소수 (기수법)

1=소수 (수론) 수학의 기수법에서 **소수**(小數, decimal)는 실수를 소수점과 그 양옆에 놓인 숫자를 통해 나타내는 방법이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.
# 정의
음이 아닌 실수 r의 소수 표기는 다음과 같은 꼴이다. :r=r_0.r_1r_2r_3\cdots 여기서 각 i=0,1,2,\dots에 대하여, r_i는 0부터 9까지의 숫자 가운데 하나이다. 음의 실수의 경우, 왼쪽에 부호를 붙여준다. 또한, 만약 어떤 n번째 자릿수 r_n부터 :0=r_n=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots 가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다. :r=r_0.r_1r_2r_3\cdots r_{n-1} 엄밀히 말해, 소수는 극한의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 급수 공식을 만족시켜야 한다. :r=\sum_{n=0}^\infty10^{-n}r_n=\lim_{n\to\infty}r_0.r_1r_2\cdots r_n 또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다. * 9=r_n=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots인 n이 존재하지 않는다. 즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, 0.999… = 1이며, 1.234999... = 1.235이며, 37.271999...=37.272이다.간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다. 유리수의 소수 표기는 유한하거나, 무한하지만 순환한다. 그 예는 다음과 같다. :\frac{1}{2}=0.5 :\frac{1}{3}=0.333333\cdots 무리수의 소수 표기는 무한하며 비순환이다.. 그 예는 다음과 같다. :\sqrt 2=1.41421356\cdots :\pi=3.14159265358979323846\cdots
# 종류
소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다.
## 유한 소수
소수점 아랫자리가 유한한 수를 **유한 소수**(有限小數, finite decimal)라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수다. 십진법과 이십진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 2^m5^n (m,n은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 2^m5^n (m,n은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다. 마찬가지로, 육진법과 십이진법과 십팔진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 2^m3^n (m,n은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 2^m3^n (m,n은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다. 유한 소수의 예는 다음과 같다. 가분수도 게재한다. ; 십진법 :1/2=0.5 :3/4=0.75 :1/5=0.2 :8/5=1.6 :3/8=0.375 :1/16=0.0625 :27/16=1.6875 :7/20=0.35 :8/25=0.32 :1/50=0.02 :11/64=0.171875 :1/80=0.0125 :8/125=0.064 :13/160=0.08125 ; 육진법 :1/2=0.3 :1/3=0.2 :3/4=0.43 :3/12=0.213 :5/13=0.32 :41/13=2.44 :11/20=0.33 :1/24=0.0213 :43/24=1.4043 :1/30=0.02 :12/43=0.144 :1/120=0.0043 :15/144=0.101043 :1/213=0.0024 :21/240=0.04513 보다 기본적으로, b가 2이상의 자연수일 때, b진법으로 소수를 나타내었을 때, 어떤 기약 분수가 유한 소수가 되기 위한 필요충분조건은 해당 분수를 기약 분수로 바꾸고 난 후 분모른 소인수분해할 때, 분모의 모든 소인수가 b의 소인수로 이루어져 있어야 되는 것이다. 즉, 기약분수의 분모에서 그 외의 다른 소인수가 하나 이상 들어가 있으며 b진법 소수 표현이 순환소수가 된다는 얘기다.
## 순환 소수
순환 소수 소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 **순환 소수**(循環小數, repeating decimal)라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 유리수이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다. ; 십진법 :1/3=0.\dot3=0.333\cdots :1/6=0.1\dot6=0.1666\cdots :1/7=0.\dot14285\dot7=0.142857142857142857\cdots :5/9=0.\dot5=0.555\cdots :25/9=2.\dot7=2.777\cdots :3/11=0.\dot2\dot7=0.272727\cdots :8/27=0.\dot29\dot6=0.296296\cdots :1/48=0.0208\dot3=0.0208333\cdots :1/81=0.\dot01234567\dot9=0.012345679012345679\cdots ; 육진법 :1/5=0.\dot1=0.111\cdots :12/5=1.\dot3=1.333\cdots :1/11=0.\dot0\dot5=0.050505\cdots :3/14=0.1\dot4=0.1444\cdots :1/15=0.\dot031345242\dot1=0.03134524210313452421\cdots :12/41=0.\dot1530\dot4=0.1530415304\cdots :1/212=0.0024\dot1=0.0024111\cdots
## 비순환 소수
순환소수 순환 소수가 아닌 소수를 **비순환 소수**(非循環小數, non-repeating decimal)라고 한다. 어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다. 이 경우는 십진법 (소인수가 2와 5) 이든 육진법 (소인수가 2 와 3) 이든 기타 위치 기수법을 사용하여도 무한에 따른다. ; 십진 표기 :\sqrt2=1.41421356\cdots :\pi=3.14159265\cdots :e=2.718281\cdots ; 육진 표기 :\sqrt2=1.225245314\cdots :\pi=3.0503300514\cdots :e=2.41505204\cdots
## 무한소수
무리수 무리수 (무한소수)는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다 실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 자연수의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다. 실수의 소수 표기는 실수의 구성에 쓰일 수 있다.