망델브로 집합

alt= **망델브로 집합**(Mandelbrot set, t)publisher=Oxford University Pressaccess-date=2022-01-30은 복소평면에서 정의된 2차원 집합으로, 함수 f_c(z)=z^2+c가 z=0에서 시작하여 반복될 때 무한대로 발산하지 않는 복소수 c를 만족하는 집합이다. 즉, 수열 f_c(0), f_c(f_c(0)) 등이 절댓값이 유계로 유지되는 c의 집합이다.language=en 이 집합은 1978년 로버트 W. 브룩스와 피터 마텔스키가 클라인 부분군 연구를 하면서 처음 정의되고 그려졌다. 이후 1980년 브누아 망델브로는 뉴욕주 요크타운 하이츠에 있는 IBM의 IBM 왓슨 연구소에서 작업하면서 이 집합의 고품질 시각화를 만들었다.language=en 계속 반복해서 망델브로 집합의 소위 '해마 계곡'으로 확대하는 모습. 망델브로 집합의 이미지는 확대할수록 점진적으로 더 미세한 재귀적 세부 사항을 드러내는 무한히 복잡한 경계를 보여준다.language=enlanguage=en 수학적으로 망델브로 집합의 경계는 프랙탈 곡선이다.language=en 이러한 재귀적 세부 사항의 "모양"은 확대하는 집합 경계의 영역에 따라 달라진다.quote="the Mandelbrot set is very diverse in its different regions" 망델브로 집합 이미지는 복소수를 샘플링하고 각 샘플 지점 c에 대해 수열 f_c(0), f_c(f_c(0)),\dotsc이 무한대로 가는지 테스트하여 생성할 수 있다.language=en c의 실수 부분과 허수 부분을 복소평면의 화소 좌표로 취급하여, 수열 |f_c(0)|, |f_c(f_c(0))|,\dotsc이 임의로 선택된 임계값(임계값은 최소 2여야 하는데, −2는 집합 내에서 가장 큰 크기를 가진 복소수이기 때문이다. 하지만 그 외에는 임계값이 임의적이다.)을 얼마나 빨리 넘어서는지에 따라 픽셀에 색을 입힐 수 있다. 만약 c를 상수로 유지하고 z의 초기값을 변경하면, 해당 지점 c에 대한 쥘리아 집합을 얻을 수 있다.website=Complex Analysis — The Mandelbrot Set 망델브로 집합은 정의가 상대적으로 간단함에도 불구하고 시각화 및 확대 시 복잡한 프랙탈 구조를 보여준다는 점에서 수학계 외부에서도 잘 알려져 있으며,language=enwebsite=cometcloud.sci.utah.edu 수학적 미의 예시로 흔히 인용된다.language=enlanguage=enlanguage=en
# 역사
1978년 로버트 W. 브룩스와 피터 마텔스키가 출판한 망델브로 집합의 첫 번째 그림 망델브로 집합은 20세기 초 프랑스의 수학자 피에르 파투와 가스통 쥘리아가 처음 연구한 분야인 복소역학에서 기원한다. 이 프랙탈은 1978년 로버트 W. 브룩스와 피터 마텔스키가 클라인 부분군 연구를 하면서 그 일환으로 처음 정의되고 그려졌다.Robert Brooks and Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in url-status=dead 1980년 3월 1일 뉴욕주 요크타운 하이츠에 있는 IBM의 IBM 왓슨 연구소에서 브누아 망델브로가 처음으로 이 집합을 시각화했다.pmid=18157930 망델브로는 1980년에 출판된 논문에서 이차 다항식의 매개변수 공간을 연구했다.s2cid=85237669 망델브로 집합에 대한 수학적 연구는 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드(1985)의 연구로 본격적으로 시작되었다.Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985) 둘은 이 집합의 많은 기본 속성을 확립하고 프랙탈 기하학에 대한 망델브로의 영향력 있는 업적을 기려 이 집합에 망델브로의 이름을 붙였다. 수학자 하인츠-오토 파이젠과 피터 리히터(Peter Richter)는 사진, 책(1986),title-link=The Beauty of Fractals 그리고 독일 독일 문화원의 국제 순회 전시회(1985)를 통해 이 집합을 홍보하여 잘 알려지게 되었다.Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. Since 1985 shown in over 40 countries.title-link=Chaos: Making a New Science 1985년 8월 사이언티픽 아메리칸의 표지 기사는 망델브로 집합을 계산하는 알고리즘을 소개했다. 표지는 브레멘 대학교의 파이젠, 리히터 및 디트마르 자우페가 만들었다.jstor=24967754 망델브로 집합은 1980년대 중반 개인용 컴퓨터가 고해상도로 집합을 그릴 수 있을 만큼 강력해지면서 컴퓨터 그래픽 데모로 유명해졌다.access-date=11 November 2015 두아디와 허버드의 연구는 복소역학과 추상 수학에 대한 관심이 증가하던 시기에 이루어졌으며,bibcode = 2016RSPSA.47250453R 망델브로 집합의 위상수학적 및 기하학적 연구는 복소역학 분야에서 중요한 주제로 남아있다.language=en
# 공식적인 정의
망델브로 집합은 복소평면에서 이차 사상 :z \mapsto z^2 + clanguage=en 의 임계점 z = 0의 반복에 따른 궤도가 유계로 유지되는 c 값의 비가산 집합이다.access-date=7 October 2007 따라서 복소수 c는 z_0 = 0에서 시작하여 이를 반복할 때 z_n의 절댓값이 모든 n > 0에 대해 유계로 유지되면 망델브로 집합의 원소이다. 예를 들어, c = 1일 때 수열은 0, 1, 2, 5, 26, ... 이고 이는 무한으로 발산하므로 1은 망델브로 집합의 원소가 아니다. 반면, c=-1일 때 수열은 0, −1, 0, −1, 0, ... 이고 이는 유계이므로 −1은 집합에 속한다. 망델브로 집합은 이차 다항식 f(z) = z^2 + c 계열의 연결성 국소로도 정의될 수 있으며, 이는 해당 다항식의 쥘리아 집합이 연결 집합을 형성하는 매개변수 c 공간의 부분 집합이다. 마찬가지로 망델브로 집합의 경계는 이 이차 계열의 분기 국소로 정의될 수 있으며, 이는 다항식의 동적 거동(반복적으로 반복될 때)이 c의 임의로 작은 변화에 대해 급격히 변화하는 매개변수의 부분 집합이다.
# 기본 속성
망델브로 집합은 닫혀 있고 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 닫힌 원판에 포함되어 있으므로 콤팩트 집합이다. 점 c는 모든 n\geq 0에 대해 |z_n|\leq 2인 경우에만 망델브로 집합에 속한다. 다시 말해, c가 망델브로 집합 M에 속하려면 z_n의 절댓값이 2 이하로 유지되어야 하며, 만약 그 절댓값이 2를 초과하면 수열은 무한대로 발산한다. c=z_1이므로 |c|\leq 2가 성립하며, 이는 c가 항상 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 닫힌 원판 안에 있음을 의미한다.access-date=17 January 2024 이차 사상의 분기 다이어그램 사이의 대응 관계]] 수직축에 z_{n}을 반복한 값을 그래프로 그리면 망델브로 집합이 주기-2k 요소에서 분기하는 것을 볼 수 있다. M과 실수축의 교집합은 구간 \left[-2,\frac{1}{4}\right]이다. 이 구간을 따라 있는 매개변수는 실 로지스틱 계열의 매개변수와 일대일 대응을 이룰 수 있다. :x_{n+1} = r x_n(1-x_n),\quad r\in[1,4]. 대응은 다음으로 주어진다. :r = 1+\sqrt{1- 4 c}, \quad c = \frac{r}{2}\left(1-\frac{r}{2}\right), \quad z_n = r\left(\frac{1}{2} - x_n\right). 이는 로지스틱 계열의 전체 매개변수 공간과 망델브로 집합의 매개변수 공간 사이에 대응을 제공한다.language=en 두아디와 허버드는 망델브로 집합이 연결되어 있음을 보였다. 둘은 망델브로 집합의 여집합과 닫힌 단위 원판의 여집합 사이에 명시적인 등각 사상을 구성했다. 망델브로는 원래 망델브로 집합이 단절되어 있다고 추측했다. 이 추측은 M의 다른 부분을 연결하는 가는 실을 감지할 수 없는 프로그램으로 생성된 컴퓨터 그림을 기반으로 했다. 추가 실험을 통해 그는 자신의 추측을 수정하여 M이 연결되어야 한다고 결정했다. 2001년 제레미 칸이 연결성에 대한 위상수학적 증명을 발견했다.date=8 August 2001 망델브로 집합의 주기 1 대륙 근처에서 밖으로 뻗어나가는 외부 반직선의 모습 망델브로 집합의 연결성에 대한 두아디와 허버드의 증명에서 비롯된 망델브로 집합의 여집합의 균일화에 대한 동적 공식은 망델브로 집합의 외부 반직선을 만든다. 이 반직선은 망델브로 집합을 조합론적 용어로 연구하는 데 사용될 수 있으며 요코즈 파라퍼즐의 중추를 형성한다.The Mandelbrot set, theme and variations. Tan, Lei. Cambridge University Press, 2000. . Section 2.1, "Yoccoz para-puzzles", p. 121 망델브로 집합의 경계는 이차 다항식 계열의 분기 국소이다. 다시 말해, 망델브로 집합의 경계는 이차 사상 z_n=z_{n-1}^2+c의 기동이 c에 대한 민감한 의존성을 보이는, 즉 c의 임의로 작은 변화에 대해 급격히 변화하는 모든 매개변수 c의 집합이다. 이는 일반적인 유형의 다항식 렘니스케이트로 알려진 일련의 평면 대수 곡선, 즉 망델브로 곡선의 극한 집합으로 구성될 수 있다. 망델브로 곡선은 p_0=z,\ p_{n+1}=p_n^2+z로 설정한 다음, 복소평면의 점 집합 |p_n(z)| = 2를 실수 데카르트 평면에서 x와 y에 대한 2^{n+1}차 곡선으로 해석하여 정의된다.language=en 각 곡선 n > 0은 p_n에 의한 반지름 2의 초기 원의 사상이다. 이러한 대수 곡선은 아래에서 언급된 "탈출 시간 알고리즘"을 사용하여 계산된 망델브로 집합 이미지에 나타난다.
# 기타 속성

## 주요 심장형과 주기 다발
쌍곡선 요소의 주기 망델브로 집합에서 가장 큰 심장형(하트 모양의 영역)은 주기 1 대륙이다.language=en 이는 사상 f_c(z) = z^2 + c가 끌림 고정점을 갖는 매개변수 c의 영역이다.language=en 이 영역은 열린 단위 원판의 \mu에 대해 c(\mu) := \frac\mu2\left(1-\frac\mu2\right) 형태의 모든 매개변수로 구성된다.language=en 주요 심장형의 왼쪽에 c=-3/4 지점에서 붙어 있는 원형 다발, 즉 주기-2 다발이 보인다. 이 다발은 f_c가 끌림 주기 2 사이클을 갖는 c로 구성된다. 이는 -1을 중심으로 하는 반지름 1/4의 채워진 원이다. 쥘리아 집합 위에 그려진 2/5-다발의 끌림 주기(애니메이션) 보다 일반적으로, 모든 양의 정수 q>2에 대해 주요 심장형에 접하는 \phi(q)개의 원형 다발(여기서 \phi는 오일러 피 함수를 나타냄)이 있는데, 이를 주기-q 다발이라고 한다. 이 여러 다발은 f_c가 주기 q의 끌림 주기를 갖는 매개변수 c로 구성된다. 더 구체적으로, 각 원시 q차 단위근 r=e^{2\pi i\frac{p}{q(여기서 00인 매개변수 c = -\tfrac{3}{4}+ i\varepsilon에 대해, c가 망델브로 집합에 속하지 않음을 확인하는 것은 수열이 임의의 반지름 R>2의 0 주변 원판을 벗어날 때까지 z \mapsto z^2 + c 수열을 z=0에서 시작하여 반복하는 것을 의미한다. 이는 실수 부분이 -3/4인 수직선이 실수선을 벗어난 지점에서 망델브로 집합과 교차하는지 여부에 대한 (여전히 미해결된) 질문에서 이어진다. 필요한 반복 횟수에 \varepsilon를 곱하면 원주율로 수렴한다는 것이 밝혀졌다. 예를 들어, \varepsilon = 0.0000001이고 R=2일 때, 반복 횟수는 31415928이고 곱은 3.1415928이다.isbn=978-0-262-56127-3 이 실험은 1990년대 초 (혹은 그 이전에도) 데이비드 볼(David Boll)을 비롯한 많은 사람들이 독립적으로 수행해 확인했다. 유사한 관찰은 매개변수 c=-5/4 및 c=1/4에서도 이루어졌다(후자의 경우 필요한 수정이 있음). 2001년 아론 클레바노프(Aaron Klebanoff)는 c=1/4에서 이 현상에 대한 (개념적이지 않은) 증명을 발표했다.doi=10.1142/S0218348X01000828 2023년, 폴 지웨르트(Paul Siewert)는 학사 논문에서 c=1/4 값에 대해서도 개념적인 증명을 개발하여, 원주율이 발생하는 이유(기하학적으로 단위 원 둘레의 절반)를 설명했다.Paul Siewert, Pi in the Mandelbrot set. Bachelor Thesis, Universität Göttingen, 2023 2025년, 세 명의 고등학생인 티스 브록뮐러(Thies Brockmöller), 오스카 셰르츠(Oscar Scherz), 네딤 스르칼로비치(Nedim Srkalovic)는 이 이론과 개념 증명을 망델브로 집합의 모든 무한한 분기점으로 확장했다.class=math.DS
## 망델브로 집합의 피보나치 수열
망델브로 집합은 수많은 다발이 직접 붙어 있는 기본 심장형 모양을 특징으로 한다.issn=0002-9890 이러한 다발의 배열을 이해하려면 망델브로 집합의 경계를 자세히 조사해야 한다. 기하학적 관점에서 특정 부분을 확대하면, 경계 내의 위치와 해당 다발에서 추출된 매개변수에 대한 해당 동적인 성질에 대한 정확하고 추론 가능한 정보가 나타난다.url=https://math.bu.edu/people/bob/papers/mar-athan.pdf 망델브로 집합 내의 주 심장형에 달린 다발 중 하나에서 추출된 매개변수 c에 대한 이차 다항식 f_c(z) = z^2 + c의 반복은 지정된 주기 q와 회전수 p/q를 갖는 끌개 주기를 특징으로 하는 사상을 생성한다. 이 맥락에서, c의 끌개 주기는 중심 고정점을 중심으로 회전 운동을 보이며, 각 반복에서 평균 p/q번 회전한다.url=https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_16/2016papers/emily.pdf 망델브로 집합 내의 다발은 끌개 주기와 구조의 기하학적 특징 모두로 구별된다. 각 다발은 접합점에서 뻗어 나와 특정 수의 살을 보여주는 안테나를 가지며, 이는 그 주기를 나타낸다. 예를 들어, 2/5 다발은 회전수 2/5를 갖는 끌개 주기로 식별된다. 그 독특한 안테나형 구조는 접합점에서 5개의 살이 뻗어 나온다. 이 살들 중에서 주된 살은 2/5 다발에 직접 붙어 있고, '가장 작은' 비주류 살은 주된 살에서 반시계 방향으로 약 2/5 회전하는 위치에 있어 2/5-다발로 명확하게 식별된다.url=https://math.bu.edu/people/bob/papers/farey.pdf 이 때문에 '가장 작은' 살이 무엇인지 어떻게 구별하는가 하는 의문이 제기된다. 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드가 개발한 외부 반직선 이론에서는url=https://pi.math.cornell.edu/~hubbard/CR.pdf 망델브로 집합의 위성 쌍곡선 성분의 근 지점에 정확히 두 개의 외부 반직선이 닿는다. 이 각 반직선은 각도 이중 사상 \theta\mapsto 2\theta 아래에서 이중화되는 외각을 가진다. 이 정리에 따르면, 두 반직선이 같은 지점에 떨어질 때 그 사이에 다른 반직선이 교차할 수 없다. 따라서 이 영역의 '크기'는 두 각도 사이의 호 길이를 가지고 알 수 있다. 주 심장형의 근 지점이 c=1/4의 첨점이라면, 주 심장형은 0/1-다발이다. 다른 다발의 근은 단순히 이 다발이 주 심장형에 부착된 지점이다. 이는 0/1 다발과 1/2 다발의 근 사이에 있는 가장 큰 다발은 무엇인가라는 질문을 제기한다. 이는 분명히 1/3-다발이다. 그리고 1/3은 이전 두 분수에서 페리 합을 통해 얻어진다. 즉, 분자끼리 더하고 분모끼리 더하는 방식이다. \frac{0}{1} \oplus \frac{1}{2}=\frac{1}{3} 마찬가지로, 1/3 다발과 1/2 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 2/5-다발이며, 역시 페리 합으로 주어진다. \frac{1}{3} \oplus \frac{1}{2}=\frac{2}{5} 2/5 다발과 1/2 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 3/7-다발이며, 2/5 다발과 1/3 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 3/8-다발이다.website=math.bu.edu 망델브로 집합 내의 다발 배열은 0과 1 사이의 모든 유리수를 포함하는 페리 나무라는 구조를 따르는 놀라운 패턴을 따른다. 이 순서는 주 심장형의 경계를 따라 각 다발을 단위 구간의 유리수와 정확히 일치시킨다. 망델브로 집합 내의 피보나치 수열 상단에 있는 1/3 다발에서 시작하여 1/2 원으로 진행하면, 수열은 체계적으로 전개된다. 1/2와 1/3 사이에 있는 가장 큰 다발은 2/5이고, 1/3와 2/5 사이에는 3/8 등이 있다.website=Patreon 흥미롭게도 망델브로 집합에서 순차적인 스케일의 원형 다발 주기의 분모는 이전 두 항을 더하여 만들어지는 피보나치 수열을 따른다 – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...arxiv=1609.01159website=math.bu.edu 피보나치 수열은 망델브로 집합의 독특한 지점에서 나선형 팔의 개수로 나타나며, 상단과 하단 모두에 반영된다. 이 독특한 위치는 상세한 프랙탈 시각화를 위해 가장 많은 반복 횟수를 요구하며, 확대할수록 복잡한 세부 사항이 반복된다.language=en
## 확대 영상 모음
망델브로 집합의 경계는 이미지를 더 가까이 보거나 확대할수록 더욱 복잡한 세부 사항을 보여준다. 다음은 선택된 c 값으로 확대하는 여러 이미지의 예시이다. 표시된 영역은 "-0.75 + 0.1i" 지점을 중심으로 하는 망델브로 집합 영역인 "해마 계곡"으로 알려져 있다.isbn=978-1-351-80121-8 첫 번째 이미지에 대한 마지막 이미지의 배율은 약 1010배이다. 일반적인 컴퓨터 모니터와 비교하자면 이는 지름 4백만 킬로미터의 망델브로 집합 부분을 나타낸다. - Mandel zoom 00 mandelbrot 연속적으로 색칠된 환경을 가진 망델브로 집합. Mandel zoom 01 head and "몸" 사이의 간격, "해마 계곡"이라고도 불린다.language=en Mandel zoom 02 seehorse 이중 나선, 오른쪽의 "해마" Mandel zoom 03 된 "해마" 해마 "몸통"은 각각 12개의 "살"로 이루어진 두 그룹과 주 심장형에 연결된 1개의 "살"로 구성된 25개의 "살"로 이루어져 있다.language=en 이 두 집단은 망델브로 집합의 "윗손"의 두 "손가락"에 대한 어떤 변형에 기인할 수 있다. 따라서 "살"의 수는 한 "해마"에서 다음 "해마"로 2씩 증가한다. "허브"는 미슈레비치 점이다. "몸통 윗부분"과 "꼬리" 사이에는 왜곡된 망델브로 집합의 복사본이 있는데, 이를 "위성"이라고 한다. 파일:Mandel zoom 04 seehorse 꼬리"의 중앙 끝점도 미슈레비치 점이다. 파일:Mandel zoom 05 tail 일부 – 전체 "꼬리"를 관통하는 얇은 구조물로 이루어진 경로는 하나뿐이다. 이 지그재그 경로는 "꼬리"의 안쪽 및 바깥쪽 경계에 있는 25개의 "살"을 가진 큰 물체의 "허브"를 지나간다. 따라서 망델브로 집합은 단일 연결 집합이며, 이는 섬이나 구멍 주위를 도는 순환 도로가 없음을 의미한다. 파일:Mandel zoom 06 double 두 "해마 꼬리"(또는 수상 돌기 구조)language=en는 중심에 위성을 가진 일련의 동심원 왕관의 시작점이다. 파일:Mandel zoom 07 각 왕관은 유사한 "해마 꼬리"로 구성되며, 그 수는 2의 거듭제곱으로 증가하는데, 이는 위성 환경에서 나타나는 전형적인 현상이다. 나선형 중심에 이르는 유일한 경로는 심장형의 홈에서 "머리"의 "안테나" 꼭대기까지 위성을 지나간다. 파일:Mandel zoom 08 satellite "안테나". 여러 개의 2차 위성이 있다. 파일:Mandel zoom 09 satellite head and "해마 계곡". 시작부터 모든 구조가 다시 나타난다. 파일:Mandel zoom 10 satellite seehorse 나선과 "해마". 시작에서 두 번째 이미지와 달리, 이들은 "해마 꼬리"와 같은 구조로 된 부속물을 가지고 있다. 이는 위성 주변 환경에서 n + 1개의 서로 다른 구조가 연결되는 전형적인 현상을 보여주며, 여기서는 가장 간단한 경우 n = 1이다. 파일:Mandel zoom 11 satellite double 위성을 가진 이중 나선. "해마"와 유사하게, 이중 나선은 "안테나"의 변형으로 해석될 수 있다. 파일:Mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia 바깥 부분에서 여러 구조물의 섬이 인식될 수 있다. 이들은 쥘리아 집합 Jc와 같은 모양을 가지며, 그 중 가장 큰 것은 오른쪽의 "이중 갈고리" 중앙에서 찾을 수 있다. 파일:Mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia 갈고리"의 일부. 파일:Mandel zoom 14 satellite julia 섬. 파일:Mandel zoom 15 one 섬의 세부 모습. 파일:Mandel zoom 16 spiral 세부 모습. 세 번째 마지막 단계의 섬은 해당 쥘리아 집합 J_c의 경우처럼 무한히 많은 부분으로 구성된 것처럼 보인다. 이들은 미세한 구조로 연결되어 전체가 단일 연결 집합을 이룬다. 이 미세한 구조는 중앙의 위성에서 서로 만나는데, 이 확대율에서는 너무 작아서 인식할 수 없다. 해당 J_c에 대한 c 값은 이미지 중심이 아니라, 망델브로 집합의 본체에 대해 6단계에서 보여진 위성에 대한 이 이미지 중심과 같은 위치를 가진다.
## 내부 구조
망델브로 집합은 일반적으로 외부 경계의 세부 사항을 보여주도록 렌더링되지만, 유계 집합 내의 구조도 드러낼 수 있다.issn=0097-8493url=https://www.acsu.buffalo.edu/~adamcunn/downloads/MandelbrotSet.pdfdoi=10.13140/RG.2.2.24445.74727 예를 들어, 주어진 c 값이 유계인지 비유계인지 계산하는 동안 유계로 남아있을 때 이 숫자가 도달하는 최대값을 해당 위치의 c 값과 비교할 수 있다. 제곱합 방법을 사용하면 계산된 숫자는 max:(실수^2 + 허수^2) − c:(실수^2 + 허수^2)가 된다. 이 계산의 크기는 그라디언트 값으로 렌더링될 수 있다. 위 계산을 하면 다음과 같은 결과를 생성한다. 경계에 접근할수록 뚜렷한 가장자리와 윤곽선을 가진 그라디언트가 나타난다. 애니메이션은 그라디언트 경계를 강조한다. 파일:Mandelbrot full 집합 내부의 애니메이션 그라디언트 구조 파일:Mandelbrot inner 집합 내부의 애니메이션 그라디언트 구조, 세부 모습 파일:Mandelbrot gradient 약 200,000까지의 점진적 반복 렌더링 및 해당 유계 그라디언트 애니메이션 파일:Mandelbrot gradient iterations 반복의 그라디언트 썸네일
# 일반화
footer = d가 0에서 5까지, (왼쪽) 0.05에서 2까지 (오른쪽)인 멀티브로 집합의 애니메이션. 4D 쥘리아 집합은 3D로 투영되거나 단면화될 수 있으며, 이로 인해 4D 망델브로 집합도 가능하다.
## 멀티브로 집합
멀티브로 집합은 다음의 일반적인 단일변수 다항식 재귀족의 구성원에 대해 복소평면에서 발견되는 유계 집합이다. :z \mapsto z^d + c.pages=477–517 정수 d에 대해, 이 집합들은 동일한 공식으로 구성된 쥘리아 집합의 연결성 국소이다. 완전한 3차 연결성 국소도 연구되었는데, 여기서 2매개변수 재귀 z \mapsto z^3 + 3kz + c를 고려한다. 이 재귀의 두 임계점은 매개변수 k의 복소 제곱근이다. 매개변수는 두 임계점이 모두 안정적이면 3차 연결성 국소에 속한다.Rudy Rucker's discussion of the CCM: CS.sjsu.edu date=3 March 2017 일반적인 정칙 함수 계열의 경우, 망델브로 집합의 경계는 분기 국소로 일반화된다. 멀티브로 집합은 지수 d의 값을 변경하여 얻어진다. 이 문서에는 d = 0에서 7까지의 발달을 보여주는 비디오가 있으며, 이때 둘레 주위에 6개, 즉 (d-1)개의 엽이 있다. 일반적으로 d가 양의 정수일 때, 이들 각 집합의 중심 영역은 항상 (d-1)개의 첨점을 갖는 에피사이클로이드이다. 음의 정수 지수로 유사한 발달을 하면 고리의 안쪽에 (1-d)개의 갈라짐이 생기는데, 이때 집합의 주요 중심 영역은 (1-d)개의 첨점을 갖는 하이포사이클로이드이다.
## 고차원
망델브로 집합을 3D로 완벽하게 확장할 수는 없다. 3D에는 복소수의 아날로그가 없어 반복할 수 없기 때문이다. 복소수를 4차원으로 확장한 사원수는 망델브로 집합과 쥘리아 집합을 4차원으로 완벽하게 확장한다. 그런 다음 이들을 3D 구조로 단면도를 그리거나 투영할 수 있다. 사원수(4차원) 망델브로 집합은 2차원 망델브로 집합(j-k 평면)의 단순한 회전체이므로 흥미롭지 않다.website=BridgesMathArt d = 0\ (q = a + bi +cj + dk)에서 3차원 단면을 취하면 실수 축을 중심으로 2차원 망델브로 집합의 회전체가 된다.
## 기타 비해석적 사상
트리콘/망델바 프랙탈 이미지]] **트리콘 프랙탈**은 **망델바 집합**이라고도 불리며, 반정칙 함수 계열 z \mapsto \bar{z}^2 + c의 연결성 국소이다. 이는 존 밀너가 실수 삼차 함수 다항식의 매개변수 단면을 연구하던 중 발견했다. 이는 국소적으로 연결되어 있지 않다. 이 속성은 실수 삼차 다항식의 연결성 국소로 계승된다. 또 다른 비해석적 일반화는 다음을 반복하여 얻어지는 버닝 쉽 프랙탈이다. :z \mapsto (|\Re \left(z\right)|+i|\Im \left(z\right)|)^2 + c.
# 컴퓨터로 그리기
망델브로 집합의 그래프 알고리즘 컴퓨팅 장치를 통해 망델브로 집합의 그래프를 그리기 위한 다양한 알고리즘이 존재한다. 여기서는 가장 인기 있고language=en 가장 간단한 알고리즘 중 하나인language=en 순진한language=en "탈출 시간 알고리즘"을 보여줄 것이다. 탈출 시간 알고리즘에서는 그래프의 각 x, y 지점에 대해 반복 계산을 수행하고 해당 계산의 동작에 따라 픽셀의 색상을 선택한다.language=enlanguage=en 각 지점의 x 및 y 위치는 반복 계산(아래에서 자세히 설명)의 시작 값으로 사용된다. 각 반복의 결과는 다음 반복의 시작 값으로 사용된다. 값은 각 반복 동안 확인되어 임계 "탈출" 조건 또는 "탈출"에 도달했는지 확인한다. 해당 조건에 도달하면 계산이 중지되고 픽셀이 그려진 다음 다음 x, y 지점이 검사된다. 각 점의 색상은 값이 탈출점에 얼마나 빨리 도달했는지를 나타낸다. 종종 검정색은 최대 반복 제한 전에 탈출에 실패한 값을 나타내는 데 사용되며, 점차 색상이 밝아질수록 더 빨리 탈출한 점에 사용된다. 이는 탈출 조건에 도달하기 전에 필요한 주기 수를 시각적으로 표현한다. 이러한 이미지를 렌더링하려면 고려 중인 복소평면 영역이 특정 수의 화소로 세분된다. 이러한 픽셀에 색을 입히려면 c를 해당 픽셀의 중간점으로 둔다. f_c 아래에서 임계점 0을 반복하고, 각 단계에서 궤도 점의 반지름이 2보다 큰지 확인한다. 이 경우 c는 망델브로 집합에 속하지 않으므로, 이를 확인하는 데 사용된 반복 횟수에 따라 픽셀에 색을 입힌다. 그렇지 않으면 고정된 단계 수까지 반복한 후, 매개변수가 "아마도" 망델브로 집합에 속하거나 적어도 매우 가까이 있다고 판단하여 픽셀을 검정색으로 칠한다. 의사코드로 구현한 이 알고리즘은 다음과 같다. 이 알고리즘은 복소수를 사용하지 않으며, 복소수 자료형이 없는 사용자를 위해 두 개의 실수로 복소수 연산을 수동으로 시뮬레이션한다. 프로그래밍 언어에 복소수 자료형 연산이 포함되어 있다면 프로그램은 단순화될 수 있다. **for** 각 화면의 픽셀(Px, Py)에 대해 **do** x0 := 픽셀의 스케일된 x 좌표 (망델브로 X 스케일 (-2.00, 0.47)에 맞게 스케일됨) y0 := 픽셀의 스케일된 y 좌표 (망델브로 Y 스케일 (-1.12, 1.12)에 맞게 스케일됨) x := 0.0 y := 0.0 iteration := 0 max_iteration := 1000 **while** (x^2 + y^2 ≤ 2^2 AND iteration = bound: row.append(iteration_number) break else: try: z = func(z, p, c) except (ValueError, ZeroDivisionError): z = c else: row.append(0) iteration_array.append(row) # Plotting the data ax = plt.axes() ax.set_aspect("equal") graph = ax.pcolormesh(x_domain, y_domain, iteration_array, cmap=colormap) plt.colorbar(graph) plt.xlabel("Real-Axis") plt.ylabel("Imaginary-Axis") plt.show() 다음은 위의 코드를 numba로 최적화한 코드이다.import numpy as np,matplotlib.pyplot as plt from matplotlib.colors import LinearSegmentedColormap from numba import njit, prange import numpy as np import time #cs=[(1,.5,0),(1,.5,0),(1,.6,0),(1,.8,0),(1,1,0),(1,1,.5),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(0,0,1),(0,0,.6),(0,0,0)] cs = [(0, 0, .6),(0, 0, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, .5), (1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .6, 0),(1, .6, 0),(1, .6, 0),(1, .6, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1,0,0),(0, 0, 0)] cm=LinearSegmentedColormap.from_list('cdiv',cs,N=1024) @njit(parallel=True) def compute_tetration_divergence_parallel(nx, ny, max_iter, escape_radius, x0, y0, eps, eps_y): divergence_map = np.zeros((nx, ny), dtype=np.float64) for i in prange(nx): # prange로 병렬 반복문 x_val = x0 - eps + (2 * eps) * i / (nx - 1) for j in range(ny): y_val = y0 - eps_y + (2 * eps_y) * j / (ny - 1) c_val = complex(x_val, y_val) z = c_val divergence_map[i, j] =1.1 for _ in range(max_iter): z = z ** 2 + c_val if abs(z) > escape_radius: divergence_map[i, j] =_/max_iter break return divergence_map # 변수 세팅 (예시) x0 = 0.3512#-0.87449847947295 y0 = -0.10251#0.25556091434514 eps = 3e-3#1e-13 eps_y = eps * (9/16) n = 3840 #화질 nx, ny = n, int(n*(9/16)) max_iter = 500 escape_radius = 2 print("start") s = time.time() divergence_map = compute_tetration_divergence_parallel(nx, ny, max_iter, escape_radius, x0, y0, eps, eps_y) e = time.time() t = e - s print(str(int(t/3600))+":"+str(int(t%3600/60))+":"+str(t%3600%60/60)) plt.figure(figsize=(10,10));nm=plt.Normalize(vmin=0,vmax=1.1) plt.imshow(divergence_map.T,extent=[x0-eps,x0+eps,y0-eps_y,y0+eps_y],origin='lower',cmap=cm,norm=nm) import random;a = random.random() plt.axis('off');fn=f"mytetration_x_{x0}_y_{y0}_eps_{eps}_{n}_{a}.png" plt.savefig(fn,dpi=1000,bbox_inches='tight',pad_inches=0);plt.show()방정식 z=z^5+c로 표현되는 2차원 멀티브로 집합의 이미지. 'power' 변수의 값은 동등한 멀티브로 집합(z = z^{\text{power+c)의 이미지를 생성하도록 수정할 수 있다. 예를 들어, 'p = 2'로 설정하면 관련 이미지가 생성된다.
# 대중문화에 미친 영향
망델브로 집합은 가장 인기 있는 프랙탈로 널리 알려져 있으며,Mandelbaum, Ryan F. (2018). "This Trippy Music Video Is Made of 3D Fractals." Retrieved 17 January 2019Moeller, Olga de. (2018)."what are Fractals?" Retrieved 17 January 2019. 대중문화에서 여러 번 언급되었다.
## 만화
* 미완성 앨런 무어 만화책 시리즈 빅 넘버스(1990)는 망델브로의 프랙탈 기하학 및 혼돈 이론 연구를 이 작품의 구조를 지지하는 데 사용했다. 무어는 한때 이 만화책 시리즈의 이름을 망델브로 집합으로 지으려 했다.date=21 May 2012 * 만화 히카루가 죽은 여름 (2021 – 현재)에서 요시키(Yoshiki)는 가짜 히카루의 몸에 손을 넣었을 때 망델브로 집합을 환각한다.
## 문학
* 아서 C. 클라크의 소설 그랜드 뱅크스에서 온 유령(1990)에는 망델브로 집합의 모양을 재현한 인공 호수가 등장한다.isbn=978-0-575-12179-9 * 피어스 앤서니의 모드 시리즈의 두 번째 책인 프랙탈 모드(Fractal Mode)(1992)는 이 집합의 완벽한 3D 모델인 세계를 묘사한다.isbn=978-0-246-13902-3 * 이언 스튜어트의 2001년 책 플랫랜더에는 만델블롯(Mandelblot)이라는 캐릭터가 등장하여 캐릭터와 독자에게 프랙탈을 설명하는 데 도움을 준다.pages=462–465
## 음악
* 블루 맨 그룹의 1999년 데뷔 앨범 오디오는 "Opening Mandelbrot", "Mandelgroove", "Klein Mandelbrot"라는 곡 제목에서 망델브로 집합을 언급한다.language=en 그들의 두 번째 앨범 더 콤플렉스(2003)는 "Mandelbrot IV"라는 히든 트랙으로 끝난다. * 미국 록 밴드 하트는 앨범 주피터스 달링(2004) 표지에 망델브로 집합 이미지를 사용했다. * 영국 블랙 메탈 밴드 아나알 나트라흐는 앨범 에스카톤(2006) 커버 아트에 망델브로 집합과 유사한 이미지를 사용한다. * 조너선 콜턴의 노래 "Mandelbrot Set"(2008)은 프랙탈 자체와 그 이름의 주인공인 브누아 망델브로에게 바치는 헌정곡이다.url-status=dead * 닐 시시에레가의 노래 "It's Gonna Get Weird"(2016)는 괴짜가족 괴담일기(2012 – 2016)를 위해 쓰였지만 사용되지 않은 곡으로, 주요 길항제인 빌 사이퍼의 시점에서 불린다.archive-date=April 9, 2022language=en 한 구절에서 빌은 "망델브로 무지개"와 "비명 지르는 토네이도"를 만들 것을 고려한다.access-date=August 30, 2025
## 기타
* 텔레비전 시리즈 더크 젠틀리의 전체론적 탐정 사무소(2016)는 아만다 캐릭터의 환상과 관련하여 망델브로 집합을 두드러지게 다룬다. 시즌 2에서는 그녀의 재킷 등판에 큰 프랙탈 이미지가 그려져 있다.website=www.icollector.com * 브누아 망델브로와 그 이름을 딴 집합은 2020년 11월 20일(고 브누아 망델브로의 96번째 생일)의 구글 두들 주제였다.access-date=30 December 2020