수심 (기하학)

수심 기하학에서 **수심**(垂心, orthocenter)은 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선이 공통으로 지나는 점이다.isbn=0-88385-619-0isbn=0-88385-639-5isbn=0-534-35179-4
# 정의
삼각형 ABC의 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변 BC, AC, AB의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 ABC의 **수심** H라고 한다. 부제=원주각을 통한 증명 꼭짓점 B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 H_B, H_C라고 하고, 두 수선 BH_B, CH_C의 교점을 H라고 하자. 그렇다면 :\angle AH_BH=\angle AH_CH=\angle BH_BC=\angle BH_CC=90^\circ 이므로 H_B, H_C는 선분 AH를 지름으로 하는 원 위의 점이자 선분 BC를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 특히 A, H_B, H, H_C는 한 원 위의 점이며, 점 B, C, H_B, H_C 역시 한 원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라 :\angle HAB=\angle HH_BH_C=\angle BCH_C 이다. 따라서 :\angle HAB+\angle ABC=\angle BCH_C+\angle ABC=\angle AH_CC=90^\circ 이며, AH는 BC의 수선이다. 증명 끝 17, §2.1 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 대변의 수직 이등분선과 일치하며, 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 외심에서 만나므로, 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 한 점에서 만난다. 정삼각형이 아닌 삼각형 ABC의 외심을 O, 무게 중심을 G, 변 BC의 중점을 M_A라고 하자. 그렇다면 O\ne G이다. 유향 선분 OG의 연장선 위에서 GH=2OG인 점 H를 잡자. 그렇다면 G는 선분 AM_A 위의 점이며 AG=2GM_A, \angle AGH=\angle M_AGO이므로, 삼각형 AGH와 M_AGO는 닮음이다. 특히 \angle GAH=\angle GM_AO이므로 AH와 OM_A는 평행하며, OM_A는 BC의 수선이므로 AH 역시 변 BC의 수선이다. 마찬가지로 BH, CH는 각각 변 AC, AB의 수선이다. 증명 끝 38, §2.4 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 H_A, H_B, H_C라고 하자. 그렇다면 변 AB, AC를 지름으로 하는 두 원은 두 점 A, H_A에서 만나므로 두 원의 근축은 직선 AH_A이다. 마찬가지로, 변 AB와 BC를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 BH_B이며, 변 AC, BC를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 CH_C이다. 따라서 세 직선 AH_A, BH_B, CH_C는 세 원의 근심에서 만난다. 증명 끝 부제=체바 정리를 통한 증명 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 H_A, H_B, H_C라고 하자. 그렇다면 :\frac{AH_C}{H_CB}\cdot\frac{BH_A}{H_AC}\cdot\frac{CH_B}{H_BA}=\frac{b\cos A}{a\cos B}\cdot\frac{c\cos B}{b\cos C}\cdot\frac{a\cos C}{c\cos A}=1 이므로 체바 정리에 따라 직선 AH_A, BH_B, CH_C는 한 점에서 만난다. 증명 끝
# 성질
예각 삼각형의 수심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 수심은 직각의 꼭짓점이다. 둔각 삼각형의 수심은 삼각형의 외부에 속한다.
## 외접원과의 관계
삼각형의 수심과 한 꼭짓점 사이의 거리는 외심과 대변 사이의 거리의 2배이다.23, §2.4 삼각형 ABC의 수심 H를 각 변에 대하여 반사시킨 상은 외접원 위의 점이다. 즉, 각 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 H_A, H_B, H_C라고 하고, 수선 AH_A, BH_B, CH_C의 연장선과 외접원의 교점을 H_A', H_B', H_C'이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.18, §2.2 :HH_A=H_AH_A' :HH_B=H_BH_B' :HH_C=H_CH_C' 증명 원주각의 성질에 따라 :\angle H_A'=\angle C=90^\circ-\angle HBH_A=\angle BHH_A' 이므로 BH=BH_A'이다. BH_A는 HH_A'의 수선이므로 H_A는 선분 HH_A'의 중점이다. 증명 끝 삼각형의 외심은 중점 삼각형의 수심이다. 삼각형의 수심과 외심은 등각 켤레점이다.71, §7.4, (ix) 삼각형 ABC의 수심을 H, 외심을 O라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.37, §2.4, (2.42) :\angle OAH=|\angle ABC-\angle ACB| :\angle OBH=|\angle BAC-\angle ACB| :\angle OCH=|\angle BAC-\angle ABC| 증명 점 A를 지나는 외접원의 지름을 AA'이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라 :\angle OAC=90^\circ-\angle AA'C=90^\circ-\angle B=\angle HAB 이다. 따라서 :\angle OAH=|\angle BAC-\angle HAB-\angle OAC|=|\angle BAC-2(90^\circ-\angle B)|=|\angle BAC+2\angle B-(\angle BAC+\angle B+\angle C)|=|\angle B-\angle C| 이다. 증명 끝 삼각형 ABC의 세 변의 길이를 BC=a, AC=b, AB=c, 반둘레를 s, 외접원의 반지름을 R, 내접원의 반지름을 r라고 하자. 그렇다면, 이 삼각형의 외심 O, 내심 I, 수심 H를 잇는 삼각형 OIH의 넓이는 다음과 같다.doi=10.1007/978-94-015-7842-42, §1.1.1, Theorem B1 :\begin{align}S_{OIH} &=2R^2\sin\frac{A-B}2\sin\frac{B-C}2\sin\frac{C-A}2\\\ &=\frac{|a-b||b-c||c-a|}{8r}\\\ &=\frac{\sqrt{-s^4+2s^2(2R^2+10Rr-r^2)-r(4R+r)^34 \end{align}
## 수선
삼각형 ABC의 수심을 H라고 하고, 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 H_A, H_B, H_C라고 하고, 외접원의 반지름을 R라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.36, §2.4, (2.41) :AH_A=\frac{bc}{2R}=b\sin C=c\sin B :BH_B=\frac{ac}{2R}=a\sin C=c\sin A :CH_C=\frac{ab}{2R}=a\sin B=b\sin A 삼각형 ABC의 수심을 H라고 하고, 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 H_A, H_B, H_C라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.19, §2.2, (b)37, §2.4, (2.44) :AH_A\cdot HH_A=BH_A\cdot CH_A :BH_B\cdot HH_B=AH_B\cdot CH_B :CH_C\cdot HH_C=AH_C\cdot BH_C :AH\cdot HH_A=BH\cdot HH_B=CH\cdot HH_C 증명 수선 AH_A의 연장선과 외접원의 교점을 H_A'이라고 하자. 그렇다면 점 H_A를 지나는 외접원의 두 현 AH_A', BC에 대한 방멱 정리에 따라 :AH_A\cdot HH_A=AH_A\cdot H_AH_A'=BH_A\cdot CH_A 이다. 점 A, B, H_A, H_B는 한 원 위의 점이므로, 점 H를 지나는 두 현 AH_A와 BH_B에 대한 방멱 정리에 따라 :AH\cdot HH_A=BH\cdot HH_B 이다. 증명 끝 마지막 등식에 따라, 삼각형 ABC의 두 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동심원의 근축은 수심 H를 지난다.38, §2.4, Theorem 2.45 삼각형 ABC의 세 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동축원의 근심은 수심 H이다.38, §2.4, Theorem 2.46 삼각형 ABC 및 직선 BC, AC, AB 위의 점 D, E, F가 주어졌다고 하자. 만약 D, E, F가 한 직선 위의 점이라면, 4개의 삼각형 ABC, AEF, BDF, CDE의 수심은 한 직선 위의 점이며, 체바 선분 AD, BE, CF를 지름으로 하는 세 원은 4개의 수심을 지나는 직선을 근축으로 하는 동축원이다.39, §2.4, Theorem 2.47
## 오일러 직선과 구점원
구점원 삼각형 ABC의 수심 H, 무게 중심 G, 외심 O는 한 직선 위의 점이며, 다음이 성립한다. :\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{OG} 만약 삼각형 ABC가 정삼각형이라면, H=G=O이다. 만약 삼각형 ABC가 정삼각형이 아니라면, 수심 H, 무게 중심 G, 외심 O를 지나는 직선은 유일하게 존재하며, 이 직선을 삼각형 ABC의 **오일러 직선**이라고 한다. 삼각형 ABC의 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발 H_A, H_B, H_C, 변 BC, AC, AB의 중점 M_A, M_B, M_C, 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분 AH_A, BH_B, CH_C의 중점은 한 원 위의 점이며, 이들 9개의 점을 지나는 이 원을 **구점원**이라고 한다. 특히 구점원은 수심 삼각형과 중점 삼각형의 공통 외접원이다. 삼각형 ABC의 구점원의 중심 N은 수심과 외심을 잇는 선분 OH의 중점이다. 특히 삼각형 ABC가 정삼각형이 아닐 경우 구점원의 중심 N은 오일러 직선 위의 점이다. 구점원은 수심과 외접원 위의 점을 잇는 선분의 중점의 자취이다. 삼각형 ABC 및 외접원 위의 점 P가 주어졌다고 하자. 점 P와 수심 H를 잇는 선분 PH의 중점은 삼각형 ABC에 대한 점 P의 심슨 직선 위의 점이자 구점원 위의 점이다.47, §5.3 특히 점 P를 각 변 BC, AC, AB에 대하여 반사시킨 상을 지나는 직선은 수심 H를 지난다.43, §5.1 증명 꼭짓점 A를 지나는 외접원의 지름을 AA'이라고 하자. 편의상 삼각형 ABC가 예각 삼각형이며 P가 호 BA' 위의 점이라고 가정하자. 점 P를 지나는 변 BC, AC, AB의 수선의 발을 D, E, F라고 하고, 점 P를 변 BC, AC, AB에 대하여 반사시킨 상을 D', E', F'이라고 하자. 우선 선분 PH의 중점이 P의 심슨 직선 위의 점임을 증명하자. HE'과 DE가 평행함을 보이는 것으로 충분하다. 유향 선분 BH의 연장선과 AC 및 외접원의 교점을 H_B, H_B'이라고 하자. 그렇다면 수심의 성질에 따라 HH_B=H_BH_B'이다. 선분 PH_B'과 AC의 교점을 Q라고 하자. 그렇다면 점 P, Q, H_B'을 직선 AC에 대하여 반사시킨 상은 각각 H, Q, E'이므로, Q는 선분 HE' 위의 점이다. PE'과 HH_B'은 평행하며, C, E, D, P는 한 원 위의 점이므로, 엇각 및 원주각의 성질에 따라 :\angle PE'H=\angle E'PQ=\angle PH_B'B=\angle PCB=\angle PED 이다. 따라서 HE'과 DE는 평행한다. 이제 선분 PH의 중점이 구점원 위의 점임을 증명하자. 수심 H를 닮음 중심으로 하고 1/2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 생각하자. 꼭짓점 A, B, C에 이 변환을 가한 상은 각각 선분 AH, BH, CH의 중점이며, 이는 구점원 위의 세 점이므로, 외접원에 이 변환을 가한 상은 구점원이다. 선분 PH의 중점은 외접원 위의 점 P에 이 변환을 가한 상이므로 구점원 위의 점이다. 증명 끝 삼각형의 키페르트 포물선(Kiepert’s parabola)의 준선은 오일러 직선이다.jstor=2690610200 삼각형의 모든 내접 포물선의 준선은 수심을 지난다.200
## 수심 삼각형
직각 삼각형이 아닌 삼각형 ABC의 각 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발 H_A, H_B, H_C를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 ABC의 **수심 삼각형**(垂心三角形, orthic triangle) H_AH_BH_C라고 한다. 즉, 수심 삼각형은 수심의 수족 삼각형이자 수심의 체바 삼각형이다. 직각 삼각형의 수심은 빗변의 꼭짓점이며, 특히 이는 외접원 위의 점이므로, 수심 삼각형이 정의되지 않는다. 예각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 내심이며,17, §1.6, Theorem 1.61 둔각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 방심이다.18, §1.6, Exercise 3 즉, 직각 삼각형이 아닌 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 수선과 각 변은 수심 삼각형의 내각 또는 외각 이등분선이다. 즉, 수심계 속 네 점은 수심 삼각형의 내심과 세 방심이며, 수심계 속 두 점을 잇는 6개의 직선은 수심 삼각형의 3개의 내각 이등분선 및 3개의 외각 이등분선이다. 증명 편의상 삼각형 ABC가 예각 삼각형이라고 하자. 꼭짓점 A, B, C에서 대변에 내린 수선의 발을 H_A, H_B, H_C라고 하고, 수심을 H라고 하자. 그렇다면 사각형 CH_AHH_B, BCH_BH_C, BH_CHH_A는 모두 내접 사각형이므로 :\angle AH_AH_B=\angle H_BCH_C=\angle H_BBH_C=\angle AH_AH_C 이다. 따라서, AH_A는 삼각형 H_AH_BH_C의 H_A에서의 내각 이등분선이며, BC는 삼각형 H_AH_BH_C의 H_A에서의 외각 이등분선이다. 증명 끝
### 파냐노 문제
삼각형 ABC의 각 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 H_A, H_B, H_C라고 하자. 만약 삼각형 ABC가 예각 삼각형이라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 H_AH_BH_C이다. 이를 **파냐노 문제**(Pagnano’s problem)라고 한다. 만약 삼각형 ABC가 직각 삼각형 또는 둔각 삼각형이며, 직각 또는 둔각의 꼭짓점이 A라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 퇴화 삼각형 AAH_A이다 (두 꼭짓점이 같은 삼각형을 허용하지 않을 경우 존재하지 않는다).88–89, §4.586–89, §2H, Problem 2.39 제목=증명 1 편의상 \angle ABC와 \angle ACB가 예각이라고 하자. D가 변 BC 위의 고정된 점이라고 하고, D', D*이 각각 점 P를 변 AB, AC에 대하여 반사시킨 상이라고 하자. 그렇다면 :\angle D'AD*=\angle D'AB+\angle BAC+\angle CAD*=\angle DAB+\angle BAC+\angle CAD=2\angle BAC 이며, 변 AB, AC 위의 점 E, F에 대하여, 삼각형 DEF의 둘레는 :p_{DEF}=DE+EF+FD=D'E+EF+FD* 이다. 만약 \angle BAC<90^\circ라면, \angle D'AD*<180^\circ이므로 선분 D'D*은 변 AB, AC와 교점 E_D, F_D를 갖는다. 고정된 점 D에 대하여, 이 두 점 E_D, F_D는 삼각형 DEF의 둘레를 최소로 만들며, 그 최소 둘레는 :p_{DE_DF_D}=D'D*=2AD'\cos\angle AD'D*=2AD\cos((180^\circ-\angle D'AD*)/2)=2AD\cos(90^\circ-\angle BAC)=2AD\sin A 이다. 따라서 최소 둘레 p_{DE_DF_D}를 가장 작게 만드는 점 D는 선분 AD의 길이를 가장 작게 만드는 점 H_A이다. 만약 \angle BAC\ge 90^\circ라면, \angle D'AD*\ge 180^\circ이므로 선분 D'D*은 변 AB, AC와 교점을 갖지 않는다. 변 AB, AC 위의 점 E, F에 대하여, 유향 선분 D'A의 연장선과 선분 D*F의 교점을 A'이라고 하자. 그렇다면 :p_{DEF}=D'E+EF+FD*\ge D'F+FD*\ge D'A'+A'D*\ge D'A+AD* 이다. 따라서 고정된 점 D에 대하여, 둘레 p_{DEF}를 가장 작게 만드는 두 점 E, F는 A, A이다. 이 경우 최소 둘레는 :p_{DAA}=2AD 이며, 이를 가장 작게 만드는 점 D는 점 H_A이다. 증명 끝 제목=증명 2 예각 삼각형 ABC와 내접 삼각형 DEF가 주어졌다고 하자 (D, E, F는 변 BC, AC, AB 위의 점이다). 이를 차례로 직선 AC, C_1B_1, B_2A_2, A_3C_3, C_4B_4에 대하여 반사시켜 삼각형 A_1B_1C_1와 내접 삼각형 D_1E_1F_1, 삼각형 A_2B_2C_2와 내접 삼각형 D_2E_2F_2, 삼각형 A_3B_3C_3와 내접 삼각형 D_3E_3F_3, 삼각형 A_4B_4C_4와 내접 삼각형 D_4E_4F_4, 삼각형 A_5B_5C_5와 내접 삼각형 D_5E_5F_5를 얻는다고 하자. 그렇다면 선분 A_5B_5는 선분 AB를 평행 이동시킨 상이다. 벡터 \overrightarrow{FF_5}는 이에 대응하는 평행 이동 벡터이므로 내접 삼각형 DEF의 선택과 무관하다. 꺾인 선 FE_1D_2F_3E_4D_5F_5는 내접 삼각형 DEF의 둘레의 2배를 길이로 하며, 이 꺾인 선이 직선이 될 필요 충분 조건은 삼각형 DEF가 수심 삼각형 H_AH_BH_C라는 것이다. 따라서 예각 삼각형 ABC의 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 H_AH_BH_C이다. 증명 끝
### 수심축
삼각형 ABC의 꼭짓점 A, B, C에서 대변에 내린 수선의 발을 H_A, H_B, H_C라고 하고, 직선 H_BH_C와 BC의 교점을 D, 직선 H_AH_C와 AC의 교점을 E, 직선 H_AH_B와 AB의 교점을 F라고 하자. 그렇다면 D, E, F는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 ABC의 **수심축**(orthic axis)이라고 한다.151, §13.2, (ii) 증명 편의상 삼각형 ABC가 예각 삼각형이라고 하자. 그렇다면 각 변 BC, AC, AB는 수심 삼각형 H_AH_BH_C의 외각 이등분선이다. 따라서 :\frac{H_AF}{FH_B}\cdot\frac{H_BD}{DH_C}\cdot\frac{H_CE}{EH_A} =-\frac{H_AH_C}{H_BH_C}\cdot\frac{H_AH_B}{H_AH_C}\cdot\frac{H_BH_C}{H_AH_B} =-1 이며, 메넬라오스 정리에 따라 점 D, E, F는 공선점이다. 증명 끝
## 수심계
평면 위의 세 점 A, B, C가 주어졌다고 하자. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이라면, 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 존재하지 않는다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 ABC가 직각 삼각형이라면, 수심 H는 직각의 꼭짓점과 일치한다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 ABC가 직각 삼각형이 아니라면, A, B, C와 수심 H는 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으며, A, B, C 역시 각각 삼각형 BCH, ACH, ABH의 수심이다. 이 경우 네 점 A, B, C, H가 **수심계**(垂心系, orthocentric system)를 이룬다고 한다.61–62, §2C 수심계 속 네 점의 지위는 동등하다. 즉, 네 점이 수심계를 이루는지 여부는 네 점의 순서와 무관하다. 증명 점 H가 삼각형 ABC의 수심인 것은 직선 AH, BH, CH는 각각 직선 BC, AC, AB의 수선인 것과 동치이다. 이는 점 A, B, C, H 가운데 임의의 두 점을 잇는 직선이 남은 두 점을 잇는 직선의 수선인 것과 동치이며, 따라서 이 조건에서 네 점 A, B, C, H의 순서를 바꿔도 이 조건은 변하지 않는다. 즉, 점 H 대신 남은 세 점 A, B, C 가운데 하나를 수심으로 삼아도 원래 조건과 동치이다. 증명 끝 수심계 A, B, C, H 속 네 삼각형 ABC, ABH, ACH, BCH의 수심 삼각형과 구점원은 일치하며, 외접원의 반지름은 같다. 또한 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 한 점에서 만난다. 증명 네 점 A, B, C, H가 각각 3가지 방식으로 둘씩 짝을 지어 만든 두 직선 AH와 BC, BH와 AC, CH와 AB의 교점을 H_A, H_B, H_C라고 하자. 그렇다면 삼각형 H_AH_BH_C는 네 삼각형의 공통 수심 삼각형이다. 따라서 수심계 속 네 삼각형의 공통 수심 삼각형의 외접원은 네 삼각형의 공통 구점원이다. 네 삼각형의 외접원의 반지름은 공통 구점원의 반지름의 2배이며, 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 공통 구점원의 중심을 지난다. 증명 끝
## 드로츠파르니 직선
삼각형 ABC의 수심 H에서 직교하는 두 직선이 직선 BC와 점 D_1, D_2에서, 직선 AC와 점 E_1, E_2에서, 직선 AB와 점 F_1, F_2에서 만난다고 하자. 그렇다면 선분 D_1D_2, E_1E_2, F_1F_2의 중점 D, E, F는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 ABC의 **드로츠파르니 직선**(Droz-Farny line)이라고 한다.url-status=
## 테일러 원
삼각형 ABC의 각 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 H_A, H_B, H_C라고 하고, 발 H_A, H_B, H_C을 지나는 변 AB와 AC, BC와 AB, AC와 BC의 수선의 발을 각각 P와 Q, R와 S, T와 U라고 하자. 그렇다면 6개의 점 P와 Q, R, S, T, U는 한 원 위의 점이다. 이 원을 삼각형 ABC의 **테일러 원**(Taylor circle)이라고 한다.95, §9.6 테일러 원은 터커 원의 특수한 경우이다. 증명 편의상 삼각형 ABC가 예각 삼각형이라고 하자. 삼각형 ABC의 내접 비단순 육각형 PQRSTU가 터커 원의 조건을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 대칭성에 따라 PQ와 ST가 각각 BC의 반평행선과 평행선임을 보이면 된다. 우선 PQ와 BC가 반평행함을 증명하자. 사각형 APDQ가 내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라 :\angle APQ=\angle ADQ=90^\circ-\angle DAC=\angle ACB 이므로 PQ는 반평행선이다. 이제 ST가 BC와 평행함을 증명하자. RS와 TU가 반평행선이므로 :\angle SRU=\angle BAC=\angle TUR 이다. 따라서 RS=TU임을 보이는 것으로 충분하며, 이는 PQ=RS=TU를 보이면 된다. 삼각법에 따라 :PD=c\cos B\sin B=2R_0\sin B\sin C\cos B :QD=b\cos C\sin C=2R_0\sin B\sin C\cos C :\angle PDQ=180^\circ-A 이다. 여기서 R_0은 삼각형 ABC의 외접원의 반지름이다. 사인 법칙에 따라 세 내각의 크기가 180^\circ-A, 90^\circ-B, 90^\circ-C인 삼각형의 세 변의 길이의 비는 \sin A:\cos B:\cos C이므로, 코사인 법칙에 따라 :\sin^2A=\cos^2B+\cos^2C+2\cos B\cos C\cos A 이다. 이제 삼각형 PDQ에 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다. :\begin{align}PQ^2 & =PD^2+QD^2+2\cdot PD\cdot QD\cdot\cos A \\\ & =4R_0^2\sin^2B\sin^2C(\cos^2B+\cos^2C+2\cos B\cos C\cos A) \\\ & =4R_0^2\sin^2A\sin^2B\sin^2C \end{align} 이는 3개의 반평행선에서 PQ를 선택한 것과 무관하다. 증명 끝