Gravité des systèmes verticalement homogènes : applications aux disques astrophysiques

La gravitation joue un role important dans de nombreux domaines de l'astrophysique : elle assure notamment la cohesion et la stabilite des planetes, des etoiles et des disques. Elle est aussi motrice dans le processus d'effondrement de structure et conduit, des lors qu'un moment cinetique initial est significatif, a la formation d'un disque.Ma these est consacree a l'etude des disques de gaz, et plus particulierement a la description du potentiel et du champ de gravite qu'ils generent dans l'espace et sur eux-memes (l'auto-gravitation). Bien que la force de Newton soit connue depuis longtemps, la determination des interactions auto-gravitantes reste difficile, en particulier lorsque l'on s'ecarte significativement de la sphericite. La principale difficulte tient dans la divergence hyperbolique du Noyau de Green 1/(r'-r) et necessite un traitement propre. L'approche theorique est interessante car elle fournit de nouveaux outils (techniques numeriques, formules approchees, etc.) qui peuvent aider a produire des solutions de reference et a ameliorer les simulations numeriques.Dans une premiere partie, nous introduisons le sujet, les notions et les bases essentielles. Le chapitre $1$ est consacre a une presentation succinte du contexte scientifique et aux motivations de notre travail. Dans le chapitre $2$, nous reproduisons dans ces grandes lignes le cheminement conduisant au developpement multipolaire, a partir de l'equation de Poisson et de la formule integrale de Newton. Il s'agit de l'une des methodes les plus classiques permettant d'obtenir le potentiel gravitationnel d'un corps. Les deux systemes de coordonnees les plus utilisees sont mis en avant : spheriques et cylindriques. A travers quelques exemples, nous montrons les limites de cette approche, en particulier dans le cas de l'auto-gravite des disques.Dans une deuxieme partie, nous abordons le vif du sujet. Le chapitre $3$ presente l'approche basee sur les integrales elliptiques que nous retrouverons dans l'ensemble du manuscrit (cas general d'abord, puis cas axi-symetrique). Dans le chapitre $4$, nous etablissons un premier resultat concernant le noyau de Green dans des systemes axi-symetriques et verticalement homogenes : une forme alternative et reguliere du noyau, quelque soit le point de l'espace. Nous avons exploite cette nouvelle formule pour deduire une bonne approximation du potentiel des disques geometriquement minces, des anneaux et des systemes faiblement etendus en rayon. Ceci fait l'objet du chapitre $5$. Dans une troisieme partie, nous etudions les effets de bords sur la composante verticale du champ de gravite, $g_z$, causes par un disque mince axi-symetrique. Le chapitre $6$ est dedie a l'approximation de Paczynski \citep{pacz78}, qui permet traditionnellement d'exprimer le champ comme une fonction lineaire de la densite de surface locale. Cette approximation n'est en fait strictement valide que dans le cas du modele du "plan infini", loin d'un disque realiste. Pres du bord externe des disques ou la gravite decroit, l'approximation de Paczynski s'avere assez imprecise (facteur $2$ typiquement), et ne donne pas de bons resultats et doit etre corrigee. Toujours dans l'hypothese d'une homogeneite verticale de la densite, nous avons construit une expression pour $g_z$ qui tient compte de ces effets de bords. Le chapitre $7$ est consacre a ce resultat.Dans une derniere partie, nous relâchons l'hypothese de symetrie axiale (le disque est discretise en cellules cylindriques homogenes). Nous nous sommes inspires du travail d'\cite{ansorg03} afin d'exprimer, via le theoreme de Green, le potentiel d'une cellule cylindrique homogene par une integrale de contour. Ce resultat s'applique directement aux simulations de disques, ou ceux-ci sont decoupes en cellules cylindriques, chacune ayant sa propre densite.Une conclusion et quelques perspectives sont donnees en fin de manuscrit.