뇌터 환

환론에서 **뇌터 환**(Noether環, Noetherian ring)은 아이디얼들이 오름 사슬 조건을 만족하는 환이다. 대략, 체 위의 유한 개의 변수에 대한 다항식환처럼, "지나치게 크지 않은" 환을 뜻한다.
# 정의

## 뇌터 가군
범주 \mathcal C 속의 대상 X\in\mathcal C의 부분 대상들의 부분 순서 집합 \operatorname{Sub}(X)가 오름 사슬 조건을 만족시킨다면, X를 **뇌터 대상**(Noetherian object)이라고 한다.언어=en146 환 R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 **왼쪽 뇌터 가군**(left Noetherian module)이라고 한다. * M은 왼쪽 가군 범주 _R\operatorname{Mod} 속의 뇌터 대상이다. 즉, M의 부분 가군들의 격자 \operatorname{Sub}(M)가 오름 사슬 조건을 만족시킨다.20 * M의 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군 N\subseteq M에 대하여 N=Rm_1+\cdots+Rm_k인 m_1,\dots,m_k\in M이 존재한다.언어=en20, (1.18) **오른쪽 뇌터 가군**(right Noetherian module) 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 오른쪽 가군으로 정의할 수 있다. 가환환 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.
## 뇌터 환
환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **왼쪽 뇌터 환**(left Noetherian ring)이라고 한다. * _RR는 뇌터 왼쪽 가군이다. (즉, 왼쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다. 또는, 모든 왼쪽 아이디얼은 유한 생성 아이디얼이다.) * 모든 R-유한 생성 왼쪽 가군은 뇌터 가군이다.21, Proposition 1.21 * R-왼쪽 아이디얼들로 구성된, 공집합이 아닌 임의의 집합은 (부분 집합 관계에 대하여) 적어도 하나 이상의 극대 원소를 갖는다.19 * (배스-파프 정리 Bass–Papp theorem) R의 단사 왼쪽 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.언어=en80–81, Theorem 3.46 * (배스-파프 정리) R의 단사 왼쪽 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.80–81, Theorem 3.46 * (배스-파프 정리) R의 가산 개의 단사 왼쪽 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.80–81, Theorem 3.46 마찬가지로 **오른쪽 뇌터 환**(right Noetherian ring)을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 **(양쪽) 뇌터 환**((two-sided) Noetherian ring)이라고 한다. 가환환의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **뇌터 가환환**(Noetherian commutative ring)이라고 한다. * 왼쪽 뇌터 환이다. * 오른쪽 뇌터 환이다. * 양쪽 뇌터 환이다. * 그 스펙트럼 \operatorname{Spec}R는 뇌터 스킴이다.83, Proposition II.3.2 * 그 스펙트럼 \operatorname{Spec}R는 국소 뇌터 스킴이다. * (코언 정리 Cohen’s theorem) 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R이 유한 생성 아이디얼이다.언어=en
## 뇌터 스킴
스킴 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 **국소 뇌터 스킴**(局所-, locally Noetherian scheme)이라고 한다. * 뇌터 가환환들의 스펙트럼들로 구성된 열린 덮개가 존재한다.83 * 모든 아핀 열린집합은 뇌터 가환환의 스펙트럼이다.83, Proposition II.3.2url-status = dead58, Exercise 2.3.16 스킴 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 **뇌터 스킴**(Noetherian scheme)이라고 한다. * 뇌터 가환환들의 스펙트럼으로 구성된 유한 열린 덮개가 존재한다.issn=0072-528583 * 국소 뇌터 스킴이며, (위상 공간으로서) 콤팩트 공간이다.
# 성질

## 뇌터 가군의 성질
환 R 위의 왼쪽 가군 _RM 및 그 부분 가군 N\subseteq M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.20, (1.20) * M이 뇌터 가군이다. * N과 M/N 둘 다 뇌터 가군이다. (아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.) 환 R 위의 왼쪽 가군 M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.20, (1.19) * M은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다. * M은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k=M이 존재하며, M_i/M_{i-1}은 모두 단순 가군이다. 특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
## 뇌터 환의 성질
다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :유한환 ⊊ 왼쪽 아르틴 환 ⊊ 왼쪽 뇌터 환 :유한환 ⊊ 오른쪽 아르틴 환 ⊊ 오른쪽 뇌터 환 만약 R가 왼쪽 뇌터 환이라면, 다음 환들 역시 왼쪽 뇌터 환이다. * (힐베르트 기저 정리) 유한 개의 변수에 대한 다항식환 R[x_1,x_2,\dots,x_k] * 임의의 양쪽 아이디얼 \mathfrak a\vartriangleleft R에 대하여, 몫환 R/\mathfrak a 만약 R가 뇌터 가환환이라면, 다음 가환환들 역시 뇌터 가환환이다. * 형식적 멱급수환 Rx_1,x_2,\dots,x_k * 임의의 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 국소화 S^{-1}R 환 S의 부분환 R\subseteq S가 주어졌으며, R가 가환환이며, _RS가 R-유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다. * S가 왼쪽 뇌터 환이다. * R가 뇌터 환이다. 그러나 만약 R가 가환환이 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다. 뇌터 가환환의 경우, 크룰 높이 정리가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)
## 뇌터 스킴의 성질
국소 뇌터 스킴의 줄기는 모두 뇌터 국소환이다.55, Proposition 2.3.46(a) (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 구조층은 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 준분리 스킴이다 (즉, 국소 뇌터 스킴 X에 대하여, 유일한 스킴 사상 X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z는 준분리 사상이다). 뇌터 스킴은 뇌터 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. X가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다. * X 위의 국소 유한형 스킴 Y\to X * X의 닫힌 부분 스킴 * X의 열린 부분 스킴 X가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다. * X 위의 유한형 스킴 Y\to X96, Exercise 3.2.1 * X의 닫힌 부분 스킴55, Proposition 2.3.46(a) * X의 열린 부분 스킴55, Proposition 2.3.46(a) 특히, 체 위의 대수다양체는 뇌터 스킴이다.
# 예
모든 데데킨트 정역은 뇌터 환이다. (따라서, 모든 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 체, 이산 값매김환은 데데킨트 정역이므로 뇌터 가환환이다.) 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다. 반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 뇌터 환이 아닌 값매김환이 존재한다.
## 뇌터 벡터 공간
체 K 위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 뇌터 가군이다. * 아르틴 가군이다. * 유한 차원 벡터 공간이다.
## 뇌터 군환
임의의 군 G 및 환 R에 대하여, 군환 R[G]를 생각하자. 이는 환을 이루며, 만약 R가 가환환이라면 R-결합 대수를 이룬다. 만약 R가 가환환이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * R[G]는 왼쪽 뇌터 환이다. * R[G]는 오른쪽 뇌터 환이다. 이는 가환환 위의 군환의 경우, 왼쪽 아이디얼들과 오른쪽 아이디얼들이 R-결합 대수 준동형 :R[G]\to R[G]^{\operatorname{op :g\mapsto g^{-1}\qquad(\forall g\in G) 에 따라 일대일 대응하기 때문이다. 임의의 군 G 및 환 R가 주어졌다고 하자. 만약 R[G]가 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이라면, R는 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이며, G는 뇌터 군이다. 반대로, 만약 R가 뇌터 가환환이며, G가 뇌터 가해군의 유한군에 의한 확대라면, R[G]는 양쪽 뇌터 환이다. 일반적인 뇌터 환과 뇌터 군 위의 군환은 뇌터 환이 아닐 수 있다. 사실, 다음 두 조건을 만족시키는 군 G가 존재한다.zbl=0732.20019423, Theorem 38.1 * G는 뇌터 군이다. * 임의의 뇌터 가환환 R에 대하여, R[G]는 양쪽 뇌터 환이 아니다. 부제=뇌터 군환의 환과 군의 뇌터성 R가 환, G가 군이며, R[G]가 그 군환이라고 하자. 엄격하게 상승하는 R의 왼쪽 아이디얼들의 열 :\mathfrak a_0\subsetneq\mathfrak a_1\subsetneq\mathfrak a_2\subsetneq\cdots 이 주어졌을 때, :\mathfrak a_0[G]\subsetneq\mathfrak a_1[G]\subsetneq\mathfrak a_2[G]\subsetneq\cdots 는 엄격하게 상승하는 R[G]의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 만약 :H_0\subsetneq H_1\subsetneq H_2\subsetneq\cdots 가 엄격하게 상승하는 G의 부분군들의 열이라면, :\mathfrak b_0\subsetneq\mathfrak b_1\subsetneq\mathfrak b_2\subsetneq\cdots :\mathfrak b_i=\left\\{\sum_{g\in G}r_gg\in R[G]\colon\forall gH_i\in G/H_i\colon\sum_{h\in gH_i}r_h=0\right\\} 는 엄격하게 상승하는 R[G]의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 따라서, 만약 R[G]가 왼쪽 뇌터 환이라면, R는 엄격하게 상승하는 왼쪽 아이디얼들의 열을 갖지 않으며, G는 엄격하게 상승하는 부분군들의 열을 갖지 않는다. 즉, R는 왼쪽 뇌터 환이며, G는 뇌터 군이다. 증명 끝
## 뇌터 비트 환
표수 2가 아닌 체 K에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.lccn=200406228132, Corollary 2.4 * 비트-그로텐디크 환 \operatorname{WG}(K)는 뇌터 가환환이다. * 비트 환 \operatorname{Witt}(K)는 뇌터 가환환이다. * 제곱 유군 K^\times/(K^\times)^2은 유한군이다. 증명 **첫째 조건 ⇒ 둘째 조건.** 뇌터 가환환의 몫환은 뇌터 가환환이다. **둘째 조건 ⇒ 셋째 조건.** \operatorname{Witt}(K)가 뇌터 가환환이므로, 그 기본 아이디얼 \mathfrak i(K)는 유한 생성 \operatorname{Witt}(K)-가군이며, \mathfrak i(K)/\mathfrak i(K)^2는 유한 생성 \operatorname{Witt}(K)/\mathfrak i(K)-가군이다. 그런데 \mathfrak i(K)는 전사 환 준동형 :\operatorname{Witt}(K)\to\mathbb Z/(2) :(V,Q)\mapsto\dim_KV\bmod2 의 핵이므로, \operatorname{Witt}(K)/\mathfrak i(K)는 \mathbb Z/(2)와 동형이다. 따라서, \mathfrak i(K)/\mathfrak i(K)^2는 유한 집합이다. 마찬가지로, 기본 아이디얼의 제곱 \mathfrak i(K)^2은 전사 환 준동형 :\mathfrak i(K)\to K^\times/(K^\times)^2 :(V,Q)\mapsto(-1)^{(\dim_KV)/2}\det Q 의 핵이므로, \mathfrak i(K)/\mathfrak i(K)^2는 K^\times/(K^\times)^2와 동형이며, K^\times/(K^\times)^2는 유한군이다. **셋째 조건 ⇒ 첫째 조건.** 표수 2가 아닌 체 위의 이차 형식은 항상 대각화 가능하므로, \operatorname{WG}(K)의 모든 원소는 1차원 이차 형식 :(K^1,ax^2)\qquad(a\in K^\times/(K^\times)^2) 들 및 그 형식적 덧셈 역원 :-(K^1,ax^2)\qquad(a\in K^\times/(K^\times)^2) 들의 합이다. 가정에 따라 K^\times/(K^\times)^2이 유한군이므로, \operatorname{WG}(K)의 덧셈 아벨 군은 유한 생성 아벨 군이며, \operatorname{WG}(K)는 뇌터 가환환이다. 증명 끝
## 오른쪽 뇌터 환이 아닌 왼쪽 뇌터 환
무한 차수의 체의 확대 :L/K :\dim_KL\ge\aleph_0 가 주어졌다고 하자. (예를 들어, L/K=\mathbb R/\mathbb Q를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각환 :\begin{pmatrix}L&L;\\\0&K;\end{pmatrix}=\left\\{\begin{pmatrix}a&b;\\\0&c;\end{pmatrix}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\\} 를 생각하자. 이는 왼쪽 뇌터 환이자 왼쪽 아르틴 환이지만, 오른쪽 뇌터 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니다.22, Corollary 1.24
## 뇌터 환의 부분환인 비뇌터 환
D가 뇌터 환이 아닌 임의의 정역이라고 하자. 그렇다면, 그 분수체 \operatorname{Frac}(D)는 (체이므로) 뇌터 환이며, D는 그 부분환이다. 삼각환 R=(\begin{smallmatrix}\mathbb Z&\mathbb Q\\\0&\mathbb Q\end{smallmatrix})은 오른쪽 뇌터 환이며, 양쪽 뇌터 환 S=(\begin{smallmatrix}\mathbb Q&\mathbb Q\\\0&\mathbb Q\end{smallmatrix})의 부분환이지만, 왼쪽 뇌터 환이 아니다.20, Corollary 1.23)
## 뇌터 조건의 비국소성
임의의 무한 기수 \kappa\ge\aleph_0에 대한 직접곱 R=\mathbb F_2^\kappa을 생각하자. 이는 뇌터 환이 아니다. 반면, 임의의 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R에서의 국소화 R_{\mathfrak p}\cong\mathbb F_2는 뇌터 환이다.
# 역사
에미 뇌터는 1921년 논문url-status=dead에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다.