플라스마 가림효과

**플라스마 가림효과**(Plasma screening)란 이온화 된 전자 즉, 플라스마가 들뜨게 되면 전자 간의 상호작용했던 쿨롱 퍼텐셜이 서로 가림을 받는 현상이 일어나게 되는데 이러한 현상을 가리켜 플라즈마 가림효과라 일컫는다. **플라즈마 가림현상**으로 나타나는 대표적인 특징은 물질의 유전상수 변화이다. 주어진 퍼텐셜에서 플라즈마 가림현상으로 일어나게 되는 유전상수의 변화를 나타내는 식이 **린드하드 식**이다. 1954년 린드하드가 알아낸 이 유전함수는 흔히 RPA (Random Phase Approximation)이라고 많이 불린다. 이는 동적상태인 \epsilon(q,\omega) \,\\! 와 정적상태인 \epsilon(q) \,\\!로 나누어 모델링 한 것인데 특히, 전자 가스와 같은 플라즈몬에 대해서 잘 예측하게 해준다. 그 린드하드식은 아래와 같다. :::::::::::{| class="wikitable" |----- |\epsilon(q,\omega) = 1 - V_q \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{\hbar(\omega+i\delta+E_{k-q}-E_k) |} 여기서, \epsilon \,\\! 은 동적 유전상수(Dynamic Dielectric Funtion)이고 f_k \,\\! 는 페르미-디락 분포를 따르는 캐리어 분포 함수를 V_q \,\\! 는 V(r) \,\\! 을 푸리에 변환한 함수이다.
# Random Phase Approximation
어떤 시스템의 Dynamic Electronic Response를 보기 위한 방법으로 주로 사용되는 것이 Random Phase Approximation이다. RPA에서 전자는 외부 퍼텐셜 V_{ext}(r) \,\\! 과 가림효과를 받은 가림 퍼텐셜 V_{sub}(r) \,\\! 을 합친 V(r) \,\\! 에 의해서만 반응을 하고 외부 퍼텐셜V_{ext}(r) \,\\! 이 특정한 단일 주파수 \omega \,\\! 로 진동한다고 가정을 한 방법이다. 따라서, 전체 퍼텐셜 V(r) \,\\! 이 동적 유전상수에 대한 기여는 평균화되어 특정한 Wave Vector k \,\\! 만이 기여를 하게 된다.
# 린드하드 식의 유도
전자 플라즈자에서 다체계 상호작용의 대표적인 특징이 플라즈마 가림효과이다. 플라즈마 가림효과는 양자역학적으로 접근을 해야한다. 단일 입자에 관한 해밀토니안을 아래와 같이 표현 할 수 있다. 여기에서 V_{e f f}(r)=V(r)+V_{ind}(r) \,\\!이다. V(r) \,\\! 은 쿨롱 퍼텐셜이고, V_{ind}(r) \,\\! 는 가림을 받는 입자들에 의해 유도된 퍼텐셜이다. : H= \int d^3 r \,\psi^\dagger( \vec{r}) \, \left (-\frac {\nabla^2 \hbar ^2}{2m} \right ) \psi( \vec{r})+\int d^3 r\, V_{eff}(r) \, \psi^\dagger(\vec{r}) \, \psi(\vec{r})\, 위에 있는 해밀토니안을 푸리에 변환을 하면 아래와 같은 식이 된다. (일반적으로 전자 플라즈마에 대해서 분석하기 위해서 Charge Density Fluctuation을 계산해야 한다. 그런데 Second Quantization Formalism을 이용하면 Charge Density Operatior의 기대값을 구할 수 있다. 따라서 a^\dagger \,\\! 나 a \,\\!와 같은 Operator가 수식에 나오게 되는 것이다.) : H=\sum_k E_{k}a^\dagger_{k}a_k+\sum_p V_{eff} (p) \sum_k a^\dagger_{k+p}a_k \, 이제, 하이젠버그 운동방정식을 이용하면 a^\dagger_{k-q}a_k \,\\! * *의 운동에 대해 기술 할 수 있게 된다. :\frac{d}{dt}a^\dagger_{k-q}a_k={i \over \hbar}[H,a^\dagger_{k-q}a_k] :::: =i (E_{k-q}-E_{k})a^\dagger_{k-q}a_k-{i \over \hbar}\sum_p V_{eff}(p)(a^\dagger_{k-q}a_{k-p}-a^\dagger_{k+p-q}a_k) 앞의 결과와 Random Phase Approximation을 한다면, a^\dagger_{k-q}a_k \,\\! * *에 대한 기대값을 구할 수 있게 되고, :\frac{d}{dt} = i (E_{k-q}-E_{k}) -{i \over \hbar} V_{eff}(p)(f_{k-q}-f_{k}) 또한 전자가 * *e^{-i(\omega+i\delta)t} \,\\! * *에 비례해서 움직인다고 가정을 하면 즉, * * \, \propto \, e^{\,\\!-i(\omega+i\delta)t} \,\\! * * 이라고 생각 할 수 있다. 따라서 앞의 식을 바탕으로 다음과 같은 식을 유도할 수 있다. : \hbar(\omega\delta+E_{k-q}-E_{k}) = V_{eff}(q)(f_{k-q}-f_k) 결국, \,\\! 에 대해서 정리하면 아래와 같게 된다. :=V_{eff}(q){ {f_{k-q}-f_{k\over \ {\hbar(\omega+i\delta+E_{k-q}-E_k) \,\\! 더 나아가기 이전에, 두 가지 함수를 정의해 보도록 하겠다. 먼저 Polarization Function으로 P^1(q, \omega) \,\\! 으로 표현을 하며, 그 꼴을 아래와 같다. :P^1(q, \omega)\equiv \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{\hbar(\omega+i\delta+E_{k-q}-E_k) 다음으로 Electron Charge Denisty Operator이다. : \equiv - \frac {|e^2|}{L^3} \sum_k { a^\dagger_{k-q}a_k } 따라서 위에서 정의한 두 식과 앞의 유도한 식을 이용하면 Electron Charge Denisty Operator은 아래와 같이 새롭게 정의가 된다. : = - \frac {|e^2|}{L^3} V_{eff}(q) P^1(q, \omega) 가림효과를 받은 입자의 퍼텐셜은 포아송 방정식을 만족하므로 다음과 같이 쓰여 질 수 있다. : \nabla^2 V_{ind}(r)= \frac {4\pi |e| \rho (r) }{ \epsilon_o} 위 식을 푸리에 변환을 하고, 앞서 구한 Electron Charge Denisty Operator을 대입하면, : V_{ind}(q)=-\frac {4\pi |e|}{\epsilon q^2}\rho_q = \frac{4\pi |e|^2}{\epsilon_o q^2 L^3} V_{eff}(q)P^1(q, \omega)=V_q V_{eff}(q)P^1(q, \omega) 맨 처음에 V_{e f f}(r)=V(r)+V_{ind}(r) \,\\! 이라고 했으므로, 위의 결과 들을 이용하면 V_{e f f} \,\\! 를 가림을 받게되는 실질적인 퍼텐셜(Dynamically Screened Coulomb Potential)인 V_{s} \,\\! 으로 새로 정의할 수 있다. : V_{e f f}(q)= V(q)[ 1 + V_{eff}(q)P^1(q, \omega)] = \frac {V_q}{1-V_q P^1(q, \omega)} = \frac {V_q}{\epsilon (q, \omega)}\equiv V_s(q, \omega) 이 때, \epsilon (q, \omega) = 1- V_q P^1 (q, \omega) \,\\! 으로 \epsilon \,\\! 이 동적 유전상수(Dynamic Dielectric Funtion)로 정의 된다. 그러므로, 우리는 Polarization Function P^1(q, \omega) \,\\! 의 꼴을 알고 있으므로 린드하드식을 다음과 같이 유도할 수 있게 되는 것이다. :\epsilon(q,\omega) = 1 - V_q \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{\hbar(\omega+i\delta+E_{k-q}-E_k).
# 린드하드 식의 적용범위
여기에 언급한 린드하드 식은 3차원과 2차원에 한 해서 적용이 가능하다. 그리고 q \,\\!* *와 \omega \,\\!* *에 대한 의존성이 있기 때문에 공간과 시간에 대한 분포를 포함한 식이라고 볼 수 있다. 식에서 사용된 입자의 밀도 함수 * *f_{k} \,\\!* *는 플라즈마의 경우에는 페르미-디락 함수* *f \,\\!* *와 같다. 바로 아래에서 차원에 따라서, 또 공간과 시간의 극한영역에서는 린드하드식이 어떻게 되는지 알아보도록 하겠다.
## 3차원

### 긴파장 영역
긴파장 영역은 q\to0 \,\\!으로 가능 영역이다. 왜냐하면, q \,\\!는 파수이기 때문에 \lambda \,\\!가 커지면 0으로 가기 때문이다. 린드하드 식의 분모를 보면, : E_{k-q} - E_k = \frac{\hbar^2}{2m}(k^2-2\vec{k}\cdot\vec{q}+q^2) - \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \simeq -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q{m}, 린드하드 식의 분자를 보면, : f_{k-q} - f_k = f_k - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k + \cdots - k_k \simeq - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k. 위 식을 린드하드 식에 대입을 하고 \delta \to 0으로 가는 경우를 취하면, : \begin{alignat}{2} \epsilon(0,\omega) & \simeq 1 + V_q \sum_{k,i}{ \frac{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i{\hbar \omega_0 - \frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q{m }\\\ & \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i(1+\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q{m \omega_0})\\\ & \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q{m \omega_0}\\\ & = 1 - V_q \frac{q^2}{m \omega_0^2} \sum_k{f_k}\\\ & = 1 - V_q \frac{q^2 N}{m \omega_0^2} \\\ & = 1 - \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2 L^3} \frac{q^2 N}{m \omega_0^2} \\\ & = 1 - \frac{\omega_{pl}^2}{\omega_0^2} \end{alignat} , 여기서 E_k = \hbar \epsilon_k, V_q = \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2 L^3}, \omega_{pl}^2 = \frac{4 \pi e^2 N}{\epsilon_0 L^3 m}이다. 이는 고전적인 유전상수 모델(즉, Drude 모델)과 같은 결과이다.
### 정적 상태
정적인 상태는 \omega + i\delta \to 0 일 때 이므로, 린드하드 식은 다음과 같이 된다. : \epsilon(q,0) = 1 - V_q \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{E_{k-q}-E_k = 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{-q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{ -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q{m} = 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q{m} 평형상태의 페르미-디락 분포상태를 가정하면, : \sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial \mu} \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu 여기서 \epsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}, \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} = \frac{\hbar^2 k_i}{m} 이다. 그러므로, 정적 상태인 3차원 린드하드식은 아래와 같이 유도된다. : \begin{alignat}{2} \epsilon(q,0) & = 1 + V_q \sum_{k,i}{\frac{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q{m} = 1 + V_q\sum_k{\frac{\partial f_k}{\partial \mu = 1 + \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2} \frac{\partial}{\partial \mu} \frac{1}{L^3} \sum_k{f_k} \\\ & = 1 + \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2} \frac{\partial}{\partial \mu} \frac{N}{L^3} = 1 + \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2} \frac{\partial n}{\partial \mu} \equiv 1 + \frac{\kappa^2}{q^2}. \end{alignat} 여기서 \kappa \,\\!를 새롭게 정의 했는데 이를 3D Screening Wave Number라고 한다. \kappa = \sqrt{ \frac{4\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{\partial n}{\partial \mu} } 또한, 앞의 결과를 이용하여 3차원 일 때 가림효과를 고려한 새로운 쿨롱 포텐션을 구할 수 있다. :V_s(q,\omega=0) = \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 L^3} \frac{1}{q^2 + \kappa^2} = \frac{V_q}{\epsilon(q,\omega=0)} 이 퍼텐셜은 주파수 도메인으로 표현되었으므로, 푸리에 변환을 해 공간 상에서 어떤 함수를 갖는지 알아보도록 하면, :V_s(r) = \sum_q{ \frac{4\pi e^2}{\epsilon_0 L^3 (q^2+\kappa^2)} e^{i \vec{q} \cdot \vec{r } = \frac{e^2}{\epsilon_0 r} e^{-\kappa r} 이 되어 우리가 흔히 보았던 유카와 퍼텐셜이 됨을 알 수 있다. 두가지 퍼텐셜을 비교하면, 아래 그래프와 같다. 3D Screening Wave Number를 축퇴 상태와 비축퇴 상태 두 가지 경우에 대해서 생각해 볼 수 있다. 먼저 축퇴상태를 생각해보면, 온도가 0이 상태이므로 종종 이러한 상태의 가림을 Thomas-Fermi Screening이라고 한다. 축퇴상태의 전자기체는 다음과 같은 밀도함수를 가진다. : n = \frac{1}{2\pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2} \frac{2}{3} E_f)^{\frac{3}{2 . 이 상태에서 페르미 에너지는 \mu \,\\!와 같아 지므로, :\frac{\partial n}{\partial \mu} = \frac{3}{2}\frac{n}{E_f} 을 얻을 수 있다. 따라서 축퇴상태의 3D Screening Wave Number는 아래와 같이 된다. 이와 같은 상태를 Thomas-Fermi Screening이라고 하므로 3D Thomas-Fermi Screening Wave Number라고 부른다. :\kappa = \sqrt{ \frac{4\pi e^2}{\epsilon} \frac{\partial n}{\partial \mu} } = \sqrt{ \frac{6\pi e^2 n}{\epsilon_0 E_f} } 다음으로 비축퇴 상태를 생각해 보면, 페르미 분포로부터 다음 식을 유도할 수 있다. :\frac{\partial \mu}{\partial n} = \frac{3}{2}\frac{n}{E_f} 따라서 아래와 같이 비축퇴 상태의 3D Screening Wave Number를 구할 수 있고, 이를 Debye-Hückel Screening Wave Number라고 부른다. :\kappa = \sqrt{ \frac{4\pi e^2 n \beta}{\epsilon_0} }
## 2차원

### 긴파장 영역
긴파장 영역은 q\to0으로 가능 영역이다. 왜냐하면, q는 파수이기 때문에 \lambda 가 커지면 0으로 가기 때문이다. 린드하드 식의 분모를 보면, : E_{k-q} - E_k = \frac{\hbar^2}{2m}(k^2-2\vec{k}\cdot\vec{q}+q^2) - \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \simeq -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q{m}, 린드하드 식의 분자를 보면, : f_{k-q} - f_k = f_k - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k + \cdots - k_k \simeq - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k. 위 식을 린드하드 식에 대입을 하고 \delta \to 0으로 가는 경우를 취하면 원하는 결과를 얻을 수 있다. : \begin{alignat}{2} \epsilon(0,\omega) & \simeq 1 + V_q \sum_{k,i}{ \frac{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i{\hbar \omega_0 - \frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q{m }\\\ & \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i(1+\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q{m \omega_0})\\\ & \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q{m \omega_0}\\\ & = 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} 2 \int d^2 k (\frac{L}{2 \pi})^2 \sum_{i,j}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i\frac{\hbar k_j q_j}{m \omega_0}\\\ & = 1 + \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} 2 \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} \sum_{i,j}{q_i q_j k_j \frac{\partial f_k}{\partial k_i\\\ & = 1 + \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} \sum_{i,j}{ q_i q_j 2 \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} k_j \frac{\partial f_k}{\partial k_i\\\ & = 1 - \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} \sum_{i,j}{ q_i q_j 2 \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} k_k \frac{\partial f_j}{\partial k_i\\\ & = 1 - \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} \sum_{i,j}{ q_i q_j n \delta_{ij\\\ & = 1 - \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q L^2} \frac{L^2}{m \omega_0^2} q^2 n\\\ & = 1 - \frac{\omega_{pl}^2(q)}{\omega_0^2}, \end{alignat} 여기서 E_k = \hbar \epsilon_k, V_q = \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q L^2}이고, 특히 2D plasma frequency를 \omega_{pl}(q) = \sqrt { \frac{2 \pi e^2 n q}{\epsilon_0 m 와 같이 정의하였다.
### 정적 상태
정적인 상태는 \omega + i\delta \to 0 일 때 이므로, 린드하드 식은 다음과 같이 된다. : \epsilon(q,0) = 1 - V_q \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{E_{k-q}-E_k= 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{-q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{ -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q{m} = 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q{m} . 평형상태의 페르미-디락 분포상태를 가정하면, : \sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial \mu} \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu 여기서 \epsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}, \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} = \frac{\hbar^2 k_i}{m} 이다. 따라서, 2D 유전상수를 구할 수 있다. : \begin{alignat}{2} \epsilon(q,0) & = 1 + V_q \sum_{k,i}{\frac{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q{m} = 1 + V_q\sum_k{\frac{\partial f_k}{\partial \mu = 1 + \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q L^2} \frac{\partial}{\partial \mu} \sum_k{f_k} \\\ & = 1 + \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q} \frac{\partial}{\partial \mu} \frac{N}{L^2} = 1 + \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q} \frac{\partial n}{\partial \mu} \equiv 1 + \frac{\kappa}{q}. \end{alignat} 여기서 \kappa = \frac{2\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{\partial n}{\partial \mu} 로 정의를 했다. 3차원일 때와 마찬가지로 \kappa \,\\!를 알면 가림효과를 고려한 쿨롱 퍼텐셜을 쉽게 유도 할 수 있다. 그 결과는 아래와 같다. : V_s(q,\omega=0) = \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 L^2} \frac{1}{q + \kappa} 2차원 페르미 기체의 Chemical Potenital은 \mu (n,T) = \frac{1}{\beta} \ln{(e^{\hbar^2 \beta \pi n/m}-1)} 이므로 \frac{\partial \mu}{\partial n} = \frac{\hbar^2 \pi}{m} \frac{1}{1-e^{-\hbar^2 \beta \pi n / m 가 된다. 따라서 \kappa = \frac{2\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{\partial n}{\partial \mu} = \frac{2\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{m} {\hbar^2 \pi} (1-e^{-\hbar^2 \beta \pi n / m}) = \frac{2 m e^2}{\epsilon_0 \hbar^2} f_{k=0} 가 됨을 알 수 있다. 수식을 보면 2차원 Screening Wave Number는 3차원이 밀도에 의존하는데 반해, 그렇지 않다는 것을 확인할 수 있다.