수반 함자

범주론에서 **수반 함자**(隨伴函子, adjoint functor) 또는 **딸림 함자**(-函子)는 두 개의 함자가 서로 간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.
# 정의

## 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의
두 범주 \mathcal C, \mathcal D 사이의 두 함자 :F\colon\mathcal C\to\mathcal D :G\colon\mathcal D\to\mathcal C 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F와 G 사이의 **수반**(adjunction) (\epsilon,\eta)는 다음과 같은 두 개의 자연 변환의 순서쌍이다. :\epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D} :\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF 여기서 \operatorname{id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C 및 \operatorname{id}_{\mathcal D}\colon\mathcal D\to\mathcal D는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다. :\operatorname{id}_F=\epsilon F\circ F\eta :\operatorname{id}_G=G\epsilon\circ\eta G 여기서 \operatorname{id}_F\colon F\Rightarrow F 및 \operatorname{id}_G\colon G\Rightarrow G는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다. :\begin{matrix} F&\xrightarrow{F\eta}&FGF;\\\ &{\scriptstyle\operatorname{id}_F}\searrow&\downarrow\scriptstyle\epsilon F\\\ &&F; \end{matrix} \qquad\begin{matrix} G&\xrightarrow{\eta G}&GFG;\\\ &{\scriptstyle\operatorname{id}_G}\searrow&\downarrow\scriptstyle G\epsilon\\\ &&G; \end{matrix} 이 경우, F를 G의 **왼쪽 수반 함자**(-隨伴函子, left-adjoint functor)라고 하고, G를 F의 **오른쪽 수반 함자**(-隨伴函子, right-adjoint functor)라고 하며, \epsilon은 **쌍대단위원**(雙對單位元, counit), \eta는 **단위원**(單位元, unit)이라고 한다. 이는 기호로 :F\dashv G 또는 :F\colon\mathcal C\leftrightarrows\mathcal D\colon G 와 같이 쓴다.
## 보편 성질을 통한 정의
두 범주 \mathcal C, \mathcal D 사이의 두 함자 :F\colon\mathcal C\to\mathcal D :G\colon\mathcal D\to\mathcal C 사이의 **수반**은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환 :\epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D} 이다. * 임의의 대상 Y\in\operatorname{ob}(\mathcal D) 및 X\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 및 사상 f\colon F(X)\to Y에 대하여, f=\epsilon_YF(g)인 유일한 사상 g\colon X\to G(Y)가 존재한다. *:\begin{matrix} FG(Y) & \xrightarrow{\epsilon_Y} & Y \\\ {\scriptstyle G(\exists!g)}\uparrow & \nearrow{\scriptstyle f} \\\ F(X) \end{matrix} 마찬가지로, 다음과 같이 정의할 수 있다. F와 G 사이의 **수반**은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환 :\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF 이다. * 임의의 대상 X\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 및 Y\in\operatorname{ob}(\mathcal D) 및 사상 f\colon X\to G(Y)에 대하여, f=G(g)\circ\eta_X인 유일한 사상 g\colon F(X)\to Y이 존재한다. *:\begin{matrix} X & \xrightarrow{\eta_X} & GF(X) \\\ & {\scriptstyle\forall f}\searrow & \downarrow{\scriptstyle G(\exists!g)} \\\ & & G(Y) \end{matrix} 이 두 정의는 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, (\epsilon,\eta)가 쌍대단위원과 단위원의 순서쌍을 이룬다면, \epsilon과 \eta를 이루는 사상들은 두 정의에서의 보편 성질을 각각 만족시킨다. 반대로, 자연 변환 \epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}을 이루는 사상들이 보편 성질을 만족시킨다면, 이를 쌍대단위원으로 삼는 단위원 \eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF을 찾을 수 있다. 마찬가지로, 보편 성질을 만족시키는 자연 변환 \eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF에 대하여, 이를 단위원으로 하는 쌍대단위원 \epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}을 찾을 수 있다.
## 사상 집합을 통한 정의
\mathcal C와 \mathcal D가 국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자 :F\colon\mathcal C\leftrightarrows\mathcal D\colon G 는 다음과 같이 정의할 수 있다. F와 G 사이의 **수반**은 함자 :\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\colon\mathcal \mathcal C^{\operatorname{op\times\mathcal D\to\operatorname{Set} :\hom_{\mathcal C}(-,G(-))\colon\mathcal \mathcal C^{\operatorname{op\times\mathcal D\to\operatorname{Set} 사이의 자연 동형 :\Phi\colon\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\Rightarrow\hom_{\mathcal C}(-,G(-)) 이다. 국소적으로 작은 범주의 경우, 쌍대단위원 및 단위원을 통한 정의와 사상 집합을 통한 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 쌍대단위원 \epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}과 단위원 \eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF의 순서쌍이 주어졌을 때, :\Phi_{X,Y}\colon(F(X)\xrightarrow fY)\longmapsto(X\xrightarrow{\eta_X}GF(X)\xrightarrow{G(f)}G(Y))\qquad(X\in\operatorname{ob}(\mathcal C),\;Y\in\operatorname{ob}(\mathcal D)) 는 자연 동형을 이룬다. 반대로, 자연 동형 \Phi\colon\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\Rightarrow\hom_{\mathcal C}(-,G(-))이 주어졌을 때, 항등 사상에 대응하는 사상 :\epsilon_Y=\Phi_{G(Y),Y}^{-1}(\operatorname{id}_{G(Y)})\qquad(Y\in\operatorname{ob}(\mathcal D)) :\eta_X=\Phi_{X,F(X)}(\operatorname{id}_{F(X)})\qquad(X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)) 들은 F,G의 쌍대단위원과 단위원을 이룬다.
# 성질

## 프레이드 수반 함자 정리
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자. * \mathcal D는 ** 완비 범주이다. ** 국소적으로 작은 범주이다. * \mathcal C는 범주이다. **프레이드 수반 함자 정리**(Freyd adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 G\colon\mathcal D\to\mathcal C에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.언어=en121, Theorem V.6.2 * G는 왼쪽 수반 함자를 갖는다. * G는 모든 작은 극한을 보존하며, **해집합 조건**을 만족시킨다. 여기서 **해집합 조건**(解集合條件, solution set condition)이란 다음과 같다. 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합 \\{\tilde X_i\\}_{i\in I}\subseteq\mathcal D 및 사상들의 집합 \\{f_i\colon X\to G(\tilde X_i)\\}_{i\in I}이 존재한다. :임의의 \tilde Y\in\mathcal D 및 사상 g\colon X\to G(\tilde Y)에 대하여, g= G(\tilde g)\circ f_i를 만족시키는 i\in I 및 \tilde g\colon\tilde X_i\to\tilde Y가 존재한다. :\begin{matrix} X&\overset g\to&G;(\tilde Y)\\\ {\scriptstyle f_i}\downarrow&&\|\\\ G(\tilde X_i)&\underset{G(\tilde g)}\to&G;(\tilde Y) \end{matrix} 만약 실제로 어떤 수반 함자쌍 :F\colon\mathcal C\leftrightarrows\mathcal D\colon G 이 존재한다면, 대상 X\in\mathcal C에 대하여 :I=\\{0\\} :\tilde X_0=F(X) :f\colon X\to G(F(X))=G(\tilde X_0) 로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.
## 특수 수반 함자 정리
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자. * \mathcal D는 ** 완비 범주이다. ** 국소적으로 작은 범주이다. ** 정멱 범주이다. ** 쌍대 생성 집합을 갖는다. * \mathcal C는 국소적으로 작은 범주이다. **특수 수반 함자 정리**(special adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 G\colon\mathcal D\to\mathcal C에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.129, Theorem V.8.2 * G는 왼쪽 수반 함자를 갖는다. * G는 모든 작은 극한을 보존하며, 단사 사상들의 (집합이 아닐 수 있는) 모임의 당김을 보존한다.
# 예

## 자유-망각 수반
자유 대상 대수 구조 다양체의 범주 \mathcal V에서, 자유 대수 함자 :\langle-\rangle\colon\operatorname{Set}\to\mathcal V 는 망각 함자 :|-|\colon\mathcal V\to\operatorname{Set} 의 왼쪽 수반 함자를 이룬다. :\langle-\rangle\dashv|-|
## 곱-지수 수반
데카르트 닫힌 범주 \mathcal C의 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, 곱 함자 :-\times X\colon\mathcal C\to\mathcal C :-\times X\colon Y\mapsto Y\times X 는 지수 대상 함자 :(-)^X\colon\mathcal C\to\mathcal C :(-)^X\colon Y\mapsto Y^X 의 왼쪽 수반 함자를 이룬다. :-\times X\dashv(-)^X 집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다. 다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 **텐서곱**이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 \otimes이다.)
## 대각-극한 수반
범주 \mathcal C 및 범주 \mathcal J가 주어졌고, 모든 함자 D\colon\mathcal J\to\mathcal C의 극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자 :\varprojlim\colon\mathcal C^{\mathcal J}\to\mathcal C 는 왼쪽 수반 함자 :\Delta\dashv\varprojlim 를 가진다. 이는 \mathcal C의 대상을 상수 함자에 대응시킨다. :\Delta\colon\mathcal C\to\mathcal C^{\mathcal J} :\Delta\colon X\mapsto(J\mapsto X) 예를 들어, \mathcal C가 곱을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면 :(-)^2\colon\mathcal C^2\to\mathcal C :(-)^2\colon X\mapsto X\times X :\Delta\colon\mathcal C\to\mathcal C^2 :\Delta\colon X\mapsto(X,X) 는 서로 수반 함자를 이룬다. :\Delta\dashv(-)^2 마찬가지로, 범주 \mathcal C 및 범주 \mathcal J가 주어졌고, 모든 함자 D\colon\mathcal J\to\mathcal C의 쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자 :\varinjlim\colon\mathcal C^{\mathcal J}\to\mathcal C 는 오른쪽 수반 함자 :\varinjlim\dashv\Delta 를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면 :\varinjlim\dashv\Delta\dashv\varprojlim 가 된다.