초구

기하학에서 **초구**(超球, hypersphere)는 2차원 곡면인 구를 임의의 차원으로 일반화한 공간이다.
# 정의
n차원 **초구** S^n은 n+1차원 유클리드 공간에서, 원점에서 일정한 거리에 있는 점들의 부분 공간이다. :\mathbb S^n = \\{x\in\mathbb R^{n+1}\colon \|x\|=1\\} 이는 유클리드 공간으로부터 리만 계량을 이어받아 n차원 리만 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같이 직교군 또는 스핀 군에 대한 동차 공간으로 여길 수 있다. :\mathbb S^n \cong \operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n) \cong \operatorname{Spin}(n+1)/\operatorname{Spin}(n)
# 성질

## 넓이와 부피
반지름이 r인 *n*차원 초구의 초부피는 :V_n={\pi^\frac{n}{2}\over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} r^n ={C_n r^n} 이다. 여기서 \Gamma는 감마 함수이다. n차원 초구의 겉부피는 :S_{n-1} ={ {2\pi^n}\over{2 } \over {\Gamma \left(n}\over{2 \right)} } r^{n-1} 이다. 예를 들어, 4차원 초구의 초부피는 {\pi^2 r^4} \over {2} 이고, 겉부피는 {2\pi^2 r^3} 이다.
## 호몰로지와 호모토피
초구의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다. :\operatorname H_i(\mathbb S^n) \cong \begin{cases} \mathbb Z& i \in\\{0,n\\} \\\ 0 & i \not \in \\{0,n\\} \end{cases} :\operatorname H^i(\mathbb S^n) \cong \begin{cases} \mathbb Z& i \in\\{0,n\\} \\\ 0 & i \not \in \\{0,n\\} \end{cases} 드람 코호몰로지에서, 이 코호몰로지류는 상수 함수 및 부피 형식의 상수배에 의하여 대표된다. 초구의 호모토피 군은 일반적으로 매우 복잡하며, 아직 완전히 계산되지 못했다. :{| class="wikitable" |- ! !| π1 !| π2 !| π3 !| π4 !| π5 !| π6 !| π7 !| π8 !| π9 !| π10 !| π11 !| π12 !| π13 !| π14 !| π15 |- !| *S*0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 |- !| *S*1 || ℤ || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 |- !| *S*2 || 0 || ℤ || ℤ || ℤ2 || ℤ2 || ℤ12 || ℤ2 || ℤ2 || ℤ3 || ℤ15 || ℤ2 || ℤ22 || ℤ12×ℤ2 || ℤ84×ℤ22 || ℤ22 |- !| *S*3 || 0 || 0 || ℤ || ℤ2 || ℤ2 || ℤ12 || ℤ2 || ℤ2 || ℤ3 || ℤ15 || ℤ2 || ℤ22 || ℤ12×ℤ2 || ℤ84×ℤ22 || ℤ22 |- !| *S*4 || 0 || 0 || 0 || ℤ || ℤ2 || ℤ2 || ℤ×ℤ12 || ℤ22 || ℤ22 || ℤ24×ℤ3 || ℤ15 || ℤ2 || ℤ23 || ℤ120×ℤ12×ℤ2 || ℤ84×ℤ25 |- !| *S*5 || 0 || 0 || 0 || 0 || ℤ || ℤ2 || ℤ2 || ℤ24 || ℤ2 || ℤ2 || ℤ2 || ℤ30 || ℤ2 || ℤ23 || ℤ72×ℤ2 |- !| *S*6 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ℤ || ℤ2 || ℤ2 || ℤ24 || 0 || ℤ || ℤ2 || ℤ60 || ℤ24×ℤ2 || ℤ23 |- !| *S*7 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ℤ || ℤ2 || ℤ2 || ℤ24 || 0 || 0 || ℤ2 || ℤ120 || ℤ23 |- !| *S*8 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ℤ || ℤ2 || ℤ2 || ℤ24 || 0 || 0 || ℤ2 || ℤ×ℤ120 |} 초구 S^n의 (비축소) 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.언어=en39 :\operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n})=\mathbb Z^2 :\operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n})=0 :\operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z :\operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z 초구의 축소 복소수 위상 K군들은 다음과 같다. :\operatorname{\widetilde{KU^0(\mathbb S^{2n})=\operatorname{\widetilde{KU^1(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z :\operatorname{\widetilde{KU^1(\mathbb S^{2n})=\operatorname{\widetilde{KU^0(\mathbb S^{2n+1})=0 초구의 축소 실수 위상 K군들은 다음과 같다.언어=en§3.1 :\operatorname{\widetilde{KO^m(\mathbb S^n) = \begin{cases} \mathbb Z&n-m;\equiv 0,4\pmod8\\\ \mathbb Z/(2)&n-m;\equiv 1,2\pmod8\\\ 0&n-m;\equiv 3,5,6,7\pmod8 \end{cases}
## 세포 복합체 구조
n차원 초구는 표준적으로 하나의 0차원 세포와 하나의 n차원 세포를 가지는 세포 복합체 구조를 갖는다.
## 리 군과의 관계

### 초구 위의 리 군 구조
리 군과 미분 동형인 초구는 다음이 전부이다. :\mathbb S^0 \cong \operatorname{Cyc}(2) (2차 순환군) :\mathbb S^1 \cong \operatorname U(1) (원군) :\mathbb S^3 \cong \operatorname{SU}(2) (2차 특수 유니터리 군)

**증명:**

1차원 이하의 경우는 자명하다. 2차원 이상의 초구는 콤팩트 단일 연결 공간이다. 콤팩트 단일 연결 리 군은 단순 리 군들의 직접곱이며, 단순 리 군의 3차 코호몰로지는 항상 자명하지 않다. 따라서 가능한 경우는 3차원 초구 밖에 없다. (이 경우는 SU(2)와 미분 동형이다.)

### 동차 공간으로의 표현
초구 \mathbb S^n가 다음과 같이 리 군으로 표현된다고 하자. :\mathbb S^n \cong G / H 여기서 * \cong은 미분 동형이다. (이를 호모토피 동치로 약화시켜도 이 분류는 마찬가지로 성립한다.) * G는 연결 콤팩트 리 군이다. * H는 G의 닫힌 부분군이다. * G는 \mathbb S^n 위의 유효 작용을 가지며, 이는 기약 작용이다. 그렇다면, 이러한 표현은 다음이 전부이다.언어=enTheorem 10 {| class=wikitable ! *G* !! *H* !! 초구의 차원 |- | SO(*n*+1) || SO(*n*) || *n* |- | SU(*k*) || SU(*k*−1) || 2*k*−1 (*k*≥2) |- | Sp(*k*) || Sp(*k*−1) || 4*k*−1 (*k*≥2) |- | G2 || SU(3) || 6 |- | Spin(7) || G2 || 7 |- | Spin(9) || Spin(7) || 15 |} 특히, \mathbb S^n = \operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n)이므로, 모든 초구는 대칭 공간이다.
# 예
0차원 초구 S^0은 두 점으로 이루어진 이산 공간이다. 1차원 초구는 원 (기하학)이다. 2차원 초구는 일반적인 구다. 3차원 초구는 리 군 SU(2)와 동형이다. 3차원 이상의 초구는 호프 올뭉치에 등장한다.