미분 형식

미분기하학에서 **미분 형식**(微分形式, differential form)은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다.url-status=언어=en 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 dx, dy 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, p차원의 다양체에서는 p-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다.
# 정의
n차원 매끄러운 다양체 M 위의 공변접다발 \mathrm T^*M은 n차원 벡터 다발이다. 여기에, 각 올에 대하여 외대수를 취하면 2^n차원 벡터 다발 :\bigwedge\mathrm T^*M 을 얻는다. 그 단면을 M 위의 **미분 형식**이라고 한다. 미분 형식의 공간을 다음과 같이 표기하자. :\Omega(M) = \Gamma\left(\bigwedge\mathrm T^*M\right) 외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다. :\bigwedge\mathrm T^*M=\bigoplus_{k=0}^n\bigwedge^k\mathrm T^*M :\Omega(M) = \bigoplus_{k=0}^n\Omega^n(M)=\bigoplus\Gamma\left(\bigwedge^k\mathrm T^*M\right) k차 미분 형식은 \Omega^k(M)의 매끄러운 단면이다.
## 지표 표기법
미분 형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다. n차원 다양체에 국소적 좌표계 \\{x^i\\}_{i=1,\dots,n}를 잡으면, :\\{dx^i\\}_{i=1,\dots,n} 는 1차 미분 형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의 k차 미분 형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) :A=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} 이에 따라서, 예를 들어 리만 계량 g에 의한 부피 형식은 :\omega=\sqrt{\det(g_{ij})}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n=\frac1{k!}\epsilon_{i_1\dots i_n}\sqrt{\det(g_{ij})}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n 이므로, :\omega_{i_1\dots i_n}=\sqrt{\det(g_{ij})}\epsilon_{i_1\dots i_n} 이 된다.
## 무한 차원 다양체 위의 미분 형식
국소 볼록 공간 E가 주어졌을 때, 국소적으로 E와 위상 동형이며, 매끄러운 전이 함수를 갖는 국소 좌표계를 갖춘 하우스도르프 공간을 **E-다양체**라고 하자. 이 경우 마찬가지로 미분 형식의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, 위상 벡터 공간의 위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에, 접다발은 잘 정의되지만 일반적으로 공변접다발을 잘 정의하기 힘들며, 일반적으로 미분 형식을 어떤 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면으로 정의할 수 없다. 이 때문에, 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야만 한다. E-다양체 M 위의 **k차 미분 형식**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.언어=enDefinition Ⅰ.4.1 * 각 x\in M에 대하여, 완전 반대칭 k-선형 변환 \omega_x\colon\textstyle\bigwedge^k\mathrm T_xM \to \mathbb R 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. :열린집합 U\subseteq M 위의 국소 좌표 \phi\colon U \to E에 대하여, \omega \circ U^{-1} \colon U \times \textstyle\bigwedge^kE \to \mathbb R는 매끄러운 함수이다. 이 경우 쐐기곱과 외미분이 잘 정의된다.
# 연산
미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱과 내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.
## 쐐기곱
미분 형식의 **쐐기곱**(wedge product)은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 \alpha\in\Omega^k(M)과 \beta,\beta'\in\Omega^l(M), f\in\Omega^0(M)에 대하여, * f\wedge\alpha=f\alpha * (분배법칙) \alpha\wedge(\beta+\beta')=\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge\beta' * (반대칭성) \alpha\wedge\beta=(-1)^{kl}\beta\wedge\alpha 성분으로 적으면 다음과 같다. :\left(\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\right)\wedge\left(\frac1{l!}B_{j_1\dots j_l}dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_l}\right)=\frac1{(k+l)!}\frac1{k!l!}A_{[i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_l]}dx^{i_1}\wedge\cdots dx^{i_k}\wedge dx^{j_1}\wedge dx^{j_l} :(A\wedge B)_{i_1\dots i_kj_1\dots j_l}=\frac1{k!l!}A_{[i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_l]} 여기서 [\dots]는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 A, B의 쐐기곱은 :(A\wedge B)_{ijkl}=A_{ij}B_{kl}-A_{jk}B_{li}+A_{kl}B_{ij}-A_{li}B_{jk}-A_{ik}B_{jl}-A_{jl}B_{ik} 이다.
## 외미분
외미분 미분 형식의 **외미분**(外微分, Exterior derivative)은 :d\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet+1}(M) 은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다. * 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다. * 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉, f\in\Omega^0(M)에 대하여, df=\sum_{i=1}^n(\partial f/\partial x^i)dx^i이다. * 모든 0차 형식에 대해, d^2f=0이다. * 임의의 \alpha\in\Omega^k(M), \beta\in\Omega^\bullet(M)에 대하여 d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta이다. 성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의 k차 미분 형식 :A=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} 에 대하여, :dA=\frac1{k!}(\partial_{i_0}A_{i_1\dots i_k})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} =\frac1{(k+1)!k!}(\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} 이다. 즉, :(dA)_{i_0\dots i_k}=\frac1{k!}\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]}=\partial_{i_0}A_{i_1\dots i_k}-\partial_{i_1}A_{i_0i_2\dots i_k} +\partial_{i_2}A_{i_1i_0i_3\dots i_k}+\cdots+(-1)^p\partial_{i_p}A_{i_1i_2\dots i_{p-1}i_0i_{p+1}\dots i_k}+\cdots+(-)^k\partial_{i_k}A_{i_1\dots i_{k-1}i_0} 이다. 여기서 [\cdots]는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우 :A=A_idx^i :dA=\frac12(\partial_iA_j-\partial_jA_i)dx^i\wedge dx^j=\frac12(dA)_{ij}dx^i\wedge dx^j :(dA)_{ij}=\partial_iA_j-\partial_jA_i 이고, 2차 형식의 경우 :A=\frac12A_{ij}dx^i\wedge dx^j :dA=\frac16(\partial_iA_{jk}+\partial_jA_{ki}+\partial_kA_{ij})dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k=\frac16(dA)_{ijk}dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k :(dA)_{ijk}=\partial_iA_{jk}+\partial_jA_{ki}+\partial_kA_{ij} 이다.
## 적분
n차원 매끄러운 다양체 M 위에 방향 및 n차 미분 형식 \alpha가 주어졌다면, \alpha의 **적분** :\int_M\alpha\in\mathbb R\cup\\{-\infty,\infty\\} 을 정의할 수 있다. 구체적으로, M의 좌표근방계 \\{(U_i,\phi_i)\\}_{i\in I} 및 이에 종속되는 단위 분할 \\{f_i\\}_{i\in I}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김 (\phi_i^{-1})^*으로서 각 \phi_i(U_i)\subset\mathbb R^n에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 n차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형 :\Omega^n(\phi_i(U_i))\xrightarrow{\iota}\Omega^0(\phi_i(U_i))=\mathcal C^\infty(\phi_i(U_i),\mathbb R) 을 정의할 수 있다. 그렇다면 :\int_M=\sum_{i\in I}\int_{\phi_i(U_i)}\iota\left((\phi_i^{-1})^*\alpha\right)\,d^n\lambda 이다. 여기서 \int d^n\lambda는 n차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 -1배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.
## 내적
만약 n차원 매끄러운 다양체 M 위에 (유사) 리만 계량 g가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 **내적** \langle\cdot,\cdot\rangle\colon\Omega^\bullet(M)\times\Omega^\bullet(M)\to\Omega^0(M)을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. * 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다. * 내적은 쌍선형이다. * 임의의 k개의 1차 형식 \eta_i, \eta'_j에 대하여,\langle\eta_1\wedge\dots\wedge\eta_k,\eta'_1\wedge\dots\wedge\eta'_k\rangle=\det(g(\eta_i,\eta_j))_{ij}이다. 즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자) :\left\langle\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k} dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_n}, \frac1{k!}B_{j_1\dots j_k} dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}\right\rangle=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_k}g^{i_1j_1}\dots g^{i_kj_k} 이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다. :\langle\omega,\omega\rangle=\frac1{n!}(\det g)\epsilon_{i_1\dots i_n}\epsilon_{j_1\dots j_n}g^{i_1j_1}\dots g^{i_nj_n}=1.
## 호지 쌍대
호지 쌍대 n차원 유향 (유사) 리만 다양체 (M,g,\omega)가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 **호지 쌍대** 연산자를 정의할 수 있다. :*\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{n-\bullet}(M) 이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다. :\alpha\wedge*\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\omega 성분으로 쓰면 다음과 같다. :(*A)_{j_{k+1}\dots j_n}=\frac1{k!}\sqrt{|\det g|}\alpha_{i_1\dots i_k}\epsilon_{j_1\dots j_n}g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k} 예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 :(*A)_{kl}=\frac12\sqrt{|\det g|}\epsilon_{ijkl}A_{i'j'}g^{ii'}g^{jj'} 이다.
# 역사
미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다.
# 응용
다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다.