Asymptotiques spectrales et géométrie des nombres

Dans cette thèse, nous étudions le spectre du laplacien ainsi que celui d’autres opérateurs qui lui sont associés. Sur une variété riemannienne compacte M fermée, ou possédant un bord et munie de conditions frontières auto-adjointes, le laplacien a un spectre réel, discret  𝜆1(M) ≤ 𝜆2≤ (M)… ↗∞  ne s’accumulant qu’à l’infini, où les 𝜆j (M) sont les nombres réels pour lesquels il existe une solution non-triviale à l’équation  Δ𝜑 + 𝜆𝜑 = 0.  Nous nous sommes particulièrement intéressé au comportement asymptotique de la fonction de compte  N(𝜆; M) ≔ #{ 𝜆j (M) ˂ 𝜆}.  Hermann Weyl a démontré en 1911 [80] ce qui s’appelle aujourd’hui la loi de Weyl,  N(𝜆; M) ω^d/〖(2π)〗_d  Vol(M)𝜆d/2,   où ωd est le volume de la boune unité en dimension d. Nous cherchons à déterminer la taille de R(𝜆; M) ≔ N(𝜆; M) − ω^d/〖(2π)〗_d  Vol(M)𝜆d/2.  Dans les contextes que nous avons étudiés, nous avons traduit ce problème dans les termes de la géométrie des nombres, i.e. l’étude de l’interaction entre les points de réseaux, par exemple ℤd, et les ensembles convexes. Dans le premier chapitre, nous décrivons précisément les problèmes à l’étude ainsi que les liens qu’ils possèdent avec la géométrie des nombres, et décrivons plus en détails les principales techniques utilisées.  Le second chapitre, intitulé On a generalised Gauss circle problem and integrated density of states [54], est le fruit d’une collaboration avec Leonid Parnovski. Nous y étudions le spectre du laplacien sur un produit d’un tore plat et de l’espace euclidien. Dans ce cas le spectre n’est pas discret mais nous étudions une quantité, la densité intégrée des états, qui remplit le rôle de la fonction de compte des valeurs propres et qui suit elle-même une loi de Weyl. Nous obtenons des bornes supérieures et inférieures sur R(𝜆) dans ce contexte, qui dépendent des dimensions relatives du tore et de l’espace euclidien. Nous obtenons que lorsque la dimension du tore est strictement inférieure à celle de l’espace euclidien, nos bornes inférieures et supérieures sont dumême ordre polynomial.Nous obtenons aussi un développement asymptotique jusqu’à l’ordre constant pour la densité d’états intégrée de l’opérateur de Schrödinger magnétique avec potentiel constant. Le troisième chapitre, intitulé The Steklov spectrum of cuboids [26] provient d’une collaboration avec Alexandre Girouard, Iosif Polterovich et Alessandro Savo. Nous y étudions le problème aux valeurs propres de Steklov sur des cuboïdes en toute dimension. Cet opérateur a été peu étudié sur des domaines dont la frontière n’est pas lisse et nous utilisons le cuboïde comme premier modèle d’un tel cas. Le spectre reste discret et ne s’accumule qu’à l’infini, nous obtenons une loi de Weyl à deux termes ainsi qu’une inégalité isopérimétrique pour la première valeur propre non triviale. Finalement, nous y obtenons aussi que certaines suites de fonctions propres se concentrent asymptotiquement sur des ensembles de mesure nulle, un comportement qu’on appelle la cicatrisation.   Dans le dernier chapitre, intitulé Eigenvalue optimisation on flat tori and lattice points in anisotropically expanding domains [53], nous étudions le spectre du laplacien sur des tores plats. Nous obtenons des bornes pour R(𝜆;M) dépendant du rayon d’injectivité. Nous utilisons ensuite ces bornes pour démontrer que toute suite de tores plats 𝕋K maximisant la k-ième valeur propre du laplacien doit dégénérer lorsque la dimension est inférieure à 10. Pour ce faire, nous avons ramené le problème à celui de compter les points de ℤd dans un domaine qui croît de façon anisotrope, généralisant des résultats obtenus par Yuri Kordyukov et Andrei Yakovlev [49].

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