L'éclatement en géométrie algébrique, différentielle et symplectique

L'éclatement est une transformation jouant un rôle important en géométrie, car il permet de résoudre des  singularités, de relier des variétés birationnellement équivalentes, et de construire des variétés possédant des propriétés inédites.  Ce mémoire présente d'abord l'éclatement tel que développé en géométrie algébrique classique. Nous l'étudierons pour le cas des  variétés affines et (quasi-)projectives, en un point, et le long d'un idéal et d'une sous-variété. Nous poursuivrons en étudiant l'extension de cette construction à la catégorie  différentiable, sur les corps réels et complexes, en un point et le long d'une sous-variété. Nous conclurons cette section en  explorant un exemple de résolution de singularité. Ensuite nous passerons à la catégorie  symplectique, où nous ferons la même chose que pour le cas différentiable complexe, en portant une attention particulière à  la forme symplectique définie sur la variété. Nous terminerons en étudiant un théorème dû à François Lalonde, où l'éclatement  joue un rôle clé dans la démonstration. Ce théorème affirme que toute 4-variété fibrée par des 2-sphères sur une surface de  Riemann, et différente du produit cartésien de deux 2-sphères, peut être équipée d'une 2-forme qui lui confère une structure  symplectique réglée par des courbes holomorphes par rapport à sa structure presque complexe, et telle que l'aire symplectique de la base est inférieure à la capacité de la variété. La preuve repose  sur l'utilisation de l'éclatement symplectique. En effet, en éclatant symplectiquement une boule contenue dans la 4-variété, il est possible d'obtenir une fibration contenant deux sphères d'auto-intersection -1 distinctes: la pré-image du point où est fait l'éclatement complexe usuel, et la transformation propre de la fibre. Ces  dernières sont dites exceptionnelles, et donc il est possible de procéder à l'inverse de l'éclatement - la contraction - sur  chacune d'elles. En l'accomplissant sur la deuxième, nous obtenons une variété minimale, et en combinant les informations  sur les aires symplectiques de ses classes d'homologies et de celles de la variété originale nous obtenons le résultat. The blow-up is a transformation which plays an important role in geometry, because it can be used to resolve singularities,  relate birationally equivalent varieties, and construct varieties with new properties. This thesis first presents blowing-up as  developped in classical algebraic geometry. We will study it in the case of affine and (quasi-)projective varieties, on a point and  along an ideal and a subvariety. Then a discussion about its extension to the differential category will be carried out, over the real and complex  fields, on a point and along a submanifold. An example of a resolution of singularity will then follow. Subsequently we will discuss  blowing-up in the symplectic category, where we will do the same as for complex manifolds, paying careful  attention to the symplectic form. To conclude, we will study a theorem by François Lalonde, where the symplectic blow-up  plays a major part in proof. This theorem states that any 4-variety fibered by 2-spheres over a Riemann surface, and  different than the Cartesian product of two 2-spheres, can be equiped with a 2-form giving it a symplectic structure ruled by curves that are  holomorphic with respect to its almost-complex structure, and such that the symplectic area of the base is smaller that  the capacity of the variety. In the proof, we blow up a ball in the 4-variety, and obtain a fibration containing two distinct spheres with  a self-intersection equal to -1: the pre-image of the point where the usual complex blow-up is done, and  the proper transform of the fiber. These two are exceptional, so it is possible to do the inverse operation - the blow down -  on each of them. By blowing down the latter, we get a minimal variety, and by combining information about the  symplectic area of its homology classes and of those of the original variety, we obtain the result.

Keyphrases: Géométrie algébrique classique, Éclatement réel, Éclatement complexe, Éclatement symplectique, Éclatement le long d'une sous-variété, Classical algebraic geometry, Real blow up, Complex blow up, Symplectic blow up, Blow up along a submanifold