부분분수

대수학에서 **부분분수분해**(Partial fraction decomposition) 또는 **부분분수전개**(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는 데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수 계수의 다항식들은 유클리드 정역이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다.
# 예
부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다.
## 가분수를 대분수로 변형
분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학교의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수 :\frac{f(x)}{g(x)} 가 주어졌는데, 분자의 차수가 분모의 차수보다 높아서 f(x) = g(x)Q(x) + R(x)와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다. :Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)} 다항식의 나눗셈에 의해 당연히 R(x)는 g(x)보다 차수가 낮다.
## 분자의 차수가 낮은 경우
분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러 가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉, 다음과 같이 분해된다. :\frac{f(x)}{(a_1 x+b_1)(a_2 x+b_2) \cdots (a_n x+b_n)} = \frac{A_1}{a_1 x+b_1} + \frac{A_2}{a_2 x+b_2} + \cdots + \frac{A_n}{a_n x+b_n} 여기서 A_1, .... , A_n는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 다음과 같은 예를 보자. :\frac{x+3}{x^2-3x-40} 위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가 (x-8)(x+5)로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개가능하다. :{x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5} 여기서 A, B는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정계수법을 통해 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여 A = 11/13, B = 2/13임을 확인할 수 있다.
## 유용한 공식
고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다. :\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right) 좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다. B - A가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다. :\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} :{1 \over (x+1)(x+2)} = {a \over x+1} - {b \over x+2}={a (x+2)\over (x+1)(x+2)} - {b (x+1)\over (x+2)(x+1)}={a (x+2)- {b (x+1)}\over (x+1)(x+2)} :\therefore {1 \over \cancel{(x+1)(x+2) ={a (x+2)- { b(x+1)}\over \cancel{(x+1)(x+2) :\therefore {1} ={ a(x+2)- b(x+1)} :{1} =ax+2a- bx-b :{1} =(a-b)x+(2a-b) :우변의x차항에대한 좌변의 x차항은 없으므로 x차항의 계수는 0, 상수항은1이다. 빼면, :(a-b)-(2a-b)= 0 - 1 :a-b-2a+b= - 1 :-a= - 1 :a= 1 이번에는 (a-b)= 0 , (2a-b)=1 을 더하면, :(a-b)+(2a-b)= 0 + 1 :a-b+2a-b= 1 :3a-2b= 1 :3a-2b= 1 에 a= 1 를 대입하면, :3-2b= 1 :-2b= 1-3 :-2b= -2 :{2b \over 2}= {2 \over 2} :b= 1 : \therefore {1 \over (x+1)(x+2)} = {1 \over x+1} - {1 \over x+2} 비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다. :\frac{1}{A \cdot B \cdot C} = \frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{A \cdot B} - \frac{1}{B \cdot C} \right)
## 분모의 인수분해 되지 않는 다항식
분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다. :\frac{ax^2 + bx + c}{(dx + e)(fx^2 + gx + h)} = \frac{A_1}{dx + e} + \frac{A_2 x + A_3}{fx^2 + gx + h} 예를 들어 다음과 같다. :{10x^2+12x+20 \over x^3-8} 이 경우 인수분해 공식에 의해 분모가 x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여, :{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4} 위와 같이 변형된다. 여기서 A, B, C도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 계산해보면 차례로 7,3,4가 나오므로, :{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4} 위와 같은 등식이 성립하게 된다.
## 분모의 거듭제곱된 항의 포함
분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어, :{p(x) \over (x+2)(x+3)^5} 와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다. :{A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5} 이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자. :{p(x) \over (x+2)(x^2+1)^5} 그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다. :{A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5} :
# 응용
부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다.
## 계산하기 어려운 값
가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다. :\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} := \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4} := \frac{1}{x} - \frac{1}{x+4}
## 적분하기 어려운 함수
다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다. :\int \frac{2}{x^2 - 1} dx 그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다. :\int \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} dx = \ln |x - 1| - \ln |x + 1| + C 물론 C는 적분상수(Constant of integration)이다.
## 무한급수의 일반항
다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자. :\frac{2-x}{(1-x)^2} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots 이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다. :\frac{2-x}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} 이 때, 다음 등식을 이용한다. :\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \frac{d}{dx}\sum x^n = \sum (n+1)x^n 그리하여 다음을 얻는다. :\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} = \sum x^n + \sum (n+1)x^n = \sum (n+2)x^n
## 역 라플라스 변환
역 라플라스 변환(Inverse Laplace transform)이 어려운 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.ISBN=978-0-387-97894-9 :\frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y = e^{3t} ;\; y(0) = 1, y'(0) = 0 양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다. :s^2 Y(s) - s - 3[sY(s) - 1] + 2Y(s) = \frac{1}{s-3} 그리하여 이를 Y(s)에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다. : \begin{align} Y(s) &= \frac{1}{(s-3)(s^2 -3s +2)} + \frac{s-3}{s^2 -3s +2}\\\ & = \frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)} + \frac{s-3}{(s-1)(s-2)} \end{align} 그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다. : \begin{align} Y(s) & = \frac{1}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} + \frac{2}{s-1} - \frac{1}{s-2}\\\ & = \frac{5}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{2}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} \end{align} 그리하여 해는 다음과 같이 된다. :y(t) = \frac{5}{2}e^t - 2e^{2t} + \frac{1}{2}e^{3t}