Über Kugellagerungen, Wirkungsbereichsteilungen und Koordinationszahlen von Punktkonfigurationen mit trigonaler Symmetrie R3̅m

Sphere configurations and partitions of three-dimensional space into Dirichlet domains have been studied for the point configurations of the trigonal lattice complex R3m 6(c). In total, 11 sphere-configuration types and 12 types of Dirichlet partitions have been derived. Utilizing the concepts of Hoppe (1970, 1979) and O'Keeffe (1979), coordination numbers for this two-dimensional field have been calculated. Einleitung Um das Problem der homogenen Teilung des dreidimensionalen Raumes in Wirkungsbereichspolyeder einer Lösung näher zu bringen, wurden wegen der früher nicht in dem dafür notwendigen Maße vorhandenen Rechenmöglichkeiten vor allem in den letzten zwei Jahrzehnten Arbeiten veröffentlicht, die sich mit Wirkungsbereichsteilungen beschäftigen, deren Zentralpunktmengen zum überwiegenden Teil einem tetragonalen oder kubischen Gitterkomplex mit maximal zwei Freiheitsgraden entsprechen (Smith, 1965; Löckenhof und Hellner, 1971 ; Koch und Fischer, 1972; Koch, 1973; Engel, 1981b). Stogrin (1968) bestimmte die Wirkungsbereichsteilungen mit der Symmetrie PI. Engel (1981a) widerlegte durch die Berechnung von 38flächigen Polyedern in Wirkungsbereichsteilungen mit drei Freiheitsgraden und der Symmetrie 14 t32 die, obwohl nicht immer explicit geäußerte, Vermutung, daß die maximale Flächenzahl von Wirkungsbereichspolyedern wohl, wenn überhaupt, nur unwesentlich größer als 26 sein dürfte. Eine Beschreibung der allgemeinen Eigenschaften von Wirkungsbereichspolyedern, einen historischen Überblick und eine ausgezeichnete Literaturzusammenstellung findet man bei Nowacki (1976). In diesem Zusammenhang 168 E. Zobetz: Punktkonfigurationen der Symmetrie Rim sollen auch zwei neuere Arbeiten über Raumteilungsfragen von Fischer (1980a, 1980b) Erwähnung finden. Bedauerlicherweise in Vergessenheit geraten sind Arbeiten von Tertsch (1927, 1928 a, 1928b, 1940), in welchen Raumerfüllungsfragen allgemeiner Art und im besonderen für Si02Modifikationen behandelt werden. Um die Kenntnis über die oben angesprochene Problematik zu erweitern, wurden die Typen von Kugellagerungen und Wirkungsbereichsteilungen abgeleitet, die bei einfacher Besetzung der Punktlage 6(c) — (0,0, ζ ; 0,0, ζ) + (0,0,0;^, §,§;§, 3, j) — in den Raumgruppentypen R 3m, R 3 und R 32 und der Punktlage 12(c) (0,0,z; 0,0,z; 0 , 0 , | + z ; 0 , 0 , i : z ) + (0,0,0; Ü f ; §> i» i) — im Raumgruppentyp R 3c (charakteristisch R 3m) auftreten. Für die Wahl dieses Gitterkomplexes [zum Begriff Gitterkomplex siehe Fischer und Koch (1974)] sprach vor allem, daß diesem ein großer Teil der bekannten Elementstrukturen zugeordnet werden kann, da er als Grenzformen die Gitterkomplexe Prrßm 1(a), Irriim 2(a), Frrßm 4(a), Fd2>m 8(a) und R3m 3(a) enthält (vgl. dazu Tabelle 1). Für die durchgeführten Untersuchungen genügte es, für die Variable ζ den Bereich der asymmetrischen Einheit der entsprechenden CheshireGruppe (Hirshfeld, 1968) zu berücksichtigen. Diese ist ebenfalls Rlm mit der Elementarzelle — b x a + b x l / 2 c . Der zu untersuchende Bereich beschränkte sich daher auf 0 < ζ < und da die absolute Größe der Polyeder und Kugeln nicht von Bedeutung ist, war als weitere Variable nur das Achsenverhältnis C0 = c\a zu berücksichtigen. Die Wirkungsbereichsteilungen, Kugellagerungen und effektiven Koordinationszahlen (Hoppe, 1970, 1979; O'KeefYe, 1979), die man bei Besetzung der zum Gitterkomplex R3m 3(a) gehörenden Punktlagen 3(a) und 3(b) erhält, entsprechen bei Verdopplung der Achsenverhältnisse denen von 6(c) mit | ζ | = 5.