프림 알고리즘

그래프 탐색 알고리즘 **프림 알고리즘**(Prim's algorithm)은 가중치가 있는 연결된 무향 그래프의 모든 꼭짓점을 포함하면서 각 변의 비용의 합이 최소가 되는 부분 그래프인 트리, 즉 최소 비용 생성나무를 찾는 알고리즘이다. 변의 개수를 E, 꼭짓점의 개수를 V라고 하면 이 알고리즘은 이진 힙을 이용하여 자료를 처리하였을 때를 기준으로 {\color{Blue}O}(E \log V)의 시간복잡도를 가진다. 그래프가 충분히 빽빽한 경우(E = {\color{Blue}\Omega}(V \log V))에는 피보나치 힙을 이용하여 훨씬 빠르게 할 수 있다. 이 방법은 복잡도가 {\color{Blue}O}(E + V \log V)까지 떨어진다.
# 개요
프림 알고리즘은 아래의 순서대로 작동한다: # 그래프에서 하나의 꼭짓점을 선택하여 트리를 만든다. # 그래프의 모든 변이 들어 있는 집합을 만든다. # 모든 꼭짓점이 트리에 포함되어 있지 않은 동안 ## 트리와 연결된 변 가운데 트리 속의 두 꼭짓점을 연결하지 않는 가장 가중치가 작은 변을 트리에 추가한다. 알고리즘이 종료됐을 때 만들어진 트리는 최소 비용 신장트리가 된다.
# 설명
이 알고리즘은 한 꼭짓점에서 시작한다. 트리가 모든 꼭짓점을 포함할 때까지 계속된다. * 입력: 연결된 각 변에 가중치가 주어진 그래프 G(V,E) * 초기화: V' = {x}로 놓는다. x는 V에 있는 임의의 꼭짓점이다. E'= \\{\\}로 놓는다. * V'=V 가 될 때까지 다음을 계속 수행한다: ** E로부터 최소의 가중치를 갖는 변 (u,v)를 뽑아낸다. 단, 이때 u는 V'에 속해야 하고 v는 V'에 속하지 말아야 한다. (같은 가중치를 갖는 여러 개의 변이 존재할 경우에는, 임의의 것을 고른다.) ** v를 V'에 추가한다.(u,v)를 E'에 추가한다. * 결과: 알고리즘이 종료됐을 때 만들어진 트리 G(V',E')가 결과가 된다. 이것은 최소 비용 신장트리가 된다.
# 시간 복잡도
{| class="wikitable" ! 최소 변 비용 자료 구조 !! 시간 복잡도 (총합) |- | 인접 행렬, 검색 || V^2 |- | 이진 힙(아래 의사코드를 보라.) 및 인접 리스트 || O((V + E) log V) = E log V |- | 피보나치 힙 및 인접 리스트 || E + V \log V |} 인접 행렬과 최소 비용값들이 들어가 있는 배열 내에서 최소 비용값을 찾는 검색을 사용할 경우, 시간 복잡도는 {\color{Blue}O}(V^2)가 된다. 이진 힙 자료 구조와 인접 리스트 표현을 사용한다면, 프림 알고리즘은 {\color{Blue}O}(E \log V) 내에 수행된다는 것이 증명될 수 있다. 여기서 E는 변의 개수이고, V는 꼭짓점의 개수이다. 약간 복잡한 자료 구조인 피보나치 힙을 사용한다면 O(E + V \log V)로 시간 복잡도가 감소할 수 있다. 이 경우, 그래프가 조밀하여 E가 \Omega(V \log V)일 땐, 상당히 빨라진다.
# 예제
{| class="wikitable" ! 그림 !! 설명 !! width="50" | 안 보임 !! width="80" | 경계 !! width="140" | 결과 집합 |- | | 왼쪽에 있는 것이 우리가 문제를 풀어야 할 그래프이다. 왼쪽에 있는 그림은 트리가 아니다. 트리의 정의에 의해 트리에는 순환이 없어야 하는데 왼쪽에 있는 그림에는 순환이 있기 때문이다. 왼쪽 도표의 정확한 이름은 그래프 또는 네트워크가 되겠다. 변 옆에 있는 숫자는 가중치를 나타낸다. 아직 아무 변도 색이 바뀌지 않았다. 임의의 점을 출발점으로 정할 수 있다. 꼭짓점 **D**를 출발점으로 정하겠다. | C, G | A, B, E, F | D |- | | 다음으로는 **D**와 붙어 있는 꼭짓점을 선택해야 한다: **A**는 5만큼 떨어져있고(가중치가 5라는 뜻), **B**는 9 떨어져있고, **E**는 15 떨어져 있고, **F**는 6 떨어져 있다. 이 중 5가 가장 작으므로 꼭짓점 **A** 및 변 **DA**의 색을 바꾸겠다. | C, G | B, E, F | A, D |- | | 다음 꼭짓점은 **D** 혹은 **A**와 붙어 있는 꼭짓점을 선택하면 된다. **B**는 **D**에서 9떨어져 있고, **A**에서 7 떨어져 있다. **E**는 **D**에서 15만큼 떨어져 있고, **F**는 6만큼 떨어져 있다. 6이 가장 작은 수이므로, **F** 및 **DF**의 색을 바꾸겠다. | C | B, E, G | A, D, F |- | | 위와 같은 방법으로하면 **A**에서 7 떨어진 **B**가 선택된다. **DB**의 색을 빨강으로 바꾸겠다. **B**와 **D**가 이미 색이 바뀌어 있기 때문이다. 따라서 **DB**는 이용될 수 없다. | 널 | C, E, G | A, D, F, B |- | | 이 경우 우리는 **C**, **E**, 및 **G** 중 하나를 선택할 수 있다. **C**는 **B**에서 8 떨어져 있고, **E**는 **B*에서 7 떨어져 있다. **G**는 **F**에서 11 떨어져 있다. **E**가 가장 가까우므로 **E**와 **EB**의 색을 바꾸겠다. 다른 두 개는 빨강으로 칠하겠는데, 이는 두 꼭짓점이 이미 사용되었기 때문이다. | 널 | C, G | A, D, F, B, E |- | | **C**와 **G**가 남아있다. **C**는 **E**에서 5떨어져 있고, **G**는 **E**에서 9 떨어져 있다. **C**를 선택하겠다. **C**와 **EC**의 색을 바꾸겠다. **BC**는 빨강으로 칠하겠다. | 널 | G | A, D, F, B, E, C |- | | **G**만 남아 있다. **F**에서 11 떨어져 있고, **E**에서 9 떨어져 있다. **E**가 가까우므로 **EG*'의 색을 바꾸겠다. 이제 모든 꼭짓점의 색을 바꿨고, 최소 비용 신장트리가 녹색으로 표시되었다. 총 가중치 합은 39이다. | 널 | 널 | A, D, F, B, E, C, G |}
# 정확성 증명
프림 알고리즘으로 얻은 그래프가 신장트리임을 보이는 것과 최소비용임을 보이는 두 단계로 나눈다. 트리에 관한 정리에서 n개의 꼭짓점을 가진 연결된 그래프가 n-1개의 변을 가지면 트리라고 한다. 프림 알고리즘으로 얻은 그래프 P는 n개의 꼭짓점을 연결하고 있고 n-1개의 변을 가지므로 트리이며 모든 점 n개를 가지므로 신장트리이다. P가 최소비용임은 수학적 강귀납법을 통해 다음 명제를 증명하여 보인다. "프림 알고리즘 각 단계에서 얻는 그래프의 간선들을 원소로하는 집합을 포함한 최소비용 신장트리가 항상 존재한다" # 프림 알고리즘 첫 단계는 간선이 없다. 그러므로 간선들의 집합은 공집합이다. 그러므로 최소비용 신장트리가 무엇이든 간선들의 집합을 포함한다. # 프림 알고리즘의 1부터 n-2 단계까지에서 얻는 그래프의 간선들을 원소로하는 집합을 포함한 최소비용 신장트리가 존재한다고 가정하자. # n-2 단계로 얻는 그래프는 Q이고 간선들의 집합 L을 포함하는 최소비용 신장트리를 T라고 하자. Q에서 아직 연결되지 않은 마지막 꼭짓점 E를 한점으로 하는 변 e를 그리면 P를 얻는다. 그러므로 P와 T는 L을 공통으로 포함하고 E를 연결하는 변만 차이가 있다. 이때 T는 최소비용 신장트리이고 P도 가중치가 가장 낮은 e를 그려서 얻으므로 T와 P는 비용이 동일하다. 그러므로 n-1 단계에서 얻는 그래프 P의 간선 집합을 포함하는 최소비용 신장트리 P 자신이 존재한다.
# 의사 코드

## 최소-힙(Min-Heap)
빈 문단
### 초기화
;입력: 한 그래프, 변의 가중치를 반환하는 함수, 초기 꼭짓점. 처음에는 각 꼭짓점은 '아직 거치지 않은 꼭짓점들의 집합'(not yet seen set)에 속한다. 초기 꼭짓점을 정한다. 모든 꼭짓점들을 최소 힙에 두어서 최소 그래프의 최소 가중치를 기준으로 최소 힙에서 꼭짓점이 제거될 수 있게 해둔다. **for each** *vertex* **in** *graph* **set** min_distance **of** *vertex* **to** ∞ **set** parent **of** *vertex* **to** *null* **set** minimum_adjacency_list **of** *vertex* **to** empty list **set** is_in_Q **of** *vertex* **to** true **set** distance **of** initial vertex **to** *zero* add to minimum-heap **Q** all vertices in graph.
### 용어 설명
: "가장 가까운 꼭짓점" 은 Q[0]이다. `latest_addtion`이 된다. : "경계"는 Q에 속한 v인데, "가장 가까운 꼭짓점"이 제거된 뒤 v와의 거리(distance) < ∞ 인 v이다. : "안 보임"은 Q에 속한 v인데, "가장 가까운 꼭짓점"이 제거된 뒤 v와의 거리(distance) = ∞ 인 v이다. 최솟값 제거 함수가 널을 반환하면 while 루프를 빠져나간다. 인접 리스트를 설정해서 "방향이 있는 그래프"가 반환되게도 할 수는 있다. : "시간 복잡도 : 루프에 대해서는 V, 제거 함수에 대해서는 \log V" **while** *latest_addition* = remove minimum in **Q** **set** is_in_Q **of** *latest_addition* to false add *latest_addition* to (minimum_adjacency_list of (parent of *latest_addition*)) add (parent of *latest_addition*) to (minimum_adjacency_list of *latest_addition*) : "시간 복잡도 : E/V, 꼭짓점 개수의 평균" **for each** *adjacent* **of** *latest_addition* **if** (is_in_Q of *adjacent*) and (weight-function(*latest_addition*, *adjacent*) < min_distance of *adjacent*) **set** parent **of** *adjacent* **to** *latest_addition* **set** min_distance **of** *adjacent* **to** weight-function(*latest_addition*, *adjacent*) : "시간 복잡도 : \log V, 힙의 높이(height of heap)" update *adjacent* in **Q**, order by min_distance