위상의 비교

일반위상수학과 범주론에서, 위상 함자를 통해 주어진 집합 위에 여러 위상수학적 구조를 부여할 수 있으며, 이러한 구조들은 완비 격자를 이룬다. 이 경우 한 구조가 다른 구조에 대하여 더 **섬세한 구조**(纖細-構造, finer structure) 또는 더 **엉성한 구조**(-構造, coarser structure)라고 한다.
# 정의
두 범주 \mathcal E, \mathcal B 사이의 함자 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B가 주어졌다고 하자. 임의의 대상 \hat X\in\mathcal B에 대하여, 다음과 같은 범주 \Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})를 생각할 수 있다. * \Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})의 대상은 \Pi(X)=\hat X인 대상 X\in\mathcal E이다. * \Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})의 사상은 \Pi(f)=\operatorname{id}_{\hat X}인 사상 f\in\operatorname{Mor}(\mathcal E)이다. 만약 \Pi가 충실한 함자라면, \Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})는 얇은 범주이며, 이는 \hat X 위에 존재할 수 있는 \mathcal E-구조들의 범주로 생각할 수 있다. \Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})는 얇은 범주이므로, 그 위에 다음과 같은 원순서가 존재한다. :X\lesssim X'\iff \exists f\in\hom_{\Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})}(X,X') 이 관계를 **엉성함**이라고 한다.언어=en30, Definition 1.1.4 즉, 만약 \Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X}) 속에서 사상 f\colon X\to X'가 존재한다면, X'이 X보다 더 **엉성한**(coarser) \mathcal E-구조이며, 반대로 X는 X'보다 더 **섬세한**(finer) \mathcal E-구조이다. 이 정의는 특히 위상 함자 \Pi\colon\mathcal E\to\operatorname{Set}에 대하여 적용된다. \Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})에서 만약 최대 원소(즉, 가장 엉성한 \mathcal E-구조)가 존재한다면, 이를 \hat X 위의 **비이산 \mathcal E-구조**(indiscrete \mathcal E-structure)라고 한다. 반대로, \Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})에서 만약 최소 원소(즉, 가장 섬세한 \mathcal E-구조)가 존재한다면, 이를 \hat X 위의 **이산 \mathcal E-구조**(discrete \mathcal E-structure)라고 한다.
# 성질
\Pi가 위상 함자라고 한다면, 이산·비이산 구조가 항상 존재한다. 위상 함자에서는 또한 시작 구조와 끝 구조가 항상 존재한다. 이들의 존재로 인하여, \Pi^{-1}(\operatorname{id}_X)는 완비 원격자를 이룬다.
# 예

## 위상 공간
위상 공간과 연속 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자 :U\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Set} 는 위상 함자이며 따라서 충실한 함자이다. 따라서 이 경우 더 **엉성한 위상**과 더 **섬세한 위상**의 개념을 정의할 수 있다. 집합 X 위의 두 위상 (열린집합의 족) \mathcal U,\mathcal U'\subseteq\mathcal P(X)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.mr=0464128 77–78 * \mathcal U'이 \mathcal U보다 더 엉성하다. 즉, 항등 함수 (X,\mathcal U)\to(X,\mathcal U')이 연속 함수이다. * \mathcal U\supseteq\mathcal U'이다. 즉, 항등 함수 (X,\mathcal U')\to(X,\mathcal U)가 열린 함수이다. 주어진 집합 위의 위상들은 완비 격자를 이룬다. 흔히, 위상수학에서는 엉성한/섬세한 위상 대신 "약한/강한 위상"(weaker/stronger topology)이라는 용어를 사용하며, 반대로 해석학에서는 "강한/약한 위상"(stronger/weaker topology)이라는 용어를 사용한다.
### 기저
보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 \operatorname{TopBase}를 생각하자. * \operatorname{TopBase}의 원소 (X,\mathcal B)는 집합 X와 그 위의 기저 \mathcal B의 순서쌍이다. * \operatorname{TopBase}의 사상 f\colon(X,\mathcal B_X)\to(Y,\mathcal B_Y)는 다음 조건을 만족시키는 함수이다. *:\forall\epsilon\in\mathcal B_Y\forall x\in f^{-1}(\epsilon)\exists\delta\in\mathcal B_Y\colon\left(x\in\delta\subseteq f^{-1}(\epsilon)\right) 그렇다면 \operatorname{Top}은 \operatorname{TopBase}의 충만한 부분 범주를 이룬다. 그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 기저를 정의할 수 있다. 집합 X 위의 두 기저 \mathcal B,\mathcal B'\subseteq\mathcal P(X)에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. * \mathcal B'이 \mathcal B보다 더 엉성하다. * 임의의 \epsilon\in\mathcal B' 및 x\in\epsilon에 대하여, x\in\delta\subseteq\epsilon인 \delta\in\mathcal B가 존재한다. * \mathcal B'에 의해 생성되는 위상 \textstyle\\{\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\mathcal B'\\}은 \mathcal B에 의해 생성되는 위상 \textstyle\\{\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\mathcal B\\}보다 더 엉성하다. 주어진 집합 위의 기저들은 완비 원격자를 이룬다.
### 부분 기저
보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 \operatorname{TopSubbase}를 생각하자. * \operatorname{TopSubbase}의 원소 (X,\mathcal B)는 집합 X와 그 위의 임의의 집합족 \mathcal B\subseteq\mathcal P(X)의 순서쌍이다. (이는 X의 위상을 생성하는 부분 기저로 생각한다.) * \operatorname{TopSubbase}의 사상 f\colon(X,\mathcal B_X)\to(Y,\mathcal B_Y)는 다음 조건을 만족시키는 함수이다. *:\forall\epsilon\in\mathcal B_Y\forall x\in f^{-1}(\epsilon)\exists n\in\mathbb N,\;\delta_1,\dots,\delta_n\in\mathcal B_Y\colon\left(x\in\delta_1\cap\delta_2\cap\cdots\cap\delta_n\subseteq f^{-1}(\epsilon)\right) 그렇다면 \operatorname{TopBase}는 \operatorname{TopSubbase}의 충만한 부분 범주를 이룬다. 그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 부분 기저를 정의할 수 있다. 집합 X 위의 두 부분 기저 \mathcal B,\mathcal B'\subseteq\mathcal P(X)에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. * \mathcal B'이 \mathcal B보다 더 엉성하다. * 임의의 \epsilon\in\mathcal B' 및 x\in\epsilon에 대하여, x\in\delta_1\cap\delta_2\cap\cdots\cap\delta_n\subseteq\epsilon인 자연수 n\in\mathbb N 및 \delta_1,\dots,\delta_n\in\mathcal B가 존재한다. * \mathcal B'에 의해 생성되는 위상 \textstyle\\{\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\\{\bigcap T\colon T\subseteq\mathcal B',\;|T|<\aleph_0\\}\\}은 \mathcal B에 의해 생성되는 위상\textstyle\\{\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\\{\bigcap T\colon T\subseteq\mathcal B,\;|T|<\aleph_0\\}\\}보다 더 엉성하다. 주어진 집합 위의 부분 기저들은 완비 원격자를 이룬다.
## 덮개와 유계형 집합
다음과 같은 구체적 범주 \operatorname{Cover}를 생각하자. * \operatorname{Cover}의 대상 (X,\mathcal C)은 집합 X와 그 위의 덮개 \mathcal C\subseteq\mathcal P(X)의 순서쌍이다. * \operatorname{Cover}의 사상 f\colon(X,\mathcal C_X)\to(Y,\mathcal C_Y)은 다음 조건을 만족시키는 함수이다. *:\forall C_X\in\mathcal C_X\exists C_Y\in\mathcal C_Y\colon f(C_X)\subseteq\mathcal C_Y 이렇게 정의하였을 때, 같은 집합 X 위의 두 덮개 \mathcal C,\mathcal C'\subseteq\mathcal P(X)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \mathcal C'이 \mathcal C보다 더 엉성하다. * \mathcal C'은 \mathcal C의 세분이다. 유계형 집합의 범주 \operatorname{BornSet}은 \operatorname{Cover}의 충만한 부분 범주를 이루며, 따라서 위와 같은 정의를 사용할 수 있다.
## 필터
다음과 같은 범주 \operatorname{FilterBase}를 생각하자. * \operatorname{FilterBase}의 대상 (X,\mathcal F)는 집합 X와 \mathcal P(X) 위의 필터 기저 \mathcal F\subseteq\mathcal P(X)이다. * \operatorname{FilterBase}의 사상 f\colon (X,\mathcal F_X)\to(Y,\mathcal F_Y)은 다음 조건을 만족시키는 함수이다. *:\forall F_Y\in\mathcal F_Y\colon\exists F_X\in\mathcal F_X\colon f^{-1}(F_Y)\supseteq F_X 그렇다면, 집합 X 위의 두 필터 기저 \mathcal F,\mathcal F'\subseteq\mathcal P(X)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \mathcal F'이 \mathcal F보다 더 엉성하다. * \uparrow\mathcal F'\subseteq\uparrow\mathcal F이다. 여기서 \uparrow는 필터 기저로 생성되는 필터(즉, 상폐포)를 뜻한다.
## 가측 공간
가측 공간과 가측 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자 :U\colon\operatorname{Measble}\to\operatorname{Set} 는 위상 함자이며, 따라서 이 경우 더 섬세한/엉성한 가측 공간 구조를 정의할 수 있다.