WKB 근사

양자역학 양자역학에서 **WKB 근사**(WKB近似, WKB approximation)는 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 순수하게 양자역학적인 효과가 작아 파동 함수의 진폭 또는 위상이 거의 일정하다는 가정 아래 푸는 근사법이다.
# 1차원 퍼텐셜 속의 입자
1차원 공간에서 에너지 E를 가지고 퍼텐셜 V(x)에 영향을 받는 입자의 파동 함수 \Psi(x)는 다음과 같은 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을 따른다. :-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x). 이제 파동 함수 \Psi를 다음과 같이 그 로그의 실수 및 허수 성분의 도함수로 나타내자. :\Psi(x)=\exp\left(\int (A(x)+iB(x))\,dx\right). 이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 두 방정식을 얻는다. :A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) :B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0. 이 연립 미분 방정식을 풀기 위해, 다음과 같은 반고전 근사법(semiclassical approximation)을 취한다. 우선, 파동 함수 성분A와 B를 디랙 상수 \hbar에 대한 테일러 급수로 전개한다. (위 식에 따라 A,B=O(1/\hbar)이므로 그 첫 항은 \hbar^0이 아니라 \hbar^{-1}이 된다.) :A(x)=\sum_{n=0}^\infty \hbar^{n-1} A_n(x) :B(x)=\sum_{n=0}^\infty \hbar^{n-1} B_n(x). 디랙 상수는 아주 작으므로, 급수의 가장 낮은 차수의 항부터 먼저 보자. :A_0(x)^2-B_0(x)^2=2m\left( V(x) - E \right) :A_0(x)B_0(x)=0. 두 번째 방정식에 따라 A_0=0 또는 B_0=0이다. 첫 번째 방정식에 따라 V(x)이면 A_0=0, B_0\ne0으로, V(x)>E이면 A_0\ne0, B_0=0으로 놓는다. 전자는 고전적인 경우, 후자는 터널링이 일어나는 경우를 나타낸다. 그 다음 차수의 항은 다음과 같다. :A_0'(x)+2A_0(x)A_1(x)-2B_0(x)B_1(x)=0 :B_0'(x)+2A_0(x)B_1(x)+2A_1(x)B_0(x)=0. 첫 번째 식에 의해, A_0=0이면 B_1=0이다. 두 번째 식에 의해, B_0=0이어도 B_1=0이다.
## 고전적인 경우
이 경우는 총 에너지 E가 위치 에너지 V(x)보다 더 크므로, 입자가 고전적으로 존재할 수 있는 영역이다. 여기서는 A_0=0이고, :B_0(x)=\pm\sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) } 이다. 이는 파동 함수의 진폭(A)은 별로 변하지 않지만 그 위상(B)이 많이 변하는 꼴이다. 다음 차수의 항 A_1을 구하면 다음과 같다. :A_1=-B_0'/2B_0=-\frac12(\ln B_0)'. 따라서 파동 함수 \Psi(x)는 대략 :\Psi(x)\approx CB_0^{-1/2}\exp\left(i\int B_0\,dx\right)=\frac{C_+\exp\left(i \int \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} dx\right)+ C_-\exp\left(-i \int \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} dx\right) }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right) 으로 근사할 수 있다. 여기서 C_+와 C_-는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 고전적인 영역에서는 파동 함수는 대략 사인파의 모양이다.
## 터널 효과
이 경우는 위치 에너지 V가 총 에너지 E보다 더 크므로 입자가 고전적으로 존재할 수 없는 영역이다. 즉, 터널 효과에 해당한다. 여기에는 B_0(x) = 0이고, :A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) } 이다. 다음 차수의 항 A_1을 구하면 다음과 같다. :A_1=-A_0'/2A_0=-\frac12(\ln A_0)'. 따라서 파동 함수 \Psi(x)는 대략 :\Psi(x)\approx DA_0^{-1/2}\exp\left(\int A_0\,dx\right)=\frac{ D_{+}\exp\left(\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right) + D_{-} \exp\left(-\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right)}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) 으로 근사할 수 있다. 여기서 D_+와 D_-는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 터널링 영역에서는 파동 함수는 지수 함수의 모양을 따른다.
## 연결 공식
고전적인 경우와 터널 효과인 경우의 해는 V\approx E가 되는 점 근처에서 발산한다. 따라서 이런 점 근처에는 **연결 공식**(connection formula)를 사용하여 두 해의 계수 C_\pm, D_\pm를 (전체 파동 함수가 연속 미분 가능하게끔) 서로 맞추어야 한다. 고전적인 영역과 터널링 영역이 x_0에서 만난다고 하자. 즉, :V(x_0)=E 이라고 하자. 그렇다면 x_0 근처에서 퍼텐셜 V(x)를 :V(x)\approx V'(x_0)(x-x_0)+E 와 같이 근사할 수 있다. 그렇다면 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. :\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''=V'(x_0)\Psi(x)(x-x_0). 이는 에어리 함수를 사용하여 풀 수 있다. 그 일반적인 해는 다음과 같다. :\Psi(x)=aAi(\sqrt[3]{2mV'(x_0)/\hbar^2}x)+bBi(\sqrt[3]{2mV'(x_0)/\hbar^2}x). 여기서 a와 b는 임의의 상수이다. x\gg1일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다. :Ai(x)\approx\frac{\exp(-\frac23x^{3/2})}{2\sqrt{\pi}x^{1/4 (분모에 2가 있는 것에 주의!) :Bi(x)\approx\frac{\exp(\frac23x^{3/2})}{\sqrt{\pi}x^{1/4 :Ai(-x)\approx\frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4 :Bi(-x)\approx\frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4. 이를 고전적 영역의 해와 터널링 영역의 해와 비교하면 계수 사이의 관계를 얻을 수 있다. 이를 **연결 공식**이라고 한다. 예를 들어, x은 고전적인 영역이고, x>x_0은 터널링 영역이라고 하자. 그렇다면 :D_+-2iD_-=2C_+\exp(-i\pi/4) :D_++2iD_-=2C_-\exp(i\pi/4) 이다. 그 반대로, x>x_0이 고전적이고 x이 터널링인 경우에도 유사한 공식을 유도할 수 있다.
# 일반적 경우
n차원 리만 다양체 M 위의 입자가 퍼텐셜 V\colon M\to\mathbb R 속에서 움직인다고 하자. 이 경우, 파동 함수에 대하여 다음과 같은 가설 풀이를 고르자. :\psi(x)=\exp(iS(x)/\hbar)\sum_{k=0}^\infty a_k(x)\hbar^k 여기서, 각 항의 단위는 다음과 같다. * S(x)는 작용의 단위를 갖는다. * a_k(x)는 [길이]−*n*/2[작용]−k의 단위를 갖는다. 이를 슈뢰딩거 방정식 :0=\left(-\hbar^2\nabla^2+2m(V(x)-E)\right)\psi 에 대입하여 \hbar의 각 계수별로 비교하면, 다음과 같은 일련의 편미분 방정식을 얻는다.언어=en§2.2 :\nabla^\mu S(x)\nabla_\mu S(x)=2m\left(E-V(x)\right) :\left(\left(\nabla^2S(x)\right)+2(\partial^\mu S)\partial_\mu\right)a_0(x)=0 :\left(\left(\nabla^2S(x)\right)+2(\partial^\mu S)\partial_\mu\right)a_k(x)=i\nabla^2a_{k-1}(x) 고전적 영역에서는 S는 실수이며, 터널 영역에서는 S는 허수가 된다. 처음 두 개의 편미분 방정식은 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다. 우선, 심플렉틱 다양체 T^*M의 다음과 같은 라그랑주 부분 다양체를 정의하자. :L=\\{(x,p)\colon x\in M,\;p=\partial_\mu S(x)\in T_x^*M\\}\subset T^*M 이 경우, 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재하며, 이는 미분 동형을 이룬다. :\pi\colon L\to M :\pi\colon (x,p)\mapsto x 그렇다면, 처음 두 개의 WKB 방정식은 다음과 같이 해석할 수 있다.§2.2 * S에 대한 방정식은 해밀턴-야코비 방정식이며, 이는 해밀토니언을 L에 국한하였을 경우 상수 함수임을 뜻한다. *: H|_L=E * a_0에 대한 방정식 \nabla^\mu(a^2\partial_\mu S)=0은 수송 방정식(transport equation)이며, 이는 L 위에 정의된 밀도 \pi^*\left(a_0^2(x)\sqrt{\det g(x)} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\right)가 해밀토니언 벡터장 (X_H)^I=(\omega^{-1})^{IJ}\partial_JH에 대하여 불변인 것을 뜻한다. (해밀턴-야코비 방정식에 의하여, 해밀토니언 벡터장은 항상 L의 접벡터이다.) 여기서 \mathcal L은 밀도의 리 미분이며, \pi^*는 \pi에 대한 당김이다. *: \mathcal L_{X_H}\pi^*\left(a_0^2(x)\sqrt{\det g(x)}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\right)=0 따라서, 처음 두 WKB 방정식은 기하학적 양자화에서, 라그랑주 부분 다양체 및 그 위에 주어진 ½-밀도로서 주어진 고전적 상태가 만족시켜야 하는 조건을 나타낸다. 그러나 나머지 WKB 방정식들은 이와 같이 간단한 기하학적 해석을 부여하기 힘들다.
# 역사
1923년에 영국의 수학자 해럴드 제프리스(Harold Jeffreys)가 이 근사법을 이차 미분 방정식에 대한 일반적인 근사법으로 도입하였다.언어=en 1925년 슈뢰딩거 방정식이 발표되자, 그 이듬해인 1926년에 독일의 그레고어 벤첼(Gregor Wentzel)언어=de, 네덜란드의 헨드릭 안토니 크라머르스언어=de, 프랑스의 레옹 브릴루앵언어=fr 이 독자적으로 이에 대한 근사법을 발표하였다. 넷 다 사실상 같은 방법이었으나 이들은 서로의 업적을 처음에 알지 못했다. 이에 따라 보통 WKB 또는 JWKB 근사법으로 불린다.