user-0 提问: 【求助】编程找反例：q=p+2^n*(2^m-1)是否成立？

回复:
user: user-1
content: 用过筛法可以在线性时间求解，但我算了下4294967291以内无反例

user: user-2
content: 引用 5 楼 lcbex 的回复:回4楼： 可能是我表述不清楚，你对问题3的理解有误。  /* 问题3：q是否一定可以表示成p+2^n*(2^m-1)的形式？ 答案：不确定，在10000000以内没有反例。 */ 正确的理解是： q=p+(2^n)*((2^m)-1) =p+2^(n+m)-2^n =p+2^a-2^b (a>b≥1).  —————————————————————————————————— 问题3的集合描述： /* 集合A={ p+2^a-2^b | p为正的奇素数，a>b≥1。} 集合B={ 2k+3 | k为正整数} 则A=B。 */  另外，对于问题3，我已经验证到2亿，未出现反例。 不是我理解有误，是问题表述不准确 q=p+(2^n)*((2^m)-1) 和 q=p+2^n*((2^m)-1) 不是等价的概念 当然也是因为这里不能编辑公式造成的！ 命题换了，重新来 q - p = t t = 2^n   *   (2^m    -     1) 测定t是不是等号右边这样的 对t每次向右移1位，测定是不是2^m    -     1 x = 2^m -1, 测定公式：x&(x + 1) 其他和原来一样

user: user-0
content: 回4楼： 可能是我表述不清楚，你对问题3的理解有误。  /* 问题3：q是否一定可以表示成p+2^n*(2^m-1)的形式？ 答案：不确定，在10000000以内没有反例。 */ 正确的理解是： q=p+(2^n)*((2^m)-1) =p+2^(n+m)-2^n =p+2^a-2^b (a>b≥1).  —————————————————————————————————— 问题3的集合描述： /* 集合A={ p+2^a-2^b | p为正的奇素数，a>b≥1。} 集合B={ 2k+3 | k为正整数} 则A=B。 */  另外，对于问题3，我已经验证到2亿，未出现反例。

user: user-3
content: 仅供参考：#include <iostream> #include <string> using namespace std; inline int compare(string str1,string str2) {//相等返回0，大于返回1，小于返回-1          if (str1.size()>str2.size()) return 1; //长度长的整数大于长度小的整数     else if (str1.size()<str2.size()) return -1;     else                              return str1.compare(str2); //若长度相等，则头到尾按位比较 } string SUB_INT(string str1,string str2); string ADD_INT(string str1,string str2) {//高精度加法     int sign=1; //sign 为符号位     string str;     if (str1[0]=='-') {         if (str2[0]=='-') {             sign=-1;             str=ADD_INT(str1.erase(0,1),str2.erase(0,1));         } else {             str=SUB_INT(str2,str1.erase(0,1));         }     } else {         if (str2[0]=='-') {             str=SUB_INT(str1,str2.erase(0,1));         } else { //把两个整数对齐，短整数前面加0补齐             string::size_type L1,L2;             int i;             L1=str1.size();             L2=str2.size();             if (L1<L2) {                 for (i=1;i<=L2-L1;i++) str1="0"+str1;             } else {                 for (i=1;i<=L1-L2;i++) str2="0"+str2;             }             int int1=0,int2=0; //int2 记录进位             for (i=str1.size()-1;i>=0;i--) {                 int1=(int(str1[i])-'0'+int(str2[i])-'0'+int2)%10;                 int2=(int(str1[i])-'0'+int(str2[i])-'0'+int2)/10;                 str=char(int1+'0')+str;             }             if (int2!=0) str=char(int2+'0')+str;         }     }     //运算后处理符号位     if ((sign==-1)&&(str[0]!='0')) str="-"+str;     return str; } string SUB_INT(string str1,string str2) {//高精度减法     int sign=1; //sign 为符号位     string str;     int i,j;     if (str2[0]=='-') {         str=ADD_INT(str1,str2.erase(0,1));     } else {         int res=compare(str1,str2);         if (res==0) return "0";         if (res<0) {             sign=-1;             string temp =str1;             str1=str2;             str2=temp;         }         string::size_type tempint;         tempint=str1.size()-str2.size();         for (i=str2.size()-1;i>=0;i--) {             if (str1[i+tempint]<str2[i]) {                 j=1;                 while (1) {//zhao4zhong1添加                     if (str1[i+tempint-j]=='0') {                         str1[i+tempint-j]='9';                         j++;                     } else {                         str1[i+tempint-j]=char(int(str1[i+tempint-j])-1);                         break;                     }                 }                 str=char(str1[i+tempint]-str2[i]+':')+str;             } else {                 str=char(str1[i+tempint]-str2[i]+'0')+str;             }         }         for (i=tempint-1;i>=0;i--) str=str1[i]+str;     }     //去除结果中多余的前导0     str.erase(0,str.find_first_not_of('0'));     if (str.empty()) str="0";     if ((sign==-1) && (str[0]!='0')) str ="-"+str;     return str; } string MUL_INT(string str1,string str2) {//高精度乘法     int sign=1; //sign 为符号位     string str;     if (str1[0]=='-') {         sign*=-1;         str1 =str1.erase(0,1);     }     if (str2[0]=='-') {         sign*=-1;         str2 =str2.erase(0,1);     }     int i,j;     string::size_type L1,L2;     L1=str1.size();     L2=str2.size();     for (i=L2-1;i>=0;i--) { //模拟手工乘法竖式         string tempstr;         int int1=0,int2=0,int3=int(str2[i])-'0';         if (int3!=0) {             for (j=1;j<=(int)(L2-1-i);j++) tempstr="0"+tempstr;             for (j=L1-1;j>=0;j--) {                 int1=(int3*(int(str1[j])-'0')+int2)%10;                 int2=(int3*(int(str1[j])-'0')+int2)/10;                 tempstr=char(int1+'0')+tempstr;             }             if (int2!=0) tempstr=char(int2+'0')+tempstr;         }         str=ADD_INT(str,tempstr);     }     //去除结果中的前导0     str.erase(0,str.find_first_not_of('0'));     if (str.empty()) str="0";     if ((sign==-1) && (str[0]!='0')) str="-"+str;     return str; } string DIVIDE_INT(string str1,string str2,int flag) {//高精度除法。flag==1时,返回商; flag==0时,返回余数     string quotient,residue; //定义商和余数     int sign1=1,sign2=1;     if (str2 == "0") {  //判断除数是否为0         quotient= "ERROR!";         residue = "ERROR!";         if (flag==1) return quotient;         else         return residue ;     }     if (str1=="0") { //判断被除数是否为0         quotient="0";         residue ="0";     }     if (str1[0]=='-') {         str1   = str1.erase(0,1);         sign1 *= -1;         sign2  = -1;     }     if (str2[0]=='-') {         str2   = str2.erase(0,1);         sign1 *= -1;     }     int res=compare(str1,str2);     if (res<0) {         quotient="0";         residue =str1;     } else if (res == 0) {         quotient="1";         residue ="0";     } else {         string::size_type L1,L2;         L1=str1.size();         L2=str2.size();         string tempstr;         tempstr.append(str1,0,L2-1);         for (int i=L2-1;i<L1;i++) { //模拟手工除法竖式             tempstr=tempstr+str1[i];             tempstr.erase(0,tempstr.find_first_not_of('0'));//zhao4zhong1添加             if (tempstr.empty()) tempstr="0";//zhao4zhong1添加             for (char ch='9';ch>='0';ch--) { //试商                 string str;                 str=str+ch;                 if (compare(MUL_INT(str2,str),tempstr)<=0) {                     quotient=quotient+ch;                     tempstr =SUB_INT(tempstr,MUL_INT(str2,str));                     break;                 }             }         }         residue=tempstr;     }     //去除结果中的前导0     quotient.erase(0,quotient.find_first_not_of('0'));     if (quotient.empty()) quotient="0";     if ((sign1==-1)&&(quotient[0]!='0')) quotient="-"+quotient;     if ((sign2==-1)&&(residue [0]!='0')) residue ="-"+residue ;     if (flag==1) return quotient;     else         return residue ; } string DIV_INT(string str1,string str2) {//高精度除法,返回商     return DIVIDE_INT(str1,str2,1); } string MOD_INT(string str1,string str2) {//高精度除法,返回余数     return DIVIDE_INT(str1,str2,0); } int main() {     char ch;     string s1,s2,res;      while (cin>>s1>>ch>>s2) {         switch (ch) {             case '+':res=ADD_INT(s1,s2);break;             case '-':res=SUB_INT(s1,s2);break;             case '*':res=MUL_INT(s1,s2);break;             case '/':res=DIV_INT(s1,s2);break;             case '%':res=MOD_INT(s1,s2);break;             default :                   break;         }         cout<<res<<endl;     }     return(0); }

user: user-2
content: /*    定义：q是任意一个大于3的奇数，p为正的奇素数，k、m、n为正整数。     问题1：q是否一定可以表示成p+2^k的形式？    答案：否，在10000000以内共有421862个反例，最小的反例为q=127。    备注：有人证明p+2^k形式的数在整数中具有正密度。     问题2：q是否一定可以表示成p+2^n*3^(m-1)的形式？    答案：否，在10000000以内共有18056个反例，最小的反例为q=1719。     问题3：q是否一定可以表示成p+2^n*(2^m-1)的形式？    答案：不确定，在10000000以内没有反例。     求助：将问题3验证到10亿甚至100亿，看是否存在反例。   */  /*    q=p+2^n*(2^m-1)     => q - p = 2^n*(2^m-1)     令x = n*(2^m -1)    	=> q - p = 2^x; 其中x一定是一个正整数 	由2^x > 2 => q > p + 2 	判断一个整数y是不是2^x公式：y&(y-1) == 0是否成立  	当m = 1时，x = n,很显然简化成了问题1 	当m > 1时，才是问题3讨论的意义    ULL=8B=64bits 能表示的最大值>10^19    很明显大于100亿  */  #include <stdio.h> #include <stdlib.h>  #include <malloc.h>  #include <math.h>  #define RIGHT_BOUNDARY 1000000ULL//这里适当放大，否则运行时间很长 #define BITS (sizeof(unsigned long long) * 8)   int is_prime(unsigned long long num) { 	unsigned long i; 	for(i = 2; i < sqrt(num); i++) { 		if(num % i == 0) 			return 0; 	} 	return 1; }  int is_comp(unsigned long long power) { 	int i; 	for(i = 1; i < BITS; ++i) { 		if(power % ((0x2ULL << i) - 1) == 0)//0x2->0x1就蜕变成问题1 			return 1; 	} 	return 0; }  int main(int argc, char *argv[]) { 	unsigned long long *prime_tbl; 	unsigned long long i, tst, tmp; 	unsigned long nr; 	unsigned long top;  	prime_tbl = (unsigned long long *)malloc(sizeof(unsigned long long) * RIGHT_BOUNDARY / 2); 	if(prime_tbl == NULL) { 		perror("fail:"); 		exit(0); 	}  	nr = 0; 	top = 1; 	prime_tbl[0] = 2;  	for(tst = 3; tst < RIGHT_BOUNDARY; tst += 2) { 		for(i = 0; i < top; ++i) { 			tmp = tst - prime_tbl[i]; 			if(tmp > 2 && !(tmp & (tmp - 1)) && is_comp(tmp)) { 				++nr; 				printf("%lld -  %lld = %lld\n", tst, prime_tbl[i], tmp); 			} 		} 		if(is_prime(tst)) { 			prime_tbl[top++] = tst; 		} 	}  	printf("sum : %ld\n", nr); }   这是最直接的思想：边检测，边添加素数表。运算量稍大，大概O(n2),当检测区间很大时，有点不可行。有待优化，仅供参考！

user: user-4
content: 引用 1 楼 zhao4zhong1 的回复:仅供参考：#include <iostream> #include <string> using namespace std; inline int compare(string str1,string str2) {//相等返回0，大于返回1，小于返回-1          if (str1.size()>str2.size()) return 1; //长度长的整数大于长度小的整数     else if (str1.size()<str2.size()) return -1;     else                              return str1.compare(str2); //若长度相等，则头到尾按位比较 } string SUB_INT(string str1,string str2); string ADD_INT(string str1,string str2) {//高精度加法     int sign=1; //sign 为符号位     string str;     if (str1[0]=='-') {         if (str2[0]=='-') {             sign=-1;             str=ADD_INT(str1.erase(0,1),str2.erase(0,1));         } else {             str=SUB_INT(str2,str1.erase(0,1));         }     } else {         if (str2[0]=='-') {             str=SUB_INT(str1,str2.erase(0,1));         } else { //把两个整数对齐，短整数前面加0补齐             string::size_type L1,L2;             int i;             L1=str1.size();             L2=str2.size();             if (L1<L2) {                 for (i=1;i<=L2-L1;i++) str1="0"+str1;             } else {                 for (i=1;i<=L1-L2;i++) str2="0"+str2;             }             int int1=0,int2=0; //int2 记录进位             for (i=str1.size()-1;i>=0;i--) {                 int1=(int(str1[i])-'0'+int(str2[i])-'0'+int2)%10;                 int2=(int(str1[i])-'0'+int(str2[i])-'0'+int2)/10;                 str=char(int1+'0')+str;             }             if (int2!=0) str=char(int2+'0')+str;         }     }     //运算后处理符号位     if ((sign==-1)&&(str[0]!='0')) str="-"+str;     return str; } string SUB_INT(string str1,string str2) {//高精度减法     int sign=1; //sign 为符号位     string str;     int i,j;     if (str2[0]=='-') {         str=ADD_INT(str1,str2.erase(0,1));     } else {         int res=compare(str1,str2);         if (res==0) return "0";         if (res<0) {             sign=-1;             string temp =str1;             str1=str2;             str2=temp;         }         string::size_type tempint;         tempint=str1.size()-str2.size();         for (i=str2.size()-1;i>=0;i--) {             if (str1[i+tempint]<str2[i]) {                 j=1;                 while (1) {//zhao4zhong1添加                     if (str1[i+tempint-j]=='0') {                         str1[i+tempint-j]='9';                         j++;                     } else {                         str1[i+tempint-j]=char(int(str1[i+tempint-j])-1);                         break;                     }                 }                 str=char(str1[i+tempint]-str2[i]+':')+str;             } else {                 str=char(str1[i+tempint]-str2[i]+'0')+str;             }         }         for (i=tempint-1;i>=0;i--) str=str1[i]+str;     }     //去除结果中多余的前导0     str.erase(0,str.find_first_not_of('0'));     if (str.empty()) str="0";     if ((sign==-1) && (str[0]!='0')) str ="-"+str;     return str; } string MUL_INT(string str1,string str2) {//高精度乘法     int sign=1; //sign 为符号位     string str;     if (str1[0]=='-') {         sign*=-1;         str1 =str1.erase(0,1);     }     if (str2[0]=='-') {         sign*=-1;         str2 =str2.erase(0,1);     }     int i,j;     string::size_type L1,L2;     L1=str1.size();     L2=str2.size();     for (i=L2-1;i>=0;i--) { //模拟手工乘法竖式         string tempstr;         int int1=0,int2=0,int3=int(str2[i])-'0';         if (int3!=0) {             for (j=1;j<=(int)(L2-1-i);j++) tempstr="0"+tempstr;             for (j=L1-1;j>=0;j--) {                 int1=(int3*(int(str1[j])-'0')+int2)%10;                 int2=(int3*(int(str1[j])-'0')+int2)/10;                 tempstr=char(int1+'0')+tempstr;             }             if (int2!=0) tempstr=char(int2+'0')+tempstr;         }         str=ADD_INT(str,tempstr);     }     //去除结果中的前导0     str.erase(0,str.find_first_not_of('0'));     if (str.empty()) str="0";     if ((sign==-1) && (str[0]!='0')) str="-"+str;     return str; } string DIVIDE_INT(string str1,string str2,int flag) {//高精度除法。flag==1时,返回商; flag==0时,返回余数     string quotient,residue; //定义商和余数     int sign1=1,sign2=1;     if (str2 == "0") {  //判断除数是否为0         quotient= "ERROR!";         residue = "ERROR!";         if (flag==1) return quotient;         else         return residue ;     }     if (str1=="0") { //判断被除数是否为0         quotient="0";         residue ="0";     }     if (str1[0]=='-') {         str1   = str1.erase(0,1);         sign1 *= -1;         sign2  = -1;     }     if (str2[0]=='-') {         str2   = str2.erase(0,1);         sign1 *= -1;     }     int res=compare(str1,str2);     if (res<0) {         quotient="0";         residue =str1;     } else if (res == 0) {         quotient="1";         residue ="0";     } else {         string::size_type L1,L2;         L1=str1.size();         L2=str2.size();         string tempstr;         tempstr.append(str1,0,L2-1);         for (int i=L2-1;i<L1;i++) { //模拟手工除法竖式             tempstr=tempstr+str1[i];             tempstr.erase(0,tempstr.find_first_not_of('0'));//zhao4zhong1添加             if (tempstr.empty()) tempstr="0";//zhao4zhong1添加             for (char ch='9';ch>='0';ch--) { //试商                 string str;                 str=str+ch;                 if (compare(MUL_INT(str2,str),tempstr)<=0) {                     quotient=quotient+ch;                     tempstr =SUB_INT(tempstr,MUL_INT(str2,str));                     break;                 }             }         }         residue=tempstr;     }     //去除结果中的前导0     quotient.erase(0,quotient.find_first_not_of('0'));     if (quotient.empty()) quotient="0";     if ((sign1==-1)&&(quotient[0]!='0')) quotient="-"+quotient;     if ((sign2==-1)&&(residue [0]!='0')) residue ="-"+residue ;     if (flag==1) return quotient;     else         return residue ; } string DIV_INT(string str1,string str2) {//高精度除法,返回商     return DIVIDE_INT(str1,str2,1); } string MOD_INT(string str1,string str2) {//高精度除法,返回余数     return DIVIDE_INT(str1,str2,0); } int main() {     char ch;     string s1,s2,res;      while (cin>>s1>>ch>>s2) {         switch (ch) {             case '+':res=ADD_INT(s1,s2);break;             case '-':res=SUB_INT(s1,s2);break;             case '*':res=MUL_INT(s1,s2);break;             case '/':res=DIV_INT(s1,s2);break;             case '%':res=MOD_INT(s1,s2);break;             default :                   break;         }         cout<<res<<endl;     }     return(0); }   减法有问题：

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content: 一楼犀利，好身手