준동형

추상대수학에서 **준동형**(準同型, homomorphism) 또는 **준동형 사상**(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다.
# 정의
같은 부호수 \sigma=(F,R)의 두 구조 (A,F_A,R_A), (B,F_B,R_B) 사이의 **준동형**은 다음 조건을 만족시키는 함수 \phi\colon A\to B이다. * (연산의 보존) 모든 n항 연산 f\in F 및 a_1,a_2,\dots,a_n\in A에 대하여, ::\phi(f_A(a_1,a_2,\dots,a_n))=f_B(\phi(a_1),\phi(a_2),\dots,\phi(a_n)) * (관계의 보존) 모든 n항 관계 r\in R 및 a_1,a_2,\dots,a_n\in A에 대하여, ::r_A(a_1,a_2,\dots,a_n)\implies r_B(\phi(a_1),\phi(a_2),\dots,\phi(a_n)) 같은 부호수 \sigma=(F,R)의 두 구조 (A,F_A,R_A), (B,F_B,R_B) 사이의 **강준동형**(強準同型, strong homomorphism)은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형 \phi\colon A\to B이다. * 모든 n항 관계 r\in R 및 a_1,\dots,a_n\in A에 대하여, ::r_A(a_1,a_2,\dots,a_n)\iff r_B(\phi(a_1),\phi(a_2),\dots,\phi(a_n)) 대수 구조의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.
# 예

## 마그마와 군
마그마 (M,\cdot)는 하나의 이항 연산을 갖는 대수 구조이다. 마그마 준동형 \phi\colon M\to N은 모든 m,n\in M에 대하여 :\phi(m\cdot n)=\phi(m)\cdot\phi(n) 인 함수이다. 군 (G,\cdot,^{-1},1)은 이항 연산 \cdot, 일항 연산 ^{-1}, 영항 연산 1을 갖는 대수 구조이다. 군 준동형 \phi\colon G\to H는 모든 g,g'\in G에 대하여 # \phi(g\cdot g')=\phi(g)\cdot\phi(g') # \phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1} # \phi(1)=1 인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.
## 유사환과 환
유사환 (R,\cdot,+,-,0)은 이항 연산 \cdot 및 -, 일항 연산 -, 영항 연산 0을 갖는 대수 구조이다. 유사환 준동형 \phi\colon R\to S는 모든 r,r'\in R에 대하여 # \phi(r\cdot r')=\phi(r)\cdot\phi(r') # \phi(r+r')=\phi(r)+\phi(r') # \phi(-r)=-\phi(r) # \phi(-0)=-\phi(0) 인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. (단위원을 갖는) 환 (R,\cdot,+,-,1,0)은 이항 연산 \cdot 및 +, 일항 연산 -, 영항 연산 0 및 1을 갖는 대수 구조이다. 환 준동형 \phi\colon R\to S는 모든 r,r'\in R에 대하여 # \phi(r\cdot r')=\phi(r)\cdot\phi(r') # \phi(r+r')=\phi(r)+\phi(r') # \phi(-r)=-\phi(r) # \phi(-0)=-\phi(0) # \phi(1)=1 인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, 환 준동형은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다. 예를 들어, \mathbb Z\to\mathbb Z\times\mathbb Z, n\mapsto(0,n)은 유사환 준동형이지만 환 준동형이 아니다. 체는 (보편 대수학에서 다루는) 대수 구조가 아니므로, 준동형의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형은 체의 확대이다. 체 사이의 유사환 준동형은 그 밖에 상수 함수 0만을 추가로 포함한다.
## 벡터 공간
체 K에 대한 벡터 공간 (V,+,-,s\cdot_{s\in K},0)은 이항 연산 +, 일항 연산 - 및 모든 s\in K에 대하여 s\cdot, 영항 연산 0을 갖는 대수 구조이다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환이라고 하며, 선형 변환 \phi\colon V\to W는 모든 v,v'\in R에 대하여 # \phi(v+v')=\phi(v)+\phi(v') # \phi(-v)=-\phi(v') # 모든 s\in K에 대하여, \phi(-s\cdot r)=-s\cdot\phi(r) # \phi(0)=\phi(0) 인 함수이다. 벡터 공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.
## 격자
격자 (L,\vee,\wedge)는 이항연산 \vee 및 \wedge를 갖는 대수 구조이다. 격자의 준동형 \phi\colon L\to M은 모든 a,b\in L에 대하여 # \phi(a\vee b)=\phi(a)\vee\phi(b) # \phi(a\wedge b)=\phi(a)\wedge\phi(b) 인 함수이다. 격자는 표준적인 부분 순서 집합 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 단조함수임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 유계 격자 (L,\vee,\wedge,\bot,\top)는 이항 연산 \vee 및 \wedge, 영항 연산 \bot 및 \top을 갖는 대수 구조이다. 유계 격자의 준동형 \phi\colon L\to M은 모든 a,b\in L에 대하여 # \phi(a\vee b)=\phi(a)\vee\phi(b) # \phi(a\wedge b)=\phi(a)\wedge\phi(b) # \phi(\bot)=\bot # \phi(\bot)=\top 인 함수이다. 이는 격자의 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
## 그래프
그래프의 언어 \langle\sim\rangle는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 v_1\sim v_2를 갖는 언어이다. 이 경우 v_1\sim v_2는 "v_1=v_2이거나, 아니면 v_1과 v_2 사이에 변이 존재한다"로 해석한다. 이 언어의 구조는 그래프이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다.
## 전순서
전순서 집합의 언어 \langle\le는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 \le를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 전순서 집합이다. 이 경우, 준동형은 순서 보존 함수(증가 함수)이다.