Superintégrabilité avec séparation de variables en coordonnées polaires et intégrales du mouvement d’ordre supérieur à deux

Dans cette thèse, nous proposons de nouveaux résultats de systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires. Dans un premier temps, nous présentons une classification complète de tous les systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires qui admettent une intégrale du mouvement d'ordre trois. Des potentiels s'exprimant en terme de la sixième transcendante de Painlevé et de la fonction elliptique de Weierstrass sont présentés. Ensuite, nous introduisons une famille infinie de systèmes classiques et quantiques  intégrables et exactement résolubles en coordonnées polaires. Cette famille s'exprime en terme d'un paramètre k. Le spectre d'énergie et les fonctions d'onde des systèmes quantiques sont présentés. Une conjecture postulant la superintégrabilité de ces systèmes est formulée et est vérifiée pour k=1,2,3,4. L'ordre des intégrales du mouvement proposées est 2k où k ∈  ℕ. La structure algébrique de la famille de systèmes quantiques est formulée en terme d'une algèbre cachée où le nombre de générateurs dépend du paramètre k. Une généralisation quasi-exactement résoluble et intégrable de la famille de potentiels  est proposée. Finalement, les trajectoires classiques de la famille de systèmes sont calculées pour tous les cas rationnels k ∈  ℚ.  Celles-ci s'expriment en terme des polynômes de  Chebyshev. Les courbes associées aux trajectoires sont présentées  pour les premiers cas  k=1, 2, 3, 4, 1/2, 1/3 et 3/2 et les trajectoires bornées sont fermées et périodiques dans l'espace des phases. Ainsi,  les résultats obtenus viennent renforcer la possible véracité de la conjecture. In this thesis, we propose new superintegrable systems separable in polar coordinates. After the introduction, in chapter 2, we present a complete classification of all separable systems in polar coordinates  which admit a third order integral in addtion to the second order one responsible for the separation of variables. New potentials expressed in terms of the sixth Painlevé transcendent and of the Weierstrass elliptic function are obtained. In chapter 3 we introduce an infinite family of integrable and exactly sovable classical and quantum systems separable in polar coordinates. This family is described in term of a parameter k. The energy spectrum and the  wave functions of the quantum systems are obtained. A conjecture postulating the superintegrability of these systems is formulated and is verified for the first cases k = 1,2,3,4. The order of the integrals is 2k where k ∈  ℕ. The algebraic structure of the family of quantum systems is formulated in term of a hidden algebra where the number of generators depends on the parameter k. A quasi-exactly solvable and integrable  generalization of the family of potentials is proposed. Finally in chapter 4, the classical trajectories of the family of systems are calculated for all the rational cases k ∈  ℚ. Those are expressed in term of  Chebyshev polynomials. We plot the curves associated with the trajectories for  k=1,2,3,4,1/2, 1/3 and 3/2. The bounded curves are closed and periodic in the two dimensional phase space. Those results obtained reinforce the possible veracity of the conjecture.

Keyphrases: intégrabilité, superintégrabilité, exactement résoluble, propriété de Painlevé, séparation de variables, transcendantes de Painlevé, Painlevé property, Painlevé transcendents, integrability, superintegrability, exactly solvable, separation of variables