Sur des méthodes préservant les structures d'une classe de matrices structurées

Les methodes d'algebres lineaire classiques, pour le calcul de valeurs et vecteurs propres d'une matrice, ou des approximations de rangs inferieurs (low-rank approximations) d'une solution, etc., ne tiennent pas compte des structures de matrices. Ces dernieres sont generalement detruites durant le procede du calcul. Des methodes alternatives preservant ces structures font l'objet d'un interet important par la communaute. Cette these constitue une contribution dans ce domaine. La decomposition SR peut etre calcule via l'algorithme de Gram-Schmidt symplectique. Comme dans le cas classique, une perte d'orthogonalite peut se produire. Pour y remedier, nous avons propose deux algorithmes RSGSi et RMSGSi qui consistent a re-orthogonaliser deux fois les vecteurs a calculer. La perte de la J-orthogonalite s'est amelioree de maniere tres significative. L'etude directe de la propagation des erreurs d'arrondis dans les algorithmes de Gram-Schmidt symplectique est tres difficile a effectuer. Nous avons reussi a contourner cette difficulte et donner des majorations pour la perte de la J-orthogonalite et de l'erreur de factorisation. Une autre facon de calculer la decomposition SR est basee sur les transformations de Householder symplectique. Un choix optimal a abouti a l'algorithme SROSH. Cependant, ce dernier peut etre sujet a une instabilite numerique. Nous avons propose une version modifiee nouvelle SRMSH, qui a l'avantage d'etre aussi stable que possible. Une etude approfondie a ete faite, presentant les differentes versions : SRMSH et SRMSH2. Dans le but de construire un algorithme SR, d'une complexite d'ordre O(n³) ou 2n est la taille de la matrice, une reduction (appropriee) de la matrice a une forme condensee (J(Hessenberg forme) via des similarites adequates, est cruciale. Cette reduction peut etre effectuee via l'algorithme JHESS. Nous avons montre qu'il est possible de reduire une matrice sous la forme J-Hessenberg, en se basant exclusivement sur les transformations de Householder symplectiques. Le nouvel algorithme, appele JHSJ, est base sur une adaptation de l'algorithme SRSH. Nous avons reussi a proposer deux nouvelles variantes, aussi stables que possible : JHMSH et JHMSH2. Nous avons constate que ces algorithmes se comportent d'une maniere similaire a l'algorithme JHESS. Une caracteristique importante de tous ces algorithmes est qu'ils peuvent rencontrer un breakdown fatal ou un "near breakdown" rendant impossible la suite des calculs, ou debouchant sur une instabilite numerique, privant le resultat final de toute signification. Ce phenomene n'a pas d'equivalent dans le cas Euclidien. Nous avons reussi a elaborer une strategie tres efficace pour "guerir" le breakdown fatal et traiter le near breakdown. Les nouveaux algorithmes integrant cette strategie sont designes par MJHESS, MJHSH, JHM²SH et JHM²SH2. Ces strategies ont ete ensuite integrees dans la version implicite de l'algorithme SR lui permettant de surmonter les difficultes rencontrees lors du fatal breakdown ou du near breakdown. Rappelons que, sans ces strategies, l'algorithme SR s'arrete. Finalement, et dans un autre cadre de matrices structurees, nous avons presente un algorithme robuste via FFT et la matrice de Hankel, base sur le calcul approche de plus grand diviseur commun (PGCD) de deux polynomes, pour resoudre le probleme de la deconvolution d'images. Plus precisement, nous avons concu un algorithme pour le calcul du PGCD de deux polynomes bivaries. La nouvelle approche est basee sur un algorithme rapide, de complexite quadratique O(n²), pour le calcul du PGCD des polynomes unidimensionnels. La complexite de notre algorithme est O(n²log(n)) ou la taille des images floues est n x n. Les resultats experimentaux avec des images synthetiquement floues illustrent l'efficacite de notre approche.