Splitting methods for autonomous and non-autonomous perturbed equations

[EN] This thesis addresses the treatment of perturbed problems with splitting methods. After motivating these problems in Chapter 1, we give a thorough introduction in Chapter 2, which includes the objectives, several basic techniques and already existing methods. In Chapter 3, we consider the numerical integration of non-autonomous separable parabolic equations using high order splitting methods with complex coefficients (methods with real coefficients of order greater than two necessarily have negative coefficients). We propose to consider a class of methods that allows us to evaluate all time dependent operators at real values of the time, leading to schemes which are stable and simple to implement. If the system can be considered as the perturbation of an exactly solvable problem and the flow of the dominant part is advanced using real coefficients, it is possible to build highly efficient methods for these problems. We show the performance of this class of methods for several numerical examples and present some new improved schemes. In Chapter 4, we propose splitting methods for the computation of the exponential of perturbed matrices which can be written as the sum A = D+epsilon*B of a sparse and efficiently exponentiable matrix D with sparse exponential exp(D) and a dense matrix epsilon*B which is of small norm in comparison with D. The predominant algorithm is based on scaling the large matrix A by a small number 2^(-s) , which is then exponentiated by efficient Pade or Taylor methods and finally squared in order to obtain an approximation for the full exponential. In this setting, the main portion of the computational cost arises from dense-matrix multiplications and we present a modified squaring which takes advantage of the smallness of the perturbation matrix B in order to reduce the number of squarings necessary. Theoretical results on local error and error propagation for splitting methods are complemented with numerical experiments and show a clear improvement over existing methods when medium precision is sought. In Chapter 5, we consider the numerical integration of the perturbed Hill's equation. Parametric resonances can appear and this property is of great interest in many different physical applications. Usually, the Hill's equations originate from a Hamiltonian function and the fundamental matrix solution is a symplectic matrix. This is a very important property to be preserved by the numerical integrators. In this chapter we present new sixth-and eighth-order symplectic exponential integrators that are tailored to the Hill's equation. The methods are based on an efficient symplectic approximation to the exponential of high dimensional coupled autonomous harmonic oscillators and yield accurate results for oscillatory problems at a low computational cost. Several numerical examples illustrate the performance of the new methods. Conclusions and pointers to further research are detailed in Chapter 6. [ES] Esta tesis aborda el tratamiento de problemas perturbados con metodos de escision (splitting). Tras motivar el origen de este tipo de problemas en el capitulo 1, introducimos los objetivos, varias tecnicas basicas y metodos existentes en capitulo 2. En el capitulo 3 consideramos la integracion numerica de ecuaciones no autonomas separables y parabolicas usando metodos de splitting de orden mayor que dos usando coeficientes complejos (metodos con coeficientes reales de orden mayor de dos necesariamente tienen coeficientes negativos). Proponemos una clase de metodos que permite evaluar todos los operadores con dependencia temporal en valores reales del tiempo lo cual genera esquemas estables y faciles de implementar. Si el sistema se puede considerar como una perturbacion de un problema resoluble de forma exacta y si el flujo de la parte dominante se avanza usando coeficientes reales, es posible construir metodos altamente eficientes para este tipo de problemas. Demostramos la eficiencia de estos metodos en varios ejemplos numericos. En el capitulo 4 proponemos metodos de splitting para el calculo de la exponencial de matrices perturbadas que se pueden escribir como suma A = D + epsilon*B de una matriz dispersa y eficientemente exponenciable con exponencial dispersa exp(D) y una matriz densa epsilon*B de noma pequena. El algoritmo predominante se basa en escalar la matriz grande con un numero pequeno 2^(-s) para poder exponenciar el resultado con metodos eficientes de Pade o Taylor y finalmente obtener la aproximacion a la exponencial elevando al cuadrado repetidamente. En este contexto, el coste computacional proviene de las multiplicaciones de matrices densas y presentamos una cuadratura modificada aprovechando la estructura perturbada para reducir el numero de productos. Resultados teoricos sobre errores locales y propagacion de error para metodos de splitting son complementados con experimentos numericos y muestran una clara mejora sobre metodos existentes a precision media. En el capitulo 5, consideramos la integracion numerica de la ecuacion de Hill perturbada. Resonancias parametricas pueden aparecer y esta propiedad es de gran interes en muchas aplicaciones fisicas. Habitualmente, las ecuaciones de Hill provienen de una funcion hamiltoniana y la solucion fundamental es una matriz simplectica, una propiedad muy importante que preservar con los integradores numericos. Presentamos nuevos integradores simplecticos exponenciales de orden seis y ocho tallados a la ecuacion de Hills. Estos metodos se basan en una aproximacion simplectica eficiente a la exponencial de osciladores armonicos acoplados de dimension alta y dan lugar a resultados precisos para problemas oscilatorios a un coste computacional bajo y varios ejemplos numericos ilustran su rendimiento. Conclusiones e indicadores para futuros estudios se detallan en el capitulo 6. [CAT] La present tesi esta enfocada al tractament de problemes perturbats utilitzant, entre altres, metodes d'escisio (splitting). Comencem motivant l'oritge d'aquest tipus de problems al capitol 1, i a continuacio introduim el objectius, diferents tecniques basiques i alguns metodes existents al capitol 2. Al capitol 3, consideram la integracio numerica d'equacions no autonomes separables i paraboliques utilitzant metodes d'splitting d'ordre major que dos utilitzant coeficients complexos (metodes amb coeficients reials d'ordre major que dos necesariament tenen coeficients negatius). Proposem una clase de metodes que permeten evaluar tots els operadors amb dependencia temporal explicita amb valors reials del temps. Esta forma de procedir genera esquemes estables i facils d'implementar. Si el sistema es pot considerar com una perturbacio d'un problema exactament resoluble, i la part dominant s'avanca utilitzant coeficients reials, es posible construir metodes altament eficients per aquest tipus de problemes Demostrem la eficiencia d'estos metodes per a diferents exemples numerics. Al capitol 4, proposem metodes d'splitting per al cacul de la exponencial de matrius pertorbades que es poden escriure com suma A = D + epsilon*B (una matriu que es pot exponenciar facilment i eficientemente, com es el cas d'algunes matrius disperses exp(D), i una matriu densa epsilon*B de norma menuda). L'algorisme predominant es basa en escalar la matriu gran amb un nombre menut 2^(-s) per a poder exponenciar el resultat amb metodes eficients de Pade o Taylor i finalment obtindre la aproximacio a la exponencial elevant al quadrat repetidament. En este context, el cost computacional prove de les multiplicacions de matrius denses i presentem una quadratura modificada aprofitant la estructura de matriu pertorbada per reduir el nombre de productes. Resultats teorics sobre errors locals i propagacio d'error per a metodes d'splitting son analitzats i corroborats amb experiments numerics, mostrant una clara millora respecte a metodes existens quan es busca una precisio moderada. Al capitol 5, considerem la integracio numerica de l'ecuacio de Hill pertorbada. En este tipus d'equacions poden apareixer resonancies parametriques i esta propietat es de gran interes en moltes aplicacions fisiques. Habitualment, les equacions de Hill provenen d'una funcion hamiltoniana i la solucio fonamental es una matriu simplectica, siguent esta una propietat molt important a preservar pels integradors numerics. Presentams nous integradors simplectics exponencials d'orden sis i huit construits especialmente per resoldre l'ecuacio de Hill. Estos metodes es basen en una aproxmiacio simplectica eficient a la exponencial d'osciladors harmonics acoplats de dimensio alta i donen lloc a resultats precisos per a problemas oscilatoris a un cost computacional baix. La eficiencia dels metodes s'il.lustra en diferents exemples numerics. Conclusions i indicadors per a futurs estudis es detallen al capitol 6.