데데킨트 정역

대수 구조 가환대수학에서 **데데킨트 정역**(Dedekind整域, Dedekind domain) 또는 **데데킨트 환**(Dedekind環, Dedekind ring)은 아이디얼이 소아이디얼들의 곱으로 분해되는 정역이다. 이 때 분해는 추가 조건 없이도 유일하게 결정된다.
# 정의
R가 정역이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 **데데킨트 정역**이라고 한다. * 0이 아닌 모든 진 아이디얼이 소 아이디얼로 유일하게 인수 분해가 가능하다. 즉, 모든 아이디얼 \mathfrak a\ne\\{0\\},R에 대하여, ::\prod_{\mathfrak p\in F(\mathfrak a)}\mathfrak p=\mathfrak a :인 유한 중복집합 F(\mathfrak a)\subseteq\operatorname{Spec}R가 존재하며, 또한 이러한 중복집합은 유일하다. * R는 뇌터 환이며, 모든 극대 아이디얼에서의 국소화는 주 아이디얼 정역이다. * R는 뇌터 환이며, 모든 극대 아이디얼에서의 국소화는 체이거나 이산 값매김환이다. * R는 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이며, 크룰 차원이 0 또는 1이다. * 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역원이다. * 뇌터 환이며, 프뤼퍼 정역이다. * 크룰 정역이며, 크룰 차원이 0 또는 1이다. * 유전환이다. 마지막 조건은 대수기하학적으로 비특이 아핀 대수 곡선을 일반화한 것으로 볼 수 있다.
## 프뤼퍼 정역
정역 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 **프뤼퍼 정역**(Prüfer domain)이라고 한다. * R의 영 아이디얼이 아닌 모든 유한 생성 아이디얼은 (분수 아이디얼로서) 가역원이다. * 모든 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, R_{\mathfrak p}는 값매김환이다. * 모든 극대 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, R_{\mathfrak m}은 값매김환이다. * R의 모든 유한 생성 아이디얼은 R-사영 가군이다. * R의 모든 유한 생성 아이디얼은 R-평탄 가군이다. * R의 평탄 가군의 모든 부분 가군은 평탄 가군이다. * 반유전환이다.
# 성질
다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체 또한, 모든 데데킨트 정역은 뇌터 가환환이다. R가 데데킨트 정역이고, \operatorname{Frac}(R)가 그 분수체이며, L/\operatorname{Frak}(R)가 그 유한 차원 확대라 하자. **크룰-아키즈키 정리**에 따르면, R의 L 안에서의 정수적 폐포는 데데킨트 정역이다.언어=en45, Proposition 8.1 아이디얼 유군은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 데데킨트 정역 R의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다. * R는 유일 인수 분해 정역이다. * R는 주 아이디얼 정역이다. * R의 아이디얼 유군이 자명군이다. * R의 유수가 1이다. 데데킨트 정역에서는 분수 아이디얼에 대해서도 유일 인수 분해가 성립한다. 즉, 임의의 분수 아이디얼은 R의 소 아이디얼들과 그 역 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.
## 데데킨트 정역에서의 아이디얼
데데킨트 정역에서 모든 0이 아닌 아이디얼은 유일한 소인수 분해를 가지므로, 아이디얼의 포함 관계는 아이디얼의 인자 관계와 일치한다. 즉, 임의의 두 아이디얼 \mathfrak a,\mathfrak b에 대하여, 만약 \mathfrak b\ne0이라면 다음이 성립한다. :\mathfrak a\subseteq\mathfrak b\iff\mathfrak b\mid\mathfrak a 임의의 가환환에서 아이디얼의 인자 관계는 포함 관계를 함의하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 특히, 체가 아닌 데데킨트 정역에서, 0이 아닌 모든 소 아이디얼의 개념은 극대 아이디얼의 개념과 일치한다. 이는 소 아이디얼은 인자 관계에 대한 극대 원소인데, 반대로 극대 아이디얼은 포함 관계에 대한 극대 원소이기 때문이다. 이는 크룰 차원이 1이라는 것과 같다. (체에서는 물론 (0)이 소 아이디얼이자 극대 아이디얼이다.)
# 예
* 모든 주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이다. ** 정수환 \mathbb Z나, 체 K에 대한 1변수 다항식환 K[x]는 주 아이디얼 정역이므로 데데킨트 정역이다. ** 모든 체는 데데킨트 정역이다. 체에서는 0이 아닌 진 아이디얼이 없으므로, 이 경우는 자명한 경우이다. * 모든 대수적 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이다. ** 예를 들어, 허수 이차 수체의 정수환 \mathbb Z[\sqrt{-5}]은 데데킨트 정역이지만, 6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})이므로 유일 인수 분해 정역이 아니다.
# 역사
대수적 수체의 대수적 정수환에서는 일반적으로 산술의 기본정리가 성립하지 않는다. 즉, 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이 사실은 1844년에 에른스트 쿠머가 특정 원분체에 대하여 발견하였다. 1847년에 에른스트 쿠머는 대신 대수적 정수환의 오늘날 우리가 "아이디얼"이라고 부르는 대상에 대해서는 유일 인수 분해가 성립함을 보였다.언어=de 정수환 \mathbb Z는 주 아이디얼 정역이므로, 자연수 n과 이에 대응하는 주 아이디얼 (n)의 구분이 없다. 그러나 일반적인 대수적 정수환 \mathcal O_K에서는 주 아이디얼이 아닌 아이디얼이 존재하며, 따라서 기존의 수(=주 아이디얼)로 구성되었던 수 체계에 모든 아이디얼들을 추가하면 다시 유일 소인수 분해가 성립한다. 이러한 관점에서 쿠머는 이러한 대상들을 수의 일반화로 간주하였고, 이데알찰이라고 이름붙였다. 이는 이데알(이상적인) + 찰(수)의 합성어이다. 오늘날 사용되는 분수 아이디얼의 개념도 이와 같이 아이디얼을 수의 일반화로 간주한 관점에서 유래하였다. 이후 리하르트 데데킨트는 쿠머의 "이데알찰"을 사실 대수적 정수환의 어떤 부분 집합으로 나타낼 수 있다는 것을 보였다.언어=fr 이는 오늘날의 관점과 같다. 이 때문에 데데킨트는 쿠머의 "이데일찰"을, "찰"(수)을 제거한 이데알로 불렀다. 훗날 대수적 정수환의 개념이 일반적인 추상적 (가환)환으로 일반화되면서, 모든 가환환, 심지어 모든 정역에서도 아이디얼들의 유일 소인수 분해가 성립하지 않을 수 있다는 것이 밝혀졌다. 이에 따라, 쿠머와 데데킨트가 대수적 정수환에서 증명한 바와 같이, 아이디얼의 유일 소인수 분해가 존재하는 정역은 데데킨트 정역이라고 불리게 되었다.