Duality in spaces of p-integrable functions with respect to a vector measure.

La tesis tiene como objetivo principal el estudio de la dualidad vectorial entre los espacios Lp(m) y Lq(m) de funciones integrables con respecto a una medida vectorial con valores en un espacio de Banach X, con p, q > 1 exponentes reales conjugados, La clave de la dualidad es la definicion de una forma bilineal Phi : Lp(m) × Lq(m) -- X dada por el operador integracion, que a cada par (f, g) en Lp(m) × Lq(m) le asocia la integral del producto fg con respecto a m. Mediante esta forma bilineal se definen dos topologias intermedias para el espacio Lp(m). La mas debil es la topologia m_debil, que corresponde a la topologia de la convergencia debil de la integrales. Ademas de estudiar sus propiedades, se prueba que para p > 1 esta topologia coincide con la debil del espacio Lp(m). La importancia de este resultado radica en que, al no conocerse una representacion concreta del dual del espacio Lp(m), es muy interesante describir la convergencia debil en terminos de la convergencia debil de las integrales en el espacio de Banach X. La m_topologia corresponde a la convergencia fuerte de las integrales en X, y puede coincidir en casos extremos con la debil y con la fuerte de Lp(m). Se estudian sus propiedades, en particular se dan condiciones para asegurar que un subconjunto de Lp(m) sea m_compacto. Estas topologias, en particular la m_debil, son utiles para la descripcion del predual del espacio Lp(m) en terminos de productos tensoriales. Esta construccion se describe de forma detalla en el tercer capitulo de la memoria de la tesis. Cabe destacar de este un resultado que caracteriza aquellos operadores definidos en Lp(m) con rango en X que se pueden escribir como una integral. Aunque sin duda el resultado mas relevante es el que, bajo cierta hipotesis de compacidad de la bola unidad (equivalente a la reflexividad del espacio Lp(m)) ofrece una representacion de Lp(m) como el dual del producto tensorial de Lq(m) por el dual de X, dotado de una norma. Este resultado es clave para obtener una generalizacion de los resultados de dualidad para los espacios clasicos de funciones p_integrables. La m_topologia permite definir un concepto de sumabilidad en Lp(m) basada en la dualidad vectorial, los llamados operadores m_r_sumantes definidos en espacios de funciones integrables con respecto a una medida vectorial, que se estudian en el cuarto capitulo. Esta definicion generaliza la sumabilidad clasica. Se estudian las propiedades de estos operadores, y se presentan ejemplos que ponen de manifiesto su interes. En la misma linea que en la teoria clasica, obtenemos teoremas de dominacion y de factorizaci on. La ultima seccion de este capitulo esta dedicada a la descripcion de estos espacios de operadores como el dual de un espacio vectorial, extendiendo asi la teoria clasica de Groethendieck, para el caso de operadores definidos en espacios Lp(m). En el ultimo capitulo de la memoria, las tecnicas de la dualidad vectorial se aplican a los espacios de Orlicz respecto a una medida vectorial, L^(Phi)(m), que generalizan a los Lp(m). Se estudian propiedades de los espacios de Orlicz vectoriales y bajo la condicion delta-2 para la funcion de Young, se caracterizan el espacio de multiplicadores entre L^(Phi)(m) y L1(m). Como una aplicacion de estos resultados, se caracterizan aquellos operadores que factorizan a traves de un espacio de Orlicz vectorial.