베다 수학

날짜=2008-2-29 《**베다 수학**》 (Vedic mathematics)은 인도의 수학자 스와미 바라타 크리슈나 티르타가 쓴 수학 책이다. 구전(口傳)으로만 전해온 브라만의 경전, 베다(Veda)경전의 계산과 수학에 관련된 수트라(Sutura)의 야타르바 베다(Atharva-veda)의 원문을 모두 해석하고 16개의 수트라와 13개의 술바수트라스(이 법칙의 파생)를 재구성한 베다수학은 인도 지역에서 전통적으로 발전해온 수학이다.date = 2014-08-15
# 16가지 중요 수트라(격언,규칙)
# 하나 앞의 수보다 하나 많게 # 모두 9에서, 마지막은 10에서 # 수직 방향으로, 십자 방향으로 # 이항하여 적용하기 # 사무카야가 같다면 사무카야는 0이다 # 1이 비례하면 다른 것은 0이다 # 더하기, 빼기 # 완성 혹은 미완성 # 미적분 # 버리기 # 특정적, 일반적 # 마지막 수의 나머지 # 끝자리 수, 뒤에서 두 번째 자리 수의 두 배 # 하나 앞의 수보다 하나 적게 # 덧셈의 결과 # 모두 곱한 수(승수)
# 베다 수학 덧셈
하나의 예를 들자면 45+27은 다음과 같은 순서로 계산한다. 40,60,70,72 다음은 베다 수학의 덧셈 방법이다. # 40 + 20 = 60를 더하고 60을 기억한다. # 5 + 7 = 12을 더하고 2를 기억하고 10을 앞으로 넘긴다. # 60과 10을 더해 70을 기억한다. # 70과 2를 더한 72가 답이다. 비교를 위해 일반 수학의 덧셈 방법을 아래에 제시한다. # 5 + 7 = 12를 더하고 2을 기억하고 10을 앞으로 넘긴다. # 40 + 20 = 60을 더하고 60을 기억한다. # 60과 10을 더해 70을 기억한다. # 70과 2를 합친 72가 답이다.
# 베다 수학 뺄셈
다음은 베다수학의 뺄셈 방법이다.
## 1의 자리에 받아내림이 있는 경우
예를 들어, 97-19는 다음과 같이 계산한다. 97 - 19 = 78 # 뺄셈에서 빼는 수에 보수를 더하여 10의 배수로 만든다 # (2)의 결과에 보수를 더한다. (77 + 1 = 78)
## 백이나 천에서 1의자리가 0이 아닌 수를 뺄 경우
1000-146은 다음과 같이 계산한다. # 100의 자리와 10의 자리는 더해서 9가 되는 수의 보수를 찾는다. (99 - 14 = 85 ) # 1에 1의 자리를 더해서 10이 되는 수를 찾는다. (1000 - 146 = 854)
# 베다 수학 곱셈
베다 수학의 곱셈 방법은 특별하고 다양하다. 암산:예를 들어 45\times27은 다음과 같은 순서로 계산한다. 다음은 인도 수학의 곱셈 방법이다. # 40과 20을 곱한 40 \times 20 = 800에서 800을 기억한다. # 40과 7을 곱한 40 \times 7 = 280에서 80을 기억하고 200을 앞으로 넘긴다. # 800 대신, 800과 200를 더한 1000을 기억한다. # 5와 20을 곱한 5 \times 20 = 100에서 0을 기억하고 100을 앞으로 넘긴다. # 1000 대신, 1000과 100을 더한 1100을 기억한다. # 5와 7을 곱한 5 \times 7 = 35에서 5를 기억하고 30을 앞으로 넘긴다. # 80대신, 80 + 30 = 110에서 100과 10을 앞으로 넘긴다. # 1100 대신, 1100과 100을 더한 1200을 기억한다. # 기억한 숫자들인 1200 + 10 + 5 = 1215가 답이다. 필산1:교차 곱셈을 한다. 예를 들어, 53\times77은 다음과 같은 순서로 계산한다. # 필산식을 쓴다. # 10의 자리 수 5와 7을 곱한 35를 기억한다. # 교차하여 5와 7, 3과 7을 각각 곱한 결과 35와 21을 더한 56을 기억한다. # 1의 자리 수 3과 7을 곱한 21을 기억한다. # 나란히 순서대로 쓴 뒤, 순서대로 쓴 후에 10이 넘는 수는 올림을 해서 계산한다. # (5)의 과정대로 하면, 35(5)6(2)1이 되므로, 4081이 답이 된다. 필산2:보수 계산을 한다. 예를 들어, 88\times97은 다음과 같은 순서로 계산한다. # 필산식을 쓴다. # 100을 기본수로 하여 88과 97의 보수 12와 3을 각각의 수 오른쪽에 적는다. # 서로 교차하여 뺀 수(88 - 3, 97 - 12) 85를 기억한다. # 보수 12와 3을 곱한 수 36을 기억한다. # (2)의 수와 (3)의 수를 나란히 쓰면 답이 된다. 순서대로 쓴 후에 10이 넘는 수는 올림을 해서 계산한다. # (5)의 과정대로 하면 8536이 답이 된다. 일반 수학의 곱셈과 차이점은 덧셈에서도 보았듯이 높은 자리수부터 먼저 계산해서 아래로 내려간다.
## 1의 자리가 작은 두 자리 수
36×11은 다음과 같이 계산한다. # 10의 배수 + 1의 자리로 곱하는 수를 변형한다. (11 = 10 + 1) # 10의 배수를 곱한다. (36 × 10 = 360) # 곱하려는 수 ×1의 자리수를 (2)에 더한다. (360 + (36 × 1) = 396)
## 1의 자리가 큰 두 자리 수
32×19는 다음과 같이 계산한다. # '10의 배수 - 보수'로 곱하는 수를 변형한다. (19 = 20 - 1) # 10의 배수를 곱한다. (32 × 20 = 640) # 곱하려는 수 × 보수를 (2)에 뺀다. (640 - 32 × 1 = 608)
## 짝수와 1의 자리에 5가 있을 때
14×45는 다음과 같이 계산한다. # 곱하려는 수를 'x × 2'로 변형한다. (14 = 7 × 2) # '2'와 곱하는 수를 곱한다. (2 × 45 = 90) # 'x'와 (2)를 곱한다. (7 × 90 = 630)
## 25를 곱할 때
48×25는 다음과 같이 계산한다. # # 곱하려는 수에 '100'을 곱한다. (48 × 100 = 4800) # (2)를 4로 나눈다. (4800 ÷ 4 = 1200)
## 4의 배수와 25의 배수를 곱할 때
24×75는 다음과 같이 계산한다. # 곱하려는 수를 'x × 4'로 변형한다. (24 = 6 × 4) # 곱하는 수를 'y × 25'로 변형한다. (75 = 3 × 25) # 'x × y'에 '100'을 곱한다. (6 × 3 × 100 = 1800)
## 두 개의 수가 11~19 사이에 있을 때
13×12는 다음과 같이 계산한다. # 곱하려는 수에 곱하는 수의 1의 자리를 더한다. (13 + 2 = 15) # 1의 자리끼리 곱한다. (3 × 2 = 6) # (1)에 10을 곱해서 (2)를 더한다. (15 × 10 + 6 = 156)
## 두 개의 수 중 10의 자리가 같을 때
23×22는 다음과 같이 계산한다. # 곱하려는 수에 곱하는 수의 1의 자리를 더한다. (23 + 2 = 25) # 1의 자리끼리 곱한다. (3 × 2 = 6) # (1)에 '10의 자릿수 × 10'을 곱해 (2)를 더한다. (25 × 2 × 10 + 6 = 506).
## 두 개의 수 모두 1의 자리가 5일 때
55×75는 다음과 같이 계산한다. # 10의 자리끼리 곱한다. (5 × 7 = 35) # 10의 자리끼리 더해서 2로 나눈다. ((5 + 7) ÷ 2 = 6) # (1)과 (2)를 더해서 100을 곱해 25를 더한다. ((35 + 6) × 100 + 25 = 4125)
## 10의 자리가 같고 1의 자리끼리 더해서 10이 될 때
81×89는 다음과 같이 계산한다. # 10의 자릿수 + 1과 10의 자리를 곱한다. ((8 + 1) × 8 = 72) # 1의 자리끼리 곱한다. (1 × 9 = 9) # (1)에 100을 곱해 (2)를 더한다. (72 × 100 + 9 = 7209)
## 1의 자리가 같고 10의 자리끼리 더해서 10이 될 때
43×63은 다음과 같이 계산한다. # 10의 자리끼리 곱해서 1의 자리를 더한다. (4 × 6 + 3 = 27) # 1의 자리끼리 곱한다. (3 × 3 = 9) # (1)에 100을 곱하고 (2)를 더한다. (27 × 100 + 9 = 2709)
## 두 개의 수의 평균이 10의 배수가 될 때
19×21은 다음과 같이 계산한다. # 두 개의 수의 평균을 구한다. ((19 + 21) ÷ 2 = 20) # 평균에 대한 최솟값의 보수를 구한다. (20 - 19 = 1) # 평균 × 평균에서 보수 × 보수를 뺀다. (20 × 20 - 1 × 1 = 399)
## 두 개 수가 100에 가까울 때
98×97은 다음과 같이 계산한다. # 100에 대한 두 개 수의 보수를 구한다. (100 - 98 = 2, 100 - 97 = 3) # 100에서 두 개의 보수를 더한 수를 뺀다. (100 - (2 + 3) = 95) # (2)에 100을 곱해서 2 개의 보수를 곱한 수를 더한다(95 × 100 + 2 × 3 = 9506)
## 십의자리수가 0인 3자리수
103×104는 다음과 같이 계산한다. # 곱하는수와 곱하려는 수의 1의 자리수를 더한다. (103 + 4 = 107) # 1의 자리수를 곱한다. (3 × 4 = 12) # (1)에 100을 곱하고 (2)를더한다. (107 × 100 + 12 = 10712)
## 어떤수에 11을 곱할 때
16×11은 다음과 같이 계산한다. # 곱하려는 수를 양쪽으로 벌린다. (1□6) #곱하려는 수의 일의 자리수와 십의자리수를 빈칸 안에 넣는다. (176)
# 베다 수학 제곱
제곱의 계산 방법은 다음과 같다. 9의 제곱은 다음과 같이 계산한다. # 가장 가까운 제곱 수인 109 ~ 1010을 쓴다. 이때, 지수가 10을 넘지 않도록 한다. # 최대 수 9에서 최소 수 1을 뺀다. (9 - 1 = 8) 그리고 왼쪽에 답을 쓴다. # 그리고 오른쪽의 제곱을 계산하여, 12을 계산한다. 그리고 오른쪽에 그 답을 쓰면 9의 제곱은 81이 된다. 비슷하게 82 = 64, 72 = 49. 다음은 거듭제곱 계산 예제이다: :11^2 = (11+1)\cdot 10+1^2 = 121.\, :12^2 = (12+2)\cdot 10+2^2 = 144.\, :14^2 = (14+4)\cdot 10+4^2 = 18\cdot10+16 = 196.\, :25^2 = [(25+5)\cdot 2]\cdot 10+5^2 = 625.\, :35^2 = [(35+5)\cdot 3]\cdot 10+5^2 = 40\cdot3\cdot10+25 = 1225.\, 이때 위 5개 식에서의 공통 공식은 a^2 = (a+b)(a-b) + b^2 이다. 이 공식에서 역시 지수가 10을 넘지 않도록 한다.
# 베다 수학으로 방정식 풀기
이 부분은 **사무카야가 같다면 사무카야는 0이다** 부분에 나온다. 수학에서 주어진 방정식을 푸는 것은 어려운 일이다. 산스크리트어로는 **사무카야**라고 부른다. 여기서 언급하는 방정식 역시 베다 수학으로 풀 수 있다. 그 중에서 가장 간단한 일차방정식인 "12*x* - 3*x* = 4*x* + 5*x*"를 풀어보자. 여기서 일차방정식의 해 "*x*"는 *x* = 0이다. 여기서 **사무카야가 같다면 사무카야는 0이다**가 베다 수학의 또 한가지 수트라로 나온 것이다. 그리고 또 다른 일차방정식인 (*x* + 7) (*x* + 9) = (*x* + 3) (*x* + 21)을 풀어보자. 이 방정식(사무카야) 역시 수트라의 원리를 이용하면 *7* × 9 = 3 × 21로 나와서 *x* = 0 이 답이 된다. 그렇다면 분수방정식은 어떻게 푸는 건지 분수방정식 1/ (2*x* − 1) + 1/ (3*x* − 1) = 0을 풀어보자. 이것을 일차방정식으로 간략화하면 5*x* – 2 = 0이 나온다. 이 일차방정식의 답은 x = 2/5이다. 그러면 계수가 높고 분수의 분자와 분모가 모두 일차식으로 되어 있는 분수방정식은 어떻게 푸는 건지 아래의 주어진 방정식으로 풀어 보자. :{2x+9 \over 2x+7}={2x+7 \over 2x+9}. 위 분수방정식을 일차방정식화하면 4*x* + 16 = 0이 되어서 답은 *x* = −4가 된다. 이제 이 답이 어떻게 나오는지 알아보자. 베다 수학을 이용하여 위의 분수방정식을 풀 때 필요한 두 가지는 *N*1, *N*2, *D*1, *D*2이다. *N*1/*D*1 = *N*2/*D*2이고 *N*1 \+ *N*2 = *D*1 \+ *D*2 라면 합은 0이 된다. 위 식에서의 해를 구하기 전에 나오는 답은 *x*2이다. 그리고, 만약 *N*1 − *D*1 = *N*2 − *D*2라면 *사무카야*는 0이 된다. 그리고 그 방정식의 해는 제곱근으로 나오며 무리방정식의 형태로 된다. 아래의 주어진 분수방정식과 위에서 언급한 식으로 풀어 보자. :{1 \over x-7}+{1 \over x-9}={1 \over x-6}+{1 \over x-10}. 그러면 *D*1 \+ *D*2 = *D*3 \+ *D*4 = 2*x* − 16일 때는 어떻게 되는지 알아보면 답은 *x* = 8이다. 위의 주어진 분수방정식을 간단하게 해 보자. 약분을 하고 분수를 없애면 다음과 같이 정수형의 삼차방정식으로 된다. :(x-3)^3+(x-9)^3=2(x-6)^3. 여기서 일차방정식으로 줄이면 *x* − 3 + *x* − 9 = 2 (*x* − 6), (*x* − 6) = 0 or *x* = 6이 된다. 그러나 진짜는 위의 방정식을 복소수화시키는 것이므로 (x-3)^2+(x-9)^2=2(x-6)^2를 복소수화 시키면 :{(x+3)^3 \over (x+5)^3}={x+1 \over x+7}. 이 되어서 일차방정식은 *N*1 \+ *D*1 = *N*2 \+ *D*2 = 2*x* + 8이 되어 *x* = −4가 된다.
## 베다 수학으로 연립방정식 풀기
아래의 수식은 모두 x와 y의 계수가 보통과 다르게 큰 숫자로 되어 있다. 그러나 잘 보면 아래의 두 개의 식은 비례 관계가 있음을 알 수 있다. 예를 들면 다음과 같다: :6*x* + 7*y* = 8 :19*x* + 14*y* = 16 위의 두 방정식에서 잘 보면 y의 계수가 위쪽은 7, 아래쪽은 14이므로 1 : 2의 비를 이루고 있음을 알 수 있다. 따라서 나머지 1 : 2, 즉 8과 16은 0이 되어 *x* = 0이 된다. 이렇게 하면 위 연립방정식은 *x* = 0, *y* = 8/7의 해를 갖는다. (다른 예: :19*x* + 14*y* = 16의 절반은 :(19/2)*x* +7*y* = 8. 이렇게 x의 계수가 정확한 비가 되지 않을 경우, 비가 없는 경우이므로, 반드시 2로 나누어야 한다!) 이렇게 하여 연립방정식을 만들면 :6*x* + 7*y* = 8 :12*x* + 14*y* = 16 연립방정식 만들기는 아주 쉽다. 아래의 형식을 그대로 따라서 x, y, 그리고 z의 계수를 정하여 만들면 된다: :*ax* + *by* + *cz* = *a* :*bx* + *cy* + *az* = *b* :*cx* + *ay* + *bz* = *c* 위에서는 *x* = 1, *y* = 0, *z* = 0. 아래의 방정식은 x와 y의 계수가 서로 바뀌어 있다. 즉 위쪽은 x의 계수가 45, y의 계수가 23이지만, 아래쪽은 x의 계수가 23, y의 계수가 45인 형태이다: :45*x* − 23*y* = 113 :23*x* − 45*y* = 91 더하면 : 68*x* − 68 *y* = 204 → 68 (*x* − *y*) = 204 → *x* − *y* = 3. 빼면 : 22*x* + 22*y* = 22 → 22 (*x* + *y*) = 22 → *x* + *y* = 1. 다시 더하면 : 2x = 4이므로 따라서 x = 2가 된다. 또다시 빼면 : – 2y = 2이므로 따라서 y = –1이 된다. 따라서 위 방정식의 해집합은 {2, -1}이 된다.
# 베다 수학으로 1/19 계산하기
분수 1/19는 2와 5 모두 나누어떨어지지 않는다. 그러면 직접 1/19를 필산하여 계산하는 수밖에 없다. 그러나 이것은 매우 복잡하고 많은 시간이 걸린다. 2와 5 또는 10 만 있으면 1/19를 구할 수 있다. 일단 맨 처음 1을 쓴다.

1

그리고 1을 두 배한 수 2를 1 앞에 쓴다.

21

2를 두 배 곱한 수 4, 4를 두 배 곱한 수 8를 각각 4는 2 앞에, 8은 4 앞에 쓴다.

421 → 8421

그렇게 되면 다음과 같이 자리올림수 1이 나온다.

68421

1 ← 올림수

그리고 다시 곱하는데 이때 곱하는 수는 6과 2를 곱하여 12 가 된다. 여기서 자리올림수 1 을 더하여 13을 쓴다.

368421

1 ← 올림수

계속하게 되면 다음과 같이 된다.

7368421 → 47368421 → 947368421

1

지금까지 우리는 9자리 수까지 계산하였다. 계산하여 18 자리가 되어야 한다. 지금까지 계산한 값의 1/2의 자릿수를 최소가 되게 배열하면 다음과 같이 된다.

052631578947368421

계산한 결과는 1/19 = 0.052631578947368421 이 된다. 다음은 계산 과정을 나타낸 것이다.

1
21
421
8421
68421 (올림수 1) – 8을 두 배하면 16이 되는데, 이 때는 일의 자리수만 쓴다. 올림수는 그대로 남겨둔다.
368421 (올림수 1) – 6을 두 배하면 6*2 + 올림수 1 = 13이 되는데, 역시 일의 자리수만 쓴다. 올림수는 그대로 남겨둔다.

18자리까지 계산하게 되면 (19–1. 이것은 1/29의 경우는 28 자리까지) 다음과 같이 된다.
1/19 = 052631578947368421
10100111101011000

# *x*를 곱하기

## 5를 곱하기
# 의외로 간단한 문제이다. x의 일의 자리 수가 1씩 올라갈 때마다 곱셉한 수도 5씩 올라가게 된다. # 이렇게 하면 곱한 수는 항상 홀수가 된다. **42x5=210** ← 4=2,2=1 **43x5=215** ← 홀수
## 6을 곱하기
# 5와 곱하는 방법과 역시 간단한 방법이다. # x의 일의 자리 수가 1씩 상승하면, 곱셈수에 5를 더한다. 6 × 357 = 2142
계산하면,
7 은 홀수이므로 5를 더한다. 12가 되는데, 10을 초과하므로 2를 쓰고 1은 올림수로 남겨둔다.
5 + 1/2 of 7 (3) + 5 (5를 더한다) + 1 (자리올림) = 14. 4를 쓰고, 1은 올림수로 남겨둔다.
3 + 1/2 of 5 (2) + 5 (5를 더한다) + 1 (자리올림) = 11. 1을 쓰고, 1은 올림수로 남겨둔다.
0 + 1/2 of 3 (1) + 1 (자리올림 한다) = 2. 2를 쓴다.
## 7을 곱하기
# 수의 1/2를 더한다. # 수가 홀수이면 5를 더한다. ex) 46×7=322
## 8을 곱하기
# 10에서 1의 자리수를 뺀다. # 9에서 10의 자리수를 뺀다. # 두 개의 뺄셈 결과를 더한다. # 그리고 2를 더한다.
## 9를 곱하기
이 방법은 어려우므로 차근차근 해 보자. # 10에서 1의 자리수를 뺀다. # 만약 계속 계산이 가능하면 9에서 10의 자리수를 빼고 더한다. # 마지막으로 1을 뺀 값을 쓴다. 2,130 × 9 = 19,170 # 10 - 0 = 10. 0을 쓰고, 1은 자리올림수로 남겨둔다. # 9 - 3 = 6; 6 + 0 + 1 (자리올림) = 7. 7을 쓴다. # 9 - 1 = 8; 8 + 3 = 11. 1을 쓴다. 1은 자리올림수로 남겨둔다. # 9 - 2 = 7; 7 + 1 + 1 (자리올림) = 9. 9를 쓴다. # 2 - 1 = 1. 1을 쓴다.