리만 합

미적분학 수학에서 **리만 합**(Riemann sum)은 적분의 값을 근사하는 데 사용되는 방법이다. 또한 새로운 적분 연산을 정의하기 위해 사용되기도 한다. 리만 합이라는 수학 용어는 베른하르트 리만의 이름을 본따서 붙여졌다.
# 정의
실수의 부분집합 *D*에서 정의되는 함수 *f*: *D* -> **R**를 생각하자. 그리고 *I*=[*a*, *b*]인 닫힌구간이 *D* 안에 들어있다고 하자. 점들의 유한 집합 {*x*0, *x*1, *x*2, ... *x**'n*}은 *a* = *x*0 < *x*1 < *x*2 ... < *x**'n* = *b*이고 *I*안에 들어있는 다음의 분할(partition)을 생성한다. : :*P* = {[*x*0, *x*1), [*x*1, *x*2), ... [*x**'n*-1, *x**'n*]} 만약 *P*가 *I*의 *n* 개의 원소들을 가지는 분할이라면, *I* 상에서 분할 *P*를 가지는 *f*의 **리만 합**은 다음과 같이 정의된다. : :S = \sum_{i=1}^{n} f(y_i)(x_{i}-x_{i-1}) 여기서 *x**'i*-1 ≤ *y**'i* ≤ *x**'i*이며, 구간 내에서 *y**'i*의 선택은 임의적이다. 모든 *i*에 대하여 *y**'i* = *x**'i*라면 *S*는 **오른쪽 리만 합**으로, *y**'i* = *x**'i*-1라면 **왼쪽 리만 합**, *y**'i* = (*x**'i*+*x*i-1)/2라면 **가운데 리만 합**으로 각각 불린다. 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 취한 것이 *사다리꼴 합*(Trapezoidal sum)이라고 불리는 것과 같다. 우리가 다음 식을 가지고 있다고 하자. : :S = \sum_{i=1}^{n} v_i(x_{i}-x_{i-1}) 여기서, *v**'i*는 [*x**'i*-1, *x**'i*]에서 *f*의 최소 상한이다. 그러면 *S*는 **위쪽 리만 합**으로 정의될 수 있다. 이와 비슷하게, *v**'i*가 [*x**'i*-1, *x**'i*]에서 *f*의 최대 하한이라면 *S*는 **아래쪽 리만 합**이다. 주어진 분할(*x**'i*-1과 *x**'i* 사이에서 임의로 선택한 *y**i*)을 가지는 어떠한 리만 합도 위쪽 리만 합과 아래쪽 리만 합 사이에 들어있게 된다. 어떤 함수가 분할을 더 작게 쪼개면 쪼갤수록 아래쪽 리만 합과 위쪽 리만 합이 점점 가까워진다면 이 함수는 *리만 적분 가능*으로 정의된다. 이 사실은 수치 적분에 사용된다.
# 방법들
위에서 언급했듯이, 리만 합을 계산하기 위한 몇 가지 방법들이 있다. 왼쪽, 오른쪽, 가운데, 사다리꼴 합이 바로 그것이다. 아래에서는 각 구간이 동일한 크기를 가지는 분할을 이용해 간단한 경우로 예를 들어보겠다. 즉, [*a*, *b*]는 *n*개의 구간으로 쪼개지고, 각각의 길이 *Q*=(*b*-*a*)/*n*이다. 따라서 각 분할의 점들은 : *a*, *a*+*Q*, *a*+2*Q*, ..., *a*+(*n*−2)*Q*, *a*+(*n*−1)*Q*,* b*. 이 된다.
## 1.왼쪽 리만 합
[[파일:LeftRiemann2.png|섬네일||right|[0,2]에서 *x*3의 왼쪽 리만 합은 4개의 부분 구간을 가진다.]] 왼쪽 리만 합을 계산하기 위해 분할한 각 구간의 왼쪽 끝점을 함숫값(=높이)으로 이용한다. 그러면 밑변 *Q*와 높이 *f*(*a*+*iQ*)를 가지는 여러 개의 사각형이 생긴다. 이것을 *i*=0, 1, ..., *n*−1 동안 반복하여 더하면 결과 면적은 :Q\left[f(a) + f(a + Q) + f(a + 2Q)+\dots+f(b - Q)\right].\, 이 된다. 이 구간에서 *f*가 단조 감소인 경우 왼쪽 리만 합은 실제 값보다 크게 예측한 것이 될 것이고, 단조 증가라면 실제보다 작게 예측한 것이 될 것이다.
## 2.오른쪽 리만 합
[[파일:RightRiemann2.PNG|섬네일|right|[0,2]에서 4개의 부분 구간을 가지는 *x*3의 오른쪽 리만 합]] 여기서는 각 구간의 오른쪽 끝점을 함숫값(=높이)으로 이용한다. 그러면 *Q*와 높이 *f*(*a*+*iQ*)를 가지는 여러 개의 사각형이 생긴다. 이것을 *i*=1, 2, *n*−1 동안 반복하여 더하면 다음 결과를 얻는다. : :Q\left[f(a + Q) + f(a + 2Q)+\dots+f(b)\right].\, 왼쪽 리만 합과 반대로, 오른쪽 리만 합은 단조 증가인 *f*의 리만 합을 크게 예측한 것이 되고, 단조 감소인 *f*의 리만 합을 작게 예측한 것이 된다. * (주의)* -왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합은 함수 꼴에 따라 부등호의 방향이 바뀔 수 있다. (증가함수와 감소함수의 경우 좌,우 리만 합의 부등호 방향이 바뀐다.)
## 3.가운데 리만 합
[[파일:MidRiemann2.PNG|섬네일|right|[0,2]에서 4개의 부분 구간을 가지는 *x*3의 가운데 리만 합]] 이 경우에는 각 부분 구간의 중간점에서 *f*의 값을 구한다. 따라서 첫 번째 구간은 *f*(*a* + *Q*/2)의 값을, 두 번째 구간은 *f*(*a* + 3*Q*/2)를 가진다. 이를 반복하여 마지막 구간에 다다르면 *f*(*b*-*Q*/2)이 된다. 이것을 모두 합하면, :Q\left[f(a + Q/2) + f(a + 3Q/2)+\dots+f(b-Q/2)\right]. 임을 알 수 있다. 이 식의 오차는 :\left \vert \int_{a}^{b} f(x) - A_{mid} \right \vert \le \frac{M_2(b-a)^3}{(24n^2)}, 가 된다. 여기서 M_2는 이 구간에서 f^{\prime\prime}(x)의 절댓값의 최댓값이다.
## 4.사다리꼴 규칙
[[파일:TrapRiemann2.PNG|섬네일|right|[0,2] 구간에서 4개의 부분 구간을 가지는 *x*3의 사다리꼴 리만 합]] 여기서는, 각 구간의 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점의 평균값을 이용하여 구한다. 위의 방법들과 마찬가지로, 각 사다리꼴의 넓이인 A=h(b_1+b_2)/2 (평행한 두 변은 *b*1, *b*2, 높이가 *h*)을 더하면, :\frac{1}{2}Q\left[f(a) + 2f(a+Q) + 2f(a+2Q) + 2f(a+3Q)+\dots+f(b)\right]. 이 적분 근사식의 오차는 :\left \vert \int_{a}^{b} f(x) - A_{trap} \right \vert \le \frac{M_2(b-a)^3}{(12n^2)}, 가 된다. 여기서 M_2는 이 구간에서 f^{\prime\prime}(x)의 절댓값의 최댓값이다.