Sur quelques invariants classiques et nouveaux des hypergraphes

Dans cette these, nous considerons plusieurs parametres des hypergraphes et nous etudions si les restrictions aux sous-classes des hypergraphes permettent d’obtenir des proprietes combinatoires et algorithmiques souhaitables. La plupart des parametres que nous prenons en compte sont des instances speciales des packings et transversals des hypergraphes.Dans la premiere partie, nous allons nous concentrer sur les line graphs des graphes subcubiques sans triangle et nous allons demontrer que pour tous ces graphes il y a un independent set de taille au moins 3|V(G)|/10 et cette borne est optimale. Consequence immediate: nous obtenons une borne inferieure optimale pour la taille d’un couplage maximum dans les graphes subcubiques sans triangle. De plus, nous montrons plusieurs resultats algorithmiques lies au FEEDBACK VERTEX SET, HAMILTONIAN CYCLE et HAMILTONIAN PATH quand restreints aux line graphs des graphes subcubiques sans triangle.Puis nous examinons trois hypergraphes ayant la propriete d’Erdős-Posa et nous cherchons a determiner les fonctions limites optimales. Tout d’abord, nous apportons une fonction theta-bounding pour la classe des graphes subcubiques et nous etudions CLIQUE COVER: en repondant a une question de Cerioli et al., nous montrons qu’il admet un PTAS pour les graphes planaires. Par la suite, nous nous interessons a la Conjecture de Tuza et nous montrons que la constante 2 peut etre amelioree pour les graphes avec aretes contenues dans au maximum quatre triangles et pour les graphes sans certains odd-wheels. Enfin, nous nous concentrons sur la Conjecture de Jones: nous la demontrons dans le cas des graphes sans griffes avec degre maximal 4 et nous faisons quelques observations dans le cas des graphes subcubiques.Nous etudions ensuite la VC-dimension de certains hypergraphes resultants des graphes. En particulier, nous considerons l’hypergraphe sur l’ensemble des sommets d’un certain graphe qui est induit par la famille de ses sous-graphes k-connexes. En generalisant les resultats de Kranakis et al., nous fournissons des bornes superieures et inferieures optimales pour la VC-dimension et nous montrons que son calcul est NP-complet, pour chacun k > 0. Enfin, nous demontrons que ce probleme (dans le cas k = 1) et le probleme etroitement lie CONNECTED DOMINATING SET sont soit solvables en temps polynomial ou NP-complet, quand restreints aux classes de graphes obtenues en interdisant un seul sous-graphe induit.Dans la partie finale de cette these, nous nous attaquons aux meta-questions suivantes: Quand est-ce qu’un certain probleme “difficile” de graphe devient “facile”? ; Existe-t-il des frontieres separant des instances “faciles” et “difficiles”? Afin de repondre a ces questions, dans le cas des classes hereditaires, Alekseev a introduit la notion de boundary class pour un probleme NP-difficile et a montre qu’un probleme Pi est NP-difficile pour une classe hereditaire X finiment defini si et seulement si X contient un boundary class pour Pi. Nouscontinuons la recherche des boundary classes pour les problemes suivants: HAMILTONIAN CYCLE THROUGH SPECIFIED EDGE, HAMILTONIAN PATH, FEEDBACK VERTEX SET, CONNECTED DOMINATING SET and CONNECTED VERTEX COVER.