힐베르트 문제

**힐베르트의 문제**(Hilbert's problems)는 수학 문제 23개로, 독일의 수학자인 다비트 힐베르트가 1900년 프랑스 파리에서 열린 세계 수학자 대회에서 20세기에 풀어야 할 가장 중요한 문제로 제안한 것이다. 세계 수학자 대회에서 힐베르트는 10문제(1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22)를 공개했고, 나중에 모든 문제가 출판되었다.
# 문제 목록
힐베르트의 23문제는 다음과 같다. {| class="wikitable" ! 문제 번호 ! 내용 요약 ! 현재 상태 ! 해결 연도 |- | 1 | 연속체 가설: 정수의 집합보다 크고 실수의 집합보다 작은 집합은 존재하지 않는다. | |체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 가정하는지의 여부에 무관하게 증명할 수도 반증할 수도 없음이 증명되었다. 이것으로 이 문제가 해결되었는지에 대해서는 합의된 바가 없다. | 1963년 |- | label=2 | 산술의 공리들이 무모순임을 증명하라. | |쿠르트 괴델과 게르하르트 겐첸의 결과가 이 문제를 해결했는지에 대한 합의가 존재하지 않는다. 1931년에 증명된 괴델의 제2 불완전성 정리는 산술의 공리계가 자기 자신의 무모순성을 증명할 수 없음을 보였으며, 1936년에 겐첸은 순서수 label=ε0 위에서 정초 관계를 정의할 수 있으면 산술의 무모순성을 증명할 수 있음을 보였다. | 1936년 |- | label=3 | 부피가 같은 두 다면체에 대해, 하나를 유한 개의 조각으로 잘라낸 뒤 붙여서 다른 하나를 만들어내는 것이 언제나 가능한가? | |부정적으로 해결. Dehn invariant을 사용하여 증명. | 1900년 |- | label=4 | 측지선이 항상 직선인 기하 공간을 모두 찾아라. | |해결 여부를 말하기에는 문제의 내용이 너무 애매하다.Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. . | |- | label=5 | 연속군은 언제나 미분군인가? | |문제를 어떻게 해석하는지에 따라 Andrew M. Gleason이 해결했다고 볼 수도 있다. 그러나 Hilbert–Smith conjecture과 동치인 것으로 해석할 경우에는 여전히 미해결 문제이다. | 1953? |- | label=6 | 물리학 전체를 공리화하라. | | 문제를 어떻게 보느냐에 해결 여부가 다름. | |- | label=7 | a(≠ 0,1)가 대수적 수이고 b가 대수적 무리수일 때, ab은 초월수인가? | |긍정적으로 해결. 겔폰트-슈나이더 정리 참고. | 1935년 |- | 8 | * 리만 가설: 리만 제타 함수의 비자명근의 실수부는 항상 1/2인가? * 골드바흐 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는가? | | * **소수의 분포**: π(x)=Li(x)+O(x1/2logx) 수준까지 오차항이 내려감(RH가정). * **리 계수(Li coefficients) 양의성** ↔ RH. * **de Bruijn–Newman 상수 Λ**: RH는 Λ≤0와 동치(추정 Λ=0). * **쌍점 상관(Montgomery–Odlyzko) & 랜덤행렬(GUE) 모델**: 통계가 GUE와 맞아떨어짐(경험·정황). ** **모리파이어(mollifier) 기법** 강화 *** ζ(s)의 큰값/작은값을 균형 있게 제어해, 1/2선 위 영점의 **비율을 100%로 밀어붙이는** 접근. ** **고차 모멘트** *** ∫0T​∣ζ(1/2+it)∣2kdt의 정밀 추정(전 구간, 짧은 구간). *** 랜덤행렬 이론의 예측(Keating–Snaith류)을 **무조건부로** 끌어오는 게 핵심 난제. ** **영점밀도/영점없는 띠 제어** *** 임계선 밖 영점에 대한 zero density bounds를 더욱 날카롭게. ** **리–포리츠/드브루인–뉴먼 흐름** 분석 *** Λ의 부호를 해석적으로 결정(“정확히 0”을 보여주면 RH가 참). ** **새 틀** *** 동형사상/스펙트럼 해석(셀버그 제타, 트레이스 공식), 아다마르 곱과 함수론적 에너지·변분법, 혹은 **완전히 새로운** 사상·화살표. | |- | label=9 | 모든 대수적 수체에 대해 일반화된 상호 법칙을 찾으라. | |부분적으로 해결. 유체론의 발전으로 아벨 확대에 대해서는 해결되었으나 (아르틴 상호 법칙), 비아벨 확장에 대해서는 풀리지 않은 상태이다. | |- | label=10 | 임의의 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지를 판별하는 알고리즘을 제시하라. | |부정적으로 해결: Matiyasevich's theorem에 따라 그러한 알고리즘은 존재하지 않는다. | 1970년 |- | label=11 | 대수적 수를 계수로 갖는 이차 형식의 해 구하기. | |부분적으로 해결됨. | |- | label=12 | 유리수체의 아벨 확대에 대해 적용되는 크로네커-베버 정리를 임의의 수체에 대해 일반화하라. | |미해결. | |- | label=13 | 임의의 7차 방정식을 2변수 대수적 함수를 이용해 풀라. | |P(x)=x^8 P(1/x) 를 만족하는 **자기-상반(polynomial palindromic)** 형태입니다. x↔1/x | |- | label=14 | 특수한 완비 함수족의 유한성의 증명. | |나가타 마사요시가 반례를 찾아내, 일반적으로는 성립하지 않음이 증명되었다. | 1959년 |- | label=15 | 에 대한 엄밀한 기초를 제시하라. | |부분적으로 해결. | |- | label=16 | 대수 곡선 및 대수 곡면의 위상 | | * **입력:** 한 변수 쌍 (x,y)에 대한 다항식 f(x,y)=0 (예: CP2의 곡선) * **출력:** 위상 불변량(종수 g, 오일러 특성 χ, 기본군 등)
## A. 매끈(smooth) 곡선의 기본 공식
* **차수 d** 인 매끈 평면곡선이라면 g=2(d−1)(d−2)​,χ=2−2g. 예) d=3 (타원곡선) → g=1, χ=0.
## A. CP3의 매끈 초곡면 표준 공식
* **체른수:** c1​(X)=(4−d)H∣X​,c12​=d(4−d)2,c2​=d(d2−4d+6). * **(실)오일러 특성:** χtop​(X)=c2​=d(d2−4d+6)=d3−4d2+6d. | |- | label=17 | 음이 아닌 실수 계수를 가진 임의의 다변수 다항식을 항상 유리 함수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있는가? | |해결: 에밀 아르틴이 증명했으며, 필요한 제곱의 개수의 상한도 발견되었다. | 1927년 |- | label=18 | * Anisohedral tiling으로만 테셀레이션을 할 수 있는 다면체가 존재하는가? * 가장 밀도가 높은 sphere packing는 무엇인가? | | (1) 첫 번째는 Karl Reinhardt (mathematician)에 의해 해결. (2) 두 번째(케플러의 추측)는 컴퓨터를 이용한 증명으로 해결.Rowe & Gray는 2000년에 출판된 책에서 공 쌓기 문제(케플러의 추측)가 해결되지 않았다는 이유로 18번 문제를 "미해결"로 분류했으나, 그 뒤로 풀이법이 발표되었다. 아래의 자료 참고. 정육면체 모양으로 쌓으나 육각형 모양으로 쌓으나 양쪽 다 밀도가 74%이다. | (1) 1928년
(2) 1998년 |- | label=19 | 라그랑지언의 해는 언제나 해석적인가? | |긍정적으로 해결: Ennio de Giorgi가 증명했고, 나중에 존 포브스 내시도 독자적인 방법으로 증명했다. | 1957년 |- | label=20 | 경계값 조건을 갖는 모든 변분법 문제는 해를 갖는가? | |해결: 20세기 전체에 걸친 연구의 결과로 비선형적인 경우에 대해 해를 찾을 수 있었다. | |- | label=21 | 주어진 모노드로미 군을 갖는 Linear differential equation의 존재성을 증명하라. | |해결. 문제를 어떻게 해석하는지에 따라 긍정적이거나 부정적인 해결로 볼 수 있다. | |- | label=22 | Automorphic function를 이용한 해석적 관계의 균일화. | |해결. | |- | label=23 | 변분법의 추가적 발전. | |증명을 할 수 있는가를 판단하기엔 너무 모호한 명제 | |}
## 24번째 문제
처음에 힐베르트는 24문제를 생각하였으나, 한 문제를 공개하지 않았다. 이 24번째 문제는 나중에 독일의 수학 역사학자인 Rüdiger Thiele가 힐베르트가 문제들을 공개한 지 100주년인 2000년에 재발견하였다.