Ein paraleller und hochgenauer O(n²) Algorithmus für die bidiagonale Singulärwertzerlegung

Der RRR-Algorithmus (Relativ Robuste Reprasentationen) ist ein Losungsverfahren fur das tridiagonale symmetrische Eigenwertproblem mit bestechenden Eigenschaften bzgl. Komplexitat, Genauigkeit, Adaptivitat und Parallelisierbarkeit. Der wesentliche Beitrag dieser Arbeit besteht in der Ubertragung dieses Verfahrens auf die Bestimmung der bidiagonalen Singularwertzerlegung. Neben der numerischen Orthogonalitat mussen zusatzlich gute Kopplungen der Singularvektorpaare gewahrleistet werden. Wie bei vielen primar fur Eigenwertaufgaben entwickelten Losungsverfahren stosen wir auch beim RRR-Algorithmus auf Probleme. Es ist leicht zu zeigen, das sich fur die interessierenden Eigenwerte separat durchgefuhrter Faktorisierungen der Normalengleichungen starke absolute Abweichungen ergeben. Dieses Resultat ist insbesondere fur betragskleine Eigenwerte unbefriedigend und fuhrt zu schlechten Kopplungen der Vektoren. Die alternative Verwendung der Golub-Kahan Matrix ist numerisch weniger stabil als die Arbeit auf den Normalengleichungen. Auserdem ist bei diesem Ansatz die numerische Orthogonalitat gefahrdet. Zur Losung dieser Problematik setzen wir die Daten der Zerlegungen von Normalengleichungen und der Golub-Kahan Matrix untereinander in Beziehung. Dazu werden in dieser Arbeit Kopplungstransformationen hergeleitet. Benutzen wir diese Umrechnungen zwischen den Faktorisierungen, so erhalten wir fur die Eigenwerte eine deutlich bessere Aussage. Es wird gezeigt, das fur die Eigenwerte derart gekoppelter Darstellungen kleine relative Abweichungen ergeben. Auch fur die Singularvektoren konnen wir die klassische Notation basierend auf der Bidiagonalmatrix durch eine Formulierung mit einer diagonalen Matrix ersetzen. Der RRR-Algorithmus mit eingebetteten Kopplungen bildet das Kernstuck eines Gesamtlosungsverfahrens fur die bidiagonale Singularwertzerlegung. Zur Verbesserung der Genauigkeit und Ausfuhrungsgeschwindigkeit erweisen sich zusatzliche Masnahmen wie eine Prakonditionierung oder die Konstruktion idealer Systeme als sinnvolle Erganzungen. Die theoretischen Vorarbeiten munden in die Entwicklung einer Routine DBSVDSolv. In numerischen Experimenten bestatigt sich die gute Erfullung der Genauigkeitsanforderungen. Gleichzeitig schlagt sich die quadratische Komplexitat des neu eingefuhrten Verfahrens in teilweise uberlegenen Ausfuhrungszeiten gegenuber den bisherigen Standard-Implementierungen des QR-Verfahrens und des Divide-and-Conquer Algorithmus nieder. Wir sehen hier noch weiteres Optimierungspotential, insbesondere wenn eine Verknupfung mit den in der aktuellen LAPACK-Routine DSTEGR verwendeten Ansatzen realisiert wird. Die inharente Parallelitat der RRR-basierten Verfahren last sich bereits mit einfachen Mitteln in eine gut skalierende Implementierung umsetzen. Bei der gewahlten Strategie wird zunachst der Darstellungsbaum in einer Breitensuche durchlaufen. Durch Auswerten der Pfadinformationen reproduzieren die Heimprozessoren anschliesend die noch fehlenden Singularvektoren. Die Beschleunigung des Bisektionsverfahrens zur Bestimmung der Singularwerte ruckt wieder starker in den Blickpunkt zukunftiger Aufgabenstellungen.