수열

정수열 (1950년)실수의 무한수열 수학에서 **수열**(數列) 또는 **열**(列, sequence)은 수 또는 다른 대상의 순서 있는 나열이다.title=Sequence 나열 순서를 생각해야 하고 중복이 허용된다는 점에서 집합과 구분된다. 양의 짝수의 크기 순 나열 2, 4, 6, 8, ...은 수열의 예이다. 수열은 자연수의 집합에 정의된 함수라고 할 수 있다.
# 정의

## 수열의 항
수열을 이루는 구성원을 수열 **항**(term) 또는 **원소**(element)라고 한다. 수열은 항의 유형에 따라 자연수열, 실수열, 점렬, 함수열, 집합열 등으로 나뉜다. 처음으로 오는 항을 **첫째항**(first term) 또는 **첫항**, **초항**이라고 부르며, 둘째, 셋째, 넷째, ...로 오는 항을 **둘째항**, **셋째항**, **넷째항**, ..., 다르게는 **제2항**, **제3항**, **제4항**, ...이라고 부른다. 수열에서 나열되는 항의 개수를 그 수열의 **길이**(length)라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도, 무한할 수도 있으며, 길이가 유한하면 **유한수열**(finite sequence), 무한하면 **무한수열**(infinite sequence)이라고 부른다. 유한수열에게는 마지막으로 오는 항이 존재하며, 이를 **끝항**(final term) 또는 **마지막항**, **말항**이라고 부른다. 특정되지 않은 일반적인 **제*n*항**(nth term)을 수열의 **일반항**이라고 한다. 많은 경우에 *n*과 제*n*항 사이의 관계 규칙은 수식으로 표현 가능하다. 예를 들어 1, 3, 5, ...처럼 홀수를 오름차순으로 나열한 수열의 일반항은 2n - 1이다. 여기의 *n*에 임의의 자연수를 대입하면, 수열의 아무 번째 항의 값을 알아낼 수 있다. 자연수는 일부 문헌에서는 1부터, 일부 문헌에서는 0부터 시작한다. 만약 0부터 시작한다고 정할 경우 수열에서 처음 오는 항은 '제0항'이 된다
## 수열의 표현
수열의 원소를 순서대로 나열하는 것은 수열의 한 가지 표현법이다. 홀수열은 1, 3, 5, ...와 같이 표현할 수 있다. \\{1,\ 3,\ 5,\ \dots\\} 또는 (1,\ 3,\ 5,\ \dots)처럼 괄호를 씌워도 된다. 구체적으로 지정되지 않은 수열은 그 항들을 첨자가 달린 변수로 나타내어 (무한수열의 예를 들면) a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots , 또는 \\{a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots\\} , (a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots)와 같이 표현된다. 이때 수열의 일반항은 a_n이며, 이를 이용해 수열을 (집합의 조건제시법과 유사하게) \\{a_n\\} 또는 (a_n)으로 표현할 수 있다. 첨자의 범위를 명시하기 위해 \\{a_n\\}_{n \in \N} 또는 \\{a_n\\}_{n=1}^{\infty} 등으로 표현하기도 한다. 일반항을 구체적인 수식으로 표현할 수 있는 수열, 이를테면 홀수열은, 일반항을 괄호 안에 집어넣어 \\{2n - 1\\}과 같이도 표현한다. 일반항에 관한 공식 a_n = 2n - 1이 수열을 확정짓기 충분하기에, 공식 자체를 수열의 표기로 삼기도 한다.
## 함수로서의 정의
수열은 더 엄밀히는 자연수 전체 또는 앞의 *n*개의 집합을 정의역으로 하는 함수 n \mapsto a_n으로 정의된다. 즉, 각 자연수 n의 함수값을 수열의 제*n*항 a_n으로 정의한 함수이다. 실수열의 예를 들면, 수열 1, 1/2, 1/3, ..., 1/*n*, ...은 곧 함수 a : \N \to \R,\ n \mapsto 1/n와 같다.
## 귀납적으로 정의된 수열
구체적인 수열을 정의하는 방법 중 하나는 귀납적 정의법이다. 먼저 처음 몇 항의 값을 정하고, 그 뒤로는 각 항을 앞의 항에 의존한 관계식을 통해 정의한다. 일반항 공식에 의한 수열의 정의가 임의의 *an*과 *n* 사이의 관계를 사용한다면, 귀납적 정의는 각 *an*을 *a*1부터 *a**n* - 1까지의 항들로 나타낸 식을 사용한다. 일부 수열의 경우, 일반항은 귀납적 관계보다 간명하지 않거나, 더 발견되기 어렵다. 피보나치 수열 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)은 귀납적 정의할 수 있는 수열의 전형적인 예이다. 처음 두 항은 둘 다 1이고, 셋째 항 뒤부터는 두 인접 항을 더한 합을 그 바로 다음항으로 정의한다. 즉, :a_1 = a_2 = 1, :a_{n+2} = a_{n+1} + a_n. 피보나치 수열의 일반항 공식 :a_n = \frac{1}{\sqrt{5 \left(\,\left(\frac{1 + \sqrt{5{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5{2}\right)^n\right) 은 귀납적 정의보다 훨씬 더 복잡하고 알아내기 어렵다. 수열의 귀납적 정의의 유효성은 자연수 위의 귀납 정리가 보장한다.
# 예
다음 두 (유한) 수열은 한국어의 자음 일곱 개가 정확히 한 번씩 나오지만, 순서가 달라 다른 수열이다. : ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ : ㄴ, ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ 다음 두 (무한) 수열은 양의 홀수 전체를 나열하지만, 3의 중복 여부가 달라 다른 수열이다. : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... : 1, 3, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... 다음은 몇 가지 정수열의 예이다. :{| |- |2, 4, 6, 8, 10, 12, ... |양의 짝수열. 각 항 간의 차가 일정하다. (등차수열) |- |3, 9, 27, 81, 243, ... |3의 거듭제곱들의 수열. 각 항 간의 비가 일정하다. (등비수열) |- |2, 3, 5, 7, 11, 13, ... |소수열. |- |7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... |"*an* = (7*n*의 일의 자리의 숫자)"로 정의되는 수열. |- |3, 7, 5, 4, -1, ... |규칙이 뚜렷하지 않은 수열. |- |1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... |사각수열, 즉 *an* = *n*2 |- |0, 0, 0, 24, 120, 360, 840, ... |*an* = *n*(*n* - 1)(*n* - 2)(*n* - 3)로 정의되는 수열. |}
# 수열의 성질
다음은 주로 실수열의 예를 들어 설명한, 수열의 여러 속성들이다.
## 단조성
단조수열 실수열 \\{a_n\\}이 모든 m > n인 두 자연수 m,n에 대해 a_m \ge a_n을 만족시킬 때, \\{a_n\\}을 단조증가수열이라고 한다. 반대로 모든 m > n인 두 자연수 m,n에 대해 a_m \le a_n을 만족시킬 때 단조감소수열이라고 한다. 이 둘과 동등한 조건은 각각 a_{n+1} \ge a_n 또는 a_{n+1} \le a_n이 모든 자연수 n에 대해 성립한다는 것이다. 홀수열 a_n = 2n - 1은 단조증가수열의 예이다: 1 < 3 < 5 < 7 < \dots 순증가 또는 순감소수열은, 단조증가 또는 감소하면서 같은 값에 두 번 이상 머무르지 않는 수열이다. 수열의 단조성은, 실수 이외에도 순서구조가 정립된 곳에서 값을 취하는 수열에 대해 정의 가능하다.
## 유계성
유계집합 실수 또는 다른 순서가 정의된 대상의 열 \\{a_n\\}의 모든 항이 어떤 일정한 값(상계라 부른다)보다 작을 때, 즉 \exists M이어서 \forall n\in\N에 대해 a_n \le M일 때, \\{a_n\\}이 위로 유계라고 한다. 모든 항이 하계라 불리는 어떤 값 M보다 클 때 아래로 유계라고 한다. 위로도 아래로도 유계인 수열, 또는 이와 동등한 조건인 |a_n| \le M,\ n\in\N을 만족하는 수열을 유계수열이라고 한다. 수열 a_n = \frac{1}{n}은 유계수열의 예이다. 0 < a_n \le 1이 모든 자연수 n에 대해 성립하기에 그렇다.
## 수렴성
수열의 극한 실수열 \\{a_n\\}이 단조수열이면서 유계일 때, 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)에 의해 항상 수렴한다. 실수열 \\{a_n\\}에 대해 n이 한없이 커질 때, 그리고 그 일반항 a_n이 어떤 상수 L에 한없이 가까워지면, **수열 \\{a_n\\}이 극한 L로 수렴한다**라고 한다. 기호로는 :\lim_{n \to \infty}a_n = L 과 같이 나타낸다. 반대로, 수열 \\{a_n\\}이 수렴하지 않을 때 **수열 \\{a_n\\}이 발산한다**고 한다. 이는 다음과 같은 경우로 나뉜다. * 양의 무한대로 발산, 즉 n이 커짐에 따라 a_n이 한없이 커짐. \lim_{n\to\infty} a_n = \infty로 표기. * 음의 무한대로 발산, 즉 n이 커짐에 따라 a_n이 한없이 작아짐. \lim_{n\to\infty} a_n = -\infty로 표기. * 진동 발산, 즉 상수로도, 양과 음의 무한대로도 한없이 가까워지지 않음. 수열 a_n = \frac{1}{n}은 수렴수열의 예이다. :\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
# 수열로부터 새 수열 만들기

## 부분수열
부분수열 수열 \\{a_n\\}의 부분수열은, 나열 순서가 변하지 않은 채로 일부 항을 제거해 얻는 새로운 수열이다. 더 정확히는 \\{a_{n_k}\\} (n_k는 순증가 자연수열) 꼴로 표현되는 수열을 뜻한다. 예를 들어 소수열 (2, 3, 5, 7, ...)은 자연수열 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)의 부분수열이다.
## 계차수열
계차수열 수열 \\{a_n\\}의 계차수열 \\{\Delta a_n\\}은 제*n*항을 바로 다음 항에서부터 뺀 차 a_{n+1} - a_n를 일반항으로 하는 수열이다. 계차수열의 계차수열 \\{\Delta^2 a_n\\}을 2계차수열이라고 하고, 비슷하게 3, 4, ...계차수열이 정의된다. 수열 a_n = n^2의 계차수열은 \Delta a_n = 2n + 1, 2, 3계차수열은 \Delta^2 a_n = 2, \Delta^3 a_n = 0이다.
## 수열의 합, 급수
급수 수열 \\{a_n\\}의 제1항부터 제*n*항까지의 합 :\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n 은, *n* = 1, 2, 3, ...를 취할 때 새로운 수열 \left\\{\sum_{k=1}^n a_k\right\\}을 이룬다. 이를 때로는 **부분합 수열**이라고 한다. 계차수열이 쉽게 구해지는 것과 다르게, 수열의 합 공식은 일반적으로 쉽게 찾을 수 없으며, 여러 가지 기교와 정형화된 방법이 요구된다. 수열의 합 공식의 예로는 1부터 *n*까지의 자연수의 합 공식이 있다. :\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2} 부분합 수열 \left\\{\sum_{k=1}^n a_k\right\\}이 수열로서 상수 L로 수렴할 때, 무한급수 \sum_{n=1}^{\infty} a_n이 L로 수렴한다고 하고 이를 \sum_{n=1}^{\infty} a_n = L과 같이 나타낸다.