곱위상

일반위상수학에서 **곱위상**(-位相, product topology)은 위상 공간들의 곱집합에 표준적으로 부여되는 위상이다.
# 정의
위상 공간들의 집합 :\\{X_i\\}_{i\in I} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱집합 \prod_{i\in I}X_i 위에 다음과 같은 위상들을 부여할 수 있다. * **곱위상**. 이는 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}에서의 범주론적 곱이다. * **상자 위상**. 이는 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. I가 유한 집합이라면 이는 곱위상과 일치한다. * 만약 X_i에 거리 함수가 주어졌다면, **균등 위상**을 정의할 수 있다. * \operatorname{Top}의 충만한 부분 범주에서의 범주론적 곱. 이는 곱위상보다 더 섬세하며, I가 유한 집합일 경우에도 곱위상과 다를 수 있다.
## 곱위상
**곱위상**(-位相, product topology) 또는 **티호노프 위상**(Тихонов位相, Tychonoff topology)은 사영 함수 :\operatorname{proj}_i\colon\prod_{i\in I}X_i\to X_i 의 집합에 대한 시작 위상이다. 즉, 이 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 곱위상의 한 기저는 다음과 같다. :\mathcal B=\left\\{\prod_{i\in I}U_i\colon U_i\in\mathcal T(X_i),\;\aleph_0>|\\{i\in I\colon U_i\ne X_i\\}|\right\\} 여기서 \mathcal T(X_i)는 X_i의 열린집합들의 집합이다. 즉, \mathcal B의 원소는 각 X_i의 열린집합들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이 X_i 전체와 다른 것이다.
## 상자 위상
위 기저에서 \aleph_0 (가산 무한 기수) 대신 임의의 무한 기수 \kappa를 사용하여 위상의 기저 :\mathcal B_\kappa=\left\\{\prod_{i\in I}U_i\colon U_i\in\mathcal T(X_i),\;\kappa>|\\{i\in I\colon U_i\ne X_i\\}|\right\\} 를 정의할 수 있으며, (X_i들이 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 \kappa\le|I|에 대하여 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 만약 이 기수가 충분히 클 때 (즉, \kappa>|I|일 때), 추가 조건은 자명해진다. :\mathcal B_\kappa=\mathcal B_{\text{box=\left\\{\prod_{i\in I}U_i\colon U_i\in\mathcal T(X_i)\right\\} \qquad(\kappa>|I|) 이 기저로 생성되는 위상을 **상자 위상**(箱子位相, box topology)이라고 한다.mr=0464128114 따라서, (X_i들이 모두 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 \aleph_0\le\kappa\le|I|^{+}에 대하여, \kappa가 클 수록 더 섬세한 위상들을 얻는다. :\mathcal B=\mathcal B_{\aleph_0}\subsetneq\mathcal B_{\aleph_1}\subsetneq\cdots\subsetneq\mathcal B_{|I|}\subsetneq\mathcal B_{|I|^{+=\mathcal B_{\text{box 상자 위상을 포함한 \mathcal B_\kappa-위상은 만약 I가 유한 집합이라면 곱위상과 일치한다.
## 균등 위상
거리 공간들의 집합 \\{(X_i,d_i)\\}_{i\in I}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 \textstyle\prod_iX_i 위에 다음과 같이 **균등 거리 함수**(uniform metric) d_{\text{unif를 줄 수 있다. :d_{\text{unif(x,y)=\min\\{1,\sup_{i\in I}d_i(x,y)\\} 그렇다면 (\textstyle\prod_iX_i,d_{\text{unif)는 거리 공간을 이루며, 이에 의하여 유도되는 위상을 **균등 위상**(uniform topology)이라고 한다. 균등 위상은 일반적으로 곱위상보다 더 섬세하다.Theorem 20.4
## 콤팩트 생성 곱위상
위상 공간의 범주 \operatorname{Top}의 완비 쌍대 반사 부분 범주 I\colon\mathcal C\hookrightarrow\operatorname{Top}가 주어졌고, \mathcal C가 한원소 공간을 포함한다고 하자. 쌍대 반사 부분 범주라는 것은 포함 함자 I가 충실충만한 함자이며 오른쪽 수반 함자 R\colon\operatorname{Top}\to\mathcal C를 갖는다는 것이다. 수반 함자의 일반적 성질에 의하여 I는 모든 쌍대극한을 보존하며, 반대로 R는 모든 극한을 보존하게 된다. 또한, 한원소 공간 \\{\bullet\\}은 구체적 범주의 망각 함자 \operatorname{Top}\to\operatorname{Set}를 표현하므로, 망각 함자 \mathcal C\to\operatorname{Top}\to\operatorname{Set} 역시 극한을 보존하게 된다. 위상 공간의 집합 \\{X_i\\}_{i\in I}가 주어졌다고 하고, 이들이 모두 \mathcal C의 원소들로 구성되었다고 하자. 그렇다면, 이들의 곱을 \mathcal C 속에서 취할 수 있다. 이를 :\prod_{i\in I}^{\mathcal C}X_i=R\left(\prod_{i\in I}X_i\right) 로 표기하자. 망각 함자 \mathcal C\to\operatorname{Set}가 극한을 보존하므로, 이는 집합으로서 단순히 곱집합이다. 그러나 I가 극한을 보존하지 않는다면, 이는 곱위상(즉, \operatorname{Top}에서의 곱)과 다를 수 있다. 보다 일반적으로, (\mathcal C에 속하지 않을 수 있는) 임의의 위상 공간들의 집합 \\{X_i\\}_{i\in I}의 **\mathcal C-곱공간**을 :R\left(\prod_{i\in I}X_i\right)=\prod_{i\in I}^{\mathcal C}R(X_i) 로 정의할 수 있다. 이 가운데 대표적인 것은 콤팩트 생성 공간의 범주 \operatorname{CGTop}이다. 모든 위상 공간의 범주와 달리 이는 데카르트 닫힌 범주를 이루어, 대수적 위상수학을 간편하게 전개할 수 있다. 이는 \operatorname{Top}의 쌍대 반사 부분 범주를 이루며, 그 쌍대 반사 함자를 **콤팩트 생성화** k\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{CGTop}라고 한다. 이 함자는 유한 극한도 보존하지 않으며, 특히 콤팩트 생성 곱위상 k(X\times Y)는 일반적으로 곱위상 X\times Y보다 더 섬세하다. 대수적 위상수학에서는 곱위상 X\times Y보다 콤팩트 생성 곱공간 k(X\times Y)이 더 많이 쓰인다. 예를 들어, CW 복합체의 곱은 (\operatorname{Top}) 곱공간이 아니라 콤팩트 생성 곱공간이다.
# 성질
곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다. (즉, 콤팩트 공간들의 집합의 곱공간은 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간의 집합들의 상자 곱공간은 콤팩트 공간이 아닐 수 있다.) {| class=wikitable ! 성질 !! 곱위상 !! 상자 위상 |- ! 콤팩트 공간 | 예 (티호노프 정리) || 아니오 (반례: \mathbb R^{\aleph_0}) |- ! 연결 공간 | 예 || 아니오 (반례: \mathbb R^{\aleph_0}) |- ! 경로 연결 공간 | 예 || 아니오 (반례: \mathbb R^{\aleph_0}) |- ! 콜모고로프 공간 | 예 || 예 (콜모고로프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립) |- ! T1 공간 | 예 || 예 (T1 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립) |- ! 하우스도르프 공간 | 예 || 예171, Proposition 1.2(iii) (하우스도르프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립) |- ! 정칙 공간 | 예 || 예언어=en171, Proposition 1.2(iii) |- ! 완비 정칙 공간 | 예 || 예171, Proposition 1.2(iii) |- ! 정규 공간 | 아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱) || 아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱) |- ! 이산 공간 | 아니오 || 예 |- ! 비이산 공간 | 예 || 예 |} 일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여 성립하지 않는다.
# 예
가산 무한 개의 실수선 \mathbb R들의 곱집합 \mathbb R^{\aleph_0}에서 상자 위상을 부여하자.언어=enCounterexample 109 이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다. * 콤팩트 공간이 아니다. * 연결 공간이 아니다. * 제1 가산 공간이 아니다. * 분해 가능 공간이 아니다. * 이는 완비 정칙 공간이다. * 만약 연속체 가설이 참이라면 파라콤팩트 공간이다.
# 역사
상자 위상은 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)가 1923년에 도입하였다.언어=de300, Historical Notes §8 곱위상은 안드레이 티호노프가 1930년에 도입하였다.언어=de언어=en300, Historical Notes §8 콤팩트 생성 곱은 에드윈 헨리 스패니어(Edwin Henry Spanier)가 1959년에 "약한 위상"(weak topology)이라는 이름으로 도입하였다.언어=en 스패니어는 \langle X\times Y\rangle라는 기호를 사용하였다.