Algorithmes itératifs à faible complexité pour le codage de canal et le compressed sensing. (Low Complexity Iterative Algorithms for Channel Coding and Compressed Sensing)

L'utilisation d'algorithmes iteratifs est aujourd'hui largement repandue dans tous les domaines du traitement du signal et des communications numeriques. Dans les systemes de communications modernes, les algorithmes iteratifs sont utilises dans le decodage des codes ``low-density parity-check`` (LDPC), qui sont une classe de codes correcteurs d'erreurs utilises pour leurs performances exceptionnelles en terme de taux d'erreur. Dans un domaine plus recent qu'est le ``compressed sensing``, les algorithmes iteratifs sont utilises comme methode de reconstruction afin de recouvrer un signal ''sparse`` a partir d'un ensemble d'equations lineaires, appelees observations. Cette these traite principalement du developpement d'algorithmes iteratifs a faible complexite pour les deux domaines mentionnes precedemment, a savoir le design d'algorithmes de decodage a faible complexite pour les codes LDPC, et le developpement et l'analyse d'un algorithme de reconstruction a faible complexite, appele ''Interval-Passing Algorithm (IPA)'', dans le cadre du ``compressed sensing``. Dans la premiere partie de cette these, nous traitons le cas des algorithmes de decodage des codes LDPC. Il est maintenu bien connu que les codes LDPC presentent un phenomene dit de ''plancher d'erreur`` en raison des echecs de decodage des algorithmes de decodage traditionnels du types propagation de croyances, et ce en depit de leurs excellentes performances de decodage. Recemment, une nouvelle classe de decodeurs a faible complexite, appeles ''finite alphabet iterative decoders (FAIDs)'' ayant de meilleures performances dans la zone de plancher d'erreur, a ete proposee. Dans ce manuscrit nous nous concentrons sur le probleme de la selection de bons decodeurs FAID pour le cas de codes LDPC ayant un poids colonne de 3 et le cas du canal binaire symetrique. Les methodes traditionnelles pour la selection des decodeurs s'appuient sur des techniques asymptotiques telles que l'evolution de densite, mais qui ne garantit en rien de bonnes performances sur un code de longueurs finies surtout dans la region de plancher d'erreur. C'est pourquoi nous proposons ici une methode de selection qui se base sur la connaissance des topologies nefastes au decodage pouvant etre presente dans un code en utilisant le concept de ``trapping sets bruites''. Des resultats de simulation sur differents codes montrent que les decodeurs FAID selectionnes grâce a cette methode presentent de meilleures performance dans la zone de plancher d'erreur compare au decodeur a propagation de croyances.Dans un second temps, nous traitons le sujet des algorithmes de reconstruction iteratifs pour le compressed sensing. Des algorithmes iteratifs ont ete proposes pour ce domaine afin de reduire la complexite induite de la reconstruction par ``linear programming''. Dans cette these nous avons modifie et analyse un algorithme de reconstruction a faible complexite denomme IPA utilisant les matrices creuses comme matrices de mesures. Parallelement aux travaux realises dans la litterature dans la theorie du codage, nous analysons les echecs de reconstruction de l'IPA et etablissons le lien entre les ``stopping sets'' de la representation binaire des matrices de mesure creuses. Les performances de l'IPA en font un bon compromis entre la complexite de la reconstruction sous contrainte de minimisation de la norme $ell_1$ et le tres simple algorithme dit de verification.