상극한과 하극한

수열의 상극한과 하극한. 파란 선은 수열 x_n이고, 두 빨간 곡선은 수열의 경계이며 x_n의 상극한과 하극한(검은 선)으로 수렴한다. 수학에서, 수열의 **상극한**(上極限, limit superior)과 **하극한**(下極限, limit inferior)은 간단히 말하면 일종의 수열의 경계의 극한이다. 함수의 상극한과 하극한도 이와 비슷하다. 집합의 극한점의 상한·하한으로 생각할 수도 있다. 상극한의 기호는 \limsup 또는 \varlimsup이며, 하극한의 기호는 \liminf 또는 \varliminf이다.
# 정의
상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서를 갖춘 위상 공간 속의 점렬 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. 위상수학에서, 점렬의 개념은 그물과 필터(또는 필터 기저)로 일반화된다. 필터는 집합족의 일종이며, 상극한·하극한의 개념은 임의의 집합족에 대하여 일반화된다. 또한, 임의의 함수 f\colon X\to Y 및 임의의 점 x_0\in X가 주어졌을 때, f가 x_0의 근방에서 취하는 값들의 집합족을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수 f의, 특정한 점 x_0\in X에서의 상극한·하극한을 정의할 수 있다.
## 집합족
Y가 완비 격자라고 하자. Y 속의 집합족 \mathcal B\subseteq\mathcal P(Y)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, Y의 부분 집합 :\\{\sup B\colon B\in\mathcal B\\} :\\{\inf B\colon B\in\mathcal B\\} 을 정의할 수 있다. 만약 \mathcal B가 하향 집합족라면 이들 역시 하향 집합이며, 만약 \mathcal B가 상집합이라면 이들 역시 상집합이다. 즉, 만약 \mathcal B가 필터라면 이들 역시 필터이다.

**증명:**

\mathcal B가 하향 집합족이라고 하면, 임의의 B_1,B_2\in\mathcal B에 대하여, B_3\subseteq B_1\cap B_2인 B_3\in\mathcal B가 존재한다. 그렇다면 \sup B_3\le\sup(B_1\cap B_2)\le(\sup B_1)\land(\sup B_2)이다. \mathcal B가 상집합이며, 임의의 B\in\mathcal B 및 y\in Y에 대하여, \sup B\le y라고 하자. 그렇다면 B\cup\\{y\\}\in\mathcal B이며 \sup(B\cup\\{y\\})=y이다.

이제, Y에 추가로 하우스도르프 위상이 부여되었다고 하고, \mathcal B가 하향 집합족이라고 하자. 그렇다면, :\sup\colon\mathcal B\to Y :\sup\colon(B\in\mathcal B)\to\sup B 는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, \mathcal B의 **상극한**은 이 그물의 극한이다. :\limsup\mathcal B=\lim_{B\to\bot}\sup B 마찬가지로, \mathcal B\subseteq\mathcal P(Y)가 상향 집합족이라고 하자. 그렇다면, :\inf\colon\mathcal B\to Y :\inf\colon(B\in\mathcal B)\mapsto\inf B 는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, \mathcal B의 **하극한**은 이 그물의 극한이다. :\liminf\mathcal B=\lim_{B\to\top}\inf B
## 그물과 점렬
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 부분 순서가 주어진 위상 공간 Y * 상향 원순서 집합 (I,\lesssim) * Y 위의 그물 y\colon I\to Y 그렇다면, 그물 y의 꼬리들의 필터 기저 :\operatorname{tail}(y)=\left\\{\\{y_i\colon i\le i_0\\}\colon i_0\in I\right\\} 를 생각하자. 그물 y의 **상극한** 및 **하극한**은 필터 기저 \operatorname{tail}(y) (또는 이로부터 생성되는 필터)의 상극한·하극한이다. :\limsup_{i\to\infty}y_i=\limsup\operatorname{tail}(y) :\liminf_{i\to\infty}y_i=\liminf\operatorname{tail}(y) 특히, Y의 점렬 y\colon\mathbb N\to Y은 그물의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다. 특히, Y가 순서 위상이 부여된 전순서 집합이며, 모든 상한과 하한이 존재한다고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 Y=\bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]). 그렇다면, 상극한·하극한의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다. :\limsup_{i\to\infty}y_i=\lim_{i_0\to\infty}\sup_{i\ge i_0}y_i=\inf_{i_0\in I}\sup_{i\ge i_0}y_i :\liminf_{i\to\infty}y_i=\lim_{i_0\to\infty}\inf_{i\ge i_0}y_i=\sup_{i_0\in I}\inf_{i\ge i_0}y_i
## 함수
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 부분 순서가 주어진 위상 공간 Y * 위상 공간 X * 함수 f\colon X\to Y * 점 x_0\in X 그렇다면, 다음과 같은 집합족을 생각할 수 있다. :B_{f,x_0,U}=f(U\setminus\\{x_0\\})=\left\\{f(x)\colon x\in U\setminus\\{x_0\\}\right\\} :\mathcal B_{f,x_0}=\left\\{B_{f,U,x_0}\colon U\in\mathcal N_{X,x_0}\right\\} 여기서 \mathcal N_{X,x_0}는 x_0\in X의 근방 필터이다. 즉, x_0의 근방에서 f가 취하는 값들의 집합족이다. \mathcal B_{f,x_0}는 Y 속의 필터를 이룬다. f의 x_0\in X에서의 **상극한** \textstyle\limsup_{x\to x_0}f(x)과 **하극한** \textstyle\liminf_{x\to x_0}f(x)은 각각 필터 \mathcal B_{f,x_0}의 상극한과 하극한이다. :\limsup_{x\to x_0}f(x)=\limsup\mathcal B_{f,x_0} :\liminf_{x\to x_0}f(x)=\liminf\mathcal B_{f,x_0} 특히, 만약 Y가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합이라고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 Y=\bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]). 그렇다면 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. :\limsup_{x\to x_0}f(x)=\inf_{U\in\mathcal N_{X,x_0\sup f\left(U\setminus\\{x_0\\}\right) :\limsup_{x\to x_0}f(x)=\sup_{U\in\mathcal N_{X,x_0\inf f\left(U\setminus\\{x_0\\}\right)
# 성질

## 존재
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 (X,\le) * 하향 원순서 집합 (I,\lesssim) * 순서를 보존하는 그물 x\colon I\to X. 즉, 만약 i,i'\in I에 대하여 i\lesssim i'이라면 x_i\le x_{i'}이다. 그렇다면, x는 \\{x_i\\}_{i\in I}의 하한으로 수렴한다. :\lim_{i\to\bot}x_i=\inf_{i\in I}x_i

**증명:**

편의상 :y=\inf_{i\in I}x_i 로 표기하자. 임의의 y_-가 주어졌다고 하자. 그렇다면, y_+는 (하한의 정의에 의하여) \\{x_i\\}_{i\in I}의 하계가 될 수 없으며, 따라서 x_{i_0}인 i_0\in I가 존재한다. 그렇다면, 임의의 i\lesssim i_0에 대하여 y_-이다.

따라서, 만약 (X,\le)가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 (X,\le)이라면, X 위의 필터 기저 \mathcal B는 항상 상극한과 하극한을 가지며, 이들은 다음과 같다. :\limsup\mathcal B=\inf_{B\in\mathcal B}\sup B :\liminf\mathcal B=\sup_{B\in\mathcal B}\inf B 특히, 확장된 실수 \bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]는 완비 전순서 집합이므로, 이 속의 그물 및 수열은 항상 상극한과 하극한을 가진다.
## 극한과의 관계
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 (X,\le) * 하향 원순서 집합 (I,\lesssim) * 그물 x\colon I\to X * 점 x_0\in X 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * \textstyle\lim_{i\in I}=x_0. 즉, (x_i)_{i\in I}는 x_0\in X로 수렴한다. * x_0=\limsup_{i\in I}=\liminf_{i\in I}이다.
## 상극한과 하극한의 관계
임의의 순서체 (K,\le) 속의 집합족 \mathcal B\subseteq\mathcal P(K)에 대하여 다음이 성립한다. :-\liminf\mathcal B=\limsup(-\mathcal B) :-\mathcal B=\\{-B\colon B\in\mathcal B\\}=\left\\{\\{-b\colon b\in B\\}\colon B\in\mathcal B\right\\} 마찬가지로, 임의의 순서체 (K,\le) 위의 그물 x\colon I\to K에 대하여, 상극한과 하극한에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다. :-\liminf_{i\to\infty}x_i=-\limsup_{n\to\infty}(-x_i) :\inf_{i\in I}x_i\le\liminf_{i\to\infty}x_i\le\limsup_{i\to\infty}(x_i)\le\sup_{i\in I}x_i 마찬가지로, 임의의 위상 공간 X 및 함수 f\colon X\to K 및 점 x_0\in X에 대하여, 다음이 성립한다. :-\liminf_{x\to x_0}f(x)=\limsup_{x\to x_0}(-f(x)) :\inf_{x\in X}f(x)\le\liminf f(x)\le\limsup_{x\to x_0}f(x)\le\sup_{x\in X}f(x)
## 가법성
순서체 (K,\le) 속의 두 그물 :a,b\colon I\to K 에 대하여, 만약 아래 부등식들의 우변이 존재한다면, 다음이 성립한다. :\limsup_{i\in I}(a_i+b_i)\le\limsup_{i\in I}(a_i)+\limsup_{i\in I}(b_i) :\liminf_{i\in I}(a_i+b_i)\ge\liminf_{i\in I}(a_i)+\liminf_{i\in I}(b_i) 또한, 만약 a나 b가 수렴한다면, 위의 두 부등식은 등식이 된다.
# 예
수열 x_n=\sin n에 대하여, π가 무리수이므로 다음이 성립한다. :\liminf_{n\to\infty}x_n=-1 :\limsup_{n\to\infty}x_n=+1 이는 균등 분포 정리에 의해 1,2,3,\ldots\,\bmod\,2\pi가 균등 분포이기 때문이다. 쌍둥이 소수 추측은 다음과 같은 내용을 담는다. :\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)=2 여기서 p_n은 n번째 소수이다.
## 함수
f의 그래프 (위상수학자의 사인 곡선) 위상수학자의 사인 곡선을 정의하는 함수 :f\colon\mathbb R\to\mathbb R :f\colon x\mapsto\begin{cases} \sin(1/x)&x;\ne0\\\ 0&x;=0 \end{cases} 를 생각하자. 그렇다면, :\liminf_{x\to 0}f(x)=-1 :\limsup_{x\to 0}f(x)=1 이다. (사실, f(0)의 값은 어떻든 상관없다.)