순간자

양자역학과 양자장론에서 **순간자**(瞬間子, 인스턴톤) 또는 **잠깐알**은 윅 회전을 가한 이론의, 유한한 작용을 가진 고전해이다.bibcode=1988assy.book.....CISBN=0-444-87047-4언어=en 이는 윅 회전을 한 유클리드 시공간에서 국소화되어 있어, 유클리드 시공간에서 입자처럼 간주할 수 있다. (물론 이는 민코프스키 시공간에서는 성립하지 않는다.) 순간자의 존재는 섭동 이론에는 나타나지 않는 터널 효과를 나타낸다. WKB 근사에 의한 터널 효과를 다룰 때나, 양-밀스 이론(양자 색역학)에 등장한다. 초대칭 게이지 이론과도 관련이 있다.
# 역사
알렉산드르 벨라빈(Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알베르트 시바르츠, 유리 스테파노비치 튭킨(Юрий Степанович Тюпкин)이 순간자수가 1인 순간자를 최초로 발견하였다.언어=en 이들은 유사입자(pseudoparticle)라는 이름을 사용하였다.271 헤라르뒤스 엇호프트가 이러한 해들을 어떤 시간 간격에만 존재했다가 사라진다는 의미로 "순간자"(instanton)라고 이름붙였다.271
# 양자역학에서의 순간자
양자역학에서, 순간자는 두 고전적 안정 상태 사이의 터널 효과를 나타낸다. 예를 들어, 어떤 퍼텐셜 V(x)가 두 개의 극소점 a,b를 갖는다고 하고, V(a)=V(b)=0으로 놓자. 고전적으로는 이 두 점 모두 안정적인 상태지만, 양자역학적으로 두 상태 사이 터널 효과가 일어날 수 있다. WKB 근사에 따라, 질량이 m이며 에너지가 E인 입자가 a에서 b로 터널 효과를 겪을 확률 진폭은 다음에 비례한다. :\langle b|a\rangle\sim\exp\left(-\frac1\hbar\int_a^b\sqrt{2mV(x)}\,dx\right) 이는 순간자를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. 윅 회전을 통해, 다음과 같은 유클리드 작용을 정의하자. :S_E=\int\left(\frac12m\dot x^2+V(x)\right)\,dt 즉, 이는 퍼텐셜 -V(x) 속에서 움직이는 입자를 나타낸다. 이 경우, 에너지 보존에 따라 (총 에너지가 0인 경우) :\frac12m\dot x^2-V(x)=0 다. a에서 b로 가는, 유클리드 작용의 해를 **순간자**라고 하며, 그 작용은 :S_E=\int m\dot x^2\,dt=\int_a^bm\dot x\,dx=\int_a^b\sqrt{2mV(x)}\,dx 이다. 따라서, :\langle b|a\rangle\sim\exp(-S_E/\hbar) 임을 알 수 있다. 즉, 터널 효과의 확률 진폭은 순간자의 작용 S_E로 계산된다.
# 양-밀스 이론의 순간자
양-밀스 순간자 순간자의 가장 대표적인 예는 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 이론에서 작용을 국소적으로 최소화시키는 상태들이다. 이들은 **보고몰니-프라사드-소머필드 부등식**(Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound, BPS 부등식)을 충족시킨다.쪽=449issn=0031-9007 4차원 유클리드 공간 위에, 게이지 군 G를 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 그 작용은 다음과 같다. :S=\frac1{2e^2}\int_{\mathbb R^4}\operatorname{tr} F^2\,d^4x 여기서 :F_{ij}=t^aF^a_{ij}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+i[A_\mu,A_\nu] 는 게이지 장세기이고, t^a는 리 대수 \mathfrak g의 기저이다. 리 대수의 기저는 :\operatorname{tr}(t^at^b)=\frac12t^at^b :[t^a,t^b]=if^{abc}t^c 가 되게 규격화한다. 이 이론에서, 작용이 유한한 상태들을 생각하자. 작용이 유한하므로, 원점에서 무한히 먼 곳\Vert x\Vert\to\infty에서는 F\to 0이어야 한다. 그러나 이 경우 게이지 퍼텐셜 A_\mu는 위상수학적으로 자명하지 않을 수 있다. 즉, :A_\mu(x)=g(x)^{-1}\partial_\mu g(x) (g(x)\in G) 의 꼴의 퍼텐셜은 장세기가 0이다. 4차원 유클리드 공간 \mathbb R^4의 무한대는 S^3이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속함수 :A\colon S^3\to G 를 정의한다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 물리적으로 같은 상태를 나타내지만, 호모토픽하지 않은 상태들은 서로 다른 상태를 나타낸다. 따라서, 유한 작용 상태들은 게이지 군 G의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다. :[A]\in\pi_3(G) 흔히 쓰이는 게이지 군의 경우, :\pi_3(\operatorname{SU}(N))=\mathbb Z (N\ge 2) :\pi_3(\operatorname{SO}(N))=\mathbb Z (N=3 또는 N>5) 이다. 이 경우, 무한대에서의 게이지 퍼텐셜의 호모토피류는 정수에 의하여 분류된다. 이 수를 **순간자수**(instanton number)라고 하며, 대략 순간자의 수를 나타낸다. 만약 순간자수가 음수라면, 이는 반순간자(anti-instanton)가 존재함을 뜻한다. SU(N)의 경우, 순간자수 k는 다음과 같다. :k=\frac1{24\pi^2}\int_{\Vert x\Vert=\infty}d^3x\,\hat n_\mu\operatorname{tr}\left(A_\nu A_\rho A_\sigma)\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\right) :A_\mu=(\partial_\mu g)g^{-1} 여기서 \hat n^\mu는 S^3의 단위 수직 벡터이며, \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}는 (유클리드 계량 부호수) 레비치비타 기호다. 4차원 리만 다양체 M에서, 2차 미분형식들은 호지 쌍대에 따라 :*\colon\Omega^2(M)\to\Omega^2(M) 가 존재한다. 또한, 유클리드 계량 부호수에서는 2차 미분형식에 대하여 :*^2=1 이므로, 호지 쌍대 연산자 *의 고윳값은 \pm1이다. 따라서, 2차 미분형식들의 공간은 고윳값에 따라 :\Omega^2(M)=\Omega^2_+(M)\oplus\Omega^2_-(M) 으로 분해된다. 여기서 \Omega^2_+(M)의 원소는 **자기쌍대**(self-dual), \Omega^2_-(M)의 원소는 **반자기쌍대**(anti-self-dual)라고 한다. 구체적으로, 2차 미분형식 F가 주어지면, :F=F_++F_- :*F_\pm=\pm F_\pm :F_\pm=(F\pm *F)/2 으로 분해할 수 있다. 또한, (리 대수 값을 갖는) 2차 미분형식들의 공간에서는 다음과 같은 내적 \langle,\rangle이 존재한다. :\langle A,B\rangle=\frac1{2e^2}\int_Md^4x\,\operatorname{tr}(A_{\mu\nu}B^{\mu\nu}) 이에 따라 양-밀스 작용은 :S=\langle F,F\rangle 가 된다. 장세기를 자기쌍대 및 반자기쌍대 성분으로 분해하자. :F=F_++F_- 그렇다면 :S=\langle F,F\rangle=\langle F_+,F_+\rangle+\langle F_-,F_-\rangle\ge|\langle F_+,F_+\rangle-\langle F_-,F_-\rangle|=|\langle F,*F\rangle|=\frac{8\pi^2}{e^2}|k| 이다. 여기서 k는 순간자수이다. 따라서, 주어진 순간자수 k를 가진 상태의 작용은 다음과 같은 **BPS 부등식**을 만족시킨다. :S\ge\frac{8\pi^2}{e^2}|k| 이 부등식을 등식으로 만드는 게이지 퍼텐셜들을 **순간자**라고 한다. 이들은 :F_+=0 또는 F_-=0, 즉 :F_{\mu\nu}=\pm*F_{\mu\nu} 를 만족시킨다. 이런 상태들은 자동적으로 오일러-라그랑주 방정식 :D_\mu F^{\mu\nu}=D_\mu(*F)^{\mu\nu}=0 을 만족시키므로, 작용을 최소화시킴을 알 수 있다.