Solvency considerations in the gamma-omega surplus model

Ce mémoire de maîtrise traite de la théorie de la ruine, et plus spécialement des modèles actuariels avec surplus dans lesquels sont versés des dividendes. Nous étudions en détail un modèle appelé modèle  gamma-omega, qui permet de jouer sur les moments de paiement de dividendes ainsi que sur une ruine non-standard de la compagnie. Plusieurs extensions de la littérature sont faites, motivées par des considérations liées à la solvabilité. La première consiste à adapter des résultats d’un article de 2011 à un nouveau modèle modifié grâce à l’ajout d’une contrainte de solvabilité. La seconde, plus conséquente, consiste à démontrer l’optimalité d’une stratégie de barrière pour le paiement des dividendes dans le modèle gamma-omega. La troisième concerne l’adaptation d’un théorème de 2003 sur l’optimalité des barrières en cas de contrainte de solvabilité, qui n’était pas démontré dans le cas des dividendes périodiques. Nous donnons aussi les résultats analogues à l’article de 2011 en cas de barrière sous la contrainte de solvabilité. Enfin, la dernière concerne deux différentes approches à adopter en cas de passage sous le seuil de ruine. Une liquidation forcée du surplus est mise en place dans un premier cas, en parallèle d’une liquidation à la première opportunité en cas de mauvaises prévisions de dividendes. Un processus d’injection de capital est expérimenté dans le deuxième cas. Nous étudions l’impact de ces solutions sur le montant des dividendes espérés. Des illustrations numériques sont proposées pour chaque section, lorsque cela s’avère pertinent. This master thesis is concerned with risk theory, and more specifically with actuarial surplus models with dividends. We focus on an important model, called the gamma-omega model, which is built to enable the study of both periodic dividend distributions and a non-standard type of ruin. We make several new extensions to this model, which are motivated by solvency considerations. The first one consists in adapting results from a 2011 paper to a new model built on the assumption of a solvency constraint. The second one, more elaborate, consists in proving the optimality of a barrier strategy to pay dividends in the gamma-omega model. The third one deals with the adaptation of a 2003 theorem on the optimality of barrier strategies in the case of solvency constraints, which was not proved right in the periodic dividend framework. We also give analogous results to the 2011 paper in case of an optimal barrier under the solvency constraint. Finally, the last one is concerned with two non-traditional ways of dealing with a ruin event. We first implement a forced liquidation of the surplus in parallel with a possibility of liquidation at first opportunity in case of bad prospects for the dividends. Secondly, we deal with injections of capital into the company reserve, and monitor their implications on the amount of expected dividends. Numerical illustrations are provided in each section, when relevant.

Keyphrases: Dividendes périodiques, Liquidation, Ruine oméga, Optimalité, Lemme de vérification, Injections de capital, Liquidation, Capital Injections, Periodic dividends, Omega ruin, Optimality, HJB equation