Transformation of Superposed Quantum States Using Measurement Operators

<jats:p>Quantum computation based on a gate model is described. This model initially creates a superposition <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mi>|</mi> <msub> <mrow> <mi>ψ</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>〉</mi> </math> </jats:inline-formula> consisting of <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </math> </jats:inline-formula> states, and these states are labeled by an <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mi>n</mi> </math> </jats:inline-formula> qubit index value <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mi>j</mi> </math> </jats:inline-formula>. Two working qubits <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </math> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </math> </jats:inline-formula> are added for a measurement. Moreover, one marking qubit <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math> </jats:inline-formula> is added to discriminate between states in a superposition. Thus, <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mi>|</mi> <msub> <mrow> <mi>ψ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>〉</mi> <mo>=</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <msqrt> <mi>N</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <msubsup> <mrow> <mo stretchy="false">∑</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>〉</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⊗</mo> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊗</mo> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </math> </jats:inline-formula>. The Hadamard transformation is applied to <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </math> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </math> </jats:inline-formula>. <jats:inline-formula> <math xmlns="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mi>|</mi> <msub> <mrow> <mi>ψ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>〉</mi> <mo>=</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <msqrt> <mi>N</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <msup> <mrow> <mfenced open="(" close=")" separators="|">