감마 함수

실수축 위에서 감마 함수의 그래프 미적분학 수학에서 **감마 함수**(Γ函數, gamma function)는 계승 (수학) 함수의 해석적 연속이다. 감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다. 양의 정수 n에 대하여 \Gamma(n) = (n-1)!이 성립한다.
# 정의
복소평면에서의 감마 함수 감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다.
## 오일러 적분
감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 **오일러 적분**이라고 한다. : \Gamma(z) = \int _0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad(\operatorname{Re}z > 0) 오일러 적분은 상반평면 \\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}z > 0\\} 인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 **감마 함수**라 부른다.
## 가우스 극한
:\Gamma(z) =\lim_{n \to \infty}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \over z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}n^z\qquad (z \ne 0, -1, -2 ,\dots) 이 정의는 오일러의 이름을 따 **오일러 극한 형태**라고도 불리기도 한다.
## 바이어슈트라스 무한곱
:\Gamma(z) =\frac1{z\exp(\gamma z)}\prod_{n=1}^\infty\frac{\exp(z/n)}{1+ z/n} 여기서 \gamma는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 **바이어슈트라스 무한곱 형태**라고도 불리기도 한다.
## 계승의 일반화에서 주의점
보어-몰러업 정리 만약 감마함수를 자연수 n에 대해 :\Gamma \left(n\right) = (n-1) ! 을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어 :f(x) = \Gamma (x) \cos^2 \pi x \; 또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 \ln \Gamma (z) 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.
# 성질
감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다. :\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\bar z)
## 특이점
감마 함수의 극점을 갖는 것을 볼 수 있다.]] 감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 z=0,-1,-2,\ldots에서 단순극을 가진다. 단순극 -n에서 유수의 값은 \textstyle {(-1)^n \over n!}이다.George Allen, and Unwin, Ltd., *The Universal Encyclopedia of Mathematics*. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Foreword by James R. Newman) 감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 1/\Gamma(z)는 전해석 함수이다.
## 함수 방정식
감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. :\Gamma (z+1) = z \Gamma (z) :\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z) 두 번째 공식은 **오일러 반사 공식**(Euler’s reflection formula)이라고 불린다. ;곱의 정리 :\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\\! 특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다. :\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)
## 미분과 적분
감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 \psi_0(z)로 주어진다. :\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z) 특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다. :\Gamma'(m+1) = m!\cdot\left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right) 일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다. :{d^{n} \over (dx)^{n\,\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln^{n} t\,dt 감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다. :\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}
## 특별한 값
반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 *n*에 대하여, :\Gamma(1/2+n)=\frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi :\Gamma(1/2-n)=\frac{(-4)^nn!}{(2n)!}\sqrt\pi 이 공식들은 \Gamma(1/2)=\sqrt\pi로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다. 몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다. : \begin{array}{lll} \Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi {3} &\approx 2.363 \\\ \Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\\ \Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\\ \Gamma(1) &= 0! &= 1 \\\ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi {2} &\approx 0.886 \\\ \Gamma(2) &= 1! &= 1 \\\ \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi {4} &\approx 1.329 \\\ \Gamma(3) &= 2! &= 2 \\\ \Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi {8} &\approx 3.323 \\\ \Gamma(4) &= 3! &= 6 \\\ \end{array} : \Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } \quad , \;\; G가우스 상수
# 응용
감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.
## 초구의 부피
초구 반지름이 R인 n차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다. :V_n={\pi^\frac{n}{2}\over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} R^n ={C_n R^n}
## 감마분포
감마분포 감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 f(x)는 다음과 같다. :f(x) = \begin{cases} {1 \over \beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-{x \over \beta, & \mbox{if } x \ge 0 \\\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases} 여기서 \alpha, \beta는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.
# 큐-감마 함수
큐-감마 함수(q-gamma function)는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다. :f(x+1) = 1-q^z}\over{1-qf(x) :q \in \left( 0,1 \right) 구간 예약 :f(1) =1 : :\log f(x) ,x>0 :f(x)= \Gamma_q (x) :\therefore \Gamma_q(z)= (q;q)\infty}\over{(q^z;q)\infty(1-q)^{1-z}\;\;\; 큐-포흐하머 기호\; (q;q)\infty