On Space-Time Trade-Off for Montgomery Multipliers over Finite Fields

La multiplication dans le corps de Galois à 2^m éléments (i.e. GF(2^m)) est une opérations très importante pour les applications de la théorie des correcteurs et de la cryptographie. Dans ce mémoire, nous nous intéressons aux réalisations parallèles de multiplicateurs dans GF(2^m) lorsque ce dernier est généré par des trinômes irréductibles. Notre point de départ est le multiplicateur de Montgomery qui calcule A(x)B(x)x^(-u) efficacement, étant donné A(x), B(x) in GF(2^m) pour u choisi judicieusement. Nous étudions ensuite l'algorithme diviser pour régner PCHS qui permet de partitionner les multiplicandes d'un produit dans GF(2^m) lorsque m est impair. Nous l'appliquons pour la partitionnement de A(x) et de B(x) dans la multiplication de Montgomery A(x)B(x)x^(-u) pour GF(2^m) même si m est pair. Basé sur cette nouvelle approche, nous construisons un multiplicateur dans GF(2^m) généré par des trinôme irréductibles. Une nouvelle astuce de réutilisation des résultats intermédiaires nous permet d'éliminer plusieurs portes XOR redondantes. Les complexités de temps (i.e. le délais) et d'espace (i.e. le nombre de portes logiques) du nouveau multiplicateur sont ensuite analysées:  1. Le nouveau multiplicateur demande environ 25% moins de portes logiques que les multiplicateurs de Montgomery et de Mastrovito lorsque GF(2^m) est généré par des trinômes irréductible et m est suffisamment grand. Le nombre de portes du nouveau multiplicateur est presque identique à celui du multiplicateur de Karatsuba proposé par Elia.  2. Le délai de calcul du nouveau multiplicateur excède celui des meilleurs multiplicateurs d'au plus deux évaluations de portes XOR.  3. Nous determinons le délai et le nombre de portes logiques du nouveau multiplicateur sur les deux corps de Galois recommandés par le National Institute of Standards and Technology (NIST). Nous montrons que notre multiplicateurs contient 15% moins de portes logiques que les multiplicateurs de Montgomery et de Mastrovito au coût d'un délai d'au plus une porte XOR supplémentaire. De plus, notre multiplicateur a un délai d'une porte XOR moindre que celui du multiplicateur d'Elia au coût d'une augmentation de moins de 1% du nombre total de portes logiques. The multiplication in a Galois field with 2^m elements (i.e. GF(2^m)) is an important arithmetic operation in coding theory and cryptography. In this thesis, we focus on the bit-  parallel multipliers over the Galois fields generated by trinomials. We start by introducing the GF(2^m) Montgomery multiplication, which calculates A(x)B(x)x^{-u} in GF(2^m)   with two polynomials A(x), B(x) in GF(2^m) and a properly chosen u. Then, we investigate the rule for multiplicand partition used by a divide-and-conquer algorithm PCHS   originally proposed for the multiplication over GF(2^m) with odd m. By adopting similar rules for splitting A(x) and B(x) in A(x)B(x)x^{-u}, we develop new Montgomery   multiplication formulae for GF(2^m) with m either odd or even. Based on this new approach, we develop the corresponding bit-parallel Montgomery multipliers for the Galois   fields generated by trinomials. A new bit-reusing trick is applied to eliminate redundant XOR gates from the new multiplier. The time complexity (i.e. the delay) and the   space complexity (i.e. the logic gate number) of the new multiplier are explicitly analysed:  1. This new multiplier is about 25% more efficient in the number of logic gates   than the previous trinomial-based Montgomery multipliers or trinomial-based Mastrovito multipliers on GF(2^m) with m big enough. It has a number of logic gates very close to   that of the Karatsuba multiplier proposed by Elia. 2. While having a significantly smaller number of logic gates, this new multiplier is at most two T_X larger in the total   delay than the fastest bit-parallel multiplier on GF(2^m), where T_X is the XOR gate delay. 3. We determine the space and time complexities of our multiplier on the two   fields  recommended by the National Institute of Standards and Technology (NIST). Having at most one more T_X in the total delay, our multiplier has a more-than-15% reduced   logic gate number compared with the other Montgomery or Mastrovito multipliers. Moreover, our multiplier is one T_X smaller in delay than the Elia's multiplier at the cost of   a less-than-1% increase in the logic gate number.

Keyphrases: Corps de Galois, Calcul parallèle, Trinôme irréductible, Galois ﬁeld, Multiplication Montgomery, Multiplication Karatsuba, Parallel computation, Montgomery multiplication, Karatsuba multiplication, Irreducible trinomial