Weighted Disk Contact Graphs

Disk touching graphs realize graphs by representing each vertex as a disk in the plane such that disks touch each other if and only if the corresponding vertices are adjacent. Application areas for disk graphs include modeling physical problems and visualizing statistical data. Deciding whether a graph can be realized such that the disks’ radii coincide with some predefined values or such that the disks cover some specified points in the plane has been proven to be NP-hard [BK98, AdCC+12]. In this thesis we take a close look at several variations of these two scenarios and analyze what can be guaranteed for special graph classes. We show that many of the considered problems remainNP-hard even for very basic graph classes. We thereby strengthen several previousNP-hardness results and provideNP-hardness proofs for new problem variations. In particular, we show that it is NP-hard to decide whether a realization with uniform radii exists even if the input graph is outerplanar and even if a combinatorial embedding is provided. If not necessarily uniform radii are assigned, the problem becomes NP-hard even for stars (but can be solved in linear time in a Real RAM model if a combinatorial embedding is provided). If to-be-covered points are assigned, the recognition problem remains NP-hard even for trees and if cover points as well as (unit) radii are assigned, the problem becomes NP-hard, even for paths and, therefore, even if a combinatorial embedding is provided. On the other hand, we present some linear-time algorithms for graph class/problem combinations for which we do not prove NP-hardness. For example, we show that deciding whether a caterpillar can be realized as a disk touching graph with uniform radii can be decided in linear time. Deutsche Zusammenfassung In einer Kreis-Kontaktdarstellung wird ein Graph realisiert, indem jeder Knoten als ein Kreis dargestellt wird und sich zwei der Kreise genau dann berühren, wenn die entsprechenden Knoten benachbart sind. Derartige Darstellungen finden unter anderem Anwendung beim Modellieren physikalischer Prozesse und in der Datenvisualisierung. Es ist bekannt [BK98, AdCC+12], dass wenn im Vorfeld die Kreisradien spezifiziert oder bestimmte Punkte festlegt werden, die von den Kreise abgedeckt werden sollen, es NP-schwer zu entscheiden ist, ob ein eine Realisierung existiert, die diesen Spezifikationen genügt. In dieser Diplomarbeit untersuchen wir diverse Variationen dieser zwei Szenarien und zeigen, dass viele der entsprechenden Entscheidungsprobleme selbst dann noch NP-schwer sind, wenn die Eingabe auf sehr einfache Graphklassen eingeschränkt wird. Hierdurch bekräftigen wir einige bisherige Resultate, die sich auf allgemeinere Graphklassen beziehen und zeigen NP-schwere für neue Problemvarianten. Speziell zeigen wir, dass wenn ein Einheitsradius gefordert wird, das Entscheidungsproblem selbst für außenplanare Graphen und selbst wenn eine kombinatorische Einbettung gestellt wird NP-schwer bleibt. Für nicht zwangsläufigerweise einheitliche Radienzuweisungen ist das Problem selbst für Sterne NP-schwer (kann jedoch in einem Real RAM Modell in Linearzeit gelöst werden, wenn eine kombinatorische Einbettung zur Verfügung steht). Sind zu überdeckende Punkte spezifiziert, so ist das Problem selbst für Bäume noch NP-schwer und wenn zusätzlich (Einheits-) Radien spezifiziert werden, ist es selbst für Pfade (und damit selbst dann, wenn eine Einbettung gestellt wird) noch NP-schwer zu entscheiden, ob eine Realisierung existiert. Für einige Graphklassen/Problem Kombinationen, für die nicht NP-schwere gezeigt wurde, werden außerdem Linearzeit-Algorithmen vorgestellt, zum Beispiel kann in Linearzeit entschieden werden, ob für einen Caterpillar eine Realisierung mit Einheitsradius existiert.