코사인 법칙

기하학에서 **코사인 법칙**(cosine法則, law of cosines)은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다. 삼각형의 두 변의 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다.
# 정의
삼각형의 세 각 A,B,C 및 이들이 마주하는 변 a,b,c 삼각형 ABC의 세 각 A,B,C가 마주하는 변이 각각 a,b,c라고 하면, 다음이 성립한다. :c^2=a^2+b^2-2ab\cos C 여기서 \cos은 삼각 함수의 하나인 코사인이다. 이를 **코사인 법칙**이라고 한다.isbn=0-534-35179-467 코사인 법칙을 통해 삼각형의 두 변과 그 사잇각으로부터 제3의 변을 구할 수 있다. 또한, 삼각형의 세 변으로부터 세 각을 다음과 같이 구할 수 있다.67 :\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} 코사인 법칙에서 C가 직각일 경우, \cos C=0이므로, 다음과 같은 피타고라스의 정리를 얻는다.67 :c^2=a^2+b^2
# 역사
유클리드의 《원론》 2권 명제12 및 명제 13은 코사인 법칙과 동치인 명제를 서술한다. 64 65 레기오몬타누스는 1462~3년에 작성한 《삼각형에 대하여》(De Triangulis)에서 (제1) 구면 코사인 법칙을 제시하였다.isbn=0-19-506135-7238-239, §12.4 프랑수아 비에트는 1579년 저서 《표준 수학》(Canon Mathematicus)에서 제2 구면 코사인 법칙을 제시하였다.239-240, §12.4
# 증명

## 유클리드의 《원론》에서의 증명
코사인 법칙의 원론》에서의 증명]] 그림과 같이, C를 둔각으로 하는 둔각 삼각형 ABC의 높이선 BH를 긋자. 그렇다면, ABH는 H를 직각으로 하는 직각 삼각형이므로, 피타고라스의 정리에 따라 다음이 성립한다. :AB^2=AH^2+BH^2 또한, AH=AC+CH이므로, 다음이 성립한다. :AB^2=(AC+CH)^2+BH^2=AC^2+2(AC)(CH)+CH^2+BH^2 마지막 두 항을 직각 삼각형 BCH에 대한 피타고라스의 정리를 통해 정리하면 다음을 얻는다. :AB^2=AC^2+2(AC)(CH)+BC^2 이로써 유클리드의 《원론》 2권 명제12가 증명된다. 코사인의 정의에 따라 :\cos C=-\cos(\pi-C)=-\frac{CH}{BC} 이므로, 코사인 법칙 :AB^2=AC^2+BC^2-2(AC)(BC)\cos C 이 C가 둔각일 경우 성립함을 알 수 있다.64-65 C가 예각일 경우의 증명은 이와 비슷하다.
## 삼각법을 통한 증명
코사인 법칙의 삼각법을 통한 증명 삼각형의 세 변을 각각 높이선으로 안에서 또는 밖에서 나누면 다음을 얻는다.한국의 일부 문헌에서는 이를 **제1 코사인 법칙**이라고 부르며, 원래의 코사인 법칙을 **제2 코사인 법칙**이라고 부른다. 예시로는 다음을 참고할 수 있다. isbn=9788962620023 :a=b\cos C+c\cos B :b=a\cos C+c\cos A :c=a\cos B+b\cos A 세 등식의 양변에 각각 a,b,c를 곱하면 다음을 얻는다. :a^2=ab\cos C+ac\cos B :b^2=ab\cos C+bc\cos A :c^2=ac\cos B+bc\cos A 이제 첫째 등식에 둘째 등식을 더한 뒤 셋째 등식을 빼면 다음을 얻는다. :a^2+b^2-c^2=2ab\cos C 이로써 코사인 법칙이 증명된다.
## 벡터와 스칼라곱을 사용한 증명
다음과 같은 세 벡터를 정의하자. :\mathbf a=\overrightarrow{CB},\;\mathbf b=\overrightarrow{CA},\;\mathbf c=\overrightarrow{AB}=\mathbf a-\mathbf b 그렇다면, 벡터 \mathbf a,\mathbf b,\mathbf c의 길이는 각각 a,b,c이며, 벡터 \mathbf a와 \mathbf b 사이의 각도는 C이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.isbn=978-0387-25530-978 :\begin{align}c^2 &=\mathbf c\cdot\mathbf c\\\ &=(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf a-\mathbf b)\\\ &=\mathbf a\cdot\mathbf a+\mathbf b\cdot\mathbf b-2\mathbf a\cdot\mathbf b\\\ &=a^2+b^2-2ab\cos C \end{align}
# 비유클리드 기하학의 경우

## 구면 코사인 법칙
구면 삼각형의 세 각 A,B,C와 이들이 마주하는 세 변 a,b,c 단위 구면 위의 구면 삼각형 ABC의 세 각 A,B,C가 마주하는 세 변이 각각 a,b,c라고 하면, 다음이 성립한다. :\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C 여기서 \cos,\sin은 각각 코사인, 사인이다. 이를 **(제1) 구면 코사인 법칙**(第一球面cosine法則, (first) spherical law of cosines)이라고 한다. 이에 대한 쌍대 명제는 다음과 같다. :\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c 이를 **제2 구면 코사인 법칙**(第二球面cosine法則, second spherical law of cosines)이라고 한다. 이 둘은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다. :\cos C=\frac{\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b} :\cos c=\frac{\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}
### 제1 구면 코사인 법칙의 증명 (법벡터 사용)
다음과 같은 벡터들을 정의하자. :\mathbf u=\frac{ \overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC{| \overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC}|},\;\mathbf v=\frac{ \overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC{| \overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC}|} 즉, \mathbf u,\mathbf v는 각각 C에서 A,B를 향하는 구면의 단위 접벡터이다. 그렇다면, \mathbf u,\mathbf v 사이의 각도는 C이다. 또한, \\{\overrightarrow{OC},\mathbf u\\},\\{\overrightarrow{OC},\mathbf v\\}는 각각 평면 OAC,OAB의 정규 직교 기저를 이루므로, \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}를 각각 다음과 같이 분해할 수 있다. :\overrightarrow{OA}=\cos a\cdot\overrightarrow{OC}+\sin a\cdot\mathbf u :\overrightarrow{OB}=\cos b\cdot\overrightarrow{OC}+\sin b\cdot\mathbf v 따라서, 다음이 성립한다. :\begin{align}\cos c &=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\\\ &=(\cos a\cdot\overrightarrow{OC}+\sin a\cdot\mathbf u)\cdot(\cos b\cdot\overrightarrow{OC}+\sin b\cdot\mathbf v)\\\ &=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C \end{align}
### 제1 구면 코사인 법칙의 증명 (비네-코시 항등식 사용)
단위 구면의 중심을 O라고 하자. 또한, 다음과 같은 세 벡터를 정의하자. :\mathbf a=\overrightarrow{OA},\;\mathbf b=\overrightarrow{OB},\;\mathbf c=\overrightarrow{OC} 그렇다면, \mathbf a,\mathbf b,\mathbf c의 길이는 모두 1이며, \mathbf a,\mathbf b 사이의 각도는 c이며, \mathbf a,\mathbf c 사이의 각도는 b이며, \mathbf b,\mathbf c 사이의 각도는 a이다. 따라서, 벡터곱 \mathbf a\times\mathbf b, \mathbf a\times\mathbf c, \mathbf b\times\mathbf c의 길이는 각각 \sin c, \sin b, \sin a이다. 또한, \mathbf a\times\mathbf b와 \mathbf a\times\mathbf c 사이의 각도는 A이며, \mathbf b\times\mathbf a와 \mathbf b\times\mathbf c 사이의 각도는 B이며, \mathbf c\times\mathbf a와 \mathbf c\times\mathbf b 사이의 각도는 C이다. 이제, 비네-코시 항등식에 따라 다음이 성립함에 주의하자. :(\mathbf c\times\mathbf b)\cdot(\mathbf c\times\mathbf a)=(\mathbf c\cdot\mathbf c)(\mathbf a\cdot\mathbf b)-(\mathbf c\cdot\mathbf b)(\mathbf c\cdot\mathbf a) 여기에 위의 결과들을 대입하면 다음을 얻는다. :\sin a\sin b\cos C=\cos c-\cos a\cos b 이로써 제1 구면 코사인 법칙이 증명된다.
### 제2 구면 코사인 법칙의 증명
구면 삼각형 ABC의 극삼각형을 A'B'C'라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. :a'=\pi-A,\;b'=\pi-B,\;c'=\pi-C :A'=\pi-a,\;B'=\pi-b,\;C'=\pi-c 따라서 제1 구면 코사인 법칙을 극삼각형 A'B'C'에 적용하면, 구면 삼각형 ABC에 대한 제2 구면 코사인 법칙을 얻는다.
## 쌍곡 코사인 법칙
가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 ABC의 세 각 A,B,C이 마주하는 변이 각각 a,b,c라고 하면, 다음이 성립한다. :\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C 여기서 \cosh,\sinh는 각각 쌍곡 코사인, 쌍곡 사인이다. 이를 **(제1) 쌍곡 코사인 법칙**((第一)雙曲cosine法則, (first) hyperbolic law of cosines)이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다. :\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c 이를 **제2 쌍곡 코사인 법칙**(第二雙曲cosine法則, second hyperbolic law of cosines)이라고 한다. 이 두 법칙은 각각 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.72 :\cos C=\frac{\cosh a\cosh b-\cosh c}{\sinh a\sinh b} :\cosh c=\frac{\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B} 특히, C가 직각일 경우의 제1 쌍곡 코사인 법칙은 쌍곡 피타고라스 정리가 된다.72 :\cosh c=\cosh a\cosh b
### 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명
복소 평면 \mathbb C 위의 열린 단위 원판 D\subseteq\mathbb C 위에서 푸앵카레 원판 모형을 취하자. 쌍곡 삼각형 z_1,z_2,z_3의 세 각의 크기를 A,B,C, 세 변의 길이를 a,b,c라고 하자. D 위에 적절한 등거리 변환을 가하여 z_3,z_2,z_1을 각각 원점 0, 양의 실수 r\in \mathbb R^+, 허수부 \operatorname{Im}z>0가 0보다 큰 복소수 z로 옮길 수 있다. 등거리 변환의 성질에 따라 새로운 삼각형 z,r,0의 세 변 및 세 각은 원래의 삼각형 z_1,z_2,z_3와 같으므로, 새로운 삼각형 z,r,0에 대하여 증명하는 것으로 족하다. 쌍곡 거리의 정의에 따라, 세 변은 다음과 같다. :a=\ln\frac{1+r}{1-r} :b=\ln\frac{1+|z|}{1-|z|} :c=\ln\frac{|1-rz|+|z-r|}{|1-rz|-|z-r|} 여기서 \ln은 자연 로그이며, |-|은 복소수의 절댓값이다. 이 셋을 다음과 같이 변형할 수 있다. :\tanh\frac a2=r :\tanh\frac b2=|z| :\tanh\frac c2=\frac{|z-r|}{|1-rz|} 여기서 \tanh는 쌍곡 탄젠트이다. 쌍곡선 함수의 항등식을 사용한 뒤 위의 결과를 대입하여 정리하면 다음을 얻는다. :\begin{align}\cosh c &=2\sinh^2\frac c2+1\\\ &=2\frac{\tanh^2\frac c2}{1-\tanh^2\frac c2}+1\\\ &=2\frac{|z-r|^2}{|1-rz|^2-|z-r|^2}+1\\\ &=2\frac{r^2+|z|^2-2rz\cos C}{(1-r^2)(1-|z|^2)}+1\\\ &=\frac{(1+r^2)(1+|z|^2)-4rz\cos C}{(1-r^2)(1-|z|^2)} \end{align} 넷째 등호에서 분자 부분은 평면 삼각형 z,r,0에 대한 평면 코사인 법칙에 따르며, 분모 부분은 절댓값이 실수부와 허수부의 제곱합임에 따라 계산할 수 있다. 이제, 여기에 다음을 대입하면 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명이 완성된다.isbn=978-7-5355-1376-272-74 :\cosh a=\frac{1+\tanh^2\frac a2}{1-\tanh^2\frac a2}=\frac{1+r^2}{1-r^2} :\sinh a=\frac{2\tanh\frac a2}{1-\tanh^2\frac a2}=\frac{2r}{1-r^2} :\cosh b=\frac{1+|z|}{1-|z|} :\sinh b=\frac{2|z|}{1-|z|^2}
### 제2 쌍곡 코사인 법칙의 증명
쌍곡 사인 법칙에 나오는 비율의 구체적인 값은 다음과 같다. :\frac{\sin A}{\sinh a}=\frac{\sin B}{\sinh b}=\frac{\sin C}{\sinh c}= \frac\sqrt{1-\cosh^2a-\cosh^2b-\cosh^2c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{\sinh a\sinh b\sinh c} 이에 따라 각 A,B,C의 사인 값은 다음과 같다. :\sin A=\frac\sqrt{1-\cosh^2a-\cosh^2b-\cosh^2c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{\sinh b\sinh c} :\sin B=\frac\sqrt{1-\cosh^2a-\cosh^2b-\cosh^2c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{\sinh a\sinh c} :\sin C=\frac\sqrt{1-\cosh^2a-\cosh^2b-\cosh^2c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{\sinh a\sinh b} 또한, 제1 쌍곡 코사인 법칙에 따라 A,B,C의 코사인 값은 다음과 같다. :\cos A=\frac{\cosh b\cosh c-\cosh a}{\sinh b\sinh c} :\cos B=\frac{\cosh a\cosh c-\cosh b}{\sinh a\sinh c} :\cos C=\frac{\cosh a\cosh b-\cosh c}{\sinh a\sinh b} 따라서, 다음이 성립한다. :\begin{align}\frac{\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B} &=\frac{(\cosh b-\cosh c-\cosh a)(\cosh a\cosh c-\cosh b)+\sinh^2c(\cosh a\cosh b-\cosh c)}{1-\cosh^2a-\cosh^2b-\cosh^2c+2\cosh a\cosh b\cosh c}\\\ &=\frac{\cosh a\cosh b\cosh^2c-\cosh^2a\cosh c-\cosh^2b\cosh c+\cosh a\cosh b+\cosh a\cosh b\sinh^2c-\cosh c\sinh^2c}{1-\cosh^2a-\cosh^2b-\cosh^2c+2\cosh a\cosh b\cosh c}\\\ &=\cosh c \end{align} 마지막 등호에는 항등식 \cosh^2c-\sinh^2c=1이 사용되었다. 이로써 제2 쌍곡 코사인 법칙이 증명된다.74-75
## 평면 코사인 법칙과의 관계
평면 코사인 법칙은 제1 구면 및 쌍곡 코사인 법칙의 극한이다. 예를 들어, 평면 코사인 법칙이 제1 쌍곡 코사인 법칙의 극한임을 다음과 같이 보일 수 있다. 푸앵카레 원판의 반지름이 r일 경우, 제1 쌍곡 코사인 법칙은 다음과 같이 된다. :\cosh\frac{c_r}r=\cosh\frac{a_r}r\cosh\frac{b_r}r-\sinh\frac{a_r}r\sinh\frac{b_r}r\cos C_r 이 경우, r\to\infty일 때 쌍곡 거리 a_r,b_r,c_r는 유클리드 거리의 2배 2a_\infty,2b_\infty,2c_\infty로 수렴하며, 쌍곡각 A_r,B_r,C_r은 유클리드 각 A_\infty,B_\infty,C_\infty로 수렴한다. 테일러 정리에 따라 다음이 성립한다. :\cosh\frac{a_r}r=1+\frac 12\left(\frac{a_r}r\right)^2+o\left(\frac 1{r^2}\right)\qquad(r\to\infty) :\cosh\frac{b_r}r=1+\frac 12\left(\frac{b_r}r\right)^2+o\left(\frac 1{r^2}\right)\qquad(r\to\infty) :\cosh\frac{c_r}r=1+\frac 12\left(\frac{c_r}r\right)^2+o\left(\frac 1{r^2}\right)\qquad(r\to\infty) 이를 법칙에 대입하면 다음을 얻는다. :\frac{c_r^2}{r^2}=\frac{a_r^2}{r^2}+\frac{b_r^2}{r^2}-2\sinh\frac{a_r}r\sinh\frac{b_r}r\cos C_r+o\left(\frac 1{r^2}\right)\qquad(r\to\infty) 다음에 주의하여, 양변에 r^2을 곱한 뒤 극한 r\to\infty을 취하고 다시 양변에 4를 나누자. :\lim_{r\to\infty}r\sinh\frac{a_r}r=2a_\infty :\lim_{r\to\infty}r\sinh\frac{b_r}r=2b_\infty :\lim_{r\to\infty}r\sinh\frac{b_r}r=2c_\infty 그러면 평면 코사인 법칙을 얻는다.113-114 :c_\infty^2=a_\infty^2+b_\infty^2-2a_\infty b_\infty\cos C_\infty 제2 쌍곡 코사인 법칙 :\cos C_r=-\cos A_r\cos B_r+\sin A_r\sin B_r\cosh\frac{c_r}r 에 극한 r\to\infty을 취하면 다음과 같은 자명한 항등식이 된다. :\cos C_\infty=-\cos A_\infty\cos B_\infty+\sin A_\infty\sin B_\infty 이는 A_\infty+B_\infty+C_\infty=\pi이므로 자명하다. 따라서 유클리드 기하학에는 제2 코사인 법칙이 존재하지 않는다.114