대수적 수체

대수 구조 대수적 수론에서 **대수적 수체**(代數的數體, algebraic number field), 줄여서 **수체**(數體, number field)는 유리수체 \mathbb Q의 유한 확대이다. 즉, 유리수체에, 어떤 유리수 계수 다항식의 근으로 적을 수 있는 유한 개의 원소들을 첨가하여 얻는 체이다.
# 정의
**대수적 수체** K는 유리수체 \mathbb Q의 유한 확대이다. 이는 대역체의 한 종류이다.
## 자리
**오스트롭스키 정리**(Островский定理, Ostrowski’s theorem)에 따르면, 수체 K 위의 자명하지 않은 자리들은 다음과 같다. * 실수로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R에 대하여, |\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb R}\circ\iota. 여기서 |\cdot|_{\mathbb R}는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 **실수 무한 자리**(實數無限-, real infinite place)라고 한다. * 복소수로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R에 대하여 (\iota(K)\not\subset\mathbb R), |\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb C}\circ\iota. 여기서 |\cdot|_{\mathbb C}는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, \iota와 \bar\iota는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 **복소수 무한 자리**(複素數無限-, complex infinite place)라고 한다. * 대수적 정수환 \mathcal O_K의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, \mathfrak p진 절댓값의 자리. 이를 **유한 자리**(有限-, finite place)라고 한다. 무한 자리와 마찬가지로, 이들은 p진수체의 대수적 폐포 \bar{\mathbb Q}_p로의 매장과 대응한다. 즉, \mathfrak p\mid(p)라면, \mathfrak p진 자리는 매장 K\hookrightarrow\bar{\mathbb Q}_p을 정의하며, 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb Q}_p/\mathbb Q_p)의 작용에 의하여 관련되는 매장들은 같은 위치를 정의한다. 예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다. * 자명 자리 |\cdot|_0 * 소수 p에 대하여, p진 자리 |\cdot|_p * 하나의 실 무한 자리 |\cdot|_\infty 수체 K에서, 실수 자리의 수를 r_1, 복소수 자리의 수를 r_2라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다. :[K:\mathbb Q]=r_1+2r_2 이는 K에서 복소수체로 가는 체의 확대의 수와 같다. (각 복소수 자리는 복소켤레를 취할 수 있으므로, 두 번 중복해서 센다.) 대수적 수체 K는 대역체이므로, 다음과 같은 **곱 공식**(product formula)이 성립한다.언어=en185, Proposition III.1.3 :\prod_v|a|_v=1, \forall a\in K^\times 여기서 \textstyle\prod_v는 K의 모든 자리에 대한 곱이며, |-|_v는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수 :a=s\prod_pp^{n_p},\;s\in\\{\pm1\\} 의 경우 :|a|_\infty=\prod_pp^{n_p} :|a|_p=p^{-n_p} 이므로 :|a|_\infty|a|_2|a|_3\cdots=\prod_pp^{n_p}\cdot\prod_pp^{-n_p}=1 이다.
## 수체의 대수적 성질
가산 무한 체의 유한 확대이므로, 모든 대수적 수체는 가산 무한 집합이다. 모든 대수적 수체는 유리수체의 확대로서 다음 조건을 만족시킨다. * 정의에 따라 유한 확대이며, 따라서 대수적 확대이다. 그 차수는 r_1+2r_2와 같다 (r_1은 실수 자리의 수, r_2는 복소수 자리의 수). * 유리수체의 표수는 0이므로, 분해 가능 확대이다. 그러나 정규 확대(즉, 갈루아 확대)가 아닌 수체가 존재한다. 대수적 수체 K에 이산 위상을 주면, 그 덧셈군은 위상군을 이룬다. 이 경우, 그 폰트랴긴 쌍대군 \hat K는 다음과 같은 아델 환의 몫이다. :\hat K\cong\mathbb A_K/K
# 대수적 정수환의 덧셈 구조
대수적 수체 K의 **대수적 정수환**(代數的整數環, ring of algebraic integers) \mathcal O_K는 \mathbb Z\subset K의, K 속에서의 정수적 원소들의 환이다. 즉, 다음과 같다. :\mathcal O_K=\\{a\in K\colon\exists p(x)\in\mathbb Z[x] \colon p \mbox{ is monic; }p(a)=0\\} 이는 K의 부분환을 이룬다. 대수적 수체 K의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 교집합과 같다.언어=en192 모든 대수적 수체 K의 대수적 정수환 \mathcal O_K은 크룰 차원이 1인 데데킨트 정역이다. 즉, 다음이 성립한다. *\mathcal O_K는 정수적으로 닫힌 정역이다. *\mathcal O_K는 뇌터 환이다. * 0 이 아닌 모든 영이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 즉, 이 환의 크룰 차원은 1이다. 대수기하학적 관점에서는 그 스펙트럼을 취해 1차원 아핀 스킴으로 여길 수 있다. 모든 대수적 수체 K에서, 다음이 성립한다. :\mathcal O_K\cap\mathbb Q=\mathbb Z :K=\operatorname{Frac}\mathcal O_K 여기서 \operatorname{Frac}은 분수체를 뜻한다.
## 정수 기저
대수적 수체의 대수적 정수환 \mathcal O_K의 덧셈군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 K/\mathbb Q의 차수와 같다. :\operatorname{rank}\mathcal O_K=[K:\mathbb Q]=r_1(K)+2r_2(K) 차수 *n*의 수체 K의 **정수 기저**(integral basis)는 \mathcal O_K의 (자유 아벨 군으로서의) 기저 \\{b_1,\dots,b_n\\}이다. 따라서 K의 모든 대수적 정수들을 :\sum_{i=1}^nk_ib_i (k_i\in\mathbb Z) 로 유일하게 나타낼 수 있고, K의 모든 원소들을 :\sum_{i=1}^nr_ib_i (r_i\in\mathbb Q) 의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 일부 수체의 경우, 정수 기저가 :b_i=b_1^i, \forall i=1,\dots,r_1+2r_2 가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 **거듭제곱 정수 기저**(power integral basis)라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 **단일생성체**(monogenic field)라고 한다. 모든 이차 수체와 원분체는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.
## 정칙 표현
n차 수체 K의 정수 기저 v_1,\dots,v_n\subset\mathcal O_K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다. :x v_i = \sum a_{ij} v_j. 따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수 정사각 행렬 :X = (a_{ij})_{i,j=1,\dots,n} 로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v1, ..., vn에 대한 **정칙 표현**(正則表現, regular representation)이라 한다. 행렬의 대각합이나 행렬식 및 고유 다항식 등의 불변량은 x가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다. X의 고유 다항식 :\det(\lambda-X)=\lambda^n+c_1\lambda^{n-1}+\cdots+c_n 은 x를 근으로 갖는 일계수 다항식이다. 이 경우, X의 대각합과 행렬식은 다음과 같다. :\operatorname{tr}X=-c_1 :\det X=(-1)^nc_n 이 경우, X의 대각합은 \operatorname T_{K/\mathbb Q}(x)로 쓰고, **x의 대각합**이라고 한다. 마찬가지로, X의 행렬식은 \operatorname N_{K/\mathbb Q}(x)로 쓰고, **x의 노름**이라 한다. 대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다. * (대각합의 선형성) \operatorname T_{K/\mathbb Q}(ax+by)=a\operatorname T_{K/\mathbb Q}(x)+b\operatorname T_{K/\mathbb Q}(y)\qquad\forall x,y\in K,\;a,b\in\mathbb Q * (노름의 승법성) \operatorname N_{K/\mathbb Q}(axy)=a^n\operatorname N_{K/\mathbb Q}(x)\operatorname N_{K/\mathbb Q}(y)\qquad\forall x,y\in K,\;a\in\mathbb Q
## 판별식
수체의 **판별식**(判別式, discriminant)은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다. 구체적인 정의는 다음과 같다. 수체 K의 대수적 정수환 \mathcal O_K의 정수 기저 \\{b_1,\dots,b_r\\}\subset O_K를 고르자 (r=r_1+2r_2). K의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자. :\sigma_1^{\mathbb R},\dots,\sigma_{r_1}^{\mathbb R}\colon K\hookrightarrow\mathbb R :\sigma_1^{\mathbb C},\dots,\sigma_{r_2}^{\mathbb C}\colon K\hookrightarrow\mathbb C 그렇다면 다음과 같은 r\times r 정사각 행렬을 정의할 수 있다. : M=\begin{pmatrix} \sigma_1^{\mathbb R}(b_1)&\cdots\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(b_1)&\sigma_1^{\mathbb C}(b_1)&\cdots\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(b_1)&\bar\sigma_1(b_1)&\cdots&\bar\sigma_{r_2}(b_1)\\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\\ \sigma_1^{\mathbb R}(b_r)&\cdots\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(b_r)&\sigma_1^{\mathbb C}(b_r)&\cdots\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(b_r)&\bar\sigma_1(b_r)&\cdots&\bar\sigma_{r_2}(b_r)\\\ \end{pmatrix} 이 행렬의 행렬식의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 K의 **판별식** \Delta_K라고 한다. :\Delta_K=(\det M)^2 수체의 판별식 \Delta_K는 다음과 같은 성질을 가진다. * **브릴 정리**(Brill’s theorem): 수체의 판별식의 부호는 \operatorname{sgn}\Delta_K=(-1)^{r_2(K)}이다. (판별식은 항상 0이 아니다.) * **슈티켈베르거 정리**(Stickelberger’s theorem): 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다. *:\Delta_K\equiv 0,1\pmod 4 * **민코프스키 하한**(Minkowski’s bound): 다음과 같은 부등식이 성립한다. 여기서 r=r_1+2r_2=[K:\mathbb Q]이다. *:\sqrt{|\Delta_K|}\ge\frac{r^r}{r!}\left(\frac\pi4\right)^{r_2} * **민코프스키 정리**(Minkowski’s theorem): 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 절댓값은 항상 2 이상이다. (유리수체의 판별식은 1이다.) 이는 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다. *:|\Delta_K|\ge2\qquad(K\ne\mathbb Q) * **에르미트-민코프스키 정리**(Hermite–Minkowski theorem): 주어진 판별식을 가진 수체(의 동형류)의 수는 유한하다. 이 역시 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.
# 대수적 정수환의 곱셈 구조

## 디리클레 가역원 정리
K에 속한 1의 거듭제곱근들로 구성된 근은 대수적 정수환의 꼬임 부분군이며, \operatorname{Tors}(\mathcal O_K^\times)라고 하자. 이는 항상 유한 순환군이다. 즉, K에 속한 1의 거듭제곱근들의 수가 w_K라고 하면 :\operatorname{Tors}(\mathcal O_K^\times)=\operatorname{Cyc}(w_K)이다. **디리클레 가역원 정리**(Dirichlet可逆元定理, Dirichlet unit theorem)에 따르면, K의 대수적 정수환 \mathcal O_K의 가역원군 \mathcal O_K^\times은 유한 생성 아벨 군이며, 다음과 같은 꼴이다. :\mathcal O_K^\times\cong\operatorname{Cyc}(w_k)\oplus\mathbb Z^{\oplus(r_1+r_2-1)} 즉, 가역원군의 꼬임 부분군에 대한 몫군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 r_1+r_2-1이다. 예를 들어, 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 수체 !! 가역원군 !! 실수 자리 수 r_1 !! 복소수 자리 수 r_2 !! 가역원군의 크기 !! 차수 |- | \mathbb Q || \\{\pm1\\} || 1 || 0 || 0 || 1 |- | \mathbb Q(\sqrt d) (d는 양의 무제곱 정수) || || 2 || 0 || 1 || 2 |- | \mathbb Q(\sqrt{-d}) (d는 양의 무제곱 정수) || || 0 || 1 || 0 || 2 |- | \mathbb Q(i) (가우스 정수) || \\{\pm1,\pm i\\} || 0 || 1 || 0 || 2 |- | \mathbb Q(\omega)/(\omega^2+\omega+1) (아이젠슈타인 정수) || \\{\pm1,\pm \omega,\pm\omega^2\\} || 0 || 1 || 0 || 2 |}
## 가역원 기준
수체의 **가역원 기준**(可逆元基準, 레귤레이터)은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원들을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다. 대수적 정수환 \mathcal O_K의 가역원군 \mathcal O_K^\times이 주어졌다고 하자. K에 속하는 1의 거듭제곱근들의 순환군 \operatorname{Cyc}(m)=\\{1,\zeta_m,\zeta_m^2,\dots\\}에 대한 몫군 :\mathcal O_K^\times/\operatorname{Cyc}(r) 을 생각하자. 이 군의 생성원 :\mathcal O_K^\times/\operatorname{Cyc}(r)=\langle u_1,\dots,u_r\rangle 을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, r=r_1(K)+r_2(K)-1이다 (r_1(K)은 실수 자리의 수, r_2(K)는 복소수 자리의 수). K의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자. :\sigma^{\mathbb R}_1,\dots,\sigma_{r_1}^{\mathbb R}\colon K\hookrightarrow\mathbb R :\sigma_1^{\mathbb C},\dots,\sigma^{\mathbb C}_{r_2}\colon K\hookrightarrow\mathbb C 그렇다면 다음과 같은 r\times(r+1)행렬을 생각하자. :M=\begin{pmatrix} \ln|\sigma_1^{\mathbb R}(u_1)|&\cdots&\ln|\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(u_1)|&2\ln|\sigma_1^{\mathbb C}(u_1)|&\cdots&2\ln|\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(u_1)|\\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\\ \ln|\sigma_1^{\mathbb R}(u_r)|&\cdots&\ln|\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(u_r)|&2\ln|\sigma_1^{\mathbb C}(u_r)|&\cdots&2\ln|\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(u_r)|\\\ \end{pmatrix} M의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 체 노름의 절댓값은 항상 1이므로) 0이다. :\sum_jM_{i,j}=\ln\left|f_1(u_i)\cdots f_{r_1}(u_i)g_1(u_i)^2\cdots g_{r_2}(u_i)^2 \right|=\ln|\operatorname N_{K/\mathbb Q}(u_i)|=0\quad\forall i=1,\dots,r M에서 임의의 한 열 M_{-,j}을 제거한 r\times r 정사각 행렬을 M_{-,\hat j}라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, 행렬식 \det M_{-,\hat j}는 j에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 u_i의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 K의 **가역원 기준** \operatorname{Reg}_K라고 한다. :\operatorname{Reg}_K=\det M_{-,\hat j}\quad\forall j=1,\dots,r+1
## 유일 인수 분해의 실패
유수 공식 대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 대수적 수체는 데데킨트 정역이므로, 유일 인수 분해 정역인 수체는 항상 주 아이디얼 정역이다. 유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군 H_K 및 그 크기인 유수(類數) h_K=|H_K|를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군이며, 유수는 데데킨트 제타 함수의 유수(留數)로부터 유수 공식을 통해 계산할 수 있다.
## 분기화
분기화 대수기하학적으로, 포함 관계 \mathbb Z\hookrightarrow\mathcal O_K는 반대로 스킴 사상 \operatorname{Spec}\mathcal O_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}\mathbb Z을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, **분기화**(ramification)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다. 수체 K/\mathbb Q 및 소수 p\in\mathbb Z^+가 주어졌을 때, p로 생성되는 주 아이디얼은 \mathcal O_K에서 다음과 같이 소 아이디얼들의 곱으로 인수 분해된다. :(p)=\mathfrak p_1^{e_1}\mathfrak p_2^{e_2}\dotsb\mathfrak p_k^{e_k} 여기서 e_i를 K의 \mathfrak p_i에서의 **분기 지표**(ramification index)라고 한다. 이 경우, p는 다음과 같이 세 가지로 분류된다. * 만약 e_i>1인 \mathfrak p_i가 존재한다면, p는 **분기화된다**(ramified). * 만약 모든 e_i=1이라면, p는 **분기화되지 않는다**(unramified) ** 만약 k=1이라면, p는 **분해되지 않는다**(unsplit). ** 만약 k>1이지만 e_1=e_2=\dots=e_k=1이라면, p는 (다른 소수들의 곱으로) **분해된다**(split). 수체 K/\mathbb Q에서, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 소수 p는 분기화된다. * \mathcal O_K/(p)=\prod_i\mathcal O_K/\mathfrak p_i^{e_i}는 0이 아닌 멱영원을 갖는다. (중국인의 나머지 정리) * p\mid\Delta_K. 여기서 \Delta_K는 K의 판별식이다. 판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다. 대수기하학적으로, 포함 관계 \mathbb Z\hookrightarrow\mathcal O_K는 반대로 스킴 사상 \operatorname{Spec}\mathcal O_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}\mathbb Z을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, **분기화**(ramification)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.
# 수체의 기타 불변량
위에 정의된 불변량 (차수, 실수 및 복소수 자리의 수, 판별식, 가역원 기준, 아이디얼 유군 등) 밖에도, 수체 K에 대응되는 주요 불변량들은 다음이 있다. * K의 **종수체**(genus field) G/K. 이는 K의 아벨 확대이다. 그 갈루아 군은 **종수군**(genus group)이라고 하며, 종수체의 차수는 **종수**(genus) g(K)=[G:K]라고 한다. 이는 양의 정수이며, 대수 곡선의 종수와 유사한 성질을 보인다. * K의 **힐베르트 유체**(Hilbert class field) E/K. 이 역시 K의 아벨 확대이다. E/K의 갈루아 군은 K의 아이디얼 유군과 같다. * K의 **데데킨트 제타 함수** \zeta_K(s). 이는 유리형 함수이며, 다른 불변량들에 대한 다양한 정보를 담고 있다. * **아델 환** \mathbb A_K. 이는 위상환을 이룬다. 그 가역원군은 **이델 군**이라고 한다. 이들은 유체론에 자주 등장한다.
# 예
다음과 같은 예들이 있다. * 유리수체 \mathbb Q * 이차 수체 * 원분체 * \mathbb Q(\sqrt[3]2)는 정규 확대가 아닌 수체이다. 이는 x^3-2의 3개의 근 가운데 한 개만을 포함하기 때문이다. * x^3-x^2-2x-8의 한 근으로 생성되는 수체는 단일생성체가 아닌 3차 수체이다.
## 유리수체
유리수 유리수체 \mathbb Q는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다. **오스트롭스키 정리**(Ostrowski’s theorem)에 따르면, 유리수체 \mathbb Q는 다음과 같은 자리들을 가진다. * 자명한 자리 *:|x|=\begin{cases}0&x;=0\\\1&x;\ne0\end{cases} * 표준 자리 (통상적인 절댓값) * 소수 *p*에 대하여, *p*진 자리 *:\begin{cases}|0|&=0\\\|p^na/b|_p=p^{-n}\end{cases} *:(a,b,p는 서로소) 특히, \mathbb Q는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다. :r_1(\mathbb Q)=1 :r_2(\mathbb Q)=0 유리수체의 대수적 정수환은 정수환 \mathbb Z이며, 이는 주 아이디얼 정역이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 유일 인수 분해가 성립하며, 그 아이디얼 유군은 자명군이며, 그 유수는 1이다. 유리수체에서 체 대각합과 체 노름은 항등 함수이다. :\operatorname T_{\mathbb Q/\mathbb Q}(x)=\operatorname N_{\mathbb Q/\mathbb Q}(x)=x 유리수체의 대수적 정수환 \mathbb Z의 정수 기저는 \\{1\\}을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다. :\Delta_{\mathbb Q}=\left(\det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\right)^2=1 유리수체의 대수적 정수환의 가역원군은 \\{\pm1\\}이며, 이는 1의 거듭제곱근으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 행렬식이므로) 1이다. :\operatorname{Reg}_{\mathbb Q}=1 유리수체의 데데킨트 제타 함수는 리만 제타 함수 \zeta(s)이다. 리만 제타 함수의 s=1에서의 유수는 1이며, 이 경우 유수 공식은 다음과 같이 성립한다. :1=\frac{2^{r_1(\mathbb Q)}(2\pi)^{r_2(\mathbb Q)}h_{\mathbb Q}\operatorname{Reg}_{\mathbb Q{|\operatorname{Tors}(\mathcal O_{\mathbb Q}^\times)|\sqrt{|\Delta_{\mathbb Q}| =\frac{2^1\cdot(2\pi)^0\cdot1\cdot1}{2\cdot\sqrt{|1|=1
## 이차 수체
이차 수체 제곱 인수가 없는 정수 d에 대하여, 이차 수체 :\mathbb Q(\sqrt d)=\mathbb Q+\sqrt d\mathbb Q=\mathbb Q[x]/(x^2-d) 를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우, d가 양수일 경우 **실수 이차 수체**, 음수일 경우 **허수 이차 수체**라고 한다. 특수한 예로, 가우스 유리수체 \mathbb Q(i)=\mathbb Q+i\mathbb Q=\mathbb Q[x]/(x^2-1)가 있다. 다른 예로, \mathbb Q(\sqrt{-5})는 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아닌 이차 수체이다. 예를 들어, 6=2\cdot3=(1+\sqrt-5)(1-\sqrt-5)이다. 기저를 \\{1,\sqrt d\\}로 잡으면, 각 원소 :a+b\sqrt d\in\mathbb Q(\sqrt d) 는 다음과 같은 2×2 정사각 행렬로 적을 수 있다. :a+b\sqrt d\mapsto\begin{pmatrix} a&db;\\\ b&a; \end{pmatrix} 이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다. :T(a+b\sqrt d)=2a :N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2 이차 수체의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 d에 대하여, :\Delta_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}d&d;\equiv1\pmod4\\\4d&d;\equiv 2,3\pmod4\end{cases} 이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 **기본 판별식**(fundamental discriminant)이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다. :1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, … A003658 음의 기본 판별식들은 다음과 같다. :−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, … A003657
## 원분체
원분체 원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근 \zeta_n을 추가하여 정의한다. :\mathbb Q(\zeta_n)=\mathbb Q[x]/(x^n-1) 특수한 예로, 아이젠슈타인 유리수 \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb Q+\mathbb Q(\zeta_3)가 있다. n>2일 때, 원분체 \mathbb Q(\zeta_n)의 판별식은 다음과 같다. :\Delta_{\mathbb Q(\zeta_n)} = (-1)^{\varphi(n)/2}n^{\varphi(n)}\prod_{p|n} p^{-\varphi(n)/(p-1)} 여기서 * \varphi(n)은 오일러 피 함수이다. * \prod_{p|n}은 n의 소인수들에 대한 곱이다.
## 대수적 수체가 아닌 확대
다음과 같은 체의 확대들은 대수적 수체가 아니다. * \mathbb Q(\pi)/\mathbb Q는 초월 확대이므로 수체가 아니다. * \mathbb R/\mathbb Q나 \mathbb C/\mathbb Q 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다. * \mathbb Q(x)/\mathbb Q 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다. * 대수적 수의 체를 \bar\mathbb Q라고 하자. \bar\mathbb Q/\mathbb Q는 대수적 확대이지만, 무한 차수의 확대이므로 수체가 아니다. * \mathbb C/\mathbb R는 유리수체의 확대가 아니므로 수체가 아니다.