Étude algorithmique et combinatoire de la méthode de Kemeny-Young et du consensus de classements

Une permutation est une liste qui ordonne des objets ou des candidats en fonction d’une préférence ou d’un critère. Des exemples sont les résultats d’un moteur de recherche sur l’internet, des classements d’athlètes, des listes de gènes liés à une maladie données par des méthodes de prédiction ou simplement des préférences d’activités à faire pour la pro- chaine fin de semaine. On peut être intéressé à agréger plusieurs permutations pour en obtenir une permutation consensus. Ce problème est bien connu en science politique et plusieurs méthodes existent pour agréger des permutations, chacune ayant ses propriétés mathématiques. Parmi ces méthodes, la méthode de Kemeny-Young, aussi nommée la médiane de permutations, permet de trouver un consensus qui minimise la somme des distances entre ce consensus et l’ensemble de permutations. Cette méthode détient plu- sieurs propriétés désirables. Par contre, elle est difficile à calculer, ouvrant par ce fait, la voie à de nombreux travaux de recherche. Une généralisation de ce problème permet de considérer les classements qui contiennent des égalités entre les objets classés et qui peuvent être incomplets en ne considérant qu’un sous-ensemble d’objets. Dans cette thèse nous étudions la méthode de Kemeny-Young sous différents aspects : — Premièrement, une réduction d’espace de recherche est proposée. Elle permet d’améliorer les temps de calcul d’approches exactes pour le problème. — Deuxièmement, une heuristique bien paramétrée est développée et sert par le gui- dage d’un algorithme exact branch-and-bound. Cet algorithme utilise aussi une nouvelle réduction d’espace. — Troisièmement, le cas particulier du problème sur trois permutations est investigué. Une réduction d’espace de recherche basée sur les graphes est proposée pour ce cas, suivi d’une borne inférieure très stricte. Deux conjectures sont émises et font le lien entre ce cas et le problème du 3-Hitting Set. — Finalement, une généralisation du problème est proposée et permet d’étendre nos travaux de réduction d’espace de recherche à l’agrégation de classements. A permutation is a list that orders objects or candidates with a preference function or a criterion. Some examples include results from a search engine on the internet, athlete rankings, lists of genes related to a disease given by prediction methods or simply the preference of activities for the next weekend. One might be interested to aggregate a set of permutations to get a consensus permutation. This problem is well known in political science and many methods exists that can aggregate permutations, each one having its mathematical properties. Among those methods, the Kemeny-Young method, also known as the median of permutations, finds a consensus that minimise the sum of distances between that consensus and the set of permutations. This method holds many desirable properties. On the other end, this method is difficult to calculate, thus opening the way for research works. A generalization of this problem considers rankings containing ties between the ranked objects and rankings that might be incomplete by considering only a subset of objects. In this thesis, we study the Kemeny-Young method under different aspects : — Firstly, a search space reduction technique is proposed. It improves the time com- plexity of exact algorithms for the problem. — Secondly, a well parameterized heuristic is developed and is used as guidance in a branch-and-bound exact algorithm. This algorithm also uses a new search space reduction technique. — Thirdly, the special case of the problem on three permutations is investigated. A search space reduction technique based on graphs is presented for this case, followed by a very tight lower bound. Two conjectures are stated and are linking this case with the 3-Hitting Set problem. — Finally, a generalization of the problem is proposed and allows us to extend our work on search space reduction techniques to the rank aggregation problem.

Keyphrases: méthode de Kemeny-Young, médiane de permutations, règle de Kemeny, distance de Kendall-tau, agrégation de classements, votes préférentiels, système de vote, classements, permutations, optimisation, algorithmes, permutations, consensus de classements, permutations, Kemeny-Young method, median of permutations, Kemeny’s rule, Kendall-tau distance, rank aggregation, ranking’s consensus, preferential votes, voting system, rankings, permutations, optimization, algorithms