Algunos procedimientos para la simulacion de modelos lineales en tiempo discreto bajo previsión perfecta

In this paper we present and compare several procedures for simulating discrete time linear models under perfect foresight. Starting from the standard structural form of the type of Buiter (1984) in discrete time, we obtain the reduced form which has been used by Blanchard and Kahn (1980) as 1 Universidad Catolica del Uruguay (UCUDAL). Deseo agradecer los comentarios de Elvio Accinelli (Facultad de Ingenieria, Universidad de la Republica) que han sido muy utiles para la revision del trabajo. Deseo dedicar este articulo a la memoria de Daniel Vaz con quien tuve el gusto de trabajar en el Banco Central del Uruguay y de estudiar luego en el programa de Posgrado en Economia del CEMA en Buenos Aires. 74 ALGUNOS PROCEDIMIENTOS PARA LA SIMULACION well as by McKibbin and Sachs (1987, 1991), and we present and compare the procedures of these authors. Then we introduce the modified structural form used by King, Plosser and Rebelo (1990) and present their simulation procedure which, in effect, is the application of a solution of the type of Blanchard and Kahn (1980) to the modified structural form. Finally we illustrate the use and scope of the different procedures on the basis of a few simple models, taken from the known macroeconomic literature. REVISTA DE ECONOMIA 75 I. INTRODUCCION El estudio de un problema macroeconomico comporta a menudo la construccion de un modelo dinamico que, en el contexto de una formulacion en tiempo discreto, puede muchas veces escribirse por lo menos al cabo de algunas transformaciones como un sistema de ecuaciones en diferencias de primer orden. En el caso de sistemas no lineales es frecuente la linealizacion en un entorno apropiado. Cuando el sistema de ecuaciones no supera el orden de dos y cuando se buscan solo implicaciones cualitativas, se suele analizar el modelo en cuestion por medio de los metodos conocidos del analisis dinamico cualitativo [vease, por ejemplo, Azariadis (1993)]. Sin embargo, cuando el modelo es de orden superior o se busca obtener ordenes de magnitud cuantitativos para los efectos estudiados, es cada vez mas comun la utilizacion de la simulacion numerica. La resolucion numerica de un modelo dinamico “tradicional” puede hacerse simplemente en forma recursiva, partiendo de los valores iniciales para todas las variables endogenas. En los modelos con expectativas racionales o en un contexto deterministico con prevision perfecta, sin embargo, existen valores iniciales unicamente para las variables de estado predeterminadas, obteniendose, por otro lado, distintas sendas de ajuste dinamico, todas compatibles con el postulado de prevision perfecta, para distintos valores iniciales de las variables de estado no predeterminadas. Estas constituyen muchas veces las variables sobre las cuales los agentes economicos supuestamente forman sus expectativas de manera racional, es decir utilizando toda la informacion disponible relevante para el futuro. Sin embargo, en un modelo lineal bien especificado solo una senda convergera al equilibrio final, en tanto que todas las demas divergeran. Haciendo referencia a una variante del principio de correspondencia de Samuelson, se supone generalmente que los sujetos economicos no poseen solo prevision perfecta a corto plazo, sino tambien a largo plazo y que, en base a su comportamiento racional, eligen la senda convergente, descartando las demas sendas divergentes, ya que estas implicarian un comportamiento de la economia poco creible a largo plazo. Este supuesto no implica, por tanto, otra cosa que la introduccion de una condicion de convergencia con respecto a las variables de estado no predeterminadas para suplir la falta de valores iniciales para estas variables. De esta manera, los valores corrientes de las variables no predetermi-nadas vienen a depender, en ultima instancia, de la evolucion futura de las variables 76 ALGUNOS PROCEDIMIENTOS PARA LA SIMULACION exogenas asi como de la estructura del modelo, “saltando” ante una nueva informacion acerca de la evolucion prevista para las variables exogenas. Esta breve descripcion sugiere que la resolucion de un modelo bajo expecta-tivas racionales o prevision perfecta requiere de algoritmos especificos que tomen en cuenta los elementos expuestos. El proposito de este trabajo es presentar y comparar algunos procedimientos que se encuentran en la literatura para resolver modelos lineales bajo prevision perfecta. El plan del trabajo es el siguiente. Partiendo de la forma estructural estandar del tipo de Austin y Buiter (1982) y Buiter (1984) en tiempo discreto, se obtendra y caracterizara la forma reducida, utilizada tanto por Blanchard y Kahn (1980) como por McKibbin y Sachs (1987, 1991). Luego se presentaran los procedi-mientos de simulacion de estos autores y se efectuara una comparacion entre ellos. En la siguiente seccion se introducira la modificacion del modelo estructural estandar segun King, Plosser y Rebelo (1990) con su solucion que no es mas que la aplicacion de una solucion del tipo de Blanchard y Kahn (1980) a la forma estructural modificada. La penultima seccion contendra algunos ejemplos sencillos para ilustrar el uso y alcance de los algoritmos expuestos. Algunas observaciones finales concluiran el trabajo. II. FORMAS ESTRUCTURAL Y REDUCIDA DEL MODELO Considerese un modelo dinamico lineal, escrito en la siguiente forma estructural estandar: 0 = z F + v F + y x F + y x F t 4 t 3 t t 2 1 + t t 1 + t 1 ÷ ÷ o o c c e ae ÷ ÷ o o c c e ae (1) 2 Se ponen a disposicion del lector interesado las rutinas escritas por el autor en el lenguaje MATLAB para simular numericamente los modelos en cuestion. 3 Esta forma estructural es una adaptacion al tiempo discreto de la forma estructural estandar introducida por Austin y Buiter (1982) y Buiter (1984) para el caso del tiempo continuo. REVISTA DE ECONOMIA 77 0 = z F + v F + y x F + y x F t 8 t 7 t t 6 1 + t t 1 + t 5 ÷ ÷ o o c c e ae ÷ ÷ o o c c e ae (2) siendo x = vector columna que contiene las n variables de estado predeterminadas, y = vector columna que contiene las m variables de estado no pre-determinadas ("variables que saltan"), v = vector columna que contiene las s variables endogenas de corto plazo, z = vector columna que contiene las q variables exogenas (o constantes) y t = tiempo. t y t+1 indica la expectativa de y para t+1, formada en base a la informacion acumulada hasta t. Debido al supuesto de prevision perfecta, t y t+1 = y t+1 (3) Las matrices constantes F 1 a F 8 deben poseer las dimensiones m), + (n m) + (n : F1 × F s, m) + (n : F m), + (n m) + (n : F 3 2 × × m), + (n s : F m), + (n s : F q, m) + (n : F 6 5 4 × × × . q s : F s, s : F 8 7 × × Partiendo de (1)-(3) se obtiene facilmente la forma reducida: