사슬 복합체

섬네일 호몰로지 대수학에서 **사슬 복합체**(-複合體, chain complex)는 일련의 멱영 사상들을 갖춘, 아벨 범주의 대상들의 열이다. 이를 사용하여 호몰로지 대수학 및 호몰로지 · 코호몰로지의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다.
# 정의
아벨 범주 \mathcal A가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 아벨 군이나 가군, 또는 아벨 군 값을 갖는 층 등이 있다.) \mathcal A 속의 **사슬 복합체** (C_\bullet, \partial_\bullet)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \mathcal A의 대상 C_i\in\mathcal A * 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \mathcal A의 사상 \partial_i\colon C_i\to C_{i-1} *:\cdots \to C_{i+1}\xrightarrow{\partial_{i+1 C_i \xrightarrow{\partial_i} C_{i-1} \xrightarrow{\partial_{i-1 C_{i-2} \to \cdots 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. * 모든 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \partial_{i-1}\circ\partial_i=0 이 경우, 사상 \partial_\bullet은 **경계 사상**(境界寫像, boundary map)라고 하고, C_i의 원소는 *i*차 **사슬**(*i*-chain)이라고 한다. \partial_i\alpha=0인 *i*차 사슬 \alpha\in C_i을 **i차 순환**(i次循環, 사이클)이라고 한다. **공사슬 복합체**(共사슬複合體, cochain complex}) (C^\bullet,\mathrm d^\bullet)는 유사하지만, 첨자의 위치와 화살표의 방향이 반대이다. :\cdots \to C^{i-2}\xrightarrow{\mathrm d_C^{i-2 C^{i-1}\xrightarrow{\mathrm d_C^{i-1 C^i \xrightarrow{\mathrm d_C^i} C^{i+1} \to \cdots 이 경우, 사상 \mathrm d^\bullet은 **공경계 사상**(共境界寫像, coboundary map)라고 하고, C^i의 원소는 *i*차 **공사슬**(i次共사슬, *i*-cochain)이라고 한다. \mathrm d^i\alpha=0인 *i*차 공사슬 \alpha\in C^i을 **i차 공순환**(i次共循環, 코사이클)이라고 한다. \mathcal A 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주는 \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)라고 한다. 마찬가지로, 공사슬 복합체들과 공사슬 사상들의 범주는 \operatorname{Ch}^\bullet(\mathcal A)라고 한다. 물론, 이 둘은 (차수를 A_i \mapsto A^{-i}로 대응시킬 때) 같은 범주를 표기하는 서로 다른 두 방법일 뿐이지만, 용도에 따라 두 표기법 가운데 하나가 더 선호되는 경우가 많다.
## 사슬 사상
아벨 범주 \mathcal A 속의 두 사슬 복합체 (C_\bullet,\partial^C_\bullet), (D_\bullet,\partial^D_\bullet) 사이의 **사슬 사상**(사슬寫像, chain map) f_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \mathcal A 속의 사상 f_i\colon C_i\to D_i 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. * 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \partial^D_i\circ f_i=f_{i-1}\circ\partial^C_i. 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다. *:\begin{matrix} \cdots \to &C;_{i+1}&\overset{\partial^C_{i+1\to&C;_i&\overset{\partial^C_i}\to&C;_{i-1}&\to \cdots \\\ &\\!\\!\\!\\!\\!\\!{\color{White}\scriptstyle f_{i+1\downarrow{\scriptstyle f_{i+1\\!\\!\\!\\!\\!\\!&&\\!\\!\\!{\color{White}\scriptstyle f_i}\downarrow{\scriptstyle f_i}\\!\\!\\!&&\\!\\!\\!\\!\\!\\!{\color{White}\scriptstyle f_{i-1\downarrow{\scriptstyle f_{i-1\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\\ \cdots \to &D;_{i+1}&\underset{\partial^D_{i+1\to&D;_i&\underset{\partial^D_i}\to&D;_{i-1}&\to \cdots \\\ \end{matrix} 마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다. 아벨 범주 \mathcal A 속의 두 공사슬 복합체 (C^\bullet,\mathrm d_C^\bullet), (D^\bullet,\mathrm d_D^\bullet) 사이의 **공사슬 사상**(cochain map) f^\bullet\colon C^\bullet\to D^\bullet은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \mathcal A 속의 사상 f^i\colon C^i\to D^i 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. * 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \mathrm d_D^i\circ f^i=f^{i+1}\circ\mathrm d_C^i. 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다. *:\begin{matrix} \cdots \to &C;^{i-1}&\overset{\mathrm d_C^{i-1\to&C;^i&\overset{\mathrm d_C^i}\to&C;^{i+1}&\to \cdots \\\ &\\!\\!\\!\\!\\!\\!{\color{White}\scriptstyle f^{i-1\downarrow{\scriptstyle f^{i-1\\!\\!\\!\\!\\!\\!&&\\!\\!\\!{\color{White}\scriptstyle f^i}\downarrow{\scriptstyle f^i}\\!\\!\\!&&\\!\\!\\!\\!\\!\\!{\color{White}\scriptstyle f^{i+1\downarrow{\scriptstyle f^{i+1\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\\ \cdots \to &D;^{i-1}&\underset{\mathrm d_D^{i-1\to&D;^i&\underset{\mathrm d_D^i}\to&D;^{i+1}&\to \cdots \\\ \end{matrix} 사슬 복합체와 사슬 사상의 범주는 \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) 또는 \operatorname{Kom}_\bullet(\mathcal A)로 표기된다. 이는 사슬을 뜻하는 체인 또는 복합체를 뜻하는 콤플렉스를 딴 것이다.
## 사슬 호모토피
유도 범주 임의의 두 사슬 복합체 C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)에 대하여, 그 사이의 사슬 사상의 집합 :\hom_{\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)}(C_\bullet, D_\bullet) 위에는 **사슬 호모토피**라는 동치 관계가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 유도 범주의 사상을 이룬다.
## 유계 사슬 복합체
\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)의 다음과 같은 부분 범주들이 흔히 사용된다. * \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)는 음의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다. *:\dotsb\to A_2\to A_1\to A_0\to 0\to 0\to\dotsb * 마찬가지로, \operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)는 음의 차수 성분들이 모두 0인 공사슬 복합체들의 범주이다. (이는 양의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체로 여겨질 수 있다.) *:\dotsb\to0\to 0\to A_0 \to A_1\to A_2\to\dotsb * \operatorname{Ch}_{\le \bullet\le }는 **유계 사슬 복합체**(有界사슬複合體, bounded chain complex), 즉 유한 개의 차수를 제외한 나머지 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다. *:\dotsb\to 0\to 0\to A_n \to A_{n-1} \to \dotsb \to A_{m+1}\to A_m \to 0 \to 0 \to \dotsb
# 연산

## 현수
아벨 범주 \mathcal A 속의 사슬 복합체 :A_k\in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) 와 정수 k\in\mathbb Z가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A_\bullet의 **k차 현수**(k次懸垂, kth suspension) A[k]_\bullet는 다음과 같은 사슬 복합체이다. :A[k]_n = A_{n-k} \qquad\forall n\in\mathbb N :\partial_n^{A[k]} = (-)^k \partial_{n-k} 즉, 각 성분의 차수를 k만큼 추가하고, 만약 k가 홀수라면 경계 사상에 음부호를 붙인 것이다.
## 직합 · 핵 · 여핵 · 상 · 여상
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 아벨 범주에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다. 예를 들어, 두 사슬 복합체 A_\bullet,B_\bullet 의 **직합** (A\oplus B)_\bullet은 다음과 같다. * (A\oplus B)_n = A_n \oplus_{\mathcal A} B_n (n\in\mathbb Z) * \partial_n \colon (A\oplus B)_n \to (A\oplus B)_{n-1} * \partial_n = \partial^A_n \oplus \partial^B_n 마찬가지로, 사슬 복합체 사상 :f_\bullet \colon A_\bullet \to B_\bullet 의 **핵** :(\ker f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) :(\ker f)_n = \ker (f_n) 및 **여핵** :(\operatorname{coker} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) :(\operatorname{coker} f)_n = \operatorname{coker} (f_n) 및 **상** :(\operatorname{im} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) :(\operatorname{im} f)_n = \operatorname{im} (f_n) 및 **여상** :(\operatorname{coim} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) :(\operatorname{coim} f)_n = \operatorname{coim} (f_n) 이 성분별로 정의된다.
## 호몰로지
호몰로지 코호몰로지 사슬 복합체 A_\bullet \in\operatorname{Ch}(\mathcal A)의 경우, **호몰로지** :\operatorname H_\bullet(A) = \frac{\ker_\bullet}{\operatorname{im}_\bullet} \in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) 를 정의할 수 있다. 이 경우, 모든 경계 사상을 0으로 잡으면 이는 사슬 복합체를 이룬다. 만약 사슬 복합체 대신 공사슬 복합체를 사용하는 경우, 이 연산은 **코호몰로지**라고 불린다. 두 사슬 복합체 C_\bullet, D_\bullet 사이의 **유사동형**(類似同型, quasi-isomorphism)은 다음과 같은 사슬 사상 q\colon C\to D이다. * q로부터 유도되는 호몰로지 사상 q_*\colon\operatorname H_\bullet(C)\to\operatorname H_\bullet(D)는 각 성분마다 동형 사상이다. 서로 동형인 두 사슬 복합체는 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
## 텐서곱과 내적 사상 대상
텐서곱 가환환 K 위의 결합 대수 A 위의 (A,A)-쌍가군들의 아벨 범주 \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A) 를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체 :C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A) 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 E_{\bullet,\bullet}를 정의할 수 있다. :E_{m,n} = C_m \otimes_A D_n :\partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m-1,n} : \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} = \partial^C_m \otimes\operatorname{id}_{D_n} :\partial^{\operatorname v,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m,n-1} : \partial^{\operatorname v,E}_{m,n} = \operatorname{id}_{C_m} \otimes\partial^D_n 이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체 (C\otimes D)_\bullet = \operatorname{Tot}_\bullet(E)를 C_\bullet와 D_\bullet의 **텐서곱**이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다. :(C\otimes D)_\bullet \in\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A) :(C\otimes D)_n = \bigoplus_{p+q=n} C_p \otimes_A D_q :\partial_n \colon (C\otimes D)_n \to (C\otimes D)_{n-1} :\partial_n \colon \bigoplus_{p+q=n} \left(\partial^C_p \otimes_A \operatorname{id}_{D_q} + (-)^p \operatorname{id}_{C_p} \otimes \partial^D_p\right) 이 텐서곱의 항등원은 다음과 같은, 하나만의 성분을 갖는 사슬 복합체이다. :1_\bullet \in \operatorname{Ch}(\mathcal A) :1_n = \begin{cases} 0 & n \ne 0 \\\ A & n = 0 \end{cases} 그렇다면, (\operatorname{Ch}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet)은 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 마찬가지로, * (\operatorname{Ch}_{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1^\bullet) * (\operatorname{Ch}^{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet) * (\operatorname{Ch}_{\le\bullet\le}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet) 역시 각각 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 특히, (\operatorname{Ch}^{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1^\bullet) 속의 모노이드 대상을 **미분 등급 대수**라고 한다. 또한, \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)의 두 사슬 복합체 C_\bullet, D_\bullet에 대하여, 다음과 같은 **내적 사상 대상**(內的寫像對象, internal homomorphism-object) :\hom_\bullet(C,D) \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A) 을 정의할 수 있다. :\hom_n(C,D) =\prod_{i\in\mathbb Z} \hom_{_A\operatorname{Mod}_A}(C_i,D_{i+n}) :\partial^{\hom(C,D)}_n f = \prod_{i\in\mathbb Z} (\partial_{i+n}^D\circ f - (-)^n f\circ \partial_i^X) 이에 따라, 쌍가군 범주 위의 사슬 복합체 범주 (\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,\hom_\bullet)는 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.
## 유도 범주
유도 범주 사슬 복합체의 범주 \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)에서, 유사동형들을 동형 사상이 되게 국소화하면, **유도 범주** \operatorname D(\mathcal A)를 얻으며, 표준적 함자 :\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal A) 가 존재한다.
# 성질
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주가 아니다.
## 모형 범주 구조
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다. {| class=wikitable ! 약한 동치 | 사슬 복합체의 유사동형 |- ! 올뭉치 | 양의 차수에서 각 성분이 전사 사상인 사슬 사상 |- ! 쌍대올뭉치 | 각 성분이 단사 사상이며, 각 성분의 여핵이 사영 대상인 사슬 사상 |- ! 올대상 | 모든 사슬 복합체 |- ! 올대상 분해 | (원래 사슬 복합체와 같음) |- ! 쌍대올대상 | 모든 성분이 사영 대상인 사슬 복합체 |- ! 쌍대올대상 분해 | 사영 분해 |} 마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다. {| class=wikitable ! 약한 동치 | 공사슬 복합체의 유사동형 |- ! 올뭉치 | 각 성분이 전사 사상이며, 각 성분의 핵이 단사 대상인 공사슬 사상 |- ! 쌍대올뭉치 | 양의 차수에서 각 성분이 단사 사상인 공사슬 사상 |- ! 올대상 | 모든 성분이 단사 대상인 공사슬 복합체 |- ! 올대상 분해 | 단사 분해 |- ! 쌍대올대상 | 모든 공사슬 복합체 |- ! 쌍대올대상 분해 | (원래 사슬 복합체와 같음) |} 이 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주는 유도 범주이다.
# 예

## 돌트-칸 대응
정규화 사슬 복합체 아벨 범주 위의 단체 대상 X_\bullet에 대하여, 항상 **정규화 사슬 복합체** \operatorname N_\bullet(X)라는 사슬 복합체를 대응시킬 수 있다. 이는 함자를 이루며, 사실 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)와 단체 대상의 범주 \mathcal A^{\triangle^{\operatorname{op 사이의 동치 및 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다. :\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)\simeq \mathcal A^{\triangle^{\operatorname{op 이를 **돌트-칸 대응**이라고 한다. 마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)는 쌍대 단체 대상의 범주 \mathcal A^{\triangle}와 동치이며, 또한 이는 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다. :\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)\simeq \mathcal A^\triangle
## 이중 사슬 복합체
이중 사슬 복합체 아벨 범주 \mathcal A 위의 사슬 복합체의 범주 \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 **이중 사슬 복합체**(二重사슬複合體, double chain complex, bicomplex)라고 한다.
# 역사
(공)사슬 복합체의 개념은 대수적 위상수학에서 호몰로지·코호몰로지를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 위상 공간의 특이 호몰로지를 정의하기 위하여 특이 사슬 복합체라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 층 코호몰로지 · 군 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, 호몰로지 대수학의 발달로 추상적으로 정의되었다.