Une Approche Géométrique de la Séparation Aveugle de Sources

The problem of Blind Spurce Separation is approached from the geometrical point of view. The mixture model is a linear geometric transformation of the sources, the coefficients of the mixing matrix can be easily found if the edges of distribution of sources are known. In this simple and intuitive approach , vectors column of the matrix mixture are found by searching for points at the ends of space observations. The results are better than those obtained with conventional algorithms when the signal is not noisy, the performance is degraded if the SNR is about 40 dB to 50 dB. 1 Representation geometrique du modele de melange lineaire Une nouvelle approche pour resoudre le probleme de la separation des melanges lineaires est proposee. Elle repose sur l’interpretation geometrique du modele de melange, idee qui apparait pour la premiere fois dans [1], puis dans [2] et a ensuite ete generealisee aux cas ou il y a plus de sources que d’observations [3]. La methode proposee est applicable pour l’extraction de sources non negatives a partir de melanges dont les coefficients sont non negatifs. Les sources ne sont pas necessairement bonees mais doivent verifier certaines conditions. Pour des raisons de simplicite, considerons le cas de 2 sources uniformes independamment et identiquement distribuees (i.i.d.), non negatives, de distribution bornee [0 1]. Dans le plan (s1, s2), chaque instant i est represente par un point (s1, s i 2) et tous les points dans l’espace des sources sont contenus dans le cone dont les generatrices sont definies par l’origine (le point (0, 0)) et les points (0, 1) respectivement (1, 0). La particularite de ces deux vecteurs est que l’angle defini par ces derniers a la valeur maximale. Tous les points de la forme (0, s2) et (s j 1, 0) se retrouvent sur ces generatrices. On appelle ces points les points extremes de la distribution. De maniere evidente, l’effet du modele de melange lineaire sur les sources est une transformation geometrique dans l’espace de representation. Cette transformation geometrique fait que dans l’espace des observations X , les donnees restent toujours a l’interieur des generatrices d’un autre cone. Comme la transformation geometrique du melange lineaire s’applique sur tous les points (s1, s j 2), elle s’applique implicitement sur les points extremes definissant les generatrices du cone initial ; les points extremes vont toujours garder le plus grand angle parmi toutes les autres paires de points. Ces points se retrouvent sur les generatrices du nouveau cone qui enferme toutes les donnees Xi. Sous certaines hypotheses ces points representent les vecteurs de melange multiplies par un facteur d’echelle. Une approche par deflation a egalement ete proposee dans [4]. 2 Notre approche 2.1 Deux sources Soit X ∈ R la matrice des observations, ou X = AS. Nous supposons que : 1. les sources s1 et s2 sont distribuees aleatoirement et s1 ≥ 0 et s2 ≥ 0, 2. ∃ au moins une realisation i telle que s1 6= 0 et s i 2 = 0 (la premiere source est active et la seconde est inactive), 3. ∃ au moins une realisation j telle que sj1 = 0 et s j 2 6= 0 (la premiere source n’est pas active et la seconde est active). Si les conditions 1, 2 et 3 sont satisfaites, on peut ecrire la proposition suivante : Proposition 1 Les points extremes de la matrice d’observations X representent les vecteurs colonne de la matrice A multiplies par un facteur d’echelle. Ils peuvent etre retrouves comme etant la paire des points (Xk, Xl), Xk,l ∈ X pour laquelle l’angle : α(Xk, Xl) = arccos X k Xl ‖Xk‖‖Xl‖ est maximal parmi toutes les autres paires de points de l’ensemble X . Demonstration : La demonstration se base sur deux observations : 1. l’effet du modele de melange lineaire sur les donnees source est une transformation geometrique dans l’espace de representation, 2. une transformation geometrique d’un ensemble de donnees a le meme effet que si on l’effectuait sur l’ensemble des donnees normalisees. Autrement dit, les vecteurs de l’ensembleX = AS et de l’ensembleXnorm = ASnorm ont la meme direction. Cette observation est illustree dans les figures 1 et 2 pour deux et trois sources respectivement. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1