소 아이디얼

환론에서 **소 아이디얼**(素ideal, prime ideal)은 아이디얼 가운데 소수와 같은 성질을 갖는 것들이다. 가환환의 소 아이디얼은 대수기하학에서 아핀 스킴의 부분다양체에 대응하며, 아핀 스킴의 위상 공간의 한 점을 이룬다.
# 정의
환 R의 양쪽 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 **소 아이디얼**이라고 한다. * 임의의 두 양쪽 아이디얼 \mathfrak a,\mathfrak b\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak a\mathfrak b\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak a\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak b\subseteq\mathfrak p이다.언어=en155, Definition 10.1 * 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 (r)(s)\subseteq\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.155, Proposition 10.2 * 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rRs\subseteq\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.155, Proposition 10.2 * 임의의 오른쪽 아이디얼 \mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak A\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak B\subseteq\mathfrak p이다.155, Proposition 10.2 * 임의의 왼쪽 아이디얼 \mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak A\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak B\subseteq\mathfrak p이다.155, Proposition 10.2 * R\setminus\mathfrak p는 m계를 이룬다.156, Corollary 10.4 * 몫환 R/\mathfrak p가 소환이다.158 여기서 환 R의 부분 집합 S\subseteq R가 다음 조건을 만족시킨다면 **m계**(m系, m-system)라고 한다. * 임의의 s,t\in S에 대하여, srt\in S인 r\in R가 존재한다. 물론, 모든 곱셈 모노이드는 m계를 이룬다.
## 완전 소 아이디얼
환 R의 양쪽 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 **완전 소 아이디얼**(完全素ideal, completely prime ideal)이라고 한다. * 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다. * 몫환 R/\mathfrak p는 영역이다.194 * R\setminus\mathfrak p는 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.
## 소원
소환 R의 원소 p\in R가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 **소원**(素元, prime element)이라고 한다.언어=en§4.2 * pR=Rp * p\ne0 * pR는 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 모든 t\in R에 대하여 p\mid rts라면, p\mid r이거나 p\mid s이다. (여기서 p\mid a는 a\in Rp=pR를 뜻한다.) 마찬가지로, 소환 R의 원소 p\in R가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 **완전 소원**(完全素元, completely prime element)이라고 한다.§4.2 * pR=Rp * p\ne0 * pR는 완전 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 p\mid rs라면 p\mid r이거나 p\mid s이다. 물론 pR=Rp인 것은 가환환에서 자동적으로 성립한다. (가환) 정역에서, 모든 소원은 기약원이지만,url-status=284, Proposition 8.11 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다. 예를 들어, 유수가 1이 아닌 대수적 정수환 \mathbb Z[\sqrt{-5}]에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.284 :3\mid 9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}) :3\nmid2+\sqrt{-5} :3\nmid2-\sqrt{-5}
# 성질
일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :아이디얼 ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ 극대 아이디얼 그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다. 임의의 환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 영 아이디얼이 소 아이디얼이다. * 소환이다. 임의의 환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다. * 영역이다. (극대 아이디얼의 경우 마찬가지로 단순환에 대응한다.) 자명환이 아닌 환은 초른 보조정리에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 극대 아이디얼을 갖는다). 주어진 환 R의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 항상 하나 이상의 극소 원소들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, \mathfrak p에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.
## 함자성
환의 스펙트럼 두 환 R, S 사이의 환 준동형 f\colon R\to S 및 S의 완전 소 아이디얼 \mathfrak p\vartriangleright S에 대하여, 그 원상 f^{-1}(\mathfrak p)는 R의 완전 소 아이디얼이다. (그러나 이는 소 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.) 따라서, R의 완전 소 아이디얼들의 집합을 \operatorname{compSpec}(R)라고 한다면, 이는 함자 :\operatorname{compSpec}\colon\operatorname{Ring}^{\operatorname{op\to\operatorname{Set} 를 정의한다. 가환환의 경우, 완전 소 아이디얼과 소 아이디얼의 개념이 일치한다. 이 경우, 사실 가환환 R의 소 아이디얼의 집합 \operatorname{Spec}(R)은 위상 공간 및 스킴의 구조를 부여할 수 있어 스킴의 범주 \operatorname{Sch}로 가는 함자 :\operatorname{Spec}\colon\operatorname{Ring}^{\operatorname{op\to\operatorname{Sch} 를 정의한다.
## 소 아이디얼 원리
환 R의 양쪽 아이디얼들의 집합 \mathcal F\subseteq\operatorname{Sub}(R_R)가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, **오카 족**([岡]族, Oka family)이라고 한다.Definition 2.1Definition 2.1 * R\in\mathcal F * 임의의 r\in R 및 양쪽 아이디얼 _R\mathfrak a_R에 대하여, 만약 \mathfrak a+RrR\in\mathcal F이며 (r)^{-1}\mathfrak a=\\{s\in R\colon rRs\subseteq\mathfrak a\\}\in\mathcal F이며 \mathfrak a(r)^{-1}=\\{s\in R\colon sRr\subseteq\mathfrak a\\}라면, \mathfrak a\in\mathcal F이다. **소 아이디얼 원리**(prime ideal principle)에 따르면,언어=enTheorem 3.4url-status=2.4 \mathcal F가 환 R의 오카 족이라고 할 때, \mathcal F의 여집합 \operatorname{Sub}(_RR_R)\setminus\mathcal F의 극대 원소는 소 아이디얼이다. (여기서 \operatorname{Sub}(_RR_R)는 R의 모든 양쪽 아이디얼들의 집합이다.) 특히, 다음과 같은 아이디얼 족은 오카 족이다. * 환 R의 m계 S\subseteq R에 대하여, S와 교차하는 양쪽 아이디얼들의 족 \\{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon\mathfrak a\cap S\ne\varnothing\\}은 오카 족이다.Proposition 3.1 ** 가환환 R의 임의의 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, S와 교차하는 아이디얼들의 족 \\{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon\mathfrak a\cap S\ne\varnothing\\}은 오카 족이다.Proposition 3.1 * 환 R의 오른쪽 가군 M_R에 대하여, \\{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon N\mathfrak a\ne0\;\forall N_R\subseteq M_R,\; N_R\ne0\\}는 오카 족이다.Proposition 3.5 ** 가환환 R의 가군 M에 대하여, \operatorname{Ideal}(R)\setminus\\{\operatorname{Ann}_R(m)\colon m\in M\setminus\\{0\\}\\}은 오카 족이다.Proposition 3.5 (여기서 \operatorname{Ann}(-)은 소멸자를 뜻한다.) * 환 R의 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 만약 모든 s\in S에 대하여 sR=Rs라면, \\{Rs=sR\colon s\in S\\}는 오카 족이다.Proposition 4.1 ** 가환환 R의 임의의 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, S의 원소로 생성되는 주 아이디얼들의 족 \\{(s)\colon s\in S\\}은 오카 족이다.Proposition 3.17 특히, 모든 주 아이디얼들의 족 \\{(r)\colon r\in R\\}은 오카 족이다. * 가환환 R의 유한 생성 아이디얼들의 족은 오카 족이다.Proposition 3.16 (그러나 이는 비가환환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.§2)
## 소 아이디얼 회피
다음 데이터가 주어졌다고 하자. * 환 R * R의 양쪽 아이디얼들의 유한 집합 \\{\mathfrak a_1,\dots,\mathfrak a_n\\}. 또한, n\ge3에 대하여 \mathfrak a_n은 완전 소 아이디얼이다. * R의 부분 유사환 (즉, 곱셈에 대하여 닫힌, 1을 포함하지 않을 수 있는 덧셈 부분군) S\subseteq R. 또한, 모든 1\le i\le n에 대하여 S\not\subseteq\mathfrak a_i이다. **소 아이디얼 회피 정리**(素ideal回避定理, prime avoidance)에 따르면, 다음이 성립한다.언어=en * S\not\subseteq\bigcup_{i=1}^n\mathfrak a_i 즉, S가 각 아이디얼들을 회피한다면, 모든 아이디얼들을 동시에 회피한다.

**증명**:

n에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. n=1인 경우는 자명하다. n\ge2일 때, 귀납 가정에 의하여 각 1\le i\le n에 대하여 :s_i\in S\setminus\bigcup_{j\ne i}\mathfrak a_j 를 고를 수 있다. 그렇다면 :S\setminus\bigcup_{i=1}^n\mathfrak a_i\ni s= \begin{cases} s_i&\exists 1\le i\le n\colon s_i\not\in\mathfrak a_i\\\ s_1\cdots s_{n-1}+s_n&\forall 1\le i\le n\colon s_i\in\mathfrak a_i \end{cases} 이다.

## 가환환의 소 아이디얼
가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 = 완전 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼 가환환 R의 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. * \mathfrak p는 소 아이디얼이다. * \mathfrak p는 완전 소 아이디얼이다. * R/\mathfrak p가 정역이다. 가환환 R의 소 아이디얼 \mathfrak p의 여집합 R\setminus\mathfrak p가 모노이드를 이루므로, R\setminus\mathfrak p에 대하여 국소화를 취할 수 있다. 이 경우 (R\setminus\mathfrak p)^{-1}R는 국소환을 이룬다. 가환환의 준동형 f\colon R\to S 및 S의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, f^{-1}(\mathfrak p)는 R의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.) 가환환의 소 아이디얼의 이러한 성질들은 대수기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이러한 이유 때문에, 환의 스펙트럼은 더 기하학적으로 자연스러운 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 사용한다. * 소 아이디얼의 준동형에 대한 원상이 소 아이디얼이므로, 이는 가환환의 범주에서 집합의 범주(또는 다른 구체적 범주)로 가는 반변 함자를 이룬다. 다시 말해, 환 준동형은 아핀 스킴 사이의 함수를 정의한다. * 소 아이디얼의 여집합은 모노이드를 이루므로, 소 아이디얼에서 국소화를 취할 수 있으며, 이렇게 하여 얻은 환은 국소환이다. 즉, 환의 구조는 소 아이디얼에 대하여 국소적이다.
### 높이
아이디얼의 높이 가환환 R의 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R의 **높이** \operatorname{ht}\mathfrak p는 그 속에 포함되는 소 아이디얼들의 사슬의 길이의 상한이다. :\operatorname{ht}\mathfrak p=\max\\{n\colon\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n=\mathfrak p\\} 특히, 높이가 0인 소 아이디얼은 포함 관계에 따라서 극소 원소인 소 아이디얼과 같으며, 이를 **극소 소 아이디얼**(極小素ideal, minimal prime ideal)이라고 한다. 예를 들어, * 가환 아르틴 환의 경우 (크룰 차원이 0이므로) 극소 소 아이디얼 · 소 아이디얼 · 극대 아이디얼의 개념이 일치한다. * 정역의 경우 유일한 극소 소 아이디얼은 영 아이디얼이다. * 가환 뇌터 환은 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는다. (이는 에미 뇌터가 증명하였다.)
# 예
정수환 \mathbb Z의 소 아이디얼들은 소수와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 p는 p의 배수들로 구성된 아이디얼 p\mathbb Z=\\{np\colon n\in\mathbb Z\\}\subset\mathbb Z와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. 수론에서 소수 p가 두 정수의 곱 ab를 나누면 p는 a나 b 둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, \mathfrak p\ne R이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.
# 역사
역사적으로, 아이디얼의 개념은 수체의 대수적 정수환이 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니라는 발견에서 비롯되었다. 수체의 대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다. 비가환환에서의 소 아이디얼의 정의는 볼프강 크룰이 1928년에 제시하였다.언어=de