Quelques modèles mathématiques et algorithmes rapides pour le traitement d’images

Dans cette these, nous nous interessons a differents modeles mathematiques de traitement d’images numeriques dits de bas niveau. Si l’approche mathematique permet d’etablir des modeles innovants pour traiter les images, ainsi que l´etude rigoureuse des proprietes des images qu’ils produisent, ils impliquent parfois l’utilisation d’algorithmes tres consommateurs de temps de calcul et de memoire. Aussi, nous portons un soin particulier au developpement d’algorithmes rapides a partir des modeles mathematiques consideres. Nous commencons par effectuer une presentation synthetique des methodes mathematiques basees sur la dualite de Legendre-Fenchel permettant la minimisation d’energies faisant intervenir la variation totale, fonctionnelle convexe nondifferentiable, ceci afin d’effectuer divers traitements sur les images numeriques. Nous etudions ensuite un modele de discretisation de la variation totale inspire de la theorie de l’echantillonnage de Shannon. Ce modele, appele ≪ variation totale Shannon ≫ permet un controle fin de la regularite des images sur une echelle sous-pixellique. Contrairement aux modeles de discretisation classiques qui font appel a des schemas aux differences finies, nous montrons que l’utilisation de la variation totale Shannon permet de produire des images pouvant etre facilement interpolees. Nous montrons egalement que la variation totale Shannon permet un gain consequent en matiere d’isotropie et ouvre la porte a de nouveaux modeles mathematiques de restauration. Apres cela, nous proposons une adaptation du modele TV-ICE (Iterated Conditional Expectations, propose en 2014 par Louchet et Moisan) au cas du debruitage d’images en presence de bruit de Poisson. Nous demontrons d’une part que le schema numerique issu de ce modele consiste en un schema de point fixe dont la convergence est lineaire, d’autre part que les images ainsi produites ne presentent pas d’effet de marche d’escalier (staircasing), contrairement aux images obtenues avec l’approche plus classique dite du maximum a posteriori. Nous montrons egalement que le modele Poisson TV-ICE ainsi etabli repose sur l’evaluation numerique d’une fonction gamma incomplete generalisee necessitant une prise en compte fine des erreurs numeriques inherentes au calcul en precision finie et pour laquelle nous proposons un algorithme rapide permettant d’atteindre une precision quasi-optimale pour une large gamme de parametres. Enfin, nous reprenons les travaux effectues par Primet et Moisan en 2011 concernant l’algorithme astre (A contrario Smooth TRajectory Extraction) dedie a la detection de trajectoires regulieres a partir d’une sequence de nuages de points, ces points etant consideres comme issus d’une detection prealable dans une 3 sequence d’images. Si l’algorithme astre permet d’effectuer une detection optimale des trajectoires regulieres au sens d’un critere a contrario, sa complexite en O(K2) (ou K designe le nombre d’images de la sequence) s’avere etre redhibitoire pour les applications necessitant le traitement de longues sequences. Nous proposons une variante de l’algorithme astre appelee cutastre qui preserve les performances de l’algorithme astre ainsi que certaines de ses proprietes theoriques, tout en presentant une complexite en O(K).