콰인-매클러스키 알고리즘

**콰인-매클러스키 알고리즘**(Quine-McCluskey algorithm)은 논리식을 최소화하는 알고리즘이다. 내부적으로는 카노 맵과 동일하지만, 그림을 그려서 맞추는 카노 맵과 달리 표를 사용하기 때문에 컴퓨터에서 쉽게 돌릴 수 있다. 또한 논리함수의 최소 형태를 결정론적으로 구할 수 있다. 알고리즘은 다음 두 단계로 구성된다. # 주어진 함수의 후보항(Prime Implicants)들을 모두 구한다. # 후보항들을 이용해서 후보항 표에서 필수항(Essential Prime Implicant)을 구한다.
# 복잡도
카노 맵과 달리, 콰인-매클러스키 알고리즘을 사용하면 변수가 4개를 넘더라도 효율적으로 논리 최적화할 수 있다. 그러나 논리 최적화 문제가 기본적으로 NP-완전이므로, 콰인-매클러스키 알고리즘은 변수의 개수가 제한된 경우에만 효율적으로 실행할 수 있다. 콰인-매클러스키 알고리즘의 실제 실행시간은 입력에 대해 지수적으로 증가한다. *n* 개의 변수가 있을 때, 후보항 개수의 상한은 3*n*/*n*임을 보일 수 있다. *n* = 32이면 6.1 * 1014, 즉 617조 개의 후보항이 존재한다. 변수의 개수가 많을 때는 발견법으로 풀 수밖에 없다.
# 예제

## 1 단계: 후보항 찾기
다음 함수를 최소화 해보자: :*f*(*A*, *B*, *C*, *D*) = \Sigma(4, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15) _A B C D f_ m0 0 0 0 0 0 m1 0 0 0 1 0 m2 0 0 1 0 0 m3 0 0 1 1 0 m4 0 1 0 0 1 m5 0 1 0 1 0 m6 0 1 1 0 0 m7 0 1 1 1 0 m8 1 0 0 0 1 m9 1 0 0 1 1 m10 1 0 1 0 1 m11 1 0 1 1 1 m12 1 1 0 0 1 m13 1 1 0 1 0 m14 1 1 1 0 1 m15 1 1 1 1 1 최소항(minterm)들의 합으로 표현하면, 쉽게 곱의 합 정규형 표현(canonical sum of products expression)을 얻는다. f_{A,B,C,D} = A'BC'D' + AB'C'D' + AB'C'D + AB'CD' + AB'CD + ABC'D' + ABCD' + ABCD 물론 이것은 최소가 아닐것이다. 따라서 모든 최소항들을 일단 최소항 표에 넣어 최적화 한다. {| cellpadding="10", border="1" |- ! 1의 개수 !! 최소항 !! 2진수 표기 |- ! rowspan="2" | 1 | m4 || 0100 |- | m8 || 1000 |- ! rowspan="3" | 2 | m9 || 1001 |- | m10 || 1010 |- | m12 || 1100 |- ! rowspan="2" | 3 | m11 || 1011 |- | m14 || 1110 |- ! 4 | m15 || 1111 |} 여기서 최소항을 다른 최소항과 결합한다. 만일 두 항이 한 자리만 차이난다면, 그 자리를 -로 대체한다(이것은 그 자리가 영향을 끼치지 않는다는 것을 의미한다). 더 이상 결합하지 못하는 항(pi = prime implicant)들은 *로 표시하였다. {| cellpadding="5", border="1" |- | || section || 후보항 || bit 표기 || pi |- | rowspan="8" | 크기가 1인 후보항 | rowspan="2" | 1 || m4 || 0100 || |- | m8 || 1000 || |- | rowspan="3" | 2 || m9 || 1001 || |- | m10 || 1010 || |- | m12 || 1100 || |- | rowspan="2" | 3 || m11 || 1011 || |- | m14 || 1110 || |- | 4 || m15 || 1111 || |- | rowspan="10" | 크기가 2인 후보항 | rowspan="4" | 1 || m(4,12) || -100 || * |- | m(8,9) || 100- || |- | m(8,10) || 10-0 || |- | m(8,12) || 1-00 || |- | rowspan="4" | 2 || m(9,11) || 10-1 || |- | m(10,11) || 101- || |- | m(10,14) || 1-10 || |- | m(12,14) || 11-0 || |- | rowspan="2" | 3 || m(11,15) || 1-11 || |- | m(14,15) || 111- || |- | rowspan="3" | 크기가 4인 후보항 | rowspan="2" | 1 || m(8,9,10,11) || 10-- || * |- | m(8,10,12,14) || 1--0 || * |- | 2 || m(10,11,14,15) || 1-1- || * |}
## 2 단계: 후보항 표
더는 어떤 항도 결합할 수 없을 때, 필수항 표(essential prime implicant table)를 만든다. 이전 과정에서 얻은 최후의 후보항들을 표에 세로로 늘어놓고, 가로로는 앞에서 얻었던 최소항들을 나열한다. {| border="1" cellpadding="3" | || 4 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 14 || 15 |- | m(4,12)* || X || || || || || X || || |- | m(8,9,10,11)* || || X || X || X || X || || || |- | m(8,10,12,14)* || || X || || X || || X || X || |- | m(10,11,14,15)* || || || || X || X || || X || X |} 필수항을 *로 표시하였다. 만일 후보항을 더 이상 없앨 수 없다면 남은 후보항은 필수항이다. 3번째의 항은 1, 2가 표현하는 최소항에 의해 표현되므로 없앨 수 있다. 1, 3, 4번 항을 택하는 것도 다른 답이 된다. 가끔 후보항들이 모든 최소항을 표현해내지 못할 때가 있는데, 그럴 때는 추가 과정이 필요하다. 가장 간단한 "추가 과정"은 모두 시도해보는 것이지만, 더 체계적인 방법으로 페트릭의 방법(Petrick's Method)이 있다. 이 예제에서 최소 후보항은 모든 최소항을 표현해내므로 아래와 같은 식을 얻을 수 있다. f_{A,B,C,D} = BC'D' + AB' + AC 위의 식은 원래의 식과 논리적으로 동치이다. f_{A,B,C,D} = A'BC'D' + AB'C'D' + AB'C'D + AB'CD' + AB'CD + ABC'D' + ABCD' + ABCD