테일러 급수

사인 함수의 테일러 급수의 수렴. 검은 선은 사인 함수의 그래프이며, 색이 있는 선들은 테일러 급수를 각각 1차(빨강), 3차(주황), 5차(노랑), 7차(초록), 9차(파랑), 11차(보라), 13차(분홍) 항까지 합한 것이다. 미적분학 미적분학에서 **테일러 급수**(Taylor級數, Taylor series)는 도함수들의 한 점에서의 값으로 계산된 항의 무한합으로 해석함수를 나타내는 방법이다.
# 정의
매끄러운 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R 및 실수 a\in\mathbb R (또는 정칙 함수 f\colon\mathbb C\to\mathbb C 및 복소수 a\in\mathbb C)가 주어졌을 때, f의 **테일러 급수**는 다음과 같은 멱급수이다. :T_f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^n=f(a) + f'(a)(x-a) + \frac12f*(a)(x-a)^2 + \frac16f**(a)(x-a)^3 + \cdots 여기서 n!은 n의 계승을, f^{(n)}(a)는 f의 a에서의 n계 도함수를 말한다. 특히 0계 도함수는 원래 함수 자신이다. a=0일 때의 테일러 급수를 **매클로린 급수*'(Maclaurin series)라고 부른다.p=15
## 다변수 테일러 급수
테일러 급수는 또한 둘 이상의 변수의 함수로 일반화될 수 있다. d개의 변수를 갖는 매끄러운 함수 f\colon\mathbb R^d\to\mathbb R의 **테일러 급수**는 다음과 같다. : \begin{align} & T_f(x_1,\dots,x_d)\\\ &= \sum_{n_1=0}^\infty \sum_{n_2=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d\right)(a_1,\dots,a_d) \\\ &= f(a_1, \dots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) \\\ &\qquad + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\\ &\qquad + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \cdots \end{align} 예를 들어, 두 개의 변수 x, y에 의존하는 함수에 대해 점 (a, b)에 관한 2차식을 위한 테일러 급수는 다음과 같다. :\sum_{k=0}^\infty\sum_{i=0}^k\frac{(x-a)^{k-i}(y-b)^i}{(k-i)!i!}\left.\frac{\partial^kf}{\partial x^{k-i}\partial y^i}\right|_{(a,b)}=f(a,b) +(x-a)f_x(a,b)+(y-b)\, f_y(a,b)+ \frac12\left((x-a)^2f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) +(y-b)^2f_{yy}(a,b) \right)+\cdots 여기서 첨자는 각각의 편미분을 나타낸다.
# 성질

## 수렴성
매끄러운 함수의 경우, 일반적으로 테일러 급수는 수렴할 필요가 없고, 설사 수렴하더라도 원래 함수와 다를 수 있다. 예를 들어, :x\mapsto\begin{cases}\exp(-1/x^2)&x;\ne0\\\0&x;=0\end{cases} 는 매끄러운 함수이며, 0에서의 모든 차수의 도함수들이 0이다. 따라서 0에서의 테일러 급수는 (모든 항이 0이므로) 수렴하지만, 원래 함수와 다르다. 테일러 급수가 원래 함수로 수렴하는 경우를 **해석 함수**라고 한다. 반면, 복소 함수의 경우, 모든 정칙 함수는 테일러 급수가 항상 원래 함수로 수렴한다. 즉, 모든 정칙 함수는 해석 함수이다.
## 오차
테일러 정리 테일러 급수를 다음 식으로 나타낸다고 할 때, :f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + R_{n+1}(x) 마지막 항인 R_{n+1}(x)을 f의 **나머지 항** 또는 **절단오차**라 하는데, [a, x] 또는 [x, a]에 속하는 적당한 실수 b에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.p=15 * R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(b)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.
# 증명
미적분학의 제2 기본정리로부터 :\int_{a}^{x} f'(t)dt=f(x)-f(a) 이다. 이때 위 식을 다음과 같이 변형하자. :\int_{a}^{x} f'(t)dt=\int_{a}^{x} (-1){(-f'(t))}dt 이제, 이를 이용하여 부분적분을 시행하자. -1을 적분할 함수, -f'(t)를 미분할 함수로 잡자. 이때 f(t)가 무한하게 미분가능하면 부분적분을 무한대로 가게 할 수 있으므로 다음과 같이 무한히 시행하여 보면 :\int_{a}^{x} (-1)(-f'(t))dt :=\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f*(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f**(t)-\cdots\right]_{a}^{x} 단, 여기서 -1을 계속 적분할 때 -1의 한 부정적분을 구해서 써주면 되는데, 적분변수 t와 관계없는 값 x를 상수취급하여 x-t를 부정적분으로서 구했다. 이제 위 식을 풀면 :\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f*(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f**(t)-\cdots\right]_{a}^{x} :=(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f*(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f**(a)+\cdots=f(x)-f(a) 그러므로, 미분 가능한 함수 f(x)에 대하여 :f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f*(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f**(a)+\cdots 이 된다.
# 예
모든 다항식의 매클로린 급수는 다항식 자기 자신이다. 대표적인 테일러 급수의 예로는 다음이 있다.p=15, 16 테일러 급수가 수렴할 조건을 괄호에 제시하였다. :\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\qquad(|x|<1) :\exp x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots\qquad\forall x :\sin x = \sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \qquad\forall x :\cos x = \sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \qquad\forall x :\tan x =\sum^\infty_{n=1} { {B_{2n}(-1)^n2^{2n}(1-(2^{2n}))}x^{2n-1} \over {(2n)!= {x^1 \over 1} +{x^3 \over 3} +2 \cdot x^5}\over {15+17 \cdot x^7}\over {315 + \cdots \;\;\; \left( \left| x \right| < {\frac{\pi}{2 \right) (단, B는 베르누이 수) :\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}n=-x-\frac12x^2-\frac13x^3-\frac14x^4-\cdots\qquad(|x|<1) :\ln (1+x) = \sum^\infty_{n=1} \frac{-(-1)^n}{n} x^{n} = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\qquad(|x|<1)
## 다변수 테일러 급수의 예
다음과 같은 함수의 원점에서의 테일러 급수를 계산해 보자. :f(x,y) = e^x\log{(1+y)}. 먼저, 우리가 필요한 편미분을 계산하면, :f_x(0,0)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0, :f_y(0,0)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1, :f_{xx}(0,0)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0, :f_{yy}(0,0)=-\frac{e^x}{(1+y)^2}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=-1, :f_{xy}(0,0)=f_{yx}(a,b)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1. 따라서 테일러 급수는 다음과 같다. :T_f(x,y) = y+xy-\frac12y^2+\cdots
# 역사
테일러 급수의 개념은 스코틀랜드의 수학자 제임스 그레고리(James Gregory)가 발견했고, 1715년에 영국의 수학자 브룩 테일러(Brook Taylor)가 공식적으로 발표했다. 0인 지점에서의 테일러 급수를 특별히 **매클로린 급수**(Maclaurin series)라 하는데,p=15 18세기에 테일러 급수의 이 특별한 경우를 광범위하게 사용되도록 만든 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)의 이름에서 유래됐다. 테일러급수는 많은 분야에 활용되고 있다. 일례로 머신러닝의 최적화 과정을 수행할 때 쓰이기도 한다.날짜=2021-01-13