사각형

네모 edges=4 기하학에서 **사각형**(四角形, quadrilateral)은 평면 위 4개의 선분으로 둘러싸인 도형이다. 이 선분들을 사각형의 변이라고 하고, 두 선분의 공통 끝점을 사각형의 꼭짓점이라고 한다. 사각형은 다각형에서 변과 꼭짓점이 각각 4개인 경우이며, 다른 다각형과 같이, 네 선분으로 구성된 닫힌 꺾은선으로 정의되거나, 이들을 경계로 하는 닫힌 영역으로 정의된다. (여기서 닫힌 꺾은선은 꺾은선의 양 끝점을 이어 끝점의 구분이 없어졌다는 뜻이며, 닫힌 영역은 이 집합이 경계를 포함한다는 뜻이다.) 꼭짓점이 아닌 교점을 갖는 두 변이 존재하지 않는 사각형을 **단순 사각형**이라고 부른다. 단순 사각형은 모든 내각이 180도보다 작은 경우와 180도보다 큰 내각을 갖는 경우로 분류된다. 전자를 **볼록 사각형**이라고 하고, 후자를 **오목 사각형**이라고 한다. 볼록 사각형의 경계 위 두 점 사이의 선분은 항상 사각형 내부에 포함되며, 오목 사각형은 이러한 성질을 만족시키지 않는다. 사각형이라는 용어는 흔히 볼록 사각형만을 가리킨다. 사각형의 네 꼭짓점이 한 평면 위의 점이 아닐 수 있도록 허용하면 꼬인사변형의 개념을 얻는다. 꼬인사변형은 일반적으로 사각형에 포함시키지 않는다. 단순 사각형의 4개의 내각의 합은 항상 360도이다. 이는 단순 n각형의 내각의 합이 항상 180(n-2)도라는 사실의 특수한 경우이다. 사다리꼴과 평행 사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형은 볼록 사각형의 일부 기초적인 종류이다. 예를 들어, 평행 사변형은 마주보는 두 쌍의 변이 각각 평행하는 사각형이며, 직사각형은 모든 내각이 직각인 사각형이다. 앞에 나온 종류는 뒤에 나온 종류에 포함된다. 예를 들어, 모든 직사각형은 평행 사변형이다. 이는 모든 내각이 직각인 사각형의 각 쌍의 대변은 평행한다는 말과 같다. 단순 사각형의 넓이는 일상적인 의미와 일치한다. 예를 들어, 직사각형의 넓이는 가로변과 세로변의 길이의 곱이며, 보다 일반적으로 평행 사변형의 넓이는 밑변의 길이와 높이의 길이의 곱이다. 그 밖에도 사각형의 많은 성질들이 발견되었다. 바리뇽 정리에 따르면, 사각형의 네 변의 중점을 연결하면 평행 사변형을 얻는다. 이는 삼각형에 대한 중점 연결 정리를 통해 증명할 수 있으며, 볼록 사각형이나 단순 사각형에 국한되지 않고 심지어 꼬인 사각형에서도 성립한다. **사변형**(四邊形)이라는 용어는 사각형을 대신할 수 있으나, 사영 기하학에서는 사각형과 관련된 다른 의미로 쓰인다.
# 정의
**사각형**은 변이 4개인 (따라서 꼭짓점도 4개인) 다각형으로 정의된다. 구체적으로, 평면 위 네 점 A, B, C, D가 공선점인 세 점을 포함하지 않는다고 하자. 그렇다면 사각형 ABCD는 선분 AB, BC, CD, DA으로 둘러싸인 도형으로 정의된다. 이 네 점 A, B, C, D를 사각형 ABCD의 **꼭짓점**이라고 하고, 이 네 선분 AB, BC, CD, DA를 사각형 ABCD의 **변**이라고 한다. 사각형의 두 변이 같은 꼭짓점을 공유하면 두 변을 서로 **이웃변**이라고 하고, 반대로 공통 꼭짓점을 갖지 않을 경우 **대변**이라고 한다. 즉, 사각형 ABCD의 네 쌍의 이웃변은 AB와 BC, BC와 CD, CD와 DA, DA와 AD이고, 두 쌍의 대변은 AB와 CD, AD와 BC이다. 사각형의 두 꼭짓점을 잇는 선분 가운데 변이 아닌 것들을 사각형의 **대각선**이라고 한다. 즉, 사각형 ABCD의 두 대각선은 선분 AC와 BD이다. 이것은 또한 사각형의 종류와 성질을 이용하여 특정 조건을 만족하면 ○, 그렇지 않으면 ×로 나타낼 수 있다. 이에 따라 나타내어보면 각각 다음과 같다. 또한 그 외에도 사각형의 다른 조건을 만족하는지 아닌지에 대한 경우는 아래의 표와 같다. 사각형의 분류에 따른 성질 표 {| class="wikitable" |- ! 조건을 항상 만족하는 경우만 '예'에 해당함 || 정사각형 || 직사각형 || 마름모 || 평행사변형 || 등변사다리꼴 || 사다리꼴 || 연꼴 |- ! 변의 길이가 모두 같은가? | Yes || No || Yes || No || No || No || No |- ! 각의 크기가 모두 같은가? | Yes || Yes || No || No || No || No || No |- ! 한 쌍의 대변이 평행한가? | Yes || Yes || Yes || Yes || Yes || Yes || No |- ! 두 쌍의 대변이 평행한가? | Yes || Yes || Yes || Yes || Yes || No || No |- ! 한 쌍의 대변의 길이가 같은가? | Yes || Yes || Yes || Yes || Yes || No || No |- ! 한 쌍의 대각의 크기가 같은가? | Yes || Yes || Yes || Yes || No || No || Yes |- ! 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은가? | Yes || Yes || Yes || Yes || No || No || No |- ! 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은가? | Yes || Yes || Yes || Yes || No || No || No |- ! 밑변의 두 밑각의 크기가 같은가? | Yes || Yes || No || No || Yes || No || No |- ! 꼭지각의 두 변의 길이가 같은가? | Yes || No || Yes || No || No || No || Yes |- ! 두 대각선이 중점에서 교차하는가? | Yes || Yes || Yes || Yes || No || No || No |- ! 두 대각선이 서로 수직인가? | Yes || No || Yes || No || No || No || Yes |- ! 두 대각선의 길이가 같은가? | Yes || Yes || No || No || Yes || No || No |- ! 두 대각선이 서로를 이등분하는가? | Yes || Yes || Yes || Yes || No || No || No |- ! 두 대각선 중 다른 대각선을 이등분하는 것이 존재하는가? | Yes || Yes || Yes || Yes || No || No || Yes |- ! 한 대각선이 도형을 이등분하는가? | Yes || Yes || Yes || Yes || No || No || Yes |- ! 두 대각선이 도형을 사등분하는가? | Yes || No || Yes || No || No || No || No |- ! 한 쌍의 대변의 중점을 연결한 직선이 도형을 이등분하는가? | Yes || Yes || Yes || Yes || Yes || No || No |- ! 합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많은가? | Yes || Yes || Yes || Yes || No || No || No |- ! 두 대각선 중 적어도 하나에 대해 대칭인가? | Yes || No || Yes || No || No || No || Yes |- ! 한 쌍의 대변의 중점을 연결한 두 직선 중 적어도 하나에 대하여 대칭인가? | Yes || Yes || No || No || Yes || No || No |- ! 이웃한 두 내각의 합이 180°인가? | Yes || Yes || Yes || Yes || No || No || No |- ! 이웃한 두 변의 길이의 합이 각각 같은가? | Yes || Yes || Yes || Yes || No || No || No |- ! 외접원이 존재하는가? | Yes || Yes || No || No || Yes || No || No |- ! 내접원이 존재하는가? | Yes || No || Yes || No || No || No || No |- ! 자기쌍대인가? | Yes || No || No || Yes || No || No || No |- ! 항상 서로 닮음 관계인가? | Yes || No || No || No || No || No || No |} 글 숨김 끝 정사각형만이 유일하게 위의 모든 조건을 만족하며, 2차원 이상의 도형 중에서는 유일하게 초입방체이면서 정축체이다. 반면 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행하다는 정의를 제외하고는 어떤 조건도 항상 만족하지는 않는다.
# 분류
사각형은 다음과 같이 분류된다. * **단순 사각형**: 꼭짓점이 아닌 교점을 갖는 두 변이 존재하지 않는 사각형 ** **볼록 사각형**: 둘레 위의 두 점 사이의 선분이 항상 사각형 내부에 포함되는 사각형 ** **오목 사각형**: 볼록 사각형이 아닌 사각형 * **교차 사각형**: 단순 사각형이 아닌 사각형 즉, 임의의 사각형은 볼록 사각형과 오목 사각형, 교차 사각형 가운데 정확히 하나에 속한다. 사각형 단순 사각형의 일부 종류는 다음과 같다. * **사다리꼴**: 한 쌍의 대변이 평행한 단순 사각형 * **연꼴**: 각 변이 이웃한 두 변 중 적어도 하나와 길이가 같은 단순 사각형 * **평행 사변형**: 두 쌍의 대변이 평행한 단순 사각형 * **등변 사다리꼴**: 평행한 한 쌍의 변 중 하나의 양 밑각의 크기가 같은 사다리꼴 * **직사각형**: 네 내각이 모두 직각인 단순 사각형 * **마름모**: 네 변의 길이가 모두 같은 단순 사각형 * **정사각형**: 네 변의 길이가 모두 같고 네 내각이 모두 직각인 단순 사각형 명칭이 따로 붙어있는 사각형 중에선 연꼴이 오목 사각형일 수 있는 점을 제외하면 모두 볼록 사각형이다. 이들 종류 사이의 함의 관계는 다음과 같다.
# 성질

## 대각선
볼록 사각형의 두 대각선은 사각형 내부에 포함된다.52, §3.1 오목 사각형의 두 대각선 가운데 하나는 사각형 내부에 포함되고 하나는 사각형 외부에 포함된다.52, §3.1 교차 사각형의 두 대각선은 사각형 외부에 포함된다.52, §3.1
## 넓이
사각형의 두 대각선의 길이를 e, f라고 하고 두 대각선 사이의 각의 크기를 \theta라고 할 경우, 넓이는 :S=\frac 12ef\sin\theta 이다. 사각형의 두 대각선의 중점과 한 쌍의 대변의 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 생각하자. 이 삼각형의 넓이는 원래 사각형이 단순 사각형일 경우 원래 사각형의 넓이의 1/4이고, 교차 사각형일 경우 나비 모양을 이루는 두 삼각형의 넓이의 차의 절댓값의 1/4이다.isbn=0-88385-619-055, §3.1, Theorem 3.14 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA의 중점을 각각 P, Q, R, S라고 하자. 바리뇽 정리에 따르면, 사각형 PQRS는 평행 사변형이다. 또한, 이 평행 사변형의 넓이는 원래 사각형이 단순 사각형일 경우 원래 사각형의 넓이의 1/2이고, 교차 사각형일 경우 나비 모양을 이루는 두 삼각형의 넓이의 차의 절댓값의 1/2이다.53, §3.1, Theorem 3.11
### 평행사변형의 넓이
평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 곱이다.archive-url=https://web.archive.org/web/20210108203250/http://study.zum.com/book/17923 평행사변형의 이웃한 두 변의 길이를 a, b라 하고, 그 끼인각을 \theta라 하면, 넓이는 :S=ab\sin\theta 이다. 이는 밑변을 b라고 하면, 높이는 a\sin\theta이기 때문이다.
## 무게 중심
사각형의 각 쌍의 대변의 중점을 잇는 직선과 두 대각선의 중점을 잇는 직선은 공점선이며, 서로가 서로를 이등분한다.54, §3.1, Theorem 3.12 이들의 교점은 사각형의 네 꼭짓점의 무게 중심이다. 볼록 사각형일 경우 이 점을 이 사각형의 무게 중심으로 정의하나, 이는 일반적으로 사각형의 내부의 무게 중심과 일치하지 않는다.