뱀 완전열

호몰로지 대수학에서 **뱀 완전열**(-完全列, snake exact sequence)은 아벨 대상의 아벨 범주 속의 6개의 대상들 사이의 가환하는 사상으로부터, 사상들의 핵과 여핵들 사이를 연결하는 완전열이다.
# 정의
아벨 범주에서, 다음과 같은 그림이 가환한다고 하자. :파일:Snake lemma 여기에서 각 행은 완전열이며 0은 영 대상이다. 이 경우, 세 사상 a, b, c의 핵과 여핵들로 구성된 6항 완전열이 존재하며, 이를 **뱀 완전열**이라고 한다.언어=en11, Lemma 1.3.2 :\ker a\to\ker b\to\ker c\xrightarrow d\operatorname{coker}a\to\operatorname{coker}b\to\operatorname{coker}c 이 완전열에서, d를 **연결 사상**(連結寫像, connecting morphism)이라고 한다. 연결 사상 d는 만약 \mathcal A가 아벨 군 범주의 부분 범주라고 할 경우 구체적으로 다음과 같다.

**연결 사상의 구성:**

우선, 임의의 \gamma\in\ker c\subseteq C에 대하여 다음과 같은 원소들을 정의하자. * g(\beta)=\gamma인 임의의 \beta\in B (이는 g가 전사 사상이므로 가능하다) ** g'(b(\beta))=c(g(\beta))=c(\gamma)=0이므로, b(\beta)\in\ker g'\subseteq B'가 된다. * 0\to A'\to B'\to C'가 완전열이므로, (다시 말해, \operatorname{im}f' = \ker g'이고 f'이 단사 사상이므로) f'(\alpha')=b(\beta)인 \alpha'\in A'이 유일하게 존재한다. 그렇다면, 연결 사상 d는 다음과 같다. :d\colon \gamma\mapsto \alpha'+\operatorname{im}a 이는 \beta\in B의 선택에 의존하지 않으며, 또한 연결 사상을 통해 얻는 열이 완전열임을 보일 수 있다.

뱀 완전열의 존재는 다음과 같이 도롱뇽 정리를 사용하여 보일 수 있다.

**증명:**언어=enLemma 2.4

그림의 위에 핵을, 밑에 여핵을 추가하여 다음과 같은 그림을 만들자. :\begin{matrix} && 0 && 0 && 0 \\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\\ && \ker a &\to & \ker b &\to & \ker c \\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\\ && A & \to & B &\to & C &\to &0\\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\\ 0&\to & A' &\to & B' &\to & B' \\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\\ && \operatorname{coker}a &\to & \operatorname{coker}b &\to & \operatorname{coker}c \\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\\ && 0 && 0 && 0 \end{matrix} 이제, 다음 세 명제를 증명하면 족하다. * (가): _= (\ker b) \cong 0 * (나): _=(\operatorname{coker}b) \cong 0 * (다): (\ker c)_\square \cong {}^\square (\operatorname{coker}a). 이는 \operatorname{coker} (\operatorname{ker}b \to \ker c) = (\ker c)_\square이며, \ker (\operatorname{coker}a\to\operatorname{coker}b) = {}^\square (\operatorname{coker}a)이기 때문이다. 이 동형 사상은 연결 사상에 해당한다. 이제, 완전성을 사용하여 다음 교외 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다. :\begin{matrix} && 0_\square && 0_\square && 0_\square \\\ && \swarrow && \swarrow && \swarrow \\\ && ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\\ && \swarrow && \swarrow && \swarrow \\\ && ^\square \bullet_\square & \nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow &^\square \bullet_\square &\nearrow &^\square 0\\\ && \swarrow && \swarrow && \swarrow \\\ 0_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\\ && \swarrow && \swarrow && \swarrow \\\ && ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\\ && \swarrow && \swarrow && \swarrow \\\ && ^\square0 && ^\square0 && ^\square0 \end{matrix} \ker b\to \ker c를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열 및 \operatorname{coker}b\to \operatorname{coker}c를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열을 사용하면, 아래 그림에 추가된 교내 사상이 추가로 동형 사상임을 알 수 있다. :\begin{matrix} && 0_\square && 0_\square && 0_\square \\\ && \swarrow && \color{Red}\swarrow && \swarrow \\\ && ^\square \bullet_\square &\nearrow & \overset\square{\underset={\scriptstyle\color{Red}\downarrow \underset\to\bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\\ && \swarrow && \swarrow && \color{Green}\swarrow \\\ && ^\square \bullet_\square & \nearrow & ^\square \bullet_\square &\color{Green}\nearrow &^\square \bullet_\square &\nearrow &^\square 0\\\ && \swarrow && \color{Green}\swarrow && \swarrow \\\ 0_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\color{Green}\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\\ && \color{Green}\swarrow && \swarrow && \swarrow \\\ && ^\square \bullet_\square &\nearrow & \overset\square{\underset={\scriptstyle\downarrow \underset{\color{Cyan}\to}\bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\\ && \swarrow && \color{Cyan}\swarrow && \swarrow \\\ && ^\square0 && ^\square0 && ^\square 0 \end{matrix} 이제, (가) ~ (다)의 증명은 다음과 같이 간단하다. * (가): 위의 그림에서 붉게 칠한 동형 사상 0\cong 0_\square \to {}^\square(\ker b)\to {}_=(\ker b) * (나): 위의 그림에서 하늘색으로 칠한 동형 사상 0\cong {}^\square 0\leftarrow (\operatorname{coker} b)_\square \leftarrow {}_=(\operatorname{coker}b) * (다): 위의 그림에서 녹색으로 칠한 동형 사상 (\ker c)_\square \to {}^\square C \leftarrow B_\square \to {}^\square B'\leftarrow A_\square \to {}^\square(\operatorname{coker}a)

# 성질
그림 :파일:Snake lemma 에 대응하는 뱀 완전열에서, 다음이 성립한다. * (가) 만약 f가 단사 사상이라면 \ker a\to\ker b도 단사 사상이다. * (나) g'이 전사 사상인 경우 \operatorname{coker}b\to\operatorname{coker}c도 전사 사상이다. 이들은 서로 쌍대적이다. 즉, 아벨 범주 \mathcal A에서의 명제 (가)는 반대 범주 \mathcal A^{\operatorname{op에서의 명제 (나)와 같다.

**증명:**

편의상 (가)를 증명하자. 가환 그림 : \begin{matrix} 0&\to& \ker a& \to & \ker b\\\ \downarrow && \downarrow && \downarrow\\\ 0& \to & A &\to &B; \end{matrix} 에서, _=(\ker a) \cong 0임을 보이면 족하다. 도롱뇽 정리로부터, 동형 사상을 이루는 두 교외 사상 : 0_\square \to {}^\square A \leftarrow {}^\square(\ker a) 이 존재한다. 따라서 ^\square(\ker a) \cong 0이다. 따라서, \ker a\to \ker b를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열 : \begin{matrix} {\color{White}_\square}0_\square \\\ \swarrow \\\ \underset ={\overset\square{\scriptstyle\downarrow \underset\to{(\ker a)}_\square &\nearrow &\overset \square{\underset ={\scriptstyle\downarrow \underset\to{(\ker b)}_\square \\\ && \swarrow \\\ && ^\square B\color{White}_\square \end{matrix} 으로부터, _=(\ker a) \cong 0임을 알 수 있다.

## 호몰로지 긴 완전열
사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌을 경우, 위와 같은 뱀 완전열들이 이어져 더 긴 완전열을 얻는다. 이를 짧은 완전열에 대응하는 **호몰로지 긴 완전열**(homology long exact sequence)이라고 한다. 구체적으로, 아벨 범주에서, 사슬 복합체 A_\bullet, B_\bullet, C_\bullet가 주어졌다고 하고, 이들이 다음과 같은 짧은 완전열을 이룬다고 하자. :0\to A_\bullet\xrightarrow\alpha B_\bullet\xrightarrow\beta C_\bullet\to0 **지그재그 정리**(zigzag補助定理, zigzag lemma)에 따르면, 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다. :\cdots\to\operatorname H_{n+1}(C)\to\operatorname H_n(A)\xrightarrow{\alpha_*}\operatorname H_n(B)\xrightarrow{\beta_*}\operatorname H_n(C)\to\operatorname H_{n-1}(A)\to\cdots

**뱀 완전열을 사용한 구성:**13–14

다음과 같은 가환 그림을 생각하자. : \begin{matrix} &\ker\partial_n^A&&\ker\partial_n^B&&\ker\partial_n^C\\\ &\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ 0\to&A;_n &\to& B_n&\to&C;_n&\to0\\\ &{\scriptstyle\partial_n^A}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_n^B}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_n^C}\downarrow\\\ 0\to&A;_{n-1}&\to& B_{n-1}&\to&C;_{n-1}&\to0\\\ &\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\ &\operatorname{coker}\partial_n^A&&\operatorname{coker}\partial_n^B&&\operatorname{coker}\partial_n^C\\\ \end{matrix} 뱀 보조정리에 따라서, 모든 n에 대하여 다음 두 행들은 완전열을 이룬다. :0\to\ker\partial_n^A\to\ker\partial_n^B\to\ker\partial_n^C :\operatorname{coker}\partial_n^A\to\operatorname{coker}\partial_n^B\to\operatorname{coker}\partial_n^C\to0 따라서, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다. : \begin{matrix} &\operatorname{coker}\partial_{n+2}^A&\to&\operatorname{coker}\partial_{n+2}^B&\to&\operatorname{coker}\partial_{n+2}^C&\to0\\\ &{\scriptstyle\partial_{n+1}^A}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_{n+1}^B}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_{n+1}^C}\downarrow\\\ 0\to&\ker\partial_n^A&\to&\ker\partial_n^B&\to&\ker\partial_n^C \end{matrix} 이 그림에서 각 열의 핵과 여핵은 각각 호몰로지 \operatorname H_{n+1}(-)와 \operatorname H_n(-)이다. 따라서, 여기에 뱀 보조정리를 다시 한 번 더 적용하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다. :\cdots\to\operatorname H_{n+1}(A)\to\operatorname H_{n+1}(B)\to \operatorname H_{n+1}(C)\to \operatorname H_n(A)\to\operatorname H_n(B)\to\operatorname H_n(C)\to\cdots

**도롱뇽 정리를 사용한 구성:**

다음과 같은 그림을 생각하자. :\begin{matrix} && \vdots && \vdots && \vdots \\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\\ 0 &\to & A_n & \to & B_n & \to & C_n & \to 0\\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\\ 0 &\to & A_{n-1} & \to & B_{n-1} & \to & C_{n-1} & \to 0\\\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\\ && \vdots && \vdots && \vdots \end{matrix} 이제, 다음과 같은 사상들을 생각하자. :\begin{matrix} && \vdots && \vdots && \vdots \\\ && && \swarrow && \\\ 0_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\color{Red}\downarrow & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset{\color{Red}\to}\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow & \color{Red}\nearrow & ^\square 0\\\ && && \swarrow && \\\ 0_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\color{Red}\downarrow & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset{\color{Red}\to}\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow &\color{Red}\nearrow & ^\square 0\\\ && && \swarrow && \\\ && \vdots && \vdots && \vdots \end{matrix} 여기서, 도롱뇽 정리를 사용하여, 붉은 색으로 칠해진 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다. 또한, 검은 색으로 칠해진 사상, 즉 :A_{n\square} \to B_n^\| \to B_{n\square} \to {}^\square B_{n-1} \to B_{n-1}^\| \to {}^\square C_{n-1} 는 도롱뇽 정리에 등장하는 완전열이다. 붉은 색의 동형 사상을 적용하면, 이는 호몰로지 긴 완전열 :A_n^\| \to B_n^\| \to C_n^\| \to A_{n-1}^\| \to B_{n-1}^\| \to C_{n-1}^\| 과 같다.

# 예
마이어-피토리스 열 복시테인 준동형 대수적 위상수학에서 쓰이는 마이어-피토리스 열은 뱀 완전열의 일종이다. 마찬가지로, 복시테인 준동형은 뱀 완전열의 연결 사상의 일종이다.
# 역사
1657년 유럽에서 출판된 동물학 서적에 수록된 뱀의 그림 뱀 완전열은 연결 사상이 가환 그림에서 마치 뱀처럼 구불거리는 모양을 하므로 이러한 이름이 붙었다. 즉, 다음과 같은 그림 :파일:Snake lemma 에서, 연결 사상은 갈지자 (之) 모양을 하고 있다. 데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문언어=en에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 뱀 정리가 등장한다.Lemma 5.8 뱀 완전열의 존재의 (수학적으로 올바른) 증명이 클로디아 와일(Claudia Weill) 감독의 1980년 미국 영화 《뉴욕 소나타》(이츠 마이 턴)의 도입부에서 등장한다.11 이 영화에서 수학 교수 케이트 건징어(Kate Gunzinger, 질 클레이버그 분)는 이 정리를 강의 중에 증명한다.