스토크스 변수

**스토크스 변수**는 (가시광선 등을 포함한) 전자기파의 편광 상태를 설명하기 위해 도입된 값이다. 이 변수들은 1852년 조지 가브리엘 스토크스에 의해, 결맞지 않거나 부분 편광된 광선에서 전체 광량 (Intensity, *I*), 편광도(Degree of polarization, *p*), 그리고 편광 타원의 모양변수 등에 대한 일반적인 설명을 간편하게 수학적으로 대체하기 위해 도입되었다. 스토크스 변수와 광량, 편광 타원의 매개변수들 사이의 관계는 다음의 관계식과 그림에 나타나 있다. 포앵카레 구면 : \begin{matrix} S_0 &=& I \\\ S_1 &=& I p \cos 2\psi \cos 2\chi\\\ S_2 &=& I p \sin 2\psi \cos 2\chi\\\ S_3 &=& I p \sin 2\chi \end{matrix} 여기에서 I p, 2\psi, 2\chi는 스토크스 변수 S_1, S_2, S_3를 3차원 공간상에 표현했을 때 편광 상태의 구면 좌표계 성분들이다. 위 식에서 \psi 앞의 상수 2는 어떤 편광 타원이든 180°회전시 구분할 필요가 없음을 뜻하고, \chi 앞의 2는 타원의 반축 길이가 90°회전과 연계되어 바뀜을 가리킨다. 네 스토크스 변수들은 각각 *I*, *Q*, *U*, *V*로 쓰이기도 한다. 스토크스 변수들이 주어지면 각각의 구면 좌표계 성분은 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다. 편광 타원 : \begin{matrix} I &=& S_0 \\\ 2\psi &=& \tan^{-1} \frac{S_2}{S_1}\\\ 2\chi &=& \tan^{-1} \frac{\cos 2\psi}{S_1}\\\ p &=& \frac{s3}{I \sin 2\chi}\\\ \end{matrix}
# 스토크스 벡터
스토크스 변수들은 종종 스토크스 벡터라 불리는 벡터의 형태로 사용된다. : \vec S \ = \begin{pmatrix} S_0 \\\ S_1 \\\ S_2 \\\ S_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I \\\ Q \\\ U \\\ V\end{pmatrix} 스토크스 벡터는 무편광(unpolarized), 부분편광(partially polarized), 또는 완전편광(totally polarized)된 빛의 공간을 생성(span)한다. 참고로, 존스 벡터는 완전편광된 빛의 공간만 생성할 뿐이지만 결맞은 빛의 문제를 해결하는 데에는 더 유용하기 때문에 널리 쓰인다. 사실 네 개의 스토크스 변수는 공간에서의 축요소(basis)로 쓸 수 있는 것도 아니지만, 측정하거나 계산하기 쉽기 때문에 선택한 것이다. 광학계의 편광 효율는 입사광의 스토크스 벡터 집합에 뮬러 행렬을 곱하면 빛이 광학계를 투과한 후의 스토크스 벡터를 구하면서 바로 확인할 수 있다.
## 예시
다음 예시는 일반적인 빛의 몇몇 편광 상태를 스토크스 벡터로 표현한 것이다. {| class="wikitable bordered" |- !편광형태 |선형편광 (수평)||선형편광 (수직)||선형편광 (+45˚)||선형편광 (-45˚) |- !스토크스 벡터 | \begin{pmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 0 \\\ 0\end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 1 \\\ -1 \\\ 0 \\\ 0\end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 1 \\\ 0\end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ -1 \\\ 0\end{pmatrix} |- !편광형태 |우원편광||좌원편광||무편광 |- !스토크스 벡터 | \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 1\end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \\\ -1\end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0\end{pmatrix} |}
# 다른 방식의 설명
right 단색 평면파는 전파되는 방향의 벡터(propagation vector) \vec{k}와 축요소가 (\hat{\epsilon}_1,\hat{\epsilon}_2)일 때 전기장의 복소수 진폭 E_1, E_2의 관계식으로 표현할 수 있다. 또한, 전파 벡터, 위상 \phi, (그리고 고정된 평면에서 전기장의 변화 곡선을 투영한) 편광 상태 \Psi의 관계식으로 표현할 수도 있다. 널리 알려진 편광 상태인 직선편광과 원편광은 가장 일반적인 타원편광의 특수한 경우라 할 수 있다. 일반적인 타원편광은 편광 타원의 반장축(半長軸; 타원의 장축 길이 절반) A와 반단축(半短軸; 타원의 단축 길이 절반) B인 타원이 *x* 축에서 \theta만큼 회전한 것으로 설명할 수 있다 (오른쪽 그림 참조). 스토크스 변수 *I*, *Q*, *U*, *V*는 실험적으로 편광 상태를 설명할 때 편리하게 사용되는데, 각 변수들이 측정된 광도의 합이나 차와 바로 연관되기 때문이다. 다음 그래프들은 특수한 경우 스토크스 변수들의 예이다. center
## 정의
스토크스 변수는 다음과 같이 정의된다. : \begin{matrix} I & \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ & |E_x|^{2}+|E_y|^{2}, \\\ & = & |E_a|^{2}+|E_b|^{2}, \\\ & = & |E_l|^{2}+|E_r|^{2}, \\\ Q & \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ & |E_x|^{2}-|E_y|^{2}, \\\ U & \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ & |E_a|^{2}-|E_b|^{2}, \\\ V & \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ & |E_l|^{2}-|E_r|^{2}, \end{matrix} 여기서 밑에 쓰인 문자들은 각각 세 축요소를 뜻한다. 데카르트 좌표에서 (\hat{x},\hat{y}), **데카르드 좌표계**를 45°회전시킨 경우의 (\hat{a},\hat{b}), 원통 좌표계에서 (\hat{l},\hat{r}). 원통 좌표계에서 \hat{l} = (\hat{x}+i\hat{y})/\sqrt{2}이다. 다음 그림은 스토크스 변수의 부호가 편광 타원의 반장축 방향과 회전방향에 따라 어떻게 바뀌는지 보여준다. center
## 고정된 축에 대한 표현
고정된 (\hat{x},\hat{y})에 대해, 스토크스 변수는 다음과 같다. : \begin{matrix} I&=&|E_x|^2+|E_y|^2, \\\ Q&=&|E_x|^2-|E_y|^2, \\\ U&=&2\mbox{Re}(E_x^*E_y), \\\ V&=&2\mbox{Im}(E_x^*E_y), \\\ \end{matrix} 반면, (\hat{a},\hat{b})에 대해선, : \begin{matrix} I&=&|E_a|^2+|E_b|^2, \\\ Q&=&-2\mbox{Re}(E_a^{*}E_b), \\\ U&=&|E_a|^{2}-|E_b|^{2}, \\\ V&=&2\mbox{Im}(E_a^{*}E_b). \\\ \end{matrix} 이고, (\hat{l},\hat{r})에 대해선 : \begin{matrix} I &=&|E_l|^2+|E_r|^2, \\\ Q&=&2\mbox{Re}(E_l^*E_r), \\\ U & = &-2\mbox{Im}(E_l^*E_r), \\\ V & =&|E_l|^2-|E_r|^2. \\\ \end{matrix} 이 된다.
## 속성
순수한 단색의 결맞은 빛(monochromatic coherent light)의 경우엔 : \begin{matrix} Q^2+U^2+V^2 = I^2, \end{matrix} 이지만, 보통의 백색광(결맞지 않은)의 경우에 스토크스 변수는 평균값으로 정의되고, 위의 등식은 다음과 같은 부등식이 된다. : \begin{matrix} Q^2+U^2+V^2 \le I^2. \end{matrix} 그러나, 여기에서 총 편광량(total polarized intensity) I_p를 정의해서 : \begin{matrix} Q^{2} + U^2 +V^2 = I_p^2, \end{matrix} 로 쓸 수 있고, I_p/I는 전체 편광 비율이 된다. 선형편광시 복소 광량을 다음과 같이 정의해보자. : \begin{matrix} L & \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ & |L|e^{i2\theta} \\\ & \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ & Q +iU. \\\ \end{matrix} 편광 타원에서 \theta \rightarrow \theta+\theta'로 회전했을 때, *I* 와 *V*는 불변이지만, : \begin{matrix} L & \rightarrow & e^{i2\theta'}L, \\\ Q & \rightarrow & \mbox{Re}\left(e^{i2\theta'}L\right), \\\ U & \rightarrow & \mbox{Im}\left(e^{i2\theta'}L\right).\\\ \end{matrix} 이 되어, 스토크수 변수들의 다음과 같은 경향성을 추론할 수 있다. : \begin{matrix} I & \ge & 0, \\\ V & \in & \mathbb{R}, \\\ L & \in & \mathbb{C}, \\\ \end{matrix} 여기서 *I*는 전체 광량을 의미하고, |V|, |L|은 각각 원편광, 선형편광된 광량을 뜻한다. 이때 전체 편광된 광량 I_p=\sqrt{L^2+V^2}이고, 타원축의 방향과 회전은 다음과 같이 주어지게 된다. : \begin{matrix} \theta &=& \frac{1}{2}\arg(L), \\\ h &=& \sgn(V). \\\ \end{matrix} 여기서 Q=\mbox{Re}(L)이고 U=\mbox{Im}(L)이기 때문에, : \begin{matrix} |L| &=& \sqrt{Q^2+U^2}, \\\ \theta &=& \frac{1}{2}\tan^{-1}(U/Q). \\\ \end{matrix} 이 된다.
## 편광 타원과의 관계
편광 타원에서 매개변수들은 스토크스 변수인 : \begin{matrix} I_p & = & A^2 + B^2, \\\ Q & = & (A^2-B^2)\cos(2\theta), \\\ U & = & (A^2-B^2)\sin(2\theta), \\\ V & = & 2ABh. \\\ \end{matrix} 를 가리키며, 위 식을 통해 : \begin{matrix} A & = & \sqrt{\frac{1}{2}(I_p+|L|)} \\\ B & = & \sqrt{\frac{1}{2}(I_p-|L|)} \\\ \theta & = & \frac{1}{2}\arg(L)\\\ h & = & \sgn(V). \\\ \end{matrix} 임을 알 수 있다.