이등변 삼각형

이등변삼각형 기하학에서 **이등변 삼각형**(二等邊三角形, isosceles triangle)은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. 이 경우 길이가 같은 두 변이 마주보는 두 내각의 크기는 같다. 또한, 길이가 같은 두 변의 교점을 지나는 내각의 이등분선은 남은 한 변의 수직 이등분선과 일치한다. 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 과거 에우클레이데스의 정의에서는 이등변 삼각형을 정확히 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의하여 정삼각형을 포함시키지 않았으나, 현대 기하학에서 정삼각형은 이등변 삼각형의 특수한 경우이다.
# 정의
삼각형의 두 변의 길이가 같다면, 이 삼각형을 **이등변 삼각형**이라고 한다. 이등변 삼각형의 길이가 같은 두 변을 **등변**(等邊, leg)이라고 하고, 남은 한 변을 **밑변**(-邊, base)이라고 한다. 두 등변 사이의 내각을 **꼭지각**(-角, vertex angle)이라고 부르며, 밑변과 등변 사이의 두 내각을 **밑각**(-角, base angle)이라고 부른다. 꼭지각이 예각·직각·둔각인 이등변 삼각형을 각각 **예각 이등변 삼각형**, **직각 이등변 삼각형**, **둔각 이등변 삼각형**이라고 한다. 세 변의 길이가 같은 삼각형을 **정삼각형**이라고 한다. 모든 정삼각형은 (예각) 이등변 삼각형이다. 정삼각형에서는 임의의 변을 밑변으로 삼을 수 있다.
# 성질
밑변이 BC인 이등변 삼각형 ABC의 다음과 같은 직선들은 서로 일치한다. * 꼭짓각 \angle A의 이등분선 * 밑변 BC의 수직 이등분선 * 꼭짓점 A를 지나는 중선 * 꼭짓점 A에서 밑변 BC에 내린 수선 정삼각형이 아닐 경우 이 직선은 오일러 직선이다. 증명 이등변 삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변의 수직 이등분선이다. 반대로 한 내각의 이등분선이 이 내각이 대하는 변의 수직 이등분선과 일치하는 삼각형은 이등변 삼각형이다. 각 \angle A의 이등분선 AX가 BC와 X에서 만난다고 하자. 그렇다면 :AB=AC :\angle BAX=\angle CAX=\frac 12\angle BAC :AX=AX 이므로, 삼각형 ABX와 ACX는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, BX=CX이며, 또한 :\angle AXB=\angle AXC=\frac 12\angle BXC=\frac\pi 2 이다. 즉, AX는 변 BC의 수직 이등분선이며, 따라서 AX는 삼각형 ABC의 중선이자 변 BC의 수선이다. 증명 끝 삼각형 ABC의 밑변의 길이가 BC=a라고 하고 두 등변의 길이가 b라고 할 때, 이 직선의 삼각형 내부에 포함된 부분의 길이는 :\sqrt{a^2-\frac{b^2}4} 이다.71, §2D
## 밑각
삼각형 ABC에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.isbn=0-534-35179-47, §1B; 10, Exercise 1B.1 * AB=AC * \angle B=\angle C 즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이 명제를 당나귀의 다리라고 부르기도 한다. 반대로 크기가 같은 두 각의 대변의 길이는 같다. 증명 증명 도해 우선 AB=AC가 성립한다고 가정하자. 각 \angle A의 이등분선 AX가 변 BC와 X에서 만난다고 하자. 그렇다면 :AB=AC :\angle BAX=\angle CAX=\frac 12\angle BAC :AX=AX 이므로, 삼각형 ABX와 ACX는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, \angle B=\angle C가 성립한다. 이제 \angle B=\angle C가 성립한다고 가정하자. 각 \angle A의 이등분선 AX가 변 BC와 X에서 만난다고 하자. 그렇다면 :\angle B=\angle C :\angle BAX=\angle CAX=\frac 12\angle BAC :AX=AX 이므로, 삼각형 ABX와 ACX는 AAS 합동에 따라 합동이다. 특히, AB=AC가 성립한다. - 증명 끝 10, §1B 우선 AB=AC가 성립한다고 가정하자. 그렇다면 :AB=AC :\angle A=\angle A :AC=AB 이므로, 삼각형 ABC와 ACB는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, \angle B=\angle C가 성립한다. 이제 \angle B=\angle C가 성립한다고 가정하자. 그렇다면 :\angle B=\angle C :BC=CB :\angle C=\angle B 이므로, 삼각형 ABC와 ACB는 ASA 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, AB=AC가 성립한다. 증명 끝
## 높이
삼각형 ABC에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.10, Exercise 1B.6, 1B.7; 20, §1E * AB=AC * B를 지나는 AC의 수선 BY가 AC와 Y에서 만난다고 하고, 점 C를 지나는 AB의 수선 CZ가 AB와 Z에서 만난다고 할 때, BY=CZ이다. 즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이가 같다면 이 두 대변의 길이는 같다. 증명 우선 AB=AC가 성립한다고 가정하자. 그렇다면 :\angle AYB=\angle AZC=\frac\pi 2 :\angle A=\angle A :AB=AC 이므로, 삼각형 ABY와 ACZ는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, BY=CZ가 성립한다. 이제 BY=CZ가 성립한다고 가정하자. 그렇다면 :\angle A=\angle A :\angle AYB=\angle AZC=\frac\pi 2 :BY=CZ 이므로, 삼각형 ABY와 ACZ는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, AB=AC가 성립한다. 증명 끝
## 중선
삼각형 ABC에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.10, Exercise 1B.4; 52, §2B, Problem 2.8 * AB=AC * 변 AC의 중점이 Y라고 하고, 변 AB의 중점이 Z라고 할 때, BY=CZ이다. 즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점을 지나는 중선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점을 지나는 중선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다. 증명 우선 AB=AC가 성립한다고 가정하자. 그렇다면 :AB=AC :\angle A=\angle A :AY=AZ 이므로, 삼각형 ABY와 ACZ는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, BY=CZ가 성립한다. 이제 BY=CZ가 성립한다고 가정하자. BY와 CZ의 교점이 G라고 하자. 그렇다면 G는 삼각형 ABC의 무게 중심이므로, BG=2GY이고 CG=2GZ이다. 따라서 :BG=CG :\angle BGZ=\angle CGY :GY=GZ 이므로, 삼각형 BGZ와 CGY는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, \angle GBZ=\angle GCY이다. 따라서 :\angle A=\angle A :\angle ABY=\angle ACZ :BY=CZ 이므로, 삼각형 ABY와 ACZ는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, AB=AC가 성립한다. 증명 끝
## 각의 이등분선
슈타이너-레무스 정리에 따르면, 삼각형 ABC에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.10, Exercise 1B.5; 70, §2D, Problem 2.21 * AB=AC * 각 \angle B의 이등분선 BY가 AC와 Y에서 만난다고 하고, 각 \angle C의 이등분선 CZ가 AB와 Z에서 만난다고 할 때, BY=CZ이다. 즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 이등분선의 길이는 같다. 반대로 두 내각의 이등분선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다. 증명 각의 이등분선의 길이의 제곱은 :BY^2=AB\cdot BC\left(1-\frac{AC^2}{(AB+BC)^2}\right) :CZ^2=AC\cdot BC\left(1-\frac{AB^2}{(AC+BC)^2}\right) 이다. 따라서 만약 AB=AC라면 BY=CZ이고, 만약 AB>AC라면 BY>CZ이고, 만약 AB라면 BY이다. 증명 끝