실해석학

수학에서 **실해석학**(實解析學, real analysis) 또는 **실변수함수론**(實變數函數論, theory of functions of a real variable)은 실수와 수열, 실수의 급수, 실함수 등을 다루는 해석학의 한 분야이다.website=Course Website for MATH 131AH, Department of Mathematics, UCLA 특히 실함수 및 실수열의 수렴, 극한, 연속성, 매끈함, 미분 가능성, 적분 가능성 등을 다룬다. 방형파에 대한 [[푸리에 급수의 첫 네 부분합. 푸리에 급수는 실해석학에서 중요하게 사용되는 도구이다.]] 실해석학은 복소수와 복소함수 등을 다루는 복소해석학과는 구별된다.
# 범위

## 실수의 구성
실수의 구성 실해석학의 정리들은 실수 체계의 성질을 기반으로 하기 때문에, 실수를 어떻게 구성할 것인가는 중요한 문제이다. 실수 체계는 비가산 집합(\mathbb{R})과 함께 이항 연산인 더하기(+)와 곱하기(•), 그리고 순서 관계인 ≤로 구성된다. 따라서 이항 연산이 있는 실수 체계는 체이며, 또한 순서가 부여된 순서체이다. 실수는 완비 순서체이며, 임의의 완비 순서체는 실수 체계와 동형이라는 점에서 실수 체계는 유일한 완비 순서체이다. 실수는 완비성, 즉 메꿔질 구멍이 없다는 성질을 가지는데, 이러한 실수의 완비성은 다른 순서체(유리수체 \mathbb{Q} 등)와 구별되는 실수의 고유한 성질로서 실함수의 성질 등을 증명하는 데에 핵심적인 역할을 한다. 실수의 완비성은 주로 상한 공리를 이용하여 나타낸다.
## 실수의 순서 성질
실수는 복소수와는 달리 격자의 성질을 가지며, 또 양수들의 합이나 곱이 양수가 되는 순서체를 이룬다. 실수는 전순서 집합으로, 다음의 최소 상계 성질을 가진다.

> 상계를 가지는 임의의 공집합이 아닌 \mathbb{R}의 부분집합은 실수를 상한으로 가진다.

이러한 실수의 성질은 단조 수렴 정리와 중간값 정리, 평균값 정리 같은 실해석학의 기본 정리들의 증명에 근간이 된다.
## 실수의 위상적 성질
실해석학의 많은 정리들은 실직선의 위상적 성질로부터 기인한다. 위의 실수의 순서 성질 또한 위상적 성질과 밀접하게 연결되어 있다. 위상 공간으로서 실수는, 순서 으로 바꾼 경우에도 성립할 때 각각 **강한 단조 증가** 또는 **강한 단조 감소**라 한다. 수열 (a_n)이 주어졌을 때, 모든 자연수 k에 대해 b_k=a_{n_k}를 만족하고 (n_k)가 증가하는 자연수 수열인 경우 (b_k)는 (a_n)의 **부분수열**이라 한다.
## 극한과 수렴
수열의 극한 간단하게 말하면, 변수나 지표가 특정 값에 다가갈 때(함수나 수열이 한도 없이 증가 또는 감소할 때는 \pm\infty에 다가간다고 할 수도 있다.) 함수 또는 수열이 점점 "가까워지는" 값을 **극한**이라고 한다.url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 극한은 미적분학(넓게는 해석학)에서 중요한 개념이며 연속, 미분, 적분과 같은 개념들을 정의하기 위해서 극한의 엄밀한 정의가 사용된다.(사실, 극한의 성질은 미적분학과 해석학을 수학의 다른 분야들과 구별하는 특징이 된다.) 함수에서 극한이라는 개념은 17세기 말 뉴턴과 라이프니츠가 무한소 미적분학을 정립하면서 도입하였다. 수열의 극한 개념은 라이프니츠가 도입하였으며, 이후 19세기 말 볼차노와 바이어슈트라스가 다음의 엡실론-델타 논법을 이용하여 보다 엄밀하게 정의하였다. **정의.** f가 E\subset\mathbb{R}에서 정의된 실함수라 하자. 임의의 \varepsilon>0에 대해, 모든 x\in E에 대하여 0 0가 항상 존재하면, **x가 x_0로 갈 때 f(x)가 L로 수렴한다** 또는 **x가 x_0로 갈 때 f(x)의 극한은 L이다**라 하고x\to x_0 \text{일 때} f(x)\to L또는\lim_{x\to x_0} f(x) = L이라 쓴다. 위의 정의는 다음과 같이 이해할 수 있다. x\to x_0 일 때 f(x)\to L라는 것은 아무리 작은 \varepsilon>0가 주어지더라도, x_0와의 차이가 \delta보다 작은 모든 x_0가 아닌 실수 x에 대하여 f(x)와 L의 차이가 \varepsilon>0보다 작도록 하는 \delta>0를 항상 찾을 수 있다는 것이다. 정의의 조건에서 0 0에 대해, 모든 n\geq N에 대하여 0 0에 대해, m,n\geq N이면 |a_m-a_n| 0에 대해, n\geq N일 때 모든 x\in E에 대하여 |f_n(x)-f(x)|0에 대해, 모든 x\in X에 대하여 |x-p|0가 항상 존재하면 **f:X\to\mathbb{R}는 p\in X에서 연속**이라고 한다. 모든 p\in X에 대해 f가 연속일 때 f를 **연속 함수**라고 한다. 위 정의를 따르면 f는 모든 고립점 p\in X에서 자명하게 연속이다. 이러한 다소 비직관적인 결론은 더 일반적인 위상 공간 위에서의 사상의 연속의 정의와 일맥상통하기 위해 필수적이다. 아래는 위상 공간에서의 연속의 정의로, 실해석학의 범위를 다소 벗어난다. **정의.** X와 Y를 위상 공간이라 하자. 임의의 Y의 원소 f(p)의 근방 V에 대해 f^{-1} (V)가 p\in X의 근방이면 **f:X\to Y는 p에서 연속**이라고 한다. 모든 Y의 열린 집합 U에 대해 f^{-1}(U)가 X에서 열려 있으면 f를 **연속 함수**라고 한다. (여기서 f^{-1}(S)는 f에 대한 S\subset Y의 역상이다.)
### 균등 연속
균등 연속 함수 **정의.** X가 실수로 구성된 집합이라 하자. 임의의 실수 \varepsilon > 0에 대해, 모든 x,y\in X에 대하여 |x-y|0가 항상 존재하면 f:X\to\mathbb{R}는 X에서 **균등 연속**이라고 한다. X가 균등 연속이라는 것은, \varepsilon이 주어졌을 때 모든 X의 원소에 대하여 주어진 조건을 만족하도록 하는 \delta를 선택할 수 있다는 것이다. 반면 함수가 모든 점 p\in X에서 일반적인 연속일 때는 \varepsilon와 p 값에 따라 \delta가 달라진다. 또 일반적인 연속과는 달리 함수가 균등 연속이라는 것은 특정 정의역이 주어졌을 때만 성립하는 개념으로, 어떤 점 p에서의 균등 연속과 같은 것은 없다. 콤팩트 집합을 정의역으로 갖는 연속 함수는 균등 연속임을 보일 수 있다. 반면 E가 유계이고 콤팩트가 아닌 \mathbb{R}의 부분집합일 때 연속이지만 균등 연속은 아닌 함수 f:E\to\mathbb{R}가 존재할 수 있다. 예를 들어 함수 f:(0,1)\to\mathbb{R}가 f(x)=1/x로 주어졌을 때, 주어진 \varepsilon > 0에 대하여 어떤 \delta>0를 선택하든지 상관없이 0과 충분히 가까울 때 |f(x)-f(y)| > \varepsilon가 되도록 할 수 있으므로 이 함수는 연속이지만 균등 연속이 아니다.
### 절대 연속
절대 연속 측도 **정의.** I\subset\mathbb{R}가 실직선 위의 구간이라 하자. 임의의 \varepsilon에 대해, 각자 서로소인 I의 소구간(sub-interval)들로 이루어진 유한 수열 (x_1, y_1), (x_2,y_2),\ldots, (x_n,y_n)이 \sum_{k=1}^{n} (y_k - x_k) 0에 대해, 노름이 \| \Delta_i \| 0가 존재하면 S를 [a,b]에서 f의 **리만 적분**이라 한다. ::\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \varepsilon 리만 적분은 \mathcal{R}\int_{a}^b f=S로 표기하기도 한다. 각 구간에서 함숫값이 최대(또는 최소)가 되는 점을 선택했을 때의 리만 합을 **다르부 상합**(또는 **다르부 하합**)이라 한다. 충분히 작은 노름에 대해 다르부 상합과 하합의 차가 임의의 값보다 작아질 수 있으면 함수를 **다르부 적분가능**하다고 한다. 다르부 적분가능은 리만 적분가능과 동치로, 함수의 다르부 적분과 리만 적분 값은 같다. 미적분학 및 해석학 교재에서는 다르부 적분과 리만 적분의 정의를 혼용해서 사용하는 경우가 많다. 미적분학의 기본정리에 의하여, 특정 조건 하에서 미분과 적분은 서로 역연산 관계에 있다.
### 르베그 적분과 측도
르베그 적분 **르베그 적분**은 더 많은 종류의 함수 및 더 다양한 종류의 정의역에 대해 적분을 정의할 수 있게 해 준다. 또 길이와 넓이, 부피 등을 일반화한 개념인 **측도**를 사용한다.
## 분포
분포 (해석학) **분포**(또는 **일반화된 함수**)란 함수를 일반화한 것이다. 분포를 사용하면 기존에 미분 불가능했던 함수를 미분할 수도 있다.
# 주요 정리
실해석학의 주요 정리들로는 볼차노-바이어슈트라스 정리, 하이네-보렐 정리, 중간값 정리, 평균값 정리, 테일러 정리, 미적분학의 기본정리, 아르젤라-아스콜리 정리, 스톤-바이어슈트라스 정리, 파투 보조정리, 단조 수렴 정리, 지배 수렴 정리 등이 있다.