Mathematical optimization for the visualization of complex datasets

espanolEsta tesis se centra en desarrollar nuevos modelos y algoritmos basados en la Optimizacion Matematica que ayuden a comprender estructuras de datos complejas frecuentes en el area de Visualizacion de la Informacion. Las metodologias propuestas fusionan conceptos de Analisis de Datos Multivariantes y de Optimizacion Matematica, aunando las matematicas teoricas con problemas reales. Como se analiza en el Capitulo 1, una adecuada visualizacion de los datos ayuda a mejorar la interpretabilidad de los fenomenos desconocidos que describen, asi como la toma de decisiones. Concretamente, esta tesis se centra en visualizar datos que involucran distribuciones de frecuencias y relaciones de proximidad, pudiendo incluso ambas variar a lo largo del tiempo. Se proponen diferentes herramientas para visualizar dicha informacion, basadas tanto en la Optimizacion (No) Lineal Entera Mixta como en la optimizacion de funciones Diferencia de Convexas. Ademas, metodologias como la Busqueda por Entornos Grandes y el Algoritmo DCA permiten el desarrollo de mateheuristicas para resolver dichos modelos. Concretamente, el Capitulo 2 trata el problema de visualizar simultaneamente una distribucion de frequencias y una relacion de adyacencias en un conjunto de individuos. Esta informacion se representa a traves de un mapa rectangular, es decir, una subdivision de un rectangulo en porciones rectangulares, de manera que las areas de estas porciones representen las frecuencias y las adyacencias entre las porciones representen las adyacencias entre los individuos. Este problema de visualizacion se formula con la ayuda de la Optimizacion Lineal Entera Mixta. Ademas, se propone una mateheuristica basada en este modelo como metodo de resolucion. En el Capitulo 3 se generaliza el modelo presentado en el capitulo anterior, construyendo una herramienta que permite visualizar simultaneamente una distribucion de frecuencias y una relacion de disimilaridades. Dicha visualizacion se realiza mediante la particion de un rectangulo en porciones rectangulares a trozos de manera que el area de las porciones refleje la distribucion de frecuencias y las distancias entre las mismas las disimilaridades. Se plantea un modelo No Lineal Entero Mixto para este problema de visualizacion, que es resuelto a traves de una mateheuristica basada en la Busqueda por Entornos Grandes. En contraposicion a los capitulos anteriores, en los que se busca una particion de la region de visualizacion, el Capitulo 4 trata el problema de representar una distribucion de frecuencias y una relacion de disimilaridad sobre un conjunto de individuos, sin forzar a que haya que recubrir dicha region de visualizacion. En este modelo de visualizacion los individuos son representados como cuerpos convexos cuyas areas son proporcionales a las frecuencias dadas. El objetivo es determinar la localizacion de dichos cuerpos convexos dentro de la region de visualizacion. Para resolver este problema, que generaliza el tradicional Escalado Multidimensional, se utilizan tecnicas de optimizacion basadas en funciones Diferencia de Convexas. En el Capitulo 5, se extiende el modelo desarrollado en el capitulo anterior para el caso en el que los datos son dinamicos, es decir, las frecuencias y disimilaridades se observan a lo largo de varios instantes de tiempo. Se emplean tecnicas de optimizacion de funciones Diferencias de Convexas asi como Optimizacion Cuadratica Binaria No Convexa para la resolucion del modelo. Todas las metodologias propuestas han sido testadas en datos reales. Finalmente, el Capitulo 6 contiene las conclusiones a esta tesis, asi como futuras lineas de investigacion. EnglishThis PhD dissertation focuses on developing new Mathematical Optimization models and solution approaches which help to gain insight into complex data structures arising in Information Visualization. The approaches developed in this thesis merge concepts from Multivariate Data Analysis and Mathematical Optimization, bridging theoretical mathematics with real life problems. The usefulness of Information Visualization lies with its power to improve interpretability and decision making from the unknown phenomena described by raw data, as fully discussed in Chapter 1. In particular, datasets involving frequency distributions and proximity relations, which even might vary over the time, are the ones studied in this thesis. Frameworks to visualize such enclosed information, which make use of Mixed Integer (Non)linear Programming and Difference of Convex tools, are formally proposed. Algorithmic approaches such as Large Neighborhood Search or Difference of Convex Algorithm enable us to develop matheuristics to handle such models. More specifically, Chapter 2 addresses the problem of visualizing a frequency distribution and an adjacency relation attached to a set of individuals. This information is represented using a rectangular map, i.e., a subdivision of a rectangle into rectangular portions so that their areas reflect the frequencies, and the adjacencies between portions represent the adjacencies between the individuals. The visualization problem is formulated as a Mixed Integer Linear Programming model, and a matheuristic that has this model at its heart is proposed. Chapter 3 generalizes the model presented in the previous chapter by developing a visualization framework which handles simultaneously the representation of a frequency distribution and a dissimilarity relation. This framework consists of a partition of a given rectangle into piecewise rectangular portions so that the areas of the regions represent the frequencies and the distances between them represent the dissimilarities. This visualization problem is formally stated as a Mixed Integer Nonlinear Programming model, which is solved by means of a matheuristic based on Large Neighborhood Search. Contrary to previous chapters in which a partition of the visualization region is sought, Chapter 4 addresses the problem of visualizing a set of individuals, which has attached a dissimilarity measure and a frequency distribution, without necessarily cov-ering the visualization region. In this visualization problem individuals are depicted as convex bodies whose areas are proportional to the given frequencies. The aim is to determine the location of the convex bodies in the visualization region. In order to solve this problem, which generalizes the standard Multidimensional Scaling, Difference of Convex tools are used. In Chapter 5, the model stated in the previous chapter is extended to the dynamic case, namely considering that frequencies and dissimilarities are observed along a set of time periods. The solution approach combines Difference of Convex techniques with Nonconvex Quadratic Binary Optimization. All the approaches presented are tested in real datasets. Finally, Chapter 6 closes this thesis with general conclusions and future lines of research