Sur les modèles non-linéaires autorégressifs à transition lisse et le calcul de leurs prévisions

Ce mémoire porte sur l’étude des données dépendantes. La littérature classique a consacré beaucoup d’énergie dans l’étude de modèles qualifiés de linéaires. Ces modèles sont particulièrement utiles pour des données macroéconomiques mesurées à des périodes finalement assez longues (mois, années, etc). Lorsque les données sont mesurées à une échelle temporelle plus fine, et lorsque les données sont nombreuses, il est alors possible de de décrire le processus stochastique sous-jacent par des modèles plus élaborés, permettant de décrire les caractéristiques non-linéaires. C’est dans ce cadre moderne que s’inscrit ce mémoire. Il se propose d’étudier les modèles autorégressifs à transition lisse. Les modèles ont été introduits et popularisés par Teräsvirta (1994), entre autres. Nous concentrons notre étude sur la modélisation et les prévisions pour ces modèles. Ceux-ci étant marqués par la présence de plusieurs régimes ainsi qu’une transition particulière entre ces différents régimes, ils permettent de modéliser plus adéquatement un processus stochastique par des modèles de séries chronologiques qui affichent certains comportements non-linéaires. Notre objectif est de comparer ces modèles aux modèles autorégressifs linéaires classiques, et d’étudier si leur utilisation est marquée par une différence favorable au niveau de la prévision de valeurs futures. Il est à noter qu’une motivation première dans ce mémoire est l’élaboration de prévisions dans ces modèles.  Bien que la formulation des modèles autorégressifs à transition lisse soit particulièrement attrayante, la mise en application entraîne de nombreuses complications. Entre autres, l’estimation des modèles présente des difficultés au niveau de l’obtention de valeurs estimées pour les paramètres, dû à la présence d’une composante non-linéaire dans le modèle, ce qui rend l’estimation plus complexe puisqu’elle se doit alors d’être effectuée par optimisation non-linéaire. Bien sûr, ceci est également vrai dans la classe des modèles autorégressifs à moyennes mobiles (ARMA), reposant sur le choix d’un ordre autorégressif p et moyenne mobile q. Lorsque q > 0, il est bien connu que l’optimisation est également non-linéaire. Cependant, l’expérience empirique suggère que les problèmes numériques sont moins difficiles que pour les modèles autorégressifs à transition lisse. L’estimation des erreurs standards des paramètres est également élaborée, mais possible, puisque l’obtention de la matrice des variances-covariances est souvent marquée par des difficultés calculatoires.  Les prévisions pour les séries temporelles occasionnent également des problèmes dans le cadre non-linéaire. La théorie linéaire classique n’étant pas applicable en raison de la composante non-linéaire du modèle, les prévisions ponctuelles pour les modèles autorégressifs à transition lisse doivent être effectuées à l’aide de différentes méthodes plus ou moins complexes, dont certaines mènent à un biais pour les prévisions ponctuelles aux temps supérieurs à un et d’autres deviennent rapidement difficiles à obtenir lorsque les temps de prévisions sont grands. Pour les intervalles de prévision, ils doivent également être mesurés avec des méthodes de ré-échantillonnage puisque la théorie linéaire n’est pas applicable. En fait, il peut être affirmé qu’une contribution originale du mémoire est une étude détaillée des prévisions et des intervalles de prévision dans nos modèles. Dans le premier chapitre, nous présentons les séries temporelles ainsi que les modèles autorégressifs linéaires classiques principaux s’y rattachant. Nous élaborons les modèles non-linéaires ainsi que le modèle autorégressif à transition lisse univarié, en plus de ses caractéristiques principales et des conditions de sa stationnarité. Dans le deuxième chapitre, nous développons les techniques d’estimation reliées aux modèles autorégressifs à transition lisse. En particulier, nous élaborons les étapes d’ajustement du modèle, soit la spécification, l’estimation et l’évaluation. La spécification comprend entre autres les tests de linéarité, étape nécessaire afin de justifier l’utilisation des modèles autorégressifs à transition lisse. L’estimation est effectuée par optimisation non-linéaire avec recherche quadrillée pour trouver les valeurs initiales. Dans le troisième chapitre, nous présentons les méthodes de prévision pour les modèles autorégressifs linéaires classiques et pour les modèles autorégressifs à transition lisse. Plus particulièrement, nous élaborons les difficultés d’application des méthodes de prévision habituelles dans le cadre des modèles non-linéaires, et les méthodes permettant de contourner ces difficultés. Nous définissons également les intervalles de prévision et les méthodes pour déterminer ces intervalles. Dans le quatrième chapitre, nous appliquons la théorie définie précédemment lors de simulations empiriques, avec pour but de comparer les modèles linéaires aux modèles autorégressifs à transition lisse, et nous discutons des résultats obtenus. Dans le cinquième chapitre, nous appliquons la théorie à une série temporelle représentant les rendements quotidiens du fonds négocié en bourse SPDR (pour Standard & Poor’s Depositary Receipts) suivant l’indice boursier S&P 500 (SPY ), et nous comparons nos résultats avec ceux disponibles dans la littérature, tant au niveau de l’estimation des modèles autorégressifs à transition lisse qu’à la performance des prévisions ponctuelles et intervalles de prévision. Nous finissons par une conclusion. Tous les codes utiles pour reproduire les résultats de simulations et d’analyse de données sont disponibles sur demande.

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