Étude du bruit de procédé et de mesure pour des systèmes avec contrôleurs commutants dans un cadre scalaire et stationnaire

Les procedes chimiques sont constamment soumis a la variabilite des conditions d'operation, par exemple: la concentration des reactifs, l'activite des catalyseurs, etc. Il en resulte que les produits de ces reactions exhibent une certaine variabilite. Cette variabilite a un cout puisque si les caracteristiques d'un produit depassent certaines contraintes, il devient un risque litigieux s'il est vendu au client. Une des facons de calculer le cout de la variabilite implique l'utilisation des fonctions de densite de probabilite(FDP). Dans un autre ordre d'idees, les controleurs commutants sont frequemment utilises dans l'industrie pour des scenarios ou il y a une contrainte a ne pas depasser. Par consequent, l'objectif de cette these est l'analyse des FDP produites par des controleurs commutants avec des procedes bruites. Le premier objectif a ete de developper une expression analytique de la FDP d'un systeme bruite avec un controleur commutant avec l'aide de l'equation de Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK). Cette expression analytique a ete ensuite appliquee a un exemple de formage de FDP. Ainsi, deux types de non-linearites ont pu etre compares. Il en resulte que le controleur commutant est plus robuste qu'un controleur polynomial (ou la variable manipulee est une fonction polynomiale de l'ecart entre le point de consigne et l'etat), mais il ne peut emuler des FDP complexes (comme des bimodales). Le deuxieme objectif a ete d'obtenir une expression analytique d'un controleur commutant pour un systeme avec bruit de mesure. La difficulte du probleme reside dans le fait que le bruit de mesure entre de facon non lineaire dans le systeme. Par consequent, l'equation de FPK ne peut etre utilisee directement. Il a fallu developper une nouvelle methode analogue a une approximation de Taylor, mais stochastique. Ce qui donne une expression analytique qui doit etre resolue numeriquement, diminuant considerablement le temps pour obtenir une FDP compare au temps d'une simulation de Monte-Carlo. Cette expression analytique a ete validee et il a ete possible d'analyser certains effets du systeme sur la FDP, le plus important etant que le bruit de mesure avec un controleur non lineaire induit une translation de la FDP. Le troisieme objectif est d'analyser l'optimalite d'une FDP asymetrique face a une FDP symetrique. Il a ete plutot prouve qu'une FDP symetrique n'est pas optimale sous certaines conditions. Cela veut dire que sous certaines conditions, un controleur non lineaire asymetrique va donner de meilleurs resultats qu'un controleur symetrique. Ces trois conditions sont la presence de bruit de procede, l'asymetrie de la fonction cout et la presence de la variable manipulee dans la fonction a minimiser. Si une de ces conditions n'est pas respectee, alors le controleur symetrique redevient optimal. Le quatrieme objectif est l'extension du troisieme objectif avec du bruit de mesure. Le probleme est que l'expression analytique n'est pas integrable comme dans le cas precedent. Alors, seulement les resultats des resolutions numeriques des expressions developpees sont utilisees. Ceux-ci ont permis d'affirmer que ces memes conditions sont valables quand il y a du bruit de mesure. Cependant, l'utilisation d'un controleur asymetrique est moins avantageuse quand le bruit de mesure est eleve. Par la suite, l'optimalite du systeme a ete testee sans la condition sur la variable manipulee. Il a ete observe que le controleur asymetrique est optimal seulement s'il est possible qu'un des deux gains soit superieur au gain a variance minimale, ce qui va a l'encontre des theoremes mathematiques developpes a propos de la variance minimale. Cela montre les limites de l'approximation developpee. En conclusion, il a ete possible de developper une expression analytique de la forme de la FDP d'un systeme avec un controleur commutant, et ce pour les cas sans et avec bruit de mesure. De plus, il a ete possible de poser les conditions sous lesquelles un controleur asymetrique est optimal. ---------- Chemical processes are constantly submitted to the variability of the operating conditions, for example: reactants concentration, activity of the catalysts. It results that the reactions products also show variability. This variability has a cost since if the product concentration violates certain constraints, it becomes a litigious risk if it is sold to the customer. One of the methods to calculate the cost of variability necessitate the utilization of the probability density function (PDF). Switching controllers are used in the industry in scenarios where there are constraints to satisfy. Consequently, the objective of this thesis is the analysis of PDF produced by switching controllers with noisy processes. The first objective is to develop an analytical expression for a PDF of a system with process noise and a switching controller. It has been obtained with the Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK) equation. This expression has been applied to an example of PDF shaping. Therefore, two types of non linearity were compared . It has came to light that the switching controller is more robust than a polynomial controller (where the manipulated variable is a function of a polynomial expression of the error), but it has difficulties to emulate complex PDF like a bimodal PDF. The second objective is to develop an analytical expression for a switching controller and a process and measurement noise. The difficulty of the problem comes from the fact that the measurement noise enters the system nonlinearly, meaning that the FPK equation cannot be used directly. It has been necessary to develop a method which is analog to the Taylor approximation but in a stochastic context. An analytical expression has been obtained, but it it has to be resolved numerically. It reduces considerably the computing time to obtain a PDF compared to the Monte-Carlo method. The analytical expression has been validated and it has been possible to analyze certain effects of the system on the PDF. The most important is that the measurement noise and a nonlinear controller will induce a translation of the PDF. The third objective is to analyze the optimality of an asymmetrical PDF vis-a-vis the a symmetrical one. It has been proved that, under certain conditions, a symmetrical PDF is not optimal, which means that under those same conditions, an asymmetrical controller will give better results than a symmetrical one. Those conditions are the presence of process noise, an asymmetrical cost function and this cost function has to take account of the manipulated variable. If one of those condition is absent, the symmetrical controller remains optimal. The fourth objective is the extension of the previous results to the case with measurement noise. The problem is that there was no analytical expression that could be used as previously. So, numerical solutions were used. They have allowed to affirm that the three conditions are also valid with measurement noise, but the measurement noise decrease the economical difference with the symmetrical controller. After, the manipulated variable has been removed to see if the switching controller remains optimal. It has been observed that the asymmetrical controller remains optimal only if one the the gain is higher than the minimum variance gain. Which goes against the minimum variance theory and shows the limits of the developed approach. In conclusion, it has been possible to develop an analytical expression of the shape of the PDF of a system with a switching controller, and this for the cases with and without measurement noise. It has been possible to obtain see the effects of the measurement noise like the shift, and also to pose conditions under a switching controller is optimal vis-a-vis a constant controller.