Codes correcteurs quantiques pouvant se décoder itérativement

On sait depuis vingt ans maintenant qu'un ordinateur quantique permettrait de resoudre en temps polynomial plusieurs problemes consideres comme difficiles dans le modele classique de calcul, comme la factorisation ou le logarithme discret. Entre autres, un tel ordinateur mettrait a mal tous les systemes de chiffrement a cle publique actuellement utilises en pratique, mais sa realisation se heurte, entre autres, aux phenomenes de decoherence qui viennent entacher l'etat des qubits qui le constituent. Pour proteger ces qubits, on utilise des codes correcteurs quantiques, qui doivent non seulement etre performants mais aussi munis d'un decodage tres rapide, sous peine de voir s'accumuler les erreurs plus vite qu'on ne peut les corriger. Une solution tres prometteuse est fournie par des equivalents quantiques des codes LDPC (Low Density Parity Check, a matrice de parite creuse). Ces codes classiques offrent beaucoup d'avantages : ils sont faciles a generer, rapides a decoder (grâce a un algorithme de decodage iteratif) et performants. Mais leur version quantique se heurte (entre autres) a deux problemes. On peut voir un code quantique comme une paire de codes classiques, dont les matrices de parite sont orthogonales entre elles. Le premier probleme consiste alors a construire deux « bons » codes qui verifient cette propriete. L'autre vient du decodage : chaque ligne de la matrice de parite d'un des codes fournit un mot de code de poids faible pour le second code. En realite, dans un code quantique, les erreurs correspondantes sont benignes et n'affectent pas le systeme, mais il est difficile d'en tenir compte avec l'algorithme de decodage iteratif usuel. On etudie dans un premier temps une construction existante, basee sur un produit de deux codes classiques. Cette construction, qui possede de bonnes proprietes theoriques (dimension et distance minimale), s'est averee decevante dans les performances pratiques, qui s'expliquent par la structure particuliere du code produit. Nous proposons ensuite plusieurs variantes de cette construction, possedant potentiellement de bonnes proprietes de correction. Ensuite, on etudie des codes dits q-Aires~: ce type de construction, inspire des codes classiques, consiste a agrandir un code LDPC existant en augmentant la taille de son alphabet. Cette construction, qui s'applique a n'importe quel code quantique 2-Regulier (c'est-A-Dire dont les matrices de parite possedent exactement deux 1 par colonne), a donne de tres bonnes performances dans le cas particulier du code torique. Ce code bien connu se decode usuellement tres bien avec un algorithme specifique, mais mal avec l'algorithme usuel de propagation de croyances. Enfin, un equivalent quantique des codes spatialement couples est propose. Cette idee vient egalement du monde classique, ou elle ameliore de facon spectaculaire les performances des codes LDPC : le decodage s'effectue en temps quasi-Lineaire et atteint, de maniere prouvee, la capacite des canaux symetriques a entrees binaires. Si dans le cas quantique, la preuve eventuelle reste encore a faire, certaines constructions spatialement couplees ont abouti a d'excellentes performances, bien au-Dela de toutes les autres constructions de codes LDPC quantiques proposees jusqu'a present.