양자 조화 진동자

고전역학 **양자 조화 진동자**(量子調和振動子, quantum harmonic oscillator)는 양자 물리계의 하나로, 고전적 조화 진동자를 양자화하여 얻는다. 양자역학에서 해석적으로 풀 수 있는 몇 안되는 계 가운데 하나다.
# 1차원 양자 조화 진동자

## 퍼텐셜
1차원 양자 조화 진동자의 퍼텐셜은 다음과 같다. :V(x) = \frac12kx^2 = \frac12m\omega^2 x^2. 여기서 k는 용수철 상수이고, \omega는 퍼텐셜에 갇힌 입자의 운동의 각진동수이다. m은 입자의 질량이다.
# 에너지 고유 상태
양자 조화 진동자의 n=0~7인 경우에 대한 파동함수. (표준화되어 있지 않다.) 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 (시간독립 슈뢰딩거 방정식, Time-Independent Schrödinger Equation)을 풀면 다음과 같은 에너지 고유 상태 |n\rangle와 에너지 준위 E_n을 얻는다. :\langle x|n\rangle=\psi_n(x) = N_n \cdot H_n\left(\sqrt{\alpha} x \right) \cdot e^{ \- \frac{\alpha x^2}{2 = \frac{1}{(2^n\,n!)^{1/2 \left(\frac{\alpha}{\pi }\right)^{1/4} \cdot H_n\left(\sqrt{\alpha} x \right) \cdot e^{- \frac{\alpha x^2}{2 :E_n = \hbar \omega \left(n + {1 \over 2} \right). 여기서, :H_n (x) \; : 에르미트 다항식 :\alpha = \left( {mk \over \hbar^2} \right)^{1/2} = {m\omega \over \hbar} :n=0,1,2,3,\ldots \; 이다.
## 해석적인 풀이
1차원에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. :-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + {1 \over 2}m\omega^2x^2 \psi(x) = E \psi(x) :\hbar: 디랙 상수 h/2\pi :m: 진동자의 질량 :\psi(x): 진동자의 파동함수 :E: 진동자의 에너지 여기에 다음과 같은 변수 변환 : \epsilon = {2E \over \hbar \omega} : y = \sqrtm \omega \over \hbar x = \sqrt{\alpha} x 를 취하면 다음의 방정식을 얻는다. (이는 방정식에 나타난 물리량을 단위가 없는 양으로 바꾸기 위함이다.) :\frac{d^2 \psi(y)}{dy^2} + (\epsilon - y^2) \psi(y) = 0 지금 당장 이 형태는 풀기 어렵다. 따라서, 평형점(x=0)으로부터 한없이 멀리 떨어진 곳에서의 파동함수의 거동을 살펴보자. (이렇게 하면 해를 구하는 과정에서 x → ∞ 이면 파동함수의 함수값이 0 이 되어야 한다는 양자역학의 통계적 해석에 관한 기본 조건이 풀이에 자연스럽게 이용된다.) 이 경우, 상수인 *ε*에 비해 *y*는 매우 커지므로(x → ∞ 이면 y → ∞), 위 식의 두 번째 항에서 *ε*항을 무시할 수 있다. 그러면, :\frac{d^2 \psi_0(y)}{dy^2} - y^2 \psi_0(y) = 0 의 간단한 방정식을 얻는다. 이 방정식의 해는 실제 파동함수가 x → ∞ 일 때 원래의 해가 점근적으로 수렴해 가는 함수이다. 이 미분 방정식을 풀면 :\psi_0(y) = e^{-{y^2 \over 2 를 얻는다. 그런데 이는 x 가 한없이 큰 곳에서의 해이므로, 실제 슈뢰딩거 방정식의 해는 특정 함수가 곱해진 형태인 다음과 같은 형태의 함수일 것이라 생각해볼 수 있다. :\psi(y) = h(y) e^{-{y^2 \over 2 따라서 이 함수를 시험해로 사용하여 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 새로운 미분방정식을 얻는다. :\frac{d^2 h(y)}{dy^2} -2y \frac{d h(y)}{dy} + (\epsilon - 1 ) h(y) 위 방정식을 급수해 풀이법으로 풀면, 그 해로 에르미트 다항식 *H(y)*를 얻는다. :h(y) = H(y) \; 이를 표준화를 시키면 앞의 표준화 상수 Nn를 구할 수 있고, 다시 *y*와 *ε*을 역변환하면 아래의 양자 조화 진동자 파동함수를 얻는다. :\psi_n = N_n \cdot H_n\left(\sqrt{\alpha} x \right) \cdot e^{ \- \frac{\alpha x^2}{2 = \frac{1}{(2^n\,n!)^{1/2 \left(\frac{\alpha}{\pi }\right)^{1/4} \cdot H_n\left(\sqrt{\alpha} x \right) \cdot e^{- \frac{\alpha x^2}{2 \,
## 대수적인 풀이
양자 조화 진동자의 에너지 고유 상태와 에너지 준위의 주요한 성질은 미분 방정식을 직접 풀지 않아도 대수적인 방법으로 유추할 수 있다. 해밀토니언을 다음과 같이 인수분해하자. :H=\frac12m\omega^2x^2+\frac1{2m}p^2 ::=\frac12\left((\omega\sqrt mx-ip/\sqrt m)(\omega\sqrt mx+ip/\sqrt m)+\hbar\omega\right) ::=(a^\dagger a+\frac12)\hbar\omega. 여기서 :a=\frac1{\sqrt2}\left(\omega\sqrt mx+ip/\sqrt m\right) :a^\dagger=\frac1{\sqrt2}\left(\omega\sqrt mx-ip/\sqrt m\right) 는 사다리 연산자이다. 이들은 에르미트 연산자가 아니므로, 관측 가능량이 아니다. 다음과 같이 **입자수 연산자**(粒子數演算子, particle-number operator) N을 정의하자. :N=a^\dagger a. 이는 에르미트 연산자이다. 따라서 그 고유 기저를 |n\rangle이라고 적자. 즉 :N|n\rangle=n|n\rangle 이다. :\langle\psi|N|\psi\rangle=(\langle\psi|a^\dagger)(a|\psi\rangle)=\left|a|\psi\rangle\right|^2 이므로, N의 고윳값은 음이 아닌 실수다. 입자수 연산자와 사다리 연산자의 교환자는 다음과 같다. :[a,a^\dagger]=1 :[a,N]=a :[a^\dagger,N]=-a^\dagger. 따라서 :Na|n\rangle=a(N-1)|n\rangle=(n-1)a|n\rangle 이므로, :a|n\rangle\propto|n-1\rangle 이다. 마찬가지로, :a^\dagger|n\rangle\propto|n+1\rangle 임을 보일 수 있다. 즉, a는 N의 양자수를 1 감소시키고, a^\dagger는 N의 양자수를 1 증가시킨다. 이 때문에 a^\dagger를 **생성 연산자**(生成演算子, creation operator), a를 **소멸 연산자**(消滅演算子,annihilation operator)라고 부른다. 그 비례 상수는 다음과 같이 계산할 수 있다. :n=\langle n|N|n\rangle=\left|a|n\rangle|\right|^2. 따라서 :a|n\rangle=\sqrt n|n-1\rangle 이다. 마찬가지로, :n+1=\langle n|(N+1)|n\rangle=\left|a^\dagger|n\rangle\right|^2 이므로, :a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle 이다. 이에 따라, :a^k|n\rangle=\sqrt{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}|n-k\rangle 이다. 만약 n이 정수가 아니라면, k>n일 때 음의 고윳값 n-k을 가진 고유벡터 |n-k\rangle가 존재하게 된다. 그러나 N의 고윳값은 항상 음이 아닌 실수이므로, n은 항상 정수이다. 즉, N의 고윳값은 항상 음이 아닌 정수이고, 바닥 상태 |0\rangle로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다. :|n\rangle=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!|0\rangle. 입자수 N의 고윳값이 음이 아닌 정수이므로, 해밀토니언 H=\hbar\omega(N+1/2)의 고윳값(에너지 준위) E_n은 다음과 같다. :E_n=\hbar\omega(n+1/2).