초완전수

자연수 n이 n = 1 + k(\sigma(n) - n - 1) (단, \sigma(n)는 n의 양의 약수의 합)을 만족했을 때, n을 **k-초완전수**(超完全數,hyperfect number)라 부른다. 어떤 수가 완전수인 것은 그 수가 1-초완전수인 것과 동치이다. 모든 k-초완전수를 작은 순서대로 나열하면 다음과 같다. :6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (OEIS의 A034897) 여기에서 각각의 수에 해당하는 k 값은 다음과 같다. :1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (OEIS의 A034898url=http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A034898) 완전수를 제외한 모든 k-초완전수를 나열하면 다음과 같다. :21, 301, 325, 697, 1333, ... (OEIS의 A007592url=http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A007592)
# 초완전수의 목록
다음 표는 k값에 대한 알려진 k-초완전수를 해당하는 OEIS 수열과 함께 나타내고 있다. {| class="wikitable" |- ! k ! OEIS ! 알려진 k-초완전수 |- | 1 || A000396 || 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... |- | 2 || A007593url=http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A007593 || 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... |- | 3 || || 325, ... |- | 4 || || 1950625, 1220640625, ... |- | 6 || A028499url=http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A028499 || 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... |- | 10 || || 159841, ... |- | 11 || || 10693, ... |- | 12 || A028500url=http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A028500 || 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... |- | 18 || A028501url=http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A028501 || 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... |- | 19 || || 51301, ... |- | 30 || || 3901, 28600321, ... |- | 31 || || 214273, ... |- | 35 || || 306181, ... |- | 40 || || 115788961, ... |- | 48 || || 26977, 9560844577, ... |- | 59 || || 1433701, ... |- | 60 || || 24601, ... |- | 66 || || 296341, ... |- | 75 || || 2924101, ... |- | 78 || || 486877, ... |- | 91 || || 5199013, ... |- | 100 || || 10509080401, ... |- | 108 || || 275833, ... |- | 126 || || 12161963773, ... |- | 132 || || 96361, 130153, 495529, ... |- | 136 || || 156276648817, ... |- | 138 || || 46727970517, 51886178401, ... |- | 140 || || 1118457481, ... |- | 168 || || 250321, ... |- | 174 || || 7744461466717, ... |- | 180 || || 12211188308281, ... |- | 190 || || 1167773821, ... |- | 192 || || 163201, 137008036993, ... |- | 198 || || 1564317613, ... |- | 206 || || 626946794653, 54114833564509, ... |- | 222 || || 348231627849277, ... |- | 228 || || 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... |- | 252 || || 389593, 1218260233, ... |- | 276 || || 72315968283289, ... |- | 282 || || 8898807853477, ... |- | 296 || || 444574821937, ... |- | 342 || || 542413, 26199602893, ... |- | 348 || || 66239465233897, ... |- | 350 || || 140460782701, ... |- | 360 || || 23911458481, ... |- | 366 || || 808861, ... |- | 372 || || 2469439417, ... |- | 396 || || 8432772615433, ... |- | 402 || || 8942902453, 813535908179653, ... |- | 408 || || 1238906223697, ... |- | 414 || || 8062678298557, ... |- | 430 || || 124528653669661, ... |- | 438 || || 6287557453, ... |- | 480 || || 1324790832961, ... |- | 522 || || 723378252872773, 106049331638192773, ... |- | 546 || || 211125067071829, ... |- | 570 || || 1345711391461, 5810517340434661, ... |- | 660 || || 13786783637881, ... |- | 672 || || 142718568339485377, ... |- | 684 || || 154643791177, ... |- | 774 || || 8695993590900027, ... |- | 810 || || 5646270598021, ... |- | 814 || || 31571188513, ... |- | 816 || || 31571188513, ... |- | 820 || || 1119337766869561, ... |- | 968 || || 52335185632753, ... |- | 972 || || 289085338292617, ... |- | 978 || || 60246544949557, ... |- | 1050 || || 64169172901, ... |- | 1410 || || 80293806421, ... |- | 2772 || A028502url=http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A028502 || 95295817, 124035913, ... |- | 3918 || || 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... |- | 9222 || || 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... |- | 9828 || || 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... |- | 14280 || || 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... |- | 23730 || || 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... |- | 31752 || A034916url=http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A034916 || 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... |- | 55848 || || 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... |- | 67782 || || 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... |- | 92568 || || 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... |- | 100932 || || 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... |}
## 성질
k가 1보다 큰 홀수이고 p = \frac{3k + 1} 2, \ q = 3k + 4가 모두 소수라면 p^2 q가 k-초완전수라는 것이 증명이 되어 있다. 2000년 Judson S. McCraine이 모든 1보다 큰 홀수 k에 대해 모든 k-초완전수가 이 꼴이라고 추측했지만 아직 증명이 되지 않았다. 서로 다른 홀수인 소수 p와 q가 존재하고 k(p + q) = pq - 1를 만족하는 자연수 k가 있다면 pq는 k-초완전수이다. k > 0이고 p = k + 1이 소수일 때, q = p^i - p + 1이 소수임을 성립시키는 모든 i에 대해 p^{i - 1} q가 k-초완전수라는 사실도 알려졌다. 아래 테이블은 이를 만족시키는 k와 i의 목록을 나타내고 있다. {| class="wikitable" |- ! k !OEIS ! 가능한 i의 값 |- | 16 || A034922 || 11, 21, 127, 149, 469, ... |- | 22 || || 17, 61, 445, ... |- | 28 || || 33, 89, 101, ... |- | 36 || || 67, 95, 341, ... |- | 42 || A034923 || 4, 6, 42, 64, 65, ... |- | 46 || A034924 || 5, 11, 13, 53, 115, ... |- | 52 || || 21, 173, ... |- | 58 || || 11, 117, ... |- | 72 || || 21, 49, ... |- | 88 || A034925 || 9, 41, 51, 109, 483, ... |- | 96 || || 6, 11, 34, ... |- | 100 || A034926 || 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ... |}
## 논문
* Daniel Minoli, Robert Bear, *Hyperperfect Numbers*, PME (Pi Mu Epsilon) Journal, University Oklahoma, Fall 1975, pp. 153-157. * Daniel Minoli, *Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers*, Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem; Vol. 4, No. 2, Dec 1978, pp. 277-302. * Daniel Minoli, *Structural Issues For Hyperperfect Numbers*, Fibonacci Quarterly, Feb. 1981, Vol. 19, No. 1, pp. 6-14. * Daniel Minoli, *Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers, Mathematics of Computation*, Vol. 34, No. 150, April 1980, pp. 639-645. * Daniel Minoli, *New Results For Hyperperfect Numbers*, Abstracts American Math. Soc., October 1980, Issue 6, Vol. 1, pp. 561. * Daniel Minoli, W. Nakamine, *Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms*, 1980 IEEE International Conf. on Acoust., Speech and Signal Processing. * Judson S. McCranie, *A Study of Hyperperfect Numbers*, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), https://web.archive.org/web/20040405175234/http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html
## 책
* Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, (p.114-134)