가군

expanded=가군 환론에서 **가군**(加群, 모듈)은 어떤 환의 작용이 주어진 아벨 군이다. 즉, 아벨 군의 구조와 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 이 두 구조가 분배 법칙을 통해 서로 호환되는 대수 구조이다. 가군의 개념은 체 위의 벡터 공간과 아벨 군의 개념의 공통적인 일반화이다. 가군 이론은 군의 표현론과 밀접한 연관이 있으며, 가환대수학과 호몰로지 대수학의 주요 대상이며, 대수기하학과 대수적 위상수학에서 중요하게 사용된다.
# 정의
환 R 위의 **왼쪽 가군**(left module) (M,+,r\cdot_{r\in R})은 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다. * (M,+)는 아벨 군을 이룬다. * 함수 \cdot\colon R\times M\to M는 다음 조건을 만족시킨다. ** (분배 법칙) (r+s)(m+n)=rm+rn+sm+sn\qquad\forall m,n\in M,\;r,s\in R ** (결합 법칙) (rs)m=r(sm)\qquad\forall m\in M,\;r,s\in R ** (항등원) 1_Rm=m\qquad\forall m\in M. 여기서 1_R\in R은 R의 곱셈 항등원이다. R 위의 **오른쪽 가군**은 그 반대환 R^{\operatorname{op 위의 왼쪽 가군이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다. * (M,+)는 아벨 군을 이룬다. * 함수 \cdot\colon M\times R\to M는 다음 조건을 만족시킨다. ** (분배 법칙) (m+n)(r+s)=mr+nr+ms+ns\qquad\forall m,n\in M,\;r,s\in R ** (결합 법칙) m(rs)=(mr)s\qquad\forall m\in M,\;r,s\in R ** (항등원) m1_R=m\qquad\forall m\in M. 여기서 1_R\in R은 R의 곱셈 항등원이다. 유사환 R 위의 (유사)가군은 환 위의 가군과 유사하게 정의되나, 항등원에 대한 조건이 생략된다. 왼쪽 가군인 동시에 오른쪽 가군이고, 왼쪽과 오른쪽에서 행해지는 연산이 서로 어울릴 경우 이를 **쌍가군**이라 한다. R이 가환환일 때는 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 아무 차이가 없으므로, 좌우 구분을 생략하고 그냥 단순히 **R-가군**이라고 한다. 환 R 위의 왼쪽 가군은 아벨 군 (M,+) 및 환 준동형 R\to\operatorname{End}(M)의 쌍과 동치이다. 환 R 위의 오른쪽 가군은 그 반대환 R^\operatorname{op} 위의 왼쪽 가군과 동치이다.
## 준동형
환 R 위의 두 왼쪽 가군 M, N 사이의 **준동형** f\colon M\to N은 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다. * f는 덧셈 아벨 군의 군 준동형이다. 즉, 임의의 m,m'\in M에 대하여 f(m+m')=f(m)+f(m')이다. * 임의의 r\in R에 대하여, rf(m)=f(rm)이다. 오른쪽 가군의 준동형도 마찬가지로 정의할 수 있다.
# 가군의 크기
가군의 크기를 나타내는 여러 척도가 존재한다.
## 길이
가군의 길이 가군의 **길이**는 부분 가군들의 사슬의 최대 길이이다.
## 크룰 차원
크룰 차원 가환환 R 위의 가군의 **크룰 차원**은 가군을 \operatorname{Spec}R 위의 벡터 다발의 일종으로 여겨 대수기하학적으로 정의하는 차원의 개념이다.
## 계수
정역 R 위에 정의된 가군 M의 **계수**(rank)는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.언어=en84 * \operatorname{rank}M=\dim_{\operatorname{Frac}R}\left(M\otimes_R\operatorname{Frac}R\right). 여기서 \operatorname{Frac}R는 R의 분수체이며, \dim_{\operatorname{Frac}R}는 R의 분수체 위의 벡터 공간의 차원이다. * \operatorname{rank}M은 M의 R-선형 독립 집합의 최대 크기이다. 여기서 R-선형 독립 집합이란 임의의 함수 f\colon B\in R에 대하여 만약 \\{b\in B\colon f(r)\ne 0\\}가 유한 집합이며 \textstyle\sum_{b\in B}f(r)b=0이라면 \\{b\in B\colon f(r)\ne 0\\}=\varnothing인 부분 집합 B\subseteq M을 말한다. 아벨 군의 계수는 정수환 위의 가군으로서의 계수와 같다. 마찬가지로, 체 위의 벡터 공간의 차원은 체 위의 가군으로서의 계수와 같다.
## 호몰로지 차원
호몰로지 차원 호몰로지 대수학을 사용하여, 가군의 차원을 정의할 수 있다. 가군의 **사영/단사 차원**(projective/injective dimension)은 가군의 사영/단사 분해의 길이들의 하한이다.
# 성질
정역 R 위의 가군의 짧은 완전열 :0\to N\to M\to M/N\to0 이 주어졌을 때, 계수에 대한 다음과 같은 식이 성립한다. :\operatorname{rank}_RM=\operatorname{rank}_RN+\operatorname{rank}_R(M/N) 이는 정역의 분수체 \operatorname{Frac}R가 R의 평탄 가군이므로 \otimes\operatorname{Frac}R가 짧은 완전열을 보존하기 때문에, \operatorname{Frac}R 위의 벡터 공간의 완전열 :0\to N\otimes\operatorname{Frac}R\to M\otimes\operatorname{Frac}R\to(M/N)\otimes\operatorname{Frac}R\to0 이 존재하기 때문이다.
## 범주론적 성질
환 R에 대하여, 왼쪽 가군의 범주를 R\text{-Mod}, 오른쪽 가군의 범주를 \text{Mod-}R라고 한다. 이 경우, 범주의 동치 :R^{\operatorname{op\text{-Mod}\simeq\text{Mod-}R 가 존재한다. 만약 R가 가환환일 경우, 좌우 구분 없이 \operatorname{Mod}_R로 쓴다. R\text{-Mod}와 \text{Mod-}R 둘 다 아벨 범주를 이룬다. 가군의 범주에 존재하는 주요 연산은 다음과 같다. {| class=wikitable |- ! 영 대상 | 자명 가군 \\{0\\} |- ! 곱 | 직접곱 \prod_{i\in I}M_i (유한곱은 직합과 같음) |- ! 쌍대곱 | 직합 \bigoplus_{i\in I}M_i (유한 직합은 직접곱과 같음) |- ! 텐서곱 | 가군의 텐서곱 \bigotimes_{i\in I}M_i |}
## 대수기하학적 성질
가환환 R 위의 가군은 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학에서, 가환환 R는 어떤 "공간" 위의 함수환으로 여겨지며, 이러한 공간은 구체적으로 환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}R이라는 스킴이다. 스킴 \operatorname{Spec}R의 점들은 R의 소 아이디얼 \mathfrak p들이다. R 위의 가군 M은 \operatorname{Spec}R 위의 가군층을 이룬다.issn=0072-5285110 이 가군층의 점 \mathfrak p 위의 올은 가군의 국소화 M_{\mathfrak p}이다. 만약 M이 유한 생성 사영 가군이라면, 이러한 가군은 세르-스완 정리에 따라서 유한 차원 대수적 벡터 다발로 생각할 수 있다. 만약 M이 자유 가군 R^{\oplus\kappa}라면, 이러한 가군은 자명한 대수적 벡터 다발을 이룬다.
# 종류
가환환 위의 가군들 가운데, 다음과 같은 특별한 종류의 가군들이 존재한다. :**자유 가군** ⊆ **사영 가군** ⊆ **평탄 가군** ⊆ **꼬임 없는 가군** 만약 가환환이 특정 조건을 만족시킨다면, 이 개념들이 다음과 같이 동일해진다. * 국소환 또는 주 아이디얼 정역 위에서는 **자유 가군** = **사영 가군** * 완전환(perfect ring, 예를 들어 아르틴 환 등) 위에서는 **사영 가군** = **평탄 가군** * 데데킨트 정역 위에서는 **평탄 가군** = **꼬임 없는 가군** **단사 가군**은 사영 가군의 반대 개념이다. 단사 가군은 위 개념들과 함의 관계를 갖지 않는다. **단순 가군**은 자명하지 않는 가군을 부분 가군으로 갖지 않는 가군이다. 이는 단순군이나 단순환과 유사한 개념이다. **유한 생성 가군**은 유한 생성 집합을 갖는 가군이다. 즉, R 위의 왼쪽 가군 M에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유한 집합 B\subseteq M이 존재한다면, M을 유한 생성 가군이라고 한다. * 임의의 m\in M에 대하여, m=\sum_{b\in B}f(b)b인 함수 f\colon B\to R가 존재한다.
# 예
특별한 환 위의 가군들은 특별한 이름을 갖는다. {| class=wikitable ! 환 !! 가군 |- | 체 || 체 위의 벡터 공간 |- | 정수환 \mathbb Z || 아벨 군 |- | 정수환의 몫환 \mathbb Z/(n) || 모든 원소의 위수가 n의 약수인 아벨 군 |- | 자명환 0 || 자명 가군 0 |} * 임의의 환 R은 스스로의 가군이다. * 자명군 \\{0\\}은 임의의 환의 가군을 이룬다. 이를 **자명 가군**(trivial module)이라고 한다. * 군 G에 대하여, 군환 R[G]는 R 위의 자유 가군을 이룬다.