원주율

좋은 글 {| class="toccolours" ||
3.1415926535897932384626433832795…… |} 원주율 **원주율**(圓周率, 원주률)은 원둘레와 지름의 비 즉, 원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수이다. 수학과 물리학의 여러 분야에 두루 쓰인다. 그리스 문자 π로 표기하고, **파이**(π)라고 읽는다.송은영, 재미있는 수학상식, 맑은창, 2007, , 126-133 쪽 원주율은 수학에서 다루는 가장 중요한 상수 가운데 하나이다.Pickover, Clifford A. (2005). A passion for mathematics: numbers, puzzles, madness, religion, and the quest for reality. John Wiley and Sons. p. 52. ., Extract of page 52 무리수인 동시에 초월수이다. 아르키메데스의 계산이 널리 알려져 있어 **아르키메데스 상수**라고 부르기도 하며, 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 **뤼돌프 수**라고 부르기도 한다.파이(π) 본격 연구는 아르키메데스부터 url=https://web.archive.org/web/20121209175001/http://www.sciencetimes.co.kr/article.do?todo=view&atidx;=0000037014&WT.mc;_id=sc_newsletter&WT.senddate;=20100119&WT.linkid;=0000037014, 사이언스타임즈, 2010년 1월 20일 원주율의 값은 순환하지 않는 무한소수(무리수)이기 때문에, 원주율을 포함한 계산에서는 3.1 또는 3.14 등 첫 소수점 아랫자리를 취한 근삿값을 사용하거나 기호 파이(π)를 사용한다. 초등학교 6학년 2학기 5단원 수학에서 처음 배우며 그 단원의 제목은 원의 넓이이다. 또한 기호를 사용하는 경우는 중학교 1학년 2학기에서 처음 배운다.
# 개요
원의 지름이 1일 때, 원주는 π이다. 유클리드 평면에서 원은 크기와 관계없이 언제나 닮은 도형이다. 따라서 원의 지름에 대한 둘레의 비는 언제나 일정하며, 이를 원주율이라 한다. 즉, 원의 지름을 d, 둘레를 C라 하면 원주율 π는 다음의 식으로 나타낼 수 있다."About Pi" url=https://web.archive.org/web/20130527202708/http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html. Ask Dr. Math FAQ. Retrieved 2007-10-29. :\pi = \frac{C}{d} 원주율을 나타내는 기호 π는 1706년 영국의 수학자 윌리엄 존스가 최초로 사용했다. 이것은 둘레를 뜻하는 고대 그리스어 "페리페레스"(περιφηρής) 또는 "페리메트론"(περίμετρον)의 첫 글자를 딴 것이다.쪽=170 윌리엄 존스는 “특정 도형의 길이나 넓이를 구하는 계산에 매우 유용한 방법이 여러 가지 있다. 원을 예로 들면 지름이 1인 원의 둘레를 약 3.14159…= π로 표기하는 것이다.”라고 기호 π의 사용을 제안하였다.Smith, David Eugene. A source book in mathematics, Volume I, pp. 346-347. 원주율은 소수점 아래 어느 자리에서도 끝나지 않고, 순환마디도 없이 무한히 계속되는 비순환소수이다. 원주율이 무리수라는 것은 1761년 요한 하인리히 람베르트가 증명했다. 원주율의 소수점 이하에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 통해 만드는 난수표와 성질이 같다.Pi Seems A Good Random Number Generator But Not Always The Best, Science daily, 2005-4-25 원주율은 십진법으로는 값을 정확하게 표기할 수 없기 때문에 실제 계산에서는 근삿값을 이용한다.
원의 넓이 = π × 반지름2 원의 둘레 = π × 지름 원적 문제 다빈치의 원의 넓이 계산 한편, 원주율은 계수가 유리수인 유한 차수 다항식의 해가 될 수 없다. 이러한 종류의 수를 초월수라 부른다. 이 사실은 1882년 페르디난트 폰 린데만이 증명하였다. 여기에서 원주율은 어떤 정수에 적당한 유리수를 곱하고 제곱근을 씌우는 등의 연산을 조합하여 얻어낼 수 없다는 사실을 알 수 있다. 또한 원주율이 초월수라는 사실을 통해, 그리스 3대 난제 중 하나였던 “자와 컴퍼스만을 사용하여 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 원적 문제”가 유한한 대수적 방법으로는 불가능하다는 것을 증명할 수 있다. 유클리드 기하학에서 원과 원주율의 관계를 살펴보면 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.보존날짜=2014-10-06183 * 원의 둘레를 구하는 식은 원주율의 정의와 같다. : 원의 둘레 = 지름 × 원주율 * 원의 넓이를 구하는 방법은 아르키메데스 시대 이후 여러 가지 기법이 알려져 있다. 널리 사용하는 방법 가운데 하나는 레오나르도 다빈치가 고안한 것으로, 정육각형을 이용한 구적법이다. 레오나르도 다빈치는 왼쪽 그림과 같이 정육각형을 이용하여 분할한 원을 직사각형으로 치환하여 원의 넓이를 계산하였다.Beckmann, Petr (1976), A History of Pi, St. Martin's Griffin, : 원의 넓이 = 원주율 × 반지름2 원주율이 보이는 복잡한 수열에 비해 이를 계산하는 방법은 의외로 단순하다. 라이프니츠가 정리한 다음 계산식이 널리 알려져 있다. :\pi = 4 \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + \frac{1}{17} - \frac{1}{19} + \frac{1}{21} - \frac{1}{23} + \frac{1}{25} - \frac{1}{27} + \frac{1}{29} - \frac{1}{31} + \cdots \right)
# 역사

## 고대
고대의 여러 문화에서 원주율의 값으로 3이 쓰였다. 고대 메소포타미아에서도 원주율을 3으로 계산하였고김흥식, 세상의 모든지식, 서해문집, 2007, 545-546쪽, 구약성경 열왕기상 7장 23절과 역대하 4장 2절에는 직경과 둘레의 길이를 기술하여 원주율이 3정도 임을 알고 있었다고 추측된다. 고대 중국의 수학책인 《구장산술》에서도 3을 원주율로 제시하였다. 《구장산술》에는 다음과 같은 문제가 실려 있다.과학동아 2006년 7월호, 원주율 π의 수수께끼 {| class="wikitable" |- |今有圓田周三十步經十步問爲田幾何
答曰七十五步 |둘레가 30걸음, 지름이 10걸음인 원 모양의 밭이 있다면 넓이는 얼마인가?
답: 75걸음² |- |colspan=2| 원주율의 근삿값을 3.14로 할 때 오늘날의 계산은 :\pi * 5^2 = 3.14 * 5^2 = 78.5 |} 구장산술의 계산은 평균값으로 이루어져있다. (1) 원둘레가 30보인 경우 반지름은 30=2r*3.14 r=4.78 이경우의 면적은 71.74 (2) 지름이 10보인 경우 면적은 78.5. (1)과 (2)의 평균은 75보. 그러므로 구장산술의 계산이 부정확하다는 것은 잘못되었다. 원에 내접하는 정육각형 구장산술에 실린 계산이 매우 부정확하다는 것은 왼쪽 그림을 보면 쉽게 알 수 있다. 지름이 1인 원에 내접하는 정육각형의 둘레는 3이고 실제 원의 둘레는 그것과는 차이가 상당하기 때문이다.장혜원, 청소년을 위한 동양수학사, 두리미디어, 2006, , 71쪽 이는 고대에서부터 이미 널리 알려진 문제였고 값을 보다 정확하게 구하기 위한 노력이 계속되었다. 고대 이집트에서는 원통형 바퀴를 굴려 직접 측정해 원주율을 계산하였는데 81=3.16049……를 사용하였다. 원에 외접하는 다각형과 내접하는 다각형의 둘레를 이용한 아르키메데스의 원주율 계산 한편 기원전 3세기의 고대 그리스 수학자 아르키메데스는 근대 적분이 없었던 당시에 무한소라는 개념을 사용하였다. 그는 소거법을 사용하여 \pi의 근삿값을 계산하였다. 이 방법은 임의 차원의 미지항에 대해 극한을 취하는 것으로, 귀류법을 사용하여 동일한 계산을 반복하는 과정을 통해 해답을 얻는 것이다. 아르키메데스는 변이 매우 많은 다각형이 임의의 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교하여 원주율을 계산하였다. 즉, 임의의 원의 둘레는 그것에 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다. 이때 다각형의 변이 많아질수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레 차는 작아지므로 원의 둘레에 근사한다. 즉, 지름이 d인 원에 내접하는 변의 개수가 n인 정다각형의 둘레 Pn에 대해 다음과 같이 함수의 극한을 취하면 원주율을 얻을 수 있다. :\pi = \lim_{n \to \infty}\frac{P_{n{d}. 아르키메데스는 정구십육각형을 이용하여 \pi의 값을 다음과 같이 계산하였다.나숙자, 친절한 도형 교과서, 부키, 2007, , 243쪽 :3 \frac{10}{71} 0)에는 몬테카를로 방법에 의해 다음과 같은 관계가 있다.Weisstein, Eric W (2005-12-12). "Buffon's Needle Problem". MathWorld. Retrieved 2007-11-10. : \pi \approx \frac{2nL}{xS}. 즉, 뷔퐁의 바늘 문제에서 바늘을 떨어뜨리는 횟수가 매우 많아지면 바늘이 평행선을 벗어나는 횟수에 대한 바늘을 떨어뜨린 전체 횟수의 비는 원주율에 근사한다.
## 물리학
회전하는 물체에는 각속도가 있다 원주율 자체는 물리 상수가 아니지만 물리학의 여러 분야에서 두루 사용한다. 이는 자연 현상의 상당수가 원과 관계가 있기 때문이다. 예를 들어 회전수를 일정하게 유지하는 등속원운동에서 각속도와 원주속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.문성수, 정설 재료역학, 기전연구사, 2000년, , 52-53쪽 : 각속도를 ω (= θ / 초), 분당 회전수를 N이라 하면 : \omega = \frac{2 \pi N}{60} : 이때, 반지름을 r이라 하면 원주속도 v는 : v = r \cdot \omega = \frac{2 r \pi N}{60} 이 외에 물리학에서 원주율을 사용하는 경우는 다음과 같다. * 불확정성 원리에 따라, 양자 역학적인 물리량은 동시에 정확히 관찰할 수 없다. 예를 들어 입자의 특정 위치를 Δ x라 하고 이 때의 운동량을 Δ p 라 하면, 이 둘의 크기를 둘 다 정확히 관찰할 수는 없으며 다음 식을 사용해 확률적으로만 계산한다.존 테일러, 강희재 외 역, 현대물리학, 교보문고, 2005, , 242-244쪽 : \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} * 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 의한 아인슈타인 방정식은 다음과 같이 표현한다.Einstein, Albert (1916). "The Foundation of the General Theory of Relativity" url=https://web.archive.org/web/20060829045130/http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html (PDF). Annalen der Physik. :R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu} : 여기서 R_{\mu \nu}\,은 리치 곡률, R\, 은 스칼라 곡률, g_{\mu \nu}\,는 계량 텐서, \Lambda\,는 우주 상수, G\,는 중력 상수, c\,는 광속, 그리고 T_{\mu \nu}\,는 에너지-운동량 텐서이다.
# 주해