바나흐 공간

함수해석학에서 **바나흐 공간**(Banach空間, Banach space)은 완비 노름 공간이다.url-status=dead언어=en언어=en언어=en 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.
# 정의
\mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자. \mathbb K-노름 공간 (X,\|\cdot\|)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \mathbb K-노름 공간을 **\mathbb K-바나흐 공간**이라고 한다. * (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다. * 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 (v_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq X에 대하여, 만약 \textstyle\sum_{i\in\mathbb N}\|v_i\|0가 존재한다. (\operatorname{ball}(-,-)는 열린 공을 뜻한다.) 즉, :\operatorname{ball}_W(c,r)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right) 이다. 이제, :\operatorname{ball}_W(0,r)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right) 를 증명하자. 우선, :\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right) =-\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right) 이므로, 임의의 w\in\operatorname{ball}_W(0,r)에 대하여, :w\pm c\in\operatorname{ball}(\pm c,r)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right) 이며, \operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)는 볼록 집합이므로 :w=\frac{(w+c)+(w-c))}2\in\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right) 이다. 이제 :\operatorname{ball}_W(0,r/2)\subseteq T\left(\frac2r\operatorname{ball}_V(0,1)\right) 를 증명하면 족하다. 즉, 임의의 w\in\operatorname{ball}_W(0,r/2)에 대하여, Tv=w인 v\in V를 찾으면 족하다. 다음 두 조건을 만족시키는 벡터열 (v_1,v_2,\ldots)을 재귀적으로 고를 수 있다. :\|v_i\|<2^{-i}\qquad\forall i\in\mathbb Z^+ :\|w-Tv_1-\cdots-Tv_i\|<2^{-i-1}r\qquad\forall i\in\mathbb Z^+ (이는 r의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로, :v=\sum_{i=1}^\infty v_i\in\operatorname{ball}_V(0,1) 를 정의할 수 있다. T가 연속 함수이므로 :Tv=w 이다.

특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다.51, Theorem 2.15 또한, 바나흐 공간의 **닫힌 그래프 정리**(closed graph theorem)에 따르면, 두 \mathbb K-바나흐 공간 V, W 사이의 \mathbb K-선형 변환 T\colon V\to W에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 연속 함수이다. * 유계 작용소이다. * \operatorname{graph}T=\\{(v,Tv)\colon v\in V\\}\subseteq V\oplus W는 (곱위상을 부여한) V\oplus W 속의 닫힌집합이다.

**증명:**

연속 함수 ⇔ 유계 작용소는 임의의 노름 공간에서 성립한다. 연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다. 따라서, 닫힌 그래프 ⇒ 연속 함수만을 보이면 된다. \operatorname{graph}T\subseteq V\oplus W가 닫힌집합이라 가정하자. 이에 따라 \operatorname{graph}T는 (임의의 p\in[1,\infty]에 대한 노름을 주면) 바나흐 공간을 이룬다. 두 사영 함수 :\pi_V\colon\operatorname{graph}T\twoheadrightarrow V :\pi_W\colon\operatorname{graph}T\twoheadrightarrow W 는 정의에 따라 연속 함수이다. \pi_V는 전단사 함수이므로, 바나흐-샤우데르 정리에 의하여 \pi_V는 위상 동형 사상이다. 따라서 :T = \pi_W\circ\pi_V^{-1}\colon V\to W 역시 연속 함수이다.

즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다. :{| | 닫힌 그래프 선형 변환 |- | ⇕ |- | 연속 선형 변환 |- | ⇕ |- | 유계 작용소 || ⇐ || 전사 유계 작용소 || ⇒ || 열린 유계 작용소 |- | ⇑ || || ⇑ |- | 단사 유계 작용소 || ⇐ || 전단사 유계 작용소 || ⇒ || 닫힌 유계 작용소 |- | colspan=2 rowspan=2 | || ⇕ |- | 위상 동형 유계 작용소 |} 이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 **균등 유계성 원리**가 성립한다.
## 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :{| | \mathbb K-힐베르트 공간 || ⇒ || \mathbb K-반사 바나흐 공간 || ⇒ || \mathbb K-바나흐 공간 |- | ⇓ | colspan=3 | | ⇓ |- | \mathbb K-내적 공간 | colspan=3 | ⟹ | \mathbb K-노름 공간 |}
## 샤우데르 기저
샤우데르 기저 벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 **샤우데르 기저**라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.
## 바나흐 공간 위의 미적분학
프레셰 도함수 바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, **프레셰 도함수**라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.
# 분류
분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.
## L1의 몫공간으로의 표현
모든 분해 가능 \mathbb K-바나흐 공간은 르베그 공간 \ell^1(\mathbb K)의 몫공간이다. 즉, \ell^1(\mathbb K)에 닫힌 \mathbb K-부분 벡터 공간 M이 존재하여, X\cong\ell^1(\mathbb K)/M이다.언어=de
## \mathcal C^0의 부분 공간으로의 표현
**바나흐-마주르 정리**(Banach-Mazur定理, Banach–Mazur theorem)에 따르면, 임의의 \mathbb K-바나흐 공간 V에 대하여 다음이 성립한다. * 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 K 및 등거리 \mathbb K-선형 변환 \iota\colon V\to\mathcal C^0(K,\mathbb K) 가 존재한다. * 만약 V가 분해 가능 공간이라면, 등거리 \mathbb K-선형 변환 \iota\colon V\to\mathcal C^0([0,1],\mathbb K) 가 존재한다. 여기서 \mathcal C^0(-,\mathbb K)는 \mathbb K값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은 :\|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)| 이다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 V가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 V'의 단위 닫힌 공 K=\operatorname{ball}_{V'}(0,1)을 생각하고, 그 위에 약한-* 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한-* 위상의 정의에 따라, 임의의 v\in V에 대하여 연속 함수 :K\to\mathbb K :f\mapsto f(v) 는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수 :V\to\mathcal C^0(K) :v\mapsto(f\mapsto f(x)) 를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다. 만약 V가 추가로 분해 가능 공간이라면, \mathcal C^0(K,\mathbb R)는 \mathcal C^0([0,1],\mathbb R)의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.
## 바나흐-마주르 거리
**바나흐-마주르 콤팩트 공간**(Banach–Mazur compactum)이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간이 존재한다. 자연수 n 및 \mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\} 및 두 n차원 실수 바나흐 공간 V, W가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사 \mathbb K-선형 변환들의 공간 \operatorname{GL}(V,W)을 생각할 수 있다. 이 경우, V와 W 사이의 **바나흐-마주르 거리**(Banach–Mazur distance)는 다음과 같다. :d(V,W)=\ln_{T\in\operatorname{GL}(V,W)}\|T\|\|T^{-1}\| 여기서 \|T\|는 작용소 노름이다. 이는 삼각 부등식을 만족시킨다. n차원 \mathbb K-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 **바나흐-마주르 콤팩트 공간**이라고 한다.
# 예

## 유클리드 공간
자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 유한 차원 \mathbb K-벡터 공간 \mathbb K^n 위에 노름 :\|(x_1,\dots,x_n)\|=\sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2} 를 부여하면, 이는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.
## 르베그 공간
르베그 공간 임의의 측도 공간 (X,\Sigma,\mu) 및 확장된 실수 1\le p\le\infty에 대하여, 르베그 공간 \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.
## 수렴 수열 공간
수렴 수열 공간 수렴 수열 공간 \operatorname c(\mathbb K)과 영 수렴 수열 공간 \operatorname c_0(\mathbb K)은 둘 다 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.
## 힐베르트 공간
힐베르트 공간 임의의 \mathbb K-힐베르트 공간 \mathcal H에 대하여, :\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}\qquad(v\in \mathcal H) 로 노름을 정의하면 이는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.
## 연속 함수 공간
콤팩트 하우스도르프 공간 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X 위의, \mathbb K값의 연속 함수들의 \mathbb K-벡터 공간 :\mathcal C^0(X,\mathbb K) 에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다. :\|f\|=\max_{x\in X}|f(x)| 이는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 \mathbb K-바나흐 대수를 이룬다.
# 역사
스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다.언어=fr 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다. 바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고,언어=fr238 이듬해 율리우시 샤우데르언어=de가 개량하였다.언어=en261, §5.4언어=en466, §14.4