FA ] 2 9 O ct 2 00 6 Spectral pictures of 2-variable weighted shifts ⋆

We study the spectral pictures of (jointly) hyponormal 2-variable weighted shifts with commuting subnormal components. By contrast with all known results in the theory of subnormal single and 2-variable weighted shifts, we show that the Taylor essential spectrum can be disconnected. We do this by obtaining a simple sufficient condition that guarantees disconnectedness, based on the norms of the horizontal slices of the shift. We also show that for every k ≥ 1 there exists a k-hyponormal 2-variable weighted shift whose horizontal and vertical slices have 1or 2-atomic Berger measures, and whose Taylor essential spectrum is disconnected. Résumé Les images spectrales de shifts pondérés à 2-variables. Nous étudions les images spectrales de shifts pondérés à deux variables et (conjointement) hyponormaux possédant des composants commutants sousnormaux. À la différence de tous les résultats connus dans la théorie des shifts pondérés simples sousnormaux à deux variables, nous démontrons que le spectre essentiel de Taylor peut être déconnecté. Nous faisons cela en obtenant une condition suffisante simple qui garantit le caractère déconnecté de ce spectre, basée sur les normes des sections horizontales du shift. Nous montrons également que pour chaque k ≥ 1 il existe un shift pondéré k-hyponormal à deux variables dont le spectre essentiel de Taylor est déconnecté. Pour citer cet article : A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). ⋆ Research partially supported by NSF Grants DMS-0099357 and DMS-0400741. Email addresses: rcurto@math.uiowa. edu (Raúl E. Curto), jyoon@iastate.edu (Jasang Yoon). Preprint submitted to Elsevier Science 6 May 2021 Version française abrégée Le Problème du Relèvement des Sousnormaux Commutants (PRSC) demande quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une paire commutante d’opérateurs sousnormaux dans l’espace de Hilbert H admette une paire commutante d’extensions normales agissant sur un espace Hilbert K ⊇ H. Dans nos recherches récentes nous avons montré que l’hyponormalité, bien que nécessaire, n’est pas une condition suffisante pour le relèvement. Nous avons fait cela en considérant des shifts pondérés commutants en deux variables, pour lesquels nous avons développé de nouvelles techniques pour détecter leur hyponormalité et sousnormalité. À l’intérieur de la classe H0 de shifts pondérés de 2-variables T ≡ (T1, T2) possédant des composants sousnormaux T1 et T2, nous avons obtenu dans [12] une nouvelle condition nécessaire pour l’existence d’un relèvement: les mesures de Berger des sections horizontales et verticales doivent être ordonnées de façon linéaire par rapport à la continuité absolue. Plus récemment, dans [5] nous avons donné une solution abstraite du PRSC, après avoir démontré une version multivariée du critère de Bram-Halmos [1]. Dans ce travail, nous développons des techniques et des outils nouveaux, et nous les combinons avec ceux dans [11], [12], [13], [5], [9] et [10], afin d’éclairer la théorie spectrale des shifts pondérés à 2-variables. Comme il est déja bien connu, l’image spectrale d’un shift pondéré unilatéral et hyponormal Wα est facile à décrire: le spectre est un disque fermé de rayon ‖Wα‖, le spectre essentiel est un cercle de rayon ‖Wα‖, et l’indice de Fredholm est −1 dans le disque ouvert. Ainsi, d’un point de vue spectral tout shift pondéré unilatéral hyponormal de norme 1 est équivalent au shift unilatéral (non-pondéré) U+ (qui est aussi sousnormal). Pour les shifts pondérés à 2-variables la situation est tout à fait différente, et une description complète de l’image spectrale a été donnée dans [9] et [10], en utilisant la construction du groupöıde introduite dans [16] et [15], et raffinée dans [6]. La présence de la mesure de Berger était essentielle dans l’étude du comportement asymptotique des suites de poids, et a mené à des résultats concrets sur les diverses parties du spectre de Taylor. Pour les shifts pondérés hyponormaux à 2-variables T ∈ H0, pourtant, l’étude des propriétés spectrales exige des techniques indépendantes, puisque aucune mesure de Berger n’est présente. Dans ce qui suit, nous présentons nombre de résultats qui mettent en relief les différences profondes entre le cas en une variable et celui en deux variables. Dans le Théorème 2.2 nous exhibons, pour la première fois, une condition suffisante qui garantit le caractère déconnecté du spectre essentiel de Taylor, notamment, ‖Wα(1)‖ < ‖Wα(0)‖, où Wα(j) dénote le j-ème niveau horizontal de T1; dans l’Exemple 2.4 nous montrons que cette condition peut être présente même dans les paires hyponormales avec des sections Wα(j) (j ≥ 1) mutuellement absolument continues. Nous améliorons ce résultat en montrant dans le Théorème 2.6 qu’il est possible de former davantage de composantes connexes du spectre essentiel de Taylor, tout en préservant son caractère hyponormal, si nous utilisons des shifts pondérés de type Bergman dans chaque niveau horizontal de T1. Ce fait est tout-à-fait étonnant, à la lumière des résultats bien connus sur les shifts pondérés en une variable. Au cours de notre analyse, nous démontrons que pour les shifts pondérés sousnormaux en deux variables, les mesures de Berger des sections 2 horizontales {Wα(j)}j=1 sont toutes mutuellement absolument continues et, par conséquent, ‖Wα(j)‖ = ‖Wα(1)‖ (j ≥ 1). Cette nouvelle condition nécessaire est facilement calculable, et complète la condition nécessaire précédente qui se trouve dans [12, Theorem 3.3]. Ensuite, nous présentons une application à la théorie des opérateurs à une variable (Exemple 2.8). Finalement, le Théorème 2.10 montre que même si nous supposons que les mesures de Berger des shifts associés aux lignes horizontales et colonnes verticales sont discrètes, la k-hyponormalité conjointe [5] de T (pour un k ≥ 1 arbitraire) n’est pas une condition suffisante pour forcer l’égalité |σTe(T)| = ∂ |σT (T)|.