On the Minimum Variable Connectivity Index of Unicyclic Graphs with a Given Order

<jats:p>The variable connectivity index, introduced by the chemist Milan Randić in the first quarter of 1990s, for a graph <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math> is defined as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mstyle displaystyle="true"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mstyle></mml:math>, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>γ</mml:mi></mml:math> is a non-negative real number and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> is the degree of a vertex <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>w</mml:mi></mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math>. We call this index as the variable Randić index and denote it by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:msub><mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true"><mml:mrow><mml:mmultiscripts><mml:mi>R</mml:mi><mml:mprescripts /><mml:none /><mml:mi>v</mml:mi></mml:mmultiscripts></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>. In this paper, we show that the graph created from the star graph of order <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> by adding an edge has the minimum <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:msub><mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true"><mml:mrow><mml:mmultiscripts><mml:mi>R</mml:mi><mml:mprescripts /><mml:none /><mml:mi>v</mml:mi></mml:mmultiscripts></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> value among all unicyclic graphs of a fixed order <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, for every <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>. </jats:p>