Reconstruction of Object 3 D using Poisson Surface

Surface reconstruction from oriented points can be done with a spatial Poisson problem. This Poisson formulation considers all the points at once, without resorting to spatial partitioning or blending, and is therefore highly resilient to data noise. Surface reconstruction problem that takes as its input an oriented point set and returns a solid model. The idea of our approach is to use Stokes' Theorem to compute the characteristic function of the solid model. Specifically, we provide an efficient method for computing the Fourier coefficients of the characteristic function using only the surface samples and normals, we compute the inverse Fourier transform to get back the characteristic function, and we use iso-surfacing techniques to extract the boundary of the solid model. Furthermore, our approach can be directly applied to models with holes and cracks, providing a method for hole-filling and zippering of disconnected polygonal models. Keywords Indicator function, gradient field, poisson surface, fast fourier transform, objects reconstruction. 1. Pendahuluan Rekonstruksi ke bentuk permukaan 3D dari himpunan titik-titik sampel merupakan pembahasan menarik di bidang komputer grafis. Tantangan permasalahan adalah pengisian lubang akibat data titik-titik yang hilang akibat keterbatasan akurasi kamera. Metode rekonstruksi yang umum dipakai adalah metode Voronoid [1] dimana untuk data yang memiliki banyak noise hasilnya tampak bergerigi pada saat dilakukan rekonstruksi mesh (jala-jala penghubung). Pada metode rekonstruksi permukaan Poisson lebih menguntungkan untuk data yang memiliki noise karena penyebaran titik-titik sampel akan dikoreksi menuju permukaan Poisson yang lebih halus [2]. Pada metode ini digunakan fungsi indikator χ yang didefinisikan bernilai 1 di dalam model dan bernilai 0 di luar model seperti terlihat pada Gambar 1. Prinsip dasar metode ini adalah adanya hubungan integral antara model sampel titik-titik berarah (oriented point) dengan fungsi indikator yang dipakai. Kumpulan titik-titik orientasi tidak lain merupakan gradien dari fungsi indikator [3]. Gradien dari fungsi indikator bernilai nol di mana-mana karena fungsi indikator adalah konstan kecuali di permukaan model. Pada akhirnya fungsi indikator dapat ditemukan solusinya dan sekaligus data titik-titik sampel dapat direkonstruksikan menuju permukaan Poisson. Gambar 1. Ilustrasi intuitif dari rekonstruksi Poisson Rekonstruksi permukaan Poisson memiliki keuntungan baik global maupun lokal fiting. Semua titik-titik data sampel akan direkonstruksi dalam sekali proses, tanpa harus mengurutkan secara parsial. Metode ini sangat sesuai untuk data-data yang masih memiliki noise. Beberapa metode lain menggunakan teknik penggabungan struktur [4], misalnya Delaunay triangulations, alpha shapes dan diagram Voronoi. Metode ini membuat segitiga yang menghubungkan semua titik-titik data sampelnya. Jika ada data noise muncul maka bentuk permukaan tampak bergerigi sehingga harus dilakukan proses smoothing. Pada metode fiting lokal [5] meninjau subset dari titik-titik yang berdekatan kemudian dilakukan estimasi bidang singgung dan mendefiniskan fungsi implisit sebagai jarak ke bidang tangen dari titik terdekat. Kemudian jaraknya Proceedings of National Seminar on Applied Technology, Science, and Arts (1 st APTECS), Surabaya, 22 Dec. 2009, ISSN 2086-1931 298 diakumulasikan ke dalam volumetrik grid dan interpolasi yang dipakai menggunakan least squares. Pada penelitian ini diusulkan menggunakan rekonstruksi obyek 3D metode Poisson surface dengan tujuan agar dihasilkan rekonstruksi yang robust dan tahan terhadap noise. Gambar 2. Rekonstruksi dari Point set ke Solid Model Dalam penelitian ini diambil batasan bahwa data titik-titik sampel yang merepresentasikan obyek 3D telah diambil dari kamera yang sudah terkalibrasi dengan baik. Pembahasan difokuskan pada metode rekonstruksi dari data titik-titik sampel menggunakan permukaan Poisson. Pada akhirnya hasil yang didapatkan prosesnya cepat seperti voronoid tetapi lebih tahan terhadap noise dan tidak banyak terpengaruh oleh data yang hilang. 2. Persamaan Poisson Langkah pertama adalah membentuk persamaan Poisson dari semua data titik-titik sampel dimulai dengan mengambil arah medan vektor yaitu V. Kemudian didefinisikan fungsi indikator χ dimana gradiennya memiliki aproksimasi terhadap V. Akibatnya nilai terbaiknya memenuhi persamaan [1]. : Sehingga terbentuk persamaan Poisson : Dimana fungsi χ adalah fungsi indikator yang akan dicari solusinya dan V adalah medan vektor yang didapat dari kamera. Sedangkan ∇. V merupakan divergensi dari medan vektor yang merupakan fungsi skalar. Kamera menghasilkan representasikan dari obyek dan memberikan hubungan lokal antar titik-titiknya. Sejumlah titik-titik sampel akan direkonstruksi membentuk mesh (jala-jala) dengan menggunakan metode Poisson surface. Kita dapat merekonstruksikan obyek setelah mendapatkan fungsi indikator χ yang merepresentasikan permukaan bidang. Gambar 3. Rekonstruksi poisson surface 3. Solusi persamaan Poisson Tinjau himpunan data input S yang terdiri dari sampel s ε S, masing-masing terdiri dari sebuah titik s.p dan vektor normal s.N yang terletak pada elemen permukaan ∂M dari suatu model permukaan yang akan dicari M. Tujuannya adalah merekonstruksi sebuah watertight (obyek tertutup) menggunakan triangulasi melalui model fungsi indikator. Pada penelitian ini dijabarkan hubungan antara gradien dari fungsi indikator dengan integral luasan dari vektor normal. Kemudian dilakukan pendekatan nilai integralnya dengan penjumlahan di sekitar titik orientasi sampel menggunakan transformasi Fourier. Pada akhirnya didapatkan fungsi indikator dari vektor gradien dengan memakai persamaan Poisson. Karena fungsi indikator merupakan fungsi tidak berarah, perhitungan eksplisit gradien vektor ini menghasilkan suatu vektor yang menyinggung permukaan obyek. Hubungan antara gradien fungsi indikator dengan vektor normal permukaan adalah :