매끄러운 다양체

미분기하학에서 **매끄러운 다양체**(smooth manifold) 또는 **미분 가능 다양체**(微分可能多樣體, differentiable manifold)는 미적분학을 전개할 수 있는 구조가 주어진 다양체이다. 매끄러운 다양체 위에서는 함수의 미분과 적분 및 벡터장이나 미분 형식과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다.
# 정의
자연수 n\in\mathbb N에 대하여, n차원 다양체 M 위의 **좌표근방계**(座標近傍系, atlas) \Phi는 다음과 같은 데이터로 구성된다. * \Phi는 함수의 집합이며, \Phi의 각 원소 \phi\in\Phi는 매장 \phi\colon\operatorname{dom}\phi\hookrightarrow\mathbb R^n이다. 또한, 정의역 \operatorname{dom}\phi\subseteq M은 M의 열린 집합이며, 치역 \phi(\operatorname{dom}\phi)는 \mathbb R^n의 열린 집합이다. 이 구조는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다. * \bigcup_{\phi\in\Phi}\operatorname{dom}\phi=M. 즉, \\{\operatorname{dom}\phi\\}_{\phi\in\Phi}는 M의 열린 덮개이다. * 임의의 \phi,\psi\in\Phi에 대하여, 만약 \operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing이라면, \psi|_{\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi}\circ \phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)\to\psi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)는 매끄러운 함수이다. 이러한 함수를 **추이 사상**(transition map)이라고 한다. **매끄러운 다양체** (M,\Phi)는 좌표근방계를 갖춘 다양체이다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 \mathcal C^k로 약화시킨다면, 이를 **\mathcal C^k 다양체**라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 해석 함수로 강화시킨다면, 이를 **해석 다양체**(解析多樣體, analytic manifold)라고 한다. 같은 다양체 M 위의 두 좌표근방계 \Phi, \Phi'에 대하여, 만약 \Phi\cup\Phi'이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 **호환**된다고 한다. 이는 동치 관계를 이룬다. 또한, M 위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계 \subseteq에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소를 **극대 좌표근방계**(座標近傍系, maximal atlas)라고 한다. 임의의 좌표근방계 \Phi에 대하여 \Phi\subseteq\Phi'인 극대 좌표근방계 \Phi'이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류와 일대일 대응하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 **매끄러움 구조**(smooth structure)라고 하기도 한다. 두 매끄러운 다양체 사이의 **매끄러운 함수** f\colon(M,\Phi)\to(N,\Psi)는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수이다. * 임의의 \phi\in\Phi 및 \psi\in\Psi에 대하여, 만약 f(\operatorname{dom}\phi)\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing이라면, \psi|_{\operatorname{dom}\psi\cap f(\operatorname{dom}\phi)}\circ\phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))\to\psi(\operatorname{dom}\psi\cap f(\operatorname{dom}\phi))는 (유클리드 공간 사이의) 매끄러운 함수이다. 두 \mathcal C^k 다양체 사이의 \mathcal C^k 함수 역시 마찬가지로 정의한다. 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주는 \operatorname{Diff}라고 쓴다. 이 범주에서의 동형을 **미분동형**이라고 한다.
# 성질
k\ge1에 대하여, \mathcal C^k 다양체의 범주는 매끄러운 다양체의 범주와 동치이다. 다양체 M 위의 임의의 \mathcal C^k 좌표근방계 \Phi에 대하여, 이와 \mathcal C^k-호환되는 유일한 (매끄러운) 극대 좌표근방계 \Phi_\infty가 항상 유일하게 존재한다. 이 사실은 해슬러 휘트니가 증명하였다. 따라서, \mathcal C^k 다양체들은 보통 직접적으로 다룰 필요가 없다.
## 범주론적 성질
매끄러운 다양체의 범주 \operatorname{Diff}는 유한 곱을 가지며, 다양체의 범주로의 망각 함자 \operatorname{Diff}\to\operatorname{TopMfd}는 곱을 보존한다. 구체적으로, 다양체 (M,\Phi)와 (N,\Psi)의 곱 (M\times N,\Phi\times\Psi)는 다음과 같다. * M\times N은 (위상 공간으로서의) 곱공간이다. * \Phi\times\Psi=\\{(m,n)\in\operatorname{dom}\phi\times\operatorname{dom}\psi\mapsto(\phi(m),\psi(n))\in\mathbb R^{\dim M}\times\mathbb R^{\dim N}\colon\phi\in\Phi,\psi\in\Psi\\}이다. M\times N은 \dim M+\dim N차원 매끄러운 다양체이다. 그러나 두 매끄러운 다양체 사이의 함수 공간은 무한 차원의 공간이므로 다양체가 아니며, 따라서 미분 다양체의 범주는 데카르트 닫힌 범주가 아니다.
## 매끄러움 구조의 존재와 유일성
3차원 이하의 차원의 다양체는 항상 유일한 극대 좌표근방계를 갖는다. 4차원 이상의 차원에서는 좌표근방계가 존재할 수 없는 다양체도 존재하고, 또 서로 다른 두 극대 좌표근방계를 갖는 다양체도 존재한다.
# 분류
3차원 이하에서, 모든 다양체는 유일한 매끄러움 구조를 갖는다. 따라서, 3차원 이하의 매끄러운 다양체의 분류는 다양체의 분류와 같다. * 0차원 매끄러운 다양체 S는 이산 공간이다. 이 위에는 유일한 극대 좌표근방계가 존재하며, 구체적으로 S의 임의의 부분 집합에서 \mathbb R^0=\\{0\\}으로 가는 모든 함수들의 집합이다. * 1차원 매끄러운 다양체의 각 연결 성분은 원 S^1 또는 실수선 \mathbb R이다. * 2차원 매끄러운 다양체의 분류는 매우 복잡하지만, 콤팩트 2차원 매끄러운 다양체들은 그 오일러 지표에 따라 간단히 분류된다. * 3차원 콤팩트 매끄러운 다양체는 기하화 추측에 따라 분류된다. 4차원의 경우, 콤팩트 다양체들은 모두 분류되었지만, 이들 위의 매끄러움 구조들의 분류는 미해결 난제이다. 5차원 이상의 매끄러운 다양체들은 수술 이론을 사용하여 분류된다.
# 예
유클리드 공간 \mathbb R^n의 열린 집합 U\subseteq\mathbb R^n에, 하나의 포함 함수로만 구성된 다음과 같은 좌표근방계를 부여하자. * \\{\iota_U\colon U\hookrightarrow\mathbb R^n\\} 이는 좌표근방계를 이루며, 이를 부여하면 U은 n차원 매끄러운 다양체를 이룬다. 초구 S^n나 원환면 T^n 등 역시 매끄러운 다양체의 예이다.