Models and theories of pure and resource lambda calculi

Partie I: Un probleme ouvert depuis longtemps est de savoir s'il existe un modele du lambda calcul non type dans la categorie CPO des ordres partiels completes et fonctions Scott continues, dont la theorie equationnelk soit exactement la plus petite lambda-theorie λs ou la plus petite lambda-theorie extensionnnelle λβπ: c'est le Probleme 22 dans la liste de problemes ouverts TLCA (http://tlca. Di. Unito. It/opltlca/problem22. Pdf). Dans cette these, nous analysons la classe des domaines de Scott reflexifs, les modeles du lambda calcul vivants dans la categorie des domaines de Scott (une sous-categorie pleine de CPO). Nous isolons, parmi les domaines de Scott reflexifs, une classe de modeles a trame decoulant des systemes d'information de Scott, que nous appelons i-modeles. La classe des i-modeles comprend, par exemple, tous les modeles preordonnees coherentes, tous les modeles de filtre vivants dans CPO et tous les domaines de Scott reflexifs extensionnels. En realisant une etude fine d'une version "effective" des systemes d'information de Scott et des i-modeles, nous obtenons les resultats suivants: il y a une important classe de i-modeles qui n'est pas complete pour le lambda calcul extensionnel et tel que tous ces membres ne ont pas une theorie d'ordre recursivement enumerable. Un lambda-terme clos M est dit facile si, pour tout autre terme clos N, la lambda-theorie engendree par l'equation M-N est coherente, alors qu'il est simple facile si, etant donne un type intersection quelconque τ, or peut trouver un pre-ordre sur les types qui permet de deriver le type τ pour M. La facilite simple implique la facilite. La question de savoir si la facilite implique la facilite simple constitue le Probleme 19 dans la liste de problemes ouverts TLCA (http://tlca. Di. Unito. It/opltlca/probleml9. Pdf). Comme sous-produit de notre travail sur les i-modeles, nous sommes en position de resoudre ce probleme: nous repondons negativement, en fournissant un ensemble non vide de lambda-termes faciles mais non simple faciles. Partie II: Etant donne un semi-anneau avec unite qui satisfait certaines conditions, nous definissons un foncteur exponentiel sur la categorie des ensembles et des relations qui permet de definir un modele denotationnel de la Logique Lineaire Differentielle et du lambda-calcul avec ressources. Nous montrons que, lorsque le semi-anneau contient un element qui est "infinitaire", ce modele ne satisfait pas la formule de Taylor et qu'il est possible de construire, dans la categorie Cartesienne fermee de Kleisli associee, un modele du lambda calcul pur qui n'est pas sensible. Il s'agit d'un analogue quantitative de la construction du graphe modele de Park dans la categorie des domaines de Scott. Nous commencons une etude purement algebrique du lambda calcul avec ressources de Ehrhard et Regnier, ei introduisant trois varietes algebriques: les algebres combinatoires avec ressources, les lambda-algebres avec ressources et les algebres de lambda-abstraction avec ressources. Nous etablissons les relations entre elles, et jetons les bases d'une theorie des modeles du lambda-calcul avec ressources. Nous montrons egalement que la completion par ideaux d'une algebre combinatoire (resp. Lambda-algebre, algebre de lambda-abstraction) avec ressources induit une algebre combinatoire (resp. Lambda-algebre, algebre de lambda-abstraction) "classique", et que tout modele du lambda calcul classique provenant d'une lambda-algebre avec ressources determine une lambda-theorie qui egalise tous les termes ayant le meme arbre de Bohm.