Métodos robustos de estimación de componentes principales funcionales y el modelo de componentes principales comunes

En muchas situaciones practicas, los datos se registran sobre un periodo de tiempo o corresponden a imagenes. Por esta razon, conviene considerarlos como realizaciones de un proceso estocastico en lugar de discretizarlos y estudiarlos como realizaciones de datos multivariados. Un metodo ampliamente usado para describir los principales modos de variacion de las observaciones es el de componentes principales funcionales. Sin embargo, los procedimientos clasicos basados en el desvio estandar o el operador de covarianza muestral son muy sensibles a datos atipicos. Para resolver este problema, en esta tesis, se introducen estimadores robustos para las componentes principales mediante un enfoque basado en el metodo de projection–pursuit. Estimadores de projection–pursuit, para el caso finito– dimensional, fueron inicialmente propuestos en Huber (1981) como una forma de obtener estimadores robustos de la matriz de covarianza. Posteriormente, fueron considerados por Li y Chen (1985) para el problema de componentes principales como una aproximacion directa al problema sin necesidad de obtener estimadores robustos de la matriz de escala (ver, tambien Huber, 1985). En esta tesis, se extiende dicha propuesta al caso funcional. Por otra parte, se consideran diversas variaciones de la misma que permiten obtener estimadores suaves mediante una penalizacion en la escala o en la norma, o bien, mediante una aproximacion finito–dimensional sobre una base con elementos suaves. Bajo condiciones debiles de regularidad, se obtiene la continuidad del funcional asociado, de lo que se deduce la consistencia de los estimadores sin suavizar. Por otra parte, se prueba la consistencia de los estimadores que penalizan la norma y/o la escala asi como la de una propuesta basada en aproximaciones por subespacios crecientes, bajo condiciones debiles. Mediante un estudio de simulacion, se compara la performance de las propuestas clasicas y robustas bajo diferentes tipos de contaminacion. Se complementa el estudio de los estimadores de proyeccion de las direcciones principales, obteniendo una expresion para la funcion de influencia del funcional asociado a la direccion principal y su tamano. Las propuestas anteriores de estimacion se extendieron al caso de k poblaciones que cumplen un modelo de componentes principales comunes funcional. Bajo dicho modelo, las diversas poblaciones presentan una estructura comun en cuanto a su operador de dispersion compartiendo sus autofunciones y el orden de las mismas. Para ser mas precisos, se definen estimadores robustos de projection–pursuit de las direcciones principales bajo un modelo de componentes principales comunes. Para las distintas propuestas, algunas de las cuales incluyen como antes diversos tipos de penalizacion, se prueba su consistencia, bajo condiciones debiles. Por otra parte, mediante un estudio de Monte Carlo, se estudia el comportamiento de los estimadores introducidos para muestras finitas, bajo diferentes modelos y tipos de contaminacion. Finalmente, se proponen algoritmos que permiten calcular aproximaciones de cada una de las propuestas dadas. Se prueba la consistencia del estimador obtenido a traves de dicho algoritmo. Mediante un estudio Monte Carlo, se analiza la velocidad de convergencia de dicha propuesta en el caso de procesos con trayectorias suaves e irregulares. Para estas ultimas, se propone un metodo alternativo de calculo.