Modèles de déformation de processus stochastiques généralisés.Application à l'estimation des non-stationnarités dans les signaux audio. (Deformation models of generalized stochastic processes.Application to the estimation of nonstationarities in audio signals)

Cette these porte sur la modelisation et l'estimation de certaines non-stationnarites dans les signaux audio. Nous nous interessons particulierement a une classe de modeles de sons que nous nommons timbre -dynamique dans lesquels un signal stationnaire, associe au phenomene physique a l'origine du son, est deforme au cours du temps par un operateur lineaire unitaire, appele operateur de deformation, associe a l'evolution temporelle des caracteristiques de ce phenomene physique. Le timbre du son est alors caracterise par le spectre du processus stationnaire initial tandis que la composante dynamique du son est completement caracterisee par l'operateur de deformation. Les signaux audio sont modelises comme des processus gaussiens generalises et nous donnons dans un premier temps un ensemble d'outils mathematiques qui etendent certaines notions classiques utilisees en traitement du signal (transformation de Fourier, transformation de Mellin, signal analytique.) au cas des processus stochastiques generalises. Nous introduisons ensuite les deux operateurs de deformations etudies dans ce manuscrit (modulation de frequence et changement d'horloge et nous donnons des conditions suffisantes pour que ces operateurs soient des endomorphismes sur l'espace des distributions temperees. L'operateur de modulation frequentielle est l'operateur de multiplication par une fonction a valeurs complexes de module unite, et l'operateur de changement d'horloge est la version unitaire de l'operateur de composition par une fonction bijective. Lorsque ces operateurs agissent sur des processus stationnaires generalises, les processus deformes sont des processus generalises non-stationnaires, qui possedent localement des proprietes de stationnarite lorsque les deformations varient lentement. Les transformees temps-frequence et temps-echelle permettent alors d'exploiter ces proprietes de stationnarite locale, car sous certaines conditions, ils peuvent etre approximes par des operateurs de translation dans les plans temps-frequence et temps-echelle, respectivement. Nous donnons des versions precises de ces approximations, ainsi que des bornes pour les erreurs d'approximation correspondantes. Plus precisement, certains theoremes portent sur l'approximation des champs stochastiques non stationnaires eux memes tandis que d'autres portent sur l’approximation de leurs fonctions de covariances. Dans ce dernier cas, nous montrons que la deformation se ramene a une translation le long des diagonales des covariances des transformee temps-frequence et temps-echelle des processus deformes. En nous basant sur ces approximations, nous developpons un estimateur de maximum de vraisemblance approche des fonctions de dilatation et de modulation, ainsi que des caracteristiques du processus stationnaire sous-jacent. Applique a des signaux audio non stationnaires, cet algorithme fournit une estimation conjointe des composantes timbre et dynamique du son. L'algorithme propose est teste et valide sur des signaux synthetiques. Son application a des sons naturels permet de confirmer la validite du modele timbre-dynamique dans ce contexte.