On Equilibrium of an Adaptive Single Component Market

On Equilibrium of an Adaptive Single Component Market A mathematical model of an adaptive Samuel-Marshall type single component market described by quasi-linear functional differential equations with dependent on phase coordinates and frequently switched an ergodic Markov process is presented. The proposed method is based on an averaging procedure with respect to time along the critical solutions of the generative average linear equation and with respect to the invariant measure of the Markov process. It is proved that exponential stability of the resulting deterministic equation is sufficient for exponential p stability of the initial random system for all positive numbers P and for sufficiently fast switching. Par adaptīva vienas komponentes tirgus līdzsvaru Jebkuras reālas sistēmas vai parādības attīstība lielākā vai mazākā mērā pakļauta nenoteiktības iedarbībai, pie kam sistēmas parametri gadījuma ietekmē var mainīties samērā vienmērīgi vai lēcienveidīgi. Interesi izraisa šāda veida sistēmu līdzsvara nosacījumu izpēte. Ekonomiskās sfēras procesu modelēšanai, kā parasti, tiek izmantoti determinēti bāzes modeļi, kuros sākotnēji gadījuma ietekme netiek ņemta vērā. Dotajā rakstā apskatītajā klasiskajā adaptīva vienas komponentes Semjuela-Māršala tipa tirgus modelī pieprasījums un piedāvājums tiek definēti kā cenas funkcijas D(p) un S(p), cenai mainoties atkarībā no laika p(t). Modelis paredz, ka ražotāja reakcijai uz tirgus cenu nepieciešams laiks, τ līdz ar to ražotāja reakcija aizkavējas, jo viņš rīkojas atbilstoši cenai momentā t-τ un atbildot uz pieprasījuma vērtību D(p(t)) piedāvā apjomu S(p(t-τ)). Semjuela-Māršala modelī tirgus reakcijas cenu starpība ir proporcionāla atbilstošā pieprasījuma un piedāvājuma starpībai Dt - St. Saglabājot šo modeļa pamatideju, rakstā tiek piedāvāts apskatīt ražotāja reakcijai nepieciešamo laiku τ kā stohastisku procesu, kas attīstās lēcienveidīgi. Šāda modeļa aprakstam tiek piedāvāts kvazilineārs funkcionāldiferenciālvienādojums, kurš atkarīgs no fāzes koordinātas un ergodiska Markova procesa ar ātriem pārslēgumiem. Raksta pamatdaļa veltīta apskatāmās sistēmas līdzsvara nosacījumu izpētei. Stohastiskā modeļa stabilitātes novērtējumam tiek piedāvāta metode, kas balstās uz vidējošanas procedūru attiecībā uz laiku, sekojot generatīva vidējā lineārā vienādojuma kritiskajiem risinājumiem, un attiecībā uz Markova procesa invarianto mēru. Pielietojot minēto metodi pētāmajam modelim, tiek pierādīts, ka rezultējošā determinētā vienādojuma eksponenciālā stabilitāte ir pietiekama sākotnējās nenoteiktās, gadījuma iedarbībai pakļautās sistēmas eksponenciālajai stabilitātei, pietiekami ātru pārslēgumu gadījumā. Оравновесии адаптивного однокомпонентного рынка Развитие любой реальной системы или явления происходит под влиянием неопределенности. При этом параметры системы под воздействием случая меняются более или менее равномерно или скачкообразно. Интерес вызывает исследование условий равновесия таких систем. Для моделирования процессов экономической сферы, как правило, используются детерминированные базовые модели, в которых первоначально не учитываются случайные эффекты. В классической модели однокомпонентного адаптивного рынка типа Сэмюэла-Маршалла, которая рассматривается в данной статье, спрос и предложение определяются как функции цены - D (р) и S (р), а цена меняется в зависимости от времени - р (t). Модель предусматривает, что ответ производителя на изменение рыночной цены требует времени т, поэтому реакция производителя задерживается, так как он действует в соответствии с ценой в момент времени t- T, и в ответ на значение спроса D(p(t)) предоставляет количество S(p(t-T)). В модели Сэмюэла-Маршалла разность цен ответной реакции рынка пропорциональна разности спроса и предложения Dt - St . Сохраняя основную идею этой модели, в статье предложено время на реакцию производителя расссматривать как стохастическй процесс, который развивается скачкообразно. Для описания такой системы предлагается использовать квазилинейные функциональные уравнения, зависящие от координаты фазы и эргодического процесса Маркова с быстрыми переключениями. Основная часть статьи посвящена исследованию условий равновесия рассматриваемой системы. Для оценки стабильности стохастической модели предлагается метод, который основан на процедуре усреднения относительно времени вдоль критических решений порождающего среднего линейного уравнения и относительно инвариантной меры Марковского процесса. С помощью данного метода доказано, что экспоненциальная стабильность полученного детерминированного уравнения достаточна для экспоненциальной стабильности начальной случайной системы для всех положительных чисел и для достаточно быстрых переключений.