벡터곱

선형대수학에서 **벡터곱**(vector곱, vector product) 또는 **가위곱**(cross product)은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 스칼라곱과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량, 로런츠 힘 등의 공식에 등장한다.
# 정의
두 벡터 \mathbf{a} 와 \mathbf{b}의 벡터곱은 \mathbf{a} \times \mathbf{b}라 쓰고(쐐기곱과 연관지어 \mathbf{a} \land \mathbf{b}라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다. :\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \hat{\mathbf n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta 식에서 \theta는 \mathbf{a}와 \mathbf{b}가 이루는 각을 나타내며, \hat{\mathbf n}은 \mathbf{a}와 \mathbf{b}에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다. 위 정의에서의 문제점은 \mathbf{a}와 \mathbf{b}에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, \mathbf{\hat n}이 수직이면, -\hat{\mathbf n}도 수직이다. 어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간의 **방향**(orientation)에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 \mathbf{a} \times \mathbf{b}는, \mathbf{a, b, a \times b}가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 하지만 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 유사벡터다.) 벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다. 벡터곱의 정의
# 성질
**a**, **b**, **c** ∈ **R**3, α ∈ **R**이라 하자. * 반대칭성 : **a**×**b** = -**b**×**a** :교환법칙이 성립하지 않음에 주의하자. * 스칼라곱에 대한 선형성: (α**a**)×**b** = **a**×(α**b**) = α(**a**×**b**). * 벡터의 덧셈에 대한 분배법칙: **a**×(**b** + **c**) = **a**×**b** + **a**×**c** * 스칼라 삼중곱 : \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})= \det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) * 벡터 삼중곱 또는 라그랑주 공식: **a**×(**b**×**c**) = **b**(**a**∙**c**)-**c**(**a**∙**b**) * 벡터곱의 크기: ||**a**×**b**||2 = (**a**·**a**)(**b**·**b**)-(**a**·**b**)2 ;: ||**a**×**b**|| = ||**a**|| ||**b**|| sin θ : 여기서 θ는 **a**로부터 **b**까지의 각도이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 면적으로 생각할 수 있다. * 야코비 항등식: **a**×(**b**×**c**) + **b**×(**c**×**a**) + **c**×(**a**×**b**) = **0** * 수직성 : **a**×**b** ⊥ **a** 이고 **a**×**b** ⊥ **b**이다. * 두 벡터의 평행성 확인 : **a**와 **b**가 모두 0벡터가 아닐 때, **a**×**b** = **0**인 것은 **a**와 **b**가 서로 평행인 것과 동치이다. * 유클리드 공간의 단위벡터의 벡터곱 : 유클리드 공간의 단위벡터 **i**, **j**, **k**는 주어진 데카르트 좌표계에서 다음 관계를 만족한다. :: **i**×**j** = **k**, **j**×**k** = **i**, **k**×**i** = **j** :이 식을 이용해, 벡터곱의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다. :: \mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k = [a_1, a_2, a_3] :: \mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k = [b_1, b_2, b_3] :로 표기할 때, :: \mathbf a \times \mathbf b = [a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1] :위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식을 이용하여 간단히 쓸 수 있다. ::\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \\\ \end{bmatrix} :따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 스칼라곱과 벡터곱으로 쓸 수 있다. ::det(**a**,**b**,**c**) = **a**·(**b**×**c**). *사원수와 벡터곱 : 벡터곱은 또한 사원수의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 벡터곱에 대한 **i**, **j**, **k**에 대한 관계가 사원수의 연산에서 *i*, *j*, *k*가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터 [a_1, a_2, a_3]가 사원수 a_1 i + a_2 j + a_3 k를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 벡터곱과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 스칼라곱값 × −1과 같게 된다.) * 리 대수 :분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로써, **R**3에서의 벡터의 합과 벡터곱은 리 대수 \mathfrak{su}(2)를 이룬다. 즉, 그 구조 상수는 레비치비타 기호 \epsilon^{ijk}이다.
# 외적(外積, exterior product)과의 관계
여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다. 3차원 유클리드 공간 \mathbf{R}^3에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 w^\mathbf{a} = (w^1, w^2 ,w^3)와 v^\mathbf{a} = (v^1, v^2 ,v^3)의 외적은 다음과 같다. :w^\mathbf{a} \otimes v^\mathbf{b} = w^\mathbf{a} v^\mathbf{b} 여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다. :(w^\mathbf{c} \times v^\mathbf{d})^\mathbf{a} = [*\left( w^\mathbf{c} v^\mathbf{d} \right) ]^{\mathbf{a = g^{\mathbf{ab \epsilon_{\mathbf{bcd v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} 성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, g^{\mathbf{ab = \delta^{\mathbf{ab이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면, :\begin{align} g^{\mathbf{ab \epsilon_{\mathbf{bcd v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} & = \delta^{\mathbf{ab \epsilon_{\mathbf{bcd v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} \\\ & = \delta^{\mathbf{ab \left( \epsilon_{123} e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} \right) v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} \end{align} 여기서 e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d}를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉, : e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} = e^1_\mathbf{b} e^2_\mathbf{c}e^3_\mathbf{d} + e^1_\mathbf{c} e^2_\mathbf{d}e^3_\mathbf{b} + e^1_\mathbf{d} e^2_\mathbf{b}e^3_\mathbf{c} - e^1_\mathbf{d} e^2_\mathbf{c}e^3_\mathbf{b} - e^1_\mathbf{b} e^2_\mathbf{d}e^3_\mathbf{c} - e^1_\mathbf{c} e^2_\mathbf{b}e^3_\mathbf{d} 이다. 그리고 여기에 v^\mathbf{c} w^\mathbf{d}를 곱하면 : ( e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} ) v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} = e^1_\mathbf{b} (v^2 w^3 - v^3 w^2 ) \+ e^2_\mathbf{b} (v^3 w^1 - v^1 w^3 ) \+ e^3_\mathbf{b} (v^1 w^2 - v^2 w^1 ) 되고 마지막으로 \delta^{\mathbf{ab \epsilon_{123}을 곱하면 :g^{\mathbf{ab \epsilon_{\mathbf{bcd v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} = e_1^\mathbf{b} (v^2 w^3 - v^3 w^2 ) \+ e_2^\mathbf{b} (v^3 w^1 - v^1 w^3 ) \+ e_3^\mathbf{b} (v^1 w^2 - v^2 w^1 ) 이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.
# 응용
벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식에 등장하며, 돌림힘과 각운동량의 정의에도 나온다.
# 고차원에서의 벡터곱
7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수의 방법을 팔원수에 적용하여 얻어질 수 있다. 7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다. * 다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다. :: **x**×(*a* **y** + *b* **z**) = *a* **x** × **y** + *b* **x** × **z** and (*a* **y** + *b* **z**) × **x** = *a* **y** × **x** + *b* **z** × **x** * 반가환성 (anti-commutative) :: **x**×**y** + **y**×**x** = 0 * **x**와 **y** 모두에 수직 :: **x**·(**x**×**y**) = **y**·(**x**×**y**) = 0 * 야코비 항등식이 성립한다. ::**x**×(**y**×**z**) + **y**×(**z**×**x**) + **z**×(**x**×**y**) = **0** * ||**x**×**y**||2 = ||**x**||2||**y**||2-(**x**·**y**)2