아이디얼 유군

대수적 수론과 가환대수학에서 **아이디얼 유군**(ideal類群, ideal class group) 또는 **유군**(類群, class group)은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정하는 아벨 군이다. 아이디얼 유군이 자명군이 아니라면 유일 인수 분해가 성립하지 않는다.
# 정의

## 아이디얼을 통한 정의
정역 R의 0이 아닌 아이디얼들의 집합 위에 다음과 같은 동치관계를 부여하자. :\mathfrak a\sim\mathfrak b\iff\exists r,s\in R\setminus\\{0\\}\colon(r)\mathfrak a=(s)\mathfrak b 여기서 (r)는 r로 생성되는 주 아이디얼이다. 이 관계는 동치 관계임을 보일 수 있으며, 또한 아이디얼의 곱셈과 호환된다. 즉, 이에 따른 동치류 집합은 가환 모노이드를 이룬다. 만약 R가 데데킨트 정역이라면 이 가환 모노이드는 아벨 군을 이룸을 보일 수 있으며, 이 아벨 군을 R의 **아이디얼 유군**이라고 하고, 아이디얼 유군의 크기를 **유수**(類數, class number)라고 한다.
## 분수 아이디얼을 통한 정의
아이디얼 유군은 분수 아이디얼로도 정의할 수 있다. 정역 R가 주어졌을 때, 다음과 같은 가환 모노이드들을 정의할 수 있다. * R의 분수 아이디얼의 곱셈에 대한 가환 모노이드 \operatorname{FracIdeal}(R). 및 그 가역원군 \operatorname{FracIdeal}(R)^\times. 만약 R가 데데킨트 정역이라면 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역원이다 (\operatorname{FracIdeal}(R)^\times=\operatorname{FracIdeal}(R)\setminus\\{0\\}). * R의 주 분수 아이디얼의 곱셈에 대한 가환 모노이드 \operatorname{PrFracIdeal}(R)=\\{Rr/s\colon r/s\in\operatorname{Frac}R\\} 및 그 가역원군 \operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times=\\{Rr/s\colon r/s\in(\operatorname{Frac}R)^\times\\}. (여기서 \operatorname{Frac}R는 분수체이다.) 이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다. :\begin{matrix} &\operatorname{FracIdeal}(R)^\times&\subsetneq&\operatorname{FracIdeal}(R)\\\ &\cup&&\cup\\\ \operatorname{PrFracIdeal}(R)\cap\operatorname{FracIdeal}(R)^\times=&\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times&\subsetneq&\operatorname{PrFracIdeal}(R) \end{matrix} 그렇다면 다음과 같은 몫군을 R의 **아이디얼 유군**이라고 한다. :\operatorname{Cl}(R)=\frac{\operatorname{FracIdeal}(R)^\times}{\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times} R의 분수체 \operatorname{Frac}R가 형식적 실체라고 하자. R의 원소 r\in R 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 **완전히 양의 원소**(totally positive element)라고 한다. * 임의의 순서체 (K,\le)로의 매장 \iota\colon\operatorname{Frac}R\hookrightarrow K에 대하여, \iota(r)>0이다. 그렇다면, 다음과 같은 추가 아벨 군을 정의할 수 있다. * R의 완전히 양의 주 분수 아이디얼(totally positive principal fractional ideal)의 아벨 군 \operatorname{PrFracIdeal}_+(K)\subseteq\operatorname{PrFracIdeal}(K)^\times. 이는 완전히 양의 원소로 생성되는 주 아이디얼들의 곱셈에 대한 아벨 군이다. 그렇다면, 다음과 같은 몫군을 R의 **좁은 유군**(narrow class group)이라고 한다. :\operatorname{Cl}_+(R)=\frac{\operatorname{FracIdeal}(R)^\times}{\operatorname{PrFracIdeal}_+(R)^\times}
# 성질
대수적 수체의 대수적 정수환의 아이디얼 유군은 유한 아벨 군이다. (대수적 정수환이 아닌 데데킨트 정역의 경우, 아이디얼 유군이 무한 아벨 군일 수 있다.) 아이디얼 유군은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 즉, 데데킨트 정역 R의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다. * R는 유일 인수 분해 정역이다. * R는 주 아이디얼 정역이다. * R의 아이디얼 유군이 자명군이다. * R의 유수가 1이다.
## 2항 이차 형식과의 관계
제곱 인수가 없는 정수 d0에 대하여, 다음 두 집합 사이의 표준적인 전단사 함수가 존재한다. * 이차 수체의 대수적 정수환 \mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}의 좁은 유군 \operatorname{Cl}_+(\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}) * \mathbb Q(\sqrt d)의 판별식과 같은 판별식 b^2-4ac을 갖는 정수 계수 2항 이차 형식 ax^2+bxy+cy^2들의 집합 따라서, 이 경우 정수 계수 2항 이차 형식들의 집합은 자연스럽게 아벨 군의 구조를 가진다. 구체적으로, \mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}의 모든 0이 아닌 분수 아이디얼 \mathfrak I\in\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)})은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.url-status=Appendix A :\mathfrak I=\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2\qquad\left(\omega_1,\omega_2\in\mathbb Q(\sqrt d),\qquad\frac{\bar\omega_1\omega_2-\omega_1\bar\omega_2}{\sqrt d}>0\right) (여기서 \overline{a+b\sqrt d}=a-b\sqrt d이다.) 그렇다면, 위와 같은 꼴의 분수 아이디얼 \mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2에 대응하는 정수 계수 2항 이차 형식은 다음과 같다. :Q_{\omega_1,\omega_2}(x,y)=\frac{(\omega_1x-\omega_2y)(\bar\omega_1x-\bar\omega_2y)}{\operatorname N(\mathfrak I)} 여기서 :\operatorname N(\mathfrak I)=\left|\frac{\omega_1\bar\omega_2-\bar\omega_1\omega_2}{\sqrt d}\right|>0 는 분수 아이디얼의 절대 아이디얼 노름(absolute ideal norm)이다. 즉, 분수 아이디얼 \mathfrak I=\mathfrak a/r에 대하여, 다음과 같다. :\operatorname N(\mathfrak a/r)=\frac{|\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}/\mathfrak a|}{|\operatorname N_{\mathbb Q(\sqrt d)/\mathbb Q}(r)|}\in\mathbb Q^+\qquad(\mathfrak a\subseteq R,\;r\in R) (여기서 분자는 몫환의 크기이며, 분모는 체 노름의 절댓값이다.)
# 예
일반적으로 아이디얼 유군은 매우 복잡한 패턴을 보이며, 많은 경우 계산하기 힘들다. 계산된 아이디얼 유군 또는 유수들의 예를 다음 표에 수록하였다. :{| class="wikitable" |- ! 수체 !! 유군 !! 유수 |- | \mathbb Q || 1 || 1 |- | \mathbb Q[\sqrt{-d}], d=1,2,3,7,11,19,43,67,163 || 1 || 1 |- | \mathbb Q[\sqrt{-5}] || \mathbb Z/2\mathbb Z || 2 |- | \mathbb Q[\sqrt d], d=2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17,\dots A003172 || 1 || 1 |- | \mathbb Q(\zeta_n), n=1,\dots,21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 A005848 || 1 || 1 |- | \mathbb Q(\zeta_{23}) || \mathbb Z/3\mathbb Z || 3 |- | \mathbb Q(\zeta_{29})언어=en || (\mathbb Z/2\mathbb Z)^3|| 8 |- | \mathbb Q(\zeta_{31}) || || 9 |- | \mathbb Q(\zeta_{68}) || \mathbb Z/8\mathbb Z || 8 |- | \mathbb Q[x]/(x^3-x^2-2x+1) || 1 || 1 |- | \mathbb Q[x]/(x^3-3x-1) || 1 || 1 |- | \mathbb Q[x]/(x^3-x^2-3x+1) || 1 || 1 |} 아이디얼 유군이 자명한 허수 이차 수체의 수는 유한하다. \mathbb Q[\sqrt{-d}]에서 가능한 d는 총 9개이며, 다음과 같다. :*d* = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 A003173 이 수들을 헤그너 수라고 한다. 이들은 카를 프리드리히 가우스가 처음 나열하였고, 쿠르트 헤그너(Kurt Heegner)가 이 목록이 전부라는 것을 증명하였다. 실수 이차 수체 \mathbb Q[\sqrt d] 가운데 유수가 1인 경우는 더 많으며, 다음과 같다.언어=en37 :*d* = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, … A003172 아이디얼 유군이 자명한 원분체의 수는 유한하다. \mathbb Q[\zeta_n]이 유한한 경우는 다음과 같다. :*n* = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 A005848 여기서 만약 n\equiv2\pmod4라면 \mathbb Q[\zeta_n]=\mathbb Q[\zeta_{n/2}]이므로, 이러한 경우는 생략하였다. 소수 계수의 원분체 \mathbb Q[\zeta_p]의 유수는 A005848에 의하여 주어진다.