Aggregations and Marginalization of GARCH and Stochastic Volatility Models

The GARCH and Stochastic Volatility paradigms are often brought into conflict as two competitive views of the appropriate conditional variance concept : conditional variance given past values of the same series or conditional variance given a larger past information (including possibly unobservable state variables). The main thesis of this paper is that, since in general the econometrician has no idea about something like a structural level of disaggregation, a well-written volatility model should be specified in such a way that one is always allowed to reduce the information set without invalidating the model. To this respect, the debate between observable past information (in the GARCH spirit) versus unobservable conditioning information (in the state-space spirit) is irrelevant. In this paper, we stress a square-root autoregressive stochastic volatility (SR-SARV) model which remains true to the GARCH paradigm of ARMA dynamics for squared innovations but weakens the GARCH structure in order to obtain required robustness properties with respect to various kinds of aggregation. It is shown that the lack of robustness of the usual GARCH setting is due to two very restrictive assumptions : perfect linear correlation between squared innovations and conditional variance on the one hand and linear relationship between the conditional variance of the future conditional variance and the squared conditional variance on the other hand. By relaxing these assumptions, thanks to a state-space setting, we obtain aggregation results without renouncing to the conditional variance concept (and related leverage effects), as it is the case for the recently suggested weak GARCH model which gets aggregation results by replacing conditional expectations by linear projections on symmetric past innovations. Moreover, unlike the weak GARCH literature, we are able to define multivariate models, including higher order dynamics and risk premiums (in the spirit of GARCH (p,p) and GARCH in mean) and to derive conditional moment restrictions well suited for statistical inference. Finally, we are able to characterize the exact relationships between our SR-SARV models (including higher order dynamics, leverage effect and in-mean effect), usual GARCH models and continuous time stochastic volatility models, so that previous results about aggregation of weak GARCH and continuous time GARCH modeling can be recovered in our framework. Les paradigmes GARCH et Volatilité Stochastique sont souvent opposés comme deux points de vue concurrents sur ce que serait un concept adéquat de variance conditionnelle : variance conditionnelle au passé du processus lui-même ou variance conditionnelle à une information passée plus large (incluant éventuellement des variables d'état non observables). La thèse principale de cet article est que, puisqu'en général l'économètre n'a pas d'idée sur ce que pourrait être un niveau structurel de désagrégation, un modèle de volatilité bien formulé devrait être spécifié de façon à ce que l'on puisse toujours réduire la filtration d'information sans invalider le modèle. De ce point de vue, le débat entre modèles à variables d'état observables (dans l'esprit GARCH) ou non observables (dans l'esprit état-mesure) est non pertinent. On met en exergue dans cet article un processus à volatilité stochastique autorégressive en racine carré (SR-SARV) qui reste conforme à la tradition GARCH d'une dynamique ARMA pour le carré des innovations, mais affaiblit la structure GARCH pour obtenir les propriétés requises d'invariance vis-à-vis des différents types d'agrégation. Il apparaît que le défaut d'invariance du modèle GARCH usuel est dû à deux hypothèses très restrictives : corrélation linéaire parfaite entre le carré de l'innovation et la variance conditionnelle d'une part, relation de proportionnalité entre la variance conditionnelle de la variance conditionnelle future et le carré de la variance conditionnelle d'autre part. En relâchant ces hypothèses grâce à une approche état-mesure, on parvient à démontrer des résultats d'agrégation sans renoncer au concept de variance conditionnelle (et aux effets de levier associés), à la différence du modèle GARCH faible récemment proposé et qui, lui, obtient les résultats d'agrégation en remplaçant les espérances conditionnelles par des projections linéaires sur les innovations passées supposées de loi symétrique. Un autre avantage de l'approche SR-SARV par rapport au modèle GARCH faible est de permettre des généralisations multivariées, incluant même éventuellement des dynamiques d'ordre supérieur et de primes de risque (dans l'esprit de GARCH(p,p) et de GARCH-M) et de fournir des restrictions de moments conditionnels qui peuvent être avantageusement exploitées pour l'inférence statistique. Enfin, nous caractérisons les relations d'inclusion entre nos modèles SR-SARV (y compris dans le cas de dynamique d'ordre supérieur, d'effet en moyenne et d'effet de levier) et les différentes classes de modèles GARCH et de modèles de diffusion à volatilité stochastique. Ces caractérisations impliquent que les résultats déjà disponibles dans la littérature au sujet de l'agrégation des GARCH faibles et de leur lien avec les modèles de diffusion apparaissent comme des corollaires des résultats de cet article.

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