구간

가야 신화의 구간 [[파일:Interval0.png|섬네일|실수 구간 (x,x+a) (또는 [x,x+a], [x,x+a), (x,x+a])]] 수학에서 **구간**(區間, interval)은 원순서 집합의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 집합이다. 특히, 표준적인 전순서를 갖춘 실수의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다. 구간은 끝점을 포함하는지 여부에 따라 * **열린구간**(-區間open interval) 또는 **개구간**(開區間) * **닫힌구간**(-區間closed interval) 또는 **폐구간**(閉區間) * **반열린구간**(半-區間, half-open interval) 또는 **반닫힌구간**(半-區間, half-closed interval) 또는 **반개구간**(半開區間) 또는 **반폐구간**(半閉區間) 의 세 가지로 나뉜다.
# 정의
원순서 집합 (X,\lesssim)의 두 원소 a,b\in X에 대하여, :a\lesssim b\not\lesssim a 를 a로 표기하자.
## 구간
원순서 집합 (X,\lesssim)zbl=1080.9100111, Definition 11의 두 원소 a,b\in X를 왼쪽·오른쪽 끝점으로 하는 **열린구간**과 **닫힌구간** 및 두 개의 **반열린구간**은 각각 다음과 같다 (두 끝점에 대하여 a 또는 a\lesssim b를 요구하기도 한다). :(a,b)=\\{x\in X\colon a :[a,b]=\\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\\} :(a,b]=\\{x\in X\colon a :[a,b)=\\{x\in X\colon a\lesssim x 원순서 집합 (X,\lesssim)의 원소 a\in X를 왼쪽 끝점으로 하고, 오른쪽 끝점이 주어지지 않는 **열린구간**과 **반열린구간**은 각각 다음과 같다. :(a,\infty)=\\{x\in X\colon a :[a,\infty)=\\{x\in X\colon a\lesssim x\\} 마찬가지로, 원순서 집합 (X,\lesssim)의 원소 b\in X를 오른쪽 끝점으로 하고, 왼쪽 끝점이 주어지지 않는 **열린구간**과 **반열린구간**은 각각 다음과 같다. :(-\infty,b)=\\{x\in X\colon x :(-\infty,b]=\\{x\in X\colon x\lesssim b\\} 왼쪽·오른쪽 끝점이 주어지지 않는 (열린)구간은 X 전체이다. :(-\infty,\infty)=X 원순서 집합 (X,\lesssim)에서, 한쪽 또는 양쪽 끝점이 주어지지 않는 구간은 새로운 최대 원소와 최소 원소를 추가하여 얻는 원순서 집합 :X\sqcup\\{-\infty,\infty\\} :\forall x\in X\colon-\infty 의 두 원소를 두 끝점으로 하는 X\sqcup\\{-\infty,\infty\\}의 구간으로 여길 수 있다. 예를 들어, 모든 실수 구간은 두 확장된 실수를 끝점으로 한다.
## 순서 볼록 집합
원순서 집합 (X,\lesssim)의 부분 집합 C\subseteq X가 다음 조건을 만족시키면, **순서 볼록 집합**(order-convex set)이라고 한다. * 임의의 a,b\in C에 대하여, [a,b]\subseteq C 원순서 집합 (X,\lesssim)의 부분 집합 Y\subseteq X이 주어졌다고 하자. Y에 포함되는 X의 순서 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 Y의 **순서 볼록 성분**(order-convex component)이라고 한다.zbl=0269.54009Definition 5.1zbl=0189.53103727 초른 보조정리에 따라, Y에 포함되는 X의 임의의 순서 볼록 집합은 항상 Y의 순서 볼록 성분에 포함되지만, 이러한 성분이 유일할 필요는 없다. 만약 X가 전순서 집합이라면, Y의 순서 볼록 성분들은 Y를 분할한다. 즉, C\subseteq Y인 순서 볼록 집합 C\subseteq X를 포함하는 순서 볼록 성분은 유일하며, 이는 다음과 같다. :\\{y\in Y\colon\exists c\in C\colon[\min\\{c,y\\},\max\\{c,y\\}]\subseteq Y\\}
# 성질

## 함의 관계
모든 구간은 순서 볼록 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 실수선 \mathbb R의 부분 집합 I\subseteq\mathbb R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. * I는 구간이다. * I는 볼록 집합이다. * I는 순서 볼록 집합이다. * I=\varnothing이거나, I는 연결 공간이다. * I=\varnothing이거나, I는 경로 연결 공간이다. * I=\varnothing이거나, I는 호 연결 공간이다. 보다 일반적으로, 선형 연속체 (L,\le)의 부분 집합 S\subseteq L에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.mr=0464128153, Theorem 24.1 * S는 구간이다. * S는 순서 볼록 집합이다. * S=\varnothing이거나, L에 순서 위상을 가했을 때 S는 연결 공간이다.
## 폐포
실수 구간의 폐포는 다음과 같다.lccn=2016940817214, Lemma 9.1.12 :\operatorname{cl}(a,b)=\operatorname{cl}(a,b]=\operatorname{cl}[a,b)=\operatorname{cl}[a,b]=[a,b] :\operatorname{cl}(a,+\infty)=\operatorname{cl}[a,+\infty)=[a,+\infty) :\operatorname{cl}(-\infty,a)=\operatorname{cl}(-\infty,a]=(-\infty,a] :\operatorname{cl}(-\infty,+\infty)=(-\infty,\infty)
## 볼록 부분 격자
볼록 부분 격자 격자 L의 부분 집합 S\subseteq L에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * S는 부분 격자이며, 순서 볼록 집합이다. * S=I\cap F인 순서 아이디얼 I\subseteq L과 필터 F\subseteq L이 존재한다.
# 예
단위 구간 :[0,1]=\\{x\in\mathbb R\colon 0\le x\le 1\\} 은 0보다 크거나 그와 같고, 1보다 작거나 그와 같은 실수들의 집합이다. 구간 :(0,\infty)=\\{x\in\mathbb R\colon x>0\\} 은 모든 양의 실수들의 집합이다. 유리수의 전순서 집합 \mathbb Q의 부분 집합 :\\{x\in\mathbb Q\colon x^2<2\\}\subseteq\mathbb Q 는 순서 볼록 집합이지만, (\sqrt 2가 무리수이므로) \mathbb Q의 구간이 아니다.