편미분

미적분학 **편미분**(偏微分, partial derivative)은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 간주하여 미분하는 것이다. 기호는 ∂으로, 1770년 니콜라 드 콩도르세가 편차분 기호로서 사용한 이후로 편미분을 나타내는 기호로 사용되고 있으며 이후 1786년에 아드리앵마리 르장드르에 의해 소개되었으나 쓰이지 않다가, 1841년에 카를 구스타프 야코프 야코비가 다시 이 기호를 도입하였다.accessdate=2009-02-20 다른 하나의 변수를 상수로 간주한 뒤 미분해 얻은 도함수를 편도함수라고 부르며 이 편도함수를 구하는 과정을 편미분이라 부른다.url-status= :f'_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac\partial{\partial x}f,\ \frac{\partial f}{\partial x} 는 변수 x에 대한, 함수 f(x,y,\ldots)의 편미분을 뜻한다. :f'_x(x,y,\ldots),\ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,\ldots) 등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다.
# 도입
*z* = *x*2 \+ *xy* + *y*2의 그래프. *y* = 1로 놓으면, *xz*-평면과 평행하는 빨간색 곡선을 얻으며, 점 (1, 1)에서 곡선의 접선은 역시 *xz*-평면과 평행한다. 위 그래프의 평면 *y* = 1에 의한 절단면. 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 3이다. 하나 이상의 변수를 갖는 함수 f가 주어졌다고 가정하자. 예를 들어, :z=f(x,y)=x^2+xy+y^2 이 함수의 그래프는 유클리드 공간 속 곡면을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 접선이 존재한다. 편미분은 이런 접선 가운데 하나를 골라, 그 기울기를 구하는 것이다. xz-평면이나 yz-평면과 평행하는 접선(즉, y나 x를 상수로 놓아 얻는 접선)은 특히 중요도가 높다. 점 (x,y)에서 xz-평면과 평행하는 접선의 기울기를 구하자. y를 상수로 볼 때, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻는다. 그 곡선 방정식에서 y를 상수로 보아 미분을 구하면, 점 (x,y)에서 곡선의 기울기가 다음과 같다는 것을 알 수 있다. :\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y 대입을 통해, 점 (1,1)에서 xz-평면과 평행하는 접선의 기울기는 3이라는 것을 알 수 있다. 즉, 점 (1,1)에서 :\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)=3. 즉, 점 (1,1)에서 z의 x에 대한 편미분은 3이다. 함수 f는 변수 하나의 함수들의 족으로서 재해석할 수 있다. 다시 말해, 모든 y 값은 변수 하나의 함수 :f_{(y)}(x)=x^2+xy+y^2 에 대응한다. 만약 y의 값을 y=a와 같이 선택해 고정시킨다면, f는 함수 :f_{(a)}(x)=x^2+ax+a^2 를 결정한다. a가 상수이지 더 이상 변수가 아니며, 따라서 f_a는 변수 x 하나만을 갖는다. 따라서, 일변수 함수의 미분을 :f_{(a)}'(x)=2x+a 와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든 x 값의 함수이며, 이 논의는 모든 y=a 값에 적용시킬 수 있다. 따라서 이로부터, 모든 x 값 및 y 값을 변수로 갖는 함수 :\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+y 을 얻을 수 있다. 이는 함수 f의, 변수 x에 대한 **편미분**이다.
# 정의
연결 열린집합 D\subseteq\mathbb R^n에 정의된 실숫값 함수 f\colon D\to\mathbb R 및 점 \boldsymbol a\in D에 대하여, 점 \boldsymbol a에서 함수 f의 변수 x_i에 대한 **편미분**은 다음과 같은 극한이다. :\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_{i-1},a_i+h,a_{i+1},\ldots,a_n)-f(a_1,\ldots,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\ldots,a_n)}h 편미분은 다음과 같이 정의할 수도 있으며, 이는 위 정의와 동치이다. * \frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol a)=\frac{df_{(i){dx}(a_i) * \frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol a)=L\iff L=\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol e_i}(\boldsymbol a)=-\frac{\partial f}{\partial(-\boldsymbol e_i)}(\boldsymbol a) 여기서 * f_{(i)}(x)=f(a_1,\ldots,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots,a_n) * \frac{\partial f}{\partial\boldsymbol v}는 방향 미분이다. * \boldsymbol e_i는 i번째 좌표가 1, 나머지 좌표가 0인 단위 벡터이다. 어떤 \boldsymbol a\in D에서 f의 x_i에 대한 편미분이 존재한다면, 점 \boldsymbol a에서 f가 x_i에 대해 **편미분 가능**하다고 한다. 모든 \boldsymbol x\in D에서 f의 x_i에 대한 편미분이 존재한다면, f가 D에서 x_i에 대해 **편미분 가능**하다고 한다. 이 경우, 편미분은 정의역이 D, 공역이 \mathbb R인 함수이며, 이를 :\frac{\partial f}{\partial x_i} 로 표기한다.
## 기울기
기울기 (벡터) (어떤 점 또는 모든 점에서) 함수 f가 모든 변수에 대해 편미분 가능할 경우, f의 **기울기**는 각 변수에 대한 편미분을 좌표로 갖는 벡터이다.
## 방향도함수
**방향도함수**(方向導函數, directional derivative)는 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다. 다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자. * 연결 열린집합 D\subseteq\mathbb R^n에 정의된 실숫값 함수 f\colon D\to\mathbb R * 유클리드 공간 속 점 \boldsymbol a\in D * 유클리드 공간 속 단위 벡터 ::\boldsymbol v=(\cos\theta_1,\ldots,\cos\theta_n)\in\mathbb R^n\qquad(|\boldsymbol v|=1) : 이를 "방향"이라고 부르자. 그렇다면, 점 \boldsymbol a에서 f의 방향 \boldsymbol v에 대한 **방향도함수**는 다음과 같은 극한이다. :\begin{align}\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol v} &=\lim_{t\to0+0}\frac{f(a_1+t\cos\theta_1,\ldots,a_n+t\cos\theta_n)-f(a_1,\ldots,a_n)}t\\\ &=\lim_{t\to0+0}\frac{f(\boldsymbol a+t\boldsymbol v)-f(\boldsymbol a)}t\\\ &=\lim_{E\ni\boldsymbol x\to\boldsymbol a}\frac{f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol a)}{(\boldsymbol x-\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol v} \end{align} 여기서 :E=\\{\boldsymbol a+t\boldsymbol v\colon 0 이다.
## 고계 편미분
함수 f의 **고계 편미분**(高階偏微分, higher order partial derivative)은 편미분의 편미분이나 편미분의 편미분의 편미분 등등을 뜻한다. 예를 들어, 독립 변수 x,y,z의 함수 f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R에 대하여, x에 대한 편미분은 다음과 같이 표기한다. :\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f 이를 다시 x나 y로 편미분하면, 이계 편미분을 얻으며, 다음과 같이 표기한다. :\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx}f \equiv \frac\partial{\partial x}\frac\partial{\partial x}f :\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy} = \partial_{yx}f \equiv \frac\partial{\partial y}\frac\partial{\partial x}f 비슷하게, f를 y나 z로 편미분하고, 다시 x나 y나 z로 편미분할 수 있다. 일반적으로, 연결 열린집합 D\subseteq\mathbb R^n에 정의된 실숫값 함수 f\colon D\to\mathbb R를 변수 x_a로 k_a번, 변수 x_b로 k_b번, ..., 변수 x_c로 k_c번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 k_a+k_b+\cdots+k_c계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다. :\frac{\partial^{k_a+k_b+\cdots+k_c}f}{\partial x_c^{k_c}\cdots\partial x_b^{k_b}\partial x_a^{k_a\equiv\frac{\partial^{k_c{\partial x_c^{k_c\cdots\frac{\partial^{k_b{\partial x_b^{k_b\frac{\partial^{k_a{\partial x_a^{k_af 용어 **혼합 편미분**(混合偏微分, mixed derivative)은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서 f의 x에 대한 편미분의 y에 대한 편미분은 혼합 편미분이다. 많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능하며, 이 경우 편미분은 다중지표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다. :\left(\frac\partial{\partial\boldsymbol x}\right)^\boldsymbol if\equiv\left(\frac\partial{\partial x_1}\right)^{i_1}\left(\frac\partial{\partial x_2}\right)^{i_2}\cdots\left(\frac\partial{\partial x_n}\right)^{i_n}f 물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다.
# 성질
(어떤 점이나 모든 점에서) 함수가 전미분 가능하다면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재한다. 또한, 다음이 성립한다. :df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n=\nabla f\cdot d\boldsymbol x :\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol v}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cos\theta_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cos\theta_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\cos\theta_n=\nabla f\cdot\boldsymbol v (어떤 점이나 모든 점에서) 함수의 모든 편미분이 존재하고, 모두 연속 함수라면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수는 전미분 가능하다. 이 경우 함수가 연속 미분 가능하다고 한다.
## 편미분 교환 법칙
**편미분 교환 법칙**에 따르면, 연결 열린집합 D\subseteq\mathbb R^n에 정의된 함수 f\colon D\to\mathbb R 및 그 두 변수 x, y에 대하여, 만약 f가 \mathcal C^2함수라면, f의 x와 y에 대한 혼합 편미분은 서로 같다. 즉, :\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} 증명 S\left(\Delta x, \Delta y\right) =f\left( x_0+\Delta x,y_0 +\Delta y\right) -f\left( x_0+\Delta x,y_0\right) -f\left( x_0,y_0 +\Delta y\right) +f\left( x_0,y_0\right)라고 하고 g\left( x\right)=f\left( x,y_0 +\Delta y\right) -f\left( x,y_0\right)라고 하자. 그렇다면 S\left(\Delta x,\Delta y\right)=g\left( x_0+\Delta x\right) -g\left( x_0\right)이다. 전제에 의하여 g는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 x_0+\Delta x와 x_0사이에는 g\left( x_0+\Delta x\right) -g\left( x_0\right) =g'\left(\bar x\right)\Delta x를 만족하는 \bar x가 존재한다. S\left(\Delta x,\Delta y\right) =\left[\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0+\Delta y\right)-\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0\right)\right]\Delta x이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면 f_x는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 y_0+\Delta y와 y_0사이에는 \frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0+\Delta y\right) -\frac{\partial f}{\partial x}\left( \bar x,y_0 \right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y를 만족하는 \bar y가 존재한다. 따라서 S\left(\Delta x, \Delta y\right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y\Delta x이고, \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right) =\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}이다. \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}는 연속이므로 \lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right)이다. 유사한 방법으로 계산해보면 \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) =\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}이므로 f_{xy}=f_{yx}이다. 증명 끝
# 예
밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다. :V = \frac{ \pi r^2 h }{3} 여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다. :\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2\pi r h }{3} 또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다. :\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ \pi r^2 }{3}