시그마 대수

측도론에서 **시그마 대수**(σ代數, sigma-algebra)는 가산 상한과 하한을 갖는 불 대수이다. 시그마 대수의 원소 위에 측도를 정의할 수 있다.
# 정의

## 시그마 대수
불 대수 \Sigma에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 불 대수를 **(추상적) 시그마 대수**((abstract) sigma-algebra)라고 한다.언어=en§2.3언어=enDefinition 1 * (가산 상완비성) \Sigma의 임의의 가산 부분 집합은 상한을 갖는다. * (가산 하완비성) \Sigma의 임의의 가산 부분 집합은 하한을 갖는다.
## 시그마 대수 준동형
두 시그마 대수 \Sigma, \Sigma' 사이의 **시그마 대수 준동형**(sigma-algebra homomorphism) f\colon\Sigma\to\Sigma'은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다. * 임의의 가산 부분 집합 A\subseteq\Sigma에 대하여, \textstyle f(\bigvee A)=\bigvee f(A)이다. (특히, A=\varnothing일 경우, f(\bot_\Sigma)=\bot_{\Sigma'}이다.) * 임의의 가산 부분 집합 A\subseteq\Sigma에 대하여, \textstyle f(\bigwedge A)=\bigwedge f(A)이다. (특히, A=\varnothing일 경우, f(\top_\Sigma)=\top_{\Sigma'}이다.) * 임의의 원소 s\in\Sigma에 대하여, \textstyle f(\lnot s)=\bigvee f(\lnot s)이다. 여기서 \top과 \bot은 각각 최대 원소와 최소 원소를 뜻한다. 시그마 대수와 시그마 대수 준동형은 구체적 범주 \operatorname{\sigma Alg}를 이룬다.
## 시그마 아이디얼
시그마 대수 \Sigma의 **시그마 아이디얼**(sigma-ideal)은 다음 조건들을 만족시키는 순서 아이디얼 I\subseteq\Sigma이다.Definition 2.3.7 * 가산 상한에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 가산 부분 집합 I'\subseteq I에 대하여, \textstyle\sup_\Sigma I'\in I이다. 불 대수는 가환환을 이루며, 불 대수의 순서 아이디얼은 아이디얼을 이룬다. 따라서 몫 불 대수 \Sigma/I를 정의할 수 있으며, I가 시그마 아이디얼이라면 이는 시그마 대수를 이룬다. 이를 **몫 시그마 대수** \Sigma/I라고 한다.Definition 2.3.7
# 성질

## 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다. :{| || || || || || 완비 격자 || ⇐ || 완비 헤이팅 대수 || ⇐ || 완비 불 대수 |- || || || || || || || || || ⇓ |- || || || || || ⇓ || || ⇓ || || 시그마 대수 |- || || || || || || || || || ⇓ |- | 원순서 집합 || ⇐ || 부분 순서 집합 || ⇐ || 유계 격자 || ⇐ || 헤이팅 대수 || ⇐ || 불 대수 |}
## 분배 법칙
시그마 대수 \Sigma의 원소 a,b_0,b_1,\dots\in\Sigma에 대하여, 다음이 성립한다.(1) :a\land\bigvee_{i=0}^\infty b_i=\bigvee_{i=0}^\infty(a\land b_i) :a\lor\bigwedge_{i=0}^\infty b_i=\bigwedge_{i=0}^\infty(a\lor b_i)
## 크기
기수 \kappa에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.언어=enurl-status=dead언어=en * |B|=\kappa인 완비 불 대수 B가 존재한다. * |B|=\kappa인 시그마 대수 B가 존재한다. * 만약 \kappa가 무한 기수라면, \kappa^{\aleph_0}=\kappa이다. 만약 \kappa가 유한 기수라면, \kappa=2^n인 기수 n이 존재한다. 특히, 무한 시그마 대수의 크기는 항상 2^{\aleph_0} 이상이며, 가산 무한 시그마 대수는 존재하지 않는다. (직접적으로, 이는 모든 무한 불 대수는 가산 무한 반사슬을 갖는데, 가산 완비성에 따라 이 반사슬의 부분 집합들의 상한(또는 하한)들의 수는 2^{\aleph_0}이기 때문이다.) 특히, 모든 유한 시그마 대수는 (유한 불 대수이므로) 그 크기가 2의 거듭제곱이며, 어떤 유한 집합 S의 멱집합 \mathcal P(S)와 동형이다.
## 루미스-시코르스키 표현 정리
**루미스-시코르스키 표현 정리**(Loomis-Sikorski表現定理, Loomis–Sikorski representation theorem)에 따르면, 임의의 (추상적) 시그마 대수 \Sigma에 대하여, :\Sigma\cong\Sigma'/I 가 되는 * 집합 X * 시그마 대수 \Sigma'\subseteq\mathcal P(X) * \Sigma'의 시그마 아이디얼 I\subseteq\Sigma' 가 존재한다.2.3.10언어=en167, Theorem 5.8언어=en255, Theorem XI.3 그러나 일반적으로 I=\varnothing이 아닐 수 있다. 즉, 멱집합의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없는 시그마 대수가 존재한다.
## 범주론적 성질
시그마 대수의 범주는 (가산 무한 개의 항을 가진 연산을 갖는) 대수 구조 다양체 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 또한 자유 시그마 대수가 존재한다.
# 예
집합 X의 멱집합은 완비 불 대수이므로 시그마 대수이다.
## 측도 공간
가측 공간 (X,\Sigma)에서, \Sigma\subseteq\mathcal P(X)는 정의에 따라 \mathcal P(X)의 부분 시그마 대수이다. 측도 공간 (X,\Sigma,\mu)에서, \mu-영집합들의 족 :\operatorname{Null}(X,\Sigma,\mu)=\\{S\in\Sigma\colon\mu(S)=0\\} 은 \Sigma의 시그마 아이디얼을 이루며, \Sigma/\operatorname{Null}(X,\Sigma,\mu)는 시그마 대수를 이룬다.
## 구체적이지 않은 시그마 대수
폐구간의 보렐 시그마 대수 \operatorname{Borel}([0,1])에서, 르베그 측도가 0인 보렐 집합들의 족은 시그마 아이디얼 \operatorname{Null}([0,1])\subseteq \operatorname{Borel}([0,1])을 이룬다. 그 몫 시그마 대수 \operatorname{Borel}([0,1])/\operatorname{Null}([0,1])는 멱집합 시그마 대수의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없다.Proposition 2.3.9
# 역사와 어원
"시그마 대수"라는 이름에서, 시그마(σ)는 "가산 무한"을 뜻한다.zbl=1231.28001Remark 1.4.13 즉, 임의의 불 대수에서 유한 집합의 상한·하한이 존재하는 조건을 가산 집합으로 강화한 것이다. 루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스(Lynn Harold Loomis, 1915~1994)언어=en와 로만 시코르스키(Roman Sikorski, 1925~1983)url-status=dead256, Theorem 5.3가 증명하였다.