소피 제르맹 정리

수론에서, **소피 제르맹 정리**(Sophie Germain theorem)는 소피 제르맹이 증명한, 페르마의 마지막 정리의 특수한 경우이다. 널리 알려진 약한 형태에 따르면, 만약 p가 소피 제르맹 소수라면, 방정식 x^p+y^p=z^p의 해를 이루는 세 정수 가운데 하나 이상은 항상 p로 나누어떨어진다. 제르맹이 실제 증명한 정리는 p가 소피 제르맹 소수인 경우에 그치지 않으며, 또한 p 대신 p^2으로 나누어떨어짐을 결론으로 한다.
# 정의
홀수 소수 p가 주어졌고, 다음 두 조건을 만족시키는 소수 q(p)가 존재한다고 하자. * (p는 p제곱 잉여가 아님) x^p\equiv p\\!\\!\\!\\!\pmod{q(p)}인 정수 x가 존재하지 않는다. * (이웃하는 p제곱 잉여의 부재) 만약 x^p\equiv y^p+1\\!\\!\\!\\!\pmod{q(p)}라면, q(p)\mid x이거나 q(p)\mid y이다. 그렇다면, 방정식 x^p+y^p=z^p의 임의의 정수해 (x,y,z)에 대하여, 항상 p^2\mid x이거나 p^2\mid y이거나 p^2\mid z이다. 이를 **소피 제르맹 정리**라고 한다. 부제=p\mid x이거나 p\mid y이거나 p\mid z 세 정수 (x,y,z)가 x^p+y^p=z^p의 해라고 하자. 귀류법을 사용하여, p\nmid x, p\nmid y, p\nmid z라고 가정하자. 편의상 (x,y,z)가 서로소라고 가정하자. 그렇다면, 세 쌍의 정수 * x+y와 x^{p-1}-x^{p-2}y+x^{p-3}y^2-\cdots+y^{p-1}, * z-y와 z^{p-1}+z^{p-2}y+z^{p-3}y^2+\cdots+y^{p-1}, * z-x와 z^{p-1}+z^{p-2}x+z^{p-3}x^2+\cdots+x^{p-1} 는 각각 서로소이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다. 대칭에 따라, 첫 번째 쌍만을 보여도 좋다. \phi(x,y)=x^{p-1}-x^{p-2}y+x^{p-3}y^2-\cdots+y^{p-1}라고 하자. q가 소수이며, x+y와 \phi(x,y)를 나눈다고 가정하자. 그렇다면 y\equiv-x\\!\\!\\!\\!\pmod q이므로, :\phi(x,y)\equiv px^{p-1}\pmod q 이며, 따라서 q는 p를 나누거나 x를 나눈다. 만약 q\mid p라면, q=p이다. p는 :(x+y)\phi(x,y)=x^p+y^p=z^p 를 나누므로, z를 나누며, 이는 모순이다. 만약 q\mid x라면, q는 x와 x+y를 둘 다 나누므로 y를 나누며, 이는 x와 y가 서로소인 데 모순이다. 귀류법에 따라, 위 세 쌍의 정수는 서로소이다. z=lr, x=hn, y=vm이며 :\begin{align} x+y & =l^p & x^{p-1}-x^{p-2}y+x^{p-3}y^2-\cdots+y^{p-1} & =r^p \\\ z-y & =h^p & z^{p-1}+z^{p-2}y+z^{p-3}y^2+\cdots+y^{p-1} & =n^p \\\ z-x & =v^p & z^{p-1}+z^{p-2}x+z^{p-3}x^2+\cdots+x^{p-1} & =m^p \end{align} 인 정수 l,r,h,n,v,m이 존재한다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다. 대칭에 따라 l,r의 존재만을 보여도 좋다. x+y와 \phi(x,y)는 서로소이며, 그 곱 z^p은 어떤 정수의 p제곱이다. 따라서 x+y와 \phi(x,y)도 어떤 정수의 p제곱이다. x+y=l^p, \phi(x,y)=r^p로 놓자. 그렇다면 z^p=l^pr^p, 즉 z=lr이다. q(p)는 x와 y와 z 중 하나 이상을 나눈다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다. 만약 셋 모두 q(p)와 서로소라면, x^{-1}이 x의 법 q(p)에 대한 곱셈 역원이라고 하였을 때 1+(x^{-1}y)^p\equiv(x^{-1}z)^p\pmod{q(p)}이며, 이는 q(p)가 만족시켜야 하는 조건과 모순이다. 편의상 q(p)\mid z라고 가정하자. 그렇다면, :l^p+h^p+v^p=(x+y)+(z-x)+(z-y)=2z\equiv0\pmod{q(p)} 이다. 위와 마찬가지로, q(p)는 l과 h와 v 중 하나 이상을 나눈다. 만약 q(p)가 h나 v를 나눈다면, q(p)는 x나 y를 나누므로, z는 x나 y와 서로소가 아니며, 이는 불가능하다. 따라서 q(p)는 l을 나누며, x,y,z가 서로소이므로 x나 y를 나누지 않는다. 따라서 y\equiv-x\\!\\!\\!\\!\pmod{q(p)}이며, v^p=z-x\equiv-x\\!\\!\\!\\!\pmod{q(p)}이며, :r^p=\phi(x,y)\equiv px^{p-1}\equiv p(-v^p)^{p-1}=pv^{p(p-1)}\pmod{q(p)} 이다. v는 q(p)와 서로소이므로, p는 법 q(p)에 대하여 어떤 정수의 p제곱과 합동이며, 이는 q(p)가 만족시켜야 하는 조건과 모순이다. 귀류법에 따라, p\mid x이거나 p\mid y이거나 p\mid z이다. 증명 끝 부제=p^2\mid x이거나 p^2\mid y이거나 p^2\mid z 세 정수 (x,y,z)가 x^p+y^p=z^p의 해라고 하고, 편의상 (x,y,z)가 서로소라고 가정하자. 그렇다면 p는 x나 y나 z를 나눈다. 편의상 p\mid z라고 하자. 그렇다면 p\nmid x이며 p\nmid y이다. 세 쌍의 정수 * x+y와 x^{p-1}-x^{p-2}y+x^{p-3}y^2-\cdots+y^{p-1}, * z-y와 z^{p-1}+z^{p-2}y+z^{p-3}y^2+\cdots+y^{p-1}, * z-x와 z^{p-1}+z^{p-2}x+z^{p-3}x^2+\cdots+x^{p-1} 를 생각하자. 첫 번째 쌍은 p가 아닌 공통의 소인수를 갖지 않으며, 두 번째 쌍과 세 번째 쌍은 각각 서로소이다. 증명은 위와 유사하다. z=lrp, x=hn, y=vm이며 :\begin{align} x+y & =l^pp^{p-1} & x^{p-1}-x^{p-2}y+x^{p-3}y^2-\cdots+y^{p-1} & =pr^p \\\ z-y & =h^p & z^{p-1}+z^{p-2}y+z^{p-3}y^2+\cdots+y^{p-1} & =n^p \\\ z-x & =v^p & z^{p-1}+z^{p-2}x+z^{p-3}x^2+\cdots+x^{p-1} & =m^p \end{align} 인 정수 l,r,h,n,v,m이 존재하며, 이는 다음과 같이 보일 수 있다. h,n,v,m의 존재의 증명은 위와 유사하다. l,r의 존재를 보이려면 p\mid\phi(x,y)이며 p^2\nmid\phi(x,y)임을 보이면 충분하다. (이 경우, (x+y)/p^{p-1}와 \phi(x,y)/p는 서로소이며, 그 곱 z^p/p^p는 어떤 정수의 p제곱이다.) s=x+y라고 하자. 그렇다면 :\begin{align} \phi(x,y) & =\frac{y^p+x^p}{x+y} \\\ & = \frac{(s-x)^p+x^p}s \\\ & = s^{p-1}-\binom p1s^{p-2}x+\cdots-\binom p{p-2}sx^{p-2}+\binom p{p-1}x^{p-1} \end{align} 이다. 페르마의 소정리에 따라 :s=x+y\equiv x^p+y^p=z^p\equiv0\pmod p 이다. 임의의 정수 0에 대하여 p는 :\binom pi=\frac{p(p-1)\cdots(p-i+1)}{i!} 을 나눈다. x는 p와 서로소이다. 따라서 \phi(x,y)의 마지막 항은 정확히 p로 나누어떨어지며, 남은 항들은 p^2으로 나누어떨어진다. 즉, \phi(x,y)는 정확히 p로 나누어떨어진다. 페르마의 소정리에 따라 :0\equiv2z-(x+y)=(z-x)+(z-y)=h^p+v^p=h+v\pmod p 이므로, :h^{p-1}-h^{p-2}v+\cdots+v^{p-1}\equiv ph^{p-1}\equiv0\pmod p 이며, 따라서 p^2\mid h^p+v^p이다. x+y=l^pp^{p-1}이므로, p^2\mid x+y이다. 따라서 :2z=h^p+v^p+(x+y)\equiv0\pmod{p^2} 이다. 즉, p^2\mid z이다. 증명 끝
## 소피 제르맹 소수
특히, 만약 p와 2p+1이 둘 다 소수라면, q(p)=2p+1로 놓을 수 있다. 따라서 홀수 소피 제르맹 소수는 정리의 조건을 만족시킨다. 증명 \phi가 오일러 피 함수라고 하자. 2p+1가 소수이므로 \phi(2p+1)=2p이다. 페르마의 소정리에 따라, 임의의 정수 x에 대하여 :x^{2p}\equiv0,1\pmod{2p+1} 이며, 따라서 :x^p\equiv0,1,-1\pmod{2p+1} 이다. 특히 x^p\not\equiv p\\!\\!\\!\\!\pmod{2p+1}이며, 만약 x^p\equiv y^p+1\\!\\!\\!\\!\pmod{2p+1}이라면 x^p\equiv0\\!\\!\\!\\!\pmod{2p+1}이거나 y^p\equiv0\\!\\!\\!\\!\pmod{2p+1}이다. 즉, 2p+1\mid x이거나 2p+1\mid y이다. 증명 끝 **소피 제르맹 정리**는 흔히 이 특수한 경우를 일컬으며, 이를 구체적으로 쓰면 다음과 같다. 만약 p가 홀수 소수이며, 2p+1 역시 소수라면, 방정식 x^p+y^p=z^p의 임의의 정수해 (x,y,z)에 대하여, 항상 p\mid x이거나 p\mid y이거나 p\mid z이다.
## 지수 5
특히, 5와 2×5+1=11은 둘 다 소수이다. **소피 제르맹 정리**는 때로 이 특수한 경우를 일컬으며, 이를 구체적으로 쓰면 다음과 같다. 방정식 x^5+y^5=z^5의 임의의 정수해 (x,y,z)에 대하여, 항상 5\mid x이거나 5\mid y이거나 5\mid z이다.
# 역사
소피 제르맹(1776~1831) 소피 제르맹이 증명하였다.위치=파리 제르맹은 97 이하인 소수 p에 대하여 적절한 q(p)를 잡았고, 이에 따라 97 이하인 소수 지수에 대하여 페르마의 마지막 정리의 이른바 “첫 번째 경우”(즉, 해를 이루는 세 정수가 지수와 서로소인 경우)를 증명하였다. 제르맹은 자신의 페르마의 마지막 정리에 대한 업적을 출판하지 않았다. 정확한 이유는 알려져 있지 않지만, 제르맹은 그의 탄성 이론 연구 업적을 《프랑스 과학 아카데미 학회지》(Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France)에 출판하는 과정에서 분쟁을 겪고 자비 출판으로 돌아선 적이 있다. 제르맹의 업적이 적힌 필사본은 그의 친구였던 굴리엘모 리브리(Guglielmo Libri, 1803~1869)에게 도난당했으며, 나중에 경찰에게 회수되었다. 현재, 제르맹의 필사본 가운데 일부(특히)는 프랑스 국립도서관에 보존되어 있으며, 일부는 모레니 도서관(Biblioteca Moreniana)에 보존되어 있다. 아드리앵마리 르장드르는 1823년 출판 논문에서 제르맹의 업적에 대하여 주해하였으며, 제르맹을 이어 197 이하인 소수가 소피 제르맹 정리의 조건을 만족시킴을 확인하였다.날짜=1823 이를 통해 제르맹의 업적이 주목을 받았으나, 소피 제르맹 정리는 오랫동안 페르마의 마지막 정리에 대한 제르맹의 유일한 업적으로 여겨졌으며, 흔히 그 특수한 경우만이 언급되었다.