횔더 부등식

해석학에서 **횔더 부등식**(Hölder's inequality)은 르베그 적분과 L*p* 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다.
# 정의
*S*,*Σ*,*μ*가 측도 공간이고, *p*, *q* ∈ **R**가 1 ≤ *p*, *q* ≤ ∞ 이고 1/*p* + 1/*q* = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 실함수, 복소함수 가운데 *S*에서 가측 함수 *f*, *g*에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다. :\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q. 부등식은 ||*fg*||1의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 *f* ∈ L*p*(*μ*) , *g* ∈ L*q*(*μ*)일 때, *fg* ∈ L1(*μ*)가 성립한다. 1 0를 만족한다고 가정하자. 이때, *S*에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 *f*, *g* (이때, *g*(*s*) ≠ 0 측도 *μ*값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 *s* ∈ *S*)에 대하여 다음이 성립한다. :\|fg\|_1\ge\|f\|_{1/p}\,\|g\|_{-1/(p-1)}. 만약, ||*fg*||1 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 *α* ≥ 0 에 대해 :|f| = \alpha|g|^{-p/(p-1)}\, 이 측도 *μ*값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다. **주의:** ||*f*||1/*p* 와 ||*g*||−1/(*p*−1)는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다. :\biggl(\int_S|f|^{1/p}\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{\\!p} , \biggl(\int_S|g|^{-1/(p-1)}\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{-(p-1)}.
## 조건부 횔더 부등식
(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})를 확률 공간이라 하고, \mathcal{G}\subset\mathcal{F}를 부분 시그마 대수라 하고, 횔더 켤레 *p*, *q* ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 *X*, *Y*에 대하여 다음이 성립한다. :\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr] \le \bigl(\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/p} \,\bigl(\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/q} \qquad\mathbb{P}\text{-almost surely.} **특이 사항:** * 만약 음이 아닌 확률변수 *Z*가 기댓값이 무한이라면, 이때 *Z*의 조건부 평균은 다음과 같이 정의한다. ::\operatorname{E}[Z|\mathcal{G}]=\sup_{n\in\mathbb{N\,\operatorname{E}[\min\\{Z,n\\}|\mathcal{G}]\quad\text{a.s.} * 조건부 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ , ∞ 곱하기 0 은 0으로 생각한다. *a* > 0 에 ∞를 곱해도 ∞으로 생각한다.
# 예
*p*와 *q*가 (1,∞) 열린구간에 속한다고 가정하자. * *n*차원 유클리드 공간의 집합 *S* = {1, …, *n*} 가 셈측도를 측도로 가질 때, 다음 부등식이 성립한다. ::\sum_{k=1}^n |x_k\,y_k| \le \biggl( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \biggr)^{\\!1/p\;} \biggl( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \biggr)^{\\!1/q} \text{ for all }(x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots.y_n)\in\mathbb{R}^n\text{ or }\mathbb{C}^n. * 만약 S=\mathbb N이 셈측도를 측도로 가질 때, 수열 공간에서의 횔더 부등식을 얻을 수 있다. :: \sum\limits_{k=1}^{\infty} |x_k\,y_k| \le \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p \biggr)^{\\!1/p\;} \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^q \biggr)^{\\!1/q} \text{ for all }(x_k)_{k\in\mathbb N}, (y_k)_{k\in\mathbb N}\in\mathbb{R}^{\mathbb N}\text{ or }\mathbb{C}^{\mathbb N}. * 만약 *S*가 르베그 측도를 측도로 갖는 **R***n*의 가측 집합일 때, **f**, **g**는 **S**에서 가측 실함수, 복소함수이다. 이때, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다. ::\int_S \bigl| f(x)g(x)\bigr| \,\mathrm{d}x \le\biggl(\int_S |f(x)|^p\,\mathrm{d}x \biggr)^{\\!1/p\;} \biggl(\int_S |g(x)|^q\,\mathrm{d}x\biggr)^{\\!1/q}. * 확률 공간 (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})에서 , \operatorname{E}를 기댓값 연산으로 정의하자. Ω에서 실수, 복소수값을 갖는 확률 변수 *X*와 *Y*에 대해, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다. :: \operatorname{E}|XY| \le \bigl(\operatorname{E}|X|^p\bigr)^{1/p}\; \bigl( \operatorname{E}|Y|^q\bigr)^{1/q}. :0 0 , ||*g*||*q* > 0 이라고 가정할 수 있다. 만약 ||*f*||*p* = ∞ 또는 ||*g*||*q* = ∞ 일 때, 횔더 부등식의 우변은 무한대가 된다. 따라서 ||*f*||*p* , ||*g*||*q* 이 (0,∞) 사이의 값을 갖는다고 생각할 수 있다. 만약 *p* = ∞ , *q* = 1이면, 거의 모든 점에서 |*fg*| ≤ ||*f*||∞ |g| 가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, *p* = 1 and *q* = ∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 *p*, *q* ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다. 아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 *a*, *b*에 대하여 *ap* = *bq*일 때이다. :a b \le \frac{a^p}p + \frac{b^q}q, 이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. a=\frac{\left\vert f(s) \right\vert}{\lVert f(s) \rVert_p}, b=\frac{\left\vert g(s) \right\vert}{\lVert g(s) \rVert_q}를 대입하면 :\frac{|f(s)|}{\|f\|_p}\frac{|g(s)|}{\|g\|_q} \le \frac{(\frac{|f(s)|}{\|f\|_p})^p}p + \frac{(\frac{|g(s)|}{\|g\|_q})^q}q,\qquad s\in S. 주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 ||*f*||*p* 와 ||*g*||*q*는 상수 취급을 받는다. :\frac{\|fg\|_1}{\lVert f \rVert_p\lVert g \rVert_q} \le \frac{1}{p(\|f\|_p)^p}\int_{S}^{} |f|^p+\frac{1}{q(\|g\|_q)^q}\int_{S}^{} |g|^q 이때, 가정에서 *p* ,*q*∈ (1,∞) 이라 가정했으므로 , ||*f*||*p* and ||*g*||*q* 의 정의에 의해, (\lVert f \rVert_p)^p=\int_{S}^{} |f|^p ,\quad (\lVert g \rVert_q)^q=\int_{S}^{} |g|^q이므로, \frac{\lVert fg \rVert_1}{\lVert f \rVert_p\lVert g \rVert_q}\le\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 그리고, 양변에 ||*f*||*p*||*g*||*q* 을 곱하면 증명이 끝난다. 등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 \frac{\left\vert f \right\vert}{\lVert f \rVert_p}=\frac{\left\vert g \right\vert}{\lVert g \rVert_q}가 성립할 때이다.
## 일반화된 횔더 부등식의 증명
횔더 부등식과 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. *n* = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. *n* − 1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 *p*1 ≤ … ≤ *pn라 가정할 수 있다. 1 : *pn* = ∞ 일 때, :\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{p_k}=\frac1r. 가정과 |*fn*|의 본질적 상한을 사용하면, :\begin{align} \|f_1\cdots f_n\|_r &\le \|f_1\cdots f_{n-1}\|_r \|f_n\|_\infty\\\ &\le\|f_1\|_{p_1}\cdots\|f_{n-1}\|_{p_{n-1\|f_n\|_\infty.\end{align} 을 얻을 수 있다. 2 : *pn* 0\\}\cup\\{U>0, V=\infty\\} 우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다. :\frac{\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{UV}\le1 \qquad 집합 H:=\\{0에서 거의 확실하게 성립. 이제 임의의 집합 :G\in\mathcal{G},\quad G\subset H. 에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다. *U*, *V*, 1*G''가 부분 시그마 대수에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. :\begin{align} \operatorname{E}\biggl[\frac{\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{UV}1_G\biggr] &=\operatorname{E}\biggl[\operatorname{E}\biggl[\frac{|XY|}{UV}1_G\bigg|\,\mathcal{G}\biggr]\biggr]\\\ &=\operatorname{E}\biggl[\frac{|X|}{U}1_G\cdot\frac{|Y|}{V}1_G\biggr]\\\ &\le\biggl(\operatorname{E}\biggl[\frac{|X|^p}{U^p}1_G\biggr]\biggr)^{\\!1/p\;} \biggl(\operatorname{E}\biggl[\frac{|Y|^q}{V^q}1_G\biggr]\biggr)^{\\!1/q}\\\ &=\biggl(\operatorname{E}\biggl[\underbrace{\frac{\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{U^p_{=\,1\text{ a.s. on }G}1_G\biggr]\biggr)^{\\!1/p\;} \biggl(\operatorname{E}\biggl[\underbrace{\frac{\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{V^p_{=\,1\text{ a.s. on }G}1_G\biggr]\biggr)^{\\!1/q}\\\ &=\operatorname{E}\bigl[1_G\bigr]. \end{align}
# 역사
횔더 부등식은 L.J 로저스가 1888년에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 1889년에 발견하였다.