기수 (수학)

ℵ0은 가장 작은 무한 기수이다. 수학에서 **기수**(基數, cardinal number)는 집합의 크기를 나타내는 수이다. 유한 집합의 크기는 자연수로 나타내어지는데, 이를 무한 집합에 대하여 일반화한 개념이다. 무한 집합의 진부분집합은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 크기를 가질 수도 있다. 모든 무한 집합이 같은 크기를 갖는 것은 아니며, 무한히 많은 서로 다른 크기의 무한 집합들이 있다.
# 정의

## 동치류를 사용한 정의
두 집합 S, T사이에 전단사 함수가 존재한다면 S\approx T라고 하자. 이는 (집합론적인 문제를 무시하면) 동치 관계를 이룬다. 그렇다면 **기수**는 집합의 이 동치 관계에 대한 동치류로 정의할 수 있다. 그러나 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이러한 동치류는 고유 모임이 되며, 이는 기술적으로 문제를 일으킨다. 예를 들어, 기수들의 집합을 정의할 수 없다. 반면, 유형 이론이나 새 기초(New Foundations) 등의 체계에서는 이 정의를 그대로 사용할 수 있다. 예를 들어, 유형 이론을 사용하는 《수학 원리》에서 이 정의가 사용된다.
## 폰 노이만 정의
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합의 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이는 존 폰 노이만이 도입한 정의다. 집합 X의 **크기** |X|는 전단사 함수 X\to\alpha가 존재하는 가장 작은 순서수 \alpha이다. :|X|=\min\\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha\cong X\\} 순서수의 고유 모임은 정렬 순서를 갖추었으므로 이 최소는 항상 존재한다. 특정한 집합의 크기가 되는 순서수를 **기수**라고 한다. 예를 들어, 모든 자연수는 기수이며, 순서수 \omega는 기수 \aleph_0이다. 반면, 순서수 \omega+1이나 \omega2, \omega^\omega, \omega^{\omega^{\omega 따위는 \omega와 같은 집합의 크기를 가지므로 기수가 아니다.
## 스콧 정의
선택 공리를 가정하지 않는다면, 위와 같은 폰 노이만 정의를 사용할 수 없다. 이를 피하기 위해 다음과 같은, 데이나 스콧이 도입한 정의를 사용할 수 있다. 이 정의를 **스콧 계교**(Scott計巧, Scott’s trick)라고 한다.언어=en442, №. 626t 임의의 집합 X에 대하여, X와 같은 크기의 집합이 등장하는 최소의 계수 :\alpha=\min\left\\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon \exists\tilde X\in V_\beta\colon|X|=|\tilde X|\right\\} 를 찾을 수 있다. (여기서 V_\beta는 폰 노이만 전체의 단계이다.) 이 경우, X의 **크기** \operatorname{card}(X)는 V_\alpha 속의, X와 같은 크기를 갖는 모든 집합들의 집합이다. :\operatorname{card}(X)=\left\\{\tilde X\in V_\alpha\colon |X|=|\tilde X|\right\\} **기수**는 어떤 집합의 크기가 되는 집합이다. 즉, 집합 S가 다음 세 조건을 만족시킨다면, **기수**라고 한다. * S는 공집합이 아니다. * S의 모든 원소들은 같은 계수를 가지며, 같은 크기이다. * S의 원소의 계수를 \alpha\in\operatorname{Ord}라고 하면, 임의의 순서수 \beta\kappa (칸토어의 정리) :\kappa^0=1 :\kappa^1=\kappa 또한, 다음과 같은 분배 법칙이 성립한다. :\kappa(\lambda+\mu)=\kappa\lambda+\kappa\mu :\kappa^{\lambda+\mu}=\kappa^\lambda\kappa^\mu :\kappa^{\lambda\mu}=(\kappa^\lambda)^\mu (집합의 데카르트 닫힘) :(\kappa\lambda)^\mu=\kappa^\mu\lambda^\mu
## 산술 연산의 단조성
기수의 덧셈과 곱셈은 증가 함수이다. 거듭제곱 역시 두 매개변수에 대해서 증가 함수이다. :\kappa\le\lambda\implies\kappa+\mu\le\lambda+\mu :\kappa\le\lambda\implies\kappa\mu\le\lambda\mu :\kappa\le\lambda\implies\kappa^\mu\le\lambda^\mu :\kappa\le\lambda\implies\mu^\kappa\le\mu^\lambda (\mu>0) 대우를 취하면 다음을 얻는다. :\kappa+\mu0) 그러나 기수의 연산들은 순증가 함수가 아니다. 예를 들어, :2\lambda^+,\;\operatorname{cf}(\kappa)>\lambda\\\ \kappa^+&\kappa>\lambda^+,\;\operatorname{cf}(\kappa)\le\lambda \end{cases} 여기서 \operatorname{cf}는 기수의 공종도이다.
# 분류
유한 집합의 크기인 기수를 **유한 기수**, 무한 집합의 크기인 기수는 **무한 기수** 또는 **초한 기수**라고 한다. 유한 기수는 자연수(음이 아닌 정수)와 같으며, 선택 공리를 가정한다면 무한 기수는 알레프 수와 같다. 즉, 선택 공리를 가정하였을 때 기수의 열은 :0, 1, 2, 3, \dots n, \dots; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots, \aleph_\omega, \aleph_{\omega+1}, \dots 이다. 알레프 수의 경우, 임의의 순서수 \alpha가 알레프 수 \aleph_\alpha의 첨수가 될 수 있으며, 따라서 어떤 의미에서 알레프 수는 순서수만큼이나 많다. 동시에, 자연수와 알레프 수는 순서수들의 고유 모임의 부분모임이다. 선택 공리를 가정하지 않을 경우에는 알레프 수가 아닌 무한 기수가 있을 수도 있다. 기수는 순서수의 경우와 비슷하게, 세 가지의 분류로 나눌 수 있다. 모든 기수 \kappa는 다음 세 분류 가운데 정확히 하나에 속한다. * 0 * **따름 기수**(successor cardinal). 이는 \kappa=\lambda^+인 기수 \lambda가 존재하는 경우이다. * **극한 기수**(limit cardinal)는 0이 아니며 따름 기수가 아닌 기수이다.
# 예
수학에서 흔히 등장하는 기수는 다음과 같다. * 모든 자연수 0,1,2,\dots는 기수이다. * \aleph_0은 가산 무한 집합의 크기다. 예를 들어, 자연수의 집합의 크기, 정수의 집합의 크기, 유리수의 집합의 크기, 대수적 수의 집합의 크기가 이 기수이다. * \aleph_1은 모든 가산 순서수의 집합의 크기다. * 2^{\aleph_0}은 **연속체**(連續體, continuum)라고 하며, 실수의 집합의 크기이자 자연수의 집합의 멱집합의 크기이며, 임의의 차원의 유클리드 공간의 점의 수이다. 만약 연속체 가설을 가정한다면 \aleph_1과 같다. 반대로, 마틴 최대 공리(Martin’s Maximum)를 가정한다면 이는 \aleph_2와 같다. * 추가 공리들을 도입하면, **큰 기수**라는 일련의 매우 큰 기수들의 존재를 증명할 수 있다. 이들은 현대 집합론에서 핵심적인 위치를 차지한다.