Modelagem Estocástica do Algoritmo CLMS Aplicado à Conformação de Feixe

In this paper, a stochastic model is proposed for the constrained least-mean-square (CLMS) algorithm applied to beamforming in mobile communication systems. Such an algorithm is developed in order to minimize the array output power, satisfying a gain constraint in the direction of the signal of interest. In the proposed model, expressions are derived describing the mean weight vector behavior, the weight vector correlation matrix, the evolution of the signal-to-interferenceplus-noise ratio (SINR), as well as expressions for predicting the steady-state behavior of the weight vector, of the weight vector correlation matrix, and of the SINR. Simulation results confirm the accuracy of the proposed model. Keywords—CLMS algorithm, adaptive arrays, mobile communications, beamforming, stochastic modeling. I. INTRODUÇÃO Arranjos adaptativos de antenas têm se revelado como uma tecnologia fundamental para melhorar o desempenho dos sistemas de comunicação móveis. Nesses arranjos, o padrão de irradiação é ajustado de modo iterativo através de um algoritmo adaptativo de conformação de feixe, visando maximizar a SINR (signal-to-interference-plus-noise ratio) [1], [2]. Dentre os algoritmos de conformação de feixe, o algoritmo CLMS (constrained least-mean-square) [3] é amplamente utilizado em arranjos adaptativos de antenas para comunicações móveis devido à sua baixa complexidade computacional e à necessidade apenas do conhecimento prévio do AOA (angle of arrival) do SOI (signal of interest) [2], [4]. O algoritmo CLMS é derivado em [3] a partir do critério LCMV (linear-constrained-minimum-variance). Esse critério é formulado de modo a minimizar a potência de saída do arranjo, atendendo a um conjunto de restrições lineares [2]-[4]. Quando aplicado em sistemas de comunicações móveis, o critério LCMV se reduz ao critério MVDR (minimum variance distortionless response) [2], formulado com apenas uma restrição linear visando garantir ganho unitário na direção do SOI. Na literatura, o desempenho de algoritmos adaptativos é comumente avaliado por meio de simulações de Monte Carlo (MC), as quais em geral são computacionalmente custosas (já que demandam um grande número de realizações). De maneira alternativa, a análise de desempenho de algoritmos adaptativos pode ser realizada por meio de modelos estocásticos. Tais modelos são constituídos por expressões matemáticas que descrevem o comportamento do algoritmo sob análise, permitindo assim efetuar comparações de desempenho (sem a necessidade de extensivas simulações de MC), como também estabelecer relações de causa e efeito entre os parâmetros do algoritmo e as métricas de desempenho. Nesse contexto, a modelagem estocástica do algoritmo CLMS torna-se um tópico relevante abordado até então em alguns poucos trabalhos de pesquisa [3], [5]-[7]. Por exemplo, uma análise do comportamento médio do vetor de coeficientes é dada em [3], na qual são estabelecidas condições de convergência para o vetor ótimo. Na sequência, expressões para predizer o desajuste e a matriz de covariância do vetor de coeficientes são desenvolvidas em [5]. Posteriormente, uma expressão de modelo que caracteriza a potência média na saída do arranjo é derivada em [6], a qual é usada para suportar uma discussão sobre a convergência e o desajuste do algoritmo (em concordância com [5]). Já em [7], considerando um problema de identificação de sistema, expressões de modelo para o desvio médio quadrático como também para o desajuste são apresentadas. Contudo, as métricas consideradas em [7] não são tão úteis para se compreender o comportamento do algoritmo operando em arranjos de antenas, uma vez que não evidenciam aspectos fundamentais relacionados ao desempenho de sistemas de comunicação. Em contraste com os resultados apresentados na literatura até então, o presente trabalho de pesquisa visa desenvolver um modelo estocástico descrevendo o comportamento do algoritmo CLMS aplicado à conformação de feixe para comunicações móveis. Especificamente, este trabalho tem como objetivo: i) desenvolver um modelo estocástico que caracterize o comportamento do algoritmo CLMS para sinais de entrada complexos; ii) obter expressões de modelo que permitam avaliar o comportamento do vetor de coeficientes, da matriz de correlação do vetor de coeficientes e também da SINR; e iii) derivar expressões que descrevam de forma precisa o comportamento do algoritmo tanto na fase transitória quanto em regime permanente. Artur Adolfo Falkovski e Rui Seara estão vinculados ao LINSE-Laboratório de Circuitos e Processamento de Sinais do Departamento de Engenharia Elétrica e Eletrônica da Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, SC, Brasil (e-mails: artur.adolfo@linse.ufsc.br e seara@linse.ufsc.br). Eduardo Vinicius Kuhn está vinculado ao LAPSE–Laboratório de Processamento de Sinais e Eletrônica do Departamento de Engenharia Eletrônica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), Toledo, PR, Brasil (e-mail: kuhn@utfpr.edu.br). Ciro André Pitz e Marcos Vinicius Matsuo estão vinculados ao GEPS-Grupo de Eletrônica e Processamento de Sinais do Departamento de Engenharia de Controle, Automação e Computação da Universidade Federal de Santa Catarina, Blumenau, SC, Brasil (e-mails: ciro.pitz@ufsc.br e marcos.matsuo@ufsc.br). Este trabalho foi parcialmente financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES E PROCESSAMENTO DE SINAIS – SBrT’20, 22 A 25 DE NOVEMBRO DE 2020, FLORIANÓPOLIS, SC 2 de 5 Este artigo está organizado como segue. A Seção II trata sobre o cenário de operação, o modelo dos sinais e o algoritmo CLMS. A Seção III apresenta a derivação do modelo proposto descrevendo o comportamento do algoritmo CLMS. A Seção IV mostra resultados obtidos com simulações numéricas. Por último, a Seção V traz as conclusões e comentários finais deste trabalho de pesquisa. A notação matemática adotada segue a prática padrão de utilizar letras minúsculas em negrito para vetores, e letras gregas e romanas em itálico para escalares. Os sobrescritos H e ∗ representam o Hermitiano transposto de uma matriz e o complexo conjugado, respectivamente. Por sua vez, E( ) ⋅ denota o valor esperado, tr( ) ⋅ caracteriza o operador traço, enquanto ⊗ e ⊕ representam o produto e a soma de Kronecker, respectivamente. Ainda, vec( ) ⋅ define o operador de vetorização usado para empilhar as colunas de uma matriz e unvec( ) ⋅ o operador inverso de vetorização. II. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Nesta seção, definições relacionadas ao cenário de operação e conceitos associados ao algoritmo CLMS são discutidos. A fundamentação teórica é dividida em duas partes, sendo que a primeira é dedicada à modelagem dos sinais que chegam ao arranjo, enquanto a segunda revisita o algoritmo CLMS. A. Modelo dos Sinais Considera-se aqui um cenário em que a estação rádio base possui um arranjo com M antenas e que K terminais móveis (usuários) compartilham o mesmo canal. Assim, o sinal recebido pelo arranjo de antenas pode ser expresso como