이항 분포

특성함수 = (1-p + pe^{it})^n \\! 확률론 **이항 분포**(二項分布)는 연속된 *n*번의 독립적 시행에서 각 시행이 확률 p를 가질 때의 이산 확률 분포이다. 이러한 시행은 베르누이 시행이라고 불리기도 한다. 사실, *n*=1일 때 이항 분포는 베르누이 분포이다. 이항 분포는 양봉 분포(Bimodal distribution)와는 다른 것이다.
# 예
기본적인 예: 일반적인 주사위를 10회 던져서 숫자 6이 나오는 횟수를 센다. 이 분포는 *n* = 10이고 *p* = 1/6인 이항분포이다. 다른 예로는, 아주 많은 인구의 5%가 쌍꺼풀이 있다고 해보자. 그리고 100명을 무작위적으로 선택한다. 당신이 선택한 쌍꺼풀을 가진 사람의 수는 *n* = 100이고 *p* = 0.05인 이항분포를 따른다.
# 상세내용

## 확률 질량 함수
일반적으로, 확률변수 *K*가 매개변수 *n*과 *p*를 가지는 이항분포를 따른다면, *K* ~ B(*n*,*p*)라고 쓴다. *n*번 시행 중에 *k*번 성공할 확률은 확률 질량 함수로 주어진다: : \Pr(K = k) = f(k;n,p)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} 이 때, *k* = 0, 1, 2, ..., *n* 이고, :{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} 는 이항 계수(*C*(*n*,*k*) 또는 *n*C*k*라고 쓰기도 함)이다. 이 식은 다음과 같이 이해할 수 있다: 우리는 *k*번의 성공(*p**k*)과 *n* − *k*번의 실패((1 − *p*)*n* − *k*)를 원한다. 그러나, *k*번의 성공은 *n*번의 시도 중 어디서든지 발생할 수 있고, 또한 *k*번의 성공을 가지는 분포는 C(*n*, *k*)개가 있다. 이항 분포 확률에 대한 참고표를 만들 때, 표는 대체로 *n*/2개의 값으로 채워져 있다. 이것은 *k* > *n*/2에 대해 확률이 다음과 같이 계산될 수 있기 때문이다. :f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\\! 그러므로 다른 *k*와 다른 *p*를 보아야 한다(이항 분포는 일반적으로 대칭적이지 않음).
## 누적 분포 함수
누적 분포 함수는 다음과 같이 베타함수꼴로 쓸 수 있다: : F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1) \\! 이 때, *k*는 정수이고, 0 ≤ *k* ≤ *n*이다. 만약 *x*가 정수일 필요가 없거나 양수일 필요가 없다면 다음과 같이 쓸 수 있다: :F(x;n,p) = \Pr(X \le x) = \sum_{j=0}^{\operatorname{Floor}(x)} {n\choose j}p^j(1-p)^{n-j}. *k* ≤ *np*를 만족하는 *k*에 대해에 대해 분포 함수의 낮은 꼬리에 대한 상계를 유도할 수 있다. 특히, 호에프딩 부등식을 이용하면 다음을 얻는다: : F(k;n,p) \leq \exp\left(-2 \frac{(np-k)^2}{n}\right), \\! 그리고 체르노프 부등식은 다음의 경계를 유도하는 데 사용할 수 있다: : F(k;n,p) \leq \exp\left(-\frac{1}{2\,p} \frac{(np-k)^2}{n}\right). \\!
# 평균, 분산, 최빈값
만약 *X* : B(*n*, *p*)라면, *X*의 기댓값은 :\operatorname{E}(X)=np\,\\! 이고 분산은 :\operatorname{Var}(X)=np(1-p).\,\\! 이것은 쉽게 증명할 수 있다. 먼저 한 번의 베르누이 시행을 생각해보자. 결과는 1과 0 두 가지이고, 1이 나올 확률이 *p*, 0이 나올 확률이 1 − *p*이다. 이 시행의 평균은 μ = *p*이다. 분산의 정의를 이용하면 다음을 얻는다. :\sigma^2= \left(1 - p\right)^2p + (0-p)^2(1 - p) = p(1-p). 이제 *n*번의 시행에 대한 분산을 구한다고 생각해보자(일반적인 이항 분포). 각 시행은 독립이므로, 각 시행에 대한 분산들을 더하면 :\sigma^2_n = \sum_{k=1}^n \sigma^2 = np(1 - p). \quad *X*의 최빈값은 (*n* + 1)*p*와 같거나 작은 가장 큰 정수이다; 만약 *m* = (*n* + 1)*p*이 정수라면, *m* − 1과 *m*이 둘 다 최빈값이다.
# 평균과 분산의 명확한 유도
명확한 유도를 위해 다음의 식을 이용한다. : \sum_{k=0}^n \operatorname{Pr}(X=k) = \sum_{k=0}^n {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} = 1
## 평균
먼저, 기댓값의 정의를 적용하면 :\operatorname{E}(X) = \sum_k x_k \cdot \operatorname{Pr}(x_k) = \sum_{k=0}^n k \cdot \operatorname{Pr}(X=k) = \sum_{k=0}^n k \cdot {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} *k*가 0이므로 첫 번째 항(*k' = 0)은 0이다. 이것은 제외될 수 있으므로, 하한을 *k* = 1로 바꿀 수 있다. :\operatorname{E}(X) = \sum_{k=1}^n k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k} = \sum_{k=1}^n k \cdot \frac{n\cdot(n-1)!}{k\cdot(k-1)!(n-k)!} \cdot p \cdot p^{k-1}(1-p)^{n-k} 우리는 *n*과 *k*를 팩토리얼로부터 꺼냈고, *p*를 하나 빼냈다. :\operatorname{E}(X) = np \cdot \sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1}(1-p)^{n-k} 여기서 *m* = *n* - 1 이고, *s* = *k'' - 1라고 하자. :\operatorname{E}(X) = np \cdot \sum_{s=0}^m \frac{(m)!}{(s)!(m-s)!} p^s(1-p)^{m-s} = np \cdot \sum_{s=0}^m {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s} 이 합은 전체 이항 분포에 대한 합이다. 그러므로 :\operatorname{E}(X) = np \cdot 1 = np
## 분산
분산을 다음과 같이 쓸 수 있다는 것은 증명할 수 있다: :\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2. 이 식을 사용하면 *X*2의 기댓값 역시 필요하다는 것을 알 수 있다. 이것은 다음과 같이 구할 수 있다. :\operatorname{E}(X^2) = \sum_{k=0}^n k^2 \cdot \operatorname{Pr}(X=k) = \sum_{k=0}^n k^2 \cdot {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}. 이를 이용해 계산하면, :\operatorname{E}(X^2) = np \cdot \sum_{s=0}^m k \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s} = np \cdot \sum_{s=0}^m (s+1) \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s} (마찬가지로, *m* = *n* - 1 이고, *s* = *k* - 1로 치환). 합을 두 부분으로 나누면, :\operatorname{E}(X^2) = np \cdot \bigg( \sum_{s=0}^m s \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s} + \sum_{s=0}^m 1 \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s} \bigg). 첫 번째 항은 위에서 계산한 평균과 같다. 결과는 *mp*이다. 두 번째 항은 1이다. :\operatorname{E}(X^2) = np \cdot ( mp + 1) = np((n-1)p + 1) = np(np - p + 1). 이 결과와 평균(E(*X*) = *np*)을 이용해서 분산을 다시 표시해보면 다음과 같다. :\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2 = np(np - p + 1) - (np)^2 = np(1-p).