주 아이디얼 정역

대수 구조 가환대수학에서, **주 아이디얼 정역**(主ideal整域, principal ideal domain, 약자 PID)은 모든 아이디얼이 하나의 원소로 생성되는 정역이다.
# 정의

## 주 아이디얼 환
**주 오른쪽 아이디얼 환**(principal right ideal ring)은 모든 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼(즉, r\in R에 대하여 rR의 꼴)인 환이다. **주 왼쪽 아이디얼 환**(principal left ideal ring)은 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼(즉, r\in R에 대하여 Rr의 꼴)인 환이다. 가환환의 경우 이 두 개념이 일치하며, **주 아이디얼 가환환**(principal ideal commutative ring)이라고 한다.
## 주 아이디얼 정역
정역 D에 대하여 다음 조건들을 정의하자. * (B) 베주 정역이다. 즉, 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다. * (D) 데데킨트 정역이다. * (UFD) 유일 인수 분해 정역이다. * (N) 뇌터 환이다. 정역 D에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 **주 아이디얼 정역**이라고 한다. * 주 아이디얼 환이다. * 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다. * (N) + 모든 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.언어=en486, Theorem 12.3 * (UFD) + (D)56, Exercise §2.10 * (UFD) + (B) * (UFD) + 크룰 차원이 1 이하이다.311, Exercise 5.17 * (UFD) + 모든 아이디얼이 평탄 가군이다.언어=en164, Exercise §4.51 * (UFD) + 모든 꼬임 없는 가군(torsion-free module)은 평탄 가군이다.164, Exercise §4.51 * (B) + (N) * (B) + 주 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다. * 적어도 하나 이상의 데데킨트-하세 노름을 갖는다. * (D) + 피카르 군이 자명군이다.56, Exercise §2.10 * 모든 아이디얼이 자유 가군이다.url-status=dead273 * 자유 가군의 부분 가군은 자유 가군이다.언어=en639, Theorem 8.9(i) 가환환 R 위의 **데데킨트-하세 노름**(Dedekind–Hasse norm) f\colon R\setminus\\{0\\}\to\mathbb N은 다음 조건을 만족시키는 함수이다. * 임의의 r,s\in R\setminus\\{0\\}에 대하여, r\mid s이거나 아니면 f(r)인 t\in(r,s)가 존재한다. (여기서 (r,s)=rR+sR는 r와 s로 생성되는 아이디얼이다.)
# 성질
다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체 주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소 a,b에 대해, 이 둘로 생성되는 아이디얼 (a,b)의 생성원은 a와 b의 최대공약수가 된다. 모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이다. 모든 환에서 임의의 극대 아이디얼은 소 아이디얼인데, 주 아이디얼 정역에서는 그 역이 '거의' 성립한다. 즉, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 기하학적으로, 이는 크룰 차원이 1이하라는 것을 뜻한다. 보다 일반적으로, 이 조건은 데데킨트 정역에서도 성립한다.
## 주 아이디얼 정역 위의 가군
주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군은 항상 극소 생성 집합을 갖는다. 이는 체 상의 유한 차원 벡터 공간이 기저를 갖는다는 사실의 일반화이다. 주 아이디얼 정역 R 위의 임의의 유한 생성 가군 M은 다음과 같이 나타낼 수 있다. :M\cong\bigoplus_i R/(q_i) 여기서 (q_i)는 R의 으뜸 아이디얼이다. 이를 M의 **으뜸 분해**(primary decomposition)라고 하며, 유일하다. 주 아이디얼 정역 R 위의 임의의 유한 생성 가군 M은 다음과 같이 나타낼 수 있다. :M\cong\bigoplus_{i=1}^n R/(d_i) :R^\times\not\ni d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_n 여기서 (d_i)는 R의 아이디얼들이며, 유일하다. 이를 M의 **불변 인자 분해**(invariant factor decomposition)라고 한다.
# 분류
**자리스키-사뮈엘 정리**(Zariski–Samuel theorem)에 따르면, 모든 주 아이디얼 가환환 R는 다음과 같은 꼴의 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.245, Theorem 33 :R=\prod_{i=1}^nR_i 여기서 * 각 R_i는 주 아이디얼 정역이거나 아니면 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환이다. **헝거퍼드 정리**(Hungerford theorem)에 따르면, 모든 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환 R는 이산 값매김환의 몫환이다.
# 예
* 임의의 체는 주 아이디얼 정역이다. * 정수환 \mathbb Z는 주 아이디얼 정역이다. * 가우스 정수환 \mathbb Z[i]와 아이젠슈타인 정수환 \mathbb Z[\exp(2\pi i/3)]는 주 아이디얼 정역이다. * K가 체일 때, K 위의 일변수 다항식환 K[x]는 주 아이디얼 정역이다.
## 반례
정수 계수 다항식환 \mathbb Z[x]는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 (2,x)가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 체 K에 대하여, K[x,y]는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 (x,y)가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 가환환 :\mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt{-19{2}\right] 는 주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역이 아니다.언어=en
## 주 오른쪽 아이디얼 영역이 아닌 주 왼쪽 아이디얼 영역
나눗셈환 K 위의 \sigma\colon K\to K가 자기 준동형이지만 자기 동형이 아니라고 하자. 그렇다면 **힐베르트 뒤틀린 다항식환**(Hilbert’s twisted polynomial ring)9, Example 1.7 :K[x;\sigma]=\\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\colon n\in\mathbb N,\;a_i\in K\\} :xa=\sigma(a)x\qquad\forall a\in K 는 다음 성질들을 만족시킨다.언어=en21, Example 1.25 * 주 왼쪽 아이디얼 환이다. (따라서 왼쪽 뇌터 환이다.) * 영역이다. * 가환환이 아니다. * 오른쪽 뇌터 환이 아니다. (따라서 주 오른쪽 아이디얼 환이 아니다.) 따라서, 영역의 경우에도 주 왼쪽/오른쪽 아이디얼 환 조건이 서로 다르다.
# 역사
1949년에 토머스 모츠킨(Thomas Motzkin)이 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예를 최초로 제시하였다.언어=en 자리스키-사뮈엘 정리는 1958년에 오스카 자리스키와 피에르 사뮈엘(Pierre Samuel)이 증명하였다.언어=en245, Theorem 33 헝거퍼드 정리는 1968년에 토머스 윌리엄 헝거퍼드(Thomas William Hungerford)가 증명하였다.언어=en