계승 (수학)

수학에서, 자연수의 **계승**(階乘, 차례곱) 또는 **팩토리얼**(factorial)은 그 수보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱이다. n이 하나의 자연수일 때, 1에서 n까지의 모든 자연수의 곱을 n에 상대하여 이르는 말이다. 기호는 느낌표(**!**)를 쓰며 **팩토리얼**이라고 읽는다. {| class="wikitable" |+ 팩토리얼 수열 id=A000142. 과학적 기수법으로 지정된 값들은 표현 정확도에 맞추어 어림수로 표시함 |- ! *n* ! *n*! |- | 0 || 1 |- | 1 || 1 |- | 2 || 2 |- | 3 || 6 |- | 4 || 24 |- | 5 || 120 |- | 6 || 720 |- | 7 || 040 |- | 8 || 320 |- | 9 || 880 |- | 10 || 800 |- | 11 || 800 |- | 12 || 600 |- | 13 || 800 |- | 14 || 200 |- | 15 || 000 |- | 16 || 000 |- | 17 || 000 |- | 18 || 000 |- | 19 || 000 |- | 20 || 000 |- | 25 | | e=25 |- | 50 | | e=64 |- | 70 | | e=100 |- | 100 | | e=157 |- | 450 | | e=1000 |- | 000 | | e=2567 |- | 249 | | e=10000 |- | 000 | | e=35659 |- | 206 | | e=100000 |- | 000 | | e=456573 |- | 023 | | e=1000004 |- | 000 | | e=5565708 |- | e=100 ||10^{10^{101.9981097754820 |}
# 정의
음이 아닌 정수 n의 계승 n!은 다음과 같이 정의된다. :n!=\prod_{k=1}^nk=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdots\cdot3\cdot2\cdot1 특히, 0의 계승은 1이다. :0!=1 처음 몇 계승은 다음과 같다. :1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... A000142 :쉽게 정리하면 5! = 1×2×3×4×5이다.
## 복소수의 계승
감마 함수 감마 함수를 통해 계승의 정의역을 음의 정수를 제외한 복소수까지 확장할 수 있다. 감마 함수 \Gamma의 정의역은 \mathbb C\setminus\\{0,-1,-2,\dots\\}이며, 양의 실수부에서의 값은 다음과 같다. :\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm dt\qquad(\operatorname{Re}z>0) 감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다. :n!=\Gamma(n+1)\qquad(n\in\mathbb N) 이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 z의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다. :z!=\Gamma(z+1)\qquad(z\in\mathbb C\setminus\\{-1,-2,\dots\\}) 특히, 반정수의 계승은 다음과 같다. :(n-1/2)!=\sqrt\pi(2n-1)!!/2^n=\sqrt\pi\prod_{k=1}^n(k-1/2)\qquad(n\in\mathbb N)
## 기수의 계승
계승이 대칭군의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 기수까지 확장할 수 있다. 즉, 기수 \kappa의 계승 \kappa!는 다음과 같다.isbn=978-7-03-031276-164, 习题8 :\kappa!=|\operatorname{Sym}(\kappa)|= \begin{cases} \kappa(\kappa-1)(\kappa-2)\cdots3\cdot2\cdot1&\kappa-k가 주어졌을 때, n의 k중 계승은 다음과 같다. (이는 k번의 계승과 다른 개념이다.) :n!_k=\prod_{m=0}^{\lfloor(n-1)/k\rfloor}(n-mk)=n(n-k)(n-2k)\cdots 특히, -k일 경우 다음과 같다. :1=0!_k=(-1)!_k=(-2)!_k=\cdots=(-(k-1))!_k 예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, **이중 계승**(二重階乘, double factorial)은 다음과 같다. 임의의 n\in\mathbb N에 대하여, :(2n)!!=2^nn!=\prod_{k=1}^n2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots6\cdot4\cdot2 :(2n-1)!!=(2n)!/(2^nn!)=\prod_{k=1}^n(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots5\cdot3\cdot1 특히, 1=0!!=(-1)!!이다. 처음 몇 이중·삼중·사중 계승은 각각 다음과 같다. :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... A006882 :1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... A007661 :1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... A007662
## 지수 계승
계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, **삼각수**의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 n의 삼각수 T_n은 다음과 같다. :T_n=n(n+1)/2=\sum_{k=1}^nk=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1 계승의 정의에서 곱셈 대신 거듭제곱을 사용하면, **지수 계승**(指數階乘, exponential factorial)의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 n의 지수 계승 a_n은 다음과 같다. :a_n=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdots^{2^1 처음 몇 지수 계승은 다음과 같다. : 1, 1, 2, 9, 262144, ... A049384
# 성질

## 항등식
계승·k중 계승·지수 계승의 점화식은 각각 다음과 같다. :n!=n(n-1)! :n!_k=n(n-k)!_k :a_n=n^{a_{n-1
## 점근 공식
스털링 근사 또한, 임의의 n\in\mathbb Z^+에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다. :\sqrt{2\pi n}(n/e)^n 특히, 큰 n\in\mathbb N에 대하여, 계승에 대한 스털링 근사는 다음과 같다. :n!\approx\sqrt{2\pi n}(n/e)^n
## 수론적 성질

### 윌슨 정리
윌슨의 정리 2 이상의 정수 p에 대해 다음이 성립한다 * p가 소수이면 (p-1)!을 p로 나눈 나머지가 p-1이다. * (p-1)!를 p로 나눈 나머지가 p-1이면 p가 소수이다.
### 르장드르 공식
임의의 n\in\mathbb Z^+ 및 소수 p에 대하여, p\mid n!은 p\le n과 동치이다. 또한, **르장드르 공식**(Legendre公式, Legendre's formula)에 따르면, n!의 소인수 분해에서 p의 지수 v_p(n!)는 다음과 같다. (충분히 뒤에 있는 항들이 모두 0이므로 이는 유한 급수이다.) :v_p(n!)=\sum_{k=1}^\infty\left\lfloor\frac n{p^k}\right\rfloor=\frac{n-\alpha_p(n)}{p-1} 여기서 * \lfloor-\rfloor는 바닥 함수이다. * \alpha_p(n)은 n의 *p*진법 전개의 자릿수의 합이다.
# 응용

## 계승 소수
계승 소수
# 관련 개념

## 소수 계승
소수 계승 음이 아닌 정수 n의 소수 계승은 n 이하의 모든 소수의 곱이다.
## 상승 계승과 하강 계승
포흐하머 기호
# 역사
계승의 기본적인 개념은 *n*개의 원소의 순열의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.언어=en 팍토리엘이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(Louis François Antoine Arbogast)가 사용하였다. 느낌표 표기법은 1808년 수학자 크리스티앙 크랑(Christian Kramp)이 저서 《보편 산술 원론》(Éléments d’arithmétique universelle)언어=fr에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 파퀼테)라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.