Numerical stability of a scalar neural-field model with a sigmoidal firing-rate function

Many neural-field models in neuroscience mimic the all or nothing behavior of a neuron firing an action potential. The neural-field model considered in this study is a spatio-temporal scalar neural-field (NFL) model given as a partial integro differential equation (PIDE). The model yields temporal changes in probability of neural activity in a given spatial point. A point has a high probability of activity when the solution of the NFL model is above a firing threshold. The sensitivity to change in probability is measured by a steepness parameter β. Various numerical methods have been employed on this (and similar) type(s) of neural-field model(s) without analysis of numerical convergence, stability and consistency. The aim of this thesis is to obtain a better understanding of the NFL model’s well-posedness theory and its biophysical background. Further to analyze the numerical convergence theory of the NFL model approximated by simple explicit numerical methods. To obtain a comprehensive overview of the NFL model, we review its biophysical derivation and discuss two proposed formalisms with respect to numerical analysis and well-posedness theory. Further, we review a global well-posedness proof of the Cauchy formulated NFL model in a Banach space of continuous functions. We further perform an analysis of the numerical error obtained in the forward Euler and Heun’s second order Runge–Kutta (RK2) method. Finally we illustrate numerical behavior by experiments applying the forward Euler and an explicit RK4 method. Presented analytical work indicate stiffness (a necessity for a significantly small temporal stepping length) in the NFL model when approximated by the forward Euler method. This is due to a dependency between the numerical error and the steepness parameter β. The RK2 truncation error contains β, indicating that β is contained in the RKN truncation error. Thus, by increasing the order of the RK method, we predict no remedy with respect to stiffness. Performed numerical experiments on a simplified version of the NFL model demonstrate stiffness in the proximity of the firing threshold for moderately sized steepness parameters β. We further demonstrate a divergence between the exact and the approximated solution of a slightly less simplified version of the NFL model. This happens when the approximated solution is shifted from one basin of attraction to another, giving rise to a large numerical error. In addition, we observe spurious solutions in the form of false oscillations and an erroneous fixed point. Thus indicating a possibility for numerical solutions of the NFL model to be rather arbitrary when the temporal stepping lengths are not carefully selected. Presented results indicate serious numerical stability issues in the NFL model. We suggest further evaluation and development of more sophisticated numerical methods for future application of this (and similar) type(s) of neural-field model(s). Finally, we argue the simplicity of the NFL model to be undermined by the complications observed in numerical approximations. We propose focus to be directed towards developing more robust field-models with respect to numerical analysis rather than developing more complicated numerical methods. Sammendrag Mange matematiske modeller i nevrovitenskap innehar beskrivelsen av av/pa prosessen i nevral fyring av aksjonspotensialer. Nevrofeltmodellen studert i denne tesen er en rom-temporal, skalar nevrofelt (NFL) modell gitt som en partiell integro differensialligning (PIDE). Modellen gir temporal endring av sannsynlighet for nevral aktivitet i et gitt romlig punkt. Et punkt har hoy sannsynlighet for aktivitet hvis losningen av NFL modellen er hoyere enn en gitt fyringsterskel. Sensitiviteten til endringer i sannsynlighet er gitt ved en bratthetsparameter β. Flere numeriske metoder er anvendt pa denne, og lignende type nevrofeltmodeller, uten analyse av numerisk stabilitet, konvergens eller konsistens. Malet med denne oppgaven er dermed a fa en bedre forstaelse av modellens etablerte biofysiske utledning samt eksistens– og unikhetsteori. Videre, a analysere numerisk konvergensteori for enkle eksplisitte numeriske metoder brukt til a approksimere NFL modellen. For a fa en god bakgrunnforstaelse av modellen gjennomgar vi en etablert biofysisk utledning og diskuterer to mulige formalismer anvendt pa NFL modellen. Videre gjennomgar vi et bevis for global velformulerthet av den Cauchy formulerte NFL modellen i et Banach rom av kontinuerlige begrensede funksjoner. Vi utleder trunkeringsfeilen og den numeriske feilen for den eksplisitte Euler metoden. Videre utledes trunkeringsfeilen til Heun’s andre ordens Runge–Kutta (RK2) metode og numeriske eksperimenter blir utfort med den eksplisitte Euler metoden og en eksplisitt RK4 metode. Det presenterte analytiske arbeidet indikerer at NFL modellen er ‘stiv’ (behover signifikant redusert verdi av numerisk steglengde) i naerheten av fyringsterskelen. Den indikerte stivheten er hovedsakelig forarsaket av en avhengighet til bratthetsparameteren β i den numeriske feilen til den eksplisitte Euler metoden. Videre innehar trunkeringsfeilen for RK2 metoden bratthetsparameteren β. Dette indikerer at trunkeringsfeilen til RKN metoder kan vaere avhengige av β og dermed at stivheten vil vaere signifikant i alle eksplisitte RK metoder. Numeriske eksperimenter av en forenklet versjon av NFL modellen demonstrerer stivhet i naerheten av fyringsterskelen ved moderate storrelser av bratthetsparameteren. Videre vises et scenario hvor en approksimasjon divergerer fra den eksakte losningen av en mindre forenklet versjon av NFL modellen. Dette skjer da approksimasjonen blir flyttet fra et tiltreknings-omrade til et annet. I tillegg observerer vi falske oscillasjoner og et falskt fiks-punkt generert av numerisk feil. Dette viser at numeriske approksimasjoner av NFL modellen kan vaere tilfeldige hvis ikke den temporale steglengden velges med omhu. Den rom-temporale NFL modellen indikeres til a inneha alvorlige stabilitets-problemer som viser at det behoves grundig analyse som forhandsregel ved bruk av numeriske metoder pa denne modellen. Avslutningsvis argumenteres det for fokus pa utvikling av mer robuste feltmodeller i forhold til numerisk approksimering. Dette fordi enkeltheten ved approksimasjon av NFL modellen undergraves av den indikerte stivheten.