이차 체

이차 수체 **이차 체**(Quadratic sieve, QS)는 어떤 큰 자연수 N을 소인수분해하기 위해 사용되는 소인수 분해 알고리즘으로, 양자컴퓨터가 상용화되었을 때 기준으로는 현재까지 발견된 알고리즘 중에서 3번째(쇼어 알고리즘, 수체 체 (General number field sieve))로 빠른 알고리즘이며 (양자컴퓨터를 제외하면 2번째), 수체 체의 기본이 되어 수체 체보다 더 간단한 알고리즘이다.
# 기본
이 알고리즘은 x^2=y^2(mod \ n)이고, (x+y,n)와 (x-y,n)이 1이나 n과 같지 않다면, n=(x+y,n)*(x-y,n) 인 것을 개선한 것이다. :n에 대한 소인수 분해 시간은 다음과 같다. :O\left(e^\sqrt{\log n \log\log n}\right)=L_n\left[{1 \over2},1\right]
# 알고리즘
이 알고리즘은 다음과 같이 진행된다. y(x)=\left(\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor+x\right)^2-n 인 함수 y(x)를 정의한다. 이때, 이 함수는 달라질 수도 있다. 그 다음, x^2 \ \equiv\ p \pmod{n}인 소수 *p* (제곱잉여)를 \lceil\ln(\lceil\sqrt{x}\rceil^2-x)\rceil개 모은다. 그 다음, x^2 \ \equiv\ n \pmod{p}를 만족하는 자연수 *x*를 구한다. 그 다음, 행렬이나 방정식을 이용하여 완전제곱수가 되게 하는 곱을 구한다. 그리고 그것들을 곱해 완전제곱꼴이 되도록 한 후 gcd(x+y, n), gcd(x-y, n)을 구하면 된다.
# 예시
1\. N=667을 소인수분해하고 싶다고 하자. 그러면, 우리는 p를 \lceil\ln(\lceil \sqrt{667} \rceil^{2}-667)\rceil=3개 구해야 한다. 여기서 p는 \left ( \frac{N}{p} \right )=1라는 조건을 만족하는 소수이다. 여기서 식의 좌변의 기호는 야코비 기호이며, 이 경우에 p의 값은 2, 3, 7이 된다. 여기서 N이 홀수이면 p에는 2가 반드시 포함된다. 2\. 이차 체의 범위를 정한다. 667처럼 작은 수를 소인수분해하는 경우에는 위-아래로 8개의 수 정도만 고려해도 충분하다. 즉, 여기서 n의 값의 범위는 밑의 표에 나오는 17부터 33까지이며, 이 범위는 \lfloor \sqrt{667} \rfloor \pm8=17, 33에 의해서 나온 것이다. 참고로 이 범위는 수의 크기가 커짐에 따라 많이 달라지게 된다. 3\. 2번에서 구한 범위 내에 있는 정수에 대해 (정수의 값)2-N의 값이 p의 값들로만 완전히 소인수분해되는지, 즉 (정수의 값)2-N이 p-smooth인지 확인한다. 이 부분에서 p의 값들로만 완전히 소인수분해되는 정수들을 모은다. 실제로는 이 부분에서 (정수)2-N을 완전히 소인수분해할 필요는 없고 2, 3, 7로 계속 나누어 보아 더 이상 나누어떨어지지 않을 때까지 나누면 된다. 만약 계속 나눠 1이 된 경우 이 수는 p의 값들로 완전히 소인수분해되는 것이고, 더 이상 나눌 수 없는데 이 값이 1보다 클 경우 이 수는 p의 값으로 완전히 소인수분해되지 않는 것이다. 이 경우, 이차 체는 다음과 같이 진행된다. {| class="wikitable" |+이차 체 !xr !n !n2-N (n2-667) !2로 나누어지는 횟수 !3으로 나누어지는 횟수 !7로 나누어지는 횟수 !2, 3, 7로 완전히 소인수분해가 되는가? |- |x1 |17 | -378 |1 |3 |1 |네 |- |x2 |18 | -343 |0 |0 |3 |네 |- |x3 |19 | -306 |1 |2 |0 |아니오 |- |x4 |20 | -267 |0 |1 |0 |아니오 |- |x5 |21 | -226 |1 |0 |0 |아니오 |- |x6 |22 | -183 |0 |1 |0 |아니오 |- |x7 |23 | -138 |1 |1 |0 |아니오 |- |x8 |24 | -91 |0 |0 |1 |아니오 |- |x9 |25 | -42 |1 |1 |1 |네 |- |x10 |26 |9 |0 |2 |0 |네 |- |x11 |27 |62 |1 |0 |0 |아니오 |- |x12 |28 |117 |0 |2 |0 |아니오 |- |x13 |29 |174 |1 |1 |0 |아니오 |- |x14 |30 |233 |0 |0 |0 |아니오 |- |x15 |31 |294 |1 |1 |2 |네 |- |x16 |32 |357 |0 |1 |1 |아니오 |- |x17 |33 |422 |1 |0 |0 |아니오 |} 4\. 2, 3, 7로 완전히 소인수분해되는 수의 n값에 대해, p로 나누어지는 횟수들을 모은 행렬 (위에 나와 있는 부분 중 '네'라고 있는 부분만 뽑아 모은 행렬)을 만들고 그 행렬의 각 성분에 대하여 2로 나눈 나머지로 바꾼다. 여기서 2로 나눈 나머지를 구한 행렬을 전치한 행렬을 구한다. 이 예시의 경우에는, 행렬은\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\\ 0 & 0 & 3 \\\ 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 2 & 0 \\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}가 되며, 17은 (1, 3, 1)에, 18은 (0, 0, 3)에, ... 이런 식으로 대응한다. 이 행렬의 각 성분을 2로 나눈 나머지를 모은 행렬을 구하면 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}가 되고, 이 행렬을 전치하면 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}이 된다. 5\. 전치한 행렬과 곱하고 각 성분을 2로 나눈 나머지로 바꿨을 때 열이 하나밖에 없는 제로벡터가 나오도록 하는 행렬 **vT**를 구하고, 이 행렬 **vT**를 전치하여 행이 하나인 행렬 **v**를 구한다. 이 예시의 경우, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot v^{T}=\begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix} \pmod 2가 되고, 이때 행렬 v^{T}를 구하면 \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix}이 된다. (이 부분에서, 행렬 **vT**로는 여러 행렬이 가능할 수도 있다) 이제 이 행렬을 전치하면 v = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\ \end{pmatrix}이 된다. 6\. **v**의 성분들 중에 1인 곳들을 찾고, 그 부분에 대응하는 n의 값을 순서대로 각각 ar이라 한다. 이때, x=a_1a_2a_3\cdots a_r\pmod N, y= \sqrt {(a_1^2-N)\cdot(a_2^2-N)\cdots(a_r^2-N)} 이라는 공식을 이용해서 x와 y의 값을 구한다. 이 예시의 경우, x=a1=26이 되고, y=(a12-667)1/2=(262-667)1/2=3이 된다. 7\. 이때, x2≡y2 (mod N)이라는 관계식이 성립하게 된다. 따라서 N의 약수는 gcd(x-y, N), gcd(x+y, N)이 되며, N=gcd(x-y, N) ⋅ gcd(x+y, N)이 된다. 예시의 경우, N=667=gcd(26-3, 667) ⋅ gcd(26+3, 667)=23 ⋅ 29가 된다. 실제로 이렇게 작은 수를 소인수분해할 때에는 이차 체 알고리즘은 효율적이지 않다. 667처럼 작은 수의 경우에는 폴라드 로 알고리즘이나 직접 나누기, 또는 폴라드의 p-1 알고리즘을 더 많이 사용하며, 보통 이차 체는 50자리가 넘고 약수가 2개 있는 수를 소인수분해할 때 쓰인다.
# 활용
이차 체 알고리즘은 발견 당시에는 다른 알고리즘들에 비해서 매우 빠른 알고리즘이었기 때문에 큰 수를 소인수분해할 때 많이 쓰였으며, 요즘에는 렌스트라의 타원곡선 알고리즘 (ECM, Elliptic Curve Method)을 특정 크기 미만의 약수들을 모두 구하게 하여 약수가 2개밖에 없는 것이 확인되거나 2개가 될 때까지 나눈 후 이 알고리즘을 적용한다. 보통 두 약수의 크기가 비슷할 때 잘 작동하며, 100자리 이상의 정수를 소인수분해할 때에는 수체 체 (GNFS, General Number Field Sieve) 알고리즘을 더 많이 사용한다. 또한 RSA-129를 소인수분해할 때 이 알고리즘을 조금 더 확장하여 여러 개의 함수를 이용하는 (f(x)=x2-N 이외에 여러 함수를 사용한다) 다중 함수 이차 체 (MPQS, Multiple Polynomial Quadratic Sieve)를 사용하기도 했다.
# 구현
* C Quadratic Sieve – C 언어로 작성된 이차 체 알고리즘의 퍼블릭 도메인 구현. 2022년에 출시되었으며, 최대 330비트 숫자의 일괄 소인수분해를 지원하고 JSON 또는 CSV 형식으로 결과를 출력한다.