삼각수

처음 6개의 삼각수 수학에서 **삼각수**(三角數, triangular number)는 1부터 시작하는 연속된 자연수의 합을 나타내는 수이다. 이는 그림과 같이 정삼각형 모양으로 배열된 물체의 개수와 같다.
# 정의
음이 아닌 정수 n에 대하여, n번째 **삼각수** \operatorname{Tri}(n)는 다음과 같이 정의된다. :\operatorname{Tri}(n)=\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2=\binom{n+1}2 처음 몇 삼각수는 다음과 같다. :0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, ... A000217
# 성질

## 연산에 대한 닫힘
두 정수 a,b에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 임의의 삼각수 n에 대하여, an+b 역시 삼각수이다. * a는 어떤 홀수의 제곱이며, \textstyle b=\frac{a-1}8이다. 예를 들어, 만약 n이 삼각수라면, 9n+1과 25n+3 및 49n+6은 역시 삼각수이다.
## 항등식
3번째와 4번째 삼각수의 합은 4번째 정사각수이다. 삼각수를 변의 길이로 하는 정사각형은 변의 길이가 1인 정사각형 1개, 변의 길이가 2인 정사각형 2개, 변의 길이가 3인 정사각형 3개 등으로 분할된다. 따라서 *n*번째 삼각수의 제곱은 1부터 *n*까지의 자연수의 세제곱의 합과 같다. 삼각수와 임의의 m각수는 삼각수를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\operatorname{Pol}(m;n)=\operatorname{Tri}(n)+(m-3)\operatorname{Tri}(n-1)=n+(m-2)\operatorname{Tri}(n-1) 특히, 정사각수와 육각수 및 팔각수의 경우는 다음과 같다. :n^2=\operatorname{Tri}(n-1)+\operatorname{Tri}(n) :n(2n-1)=\operatorname{Tri}(n)+3\operatorname{Tri}(n-1)=\operatorname{Tri}(2n-1) :n(3n-2)=6\operatorname{Tri}(n-1)+n 첫째 등식에 따라, 두 연속된 삼각수의 합은 정사각수이다. 두 연속된 홀수째 또는 짝수째 삼각수의 합은 다음과 같다. :\operatorname{Tri}(n-1)+\operatorname{Tri}(n+1)=2\operatorname{Tri}(n)+1 삼각수는 선형 변환의 차이를 무시하면 홀수째 정사각수와 일치한다. 구체적으로, 다음이 성립한다. :(2n+1)^2=8\operatorname{Tri}(n)+1 삼각수는 다음과 같은 점화식을 갖는다. :\operatorname{Tri}(m+n)=\operatorname{Tri}(m)+\operatorname{Tri}(n)+mn :\operatorname{Tri}(mn)=\operatorname{Tri}(m)\operatorname{Tri}(n)+\operatorname{Tri}(m-1)\operatorname{Tri}(n-1) 조합론적으로, 첫 번째 항등식의 좌변은 m+n개의 원소에서 2개를 고르는 중복 조합의 수이며, 우변은 이를 앞의 m개에서만 고르는 경우와 뒤의 n개에서만 고르는 경우 및 앞과 뒤에서 하나씩 고르는 경우와 같이 세 가지로 나눠 센 결과이다. 특히, 다음이 성립한다. :\operatorname{Tri}(2n)=3\operatorname{Tri}(n)+\operatorname{Tri}(n-1) :\operatorname{Tri}(2n-1)=\operatorname{Tri}(n)+3\operatorname{Tri}(n-1) :\operatorname{Tri}(3n-1)=3\operatorname{Tri}(n)+6\operatorname{Tri}(n-1) :\operatorname{Tri}(n^2)=\operatorname{Tri}(n)^2+\operatorname{Tri}(n-1)^2 삼각수의 제곱은 1부터 시작하는 연속된 자연수의 세제곱 합과 같다. 구체적으로, 다음이 성립한다. :\operatorname{Tri}(n)^2=\sum_{k=1}^nk^3 삼각수의 합은 사면체수로 주어진다. 구체적으로, 다음이 성립한다. :\sum_{k=1}^n\operatorname{Tri}(k)=\frac{n(n+1)(n+2)}6
## 생성 함수
삼각수는 다음과 같은 생성 함수를 갖는다. :\sum_{n=0}^\infty\operatorname{Tri}(n)x^n=\frac x{(1-x)^3} :\sum_{n=0}^\infty x^{\operatorname{Tri}(n)}=\prod_{n=1}^\infty\frac{1-x^{2n{1-x^{2n-1
## 수론적 성질
삼각수의 임의의 정수에 대한 나머지에 대하여 다음이 성립한다. :\operatorname{Tri}(n+4k)\equiv\operatorname{Tri}(n)\pmod{2k} :\operatorname{Tri}(n+2k+1)\equiv\operatorname{Tri}(n)\pmod{2k+1} 즉, 삼각수의 홀수에 대한 나머지는 그 홀수를 주기로 가지며, 짝수에 대한 나머지는 그 짝수의 2배를 주기로 가진다. 예를 들어, 처음 몇 삼각수의 2, 3, 4에 대한 나머지는 각각 다음과 같다. :[0,] 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, ... A133872 :[0,] 1, 0, 0, 1, 0, 0, ... A079978 :0, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 0, 0, ... A105198 모든 자연수는 최대 3개의 삼각수의 합으로 나타낼 수 있다. 이는 페르마 다각수 정리의 특수한 경우이며, 카를 프리드리히 가우스가 1796년(가우스의 일기에 따르면 7월 10일)에 증명하였다. **정사각 삼각수**(正四角三角數, square triangular number)는 정사각수를 이루는 삼각수를 뜻한다. 정사각 삼각수를 찾는 문제는 다음과 같은 펠 방정식의 해를 구하는 문제와 동치이다. :x^2-2y^2=1 정사각 삼각수는 무한히 많이 존재하며, 이들은 정확히 다음과 같다. :\frac{(17+12\sqrt 2)^n+(17-12\sqrt 2)^n-2}{32}\qquad n\ge 0 이는 레온하르트 오일러가 1730년에 증명하였다. 처음 몇 정사각 사각수와 이들의 정사각수 지표 및 삼각수 지표는 다음과 같다. :0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, ... A001110 :0, 1, 6, 35, 204, 1189, ... A001109 :0, 1, 8, 49, 288, 1681, ... A001108 세제곱수를 이루는 삼각수는 0과 1을 제외하면 존재하지 않는다.
# 역사
일화에 의하면, 카를 프리드리히 가우스는 10살 때 1부터 100까지의 자연수를 모두 더하라는 선생님의 말을 듣고, 이러한 합을 1+100, 2+99와 같이 합이 101이 되는 50쌍의 수의 합으로 전환하여 5050임을 구하였다. 그러나 이야기의 진위와 상관 없이, 가우스는 이를 최초로 발견한 자가 아니다.