가측 함수

측도론에서 **가측 함수**(可測函數, measurable function)는 원상이 가측성을 보존하는 함수이다.
# 정의
두 가측 공간 (X,\mathcal F), (Y,\mathcal G) 사이의 **가측 함수** f\colon X\to Y는 다음 성질을 만족시키는 함수이다. * 모든 S\in\mathcal G에 대하여, f^{-1}(S)\in\mathcal F 만약 공역이 유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역이 유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수 \mathbb R\to\mathbb R"는 보통 (\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))을 의미한다.
# 성질
두 가측 함수 :f\colon(X_1,\mathcal F_1)\to(X_2,\mathcal F_2) :g\colon(X_2,\mathcal F_2)\to(X_3,\mathcal F_3) 가 주어졌을 때, 그 합성 함수 :g\circ f\colon(X_1,\mathcal F_1)\to(X_3,\mathcal F_3) 역시 가측 함수이다.
## 보렐 가측 함수
X와 Y가 보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다. * X와 Y 사이의 모든 연속 함수는 가측 함수이다. * 반대로, 루진의 정리에 따르면, Y가 제2 가산 공간이며 X에 라돈 측도가 부여되었다면, 모든 가측 함수 f\colon X\to Y는 X의 (라돈 측도에 대하여) 거의 어디서나 연속 함수이다. (X,\mathcal F)가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다. * 두 가측 함수 f,g\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))에 대하여, f+g 및 f\cdot g는 가측 함수이다. * 가측 함수의 열 f_1,f_2,\dots\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))의 점별 극한은 가측 함수이다. * 모든 르베그 적분 가능 함수 X\to\mathbb R는 가측 함수이다.
## 르베그 가측 함수
임의의 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R 및 g\colon\mathbb R\to[0,\infty)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * f\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))는 가측 함수이다. * 다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다. ::\operatorname{mid}\\{-g,f,g\\}\colon x\mapsto\begin{cases} g(x)&f;(x)\ge g(x)\\\ f(x)&-g(x)\le f(x)\le g(x)\\\ -g(x)&f;(x)\le-g(x) \end{cases}
## 바나흐 공간 값 가측 함수
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 가측 공간 (X,\mathcal F) * \mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\} * (표준적인 위상과 보렐 시그마 대수를 갖춘) \mathbb K-바나흐 공간 Y 그렇다면, X\to Y **단순 함수**는 다음과 같은 꼴의 함수 f\colon X\to Y이다. :f=\sum_{i=1}^ky_i1_{S_i} :y_1,\dots,y_k\in Y :S_1,\dots,S_k\in\mathcal F :k\in\mathbb N (여기서 1_{S_i}는 지시 함수이다.) 이제, 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 세 조건을 정의하자. * (**강가측 함수**, 强可測函數, strongly measurable function) 단순 함수의 열의 점별 극한이다. * (**약가측 함수**, 弱可測函數, weakly measurable function) 임의의 연속 쌍대 공간 원소 \phi\in Y^*에 대하여, \phi\circ f\colon(X,\mathcal B(X))\to(\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))는 가측 함수이다. 이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, **페티스 가측성 정리**(Pettis可測性定理, Pettis measurability theorem)에 따르면, 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.lccn=20169553295, Theorem 1.1.6 * 강가측 함수이다. * 약가측 함수이며, f(X)\subset\widetilde Y인 분해 가능 부분 공간 \widetilde Y\subset Y가 존재한다. 특히, 만약 Y가 분해 가능 바나흐 공간일 경우, f\colon X\to Y에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 강가측 함수이다. * 가측 함수이다. * 약가측 함수이다. 가측 공간 (X,\mathcal F) 및 \mathbb K\in\\{\mathbb R,\mathbb C\\} 및 두 \mathbb K-바나흐 공간 Y, Z가 주어졌다고 하자. 만약 f\colon X\to Y가 강가측 함수이며, g\colon Y\to Z가 가측 함수라면, g\circ f는 강가측 함수이다.7, Corollary 1.1.11
# 예
정의에 따르면 확률 변수는 확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다. 모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 A\subset\mathbb R가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수 1_A는 가측 함수가 아니다.
## 강가측 함수가 아닌 가측 함수
분해 불가능 \mathbb K-바나흐 공간 X 위의 항등 함수 :f\colon x\mapsto x 를 생각하자. 이는 연속 함수이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나 f(X)=X가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라 f는 강가측 함수가 아니다.4, Example 1.1.5
## 가측 함수가 아닌 약가측 함수
실수의 셈측도 공간 (\mathbb R,\mathcal P(\mathbb R),\mu) 위의 르베그 공간 \ell^2(\mathbb R;\mathbb K)를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자. :f\colon\mathbb R\to\ell^2(\mathbb R;\mathbb K) :f(x)(t)= \begin{cases} 1 & t=x \\\ 0 & t\ne x \end{cases} 그렇다면, f\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\ell^2(\mathbb R;\mathbb K),\mathcal B(\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)))는 약가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 우선, 임의의 x\in\mathbb R에 대하여, :\langle f,f(x)\rangle=f(x)\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K)) 는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합 A\subset\mathbb R에 대하여, :B=\bigcup_{x\in A}\operatorname{ball}_{\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)}(1,f(x))\subset\ell^2(\mathbb R;\mathbb K) 는 열린집합이므로 가측 집합이지만, 그 원상 :f^{-1}(B)=A 는 가측 집합이 아니다.