다치 논리

논리학에서 **다치 논리**는 두 개 이상의 진릿값이 있는 명제 논리이다. 전통적으로 아리스토텔레스의 논리 미적분학 에서는 모든 명제에 대해 두 가지 가능한 값(즉, "참"과 "거짓")만 있었다. 고전적인 이치 논리는 *n* 이 2보다 큰 경우 ***n*** 값 논리로 확장될 수 있다. 문헌에서 가장 인기 있는 것은 3치 (예: 우카시에비치 및 클레이니, "true", "false" 및 "unknown" 값을 허용함), 4치, 9치, 그리고 유한 치, 그리고 퍼지 논리 및 확률 논리와 같은 무한 치이다.
# 역사
배중률의 법칙을 완전히 받아들이지 않은 최초의 알려진 고전 논리학자는 아리스토텔레스였다. 아리스토텔레스는 자신의 법칙이 미래의 사건에 모두 적용되는 것은 아니라고 인정했다. 그러나 그는 이 고립된 발언을 설명하기 위해 다치 논리 시스템을 만들지 않았다. 20세기가 오기 전까지 논리학자들은 배중률을 포함하거나 가정하는 아리스토텔레스 논리를 따랐다. 20세기는 다치 논리의 개념을 다시 불러일으켰다. 폴란드 논리학자이자 철학자인 얀 우카시에비치는 미래시점 우연명제의 문제를 다루기 위해 세 번째 값인 "가능"을 사용하여 다치 논리 시스템을 만들기 시작했다. 한편, 미국 수학자 에밀 포스트도 n≥ 2(*n* 은 진리값)의 공식화를 도입했다.나중에, 우카시에비치과 알프레트 타르스키는 함께 *n*≥ 2일 때의 공식화를 도입했다. 1932년 한스 라이헨바흐는 *n* →∞인 많은 진리값의 논리를 공식화했다. 쿠르트 괴델은 직관 논리가 유한치 논리가 아니라는 것을 보여주었고, 고전 논리와 직관 논리 사이의 중간인 괴델 논리 체계를 정의했다. 이러한 논리는 초직관 논리이다.
# 예

## 클레이니 (강) *K*3 및 프리스트 논리 *P*3
클레이니의 "(강한) 불확정성 논리" *K*3 (때때로 K_3^S ) 및 Priest의 "역설의 논리"는 세 번째 "정의되지 않은" 또는 "불확정한" 진리 값 I 가 추가된다. 부정 (¬), 논리곱 (∧), 논리합 (∨) 등에 대한 진리 함수는 다음과 같이 주어진다.* S. Gottwald, *A Treatise on Many-Valued Logics.* Studies in Logic and Computation, vol. 9, Research Studies Press: Baldock, Hertfordshire, England, 2001. {| | {| class="wikitable" | ~ ! width="25" | |- ! T | F |- ! I | I |- ! F | T |} | | | {| class="wikitable" | ∧ ! width="25" | T ! width="25" | I ! width="25" | F |- ! T | T | I | F |- ! I | I | I | F |- ! F | F | F | F |} | | | {| class="wikitable" | ∨ ! width="25" | T ! width="25" | I ! width="25" | F |- ! T | T | T | T |- ! I | T | I | I |- ! F | T | I | F |} | | | {| class="wikitable" | → K ! width="25" | T ! width="25" | I ! width="25" | F |- ! T | T | I | F |- ! I | T | I | I |- ! F | T | T | T |} | | | {| class="wikitable" | ↔ K ! width="25" | T ! width="25" | I ! width="25" | F |- ! T | T | I | F |- ! I | I | I | I |- ! F | F | I | T |} |} 두 논리의 차이점은 동어반복이 정의되는 방식에 있다. *K*3 에서는 T *만이 지정된 진리값* 이고 *P*3에서는 T 와 I 둘 다 그러하다.
## Bochvar의 내부 3값 논리
또 다른 논리는 Dmitry Bochvar의 "내부" 3치 논리이다. B_3^I, Kleene의 약한 3치 논리라고도 한다. 부정과 조건을 제외하고 진리표는 모두 위와 다르다. {| | {| class="wikitable" |∧+ ! width="25" |T ! width="25" |I ! width="25" |F |- !T |T |I |F |- !I |I |I |I |- !F |F |I |F |} | | | {| class="wikitable" |∨+ ! width="25" |T ! width="25" |I ! width="25" |F |- !T |T |I |T |- !I |I |I |I |- !F |T |I |F |} | | | {| class="wikitable" |→+ ! width="25" |T ! width="25" |I ! width="25" |F |- !T |T |I |F |- !I |I |I |I |- !F |T |I |T |} |} Bochvar의 "내부" 논리에서 중간 진리값은 다른 변수의 값에 관계없이 공식으로 전파되기 때문에 "전염성"이라고 설명할 수 있다.2008
## Belnap 논리 ( *B*4 )
Belnap 의 논리 *B*4 콤바인 *K*3 *P*3 과잉 결정된 진리값은 여기에서 *B* 로 표시되고 과소 *결정된 진리값은 N으로 표시* 된다. {| | {| class="wikitable" |*f*¬ ! width="25" | |- !T |F |- !B |B |- !N |N |- !F |T |} | | | {| class="wikitable" |*f*∧ ! width="25" |T ! width="25" |B ! width="25" |N ! width="25" |F |- !T |T |B |N |F |- !B |B |B |F |F |- !N |N |F |N |F |- !F |F |F |F |F |} | | | {| class="wikitable" |*f*∨ ! width="25" |T ! width="25" |B ! width="25" |N ! width="25" |F |- !T |T |T |T |T |- !B |T |B |T |B |- !N |T |T |N |N |- !F |T |B |N |F |} |}
## 괴델 논리 *G k* 및 *G* ∞
1932년 괴델은쪽=65f G_k를 많은 진리값 0, \tfrac 1 {k-1}, \tfrac 2 {k-1}, \ldots, \tfrac {k-2} {k-1}, 1, 을 갖는 다치 논리로 정의했다. 비슷한 방식으로 그는 무한히 많은 진리값을 가진 논리를 정의했다. G_\infty, 여기서 진리값은 [0,1] 구간의 모든 실수이다. \wedge 그리고 \vee 최소값과 최대값으로 각각 정의된다. : \begin{align} u\wedge v &:= \min\\{u,v\\} \\\ u\vee v &:= \max\\{u,v\\} \end{align} \neg_G 그리고 \xrightarrow[G]{} 다음과 같이 정의된다. : \begin{align} \neg_G u & =\begin{cases} 1, & \text{if }u=0\\\ 0, & \text{if }u>0 \end{cases} \\\ u \xrightarrow[G]{} v &= \begin{cases} 1, & \text{if }u\leq v\\\ v, & \text{if }u>v \end{cases} \end{align} 괴델 논리는 완전히 공리화될 수 있다. 즉, 모든 동어반복이 증명 가능한 논리적 미적분학을 정의하는 것이 가능하다.
## Łukasiewicz 논리 Lv 및 *L*∞
\xrightarrow[L]{} 그리고 \underset{L}{\neg}는 얀 우카시에비치는 다음 함수를 통해 정의했다. : \begin{align} \underset{L}{\neg} u &:= 1 - u \\\ u\xrightarrow[L]{} v &:= \min\\{1, 1 - u + v\\} \end{align} 처음에 그는 1920년에 자신의 3치 논리를 위해 이러한 정의를 사용했다.1922년 그는 무한히 많은 값을 가진 논리를 개발했다. L_\infty, 진리값이 구간의 실수에 걸쳐 있는 경우 [0,1] . 두 경우 모두 지정된 진리값은 1이었다.이름3=Werner 괴델 논리와 같은 방식으로 정의된 진리값을 채택함으로써 0, \tfrac 1 {v-1}, \tfrac 2 {v-1}, \ldots, \tfrac {v-2} {v-1}, 1, 유한 가치 논리 계열을 만드는 것이 가능하다. L_v, 위에서 언급한 L_\infty 그리고 논리 L_{\aleph_0}, 여기서 진리값은 구간 [0,1]의 유리수로 주어진다.
# 적용
다치 논리의 적용은 대략 두 그룹으로 분류할 수 있다.Dubrova, Elena (2002). Multiple-Valued Logic Synthesis and Optimization, in Hassoun S. and Sasao T., editors, *Logic Synthesis and Verification*, Kluwer Academic Publishers, pp. 89-114 첫 번째 그룹은 다치 논리를 사용하여 이진 문제를 보다 효율적으로 해결한다. 예를 들어, 다중 출력 불 함수를 나타내는 잘 알려진 접근 방식은 출력 부분을 단일 다값 변수로 처리하고 단일 출력 특성 함수 (특히 지시 함수 )로 변환하는 것이다. 두 번째 그룹은 다치 메모리, 산술 회로, FPGA(Field Programmable Gate Array )와 같이 2개 이상의 개별 신호 레벨을 사용하는 전자 회로 설계를 목표로 한다.