄 기하학적 양자화가 가능하다. 물론, 퍼텐셜 V(x)의 경우 순서가 모호하게 된다.
## 부분다양체에 구속된 입자
리만 다양체 (M,g) 위에 존재하는, 질량 m의 입자가 위치 에너지 V(\mathbf x)의 영향을 받고, 또한 어떤 함수 C\colon M\to\mathbb R의 영집합 C^{-1}(0)\subset M에 구속되었다고 하자.언어=en 이 경우, 임의의 x\in M에 대하여 다음과 같은 해밀토니언을 적을 수 있다. :H=\frac1{2m}g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu+V(x) 물론 이 경우 다음과 같은 구속을 가해야 한다. :\phi^1=C(x)=0 :\phi^2=g^{\mu\nu}p_\mu\partial_\nu C(x)=0 이 경우, :\\{\phi^1,\phi^2\\}=g^{\mu\nu}\partial_\mu C\partial_\nu C=(\partial C)^2 이다. 따라서, 만약 C^{-1}(0)에서 \partial C\ne0이라면, \phi^1과 \phi^2 둘 다 2종 구속이다. (이 조건이 충족되면, 음함수 정리에 의하여 C^{-1}(0)이 매끄러운 부분다양체를 이루게 된다.) 이 경우, 디랙 괄호는 다음과 같다. :\\{f,g\\}_{\text{D=\\{f,g\\}+(\partial C)^{-2}\\{f,\phi^i\\}\epsilon_{ij}\\{\phi^j,g\\} 예를 들어, :\\{x^\mu,x^\nu\\}_{\text{D=0 :\\{x^\mu,p_\nu\\}_{\text{D=\delta^\mu_\nu-(\partial C)^{-2}\partial^\mu C\partial_\nu C :\\{p_\mu,p_\nu\\}_{\text{D=(\partial C)^{-2}p^\rho\left((\nabla_\rho\partial_\mu C)(\partial_\nu C)-(\partial_\mu C)(\nabla_\rho\partial_\nu C)\right) 가 된다.