Propriétés mathématiques de modèles géophysiques pour l'absorption des ondes : Application aux conditions de bords absorbants

Les problemes de propagation d'ondes sont generalement poses en domaine non borne, ou du moins tres grand, par rapport a la zone d'etude. Afin de les etudier numeriquement, il peut etre necessaire de limiter artificiellement le domaine de calcul, la necessite provenant du choix qui a ete fait pour la methode numerique. Ainsi, on se contente de determiner les champs dans une region bornee, choisie en fonction du support des donnees. C'est une demarche interessante puisque l'on peut alors appliquer dans cette region des methodes numeriques efficaces telles que des methodes d'elements finis. Cependant, la frontiere non physique du domaine ne doit pas parasiter les calculs en generant des reflexions a l'interieur. Depuis le debut des annees 1970, cette question est au centre de nombreux travaux, et meme si des progres considerables ont ete realises durant les dix dernieres annees, beaucoup de questions restent a traiter, aussi bien du point de vue theorique que du point de vue numerique. Afin de se ramener a un probleme pose en milieu borne, deux approches peuvent etre privilegiees: appliquer des conditions aux limites absorbantes ou bien utiliser des methodes de couches absorbantes. La premiere methode consiste a imposer des conditions aux limites sur une frontiere artificielle qui limite le domaine de calcul. L'ideal serait que ces conditions n'engendrent pas de reflexion sur la frontiere fictive. Dans ce cas, la condition aux limites que l'on impose est appelee condition aux limites transparente (CLT). Cette condition est generalement globale en temps et en espace, ce qui la rend difficile a mettre en oeuvre numeriquement (la duree des calculs et le stockage en memoire peuvent etre tres eleves, voire prohibitifs). C'est pour cette raison, qu'en pratique, on choisit d'approcher cette condition par des conditions aux limites locales en temps et en espace: on parle de conditions aux limites artificielles ou absorbantes (CLA). Ces conditions s'expriment comme des equations aux derivees partielles posees sur la frontiere artificielle et sont censees minimiser les reflexions parasites que la frontiere artificielle engendre. Les premiers travaux ont ete menes par Engquist et Majda pour des problemes de propagation d'ondes. Leur methode permet, dans un premier temps, de construire la CLT, puis, l'operateur obtenu n'etant pas local (il s'agit d'un operateur pseudo-differentiel), ils approchent la CLT par un operateur differentiel, et donc local. Plusieurs approximations ont ete proposees, elles conduisent a differentes conditions aux limites. Engquist et Majda definissent un ordre qui permet de classifier ces conditions absorbantes. La precision des CLA (que l'on peut mesurer a l'aide d'une analyse par ondes planes) augmente avec cet ordre ainsi qu'avec celui des operateurs differentiels sur la frontiere. Il faut donc trouver un equilibre entre le cout numerique et la precision des calculs. De plus, l'efficacite des conditions aux limites absorbantes depend de la frequence et de l'incidence de l'onde qui atteint la frontiere artificielle, quel que soit l'ordre de la condition. Par ailleurs, il faut noter que l'utilisation de conditions d'ordre eleve peut conduire a certaines instabilites. On constate donc que si les methodes de CLA sont tres convaincantes, leur efficacite depend d'un grand nombre de parametres qui sont difficiles a ajuster simultanement. Depuis les travaux initiaux d'Engquist et Majda, les methodes de conditions absorbantes ont ete largement etudiees pour differents systemes d'equations; des ameliorations, telles que le traitement des coins ou la prise en compte de bords courbes, ont aussi ete apportees. Une seconde technique pour limiter le domaine de calcul consiste a utiliser des couches absorbantes. On entoure ce domaine d'un milieu fictif, la couche absorbante, dans lequel l'onde est attenuee (absorbee) et on ne se preoccupe plus de la condition aux limites a imposer en fin de couche. Les premiers modeles ont ete introduits au debut des annees 70. Ils etaient simples et reposaient sur l'introduction dans ces couches d'un modele physique contenant un coefficient d'absorption constant. Bien que plus simples a mettre en oeuvre que les conditions aux limites absorbantes, ces premiers modeles de couches ont ete peu utilises car ils ont un inconvenient majeur: l'onde incidente voit un changement brutal entre le milieu de propagation et la couche, ce qui entraine des reflexions parasites. Ainsi, au cours des annees 1980, les methodes de couches ont ete delaissees au profit des conditions aux limites absorbantes. En 1994, Berenger a introduit un nouveau concept de couches absorbantes pour les ondes electromagnetiques: les couches absorbantes parfaitement adaptees ou PML pour la terminologie anglaise "Perfectly Matched Layers". L'originalite de son modele est de ne generer aucune reflexion parasite entre le milieu physique et la couche PML, quels que soient l'angle d'incidence et la frequence de l'onde propagee. Les travaux de Berenger ont suscite beaucoup d'interet dans la communaute scientifique. Ils ont, d'une part, efface l'inconvenient des modeles de couches classiques et, d'autre part, corrige le principal defaut des conditions aux limites absorbantes, dont l'efficacite n'est averee qu'a incidence proche de la normale, pour des frequences elevees. La methode des PML est simple a mettre en oeuvre numeriquement car on integre facilement le modele dans un code de calcul existant et comprenant les equations initiales. Par ailleurs, cette technique s'applique a un grand nombre de systemes d'equations issus de la physique, ce qui a conduit a une quantite de publications ces dix dernieres annees. Le developpement d'un modele PML peut etre vu comme le plongement des equations initiales a l'interieur du milieu fictif avec passage continu du domaine reel au domaine artificiel.