채우기 문제

**채우기 문제**(packing problems)는 물체를 용기에 채우는 수학의 최적화 문제이다. 목표는 하나의 용기에 물체를 가능한 한 빽빽하게 채우거나 모든 물체를 가능한 한 적은 용기에 채우는 것이다. 이 문제의 대부분은 실생활에 포장, 저장 그리고 수송 문제와 관계지을 수 있다. 각 채우기 문제는 이중 덮기 문제가 있다. 이것은 겹치는 것을 허용하여 용기의 모든 영역을 동일한 물체로 완전히 덮는데 몇 개가 들어가는지를 구하는 문제이다. 상자 채우기 문제는 다음이 주어진다: * '용기' (보통 단일 2 또는 3차원 볼록한 영역이나 무한한 공간이다) * 일부 또는 모두가 하나 이상의 용기에 들어가야 하는 '물체'의 집합. 집합은 크기가 정해진 다른 물체 또는 반복해서 사용할 수 있는 유일한 고정된 차원의 물체를 포함한다. 보통 채우기는 물건과 다른 물건 사이나 용기 벽 사이에 겹치는 일이 없어야 한다. 일부 변형에서 초점은 용기에 최대 밀도로 채우는 구성을 찾는 것이다. 더 일반적으로 목표는 가능한 적은 용기에 모든 물체를 담는 것이다.pages=241–252 어떤 변형에서 (물체와 물체간 그리고/또는 용기의 경계에서) 겹치는 것은 허락되지만 최소화되어야 한다.
# 무한 공간 채우기
이 문제의 대부분에서 용기의 크기가 모든 방향으로 커질 때 무한 유클리드 공간을 최대한 빽빽하게 채우는 문제와 같아진다. 이 문제는 많은 과학 분야와 관련이 있으며 중대한 관심을 받고 있다. 케플러의 추측은 구 채우기의 최적해를 몇백년 전에 제시되었고, 토머스 캘리스터 헤일즈(Thomas Callister Hales)가 증명했다. 타원체page=255506, 사면체arxiv=1012.5138doi=10.1007/s00454-010-9273-0를 포함한 플라톤과 아르키메데스 다면체와 불평등 구형 이합체pmc=와 같은 많은 모양들도 관심을 받았다.
## 육각형 원 채우기
2차원 유클리드 평면에서 육각형 원 채우기이다. 이 문제는 수학적으로 원 채우기 정리의 아이디어와는 다르다. 관련된 원 채우기 문제는 평면이나 구의 표면에서 원의 크기가 다를 수 있는 원을 채우는 것을 다룬다. 다른 차원의 구는 일차원 보다 큰 차원에서 완벽히 효율적으로 채울 수 없다(일차원 우주에서, 원과 비슷한 것은 단지 두 점 뿐이다). 다시 말해, 원으로만 채울 때는 항상 사용하지 않은 공간이 있다. 원을 가장 효율적으로 채우는 방법인 육각형 채우기는 대략적으로 91%의 효율을 얻을 수 있다.http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html
## 높은 차원에서 구 채우기
3차원에서 면심입방구조는 가장 좋은 격자 채우기이기 때문에 최적의 채우기라고 여겨진다. 3차원에서 '단순'한 구 채우기('단순' 은 조심스럽게 정의해야 한다)는 정의 가능한 9가지가 있다.Smalley, I.J. 1963. Simple regular sphere packings in three dimensions. Mathematics Magazine 36, 295-299. doi:10.2307/2688954 8차원 E8 격자와 24차원 리치 격자는 각각 실 차원 공간에서 최적으로 증명되었다.
## 3차원에서 정다면체 채우기
정육면체는 3차원 공간을 완전히 채우도록 배열할 수 있다, 가장 자연스러운 채우기는 정육면체 벌집이다. 다른 정다면체는 공간을 스스로 채울 수 없지만 몇 가지 예비 결과가 알려져 있다. 정사면체는 적어도 85%의 채우기를 할 수 있다. 정십이면체의 최대 채우기는 앞에서 말한 면심 입방 격자(FCC)를 기반으로 한다. 정사면체와 정팔면체는 정사면체-정팔면체 벌집으로 알려진 배열로 공간을 채울 수 있다. {| class="wikitable" |- | 정이십면체 | 0.836357...Betke, U. & Henk, M. Densest lattice packings of 3-polytopes. *Comput. Geom.* **16**, 157–186 (2000) |- | 정십이면체 | (5 + √5)/8 = 0.904508... |- | 정팔면체 | 18/19 = 0.947368...Minkowski, H. Dichteste gitterfo¨rmige Lagerung kongruenter Ko¨rper. *Nachr. Akad. Wiss. Go¨ttingen Math. Phys. KI. II* 311–355 (1904). |} 국소 발전 방법과 무작위 채우기를 결합한 시뮬레이션은 정이십면체, 정십이면체, 정팔면체에 대한 격자 채우기가 모든 채우기에서 최적이라는 것을 나타낸다.arxiv=0908.4107
# 3차원 용기에 채우기

## 입방체에 입방체
주어진 입방체(3차원 직사각형)의 집합으로 채울 수 있는 최소 입방체 용기의 개수를 결정한다. 채우려는 육면체는 각 축을 기준으로 90도 회전시킬 수 있다.
## 유클리드 공에 구
\scriptstyle k개의 분리된 열린 단위 공으로 채울 수 있는 가장 작은 공을 찾는 문제는 \scriptstyle k\leq n+1이고 제한 없는 무한 차원의 힐베르트 공간에 있을 때, \scriptstyle n차원 유클리드 공간에서 간단하고 완벽한 답이 있다. 일반적인 문제의 취지를 밝히기 위해 자세히 설명할 필요가 있다. 이 경우에 \scriptstyle k쌍의 접하는 단위 공의 조합이 가능하다. 중심을 모서리가 2개인 \scriptstyle(k-1)차원 단체의 꼭짓점 \scriptstyle a_1,..,a_k에 두자; 이것은 쉽게 정규직교 기반에서 시작하는 것을 알 수 있다. 조금 계산해 보면, 무게중심에서 꼭짓점 까지의 거리는 \scriptstyle\sqrt{2\big(1-\frac{1}{k} \big)}이라는 것을 알 수 있다. 게다가, 공간의 다른 모든 점은 필연적으로 \scriptstyle k개의 정점 중 *적어도* 하나로부터 더 큰 거리를 갖는다. 공의 포함관계를 생각하면, \scriptstyle a_1,..,a_k를 중심으로 하는 \scriptstyle k개의 열린 단위 공은 이 조합에서 최소의 반경 \scriptstyle r_k:=1+\sqrt{2\big(1-\frac{1}{k}\big)}을 갖는 원에 들어있다. 이 조합이 최적임을 보이기 위해서, 중심이 \scriptstyle x_{0}이고 반지름이 \scriptstyle r인 원 안에 있는 \scriptstyle k개의 분리된 열린 단위 공의 중심을 \scriptstyle x_1,...,x_k이라고 하자. 유한집합 \scriptstyle\\{x_1,..x_k\\}에서 \scriptstyle\\{a_1,..a_k\\}로 대응시키자. 모든 \scriptstyle 1\leq j\leq k에 대해서 \scriptstyle x_j를 \scriptstyle a_j로 대응시키자. 모든 \scriptstyle 1\leq i에 대해서 \scriptstyle \|a_i-a_j\|=2\leq\|x_i-x_j\|일 때 이 대응은 1-Lipschitz 이고, Kirszbraun 정리에 의해서 이는 전역적으로 정의된 1-Lipschitz 매핑으로 확장된다; 특히, 모든 \scriptstyle1\leq j\leq k에 대해서 \scriptstyle\|a_0-a_j\|\leq\|x_0-x_j\|이기 때문에 또한 \scriptstyle r_k\leq1+\|a_0-a_j\|\leq 1+\|x_0-x_j\|\leq r인 점\scriptstyle a_{0}이 존재한다. 이것은 오직 \scriptstyle r\geq r_{k}일 때 만 \scriptstyle k개의 분리된 열린 단위 공들이 반지름이 \scriptstyle r인 공 안에 있을 수 있다는 것을 보여준다. 무한차원 힐베르트 공간에서 이것은 \scriptstyle r\geq 1+\sqrt{2}. 예를 들어, \scriptstyle\sqrt{2}e_j를 중심으로 가지고 \scriptstyle\\{e_j\\}_j은 정규 직교 기반인 단위 공은 원점을 중심으로 하고 반지름이 \scriptstyle 1+\sqrt{2}인 원에 분리되어서 포함되어있다. 게다가 \scriptstyle r<1+\sqrt{2}일 때는 반지름이 r인 공 안에 들어갈 수 있는 분리된 열린 단위 공의 최대 개수는 \scriptstyle\big\lfloor \frac{2}{2-(r-1)^2}\big\rfloor.
## 입방체에 구
*a* × *b* × *c*.의 크기를 가지는 직육면체에 지름 *d*인 구체가 몇 개가 들어갈 지를 결정한다.
## 원기둥에 구
반지름이 *R* 이고 반지름이 *r* (< *R*)인 *n*개의 구가 들어갈 원기둥의 높이 *h*를 결정한다.first2=G. N.
# 2차원 용기에 채우기

## 원 채우기

### 원에 원
원 안에 원 채우기 원에 원 10개를 채우는 최적해이다 단위원 *n*개로 가장 작은 원을 채운다. 이것은 단위원에 점을 퍼뜨려 가장 큰 점들간 최소거리 *d**n*를 찾는 문제와 매우 유사한 문제이다. *n* ≤ 13일 때와 *n* = 19일 때 최적해가 증명되었다.
### 정사각형에 원
정사각형 안에 원 채우기 정사각형에 원 15개를 채우는 최적해이다 단위원 *n*개로 가장 작은 정사각형을 채운다. 이것은 단위원에 점을 퍼뜨려 가장 큰 점들간 최소거리 *d**'n*를 찾는 문제와 매우 유사한 문제이다.pages=108–110 이 두 문제를 변환하려면 단위 원이 있는 정사각형의 한 변의 길이는 *L* = 2 + 2/*d**'n*이다. *n* ≤ 30일 때 최적해가 증명되었다.accessdate=25 May 2010
### 직각이등변삼각형에 원
직각이등변삼각형에 원 채우기 직각이등변삼각형에 원 6개를 채우는 최적해이다 단위원 *n*개로* *가장 작은 직각이등변삼각형에 채운다. *n*<300일 때 좋은 근사가 알려져 있다.확인날짜=1 May 2011
### 정삼각형에 원
정삼각형 안에 원 채우기 정삼각형에 원 5개를 채우는 최적해이다 단위원 *n*개로 가장 작은 정삼각형을 채운다. *n*<13일 때 최적해가 알려져 있고, *n* < 28일 때 추측 가능하다.doi=10.1016/0012-365X(95)90139-C
## 정사각형 채우기

### 정사각형에 정사각형
정사각형에 정사각형 10개를 채우는 최적해이다 단위 정사각형 *n*개를 가능한 작은 정사각형에 넣는다. 최적해는 *n* = 1–10, 14–16, 22–25, 33–36, 62–64, 79–81, 98–100, 그리고 모든 사각수일 때 증명되었다.Erich Friedman, "Packing unit squares in squares: a survey and new results" url=https://web.archive.org/web/20090727082435/http://www.combinatorics.org/Surveys/ds7.html, *The Electronic Journal of Combinatorics* **DS7** (2005).arxiv=1606.03746 낭비되는 공간은 점근적으로 O(*a*7/11)이다.doi=10.1016/0097-3165(75)90099-0
### 원에 정사각형 채우기
정사각형 *n*개를 가능한 작은 원에 넣는다. 최소해:archive-url=https://web.archive.org/web/20170914202441/http://www2.stetson.edu/~efriedma/squincir/ {| class="wikitable" |- | 1 | 0.707... |- | 2 | 1.118... |- | 3 | 1.288... |- | 4 | 1.414... |- | 5 | 1.581... |- | 6 | 1.688... |- | 7 | 1.802... |- | 8 | 1.978... |- | 9 | 2.077... |- | 10 | 2.121... |- | 11 | 2.214... |- |12 | 2.236... |}
## 직사각형 채우기

### 직사각형에 크기가 동일한 직사각형
크기가 (*l*,*w*)인 직사각형 여러개를 90° 회전을 허용하여 크기가 (*L*,*W*)인 큰 직사각형 안에 채우는 문제는 파렛트에 상자를 싣거나 특히 나무 펄프 보관 등의 적용이 있다. 예를 들어, 크기가 (137,95)인 직사각형 147개는 크기가 (1600,1230)인 직사각형을 채울 수 있다.이름3=R
### 직사각형에 크기가 다른 직사각형
다양한 너비와 높이를 가지는 직사각형들을 최소 면적의 (하지만 둘러싸는 직사각형의 너비와 높이에는 경계가 없는) 직사각형에 채우는 문제는 이미지들을 하나의 큰 이미지로 결합할 때 중요한 문제이다. 각각의 이미지를 웹 서버에 요청하기 때문에, 하나의 큰 이미지를 로딩하는 웹 페이지는 같은 페이지에서 여러 작은 이미지를 로딩하는 브라우저보다 빠르다. 다양한 너비와 높이를 가지는 직사각형들을 최소넓이의 직사각형에 채우는 빠른 알고리즘의 예는 여기 있다.
# 관련 분야
타일링이나 테셀레이션 문제에서 틈이나 겹치는 것이 없어야한다. 이런 종류의 퍼즐의 대부분은 직사각형이나 폴리오미노를 큰 직사각형이나 사각형같은 모양에 채우는 문제와 관련되어있다. 직사각형(과 직육면체)를 직사각형 (직육면체)에 틈이나 겹침없는 타일링에 대해서는 상당히 많은 정리들이 있다: : 오직* a*가 *n*으로 나눠지거나 *b*가 *n*으로 나눠질 때만 *a* × *b* 의 직사각형은 1 × *n*의 띠로 채워진다.isbn=0-88385-302-7doi=10.1112/plms/s3-23.4.613 : 드 브루인의 정리: 상자가 어떤 자연수 *p*, *q*, *r*에 대해 *a p* × *a b q* × *a b c r* 일 때(즉, 상자가 벽돌의 배 일 때) *a* × *a b* × *a b c* 의 조화 벽돌로 상자를 채울 수 있다. 폴리오미노 타일링 연구는 크게 두 종류의 문제로 나뉜다: 합동인 타일로 직사각형을 타일링 하고, 각 폴리오미노를 직사각형에 채운다. 두번째 종류의 고전 퍼즐은 펜토미노 12개 전부를 크기가 3×20, 4×15, 5×12 또는 6×10인 직사각형에 배열하는 것이다.
# 불규칙한 물체 채우기
불규칙한 물체 채우기는 폐쇄적인 해결법에는 적합하지 않다; 하지만 실용 환경 과학에 적용은 매우 중요하다. 예를 들어, 불규칙한 모양의 흙 입자를 크기와 모양을 다양하게 채우기는 식물종의 뿌리 형성과 토양에서 물의 움직임에 중요하다.C.Michael Hogan. 2010. *Abiotic factor*. Encyclopedia of Earth. eds Emily Monosson and C. Cleveland. National Council for Science and the Environment. Washington DC