코시 열

날짜=2022-03-22 설명2 = (b) 코시 열이 아닌 수열. 수열이 진행됨에 따라 수열의 원소가 서로 임의로 근접하지 못한다. **코시 열**(Cauchy列, Cauchy sequence)은 해석학에서 점 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 수열이다. 프랑스의 수학자인 오귀스탱 루이 코시에서 이름을 따서 명명되었다.zbl=0848.13001 보다 정확히 말하면 작은 양수의 거리가 주어진 경우에, 유한한 수의 원소를 제외한 수열의 모든 원소간의 거리가 주어진 거리보다 작다. 각 항이 "이전" 항에 임의로 근접하는 것은 충분하지 않다. 예를 들어 자연수의 제곱근 수열은 다음과 같다. :a_n=\sqrt n 연속 항은 다음과 같이 임의로 서로 가까워진다. :a_{n+1}-a_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n *d*을 만족하는 충분히 큰 지수 m이 존재한다. 실제로 *n* + *d*)2이면 충분하다. 결과적으로, 얼마나 멀리 가더라도 수열의 나머지 항은 서로 가까워지지 않으므로 수열은 코시 열이 아니다. 코시 열의 효용성은 완비 거리 공간(모든 그러한 수열이 극한으로 수렴한다고 알려진 곳)쪽=6에서 수열의 수렴 기준이 극한을 사용하는 정의와는 다르게 수열의 항 자체에만 의존하는 점에 있다. 이는 이론 및 응용 알고리즘에서 종종 이용되는데 반복적 프로세스는 반복법으로 구성된 코시 열을 생성하기 위해 상대적으로 쉽게 보여질 수 있으며 따라서 종료와 같은 논리적 조건을 충족시킨다. 보다 추상적인 균등 공간에서 코시 열은 코시 필터와 코시 그물의 형태로 일반화 할 수 있다.
# 실수에서의 활용
실수의 수열 x_1, x_2, x_3, \ldots이 있다고 하자. 모든 양수인 *ε*에 대해 양의 정수 *N*이 있어서, 모든 자연수 *m*, *n* > *N*이 다음 조건을 만족한다면, 이 수열을 코시 열이라고 부른다. :|x_m - x_n| \alpha(k), |x_m - x_n| 0인 경우 모든 양의 정수 *m*, *n* > *N*에 대해 거리수학|*d*(*x**'m*, *x**'n*) 0의 경우 n > 1/d의 모든 항 x_n이 (0, d) 구간에 적합하다)이다. 그러나 "극한"인 수 0은 공간 X에 속하지 않는다. **수열의 완비성 공리** 어떤 수열에 유계가 존재하고 단조증가이거나 단조감소이면 이 수열은 어떤 값t에 수렴한다. 이는 공리이므로 증명을 제시하지 않는다.
## 그 외의 속성
* 모든 수렴 수열(극한 *s* 포함)은 코시 열로서 어떠한 고정된 지점을 넘어서 특정한 실수 *ε* > 0이 주어지면 수열의 모든 항은 *s*의 거리 *ε*/2 안에 있기 때문에 수열의 특정한 두 항은 서로 거리 *ε* 안에 있다. * 모든 거리 공간에서 코시 열 *x**'n*은 유계 함수이다 (일부 *N*의 경우 *N*번째 이후의 수열의 모든 항은 서로 거리 1 안에 있고 *M*이 *x**'N*과 *N*번째까지의 모든 항 사이의 가장 큰 거리라면 수열의 어떤 항도 *xN*으로부터 *M* + 1보다 큰 거리를 갖지 않는다. * 임의의 거리 공간에서 극한 *s*와 수렴된 수열을 갖는 코시 열은 동일한 극한 그 자체로 수렴한다. 왜냐하면 원래 수열의 일부 고정점을 넘어서 임의의 실수 *r* > 0이 주어지기 때문에 수열의 모든 항은 *s*의 *r*/2 안에 있고 원래 수열의 두 항은 각각 거리 *r*/2 안에 있기 때문이다. 원래 수열의 모든 항은 *s*의 거리 *r* 안에 있다. 볼차노-바이어슈트라스 정리, 하이네-보렐 정리는 이들의 마지막 2가지 특성과 밀접하게 관련된 실수의 완비성에 대한 표준 증거를 제시한다. 실수의 코시 열은 유계이고 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따라 수렴하는 부분 수열을 갖기 때문에 그 자체를 스스로 수렴한다. 실수의 완전성에 대한 이 증거는 암시적으로 최소 상계 성질을 이용한다. 위에서 언급한 유리수의 완성으로서 실수를 구성하는 대안적 접근 방식은 실수의 완전성을 자율적으로 만든다. 코시 열로 작업하고 완비성을 사용할 수 있는 이점을 보여주는 표준 삽화 가운데 하나는 무한히 연속되는 실수의 합계(또는 보다 일반적인 노름 공간 또는 바나흐 공간의 원소)를 고려하여 제공된다. 이러한 급수 \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}은 부분합 (s_{m})의 수열이 수렴하는 경우에만 수렴하는 것으로 간주된다. 여기서 s_{m} = \sum_{n=1}^{m} x_{n}이라는 등식이 성립된다. 양수 *p* > *q*인 경우에는 s_{p} - s_{q} = \sum_{n=q+1}^{p} x_{n}이라는 등식을 통해 부분합의 수열이 코시 열인지 아닌지를 판단할 수 있다. 만약 f \colon M \rightarrow N가 거리 공간 *M*과 *N* 사이의 균등 연속 함수이고 (*x**n*)가 *M*의 코시 열이라면, (f(x_n))는 *N*의 코시 열이다. 만약 (x_n)와 (y_n)가 유리수, 실수 또는 복소수에서 2개의 코시 열이라면, 합계 (x_n + y_n)와 곱 (x_n y_n) 역시 코시 열이다.
# 일반화

## 위상 벡터 공간
위상 벡터 공간 X에 대한 코시 열의 개념도 있다. 먼저 0에 대한 국소기저인 X의 B를 선택한다. (x_k)는 각 구성체가 V\in B일 때에 n,m > N, x_n - x_m이 V의 원소일 때에 코시 열이다. X의 위상 배치가 변환 불변 공간 d와 호환된다면 2가지 정의는 일치한다.
## 위상군
코시 열의 위상 벡터 공간 정의는 연속적인 "추출" 연산만 있으면 되기 때문에 위상군의 맥락에서 설명될 수 있다. 위상군 G의 수열 (x_k)는 G의 항등원의 모든 열린 근방 U에 대해 m, n > N이 존재할 때마다 x_n x_m^{-1} \in U를 따르는 일부 N이 존재한다면 코시 열이다. 거리 공간의 완비화 구성과 마찬가지로 G에 있는 모든 열린 근방 U에 대해 m, n > N이 x_n y_m^{-1} \in U을 따르도록 몇 개의 N이 존재한다면 (x_k)와 (y_k)가 동등하다는 코시 열에 대한 이진 관계를 정의할 수 있다. 이러한 관계는 동치관계이고 이러한 수열은 반사적인 코시 열이다. 이러한 수열은 y_n x_m^{-1} = (x_m y_n^{-1})^{-1} \in U^{-1}이기 때문에 대칭이며 이는 역의 연속성에 의해 항등원의 또다른 열린 근방이기 때문에 대칭이다. x_n z_l^{-1} = x_n y_m^{-1} y_m z_l^{-1} \in U' U*에서 U'와 U*는 U'U'' \subseteq U와 같이 항등원의 개방된 근방이기 때문에 추이적 관계이다. 이러한 쌍들은 군 연산의 연속성에 의해 존재한다.
## 군
G군에는 코시 열 개념도 있다: H=(H_r)은 유한 지수 G의 정규 부분군이 감소하는 수열이다. G의 수열 (x_n)는 코시 열(w.r.t. H)이라고 표현하는데 N과 같은 \forall m,n > N, x_n x_m^{-1} \in H_r인 경우에 r이 있는 경우에만 해당된다. 기술적으로 이것은 G의 위상 배치를 위한 코시 열과 동일하며 H가 국소기저이다. 이러한 코시 열의 집합 C는 (성분별 결과물인 경우) 군을 형성하며 Null 수열(s.th. \forall r, \exists N, \forall n > N, x_n \in H_r)의 집합 C_0은 C의 정규 부분군이다. 요인 그룹 C/C_0은 H와 관련하여 G의 완성이라고 한다. 그런 다음에 이러한 완비가 수열 (G/H_r)의 역극한과 같은 형이라는 것을 확인할 수 있다. 정수론과 대수기하학에서 익숙한 이러한 구조의 예는 소수 *p*에 대한 p진수 완비 구조이다. 이 경우 *G*는 추가되는 정수이고 *H**'r*은 *p**'r*의 정수 배수로 구성된 가법 부분군이다. 만약 H가 공종 집합 수열이라면(즉 유한 지수의 모든 정규 부분군은 H_r을 포함한다) 이 완비는 (G/H)_H의 역극한과 동일하다는 점에서 표준이다. 여기서 H는 유한 지수의 "모든" 정규 부분군에 걸쳐 변화한다.
## 초실수의 연속
실제 수열 \langle u_n: n\in \mathbb{N} \rangle은 일반적인 자연수 *n* 이외에 지수 *n*의 초정수 값에 대해 정의된 자연적인 초실수 확장 *H*를 갖고 있다. 무한대인 *H*와 *K*에 대해 값이 표시되는 경우(\, \mathrm{st}(u_H-u_K)= 0)만 코시 열이다. 여기서 "st"는 표준부분함수이다.
## 코시 범주 완비
헤닝 크라우제(Henning Krause)는 2018년에 범주의 코시 완비화에 대한 개념을 도입했다. **Q**(유리수를 대상으로 하며, 작은 유리수에서 큰 유리수로의 사상을 가지는 얇은 범주)의 범주 코시 완비화는 **R**(마찬가지의 범주)이다.