야코비 기호

수론에서 **야코비 기호**(Jacobi symbol)는 르장드르 기호를 소수뿐만이 아니라 모든 양의 홀수 범위로 확장한 함수이다. 임의의 홀수 n이 n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}의 꼴로 소인수 분해될 때, :\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2} \cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k} 로 정의된다. 여기에서 p가 소수일 때의 (\tfrac{a}{p})는 르장드르 기호를 가리킨다. 크로네커 기호는 야코비 기호를 홀수 범위에서 모든 정수 범위로 확장한 기호이다.
# 성질
아래의 네 성질은 르장드르 기호에서의 성질과 동일하다. # \left(\frac{ab}{n}\right) = \left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right) # a \equiv b \pmod{n}이면 \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right) # \left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{n-1}{2=\begin{cases}1\mbox{ if }n \equiv 1\pmod{4} \\\\-1\mbox{ if }n \equiv 3\pmod{4} \end{cases} # m, n이 홀수일 때 \left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)(-1)^{\tfrac{m-1}{2}\tfrac{n-1}{2 (이차 상호 법칙)
# 역사
카를 구스타프 야코프 야코비가 1837년에 제시하였다.
# 값 표
{| class="wikitable" |- !1 |−1 |1 |1 |−1 |1 |1 |1 |1 |−1 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |−1 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |−1 |1 |1 |1 |1 |1 |- !3 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |- !5 |1 |−1 |−1 |1 |0 |1 |−1 |−1 |1 |0 |1 |−1 |−1 |1 |0 |1 |−1 |−1 |1 |0 |1 |−1 |−1 |1 |0 |1 |−1 |−1 |1 |0 |- !7 |1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |0 |1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |0 |1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |0 |1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |0 |1 |1 |- !9 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |- !11 |1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |0 |1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |0 |1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |- !13 |1 |−1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |−1 |1 |1 |−1 |1 |0 |1 |−1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |−1 |1 |1 |−1 |1 |0 |1 |−1 |1 |1 |- !15 |1 |1 |0 |1 |0 |0 |−1 |1 |0 |0 |−1 |0 |−1 |−1 |0 |1 |1 |0 |1 |0 |0 |−1 |1 |0 |0 |−1 |0 |−1 |−1 |0 |- !17 |1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |1 |1 |0 |1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |- !19 |1 |−1 |−1 |1 |1 |1 |1 |−1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |−1 |−1 |1 |1 |−1 |0 |1 |−1 |−1 |1 |1 |1 |1 |−1 |1 |−1 |1 |- !21 |1 |−1 |0 |1 |1 |0 |0 |−1 |0 |−1 |−1 |0 |−1 |0 |0 |1 |1 |0 |−1 |1 |0 |1 |−1 |0 |1 |1 |0 |0 |−1 |0 |- !23 |1 |1 |1 |1 |−1 |1 |−1 |1 |1 |−1 |−1 |1 |1 |−1 |−1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |−1 |−1 |0 |1 |1 |1 |1 |−1 |1 |−1 |- !25 |1 |1 |1 |1 |0 |1 |1 |1 |1 |0 |1 |1 |1 |1 |0 |1 |1 |1 |1 |0 |1 |1 |1 |1 |0 |1 |1 |1 |1 |0 |- !27 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |- !29 |1 |−1 |−1 |1 |1 |1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |−1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |1 |0 |1 |- !31 |1 |1 |−1 |1 |1 |−1 |1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |−1 |1 |−1 |−1 |- !33 |1 |1 |0 |1 |−1 |0 |−1 |1 |0 |−1 |0 |0 |−1 |−1 |0 |1 |1 |0 |−1 |−1 |0 |0 |−1 |0 |1 |−1 |0 |−1 |1 |0 |- !35 |1 |−1 |1 |1 |0 |−1 |0 |−1 |1 |0 |1 |1 |1 |0 |0 |1 |1 |−1 |−1 |0 |0 |−1 |−1 |−1 |0 |−1 |1 |0 |1 |0 |- !37 |1 |−1 |1 |1 |−1 |−1 |1 |−1 |1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |1 |1 |1 |−1 |1 |- !39 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |−1 |1 |0 |1 |1 |0 |0 |−1 |0 |1 |−1 |0 |−1 |1 |0 |1 |−1 |0 |1 |0 |0 |−1 |−1 |0 |- !41 |1 |1 |−1 |1 |1 |−1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |1 |−1 |1 |1 |−1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |−1 |−1 |−1 |- !43 |1 |−1 |−1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |1 |1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |−1 |−1 |- !45 |1 |−1 |0 |1 |0 |0 |−1 |−1 |0 |0 |1 |0 |−1 |1 |0 |1 |−1 |0 |1 |0 |0 |−1 |−1 |0 |0 |1 |0 |−1 |1 |0 |- !47 |1 |1 |1 |1 |−1 |1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |1 |−1 |1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |1 |−1 |−1 |1 |1 |−1 |1 |1 |−1 |−1 |- !49 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |1 |1 |- !51 |1 |−1 |0 |1 |1 |0 |−1 |−1 |0 |−1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |0 |0 |1 |1 |0 |−1 |1 |0 |1 |−1 |0 |−1 |1 |0 |- !53 |1 |−1 |−1 |1 |−1 |1 |1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |−1 |−1 |−1 |−1 |1 |1 |−1 |−1 |1 |1 |−1 |- !55 |1 |1 |−1 |1 |0 |−1 |1 |1 |1 |0 |0 |−1 |1 |1 |0 |1 |1 |1 |−1 |0 |−1 |0 |−1 |−1 |0 |1 |−1 |1 |−1 |0 |- !57 |1 |1 |0 |1 |−1 |0 |1 |1 |0 |−1 |−1 |0 |−1 |1 |0 |1 |−1 |0 |0 |−1 |0 |−1 |−1 |0 |1 |−1 |0 |1 |1 |0 |- !59 |1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |1 |−1 |1 |−1 |−1 |1 |−1 |−1 |1 |1 |1 |−1 |1 |1 |1 |1 |−1 |−1 |1 |1 |1 |1 |1 |−1 |}