Ordered Structures of Constructing Operators for Generalized Riesz Systems

<jats:p>A sequence <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> in a Hilbert space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi></mml:mrow></mml:math> with inner product <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mo><</mml:mo><mml:mo>·</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>·</mml:mo><mml:mo>></mml:mo></mml:math> is called a generalized Riesz system if there exist an ONB <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi mathvariant="bold-italic">e</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and a densely defined closed operator <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi></mml:mrow></mml:math> with densely defined inverse such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>∩</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>⁎</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0,1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:math>, and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold-italic">e</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> is called a constructing pair for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is called a constructing operator for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>. The main purpose of this paper is to investigate under what conditions the ordered set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math> of all constructing operators for a generalized Riesz system <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M16"><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> has maximal elements, minimal elements, the largest element, and the smallest element in order to find constructing operators fitting to each of the physical applications. </jats:p>