집적점

일반위상수학에서 **집적점**(集積點, accumulation point)은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.
# 정의
기수 \kappa\in\operatorname{Card}가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X 및 부분 집합 Y\subseteq X 및 점 x\in X가 다음 조건을 만족시킨다면, x가 Y의 **\kappa-집적점**(集積點, \kappa-accumulation point)이라고 한다. * 임의의 x의 근방 X\supseteq U\ni x에 대하여, |U\cap Y|\ge\kappa이다. 특히, 임의의 점 x\in X 및 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다. :\operatorname{acc}(x,Y)=\min_{U\in\mathcal N_x}|Y\cap U| 여기서 \mathcal N_x는 x의 근방 필터이다. 즉, x는 항상 Y의 \operatorname{acc}(x,Y)-집적점이다. Y의 \kappa-집적점들의 집합을 :\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y)=\\{x\in X\colon\operatorname{acc}(x,Y)\ge\kappa\\} 로 표기하자. 특별한 값의 \kappa에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다. * Y\subseteq X의 |Y|-집적점을 **완비 집적점**(完備集積點, complete accumulation point)이라고 한다. * \aleph_1-집적점을 **응집점**(凝集點, condensation point)이라고 한다. (여기서 \aleph_1은 최소의 비가산 기수이다.) * 점 x\in X 및 부분 집합 Y\subseteq X이 주어졌을 때, 만약 임의의 근방 X\supseteq U\ni x에 대하여, U\cap Y\setminus\\{x\\}\ne\varnothing이라면, x를 Y의 **극한점**(極限點, limit point)이라고 한다. 극한점들의 집합을 **유도 집합**(誘導集合, derived set)이라고 하며, 흔히 Y'으로 표기한다. 일반적으로, 극한점의 개념은 2-집적점과 1-집적점 사이에 있다. ** X\subseteq X의 극한점이 아닌 점 x\in X\setminus X'은 **고립점**(孤立點, 외딴점, isolated point)이라고 한다. 즉, X의 고립점은 \\{x\\}가 열린집합인 점 x\in X이다. * 1-집적점을 **폐포점**(閉包點, closure point) 또는 **밀착점**(密着點, adherent point)이라고 한다. Y\subseteq X의 폐포점은 Y의 원소이거나 아니면 Y의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 **폐포** \operatorname{acc\,pt}_1(Y)=\operatorname{cl}Y라고 한다. * 임의의 x\in X는 Y\subseteq X의 0-집적점이다.
# 성질

## 폐포와의 관계
위상 공간 X의 부분 집합 Y\subseteq X과 점 x\in X에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * x는 Y의 폐포점이다. * x\in Y이거나, 또는 x는 Y의 극한점이다. 다시 말해, Y의 폐포는 Y와 그 극한점들의 집합의 합집합이다. :X=\operatorname{acc\,pt}_0(Y) :\operatorname{cl}Y=Y\cup Y' 위상 공간 X의 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * Y는 닫힌집합이다. * Y'\subseteq Y * \operatorname{cl}Y=Y
## T1 공간의 경우
만약 X가 T1 공간이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다. * x는 Y의 극한점이다. * x는 Y의 \aleph_0-집적점이다. 따라서, T1 공간의 경우 2\le\kappa\le\aleph_0에 대하여 \kappa-집적점을 구별하지 않아도 되며, 이는 극한점과도 같은 개념이다.

**증명:**

x\in X가 Y\subseteq X의 \aleph_0-집적점이 아니라고 하자. 그렇다면, U\cap Y가 유한 집합인 U\in\mathcal N_x가 존재한다. (\mathcal N_x는 x의 근방 필터이다.) X가 T1 공간이므로, 한원소 집합은 닫힌집합이다. 따라서, :\widetilde U=\operatorname{int}(U)\setminus(Y\setminus\\{x\\})=\operatorname{int}(U)\cap\bigcap_{y\in U\cap(Y\setminus\\{x\\})}(X\setminus\\{y\\}) 역시 (유한 개의 열린집합들의 교집합이므로) 열린집합이다. (여기서 \operatorname{int}는 내부를 뜻한다.) \widetilde U\in\mathcal N_x이자 \widetilde U\cap Y=\\{x\\}이므로 x는 Y의 극한점이 아니다.

T1 공간의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 닫힌집합이다. 다음 두 조건이 서로 동치이다. * X는 이산 공간이다. * X의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다.
## 유도 집합
편의상 극한점을 1.5-집적점으로 일컫자. 그렇다면 다음이 성립한다. * 임의의 \kappa\ge1에 대하여, \operatorname{acc\,pt}_\kappa(\varnothing)=\varnothing * 임의의 집합 Y,Z\subseteq X 및 기수 \kappa\le1.5에 대하여, \operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y\cup Z)=\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y)\cup \operatorname{acc\,pt}_\kappa(Z) * 임의의 집합 Z\subseteq Y\subseteq X 및 기수 \kappa\ge\lambda에 대하여, \operatorname{acc\,pt}_\kappa(Z)\subseteq\operatorname{acc\,pt}_\lambda(Y) 임의의 부분 집합의 유도 집합이 닫힌집합인 위상 공간을 TD 공간이라고 한다. 모든 T1 공간은 TD 공간이며, 모든 TD 공간은 콜모고로프 공간이다.
# 예
실수선의 부분 집합 :S=\\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\\}\subsetneq\mathbb R 을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다. :\operatorname{acc\,pt}_\kappa(S)= \begin{cases} \mathbb R&\kappa=0\\\ S\cup\\{0\\}&\kappa=1\\\ \\{0\\}&2\le\kappa\le\aleph_0\\\ \varnothing&\kappa\ge\aleph_1 \end{cases} 실수선 속의, 무리수의 부분 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q\subsetneq\mathbb R을 생각하자. :\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\mathbb R\setminus\mathbb Q)= \begin{cases} \mathbb R&0\le\kappa\le2^{\aleph_0}\\\ \varnothing&\kappa>2^{\aleph_0} \end{cases} 실수선 속의, 유리수의 부분 집합 \mathbb Q\subsetneq\mathbb R을 생각하자. :\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\mathbb Q)= \begin{cases} \mathbb R&0\le\kappa\le\aleph_0\\\ \varnothing&\kappa\ge\aleph_1 \end{cases} 실수선을 스스로의 부분 집합 \mathbb R\subseteq\mathbb R으로 여기자. :\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\mathbb R)= \begin{cases} \mathbb R&0\le\kappa\le2^{\aleph_0}\\\ \varnothing&\kappa>2^{\aleph_0} \end{cases} 즉, 실수선은 자기 조밀 공간이며 고립점을 갖지 않는다. 실수선 \mathbb R의 부분 공간 \\{0\\}\cup[1,2]의 고립점은 0밖에 없다. 실수선의 부분 공간 \\{0\\}\cup\\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\\}에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다.
## 이산 공간
위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * X는 이산 공간이다. * X의 모든 점은 고립점이다.
# 역사
유도 집합(abgeleitete Punktmenge)이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1872년에 도입하였다.언어=de129, §2