군의 작용

섬네일 군론에서 **군의 작용**(群의作用, group action)은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.
# 정의
모노이드 M의, 집합 X 위의 **왼쪽 작용**(left action of M on X)은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 M\times X\to X로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드 M의 작용을 갖춘 집합을 **M-집합**(M-set)이라고 한다. 두 M-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 **등변 함수**(等變函數, equivariant function)라고 한다. M-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를 M\text{-Set} 또는 \operatorname{Set}^M으로 쓴다. 모든 군은 모노이드를 이루며, **군의 작용**(group action)은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 M의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수가 아니게 작용할 수 있다.)
## 함수를 통한 정의
모노이드 M의, 집합 X 위의 **왼쪽 작용**(left action of M on X)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 \cdot\colon M\times X\to X이다. * (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 x\in X에 대하여, 1_M\cdot x=x. 여기서 1_M\in M은 M의 항등원이다. * (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 m,n\in M 및 x\in X에 대하여, (mn)\cdot x=m\cdot(n\cdot x) 모노이드 M의, 집합 X 위의 **오른쪽 작용**(right action of M on X)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 \cdot\colon X\times M\to X이다. * (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 x\in X에 대하여, x\cdot1_M=x. 여기서 1_M\in M은 M의 항등원이다. * (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 m,n\in M 및 x\in X에 대하여, x\cdot(mn)=(x\cdot m)\cdot n 모노이드 M의 작용을 갖춘 두 집합 X, Y이 주어졌다고 하자. 그 사이의 **등변 함수** f\colon X\to Y는 다음 조건을 만족시키는 함수이다. :\forall x\in X,m\in M\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x) 여기서 좌변은 Y 위의 작용이고, 우변은 X 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다. :\begin{matrix} M\times X&\to&X;\\\ {\scriptstyle M\times f}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\\ M\times Y&\to&Y; \end{matrix}
## 준동형을 통한 정의
추상적으로, 모노이드 M의, 집합 X 위의 **왼쪽 작용**은 M에서 X 위의 자기 함수들의 모노이드 \operatorname{End}X로 가는 모노이드 준동형 :\phi\colon M\to\operatorname{End}X 이며, M의 X 위의 **오른쪽 작용**은 반대 모노이드 M^{\operatorname{op에서 \operatorname{End}X로 가는 모노이드 준동형 :M^{\operatorname{op\to\operatorname{End}X 이다. 만약 G가 군일 경우, 왼쪽 작용은 X의 대칭군 (=자기 동형군) \operatorname{Sym}X으로 가는 군 준동형 :G\to\operatorname{Sym}X 을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형 :G^{\operatorname{op\to\operatorname{Sym}X 을 이룬다. 모노이드 M의 작용을 갖춘 두 집합 :\phi_X\colon M\to\operatorname{End}X :\phi_Y\colon M\to\operatorname{End}Y 이 주어졌다고 하자. 그 사이의 **등변 함수** f\colon X\to Y는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 f\colon X\to Y이다. :\begin{matrix} M&\xrightarrow{\phi_X}&\operatorname{End}X\\\ {\scriptstyle\phi_Y}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\circ\\\ \operatorname{End}Y&\xrightarrow[\circ f]{}&\hom(X,Y) \end{matrix}
## 범주론적 정의
범주론적으로, M의 **작용**은 M을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자 :F\colon M\to\operatorname{Set} 와 동치이다. 이 경우, M이 작용하는 집합은 범주 M의 유일한 대상 \bullet_M의 F에 대한 상 F(\bullet_M)\in\operatorname{Set}이며, m\in M의 작용은 F에 대한 상 F(m)\colon F(\bullet_M)\to F(\bullet_M)이다. 두 M-집합 :F\colon M\to\operatorname{Set} :G\colon M\to\operatorname{Set} 사이의 **등변 함수** F\Rightarrow G는 두 함자 사이의 자연 변환과 동치이다. 구체적으로, 자연 변환 \eta\colon F\Rightarrow G에 대응하는 등변 함수는 \eta의 성분 :\eta_{\bullet_M}\colon F(\bullet_M)\to G(\bullet_M) 이다. 따라서, M-집합의 범주 \operatorname{Set}^M은 사실 (작은 범주로 간주한) M에서 \operatorname{Set}로 가는 함자 범주와 동치이다.
## 궤도와 안정자군
군 G가 집합 X에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. x\in X의 **궤도**(軌道, orbit) G\cdot x는 다음과 같다. :G\cdot x = \\{ g\cdot x \colon g \in G \\} 궤도는 G 위의 동치 관계 :x\sim y\iff \exists g\in G\colon g\cdot x=y 의 동치류와 같으며, X는 궤도들로 분할된다. 임의의 x\in X의 **안정자군**(安定子群, stabilizer subgroup) G_x는 다음과 같다. :G_x = \\{g \in G \colon g\cdot x = x\\} 즉, 안정자군 G_x는 G의 원소 중 x를 고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.
## 작용 준군
모노이드 M이 집합 X 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주 \mathcal C를 정의할 수 있다. * \mathcal C의 대상은 X의 원소이다. * x,y\in X에 대하여, \hom_{\mathcal C}(x,y)=\\{m\in M\colon mx=y\\}이다. * x\in X 위의 항등 사상은 1_M\in\hom_{\mathcal C}(x,x)이다. 이를 **작용 범주**(作用範疇, action category, translation category)라고 한다.zbl=1273.19001315, 3.3.1 만약 M이 군이라면, X 위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 **작용 준군**(作用準群, action groupoid, translation groupoid)이라고 한다. 작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.
# 성질
군의 왼쪽 작용 \cdot\colon G\times X\to X이 주어졌을 때, * g\in G에 대하여 g\cdot\colon X\to X는 전단사 함수이다. * (역원은 역함수) g\in G에 대하여 g^{-1}\cdot=(g\cdot)^{-1}이다. 여기서 (g\cdot)^{-1}는 전단사 함수의 역함수이다.
## 왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계
임의의 모노이드 M에 대하여, 왼쪽 M-작용은 오른쪽 M^{\operatorname{op-작용과 같다. 여기서 M^{\operatorname{op은 M의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다. 모든 군 G는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형 :{}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname{op 이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 G-작용을 왼쪽 G-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 G-작용 r\colon X\times G\to X에 대하여, :\ell\colon G\times X\to X :\ell(g,x)=r(x,g^{-1}) 로 정의한다면, \ell은 왼쪽 G-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 G-작용 \ell\colon G\times X\to X가 주어졌을 때 :r\colon X\times G\to X :r(x,g)=\ell(g^{-1},x) 는 오른쪽 G-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)
## 궤도-안정자군 정리
안정자군 G_x는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. **궤도-안정자군 정리**(軌道-安定子群定理, orbit–stabilizer theorem)에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다. * G\cdot x의 원소 g\cdot x를 왼쪽 잉여류 gG_x로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 g,h\in G에 대하여, g\cdot x=h\cdot x라면 gG_x=hG_x이다. * 이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의 g,h\in G에 대하여, gG_x=hG_x라면 g\cdot x=h\cdot x이다. 특히, 만약 G가 유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다. :|G\cdot x| = [G:G_x] = |G| / |G_x|
## 보편대수학적 성질
모노이드 M에 대하여, M-집합은 M의 각 원소 m\in M에 대하여 1항 연산 m\cdot을 가지며, 대수적 관계 :1\cdot x=x\qquad\forall x\in X :m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad\forall x\in X 를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, M-집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다. 집합 X 위의 자유 M-집합은 곱집합 M\times X이며, 그 위의 작용은 :m\cdot(n,x)=(mn,x) 이다.
## 범주론적 성질
모노이드 M에 대하여, M-집합의 범주 \operatorname{Set}^M은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다. \operatorname{Set}^M의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다. \operatorname{Set}^M의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다. \operatorname{Set}^M의 \operatorname{Set}^M의 부분 대상 분류자 R_M은 M 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합 :R_M=\\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\\} 이다. 이 위의 M의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다. :M\times R_M\to R_M :(m,I)\mapsto mI 망각 함자 :U\colon\operatorname{Set}^M\to\operatorname{Set} 가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 F와 오른쪽 수반 함자 G를 갖는다.언어=en :F\dashv U\dashv G 왼쪽 수반 함자 F는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 X를 M\times X로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 G는 집합 X를 함수들의 집합 X^M으로 대응시킨다. M의 X^M 위의 작용은 다음과 같다. :(m\cdot f)(n)=f(mn)
# 종류
군 G가 집합 X 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.
## 추이적 작용
군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 ***n*-추이적 작용**(*n*-推移的作用, *n*-transitive action)이라 한다. * 임의의 서로 다른 원소들 x_1,\dots,x_n\in X 및 임의의 서로 다른 원소들 y_1,\dots,y_n\in X에 대하여, g\cdot x_k=y_k (\forall k\in\\{1,\dots,n\\})인 g\in G가 존재한다. 만약 여기서 이러한 g가 유일하다면, 이를 ***n*-정추이적 작용**(*n*-正推移的作用, sharply *n*-transitive action)이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 *n*-정추이적 작용이라고 한다. * 임의의 서로 다른 원소들 x_1,\dots,x_n\in X 및 임의의 서로 다른 원소들 y_1,\dots,y_n\in X에 대하여, g\cdot x_k=y_k (\forall k\in\\{1,\dots,n\\})인 유일한 g\in G가 존재한다. 1-추이적 작용은 단순히 **추이적 작용**(推移的作用, transitive action)이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 **정추이적 작용**(正推移的作用, sharply transitive action) 또는 **정칙 작용**(正則作用, regular action)이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.
## 충실한 작용과 자유 작용
군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 **충실한 작용**(忠實-作用, faithful action) 또는 **효과적 작용**(效果的作用, effective action)이라고 한다. * 임의의 g,h\in G에 대하여, 만약 임의의 x\in X에 대하여 g\cdot x=h\cdot x라면, g=h * 임의의 g\in G에 대하여, 만약 임의의 x\in X에 대하여 g\cdot x=x라면, g=1_G * 단사 군 준동형이다. 군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 **자유 작용**(自由作用, free action) 또는 **반정칙 작용**(半正則作用, semiregular action)이라고 한다. * 임의의 g,h\in G에 대하여, 만약 g\cdot x=h\cdot x인 x\in X가 존재한다면, g=h * 임의의 g,h\in G에 대하여, 만약 g\cdot x=x인 x\in X가 존재한다면, g=1_G