Set estimation under convexity type restrictions

La estimacion de conjuntos tiene por objetivo aproximar un conjunto a partir de observaciones aleatorias cuya distribucion esta relacionada de algun modo con el conjunto de interes, Asi, el objeto que tiene interes estadistico no es un parametro poblacional o una funcion relacionada con la distribucion de las observaciones disponibles (como la densidad) sino un conjunto como puede ser el soporte de probabilidad o un conjunto de nivel. En los ultimos anos se han venido desarrollando diversos metodos para estimar conjuntos, o caracteristicas geometricas de los mismos, bajo hipotesis de forma minimas. Vease, por ejemplo, Cuevas y Rodriguez Casal (2004) o Cuevas, Fraiman y Rodriguez Casal (2007). Sin embargo, es conocido (Dumbgen y Walther 1996) que las tasas de convergencia optimas para la estimacion de un soporte de probabilidad convexo cuya frontera verifique ciertas condiciones de suavidad son mejores que en el caso general. El problema principal de estas tecnicas es que la hipotesis de convexidad puede ser muy poco realista en situaciones propias del analisis de imagenes. Por tanto, seria deseable disponer de metodos eficientes como los propuestos en Dumbgen y Walther (1996) en situaciones mas generales. Un primer paso en esta linea fue dado en Rodriguez-Casal (2007) donde se prueba que la mejora obtenida para conjuntos convexos suaves tambien se puede conseguir para una clase de conjuntos mas amplia. La condicion de forma utilizada en ese articulo, denominada alfa-convexidad, relaja la condicion de convexidad permitiendo la existencia de zonas concavas en la frontera del conjunto de interes, siempre que estas zonas no sean irregulares. En la tesis "Set estimation under convexity type restrictions" se abordan diversos problemas, tanto de tipo teorico como practico, relacionados con la estimacion de conjuntos alfa-convexos. Asi, en el Capitulo 2 de la tesis se estudia el problema de la estimacion de un soporte alfa-convexo. Formalmente, el problema de estimacion del soporte se establece como el problema de aproximar el soporte de una distribucion de probabilidad absolutamente continua, a partir de la observacion de una muestra aleatoria simple de dicha distribucion. Si se supone alfa-convexidad, entonces el estimador natural es la envoltura alfa-convexa de la muestra. En otras situaciones el objeto de interes no es solo un conjunto sino cierta caracteristica geometrica del mismo como, por ejemplo, el area superficial o el volumen. En el Capitulo 3 se aborda el problema de la estimacion del area superficial de un conjunto, de nuevo bajo condiciones de alfa-convexidad. Una vez estudiadas las propiedades teoricas de diferentes estimadores del soporte y el area superficial de un conjunto, el Capitulo 4 se centra en como se puede llevar a cabo el analisis practico de dichos problemas. El calculo de la envoltura alfa-convexa de una muestra no es un problema de solucion inmediata y, por este motivo, parte del Capitulo 4 esta dedicada a la descripcion de la implementacion en R del algoritmo propuesto por Edelsbrunner (1983). Ademas de la envoltura alfa-convexa, se ha programado el estimador de la longitud de la frontera propuesto en el Capitulo 3 para el caso particular del espacio euclideo bidimensional y se ilustra el problema de estimacion del area superficial mediante un estudio de simulacion. Ademas, a la vista de los resultados obtenidos, se plantea una solucion alternativa al problema de la estimacion del area superficial. Dada la envoltura alfa-convexa de una muestra, se puede calcular su perimetro sumando las longitudes de los arcos que conforman su frontera. De forma analoga, se consideran otros estimadores como, por ejemplo, el alfa-shape, que es un objeto geometrico sencillo y capaz de recuperar la frontera de un conjunto. En resumen, con este trabajo se intenta mostrar que los metodos de estimacion de conjuntos alfa-convexos son aplicables en la practica y son mas eficientes en la estimacion de conjuntos alfa-convexos que los metodos mas generales.