푸아송 괄호

고전역학 **푸아송 괄호**(Poisson bracket)란 해밀턴 역학에서 쓰이는 중요한 연산자로, 어떤 물리량의 시간적 변화를 기술하는 데 중요한 역할을 하고 있다. 좀 더 일반적인 방법으로, 푸아송 괄호는 푸아송 다양체의 푸아송 대수를 정의하는 데 쓰인다. 위의 푸아송과 관련된 이름을 가진 것들은 모두 프랑스의 물리학자이자 수학자인 푸아송의 이름에서 따온 이름들이다.
# 정의
일반화 좌표 (q_i, \; p_i , \; t)에서, 다음과 같은 두 함수 F(q_i, \; p_i , \; t), G(q_i, \; p_i , \; t)에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다. :\\{ F,\; G \\} = \sum_i \left[ {\partial F \over \partial q_i} {\partial G \over \partial p_i} - {\partial F \over \partial p_i} {\partial G \over \partial q_i} \right] 몇몇 경우에는 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하기도 하므로 유의하자.문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 318쪽. :\\{ F,\; G \\} = \sum_i \left[ {\partial F \over \partial p_i} {\partial G \over \partial q_i} - {\partial F \over \partial q_i} {\partial G \over \partial p_i} \right] 두 정의의 차이점은 서로 부호가 반대이다는 점 뿐이다. 여기서는 첫 번째 정의를 사용하는 것으로 하자.
# 성질
일반화 좌표 (q_i, \; p_i , \; t)에서, 다음과 같은 세 함수 A(q_i, \; p_i , \; t), B(q_i, \; p_i , \; t), C(q_i, \; p_i , \; t)에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같은 반대칭성을 가진다. :\\{ A, \; B \\} = - \\{ B, \; A \\} 또한 다음과 같은 야코비 항등식을 만족한다. : \\{A, \; \\{B, \;C\\}\\} + \\{B,\; \\{C,\; A\\}\\} + \\{C,\; \\{A,\; B\\}\\} \ = \ 0 일반화 좌표 q_i와 일반화 운동량 p_i사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립하며 :\\{ p_i, \; q_j \\} = \delta_{ij} :\\{ p_i, \; p_j \\} = \\{ q_i, \; q_j \\} = 0 함수 A(q_i, \; p_i , \; t)와 일반화 좌표 q_i와 운동량 p_i사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립한다. :\\{ A, \; q_i \\} = -{\partial A \over \partial p_i} :\\{ A, \; p_i \\} = {\partial A \over \partial q_i}
# 해밀턴 방정식과 푸아송 괄호
푸아송 괄호를 이용해 해밀턴 역학의 운동 방정식들을 나타낼 수 있다. 일반화 좌표 (q_i, \; p_i , \; t)에서의 해밀턴 방정식 :\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} :\dot{q}_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i} 은 푸아송 괄호를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다. :\dot{p}_i = - \\{H, \; p_i \\} :\dot{q}_i = - \\{H, \; q_i \\} 원래의 해밀턴 방정식에선 일반화 좌표 q_i와 일반화 운동량 p_i사이에 무언가 대칭성이 있음을 유추할 수 있지만, 부호가 달랐다. 하지만 푸아송 괄호를 통한 해밀턴 방정식에선 q_i와 p_i사이에 대칭성이 있음을 확인할 수 있다.
# 운동상수와 푸아송 괄호
만약 어떤 동역학적 물리량 F(q_i, \; p_i , \; t)가 운동상수, 즉 보존되는 물리량 :{d F \over dt} = 0 이라면 물리량이 시간에 대한 직접적인 함수가 아니며 :{\partial F \over \partial t} = 0 해밀토니안 H와 물리량 F의 푸아송 괄호가 0이 되어야 한다. : \\{H,\; F\\} = 0 이는, 맨 첫 번째 방정식을 연쇄법칙을 이용해 전개하고 해밀턴 방정식을 대입하면 증명할 수 있다. :\begin{align} 0 & = \frac {d}{dt} F(q_i,\; p_i) \\\ & = \sum_i \left[ \frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {d q_i}{d t}+ \frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {d p_i}{dt} \right] \\\ & = \sum_i \left[ \frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {\partial H}{\partial p_i} - \frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {\partial H}{\partial q_i} \right] \\\ &= \\{F,\; H\\} \\\ &= -\\{ H, \; F \\} \end{align}
# 물리량의 시간적 변화
어떤 동역학적 물리량 F(q_i, \; p_i , \; t)가 주어졌을 때, 위상 공간에서 이 물리량의 시간에 따른 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다. :\frac {d}{dt} F(q_i, \; p_i \; ,t) = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_i \left[ \frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {dq_i}{dt} + \frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {dp_i}{dt} \right] 여기에 해밀턴 방정식 \dot{q}_i={\partial H}/{\partial p_i} 와 \dot{p}_i=-{\partial H}/{\partial q_i}을 대입하면 :\begin{align} \frac {d}{dt} F(q_i,\; p_i ,\; t) & = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_i \left[ \frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {\partial H}{\partial p_i} - \frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {\partial H}{\partial q_i} \right] \\\ &= \frac{\partial F}{\partial t} -\\{H, \; F\\} \end{align} 이 된다. 따라서 물리량 F의 시변(시간변화 부분)은 :\frac{d}{dt} F= \left(\frac{\partial }{\partial t} - \\{ H, \; \cdot \\}\right)F 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 연산자 -\\{ H, \; \cdot \\}는 리우빌리안이라 불리기도 한다.