함수의 극한

미적분학 해석학에서 **함수의 극한**(limit of a function)은 독립 변수가 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 함수의 값이 한없이 가까워지는 값이다. 함수의 극한은 존재할 수도(수렴), 존재하지 않을 수도(발산) 있다. 실수를 비롯한 거리 공간의 경우, 함수의 극한 개념은 엡실론-델타 논법을 사용하여 엄밀히 정의된다. 임의의 위상 공간에서도 함수의 극한을 정의할 수 있다.
# 일변수 함수

## 정의
열린구간 I\ni a 및 실수 함수 f\colon I\setminus\\{a\\}\to\mathbb R에 대하여, 점 a에서 함수 f의 **극한**은 다음 조건을 만족시키는 실수 L\in\mathbb R이다. * 임의의 \epsilon>0에 대하여, \delta>0가 존재하여, 00에 대하여, \delta>0가 존재하여, 0이면 항상 |f(x)-L|0에 대하여, \delta>0가 존재하여, 0이면 항상 |f(x)-L|0에 대하여, \delta>0가 존재하여, x\in E이고 00에 대하여, M>0가 존재하여, x>M이면 항상 |f(x)-L|0에 대하여, M>0가 존재하여, x0에 대하여, \delta>0가 존재하여, 0M이게 된다. 비슷하게, f가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 a에서 함수 f의 극한이 음의 무한대라고 하며, \lim_{x\to a}f(x)=-\infty라 표기한다. * 임의의 M>0에 대하여, \delta>0가 존재하여, 0a,~x의 두가지 경우가 존재한다.
첫 번째 경우 0이고 두 번째 경우 0이다. 따라서 좌극한과 우극한의 정의에 의하여 \lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)이다.
그러므로 \lim_{x\to a}f(x)=L은 \lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)의 충분조건이다. (필요조건) 모든 양의 실수 \epsilon에 대해 0와 0를 만족하는 어떤 양의 실수 \delta _1,\delta _2가 존재한다.
\delta를 \min(\delta _1,\delta _2)로 잡아주면, 0a라면 00이 존재한다. * 임의의 x\in J\setminus\\{a\\}에 대하여, |f(x)| 함수의 극한은 순서를 보존한다. 즉, 열린구간 I\ni a 및 a에서 극한이 존재하는 함수 f,g\colon I\setminus\\{a\\}\to\mathbb R에 대하여, 서로 대우인 다음 두 성질이 성립한다. * 어떤 빠진 근방 J\setminus\\{a\\}\subseteq I\setminus\\{a\\}에서 항상 f(x)\le g(x)라면, \lim_{x\to a}f(x)\le\lim_{x\to a}g(x)이다. * \lim_{x\to a}f(x)M이라 가정하자. 극한의 5번째 성질에 의하여 \lim_{x\to a}\left\\{ g(x)-f(x)\right\\} =M-L이다. 가정에 의하여 L-M>0이므로 극한의 정의에 의하여 0g(x)이므로 이는 전제에 대해 모순이다. 그러므로 L\le M이다. 증명 끝 함수의 극한은 사칙 연산을 보존한다. 즉, 열린구간 I\ni a 및 a에서 극한이 존재하는 함수 f,g\colon I\setminus\\{a\\}\to\mathbb R에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. * \lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x) * \lim_{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x) * \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\lim_{x\to a}g(x) 만약 추가로 어떤 빠진 근방 J\setminus\\{a\\}\subseteq I\setminus\\{a\\}에서 항상 g(x)\ne0이라면, * \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)} 증명 함수의 극한의 엄밀한 정의인 엡실론-델타 논법을 이용하면 쉽게 보일 수 있다. # \lim_{x \to a}\left\\{ f(x) + g(x) \right\\} = \alpha + \beta #:삼각 부등식에 의하여 #::|f(x)+g(x)-(\alpha +\beta )|=|(f(x)-\alpha )+(g(x)-\beta )|\le |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta | #:가 성립한다. #:모든 양의 실수 \epsilon에 대하여 \frac{\epsilon}{2}>0이므로 #::|x-a|0,~1>0,~\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\beta\right| \right) }>0이므로 00,~\frac{\alpha ^2}{2}\epsilon >0이므로 \left| x-a\right| \frac{\left|\alpha\right|}{2}이다. #:따라서 \frac{1}{\left|\alpha f(x)\right|}=\frac{1}{\left|\alpha\right|\left| f(x)\right|}m\\\\\frac{a_n}{b_m}&n;=m\\\0&n;0) * (자연로그의 밑) \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=\lim_{x\to0}(1+x)^\frac1x=e * (동위 무한소) \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1 * (고위 무한소) \lim_{x\to\infty}\frac{\log_ax}{x^p}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^p}{b^x}=0\qquad(a,b>1;\;p>0) 다음과 같은 등위 무한소 기호를 도입하자. :f\sim g\quad(x\to0)\iff \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}g(x)=0;\;\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=1 그렇다면, 다음과 같은 관계들이 성립한다. :x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim e^x-1\sim\ln(1+x)\quad(x\to0) :a^x-1\sim x\ln a\quad(x\to0)\qquad(a>0) :(1+x)^a-1\sim ax\quad(x\to0)\qquad(a>0) :1-\cos x\sim\frac12x^2\quad(x\to0) :\tan x-\sin x\sim\frac12x^3\quad(x\to0)
# 다변수 함수

## 정의
유클리드 공간 \mathbb R^n의 연결 열린집합 \mathbf a\in D\subseteq\mathbb R^n 및 함수 \mathbf f\colon D\setminus\\{\mathbf a\\}\to\mathbb R^m에 대하여, 점 \mathbf a에서 함수 \mathbf f의 **극한**은 다음 조건을 만족시키는 점 \mathbf L=\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)\in\mathbb R^m이다. * 임의의 \epsilon>0에 대하여, \delta>0이 존재하여, 00에 대하여, \delta>0이 존재하여, \mathbf x\in E이고 00에 대하여, \delta>0이 존재하여, 0이면 항상 d_N(f(x),L)<\epsilon이다. 같은 집합 위의 서로 다른 거리 함수에 대하여 서로 다른 함수의 극한을 정의 내릴 수 있다. 구분이 필요한 경우, 거리 함수 d_M,d_N에 대한 함수의 극한을 (d_M,d_N)\bar{}\lim_{x\to a}f(x)와 같이 표기하자. 특히, 노름 \Vert\cdot\Vert_V,\Vert\cdot\Vert_W에 의해 유도되는 거리 함수에 대한 함수의 극한을 (\Vert\cdot\Vert_V,\Vert\cdot\Vert_W)\bar{}\lim_{x\to a}f(x)와 같이 표기하자.
## 성질
두 거리 공간 (M,d_M), (N,d_N) 사이의 함수 f\colon M\to N 및 점 L\in N에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \lim_{x\to a}f(x)=L * \lim_{x-a}d(f(x),L)=0 이에 따라, 거리 공간 위의 함수의 극한은 공역이 (표준적인 거리 함수를 갖춘) 실수 공간인 경우로 귀결된다. 연결 열린집합 \mathbf a\in D\subseteq\mathbb R^n 및 함수 \mathbf f\colon D\setminus\\{\mathbf a\\}\to\mathbb R^m 및 점 \mathbf L\in\mathbb R^m에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. * 어떤 1\le p\le\infty에 대하여, (\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^n},\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^m})\bar{}\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L * 모든 1\le p\le\infty에 대하여, (\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^n},\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^m})\bar{}\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L 즉, 유클리드 공간 위의 Lp 노름 (1\le p\le\infty)에 대한 함수의 극한은 서로 동치이다. 그러나, 이는 무한 차원의 경우 성립하지 않는다.
# 역사
라이프니츠는 곡선 위에 있는 한 점의 기울기를 나타내기 위해 함수의 극한을 도입하였다.Thompson, S.P; Gardner, M; Calculus Made Easy. 1998. Page 10-11. .