Neue Aspekte der Portfolio-Optimierung und der Modellierung von Bondindizes

Zwei zentrale Probleme der modernen Finanzmathematik sind die Portfolio-Optimierung und die Optionsbewertung. Wahrend es bei der Portfolio-Optimierung darum geht, das Vermogen optimal auf verschiedene Anlagemoglichkeiten zu verteilen, versucht die Optionsbewertung faire Preise von derivativen Finanzinstrumenten zu bestimmen. In dieser Arbeit werden Fragestellungen aus beiden dieser Themenbereiche bearbeitet. Die Arbeit beginnt mit einem Kapitel uber Grundlagen, in dem zum Beispiel das Portfolio-Problem von Merton dargestellt und die Black/Scholes-Formel zur Optionsbewertung hergeleitet wird. In Kapitel 2 wird das Portfolio-Problem von Morton und Pliska betrachtet, die in das Merton-Modell fixe Transaktionskosten eingefuhrt haben. Dabei mus der Investor bei jeder Transaktion einen fixen Anteil vom derzeitigen Vermogen als Kosten abfuhren. Es wird die asymptotische Approximation dieses Modells von Atkinson und Wilmott vorgestellt und die optimale Portfoliostrategie aus den Marktparametern hergeleitet. Danach werden die tatsachlichen Transaktionskosten abgeschatzt und ein User Guide zur praktischen Anwendung dieses Transaktionskostenmodells angegeben. Zum Schlus wird das Modell numerisch analysiert, indem unter anderem die erwartete Handelszeit und die Gute der Abschatzung der tatsachlichen Transaktionskosten berechnet werden. Ein Portfolio-Problem mit internationalen Markten wird in Kapitel 3 vorgestellt. Dem Investor steht zusatzlich zu seinem Heimatland noch ein weiteres Land fur seine Vermogensanlagen zur Verfugung. Dabei werden die Preisprozesse fur die auslandischen Wertpapiere mit einem stochastischen Wechselkurs in die Heimatwahrung umgerechnet. In einer statischen Analyse wird unter anderem berechnet, wieviel weniger Vermogen der Investor benotigt, um das gleiche erwartete Endvermogen zu erhalten wie in dem Fall, wenn ihm keine Auslandsanlagen zur Verfugung stehen. Kapitel 4 behandelt drei verschiedene Portfolio-Probleme mit Sprung-Diffusions-Prozessen. Nach der Herleitung eines Verifikationssatzes wird das Problem bei Anlagemoglichkeit in eine Aktie und in ein Geldmarktkonto jeweils fur eine konstante und eine stochastische Zinsrate untersucht. Im ersten Fall wird eine implizite Darstellung fur den optimalen Portfolioprozes und eine Bedingung angegeben, unter der diese Darstellung eindeutig losbar ist. Auserdem wird der optimale Portfolioprozes fur verschiedene Verteilungen fur die Sprunghohe untersucht. Im Falle einer stochastischen Zinsrate kann nur ein Kandidat fur den optimalen Losungsprozes angeben werden. Dieser hat wieder eine implizite Darstellung. Das letzte Portfolio-Problem ist eine Abwandlung des Modells aus Kapitel 3. Wird dort der Wechselkurs durch eine geometrisch Brownsche Bewegung modelliert, ist er hier ein reiner Sprungprozes. Es wird wieder der optimale Portfolioprozes hergeleitet, wobei ein Anteil davon unter Umstanden nur numerisch losbar ist. Eine hinreichende Bedingung fur die Losbarkeit wird angegeben. In Kapitel 5 werden verschiedene Bewertungsansatze fur Optionen auf Bondindizes prasentiert. Es wird eine Methode vorgestellt, mit der die Optionen anhand von Marktpreisen bewertet werden konnen. Fur den Fall, das es nicht genug Marktpreise gibt, wird ein Verfahren angegeben, um den Bondindex realitatsnah zu simulieren und kunstliche Marktpreise zu erzeugen. Diese Preise konnen dann fur eine Kalibrierung verwendet werden.