작은 군의 목록

크기가 31 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다. 특정한 유한군이 아래에서 어떤 군과 동형인지 알고 싶으면, 먼저 그 크기를 계산한 뒤, 아래에서 그 크기의 군들과 군론적 성질들이 일치하는지를 하나씩 비교해보면 된다.
# 용어 및 표기법
*Zn: 크기가 n인 순환군. Cn이나 **Z**/n**Z**로 표기하기도 한다. *Dihn: 크기가 2n인 정이면체군. Dn이나 D2n으로 표기하기도 한다. *Sn: 크기가 n!인 대칭군. *An: 크기가 n!/2인 교대군. *Dicn: 크기가 4n의 쌍순환군. G × H는 군 G와 H의 직접곱을 나타낸다. Gn은 G를 자기 자신과 n번 직접곱한 것이다. (예를 들어, G2 = G × G.) H가 G에 작용할 때 G\rtimes H는 반직접곱을 나타낸다. (자명한 방법을 제외하고) 어떤 식으로 작용하든 반직접곱을 계산하면 같은 동형류에 속하는 경우에는 구체적인 작용 방법을 생략한다. 두 군이 서로 동형이라는 것은 등호(=)로 나타낸다. 마디 그래프에서 단위원은 검은색 원으로 나타낸다. 위수 16부터는 하나의 마디 그래프가 서로 동형이 아닌 여러 군에 대응되지 않는 경우가 발생한다. 부분군의 목록에서 자명군은 생략하며, 서로 동형인 부분군을 여러 개 포함한 경우에는 그 개수를 괄호 안에 표시한다.
# 아벨 군
유한 아벨 군은 전부 순환군의 직합이므로 간단히 분류할 수 있다. 크기가 31 이하인 아벨 군들의 목록은 다음과 같다. {| class="wikitable" |----- ! 크기 ! 군 ! 부분군 ! 성질 ! 마디 그래프 |----- ! 1 | 자명군 = Z1 = *S*1 = *A*2 | - | 여러 가지 성질들이 자명하게 성립 | center |----- ! 2 | Z2 = *S*2 = Dih1 | - | 단순군 | center |----- ! 3 | Z3 = *A*3 || - | 단순군 | center |----- ! rowspan="2" | 4 | Z4 || Z2 || | center |----- | 클라인 4원군 = Z2 2 = Dih2 | Z2 (3)|| 가장 작은 비순환군 | center |----- ! 5 | Z5 || - || 단순군 | center |----- ! 6 | Z6 = Z3 × Z2 | Z3 , Z2 || | center |----- ! 7 | Z7 || - || 단순군 | center |----- ! rowspan="3" | 8 | Z8 || Z4 , Z2 | | center |----- | Z4 ×Z2 | Z22, Z4 (2), Z2 (3) | | center |----- | Z23 | Z22 (7) , Z2 (7) | 항등원이 아닌 원소들은 파노 평면의 점들에 대응되며, Z2 × Z2 부분군들은 직선에 대응 | center |----- ! rowspan="2" | 9 | Z9 | Z3 | | center |----- | Z32 | Z3 (4) | | center |----- ! 10 | Z10 = Z5 × Z2 | Z5 , Z2 || | center |----- ! 11 | Z11 || - || 단순군 | center |----- ! rowspan="2" | 12 | Z12 = Z4 × Z3 | Z6 , Z4 , Z3 , Z2 | | center |----- | Z6 × Z2 = Z3 × Z22 | Z6 (2), Z3, Z2 (3) | | center |----- ! 13 | Z13 || - || 단순군 | center |----- ! 14 | Z14 = Z7 × Z2 | Z7 , Z2 || | center |----- ! 15 | Z15 = Z5 × Z3 | Z5 , Z3 || | center |----- ! rowspan="5" | 16 | Z16 | Z8 , Z4 , Z2 | | center |----- | Z24 | Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15) | | center |----- | Z4 × Z22 | Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6) | | center |----- | Z8 × Z2 | Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2 | | center |----- | Z42 | Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3) | | center |- ! 17 | Z17 | | 순환군, 단순군 | center |- ! rowspan="2" | 18 | Z18 = Z9 × Z2 | Z9, Z6, Z3, Z2 | 순환군 | center |- | Z6 × Z3 = Z32 × Z2 |Z6, Z3, Z2 | |center |- ! 19 | Z19 | | 순환군, 단순군 | center |- ! rowspan="2" | 20 | Z20 = Z5 × Z4 | Z20, Z10, Z5, Z4, Z2 | 순환군 | center |- | Z10 × Z2 = Z5 × Z22 ||Z5, Z2 | | center |- ! 21 | Z21 = Z7 × Z3 | Z7, Z3 | 순환군 | center |- ! 22 | Z22 = Z11 × Z2 | Z11, Z2 | 순환군 | center |- ! 23 | Z23 | – | 순환군, 단순군 | center |- ! rowspan=3|24 | Z24 = Z8 × Z3 | Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2 | 순환군 | center |- | Z12 × Z2 = Z6 × Z4
= Z4 × Z3 × Z2 | Z12, Z6, Z4, Z3, Z2 | | |- | Z6 × Z22 | Z6, Z3, Z2 | | |- ! rowspan=2|25 | Z25 | Z5 | 순환군 | |- | Z52 | Z5 | | |- ! 26 | Z26 = Z13 × Z2 | Z13, Z2 | 순환군 | |- ! rowspan=3|27 | Z27 |Z9, Z3 |순환군 | |- | Z9×Z3 | Z9, Z3 | | |- | Z33 | Z3 | |- ! rowspan=2|28 | Z28 = Z7 × Z4 |Z14, Z7, Z4, Z2 | 순환군 | |- | Z14 × Z2 = Z7 × Z22 |Z14, Z7, Z4, Z2 | | |- ! 29 | Z29 | – | 순환군, 단순군 | |- ! 30 | Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3
= Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2 | Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2 | 순환군 | |- ! 31 | Z31 | – | 순환군, 단순군 | |}
# 비아벨 군
크기가 31 이하인 비아벨 군들의 목록은 다음과 같다. {| class="wikitable" |- ! 크기 ! 군 ! 부분군 ! 성질 ! 마디 그래프 |- ! 6 | *S*3 = Dih3 || Z3 , Z2 (3) | 가장 작은 비아벨 군 | center |- ! rowspan="2" | 8 | Dih4 | Z4, Z22 (2) , Z2 (5) | | center |- | 사원수군, *Q*8 = Dic2 | Z4 (3), Z2 || 가장 작은 데데킨트 군 | center |- ! 10 | D5 || Z5 , Z2 (5) | | center |- ! rowspan="3" | 12 | D6 = Dih3 × Z2 | Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7) | | center |- | *A*4 | Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) | 군의 원소 개수의 약수를 위수로 갖는 부분군이 없는 가장 작은 군. 6개의 원소를 가진 부분군이 존재하지 않음.(라그랑주 정리 (군론), 쉴로브 정리 참조) | center |- | Dic3 = Z3 ⋊ Z4 | Z2, Z3, Z4 (3), Z6 | | center |- ! rowspan="1" | 14 | Dih7 || Z7, Z2 (7) | | center |- ! rowspan="9" | 16 | Dih8 | Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) | | center |- | Dih4 × Z2 | Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (7), Z4 (2), Z2 (11) | | center |- | *Q*16 = Dic4 | || | center |- | *Q*8 × Z2 | || 데데킨트 군 | center |- | 준정이면체군(quasidihedral group) || || | center |- | 크기 16의 이와사와 군 || | | center |- | Z4 ⋊ Z4 | || | center |- | 파울리 행렬로 생성되는 군 || || | center |- | *G*4,4 = Z22 ⋊ Z4 | || | center |- !rowspan="3"| 18 | Dih9 || || 정이면체군 || center |- | S3×Z3 || || || center |- |(Z3 × Z3)⋊ Z2 || || || center |- !rowspan="3"| 20 | Q20 = Dic5 = || || || center |- | Z5 ⋊ Z4 || || || center |- | Dih10 = Dih5 × Z2 || || || center |- !21 | Z7 ⋊ Z3 || || 홀수 크기의 가장 작은 비아벨군 || |- !22 | Dih11 || || || |- !rowspan="12"| 24 | Z3 ⋊ Z8 || || || |- | SL(2,3) = Q8 ⋊ Z3|| || || center |- | Q24 = Dic6 = = Z3 ⋊ Q8 || || || center |- | Z4 × S3 || || || |- | Dih12 || || || |- | Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 × Z4) || || || |- | (Z6 × Z2)⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4 || || || |- | Dih4 × Z3 || || 멱영군 || |- | Q8 × Z3 || || 멱영군 || |- | S4 || || 쉴로브 부분군인 정규 부분군이 없음 || center |- | A4 × Z2 || || || center |- | D12× Z2 || || || |- !26 | Dih13 || || || |- ! rowspan=2|27 | Z32 ⋊ Z3 || || 멱영군. 항등원이 아닌 모든 원소의 차수가 3 || |- | Z9 ⋊ Z3 || || 멱영군 || |- ! rowspan=2|28 | Dic7 = Z7 ⋊ Z4 || || || |- | Dih14 || || || |- ! rowspan=3|30 | Z5 × S3 || || || |- | Dih15 || || || |- | Z3 × Dih5 || || || |}