계수 (선형대수학)

선형대수학에서, 선형 변환의 **계수**(階數, rank)는 선형 변환의 비(非) 퇴화 정도를 나타내는 기수이다. 기호는 \operatorname{rank} 또는 \operatorname{rk}.Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004, 495쪽.
# 정의
체 K 위의 벡터 공간 V 위의 선형 변환 T\colon V\to V의 **계수** \operatorname{rank}T는 T의 상의 차원이다. :\operatorname{rank}T=\dim T(V)\in\operatorname{Card} 체 K 위의 m\times n 행렬 A의 **계수** \operatorname{rank}A는 다음과 같은 여러 가지 정의를 가지며, 이들은 모두 서로 동치이다. * 열벡터의 왼쪽에 A를 곱하는 선형 변환 A\cdot\colon K^n\to K^m의 계수. 즉, 열공간의 차원. *:\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A\cdot)=\dim\\{Ax\colon x\in K^n\\}=\dim\operatorname{Span}\\{(A_{1j},\dots,A_{mj})\\}_{j=1}^n * 행벡터의 오른쪽에 A를 곱하는 선형 변환 \cdot A\colon K^m\to K^m의 계수. 즉, 행공간의 차원. *:\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(\cdot A)=\dim\\{x^\operatorname TA\colon x\in K^m\\}=\dim\operatorname{Span}\\{(A_{i1},\dots,A_{in})\\}_{i=1}^m * 열벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 열벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 열벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 일반적으로 유일하지 않다. 그러나 이러한 집합들의 원소 개수는 항상 같다. *:\operatorname{rank}A=|S|\qquad(S\subseteq\\{(A_{1j},\dots,A_{mj})\\}_{j=1}^n,\;\forall s\in S\colon s\not\in\operatorname{Span}(S\setminus\\{s\\}),\;\forall s\in\\{(A_{1j},\dots,A_{mj})\\}_{j=1}^n\colon s\in\operatorname{Span}(S)) * 행벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 행벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 행벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 원소 개수는 항상 같다. *:\operatorname{rank}A=|S|\qquad(S\subseteq\\{(A_{i1},\dots,A_{in})\\}_{i=1}^m,\;\forall s\in S\colon s\not\in\operatorname{Span}(S\setminus\\{s\\}),\;\forall s\in\\{(A_{i1},\dots,A_{in})\\}_{i=1}^m\colon s\in\operatorname{Span}(S)) * 0이 아닌 소행렬식의 최대 차수 *:\operatorname{rank}A=\max\\{|I|=|J|\colon\det(A_{I,J})\ne0,\;I\subseteq\\{1,\dots,m\\},\;J\subseteq\\{1,\dots,n\\}\\}
# 성질
계수는 행렬의 여러 성질과 관련되며, 계수가 높을수록 행렬의 퇴화 정도가 덜하다. 체 K 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * A는 영행렬이다. * \operatorname{rank}A=0 또한, A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * A\cdot\colon x\mapsto Ax는 단사 함수이다. * \operatorname{rank}A=n 또한, A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * A\cdot\colon x\mapsto Ax는 전사 함수이다. * \operatorname{rank}A=m 특히, n\times n 행렬 A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * A는 가역 행렬이다. * \operatorname{rank}A=n
## 계수-퇴화차수 정리
계수-퇴화차수 정리 체 K 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음의 **계수-퇴화차수 정리**(rank-nullity inequality)가 성립한다. :\dim\ker A+\operatorname{rank}A=n
## 항등식과 부등식
* 행렬의 계수는 행의 수와 열의 수 이하이다. 즉, 체 K 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음이 성립한다. *:\operatorname{rank}A\le\min\\{m,n\\} * 체 K 위의 m\times n 행렬 A, B에 대하여, 다음이 성립한다. *:\operatorname{rank}(A+B)\le\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B * 체 K 위의 m\times n 행렬 A 및 n\times p 행렬 B에 대하여, 다음이 성립한다. *:\operatorname{rank}(AB)\le\min\\{\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B\\} * 체 K 위의 m\times n 행렬 A 및 n\times p 행렬 B에 대하여, 다음의 **실베스터 부등식**(Sylvester's inequality)이 성립한다.같은 책, 494쪽. *:\operatorname{rank}(AB)\ge\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-n *체 K 위의 m\times n 행렬 A 및 n\times p 행렬 B 및 p\times q 행렬 C에 대하여, 다음의 **프로베니우스 부등식**(Frobenius' inequality)이 성립한다. *:\operatorname{rank}(ABC)\ge\operatorname{rank}(AB)+\operatorname{rank}(BC)-\operatorname{rank}B * 실수체 \mathbb R 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음이 성립한다. *:\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A^\operatorname T =\operatorname{rank}(A^\operatorname TA)=\operatorname{rank}(AA^\operatorname T) * 복소수체 \mathbb C 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음이 성립한다. *:\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\bar A=\operatorname{rank}A^\operatorname T=\operatorname{rank}A^* =\operatorname{rank}(A^*A)=\operatorname{rank}(AA^*)
# 예
A의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법은 가우스 소거법을 이용하는 것이다. 가우스 소거법을 행하여 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 보존된다. 이때 0이 아닌 행의 숫자가 곧 행렬의 계수가 된다. 예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬에서 : A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\\ -1 & -2 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 2 & 2 \\\ 3 & 6 & 2 & 5 \\\ \end{bmatrix} 첫 번째 열과 세 번째 열은 선형독립이지만, 두 번째 열은 첫 번째 열의 두 배와 같고 네 번째 열은 첫 번째 열과 세 번째 열의 합과 같으므로 A의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다. : A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ \end{bmatrix} 이때 0이 아닌 행이 두개임을 확인할 수 있다. 컴퓨터에서 부동소수점 연산을 행할 때 가우스 소거법은 부정확한 결과를 내놓을 확률이 높으므로, 특이값 분해를 통해 계수를 계산할 수 있다. 혹은 가우스 소거법보다 좀 더 안정적이고 특이값 분해보다는 빠른 QR 분해를 사용할 수도 있다.
# 응용

## 동치 표준형
행렬의 동치 표준형은 그 계수에 따라 완전히 결정된다. 즉, 두 행렬이 동치일 필요충분조건은 계수가 같은 것이다. 체 K 위의 m\times n 행렬 A의 동치 표준형은 다음과 같다. :\begin{pmatrix}I_{\operatorname{rank}A}&0\\\0&0\end{pmatrix}