Simulation and bulk detection of topological phases of matter

Differently from the majority of the other phases of matter, which are characterized by local order parameters, the topological phases are characterized by integer or semi-integer numbers, the topological invariants, which are depending on global properties and robust against impurities or deformations. In the last decade, the study of the topological phases of matter has been developing parallel to the field of quantum simulation. Quantum simulators are fully controllable experimental platforms simulating the dynamics of systems of interest by the use of the mapping between the two Hamiltonians. These simulators represent a key resource in the study of topological phases of matter because their observation in natural systems is usually highly problematic and sometimes impossible. Quantum simulators are commonly realized with cold atoms in optical lattices or with photonic systems. The unitary and time-periodic protocols, known as quantum walks, are a versatile class of photonic quantum simulators. The purpose of this PhD thesis is to design feasible protocols to simulate and characterize topological non-interacting crystalline Hamiltonians in 1 and 2 dimensions. Moreover, this thesis contains the description of the experiments that have been completed using the theoretical proposals. In details: i) We demonstrate that the topological invariant associated to chiral symmetric 1D Hamiltonians becomes apparent through the long time limit of a bulk observable, the mean chiral displacement (MCD). This detection method converges rapidly and requires no additional elements (i.e. external fields) or filled bands. The MCD has been used to characterize the topology of a chiral-symmetric 1D photonic quantum walk and to detect a signature of the so-called topological Anderson insulating phase in a disordered chiral symmetric wire simulated with ultracold atoms. ii) We designed the protocol to measure the topological invariant that characterizes a 2D photonic quantum walk simulating a Chern insulator. A diferencia de la mayoría de las otras fases de la materia, caracterizadas por un parámetro de orden local, las fases topológicas de la materia se definen por su invariante topológico que depende de las propiedades globales del sistema y es robusto frente a la presencia de impurezas y/o deformaciones. En la última década, el estudio de las fases topológicas de la materia se ha desarrollado en paralelo con el campo de la simulación cuántica. Un simulador cuántico es unas plataformas experimental altamente controlable cuyo objetivo es simular la dinámica de un sistema de interés, mediante la correspondencia entre los dos Hamiltonianos. Estos simuladores representan un recurso clave en el estudio de las fases topológicas dado que su observación en sistemas reales es en general muy problemática y en determinadas ocasiones hasta imposible. Normalmente, los simuladores cuánticos se crean mediante átomos fríos en redes ópticas o con sistemas fotónicos. Los paseos cuánticos (quantum walks), un proceso unitario y temporalmente periódico, representan una de las clases mas versátiles de simuladores cuánticos. El propósito de esta tesis de doctorado es el diseño de protocolos para la simulación y la caracterización de Hamiltonianos topológicos no interactivos de estructuras cristalinas, tanto en una como en dos dimensiones. Además, en esta tesis se expone la descripción de experimentos llevados a cabo a partir del modelo teórico propuesto. En detalle: Demostramos que el invariante topologico asociado a la simetría quiral en una dimensión se hace aparente a partir del limite a tiempos largos de un observable del volumen (bulk), el desplazamiento quiral medio (MCD, por sus siglas en inglés). Este método de detección converge de manera rápida y no necesita de elementos adicionales (es decir, de campos externos) o bandas pobladas. El MCD ha sido utilizado para caracterizar la topología de un paseo cuántico en una dimensión con simetria quiral y para detectar la fase topológica aislante de Anderson en hilos quirales con desorden, simulados con átomos ultra fríos. Hemos diseñado un protocolo para medir el invariante topológico que caracteriza un paseo cuántico en dos dimensiones simulando un aislante de Chern.