덧셈

덧셈을 설명할 때 자주쓰는 그림 **덧셈**(현대 수학에서 더하기표 +로 자주 표현된다.)은 산술의 기본 연산 중의 하나로, 뺄셈과 곱셈, 나눗셈과 함께 대표되는 사칙연산이다. 두 개의 수를 받아서 두 수의 합인 하나의 수를 내는 연산이다. 옆의 그림에서 위쪽의 3개의 사과와 아래쪽의 2개의 사과를 덧셈하면(더하면) 사과 5개가 된다. 이를 수학적으로 표현하면 3+2=5가 된다.(말로 표현할 때는 "삼 더하기 이는 오"라고 한다.)
# 수의 덧셈
덧셈은 보통 덧셈기호 +의 양 옆에 숫자를 넣는 중위 표기법으로 표현한다. 그리고 그 결과를 등호기호 =의 오른쪽에 넣어서 표현한다. :1+1=2 :1+2+3=6 관습적으로 대분수의 경우 따로 덧셈기호가 없어도 앞의 수와 뒤의 분수가 더해진 수라고 생각한다. :3\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2} 두 자연수의 덧셈은 자연수의 순서에 맞게 그 순서를 더한다. :3+4=세번째 수+네번째 수=일곱번째 수=7 두 자리수 이상의 자연수의 덧셈은 각각의 자리수를 더해서 구할 수 있다. :145+231=100+200+40+30+5+1=300+70+6=376 두 분수의 덧셈은 분모가 같은 경우 분자끼리 더한다. :\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1 분모가 다른 경우 두 분모가 최소공배수가 되는 값을 각각의 분수의 분모와 분자에 곱해서 더한다. :\frac{3}{7}+\frac{2}{5}=\frac{3\times 5}{7\times 5}+\frac{2\times 7}{5\times 7}=\frac{15}{35}+\frac{14}{35}=\frac{29}{35}
# 받아올림
받아올림 두 자리 수 이상의 자연수를 더할 때, 같은 자리의 숫자끼리의 합이 10 이상이 되면 받아올림이 필요하다. 예를 들어 27 + 59를 계산할 때, 먼저 일의 자리 숫자끼리 계산하면 16이 되므로 6을 일의 자리 숫자에 적고, 1을 받아올린다. 그리고 십의 자리 숫자끼리 계산할 때 일의 자리에서 받아올린 수까지 함께 더하여 8이 되므로 8을 십의 자리 숫자에 적는다. ¹ 27 \+ 59 ———— 86
# 소수의 덧셈
소수의 덧셈은 다음과 같다. 소수점이 같은 위치에 오도록 적고, 한 수에만 빈 자리가 있으면 그 자리에 0을 적는다. 그 다음에는 자연수의 덧셈과 마찬가지로 같은 자리의 숫자까리 더하되 필요한 경우 받아올림을 한다. 소수점은 더한 수와 같은 위치에 찍는다. 예를 들어 45.1 + 4.34는 다음과 같이 계산한다. 4 5 . 1 0 \+ 0 4 . 3 4 ———————————— 4 9 . 4 4
# 수학적 정의
덧셈은 두 개의 원소를 받아 하나의 원소를 내는 이항연산이다. 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수는 각기 다른 대수구조를 가지고 있기 때문에 수학적인 정의들이 각각이 다르다.
## 자연수
페아노 공리계에서 자연수 집합 \mathbb{N}은 다음 다섯개의 공리로 정해진다. #1 \in \mathbb{N} #\forall n \in \mathbb{N}, \; \exists ':\mathbb{N} \to \mathbb{N}, \; n' \in \mathbb{N} #!\exists n \in \mathbb{N}, \; n'=1 #\forall m \in \mathbb{N}, \; n'=m' \Rightarrow n=m #S \subset \mathbb{N}, 1 \in S, s \in S, s' \in S \Rightarrow S=\mathbb{N} 여기서 '는 계승자를 나타내는 사상으로 n'은 n의 다음 자연수를 의미한다. 자연수 집합에 0을 추가한 집합 \mathbb{N}^+에 대해서, 덧셈은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다. * n + 0 = n, * n + m' = (n + m)' 임의의 자연수는 0 또는 다른 자연수의 다음 자연수이므로, 임의의 n \in \mathbb{N}^+의 오른쪽에 자연수를 더하는 것은 항상 두 경우 중 하나와 일치한다. 자연수 덧셈의 교환법칙과 결합법칙은 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.
## 정수
두 정수를 각각 자연수의 차 n = a-b, m = c-d로 표현할 때 (a, b, c, d는 자연수), 정수의 합은 n + m = (a+c)-(b+d)으로 정의한다. 이때, a+c와 b + d는 자연수에서 정의된 덧셈의 결과이다.
## 유리수
유리수에서는 덧셈을 다음과 같이 정의한다. 두 유리수를 정수의 비 \frac{a}{b}, \frac{c}{d} (a, b, c, d는 정수이고 b와 d는 0이 아니다) 로 표현할 때, 유리수의 합은 다음과 같다. :\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} 분수는 유리수의 표기법이므로, 이 정의를 사용하여 분수의 덧셈을 할 수 있다. 예를 들어, \frac{2}{5} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{23}{20}이다.
## 실수
실수를 유리수의 완비 거리 공간으로 생각하였을 때, 각 실수는 유리수의 코시 열의 극한값이다. 두 실수 r = \lim_{n \to \infty} a_n, s = \lim_{n \to \infty} b_n(\\{a_n\\}, \\{b_n\\}은 유리수의 코시 열) 에 대해 실수의 합은 각 유리수열에 대해 항 별로 덧셈을 하여 극한을 취한 결과인 r + s = \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n)으로 정의한다.
## 복소수
복소수의 덧셈은 실수부와 허수부를 각각 더한 결과로 정의한다. 두 복소수 z = a + bi, w = c + di (a, b, c, d는 실수)에 대해, 복소수의 합은 z + w = (a + c) + (b + d)i으로 정의한다. 이때 a+c, b+d는 실수에서 정의된 덧셈의 결과이다.
# 성질

## 교환법칙
덧셈에서는 교환법칙이 성립한다. 이는 덧셈을 할 때 피연산자의 배치 순서를 바꾸어도 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 a, b에 대해 :a+b=b+a\, 가 성립한다.
## 결합법칙
덧셈에서는 결합법칙도 성립한다. 이는 세 피연산자에 대해 덧셈을 할 때 어떤 쌍을 처음 더한 후 다른 하나를 더할 때 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 a, b, c에 대해 :a+(b+c)=(a+b)+c\, 가 성립한다. 결합법칙에 의해, a + b + c라는 표현은 (a + b) + c 와 a + (b + c) 중 어느 것으로 해석되더라도 같은 결과를 얻으므로 의미가 모호하지 않다.
## 항등원
덧셈의 항등원은 0이다. 즉, 모든 a에 대해 :a+0=0+a=a\, 가 성립한다.
# 더하기표
{| class="wikitable" | align = "right" ! + !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 |- ! 0 | | 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 |- ! 1 | 1 || | 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 |- ! 2 | 2 || 3 || | 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 |- ! 3 | 3 || 4 || 5 || | 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 |- ! 4 | 4 || 5 || 6 || 7 || | 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 |- ! 5 | 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || | 10 || 11 || 12 || 13 || 14 |- ! 6 | 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || | 12 || 13 || 14 || 15 |- ! 7 | 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || | 14 || 15 || 16 |- ! 8 | 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || | 16 || 17 |- ! 9 | 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || | 18 |}
# 곱셈과의 관계
같은 수를 여러 번 더한 것을 곱셈이라고 한다.