Investigations into the role of translations in abstract algebraic logic

Aquesta memoria es divideix en dues parts, dedicades respectivament a dos temes diferents i alhora relacionats de logica algebraica abstracta. En la primera part descrivim una jerarquia on es classifiquen les logiques proposicionals L segons les condicions de definibilitat que compleixen els conjunts de veritat de la semantica de matrius Mod*L. Mes concretament, ens centrem en l'estudi de condicions de definibilitat que pertanyen al marc conceptual propi de la jerarquia de Leibniz, en el sentit que es poden caracteritzar gracies al comportament de l'operador de Leibniz (restringit als filtres deductius). Per tant, la jerarquia que presentem es una extensio de la jerarquia de Leibniz estandard. El nostre punt de partida es l'observacio que les eines introduides per Raftery es poden fer servir per capturar el fet que la veritat sigui definible en Mod*L a traves d'equacions quantificades universalment deixant lliure una variable. Estudiem la classe de les logiques que compleixen aquesta condicio i les seves relacions amb la jerarquia de Frege. Despres considerem la familia de les logiques que tenen la veritat implicitament definible en la semantica Mod*L i provem que la injectivitat de l'operador de Leibniz no es transfereix en general de les teories als filtres deductius sobre algebres arbitraries, resolent un problema. No obstant aixo, mostrem que la injectivitat de l'operador de Leibniz si es transfereix per a logiques formulades en un llenguatge numerable. Finalment, considerem una condicio de definibilitat intermedia sobre els conjunts de veritat de Mod*L, que correspon al fet que l'operador de Leibniz reflecteixi l'ordre. Concloem la primera part d'aquesta memoria amb una aproximacio computacional a les dues jerarquies de la logica algebraica abstracta. Concretament, provem que els problemes de classificar la logica d'un calcul de Hilbert en la jeraquia de Leibniz o en la de Frege son en general indecidibles. D'altra banda, mostrem que el problema de classificar la logica determinada per un conjunt finit de matrius finites en un llenguatge finit en la majoria dels nivells de la jerarquia de Leibniz es decidible. En la segona part d'aquesta memoria presentem una descripcio algebraica i combinatoria dels functors adjunts a la dreta entre quasi-varietats generalitzades, inspirada pel treball de McKenzie. Aquest resultat s'obte desenvolupant una correspondencia entre el concepte d'adjuncio i el d'una nova nocio de traduccio entre consequencies equacionals relatives. Concretament, introduim una nocio de traduccio que compleix la seguent condicio: donades dues quasi-varietats generalitzades K i K’ cada traduccio de la consequencia equacional relativa a K en la relativa a K’ correspon a un functor adjunt a la dreta de K’ a K i viceversa. Aquesta correspondencia entre adjuncions i traduccions proporciona una explicacio general de la correspondencia que apareix en algunes traduccions conegudes entre logiques. Per exemple, la traduccio de Goedel de la logica intuicionista en la logica modal global S4 correspon al functor que envia una algebra d'interior a l'algebra de Heyting dels seus elements oberts; i la traduccio de Kolmogorov de la logica classica en la logica intuicionista correspon al functor que envia una algebra de Heyting a l'algebra de Boole dels seus elements regulars. A continuacio estudiem la preservacio, en presencia d'una adjuncio, d'algunes propietats logico-algebraiques, tals com el teorema (contextual) de la deduccio, el lema d'inconsistencia o el fet de tenir una disjuncio generalitzada. Concloem aquesta segona part mostrant que cada prevarietat es categorialment equivalent a la semantica algebraica equivalent d'una logica algebritzable.