코쥘 접속

구 위의 아핀 접속은 접평면을 한 점의 표면에서 다른 점의 표면으로 밀어 옮기는 과정으로 이해할 수 있다.]] 미분기하학에서 **코쥘 접속**(Koszul接續, Koszul connection)은 벡터 다발의 각 올들을 이어붙여, 벡터장의 미분을 정의할 수 있게 하는 구조이다.
# 정의
매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 벡터 다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow M이 주어졌다고 하자. E의 매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간을 \Gamma^\infty(E)라고 하자. E 위의 **코쥘 접속**은 다양하게 정의될 수 있다. * 코쥘 접속은 벡터 다발의 매끄러운 단면 위에 작용하는 작용소로 정의될 수 있다. * 코쥘 접속은 벡터 다발의 선형 구조와 호환되는 에레스만 접속으로 정의될 수 있다. * 코쥘 접속은 벡터 값 미분 형식 위에 작용하는 작용소로 정의될 수 있다. M 위의 **아핀 접속**(affine接續, affine connection)은 그 접다발 \mathrm TM 위의 코쥘 접속이다. 아핀 접속을 갖춘 매끄러운 다양체를 **아핀 다양체**(affine多樣體, affine manifold)라고 한다.
## 단면 위의 작용을 통한 정의
E 위의 **(코쥘) 접속** 또는 **공변 미분**(共變微分, covariant derivative) :\nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}E) 은 다음과 같은 곱 규칙을 만족시키는 실수 선형 변환이다.언어=en101, Definition 4.1.1 :\nabla(fs)=f\nabla s+\mathrm df\otimes s\qquad\forall f\in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R),\;s\in\Gamma^\infty(E) 여기서 T^*M은 M의 공변접다발이며, \mathrm df\in\Gamma^\infty(\mathrm T^*M)=\Omega^1(M)은 f의 외미분으로 얻은 1차 미분 형식이다. 이는 E\to\mathrm T^*M\otimes E 1차 미분 연산자를 이룬다. 임의의 벡터장 X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)에 대하여, :\nabla_X\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E) :\nabla_X\colon s\mapsto \langle X,\nabla s\rangle 를 정의할 수 있다. 이를 E의 단면의 X방향의 **공변 미분**이라고 한다.101–101, (4.1.2) \nabla는 1차 미분 연산자이므로, 국소 좌표계에서 다음과 같은 꼴로 전개할 수 있다. :(\nabla_Xs)^a=X^i\left(\partial_is^a+\Gamma_{ib}^as^b\right) 여기서 i,j,\dotsc는 접다발의 첨자이며 a,b,\dotsc는 E의 첨자이다. 코쥘 접속을 정의하는 성분 \Gamma_{ib}^a을 **크리스토펠 기호**라고 한다.
## 에레스만 접속을 통한 정의
벡터 다발 E의 수직 벡터 다발은 \mathrm VE=E\times_ME이다. 이제, 실수 \lambda\in\mathbb R에 대한 곱셈 :(\cdot\lambda)\colon E\to E 의 미분 :\mathrm T(\cdot\lambda)\colon \mathrm TE\to\mathrm TE 을 생각하자. 또한, 합 :(+)\colon E\times E\to E 의 미분 :\mathrm T(+)\colon\mathrm TE\times\mathrm TE\to\mathrm TE 를 생각하자. E 위의 에레스만 접속 H\subseteq\mathrm TE가 다음 조건을 만족시킨다면, **코쥘 접속**이라고 한다. :H_{\lambda e}=\left(\mathrm T(\cdot\lambda)\right)(H_e) :\left(\mathrm T(+)\right)(H\times_MH)=H 여기서 H\times_MH\subseteq E\times_ME이다. 에레스만 접속을 통한 정의와 단면 위의 작용을 통한 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선, :\operatorname{proj}_{\mathrm VE}\colon \mathrm TE\to\mathrm VE=\pi^*E 가 H를 사용한, 수직 벡터 다발 \mathrm VE 위로의 사영이라고 하자 (즉, H=\ker\operatorname{proj}_{\mathrm VE}). 임의의 단면 s\in\Gamma^\infty(E)에 대하여, 미분 :\mathrm Ts\colon\mathrm TM\to\mathrm TE 를 생각하자. 그렇다면, 다음을 정의하자. :\nabla\colon\mathrm TM\to s^*\mathrm VE=E :\nabla s=\operatorname{proj}_H\circ\mathrm Ts 그렇다면, 이는 적절한 곱 규칙을 만족시켜, 후자의 정의에 해당한다.
## 미분 형식 위의 작용을 통한 정의
매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 벡터 다발 E 위의 **코쥘 접속** :\mathrm d^\nabla\colon\Omega^\bullet(M;E)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E) 은 다음과 같은 곱 규칙을 만족시키는 실수 선형 변환이다. :\mathrm d^\nabla(\alpha\wedge\omega)=\mathrm d\alpha\wedge\omega+(-)^p\alpha\wedge\mathrm d^\nabla\omega\qquad\forall\alpha\in\Omega^p(M),\;\omega\in\Omega(M;E) (여기서 \Omega(M;E)는 E값 미분 형식의 공간이다.) 이러한 연산자를 **공변 외미분**(共變外微分, covariant exterior derivative)이라고 한다. 단면 위의 작용을 통한 정의와 미분 형식 위의 작용을 통한 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 임의의 공변 외미분 \mathrm d^\nabla\colon\Omega^\bullet(M;E)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E)가 주어졌을 때, :\Omega^0(M;E)=\Gamma^\infty(E) 이므로, :\mathrm d^\nabla|_{\Gamma^\infty(E)}\colon\Gamma^\infty(M;E)\to\Omega^1(M;E)=\Gamma^\infty(\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}E) 는 단면 위에 적절한 곱 규칙을 만족시킨다. 반대로, 단면 위의 작용소 \nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}E)가 주어졌을 때, 미분 형식에 대한 곱 규칙을 만족시키게 유일하게 확장할 수 있다. 일반적 외미분과 달리, 공변 외미분은 일반적으로 \mathrm d^\nabla\circ\mathrm d^\nabla=0을 만족시키지 못한다.
## 코쥘 초접속: 단면 위의 작용을 통한 정의
코쥘 접속의 개념을 \mathbb Z/2-등급 벡터 공간(초벡터 공간)에 대하여 일반화하여, **코쥘 초접속**(Koszul初接續, Koszul superconnection)의 개념을 정의할 수 있다.44, §1.4 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 매끄러운 다양체 M * 두 매끄러운 벡터 다발 E^\pm\twoheadrightarrow M. E=E^+\oplus E^-라고 표기하자. 그렇다면, E 위의 **코쥘 초접속**은 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 :\nabla^\pm\colon\Gamma^\infty(E^\pm)\to \bigoplus_{n=0}^\infty\Omega^{2n}(M;E^\mp) \oplus \bigoplus_{n=0}^\infty\Omega^{2n+1}(M;E^\pm) 이다. :\nabla^\pm(fs)= f\nabla s+(\mathrm df)\otimes s\qquad\forall f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R),\;s\in\Gamma^\infty(E^\pm)
## 코쥘 초접속: 미분 형식 위의 작용을 통한 정의
공변 외미분을 통한 정의 역시 코쥘 초접속에 대하여 적용할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 매끄러운 다양체 M * 두 매끄러운 벡터 다발 E^\pm\twoheadrightarrow M. E=E^+\oplus E^-라고 표기하자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다. E^\pm값 미분 형식들의 공간 \Omega^\bullet(M;E^\pm)으로부터, :\Omega^{\pm,k}(M;E)=\begin{cases} \Omega^k(M;E^\pm)&k;\mid 2\\\ \Omega^k(M;E^\mp)&k;\nmid2 \end{cases} :\Omega^\pm(M;E)=\bigoplus_{k\in\mathbb N}\Omega^{\pm,k}(M;E) 즉, 아래 표에서, 흰색 바탕은 \Omega^+(M;E)에, 회색 바탕은 \Omega^-(M;E)에 속한다. {| class=wikitable | | \Omega^0(M;E^+)=\Gamma^\infty(E^+) | | \Omega^1(M;E^+) | | \Omega^2(M;E^+) | | \Omega^3(M;E^+) | | \Omega^4(M;E^+) |- | | \Omega^0(M;E^-)=\Gamma^\infty(E^-) | | \Omega^1(M;E^-) | | \Omega^2(M;E^-) | | \Omega^3(M;E^-) | | \Omega^4(M;E^-) |} 그렇다면, E^\pm 위의 **코쥘 초접속** :\mathrm d^\nabla\colon\Omega^\pm(M;E)\to\Omega^\mp(M;E) 은 다음과 같은 곱 규칙을 만족시키는 실수 선형 변환이다.언어=en44, Definition 1.37 :\mathrm d^\nabla(\alpha\wedge\omega)=(\mathrm d\alpha)\wedge\omega+(-)^p\alpha\wedge\mathrm d^\nabla\theta\qquad\forall\alpha\in\Omega^p(M),\;\omega\in\Omega(M;E)
## 코쥘 초접속: 구체적 정의
매우 구체적으로, 매끄러운 다양체 M 위의 두 매끄러운 벡터 다발 E^\pm\twoheadrightarrow M 위의 **코쥘 초접속**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.45, Proposition 1.39 * E^\pm 위의 코쥘 접속 \nabla_{E^\pm}. 이는 코쥘 초접속의 1등급 성분이다. * 음이 아닌 짝수 i\in2\mathbb N=\\{0,2,4,\dotsc\\}에 대하여, 벡터 값 미분 형식 T^i\in\Omega^i(M;E^+\otimes(E^-)^*\oplus E^-\otimes(E^+)^*) * 3 이상의 홀수 i\in\\{3,5,7,\dotsc\\}에 대하여, 벡터 값 미분 형식 T^i\in\Omega^i(M;E^+\otimes(E^+)^*\oplus E^-\otimes(E^-)^*) 이 데이터는 \Gamma^\infty(M;E^\pm) 위에 다음과 같이 작용한다. :\mathrm d^\nabla(\alpha\otimes s^\pm)= \nabla_{E^\pm}s^\pm\wedge\alpha+\sum_{i\in\mathbb N\setminus\\{1\\T^i(s) \qquad\forall s^\pm\in\Gamma^\infty(E^\pm) 이 데이터는 \Omega(M;E) 위에 다음과 같이 작용한다. :\mathrm d^\nabla(\alpha\otimes s^\pm)= \nabla_{E^\pm}s^\pm\wedge\alpha \+ \sum_{i\in\mathbb N\setminus\\{1\\T^i(s)\wedge\alpha \qquad\forall s^\pm\in\Gamma^\infty(E^\pm),\;\alpha\in\Omega^p(M) 이러한 성분들은 초접속의 "크리스토펠 기호"에 해당한다.
# 성질

## 당김
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 두 매끄러운 다양체 M, N * 그 사이의 매끄러운 함수 f\colon M\to N * N 위의 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow N * E 위의 코쥘 접속 \nabla 그렇다면, f를 통해 M위의 당김 다발 f^*E를 정의할 수 있다. 이 위에 당김 접속 :f^*\nabla\colon\Gamma^\infty(f^*E)\to\Gamma^\infty(T^*M\otimes f^*E) 은 다음 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속이다. :f^*\nabla_X\colon f^*s\mapsto f^*(\nabla_{f_*X}s)\qquad\forall s\in\Gamma^\infty(E),\;X\in\Gamma^\infty(TM) 여기서 f_*X=df(X)\in\Gamma^\infty(\mathrm TN)는 X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)의 N으로의 밂(pushforward)이다. 마찬가지로, 만약 N 위에 두 매끄러운 벡터 다발 E^\pm\twoheadrightarrow N이 주어졌을 때, E^\pm 위의 코쥘 초접속을 당김 다발 f^*E^\pm 위로 당길 수 있다.
## 곡률
매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 위의 코쥘 접속 \nabla에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 텐서장 F^\nabla\in\Omega^2(M;\operatorname{End}E)가 유일하게 존재한다. :F^\nabla(X,Y)\colon s\mapsto\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_Y\nabla_Xs-\nabla_{[X,Y]}s\qquad\forall X,Y\in\Gamma^\infty(\mathrm TM),\;s\in\Gamma^\infty(E) 이를 \nabla의 **곡률**(曲率, curvature)이라고 하며, 이는 \operatorname{End}E\cong E\otimes E^*값의 2차 미분 형식이다.108–109, §4.1 여기서 [X,Y]는 벡터장의 리 미분이다. 이는 일반적 올다발 위의 에레스만 접속의 곡률의 특수한 경우이다. 곡률이 0인 코쥘 접속을 **평탄 코쥘 접속**(平坦Koszul接續, flat Koszul connection)이라고 한다. 아핀 접속의 곡률은 **리만 곡률**이라고 하며, 이는 (3,1)-텐서장으로 여길 수 있다. 또한, 아핀 접속 \nabla의 경우, 곡률과 더불어 **비틀림**을 정의할 수 있다. 비틀림 T^\nabla\in\Omega^2(M;\mathrm TM)은 다음과 같다. :T^\nabla(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y] (여기서 \Omega^2(M;\mathrm TM)은 접다발 값 2차 미분 형식의 공간이다.) 비틀림은 (2,1)-텐서장으로 여길 수 있다. 마찬가지로, 매끄러운 다양체 M 위의 두 매끄러운 벡터 다발 E^\pm 위의 코쥘 초접속 \nabla가 주어졌을 때, :\mathrm d^\nabla\circ\mathrm d^\nabla\colon\Omega^\pm(M;E)\to\Omega^\pm(M;E) 는 항상 다음과 같은 꼴이다.44, Proposition 1.38 :\mathrm d^\nabla\circ\mathrm d^\nabla\in\Omega(M;\operatorname{End}(E)) 이를 초접속의 **곡률**이라고 한다.44, §1.4 곡률이 0인 코쥘 초접속을 **평탄 코쥘 초접속**(平坦Koszul超接續,flat Koszul superconnection)이라고 한다.
## 평행 운송
코쥘 접속은 에레스만 접속의 특수한 경우이므로, **평행 운송**(parallel transport)을 정의할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M * E의 매끄러운 단면 s\in\Gamma^\infty(E) * E 위의 코쥘 접속 \nabla * 매끄러운 곡선 \gamma\colon [0,1]\to M 만약 :\nabla_{\dot\gamma(t)}\sigma=0\qquad\forall t\in[0,1] 이 성립한다면, E를 **평행 단면**(平行斷面, parallel section)이라고 한다. 이는 단면의 당김 \gamma^*s\in\Gamma^\infty(\gamma^*E)의, 당겨진 접속 \gamma^*\nabla에 대한 공변 미분이 0이라는 것과 동치이다. 이 경우, s(\gamma(1))\in E_{\gamma(1)}를 s(\gamma(0))\in E_{\gamma(0)}의, 곡선 \gamma를 따른 **평행 운송**이라고 한다. 평행 운송은 선형 변환 :\tau_\gamma\colon E_{\gamma(0)}\to E_{\gamma(1)} 으로 생각할 수 있으며, 이는 벡터 공간의 동형을 이룬다. 이와 같이, 코쥘 접속은 E의 각 올공간들을 (주어진 경로에 따라) "이어붙이는" 것을 알 수 있다. 마찬가지로, 코쥘 초접속 역시 일종의 평행 운송을 정의한다.언어=en
# 분류
공변 미분 \nabla s의, x\in M에서의 값은 s의 x 근방의 값에만 의존한다.102, Remark 2 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 위의 두 코쥘 접속 \nabla^1, \nabla^2이 주어졌다고 하자. 그렇다면, :\nabla^1-\nabla^2\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(T^*M\otimes E) 는 매끄러운 다발 사상을 이룬다. 즉, (\nabla^1-\nabla^2)(s)의 x\in M에서의 값은 s(x)\in E_xM에만 의존한다. :\nabla^1-\nabla^2\in=\Omega^1\left(M;\operatorname{End}(E)\right)=\Omega^1(M;E\otimes E^*) 이에 따라, E 위의 코쥘 접속들의 모듈라이 공간은 \Omega^1(M;\operatorname{End}(E))의 꼴의 아핀 공간이다. 마찬가지로, 두 매끄러운 벡터 다발 E^\pm\twoheadrightarrow M 위의 두 코쥘 초접속 \nabla^1, \nabla^2이 주어졌을 때, :\nabla^1-\nabla^2\in\Omega^-(M;\operatorname{End}(E)) =\bigoplus_{i=0}^\infty\Omega^{2i}\left(M;E^+\otimes(E^-)^*\oplus E^-\otimes(E^+)^*\right) \oplus \bigoplus_{i=0}^\infty\Omega^{2i+1}\left(M;E^+\otimes(E^+)^*\oplus E^-\otimes(E^-)^*\right) 이며, E 위의 코쥘 초접속들의 모듈라이 공간은 \Omega^-(M;\operatorname{End}(E))의 꼴의 아핀 공간이다.45, Corollary 1.40
# 예

## 자명한 벡터 다발 위의 접속
매끄러운 다양체 M 위에 자명한 벡터 다발 E=M\times\mathbb R^k\twoheadrightarrow M이 주어졌다고 하자. \mathbb R^k의 기저를 \\{e_1,\dots,e_k\\}라고 하자. 그렇다면, E의 단면은 매끄러운 함수로 생각할 수 있다. :\Gamma^\infty(E)\cong\mathcal C^\infty(M,\mathbb R^n) 이 경우, E 위의 모든 코쥘 접속은 다음과 같은 꼴이다. :\nabla\colon s\mapsto ds+\omega(s) 여기서 :\omega\in\Omega^1(M)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{End}(\mathbb R^n) 는 1차 미분 형식의 n\times n 정사각 행렬이며, :ds=\sum_ie_id\langle e_i,s_i\rangle\in\Gamma^\infty(\mathrm T^*\\!M\otimes E) 는 s\colon M\to\mathbb R^n의 각 벡터 성분에 대한 외미분이다. 이 경우, :(\omega)^i{}_j=\langle e_j,\nabla e_j\rangle 를 \nabla의 **접속 형식**(接續形式, connection form)이라고 한다. 만약 접속 형식이 0이라면, 코쥘 접속은 평탄 코쥘 접속을 이룬다. 보다 일반적으로, 임의의 벡터 다발의 경우 국소적 자명화를 (비표준적으로) 잡을 수 있으며, 위와 같이 접속 형식을 정의할 수 있다. 물론 이는 선택한 국소적 자명화에 의존하며, 또 일반적으로 대역적으로 정의될 수 없다.
## 레비치비타 접속
레비치비타 접속 준 리만 다양체 (M,g) 위에는 리만 계량으로부터 레비치비타 접속이라는 아핀 접속을 표준적으로 정의할 수 있다.
## 스핀 접속
스핀 접속 리만 계량을 갖춘 스핀 다양체 (M,g) 위의 스피너 다발 \mathrm SM 위에, 리만 계량으로 유도되는 표준적인 코쥘 (초)접속인 **스핀 접속**이 존재한다.
# 역사
아핀 접속의 개념은 19세기의 기하학 및 텐서 미적분학 등에서 유래하였다. 1920년대 초에 엘리 카르탕은 카르탕 접속 이론의 일부로서 아핀 접속의 개념을 체계적으로 개발하였고, 이와 동시에 헤르만 바일은 일반 상대성 이론의 수학적 기초를 위하여 접속 이론을 개발하였다. "접속"이라는 용어 역시 카르탕이 도입하였다. 1950년에 장루이 코쥘은 접다발 위의 아핀 접속의 개념을 일반화하여, 임의의 벡터 다발 위의 코쥘 접속의 현대적인 정의를 제시하였다.언어=fr 초접속의 개념은 1985년에 대니얼 퀼런이 천 특성류를 연구하기 위해 도입하였다.언어=en90, §2