상수 함수

수학에서 **상수 함수**(常數函數, constant function)는 정의역의 값에 관계없이 항상 같은 값을 갖는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 f(x) = 3은 x의 값이 무엇이든 항상 3이라는 값을 갖는다.
# 정의
정의역 X와 공역 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 f를 **상수 함수**라고 한다. * 임의의 x,x'\in X에 대하여 f(x)=f(x')이다. * 임의의 x\in X에 대하여 f(x)=y가 되는 y\in Y가 존재하며, y는 x에 의존하지 않는다. * X가 공집합이거나, 또는 임의의 x\in X에 대하여 f(x)=y가 되는, x에 의존하지 않는 y\in Y가 유일하게 존재한다. * X에 비이산 위상을 부여하고, Y에 이산 위상을 부여하였을 때, f는 연속 함수이다. 정의역 X와 공역 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하고, 정의역 X에 위상 공간의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 f를 **국소 상수 함수**(局所常數函數, locally constant function)라고 한다. * 만약 임의의 x\in X에 대하여, f|_U가 상수 함수가 되는 근방 U\ni x가 존재한다. * Y에 이산 위상을 부여하였을 때, f는 연속 함수이다.
## 상수 사상
상수 함수의 개념을 집합의 범주에서 임의의 범주로 일반화할 수 있다. 범주 \mathcal C에서, 사상 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면 **상수 사상**(constant morphism)이라고 한다. * 임의의 대상 W\in\mathcal C 및 사상 g,h\colon W\to X에 대하여, f\circ g=f\circ h. 즉, 다음 그림이 가환한다. *:\begin{matrix} W&\xrightarrow h&X;\\\ {\scriptstyle g}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\\ X&\xrightarrow[f]{}&Y; \end{matrix} 범주 \mathcal C에서, 사상 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면 **쌍대 상수 사상**(coconstant morphism)이라고 한다. * 임의의 대상 W\in\mathcal C 및 사상 g,h\colon X\to W에 대하여, g\circ f=h\circ f. 즉, 다음 그림이 가환한다. *:\begin{matrix} W&\xleftarrow h&X;\\\ {\scriptstyle g}\uparrow&&\uparrow\scriptstyle f\\\ X&\xleftarrow[f]{}&Y; \end{matrix} 상수 사상이자 쌍대 상수 사상인 사상을 **영 사상**(zero morphism)이라고 한다. 범주 \mathcal C 속의 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 0_{XY}\colon X\to Y가 존재한다면, \mathcal C를 섬네일 **영 사상을 갖는 범주**(category with zero morphisms)라고 한다. * 임의의 대상 X,Y,Z\in\mathcal C 및 사상 X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ에 대하여, *:\begin{matrix} X&\xrightarrow{0_{XY&Y;\\\ {\scriptstyle g}\downarrow &\searrow\scriptstyle 0_{XZ}&\downarrow\scriptstyle f\\\ Y&\xrightarrow[0_{YZ}]{}&Z; \end{matrix} 이 경우, 0_{XY}들은 항상 영 사상을 이루며, 또한 주어진 범주가 영 대상을 갖는 범주라면 그 위의 0_{XY}들의 집합은 유일하다. 영 사상을 갖는 범주의 개념은 점을 가진 집합의 (분쇄곱을 통한) 모노이드 범주 위의 풍성한 범주의 개념과 일치하며, 두 대상 사이의 영 사상은 점을 가진 사상 집합의 점과 같다.
# 성질
두 매끄러운 다양체 M, N 사이의 매끄러운 함수 f\colon M\to\mathbb R는 미분을 취할 수 있다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * f의 도함수 Df는 어디서나 0이다. * f는 상수 함수이다. 상수 함수는 (정의역에 주어진 위상에 상관없이) 국소 상수 함수이다. 또한, 함수 f\colon X\to Y에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. * X는 상수 함수이다. * X에 비이산 위상을 부여하였을 때, X는 국소 상수 함수이다. * X에 임의의 위상을 부여하였을 때, X는 국소 상수 함수이다. 즉, 국소 상수 함수의 개념은 상수 함수의 개념의 일반화이다. 위상 공간 X 위의 국소 상수 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X의 모든 연결 성분 X_0에 대하여, f|_{X_0}는 상수 함수이다. 만약 X가 국소 연결 공간이라면 연결 성분이 열린집합을 이루며, 따라서 임의의 함수 f\colon X\to Y에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * f는 국소 상수 함수이다. * X의 임의의 연결 성분 X_0\subset X에 대하여, f|_{X_0}는 상수 함수이다.
## 국소 상수 함수의 층
위상 공간 X 위에, 실수 값의 상수 함수들의 준층을 정의할 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 층이 아니며, 그 층화는 실수 값의 국소 상수 함수들의 층이다.
## 상수 사상의 존재
끝 대상 1을 갖는 범주에서, 상수 사상은 X\to1\to Y의 꼴의 사상들이다. 시작 대상 0을 갖는 범주에서, 쌍대 상수 사상은 X\to0\to Y의 꼴의 사상들이다. 영 대상을 갖는 범주는 영 사상을 갖는 범주를 이룬다. 이 경우, 두 대상 X,Y 사이의 사상은 영 대상을 통하는 유일한 사상 :X\to 0\to Y 이다.
# 예
정의역이 이산 공간인 모든 함수는 국소 상수 함수이다. 공역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다. 정의역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다.
## 상수 사상의 예
집합의 범주에서, 상수 사상은 상수 함수이다. 집합의 범주에서 쌍대 상수 사상은 공집합을 정의역으로 하는 함수이다. 군의 범주에서, 상수 사상 · 쌍대 상수 사상 · 영 사상의 개념이 일치하며, 이는 상이 항등원 1인 상수 함수이다. 환 R 위의 왼쪽 가군들의 범주 R\text{-Mod}는 영 대상을 갖는 범주이며 따라서 영 사상을 갖는다. R\text{-Mod}에서 영 사상은 0(가군 덧셈의 항등원)으로 가는 상수 함수이다. 가군 범주에서 상수 함수인 준동형은 영 사상밖에 없다.