피타고라스 삼조

피타고라스 체 피타고라스 삼조 (3,4,5) 수학에서, **피타고라스 삼조**(Πυθαγόρας三組, Pythagorean triple)는 등식 a^2+b^2=c^2을 만족시키는 세 양의 정수의 삼조 (a,b,c)이다. 피타고라스 정리와 그 역에 따라, 피타고라스 삼조는 직각 삼각형의 세 변을 이루는 세 양의 정수의 삼조와 같다. “가장 작은” 피타고라스 삼조는 (3,4,5)이다. **원시 피타고라스 삼조**(原始Πυθαγόρας三組, primitive Pythagorean triple)는 피타고라스 삼조를 이루는 세 수의 최대 공약수가 1인 경우이다. 임의의 양의 정수의 삼조 (a,b,c)에 어떤 양의 정수 n을 곱하여 (na,nb,nc)를 만들었을 때, 이 삼조가 피타고라스 삼조인지 여부는 변하지 않는다. 따라서 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조의 배수로 나타낼 수 있다. 원시 피타고라스 삼조는 단위원 x^2+y^2=1 위의 양의 유리수 점과 일대일 대응한다. 대수 곡선의 유리점은 산술 기하학의 연구 주제이다.
# 정의
양의 정수의 삼조 (a,b,c)가 2차 디오판토스 방정식 :x^2+y^2=z^2 의 해라면 (즉, a^2+b^2=c^2이라면), (a,b,c)를 **피타고라스 삼조**라고 한다. \gcd\\{a,b,c\\}=1인 피타고라스 삼조를 **원시 피타고라스 삼조**라고 한다.
# 일반해

## 표준적인 해
만약 (a,b,c)가 피타고라스 삼조이며, n이 양의 정수라면, (na,nb,nc) 역시 피타고라스 삼조이다. 반대로, 만약 (a,b,c)가 피타고라스 삼조이며, 양의 정수 d가 a,b의 공약수라면, d는 c의 약수이며, (a/d,b/d,c/d)는 피타고라스 삼조이다. 이에 따라, 모든 피타고라스 삼조는 어떤 원시 피타고라스 삼조 (a,b,c)의 어떤 양의 정수 n배 :(na,nb,nc) 로 유일하게 나타낼 수 있다. 원시 피타고라스 삼조의 첫 번째 및 두 번째 성분은 하나는 홀수, 하나는 짝수이다 (#성질). 따라서, 모든 원시 피타고라스 삼조는 첫 번째 및 두 번째 성분의 교환을 통해 두 번째 성분이 짝수인 원시 피타고라스 삼조로 만들 수 있다. 두 번째 성분이 짝수인 원시 피타고라스 삼조들은, m>n이며, 하나는 짝수, 하나는 홀수인 두 양의 서로소 정수의 순서쌍 (m,n)들과 일대일 대응한다. 구체적으로, 위 조건을 만족시키는 (m,n)에 대응하는, 첫 번째 성분은 홀수, 두 번째 성분은 짝수인 원시 피타고라스 삼조는 다음과 같다.날짜=1957313, 정리 11.6.1 :(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2) 예를 들어, (2,1)에 대응하는 원시 피타고라스 삼조는 (3,4,5)이다. 특히, 원시 피타고라스 삼조들은 무수히 많이 존재한다. 따라서, 피타고라스 삼조들은 위 조건을 만족시키는 (m,n)과 임의의 양의 정수 k로 이루어진 삼조 (m,n,k)와 일대일 대응하며, 이 대응에서 (m,n,k)에 대응하는 피타고라스 삼조는 다음과 같다. :(k(m^2-n^2),2kmn,k(m^2+n^2)) 피타고라스 삼조의 이러한 풀이를 유클리드 공식(Euclid’s formula)이라고 부르기도 한다.
## 표준적인 해의 증명
이 증명은 원시 피타고라스 삼조의 일부 초등적 성질들을 사용한다 (#성질). m,n이 두 양의 서로소 정수이고, m>n이며, 하나는 홀수, 하나는 짝수라고 하자. 자명하게 :(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2 이므로, (m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)은 피타고라스 삼조이다. :\gcd\\{m^2-n^2,m^2+n^2\\}\mid\gcd\\{2m^2,2n^2\\}=2\gcd\\{m^2,n^2\\}=1 이므로, (m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)은 원시 피타고라스 삼조이다. 마지막으로, 2mn은 자명하게 짝수이다. 반대로, 양의 정수의 삼조 (a,b,c)가 원시 피타고라스 삼조이며, b가 짝수라고 하자. 그렇다면 a는 홀수이며, c 역시 홀수이다. a이므로, (c-a)/2와 (c+a)/2는 양의 정수이다. 또한, :\gcd\left\\{\frac{c-a}2,\frac{c+a}2\right\\}\mid\gcd\\{a,c\\}=1 이므로, (c-a)/2와 (c+a)/2는 서로소이다. 그런데, 두 수의 곱 :\left(\frac b2\right)^2=\frac{c+a}2\cdot\frac{c-a}2 은 제곱수이므로, 두 수 역시 제곱수이다. :\frac{c+a}2=m^2 :\frac{c-a}2=n^2 라고 하자. 여기서 m,n은 양의 서로소 정수이며, m>n이다. 그렇다면 자명하게 :a=m^2+n^2 :b=2mn :c=m^2-n^2 이다. 마지막으로, a=m^2+n^2가 홀수이므로, m,n은 하나는 홀수, 하나는 짝수이다. 마지막으로, (m,n)에 대응하는 원시 피타고라스 삼조의 첫째 성분과 둘째 성분의 합은 2m^2이며, 셋째 성분에서 둘째 성분을 뺀 차는 2n^2이다. 따라서, 서로 다른 (m,n)은 서로 다른 원시 피타고라스 삼조에 대응하며, 이 대응은 일대일 대응이다.
## 삼진 트리 표현
이 절에서, 원시 피타고라스 삼조는 두 번째 성분이 짝수인 원시 피타고라스 삼조를 뜻한다. 임의의 원시 피타고라스 삼조 (a,b,c)에 대하여, :(a-2b+2c,2a-b+2c,2a-2b+3c) :(a+2b+2c,2a+b+2c,2a+2b+3c) :(-a+2b+2c,-2a+b+2c,-2a+2b+3c) 역시 원시 피타고라스 삼조이다. 원시 피타고라스 삼조를 열벡터 :\begin{pmatrix}a\\\b\\\c\end{pmatrix} 로 적을 때, 위 세 연산은 각각 다음과 같은 세 행렬 :\begin{pmatrix}1&-2&2\\\2&-1&2\\\2&-2&3\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1&2&2\\\2&1&2\\\2&2&3\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-1&2&2\\\\-2&1&2\\\\-2&2&3\end{pmatrix} 을 열벡터의 왼쪽에 곱하는 연산이다. 원시 피타고라스 삼조에 세 연산을 가한 결과를 원시 피타고라스 삼조의 세 자식(child)이라고 부르기도 한다. 또한, 모든 원시 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조 (3,4,5)에 위 세 연산을 유한 번 가하여 얻을 수 있으며, 이 원시 피타고라스 삼조를 얻게 되는, 세 연산을 가하는 방법은 유일하다. 이에 따라, 원시 피타고라스 삼조를 어떤 삼진 트리 위에 배열할 수 있다.jstor=3613860 이 삼진 트리는 원시 피타고라스 삼조들만으로 구성되고, 모든 원시 피타고라스 삼조는 이 삼진 트리 위에 있으며, 겹치지 않는다. 원시 피타고라스 삼조의 삼진 트리를 원시 피타고라스 삼조의 계보(genealogy, family tree)라고 부르기도 한다. 원시 피타고라스의 삼진 트리의 처음 네 열은 다음과 같다. 600픽셀 만약 (m,n)가 두 양의 서로소 정수의 순서쌍이며, m>n이며, 하나는 홀수, 하나는 짝수라면, :(2m-n,m) :(2m+n,m) :(m+2n,n) 역시 이러한 조건을 만족시킨다. 이는 원시 피타고라스 삼조의 삼진 트리에 대응하는, 순서쌍들의 삼진 트리를 묘사한다. 즉, (m,n)에 대응하는 원시 피타고라스 삼조에 세 연산을 가하면 각각 :(2m-n,m) :(2m+n,m) :(m+2n,n) 에 대응하는 원시 피타고라스 삼조를 얻는다.
# 표
원시 피타고라스 삼조 가운데 c\le 100인 것은 모두 16쌍이 있으며, 이는 다음과 같다. {|align="center" cellspacing="0" cellpadding="0" |- align="right" || (3, 4, 5) || (11, 60, 61) || (16, 63, 65) || (33, 56, 65) |- align="right" || (5, 12, 13) || (13, 84, 85) || (20, 21, 29) || (39, 80, 89) |- align="right" || (7, 24, 25) || (8, 15, 17) || (28, 45, 53) || (48, 55, 73) |- align="right" || (9, 40, 41) || (12, 35, 37) || (36, 77, 85) || (65, 72, 97) |}
# 성질
모든 피타고라스 삼조 (a,b,c)는 다음 성질들을 만족시킨다. * a와 b 가운데 적어도 하나는 짝수이다. ** 증명: 만약 a과 b가 둘 다 홀수라면, a^2과 b^2을 4로 나눈 나머지는 1이므로, c^2을 4로 나눈 나머지는 2이다. 그러나 c^2는 짝수이므로, c도 짝수이며, c^2는 4의 배수이다. 이는 모순이다. * a와 b 가운데 적어도 하나는 3의 배수이다. ** 증명: 만약 a와 b 모두 3의 배수가 아니라면, a^2와 b^2를 3으로 나눈 나머지는 1이므로, c^2를 3으로 나눈 나머지는 2이다. 제곱수를 3으로 나눈 나머지는 0이거나 1이므로, 이는 모순이다. * a와 b와 c 가운데 적어도 하나는 5의 배수이다. ** 증명: 만약 a와 b가 모두 5의 배수가 아니라면, a^2와 b^2을 5로 나눈 나머지는 1 또는 4이므로, c^2을 5로 나눈 나머지는 0 또는 2 또는 3이다. 제곱수를 5로 나눈 나머지는 0 또는 1 또는 4이므로, 나머지는 0이다. 즉, c는 5의 배수이다. 만약 (a,b,c)가 원시 피타고라스 삼조라면, 다음 성질들을 추가로 만족시킨다. * \gcd\\{a,b\\}=\gcd\\{b,c\\}=\gcd\\{c,a\\}=1 ** 증명: 만약 \gcd\\{a,b\\}\ne1이라면, p\mid a, p\mid b인 소수 p가 존재한다. c^2=a^2+b^2이므로 p\mid c^2이다. 그런데 p가 소수이므로 p\mid c이다. 따라서 p\mid\gcd\\{a,b,c\\}이며, 이는 (a,b,c)가 원시 피타고라스 삼조인 것과 모순이다. 따라서, \gcd\\{a,b\\}=1이다. 마찬가지로 \gcd\\{b,c\\}=\gcd\\{c,a\\}=1임을 보일 수 있다. * a와 b는 하나는 짝수 하나는 홀수이다. ** 증명: (a,b,c)가 피타고라스 삼조이므로, a와 b 가운데 적어도 하나는 짝수이다. 만약 둘 다 짝수라면, \gcd\\{a,b\\}\ne1이므로, 모순이다.