몰리 삼등분 정리

6개의 선분이 큰 삼각형의 세 각을 삼등분한다면 가운데에 위치한 삼각형의 세 변의 길이는 같다. 기하학에서 **몰리 삼등분 정리**(Morley三等分定理, Morley's trisector theorem)는 삼각형의 한 가지 경이로운 성질에 대한 정리이다. 이에 따르면, 임의의 삼각형의 각의 삼등분선의 이웃하는 것들끼리의 교점은 정삼각형의 꼭짓점을 이룬다.
# 정의
삼각형 \triangle ABC의 각 \angle B와 \angle C의 변 BC와 더 가까운 삼등분선의 교점이 X라고 하자. 마찬가지로 각 \angle A와 \angle C의 변 AC와 더 가까운 삼등분선의 교점이 Y라고 하고, 각 \angle A와 \angle B의 변 AB와 가까운 삼등분선의 교점이 Z라고 하자. **몰리 삼등분 정리**에 따르면, 삼각형 \triangle XYZ는 정삼각형이다. 삼각형 \triangle XYZ를 삼각형 \triangle ABC의 **몰리 삼각형**(Morley三角形, Morley triangle)이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.
# 증명

## 초등적 증명
정삼각형 \triangle XYZ를 고정하자.isbn=0-534-35179-482-85, §2G 임의의 삼각형 \triangle A'B'C'에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 삼각형 \triangle ABC를 찾는 것으로 족하다. * 삼각형 \triangle ABC와 \triangle A'B'C'은 서로 닮음이다. * 삼각형 \triangle ABC의 몰리 삼각형은 삼각형 \triangle XYZ이다. 우선 :\angle A'=3\alpha,\;\angle B'=3\beta,\;\angle C'=3\gamma 이라고 하자. 그렇다면 :\alpha+\beta+\gamma=60^\circ 이다. 삼각형 \triangle XYZ 외부의 세 점 A,B,C를 다음과 같이 정의하자. :\angle BZX=\angle CYX=60^\circ+\alpha :\angle CXY=\angle AZY=60^\circ+\beta :\angle AYZ=\angle BXZ=60^\circ+\gamma 그렇다면 :\angle YAZ=\alpha,\;\angle XBZ=\beta,\;\angle XCY=\gamma 이다. 이제 AY와 AZ, BX와 BZ, CX와 CY가 삼각형 \triangle ABC의 세 각의 삼등분선이라는 사실을 증명하자. 직선 BZ와 CY의 교점이 U라고 하고, 직선 AZ와 CX의 교점이 V라고 하고, 직선 AY와 BX의 교점을 W라고 하자. 그렇다면 :\angle UYZ=\angle UZY=60^\circ-\alpha 이므로 UY=UZ이며, 삼각형 \triangle UYX와 \triangle UZX는 서로 합동이다. 특히, 반직선 UX는 각 \angle U의 이등분선이다. 또한, :\angle BUC=180^\circ-\angle UYZ-\angle UZY=60^\circ+2\alpha :\angle BXC=180^\circ-\angle CXW=120^\circ+\alpha 이므로, :\angle BXC=90^\circ+\frac 12\angle BUC 이다. 즉, X는 삼각형 \triangle BCU의 내심이며, 반직선 BX와 CX는 각 \angle CBU와 \angle BCU의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 AY와 CY는 삼각형 \triangle ACV의 두 각의 이등분선이며, 반직선 AZ와 BZ는 삼각형 \triangle ABW의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 \triangle ABC의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 \triangle XYZ는 삼각형 \triangle ABC의 몰리 삼각형이다. 또한, :\angle BAC=3\alpha=\angle A' :\angle ABC=3\beta=\angle B' :\angle ACB=3\gamma=\angle C' 이므로, 삼각형 \triangle ABC와 \triangle A'B'C'은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 \triangle A'B'C'의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.
## 삼각법을 통한 증명
몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다.lccn=200893133543-44, §10.2 삼각형 \triangle ABC의 외접원의 반지름이 R라고 하고, :\angle BAC=3\alpha,\;\angle ABC=3\beta,\;\angle ACB=3\gamma 라고 하자. 그렇다면 :\alpha+\beta+\gamma=60^\circ 이다. 삼각형 \triangle BCX에 사인 법칙을 적용하면 :\begin{align}CX &=\frac{BC\cdot\sin\beta}{\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}\\\ &=\frac{2R\sin 3\alpha\sin\beta}{\sin(60^\circ-\alpha)}\\\ &=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\alpha) \end{align} 를 얻는다. 마지막 등호는 항등식 :\begin{align}\sin 3\alpha &=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\\ &=4\sin\alpha\left(\left(\frac{\sqrt 3}2\right)^2-\sin^2\alpha\right)\\\ &=4\sin\alpha(\sin 60^\circ+\sin\alpha)(\sin 60^\circ-\sin\alpha)\\\ &=4\sin\alpha \cdot 2\sin\frac{60^\circ+\alpha}2\cos\frac{60^\circ-\alpha}2 \cdot 2\sin\frac{60^\circ-\alpha}2\cos\frac{60^\circ+\alpha}2\\\ &=4\sin\alpha\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ-\alpha) \end{align} 때문이다. 마찬가지로, :CY=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\beta) 가 성립한다. 삼각형 \triangle CXY에 코사인 법칙을 적용하면 :\begin{align}XY^2 &=CX^2+CY^2-2CX\cdot CY\cdot\cos\gamma\\\ &=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta( \sin^2(60^\circ+\alpha)+\sin^2(60^\circ+\beta)-2\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ+\beta)\cos\gamma)\\\ &=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta\sin^2\gamma \end{align} 를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 60^\circ+\alpha와 60^\circ+\beta 및 \gamma인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉, :XY=8R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma 이다. 이는 \alpha,\beta,\gamma에 대하여 대칭적이므로, :XY=XZ=YZ 가 성립한다.
# 역사
미국의 수학자 프랭크 몰리가 1900년에 제시하였다.jstor=1986387