요네다 보조정리

범주론에서 **요네다 보조정리**([米田]補助定理, Yoneda lemma)는 특정한 범주를 집합 값의 함자 범주에 묻는 함자를 만들 수 있게 하는 보조정리다. 군론의 케일리의 정리를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학과 표현론에서 중요하게 쓰인다.
# 보조정리
\mathcal C가 국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상 A\in\mathcal C에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다 (\operatorname{Set}는 집합의 범주). : \hom(A,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set} : \hom(A,-)\colon B\mapsto\hom(A,B) 이 함자에서, 사상 f\colon B\to C의 상은 다음과 같다. :\hom(A,f)\colon\hom(A,B)\to\hom(A,C) :\hom(A,f)\colon g\mapsto f\circ g 마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 (^\operatorname{op}는 반대 범주). :\hom(-,A)\colon\mathcal C^{\operatorname{op\to\operatorname{Set} :\hom(-,A)\colon B\mapsto\hom(B,A) :\hom(f,A)\colon\hom(C,A)\to\hom(B,A)\qquad(f\colon B\to C) :\hom(f,A)\colon g\mapsto g\circ f 그리고 함자 F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}가 주어졌다고 하자. **요네다 보조정리**에 따르면, 모든 대상 A\in\mathcal C에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다. : \operatorname{Nat}(\hom(A,-),F) \cong F(A) 이 때, * \operatorname{Nat}(\hom(A,-),F)은 모든 자연 변환 \Phi\colon\hom(A,-)\Rightarrow F들의 집합이다. * F(A)\in\operatorname{Set}는 A의 상이다. 위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다. :\Phi\mapsto\Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A) 이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 (\operatorname{Set}^{\mathcal C}는 함자 \mathcal C\to\operatorname{Set}와 자연 변환의 범주).zbl=0906.1800161 :\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)\colon\mathcal C\times\operatorname{Set}^{\mathcal C}\to\operatorname{Set} :\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)\colon(A,F)\mapsto\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F) :-(-)\colon\mathcal C\times\operatorname{Set}^{\mathcal C}\to\operatorname{Set} :-(-)\colon(A,F)\mapsto F(A) 즉, 위 일대일 대응들은 이 두 함자 사이의 자연 동형을 이룬다. 첫 번째 함자에서, 사상 (f\colon A\to B,\Phi\colon F\Rightarrow G)의 상은 다음과 같다. :\operatorname{Nat}(\hom(f,-),\Phi)\colon\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F)\to\operatorname{Nat}(\hom(B,-),G) :\operatorname{Nat}(\hom(f,-),\Phi)=\operatorname{Nat}(\hom(B,-),\Phi)\circ\operatorname{Nat}(\hom(f,-),F)=\operatorname{Nat}(\hom(f,-),G)\circ\operatorname{Nat}(\hom(A,-),\Phi) :\operatorname{Nat}(\hom(f,-),\Phi)\colon\Psi\mapsto\Phi\circ\Psi\circ\hom(f,-) 두 번째 함자에서, 사상 (f\colon A\to B,\Phi\colon F\Rightarrow G)의 상은 다음과 같다. :\Phi_f\colon F(A)\to G(B)\qquad(f\colon A\to B,\;\Phi\colon F\Rightarrow G) :\Phi_f=\Phi_B\circ F(f)=G(f)\circ\Phi_A 마찬가지로, 모든 함자 F\colon\mathcal C^{\operatorname{op\to\operatorname{Set} 및 대상 A\in\mathcal C에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다. : \operatorname{Nat}(\hom(-,A),F) \cong F(A) 이 때 * \operatorname{Nat}(\hom(-,A),F)는 자연 변환 \Phi\colon\hom(-,A)\Rightarrow F들의 집합이다. * F(A)는 A의 상이다. 이 일대일 대응 :\Phi\mapsto\Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A) 들은 함자 :\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)'\colon\mathcal C^{\operatorname{op\times\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op\to\operatorname{Set} :\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)'\colon(A,F)\mapsto\operatorname{Nat}(\hom(-,A),F) :\operatorname{Nat}(\hom(-,f),\Phi)\colon\operatorname{Nat}(\hom(-,B),F)\to\operatorname{Nat}(\hom(-,A),G)\qquad(f\colon A\to B,\;\Phi\colon F\Rightarrow G) :\operatorname{Nat}(\hom(-,f),\Phi)=\operatorname{Nat}(\hom(-,A),\Phi)\circ\operatorname{Nat}(\hom(-,f),F)=\operatorname{Nat}(\hom(-,f),G)\circ\operatorname{Nat}(\hom(B,-),\Phi) :\operatorname{Nat}(\hom(-,f),\Phi)\colon\Psi\mapsto\Phi\circ\Psi\circ\hom(-,f) 와 :-(-)'\colon\mathcal C^{\operatorname{op\times\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op\to\operatorname{Set} :-(-)'\colon(A,F)\mapsto F(A) :\Phi_f\colon F(B)\to G(A)\qquad(f\colon A\to B,\;\Phi\colon F\Rightarrow G) :\Phi_f=\Phi_A\circ F(f)=G(f)\circ\Phi_B 사이의 자연 동형을 이룬다.
# 증명
쌍대성에 따라, 함자 F가 \mathcal C\to\operatorname{Set}인 경우를 증명하면 충분하다. (F\colon\mathcal C^{\operatorname{op\to\operatorname{Set}의 경우, \mathcal C를 그 반대 범주로 대체한다.) 임의의 자연 변환 \Phi\colon\hom(A,-)\Rightarrow F에 대해 \Phi_A(\operatorname{id}_A)를 생각할 수 있다. \Phi_A는 A\to A 함자를 F(A)의 원소로 옮겨야 하고, \operatorname{id}_A\colon A\to A이므로, \Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)임을 알 수 있다. 이제, 모든 u \in F(A)에 대해 \Phi_A(\operatorname{id}_A)=u인 유일한 자연 변환 \Phi를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(diagram chasing)를 사용하여 증명할 수 있다. 자연 변환 : \Phi_X(f) = (F f)u 은 자명하게 \Phi_A(\operatorname{id}_A)=u를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로, \Phi_A(\operatorname{id}_A)=u를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해, u \in F(A)의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.
# 요네다 매장
국소적으로 작은 범주 \mathcal C가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상 A\in\mathcal C와 함자 F=\hom(-,B)\colon\mathcal C^{\operatorname{op\to\operatorname{Set}를 대입하면 다음 전단사 함수를 얻는다. : \hom(A,B)\cong\operatorname{Nat}(\hom(-,A),\hom(-,B)) : f\mapsto\hom(-,f) 사실, 이는 함자 범주 \operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op로 가는 함자 :\hom(-,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op :\hom(-,-)\colon A\mapsto\hom(-,A) :\hom(-,-)\colon f\mapsto\hom(-,f) 를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 충실충만한 함자이다. 다시 말해, 이 함자는 범주 \mathcal C를 그 성질 그대로 \operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op 안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 **요네다 매장**([米田]埋藏, Yoneda embedding)이라고 부른다. 마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수 :\hom(A,B)\cong\operatorname{Nat}(\hom(B,-),\hom(A,-)) :f\mapsto\hom(f,-) 는 전단사 함수이며, 다음과 같은 충실충만한 함자가 존재한다. :\hom(-,-)'\colon\mathcal C^{\operatorname{op\to\operatorname{Set}^{\mathcal C} :\hom(-,-)'\colon A\mapsto\hom(A,-) :\hom(-,-)'\colon f\mapsto\hom(f,-)
# 역사
일본의 수학자 요네다 노부오가 1954년에 발표하였다.언어=en