순서수

\omega^\omega 이하의 순서수들의 형상화 집합론에서 **순서수**(順序數, ordinal) 또는 **서수**(序數)는 정렬 전순서 집합들의 "길이"를 측정하는 수의 일종이다. 자연수를 확장하며, 자연수들의 정렬 전순서 집합과 같은 무한 정렬 전순서 집합들의 크기를 측정하는 무한 순서수들이 존재한다. 자연수는 집합의 크기를 표현하기 위해 사용되기도 하고, 열에서 원소의 위치를 나타내기 위해 사용되기도 한다. 이 두 쓰임새는 유한 집합의 경우 크게 다르지 않으나, 무한 집합의 경우에는 이 구분이 중요해진다. 전자를 확장한 것이 기수이고, 후자를 확장한 것이 순서수이다. 기수는 아무런 구조도 갖지 않는 집합에 대해서도 부여할 수 있지만, 순서수는 정렬 전순서 집합에 대해서만 정의되며, 정렬 전순서의 개념과 순서수의 개념에는 매우 밀접한 관련이 있다. 간단히 말해, 정렬 전순서란 무한히 감소하는 수열이 존재하지 않는 전순서를 말한다. (물론 무한히 증가하는 수열은 존재할 수 있다.) 임의의 전순서 집합에서 최소 원소를 0이라 하고 그 다음 원소를 1이라 하는 식으로 그 집합의 원소들을 순서수를 이용해 순서매길 수 있으며, 이 집합의 "길이"를 여기에서 집합의 원소에 대응되지 않는 가장 작은 순서수로 정의할 수 있다. 이 "길이"를 집합의 순서형이라고 한다.
# 정의

## 동치류를 이용한 정의
기수를 모든 집합의 전단사 함수에 대한 동치류로 정의할 수 있는 것처럼, 순서수는 모든 정렬 전순서 집합의 순서 동형에 대한 동치류로 정의할 수 있다. 그러나 이러한 정의에 따르면 각 순서수는 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합이 아니며, 고유 모임이 되므로 기술적으로 문제가 있다. (예를 들어, 순서수의 모임 \operatorname{Ord}는 고유 모임들을 원소를 가져야 하므로 정의할 수 없다.) 유형 이론이나 윌러드 밴 오먼 콰인의 새 기초(New Foundations)등에서는 이 정의가 문제가 되지 않는다. 이 정의는 유형 이론을 사용하는 《수학 원리》에 등장한다.
## 폰 노이만 정의
집합론적 문제를 피하기 위해, 정렬 전순서 집합의 순서 동형 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이 정의는 존 폰 노이만이 제시하였고,url-status=dead 오늘날 표준적인 정의다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하면, 추이적 집합 S에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 추이적 집합을 **순서수**라고 한다. * (S,\subseteq)는 전순서 집합을 이룬다. 즉, 임의의 a,b\in S에 대하여, a\in b이거나 b\in a이거나 a=b이다. * (S,\subseteq)는 정렬 전순서 집합을 이룬다.settheory0000jech_f7i419, Definition 2.10 * S의 모든 원소는 추이적 집합이다. 폰 노이만 정의에서는 순서수 \alpha와 \beta에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \alpha\in\beta * \alpha\subsetneq\beta 이를 \alpha0\\\1&\alpha=0\end{cases} * (거듭제곱의 분배 법칙) \alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\alpha^\gamma * \alpha^{\beta\gamma}=(\alpha^\beta)^\gamma 그러나 (\alpha\beta)^\gamma\ne\alpha^\gamma\beta^\gamma일 수 있다. 예를 들어, :(\omega2)^2=\omega2\omega2=\omega^22\ne\omega^24 이다. 순서수의 거듭제곱은 기수의 거듭제곱과 현저히 다르다. 예를 들어, 순서수 연산에 대해서, 칸토어의 정리가 다음과 같이 성립하지 않는다. :2^\omega=\omega
## 순서 보존
임의의 서수 \alpha, \beta, \gamma에 대하여 다음이 성립한다. * \alpha+\beta\alpha에 대하여 \beta에 순서 위상을 부여하였을 때, \alpha\in\beta는 \beta의 집적점이거나 \alpha=0이다. 즉, \alpha\ne0라면 \alpha의 모든 근방은 무한 집합이다. * 폰 노이만 정의에서, \alpha는 순서 위상을 부여하였을 때 콤팩트 공간이 아니거나 \alpha=0이다. 예를 들어, 순서수들 :0,1,2,\ldots,\omega,\omega+1,\omega+2 가운데, 1, 2와 \omega+1, \omega+2는 따름 순서수이며, 0과 \omega는 극한 순서수이다.
## 칸토어 표준형
임의의 순서수 \delta\ge2가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 모든 순서수 \alpha는 다음과 같은 꼴로 유일하게 나타내어진다. :\alpha=\delta^{\beta_1}\gamma_1+\delta^{\beta_2}\gamma_2+\cdots+\delta^{\beta_k}\gamma_k :0\le\beta_1<\beta_2<\cdots<\beta_k\in\operatorname{Ord} :\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_k<\delta 이를 \alpha의 **\delta진 칸토어 표준형**(\delta進Cantor標準型, base-\delta Cantor normal form)이라고 한다. 진법 \delta가 주어지지 않았을 때, **칸토어 표준형**이란 \omega진 칸토어 표준형을 뜻한다.24, Theorem 2.26 이를 재귀적으로 사용하여, 일부 순서수들을 양의 정수 및 기호 \omega만으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 다음과 같다. :\omega^{\omega^25+\omega^3+\omega+2}+\omega^{\omega^8+\omega^2}+\omega^034 이와 같이 나타낼 수 있는 순서수는 \epsilon_0 이하이다. 여기서 순서수 \epsilon_0는 다음과 같다. :\epsilon_0=\min\\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha=\omega^\alpha\\}= \sup\\{\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\dots\\}= \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot 즉, \epsilon_0의 \omega진 칸토어 표준형은 \epsilon_0=\omega^{\epsilon_0}이므로 이는 자연수와 \omega만으로 나타낼 수 없다.
## 짝순서수와 홀순서수
모든 순서수는 **짝순서수**(-順序數, even ordinal) 또는 **홀순서수**(-順序數, odd ordinal)로 분류된다. 이는 자연수가 짝수와 홀수로 분류되는 것의 일반화이다. 이 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다. 순서수 \alpha에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 **짝순서수**라고 한다. * \alpha가 극한 순서수이거나, 만약 \alpha=\beta+1이라면 \beta는 짝순서수가 아니다. (이는 재귀적인 정의이다.) * 만약 \alpha=\lambda+n이며, \lambda가 극한 순서수, n이 유한 순서수라면, n은 짝수이다.언어=en296, §9.1 * \alpha=2\beta인 순서수 \beta가 존재한다. * \alpha=2\beta+1인 순서수 \beta가 존재하지 않는다. 짝순서수가 아닌 순서수를 **홀순서수**라고 한다.
# 응용
순서수의 개념은 초한 귀납법을 사용할 때 필요하다. 이를 사용하여, 무한한 구조를 귀납적으로 손쉽게 정의할 수 있다. 예를 들어, 측도론에서 보렐 집합들은 어떤 기저로부터 생성되는 ‘생일’에 대응하는 순서수로 분류된다. 증명 이론에서는 주어진 수학 이론의 강력한 정도를 순서수로 측정하며, 이 이론을 **순서수 분석**이라고 한다. 순서수가 더 큰 이론은 순서수가 더 작은 이론의 무모순성을 증명할 수 있다.
# 역사
게오르크 칸토어가 1883년에 도입하였다.언어=de 원래 순서수의 동치류로서의 정의는 고유 모임이므로 집합론적인 결함이 있었으며, 1923년에 존 폰 노이만이 오늘날 쓰이는 정의를 도입하였다.