Sélection de modèle d'imputation à partir de modèles bayésiens hiérarchiques linéaires multivariés

Résumé La technique connue comme l'imputation multiple semble être la technique la plus appropriée pour résoudre le problème de non-réponse. La littérature mentionne des méthodes qui modélisent la nature et la structure des valeurs manquantes. Une des méthodes les plus populaires est l'algorithme « Pan » de (Schafer & Yucel, 2002). Les imputations rapportées par cette méthode sont basées sur un modèle linéaire multivarié à effets mixtes pour la variable réponse. La méthode  « BHLC » de (Murua et al, 2005) est une extension de « Pan » dont le modèle est bayésien hiérarchique avec groupes. Le but principal de ce travail est d'étudier le problème de sélection du modèle pour l'imputation multiple en termes d'efficacité et d'exactitude des prédictions des valeurs manquantes. Nous proposons une mesure de performance liée à la prédiction des valeurs manquantes. La mesure est une erreur quadratique moyenne reflétant la variance associée aux imputations multiples et le biais de prédiction. Nous montrons que cette mesure est plus objective que la mesure de variance de Rubin. Notre mesure est calculée en augmentant par une faible proportion le nombre de valeurs manquantes dans les données. La performance du modèle d'imputation est alors évaluée par l'erreur de prédiction associée aux valeurs manquantes. Pour étudier le problème objectivement, nous avons effectué plusieurs simulations. Les données ont été produites selon des modèles explicites différents avec des hypothèses particulières sur la structure des erreurs et la distribution a priori des valeurs manquantes. Notre étude examine si la vraie structure d'erreur des données a un effet sur la performance du choix des  différentes hypothèses formulées pour le modèle d'imputation. Nous avons conclu que la réponse est oui. De plus, le choix de la distribution des valeurs manquantes semble être le facteur le plus important pour l'exactitude des prédictions. En général, les choix les plus efficaces pour de bonnes imputations sont une distribution de student avec inégalité des variances dans les groupes pour la structure des erreurs et une loi a priori choisie pour les valeurs manquantes est la loi normale avec moyenne et variance empirique des données observées, ou celle régularisé avec grande variabilité. Finalement, nous avons appliqué nos idées à un cas réel traitant un problème de santé. Mots clés : valeurs manquantes, imputations multiples, modèle linéaire bayésien hiérarchique,  modèle à effets mixtes. Abstract  The technique known as multiple imputation seems to be the most suitable technique for solving the problem of non-response. The literature mentions methods that models the nature and structure of missing values. One of the most popular methods is the PAN algorithm of Schafer and Yucel (2002). The imputations yielded by this method are based on a multivariate linear mixed-effects model for the response variable. A Bayesian hierarchical clustered and more flexible extension of PAN is given by the BHLC model of Murua et al. (2005). The main goal of this work is to study the problem of model selection for multiple imputation in terms of efficiency and accuracy of missing-value predictions. We propose a measure of performance linked to the prediction of missing values. The measure is a mean squared error, and hence in addition to the variance associated to the multiple imputations, it includes a measure of bias in the prediction. We show that this measure is more objective than the most common variance measure of Rubin. Our measure is computed by incrementing by a small proportion the number of missing values in the data and supposing that those values are also missing. The performance of the imputation model is then assessed through the prediction error associated to these pseudo missing values. In order to study the problem objectively, we have devised several simulations. Data were generated according to different explicit models that assumed particular error structures. Several missing-value prior distributions as well as error-term distributions are then hypothesized. Our study investigates if the true error structure of the data has an effect on the performance of the different hypothesized choices for the imputation model. We concluded that the answer is yes. Moreover, the choice of missing-value prior distribution seems to be the most important factor for accuracy of predictions. In general, the most effective choices for good imputations are a t-Student distribution with different cluster variances for the error-term, and a missing-value Normal prior with data-driven mean and variance, or a missing-value regularizing Normal prior with large variance (a ridge-regression-like prior). Finally, we have applied our ideas to a real problem dealing with health outcome observations associated to a large number of countries around the world. Keywords:  Missing values, multiple imputation, Bayesian hierarchical linear model,      mixed effects model.

Keyphrases: valeurs manquantes, imputations multiples, modèle linéaire bayésien hiérarchique, modèle à effets mixtes, Missing values, multiple imputation, Bayesian hierarchical linear model, mixed effects model