벡터 다발

위상수학 및 미분기하학에서 **벡터 다발**(vector bundle)은 올에 위상 벡터 공간의 구조가 주어진 올다발이다.언어=ko언어=en 언어=ru
# 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 위상 공간 X * 위상환 K * K 위의 위상 왼쪽 가군 _KV * 올다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow X * 각 x\in X에 대하여, 올 E_x=\pi^{-1}(x) 위의 K-위상 왼쪽 가군 구조 만약 X가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 (U_i)_{i\in I} 및 위상 동형 사상들의 족 :\left(\phi_i\colon U\times V\to\pi^{-1}(U)\right)_{i\in I} 를 가질 수 있다면, 올다발 (X,E,\pi)를 올 V의 **왼쪽 가군 다발**(-加群-, left module bundle)이라 한다. :임의의 i\in I 및 x\in U_i에 대하여 \phi_i(x,-)\colon v\mapsto\phi_i(x,v)는 V와 올 E_x 사이의 K-위상 왼쪽 가군 동형을 정의한다. 위와 같은 구조 (U_i,\phi_i)_{i\in I}를 E의 **국소 자명화**(局所自明化, local trivialization)라고 한다. 그러나 국소 자명화의 구조는 벡터 다발을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다. 마찬가지로 **오른쪽 가군 다발**(-加群-, right module bundle)을 정의할 수 있다. 만약 K가 가환 위상환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별하지 않아도 된다. 만약 위상환 K가 위상체일 경우, 이에 대한 가군 다발은 **벡터 다발**이라 한다. 만약 K가 위상체이며 V=K일 경우, 올이 K인 벡터 다발을 **선다발**(線다발, line bundle)이라고 한다. 만약 V가 바나흐 공간일 경우 올이 V인 벡터 다발을 **바나흐 다발**(Banach bundle)이라고 한다. 이와 마찬가지로 힐베르트 공간 올을 갖는 **힐베르트 다발**(Hilbert bundle)이나 국소 볼록 공간 올을 갖는 **국소 볼록 벡터 다발**(locally convex vector bundle)을 정의할 수 있다.
## 매끄러운 벡터 다발
미분기하학을 전개하기 위해서는 연속 함수 대신 매끄러운 함수를 사용해야 한다. 즉, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 매끄러운 다양체 X * 유클리드 공간 \mathbb R^n * 매끄러운 올다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow X * 각 x\in X에 대하여, 올 E_x=\pi^{-1}(x) 위의 n차원 실수 벡터 공간 구조 만약 X가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 (U_i)_{i\in I} 및 미분 동형 사상들의 족 :\left(\phi_i\colon U\times\mathbb R^n\to\pi^{-1}(U)\right)_{i\in I} 를 가질 수 있다면, 올다발 (X,E,\pi)를 n차원 **매끄러운 벡터 다발**(-vector-, smooth vector bundle)이라 한다. :임의의 i\in I 및 x\in U_i에 대하여 \phi_i(x,-)\colon v\mapsto\phi_i(x,v)는 V와 올 E_x 사이의 실수 벡터 공간 동형을 정의한다. 이 경우, 벡터 다발의 전체 공간 역시 매끄러운 다양체를 이루어야 하므로, 그 스칼라체는 실수체를 사용하고, 차원이 유한해야만 한다.
## 벡터 다발 사상
위상 공간 X와 위상환 K가 주어졌다고 하자. X 위의 두 K-왼쪽 가군 다발 E,E'\twoheadrightarrow X 사이의 **가군 다발 사상**(加群-寫像, module bundle morphism) f\colon E\to E'은 다음 조건을 만족시키는 다발 사상이다. * 임의의 x\in X에 대하여, f로 정의되는 함수 E_x\to E'_x는 K-위상 왼쪽 가군의 사상이다 (즉, 연속 함수이자 K-가군 준동형이다). 마찬가지로, 매끄러운 다양체 X 위의 두 매끄러운 벡터 다발 E,E'\twoheadrightarrow X 사이의 **매끄러운 벡터 다발 사상**(-vector-寫像, smooth vector bundle morphism)은 매끄러운 함수인 벡터 다발 사상이다.
# 연산
위상 가군 또는 위상 벡터 공간에 가할 수 있는 연산(직합, 텐서곱, 연속 쌍대 공간 등)을 가군 다발 또는 벡터 다발에 올마다 가하여 정의할 수 있다.
## 직합
위상 공간 X 위의, 같은 위상환 K에 대한 왼쪽 가군 다발 E,E'\twoheadrightarrow X이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 왼쪽 가군 다발의 **직합** E\oplus E'을 정의할 수 있다. 각 x\in X에서 E\oplus E'의 올은 다음과 같다. :(E\oplus E')_x=E_x\oplus E'_x 만약 X가 매끄러운 다양체이며, E와 E'이 매끄러운 벡터 다발이라면 E\oplus E' 역시 매끄러운 벡터 다발이다.
## 텐서곱
위상 공간 X 위의, 같은 가환 위상환 K에 대한 가군 다발 E,E'\twoheadrightarrow X이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 가군 다발의 **텐서곱** E\otimes_KE'을 정의할 수 있다. 각 x\in X에서 E\otimes_K E'의 올은 다음과 같다. :(E\otimes_K E')_x=E_x\otimes_K E'_x 만약 X가 매끄러운 다양체이며, E와 E'이 매끄러운 벡터 다발이라면 E\otimes_{\mathbb R}E' 역시 매끄러운 벡터 다발이다.
## 쌍대 벡터 다발
위상 공간 X 위의, 위상체 K에 대한 벡터 다발 E의 **쌍대 벡터 다발**(雙對vector다발, dual vector bundle) E^*는 각 올이 E의 연속 쌍대 공간인 벡터 다발이다. :E^*_x=(E_x)' 만약 X가 매끄러운 다양체이며, E가 매끄러운 벡터 다발이라면 E^* 역시 매끄러운 벡터 다발이다.
# 성질
위상 공간 X 위의, 위상체 K에 대한 벡터 다발들의 범주는 가법 범주를 이루지만, 일반적으로 핵과 여핵을 갖지 못해 아벨 범주를 이루지 못한다. (이 문제를 해결하기 위해, 대수기하학에서는 보통 연접층을 대신 사용한다.)
## 코쥘 접속
코쥘 접속 벡터 다발 위에는 벡터 다발 구조와 호환되는 에레스만 접속인 **코쥘 접속**이라는 구조를 정의할 수 있다.
# 분류
위상 K이론 위상 공간 위의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 다발들은 **위상 K이론**이라는 환으로 분류된다.
# 예

## 자명한 벡터 다발
임의의 위상 공간 X 및 위상 벡터 공간 V에 대하여, X\times V는 자명한 벡터 다발을 이룬다. 만약 X가 매끄러운 다양체이며 V=\mathbb R^n이 유클리드 공간이라면 이는 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.
## 접다발
접다발 임의의 매끄러운 다양체 위에는 접다발이라는 매끄러운 벡터 다발이 존재하며, 그 차원은 다양체 자체의 차원과 같다.
## 연관 벡터 다발
연관 벡터 다발 위상 공간 X 위의 주다발과, 주다발의 구조 위상군의 연속 표현이 주어졌을 때, X 위에 **연관 벡터 다발**이라는 벡터 다발을 구성할 수 있다.
## 이산 공간
한원소 공간 \\{\bullet\\} 위의 K-벡터 다발의 개념은 K-위상 벡터 공간의 개념과 동치이며, 한원소 공간 \\{\bullet\\} 위의 매끄러운 벡터 다발의 개념은 유한 차원 실수 벡터 공간의 개념과 동치이다.