뫼비우스 함수

수론과 조합론에서, **뫼비우스 함수**(Möbius函數, Möbius function)는 정수가 제곱 인수가 없는 정수인지 여부에 따라 분류하는 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 사용되며, 리만 가설과도 깊은 관계를 가진다. 기호는 \mu(n).
# 정의
**뫼비우스 함수** :\mu\colon \mathbb Z^+\to\\{-1,0,+1\\} 는 양의 정수 n\in\mathbb Z^+을 다음과 같이 \\{-1,0,1\\} 가운데 하나에 대응시킨다. * n이 k개의 소인수를 갖는 제곱 인수가 없는 정수라면 \mu(n)=(-1)^k이다. (특수한 경우로, n=1은 0개의 소인수를 가지므로 \mu(1)=1이다.) * n이 제곱 인수가 없는 정수가 아니라면, \mu(n)=0이다. 즉, n의 소인수 분해가 :n=\prod_pp^{n_p} 라면, 뫼비우스 함수는 다음과 같다. :\mu(n)=(-1)^{\sum_pn_p}\prod_p[n_p\le1] 여기서 [\cdots]는 아이버슨 괄호(조건이 참이면 1, 아니면 0)이다. 뫼비우스 함수 \mu(n)은 또한 1의 원시적 n제곱근의 합이다. :\mu(n)=\sum_{\scriptstyle 1\le k\le n\atop\scriptstyle \gcd\\{k,n\\}=1} \exp(2\pi ik/n) 부제=포함배제의 원리을 통한 증명 다음과 같은 항등식이 성립한다. :\sum_{k=1}^n\exp(2\pi ik/n)=\delta_{n,1}=\begin{cases} 1 & n=1 \\\ 0 & n>1 \end{cases} 포함배제의 원리에 따라, 다음이 성립한다. :\begin{align} \mu(n) & = \sum_{d\mid n} \mu(d)\delta_{n/d,1} \\\ & = \sum_{d\mid n} \mu(d) \sum_{k=1}^{n/d} \exp(2\pi idk/n) \\\ & = \sum_{k=1}^n \exp(2\pi ik/n) \- \sum_{p\mid n} \sum_{k=1}^{n/p} \exp(2\pi ipk/n) \+ \sum_{\scriptstyle p,q\mid n\atop\scriptstyle p 증명 끝 부제=중국인의 나머지 정리를 통한 증명 우선, 우변 f(n)이 n에 대한 곱셈적 함수임을 보이자. \exp(2\pi i)=1이므로, :k\equiv k'\pmod n 라면 :\exp(2\pi ik/n)=\exp(2\pi ik'/n) 이다. 따라서, 우변의 합은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. :f(n)=\sum_{k\in(\mathbb Z/(n))^\times}\exp(2\pi ik/n) 이제, n의 소인수 분해가 :n=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r} 라고 하자. 중국인의 나머지 정리에 따라, 각 i\in\\{1,\dots,r\\}에 대하여 :e_i\equiv1\pmod{p_i^{a^i :e_i\equiv0\pmod{p_j^{a_j\qquad(j\ne i) 인 유일한 e_i\in\mathbb Z/(n)이 존재한다. 그렇다면, :(k_1,\dots,k_r)\mapsto k_1e_1+\cdots k_re_r 은 군 동형 사상 :(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times\times\cdots\times(\mathbb Z/(p_r^{a_r}))^\times\to(\mathbb Z/(n))^\times 을 이루며, 특히 이는 전단사 함수이다. 마찬가지로, :k_i\mapsto e_ik_i 는 군의 자기 동형 사상 :(\mathbb Z/(p_i^{a_i}))^\times\to(\mathbb Z/(p_i^{a_i}))^\times 을 이루며, 특히 이는 전단사 함수이다. 따라서, :\begin{align}f(n) &=\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\cdots\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\exp(2\pi i(k_1e_1+\cdots+k_re_r)/n)\\\ &=\left(\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\exp(2\pi ik_1e_1/n)\right)\cdots\left(\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\exp(2\pi ik_re_r/n)\right)\\\ &=\left(\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\exp(2\pi ik_1/n)\right)\cdots\left(\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\exp(2\pi ik_r/n)\right)\\\ &=f(p_1^{a_1})\cdots f(p_r^{a_4}) \end{align} 이다. 이제, 소수 p와 양의 정수 a\in\mathbb Z^+에 대하여, f(p^a)=\mu(p^a)임을 보이면 족하며, 이는 다음과 같이 쉽게 보일 수 있다. :\begin{align}f(p^a) &=\sum_{\scriptstyle 1\le k\le p^a\atop\scriptstyle \gcd\\{k,p\\}=1} \exp(2\pi ik/p^a)\\\ &=\sum_{k=1}^{p^a}\exp(2\pi ik/p^a)-\sum_{k=1}^{p^{a-1 \exp(2\pi ik/p^{a-1})\\\ &=\begin{cases} -1 & a=1 \\\ 0 & a>1 \end{cases} \end{align} 증명 끝 \mu는 양이 아닌 정수에 대하여 일반적으로 정의하지 않는다. **메르텐스 함수**(Mertens函數, Mertens function)는 뫼비우스 함수의 부분합이다. 즉, 다음과 같은 함수이다. :M\colon\mathbb Z^+\to\mathbb Z :M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k) 뫼비우스 함수는 1의 원시적 n제곱근의 합이므로, 메르텐스 함수를 다음과 같이 정의할 수도 있다. :M(n)= \sum_{a\in \mathcal F_n}\exp(2\pi ia) 여기서 \mathcal F_n은 n차 페리 수열이다.
# 성질
뫼비우스 함수는 곱셈적 함수이다. 즉, 서로소 정수에 대하여 다음과 같다. :\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)\qquad(\gcd\\{a,b\\}=1) 뫼비우스 함수는 디리클레 합성곱 아래 상수 함수 1의 역원이다. :(\mu*1)(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d) = \delta_{n,1}=\begin{cases}1&n;=1\\\ 0&n;>1 \end{cases} 이 성질 때문에 뫼비우스 함수는 뫼비우스 반전 공식에 등장한다.
## 생성 함수
뫼비우스 함수의 생성 함수는 다음과 같다. :\sum_{n=1}^\infty \mu(n)x^n = x - \sum_{a=2}^\infty x^a + \sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty x^{ab} - \sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty \sum_{c=2}^\infty x^{abc} + \sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty \sum_{c=2}^\infty \sum_{d=2}^\infty x^{abcd} - \cdots 뫼비우스 함수의 람베르트 급수는 다음과 같다. :\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)q^n}{1-q^n} = q 이는 |q|1.06 그러나 리만 가설은 현재 (2021년) 미해결 문제이다. 메르텐스 추측보다 더 약하지만 리만 가설보다 더 강한 명제 :M(x)=O(x^{1/2}) 역시 아직 반증되지 않았으나, 이는 아마 거짓일 것이라고 추측된다.
## 급수
뫼비우스 함수에 대하여 다음과 같은 급수가 존재한다. :\sum_{n=1}^\infty (\mu(n)/n)^2=15/\pi^2 :\sum_{n=1}^\infty \mu(n)\frac{\ln n}n=-1
# 표
처음 몇 개의 양의 정수에 대해서 뫼비우스 함수와 메르텐스 함수의 값은 다음과 같다. A008683, A002321 {| class=wikitable ! n | 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 |- ! \mu(n) | 1 || −1 || −1 || 0 || −1 || 1 || −1 || 0 || 0 || 1 || −1 || 0 |- ! M(n) | 1 || 0 || −1 || −1 || −2 || −1 || −2 || −2 || −2 || −1 || −2 || −2 |} 뫼비우스 함수의 값의 그래프는 다음과 같다. :파일:Moebius 메르텐스 함수의 104까지의 값의 그래프는 다음과 같다. :파일:Mertens \mu(n)=0인 정수 n (즉, 제곱 인수가 없는 정수가 아닌 수)은 다음과 같다. :4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, … A013929
# 역사
레온하르트 오일러는 1748년 저서위치=로잔에 뫼비우스 함수를 정의하고 암묵적으로 사용하였지만, 자세하게 다루지 않았다.언어=영어99, Notes to §3.1 1798년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》(Disquisitiones Arithmeticae)언어=la에서 1의 원시 n거듭제곱근의 합이 \mu(n)이라는 것을 보였으나, 역시 이 함수를 특별히 연구하지 않았다. 1831년에 아우구스트 페르디난트 뫼비우스는 뫼비우스 함수를 최초로 명시적으로 도입하였다.언어=de99, Notes to §3.1 1874년에 프란츠 메르텐스가 최초로 오늘날 사용되는 기호 μ를 사용하였다.언어=de5399, Notes to §3.1 1885년 7월 11일에 토마스 요아너스 스틸티어스는 샤를 에르미트에게 보낸 편지에서 메르텐스 함수를 최초로 사용하였다. (이 편지는 1905년에 출판되었다.언어=프랑스어) 스틸티어스는 M(n)=O(\sqrt n)임을 증명하였다고 주장하였고, 또 메르텐스 추측 (|M(n)|\le\sqrt n)을 추측하였다. 스틸티어스는 뫼비우스 함수를 f(n)으로, 메르텐스 함수를 g(n)으로 표기하였다. 이 편지에서 스틸티어스는 다음과 같이 적었다. 162–163 그러나 스틸티어스는 이 "증명"을 출판하지 않았다. 1897년에 프란츠 메르텐스는 메르텐스 함수를 독자적으로 재발견하였고, 메르텐스 추측을 스틸티어스와 독자적으로 추측하였다.언어=de 1985년에 앤드루 마이클 오들리스코(Andrew Michael Odlyzko, 1949~)와 헤르마뉘스 요하너스 요서프 터 릴러(Hermanus Johannes Joseph te Riele, 1947~)는 메르텐스 추측이 거짓임을 증명하였다.