정이면체군

눈 결정의 대칭군은 정이면체군 \operatorname{Dih}_6이다.]] \operatorname{Dih}_8은 정팔각형의 대칭군이다. 군론에서 **정이면체군**(正二面體群, dihedral group)은 정다각형의 대칭군인 유한군이다.
# 정의
H가 아벨 군이라고 하자. **일반화 정이면체군**(generalized dihedral group) \operatorname{Dih}(H)는 다음과 같은 반직접곱이다. :\operatorname{Dih}(H)\cong H\rtimes_\phi(\mathbb Z/2) 여기서 \mathbb Z/2=\\{0,1\\}는 크기가 2인 유일한 군이며, 군의 작용 \phi\colon\mathbb Z/2\times H\to H는 다음과 같다. :\phi_0\colon h\mapsto h :\phi_1\colon h\mapsto -h **정이면체군** :\operatorname{Dih}_n=\operatorname{Dih}(\mathbb Z/n) 은 순환군 \mathbb Z/n에 대한 일반화 정이면체군이다. **무한 정이면체군**(infinite dihedral group) :\operatorname{Dih}_\infty=\operatorname{Dih}(\mathbb Z) 은 무한 순환군 \mathbb Z에 대한 일반화 정이면체군이다.
## 표시
정이면체군 \operatorname{Dih}_n은 다음과 같은 표시를 갖는다. :\operatorname{Dih}_n\cong\langle r,s|r^n=s^2=(rs)^2=1\rangle 정이면체군 \operatorname{Dih}_n은 간혹 D_n이나 D_{2n}으로 쓰기도 한다. 무한 정이면체군 \operatorname{Dih}_\infty은 다음과 같은 표시를 갖는다. :\operatorname{Dih}_{\infty}\cong\langle r,s|s^2=(rs)^2=1\rangle
# 성질

## 일반화 정이면체군
일반적으로, 일반화 정이면체군 \operatorname{Dih}(H)의 크기는 H의 크기의 두 배이다. 일반화 정이면체군 \operatorname{Dih}(H)=H\rtimes(\mathbb Z/2)의 원소들은 모두 (h,0) 또는 (h,1)의 꼴이다 (h\in H). 이 경우, (h,0) 꼴의 원소들의 집합은 H와 동형인 \operatorname{Dih}(H)의 지표가 2인 정규 부분군을 이루며, (h,1) 꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다. 즉, (h,1)\cdot(h,1)=(0,0)이다. \operatorname{Dih}(H)의 켤레류들은 다음과 같은 꼴이다. 모든 h\in H에 대하여, * \\{(h,0),(-h,0)\\} * \\{(h+2k,0)|k\in H\\}
## 유한 정이면체군
평면에서, 정n각형의 대칭군은 \operatorname{Dih}_n이다. 여기서, 군의 표시에서 r는 (반시계방향으로) 2\pi/n 라디안 회전 대칭에, s는 고정된 축에 대한 반사 대칭에 대응된다. 정이면체군 \operatorname{Dih}_n은 총 2n개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다. :1,r,r^2,\dots,r^{n-1},s,sr,sr^2,\dots,sr^{n-1} 작은 정이면체군들은 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 군 !! 다른 이름 |- | \operatorname{Dih}_0 || 자명군 0 |- | \operatorname{Dih}_1 || 2차 순환군 \mathbb Z/2 |- | \operatorname{Dih}_2 || 클라인 4원군 \mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2 |- | \operatorname{Dih}_3 || 대칭군 \operatorname{Sym}_3 |- | \operatorname{Dih}_6 || \operatorname{Dih}_3\times(\mathbb Z/2) |} 더 일반적으로, 만약 n\equiv2\pmod4라면, :\operatorname{Dih}_n\cong\operatorname{Dih}_{n/2}\times(\mathbb Z/2) 이다.
### 멱영군일 조건
n\ge3인 경우, \operatorname{Dih}_n은 아벨 군이 아니다. 모든 \operatorname{Dih}_n은 가해군이다. n\ge1인 경우, \operatorname{Dih}_n이 멱영군일 필요충분조건은 n\in\\{2^0,2^1,\dots\\}이다. k\ge1에 대하여, \operatorname{Dih}_{2^k}는 k류 멱영군이다.oclc=248917264191, Example
### 자기 동형
n\ge2인 경우, \operatorname{Dih}_n의 자기 동형군은 다음과 같다. :\operatorname{Aut}(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases} \operatorname{Sym}_3 & n=2 \\\ \mathbb Z/n\rtimes(\mathbb Z/n)^\times & n\ge3 \end{cases} 여기서 (-)^\times는 가역원군이며, 우변의 반직접곱의 군의 작용은 (\mathbb Z/n)^\times와 \operatorname{Aut}(\mathbb Z/n) 사이의 표준적인 동형이다. 특히, n\ge3인 경우 \operatorname{Dih}_n의 자기 동형 사상의 수는 n\phi(n)이다. 여기서 \phi는 오일러 피 함수이다. 구체적으로, (a,b)\in\mathbb Z/n\rtimes(\mathbb Z/n)^\times는 s를 sr^a로, r를 r^b로 보내는 자기 동형 사상에 대응한다. n\ge2인 경우, \operatorname{Dih}_n의 중심은 다음과 같다. :\operatorname Z(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases} \mathbb Z/2 & n\equiv0\pmod2 \\\ 1 & n\equiv1\pmod2 \end{cases} 구체적으로, 만약 n이 짝수라면, \pi 라디안 회전 대칭 r^{n/2}은 \operatorname{Dih}_n의 원소이며, 모든 원소와 가환한다. n\ge2인 경우, \operatorname{Dih}_n의 내부 자기 동형군은 다음과 같다. :\operatorname{Inn}(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases} \operatorname{Dih}_{n/2} & n\equiv0\pmod2 \\\ \operatorname{Dih}_n & n\equiv1\pmod2 \end{cases}
## 무한 정이면체군
무한 정이면체군 \operatorname{Dih}_\infty는 정수의 집합 \mathbb Z의 대칭군이다. 무한 정이면체군 \operatorname{Dih}_\infty는 다음과 같은 자유곱으로 나타낼 수 있다. :\operatorname{Dih}_\infty=(\mathbb Z/2)*(\mathbb Z/2)