내접원

삼각형의 내접원과 내심 내접원을 갖는 사각형 **내접원**(內接圓, inscribed circle, incircle)은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. **내심**(內心, incenter)은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 I로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 r로 표기한다.
# 정의
다각형의 모든 변에 접하는 원을 이 다각형의 **내접원**이라고 한다. 내접원의 중심을 **내심**이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 **외접 다각형**(外接多角形, tangential polygon, circumscribed polygon)이라고 한다.
# 성질
(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다. 모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원은 구점원과 접한다.
## 반지름
(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 r은 넓이 S와 반둘레 s를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다. :r=\frac Ss 삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c, 반둘레가 s, 넓이가 S, 외접원의 반지름이 R, 방접원의 반지름이 r_A, r_B, r_C라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다. :\begin{align}r &=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}s}\\\ &=\frac{abc}{4sR}\\\ &=\frac 1{\frac 1{r_A}+\frac 1{r_B}+\frac 1{r_C\\\ &=r_A+r_B+r_C-4R \end{align} 첫 등호는 헤론의 공식에 의한다.
## 접점과 중심각
삼각형 ABC의 내심을 I라고 하고, 내접원과 두 변 AC, BC의 접점을 각각 T_B, T_C라고 하고, 직선 AI와 T_BT_C의 교점을 P라고 할 때, BP는 AI의 수선이다.isbn=0-88385-639-531, §3.4 삼각형 ABC의 내접원의 A, B, C의 대변에서의 접점을 각각 T_A, T_B, T_C라고 하고, 반둘레를 s, A, B, C의 대변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 다음이 성립한다. :AT_B=AT_C=s-a :BT_C=BT_A=s-b :CT_A=CT_B=s-c 삼각형 ABC의 내심 I와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다. :\angle AIB=90^\circ+\frac 12\angle ACB :\angle BIC=90^\circ+\frac 12\angle BAC :\angle CIA=90^\circ+\frac 12\angle CBA
## 외접원과의 관계
삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 R, r라고 할 때, 내심 I와 외심 O 사이의 거리는 다음과 같다 (**오일러 삼각형 정리**). :OI=\sqrt{R^2-2Rr} 특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (**오일러의 부등식**). :R\ge 2r 삼각형 ABC의 내심을 I, 외접원의 호 BC의 중점 M이라고 할 때, 다음이 성립한다 (**맨션 정리**). :MI=MB=MC
## 내심 삼각형
삼각형 ABC의 내각 이등분선 AI_A, BI_B, CI_C의 발 I_A, I_B, I_C를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 ABC의 **내심 삼각형**(內心三角形, incentral triangle) I_AI_BI_C라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다.
## 제르곤 점과 제르곤 삼각형
제르곤 점과 제르곤 삼각형 삼각형 ABC의 내접원과 꼭짓점 A, B, C의 대변의 접점을 각각 T_A, T_B, T_C라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 AT_A, BT_B, CT_C는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 ABC의 **제르곤 점**(Gergonne point) X_7이라고 한다. 삼각형 ABC의 내접원의 세 접점 T_A, T_B, T_C를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 ABC의 **제르곤 삼각형**(Gergonne triangle) 또는 **내촉 삼각형**(intouch triangle) 또는 **접촉 삼각형**(contact triangle) T_AT_BT_C라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다. 증명 다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분 AT_A, BT_B, CT_C는 한 점에서 만난다. :\frac{AT_C}{T_CB}\cdot\frac{BT_A}{T_AC}\cdot\frac{CT_B}{T_BA}=\frac{s-a}{s-b}\cdot\frac{s-b}{s-c}\cdot\frac{s-c}{s-a}=1 증명 끝 제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.62, §7.4, (iv) 삼각형 ABC의 내접원과 꼭짓점 A, B, C의 대변의 접점을 각각 T_A, T_B, T_C라고 하고, 제르곤 점을 X_7라고 하자. 제르곤 점 X_7을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 T_AT_B, T_BT_C, T_CT_A의 평행선 PS, RU, TQ와 원래 삼각형 ABC의 두 변 BC와 CA, CA와 AB, AB와 BC의 교점을 각각 P와 S, R와 U, T와 Q라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 원 위에 있다. 이 원을 삼각형 ABC의 **애덤스 원**(Adams’ circle)이라고 한다.62, §7.4, (v) 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.62, §7.4, (v) 증명 6개의 점 P, Q, R, S, T, U와 내심 I사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형 IT_AP, IT_AQ, IT_BR, IT_BS, IT_CT, IT_CU의 빗변이다. IT_A=IT_B=IT_C는 내접원의 반지름이므로 :PT_A=T_AQ=RT_B=T_BS=TT_C=T_CU 를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 PT_A=T_AQ=ST_B를 보이는 것으로 충분하다. 같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 CT_A=CT_B이다. 직선 PS와 T_AT_B는 평행하므로 CP=CS이다. 따라서 PT_A=ST_B이다. 선분 T_AT_B, T_AT_C의 연장선과 점 A를 지나는 직선 BC의 평행선의 교점을 각각 D, E라고 하자. 그렇다면 직선 DE와 BC는 평행하며 삼각형 CT_AT_B, BT_AT_C는 이등변 삼각형이므로 :DA=AT_C=AT_B=EA 이며, 선분 T_AA는 삼각형 T_ADE의 중선이다. 직선 DE, PS, QT는 각각 직선 BC, T_AT_B, T_AT_C와 평행하므로, 삼각형 T_ADE와 선분 T_AA의 합집합은 삼각형 X_7PQ와 선분 X_7T_A의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분 X_7T_A 역시 삼각형 X_7PQ의 중선이다. 즉, PT_A=T_AQ이다. 증명 끝 삼각형 ABC의 내접원과 꼭짓점 A, B, C의 대변의 접점을 각각 T_A, T_B, T_C라고 하고, 제르곤 점을 X_7라고 하자. 제르곤 점 X_7을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 T_AT_B, T_BT_C, T_CT_A의 평행선 PS, RU, TQ와 원래 삼각형 ABC의 두 변 BC와 CA, CA와 AB, AB와 BC의 교점을 각각 P와 S, R와 U, T와 Q라고 하자. 직선 UP와 QR, QR와 ST, ST와 UP의 교점을 각각 X, Y, Z라고 하자. 그렇다면 삼각형 ABC의 제르곤 점 X_7은 삼각형 XYZ의 대칭 중점이며, 삼각형 ABC의 애덤스 원은 삼각형 XYZ의 제1 르무안 원이다.98, Exercise 9.2
# 역사
제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤(Joseph Diez Gergonne)의 이름을 땄다. 애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스(C. Adams)가 제시하였다.62, §7.4, (v)