파울리 행렬

수학과 물리학에서 **파울리 행렬**(Pauli matrix)은 3차원 회전군의 생성원인 세 개의 2×2 복소 행렬이다. 기호는 \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3로, 다음과 같다. : \sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\\ 1&0 \end{pmatrix} : \sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\\ i&0 \end{pmatrix} : \sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\\ 0&-1 \end{pmatrix}. 파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다. 수학적으로 회전 대칭의 리 대수인 \mathfrak{su}_2의 생성원이며, 양자역학에서 스핀이나 아이소스핀 등을 표현하는 데 쓰인다. 볼프강 파울리가 제이만 효과를 연구하기 위하여 1925년에 도입하였다.언어=de
# 수학적 성질
파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다. : \sigma_i^\dagger = \sigma_i : 에르미트 행렬 : \sigma_i^\dagger \sigma_i = I : 유니타리 행렬 여기서 I는 단위행렬이다. :{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" |- | : \sigma_1^\dagger = \begin{pmatrix} 0&\bar{1}\\\ \bar{1}&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\\ 1&0 \end{pmatrix} = \sigma_1 : \sigma_2^\dagger = \begin{pmatrix} 0&\bar{i}\\\ \bar{-i}&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&-i\\\ i&0 \end{pmatrix} =\sigma_2 : \sigma_3^\dagger = \begin{pmatrix} \bar{1}&0\\\ 0&\bar{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\\ 0&-1 \end{pmatrix} =\sigma_3 |} :{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" |- | 파울리 행렬은 에르미트 행렬이기도 하므로, : \sigma_i^\dagger = \sigma_i 이다. 따라서 파울리 행렬이 유니타리 행렬이라는 것은 다음과 동치이다. : \sigma_i^2 = I 위의 증명은 아래와 같다. : \sigma_1^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\\ 1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1 & 0+0\\\ 0+0 & 1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} =I : \sigma_2^2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\\ i&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-i\\\ i&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+(-i)\times i & 0 + 0 \\\ 0 +0 &i; \times (-i) + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\ 0 &1 \end{pmatrix} = I : \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\\ 0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\\ 0&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 0+0\\\ 0+0 & 0+(-1)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} =I |} 파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다. :\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = I 파울리 행렬의 행렬식과 대각합의 값은 다음과 같다. :\begin{matrix} \det (\sigma_i) &=& -1 & \\\\[1ex] \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{for}\ i = 1, 2, 3 \end{matrix} 이로부터, 파울리행렬의 고윳값은 ±1 임을 알 수 있다. 파울리 행렬은 다음과 같은 교환관계와 반대바꿈관계를 가진다. :\begin{matrix} [\sigma_a, \sigma_b] &=& 2 i \sum_c \varepsilon_{a b c}\,\sigma_c \\\\[1ex] \\{\sigma_a, \sigma_b\\} &=& 2 \delta_{a b} \cdot I \end{matrix} 여기서 *ε**'abc*는 레비치비타 기호, *δ**'ab*는 크로네커 델타이며, [\sigma_a, \sigma_b]는 리 괄호이다. 위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다. :\sigma_a \sigma_b = \delta_{ab} \cdot I + i \sum_c \varepsilon_{abc} \sigma_c \,. 예를 들어, 몇몇 값을 구해보면 :\begin{matrix} \sigma_1\sigma_2 &=& i\sigma_3,\\\ \sigma_2\sigma_3 &=& i\sigma_1,\\\ \sigma_2\sigma_1 &=& -i\sigma_3,\\\ \sigma_1\sigma_1 &=& I.\\\ \end{matrix} 이다. 또한, 위 행렬 3개를 한번에 벡터로 모아 **파울리 벡터**(Pauli vector)로 사용하기도 하는데, 자세한 정의는 다음과 같다. :\mathbf{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \, 교환관계식을 이용하면 파울리 벡터와 교환법칙이 성립하는 임의의 벡터 **a**와 **b**에 대해 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있다. :(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{\sigma}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + i \mathbf{\sigma} \cdot ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ) \quad \quad \quad \quad \, :{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" |- | :{| |(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{\sigma}) \, | = a_i \sigma_i b_j \sigma_j \, |- | | = a_i b_j \sigma_i \sigma_j \, |- | | = a_i b_j \left( \delta_{ij} \cdot I+ i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \right) \, |- | | = a_i b_j \delta_{ij} \cdot I+ i \sigma_k \varepsilon_{ijk} a_i b_j \, |- | | = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} )\, |} |} 또한, 임의의 벡터 **a**와 그 방향 단위벡터 \textstyle \hat{n}, 그 벡터의 길이 *a*에 대해 아래의 관계가 성립한다. :e^{i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \mathbf{\sigma}) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad :{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" |- | 먼저 임의의 짝수에 대한 거듭제곱에 대해 :(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \, 이 성립함을 알 수 있지만, 홀수에 대한 거듭제곱에 대해서는 :(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \, 임을 알 수 있다. 이 두 사실과, 지수함수와 사인, 코사인 함수와의 관계 :{| |e^{ix} \, |= \sum_{n=0}^\infty{\frac{i^n x^n}{n! \, |- | |= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n{2n! + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n+1{(2n+1)! \, |} 를 이용하고 x에 :x = a (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \, 을 대입하면, ::= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n{2n! + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n+1{(2n+1)! \, ::= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n{2n! + i (\hat{n}\cdot \vec{\sigma}) \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1{(2n+1)! \, 을 얻는다. 여기서 왼쪽의 합은 코사인, 오른쪽의 합은 사인 함수의 급수 형태임을 알 수 있다. 따라서, :e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \, 이다. |}
# 리 대수의 발생원
파울리 행렬은 리 대수 \mathfrak{su}(2) (또는 \mathfrak a_1)의 발생원이다, 즉 : [\frac{\sigma^i}{2},\frac{\sigma^j}{2}] = \epsilon^{ijk} \cdot \frac{\sigma^k}{2} 이므로, 그 구조 상수는 \epsilon^{ijk}이다.
# 클리퍼드 대수의 발생원
파울리 행렬은 클리퍼드 대수의 발생원이며, 다음과 같은 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족한다 : \\{\sigma^i,\sigma^j \\} = 2\delta^{ij} 따라서 단위행렬과 함께 2x2의 에르미트 행렬의 기저가 된다. 일반적인 *n*차원의 클리퍼드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 언제나 표현할 수 있다.