내적 공간

스칼라곱 내적을 사용하여 정의한, 두 벡터 사이의 각도의 기하학적 해석 선형대수학과 함수해석학에서 **내적 공간**(內積空間, inner product space)은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 벡터 공간이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 길이나 각도 등의 개념을 다룰 수 있다. 스칼라곱을 갖춘 유클리드 공간의 일반화이다.
# 정의
\mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자. \mathbb K-벡터 공간 V 위의 **내적**(內積, inner product)은 양의 정부호 에르미트 반쌍선형 형식이다. (실수의 경우 이는 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식과 같다.) 즉, 다음 조건들을 만족시키는 함수 :\langle\cdot,\cdot\rangle\colon V\times V\to\mathbb K :\langle\cdot,\cdot\rangle\colon(u,v)\mapsto\langle u,v\rangle 이다. * (양의 정부호성) 임의의 0\ne v\in V에 대하여, \langle v,v\rangle>0 * (에르미트성) 임의의 u,v\in V에 대하여, \langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle} * (왼쪽 선형성) 임의의 a,b\in\mathbb K 및 u,v,w\in V에 대하여, \langle au+bv,w\rangle=a\langle u,w\rangle+b\langle v,w\rangle 이들 성질로부터 내적의 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다. * (오른쪽 반쌍선형성) 임의의 a,b\in \mathbb{K} 및 u,v,w\in V에 대하여, \langle w,au+bv\rangle=\bar a\langle w,u\rangle+\bar b\langle w,v\rangle 내적이 주어진 \mathbb K-벡터 공간 (V,\langle\cdot,\cdot\rangle)을 **\mathbb K-내적 공간**이라고 한다. 특히 \mathbb K = \mathbb C인 경우, 즉 복소수체 위의 내적 공간은 **유니터리 공간**(unitary space)이라고 부르기도 한다.
# 성질

## 노름 구조
\mathbb K-내적 공간 V 위에 자연스러운 \mathbb K-노름 공간 구조를 다음과 같이 줄 수 있다. :\Vert v\Vert=\sqrt{\langle v,v\rangle} 증명 노름의 양의 정부호성과 양의 동차성은 내적의 정의에 따라 자명하다. 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식의 따름정리이며, 그 증명은 다음과 같다. 임의의 벡터 u,v\in V에 대하여, :\begin{align}\Vert u+v\Vert^2 &=\Vert u\Vert^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\Vert v\Vert^2\\\ &\le\Vert u\Vert^2+2\Vert u\Vert\Vert v\Vert+\Vert v\Vert^2\\\ &=(\Vert u\Vert+\Vert v\Vert)^2 \end{align} 이므로, :\Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert 증명 끝 반대로, \mathbb K-노름 공간이 \mathbb K-내적 공간으로부터 유도될 필요충분조건은 평행 사변형 법칙 :2\Vert u\Vert^2+2\Vert v\Vert^2=\Vert u+v\Vert^2+\Vert u-v\Vert^2\qquad\forall u,v\in V 이다. 이 경우, 가능한 유일한 내적은 다음과 같으며, 이를 **극화 항등식**(極化恒等式, polarization identity)이라고 한다. :\langle u,v\rangle=\begin{cases} \frac14\Vert u+v\Vert^2-\frac14\Vert u-v\Vert^2&\mathbb K=\mathbb R\\\ \frac14\Vert u+v\Vert^2-\frac14\Vert u-v\Vert^2+\frac i4\Vert u+iv\Vert^2-\frac i4\Vert u-iv\Vert^2&\mathbb K=\mathbb C \end{cases} 증명 실수 내적 공간의 경우만을 증명하자. 극화 항등식이 정의한 내적이 다음 네 가지를 보이는 것으로 족하다. :\langle v,v\rangle>0\qquad\forall0\ne v\in V :\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle\qquad\forall u,v\in V :\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle\qquad\forall u,v,w\in V :\langle au,v\rangle=a\langle u,v\rangle\qquad\forall a\in\mathbb R,\;u,v\in V 첫째와 둘째 조건은 자명하다. 셋째 조건은 다음과 같이 증명된다. :\begin{align}\langle u+v,w\rangle &=\frac14(\Vert u+v+w\Vert^2-\Vert u+v-w\Vert^2)\\\ &=\frac14\left(\Vert u+w\Vert^2+\Vert v+w\Vert^2+\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2-\frac12\Vert u-v+w\Vert^2-\frac12\Vert v-u+w\Vert^2\right)\\\ &\qquad-\frac14\left(\Vert u-w\Vert^2+\Vert v-w\Vert^2+\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2-\frac12\Vert u-v-w\Vert^2-\frac12\Vert v-u-w\Vert^2\right)\\\ &=\frac14(\Vert u+w\Vert^2-\Vert u-v\Vert^2)-\frac14(\Vert v+w\Vert^2-\Vert v-w\Vert^2)\\\ &=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle \end{align} 넷째 조건의 a\in\mathbb N의 경우는 다음과 같이 증명된다. :\langle au,v\rangle=\langle\underbrace{u+\cdots+u}_a,v\rangle=\underbrace{\langle u,v\rangle+\cdots+\langle u,v\rangle}_a=a\langle u,v\rangle 또한, a\in\mathbb Z일 경우의 증명은 다음과 같다. :0=\langle 0,v\rangle=\langle au-au,v\rangle=\langle au,v\rangle+\langle-au,v\rangle=\langle au,v\rangle-a\langle u,v\rangle 만약 a\in\mathbb Q일 경우, a=p/q (p,q\in\mathbb Z,\;q\ne0)이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 증명된다. :q\langle au,v\rangle=\langle qau,v\rangle=\langle pu,v\rangle=p\langle u,v\rangle 마지막으로, a\in\mathbb R일 경우는 u,v\in V를 고정하였을 때 a\mapsto\langle au,v\rangle-a\langle u,v\rangle가 연속 함수임에 따라 성립한다. 증명 끝
## 코시-슈바르츠 부등식
코시-슈바르츠 부등식 내적 공간 V의 벡터 v\in V에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 **코시-슈바르츠 부등식**이라고 한다. :|\langle u,v\rangle|\le\Vert u\Vert\Vert v\Vert :|\langle u,v\rangle|=\Vert u\Vert\Vert v\Vert\iff\operatorname{rank}\\{u,v\\}<2 이에 따라, 두 벡터 u,v\in V 사이의 각도를 다음과 같이 정의할 수 있다. :\arccos\frac{\operatorname{Re}\langle u,v\rangle}{\Vert u\Vert\Vert v\Vert} 또한, 내적이 유도하는 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 통해 증명된다.
## 정규 직교 기저
힐베르트 공간의 개념 내적 공간 V의 **정규 직교 기저**(正規直交基底, orthonormal basis)는 서로 다른 두 벡터의 내적이 항상 0인 단위 벡터들이 이루는 기저이다. 즉, 이는 다음 조건들을 만족시키는 기저 B\subseteq V이다. * (직교성) 만약 e,e'\in B이며 e\ne e'라면, \langle e,e'\rangle=0 * (정규성) 임의의 e\in B에 대하여, \Vert e\Vert=1 유한 차원 내적 공간의 정규 직교 기저는 항상 존재한다. 이는 그람-슈미트 과정을 통해 구성할 수 있다. 내적 공간 V의 벡터 v\in V의 정규 직교 기저 B에 대한 좌표는 다음과 같다. :v=\sum_{e\in B}\langle v,e\rangle e 또한, 이 좌표 아래 내적을 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\langle u,v\rangle=\sum_{e\in B}\langle u,e\rangle\overline{\langle v,e\rangle} 내적 공간 V 속의 유한 정규 직교 집합 S\subseteq V\setminus\\{0\\} 및 벡터 v\in V에 대하여, 베셀 부등식과 유사한 꼴의 다음과 같은 부등식이 성립한다. :\sum_{e\in S}|\langle v,e\rangle|^2\le\Vert v\Vert^2 :\sum_{e\in S}|\langle v,e\rangle|^2=\Vert v\Vert^2\iff v=\sum_{e\in S}\langle v,e\rangle e
## 선형 범함수
유한 차원 내적 공간 V의 모든 선형 범함수는 어떤 유일한 고정된 벡터 v\in V와의 내적 :V\to\mathbb K :u\mapsto\langle u,v\rangle 이다. 구체적으로, 정규 직교 기저 B\subseteq V가 주어졌을 때, 선형 범함수 f\colon V\to F를 나타내는 벡터는 다음과 같다. :v=\sum_{e\in B}\overline{f(e)}e 이에 따라, 유한 차원 내적 공간의 선형 변환 T\colon V\to V의 수반 선형 변환 T^*\colon V\to V은 다음과 같이 항상 존재한다. :\langle Tu,v\rangle=\langle u,T^*v\rangle\qquad\forall u,v\in V 그러나 무한 차원 내적 공간의 경우 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 \mathbb C[x]에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다. :\langle p,q\rangle=\int_a^b p(x)\overline{q(x)}dx=\sum_{k=0}^{\deg p}\sum_{k'=0}^{\deg q}\frac{p_k\overline{q_{k'{k+k'+1} 이 경우, 임의의 c\in\mathbb C가 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수는 고정된 벡터와의 내적으로 나타낼 수 없다. :\mathbb C[x]\to\mathbb C :p\mapsto p(c) 또한 미분 선형 변환 :D\colon\mathbb C[x]\to\mathbb C[x] :D\colon x^n\mapsto nx^{n-1}\qquad n=0,1,2,\dots 의 수반 선형 변환은 존재하지 않는다.
# 예

## 유한 차원 벡터 공간 위의 내적
n차원 \mathbb K-벡터 공간 \mathbb K^n 위의 표준적인 내적은 다음과 같다. :\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^nx_k\overline{y_k} \mathbb K=\mathbb R일 때, \mathbb R^n은 유클리드 공간이며, 이 내적은 스칼라곱이라고 부른다. 이 경우 실수의 켤레 복소수는 스스로와 일치한다 (\overline{y_k}=y_k). 이 내적이 유도하는 노름은 L2 노름이다. 그러나 p\ne2의 경우, Lp 노름은 평행 사변형 법칙을 만족시키지 않으므로 내적으로부터 유도될 수 없다. 특히, n=1인 경우 \mathbb K는 1차원 벡터 공간이며, 위 내적은 단순히 :\langle x,y\rangle=x\overline{y} 이다. 마찬가지로, 실수 또는 복소수 성분 행렬들의 집합 \operatorname{Mat}(m,n;\mathbb K)은 mn차원 벡터 공간을 이룬다. 이 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다. :\langle X,Y\rangle=\operatorname{tr}(X^\dagger\bar Y)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nX_{ij}\overline{Y_{ij 이를 프로베니우스 내적이라고 한다. 보다 일반적으로, 양의 정부호 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb K)에 대하여, \mathbb K^n 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다. :\langle x,y\rangle=x^\operatorname TM\bar y=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nM_{ij}x_i\overline{y_j}
## 함수 공간
연속 함수의 공간 \mathcal C([a,b];\mathbb K)에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다. :\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}dx 여기서 우변의 적분은 리만 적분이다. 또한, 다음과 같은 내적을 정의할 수도 있다. :\langle f,g\rangle=\int_a^bx^2f(x)\overline{g(x)}dx 가측 함수 (\Omega,\Sigma,\mu)\to\mathbb K들의 (거의 어디서나 같음에 대한) 동치류들로 구성된 \mathbb K-벡터 공간 \operatorname L^2(\Omega;\mathbb K) 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다. :\langle f,g\rangle=\int_a^b f\overline{g}d\mu 여기서 우변은 르베그 적분이다. 이를 L2 공간이라고 한다. 특히, (\Omega,\Sigma,\mu)가 확률 공간일 때, \operatorname L^2(\Omega;\mathbb K)은 확률 변수들의 동치류들로 이루어지며, 적분은 기댓값이다. 따라서, 두 확률 변수 X,Y\colon\Omega\to\mathbb K의 내적은 다음과 같다. :\langle X,Y\rangle=\operatorname E(X\overline{Y}) 가측 함수나 확률 변수의 동치류를 취하는 것은 내적을 양의 정부호적이게 만들기 위함이다. 예를 들어, \langle X,X\rangle=0일 필요충분조건은 거의 확실하게 X=0인 것이다 (\mu(X=0)=1). 따라서, 스스로와의 내적이 0인 경우가 0밖에 없으려면 거의 어디서나 같은 함수들을 하나의 동치류로 뭉뚱그려야 한다.