REALIMENTAÇÃO DA DERIVADA DOS ESTADOS EM SISTEMAS FUZZY TAKAGI SUGENO

In some practical problems, for instance in the control systems for the suppression of vibration in mechanical systems, the state-derivative signals are easier to obtain than the state signals. Sufficient Linear Matrix Inequalities (LMI) conditions for the design of state-derivative feedback for nonlinear systems are proposed. The nonlinear systems are represented by fuzzy models proposed by Takagi and Sugeno. The proposed method provides control over the transient behavior of the closed-loop system. The LMI, when feasible, can be efficiently solved using convex programming techniques. The efficiency of design procedure is illustrated through numeric example. Keywords— state-derivative feedback, control of non-linear systems, fuzzy control, linear matrix inequalities (LMI), TakagiSugeno (T-S) model Resumo— Em alguns problemas práticos, por exemplo no controle de vibrações de sistemas mecânicos, é mais fácil obter o sinal da derivada dos estados que o sinal dos estados. Usando desigualdades matriciais lineares (LMI) são propostas condições suficientes para o projeto de realimentação da derivada dos estados em sistemas não-lineares. Os sistemas não-lineares são representados por modelos Fuzzy Takagi Sugeno. A metodologia proposta é capaz de atuar no transitório do sistema em malha fechada. LMI quando fact́ıveis são facilmente resolvidas usando técnicas de programação convexa. A eficiência do método proposto é ilustrada através de um exemplo numérico. Keywords— realimentação da derivada dos estados, controle de sistemas não-lineares, controle fuzzy, desigualdades matriciais lineares (LMI), modelo Takagi-Sugeno (T-S) 1 Introdução Existem problemas práticos em que a derivada dos estados é mais fácil de se obter do que os sinais dos estados. Como exemplo pode-se citar sistemas nos quais os sensores usados são acelerômetros. A partir da aceleração é posśıvel obter a velocidade com boa precisão, porém é mais complexo obter o deslocamento (Abdelaziz and Valášek, 2004), logo os sinais usados para realimentar esses sistemas são: a aceleração e a velocidade. Essas são as derivadas da velocidade e da posição que podem representar os estados do sistema. Devido ao seu baixo custo os acelerômetros têm sido cada vez mais usados pela indústria. As aplicações mais comuns são em controle de oscilações de sistemas mecânicos (Abdelaziz and Valášek, 2004; Abdelaziz and Valášek, 2005; Kwak et al., 2002a), na indústria automobiĺıstica (Reithmeier and Leitmann, 2003), na engenharia aeronáutica (Kwak et al., 2002b) e na engenharia civil (Duan et al., 2005). Na literatura especializada é posśıvel encontrar vários artigos sobre o uso da realimentação da derivada dos estados (realimentação derivativa) em sistemas lineares (Abdelaziz and Valášek, 2004; Abdelaziz and Valášek, 2005; Kwak et al., 2002a; Teixeira et al., 2006). Porém existem poucos resultados envolvendo sistemas nãolineares. Devido a sua complexidade sistemas não-lineares são dif́ıceis de ser analisados. Uma maneira de facilitar a análise de estabilidade desses sistemas é representá-los através de modelos Fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) (Takagi and Sugeno, 1985; Sugeno and Kang, 1988). Esse tipo de modelagem consiste em obter uma aproximação do sistema não-linear através de uma combinação fuzzy de sistemas lineares, normalmente invariantes no tempo. Já é conhecido na literatura (Taniguchi et al., 2001) que um sistema não-linear pode ser exatamente representado por modelos T-S escolhendo-se adequadamente o número de sistemas lineares (modelos locais) e os parâmetros da combinação fuzzy (conhecidos como, funções de pertinência). O estudo de sistemas não-lineares através de sistemas fuzzy é uma área de pesquisa bastante explorada (Teixeira and Żak, 1999; Kim and Lee, 2000; Tanaka et al., 1998). Sendo que os trabalhos mais recentes têm feito esse estudo usando desigualdades matriciais lineares (LMI) (Tanaka et al., 1998; Teixeira et al., 2003; Teixeira et al., 2001). A solução de problemas de otimização, com restrições descritas por LMI e função objetivo linear pode ser obtida empregando-se o método de planos de corte. Para resolver este tipo de problema convexo de programação semi-definida pode-se utilizar, por exemplo, o MATLAB (Gahinet et al., 1995) ou o LMIsol (de Oliveira et al., 1997). Esses algoritimos têm garantia de convergência ao ótimo global em tempo finito. Nesse trabalho são propostas condições suficientes para o projeto de realimentação da derivada dos estados em sistemas T-S usando LMI. A técnica proposta considera restrições de desempenho no projeto do controlador, tais como taxa de decaimento porcentagem de overshoot e tempo de subida. A técnica proposta é avaliada através da solução de um exemplo numérico. 2 Modelos Fuzzy Takagi-Sugeno Considere um sistema não-linear da forma: ẋ(t) = f(x(t)) + g(x(t))u(t), y(t) = Cx(t). (1) sendo x(t) ∈ R, f(x), g(x) funções não-lineares, u(t) ∈ R , y(t) ∈ R e C ∈ R. O sistema (1) pode ser representado por modelos T-S dados abaixo (Takagi and Sugeno, 1985; Tanaka et al.,