곱집합

집합 *A* = {*x*, *y*, *z*}와 *B* = {1, 2, 3}의 곱집합 *A* × *B*. 2, ..., 10, J, Q, K, A의 곱집합이라 생각할 수 있다. 집합론에서 **곱집합**(곱集合, product set , product) 또는 **데카르트 곱**(Descartes곱, 카티지언 프로덕트)은 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 A,B의 곱집합 A\times B는 \\{(a,b)|a\in A,b\in B\\}이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 곱이다.
# 정의
첨수족 \\{A_i\\}_{i\in I}의 곱집합 \textstyle\prod_{i\in I}A_i는 다음과 같다. :\prod_{i\in I}A_i=\\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A_i\\} 특히, 유한 개의 집합 A_1,A_2,\dotsc,A_n의 곱집합 A_1\times A_2\times\cdots\times A_n은 다음과 같다. :A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\\{(a_1,a_2,\dotsc,a_n)|a_i\in A_i\\} 집합 A,I에 대하여, A의 I번 곱집합 A^I는 다음과 같다. :A^I=\\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A\\} 특히, 집합 A와 순서수 \alpha에 대하여, A의 \alpha번 곱집합 A^{\times\alpha}는 다음과 같다. :A^{\times\alpha}=\\{(a_\beta)_{\beta<\alpha}|a_\beta\in A\\} 특히, 집합 A 및 음이 아닌 정수 n에 대하여, A의 n번 곱집합 A^{\times n}은 다음과 같다. :A^{\times n}=\\{(a_1,a_2,\dotsc,a_n)|a_i\in A\\}
# 성질
[[파일:CartDistr A = [1, 4]를 표시하고, x축에 B = [2, 5], C = [4, 7]을 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 A와 B ∪ C 및 B ∩ C 및 B \ C의 곱집합을 표시한 것|섬네일|분배 법칙을 설명한 그림. 여기서 *A* = [1, 4], *B* = [2, 5], *C* = [4, 7].|223x223픽셀]] [[파일:CartUnion A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 (A ∪ B) × (C ∪ D), (A × C) ∪ (B × D)를 표시한 것|섬네일|(*A* ∪ *B*) × (*C* ∪ *D*) ⊋ (*A* × *C*) ∪ (*B* × *D*). 여기서 *A* = [2, 5], *B* = [3, 7], *C* = [1, 3], *D* = [2, 4].]] [[파일:CartInts A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 (A ∩ B) × (C ∩ D), (A × C) ∩ (B × D)를 표시한 것|섬네일|(*A* ∩ *B*) × (*C* ∩ *D*) = (*A* × *C*) ∩ (*B* × *D*). 여기서 *A* = [2, 5], *B* = [3, 7], *C* = [1, 3], *D* = [2, 4].]] * (기수의 곱의 정의) |A\times B|=|A||B| * (기수의 거듭제곱의 정의) |A^B|=|A|^{|B|} * \varnothing\times A=A\times\varnothing=\varnothing * (교환 법칙의 실패) A\times B\ne B\times A\qquad(A,B\ne\varnothing,\;A\ne B) ** 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 (a,b)\mapsto(b,a)가 존재한다. * (결합 법칙의 실패) (A\times B)\times C\ne A\times(B\times C)\qquad(A,B,C\ne\varnothing) ** 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 ((a,b),c)\mapsto(a,(b,c))가 존재한다. * (분배 법칙) A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C) * (분배 법칙) A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C) * (분배 법칙) A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus(A\times C) * \prod_{i\in I}\bigcup_{j\in J}A_{ij}\supseteq\bigcup_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij} * \prod_{i\in I}\bigcap_{j\in J}A_{ij}=\bigcap_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij} * 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.) ** \prod_{i\in I}A_i\subseteq\prod_{i\in I}B_i ** A_i=\varnothing인 i\in I가 존재하거나, 임의의 i\in I에 대하여 A_i\subseteq B_i이다. * 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.) ** \prod_{i\in I}A_i=\varnothing ** A_i=\varnothing인 i\in I가 존재한다. * 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다. *:\pi_i\colon\prod_{i\in I}A_i\to A *:\pi_i\colon(a_i)_{i\in I}\mapsto a_i * (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 \\{f_i\colon B\to A_i\\}_{i\in I}에 대하여, f_i=\pi_i\circ f (i\in I)를 만족시키는 유일한 함수 f\colon B\to\prod_{i\in I}A_i가 존재한다.
# 예
데카르트 좌표 평면 \mathbb R^2은 [[실수선 \mathbb R과 자기 자신의 곱집합이다.]] * \\{1,2\\}\times\\{3,4,5\\}=\\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\\} * \mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R=\\{(x,y)|x,y\in\mathbb R\\} * \mathbb R^3=\mathbb R\times\mathbb R\times\mathbb R=\\{(x,y,z)|x,y,z\in\mathbb R\\}
# 역사
르네 데카르트의 이름을 땄다.