스킴 (수학)

대수기하학에서 **스킴**(scheme, 스케마)은 국소적으로 가환환의 스펙트럼과 동형인 공간이다. 대수다양체와 대수적 정수환들의 공통적인 일반화이다.
# 정의
**아핀 스킴**(affine scheme)은 (1이 있는) 어떤 가환환의 스펙트럼과 동형인 국소환 달린 공간이다. **스킴**은 국소적으로 아핀 스킴과 동형인 "공간"이다. 이 개념은 다음과 같은 방법으로 엄밀하게 정의할 수 있다.
## 국소환 달린 공간을 통한 정의
**스킴**은 국소적으로 아핀 스킴과 동형인 국소환 달린 공간이며, **스킴의 범주** \operatorname{Sch}는 스킴으로 구성된, 국소환 달린 공간의 범주 \operatorname{LocRingedSp}의 충만한 부분 범주이다. 즉, 국소환 달린 공간 X가 열린 덮개 \\{U_\alpha\\}를 가져, 각 U_\alpha가 아핀 스킴을 이루는 경우 X를 스킴이라고 한다.74url-status = dead44, Definition 3.897, Définition I.2.1.2
## 점함자를 통한 정의
스킴의 개념은 다음과 같이 더 추상적으로 정의할 수도 있다.언어=frChapitre I 아핀 스킴의 범주 \operatorname{Aff}=\operatorname{CRing}^{\operatorname{op 위에, 자리스키 위상에 대한 그로텐디크 위상을 주면 \operatorname{Aff}는 위치를 이룬다. 이 위치 위의 (집합 값을 갖는) 층의 범주 \operatorname{Sh}(\operatorname{Aff})를 생각하자. 이는 토포스를 이룬다. 이 그로텐디크 위상은 준표준 위상이다. 즉, 임의의 가환환 R에 대하여, 준층 :\hom_{\operatorname{Aff(-,R)=\hom_{\operatorname{CRing(R,-)\colon\operatorname{Aff}^{\operatorname{op\to\operatorname{Set} 은 층을 이룬다. 이를 통해 포함 함자 :I\colon\operatorname{Aff}\to\operatorname{Sh}(\operatorname{Aff}) :I\colon R\to\hom_{\operatorname{Aff(-,R) 를 정의할 수 있으며, 가환환을 층으로 여길 수 있다. 가환환 R와 그 속의 아이디얼 \mathfrak a\subseteq R이 주어졌을 때, 층 I(R)의 다음과 같은 부분층을 정의할 수 있다.Exemple I.3.5 :I_{\mathfrak a}(R)\colon S\mapsto \\{\phi\in\hom_{\operatorname{CRing(R,S)\colon S=S\phi(\mathfrak a)\\} 준층 F\colon\operatorname{Aff}^{\operatorname{op\to\operatorname{Set}의 **열린 부분층**은 다음 조건을 만족시키는 부분층 U\subseteq F이다.Définition I.3.6 * 임의의 가환환 R 및 층 사상 f\in\hom_{\operatorname{Sh}(\operatorname{Aff})}(I(R),F)에 대하여, I(R)의 부분층 f^{-1}(F)\subseteq I(R)는 f^{-1}(F)=I_{\mathfrak a}(R)가 되는 아이디얼 \mathfrak a\subseteq R가 존재한다. 층 F\in\operatorname{Sh}(\operatorname{Aff})가 다음 조건을 갖는 표현 가능 열린 부분층 \\{U_i\cong\hom_{\operatorname{CRing(R_i,-)\\}_{i\in I}들을 갖는다고 하자. * 임의의 체 K\in\operatorname{Aff}에 대하여, \textstyle\bigcup_{i\in I}\hom_{\operatorname{Sh}(\operatorname{Aff})}(I(K),U_i)=\hom_{\operatorname{Sh}(\operatorname{Aff})}\left(I(K),F\right)이다. 그렇다면 이 조건들을 만족시키는, \operatorname{Sh}(\operatorname{Aff})의 충만한 부분 범주를 정의할 수 있다. 이 범주를 **스킴의 범주** \operatorname{Sch}로 정의하며, 스킴은 이 범주의 원소이다.§I.3.11 이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 국소환 달린 공간으로서의 스킴 X가 주어지면, 다음과 같은 준층을 정의할 수 있다. :\operatorname{Aff}^{\operatorname{op\to\operatorname{Set} :\operatorname{Spec}R\mapsto\hom_{\operatorname{Sch(\operatorname{Spec}R,X) 즉, 이는 \operatorname{Spec}R에 대하여, X의 \operatorname{Spec}R-점들의 집합을 대응시킨다. 이를 **점함자**(functor of points)라고 한다. 이 준층은 자리스키 위상에 대하여 층을 이루며, 위 조건에 따라 스킴이 되는 것을 보일 수 있다.
## 스킴의 사상의 해석
스킴 사상 f\colon X\to Y가 주어졌을 때, 이를 다음과 같이 세 가지로 해석할 수 있으며, 이에 따라 스킴 사상을 서로 다른 용어로 부른다. * f는 **Y 위의 스킴**을 정의한다. 이는 Y가 체(의 스펙트럼)인 경우의 일반화이다. * f는 Y의 **X-점**을 정의한다. 이는 X가 체(의 스펙트럼)인 경우의 일반화이다. * f는 **Y에 의해 매개되는 족**을 정의한다. 이는 X와 Y 둘 다 유한 차원이며, \dim X\ge\dim Y인 경우의 일반화이다.
### *S* 위의 스킴
스킴 S가 주어졌을 때, **S 위의 스킴의 범주** \operatorname{Sch}/S는 S에 대한 조각 범주이며, **S 위의 스킴**(*S*-scheme 또는 scheme over *S*)은 그 대상이다. 즉, *S* 위의 스킴 (X,f)은 스킴 X와 스킴 사상 f\colon X\to S의 순서쌍이다.78 K가 체나 가환환이라면, **K 위의 스킴**은 \operatorname{Spec}K 위의 스킴과 같다. \operatorname{Spec}\mathbb Z는 스킴의 범주의 끝 대상이므로, "\mathbb Z 위의 스킴"은 "스킴"과 같은 뜻이다.
### 점
스킴 X는 위상 공간이므로, 위상 공간으로서의 점을 정의할 수 있다. 스킴은 일반적으로 T1 공간이 아니므로, 닫힌 점과 닫히지 않은 점을 구분할 수 있다. 스킴의 닫히지 않은 점은 **일반점**이라고 한다. 닫힌 점은 대수다양체의 실제 "점"에 대응하며, 닫히지 않은 점은 (그 폐포를 취하면) 닫힌 부분 스킴에 대응한다. 보다 일반적으로, 임의의 스킴 S에 대하여, X의 **S-점**(S-point)은 스킴 사상 f\colon S\to X를 뜻한다. 고전적으로는 S가 어떤 체 K의 스펙트럼인 경우를 다루며, 이 경우 \operatorname{Spec}K\to X는 X를 체 K 위에서 정의하였을 때의 점에 대응한다. X의 **기하학적 점**(幾何學的點, geometric point)은 어떤 대수적으로 닫힌 체 K에 대한 \operatorname{Spec}K-점이다.
### 족
스킴 S로 매개화되는 스킴의 **족**(族, family of schemes)은 스킴의 사상 X\to S이다.언어=en70 스킴의 족 f\colon X\to S의, 점 s\in S에서의 **올**(fiber)은 s에서의 줄기인 국소환 (\mathcal O_{S,s},\mathfrak m(\mathcal O_{S,s}))의 잉여류체 \mathcal O_{S,s}/\mathfrak m(\mathcal O_{S,s})에 대한 올곱 :X_s=X\times_S\operatorname{Spec}(\mathcal O_{S,s}/\mathfrak m(\mathcal O_{S,s})) 이다.89 X_s는 위상 공간으로서 원상 f^{-1}(s)와 위상 동형이다.92, Exercise II.3.10 따라서, 스킴 사상 X\to S은 체 위의 스킴들의 족으로 해석할 수 있다. 예를 들어, 정수환 \mathbb Z 위의 스킴 S\to\mathbb Z이 주어졌을 때, 이는 각 소수 p에 대한 스킴 S\times_{\mathbb Z}\mathbb F_p 및 유리수체 위의 스킴 S\times_{\mathbb Z}\mathbb Q의 족으로 해석할 수 있다. 스킴의 족은 매우 일반적인 개념이므로, 보통 평탄 사상을 이루는 평탄한 족(flat family), 매끄러운 사상을 이루는 매끄러운 족(smooth family) 등이 쓰인다.
## 몰입과 부분 스킴
두 국소환 달린 공간 (Y,\mathcal O_Y), (X,\mathcal O_X) 사이의 사상 \iota\colon Y\to X가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **열린 몰입**(open immersion)이라고 한다. * \iota는 위상 공간의 열린 매장이다. 즉, \iota는 단사 함수이며, \iota(Y)\subset X는 열린집합이다. * \iota^*\mathcal O_X\cong\mathcal O_Y이다. 두 국소환 달린 공간 (Y,\mathcal O_Y), (X,\mathcal O_X) 사이의 사상 \iota\colon Y\to X가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **닫힌 몰입**(closed immersion)이라고 한다. * \iota는 위상 공간의 닫힌 매장이다. 즉, \iota는 단사 함수이며, \iota(Y)\subset X는 닫힌집합이다. * 층의 사상 \iota^\\#\colon \mathcal O_X\to \iota_*\mathcal O_Y은 전사 사상이다. 스킴 (X,\mathcal O_X)의 **열린 부분 스킴**(open subscheme)은 위상 공간으로서 X의 열린집합 U\subset X이며, U 위의 구조층은 층의 역상 f^*\mathcal O_X이다.79, Exercise II.2.2; 85 이에 따라, 열린 몰입 U\to X가 존재한다. 스킴 (X,\mathcal O_X) 위에, 준연접층인 아이디얼 층 \mathcal J가 주어졌을 때, \mathcal J에 대응하는 **닫힌 부분 스킴**(closed subscheme)은 집합으로서 닫힌집합 \operatorname{supp}\mathcal J\subseteq X이며, 그 위의 구조층은 (\mathcal O_X/\mathcal J)|_{\operatorname{supp}\mathcal J}이다.85 이에 따라, 닫힌 몰입 \operatorname{supp}\mathcal J\to X가 존재한다. 스킴의 열린 부분 집합이 주어지면 이에 대응하는 열린 부분 스킴이 유일하게 결정되지만, 스킴의 닫힌 부분 집합이 주어지면 이에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 유일하지 않을 수 있다. 스킴 X의 **부분 스킴**(部分scheme, subscheme, sous-schéma)은 열린 부분 스킴의 닫힌 부분 스킴이다.120, Définition I.4.1.3 X의 부분 스킴 Y의 부분 스킴 Z가 주어졌을 때, Z는 X의 부분 스킴이다.120–121, Proposition I.4.1.6
# 성질

## 위상수학적 성질
모든 스킴은 위상 공간으로서 차분한 공간이며 따라서 콜모고로프 공간이다. 또한, 모든 스킴은 국소 콤팩트 공간이다. 그러나 스킴은 일반적으로 T1 공간이지 않을 수 있다. 구체적으로, 위상 공간 X에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **스펙트럼 공간**(spectral space)이라고 한다.언어=en * X\cong\operatorname{Spec}R인 가환환 R가 존재한다. * X는 유한 콜모고로프 공간들의 역극한이다. * X는 콤팩트 콜모고로프 차분한 공간이며, X의 콤팩트 열린집합들의 모임은 X의 기저를 이루며, X의 두 콤팩트 열린집합 C_1,C_2\subseteq X에 대하여, C_1\cap C_2 역시 콤팩트 집합이다. 그렇다면 임의의 위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.58, Theorem 9 * 위상 공간으로서 X와 위상 동형인 스킴 S가 존재한다. * 모든 x\in X에 대하여, 스펙트럼 공간을 이루는 열린 근방 U\ni x가 존재한다. 또한, 임의의 위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.60, Proposition 16 * 위상 공간으로서 X와 위상 동형인 분리 스킴 S가 존재한다. * X는 어떤 스펙트럼 공간의 열린 부분 공간이다. * X는 어떤 아핀 스킴의 열린 부분 스킴과 위상 동형이다.
## 범주론적 성질
스킴의 범주 \operatorname{Sch}는 유한 완비 범주이지만, 완비 범주도, 쌍대 완비 범주도, 심지어 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 구체적으로, 스킴의 범주는 다음과 같은 (쌍대) 극한을 갖는다. * 모든 유한 극한이 존재한다. ** 유한 곱 X_1\times\dotsb\times X_n이 존재한다. 다만, 일반적으로 스킴의 곱은 위상 공간으로서의 곱과 다르다. ** 끝 대상이 존재하며, \operatorname{Spec}\mathbb Z이다. 이는 \mathbb Z가 가환환의 범주 \operatorname{CRing}의 시작 대상이기 때문이다. ** 올곱 X\times_ZY가 존재한다. 이 때 Z=\operatorname{Spec}\mathbb Z로 놓으면 이는 일반적인 곱이 된다. 스킴의 올곱은 **밑 변환**(-變換, base change)이라고 한다. 즉, 이는 Z 위의 스킴 X를 Y 위의 스킴 X\times_ZY으로의 밑 변환이다. * 임의의 (작은) 쌍대곱 \bigsqcup_{i\in I}X_i이 존재한다. 이는 스킴의 분리합집합이다. * 시작 대상이 존재하며, \operatorname{Spec}0 (자명환 \\{0\\}의 스펙트럼)이다. 이는 자명환 0이 가환환의 범주 \operatorname{CRing}의 끝 대상이기 때문이다. 위상 공간으로서 이는 공집합이다. 하지만 스킴의 범주에서는 다음과 같은 (쌍대) 극한들이 존재하지 않는다. * 스킴들의 무한 곱은 일반적으로 존재하지 않는다. (다만, 아핀 스킴들의 무한 곱은 가환환의 무한 쌍대곱이므로 존재한다.) * 스킴들의 밂은 일반적으로 존재하지 않는다. ** 두 스킴 X,Y 및 열린 몰입 Z\hookrightarrow X, Z\hookrightarrow Y이 존재하였을 때 X\cup_ZY는 존재한다. 즉, 스킴을 열린 부분 스킴을 통해 이어붙일 수 있다. ** 두 스킴 X,Y 및 닫힌 몰입 Z\hookrightarrow X, Z\hookrightarrow Y이 존재하였을 때 X\cup_ZY는 존재한다. 즉, 스킴을 닫힌 부분 스킴을 통해 이어붙일 수 있다.url-status=Corollary 3.9
### 아핀 스킴과의 관계
아핀 스킴의 범주 \operatorname{Aff}는 (대수 구조 다양체의 범주인 가환환 범주 \operatorname{CRing}의 반대 범주이므로) 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 아핀 스킴의 범주 \operatorname{Aff}는 스킴의 범주 \operatorname{Sch}의 반사 부분 범주이다. 포함 함자 I\colon\operatorname{Aff}\hookrightarrow\operatorname{Sch}의 왼쪽 수반 함자는 구조층의 대역적 단면환의 스펙트럼이다. :R\colon \operatorname{Sch}\to\operatorname{Aff} :R\colon (X,\mathcal O_X)\mapsto\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal O_X) :R\dashv I 즉, 아핀 스킴의 극한은 스킴의 극한과 일치한다. 반대로, 스킴의 쌍대극한은 (만약 존재한다면) 아핀 스킴의 쌍대극한과 일반적으로 일치하지 않지만, 스킴의 쌍대극한에 R 함자를 가하면 이는 아핀 스킴의 쌍대극한과 일치한다.
### 국소환 달린 공간과의 관계
모든 국소환 달린 공간의 범주 \operatorname{LocRingSp}는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 포함 함자 :\operatorname{Sch}\to\operatorname{LocRingSp} 에 따라, 스킴의 범주는 국소환 달린 공간의 범주의 충만한 부분 범주를 이룬다. 이 포함 함자는 쌍대극한을 보존하지 않으며, 일반적 극한도 보존하지 않는다. 그러나 이는 유한 극한을 보존한다.언어=enTheorem 8
## 그로텐디크 위상
스킴의 범주 \operatorname{Sch} 위에는 다양한 그로텐디크 준위상들이 존재한다. 이들은 공통적으로 다음과 같은 형태로 정의된다. :어떤 스킴 사상들의 모임 \mathfrak M이 주어졌을 때, X의 덮개는 다음 조건을 만족시키는 사상들의 집합 \\{f_i\colon Y_i\to X\\}_{i\in I}이다. :*\\{f_i\\}_{i\in I}\subset\mathfrak M :* 집합으로서, \bigcup_if(Y_i)=X이다. 이에 따라, 다음과 같은 위상들을 정의할 수 있다. {| class=wikitable ! 이름 || 덮개를 이루는 사상 || 비고 |- | **자리스키 위상** \operatorname{Zar} || 열린 몰입 || 이는 고전적인 자리스키 위상으로부터 유도된다. |- | **에탈 위상** \operatorname{\acute Et} || 에탈 사상 |- | **fppf 위상** || 국소 유한 표시 평탄 사상 || 충실하게 평탄 유한 표시(fidèlement plate de présentation finie)의 프랑스어 머릿글자 |} 이 밖에도, 다음과 같은 위상들이 존재한다. * **fpqc 위상**: 충실하게 평탄한(fidèlement plate) 준콤팩트(quasi-compacte) 사상. 흔히 사용되는 위상 가운데 가장 섬세하다. * **니스네비치 위상**(Нисневич-, Nisnevich topology). 이는 예브세이 니스네비치(Евсей А. Нисневич)가 도입하였으며, 대수적 K이론 · \mathbb A^1 호모토피 이론 · 모티브 이론에서 쓰인다. * **신토믹 위상**(syntomic topology).언어=en 이는 일부 경우 평탄 위상보다 더 계산하기 쉬우며, 주로 수론에서 쓰인다. 이 위상들은 다음과 같이, 섬세함에 대하여 전순서 집합을 이룬다. (여기서 오른쪽으로 갈 수록 더 섬세한 위상이다.) :비이산 위상 → 자리스키 위상 → 니스네비치 위상 → 에탈 위상 → fppf 위상 → fpqc 위상 → 표준 위상 → 이산 위상 fpqc 위상은 흔히 사용되는 가장 섬세한 그로텐디크 위상이므로, 흔히 사용되는 모든 그로텐디크 위상들은 준표준 위상이다 (즉, 표현 가능 준층은 항상 층을 이룬다).
# 종류
스킴 이론에서는 수많은 기술적인 용어들이 사용된다. 우선, 위상 공간의 성질을 스킴에 적용할 수 있다. * **기약 스킴**은 위상 공간으로서 기약 공간인 스킴이다. * **(준)콤팩트 스킴**((quasi-)compact scheme)은 위상 공간으로서 콤팩트 공간인 스킴이다. 주의할 것은 대수기하학에서는 "콤팩트" 대신 "준콤팩트"(quasicompact)를 사용하고, "콤팩트 하우스도르프" 대신 "콤팩트"를 사용하는 경우가 잦다. 물론 스킴은 거의 항상 하우스도르프 공간이 아니다. * **연결 스킴**(connected scheme)은 위상 공간으로서 연결 공간인 스킴이다. * 스킴의 **(크룰) 차원**((Krull) dimension)은 위상 공간으로서의 크룰 차원이다. 또한, 가환환의 성질을 스킴으로 일반화할 수 있다. * **축소 스킴**은 모든 열린 집합 U\subset X에서 구조층 \mathcal O_X(U)이 축소환인(0이 아닌 멱영원을 갖지 않는) 스킴 X이다. * **뇌터 스킴**은 뇌터 환의 스펙트럼으로 구성된 유한 열린 덮개가 존재하는 스킴이다. * **정칙 스킴**은 특이점을 갖지 않는 스킴이다. 즉, 모든 줄기가 정칙 국소환을 이루는 스킴이다. 이 밖에도, 다음과 같은 용어가 사용된다. * **분리 스킴**은 위상 공간의 하우스도르프 조건과 유사한 조건을 만족시키는 스킴이다. * **정역 스킴**은 기약 스킴인 축소 스킴이다. 일반적으로, 체 K가 주어졌을 때, K 위의 스킴의 성질 P가 다음 조건을 만족시킨다면, P를 **기하학적 성질**(幾何學的性質, geometric property)이라고 한다. * 임의의 K 위의 스킴 X\to\operatorname{Spec}K 및 임의의 체의 확대 L/K에 대하여, 만약 X\to\operatorname{Spec}K가 P를 만족시킨다면, 올곱 X\otimes_{\operatorname{Spec}K}\operatorname{Spec}L 역시 (L 위의 스킴으로서) P를 만족시킨다. 스킴의 성질 P가 다음 조건을 만족시킨다면, P를 **국소적 성질**(局所的性質, local property)이라고 한다. * 스킴 X가 P를 만족시킬 필요충분조건은 임의의 열린 부분 스킴으로 구성된 열린 덮개 \\{U_i\\}_{i\in I}에 대하여 모든 U_i가 P를 만족시키는 것이다.
## 대수다양체
대수다양체 대수적으로 닫힌 체 K 위의 대수다양체의 범주를 \operatorname{Var}/K라고 하자.\operatorname{Sch}/K는 K 위의 스킴의 범주라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자 t\colon\operatorname{Var}/K\to\operatorname{Sch}/K가 존재하며, 이에 따라 \operatorname{Var}/K는 \operatorname{Sch}/K의 충만한 부분 범주를 이룬다.issn=0072-528578 대수다양체 V에 대하여, t(V)를 V의 자리스키 위상 아래 닫힌 집합들의 집합이라고 하자. t(V) 위에 위상을, 닫힌 집합의 t에 대한 상들이 닫힌 것으로 정의하자. 그렇다면 함수 \alpha\colon x\to\\{x\\}는 연속 함수이다. \mathcal O_V가 V 위의 다항식함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 층의 상(image) \alpha_*\mathcal O_V는 t(V) 위의 환의 층 구조를 이룬다. 이에 따라 t(V)는 국소환 달린 공간의 구조를 갖춘다. 이 사상에 따라, 아핀 다양체의 상이 아핀 스킴임을 보일 수 있다. 대수다양체는 국소적으로 아핀 대수다양체인 공간이고, 스킴은 국소적으로 아핀 스킴인 공간이므로, t가 대수다양체에서 스킴으로의 함자임을 보일 수 있다. 또한, 이 스킴 t(V)의 경우, 상수함수로 인하여 정의되는 사상 t(V)\to\operatorname{Spec}K가 존재한다. 따라서 t(V)는 K 위의 스킴이다. 이 함자는 충실충만한 함자이다.79 이 함자의 상은 유한형 정역 분리 스킴이다.105 관련된 용어로서, **대수적 스킴**(代數的scheme, algebraic scheme)은 체 위의 유한형 분리 스킴이다. 즉, 대수다양체는 정역 대수적 스킴이다.
## 사상의 종류
상당수의 형용사는 두 스킴 사이의 사상에 적용된다. 스킴 사이의 사상은 보통 계수체/환이 주어져 있는 스킴으로 여길 수 있으므로, 이러한 형용사는 스킴에도 적용될 수 있다. 예를 들어, 유한형 *k* 위의 스킴 X는 그 사상 X\to\operatorname{Spec}k이 유한형인 스킴이다. * **유한형 사상**: 대략 "유한 여차원"을 뜻한다. * **유한 사상**: 대략 "여차원 0"을 뜻한다. * **평탄 사상**: 대략 "올이 연속적으로 변하는 족을 이루는 사상"이다. 즉, 일부 특수한 점에서 올이 퇴화할 수 있으나, 이 "퇴화"가 "연속적"으로 일어남을 뜻하며, 이러한 특수한 점은 "측도 0"이어야 한다. * **에탈 사상**: 대략 "국소 위상 동형"에 해당한다. 즉, 매끄러운 사상 가운데 여차원이 0인 것이다. * **매끄러운 사상**: 대략 평탄 사상 가운데, "특수한" (올이 퇴화하는) 점이 없는 것을 뜻한다. * **우세 사상**(dominant morphism)은 상이 조밀 집합인 스킴 사상이다. 이 밖에도, 일반위상수학에서 사용되는 연속 함수의 다음과 같은 성질들이 사용된다. * 단사 함수 * 전사 함수 * 열린 함수 * 닫힌 함수 * 준콤팩트 함수 (그러나 스킴의 고유 사상은 일반위상수학의 고유 함수와 관계없다.) 스킴의 사상의 성질 P가 다음 조건을 만족시킨다면, **밑 변환에 대하여 안정적인 성질**(property stable under base change)이라고 한다.90 * 스킴의 사상 f\colon X\to Y가 P를 만족시킨다면, 임의의 스킴 Y' 및 사상 Y'\to Y에 대하여, X\times_Y Y'\to Y' 역시 P를 만족시킨다. 예를 들어, 유한형 사상은 밑 변환에 대하여 안정적이다. 밑 변환에 대하여 안정적이지 않은 성질 P에 대하여, **보편 P 사상**(universally P morphism)은 다음과 같은 사상 f\colon X\to S이다. * 임의의 사상 S'\to S에 대하여, 밑 변환 f'\colon X\times_SS'\to S'은 항상 P 사상이다.
# 예

## 위상 공간으로서 동형이지만 스킴으로서 동형이 아닌 두 스킴
가장 간단한 예로, 서로 동형이 아닌 체 K, L를 생각하자. 모든 체의 스펙트럼은 한원소 공간이지만, 서로 동형이 아닌 체에 대응하는 아핀 스킴은 스킴으로서 서로 동형이 아니다.
## 위상 공간으로서의 곱과 다른 스킴의 곱
스킴의 곱은 거의 항상 집합(또는 위상 공간)으로서의 곱과 일치하지 않으며, 후자보다 점이 더 많을 수도, 적을 수도 있다. 예를 들어, K가 체라고 하자. 그렇다면 \operatorname{Spec}K는 한원소 공간이며, 따라서 위상 공간으로서의 곱을 취한다면 여전히 한원소 공간을 얻는다. :\operatorname{Spec}K\times_{\operatorname{Top\operatorname{Spec}K\cong\\{\bullet\\} 그러나 :\operatorname{Spec}K\times_{\operatorname{Sch\operatorname{Spec}K =\operatorname{Spec}(K\otimes_{\mathbb Z}K) 의 경우, K\otimes_{\mathbb Z}K는 체가 아닌 축소환이므로 2개 이상의 소 아이디얼을 가지며, 따라서 한원소 공간이 아니다. 이 스킴의 점들은 구체적으로 k=\mathbb F_{\operatorname{char}K} (또는 \operatorname{char}K=0인 경우 k=\mathbb Q) 위의 갈루아 군 \operatorname{Aut}(K/k)에 대응한다.footnote 39 다른 예로, X와 Y가 서로 다른 표수의 체 위에 정의된 스킴이라면, X\times Y는 아무 점을 갖지 않는다.footnote 38 체 위의 스킴의 경우, 체에 대한 올곱 역시 위상 공간으로서의 곱공간과 다르다. 예를 들어, 체 K에 대한 아핀 스킴 \mathbb A^1_K=\operatorname{Spec}K[x]을 생각하자.91, Exercise II.3.9 그렇다면 :\mathbb A^1_K\times_K\mathbb A^1_K=\mathbb A^2_K=\operatorname{Spec}K[x,y] 이다. 이 경우, \operatorname{Spec}K[x,y]의 점들의 집합은 \mathbb A^1_K의 점들의 집합의 제곱과 일반적으로 다르다. 이는 아핀 평면 속에는 곱으로 나타낼 수 없는 대수 곡선들이 존재하기 때문이다. 다만, 닫힌 점들로 국한할 경우, \mathbb A^2_K의 닫힌 점들은 K^2와 표준적으로 대응하므로, \mathbb A^2_K의 닫힌 점들은 \mathbb A^1_K의 닫힌 점들의 집합의 제곱과 같다.
# 역사
대수기하학의 이탈리아 학파는 대수다양체의 일반점의 개념을 도입하였으며, 바르털 레인더르트 판데르바르던은 1926년 책에서 일반점의 개념을 엄밀히 정의하였다. 이후 볼프강 크룰은 파리에서의 강의에서 임의의 가환환의 스펙트럼 및 그 위의 자리스키 위상을 정의하였으나 관중들은 크룰의 정의를 비웃었고, 크룰은 이 이론을 출판하지 않았다.언어=en 피에르 카르티에 역시 박사 학위 논문을 집필하던 중 그로텐디크의 스킴와 동치인 개념을 독자적으로 제안하였으나, 논문이 서론부터 지나치게 길어지는 것을 피하기 위하여 논문에 수록하지 않았다. 스킴의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 그의 저서 《대수기하학 원론》 1권언어=fr에서 처음으로 정의하였다. 원래 그로텐디크는 《대수기하학 원론》 초판에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"(prescheme, préschéma)라고 불렀고, 오직 분리 "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판언어=fr에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다. 그로텐디크는 스킴의 개념에 대하여 회고록에 다음과 같이 적었다. 51