오차 방정식

임계점을 가지는 오차함수의 그래프]] **오차 방정식**(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는 :ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 , \;a\ne 0 와 같다. 여기에서 a, b, c, d, e는 각각 x^5 , x^4 , x^3 , x^2, x 의 계수라고 한다. 또한 f는 상수항이라고 부른다. 그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 오차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다.
# 오차방정식의 근
갈루아와 아벨은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다.출처는 영문 위키피디아 종종 일반인들은 이 결과가 '5차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다. 실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다.
# 근과 계수와의 관계
오차방정식 \textstyle ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex+ f=0 의 다섯 근을 \textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon라고 하면, 다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다. :(x-\alpha) (x- \beta) (x- \gamma) (x- \delta) (x-\epsilon)=0 :x^5 -(\alpha+ \beta+ \gamma+ \delta+ \epsilon)x^4+(\alpha\beta+ \alpha\gamma+ \alpha\delta+ \alpha\epsilon+\beta\gamma+ \beta\delta+ \beta\epsilon+ \gamma\delta+ \gamma\epsilon+ \delta\epsilon )x^3 \- (\alpha\beta\gamma+ \alpha\beta\delta+ \alpha\beta\epsilon +\alpha\gamma\delta +\alpha\gamma\epsilon +\alpha\delta\epsilon +\beta\gamma\delta +\beta\gamma\epsilon+ \beta\delta\epsilon+ \gamma\delta\epsilon )x^2 :+(\alpha\beta\gamma\delta+ \alpha\beta\gamma\epsilon+ \alpha\beta\delta\epsilon+\alpha\gamma\delta\epsilon + \beta\gamma\delta\epsilon)x - \alpha\beta\gamma\delta\epsilon =0 또한, :\alpha+ \beta+ \gamma+ \delta+ \epsilon = -{ b \over a} :\alpha\beta+ \alpha\gamma+ \alpha\delta+ \alpha\epsilon+\beta\gamma+ \beta\delta+ \beta\epsilon+ \gamma\delta+ \gamma\epsilon+ \delta\epsilon = { c \over a} :\alpha\beta\gamma+ \alpha\beta\delta+ \alpha\beta\epsilon +\alpha\gamma\delta +\alpha\gamma\epsilon +\alpha\delta\epsilon + \beta\delta\epsilon +\beta\delta\gamma +\beta\gamma\epsilon+ \gamma\delta\epsilon = -{ d \over a} :\alpha\beta\gamma\delta+ \alpha\beta\gamma\epsilon+ \alpha\beta\delta\epsilon+\alpha\gamma\delta\epsilon + \beta\gamma\delta\epsilon= { e \over a} :\alpha\beta\gamma\delta\epsilon= -{ f \over a} 의 관계가 있다. 특히 각 항(x^5,x^4,x^3,x^2,x,f)에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼 수 있다. 5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을 \textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta,\epsilon라고 하면, 1개씩의 조합의 경우의 수는 , :\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{5!}{1! \cdot (5-1)!}= 5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {1! \cdot (4\cdot3 \cdot 2 \cdot 1) ={5 \over 1}=5 2개씩의 조합의 경우의 수는 , :\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{5!}{2! \cdot (5-2)!}= 5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {2! \cdot ( 3 \cdot 2 \cdot 1) =5\cdot4} \over {2\cdot1={20 \over 2}=10 3개씩의 조합의 경우의 수는 , :\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{5!}{3! \cdot (5-3)!}= 5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {3! \cdot (2\cdot1) =5\cdot4} \over {2\cdot1={20 \over 2}=10 4개씩의 조합의 경우의 수는 , :\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{5!}{4! \cdot (5-4)!}= 5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {4! \cdot (1) =5} \over {1=5 이다. 5개씩의 조합의 경우의 수는 , :\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{5!}{5! \cdot (5-5)!}= 5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {5! \cdot 0! =5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1={120 \over 120}=1 이다.
# 차고차항 압축 정리(취른하우스 변형)
:ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차항(n차항)의 x의 계수, a로 나눈 다음 \textstyle x=y- {b \over \mathbf{n} a}의 형태로 치환하면 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라 칭한다. 이 과정을 5차방정식에 적용시키면 다음과 같이 된다. 먼저, 최고차항의 계수로 양변을 나눈다. x^5+{b \over a}x^4+{c \over a}x^3+{d \over a}x^2+{e \over a}x+{f \over a}=0 그리고 y로 치환한다. x=y-{b \over \mathbf{5} a} 그러면, 방정식은 y^5+py^3+qy^2+ry+s=0 의 꼴로 정리된다. 여기서 p, q, r, s는 다음과 같다. p= -2b^2 +5ac} \over {5a^2 q= 4b^3-15abc+25a^2d} \over {25a^3 r= -3b^4+15ab^2 c-50a^2 bd+125a^3 e} \over {125a^4 s= 625a^3 be+4b^5 -25ab^3 c+125a^2 b^2 d+3125a^5 f} \over {3125a^5
# 일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들
**상반방정식** 5차 방정식은 차수가 홀수(기수)이므로 우선, 조립제법이나 다항식 장제법으로 (x\pm a)의 꼴과 4차 방정식으로 찻수를 낮추어 푼다. 예) :ax^5 + bx^4 + cx^3 + cx^2 + bx + a = 0 이 식은 먼저 하나의 해는 무조건 -1임을 알아야 한다. -1이 나올 수 있는 인수는 (x+1)이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은 :ax^4 + (-a+b)x^3 + (a-b+c)x^2 + (-a+b)x + a = 0 가 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다. **이항방정식** :x^5 \pm a = 0의 꼴은 이항방정식으로 a와 근의 계수 \omega를 찾아 5개의 근을 구할 수 있다.
# 오차방정식의 판별식
오차 방정식의 판별식은 59개항으로 이루어져 있다. 실베스터 행렬의 종결식을 사용한 소행렬식의 라플라스 전개로 5차방정식의 판별식 유도가 가능하다. :ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 을 :a_5 x^5+a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1x^1+a_0=0 으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬 M=(2n-1)\cdot(2n-1) : M=\begin{bmatrix} a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 &a;_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 &a;_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 &a;_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\\ 5a_5 &4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0a_0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 &5a_5 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0a_0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 &5a_5 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0a_0 & 0 \\\ 0a_0 & 0 & 0 &5a_5 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 \\\ 0 & 0a_0 & 0 & 0 &5a_5 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\\ \end{bmatrix} : D= (-1)^{n(n-1)\over 2} a_n^{-1} M : D= (-1)^{5(5-1)\over 2} a_5^{-1} M : D= (-1)^{20\over 2} a_5^{-1} M : D= (-1)^{10} a_5^{-1} M
# 브링-제라드 형태
오차 방정식이 오차 항, 선형 항 및 절대 항만 포함하는 경우 이 방정식은 브링-제라드 (Bring-Jerrard) 형식을확인날짜=2022-01-24 갖는다. 십구 세기 후반에 John Stuart Glashan, George Paxton Young, Carl Runge는 초등함수를 사용하여 항상 풀 수 있는 매개변수화를 발견했다: : x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x = \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} 그리고 이것은 이 방정식의 일반적인 해다: : x = \frac{2\mu\sqrt{20\nu + 15{5\sqrt[4]{\nu^2 + 1\cosh\biggl\\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{125\sqrt[4]{\nu^2 + 1}(2\sqrt{\nu^2 + 1} + 2\nu - 1)}{(20\nu + 15)^{3/2\biggr]\biggr\\} - : \- \frac{2\mu\sqrt{20\nu + 15{5\sqrt[4]{\nu^2 + 1\sinh\biggl\\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{125\sqrt[4]{\nu^2 + 1}(2\sqrt{\nu^2 + 1} - 2\nu + 1)}{(20\nu + 15)^{3/2\biggr]\biggr\\} 이것은 μ = 1 과 ν = 0에 대한 계산 예다: : x^5 + 15x = 12 : x = \tfrac{2}{5}\sqrt{15}\cosh[\tfrac{1}{5}\text{arcosh}(\tfrac{5}{9}\sqrt{15})] - \tfrac{2}{5}\sqrt{15}\sinh[\tfrac{1}{5}\text{arsinh}(\tfrac{5}{3}\sqrt{15})] 매개변수를 변경하여 다음과 같은 방정식 및 해결책 쌍을 설정할 수 있다: : x^5 + x = \frac{2}{5}y^{-5/4}\frac{(1 + y - y^2)\sqrt{2 + 2y^2{\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2 : x = \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\cosh\biggl\\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{5\sqrt{5 + 5y^2{(1 + 2y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2\biggr]\biggr\\} - : \- \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\sinh\biggl\\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{5y\sqrt{5 + 5y^2{(2 - y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2\biggr]\biggr\\} 이 해결책 공식은 모든 실수 값 0 < y < 2에 대해 유효하다.
# 모듈러 타원 함수를 통한 해결책
다음에서 이 방정식을doi=10.1007/bf03197334 일반화한다: : x^5 + x = w : x = \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\cosh\biggl\\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{5\sqrt{5 + 5y^2{(1 + 2y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2\biggr]\biggr\\} - : \- \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\sinh\biggl\\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{5y\sqrt{5 + 5y^2{(2 - y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2\biggr]\biggr\\} : y = \frac{5\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}^5\bigr\rangle^2}{2\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}\bigr\rangle^2} - \frac{1}{2} 이 공식은 아래에 설명되어 있다. 위의 방정식에서 다음 방정식이 생성된다: : w = \frac{2}{5}y^{-5/4}\frac{(1 + y - y^2)\sqrt{2 + 2y^2{\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2 방정식은 다음과 같이 재정렬될 수 있다: : \bigl(\frac{2y^5 - y^6}{1 + 2y}\bigr)^{1/2} = \sqrt{\frac{3125}{256}w^4 + 1} - \frac{25}{16}\sqrt{5}\,w^2 : \bigl(\frac{2y^5 - y^6}{1 + 2y}\bigr)^{1/2} = \sin\bigl\\{2\arcsin\bigl[\bigl(50\sqrt{5}\,w^2 + 32 + 2\sqrt{3125w^4 + 256}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{3125w^4 + 256} + 16} + 5\sqrt[4]{5}\,w\bigr)\bigr]\bigr\\} : y = \frac{5\vartheta_{00}\bigl\\{q\bigl[\bigl(50\sqrt{5}\,w^2 + 32 + 2\sqrt{3125w^4 + 256}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{3125w^4 + 256} + 16} + 5\sqrt[4]{5}\,w\bigr)\bigr]^5\bigr\\}^2}{2\vartheta_{00}\bigl\\{q\bigl[\bigl(50\sqrt{5}\,w^2 + 32 + 2\sqrt{3125w^4 + 256}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{3125w^4 + 256} + 16} + 5\sqrt[4]{5}\,w\bigr)\bigr]\bigr\\}^2} - \frac{1}{2}y = \frac{5\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}^5\bigr\rangle^2}{2\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}\bigr\rangle^2} - \frac{1}{2} 그리스 기호는 테타 야코비 테타 함수를 나타낸다: : \vartheta_{00}(z) = 1 + 2\sum_{k = 1}^{\infty} z^{k^2} : \vartheta_{00}(z) = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - z^{2k})(1 + z^{2k - 1})^2 놈 함수는 문자 q로 표시된다: : q(\varepsilon) = \exp[-\pi K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) K(\varepsilon)^{-1}] 문자 K는 제1종 완전 타원 적분을 나타낸다: : K(r) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-r^2\sin(\varphi)^2 \mathrm{d}\varphi 약어 ctlh 및 aclh로 렘니스케이트(lemniscate) 함수가issn=1029-242X 표시된다: : \mathrm{sl}(\varphi) = \tan\biggl\langle 2\arctan\biggl\\{\frac{4}{G}\sin\bigl(\frac{\varphi}{G}\bigr)\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cosh[(2k-1)\pi]}{\cosh[(2k-1)\pi]^2 - \cos(\varphi/G)^2}\biggr\\}\biggr\rangle : \mathrm{cl}(\varphi) = \tan\biggl\langle 2\arctan\biggl\\{\frac{4}{G}\cos\bigl(\frac{\varphi}{G}\bigr)\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cosh[(2k-1)\pi]}{\cosh[(2k-1)\pi]^2 - \sin(\varphi/G)^2}\biggr\\}\biggr\rangle : [\text{sl}(\varphi)^2 + 1][\text{cl}(\varphi)^2 + 1] = 2 : \text{ctlh}(\varrho) = \operatorname{cl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)\biggl[\frac{\operatorname{sl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2+1}{\operatorname{sl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2+\operatorname{cl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2}\biggr]^{1/2} : \text{aclh}(s) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\,\pi\,G - \int_{0}^{1} \frac{s}{\sqrt{s^4 t^4 + 1 \,\mathrm{d}t : G = \tfrac{1}{2}\sqrt{2\pi}\,\Gamma(\tfrac{3}{4})^{-2} : \text{ctlh}\bigl[\tfrac{1}{2}\mathrm{aclh}(s)\bigr]^2 = (2s^2 + 2 + 2\sqrt{s^4 + 1})^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{s^4 + 1} + 1} + s) : \text{sl}\bigl[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\mathrm{aclh}(s)\bigr] = \sqrt{\sqrt{s^4 + 1} - s^2} 문자 G는 가우스 상수를 나타낸다.
# 로저스 라마누잔 연속 분수
로저스 라마누잔 (Rogers Ramanujan) 연속 분수는확인날짜=2022-01-24 다음과 같이 정의된다: : R(z) = z^{1/5} \frac{(z;z^5)_{\infty}(z^4;z^5)_{\infty{(z^2;z^5)_{\infty}(z^3;z^5)_{\infty 두 개의 항목으로 구성된 대괄호 표현식은 포흐하머 기호를 나타낸다. : R(z) = \tan\biggl\\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z^{1/2})^2}{2\vartheta_{00}(z^{5/2})^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\\}^{2/5} \tan\biggl\\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z^{1/2})^2}{2\vartheta_{00}(z^{5/2})^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\\}^{1/5} : R(z^2) = \tan\biggl\\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\\}^{2/5} \tan\biggl\\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\\}^{1/5} : S(z) = \tan\biggl\\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\\}^{1/5} \cot\biggl\\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\\}^{2/5} : S(z) = \frac{R(z^4)}{R(z^2)R(z)} 이 공식을 기반으로 다음 공식 쌍을 만들 수 있다: : x^5 + x = w : x = \frac{S\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}\bigr\rangle^2} \times : \times \frac{1 - R\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}^2\bigr\rangle^2} \times : \times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\\}\bigr\rangle^3} 첫 번째 계산 예: : x^5 + x = 3 : x = \frac{S\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}\bigr\rangle^2} \times : \times \frac{1 - R\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^2\bigr\rangle^2} \times : \times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}\bigr\rangle^3}q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\} \approx 0.452374059450344348576600264284387826377845763909 : x \approx 1.132997565885065266721141634288532379816526027727 두 번째 계산 예: : x^5 + x = 7 : x = \frac{S\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}\bigr\rangle^2} \times : \times \frac{1 - R\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^2\bigr\rangle^2} \times : \times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\}\bigr\rangle^3}q\\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\\} \approx 0.53609630892200161460073096549143569900990236 : x \approx 1.4108138510595771319852918753499397839215989