On the law of the iterated logarithm for random exponential sums

<p>The asymptotic behavior of exponential sums <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript upper N Endscripts exp left-parenthesis 2 pi i n Subscript k Baseline alpha right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑<! -- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo>⁡<! -- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π<! -- π --></mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>α<! -- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum _{k=1}^N \exp ( 2\pi i n_k \alpha )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for Hadamard lacunary <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis n Subscript k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(n_k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is well known, but for general <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis n Subscript k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(n_k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> very few precise results exist, due to number theoretic difficulties. It is therefore natural to consider random <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis n Subscript k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(n_k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and in this paper we prove the law of the iterated logarithm for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript upper N Endscripts exp left-parenthesis 2 pi i n Subscript k Baseline alpha right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑<! -- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo>⁡<! -- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π<! -- π --></mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>α<! -- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum _{k=1}^N \exp (2\pi i n_k \alpha )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if the gaps <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="n Subscript k plus 1 Baseline minus n Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>−<! -- − --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n_{k+1}-n_k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are independent, identically distributed random variables. As a comparison, we give a lower bound for the discrepancy of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace n Subscript k Baseline alpha right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>α<! -- α --></mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{n_k \alpha \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> under the same random model, exhibiting a completely different behavior. </p>