콕서터 군

군론에서 **콕서터 군**(Coxeter群, Coxeter group)은 일련의 반사들로 구성되는 군이다. 단순 리 군의 바일 군은 유한 콕서터 군이며, 따라서 유한 콕서터 군은 단순 리 군과 유사하게 분류할 수 있다. 또한, 다각형이나 다면체의 반사 대칭군 또한 유한 콕서터 군이므로, 콕서터 군은 정다면체의 분류와도 관련있다.
# 정의
**콕서터 군**은 다음과 같이 표시될 수 있는 군이다. :G=\langle r_1,r_2,\dots,r_n|(r_ir_j)^{m_{ij=1\rangle 여기서 행렬 m_{ij}는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. * m_{ii}=1 * 2\le m_{ij}\le\infty (i\ne j). 여기서 m_{ij}=\infty인 경우는 (r_ir_j)^{m_{ij=1의 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다. 이 행렬 m을 콕서터 군의 **콕서터 행렬**(Coxeter行列, Coxeter matrix)이라고 하고, n을 콕서터 군의 **계수**(階數, rank)라고 한다. 순서쌍 (G,\\{r_1,r_2,\dots,r_n\\})을 **콕서터 계**(Coxeter系, Coxeter system)라고 한다. 두 콕서터 군이 군으로서 동형이더라도, 서로 동형이 아닌 콕서터 계를 가질 수 있다. 예를 들어, 군으로서 BC_3\cong A_1\times A_3이지만, 이들은 서로 다른 콕서터 계를 가진다. 그러나 콕서터 군의 계수는 표시에 관계없는 불변량이다.
## 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표
콕서터 군의 콕서터 행렬 M은 다른 방법으로 표기할 수 있다. **콕서터 도표**(Coxeter圖表, Coxeter diagram)은 콕서터 군을 그래프로 나타내는 방법이다. 구체적으로, 이는 각 변에 유리수 p가 붙은 그래프이다. * 콕서터 도표의 각 꼭짓점은 어떤 거울 반사의 반사면을 나타낸다. * 콕서터 도표의 두 꼭짓점 사이의, 수 p가 붙은 변은 두 거울 반사 사이의 각도가 \pi/p라는 것을 뜻한다. 그림을 간략하게 하기 위하여, 통상적으로 다음과 같은 규칙을 따른다. ** p=2인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 \pi/2=90^\circ인 경우에는 변을 통상적으로 생략한다. ** p=3인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 \pi/3=60^\circ인 경우에는 변을 그리되, p를 통상적으로 생략한다. ** p\ne2,3인 경우 통상적으로 변 및 p의 값을 생략하지 않는다. 콕서터 행렬 M에 대응하는 **슐레플리 행렬**(Schläfli matrix) C의 성분은 다음과 같다. :C_{i,j}=-2\cos(\pi/M_{i,j}) 즉, 콕서터 행렬은 두 반사면 사이의 각도의 라디안 값 \pi/p의 분모 p를 나타내는 반면, 슐레플리 행렬은 각도의 코사인의 −2배를 표기한다. 예를 들어, 비교적 간단한 콕서터 군들의 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표는 다음과 같다. {| class=wikitable |+ 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표의 예 |- align=center ! 콕서터 군 ! A1×A1 ! A2 ! Ĩ1 ! A3 ! BC3 ! D4 ! Ã3 |- align=center ! 콕서터 도표 |\bullet\quad\bullet |\bullet-\bullet |\bullet\stackrel\infty-\bullet |\bullet-\bullet-\bullet |\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet |\bullet-\bullet\bullet |- align=center !콕서터 행렬 |\left( \begin{smallmatrix} 1 & 2 \\\ 2 & 1 \\\ \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 1 & 3 \\\ 3 & 1 \\\ \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 1 & \infty \\\ \infty & 1 \\\ \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 1 & 3 & 2 \\\ 3 & 1 & 3 \\\ 2 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 1 & 4 & 2 \\\ 4 & 1 & 3 \\\ 2 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 1 & 3 & 2 & 2 \\\ 3 & 1 & 3 & 3 \\\ 2 & 3 & 1 & 2\\\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 1 & 3 & 2 & 3 \\\ 3 & 1 & 3 & 2 \\\ 2 & 3 & 1 & 3\\\ 3 & 2 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right) |- align=center !슐레플리 행렬 |\left( \begin{smallmatrix} 2 & 0 \\\ 0 & 2 \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 2 & -1 \\\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 2 & -2 \\\ -2 & 2 \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\\ -1 & 2 & -1 \\\ 0 & -1 & 2 \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 2 & -\sqrt{2} & 0 \\\ -\sqrt{2} & 2 & -1 \\\ 0 & -1 & 2 \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\\ -1 & 2 & -1 & -1 \\\ 0 & -1 & 2 & 0\\\ 0 & -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right) |\left( \begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & -1 \\\ -1 & 2 & -1 & 0 \\\ 0 & -1 & 2 & -1\\\ -1 & 0 & -1 & 2 \end{smallmatrix}\right) |- align=center !슐레플리 행렬의 고윳값 |2, 2 |1, 3 |0, 4 |2, 2±√2 |2, 2±√3 |2, 2, 2±√3 |0, 2, 2, 4 |- align=center !분류 |유한 |유한 |아핀 |유한 |유한 |유한 |아핀 |} 콕서터 군은 그 슐레플리 행렬 C의 고윳값들에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다. * **유한 콕서터 군**(finite Coxeter group): C의 고윳값들이 모두 양의 실수이다. 이 경우는 유한군이며, 폴리토프(=초구의 테셀레이션)의 대칭군과 관련있다. * **아핀 콕서터 군**(affine Coxeter group): C의 고윳값들이 모두 음의 실수가 아니며, 0을 고윳값으로 갖는다. 이 경우는 무한군이며, 유클리드 공간의 테셀레이션의 대칭군과 관련있다. * **쌍곡선 콕서터 군**(hyperbolic Coxeter group): C는 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는다. 이 경우는 무한군이며, 쌍곡공간의 테셀레이션의 대칭군과 관련있다.
# 성질

## 크기
유한 콕서터 군의 크기 g는 그 콕서터 수 h와 다음과 같이 관계있다.언어=en233 * [p]: 2h/gp = 1 * [p,q]: 8/gp,q = 2/p + 2/q -1 * [p,q,r]: 64h/gp,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r * [p,q,r,s]: 16/gp,q,r,s = 8/gp,q,r \+ 8/gq,r,s \+ 2/(ps) - 1/p - 1/q - 1/r - 1/s +1
## 호몰로지
콕서터 군은 유한 개의, 차수 2의 원소들로 생성되었으므로, 그 아벨화(=1차 군 호몰로지)는 2차 순환군 \mathbb Z/2들의 유한 개의 직합이다. 콕서터 군의 슈어 승수(=2차 군 호몰로지) 역시 알려져 있다.언어=en언어=en언어=en
## 불변량
계수 n의 유한 콕서터 군 G는 n차원 (실수) 벡터 공간 V위에 자연스러운 표현을 갖는다. 이 경우, G의 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수 \mathbb C[V]^G을 생각할 수 있다. 이는 항상 자유 가환 단위 결합 대수(=다항식 대수)를 이룬다. 불변량 대수 \mathbb C[V]^G의 생성원들의 수는 군의 계수 n이며, 불변량 대수의 생성원(**기본 불변량** fundamental invariant)들의 차수는 아래 표에 제시하였다. 이들은 다음과 같은 성질을 보인다. * 생성원들의 차수 가운데 최댓값은 항상 콕서터 수 h이며, 최솟값은 2이다. * 차수 d의 생성원이 존재한다면, 차수 h+2-d의 생성원 역시 존재한다.
## 콕서터 원소
반사 r_1,\dotsc,r_n으로 생성되는 콕서터 군 G의 **콕서터 원소**는 다음과 같은 꼴의 원소이다. :r_{\sigma(1)}r_{\sigma(2)}\dotsm r_{\sigma(n)}\in G\qquad(\sigma\in\operatorname{Sym}(n)) 물론, 이는 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)에 의존하며, 일반적으로 유일하지 않으나, 모든 콕서터 원소는 하나의 켤레류에 속한다. 특히, 모든 콕서터 원소는 같은 차수를 갖는다. 콕서터 원소의 차수를 콕서터 군 G의 **콕서터 수**(Coxeter數, Coxeter number)라고 한다.
## 길이 함수
콕서터 길이 함수 콕서터 군 G 위에는 다음과 같은 **콕서터 길이 함수**가 존재한다. :\ell \colon G\to\mathbb N 이는 원소를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수이다. 이 길이 함수를 사용하여 G 위에 여러 부분 순서를 정의할 수 있으며, 또한 유한 콕서터 군의 경우 유일한 최장(最長) 원소가 존재한다.
# 분류

## 유한 콕서터 군
유한 콕서터 군들은 모두 완전히 분류되었고, 다음 표와 같다. 두 유한 콕서터 군의 곱은 또다른 유한 콕서터 군이므로, 아래 표는 두 콕서터 군의 곱으로 나타낼 수 없는 콕서터 군들만을 나열하였다. 유한 콕서터 군의 기호에서 아래첨자는 콕서터 군의 계수(즉, 콕서터 도표의 점의 수)와 같다. :{| class="wikitable" ! 기호 || 다른 기호 || 콕서터 표기법 || 콕서터 도표 || 크기 || 콕서터 수 *h* || 관련 폴리토프 || 기본 불변량들의 차수 |- align=center !*A**'n* || *A**'n* || [3n-1] || \bullet-\bullet-\cdots-\bullet || (*n* + 1)! || *n* + 1 || *n*-단체 || 2, 3, 4, …, *n* + 1 |- align=center !*BC**'n* || *C**'n* || [4,3n-2] || \bullet\stackrel{4}{-}\bullet-\cdots-\bullet || 2*n* *n*! || 2*n* || *n*-초입방체 / *n*-cross-polytope || 2, 4, 6, …, 2*n* |- align=center !*D**'n* || *B**'n* || [3n-3,1,1] || \bullet-\cdots-\bullet\bullet-\bullet || 72×6! || 12 || 221, 122 || 2, 5, 6, 8, 9, 12 |- align=center !*E*7 ||*E*7 || [33,2,1] || \bullet-\bullet}\atop{\qquad\bullet>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet || 72×8! || 18 || 321, 231, 132 || 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 |- align=center !*E*8 || *E*8 || [34,2,1] || \bullet-\bullet}\atop{\qquad\bullet>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet || 192×10! || 30 || 421, 241, 142 || 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 |- align=center !*F*4 ||*F*4 || [3,4,3] || \bullet-\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet || 1152 || 12 || 정이십사포체|| 2, 6, 8, 12 |- align=center !*H*3 || *G*3 || [3,5] || \bullet-\bullet\stackrel5-\bullet || 120 || 10 || 정이십면체 / 정십이면체 || 2, 6, 10 |- align=center !*H*4 || *G*4 || [3,3,5] || \bullet-\bullet-\bullet\stackrel5-\bullet || 14400 || 30 || 정백이십포체 / 정육백포체|| 2, 12, 20, 30 |- align=center !*I*2(*p*) || *D*2*p* || [*p*] || \bullet\stackrel p-\bullet || 2*p* || *p* || 정*p*각형 || 2, *p* |} 위 목록에서, 다음과 같은 항목들이 서로 중복된다. :A_2=I_2(3) :BC_2=I_2(4) :D_3=A_3 또한, E_n 및 H_n을 작은 n에 대하여 그대로 연장한다면 다음과 같은 항목들이 중복된다. :E_5=D_5 :E_4=A_4 :H_2=I_2(5) **바일 군**은 유한 콕서터 군 가운데, **결정 조건**(結晶條件, crystallographic condition)을 만족시키는 것이다. 여기서 결정 조건이란 콕서터 도표의 모든 변에 대하여, 첨부된 숫자가 2, 3, 4, 또는 6 (즉, 90°, 60°, 45°, 30°)이어야 한다는 것이다. 이 경우, p=4 또는 p=6인 경우는 각각 딘킨 도표에서 변이 2겹 또는 3겹인 경우에 해당한다. 따라서, 유한 콕서터 군 가운데 바일 군인 것들은 다음 목록에 수록된 군들의 직접곱이다. * A_n * BC_n. 이들은 리 군 B_n 및 C_n의 바일 군이다. * D_n * E_6, E_7, E_8 * F_4 * I_2(6). 이는 G_2의 바일 군이다. 유한 콕서터 군들의 콕서터 도표는 다음과 같다. :파일:Finite
## 아핀 콕서터 군
아핀 콕서터 군의 기호의 아랫첨자는 계수(콕서터 도표의 꼭짓점의 수)보다 1 작으며, 이들은 대응하는 유한 콕서터 군의 기호에 물결표(~)를 덧씌워 표기한다. {| class="wikitable" !기호 || 비트 기호 || 콕서터 기호 || 관련 테셀레이션 || 콕서터 도표 |- align=center !{\tilde{A_n ||*P**'n+1* || [3[*n*]] || 단체 쪽매맞춤(simplectic honeycomb) || \bullet\bullet |- align=center !{\tilde{B_n ||*S**'n+1* || [4,3n-3,31,1] || 반하이퍼큐브(demihypercube) 쪽매맞춤 || \bullet\stackrel4-\bullet-\cdots-\bullet\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\bullet-\bullet-\bullet |- align=center !{\tilde{E_7 ||*T**'8* || [33,3,1] || 331, 133 || {\bullet-\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet |- align=center !{\tilde{E_8 ||*T**'9* || [35,2,1] || 521, 251, 152 || {\bullet-\bullet\atop\qquad\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet |- align=center !{\tilde{F_4 ||*U**'5* || [3,4,3,3] || 정십육포체 쪽매맞춤, 정이십사포체 쪽매맞춤|| \bullet-\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet-\bullet |- align=center !{\tilde{G_2 ||*V**'3* || [6,3] || 정육각형 쪽매맞춤, 정삼각형 쪽매맞춤|| \bullet\stackrel6-\bullet-\bullet |- align=center ! {\tilde{I_1 ||*W**2* || [∞] || 직선의 단위 구간에 의한 쪽매맞춤 || \bullet\stackrel\infty-\bullet |} 아핀 콕서터 군의 콕서터 도표는 다음과 같다.
## 쌍곡선 콕서터 군
**쌍곡선 콕서터 군**(hyperbolic Coxeter group)의 분류는 유한 콕서터 군이나 아핀 콕서터 군의 분류보다 더 복잡하다.
# 역사
해럴드 스콧 맥도널드 콕서터가 1930년대에 도입하였다.url=http://mduchin.math.tufts.edu/UCD/ggt/coxeter.pdf언어=en 이후 자크 티츠와 니콜라 부르바키가 콕서터 군의 이론의 발전에 공헌하였다.