동등 연속 함수족

해석학에서 **동등 연속 함수족**(同等連續函數族, equicontinuous family of functions)은 정의역의 값이 작게 변화하면, 치역의 값이 함수족의 모든 원소에 대하여 같은 유계를 가질 정도로 작게 변화하는 함수족이다.
# 정의

## 동등 연속 함수족
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 위상 공간 X * 균등 공간 (Y,\mathcal E_Y) * X에서 Y로 가는 함수족 \mathcal F * x\in X 임의의 측근 \epsilon\in\mathcal E_Y에 대하여 다음 조건을 만족시키는 근방 U\ni x가 존재한다면, \mathcal F가 **x에서 동등 연속 함수족**(family of functions equicontinuous at x)이라고 한다.언어=frTG X.10, Définition X.2.1 * 임의의 f\in\mathcal F 및 x'\in U에 대하여, f(x)\approx_\epsilon f(x') 모든 점에서 동등 연속인 함수족을 **동등 연속 함수족**이라고 한다.
## 균등 동등 연속 함수족
마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 균등 공간 (X,\mathcal E_X) * 균등 공간 (Y,\mathcal E_Y) * X에서 Y로 가는 함수족 \mathcal F 임의의 측근 \epsilon\in\mathcal E_Y에 대하여 다음 조건을 만족시키는 측근 \delta\in\mathcal E_X가 존재한다면, \mathcal F가 **균등 동등 연속 함수족**(均等同等連續函數族, uniformly equicontinuous family of functions)이라고 한다.TG X.11, Définition X.2.2 * 임의의 f\in\mathcal F 및 x,x'\in X에 대하여, 만약 x\approx_\delta x'이라면 f(x)\approx_\epsilon f(x')이다. 여기서 x\approx_\delta x_0는 (x,x_0)\in\delta\in\mathcal E_X인 것이다. 만약 X의 균등 구조가 거리 함수로부터 유도된다면, 이는 \delta를 어떤 양의 실수로 생각하며, d_X(x,x_0)<\delta로 해석해도 좋다. (f(x)\approx_\epsilon f(x_0) 또한 마찬가지다.)
# 성질

## 함의 관계
두 균등 공간 (X,\mathcal E_X), (Y,\mathcal E_Y) 사이의 함수족 \mathcal F에 대하여 다음과 같은 네 조건들을 정의할 수 있다. {| class=wikitable |- ! 개념 !! \delta가 \epsilon에 의존? !! \delta가 f에 의존? !! \delta가 x에 의존? !! 정의 |- | 연속 함수족 || 예 || 예 || 예 || \forall\epsilon\in\mathcal E_Y\forall f\in\mathcal F\forall x\in X\exists\delta\in\mathcal E_X{\color{White}\forall f\in\mathcal F\forall x\in X}\forall x'\in X\colon(x\approx_\delta x'\implies f(x)\approx_\epsilon f(x')) |- | 균등 연속 함수족 || 예 || 예 || 아니오 || \forall\epsilon\in\mathcal E_Y\forall f\in\mathcal F{\color{White}\forall x\in X}\exists\delta\in\mathcal E_X{\color{White}\forall f\in\mathcal F}\forall x\in X\forall x'\in X\colon(x\approx_\delta x'\implies f(x)\approx_\epsilon f(x')) |- | 동등 연속 함수족 || 예 || 아니오 || 예 || \forall\epsilon\in\mathcal E_Y{\color{White}\forall f\in\mathcal F}\forall x\in X\exists\delta\in\mathcal E_X\forall f\in\mathcal F{\color{White}\forall x\in X}\forall x'\in X\colon(x\approx_\delta x'\implies f(x)\approx_\epsilon f(x')) |- | 균등 동등 연속 함수족 || 예 || 아니오 || 아니오 || \forall\epsilon\in\mathcal E_Y{\color{White}\forall f\in\mathcal F\forall x\in X}\exists\delta\in\mathcal E_X\forall f\in\mathcal F\forall x\in X\forall x'\in X\colon(x\approx_\delta x'\implies f(x)\approx_\epsilon f(x')) |} 여기서 * **연속 함수족**(family of continuous functions)은 단순히 (균등 공간 위상에 대하여) 모든 원소가 연속 함수인 함수족이다. * **균등 연속 함수족**(family of uniformly continuous functions)은 단순히 모든 원소가 균등 연속 함수인 함수족이다. 그렇다면, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. {| | 균등 동등 연속 함수족 || ⇒ || 동등 연속 함수족 |- | ⇓ || || ⇓ |- | 균등 연속 함수족 || ⇒ || 연속 함수족 |}
## 아르첼라-아스콜리 정리
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 콤팩트 하우스도르프 공간 X * 균등 공간 (Y,\mathcal E_Y) * 연속 함수족 \mathcal F\subseteq Y^X 그렇다면, 함수 집합 Y^X 위에 균등 수렴 위상을 부여하여 위상 공간 및 균등 공간으로 만들 수 있다. **아르첼라-아스콜리 정리**(Arzelà–Ascoli theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.TG X.17, Théorème X.2.2 * \mathcal F\subseteq Y^X가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다. * 다음 두 조건이 성립한다. ** \mathcal F는 동등 연속 함수족이다. ** 모든 x\in X에 대하여, \\{f(x)\colon f\in\mathcal F\\}\subseteq Y는 콤팩트 집합이다. 마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 콤팩트 균등 공간 X * 균등 공간 (Y,\mathcal E_Y) * 균등 연속 함수족 \mathcal F\subseteq Y^X 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.TG X.17, Théorème X.2.2 * \mathcal F\subseteq Y^X가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다. * 다음 두 조건이 성립한다. ** \mathcal F는 균등 동등 연속 함수족이다. ** 모든 x\in X에 대하여, \\{f(x)\colon f\in\mathcal F\\}\subseteq Y는 콤팩트 집합이다.
# 예
다음과 같은 함수열을 생각하자. :\\{x\mapsto\arctan nx\colon n\in\mathbb N\\}\subseteq \mathbb R^\mathbb R 이는 x=0에서 동등 연속 함수족이 아니다. 이는 x=0에서 기울기들의 열 \\{d\arctan(nx)/dx|_{x=0}=n\\}_{n\in\mathbb N}이 발산하기 때문이다.
# 역사
동등 연속 함수족의 개념과 아르첼라-아스콜리 정리는 19세기 말의 이탈리아 수학자 줄리오 아스콜리(Giulio Ascoli, 1843~1896)언어=it와 체사레 아르첼라(Cesare Arzelà, 1847~1912)언어=it가 도입하였다.