부분 적분

미적분학 미적분학에서 **부분 적분**(部分積分, integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다.lccn=2013949101lccn=2013946572doi=10.1017/9781108291507isbn=978-7-301-15685-8isbn=978-7-301-15876-0
# 정의
만약 I\subseteq\mathbb R가 구간이며 u,v\colon I\to\mathbb R가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수 u',v'가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.292 :\int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx 이를 u'(x)\mathrm dx=\mathrm du 및 v'(x)\mathrm dx=\mathrm dv를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다. :\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du 만약 u,v\colon[a,b]\to\mathbb R가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.292, Theorem 7.1 :\begin{align}\int_a^bu(x)v'(x)\mathrm dx &=\bigg[u(x)v(x)\bigg]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx\\\ &=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx \end{align}
## 증명
곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다. :uv'=(uv)'-u'v 양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.79 :\int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx 또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.292 :\int_a^bu(x)v'(x)\mathrm dx=\bigg[u(x)v(x)\bigg]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx
## LIATE 법칙 (또는 로.다.삼.지 법칙)
이 명제에서는 주어진 적분에서 u와 \mathrm dv를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을 u로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을 v'으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를 u로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙(LIATE rule)이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 '왼쪽 방향'으로 갈수록 미분에 용이하며, '오른쪽 방향'으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다.jstor=2975556 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.
## 따름정리
만약 I\subseteq\mathbb R가 구간이며 u,v\colon I\to\mathbb R가 n번 연속 미분 가능 함수라면 (n계 도함수 u^{(n)},v^{(n)}이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.101, Exercise 46 :\int u(x)v^{(n)}(x)\mathrm dx=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ku^{(k)}(x)v^{(n-1-k)}(x)+(-1)^n\int u^{(n)}(x)v(x)\mathrm dx 이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.
# 예

## 첫째 예
부정적분 :\int x^2\ln x\mathrm dx 을 구하자. u=\ln x이며 \mathrm dv=x^2\mathrm dx라고 하자. 그러면 \mathrm du=(\mathrm dx)/x이며 (상수차를 무시하면) v=x^3/3이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.516, Example 2 :{| |\int x^2\ln x\mathrm dx |=\frac{x^3}3\ln x-\frac 13\int x^2\mathrm dx |- | |=\frac{x^3}3\ln x-\frac 19x^3+C |}
## 둘째 예
부정적분 :\int\arcsin x\mathrm dx 를 구하자. u=\arcsin x이며 \mathrm dv=\mathrm dx라고 하자. 그러면 \mathrm du=(\mathrm dx)/\sqrt{1-x^2}이며 v=x이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.87, Example 7.10 :{| |\int\arcsin x\mathrm dx |=x\arcsin x-\int\frac x{\sqrt{1-x^2\mathrm dx |- | |=x\arcsin x+\frac 12\int\frac{\mathrm d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2 |- | |=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C |}
## 셋째 예
부정적분 :\int x^2\sin x\mathrm dx 을 구하자. u=x^2이며 \mathrm dv=\sin x\mathrm dx라고 하자. 그러면 \mathrm du=2x이며 v=-\cos x이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다. :\int x^2\sin x\mathrm dx=-x^2\cos x+2\int x\cos x\mathrm dx 우변의 마지막 항의 적분에서 u=x, \mathrm dv=\cos x\mathrm dx, \mathrm du=\mathrm dx, v=\sin x라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다. :{| |\int x\cos x\mathrm dx |=x\sin x-\int \sin x\mathrm dx |- | |=x\sin x+\cos x+C |} 따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.518, Example 4 :\int x^2\sin x\mathrm dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C
## 넷째 예
부정적분 :\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx 을 구하자. u=\sqrt{x^2-1}이며 \mathrm dv=\mathrm dx라고 하자. 그러면 \mathrm du=(x/\sqrt{x^2-1})\mathrm dx이며 v=x이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다. :{| |\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx |=x\sqrt{x^2-1}-\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1\mathrm dx |- | |=x\sqrt{x^2-1}-\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx-\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-1 |- | |=x\sqrt{x^2-1}-\ln|x+\sqrt{x^2-1}|-\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx |} 따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.256, 예6.2.21 :\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx=\frac 12x\sqrt{x^2-1}-\frac 12\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C
## 다섯째 예
다음과 같은 두 적분을 구하자. :\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx :\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx 이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다. :{| |\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx |=\frac 1b\int e^{ax}\mathrm d(\sin bx) |- | |=\frac 1be^{ax}\sin bx-\frac ab\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx |- |} :{| |\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx |=-\frac 1b\int e^{ax}\mathrm d(\cos bx) |- | |=-\frac 1be^{ax}\cos bx+\frac ab\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx |} 즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다. :b\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx+a\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx=e^{ax}\sin bx :a\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx-b\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx=e^{ax}\cos bx 따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.256, 예6.2.22 :\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx=\frac 1{a^2+b^2}e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C :\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx=\frac 1{a^2+b^2}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C
## 여섯째 예
다음과 같은 적분을 구하자. :\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+a^2)^2}\qquad(a>0) 다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자). :{| |\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2} |=\frac x{x^2+a^2}+2\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^2}\mathrm dx |- | |=\frac x{x^2+a^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}-2a^2\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+a^2)^2} |} 따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.258, 예6.2.26 :{| |\int\frac{\mathrm dfx}{(x^2+a^2)^2} |=\frac 1{2a^2}\frac x{x^2+a^2}+\frac 1{2a^2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2} |- | |=\frac 1{2a^2}\frac x{x^2+a^2}+\frac 1{2a^3}\arctan\frac xa+C |}