순환군

군론에서, **순환군**(循環群, cyclic group)은 한 원소로 생성될 수 있는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.)
# 정의
군의 원소 g\in G가 생성하는 **순환군** \langle g\rangle은 다음과 같다. :\langle g\rangle=\\{g^n\colon n\in\mathbb Z\\}=\\{\dots,g^{-2},g^{-1},1,g,g^2,\dots\\}\le G
## 차수
군 G의 **차수**(次數, order,ord) 또는 **위수**(位數)는 집합으로서의 크기 |G|를 뜻한다. 군의 원소 g\in G의 **차수** \operatorname{ord}g는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다. :\operatorname{ord}g=|\langle g\rangle|= \begin{cases} \infty&\not\exists n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1\\\ \min\\{n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1\\}&\exists n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1 \end{cases} \in\mathbb Z^+\cup\\{\infty\\}
## 지수
군 G의 **지수**(指數, exponent) \exp G는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다. :\exp G= \begin{cases} \infty&\not\exists n\in\mathbb Z^+\forall g\in G\colon g^n=1\\\ \operatorname{lcm}_{g\in G}\operatorname{ord}g= \min\\{n\in\mathbb Z^+\colon\forall g\in G\colon g^n=1\\}& \exists n\in\mathbb Z^+\forall g\in G\colon g^n=1 \end{cases} \in\mathbb Z^+\cup\\{\infty\\}
# 분류
순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다. :\langle g\rangle\cong \begin{cases} Z&\operatorname{ord}g=\infty\\\ Z_{\operatorname{ord}g}&\operatorname{ord}g\operatorname{ord}g 이며, 이는 모순이다. 증명 끝
## 순환군
모든 순환군은 자명하게 유한 생성 아벨 군이다. 군 G에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * G의 크기는 소수이다. * G는 순환군이며, 단순군이다. * G는 아벨 군이며, 단순군이다. 증명 **(1) ⇒ (2):** |G|가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 \\{1_G\\},G밖에 없으므로, G는 단순군이다. 1_G\ne g\in G를 취하자. 그렇다면, |\langle g\rangle|=p이므로, \langle g\rangle=G이다. 즉, G는 순환군이다. **(2) ⇒ (3):** 모든 순환군은 아벨 군이다. **(3) ⇒ (1):** |G|가 소수가 아니라고 가정하자. G가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, G는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. G가 순환군이 아닌 경우, 임의의 1_G\ne g\in G를 취하자. 그렇다면, \langle g\rangle\triangleleft G이며, \langle g\rangle\ne1,G이므로, G는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다. 증명 끝 순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, \langle g\rangle의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. :\langle g^n\rangle\qquad \begin{cases} n\in\mathbb Z&\operatorname{ord}g=\infty\\\ n\mid\operatorname{ord}g&\operatorname{ord}g\frac{mn}{\gcd\\{m,n\\이므로, Z_m\oplus Z_n\not\cong Z_{mn}이다. 증명 끝 코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 p\mid|G|에 대하여, \operatorname{ord}g_p=p인 g_p\in G가 존재한다.
# 응용

## 유한 아벨 군의 분해
아벨 군 유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. G가 아벨 유한 p-군, a\in G가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, G=\langle a\rangle\times B인 B\le G가 존재한다. 증명 귀류법을 사용하여, G가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, |G|\ge2이며, G\ne\langle a\rangle이므로, 최소 차수 원소 b\in G\setminus\langle a\rangle를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다. * \operatorname{ord}b=p ** 증명: 그렇지 않다면, \operatorname{ord}b=p^e (e\ge2)이며, \operatorname{ord}b^p=p^{e-1}이므로, b^p\in\langle a\rangle이다. b^p=a^n (n\in\mathbb Z)이라고 하자. 그렇다면, \frac{\operatorname{ord}a}{\gcd\\{\operatorname{ord}a,n\\=\operatorname{ord}b^p<\operatorname{ord}b\le\operatorname{ord}a이므로, p\mid n이다. 따라서, (ba^{-\frac np})^p=1_G이며, ba^{-\frac np}\in G\setminus\langle a\rangle인데, 이는 b의 선택과 모순이다. * \langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1 ** 증명: 1_G\ne a^m=b^n\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle (0\le n)라고 하자. 그렇다면, 1=nu+pv인 u,v\in\mathbb Z가 존재하며, b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in\langle a\rangle이다. 이는 모순이다. * a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle은 최대 차수 원소이다. ** 증명: 우선 \operatorname{ord}(a\langle b\rangle)\mid\operatorname{ord}a이다. \operatorname{ord}(a\langle b\rangle)<\operatorname{ord}a라고 가정하면, (a\langle b\rangle)^\frac{\operatorname{ord}a}p=1이므로, a^\frac{\operatorname{ord}a}p\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1이다. 이는 모순이다. 따라서 \operatorname{ord}(a\langle b\rangle)=\operatorname{ord}a이며, a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle은 최대 차수 원소이다. * G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)인 \langle b\rangle\subseteq B\le G/\langle b\rangle가 존재한다. ** 증명: |G/\langle b\rangle|=|G|/p<|G| * G=\langle a\rangle\times B ** 증명: 우선, G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle이므로, G=\langle a\rangle B이다. 또한, (\langle a\rangle\cap B)/\langle b\rangle\subseteq(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\cap(B/\langle b\rangle)=\\{\langle b\rangle\\}이므로, \langle a\rangle\cap B\subseteq\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1이며, G=\langle a\rangle\times B이다. 증명 끝