조밀 집합

일반위상수학에서 **조밀 집합**(稠密集合, dense set)은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 부분 집합이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 그물의 극한으로 나타낼 수 있다. 예를 들면 유리수의 집합은 실수선의 조밀 집합이다. 왜냐하면, 어떤 실수를 골라도 이에 수렴하는 유리수의 수열을 언제나 생각할 수 있기 때문이다. (그물을 점렬로 대체한 조건은 보다 강한 조건이지만, 제1 가산 공간에서 두 조건은 서로 동치이다.)
# 정의
위상 공간 X의 부분 집합 D\subseteq X에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 **조밀 집합**이라고 한다. * 임의의 열린집합 U에 대하여, 만약 U\subseteq X\setminus D라면 U=\varnothing이다. * 임의의 닫힌집합 C에 대하여, 만약 D\subseteq C\subseteq X라면 C=X이다. * \operatorname{cl}(D)=X.mr=0464128191, §30언어=en7, §1 여기서 \operatorname{cl}은 폐포이다. * \operatorname{int}(X\setminus D)=\varnothing. 여기서 \operatorname{int}는 내부이다. * 모든 x\in X 및 x의 모든 근방 U\ni x에 대하여, D\cap U\ne\varnothing. * X의 모든 점들은 D의 원소이거나 D의 극한점이다.7, §1
# 성질

## 연산에 대한 닫힘
임의의 위상 공간 X 속의 조밀 집합 D\subseteq X 및 D\subseteq E\subseteq X에 대하여, E 역시 D의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 \operatorname{Dense}(X)\subseteq\operatorname{Pow}(X)은 X의 멱집합 \operatorname{Pow}(X) 속의 상집합이다. 특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 D와 조밀 열린집합 U가 주어졌을 때, 그 교집합 D\cap U는 조밀 집합이다.

**증명:**

임의의 열린집합 V\subseteq X가 주어졌으며, V\ne\varnothing이라고 하자. 그렇다면 U가 조밀 열린집합이므로 U\cap V\ne\varnothing이며, 따라서 D\cap(U\cap V)\ne\varnothing이다.

특히, 조밀 열린집합들의 족 \operatorname{Dense}(X)\cap\operatorname{Open}(X)은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합 \operatorname{Pow}(X) 속의 필터를 이룬다. 임의의 두 위상 공간 X, Y 사이의 전사 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌을 때, 조밀 집합 D\subseteq X의 상 f[D]\subseteq Y 역시 조밀 집합이다.

**증명:**

임의의 y\in Y에 대하여, f가 전사 함수이므로 f(x)=y인 x\in X가 존재하며, D가 조밀 집합이므로 x로 수렴하는 그물 (x_i)_{i\in I}\subseteq D가 존재하며, f가 연속 함수이므로 f(x_i)\to f(x)=y이다. 따라서 f[D]는 Y의 조밀 집합이다.

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 X\subseteq Y\subseteq Z이며, X가 Y의 조밀 집합이고 Y가 Z의 조밀 집합이라면 X는 Z의 조밀 집합이다. 증명 U\subseteq Z가 Z의 열린집합이며 U\subseteq Z\setminus X라고 하자. 그렇다면 U\cap Y는 Y의 열린집합이며, U\cap Y\subseteq Y\setminus X이다. X가 Y의 조밀 집합이므로 U\cap Y=\varnothing이다. 즉, U\subseteq Z\setminus Y이다. Y가 Z의 조밀집합이므로 U=\varnothing이다. 증명 끝
## 함의 관계
모든 조밀 열린집합은 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다. :조밀 열린집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합
## 조밀 집합은 연속 함수를 결정한다
임의의 위상 공간 X와 하우스도르프 공간 Y 및 조밀 집합 D\subseteq X와 두 연속 함수 f,g\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 만약 f\restriction D=g\restriction D라면, f=g이다. (여기서 \restriction은 함수의 제한을 뜻한다.)

**증명:**

임의의 x\not\in D에 대하여, f=g임을 보이면 족하다. D가 조밀 집합이므로, x로 수렴하는, D 속의 점들로 구성된 그물 (x_i)_{i\in I}가 존재한다. f가 연속 함수이므로 :g(x_i)=f(x_i)\to f(x) :f(x_i)=g(x_i)\to g(x) 이며, Y가 하우스도르프 공간이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서 f(x)=g(x)이다.

# 예
위상 공간 X는 스스로의 조밀 집합이다. 반면, X 전체가 아닌 X의 모든 닫힌집합은 X의 조밀 집합이 아니다.
## 유한 부분 집합의 여집합
자기 조밀 T1 공간 속에서, 임의의 유한 부분 집합의 여집합은 조밀 열린집합이다.

**증명:**

조밀 열린집합들은 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 임의의 x\in X에 대하여 X\setminus\\{x\\}가 조밀 열린집합임을 보이면 족하다. * X\setminus\\{x\\}는 T1 조건에 의하여 열린집합이다. * X\setminus\\{x\\}는 자기 조밀 공간 조건에 의하여 닫힌집합이 아니다. 따라서 \operatorname{cl}(X\setminus\\{x\\})=X이며, X\setminus\\{x\\}는 조밀 집합이다.

## 이산 공간
위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 이산 공간이다. * 정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론 X 전체이다.)

**증명:**

이산 공간 X에서 조밀 집합이 X 전체 밖에 없다는 것은 자명하다. 반대로, 위상 공간 X가 이산 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, 열린집합이 아닌 한원소 집합 \\{x\\}\subseteq X가 존재한다. 그렇다면, X\setminus\\{x\\}는 X의 조밀 집합이다.

## 비이산 공간
위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 비이산 공간이다. * X의 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다.

**증명:**

비이산 공간 X에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로, X가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합 \varnothing\ne F\subsetneq X가 존재한다고 하자. 그렇다면 F는 조밀 집합이 아니다.

## 실수선의 조밀 집합
실수선 \mathbb R의 부분 집합들을 생각하자. * 유리수의 집합 \mathbb Q는 실수선의 조밀 집합이다. * 무리수의 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q 역시 실수선의 조밀 집합이다. * 반면, 자연수의 집합 \mathbb N, 정수의 집합 \mathbb Z는 \mathbb R의 조밀 집합이 아니다. 임의의 세 실수 a에 대하여, [a,b)\cup(b,c]=[a,c]\setminus\\{b\\}는 [a,c] 안의 조밀 집합이다.