Analyse en ondelettes M-bandes en arbre dual; application à la restauration d'images

Cette these porte sur les decompositions en ondelettes M-bandes en arbre dual ainsi que sur leur application a l'analyse et la restauration d'images. Ces decompositions permettent d'obtenir une analyse multi-echelles, directionnelle et locale des images. Elles s'inscrivent donc dans la perspective de travaux recents visant a mieux representer les informations geometriques (textures, contours) et les preserver lors de traitements. Ce travail s'appuie sur les travaux anterieurs de N. Kingsbury et I. Selesnick portant sur la construction de decompositions en ondelettes formant des paires de Hilbert (approchees). Ces auteurs ont etabli divers resultats concernant le cas dyadique et l'une de nos contributions a ete de montrer qu'il etait possible de generaliser leurs conclusions et de montrer de nouveaux resultats dans le cas M-bandes. Les representations proposees presentent de nombreux avantages notamment en termes d'invariance par translation de l'analyse et de selectivite directionnelle. Nous avons etabli les conditions que doivent satisfaire les bancs de filtres en arbre dual servant a l'analyse et a la synthese des signaux traites. Nous avons egalement etudie les pre-traitements qu'il est necessaire d'appliquer a des donnees discretes. Ces decompositions introduisant typiquement une redondance d'un facteur 2 (dans le cas reel, et de 4 dans le cas complexe), elles constituent des trames a partir desquelles on peut calculer une reconstruction optimale. Ces nouvelles transformees ont finalement ete generalisees aux cadres biorthogonal et complexe. Notre volonte d'appliquer ces outils d'analyse au debruitage de signaux nous a conduit a l'etude des proprietes statistiques des coefficients issus de la decomposition M-bandes en arbre dual d'un processus aleatoire stationnaire au sens large. Nous avons tout d'abord calcule les statistiques au second ordre de ces coefficients et nous avons etudie le role du post-traitement dans le calcul des correlations. Quelques resultats asymptotiques concernant les correlations d'un couple de coefficients primal/dual ont egalement ete obtenus. Les inter-correlations entre les ondelettes primale et duale jouant un role cle dans notre etude, nous en avons fourni des expressions exactes pour quelques familles d'ondelettes usuelles. Des simulations numeriques nous ont aussi permis de valider nos resultats theoriques ainsi que d'evaluer la zone d'influence de la dependance statistique induite. Pour demontrer l'efficacite de ces decompositions, nous avons ete amenes a nous interesser a deux types de problemes : le debruitage et la deconvolution d'images. En ce qui concerne le debruitage, nous avons poursuivi deux buts principaux lies au cheminement de la these. Dans un premier temps, nous nous sommes attaches a montrer que la decomposition en arbre dual M-bandes apporte un gain significatif en terme de qualite, a la fois objective et subjective, par rapport a une decomposition en ondelettes classique, voire une decomposition dyadique en arbre dual. Dans un second temps, nous avons considere le debruitage d'images multi-canaux pour lesquelles nous avons mis en place un estimateur statistique original reposant sur l'emploi du principe de Stein et permettant notamment de prendre en compte des voisinages quelconques (spatial, intercomposantes, inter-echelles, .). Les problemes de deconvolution d'images ont ete apprehendes dans le cadre de methodes variationnelles, en mettant en place un algorithme iteratif, utilisant des outils recemment developpes en analyse convexe. L'approche proposee permet de resoudre des problemes inverses associes a des modeles probabilistes varies et elle est applicable a l'analyse M-bandes en arbre dual ainsi qu'a tout autre type de representation a l'aide d'une trame.