Ondelettes et intégrale de Cauchy sur les courbes lipschitziennes

We give a new real-variable proof of the L2-boundedness of the Cauchy integral on Lipschitz curves, by constructing appropriate bases of wavelets on L2(R). What is new is the role played by the so-called multiscale analysis, and especially the notion of orthogonality. Resume Nous donnons une nouvelle preuve de la continuite de l'integrale de Cauchy sur l'espace L2 associe aux courbes lipschitziennes, par des methodes de variable reelle. Pour cela, nous construisons une base d'ondelettes adaptees au probleme sur L2(R), en utilisant la notion d'analyse multi-echelle, et notamment certaines relations d'orthogonalite. Sous sa forme premiere, celle qui a ete utilisee par A. P. Calderon des 1964 ([1]), la transformation en ondelettes s'ecrit +00 dadb (1) Vf E L2(R), ff Rf vab) Jab a Dans cette formule, les ondelettes sont les fonctions l~a b(X) a'/24(ax b). Elles decrivent l'orbite sous l'action du groupe affine d'une fonction 4 de L2(R) telle que f+0 '(aa) 12( da/a) = 2,g pour tout ( # 0 (voir dans [5] l'elucidation des rapports avec la theorie des representations). Ce type de decomposition est apparu comme le moyen approprie pour etudier la continuite des operateurs integraux singuliers dont le noyau est de Calderon-Zygmund; voir [4], [7] et [10] (dans cette derniere reference, le lecteur peu familier avec ces operateurs trouvera un expose des resultats necessaires a la comprehension de cet article). L'idee directrice est que, si T est un tel operateur verifiant en plus T(1) = T*(1) = 0, alors T( a4 b) est egalement une ondelette. Dans le langage de G. Weiss, disons que, si 4,a b est un atome, T( a b) est une molecule. This content downloaded from 157.55. 39.127 on Sun, 26 Jun 2016 06:45:57 UTC All use subject to http://about.jstor. org/terms 642 PH. TCHAMITCHIAN Des versions discretes de (1) ont ete developpees recemment, par exemple sous la forme (2) f (f, 4jk)4'j,k' j, keZ o' 'P, k(X) = 2j"24(2jx k), 't eant convenablement choisie. Cela a permis de construire des bases de L2 et d'autres espaces fonctionnels (hilbertiennes ou inconditionnelles). La nature de ces bases est maintenant comprise, gr~ace a la notion d'analyse multi-echelle ([9]). En theorie des operateurs, il semble que, par rapport aux versions continues (1), ce type de construction permette un calcul plus riche et plus aise. La preuve de l'impossibilite d'un calcul symbolique sur les operateurs de Calderon-Zygmund ([11]) etait une indication allant deja dans ce sens. Nous presentons ici une nouvelle preuve de la continuite de l'operateur de Cauchy sur les courbes lipschitziennes (theoreme de Coifman-McIntosh-Meyer [2]), fondee sur les idees d'analyse multi-echelle. Considerons F une courbe lipschitzienne, graphe d'une fonction A, definie sur R et a valeurs reelles, derivable presque partout et a derivee bornee. L'operateur de Cauchy associe, note CA, est 1 fAY) CAf(X) = P 7Ti JRX y i( A( (y)) dy. Le theoreme de Coifman-McIntosh-Meyer affirme que CA est un operateur continu sur L2(R). Nous le redemontrons, a partir du resultat suivant: THEOREME 1. Posons b(x) = 1 + iA'(x), et definissons la forme bilineaire sym'trique B par B(f, g) = fRf(x)g(x)b(x) dx. I1 existe une famille de b-ondelettes E1 k' j, k E Z. et deux constantes C, a > 0. telles que (3) 10? j k(X)l B(f, Ejk)ejk j, k Par consequent, dans la base des 9j k5 la matrice de l'operateur CA est donnee par les coefficients B(CA(Ej k), Of k'). Exactement comme dans le cas du theoreme T(1) ([3]), cette matrice definit un operateur continu sur 1'(Z) et sur 1? (Z), donc sur 12(Z). Cela prouve que CA est continu sur L2(R). La preuve du theoreme 1 est organisee comme suit. D'abord, partant d'une analyse multi-echelle sur L2(R) (rappelee au paragraphe 1), les b-ondelettes E) k sont construites en utilisant le calcul fonctionnel sur les operateurs accretifs dans un espace de Hilbert (paragraphe 2). Puis, les proprietes (3) a (6) sont demonstrees, avec le meme type d'argument, au paragraphe 3. Enfin, le dernier paragraphe donne la preuve de l'estimation quadratique (7): l'accretivite ne joue plus aucun role, et les outils sont ceux de l'analyse reelle. En particulier l'orthogonalite presente dans l'analyse multi-echelle de depart intervient de facon essentielle. 1. L'analyse multi-echelle dont on part Les references sont [8] et [9]. Rappelons simplement les etapes principales de la construction. Soit V0 l'espace des fonctions de L2(R) qui sont deux fois continuement derivables et polynomiales de degre 3 sur chacun des intervalles [k, k + 1], k E Z (splines cubiques). Soient ensuite les espaces Vj, j E Z, definis par la condition f(x) E Vj f(2 ix) E V. On a alors {o} C ** CV1 C V1c . C L2 et nfjV, = {O}, U jV, dense dans L2(R). II existe une fonction p E V0, a valeurs reelles, telle que verifie (3) et (4), Kw(x), p(x k)) = So k, les T(x k) engendrent VO. Alors, les 2i/29(2ix k), k E Z, forment une base orthonormale de V, pour tout j E Z. Ecrivant Vj+ 1 = Vj E W,, oui Wj est le complementaire orthoThis content downloaded from 157.55. 39.127 on Sun, 26 Jun 2016 06:45:57 UTC All use subject to http://about.jstor. org/terms 644 PH. TCHAMITCHIAN gonal de V< dans V on montre qu'il existe une fonction 4 E V,, a valeurs reelles, telle que -4 verifie (3) et (4), (4(x), 4(x k)) = So,k les 4,(x k) engendrent WO. On en deduit que les I 'k(X) = 2i/2 I(2ix k) engendrent les Wj, et puisque L2 = e j G zWj, qu'ils forment une base hilbertienne de L2(R) quand j et k parcourent Z. 2. La construction des Ej k L'idee de l'algorithme que nous presentons est du'e a Yves Meyer. PierreGilles Lemarie a vu l'importance de l'invariance des espaces Vj par conjugaison. Nous les remercions vivement de nous avoir communique leurs idees. Dans ce qui va suivre, l'element-cle est l'accretivite de la forme B, definie par B f, g) = JfRf(x)g(x)b(x) dx. Nous appellerons 8-accretive une forme B telle que