Validity of the parametric bootstrap for goodness-of-fit testing in semiparametric models

In testing that a given distribution P belongs to a parameterized family P , one is often led to compare a nonparametric estimate An of some functional A of P with an element Aθn corresponding to an estimate θn of θ . In many cases, the asymptotic distribution of goodness-of-fit statistics derived from the process n(An − Aθn) depends on the unknown distribution P . It is shown here that if the sequences An and θn of estimators are regular in some sense, a parametric bootstrap approach yields valid approximations for the P -values of the tests. In other words if A∗n and θ∗ n are analogs of An and θn computed from a sample from Pθn , the empirical processes n (An−Aθn) and n1/2(A∗n−Aθ∗ n ) then converge jointly in distribution to independent copies of the same limit. This result is used to establish the validity of the parametric bootstrap method when testing the goodnessof-fit of families of multivariate distributions and copulas. Two types of tests are considered: certain procedures compare the empirical version of a distribution function or copula and its parametric estimation under the null hypothesis; others measure the distance between a parametric and a nonparametric estimation of the distribution associated with the classical probability integral transform. The validity of a two-level bootstrap is also proved in cases where the parametric estimate cannot be computed easily. The methodology is illustrated using a new goodness-of-fit test statistic for copulas based on a Cramer–von Mises functional of the empirical copula process. Resume. Pour tester qu’une loi P donnee provient d’une famille parametrique P , on est souvent amene a comparer une estimation non parametrique An d’une fonctionnelle A de P a un element Aθn correspondant a une estimation θn de θ . Dans bien des cas, la loi asymptotique de statistiques de tests bâties a partir du processus n(An −Aθn) depend de la loi inconnue P . On montre ici que si les suites An et θn d’estimateurs sont regulieres dans un sens precis, le recours au reechantillonnage parametrique conduit a des approximations valides des seuils des tests. Autrement dit si A∗n et θ∗ n sont des analogues de An et θn deduits d’un echantillon de loi Pθn , les processus empiriques n (An − Aθn) et n1/2(A∗n − Aθ∗ n ) convergent alors conjointement en loi vers des copies independantes de la meme limite. Ce resultat est employe pour valider l’approche par reechantillonnage parametrique dans le cadre de tests d’adequation pour des familles de lois et de copules multivariees. Deux types de tests sont envisages : les uns comparent la version empirique d’une loi ou d’une copule et son estimation parametrique sous l’hypothese nulle ; les autres mesurent la distance entre les estimations parametrique et non parametrique de la loi associee a la transformation integrale de probabilite classique. La validite du reechantillonnage a deux degres est aussi demontree dans les cas ou l’estimation parametrique est difficile a calculer. La methodologie est illustree au moyen d’un nouveau test d’adequation de copules fonde sur une fonctionnelle de Cramer–von Mises du processus de copule empirique. MSC: 62F05; 62F40; 62H15