역사상

범주론에서 **왼쪽 역사상**(-逆寫像, left inverse morphism)과 **오른쪽 역사상**(-逆寫像, right inverse morphism)은 각각 왼쪽 또는 오른쪽에서 합성하였을 때 항등 사상이 되는 사상이다. 왼쪽 역사상 및 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 각각 **분할 단사 사상**(分割單射寫像, split monomorphism)과 **분할 전사 사상**(分割全射寫像, split epimorphism)이라고 한다.
# 정의
범주 \mathcal C의 두 사상 :f\colon X\to Y :g\colon Y\to X 이 주어졌다고 하자. 만약 g\circ f=\operatorname{id}_X가 성립할 경우, 이를 다음과 같이 표현한다. * g는 f의 **왼쪽 역사상**(-逆寫像, left inverse morphism) 또는 **수축**(收縮, retraction)이다. * f는 g의 **오른쪽 역사상**(-逆寫像, right inverse morphism) 또는 **단면**(斷面, section)이다. * 만약 추가로 f\circ g=\operatorname{id}_Y가 성립한다면 (즉, g가 f의 왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상이라면), g를 f의 **양쪽 역사상**(兩-逆寫像,two-sided inverse morphism)이라고 한다. 여기서 "수축"/"단면"이라는 이름은 위상수학에서 유래하였다. 즉, 오른쪽 역사상은 위상 공간의 범주에서 올다발의 단면을 일반화한 것이다. 왼쪽 역사상을 갖는 사상을 **분할 단사 사상**(分割單射寫像, split monomorphism)이라고 한다. 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 **분할 전사 사상**(分割全射寫像, split epimorphism)이라고 한다. 양쪽 역사상을 갖는 사상을 **동형 사상**이라고 한다. 어떤 범주에서 모든 단사 사상이 분할 단사 사상이라면, 이 범주에서 **선택 공리**가 성립한다고 한다.
# 성질

## 함의 관계
이름과 같이, 모든 분할 단사 사상은 항상 단사 사상이며, 모든 분할 전사 사상은 항상 전사 사상이다.

**증명:**

f\colon X\to Y, g\colon Y\to X가 g\circ f=\operatorname{id}_X를 만족시킨다고 하자. 사상 합성의 결합 법칙에 따라, 임의의 두 사상 h,h'\colon Z\to X에 대하여, 만약 f\circ h=f\circ h'이라면 h=g\circ f\circ h=g\circ f\circ h'=h'이다. 따라서 분할 단사 사상 f는 단사 사상이다. 마찬가지로, 사상 합성의 결합 법칙에 따라, 임의의 두 사상 h,h'\colon Y\to Z에 대하여, 만약 h\circ g=h'\circ g라면 h=h\circ g\circ f=h'\circ g\circ f=h'이다. 따라서 분할 전사 사상 f는 전사 사상이다.

분할 단사 사상과 분할 전사 사상은 서로 쌍대 개념이다. 즉, 범주 \mathcal C에서의 분할 단사 사상은 그 반대 범주 \mathcal C^{\operatorname{op에서의 분할 전사 사상이며, 그 역도 성립한다. 임의의 범주의 사상에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다. * 단사 사상이며, 분할 전사 사상이다. * 전사 사상이며, 분할 단사 사상이다. * 동형 사상이다. (그러나 단사 사상이자 전사 사상인 사상이 동형 사상일 필요는 없다.)

**증명:**

두 사상 f\colon X\to Y, g\colon Y\to X가 주어졌으며, g\circ f=\operatorname{id}_X라고 하자. 그렇다면, f\circ g\circ f=\operatorname{id}_Y\circ f이며 g\circ f\circ g=g\circ\operatorname{id}_Y이다. 만약 f가 전사 사상이라고 하면, (f\circ g)\circ f=\operatorname{id}_Y\circ f이므로 f\circ g=\operatorname{id}_Y이며, 따라서 f 및 g는 서로 양쪽 역사상이다. 마찬가지로, 만약 g가 단사 사상이라고 하면, g\circ(f\circ g)=g\circ\operatorname{id}_Y이므로 f\circ g=\operatorname{id}_Y이며, 따라서 f 및 g는 서로 양쪽 역사상이다.

## 유일성
주어진 사상의 왼쪽 역사상 또는 오른쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 그러나 양쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 항상 유일하다.
## 단사·사영 대상과의 관계
단사 대상 임의의 범주에서, 정의역이 단사 대상인 단사 사상은 분할 단사 사상이다. 마찬가지로, 임의의 범주에서, 공역이 사영 대상인 전사 사상은 분할 전사 사상이다.
# 예

## 집합
집합과 함수의 토포스에서는 다음이 성립한다. * 분할 단사 사상은 공역이 공집합이거나 정의역이 공집합이 아닌 단사 함수이다. * 전사 사상과 분할 전사 사상의 개념이 일치한다. (이는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리와 동치이다.)
## 군
반직접곱 군과 군 준동형의 범주 \operatorname{Grp}에서, 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이며, 전사 사상은 전사 함수인 군 준동형이다. 이 범주에서, 분할 단사·전사 사상의 개념은 반직접곱과 깊은 관련을 갖는다. 구체적으로, 단사 군 준동형 i\colon H\hookrightarrow G가 분할 단사 사상일 필요충분조건은 다음과 같다. * H는 i에 의하여 G의 부분군을 이루며, G\cong N\rtimes H인 정규 부분군 N\vartriangleleft G이 존재한다. (여기서 \rtimes는 반직접곱을 뜻한다.) 마찬가지로, 전사 군 준동형 q\colon G\twoheadrightarrow Q가 분할 전사 사상이 될 필요충분조건은 다음과 같다. * G\cong\ker q\rtimes Q이다. (여기서 \rtimes는 반직접곱을 뜻한다.)
## 위상 공간
위상 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{Top}에서는 분할 단사 사상이 아닌 단사 사상이 존재하며, 분할 전사 사상이 아닌 전사 사상이 존재한다. 구체적으로, \operatorname{Top}에서, 단사 사상은 단사 함수인 연속 함수이며, 전사 사상은 전사 함수인 연속 함수이며, 동형 사상은 위상 동형이다. 전단사 함수이자 연속 함수이지만, 그 역함수가 연속 함수가 아니어서 위상 동형이 아닌 함수가 존재한다. 이러한 함수는 단사 사상이자 전사 사상이지만, 분할 단사 사상이 아니며 분할 전사 사상도 아니다.
## 원순서 집합
원순서 집합 (X,\lesssim)을 작은 범주로 간주하였을 때, 모든 분할 단사 사상 및 분할 전사 사상은 동형 사상이다.
## 아벨 범주
분할 완전열 아벨 범주에서 사상 f\colon A\to B이 단사 사상인 것은 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하는 것과 동치이다. :0\to A\overset f\to B\to\operatorname{coker}f\to 0 (여기서 0은 아벨 범주의 영 대상이며, \operatorname{coker}는 여핵을 뜻한다.) 이 경우, f가 분할 단사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 분할 완전열인 것과 동치이다. 마찬가지로, 아벨 범주에서 사상 g\colon B\to C이 전사 사상인 것은 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하는 것과 동치이다. :0\to\ker g\to B\overset g\to C\to 0 (여기서 0은 아벨 범주의 영 대상이며, \ker는 핵을 뜻한다.) 이 경우, g가 분할 전사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 분할 완전열인 것과 동치이다.