CARACTÉRISATION DES

In this paper we show that an automorphism α of an abelian group A can be extented to an automorphism of any abelian group which contains A as subgroup iff (α− idA)(A) or (α+ idA)(A) is a divisible subgroup of A. Then if A is reduced, idA and −idA are the only automorphisms of A which have the extension property. 1 – Introduction and results Dans [6] P.E. Schupp caractérise les automorphismes intérieurs d’un groupe G de la manière suivante: si α est un automorphisme de G alors α est intérieur ssi pour tout groupe H contenant G comme sous groupe, α se prolonge en un automorphisme deH. En particulier siG est abélien alors idG est le seul automorphisme de G qui posséde la propriété de l’extension. Dans [5] M.R. Pettet montre aussi que dans certaines classes de groupes finis les automorphismes intérieurs sont caractérisés par la propriété de l’extension. Dans [3] M. Dugas et R. Gobel donnent une autre preuve du résultat de Schupp. Dans [1] L. BenYakoub montre que le résultat de Schupp n’est pas valable en général pour les algébres sur anneau commutatif. On peut se demander si la propriété de l’extension caractérise aussi les dérivations intérieures dans les algébres associatives. Dans [2] L. BenYakoub et M.P. Malliavin montrent que c’est le cas pour certaines algébres quantiques. Dans ce papier nous montrons qu’un automorphisme α d’un groupe abélien A se prolonge en un automorphisme dans tout groupe abélien B, contenant A Received : February 14, 2001. 326 S. ABDELALIM et H. ESSANNOUNI comme sous groupe ssi (α− idA)(A) ou (α+ idA)(A) est un sous groupe divisible de A. En particulier si A est réduit alors idA et −idA sont les seuls automorphismes de A qui possédent la propriété de l’extension (dans la categorie des groupes abéliens). Tous les groupes que nous considérons dans la suite sont abéliens et nous adoptons les notations de [4]. Soit C une classe de groupe abélien et soit A ∈ C nous voulons caractériser les automorphismes α de A ayant la propriété suivante: (E) Pour tout groupe B ∈ C et tout monomorphisme λ : A −→ B, il existe un automorphisme α̃ de B rendant le diagramme suivant: A λ −→ B α ↓ ↓ α̃ A λ −→ B commutatif. Les classes de groupes abéliens que nous considérons sont (Ab): la classe de tous les groupes abéliens, (Ab)t: la classe des groupes abéliens de torsion et (Ab)p: la classe des p-groupes abéliens (p nombre premier). Remarque 1.1. Si A est divisible alors tous les automorphismes de A possédent la propriété (E) relativement à n’importe quelle classe contenant A. Remarque 1.2. Désignons par C l’une des classe (Ab), (Ab)t ou (Ab)p. Soient A ∈ C, D le sous-groupe divisible maximal de A, α un auotomorphisme de A et α l’automorphisme de A/D induit par α. Il est facile de voir que α vérifie (E) relativement à C. Donc pour l’etude de la propriété (E), on peut supposer A réduit (i.e. D = 0). 2 – Caratérisation des automorphismes ayant la propriété de l’extension dans la classe des p-groupes abéliens Proposition 2.1. Soient p un nombre premier et A un p-groupe abélien réduit. Les seuls automorphismes de A qui vérifient (E) relativement à (Ab)p sont πidA où π est un nombre p-adique inversible. Preuve: Soit α un automorphisme de A vérifiant (E) relativement à (Ab)p. AUTOMORPHISMES D’UN GROUPE ABÉLIEN 327 Soit x ∈ A tel que 〈x〉 est un facteur direct de A. Soient E un p-groupe divisible contenant x et A0 un sous groupe de A tel que 〈x〉 ⊕ A0 = A. Il existe α̃ ∈ Aut(E ⊕ A0) tel que α̃(a) = α(a) pour tout a ∈ A. Comme α̃(E) ⊆ E, car A0 est réduit alors α(x) = α̃(x) = kx, k ∈ Z. A présent soit B un sous groupe de base de A. B = ⊕ n≥1 Bn avec pour tout n ≥ 1, Bn = 0 ou Bn est somme directe de groupes cycliques finis chacun d’ordre p. Fixons n ≥ 1 avec Bn 6= 0. Bn = ⊕ i∈I 〈xi〉 tel que o(xi) = p , ∀i ∈ I. Comme Bn est un facteur direct de A (voir 32.4[4]). D’aprés ce qui précéde α(xi) = mixi, mi ∈ Z. Soit (i, j) ∈ I2 avec i 6= j, on peut écrire 〈xi〉 ⊕ Ai = A avec xj ∈ Ai. Il est facile de voir que 〈xi + xj〉 ⊕ Ai = A donc α(xi + xj) = m(xi + xj) =⇒ p | mi−mj . Il existe alors kn ∈ Z tel que α(b) = knb, ∀b ∈ Bn. Soit (m,n) ∈ N2 avec 1 ≤ m < n, comme Bm ⊕ Bn est un facteur direct de A (32.4[4]) alors on peut voir facilement que p | kn − km. Soit π le nombre p-adique défini par la suite (kn)n≥0 (avec k0 = 0 et kn = kn−1 si Bn = 0). On a α(b) = πb, pour tout b ∈ B et comme A est réduit alors α = π idA (34.1[4]). On en déduit facilement les deux corollaires suivants. Corollaire 2.1. Soit A un p-groupe abélien. les deux propriétés suivantes sont équivalentes: (i) ∀α ∈ Aut(A), α vérifie (E) dans (Ab)p. (ii) A = D ⊕ 〈x〉 où D est un p-groupe divisible. Corollaire 2.2. Supposons que A est un groupe de torsion réduit et α un automorphisme de A alors les deux propriétés suivantes sont equivalentes: (i) α vérifie (E) dans (Ab)t. (ii) La restriction de α à toute p-composante de A est la multiplication par un nombre p-adique inversible. 3 – Caractérisation des automorphismes ayant la propriété de l’extension dans la classe des groupes abéliens Lemme 3.1. Supposons S = ⊕ n≥1 〈xn〉 avec pour tout n ≥ 1, o(xn) = q n (q ≥ 2). Il existe un groupe abélien H contenant S comme sous groupe et pour tout γ ∈ Aut(H) il existe 2 ∈ {−1, 1} et N ∈ N tel que q4γ(xn) = 2 q −n xn, ∀n ≥ N . 328 S. ABDELALIM et H. ESSANNOUNI Preuve: Considérons le produit direct ∏ n≥1 〈xn〉 et désignons par fk : ∏ n≥1 〈xn〉 → 〈xk〉, la projection canonique (k ≥ 1). Pour m ≥ 1, on définit l’élement em de