치올콥스키 로켓 방정식

방정식 **치올콥스키 로켓 방정식**(Tsiolkovsky's rocket equation)은 러시아의 로켓 과학자인 콘스탄틴 치올콥스키가 처음으로 유도해낸 방정식으로, 중력이나 저항 같은 외력이 작용하지 않는 계에서의 로켓의 운동을 기술한다. 그 식은 다음과 같다.
:v_f = v_i + u \ln \frac{m_i}{m_f} :(여기서 v_f는 로켓의 최종 속력, v_i는 로켓의 초기 속력, u는 분출된 연료의 로켓에 대한 상대 속력, m_f는 로켓의 최종 질량, m_i는 로켓의 초기 질량.)
# 유도 과정

## 1. 서론
치올콥스키의 방정식을 유도하는 과정은 질량이 변하는 계(variable-mass system)에 뉴턴 법칙을 적용하는 것과 상당히 비슷하다. 뉴턴 제 2 법칙에 의하면 \vec{F}=\frac{d\vec{p{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}이다. 여기서 m을 상수로 취급하면 매우 유명한 공식인 \vec{F}=m\vec{a}가 되지만, m이 상수가 아닌 일반적인 경우를 고려하면 곱의 미분법으로 인해 \vec{F}=\frac{dm}{dt} \vec{v} \ + \ m \frac{d\vec{v{dt} 가 된다. 이 과정에서 \vec{F}=0 \Leftarrow \Rightarrow \frac{dm}{dt} \vec{v} \ + \ m \frac{d\vec{v{dt}=0 라고 놓고 문제를 푸는 오류를 범하기도 하는데, 언뜻 보기에는 맞는 것 같지만 이처럼 알짜힘을 0이라고 놓으면 로켓이 가속되고 있다는 사실과 모순된다. 로켓 자체만을 생각하는 대신 로켓과 방출된 연료(fuel)를 모두 포함하는 계를 고려한다면 더 납득 가능한 결론에 도달할 수 있을 것이고 계산도 더 용이해질 것이다. 이 방정식의 전제 조건은 로켓과 연료를 포함한 이 계에 중력 같은 외력이 전혀 작용하지 않는다는 점이다. 그러므로 (\vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{p{dt}=0 이기에) 뉴턴 제 2 법칙에 따라 계의 총 운동량은 변화하지 않을 것이다. 다시 말하면 초기 운동량과 최종 운동량을 같게 놓고 풀면 치올콥스키의 방정식을 얻을 수 있다.

## 2. 운동량 보존의 법칙
계의 초기 운동량은 m_{fuel} \vec{v}_{fuel} \ + \ m_{rocket} \vec{v}_{rocket} = 0 \times 0 \ + \ m \vec{v} = m \vec{v}이다. 계의 현재 운동량을 계산하려면 단계적으로 생각해볼 필요가 있다. 1) 로켓의 질량은 dt의 시간 동안 m \ + \ dm이 되었다 (여기서 질량이 감소했으므로 dm < 0). 같은 방법으로 로켓의 속도는 dt의 시간 동안 \vec{v} \ + \ d\vec{v}가 되었다. 이 말은 로켓의 현재 운동량은 (m \ + \ dm)(\vec{v} \ + \ d\vec{v})이라는 뜻이다. 2) 방금 갓 방출된 연료의 질량은 (dm < 0 이므로) -dm이다. 연료의 속도를 \vec{v}_{fuel}라고 하면 연료의 현재 운동량은 -dm \ \vec{v}_{fuel}이다. 3) 이 둘을 더하면 (m \ + \ dm)(\vec{v} \ + \ d\vec{v}) -dm \ \vec{v}_{fuel} 이 된다. 이것이 계의 현재 운동량이다. 위의 정보를 종합해보면, 계의 초기 운동량과 현재 운동량은 같으므로 m\vec{v}=(m \ + \ dm)(\vec{v} \ + \ d\vec{v}) -dm \ \vec{v}_{fuel}이다. 이제 식을 정리해보자. 식을 전개하면 m\vec{v}=m\vec{v}+md\vec{v}+\vec{v}dm+dmd\vec{v}-dm \ \vec{v}_{fuel} 가 된다. 여기서 양변에서 m\vec{v}를 소거한다. 그리고 dm d\vec{v}는 그 크기(magnitude)가 너무 작으니 무시하도록 하자. 그러면 다음과 같은 식이 된다. m \ d\vec{v} + \vec{v} \ dm - \vec{v}_{fuel} \ dm = 0. 여기서 마지막 두 항을 dm으로 묶으면 m \ d\vec{v} + dm \ (\vec{v} - \vec{v}_{fuel}) = 0이 되고, 이것은 m \ d\vec{v} = dm \ (\vec{v}_{fuel} \ - \ \vec{v})와 같다. 상대 속도의 정의에 따라 \vec{u} = \vec{v}_{fuel} \ - \ \vec{v}_{rocket}이므로 m \ d\vec{v} = \vec{u} \ dm이 된다. 이제 d\vec{v}와 \vec{u} 모두 일직선 상에 있다고 가정하고, **벡터의 크기(magnitude)만 고려**하자. |d\vec{v}|=dv, \ |\vec{u}|=u라고 정의하자. 로켓이 나아가는 방향을 +라고 한다면, d\vec{v}는 dv가 될 것이고, 로켓에 대해 연료는 항상 상대적으로 뒤로 가고 있으므로 \vec{u}는 -u로 쓸 수 있을 것이다. 그렇다면 식은 m \ dv = -u \ dm이라고 쓸 수 있다?

## 3. 미분방정식 풀기
m \ dv = -u \ dm의 양변을 dt로 나누면 m \frac{dv}{dt} = -u \frac{dm}{dt}가 된다. 이는 ma = -u \frac{dm}{dt}와 같다. 이렇듯 로켓과 연료를 포함한 계의 운동 상태를 로켓의 질량과 가속도의 크기, 그리고 연료의 로켓에 대한 상대 속력으로만 표현하는 데 성공했다. 이제 이 공식을 이용해 미분방정식을 세우고 풀어보자. ma = -u \frac{dm}{dt}의 양변에 dt를 곱하고 양변을 m으로 나누면 a \ dt = -u \ \frac{dm}{m}이 된다. (여기서 u는 상수라고 가정하자.) 양변을 적분하면 \int_{t_i}^{t_f} a \ dt = \int_{m_i}^{m_f} -u \ \frac{dm}{m}이 된다. 좌변은 \Delta v = v_f \ - \ v_i가 되고, 우변은 -u \ \Big[\ln \ |m| \Big]_{m_i}^{m_f} = -u \ (\ln \ m_f \ - \ \ln \ m_i) = -u \ \ln \frac{m_f}{m_i} = u \ \ln \frac{m_i}{m_f}가 된다. 최종 속력에 대해 정리하면 v_f = v_i + u \ln \frac{m_i}{m_f}이라는 식이 나온다.
# 의미
비록 실제 상황보다 극히 간단한 가정을 하지만, 로켓 방정식은 로켓 비행에 있어서의 핵심적인 물리학적 원리를 간명하게 보여준다. 로켓 궤도 역학에 있어서 \Delta v는 궤도의 이동이 얼마나 쉬운지, 혹은 어려운지를 나타내주는 양이 된다. 식에서 알 수 있듯이 큰 \Delta v를 얻기 위해서는 m_i가 크거나 (\Delta v에 비해 지수함수 적으로 커져야 함), m_f이 작거나, 아니면 분사 속도 v가 매우 높아야 한다. 또는 이 세 조건이 적절히 조합되어야 한다. 공학적으로는 거대한 로켓을 만들고 (m_i을 키움) 다단계 로켓을 만들어 (m_f를 줄임) 분사 속도를 높게 할 수 있다. 아폴로 우주 계획에서 사용되었던 새턴 5호 로켓이 이런 조건을 만족하는 좋은 예가 된다.