이항 정리

초등대수학에서 **이항 정리**(二項定理, 두마디공식, binomial theorem)는 이항식의 거듭제곱을 이항 계수를 계수로 하는 일련의 단항식들의 합으로 전개하는 정리이다. 이항 정리를 사용하면 더욱 편리하게 계산할 수 있다.
# 정의
파스칼의 삼각형의 처음 5줄 **이항 정리**에 따르면, 이변수 복소수 다항식 (x+y)^n을 다음과 같이 전개할 수 있다. :(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k=x^n+nx^{n-1}y+\frac{n(n-1)}2x^{n-2}y^2+\cdots+y^n 여기서 :\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} 는 이항 계수이며, n개에서 k개를 고르는 조합의 가짓수이다. 이항 계수는 파스칼의 삼각형의 원소들인데, 이 삼각형에 배열되었을 때, 이항 계수는 좌우 대칭을 띠며, 각 원소는 바로 위의 두 이웃 원소의 합이다.
# 증명

## 조합론적 증명
(x+y)^n의 전개는 다음과 같은 2^n개의 항으로 이루어진다. :e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in} 여기서 :e_{ij}\in\\{x,y\\} :i=1,2,\dots,2^n 또한, x^{n-k}y^k 꼴의 항의 개수는 n개에서 k개를 고르는 조합의 가짓수와 같으며, 즉 이항 계수 \textstyle\binom nk와 같다. 이는 각 항이 \\{1,2,\dots,n\\}의 부분 집합과 :e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}\mapsto\\{j\in\\{1,2,\dots,n\\}\colon e_{ij}=y\\} 와 같이 일대일 대응하며, 이 경우 x^{n-k}y^k 꼴의 항들은 \\{1,2,\dots,n\\}의 k원소 부분 집합들과 일대일 대응하기 때문이다. 따라서, 이항 정리가 성립한다.
## 수학적 귀납법을 통한 증명
이항 계수의 항등식 :\binom nk+\binom n{k-1}=\binom{n+1}k 및 지수 n에 대한 수학적 귀납법을 통해 이항 정리를 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선, n=0의 경우 자명하게 성립한다. 즉, :(x+y)^0=1 이제, n에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, :\begin{align}(x+y)^{n+1} &=(x+y)(x+y)^n\\\ &=(x+y)\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k\\\ &=x\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k+y\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k\\\ &=\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n+1-k}y^k+\sum_{k=1}^{n+1}\binom n{k-1}x^{n+1-k}y^{k}\\\ &=x^{n+1}+\sum_{k=1}^n\left(\binom nk+\binom n{k-1}\right)x^{n+1-k}y^k+y^{n+1}\\\ &=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}kx^{n+1-k}y^k \end{align} 즉, n+1에 대하여 성립한다. 수학적 귀납법에 따라, 이항 정리는 임의의 n\in\mathbb N에 대하여 성립한다.
# 예
몇 가지 작은 지수의 경우의 이항 정리는 다음과 같다. :(x+y)^0=1 :(x+y)^1=x+y :(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 :(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 :(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 임의의 복소수를 x와 y에 대입해도 성립한다. 다만 지수 0의 경우 00 = 1이라고 가정해야 한다.
# 관련 정리

## 일반화된 이항 정리
이항 급수 이항식을 거듭제곱하는 지수를 임의의 복소수 \alpha\in\mathbb C까지 확장할 수 있다. 이렇게 일반화된 이항 정리에선 전개가 무한 급수가 되며, 다음과 같다. :(x+y)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty\binom\alpha kx^{\alpha-k}y^k=x^\alpha+\alpha x^{\alpha-1}y+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^{\alpha-2}y^2+\cdots 여기서 :\binom\alpha k=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k!} 는 일반화된 이항 계수이다. 이항 정리는 일반화된 이항 정리에서 \alpha\in\mathbb N인 특수한 경우이다. \alpha\not\in\mathbb N일 경우, 이 등식은 |x|>|y|일 때 성립하며, |x|<|y|일 때 성립하지 않으며, |x|=|y|일 때의 성립 여부는 x,y,\alpha의 값에 따라 다르다.
## 다항 정리
다항 정리 이항식 대신 여러 항의 다항식을 사용하면 다항 정리를 얻으며, 다음과 같다. :(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n=\sum_{k_1,k_2,\dots,k_m\in\mathbb N}^{k_1+k_2+\cdots k_m=n}\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m} 이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. :(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n=\sum_{K\in\mathbb N^m}^{|K|=n}\binom nKx^K 이항 정리는 다항 정리에서 m=2인 특수한 경우이다.
## 다중 이항 정리
하나의 이항식의 거듭제곱 대신 여러 (중복이 가능한) 이항식들의 곱을 사용하면 다중 이항 정리를 얻으며, 다음과 같다. :(x_1+y_1)^{n_1}(x_2+y_2)^{n_2}\cdots(x_d+y_d)^{n_d}= \sum_{k_1=0}^{n_1}\sum_{k_2=0}^{n_2}\cdots\sum_{k_d=0}^{n_d} \binom{n_1}{k_1}x_1^{n_1-k_1}y_1^{k_1}\binom{n_2}{k_2}x_2^{n_2-k_2}y_2^{k_2}\cdots\binom{n_d}{k_d}x_d^{n_d-k_d}y_d^{k_d} 이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. :(x+y)^N=\sum_{K\in\mathbb N^d\colon K\le N}\binom NKx^{N-K}y^K 이항 정리는 다중 이항 정리에서 d=1인 특수한 경우이다.
## 가환환의 경우
이항 정리는 임의의 가환환의 원소를 계수로 하는 다항식에 대해서도 성립한다. 이항 정리는 복소수 다항식에 대한 특수한 경우이다.
# 역사
이항계수가 삼각형의 형태로 배열되는 이 식은 종종 17세기 블레즈 파스칼의 공적으로 알려져 있으나 실제로는 이슬람, 남아시아, 동아시아 문화권 모두에서 독립적으로 미리 발견되어 있었다. 시기와 발견자는 각각 10세기 인도 수학자 할라유다, 페르시아 수학자 알카라지O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.와 13세기 중국의 수학자 양휘였다.Landau, James A (1999-05-08). "Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM Pascal's Triangle"] url=https://web.archive.org/web/20210224081637/http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html (mailing list email). Archives of Historia Matematica. Retrieved 2007-04-13.