쌍곡 치환

미적분학 미적분학에서 **쌍곡 치환**(雙曲置換, hyperbolic substitution)은 쌍곡선 함수를 이용하는 치환 적분 기법의 하나이다.
# 정의
**쌍곡 치환**은 삼각 치환과 마찬가지로 완전 제곱꼴의 이차식이 나오는 함수를 적분하는 데 사용되는 기법이다. 구체적으로, 유리 함수 R(u,v) 및 a>0이 주어졌을 때, 쌍곡 치환은 다음과 같다.doi=10.1017/9781108291507135, Table 10.1 {| class="wikitable" !적분 !삼각 치환 !쌍곡 치환 |- |\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm dx |x=a\sin\theta |x=a\tanh t |- |\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})\mathrm dx |x=a\tan\theta |x=a\sinh t |- |\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm dx |x=a\sec\theta |x=a\cosh t |} 더 자세히는 다음과 같다. {| class="wikitable" !적분 ! colspan="4" |쌍곡 치환 !사용된 항등식 |- |\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm dx |x=a\tanh t |-\infty |\sqrt{a^2-x^2}=a\operatorname{sech}t |\mathrm dx=a\operatorname{sech}^2t\mathrm dt |1-\tanh^2t=\operatorname{sech}^2t |- |\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})\mathrm dx |x=a\sinh t |-\infty |\sqrt{x^2+a^2}=a\cosh t |\mathrm dx=a\cosh t\mathrm dt |1+\sinh^2t=\cosh^2t |- |\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm dx |x=a\cosh t (x>a일 경우) |0 |\sqrt{x^2-a^2}=a\sinh t |\mathrm dx=a\sinh t\mathrm dt |\cosh^2t-1=\sinh^2t |}
# 예
다음 예시는 쌍곡 치환 x=a\cosh t를 사용한다 (a>0,\;x>a).lccn=2010936598481, Example 5isbn=978-7-301-15685-8253, 例6.2.15 :{| |\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2 |=\int\frac{a\sinh t\mathrm dt}{a\sinh t} | |( x=a\cosh t,\;0 ) |- | |=\int\mathrm dt |- | |=t+C |- | |=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C | |( t=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|-\ln a ) |} 다음 예시는 쌍곡 치환 x=a\sinh t를 사용한다 (a>0).253, 例6.2.16issn=1003-144827, 例1 :{| |\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+a^2 |=\int\frac{a\cosh t\mathrm dt}{a\cosh t} | |( x=a\sinh t,\;-\infty ) |- | |=\int\mathrm dt |- | |=t+C |- | |=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C | |( t=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|-\ln a ) |} 다음 예시는 쌍곡 치환 x=\tanh t를 사용한다.28, 例3 :{| |\int\sqrt{1-x^2}\mathrm dx |=\int\frac{\mathrm dt}{\cosh^3t} | |( x=\tanh t,\;-\infty ) |- | |=\int\frac{\cosh t\mathrm dt}{\cosh^4t} |- | |=\int\frac{\mathrm du}{(u^2+1)^2} | |( u=\sinh t ) |- | |=\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}-\int\frac{u^2}{(u^2+1)^2}\mathrm du |- | |=\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}+\frac 12\int u\mathrm d\frac 1{u^2+1} |- | |=\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}+\frac 12\frac u{u^2+1}-\frac 12\int\frac{\mathrm du}{u^2+1} |- | |=\frac 12\arctan u+\frac 12\frac u{u^2+1}+C |- | |=\frac 12\arctan\frac x{\sqrt{1-x^2+\frac 12x\sqrt{1-x^2}+C | |( \sinh t=\frac{\tanh t}{\sqrt{1-\tanh^2t ) |- | |=\frac 12\arcsin x+\frac 12x\sqrt{1-x^2}+C |} 첫째 및 둘째 예시는 쌍곡 치환이 더 간편하며, 셋째 예시는 삼각 치환이 더 간편하다.
# 응용
쌍곡 치환은 다음과 같은 꼴의 적분에서도 사용된다. :\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx 여기서 m,n은 정수이며, m+n은 음의 홀수이다. 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.jstor=2688773141 {| class="wikitable" !적분 ! colspan="3" |쌍곡 치환 |- | rowspan="2" |\begin{align}\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx &=\int\sec^{-(m+n)}x\tan^nx\mathrm dx\\\ &=\int\cot^mx\csc^{-(m+n)}x\mathrm dx \end{align} |\tan x=\sinh t |\sec x=\cosh t (-\pi/2일 경우) |\mathrm dx=\operatorname{sech}t\mathrm dt |- |\cot x=\sinh t |\csc x=\cosh t (0일 경우) |\mathrm dx=-\operatorname{sech}t\mathrm dt |} 첫 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.142, Example 1 :\begin{align}\int\sec x\mathrm dx &=\int\cosh t\operatorname{sech}t\mathrm dt\\\ &=\int\mathrm dt\\\ &=t+C\\\ &=\ln(\cosh t+\sinh t)+C\\\ &=\ln(\sec x+\tan x)+C \end{align} 두 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.142, Example 2 :\begin{align}\int\csc^3x\mathrm dx &=-\int\cosh^3t\operatorname{sech}t\mathrm dt\\\ &=-\int\cosh^2t\mathrm dt\\\ &=-\frac 12\int(1+\cosh 2t)\mathrm dt\\\ &=-\frac 12t-\frac 14\sinh 2t\\\ &=-\frac 12\ln(\cosh t+\sinh t)-\frac 12\sinh t\cosh t\\\ &=-\frac 12\ln(\csc x+\cot x)-\frac 12\cot x\csc x\\\ &=\frac 12\ln(\csc x-\cot x)-\frac 12\cot x\csc x \end{align} 일부 저서에서는 이를 **건서 쌍곡 치환**(-雙曲置換, Gunther's hyperbolic substitutions)이라고 부른다.142, Exercise 11 이 방법은 찰스 건서(Charles O. Gunther)가 《삼각 및 허수 치환 적분》(Integration by Trigonometric and Imaginary Substitutions)이라는 교재에서 처음 공개하였다.143, Endnote 1lccn=07040021