Generalizaciones de la teoría de integrabilidad de Darboux para campos de vectores polinomiales

En matematicas, la integrabilidad de los campos de vectores polinomiales ha sido objeto de estudio desde hace mas de cien anos. En 1878, Darboux dio unas condiciones que permiten establecer la existencia de una integral prime- ra para estos campos. La existencia de integrales primeras simplifica mucho el estudio de la dinamica de un sistema diferencial, pero dado un sistema diferencial no es facil, en general, saber si posee o no integrales primeras. A pesar de los notables progresos que en los ultimos anos se han obtenido sobre este tema dentro de la teoria de integrabilidad de Darboux, todavia no se ha encontrado una respuesta plenamente satisfactoria. En esta memoria estudiamos aspectos relacionados con la teoria de integrabilidad de Darboux y generalizamos algunos resultados. En particular nos interesan los campos de vectores polinomiales en Rn+1 definidos sobre hipersuperficies regulares algebraicas. En 1979 Jouanolou mostro que si el numero de hipersuperficies algebraicas invariantes de un campo vectorial en Rn+1 de grado m es por lo menos (n+m n+1 ) +n+1, entonces el campo vectorial tiene una integral primera racional que se puede calcular utilizando hipersuperficies algebraicas inva- riantes. En el capitulo 2 extendemos este resultado mostrando que el numero de hipersuperficies algebraicas invariantes necesarias para garantizar la exis- tencia de una integral primera racional de un campo de vectorial polinomial definido sobre una hipersuperficie de grado d es (n+m n+1 ) ? (n+m ? d n+1 ) + n. Otro aspecto relacionado con la teoria de integrabilidad de Darboux es el estudio del numero maximo de clases de hipersuperficies invariantes que un campo vectorial polinomial puede tener. Para encontrar hipersuperficies algebraicas invariantes utilizamos el concepto de hipersuperficie algebraica extactica. En el capitulo 3 obtenemos cotas superiores para el numero maxi- mo de esferas n-dimensionales invariantes de campos vectoriales polinomiales de Rn+1 en funcion del grado del campo y teniendo en cuenta la multiplicidad de las esferas invariantes. En el capitulo 4 estudiamos los campos vectoriales polinomiales de R3 definidos sobre una cuadrica y obtenemos las cotas supe- riores para el numero maximo de conicas invariantes que uno de estos campos puede tener en funcion de su grado y que vivan sobre planos invariantes. Pa- ra esto extendemos la nocion de multiplicidad de una superficie algebraica invariante. Ademas, probamos si estas cotas pueden ser alcanzadas o no. En los capitulos 5 y 6 estudiamos sistemas cuadraticos. El estudio de esta clase de sistemas diferenciales no es trivial y se han publicado mas de mil articulos sobre ellos. En el capitulo 5 estudiamos sistemas cuadraticos con una silla integrable. Recientemente este tipo de sillas han sido estudiadas por varios autores. Artes, Llibre y Vulpe caracterizaron los retratos de fase de todos los sistemas cuadraticos con una silla integrable pero no encontra- ron sus integrales primeras. Nosotros obtenemos las expresiones explicitas para las integrales primeras Liouvillianas de estos sistemas cuadraticos. En el capitulo 6 estudiamos los sistemas cuadraticos Lotka-Volterra que poseen un invariante Darboux. Cuando no podemos calcular una integral primera de un sistema diferencial es util determinar si el sistema tiene un invariante Darboux. Nosotros caracterizamos los retratos de fase globales en el disco de Poincare de todos los sistemas cuadraticos Lotka-Volterra que poseen un invariante Darboux.