양자 홀 효과

양자역학 **양자 홀 효과**(quantum Hall effect)는 고전적 홀 효과와 유사한 것으로 일정한 조건에서 홀 전도율이 양자화하는 효과를 말한다. 이 때, 전도율은 다음과 같이 양자화한다. :\sigma_{QHE}=\frac{1}{\rho_{QHE=\frac{ne^2}{h} 이러한 현상은 주로 저온이고, 강한 자기마당이 있는 2차원 전자계에서 볼 수 있다. 여기서 n이 정수인 경우에는 정수(integer) 양자 홀 효과, 분수인 경우에는 분수(fractional) 양자 홀 효과라고 한다.D. Yoshioka, *The Quantum Hall Effect*, Springer(2002)
# 역사
홀 효과는 1879년 에드윈 홀(Edwin Hall)에 의해 발견되었다. 홀이 발견한 홀 효과를 양자 홀 효과와 구분하기 위해 고전적 홀 효과라고 부르기도 한다. 1978년, 클라우스 폰클리칭(Klaus von Klitzing)은 고전적 홀 효과와 다른 양자 홀 효과를 발견하였다. 고전적 홀 효과에서는 홀 전도율이 대상 물질의 전하 수송자 밀도에 비례하였는데, 양자 홀 효과에서는 홀 전도율이 대상 물질에 관계없이, 기본상수에만 관련되는 양자의 정수배로 양자화한다. 폰클리칭은 양자 홀 효과에 대한 연구로 1985년 노벨 물리학상을 수상하였다. 1982년, 대니얼 추이(Daniel Chee Tsui), 호르스트 슈퇴르머(Horst Störmer)와 아서 고서드(Arthur C. Gossard)는 분수 양자 홀 효과를 발견하였다. 이는 정수 양자 홀 효과와는 원인이 다른데, 전자 간 상호작용에서 기인한다.
# 홀 저항
2차원 전자계에서, 전자들은 2차원 평면 상에서 운동한다. 전기장 \mathbf{E}를 걸면, 전기장의 방향으로 전류가 흐른다. 이 상태에서 자기장 \mathbf{B}를 평면에 수직으로 걸면 전류는 더 이상 \mathbf{E} 방향으로만 흐르지 않는다. 따라서, 전도율 \sigma를 스칼라에서 텐서로 일반화한다. :\mathbf{J}=\mathbf{\sigma}\mathbf{E} :(\mathbf{J}: 전류 밀도) 평면을 x,y로 데카르트 좌표를 쓰면 다음과 같다. :J_{x}=\sigma_{xx}E_{x}+\sigma_{xy}E_{y} :J_{y}=\sigma_{yx}E_{x}+\sigma_{yy}E_{y} 등방성에 의하여, 전도율은 \sigma_{xx}=\sigma_{yy}, \sigma_{xy}=-\sigma_{yx}와 같은 성질을 가진다. 전류 밀도와 외부 전기장 \mathbf{E}의 관계식은 비저항 텐서로 나타낼 수 있다. :E_{x}=\rho_{xx}J_{x}+\rho_{xy}J_{y} :E_{y}=\rho_{yx}J_{x}+\rho_{yy}J_{y} 위의 두 식은 동일해야 하므로 아래의 관계식이 성립한다. :\rho_{xx}=\rho_{yy}=\frac{\sigma_{xx{\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2} :\rho_{xy}=-\rho_{yx}=-\frac{\sigma_{xy{\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2} 위의 식에서 \rho_{xx}=\rho_{yy}를 대각 비저항(diagonal resistivity)(\sigma_{xx}=\sigma_{yy}는 대각 전도율(diagonal conductivity), \rho_{xy}=-\rho_{yx}를 홀 저항율(\sigma_{xy}=-\sigma_{yx}는 홀 전도율)로 정의한다. 그리고 2차원으로 표현했기 때문에 홀 저항은 홀 저항율과 같다.
# 정수 양자 홀 효과
약한 전기장에서 드루드(Drude) 이론으로 계산한 홀 비저항은 :\rho_{xy}=\frac{B}{n_{e}e} :(e: 기본 전하, n_{e}: 전자 밀도) 이 된다. 이것은 일반적인 홀 효과와 같다. 하지만 저온의 2차원 전자계에 강한 자기장을 걸면 위와는 다른 현상을 관측한다. 폰클리칭은 다음 두 사실을 실험적으로 관찰하였다.K. von Klitzing, G. Dorda and M. pepper, Phys. Rev. Lett., 45, 494 (1980) * 전자 밀도가 변하고 있는 중에도 불구하고 홀 저항율이 일정한 값을 갖는 구간이 있다. 그리고 이 때에는 대각 저항율이 사라진다. * 홀 저항율이 변하지 않는 구간에서의 홀 저항율은 정확하게 h/e^2을 정수로 나눈 값이다. 즉, 홀 전도율이 e^2/h의 정수배의 값을 갖는 형태로 양자화된다. 이러한 현상을 정수 양자 홀 효과라고 부른다. 폰클리칭은 Si MOS 계에서 이것을 측정하였는데, 위와 같은 현상은 이러한 체계 이외에도 다른 계에서도 나타난다. GaAs-AlGaAs 이종 결합도 이러한 현상을 지닌다. 그 결합면도 2차원 전자계를 이루는데, 이러한 결합에서 자기장을 변화시키면서 홀 비저항을 측정하면, 자기장의 크기가 큰 영역에서 홀 비저항은 자기장이 커짐에 따라 계단 모양으로 증가한다.M.A.Paalane, D.C. Tusi and A.C. Gossard,Phys. Rev. B 25, 5566 (1982) 정수 양자 홀 효과는 2차원이기 때문에 홀 비저항이 저항과 같다. 따라서 대상체의 모양에 관계없이 전류와 전압만 측정하면 실험에서 원하는 값을 측정할 수 있다. 또한 대각 저항율이 없기 때문에 홀 저항을 측정하기 위한 장치의 배열이 전류 흐름 방향에 정확하게 수직일 필요가 없다. 따라서, 정수 홀 효과에서 측정한 홀 저항 h/e^2를 정확하게 측정할 수 있다. 이 값은 국제 단위계(S.I.)로는 25 812.807 Ω이고, **폰 클리칭 상수**라 부른다.
# 분수 양자 홀 효과
분수 양자 홀 효과(반정수 양자 홀 효과)는 GaAs을 기본으로 하는 이종결합 상에서 만들어지는 좀 더 높은 이동도(mobility)를 가지는 2차원 전자계에서 나타난다. 추이, 슈퇴르머와 고서드는 홀 비저항이 일정한 구간에서도 정수 양자 홀 효과와 달리 대각 저항율이 남아 있고, 그 위치의 홀 비저항 값도 정수 양자 효과의 h/e^2이 아닌, 그 값의 1/3배와 2/3배한 값이라는 사실을 밝혔다.D.C. Tsui, H.L. Stormer and A.C. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982) 이러한 현상은 정수 양자 홀 효과의 이론으로는 설명할 수 없다. 이후, 분수 양자 홀 효과는 전자 간 상호 작용에 의해 생긴다는 것이 밝혀졌다. 처음으로 발견된 분수 양자 홀 효과의 분수 값은 1/3과 2/3였다. 그러나 2차원 전자계의 이동도가 높고, 온도가 낮을수록 분수 양자 홀 효과가 갖는 분수 값의 숫자는 증가한다. 실험에 따르면, 이러한 분수 값의 분모는 홀수이다.R. Willet, J.P. Eisentein, H.L. Stomer, D.C. Tsui, A.C. Gossard and J.H. English, Phys. Rev. Lett. 59, 1776 (1987)