델 페초 곡면

대수기하학에서 **델 페초 곡면**(del Pezzo曲面, del Pezzo surface)은 사영 평면의 점들을 부풀려 얻을 수 있는 대수 곡면의 한 종류다.
# 정의
대수적으로 닫힌 체 K에 대하여, **델 페초 곡면**은 다음 두 조건을 만족시키는 K-대수다양체 X이다. * 대수 곡면이다. 즉, 크룰 차원이 2차원이다. * 파노 다양체이다. 즉, 반표준 인자 -K_X가 풍부한 인자이며, 완비 대수다양체이다.
# 분류
델 페초 곡면은 유리 곡면이다. 즉, 사영 평면과 쌍유리 동치이다. 델 페초 곡면 *X*의 **차수**(degree) *d*는 반표준 인자(또는 표준 인자)의 제곱이며, 표준 인자의 자기 교차수와 같다. :d = (-K_X)^2 = K_X^2 모든 델 페초 곡면은 다음 가운데 정확히 하나와 동형이다. * 사영 평면의 k개의 점에서의 부풀리기 (k=0,1,2,\dots,8). 보통 \operatorname{dP}_k로 쓴다. 이 경우, 차수가 9-k이며, 피카르 군은 홀 유니모듈러 격자 \operatorname I_{1,k}이다. * \mathbb P^1\times\mathbb P^1. 이 경우 차수가 8이며, 피카르 군은 짝 유니모듈러 격자 \operatorname{II}_{1,1}이다. 사영 평면에서 9개 이상의 점들을 부풀리면 더 이상 반표준 인자가 풍부하지 않다. 예를 들어, 9개의 점을 부풀리면 반표준 인자의 자기 교차수가 0이다.
# 성질
델 페초 곡면들의 차수에 따른 목록은 다음과 같다. 아래 표에서, "(−1)-곡선"은 자기 교차수가 -1인 유리 곡선이며, 이러한 곡선들의 수는 A33541에 수록되어 있다. {| class=wikitable ! 기호 !! 차수 d !! (−1)-곡선의 수 !! 피카르 군 !! 모듈라이 공간의 차원 !! 비고 |- ! \operatorname{dP}_8 | 1 || 240 || \operatorname I_{1,8} || 8 || (−1)-곡선들은 E8의 근계와 대응 |- ! \operatorname{dP}_7 | 2 || 56 || \operatorname I_{1,7} || 6 || 분지선이 평면 4차 곡선인, 사영 평면의 2겹 피복 공간 |- ! \operatorname{dP}_6 | 3 || 27 || \operatorname I_{1,6} || 2 || \mathbb P^3 속의 3차 곡면 |- ! \operatorname{dP}_5 | 4 || 16|| \operatorname I_{1,5} || 2 || \mathbb P^4 속의 세그레 곡면 (=두 이차 곡면의 교차) |- ! \operatorname{dP}_4 | 5 || 10|| \operatorname I_{1,4} || 0 |- ! \operatorname{dP}_3 | 6 || 6 || \operatorname I_{1,3}|| 1 |- ! \operatorname{dP}_2 | 7 || 3|| \operatorname I_{1,2} || 1 |- ! \operatorname{dP}_1 | 8 || 1 || \operatorname I_{1,1}|| 0 || 히르체브루흐 곡면 |- ! \mathbb P^1\times\mathbb P^1 | 8 || 0 || \operatorname{II}_{1,1} || 0 || 두 개의 사영 직선의 곱 (이차 곡면) |- ! \operatorname{dP}_0 | 9 || 0 || \operatorname I_{1,0} || 0 || 사영 평면 \mathbb P^2 |}
## (−1)-곡선
델 페초 곡면에서 **(−1)-곡선**((−1)-curve)은 자기 교차수가 −1이며, 표준 인자와의 교차수 역시 −1인 (기약) 곡선이다. 이들은 다음과 같다. :\pi\colon\operatorname{dP}_n\twoheadrightarrow\mathbb P^2 에서, \mathbb P^2의 세르 뒤틀림 층 O(1)의 당김을 H=\pi^*O(1)라고 하고, 부풀리기로 발생하는 예외적 인자들을 E_1,\dots,E_n이라고 하자. 이는 델 페초 곡면의 피카르 군 :\operatorname{Pic}(\operatorname{dP}_n)=\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\\{H,E_1,\dots,E_n\\}\cong\mathbb Z^{n+1} 의 기저를 이룬다. 이 경우, 교차수는 다음과 같다. :E_i.E_j=-\delta_{ij} :E_i.H=0 :H.H=1 표준 인자는 다음과 같다. :K=-3H+\sum_iE_i 인자 :C=aH-\sum_{i=1}^nb_iE_i 가 (−1)-곡선을 이루려면, 다음 연립 디오판토스 방정식을 만족시켜야 한다.언어=en :a^2-\sum_{i=1}^nb_i^2=-3a+\sum_{i=1}^nb_i=-1 이 디오판토스 방정식의 해는 n<9인 경우 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! a !! 0이 아닌 b_i !! 개수 !! 해석 |- | 0 || −1 || n || 예외 곡선 |- | 1 || 1, 1 || \binom n2 || 부풀려진 두 점을 지나는 사영 직선 |- | 2 || 1, 1, 1, 1, 1 || \binom n5 || 부풀려진 5개의 점을 지나는 원뿔 곡선 |- | 3 || 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 || 7\binom n7 || 하나의 2중점을 갖는 3차 유리 곡선. n=7,8인 경우에만 가능 |- | 4 || 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 || 56 || 세 개의 2중점을 갖는 4차 유리 곡선. n=8인 경우에만 가능 |- | 5 || 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1 || 28 || 6개의 2중점을 갖는 5차 유리 곡선. n=8인 경우에만 가능 |- | 6 || 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 || 8 || 7개의 2중점과 하나의 3중점을 갖는 6차 유리 곡선. n=8인 경우에만 가능 |}
## 호지 수
델 페초 곡면 \operatorname{dP}_n은 사영 평면을 n번 부풀려 얻은 곡면이다. 따라서, 호지 수 가운데 h^{1,1}만이 n만큼 증가하고, 나머지 호지 수들은 사영 평면의 호지 수와 같다. 즉, \operatorname{dP}_n의 호지 수는 다음과 같다. {| | || || 1 |- | || 0 || || 0 |- | 0 || || 1+*n* || || 0 |- | || 0 || || 0 |- | || || 1 |} \mathbb P^1\times\mathbb P^1의 경우 두 사영 직선의 곱이므로 호지 수를 쉽게 계산할 수 있으며, 다음과 같다. {| | || || 1 |- | || 0 || || 0 |- | 0 || || 2 || || 0 |- | || 0 || || 0 |- | || || 1 |}
# 역사
나폴리의 수학자 파스콸레 델 페초(Pasquale del Pezzo)가 1880년대에 연구하였다.언어=it언어=it
# 응용
델 페초 곡면은 이론 물리학에서 다양하게 등장한다. 델 페초 곡면은 거울 대칭의 중요한 예이다.언어=en 델 페초 곡면은 또한 자이베르그 이중성에 사용되며,언어=en M이론의 **신비로운 이중성**(mysterious duality)에 등장한다.언어=en