쉴로브 정리

군론에서 **쉴로브 정리**(Sylow theorems) 또는 **실로우 정리**는 유한군의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 라그랑주 정리의 부분적 역이며, 코시 정리를 일반화한다. 유한군의 이론에서 중요한 역할을 한다.
# 정의
소수 p가 주어졌을 때, *p*-군은 모든 원소의 위수가 p의 거듭제곱인 군이다. **쉴로브 *p*-부분군**(Sylow *p*-subgroup)은 극대 *p*-부분군이다. 즉, 군 G의 *p*-부분군 H가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 *p*-부분군이라고 한다. * 임의의 *p*-부분군 K\subseteq G에 대하여, 만약 H\subseteq K라면, K=G 또는 K=H이다. 쉴로브 *p*-부분군의 집합을 \operatorname{Syl}(p;G)로 표기하자. 유한군 G와 소수 p가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 n\in\mathbb Z^+\cup\\{0\\}와 양의 정수 m\in\mathbb Z^+에 대하여 :|G|=p^nm 이며 p와 m이 서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의 k\in\\{0,\dots,n\\}에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다. * **제1 쉴로브 정리**(first Sylow theorem): 크기가 p^k인 G의 부분군이 존재한다. * **제2 쉴로브 정리**(second Sylow theorem): 임의의 쉴로브 *p*-부분군 H\subseteq G 및 *p*-부분군 K\subseteq G에 대하여, K\subseteq gHg^{-1}인 g\in G가 존재한다. 특히, G의 모든 쉴로브 *p*-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로브 *p*-부분군의 크기는 p^n이다. * **제3 쉴로브 정리**(third Sylow theorem): 크기가 p^k인 G의 부분군의 총수가 n(p^k;G)이며 (특히 n(p^n;G)=|{\operatorname{Syl}(p;G)}|), H가 G의 임의의 쉴로브 *p*-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. ** n(p^k;G)\equiv 1\pmod p ** n(p^n;G)\mid m ** n(p^n;G)=|G:\operatorname N_G(H)|. (여기서 \operatorname N_G(-)는 정규화 부분군이다.)
# 증명
다음은 k=n인 경우에 대한 증명들이며, 일부 증명은 임의의 k에 대한 경우에도 적용 가능하다.
## 제1 정리

### 켤레 작용을 통한 증명
크기가 p^n인 G의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 |G|에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. \\{g_1,\dots,g_k\\}\subseteq G가 한원소 집합이 아닌 G의 켤레류들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 켤레류 방정식이 성립한다. :|G|=|{\operatorname Z(G)}|+\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|{\operatorname C_G(g_i)}|} 이 경우 각 i\in\\{1,\dots,k\\}에 대하여 \operatorname C_G(g_i)는 G의 진부분군이다. 만약 p^n이 |{\operatorname C_G(g_i)}|의 약수가 되는 i\in\\{1,\dots,k\\}가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 \operatorname C_G(g_i)는 |H|=p^n인 부분군 H를 가지며, 이는 자명하게 G의 부분군이다. 이제, 임의의 i\in\\{1,\dots,k\\}에 대하여, p^n이 |{\operatorname C_G(g_i)}|의 약수가 아니라고 하자. n=0인 경우는 자명하다. 만약 n>0이라면, p는 |{\operatorname Z(G)}|의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 \operatorname Z(G)는 |K|=p인 부분군 K를 가지며, 이는 G의 정규 부분군이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, 몫군 G/K는 크기가 p^{n-1}인 쉴로브 *p*-부분군 H/K를 가지며, 이 경우 H는 크기가 p^n인 G의 부분군이다.
### 빌란트의 증명
헬무트 빌란트(Helmut Wielandt)의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 n>0이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자. :\mathcal S=\\{S\subseteq G\colon|S|=p^n\\} 이 위에 G는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 작용한다. :G\times\mathcal S\to\mathcal S :(g,S)\mapsto gS\qquad(g\in G,\;S\in\mathcal S) 이 작용의 궤도들의 대표원을 \\{S_1,\dots,S_k\\}\subset\mathcal S라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다. :|\mathcal S|=\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|G_{S_i}|} 또한 :|\mathcal S|=\binom{p^nm}{p^n}=m\binom{p^nm-1}{p^n-1}=m\prod_{k=1}^{p^n-1}\frac{p^nm-k}{p^n-k} 은 p와 서로소이므로 (이는 각 k\in\\{1,\dots,p^n-1\\}에 대하여 p^nm-k와 p^n-k의 소인수 p의 중복도가 k의 소인수 p의 중복도와 같기 때문이다), 궤도의 크기 \frac{|G|}{|G_{S_i}|}가 p와 서로소인 i\in\\{1,\dots,k\\}가 존재한다. S_i의 안정자군을 H=G_{S_i}라고 하자. 그렇다면, H는 G의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여 |H|는 p^n을 약수로 갖는다. 또한 s\in S에 대하여, :H\to S :h\mapsto hs\qquad(h\in H) 는 단사 함수이므로, |H|=p^n이다.
### 정규화 부분군을 통한 증명
임의의 쉴로브 *p*-부분군(즉, 극대 *p*-부분군) H\subseteq G에 대하여 |H|=p^n임을 보이는 것으로 족하다. H의 정규화 부분군 \operatorname N_G(H)를 생각하자. 그렇다면 H는 \operatorname N_G(H)의 정규 부분군이므로, 몫군 \operatorname N_G(H)/H를 취할 수 있다. 우선, p가 \frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}의 소인수가 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여 p가 \frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 |K/H|=p인 부분군 K/H\subseteq\operatorname N_G(H)/H가 존재한다. 이 경우 부분군 H\subseteq K\subseteq \operatorname N_G(H)는 G의 부분군이며, |K|=p|H|>|H|를 만족시킨다. 이는 H가 쉴로브 *p*-부분군인 데 모순이다. 이제, p가 \frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}의 소인수가 아님을 증명하자. 왼쪽 잉여류의 집합 G/\operatorname N_G(H) 위에서 H가 다음과 같이 작용한다고 하자. :H\times G/\operatorname N_G(H)\to G/\operatorname N_G(H) :(h,g\operatorname N_G(H))\mapsto hg\operatorname N_G(H)\qquad(h\in H,\;g\in G) 그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 합동식을 얻는다. :\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|} \equiv|\\{g\operatorname N_G(H)\in G/\operatorname N_G(H) \colon Hg\operatorname N_G(H)=g\operatorname N_G(H)\\}| \pmod p 따라서, \operatorname N_G(H)가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 g\in G가 임의의 h\in H에 대하여 :hg\operatorname N_G(H)=g\operatorname N_G(H) 를 만족시킨다면, g^{-1}hg\in\operatorname N_G(H)이며, H는 *p*-군이므로 h의 위수는 p의 거듭제곱이다. 따라서 g^{-1}hgH의 (\operatorname N_G(H)/H에서의) 위수 역시 p의 거듭제곱이며, 또한 이는 \frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}의 약수이므로, g^{-1}hgH의 위수는 1이다. 즉, g^{-1}hgH=H이며, g^{-1}hg\in H이다. 즉, g\in\operatorname N_G(H)가 성립한다. 이 두 가지 사실을 종합하면 |H|=p^n을 얻는다. 이는 :|G|=\frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}\cdot\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}\cdot|H| 때문이다.
## 제2 정리

### 왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명
크기가 |H|=p^n인 쉴로브 *p*-부분군 H\subseteq G를 취하자. 임의의 *p*-부분군 K\subseteq G에 대하여, K\subseteq gHg^{-1}인 g\in G의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합 G/H 위에서 K가 다음과 같이 작용한다고 하자. :K\times G/H\to G/H :(k,gH)\mapsto kgH\qquad(k\in K,\;g\in G) 또한, G/H의 크기는 p와 서로소이므로, 궤도의 크기가 p와 서로소인 원소 gH\in G/H를 가지며, 이에 대한 안정자군은 K 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다. :K=K_{gH}=G_{gH}\cap K=gG_Hg^{-1}\cap K=gHg^{-1}\cap K\subseteq gHg^{-1}
### 이중 잉여류를 통한 증명
크기가 |H|=p^n인 쉴로브 *p*-부분군 H\subseteq G를 취하자. 임의의 *p*-부분군 K\subseteq G에 대하여, K\subseteq gHg^{-1}인 g\in G의 존재를 보이면 된다. 이중 잉여류들의 집합 :K\backslash G/H=\\{KgH\colon g\in G\\} 는 G의 분할을 이루므로, 다음이 성립한다. :|G|=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}|KgH|=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}\frac{|K||H|}{|K\cap gHg^{-1}|} 즉, :\frac{|G|}{|H|}=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}\frac{|K|}{|K\cap gHg^{-1}|} 이다. 또한 \frac{|G|}{|H|}는 p와 서로소이므로, \frac{|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}가 p와 서로소가 되는 g\in G가 존재한다. 즉, 이 g에 대하여 :\frac{|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}=1 이다. 따라서, :K=K\cap gHg^{-1}\subseteq gHg^{-1} 이 성립한다.
## 제3 정리

### 켤레 작용을 통한 증명
쉴로브 *p*-부분군의 집합을 \operatorname{Syl}(p;G)라고 하고, 이 위의 켤레 작용 :G\times\operatorname{Syl}(p;G)\to\operatorname{Syl}(p;G) :(g,H)\mapsto gHg^{-1}\qquad(g\in G,\;H\in\operatorname{Syl}(p;G)) 를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 추이적 작용이며, 임의의 H\in\operatorname{Syl}(p;G)에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 \operatorname N_G(H)이다. 따라서 :n(p^n;G)=|{\operatorname{Syl}(p;G)}|=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|} 이며, 이는 :\frac{|G|}{|H|}=m 의 약수이다. 이제, 임의의 H\in\operatorname{Syl}(p;G)에 제한된 켤레 작용 :H\times\operatorname{Syl}(p;G)\to\operatorname{Syl}(p;G) :(h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad(h\in H,\;K\in\operatorname{Syl}(p;G)) 를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식 :n(p^n;G)\equiv|\\{K\in\operatorname{Syl}(p;G)\colon\forall h\in H\colon hKh^{-1}=K\\}|\pmod p 가 성립한다. 이제 H가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 K\in\operatorname{Syl}(p;G)가 임의의 h\in H에 대하여 hKh^{-1}=K를 만족시킨다면, H\subseteq\operatorname N_G(K)이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 g\in\operatorname N_G(K)가 존재한다. :H=gKg^{-1}=K 따라서, 합동식 :n(p^n;G)\equiv 1\pmod p 가 성립한다.
### 빌란트의 증명
집합 :\mathcal T=\\{S\in\mathcal S\colon|G_S|=p^n\\} 을 생각하자. 그렇다면, \mathcal T는 정확히 다음과 같은 집합이다. :\mathcal T=\bigsqcup_{H\in\operatorname{Syl}(p;G)}H\backslash G=\\{Hg\colon H\in\operatorname{Syl}(p;G),\;g\in G\\} 여기서 H\backslash G는 H의 오른쪽 잉여류들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 *p*-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서, :|\mathcal T|=\sum_{H\in\operatorname{Syl}(p;G)}\frac{|G|}{|H|}=n(p^n;G)m 이다. 임의의 S\in\mathcal S의 안정자군 G_S은 *p*-부분군이다. 이는 임의의 s\in S에 대하여, G_Ss\subseteq S이므로, S가 G_S의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, \mathcal S\setminus\mathcal T의 원소들의 안정자군은 *p*-부분군이다. 또한, \mathcal S\setminus\mathcal T는 G의 작용에 대하여 닫혀있으므로, \mathcal S\setminus\mathcal T 속 궤도들의 대표원 \\{S_1,\dots,S_k\\}\subseteq\mathcal S\setminus\mathcal T를 취할 수 있으며, 이 경우 :|\mathcal S\setminus\mathcal T|=\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|G_{S_i}|}\equiv 0\pmod{pm} 가 성립한다. 또한, :|\mathcal S| =\binom{p^nm}{p^n} =m\binom{p^nm-1}{p^n-1} =m\prod_{k=1}^{p^n-1}\frac{p^nm-k}{p^n-k} \equiv m\pmod{pm} 가 성립한다. 이는 임의의 k\in\\{1,\dots,p^n-1\\}에 대하여, k의 소인수 p의 중복도가 e라고 할 때, :p^{n-e}m-kp^{-e}\equiv p^{n-e}-kp^{-e}\not\equiv 0\pmod p 이기 때문이다. 이들 결론을 종합하면 :n(p^n;G)m\equiv m\pmod{pm} 을 얻으며, m>0이므로 :n(p^n;G)\equiv 1\pmod p 가 성립한다.
# 쉴로브 부분군의 성질
유한군 G와 소수 p가 주어졌다고 하자.
## 연산에 대한 닫힘
만약 H가 G의 쉴로브 *p*-부분군이며, N이 G의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다. * H\cap N은 N의 쉴로브 *p*-부분군이다. * HN/N은 G/N의 쉴로브 *p*-부분군이다. 증명 K가 N의 쉴로브 *p*-부분군이라고 하자. 그렇다면 K\subseteq gHg^{-1}인 g\in G가 존재한다. 따라서 :K\subseteq gHg^{-1}\cap N=g(H\cap N)g^{-1} 이며, :|H\cap N|\ge|K| 이다. H\cap N은 N의 *p*-부분군이므로, :|H\cap N|=|K| 이며, H\cap N은 N의 쉴로브 *p*-부분군이다. 두 번째 명제는 첫 번째 명제와 :|HN/N|=\frac{|H|}{|H\cap N|} 으로부터 유도된다. 증명 끝
## 충분 조건
만약 H가 G의 *p*-부분군이며, H=\operatorname N_G(H)라면, H는 G의 쉴로브 *p*-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 증명 H가 H의 켤레 부분군의 집합 :\mathcal S=\\{gHg^{-1}\colon g\in G\\} 위에서 다음과 같이 작용한다고 하자. :H\times\mathcal S\to\mathcal S :(h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad(h\in H,\;K\in\mathcal S) 그렇다면, 각 궤도의 크기는 |H|의 약수이며, 특히 p의 거듭제곱이다. 이제, H가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 K\in\mathcal S가 임의의 h\in H에 대하여 hKh^{-1}=K를 만족시킨다면, K=gHg^{-1}인 g\in G를 취하면 :H\subseteq\operatorname N_G(K)=g\operatorname N_G(H)g^{-1}=gHg^{-1}=K 이므로, K=H이다. 따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여 :1\equiv|\mathcal S|=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}=\frac{|G|}{|H|}\pmod p 이며, 특히 H는 G의 쉴로브 *p*-부분군이다. 증명 끝
## 교집합
만약 \operatorname O(p;G)가 G의 모든 쉴로브 *p*-부분군의 교집합이라고 하면, \operatorname O(p;G)는 G의 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 *p*-부분군이다. 만약 H가 G의 정규 쉴로브 *p*-부분군이라면, n(p^n;G)=1이며, H=\operatorname O(p;G)는 G의 유일한 쉴로브 *p*-부분군이다. 증명 우선, \operatorname O(p;G)가 G의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 *p*-부분군 H\subseteq G에 대하여, :\operatorname O(p;G)=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}=\operatorname{Core}_G(H) 가 H의 정규핵이기 때문이다. 이제, \operatorname O(p;G)가 G의 모든 정규 *p*-부분군을 포함함을 보이자. 임의의 정규 *p*-부분군 N\subseteq G 및 쉴로브 *p*-부분군 H\subseteq G에 대하여, N\subseteq H임을 보이면 된다. NH이 G의 부분군이며, :|NH|=\frac{|N||H|}{|N\cap H|} 이므로 이는 *p*-부분군이다. 따라서 NH=H이며, 특히 N\subseteq H이다. 이에 따라 \operatorname O(p;G)는 G의 유일한 극대 정규 *p*-부분군이다. 극대 정규 *p*-부분군은 자기 동형 사상에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상 \phi\in\operatorname{Aut}(G)에 대하여, \phi(\operatorname O(p;G)) 역시 G의 극대 정규 *p*-부분군이며, 따라서 \phi(\operatorname O(p;G))=\operatorname O(p;G)이다. 즉, \operatorname O(p;G)는 G의 특성 부분군이다. 만약 H가 G의 정규 쉴로브 *p*-부분군이라면, \operatorname N_G(H)=G이므로, :n(p^n;G)=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}=1 이며, 따라서 H=\operatorname O(p;G)이다. 증명 끝 다음과 같은 조건을 생각하자. * \operatorname O(p;G)=H\cap K인 두 쉴로브 *p*-부분군 H,K\subseteq G가 존재한다. 이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다.jstor=2039991 * p는 홀수 비(非)메르센 소수이다. * |G|는 홀수이다. * p=2이며, |G|는 페르마 소수나 메르센 소수를 소인수로 갖지 않는다.
## 프라티니 논증
프라티니 논증 만약 N이 G의 정규 부분군이며, H가 N의 쉴로브 *p*-부분군이라면, G=N\operatorname N_G(H)이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 H가 G의 쉴로브 *p*-부분군, K가 G의 부분군이며, \operatorname N_G(H)\subseteq K라면, \operatorname N_G(K)=K이다. 특히, \operatorname N_G(\operatorname N_G(H))=\operatorname N_G(H)가 성립한다.
# 응용
실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. p와 q가 소수이며, p라고 하자. * p\nmid q-1일 경우, 크기가 pq인 군은 순환군과 동형이다. * p\mid q-1일 경우, 크기가 pq이며, 아벨 군이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다. * 크기가 p^mq^n (m,n\in\\{1,2\\})인 군은 단순군이 아니다. 이는 번사이드 정리의 특수한 경우다.
# 역사
노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.