크라메르 법칙

선형대수학에서 **크래머 법칙**(Cramer法則, Cramer's rule) 또는 **크래머 공식**은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.
# 정의
연립 일차 방정식 :Ax=B 에서, A가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 **크라메르 법칙**이라고 한다. :x_j=\frac{\det A_j}{\det A}=\frac{\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&b;_1&\cdots&a;_{1n}\\\ a_{21}&\cdots&b;_2&\cdots&a;_{2n}\\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\\ a_{n1}&\cdots&b;_n&\cdots&a;_{nn} \end{vmatrix{\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a;_{1j}&\cdots&a;_{1n}\\\ a_{21}&\cdots&a;_{2j}&\cdots&a;_{2n}\\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\\ a_{n1}&\cdots&a;_{nj}&\cdots&a;_{nn} \end{vmatrix\qquad(j=1,\dots,n) 여기서 A_j는 A의 j번째 열을 B로 대신하여 얻는 행렬이다.
# 증명
연립 일차 방정식 :a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 :a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 :\vdots :a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n 의 계수 행렬 A의 (i,j)-여인자를 C_{ij}라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다. :a_{1k}C_{1j}+a_{2k}C_{2j}+\cdots+a_{nk}C_{nj}=\begin{cases}\det A&k;=j\\\0&k;\ne j\end{cases} :b_1C_{1j}+b_2C_{2j}+\cdots+b_nC_{nj}=\det A_j 이에 따라, 각 i번째 방정식에 C_{ij}을 곱한 뒤 모두 합하면 :\det A\cdot x_j=\det A_j 를 얻는다. \det A\ne0이므로, 양변을 \det A로 나누면 :x_j=\frac{\det A_j}{\det A} 를 얻는다.
# 예

## 2개의 방정식의 경우
연립 일차 방정식 :ax+by=e :cx+dy=f 이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다. :x=\frac{\begin{vmatrix}e&b;\\\f&d;\end{vmatrix{\begin{vmatrix}a&b;\\\c&d;\end{vmatrix=\frac{ed-bf}{ad-bc},\;y=\frac{\begin{vmatrix}a&e;\\\c&f;\end{vmatrix{\begin{vmatrix}a&b;\\\c&d;\end{vmatrix=\frac{af-ec}{ad-bc}
## 3개의 방정식의 경우
연립 일차 방정식 :ax+by+cz=j :dx+ey+fz=k :gx+hy+iz=l 이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다. :x=\frac{\begin{vmatrix}j&b;&c;\\\k&e;&f;\\\l&h;&i;\end{vmatrix{\begin{vmatrix}a&b;&c;\\\d&e;&f;\\\g&h;&i;\end{vmatrix,\;y=\frac{\begin{vmatrix}a&j;&c;\\\d&k;&f;\\\g&l;&i;\end{vmatrix{\begin{vmatrix}a&b;&c;\\\d&e;&f;\\\g&h;&i;\end{vmatrix,\;z=\frac{\begin{vmatrix}a&b;&j;\\\d&e;&k;\\\g&h;&l;\end{vmatrix{\begin{vmatrix}a&b;&c;\\\d&e;&f;\\\g&h;&i;\end{vmatrix
# 응용

## 미분기하학
크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 F(x, y, u, v) = 0\,, G(x, y, u, v) = 0\,이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, x = X(u, v), y = Y(u, v)라 정의한다. 여기서 \partial x/\partial u의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다. 먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다. :dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0 :dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0 :dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv :dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv dF, dG에 dx와 dy를 대입하면 :dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0 :dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0 u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다. :\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u} :\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u} :\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v} :\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v} 따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다. : \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix 이것은 두 개의 야코비안 항이다. :\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)} 유사하게 \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial v}의 공식들도 유도할 수 있다.
# 역사
스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.