마방진

3×3 마방진 **마방진**(魔方陣, magic square) 또는 **방진**(方陣)은 n2개의 수를 가로, 세로, 두 대각선 방향의 수를 더하면 모두 같은 값이 나오도록 n × n 행렬에 배열한 것이다. 일반적인 마방진(pure/normal magic square)의 각 칸에는 1부터 n2까지의 수가 모두 들어간다.url-status=dead웹사이트=매스월드 마방진은 n이 2일 때를 제외하고 항상 존재한다.웹사이트=math.stackexchange.com

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# 역사
최초의 마방진으로 여겨지는 낙서 중국 하나라의 우 임금 시절 (약 4000년 전) 우왕은 매년 범람하는 황하의 물길을 정비할 때 이상한 그림이 새겨진 거북의 등 껍데기를 발견했다. 1부터 9까지의 숫자가 배열된 3차 마방진이었고, 가로, 세로, 대각선의 어느 방향으로 더해도 그 합(마방진 합)이 15였다. 이를 낙서라고 한다.웹사이트=경향신문웹사이트=경상일보 상서정의 12권
# 특성

## 마법 상수
마법 상수 마방진에서 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합은 같은데, 그 값을 마법 상수라고 한다. 1부터 n2까지의 수가 한 개씩 들어가는 '일반적인'(normal) 마방진에서 모든 수의 합은 1부터 n2까지의 자연수 합으로 삼각수 \frac{n^2(n^2+1)}{2}이다. n개의 가로·세로줄이 있으니 마법 상수는 이를 n으로 나눈 것과 같다. :M(n) = \frac{n^2(n^2+1)}{2}\div n = \frac{n(n^2+1)}{2}
## 자명한 1차 마방진
1차 마방진(1×1 마방진)은 수가 '1' 한 개밖에 없다. 따라서 자명하다.
## 불가능한 2차 마방진
일반적인 마방진은 2차 마방진 외에는 모두 가능하다.url-status= 다음과 같은 2차 마방진이 있다고 하면, {| class="wikitable" |a||b |- |c||d |} a + b = a + c 이고, b = c 로 두 수가 중복된다.
## 개수
2024년에 6차 마방진의 개수에 대한 검증이 끝나 6차까지 개수가 알려져 있다. ;1, 0, 1, 880, 275305224, 17753889197660635632. id=A006052 2024년 12월에 7차, 8차 마방진의 개수가 시뮬레이션을 통해 산출됐습니다.'''날짜=2024-12-09 ;7차 마방진의 개수는 3.54886E+34 개이고 ;8차 마방진의 개수는 5.20248E+54 개입니다. ;9차 마방진의 개수는 1.33581E+78 개로 2025년 02월 18일에 최세권 프로그래머가 계산했다.
# 분류
4×4 마방진의 종류를 벤 다이어그램으로 표시한 것이다. 같은 색으로 표시된 부분에서 합이 [[마법 상수로 같다.]] n×n 마방진은 어떤 수들의 합이 마법 상수로 같은지에 따라 다음과 같이 분류될 수 있다. ***준마방진**(semi-magic square)은 가로줄과 세로줄만의 합이 마법 상수로 같다. ***단순 마방진**(simple magic square)은 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합이 마법 상수로 같다. **일반적인 마방진**(ordinary magic square) 또는 **평범한 마방진**(normal magic square)이라고도 불리고, 일반적으로 마방진은 단순 마방진을 말한다. ***범마방진**(汎魔方陣, pandiagonal magic square) 또는 범대각선 마방진(汎對角線 魔方陣)은 범대각선(깨진 대각선)의 합도 마법 상수로 같은 마방진을 말한다. ***가장 완벽한 마방진**(most-perfect magic squrare)은 두 조건을 만족하는 범마방진이다.
# 마방진 만들기
몇천 년 동안, 마방진을 만드는 다양한 방법이 발견되었다.
## 홀수 차수의 마방진
홀수 차수의 마방진을 만드는 방법은 프랑스 외교관 '시몬 드 라 루베르'(Simon de la Loubère)가 그의 저서 《시암 왕국의 역사적 관계(Du Royaume de Siam, 1693)》의 〈인도인들에 따른 마방진 문제(The problem of the magical square according to the Indians)〉에 나와 있다.*Mathematical Circles Squared* By Phillip E. Johnson, Howard Whitley Eves, p. 22 그 방법은 다음과 같다. 첫 번째 행의 가운데 칸에 1을 넣는다. 그 다음 자연수를 대각선 방향으로 오른쪽 위 칸에 넣는 것을 모든 칸이 채워질 때까지 반복한다. 이때 해당하는 칸이 마방진의 위쪽으로 벗어난 경우에는 반대로 가장 아래쪽의 칸으로, 마방진의 오른쪽으로 벗어나는 경우는 가장 왼쪽의 칸으로 각자 한번 더 이동한다. 또 이때 칸을 채울 자리에 이미 숫자가 있다면 아래에 수를 넣는다. width=auto;margin:0.5em auto valign=bottom {| class="wikitable" |- |+ 1단계 |- | |||1 || |- | || || |- | || || |} gap=1em {| class="wikitable" |- |+ 2단계 |- | ||1 || |- | || || |- | || |||2 |} gap=1em {| class="wikitable" |- |+ 3단계 |- | ||1 || |- | |3 || || |- | || || 2 |} gap=1em {| class="wikitable" |- |+ 4단계 |- | || 1 || |- | 3 || || |- | |4 || || 2 |} col-end width=auto;margin:0.5em auto valign=bottom {| class="wikitable" |- |+ 5단계 |- | ||1 || |- | 3 || |5 || |- | 4 || || 2 |} gap=1em {| class="wikitable" |- |+ 6단계 |- | || 1 || |6 |- | 3 || 5 || |- | 4 || || 2 |} gap=1em {| class="wikitable" |- |+ 7단계 |- | || 1 || 6 |- | 3 || 5 || |7 |- | 4 || || 2 |} gap=1em {| class="wikitable" |- |+ 8단계 |- | |8 || 1 || 6 |- | 3 || 5 || 7 |- | 4 || || 2 |} gap=1em {| class="wikitable" |- |+ 9단계 |- | 8 || 1 || 6 |- | 3 || 5 || 7 |- | 4 || |9 || 2 |} col-end 맨 윗 줄에 가운데 칸이 아닌 칸에서 시작해도 가능하지만, 가로줄과 세로줄은 마법 상수으로 나오고 대각선의 합은 다르다. 따라서 준마방진(semimagic square)이 만들어지고, 진짜 마방진은 나올 수 없다. 또 대각선 오른쪽 위 방향이 아닌 방향으로 자연수를 계속 써도 마방진이 나올 수 있다. width=auto;margin:0.5em auto valign=bottom {| class="wikitable" |- |+ Order 3 |- | 8 || |1 || 6 |- | 3 || 5 || 7 |- | 4 || |9 || 2 |} gap=1em {| class="wikitable" |- |+ Order 5 |- | 17 || 24 || |1 || 8 || 15 |- | 23 || 5 || 7 || 14 || 16 |- | 4 || 6 || 13 || 20 || 22 |- | 10 || 12 || 19 || 21 || 3 |- | 11 || 18 || |25 || 2 || 9 |} gap=1em {| class="wikitable" |- |+ Order 9 |- | 47 || 58 || 69 || 80 || |1 || 12 || 23 || 34 || 45 |- | 57 || 68 || 79 || 9 || 11 || 22 || 33 || 44 || 46 |- | 67 || 78 || 8 || 10 || 21 || 32 || 43 || 54 || 56 |- | 77 || 7 || 18 || 20 || 31 || 42 || 53 || 55 || 66 |- | 6 || 17 || 19 || 30 || 41 || 52 || 63 || 65 || 76 |- | 16 || 27 || 29 || 40 || 51 || 62 || 64 || 75 || 5 |- | 26 || 28 || 39 || 50 || 61 || 72 || 74 || 4 || 15 |- | 36 || 38 || 49 || 60 || 71 || 73 || 3 || 14 || 25 |- | 37 || 48 || 59 || 70 || |81 || 2 || 13 || 24 || 35 |} col-end
## 4차 마방진
위와 같이 4칸씩 나누어 흑색 칸과 백색 칸으로 칠한 뒤에, 한 색 칸의 수들을 180도 뒤집어 옮기면 마방진이 된다. width=auto;margin:0.5em auto valign=bottom {| class="wikitable" |- |+ *M* = Order 4 |- | |1 ||2 ||3 || |4 |- |5 || |6 || |7 ||8 |- |9 || |10 || |11 ||12 |- | |13 ||14 ||15 || |16 |} gap=1em {| class="wikitable" |- |+ *M* = Order 4 |- | |1 ||15 ||14 || |4 |- |12 || |6 || |7 ||9 |- | 8 || |10 || |11 ||5 |- | |13 || 3 || 2 || |16 |} col-end
# 변형

## 2차원
파일:Yang Hui magic 파일:Order 3 Magic 중 하나인 삼각진 중 하나인 육각별진 지수귀문도
## 다차원
파일:Simple Magic