메넬라오스 정리

메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나는 경우. 메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나지 않는 경우. 기하학에서 **메넬라오스 정리**(Menelaus' theorem)는 삼각형의 각 변 위의 점이 같은 직선 위의 점일 필요충분조건을 세 점이 각 변을 분할하는 비율 사이의 관계로 나타내는 정리이다.
# 정의
점 D, E, F가 각각 삼각형 ABC의 변 BC, CA, AB의 직선 위의 점이라고 하자. **메넬라오스 정리**에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * D, E, F는 공선점이다. * 메멜라오스 정리. 직선이 삼각형 내로 지나지 않는 경우 - 유형 2.\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1 두 번째 조건에 등장하는 세 개의 비율은 유향 선분의 비율이다. 즉, AF/FB는 F가 AB의 내분점이면 양의 부호를, 외분점이면 음의 부호를 가지며, 남은 두 비율도 마찬가지다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 세 점이 모두 외분점이거나 정확히 하나가 외분점이어야 한다. 메넬라오스 정리는 세 점 가운데 하나가 무한원점인 경우에도 유효하다. 예를 들어, F가 직선 AB 위의 무한원점일 경우, D, E, F가 공선점일 필요충분조건은 DE가 AB에 평행하는 것이며, AF/FB=-1이 성립한다.
# 증명

## 증명 1
우선 D, E, F가 공선점이라고 가정하고, 세 비율의 곱이 −1임을 보이자.isbn=0-88385-619-066-67, §3.4 파슈 공리에 의하여 외분점은 홀수 개이므로 세 비율의 곱은 음의 부호를 갖는다. 각 꼭짓점 A, B, C에서 직선 DE에 내린 수선의 발을 P, Q, R라고 하자. 그렇다면 AP, BQ, CR는 평행선이므로 : \left|\frac{AF}{FB}\right|=\left|\frac{AP}{BQ}\right|,\; \left|\frac{BD}{DC}\right|=\left|\frac{BQ}{CR}\right|,\; \left|\frac{CE}{EA}\right|=\left|\frac{CR}{AP}\right| 이다. 따라서 : \left|\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\right| =\left|\frac{AP}{BQ}\cdot\frac{BQ}{CR}\cdot\frac{CR}{AP}\right|=1 가 성립한다. 반대로 :\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1 이라고 가정하고 D, E, F가 공선점임을 보이자. 직선 DE가 직선 AB와 F'에서 만난다고 하자. 그렇다면 위에서 증명한 바에 의하여 :\frac{AF'}{F'B}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1 이며, 따라서 :\frac{AF}{FB}=\frac{AF'}{F'B} 이다. 직선 AB를 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하므로 F=F'이며, 특히 F는 직선 DE 위의 점이다.
## 증명 2
우선 D, E, F가 공선점이라고 가정하자.isbn=0-88385-639-5147-148, §13.1 꼭짓점 B를 지나는 직선 DE의 평행선이 대변 AC의 직선과 점X에서 만난다고 하자. 그렇다면 삼각형 ABX와 AFE는 서로 닮음이며, 삼각형 BCX와 DCE 역시 서로 닮음이다. 특히 : \left|\frac{AF}{FB}\right|=\left|\frac{AE}{EX}\right|,\; \left|\frac{BD}{DC}\right|=\left|\frac{XE}{EC}\right| 이므로, : \left|\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\right| =\left|\frac{AE}{EX}\cdot\frac{XE}{EC}\cdot\frac{CE}{EA}\right|=1 가 성립한다. 세 비율의 곱이 음의 부호라는 증명과 반대 방향의 증명은 첫 증명과 같다.
# 따름정리

## 변의 중점에 대한 반사 관련 성질
점 D, E, F가 각각 삼각형 ABC의 변 BC, CA, AB의 직선 위의 점이라고 하고, 이들에 각각 변 BC, CA, AB의 중점에 대한 반사를 가하여 얻는 점을 D', E', F'이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * D, E, F는 공선점이다. * D', E', F'는 공선점이다. 이는 반사된 세 점의 비율이 각각 원래 세 점의 비율의 역수이기 때문이다.
## 내각과 외각의 이등분선의 성질
삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 남은 한 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 다시 말해, 삼각형 ABC의 세 내각 또는 외각의 이등분선 AD, BE, CF가 대변 BC, CA, AB의 직선과 점 D, E, F에서 만난다고 하자. 만약 이들이 모두 외각의 이등분선이거나 정확히 하나가 외각의 이등분선이라면, 이들의 발 D, E, F는 공선점이다.
## 수심축
수심축 삼각형 ABC의 각 꼭짓점 A, B, C에서 대변의 직선에 내린 수선의 발을 P, Q, R라고 하고, 수심 삼각형 PQR의 세 변 QR, RP, PQ가 각각 원래 삼각형의 세 변 BC, CA, AB와 점 D, E, F에서 만난다고 하자. 그렇다면 D, E, F는 공선점이며, 이들의 직선을 원래 삼각형 ABC의 **수심축**이라고 한다. 이는 원래 삼각형의 각 변이 수심 삼각형의 외각의 이등분선이기 때문이다.
## 외접원의 접선의 성질
삼각형 ABC의 외접원의 각 꼭짓점 A, B, C에서의 접선이 대변 BC, CA, AB의 직선과 점 D, E, F에서 만난다고 하자. 그렇다면 D, E, F는 공선점이다.
# 일반화

## 다각형의 경우
임의의 다각형에서도 성립한다. 예를 들어, 사각형 *ABCD*의 네 변 *AB*, *BC*, *CD*, *DA* 또는 그의 연장선과 직선 *l*의 교점을 *E*, *F*, *G*, *H*라 하면 다음이 성립한다. :\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CG}{GD} \cdot \frac{DH}{HA}= 1 직선이 다각형을 지나지 않아도 된다.
# 역사
알렉산드리아의 메넬라오스(Μενέλαος ὁ Ἀλεξανδρεύς)는 저서 《구면학》(Sphaerica)의 제3권에서 구면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 제시하였으며, 이를 평면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 사용하여 증명하였다.isbn=0-19-506135-7121, §5.6 평면 삼각형에 대한 정리의 증명은 이 책에서 제시되지 않았다.121, §5.6