P진수

DISPLAYTITLE:*p*진수 십진법 등의 수를 표기하는 방법 수론에서 **_p_ 진수**(p進數, *p*-adic number)는 유리수의 체를 마치 어떤 소수 *p*에 대한 로랑 급수처럼 해석하여 완비시켜 얻는 체이다. 보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 *p*진체는 유리수체의 완비화이다. 또한 *p*진수에는 *p*진 값매김이 주어져 있기에 거리 공간이 되며 따라서 위상 공간이기도 하다. 이 거리 공간은 완비 거리 공간(즉, 모든 코시 수열이 수렴한다)이며, 그렇기에 p진체 상에서 마치 실수체 상에서와 같은 해석학을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 대수적 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.
# 개론
유리수체 \mathbb Q는 표준 노름 |a/b|에 대하여 완비 거리 공간을 이루지 않는다. 따라서, 이에 대하여 코시 수열들의 동치류들을 취하여 이를 완비화할 수 있는데, 이렇게 하여 실수체 \mathbb R을 얻는다. 유리수체의 표준 노름은 아주 유용하지만, 원하면 유리수체에 다른 노름을 줄 수도 있다. 이러한 노름에 대하여 완비화하면 다른 체를 얻게 된다. *p*진수는 이렇게 정의되는 체 가운데 하나다. 수론에서, 유리수들을 어떤 주어진 소수 *p*에 대한 형식적인 단항식으로 취급하게 되는 경우가 있다. 모든 0이 아닌 유리수는 p^n(a/b) (a와 b는 p로 나누어떨어지지 않음)의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, p=7이라고 하자. 그렇다면, :28/5=7\times(4/5) :-15/98=7^{-2}\times(-15/2) 이는 "변수" p=7에 대한 단항식 (4/5)p 또는 -(15/2)p^{-2}와 유사하게 생각할 수 있다. 이제, p를 일종의 무한소로 취급하면, p의 인수를 더 많이 포함할수록 더 "작고", p^{-1}의 인수를 더 많이 포함할수록 더 "크다"고 생각할 수 있다. 이와 같이 유리수체 \mathbb Q 위에 p의 인수를 더 많이 포함할수록 더 노름이 작아지는 노름을 정의할 수 있다. *p*진체는 유리수체를 이 노름에 대하여 완비화한 체이다.
# 정의
*p*진수체 및 *p*진 정수환은 해석적인 기법 및 가환대수학적 기법으로 정의할 수 있다.
## 해석적 정의
p가 소수라고 하자. 유리수체 \mathbb Q에 다음과 같은 노름 |\cdot|_p를 정의할 수 있다. :|p^na/b|_p=p^{-n} (p\nmid a,b) :|0|_p=0 (모든 0이 아닌 유리수는 p^na/b와 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.) 이 노름을 **_p_ 진 노름**(*p*-adic norm)이라고 한다. 유리수체 \mathbb Q를 이 노름에 대하여 완비화시켜 얻는 체를 **_p_ 진체** \mathbb Q_p라고 하며, 그 원소를 **_p_ 진수**라고 한다.
## 대수적 정의
*p*진 정수환 \mathbb Z_p는 정수환 \mathbb Z를 소 아이디얼 (p)에서 완비화한 것이다. 즉, 다음과 같은 몫환들 사이에 자연스러운 환 준동형이 존재하며, :\cdots\to\mathbb Z/p^3\to\mathbb Z/p^2\to\mathbb Z/p\to0 *p*진 정수환은 이들의 역극한이다. :\mathbb Z_p=\varprojlim_n\mathbb Z/(p^n) *p*진 정수환은 정역을 이루며, ***p*진수체** \mathbb Q_p는 *p*진 정수환의 분수체이다. :\mathbb Q_p=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p) 보다 추상적으로, *p*진 정수환 \mathbb Z_p는 크기 p의 유한체 \mathbb F_p 위의 p진 비트 벡터 환으로 정의할 수도 있다.
## *p*진 복소수
**_p_ 진 복소수체** \mathbb C_p는 다음과 같이 정의한다. # p진체 \mathbb Q_p는 완비 거리 공간이지만 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 그 대수적 폐포를 취하여, 대수적으로 닫힌 체 \bar{\mathbb Q}_p를 얻을 수 있다. # 대수적 폐포 \bar{\mathbb Q}_p는 대수적으로 닫힌 체이지만 완비 거리 공간이 아니다. 그 완비화를 취하여, \mathbb C_p라는 체를 얻는다. 이는 대수적으로 닫힌 체이자 완비 거리 공간이다. 이를 **_p_ 진 복소수체**로 정의한다.
# 성질

## *p*진 노름
*p*진 노름은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. 아래에서, r,s\in\mathbb Q는 임의의 유리수다. * |r+s|_p\le\max\\{|r|_p,|s|_p\\} ::이는 모든 노름들이 만족시키는 삼각 부등식 |r+s|\le|r|+|s|보다 더 강한 조건이다. * \mathbb Q의 표준 노름을 |\cdot|_\infty라고 쓰자. 그렇다면, ::|r|_\infty\prod_p|r|_p=1 :이다.
## *p*진 정수환
*p*진 정수환 \mathbb Z_p의 집합의 크기는 2^{\aleph_0}이다. 즉, 실수체의 크기와 같다. 가환대수학적으로, *p*진 정수환은 이산 값매김환이다 (따라서, 주 아이디얼 정역이자 유클리드 정역이며, 크룰 차원이 1차원인 국소환이다). 값군은 무한 순환군 \mathbb Z이며, 값매김은 *p*진 노름 |\cdot|_p\colon\mathbb Q_p\to\mathbb Z이다. *p*진 정수환의 가역원군 \mathbb Z^\times_p은 다음과 같다. :\mathbb Z_p^\times=\mathbb Z_p\setminus(p)=\\{a\in\mathbb Z_p\colon|a|_p=1\\} *p*진 정수환의 모든 0이 아닌 원소는 다음과 같이 유일하게 나타낼 수 있다. :a=p^nu\qquad(n\in\mathbb N,u\in\mathbb Z^\times_p) 따라서, *p*진 정수환의 모든 아이디얼은 다음과 같은 두 꼴 가운데 하나이다. * (p^n),\;n\in\mathbb N * (0) *p*진 정수환의 유일한 극대 아이디얼은 (p)이다. *p*진 정수환의 소 아이디얼은 영 아이디얼과 (p)이다. *p*진 정수환의 몫환은 다음과 같다. :\mathbb Z_p/(p^n)\cong\mathbb Z/(p^n) :\mathbb Z_p/(0)\cong\mathbb Z_p *p*진 정수환은 국소환이므로, 자연스러운 (p)진 위상을 갖추어 위상환을 이룬다. p진 정수의 덧셈 위상군의 폰트랴긴 쌍대군은 (이산 위상을 갖춘) 프뤼퍼 군 \mathbb Z(p^\infty)이다.
## *p*진체
*p*진체 \mathbb Q_p는 다음과 같은 성질을 만족시킨다. * \mathbb Q_p의 집합의 크기는 |\mathbb Q_p|=2^{\aleph_0}=\mathfrak c=|\mathbb R|이다. 즉, 실수체의 크기와 같다. * \mathbb Q_p는 유리수체를 부분체로 가지는 체이다. 그 체의 표수는 0이다. * \mathbb Q_p는 순서 구조를 가하여 순서체로 만들 수 없다. * 위상 공간으로서, *p*진체 \mathbb Q_p는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만, 콤팩트하지 않다.
## *p*진 복소수체
*p*진 복소수체 \mathbb C_p는 다음과 같은 성질을 만족시킨다. * \mathbb C_p는 대수학적으로 표준 복소수체 \mathbb C와 동형이다. 즉, \mathbb C_p는 \mathbb C에 비표준 노름을 준 것으로 생각할 수 있다. ** 따라서, |\mathbb C_p|=|\mathbb C|=\mathfrak c이며, 대수적으로 닫힌 체임을 일 수 있다. * 위상 공간으로서, \mathbb C_p는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트하지 않다.
# 예
*p*진수의 덧셈·뺄셈·곱셈은 *p*진법 실수의 덧셈·뺄셈·곱셈과 유사하며, 유일한 차이는 소숫점 왼쪽으로 무한한 수의 자릿수가 존재한다는 것 뿐이다. *p*진법 나눗셈은 조금 다른데, 이 경우 뺄셈을 할 때, 1의 자릿수가 0이 되게 하는 수를 찾아서 뺀다. 예를 들어, 3의 역수 ⅓을 5진수체로 표현하면 순환 5진 정수 1/3=\overline{13}2_5이다. (여기서 자릿수 위의 윗줄은 반복되는 자릿수를 나타낸다.) 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. :\frac{5^2-1}{3}=\frac{44_5}3 = 13_5; \, \frac{5^4-1}3=\frac{4444_5}3 = 1313_5;\, \frac{5^6-1}3=\frac{444444_5}3 = 131313_5;\cdots ::\implies-\frac13=\overline{13}_5=\cdots1313_5 ::\implies-\frac23=\overline{13}_5 \times 2 = \overline{31}_5=\cdots3131_5 ::\implies\frac13 = -\frac23+1 = \overline{13}2_5=\cdots132_5 이는 직접 다음과 같이 계산할 수 있다. :\begin{array}{crl} &\underline{\cdots3132_5}\\\ 3)&{\color{White}{\cdots0001_5\\\ -&\underline\color{White}{\cdots0011_5}&(=3_5\times2)\\\ &\cdots4440_5\\\ -&\underline\color{White}{\cdots014_5}{\color{White}{0&(=3_5\times3)\\\ &\cdots430_5{\color{White}{0\\\ -&\underline\color{White}{\cdots03_5}{\color{White}{00&(=3_5\times1)\\\ &\cdots40_5{\color{White}{00\\\ -&\underline{\cdots4_5}{\color{White}{000&(=3_5\times3)\\\ &\cdots0_5{\color{White}{000 \end{array} 이는 : \begin{array}{cr} \cdots&\overset21\overset13\overset21\overset13\overset21\overset132_5\\\ \times&3_5\\\ \hline\\\ \cdots&000001_5\\\ \end{array} 로 검산할 수 있다. (여기서 윗첨자는 올림(carry)이다.) 소숫점 오른쪽의 자릿수가 모두 0이므로, 이는 5진 정수이다.
# 역사
쿠르트 헨젤이 1897년에 대수적 수론에서 사용하기 위하여 도입하였다.언어=de
# 응용
원래 수론에서 도입되었지만, 오늘날 *p*진수는 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있다. 예를 들어 p진 해석학은 미적분학의 *p*진법 버전이라 할 수 있다. 이론물리학에서도 *p*진수가 종종 사용된다.쪽=1–17성=Dragovich성=Dragovichbibcode=2010TMP...164.1151D 컴퓨터 과학에서는 유리수를 나타내는 한 방법으로 사용된다.doi=10.1137/0208011