위상 공간 (수학)

일반위상수학에서 **위상 공간**(位相空間, topological space)은 어떤 점의 "근처"가 무엇인지에 대한 정보를 담고 있지만, 점 사이의 거리나 넓이·부피 따위의 정보를 포함하지 않는 공간이다. 이를 사용하여, 함수의 연속성이나 수열의 극한, 집합의 연결성 등을 정의할 수 있다. 위상 공간의 개념은 위상수학 및 이를 기초로 하는 기하학 · 해석학에서 핵심적으로 사용된다. 위상 공간의 일반적인 성질을 연구하는 분야를 일반위상수학이라고 한다.
# 정의
집합 X 위의 **위상**(位相, topology)은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다. * (열린집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 부분 집합들의 모임 \mathcal T\subseteq\mathcal P(X). 이 경우, \mathcal T의 원소들을 **열린집합**이라고 한다. ** \varnothing,X\in\mathcal T ** 만약 \mathcal S\subseteq\mathcal T라면, \bigcup\mathcal S\in\mathcal T ** 만약 U,V\in\mathcal T라면, U\cap V\in\mathcal T * (닫힌집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 부분 집합들의 모임 \mathcal C\subseteq\mathcal P(X). 이 경우, \mathcal C의 원소들을 **닫힌집합**이라고 한다. **\varnothing,X\in\mathcal C ** 만약 \mathcal S\subseteq\mathcal C라면, \bigcap\mathcal S\in\mathcal C ** 만약 C,D\in\mathcal C라면, C\cup D\in\mathcal C * (근방을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 \mathcal N\colon X\to\mathcal P(\mathcal P(X)). 이 경우 \mathcal N\colon x\mapsto\mathcal N_x로 쓰고, \mathcal N_x의 원소를 x의 **근방**이라고 한다. ** 모든 x\in X에 대하여, X\in\mathcal N_x ** 모든 x\in X에 대하여, 만약 N\in\mathcal N_x라면 x\in N ** 만약 N\in\mathcal N_x이며 N\subseteq S\subseteq X라면, S\in\mathcal N_x ** 만약 M,N\in\mathcal N_x라면 M\cap N\in\mathcal N_x ** 만약 N\in\mathcal N_x라면, N\in\mathcal N_y\qquad\forall y\in M인 M\in\mathcal N_x가 존재한다. * (폐포를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 \operatorname{cl}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X). 이 경우, \operatorname{cl}S를 S의 **폐포**라고 한다. ** \operatorname{cl}\varnothing = \varnothing ** 모든 A\subseteq X에 대하여, A\subseteq\operatorname{cl} A ** 모든 A,B\subseteq X에 대하여, \operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}(A) \cup \operatorname{cl}(B) ** 모든 A\subseteq X에 대하여, \operatorname{cl}(\operatorname{cl}A) = \operatorname{cl}A * (내부를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 \operatorname{int}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X). 이 경우, \operatorname{int}S를 S의 **내부**라고 한다. ** \operatorname{int}X = X ** 모든 A\subseteq X에 대하여, A\supseteq\operatorname{int}A ** 모든 A,B\subseteq X에 대하여, \operatorname{int}(A \cap B) = \operatorname{int}(A) \cap \operatorname{int}(B) ** 모든 A\subseteq X에 대하여, \operatorname{int}(\operatorname{int}A) = \operatorname{int}A 이 정의들은 서로 동치이다. * 열린집합을 사용한 정의에서, ** **닫힌집합**은 열린집합의 여집합이다. ** x의 **근방**의 모임은 \mathcal N_x=\\{S\subset X\colon\exists U\in\mathcal T\colon x\in U\subseteq S\\}이다. ** 집합 S의 **폐포**는 \operatorname{cl}S=\bigcap\\{X\setminus U\colon U\in\mathcal T,\;U\cap S=\varnothing\\}이다. ** 집합 S의 **내부**는 \operatorname{int}S=\bigcup\\{U\in\mathcal T\colon U\subseteq S\\}이다. * 닫힌집합을 사용한 정의에서, **열린집합**은 닫힌집합의 여집합이다. * 근방을 사용한 정의에서, **열린집합**은 \forall x\in U\colon U\in\mathcal N_x 인 집합 U이다. * 폐포를 사용한 정의에서, **열린집합**은 \operatorname{cl}(X\setminus U)=X\setminus U인 집합 U이다. * 내부를 사용한 정의에서, **열린집합**은 \operatorname{int}(U)=U인 집합 U이다. 즉, 근방 · 열린집합 · 닫힌집합 · 폐포 · 내부 가운데 하나를 기본 무정의 개념으로 삼고, 이로부터 나머지 개념들을 정의할 수 있다. **위상 공간** (X,\mathcal T)은 위상을 갖춘 집합이다.
## 위상의 비교
위상의 비교 같은 집합 X 위의 두 위상 \mathcal T_1, \mathcal T_2에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면 \mathcal T_1이 \mathcal T_2보다 **더 섬세하다**(-纖細-, finer)고 하며, 반대로 \mathcal T_2가 \mathcal T_1보다 **더 거칠다**(coarser)고 한다. * \mathcal T_2\subseteq\mathcal T_1. 즉, 모든 \mathcal T_2-열린 집합은 \mathcal T_1-열린 집합이다. * 모든 \mathcal T_2-닫힌집합은 \mathcal T_1-닫힌집합이다. * \mathcal T_1의 기저 \mathcal B_1 및 \mathcal T_2의 기저 \mathcal B_2가 주어졌을 때, 모든 x\in X 및 x\in B_2\in\mathcal B_2에 대하여, x\in B_1\subseteq B_2인 B_1\in\mathcal B_1이 존재한다.
# 성질

## 격자론적 성질
주어진 위상 공간 (X,\mathcal T)의 열린집합들은 완비 헤이팅 대수를 이룬다. 즉, 위상 공간은 직관 논리의 모형으로 여길 수 있다. 또한, 위상 공간은 양상 논리 S4의 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 양상 기호 \Box(필연 기호)는 집합의 내부에, 양상 기호 \Diamond(개연 기호)는 집합의 폐포에 대응한다. 주어진 집합 X 위의 위상들은 섬세성 관계에 따라서 완비 유계 격자를 이룬다. 이 격자의 최대 원소(즉, 가장 섬세한 위상)는 이산 위상이며, 최소 원소(즉, 가장 거친 위상)는 비이산 위상이다. 주어진 집합 X 위의 위상들의 족 \\{\mathcal T_i\\}_{i\in I}의 하한(만남)은 :\bigwedge_i\mathcal T_i=\bigcap_i\mathcal T_i 이다. 주어진 집합 X 위의 위상들의 족 \\{\mathcal T_i\\}_{i\in I}의 상한(이음)은 \bigcup_{i\in I}\mathcal T_i를 기저로 하는 위상이다.
## 범주론적 성질
위상 공간과 연속 함수들은 범주를 이루며, 이 범주를 \operatorname{Top}이라고 한다. 이 경우, 망각 함자 :F\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Set} :F\colon (X,\mathcal T)\mapsto X 를 통해, \operatorname{Top}은 구체적 범주를 이룬다. 이 망각 함자는 좌 · 우 수반 함자를 갖는다. :D\dashv F\dashv I 여기서 :D\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top} :D\colon X\mapsto(X,\mathcal P(X)) 은 집합을 이산 공간으로 대응시키고, :I\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top} :I\colon X\mapsto(X,\\{\varnothing,X\\}) 는 집합을 비이산 공간으로 대응시킨다. \operatorname{Top}은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 (= 고유 모임 크기가 아닌) 극한과 쌍대극한이 존재한다. 특별한 극한 및 쌍대극한은 다음과 같다. {| class="wikitable" ! 범주론의 개념 !! 위상수학의 개념 |- | 시작 대상 || (유일한 위상을 갖춘) 공집합 (\varnothing,\\{\varnothing\\}) |- | 끝 대상 || 한원소 공간 (\\{\bullet\\},\\{\varnothing,\\{\bullet\\}\\}) |- | 곱 || 곱공간 \prod_{i\in I}X_i |- | 쌍대곱 || 분리 합공간 \bigsqcup_{i\in I}X_i |- | 동등자 || f,g\colon X\to Y의 동등자는 부분 공간 \\{x\in X\colon f(x)=g(x)\\} |- | 쌍대동등자 || f,g\colon X\to Y의 쌍대동등자는 몫공간 Y/(f(x)\sim g(x)\qquad\forall x\in X) |- | 밂 || X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY의 밂은 붙임 공간 X\cup_{f,g}Y=(X\sqcup Y)/(f(z)\sim g(z)\qquad\forall z\in Z) |- | 당김 || X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY의 당김은 당김 공간 X\times_{f,g}Y=\\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\\} |- | 단사 사상 || 연속 단사 함수 |- | 정칙 단사 사상 || rowspan="2" | 위상 공간의 매장 |- | 유효 전사 사상 |- | 전사 사상 || 연속 전사 함수 |- | 정칙 전사 사상 || rowspan="2" | 몫사상 |- | 유효 전사 사상 |} \operatorname{Top}은 데카르트 닫힌 범주가 아니다. 구체적으로, 함자 -\times Y\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Top}는 정칙 전사 사상을 보존하지 않으므로, 왼쪽 수반 함자를 가질 수 없다.zbl=1086.1800115
# 예
집합 {1,2,3} 위의 집합족들 가운데, 처음 네 개는 위상이지만, 붉은색 가위표가 그려진 마지막 두 개는 위상이 아니다. 유한 집합 위의 위상의 경우, 열린집합들을 그대로 나열할 수 있다. 예들 들어, 집합 *X* = {1,2,3} 위에서, 다음은 위상을 이룬다. * \\{\varnothing,\\{1,2,3\\}\\} (비이산 위상) * \\{\varnothing,\\{1,2,3\\},\\{1\\}\\} * \\{\varnothing,\\{1,2,3\\},\\{1,2\\},\\{1\\},\\{2\\}\\} * \\{\varnothing,\\{1,2,3\\},\\{1,2\\},\\{2,3\\},\\{2\\}\\} 그러나 다음은 위상을 이루지 않는다. * \\{\varnothing,\\{1,2,3\\},\\{2\\},\\{3\\}\\}은 {2}와 {3}의 합집합인 {2,3}이 없으므로 위상이 아니다. * \\{\varnothing,\\{1,2,3\\},\\{1,2\\},\\{2,3\\}\\}은 {1, 2}와 {2, 3}의 교집합인 {2}가 없으므로 위상이 아니다. 좀 더 복잡한 위상 공간의 경우, 다양한 구조로서 위상들을 정의할 수 있다. * 전순서가 주어졌을 때, 이를 사용하여 **순서 위상**을 정의할 수 있다. 실수의 집합의 표준적인 위상은 그 표준적 전순서에 대한 순서 위상이다. * 거리 함수가 주어졌을 때, 이를 사용하여 **거리 위상**을 정의할 수 있다. 실수의 집합이나 복소수의 집합 위에, 두 수의 차의 절댓값은 거리 함수이며, 이에 대한 거리 위상은 실수 · 복소수 집합의 표준 위상이다. * 어떤 집합을 곱집합 \textstyle\prod_iS_i로 나타내었을 때, 각 S_i에 위상을 정의하면 곱집합 전체에 **곱위상**이라는 위상을 줄 수 있다. * 동치관계가 주어져있을 때, 이에 대한 몫집합에 **몫위상**을 정의할 수 있다. 이는 기하적으로 서로 다른 점을 같게하여 붙인다라는 개념을 줄 수 있다. * 어떤 집합 위에, 열린집합으로 삼고 싶은 집합족 \mathcal S가 존재한다면, 이들을 포함하는 가장 거친 위상을 줄 수 있다. 이러한 집합족을 **부분 기저**라고 한다. * 어떤 집합 S를 다른 집합의 부분 집합 \iota\colon S\hookrightarrow T으로 나타내었을 때, T에 위상이 존재한다면 이로부터 S 위에 **부분공간 위상**을 정의할 수 있다. * 아무런 구조 없는 집합 S 위에도 여러 위상을 줄 수 있다. ** 모든 집합을 열린집합으로 하는 **이산 위상** ** 공집합과 집합 전체 밖에 열린집합이 없는 **비이산 위상** ** 쌍대 유한 집합 및 공집합이 열린집합인 **쌍대 유한 위상**(cofinite topology) ** 보다 일반적으로, 임의의 무한 기수 \kappa에 대하여, |S\setminus U|<\kappa인 집합 U 및 공집합이 열린집합인 위상
# 관련 개념

## 특별한 위상 공간
위상 공간의 개념은 매우 일반적이며, 대부분의 경우 특정한 성질을 만족시키는 위상 공간들을 고려한다. 대표적인 것들은 다음과 같다. {| class=wikitable ! 분리성 || 가산성 || 연결성 || 콤팩트성 || 기타 성질 |- | * 콜모고로프 공간 * T1 공간 * 하우스도르프 공간 * 정칙 공간 * 티호노프 공간 * 정규 공간 | * 제1 가산 공간 * 제2 가산 공간 * 분해 가능 공간 | * 연결 공간 * 국소 연결 공간 * 단일 연결 공간 * 축약 가능 공간 | * 콤팩트 공간 * 국소 콤팩트 공간 * 파라콤팩트 공간 * 점렬 콤팩트 공간 * 메조콤팩트 공간 * 메타콤팩트 공간 * 린델뢰프 공간 | * 거리화 가능 공간 * 다양체 * 폴란드 공간 * CW 복합체 |}
## 추가 구조
위상 공간은 근방의 개념 밖에는 다른 정보를 추가적으로 담고 있지 않다. 이에 대하여 여러 다른 정보를 추가하여, 다음과 같은 구조들을 정의할 수 있다. * 두 점 사이의 거리의 개념을 추가하면, **거리 공간**을 얻는다. * 집합의 넓이 · 부피의 개념을 추가하면, **보렐 측도 공간** 또는 **라돈 측도 공간**을 얻는다. * 매끄러운 함수의 개념을 추가하면, **매끄러운 다양체**를 얻는다. * 군의 구조를 추가하면, **위상군**을 얻는다. 더하여서 매끄러움 구조를 추가하면 **리 군**이 된다. * 환의 구조를 추가하면, **위상환**을 얻는다. * 벡터 공간의 구조를 추가하면, **위상 벡터 공간**을 얻는다.
## 일반화
위상 공간의 개념은 매우 일반적인 개념이지만, 대수기하학에서는 이보다 더 일반적인 개념을 필요로 할 때가 있다. 이 경우, 열린집합들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합을 범주로 추상화하여, 덮개의 개념을 공리화할 수 있는데, 이렇게 하면 범주 위의 **그로텐디크 위상**의 개념을 얻는다. 또한, 이를 한 단계 더 추상화하여, 공간의 열린집합들 대신 공간 위의 모든 층들의 범주의 성질을 공리화하면 **토포스**의 개념을 얻는다. 범주론 대신, 위상 공간의 열린집합들의 격자론적 성질(완비 헤이팅 대수)을 공리화하면 **장소**(locale)라는 개념을 얻는다.
# 역사
1910년대 이전까지는 위상 공간의 개념이 따로 존재하지 않았고, 열린집합은 거리 공간에 대해서만 정의되었다. 1908년에 리스 프리제시는 거리 함수를 사용하지 않고, 수열의 극한을 사용하여 위상 공간의 개념을 공리화하였고,언어=de 1914년에 펠릭스 하우스도르프는 근방의 개념을 사용하여 이를 재정의하였다.언어=de 하우스도르프의 정의에는 오늘날 하우스도르프 공간의 정의에 들어가는 조건이 추가되었는데, 이는 이후 정의에서 제거되었다.