삼각 함수 항등식

수학에서 **삼각함수 항등식**(三角函數恒等式, trigonometric identity)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다. 참고로 아래에서 \sin^2, \cos^2 등의 함수는 \sin^2{x} = (\sin{x})^2와 같이 정의된다.
# 삼각함수의 정의에서
: \cos{x} = \sin\left( x + {\pi \over 2} \right) : \tan {x} = \frac {\sin {x {\cos{x \qquad \operatorname{cot}{x} = \frac {\cos {x {\sin{x = \frac{1} {\tan{x : \operatorname{sec}{x} = \frac{1} {\cos{x \qquad \operatorname{csc}{x} = \frac{1} {\sin{x
# 주기성, 대칭성, 이동(Shifts)
다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다. 다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다. : \sin{x} = \sin(x + 2k\pi) \qquad \cos{x} = \cos(x + 2k\pi) \qquad \tan{x} = \tan(x + k\pi) : \sec{x} = \sec(x + 2k\pi) \qquad \csc{x} = \csc(x + 2k\pi) \qquad \cot{x} = \cot(x + k\pi) 다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다. -sin \theta , cos \theta : \begin{matrix} \sin(-x) = -\sin{x}, & & \sin\left({\pi \over 2} - x\right) = \cos{x}, & & \sin\left(\pi - x\right) = \;\;\sin{x} \\\ \cos(-x) =\;\;\cos{x}, & & \cos\left({\pi \over 2} - x\right) = \sin{x}, & & \cos\left(\pi - x\right) = -\cos{x} \\\ \tan(-x) = -\tan{x}, & & \tan\left({\pi \over 2} - x\right) = \cot{x}, & & \tan\left(\pi - x\right) = -\tan{x} \\\ \cot(-x) = -\cot{x}, & & \cot\left({\pi \over 2} - x\right) = \tan{x}, & & \cot\left(\pi - x\right) = -\cot{x} \\\ \sec(-x) =\;\;\sec{x}, & & \sec\left({\pi \over 2} - x\right) = \csc{x}, & & \sec\left(\pi - x\right) = -\sec{x} \\\ \csc(-x) = -\csc{x}, & & \csc\left({\pi \over 2} - x\right) = \sec{x}, & & \csc\left(\pi - x\right) = \;\;\csc{x} \end{matrix} 다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다. : \begin{matrix} \sin\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\cos{x}, & & \sin\left(x + \pi\right) = - \sin{x} \\\ \cos\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \sin{x}, & & \cos\left(x + \pi\right) = - \cos{x} \\\ \tan\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \cot{x}, & & \tan\left(x + \pi\right) = \;\;\tan{x} \\\ \cot\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \tan{x}, & & \cot\left(x + \pi\right) = \;\;\cot{x} \\\ \sec\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \csc{x}, & & \sec\left(x + \pi\right) = - \sec{x} \\\ \csc\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\sec{x}, & & \csc\left(x + \pi\right) = - \csc{x} \end{matrix} 또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다. :a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi) 여기서 : \varphi= \begin{cases} \arctan{\frac b a},&\mbox{if }a\ge0 \\\ \arctan{\frac b a} \pm \pi,&\mbox{if }a 0 이면 :\arctan{x}+\arccot{x}=\frac{\pi}{2}. 만약 x < 0 이면, 등식 우변이 \textstyle -\frac \pi 2가 된다. :\arctan{x}+\arctan{y}=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) 피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다. :\cos(\arcsin{x})=\sqrt{1-x^2}
# 변수 없는 항등식
리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다. :\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac 1 8 그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (\scriptstyle x=20^\circ, k=3을 넣고, \scriptstyle \sin x = \sin (180^\circ-x)를 이용 우변을 정리한다.) :\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin{x 다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다. :\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\frac 1 2 :\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac 1 2 21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더 이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자. :\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21}+\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=\frac 1 2 1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 2보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)
# 미적분학
미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선: :\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x{x}=1 과 :\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x{x}=0 을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다. (참고 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x{x^2}=\frac{1}{2}) : {d \over dx}\sin{x} = \cos{x} 나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다. : {d \over dx}\cos{x} = -\sin{x} : {d \over dx}\tan{x} = \sec^2{x} : {d \over dx}\csc{x} = -\csc{x}\cot{x} : {d \over dx}\sec{x} = \sec{x}\tan{x} : {d \over dx}\cot{x} = -\csc^2{x} : {d \over dx}\arcsin{x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2 : {d \over dx}\arccos{x} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2 : {d \over dx}\arctan{x} = \frac{1}{1+x^2} : {d \over dx}\arccot{x} = -\frac{1}{1+x^2} : {d \over dx}\arcsec{x} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1 : {d \over dx}\arccsc{x} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1 적분식은 적분표를 참고하라.