Approximation numérique de racines isolées multiples de systèmes analytiques

L'approximation d'une racine isolee multiple est un probleme dicile. En eet la racine peut meme etre repulsive pour une methode de point xe comme la methode de Newton. La litterature sur le sujet est vaste mais les reponses proposees pour resoudre ce probleme ne sont pas satisfaisantes. Des methodes numeriques qui permettent de faire une analyse locale de convergence sont souvent elaborees sous des hypotheses particulieres. Ce point de vue privilegiant l'analyse numerique neglige la geometrie et la structure de l'algebre locale. C'est ainsi qu'ont emerge des methodes qualies de symboliques-numeriques. Mais l'analyse numerique precise de ces methodes pourtant riches d'enseignement n'a pas ete faite. Nous proposons dans cet article une methode de type symbolique-numerique dont le traitement numerique est certie. L'idee generale est de construire une suite nie de systemes admettant la meme racine, appelee suite de deation, telle que la multiplicite de la racine chute strictement entre deux systemes successifs. La racine devient ainsi reguliere lors du dernier systeme. Il sut alors d'en extraire un systeme carre regulier pour obtenir que nous appelons systeme deate. Nous avions deja decrit la construction de cette suite de deation quand la racine est connue. L'originalite de cette etude consiste d'une part a denir une suite de deation a partir d'un point proche de la racine et d'autre part a donner une analyse numerique de cette methode. Le cadre fonctionnel de cette analyse est celui des systemes analytiques constitues de fonctions de carre integrable. En utilisant le noyau de Bergman, noyau reproduisant de cet espace fonctionnel, nous donnons une α-theorie a la Smale de cette suite de deation. De plus nous presentons des resultats nouveaux relatifs a la determination du rang numerique d'une matrice et a celle de la proximite a zero de l'application evaluation. Comme consequence importante nous donnons un algorithme de calcul d'une suite de deation qui est libre de e, quantite-seuil qui mesure l'approximation numerique, dans le sens que les entrees de cet algorithme ne comportent pas la variable e. Classication mathematique par sujets (2010). 65F30, 65H10, 65Y20, 68Q25, 68W30. Abstract. The approximation of a multiple isolated root is a dicult problem. In fact the root can even be a repulsive root for a xed point method like the Newton method. However there exists a huge literature on this topic but the answers given are not satisfactory. Numerical methods allowing a local convergence analysis work often under specic hypotheses. This viewpoint favouring numerical analysis forgets the geometry and the structure of the local algebra. Thus appeared so-called symbolic-numeric methods, yet full of lessons, but their precise numerical analysis is still missing. We propose in this paper a method of symbolic-numeric kind, whose numerical treatment is certied. The general idea is to construct a nite sequence of systems, admitting the same root, and called the deation sequence, so that the multiplicity of the root drops strictly between two successive systems. So the root becomes regular. Then we can extract a regular square we call deated system. We described already the construction of this deated sequence when the singular root is known. The originality of this paper consists on one hand to construct a deation sequence from a point close to the root and on the other hand to give a numerical analysis of this method. Analytic square integrable functions build the functional frame. Using the Bergman kernel, reproducing kernel of this functional frame, we are able to give a α-theory a la Smale. Furthermore we present new results on the determi-nacy of the numerical rank of a matrix and the closeness to zero of the evaluation map. As an important consequence we give an algorithm computing a deation sequence free of e, threshold quantity measuring the numerical approximation, meaning that the entry of this algorithm does not involve the variable e.