갈릴레이 군

history 물리학과 수학에서 **갈릴레이 군**(Galilei群, Galilean group)은 뉴턴 역학에서 성립하는 시공간의 대칭군이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 속도에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. 특수 상대성이론에서 갈릴레이 군은 푸앵카레 군으로 대체된다.
# 정의
n차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간 \mathbb R\times\mathbb R^n 위의 **갈릴레이 변환**(Galilei變換, Galilean transformation)은 다음과 같은 꼴의 함수이다. :(t,\mathbf x)\mapsto(t+s,t\mathbf v+R\mathbf x+\mathbf y),\;(s\in\mathbb R,\mathbf v\in\mathbb R^n,R\in\operatorname{SO}(n;\mathbb R)) 이들은 함수의 합성 아래 (n+1)(n+2)/2차원 리 군을 이루며, 이를 **갈릴레이 군**(Galilei群, Galilean group) \operatorname{Gal}(n+1)이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 리 군 반직접곱으로 나타낼 수 있다. :\operatorname{Gal}(n+1)=\mathbb R^{n+1}\rtimes\operatorname{ISO}(n;\mathbb R) 여기서 \operatorname{ISO}(n;\mathbb R)=\mathbb R^n\rtimes\operatorname{SO}(n)은 유클리드 군이다. \operatorname{ISO}(n;\mathbb R)는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다. :\operatorname{ISO}(n;\mathbb R)=\left\\{ \begin{pmatrix} 1&\mathbf v\\\ \mathbf0&R; \end{pmatrix}\colon\mathbf v\in\mathbb R^n,\;R\in\operatorname{SO}(n;\mathbb R) \right\\} 그렇다면, 반직접곱에서 \operatorname{ISO}(n;\mathbb R)의 \mathbb R^{n+1} 위의 작용은 다음과 같다. :\operatorname{ISO}(n;\mathbb R)\to\operatorname{Aut}(\mathbb R^{n+1})=\operatorname{GL}(\mathbb R^{n+1}) :\begin{pmatrix} 1&\mathbf0\\\ \mathbf v&R; \end{pmatrix}\colon(t,\mathbf x)\mapsto\begin{pmatrix} 1&\mathbf0\\\ \mathbf v&R; \end{pmatrix}\begin{pmatrix}t\\\\\mathbf x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\\ R\mathbf x+\mathbf vt\end{pmatrix} 갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다. :\operatorname{Gal}(n+1)=\left\\{ \begin{pmatrix} 1&0&\mathbf0\\\ s&1&\mathbf0\\\ \mathbf y&\mathbf v&R; \end{pmatrix}\colon R\in\operatorname{SO}(n),\;\mathbf v,\mathbf y\in\mathbb R^n,\;s\in\mathbb R\right\\} 이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다. :\begin{pmatrix} 1&0&\mathbf0\\\ s&1&\mathbf0\\\ \mathbf y&\mathbf v&R; \end{pmatrix}\colon\begin{pmatrix}1\\\t\\\\\mathbf x\end{pmatrix} \mapsto\begin{pmatrix} 1&0&\mathbf0\\\ s&1&\mathbf0\\\ \mathbf y&\mathbf v&R; \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\t\\\\\mathbf x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\\ t+s\\\ R\mathbf x+\mathbf vt+\mathbf y \end{pmatrix}
## 갈릴레이 대수
갈릴레이 군 \operatorname{Gal}(n+1)의 리 대수를 **갈릴레이 대수**(Galilei代數, Galilean algebra) \mathfrak{gal}(n+1)이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자. {| class=wikitable ! 생성원 !! 기호 !! 단위 |- | 시간 변화 || H || [시간]−1 |- | 공간 병진 이동 || P_i (i=1,\dots,n) || [길이]−1 |- | 공간 회전 || J_{ij} (i,j=1,\dots,n, J_{ij}=-J_{ji}) || 1 |- | 갈릴레이 변환 || C_i (i=1,\dots,n) || [시간] [길이]−1 |} 그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 i가 곱해져 있다.) :[H,P_i]=[P_i,P_j]=[J_{ij},H]=[C_i,C_j]=[C_i,P_j]=0 :[J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}] :[J_{ij},P_k]=i[\delta _{ik}P_j-\delta _{jk}P_i] :[J_{ij},C_k]=i[\delta _{ik}C_j-\delta _{jk}C_i] :[C_i,H]=iP_i
# 성질
갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지를 가진다.언어=en191, §Ⅳ.7 :\dim\operatorname H^2(\mathfrak{gal}(3+1)) = 1 이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하 M을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다. :[H,P_i]=[P_i,P_j]=[J_{ij},H]=[C_i,C_j]=0 :[J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}] :[J_{ij},P_k]=i[\delta _{ik}P_j-\delta _{jk}P_i] :[J_{ij},C_k]=i[\delta _{ik}C_j-\delta _{jk}C_i] :[C_i,H]=iP_i :[C_i,P_j]=iM\delta_{ij} 따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.
# 표현론
3+1차원 갈릴레이 대수 \mathfrak{gal}(3+1)의 (중심 확대의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다. 우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수의 중심은 다음 원소들로 생성된다. * 중심 전하 M. 이는 질량에 해당한다. * 질량껍질 불변량 ME-P^2/2. 이는 질량과 정지 에너지의 곱이다. * W_{ij}=MJ_{ij}+P_iC_j-P_jC_i * W_{ijk}=P_iJ_{jk}+P_jJ_{ki}+P_kJ_{ij} W_{ij} 및 W_{ijk}는 푸앵카레 군의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터와 유사하다. 슈어 보조정리에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각 * m * mE_0 * w_{ij} * w_{ijk} 라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, m은 실수이다. 물리학적으로 E_0\ge0이어야만 한다.
## 유질량 표현
m\ne0인 경우를 생각하자. (E,\mathbf P) 공간 위에 질량껍질 제약 mE=mE_0+P^2/2을 가한 초곡면을 **질량껍질**이라고 하며, 갈릴레이 변환 C_i는 질량껍질 위에 추이적으로 작용한다. 유도 표현 (위그너 분류) 방법을 사용하면, C_i의 작용의 안정자군을 고려하게 된다. 이 안정자군은 J_{ij}에 의해 생성되는 스핀 군 \operatorname{Spin}(n)이다 (n\ge3). n=3인 경우, 3차원 스핀 군 \operatorname{Spin}(3)=\operatorname{SU}(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 스핀 s\in\\{0,1/2,1,3/2,\dots\\}에 의하여 완전히 분류된다. 즉, m\ne0인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 \operatorname{Spin}(n)의 유니터리 표현 s 및 질량 m, 정지 에너지 E_0에 의하여 분류된다.
## 무질량 표현
m=0인 경우, 유니터리 표현이므로 mE-\mathbf p^2/2=-\mathbf p^2/2\le0이다. 유도 표현 방법에 따르면, (E,\mathbf P) 공간에서의 안정자군을 고려해야 한다. * \mathbf p^2=0인 경우: 이 경우 안정자군은 J_{ij}와 C_i에 의하여 생성되는 유클리드 군 \operatorname{ISO}(n)\cong\mathbb R^n\rtimes\operatorname{SO}(n)이다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 진공밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다. * \mathbf p^2>0인 경우: 이 경우 안정자군은 \operatorname{ISO}(n-1)이며, 이는 \mathbf p에 대하여 수직인 방향의 C_i 및 P_i에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군 \operatorname{ISO}(n-1)의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용(action at a distance)을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 푸앵카레 군의 타키온 표현과 유사하다.
# 예

## 1차원 갈릴레이 군
0+1차원 갈릴레이 대수 \mathfrak{gal}(1)은 1차원 아벨 리 대수이다. 0+1차원 갈릴레이 군 \operatorname{Gal}(1)은 1차원 아벨 리 군 \mathbb R이다.
## 2차원 갈릴레이 군
1+1차원 갈릴레이 대수 \mathfrak{gal}(1+1)은 3차원 실수 하이젠베르크 대수 \mathfrak h(3;\mathbb R)와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저 :\mathfrak h(3;\mathbb R)=\operatorname{Span}\\{x,p,\hbar\\} :[x,p]=i\hbar :[x,\hbar]=[p,\hbar]=0 가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다. :C\mapsto x :H\mapsto p :P\mapsto\hbar 이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수가 아닌 유일한 멱영 리 대수이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류에서 II형 대수이다. 마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)
# 응용
갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 힘이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다. 실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군의 위그너-이뇌뉘 축약(Wigner–İnönü contraction)이며, 이는 광속을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.
# 역사
갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 갈릴레오 갈릴레이가 《새로운 두 과학》에서 최초로 기술하였다.언어=it191–196 특수 상대성 이론 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 푸앵카레 변환이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다.