거듭제곱

오름차순 지수 위에서 아래로: *x*1/8, *x*1/4, *x*1/2, *x*1, *x*2, *x*4, *x*8. 수학에서 **거듭제곱**(exponentiation) 또는 **승멱**(乘冪) 또는 **멱**(冪)은 같은 수를 주어진 횟수만큼 여러 번 곱하는 이항 연산이다. 여러 번 곱하는 수를 **밑**(base)이라고 하고, 곱하는 횟수를 **지수**(指數, 어깨수, exponent, power)라고 한다. 밑이 a, 지수가 n인 거듭제곱을 **a의 n제곱**이라고 하고, 그 기호는 a^n이다. 때로는 거듭제곱의 밑을 기저로 부르기도 한다.
# 정의

## 정수 제곱
실수 a 및 자연수 n에 대하여, a의 n제곱은 다음과 같다. :a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_n 즉, a를 n번 반복하여 곱한 결과이다. 이는 다음의 재귀적 정의와 동치이다. :a^1=a :a^{k+1}=a^k\times a\qquad(k\in\mathbb N) 0이 아닌 실수 a에 대하여, a의 0제곱은 다음과 같다. :a^0=1 즉, 0이 아닌 실수의 0제곱은 항상 1이다. 0의 0제곱 00은 정의하지 않는다. 0이 아닌 실수 a 및 음의 정수 -n(즉, n은 양의 정수)에 대하여, a의 -n제곱은 다음과 같다. :a^{-n}=\frac1{a^n} 즉, 0이 아닌 실수의 음의 정수 제곱은, 우선 그 음의 정수의 절댓값인 양의 정수를 지수로 하여 거듭제곱을 구한 뒤, 다시 역수를 취한 결과이다. 0의 음의 정수 제곱은 정의하지 않는다.
## 유리수 제곱
지수가 유리수인 거듭제곱을 거듭제곱근을 사용하여 정의할 수 있다. 우선, 실수 a 및 양의 정수 n에 대하여 \sqrt[n]a를 정의하자. 이를 위해 방정식 x^n=a의 근을 생각하자. 자명하게, a가 0일 경우 복소수 범위에서의 근이 x=0뿐이며, 그 중복도는 n이다. a가 0이 아닌 실수일 경우 서로 다른 복소근이 n개 존재한다. n이 홀수일 경우나, n이 짝수이며 a가 음이 아닌 실수일 경우, 서로 반수인 실근이 한 쌍 존재하며, 여기서 양의 실수인 근을 \sqrt[n]a라 정의한다. n이 짝수이며 a가 음의 실수일 경우, 실근이 존재하지 않으므로, \sqrt[n]a를 정의하지 않는다. 이제 지수가 유리수인 거듭제곱을 정의하자. 유리수는 분모가 양의 정수인 기약 분수의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 우선 유리수 지수를 :\frac mn\qquad(m,n\in\mathbb Z;\;n>0;\;\gcd\\{m,n\\}=1) 라 하자. 그렇다면 이 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다. :a^\frac mn=\sqrt[n]{a^m} 즉, 양의 유리수 제곱은 기약 분수 꼴의 분자를 지수로 하여 거듭제곱을 취한 뒤, 분모만큼 거듭제곱근을 취한 결과이다. 분모 n이 홀수일 경우 이 거듭제곱은 임의의 실수 밑 a에 대하여 정의된다. 짝수일 경우, 이 거듭제곱은 임의의 음이 아닌 실수 밑 a에 대하여 정의되며, 음의 실수 밑의 경우 정의되지 않는다. 물론 모든 정수는 유리수이므로 정수 제곱의 앞선 두 정의가 일치하는지 검증하여야 하며, 이는 쉽게 검증된다. 다만, 이는 실숫값 이항 연산으로서의 정의이다. 즉, a^\frac mn은 단지 방정식 x^n=a^m의 여러 개의 복소근 가운데 양의 실수인 하나이다. 만약 방정식 x^n=a^m의 모든 복소근을 찾는 다가 함수로서 정의한다면, 이 거듭제곱은 모든 실수를 비롯한 모든 복소수 밑 a에 대하여 정의되며, 중근을 포함하여 n개의 (실수 또는 복소수 값의) '함숫값'을 갖는다.
## 실수 제곱
거듭제곱의 지수를 무리수의 범위까지 확장하는 방법은 다음과 같은 두 가지가 있다. 어느 정의를 사용하든 지수가 유리수일 경우에 유리수 제곱으로서의 정의와 실수 제곱으로서의 정의가 일치하는지 살펴야 하며, 이는 쉽게 검증된다.
### 유리수 제곱 근사를 통한 정의
양의 실수 a와 x에 대하여, a의 x제곱을 다음과 같이 유리수 제곱의 근사를 통해 정의할 수 있다. :a^x=\lim_{\mathbb Q\ni q\to x}a^q 즉, 양의 실수의 실수 제곱은 유리수 지수가 실수 지수에 다다를 때 거듭제곱이 갖는 극한이다. 이는 다음 정의와 동치이다. :a^x=\sup_{q\in\mathbb Q\colon q 즉, 이는 실수 지수보다 작은 유리수를 지수로 하여 만든 거듭제곱들의 집합의 상한이다.
### 로그를 통한 정의
양의 실수의 실수 제곱을 지수 함수와 로그 함수를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 실수 지수 함수 :\mathbb R\to(0,+\infty) :x\mapsto e^x 는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다. :(수열의 극한) e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n :(거듭제곱 급수) e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} 또한 실수 로그 함수는 지수 함수의 역함수이다. :\ln=\exp^{-1} 이제 양의 실수의 실수 제곱을 정의하자. 양의 실수 a와 실수 x에 대하여, a의 x제곱은 다음과 같다. :a^x=e^{x\ln a}
## 복소수 제곱
거듭제곱 연산은 복소수에 대하여 확장할 수 있다. 확장한 뒤의 연산은 실수의 경우와 달리 연산 결과가 여러 값이며, 밑이 음의 실수인 경우에도 정의 가능하다. 실수와 마찬가지로, 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱은 지수와 로그를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 복소수 지수 함수 :\mathbb C\to\mathbb C\setminus\\{0\\} :z\mapsto e^z 는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다. :(수열의 극한) e^z=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac zn\right)^n :(거듭제곱 급수) e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!} 실수의 경우 이는 실수 지수 함수와 일치한다. 오일러의 공식 :e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\qquad(\theta\in\mathbb R) 과 지수 함수 법칙에 따라 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. :e^z=e^{\operatorname{Re}z}(\cos\operatorname{Im}z+i\sin\operatorname{Im}z)\qquad(z\in\mathbb C) 또한 복소수 로그 함수는 복소수 지수 함수의 '역함수'이다. :\operatorname{Ln}=\exp^{-1} 그러나 이는 복소수 지수 함수가 가역 함수가 아니므로 다가 함수이다. 이를 복소수에 복소수 집합을 대응시키는 함수라 여기자. 그러면 이는 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. :\operatorname{Ln}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z\qquad(z\in\mathbb C\setminus\\{0\\}) 이제 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱을 정의하자. 0이 아닌 복소수 z와 복소수 w에 대하여, z의 w제곱은 다음과 같다. :z^w=e^{w\operatorname{Ln}z} 복소수 로그 함수가 다가 함수이므로, 이 거듭제곱 역시 다가 함수이다. (자세히...)
# 성질

## 연산 법칙
자연수 n에 대해, 거듭제곱 a^n(a는 실수)은 다음과 같이 정의된다. :a^n = } \atop {\ \underbrace{a \times \cdots \times a \atop n} 이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다. * a^1 = a * {a^b}{a^c} = a^{b+c} * (a^n)^m = a^{nm} * (a^b)^c = (a^c)^b * {a^c}{b^c} = (ab)^c * a^m \div a^n = a^{m-n} : a^5} } ={a \times a\times a\times a\times a }=({a \times a\times a })\times({a \times a})=a^3 \times a^2 =a^{3+2}=a^5=({a \times a}) \times ({a \times a\times a })=a^{2+3}=a^5 : a^5} \over {a^5 = a \times a\times a\times a\times a } \over {a \times a\times a\times a\times a = \cancel{a} \times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a} } \over {\cancel{a} \times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a }={1 \over 1}=1 : a^5} \over {a^5 = a^{5-5}=a^0 =1 * (-a)^1 = -a * (-a)^2 = -a \cdot -a = +a^2 * (-a)^3 = -a \cdot -a \cdot -a= -a^3 * (-a)^0 ={ -a \over -a} = +1 다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다. * a^1 = a * a^{n+1} = a \times a^n,\ n=1, 2, 3, \cdots
## 다가성

# 응용

## 기수법
거듭제곱의 성질은 기수법과 진수의 체계를 이룬다. :\;\;a^n = x 일때, :a^n의 밑은 a이고, 지수는 n, 진수는 x이다.