누적 분포 함수

정규 분포의 누적분포함수 확률론에서 **누적분포함수**(累積分布函數, cumulative distribution function, 약자 **cdf**)는 주어진 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수이다.
# 정의
확률 공간 (\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr}) 위의 실숫값 확률 변수 X\colon\Omega\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))의 **(우연속) 누적분포함수** F_X\colon\mathbb R\to\mathbb R는 다음과 같다. :F_X(x)=\operatorname{Pr}(X\in(-\infty,x])\qquad\forall x\in\mathbb R 보다 일반적으로, 확률 공간 (\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr}) 위의 실숫값 확률 벡터 X=(X_1,\dots,X_n)\colon\Omega\to(\mathbb R^n,\mathcal B(\mathbb R^n))의 **(우연속) 누적분포함수** F_X\colon\mathbb R^n\to\mathbb R는 다음과 같다. :F_X(x_1,\dots,x_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in(-\infty,x_1],\dots,X_n\in(-\infty,x_n])\qquad\forall(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n 위 정의에 등장하는 반닫힌구간들을 열린구간으로 대체하면 **좌연속 누적분포함수**의 정의를 얻는다.
# 성질

## 함수로서의 성질
임의의 함수 F\colon\mathbb R\to\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * F는 어떤 확률 변수의 누적분포함수이다. * 다음 조건들을 만족시킨다. ** (증가 함수) 만약 x,y\in\mathbb R이며 x\le y라면, F(x)\le F(y) ** (우연속 함수) 임의의 x\in\mathbb R에 대하여, F(x^+)=F(x) ** F(-\infty)=0 ** F(\infty)=1 여기서 F(x^+)는 우극한이며, F(-\infty)와 F(\infty)는 음과 양의 무한대에서의 극한이다. 보다 일반적으로, 임의의 함수 F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * F는 어떤 확률 벡터의 누적분포함수이다. * 다음 조건들을 만족시킨다. ** 만약 x,y\in\mathbb R^n이며 x_i\le y_i\forall i\in\\{1,\dots,n\\}이라면, \textstyle\sum_{t\in\\{x_1,y_1\\}\times\cdots\times\\{x_n,y_n\\(-1)^{|\\{i\colon t_i=x_i\\}|}F(t)\ge 0. (이 조건과 세 번째 조건은 F가 각 변수에 대하여 증가 함수임을 함의한다.) ** (우연속 함수) 임의의 x\in\mathbb R^n에 대하여, F(x^+)=F(x) ** 임의의 i\in\\{1,\dots,n\\} 및 x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n\in\mathbb R에 대하여, F(x_1,\dots,x_{i-1},-\infty,x_{i+1},\dots,x_n)=0 ** F(\infty,\dots,\infty)=1 여기서 :F(x^+)=\lim_{y_1\to x_1^+,\dots,y_n\to x_n^+}F(y) :F(x_1,\dots,x_{i-1},-\infty,x_{i+1},\dots,x_n)=\lim_{x_i\to-\infty}F(x) :F(\infty,\dots,\infty)=\lim_{x_1\to\infty,\dots,x_n\to\infty}F(x) 이다.
## 확률 분포와의 관계
확률 변수 또는 확률 벡터의 누적분포함수는 그 확률 분포를 유일하게 결정한다. 이는 누적분포함수에 대한 르베그-스틸티어스 측도와 일치한다. 그러나 누적분포함수는 확률 변수 자체를 유일하게 결정하지는 않는다. 확률 변수 X가 구간 (a,b]에 속할 확률과 특정 실수 x\in\mathbb R를 취할 확률은 누적분포함수 F_X를 통해 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\operatorname{Pr}(X\in(a,b])=F_X(b)-F_X(a) :\operatorname{Pr}(X=x)=F_X(x)-F_X(x^-) 보다 일반적으로, 확률 벡터 X=(X_1,\dots,X_n)가 (a_1,b_1]\times\cdots\times(a_n,b_n]에 속할 확률과 특정 값 x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n을 취할 확률은 각각 다음과 같다. :\operatorname{Pr}(X_1\in(a_1,b_1],\dots,X_n\in(a_n,b_n])=\sum_{t\in\\{a_1,b_1\\}\times\cdots\times\\{a_n,b_n\\(-1)^{|\\{i\colon t_i=a_i\\}|}F_X(t) :\operatorname{Pr}(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{t\in\\{x_1-\epsilon,x_1\\}\times\cdots\times\\{x_n-\epsilon,x_n\\(-1)^{|\\{i\colon t_i=x_i-\epsilon\\}|}F_X(t)
## 이산성·연속성·특이성과의 관계
이산 확률 분포, 연속 확률 분포, 이산적인 부분과 연속적인 부분이 모두 존재하는 분포에 대한 각각의 누적분포함수 확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * X는 이산 확률 변수이다. (즉, \operatorname{Pr}(X\in A)=1인 가산 집합 A\in\mathcal B(\mathbb R)이 존재한다.) * \textstyle\sum_{x\in\mathbb R}\left(F_X(x)-\lim_{y\to x^-}F_X(y)\right)=1 특히, 계단 함수를 누적분포함수로 하는 확률 변수는 이산 확률 변수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * X는 연속 확률 변수이다. (즉, 임의의 x\in\mathbb R에 대하여, \operatorname{Pr}(X=x)=0이다.) * F_X는 연속 함수이다. 확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * X는 절대 연속 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 \operatorname{Pr}(X\in\bullet)는 르베그 측도에 대한 절대 연속 측도이다. 또는, X는 확률 밀도 함수를 갖는다.) * F_X는 임의의 닫힌구간에서 절대 연속 함수이다. 확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * X는 특이 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 \operatorname{Pr}(X\in\bullet)와 르베그 측도는 서로 특이 측도이다.) * 르베그 거의 어디서나 F_X'=0이다. 임의의 누적분포함수 F는 이산 누적분포함수 F_{\operatorname{disc와 절대 연속 누적분포함수 F_{\operatorname{a.c., 특이 연속 누적분포함수 F_{\operatorname{s.c.의 음이 아닌 계수의 아핀 결합으로 나타낼 수 있다. :F=cF_{\operatorname{disc+c'F_{\operatorname{a.c.+c*F_{\operatorname{s.c. :c,c',c*\ge 0 :c+c'+c''=1
## 독립성과의 관계
같은 확률 공간 위의 확률 변수 또는 확률 벡터들의 집합 \mathcal X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \mathcal X는 서로 독립이다. * 임의의 서로 다른 X_1,\dots,X_n\in\mathcal X 및 임의의 x_i\in\operatorname{dom}F_{X_i} (i=1,\dots,n)에 대하여, F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=F_{X_1}(x_1)\cdots F_{X_n}(x_n) 증명 첫 번째 조건은 두 번째 조건을 자명하게 함의한다. 이제 두 번째 조건을 가정하고 첫 번째 조건을 증명하자. 유한 개의 확률 변수 :\mathcal X=\\{X_1,\dots,X_n\\} :X_i\colon(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) 의 경우의 증명은 다음과 같다. 일반적인 경우는 이와 유사하게 증명할 수 있다. :\mathcal C=\\{(-\infty,x]\colon x\in\mathbb R\\} 라고 하자. 그렇다면 \mathcal C는 π계를 이루며, \mathcal B(\mathbb R)는 \mathcal C를 포함하는 최소의 시그마 대수이다. 다음과 같은 집합을 생각하자. :\mathcal L_n=\\{B_n\in\mathcal B(\mathbb R)|\forall B_1,\dots,B_{n-1}\in\mathcal C\colon\operatorname{Pr}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in B_1)\cdots\operatorname{Pr}(X_n\in B_n)\\} 그렇다면, 가정한 조건에 따라 \mathcal C\subseteq\mathcal L_n이다. 또한, \mathcal L_n은 λ계를 이룸을 보일 수 있다. 딘킨 π-λ 정리에 따라, \mathcal L_n=\mathcal B(\mathbb R)이다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자. :\mathcal L_{n-1}=\\{B_{n-1}\in\mathcal B(\mathbb R)|\forall B_1,\dots,B_{n-2}\in\mathcal C,B_n\in\mathcal B(\mathbb R)\colon\operatorname{Pr}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in B_1)\cdots\operatorname{Pr}(X_n\in B_n)\\} 그렇다면, \mathcal L_n=\mathcal B(\mathbb R)이므로 \mathcal C\subseteq\mathcal L_{n-1}이며, \mathcal L_{n-1}은 λ계를 이룬다. 따라서 \mathcal L_{n-1}=\mathcal B(\mathbb R)이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 임의의 B_1,\dots,B_n\in\mathcal B(\mathbb R)에 대하여, :\operatorname{Pr}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in B_1)\cdots\operatorname{Pr}(X_n\in B_n) 이라는 사실을 얻는다. 즉, \\{X_1,\dots,X_n\\}은 서로 독립이다. 증명 끝