체의 확대

체론에서 **체의 확대**(體의 擴大, field extension)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.
# 정의
두 체 K와 L이 주어졌을 때, K에서 L로 가는 **확대**는 K에서 L로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.) 체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 K를 L의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 K를 L의 **부분체**(部分體, subfield), 반대로 L을 K의 **확대체**(擴大體, extension field)라고 한다. L이 K의 확대체라는 것은 기호로 L/K로 쓴다. 일련의 체 K_0,K_1,\dots,K_n들이 서로 체의 확대 :K_0\subseteq K_1\subseteq\cdots\subseteq K_n 를 이룰 때, \\{K_i\\}_{i=0,1,\dots,n}를 **체의 탑**(體의 塔, tower of fields)이라고 한다.
## 차수
체의 확대 L/K가 주어졌을 때, L은 K 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 L/K의 **차수**(次數, degree)는 L의 K-벡터 공간으로서의 차원이며, [L:K]로 표기한다. 차수가 유한한 확대를 **유한 확대**(無限擴大, finite extension)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 **이차 확대**(二次擴大, quadratic extension), 차수가 3인 확대는 **삼차 확대**(三次擴大, cubic extension)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.
## 초월 차수
체의 확대 L/K 및 L의 부분 집합 S\subset L이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 p\in K[|S|]에 대하여, p(S)=0인 다항식은 p=0밖에 없다면, S를 **대수적 독립 집합**(algebraically independent set)이라고 한다. L/K의 **초월 차수**(transcendence degree)는 L에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, \operatorname{trdeg}_KL와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 **대수적 확대**(代數的擴大, algebraic extension)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 **초월 확대**(超越擴大, transcendental extension)라고 한다. L/K의 **초월 기저**(超越基底, transcendence basis) S는 L/K(S)가 대수적인 대수적 독립 집합 S\subset L이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 L=K(S)라면, L/K를 **순수 초월 확대**(純粹超越擴大, purely transcendental extension)라고 한다. 체의 확대 L/K 및 L의 원소 a\in L가 주어졌을 때, 만약 \\{a\\}가 대수적 독립 집합이라면, a를 L/K의 **초월 원소**(超越元素, transcendental element)라고 한다. 초월 원소가 아닌 원소를 **대수적 원소**(代數的元素, algebraic element)라고 한다.
## 생성원으로 정의되는 확대
체의 확대 L/K 및 L의 부분 집합 S\subset L이 주어졌다고 하자. 그렇다면, **L속에서 S로 생성되는 K의 확대** K(S)는 S\cup K를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 L의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. K[S]\subseteq L가, S의 원소들에 대한 K 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 K(S)는 K[S]의 분수체와 동형이다. :K(S)=\operatorname{Frac}K[S]=\\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\ne0\\}\subseteq L 또한, 만약 S가 유한 집합이며, L이 대수적 확대라면 K(S)/K는 유한 확대이다. 체의 확대 M/K 속에서 두 부분체 :K\subseteq L_1\subseteq M :K\subseteq L_2\subseteq M 가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 **합성체**(合成體, compositum)는 K(L_1\cup L_2)\subseteq M이다.
## 체 노름과 체 대각합
유한 확대 L/K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 L은 유한 차원 K-벡터 공간이며, 임의의 원소 a\in L에 대하여 a\cdot\colon L\to L은 K-벡터 공간의 선형 변환이다. 따라서 그 행렬식과 대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 **체 노름**(體norm, field norm) \operatorname N_{L/K}과 **체 대각합**(體對角合, field trace) \operatorname T_{L/K}이라고 한다. :\operatorname N_{L/K}\colon L\to K :\operatorname N_{L/K}\colon a\mapsto\det(a\cdot) :\operatorname T_{L/K}\colon L\to K :\operatorname T_{L/K}\colon a\mapsto\operatorname{tr}(\cdot a) 보다 일반적으로, a\cdot의 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 K 계수의 일계수 다항식이다. :\chi_{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot)\in K[x] 이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다. :\chi_{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname T_{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots+(-1)^{[L:K]}\operatorname N_{L/K}(a) 체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 a\in L에 대하여, 그 최소 다항식이 p_a\in K[x]라고 하고, 그 근들의 중복집합이 \\{\sigma_1(a),\dots,\sigma_n(a)\\}\in\bar K라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. :\operatorname N_{L/K}(a)=\left(\prod_{i=1}^n\sigma_i(a)\right)^{[L:K(a)]} :\operatorname T_{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum_{i=1}^n\sigma_i(a) 만약 L/K가 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다. 만약 L/K가 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다. :\operatorname N_{L/K}(a)=\prod_{g\in\operatorname{Gal}(L/K)}g(a) :\operatorname T_{L/K}(a)=\sum_{g\in\operatorname{Gal}(L/K)}g(a) 여기서 \operatorname{Gal}(L/K)는 갈루아 군이다.
# 성질
체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 **자기 동형**(automorphism)이라고 한다.) 체의 확대 L/K가 존재한다면, K와 L의 표수는 서로 일치한다. :\exists L/K\implies \operatorname{char}K=\operatorname{char}L
## 차수와 초월 차수
확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 L/K 및 M/L이 주어졌을 때, 합성 확대 M/K의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다. :[M:K]=[L:K][M:L] :\operatorname{trdeg}_KM=\operatorname{trdeg}_KL+\operatorname{trdeg}_LM 여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다. 초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이며, 확대체의 집합의 크기와 같다. :\operatorname{trdeg}_KL\ge1\implies[L:K]=|L|=\max\\{|K|,\operatorname{trdeg}_KL,\aleph_0\\}\ge\aleph_0 이다. 증명 자명하게 :\max\\{\operatorname{trdeg}_KL,\aleph_0\\}\le[L:K]\le|L|=\max\\{|K|,\operatorname{trdeg}_KL,\aleph_0\\} 이므로, [L:K]\ge|K|임을 보이면 충분하다. 초월 원소 x\in L를 고르자. 그렇다면, :\left\\{\frac1{1+ax}\colon a\in K\right\\}\subseteq L 는 K-선형 독립 집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 c_0,\dots,c_{n-1}\in K 및 서로 다른 a_0,\dotsc,a_{n-1}\in K에 대하여, :\frac{c_0}{1+a_0x}+\cdots\frac{c_{n-1{1+a_{n-1}x}=0 라고 가정하였을 때 :c_0=\dotsb=c_{n-1}=0 임을 보여야 한다. :r_{n-1,i,j}=e_{n-1,j}(a_0,\dotsc,a_{i-1},a_{i+1},\dotsc,a_{n-1})\qquad(i,j=0,\dotsc,n-1) 라고 하자 (e_{n-1,j}는 (n-1)변수 j차 기본 대칭 다항식). 그렇다면 가정은 :\begin{align} 0 & = \sum_{i=0}^{n-1}c_i(1+a_0x)\dotsm(1+a_{i-1}x)(1+a_{i+1}x)\dotsm(1+a_{n-1}x) \\\ & =\sum_{i=0}^{n-1}c_i\sum_{j=0}^{n-1}r_{n-1,i,j}x^j \\\ & =\sum_{j=0}^{n-1}x^j\sum_{i=0}^{n-1}c_ir_{n-1,i,j} \end{align} 와 동치이다 . x가 초월 원소이므로, 이는 :\sum_{i=0}^{n-1}c_ir_{n-1,i,j}=0\qquad(j=0,\dotsc,n-1) 와 동치이다. 이는 c_0,\dots,c_{n-1}에 대한 연립 일차 방정식이다. 따라서, 계수들의 행렬식이 0이 아님을 보이면 족하다. 사실, :\begin{vmatrix} r_{n-1,0,0} & \cdots & r_{n-1,0,n-1} \\\ \vdots & & \vdots \\\ r_{n-1,n-1,0} & \cdots & r_{n-1,n-1,n-1} \end{vmatrix} =\prod_{0\le i 이며, 이는 n에 대한 수학적 귀납법을 통하여 다음과 같이 보일 수 있다. n=1의 경우는 자명하다. 이제 n-1에 대하여 참임을 가정하고, n의 경우를 생각하자. 가정에 따라 다음이 성립한다. :\begin{align} \begin{vmatrix} r_{n-1,0,0} & \cdots & r_{n-1,0,n-1} \\\ \vdots & & \vdots \\\ r_{n-1,n-1,0} & \cdots & r_{n-1,n-1,n-1} \end{vmatrix} & =\begin{vmatrix} 0 & r_{n-1,0,1}-r_{n-1,n-1,1} & \cdots & r_{n-1,0,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1} \\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\ 0 & r_{n-1,n-2,1}-r_{n-1,n-1,1} & \cdots & r_{n-1,n-2,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1} \\\ 1 & r_{n-1,n-1,1} & \cdots & r_{n-1,n-1,n-1} \end{vmatrix} \\\ & =(-1)^n\begin{vmatrix} (a_{n-1}-a_0)r_{n-2,0,0} & \cdots & (a_{n-1}-a_0)r_{n-2,0,n-2} \\\ \vdots & & \vdots \\\ (a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,0} & \cdots & (a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,n-2} \end{vmatrix} \\\ & =(-1)^n(a_{n-1}-a_0)\dotsm(a_{n-1}-a_{n-2})\begin{vmatrix} r_{n-2,0,0} & \cdots & r_{n-2,0,n-2} \\\ \vdots & & \vdots \\\ r_{n-2,n-2,0} & \cdots & r_{n-2,n-2,n-2} \end{vmatrix} \\\ & =(a_0-a_{n-1})\dotsm(a_{n-2}-a_{n-1})\prod_{0\le i 즉, n에 대해서도 참이다. 증명 끝 대수적 확대 M/K의 두 중간체 K\subseteq L_1,L_2\subseteq M에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.oclc=248917264529, Proposition 21 :[K(L_1\cup L_2):K]\le[L_1:K][L_2:K] 증명 우선, L_1/K와 L_2/K가 모두 대수적 확대인 경우를 증명하자. L_1과 L_2의 K-기저 (a_i)_{i\in I} 및 (b_i)_{i\in I}에 대하여, (a_ib_j)_{i\in I,\;j\in J}가 K(L_1\cup L_2)를 K-선형 생성함을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음과 같은 단계들을 거쳐 보일 수 있다. 자명하게 :K(L_1\cup L_2)=K(\\{a_i\\}_{i\in I}\cup\\{b_j\\}_{j\in J}) 이다. 또한, 이는 자명하게 :K(a_{i_1},\dotsc,a_{i_m},b_{j_1},\dotsc,b_{j_n}) 꼴의 체들의 합집합이다. 모든 a_{i_r}와 b_{j_s}가 대수적 원소이므로, :\begin{align} K(a_{i_1},\dotsc,a_{i_m},b_{j_1},\dotsc,b_{j_n}) & =K(a_{i_1})\cdots(a_{i_m})(b_{j_1})\cdots(b_{j_n}) \\\ & =K[a_{i_1}]\cdots[a_{i_m}][b_{j_1}]\cdots(b_{j_n}) \\\ & =K[a_{i_1},\dotsc,a_{i_m},b_{j_1},\dotsc,b_{j_n}] \end{align} 이다. 마지막으로, 유한 개의 a_{i_r}들의 곱은 L_1의 원소이므로 (유한 개의) a_i들의 K-선형 결합이다. 마찬가지로 유한 개의 b_{j_s}들의 곱은 (유한 개의) b_j들의 K-선형 결합이다. 따라서, K[a_{i_1},\dotsc,a_{i_m},b_{j_1},\dotsc,b_{j_n}]의 원소들은 (유한 개의) a_ib_j들의 K-선형 결합이다. 즉, (a_ib_j)_{i\in I,\;j\in J}는 K(L_1\cup L_2)의 K-선형 생성 집합이다. 이제 초월 확대가 하나 이상인 경우를 생각하자. 이 경우, K(L_1\cup L_2)/K가 초월 확대이며 L_1와 L_2 중 하나 이상이 무한 집합이므로 :[K(L_1\cup L_2):K]=|K(L_1\cup L_2)|=\max\\{|K|,|L_1\cup L_2|,\aleph_0\\}=\max\\{|L_1|,|L_2|\\} 이다. 만약 L_1/K와 L_2/K가 둘 다 초월 확대라면, :[L_1:K][L_2:K]=|L_1||L_2|=\max\\{|L_1|,|L_2|\\} 이다. 만약 L_1/K가 대수적 확대이며 L_2/K가 초월 확대라면, :[L_1:K]\le|L_1|=\max\\{|K|,\aleph_0\\}\le\max\\{|K|,\operatorname{trdeg}_KL_2,\aleph_0\\}=|L_2| 이므로 :[L_1:K][L_2:K]=[L_1:K]|L_2|=\max\\{[L_1:K],|L_2|\\}=|L_2|=\max\\{|L_1|,|L_2|\\} 이다. 즉, 등식이 성립하며, 특히 부등식도 참이다. 증명 끝
## 체 노름과 체 대각합
노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 a,b\in L에 대하여 :\operatorname N_{L/K}(ab)=\operatorname N_{L/K}(a)\operatorname N_{L/K}(b) 이며, 만약 a\ne 0이라면 :\operatorname N_{L/K}(a^{-1})=\operatorname N_{L/K}(a)^{-1} 이다. 또한, 만약 체의 확대 L/K 및 M/L이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다. :\operatorname{N}_{M/K}=\operatorname{N}_{L/K}\circ\operatorname{N}_{M/L} 대수적 수체 K/\mathbb Q에서, 모든 대수적 정수 a\in\mathcal O_K의 체 노름은 (유리수) 정수이다. :\forall a\in\mathcal O_K\colon \operatorname N_{K/\mathbb Q}(a)\in\mathbb Z 또한, 다음이 성립한다. :\forall a\in\mathcal O_K\colon|\operatorname N_{K/\mathbb Q}(a)|=|\mathcal O_K/(a)| 여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환의 크기이다. 이를 일반화하여, \mathcal O_K의 임의의 아이디얼 \mathfrak a에 대하여 :\operatorname N_{K/\mathbb Q}(\mathfrak a)=|\mathcal O_K/\mathfrak a| 로 정의한다.
# 분류
체의 확대 L/K가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 S\subset L\setminus K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K(S)/K는 순수 초월 확대이며, L/K(S)는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다. 체 K의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 K(S)와 동형이며, 이는 S의 집합의 크기 |S|에 따라 완전히 분류된다. 체 K(S)의 대수적 확대의 분류는 K 위의 |S|차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체의 쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 K가 대수적으로 닫힌 체이며 |S|=1인 경우, 이는 K 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.
# 종류
위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다. * 갈루아 확대 * 분해 가능 확대 * 정규 확대 * 아벨 확대 * 단순 확대
# 예

## 대수적 폐포
임의의 체 K에 대하여, 대수적 폐포 \bar K 및 분해 가능 폐포 K^{\operatorname{sep를 정의할 수 있으며, 또한 K의 표수에 따라서 K_0를 다음과 같이 정의하자. :K_0=\begin{cases} \mathbb F_p&p;=\operatorname{char}K>0\\\ \mathbb Q&\operatorname{char}K=0 \end{cases} 여기서 \mathbb F_p는 크기 p의 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다. :K_0\subseteq K\subseteq K^{\operatorname{sep\subseteq\bar K \bar K/K는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.
## 유리 함수 · 형식적 로랑 급수
임의의 체 K에 대하여, 유리 함수체 K(x)=\operatorname{Frac}K[x] 및 형식적 로랑 급수체 K((x))=\operatorname{Frac}Kx를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다. :K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x)) 이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다. :[K(x):K]=\aleph_0 :\operatorname{trdeg}_KK(x)=1 :[K((x)):K]=2^{\aleph_0}
## 유리수 · 실수 · 복소수
유리수체 \mathbb Q, 실수체 \mathbb R, 복소수체 \mathbb C는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다. :\mathbb Q\subsetneq\mathbb R\subsetneq\mathbb C 이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다. :[\mathbb R:\mathbb Q]=2^{\aleph_0} :\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb R=2^{\aleph_0} :[\mathbb C:\mathbb R]=2 :\operatorname{trdeg}_{\mathbb R}\mathbb C=0 체의 확대 \mathbb C/\mathbb R에서의 체 노름은 다음과 같다. :\operatorname N_{\mathbb C/\mathbb R}\colon x+iy\mapsto x^2+y^2=|x+iy|^2 이다.
## 유리수체의 확대
유리수체의 유한 확대는 **수체**라고 하며, \mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q나 \mathbb Q(\sqrt{-1})/\mathbb Q 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다. 원주율 \pi 및 자연로그의 밑 e는 초월수이므로, \mathbb Q[\pi]/\mathbb Q와 \mathbb Q(e)/\mathbb Q는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 \\{\pi,e\\}가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, \mathbb Q(\pi,e)/\mathbb Q는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다. :[\mathbb Q(\pi):\mathbb Q)]=[\mathbb Q(e):\mathbb Q]=[\mathbb Q(\pi,e):\mathbb Q]=\aleph_0 :\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(\pi)=\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(e)=1 :\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(\pi,e)\in\\{1,2\\} 이차 수체 \mathbb Q[\sqrt n]/\mathbb Q에서의 체 노름은 다음과 같다. :\operatorname N_{\mathbb Q[\sqrt n]/\mathbb Q}\colon a+\sqrt nb\mapsto(a+\sqrt nb)(a-\sqrt nb)=a^2-nb^2 이다.
## *p*진수체
p진수 소수 p가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 \mathbb Q_p를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다. :\mathbb Q\subsetneq\mathbb Q_p\subsetneq\bar{\mathbb Q}_p\subsetneq\mathbb C_p 여기서 \mathbb Q_p는 p진수체이며, \bar{\mathbb Q}_p는 그 대수적 폐포이며, \mathbb C_p는 그 완비화이다. \mathbb C_p는 복소수체 \mathbb C와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다. :[\mathbb Q_p:\mathbb Q]=2^{\aleph_0}
## 유한체
유한체 소수 p가 주어졌을 때, 표수 p의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다. :\mathbb F_p\subsetneq\mathbb F_{p^2}\subsetneq\cdots\subsetneq\mathbb F_{p^n}\subsetneq\cdots\bar{\mathbb F}_p=\varinjlim^{n\to\infty}\mathbb F_{p^n} 여기서 \bar{\mathbb F}_p는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다. :[\mathbb F_{p^{n+1:\mathbb F^p]=p :[\bar{\mathbb F}_p:\mathbb F_{p^n}]=\aleph_0
## 대수다양체의 유리 함수체
대수적으로 닫힌 체 K 위의 대수다양체 X가 주어졌을 때, X 위의 유리 함수체 :L=\Gamma(X,\mathcal K_X) 는 K의 확대이다. 이 경우, X의 쌍유리 동치류는 확대 L/K로부터 완전히 결정된다. 특히, X의 크룰 차원은 L/K의 초월 차수와 같다. :\dim X=\operatorname{trdeg}_KL 이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다. n차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 K(x_1,\dots,x_n)이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자. :y^2=p(x) 여기서 p(x)\in K[x]는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 x 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, x 위의 올은 \pm\sqrt{p(x)}이다. 2\lceil(\deg p)/2\rceil개의 분기점들은 p의 근 및 (만약 2\nmid\deg p인 경우) 무한대 \widehat\infty에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대 :K(x,\sqrt{p(x)})/K 로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 K(x,\sqrt{p(x)})/K(x)에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다. :\mathbb C(\rho,\sqrt{4\wp^3+g_2\wp+g_3}\rho') 이는 바이어슈트라스 타원 함수가 \wp'^2=4\wp^3+g_2\wp+g_3를 만족시키기 때문이다.