연결 공간

A는 유클리드 평면의 연결 부분 공간이며, B는 비연결 부분 공간이다. 일반위상수학에서 **연결 공간**(連結空間, connected space)은 공집합이 아닌 두 열린집합으로 쪼갤 수 없는 위상 공간이다.
# 정의
위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **연결 공간**이라고 한다. * X의 두 열린집합 U,V\subseteq X에 대하여, U\cup V=X이며 U\cap V=\varnothing이라면, U와 V 가운데 정확히 하나가 공집합이다. * X의 두 닫힌집합 E,F\subseteq X에 대하여, E\cup F=X이며 E\cap F=\varnothing이라면, E와 F 가운데 정확히 하나가 공집합이다. (이는 열린집합의 여집합이 닫힌집합과 일치하기 때문이다.) * 만약 X=X_1\cup X_2이며 X_1\cap\operatorname{cl}(X_2)=\operatorname{cl}(X_1)\cap X_2=\varnothing이라면, X_1과 X_2 가운데 정확히 하나가 공집합이다. * X의 열린닫힌집합(=경계가 공집합인 부분 집합)은 정확히 두 개가 있다. (이는 X와 \varnothing이다.) * 공집합이 아니며, 모든 연속 함수 X\to\\{0,1\\}은 상수 함수이다. 여기서 \\{0,1\\}은 두 개의 점을 갖는 이산 공간이다. 연결 공간이 아닌 공간을 **비연결 공간**(非連結空間, disconnected space)이라고 한다.
## 연결 성분
임의의 위상 공간 X에 대하여, 그 연결 부분 공간들의 집합은 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 또한, 주어진 점 x_0\in X을 포함하는 모든 연결 부분 공간들의 부분 순서 집합은 최대 원소를 가지며, 이를 x_0의 **연결 성분**(連結成分, connected component)이라 한다. 각 연결 성분들은 서로소이며, X는 그 연결 성분들의 서로소 합집합이다. 연결 성분은 항상 닫힌집합이지만, 열린집합일 필요는 없다. 예를 들어 실수에 하극한 위상이 주어졌을때, 연결성분은 한원소 집합이다. 이는 닫힌집합일 뿐이다
## 경로 연결 공간
위 유클리드 평면의 부분 공간에 포함된 임의의 두 점을 경로로 연결할 수 있으므로 이는 경로 연결 공간이다. 위상 공간 X에 대하여, 임의의 두 점 x,y\in X에 대하여 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 f\colon[0,1]\to X가 존재할 경우, X를 **경로 연결 공간**(經路連結空間, path-connected space)이라 한다. * f(0)=x이며 f(1)=y이다. 이러한 조건을 만족시키는 함수를 x와 y 사이의 **경로**라고 한다. 두 점 사이를 잇는 경로가 존재하는지 여부는 X 위의 동치 관계를 정의한다. 이 동치 관계의 동치류는 부분 공간 위상 아래 경로 연결 공간을 이루며, 이를 **경로 연결 성분**(經路連結成分, path-connected component)이라고 한다. 경로 연결 성분은 일반적으로 연결 성분보다 더 작다.
## 호 연결 공간
위상 공간 X에 대하여, 임의의 서로 다른 두 점 x,y\in X에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수 f\colon[0,1]\to X가 존재할 경우, X를 **호 연결 공간**(弧連結空間, arc-connected space)이라 한다. * f(0)=x이며 f(1)=y이다. * f는 매장이다. 즉, f는 [0,1]과 f([0,1])\subset X 사이의 위상 동형이다. 이러한 조건을 만족시키는 함수를 x와 y 사이의 **호**(弧, arc)라고 한다.
# 성질

## 연결성 · 경로 연결성 · 호 연결성이 동치일 조건
모든 경로 연결 공간은 연결 공간이며, 모든 호 연결 공간은 경로 연결 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :호 연결 공간 ⊊ 경로 연결 공간 ⊊ 연결 공간 ⊊ 위상 공간 하우스도르프 공간 X에 대하여, 다음이 서로 동치이다. * X는 경로 연결 공간이다. * X는 호 연결 공간이다. 그러나 호 연결 공간이 아닌 경로 연결 T1 공간이 존재한다. 유한 개의 점을 갖는 위상 공간 X의 경우 다음이 서로 동치이다. * X는 연결 공간이다. * X는 경로 연결 공간이다. (두 개 이상의 점을 갖는 유한 위상 공간은 절대로 호 연결 공간일 수 없다.) 국소 경로 연결 공간 X의 경우, 다음이 서로 동치이다. * X는 연결 공간이다. * X는 경로 연결 공간이다. 국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간 X의 경우, 다음이 서로 동치이다.언어=en327 * X는 연결 공간이다. * X는 경로 연결 공간이다. * X는 호 연결 공간이다. 특히, 유클리드 공간의 열린집합은 국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간이므로, 이 경우 세 조건이 일치한다.
## 연속 함수에 대한 상
두 위상 공간 X, Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음이 성립한다. * 만약 X가 연결 공간이라면 f의 상 f(X) 또한 연결 공간이다. * 만약 X가 경로 연결 공간이라면 f의 상 f(X) 또한 경로 연결 공간이다.
## 거리 공간
연결 거리화 가능 공간 X의 크기는 1 이하이거나 2^{\aleph_0} 이상이다. :|X|=0\lor|X|=1\lor|X|\ge2^{\aleph_0} 증명 연결 거리 공간 (X,d)가 서로 다른 두 점 x,y\in X를 갖는다고 하자. 함수 f\colon z\mapsto d(x,z)는 연속 함수 X\to[0,\infty)이며, 따라서 그 상 f(X)은 구간이다. 0,d(x,y)\in f(X)이므로 (0,d(x,y))\subseteq f(X)이다. 따라서, :2^{\aleph_0}=|f(X)|\le|X| 이다. 증명 끝 위상 공간 X의 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, 다음 세 조건을 생각하자. * Y는 연결 공간이다. * X의 두 열린집합 U,V\subseteq X에 대하여, Y\subseteq U\cup V이며 U\cap V\cap Y=\varnothing이라면, U\cap Y와 V\cap Y 가운데 정확히 하나가 공집합이다. * X의 두 열린집합 U,V\subseteq X에 대하여, Y\subseteq U\cup V이며 U\cap V=\varnothing이라면, U\cap Y와 V\cap Y 가운데 정확히 하나가 공집합이다. 연결 공간과 부분공간 위상의 정의에 따라, 첫 번째 조건과 두 번째 조건은 서로 동치이다. 이 조건은 자명하게 세 번째 조건을 함의하지만, 세 번째 조건을 만족시키는 부분 집합이 연결 공간일 필요는 없다. X가 거리화 가능 공간인 경우, 위 세 조건이 서로 동치이다.zbl=1093.5500172, Exercise 3.2.6 증명 임의의 연결 집합은 자명하게 세 번째 조건을 만족시킨다. 이제, 거리 공간 (X,d)의 비연결 집합 Y\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, :Y\subseteq E\cup F :E\cap F\cap Y=\varnothing :E\cap Y\ne\varnothing :F\cap Y\ne\varnothing 인 두 닫힌집합 E,F\subseteq X이 존재한다. 이제 :U=\\{x\in X\colon d(x,E\cap Y) :V=\\{x\in X\colon d(x,E\cap Y)>d(x,F\cap Y)\\} 라고 하자. 그렇다면, U,V\subseteq X는 열린집합이며, U\cap V=\varnothing이다. 만약 x\in E\cap Y, y\in F\cap Y라면, :d(x,E\cap Y)=0 :d(y,F\cap Y)=0 이다. 즉, x\in U, y\in V이다. 따라서, :\varnothing\ne E\cap Y\subseteq U\cap Y :\varnothing\ne F\cap Y\subseteq V\cap Y :Y=(E\cap Y)\cup(F\cap Y)\subseteq U\cup V 이다. 증명 끝
# 예
연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다. * 공집합은 자명하게 연결 공간이며, 또한 경로 연결 공간이자 호 연결 공간이다. * 한원소 공간 \\{\bullet\\} 역시 자명하게 (경로/호) 연결 공간이다. * 실직선 \mathbb R은 연결 공간이다. * 연결 위상체에 대한 모든 위상 벡터 공간은 연결 공간이다. 특히, 모든 유클리드 공간은 연결 공간이다. * 이산 값매김환의 스펙트럼은 두 개의 점을 갖는 위상 공간 \\{0,1\\}이며, 그 기저는 \\{\\{1\\}, \\{0,1\\}\\}이다. 이는 연결 공간이다. 비연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다. * 유리수의 집합 \mathbb Q, 무리수의 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q, 및 (순서 위상을 부여한) 초실수의 집합 {}^*\mathbb R는 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다. * 크기가 2 이상인 이산 공간은 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다. * 일반선형군 \operatorname{GL}(n;\mathbb R)은 두 개의 연결 성분을 가진다. 이들은 각각 행렬식이 양수·음수인 가역 행렬들로 구성된다. 모든 크기의 비이산 공간은 경로 연결 공간이지만, 크기가 2 이상인 비이산 공간은 호 연결 공간이 아니다.
## 경로 연결 공간이 아닌 연결 공간
긴 직선 L*나 위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아니다.
## 호 연결 공간이 아닌 경로 연결 공간
크기가 2\le|X|0 여기에 순서 위상을 준 공간은 T1 공간이며 경로 연결 공간이지만, 하우스도르프 공간이 아니며 호 연결 공간도 아니다. 이는 0과 0' 사이에 경로가 존재하지만, 호는 존재하지 않기 때문이다.
## 환의 스펙트럼
(단위원을 갖는) 가환환 R에 대하여, 다음이 서로 동치이다. * R의 스펙트럼 \operatorname{Spec}(R)는 연결 공간이다. * R의 모든 유한 생성 사영 가군은 상수 계수(rank)를 갖는다. * 모든 r\in R에 대하여, 만약 r^2=r라면, r=0이거나 r=1이다. * 만약 R\cong R_1\times R_2인 가환환 R_1, R_2가 존재한다면, R_1 또는 R_2는 자명환이다.
## 구간
구간 실직선 \mathbb R의 부분 집합 S\subset\mathbb R의 경우 다음이 서로 동치이다. * S는 연결 공간이다. * S는 경로 연결 공간이다. * S는 호 연결 공간이다. * S는 구간이다. 즉, a\le b이며 S\in\\{[a,b],(a,b],[a,b),(a,b)\\}인 a,b\in[-\infty,\infty]가 존재한다. (공집합은 a>b인 구간으로 간주한다.)
# 관련 개념
연결 공간은 대역적인 개념이다. 만약 연결 공간의 개념을 국소화한다면 (즉, 모든 점의 연결 공간인 근방들이 국소 기저를 이룬다면), **국소 연결 공간**의 개념을 얻는다. 연결 공간은 또한 0차 베티 수가 1인 공간으로 볼 수 있다. 이 조건을 1차 베티 수에도 적용시키면 **단일 연결 공간**의 개념을 얻으며, 보다 일반적으로 모든 호모토피 불변량이 자명하다면 **축약 가능 공간**의 개념을 얻는다. 연결 공간의 조건에서, 열린집합을 닫힌집합으로 바꾸고, 서로소인 조건을 없애면 **기약 공간**의 개념을 얻는다. 이는 매우 강한 조건으로서, 하우스도르프 공간의 조건과 호환되지 않는다.