범주 (수학)

일반위상수학에서의 범주 대수 구조 범주론에서 **범주**(範疇, category)는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 수학의 각 분야를 범주를 통해 연구하는 분야를 **범주론**(範疇論, category theory)이라고 한다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 수학의 여러 분야를 공통적인 언어로 다룰 수 있게 한다. 수학 밖에도, 범주론은 컴퓨터 과학과 수리물리학에서도 쓰인다.
# 정의
**범주** \mathcal C는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * **대상**(對象, object)들의 모임 \operatorname{ob}(\mathcal C). 이 모임의 원소를 \mathcal C의 ‘대상’이라고 한다. * 임의의 두 대상 a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여, a를 정의역으로, b를 공역으로 하는 **사상**(寫像, morphism)들의 모임 \hom(a,b). f\in\hom(a,b)에 대하여 f\colon a\to b로 쓰고, f를 ‘a에서 b로 가는 사상’이라고 한다. \mathcal C의 사상의 모임을 \hom(\mathcal C)로 나타낸다. * 임의의 세 대상 a,b,c\in\operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여, 이항 연산 \hom(a,b)\times\hom(b,c)\to\hom(a,c). 이를 사상의 **합성**(合成, composition)이라고 한다. f\colon a\to b와 g\colon b\to c의 합성은 g\circ f 또는 gf 등으로 나타낸다. * 임의의 대상 a\in\operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여, 특별한 사상 \operatorname{id}_a\in\hom(a,a). 이를 a의 **항등 사상**(恒等寫像, identity morphism)이라고 한다. 이 데이터는 다음의 조건들을 만족시켜야 한다. * (결합 법칙) 임의의 대상 a,b,c,d\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 및 사상 a\xrightarrow fb\xrightarrow gc\xrightarrow hd에 대하여, h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f * (항등원) 임의의 대상 a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 및 사상 f\colon a\to b에 대하여, \operatorname{id}_b\circ f=f\circ\operatorname{id}_a=f
## 작은 범주
작은 범주 범주 \mathcal C에 대하여, 다음을 정의한다. * 만약 \operatorname{ob}(\mathcal C)와 \hom(\mathcal C)가 둘 다 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), \mathcal C를 **작은 범주**라고 한다. * 만약 임의의 X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여 \hom(X,Y)가 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), \mathcal C를 **국소적으로 작은 범주**(locally small category)라고 하며, 사상 모임을 **사상 집합**(寫像集合, hom-set)이라고 한다. 작은 범주가 아닌 범주를 **큰 범주**(large category)라고 한다. 집합과 함수의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다. 만약 그로텐디크 전체를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체 \mathcal U에 대하여, 다음과 같이 정의한다. * 만약 \operatorname{ob}(\mathcal C)\in\mathcal U이며 \hom(\mathcal C)\in\mathcal U인 경우, \mathcal C를 **\mathcal U-작은 범주**라고 한다. * 만약 임의의 X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여 \hom(X,Y)\in\mathcal U인 경우, \mathcal C를 **\mathcal U-국소적으로 작은 범주**라고 한다.
## 반대 범주
범주 \mathcal C가 주어졌을 때, 다음과 같은 **반대 범주**(反對範疇, opposite category) \mathcal C^{\operatorname{op를 정의할 수 있다. * \mathcal C^{\operatorname{op의 대상은 \mathcal C의 대상과 같다. * \mathcal C^{\operatorname{op에서, 대상 X에서 Y로 가는 사상은 \mathcal C에서, Y에서 X로 가는 사상이다. 즉, \hom_{\mathcal C^{\operatorname{op(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X)이다. 반대 범주에서는 전사 사상이 단사 사상으로, 곱이 쌍대곱으로, 극한이 쌍대극한으로 바뀐다. 만약 모노이드나 군, 환을 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 경우, 반대 범주의 개념은 반대 모노이드 · 반대군 · 반대환의 개념의 일반화이다.
# 예
각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다. {| class="wikitable" |- ! 기호 !! 대상 !! 사상 !! 사상 합성 !! 항등 사상 |- |\text{Set}||집합 || 함수 || 함수의 합성 || 항등 함수 |- |\text{Ord}||원순서 집합 || 단조함수|| 함수의 합성 || 항등 함수 |- |\text{Mag}||마그마 ||마그마 준동형||함수의 합성 || 항등 준동형 |- |\text{Grp}||군 ||군 준동형 사상||함수의 합성 || 항등 준동형 |- |\text{Ab}||아벨 군 ||군 준동형 사상||함수의 합성 || 항등 준동형 |- |\text{Ring}||환 ||환 준동형 사상||함수의 합성 || 항등 준동형 |- |\text{CRing}||가환환 ||환 준동형 사상||함수의 합성 || 항등 준동형 |- |\text{Rng}||유사환 ||유사환 준동형 사상||함수의 합성 || 항등 준동형 |- |R\text{-Mod} (R은 환) |R 위의 (왼쪽) 가군 |(왼쪽) 가군 준동형 사상 |함수의 합성 |항등 준동형 |- |\text{Vect}_K (K는 체) ||K 위의 벡터 공간||선형 변환||함수의 합성|| 항등 선형 변환 |- |\text{Top}||위상 공간||연속 함수||함수의 합성|| 항등 함수 |- |\text{Man}^\infty |매끄러운 다양체 |매끄러운 함수 |함수의 합성 |항등 함수 |- |\text{Cat}|| 작은 범주 ||함자|| 함자의 합성 || 항등 함자 |- |\text{Rel}||집합||관계||a\operatorname{({\sim}_2\circ{\sim}_1)}b\iff\exists c\colon a\sim_1 c\sim_2 b|| 등호 = |- |부분 순서 집합 (P,\le)||P의 원소 ||x\le y이면 \hom(x,y)=\\{(x,y)\\}, 아니면 \hom(x,y)=\varnothing||(y,z)\circ(x,y)=(x,z)||\operatorname{Id}_x=(x,x) |- |모노이드 (M,\cdot,1_M)||\operatorname{ob}(M)=\\{\bullet\\} (임의의 유일한 대상) ||M의 원소 || 모노이드 이항 연산 m\circ n=m\cdot n|| 모노이드 항등원 1_M |- | \mathcal C^{\operatorname{op (\mathcal C는 임의의 범주) ||\mathcal C의 대상 ||\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X)||f\circ_{\mathcal C^{\operatorname{op g=g\circ_{\mathcal C} f||\mathcal C의 항등 사상 |- |\mathcal D^{\mathcal C} (\mathcal C, \mathcal D 는 임의의 범주) |\mathcal C에서 \mathcal D로 가는 함자 |함자들 사이의 자연 변환 |자연 변환의 합성 |항등 자연 변환 |- | \mathbb 0|| 없음 (공집합) || 없음 (공집합) || || |- |\mathbb 1||\bullet (하나의 대상) ||\operatorname{id}_\bullet (하나의 사상) || ­||\operatorname{id}_\bullet |- |\mathbb 2||\\{0,1\\} (두 개의 대상) ||a\colon 0\to1, \operatorname{id}_0, \operatorname{id}_1 (세 개의 사상) || ||\operatorname{id}_0, \operatorname{id}_1 |}
# 역사
범주의 개념은 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1942~1945년 사이에 대수적 위상수학에서 영감을 얻어 도입하였다.쪽=231–294 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다. 18