완비 거리 공간

완비화 기하학에서 **완비 거리 공간**(完備距離空間, complete metric space)은 그 안이나 경계에 "빠진 점"이 없는 거리 공간이다. 완비 거리 공간의 정의는 **코시 열**(Cauchy列, Cauchy sequence)이라는 개념을 사용한다. 코시 열은 점들 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 수열이다. 즉, 코시 열에서는 충분한 수의 처음 유한 개의 점들을 제외하면, 남은 점들 사이의 거리가 임의로 작아진다. 완비 거리 공간은 이렇게 "수렴하는 것처럼 보이는" 점렬들이 모두 실제로 수렴하는 점을 갖는 거리 공간이다. 완비 균등 공간의 특수한 경우이다.
# 정의

## 코시 열
코시 열 코시 열의 예. 코시 열에서는 점 사이의 거리가 0으로 수렴한다. 코시 열이 아닌 수열 거리 공간 (X,d) 위의 수열 (x_i)_{i=0}^\infty이 있다고 하자. 만약 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 N(\epsilon)\in\mathbb N가 존재한다고 하자. :d(x_i,x_j)0\;\forall i\in\mathbb N). 그렇다면 이들의 교집합은 공집합이 아니다 (\textstyle\bigcap_{i=0}^\infty\bar B(x_i,r_i)\ne\varnothing). * 임의의 닫힌집합들의 감소열 X\supseteq C_0\supseteq C_1\supseteq C_2\cdots이 주어졌고, 그 지름들이 0으로 수렴하며 (\textstyle\lim_{i\to\infty}\operatorname{diam}C_i=0), 모두 공집합이 아니라고 하자 (C_i\ne\varnothing\;\forall i\in\mathbb N). 그렇다면 이들의 교집합은 공집합이 아니다 (\textstyle\bigcap_{i=0}^\infty C_i\ne\varnothing). * (**카리스티 고정점 정리**, Caristi fixed-point theorem) 모든 카리스티 사상은 고정점을 갖는다. * (**칸난 고정점 정리**, Kannan fixed-point theorem) 모든 칸난 사상은 고정점을 갖는다.
# 성질
완비 거리 공간 속의 닫힌집합은 완비 거리 공간을 이룬다. 반대로, 거리 공간의 부분 집합이 완비 거리 공간을 이룬다면, 이는 닫힌집합이다.
## 완비화
거리 공간 (X,d)의 **완비화**(完備化, completion)는 다음과 같다. X의 모든 코시 점렬의 집합 \operatorname{Cauchy}(X)에 다음과 같은 유사 거리 함수를 주자. :d((x_i)_{i\in\mathbb N},(y_i)_{i\in\mathbb N})=\lim_{i\to\infty}d(x_i,y_i) 코시 점렬의 정의에 따라 이 극한은 항상 존재한다. 이를 부여하면, \operatorname{Cauchy}(X)는 유사 거리 공간을 이루지만, 거리가 0인 서로 다른 코시 점렬이 존재하므로 거리 공간이 아니다. 이 경우, 거리가 0인 코시 점렬들을 서로 동치로 간주하는 동치 관계를 정의하자. :(x_i)_{i\in\mathbb N}\sim(y_i)_{i\in\mathbb N}\iff\lim_{i\to\infty}d(x_i,y_i)=0 즉, 무한히 가까워지는 두 코시 점렬들을 같은 동치류에 넣는다. 이렇게 하면, 몫집합 \operatorname{Cauchy}(X)/{\sim} 위에 거리가 유일하게 정의되며, 이는 거리 공간을 이루며 또한 완비 거리 공간이 된다. 이를 X의 **완비화** \bar X라고 한다. 거리 공간 X에서 그 완비화 \bar X로 가는 표준적인 함수 :X\hookrightarrow\bar X :x\mapsto[(x,x,x,\ldots)]_\sim 가 존재한다. 이 함수는 X의 각 점을 (자명하게 코시 점렬을 이루는) 상수 점렬의 동치류로 대응시킨다. 이는 단사 등거리변환이며, 만약 X가 완비 거리 공간이라면 이는 거리 공간의 동형이다. X는 \bar X의 부분 집합으로서, 조밀 집합이다. 부제=X의 조밀성 임의의 [(x_i)_{i\in\mathbb N}]_\sim\in\bar X에 대하여, 점렬 :([(x_i,x_i,x_i,\ldots)]_\sim)_{i\in\mathbb N} 은 (x_i)_{i\in\mathbb N}으로 수렴한다. 증명 끝 부제=\bar X의 완비성 임의의 코시 점렬 ([(x_{i,j})_{j\in\mathbb N}]_\sim)_{i\in\mathbb N}\subseteq\bar X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 i\in\mathbb N에 대하여, :d([(x_{i,j})_{j\in\mathbb N}]_\sim,[(y_i,y_i,y_i,\ldots)]_\sim)0에 대하여, (f_i)_{i=0}^\infty가 코시 점렬이므로 다음 조건을 만족시키는 자연수 N(\epsilon)\in\mathbb N가 존재한다. :d(f_i(s),f_j(s))<\epsilon\qquad\forall s\in S,\;i,j\ge N(\epsilon) 위 조건에서 j\to\infty를 취하면 :d(f_i(s),f(s))\le\epsilon\qquad\forall s\in S,\;i\ge N(\epsilon) 을 얻는다. 즉, :d(f_i,f)\le\epsilon\qquad\forall i\ge N(\epsilon) 이다. 증명 끝 위상 공간 S 및 완비 거리 공간 (X,d)에 대하여, \mathcal{CB}(S,X)\subset\mathcal B(S,X)가 연속 유계 함수 S\to X들의 집합이라고 하자. 이는 상한 거리 함수에 대하여 닫힌집합을 이루며, 따라서 \mathcal{CB}(S,X) 역시 완비 거리 공간을 이룬다.
## 바나흐 공간
바나흐 공간 노름 공간 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 **바나흐 공간**이라고 한다. 마찬가지로, 내적 공간 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 **힐베르트 공간**이라고 한다.
# 역사
역사적으로, 코시 점렬의 개념은 수열의 극한과 급수의 개념을 엄밀하게 정의하려는 시도에서 비롯되었다. 1817년에 베르나르트 볼차노는 중간값 정리에 대한 논문언어=de에서 코시 점렬의 개념을 사용하였으나,언어=en§6.4.2, 174–176 서유럽에서 멀리 떨어진 프라하에서 살던 볼차노의 업적은 당시 널리 주목받지 못했다. 이후 오귀스탱 루이 코시가 1921년에 유명한 저서 《에콜 폴리테크니크 해석학 교재》(Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique)언어=fr에서 급수의 수렴에 대한 조건을 정의하기 위하여 같은 개념을 사용하였다.§6.3.4, 167 카리스티 고정점 정리는 제임스 카리스티(James V. Caristi)가 1976년 논문에서 제시하였다.mr=0394329 카리스티는 증명에서 초한 귀납법을 사용하였으며, 이는 선택 공리에 의존한다. 이후 더 약한 조건인 의존적 선택 공리에 의존하는 방법들로 재증명되었다. 로만 만카(Roman Manka)가 1988년 논문에서 어떠한 꼴의 선택 공리도 필요 없는 증명을 제시하였다.날짜=1988 카리스티 고정점 정리의 역은 카리스티의 지도 교수였던 윌리엄 아서 커크(William Arthur Kirk)가 1976년 논문에서 증명하였다.doi=10.1186/s13663-015-0464-5 칸난 고정점 정리는 라빈드란 칸난(ரவிந்திரன் கண்ணன், Ravindran Kannan)이 1968년 논문에서 증명하였다.mr=257837 수브라마냠(P. V. Subrahmanyam)doi=10.1007/BF01472580과 시오지 나오키(Naoki Shioji), 스즈키 도모나리(Tomonari Suzuki), 다카하시 와타루(Wataru Takahashi)mr=1469434가 칸난 고정점 정리의 역을 독자적으로 증명하였다.