이징 모형

통계역학 통계역학에서 **이징 모형**(Ising模型, Ising model)은 자석의 간단한 격자 모형이다. 이징 모형은 강자성체를 위치가 고정되어 있는 자기 쌍극자의 격자로 나타낸다.언어=kourl-status=dead언어=en연도=2010 각 쌍극자는 +1 또는 −1 두 개의 상태를 가질 수 있고, 격자 위에서 바로 옆에 있는 쌍극자와 상호 작용한다.
# 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * 유한 그래프 \Gamma. 그 꼭짓점 집합을 \mathsf V(\Gamma), 변 집합을 \mathsf E(\Gamma)라고 표기하자. * 함수 h\colon\mathsf V(\Gamma) \to \mathbb R, i \mapsto h_i * 함수 \beta \colon \mathsf E(\Gamma) \to \mathbb R, ij \mapsto \beta_{ij} 그렇다면, 그래프 \Gamma 위의, 자기장 h에 대한 **이징 모형**은 다음과 같은 분배 함수로 정의된다. :Z_\Gamma(\beta;h) = \sum_{\sigma \in \\{\pm1\\}^{\mathsf V(\Gamma) \exp\left(\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\beta_{ij}\sigma_i\sigma_j + \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}h_i\sigma_i\right) 여기서 합은 모든 함수 :\sigma\colon \mathsf V(\Gamma) \to \\{\pm1\\} :\sigma\colon i \mapsto \sigma_i 에 대한 것이다. 보통, \beta 및 h는 상수 함수로 놓는다.
# 성질
이징 모형은 다음과 같은 대칭을 갖는다. :Z_\Gamma(\beta;h_i,h_{j\ne i}) = Z_\Gamma(\beta;-h_i,h_{j\ne i}) (자기장의 한 성분을 뒤집음) :Z_{\Gamma\sqcup\Gamma'}(\beta;h) = Z_{\Gamma}(\beta \restriction \mathsf E(\Gamma);h \restriction \mathsf E(\Gamma)) Z_{\Gamma'}(\beta \restriction \mathsf E(\Gamma');h \restriction \mathsf V(\Gamma')) :Z_{\varnothing}(\beta;h) = 1 여기서 \sqcup은 그래프의 분리합집합이다.
## 평면 그래프 쌍대성
평면 그래프 \Gamma 위의 이징 모형은 그 쌍대 그래프 \Gamma' 위의 이징 모형과 동치이다. 이 경우, \Gamma의 고온 이징 모형은 \Gamma'의 저온 이징 모형에 대응한다. 특히, 평면 정사각형 격자 그래프 \mathsf P_\infty \,\square\,\mathsf P_\infty는 스스로와 쌍대이며, 이를 통해 평면 정사각형 격자 그래프의 상전이 온도를 알 수 있다. 마찬가지로, 평면 정육각형 격자 그래프는 평면 정삼각형 격자 그래프와 쌍대이다.
# 특별한 경우
특수한 그래프의 경우, 이징 모형의 해를 해석적으로 구할 수 있다.
## 무변 그래프 (고온 극한)
만약 \Gamma = \bar{\mathsf K}_N가 N개의 꼭짓점을 갖는 무변 그래프라고 하자. 그렇다면, :Z_\Gamma(\beta;h) = \sum_{\sigma\in\\{\pm1\\}^N} \exp(\sigma_ih_i) = \prod_{i=1}^N(2\cosh h_i) 이다. 이 경우 헬름홀츠 자유 에너지는 :F_\Gamma = - \frac1\beta\ln Z_\Gamma = -\frac1\beta \left(N \ln 2 + \sum_{i=1}^N \ln \cosh h_i \right) 이다. 즉, :\langle \sigma_i \rangle = - \frac\partial{\partial h_i} \ln Z = \tanh h_i 이다. 임의의 그래프 위의 이징 모형에서, \beta \to 0일 때 (즉, 고온 극한) 이는 무변 그래프로 수렴한다.
## 완전 그래프 (평균장 근사)
만약 \Gamma = \mathsf K_N가 N개의 꼭짓점을 갖는 완전 그래프라고 하자. (이 경우를 만약 다른 그래프의 근사로 여길 때 **평균장 근사** 平均場近似, mean-field approximation라고 한다.) 편의상, \beta와 h가 상수 함수라고 가정하자. 이 경우, +값의 스핀의 수를 :n = \sum_i\frac{\sigma_i+1}2 으로 적으면, :\sum_i\sigma_i = 2n-N :\exp(\beta\sum_{ij}\sigma_i\sigma_j) = \exp\left(\beta(2n-N)^2/2 \- N\beta/2\right) :\exp\left(\beta\sum_{ij}\sigma_i\sigma_j+h\sum_i\sigma_i\right) = \exp(\beta(2n-N)^2/2 - \beta N/2 + h(2n-N)) 가 된다. 즉, :Z_{\mathsf K_N}(\beta,h) = \exp\left(-\frac12\beta N \right) \sum_{n=0}^N \binom nN \exp\left(\frac12\beta(2n-N)^2 +h(2n-N)\right) 이다. 열역학적 극한은 :N\to\infty :\beta \propto 1/N 이다. 이 경우, 변수 :x = 2n/N - 1 :b = N\beta 를 정의하면, 분배 함수는 다음과 같다. :Z_{\mathsf K_N} \approx \frac12N\exp(-\beta N/2) \int_1^1 \mathrm dx \exp(NS(x;\beta,h)) :S(x;\beta,h) = - \frac12(1+x) \ln (1+x) - \frac12 (1-x) \ln (1-x) + ln 2 + \frac12 bx^2 + hx 만약 S가 하나의 최댓값을 가지는 경우, 이는 라플라스 방법으로 근사할 수 있다. S의 최댓값의 위치는 :0 = \left|\frac{\partial S}{\partial x}\right|_{x=x_0} = - \operatorname{artanh}(x_0) + bx_0 + h 이므로 :h = \operatorname{artanh}(x_0) - bx_0 이다. S의 최댓값 근처의 폭은 :-S*(X_0;\beta,h) = \frac12\left(\frac1{1+x_0} + \frac1{1-x_0}\right) - b 에 의하여 주어진다. 따라서 분배 함수는 :\ln Z_{\mathsf K_N}(b/N, h) = \frac12\ln (2\pi N) - \frac12b \- \frac12 \ln (-S*(x_0(b,h);b,h)) \+ NS(x_0(b,h);b,h) + o(1) 가 된다. 이 경우 평균 스핀은 다음과 같다. :\langle\sigma\rangle = \frac1N \frac{\partial \ln N}{\partial h}= x_0(b,h) - \frac1{2N} \frac\partial{\partial h}\ln (-S''(x_0(b,h);b,h)) + o(1/N) 첫째 항만을 남기고, h에 대하여 풀면 상태 방정식 :b\langle\sigma\rangle+\operatorname{artanh}\langle\sigma\rangle = h 을 얻는다. 이 근사가 잘 성립하려면 (즉, S가 한 점에서 최댓값을 갖는다면), 함수 :(-1,+1)\to \mathbb R :x \mapsto \operatorname{artanh} x - bx 가 치역의 값 h 근처에서 단사 함수이어야 한다. 이것이 항상 성립할 필요 충분 조건은 :b \le 1 이다. 만약 b>1일 경우, |h|가 충분히 작다면 이 함수는 세 개의 원상을 갖는다. 이 경우, S의 세 개의 임계점 가운데 S의 값이 가장 큰 것을 골라야 한다. 물리학적으로, 이는 b = 1에서 일어나는 2차 상전이를 나타낸다. 완전 그래프를 강자성체의 평균장 근사로 여길 경우, 이는 퀴리 온도 T = \epsilon /k_{\mathrm B} 에 해당한다.44, (3.2.3)
## 순환 그래프 (1차원 이징 모형)
만약 \Gamma = \mathsf C_N가 N개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프라고 하자. 이 경우 :\exp(\sum_{i=1}^\infty\beta_i\sigma_i\sigma_{i+1}+\sum_ih_i\sigma_i) =\prod_{i=1}^N V(\sigma_i,\sigma_{i+1};\beta_i,h_i,h_{i+1}) :V(\sigma,\sigma';\beta,h,h') = \exp\left( \beta\sigma\sigma' +\frac12h\sigma+\frac12h'\sigma' \right) 이다. 이는 2×2 대칭 행렬 :V(\beta,h,h') = \begin{pmatrix} \exp(h/2+h'/2+\beta) & \exp(h/2+h'/2 - \beta) \\\ \exp(-h/2+h'/2 - \beta) & \exp(-h/2-h'/2 + \beta) \end{pmatrix} 로 표현될 수 있다. 그렇다면 :Z = \operatorname{tr}\prod_{i=1}^{N-1} V(\beta_i;h_i,h_{i+1}) 이다. 만약 \beta와 h가 상수 함수라면, 모든 V(\beta_i;h_i,h_{i+1})들이 같아지며, 이 경우 :Z = \lambda_1(V)^N + \lambda_2(V)^N 이 된다. 여기서 \lambda_1, \lambda_2는 V의 두 (실수) 고윳값이다.
## 나무 그래프
유한 나무 그래프 T가 주어졌다고 하자. 이 경우, 어떤 임의의 꼭짓점 i_0 \in \mathsf V(T)을 고르자. 그렇다면 모든 꼭짓점 i에 대하여, i_0까지의 최단 경로의 길이 \ell(i,i_0)를 정의할 수 있다. 모든 꼭짓점 i\in\mathsf V(T)에 대하여, 만약 i \ne i_0라면, :\ell(\operatorname{prec}(i),i_0) +1 = \ell(i,i_0) :\operatorname{prec}(i)i \in \mathsf E(T) 인 \operatorname{prec}(i)\in \mathsf V(T)가 유일하게 존재한다. 그렇다면, 스핀 \sigma_i 대신 다음과 같은 새 변수들을 정의할 수 있다. :\tilde\tau_{i_0} = \sigma_{i_0} :\tilde\tau_i = \sigma_v\sigma_{\operatorname{prec}(i)} 또한, 임의의 :\beta \colon \mathsf E(T) \to \mathbb R :h\colon \mathsf V(T) \to \mathbb R 에 대하여, :\tilde\beta \colon \mathsf E(T) \to \mathbb R :\tilde h \colon \mathsf V(T) \to \mathbb R :\tilde \beta_{\operatorname{prec}(i)i} = h_i :\tilde h_i = \begin{cases} \beta_{\operatorname{prec}(i)i} & i \ne i_0 \\\ h_{i_0} & i=i_0 \end{cases} 그렇다면, :\sigma \leftrightarrow \tilde\sigma 변환 아래 다음이 성립한다. :Z_T(\beta,h) = Z_T(\tilde\beta,\tilde h) 특히, 만약 :h_i=\begin{cases} 0 & i \ne i_0 \\\ h_i & i = i_0 \end{cases} 인 경우 \tilde\beta = 0이므로 다음과 같다. :Z_T(\beta,h) = Z_T(0,\tilde h) = (2\cosh \exp h_{i_0}) \prod_{ij\in\mathsf E(T)} (2\cosh \beta_{ij})
## 베테 그래프
나무 그래프 T에서 원점 i_0\in\mathsf V(T)을 골랐을 때, 다음과 같은 꼴이라고 하자. * 원점 i_0\in\mathsf V(T)의 차수는 d_N이다. * 원점 i_0\in \mathsf V(T)에서 거리가 N-n인 모든 꼭짓점의 차수는 d_n + 1이다. (즉, d_n개의 가지들을 가진다.) * d_0 = 0이다. (즉, 모든 꼭짓점은 원점에서 거리 N 이하이다.) 원점에서 거리 N-n의 꼭짓점 i의 **높이**가 :\operatorname{ht}(i) = \ell(i,i_0) = n 이라고 하자. 예를 들어, 베테 그래프의 경우 N \to \infty이며 d_N -1 = d_{N-1} = d_{N-2} = \dotsb = d_1의 꼴이다. 이제, 같은 높이에서 균등한 함수 :\beta_{i\operatorname{prec}(i)} = \beta_{\operatorname{ht}(i)} :h_i = h_{\operatorname{ht}(i)} 를 생각하자. 즉, :h_0,\beta_0,h_1,\beta_1,h_2,\dotsc,\beta_{N-1},h_N 이 존재한다. 이제, 이 그래프 위의 이징 모형의 분배 함수 :Z_N(h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\beta_{n-2},\dotsc,\beta_0,h_0) 를 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 재귀적 관계가 성립한다. :Z_N(h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\beta_{n-2},\dotsc,\beta_0,h_0) = \exp(h_N) Z_{N-1}(h_{N-1}+\beta_{N-1},\beta_{N-2},h_{N-2},\dotsc,\beta_0,h_0)^{d_n} +\exp(-h_N) Z_{N-1}(h_{N-1}-\beta_{N-1},\beta_{N-2},h_{N-2},\dotsc,\beta_0,h_0)^{d_n} :Z_0(h_0) = 2 \cosh h_0 편의상 다음과 같은 함수를 정의하자. :C_N(\beta_N,h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc) = \frac12\left( Z_N(\beta_N+h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc) \+ Z_N(-\beta_N+h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc) \right) :S_N(\beta_N,h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc) = \frac12\left( Z_N(\beta_N+h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc) \- Z_N(-\beta_N+h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc) \right) 그렇다면 이 재귀 관계는 다음과 같다. :C_N = 2\cosh\beta_N \left((C_{N-1}+S_{N-1})^{d_N}\exp h_N + (C_{N-1}-S_{N-1})^{d_N}\exp h_N\right) :S_N = 2\sinh\beta_N \left((C_{N-1}+S_{N-1})^{d_N}\exp h_N - (C_{N-1}-S_{N-1})^{d_N}\exp h_N\right) :Z_N(h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc) = \exp(h_N) (C_{N-1}+S_{N-1})^{d_N} +\exp(-h_N) (C_{N-1}-S_{N-1})^{d_N} 만약 d_i, h_i, \beta_i가 상수 함수라면, 이는 (C_N,S_N) \in \mathbb R^2에 대한 이산 시간 동역학계 :\binom cs \mapsto \binom{ (2\cosh\beta)((c+s)^d+(c-s)^d) }{ (2\sinh\beta)((c+s)^d-(c-s)^d) } 로 여길 수 있다. N\to \infty 극한은 (만약 존재한다면) 이 함수의 고정점에 해당한다. 특히, 만약 d = 1일 때 (경로 그래프), 이는 선형 변환에 불과하며, 이 경우 유한한 N의 경우에도 풀 수 있다.
## 연산자 표현
유한 그래프 \Gamma가 주어졌으며, 그래프 데카르트 곱 :\Gamma \,\square\, \mathsf C_L 위의 이징 모형을 생각하자. (여기서 \mathsf C_L은 크기 L의 순환 그래프이다.) 이 경우, 실수 힐베르트 공간 :V = \mathbb R^{\\{\pm1\\}^{\mathsf V(\Gamma) 을 정의할 수 있다. 이는 2^{|\mathsf V(\Gamma)|}차원 실수 힐베르트 공간이다. 임의의 함수 :\sigma\colon \mathsf V(\Gamma) \to \\{\pm1\\} 에 대하여, 기저 벡터 :|\sigma\rangle \in V 를 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 벡터들은 V의 정규 직교 기저를 이룬다. 각 두 꼭짓점 i,j\in\mathsf V(\Gamma)에 대하여, 연산자 :S_i(\beta,h) \colon V \to V :T_{ij}(\beta) \colon V \to V :\langle\sigma|S_i(\beta,h)|\sigma'\rangle = \exp(h(\sigma_i+\sigma'_i)/2+\beta\sigma_i\sigma'_i) \prod_{k\ne i}\delta(\sigma_k,\sigma'_k) :\langle\sigma|T_{ij}(\beta)|\sigma'\rangle = \exp(\beta\sigma_i\sigma_j) \prod_{k\in\mathsf V(\Gamma)}\delta(\sigma_k,\sigma'_k) 를 정의할 수 있다. 즉, S_i는 \mathsf C_L 방향(“시간 방향”)의 변을 생성하며, T_{ij}는 \Gamma 방향(“공간 방향”)의 변을 생성한다. 이들은 둘 다 에르미트 연산자를 이룬다. 그렇다면, 그래프 \Gamma 위에서, \beta와 h가 상수 함수인 경우, 이징 모형은 다음과 같이 연산자로 나타낼 수 있다. : Z_\Gamma(\beta;h=0)= \sum_{\sigma^1,\sigma^2,\dotsc,\sigma^L} \langle \sigma^1 | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^1\rangle \langle \sigma^1 | \prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)} S_i(\beta,h) |\sigma^2 \rangle \langle\sigma^2 | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^2\rangle \dotsm \langle \sigma^L | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^L\rangle \langle \sigma^L | \prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)} S_i(\beta,h) |\sigma^1\rangle 여기서 :\sum_{\sigma^a}|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta) =\sum_{\sigma^a}|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta) =\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta) 이다. 즉, :Z_\Gamma(\beta;h=0) = \operatorname{tr}\left(\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta,h)\right)^L 이다. 이에 따라, 이러한 그래프 위의 이징 모형은 연산자 :\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta,h) 의 고윳값을 구하는 것으로 귀결된다.
## 2차원 격자 그래프
2차원 이징 모형에서의 자기화 1차원에서는 양의 온도에서 상전이 현상이 일어나지 않는다. (다만, 절대 영도 \beta = \infty에서 상전이가 발생하는 것으로 간주할 수 있다.) 하지만 이징 모형은 2차원 이상에서는 상전이가 일어나며, 특히 2차원 이징 모형은 해석적인 해를 구할 수 있다.언어= 그 열역학적 극한은 2차원 등각 장론으로 주어진다. 구체적으로, 다음과 같은 대각선 모양의 격자를 생각하자. :{| | || || || ⋮ || || || || ⋮ || || || || ⋮ |- | || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ |- | || || || ● || || || || ● || || || || ● |- | || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || |- | ⋯ || ○ || || || || ○ || || || || ○ || || || || ○ || ⋯ |- | || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ |- | ⋯ || || || ● || || || || ● || || || || ● || || || ⋯ |- | || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || |- | || ○ || || || || ○ || || || || ○ || || || || ○ || |- | || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ |- | || || || ⋮ || || || || ⋮ || || || || ⋮ |} 편의상 꼭짓점을 두 색으로 칠하였다. 이 경우, 두 종류의 행들이 있게 된다. 총 2L개의 행이 있다고 하자. (즉, L개의 ○행과 L개의 ●행이 있다.) 각 행의 길이가 N이라고 하고, ○행의 꼭짓점을 :\\{0,1,\dotsc,N-1\\}\pmod N 이라고 하고, ●행의 꼭짓점을 :\\{\tfrac12,\tfrac12+1,\dotsc,N-\tfrac12\\} \pmod N 라고 하자. 두 종류의 행에 대응하는 실수 힐베르트 공간을 각각 :\mathcal H_\bullet \cong \mathbb R^{\\{\pm1\\}^N} :\mathcal H_\circ \cong \mathbb R^{\\{\pm1\\}^N} 라고 하자. 이제, 다음과 같은 연산자들을 정의할 수 있다. :V_{\bullet\circ} \colon \mathcal H_\circ \to \mathcal H_\bullet :V_{\circ\bullet} \colon \mathcal H_\bullet \to \mathcal H_\circ :\langle\sigma^\bullet|V_{\bullet\circ}|\sigma^\circ\rangle = \exp\sum_{i=1}^N (\beta_\nearrow\sigma^\bullet_{i+1/2}\sigma^\circ_i + \beta_\nwarrow\sigma^\bullet_{i-1/2}\sigma^\circ_i) :\langle\sigma^\circ|V_{\circ\bullet}|\sigma^\bullet\rangle = \exp \sum_{i=1}^N(\beta_\nearrow\sigma^\circ_i\sigma^\bullet_{i-1/2}+\beta_\nwarrow\sigma^\circ_i\sigma_{i+1/2}^\bullet) 이들을 **전이 행렬**(轉移行列, transition matrix)이라고 한다. 이를 사용하여 이징 모형의 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다. :Z_{N,L}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) = \operatorname{tr}_{\mathcal H_\circ} (V_{\circ\bullet}V_{\bullet\circ})^L = \sum_{i=1}^{2^N} \lambda_i^L 여기서 \lambda_i는 V_{\circ\bullet}V_{\bullet\circ}\colon \mathcal H_\circ \to \mathcal H_\circ의 고윳값들이다. (다만 이는 일반적으로 대칭 행렬이 아니다.) 즉, 분배 함수의 계산은 VW의 고윳값들을 계산하는 것으로 귀결된다. 두 힐베르트 공간 사이에 다음과 같은 두 동형 사상을 정의할 수 있다. :P_{\bullet\circ}^\pm \colon \mathcal H_\circ\to\mathcal H_\bullet :\langle\sigma^\bullet|P_{\bullet\circ}^\pm |\sigma^\circ\rangle = \prod_{i=1}^N \delta(\sigma^\bullet_{i\pm1/2},\sigma^\circ_i) :P_{\circ\bullet}^\pm = (P_{\bullet\circ}^\mp)^{-1} 물론 :(P_{\circ\bullet}^\pm P_{\bullet\circ}^\pm)^N = 1 :(P_{\bullet\circ}^\pm P_{\circ\bullet}^\pm)^N = 1 이다. 또한, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다. :R_{\bullet\bullet} \colon \mathcal H_\bullet \to \mathcal H_\bullet :R_{\circ\circ} \colon \mathcal H_\circ \to \mathcal H_\circ :\langle{\sigma'}^\circ|R_{\circ\circ}|\sigma^\circ\rangle =\prod_{i=1}^N \delta({\sigma'}^\circ_i,-{\sigma'}^\circ_i) :R_{\bullet\bullet} = P_{\bullet\circ}^\pm R_{\circ\circ} P_{\circ\bullet}^\mp 즉, 이들은 모든 스핀을 뒤집는 연산자이다. 물론 :R_{\bullet\bullet}^2 = 1 :R_{\circ\circ}^2 = 1 이다. 이제, 이 연산자들은 다음과 같은 성질을 가진다. :V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) = V_{\bullet\circ}(\beta_\nwarrow,\beta_\nearrow)^\top95, (7.4.1) 만약 :\sinh (2\beta_\nearrow)\sinh(2\beta_\nwarrow) = \sinh (2\beta'_\nearrow)\sinh(2\beta'_\nwarrow) 라면, :V(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) W(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) = V(\beta'_\nearrow,\beta'_\nwarrow) W(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) 이다. 또한, 다음이 성립한다. :[V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow), V_{\bullet\circ}(\beta'_\nearrow,\beta'_\nwarrow)] = 0 :[V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow), V_{\circ\bullet}(\beta'_\nearrow,\beta'_\nwarrow)] = 0 :V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)R_{\circ\circ} = R_{\bullet\bullet}V_{\bullet\circ}(-\beta_\nearrow,-\beta_\nwarrow)95, (7.4.3) :V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)R_{\bullet\bullet} = R_{\circ\circ}V_{\circ\bullet}(-\beta_\nearrow,-\beta_\nwarrow) :V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)P_{\bullet\circ}^\pm = P_{\circ\bullet}^\pm V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) :V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) V_{\circ\bullet}(\beta_\nwarrow+\mathrm i\pi/2,-\beta_\nearrow) = (2\mathrm i\sinh (2\beta_\nwarrow))^N \+ (2\mathrm i\sinh (2\beta_\nearrow))^N R_{\bullet\bullet} 이다. N이 짝수일 때, 행렬 V_{\circ\bullet}V_{\bullet\circ}의 2^N개의 고윳값들은 다음과 같다. (대칭 행렬이 아니므로, 일부 고윳값들은 복소수이다.) :\lambda(r,\gamma;\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow,N) = (-4\alpha^{2s-1})^{N/2}\left( \sinh^N 2\beta_\nwarrow - (-)^{2s} \sinh^N 2\beta_\nearrow \right) \prod_{i\in\mathbb Z/(N)+s}\mu_i^{\gamma_i}109, (7.9.7) :\mu_i = \frac{\cosh(2\beta_\nearrow) \cosh (2\beta_\nwarrow) + \sqrt{1+\sinh^2\beta_\nearrow\sinh^2\beta_\nwarrow - (\alpha^{2i} + \alpha^{-2i})\sinh\beta_\nearrow\sinh\beta_\nwarrow} }{ \alpha^i \sinh(2\beta_\nearrow) + \alpha^{-i} \sinh (2\beta_\nwarrow) } \qquad (i\in \mathbb Z/(N)+s)109, (7.9.8) 여기서 :s \in\\{1/2,0\\} :\gamma \in \\{\pm1\\}^{\mathbb Z/(N)+s},\qquad\sum_{i\in \mathbb Z/(N) + s}^N\gamma_i \equiv N \pmod 4 :\alpha(N) = \exp \frac{\mathrm i\pi}N 이다. (-1)^{2s+1}\in\\{\pm1\\}는 R_{\circ\circ}의 고윳값에 해당한다.
# 해석
이징 모형은 다음과 같이 여러 가지로 해석될 수 있다. * 이징 모형은 자석(강자성체)의 간단한 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 상전이는 퀴리 온도에서의 상전이에 해당한다. * 이징 모형은 반강자성체의 간단한 모형으로 여길 수 있다. * 이징 모형은 기체의 간단한 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 상전이는 기체와 액체 사이의 상전이에 해당한다.
## 강자성체
N개의 자기 쌍극자 \mu를 포함하는 강자성체에 (상수 함수가 아닐 수 있는) 외부 자기장 H가 걸려 있다고 하자. 쌍극자는 자기장에 평행한 방향 +\mu 또는 반평행한 방향 -\mu 둘 중 하나를 가리킨다고 하자. 또한, 쌍극자 사이의 상호작용은 격자 위에서 바로 옆에 있는 경우를 제외하고는 무시할 수 있고, 바로 옆에 있는 경우에는 서로 같은 방향을 가리킬 때 위치 에너지 -\epsilon을, 서로 반대 방향을 가리킬 때 위치 에너지 \epsilon을 가진다고 하자. 그렇다면, 강자성체의 해밀토니언은 다음과 같다. :E=-\epsilon\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j-\mu\sum_iH_i\sigma_i 여기서 \sigma_i=\pm1은 격자의 각 위치에서의 쌍극자의 방향을 나타내는 매개변수이고, \langle ij\rangle은 격자 위에서 서로 옆에 있는 위치 i와 j를 나타낸다. 이 경우 볼츠만 분포는 :\exp(-E/\mathrm k_{\mathrm B}T) = \exp\left( \frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j +\frac\mu{k_{\mathrm B}T}\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}H_i\sigma_i \right) 이다. 따라서, 이는 :\beta = \frac\epsilon{k_{\mathrm B}T} :h_i = \frac\mu{k_{\mathrm B}T}H_i 인 이징 모형에 해당한다.
## 반강자성체
N개의 자기 쌍극자 \mu를 포함하는 반강자성체가 주어졌다고 하자. 즉, 서로 이웃하는 스핀이 같은 방향을 가리킬 때 에너지가 +\epsilon이며, 반대 방향을 가리킬 때 에너지가 -\epsilon이라고 하자. 또한, 외부 자기장이 H라고 하자. 이 경우, 에너지는 :E = \epsilon\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j - \mu\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)} H_i \sigma_i 가 된다. 즉, 볼츠만 분포는 : \exp\left(-\frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}\sum_{ij\in\mathrm E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j +\frac\mu{k_{\mathrm B}T}\sum_{i\in\mathrm V(\Gamma)}H_i\sigma_i \right) 가 된다. 이는 :\beta = -\frac\epsilon{k_{\mathrm B}T} :h_i = \frac\mu{k_{\mathrm B}T}H_i 가 되는 이징 모형에 해당한다.
## 기체
기체 분자 사이의 퍼텐셜의 대략적인 모양 (레너드-존스 퍼텐셜) 기체를 구성하는 분자 사이의 퍼텐셜 V(r)은 일반적으로 다음과 같은 특성을 갖는다. * 두 입자가 매우 가까울 때, 매우 강한 척력이 작용한다. 즉, r\to0일 때 V(r) \to +\infty이다. * 두 입자가 매우 가깝지 않을 경우, 인력이 작용한다. 즉, 어떤 거리 r \sim r_0 근처에서 퍼텐셜 우물이 존재한다. 이 근처에서 퍼텐셜은 음수이다. * 두 입자가 매우 멀 경우, 서로 힘을 가하지 않는다. 즉, r \to \infty일 때 V는 0으로 수렴한다. 물론, V = 0일 경우는 이상 기체에 해당한다. V의 퍼텐셜 우물은 기체-액체 상전이를 가능하게 한다. 이제, 그래프 \Gamma 위에 기체 분자들이 놓여 있다고 하자. 이 경우, * \sigma_i = +1인 것은 꼭짓점 i \in \mathsf V(\Gamma)에 기체 분자가 하나 존재함을 나타낸다. * \sigma_i = -1인 것은 꼭짓점 i \in \mathsf V(\Gamma)에 기체 분자가 없음을 나타낸다. * \sigma_i = \\{\pm1\\}인 것은 같은 꼭짓점에 기체 분자가 두 개 이상 존재할 수 없음을 나타낸다. 즉, \textstyle\lim_{r\to0}V(r) \gg1이다. * 변 ij\in\mathsf E(\Gamma)에 대응하는 해밀토니언의 항 \sigma_i\sigma_j은 두 입자 사이의 퍼텐셜 우물을 나타낸다. * 해밀토니언에서 서로 변으로 연결되어 있지 않은 꼭짓점은 서로 상호 작용하지 않는다. 이는 원거리의 입자가 상호 작용하지 않음을 나타낸다. 즉, 총 분자 수는 :N = \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}\frac{\sigma_i + 1}2 이다. 두 분자 사이의 퍼텐셜 우물의 깊이가 -\epsilon_0이라고 하자. 그렇다면, 총 에너지는 :E = -\epsilon \sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} \frac{(\sigma_i + 1)(\sigma_j + 1)}4 =-\frac14\epsilon \sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} \sigma_i \sigma_j \- \frac14\epsilon | \mathsf E(\Gamma)| \- \frac14 \epsilon \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)} \sigma_i\deg_\Gamma(i) 이다. 즉, 큰 바른틀 앙상블의 성분은 :\exp\left(-\frac E{k_{\mathrm B}T}+ \frac\mu{k_{\mathrm B}T} \beta\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)} \frac{(\sigma_i+1)}2\right) 이다. 이는 :\beta = \frac\epsilon{k_{\mathrm B}T} :h_i = \frac\mu{2k_{\mathrm B}T} + \frac\epsilon{4k_{\mathrm B}T} \deg_\Gamma(i) 가 되는 이징 모형에 해당한다. 여기서 \mu는 화학 퍼텐셜이며, \deg_\Gamma(i)는 꼭짓점 i에 연결된 변의 수이다. 특히, 만약 \Gamma가 정규 그래프일 경우, h 역시 상수 함수가 된다. 크기 |\mathsf V(\Gamma)|를 다양하게 조절할 수 있는 그래프의 족에서, 분배 함수 :Z_\Gamma(\beta,h) 가 그래프의 크기 |\mathsf V(\Gamma)|에 대한 매끄러운 함수로 주어진다고 하자. 이제, 한 꼭짓점이 나타내는 부피가 v_0라고 할 때, 기체의 압력은 :P = \frac{k_{\mathrm B}T}{v_0} \left(\frac{\partial\ln Z}{\partial|\mathsf V(\Gamma)|}\right)_T 에 해당한다. (여기서 v_0\sim r_0^d는 대략 퍼텐셜 우물의 위치 r_0의, 그래프 차원 d에 대한 거듭제곱이다.) 열역학적 극한 |\mathsf V(\Gamma)| \to \infty이 잘 정의된다면, 자유 에너지 -T\ln Z가 :\ln Z \propto |\mathsf V(\Gamma)|\qquad(|\mathsf V(\Gamma)|\gg1) 이어야 한다. 즉, 이 경우 :P = \frac{k_{\mathrm B}T\ln Z}{v_0|\mathsf V(\Gamma)|} 가 된다.
## 이합체 모형
이합체 모형 2차원 정사각형 격자를 비롯하여, 4차 정규 그래프 위의 이징 모형은 이합체 모형으로 해석될 수 있다.
# 역사
빌헬름 렌츠(Wilhelm Lenz, 1888-1957)가 제자 에른스트 이징(Ernst Ising, 1900-1998)에게 연습 문제로 제안하였다.doi=10.1103/RevModPhys.39.883 이징은 1925년 박사 학위 논문언어=de에서 1차원 이징 모형에는 상전이가 없다는 사실을 증명하였고, 이를 근거로 임의의 차원의 이징 모형에서 상전이가 없다고 추측하였다. 그러나 1944년에 라르스 온사게르가 2차원 이징 모형에서 상전이가 존재함을 증명하였다.bibcode=1944PhRv...65..117Ourl-status=dead