양자 논리

양자역학 논리학과 양자역학에서 **양자 논리**(量子論理, quantum logic)는 양자역학의 상태 공간의 대수적인 이론을 논리학적으로 해석하는 이론이다. 양자 논리는 고전 논리(불 대수)와 여러 성질들을 공유하지만, 고전 논리의 분배법칙이 양자 논리에서는 일반적으로 성립하지 않는다.
# 전개
양자 논리에서는 양자역학에서의 상태 공간인 힐베르트 공간에 대한 대상들을 논리적인 대상으로 해석한다. 우리가 상태 공간이 \mathcal H인 양자역학으로 기술되는 우주에 살고 있다고 하고, 우리 우주의 현재 상태가 |\psi\rangle\in\mathcal H라고 하자. (복소 위상은 임의로 정할 수 있다.) V\subset\mathcal H가 \mathcal H의 닫힌 부분 벡터 공간이라고 할 때, 이에 대한 사영 연산자 :\pi_V(V)=V :\pi_V(V^\perp)=\\{0\\} 를 정의할 수 있다. 사영 연산자 \pi_V는 고윳값이 0 또는 1인 에르미트 연산자이며, 따라서 (초선택 규칙을 무시하면) 관측할 수 있다. 그렇다면, 닫힌 부분공간 V를 "\pi_V를 관측하였을 때, 1을 얻을 것이다."라는 꼴의 명제로 해석할 수 있다. 주요 대응되는 대상은 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 힐베르트 공간 !! 논리학 |- | 닫힌 부분 벡터 공간 V || 명제 \phi |- | 힐베르트 공간 전체 \mathcal H || 참 \top |- | 0차원 부분공간 \\{0\\} || 거짓 \bot |- | 두 닫힌 부분공간의 합공간 V\oplus V' || 두 명제의 논리합 \phi\lor\phi' |- | 두 닫힌 부분공간의 교집합 V\cap V' || 두 명제의 논리곱 \phi\land\phi' |- | 닫힌 부분공간의 직교 여공간 V^\perp || 명제의 부정 \lnot\phi |- | 두 닫힌 부분집합의 일치 V=V' || 명제의 동치 \phi\iff\phi' |- | 두 닫힌 부분집합의 포함 관계 V\subseteq V' || 명제의 함의 \phi\implies\phi' |- | 두 닫힌 부분집합의 직교 관계 V\perp V' || 두 명제의 독립성 (고전 논리학에 대응하지 않음) |} 이 연산들에 대하여, 주어진 힐베르트 공간 \mathcal H의 닫힌 부분공간들은 격자의 구조를 가지며, 정확히 말하면 직교모듈러격자(orthomodular lattice)의 구조를 만족시킨다. 이 경우, 논리합(\lor)·논리곱(\land)·부정(\lnot) 연산자들이 양자 논리에서 만족시키는 공리들은 다음과 같다. * (논리곱의 결합법칙) \phi\land(\phi\land\psi)\iff(\phi\land\phi)\land\psi * (논리합의 결합법칙) \phi\lor(\phi\lor\psi)\iff(\phi\lor\phi)\lor\psi * (논리곱의 교환법칙) \phi\land\chi\iff\chi\land\phi * (논리합의 교환법칙) \phi\lor\chi\iff\chi\lor\phi * (이중 부정의 상쇄) \lnot\lnot\phi\iff\phi * (배중률) \top\iff\phi\lor\lnot\phi * (비모순율) \bot\iff\phi\land\lnot\phi * (드 모르간의 법칙) \lnot(\phi\land\chi)\iff\lnot\phi\lor\lnot\chi, \lnot(\phi\lor\chi)\iff\lnot\phi\land\lnot\chi * (논리곱의 흡수법칙) \top\land\phi\iff\phi, \bot\land\phi\iff\bot * (논리합의 흡수법칙) \top\lor\phi\iff\top, \bot\lor\phi\iff\phi 또한, 다음과 같은 추론법이 성립한다. 여기서 X\vdash Y는 X로부터 Y를 유추한다는 뜻이다. * (대우의 유추) \phi\implies\chi\vdash\lnot\chi\implies\lnot\phi * (직교모듈러성) \phi\implies\chi\vdash\phi\lor(\lnot\phi\land\chi)\iff\chi 여기서 함의 관계 \phi\implies\chi는 동치 관계를 사용해 \phi\lor\chi\iff\chi 또는 \phi\iff\phi\land\chi로 정의된다.
# 고전 논리와의 비교
고전 논리에서의 명제들은 불 대수를 이루며, 이는 직교모듈러 격자보다 더 강한 공리들을 만족시킨다. 고전 논리에서 성립하지만, 양자 논리에서 성립하지 않는 주된 공리는 분배법칙이다. 즉, 고전 논리에서는 다음 두 분배법칙이 성립한다. * (논리곱의 논리합에 대한 분배법칙) \phi\lor(\chi\land\psi)=(\phi\lor\chi)\land(\phi\lor\psi) * (논리합의 논리곱에 대한 분배법칙) \phi\land(\chi\lor\psi)=(\phi\land\chi)\lor(\phi\land\psi) 그러나 양자 논리에서는 두 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, :\phi=\operatorname{Span}\\{|1\rangle\\} :\chi=\operatorname{Span}\\{|1\rangle+|2\rangle\\} :\psi=\operatorname{Span}\\{|1\rangle-|2\rangle\\} 일 때, :\phi\land(\chi\lor\psi)=\phi\neq(\phi\land\chi)\lor(\phi\land\psi)=\bot :\phi\lor(\chi\land\psi)=\phi\ne(\phi\lor\chi)\land(\phi\lor\psi)=\top 이다. 다만, 서로 독립되는 명제들(대응되는 부분집합들이 모두 서로 직교 관계에 있는 경우)의 경우에는 분배법칙을 비롯한 고전 논리 전부가 성립한다.
# 예
양자 논리를 사용하여, 스핀과 같은 양자역학적 현상들을 논리학적으로 서술할 수 있다. 스핀이 ½인 페르미온은 임의의 방향의 스핀 성분을 측정할 때, 항상 +\hbar/2 또는 -\hbar/2를 얻는다. 이 입자의 힐베르트 공간은 :\mathcal H=\mathbb C^2=\operatorname{Span}\\{|1\rangle,|2\rangle\\} 이다. 이에 대하여, 다음과 같은 명제들을 정의하자. (이들은 파울리 행렬의 고유벡터들이다.) * \sigma_x: 스핀의 *x*성분이 +\hbar/2이다. 이 명제는 \operatorname{Span}\\{|1\rangle+|2\rangle\\}에 대응한다. * \sigma_y: 스핀의 *y*성분이 +\hbar/2이다. 이 명제는 \operatorname{Span}\\{|1\rangle+i|2\rangle\\}에 대응한다. * \sigma_z: 스핀의 *z*성분이 +\hbar/2이다. 이 명제는 \operatorname{Span}\\{|1\rangle\\}에 대응한다. 이들로부터 다음을 유추할 수 있다. \phi,\chi\in\\{\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z,\lnot\sigma_x,\lnot\sigma_y,\lnot\sigma_z\\}이며 \phi\ne\chi 및 \phi\ne\lnot\chi라고 하자. * \vdash\top\iff\phi\lor\chi. 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리합은 항상 참이다. * \vdash\bot\iff\phi\land\chi. 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리곱은 항상 거짓이다. * \nvdash\phi\implies\chi. 즉, 서로 다른 방향에 대한 두 명제는 서로를 함의하지 않는다. 물론, 이는 고전 논리에서는 불가능하다.
# 역사
개릿 버코프와 존 폰 노이만이 1936년에 도입하였다.언어=en 이후 힐러리 퍼트넘은 1969년 논문 〈논리학은 경험적인가?〉(Is logic empirical?)에서 고전 논리를 대신 양자 논리로 대체하여야 한다고 주장하였다.언어=en 재출판 언어=en