유리수

수학에서 **유리수**(有理數, rational number)는 두 정수의 비율 또는 분수의 형식으로 나타낼 수 있는 수이다. 단, 분모가 0이 아니어야 한다. 특히, 분모가 1일 수 있으므로 모든 정수는 유리수이다. 유리수체의 기호는 \mathbb Q이며, 몫을 뜻하는 영어 quotient에서 따왔다.
# 정의
섬네일 **유리수체** \mathbb Q는 정수환 \mathbb Z의 분수체이다. 이는 다음과 같은 집합으로 생각할 수 있다. :\mathbb Q=\left\\{\frac mn\colon m,n\in\mathbb Z,\;n\ne0\right\\}
## 추상적 정의
엄밀히 말해, 유리수체 \mathbb Q는 다음과 같은 공리를 만족시키는 (동형 아래 유일한) 체이다. * \mathbb Q의 표수는 0이다. * 만약 환 R의 표수가 0이라면, 유일한 환 준동형 \mathbb Q\to R이 존재한다.
## 구체적 정의
유리수체 \mathbb Q는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 집합 \mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\\{0\\}) 위에 다음과 같은 동치 관계 \sim를 줄 수 있다. :(m,n)\sim(m',n')\iff mn'=nm'\qquad(m,n,m',n'\in\mathbb Z,\;n,n'\ne0) 유리수체 \mathbb Q는 집합으로서 몫집합 (\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\\{0\\}))/{\sim}이며, 그 위의 덧셈과 곱셈은 다음과 같다. :[(m,n)]_\sim+[(m',n')]_\sim=[(mn'+nm',nn')]_\sim :[(m,n)]_\sim\cdot[(m',n')]_\sim=[(mm',nn')]_\sim 체가 만족시켜야 하는 조건인 각종 연산 법칙과 덧셈 항등원 [(0,1)]_\sim 및 각 유리수 [(m,n)]_\sim의 덧셈 역원 [(-m,n)]_\sim 및 곱셈 항등원 [(1,1)]_\sim 및 0이 아닌 각 유리수 [(m,n)]_\sim\ne[(0,0)]_\sim의 곱셈 역원 [(n,m)]_\sim의 존재가 성립하므로, 이는 체를 이룬다. 정수환과 유리수체 사이의 표준적인 단사 환 준동형은 다음과 같다. :\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q :n\mapsto[(n,1)]_\sim 각 유리수 [(m,n)]_\sim를 분수 꼴 \frac mn으로 나타내면, 유리수를 마치 두 정수의 비율인 것처럼 다룰 수 있다.
# 표현

## 분수 표현
유리수는 두 정수의 비율이므로, 나눗셈 기호와 의미가 같은 분수 기호를 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1과 3의 비를 분수로 나타내면 3이다. 분자와 분모를 동시에 그 공약수로 나누어 원래와 값이 같지만 꼴이 더 단순한 분수를 얻는 과정을 약분이라고 한다. 18을 최대 공약수 6으로 나눠 약분하면 분자와 분모가 서로소이어서 더 이상 약분할 수 없는 기약 분수 3을 얻는다. 분자가 분모보다 작은 분수를 진분수, 작지 않은 분수를 가분수라고 한다. 가분수는 정수와 진분수의 합으로 표현한 것을 대분수라고 한다. 예를 들어, 9의 대분수 표현은 19이다. 무리수는 두 정수의 비율로 나타낼 수 없으므로 분수 표현이 불가능하다.
## 십진법 표현
유리수의 진법 전개는 유한 소수이거나 순환 소수이다. 십진법 전개가 가장 흔하며, 그 예는 다음과 같다. :\frac75=1.4 :\frac13=0.\dot3=0.333\cdots :\frac16=0.1\dot6=0.1666\cdots :\frac17=0.\dot14285\dot7=0.142857142857\cdots :\frac19=0.\dot1=0.111\cdots :\frac1{11}=0.\dot0\dot9=0.090909\cdots :\frac1{12}=0.08\dot3=0.083333\cdots 분수를 소수로 전환하려면 나머지 있는 나눗셈을 통해 순환 마디를 구하면 된다. 유한 소수나 순환 소수를 분수로 전환하려면 10 = 0.1, 100 = 0.01, 1000 = 0.001 및 9 = 0.111..., 99 = 0.010101..., 999 = 0.001001001... 따위를 이용하면 된다. 반면 무리수의 진법 전개는 비순환 소수이다.
## 연분수 표현
유리수는 유한 연분수 표현이 가능하다. 예를 들어, 다음과 같다. :\frac{11}9=[1;4,2]=1+\frac1{4+\dfrac12} :\frac{15}{11}=[1;2,1,3]=1+\frac1{2+\dfrac1{1+\dfrac13 :\frac{734}{367}=[2;5,3,7,3]=2+\frac1{5+\dfrac1{3+\dfrac1{7+\dfrac13 분수를 연분수로 나타내려면, 분자와 분모에 유클리드 호제법을 응용하면 된다. 무리수의 경우, 연분수 표현은 항상 무한 연분수이다.
# 연산

## 등식과 부등식
두 유리수가 같을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\frac ab=\frac cd\iff ad=bc\qquad(a,b,c,d\in\mathbb Z,\;b,d\ne0) 어떤 유리수가 다른 어떤 유리수보다 작을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\frac ab<\frac cd\iff ad0)
## 덧셈과 뺄셈
두 유리수의 덧셈에는 통분 기법이 쓰이며, 이는 다음과 같다. :\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd} 유리수의 반수를 구하는 공식은 다음과 같다. :-\frac ab=\frac{-a}b 두 유리수의 뺄셈은 반수를 더하는 것과 같다. :\frac ab-\frac cd=\frac ab+\left(-\frac cd\right)=\frac{ad-bc}{bd} 분모의 최소 공배수를 공분모로 취하여 통분하면 더 간단히 구할 수 있다.
## 곱셈과 나눗셈
두 유리수의 곱셈은 다음과 같다. :\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd} 0이 아닌 유리수의 역수는 다음과 같다. :\left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba 두 유리수의 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같다. :\frac ab\div\frac cd=\frac ab\cdot\left(\frac cd\right)^{-1}=\frac{ad}{bc}
# 성질
집합 \mathbb Q는 정수의 집합 \mathbb Z으로 만든 분수체이며, 따라서 \mathbb Q는 사칙연산이 자유로운 체이다. 집합 \mathbb Q는 표수가 0인 가장 작은 체이다. 즉, 표수가 0인 체는 \mathbb Q와 동형인 체를 반드시 포함한다. 서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합 \mathbb Q는 조밀 집합이다. 그러나 \mathbb Q와 \mathbb Z 사이에는 일대일 대응이 가능하므로, \mathbb Q는 가산 무한 집합이다. 유리수체에는 표준적인 절댓값과 p진 절댓값을 줄 수 있으며, 이들에 의한 완비화는 각각 실수체와 p진수체이다.