프로베니우스 방법

**프로베니우스 방법**(Frobenius方法, Frobenius method)은 특정한 종류의 선형 상미분 방정식을 거듭제곱 급수 전개로 푸는 방법이다.
# 정의
정칙 함수 p_1(z),\dots,p_k(z)가 z=0에서 특이점을 갖지 않는다고 하자. 미지의 정칙 함수 f(z)에 대한 *k*차 선형 상미분 방정식 :f^{(k)}(z)+z^{-1}p_{k-1}(z)f^{(k-1)}(z)+\cdots+z^{1-n}p_1(z)f'(z)+z^{-n}p_0f(z)=0 은 z=0에서 정칙 특이점을 갖는다. 그렇다면, **프로베니우스 방법**은 f를 다음과 같은 급수를 가설 풀이로 대입하여 미분 방정식을 푸는 방법이다. :f(z)=z^r+a_1z^{r+1}+a_2z^{r+2}+\cdots 이 경우, 미지의 최저 차수 r는 다음과 같이 구한다. 미분 방정식은 z\to0 근처에서 다음과 같다. :0=\left(r(r-1)\cdots(r-k+1)+p_{k-1}(0)r(r-1)\cdots(r-k+2)+\cdots+p_1(0)r+p_0(0)\right)z^{r-k}+\mathcal O(z^{r-k+1}) 따라서, :0=r(r-1)\cdots(r-k+1)+p_{k-1}(0)r(r-1)\cdots(r-k+2)+\cdots+p_1(0)r+p_0(0) 임을 알 수 있다. r에 대한 이 *n*차 다항식을 **결정 다항식**(indicial polynomial)이라고 하며, r는 결정 다항식의 근이다. * 만약 결정 다항식의 근들의 차가 정수가 아니라면, 모든 해들은 위와 같은 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다. * 만약 결정 다항식의 근들 가운데 일부가 일치하거나, 아니면 근들의 차 가운데 일부가 정수라면, 일반적으로 해는 다음과 같이 로그 항이 포함될 수 있다. ::f(z)=z^r\sum_{m=1}^{k-1}\sum_{n=0}^\infty a_{m,n}(\ln z)^mz^n :다만, 항상 순수하게 거듭제곱 급수 꼴인 해가 적어도 하나는 존재한다 (**푹스 정리** Fuchs’ theorem).
## 근이 겹치는 경우
결정 다항식의 근들이 \\{r_1,\dots,\\}이고, \lambda_i의 중복도가 m_i라고 하자. 또한, i\ne j인 경우 r_i-r_j가 항상 정수가 아니라고 하자. 그렇다면 프로베니우스 방법에 의하여, 각 r^i에 대응되는 해들은 다음과 같은 꼴이다. :f_{i,0}=z^{r_i}(\cdots) :f_{i,1}=f_{i,0}(z)\frac{\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_i)}+z^{r_i}(\cdots) :f_{i,2}=f_{i,1}(z)\frac{\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_i)}+z^{r_i}(\cdots) :\vdots :f_{i,m_i-1}=f_{i,m_i-2}(z)\frac{\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_i)}+z^{r_i}(\cdots) 여기서 (\cdots)는 z=0에서 정칙 함수를 나타낸다. 이 경우, z=0을 반시계방향으로 한 번 돈 모노드로미는 다음과 같이 조르당 표준형이 된다. :\begin{pmatrix}f_{i,m_i-1}\\\f_{i,m_i-2}\\\\\vdots\\\f_{i,1}\\\f_{i,0}\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \exp(2\pi ir_i)&1\\\ &\exp(2\pi ir_i)&1\\\ &&\ddots&\ddots\\\ &&&\exp(2\pi ir_i)&1\\\ &&&&\exp(2\pi ir_i)\\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_{i,m_i-1}\\\f_{i,m_i-2}\\\\\vdots\\\f_{i,1}\\\f_{i,0}\end{pmatrix}
# 낮은 차수 선형 방정식

## 1차 선형 방정식
1차 선형 방정식의 경우 결정 방정식은 1차 방정식이므로 쉽게 풀 수 있다. 미분 방정식 :f'(z)+p(z)f(z)/z=0 의 경우, 결정 다항식은 :r=-p(0) 이며, 이에 따라 해는 :f(z)=z^{-p(0)}(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots) 의 꼴이다. 물론, 이 경우는 굳이 프로베니우스 방법을 쓰지 않아도 바로 :f(z)=\exp\left(C-\int_0^z\frac{p(z')dz}{z'}\right) =\exp\left(C-p(0)\ln z+p'(0)z+p''(0)z^2/4+\cdots\right) 로 풀 수 있다. 이 경우, 반시계방향 회전 z\to\exp(i\theta)z에 대한 모노드로미는 프로베니우스 방법과 마찬가지로 :f(z)\to\exp(-2\pi ip(0))f(z) 가 됨을 알 수 있다.
## 2차 선형 방정식
2차 선형 방정식의 경우, 결정 다항식은 2차 방정식이므로, 쉽게 풀 수 있다. :r=\frac12\left(1-p_1(0)\pm\sqrt{(p_1(0)-1)^2-4p_2(0)}\right) 이 경우 두 근을 r_1,r_2라고 하자. 이 경우 다음과 같은 경우가 가능하다. * 만약 두 근이 서로 겹치지 않고, 또한 r_1-r_2가 정수가 아니라면 ::f_1(z)=z^{r_1}\left(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots\right) ::f_2(z)=z^{r_2}\left(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots\right) :와 같은 꼴의 두 해가 존재한다. 이 경우, z\to\exp(i\theta)z와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다. ::\begin{pmatrix}f_1\\\f_2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_1)&0\\\0&\exp(2\pi ir_2)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_1\\\f_2\end{pmatrix} * 만약 두 근이 서로 겹친다면 (r_1=r_2=r) 두 근은 다음과 같은 꼴이다. ::f_1(z)=z^r\left(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots\right) ::f_2(z)=f_1(z)\ln{z}+z^r\left(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots\right) :이 경우, z\to\exp(i\theta)z와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다. ::\begin{pmatrix}f_1\\\f_2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir)&0\\\2\pi i\exp(2\pi ir)&\exp(2\pi ir)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_1\\\f_2\end{pmatrix} * 만약 두 근이 서로 겹치지 않지만 그 차 r_1-r_2=n\in\mathbb Z^+가 양의 정수라면 두 근은 다음과 같은 꼴이다. ::f_1(z)=z^{r_1}(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots) ::f_2(z)=Cf_1(z)\ln z+z^{r_2}\left(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots\right) :이 경우 C=0 또는 C=1이다. 이 경우, z\to\exp(i\theta)z와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다. ::\begin{pmatrix}f_1\\\f_2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_1)&0\\\2\pi iC\exp(2\pi ir_1)&\exp(2\pi ir_1)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_1\\\f_2\end{pmatrix}
# 예
베셀 방정식 :f''+z^{-1}f'+(1-\alpha^2/z^2)f=0 을 생각해 보자. 이 경우, 결정 다항식은 :r(r-1)+r-\alpha^2 이다. 따라서 :r=\pm\alpha 가 된다. 즉, \alpha\not\in\mathbb Z라면 해는 z=0 근처에서 :f(z)\propto z^{\pm\alpha}(1+\cdots) 의 꼴이 된다. 실제로 베셀 방정식의 두 독립해는 베셀 함수 \\{J_\alpha(z),J_{-\alpha}(z)\\}에 의하여 주어지며, 이들은 z=0 근처에서 다음과 같다. :J_{\pm\alpha}(z)\sim\frac{(z/2)^{\pm\alpha{\Gamma(1\pm\alpha)}+\cdots 여기서 \cdots는 z=0에서 정칙 함수이다. 만약 \alpha=0이라면, 두 근이 겹치게 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 \\{J_0(z),Y_0(z)\\}이며, z=0 근처에서 :J_0(z)\sim 1+\cdots :Y_0(z)\sim(2/\pi)J_0(z)\ln z+\cdots 이다. 여기서 \cdots는 z=0에서 정칙 함수이다. 만약 \alpha=n\in\mathbb Z^+이라면, 두 근의 차가 정수가 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 \\{J_n(z),Y_n(z)\\}가 된다. 이 경우 :J_n(z)\sim(z/2)^n/n!+\cdots :Y_n(z)\sim(2/\pi)\pi J_n(z)\ln z+z^{-n}(\cdots) 이다. 여기서 \cdots는 z=0에서 정칙 함수이다.