Harnack inequalities and applications for stochastic equations

In dieser Dissertation studieren wir hauptsachlich Wangs Harnack-Ungleichungen und ihre Anwendungen auf Ubergangshalbgruppen, die zu stochastischen Gleichungen gehoren. Wir betrachten endlich-dimensionale stochastische (gewohnliche) Differentialgleichungen mit irregularem Drift, unendlich-dimensionale (semi-)lineare stochastische partielle Differentialgleichungen mit Gaus'schem oder Levy-Rauschen, mehrwertige stochastische Differentialgleichungen in endlich-dimensionalen Raumen und mehrwertige stochastische Evolutionsgleichungen in Banach-Raumen. Die Anwendungen der Harnack-Ungleichungen beinhalten das Studium von Regularisierungs-Eigenschaften wie der starken Feller-Eigenschaft, Warmeleitungskern-Abschatzungen und Hyper-Beschranktheit usw. fur die Ubergangshalbgruppen. Die wichtigste benutzte Methode, um Harnack-Ungleichungen zu erhalten, ist die Transformation von Masen, genauer Bildmas-Transformationen und die Girsanov-Transformation (zusammen mit einem Kopplungsargument). Die letztere Methode wurde von Arnaudon et al. in 2006 eingefuhrt. Mithilfe einfacher Bildmas-Transformationen zeigen wir eine optimale Harnack-Ungleichung fur die Gaus'sche Ornstein-Uhlenbeck-Halbgruppe. Dies ist eine Verbesserung der von Rockner und Wang in 2003 erhaltenen Harnack-Ungleichung. Daruber hinaus zeigen wir, dass diese Ungleichung aquivalent zur starken Feller-Eigenschaft der Gaus'schen Ornstein-Uhlenbeck-Halbgruppe ist. Durch Koppeln und die Girsanov-Transformation erhalten wir eine Harnack-Ungleichung fur Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Levy-Rauschen. Der Drift in der Girsanov-Transformation ist eine Null-Kontrolle eines linearen Systems. Durch Optimierung uber alle Null-Kontrollen erhalten wir eine Harnack-Ungleichung, die die gleiche Form hat wie die fur Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Gaus'schem Rauschen. Diese Harnack-Ungleichung verallgemeinert und verbessert die von Rockner und Wang in 2003 erhaltene. Mit der gleichen Methode und der Wahl geeigneter Drifts erhalten wir auch Harnack-Ungleichungen fur andere stochastische Gleichungen. Wichtige Aspekte der Methode von Arnaudon et al. sind absolute Stetigkeit und das erfolgreiche Koppeln von Prozessen. Wir behandeln diese Themen in zwei Kapiteln der Arbeit. Wir zeigen ein Girsanov-Theorem fur Levy-Prozesse in unendlich-dimensionalen Raumen. Des weiteren untersuchen wir die absolute Stetigkeit von Levy-Prozessen. Dieser Teil ist eine unendlich-dimensionale Version der Vorlesungen von Sato uber Dichte-Transformationen von Levy-Prozessen in 2000. Wir zeigen ein Klebe-Lemma, dass das Martingalproblem fur die Summe zweier durch Stoppzeiten getrennter Operatoren lost. Es ist eine Verallgemeinerung eines Lemmas von Chen und Li, 1989. Wir wenden dieses Resultat an, um die Existenz einer schwachen Losung der gekoppelten Gleichung zu erhalten. Fur mehrwertige stochastische Evolutionsgleichungen untersuchen wir auch die Konzentrationseigenschaft der invarianten Mase. Diese Eigenschaft verallgemeinert die von Zhang in 2007 untersuchte. Des weiteren untersuchen wir Entropie-Kosten- und HWI-Ungleichungen fur Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Gaus'schem Rauschen.