삼각 치환

미적분학 미적분학에서 **삼각 치환**(三角置換, trigonometric substitution)은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.
# 정의
**삼각 치환**은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.isbn=978-7-03-028183-8342 :R(x,\sqrt{a^2-x^2}),\;R(x,\sqrt{a^2+x^2}),\;R(x,\sqrt{x^2-a^2}) 여기서 R는 유리 함수이며 a>0이다. 이는 R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 x를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.lccn=2013949101533lccn=0704002151 {| class="wikitable" !적분 ! colspan="4" |치환 !항등식 |- | rowspan="2" |\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm dx |x=a\sin\theta |-\pi/2\le\theta\le\pi/2 |\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta |\mathrm dx=a\cos\theta\mathrm d\theta |1-\sin^2\theta=\cos^2\theta |- |x=a\cos\theta |0\le\theta\le\pi |\sqrt{a^2-x^2}=a\sin\theta |\mathrm dx=-a\sin\theta\mathrm d\theta |1-\cos^2\theta=\sin^2\theta |- | rowspan="2" |\int R(x,\sqrt{a^2+x^2})\mathrm dx |x=a\tan\theta |-\pi/2a\land 0\le\thetaa\land 00이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자. :x=a\sin\theta,\;\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta,\;\mathrm dx=a\cos\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arcsin\frac xa 그러면 다음을 얻는다. :{| |\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2 |=\int\frac{a\cos\theta\mathrm d\theta}{a\cos\theta} | |(치환) |- | |=\int\mathrm d\theta | |(단순화) |- | |=\theta+C | |(적분) |- | |=\arcsin\frac xa+C | |(재치환) |} 이 적분은 x/a=t와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.252, 例6.2.14 :{| |\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx |=\int a^2\cos^2\theta\mathrm d\theta | |(치환) |- | |=\int\frac{a^2}2(1+\cos 2\theta)\mathrm d\theta | |(삼각 항등식) |- | |=\frac{a^2}2\theta+\frac{a^2}4\sin 2\theta+C | |(적분) |- | |=\frac{a^2}2\theta+\frac{a^2}2\sin\theta\cos\theta+C | |(삼각 항등식) |- | |=\frac{a^2}2\arcsin\frac xa+\frac{a^2}2\cdot\frac xa\cdot\frac{\sqrt{a^2-x^2a+C | |(재치환) |- | |=\frac{a^2}2\arcsin\frac xa+\frac 12x\sqrt{a^2-x^2}+C | |(단순화) |} 이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.
## \sqrt{a^2+x^2}이 들어간 적분
\theta에 대한 삼각 함수를 다시 x로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다. 다음을 구하자.48, Example 1 :\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2} 여기서 a>0이다. 다음을 사용하자. :x=a\tan\theta,\;\sqrt{a^2+x^2}=a\sec\theta,\;\mathrm dx=a\sec^2\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arctan\frac xa 그러면 다음을 얻는다. :{| |\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2} |=\int\frac{a\sec^2\theta\mathrm d\theta}{a^2\sec^2\theta} | |(치환) |- | |=\int\frac 1a\mathrm d\theta | |(단순화) |- | |=\frac\theta a+C | |(적분) |- | |=\frac 1a\arctan\frac xa+C | |(재치환) |} 이 적분은 치환 x/a=t 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.253, 例6.2.16 :{| |\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2+x^2 |=\int\frac{a\sec^2\theta\mathrm d\theta}{a\sec\theta} | |(치환) |- | |=\int\frac{\mathrm d\theta}{\cos\theta} | |(단순화) |- | |=\int\frac{\cos\theta\mathrm d\theta}{\cos^2\theta} | |(변형) |- | |=\int\frac{\mathrm d(\sin\theta)}{1-\sin^2\theta} | |(치환) |- | |=\frac 12\ln\left|\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right|+C | |(적분) |- | |=\frac 12\ln\left|\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right|^2+C | |(삼각 항등식) |- | |=\ln\left|\sec\theta+\tan\theta\right|+C | |(삼각 항등식) |- | |=\ln\left|\frac{\sqrt{a^2+x^2a+\frac xa\right|+C | |(재치환) |- | |=\ln\left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right|+C | |(적분 상수 재정의) |} 이 적분은 쌍곡 치환 x=a\sinh t을 통해서도 구할 수 있다.
## \sqrt{x^2-a^2}이 들어간 적분
\theta에 대한 삼각 함수를 다시 x로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다. 편의상 x>0이라고 하고 다음을 구하자.50, Example 1 :\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2-a^2 여기서 a>0이다. 다음을 사용하자. :x=a\sec\theta,\;\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan\theta|,\;\mathrm dx=a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arcsec\frac xa 그러면 다음을 얻는다. :{| |\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2-a^2 |=\int\frac{a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta}{a^2\sec\theta|\tan\theta|} | |(치환) |- | |=\begin{cases} \displaystyle\int\frac{\mathrm d\theta}a&x;>a\\\ \displaystyle-\int\frac{\mathrm d\theta}a&x;a\\\ \displaystyle-\frac\theta a+C'&x;a\\\ \displaystyle-\frac 1a\arcsec\frac xa+C'&x;a\\\ \displaystyle-\int\frac{\mathrm d\theta}{\cos\theta}&x;a\\\ \displaystyle-\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C'&x;a\\\ \displaystyle-\ln\left|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2-a^2a\right|+C'&x;a\\\ \displaystyle-\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C'&x;<-a \end{cases} | |(적분 상수 재정의) |} 이 적분은 쌍곡 치환 x=a\cosh t를 통해서도 구할 수 있다.
## 정적분
다음과 같은 적분을 구하자.536, Example 4 :\int_{\sqrt 3}^2\frac{\sqrt{x^2-3x\mathrm dx 다음을 사용하자. :x=\sqrt 3\sec\theta,\;\sqrt{x^2-3}=\sqrt 3\tan\theta,\;\mathrm dx=\sqrt 3\sec\theta\tan\theta,\;\theta=\arcsec\frac xa 만약 x=\sqrt 3일 경우 \cos\theta=1이므로 \theta=0이며, 만약 x=2일 경우 \cos\theta=\sqrt 3/2이므로 \theta=\pi/6이다. 따라서 다음이 성립한다. :\begin{align}\int_{\sqrt 3}^2\frac{\sqrt{x^2-3x\mathrm dx &=\sqrt 3\int_0^{\pi/6}\tan^2\theta\mathrm d\theta\\\ &=\sqrt 3\int_0^{\pi/6}(\sec^2\theta-1)\mathrm d\theta\\\ &=\sqrt 3\bigg[\tan\theta-\theta\bigg]_0^{\pi/6}\\\ &=1-\frac{\sqrt 3\pi}6 \end{align}