F이론

끈 이론 끈 이론에서 **F이론**(F理論, F-theory)은 ⅡB종 초끈 이론의 축소화를 나타내는 이론이다.언어=en 이란인 이론 물리학자 캄란 바파가 1996년에 발표하였다. 형식적으로는 12차원 이론이나, 이는 축소화를 하지 않고는 일관적이지 않다. F이론을 사용하여 ⅡB종 초끈 이론의 수많은 축소화를 계산할 수 있고, 이들 가운데 상당수는 현상론적으로 중요하다.언어=en언어=fr언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en언어=en
# 정의
10차원에 존재하는 ⅡB종 끈 이론은 SL(2;ℤ) S-이중성을 가진다. 이 이중성은 12차원의 F이론을 원환면 \mathbb T^2에 축소화하여 생긴 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 해석하면, 원환면의 모양을 나타내는 복소구조 모듈라이 \tau를 라몽-라몽 장 (액시온) C_0와 딜라톤 \Phi의 합 :\tau=C_0+\mathrm i\exp(-\Phi) 로 해석할 수 있다. 이 복소수 값 스칼라장을 **액시오딜라톤**(axiodilaton)이라고 한다. 그러나 원환면의 크기를 나타내는 켈러 모듈라이에 해당하는 장은 존재하지 않는다. 즉, ⅡB종 끈 이론은 F이론을 “크기가 0인 원환면”에 축소화한 것으로 해석할 수 있다. 보다 일반적으로, F이론은 원환면의 복소구조 모듈라이 공간(\mathbb C/SL(2,\mathbb Z))의 다발 구조를 갖춘 칼라비-야우 다양체에 축소화할 수 있다. 다발의 특이올(singular fibre)은 D7-막의 존재를 나타낸다. 따라서 F이론은 ⅡB종 끈 이론의 액시온과 딜라톤, D7-막의 배열을 기하학적인 데이터로 나타낸 이론이다. {| class=wikitable |- ! F이론 !! ⅡB 초끈 이론 |- | 타원 곡선 올의 올뭉치 \Sigma\hookrightarrow E\twoheadrightarrow M 위의 축소화 || 다양한 액시온·딜라톤·D7-막이 존재하는 M 위의 비섭동적 축소화 |- | 타원 곡선의 복소수 모듈라이 \tau\in\mathbb C,\;\operatorname{Im}\tau>0 || 액시오딜라톤 C_0 + \mathrm i\exp(-\Phi) |- | 타원 곡선 올의 SL(2;ℤ) 모듈러 변환 || SL(2;ℤ) S-이중성 |- | 타원 곡선 올이 퇴화하는 복소수 3차원 부분 다양체 || D7-막 및 일반적 (p,q) 7-막 |}
# 성질
ⅡA 초끈 이론은 M이론을 원 위에 콤팩트화하여 얻을 수 있지만, ⅡB 초끈 이론은 (추가로 콤팩트화한 뒤 T-이중성을 사용하지 않고는) M이론에서 직접적으로 콤팩트화하여 얻을 수 없다. 그러나 F이론을 원환면 위에 축소화하면 ⅡB 초끈 이론을 얻으며, ⅡB 초끈 이론의 SL(2;ℤ) S-이중성은 원환면의 사상류군에 대응한다. 4차원 \mathcal N=1 초대칭 이론을 얻기 위해서는 ⅡB 초끈 이론을 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체에 축소화하거나, 보다 일반적으로 F이론을 복소수 4차원 칼라비-야우 다양체 위에 축소화하면 된다. 후자는 ⅡB 초끈 이론을 3차원 칼라비-야우 다양체보다 더 일반적인 공간에 축소화하는 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 하면, 4차원에서 E8 등의 게이지 군을 만들 수 있다.
## М이론과의 관계
ⅡB 초끈 이론은 M이론으로부터 다음과 같이 얻어진다. # M이론을 원환면 \mathbb S^1_{\text{M\times \mathbb S^1_{\text{T 위에 축소화한다. # 원 \mathbb S^1_{\text{T에 T-이중성을 가하여 새 원 {\mathbb S^1_{\text{T'을 얻는다. # 이제, 원환면 \mathbb S^1_{\text{M\times \mathbb S^1_{\text{T에서, 모양(복소구조)은 보존하지만 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취한다. 이 경우 원환면의 복소구조 모듈라이 \tau는 ⅡB 닫힌 끈 결합 상수와 같음을 알 수 있다. 이제, 이 과정을 일반화하여, M이론을 복소수 n차원의 칼라비-야우 다양체 \mathbb R^{11-2n}\times X_n에 축소화하고, 이 칼라비-야우 다양체가 타원 곡선 올뭉치(예를 들어, 타원 곡면) X_n\twoheadrightarrow Y_{n-1}을 이룬다고 하자. 그렇다면, 타원 곡선 올뭉치의 타원 곡선 올들의 복소수 모듈라이를 고정시킨 체 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취하자. 그렇다면, T-이중성에 따라서 새 차원이 생겨, \mathbb R^{11-2n}\times\mathbb R\times Y 위의 이론을 얻는다. 이는 “12차원”의 F이론으로 여길 수 있다. ⅡA 초끈 이론의 D6-막은 M이론의 KK 들뜬 상태이므로, 기하학적 데이터로 주어진다. 이는 T-이중성 아래 ⅡB 초끈 이론의 D7-막이 된다. 즉, 이는 F이론에서 타원 곡선 올이 퇴화하는 기하학적 데이터로 주어짐을 알 수 있다.
## ⅡB 초끈 이론과의 관계
ⅡB 초끈 이론의 섭동 이론이 유효하려면, 끈 결합 상수가 거의 어디서나 매우 작아야 한다. 이 경우, 결합 상수가 작지 않은, 복소수 여차원 1(실수 여차원 2)의 자취(locus)는 ⅡB 초끈 이론의 D7-막에 해당한다. 이러한 극한을 **센 극한**(সেন極限, Sen limit)이라고 한다. 구체적으로, 가장 간단한 축소화인 복소수 사영 직선 (리만 구) :\mathbb P^1_{\mathbb C}= \operatorname{Proj}\mathbb C[u,v] 위의 축소화를 생각하자. 그렇다면, 그 위의 타원 곡선 올뭉치인 타원 곡면은 복소수 가중 사영 공간 :\mathbb P^{1,2,3}_{\mathbb C} = \operatorname{Proj}\mathbb C[z,x,y] \cong \mathbb P^2/\operatorname{Sym}(3) :\deg u = \deg v = \deg z=1 :\deg x=2 :\deg y=3 을 정의하면, :\mathbb P^1_{\mathbb C} \times \mathbb P^{1,2,3}_{\mathbb C} 속의 대수 곡면으로, [u:v]에서 그 올은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.(7) :\Sigma_{[u:v]} = \operatorname{Proj}\frac{\mathbb C[x,y,z]}{y^2+a_1(u,v)xyz + a_3(u,v)yz^3 - x^3 - a_2(u,v)x^2z^2 - a_4(u,v)xz^4 - a_6(u,v)z^6} 여기서 a_i(u,v)는 2i차 동차 다항식이며, 따라서 \mathbb P^1_{\mathbb C}의 표준 가역층 \mathcal K의 거듭제곱 \mathcal K^{-n}의 단면을 정의한다. 이 경우, 타원 곡선의 모듈라이 \tau는 다음과 같이 j-불변량으로 주어진다. :b_2 = a_1^2+4a_-2 :b_4=a_1a_3+2a_4 :b_6 = a_3^2+4a_6 :f_4 = \frac{24b_4-b_2^2}{48} :g_6 = \frac{216b_6-36b_4b_2+b_2^3}{864} :j(\tau) = \frac{4(24f_4)^3}{4f_4^3+27g_6^2} D7-막은 j(\tau) = \infty인 곳, 즉 모듈러 판별식이 0인 곳 :0 = \Delta(\tau) = 4f_4^3+27g_6^2 이다. 이는 [u:v]에 대한 24차 다항식이다 (즉, 가역층 \mathcal K_{\mathbb P^1_{\mathbb C^{-24}의 단면이다). 따라서 리만 구 위에 24개의 D7-막이 존재함을 알 수 있다. 이 수는 ⅡB 초끈 이론에서 다음과 같이 계산할 수 있다. D7-막은 10차원 초중력의 해로서 여차원 평면에 2\pi/12 라디안의 부족각(不足角, deficit angle)을 갖는다. 따라서, 리만 구를 이루기 위한 부족각 4\pi 라디안을 채우려면 24개의 D7-막이 필요하다. 일반적으로, \mathbb P^1 위의 타원 곡면의 특이올은 고다이라 구니히코가 발견한 ADE 분류를 가지며, 이 경우 특이점 근처에서 모듈라이 \tau의 SL(2;ℤ) 모노드로미를 계산할 수 있다. 이 특이점들은 ⅡB 초끈 이론의 7-막에 해당한다. 이러한 7-막들은 액시오딜라톤의 SL(2;ℤ) 모노드로미에 의하여 분류되며, D7-막에 S-이중성을 가하여 얻는다. 이 경우, 모노드로미에 의한 7-막의 분류는 특이올의 고다이라 분류와 일치한다. 이 경우, 7-막 사이를 잇는 (p,q)-끈(기본 끈과 D1-막이 겹친 상태)들의 무질량 진동 모드는 ADE 분류에 대응되는 딘킨 도표의 단순 리 군의 딸림표현을 이루며, 따라서, 이러한 축소화의 저(低)에너지 양자장론은 이러한 게이지 군의 양-밀스 이론을 포함하게 된다. ⅡB 초끈 이론 섭동 이론이 유효하려면, 끈 결합 상수가 거의 어디서나 매우 작아야 한다. 이는 \tau가 i∞인 것, 즉 j-불변량이 ∞가 되는 것이다. 이를 위하여, **센 극한**은 :a_3\mapsto \epsilon a_3 :a_4\mapsto \epsilon a_4 :a_6\mapsto \epsilon a_6 으로 치환했을 때 \epsilon\to0 극한으로 정의된다. 그렇다면, 모듈러 판별식과 j-불변량은 :\Delta(\tau) = -\frac14\epsilon^2b_2(b_2b_6-b_4^2)+\mathcal O(\epsilon^3) :j(\tau) = \epsilon^{-2}\frac{b_2^4}{b_2b_6-b_4^2} + \mathcal O(\epsilon^{-1}) 이다. 이 경우, * b_2 = 0인 곳은 ⅡB 초끈 이론에서 O7-평면에 해당한다. * b_2b_6-b_4^2 = 0인 곳은 ⅡB 초끈 이론에서 D7-막에 해당한다.
# 역사
1996년에 캄란 바파가 발표하였다.언어=en 이름에서 ‘F’는 ‘근본적’(fundamental), ‘아버지’(father) 등으로 해석될 수 있으며, 먼저 발표된 M이론과 유사하게 명명한 것이다.