오비폴드

기하학에서, **오비폴드**(orbifold)는 국소적으로 유한군의 선형작용에 대한 유클리드 공간의 몫공간과 동형인 위상 공간이다. 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 특정한 형태의 특이점을 가질 수 있다.
# 정의
*n*차원의 오비폴드는 다음과 같이 정의한다. 하우스도르프 공간 *X*와 그 열린 덮개 U_i를 생각하자. (\\{U_i\\}는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다고 가정하자.) 각 U_i에 대하여, 연속 함수 \phi_i\colon U_i\to V_i를 가정하자. 여기서 V_i는 \mathbb R^n의 부분집합으로, 유한군 \Gamma_i의 선형작용에 대하여 불변하다. \phi_i가 U_i\to V_i/\Gamma_i의 위상동형사상을 정의한다고 가정하자. 이들을 **오비폴드 국소 좌표계**라고 부른다. 일련의 오비폴드 국소 좌표계 (U_i,V_i,\Gamma_i,\phi_i)의 집합은 다음과 같은 조건을 만족하면 **오비폴드 좌표근방계**(orbifold atlas)를 이룬다. * U_i\subset U_j면 단사 준동형 사상 \Gamma_i\to\Gamma_j가 존재한다. * U_i\subset U_j면 \Gamma_i에 대하여 \Gamma_i-위상 동형 사상 \psi_{ij}\colon V_i\to W_j\subset V_j이 존재한다. (W_j는 V_j의 열린 부분 집합) * \phi_j\circ\psi_{ij}=\phi_i * 다른 모든 추이 사상V_i\to V_j는 g\psi_{ij}의 꼴이다 (여기서 g\in\Gamma_j). G가 이산군이라고 하고, M이 매끄럽고 충실한 작용 G\times M\to M이 주어진 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 몫공간 :M/G=M/(x\sim g\cdot x\forall g\in G,x\in M) 은 자연스럽게 오비폴드 구조를 갖는다. 이런 꼴로 나타낼 수 있는 오비폴드를 **축소 오비폴드**(reduced orbifold)라고 한다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로 (유클리드 공간의) 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다. 끈 이론에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 특히, 유클리드 공간의 몫공간 \mathbb R^n/\Gamma 꼴의 공간을 오비폴드라고 부른다.
# 위상수학적 성질
오비폴드의 경우, 문헌에는 두 가지의 "오비폴드 오일러 지표"에 대한 정의가 등장하며, 이 둘은 관계없는 개념이다. 이 밖에도, 오비폴드의 호모토피 군 역시 정의할 수 있다. 이들은 오비폴드를 단순히 위상 공간으로 여겨 정의한 오일러 지표 및 호모토피 군과 다르다.
## 사타케-서스턴 오일러 지표
오비폴드 X에 세포 복합체의 구조를 주고, 각 세포 c의 내부가 국소적 군 \Gamma_i의 작용에 불변이라고 하자. 그렇다면 X의 **(사타케-서스턴) 오일러 지표**는 다음과 같다. :\chi(X)=\sum_c\frac{(-1)^{\dim c{|\Gamma(c)|} 만약 모든 \Gamma(c)가 자명군이라면, 이는 일반적인 오일러 지표와 같다. 이 정의는 사타케 이치로(佐武 一郎)와 윌리엄 서스턴이 사용하였다. 오비폴드의 사타케-서스턴 오일러 지표에 대하여 가우스-보네 정리가 성립한다.
## 끈 오일러 지표와 천-롼 코호몰로지
축소 오비폴드 M/G가, 매끄러운 다양체 M 위의 어떤 이산군 G의 매끄럽고 충실한 작용에 의한 몫공간이라고 하자. 이 경우, M/G의 **(끈 이론) 오일러 지표**는 다음과 같다.언어=en§6, Definition 6.1 :\chi(M/G)=\frac1{|G|}\sum_{g,h\in G,\;gh=hg}\chi(M^{\langle g,h\rangle}) =\sum_{[g]\in\operatorname{Cl}G}\chi(M^{\langle g\rangle}/Z_G(g)) 여기서 * Z_G(g)는 \\{g\\}\subseteq G의 중심화 부분군이다. * M^H는 부분군 H\subseteq G의 작용에 의한 고정점들로 구성된 부분 공간이다. * \langle g_1,g_2,\dots\rangle\subseteq G는 g_1,g_2,\dots로 생성되는 G의 부분군이다. * \operatorname{Cl}G는 G의 켤레류들의 집합이다. 이 정의는 랜스 딕슨(Lance J. Dixon), 제프리 하비(Jeffrey A. Harvey), 캄란 바파, 에드워드 위튼이 끈 이론을 다루기 위하여 도입하였다.언어=en언어=en 딕슨-하비-바파-위튼 오일러 지표는 **천-롼 코호몰로지**(Chen–Ruan cohomology)와 관계있다. 이는 오비폴드에 대한 양자 코호몰로지이다.언어=en언어=en언어=en언어=en
## 기본군
오비폴드 X의 **기본군** \pi_1^{\text{orb(X)는 X의 범피복 공간 \tilde X의 피복 변환(deck transformation)들의 군이다.307, Definition 13.2.5 이 정의는 윌리엄 서스턴이 도입하였다.
# 예
모든 매끄러운 다양체는 자명하게 (축소) 오비폴드를 이룬다. 또한, 경계다양체 또한 자연스럽게 축소 오비폴드를 이룬다. 경계다양체 M이 주어지면, 그 **이중 덮개**(double)를 다음과 같이 정의하자. :D(M)=M\times\\{0,1\\}/((x,0)\sim(x,1)\forall x\in\partial M) 즉, M의 두 개의 복사본의 각 경계를 이어붙여 얻는다. M의 이중 덮개는 (경계를 갖지 않는) 다양체이다. 이 경우, M은 다음과 같은 몫공간으로 나타낼 수 있다. :M=D(M)/\mathbb Z_2
## 1차원 오비폴드
1차원 연결 콤팩트 오비폴드는 원 S^1과 선분 [0,1]밖에 없다. 원은 매끄러운 다양체이다. 선분은 경계다양체이자, 원 :S^1\cong\operatorname U(1)=\\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\\} 의 몫공간 :\operatorname U(1)/(z\sim\bar z) 으로서, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있다.
## 2차원 오비폴드
2차원에서 가능한 오비폴드 특이점은 O(2)의 유한 부분군에 따라서 분류되며, 다음과 같다. 군의 작용을 나타낼 때, 편의상 평면의 점을 복소수로 표기하였다. * 경계선 \mathbb R^2/\operatorname{Cyc}(2), z\sim \bar z. * m=2,3,4,\dots에 대하여, m차 원뿔형 꼭짓점 \mathbb R^2/\operatorname{Cyc}(m), z\sim\exp(2\pi i/m)z * n=2,3,4,\dots에 대하여, 각도 \pi/n의 꼭짓점 \mathbb R/\operatorname{Dih}(n), z\sim\bar z\sim \exp(2\pi i/n) z 이 경우, 2차원 오비폴드 X의 사타케-서스턴 오일러 지표는 다음과 같다. :\chi(X)=\chi(|X|)-\sum_{m_i}(1-1/m_i)-\frac12\sum_{n_i}(1-1/n_i) 여기서 * \chi(|X|)는 X의 위상 공간으로서의 오일러 지표이다. * 첫 번째 합 \sum_{m_i}는 원뿔형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 m_i는 꼭짓점의 차수이다. * 두 번째 합 \sum_{n_i}는 다각형형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 n_i는 꼭짓점의 차수이다. 2차원 연결 콤팩트 오비폴드는 곡면과 마찬가지로 오일러 지표의 부호에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다. * 오일러 지표가 음수인 2차원 오비폴드는 **쌍곡선형 오비폴드**(hyperbolic-type orbifold)라고 한다. 이들은 쌍곡평면의 테셀레이션에 대응하며, 무한 개가 있다. * 오일러 지표가 0인 2차원 오비폴드는 **포물선형 오비폴드**(parabolic-type orbifold)라고 한다. 이들은 유클리드 평면의 테셀레이션에 대응한다. 총 17개가 있다. * 오일러 지표가 양수인 2차원 오비폴드 가운데, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있는 것들은 **타원형 오비폴드**(elliptic-type orbifold)라고 한다. 이들은 구의 테셀레이션에 대응한다. 7개의 무한한 족 및 족에 속하지 않는 10개가 있다. * 오일러 지표가 양수이며, 축소 오비폴드가 아닌 것들은 **나쁜 오비폴드**(bad orbifold)라고 한다. 4개의 무한한 족들로 분류된다. 쌍곡선형이 아닌 2차원 연결 콤팩트 오비폴드들의 목록은 다음과 같다. (여기서 "오일러 지표"는 사타케-서스턴 오일러 지표를 말한다.) {| class="wikitable" |- ! 종류 || 오일러 지표 || 다양체 || 원뿔 꼭짓점의 차수 || 다각형 꼭짓점의 차수 |- | rowspan=4 | 나쁜 || 1 + 1/*n* || 구 || *n* > 1 || |- || 1/*m* + 1/*n* || 구 || *n* > *m* > 1 || |- || 1/2 + 1/2*n* || 원판 || || *n* > 1 |- || 1/2*m* + 1/2*n* || 원판 || || *n* > *m* > 1 |- | rowspan=17 | 타원형 || 2 || 구 || || |- || 2/*n* || 구 || *n*,*n* || |- || 1/*n* || 구 || 2, 2, *n* || |- || 1/6 || 구 || 2, 3, 3 || |- || 1/12 || 구 || 2, 3, 4 || |- || 1/30 || 구 || 2, 3, 5 || |- || 1 || 원판 || || |- || 1/*n* || 원판 || || *n*, *n* |- || 1/2*n* || 원판 || || 2, 2, *n* |- || 1/12 || 원판 || || 2, 3, 3 |- || 1/24 || 원판 || || 2, 3, 4 |- || 1/60 || 원판 || || 2, 3, 5 |- || 1/*n* || 원판 || *n* || |- || 1/2*n* || 원판 || 2 || *n* |- || 1/12 || 원판 || 3 || 2 |- || 1 || 사영 평면 || || |- || 1/*n* || 사영 평면 || *n* || |- |rowspan=17 | 포물선형 | 0 || 구 || 2, 3, 6 || |- || 0 || 구 || 2, 4, 4 || |- || 0 || 구 || 3, 3, 3 || |- || 0 || 구 || 2, 2, 2, 2 || |- || 0 || 원판 || || 2, 3, 6 |- || 0 || 원판 || || 2, 4, 4 |- || 0 || 원판 || || 3, 3, 3 |- || 0 || 원판 || || 2, 2, 2, 2 |- || 0 || 원판 || 2 || 2, 2 |- || 0 || 원판 || 3 || 3 |- || 0 || 원판 || 4 || 2 |- || 0 || 원판 || 2, 2 || |- || 0 || 사영 평면 || 2, 2 || |- || 0 || 원환면 || || |- || 0 || 클라인 병 || || |- || 0 || 원환 || || |- || 0 || 뫼비우스 띠 || || |}
# 역사
사타케 이치로(佐武 一郎)가 automorphic form을 연구하면서 1956년에 ‘*V*-다양체’(*V*-manifold)라는 이름으로 정의하였다.mr=0079769 윌리엄 서스턴이 1980년 재발견하였고, ‘오비폴드’(orbifold)라는 이름을 붙였다.url-status= ‘오비폴드’(orbifold)라는 이름은 오빗 (궤도)과 매니폴드 (다양체)를 합친 혼성어이다. 이 이름에 대하여 서스턴은 다음과 같이 적었다. 300