On reproducing kernel methods in functional statistics

A lo largo de esta tesis se profundiza en algunos problemas con datos funcionales desde un nuevo punto de vista matematico, que clarifica las tecnicas existentes y al mismo tiempo ayuda a desarrollar nuevas ideas basadas en un enfoque puramente funcional. Estas nuevas herramientas suelen ser mas simples y eficientes que las meras extensiones de tecnicas multivariantes, ya que estan especificamente disenadas teniendo en cuenta la naturaleza de los datos. En particular, se tratan los siguientes problemas estadisticos: - la definicion de una extension funcional de la distancia de Mahalanobis clasica, - regresion lineal funcional, con respuesta tanto escalar como funcional, aplicada a la prediccion de series temporales funcionales, - y regresion logistica funcional. El hilo conductor de este trabajo es el uso de los espacios de Hilbert con nucleo reproductor (RKHS's segun sus siglas en ingles), de forma que el primer capitulo esta basicamente dedicado a ellos. Estos espacios resultan de gran utilidad para establecer conexiones plenamente fundadas entre problemas funcionales y sus respectivos problemas multivariantes. Tras una breve introduccion a los datos funcionales, se recogen diversas definiciones de los RKHS's y se analizan las relaciones entre ellas, asi como algunas aplicaciones. En el capitulo 2 se introduce una extension funcional de la clasica distancia de Mahalanobis. La expresion de la distancia de Mahalanobis multivariante incluye la inversa de la matriz de covarianza. El homologo funcional de dicha matriz es el operador de covarianza. Este operador no es invertible en L2[0,1], asi que no es posible definir una extension directa de la distancia original. Existen en la literatura un par de propuestas interesantes tratando de resolver este problema. En este trabajo se propone utilizar una perspectiva bastante diferente, motivada en terminos de los RKHS, que esta completamente fundamentada desde un punto de vista matematico. Ademas se prueba que la nueva distancia comparte algunas propiedades interesantes con la distancia original y que puede ser estimada consistentemente a partir de una muestra. El capitulo 3 consta de dos partes. En la primera se aborda el problema de regresion funcional con respuesta escalar. Se propone reemplazar el producto escalar en L2[0,1] del modelo de regresion estandar con la inversa de la isometria de Loeve de la funcion de coeficientes de regresion. Este nuevo modelo es especialmente util para hacer seleccion de variables. De hecho, se reduce al modelo clasico de regresion lineal finito-dimensional cuando la funcion de coeficientes de regresion depende de un numero finito de puntos en [0,1] (a veces llamados “puntos de impacto”). Este modelo en funcion de los puntos de impacto no podria obtenerse con la aproximacion estandar en L2[0,1], ya que requeriria que los funcionales de evaluacion x⟼x(t) fuesen continuos, que no es el caso. Se han obtenido resultados de consistencia tanto para los puntos seleccionados como para las respuestas. Ademas se propone un nuevo estimador consistente para el numero de puntos a elegir. En la segunda parte del capitulo 3 se extiende la metodologia previa al problema de regresion con respuesta funcional, aplicandola posteriormente a la prediccion de series temporales funcionales. La definicion del modelo debe adaptarse para seleccionar puntos que sean relevantes para la prediccion de la curva completa. En este caso la funcion de covarianza cruzada entre los regresores y las respuestas juega un papel importante y es parte esencial del criterio de seleccion de los puntos de impacto. Por lo tanto se introducen restricciones adicionales en la funcion de coeficientes de regresion. Los resultados obtenidos en la primera parte del capitulo son extendidos a este contexto. El capitulo 4 esta dedicado a la regresion logistica funcional. La aproximacion mas comun al problema consiste en definir el modelo de regresion logistica en funcion del producto interno en L2[0,1]. Sin embargo, se prueba que cuando las distribuciones del proceso dado Y=0,1 son Gaussianas homocedasticas, el modelo logistico que se infiere involucra el producto escalar en el RKHS. Para derivar este resultado se requiere el uso de derivadas de Radon-Nikodym. Como en el capitulo 3, el modelo propuesto es especialmente util para seleccion de variables y tambien tiene como caso particular al modelo de regresion logistica finito-dimensional. Finalmente, estudiamos en detalle la existencia del estimador de Maxima Verosimilitud de la funcion de coeficientes de regresion, obteniendo algunos resultados interesantes de no-existencia que no requieren grandes restricciones sobre los procesos involucrados (incluyendo el Browniano, entre otros). Se han llevado a cabo simulaciones y experimentos para todos los metodos propuestos en esta tesis. El lenguaje de programacion utilizado es R y todo el codigo desarrollado se puede proporcionar bajo demanda.