드무아브르의 공식

수학에서 **드무아브르의 공식**(de Moivre’s formula) 또는 드무아브르의 정리(de Moivre's theorem)는 임의의 복소수를 극형식으로 나타내었을 때 성립하는 다음 등식을 의미한다. 이 식에서 *i*는 허수 단위를 뜻한다. :\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos{nx}+i\sin{nx} 이 공식은 복소수와 삼각 함수간의 관계를 보여준다. x가 실수라는 가정하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면 \cos{x}, \sin{x}만을 사용하여 \cos{nx}와 \sin{nx}을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라, z^n = 1의 복소근을 쉽게 구할 수 있다.
# 유도
역사적으로 오일러의 공식보다도 더 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 이를 쉽게 유도할 수 있다. :e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x 지수 함수의 성질에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다. :\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} 그러면, 오일러의 공식에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다. :e^{i(nx)} \,=\, \cos{nx} + i\sin{nx}
# 수학적 귀납법을 이용한 증명
세 가지 경우로 나누어 생각한다. n > 0인 정수에 대하여, 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. n = 1일 때, 이 등식은 참이다. 이제 k일 때 다음의 식이 성립한다고 가정하자. :\left(\cos x + i \sin x\right)^k \,=\, \cos{kx} + i \sin{kx} 이제 n = k + 1일 때 식이 성립하는지를 확인하면, : \begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\\ & = \left(\cos{kx} + i\sin{kx}\right) \left(\cos x+i\sin x\right)\\\ & = \cos {kx} \cos x - \sin {kx} \sin x + i \left(\cos {kx} \sin x + \sin {kx} \cos x\right)\\\ & = \cos { \left(k+1\right) x } + i\sin { \left(k+1\right) x } \end{alignat} 이 식이 n = k + 1일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 \scriptstyle n\ge 1인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다. 이제 n = 0일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보면, \scriptstyle \cos {0x} + i\sin {0x} = 1 + i\cdot 0 = 1 또는 z^0 = 1라는 약속에 의하여 성립한다. 이제 n < 0일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보자. 우선 n = -m을 만족하는 양의 정수 m에 대하여 생각하여 보면, : \begin{align} \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\\ & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m\\\ & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\\ & = \cos{mx} - i\sin{mx}\\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\\ & = \cos{nx} + i\sin{nx} \end{align} 이 식이 모든 정수에 대하여 성립한다는 사실을 알 수 있다.
# 코사인과 사인 부분을 각각 증명하는 방법
복소수의 성질에 의하여, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다.
만약 \cos x와 \sin x가 실수라면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다. :\begin{alignat}{2} \cos{nx}&=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac n 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i(-1)^i(\cos{x})^{n-2i}(\sin{x})^{2i}& &=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac n 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i(\cos{x})^{n-2i}((\cos{x})^2-1)^i\\\ \sin{nx}&=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac {n-1} 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i+1(-1)^i(\cos{x})^{n-2i-1}(\sin{x})^{2i+1}& &=(\sin{x})\sum_{i=0}^{\lfloor \frac {n-1} 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i+1(\cos{x})^{n-2i-1}((\cos{x})^2-1)^i\\\ \end{alignat} 이 식은 x가 복소수일 때에도 양변이 정칙함수이므로, 그 성질에 의하여 성립한다. 위의 식이 실제로 성립하는지 확인해보기 위해 n = 2, 3을 대입해보면, :\begin{alignat}{2} \cos{2x} &= (\cos{x})^2 +((\cos{x})^2-1) &&= 2(\cos{x})^2-1\\\ \sin{2x} &= 2{\sin{x{\cos{x\\\ \cos{3x} &= (\cos{x})^3 +3\cos{x}((\cos{x})^2-1) &&= 4(\cos{x})^3-3\cos{x}\\\ \sin{3x} &= 3(\cos{x})^2{\sin{x-(\sin{x})^3 &&= 3\sin{x}-4(\sin{x})^3\\\ \end{alignat} \scriptstyle \cos{nx}에 대한 등식의 우변은, 실제로는 체비쇼프 다항식 \scriptstyle T_n (\cos x)의 값이다.
# 정수 지수가 아닐 때의 문제, 일반화
드무아브르의 공식은 정수지수가 아닐 때는 성립하지 않는다. 드무아브르의 공식을 유도할 때 복소수의 n제곱이 사용되며, 만약 n이 정수가 아니라면 복소지수가 다가함수이기 때문에 좌변이 잘 정의되지 않는다.
## 복소수 지수의 확장
이 공식은 더 일반적으로 확장할 수 있다. z와 w가 복소수라면, \cos (wz) + i \sin (wz)\,와는 달리 :\left(\cos z + i\sin z\right)^w 는 여러값 함수(multivalued function)이다. 따라서 :\cos (wz) + i \sin (wz) \, 는 \left(\cos z + i\sin z\right)^w\,의 여러 값중 하나일 뿐이다. 복소평면위에 찍은 x^3-1 = 0의 근.
# 활용
이 공식은 x^n - 1 = 0의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 만약 w가 복소수라면, 이는 극형식 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다. : w=r\left(\cos x+i\sin x\right),\, 이 때 k가 정수라면, : w^}^{\frac{1}{n= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ }^{\frac{1}{n= r^}^{\frac{1}{n \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right] n개의 서로 다른 근을 구할 때, k = 0부터 n-1까지의 값을 대입해주면 쉽게 그 값을 구할 수 있다.
또한 이 공식은 고차방정식의 특수형태인, x^n = a의 꼴로, 이항방정식 이되겠다.
# 역사
아브라암 드무아브르가 발견하였다. 허수에 대한 직접적인 언급은 없다.(인터넷 아카이브 -수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論) 아브라암 드무아브르 1730)https://archive.org/details/bub_gb_TFX1165yEc4C(구글 도서-수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論) 아브라암 드무아브르 1730)https://books.google.co.kr/books?id=TFX1165yEc4C&printsec;=frontcover&dq;=Miscellanea+analytica+de+seriebus+et+quadraturis.+Accessere+variae+considerationes+de+methodis+comparationum,+combinationum+%26+differentiarum,+solutiones+difficiliorum+aliquot+problematum+ad+sortem+spectantium,+itemque+constructiones+faciles+orbium+planetarum,+una+cum+determinatione+maximarum+%26+minimarum+mutationum+quae+in+motibus+corporum+coelestium+occurrunt&hl;=ko&sa;=X&ved;=2ahUKEwjsvvG1-5rwAhVJyIsBHVYaDfwQ6AEwBXoECAQQAg#v=onepage&q;=Miscellanea%20analytica%20de%20seriebus%20et%20quadraturis.%20Accessere%20variae%20considerationes%20de%20methodis%20comparationum%2C%20combinationum%20%26%20differentiarum%2C%20solutiones%20difficiliorum%20aliquot%20problematum%20ad%20sortem%20spectantium%2C%20itemque%20constructiones%20faciles%20orbium%20planetarum%2C%20una%20cum%20determinatione%20maximarum%20%26%20minimarum%20mutationum%20quae%20in%20motibus%20corporum%20coelestium%20occurrunt&f;=false