Modelagem Estocástica do Algoritmo NSVR-IAF-PNLMS para Dados Gaussianos

This paper presents a stochastic model of the normalized smoothed variation rate individual-activation-factor proportionate normalized least-mean-square (NSVR-IAFPNLMS) algorithm for real Gaussian input data. Considering a time-varying gain distribution matrix, model expressions characterizing the mean weight behavior, gain distribution matrix and NSVR metric, as well as the algorithm learning curve and weight-error correlation matrix are derived here. Through numerical simulations, the accuracy of the stochastic model is verified for different operation scenarios. Keywords—IAF-PNLMS algorithm, NSVR-IAF-PNLMS algorithm, adaptive filtering, stochastic modeling. I. INTRODUÇÃO Embora os algoritmos LMS (least-mean-square) e NLMS (normalized LMS) sejam bastante populares [1], esses algoritmos exibem baixa velocidade de convergência em muitas aplicações práticas nas quais a resposta ao impulso da planta é esparsa. Dentre tais aplicações, destacam-se cancelamento de eco, equalização de canais em sistemas de comunicação e processos sísmicos [2]-[4]. Assim, visando explorar a natureza esparsa da resposta ao impulso das plantas encontradas em algumas aplicações, Duttweiler propôs em [5] o algoritmo PNLMS (proportionate NLMS). Tal algoritmo atualiza cada coeficiente do filtro proporcionalmente à sua magnitude, resultando em maior velocidade de convergência para plantas esparsas. Entretanto, para plantas com média e baixa esparsidade, o PNLMS apresenta baixa velocidade de convergência [6]. Além disso, a característica de convergência melhorada do PNLMS não é mantida durante todo o processo de adaptação [7], [8]. Então, visando contornar os problemas mencionados, diversos algoritmos que utilizam ganho proporcional vêm sendo propostos na literatura [6]-[13], dentre os quais se destacam o IPNLMS (improved PNLMS) [6], o MPNLMS (μ -law PNLMS) [8], o SC-PNLMS (sparseness controlled PNLMS) [9] e o IAF-PNLMS (individual-activation-factor PNLMS) [11]. Considerando fatores de ativação individuais, o algoritmo IAF-PNLMS [11] apresenta maior velocidade de convergência quando comparado a outros algoritmos da literatura (especialmente, para plantas com elevada esparsidade). Tal melhoria é resultante da aplicação de ganho proporcional para todos os coeficientes do filtro adaptativo (tanto ativos quanto inativos), o que leva a um aumento do ganho atribuído a coeficientes ativos; como consequência, tem-se um aumento na velocidade de convergência do algoritmo. Entretanto, o ganho atribuído pelo algoritmo IAF-PNLMS a coeficientes ativos é mantido elevado durante todo o processo de adaptação (mesmo após o coeficiente atingir as proximidades de seu valor ótimo), implicando que coeficientes inativos recebam sempre um ganho pequeno; como resultado, compromete-se a velocidade de convergência do algoritmo. Dessa forma, visto que atribuir ganho elevado a coeficientes que já atingiram a vizinhança de seu valor ótimo não tem qualquer efeito sobre a convergência do filtro adaptativo [13], um novo algoritmo (denominado NSVR-IAF-PNLMS) é proposto em [14]. Nesse algoritmo, o ganho de coeficientes que já atingiram a proximidade de seu valor ótimo é transferido para outros que ainda não convergiram, aumentando assim a velocidade de convergência global bem como reduzindo o desalinhamento em regime permanente. Em tal algoritmo, uma métrica de avaliação denominada NSVR (normalized smoothed variation rate) é utilizada para estimar a convergência individual do coeficiente, a qual mede a taxa de variação suavizada e normalizada da magnitude do coeficiente. No sentido de prover um entendimento mais profundo do comportamento do algoritmo NSVR-IAF-PNLMS, um caminho conveniente se dá através de seu modelo estocástico. Particularmente, a modelagem estocástica de algoritmos adaptativos visa determinar expressões matemáticas que permitam descrever (com certa precisão) o comportamento de um dado algoritmo em diferentes cenários de operação. Assim, o modelo de um algoritmo possibilita uma análise teórica detalhada do seu comportamento, como também pode auxiliar o projetista no ajuste de seus parâmetros; com isso, a análise de desempenho através de extensivas simulações de Monte Carlo (MC) pode ser evitada. Além disso, comportamentos indesejados do algoritmo podem ser observados através do modelo, permitindo então a proposição de modificações e/ou a customização do algoritmo para condições específicas de operação [15]. Nesse contexto, o presente trabalho de pesquisa visa derivar um modelo estocástico para o algoritmo NSVRIAF-PNLMS, considerando dados de entrada gaussianos reais. Especificamente, são aqui obtidas expressões de modelo 1 Coeficientes cuja magnitude é muito inferior à magnitude do coeficiente mais significativo. Fábio Luis Perez, ASL–Laboratório de Sistemas de Controle e Filtragem Adaptativa, Departamento de Engenharia Elétrica e de Telecomunicações, Universidade Regional de Blumenau (FURB), Blumenau, SC (e-mail: fabiotek@furb.br). Eduardo Vinicius Kuhn, Departamento de Engenharia Eletrônica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), Toledo, PR, Brasil (e-mail: kuhn@utfpr.edu.br). Rui Seara, LINSE–Laboratório de Circuitos e Processamento de Sinais, Departamento de Engenharia Elétrica e Eletrônica, Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), Florianópolis, SC, Brasil (e-mail: seara@linse.ufsc.br). Francisco das Chagas de Souza, LSAPS–Laboratório de Sistemas Adaptativos e Processamento de Sinais, Departamento de Engenharia de Eletricidade, Universidade Federal do Maranhão (UFMA), São Luís, MA, Brasil (e-mail: francisco.souza@ufma.br). Este trabalho foi parcialmente financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES).