오일러 공식

z = \cos x + i \sin x는 복소평면에서 단위원을 뜻한다. **오일러 공식**(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식이다. 사용되는 경우로는 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러 항등식은 이 공식의 특수한 경우이다. 오일러 공식은 다음과 같다. 실수 x~에 대해, 허수 지수 ix~를 다음과 같이 정의한다. : e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x 여기서, e는 자연로그의 밑이고, i~는 제곱하여 -1~이 되는(i^2 = -1) 허수단위, \sin, \cos은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다. x에 \pi를 대입하여, 오일러 항등식 e^{i \pi} = -1을 구할 수 있다.
# 역사
오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 발견하였다. : \ln(\cos x + i\sin x) \,=\, ix 지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 (Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.[참고] (대수학 원론 레온하르트 오일러,번억 Christopher James Sangwin,School of Mathematics,University of Birmingham,United Kingdom,B15 2TT,ISBN 978-1-89961-873-6) https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/
# 복소수 지수 정의와 오일러 공식

## 테일러 급수를 이용한 방법
테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다. : e^x = x^0}\over{0! + x^1}\over{1! + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{x^n}{n! 따라서 : \begin{array}{rll} e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{x^n}{n! \\\ \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!x^{2n} \\\ \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\\ \end{array} 이때 x가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 **정의**한다. 그러면 : \begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\\ &{}= \cos z + i\sin z \end{align} 가 된다.
## 미분 계산을 이용한 증명방법
: f(x) = e^{-ix}(\cos x + i\sin x) \cdots (1) 라면, : \frac {d}{dx} f(x) = -ie^{-ix}(\cos x + i\sin x)+e^{-ix}(-\sin x + i\cos x) = e^{-ix}(-i \cos x + \sin x -\sin x + i\cos x) =0 : \therefore f(x)=C (단, C는 상수) (1)에 x=0 을 대입하면, : f(0) = 1 : \therefore C=1 : e^{-ix}(\cos x + i\sin x) = 1 : e^{ix} = (\cos x + i\sin x) *Q.E.D.*
## 미적분을 이용한 방법
다음과 같은 복소수 z를 생각하자: :z=\cos x + i\sin x \, 양변을 x에 대해 미분하면: :\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x i^2 = -1이므로: :\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=iz z를 이항한 후 양변을 적분하면: : \begin{align} \frac{1}{z}\,\frac{dz}{dx}&= i \\\ \int\frac{1}{z}\,dz&=\int i\,dx \\\ \ln z&=ix + C \end{align} (여기에서 C는 적분 상수이다.) 이제 C=0이라는 것을 증명한다. x=0일 경우를 계산해보면 : \begin{align} \ln z &= C \\\ z &= \cos x + i\sin x = \cos 0 + i \sin 0 = 1 \end{align} 따라서 : \begin{align} \ln 1 &= C \\\ C &= 0 \end{align} 따라서 다음과 같은 식이 성립한다: : \begin{align} \ln z &= ix \\\ z &= e^{ix} \\\ e^{ix} &= \cos x + i\sin x \end{align} *Q.E.D.*
## 미분방정식을 이용한 방법
함수 g(x)를 다음과 같이 정의한다. : g(x) = e^{ix} 허수단위 i는 상수이므로 g(x)의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다. : \begin{align} g'(x) &= i e^{ix} \\\ g*(x) &= i^2 e^{ix} = -e^{ix} \end{align} 이로부터 : g*(x) = -g(x) \ 또는 : g''(x) + g(x) = 0 \ 라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고, 일차 독립인 두 해가 발생한다. : \begin{align} g_1(x) &= \cos x \\\ g_2(x) &= \sin x \end{align} 한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다. : \begin{align} g(x) &= A g_1(x) + B g_2(x)\\\ &= A \cos x + B \sin x\\\ g'(x) &=-A \sin x + B \cos x \end{align} ::(A와 B는 상수) 그리고 여기에 함수 g(x) 의 초기 조건 : \begin{align} g(0) &= e^{i0} &= 1 \\\ g'(0) &= i e^{i0} &= i \end{align} 을 대입하면, : \begin{align} g(0) &= {\color{White}-}A \cos 0 + B \sin 0 &= A \\\ g'(0) &= -A \sin 0 + B \cos 0 &= B \end{align} 곧, : \begin{align} g(0) &= A &= 1 \\\ g'(0) &= B &= i \end{align} 이므로 : g(x) \,=\, e^{ix} = \cos x + i \sin x이다. Q.E.D.
# 박사가 사랑한 수식
오일러 공식은 위 소설의 모티브로도 사용이 되었다. 오일러 공식에 숨어 있는 뜻을 **cis 함수** 또는 **복소 지수 함수**는 오일러 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다. : \operatorname{cis}(\theta) = e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta 이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용되는 것이다.
# 쉬운 설명
우선 이 공식을 이해하기 위해서는 멱급수가 무엇인지 알고 있어야 한다. 멱급수란 하나의 수의 지수를 증가시키며 모두 더한 값을 말하며, 지수함수의 멱급수는 다음과 같다. e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3\times2}+\frac{x^4}{4\times3\times2}+\cdot\cdot\cdot 이 멱급수의 지수 x 에 iz (복소수에 임의의 수 z 를 곱한 값)을 추가하면, i\sin z 에 \cos z 를 더한 값과 완벽하게 일치했다. 즉, e^{iz} \,=\, \cos z + i\sin z가 성립하는 것이다. 이 등식에서 z에 \pi를 대입했을 때 나오는 특수한 등식이 바로 오일러의 등식이다. 확인날짜=