Fisiologia fractal: a dimensão de Higuchi e suas aplicações

Este trabalho e o resultado da primeira etapa de um projeto sobre o estudo da Fisiologia Fractal, metodologia que se foca na complexidade do corpo humano, dando uma caracterizacao desta complexidade atraves das medidas fractais. Em particular para este projeto, foi aprofundado o conceito de Dimensao fractal de Higuchi [4, 5]. Uma das explicacoes para o comportamento irregular observado nos sistemas dinâmicos que governam os processos de origem biologico, e fornecido por uma das areas matematicas mais marcantes das ultimas decadas: a teoria do caos. Um dos aspectos mais sugestivos da teoria do caos deterministico e o conceito de geometria fractal, caracterizada pela autossemelhanca e pela dimensao nao inteira. Em pesquisas recentes (como exemplo [2]), as experiencias mostram a tendencia de reconhecer que as estruturas anatomicas do corpo humano, como por exemplo a superficie convoluta do cerebro ou a complexidade das redes neurais, sao, especialmente na sua dinâmica, objetos fractais, da mesma natureza que aqueles descritos pelo “pai” da teoria fractal, como e conhecido o matematico Benoit Mandelbrot [1] que deu nome a esses tipos de objetos matematicos. A grande diferenca de usar esta metodologia de interpretacao dos fenomenos biologicos, se baseia no fato que a dimensao fractal acaba sendo significativamente um melhor indicador do estado das funcoes organismicas na saude e na doenca do que as medidas “tradicionais”, tais como a frequencia dos sinais de um eletroencefalograma, a frequencia cardiaca ou respiratoria. A observacao de que a fisiologia humana e essencialmente fractal foi feita pela primeira vez na decada dos anos 80, com base na analise de um numero limitado de conjuntos de dados. Foi no comeco deste seculo que as pesquisas foram intensificadas, resultando em um melhor apuramento dos diagnosticos e delimitacao da fronteira entre os casos de quadro sadio e doente. E mostrado em [2] que a dimensao fractal de Higuchi e uma ferramenta poderosa na analise da organizacao macro estrutural dos sinais de um eletroencefalograma, por exemplo no resultado de distinguir o autismo do retardo mental. Os resultados da analise fractal revelam que as criancas autistas produzem no eletroencefalograma series temporais mais complexas que a dos deficientes mentais. Com esta motivacao, foi desenvolvido o estudo da dimensao fractal de Higuchi e uma aplicacao do algoritmo para uma serie temporal simulada a partir de dados reais. O algoritmo de Higuchi consiste em considerar n pontos x(1), x(2), . , x(N) de uma serie temporal de dados e construir a partir dela uma outra serie temporal da forma: xkk x(m), x(m k), x(m 2k), . , x ( m N m k k ) m 1, 2, . , k, k N {0}, onde m representa o tempo inicial e k [1, kmax] indica o tempo de retardo e o simbolo b·c indica a parte inteira do numero dado. Para cada xmk contruimos uma serie de comprimento Discente do PETMAT - SESu/MEC Lm(k), e calculada como Lm(k) k(N 1) bNmk c bNmk c i1 x(m ik) x(m (i 1)k)j , onde o termo N1bNm k c e um fator normalizante. A media do comprimento e calculada para todos os tempos da serie para o mesmo retardo k assim como a media dos comprimentos Lm(k) para m 1, 2, . , k. Este procedimento e repetido para cada k variando no intervalo de validacao de [1, kmax]. No caso de existir o limite kH quando m , entao a serie temporal x e fractal e tem como dimensao H, chamada de dimensao de Higuchi. Assim, representando linearmente no dominio 1/k, a inclinacao da reta de ajuste dos dados representa a estimativa de Higuchi da dimensao fractal, de forma analoga, que e considerada a dimensao de Haussdoff. A segunda etapa deste projeto, ja em andamento, tem como objetivo aplicar esta metodologia a series temporais obtidas a partir de banco de dados reais, resultados de pacientes saudaveis em comparacao com pacientes com problemas coronarios, sendo que os dados sao obtidos de pacientes do hospital universitario da Universidade Federal de Uberlândia. Para o momento da realizacao do CNMAC 2014, as autoras pretendem mostrar tambem os resultados desta segunda etapa.