산술-기하 평균 부등식

산술-기하 평균 부등식의 시각적인 증명. *PR*은 중심이 *O*인 원의 지름이며, 반지름 AO의 길이는 *a*와 *b*의 산술 평균이다. 삼각형의 닯음을 쓰면, 삼각형 PGR에서 밑변 PR에 대한 높이 GQ는 *a*와 *b*의 [[기하 평균이다. *a*와 *b*의 비와 상관 없이, AO ≥ GQ이다.]] (*x* + *y*)2 ≥ 4*xy*의 시각적인 증명. 양변에 year = 1981 수학에서, **산술-기하 평균 부등식**(算術幾何平均不等式, arithmetic–geometric mean inequality)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 음이 아닌 실수들의 산술 평균은 항상 기하 평균보다 크거나 같다. 또한, 두 평균이 같을 필요충분조건은 모든 수가 같은 것이다. 산술-기하 평균 부등식의 증명은 대부분 수학적 귀납법을 사용한다. 코시의 증명은 음이 아닌 실수들의 수가 2의 거듭제곱인 경우를 먼저 증명한다. 산술-기하 평균 부등식은 로그 함수의 오목성과 동치이다. 가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 산술-기하 평균 부등식과 유사한 부등식이 성립한다. 산술-기하 평균 부등식은 소위 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식의 일부이다.
# 정의
유한 개의 음이 아닌 실수들 x_1, x_2, \ldots, x_n \ge 0이 주어졌다고 하자. 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 **산술-기하 평균 부등식**이라고 한다. :\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} 또한, 등호가 성립할 필요충분조건은, 모든 수들이 같은 것이다. :\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \iff x_1 = x_2 = \cdots = x_n
# 증명

## 귀납적 증명
수학적 귀납법을 사용하자. 우선, n=1인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, n개 수에 대한 산술-기하 평균 부등식이 성립한다는 가정 아래, n + 1개 수 x_1,\dots,x_{n+1}\ge0에 대한 산술-기하 평균 부등식을 보이자. 산술 평균을 :x = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n+1{n+1} 로 적으면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같다. :x^{n+1} \ge x_1x_2\cdots x_{n+1} :x^{n+1} = x_1x_2\cdots x_{n+1} \iff x_1 = x_2 = \cdots = x_{n+1} 만약 x_1 = x_2 = \cdots = x_{n+1}라면, 자명하게 등식이 성립한다. 만약 그렇지 않다면, x보다 큰 수와 x보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, x_n > x > x_{n+1}라고 하여도 무방하다. 그렇다면, :(x_n - x)(x - x_{n+1}) > 0 이다. 또한, 양의 실수 :y = x_{n} + x_{n+1} - x \ge x_n - x > 0 를 정의하면, :\begin{align} nx &= (n+1)x - x\\\ &= x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n + x_{n+1} - x\\\ &= x_1 + x_2 + \cdots+ x_{n-1} + y \end{align} 이므로, x는 n개의 음이 아닌 실수 x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, y의 산술 평균이기도 하다. 귀납 가정에 따라 :x^{n+1} = x^nx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}yx 이다. 또한, :yx - x_nx_{n+1} = (x_n + x_{n+1} - x)x - x_nx_{n+1} = (x_n - x)(x - x_{n+1}) > 0 이므로 :yx > x_nx_{n+1} 이다. 따라서, 다음이 성립한다. :x^{n+1} = x^nx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}yx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}x_nx_{n+1} 이 경우, x > 0이므로, 만약 x_1, x_2, \ldots, x_{n-1} 가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 x_1, x_2, \ldots, x_{n-1} \ne 0이라면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 즉, 어떤 경우에도 :x^{n+1} > x_1x_2\cdots x_{n-1}x_nx_{n+1} 이다. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 n에 대하여, n개 수에 대한 산술-기하 평균 부등식이 성립한다.
## 코시의 증명
만약 :x_1 = x_2 = \cdots = x_n 이라면, 산술 평균과 기하 평균은 x_1로 같다. 만약 서로 다른 두 수가 존재한다면, 당연히 n > 1이다. 만약 n=2이며, 서로 다른 두 수 x_1, x_2가 주어지면, :\begin{align} \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2-x_1x_2 &=\frac14(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-x_1x_2\\\ &=\frac14(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)\\\ &=\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2>0 \end{align} 이므로, :\frac{x_1 + x_2}{2} > \sqrt{x_1x_2} 이다. n=2^k이 2의 거듭제곱인 경우, k에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다. k = 1인 경우, n = 2이며, 이 경우는 이미 증명되었다. k - 1에 대한 부등식을 가정한 채, k에 대한 부등식을 다음과 같이 보일 수 있다. :\begin{align} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k{2^k} &{} = \frac{\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^{k-1{2^{k-1 + \frac{x_{2^{k-1} + 1} + x_{2^{k-1} + 2} + \cdots + x_{2^k{2^{k-1{2}\\\\[7pt] &\ge \frac{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1 + \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k{2}\\\\[7pt] &\ge \sqrt{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1 \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k\\\\[7pt] &= \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k \end{align} 여기서 첫번째 부등식이 등식이 되려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로 :x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^{k-1 :x_{2^k+1} = x_{2^k+2} = \cdots = x_{2^k} 이어야 한다. 두번째 부등식이 추가로 등식이 되려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 앞의 절반 및 뒤의 절반의 수들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등식이려면 :x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^k} 이어야 한다. 그러나 서로 다른 수이므로, 둘 다 등식이 될 수는 없다. 따라서, :\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k{2^k} > \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k 이다. n이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우, n보다 큰, 2의 거듭제곱 m=2^k>n을 고를 수 있다. (이를테면, k=n인 경우 2^n>n이다.) 음이 아닌 실수 x_1, x_2, \cdots, x_n 및 그 산술 평균 x가 주어졌다고 하고, n개의 수를 다음과 같이 m개로 확장하자. :x_{n+1} = x_{n+2} = \cdots = x_m = x 그렇다면, 이미 증명한 m에 대한 부등식에 따라, 다음이 성립한다. :\begin{align} x & = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\\\[6pt] &= \frac{\frac{m}{n} (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}{m} \\\\[6pt] &= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \frac{m-n}{n}(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}{m} \\\\[6pt] &= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + (m-n) x}{m} \\\\[6pt] &= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} + \cdots + x_m}{m} \\\\[6pt] &> \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1} \cdots x_m} \\\\[6pt] &= \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x^{m-n \end{align} 따라서 :x^m > x_1 x_2 \cdots x_n x^{m-n} 이다. 즉, :x > \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} 이다.
## 미분을 통한 증명
우선, n=1,2인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, n>1에 대한 부등식을 가정한 채, n+1>2에 대한 부등식을 보이자. 모든 수가 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 서로 다른 두 수가 존재하는 경우, 당연히 x_1 \ne x_2이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다. :\frac{x_1 + \cdots + x_n + x_{n+1{n+1} - (x_1 \cdots x_n x_{n+1})^{\frac{1}{n+1 > 0 이는 음이 아닌 실수 x_1, \dots, x_n \ge 0을 고정하고, 함수 :f(t)=\frac{x_1 + \cdots + x_n + t}{n+1} - (x_1 \cdots x_n t)^{\frac{1}{n+1 \qquad (t \ge 0) 를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다. :f(x_{n+1}) > 0 극값을 구하기 위해, f의 미분을 취하자. :f'(t) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1}(x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n+1t^{-\frac{n}{n+1 따라서, f는 다음과 같은 임계점을 갖는다. :f'(t_0)=0 \iff t_0 = (x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n 따라서, f의 가능한 극값은 다음과 같다. :f(0) = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} > 0 : \begin{align} f(t_0) & = \frac{x_1 + \cdots + x_n + ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n{n+1} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n+1(x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n(n+1) \\\ & = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} + \frac{1}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\\ & = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} - \frac{n}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\\ & = \frac{n}{n+1}\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}n - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n}\right) \\\ & > 0 \end{align} :\lim_{t\to\infty}f(t)=\infty>0 여기서, f(t_0) = 0일 수 없는 이유는, 이미 x_1 \ne x_2이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 t \ge 0에 대하여, :f(t)>0 이다. 특히, t=x_{n+1}일 경우, :f(x_{n+1})>0 이다. 이렇게 n+1에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.
## 볼록성을 통한 증명
산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 x_1,x_2\dots,x_n>0에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다. :\ln\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n>\frac1n(\ln x_1+\ln x_2+\cdots+\ln x_n)\qquad(\lnot x_1=x_2=\cdots=x_n) 이는 로그 함수의 옌센 부등식이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법 :(\ln x)''=\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}0) 에 따라 성립한다.
# 관련 정리

## 가중 산술-기하 평균 부등식
가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. *n*개의 음수가 아닌 실수들 *x*1, *x*2, …, *x**'n*과 그에 대응하는 가중치 α1, α2, …, α*n*가 있을 때, 가중치의 합 \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n이라 하면 다음이 성립한다. : \frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n 마찬가지로 이 부등식은 모든 *x**'k*들이 같을 때 등식이 된다.
## 가중 산술-기하 평균 부등식의 증명
\alpha_k=0(k=0, 1, \cdots, n)를 가중치로 갖는 x_k은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 \alpha_k는 양수라고 가정할 수 있다. f(x)=lnx에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다. x>0일 때 f(x)=lnx는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로 :\begin{align} \ln\Bigl(\frac{\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n}\alpha\Bigr) & >\frac{\alpha_1}\alpha\ln x_1+\cdots+\frac{\alpha_n}\alpha\ln x_n \\\ & =\ln \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n. \end{align} 이다. f(x)=lnx는 단조증가함수이므로 : \frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n 가 성립함이 증명된다.
## 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식
산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 x_1, x_2, \dots, x_n \ge 0에 대하여, 다음이 성립한다. :\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n \le \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \le \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n 특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. :\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n < \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} < \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} < \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n \qquad (\lnot x_1 = x_2 = \cdots = x_n) :\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n \qquad (x_1 = x_2 = \cdots = x_n)
## 기타
이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다.