오일러-마스케로니 상수

정수론에서 **오일러-마스케로니 상수**(-常數, Euler–Mascheroni constant)는 조화급수를 자연 로그로 근사한 경우의 오차를 나타내는 실수이다. 줄여서 **오일러 상수**라고도 불리나, 자연로그의 밑에 해당하는 오일러 수 e=2.718…과는 다르다.
# 정의
**오일러-마스케로니 상수** \gamma는 다음과 같은 극한으로 정의된다. :\gamma = \lim_{n\to\infty } \left(\sum_{k=1}^n\frac1k - \ln n\right)=\int_1^\infty\left(\frac1{\lfloor x\rfloor}-\frac1x\right)\,dx 그 값은 다음과 같다. A001620 :0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …
# 역사
스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 1734년에 〈조화급수에 대한 고찰〉(De Progressionibus harmonicis observationes)이라는 논문에서 오늘날 오일러-마스케로니 상수로 불리는 수를 최초로 정의하였다. 오일러는 이 상수를 *C* 또는 *O*로 표시했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니(Lorenzo Mascheroni)도 1790년 이 수를 언급하였고, *A* 또는 *a*라는 기호를 사용하였다. 오일러-마스케로니 상수는 보통 소문자 감마 *γ*로 표기된다. 이 기호는 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않으나, 이후 이 수가 대문자 감마로 표기되는 감마 함수 Γ와 깊은 관계를 가진다는 사실이 발견되면서 소문자 감마가 사용되게 되었다. 소문자 감마 기호가 사용된 최초의 논문은 1835년에 작성되었고, 1837년 출판되었다.언어=la
# 성질
오일러-마스케로니 상수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다. 연분수 분석에 의해 만약 오일러-마스케로니 상수가 유리수라면 그 분모의 값은 적어도 10242080 이상이라는 것이 알려져 있다.
## 감마 함수와의 관계
감마 함수와는 다음과 같은 관계가 있다. : \gamma = -\lim_{z\to 0} \left\\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\\} = -\lim_{z\to 0} \left\\{\Psi(z) + \frac1{z} \right\\}.
## 리만 제타 함수와의 관계
리만 제타 함수와는 다음과 같은 관계가 있다. :\begin{align}\gamma &= \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m} \\\ &= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m} \\\ &= \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right ) \end{align}
## 적분식
다음 적분 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다. :\begin{align}\gamma &= - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx \\\ &= -\int_0^1 \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right) dx \\\ &= \int_0^\infty \left (\frac1{e^x-1}-\frac1{xe^x} \right)dx = \int_0^1\left(\frac 1{\ln x} + \frac 1{1-x}\right)dx\\\ &= \int_0^\infty \left (\frac1{1+x^k}-e^{-x} \right)\frac{dx}{x},\quad k>0.\end{align} :\int_0^\infty {e^{-x^2} \ln x}\,dx = -\frac{(\gamma+2\ln 2)\sqrt{\pi{4} :\int_0^\infty {e^{-x} \ln^2 x}\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} .
# 알려진 자릿수
레온하르트 오일러는 최초로 이 상수의 값을 소수점 아래 여섯자리까지 연산하였다. 1781년에 그는 소수점 아래 16자리까지 연산하였다. 이탈리아 수학자 로렌초 마스케로니는 소수점 아래 32자리까지의 연산을 시도하였지만 20-22자리와 31-32자리에 오류를 만들었다. 20번째 자릿수부터 시작하여 그는 ...**181**12090082**39**을 연산했으나 올바른 자릿수는 ...**065**12090082**40**이었다. {| class="wikitable" |+ **오일러-마스케로니 상수 γ의 알려진 십진 자릿수** ! 일자 || 십진 자릿수 || 발견자 || 비고 |- | 1734년 || | 5 || 레온하르트 오일러 || |- | 1735년 || | 15 || 레온하르트 오일러 || |- | 1781년 || | 16 || 레온하르트 오일러 || |- | 1790년 || | 32 || 로렌초 마스케로니, 소수점 아래 20-22와 31-32 자릿수 오계산 || |- | 1809년 || | 22 || 요한 게오르크 폰 졸트너 || |- | 1811년 || | 22 || 카를 프리드리히 가우스 || |- | 1812년 || | 40 || 프리드리히 베른하르트 고트프리드 니콜라이 || |- | 1857년 || | 34 || 크리스티안 프레드릭 린드만 || |- | 1861년 || | 41 || 루드윅 오팅거 || |- | 1867년 || | 49 || 윌리엄 샹크스 || |- | 1871년 || | 99 || 제임스 위트브레드 리 글레이셔 || |- | 1871년 || | 101 || 윌리엄 샹크스 || |- | 1877년 || | 262 || 존 쿠치 애덤스 || |- | 1952년 || | 328 || 존 렌치 || |- | 1961년 || | fmt=gaps || 헬무트 피셔와 칼 롱인 젤러 || |- | 1962년 || | fmt=gaps || 도널드 커누스 || |- | 1962년 || | fmt=gaps || 듀라 W. 스위니 || |- | 1973년 || | fmt=gaps || 윌리엄 A. 베이어와 마이클 워터먼 || |- | 1977년 || | 20700 || 리차드 P. 브렌트 || |- | 1980년 || | 30100 || 리차드 P. 브렌트와 에드윈 맥밀런 || |- | 1993년 || | 172000 || 조나단 보웨인 || |- | 1999년 || | 108000000 || 페르릭 데미첼과 하비에르 구르동 || |- | 2009년 3월 13일 || | 29844489545 || 알랙산더 J. 리와 래이먼드 찬 || 2011, 2017 |- | 2013년 12월 22일 || | 119,377,958,182 || 알랙산더 J. 리 ||2011, 2017 |- | 2016년 3월 15일 || | 160,000,000,000 || 페터 트뤼프 || 2017 |- | 2016년 5월 18일 || | 250,000,000,000 || 론 왓킨스 || 2017 |- | 2017년 8월 23일 || | 477,511,832,674 || 론 왓킨스 ||2017 |- | 2020년 5월 26일 || | 600,000,000,100 || 김승민과 이언 커트리스Euler–Mascheroni constant world record by Seungmin Kim || y-cruncher by Alexander Yee |}