회전 (벡터)

비틀림 (동음이의) 미적분학 수학에서 **회전**(回轉, 컬)은 3차원 벡터장을 다른 3차원 벡터장으로 대응시키는 1차 미분 연산자의 하나이다. 수식에서 기호는 "\nabla \times" 또는 "\operatorname{curl}()"이다.
# 정의

## 직교 좌표계에서의 정의
어떤 벡터장 **F**=F1**i**+F2**j**+F3**k**의 **회전**은 다음과 같이 표현되는 기호 행렬식이다. :\nabla \times \mathbf F=\det\begin{pmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\\ F_1 & F_2 & F_3 \\\ \end{pmatrix} =\left( \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} \right)\mathbf i+\left( \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} \right)\mathbf j+\left( \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right)\mathbf k 만일 왼손좌표계의 경우에는 위의 행렬식에 음의 부호를 취한다.
## 좌표계 독립적인 정의
위의 정의는 직교 좌표계를 사용하여 정의를 하였다. 그러나 어떠한 좌표계에서든지 성립하는 회전의 정의도 존재하며 많은 물리책들은 위의 정의 대신 다음 정의를 사용한다. 그 정의는 다음과 같다. :어떤 점에서의 벡터장의 회전은 그 점을 포함하는 임의의 닫힌 곡면 S에서 바깥방향 법선벡터와 그 벡터장의 벡터곱의 면적분과 그 곡면으로 둘러싸인 부피(V)의 비를 부피를 0으로 보낼 때의 극한이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다. ::\nabla\times\mathbf F=\lim_{V \to 0}\frac{1}{V}\oint_{S}\mathbf{n}\times\mathbf{F}\,da 계산의 편리성과 물리적 의미의 이해를 돕기 위하여 여러 가지 연산을 통해 적분속에 있는 벡터곱을 없애줄 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다. :어떤 점에서 \nabla\times\mathbf F의 단위벡터 **a**방향 성분은 그 점을 포함하는 **a**에 수직한 평면 S'에서 그 둘레 C를 따라 **F**를 선적분한 값과 S'의 넓이의 비를 넓이를 0으로 보낼 때의 극한이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다. ::\hat{\mathbf a}\cdot\nabla\times\mathbf F=\lim_{S'\to 0}\frac{1}{S'}\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf l
## 회전 성분에 관한 정리의 증명
벡터곱을 이용한 정의로부터 이 성질을 유도해보자. 일단 단위벡터 **a**는 상수이므로, :\hat{\mathbf a}\cdot\nabla\times\mathbf F=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\hat{\mathbf a}\cdot\oint_S\mathbf n\times\mathbf F\,da=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{S}\hat{\mathbf a}\cdot\left(\mathbf n\times\mathbf F\right) da=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{S}\mathbf{F}\cdot\left(\hat{\mathbf a}\times\mathbf{n}\right) da (스칼라 삼중곱의 성질에 의하여 순서를 바꾸어 줄 수 있다.) 여기서 적분할 부피를 잘 잡아주면 식을 간단히 정리할 수 있다. 아래 정의에서 적분에 사용한 평면 S'을 단위벡터 **a**를 따라 ξ/2만큼, -**a**를 따라 ξ/2만큼 평행이동할 때 면이 쓸고 지나가는 공간에 대하여 생각해보자. 이 공간은 부피가 S'ξ인 일종의 기둥이 된다. 기둥의 밑면에서의 **a**×**n**은 **n**과 **a**가 평행하므로 0이된다. 즉, 기둥의 밑면에 대한 면적분은 0이되고, 옆면 Sside에 대해서만 면적분을 해주면 된다. 이 면적분은 다르게 말하면 밑면에 평행하게 무한히 많은 층으로 잘라서(dh), 각 층에서 둘레를 따라(dl) 선적분 한것들의 총합이 될 것이다. 수식으로 나타내면 다음과 같다. :\hat{\mathbf a}\cdot\nabla\times\mathbf F=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\iint_{S_{side\mathbf{F}\cdot\left(\hat{\mathbf a}\times\mathbf{n}\right)da=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{C}\int_{-\frac{\xi}{2^{\xi\over 2}\mathbf{F}\cdot\left(\hat{\mathbf a}\times\mathbf{n}\right)dhdl 섬네일 **F**는 연속이므로회전도 일종의 미분연산이다. 만약 연속하지 않으면 극한은 발산하며 그 점에서 회전은 정의될 수 없다. 안에 있는 적분에 평균값 정리를 사용해준다면 특정한 **F***에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\hat{\mathbf a}\cdot\nabla\times\mathbf F=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{C}\xi\mathbf F^*\cdot\left(\hat{\mathbf a}\times\mathbf n\right)dl 옆면에서 **a**×**n**을 생각해보면 둘레에 평행한 단위벡터이다. 따라서 (**a**×**n**)dl을 d**l**로 바꾸어줄 수 있다. 부피 V는 기둥의 부피 공식에 의하여 밑면의 넓에 S'에 높이 ξ를 곱한 것이 되므로 적분 속에 있는 ξ와 약분이 된다. 또한 V가 0으로 가면 S'도 0으로 갈 것이고, ξ도 0으로 가므로, **F***도 F로 갈 것이다. 정리하면 다음과 같다. :\hat{\mathbf a}\cdot\nabla\times\mathbf F=\lim_{V\to 0}\frac{\xi}{S'\xi}\oint_{C}\mathbf F^*\cdot d\mathbf l=\lim_{S'\to 0}\frac{1}{S'}\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf l
## 직교 좌표계 정의의 유도
위의 정리를 사용하여 회전의 x방향 성분을 생각해보자. 미소 ε에 대하여 (x, y, z), (x, y+ε, z), (x, y+ε, z+ε), (x, y, z+ε)을 꼭짓점으로 갖는 정사각형을 생각해 보자. 그 정사각형에서 위의 정리를 사용하면 다음과 같다. :\begin{align} \hat{\mathbf i}\cdot\nabla\times\mathbf F&=\lim_{S\to 0}\frac{1}{S}\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}\\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon^2}\left(\int_y^{y+\epsilon}F_2\left( x, y', z\right) dy'+\int_z^{z+\epsilon}F_3\left( x, y+\epsilon, z'\right) dz'+\int_{y+\epsilon}^y F_2\left( x, y', z+\epsilon\right) dy'+\int_{z+\epsilon}^z F_3\left( x, y, z'\right) dz'\right)\\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon^2}\left(\int_z^{z+\epsilon}F_3\left( x, y+\epsilon, z'\right) -F_3\left( x, y, z'\right) dz'-\int_y^{y+\epsilon}F_2\left( x, y', z+\epsilon\right) -F_2\left( x, y', z\right) dy'\right) \end{align} 첫번째 적분과 두번째 적분에 평균값 정리의 미분 형태를 사용해주면 다음과 같다. :\begin{align} \hat{\mathbf i}\cdot\nabla\times\mathbf F&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon^2}\left(\int_z^{z+\epsilon}\epsilon\frac{\partial F_3}{\partial y}\left(x, \bar y, z'\right)dz'-\int_y^{y+\epsilon}\epsilon\frac{\partial F_2}{\partial z}\left( x, y', \bar{z}\right) dy'\right), \bar y\in\left( y, y+\epsilon\right), \bar z\in\left( z, z+\epsilon\right)\\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon}\left(\int_z^{z+\epsilon}\frac{\partial F_3}{\partial y}\left(x, \bar{y}, z'\right)dz'-\int_y^{y+\epsilon}{\partial F_2\over\partial z}\left( x, y', \bar{z}\right) dy'\right)\end{align} 이제 첫번째와 두번째 적분에 평균값 정리의 적분 형태를 사용해주면 다음과 같다. :\begin{align} \hat{\mathbf i}\cdot\nabla\times\mathbf{F}&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon}\left(\epsilon{\partial F_3\over\partial y}\left(x, \bar{y}, \tilde{z}\right)-\epsilon{\partial F_2\over\partial z}\left( x, \tilde{y}, \bar{z}\right)\right), \tilde{y}\in\left( y, y+\epsilon\right), \tilde{z}\in\left( z, z+\epsilon\right)\\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\left({\partial F_3\over\partial y}\left(x, \bar y, \tilde z\right)-{\partial F_2\over\partial z}\left( x, \tilde y, \bar z\right)\right)\end{align} ε이 0으로 가면, 샌드위치 정리에 의하여 \bar{y}\to y, \bar{z}\to z, \tilde{y}\to y, \tilde{z}\to z이다. 결과적으로 정리하면 다음과 같다. :\hat{\mathbf i}\cdot\nabla\times\mathbf{F}={\partial F_3\over\partial y}-{\partial F_2\over\partial z} y방향, z방향 성분들도 위와 같은 과정을 걸치면 다음을 얻을 수 있다. :\hat{\mathbf j}\cdot\nabla\times\mathbf{F}={\partial F_1\over\partial z}-{\partial F_3\over\partial x} :\hat{\mathbf k}\cdot\nabla\times\mathbf{F}={\partial F_2\over\partial x}-{\partial F_1\over\partial y} 이는 위에서 소개된 직교 좌표계에서의 회전의 정의와 같다.
# 물리적 의미
어떤 강체가 축을 중심으로 각속도 **ω**로 회전하고 있다. 그리고 이 강체 각 부분의 속도의 벡터장을 **V**라고하자. z축을 축으로 잡는다면 각속도 :\boldsymbol{\omega}=\omega\mathbf{k}이고 \mathbf{V}\left( x,y,z\right) =\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}=\omega\mathbf{k}\times(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})=\omega x\mathbf{j}-\omega y\mathbf{i} 이다. **V**의 **회전**을 계산해본다면 :\nabla\times\mathbf{V}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\-\omega y&\omega x&0\end{pmatrix}=2\omega\mathbf{k}=2\boldsymbol{\omega} 즉 각속도와 연관이 있다. 따라서 \nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{0}이라면 그 강체는 회전하고 있지 않다는 것을 의미한다. 그렇다면 이제 유체를 생각해보자. 유체의 한 지점에서 회전은 그 지점에 놓인 강체의 각속도의 2배이다. 만약 그 지점의 회전이 **0**이라면 그 지점에 소용돌이가 존재하지 않는다. 예를 들어 목욕탕 배수구를 열었을 때 나타나는 물의 운동의 경우 배수구가 있는 정중앙을 제외한 나머지 부분에서 회전이 **0**이다. 즉, 물은 배수구를 중심으로 원운동을 하고 있지만 각각의 점에서 소용돌이가 일어나고 있지 않고 전체적으로 배수구를 휘감아 빠져나간다. 그러므로 만약 나뭇잎을 띄우면 나뭇잎은 흔들리지 않고 배수구 주위를 원운동하다가 배수구 근처에 다다랐을 때 회전을 시작할 것이다.