미분 다양체

지구본에 대한 미분 불가능한 도표 아틀라스. 아틀라스가 미분 가능하지 않으면 도표 간에 미적분 결과가 호환되지 않을 수 있다. 중앙 및 오른쪽 도표에서 북회귀선은 매끄러운 곡선인 반면, 왼쪽 도표에서는 날카로운 모서리가 있다. 미분 다양체의 개념은 도표 간 변환 함수가 미분 가능해야 한다는 요구 사항을 통해 다양체의 개념을 정교화한다. 수학에서 **미분 다양체**(differentiable manifold, differential manifold)는 미적분학을 적용할 수 있을 만큼 국소적으로 벡터 공간과 충분히 유사한 유형의 다양체이다. 모든 다양체는 도표 모음(아틀라스)으로 설명될 수 있다. 그런 다음 각 도표는 일반적인 미적분 규칙이 적용되는 벡터 공간 내에 있으므로 개별 도표 내에서 작업하는 동안 미적분학의 아이디어를 적용할 수 있다. 도표가 적절하게 호환된다면(즉, 한 도표에서 다른 도표로의 전환이 미분 가능하다면) 한 도표에서 수행된 계산은 다른 미분 가능 도표에서도 유효하다. 형식적으로, **미분 다양체**는 전역적으로 정의된 미분 구조를 갖는 위상 다양체이다. 모든 위상 다양체는 아틀라스의 위상동형사상과 벡터 공간의 표준 미분 구조를 사용하여 국소적으로 미분 구조를 부여할 수 있다. 위상동형사상에 의해 유도된 국소 좌표계에 전역 미분 구조를 유도하려면 아틀라스에서 도표 교차점에서의 합성은 해당 벡터 공간의 미분 가능 함수여야 한다. 즉, 도표의 정의역이 겹치는 부분에서는 각 도표에 의해 정의된 좌표가 아틀라스의 모든 도표에 의해 정의된 좌표에 대해 미분 가능해야 한다. 다양한 도표에 의해 정의된 좌표를 서로 관련시키는 사상을 변환 사상이라고 한다. 추상 공간에 이러한 국소 미분 구조를 정의할 수 있는 능력은 전역 좌표계가 없는 공간으로 미분 가능성의 정의를 확장할 수 있게 한다. 국소 미분 구조를 통해 전역적으로 미분 가능한 접공간, 미분 가능한 함수, 미분 가능한 텐서장 및 벡터장을 정의할 수 있다. 미분 다양체는 물리학에서 매우 중요하다. 특수한 종류의 미분 다양체는 고전역학, 일반 상대성이론, 양-밀스 이론과 같은 물리 이론의 기초를 형성한다. 미분 다양체에 대한 미적분학을 개발하는 것이 가능하다. 이는 외미분학과 같은 수학적 도구로 이어진다. 미분 다양체에 대한 미적분학 연구는 미분기하학으로 알려져 있다. 다양체의 "미분 가능성"은 연속 미분 가능, k번 미분 가능, 매끄러운 (그 자체로 여러 의미를 가짐), 해석적 등 여러 의미로 정의되어 왔다.
# 역사
다양체와 대수다양체의 역사 미분기하학이 독립적인 학문으로 등장한 것은 일반적으로 카를 프리드리히 가우스와 베른하르트 리만의 공으로 여겨진다. 리만은 괴팅겐 교수진 앞에서 그의 유명한 하빌리타치온 강연에서 다양체를 처음으로 설명했다.B. Riemann (1867). 그는 주어진 물체를 새로운 방향으로 변형하는 직관적인 과정을 통해 다양체 개념을 제시했으며, 후속의 형식적 발전에 좌표계와 도표의 역할에 대해 선견지명 있게 설명했다. : n차원 다양체 개념을 구성하고, 그 진정한 특성이 그 안에서 위치를 n개의 크기 결정으로 축소할 수 있다는 속성으로 구성된다는 것을 발견했으며, ... – B. Riemann 제임스 클러크 맥스웰과 같은 물리학자들,Maxwell himself worked with quaternions rather than tensors, but his equations for electromagnetism were used as an early example of the tensor formalism; see . 그리고 수학자 그레고리오 리치쿠르바스트로와 툴리오 레비치비타See G. Ricci (1888), G. Ricci and T. Levi-Civita (1901), T. Levi-Civita (1927).의 연구는 텐서 해석학과 공변성 개념의 발전을 이끌었고, 이는 고유한 기하학적 속성을 좌표 변환에 대해 불변인 것으로 식별한다. 이러한 아이디어는 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성이론과 그 기초가 되는 등가원리에서 중요한 응용을 찾았다. 2차원 다양체의 현대적 정의는 헤르만 바일이 1913년 저서 《리만 곡면》에서 제시했다.See H. Weyl (1955). 아틀라스를 통한 다양체의 널리 받아들여지는 일반적인 정의는 해슬러 휘트니 덕분이다.H. Whitney (1936).
# 정의

## 아틀라스
M을 위상 공간이라 하자. M의 **도표** (U, φ)는 M의 열린 부분집합 U와 U에서 일부 유클리드 공간 **R**n의 열린 부분집합으로 가는 위상동형사상 φ로 구성된다. 다소 비형식적으로, 도표 φ : U → **R**n는 φ의 상이 **R**n의 열린 부분집합이고 φ가 그 상으로 가는 위상동형사상임을 의미한다. 일부 저자들의 용어 사용에서는 이것이 φ : U → **R**n 자체가 위상동형사상임을 의미할 수도 있다. 도표의 존재는 M에서 미분학을 수행할 가능성을 시사한다. 예를 들어, 함수 u : M → **R**와 M의 도표 (U, φ)가 주어지면, 합성 u ∘ φ−1를 고려할 수 있다. 이는 정의역이 유클리드 공간의 열린 부분집합인 실수 값 함수이다. 따라서 미분 가능하면 편미분을 고려할 수 있다. 이 상황은 다음과 같은 이유로 완전히 만족스럽지는 않다. M에 대한 두 번째 도표 (V, ψ)를 고려하고, U와 V가 공통점을 일부 포함한다고 가정하자. 두 해당 함수 u ∘ φ−1와 u ∘ ψ−1는 서로 재매개변수화될 수 있다는 점에서 연결되어 있다. u\circ\varphi^{-1}=\big(u\circ\psi^{-1}\big)\circ\big(\psi\circ\varphi^{-1}\big), 오른쪽 항의 자연스러운 정의역은 φ(U ∩ V)이다. φ와 ψ가 위상동형사상이기 때문에 ψ ∘ φ−1는 φ(U ∩ V)에서 ψ(U ∩ V)로 가는 위상동형사상이다. 결과적으로 이는 단지 이연속 함수이므로, 두 함수 u ∘ φ−1와 u ∘ ψ−1가 모두 미분 가능하더라도 그 미분 속성은 서로 강하게 연결되지 않을 것이다. 왜냐하면 ψ ∘ φ−1가 연쇄 법칙을 오른쪽 항에 적용하여 왼쪽 항의 편미분을 계산할 수 있을 만큼 충분히 미분 가능하다고 보장할 수 없기 때문이다. 함수 c : **R** → M를 대신 고려하는 경우에도 같은 문제가 발생한다. 다음 재매개변수화 공식으로 이어진다. \varphi\circ c=\big(\varphi\circ\psi^{-1}\big)\circ\big(\psi\circ c\big), 이 시점에서 이전과 동일한 관찰을 할 수 있다. 이 문제는 변환 사상 ψ ∘ φ−1이 모두 미분 가능한 M의 도표 "미분 가능 아틀라스"를 도입하여 해결된다. 이렇게 하면 상황이 매우 깔끔해진다. u ∘ φ−1이 미분 가능하면 위에서 나열된 첫 번째 재매개변수화 공식 때문에 u ∘ ψ−1도 영역 ψ(U ∩ V)에서 미분 가능하며 그 반대도 마찬가지이다. 또한 이 두 사상의 도함수는 연쇄 법칙으로 서로 연결된다. 주어진 아틀라스에 상대적으로, 이는 정의역 또는 공역이 M인 미분 가능한 사상의 개념과 그러한 사상의 도함수 개념을 용이하게 한다. 형식적으로 "미분 가능"이라는 단어는 다소 모호하다. 왜냐하면 저자마다 다른 의미로 받아들이기 때문이다. 때로는 1계 도함수의 존재를 의미하고, 때로는 연속 1계 도함수의 존재를 의미하며, 때로는 무한히 많은 도함수의 존재를 의미한다. 다음은 "미분 가능 아틀라스"의 다양한 (모호하지 않은) 의미에 대한 공식적인 정의를 제공한다. 일반적으로 "미분 가능"은 k ≥ 1인 경우 이러한 모든 가능성을 포함하는 포괄적인 용어로 사용된다. {| class="wikitable" ! ! colspan="5" | 위상 공간 M이 주어졌을 때... |- | Ck 아틀라스 | rowspan="4" | 도표 모음은 | {φα : Uα → **R**n}α∈A | rowspan="4" | {Uα}α∈A가 M을 덮고, A의 모든 α와 β에 대해 변환 사상 p=−1은 다음과 같다. | Ck 사상 |- | 매끄러운 또는 C ∞ 아틀라스 | {φα : Uα → **R**n}α∈A | 매끄러운 사상 |- | 해석적 또는 C ω 아틀라스 | {φα : Uα → **R**n}α∈A | 실해석적 사상 |- | 정칙 아틀라스 | {φα : Uα → **C**n}α∈A | 정칙 사상 |} \mathbf R^n 모든 실해석적 사상은 매끄럽고, 모든 매끄러운 사상은 임의의 k에 대해 Ck이므로, 모든 해석적 아틀라스는 매끄러운 아틀라스로 볼 수 있으며, 모든 매끄러운 아틀라스는 Ck 아틀라스로 볼 수 있다. 이 연쇄는 정칙 아틀라스를 포함하도록 확장될 수 있으며, **C**n의 열린 부분집합 사이의 모든 정칙 사상은 **R**2n의 열린 부분집합 사이의 실해석적 사상으로 볼 수 있다는 이해를 전제로 한다. 위상 공간에 주어진 미분 가능 아틀라스가 있을 때, 도표가 아틀라스에 포함될 경우 미분 가능 아틀라스를 생성하면 그 도표는 아틀라스와 **미분 가능하게 호환**되거나 주어진 아틀라스에 대해 **미분 가능**하다고 말한다. 미분 가능 아틀라스는 주어진 아틀라스와 미분 가능하게 호환되는 모든 도표로 구성된 **극대 미분 가능 아틀라스**를 결정한다. 극대 아틀라스는 항상 매우 크다. 예를 들어, 극대 아틀라스의 모든 도표에 대해 그 정의역의 임의의 열린 부분집합에 대한 제한도 극대 아틀라스에 포함된다. 극대 매끄러운 아틀라스는 매끄러운 구조라고도 알려져 있으며, 극대 정칙 아틀라스는 복소 구조라고도 알려져 있다. 극대 아틀라스를 직접 사용하지 않는 대안적이지만 동등한 정의는 미분 가능 아틀라스의 동치류를 고려하는 것이다. 이 정의에서는 한 아틀라스의 모든 도표가 다른 아틀라스와 미분 가능하게 호환될 경우 두 미분 가능 아틀라스는 동등하다고 간주된다. 비형식적으로, 이는 매끄러운 다양체를 다룰 때, 몇 개의 도표로만 구성된 단일 미분 가능 아틀라스로 작업할 수 있으며, 암묵적으로 다른 많은 도표와 미분 가능 아틀라스도 똑같이 유효하다고 이해한다는 것을 의미한다. 영역 불변성 정리에 따르면 미분 가능 아틀라스를 갖는 위상 공간의 각 연결 성분은 잘 정의된 차원 n을 갖는다. 이는 정칙 아틀라스의 경우 약간의 모호함을 유발한다. 왜냐하면 해당 차원은 해석적, 매끄러운 또는 Ck 아틀라스로 간주될 때의 차원 값의 절반이 될 것이기 때문이다. 이러한 이유로 정칙 아틀라스를 갖는 위상 공간의 "실수" 및 "복소수" 차원을 별도로 언급한다.
## 다양체
**미분 다양체**는 M에 대한 극대 미분 가능 아틀라스와 함께 하우스도르프 및 제2 가산 공간인 위상 공간이다. 기본적인 이론의 대부분은 하우스도르프 및 제2 가산 조건 없이도 개발될 수 있지만, 고급 이론의 대부분에는 필수적이다. 이들은 본질적으로 범프 함수와 단위 분할의 일반적인 존재와 동등하며, 둘 다 널리 사용된다. C0 다양체의 개념은 위상 다양체와 동일하다. 그러나 주목할 만한 구별이 필요하다. 위상 공간이 주어졌을 때, 그것이 위상 다양체인지 아닌지를 묻는 것은 의미가 있다. 대조적으로, 주어진 위상 공간이 (예를 들어) 매끄러운 다양체인지 아닌지를 묻는 것은 의미가 없다. 왜냐하면 매끄러운 다양체의 개념은 추가적인 구조인 매끄러운 아틀라스의 지정을 요구하기 때문이다. 그러나 특정 위상 공간에 매끄러운 다양체의 구조를 부여할 수 없다고 말하는 것은 의미가 있을 수 있다. 이러한 불균형이 존재하지 않도록 정의를 재구성하는 것이 가능하다. 이 설정에서 매끄러운 아틀라스의 자연스러운 유사체를 사용하여 M에 위상 공간의 구조를 정의하면서 집합 M (위상 공간 M 대신)으로 시작할 수 있다.
## 유클리드 조각들을 이어 붙여 다양체 만들기
위의 정의들을 역공학하여 다양체 구성에 대한 관점을 얻을 수 있다. 아이디어는 도표의 이미지와 변환 사상에서 시작하여 이 데이터만으로 다양체를 구성하는 것이다. 위 논의에서와 같이 "매끄러운" 맥락을 사용하지만 다른 설정에서도 모든 것이 잘 작동한다. 색인 집합 A,가 주어졌을 때, V_\alpha를 \mathbb{R}^n의 열린 부분집합들의 모음으로 하고, 각 \alpha,\beta \in A에 대해 V_{\alpha\beta}를 V_\beta의 열린 (비어 있을 수도 있는) 부분집합으로 하고, \phi_{\alpha\beta}:V_{\alpha\beta} \to V_{\beta\alpha}를 매끄러운 사상이라 하자. \phi_{\alpha\alpha}가 항등 사상이고, \phi_{\alpha\beta} \circ \phi_{\beta\alpha}가 항등 사상이며, \phi_{\alpha\beta} \circ \phi_{\beta\gamma} \circ \phi_{\gamma\alpha}가 항등 사상이라고 가정하자. 그런 다음, disjoint union \bigsqcup_{\alpha \in A} V_\alpha에 대해 p \in V_{\alpha\beta}가 \phi_{\alpha\beta}(p) \in V_{\beta\alpha}와 동등하다고 선언하여 동치 관계를 정의한다. 몇 가지 기술적인 작업을 통해, 동치류 집합에 자연스럽게 위상 구조를 부여할 수 있으며, 이 과정에서 사용된 도표들이 매끄러운 아틀라스를 형성한다는 것을 보일 수 있다. 해석적 구조(부분집합)의 이어 붙이기에 대해서는 해석적 다양체를 참조하라.
# 미분 가능 함수
n차원 미분 다양체 M 위의 실함수 f는 점 p ∈ M 주위에 정의된 모든 좌표 도표에서 미분 가능할 때 p에서 **미분 가능**하다고 한다. 더 정확히 말하면, p를 포함하는 M의 열린 집합 U와 도표를 정의하는 사상 \phi : U\to {\mathbf R}^n이 있는 미분 가능 도표 (U,\phi)가 있을 때, f는 \phi(p)에서 f\circ \phi^{-1} \colon \phi(U)\subset {\mathbf R}^n \to {\mathbf R} 이 미분 가능할 때, 즉 f\circ \phi^{-1}가 {\mathbf R}^n의 부분집합으로 간주되는 열린 집합 \phi(U)에서 \mathbf R로 가는 미분 가능 함수일 때 p에서 미분 가능하다. 일반적으로 많은 도표가 존재하지만, 미분 가능성의 정의는 p에서의 도표 선택에 의존하지 않는다. 한 도표와 다른 도표 사이의 변환 함수에 적용되는 연쇄 법칙에 따르면, f가 p의 특정 도표에서 미분 가능하면 p의 모든 도표에서 미분 가능하다. Ck 함수, 매끄러운 함수, 해석 함수를 정의하는 데도 유사한 고려 사항이 적용된다.
## 함수의 미분
미분 다양체에서 함수의 미분을 정의하는 다양한 방법이 있는데, 그 중 가장 기본적인 것은 방향도함수이다. 방향도함수의 정의는 다양체가 아핀 공간과 같이 벡터를 정의할 적절한 아핀 구조가 부족하다는 사실 때문에 복잡해진다. 따라서 방향도함수는 벡터 대신 다양체 내의 곡선을 살펴본다.
### 방향 미분
n차원 미분 다양체 M 위의 실함수 f가 주어졌을 때, M의 점 p에서의 f의 방향도함수는 다음과 같이 정의된다. 1=γ(0) = p인 M의 곡선 γ(t)가 있다고 가정하자. 이 곡선은 모든 도표와의 합성이 **R**n의 미분 가능 곡선이라는 의미에서 미분 가능하다. 그러면 γ를 따른 p에서의 f의 **방향도함수**는 다음과 같다. \left.\frac{d}{dt}f(\gamma(t))\right|_{t=0}. γ1과 γ2가 1=γ1(0) = γ2(0) = p인 두 곡선이고, 모든 좌표 도표 \phi 에서 \left.\frac{d}{dt}\phi\circ\gamma_1(t)\right|_{t=0}=\left.\frac{d}{dt}\phi\circ\gamma_2(t)\right|_{t=0} 이라면, 연쇄 법칙에 의해 f는 γ1을 따르는 p에서의 방향도함수와 γ2를 따르는 p에서의 방향도함수가 같다. 이는 방향도함수가 p에서의 곡선의 접벡터에만 의존한다는 것을 의미한다. 따라서 미분 다양체의 경우에 적응된 방향 미분의 보다 추상적인 정의는 궁극적으로 아핀 공간에서 방향 미분의 직관적인 특징을 포착한다.
### 접벡터와 미분
p ∈ M에서의 **접벡터**는 1=γ(0) = p인 미분 가능 곡선 γ의 동치류로, 곡선 사이의 1차 접촉의 동치 관계를 법으로 한다. 따라서 \gamma_1\equiv \gamma_2 \iff \left.\frac{d}{dt}\phi\circ\gamma_1(t)\right|_{t=0} = \left.\frac{d}{dt}\phi\circ\gamma_2(t)\right|_{t=0} 모든 좌표 도표 \phi에서. 따라서 동치류는 p에서 주어진 속도 벡터를 갖는 p를 통과하는 곡선이다. p에서의 모든 접벡터의 모음은 벡터 공간을 형성한다. 이를 TpM으로 표시되는 M의 p에서의 접공간이라고 한다. X가 p에서의 접벡터이고 f가 p 근처에 정의된 미분 가능 함수라면, X를 정의하는 동치류의 모든 곡선을 따라 f를 미분하는 것은 X를 따라 잘 정의된 방향도함수를 제공한다. Xf(p) := \left.\frac{d}{dt}f(\gamma(t))\right|_{t=0}. 다시 한 번, 연쇄 법칙은 동일한 1차 접촉을 갖는 모든 곡선이 동일한 방향도함수를 생성하므로 이것이 동치류에서 γ를 선택하는 자유도와 독립적임을 입증한다. 함수 f가 고정되어 있으면, 사상 X\mapsto Xf(p) 는 접공간에 대한 선형 범함수이다. 이 선형 범함수는 종종 df(p)로 표시되며 f의 p에서의 **미분**이라고 불린다. df(p) \colon T_pM \to {\mathbf R}.
### 국소 좌표에서의 접공간과 미분의 정의
M을 매끄러운 아틀라스 \\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\\}_{\alpha\in A}를 가진 위상 n-다양체라 하자. p\in M이 주어졌을 때 A_p를 \\{\alpha\in A:p\in U_\alpha\\}로 나타내자. "p\in M에서의 접벡터"는 사상 v:A_p\to\mathbb{R}^n, 여기서 \alpha\mapsto v_\alpha,로 나타내며, 다음을 만족한다. v_\alpha=D\Big|_{\phi_\beta(p)}(\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1})(v_\beta) 모든 \alpha,\beta\in A_p에 대해. p에서의 접벡터들의 모음을 T_pM으로 나타내자. 매끄러운 함수 f:M\to\mathbb{R}가 주어졌을 때, 접벡터 v:A_p\to\mathbb{R}^n를 다음 숫자로 보내는 사상 df_p:T_pM\to\mathbb{R}을 정의한다. D\Big|_{\phi_\alpha(p)}(f\circ\phi_\alpha^{-1})(v_\alpha), 이는 연쇄 법칙과 접벡터 정의에 있는 제약 조건 때문에 \alpha\in A_p의 선택에 의존하지 않는다. T_pM이 자연스럽게 n-차원 실수 벡터 공간의 구조를 가지고 있으며, 이 구조에서 df_p가 선형 사상임을 확인할 수 있다. 핵심 관찰은 접벡터의 정의에 나타나는 제약 조건 때문에 A_p의 단일 요소 \beta에 대한 v_\beta의 값이 자동으로 모든 \alpha\in A에 대해 v_\alpha를 결정한다는 것이다. 위의 형식적 정의는 교과서에 자주 나타나는 보다 비형식적인 표기법, 특히 : v^i=\widetilde{v}^j\frac{\partial x^i}{\partial\widetilde{x}^j} 및 df_p(v)=\frac{\partial f}{\partial x^i}v^i. 와 정확히 일치한다. 형식적 정의의 아이디어가 이해되면, 이 간략한 표기법은 대부분의 목적에서 작업하기 훨씬 쉽다.
## 단위 분할
미분 다양체 위의 미분 가능 함수 층의 위상적 특징 중 하나는 단위 분할을 허용한다는 것이다. 이는 다양체 위의 미분 구조를 일반적으로 단위 분할을 가지지 않는 더 강한 구조(해석적 및 정칙 구조와 같은)와 구별한다. M이 Ck 클래스의 다양체이고 0 ≤ k ≤ ∞라고 가정하자. {Uα}를 M의 열린 덮개라고 하자. 그러면 덮개 {Uα}에 종속하는 **단위 분할**은 다음 조건을 만족하는 M 위의 실수 값 Ck 함수 φi의 모음이다. * φi의 지지집합은 콤팩트하고 국소 유한하다. * φi의 지지집합은 어떤 α에 대해 Uα 내에 완전히 포함된다. * φi는 M의 각 점에서 1로 합산된다. \sum_i \phi_i(x) = 1. (이 마지막 조건은 φi의 지지집합이 국소적으로 유한하기 때문에 각 점에서 실제로는 유한합이다.) 모든 Ck 다양체 M의 열린 덮개는 Ck 단위 분할을 갖는다. 이는 **R**n 위의 Ck 함수의 위상에서 특정 구성이 미분 다양체의 범주로 전이될 수 있도록 한다. 특히, 특정 좌표 아틀라스에 종속하는 단위 분할을 선택하고 **R**n의 각 도표에서 적분을 수행하여 적분을 논의할 수 있다. 따라서 단위 분할은 다른 종류의 함수 공간을 고려할 수 있도록 한다. 예를 들어 Lp 공간, 소볼레프 공간, 그리고 적분을 필요로 하는 다른 종류의 공간들이다.
## 다양체 사이의 사상의 미분 가능성
M과 N이 각각 m차원과 n차원의 두 미분 다양체이고, f가 M에서 N으로 가는 함수라고 가정하자. 미분 다양체는 위상 공간이므로 f가 연속이라는 것이 무엇을 의미하는지 안다. 그러나 k ≥ 1에 대해 "f가 Ck(M, N)이다"는 무엇을 의미하는가? f가 유클리드 공간 사이의 함수일 때 그것이 무엇을 의미하는지 알고 있으므로, f를 M의 도표와 N의 도표와 합성하여 유클리드 공간에서 M으로, N으로, 다시 유클리드 공간으로 가는 사상을 얻으면 그 사상이 Ck(**R**m, **R**n)이라는 것이 무엇을 의미하는지 안다. "f가 Ck(M, N)이다"는 f와 도표의 모든 그러한 합성이 Ck(**R**m, **R**n)임을 의미하는 것으로 정의한다. 다시 한번, 연쇄 법칙은 미분 가능성 개념이 M과 N의 아틀라스 중 어떤 도표를 선택하는지에 의존하지 않는다는 것을 보장한다. 그러나 미분 자체를 정의하는 것은 더 미묘하다. M 또는 N이 이미 유클리드 공간이라면, 이를 유클리드 공간으로 사상하기 위해 도표가 필요하지 않다.
# 다발

## 접다발
접다발 점의 접공간은 그 점에서 가능한 방향도함수로 구성되며, 다양체와 동일한 차원 n을 갖는다. 점에 국소적인 (비특이) 좌표 xk의 집합에 대해, 좌표 도함수 \partial_k=\frac{\partial}{\partial x_k}는 접공간의 홀로노믹 기저를 정의한다. 모든 점에서의 접공간들의 모음은 차원이 2n인 다양체인 접다발로 구성될 수 있다. 접다발은 접벡터가 놓이는 곳이며, 그 자체로 미분 다양체이다. 라그랑주는 접다발 위의 함수이다. 접다발은 또한 **R**(실직선)에서 M으로 가는 1-제트들의 다발로 정의할 수도 있다. M의 아틀라스에 있는 도표 중 하나인 Uα에 기반한 Uα × **R**n 도표로 구성된 접다발용 아틀라스를 구성할 수 있다. 이 새로운 도표 각각은 도표 Uα의 접다발이다. 이 아틀라스의 변환 사상은 원래 다양체의 변환 사상에서 정의되며, 원래 미분 가능성 클래스를 유지한다.
## 공변접다발
공변접다발 벡터 공간의 쌍대 공간은 벡터 공간에 대한 실수 값 선형 함수의 집합이다. 점에서의 공변접공간은 그 점에서의 접공간의 쌍대이며, 요소들을 공변접벡터라고 부른다. 공변접다발은 모든 공변접벡터와 자연스러운 미분 다양체 구조의 모음이다. 접다발과 마찬가지로 공변접다발도 미분 다양체이다. 해밀턴은 공변접다발 위의 스칼라이다. 공변접다발의 전체 공간은 심플렉틱 다양체의 구조를 갖는다. 공변접벡터는 때때로 공변벡터라고 불린다. 공변접다발은 M에서 **R**로 가는 함수의 1-제트의 다발로 정의할 수도 있다. 공변접공간의 요소들은 무한소 변위로 생각할 수 있다. f가 미분 가능한 함수라면 각 점 p에서 접벡터 Xp를 Xp와 관련된 f의 미분으로 보내는 공변접벡터 dfp를 정의할 수 있다. 그러나 모든 공변벡터장은 이런 식으로 표현될 수 있는 것은 아니다. 표현될 수 있는 것들은 완전 미분이라고 불린다. 주어진 국소 좌표 xk에 대해 미분 dxb=p는 p에서의 공변접공간의 기저를 형성한다.
## 텐서다발
텐서다발 텐서다발은 접다발과 공변접다발의 모든 텐서곱의 직합이다. 다발의 각 원소는 텐서장으로, 벡터장이나 다른 텐서장에 대한 다중선형 연산자로 작용할 수 있다. 텐서다발은 전통적인 의미에서 미분 다양체가 아니다. 왜냐하면 무한 차원이기 때문이다. 그러나 스칼라 함수의 환에 대한 대수이다. 각 텐서는 랭크로 특징지어지며, 이는 그것이 가지는 접촉 및 공변접촉 인자의 수를 나타낸다. 때때로 이 랭크들은 각각 접촉 및 공변접촉 랭크를 의미하는 공변 및 반변 랭크라고 불린다.
## 틀다발
틀다발 틀(또는 더 정확히 말하면 접틀)은 특정 접공간의 순서화된 기저이다. 마찬가지로 접틀은 **R**n에서 이 접공간으로의 선형 동형사상이다. 움직이는 접틀은 정의역의 모든 점에서 기저를 제공하는 벡터장들의 순서화된 목록이다. 또한 움직이는 틀을 M 위의 모든 틀들의 집합으로 구성된 GL(n, **R**) 주다발인 틀다발 F(M)의 단면으로 간주할 수 있다. 틀다발은 M 위의 텐서장을 F(M) 위의 등변 벡터 값 함수로 간주할 수 있기 때문에 유용하다.
## 제트 다발
제트 다발 충분히 매끄러운 다양체에서는 다양한 종류의 제트 다발도 고려할 수 있다. 다양체의 (1차) 접다발은 1차 접촉의 동치 관계를 법으로 하는 다양체 내의 곡선들의 모음이다. 유사하게, k차 접다발은 k차 접촉 관계를 법으로 하는 곡선들의 모음이다. 마찬가지로, 공변접다발은 다양체 위의 함수의 1-제트들의 다발이다. k-제트 다발은 이들의 k-제트들의 다발이다. 이러한 제트 다발의 일반적인 아이디어와 다른 예들은 다양체 위의 미분 연산자 연구에서 중요한 역할을 한다. 틀의 개념은 더 높은 차수의 제트의 경우로도 일반화된다. k차 틀을 **R**n에서 M으로의 미분동형사상의 k-제트라고 정의한다.See S. Kobayashi (1972). 모든 k차 틀들의 모음 Fk(M)은 M 위의 주 Gk 다발인데, 여기서 Gk는 k-제트들의 군이다. 즉, 원점을 고정시키는 **R**n의 미분동형사상들의 k-제트로 이루어진 군이다. GL(n, **R**)은 자연스럽게 G1과 동형이고, 모든 Gk (k ≥ 2)의 부분군이라는 점에 유의하라. 특히, F2(M)의 단면은 M 위의 접속의 틀 성분을 제공한다. 따라서 몫다발 F2(M) / GL(n, **R**)은 M 위의 대칭 선형 접속들의 다발이다.
# 다양체 위의 미적분학
다변수 미적분학의 많은 기술은 준용하여 미분 다양체에도 적용된다. 예를 들어, 다양체의 접벡터를 따라 미분 가능 함수의 방향도함수를 정의할 수 있으며, 이는 함수의 전미분을 일반화하는 수단인 미분으로 이어진다. 미적분학의 관점에서 다양체 위의 함수의 미분은 유클리드 공간에 정의된 함수의 일반적인 미분과 적어도 국소적으로 거의 동일하게 작동한다. 예를 들어, 이러한 함수에 대한 음함수 및 역함수 정리의 버전이 있다. 그러나 벡터장(및 일반적으로 텐서장)의 미적분학에는 중요한 차이점이 있다. 간단히 말해서, 벡터장의 방향도함수는 잘 정의되지 않거나, 적어도 간단한 방식으로 정의되지 않는다. 벡터장(또는 텐서장)의 미분에는 여러 일반화가 존재하며, 유클리드 공간에서 미분의 특정 형식적 특징을 포착한다. 이들 중 주요한 것은 다음과 같다. * 리 미분은 미분 구조에 의해 고유하게 정의되지만, 방향 미분의 몇 가지 일반적인 특징을 만족하지 않는다. * 아핀 접속은 고유하게 정의되지 않지만, 일반적인 방향 미분의 특징을 보다 완전한 방식으로 일반화한다. 아핀 접속은 고유하지 않기 때문에 다양체에 지정해야 하는 추가적인 데이터이다. 적분 미적분학의 아이디어도 미분 다양체로 확장된다. 이러한 아이디어는 외미분학과 미분 형식의 언어로 자연스럽게 표현된다. 여러 변수의 적분 미적분학의 기본 정리, 즉 그린 정리, 발산 정리, 스토크스 정리는 외미분과 부분 다양체에 대한 적분을 관련시키는 정리(역시 스토크스 정리라고 불림)로 일반화된다.
## 함수의 미분학
두 다양체 사이의 미분 가능한 함수는 부분 다양체 및 기타 관련 개념에 대한 적절한 개념을 공식화하는 데 필요하다. 차원 m의 미분 다양체 M에서 차원 n의 다른 미분 다양체 N으로 가는 미분 가능한 함수가 f : M → N일 때, f의 미분은 사상 df : TM → TN이다. 이는 Tf로도 표시되며 **접 사상**이라고 불린다. M의 각 점에서 이것은 한 접공간에서 다른 접공간으로의 선형 변환이다. df(p)\colon T_p M \to T_{f(p)} N. p에서의 f의 **계수**는 이 선형 변환의 계수이다. 일반적으로 함수의 계수는 점별 속성이다. 그러나 함수가 최대 계수를 가지면 계수는 점의 근방에서 일정하게 유지된다. 미분 가능한 함수는 사드의 정리에 의해 주어진 정확한 의미에서 "일반적으로" 최대 계수를 갖는다. 점에서 최대 계수를 갖는 함수를 몰입과 침몰이라고 부른다. * 만약 m ≤ n이고 f : M → N가 p ∈ M에서 계수 m을 가지면, f는 p에서 **몰입**이라고 불린다. f가 M의 모든 점에서 몰입이고 그 이미지로의 위상동형사상이면, f는 **매장 (수학)**이다. 매장은 M이 N의 부분 다양체라는 개념을 형식화한다. 일반적으로, 매장은 자기 교차 및 다른 종류의 비국소적 위상 불규칙성이 없는 몰입이다. * 만약 m ≥ n이고 f : M → N가 p ∈ M에서 계수 n을 가지면, f는 p에서 **침몰**이라고 불린다. 음함수 정리는 f가 p에서 침몰이면 M은 p 근처에서 N과 **R**m−n의 곱으로 국소적으로 나타낼 수 있다고 말한다. 형식적으로, N의 f(p) 근방에 좌표 (y1, ..., yn)가 존재하고, M의 p 근방에 정의된 m − n개의 함수 x1, ..., xm−n이 존재하여 (y_1\circ f,\dotsc,y_n\circ f, x_1, \dotsc, x_{m-n})이 p 근방에서 M의 국소 좌표계가 된다. 침몰은 올뭉치 및 올다발 이론의 기초를 이룬다.
## 리 미분
소푸스 리의 이름을 딴 리 미분은 다양체 M 위의 텐서장 대수에 대한 미분이다. M 위의 모든 리 미분의 벡터 공간은 다음으로 정의되는 리 괄호에 대해 무한 차원 리 대수를 형성한다. [A,B] := \mathcal{L}_A B = - \mathcal{L}_B A. 리 미분은 M 위의 흐름(능동 미분동형사상)의 무한소 생성원으로서 벡터장으로 표현된다. 반대로 보면, M의 미분동형사상 군은 리 군 이론과 직접적으로 유사하게 리 미분들의 연관된 리 대수 구조를 갖는다.
## 외미분학
미분 형식 외미분학은 기울기, 발산 및 회전 연산자를 일반화할 수 있다. 미분 형식 다발은 각 점에서 그 점의 접공간에 대한 모든 전체 반대칭 다중선형 사상으로 구성된다. 이는 다양체의 차원과 같거나 작은 각 n에 대해 n-형식으로 자연스럽게 나뉘어진다. n-형식은 n-변수 형식이며, n차 형식이라고도 불린다. 1-형식은 공변접벡터이고, 0-형식은 단순히 스칼라 함수이다. 일반적으로 n-형식은 공변접 랭크 n과 접 랭크 0을 갖는 텐서이다. 그러나 모든 그러한 텐서가 형식인 것은 아니다. 형식은 반대칭이어야 하기 때문이다.
### 외미분
외미분 외미분은 매끄러운 다양체 M 위의 모든 매끄러운 미분 형식의 등급 벡터 공간에 대한 선형 연산자이다. 보통 d로 표기한다. 더 정확히 말하면, n=\dim(M)일 때, 0 \le k \le n에 대해 연산자 d는 M 위의 k-형식들의 공간 \Omega^k(M)을 (k+1)-형식들의 공간 \Omega^{k+1}(M)으로 사상한다 (k > n일 경우 M 위의 0이 아닌 k-형식은 없으므로 사상 d는 n-형식에서 항등적으로 0이다). 예를 들어, 매끄러운 함수 f의 외미분은 국소 좌표 x_1, \ldots, x_n과 연관된 국소 공변 기저 dx_1, \ldots, dx_n에서 다음 공식으로 주어진다. df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i. 외미분은 형식의 쐐기곱에 대한 곱 규칙과 유사하게 다음 항등식을 만족한다. d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta+(-1)^{\deg\omega}\omega \wedge d\eta. 외미분은 또한 항등식 d \circ d = 0을 만족한다. 즉, \omega가 k-형식이라면 (k+2)-형식 d(df)는 항등적으로 0이다. d\omega = 0을 만족하는 형식 \omega는 닫힌 형식이라고 불리며, 다른 형식 \eta에 대해 \omega = d\eta를 만족하는 형식 \omega는 완전 형식이라고 불린다. 항등식 d \circ d = 0의 또 다른 표현은 완전 형식이 닫힌 형식이라는 것이다. 이는 다양체 M의 드람 코호몰로지를 정의할 수 있게 한다. 여기서 k차 코호몰로지 군은 M 위의 닫힌 형식의 몫군을 완전 형식으로 나눈 것이다.
# 미분 다양체의 위상

## 위상 다양체와의 관계
M이 위상 n-다양체라고 가정하자. 어떤 매끄러운 아틀라스 \\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\\}_{\alpha\in A}가 주어졌을 때, 주어진 아틀라스와 다른 매끄러운 다양체 구조를 정의하는 매끄러운 아틀라스를 쉽게 찾을 수 있다. 예를 들어, 주어진 아틀라스에 대해 매끄럽지 않은 위상동형사상 \Phi:M\to M를 고려할 수 있다. 예를 들어, 국소적으로 매끄럽지 않은 범프를 사용하여 항등 사상을 수정할 수 있다. 그러면 새로운 아틀라스 \\{(\Phi^{-1}(U_\alpha),\phi_\alpha\circ\Phi)\\}_{\alpha\in A}를 고려할 수 있으며, 이는 매끄러운 아틀라스로 쉽게 확인된다. 그러나 새로운 아틀라스의 도표는 이전 아틀라스의 도표와 매끄럽게 호환되지 않는다. 왜냐하면 이렇게 하려면 \phi_\alpha\circ\Phi\circ\phi_\beta^{-1}와 \phi_\alpha\circ\Phi^{-1}\circ\phi_\beta^{-1}가 모든 \alpha와 \beta에 대해 매끄러워야 하며, 이러한 조건은 \Phi와 \Phi^{-1} 모두가 매끄럽다는 정의와 정확히 일치하여 \Phi가 선택된 방식과 모순되기 때문이다. 이러한 관찰을 동기로 삼아, M 위의 매끄러운 아틀라스 집합에 대한 동치 관계를 정의할 수 있다. 매끄러운 아틀라스 \\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\\}_{\alpha\in A}와 \\{(V_\beta,\psi_\beta)\\}_{\beta\in B}는 다음과 같은 경우 동등하다고 선언된다. 1\. \\{(\Phi^{-1}(U_\alpha),\phi_\alpha\circ\Phi)\\}_{\alpha\in A}가 \\{(V_\beta,\psi_\beta)\\}_{\beta\in B}와 매끄럽게 호환되는 위상동형사상 \Phi:M\to M이 존재한다. 2\. \\{(\Phi(V_\beta),\psi_\beta\circ\Phi^{-1})\\}_{\beta\in B}가 \\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\\}_{\alpha\in A}와 매끄럽게 호환된다. 좀 더 간단히 말하면, 두 매끄러운 아틀라스는 하나의 매끄러운 아틀라스를 정의역으로, 다른 매끄러운 아틀라스를 공역으로 하는 미분동형사상 M\to M이 존재할 경우 동등하다고 말할 수 있다. 이 동치 관계는 매끄러운 다양체 구조를 정의하는 동치 관계를 정교화한 것인데, 매끄럽게 호환되는 모든 두 아틀라스는 현재 의미에서도 호환되기 때문이다. 여기서 \Phi를 항등 사상으로 취할 수 있다. M의 차원이 1, 2, 3이면 M에는 매끄러운 구조가 존재하며, 모든 서로 다른 매끄러운 구조는 위에서 주어진 의미에서 동등하다. 더 높은 차원에서는 상황이 더 복잡하지만, 완전히 이해되지는 않았다. * 일부 위상 다양체는 매끄러운 구조를 허용하지 않는다. 이는 케르베르1960가 10차원 예시로 처음 보여주었다. 마이클 프리드먼의 결과와 결합된 사이먼 도널드슨의 미분기하학의 편미분 방정식의 주요 응용은 많은 단일 연결 콤팩트 위상 4-다양체가 매끄러운 구조를 허용하지 않는다는 것을 보여준다. 잘 알려진 특정 예시는 E8 다양체이다. * 일부 위상 다양체는 위에서 주어진 의미에서 동등하지 않은 여러 매끄러운 구조를 허용한다. 이는 존 밀너가 이국적 7-구 형태로 처음 발견했다.J. Milnor (1956).
## 분류
모든 1차원 연결 매끄러운 다양체는 \mathbb{R} 또는 S^1에 표준 매끄러운 구조를 부여한 것과 미분동형사상이다. 매끄러운 2차원 다양체의 분류에 대해서는 곡면을 참조하라. 특정 결과는 모든 2차원 연결 콤팩트 매끄러운 다양체는 다음 중 하나와 미분동형사상이라는 것이다. S^2, 또는 (S^1\times S^1)\sharp\cdots\sharp(S^1\times S^1), 또는 \mathbb{RP}^2\sharp\cdots\sharp\mathbb{RP}^2. 매끄러운 구조 대신 복소 미분 가능 구조를 고려하면 상황은 더 복잡해진다. 3차원에서의 상황은 훨씬 더 복잡하며, 알려진 결과는 더 간접적이다. 편미분 방정식 방법을 통해 2002년에 증명된 놀라운 결과는 서스턴의 기하화 추측으로, 대략적으로 모든 콤팩트 매끄러운 3차원 다양체는 여러 부분으로 나눌 수 있으며, 각 부분은 많은 대칭을 갖는 리만 계량을 허용한다는 것이다. 또한 모스토 강성 정리와 쌍곡군에 대한 동형 사상 문제에 대한 Sela의 알고리즘과 같이 기하화 가능한 3차원 다양체에 대한 다양한 "인식 결과"도 있다.Z. Sela (1995). However, 3-manifolds are only classified in the sense that there is an (impractical) algorithm for generating a non-redundant list of all compact 3-manifolds. n이 3보다 큰 n-다양체의 분류는 호모토피 동치까지도 불가능한 것으로 알려져 있다. 유한하게 표시된 모든 군에 대해 그 군을 기본군으로 갖는 닫힌 4-다양체를 구성할 수 있다. 유한하게 표시된 군에 대한 동형 사상 문제를 결정하는 알고리즘이 없기 때문에, 두 4-다양체가 동일한 기본군을 갖는지 여부를 결정하는 알고리즘도 없다. 이전에 설명된 구성은 군이 동형인 경우에만 위상동형인 4-다양체의 클래스를 생성하므로, 4-다양체에 대한 위상동형 문제는 결정 불가능하다. 또한, 자명군을 인식하는 것조차 결정 불가능하므로, 다양체가 자명한 기본군을 갖는지, 즉 단일 연결인지 여부를 일반적으로 결정하는 것조차 불가능하다. 단일 연결 4차원 다양체는 프리드먼이 교차 형식과 커비-지벤만 불변량을 사용하여 위상동형까지 분류되었다. 별난 **R**4의 매끄러운 구조가 보여주듯이 매끄러운 4차원 다양체 이론은 훨씬 더 복잡한 것으로 알려져 있다. 그러나 차원 ≥ 5인 단일 연결 매끄러운 다양체의 경우 상황은 더 다루기 쉬워진다. 여기서 h-코보디즘 정리를 사용하여 분류를 호모토피 동치까지의 분류로 줄일 수 있고, 수술 이론을 적용할 수 있다.See A. Ranicki (2002). 이는 데니스 바든(Dennis Barden)에 의해 단일 연결 5차원 다양체의 명시적인 분류를 제공하기 위해 수행되었다.
# 매끄러운 다양체의 구조

## (준)리만 다양체
리만 다양체 준 리만 다양체 리만 다양체는 매끄러운 다양체와 각 개별 접공간 위의 양의 정부호 내적으로 구성된다. 이러한 내적의 모음을 리만 계량이라고 하며, 자연스럽게 대칭 2-텐서장이다. 이 "계량"은 각 p\in M에 대해 자연스러운 벡터 공간 동형 T_pM\to T_p^\ast M을 식별한다. 리만 다양체에서는 길이, 부피, 각도 개념을 정의할 수 있다. 모든 매끄러운 다양체는 여러 다른 리만 계량을 부여할 수 있다. 준 리만 다양체 (또는 반 리만 다양체)는 내적이 부정 부호수를 가질 수 있도록 허용하는 리만 다양체 개념의 일반화이며, 양의 정부호가 아니다. 여전히 비특이여야 한다. 모든 매끄러운 준 리만 및 리만 다양체는 리만 곡률 텐서와 같은 여러 연관된 텐서장을 정의한다. 로렌츠 다양체는 부호수 (n-1, 1)의 준 리만 다양체이다. n=4인 경우는 일반 상대성이론에서 기본적이다. 모든 매끄러운 다양체가 비리만 준 리만 구조를 가질 수 있는 것은 아니다. 그렇게 하는 데는 위상적 제한이 있다. 핀슬러 다양체는 리만 다양체의 또 다른 일반화로, 내적이 벡터 노름으로 대체된다. 따라서 길이는 정의할 수 있지만 각도는 정의할 수 없다.
## 심플렉틱 다양체
심플렉틱 다양체 심플렉틱 다양체는 닫힌, 비특이 2-형식이 갖춰진 다양체이다. 이 조건은 심플렉틱 다양체가 짝수 차원이어야 함을 강제한다. 이는 비대칭 (2n+1)\times(2n+1) 행렬이 모두 행렬식이 0이기 때문이다. 두 가지 기본적인 예시가 있다. * 해밀턴 역학에서 위상 공간으로 나타나는 공변접다발은 자연스러운 심플렉틱 형식을 허용하므로 동기 부여가 되는 예시이다. * 모든 유향 2차원 리만 다양체 (M,g)는 자연스러운 방식으로 심플렉틱이다. 여기서 \omega(u,v)=g(u,J(v))로 정의하며, 어떤 v \in T_pM에 대해 J(v)는 v,J(v)가 T_pM의 유향 g_p-직교정규 기저가 되도록 하는 벡터를 나타낸다.
## 리 군
리 군 리 군은 C∞ 다양체 G와 G 위의 군 구조가 결합되어 곱셈 및 역원 사상 m:G\times G \to G 및 i:G\to G가 다양체 사상으로서 매끄러운 것을 말한다. 이러한 대상은 (연속적인) 대칭을 설명할 때 자연스럽게 나타나며, 매끄러운 다양체의 중요한 예시 소스를 형성한다. 그러나 많은 친숙한 매끄러운 다양체는 리 군 구조를 부여할 수 없다. 리 군 G와 임의의 g\in G가 주어졌을 때, 항등원 e를 g로 보내는 사상 m(g,\cdot):G\to G를 고려할 수 있고, 미분 T_eG\to T_gG를 고려함으로써 리 군의 임의의 두 접공간 사이에 자연스러운 식별을 제공하기 때문이다. 특히, T_eG의 임의의 0이 아닌 벡터를 고려함으로써, 이러한 식별을 사용하여 G 위에 매끄러운 비소멸 벡터장을 부여할 수 있다. 이는 예를 들어, 짝수 차원 구가 리 군 구조를 지원할 수 없다는 것을 보여준다. 같은 논증은 더 일반적으로 모든 리 군이 평행화 가능해야 함을 보여준다.
# 대안적 정의

## 유사군
유사군Kobayashi and Nomizu (1963), Volume 1.의 개념은 다양한 구조를 다양체에 균일한 방식으로 정의할 수 있도록 아틀라스의 유연한 일반화를 제공한다. 유사군은 위상 공간 S와 S의 열린 부분 집합에서 S의 다른 열린 부분 집합으로 가는 위상동형사상의 모음 Γ으로 구성되며 다음을 만족한다. # 만약 f ∈ Γ이고 U가 f의 정의역의 열린 부분 집합이면, 제한 f|U도 Γ에 속한다. # 만약 f가 S의 열린 부분 집합들의 합집합 \cup_i \, U_i 에서 S의 열린 부분 집합으로 가는 위상동형사상이라면, 모든 i에 대해 f|_{U_i} \in \Gamma 일 때 f ∈ Γ이다. # 모든 열린 U ⊂ S에 대해 U의 항등 변환은 Γ에 속한다. # 만약 f ∈ Γ이면 f−1 ∈ Γ이다. # Γ의 두 원소의 합성은 Γ에 속한다. 이 마지막 세 가지 조건은 군의 정의와 유사하다. 그러나 함수가 S에 전역적으로 정의되어 있지 않으므로 Γ가 군일 필요는 없다는 점에 유의하라. 예를 들어, **R**n 위의 모든 국소 Ck 미분동형사상의 모음은 유사군을 형성한다. **C**n의 열린 집합 사이의 모든 쌍정칙 사상은 유사군을 형성한다. 더 많은 예시로는 **R**n의 방향 보존 사상, 심플렉틱 동형 사상, 뫼비우스 변환, 아핀 변환 등이 있다. 따라서 다양한 함수 클래스가 유사군을 결정한다. Ui ⊂ M에서 위상 공간 S의 열린 부분집합으로 가는 위상동형사상 φi의 아틀라스 (Ui, φi)는 변환 함수 φj ∘ φi−1 : φi(Ui ∩ Uj) → φj(Ui ∩ Uj)가 모두 Γ에 속할 때 유사군 Γ와 호환된다고 한다. 미분 다양체는 **R**n 위의 Ck 함수들의 유사군과 호환되는 아틀라스이다. 복소 다양체는 **C**n의 열린 집합 위의 쌍정칙 함수들과 호환되는 아틀라스이다. 기타 등등. 따라서 유사군은 미분기하학과 위상수학에서 중요한 다양한 다양체 구조를 설명하는 단일 프레임워크를 제공한다.
## 구조 층
때로는 다양체에 Ck-구조를 부여하기 위해 다른 접근 방식을 사용하는 것이 유용할 수 있다. 여기서 k = 1, 2, ..., ∞, 또는 실수 해석적 다양체의 경우 ω이다. 좌표 도표를 고려하는 대신 다양체 자체에 정의된 함수로 시작할 수 있다. M의 구조 층, **C**k로 표시되는 이 층은 각 열린 집합 U ⊂ M에 대해 연속 함수 U → **R**의 대수 **C**k(U)를 정의하는 일종의 함자이다. 구조 층 **C**k는 어떤 p ∈ M에 대해 p의 근방 U와 U에서 **R**n의 열린 집합으로 가는 위상동형사상인 n개의 함수 x1, ..., xn ∈ **C**k(U)가 존재하며, **C**k|U가 **R**n 위의 k번 연속 미분 가능한 함수 층의 당김일 때 M에 차원 n의 Ck 다양체 구조를 부여한다고 말한다.This definition can be found in MacLane and Moerdijk (1992). For an equivalent, ad hoc definition, see Sternberg (1964) Chapter II. 특히, 이 후자의 조건은 V가 있는 **C**k(V)의 모든 함수 h가 1=h(x) = H(x1(x), ..., xn(x))로 고유하게 쓸 수 있다는 것을 의미한다. 여기서 H는 f(V) (**R**n의 열린 집합) 위의 k번 미분 가능한 함수이다. 따라서 층 이론적 관점은 미분 다양체의 함수가 국소 좌표에서 **R**n 위의 미분 가능한 함수로 표현될 수 있으며, 더 나아가 이는 다양체의 미분 구조를 특징짓기에 충분하다는 것이다.
### 국소환의 층
미분 다양체를 정의하는 유사하지만 더 기술적인 접근 방식은 환 달린 공간 개념을 사용하는 것이다. 이 접근 방식은 대수기하학의 스킴 이론에 강하게 영향을 받았지만, 미분 가능한 함수의 싹의 국소환을 사용한다. 특히 복소 다양체의 맥락에서 인기가 많다. **R**n 위에 있는 기본 구조 층을 설명하는 것으로 시작한다. U가 **R**n의 열린 집합이면 :**O**(U) = Ck(U, **R**) 은 U 위의 모든 실수 값 k번 연속 미분 가능 함수로 구성된다. U가 변함에 따라 이는 **R**n 위의 환 층을 결정한다. p ∈ **R**n에 대한 줄기 **O**p는 p 근처의 함수 싹으로 구성되며, **R**에 대한 대수이다. 특히, 이것은 p에서 0이 되는 함수로 구성된 고유한 극대 아이디얼을 갖는 국소환이다. 쌍 (**R**n, **O**)는 국소환 달린 공간의 예이다. 즉, 각각의 줄기가 국소환인 층이 갖춰진 위상 공간이다. 미분 다양체(Ck 클래스)는 제2 가산 공간인 하우스도르프 공간 M과 M 위에 정의된 국소 **R**-대수 층 **O**M으로 구성된 쌍 (M, **O**M)을 말하며, 국소환 달린 공간 (M, **O**M)은 국소적으로 (**R**n, **O**)와 동형이다. 이런 식으로 미분 다양체는 **R**n을 모델로 하는 스킴으로 생각할 수 있다.Hartshorne (1977) 이는 각 점 p ∈ M에 대해 p의 근방 U와 한 쌍의 함수 (f, f#)가 존재함을 의미한다. 여기서 # f : U → f(U) ⊂ **R**n는 **R**n의 열린 집합으로 가는 위상동형사상이다. # f#: **O**|f(U) → f∗ (**O**M|U)는 층 동형사상이다. # f#의 국소화는 국소환 동형사상이다. :: f#f(p) : **O**f(p) → **O**M,p. 이 추상적인 틀 안에서 미분 다양체를 연구하는 데는 여러 가지 중요한 동기가 있다. 첫째, 모델 공간이 **R**n일 필요가 없다는 선험적인 이유는 없다. 예를 들어 (특히 대수기하학에서), 복소수 **C**n에 정칙 함수 층을 갖춘 공간(따라서 복소 해석 기하학의 관심 공간에 도달함)이나 다항식 층을 갖춘 공간(따라서 복소 대수 기하학의 관심 공간에 도달함)으로 취할 수 있다. 더 넓은 의미에서 이 개념은 적절한 스킴 개념에 맞게 조정될 수 있다(토포스 이론 참조). 둘째, 좌표는 더 이상 구성에 명시적으로 필요하지 않다. 좌표계의 아날로그는 쌍 (f, f#)이지만, 이는 논의의 중심(도표 및 아틀라스의 경우와 같이)이 아니라 국소 동형사상의 아이디어를 단순히 정량화할 뿐이다. 셋째, 층 **O**M은 명백히 함수 층이 전혀 아니다. 오히려 구성의 결과(국소환을 극대 이데알로 나눈 몫을 통해)로 함수 층으로 나타난다. 따라서 이는 구조의 더 원시적인 정의이다(합성 미분 기하학 참조). 이 접근 방식의 마지막 장점은 미분기하학과 위상수학 연구의 많은 기본 대상에 대한 자연스러운 직접적인 설명을 허용한다는 것이다. * 점에서의 공변접공간은 Ip/Ip2이다. 여기서 Ip는 줄기 **O**M,p의 극대 이데알이다. * 일반적으로 전체 공변접다발은 관련 기술을 통해 얻을 수 있다(공변접다발을 참조하라). * 테일러 급수 (및 제트)는 **O**M,p에 대한 Ip-진 필터링을 사용하여 좌표 독립적인 방식으로 접근할 수 있다. * 접다발 (또는 더 정확히는 그 단면의 층)은 **O**M에서 이중수 환으로의 사상 층과 동일시될 수 있다.
# 일반화
매끄러운 사상을 갖는 매끄러운 다양체의 범주는 특정 바람직한 속성이 부족하며, 사람들은 이를 해결하기 위해 매끄러운 다양체를 일반화하려고 노력했다. 미분학적 공간은 "플롯"으로 알려진 다른 도표 개념을 사용한다. 프뢸리셔 공간과 오비폴드는 다른 시도이다. 교정 가능 집합은 조각별 매끄러운 곡선 또는 교정 가능 곡선의 아이디어를 고차원으로 일반화한다. 그러나 교정 가능 집합은 일반적으로 다양체가 아니다. 바나흐 다양체와 프레셰 다양체, 특히 사상 다양체 는 무한 차원 미분 다양체이다.
## 비가환 기하학
Ck 다양체 M의 경우, 다양체 위의 실수 값 Ck 함수 집합은 점별 덧셈과 곱셈에 대해 대수를 형성하며, 스칼라장 대수 또는 단순히 스칼라 대수라고 불린다. 이 대수는 상수 함수 1을 곱셈 항등원으로 가지며, 대수기하학에서 정칙 함수의 환의 미분 유사체이다. 다양체는 스칼라 대수로부터 집합으로서, 또한 위상 공간으로서 재구성될 수 있다. 이는 바나흐-스톤 정리의 적용이며, 더 형식적으로는 C*-대수의 스펙트럼으로 알려져 있다. 첫째, M의 점과 대수 동형사상 φ: Ck(M) → **R** 사이에 일대일 대응이 있는데, 이러한 동형사상 φ는 Ck(M)에서 여차원 1 이데알(즉, φ의 핵)에 해당하며, 이는 반드시 극대 이데알이다. 반대로, 이 대수의 모든 극대 이데알은 단일 점에서 0이 되는 함수의 이데알이며, 이는 Ck(M)의 MSpec(최대 스펙트럼)이 M을 점 집합으로 복구하지만, 실제로는 M을 위상 공간으로 복구함을 보여준다. 스칼라 대수 측면에서 다양한 기하학적 구조를 대수적으로 정의할 수 있으며, 이러한 정의는 종종 대수기하학(환을 기하학적으로 해석) 및 연산자론(바나흐 공간을 기하학적으로 해석)으로 일반화된다. 예를 들어, M의 접다발은 M 위의 매끄러운 함수의 대수의 미분으로 정의될 수 있다. 다양체의 이러한 "대수화"(기하학적 객체를 대수로 대체)는 C*-대수 개념으로 이어진다. 가환 C*-대수는 바나흐-스톤 정리에 의해 다양체의 스칼라 환과 정확히 일치하며, 비가환 C*-대수를 다양체의 비가환 일반화로 간주할 수 있게 한다. 이것이 비가환 기하학 분야의 기초이다.