극한

함수의 극한 범주론적 극한 다른 뜻 수렴 (경제학) 해석학 및 위상수학에서 **극한**(極限, limit) 또는 **극한값**(極限-)은 수열이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 기호는 \lim. **수렴**(收斂, convergence)은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. **발산**(發散, divergence)은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한은 그물의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, 함수의 극한은 필터의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물 사이의 대응 관계에 따라, 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다.
# 정의

## 필터
근방 필터 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 위상 공간 X * X의 부분 집합들의 필터 기저 \mathcal B\subset\mathcal P(X) * x\in X 만약 다음 조건이 성립한다면 **필터 기저 \mathcal B가 점 x로 수렴한다**(the filter base \mathcal F converges to the point x)고 하며, x를 \mathcal B의 **극한**이라고 한다. 이를 \mathcal B\to x라고 쓴다. * \mathcal N_x\subset\mathop\uparrow\mathcal B. 즉, 임의의 근방 U\ni x에 대하여, B\subset U인 B\in\mathcal B가 존재한다. (여기서 \mathcal N_x는 x의 근방 필터이며, \mathop\uparrow\mathcal B는 \mathcal B의 상폐포다.) 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 x가 \mathcal B의 **집적점**(集積點, cluster point)이라고 한다. * \textstyle x\in\bigcap_{B\in\mathcal B}\operatorname{cl}B. (여기서 \operatorname{cl}B는 B의 폐포다.) * \mathcal B'\to x이며 \mathop\uparrow\mathcal B\subset\mathop\uparrow\mathcal B'인 필터 기저 \mathcal B'\subset\mathcal P(X)가 존재한다. 모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 필터 기저 \mathcal B의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 그물 :\\{(b,B)\colon b\in B\in\mathcal B\\}\to X :(b,B)\mapsto b 의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서는 다음과 같다. :(b,B)\lesssim(b',B')\iff B\supset B'
## 그물과 점렬
그물 (수학) 수열의 극한 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 위상 공간 X * 그물 (x_i)_{i\in(I,\lesssim_I)}\subset X * x\in X 만약 다음 조건이 성립한다면, **그물 (x_i)_{i\in I}가 점 x로 수렴한다**(the net (x_i)_{i\in I} converges to the point x)고 하며, x를 (x_i)_{i\in I}의 **극한**이라고 한다. 이를 x_i\to x라고 쓴다. * 임의의 근방 U\ni x에 대하여, \forall i\gtrsim_Ii_0\colon x_i\in U인 i_0\in I가 존재한다. 특히, 실수열 (x_n)_{n\in\mathbb N}\subset\mathbb R의 경우 이 조건은 다음과 같다. * 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, \forall n\ge n_0\colon|x_n-x|0에 대하여, f((x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta))\subset(y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)인 양의 실수 \delta>0이 존재한다. X=\mathbb R가 실수선일 때, \mathcal D_{x_0} 대신 :\mathcal D_{x_0}^-=\\{U\cap(-\infty,x_0)\colon U\in\mathcal N_{x_0}\\} :\mathcal D_{x_0}^+=\\{U\cap(x_0,\infty)\colon U\in\mathcal N_{x_0}\\} 을 사용하면 f의 x_0에서의 **좌극한**(左極限, left limit)·**우극한**(右極限, right limit)의 개념을 얻는다.
# 성질

## 존재와 유일성
필터는 극한을 가지지 않을 수 있으며, 여러 개의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어, 무한 이산 공간 속 쌍대 유한 집합들의 필터는 집적점을 가지지 않는다. 비이산 공간의 모든 필터는 모든 점으로 수렴한다. 주어진 위상 공간의 모든 부분 집합들은 자명하게 필터를 이루며, 이는 위상 공간 속 모든 점으로 수렴한다. 위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다. * 모든 필터는 집적점을 갖는다. * 콤팩트 공간이다. 특히, 콤팩트 공간의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다. 하지만 콤팩트 공간의 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 가질 필요는 없다. 이 조건은 점렬 콤팩트 공간이라고 불리며, 어느 한 조건도 다른 한 조건을 함의하지 않는다. 위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다. * 모든 (자명하지 않은) 수렴 필터의 극한은 유일하다. * 하우스도르프 공간이다. 특히, 하우스도르프 공간 속 수렴 점렬의 극한은 유일하며, 이는 하우스도르프 조건보다 약한 조건이다. 이에 따라, 하우스도르프 공간 속 극한은 연산자의 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\lim\mathcal F=x :\lim_{x\in I}x_i=x :\lim_{n\to\infty}x_n=x :\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0 (일부 저자는 극한이 유일하지 않은 경우에도 위와 같은 표기를 사용한다.)
## 시작 위상
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 집합 X * 위상 공간들의 족 (Y_i)_{i\in I} * 함수족 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I} * X의 부분 집합들의 필터 기저 \mathcal B\subset\mathcal P(X) * x\in X 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다. * X 위에 모든 f_i들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 시작 위상을 부여하였을 때, \mathcal B\to x * 임의의 i\in I에 대하여, f_i(\mathcal B)\to f_i(x) 특수한 경우들은 다음과 같다.
### 부분 공간
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 위상 공간 X * 부분 집합 Y\subset X * Y의 부분 집합들의 필터 기저 \mathcal B\subset\mathcal P(Y) * y\in Y 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다. * \mathcal B\to y * X에서 \mathcal B\to y 즉, 부분 집합에서의 수렴은 모공간에서의 수렴과 일치한다.
### 곱공간
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 위상 공간들의 집합 (X_i)_{i\in I}. \textstyle X=\prod_{i\in I}X_i가 그 곱공간, \pi_i\colon X\to X_i가 사영 함수들이라고 하자. * X의 부분 집합들의 필터 기저 \mathcal B\subset\mathcal P(X) * x\in X 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다. * \mathcal B\to x * 임의의 i\in I에 대하여, \pi_i(\mathcal B)\to x_i 즉, 곱공간에서의 수렴은 성분별 수렴이다.
## 이중 극한
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 위상 공간 X_1, X_2 * 정칙 하우스도르프 공간 Y * 함수 f\colon X_1\times X_2\to Y * a_i\in X_i (i=1,2) 이들이 다음 두 조건 만족시킨다고 하자. * 극한 \lim_{(x_1,x_2)\to(a_1,a_2)}f(x_1,x_2)이 존재한다. * 임의의 x_1\in X_1에 대하여, 극한 \lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2)이 존재한다. 그렇다면, 이중 극한 :\lim_{x_1\to a_1}\lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2) 이 존재하며, :\lim_{x_1\to a_1}\lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2)=\lim_{(x_1,x_2)\to(a_1,a_2)}f(x_1,x_2) 이다. 증명 :b=\lim_{(x_1,x_2)\to(a_1,a_2)}f(x_1,x_2)\in Y :\forall x_1\in X\colon g(x_1)=\lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2) 이라고 하자. 임의의 근방 V\ni b에 대하여, 근방 U_1\ni a_1 및 U_2\ni a_2이 존재하며, :\forall x_1\in U_1\forall x_2\in U_2\colon f(x_1,x_2)\in V 가 성립한다. 여기에 x_2\to a_2를 취하면 :\forall x_1\in U_1\colon g(x_1)\in\operatorname{cl}V 를 얻는다. 정칙성에 따라, b의 닫힌 근방들은 국소 기저를 이룬다. 따라서, :\lim_{x_1\to a_1}g(x_1)=b 이다. 증명 끝