스튀름-리우빌 연산자

상미분 방정식 이론에서, **스튀름-리우빌 연산자**(Sturm-Liouville演算子, Sturm–Liouville operator)는 이산 스펙트럼을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자이다. 그 고유 함수에 대한 2차 상미분 방정식을 **스튀름-리우빌 방정식**(Sturm-Liouville方程式, Sturm–Liouville equation)이라고 하며, 이에 대한 이론을 **스튀름-리우빌 이론**(Sturm-Liouville理論, Sturm–Liouville theory)이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다.
# 정의
실수의 닫힌구간 [a,b] \subsetneq \mathbb R이 주어졌다고 하자. 그 위의 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 **스튀름-리우빌 연산자**는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다. :D \colon \mathcal C^2([a,b],\mathbb R) \to \mathcal C^0([a,b],\mathbb R) :D = -\frac1{w(x)}\left(\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}+q(x)\right) = -\frac{p(x)}{w(x)} \frac{d^2}{dx^2} \- \frac1{w(x)}p'(x)\frac{d}{dx} \- \frac{q(x)}{w(x)} 여기서 * p \colon [a,b] \to \mathbb R^+는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다. * q \colon [a,b] \to \mathbb R는 연속 함수이다. * w \colon [a,b] \to \mathbb R^+는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 **무게 함수** weight function라고 한다.) 닫힌구간 [a,b] 위의 **로뱅 경계 조건**(Robin境界條件, Robin boundary condition)이란 [a,b] 위의 연속 미분 가능 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다. :\alpha_a y(a) + \beta_a y'(a) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R) :\alpha_b y(b) + \beta_b y'(b) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R) 여기서, 다음 조건이 성립해야 한다. * \alpha_a 또는 \beta_a 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 \alpha_b 또는 \beta_b 가운데 하나 이상이 0이 아니다. 즉, [\alpha_a:\beta_a]와 [\alpha_b:\beta_b]는 각각 실수 사영 직선 \mathbb P^1_{\mathbb R} = \mathbb R \sqcup \\{\infty\\}의 두 점의 동차 좌표를 이룬다. 로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간 :H = \operatorname L^2([a,b],w(x)\,\mathrm dx) = \left\\{ f\in \operatorname L^0([a,b],\mathbb R) \colon \int_a^b |f(x)|^2w(x)\,\mathrm dx < \infty \right \\} 위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다. 스튀름-리우빌 연산자 D의 고유 함수 방정식 :Dy(x) = \lambda y(x) 즉 선형 상미분 방정식 : -\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy(x)}{dx}\right)-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x) 을 **스튀름-리우빌 방정식**(Sturm–Liouville equation)이라고 한다. 이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로, p와 q, \lambda의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다. **스튀름-리우빌 문제**는 스튀름-리우빌 미분 연산자의 고윳값을 구하는 문제이다.
# 성질

## 고윳값과 고유 함수
[a,b] 위의 무게 함수 :w \colon [a,b] \to \mathbb R^+ 에 대한 스튀름-리우빌 연산자 :D \colon \operatorname L^2([a,b],w)\to \operatorname L^2([a,b],w) 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다. :\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \dotsb :\lim_{i\to\infty}\lambda_i = +\infty 각 고윳값 \lambda_i에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간 (a,b) 속에서 정확히 i개의 영점을 갖는다. 이러한 고유 함수들의 집합 \\{y_0,y_1,\dotsc\\}은 (H의 내적에 따라 정규화하였을 때) H의 정규 직교 기저를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. :\int_a^b y_i(x)y_j(x)w(x)\,\mathrm dx = \delta_{ij}
## 2차 선형 미분 방정식의 스튀름-리우빌 형태로의 환원
모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor)를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, *y*가 스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.) 일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자. : P(x)y*+Q(x)y'+R(x)y=0 양변을 *P*(*x'')로 나누고, 다시 양변에 적분 인자 : \exp\left(\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,dx\right) 를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.
# 예

## 베셀 방정식
베셀 방정식 : x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-\nu^2)y=0 은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다. : (xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0 즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는 :-\frac{d}{dx}\left(x \frac{d}{dx}\right) + \nu^2/x-\lambda^2 x 이다.
## 르장드르 방정식
르장드르 방정식 :(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0 은 쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다. :\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(1-x^2) = -2x 이므로, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다. :[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0 즉, \nu(\nu+1)은 스튀름-리우빌 연산자 :\frac{d}{dx}\left((1-x^2)\frac{d}{dx}\right) 의 고윳값이다.
## 더 복잡한 2차 상미분 방정식
좀 더 복잡한 예로 다음 상미분 방정식을 생각하자. : x^3y*-xy'+2y=0 양변을 *x*3으로 나누고 :y*-{x\over x^3}y'+{2\over x^3}y=0 다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다. : \exp\left(\int -\frac x{x^3}\,\mathrm dx\right)=\exp\left(\int -\frac1{x^2}\, \mathrm dx\right)=\exp(1/x) 그러면 다음과 같은 방정식이 나온다. : \exp(1/x)y''-\frac1{x^2}\exp(1/x)y'+ \frac2{x^3}\exp(1/x)y = 0 이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데, : \frac{d}{dx}\exp(1/x) = -\frac1{x^2}\exp(1/x) 이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다. : (\exp(1/x)y')'+\frac2{x^3}\exp(1/x) y =0 즉, 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같다. :\frac{d}{dx}\left(\exp(1/x)\frac{d}{dx}\right) + \frac2{x^3}\exp(1/x)
# 역사
자크 샤를 프랑수아 스튀름과 조제프 리우빌의 이름을 땄다.