Aggregate efficiency measures and Simpson's Paradox*

Abstract. Much work has been directed to develop aggregate efficiency measures for firms or decisionâ€ making units (DMUs) in which we are able to observe only the outputs and inputs. Assuming that each DMU has the same type of observed outputs and inputs and using only this information, Farrell's technical efficiency and the CCR ratio can be used to assign an aggregate measure of efficiency to each DMU, which can then be used to compare the efficiency of the DMUs. This paper considers a subset of the general aggregate efficiency problem called the matched output/input case in which each output is matched to exactly one input, forming a subunit. Dividing the output by the input for each subunit within a DMU yields a subunit ratio that is the output per unit input. For a particular subunit, the subunit ratios for two DMUs can be compared directly. If all the subunit ratios of one DMU exceed the corresponding subunit ratios in another DMU, then we should reasonably expect that any aggregate efficiency measure has the efficiency of the first DMU greater than the efficiency of the other DMU. This requirement is defined as the Matched Output/Input Axiom, which is then shown to be violated for certain data sets satisfying Simpson's Paradox. Both Farrell's technical efficiency and the CCR ratio are then shown to violate the Matched Output/Input Axiom, which raises questions about the overall validity of both procedures. RA©sumA©. Les travaux visant l'A©laboration de mesures globales du rendement des unitA©s dA©cisionnelles ou des entreprises, dans lesquelles il n'est possible d'observer que les extrants et les intrants, sont nombreux. En supposant que le mAame type d'extrants et d'intrants est observA© pour chaque unitA© dA©cisionnelle et que cette information est la seule qui soit utilisA©e, le rendement technique de Farrell et le ratio CCR (Charnes, Cooper et Rhodes) peuvent Aatre utilisA©s pour attribuer une mesure globale de rendement A chaque unitA© dA©cisionnelle, mesure qui peut ensuite permettre de comparer le rendement des diffA©rentes unitA©s. Les auteurs A©tudient un sousâ€ ensemble du problA¨me gA©nA©ral de rendement global, le cas de concordance extrantâ€ intrant, dans lequel chaque extrant est associA© A exactement un intrant, pour former un sousâ€ ensemble. En divisant l'extrant par l'intrant pour chaque sousâ€ ensemble d'une unitA© dA©cisionnelle, on obtient, pour chacun d'eux, un ratio reprA©sentant l'extrant par unitA© d'intrant. Pour un sousâ€ ensemble particulier, les ratios de deux unitA©s dA©cisionnelles peuvent faire l'objet d'une comparaison directe. Si la totalitA© des ratios des sousâ€ ensembles d'une unitA© dA©cisionnelle excA¨de la totalitA© des ratios des sousâ€ ensembles correspondants d'une autre unitA© dA©cisionnelle, on est en droit de s'attendre A ce que l'application d'une mesure globale du rendement, quelle qu'elle soit, indique que le rendement de la premiA¨re unitA© est supA©rieur A celui de la seconde. Les auteurs dA©montrent que ce principe, dA©fini comme A©tant l'axiome de concordance extrantâ€ intrant, est transgressA© pour certains ensembles de donnA©es rA©pondant aux critA¨res du paradoxe de Simpson. Ils dA©montrent A©galement que le rendement technique de Farrell ainsi que le ratio CCR dA©rogent A l'axiome de concordance extrantâ€ intrant, ce qui les amA¨ne A s'interroger sur la validitA© globale des deux procA©dA©s.