M이론

끈 이론 이론물리학에서 **M이론**(-理論, M-theory)은 11차원의 시공간에서 (즉 so(10,1)) 존재하는 물리 이론이다.url-status=dead언어=ko 원서: 언어=enurl-status=deaddoi=10.1007/BF02702349날짜=1998언어=en언어=en언어=en언어=en 끈 이론과 달리, M이론은 기본적인 1차원 막을 포함하지 않으며, 대신 2차원 또는 5차원 막을 포함한다. 초끈 이론은 M이론의 축소화로 얻어질 수 있다.
# 정의
아직 M이론을 일반적으로 어떻게 비섭동적으로 정의할 수 있는지는 알려져 있지 않지만, 다양한 극한을 취하면 이미 알려져 있는 이론들과 다음과 같이 연관돼 있다. * M이론의 낮은 에너지 눈금의 고전적 이론은 11차원 초중력이다. * M이론을 축소화하면 여러 끈 이론을 얻을 수 있다. * 11차원 민코프스키 공간에서의 M이론은 **행렬 이론**으로 비섭동적으로 정의할 수 있다. * AdS_3\times S^7 또는 AdS_7\times S^3에서의 M이론은 **AdS/CFT 대응성**을 통해 비섭동적으로 정의할 수 있다. 또한, M이론에 존재하는 **M-막**(M-brane)이라는 개체들과 그 다양한 성질들이 알려져 있다.
# 성질
M이론은 로런츠 계량 부호수를 가진 (10,1)차원 시공간에 존재하며, \mathcal N=1 초대칭(32개의 초전하)을 갖는다. 축소화하지 않은 M이론의 낮은 에너지 유효 작용은 11차원 초중력이다. M이론에서 다루는 대상은 2차원의 막인 **M2-막**(M2-brane)과 5차원의 막인 **M5-막**(M5-brane)이다. M이론은 끈(1차원 막)을 포함하지 않으므로, 엄밀히 말해서 끈 이론이 아니다. (다만, M이론을 축소화하여 다양한 끈 이론을 얻을 수 있다.) 축소화하지 않은 M이론은 아무런 스칼라장을 포함하지 않으므로, 끈 이론과 달리 모듈라이를 갖지 않는다. 즉, 축소화하지 않고서는 어떤 결합 상수를 작게 만들어 섭동 이론을 전개할 수 없다. (물론, 축소화를 하면 축소화 공간의 모양에 따라서 모듈라이가 존재한다.)
## 축소화
M이론을 축소화하여 ⅡA종 초끈 이론과 E8×E8 잡종 끈 이론을 얻을 수 있다. ⅡA종 초끈 이론과 E8×E8 잡종 끈 이론에서 닫힌 끈 결합 상수 g_\text{s}가 매우 큰 극한을 취하면, 이는 축소화한 M이론에 대응되게 된다. 여기서 원래 결합 상수 g_\text{s}는 대략 축소화한 차원의 크기에 비례하게 된다. 다른 초끈 이론들(ⅡB종, Ⅰ종, SO(32) 잡종)은 이들로부터 S-이중성과 T-이중성을 가하여 얻을 수 있다.
### ⅡA종 끈 이론
11차원 초중력을 원 (\mathbb S^1) 위에 축소화하면 10차원 ⅡA형 초중력을 얻는다. 이에 따라, M이론을 원 위에 축소화하면 ⅡA형 초끈 이론을 얻을 것이라고 예상할 수 있다. ⅡA종 끈 이론과 M이론은 다음과 같이 대응한다. 특히, ⅡA종 초끈 이론에 존재하는 여러 안정한(BPS) 물체들은 M이론에서 M2-막과 M5-막으로 자연스럽게 설명된다. {| class="wikitable" |- ! M이론 !! ⅡA종 끈 이론 |- | 11번째 차원의 반지름 R_{11} || g_\text{s}\ell_\text{s} |- | 11차원 시공간 플랑크 길이 \ell_\text{p} || g_\text{s}^{1/3}\ell_\text{s} |- | 11차원 시공간 중력 상수와 11번째 차원 크기의 비 16\pi G_{11}/(2\pi R_{11})=(2\pi)^8\ell_\text{p}^9/(2\pi R_{11}) | 10차원 중력 상수 16\pi G_{10}=(2\pi)^7g_\text{s}^2\ell_\text{s}^8 |- | 11번째 차원에 대한 n번째 칼루차-클라인 모드의 질량 n/R_{11} | n개의 D0-막의 결합 상태의 질량 nT_\text{D0}=n/(\ell_\text{s}g_\text{s}) |- | 11번째 차원을 감는 M2-막의 장력 2\pi R_{11}T_\text{M2}=R_{11}/(2\pi\ell_\text{p}^3) | 기본 끈의 장력 T_\text{F1}=1/(2\pi\ell_\text{s}^2) |- | M2-막의 장력 T_\text{M2}=(2\pi)^{-2}\ell_\text{p}^{-3} | D2-막의 장력 T_\text{D2}=(2\pi)^{-2}g_\text{s}^{-1}\ell_\text{s}^{-3} |- | 11번째 차원을 감는 M5-막의 장력 2\pi R_{11}T_\text{M5}=(2\pi)^{-2}R_{11}\ell_\text{p}^{-6} | D4-막의 장력 T_\text{D4}=(2\pi)^{-4}g_\text{s}^{-1}\ell_\text{s}^{-5} |- | M5-막의 장력 T_\text{M5}=(2\pi)^{-5}\ell_\text{p}^{-6} | NS5-막의 장력 T_\text{NS5}=(2\pi)^{-5}g_\text{s}^{-2}\ell_\text{s}^{-6} |- | 11차원 초중력 초다중항의 가장 가벼운 유질량 칼루차-클라인 들뜬 상태 || D0-막 |- | 축소화한 차원에 감긴 M2-막 || 기본 끈 |- | 감기지 않은 M2-막 || D2-막 |- | 축소화한 차원에 감긴 M5-막 || D4-막 |- | 감기지 않은 M5-막 || NS5-막 |- | 11차원 초중력 초다중항의 칼루차-클라인 자기 홀극 || D6-막 |- | 세계끝 9-막 안의 윌슨 고리의 모듈라이 || D8-막 |} 여기서 \ell_\text{s}=\sqrt{\alpha'}은 끈 길이(string length)이며, g_\text{s}=\exp(\langle\Phi\rangle)는 닫힌 끈 결합 상수다. 위 표에서, 끈 이론에서의 장력들은 끈 틀(string frame)의 계량 텐서를 사용한다. 즉, 끈 틀로 계산한 단위 초부피당 작용이다. 여기서, D6-막에 해당하는 ‘칼루차-클라인 자기 홀극’이란 다음과 같다. M이론을 \mathbb R^{1,6}\times\mathbb R^3\times\mathbb S^1 위에 축소화할 때, \mathbb R^3의 등각 무한인 \mathbb S^2 위에서 \mathbb S^1이 자명하지 않은 원다발을 이룬다고 하자. 이러한 원다발은 천 특성류의 적분인 정수에 따라서 분류되며, 이는 D6-막의 수와 같다. (하나의 D6-막이 존재할 때, 이는 토브-너트 공간에 해당한다. 일반적으로, 이러한 꼴의 공간은 점근 국소 평탄 공간이라고 한다.) D8-막의 해석은 다음과 같다. D8-막은 여차원이 1인데, 이는 D9-막에 T-이중성을 가하여 얻을 수 있다. ⅡB종 초끈 이론에는 D9-막을 임의로 추가할 수 없으며, 가능한 경우는 (O9-평면과 함께) 32개의 ½ D9-막을 갖는 Ⅰ종 초끈 이론이다. 이에 T-이중성을 가하면, Ⅰ′ 초끈 이론을 얻는다. 이는 선분 위에 ⅡA를 축소화한 것으로, 선분의 양끝(O8-평면)에 각각 16개의 ½ D8-막이 존재한다 (즉, \operatorname{SO}(16)^2 게이지 대칭을 갖는다). 이는 M이론을 원기둥 \mathbb S^1 \times \mathbb I 위에 축소화한 것에 해당하며, 이때 D8-막 + O8-평면 위에 존재하는 SO(16) 양-밀스 이론은 M-이론의 경계 9-막에 존재하는 E₈ 양-밀스 이론의 게이지 군이 부분군 :\operatorname{SO}(16) \le \operatorname E_8 으로 깨진 것이다.
### E8×E8 잡종 끈 이론
M이론을 선분 (\mathbb S^1/\mathbb Z_2) 위에 축소화하면 E8×E8 잡종 끈 이론을 얻는다. 이는 T-이중성과 S-이중성을 사용하여 다음과 같이 해석할 수 있다. :E8×E8 잡종 ⇔ (T-이중성) SO(32) 잡종 ⇔ (S-이중성) Ⅰ종 ⇐ (오리엔티폴드) ⅡB종 ⇔ (T-이중성) IIA종 ⇐ (축소화) M이론 따라서, E8×E8 잡종 끈 이론은 (T-이중 변환을 짝수번 가하였으므로) M이론을 축소화하여 얻을 수 있음을 알 수 있다. \mathbb Z_2 오비폴드는 Ⅰ종 끈 이론을 얻기 위하여 가한 오리엔티폴드 사영에 의한 것이다. 즉, Ⅰ종 끈 이론의 T-이중 이론(Ⅰ′종 이론)은 ⅡA종 이론을 \mathbb S^1/\mathbb Z_2 위에 축소화한 이론이기 때문이다. 오비폴드에 의하여, 선분 \mathbb S^1/\mathbb Z_2의 양끝에는 **세계끝 9-막**(end-of-the-world 9-brane)이 존재하고, 각각 E8 게이지 전하를 가진다. 이 축소화는 페트르 호르자바(Petr Hořava)와 에드워드 위튼이 1996년 발견하였다.언어=en언어=en 따라서 이를 **호르자바-위튼 이론**(Hořava–Witten theory)라고도 하고, 세계끈 9-막을 **호르자바-위튼 벽**(Hořava–Witten domain wall)이라고 한다. {| class="wikitable" |- ! M이론 !! E8×E8 잡종 끈 이론 |- | 선분의 길이 \pi R || 끈 결합 상수의 거듭제곱 \pi \lambda^{2/3} |- | 경계다양체의 10차원 경계에 존재하는 E8×E8 양-밀스 이론 || 10차원 시공간 위의 E8×E8 양-밀스 이론 |- | 경계다양체의 경계에 붙은 M2-막 || 끈 |- | 경계다양체의 경계와 평행한 M5-막 || NS5-막 |} 이 경우, * 11차원 초중력을 선분 위에 축소화하려면, 변칙을 피하기 위하여 선분의 양끝에 각각 E8 양-밀스 이론이 존재하여야 한다. * M2-막은 BPS이려면 오비폴드의 양끝에 붙어 있어야 한다. 이에 따라서, 이는 10차원에서 1차원 막을 이룬다.§3 * M5-막은 오비폴드 양끝에 붙어 있으면 BPS일 수 없다.언어=en§4 따라서, 이는 10차원에서 5차원 막을 이룬다.
### 9차원으로의 축소화
M이론을 2차원 원환면 \mathbb T^2 위에 축소화시키자. 원환면의 두 반지름을 R_{10}과 R_{11}이라고 할 때, T-이중성으로 인하여 모듈라이 공간의 모양은 다음과 같다.Figure 1 :{| | | ⅡA 끈 이론 | colspan=4 | | M이론 |- | rowspan=4 | | | ∞ | rowspan=3 colspan=3 | |- | *R*10 |- | | 0 |- | | | 0 | | *R*11 | | ∞ |- | | ⅡB 끈 이론 | colspan=4 | | ⅡA 끈 이론 |} 이는 대각선을 따른 반사 (R_{10},R_{11}) \mapsto (R_{11},R_{10})에 대하여 불변이다. 사실, 원환면의 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z) 사상류군이 이 모듈라이 공간 위에 작용하는데, 이는 ⅡB 끈 이론의 S-이중성에 해당한다. 마찬가지로, M이론을 (\mathbb S^1 / (\mathbb Z/2)) \times \mathbb S^1 위에 축소화하면, 다음과 같은 모듈라이 공간을 얻는다.Figure 2 (여기서 선분의 길이는 \pi R_{11}이며, 원의 반지름은 R_{10}이다.) :{| | | E8×E8 잡종 끈 이론 | colspan=4 | | M이론 |- | rowspan=4 | | | ∞ | rowspan=3 colspan=3 | |- | *R*10 |- | | 0 |- | | | 0 | | *R*11 | | ∞ |- | | Spin(32) 잡종 / Ⅰ 끈 이론 | colspan=4 | | Ⅰ′ 끈 이론 |} 여기서 “Ⅰ′ 끈 이론”이란 ⅠA 끈 이론을 선분 위에 축소화한 것으로, Ⅰ 끈 이론에 T-이중성을 가한 것이다. 이는 게이지 군 SO(16)×SO(16)을 갖는다. R_{10}, R_{11} \to 0 극한에서는 결합 상수의 값에 따라 Spin(32)/(ℤ/2) 잡종 끈 이론 또는 Ⅰ 끈 이론을 얻는다.
### 유질량 ⅡA 끈 이론
ⅡA종 초끈 이론에서, 0차 장세기 F_0을 켜면, **유질량 ⅡA 초끈 이론**(massive Type ⅡA string theory) 또는 **로만스 끈 이론**(Romans string theory)이라는 이론을 얻는다. 원 위에 축소화된 유질량 ⅡA 초끈 이론은 셰르크-슈워츠 메커니즘으로 원 위에 SL(2;ℤ) S-이중성을 사용하여 뒤틀리게 축소화된 ⅡB 초끈 이론과 T-이중성 아래 동치이다. 이는 M이론으로부터 다음과 같이 구성될 수 있다.언어=en언어=en§2 우선, 원 위의 원환면 올다발 :\mathbb T^2 \hookrightarrow N_3 \twoheadrightarrow \mathbb S^1 을 생각하자. 이는 원환면의 사상류군 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z)에 의하여 분류되는데, 여기에 T변환 :\mathsf T^m = \begin{pmatrix} 1&m;\\\ 0&1 \end{pmatrix} 을 사용하자. (이는 3차원 영다양체에 해당한다.) 이는 원의 반지름 R와 원환면의 넓이 A 및 복소구조 \tau에 의존하는데, \tau를 고정시키고 R,A\to0 극한을 취하면 유질량 ⅡA 끈 이론을 얻는다.
### K3 위의 축소화
M이론을 K3 곡면 위에 축소화하여 7차원 이론을 얻을 수 있다. 이 경우, 이는 S-이중성 아래 3차원 원환면 위에 축소화된 잡종 끈 이론과 동치이다.언어=en언어=en {| class="wikitable" |- ! K3 곡면 위의 M이론 !! \mathbb T^3 위의 잡종 끈 이론 |- | K3에 감긴 M5-막 || 기본 끈 |- | M2-막 || \mathbb T^3에 감긴 NS5-막 |- | K3의 2차원 순환에 감긴 M5-막 (×22) || KK3-막 (×3) 또는 자기 홀극 3-막 (×16) 또는 \mathbb T^2에 감긴 NS5-막 (×3) |- | K3의 2차원 순환에 감긴 M2-막 (×22) || 게이지 초다중항의 스칼라 (×16) 또는 KK-입자 (×3) 또는 \mathbb S^1에 감긴 끈 (×3) |} 이 밖에도, M이론을 G2 홀로노미의 7차원 다양체 위에 축소화할 수 있다. 이 경우, 4차원에서 \mathcal N=1 초대칭을 갖는 이론을 얻는다.
## M-막
11차원 초중력은 오직 3차 미분형식 게이지 퍼텐셜 C_3만을 포함한다. 따라서, C_3에 대한 전기 홀극인 **M2-막**(M2-brane)과 자기 홀극인 **M5-막**(M5-brane)이 존재한다.
### M2-막
1995년 폴 킹즐리 타운젠드(Paul Kingsley Townsend)가 M2-막이 ⅡA종 초끈 이론의 기본 끈과 관련되어 있다고 제안하였다.issn= 0370-2693 2007년 조너선 배거(Jonathan Bagger)와 닐 램버트(Neil Lambert), 안드레아스 구스타브손(Andreas Gustavsson)이 M2-막 세계부피 이론의 작용을 발견하였다.언어=en언어=en언어=en 이를 발견자의 머릿글자를 따 **BLG 모형**(BLG model)이라고 한다.공저자=Neil Lambert, Sunil Mukhi, Constantinos Papageorgakis 이 모형은 리 괄호를 일반화한 "3-대수" [\cdot,\cdot,\cdot]라는 수학적 구조를 사용하는데, BLG 모형과 동등하지만 특수한 수학적 구조를 사용하지 않는 **ABJM 모형**제목=𝒩=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals 도 알려져 있다. 정적 게이지(static gauge)에서, 하나의 M2-막에 존재하는 장들은 \mathcal N=8 초등각 대칭에 따라 결정되며, 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 기호 !! 푸앵카레 표현 !! 개수 !! 질량껍질 위 총 자유도 |- | \phi^i || 실수 스칼라장 || 8 || 8 |- | \psi^i || 마요라나 스피너 || 8 || 8 |} 여기서 \phi^i는 M2-막의 3차원 세계부피에 수직인 11-3=8개의 방향들과 대응한다. M2-막의 장력은 :T_\text{M2}=\frac1{(2\pi)^2\ell_\text{p}^3} 이다. 여기서 \ell_\text{p}는 11차원 시공간의 플랑크 길이다.
### M5-막
6차원 (2,0) 초등각 장론 M5-막은 M2-막보다 덜 알려져 있다.날짜=1997-05 M5-막의 세계부피 이론은 \mathcal N=(2,0) 초대칭을 가지는 등각 장론이다. M5-막이 겹치지 않은 경우에는 그 세계부피 작용이 일려져 있지만, 여러 M5-막이 겹친 경우에는 알려져 있지 않고, 아마 국소적인 라그랑지언이 존재하지 않는 이론일 것이라 추측된다. 정적 게이지(static gauge)에서, 하나의 M5-막에 존재하는 장들은 \mathcal N=(2,0) 초등각대칭에 따라 결정되며, 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 기호 !! 푸앵카레 표현 !! 개수 !! 질량껍질 위 총 자유도 |- | \phi^i || 실수 스칼라장 || 5 || 5 |- | B^-_{\mu\nu} || 반자기쌍대(反自己雙對, ASD, anti-self-dual) 2차 미분형식 게이지장 || 1 || 3 |- | \psi^I || 바일 스피너 || 2 || 8 |} 여기서 \phi^i는 M5-막의 6차원 세계부피에 수직인 11-6=5개의 방향들과 대응한다. M5-막의 장력은 다음과 같다. :T_\text{M5}=\frac1{(2\pi)^5\ell_\text{p}^6} 이는 ⅡA종 끈 이론으로 환산하면 NS5-막의 장력과 같은데, 이는 NS5-막이 감기지 않은 M5-막이기 때문이다. M2-막의 1+1차원 경계는 M5-막에 붙어 있을 수 있다. 이는 ⅡA 끈 이론에서, D2-막(또는 기본 끈)이 D4-막에 붙어 있는 것에 해당한다. 사실, 끈 이론에서 기본 끈이 D-막에 붙어 있는 것은 사실 D-막이 깔때기 모양으로 늘어져 있는 것이라는 사실과 마찬가지로, 이는 M5-막이 깔때기 모양으로 늘어져 있는 것에 해당한다.
# 역사
1990년대 초기에는 총 5개의 초끈 이론들이 알려져 있었다. 이들은 10차원에 존재하는, 끈을 포함하는 이론이며, 이들 사이에는 T-이중성과 S-이중성 등 여러 관계가 존재한다. 1995년에 에드워드 위튼은 이들 5개의 초끈 이론들을 끈을 포함하지 않고, 11차원에 존재하는 어떤 "M이론"을 통해 얻을 수 있다는 증거를 제시하였다.언어=en 즉, 5개의 초끈 이론은 하나의 M이론의 다양한 극한(모듈러스 공간의 귀퉁이)에 해당한다. 이 사건을 **제2차 초끈 혁명**(the Second Superstring Revolution)이라고 한다. 위튼에 따르면, M이론의 ‘M’은 매직, 미스터리, 또는 멤브레인의 머릿자라고 한다.언어=en출판사=World Scientificbibcode=1998SciAm.278b..64D 멤브레인은 막을 뜻하는 단어인데, 이는 M이론이 끈을 포함하지 않고, 대신 2차원 및 5차원 막을 포함하기 때문이다. 1996년에 톰 뱅크스(Tom Banks)와 빌리 피스흘러르(Willy Fischler), 스티븐 하트 솅커(Stephen Hart Shenker)와 레너드 서스킨드가 축소화하지 않은 M이론을 행렬 변수에 대한 양자역학의 특정한 극한으로 정의하였다.doi=10.1103/PhysRevD.55.5112 이를 **행렬 이론**(M(atrix) theory)이라고 한다. 영어명 "M(atrix)"는 행렬을 뜻하는 메이트릭스의 머릿글자가 M이론과 같은 "M"임을 농으로 딴 것이다. 1997년에 후안 말다세나는 AdS/CFT 대응성을 발표하면서, AdS4×S7 또는 AdS7×S4에 축소화한 M이론을, 겹친 M2-막 또는 M5-막의 세계부피 이론으로 비섭동적으로 정의할 수 있음을 보였다. 그러나 보다 더 잘 알려진 D3-막의 경우와 달리 M-막의 세계부피 이론은 오랫동안 알려지지 않았다. M2-막의 세계부피 이론은 2008년에 발견되었으나, 아직 M5-막의 세계부피 이론은 알려지지 않고 있다.