그로텐디크 위상

대수기하학과 범주론에서, **그로텐디크 위상**(Grothendieck位相, Grothendieck topology)은 열린 덮개의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 위상 공간의 개념을 **위치**(位置, site)로 일반화할 수 있다. 그로텐디크 위상의 개념은 대수기하학에서 사용되는, 에탈 코호몰로지 · fppf 코호몰로지 · 결정 코호몰로지(crystalline cohomology)와 같은 각종 코호몰로지 이론을 정의하는 데 필요하다.
# 정의
그로텐디크 위상은 주어진 대상 위의 "덮개"가 무엇인지의 데이터를 담고 있다. 그로텐디크 위상은 두 가지로 정의할 수 있다. * 일반적인 범주에서 그로텐디크 위상은 체의 개념을 통해 정의되며, 그로텐디크 위상은 어떤 체들이 **덮개체**(covering sieve)를 이루는지에 대한 정보를 담고 있다. * 만약 범주가 당김을 가진다면, 체 대신 단순히 사상들의 집합을 사용할 수 있다. 이 경우, 그로텐디크 (준)위상은 어떤 사상 집합들이 덮개를 이루는지에 대한 정보를 담고 있다. 이 정의는 더 직관적이지만, 일반적 범주에 적용할 수 없어 덜 일반적이다. 두 정의 모두, 그로텐디크 위상은 세 개의 공리들로 정의된다. 이들은 대략 다음과 같다. * (덮개의 제한) U의 덮개를, U의 부분 V로 국한하여도 이는 V의 덮개를 이룬다. * (덮개의 세분) U가 \\{U_i\\}_{i\in I}들로 덮히며, 덮개의 각 성분 U_i를 또 그 위의 덮개 \\{U_{i,j}\\}_{j\in J_i}로 세분한다면, 세분된 덮개 \textstyle\bigcup_{i\in I}\\{U_{i,j}\\}_{j\in J_i} 역시 U의 덮개를 이룬다. * (자명한 덮개) 모든 대상은 스스로의 덮개이다. 그러나 이 세 공리는 덮개의 개념을 어떻게 형식화하느냐에 따라 달리 표현된다. 그로텐디크 위상을 갖춘 범주를 **위치**라고 한다. 작은 위치 위의 층의 범주와 동치인 범주를 **그로텐디크 토포스**라고 한다. 집합 위의 위상을 더 섬세함·엉성함에 따라 비교할 수 있는 것처럼, 주어진 범주 위의 그로텐디크 위상들의 모임 위에는 부분 순서가 존재한다. 즉, 같은 범주 위의 두 그로텐디크 위상에 대하여, 첫째가 둘째보다 더 **섬세**(finer)하다고 할 수 있다. (이는 둘째가 첫째보다 더 **엉성**(coarser)하다는 것과 같다.) 더 섬세한 위상에서는 * 더 많은 수의 덮개들이 존재한다. * 준층이 층을 이루는 것이 더 어렵다. (이는 각 덮개에 대하여 층의 짜깁기 공리가 성립하여야 하기 때문이다.) 반대로, 더 엉성한 위상에서는 * 더 적은 수의 덮개들이 존재한다. * 준층이 층을 이루는 것이 더 쉽다.
## 체를 통한 정의
국소적으로 작은 범주 \mathcal C 위의 **그로텐디크 위상**(Grothendieck topology)은 다음과 같은 데이터로 정의된다. * 각 대상 U\in\mathcal C에 대하여, U에 대한 체들의 모임 \mathfrak J(U)\subseteq\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U). 이를 U의 **덮개체**(covering sieve)의 모임이라고 한다. 이들은 다음과 같은 공리들을 따라야 한다. 임의의 U\in\mathcal C에 대하여, * (덮개의 제한) 덮개체의 제한은 덮개체이다. 즉, 모든 덮개체 S\subseteq\hom(-,U) 및 사상 f\colon V\to U에 대하여, S를 V로 제한하여 얻는 체 f^*S\subseteq\hom(-,V) 역시 덮개체이다. 여기서 제한체는 구체적으로 \textstyle g \in f^*S \stackrel{\operatorname{def\iff f\circ g\in S이다. * (덮개의 세분) 덮개체의 각 성분의 덮개체를 짜기워 더 섬세한 덮개체를 얻을 수 있다. 즉, U 위의 체 T\subseteq \hom(-,U)가 덮개체가 될 충분 조건은 어떤 덮개체 S\in\mathfrak J(U) 및 모든 대상 V\in\mathcal C 및 모든 f\in S(V)\subseteq\hom(V,U)에 대하여, f^*T\subseteq\hom(-,V)가 덮개체가 되는 것이다. *:W_{i,j}\overset{\in f^*T}\to V\overset{f\in S}\to U * (자명한 덮개) 요네다 체 \hom(-,U)는 덮개체이다. \mathcal C 위의 두 그로텐디크 위상 \mathfrak J, \mathfrak J'에 대하여, 만약 모든 U\in\mathcal C에 대하여 \mathfrak J(U)\subseteq\mathfrak J'(U)라고 한다면, \mathfrak J가 \mathfrak J'보다 더 **엉성**하며, 반대로 \mathfrak J'이 \mathfrak J보다 더 **섬세**하다고 한다.
## 사상 집합을 통한 정의
체는 함자 조건에 의하여, 매우 많은 수의 사상들을 포함한다. 이를 대신하여, 주어진 체를 생성하는 더 적은 수의 사상만으로 그로텐디크 위상을 정의할 수 있다. 이러한 데이터를 그로텐디크 준위상이라고 한다. (그러나 서로 다른 두 그로텐디크 준위상이 같은 그로텐디크 위상을 생성할 수 있다.) 국소적으로 작은 범주 \mathcal C 위의 **그로텐디크 준위상**(Grothendieck準位相, Grothendieck pretopology)은 다음과 같은 데이터로 정의된다. * 각 대상 U\in\mathcal C에 대하여, U로 향하는 사상들의 집합들의 모임 \mathfrak D(U). \mathfrak D(U)의 원소를 U의 **덮개**라고 한다. 이 데이터 또한 일련의 공리들을 만족시켜야 한다. * (덮개의 제한) 임의의 사상 f\colon V\to U 및 U의 덮개 \\{f_i\\}_{i\in I}에 대하여, 이를 V에 제한하여 얻은 \\{f_i\times_U V\colon U_i\times_UV\to V\\}는 V의 덮개이다. 또한, 이 정의에서 등장하는 당김 \\{U_i\times_UV\\}_{i\in I}가 항상 존재한다. *:\begin{matrix} U_i\times_UV&\overset{f_i\times_UV}\to&V;\\\ \downarrow&&\downarrow\\\ U_i&\underset{f_i}\to&U; \end{matrix} * (덮개의 세분) 임의의 대상 U\in\mathcal C 및 덮개 \\{f_i\colon U_i\to U\\}_{i\in I} \in\mathfrak D(U) 및 덮개 \\{f_{i,j}\colon U_{i,j}\to U_i\\}_{j\in J_i}\in\mathfrak D(U_i)에 대하여, \\{f_i\circ f_{i,j}\\} 역시 U의 덮개이다. *:U_{i,j}\overset{f_{i,j\to U_i\overset{f_i}\to U * (자명한 덮개) 임의의 동형 사상 i\colon U\to V에 대하여, \\{i\\}는 V의 덮개이다. 국소적으로 작은 범주 \mathcal C 위의 그로텐디크 준위상 \mathfrak D가 주어졌다면, 이에 대응하는 그로텐디크 위상 \mathfrak J_{\mathfrak D}를 정의할 수 있다. \mathfrak J_{\mathfrak D}에서 U\in\mathcal C의 덮개체들은 적어도 하나의 덮개를 포함하는 체들이다. :S\in\mathfrak J_{\mathfrak D}(U)\iff\exists d\in\mathfrak D(U)\colon S(U)\supset d\ne\varnothing
## 로비어-티어니 위상
**로비어-티어니 위상**(Lawvere–Tierney topology)의 개념은 그로텐디크 위상의 개념의 일반화이다. 로비어-티어니 위상은 임의의 토포스 위에 정의된다. 작은 범주 \mathcal C 위의 준층의 범주 \operatorname{PSh}(\mathcal C)는 토포스를 이루며, 그 위의 로비어-티어니 위상은 \mathcal C 위의 그로텐디크 위상과 동치이다. 토포스 \mathcal T 위의 부분 대상 분류자 (\Omega,\top)\in\mathcal T가 주어졌다고 하자. \mathcal T 위의 **로비어-티어니 위상** j\colon\Omega\to\Omega은 다음 조건들을 만족시키는 사상이다. * 다음 그림이 가환 그림을 이룬다. *: \begin{matrix} 1&\overset\top\to&\Omega\\\ &{\scriptstyle\top}\searrow&\downarrow\scriptstyle j\\\ &&\Omega \end{matrix} * 다음 그림이 가환 그림을 이룬다. *: \begin{matrix} \Omega&\overset j\to&\Omega\\\ &{\scriptstyle j}\searrow&\downarrow\scriptstyle j\\\ &&\Omega \end{matrix} * 다음 그림이 가환 그림을 이룬다. *: \begin{matrix} \Omega&\overset\land\to&\Omega\\\ &{\scriptstyle j\times j}\searrow&\downarrow\scriptstyle j\\\ \Omega\times\Omega&\underset\land\to&\Omega \end{matrix} 부분 대상 분류자의 정의에 의하여, 로비어-티어니 위상 j\colon\Omega\to\Omega을 고르는 것은 \Omega의 부분 대상 J\hookrightarrow\Omega을 고르는 것과 같다. 작은 범주 \mathcal C 위의 준층 범주 \operatorname{PSh}(\mathcal C)에서 부분 대상 분류자 \operatorname{Sieve}는 대상 U\in\mathcal C에 대하여 그 위의 모든 체들의 집합 \operatorname{Sieve}(U)를 대응시킨다. 따라서 부분 대상 분류자 \operatorname{Sieve}의 부분 대상 J는 각 대상 U\in\mathcal C에 대하여, 그 위의 체들의 집합 J(U)\subseteq\operatorname{Sieve}(U)을 대응시키는 준층이다. 이것이 준층을 이룬다는 것은 덮개체의 집합이 당김에 대하여 닫혀 있다는 조건이며, 이는 그로텐디크 위상의 세 공리 가운데 하나이다. 그로텐디크 위상의 나머지 두 공리는 로비어-티어니 위상의 공리들과 동치이다.
# 예

## 이산 위상과 비이산 위상
범주 \mathcal C 위의 **이산 위상**(discrete topology)은 모든 체가 덮개체를 이루는 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 (같은 공역을 갖는) 임의의 사상들의 모임이 덮개를 이루는 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 섬세한 위상이다. 범주 \mathcal C 위의 **비이산 위상**(indiscrete topology)은 덮개체가 \mathfrak J(U)=\\{\hom(-,U)\\}인 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 덮개가 \mathfrak D(U)=\\{\operatorname{id}_U\\}인 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 엉성한 위상이다. 비이산 위상을 부여한 위치 위에서 모든 준층은 층을 이룬다.
## 표준 위상
임의의 국소적으로 작은 범주 \mathcal C 위의 준층들의 모임 \mathfrak F가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \mathfrak F들이 모두 층을 이루는, 가장 섬세한 그로텐디크 위상이 존재한다.언어=en14, Lemma 0.35 표현 가능 준층은 임의의 대상 U\in\mathcal C에 대하여 \hom(-,U)의 꼴의 준층이다. 모든 표현 가능 준층이 층을 이루는 가장 섬세한 그로텐디크 위상을 **표준 위상**(canonical topology)이라고 한다. 표준 위상보다 더 엉성한 위상을 **준표준 위상**(subcanonical topology)이라고 한다. 즉, 준표준 위상은 모든 요네다 준층이 층을 이루는 위상이다. 그로텐디크 토포스 \mathcal T 위에 표준 위상을 부여한다면, \mathcal T 위의 모든 층은 표현 가능하다. 즉, 이 경우 \mathcal T와 \operatorname{Sh}(\mathcal T)는 서로 동치이다.
## 조각 범주
국소적으로 작은 범주 \mathcal C 및 대상 B\in\mathcal C가 주어졌다고 하자. \mathcal C 속의 임의의 사상 u\colon U\to B 및 체 S\subseteq\hom(-,U)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주 \mathcal C/B의 대상 u 위에 체 S/B를 다음과 같이 정의할 수 있다. :S/B=\left\\{ \begin{matrix} V&\overset f\to&U;\\\ &{\scriptstyle v}\searrow&\downarrow\scriptstyle u\\\ &&B; \end{matrix} \colon f\in S \right\\} \mathcal C 위의 그로텐디크 위상 \mathfrak J가 주어졌을 때, 각 u\in\mathcal C/B에 대하여 :(\mathfrak J/B)(u)=\\{S/B\colon S\in\mathfrak J(U)\\} 로 정의하면, \mathfrak J/B는 \mathcal C/B 위의 그로텐디크 위상을 이룬다. 이를 조각 범주 \mathcal C/B 위의 **유도 위상**(induced topology)이라고 한다.
## 위상 공간의 작은 위치
위상 공간 X의 열린집합들의 범주 \operatorname{Open}(X)를 생각하자. 이 경우, 대상은 열린집합들이고, 사상은 포함 관계 \iota_{UV}\colon U\hookrightarrow V들이다. 즉, 임의의 U,V\in\operatorname{Open}(X)에 대하여, \hom(U,V)는 공집합이거나 아니면 \iota_{UV}\colon U\hookrightarrow V 하나의 원소만을 포함한다.
### 열린집합 범주에서의 체
\operatorname{Open}(X)에서 열린집합 U\in\operatorname{Open}(X) 위의 체는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합 \mathcal S\subset\operatorname{Open}(X)으로 주어진다. * (상계) 모든 V\in\mathcal S에 대하여, V\subseteq U * (하향 닫힘) 모든 V,W\in\operatorname{Open}(X)에 대하여, 만약 V\subseteq W이며 W\in\mathcal S라면 V\in\mathcal S 구체적으로, 요네다 함자의 부분 함자 S\colon\operatorname{Open}(X)^{\operatorname{op\to\operatorname\operatorname{Set}가 주어진다면, :\mathcal S=\\{V\in\operatorname{Open}(X)\colon S(V)\ne\varnothing\\} 이다. 즉, 열린집합의 범주에서 U 위의 체는 하향으로 닫힌 U의 부분 집합들의 모임과 같다. V\subset U이며, U 위의 체 \mathcal S가 주어졌다고 하자. 포함 관계 \iota\colon V\hookrightarrow U에 따른 체의 당김 \iota^*\mathcal S는 다음과 같은 체이다. :\iota^*\mathcal S=\\{W\in\mathcal S\colon W\subseteq V\\}
### 열린집합 범주에서의 그로텐디크 준위상
\operatorname{Open}(X)에서는 모든 당김이 존재하며, 열린집합의 교집합과 같다. 즉, V,W\subseteq U일 때, V\times_UW=V\cap W이다. 따라서, 사상 집합을 통한 정의를 사용할 수 있다. * (덮개의 국한) \\{U_i\\}_{i\in I}가 열린집합 U의 덮개이고, V\subseteq U라면, \\{U_i\cap V\\}_{i\in I}는 V의 덮개이다. * (덮개의 세분) 열린집합 U의 덮개 \\{U_i\\}_{i\in I} 및 각 i\in I에 대하여 U_i의 덮개 \\{U_{i,j}\\}_{j\in J_i}가 주어졌을 때, \\{U_{i,j}\\}_{i\in I,j\in J_i}는 U의 덮개이다. * (자명한 덮개) \\{U\\}는 U의 덮개이다. 즉, 이는 일반적인 열린 덮개의 성질을 공리화한 것이다.
### 열린집합 범주에서의 그로텐디크 위상
\operatorname{Open}(X)에서 그로텐디크 위상의 공리들을 번역하면 다음과 같다. * (덮개체의 올곱) V\subseteq U이며, U의 덮개체 \\{U_i\\}_{i\in I}가 주어졌다면, \\{U_i\cap V\\}_{i\in I}는 V의 덮개체이다. * (덮개체의 합성) U의 덮개체 \\{U_i\\}_{i\in I} 및 U 위의 임의의 체 \\{T_j\\}_{j\in J}가 주어졌다고 하자. 임의의 i\in I에 대하여 \\{T_j\cap U_i\\}_{j\in J}가 U_i의 덮개체를 이룬다고 하자. 그렇다면 \\{T_j\\}_{j\in J}는 U의 덮개체이다. * (자명한 덮개체) \\{V\colon V\subseteq U\\}는 U의 덮개체이다. \operatorname{Open}(X) 위에, 덮개체들을 열린 덮개의 하향 폐포들로 고른다면, 이는 위치를 이룬다. 이 위치를 X의 **작은 위치**(small site)라고 한다. 이 위치는 그로텐디크 준위상으로도 정의할 수 있으며, 이 경우 덮개들은 열린 덮개와 같다.
## 위상 공간의 큰 위치
위상 공간과 연속 함수들의 범주 \operatorname{Top}를 생각하자. 이 위에 다음과 같은 그로텐디크 위상이 존재한다. 위상 공간 X\in\operatorname{Top}의 덮개 \Phi=\\{\phi\colon\operatorname{dom}\phi\to X\\}_{\phi\in\Phi}는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수들의 집합이다. :\bigcup_{\phi\in\Phi}\phi(\operatorname{dom}\phi)=X 이는 준표준 위상을 이룬다. 위상 공간 X\in\operatorname{Top}가 주어졌을 때, \operatorname{Top}/X는 X로 가는 사상(연속 함수)들을 대상으로 하는 범주이다. 이 경우, \operatorname{Top}/X의 두 대상 (연속 함수) :\phi_1\colon Y_1\to X :\phi_2\colon Y_2\to X 사이의 사상은 다음 성질을 만족시키는 연속 함수 \chi\colon Y_1\to Y_2이다. :\phi_1=\phi_2\circ\chi 이 경우, \operatorname{Top}/X는 \operatorname{Top}로부터 그로텐디크 위상을 물려받는다. 이 그로텐디크 위상을 갖춘 \operatorname{Top}/X를 X의 **큰 위치**(big site)라고 한다.
## 스킴의 범주의 그로텐디크 위상
스킴 (수학)#그로텐디크 위상 스킴들의 범주 \operatorname{Sch} 위에는 다음과 같은 특별한 그로텐디크 위상들이 존재한다. * 자리스키 위상 \operatorname{Zar}. 이는 스킴 위의 고전적인 위상이나 매우 엉성하다. * 니스네비치 위상. 이는 예브세이 니스네비치(Евсей А. Нисневич)가 도입하였으며, 대수적 K이론과 모티브 이론에서 사용된다. * 에탈 위상 \operatorname{\acute Et}. 이 경우, 덮개는 에탈 사상을 통한 덮개이다. 에탈 코호몰로지를 정의할 때 쓰인다. * 평탄 위상(flat topology) ** fppf 위상 ** fpqc 위상 이들은 섬세함에 따라 다음과 같이 전순서를 이룬다. (즉, 왼쪽으로 갈 수록 더 엉성한 위상이며, 오른쪽으로 갈수록 더 섬세한 위상이다.) :비이산 위상 → 자리스키 위상 → 니스네비치 위상 → 에탈 위상 → fppf 위상 → fpqc 위상 → 표준 위상 → 이산 위상 이들 모두 준표준 위상이다. 스킴 X에 대하여, 그 위의 조각 범주 \operatorname{Sch}/X 위에는 이 위상들의 유도 위상들을 부여할 수 있다. 각 표수 p에 대하여, 유한체 \mathbb F_p 또는 \mathbb Q 위의 분리 거듭제곱 농화(-濃化, divided power thickening)들의 범주 위에, \operatorname{Sch} 위의 위상 가운데 하나를 사용하여 위상을 줄 수 있다. 이러한 위치들을 **무한소 위치**(infinitesimal site, crystalline site)라고 하며, 결정 코호몰로지(crystalline cohomology)를 정의하는 데 쓰인다.
# 역사
1949년에 앙드레 베유는 유한체 위의 대수다양체에 대한 베유 추측을 제시하였고, 이들을 증명하려면 베유 코호몰로지라는 새로운 코호몰로지 이론이 필요하다고 제안하였다.언어=fr 그러나 베유 자신은 베유 코호몰로지를 정의하는 데 실패하였다. 1958년에 장피에르 세르는 베유 코호몰로지를 정의하기 위하여 등자명 피복(isotrivial cover)의 개념을 도입하였다. (이는 오늘날 에탈 사상의 개념과 관련돼 있다.) 세르는 이 개념을 1958년 4월 28일 세미나에서 강의하였고, 이를 청강하던 알렉산더 그로텐디크는 이를 사용하여 베유 코호몰로지를 성공적으로 정의할 수 있다고 확신하였다.언어=en 그러나 세르는 그로텐디크와 달리 이에 대하여 회의적이었다고 한다.321 1960년대 초에 그로텐디크는 에탈 사상을 사용하여, 베유 코호몰로지의 최초의 예인 에탈 코호몰로지 및 에탈 기본군 등을 정의하였다. 이를 정의하기 위하여 그로텐디크는 고전적 위상 공간의 개념을 버리고 대신 위치(그로텐디크 위상을 갖춘 범주)의 개념을 도입하였다. 1961년 가을에 그로텐디크는 하버드 대학교를 방문하여 마이클 아틴 · 오스카 자리스키 · 데이비드 멈퍼드와 토론하였고, 아틴은 이듬해 봄에 위치에 대하여 강의하였다. 아틴의 강의록은 곧 출판되었으며,언어=en 이것이 그로텐디크 위상을 다루는 최초의 문헌이다. 이후 위치와 그로텐디크 위상의 이론은 《마리 숲 대수기하학 세미나》(Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie) 3권(1970년) ·4권(1972년)에서 자세하게 다뤄졌다. 그로텐디크는 위치와 그로텐디크 위상의 개념으로부터, 그로텐디크 토포스(위치 위의 층 범주와 동치인 범주)의 개념을 정의하였다. 훗날 그로텐디크는 자신의 회고록에서 위치의 개념이 단지 "토포스라는 핵심적인 개념의 기술적, 임시적 형태"(version technique provisoire de la notion cruciale de topos)언어=frP24에 불과하다고 평했다. 1970년 세계 수학자 대회에서 프랜시스 윌리엄 로비어와 마일스 티어니(Myles Tierney)는 그로텐디크 위상의 개념을 일반화한 로비어-티어니 위상의 개념을 발표하였다.archive-url=https://web.archive.org/web/20150326142702/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.1/Main/icm1970.1.0329.0334.ocr.pdf