홀로노미

구면 상의 평행 운송의 결과는 경로에 의존한다. 벡터를 A → N → B로 수송하면 그냥 A → B로 수송한 것과는 다른 벡터가 나오는 것이다. 접속의 홀로노미는 이와 같이 달라지는 정도를 측정한다. 미분기하학에서, 매끄러운 다양체 상에 주어진 코쥘 접속 또는 에레스만 접속의 **홀로노미**(holonomy)는 곡률의 존재로부터 나타나는 기하학적 결과로, 닫힌 곡선을 따라 평행 운송을 했을 때 기하학적 정보가 변형되는 정도를 측정한 것이다. 평탄한 접속의 홀로노미는 모노드로미의 일종이며, 본질적으로 대역적인(global) 개념이다. 굽은 접속의 경우 홀로노미는 자명치 않은 국소적 측면과 대역적 측면을 함께 가진다.
# 정의
다음이 주어졌다고 하자. * 매끄러운 다양체 M * 매끄러운 벡터 다발 \pi\colon E\to M * E 속의 코쥘 접속 \nabla * 점 x\in M 그렇다면, x를 통과하는 조각마다 매끄러운 폐곡선 \gamma\in\mathcal L_x에 대하여, 코쥘 접속은 평행 운송 사상 :P_\gamma \colon E_x \to E_x 을 정의한다. 이 사상은 가역 선형 변환이므로, 일반 선형군 \operatorname{GL}(E_x)의 원소이다. 점 x\in M에서의 **(대역) 홀로노미**(global holonomy) \operatorname{Hol}_x(\nabla)는 다음과 같은 부분군이다. :\operatorname{Hol}_x(\nabla) = \\{P_\gamma \in \mbox{GL}(E_x) \mid \gamma\in\mathcal L_x\\} \le \operatorname{GL}(E_x) (폐곡선들을 이으면 P_{\gamma\gamma'} = P_\gamma P_{\gamma'}이며, 폐곡선의 방향을 뒤집으면 P_{\bar\gamma} = P_\gamma^{-1}이 되므로, 이는 부분군을 이룬다.) 여기서 \mathcal L_x 대신 상수 함수와 호모토픽한 조각마다 매끄러운 고리의 집합 \mathcal L^0_x\subset\mathcal L_x를 쓰면 **국소 홀로노미**(local holonomy) :\operatorname{Hol}_x^0(\nabla) = \\{P_\gamma \in \mbox{GL}(E_x) \mid \gamma\in\mathcal L^0_x\\} \le \operatorname{Hol}_x(\nabla) 를 얻는다. 정의에 따라, 국소 홀로노미는 따라서 대역 홀로노미의 부분군이다.
# 엠브로즈-싱어 정리
엠브로즈-싱어 정리는 워렌 엠브로즈(Warren Ambrose)와 이사도어 싱어(Isadore M. Singer)의 정리로, 주다발안에서 접속의 홀로노미와 접속의 곡률 형식에 대한 정리다. 예를 들어 아핀 접속에서 곡률은 미소평행사변형을 따라서 생긴다. 일반적으로, 리 군 구조 *G*를 갖춘 *P*위의 주다발*P* → *M* 안에서 접속의 홀로노미를 보자. \mathfrak g를 *G*의 리 대수라고 하자. 이 접속의 곡률 형식은 *P*위의 \mathfrak g-값 2-형식 Ω이다. 그러면 엠브로즈-싱어 정리는 다음과 같다:loc=Theorem VII.1.2 : \operatorname{Hol}_p(\omega)의 리 대수는 형식 \Omega_q(X,Y)의 리 대수 \mathfrak g의 모든 원소들로 생성된다. 여기서 *q*는 *p*와 수평곡선으로 연결될 수 있는 모든 점들이고(*q* ~ *p*), *X* 와 *Y*는 *q*에서 수평 접벡터들이다.
# 리만 다양체의 홀로노미
리만 다양체는 그 접다발과 레비치비타 접속을 지니므로, 이에 대한 홀로노미를 정의할 수 있다. 다른 수식어 없이 "리만 다양체의 홀로노미"라 하면 이를 지칭한다. n차원 리만 다양체의 홀로노미는 O(n)의 닫힌 리 부분군이다 (Borel & Lichnerowitz). 가향(可向) 리만 다양체의 홀로노미는 SO(n)의 부분군이다. 대체로 더 대칭적이고 규칙적일 수록 홀로노미가 작아진다.
## 가약 홀로노미와 드 람 분해

## 베르제 분류
"일반적인" 리만 다양체의 홀로노미는 프랑스의 마르셀 베르제(Marcel Berger)가 1955년에 분류하였고, 다음과 같다.zbl=0068.36002성=Joyce 여기서 "일반적"이란 것은 단일 연결이고, 국소적으로 곱공간(product space)이 아니고, 국소적으로 대칭 공간이 아닌 다양체다. {| class="wikitable" || 차원 || 종류 |- | SO(*n*) || *n* || 가향 다양체 |- | U(*n*) || 2*n* || 켈러 다양체 |- | SU(*n*) || 2*n* || 칼라비-야우 다양체 |- |Sp(*n*)·Sp(1) || 4*n* || 사원수-켈러 다양체 |- | Sp(*n*) || 4*n* || 초켈러 다양체 |- | G2 || 7 || (이름 없음) |- | Spin(7) || 8 || (이름 없음) |} Sp(*n*) ⊂ SU(2*n*) ⊂ U(2*n*) ⊂ SO(4*n*)이므로, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이고, 모든 칼라비-야우 다양체는 켈러 다양체이고, 모든 켈러 다양체는 가향다양체다. 준 리만 다양체의 경우도 비슷하게 분류할 수 있다. {| class="wikitable" || 차원 |- | SO(*p*,*q*) || (*p*,*q*) |- |SO(*n*,ℂ) || (*n*, *n*) |- |U(*p*,*q*) || (2*p*, 2*q*) |- |SU(*p*,*q*) || (2*p*, 2*q*) |- |Sp(*p*,*q*)·Sp(1) || (4*p*, 4*q*) |- |Sp(*p*,*q*) || (4*p*, 4*q*) |- | 분할 G₂ || (4,3) |- | G₂(ℂ) || (7,7) |- | Spin(4,3) || (4,4) |- | Spin(7,ℂ) || (7,7) |} (국소) 대칭 공간은 정의상 국소적으로 *G*/*H*의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 *G*는 리 군, *H*는 특정한 성질을 지닌 부분군이다. 이 때, 국소적 홀로노미는 *H*이다.
## 홀로노미와 스피너
스핀 구조를 지닌 리만 다양체는 스피너 다발과 그 안에 스핀 접속 *ω*를 지니므로, 스피너에 대하여 홀로노미 Hol(*ω*)를 정의할 수 있다. 스피너 홀로노미와 스피너는 다음과 같은 관계를 지닌다. 2*n*차원 스핀 다양체를 생각하자. * Hol(*ω*) ⊂ U(*n*)의 필요 충분 조건은 평행 (공변상수) 사영 순수 스피너 장 (parallel/covariantly constant projective pure spinor field)이 존재하는 것이다. * Hol(*ω*) ⊂ SU(*n*)의 필요 충분 조건은 평행 순수 스피너 장이 존재하는 것이다. (6차원 이하의 공간에서는 모든 스피너 장은 순수 스피너 장이다.) * 7차원에서, Hol(*ω*) ⊂ G₂의 필요 충분 조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다. * 8차원에서, Hol(*ω*) ⊂ Spin(7)의 필요 충분 조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.
### 끈 이론에 응용
이 사실은 끈 이론에서 용이하게 쓰인다. 초끈 이론에서는 10차원의 시공을 4차원으로 축소화하면서 하나의 초대칭을 남기려 한다. 이에 따라 6차원의 내부 공간에 평행 스피너 장이 존재하여야 하므로, 6차원 내부 공간은 SU(3)의 부분군인 홀로노미를 가지게 돼 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 마찬가지로 11차원에 존재하는 M이론을 축소화하려면 7차원의 내부공간의 홀로노미가 G₂의 부분군이어야 하고, 마찬가지로 12차원의 F-이론은 Spin(7) 다양체에 축소화할 수 있다.