Contributions à l'étude des propriétés asymptotiques en contrôle optimal et en jeux répétés

Cette these etudie des proprietes limites de problemes de controle optimal (un joueur, en temps continu) et de jeux repetes a somme nulle (a deux joueurs, en temps discret) avec horizon tendant vers l'infini. Plus precisement, nous etudions la convergence de la fonction valeur lorsque la duree du probleme de controle ou la repetition du jeu tend vers l'infini (analyse asymptotique), et l'existence de strategies robustes, i.e. des strategies ԑ-optimales pour guarantir la valeur limite dans tous les problemes de controle de duree suffisamment longue ou dans tous les jeux repetes de repetition suffisamment large (analyse uniforme). La partie sur le controle optimal est composee de trois chapitres. Le chapitre 2 est un article de presentation de la litterature recente sur les proprietes a long terme dans divers modeles d'optimisation dynamique. Dans les deux chapitres suivants, nous nous concentrons sur les problemes de controle optimal ou le coȗt de la trajectoire est evalue par une mesure de probabilite generale sur R_+, au lieu de la moyenne de T-horizon (moyenne de Cesaro) ou de la λ-escompte (moyenne d'Abel). Dans le chapitre 3, nous introduisons une condition de regularite asymptotique pour une suite de mesures de probabilite sur R_+ induisant un horizon tendant vers l'infini (en particulier, T tendant vers l'infini ou λ tendant vers zero). Nous montrons que pour toute suite d'evaluations satisfaisant cette condition, la suite associee des valeurs du probleme de controle converge uniformement si et seulement si cette suite est totalement bornee pour la norme uniforme. On en deduit que pour des problemes de controle definis sur un domaine invariant compact et verifiant une certaine condition de non-expansivite, la fonction valeur definie par une mesure de probabilite generale converge quand l'evaluation devient suffisamment reguliere. En outre, nous prouvons dans le chapitre 4 que sous les mȇmes conditions de compacite et de non-expansivite, il existe des controles ԑ-optimaux pour tous les problemes ou le coȗt de la trajectoire est evalues par une mesure de probailite suffisamment regulieres. La partie sur les jeux repetes se compose de deux chapitres. Le chapitre 5 est consacre a l'etude d'une sous-classe de jeux absorbants a information incomplete d'un cote. Le modele que nous considerons est une generalisation du Big match a information incomplete d'un cote introduit par Sorin (1984). Nous demontrons l'existence de la valeur limite, du Maxmin, du Minmax, et l'egalite du Maxmin et de la valeur limite. Dans le chapitre 6, nous etablissons plusieurs resultats concernant des jeux recursifs. Nous considerons d'abord les jeux recursifs avec un espace denombrable d'etats et prouvons que si la famille des fonctions valeur des jeux a n etapes est totalement bornee pour la norme uniforme, alors la valeur uniforme existe. En particulier, la convergence uniforme des valeurs des jeux a n etapes implique la convergence uniforme des valeurs des jeux escomptes. a l'aide d'un resultat dans Rosenberg et Vieille (2000), on en deduit un theoreme tauberien uniforme pour les jeux recursifs. Deuxiemement, nous appliquons le resultat d'existence de la valeur uniforme a une classe des modeles general de jeux repetes et nous prouvons que la valeur limite et le Maxmin existent et sont egaux. Ces jeux repetes sont des jeux recursifs avec signaux ou le joueur 1 peut toujours deduire le signal du joueur 2 de son propre signal.