카라추바 알고리즘

**카라추바 알고리즘**은 소련의 수학자 아나톨리 알렉세예비치 카라추바가 1960년에 발견하고 1962년에 공개한, 큰 수에 대한 효과적인 곱셈 알고리즘이다. note = Translation in Physics-Doklady, 7 (1963), pp. 595–596 note = translation from Trudy Mat. Inst. Steklova, 211, 186–202 (1995) 커누스 (1969) *컴퓨터 프로그래밍의 예술. 제 2권.*, 724 pp.. 이 방법은 두 *n*자리 수의 곱셈을 최대 3 n^{\log_23}\approx 3 n^{1.585}(*n*이 2의 거듭제곱일 때는 정확하게 n^{\log_23}와 일치한다)개의 한 자리 곱셈으로 줄인다. 그러므로 이 방법은 *n*2개의 한 자리 곱셈을 해야하는 고전적인 곱셈 방법보다 빠르다. 만약 *n* = 210 = 1024 라면, 고전적인 방법에서는 (210)2 = 1,048,576 회의 한 자리 곱셈이 필요하지만, 이 방법으로는 310 = 59,049 회의 한 자리 곱셈만이 필요하다. 톰-쿡 곱셈법은 카라추바 알고리즘의 일반적인 형태이다. 충분히 큰 *n*에 대해 카라추바 알고리즘의 복잡도는 쇤하게-슈트라센 알고리즘보다 크다. 카라추바 알고리즘은 분할 정복 알고리즘의 좋은 예이다.
# 역사
기본적으로 두 *n*자리 수의 곱셈은 *n*2에 비례하는 (점근 표기법으로는 \Theta(n^2))횟수의 기초 연산이 필요하다. 1952년 안드레이 콜모고로프는 고전적인 알고리즘이 \Omega(n^2)의 연산 횟수로 점근적으로 최적화 될 수 있을 것이라고 추측했다. 1960년 가을, 콜모고로프는 모스크바 대학교에서 사이버네틱스에 관한 수학 문제들에 대한 세미나를 열었다. 그곳에서 \Omega(n^2) 추측과 다른 계산 복잡도 이론에 대한 문제들을 언급했다. 그 후 1주 만에 23살 학생 카라추바가 두 *n*자리수의 곱셈을 \Theta(n^{\log_2 3})회의 기초 연산을 통해 행할 수 있는 분할 정복 알고리즘을 발견함으로써, 그 추측을 반증하였다. 콜모고로프는 그 발견에 매우 당황했다. 그는 마지막이 될 다음 세미나에서 이것을 알렸다. 이 방법은 1962년 *소비에트 연방 과학 학회(Доклады Академии наук СССР)*에 발표되었다. 그 논문은 콜모고로프가 유리 오프만과 협력하여 썼지만, 카라추바와 오프만이 저자로 올라갔다. 카라추바는 발표자로부터 사본을 받고 그 사실을 알게 되었다.
# 알고리즘

## 기본 단계
카라추바 알고리즘의 기본 단계는 큰 두 수 *x*와 *y*의 곱을 자릿수가 *x*, *y*의 절반인 수들의 곱 3번과 덧셈과 시프트 연산을 이용해 계산하는 것이다. *x*와 *y*를 *B*진법의 *n*자리수라고 하자. *n*보다 작은 양수 *m*에 대해 다음과 같이 *x*, *y*를 쪼갤 수 있다. :*x* = *x*1*B**'m* \+ *x*0 :*y* = *y*1*B**'m* \+ *y*0 (단, *x*0과 *y*0는 *B**'m*보다 작다.) :*z*2 = *x*1*y*1 :*z*1 = *x*1*y*0 \+ *x*0*y*1 :*z*0 = *x*0*y*0 라고 할 때, *x*와 *y*의 곱은 :*xy* = (*x*1*B**'m* \+ *x*0)(*y*1*B**'m* \+ *y*0) ::= *z*2 *B*2*m* \+ *z*1 *B**'m* \+ *z*0 이 식은 4번의 곱셈을 해야한다. 카라추바는 덧셈을 몇 번 함으로써, *xy*를 3번의 곱셈을 통해 구할 수 있다는 걸 알았다. :*z*2 = *x*1*y*1 라 하자. :*z*0 = *x*0*y*0 라 하자. :*z*1 = (*x*1*y*1 \+ *x*1*y*0 \+ *x*0*y*1 \+ *x*0*y*0) - *x*1*y*1 \- *x*0*y*0 = *x*1*y*0 \+ *x*0*y*1 이므로 :*z*1 = (*x*1 \+ *x*0)(*y*1 \+ *y*0) − *z2* − *z0* 라 할 수 있다.
## 예
*B* = 10 이라하고, *m* = 2 라 하자. 1234와 5678의 곱을 구하고 싶으면, :12 34 = 12 × 102 \+ 34 :56 78 = 56 × 102 \+ 78 :*z*2 = 12 × 56 = 672 :*z*0 = 34 × 78 = 2652 :*z*1 = (12 + 34)(56 + 78) − *z*2 − *z*0 = 46 × 134 − 672 − 2652 = 2840 :결과 = *z*2 × 102×2 \+ *z*1 × 102 \+ *z*0 = 672 × 10000 + 2840 × 100 + 2652 = **7006652**
## 재귀적 활용
만약 *n*이 4 이상이면, 카라추바 알고리즘 기본 단계를 통해 *n*보다 작은 자리의 수에 대한 곱셈 3번을 하게 된다. 그러므로 재귀 호출을 통해 그 곱을 계산할 수 있다. 재귀 호출은 곱하는 수가 단번에 계산될 정도로 작아질 때까지 적용할 수 있다. 예를 들어 32비트끼리 곱하는 곱셈기에서 *B* = 231 = 2,147,483,648 or *B* = 109 = 1,000,000,000를 선택하고 각 자리를 독립된 32비트 단위로 저장할 수 있다. 그러면 *x*1 \+ *x*0와 *y*1 \+ *y*0에 여분의 자리올림 비트가 필요없고, 카라추바 재귀는 숫자가 한 자리가 될 때까지 반복가능하다.
# 효율성 분석
카라추바 알고리즘 기본단계는 모든 *B*와 *m*에 대해 작동하지만, *m*이 *n*/2일 때 가장 효율적이다. 특히 양의 정수 *k*에 대해 *n*이 2*k*이고, 재귀가 *n*이 1일 때 끝난다면, 한 자리 곱셈의 횟수는 3*k*이 된다(*n**c*에서 *c* = log23가 되므로). 카라추바 알고리즘 기본단계의 덧셈, 뺄셈, 시프트 연산(*B*의 거듭제곱으로 곱하는 것)은 *n*에 비례하는 시간이 걸리므로, 그 비용의 비중은 *n*이 증가함에 따라 무시할 정도로 줄어든다. 더 정확하게 *t*(*n*)이 두 *n*자리수의 곱셈에 필요한 기초연산의 총 횟수라고 할 때 다음과 같다. :*t*(*n*) = 3 *t*(\lceil*n*/2\rceil) + *cn* + *d* (*c*와 *d*는 적당한 상수) 이런 재귀적 관계를 마스터 정리를 통해 풀면, 점근 표기법으로 *t*(*n*) = \Theta(*n*log(3)/log(2))이라는 것을 알 수 있다. 충분히 큰 *n*에 대해, 카라추바 알고리즘은 고전적인 곱셈법보다 적은 횟수의 시프트 연산과 한 자리 곱셈을 행한다. 하지만 작은 *n*에 대하여는 추가적인 덧셈과 시프트 연산 때문에 고전적인 곱셈법보다 속도가 느려진다. 그 경계는 컴퓨터의 플랫폼에 따라 달라진다. 대략적으로 곱하는 수가 2320 ≈ 2 이상일 때 카라추바 알고리즘이 더 빠르다.