부정적분

y'=x^2-x-1의 기울기장에 그려진 함수 f(x)=x^2-x-1의 세 가지 원함수 \textstyle F(x)=\frac{x^3}3-\frac{x^2}2-x+C. 적분 상수는 C=-4,0,4. 미적분학 미적분학에서 **부정적분**(不定積分, indefinite integral)은 어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산이다. 부정적분이 존재할 경우, 이는 항상 고정된 함수와 임의의 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 상수만큼의 차를 무시하면 부정적분은 미분 또는 도함수를 구하는 연산의 역연산이다.
# 정의
함수 f(x) (x\in I)가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 함수 F(x) (x\in I)가 존재한다면, 이를 f(x)의 **원함수**(原函數, antiderivative) 또는 **역도함수**(逆導函數)라고 한다. :F'(x)=f(x)\qquad\forall x\in I 함수 f(x) (x\in I)의 한 원함수 F(x)가 존재할 경우, f(x)의 모든 원함수는 정확히 다음과 같다. :\int f(x)\mathrm dx=F(x)+C 이를 f(x)의 **부정적분**이라고 한다. 여기서 C는 임의의 상수이며, 이를 **적분상수**라고 부른다. 부정적분이 항상 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선 임의의 상수 C에 대하여, (C)'=0이므로, (F(x)+C)'=f(x)이다. 즉, F(x)+C는 f(x)의 원함수이다. 또한 임의의 원함수 G(x)에 대하여, (G(x)-F(x))'=0이므로, 평균값 정리에 따라 G(x)-F(x)는 상수 함수이다. 따라서 G(x)는 G(x)=F(x)+C 꼴로 나타낼 수 있다. 위와 같은 꼴의 부정적분 공식은 정의역을 이루는 각각의 구간에서만 유효하다. 예를 들어, f(x)=1/x^2에 대한 다음과 같은 부정적분 공식이 성립하려면 두 구간 (0,\infty) 및 (-\infty,0) 가운데 하나를 선택하여야 한다.lccn=2010936598398-399 :\int\frac 1{x^2}\mathrm dx=-\frac 1x+C 전체 정의역 (-\infty,0)\cup(0,\infty)에서의 실제 부정적분은 다음과 같다.398-399 :\int\frac 1{x^2}\mathrm dx=\begin{cases} \displaystyle-\frac 1x+C&x;>0\\\ \displaystyle-\frac 1x+C'&x;1) :\int\frac{Bx+C}{x^2+px+q}\mathrm dx= \frac B2\ln(x^2+px+q)+\frac{2C-Bp}{\sqrt{4q-p^2\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2+C :\int\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx= -\frac B{2(n-1)(x^2+px+q)^{n-1+(C-Bp/2)\int\frac 1{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx\qquad(n>1) :\int\frac 1{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx= \frac 1{2(n-1)(q-p^2/4)}\left(\frac{x+p/2}{(x^2+px+q)^{n-1+(2n-3)\int\frac 1{(x^2+px+q)^{n-1\mathrm dx\right)\qquad(n>1) 부분 분수 분해의 각 항이 초등 함수이므로, 모든 유리 함수의 부정적분은 초등 함수이다.
## 삼각 유리 함수
삼각 유리 함수는 R(\sin x,\cos x) 꼴의 함수를 뜻한다. 여기서 R(u,v)는 2변수 유리 함수이다. 이에 대한 부정적분에 다음과 같은 치환 적분을 사용하자. :\tan\frac x2=t,\;x=2\arctan t,\;\mathrm dx=\frac 2{1+t^2}\mathrm dt 그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다. :\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac 2{1+t^2}\mathrm dt 만약 R(-u,v)=-R(u,v)라면, 이는 항상 R(u,v)=uR_1(u^2,v) 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 이 경우 다음과 같은 더 간편한 기법을 사용할 수 있다. :\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int\sin xR_1(\sin^2x,\cos x)\mathrm dx=-\int R_1(1-t^2,t)\mathrm dt\qquad(\cos x=t) 마찬가지로, 만약 R(u,-v)=-R(u,v)라면, 이는 R(u,v)=vR_1(u,v^2) 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다. :\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int\cos xR_1(\sin x,\cos^2x)\mathrm dx=\int R_1(t,1-t^2)\mathrm dt\qquad(\sin x=t) 만약 R(-u,-v)=R(u,v)라면, R(u,v)=R_1(u/v,v^2) 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다. :\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R_1(\tan x,\cos^2x)\mathrm dx=\int R_1\left(t,\frac 1{1+t^2}\right)\frac 1{1+t^2}\mathrm dt\qquad(\tan x=t) 사실 모든 유리 함수는 위와 같은 세 유리 함수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. :R(u,v)=\frac{R(u,v)-R(-u,v)}2+\frac{R(-u,v)-R(-u,-v)}2+\frac{R(-u,-v)+R(u,v)}2
## 무리 함수
무리 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 그러나 다음과 같은 꼴의 부정적분은 초등함수이다. :R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d\right) 여기서 R(u,v)는 2변수 유리 함수이며, m\in\mathbb Z^+는 양의 정수이며, a,b,c,d\in\mathbb R는 실수이다. 또한 ad-bc\ne 0을 만족시킨다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자. :\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d=t,\;x=\frac{dt^n-b}{a-ct^n},\;\mathrm dx=\frac{n(ad-bc)t^{n-1{(a-ct^n)^2}\mathrm dt 그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다. :\int R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d\right)\mathrm dx=\int R\left(\frac{dt^n-b}{a-ct^n},t\right)\frac{n(ad-bc)t^{n-1{(a-ct^n)^2}\mathrm dt 함수 (a+bz)^pz^q를 생각하자. 여기서 a,b\in\mathbb R는 실수이며, p,q\in\mathbb Q는 유리수이다. p,q,p+q 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수가 된다. p=r/s이며 q=r'/s'라고 하자. 여기서 r,s,r',s'\in\mathbb Z는 정수이다. 만약 p\in\mathbb Z일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 \sqrt[s']z뿐이므로, 치환 적분 \sqrt[s']z=t를 통해 구할 수 있다. 만약 q\in\mathbb Z일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 \sqrt[s]{a+bz}뿐이므로, 역시 치환 적분 \sqrt[s]{a+bz}=t를 통해 구할 수 있다. 만약 p+q\in\mathbb Z일 경우, 함수를 ((a+bz)/z)^pz^{p+q}와 같이 변형하였을 때 제곱근식은 \textstyle\sqrt[s]{(a+bz)/z}뿐이므로, 치환 적분 \textstyle\sqrt[s]{(a+bz)/z}=t를 통해 구할 수 있다. 보다 일반적으로, 함수 x^m(a+bx^n)^p를 생각하자. 여기서 a,b\in\mathbb R는 실수이며, m,n,p\in\mathbb Q는 유리수이다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자. :x^n=z,\;x=z^{1/n},\;\mathrm dx=\frac 1nz^{1/n-1}\mathrm dz 그러면 위와 같은 꼴의 함수의 부정적분으로 변한다. :\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx=\frac 1n\int (a+bz)^pz^{(m+1)/n-1}\mathrm dz 따라서 p,q=(m+1)/n-1,p+q 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수이다. 반대로 p,q,p+q가 정수가 아닐 경우 이 부정적분은 초등 함수로 나타낼 수 없음을 19세기 중엽에 파프누티 체비쇼프가 증명하였다.
## 초등 함수로 나타낼 수 없는 부정적분
초등 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부정적분들은 초등 함수가 아니다. * (오차 함수) \int e^{-x^2}\mathrm dx * (프레넬 함수) \int\sin x^2\mathrm dx * (삼각 적분 함수) \int\frac{\sin x}x\mathrm dx * (로그 적분 함수) \int\frac 1{\ln x}\mathrm dx * \int x^x\mathrm dx * \int\frac 1{\sqrt{1-x^4\mathrm dx