Simulación numérica de algunos problemas de mecánica de fluidos con frontera libre

Esta memoria trata sobre la simulacion numerica bidimensional de fluidos bifasicos, En particular, se consideran dos fluidos Newtonianos, viscosos, incompresibles, e inmiscibles separados por una interfase que varia con el tiempo y en la que se consideran los efectos de la tension superficial. Nos centramos en el movimiento de dos fluidos; suponemos que uno de los fluidos es una burbuja de gas que se encuentra inmersa en un liquido. Se lleva a cabo un analisis comparativo de distintas metodologias Eulerianas y estrategias numericas ya existentes en la literatura para simular el transporte de la burbuja, calcular la curvatura de la interfase o evitar la difusion numerica de la interfase cuando el tiempo avanza. Estas metodologias son combinadas con la aplicacion del metodo de elementos finitos estandar, y se incorpora la tension superficial en la interface como un termino integral en todo el liquido. Posteriormente se utiliza el metodo de elementos finitos extendidos que permite capturar de forma mas eficaz la discontinuidad de la presion en la interfase de la burbuja. A lo largo de esta memoria se presenta un analisis exhaustivo del funcionamiento de todos los algoritmos acoplados cuando se reproduce la solucion de ejemplos test o de ensayos de laboratorio, haciendo especial hincapie en el comportamiento de simulaciones con un numero grande de pasos de tiempo, con valores grandes del coeficiente de tension superficial en la interfase y con saltos severos en las propiedades mecanicas de los dos fluidos implicados, como son, la viscosidad y la densidad. Como elemento finito estandar se toma P1 en presion y para aproximar el campo de velocidades el mini-elemento que combina elementos P1 con elementos burbuja. En los elementos finitos extendidos, se enriquecera la aproximacion en presion dada por los estandar con los elementos enriquecidos de Belytschko o con los de Gross-Reusken. El ultimo capitulo de la memoria se dedica al analisis matematico de un modelo asociado al proceso de llenado de un molde; en este caso, el fluido considerado es una espuma compresible, cuyo comportamiento es no Newtoniano y, en general, no homogenea. La memoria incluye un resultado de existencia y unicidad de solucion para espumas homogeneas mediante tecnicas de minimizacion de funcionales diferenciables convexos. Tambien se da un resultado de existencia para el caso de espumas no homogeneas utilizando una tecnica de punto fijo. En esta memoria, se combina una formulacion en conjuntos de nivel y un metodo de elementos finitos; esta formulacion permite incluir la tension superficial sin necesidad de integrar sobre la propia interfase, que es una frontera libre del modelo. Se compara esta aproximacion con otra propuesta por Sussman, Smereka y Osher en 1994, en la que la tension superficial se incluye como una funcion delta de Dirac y, en consecuencia, aparece una integral que debe calcularse sobre la frontera libre; aunque estos autores proponen su resolucion utilizando diferencias finitas, los resultados que presentaremos en esta memoria son obtenidos con elementos finitos. Se considera una formulacion variacional mixta de las ecuaciones de Navier Stokes acoplada con la ecuacion del transporte a traves de un esquema explicito. La discretizacion en espacio de la formulacion debil combina el metodo de elementos finitos y el metodo de las caracteristicas para tratar el termino convectivo. Esta discretizacion nos permite usar como primera opcion el mini elemento el cual es estable y tiene un bajo coste computacional. Una vez obtenido el sistema lineal discretizado se resuelve con al algoritmo de Uzawa que se combina con un gradiente conjugado precondicionado para calcular la presion. Para mejorar la aproximacion de la presion cuando esta presenta una discontinuad severa en la interfase, se enriquece el espacio de elementos finitos, considerando funciones base enriquecidas sobre los elementos que son atravesados por la interfase; en particular, se consideran las funciones de enriquecimiento propuestas por Belytschko y tambien las propuestas por Gross-Reusken. diferencias con lo nuestro. Esta combinacion de tecnicas nos permite la simulacion de fluidos bifasicos con grandes diferencias de viscosidad o densidad. En la aproximacion numerica para resolver la ecuacion del transporte usamos un esquema ENO de segundo orden para la discretizacion en espacio y el metodo de Euler o el de Adams-Bashforth para la discretizacion en tiempo; en la memoria tambien se analiza el comportamiento numerico en este tipo de modelos si se utilizan diferencias centradas o un metodo upwind para la discretizacion en espacio. Para controlar la excesiva difusion numerica de la interfase como en la literatura se introducen algunos procesos de reinicializacion; el objetivo es mantener la funcion conjunto de nivel como una funcion distancia en cualquier instante de tiempo y, asi, conseguir que la norma de su gradiente sea lo mas proximo posible a la unidad; esto evita zonas de gradiente plano proximas a la interfase, lo que dificultaria distinguir los puntos que son de la interfase y los que no lo son. En particular, proponemos usar el proceso de reinicializacion presentado por Sussman, Smereka y Osher, e incluir una condicion de conservacion de la masa como la propuesta por Sussman y Fatemi en 1999. Se presenta un analisis comparativo con otros procesos de reinicializacion. Para la aproximacion de la curvatura se elige la discretizacion utilizada por Sussman et al.