급수 (수학)

섬네일 미적분학 수학에서 **급수**(級數, series, ∑*an*)는 수열의 모든 항을 더한 것, 즉 **수열의 합**이다. 항의 개수가 유한한 **유한급수**(有限級數, finite series)와 항의 개수가 무한한 **무한급수**(無限級數, infinite series)로 분류된다. 무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수인 **수렴급수**와 그렇지 않은 **발산 급수**로 분류된다. **산술급수**, **기하급수**(등비급수)로도 분류할 수 있다. 급수의 항은 실수 · 복소수, 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘으로 표현된다. 유한급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다. 수열의 합에는 Σ(시그마, sigma) 기호가 쓰인다.
# 정의
수열 (a_n)_{n=0}^\infty에 대한 (무한) **급수** \sum_{n=0}^\infty a_n는 수열의 항들의 형식적인 합이다. 즉, :\sum_{n=0}^\infty a_n=a_0+a_1+a_2+\cdots 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n의 **부분합**(部分合, partial sum) \sum_{n=0}^N a_n은 처음 오는 유한 개의 항에 대한 합이다. 즉, :\sum_{n=0}^N a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_N 부분합의 수열 \textstyle\left(\sum_{n=0}^N a_n\right)_{N=0}^\infty이 수렴하면 이 급수를 **수렴급수**, 그렇지 않다면 **발산 급수**라고 한다. 수렴급수 \sum_{n=0}^\infty a_n의 **합**은 그 부분합의 극한이며, 이 역시 \sum_{n=0}^\infty a_n로 표기한다. 즉, :\sum_{n=0}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N a_n \sum_{n=0}^\infty |a_n|도 수렴하는 수렴급수를 **절대 수렴급수**, 그렇지 않은 수렴급수를 **조건 수렴급수**라고 한다.
## 가산 첨수 급수
가산 무한 집합 I 및, 자연수 집합 \N과 I 사이의 일대일 대응 i\colon\N\to I가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 a\colon I\to\R에 대한 급수 \sum_{i\in I}a_i는 다음과 같이 정의된다. :\sum_{i\in I}a_i=\sum_{n=0}^\infty a_{i_n} 다만, 이 정의가 유효하려면, 급수 \sum_{i\in I}a_i의 합이 일대일 대응 i의 선택에 의존하지 않아야 한다. 만약 급수가 적어도 하나의 i에 대하여 절대 수렴한다면, 다른 모든 i에 대해서도 절대 수렴하며, \sum_{i\in I}a_i의 합이 같다. 만약 급수가 적어도 하나의 i에 대하여 조건 수렴한다면, 다른 합을 갖게 되는 i가 존재하며, 나아가 리만 재배열 정리에 따라, 임의의 주어진 합을 갖도록 i를 취할 수 있다.
## 임의 첨수 급수
임의의 집합(특히 비가산 집합) I가 주어졌다고 하자. 모든 i\in I에 대해 a_i\geq0이라고 가정하자. 급수 \sum_{i\in I}a_i를 다음과 같이 정의할 수 있다. :\sum_{i\in I}a_i=\sup_{J\subset I,|J|\frac1n\right\\ 이며 :\left|\left\\{i\in I\colon a_i>\frac1n\right\\}\right| 이므로, I'이 가산 개 유한 집합의 합집합이 되어 가산 집합이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 함수 a\colon I\to[0,\infty]에 대한 급수 \sum_{i\in I}a_i는 다음과 같이 가산 집합에 대한 정의로 귀결된다. :\sum_{i\in I}a_i=\sum_{i\in I'}a_i
# 수렴성
급수에게는 여러 유형의 수렴성이 존재하며, 이들 수렴성을 알아내는 많은 종류의 수렴 판정법이 존재한다.
## 발산 급수
수렴급수가 아닌 급수를 발산 급수라고 한다. 예를 들어, 0이 아닌 상수 c에 대해 상수항 급수 :\sum_{n=0}^\infty c = c+c+c+\cdots 는 발산 급수이다. 또한 다음의 조화급수 역시 발산한다. : \sum_{n=1}^{\infty} {1 \over n} = {1 \over 1}+{1 \over 2} +{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots : \;\; ={1 \over 1}+\left({1 \over 2} \right)+\left({1 \over 3}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}\right)+\cdots : > {1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 4}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}\right)+\cdots : \;\;\;\; = {1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\cdots : \;\;\;\; = 1+ 0.5 +0.5 +0.5+0.5+ \cdots : \;\;\;\; = 1+ 1+1 + \cdots :\therefore \; {1 \over 1}+{1 \over 2} +{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots > 1+ 1+1 + \cdots 또한 이것은 아래의 리만 제타 함수 \zeta(1)이기도 하다. : {1 \over 1^1}+{1 \over 2^1} +{1 \over 3^1}+{1 \over 4^1}+{1 \over 5^1}+{1 \over 6^1}+{1 \over 7^1}+{1 \over 8^1}+\cdots
## 조건 수렴
절대 수렴급수가 아닌 수렴급수를 보고 조건 수렴급수라고 한다. 예를 들어, 교대급수 :\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}=1-\frac12+\frac13-\cdots 는 자기 자신은 수렴급수이나, 절댓값을 취한 조화급수는 발산 급수이므로, 조건 수렴급수이다.
## 절대 수렴
급수 \sum_{n=0}^{\infty} a_n에 항별로 절댓값을 취한 급수 \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|이 수렴급수라면, 원래 급수도 자동으로 수렴급수가 되며, 이 경우 원래 급수를 절대 수렴급수라고 한다. 예를 들어, 기하급수 :\sum_{n=0}^\infty\left(-\frac12\right)^n=1-\frac12+\frac14-\cdots 는 자기 자신이 수렴급수이며, 절댓값을 취한 :\sum_{n=0}^\infty\left(\frac12\right)^n=1+\frac12+\frac14+\cdots 도 수렴급수이므로, 절대 수렴급수이다.
## 수렴 판정법
수렴판정법 * (*n*항판정법) 만약 lim*n*→∞ *an* = 0이지 않으면, ∑*an*은 발산한다. * (비교판정법) 궁극적으로 |*an*| ≤ |*bn*|인 경우, ∑*bn*이 절대수렴하면 ∑*an*도 절대수렴하며, ∑*an*이 절대수렴하지 않으면 ∑*bn*도 절대수렴하지 않는다. * (비판정법) 만약 궁극적으로 !*an*! *q*이게끔 하는 *q* > 1가 존재한다면, ∑*an*은 절대수렴하지 않는다. * (근판정법) 만약 궁극적으로 |*an|**'n* *q* 이게끔 하는 *q* > 1가 존재한다면, ∑*an*은 절대수렴하지 않는다. * (적분판정법) 만약 *f* 가 [1, ∞)에서 단조감소하고 *f* (*n*) = *an*(*n* = 1, 2, ...)이면, ∑*an*과 ∞ *f* (*x*)*dx*는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다. * (코시 응집판정법) *an*이 음이 아니며 단조감소하는 경우, ∑*an*과 ∑2*k**'a*2*k*은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다. * (교대급수판정법) 만약 *an*이 단조감소하며 0으로 수렴한다면, ∑(-1)*nan*은 수렴한다. * (디니 판정법)