Synchronization in Delay-Coupled Laser Networks

In this work I investigate patterns of synchronization in networks of semiconductor lasers. Two main questions arise when studying synchronization phenomena in these networks: (i) What kind of synchronization patterns can exist in a given network and (ii) is the synchronization stable? The basis for this study is formed by the chaotic dynamics that lasers may exhibit when coupled via time-delayed links. The lasers are modeled by the well established Lang-Kobayashi model. The main focus lies on the characterization of network topologies and parameter regimes that generate distinct patterns of synchronization in such laser networks. Since the stability analysis can be carried out only numerically for chaotic dynamics, I complement my investigations by another model for the local dynamics in the networks’ nodes – the Stuart-Landau oscillator. These nonlinear equations represent a normal form for any periodic dynamics near a Hopf bifurcation. In this model, the question of stability of synchronization can be answered by derivations of analytic equations. Furthermore, I show how conditions for the coupling parameters can be derived that allow for the selection and control of desired synchronization states. At the heart of the stability analysis is the master stability function introduced by Pecora and Carroll. This formalism allows one to separate the network dynamics from the network topology, which is only used in terms of the eigenvalues of the coupling matrix. I extend this theory for networks where delay-induced dynamics becomes important and show in detail the application to such delay-coupled networks in general and to laser and oscillator networks in particular. For laser networks, I study particular network topologies – simple network motifs as well as complex random networks – for different regimes of the laser dynamics. I will also make use of a symmetry argument of the master stability function that was recently shown in the limit of large coupling delay times. In addition, multiple delay times are dealt with by an extension to multiple coupling matrices. Isochronous synchronization is the most prominent type of synchronization, but I show that certain topologies may instead exhibit cluster synchronization depending on symmetries in the network. For a better understanding of this dynamical scenario, I extend a formalism by Sorrentino and Ott that enables a stability analysis of these patterns of synchronization. The original approach has a restriction on the allowed topologies, which I partly lift by introducing multiple coupling matrices. As an application of this theory I consider examples of simple hierarchical networks. In networks of Stuart-Landau oscillators different cluster states may coexist depending upon the coupling parameters. I elaborate this finding by analytic results similar to the case of isochronous synchronization. Furthermore, I show in detail the derivation of a rigorous condition for the coupling phase, under which all but one of the multistable states can be suppressed and thus a desired state can be deliberately selected. Zusammenfassung In dieser Arbeit untersuche ich Synchronisationszustände in Netzwerken aus Halbleiterlasern. Zwei wichtige Fragen stellen sich bei der Untersuchung von Synchronisation in diesen Netzwerken: (i) Welche Arten von Synchronisation können in einem bestimmten Netzwerk existieren und (ii) Sind diese Zustände stabil? Das Fundament für diese Untersuchungen ist durch die chaotische Dynamik gegeben, die Laser mit zeitverzögerter Kopplung zeigen können. Die Laser werden hierbei durch das etablierte LangKobayashi-Modell modelliert. Das Hauptaugenmerk liegt hier in der Charakterisierung der Netzwerktopologien und Parameterbereiche, die die Entstehung bestimmter Synchronisationsmuster in solchen Netzwerken aus Halbleiterlasern beeinflussen. Für chaotische Dynamik kann die Stabilitätsanalyse nur rein numerisch erfolgen. Daher beziehe ich ein weiteres Modell für die lokale Dynamik der Netzwerkknoten in meine Untersuchungen ein – den Stuart-Landau-Oszillator. Die entsprechenden nichtlinearen Gleichungen stellen eine Normalform für jegliche periodische Dynamik in der Nähe einer Hopf-Bifurkation dar. Die Frage der Stabilität der Synchronisation kann in diesem Modell mit Hilfe analytischer Gleichungen beantwortet werden. Weiterhin zeige ich die Ableitung von Bedingungen an die Kopplungsparameter, die es erlauben, gezielt bestimmte Synchronisationszustände auszuwählen und zu kontrollieren. Im Zentrum der Stabilitätsanalyse steht die Master stability function, die auf Pecora und Carroll zurück geht. Dieser Formalismus erlaubt eine Abspaltung der Dynamik von der Topologie des Netzwerks, charakterisiert durch die Eigenwerte der entsprechenden Kopplungsmatrix. Ich erweitere diese Theorie für Netzwerke, in denen die Dynamik durch die zeitverzögerte Kopplung induziert wird. Die Anwendung auf Netzwerke mit zeitverzögerter Kopplung im Allgemeinen und auf Laser-Netzwerke und Netzwerke aus Oszillatoren im Speziellen werde ich detailliert darstellen. Für Laser-Netzwerke untersuche ich die Synchronisierbarkeit in verschiedenen Netzwerktopologien, von einfachen Netzwerkmotiven bis hin zu komplexen Zufalls-Netzwerken. Dabei werde ich ein Symmetrie-Argument benutzen, dass die Form der Master stability function für große Verzögerungszeiten vorhersagt. Isochrone Synchronisation ist die bekannteste Art der Synchronisation. Ich zeige, dass bestimmte Topologien eine weitere Art der Synchronisation zeigen – Cluster-Synchronisation. Zum Verständnis dieser dynamischen Szenarien erweitere ich einen Formalismus von Sorrentino und Ott, der eine Stabilitätsanalyse für Cluster-Synchronisation erlaubt. Dieser ursprüngliche Formalismus beinhaltet eine Beschränkung für die möglichen Topologien. Durch die Einführung mehrerer Kopplungsmatrizen hebe ich diese Beschränkung teilweise auf. Als Anwendung dieser Theorie zeige ich Ergebnisse für einfache hierarchische Netzwerke. In Netzwerken aus Stuart-Landau-Oszillatoren können je nach Wahl der Kopplungsparameter mehrere verschiedene Cluster-Zustände gleichzeitig stabil sein. Ich erkläre diese Multistabilität an Hand analytischer Gleichung ähnlich wie im Fall isochroner Synchronisation. Außerdem zeige ich die Ableitung einer strengen Bedingung für die Kopplungsparameter, mit Hilfe dieser die Multistabilität unterdrückt und gezielt ein bestimmter Synchronisationszustand eingestellt werden kann. Publications CHOE, C. -U. , DAHMS, T. , HÖVEL, P., AND SCHÖLL, E. (2010). 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