Estimación de funciones no lineales en mezclas post-no lineales

This paper proposes a new method for blindly inverting a nonlinear mapping which transforms a sum of random variables. This is the case of post-nonlinear (PNL) source separation mixtures. The importance of the method is based on the fact that it permits to decouple the estimation of the nonlinear part from the estimation of the linear one. Only the nonlinear part is inverted, without considering on the linear part. Hence the initial problem is transformed into a linear one that can then be solved with any convenient linear algorithm. The method is compared with other existing algorithms for blindly approximating nonlinear mappings. Experiments show that the proposed algorithm outperforms the results obtained with other algorithms and give a reasonably good linearized data I. INTRODUCCIÓN La separación ciega de modelos post-no lineales (PNL) (ver Fig. 1) requiere la estimación de la inversa de la función no lineal y de la parte lineal (matriz de mezcla). Esto se puede realizar minimizando la información mutua de la salida de la estructura de inversión. Sin embargo, nos conduce a algoritmos lentos, puesto que las dos partes (no lineal y lineal) están en cascada y se optimizan con el mismo criterio. Un método simple y muy rápido para estimar de forma aproximada la inversa de la función no lineal se presenta en [1]. El método proporciona un buen punto de la inicialización que se puede utilizar como punto de partida de cualquier algoritmo para invertir la mezcla PNL. Esto no modifica el funcionamiento asintótico del algoritmo utilizado y aumenta su velocidad de convergencia, con un coste computacional adicional muy pequeño. En este artículo, proponemos una generalización de esta idea, explotada ya en [1][4], para estimar la inversa de la función no lineal. Esta estimación permite transformar el caso PNL a un problema lineal, que puede ser invertido con cualquier algoritmo lineal. Fig. 1: El sistema de mezcla-separación para el caso PNL Generalizando resultados anteriores, proponemos un nuevo algoritmo para la estimación de la inversa de la función no lineal fi. El algoritmo consiste en el ajuste de una función no lineal gi de modo que la entropía de Shannon de Zi=gi(Ei) sea máxima bajo la condición de variancia unitaria. Aunque parece que estamos haciendo lo mismo que [1], aquí la variable aleatoria recuperada z (después de que la inversión no lineal) no tiene forzosamente una distribución Gaussiana pero si una entropía máxima. La sección 2 explica los principios del algoritmo. La sección 3 muestra experimentalmente la robustez y el funcionamiento del método, y finalmente se presentan las conclusiones en la sección 4. II. ALGORITMO Considerar la entropía de Shannon de la variable aleatoria continua con varianza unidad : ( ) E g Z = ( ) ( ) ( ∫ − = du u p u p Z H Z Z log ) (1) Donde ( ) u pZ denota la función de densidad de probabilidad. Dado que la varianza es unitaria, la entropía de Shannon ( ) Z H es máxima si Z es Gaussiana [2], con lo cuál g se puede estimar de manera que ( ) ( ) ( ) E g H Z H = sea máxima (bajo la condición de varianza unitaria). En el caso discreto, las ecuaciones anteriores quedan como sigue: ( ) ( ) ( ) ∑ = − = N k k k z p z p Z H 1 log (2) Donde ( ) k z p son las probabilidades de un conjunto de mensajes { } n z z L , 1 ocurriendo con probabilidades n p p L , 1 [2]. Dado que para variables continuas la entropía máxima para una varianza determinada corresponde a una distribución Gaussiana y que para el caso discreto corresponde a una distribución uniforme, el nuevo método que proponemos debe obtener buenos resultados en los dos casos, ya que no forzamos directamente la obtención de un tipo u otro de función de distribución para Z sino que maximizamos la entropía . Los resultados experimentales confirman este punto cuando comparamos ( ) Z H los tres algoritmos (Gaussianización, uniformización y maximización de entropía). La parametrización más simple consiste en utilizar un polinomio. Esto nos dará un algoritmo sencillo y con pocos parámetros. Consideremos un polinomio de grado N para g(·):