이차 방정식

좌표인 x = -1과 x = 2는 x^2 - x - 2 = 0이라는 이차방정식의 해가 된다.]] **이차방정식**(二次方程式, quadratic equation)은 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식이다. 이차방정식은 미지수가 포함된 방정식 중에서 그 미지수가 두 번째 거듭제곱, 즉 제곱으로 나타나는 방정식을 의미한다. : ax^2 + bx + c = 0 , \quad a \ne 0 와 같고, 여기서 x는 변수, a와 b는 각각 x^2 , x의 계수라고 하며, c는 상수항이라고 부른다. 일반적으로 인수분해를 이용해 풀이한다. 여기에서 ax^2에서 a의 값이 -이면 아래로 내려가고 +이면 위로 올라간다. 그리고 |a|의값이 커질수록 폭은 좁아진다. 복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실수인 근 실근과 허수인 근 허근을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 **중근**이라고 한다.
# 이차 방정식의 근의 공식
다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다. :ax^2 + bx + c = 0, 단, a, b, c는 실수이고 a\neq0일 때, 이 방정식의 두 해 x_1, x_2는 :x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ {2a}이고, :b=2p일 때는 x_{1,2}=\frac{-p \pm \sqrt {b^2-ac\ {a}이다.x = \frac{-2p \pm \sqrt{(2p)^2 - 4ac{2a}
= \frac{-2p \pm \sqrt{4 \cdot p^2 - 4ac{2a}
= \frac{-2p \pm 2 \cdot \sqrt{p^2 - ac{2a}
= \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - ac{a} 이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다. :x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ , 단 c \ne 0일 경우에만 성립한다.물론, 이차방정식이므로 a\neq0도 만족해야 한다. 여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 b^2 - 4ac를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 D로 나타낸다. 판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다. * 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. * 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 **중근**이라고 한다. * 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다. 따라서, 제곱근 기호 \sqrt{\;\;}안의 수, 즉 b^2 - 4ac는 이 이차방정식의 판별식이 된다. 제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은 \pm\sqrt{\;\;}가 살아있는 2개의 값이 되고, 루트의 내부가 0이면 루트는 없어짐으로 1개의 중복된 실수근을 갖게되고, 루트 내부에 음수가 존재하면 허수 \sqrt{ -1 \;}의 i가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다. 또한, 루트의 내부가 0이면 루트는 없어짐으로 1개의 중복된 실수근을 갖게 될때는, :{ -b} {\pm \sqrt{b^2-4ac } \over {2a} }= { { {-b}\cancel{\pm \sqrt{0 } \over {2a} }=-b} \over {2a 따라서, 축의 방정식은 이와같이 유도되고, 따라서, 이차함수의 꼭지점과 대칭 축은 -{ {b} \over {2a} } 가 된다.
## 근의 공식의 유도
이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.
좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.
ax^2+bx+c=0에서, a는 0이 아니므로 양변을 a로 나눌 수 있다. 이렇게 이차항 x^2의 계수를 1로 만든다. :\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0 가 얻어지고, 상수항만 우변으로 이항하면
:\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x= - \frac{c}{a}
일차항 x의 계수를 2 로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다.
:\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2
: \left(\textstyle x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}= {-{4a^2c} + {ab^2} \over {4a^3= {-{4ac} + {b^2} \over {4a^2
제곱근을 취하면 :\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ {2a} :x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ {2a} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ {2a} (단, a\neq0) 가 얻어진다. 이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식 D= b^2 -4ac가 0일때, 즉
b^2 -4ac =0 은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.
D=\left( {b \over a} \right)^2 -4 \left( {b \over 2a} \right)^2 =0
## 짝수 공식
이차 방정식에서 일차항의 계수 b 가 짝수인 경우 \scriptstyle b' = \frac{b}{2} 를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다. : x = \frac{-b' \pm \sqrt {b'^2-ac\ {a}
#### 근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이
이차 방정식 x^2+x-1=0 을 근의 공식을 이용하여 풀어보자. 근의 공식 x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ {2a} 에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면
x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt {1^2+4\ {2}
x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt {5\ {2}이다.
## 차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)에 의한 근의 공식 유도
다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항( n차항)의 x의 계수, a로 나눈 다음 \textstyle x=y- {b \over \mathbf{n} a}의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때, 이차 방정식 :ax^2 + bx + c = 0은 다음의 꼴로 정리되고, :x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0 그리고 :y^2+p=0의 꼴로 정리해서, :x= y- {b \over \mathbf{n} a}로 다시 정리하면 되겠다. 따라서, :x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x= y- {b \over \mathbf{2} a} : \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2 + {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 우선, \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2= \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)=\left(y^2-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right) :=\left(y^2-2{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)=\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right) 따라서, :\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 :\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b \over a}{b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 :\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} \right)+{c \over a}=0 :y^2 \cancel{-{b \over a}y}+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \cancel{+ {b \over a}y}- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} +{c \over a}=0 :y^2 + \left( {1 \over 4}\left({b \over a} \right)^2 - {1 \over 2}\left({b \over a} \right)^2 \right)+{c \over a}=0 :y^2 - {1 \over 4}\left({b \over a} \right)^2 +{c \over a}=0 :y^2 - \left({b^2 \over 4a^2} \right) +{c \over a}=0 :y^2 ={b^2 \over 4a^2} -{c \over a} :y^2 =ab^2 -4a^2c}\over 4a^3}=b^2 -4ac}\over 4a^2} :\sqrt{y^2}=\pm\sqrt{ b^2 -4ac}\over 4a^2} } :y= {\pm\sqrtb^2 -4ac\over 2a} :x= y- {b \over \mathbf{n} a}에서, :x= {\pm\sqrtb^2 -4ac\over 2a}- {b \over 2a} :x= {\pm\sqrtb^2 -4ac-b\over 2a} :x= {-b\pm\sqrtb^2 -4ac\over 2a} 여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다. 여기서는 완전제곱식은 y^2이다. 이러한 {b \over \mathbf{n} a} 값은 이차함수의 꼭지점인 축의 값과 관계있다.
# 근과 계수의 관계

## 근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1
ax^2+bx+c=0의 두 근 \alpha, \beta를 각각 \alpha=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ {2a} \beta=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac\ {2a}이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관) *\alpha + \beta = \frac {-b-b+\sqrt {b^2-4ac\ }-\sqrt {b^2-4ac\ {2a} \alpha + \beta = \frac {-2b}{2a}
\therefore \alpha + \beta =-\frac {b}{a}

*\alpha \beta =\frac {b^2-(\sqrt {b^2-4ac\ })^2}{(2a)^2} \alpha \beta =\frac {b^2-b^2+4ac}{4a^2} \alpha \beta =\frac {4ac}{4a^2} \therefore \alpha \beta =\frac {c}{a} *\left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }+b+\sqrt {b^2-4ac\ {2a} \right| \left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {2\sqrt {b^2-4ac\ {2a} \right| \therefore \left| \alpha - \beta \right| = \frac {\sqrt{b^2-4ac\ {\left| a \right|} 단, a는 0이 반드시 아니어야 한다.(0으로 나누기에 따르면 분모가 0일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.)
## 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2
ax^2+bx+c=0의 두근 을 각 \alpha, \beta라고 정의하고 \alpha, \beta을 근으로 갖는 이차방정식을 (x-\alpha)(x-\beta)=0이라 한 후 이 이차방정식 앞에 계수 a(단,a는 0이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로) ax^2+bx+c=0 \iff a(x-\alpha)(x-\beta)=0 (∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로) 먼저 두 번째 이차방정식인 a(x- \alpha)(x- \beta)=0의 계수를 나누고 전개해주면 x^2+(- \alpha - \beta)x+\alpha \beta \- ⓐ 또한, 첫 번째 이차방정식인 ax^2+bx+c=0 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로 최고차항 ax^2의 계수 a로 나눠주면 x^2+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0 \- ⓑ ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서 -\alpha - \beta=\frac {b}{a}, -(\alpha + \beta)=\frac {b}{a} \therefore \alpha + \beta = -\frac {b}{a}

\therefore \alpha \beta = \frac {c}{a} 참고로 이 차방정식은 브라마굽타에 이어 알콰리즈미에 의해 공식이 구해졌다.