Creation of Fermions by Rotating Charged Black Holes

2Abstract :This work is devoted to the mathematical study of the Hawking eﬀect for fermionsin the setting of the collapse of a rotating charged star. We show that an observerwho is located far away from the star and at rest with respect to the Boyer Lindquistcoordinates observes the emergence of a thermal state when his proper time goes toinﬁnity. We ﬁrst introduce a model of the collapse of the star. We suppose that thespace-time outside the star is given by the Kerr-Newman metric. The assumptions onthe asymptotic behavior of the surface of the star are inspired by the asymptotic be-havior of certain timelike geodesics in the Kerr-Newman metric. The Dirac equationis then written using coordinates and a Newman-Penrose tetrad which are adaptedto the collapse. This coordinate system and tetrad are based on the so called simplenull geodesics. The quantization of Dirac ﬁelds in a globally hyperbolic space-time isdescribed. We formulate and prove a theorem about the Hawking eﬀect in this set-ting. The proof of the theorem contains a minimal velocity estimate for Dirac ﬁeldsthat is slightly stronger than the usual ones and an existence and uniqueness resultfor solutions of a characteristic Cauchy problem for Dirac ﬁelds in the Kerr-Newmanspace-time. In an appendix we construct explicitly a Penrose compactiﬁcation ofblock Iof the Kerr-Newman space-time based on simple null geodesics.R´esum´e :Ce travail est d´edi´e a` l’´etude math´ematique de l’eﬀet Hawking pour des fermionsdans le cadre de l’eﬀondrement d’une ´etoile charg´ee en rotation. On d´emontre qu’unobservateur localis´e loin de l’´etoile et au repos par rapport aux coordonn´ees de Boyer-Lindquist observe l’´emergence d’un ´etat thermal quand son temps propre tend versl’inﬁni. On introduit d’abord un mod`ele de l’eﬀondrement de l’´etoile. On suppose quel’espace-temps a l’ext´erieur de l’´etoile est donn´e par la m´etrique de Kerr-Newman.Les hypoth`eses sur le comportement asymptotique de la surface de l’´etoile sont in-spir´ees par le comportement asymptotique de certaines g´eod´esiques de type tempsdans la m´etrique de Kerr-Newman. L’´equation de Dirac est alors ´ecrite en utilisantdes coordonn´ees et une t´etrade de Newman-Penrose adapt´es `a l’eﬀondrement. Cesyst`eme de coordonn´ees et cette t´etrade sont bas´es sur des g´eod´esiques qu’on appelledes g´eod´esiques simples isotropes. La quantiﬁcation des champs de Dirac dans unespace-tempsglobalementhyperboliqueestd´ecrite. Onformuleun th´eor`emesurl’eﬀetHawking dans ce cadre. La preuve du th´eor`eme contient une estimation de vitesseminimale pour les champs de Dirac l´eg`erement plus forte que les estimations usuellesainsi qu’un r´esultat d’existence et d’unicit´e pour les solutions d’un probl`eme car-act´eristique pour les champs de Dirac dans l’espace-temps de Kerr-Newman. Dans unappendice, nous construisons explicitement la compactiﬁcation de Penrose du bloc Ide l’espace-temps de Kerr-Newman qui est bas´ee sur les g´eod´esiquessimples isotropes.2000 Mathematics Subject Classiﬁcation : 35P25, 35Q75, 58J45, 83C47, 83C57,83C60.Key words : General relativity, Kerr-Newman metric, Quantum ﬁeld theory,Hawking eﬀect, Dirac equation, Scattering theory, Characteristic Cauchy problem.