Chover-Type Laws of the Iterated Logarithm for Kesten-Spitzer Random Walks in Random Sceneries Belonging to the Domain of Stable Attraction

<jats:p>Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> be a sequence of real valued random variables, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> be a sequence of real valued random variables which are independent of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>’s. Denote by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">⌊</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">⌋</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> Kesten-Spitzer random walk in random scenery, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mo stretchy="false">⌊</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">⌋</mml:mo></mml:math> means the unique integer satisfying <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mo stretchy="false">⌊</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">⌋</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mo stretchy="false">⌊</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">⌋</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:math>. It is assumed that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>’s belong to the domain of attraction of a stable law with index <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:math>. In this paper, by employing conditional argument, we investigate large deviation inequalities, some sufficient conditions for Chover-type laws of the iterated logarithm and the cluster set for random walk in random scenery <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>. The obtained results supplement to some corresponding results in the literature. </jats:p>