풍부한 가역층

대수기하학에서 **풍부한 가역층**(豐富한可逆層, ample invertible sheaf)은 그 거듭제곱의 단면들을 사영 공간의 동차 좌표로 간주하여 대수다양체를 사영 공간에 매장시킬 수 있는 가역층이다.언어=ko 복소수체 위에서, 이는 가역층의 천 특성류가 켈러 구조로 표현됨을 뜻한다.
# 정의

## 매우 풍부한 가역층
스킴 사상 q\colon X\to Y 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 * Y 위의 준연접층 \mathcal E * Y-스킴의 몰입 \iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P(\mathcal E) 가 존재한다면, \mathcal L이 **q에 대하여 매우 풍부한 가역층**(very ample invertible sheaf relative to q, faisceau inversible très ample pour q)이라고 한다.url-status = dead79, Définition 4.4.2 :\mathcal L\cong\iota^*\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1) \mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)의 단면들은 대략 사영 공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, L의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다. **매우 풍부한 인자**(very ample divisor)는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다. 로빈 하츠혼issn=0072-5285120과 류칭167, Definition 5.1.26이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 **H-매우 풍부한 가역층**이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다. 스킴 사상 q\colon X\to Y 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여 Y-스킴의 몰입 :\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P_Y^n 이 존재한다면, \mathcal L이 **q에 대하여 H-매우 풍부한 가역층**이라고 한다. 즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 \mathcal E는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 \mathbb P_Y^n의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
## 풍부한 가역층
콤팩트 분리 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 가역층 \mathcal L이 다음 조건을 만족시킨다면, **풍부한 가역층**(ample invertible sheaf, faisceau inversible ample)이라고 한다.84, Définition 4.5.3153 * X 위의 임의의 유한형 준연접층 \mathcal F에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, \mathcal F\otimes\mathcal L^{\otimes n}은 대역적 단면으로부터 생성된다.85, Proposition 4.5.5(d)153url-status = dead169, Definition 5.1.33 * X 위의 임의의 유한형 준연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F가 \mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.85, Proposition 4.5.5(d′) * X 위의 유한형 준연접 아이디얼 층 \mathcal I에 대하여, \mathcal I가 \mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.85, Proposition 4.5.5(d″) **풍부한 인자**(豊富한因子, ample divisor)는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다. 풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.153, Remark II.7.4.1
## 대역적 단면으로 생성되는 층
국소환 달린 공간 X 위의 아벨 군 층 \mathcal F가 다음 조건을 만족시킨다면, **대역적 단면으로 생성되는 층**(sheaf generated by global sections)이라고 한다. * 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, \Gamma(\mathcal F,U)=\operatorname{Span}\operatorname{res}_{X,U}(\Gamma(\mathcal F,X))이다. 여기서 \operatorname{res}_{X,U}\colon\Gamma(\mathcal F,X)\to\Gamma(\mathcal F,U)는 제약 사상이며, \Gamma(\mathcal F,-)는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.
# 성질
뇌터 환 R 위의 사영 스킴 p\colon X\to\operatorname{Spec}R가 주어졌을 때, p에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다.154, Example II.7.4.3 뇌터 환 R 위의 유한형 스킴 p\colon X\to\operatorname{Spec}R 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.154, Theorem II.7.6 * \mathcal L이 풍부한 가역층이다. * 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, \mathcal L^{\otimes n}은 p에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다. 모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다.
## 풍부함의 필요 충분 조건
주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요) 충분 조건들이 존재한다. 대수적으로 닫힌 체 K 위의 고유 스킴 X\to\operatorname{Spec}K 위에 카르티에 인자 D가 주어졌다고 하자. **나카이-모이셰존 조건**([中井]-Мойшезон條件, Nakai–Moishezon condition)에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * D에 대응하는 가역층은 풍부한 가역층이다. * 모든 정역 부분 스킴 Y\subset X에 대하여, 다음이 성립한다. *:\overbrace{D.D.\cdots.D}^{\dim Y}.Y>0 **클라이먼 조건**(Kleiman條件, Kleiman condition)에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 *X* 위의 카르티에 인자 *D*에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * D는 풍부한 가역층이다. * X 위의 곡선뿔(cone of curves)을 \operatorname{NE}(X)라고 하자. 그 폐포 위의 임의의 원소 C\in\overline{\operatorname{NE}(X)}에 대하여, D.C>0이다. 클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 D.D>0인 것과 대응한다. **카르탕-세르-그로텐디크 정리**(Cartan–Serre–Grothendieck theorem)에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 L에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. * L은 풍부한 가역층이다. * X 위의 임의의 연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F\otimes L^n이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 n이 존재한다.
## 해석기하학에서의 풍부
복소수 n차원 복소다양체 M 위의 (1,1)차 복소수 미분 형식 :\omega\in\Omega^{1,1}(M)\cap\Omega^2(M;\mathbb R) 에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 **양의 (1,1)-미분 형식**(positive (1,1)-form)이라고 한다. * 임의의 x\in M에서, 정칙 접공간 \mathrm T^{1,0}_xM의 쌍대 공간 \mathrm T^{1,0*}_xM의 기저 (\mathrm dz^1,\dotsc,\mathrm dz^n)을 잡았을 때, \mathrm i\omega|_x=\textstyle\sum_i\alpha_idz^i\wedge d\bar z^i의 꼴이며, \alpha_1,\dots,\alpha_n\ge0는 음이 아닌 실수이다. * 임의의 x\in M 및 v\in\mathrm T^{1,0}_x(M)에 대하여, -\mathrm i\omega(v,\bar v)\ge0이다. * \operatorname{Im}h=-\omega인, 양의 반정부호인 에르미트 형식 h가 존재한다. 즉, 양의 (1,1)-미분 형식을 갖춘 복소다양체는 에르미트 다양체와 동치이다. 복소다양체 M 위의 해석적 선다발 L\twoheadrightarrow M에 대하여, \nabla^{0,1}=\bar\partial인 표준적인 접속이 존재하는데, 이를 **천 접속**(Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률 F는 항상 :F\in\Omega^{1,1}(M)\cap\mathrm i\Omega^2(M;\mathbb R) 이며, 천 특성류를 표현한다. 만약 \mathrm iF가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 (즉, 천 특성류가 에르미트 다양체 구조를 정의한다면), L을 **양의 선다발**(positive line bundle)이라고 한다. F는 항상 닫힌 미분 형식이므로, 이는 켈러 다양체의 구조를 정의한다. 복소수체 위의 완비 대수다양체 X \to \operatorname{Spec}\mathbb C 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화 X^{\operatorname{an는 콤팩트 복소다양체를 이루며, \mathcal L^{\operatorname{an은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \mathcal L은 풍부한 가역층이다. * \mathcal L^{\operatorname{an은 양의 선다발이다.
# 예

## 아핀 스킴 위의 가역층
뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.154, Example II.7.4.2
## 사영 공간 위의 가역층
체 K 위의 사영 공간 \mathbb P^n_K 및 정수 k\in\mathbb Z에 대하여, 가역층 :\mathcal O_{\mathbb P^n_K}(k) = \mathcal O_{\mathbb P^n_K}(-1)^{\otimes -k} 을 정의할 수 있다. 여기서 \mathcal O(-1)은 보편 가역층이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.155, Example II.7.6.1 * \mathcal O(k)는 풍부한 가역층이다. * \mathcal O(k)는 스킴 사상 \mathbb P^n_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}K에 대하여 매우 풍부한 가역층이다. * k>0이다.
## 대수 곡선
대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 경우, 어떤 인자 D에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 \deg D>0인 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다. 마찬가지로, 종수 g의 대수 곡선의 경우, 인자 D에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 :\deg D \ge 2g + 1 인 것이다. 예를 들어, 사영 직선(g=0)의 경우 모든 선다발은 보편 선다발의 정수차 텐서곱 \mathcal O(d)이다 (버코프-그로텐디크 정리 Birkhoff–Grothendieck theorem). 이 경우 d\ge1인 경우는 매우 풍부한 가역층이며, d \le 0인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 예를 들어, 사영 직선 \mathbb P^1 위의 가역층 \mathcal O(2)을 생각하자. \mathbb P^1의 동차 좌표계 [s:t]에 대하여, 그 단면의 공간은 :\Gamma(\mathbb P^1;\mathcal O(2)) = K s^2 \oplus K st \oplus K t^2 이다. 즉, 사상 :[s:t] \to [s^2: st: t^2] 는 매장 \mathbb P^1 \hookrightarrow \mathbb P^2을 정의하며, 그 상은 대수 곡선 : \operatorname{Proj} \frac{K[x,y,z]}{xz - y^2} 이다. 사영 직선의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다.
## 대수 곡면
나카이-모이셰존 조건에 따라서, 대수 곡면의 경우 풍부한 인자 D는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다. * D의 자기 교차수 D.D>0 * X 위의 임의의 (기약) 대수 곡선 C\subset X에 대하여 D.C>0 자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다.언어=en
# 역사
나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈(なかい よしかず)언어=en와 보리스 게르셰비치 모이셰존(Бори́с Ге́ршевич Мойшезо́н)언어=ru 이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다. 클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼(Steven Lawrence Kleiman)이 1966년에 도입하였다.언어=en