Acculturation institutionnelle du chercheur, de l’enseignant et des élèves de 1re 
secondaire présentant des difficultés d’apprentissage dans la conception et  la gestion de situations-problèmes impliquant des nombres rationnels

Notre recherche s’intéresse à la transformation des rapports aux nombres  rationnels d’élèves de 1re secondaire présentant des difficultés d’apprentissage. Comme le montrent plusieurs recherches, le défi majeur auquel sont confrontés les enseignants, ainsi que les chercheurs, est de ne pas s’enliser dans le cercle vicieux d’une réduction des enjeux de l’apprentissage des nombres rationnels et des possibilités d’apprentissage de  l’élève en difficultés d’apprentissage, cet élève n’ayant pas ainsi la chance de mettre à l’épreuve ses connaissances, d’oser s’engager dans une démarche de construction de connaissances et d’apprécier les effets de son engagement cognitif.    Afin de relever ce défi, nous avons misé sur l’intégration harmonieuse de situations problèmes. Il nous a semblé que, dans une démarche d’acculturation, l’approche écologique soit tout indiquée pour penser une «dé-transposition/re-transposition didactique» (Antibi et Brousseau, 2000) et  reconstruire une mémoire porteuse d’espoirs (Brousseau et Centeno, 1998).     Notre recherche vise à: 1) caractériser la progression des démarches d’acculturation institutionnelle de l’enseignant, du chercheur et des élèves et leurs effets  sur les processus d’élaboration et de gestion des situations d’enseignement; 2) préciser l’évolution des connaissances, des habitus et des rapports des élèves aux nombres rationnels.     Notre intégration en classe, d’une durée de 6 mois, nous a permis d’apprécier les effets du processus d’acculturation. Nous avons noté des changements importants dans la topogénèse et la chronogénèse des savoirs (Mercier, 1995); alors qu’à notre entrée,  l’enseignante adoptait la démarche suivante, soit effectuer un exposé des savoirs et des  démarches que les élèves devaient consigner dans leurs notes de cours, afin de pouvoir  par la suite s’y référer pour effectuer des exercices et résoudre des problèmes, elle  modifiait progressivement cette démarche en proposant des problèmes qui pouvaient  permettre aux élèves de coordonner diverses connaissances et de construire ainsi des  savoirs  auxquels ils pouvaient faire référence dans la construction de leurs notes de cours qu’ils pouvaient par la suite consulter pour effectuer divers exercices. Nous avons également pu apprécier les effets de l’intégration de diverses représentations des nombres rationnels sur l’avancée du temps didactique (Mercier, 1995) et la transformation des rapports et habitus des élèves aux nombres rationnels (Bourdieu, 1980). Ces changements se sont manifestés, entre autres, par : a) un investissement important lors de situations complexes; b) l’adoption de pratiques mathématiques plus attentives aux données numériques et aux relations entre ces données; c) l’apparition de conduites « inusitées » [ex. coordination de divers registres sémiotiques,exploitation de compositions additives/multiplicatives et d’écritures non conventionnelles]. De telles conduites sont similaires à celles observées dans plusieurs recherches effectuées auprès d’une population d’élèves qui ne présentent pas de difficultés d’apprentissage (Moss et Case, 1999). Les résultats de notre recherche soutiennent donc l’importance indéniable de considérer les élèves en difficultés comme étant mathématiquement compétents, comme le soulignent Empson (2003) et Houssart (2002). Il nous semble enfin important de souligner que le travail sur la représentation des nombres rationnels a constitué une niche particulièrement fertile, pour un travail fondamental sur les nombres rationnels, travail qui puisse permettre aux élèves de poursuivre plus harmonieusement leurs apprentissages, les nombres rationnels étant des objets de savoir incontournables. Our research looks at how grade seven students with learning disabilities deal  with rational numbers. Several studies have shown the biggest hurdle facing teachers and  researchers is to avoid getting into the vicious cycle of minimizing the issues related to learning rational numbers and learning opportunities of students with a learning disability, which results in students not having the chance to test their knowledge, not taking the risk of becoming involved in their knowledge construction process and not appreciating the impact of their cognitive engagements.    In order to address this challenge, we integrated complex situations. Taking an  acculturation approach, we found the ecological model to be a fitting tool to consider a “dé-transposition/ré-transportation didactique” (Antibi and Brousseau, 2000) and to rebuild a hope-filled memory (Brousseau et Centeno, 1998).    The aim of our research was to: 1) characterize changes in the institutional  acculturation processes of the teacher, the researcher and the students as well as their  effects on developing and managing teaching situations and 2) identify changes in  students’ knowledge of, habits related to and relationship with rational numbers.    Our own six-month classroom integration allowed us to appreciate the effects of  the acculturation process. We noted significant changes in the topogenesis and  chronogenesis of knowledge (Mercier, 1995). Initially, the teacher used the following  approach: she presented the material and the steps the students would need to do; the  students took notes they would then refer to when doing exercises and solving problems.  The teacher would subsequently modify this approach by presenting problems that would  allow students to bring together the different knowledge they had acquired, thus  reconstructing the knowledge they could refer to when making course notes. The students could refer to these notes when completing subsequent exercises. We were also able to observe the effects of integrating various representations of rational numbers on the advancement of didactical timelines (Mercier, 1995) as well as the changes in students’ relationship with and habits related to rational numbers (Bourdieu, 1980). These changes manifested themselves in several ways: a) a noticeable effort during complex situations; b) the use of mathematical methods that took into account the numerical data sets and the  relationship between these sets of data; c) the appearance of “unusual” behaviours [e.g.  coordination of different semiotic registers, using additive/multiplicative operations and non-conventional writing]. Similar behaviours have been observed in several studies conducted on students who did not show signs of learning disabilities (Moss et Case, 1999). Our findings support the obvious importance of considering students with learning disabilities as being mathematically competent, as highlighted by Empson (2003) and Houssart (2002). We feel it is important to note that work done on the representation of rational numbers provided a particularly fertile niche for work on rational numbers, an essential element of knowledge, that would allow students to experience a more harmonious learning process.

Keyphrases: didactique des mathématiques, nombres rationnels, difficulté d'apprentissage, démarche écologique, résolution de problèmes, mathematics education, rational numbers, learning disabilities, ecological approach, problem solving