아핀 변환

기하학에서 **아핀 변환**(-變換, affine transformation)은 아핀 기하학적 성질들을 보존하는 두 아핀 공간 사이의 함수이다.doi=10.1007/978-3-642-56127-6doi=10.1007/978-3-540-93815-6lccn=2011929342
# 정의

## 반아핀 변환
체 K 위의 두 벡터 공간 V, V' 및 자기 동형 사상 \sigma\colon K\to K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 \sigma에 대한 **반선형 변환**(半線型變換, semilinear transformation)은 다음 조건을 만족시키는 함수 T\colon V\to V'이다. :T(ku+v)=\sigma(k)T(u)+T(v)\qquad\forall u,v\in V,\;k\in K 체 K 위의 두 아핀 공간 (A,V(A)), (A',V(A')) 및 자기 동형 사상 \sigma\colon K\to K가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 F\colon A\to A'에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 \sigma에 대한 **반아핀 변환**(半-變換, semiaffine transformation)이라고 한다. * 어떤 점 a\in A에 대하여, v\mapsto F(a+v)-F(a)는 \sigma에 대한 반선형 변환 V(A)\to V(A')이다. * 모든 점 a\in A에 대하여, v\mapsto F(a+v)-F(a)는 \sigma에 대한 반선형 변환 V(A)\to V(A')이다. 증명 만약 :T_a\colon V(A)\to V(A') :T_a\colon v\mapsto F(a+v)-F(a) 가 반선형 변환이라면, 임의의 b\in A 및 v\in V(A)에 대하여, 다음이 성립한다. :\begin{align} T_b(v) & =F(b+v)-F(b) \\\ & =(F(b+v)-F(a))-(F(b)-F(a)) \\\ & =T_a((b-a)+v)-T_a(b-a) \\\ & =T_a(v) \end{align} 즉, T_a는 a\in A의 선택과 무관하다. 증명 끝 반아핀 변환 F로 유도된 반선형 변환 :T(F)\colon V(A)\to V(A') :T(F)\colon v\mapsto F(a+v)-F(a) 는 점 a\in A의 선택과 무관하며, 임의의 a,b\in A에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다. :F(b)=F(a)+T(F)(b-a) 벡터 표기법을 사용하면 이는 다음과 같다. :\overrightarrow F(\overrightarrow{ab})=\overrightarrow{F(a)F(b)} 여기서 :T(F)=\overrightarrow F :b-a=\overrightarrow{ab} 이다.
## 아핀 변환
**선형 변환**은 항등 함수 \sigma=\operatorname{id}_K에 대한 반선형 변환이다. **아핀 변환**은 항등 함수 \sigma=\operatorname{id}_K에 대한 반아핀 변환이다. 즉, T(F)가 선형 변환인 반아핀 변환이다.
# 성질
모든 반아핀 변환은 공선점과 평행 부분 아핀 공간을 보존한다. 모든 아핀 변환은 무게 중심를 보존하며, 특히 중점을 보존한다.
## 대수적 성질
체 K 위의 아핀 공간 (A,V(A))와 벡터 공간 V' 사이의 아핀 변환의 집합 \operatorname{Hom}_K(A,V')은 자연스럽게 벡터 공간을 이룬다. 체 K 위의 두 아핀 공간 (A,V(A)), (A',V(A')) 사이의 아핀 변환의 집합 \operatorname{Hom}_K(A,A')은 자연스러운 아핀 공간 구조를 가지며, 그 기본 벡터 공간과 차원은 다음과 같다. :V(\operatorname{Hom}_K(A,A'))=\operatorname{Hom}_K(A,V(A')) :\dim(\operatorname{Hom}_K(A,A'))=\dim A'(\dim A+1)
## 아핀 군
아핀 군 아핀 변환 F\colon A\to A' 및 G\colon A'\to A*에 대하여, 합성 G\circ F\colon A\to A* 역시 아핀 변환이다. 전단사 아핀 변환 F\colon A\to A'에 대하여, 역함수 F^{-1}\colon A'\to A 역시 아핀 변환이다. 특히, 아핀 공간 (A,V(A)) 위의 전단사 아핀 변환들의 집합은 군을 이루며, 이를 **아핀 군** \operatorname{Aff}(A)라고 한다. 아핀 군은 평행 이동들의 벡터 공간 V(A)와 그 일반 선형군 \operatorname{GL}(V(A))의 반직접곱과 동형이다. :\operatorname{Aff}(A)\cong V(A)\rtimes\operatorname{GL}(V(A)) 만약 A가 벡터 공간일 경우 위 동형은 자연스럽다.
## 유한 차원

### 아핀 기하학의 기본 정리
**아핀 기하학의 기본 정리**(-畿何學-基本定理, fundamental theorem of affine geometry)에 따르면, 체 K 위의 유한 d\ne 1차원 아핀 공간 A 위의 전단사 함수 F\colon A\to A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 공선점을 보존한다. 즉, 만약 a,b,c\in A가 공선점이라면, F(a),F(b),F(c)\in A 역시 공선점이다. * 반아핀 변환이다. 특히, 실수체 \mathbb R의 자기 동형 사상은 항등 함수밖에 없으므로, 유한 d\ne 1차원 실수 아핀 공간 A 위의 전단사 함수 F\colon A\to A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 공선점을 보존한다. * 아핀 변환이다. 마찬가지로, 복소수체 \mathbb C의 연속 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 z\mapsto\bar z밖에 없으므로 (비(非)연속 자기 동형 사상은 그 밖에도 존재한다), 유한 d\ne 1차원 복소수 아핀 공간 A 위의 연속 전단사 함수 F\colon A\to A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 공선점을 보존한다. * 아핀 변환이거나, 켤레 복소수에 대한 반아핀 변환이다. 1차원에서는 모든 함수가 공선점을 보존하므로 일반적으로 아핀 기하학의 기본 정리가 성립하지 않는다.
### 행렬 표현
체 K 위의 두 유한 n, m차원 아핀 공간 (A,V(A)), (A',V(A')) 사이의 아핀 변환 F\colon A\to A'은 아핀 틀 (o,B), (o',B')에 대하여 다음과 같은 꼴의 행렬로 표현할 수 있다. :M_{(o,B),(o',B')}(F)= \begin{pmatrix} 1 & 0_{1\times n} \\\ a_{m\times 1} & {M_{B,B'}(T(F))}_{m\times n} \end{pmatrix} 여기서 M_{B,B'}(T(F))는 기저 B, B'에 대한 T(F)의 행렬이다. 특히, 유한 차원 아핀 군 \operatorname{Aff}(n;K)는 일반선형군 \operatorname{GL}(n+1;K)의 부분군으로 여길 수 있다.
## 유클리드 공간
유클리드 공간 \mathbb R^d 위의 아핀 변환은 모든 도형의 초부피를 일정한 비율로 변화시키며, 이 비율은 유도된 선형 변환의 행렬식의 절댓값과 같다. 다시 말해, \mathbb R^d 위의 르베그 측도를 \mu라고 할 때, 임의의 가측 집합 S\subseteq\mathbb R^d 및 아핀 변환 F\colon\mathbb R^d\to\mathbb R^d에 대하여, 다음이 성립한다. :\mu(F(S))=|{\det T(F)}|\mu(S)
# 예
아핀 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다. * 상수 함수 * 평행 이동 * 중심 닮음 변환 * 주어진 부분 아핀 공간에 대한, 주어진 여공간을 따른 반사 * 주어진 부분 아핀 공간에 대한, 주어진 여공간을 따른 사영 모든 반선형 변환은 반아핀 변환이다. 모든 선형 변환은 아핀 변환이다. 유클리드 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다. * 등거리 변환 * 닮음 변환 1차원 복소수 벡터 공간 \mathbb C 위의 켤레 복소수 함수 :\mathbb C\to\mathbb C :z\mapsto\bar z 는 반선형 변환이며, 특히 반아핀 변환이다.