단사층

층 이론에서, **단사층**(單射層, injective sheaf, faisceau injectif)은 층의 범주에서의 단사 대상이다. 이를 사용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다.
# 정의
위상 공간 *X* 위의 아벨 군 값을 갖는 층들의 아벨 범주 \operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})는 항상 충분한 단사 대상을 갖지만, 충분한 전사 대상을 갖지 않는다. X 위의 아벨 군 층의 범주의 단사 대상을 **단사층**이라고 한다. 즉, 아벨 군층 \mathcal F에 대하여, 만약 임의의 * 층 \mathcal B\in\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab}) * \mathcal B의 부분층 \mathcal A\subseteq \mathcal B * 층 준동형 \phi\colon\mathcal A\to\mathcal F 가 주어졌을 때, 항상 \tilde\phi|_{\mathcal A}=\phi인 층 준동형 \tilde\phi\colon\mathcal B\to\mathcal F가 존재한다면, \mathcal F를 단사층이라고 한다. 이 밖에도, 관련된 개념으로 * **섬세층**(纖細層, fine sheaf, faisceau fin) * **물렁한 층**(soft sheaf, faisceau mou) * **말랑한 층**(flabby sheaf, faisceau flasque) * **비순환층**(非循環層, acyclic sheaf, faisceau acyclique) 이 있다. 이 개념들은 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 잘 작동하지만, 대수다양체와 같은 공간에서는 잘 작동하지 않는다.
## 섬세층
위상 공간 X과 그 열린 덮개 \\{U_i\\}_{i\in I} 및 아벨 군층 \mathcal F이 주어졌다고 하자. \\{U_i\\}_{i\in I}에 종속된 \mathcal F의 **단위 분할**은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 각 i\in I에 대하여, 자기 사상 \phi_i\in\operatorname{End}(\mathcal F) 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. * 각 i\in I에 대하여, \operatorname{supp}\phi_i\subseteq U_i * 각 x\in X에 대하여, \\{i\in I\colon x\in\operatorname{supp}\phi_i\\}는 유한 집합이다. * \textstyle\sum_i\phi_i는 항등 사상이다. 파라콤팩트 하우스도르프 공간 X 위의 아벨 군층 \mathcal F에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군층을 **섬세층**이라고 한다. * 자기 사상의 층 \operatorname{End}(\mathcal F)이 물렁한 층이다. * 임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.
## 물렁한 층
위상 공간 X 위의 아벨 군층 \mathcal F에 대하여, 그 에탈레 공간 \pi_{\mathcal F}\colon E\twoheadrightarrow X을 정의할 수 있다. X의 임의의 닫힌집합 C\subseteq X에 대하여, 임의의 연속 함수 :s\colon C\to E 에 대하여, 만약 \pi_{\mathcal F}\circ s=\operatorname{id}_C라면 s를 \mathcal F의 C 위의 **단면**이라고 하며, 단면 집합을 \Gamma(C;\mathcal F)라고 한다. 만약 X가 파라콤팩트 공간일 경우, 이는 C의 모든 열린 근방에 대하여 취한 귀납적 극한 :\Gamma(C;\mathcal F)=\varinjlim_{U\supseteq C}\Gamma(U;\mathcal F) 과 같다. 위상 공간 X 위의 아벨 군층 \mathcal F에 대하여, 만약 닫힌집합 C\subseteq X 위의 모든 단면을 X 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, \mathcal F를 **물렁한 층**이라고 한다. 위상 공간 X 위의 아벨 군층 \mathcal F에 대하여, 만약 콤팩트 집합 K\subseteq X 위의 모든 단면을 X 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, \mathcal F를 **콤팩트 물렁한 층**(c-soft sheaf)이라고 한다.
## 말랑한 층
위상 공간 X 위의, 구체적 범주 \mathcal C의 값을 갖는 층 \mathcal F에 대하여, 임의의 두 열린집합 V\subseteq U\subseteq X에 대하여 제한 사상 :\operatorname{res}_{UV}\colon\Gamma(U,\mathcal F)\to\Gamma(V,\mathcal F) 이 전사 함수라면, \mathcal F를 **말랑한 층**이라고 한다.issn=0072-528567, Exercise 1.16언어=en137 즉, 임의의 열린집합에 정의된 단면을 공간 전체로 연장할 수 있는 층이다. 이름의 "말랑한"(flasque, flabby)은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 말랑말랑한 찰흙 따위에 빗댄 것이다.
## 비순환층
위상 공간 X 위의 아벨 군층 \mathcal F에 대하여, 만약 모든 양의 차수 층 코호몰로지 군이 자명군이라면, \mathcal F를 **비순환층**이라고 한다. :H^i(X;\mathcal F)=0\qquad(\forall i>0) 물론, 0차 코호몰로지 군은 단면들의 군 H^0(X;\mathcal F)=\Gamma(X;\mathcal F)이므로, 층이 자명하지 않는 이상 자명군이 아니다.
# 성질
파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 아벨 군층들에 대하여, 다음이 성립한다. :단사층 ⊆ 말랑한 층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층 :단사층 ⊆ 섬세층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층 그러나 일반적으로 물렁한 층이 아닌 섬세층이 존재하고, 또 섬세층이 아닌 물렁한 층이 존재한다. 섬세층은 비순환층이므로, 복소 대수기하학에서 단사 분해(injective resolution) 대신에 섬세층을 이용해서 다른 주어진 층들의 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 돌보 분해(Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다. 위상 공간 X, Y 사이에 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌을 때, X 위의 말랑한 층 \mathcal F의 직상 f_*\mathcal F\in\operatorname{Sh}(Y) 역시 말랑한 층이다.67, Exercise 1.16d 위상 공간 X의 열린집합 U 및 말랑한 층 \mathcal F에 대하여, 제약층 \mathcal F|_U 역시 말랑한 층이다. 기약 공간 위의 상수층은 말랑한 층이다.67, Exercise 1.16a
# 예
다음과 같은 층들은 섬세층을 이룬다. * 다양체 M 위의 실수 연속 함수들의 층 \mathcal C(M;\mathbb R) * 매끄러운 다양체 M 위의 실수 매끄러운 함수들의 층 \mathcal C^\infty(M;\mathbb R) * 매끄러운 다양체 M 위의 p차 미분 형식들의 층 \Omega^p(M) 그러나 복소다양체 위의 정칙 함수들의 층은 섬세층이 아니며, 말랑한 층 또한 아니다. 즉, 임의의 열린집합 위에 정의된 정칙 함수는 공간 전체로 해석적 연속을 하지 못할 수 있다.
## 드람 코호몰로지의 계산
드람 코호몰로지는 다음과 같이 계산할 수 있다. 매끄러운 다양체 M위의 상수층 \underline{\mathbb R}은 미분 형식의 층으로 다음과 같이 분해된다. :0\to\underline{\mathbb R}\to\Omega^0(M)\to\Omega^1(M)\to\cdots 미분 형식층들은 섬세층이므로 비순환층이다. 따라서, 드람-베유 정리에 따라서 :H^i(X;\underline{\mathbb R})\cong H^i(\Omega^\bullet(M)) 이 된다. 즉, 드람 코호몰로지는 실수 계수 코호몰로지와 동형이다. 그러나 돌보 코호몰로지를 계산하려면, 복소 미분 형식의 층은 섬세층이 아니며 비순환층도 아니다. 따라서, 드람-베유 정리를 통해 계산할 수 없으며, 이 경우 초코호몰로지(hypercohomology)와 스펙트럼 열을 사용하여야 한다.