Simulation and Control of Two-Phase Flow Using Diffuse Interface Models

Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil befasst sich mit der Simulation von Zwei-Phasen Stromungen mittels diffuse-interface Modellen. Im zweiten Teil wird das bereit gestellte Konzept verwendet um Zwei-Phasen Stromungen zu steuern. Das numerische Konzept wird zunachst an Hand eines gut untersuchten Modells fur Zwei-Phasen Stromungen (Modell ’H’ ) mit gleichen Dichten und gleichen Viskositaten dargestellt. Es besteht aus einem gekoppelten System fur die Beschreibung der Zwei-Phasen Struktur (Cahn–Hilliard Gleichungen) und den Navier–Stokes Gleichungen fur die Fluidstruktur. Eine Zeitdiskretisierung ermoglicht es, die Fluidstruktur in jedem Zeitschritt von der Zwei-Phasen Struktur zu trennen. Die Zwei-Phasen Struktur fuhrt auf eine Variationsungleichung, die mit Moreau–Yosida Relaxierung behandelt wird. Es wird gezeigt, dass die eindeutige Losung des Systems mittels Newton Verfahrens im Funktionenraum gefunden werden kann, und dass fur verschwindene Relaxierung die Losung der Variationsungleichung gefunden wird. Es wird ein zulassiger und effizienter Fehlerschatzer hergeleitet, mit dem der Diskretisierungsfehler bei der Simulation der Zwei-Phasen Struktur kontrolliert werden kann. Die Zeitdiskretisierung der Fluidstruktur fuhrt auf eine lineare Gleichung. Existenz von Losungen wird gezeigt und ein zulassiger und effizienter Fehlerschatzer wird dargestellt. Dies fuhrt zu einer Diskretisierung auf anderen raumlichen Gittern als die Diskretisierung der Zwei-Phasen Struktur. Die numerischen Verfahren werden ausgiebig numerisch untersucht. Insbesondere wird auf das Verhalten der Loser bezuglich der Parameter eingegangen und auf die durch das adaptive Konzept entstehenden Gitter. Anschliesend werden die dargestellten Konzepte verwendet um ein Modell zu simulieren welches auch zulasst, dass die Flussigkeiten verschiedene Dichten und Viskositaten aufweisen. Dieser Teil endet mit der Vorstellung einer neuen Zeitdiskretisierung die es erlaubt zeitdiskrete Energieabschatzungen zu erhalten, die auch im volldiskreten Modell erhalten bleiben. Die Steuerung zweiphasiger Fluide wird im zweiten Teil der Arbeit untersucht. Hier wird das Konzept der modellpradiktiven Kontrolle vorgestellt. Wir verwenden eine Variante hiervon, die instantane Kontrolle. Das Konzept basiert auf dem Losen von Kontrollproblemen uber kurze Zeithorizonte. Wir losen diese Probleme nur approximativ mittels eines Gradientschrittes. Das Konzept wird ausgiebig numerisch untersucht. Hierbei wird sowohl raumlich verteilte Kontrolle als auch diskrete am Rand des Gebiets angebrachte Kontrolle untersucht. Des weiteren werden erste numerische Ergebnisse fur die allgemeine modellpradiktiven Kontrolle vorgestellt. This work consists of two parts. The first part deals with the simulation of two-phase flow using diffuse interface models. In the second part the presented concept is used to control two-phase flow. The numerical concept is presented for a well investigated model for two-phase flow with equal densities and viscosities (model~'H' ) is used. It consists of a coupled system for describing the two-phase structure (Cahn--Hilliard equation) and the Navier--Stokes equation for the fluid structure. A time discretization decouples these two systems on each time instance and allows to treat them separately. The two-phase structure leads to a variational inequality that is treated by Moreau--Yosida relaxation. It is shown that the unique solution of the system can be found by Newton's method in function space and that for vanishing relaxation the solution of the variational inequality is obtained. A reliable and efficient error estimator is proposed that is used to control the discretization error during the simulation of the two-phase structure. The time discretization of the fluid structure yields a linear equation. Existence of a solution is proven and a reliable and efficient error estimator is provided. This yields a discretization of the fluid structure using different meshes for the spatial discretization and for the two-phase structure. The numerical concepts are extensively tested numerically. Especially the behaviour if the solver with respect to parameters is investigated as well as the spatial discretization resulting from the adaptive concept. The presented concepts are therafter used to simulate a model which allows for fluids with different densities and viscosities. This part ends with presenting a new time discretization which allows for time discrete energy estimates that are also conserved in the fully discret setting. The control of two-phase fluids is investigated in the second part of this work. The concept of model predictive control is presented. We use a variant of this, called instantaneous control. The concept is based on solving optimal control problems over short time horizons. We solve these problems approximately by only one gradient step. The concept is extensively investigated numerically. Here both distributed control and Dirchlet boundary control with finitely many controls is investigated. Furthermore, we present first numerical results for the general model predictive control.