국소화 (환론)

환론에서 **국소화**(局所化, localization)는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 **오레 조건**(Ore condition)이라고 불리는 조건이 성립해야 한다.
# 가환환의 국소화

## 보편 성질
R가 가환환이고, S\subseteq R가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, R의 S에 대한 **국소화** (S^{-1}R,\phi)는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 S^{-1}R 및 환 준동형 \phi\colon R\to S^{-1}R으로 구성된다. # 임의의 s\in S\subseteq R에 대하여, \phi(s)\in S^{-1}R는 가역원이다. # (1)을 만족시키는 임의의 가환환 R' 및 환 준동형 \phi'\colon R\to R'에 대하여, \phi'=\chi\circ\phi이 되는 환 준동형 \chi\colon S^{-1}R\to R'가 유일하게 존재한다. :\begin{matrix} R&\xrightarrow{\phi}&S;^{-1}R\\\ &{\scriptstyle\phi'}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!\chi\\\ &&R;' \end{matrix} 국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다. 위 보편 성질은 S가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 S를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 S가 곱셈 모노이드가 아니고, \tilde S가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 S^{-1}R=\tilde S^{-1}R가 된다.
## 구성
위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. R\times S 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 r,r'\in R, s,s'\in S이고 t(rs'-r's)=0인 t\in S가 있다면 :(r,s)\sim(r',s') 으로 정의한다. 그렇다면 S^{-1}R=(R\times S)/{\sim}로 놓자. 이는 대략 (r,s)를 r/s와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 (r,s)를 r/s로 쓰자. S^{-1}R 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다. :\frac rs+\frac{r'}{s'}=\frac{rs'+r's}{ss'} :\frac rs\frac{r'}{s'}=\frac{rr'}{ss'}. 또한, R\to S^{-1}R로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다. :r\mapsto\frac r1. 이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.
# 비가환환의 국소화
가환환이 아닐 수 있는 임의의 환 R 및 부분 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 국소화 \phi\colon R\to S^{-1}R를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 \operatorname{Ring}에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,언어=en289, Proposition (4.9.2) 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다. * (A) S^{-1}R의 모든 원소 x에 대하여, xs=r가 되는 s\in S 및 r\in R가 존재한다.288, (4.9.1a) * (A′) S^{-1}R의 모든 원소 x에 대하여, xs=r가 되는 s\in S 및 r\in R가 존재한다. * (B) \phi\colon R\to S^{-1}R의 핵은 \ker\phi=\\{r\in R\colon 0\in rS\\}이다.288, (4.9.1b) * (B′) \phi\colon R\to S^{-1}R의 핵은 \ker\phi=\\{r\in R\colon 0\in Sr\\}이다. * (C) R\ne0이며 0\not\in S라면 S^{-1}R\ne0이다.289, Example (4.9.3) 이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 **보편 S-가역화 환**(普遍S-可逆化環, universal S-inverting ring)이라고 불리기도 한다. 비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자 \hom_{\operatorname{Ring(R,-) 속의, S를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자 :G_S\colon\operatorname{Ring}\to\operatorname{Set} :G_S(R')=\left\\{\phi\in\hom_{\operatorname{Ring(R,R')\colon \phi(S)\subseteq\operatorname{Unit}(R')\right\\} 를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 F_S\dashv G_S를 가지며, 따라서 G_S는 표현 가능 함자이다. 즉, :G_S(-)=\hom_{\operatorname{Ring(F_S(\\{\bullet\\}),-) 로 생각할 수 있으며, F_S(\\{\bullet\\})는 국소화 S^{-1}R를 이룬다. 만약 R가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 S^{-1}R는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)
## 구성
비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.Proposition (4.9.2) 환 R의 표시 :R\cong\langle\\{r_i\\}_{i\in I}|\\{\phi_j\\}_{j\in J}\rangle 를 고르자. 즉, 생성원 r_i와 관계 \phi_j로 나타내자. 그렇다면, 각 s\in S에 대하여 생성원 s^*를 추가하고, 또 관계 :ss^*=s^*s=1 를 추가하자. 그렇다면 :S^{-1}R=\left\langle\\{r_i\\}_{i\in I}\sqcup\\{s^{-1}\\}_{s\in S}|\\{\phi_j\\}_{j\in J}\cup\\{ss^*-1\\}_{s\in S}\cup\\{s^*s-1\\}_{s\in S}\right\rangle 는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다. 이 구성에서, S^{-1}R의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다. :\sum_{i=1}^nr_i^{(1)}(s_1^{(1)})^{-1}r_i^{(2)}(s_1^{(2)})^{-1}\cdots r_i^{(k_i)}(s_1^{(k_i)})^{-1}
## 오레 국소화
비가환환 R의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 R와 부분 모노이드 S\subseteq R가 **오레 조건**(Ore condition)이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 **오레 국소화**는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다. 구체적으로, R와 부분 모노이드 S\subseteq R가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **왼쪽 오레 조건**(left Ore condition)이 성립한다고 한다. * Sr \cap Rs \ne\varnothing\quad\forall r\in R,\;s\in S * \left(0\in rS\implies 0\in Sr\right)\quad\forall r\in R 마찬가지로, R와 부분 모노이드 S\subseteq R가 다음 조건을 만족시킨다면, **오른쪽 오레 조건**(right Ore condition)이 성립한다고 한다. * rS \cap sR \ne\varnothing\quad\forall r\in R,\;s\in S * \left(0\in Sr\implies 0\in rS\right)\quad\forall r\in R (R,S)가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합 R\times S 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자. :(r,s)\sim(r',s')\iff\exists \tilde r\in R,\tilde s\in S\colon \tilde ss'-\tilde rs=\tilde sr'-\tilde rr=0 그렇다면 S^{-1}R는 집합으로서 몫집합 (R\times S)/{\sim}이다. (r,s)의 동치류를 s^{-1}r로 표기하자. S^{-1}R 위의 곱셈은 다음과 같다. :(s^{-1}r)(s'^{-1}r')=(\tilde ss)^{-1}(\tilde rr')\qquad(\tilde r\in R,\quad\tilde s\in S,\quad\tilde rs'=\tilde sr) 여기서 \tilde rs'=\tilde sr인 \tilde r\in R,\tilde s\in S는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는 :"\tilde s^{-1}\tilde r=rs'^{-1}" 로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로, S^{-1}R 위의 덧셈은 다음과 같다. :s^{-1}r+s'^{-1}r'=(\tilde ss)^{-1}(\tilde sr+\tilde rr')\qquad(\tilde r\in R,\quad\tilde s\in S,\quad\tilde ss=\tilde rs') 여기서 \tilde ss=\tilde rs'인 \tilde r\in R,\tilde s\in S는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는 :"\tilde s^{-1}\tilde r=ss'^{-1}" 로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는 :"s^{-1}r+s'^{-1}r'=s^{-1}\left(r+ss'^{-1}r'\right)=s^{-1}\left(r+\tilde s^{-1}\tilde rr'\right) =s^{-1}\tilde s^{-1}\left(\tilde sr+\tilde rr'\right) =(\tilde ss)^{-1}\left(\tilde sr+\tilde rr'\right) " 로 생각할 수 있다. 마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 S^{-1}R를 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 국소화를 **오레 국소화**(Ore localization)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.Corollary (4.10.11) 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.
# 가군의 국소화
환 R의 곱셈에 대한 부분 모노이드 S\subseteq R 및 R 위의 왼쪽 가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M의 S에서의 **국소화** S^{-1}M은 S^{-1}R 위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다. :S^{-1}M=S^{-1}R\otimes_RM 또한, 표준적인 R-왼쪽 가군 사상 \phi\colon M\to S^{-1}M가 존재한다. 이는 함자 :(S^{-1}R\otimes_R)\colon }_R\operatorname{Mod\to}_{S^{-1}R}\operatorname{Mod 를 정의하며, 환 준동형 R\to S^{-1}R에 의한 망각 함자 :F\colon}_{S^{-1}R}\operatorname{Mod\to }_R\operatorname{Mod 의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 R-왼쪽 가군의 준동형 \phi_N\colon M\to N에 대하여, 만약 임의의 s\in S에 대하여 s\cdot\colon N\to N이 전단사 함수라면, \phi_N=\chi\circ\phi인 R-왼쪽 가군 준동형 \chi\colon S^{-1}M\to N이 존재한다. :\begin{matrix} M&\xrightarrow{\phi}&S;^{-1}M\\\ &{\scriptstyle\phi_N}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!\chi\\\ &&N; \end{matrix}
## 구성
R가 가환환일 때, 가군의 국소화 S^{-1}M\cong S^{-1}R\otimes_RM는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다. S\times M 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자. :(s,m)\sim(s',m')\iff\exists t\in S\colon ts'm=tsm' S^{-1}M은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다. (s,m)\in S\times M의 동치류를 m/s로 표기하자. 그렇다면, S^{-1}M 위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다. :\frac ms+\frac{m'}{s'}=\frac{s'm+sm'}{ss'}\qquad\forall m,m'\in M,\;s,s'\in S :\frac rs\frac m{s'}=\frac{rm}{ss'}\qquad\forall m\in M,\;s,s'\in S,\;r\in R
# 성질

## 소 아이디얼
가환환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 국소화 \phi\colon R\to S^{-1}R의 소 아이디얼들은 R의 소 아이디얼 가운데 S와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다. :f\colon\operatorname{Spec}(S^{-1}R)\to\\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak p\cap S=\varnothing\\} :f\colon\mathfrak q\mapsto\phi^{-1}(\mathfrak q) 여기서 \phi\colon R\to S^{-1}R는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다. 특히, R의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, R_{\mathfrak p}는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 \mathfrak p에 대응한다.
## 국소화의 단사성과 전사성
가환환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 표준적 환 준동형 R\to S^{-1}R가 단사 함수이다. * S는 영인자를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.) 그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다. 뇌터 가환환 R 위의 단사 가군 I 및 임의의 원소 r\in R에 대하여, I\to I_r는 전사 함수이다.214, Lemma III.3.3
## 오레 조건의 필요충분성
환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.300, Theorem (4.10.6) * (R,S)는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다. * 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 \phi\colon R\to R'이 존재한다. ** \phi(S)\subseteq\operatorname{Unit}(R') ** R'=\phi(S)^{-1}\phi(R) ** \ker\phi=\\{r\in R\colon 0\in Sr\\} 또한, 이러한 조건을 만족시키는 \phi\colon R\to R'는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.302, Corollary (4.10.11) 마찬가지로, 환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * (R,S)는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다. * 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 \phi\colon R\to R'이 존재한다. ** \phi(S)\subseteq\operatorname{Unit}(R') ** R'=\phi(R)\phi(S)^{-1} ** \ker\phi=\\{r\in R\colon 0\in rS\\} 특히, 만약 R가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.
# 예
(비가환일 수 있는) 환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R가 주어졌다고 하자. * 0\in S이라고 하자. 그렇다면 항상 S^{-1}R=0 (자명환)이다. 만약 R가 가환환이라면, 그 역 또한 성립한다. * S=\\{1\\}이라고 하자. 그렇다면 항상 S^{-1}R=R이다.
## 분수체
분수체 (곱셈 항등원을 갖는) 환 R에 대하여, :S=R\setminus\left(\\{r\in R\colon 0\in rR\\}\cup \\{r\in R\colon 0\in Rr\\}\right) 가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, (R,S)가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 S^{-1}R를 R의 **전분수환** \operatorname{Frac}R라고 한다. 특히, 만약 R가 (가환) 정역이라면 S=R\setminus\\{0\\}이며, \operatorname{Frac}R는 체를 이룬다. 이 경우, \operatorname{Frac}R는 **분수체**라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 S\subseteq R\setminus\\{0\\}가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 R\to S^{-1}R은 다음과 같이 R\to\operatorname{Frac}R의 일부분을 이룬다. :R\to S^{-1}R\to\operatorname{Frac}R 이에 따라 S^{-1}R는 항상 분수체 \operatorname{Frac}R의 부분환을 이룬다.
## 정수환
정수환 \mathbb Z의 소 아이디얼은 소수의 주 아이디얼 (p) 또는 영 아이디얼 (0)이다. 정수환 \mathbb Z를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다. :\mathbb Z_{(p)}=\\{m/n\colon\gcd\\{m,n\\}=1,\;p\nmid n\\}\subsetneq\mathbb Q :\mathbb Z_{(0)}=\mathbb Q 즉, 분모가 p의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, \mathbb Z_{(p)}는 이산 값매김환이며, \mathbb Z_{(0)}=\mathbb Q는 체이다. 정수환의 \mathbb Z를 원소 k\in\mathbb Z에서 국소화하면 다음과 같다. :\mathbb Z_k=\\{m/k^n\colon\gcd\\{m,k\\}=1,\;n\in\mathbb N\\}\subsetneq\mathbb Q\qquad(k\ne0) :\mathbb Z_0=0 (자명환) 즉, 분모가 k의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 \mathbb Z_p로 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)
## 정수환의 몫환
정수환의 몫환 R=\mathbb Z/(n)을 생각해 보자. n이 소수의 거듭제곱이라면 S=\\{1\\}이거나 0\in S이다. 만약 n=ab이고, a와 b가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 \mathbb Z/ab=\mathbb Z/a\times\mathbb Z/b이다. 그렇다면 S=\\{(1,0),(1,1)\\}이 가능한데, 이 경우 S^{-1}R=\mathbb Z/b이다.
## 비가환환의 자명한 국소화
체 K 및 정수 n\ge2에 대하여, 행렬환 \operatorname{Mat}(K;n)을 생각하자. E_{i,j}가 (i,j)에서 성분 1\in K을 가지며, 나머지 성분이 모두 0\in K인 행렬이라고 하자. 그렇다면, S=\\{1,E_{i,j}\\}일 때, 국소화 S^{-1}\operatorname{Mat}(K;n)는 자명환이다.289–290, Example (4.9.3)
# 응용
대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.issn=0072-5285xvi * 원소 f\in R가 주어진 경우, R_f는 S=\\{1,f,f^2,f^3,\dots\\}에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 f가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 U_f\subset\operatorname{Spec}R에 국한한 것이다. ** 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 k[x]의 경우 k[x]_x=k[x,x^{-1}]는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 \\{x\ne0\\}=\mathbb A^1_k\setminus\\{0\\} 위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, \\{x\ne0\\}으로 국한된 것을 알 수 있다. * 소 아이디얼 \mathfrak p\in R가 주어진 경우, R_{\mathfrak p}는 S=R\setminus\mathfrak p에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R의 자리스키 폐포 V(\mathfrak p)의 근방에 국한한 것이다. ** 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 k[x]를 극대 아이디얼 (x)에서 국소화하면 유리 함수체 k[x]_{(x)}=k(x)=\\{f(x)/g(x)\colon f(x),g(x)\in k[x], g(0)\ne0\\}을 얻는다. 이는 x=0의 근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로, x=0의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.
# 역사
1927년에 하인리히 그렐(Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.언어=de299언어=en57 에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.300 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.언어=en466언어=en299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.300) 임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레언어=en와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(Алекса́ндр Илларио́нович У́зков)언어=ruurl=http://mi.mathnet.ru/msb6086가 도입하였다.57