Intrinsic discretization for elliptic boundary value problems

The main goal of this thesis is to develop a general approach for the derivation of intrinsic conforming and non-conforming �nite elements from theoretical principles for the discretiza- tion of elliptic partial di�erential equations. We construct intrinsic conforming and non- conforming piecewise polynomial �nite element spaces of any order k for elliptic boundary value problems. The proposed intrinsic FEM is based on a simplicial triangulation. We exem- plify our method for Poisson's equation and the pure traction problem of linearized elasticity, but we emphasize that this method is applicable also for more general elliptic equations. In general intrinsic approaches one computes directly physical quantities which otherwise are obtained by numerical di�erentiation from the primary unknown of the problem. This is for example the case in the direct computation of the �uxes instead of the potential or in the direct computation of the strain or stress tensor instead of the displacement vector. The intrinsic methods have advantages in practical applications avoiding the loss of accuracy by numerical di�erentiations. The change of the primary unknown raises a series of questions related to the possibility of adapting the known results from classical FEM theory to the intrinsic theory, questions that we highlight and explain in the thesis. In the proposed intrinsic approach we develop local conditions for the approximation of the gradient vector �eld and of the symmetric gradient matrix �eld and then construct �nite element spaces, i.e., local basis functions, directly from these conditions. In order to incor- porate the essential boundary conditions we construct lifting operators as the left inverse of elementwise gradient and symmetric gradient operators. A main characteristic of the method is the decomposition of the �nite element spaces in a direct sum of vertex-, edge- and triangle- supported subspaces for which basis functions are obtained. We derive weak continuity conditions for the characterization of the admissible energy space. Based on these conditions we derive conforming intrinsic polynomial �nite element spaces and show that in the case of Poisson's equation they are the gradients of the well-known Lagrange hp-�nite element spaces and in the case of the pure traction problem of linearized elasticity they are the symmetric gradients of these spaces. In the non-conforming case we employ the stability and convergence theory for non-conforming �nite elements based on the second Strang lemma and derive from these principles weak compatibility conditions at the interfaces between elements of the mesh so that the non- conforming perturbation of the original bilinear form can be estimated in a consistent way. We derive all types of piecewise polynomial �nite elements that satisfy this condition and also derive a local basis for these spaces. In the case of Poisson's equation the polynomial non-conforming spaces of degree k hp-�nite element are spanned by the gradients of standard basis functions enriched by some edge oriented non-conforming basis functions for k even and by some triangle-supported non-conforming basis functions for k odd. As a by-product, this i ii methodology allows us to recover the well-known non-conforming Crouzeix-Raviart element, the second order non-conforming Fortin-Soulie element, the third order Crouzeix-Falk ele- ment, and the family of Gauss-Legendre elements. To our knowledge the non-conforming intrinsic method was not treated before to this extend. Das Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines allgemeinen Ansatzes zur Herleitung von in- trinsischen konformen und nicht-konformen Finiten Elementen zur Diskretisierung von ellip- tischen partiellen Di�erentialgleichungen. Wir konstruieren intrinsische konforme und nicht- konforme stuckweise polynomiale Finite Elemene Raume beliebiger Ordnung k fur elliptische Randwertprobleme. Die vorgeschlagene intrinsische FEM basiert auf einer Triangulierung mit Simplizes. Wir veranschaulichen unsere Methode am Beispiel der Poisson Gleichung und dem reinen Traktionsproblem fur linearisierte Elastizitatsgleichungen, es muss jedoch betont werden, dass diese Methode auch auf allgemeinere elliptische Gleichungen angewendet werden kann. Bei intrinsischen Methoden berechnet man direkt physikalische Grossen, welche sonst durch numerische Di�erentiation der ursprunglichen Unbekannten des Problems angenahert werden mussen. Dies ist beispielsweise der Fall bei der direkten Berechnung von Flussen anstatt von Potentialen oder bei der direkten Berechnung von Spannungs- oder Dehntensoren anstatt von Verschiebungsvektoren. Intrinsische Methoden haben in praktischen Anwendungen den Vorteil, dass der Genauigkeitsverlust durch numerische Di�erentiation umgangen wird. Durch den Wechsel der Hauptunbekannten stellt sich die Frage, in wie weit bekannte Resultate der klassischen FEM Theorie auf die intrinsische Theorie angewendet werden konnen. Diese Fragen werden in dieser Arbeit beleuchtet und erklart. Wir entwickeln fur die vorgeschlagene intrinsische Methode lokale Bedingungen zur Approxi- mation des Gradientenvektorfelds und des symmetrischen Gradientenmatrix Vektorfelds und konstruieren dann Finite Elemente Raume bzw. lokale Basisfunktionen aus diesen Bedingun- gen. Zur Berucksichtigung der Randbedingungen konstruieren wir Lift-Operatoren welche linksinvers zum elementweisen Gradienten und zum symmetrischen Gradienten sind. Ein Hauptmerkmal der Methode ist eine Zerlegung der Finite-Elemente-Raume in eine direkte Summe von Teilraumen, die mit den Ecken, Kanten und Dreicken der Triangularisierung verknupft sind. Wir geben fur diese Teilraume explizit Basisfunktionen an. Wir leiten schwache Stetigkeitsbedingungen zur Charakterisierung des zulassigen Energie- raums her. Basierend auf diesen Bedingungen leiten wir konforme intrinsische polynomiale Finite-Elemente-Raume her und zeigen, dass diese, im Fall der Poisson Gleichung, die Gra- dienten der bekannten Lagrange hp-Finite-Elemete-Raume sind und im Fall des reinen Trak- tionsproblems fur linearisierte Elastizitatsgleichungen die symmetrischen Gradienten dieser Raume sind. Im nicht-konformen Fall benutzen wir die Stabilitats- und Konvergenztheorie fur nicht- konforme Finite Elemente, die auf dem zweiten Strang Lemma basiert und leiten aus diesen Aussagen schwache Kompatibilitatsbedinungen and den Schnittstellen des Gitters her, sodass nicht-konforme Storungen der original Bilinearform abgeschatzt werden konnen. Wir konstruieren alle stuckweise polynomialen Finite Elemente, welche diese Bedingungen iv erfullen und geben eine lokale Basis dieser Raume an. Im Fall der Poisson-Gleichung werden die polynomialen nicht-konformen Raume vom Grad k durch die Gradienten der gewohnlichen hp-Finite-Elemente-Basisfunktionen aufgespannt, wobei im Fall, dass k gerade ist, einige nicht-konforme Basisfunktionen bezuglich der Kanten und im Fall, dass k ungerade ist, einige nicht-konforme Basisfunktionen bezuglich der Dreiecke hinzugefugt werden. Als Nebenprodukt liefert dieser Ansatz die bekannten nicht-konformen Crouzeix-Raviart- Elemente, das nicht-konforme Fortin-Soulie-Element zweiter Ordnung, das Crouzeix-Falk- Element dritter Ordnung und die Familie von Gauss-Legendre-Elementen. Der nicht-konforme intrinsische Ansatz wurde unserer Meinung nach in dieser Breite und Tiefe zuvor nicht be- handelt.