Fluid queues: building upon the analogy with QBD processes

Les files d'attente fluides sont des processus markoviens a deux dimensions, ou la premiere composante, appelee le niveau, represente le contenu d'un reservoir et prend des valeurs continues, et la deuxieme composante, appelee la phase, est l'etat d'un processus markovien dont l'evolution controle celle du niveau. Le niveau de la file fluide varie lineairement avec un taux qui depend de la phase et qui peut prendre n'importe quelle valeur reelle.Dans cette these, nous explorons le lien entre les files fluides et les processus QBD, et nous appliquons des arguments utilises en theorie des processus de renouvellement pour obtenir la distribution stationnaire de plusieurs modeles fluides.Nous commencons par l'etude d'une file fluide avec un reservoir de taille infinie; nous determinons sa distribution stationnaire, et nous presentons un algorithme permettant de calculer cette distribution de maniere tres efficace. Nous observons que la distribution stationnaire de la file fluide de capacite infinie est tres semblable a celle d'un processus QBD avec une infinite de niveaux. Nous poursuivons la recherche des similarites entre les files fluides et les processus QBD, et nous etudions ensuite la distribution stationnaire d'une file fluide de capacite finie. Nous montrons que l'algorithme valable pour le cas du reservoir infini permet de calculer toutes les quantites importantes du modele avec un reservoir fini.Nous considerons ensuite des modeles fluides plus complexes, de capacite finie ou infinie, ou le comportement du processus markovien des phases peut changer lorsque le niveau du reservoir atteint certaines valeurs seuils. Nous montrons que les methodes developpees pour des modeles classiques s'etendent de maniere naturelle a ces modeles plus complexes.Pour terminer, nous etudions les conditions necessaires et suffisantes qui menent a l'independance du niveau et de la phase d'une file fluide de capacite infinie en regime stationnaire. Ces resultats s'appuient sur des resultats semblables concernant des processus QBD.Markov modulated fluid queues are two-dimensional Markov processes, of which the first component, called the level, represents the content of a buffer or reservoir and takes real values; the second component, called the phase, is the state of a Markov process which controls the evolution of the level in the following manner: the level varies linearly at a rate which depends on the phase and which can take any real value.In this thesis, we explore the link between fluid queues and Quasi Birth-and-Death (QBD) processes, and we apply Markov renewal techniques in order to derive the stationary distribution of various fluid models.To begin with, we study a fluid queue with an infinite capacity buffer; we determine its stationary distribution and we present an algorithm which performs very efficiently in the determination of this distribution. We observe that the equilibrium distribution of the fluid queue is very similar to that of a QBD process with infinitely many levels. We further exploit the similarity between the two processes, and we determine the stationary distribution of a finite capacity fluid queue. We show that the algorithm available in the infinite case allows for the computation of all the important quantities entering in the expression of this distribution.We then consider more complex models, of either finite or infinite capacities, in which the behaviour ff the phase process may change whenever the buffer is empty or full, or when it reaches certain thresholds. We show that the techniques that we develop for the simpler models can be extended quite naturally in this context.Finally, we study the necessary and sufficient conditions that lead to the independence between the level and the phase of an infinite capacity fluid queue in the stationary regime. These results are based on similar developments for QBD processes.