코시-슈바르츠 부등식

코시 추정 선형대수학에서 **코시-슈바르츠 부등식**(Cauchy-Schwarz不等式, Cauchy–Schwarz inequality) 또는 **코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식**(Cauchy-Буняковский-Schwarz不等式, Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality)은 내적 공간 위에 성립하는 부등식이다.언어=en 이 부등식은 무한 급수 · 함수 공간 · 확률론의 분산과 공분산 등에 널리 응용된다.
# 정의
\mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * \mathbb K-벡터 공간 V * V 위의 양의 준정부호 에르미트 형식 \langle,\rangle (\mathbb K=\mathbb R일 때, 이는 양의 준정부호 쌍선형 형식과 같다). 즉, 다음이 성립한다. (특히, 첫째 벡터에 대하여 반선형, 둘째 벡터에 대하여 선형이라고 하자.) *: \langle w,\alpha u+v\rangle=\alpha\langle w,u\rangle+\langle w,v\rangle=\overline{\langle \alpha u+v,w\rangle}\qquad\forall \alpha\in\mathbb K,\;u,v\in V 그렇다면, **코시-슈바르츠 부등식**에 의하면 다음이 성립한다. :|\langle u,v\rangle|^2\le \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\qquad\forall u,v\in V

**증명:**url-status=

만약 \langle u,u\rangle=\langle v,v\rangle=0이며 \mathbb K=\mathbb R일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라 :0\le \frac 12\langle u+v,u+v\rangle=\langle u,v\rangle=-\frac 12\langle u-v,u-v\rangle\le 0 이므로 자명하게 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 마찬가지로, 만약 \langle u,u\rangle=\langle v,v\rangle=0이며 \mathbb K=\mathbb C일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라 :0 \le \frac 12\langle u+v,u+v\rangle = \operatorname{Re}\langle u,v\rangle = -\frac 12\langle u-v,u-v\rangle \le 0 :0 \le \frac 12\langle u-iv,u-iv\rangle = \operatorname{Im}\langle u,v\rangle = -\frac 12\langle u+iv,u+iv\rangle \le 0 이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. (양의 정부호 에르미트 형식의 경우 \langle u,u\rangle=\langle v,v\rangle=0은 u=v=0을 함의하며 이는 자명하게 \langle u,v\rangle=0을 함의하므로 위와 같은 과정이 필요 없다.) 따라서, \langle u,u\rangle 또는 \langle v,v\rangle 가운데 하나가 양의 실수라고 가정할 수 있다. 편의상 \langle v,v\rangle>0라고 하자. 양의 준정부호 조건에 의하여, 임의의 \lambda\in\mathbb K에 대하여 :0\le\langle u-\lambda v,u-\lambda v\rangle=\langle u,u\rangle+|\lambda|^2\langle v,v\rangle-\lambda\langle u,v\rangle-\bar\lambda\langle v,u\rangle 이다. 이제, :\lambda=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle v,v\rangle} 를 대입하면 다음과 같다. :0\le\langle u,u\rangle-\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\langle v,v\rangle} 이를 정리하면 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다. :|\langle u,v\rangle|^2 \le \langle u,u \rangle \cdot \langle v,v \rangle

또한, 만약 \langle,\rangle가 양의 정부호라면, 코시-슈바르츠 부등식에서 등호가 성립할 필요 충분 조건은 u와 v 일차 종속인 경우이다.
## 부정부호의 경우
일반적으로, 부정부호 에르미트 형식의 경우 코시-슈바르츠 부등식은 성립하지 않는다. 다만, 민코프스키 공간의 시간꼴 벡터의 경우 다음이 성립한다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 실수 벡터 공간 V * V 위의 쌍선형 형식 \langle,\rangle. 또한, \\{v\in V\colon\langle v,v\rangle0\\}\cup\\{0\\} 역시 1차원 이하 부분 벡터 공간이다. 그렇다면, 다음이 성립한다. :\forall u,v\in V\colon |\langle u,v\rangle|^2\ge \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\qquad\forall u,v\in V

**증명:**

임의의 두 벡터 u,v\in V에 대하여, 항상 다음 두 경우 가운데 하나가 성립한다. * 만약 \min\\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\\}\le0일 때: 위의 정리를 사용한다. * 만약 \max\\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\\}\ge0일 때: 위의 정리를 (V,-\langle,\rangle)에 사용한다.

# 예

## 낮은 차원
V=\mathbb K^n일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같은 꼴이 된다. :\left|\bar a_1b_1+\bar a_2b_2+\dotsb+\bar a_nb_n\right|^2\le \left(|a_1|^2+|a_2|^2+\dotsb+|a_n|^2\right) \left(|b_1|^2+|b_2|^2+\dotsb+|b_n|^2\right)\qquad \forall a_i,b_i\in\mathbb K 특히, n=2인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻는다. :|\bar ac+\bar bd|^2\le(|a|^2+|b|^2)(|c|^2+|d|^2)\qquad\forall a,b,c,d\in\mathbb K 특히, 2차원 민코프스키 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다. :(ac-bd)^2\ge(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)\qquad\forall a,b,c,d\in\mathbb R
## 르베그 공간
횔더 부등식 가측 공간 X 위의 p=2 르베그 공간 V=\operatorname L^2(X;\mathbb K)은 \mathbb K-힐베르트 공간을 이룬다. 이 경우 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다. :\left|\int \overline{f(x)}g(x)\,dx\right|^2\le \int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx\qquad\forall f,g\in\operatorname L^2(X;\mathbb K) 이는 횔더 부등식의 특수한 경우이다.
## C* 대수
상태 (함수해석학) C* 대수 A 위의 상태 :f\colon A\to\mathbb C 가 주어졌을 때, :\langle a,b\rangle=f(a^*b)\qquad\forall a,b\in A 는 A 위의 양의 준정부호 에르미트 형식을 이룬다. 이에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다. :|f(a^*b)|^2\le f(a^*a)f(b^*b)\qquad\forall a,b\in A
# 역사
오귀스탱 루이 코시. 코시는 유한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 최초로 증명하였다. 빅토르 부냐콥스키. 부냐콥스키는 무한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 최초로 증명하였다. 헤르만 아만두스 슈바르츠. 슈바르츠는 무한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 독자적으로 재발견하였다. 1821년에 오귀스탱 루이 코시가 유한 차원 벡터 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식을 증명하였다.언어=fr 1859년에 빅토르 야코블레비치 부냐콥스키(Ви́ктор Я́ковлевич Буняко́вский, 빅토르 야코비치 부냐코우시키, 1804~1889)가 무한 차원의 경우를 증명하였다.언어=fr 그러나 부냐콥스키의 논문은 널리 알려지지 않았다. 이후 1888년에 헤르만 아만두스 슈바르츠가 무한 차원 코시-슈바르츠 부등식을 재발견하였다.언어=de 1896년에 앙리 푸앵카레가 “슈바르츠 부등식”(inégalité de Schwarz)이라는 용어를 최초로 사용하였다.언어=en73, §II.2 이후 이 부등식은 서유럽 및 미국에서 통상적으로 “코시-슈바르츠 부등식”으로 일컬어지고 있다. 반면, 동유럽에서는 부냐콥스키의 업적을 기려 이를 “부냐콥스키 부등식” 또는 “코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식” 등으로 일컫는다.