Extensions supersymétriques des équations structurelles des supervariétés plongées dans des superespaces

Le but de cette thèse par articles est d’étudier certains aspects géométriques des supervariétés associées aux systèmes supersymétriques intégrables. Ce travail a abouti en quatre articles publiés et un article présentement soumis dans des revues internationales avec des comités de lecture. Dans le premier article, deux extensions supersymétriques des équations de Gauss–Weingarten et de Gauss– Codazzi pour des surfaces plongées dans des superespaces euclidiens ont été construites. Cela a permis de fournir une caractérisation géométrique de telles surfaces avec des vecteurs tangents linéairement indépendants orientés dans la direction des déplacements infinitésimaux des dérivées fermioniques covariantes. De plus, une étude des symétries des versions supersymétriques des équations de Gauss–Codazzi a permis de construire des solutions invariantes au moyen de la méthode de réduction par symétrie impliquant les variables bosoniques et fermioniques, ce qui a mené à des surfaces non triviales, par exemple des surfaces à courbure de Gauss nulle. Dans le second article, l’extension aux cas supersymétriques d’une conjecture énonçant les conditions nécessaires pour qu’un système soit intégrable au sens de la théorie des solitons a été formulée. Cela a été accompli en introduisant un nouvel opérateur de projection et en comparant les symétries du système original avec celles du problème linéaire associé. Cette conjecture a été appliquée à certains exemples et un paramètre « spectral » fermionique a été introduit dans un des systèmes. Dans le troisième article, deux versions supersymétriques de la formule de Fokas–Gel’fand pour l’immersion de surfaces solitoniques dans une superalgèbre de Lie ont été construites. La caractérisation géométrique de la fonction d’immersion, présentée dans cet article, a permis d’investiguer les comportements des surfaces associées. Ces considérations théoriques ont été appliquées à l’équation de sine-Gordon supersymétrique pour laquelle des surfaces à courbure de Gauss constante et de type Weingarten non linéaire ont été obtenues. Le quatrième article est dévoué aux propriétés d’intégrabilité de l’équation de sine-Gordon supersymétrique et à la construction de solutions multisolitoniques explicites. Deux types de problèmes linéaires spectraux, une version supersymétrique d’un ensemble d’équations de Riccati couplées et la transformation d’auto-Bäcklund, tous équivalents à l’équation de sine-Gordon supersymétrique, ont été étudiés. De plus, une analyse détaillée de la énième transformation de Darboux a permis de trouver des solutions multisolitoniques non triviales de l’équation de sine-Gordon supersymétrique. Ces solutions ont été utilisées pour investiguer la version supersymétrique bosonique de la formule d’immersion de Sym–Tafel. Dans le cinquième article, une nouvelle caractérisation géométrique de la formule d’immersion de Fokas–Gel’fand est présentée. Afin d’accomplir cela, trois différents types de problèmes linéaires spectraux sont étudiés, un impliquant les dérivées fermioniques covariantes, un impliquant les dérivées par rapport aux variables bosoniques et un impliquant les dérivées par rapport aux variables fermioniques. Cette caractérisation géométrique implique huit coefficients linéairement indépendants pour les première et deuxième formes fondamentales, contrairement à trois dans le troisième article, ce qui mène à une géométrie plus riche dans le sens où les supervariétés caractérisées de type unidimensionnel (« curve-like ») dans le troisième article sont de type multidimensionnel dans le cinquième article.

Keyphrases: Systèmes intégrables, Systèmes supersymétriques, Supervariétés, Surfaces conformément paramétrisées, Superalgèbres de Lie, Équations de Gauss–Weingarten et de Gauss–Codazzi, Formules d’immersion de Sym–Tafel et de Fokas–Gel’fand, Équation de sine-Gordon supersymétrique, Transformations de Bäcklund et de Darboux supersymétriques, Réduction par symétrie