Dynamique de carnets d'ordres boursiers : modèles stochastiques et théorèmes limites

Cette these propose un cadre mathematique pour la modelisation de la dynamique du prix et du flux d'ordres dans un marche electronique ou' les participants achetent et vendent un produit financier en soumettant des ordres limites et des ordres de marche a haute frequence a un carnet d'ordres centralise. Nous proposons un modele stochastique de carnet d'ordres en tant que systeme de files d'attente representant la totalite des ordres d'achat et de vente au meilleur niveau de prix (bid/ask) et nous montrons que les principales caracteristiques de la dynamique du prix dans un tel marche peuvent etre comprises dans ce cadre. Nous etudions en detail la relation entre les principales proprietes du prix et la dynamique du processus ponctuel decrivant l'arrivee et l'execution des ordres, d'abord dans un cadre Markovien (Chapitre 2) puis, en utilisant des methodes asymptotiques, dans le cadre plus general d'un processus ponctuel stationnaire dans sa limite heavy traffic, pour lequel les ordres arrivent frequemment, comme c'est le cas pour la plupart des marches liquides (Chapitres 3 et 4). Le Chapitre 2 etudie un modele Markovien de dynamique de carnet d'ordres, dans lequel l'arrivee d'ordres de marche, d'ordres limites et d'annulations est d'ecrite a l'aide d'un processus de Poisson ponctuel. L'etat du carnet d'ordres est d'ecrit par une marche aleatoire changee de temps dans le quadrant positif et regeneree a chaque fois qu'elle atteint le bord. Ce modele permet d'obtenir des expressions analytiques pour la distribution des durees entre changements de prix, la distribution et les autocorrelations des changements de prix, ainsi que la probabilite que le prix augmente, conditionnellement a l'etat du carnet d'ordres. Nous etudions la limite de diffusion du prix et exprimons la volatilite des changements de prix a l'aide de parametres decrivant l'intensite des ordres d'achat, de vente et d'annulations. Ces resultats analytiques permettent de mieux comprendre le lien entre volatilite du prix et flux d'ordres. Le Chapitre 3 etudie un modele plus general de carnet d'ordres pour lequel les arrivees d'ordres et les tailles d'ordres proviennent d'un processus ponctuel stationnaire tres general. Nous obtenons un theoreme central limite fonctionnel pour la dynamique jointe des files d'attente des ordres de vente et d'achat, et prouvons que, pour un marche liquide, dans lequel les ordres d'achat et de vente arrivent a haute frequence, la dynamique du carnet d'ordres peut etre approximee par un processus a sauts Markovien diffusant dans l'orthant et dont les caracteristiques peuvent etre exprimees a l'aide de proprietes statistiques du flux d'ordres sous-jacent. Ce resultat permet d'obtenir des approximations analytiques pour plusieurs quantities d'interet telles que la probabilite que le prix augmente ou la distribution de la duree avant le prochain changement de prix, conditionnellement a l'etat du carnet d'ordres. Ces quantites sont exprimees en tant que solutions d'equations elliptiques, pour lesquelles nous donnons des solutions explicites dans certains cas importants. Ces resultats s'appliquent a une classe importante de modeles stochastiques, incluant les mod'eles bas'es sur les processus de Poisson, les processus auto-excitants ou la famille de processus ACD-GARCH. Le Chapitre 4 est une etude plus detaillee de la dynamique du prix dans un marche ou les ordres de marche, les ordres limites et les annulations arrivent a haute frequence. Nous etudions d'abord la dynamique discrete du prix a l'echelle de la seconde et nous obtenons des relations analytiques entre les proprietes statistiques des changements de prix dans une journee -distribution des increments du prix, retour a la moyenne et autocorrelations- et des proprietes du processus decrivant le flux d'ordres et la profondeur du carnet d'ordres. Ensuite nous etudions le comportement du prix a des frequences vi CONTENTS vii plus faibles pour plusieurs regimes asymptotiques -limites fluides et diffusives- et nous obtenons pour chaque cas la tendance du prix et sa volatilite en fonction des intensites d'arrivees d'ordres d'achat, de vente et d'annulations ainsi que la variance des tailles d'ordres. Ces formules permettent de mieux comprendre le lien entre volatilite du prix d'un cote et le flux d'ordres, decrivant la liquidite, d'un autre cote. Nous montrons que ces resultats sont en accord avec la realite des marches liquides.