NLP-07-ODQA/kowiki-cleaned huggingface dataset:
가위

영화 기타 = **가위**(scissors)는 손으로 잡아 종이 등을 쉽게 자를 수 있게 하는 도구이다. **교도**(交刀)라고도 한다. 두 장의 얇은 금속 날을 결리지 않도록 엇갈리게 나사로 엮어, 그 두 날이 지레의 원리로 움직이면서 서로 부딪치면 절단력이 발생한다. 플라스틱 판, 얇은 철판, 머리카락, 끈, 종이, 옷감, 강삭 등을 자를 때 쓰인다.
# 종류

## 핑킹가위
핑킹가위. 핑킹가위는 무늬를 내며 자를 때 사용하는 가위이다. 무늬의 종류는 여러가지이며 물결무늬 지그재그 톱니모양 등이 있다.
## 쪽가위
300x300픽셀 쪽가위는 실 따위를 자를 때 사용하는 가위이다.확인날짜=2021-01-05 발견된 가위 중 가장 오래된 가위가 쪽가위 형태로 제작되었다.쪽=151-155 16세기까지 유럽에서 사용되었으며, 오늘날에도 쪽가위의 형태를 변형한 가위를 찾을 수 있다.확인날짜=2021-01-05
## X자형 가위
300x300픽셀 X자 형태의 날을 지닌 가위이다. 서기 100년경 고대 로마에서 쪽가위 디자인을 각색하면서 발명되었다.
## 지렛대의 원리로 구분
지렛대의 원리에 바탕을 둔 것으로 지레의 작용점 · 받침점 · 힘점의 상호관계에 의하여, 힘점이 작용점과 받침점 사이에 있는 원지점식(元支點式), 지레의 받침점이 힘점과 작용점의 사이에 있는 중간지점식, 작용점이 힘점과 받침점 사이에 있는 선(先)지점식의 3가지로 구별된다. 따라서 이것을 응용한 가위도 3종으로 대별된다. 원지점식에 속하는 것으로서 손자수용 가위 · 잎따기가위 · 망(綱)베기가위 등이 있고, 중간지점식에 속하는 것으로는 재단가위 · 꽃가위 · 전정가위 · 전지가위 · 잔디가위 · 양철가위 · 버튼홀가위 · 의료가위 · 이용(理容)가위 등이 있다. 선지점식에 속하는 것은 눌러서 자르는 가위와 과일따기 가위 등이 있다.
# 유래와 역사
지금까지 발견된 세상에서 가장 오래된 가위는 기원전 1000년경 메소포타미아에서 만들어진 가위다. 특히 로마 시대의 유물로 가위가 많이 발견되었으며, 이 시대 가위는 라틴 문화 중기에 중부 및 북유럽 등으로 전해졌다. 라틴 문화의 가위는 남자의 무덤에 부장되어 있는 것으로 보아, 알려져있던 양모를 깎기 위한 것이 아니고 수염을 깎는 데 쓰인 것으로 추측된다. 그리고 로마 시대의 유물에서 발견된 날이 짧고 튼튼하게 만들어진 가위는 철사나 튼튼한 실, 얇은 철판등을 자르는 데 사용된 것으로 보인다. 한국에서 발견된 가장 오래된 가위는 경주 분황사 모전석탑에서 발견된 가위이며,확인날짜=2021-01-05 모양이나 쓰임새가 중국에서 발견된 것과 같은 걸로 보아 중국에서 건너왔을 것이라고 학자들은 말한다. 전 세계에서 발견된 유물을 비교해볼 때 가위는 서양에서 처음 만들어져 사용되다가 중국에 전해졌을 거라고 추측할 수 있다.확인날짜=2021-01-05 한국의 가위는 조선 후기 인조 이후 청나라에서 보급되었다는 설이 있었지만 1985년부터 1976년 경상북도 경주 동쪽 안압지 유적을 발굴하던 중 1976년 경주 월지 금동초심지가위(慶州 月池 金銅燭鋏) 혹은 금동촉협(金銅燭鋏)이 발견되어 8세기 경 혹은 그 이전에 가위가 존재한 것이 확인되었다. 이 가위는 후대의 가위와는 다른 손잡이 부분이 길고, 자르는 부분은 짧다. 이는 조선시대 후기의 쪽가위와 유사한 형태의 가위와도 모양이 다르다. 경주 월지 금동초심지가위는 국립경주박물관에 소장되었고 2014년 12월 31일 대한민국 보물 제1844호로 지정됐다.
지구과학

관련 직업 = **지구과학**(地球科學, earth science 또는 geoscience)은 행성인 지구와 그 주변의 자연 현상 및 천체를 연구하는 학문이다. 지구의 환경은 크게 육지, 바다, 대기로 나누어지며, 이러한 환경들은 각각 지구과학의 주요 분야라고 할 수 있는 지질과학, 수문과학, 대기과학 분야의 주요 연구대상이 된다. 일반적으로 지구과학으로 불리는 학문들은 대기에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 기상학, 지구 표면의 물질을 주로 대상으로 하는 지질학, 바다 현상을 대상으로 하는 해양학, 지구의 깊은 속에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 지구물리학과 우주의 현상을 대상으로 하는 천문학, 실용적인 응용분야인 환경공학 등이다. 지구과학에는 많은 전문 분야가 포함되지만 대체적으로 다음과 같이 나뉜다. # 지표면과 지표면 위에 있는 물 및 대기권 연구 # 고체로 구성된 지구의 조성에 대한 연구 # 지형에 대한 연구 # 지구의 역사에 관련된 연구 # 외계행성의 지질 연구 # 실용적인 응용 분야
# 분야
* 자연지리학 (physical geography) * 지형학 (geomorphology, topography) * 수문학 (hydrology) * 기후학 (climatology) * 지역지리학 * 측지학 (geodesy) * 토양학 (pedology, soil science) * 지질학 (geology) * 지사학 (historical geology) * 고생물학 (paleontology) * 층서학 (층위학, stratigraphy) * 퇴적학 (sedimentology) * 구조지질학 (structural geology) * 암석학 (petrology) * 광물학 (mineralogy) * 광상학 (economic geology, science of mineral deposit) * 지구화학 (geochemistry) * 지구물리학 (geophysics) * 지구전자기학 * 지진학 (seismology) * 화산학 (volcanology) * 해양학 (oceanography) * 물리해양학 (physical oceanography) * 해양화학 (chemical oceanography) * 해양생물학 (biological oceanography, marine biology) * 해양지질학 (marine geology) * 기상학 (meteorology) * 대기물리학 * 대기화학 * 설빙학 (glaciology) * 지구환경과학 * 지구공학 * 행성과학 (planetology)
## 관련 분야
* 천문학 (astronomy) - 우주 물리학(천체 물리학, astrophysics) - 우주 과학 (space science) * 토목공학 (civil engineering)
프로젝트 구텐베르크

로고 **프로젝트 구텐베르크**(Project Gutenberg, **PG**)는 인류의 자료를 모아서 전자정보로 저장하고 배포하는 프로젝트로, 1971년 미국인 마이클 하트(Michael Hart)가 시작했다. 인쇄술을 통해 지식의 전달을 급속도로 확장시킨 요하네스 구텐베르크의 이름에서 따온 것으로, 인터넷에 전자화된 문서(e-text)를 저장해 놓고 누구나 무료로 책을 받아 읽을 수 있는 가상 도서관을 만드는 것을 목표로 한다. 수많은 자원봉사자들이 인터넷을 이용해 기여하여 만들어지는 프로젝트로 수많은 고전의 원문이 모여 있다. 2006년 3월 프로젝트 구텐베르크 발표에 따르면, 프로젝트는 18,000개 항목 이상의 전자문서를 보유하고 있으며, 매주 50여개의 새로운 전자책이 새롭게 등록되고 있다고 한다. 프로젝트에 등록된 전자책은 대부분이 서구의 문학작품으로 이루어져 있다. 소설, 시, 단편소설, 드라마 등의 문학작품 외에 요리책, 사전류, 정기간행물이 포함되어 있다. 또한 일부 오디오 파일과 음악 악보 파일도 갖고 있다. 대부분은 영문 서적이지만, 독일어, 프랑스어, 이탈리아어, 에스파냐어, 네덜란드어, 핀란드어, 중국어, 포르투갈어, 라틴어, 스웨덴어, 라틴어, 에스페란토로 된 책도 있으며, 여타 언어 문서도 꾸준히 증가하고 있다. 문서는 주로 아스키 문자 집합, 때때로 ISO-8859-1 문자 집합으로 인코딩된 텍스트문서를 언제나 내려받을 수 있으며, HTML등의 다른 형식의 문서도 받을 수 있다. 편집이 어려운 PDF 등의 문서형식은 프로젝트가 지향하는 바와 맞지 않는 것으로 여겨지지만, PDF형식을 이용할 수 있는 문서도 있다. 최근 수년동안 XML형식을 도입할지에 대한 토론이 있었지만, 토론은 지지부진하다.
# 기술의 발전
1990년대 들어 스캐닝과 OCR기술에 힘입어 마이클 하트는 컴퓨터 제조회사에서 스캐닝장비를 기증받아 문서를 스캐닝한후 OCR소프트웨어로 이를 텍스트화하는 작업을 구축하였다.url-status=dead 이러한 형태의 발전된 프로세스는 현재 주요한 작업기술이다. 한편 PG는 다중원본제공을 지원하며 또한 사용자 제공 콘텐츠 절차를 지원한다. 이는 셀프 출판을 의미한다.PG - 셀프출판
# 라이선스
프로젝트 구텐베르크 라이선스(The Project Gutenberg License,PGL)PGL는 아래와 같은 2개의 큰 맥락을 갖는다. # 구텐베르크 프로젝트에 영구적, 전 세계적, 비 독점, 철회 불가능한 저작권 라이선스를 부여하고, 무제한적인 재배포를 허용함. # 작품은 플레인 텍스트 또는 HTML버전, 또는 두 가지 버전으로 제공되어야 함. 이러한 프로젝트 구텐베르크 라이선스는 이후 몇몇 추가된 라이선스를 도입했으며 이전의 라이선스와 추가변형된 라이선스는 '프로젝트 구텐베르크'의 공식웹사이트에서 전문을 확인할 수 있다.
귄터 그라스

묘비 = 값찾기 **귄터 그라스**(Günter Grass, 1927년 10월 16일 ~ 2015년 4월 13일)는 독일의 소설가이자 극작가다.
# 생애
독일 단치히 자유시(오늘날 폴란드의 그단스크)에서 식료품 상인이었던 독일계 아버지와 슬라브계 어머니 사이에서 태어났다. 하버드 대학에서 명예박사학위를 받았다. 1999년에 노벨 문학상을 수상하였다.
## 제2차 세계 대전과 그라스
제2차 세계 대전 당시 독일 제국노동봉사대(RAD)에서 근무하던 중, 1944년에 무장친위대에 입대하여 10 SS기갑사단 프른즈베르크로 발령받아 참전했다. 징집당한 것이라는 얘기도 있으나, 당시 친위대의 독일인 대원들은 징집 대상이 아니라 자원 입대가 기본이었다(국방군 육군은 징병제였다.). 종전후 부상당한 채 미군 포로로 잡혀 1946년까지 포로 수용소에 수감되었다. 이런 사실은 그라스 자신이 최근 발간한 자서전에서 인정했다.
## 전쟁 후의 그라스
전후 1947~48년에는 광산에서 일하며 석공 기술 과정을 마친다. 이어 1948년부터 1952년까지는 뒤셀도르프 미술대학에서 그래픽과 조각을, 1953년부터 1956년까지는 베를린 예술대학에서 조각을 배웠다.
# 작품 활동
1955년 슈투트가르트 방송국의 서정시 경연대회에 입상하고, 1956~57년에 예술 작품 전시와 별도로 작가 활동을 시작했다. 1958년까지 단문, 시, 희곡 등을 발표한다. 1954년에 결혼을 하고, 1960년부터 계속 베를린에 산다. 1959년에 매우 묘사적인 언어로 나중에 영화화 되기까지 한 《양철북》을 발표했다. 이 작품으로 그는 제2차 세계 대전 후 처음으로 세계 문학계에 이름을 날린 독일 작가가 된다. 이어 에서도 전쟁 전과 전쟁 후에 걸친 시대의 과오와 대결하고 있으며, 무대는 다같이 단치히이다. 이밖의 작품에 등이 있다. 1996년 유럽문화공로상을 받았다.글로벌세계대백과사전2
## 희곡
그는 소설가로 활약하는 한편, 부조리극적인 소품(小品)인 등을 발표한 바 있는데, 현대정치에도 직접 행동으로 참가하여 동·서 독일의 분열이라는 가장 현실적인 문제에 대담하게 도전한 (1965)을 발표했다. 1953년 동독의 폭동 당시 브레히트를 모델로 하여 예술과 정치의 관련을 추구한 작품으로 이 있다.
## 주요 작품
* 단치히 삼부작(Danziger Trilogie) ** 《양철북》(*Die Blechtrommel*, 1959년) ** 《고양이와 쥐》(*Katz und Maus*, 1961년) ** 《개들의 시절》(*Hundejahre*, 1963년) * 《넙치》(*Der Butt*, 1979년) * 《암쥐》(*Die Rättin*, 1986년) * 《광야》(*Ein weites Feld*, 1995년) * 《게 걸음으로 가다》(*Im Krebsgang*, 2002년)
# 사회 활동
그라스는 전후 독일 사회민주당의 주요 지지자가 되어 외국인 혐오증, 신나치주의 등에 반대하는 사회활동에 적극 참여하였다.
데니스 리치

url-status=dead
헤럴드 펜더 상 (2003)
일본국제상 (2011) **데니스 매캘리스터 리치**(Dennis MacAlistair Ritchie, 1941년 9월 9일~2011년 10월 12일)는 미국의 저명한 컴퓨터과학자이자 현대 컴퓨터과학의 선구자이다. 프로그래밍 언어 C와 유닉스의 개발자로 알려져 있다.
# 생애
미국의 뉴욕주 브롱크스빌(Bronxville)에서 태어났으며, 1968년 하버드 대학교에서 응용수학 박사학위를 얻었다. 1968년부터 벨 연구소 컴퓨터 연구 센터에서 일했다. 2007년 루슨트 테크놀로지의 시스템 소프트웨어 연구부장으로 은퇴했다. 홀로 살고 있던 그는 미국 시각으로 2011년 10월 12일 뉴저지주 버클리 헤이츠의 자택에서 사망한 채로 발견되었다. (향년 71세)
# 업적
켄 톰슨(Ken Thompson) 등과 함께 최초의 유닉스(Unix) 시스템을 개발했고, 1971년 최초의 〈Unix Programmer's Manual〉을 썼다. 또한 C 언어를 개발한 후 브라이언 커니핸과 함께 〈C 프로그래밍 언어〉(The C Programming Language)를 기술했다. 커니핸과 〈C 프로그래밍 언어〉책을 썼기에 커니핸이 C 언어 개발에 참여한 것으로 종종 오해받으나 커니핸의 말에 따르면 자신은 C언어 개발에 참여하지 않았다고 한다. ALTRAN, B언어, BCPL, Multics 등의 개발에도 영향을 끼친 것으로도 알려져 있다. 1983년에 켄 톰프슨과 "범용 운영체제 이론개발, 특히 유닉스 운영체제의 구현에 대한 공로"로 튜링상을 수상했다. 미국의 경제 전문지 '비즈니스 인사이더'에서는 '현재의 애플 컴퓨터는 거의 모두 데니스 리치의 업적에 기반하고 있다'이라며 그의 업적을 평가했다.The 21 Most Important Names In Computing History You've Never Heard, Business Insider, Aug. 11, 2011 현재 애플 매킨토시의 macOS와 아이폰의 iOS는 모두 유닉스 운영체제를 기반으로 만들어져 있다.
# 저서
* 〈C 프로그래밍 언어〉 (The C Programming Language) (1978년 브라이언 커니핸과 공저) * 〈Unix Programmer's Manual〉 (1971년)
히라가나

그림 크기 = ko-s=히라가나 일본어 표기법 **히라가나**(ひらがな, Hiragana)는 일본어에서 사용하는 두 가지 가나 가운데 하나다. 가타카나는 주로 외래어 표기 등에 쓰고, 히라가나는 다음과 같은 용도로 쓴다. * 동사의 활용 어미, 조사, 조동사 * 일본 고유어로서 해당 한자가 없는 단어, 또는 해당하는 한자가 잘 쓰지 않는 어려운 글자일 때. * 어린이가 사용하는 일본어의 뉘앙스를 보여 주고 싶을 때 히라가나는 여성이 많이 썼다고 한다. 그래서 온나데(おんなで)라고 불린 적도 있다. 이런 이유로 히라가나는 여자들만 쓰는 글이라 하여 오랫동안 일본 공용 문서에서 가타카나와 한자(칸지)만 사용했다. 현재 일본 철도 역명판에는 히라가나와 칸지가 적혀 있다. 히라가나는 헤이안 시대부터 썼다고 알려져 있다. 일본 유아들도 가나를 배울 때 히라가나를 먼저 배우고 가타카나를 나중에 배우기 때문에 유아용 그림책 등에는 가타카나로 쓴 단어 위에 히라가나를 후리가나로 덧붙이기도 한다. 음절문자다. 한영 자판 상태에서 히라가나를 입력할 경우 ㄸ+한자 키를 누르면 된다. 가타카나는 장음 등 일부 문자를 제외하면 꼭 ㅃ+한자 조합을 해야 한다. 세로쓰기할 경우 한 줄은 위에서 아래로 쓰고, 줄은 오른쪽에서 왼쪽으로 쓴다. 가로쓰기의 경우 왼쪽에서 오른쪽으로 쓴다.
# 히라가나 50음도
{| class="wikitable" !colspan=6|50음도 !colspan=3|요음 |- ! !あ단 !い단 !う단 !え단 !お단 !ゃ !ゅ !ょ |- !あ행 |**あ**
a 아||**い**
i 이||**う**
u 우||**え**
e 에||**お**
o 오|||||| |- !か행 |**か**
ka 카||**き**
ki 키||**く**
ku 쿠||**け**
ke 케||**こ**
ko 코||**きゃ**
kya 캬||**きゅ**
kyu 큐||**きょ**
kyo 쿄 |- !さ행 |**さ**
sa 사||**し**
shi 시||**す**
su 스||**せ**
se 세||**そ**
so 소||**しゃ**
sha 샤||**しゅ**
shu 슈||**しょ**
sho 쇼 |- !た행 |**た**
ta 타||**ち**
chi 치||**つ**
tsu 츠||**て**
te 테||**と**
to 토||**ちゃ**
cha 차||**ちゅ**
chu 추||**ちょ**
cho 초 |- !な행 |**な**
na 나||**に**
ni 니||**ぬ**
nu 누||**ね**
ne 네||**の**
no 노||**にゃ**
nya 냐||**にゅ**
nyu 뉴||**にょ**
nyo 뇨 |- !は행 |**は**
ha 하||**ひ**
hi 히||**ふ**
fu 후||**へ**
he 헤||**ほ**
ho 호||**ひゃ**
hya 햐||**ひゅ**
hyu 휴||**ひょ**
hyo 효 |- !ま행 |**ま**
ma 마||**み**
mi 미||**む**
mu 무||**め**
me 메||**も**
mo 모||**みゃ**
mya 먀||**みゅ**
myu 뮤||**みょ**
myo 묘 |- !や행 |**や**
ya 야||||**ゆ**
yu 유||||**よ**
yo 요|||||| |- !ら행 |**ら**
ra 라||**り**
ri 리||**る**
ru 루||**れ**
re 레||**ろ**
ro 로||**りゃ**
rya 랴||**りゅ**
ryu 류||**りょ**
ryo 료 |- !わ행 |**わ**
wa 와||**ゐ**
wi 이||||**ゑ**
we 에||**を**
wo 오|||||| |- ! |||||||||**ん**
n -ㄴ|||||| |}
## 탁음
{| class="wikitable" !colspan=6|탁음 !colspan=3|요음 |- ! !あ단 !い단 !う단 !え단 !お단 !ゃ !ゅ !ょ |- !が행 |**が**
ga 가||**ぎ**
gi 기||**ぐ**
gu 구||**げ**
ge 게||**ご**
go 고||**ぎゃ**
gya 갸||**ぎゅ**
gyu 규||**ぎょ**
gyo 교 |- !ざ행 |**ざ**
za 자||**じ**
ji 지||**ず**
zu 즈||**ぜ**
ze 제||**ぞ**
zo 조||**じゃ**
ja 자||**じゅ**
ju 주||**じょ**
jo 조 |- !だ행 |**だ**
da 다||**ぢ**
ji 지||**づ**
zu 즈||**で**
de 데||**ど**
do 도||**ぢゃ**
ja 자||**ぢゅ**
ju 주||**ぢょ**
jo 조 |- !ば행 |**ば**
ba 바||**び**
bi 비||**ぶ**
bu 부||**べ**
be 베||**ぼ**
bo 보||**びゃ**
bya 뱌||**びゅ**
byu 뷰||**びょ**
byo 뵤 |}
## 반탁음
{| class="wikitable" !colspan=6|반탁음 !colspan=3|요음 |- ! !あ단 !い단 !う단 !え단 !お단 !ゃ !ゅ !ょ |- !ぱ행 |**ぱ**
pa 파||**ぴ**
pi 피||**ぷ**
pu 푸||**ぺ**
pe 페||**ぽ**
po 포||**ぴゃ**
pya 퍄||**ぴゅ**
pyu 퓨||**ぴょ**
pyo 표 |} *로마자 표기는 헵번 방식을, 한글 표기는 국립국어원 외래어 표기법의 어중/어말 표기법을 따랐다. *회색으로 표시한 ゐ와 ゑ는 현대 일본어에서는 고유명사 등을 제외하면 사용되지 않는다. *ん은 한글의 받침 ㅇ, ㅁ, ㄴ 등에 해당한다.
# 역사
히라가나는 만요가나에서 왔다. 메이지 시대 이전에는 히라가나의 모양이 확실히 정해지지 않고, 여러 형태의 문자가 사용되었다. 메이지 시대의 학제 시행 후에야 위와 같은 자형이 표준화되어 쓰이기 시작했다. 위 이외의 구식 자형은 헨타이가나(変体仮名)라고 부른다.
하인리히 뵐

awards = 노벨 문학상 (1972년) **하인리히 뵐**(Heinrich Böll 듣기, 1917년 12월 21일 ~ 1985년 7월 16일)은 독일의 소설가다.
# 생애
1917년 쾰른에서 목공예 가문의 여섯 번째 아들로 태어났다. 전후 가장 먼저 두각을 나타낸 독일작가들 중 하나. 청소년기 나치 하에서 히틀러 유겐트의 유혹을 뿌리치고, 참여하지 않는다. 서점의 견습공으로 있다가, 카이저 빌헬름 김나지움을 졸업하고 1939년 쾰른대학교 독문학과에 입학하나 곧 제2차 세계대전에 징집되었다. 프랑스, 루마니아, 헝가리, 러시아 등지에서 복무한다. 4차례 부상당한 후 1945년 4월 미군에게 포로로 잡혀 2년이 지나 그의 나이 30에 전업작가가 된다. 전후 귀향하여 ‘전쟁에서 본 것’과 전후의 ‘폐허’에 대해서 쓰기 시작했다. 1949년 병사들의 절망적인 삶을 묘사한 『열차는 정확했다』를 시작으로, 참혹한 참전 경험과 전후 독일의 참상을 그린 작품들을 주로 발표했다. 1951년 '47그룹 문학상'을 받으면서 문인으로서의 위치를 다졌고, 1953년에 출간한 『그리고 아무 말도 하지 않았다』로 비평가와 독자들 모두로부터 찬사를 받으며 작가로서의 대성공을 거두었다. 이외에도 사회적으로 엄청난 반향을 일으킨 문제작 『카타리나 블룸의 잃어버린 명예』를 비롯해 『9시 반의 당구』, 『어느 광대의 견해』, 『신변 보호』 등의 작품을 집필했다. 1967년에는 독일 최고 권위의 문학상인 '게오르크 뷔흐너 상'을 수상했다. 1970년대에는 사회 참여가 더욱 적극적이 되었고 이에 따라 독일 사회와의 갈등도 심화되었다. 특히 1969년과 1972년 뵐은 귄터 그라스와 함께 사회민주당으로의 정권교체를 위해 선거 유세에 직접 참여하며 빌리 브란트를 적극 지지했다. 또한 1971년 독일인으로서는 최초로 국제 펜클럽 회장으로 선출되어 세계 곳곳에서 탄압받고 있는 작가와 지식인들의 석방을 위해 노력했다. 1971년에는 성취 지향 사회에 대한 저항을 담은 ≪여인과 군상≫을 발표하고 이듬해 노벨문학상을 수상했다. 1929년의 토마스 만 이후 독일이 이 상을 받은 것은 43년 만이었다. 그의 작품은 30개 이상의 언어로 번역되었고, 그는 아직까지 독일에서 가장 많이 읽히는 작가로 알려져 있다. 문학 작품뿐만 아니라 행동으로도 보다 나은 사회를 위한 활동에 진력했던 뵐은 1985년 동맥경화로 세상을 떠났다. 그의 죽음 이후 독일 녹색당은 그의 저항적 삶을 기리기 위하여 당의 정책 연구소 이름을 '하인리히 뵐 연구소'라고 짓기로 결정하였다.
# 주요 작품
* *열차는 정확했다 (Der Zug war pünktlich)* (1947) * *유언(Das Vermächtnis)* (1948) * *방랑자여, 그대 스파르타로 가거든…… (Wanderer, kommst du nach Spa…)* (1950) * *검은 양들 (Die schwarzen Schafe)* (1951) * *아담, 너는 어디 있었는가? (Wo warst du, Adam?)* (1951) * *천사는 말이 없었다 (Der Engel schwieg)* (1952) * *성탄절 시기에는 안 된다 (Nicht zur Weihnachtszeit)* (1952) * *그리고 아무 말도 하지 않았다 (Und sagte kein einziges Wort)* (1953) * *문지기 없는 건물 (Haus ohne Hüter)* (1954) * *어린시절의 빵 (Das Brot der frühen Jahre)* (1955) * *아일랜드의 일기 (Irisches Tagebuch)* (1957) * *흔적 없이 사라진 사람들 (Die Spurlosen)* (1957) * *무르케 박사의 누적된 침묵과 기타 풍자적 이야기들 (Dr. Murke's gesammeltes Schweigen und andere Satire)* (1958) * *9시 반의 당구 (Billard um halb zehn)* (1959) * *한 움큼의 흙 (Ein Schluck Erde)* (1962) * *어느 어릿 광대의 견해 (Ansichten eines Clowns)* (1963) * *군대에서부터의 이탈 (Entfernung von der Truppe)* (1964) * *어떤 공무여행의 끝 (Ende einer Dienstfahrt)* (1966) * *여인과 군상 (Gruppenbild mit Dame)* (1971) * *카타리나 블룸의 잃어버린 명예 (Die verlorene Ehre der Katharina Blum)* (1974) * *사려깊은 포위 (Fürsorgliche Belagerung)* (1979) * *그 소년이 어떻게 될 것인가?：책들과 관계 있는 어떤 것 (Was soll aus dem Jungen bloss werden? Oder: Irgendwas mit Büchern)* (1981) * *지뢰밭 (Vermintes Gelände)* (1982) * *치명적 부상 (Die Verwundung)* (1983) * *강 풍경을 마주보고 있는 여인 (Frauen vor Flusslandschaft)* 1985 (사후 출간) (1985)
방정식

다른 뜻 1557년 로버트 레코드가 저술한 《기지의 숫돌》에 나오는 [[등호를 사용한 최초의 방정식. 현대 표기에서의 14*x* + 15 = 71과 같은 의미이다.Recorde, Robert, *The Whetstone of Witte* ... (London, England: Jhon Kyngstone, 1557), "The rule of equation, commonly called Algebers Rule."]] **방정식**(方程式, equation)은 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 결정되는 등식이다. 방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 미지수의 값을 **해**(解, solution) 또는 **근**(根, root)이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 첫 번째의 경우는 불능이라고 하고, 마지막의 경우는 항등식(부정)이라 한다. 예를 들어 :x^2-5x+6=0 은 미지수 x의 값에 따라 등식의 참과 거짓이 결정되므로 방정식이고, 그 해는 2와 3이다. 한편 :(x+1)^2=x^2+2x+1 은 문자 x가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하므로 항등식이다. 그리고 :0\cdot x=2 는 x가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하지 못하므로 불능이다. 방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 구장산술의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 연립방정식의 계수를 직사각형 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 가우스 소거법에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 음수의 계산도 자유자재로 할 수 있었다. 방정식에서 미지수를 나타내는 문자로 보통 로마자의 뒤쪽 문자인 x, y, z 등을 사용한다. 이는 프랑스의 수학자 겸 철학자인 르네 데카르트가 시초이다. 방정식은 다양한 종류가 존재한다.
# 예시

## 다항 방정식
대수 방정식 1=*x*2 – *x* + 2 = 0의 두 근인 -1과 2는 [[이차 함수 1=*y* = *x*2 – *x* + 2의 그래프가 x축과 만나는 교점이다.]] 유리수, 실수, 복소수 등 체의 원소를 계수로 가지는 다항식 P와 Q에 대해 :P=0 또는 P=Q 로 표현되는 식을 **다항 방정식**(多項方程式, polynomial equation) 또는 **대수방정식**(代數方程式, algebraic equation))이라고 한다. 차수가 n인 다항식으로 이루어진 다항 방정식을 **n차 방정식**이라고 한다. 즉 차수가 1인 방정식을 일차 방정식, 2인 방정식을 이차 방정식과 같이 부른다. 예를 들어 :2x+1=3 은 일차 방정식이고, :x^2-x-2=0 은 이차 방정식이다. 다항 방정식은 여러 개의 미지수를 가질 수도 있다. 예를 들어 :x^5-3x+1=0 는 미지수가 x 하나인 정수계수 다항 방정식이고, :y^4+\frac{xy}{2}=\frac{x^3}{3}-xy^2+y^2-\frac{1}{7} 는 미지수가 x,y 두 개인 유리수계수 다항 방정식이다. 어떤 유리수계수 다항 방정식은 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만을 이용해 근을 표현할 수 있다. 특히 사차 이하의 다항 방정식은 항상 이러한 방식으로 근을 표현할 수 있다. 즉, 근의 공식이 존재한다. 흔히 **근의 공식**이라고 하면 이차 방정식의 근의 공식(quadratic formula)을 의미한다. 예를 들어 이차 방정식 :ax^2 + bx + c = 0, (a\neq0) 은 :x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ {2a} 을 두 근으로 가지며, 따라서 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만으로 근이 표현된다. 그러나 아벨-루피니 정리에 의하면 오차 이상의 다항방정식은 이러한 방식으로 표현할 수 없는 근이 존재한다. 한편 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 복소계수 다항 방정식은 하나 이상의 복소수 근을 가진다.
## 무리 방정식
방정식의 항에 무리식(루트)을 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리 방정식이라 한다. 예를 들어 : x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0 는 무리 방정식이다. 위 방정식을 풀면 : x- 1 = -\sqrt{x+1} : (x- 1)^2 = (-\sqrt{x+1})^2 : (x- 1)(x- 1) = x+1 : x^2-3x=x(x-3)=0 가 되어 x= 0, 3이 된다. 그런데 무리 방정식에는 위처럼 유도과정을 거쳐 찾은 값이 방정식에 대입했을 때는 성립하지 않는 무연근이 존재할 수 있다. 따라서 앞에서 얻은 값이 무리방정식의 근이 되는지 검산하는 과정이 필요하다. 예시의 방정식에서 x= 0을 대입하면 식이 성립하지만, x= 3을 대입하면 성립하지 않음을 알 수 있다. 따라서 x=3은 무연근이고, x=0만이 무리 방정식의 근이다.
## 연립 방정식
연립 방정식은 서로 다른 2개의 미지수가 주어진 방정식들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. 연립 방정식도 미지수의 차수에 따라 연립 일차 방정식, 연립 이차 방정식 등으로 나뉜다. 연립 일차 방정식에선 y=ax+b와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 대입법과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 가감법, 그리고 행렬을 이용한 가우스 소거법이 주로 사용된다.
## 미분방정식
미분방정식 오일러 방정식은 [[유체의 비점성 흐름을 다루는 미분방정식이다.]] 미분방정식은 함수와 그 도함수들로 표현되는 방정식이다. 일반적으로 어떤 물리적 대상을 표현하는 함수에 대해 그 도함수는 대상의 변화율을 의미하며, 따라서 물리적 대상과 그 변화율 간의 관계는 미분 방정식으로 표현된다. 미분 방정식은 공학, 물리학, 화학, 생물학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지한다.
### 상미분방정식
상미분방정식 상미분방정식은 하나의 독립 변수만을 가지는 미분 방정식이다.
### 편미분방정식
편미분방정식 편미분방정식은 여러 개의 독립 변수를 가지는 미분 방정식이다.
곱셈적 함수

수론에서 **곱셈적 함수**(-的函數, multiplicative function) 또는 **곱산술 함수**(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.
# 정의
함수 f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C가 다음 조건을 만족시키면, **곱셈적 함수**라고 한다. * 임의의 m,n\in\mathbb Z^+에 대하여, 만약 \gcd\\{m,n\\}=1이라면, f(mn)=f(m)f(n)이다. 함수 f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C가 다음 조건을 만족시키면, **완전 곱셈적 함수**(完全-的函數, completely multiplicative function)라고 한다. * 임의의 m,n\in\mathbb Z^+에 대하여, f(mn)=f(m)f(n)이다. (완전) 곱셈적 함수의 정의역은 \mathbb Z의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.isbn=978-7-301-21612-5413
# 성질

## 연산에 대한 닫힘
곱셈적 함수 f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.417 * n\mapsto f(n^k)\qquad(k\in\mathbb Z^+) * n\mapsto f(\gcd\\{n,k\\})\qquad(k\in\mathbb Z)
## 항등식
곱셈적 함수 f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C에 대하여, 만약 n\in\mathbb Z^+의 소인수 분해가 :n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} 일 경우, 다음이 성립한다. :f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})\cdots f(p_k^{a_k}) 만약 추가로 f가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다. :f(n)=f(p_1)^{a_1}f(p_2)^{a_2}\cdots f(p_k)^{a_k} 즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.416 곱셈적 함수 f,g\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.415; 417; 421, 따름정리3 :f(1)=1\vee f(x)=k\delta_{1,x} :f(m)f(n)=f(\gcd\\{m,n\\})f(\operatorname{lcm}\\{m,n\\}) :\sum_{d\mid n}\mu(d)f(d)=\prod_{p\mid n}(1-f(p)) :\sum_{d\mid n}\mu(d)^2f(d)=\prod_{p\mid n}(1+f(p)) 여기서 \mu는 뫼비우스 함수이다. 곱셈적 함수 f\colon A\to\mathbb C의 정의역 A\subseteq\mathbb Z이 -1\in A를 만족한다면, :f(-1)=\pm 1 이다.417
## 디리클레 합성곱
곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 f,g\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C의 디리클레 합성곱 :f*g\colon n\mapsto\sum_{d\mid n}f(d)g(n/d) 와 디리클레 역원 :f^{-1}\qquad(f^{-1}*f=f*f^{-1}=\delta_{\bullet,1}) 은 곱셈적 함수이다.423, 정리5; 429, 문제22 곱셈적 함수 f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C에 대하여, 만약 n\in\mathbb Z^+의 소인수 분해가 :n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} 일 경우, 다음이 성립한다.418, 정리1; 423, 식(27) :\sum_{d\mid n}f(d)=\prod_{j=1}^k(1+f(p_j)+\cdots+f(p_j^{a_j})) :\sum_{d\mid n}\mu(n/d)f(d)=\prod_{j=1}^k(f(p_j^{a_j})-f(p_j^{a_j-1})) 만약 추가로 f가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다. :\sum_{d\mid n}f(d)=\prod_{j=1}^k(1+f(p_j)+\cdots+f(p_j)^{a_j}) :\sum_{d\mid n}\mu(n/d)f(d)=\prod_{j=1}^k(f(p_j)^{a_j}-f(p_j)^{a_j-1})
# 예
다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다. * n\mapsto n^k (k는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수 ** n\mapsto 1: 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 k=0인 경우이다. ** n\mapsto n: 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 k=1인 경우이다. * n\mapsto\delta_{n,1}: n이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다. * n\mapsto(n/p) (p는 소수): 르장드르 기호. n이 p에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, p의 배수일 경우 0을 취한다. 다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다. * n\mapsto\phi(n): 오일러 피 함수. n보다 작고 n과 서로소인 양의 정수의 개수 * n\mapsto\mu(n): 뫼비우스 함수. n이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, n의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. n이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다. * n\mapsto\sigma_k(n) (k는 음이 아닌 정수): 약수 함수. n의 모든 양의 약수의 k제곱의 합 ** n\mapsto d(n): n의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 k=0인 경우이다. ** n\mapsto \sigma(n): n의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 k=1인 경우이다. 양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수 :n\mapsto r_2(n) 는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다. :1=1^2+0^2=0^2+1^2=(-1)^2+0^2=0^2+(-1)^2 즉, :r_2(1)=4\ne 1 이다. 폰 망골트 함수 :n\mapsto\Lambda(n) 는 n이 어떤 소수 p의 양의 정수 제곱일 경우 \ln p를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다. :\Lambda(1)=0\ne 1 이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.
체비쇼프 다항식

수학에서 **체비쇼프 다항식**(Чебышёв多項式, Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.언어=en언어=en
# 정의
(실수 n차 일계수 다항식의 집합을 \mathrm{Mon}(n;\mathbb R)로 적자.) 실수 n차 다항식 \operatorname T_n\in\mathbb R[x]에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \operatorname T_n을 n차 **체비쇼프 다항식**이라고 한다. * (재귀적 정의) \operatorname T_n(x)=2x\operatorname T_{n-1}(x)-\operatorname T_{n-2}(x)이며, \operatorname T_0(x)=1이며, \operatorname T_1(x)=x이다. * (삼각 함수 정의) 항등식 \operatorname T_n(\cos\theta)=\cos n\theta가 성립한다. * \operatorname T_n은 (-1,1)에서 서로 다른 n개 실근을 가지며, [-1,1]에서 절댓값이 서로 같은 n+1개 극값을 갖는다. * (최소 상한 노름)\frac1{2^{n-1\max_{x\in[-1,1]}|\operatorname T_n(x)|=\min_{f\in\mathrm{Mon}(n;\mathbb R)}\max_{x\in[-1,1]}|f(x)| 드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 \cos nx가 \cos x의 n차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 \cos nx, 우변의 실수부는, \cos x와 \sin^2x의 다항식이다.
# 성질

## 직교성
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 [-1,1]에서 직교한다. :\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2 즉, 다음이 성립한다. :\int_{-1}^1\operatorname T_n(x)\operatorname T_m(x)\,\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2=0\qquad(n \neq m)
## 대칭
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다. :\operatorname T_n(-x)=(-1)^n\operatorname T_n(x)
## 근
n차 체비쇼프 다항식 \operatorname T_n은 닫힌구간 [-1,1] 속에서 n개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다. :x_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}\qquad(k\in\\{1,2,\dotsc,n\\})
## 분지점
체비쇼프 다항식을 복소수 함수 :\operatorname T_n\colon\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1 로 여길 때, n>0의 경우 다음이 성립한다. * 분지점에서의 값들은 모두 \pm1 또는 \widehat\infty이다. * 값이 \pm1인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.) * \widehat\infty의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.) 예를 들어, :\operatorname T_2(x)=2x^2-1=2(x-1)(x+1)+1 의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 x\in\\{0,\widehat\infty\\}를 가지며, 그 값은 \operatorname T_2(0)=-1 및 \operatorname T_2(\widehat\infty)=\widehat\infty이다. 마찬가지로, :\operatorname T_3(x)=4x^3-3x=(x-1)(2x+1)^2+1=(x+1)(2x-1)^2-1 의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 x\in\\{-1/2,1/2\\} 및 분지 지표 3의 분지점 x=\widehat\infty를 가지며, 그 값은 각각 \operatorname T_3(\pm1/2)=\mp1 및 \operatorname T_3(\widehat\infty)=\widehat\infty이다. 이에 따라, \operatorname T_n\colon\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 n+1개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다. :
# 예
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. A28297 :\begin{aligned} \operatorname T_0(x)&=1\\\ \operatorname T_1(x)&=x\\\ \operatorname T_2(x)&=2x^2-1\\\ \operatorname T_3(x)&=4x^3-3x\\\ \operatorname T_4(x)&=8x^4-8x^2+1\\\ \operatorname T_5(x)&=16x^5-20x^3+5x\\\ \operatorname T_6(x)&=32x^6-48x^4+18x^2-1\\\ \operatorname T_7(x)&=64x^7-112x^5+56x^3-7x\\\ \operatorname T_8(x)&=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1\\\ \operatorname T_9(x)&=256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x\\\ \operatorname T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^8+1120x^6-400x^4+50x^2-1\\\ \operatorname T_{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^9+2816x^7-1232x^5+220x^3-11x \end{aligned}
# 역사
파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.언어=fr 체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T*n*는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (Tchebycheff) 또는 독일어 표기 (Tschebyschow)에서 딴 것이다.
파이의 날

파이의 날 기념 파이 원주율 **파이의 날**(파이 데이)은 원주율을 기념하는 날이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값이 3.14이어서 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이면서 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율을 소수점 아래의 숫자를 얼마나 많이 외우는지 겨루는 대회가 열린다. 분수 3과 7분의 1을 가분수로 나타내면 7분의 22가 되는데, 이를 무한소수로 나타내면 3.142857...로 π의 근삿값이 되므로 7월 22일을 **파이 근삿값의 날**로 부르기도 한다.
사인 법칙

기하학에서 **사인 법칙**(-法則, law of sines) 혹은 **라미의 정리**는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.
# 정의
삼각형 ABC의 각 A,B,C을 마주보는 변을 a,b,c라고 하자. **사인 법칙**에 따르면 다음이 성립한다.isbn=0-534-35179-420, 52 :\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R 여기서 R은 삼각형 ABC의 외접원의 반지름이다.
# 증명

## 삼각형의 넓이를 통한 증명
사인 법칙의 증명 삼각형 ABC의 변 c 위의 높이를 h라고 하자.20 삼각법에 따라 h=b\sin A이므로, 삼각형 ABC의 넓이 K는 다음과 같다. :K=\frac 12ch=\frac 12bc\sin A 자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다. :2K=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C 양변에 abc를 나누면 사인 법칙을 얻는다. :\frac{\sin A}a=\frac{\sin B}b=\frac{\sin C}c
## 외접원을 통한 증명
설명3=C가 둔각일 경우 삼각형 ABC의 외접원을 그리자.52 A를 지나는 지름을 AD라고 하자. 따라서 ABD는 직각 삼각형이며, 빗변은 AD=2R이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다. :c=2R\sin D 만약 C가 예각일 경우, C와 D는 같은 호의 원주각이므로 \angle C=\angle D이다. 따라서 다음이 성립한다. :c=2R\sin C 만약 C가 직각일 경우, B와 D는 같은 점이므로, 2R=c이며 \sin C=1이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 C가 둔각일 경우, C와 D는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, \angle C=\pi-\angle D이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 A,B에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.
## 코사인 법칙을 통한 증명
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.21, Art. 42
## 벡터를 통한 증명
구의 중심과 세 꼭짓점 A,B,C를 잇는 벡터를 각각 \mathbf a,\mathbf b,\mathbf c라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다. :(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)=((\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c)\mathbf a :(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)=((\mathbf b\times\mathbf a)\cdot\mathbf c)\mathbf b :(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)=((\mathbf c\times\mathbf a)\cdot\mathbf b)\mathbf c 따라서 다음이 성립한다. :|(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)|= |(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)|= |(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)| 여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다. :|(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)|=\sin c\sin b\sin A :|(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)|=\sin c\sin a\sin B :|(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)|=\sin b\sin a\sin C
## 구면 코사인 법칙을 통한 증명
제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.날짜=188620-21, Art. 40, 41 :\begin{align}\frac{\sin^2A}{\sin^2a} &=\frac{1-\cos^2A}{\sin^2a}\\\ &=\frac{\sin^2b\sin^2c-\sin^2b\sin^2c\cos^2A}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}\\\ &=\frac{\sin^2b\sin^2c-(\cos a-\cos b\cos c)^2}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}\\\ &=\frac{1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c} \end{align}
# 쌍곡 사인 법칙
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 ABC의 각 A,B,C가 마주보는 변을 a,b,c라고 하자. **쌍곡 사인 법칙**(雙曲-法則, hyperbolic law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.isbn=978-7-5355-1376-272 :\frac{\sinh a}{\sin A}=\frac{\sinh b}{\sin B}=\frac{\sinh c}{\sin C} 여기서 \sinh는 쌍곡 사인이다.
# 쌍곡 사인 법칙의 증명

## 쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명
제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.74 :\begin{align}\frac{\sin^2A}{\sinh^2a} &=\frac{1-\cos^2A}{\sinh^2a}\\\ &=\frac{\sinh^2b\sinh^2c-\sinh^2b\sinh^2c\cos^2A}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}\\\ &=\frac{\sinh^2b\sinh^2c-(\cosh b\cosh c-\cosh a)^2}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}\\\ &=\frac{1-\cosh^2a-\cosh^2b-\cosh^2c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c} \end{align}
펜로즈 삼각형

펜로즈 삼각형 **펜로즈 삼각형**(Penrose triangle 또는 Penrose tribar)은 불가능한 물체의 일종이다. 1934년 스웨덴의 화가 오스카르 레우테르스베르드가 처음 쓰기 시작했고, 1950년대에 영국의 수학자 로저 펜로즈가 그와는 독자적으로 고안하여, 널리 알렸다. 그 후에도 펜로즈 삼각형은 마우리츠 코르넬리스 에셔의 판화에서 쓰이기 시작하여, 그의 작품 속에 등장하는 불가능한 물체에 영향을 주었다. 이 삼각형은 단면이 사각형인 입체인 것처럼 보이지만, 2차원 그림으로만 가능하다. 왜냐하면, 삼각형의 각 변을 이루는 평행한 면들은 각 꼭짓점에 이르면, 서로 다른 위치에서 본 직각의 모서리이기 때문이다. 각 변을 이루는 막대는 모두 서로 직각을 이루며, 그럼에도 불구하고 삼각형을 만든다. 이 방법을 일반화 시켜서 펜로즈 다각형으로 확대할 수 있다. 하지만 펜로즈 사각형은 그 시각적 효과가 삼각형만큼 충격적이진 않다. 파일:Penrose 사각형 파일:Penrose 오각형 파일:Penrose 육각형 파일:Penrose 팔각형 펜로즈 삼각형처럼 보이는 입체를 만들 수는 있다. 하지만 이 때에 각 변은 꼬이거나, 끊어져야 한다. 파일:Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 독일 기술 박물관에 설치된 펜로즈 삼각형 파일:Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 각도에서 본 모습
수론적 함수

정수론에서 **수론적 함수**(數論的函數, arithmetic/number-theoretic function)는 모든 양의 정수에 대해 정의된 함수이며 복소수 함수값을 가질 수도 있다. 다시 말하면 수론적 함수는 복소수의 수열에 지나지 않는다. 중요한 수론적 함수로 덧셈적 함수와 곱셈적 함수가 있으며, 수론적 함수 사이의 연산으로는 디리클레 합성곱이 중요하다.
# 예시
곱셈적 함수와 덧셈적 함수에 몇몇 수론적 함수의 예가 수록되어 있다. 아래 예들은 곱셈적이지도, 덧셈적이지도 않은 함수들이다. * *c*4(*n*) - *n*을 음수가 아닌 정수로 표현하는 방법의 가지수. 덧셈의 순서도 구분한다. 예를 들어 다음과 같다. ::1 = 12+02+02+02 = 02+12+02+02 = 02+02+12+02 = 02+02+02+12, :그러므로 *c*4(1)=4. * *P*(*n*), 분할수 - *n*을 양의 정수의 합으로 나타내는 방법의 수. 여기선 덧셈의 순서를 구분하지 않음. 예를 들어, *P*(2 · 5) = *P*(10) = 42 그리고 *P*(2)*P*(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42 따 라서 곱셈적 함수가 아님. * π (*n*), 소수 계량 함수 - 주어진 *n*과 같거나 작은 소수의 개수. π(1) = 0 그리고 π(10) = 4 (10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7). * *a*0(*n*) - *n*을 나누는 소수의 합. 또한 sopfr(*n*)(**S**um **o**f the **p**rime **f**actors with **r**epetition)라고도 불림. *a*0(20) = *a*0(22 · 5) = 2 + 2+ 5 = 9. A001414 * *a*1(*n*) - *n*의 서로 다른 소인수의 합. sopf(*n*)라고도 불림. *a*1(1) = 0, *a*1(20) = 2 + 5 = 7.
물리 상수

**물리 상수**(物理常數, physical constant)는 물리학에 나오는 값이 변하지 않는 물리량을 말한다. 물리 상수는 실제적인 물리적 측정과는 관계없이 고정된 값을 갖는 수학 상수와 대비되어, 대부분 그 값이 실험을 통한 측정을 통해 얻어진다. 물리 상수들 중에 특히 유명한 것으로는 플랑크 상수, 중력 상수, 아보가드로 상수 등이 있다. 물리 상수는 여러 가지 양을 의미한다. 플랑크 길이는 자연의 기본적인 거리, 광속은 가능한 최고 속력, 미세 구조 상수는 차원이 없는 양으로 전자와 광자 사이의 상호작용의 정도를 각각 의미한다.
# 물리 상수 일람
유효자리는 **굵게** 표시했다. {| class="wikitable" cellpadding="5" |- ! | 양 ! | 기호 ! | 값 ! | 출처 |- | 진공에서의 광속 | *c* | **299 792 458** m·s-1 (정의) | a |- | 진공의 투자율 (磁 透過性, magnetic permeability) | μ0 | **1.256 637 062** 12(19) × 10-6 N A-2 | a |- | 진공의 유전율 (誘電率, permittivity) | ε0 = 1/(μ0c2) | **8.854 187 81**28(13) ... × 10-12 F·m-1 | a |- | 진공의 온저항 (阻抗, impedance) | *Z*0 = μ0c | **376.730 313 6**68(57) Ω | a |- | 중력상수 | G | **6.674** 30(15) × 10-11 m3·kg-1·s-2 |? |- | 플랑크 상수 | *h* | **6.626 070 15** × 10-34 J·s (정의) | a |- | 디랙 상수 (Dirac's constant) | ℏ = *h* / (2π) | **1.054 571 817**... × 10-34 J·s | a |- | 플랑크 질량 | *m*p = (ℏ / *G*)1/2 | **2.17**67(16) × 10-8 kg | a |- | 플랑크 길이 | *l*p= (ℏ*G* / *c*3)1/2 | **1.61**60(12) × 10-35 m | a |- | 플랑크 시간 | *t*p = (ℏ*G* / *c*5)1/2 | **5.3**906(40) × 10-44 s | a |- | 기본 전하 | *e* | **1.602 176 634** × 10-19 C (정의) | a |- | 전자의 불변 질량 | *m**'e* | **9.109 383 70**15(28) × 10-31 kg | a |- | 양성자의 불변 질량 | *m**'p* | **1.672 621 923** 69(51) × 10-27 kg | a |- | 중성자의 불변 질량 | *m**'n* | **1.674 927 498** 04(95) × 10-27 kg | a |- | 원자 질량 상수 | *m**'u* = 1 u | **1.660 539 066** 60(50) × 10-27 kg | a |- | 아보가드로 상수 | *L*, *N**'A* | **6.022 140 76** × 1023 mol-1 (정의) | a |- | 볼츠만 상수 | *k* | **1.380 649** × 10-23 J·K-1 (정의) | a |- | 패러데이 상수 | *F* | **96 485.332 12**... C·mol-1 | a |- | 기체 상수 | *R* | **8.314 462 618**... J·K-1·mol-1 | a |- | 섭씨 영점 | | **273.15** K (정의) |? |- | 이상 기체의 몰부피, *p* = 1 bar, θ = 00C | | **22.710** 981(40) L·mol-1 | a |- | 표준 기압 (標準 氣壓, standard atmosphere) | atm | **101 325** Pa (정의) | a |- | rowspan="2" | 미세 구조 상수 | α = μ0*e*2*c* / (2*h*) | **7.297 352 56**93(11) × 10-3 | a |- | α-1 | **137.035 999 0**84(21) | a |- | 보어 반지름 | *a*0 | **5.291 772 109** 03(80) × 10-11 m | a |- | 하트리 에너지 | *E*h | **4.359 744 722 20**71(85) × 10-18 J | a |- | 뤼드베리 상수 | *R*∞ | **10 973 731.568** 160(21) m-1 | a |- | 보어 자기자(Bohr magneton) | μB | **9.274 010 07**83(28) × 10-24 J·T-1 | a |- | 전자의 자기 모멘트 (electron magnetic moment) | μe | **-9.284 763** 62(37) × 10-24 J·T-1 | a |- | 자유 전자 상수 | *g*e | −**2.002 319 304 362** 56(35) |? |- | 핵 자기자(nuclear magneton) | μN | **5.050 783 74**61(15) × 10-27 J·T-1 |? |- | 양성자 자기 모멘트 (proton magnetic moment) | μp | **1.410 60**7 61(47) × 10-26 J·T-1 |? |- | 양성자의 자기회전비 | γp | **2.675 22**1 28(81) × 108 s-1·T-1 |? |- | H20에서의 자기 극자 모멘트, μ'p | μ'p / μB | **1.520 993 1**29(17) × 10-3 |? |- | H20에서의 양성자 자기 공명 주파수 | γ'p / (2π) | **42.576 3**75 (13) M·Hz·T-1 |? |- | 슈테판-볼츠만 상수 | σ | **5.670 374 419**... × 10-8 W·m-2·K-4 | a |- | 제1 복사 상수 | c1 | **3.741 771 852**... × 10-16 W·m2 |? |- | 제2 복사 상수 | c2 | **1.438 776 877**... × 10-2 m·K |? |- | 표준 중력 가속도 (지구에서) | *g*n | **9.80665''' m·s-2 (정의) |? |}
정규 분포

확률론 확률론과 통계학에서 **정규 분포**(正規 分布, normal distribution) 또는 **가우스 분포**(Gauß 分布, Gaussian distribution)는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다. 정규분포는 2개의 매개 변수 평균 \mu와 표준편차 \sigma에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 \mathrm{N}(\mu, \sigma^2)로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 \mathrm{N}(0, 1)을 **표준 정규 분포**(standard normal distribution)라고 한다.p=83
# 역사
정규분포는 아브라암 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 n이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》(The Doctrine of Chances) 2판(1738년)에 다시 실렸다. 피에르시몽 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(Théorie analytique des probabilités)(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다. 라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. 1805년에는 아드리앵마리 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소제곱법을 도입했다. 카를 프리드리히 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 최소제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.
# 성질
* 정규분포에서는 기댓값, 최빈값, 중앙값이 모두 \mu이다. 정규분포의 기댓값은 다음과 같이 계산할 수 있다. : \begin{align} \bar x &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\sigma\sqrt{2\pi\; \exp\left[-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right]\\\ &= \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi\int_{-\infty}^{\infty}y \exp[-y^{2}]dy \+ \frac{\mu}{\sqrt{\pi\int_{-\infty}^{\infty}\exp[-y^{2}]dy \end{align}
위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 \sqrt{\pi}로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 \mu다. * 정규분포는 절대근사한다. * 정규분포는 평균과 표준편차가 주어져 있을 때 엔트로피를 최대화하는 분포이다. * 정규분포곡선은 좌우 대칭이며 하나의 꼭지를 가진다. * 정규분포는 중앙치에 사례 수가 모여있고, 양극단으로 갈수록 X축에 무한히 접근하지만 X축에 닿지는 않는다.김석우, 《기초통계학》, 학지사, 2007, p,83
# 표준 정규 분포
정규 분포 밀도 함수에서 Z=\frac{X-\mu}{\sigma}를 통해 X(원점수)를 Z(Z점수)로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다.p=83 z-분포라고도 부른다. z-분포로 하는 검정(test)을 z검정(z-test)이라고 한다.
# 불확실성
P[\mu -k\sigma < X < \mu +k\sigma]에서 k값이 변화함에 따라 구해지는 \pm k\sigma값을 **불확실성**(uncertainty)이라고 한다. 예를 들어 \pm 1.645\sigma를 90% 불확실성, \pm 1.960\sigma는 95% 불확실성, \pm 2.576\sigma은 99% 불확실성이다. 특히, \pm 0.674\sigma를 50% 불확실성이라고 하며, **확률오차**(probable error)라고도 한다.쪽=**2**-32 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다.p=80, 87
공각기동대

공각기동대 (만화) right **공각기동대**(攻殻機動隊, Ghost in the Shell)는 시로 마사무네의 원작 만화로부터 파생된 포스트사이버펑크 작품군을 가리킨다. 극장판 영화, 텔레비전 애니메이션, 소설, 비디오 게임 등 다양한 매체로 만들어졌다.
# 작품 목록

## 만화
* 공각기동대: 최초의 작품. * 공각기동대 1.5 Human Error Processor: 셋째 만화. * 공각기동대 2 ManMachine Interface: 둘째 만화. 속편.
## 애니메이션 영화
* 공각기동대: 시로 마사무네의 만화를 바탕으로 1995년에 만들어진 영화. * 이노센스: 2004년에 만들어진 영화. * 공각기동대 ARISE * 공각기동대 신극장판
## 애니메이션 시리즈
* 공각기동대 Stand Alone Complex (SAC): 첫 TV 시리즈. * 공각기동대 S.A.C. 2nd GIG: SAC의 둘째 시즌. * 공각기동대 S.A.C. Solid State Society: SAC의 셋째 작품. TV 시리즈가 아닌 OVA 한 편으로 제작되었다. * 공각기동대 ARISE ALTERNATIVE ARCHITECTURE: ARISE를 TV 시리즈 형식으로 재편집한 것. * 공각기동대: SAC 2045 * 공각기동대 THE GHOST IN THE SHELL
## 실사 영화
* 공각기동대: 고스트 인 더 쉘
뫼비우스 반전 공식

수론에서, **뫼비우스 반전 공식**(Möbius反轉公式, Möbius inversion formula)은 수론적 함수의 약수에 대한 합으로부터 원래 함수를 되찾는 공식이다.
# 정의
양의 정수의 집합 \mathbb Z^+을 정의역으로 하고, 가환환 R를 공역으로 하는 임의의 두 함수 :f,g\colon\mathbb Z^+\to R 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.issn=0172-605632, Theorem 2.9 :g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\qquad\forall n\in\mathbb Z^+ :f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)g(n/d)\qquad\forall n\in\mathbb Z^+ 이를 **뫼비우스 반전 공식**이라고 한다. 두 등식의 우변의 합은 n의 양의 약수 d에 대한 합이다. 가환환 R의 대표적인 예는 복소수체 \mathbb C이다. 첫째 등식은 g(n)을 모든 d\mid n에 대한 f(d)들의 합으로 나타낸다. 둘째 등식은 f(n)을 g(n/d)들의 정수 계수 선형 결합으로 나타낸다. 여기에 붙는 계수는 뫼비우스 함수 \mu\colon\mathbb Z^+\to\mathbb Z이며, 이는 정수 -1,0,1을 값으로 한다. (0개 이상의 서로 다른 소수 p_1,\dots,p_k에 대하여 :\mu(p_1\dots p_k)=(-1)^k 이며, 소수 p 및 양의 정수 n에 대하여 :\mu(p^2n)=0 이다.) 두 공식에서 n에 대한 전칭은 필수적이다. 만약 임의의 n에서 첫째 등식이 성립한다면 임의의 n에서 둘째 등식이 성립하며, 그 역도 성립한다. 그러나 어떤 n에서 첫째 등식이 성립한다고 하여 그 n에서 둘째 등식이 성립하지는 않으며, 그 역도 마찬가지다. 두 함수가 곱셈적 함수인지 여부는 서로 동치이다. 즉, 만약 f가 곱셈적 함수라면, 그 상 g 역시 곱셈적 함수이다. 반대로 만약 g가 곱셈적이라면, 그 원상 f 역시 곱셈적이다.
## 디리클레 합성곱과의 관계
가환환 R가 주어졌을 때, 두 함수 f,g\colon\mathbb Z^+\to R의 디리클레 합성곱 :(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(n/d) 을 정의할 수 있으며, 함수 \mathbb Z^+\to R의 집합 R^{\mathbb Z^+}은 점별 덧셈과 디리클레 합성곱에 대하여 가환환을 이룬다. 디리클레 합성곱을 사용하여, 뫼비우스 반전 공식의 첫째 등식을 다음과 같이 쓸 수 있다. :g=1*f 여기서 1은 모든 양의 정수를 가환환의 곱셈 항등원 1\in A로 보내는 상수 함수를 나타낸다. 마찬가지로, 둘째 등식은 다음과 같이 쓸 수 있다. :f=\mu*g 여기서 \mu는 뫼비우스 함수와 유일한 환 준동형 \mathbb Z\to R의 합성이며, 여기서는 뫼비우스 함수와 같은 기호로 나타낸다. 뫼비우스 반전 공식에 따르면, 두 등식이 서로 동치이다. 가환환 (R^{\mathbb Z^+},+,*)에서, 1과 \mu는 서로 곱셈 역원이다. :\mu*1=\delta 여기서 :\delta(n)=\begin{cases} 1&n;=1\\\ 0&n;\ne1 \end{cases} 는 (\mathbb Z^{\mathbb Z^+},+,*)의 곱셈 항등원이다. 이는 뫼비우스 반전 공식을 자명하게 함의한다. (즉, 만약 g=1*f라면 :\mu*g=\mu*(1*f)=(\mu*1)*f=\delta*f=f 이며, 만약 f=\mu*g라면 :1*f=1*(\mu*g)=(1*\mu)*g=\delta*g=g 이다.) 두 곱셈적 함수의 디리클레 합성곱은 곱셈적 함수이다. 또한, 1과 \mu 모두 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 등장하는 두 함수의 곱셈적 함수 여부가 동치임은 이로부터 자명하다.
# 연속 정의역
조합론에서 자주 쓰이는 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다. 폐구간 [1,\infty)를 정의역으로 하고 아벨 군 (A,+)을 공역으로 하는 임의의 두 함수 f,g\colon[1,\infty)\to A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. :G(x)=\sum_\scriptstyle1\le n\le x\atop\scriptstyle n\in\mathbb Z^+F(x/n)\qquad\forall x\in[1,\infty) :F(x)=\sum_\scriptstyle1\le n\le x\atop\scriptstyle n\in\mathbb Z^+\mu(n)G(x/n)\qquad\forall x\in[1,\infty) 여기서 우변의 합은 x보다 작거나 같은 모든 양의 정수 n에 대한 합이다.
# 근접 대수
근접 대수 수론의 뫼비우스 반전 공식은 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 양의 정수의 집합은 약수 관계에 따라 국소 유한 부분 순서 집합 :(\mathbb Z^+,\mid) :m\mid n\iff\exists d\in\mathbb Z^+\colon n=md 을 이룬다. (\mathbb Z^+,\mid)의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식은 수론의 뫼비우스 반전 공식이다. 함수 [1,\infty)\to R에 대한 뫼비우스 반전 공식 역시 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 국소 유한 부분 순서 집합 :([1,\infty),\preceq) :x\preceq y\iff x\in\mathbb Z^+\land x\le y 의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식과 같다.
# 예
대표적인 예는 다음과 같다. (모두 복소수체 \mathbb C를 공역으로 한다.) {| class="wikitable" ! f(n) !! g(n) |- | 1 || 약수 함수 \sigma_0(n) |- | n || 약수 함수 \sigma_1(n) |- | 오일러 피 함수 \phi(n) || n |- | 뫼비우스 함수 \mu(n) || 델타 함수 \delta(n) |- | \mu(n)/n || \phi(n)/n |- | 폰 망골트 함수 \Lambda(n) || 자연로그 \ln n |- | \cos(n\pi/2) || 방정식 x^2+y^2=n의 정수해의 개수의 1/4 |}
# 역사
19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다.
푸리에 급수

섬네일 푸리에 변환 수학에서 **푸리에 급수**(Fourier級數, Fourier series)는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수다. 대부분의 경우, 급수의 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다. 함수의 푸리에 계수는 본래 함수보다 다루기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호 처리와 영상 처리, 데이터 압축 등에 쓰인다. 천문학에서는 분광기를 통해 별빛의 진동수를 분해하여 별을 이루는 화학 물질을 알아내는 데 쓰이고, 통신 공학에서는 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화하는 데 쓰인다.
# 역사
19세기 프랑스의 과학자이자 수학자인 조제프 푸리에가 열 방정식을 풀기 위하여 도입하였다. 프랑스 혁명에 참가했다.호=6 다음 책에 수록. url-status=dead
# 정의
푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb C가 T의 주기를 가진다고 하자. 즉, :f(x)=f(x+T) 라고 하자. 또한, f가 모든 유한 구간(finite interval)에서 제곱적분 가능하다고 하자. 즉, 임의의 a,b\in\mathbb R에 대하여, :\int_a^b|f|^2\,dx 가 유한한 값으로 존재한다고 하자. 그렇다면 f의 **푸리에 계수**(Fourier coefficient) g_n을 다음과 같이 정의한다. : g_n=\frac1{T}\int_{t_{0^{t_{0} + T}\exp\left(-\frac{2n\pi{i}x}{T}\right)f(x)\,dx,\quad t_{0} \in \mathbb{R}. 그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 x\in\mathbb R에 대하여, 다음 식이 성립하지 않는 x의 집합은 르베그 측도 0을 가진다. :f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}g_n\exp\left(\frac{2n\pi{i}x}{T}\right). 만약 f가 연속미분가능 (C^1) 함수라면 (즉, f의 도함수가 존재하고 연속적인 경우) f의 푸리에 급수는 모든 x에서 f(x)로 수렴한다.
그리스 신들의 가계도

__NOTOC__ 다음은 고대 그리스 신화와 고대 그리스 종교에 등장하는 신, 반신으로 구성된 가계도이다. chart/start CHA=카오스
무(無) name="eros" GER=게라스
노령 HEM=헤메라
낮 M&K;=모이라이 &
케레스 아프로디테의 태생에는 두 가지 이야기가 상충한다. 헤시오도스 (《신통기》)는 여신이 크로노스가 우라노스를 거세한 후 만들어진 바다 거품에서 "탄생"하였으므로 우라노스의 딸이라고 주장하였다. 반면에, 호메로스 (《일리아스》, 제5권)는 아프로디테가 제우스와 디오네의 딸이라고 설명한다. 플라톤 (《향연》 180장)에 따르면, 두 가설의 아프로디테는 아프로디테 우라니아와 아프로디테 판데모스라는 별개로 나뉜다. . IAP=이아페토스 CLY=클리메네 ! HEL=헬리아데스 ! PLE=플레이오네 호메로스의 저술, 아티카 항아리 그림과 같은 주류 전승에 따르면, 헤파이스토스는 제우스와 헤라의 아들이다. 그러나 헤시오도스의 《신통기》 924장에는 제우스가 아테나를 무성 생식으로 낳자 헤라도 혼자서 낳았다고 전한다. 이 이야기는 후대의 작품인 《비블리오테케》 i. 3. 5 (의식적으로 호메로스의 이야기에 반박), 히기누스의 《이야기》 서문에도 나와있다. HES=헤스페리데스 DIO=디오네 DRY=드리오페 SEM=세멜레 name="hestia" HIM=히메로스 chart/end * 일반적인 올림포스 12신language=en의 이름은 **굵은 글씨**로 표시하였다. * 초록색 바탕으로 표시된 이름은 열두 명의 1세대 티탄이다.
# 주해
notelist
광자

다른 뜻 포톤 condensed_symmetries=*I*(*J**'P C*)=0,1(1−−) **광자**(光子, photon) 또는 **빛알'''은 기본입자의 일종으로, 가시광선을 포함한 모든 전자기파를 구성하는 양자이자 전자기력의 매개입자이다. 기호는 그리스 문자 \gamma이다. 전자기력의 효과는 미시적, 거시적인 수준에서 쉽게 관찰할 수 있는데, 광자가 질량을 가지지 않기 때문에 장거리에서의 상호작용이 가능하다. 다른 기본입자들과 같이 광자는 양자역학과 입자-파동 이중성 이론을 통해 가장 잘 설명된다. 하나의 현상임에도 파동과 양자라는 두 가지 관측 가능한 모습을 가진 광자의 진짜 성질은 어떤 역학적 모델로도 설명할 수 없다. 이러한 빛의 이중성의 묘사, 전자기파에서의 에너지의 위상을 파악하는 것 또한 불가능하다. 전자기파의 양자의 위치는 공간적으로 국한되지 않기 때문이다. 광자 한 개의 에너지는 플랑크 상수( h )에 빛의 진동수( \nu )를 곱한 값, 즉 h\nu 이고, 운동량은 \frac{h\nu}{c} ( c 는 광속)이다.
# 역사
아이작 뉴턴은 빛이 입자로 이뤄져 있다고 주장하였다. 그러나 고전적인 입자론은 빛의 파동적인 성질, 특히 간섭을 설명하지 못한다. 따라서 18세기에 와서는 이중 슬릿 실험을 설명할 수 있는 토머스 영의 파동설이 우세하였고, 제임스 맥스웰의 고전전자기학의 완성으로 파동설은 정설로 인정되었다. 그러나 20세기 초에 와서 고전적인 파동설로 설명할 수 없는 현상이 발견되기 시작하였다. 자외선 파탄이 그중 한 예인데, 이에 따르면 열적 평형에 있고 유한한 온도를 가진 고전적 흑체는 무한한 양의 전자기파를 방출하여야 한다. 이 문제를 해결하기 위해, 막스 플랑크는 전자기파가 양자화되었다는 가설을 도입하였다 (1901). 그러나 그는 실제로 빛이 입자로 구성되었다기보다는, 어떤 알 수 없는 현상에 의해 파동의 에너지가 양자화되었다고 해석하였다. 알베르트 아인슈타인은 힐베르트의 가설에서 시작하여, 빛이 실제로 입자로 구성되었다고 가정하면서 광전효과를 설명할 수 있다는 사실을 보였다 (1905). 이후 양자역학의 발전과 양자전기역학의 도입으로, 빛이 양자화되었다는 사실을 이론적으로 설명할 수 있게 되었다.
# 광자에너지
: E = hf , f = c}\over{\lambda :h=6.626 \times 10^{-34} \ \mathrm{J \cdot s} :c=2.998 \times 10^{8} \ \mathrm{m / s} 빨간색의 광자에너지는 E = h c}\over{\lambda : E = \left(6.626 \times 10^{-34} \ \mathrm{J \cdot s}\right) 2.998 \times 10^{8} \ \mathrm{m / s\over{700 \ \mathrm{nm : E = \left(6.626 \times 10^{-34} \ \mathrm{J \cdot s}\right) 2.998 \times 10^{8} \ \mathrm{m / s\over{700 \times 10^{-9} \ \mathrm{m : E = 2.84 \times 10^{-19} \ \mathrm{J} 아보가드로 상수는 : N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ \mathrm{mol^{-1 이다. 따라서 단위물질량당 광자에너지는 : E_{m} = \left( 2.84 \times 10^{-19} \mathrm{J} \right) \left( 6.022 \times 10^{23} \ \mathrm{mol^{-1\right) : E_{m} = 1.71 \times 10^{5} \ \mathrm{J/mol} : E_{m} = 171 \ \mathrm{kJ/mol}
보손

날짜=2013-01-14 섬네일 **보손**(boson)은 스핀이 정수고, 보스-아인슈타인 통계를 따르는 매개 입자다. 인도의 물리학자 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다. 페르미온의 반대말이다. 모든 입자는 스핀이 정수이거나 반정수이다. 스핀-통계 법칙에 따라 (유령입자나 애니온 따위의 예외적 경우를 제외하고) 전자(前者)의 경우는 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 후자는 페르미-디랙 통계를 따른다. 전자를 **보손**, 후자를 "페르미온"이라고 부른다. 보손은 보스-아인슈타인 통계를 따르므로, 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 여러 입자가 동일한 상태에 있을 수 있다. 예를 들면, 광자는 스핀이 1인 보손이다. 따라서, 들어온 빛을 완전히 흡수하는 흑체가 복사하는 전자기파의 파장 분포는 보스 통계를 따른다. 또 응집물질물리에 나오는 준입자 포논도 보스 통계를 따른다.
# 자연계의 보손

## 기본 보손
현재 알려진 기본 입자 가운데 보손은 다음과 같다. * 게이지 보손은 양-밀스 이론에 등장하는 스핀 1의 입자이다. 이들은 게이지 상호작용을 매개시킨다. ** 광자는 전자기파의 양자이다. 질량과 전하가 0이다. ** 글루온은 강한 핵력의 양자이다. 색가둠에 따라 독립적으로 존재하지 않고, 쿼크와 함께 강입자를 이루거나 아니면 글루볼로 존재한다. 다만 아직 글루볼은 실험적으로 관측되지 못하고 있다. ** W와 Z보손은 약한 핵력을 매개하는 게이지 보손이다. 힉스 메커니즘에 따라 이들은 매우 큰 질량을 가지며, 따라서 약한 핵력은 단거리에서만 작용한다. * 힉스 보손은 힉스 메커니즘을 매개하는 스핀 0의 입자이다. 이는 최근에 발견되었다. * 중력자는 중력자의 양자이며, 중력을 매개하는 스핀 2의 입자이다. 다만, 실험에서는 중력자의 존재는 중력파로 인한 효과로 간접적으로만 확인되었다. 초대칭이나 각종 대통일 이론 등, 표준 모형을 확장하는 모형들은 대부분 추가 보손을 예측하나, 이들은 아직 발견되지 않았다.
## 합성 보손
짝수개의 페르미온으로 구성된 합성 보손이 구성될 수 있다. 예를 들어, 중간자는 쿼크와 반쿼크로 구성된 합성 보손이다. 이 밖에도, 보손들로도 합성 보손이 구성될 수 있다.
# 성질

## 스핀
양자장론의 스핀-통계 정리에 따라, 로런츠 대칭이 깨지지 않는 이상 모든 보손은 항상 정수의 스핀을 갖는다. 즉, 가능한 스핀은 0, 1, 2, … 따위다. 기본 보손의 경우, 와인버그-위튼 정리에 따라 보통 0, 1, 2만이 가능하다고 여겨지며, 스핀 2인 입자는 중력자, 스핀 1인 입자는 **벡터 보손**, 스핀 0인 입자는 **스칼라 보손**으로 불린다.
## 통계역학
양자통계역학 페르미온과 달리, 보손은 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 한 양자 상태에 임의의 수의 보손이 존재할 수 있다. 따라서 보손은 낮은 온도에서 보스-아인슈타인 응축 등의 특이한 성질을 보인다.
디리클레 합성곱

**디리클레 합성곱**(Dirichlet convolution) 혹은 **디리클레 포갬**은 수론적 함수(arithmetic function)의 집합에서 정의되는 이항연산(binary operation)으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다.
# 정의
*f*, *g*가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, *f*, *g*의 디리클레 포갬 *f* * *g*는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다. : (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(n/d) 여기서 덧셈은 *n*의 모든 양의 약수 *d*에 대해 이루어진다.
# 성질
이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면: * 닫혀있다: f와 g가 모두 곱셈적이라면, f * g도 곱셈적이다. (주의: 그러나 두 완전 곱셈적인 함수의 포갬은 완전 곱셈적이 아닐 수 있다.) * 교환법칙: *f* * *g* = *g* * *f* * 결합법칙: (*f* * *g*) * *h* = *f* * (*g* * *h*) * 분배법칙: *f* * (*g* + *h*) = *f* * *g* + *f* * *h* * 항등원: *f* * ε = ε * *f* = *f*, 여기서 ε은 n = 1에서 ε(*n*) = 1, n > 1에서 ε(*n*) = 0으로 정의되는 함수. * 역원: 모든 곱셈적 함수 f에 대해, 어떤 곱셈적 함수 g가 존재하여 *f* * *g* = ε를 만족한다. 덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 **디리클레 환**(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 *f*(1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다. 나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 ε을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다. 곱셈적 함수에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다.
# 역원의 계산
주어진 수론적 함수 f(n)에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 f^{-1}(n)이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다. :f^{-1}(1) = \frac {1}{f(1)} 그리고 n>1일 경우는 다음과 같다. :f^{-1}(n) = \frac {-1}{f(1)}\sum_{d|n~~d 예를 들어, 모든 n에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 뫼비우스 함수가 된다. 더 일반적인 관계는 뫼비우스 반전 공식에 의해 유도된다.
# 디리클레 급수와의 관계
*f*가 수론적 함수이면, **L-급수**(L-series)는 다음과 같이 정의된다. 급수가 수렴하는 복소수 s에 대해, : L(f,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s} L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계가 있다. 좌변이 존재하는 모든 s에 대해, : L(f,s) L(g,s) = L(f*g,s) 위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.
# 수론적 함수의 미분과의 관계
물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다. 주어진 산술함수 f(n)의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 \Lambda는 망골트 함수(Mangoldt function)이다. :f'(n) = f(n) \log n\; 예를 들어, 모든 n에 대해 1 인 수론적 함수 u(n)이 있다고 할 때, 관계식 \sum_{d|n}\Lambda(d) = \log n 때문에 다음이 성립한다 :\Lambda * u = u' 위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.ISBN = 978-0387901633 *(f + g)' = f' + g' *(f * g)' = f'*g + f*g' *(f^{-1})' = -f'*(f*f)^{-1}
슈뢰딩거 방정식

양자역학 에르빈 슈뢰딩거 **슈뢰딩거 방정식**(-方程式, Schrödinger equation)은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다.
# 정의
파동 함수 \psi(x)에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. :i\hbar\frac{\partial{}|\psi\rangle}{\partial{}t}=\hat{H}|\psi\rangle 해밀토니언 연산자 \hat{H}는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. |\psi\rangle는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 \psi로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.) 해밀토니언 연산자 \hat H는 보통 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜 V(\mathbf x,t) 속에 있는, 질량이 m인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다. :\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf x,t) 즉, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 2차 편미분 방정식이 된다. :i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\mathbf x,t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf x,t)\right)\psi(\mathbf x,t)
# 라그랑지언과 이차 양자화
슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도할 수 있다. :\mathcal L=\psi^*\left(i\hbar\frac\partial{\partial t}-\hat H\right)\psi 예를 들어, 퍼텐셜 V(\mathbf x,t) 속에 있는, 질량이 m인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다. :\mathcal L=\psi^*\left(i\hbar\frac\partial{\partial t}+\frac1{2m}\nabla^2-V\right)\psi \sim\psi^*i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi-\frac1{2m}(\boldsymbol{\nabla}\psi)^2 -V|\psi|^2 여기서 두 번째 표현은 전미분항(total derivative)을 무시하고 쓴 것이다. 이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨, 양자장론으로 이차 양자화시킬 수 있다. 이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다. 또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 그로스-피타옙스키 방정식이 이러한 꼴이다.
# 역사
1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를 ::E = h \nu 로 나타내었다. 1924년 루이 드 브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 \psi\;를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해 ::p=h / \lambda 의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다. 위 식들을 각진동수 \omega = 2\pi \nu\;와 파수 k = 2\pi / \lambda\; 및 \hbar = h / 2 \pi\;를 이용해 표현하면, ::E=\hbar \omega 및 **p**와 **k**를 벡터로 표현하면 ::\mathbf p=\hbar \mathbf k 에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다.언어=en 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다. :\psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)} 그리고 그는 : \frac{\partial}{\partial t} \psi = -i\omega \psi 이므로 : E \psi = \hbar \omega \psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi 이며, 마찬가지로 : \frac{\partial}{\partial x} \psi = i k_x \psi 이므로 : p_x \psi = \hbar k_x \psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \psi 이고, 따라서 : p_x^2 \psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi 및 각 방향의 부분들을 더하면 : p^2 \psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \psi = -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \psi = -\hbar^2\nabla^2 \psi 이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식 :E=\frac{p^2}{2m}+V (단순히 총 에너지를 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 나타낸 것) 에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다. :i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi.
# 관련 방정식
슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다. 또한, 슈뢰딩거 방정식에 비인 항을 추가할 수도 있다. 예를 들어, 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다.
라플라스 방정식

**라플라스 방정식**(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 **조화함수**라고 한다. 수학
# 정의
n차원 리만 다양체에서 \Delta가 라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 **라플라스 방정식**은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다. :\Delta\phi=0. 3차원 유클리드 공간에서는 :\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} 이므로, :{\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0 이 된다.
## 관련된 편미분 방정식
우변을 주어진 함수 f(x,y,z)로 바꾼 경우 :\Delta \phi = f 는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 f=0인 푸아송 방정식의 특수한 경우다. 우변을 다음과 같이 바꾸면 :\Delta\phi=k^2\phi 헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 k^2=0인 경우다. 코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)
# 경계 조건
라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 D의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 D위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다. 라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 \varphi 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다. 라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.
# 2차원 라플라스 방정식
2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수 :\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} \equiv \psi_{xx} + \psi_{yy} = 0. 의 형태로 나타난다.
## 2차원 라플라스 방정식의 차분방정식
:u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=0 h는 격하게 (mesh size) 푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다. :u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=h^{2}f\left( x,y \right)
## 해석적 함수
복소 범위의 해석적 함수 f의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. z=x+iy이고 : f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 라 하자. f(z)가 해석적이려면 : u_x = v_y, v_x=-u_y 를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서 : (u_y)_y=(-v_x)_y=-(v_y)_x = -(u_x)_x 이다. 따라서 u는 라플라스 방정식을 만족한다. v도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.
## 2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수
극좌표계 (r,\theta)에서 라플라스 연산자는 다음과 같다. :\Delta=r^{-1}\frac\partial{\partial r}r\frac\partial{\partial r}+r^{-2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}. 따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다. :\phi(r,\theta)=\sum_{n=-\infty}^\infty\left(a_nr^n\cos n\phi+b_nr^n\sin n\theta\right). 이는 함수 \phi의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는 :\phi(r,\theta)=\operatorname{Re}\left[\sum_{n=-\infty}^\infty(a_n-ib_n)z^n\right] 으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.
# 3차원 라플라스 방정식
3차원 공간에서, 구면좌표계 (r,\theta,\phi)에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다. :f(r,\theta,\phi)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \left(a_l^m r^l + b_l^m r^{-l-1}\right)Y_l^m(\theta,\phi). 여기서 Y_l^m(\theta,\phi)는 구면 조화 함수이고, a_l^m와 b_l^m은 임의의 계수다. 물론, f가 원점에서 연속적이려면 b_l^m=0이다.