오일러의 곱셈 공식

**오일러의 곱셈 공식**(Euler product formula)은 디리클레 급수(Dirichlet series)를 모든 소수에 대한 무한곱으로 표현한 것이다. 리만 제타 함수의 경우를 증명한 오일러의 이름을 딴 것으로 **오일러 곱**(Euler product)이라고도 한다. 일반적으로, 다음과 같은 형태의 디리클레 급수가 있다고 하자. :\sum_{n} a(n)n^{-s}\, 여기서 a(n)는 곱셈적 함수(multiplicative function)이다. 이 급수는 다음과 같이 쓰일 수 있다. :\prod_{p} P(p,s)\, 여기서 P(p,s)는 다음 급수가 된다. :1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots . 이는 산술의 기본 정리 때문에 성립하는 것이다. 특히, a(n)이 완전 곱셈적(totally multiplicative)일 경우 P(p,s)는 무한등비급수(geometric series)가 되므로 다음 등식이 성립하게 된다. :P(p,s)=\frac{1}{1-a(p)p^{-s 리만 제타 함수의 경우 a(n) = 1이 된다.
# 예
레온하르트 오일러는 바젤 문제를 해결하면서 리만 제타 함수가 오일러 곱과 등치함을 증명하였다. 오일러의 곱셈 공식은 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 출판된 그의 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉(*Variae observationes circa series infinitas*)에 수록되었다.존 더비셔, 박병철 역, 리만 가설, 승산, 2006, 154쪽, 오일러가 증명한 리만 제타 함수의 무한곱이 가장 유명하므로 리만 제타 함수의 무한곱을 오일러 곱이라 지칭하는 경우도 많다.
## 오일러의 증명
오일러의 곱셈 공식에 대한 오일러의 증명은 다음과 같다.존 더비셔, 같은 책, 149-153쪽Euler Product Formula url=https://web.archive.org/web/20090725194006/http://myyn.org/m/article/euler-product-formula2/#, myyn.org, 2007-07-16에 읽어 봄 1보다 큰 임의의 복소수 s에서, 리만 제타 함수는 다음과 같이 정의된다. :\zeta(s) = {1 \over 1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots 양변에 \frac{1}{2^{s를 곱하면 a^{s} \cdot b^{s}=(a \cdot b)^{s}이라는 지수법칙에 의해 :\frac{1}{2^{s\zeta(s) = \frac{1}{2^{s + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots 이 성립한다. 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 좌변은 \zeta(s)-\frac{1}{2^{s \cdot \zeta(s) = \left(1-\frac{1}{2^{s\right) \cdot \zeta(s)로 정리되고 우변에는 홀수의 -s제곱 항만이 남게 되므로 :\left(1-\frac{1}{2^{s\right) \cdot \zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^{s + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots 을 얻는다. 이제 위의 결과에 \frac{1}{3^{s를 곱하면 :\frac{1}{3^{s\left(1-\frac{1}{2^{s\right) \cdot \zeta(s) = \frac{1}{3^{s + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \cdots 이므로, 이 결과를 위 식에서 빼면 :\left(1-\frac{1}{3^{s\right)\left(1-\frac{1}{2^{s\right) \cdot \zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^{s + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \cdots 이 되며 우변의 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다. 이 작업을 모든 소수 p에 대하여 계속 반복하면 :\cdots \left(1-\frac{1}{p^{s\right)\cdots \left(1-\frac{1}{11^{s\right)\left(1-\frac{1}{7^{s\right)\left(1-\frac{1}{5^{s\right) \left(1-\frac{1}{3^{s\right)\left(1-\frac{1}{2^{s\right)\zeta(s) = 1 을 얻는다. 지수법칙에 의해 \frac{1}{p^{s=p^{-s}이므로, 위 식은 :\prod_{p \text{ prime (1-p^{-s}) \cdot \zeta(s)=1 과 같이 정리할 수 있다. 이제 좌변에 \zeta(s)만을 남기고 모든 인수를 우변으로 이항하면, :\zeta(s)=\prod_{p \text{ prime \frac{1}{1-p^{-s 와 같이 오일러의 곱셈 공식을 유도할 수 있다. 이 증명법은 에라토스테네스의 체에 기초한 증명 방법이다.
# 오일러의 곱셈 공식과 관련된 상수들
아래는 오일러의 곱셈 공식과 관련된 상수들이다. * 란다우-라마누잔 상수 : K= \frac{\pi}{4} \prod_{p = 1\,\text{mod}\,4} \left(1 - 1}\over{p^2\right)^{1\over2} * 쌍둥이 소수 상수 : C_2 = \prod_{\textstyle{p\;{\rm prime}\atop p \ge 3 \left(1 - 1}\over{(p-1)^2\right) * 펠러-토르니어 상수 :C_{FT}={1\over2}+\left( {1\over2} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-2}\over{p_n^2 \right) \right) * 마이셀-메르텐스 상수 :B_2= \left(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\ln \left( 1-1}\over{p_n \right) + 1}\over{p_n -1 \right) \right) +\gamma * 알틴 상수 : C_{A}= \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-1}\over{P_n(P_n -1)\right) * 케어프리 상수(carefree constant) :K_1 = \prod_p \left( 1- 2p-1}\over{p^3 \right) * 바반 상수 :C_B= \prod_{p} \left(1 + 3p^2-1}\over{p(p+1)(p^2-1) \right) * 이차 유수 상수 또는 이차 수체 유수 상수(Quadratic Class Number Constant) : \prod_{p} \left(1 - 1}\over{p^2(p+1)} } \right) * 스티븐스 상수 : \prod_{p} \left(1 - p}\over{p^3-1 \right) * 타니구치 상수 : \prod_{p} \left(1 - 3}\over{p^3+ 2}\over{p^4+ 1}\over{p^5 - 1}\over{p^6} } \right) * 무라타 상수 : \prod_{p} \left(1 + 1}\over{(p-1)^2 \right) * 니븐 상수 :C_{Niven} = 1+\sum_{s=2}^\infty \left(1-1}\over{\zeta(s)\right) :\zeta(s) 는 리만 제타 함수 * 해프너-사낙크-맥컬리 상수 :D(n)=\prod_{k=1}^{\infty}\left\\{1-\left[1-\prod_{j=1}^n \left( 1-{ {1}\over{p_k^{j } \right) \right]^2\right\\} * 란다우 토션트 상수(Landau's totient constant) : \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p(p-1)}\right) =\zeta(2) \zeta(3)}\over{\zeta(6) = \frac{315A}{2\pi^{4 :A=\zeta(3)은 아페리 상수 * 사르낙 상수(Sarnak's constant) : \prod_{p>2} \left(1 - \frac{p+2}{p^3}\right) = 0.723648... A065476