드람 코호몰로지

대수적 위상수학과 미분위상수학에서 **드람 코호몰로지**(de Rham cohomology)는 매끄러운 다양체의 미분 형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다.출판사=아르케언어=en 미분 형식을 써 매끄러운 다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 매끄러운 다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 매끄러운 다양체 M * 매끄러운 선형 다발 E\twoheadrightarrow M 그렇다면, M 위의 E 값의 미분 형식 :\Omega^\bullet(M;E) = \Gamma\left(E \otimes \bigwedge\mathrm T^*M\right) 을 정의할 수 있다. E 위의 선형 다발 접속 :\nabla \colon \Gamma(E) \to \Gamma(E\otimes\mathrm T^*M) 을 고르면, 이로부터 E 값의 미분 형식의 외미분 :\mathrm d_\nabla \colon \Omega^\bullet(M;E) \to \Omega^{\bullet+1}(M;E) 을 정의할 수 있다. 그렇다면, \mathrm d_\nabla\circ\mathrm d_\nabla는 \nabla의 곡률에 비례하며, 만약 \nabla가 평탄 선형 다발 접속이라면 \mathrm d_\nabla\circ\mathrm d_\nabla = 0이다. 즉, 이 경우 공사슬 복합체 :0 \to\Omega^0(M;E) \,\overset{\mathrm d_\nabla}\to\, \Omega^1(M;E) \,\overset{\mathrm d_\nabla}\to\, \dotsb \,\overset{\mathrm d_\nabla}\to\, \Omega^{\dim M}(M;E) \to 0 가 존재한다. 이를 **드람 공사슬 복합체**(de Rham共사슬複合體, de Rham cochain complex)라고 하며, 그 코호몰로지 :\operatorname H^i_\text{dR}(M;E) = \frac{\ker(\mathrm d_\nabla \restriction \Omega^i(M;E))}{\operatorname{im}(\mathrm d_\nabla \restriction \Omega^{i-1}(M;E))}\qquad(i\in\mathbb N) 를 **E 계수의 드람 코호몰로지**(de Rham cohomology with coefficients in E)라고 한다. 특히, E = M \times \mathbb R가 자명한 선형 다발 접속을 갖춘 자명한 선형 다발인 경우, E 값의 미분 형식은 단순한 미분 형식이다. 만약 계수 E가 명시되지 않았다면, 이 자명한 경우를 뜻한다. 다른 형식의 외미분인 미분 형식을 **완전 미분 형식**(完全微分形式, exact differential form)이라고 부르며, 외미분이 0인 형식을 **닫힌 미분 형식**(닫힌微分形式, closed differential form)이라고 부른다. 따라서 드람 코호몰로지 \operatorname H_\text{dR}^k(M;E)는 E 값의 k차 닫힌 미분 형식의 공간에서 E 값의 k차 완전 미분 형식을 더하는 것에 대한 동치류를 취한 상공간이다.
# 성질

## 다른 코호몰로지 이론과의 비교
매끄러운 다양체 M 안의 *k*-특이 사슬 C위에 *k*-형식 \omega를 적분할 수 있다. 즉 \textstyle\int_C\omega가 정의 가능하다. 이는 스토크스 정리에 따라 드람 코호몰로지 \operatorname H^k_\text{dR}(M)에서 실수 계수 특이 코호몰로지 \operatorname H^k(M;\mathbb R)으로 가는 사슬 사상을 정의할 수 있다. **드람 정리**에 따라 이는 사실 사슬 동형사상이다. 이는 조르주 드 람이 1931년에 증명하였다. 콤팩트 리만 다양체 위에는 호지 이론에 따라 조화 형식의 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 **호지 정리**(Hodge theorem)에 따라 드람 코호몰로지와 조화 코호몰로지는 동형이다. 또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) 체흐 코호몰로지나 알렉산더-스패니어 코호몰로지(Alexander–Spanier cohomology)와 동형이다. 복소다양체의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 돌보 코호몰로지를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다. 켈러 다양체의 경우 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지는 동형이다.
## 연산과의 호환
임의의 두 매끄러운 벡터 다발 E, E'\twoheadrightarrow M이 주어졌을 때, 다음이 성립하며, 이 동형 사상은 표준적이다. :\operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR(M;E\oplus E')\cong\operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR(M;E)\oplus \operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR(M;E') 즉, 자명한 벡터 다발과의 텐서곱에 대하여 다음이 성립한다. :\operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR(M;E\otimes\mathbb R^n)\cong\operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR(M;E) \otimes \mathbb R^n 특히, 0차원 벡터 다발 계수의 드람 코호몰로지는 자명군이다. :\operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR(M;0)\cong 0
# 예
항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 마이어-피토리스 열 등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.
## 초구
n차원 초구의 코호몰로지 군은 \operatorname H_{dR}^{k}(\mathbb S^n) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases} 이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 \mathbb I가 임의의 선분일 때에, \operatorname H_\text{dR}^k(\mathbb S^n \times\mathbb I^m) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases} 도 성립한다.
## 원환면
n차원 원환면의 드람 코호몰로지는 다음과 같다. :\operatorname H_\text{dR}^k(\mathbb T^n) \simeq \mathbb{R}^{\binom nk}
## 구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간
구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은 \mathbb R^n\setminus\\{0\\}를 말한다. 이때에, :{| |- |H_{dR}^{k}(\mathbb{R}^n - \\{0\\}) |\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases} |- | |\simeq H_{dR}^{k}(S^{n-1}) |}
## 뫼비우스의 띠
뫼비우스의 띠 M는 원과 호모토피 동치이므로 그 드람 코호몰로지는 다음과 같다. :\operatorname H_{\text{dR^k(M) \simeq H_{dR}^{k}(S^1)
## 0차 성분
간단한 예로, 매끄러운 다양체 M이 n개의 연결 성분을 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다. :\operatorname H_{\text{dR^0(M)=\mathbb{R}^n 즉, 매끄러운 다양체 M 위에서 정의된 매끄러운 함수의 기울기가 0이면, 그 함수는 각각의 연결 성분에서 상수 함수다.