쌍둥이 소수

수학에서 **쌍둥이 소수**(twin prime)는 두 수의 차가 2인 소수(素數)의 쌍, 즉 (*p*, *p*+2)이다. (2, 3)의 경우를 제외하고는 이웃한 두 소수의 차는 언제나 2 이상이다. 따라서 인접한 두 소수 간 간격이 2인 경우가 때때로 발생할 수 있음을 짐작할 수 있으며, 그 경우 두 소수의 쌍을 쌍둥이 소수라고 한다.
# 쌍둥이 소수의 표현 방식
쌍둥이 소수의 기본적 표현 방식은 :p\geq3 이고 p+2 가 소수일 때, (p,p+2) 이다. 또한 (3, 5)를 제외한 모든 쌍둥이 소수는 (6k-1, 6k+1) 꼴로 표현된다(단, k는 양의 정수)는 성질을 가지고 있다. 따라서 이 성질을 가지고도 표현이 가능하다.
## 증명
k를 음이 아닌 정수라고 할 때, 모든 자연수는 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5, 6k+6 중 하나이다. 이중에서 소수가 아닌 것은 6k+2=2(3k+1) 6k+3=3(2k+1) 6k+4=2(3k+2) 6k+6=6(k+1) 형태의 자연수들이다. 즉, 모든 소수는 6k+1 또는 6k+5 형태이다. 6k+1 형태의 소수가 먼저이고 6k+5 형태의 소수가 나중이라면 두 소수의 차이는 4가 되므로 사촌 소수가 되지만, 6k+5 형태의 소수가 먼저라면 거기에 2를 더했을 때 6k+7=6(k+1)+1이 되어 6k+1 형태의 자연수가 되므로 (6k+5 형태의 소수, 6k+1 형태의 소수)는 유일하게 가능한 쌍둥이 소수의 쌍이 된다. 6k+5=6(k+1)-1이므로 결과적으로 모든 쌍둥이 소수는 (6k-1, 6k+1)의 형태라고 단정지을 수 있다. 유일한 반례인 (3, 5)는 3이 6k+3 형태의 소수라는 데서 비롯된다. 이 형태의 자연수는 3의 배수이므로 대부분 합성수이지만, 3만은 그 자신이므로 소수가 될 수 있어 반례를 만들어낸다.
# 가장 작은 74쌍의 쌍둥이 소수
작은 순서대로의 쌍둥이 소수 74쌍은 다음과 같다. :(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883), (1019, 1021), (1031, 1033), (1049, 1051), (1061, 1063), (1091, 1093), (1151, 1153), (1229, 1231), (1277, 1279), (1289, 1291), (1301, 1303), (1319, 1321), (1427, 1429), (1451, 1453), (1481, 1483), (1487, 1489), (1607, 1609), (1619, 1621), (1667, 1669), (1697, 1699), (1721, 1723), (1787, 1789), (1871, 1873), (1877, 1879), (1931, 1933), (1949, 1951), (1997, 1999), (2027, 2029), (2081, 2083), (2087, 2089), (2111, 2113), (2129, 2131), (2141, 2143), (2237, 2239), (2267, 2269), (2309, 2311), (2339, 2341), (2381, 2383), (2549, 2551)
# 지금까지 발견된 가장 큰 쌍둥이 소수
2016년 9월, 2개의 분산 컴퓨팅 프로젝트인 쌍둥이 소수 탐색과 프라임그리드가 현재까지 발견된 쌍둥이 소수중 가장 큰 쌍둥이 소수 2996863034895\times2^{1290000}\pm1를 발견했다. 십진법으로 이 소수의 자릿수는 388342이다. 발견자는 미국의 Timothy D. Winslow이다. 4.35 · 1015까지의 모든 쌍둥이 소수에 대한 경험적인 분석에 의하면 x보다 작은 쌍둥이 소수의 개수는 대략 :\frac{x f(x)}{(\log x)^2} 개이다. 여기서, x가 작은 수일 때 f(x)는 약 1.7이고, x가 커짐에 따라 f(x)는 약 1.3에 접근한다. f(x)의 극한값은 쌍둥이 소수 상수의 2배인 : 2 \prod_{p \geq 3} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 1.3203236\ldots 와 같다고 추측되고 있다. 이 추측이 참이라면 쌍둥이 소수 추측도 참이 되지만, 어느 쪽도 아직 해결되지 않았다고 한다. {| class="wikitable sortable" font-size:90% |+ **지금까지 발견된 가장 큰 쌍둥이 소수 11개** |- ! align=center | **#** ! align=center | **자릿수** ! align=center | **쌍둥이 소수** ! align=center | **발견일** |- |1 |388342 |2996863034895\times2^{1290000}\pm1 |2016년 9월 |- | align="center" | 2 | align="center" | 200700 | align="right" | 3756801695685*2666669±1 | align="center" | 2011년 12월 |- | align="center" | 3 | align="center" | 100355 | align="right" | 65516468355 * 2333333±1 | align="center" | 2009년 8월 |- | align="center" | 4 | align="center" | 58711 | align="right" | 2003663613 * 2195000±1 | align="center" | 2007년 1월 |- | align="center" | 5 | align="center" | 51780 | align="right" | 194772106074315 * 2171960±1 | align="center" | 2007년 6월 |- | align="center" | 6 | align="center" | 51780 | align="right" | 100314512544015 * 2171960±1 | align="center" | 2006년 6월 |- | align="center" | 7 | align="center" | 51779 | align="right" | 16869987339975 * 2171960±1 | align="center" | 2005년 9월 |- | align="center" | 8 | align="center" | 51090 | align="right" | 33218925 * 2169690±1 | align="center" | 2002년 9월 |- | align="center" | 9 | align="center" | 34808 | align="right" | 307259241 * 2115599±1 | align="center" | 2009년 1월 |- | align="center" | 10 | align="center" | 34533 | align="right" | 60194061 * 2114689±1 | align="center" | 2002년 11월 |- | align="center" | 11 | align="center" | 33222 | align="right" | 108615 * 2110342±1 | align="center" | 2008년 6월 |}
# 쌍둥이 소수 상수
쌍둥이 소수 상수는 하디-리틀우드(Hardy-Littlewood)추측(고드프리 해럴드 하디와 존 이든저 리틀우드의 이름을 따서 명명됨)으로부터의 쌍둥이 소수 추측의 일반화이다. 이것은 소수 정리(prime number theorem)와 유사하게 쌍둥이 소수(twin primes)를 포함한 소수 자리의 분포에 대한 것이다. : \prod_{\textstyle{p\;{\rm prime}\atop p \ge 3 \left(1 - 1}\over{(p-1)^2\right) = 0.660161815\ldots \;\; (A005597)