다항식

다항식의 함수 그래프 수학에서 **다항식**(多項式, 여러마디식, polynomial)은 한 개 또는 두 개 이상의 항의 합으로 이루어진 식이다. 즉, 단항식의 결합(덧셈과 뺄셈)으로 이루어진 식이다. 예를 들어, *x*2 \- 2*x* + 3, 4*x*3, 5*xy* + 6은 모두 다항식이다. 다항식의 근과 다항식환 등은 대수학에서 중요하게 다루어진다. **다항함수**(polynomial function, 다항식으로부터 유도되는 함수)에 의한 근사는 다항식의 해석학에서의 응용인 것이다.
# 정의
(일변수) 다항식은 다음과 같은 형태의 표현식이다. 다항식 :a + bx + cx^2 + \cdots + dx^{n-1} + ex^n 다항식 안에서 특별한 역할을 맡는 문자를 **변수**(variable)라고 한다. 예를 들어, *x*2 \+ 1은 x를 변수로 하며, 따라서 **x에 대한(관한) 다항식**(x)이다. 다항식은 변수의 개수에 따라 **일변수**(univariate)와 **다변수**(multivariate), **이변수**(bivariate), **삼변수** 등 다항식으로 나뉜다. 더해져서 다항식을 이루는 작은 구성원들을 다항식의 **항**(term)이라고 한다. 변수를 포함하지 않는 항을 **상수항**이라고 한다. 하나의 항만으로 이루어진 다항식을 **단항식**, n개 항으로 이루어진 다항식을 **n항식**(**이항식**, **삼항식**(trinomial) 등)이라고 한다. 예를 들어 *x*2 \- 2*x* + 3은 *x*2, -2*x*, 3을 항으로 하는 삼항식이다. 4*x*3은 단항식이다. 항 안에서 변수의 거듭제곱에 곱하는 수를 **계수**라고 한다. 곱하는 수가 없는 항의 계수는 1이고, 빼는 항의 계수에 빼기 부호도 포함된다는 데 주의하자. (이는 곱하기 1과 뺄셈의 의미에 부합한다.) 예를 들어 *x*2 \- 2*x* + 3의 세 항의 계수는 각각 1, -2, 3이다. 다항식은 계수의 유형에 따라 **정계수**, **유리계수**, **실계수**, **복소계수** 다항식 등으로 나뉜다. 이 밖에 임의의 (무한 또는 유한)체, (가환 또는 비가환)환의 원소도 계수가 될 수 있다.
## 차수
다항식의 항에서 특정 변수를 거듭제곱한 지수를 그 항의 그 변수에 대한 차수라고 한다. 항의 모든 변수에 대한 차수의 합을 그 항의 차수라고 하고, n을 차수로 하는 항을 **n차항**(**일차항**, **이차항** 등)이라고 한다. 다항식 안에서 차수가 가장 높은 항(**최고차항**)의 차수를 그 다항식의 **차수**(degree)라고 하고, n을 차수로 하는 다항식을 **n차 다항식**(**일차 다항식**, **이차 다항식** 등)이라고 한다. 나타나지 않은 변수는 0차(따라서 상수항은 0차항이다), 지수가 없는 변수는 1차라는 데 주의해야한다. (이는 0제곱과 1제곱의 의미에 부합한다.) 예를 들어 *x*2 \- 2*x* + 3에서, 항 *x*2의 차수는 2이며, 이는 가장 높은 차수이다. 따라서 다항식의 차수는 2이다. *xy*2 \+ *xy*는, *xy*2이 1=1 + 2 = 3차항이자 최고차항이므로, 3차 다항식이다. 같은 다항식에 변수 및 각 변수의 차수가 같은 항이 여럿 있다면, 이들을 **동류항**이라고 한다. 동류항이 있는 다항식은 정리가 안 되었다고 여겨지며, 계수를 더해서 하나의 항으로 만들어야 한다. *x*2 \+ 3*x* - *x* + 3에서 3*x*와 -*x*는 동류항이며, 이들을 모아 정리한 다항식은 곧 *x*2 \+ 2*x* + 3이다. 항의 개수나 최고차항을 생각할 때, 동류항은 이미 정리되어 있어야 하고, 계수가 0이면 항으로 쳐주지 않아야 한다. 상수항만으로 이루어진 다항식 1=*c* = *cx*0을 **상수 다항식**(constant polynomial)이라고 한다. 그 상수가 0인 경우 **영다항식**(zero polynomial)이라고 한다. 0이 아닌 상수 다항식은 (유일한 유형의) 0차 다항식이다. 영다항식은 계수가 0이 아닌 항이 존재하지 않아서, (유일하게) 차수를 정의하지 않거나, -∞로 따로 차수를 규정한다. 다변수 다항식의 경우, 동류항을 정리한 후에도, 차수가 같은 항이 여럿 있을 수 있다(최고차항도 여럿 있을 수 있다). 차수가 같은 항들만으로 이루어진 다변수 다항식을 **동차 다항식**이라고 한다. 예를 들어 *x*, *y*에 대한 다항식 *x*2 \+ *xy* + *y*2은 동차 다항식이다. 최고차항의 계수가 1인 일변수 다항식을 **일계수 다항식**(또는 **모닉 다항식**)이라고 한다.
## 항의 배열
다항식의 항은 항의 차수를 이용하여 단정하게 배열된다. 일변수 다항식의 배열법으로는 **내림차순**(**강멱**, descending powers, 항을 차수가 낮아지는 순으로 배열)과 **오름차순**(**승멱**, ascending powers, 항을 차수가 높아지는 순으로 배열)이 있다. 이미 내림차순으로 배열된 *x*2 \- 2*x* + 3은 오름차순으로는 3 - 2*x* + *x*2이다. 일변수 다항식의 최고차항은, 내림차순 배열에서 처음 오는 항, 오름차순 배열에서 마지막으로 오는 항이다. 다변수 다항식 항의 배열법은 두 가지가 있다. 첫 번째 방법은 변수의 차수의 튜플의 사전식 순서대로 배열하는 것이다. *x*3*y* + *xy*5 \+ *y*는 *x*, *y*에 대한 다항식의 사전식 순서 배열의 예이다. 여기서 사용한 사전식 순서는 (3, 1) > (1, 5) > (0, 1)이다. 위의 예처럼, 사전식 순서에서 최고차항은 중간에 위치할 수도 있다. 두 번째 배열법은 다항식을 동차항의 합으로 나눠 전개하는 것이다. 이때 동차항의 배열 순서는 일반적으로 여전히 사전식 순서를 따른다. 이원 이차 다항식을 *x*2 \+ *xy* + *y*2 \+ *x* + *y* + 1와 같이 배열한 것이 한 예이다.
## 표현
다항식은 함수와 비슷하게 *P*(*x*), *Q*(*x*, *y*) 등으로 표기되는 경우가 많다. 이에 의한 다항함수와의 혼동은 많지 않다. 다항식 P의 차수는 deg*P*로 표기한다. 일반적인 일변수 다항식은 x와 음이 아닌 정수 n, 그리고 (*n* + 1)개의 상수 *a*0, *a*1, ..., *an*을 써서 :{| |P(x) |= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 |- | |= a_0 + a_1x + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n |- | |= \sum_{i=0}^n a_ix^i |} 등으로 나타낸다. 이때 ai는 i차항 계수이고, 이 중 *a*0은 상수항이다. P가 영이 아닌 다항식인 경우, *an* ≠ 0, 즉 1=*n* = deg*P*이게끔 한다. 일반적인 다(*n*)변수 다항식은 *x*1, ..., *xn*과 유한 개의 튜플 (*i*1, ..., *in*) ∈ **N**n을 써 :Q(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i_1, \ldots, i_n} a_{i_1, \ldots, i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n} 로 나타낸다. 다중지표 표기법을 이용하여 :Q(x) = \sum_{i} a_ix^i 으로도 나타낼 수 있다. 여기서 :i = (i_1, i_2,\ldots, i_n) \in \N^n :x = (x_1, x_2,\ldots, x_n) :x^i = x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} 체 **F**의 원소를 계수로 하는 (즉 **F** 위의) 다항식의 집합이 다항식의 덧셈과 곱셈 아래 이루는 환을 **F**[*x*]로 표기한다. 환 R 위의 다항식의 환은 R[*x*], 다변수 다항식의 환은 **F**[*x*1, ..., *xn*], R[*x*1, ..., *xn*]로 표기된다. 정 · 유리 · 실 · 복소계수 다항식이 이루는 환은 각각 **Z**[*x*], **Q**[*x*], **R**[*x*], **C**[*x*]로 표기한다.
## 다른 정의
다음은 다항식의 여러 가지 서로 동치인 정의들이다. * 유한 개의 단항식(계수, 문자, 지수의 조합)의 합 * 상수와 문자의 유한 번 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 거듭제곱으로 얻는 식 * 계수가 영이 아닌 항의 개수가 유한한 형식적 멱급수 그 밖에도 대수 구조의 성질에 기반한 다항식의 여러 정의법이 존재한다.
## 주로 x에 대해 표현하는 이유
프랑수아 비에트가 미지수로 알파벳을 사용한 이래로, 저명한 수학자 데카르트가 그의 저서 《방법서설(Discours de la méthode)》에서 다항식을 특정한 문자 x, y, z를 이용하여 나타내었고, 그 이후로 여러 나라의 수학자들 사이에서 '어떤 수와 식'을 나타내는데 문자 x, y, z를 쓰는 것이 보편화되었다. 이중에 왜 하필 x를 유난히 많이 사용하는가에 대해서는 여러 설이 제기되고 있으나 모두 확실하지 않다.수학백과: 미지수 - 네이버 지식백과 어쨌거나 현대에 이르러서, x는 특정한 문자를 나타내는 대표적인 문자로 자리매김하였다.
# 연산
다항식은 수와 비슷하게 덧셈, 곱셈을 비롯한 여러 연산을 할 수 있다. 다항식은 나눗셈을 제외한 사칙연산에 대해서 닫혀있지만 일반적으로 나눗셈에 대해서는 닫혀있지 않다.
## 덧셈
두 다항식을 더하는 것의 관건은 비슷한 항끼리 합쳐주는 것이다. 이때 계수는 서로 더하고 문자와 지수 부분은 그대로 둔다. 이는 분배법칙을 반영한다. 비슷한 항들이 서로 멀리 떨어져 있어도, 이들은 임의로 한 군데 모아 합칠 수 있다. 이는 덧셈의 교환법칙과 결합법칙을 반영한다. 예시: 만약 :P(x) = 2x^4 + 11x^2 - 5x + 1 :Q(x) = x^2 + 4x - 7 이면, :{| |P(x) + Q(x) |= (2x^4 + 11x^2 - 5x + 1) + (x^2 + 4x - 7) |- | |= 2x^4 + (11x^2 + x^2) + (-5x + 4x) + (1 - 7) |- | |= 2x^4 + (11 + 1)x^2 + (-5 + 4)x + (1 - 7) |- | |= 2x^4 + 12x^2 - x - 6 |} 다변수 다항식의 예: :(1 + x + y + 2xy) + (3 + 6x - 5xy + xy^2) = 4 + 7x + y - 3xy + xy^2
## 곱셈
다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용해 괄호를 없애는 방향으로 전개하는 것이 관건이다. 두 항을 곱할 때, 계수를 곱해주고 지수를 더해준다. 예: 앞선 *P*(*x*)와 *Q*(*x*)의 곱은 :{| |P(x)Q(x) |= (2x^4 + 11x^2 - 5x + 1)(x^2 + 4x - 7) |- | |= 2x^4(x^2 + 4x - 7) + 11x^2(x^2 + 4x - 7) - 5x(x^2 + 4x - 7) + 1(x^2 + 4x - 7) |- | |= 2x^6 + 8x^5 - 14x^4 + 11x^4 + 44x^3 - 77x^2 - 5x^3 - 20x^2 + 35x + x^2 + 4x - 7 |- | |= 2x^6 + 8x^5 - 3x^4 + 39x^3 - 96x^2 + 39x - 7 |} 다변수 다항식의 예: :(xy + 2)(x^2 + y + 2) = x^3y + 2x^2 + xy^2 + 2xy + 2y + 4
## 다항식의 나눗셈
일반적으로 다항식의 나눗셈은 다항식 장제법이나 조립제법의 방법으로 한다. **미분** 다항함수는 모든 x에 대하여 연속이며 미분가능하다.
# 다항함수
다항함수는 다항식으로부터 유도될 수 있다. 일변수 함수 *f*는 : f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \, 가 되겠다. 모든 *x*항들에 대해서, *n*은 자연수이고 *a*0, *a*1, *a*2, ..., *an* 상수,계수이다. 실수로서 그 실수 해를 갖는 함수*f*를 정의하면, : f(x) = x^3 - x\, 이고, 이것은 일변수 다항함수이다. 다수의 미정의 계수들로 이루어진 다변수 다항함수들도 이와 유사하게 정의된다. :f(x,y)= 2x^3+4x^2y+xy^5+y^2-7.\, 다항식으로 정의되지 않는 것처럼 여겨지는 함수 f(x)=\cos(2\arccos(x)) 역시, [-1,1]에서 다항함수이다. 왜냐하면, x항들에 대해서 [-1,1]이기 때문이다. 이것은 사실 f(x)=2x^2-1이다. (체비쇼프 다항식참조) 다항함수는 많은 중요한 성질들을 갖는 다른 함수들 즉, 연속함수, 매끄러운 함수, 전해석 함수, 계산 가능 함수들처럼 그들 중의 하나이다.