사차 방정식

사차 함수의 그래프 **사차 방정식**(Quartic equation)이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는 :ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 , a\ne 0 와 같다. 여기에서 a, b, c, d는 각각 x^4 , x^3 , x^2, x 의 계수라고 한다. e는 상수항이라고 부른다.
# 역사
페라리는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 삼차방정식을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 카르다노의 책에서 발표된다.
# 해법
:\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\ 이 방정식에서 양변을 x의 최고차항인 a로 나눈 다음 \textstyle x=y- {b \over 4a} 라고 두면 y^4 + p{y^2} + qy + r = 0 꼴로 차 고차항을 치른하우스 변형으로 압축 정리(zipping)할 수 있다. y^4 +p{y}^2= - qy - r 한편, ( y^2 + p )^2 의 완전제곱식을 풀면, y^4 + 2py^2 + p^2 이 되므로 :y^4+py^2 의 나머지인 py^2 + p^2를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 만든다. : ( y^2 + p )^2 = p{y}^2 -qy + p^2 -r 이 된다. 이번에는 우변에 미지수 t를 제공하고 y와 t에 대해 정리하면, : \left(y^2+p+t \right)^2= \left(p+2t \right)y^2 -qy + \left(p^2+2pt + t^2-r \right) 우변 이차방정식의 판별식, D = q^2 -4 \left(p+2t\right) \left((p+ t)^2-r \right)=0 이되면, 우변은 완전제곱식을 만족하겠다. 이것은 t에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 t의 3근 t_1 ,t_2,t_3를 구한다음 t_1을 대입한다. :D= q^2 -4 (p+2t_1) (p^2+2pt_1 + t_1 ^2-r) =0 에 의해 :{q^2 \over {4 (p+2t_1) = (p^2+2pt_1 + t_1 ^2-r) 이므로, : \left(y^2+p+t_1 \right)^2= \left(p+2t_1 \right)y^2 -qy + \left( {q^2 \over {4 (p+2t_1) \right) :(y^2 +p+t_1)^2 = (p +2t_1) \left(y- {q \over {2(p+2t_1) \right)^2이다. 이로써, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되겠다. 이렇게, 사차방정식은 두 개의 완전제곱식의 이차방정식으로 분해된다. 양변에 제곱근을 주고, 이항시켜 정리하면, : y^2 - \sqrt{p +2t_1} y +\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1 } +p+t_1\right)=0 근의 공식으로부터 y = \sqrt{p +2t_1} \pm \sqrt{ {\left(-\sqrt{p+2t_1} \right)^2} -4\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1 +p+t_1 \right)} } \over {2} } 그리고, x= y-{b \over 4a}, 이므로 4근은, :x= -{b \over 4a} + \left( \sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1 } \over {2} } \right) , -{b \over 4a} + \left( \sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1 } \over {2} } \right)
: , -{b \over 4a} - \left( \sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1 } \over {2} } \right) , -{b \over 4a} - \left( \sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1 } \over {2} } \right) 이다.
# 일반적인 경우
:\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\ 양변을 x의 최고차항인 a로 나눈 다음 \textstyle x=y- {b \over 4a} 라고 두고 y^4 + p{y^2} + qy + r = 0 형태로 정리한다.
:{a \over a}x^4 + {b \over a} x^3 + {c \over a} x^2 +{d \over a}x+ {e \over a} = 0
여기서, {a \over a} = 1, {b \over a}= a,{c \over a}=b,{d \over a}=c,{e \over a}= d, 치환
:x^4 + a x^3 + b x^2 +cx+ d = 0
:\left( y-{a \over 4} \right)^4+ a \left( y-{a \over 4} \right)^3+b \left( y-{a \over 4} \right)^2+c \left( y-{a \over 4} \right)+d=0 전개하면,
: y^4 + \left( {-3a^2 \over 8 } +b \right) y^2 + \left( +{ a^3 \over 8}-{ba \over 2} +c \right) y+ \left( -{a^4 \over 64}+{a^4 \over 256}+{ba^2\over 16}-{ca \over 4} +d \right) = 0
여기서, {a \over a} = 1, {b \over a}= a,{c \over a}=b,{d \over a}=c,{e \over a}= d, 치환 한것을
:x^4 + {b \over a} x^3 + {c \over a} x^2 +{d \over a}x+ {e \over a }= 0 , 풀어주면
:y^4 + \left( {-3b^2 \over 8a^2} + {c \over a} \right) y^2 + \left(+ \left( {b^3 \over 8a^3} \right) - \left({bc \over 2a^2} \right)+ {d \over a} \right)y+ \left(- \left( {3b^4 \over 256a^4} \right) + \left( {cb^2 \over 16a^3} \right) - {bd \over 4a^2} + {e \over a} \right)= 0 :p= \left( {-3b^2 \over 8a^2} + {c \over a} \right) :q=\left( + \left( {b^3 \over 8a^3} \right) - \left({bc \over 2a^2} \right)+ {d \over a} \right) :r=\left( - \left( {3b^4 \over 256a^4} \right) + \left( {cb^2 \over 16a^3} \right) - {bd \over 4a^2} + {e \over a} \right) 근과 계수의 관계에서,
:y=u+v+w를 대입하면,
:(u+v+w)^4 + p(u+v+w)^2+ q(u+v+w)+r = 0
:u^2+v^2+w^2=- { p \over 2} :u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2={ p^2 \over 16} - { r \over 4} : u^2v^2w^2= \left(-{ q \over 8} \right)^2 :uvw = \left( -{ q \over 8} \right) 따라서, z로 3차방정식을 가정하여 정리하면,
:z^3 -( u^2+v^2+w^2 )z^2 +(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2)z-(u^2v^2w^2)=0 이것의 3차방정식을 풀면 근은 각 각 u^2 , v^2 , w^2 이고,
다시 이것의 제곱근 u,v,w가 서로 곱해서,
uvw = -{q \over 8}가 되는 값이 각각 근의 u,v,w가 되고,
이어서,
u v w = (-)u (-)v w = u (-)v (-)w = (-)u v (-)w가 되고,
이것으로 y = (u \cdot v \cdot w) ,( -u \cdot -v \cdot w),( u \cdot -v \cdot -w),(-u \cdot v \cdot -w)가 되겠다.
끝으로 정리하면, 4차방정식의 네근 x = y-{b \over 4a}에 의해 ,
(u \cdot v \cdot w)-{b \over 4a}, ( -u \cdot -v \cdot w)-{b \over 4a}, ( u \cdot -v \cdot -w) -{b \over 4a}, (-u \cdot v \cdot -w) -{b \over 4a}가 되겠다.

# 특수한 경우

## 복이차방정식
사차 방정식 중 홀수 차수의 계수가 모두 0인, 즉 짝수 차수 항만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다. x^2=X으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다. :ax^4+bx^2+c = 0 \; , \; X=x^2 :aX^2+bX+c = 0 \;
## 상반방정식
계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 **상반방정식**(Symmetric equations)이라고 한다. **즉 방정식의 x의 n제곱 항 옆에 있는 계수를 거꾸로 읽어도 똑같다는 것이다.** 사차방정식의 경우는 다음과 같다. :a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0
이 경우 양변을 x^2으로 나누어 {x + {1 \over x를 y로 치환해주면 이차방정식으로 변환된다.
{ x^2}+{x^1} + 1 + {1 \over x^1} +{1 \over x^2} =0
{ x^2}+{1 \over x^2} + \left({x^1} + {1 \over x^1} \right) + 1=0
y^2 + y - 1 = 0
이차방정식 근의 공식으로부터,
y = -1\pm \sqrt 5 } \over 2} , 이고
{x} + {1 \over x} = y , 이므로
yx= \left( x + {1 \over x } \right)x
yx ={x x } + {1 \over x}x ,
x^2 + {1x \over x} -yx = 0 ,
x^2 -yx + {x \over x} = 0 ,
x^2 -yx + 1 = 0
따라서, 역시 근의 공식을 적용하면,
x = y\pm \sqrt {y^2-4\over 2} 이므로, 여기에 y = -1\pm \sqrt 5 } \over 2}를 대입하여 정리하면,
{1 \over 4} \left( {-1\pm \sqrt 5 } \pm 2 \sqrt{ -10 \pm2 \sqrt 5 \over 2} \right)
={1 \over 4} \left( -1 + \sqrt 5 + i \sqrt {10+2 \sqrt 5} \right), {1 \over 4} \left( -1 + \sqrt 5 - i \sqrt {10+2 \sqrt 5} \right),1 \over 4} \left( -1 - \sqrt 5 + i \sqrt {10-2 \sqrt 5} \right)} ,1 \over 4} \left( -1 - \sqrt 5 - i \sqrt {10-2 \sqrt 5} \right)} 의 4근을 갖는다.
좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations) :a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 m x + a_0 m^2 = 0 의 경우 x + {m\over x}으로 치환해주면 된다.
## 이항방정식
x^4 +a = 0의 꼴이다. 특히 x^4 = 1의 경우는, 근의 계수 \omega를 교착해서 4개의 근이 구해진다.(근은 1, -1, i, -i이다.)
## 인수분해 (곱셈공식 적용)
:x = a로 예약했을때, :\, a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) :\, x^4+x^2+1 =(x^2+x+1)(x^2-x+1) :\, a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2-2a^2b^2 :\, a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2-2 \left( (ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c) \right) 꼴로 인수분해와 2차방정식으로 풀수있다.
# 근과 계수의 관계
사차방정식 \textstyle ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e=0 의 네 근을 \textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다. :\textstyle \alpha + \beta + \gamma + \delta = - {b \over a} :\textstyle \alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = {c \over a} :\textstyle \alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta = - {d \over a} :\textstyle \alpha \beta \gamma \delta = {e \over a} 이것은 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수와의 관계증명을 사용하면, 대수학의 기본정리에 따라 n차방정식은 n개의 근을 갖고, 따라서, 4개의 근 \alpha,\beta,\gamma,\delta 를 예정하고, 이를 4차방정식의 인수분해식으로 놓으면, (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)=0 이 되고, 다항식으로 전개하면, x^4 - (\alpha + \beta + \gamma + \delta)x^3 + (\alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta)x^2 - (\alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta)x +\alpha \beta \gamma \delta =0 이고, 일반항의 최고차항의 계수인 'a'로 양변을 나누면, : \textstyle {x^4 }+ {b \over a}x^3+{ c \over a}x^2 + {d \over a}x + {e \over a}=0 이므로, 서로 근의 정보와 계수 정보와의 상관관계를 보여주고 있다.
# 사차방정식의 판별식
사차방정식의 판별식은 16개항으로 이루어져 있다. 실베스터 행렬의 종결식을 사용한 소행렬식의 라플라스 전개로 사차방정식의 판별식 유도가 가능하다. :ax^4+bx^3+cx^2+dx+e 을 :a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬 M=(2n-1)\cdot(2n-1) : M=\begin{bmatrix} a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\\ 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\\ 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\\ 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0a_0 & 0 & 0 \\\ 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0a_0 & 0 \\\ 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0a_0 \\\ 0a_0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\\ \end{bmatrix} : D= (-1)^{n(n-1)\over 2} a_n^{-1} M : D= (-1)^{4(4-1)\over 2} a_4^{-1} M : D= (-1)^{12\over 2} a_4^{-1} M : D= (-1)^{6} a_4^{-1} M : D= -27a^2 d^4 +18abcd^3 -4a c^3 d^2 +16a c^4 e- 80a b c^2 d e :+144a^2 c d^2 e -6a b^2 d^2 e-4b^3 d^3 +b^2 c^2 d^2 -4b^2 c^3 e :+18b^3 c d e -27b^4 e^2 +144a b^2 c e^2-192a^2 b d e^2 -128a^2 c^2 e^2 +256a^3 e^3