On differential-algebraic control systems

In der vorliegenden Dissertation werden differential-algebraische Gleichungen (differential-algebraic equations, DAEs) der Form $\ddt E x = Ax + f$ betrachtet, wobei $E$ und $A$ beliebige Matrizen sind. Falls $E$ nichtverschwindende Eintrage hat, dann kommen in der Gleichung Ableitungen der entsprechenden Komponenten von $x$ vor. Falls $E$ eine Nullzeile hat, dann kommen in der entsprechenden Gleichung keine Ableitungen vor und sie ist rein algebraisch. Daher werden Gleichungen vom Typ $\ddt E x = Ax + f$ differential-algebraische Gleichungen genannt. Ein Ziel dieser Dissertation ist es, eine strukturelle Zerlegung einer DAE in vier Teile herzuleiten: einen ODE-Anteil, einen nilpotenten Anteil, einen unterbestimmten Anteil und einen uberbestimmten Anteil. Jeder Anteil beschreibt ein anderes Losungsverhalten in Hinblick auf Existenz und Eindeutigkeit von Losungen fur eine vorgegebene Inhomogenitat $f$ und Konsistenzbedingungen an $f$. Die Zerlegung, namentlich die quasi-Kronecker Form (QKF), verallgemeinert die wohlbekannte Kronecker-Normalform und behebt einige ihrer Nachteile. Die QKF wird ausgenutzt, um verschiedene Konzepte der Kontrollierbarkeit und Stabilisierbarkeit fur DAEs mit~$f=Bu$ zu studieren. Hier bezeichnet $u$ den Eingang des differential-algebraischen Systems. Es werden Zerlegungen unter System- und Feedback-Aquivalenz, sowie die Folgen einer Behavioral-Steuerung $K_x x + K_u u = 0$ fur die Stabilisierung des Systems untersucht. Falls fur das DAE-System zusatzlich eine Ausgangs-Gleichung $y=Cx$ gegeben ist, dann lasst sich das Konzept der Nulldynamik wie folgt definieren: die Nulldynamik ist, grob gesagt, die Dynamik, die am Ausgang nicht sichtbar ist, d.h. die Menge aller Losungs-Trajektorien $(x,u,y)$ mit $y=0$. Fur rechts-invertierbare Systeme mit autonomer Nulldynamik wird eine Zerlegung hergeleitet, welche die Nulldynamik entkoppelt. Diese versetzt uns in die Lage, eine Behavior-Steuerung zu entwickeln, die das System stabilisiert, vorausgesetzt die Nulldynamik selbst ist stabil. Wir betrachten auch zwei Regelungs-Strategien, die von den Eigenschaften der oben genannten System-Klasse profitieren: Hochverstarkungs- und Funnel-Regelung. Ein System $\ddt E x = Ax + Bu$, $y=Cx$, hat die Hochverstarkungseigenschaft, wenn es durch die Anwendung der proportionalen Ausgangsruckfuhrung $u=-ky$, mit $k>0$ hinreichend gros, stabilisiert werden kann. Wir beweisen, dass rechts-invertierbare Systeme mit asymptotisch stabiler Nulldynamik, die eine bestimmte Relativgrad-Annahme erfullen, die Hochverstarkungseigenschaft haben. Wahrend der Hochverstarkungs-Regler recht einfach ist, ist es jedoch a priori nicht bekannt, wie gros die Verstarkungskonstante $k$ gewahlt werden muss. Dieses Problem wird durch den Funnel-Regler gelost: durch die adaptive Justierung der Verstarkung uber eine zeitabhangige Funktion $k(\cdot)$ und die Ausnutzung der Hochverstarkungseigenschaft wird erreicht, dass grose Werte $k(t)$ nur dann angenommen werden, wenn sie notig sind. Eine weitere wesentliche Eigenschaft ist, dass der Funnel-Regler das transiente Verhalten des Fehlers $e=y-y_{\rm ref}$ der Bahnverfolgung, wobei $y_{\rm ref}$ die Referenztrajektorie ist, beachtet. Fur einen vordefinierten Performanz-Trichter (funnel) $\psi$ wird erreicht, dass $\|e(t)\|<\psi(t)$. Schlieslich wird der Funnel-Regler auf die Klasse von MNA-Modellen von passiven elektrischen Schaltkreisen mit asymptotisch stabilen invarianten Nullstellen angewendet. Dies erfordert die Einschrankung der Menge der zulassigen Referenztrajektorien auf solche die, in gewisser Weise, die Kirchhoffschen Gesetze punktweise erfullen.