Géométrie nodale et valeurs propres de l’opérateur de Laplace et du p-laplacien

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété.   Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques.  L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire.   Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement,  je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann,  E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage.  Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse. The main topic of the present thesis is spectral geometry. This area of mathematics is concerned with establishing links between the geometry of a Riemannian manifold and its spectrum. The spectrum of a closed Riemannian manifold M equipped with a Riemannian metric g associated with the Laplace-Beltrami operator is a sequence of non-negative numbers tending to infinity. The square root of any number of this sequence represents a frequency of vibration of the manifold.   This thesis consists of four articles all related to various aspects of spectral geometry. The first paper, “Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunction”, is presented in Chapter 1. Nodal geometry of various elliptic operators, such as the Laplace-Beltrami operator, is studied. The goal of this paper is to generalize a result due to L. Polterovich and M. Sodin that gives a bound on the distribution of nodal extrema on a Riemann surface for a large class of functions, including eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator. The proof given by L. Polterovich and M. Sodin is only valid for Riemann surfaces. Therefore, I present a different approach to the problem that works for eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator on Riemannian manifolds of arbitrary dimension.   The second and the third papers of this thesis are focused on a different elliptic operator, namely the p-Laplacian. This operator has the particularity of being non-linear. The article “Principal frequency of the p-Laplacian and the inradius of Euclidean domains” is presented in Chapter 2. It discusses lower bounds on the first eigenvalue of the Dirichlet eigenvalue problem for the p-Laplace operator in terms of the inner radius of the domain. In particular, I show that if p is greater than the dimension, then it is possible to prove such lower bound without any hypothesis on the topology of the domain. Such bounds have previously been studied by well-known mathematicians, such as W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos, and T. Carroll. Their papers are mostly oriented toward the case of the usual Laplace operator. The generalization of such lower bounds for the p-Laplacian is done in my third paper, “Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian”. It is presented in Chapter 3.  My fourth paper, “Wolf-Keller theorem of Neumann Eigenvalues”, is a joint work with Guillaume Roy-Fortin. This paper is concerned with the shape optimization problem in the case of the Laplace operator with Neumann boundary conditions. The main result of our paper is that eigenvalues of the Neumann boundary problem are not always maximized by disks among planar domains of given area. This joint work is presented in Chapter 4.

Keyphrases: Opérateur de Laplace-Beltrami, p-laplacien, Géométrie nodale, Conditions aux limites de Dirichlet et de Neumann, Fonctions propres, Valeurs propres, Rayon inscrit, Optimisation de formes, Eigenfunctions, Eigenvalues, Inradius, Laplace-Beltrami operator, Nodal geometry, Dirichlet and Neumann boundary conditions, Eigenfunctions, Eigenvalues, Inradius, Shape optimization