슈톨츠-체사로 정리

미적분학 해석학에서 **슈톨츠-체사로 정리**(Stolz–Cesàro theorem)는 두 수열의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 체사로 평균의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈의 정리의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을 사용한다.
# 정의
두 실수열 (a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. * 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다. ** (0에 수렴하는 순단조수열) b_1이거나 b_1>b_2>\cdots이며, 또한 \lim_{n\to\infty}b_n=0 ** (양의 무한대에 수렴하는 순증가수열) b_1이며, \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty (이는 무계 순증가수열과 동치이다.)isbn=978-7-301-15685-8 ** (음의 무한대에 수렴하는 순감소수열) b_1>b_2>\cdots이며, \lim_{n\to\infty}b_n=-\infty (이는 무계 순감소수열과 동치이다.) * (계차수열의 비의 넓은 의미 수렴) \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\in\mathbb R\sqcup\\{\pm\infty\\} 그렇다면, **슈톨츠-체사로 정리**에 따르면 다음이 성립한다. * \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\in\mathbb R\sqcup\\{\pm\infty\\}
# 증명
가장 기본적인, (b_n)_{n\in\mathbb N}이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의하자. :\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\ell 그렇다면, (b_n)_{n\in\mathbb N}이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의 \epsilon>0에 대하여, N\in\mathbb N이 존재하여, 임의의 n\ge N에 대하여 다음이 성립한다. :(\ell-\epsilon)\Delta b_n0\qquad\forall n\in\mathbb N * (b_n)_{n\in\mathbb N}은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다. * \lim_{n\to\infty}\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1{a_n\in\mathbb R\sqcup\\{\pm\infty\\} 그렇다면, 다음이 성립한다. * \lim_{n\to\infty}\sqrt[b_n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1{a_n\in\mathbb R\sqcup\\{\pm\infty\\}
## 일반화
슈톨츠-체사로 정리의 일반화된 형식은 다음과 같다.url-status= 실수열 (a_n)_{n\in\N}과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열 (b_n)_{n\in\N}에 대하여 다음이 성립한다. :\liminf_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\le\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} \le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}
# 예
슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구해보자. :\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1=\frac{1}{k+1}\qquad(k\in\mathbb N) 분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, (n^{k+1})_{n\in\mathbb N}\qquad(k\in\mathbb N)는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다. :\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1 &=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1\\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n^k+kn^{k-1}+\cdots}{(k+1)n^k+\frac{k(k+1)}2n^{k-1}+\cdots}\\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1+k\cdot\frac1n+\cdots}{(k+1)+\frac{k(k+1)}2\cdot\frac1n+\cdots}\\\ &=\frac1{k+1}\end{align}
## 평균의 극한
슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 일부 평균의 극한에 대한 명제를 증명할 수 있다. 즉, \lim_{n\to\infty}a_n=a인 실수열 (a_n)_{n\in\mathbb N}에 대하여 다음이 성립한다. :(산술 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a :(기하 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=a :(조화 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n=a :(멱평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[p]\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p}n=a\qquad(p\ne0) :(일반화된 f-평균의 극한) \lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}n\right)=a (f는 가역 연속 함수) 마찬가지로, 다음이 성립한다. (여기서 w_n>0\forall n\in\mathbb N이며 \sum_{n=0}^\infty w_n=+\infty이다.) :(가중 산술 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{w_1a_1+w_2a_2+\cdots+w_na_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}=a :(가중 기하 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[w_1+w_2+\cdots+w_n]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n=a :(가중 조화 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{w_1+w_2+\cdots+w_n}{\frac{w_1}{a_1}+\frac{w_2}{a_2}+\cdots+\frac{w_n}{a_n=a :(가중 멱평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[p]\frac{w_1a_1^p+w_2a_2^p+\cdots+w_na_n^p}{w_1+w_2+\cdots+w_n}=a :(가중 일반화된 f-평균의 극한) \lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\frac{w_1f(a_1)+w_2f(a_2)+\cdots+w_nf(a_n)}{w_1+w_2+\cdots+w_n}\right)=a (f는 가역 연속 함수)
## 기타
슈톨츠-체사로 정리는 로피탈의 정리의 증명에 사용될 수 있다.
# 역사
오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠(Otto Stolz)와 이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로(Ernesto Cesàro)언어=fr가 제시하였다.