힐베르트 공간

양자역학 함수해석학에서 **힐베르트 공간**(Hilbert空間, Hilbert space)은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.
# 정의
K가 \mathbb R 또는 \mathbb C라고 하자. K-**힐베르트 공간** (\mathcal H,\langle\cdot,\cdot\rangle)은 완비 거리 공간을 이루는 K-내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다. 이와 동치로, K-힐베르트 공간을 다음과 같은 **평행사변형 항등식**(平行四邊形恒等式, parallelogram identity)을 만족시키는 K-바나흐 공간 (\mathcal H,\|\cdot\|)으로 정의할 수 있다. :\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2(\|u\|^2+\|v\|^2)\qquad\forall u,v\in\mathcal H 이 경우, 내적 구조는 :\langle u,v\rangle=\begin{cases} \frac14\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\right)&K;=\mathbb R\\\ \frac14\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2+i\|u+iv\|^2-i\|u-iv\|^2\right)&K;=\mathbb C\\\ \end{cases} 가 된다.
# 분류
힐베르트 공간 \mathcal H의 **정규 직교 기저** B\subset\mathcal H는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다. * 모든 e,e'\in B에 대하여,\langle e,e'\rangle=\begin{cases}0&e;\ne e'\\\1&e;=e'\end{cases} * 다음 집합은 \mathcal H 속의 조밀 집합이다.n\in\mathbb N,\;e_1,\dots,e_n\in B,\;a_1,\dots,a_n\in K\right\\}\subset\mathcal H 초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 \mathcal H의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 **차원** \dim\mathcal H이라고 한다. 일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 \operatorname{Span}B=\mathcal H를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 \operatorname{Span}B가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다. 두 K-힐베르트 공간 \mathcal H, \mathcal H' 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.1.4.19–1.4.21 * \dim\mathcal H=\dim\mathcal H' * \mathcal H와 \mathcal H' 사이에 유니터리 변환 U\colon\mathcal H\to\mathcal H'이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다. 따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, K-힐베르트 공간 \mathcal H에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.1.4.23 * \mathcal H는 분해 가능 공간이다. * \dim\mathcal H\le\aleph_0이다. 즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 \aleph_0이다.
# 성질
리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 \mathcal H는 스스로의 연속 쌍대 공간 \mathcal H^*와 동형이며, 만약 K=\mathbb R일 경우 이는 표준적(canonical) 동형이다.
# 예
K가 \mathbb R 또는 \mathbb C라고 하고, (X,\mathcal F,\mu)가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L2 공간 L^2(X,K)는 K-힐베르트 공간을 이룬다.언어=en1.4.9 만약 X가 셈측도가 부여된 집합이라면 :\dim L^2(X,K)=|X| 이며, 함수 :f_x\colon X\to K\qquad(x\in X) :f_x(y)=\begin{cases}1&x;=y\\\0&x;\ne y\end{cases} 는 L^2(X,K)의 정규 직교 기저를 이룬다. 만약 \mathcal F가 분해가능 시그마 대수(d(A,B)=\mu(A\setminus B\cup B\setminus A)로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 X가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, L^2(X,K)는 분해 가능 공간이다.1.3.9
# 응용
힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다. 푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다. 양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.
# 역사
1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 *L*2가 완비 거리 공간임을 증명하였다.Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다.In Dunford & Schwartz (1958, §IV.16), the result that every linear functional on L2[0,1] is represented by integration is jointly attributed to Fréchet (1907) and Riesz (1907). The general result, that the dual of a Hilbert space is identified with the Hilbert space itself, can be found in Riesz (1934). 1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 (f,g):=\int_a^b f(x)g(x)dx이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 L^2공간이 된다.Schmidt, Erhard (1908), "Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten", Rend. Circ. Mat. Palermo, 25: 63–77, doi:10.1007/BF03029116 다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 \ell^2(\mathbb N)을 정의하였다.언어=de 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만언어=de 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.