Justification of an approximation equation for the Benard-Marangoni problem

The Benard-Marangoni problem is a mathematical model for the description of a temperature dependent fluid flow in very thin liquid layers with a free top surface. The liquid is bounded from below by a horizontal plate of a certain temperature. Above the liquid there is an atmosphere cooler than the bottom plate. There is a purely conducting steady state, where the liquid is at rest. This state is stable as long as the difference between the temperature of the bottom plate and the temperature of the atmosphere is sufficiently small. If the temperature difference surpasses a certain threshold, convection sets in, which is mainly driven by surface tension rather than buoyancy. The onset of convection can be seen as the propagation of a spatially periodic pattern, such that we interpret the Benard-Marangoni problem as a pattern forming system. In this thesis we are interested in the behaviour of the system when the purely conducting steady state becomes unstable. From the equations of the Benard-Marangoni problem we formally derive a Ginzburg-Landau like system of modulation equations, which we use to construct approximate solutions for the full problem. In this thesis we prove an approximation theorem for these modulation equations. That means, we show that the approximate solutions lie close to true solutions of the Benard-Marangoni problem, at least for a long time. The validity of the Ginzburg-Landau approximation was already shown for a number of pattern forming systems. In case of the Benard-Marangoni problem, however, we have a spectral situation that does not allow a direct application of the existing approximation proofs. Hence, we first consider a toy problem exhibiting such a kind of spectrum and develop a method for proving an approximation result in this case. Furthermore, the existing approximation proofs were restricted to semilinear problems. However, the equations of the Benard-Marangoni problem are quasilinear. Therefore, we also develop a method for proving approximation results for quasilinear problems. We then turn back to the Benard-Marangoni problem. After showing local existence and uniqueness of solutions, we apply our new methods in order to prove the desired approximation result. Das Benard-Marangoni Problem ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung temperaturabhangiger Flussigkeitsstromungen in sehr dunnen Schichten mit einer nach oben freien Oberflache. Nach unten ist die Flussigkeit durch eine horizontale Platte mit einer gewissen Temperatur begrenzt. Uber der freien Oberflache befindet sich eine Atmosphare, deren Temperatur niedriger als die des Bodens ist. Es existiert ein bewegungsfreier Zustand der reinen Warmeleitung. Dieser Zustand ist stabil, solange der Unterschied zwischen der Temperatur des Bodens und der Atmosphare hinreichend klein ist. Uberschreitet der Temperaturunterschied eine gewisse Schwelle, so stellt sich eine Konvektionsstromung ein. Diese wird in solch dunnen Schichten nicht vornehmlich durch Auftriebskrafte verursacht, sondern durch Differenzen in der Oberflachenspannung verschiedener Bereiche auf der freien Oberflache. Das Einsetzen der Konvektionsstromung kann als die Ausbreitung eines raumlich periodischen Musters gesehen werden, so dass wir das Benard-Marangoni Problem als musterbildendes System interpretieren. In der vorliegenden Arbeit beschaftigen wir uns mit dem Verhalten des Systems, wenn der Zustand der reinen Warmeleitung instabil wird. Aus den Gleichungen des Benard-Marangoni Problems leiten wir formal ein Ginzburg-Landau-artiges System von Modulationsgleichungen her, mit dessen Hilfe wir Naherungslosungen fur das volle Problem konstruieren. Wir erbringen den Nachweis, dass die so gefundenen Naherungslosungen fur lange Zeiten nahe an tatsachlichen Losungen des Benard-Marangoni Problems liegen, d.h. wir beweisen einen Approximationssatz fur die gefundenen Modulationsgleichungen. Die Gultigkeit der Ginzburg-Landau-Approximation ist bereits fur eine Reihe musterbildender Systeme gezeigt worden. Allerdings liegt im Falle des Benard-Marangoni Problems eine spektrale Situation vor, die es nicht erlaubt, die existierenden Methoden zum Nachweis der Approximationseigenschaft anzuwenden. Daher entwickeln wir zunachst eine allgemeine Methode zur Handhabung eines solchen Spektrums am Beispiel eines einfachen Spielzeugproblems. Weiterhin sind die bisher existierenden Methoden auf die Behandlung semilinearer Probleme beschrankt. Die Gleichungen des Benard-Marangoni Problems hingegen sind quasilinear. Deshalb entwickeln wir wieder anhand einfacher Beispiele eine Methode fur den Beweis von Approximationssatzen, wenn die zugrunde liegenden Gleichungen quasilinear sind. Schlieslich ubertragen wir die obigen Methoden auf das volle Benard-Marangoni Problem, fur das wir zunachst die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Losungen nachweisen.