튜플

**튜플**(tuple)은 셀 수 있는 수량의 순서 있는 열거이다. n 개의 요소를 가진 튜플을 **n-튜플**(n-tuple) 또는 **n중쌍**, **n짝**이라고 한다. 비어 있는 열은 유일한 0-튜플이다. 임의의 n-튜플은 순서쌍의 개념을 이용하여 재귀적으로 정의된다. 튜플은 다른 수학 개념들(예를 들어 벡터)을 나타내는 데에 자주 사용된다. 튜플은 보통 원소들을 괄호 '( )'안에 쉼표 ','로 구분되게 나열하여 표시한다. 5-튜플의 예를 들면 (2, 7, 4, 1, 7)와 같다. 때로는 대괄호 '[ ]'나 화살괄호 ''와 같은 다른 부호를 사용하기도 한다. 중괄호 '{ }'는 집합을 표시할 때 쓰이기 때문에 튜플 표시에는 사용하지 않는다. 컴퓨터 과학에서 튜플은 어떤 요소의 집합, 혹은 테이블에서의 행을 가리킨다(레코드와 동일한 의미). 단, 일반적인 집합과는 달리 중복이 허용될 수 있다. 튜플의 개념은 언어학accessdate=1 May 2015과 철학accessdate=1 May 2015에서도 사용된다.
# 길이에 따른 튜플의 이름
{| class="wikitable" |- ! 튜플의 길이, n !! 이름 !! 다른 이름 |- | align="right" | 0 || empty tuple || null tuple / empty sequence / unit / 0튜플 |- | align="right" | 1 || monuple || single / singleton / monad / 1튜플 |- | align="right" | 2 || couple || double / ordered pair / two-ple / twin / dual / duad / dyad / twosome / 2튜플 |- | align="right" | 3 || triple || treble / triplet / triad / ordered triple / threesome |- | align="right" | 4 || quadruple || quad / tetrad / quartet / quadruplet |- | align="right" | 5 || quintuple || pentuple / quint / pentad |- | align="right" | 6 || sextuple || hextuple / hexad |- | align="right" | 7 || septuple || heptuple / heptad |- | align="right" | 8 || octuple || octa / octet / octad / octuplet |- | align="right" | 9 || nonuple || nonad / ennead |- | align="right" | 10 || decuple || decad / decade (antiquated) |- | align="right" | 11 || undecuple || hendecuple / hendecad |- | align="right" | 12 || duodecuple || dozen / duodecad |- | align="right" | 13 || tredecuple || baker's dozen |- | align="right" | 14 || quattuordecuple || double septuple |- | align="right" | 15 || quindecuple ||triple quintuple |- | align="right" | 16 || sexdecuple ||quadruple quadruple |- | align="right" | 17 || septendecuple || |- | align="right" | 18 || octodecuple || |- | align="right" | 19 || novemdecuple || |- | align="right" | 20 || vigintuple || |- | align="right" | 21 || unvigintuple || |- | align="right" | 22 || duovigintuple || |- | align="right" | 23 || trevigintuple || |- | align="right" | 24 || quattuorvigintuple || |- | align="right" | 25 || quinvigintuple || |- | align="right" | 26 || sexvigintuple || |- | align="right" | 27 || septenvigintuple || |- | align="right" | 28 || octovigintuple || |- | align="right" | 29 || novemvigintuple || |- | align="right" | 30 || trigintuple || |- | align="right" | 31 || untrigintuple || |- | align="right" | 32 || duotrigintuple || |- | align="right" | 40 || quadragintuple || |- | align="right" | 41 || unquadragintuple || |- | align="right" | 50 || quinquagintuple || |- | align="right" | 60 || sexagintuple || |- | align="right" | 70 || septuagintuple || |- | align="right" | 80 || octogintuple || |- | align="right" | 90 || nongentuple || |- | align="right" | 100 || centuple || |- | align="right" | 1,000 || milluple || chiliad |- |}
# 성질
튜플의 기본 성질은 두 튜플이 같을 필요충분조건으로 나타내어진다. 일반적으로 두 n-튜플 :(a_1,a_2,\ldots,a_n) :(b_1,b_2,\ldots,b_n) 이 같다는 건 같은 위치의 성분이 각각 같다는 것, 즉 다음과 동치이다. :a_1=b_1,a_2=b_2,\ldots,a_n=b_n 때문에 튜플은 집합과 구분되는 여러 성질을 갖는다. # 중복된 원소가 있을 수 있다. 튜플의 원소를 중복해서 쓰면 다른 튜플이 된다. 예: (1, 2, 3) ≠ (1, 2, 2, 3), 하지만 집합 1={1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3} # 정해진 순서가 있다. 튜플의 원소의 순서를 바꾸면 다른 튜플이 될 수 있다. 예: (1, 2, 3) ≠ (3, 2, 1), 하지만 집합 1={1, 2, 3} = {3, 2, 1} # 튜플의 원소의 개수는 유한하다. 하지만 집합, 중복집합은 원소 개수가 무한할 수도 있다.
# 정의법
튜플에게 위의 성질을 부여할 수 있는 정의법으로 다음이 있다.
## 함수
n-튜플을 튜플의 성분들의 첨수들의 집합을 정의역, 튜플의 성분들이 이루는 집합을 공역으로 하는 함수로 정의할 수 있다. 즉 형식적으로 :(a_1,a_2,\ldots,a_n)\equiv(X,Y,F) 여기서 :X=\\{1,2,\ldots,n\\} :Y=\\{a_1,a_2,\ldots,a_n\\} :F=\\{(1,a_1),(2,a_2),\ldots,(n,a_n)\\} 덜 형식적인 표현은 다음과 같다. :(a_1,a_2,\ldots,a_n):=(F(1),F(2),\ldots,F(n))
## 내포된 순서쌍
집합론에서 쓰이는 한 가지 방법은 튜플을 내포된(nested) 순서쌍으로서 정의하는 것이다. 순서쌍은 미리 정의하여야 한다. # 0-튜플, 즉 비어있는 튜플은 공집합 ∅로 정의한다. # 양의 정수 n에 대해, n-튜플은 n-튜플의 첫 성분을 첫 성분으로 하고, 나머지 성분들로 이루어진 (*n*-1)-튜플을 둘째 성분으로 하는 순서쌍이다. #: (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)=(a_1,(a_2,a_3,\ldots,a_n)) 이 정의를 조금 큰 n에 대해 펼쳐보면 다음과 같다. :(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)=(a_1,(a_2,(a_3,(\ldots,(a_{n-2},(a_{n-1},(a_n,\emptyset)))\ldots)))) 예를 들면 :(1,2,3,4) = (1,(2,3,4)) = (1,(2,(3,4))) = (1,(2,(3,(4,\emptyset)))) 위 정의에서 방향만 바뀐 경우인 다음의 정의법도 있다. # 0-튜플은 공집합이다. # *n* > 0에 대해, n-튜플은 다음과 같은 순서쌍이다. #: (a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)=((a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}),a_n)
## 내포된 집합
두번째 정의법에서 순서쌍의 쿠라토프스키 정의를 쓰면 튜플을 집합만으로 정의내릴 수 있다. # 0-튜플은 공집합 ∅이다. # x를 n-튜플 (*a1*, *a2*,... , *an*)이라 하자. 끝에 b를 추가한 튜플 1=*x*→*b* = (*a1*, *a2*,... , *an*, *b*)는 다음과 같은 집합이다. #: x \rightarrow b \equiv \\{\\{x\\}, \\{x, b\\}\\} 예를 들면 : \begin{array}{lclcl} () & & &=& \emptyset \\\ & & & & \\\ (1) &=& () \rightarrow 1 &=& \\{\\{()\\},\\{(),1\\}\\} \\\ & & &=& \\{\\{\emptyset\\},\\{\emptyset,1\\}\\} \\\ & & & & \\\ (1,2) &=& (1) \rightarrow 2 &=& \\{\\{(1)\\},\\{(1),2\\}\\} \\\ & & &=& \\{\\{\\{\\{\emptyset\\},\\{\emptyset,1\\}\\}\\}, \\\ & & & & \\{\\{\\{\emptyset\\},\\{\emptyset,1\\}\\},2\\}\\} \\\ & & & & \\\ (1,2,3) &=& (1,2) \rightarrow 3 &=& \\{\\{(1,2)\\},\\{(1,2),3\\}\\} \\\ & & &=& \\{\\{\\{\\{\\{\\{\emptyset\\},\\{\emptyset,1\\}\\}\\}, \\\ & & & & \\{\\{\\{\emptyset\\},\\{\emptyset,1\\}\\},2\\}\\}\\}, \\\ & & & & \\{\\{\\{\\{\\{\emptyset\\},\\{\emptyset,1\\}\\}\\}, \\\ & & & & \\{\\{\\{\emptyset\\},\\{\emptyset,1\\}\\},2\\}\\},3\\}\\} \\\ \end{array}
# m 원소 집합의 n-튜플
이산수학, 특히 조합론과 (유한) 확률론에서, n-튜플은 세기 문제 등 다양한 곳에서 등장하며, 덜 엄밀하게 길이 n의 순서있는 목록으로서 처리된다.p=9 m 개의 원소를 가진 집합에서 원소를 취한 n-튜플을 중복순열이라고 부른다. 이러한 튜플의 수는 *mn*이다(곱 규칙에 의해).p=101 다른 관점에서, 집합 S의 크기가 m이라면, 곱집합 *S* × *S* × ... × *S*의 크기는 *mn*이다.
# 형 이론
빈 문단