계량 텐서

다양체 미분기하학의 수학 분야에서, **계량 텐서**, **메트릭 텐서**(metric tensor)는 내적이 유클리드 공간에서 거리와 각도를 정의하는 것처럼, 다양체 M (예: 곡면 (수학))에 거리와 각도를 정의할 수 있게 해주는 추가적인 수학적 구조이다. 더 정확히 말하면, M의 한 점 p에서의 계량 텐서는 p에서의 접공간에 정의된 쌍선형 형식 (즉, 접벡터 쌍을 실수로 매핑하는 쌍선형 함수)이며, M의 계량장은 M의 각 점 p에서 p에 따라 매끄럽게 변하는 계량 텐서로 구성된다. 계량 텐서 g는 모든 0이 아닌 벡터 v에 대해 g(v, v) > 0이면 양의 정부호이다. 양의 정부호 계량 텐서가 장착된 다양체를 리만 다양체라고 한다. 이러한 계량 텐서는 다양체 상의 무한소 거리를 지정하는 것으로 생각할 수 있다. 리만 다양체 M에서, 두 점 p와 q 사이의 매끄러운 곡선의 길이는 적분을 통해 정의될 수 있으며, p와 q 사이의 거리는 그러한 모든 곡선의 길이의 하한으로 정의될 수 있다. 이는 M을 거리 공간으로 만든다. 반대로, 계량 텐서 자체는 (적절한 방식으로 취해진) 거리 함수의 미분이다. 계량 텐서의 개념은 19세기 초부터 가우스와 같은 수학자들에게 어떤 의미에서는 알려져 있었지만, 특히 그레고리오 리치쿠르바스트로와 툴리오 레비치비타에 의해 텐서로서의 특성이 이해된 것은 20세기 초에 이르러서였다. 이들은 텐서의 개념을 처음으로 체계화했다. 계량 텐서는 텐서장의 한 예이다. 좌표 기저에서 계량 텐서의 성분은 대칭행렬의 형태를 띠며, 이 행렬의 원소는 좌표계 변경에 따라 공변적으로 변환된다. 따라서 계량 텐서는 공변 대칭 텐서이다. 좌표 독립적인 관점에서, 계량 텐서장은 각 접공간에서 비퇴화 대칭 쌍선형 형식으로 정의되며, 이는 점마다 매끄럽게 변한다.
# 서론
카를 프리드리히 가우스는 1827년 그의 저서 Disquisitiones generales circa superficies curvas (곡면의 일반적인 연구)에서 곡면을 매개변수적으로 고려했는데, 곡면 위의 점들의 데카르트 좌표계 x, y, z는 두 보조 변수 u와 v에 따라 달라졌다. 따라서 매개변수 곡면은 (오늘날의 용어로) 벡터 함수 :\vec{r}(u,\,v) = \bigl( x(u,\,v),\, y(u,\,v),\, z(u,\,v) \bigr) 이며, 순서쌍의 실수 변수 (u, v)에 의존하며, uv-평면의 열린집합 D에 정의된다. 가우스 연구의 주요 목표 중 하나는 곡면이 공간에서 변환(예: 늘이지 않고 구부리기)되거나 동일한 기하학적 곡면의 특정 매개변수 형식이 변경되더라도 변하지 않는 함수로 설명될 수 있는 곡면의 특징을 도출하는 것이었다. 그러한 자연적인 불변량 중 하나는 곡면을 따라 그려진 곡선의 길이이다. 다른 하나는 곡면을 따라 그려지고 공통 점에서 만나는 두 곡선 사이의 각도이다. 세 번째 양은 곡면 조각의 넓이이다. 이러한 곡면의 불변량을 연구하면서 가우스는 현대 계량 텐서 개념의 전신을 도입하게 되었다. 아래 설명에서 계량 텐서는 \begin{bmatrix} E & F \\\ F & G \end{bmatrix} 이며, E, F, G는 행렬이 양의 정부호인 한 어떤 숫자라도 포함할 수 있다.
## 곡선의 길이
변수 u와 v가 구간 [a, b]에서 값을 취하는 세 번째 변수 t에 의존한다고 가정하면, r(u(t), v(t))는 매개변수 곡면 M에서 매개변수 곡선을 그린다. 그 곡선의 곡선의 길이는 다음 적분으로 주어진다. : \begin{align} s &= \int_a^b\left\|\frac{d}{dt}\vec{r}(u(t),v(t))\right\|\,dt \\\\[5pt] &= \int_a^b \sqrt{u'(t)^2\,\vec{r}_u\cdot\vec{r}_u + 2u'(t)v'(t)\, \vec{r}_u\cdot\vec{r}_v + v'(t)^2\,\vec{r}_v\cdot\vec{r}_v}\, dt \,, \end{align} 여기서 \left\| \cdot \right\| 는 유클리드 노름을 나타낸다. 여기서 연쇄 법칙이 적용되었고, 아래 첨자는 편미분을 나타낸다. :\vec{r}_u = \frac{\partial \vec{r{\partial u}\,, \quad \vec{r}_v = \frac{\partial \vec{r{\partial v}\,. 적분식은 (이차) 미분의 제곱근에 대한 곡선의 제한이다.더 정확히 말하면, 적분식은 이 미분의 곡선에 대한 당김이다. 1 여기서 2 (1)의 양 ds는 선 요소라고 불리는 반면, ds2는 M의 제1 기본 형식이라고 불린다. 직관적으로, 이는 u가 du 단위만큼 증가하고 v가 dv 단위만큼 증가할 때 r(u, v)가 겪는 변위 제곱의 주요 부분을 나타낸다. 행렬 표기법을 사용하면 제1 기본 형식은 다음과 같이 된다. :ds^2 = \begin{bmatrix} du & dv \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & F \\\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du \\\ dv \end{bmatrix}
## 좌표 변환
이제 u와 v가 다른 변수 쌍 u′와 v′에 의존하도록 함으로써 다른 매개변수화를 선택한다고 가정하자. 그러면 새로운 변수에 대한 (2)의 유사체는 다음과 같다. 2' 연쇄 법칙은 E′, F′, G′를 행렬 방정식 3 을 통해 E, F, G와 연관시킨다. 여기서 위 첨자 T는 전치 행렬을 나타낸다. 이 방식으로 배열된 계수 E, F, G를 가진 행렬은 좌표 변경의 야코비 행렬에 의해 변환된다. : J = \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial u'} & \frac{\partial u}{\partial v'} \\\ \frac{\partial v}{\partial u'} & \frac{\partial v}{\partial v'} \end{bmatrix}\,. 이러한 방식으로 변환되는 행렬을 텐서의 한 종류라고 한다. 변환 법칙 (3)을 가진 행렬 :\begin{bmatrix} E & F \\\ F & G \end{bmatrix} 은 곡면의 계량 텐서로 알려져 있다.
## 좌표 변환에 대한 곡선 길이의 불변성
1900는 한 좌표계에서 다른 좌표계로 넘어갈 때 이 방식으로 변환되는 계수 시스템 E, F, G의 중요성을 처음으로 관찰했다. 그 결과, 제1 기본 형식 (1)은 좌표계 변경에 대해 불변이며, 이는 E, F, G의 변환 속성에서만 비롯된다. 실제로, 연쇄 법칙에 의해, :\begin{bmatrix} du \\\ dv \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial u'} & \dfrac{\partial u}{\partial v'} \\\ \dfrac{\partial v}{\partial u'} & \dfrac{\partial v}{\partial v'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du' \\\ dv' \end{bmatrix} 따라서 :\begin{align} ds^2 &= \begin{bmatrix} du & dv \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & F \\\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du \\\ dv \end{bmatrix} \\\\[6pt] &= \begin{bmatrix} du' & dv' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial u'} & \dfrac{\partial u}{\partial v'} \\\\[6pt] \dfrac{\partial v}{\partial u'} & \dfrac{\partial v}{\partial v'} \end{bmatrix}^\mathsf{T} \begin{bmatrix} E & F \\\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial u'} & \dfrac{\partial u}{\partial v'} \\\\[6pt] \dfrac{\partial v}{\partial u'} & \dfrac{\partial v}{\partial v'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du' \\\ dv' \end{bmatrix} \\\\[6pt] &= \begin{bmatrix} du' & dv' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E' & F' \\\ F' & G' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du' \\\ dv' \end{bmatrix}\\\\[6pt] &= (ds')^2 \,. \end{align}
## 길이와 각도
계량 텐서의 또 다른 해석은 가우스가 고려한 것으로, 표면에 대한 접벡터의 길이를 계산하고 두 접벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 제공한다는 것이다. 현대 용어로, 계량 텐서는 표면의 매개변수적 설명과 무관하게 접벡터의 스칼라곱을 계산할 수 있게 해준다. 매개변수 곡면 M의 한 점에서의 모든 접벡터는 :\mathbf{p} = p_1\vec{r}_u + p_2\vec{r}_v 적절한 실수 p1과 p2에 대해 이러한 형태로 쓸 수 있다. 두 접벡터가 다음과 같이 주어진다면, :\begin{align} \mathbf{a} &= a_1\vec{r}_u + a_2\vec{r}_v \\\ \mathbf{b} &= b_1\vec{r}_u + b_2\vec{r}_v \end{align} 그러면 스칼라곱의 쌍선형성을 사용하여, :\begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= a_1 b_1 \vec{r}_u\cdot\vec{r}_u + a_1b_2 \vec{r}_u\cdot\vec{r}_v + a_2b_1 \vec{r}_v\cdot\vec{r}_u + a_2 b_2 \vec{r}_v\cdot\vec{r}_v \\\\[8pt] &= a_1 b_1 E + a_1b_2 F + a_2b_1 F + a_2b_2G. \\\\[8pt] &= \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & F \\\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\\ b_2 \end{bmatrix} \,. \end{align} 이것은 분명히 네 변수 a1, b1, a2, b2의 함수이다. 그러나 uv-평면의 벡터인 인자 쌍 **a** = [a1 a2]와 **b** = [b1 b2]를 취하는 함수로 보는 것이 더 유용하다. 즉, :g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = a_1b_1 E + a_1b_2 F + a_2b_1 F + a_2b_2G \,. 이것은 **a**와 **b**에 대한 대칭 함수이며, 다음을 의미한다. :g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = g(\mathbf{b}, \mathbf{a})\,. 또한 쌍선형인데, 이는 각 변수 **a**와 **b**에 대해 별도로 선형임을 의미한다. 즉, :\begin{align} g\left(\lambda\mathbf{a} + \mu\mathbf{a}', \mathbf{b}\right) &= \lambda g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + \mu g\left(\mathbf{a}', \mathbf{b}\right),\quad\text{and} \\\ g\left(\mathbf{a}, \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{b}'\right) &= \lambda g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + \mu g\left(\mathbf{a}, \mathbf{b}'\right) \end{align} uv 평면의 모든 벡터 **a**, **a**′, **b**, **b**′ 및 모든 실수 μ와 λ에 대해 성립한다. 특히, 접벡터 **a**의 길이는 다음으로 주어진다. : \left\| \mathbf{a} \right\| = \sqrt{g(\mathbf{a}, \mathbf{a})} 그리고 두 벡터 **a**와 **b** 사이의 각도 θ는 다음으로 계산된다. :\cos(\theta) = \frac{g(\mathbf{a}, \mathbf{b})}{ \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| } \,.
## 넓이
표면 넓이는 표면 자체에만 의존해야 하며, 매개변수화 방식에 의존하지 않아야 하는 또 다른 수치량이다. 만약 표면 M이 uv-평면의 영역 D에 걸쳐 함수 r(u, v)에 의해 매개변수화된다면, M의 표면 넓이는 다음 적분으로 주어진다. :\iint_D \left|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right|\,du\,dv 여기서 ×는 벡터곱을 나타내고, 절대값은 유클리드 공간에서 벡터의 길이를 나타낸다. 벡터곱에 대한 라그랑주 항등식에 의해, 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다. :\begin{align} &\iint_D \sqrt{\left(\vec{r}_u\cdot\vec{r}_u\right) \left(\vec{r}_v\cdot\vec{r}_v\right) - \left(\vec{r}_u\cdot\vec{r}_v\right)^2}\,du\,dv \\\\[5pt] ={} &\iint_D \sqrt{EG - F^2}\,du\,dv\\\\[5pt] ={} &\iint_D \sqrt{\det \begin{bmatrix} E & F \\\ F & G \end{bmatrix\, du\, dv \end{align} 여기서 det는 행렬식이다.
# 정의
n차원의 매끄러운 다양체 M이라고 하자. 예를 들어, 데카르트 공간 \R^{n+1}의 곡면 (1=n = 2인 경우) 또는 초곡면이다. 각 점 p ∈ M에는 접공간이라고 불리는 벡터 공간 TpM이 있으며, 이 공간은 점 p에서의 다양체에 대한 모든 접벡터로 구성된다. 점 p에서의 계량 텐서는 p에서의 접벡터 쌍 Xp와 Yp를 입력으로 받아 실수 (스칼라)를 출력으로 생성하는 함수 gp(Xp, Yp)로, 다음 조건을 만족한다. * gp는 쌍선형이다. 두 벡터 인수의 함수는 각 인수에서 개별적으로 선형이면 쌍선형이다. 따라서 Up, Vp, Yp가 p에서의 세 접벡터이고 a와 b가 실수이면, \begin{align} g_p(aU_p + bV_p, Y_p) &= ag_p(U_p, Y_p) + bg_p(V_p, Y_p) \,, \quad \text{and} \\\ g_p(Y_p, aU_p + bV_p) &= ag_p(Y_p, U_p) + bg_p(Y_p, V_p) \,. \end{align} * gp는 대칭이다.고전 통일장 이론의 여러 공식에서는 계량 텐서가 비대칭일 수 있도록 허용했지만, 그러한 텐서의 반대칭 부분은 여기서 설명하는 맥락에서는 역할을 하지 않으므로 더 이상 고려하지 않는다. 두 벡터 인수의 함수는 모든 벡터 Xp와 Yp에 대해 g_p(X_p, Y_p) = g_p(Y_p, X_p)\,.이면 대칭이다. * gp는 비퇴화이다. 쌍선형 함수는 모든 Xp ≠ 0인 접벡터에 대해, Xp를 상수로 유지하고 Yp를 변화시켜 얻은 함수 Y_p \mapsto g_p(X_p,Y_p)가 항등적으로 0이 아니면 비퇴화이다. 즉, 모든 Xp ≠ 0에 대해 gp(Xp, Yp) ≠ 0인 Yp가 존재한다. M 상의 계량 텐서장 g는 M의 각 점 p에 p에 따라 매끄럽게 변하는 방식으로 p에서의 접공간에 계량 텐서 gp를 할당한다. 더 정확히 말하면, 다양체 M의 열린 부분집합 U와 U 상의 임의의 (매끄러운) 벡터장 X 및 Y가 주어졌을 때, 실수 함수 g(X, Y)(p) = g_p(X_p, Y_p) 는 p의 매끄러운 함수이다.
# 계량의 성분
벡터장의 기저, 또는 틀 **f** = (X1, ..., Xn)에서 계량의 성분은 다음과 같이 주어진다.성분이 계산되는 기저를 나타내는 데 대괄호를 사용하는 표기법이 보편적이지는 않다. 여기서 사용된 표기법은 1980의 표기법을 따른다. 일반적으로 기저에 대한 이러한 명시적 의존성은 완전히 억제된다. 4 n2개의 함수 gij[**f**]는 n × n 대칭행렬 G[**f**]의 원소를 이룬다. 만약 :v = \sum_{i=1}^n v^iX_i \,, \quad w = \sum_{i=1}^n w^iX_i 가 p ∈ U에서의 두 벡터라면, v와 w에 적용된 계량의 값은 쌍선형성에 의해 계수 (4)에 의해 결정된다. :g(v, w) = \sum_{i,j=1}^n v^iw^jg\left(X_i,X_j\right) = \sum_{i,j=1}^n v^iw^jg_{ij}[\mathbf{f}] 행렬 (gij[**f**])를 G[**f**]로 나타내고 벡터 v와 w의 성분을 열벡터 **v**[**f**]와 **w**[**f**]로 배열하면, :g(v,w) = \mathbf{v}[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}] \mathbf{w}[\mathbf{f}] = \mathbf{w}[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]\mathbf{v}[\mathbf{f}] 여기서 **v**[**f**]T와 **w**[**f**]T는 각각 벡터 **v**[**f**]와 **w**[**f**]의 전치를 나타낸다. 어떤 가역행렬 n × n 행렬 A = (aij)에 대한 기저 변경 형식 :\mathbf{f}\mapsto \mathbf{f}' = \left(\sum_k X_ka_{k1},\dots,\sum_k X_ka_{kn}\right) = \mathbf{f}A 하에서, 계량의 성분 행렬도 A에 의해 변환된다. 즉, :G[\mathbf{f}A] = A^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]A 또는 이 행렬의 원소 측면에서, :g_{ij}[\mathbf{f}A] = \sum_{k,l=1}^n a_{ki}g_{kl}[\mathbf{f}]a_{lj} \, . 이러한 이유로, 양 gij[**f**]의 시스템은 틀 **f**의 변경에 대해 공변적으로 변환된다고 한다.
## 좌표에서의 계량
M의 열린집합 U에서 국소 좌표계를 제공하는 n개의 실수 값 함수 (x1, ..., xn) 시스템은 U 상의 벡터장 기저를 결정한다. :\mathbf{f} = \left(X_1 = \frac{\partial}{\partial x^1}, \dots, X_n = \frac{\partial}{\partial x^n}\right) \,. 계량 g는 이 틀에 상대적으로 다음과 같이 주어진 성분들을 갖는다. :g_{ij}\left[\mathbf{f}\right] = g\left(\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}\right) \,. 새로운 국소 좌표계, 예를 들어 :y^i = y^i(x^1, x^2, \dots, x^n),\quad i=1,2,\dots,n 에 상대적으로, 계량 텐서는 다른 계수 행렬을 결정할 것이다. :g_{ij}\left[\mathbf{f}'\right] = g\left(\frac{\partial}{\partial y^i}, \frac{\partial}{\partial y^j}\right). 이 새로운 함수 시스템은 연쇄 법칙에 의해 원래의 gij(**f**)와 다음과 같이 관련된다. :\frac{\partial}{\partial y^i} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k} 따라서 :g_{ij}\left[\mathbf{f}'\right] = \sum_{k,l=1}^n \frac{\partial x^k}{\partial y^i} g_{kl}\left[\mathbf{f}\right]\frac{\partial x^l}{\partial y^j}. 또는 행렬 G[**f**] = (gij[**f**])와 G[**f**′] = (gij[**f**′])의 측면에서, :G\left[\mathbf{f}'\right] = \left((Dy)^{-1}\right)^\mathsf{T} G\left[\mathbf{f}\right] (Dy)^{-1} 여기서 Dy는 좌표 변경의 야코비 행렬을 나타낸다.
## 계량의 부호수
계량 부호수 모든 계량 텐서에는 각 접공간에서 다음과 같이 정의된 이차 형식이 연관되어 있다. :q_m(X_m) = g_m(X_m,X_m) \,, \quad X_m\in T_mM. 만약 qm이 모든 0이 아닌 Xm에 대해 양수이면, 계량은 m에서 양의 정부호이다. 만약 계량이 모든 m ∈ M에서 양의 정부호이면, g는 리만 계량이라고 불린다. 더 일반적으로, 이차 형식 qm이 m과 무관하게 일정한 부호수를 가지면, g의 부호수는 이 부호수이며, g는 준 리만 계량이라고 불린다.loc=Chapter VII §3.04 만약 M이 연결되어 있다면, qm의 부호수는 m에 의존하지 않는다.loc=§3.4.3 실베스터 관성법칙에 의해, 접벡터의 기저 Xi는 국소적으로 다음과 같이 이차 형식이 대각화되도록 선택될 수 있다. :q_m\left(\sum_i\xi^iX_i\right) = \left(\xi^1\right)^2+\left(\xi^2\right)^2+\cdots+\left(\xi^p\right)^2 - \left(\xi^{p+1}\right)^2-\cdots-\left(\xi^n\right)^2 1과 n 사이의 어떤 p에 대해. q의 두 가지 표현 (M의 동일한 점 m에서)은 양수 부호의 동일한 수 p를 가질 것이다. g의 부호수는 정수 쌍 (p, n − p)로, 이러한 표현에서 p개의 양수 부호와 n − p개의 음수 부호가 있음을 나타낸다. 동등하게, 계량 gij의 행렬이 p개의 양수 고윳값과 n − p개의 음수 고윳값을 가지면 계량은 부호수 (p, n − p)를 갖는다. 응용 분야에서 자주 발생하는 특정 계량 부호수는 다음과 같다. * 만약 g가 부호수 (n, 0)을 가지면, g는 리만 계량이고, M은 리만 다양체라고 불린다. 그렇지 않으면, g는 준 리만 계량이고, M은 준 리만 다양체라고 불린다 (반 리만이라는 용어도 사용된다). * 만약 M이 부호수 (1, 3) 또는 (3, 1)을 가진 4차원이라면, 계량은 로렌츠라고 불린다. 더 일반적으로, 4차원 이외의 n차원에서 부호수 (1, n − 1) 또는 (n − 1, 1)을 가진 계량 텐서는 때때로 로렌츠라고도 불린다. * 만약 M이 2n-차원이고 g가 부호수 (n, n)을 가지면, 계량은 초쌍곡선이라고 불린다.
## 역계량
**f** = (X1, ..., Xn)를 벡터장 기저라고 하고, 위에서와 같이 G[**f**]를 계수의 행렬이라고 하자. :g_{ij}[\mathbf{f}] = g\left(X_i,X_j\right) \,. 역행렬 G[**f**]−1을 고려할 수 있으며, 이는 **역계량** (또는 켤레 계량 또는 이중 계량)과 동일시된다. 역계량은 틀 **f**가 행렬 A에 의해 변경될 때 다음과 같은 변환 법칙을 만족한다. 5 역계량은 반변적으로, 또는 기저 변경 행렬 A의 역수에 대해 변환된다. 계량 자체는 벡터장의 길이를 (또는 벡터장 사이의 각도를) 측정하는 방법을 제공하는 반면, 역계량은 공변벡터장의 길이를 (또는 공변벡터장 사이의 각도를) 측정하는 수단을 제공한다. 즉, 선형 형식의 장을 제공한다. 이를 보기 위해, α가 공변벡터장이라고 가정하자. 즉, 각 점 p에 대해, α는 p에서의 접벡터에 대해 정의된 함수 αp를 결정하며, 다음 선형성 조건이 모든 접벡터 Xp와 Yp, 그리고 모든 실수 a와 b에 대해 성립한다. :\alpha_p \left(aX_p + bY_p\right) = a\alpha_p \left(X_p\right) + b\alpha_p \left(Y_p\right)\,. p가 변할 때, α는 다음 의미에서 매끄러운 함수로 가정된다. :p \mapsto \alpha_p \left(X_p\right) 모든 매끄러운 벡터장 X에 대해 p의 매끄러운 함수이다. 모든 공변벡터장 α는 벡터장 기저 **f**에서 성분을 갖는다. 이들은 다음으로 결정된다. :\alpha_i = \alpha \left(X_i\right)\,,\quad i = 1, 2, \dots, n\,. 이러한 성분들의 행벡터를 다음으로 나타낸다. :\alpha[\mathbf{f}] = \big\lbrack\begin{array}{cccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_n \end{array}\big\rbrack \,. 행렬 A에 의한 **f**의 변경 하에서, α[**f**]는 다음 규칙에 의해 변경된다. :\alpha[\mathbf{f}A] = \alpha[\mathbf{f}]A \,. 즉, 성분 행벡터 α[**f**]는 공변 벡터로 변환된다. 공변벡터장 쌍 α와 β에 대해, 이 두 공변벡터에 적용된 역계량을 다음과 같이 정의한다. 6 결과로 얻은 정의는 비록 기저 **f**의 선택을 포함하지만, 실제로는 **f**에 본질적인 방식으로 의존하지 않는다. 실제로, 기저를 **f**A로 변경하면 :\begin{align} &\alpha[\mathbf{f}A] G[\mathbf{f}A]^{-1} \beta[\mathbf{f}A]^\mathsf{T} \\\ ={} &\left(\alpha[\mathbf{f}]A\right) \left(A^{-1}G[\mathbf{f}]^{-1} \left(A^{-1}\right)^\mathsf{T}\right) \left(A^\mathsf{T}\beta[\mathbf{f}]^\mathsf{T}\right) \\\ ={} &\alpha[\mathbf{f}] G[\mathbf{f}]^{-1} \beta[\mathbf{f}]^\mathsf{T}. \end{align} 따라서 방정식 (6)의 우변은 기저 **f**를 다른 어떤 기저 **f**A로 변경해도 영향을 받지 않는다. 결과적으로, 이 방정식은 기저 선택과 독립적으로 의미를 부여받을 수 있다. 행렬 G[**f**]의 원소는 gij로 표시되며, 여기서 지수 i와 j는 변환 법칙 (5)을 나타내기 위해 위로 올라가 있다.
## 지표 올림 및 내림
벡터장 기저 **f** = (X1, ..., Xn)에서, 모든 매끄러운 접벡터장 X는 다음 형태로 쓸 수 있다. 7 고유하게 결정되는 어떤 매끄러운 함수 v1, ..., vn에 대해. 비특이 행렬 A에 의해 기저 **f**를 변경하면, 계수 vi는 방정식 (7)이 참으로 유지되도록 변한다. 즉, :X = \mathbf{fA}v[\mathbf{fA}] = \mathbf{f}v[\mathbf{f}]\,. 결과적으로, v[**f**A] = A−1v[**f**]이다. 다시 말해, 벡터의 성분은 비특이 행렬 A에 의한 기저 변경 하에서 반변적으로 (즉, 역으로 또는 반대 방식으로) 변환된다. vi[**f**]의 성분의 반변성은 vi[**f**]의 지수를 위쪽에 배치함으로써 표기적으로 지정된다. 틀은 또한 공변벡터를 그 성분으로 표현할 수 있게 한다. 벡터장 기저 **f** = (X1, ..., Xn)에 대해, 쌍대 기저를 다음을 만족하는 선형 형식 (θ1[**f**], ..., θn[**f**])로 정의한다. :\theta^i[\mathbf{f}](X_j) = \begin{cases} 1 & \mathrm{if}\ i=j\\\ 0&\mathrm{if}\ i\not=j.\end{cases} 즉, θi[**f**](Xj) = δji, 크로네커 델타이다. :\theta[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}\theta^1[\mathbf{f}] \\\ \theta^2[\mathbf{f}] \\\ \vdots \\\ \theta^n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}. 비특이 행렬 A에 대한 기저 변경 **f** ↦ **f**A 하에서, θ[**f**]는 다음을 통해 변환된다. :\theta[\mathbf{f}A] = A^{-1}\theta[\mathbf{f}]. 접벡터에 대한 모든 선형 형식 α는 쌍대 기저 θ의 항으로 전개될 수 있다. 8 여기서 a[**f**]는 행벡터 [ a1[**f**] ... an[**f**] ]를 나타낸다. 기저 **f**가 **f**A로 대체될 때 성분 ai는 방정식 (8)이 계속 참이 되도록 변환된다. 즉, :\alpha = a[\mathbf{f}A]\theta[\mathbf{f}A] = a[\mathbf{f}]\theta[\mathbf{f}] 그러므로 θ[**f**A] = A−1θ[**f**]이기 때문에, 1=a[**f**A] = a[**f**]A가 성립한다. 즉, 성분 a는 공변적으로 변환된다 (역행렬 대신 행렬 A에 의해). a[**f**]의 성분의 공변성은 ai[**f**]의 지수를 아래쪽에 배치함으로써 표기적으로 지정된다. 이제 계량 텐서는 벡터와 공변벡터를 다음과 같이 식별하는 수단을 제공한다. Xp를 고정하면, 함수 :g_p(X_p, -) : Y_p \mapsto g_p(X_p, Y_p) 접벡터 Yp는 p에서의 접공간에 대한 선형 형식을 정의한다. 이 연산은 점 p에서의 벡터 Xp를 취하고 공변벡터 gp(Xp, −)를 생성한다. 벡터장 기저 **f**에서, 벡터장 X가 성분 v[**f**]를 갖는다면, 쌍대 기저에서 공변벡터장 g(X, −)의 성분은 다음 행벡터의 원소로 주어진다. :a[\mathbf{f}] = v[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]. 기저 변경 **f** ↦ **f**A 하에서, 이 방정식의 우변은 다음을 통해 변환된다. : v[\mathbf{f}A]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}A] = v[\mathbf{f}]^\mathsf{T} \left(A^{-1}\right)^\mathsf{T} A^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]A = v[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]A 따라서 a[**f**A] = a[**f**]A: a는 공변적으로 변환된다. 벡터장 v[**f**] = [ v1[**f**] v2[**f**] ... vn[**f**] ]T의 (반변) 성분에 공변벡터장 a[**f**] = [ a1[**f**] a2[**f**] … an[**f**] ]의 (공변) 성분을 연관시키는 연산을 **지표 내림**이라고 한다. 여기서 :a_i[\mathbf{f}] = \sum_{k=1}^n v^k[\mathbf{f}]g_{ki}[\mathbf{f}] 지표를 올리려면, 계량 대신 역계량을 사용하여 동일한 구성을 적용한다. 만약 a[**f**] = [ a1[**f**] a2[**f**] ... an[**f**] ]가 쌍대 기저 θ[**f**]의 공변벡터의 성분이라면, 열벡터 9 는 반변적으로 변환되는 성분들을 갖는다. :v[\mathbf{f}A] = A^{-1}v[\mathbf{f}]. 결과적으로, 양 X = **f**v[**f**]는 기저 **f**의 선택에 본질적인 방식으로 의존하지 않으므로, M 상의 벡터장을 정의한다. (공변) 공변벡터 a[**f**]에 주어진 벡터 v[**f**]의 (반변) 성분을 연관시키는 연산 (9)을 **지표 올림**이라고 한다. 성분으로 표현하면, (9)는 :v^i[\mathbf{f}] = \sum_{k=1}^n g^{ik}[\mathbf{f}] a_k[\mathbf{f}].
## 유도 계량
**ℝ**n의 열린집합 U라고 하고, φ를 U에서 유클리드 공간 **ℝ**m로의 연속 미분 가능 함수라고 하자. 여기서 m > n이다. 사상 φ는 그 미분이 U의 모든 점에서 단사이면 몰입이라고 불린다. φ의 이미지는 몰입된 부분 다양체라고 불린다. 더 구체적으로, 1=m = 3인 경우, 즉 주변 유클리드 공간이 **ℝ**3인 경우, 유도 계량 텐서는 제1 기본 형식이라고 불린다. φ가 부분 다양체 M ⊂ **R**m로의 몰입이라고 가정하자. **ℝ**m에서의 일반적인 유클리드 스칼라곱은 M에 접하는 벡터로 제한될 때 이 접벡터의 스칼라곱을 취할 수 있는 수단을 제공하는 계량이다. 이것을 **유도 계량**이라고 한다. v가 U의 한 점에서의 접벡터라고 가정하자. 예를 들어 :v = v^1\mathbf{e}_1 + \dots + v^n\mathbf{e}_n 여기서 **e**i는 **ℝ**n의 표준 좌표 벡터이다. φ가 U에 적용될 때, 벡터 v는 다음으로 주어진 M에 접하는 벡터로 바뀐다. :\varphi_*(v) = \sum_{i=1}^n \sum_{a=1}^m v^i\frac{\partial \varphi^a}{\partial x^i}\mathbf{e}_a\,. (이것을 φ를 따른 v의 푸시포워드라고 한다.) 그러한 두 벡터 v와 w가 주어졌을 때, 유도 계량은 다음으로 정의된다. :g(v,w) = \varphi_*(v)\cdot \varphi_*(w). 좌표 벡터장 **e** 기저에서 유도 계량의 행렬은 다음으로 주어진다는 간단한 계산에서 알 수 있다. :G(\mathbf{e}) = (D\varphi)^\mathsf{T}(D\varphi) 여기서 Dφ는 야코비 행렬이다. :D\varphi = \begin{bmatrix} \frac{\partial\varphi^1}{\partial x^1} & \frac{\partial\varphi^1}{\partial x^2} & \dots & \frac{\partial\varphi^1}{\partial x^n} \\\\[1ex] \frac{\partial\varphi^2}{\partial x^1} & \frac{\partial\varphi^2}{\partial x^2} & \dots & \frac{\partial\varphi^2}{\partial x^n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ \frac{\partial\varphi^m}{\partial x^1} & \frac{\partial\varphi^m}{\partial x^2} & \dots & \frac{\partial\varphi^m}{\partial x^n} \end{bmatrix}.
# 계량의 내재적 정의
계량의 개념은 내재적으로 올다발과 벡터 다발의 언어를 사용하여 정의할 수 있다. 이러한 용어로, **계량 텐서**는 함수이다. 10 M의 접다발과 그 자신의 올곱에서 **R**로의 함수로, 각 올에 대한 g의 제한은 비퇴화 쌍선형 사상이다. :g_p : \mathrm{T}_pM\times \mathrm{T}_pM \to \mathbf{R}. 사상 (10)은 연속이어야 하며, 관심 있는 경우와 M이 그러한 구조를 지원할 수 있는지 여부에 따라 종종 연속 미분 가능, 매끄러운, 또는 실해석적이어야 한다.
## 다발의 단면으로서의 계량
텐서곱의 보편 성질에 의해, 모든 쌍선형 사상 (10)은 TM과 그 자신의 텐서곱 다발의 쌍대의 단면 g⊗을 자연스럽게 생성한다. :g_\otimes \in \Gamma\left((\mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M)^*\right). 단면 g⊗는 TM ⊗ TM의 단순 원소에 대해 다음으로 정의된다. :g_\otimes(v \otimes w) = g(v, w) 그리고 단순 원소의 선형 결합으로 선형적으로 확장하여 TM ⊗ TM의 임의의 원소에 대해 정의된다. 원래의 쌍선형 형식 g는 다음 조건이 성립할 때만 대칭이다. :g_\otimes \circ \tau = g_\otimes 여기서 :\tau : \mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M \stackrel{\cong}{\to} TM \otimes TM 는 묶음 사상이다. M이 유한 차원이므로, 자연 동형 :(\mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M)^* \cong \mathrm{T}^*M \otimes \mathrm{T}^*M, 이 존재하므로, g⊗는 공변접다발 T*M과 그 자신의 텐서곱 다발 T*M ⊗ T*M의 단면으로도 간주된다. g가 쌍선형 사상으로서 대칭이므로, g⊗는 대칭 텐서이다.
## 벡터 다발에서의 계량
더 일반적으로, 벡터 다발에서 계량에 대해 이야기할 수 있다. 만약 E가 다양체 M 위의 벡터 다발이라면, 계량은 매핑이다. :g : E\times_M E\to \mathbf{R} E의 올곱에서 **R**로의 함수로, 각 올에서 쌍선형이다. :g_p : E_p \times E_p\to \mathbf{R}. 위에서와 같이 쌍대성을 사용하여, 계량은 종종 텐서곱 다발 E* ⊗ E*의 단면과 동일시된다.
## 접다발-공변접다발 동형
계량 텐서는 접다발에서 공변접다발로의 자연 동형을 제공하며, 때때로 음악 동형이라고 불린다."음악 동형"이라는 용어에 대해서는 p=75를 참조하라. 또한 pp=27–29도 참조하라 이 동형은 각 접벡터 Xp ∈ TpM에 대해, :S_gX_p\, \stackrel\text{def}{=}\, g(X_p, -), p에서의 접벡터 Yp를 gp(Xp,Yp)로 보내는 TpM의 선형 형식을 설정함으로써 얻어진다. 즉, TpM과 그 쌍대 공간 p=∗M 사이의 짝 [−, −]의 관점에서, :[S_gX_p, Y_p] = g_p(X_p, Y_p) 모든 접벡터 Xp와 Yp에 대해. 사상 Sg는 TpM에서 p=∗M로의 선형 변환이다. 비퇴화성 정의로부터 Sg의 핵이 0으로 축소됨이 따르고, 계수-퇴화차수 정리에 의해 Sg는 선형 동형사상이다. 또한, Sg는 다음 의미에서 대칭 선형 변환이다. :[S_gX_p, Y_p] = [S_gY_p, X_p] 모든 접벡터 Xp와 Yp에 대해. 반대로, 모든 선형 동형사상 p=∗M은 다음을 통해 TpM에 대한 비퇴화 쌍선형 형식을 정의한다. :g_S(X_p, Y_p) = [SX_p, Y_p]\,. 이 쌍선형 형식은 S가 대칭인 경우에만 대칭이다. 따라서 TpM에 대한 대칭 쌍선형 형식과 TpM에서 쌍대 p=∗M로의 대칭 선형 동형사상 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. p가 M에 걸쳐 변함에 따라, Sg는 접다발에서 공변접다발로의 벡터 다발 동형사상의 다발 Hom(TM, T*M)의 단면을 정의한다. 이 단면은 g와 동일한 매끄러움을 갖는다. 즉, g에 따라 연속, 미분 가능, 매끄러운, 또는 실해석적이다. M 상의 모든 벡터장에 M 상의 공변벡터장을 연관시키는 사상 Sg는 벡터장에 대한 "지표 내림"의 추상적 공식을 제공한다. Sg의 역함수는 T*M → TM으로의 사상으로, 유사하게 공변벡터장에 대한 "지표 올림"의 추상적 공식을 제공한다. 역함수 p=−1는 선형 사상 :S_g^{-1} : \mathrm{T}^*M \to \mathrm{T}M 을 정의하며, 이는 모든 공변벡터 α, β에 대해 비특이적이고 다음과 같은 의미에서 대칭이다. :\left[S_g^{-1}\alpha, \beta\right] = \left[S_g^{-1}\beta, \alpha\right] 이러한 비특이적 대칭 사상은 (텐서-호몰로지 연접)에 의해 사상 :\mathrm{T}^*M \otimes \mathrm{T}^*M \to \mathbf{R} 또는 이중 쌍대 동형에 의해 텐서곱의 단면 :\mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M. 를 생성한다.
# 곡선의 길이와 선 요소
g가 M에 대한 리만 계량이라고 가정하자. 국소 좌표계 xi, i = 1, 2, …, n에서 계량 텐서는 좌표 벡터장에 대한 계량 텐서의 성분 gij로 구성된 행렬 (여기서는 **G**로 표시)로 나타난다. M의 조각별 미분 가능한 매개변수 곡선 γ(t)가 a ≤ t ≤ b에 대해 존재한다고 하자. 곡선의 곡선의 길이는 다음으로 정의된다. :L = \int_a^b \sqrt{ \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(\gamma(t)) \left(\frac{d}{dt}x^i \circ \gamma(t)\right) \left(\frac{d}{dt} x^j \circ \gamma(t)\right)}\,dt \,. 이 기하학적 응용과 관련하여, 이차 미분 형식 :ds^2 = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(p) dx^i dx^j 은 계량과 관련된 제1 기본 형식이라고 불리며, ds는 선 요소이다. ds2가 M의 곡선 이미지로 당겨질 때, 이는 곡선 길이에 대한 미분의 제곱을 나타낸다. 준 리만 계량의 경우, 제곱근 아래의 항이 음수가 될 수 있기 때문에 위의 길이 공식이 항상 정의되는 것은 아니다. 일반적으로 제곱근 아래의 양이 항상 한쪽 부호이거나 다른 부호일 때만 곡선의 길이를 정의한다. 이 경우, 다음을 정의한다. :L = \int_a^b \sqrt{ \left|\sum_{i,j=1}^ng_{ij}(\gamma(t)) \left(\frac{d}{dt}x^i \circ \gamma(t)\right)\left(\frac{d}{dt}x^j \circ \gamma(t)\right)\right|}\,dt \, . 이러한 공식은 좌표 표현을 사용하지만, 실제로는 선택된 좌표와 무관하다. 이들은 계량과 공식이 적분되는 곡선에만 의존한다.
## 에너지, 변분 원리 및 측지선
곡선 세그먼트가 주어졌을 때, 또 다른 자주 정의되는 양은 곡선의 (운동) **에너지**이다. :E = \frac{1}{2} \int_a^b \sum_{i,j=1}^ng_{ij}(\gamma(t)) \left(\frac{d}{dt}x^i \circ \gamma(t)\right)\left(\frac{d}{dt}x^j \circ \gamma(t)\right)\,dt \,. 이 용법은 물리학, 특히 고전역학에서 비롯된 것으로, 적분 E는 다양체 표면을 움직이는 점입자의 운동 에너지와 직접적으로 일치하는 것으로 볼 수 있다. 예를 들어, 모페르튀이 원리의 야코비 공식화에서 계량 텐서는 움직이는 입자의 질량 텐서에 해당한다고 볼 수 있다. 많은 경우, 길이가 사용되어야 하는 모든 계산에서 에너지 사용을 포함하는 유사한 계산을 수행할 수 있다. 이는 제곱근이 필요 없기 때문에 종종 더 간단한 공식을 유도한다. 예를 들어, 측지선 방정식은 길이 또는 에너지에 변분 원리를 적용하여 얻을 수 있다. 후자의 경우, 측지선 방정식은 최소 작용의 원리에서 발생하는 것으로 보인다. 즉, 다양체에 갇혀 있지만 그 외에는 다양체 내에서 일정한 운동량으로 자유롭게 움직이는 "자유 입자"(힘을 느끼지 않는 입자)의 운동을 설명한다.1983
# 표준 측도와 부피 형식
곡면의 경우와 유사하게, n-차원 파라콤팩트 다양체 M에 대한 계량 텐서는 다양체의 부분집합의 n-차원 부피를 측정하는 자연스러운 방법을 제공한다. 결과로 얻은 자연적인 양의 보렐 측도는 관련된 르베그 적분을 통해 다양체 위의 함수를 적분하는 이론을 개발할 수 있게 한다. 측도는 리스 표현 정리에 의해, 다양체 위의 콤팩트 지지 연속 함수의 공간 C0(M)에 대한 양의 선형 형식 Λ를 제공함으로써 정의될 수 있다. 더 정확히 말하면, 만약 M이 (준) 리만 계량 텐서 g를 가진 다양체라면, 모든 좌표 차트 (U, φ)에 대해 유일한 양의 보렐 측도 μg가 존재하여, \Lambda f = \int_U f \, d\mu_g = \int_{\varphi(U)} f \circ \varphi^{-1}(x) \sqrt{\left|\det g\right|}\,dx 모든 U에 지지되는 f에 대해 성립한다. 여기서 det g는 좌표 차트에서 계량 텐서의 성분으로 구성된 행렬의 행렬식이다. Λ가 좌표 근방에 지지되는 함수에 대해 잘 정의된다는 것은 야코비안 변수 변환에 의해 정당화된다. 이것은 단위 분할을 통해 C0(M)에 대한 유일한 양의 선형 형식으로 확장된다. 만약 M이 또한 방향을 가진다면, 계량 텐서로부터 자연스러운 부피 형식을 정의하는 것이 가능하다. 양의 방향 좌표계 (x1, ..., xn)에서 부피 형식은 다음과 같이 표현된다. \omega = \sqrt{\left|\det g\right|} \, dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n 여기서 dxi는 좌표 미분이고 ∧는 미분 형식의 대수에서의 외적을 나타낸다. 부피 형식은 또한 다양체 위의 함수를 적분하는 방법을 제공하며, 이 기하학적 적분은 표준 보렐 측도에 의해 얻어진 적분과 일치한다.
# 예시

## 유클리드 계량
가장 친숙한 예는 초등 유클리드 기하학의 예시이다. 즉, 2차원 유클리드 계량 텐서이다. 일반적인 데카르트 좌표계 (x, y)에서 우리는 다음을 쓸 수 있다. :g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1\end{bmatrix} \,. 곡선의 길이는 다음 공식으로 줄어든다. :L = \int_a^b \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2} \,. 다른 일반적인 좌표계에서 유클리드 계량은 다음과 같이 쓸 수 있다. 극좌표 (r, θ): :\begin{align} x &= r \cos\theta \\\ y &= r \sin\theta \\\ J &= \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix} \,. \end{align} 따라서 :g = J^\mathsf{T}J = \begin{bmatrix} \cos^2\theta + \sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & r^2 \end{bmatrix} 삼각 항등식에 의해. 일반적으로, 유클리드 공간의 데카르트 좌표계 xi에서, 편미분 ∂ / ∂xi는 유클리드 계량에 대해 정규직교이다. 따라서 이 좌표계에서 계량 텐서는 크로네커 델타 δij이다. 임의의 (곡선일 수도 있는) 좌표 qi에 대한 계량 텐서는 다음으로 주어진다. :g_{ij} = \sum_{kl}\delta_{kl}\frac{\partial x^k}{\partial q^i} \frac{\partial x^l}{\partial q^j} = \sum_k\frac{\partial x^k}{\partial q^i}\frac{\partial x^k}{\partial q^j}.
### 구의 원형 계량
**ℝ**3의 단위 구는 유도 계량 섹션에서 설명된 과정을 통해 주변 유클리드 계량으로부터 유도되는 자연스러운 계량을 갖추고 있다. 표준 구면 좌표계 (θ, φ)에서, θ는 극각, z-축에서 측정된 각도이고, φ는 xy-평면에서 x-축에서 측정된 각도이며, 계량은 다음과 같은 형태를 취한다. :g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & \sin^2 \theta\end{bmatrix} \,. 이것은 보통 다음과 같은 형태로 쓰인다. :ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\varphi^2\,.
## 상대성 이론에서 로렌츠 계량
계량 텐서 (일반 상대성이론) 평탄한 민코프스키 공간 (특수 상대성이론)에서, 좌표 :r^\mu \rightarrow \left(x^0, x^1, x^2, x^3\right) = (ct, x, y, z) \, , 계량은 계량 부호수 선택에 따라 다음과 같다. :g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \quad \text{or} \quad g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \,. 예를 들어, 시간 좌표가 일정한 곡선의 경우, 이 계량의 길이 공식은 일반적인 길이 공식으로 줄어든다. 시간꼴 곡선의 경우, 길이 공식은 곡선을 따른 고유 시간을 제공한다. 이 경우, 시공간 간격은 다음과 같이 쓰인다. :ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = dr^\mu dr_\mu = g_{\mu \nu} dr^\mu dr^\nu\,. 슈바르츠실트 계량은 행성이나 블랙홀과 같은 구형 대칭체 주변의 시공간을 설명한다. 좌표 :\left(x^0, x^1, x^2, x^3\right) = (ct, r, \theta, \varphi) \,, 로 계량을 다음과 같이 쓸 수 있다. :g_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} \left(1 - \frac{2GM}{rc^2}\right) & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & -\left(1 - \frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1} & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix}\,, 여기서 G (행렬 내부)는 중력 상수이고 M은 중심 물체의 총 질량-에너지 함량을 나타낸다.