노름 공간

노름 선형대수학 및 함수해석학에서 **노름 공간**(norm空間, normed space)은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간이다. 이러한 크기는 **노름**(놈)이라고 하며, 삼각 부등식을 따라 거리 함수를 정의한다. 노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건을 생략하면 **반노름 공간**(半norm空間, seminormed space)의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, **반노름**(半norm, seminorm)이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다. 삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다. \|x + y\| \le K(\|x\| + \|y\|)
# 정의
\mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.
## 통상적 정의
\mathbb K-벡터 공간 V 위의 **반노름**은 다음 두 조건들을 만족하는 함수 :\lVert\cdot\rVert\colon V\to[0,\infty) :\lVert\cdot\rVert\colon v\mapsto\Vert v\Vert 이다.25, §1.33 * (양의 동차성) 임의의 a\in K 및 v\in V에 대하여, \Vert av\Vert=|a|\Vert v\Vert * (삼각 부등식) 임의의 u,v\in V에 대하여, \Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert 반노름이 주어진 \mathbb K-벡터 공간 (V,\lVert\cdot\rVert)을 **\mathbb K-반노름 공간**이라고 한다. V 위의 **노름**은 다음 조건을 추가로 만족하는 반노름 \lVert\cdot\rVert이다.3–4, §1.2 * (양의 정부호성) 모든 v\in V에 대하여, \Vert v\Vert=0임은 v=0임과 동치이다. 노름이 주어진 \mathbb K-벡터 공간 (V,\lVert\cdot\rVert)을 **\mathbb K-노름 공간**이라고 한다.언어=en3–4, §1.2
## 민코프스키 범함수를 통한 정의
\mathbb K-벡터 공간 V의 부분 집합 S\subseteq V의 **민코프스키 범함수**(Minkowski functional)는 다음과 같다. :\mu_S\colon V\to[0,\infty] :\mu_S(v)=\inf\\{t\in\mathbb R^+\colon v\in tS\\} \mathbb K-벡터 공간 V 위의 **반노름**은 다음 조건을 만족시키는 함수 :\lVert\cdot\rVert\colon V\to[0,\infty] :\lVert\cdot\rVert\colon v\mapsto\Vert v\Vert 이다. * 어떤 균형 볼록 흡수 집합의 민코프스키 범함수이다. (흡수성에 따라 반노름의 값은 항상 유한하다.) 이 정의는 반노름의 통상적 정의와 동치이다.
# 연산

## 직합
\mathbb K-노름 공간들의 (유한 또는 무한) 족 (V_i)_{i\in I}과 실수 1\le p<\infty가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직합 :V=\bigoplus_iV_i 에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다. :\|(v_i)_{i\in I}\|_p=\sqrt[p]{\|v_i\|_{V_i}^p} 그렇다면, (V,\lVert\cdot\rVert_p) 역시 노름 공간을 이룬다.
## 부분 공간과 몫
\mathbb K-노름 공간 V의 \mathbb K-부분 벡터 공간 W\subseteq V가 주어졌다고 하자. 그렇다면, W에 V의 노름을 제한한 것을 부여하면, W 역시 \mathbb K-노름 공간을 이룬다. \mathbb K-노름 공간 V의 닫힌 \mathbb K-부분 벡터 공간 W\subseteq V가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 몫공간 V/W 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다. :\|v+W\|_{V/W}=\inf_{w\in W}\|v+w\|_V 그렇다면 V/W 역시 \mathbb K-노름 공간을 이룬다.
## 연속 쌍대 공간
연속 쌍대 공간 \mathbb K-노름 공간 (V,\|\|)의 연속 쌍대 공간 V' 위에는 **쌍대 노름** :\|f\|_{V'}=\sup_{v\in V\setminus\\{0\\\frac{|f(v)|}{\|v\|_V} 을 부여할 수 있으며, 이에 따라 V' 역시 \mathbb K-노름 공간을 이룬다.
## 하우스도르프화
임의의 \mathbb K-반노름 공간 (V,\|\|)에 대하여, 다음과 같은 \mathbb K-부분 벡터 공간을 정의하자. :N=\\{v\in V\colon \|v\|=0\\} 그렇다면, 몫공간 V/N 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 르베그 공간의 정의에 등장한다.
## 완비화
\mathbb K-노름 공간 (V,\|\|)의 (거리 공간으로서의) 완비화 \bar V 위에 다음과 같은 노름을 정의하자. :\|\bar v\|_{\bar V}=\lim_{i\to\infty}\|v_i\|_V\qquad(\bar v\in V) 여기서 (v_i)_{i\in\mathbb N}는 \bar v로 수렴하는 코시 열이다. 이를 부여하면 \bar V는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다. 이 경우, 자연스러운 단사 \mathbb K-선형 등거리 변환 :V\hookrightarrow\bar V 가 존재하여, V를 \bar V의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약 V가 이미 \mathbb K-바나흐 공간이라면, 위 함수는 전단사 함수이다.
# 성질
\mathbb K-반노름 공간 V 위에는 다음과 같은 유사 거리 함수를 부여하여 유사 거리 공간으로 만들 수 있다. :d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|\qquad(u,v\in V) 만약 V가 노름 공간이라면, 이는 거리 공간을 이룬다. 유사 거리 공간 구조에 의하여, \mathbb K-반노름 공간은 항상 \mathbb K-위상 벡터 공간을 이룬다. 두 \mathbb K-반노름 공간 사이의 \mathbb K-선형 변환의 경우, 유계 작용소인 것과 연속 함수인 것이 서로 동치이다.
## 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :{| | \mathbb K-노름 공간 || ⇐ || \mathbb K-내적 공간 |- | ⇑ || || ⇑ |- | \mathbb K-바나흐 공간 || ⇐ || \mathbb K-힐베르트 공간 |} 즉, \mathbb K-노름 공간 (V,\|\|)가 주어졌을 때, * 만약 (u,v)\mapsto(\|u+v\|-\|u-v\|)/2가 \mathbb K-쌍선형 형식을 이루면, (V,\|\|)는 \mathbb K-내적 공간을 이룬다. * 만약 완비 거리 공간이라면, (V,\|\|)는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다. * 만약 (V,\|\|)가 \mathbb K-내적 공간이자 \mathbb K-바나흐 공간이라면, (V,\|\|)를 \mathbb K-힐베르트 공간이라고 한다.
## 노름화 가능 공간
\mathbb K-위상 벡터 공간 V에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 V를 **반노름화 가능 공간**(seminormable space)이라고 한다.zbl=0867.4600130, Theorem 1.39 * V의 위상은 낱개의 반노름으로 유도된다. * 국소 볼록 공간이자 국소 유계 공간이다. 즉, 0\in V가 볼록 유계 근방을 갖는다. \mathbb K-위상 벡터 공간 V에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 V를 **노름화 가능 공간**이라고 한다.30, Theorem 1.39 * V의 위상은 낱개의 노름으로 유도된다. * 반노름화 가능 공간이며, 하우스도르프 공간이다.
# 예
모든 벡터 공간에서 **자명 반노름**(trivial seminorm) \Vert v\Vert=0은 반노름을 이루지만, 이는 (V가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.
## 체
체 \mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값 \Vert a\Vert=|a|은 노름을 이룬다.
## 유클리드 공간에서의 노름
Lp 공간 서로 다른 노름 공간에서 정의된 단위원. 임의의 1\le p\le\infty에 대하여, 유클리드 공간 \mathbb R^n 위에 다음과 같은 노름 \lVert\cdot\rVert_p을 정의할 수 있으며, 이를 **L*p* 노름**이라고 한다. :\Vert\mathbf{x}\Vert_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} 여기서 p=2인 경우는 표준적인 유클리드 노름 :\Vert\mathbf{x}\Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2 } 이다. 만약 p=\infty일 경우는 **상한 노름**(supremum norm) :\Vert\mathbf{x}\Vert_\infty = \lim_{p\to\infty}\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}=\max\\{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_n| \\} 이 된다. p=1인 경우는 **맨해튼 노름** :\Vert\mathbf{x}\Vert_1 = \sum_{i=1}^n |x_i| 이 된다. \ell^p 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, \mathbb R^4 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다. :\Vert x\Vert= 2|x_1| + \sqrt{3|x_2|^2 + \max(|x_3|,2|x_4|)^2} 그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.