Proper divergence functions for comparing and combining climate model outputs for extreme temperature indices

Divergence functions measure the difference between two probability distributions F and G. They are widely used to assess the quality of probabilistic forecasts, where F represents a predictive distribution function and G represents the empirical distribution function of the events that materialize. Scoring rules are the analogue for the evaluation of a probabilistic forecast F for a single event y. A scoring rule is proper if the forecaster optimizes the expected score when y is drawn from the distribution F . This property encourages honesty and careful assessments in the prediction process. Here, divergence functions with a similar property are proposed. The Cramér-von Mises distance, the divergence function associated with the continuous ranked probability score, is particularly suitable for prediction assessment. In a case study, fifteen climate model projections for four indices for climate extremes over Europe from 1961 to 1990 are compared with corresponding re-analysis and/or observation based data sets to assess the skill of the models in simulating climate extremes. The quality of the simulations depends on the region, the season, and the index under consideration. For instance, the climate models are usually better in simulating the monthly and the yearly maximum temperature than the monthly and the yearly minimum temperature. Furthermore, weighting methods based on proper divergence functions to combine climate models are proposed. The weighted model combinations usually perform significantly better than any single climate model. Zusammenfassung Eine Divergenz-Funktion misst den Unterschied zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen F und G. Sie werden verbreitet dazu eingesetzt, die Qualität probabilistischer Vorhersagen zu beurteilen, wobei F die Vorhersageverteilung und G die empirische Verteilungsfunktion der eintretenden Ereignisse darstellt. Scoring-Funktionen sind das Analogon für die Bewertung einer probabilistischen Vorhersage F für ein einzelnes Ereignis y. Eine ScoringFunktion heißt korrekt, falls der Prognostiker den erwarteten Score optimiert, wenn y der Verteilung F folgt. Diese Eigenschaft fördert die Aufrichtigkeit und sorgfältige Beurteilung beim Aufstellen einer Prognose. Wir stellen Divergenz-Funktionen mit einer vergleichbaren Eigenschaft vor. Die Cramér-von Mises Distanz, die mit dem continuous ranked probability score assoziierte Divergenz-Funktion, ist für die Beurteilung von Prognosen besonders geeignet. In einer Fallstudie werden Klimaprojektionen von fünfzehn Klimamodellen für vier Klimaextrem-Indizes von 1961 bis 1990 in Europa mit ensprechenden, auf Reanalysen und/oder Beobachtungen basierenden Datensätzen verglichen, um die Fähigkeiten und Schwächen der Modelle bei der Simulation von Klimaextremen zu beurteilen. Die Qualität der Simulationen ist von der Region, der Jahreszeit und dem Index abhängig. Beispielsweise können Klimamodelle meist die monatliche und jährliche Maximaltemperatur besser als die Minimaltemperatur simulieren. Außerdem führen wir Gewichtungsmethoden zur Kombination von Klimamodellen, die auf korrekten Divergenz-Funktionen basieren, ein. Die gewichteten Kombinationen der Klimamodelle schneiden meist wesentlich besser ab als jedes Klimamodell für sich.