부풀리기

아핀 평면의 원점의 부풀리기. 회색 직선들은 아핀 평면의 원점을 지나는 직선들이며, 붉은 직선은 부풀리기로 추가된 예외적 곡선이다. 대수기하학에서 **부풀리기**(blowup)는 대수다양체나 스킴의 특이점을 해소하기 위하여 특이점을 특이점에 대한 사영 접평면으로 대체하는 과정이다.issn=0072-5285언어=en언어=en
# 정의

## 추상적 정의
스킴 X 위의 준연접 아이디얼 층 \mathcal I가 있다고 하자. 그렇다면, X의 \mathcal I에서의 **부풀리기**는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 스킴 \operatorname{Bl}_{\mathcal I}X * 스킴 사상 \pi\colon\operatorname{Bl}_{\mathcal I}X\to X. 또한, \pi^{-1}\mathcal I는 \operatorname{Bl}_{\mathcal I}X 위의 가역층이다. 이에 대응되는 유효 카르티에 인자를 \operatorname{Bl}_{\mathcal I}X의 **예외 인자**(例外因子, exceptional divisor)라고 한다. 만약 이 카르티에 인자가 베유 인자일 경우, 이는 \operatorname{Bl}_{\mathcal I}X의 특별한 부분 스킴으로 간주할 수 있다. 이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다. * 임의의 스킴 Y 및 스킴 사상 \varpi \colon Y \to X에 대하여, 만약 \varpi^{-1}\mathcal I가 Y 위의 가역층이라면, \varpi = \pi \circ f가 되는 스킴 사상 f\colon Y\to \operatorname{Bl}_{\mathcal I}X가 유일하게 존재한다. 이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 부풀리기는 만약 존재한다면 (유일한 동형 사상 아래) 유일하다.
## 구체적 정의
스킴 X 위의 준연접 아이디얼 층 \mathcal I가 있다고 하자. 그렇다면, X 위의 가환 등급환의 층 :\bigoplus_{n=0}^\infty \mathcal I^n = \mathcal O_X \oplus \mathcal I \oplus \mathcal I^2 \oplus \dotsb 을 정의할 수 있다. 이 경우, 이에 대한 상대 사영 스펙트럼(relative Proj construction)을 취할 수 있다. :\operatorname{Bl}_{\mathcal I}X=\operatorname{\underline{Proj\bigoplus_{n=0}^\infty\mathcal I^n 이는 정의에 따라 표준적인 스킴 사상 :\pi_X\colon\operatorname{Bl}_{\mathcal I}X \to X 을 갖는다. 이를 X의 \mathcal I에서의 **부풀리기**라고 한다. 이 구성이 추상적 정의의 보편 성질을 충족시킴을 보일 수 있다. 이 스킴 사상은 X \setminus \operatorname{supp}\mathcal I에서 동형 사상이다. 이 경우 아이디얼 층 :\bigoplus_{n=1}^\infty \mathcal I^n 으로 정의되는 카르티에 인자를 **예외 인자**라고 한다.
# 성질
X가 국소 뇌터 스킴이며, Y \hookrightarrow X와 Z \hookrightarrow X가 닫힌 몰입이라고 하자. (즉, 이들은 준연접 아이디얼 층으로 정의된다.) 그렇다면, 부풀리기 :\pi_X \colon \operatorname{Bl}_ZX \to X 를 정의할 수 있다. 이 경우, Y의 부풀리기는 다음과 같다. :\operatorname{Bl}_{Y\cap Z}X = \operatorname{cl}_{\operatorname{Bl}_ZX}(\pi^{-1}(Y \setminus Z))
# 예
\mathbb A_K^n이 체 K에 대한 n차원 아핀 공간이라고 하고, \mathbb P^{n-1}이 같은 체에 대한 n-1차원 사영 공간이라고 하자. \mathbb A^n의 좌표를 x_1,\dots,x_n이라고 하고, \mathbb P^{n-1}의 동차좌표를 y_1,\dots,y_n이라고 하자. 원점 0\in\mathbb A_K^n에 대한 부풀리기 \operatorname{Bl}_0\mathbb A_K^n\subseteq\mathbb A_K^n\times\mathbb P_K^{n-1}는 다음과 같은 아이디얼로 정의되는 부분 대수다양체이다. 이는 준사영 대수다양체 \mathbb A_K^n\times\mathbb P_K^{n-1}\subsetneq \mathbb P^{2n-1}_K의 닫힌 부분 대수다양체이므로, K에 대한 준사영 대수다양체이다. :\operatorname{Bl}_0\mathbb A^n=\\{(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)|x_iy_j=x_jy_i\forall i,j=1,\dots,n\\}. 물론 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재한다. :\pi\colon\operatorname{Bl}_0\mathbb A^n\to\mathbb A^n :(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)\mapsto(x_1,\dots,x_n). 이 사상은 체가 복소수일 경우 정칙사상(regular map)이다. 이 사상의 올은 다음 두 가지 경우가 있다. * 원점이 아닌 점 위의 올: 이 경우 올의 유일한 점은 [y_1:\dotsb:y_n] = [x_1:\dotsb:x_n]이다. 즉, 올은 한원소 공간이다.

**증명:**

이 경우 x_k \ne 0인 k\in\\{1,\dotsc,n\\}가 존재한다. 그렇다면 임의의 i\in\\{1,\dotsc,n\\}에 대하여 :y_i = \frac{x_i}{x_k} y_k 이다. 즉, y_k에 의하여 모든 y들이 결정된다. 사영 공간의 동차 좌표는 모두 0일 수 없으므로, y_k \ne 0이다. 그렇다면 임의로 y_k = x_k로 놓을 수 있으며, 그렇다면 y_i = x_i이다.

* 원점 위의 올: 이 경우 올은 (자명하게) \\{0\\}\times\mathbb P^{n-1}_K이다. 이 사상은 쌍유리 사상이며, 구체적으로 원점을 제외하면 대수다양체의 동형 사상이다. 0\in\mathbb A^n에서는 E=\pi^{-1}(0)\cong\mathbb P^{n-1}이다. 즉, \operatorname{Bl}_0\mathbb A^n은 \mathbb A^n에서 원점만을 사영 공간 \mathbb P^{n-1}로 대체하여 얻는 공간이며, 예외 인자는 이 사영 공간이다. 마찬가지로, 아핀 공간 속의 임의의 아핀 대수다양체 역시 위와 같이 부풀려질 수 있다. 구체적으로, 아핀 공간 속의 부분 대수다양체 V \subseteq \mathbb A^n의 원점에서의 부풀리기는 사영 사상 :\pi \colon \operatorname{Bl}_0\mathbb A^n \to \mathbb A^n 아래, 부풀리기를 한 점을 제외한 나머지의 원상 \pi^{-1}(V \setminus\\{0\\})의 자리스키 폐포이다.
## 아핀 스킴의 부풀리기
아핀 스킴 \operatorname{Spec}R을 생각하자. 이 경우, 그 위의 준연접 아이디얼 층은 아이디얼 :\mathfrak i \subseteq R 이다. 이 경우, 상대 사영 스펙트럼은 다음과 같은 가환 등급환의 사영 스펙트럼이다. :B = \bigoplus_{n=0}^\infty \mathfrak i^n = R \oplus \mathfrak i \oplus \mathfrak i^2 \oplus \dotsb = R[t\mathfrak i] \subseteq R[t]\qquad(\deg t=1) 만약 \operatorname{Spec}R가 추가로 뇌터 스킴이라면, 그 위의 연접 아이디얼 층은 유한 생성 아이디얼 :\mathfrak i = (r_1,\dotsc,r_n)\subseteq R 이며, 이 경우 부풀리기를 정의하는 가환 등급환은 다음과 같다. :B = R[r_1t,r_2t,\dotsc,r_nt] \subseteq R[t]\qquad(\deg t=1) 특히, 만약 \mathfrak i = 0(영 아이디얼)인 경우, B = R이다. 반대로, \mathfrak i = (1) = R인 경우, B = R[t]이다.
## 자명한 경우
스킴 X를 공집합에서 부풀린다면, 이는 X와 같다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층은 \mathcal O_X이다. 구체적으로 :\operatorname{\underline{Proj_X\mathcal O_X[t] = \mathbb P_X(\mathcal O_X) = X 이다. 보다 일반적으로, 스킴을 (\mathcal O_X 등의) 가역층에서 부풀린다면, 원래 스킴을 얻는다. 이 사실은 부풀리기의 보편 성질에 의하여 자동적으로 성립한다. 스킴 X를 X 전체에서 부풀린다면, 이는 공집합이다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층은 0이다. 구체적으로 :\operatorname{\underline{Proj_X(\mathcal O_X \oplus 0 \oplus 0 \oplus \dotsb ) = \operatorname{\underline{Proj_X\mathcal O_X = \mathbb P_X(0) = \varnothing 이다.
# 역사
부풀리기는 대수다양체의 내재적인 변환이다. 역사적으로 이 구성은 ‘모노이드 변환’(monoidal transformation) 또는 ‘시그마 과정’(σ-process) 따위로 불렸으며, 외재적으로 (즉, 사영 공간 속으로의 구체적 매장을 통하여) 정의되었지만, 사실 이 구성은 대수다양체의 사영 공간이나 아핀 공간으로의 매장에 의존하지 않는다. 부풀리기에 대하여 헤르비히 하우저(Herwig Hauser)는 다음과 같이 적었다. 언어=en