측도

인천광역시의 섬 측도(測島) 수학에서 **측도**(測度, measure)는 특정 부분 집합에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다.zbl=1231.28001 측도의 개념은 유한 집합의 원소의 수 · 실수 구간의 길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 **측도 공간**(測度空間, measure space)이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 **측도론**(測度論, measure theory)이라고 한다.
# 정의

## 측도
불 대수의 두 원소 x,y\in B에 대하여, x\land y=\bot라면 두 원소가 **서로소**(-素, disjoint)라고 한다. 임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 (비가산일 수 있는) 집합 S\subseteq[0,\infty]의 합을 다음과 같이 정의하자.settheory0000jech_f7i4129, (10.10) :\sum S=\sup_\scriptstyle S'\subseteq S\atop\scriptstyle|S'|\aleph_1에 대하여, \kappa-가법 유한 측도는 가산 가법 유한 측도와 동치이다. 이는 유한 가법 유한 측도를 갖는 불 대수는 가산 사슬 조건(즉, 서로소 원소들의 비가산 집합을 갖지 않음)을 만족시키기 때문이다.doi=10.1007/978-94-017-0936-124, §3.3, Theorem 5

**증명:**

불 대수 B가 유한 가법 유한 측도 \mu\colon B\to[0,\infty]를 갖는다고 하자. 귀류법을 사용하여, B가 서로소 원소들의 비가산 집합 S\subseteq B를 갖는다고 하자. :S_i=\left\\{s\in S\colon \mu(s)\ge\frac 1i\right\\}\qquad(i\in\mathbb Z^+) 라고 하자. 그렇다면 \textstyle S\setminus\\{\bot_B\\}=\bigcup_{i=1}^\infty S_i이므로 |S_{i_0}|\ge\aleph_0인 i_0\in\mathbb Z^+가 존재한다. 따라서, : \mu(\top_B) \ge\sup_{\scriptstyle{S'\subseteq S_{i_0}\atop|S'|\mu(\top_B) 이며, 이는 모순이다.

시그마 대수 \Sigma 위의 가산 가법 측도 \mu에 대하여, 만약 :\bigvee \mathcal S=\top_\Sigma :\forall S\in\mathcal S\colon\mu(S)0이라면, 00 * 임의의 S'에 대하여, \mu(S')=0 원자를 갖지 않는 측도를 **비원자적 측도**(非原子的測度, nonatomic measure)라고 한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * \Sigma는 (추상적) 시그마 대수이다. * \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]는 그 위의 비원자적 가산 가법 측도이다. 또한, \mu(\top_\Sigma)>0이다. 그렇다면, **비원자적 측도에 대한 중간값 정리**(intermediate-value theorem for nonatomic measures)에 따르면, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 f\colon[0,\mu(\top_\Sigma)]\to\Sigma가 존재한다. * f는 증가 함수이다. 즉, 임의의 0\le a\le b\le\mu(\top_\Sigma)에 대하여 f(a)\le f(b)이다. * f는 \mu의 오른쪽 역함수이다. 즉, 임의의 a\in[0,\mu(\top_\Sigma)]에 대하여 \mu(f(a))=a이다.

**증명:**

증명은 다음과 같다. * ① 어떤 부분 정의 함수들의 부분 순서 집합 \Gamma는 극대 원소 f_\max를 갖는다. * ② 그 정의역 \operatorname{dom}f_\max은 조밀 순서 집합이다. * ③ \operatorname{dom}f_\max=[0,\mu(\top_\Sigma)]이다. ① 부분 정의 함수들의 집합 :\Gamma\subseteq\bigsqcup_{D\subseteq[0,\mu(\top_\Sigma)]}\Sigma^D 이 정의에 등장하는 두 조건을 만족시키는 (즉, 증가 함수이며 \mu의 오른쪽 역함수인) 부분 정의 함수들로 구성되었다고 하자. 이 위에 통상적인 부분 순서 :f\le f'\iff(D\subseteq D')\land(f=f'\restriction D)\qquad(f\in \Sigma^D,\;f'\in\Sigma^{D'}) 를 주자. 그렇다면, \Gamma는 닫힌 부분 순서 집합임을 쉽게 확인할 수 있으며, 초른 보조정리에 의하여 극대 원소 f_\max\in\Gamma를 갖는다. ② 귀류법을 사용하여, 임의의 a,b\in\operatorname{dom}f_\max에 대하여, a이며 (a,b)\subseteq[0,\mu(\top_\Sigma)]\setminus\operatorname{dom}f_\max라고 하자. 그렇다면, f(b)\land\lnot f(a)\in\Sigma는 \mu의 원자가 되어 가정에 모순된다. ③ 귀류법을 사용하여, C=[0,\mu(\top_\Sigma)]\setminus\operatorname{dom}f_\max\ne\varnothing이라고 하자. C 속에 포함되는 열린구간들의 족은 초른의 보조 정리에 의하여 극대 원소 (a,b)\subseteq C를 갖는다. 극대 원소의 정의에 따라, a로 수렴하는 증가 수열 :a_0,a_1,\dots\in[0,a]\cap \operatorname{dom}f_\max 과 b로 수렴하는 감소 수열 :b_0,b_1,\dots\in[b,\mu(\top_\Sigma)]\cap \operatorname{dom}f_\max 가 존재한다. 이제, :S_-=\bigvee_{i=0}^\infty f(a_i)\in\Sigma :S_+=\bigwedge_{i=0}^\infty f(b_i)\in\Sigma 를 정의하면, :a\le\mu(S_-)\le\mu(S_+)\le b 가 되므로, \\{\mu(S_-),\mu(S_+)\\}\subseteq\operatorname{dom}f_\max이며, ②에 따라 c\in(\mu(S_-),\mu(S_+))\cap \operatorname{dom}f_\max\subseteq C\cap\operatorname{dom}f_\max=\varnothing가 존재하는데, 이는 모순이다.

따라서, 이러한 \Sigma의 크기는 2^{\aleph_0} 이상이며, 만약 어떤 집합 X에 대하여 \Sigma\subseteq\operatorname{Pow}(X)라면 X의 크기 역시 2^{\aleph_0} 이상이다.
# 분류
가산 가법 측도 대수 \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]가 다음 조건을 만족시킨다면 **동질 측도 대수**(同質測度代數, homogeneous measure algebra)라고 한다. * 임의의 두 S,T\in\Sigma에 대하여, 만약 \mu(S),\mu(T)>0일 경우, \operatorname{wt}(\mu\restriction\downarrow\\{S\\})=\operatorname{wt}(\mu\restriction\downarrow\\{T\\})이다. 여기서 \operatorname{wt}는 (유사 거리 공간으로서의) 무게이며, \downarrow는 하집합을 뜻하며, \restriction은 하집합에 제한하여 얻는 측도 대수를 뜻한다. **마하람 정리**(Maharam’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. * 모든 가산 가법 측도 대수는 가산 개의 동질 측도 대수들의 직합이다.280, Theorem 9.3.5(i)언어=en109, Theorem 1 * 모든 동질 측도 대수에 대하여, 만약 확률 측도 대수라면, 어떤 기수 \kappa에 대하여 P(\kappa)와 동형이다.280, Theorem 9.3.5(ii)111, Theorem 2 여기서, P(\kappa)는 곱공간 [0,1]^\kappa의 측도 대수이다. 즉, 닫힌구간 [0,1] 위에 르베그 측도를 부여한 뒤, \kappa개의 곱측도를 취하고, 영집합 시그마 아이디얼에 대한 몫을 취하여 얻는 측도 대수이다.
# 예

## 집합 위의 측도
임의의 불 대수 B 위에서, 값 0을 갖는 상수 함수는 항상 유한 가법 측도를 이루며, 만약 B가 \kappa-완비 불 대수라면 이는 \kappa-가법 측도이다. **셈측도**는 집합의 원소 개수를 의미하는 측도이다. 이는 유한 집합 위에 사용되는 통상적인 측도이다. **디랙 측도**(Dirac measure)는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 a \in X에 대해, 디랙 측도 \delta_a(E)는 E에 a가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 지시 함수 \mathbf{1}_E(a)로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다. 집합론에서는 측정 측도가 존재할 수 있는 기수를 **가측 기수**라고 한다. 불 대수 B 위의 극대 필터 U\subseteq B가 주어졌을 때, 다음과 같은 유한 가법 확률 측도를 정의할 수 있다. :\mu(b)=\begin{cases} 1&b;\in B\\\ 0&b;\not\in B \end{cases}
## 위상 공간
임의의 거리 공간 위에는 **하우스도르프 측도**라는 측도가 존재한다. 유클리드 공간 위에는 통상적으로 **르베그 측도**가 사용된다. 위상군 위에는 **하르 측도**라는 측도가 존재한다.
# 역사
1898년 저서언어=fr에서 에밀 보렐은 구간의 길이의 개념을 가산 가법성을 사용하여 실수선의 보렐 집합에 대하여 일반화하였다. 즉, 현대적인 용어로 보렐은 실수선의 보렐 집합의 르베그 측도를 정의하였다. 이후 1902년 박사 학위 논문언어=fr에서 앙리 르베그는 보렐의 이론을 간략화·일반화하였으며, 고차원 유클리드 공간의 르베그 측도를 정의하였고, 이를 통하여 함수의 적분 이론을 전개하였다.