구면 조화 함수

구면 조화 함수의 모양. 녹색은 함수가 양인 구역, 적색은 함수가 음인 구역을 나타낸다. 수학과 물리학에서 **구면 조화 함수**(球面調和函數, spherical harmonics)는 구면에서 라플라스 방정식의 해의 정규 직교 기저다.날짜=2012 전자기학과 양자역학 등에서 구면 대칭인 계를 다룰 때 쓰인다. 기호는 Y_l^m이다.
# 정의
구면 좌표계 (r,\theta,\phi)에서 라플라스 방정식은 다음과 같다. : \nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) \+ {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) \+ {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0, 변수분리법을 써, 함수 *f*가 다음과 같이 표현된다고 가정하자. :f(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi). 그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같다. :{\Phi(\varphi) \over \sin\theta}{d \over d\theta}\left(\sin\theta {d\Theta \over d\theta} \right) + {\Theta(\theta) \over \sin^2 \theta}{d^2\Phi \over d\varphi^2} + l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\varphi) = 0. 이는 다음과 같이 분리된다. :\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2 :l(l+1)\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2 이에 따라 어떤 m 과 l에 대한 위 두 식을 얻는다. 따라서 각의 부분의 해는 다음과 같이 두 방정식의 해의 곱으로 표현된다. : Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N\exp(im\varphi)P_l^m (\cos{\theta} ), 이들 함수 Y_l^m를 **구면 조화 함수**라 부른다. 함수가 연속적이므로, l은 음이 아닌 정수이고, m은 -l\le m\le l을 만족하는 정수다. 여기서 P_\ell^m 은 르장드르 연관 함수이고, N 은 정규화 상수다. N은 임의적이나, 대개 편의상 \int_{4\pi}d\Omega\;|Y_l^m|^2=1이 되게 다음과 같이 정의한다. :N=\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!. 보다 일반적으로, n차원의 유클리드 공간의 구면 좌표계 (r,\theta,\phi_1,\dotsc,\phi_{n-2})에 대하여 위와 같은 라플라스 방정식을 정의할 수 있다. 이에 따라서 구면 조화 함수 :Y_l^{m_1,m_2,\dotsc,m_{n-2(\theta,\phi_1,\dotsc,\phi_{n-2}) 를 얻는다. 이 경우 :l \ge m_1 \ge m_2 \ge \dotsb \ge m_{n-3} \ge |m_{n-2}| 이며, :\left(l(l+n-2)+\Delta_{\mathbb S^{n-1 \right)Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2 = 0 이다.
## 유클리드 공간 조화 다항식을 통한 유도
구면 조화 함수는 다른 방법으로 유도할 수 있다. 유클리드 공간 \mathbb R^n 위의 다항식 함수 가운데, 조화 함수인 것들을 생각하자. :A = \left\\{p \in \mathbb R[x_1,\dotsc,x_n] \colon \sum_{i=1}^n\frac{\partial^2p}{\partial x_i^2} = 0 \right\\} 이는 물론 동차 다항식의 차수에 따라서 실수 등급 벡터 공간을 이룬다. :A = \bigoplus_{l=0}^\infty A_l :\forall p\in A_l\colon \deg p = l 이를 n-1차원 초구 :\mathbb S^{n-1} = \left\\{(x_1,\dotsc,x_n)\in \mathbb R^n \colon \sum_{i=1}^nx_i^2 = 1\right\\} 위에 제한할 수 있다. :P = \bigoplus_{l=0}^\infty P_l = \\{p\restriction \mathbb S^{n-1}\colon p \in A\\} :P_l = \\{p \restriction \mathbb S^{n-1}\colon p\in A_l\\} 그렇다면 :\Delta_{\mathbb S^{n-1f = -\nabla^2_{\mathbb S^{n-1f = l(l+n-2)f\qquad\forall f\in P_l 이 된다. 그렇다면, 구면 조화 함수 Y_{l,m_1,\dotsc,m_{n-2들은 P_l의 정규 직교 기저를 이룬다. A_l의 원소 :p(x_1,\dotsc,x_n) = \sum_{i_1=1}^n\dotso\sum_{i_l=1}^np_{i_1\dotso i_l}x_{i_1}\dotsm x_{i_l} 에 대하여, p가 조화 함수일 조건은 텐서 p_{i_1\dotso i_l}이 대칭이며 완전 무(無)대각합인 것이다. 즉, 이는 \operatorname{SO}(n)의 완전 무대각합 대칭 l차 텐서 표현에 대응한다. 이는 l개의 상자로 구성된 하나의 행만을 갖는 영 타블로에 해당한다. * SO(3)의 경우, 표현은 정수 스핀으로 분류되며, 이 경우 l은 이 스핀에 해당한다. * SO(4)의 경우, 표현은 두 개의 정수 또는 두 개의 반(半)정수 스핀 (j_L,j_R)으로 분류되며, 이 경우 완전 무대각합 대칭 l차 텐서 표현은 스핀 (l/2,l/2)에 해당한다.
# 성질
구면 조화 함수의 그래프. 기하학적인 무늬를 보인다. n=3일 때, 정의에 따라, 음의 m 값은 양의 m값과 다음과 같은 관계를 가진다. :Y_l^{-m}=(-1)^m(Y_l^m)^*. (다만, 이 식은 정규화 상수를 다르게 잡을 경우 달라질 수 있다.)
## 정규 직교성
단위 초구는 유클리드 공간의 부분 다양체이다. 이에 따라 초구는 리만 다양체를 이루며, 이에 따라 부피 형식 및 르베그 공간 :\operatorname L^2(\mathbb S^{n-1};\mathbb C) 을 정의할 수 있다. 이는 분해 가능 무한 차원 복소수 힐베르트 공간이다(n\ge2). 그렇다면, Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2는 그 위의 정규 직교 기저를 이룬다. :\int_{\mathbb S^{n-1\bar Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2Y_{l'}^{m'_1,\dotsc,m'_{n-2 =\delta_{ll'}\delta_{m_1m_1'}\dotsm \delta_{m_{n-2}m'_{n-2
## 라플라스-벨트라미 연산자
단위 초구는 유클리드 공간의 부분 다양체이다. 이에 따라 초구는 리만 다양체를 이루며, 그 위의 매끄러운 함수에 대하여 라플라스-벨트라미 연산자 :\Delta_{\mathbb S^{n-1 = -\nabla_{\mathbb S^{n-1^2 를 정의할 수 있다. n차원 구면 조화 함수는 라플라스-벨트라미 연산자의 고유 함수이며, 그 고윳값은 l(l+n-2)이다. :\Delta Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2(\theta,\varphi)=l(l+n-2)Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2(\theta,\varphi_1,\dotsc,\varphi_{n-2})/r^2
## 운죌트 정리
구면 조화 함수는 다음 항등식을 따르며, 이를 **운죌트 정리**(Unsöld’s theorem)라고 한다. :\sum_{m=-l}^l \left| Y_l^m (\theta, \phi) \right|^2 = {2l + 1 \over 4\pi} 즉, 아래지표 *l*이 같은 구면 조화 함수를 절댓값을 취한 후 제곱해 -l부터 l까지 더하면 상수를 얻는다.

**예:**

: Y_0^0 (\theta, \phi) = {1 \over (4 \pi )^{1/2 : Y_1^0 (\theta, \phi) = \left({3 \over 4 \pi }\right)^{1/2} \cos \theta : Y_{1}^{\pm 1} (\theta, \phi) = \left({3 \over 8 \pi }\right)^{1/2} \sin \theta e^{\pm i \phi} 여기에 모두 절댓값을 취하면 : \left|Y_0^0 (\theta, \phi)\right| = {1 \over (4 \pi )^{1/2 : \left|Y_1^0 (\theta, \phi)\right| = \left({3 \over 4 \pi }\right)^{1/2} \cos \theta : \left|Y_{1}^{\pm 1}(\theta, \phi)\right| = \left({3 \over 8 \pi }\right)^{1/2} \sin \theta 이 되고, 아래지표가 같은 함수끼리 제곱해서 더하면 다음을 얻는다. : \left|Y_0^0 (\theta, \phi)\right|^2 = {1 \over 4 \pi } : \left|Y_{1}^{- 1}(\theta, \phi)\right| ^2 + \left|Y_1^0 (\theta, \phi)\right|^2 + \left|Y_{1}^{ 1}(\theta, \phi)\right| ^2 = {3 \over 4 \pi } ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta ) = {3 \over 4 \pi }

# 응용
구면 조화 함수의 매개변수 l과 m을 이렇게 부르는 까닭은 양자역학에서 이 함수를 구형 대칭의 파동 함수로 해석하면 l과 m 궤도 각운동량 양자수에 해당하기 때문이다. 양자역학에서 궤도 각운동량(orbital angular momentum) 연산자는 다음과 같다. :\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p=-i\hbar\mathbf r\times\mathbf\nabla. 따라서 그 제곱은 다음과 같다. :\mathbf L^2=-\hbar^2\left(\frac1{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right). 또한, 궤도 각운동량의 z성분은 다음과 같다. :L_z=\hat{\mathbf z}\cdot\mathbf L=-i\hbar\frac\partial{\partial\varphi} . 따라서, 구면 조화 함수 Y_l^m은 \mathbf L^2와 L_z의 고유함수이며, 그 고윳값은 다음과 같다. :\mathbf L^2Y_l^m=l(l+1)\hbar^2Y_l^m :L_zY_l^m=m\hbar Y_l^m.
## 확률 밀도
구면 대칭 파동 함수 :\psi_{nlm} (r, \theta, \phi) = R_{nl} (r) Y_l^m (\theta, \phi) 의 확률 밀도 함수는 다음과 같다. :P (r, \theta, \phi) = |\psi_{nlm} (r, \theta, \phi)|^2 = |R_{nl} (r)|^2 |Y_l^m (\theta, \phi)|^2 에너지의 경우 *l*과 *m*에 전혀 무관하고 오로지 *n*에만 관련이 있는 값으로 나온다. 따라서 *n*은 같고 *l*과 *m*이 다른 상태들은 모두 축퇴되어 있다. 따라서, 같은 에너지를 같는 상태에서 확률 밀도를 구하면, 다음과 같다. :P (r, \theta, \phi) dV = |\sum_{l,m} \psi_{nlm} (r, \theta, \phi)|^2 dV = \sum_l |R_{nl} (r)|^2 \sum_{m=-l}^{l} |Y_l^m (\theta, \phi)|^2 dV = \sum_l C_l |R_{nl} (r)|^2 dV 여기서 C_*l*는 상수이며, 적분시 0이 되는 수직인 항들은 전부 무시하였다. 즉, 운죌트 정리에 따라서, 확률 밀도는 구면 대칭을 따른다.
# 예
낮은 차수의 구면 조화 함수는 다음과 같다. 여기서는 입자 데이터 그룹(Particle Data Group) 관례를 따랐다.url-status=dead (음수 m의 경우는 위의 식을 통해 양의 m으로부터 계산할 수 있다.) :Y_0^0(\theta,\varphi)=\frac12\sqrt{1\over \pi} :Y_1^0(\theta,\varphi)=\frac12\sqrt{3\over \pi}\cos\theta :Y_1^1(\theta,\varphi)=-\frac12\sqrt{3\over 2\pi}\sin\theta\exp(i\varphi) :Y_2^0(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{5\over \pi}(3\cos^2\theta-1) :Y_2^1(\theta,\varphi)=-\frac12\sqrt{15\over 2\pi}\sin\theta\cos\theta\exp(i\varphi) :Y_2^2(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{15\over 2\pi}\sin^2\theta\exp(2i\varphi) :Y_3^0(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{7\over \pi}(5\cos^3\theta-3\cos\theta) :Y_3^1(\theta,\varphi)=-\frac18\sqrt{21\over \pi}\sin\theta(5\cos^2\theta-1)\exp(i\varphi) :Y_3^2(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{105\over 2\pi}\sin^2\theta\cos\theta\exp(2i\varphi) :Y_3^3(\theta,\varphi)=-\frac18\sqrt{35\over \pi}\sin^3\theta\exp(3i\varphi)
## 2차원 구면 조화 함수
1차원 구는 원이며, 이 경우 구면 조화 함수는 단순히 삼각 함수이다. :Y_m(\theta) = \frac1{\sqrt{2\pi\exp(\mathrm im\theta) 이 경우 :\Delta_{\mathbb S^1} Y_m = -m^2Y_m :\int_0^{2\pi} Y^*_m(\theta)Y_{m'}(\theta) \mathrm d\theta = \delta_{ij} 가 된다. 2차원 유클리드 공간의 조화 다항식은 :1 :x,y :x^2-y^2,xy 등이 있는데, 이들을 원에 제한하고 y/x=\tan\theta로 놓으면 :1 :\sin\theta,\cos\theta :-2\cos(2\theta),\sin^2\theta-\cos^2\theta,\frac12\sin2\theta 를 얻는다. 즉, 각 l=|m|에 대하여 이들은 Y_m과 같은 2차원 함수 공간을 정의한다.
# 역사
운죌트 정리는 독일의 천체물리학자 알브레히트 오토 요하네스 운죌트(Albrecht Otto Johannes Unsöld, 1905~1995)가 제시하였다.