제2 가산 공간

일반위상수학에서 **제2 가산 공간**(第二可算空間, second-countable space)은 가산 기저를 갖는 위상 공간이다.
# 정의
위상 공간 X의 **무게**(weight) \operatorname{wt}(X)는 X의 기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다. (기수의 전순서는 정렬 전순서이므로 이는 항상 존재한다.) 위상 공간 X에 대하여, 다음 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **제2 가산 공간**이라고 한다. * \operatorname{wt}(X)\le\aleph_0 * X는 가산 기저를 갖는다. * X 위의 임의의 기저 \mathcal B\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \mathcal B'\subset\mathcal B이며 기저를 이루는 가산 집합 \mathcal B'이 존재한다.
# 성질
모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다. * 제1 가산 공간이다. * 분해 가능 공간이다. * 린델뢰프 공간이다. 증명 X가 제2 가산 공간이며, \mathcal B가 X 위의 가산 기저라고 하자. X는 제1 가산 공간. 임의의 x\in X에 대하여, \\{B\in\mathcal B\colon x\in B\\}는 x 위의 가산 국소 기저를 이룬다. X는 분해 가능 공간. 임의의 B\in\mathcal B에서 한 점 x_B\in B를 골랐을 때, \\{x_B\colon B\in\mathcal B\\}는 X의 가산 조밀 집합이다. X는 린델뢰프 공간. X의 열린 덮개 \mathcal U가 주어졌다고 하자. 이제, :\mathcal S=\\{B\in\mathcal B\colon\exists U\in\mathcal U\colon B\subseteq U\\} 라고 하고, 임의의 B\in\mathcal S에 대하여 :B\subseteq U_B 인 U_B\in\mathcal U를 고르자. 이제, \\{U_B\colon B\in\mathcal S\\}가 X의 덮개임을 보이면 족하다. 임의의 x\in X가 주어졌다고 하자. \mathcal U가 덮개이므로, :x\in U 인 U\in\mathcal U가 존재하며, :x\in B\subseteq U 인 기저의 원소 B\in\mathcal B가 존재한다. 따라서 사실 B\in\mathcal S이며, 결국 :x\in U_B 이다. 증명 끝 거리화 가능 공간 M에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다. * M은 제2 가산 공간이다. * M은 분해 가능 공간이다. * M은 린델뢰프 공간이다. **우리손 거리화 정리**에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간은 유사 거리화 가능 공간이며, 모든 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 거리화 가능 공간이다.
## 연산에 대한 닫힘

### 부분 공간
임의의 위상 공간 X 위의 기저 \mathcal B 및 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, \\{B\cap Y\colon B\in\mathcal B\\}는 Y 위의 기저를 이룬다. 따라서 :\operatorname{wt}(Y)\le\operatorname{wt}(X) 이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.
### 몫공간
제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 X 및 열린집합 U에 대하여, 동치 관계 :x\sim y\iff x=y\lor x\in U\ni y 를 주었을 때, 몫공간 X/\sim=X/U은 역시 제2 가산 공간이다.
### 곱공간
임의의 곱공간 :X=\prod_{i\in I}X_i 및 각 X_i 위의 기저 \mathcal B_i\subseteq\mathcal P(X_i)에 대하여, :\left\\{\prod_{i\in I}B_i \colon B_i\in\mathcal B_i,\;\\{i\in I\colon B_i\ne X_i\\}<\aleph_0\right\\} 는 X 위의 기저를 이룬다. 따라서 :\operatorname{wt}(X)\le\sum_{J\subseteq I}^{J<\aleph_0} \prod_{i\in J}\operatorname{wt}(X_i)\le \max\left(\\{\operatorname{wt}(X_i)\colon i\in I\\}\cup\\{|I|,\aleph_0\\}\right) 이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 \kappa에 대하여 \kappa개 이하의, 무게가 \kappa 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 \kappa 이하이다.
### 분리합집합
위상 공간들의 집합 \\{X_i\\}_{i\in I}의 분리합집합 :X=\bigsqcup_{i\in I}X_i 의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다. :\operatorname{wt}(X)=\sum_{i\in I}\operatorname{wt}(X_i) 따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.
## 크기 관련 성질
제2 가산 공간의 열린집합의 수는 2^{\aleph_0} 이하이다. 제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다. 증명 제2 가산 공간 X 위의 임의의 기저 \mathcal B에 대하여, \mathcal B'\subset\mathcal B인 가산 기저 \mathcal B'을 찾으면 족하다. 제2 가산성에 의하여, X 위에는 가산 기저 \mathcal D가 존재한다. \mathcal B가 기저이므로, 임의의 D\in\mathcal D에 대하여, :D=\bigcup_{B\in\mathcal B_D}B 인 \mathcal B_D\subset\mathcal B가 존재한다. D는 X의 부분 집합이므로 제2 가산 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 따라서, :D=\bigcup_{B\in\mathcal B_D'}B 인 가산 집합 \mathcal B_D'\subset\mathcal B_D가 존재한다. 이제, :\mathcal B'=\bigcup_{D\in\mathcal D}\mathcal B_D'\subset\mathcal B 는 X 위의 기저임을 쉽게 알 수 있다. 또한, \mathcal D와 모든 \mathcal B_D'가 가산 집합이므로 \mathcal B'는 가산 집합이다. 증명 끝
# 예
흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다. * 유클리드 공간 \mathbb R^n * 힐베르트 차원이 \aleph_0 이하인 힐베르트 공간 * 가산 개의 연결 성분을 갖는 다양체 (다양체 = 파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간)
## 이산 공간
이산 공간의 경우, 최소의 기저는 모든 가능한 한원소 집합들로 구성된다. 따라서, 이산 공간 X의 밀도는 그 집합의 크기와 같다. :\operatorname{wt}(X)=|X| 특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다.
## 비이산 공간
비이산 공간 X의 경우, 최소의 기저는 (공집합이 아닐 경우) \\{X\\}이다. 따라서, 비이산 공간 X의 밀도는 다음과 같다. :\operatorname{wt}(X)=\min\\{1,|X|\\} 특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.
## 제2 가산 공간이 아닌 제1 가산 공간
긴 직선은 T4 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.
## 제1 가산 공간이 아닌, 제2 가산 공간의 몫공간
위상 공간 :X=[0,1]\cup[2,3]\cup[4,5]\cup\cdots 의 몫공간 :X'=\frac{X}{\\{0,2,4,\dots\\ 을 생각하자. X는 제2 가산 공간의 가산 개의 분리합집합이므로 제2 가산 공간이다. 그러나 X'은 \\{0,2,4,\dots\\}에서 국소 지표 :\chi(X',\\{0,2,4,\dots\\})=2^{\aleph_0} 를 가지며, 따라서 제1 가산 공간도, 제2 가산 공간도 아니다.