Analysis of a coupled system of partial dierential equations modeling the interaction between melt flow, global heat transfer and applied magnetic fields in crystal growth

The present PhD thesis is devoted to the analysis of a coupled system of nonlinear partial differential equations (PDE), that arises in the modeling of crystal growth from the melt in magnetic fields. The phenomena described by the model are mainly the heat-transfer processes (by conduction, convection and radiation) taking place in a high-temperatures furnace heated electromagnetically, and the motion of a semiconducting melted material subject to buoyancy and applied electromagnetic forces. The model consists of the Navier-Stokes equations for a newtonian incompressible liquid, coupled to the heat equation and the lowfrequency approximation of Maxwell’s equations. Coupling occurs at multiple levels. The liquid is electrically conducting and subject to the Lorentz force. The buoyant motion in the liquid is taken into account by a Boussinesq type modeling of thermal expansion. On the other hand, heat is produced in the electrical conductors in the furnace by the Joule effect, and by viscous friction in the liquid, where the convective heat transport has also to be taken into account. The different parts of the furnace interact with each other due to for one part to the nonlocal radiation that takes place in the transparent cavity, and cannot be neglected at the high temperatures considered; and due for the other part to the long range of action of the electromagnetic fields. We propose a mathematical setting for this PDE system, we derive its weak formulation, and we formulate an (initial) boundary value problem that in the mean reflects the complexity of the real-life application. The well-posedness of this (initial) boundary value problem is the mainmatter of the investigation. We prove the existence of weak solutions allowing for general geometrical situations (discontinuous coefficients, nonsmooth material interfaces) and data, the most important requirement being only that the injected electrical power remains finite. For the timedependent problem, a defect measure appears in the solution, which apart from the fluid remains concentrated in the boundary of the electrical conductors. In the absence of a global estimate on the radiation emitted in the cavity, a part of the defect measure is due to the nonlocal radiation effects. The uniqueness of the weak solution is obtained only under reinforced assumptions: smallness of the input power in the stationary case, and regularity of the solution in the time-dependent case. Regularity properties, such as the boundedness of temperature are also derived, but only in simplified settings: smooth interfaces and temperature-independent coefficients in the case of a stationary analysis, and, additionally for the transient problem, decoupled time-harmonic Maxwell. In order to prove these results and the energy estimates on which they rely, techniques are needed for handling mathematically the Lorentz force, the nonlocal radiation operators, the Joule term and in general the L right-hand side in the heat equation. Some of these techniques were already available, but some of them, presented here as auxiliary results, are used for the first time in the present thesis (resp. in the publications extracted from the thesis), and fully belong to its main part. Zusammenfassung Hauptthema der Dissertation ist die Analysis eines nichtlinearen, gekoppelten Systems partieller Differentialgleichungen (PDG), das in der Modellierung der Kristallzüchtung aus der Schmelze mit Magnetfeldern vorkommt. Die zu beschreibenden Phenomäne sind einerseits der im elektromagnetisch geheizten Schmelzofen erfolgende Wärmetransport (Wärmeleitung, -konvektion und -strahlung), und andererseits die Bewegung der Halbleiterschmelze unter dem Einfluss der thermischen Konvektion und der angewendeten elektromagnetischen Kräfte. Das Modell besteht aus den Navier-Stokeschen Gleichungen für eine inkompressible Newtonsche Flüssigkeit, aus der Wärmeleitungsgleichung und aus der elektrotechnischen Näherung des Maxwellschen Systems. Die Kopplung dieser Gleichungen ist vielfach. Die die elektrisch leitende Flüssigkeit beeinflussende Lorentzkraft erzeugt eine Kopplung mit den elektromagnetischen Feldern, die aus der thermischen Ausdehnung hervorgehenden Schwimmkräfte eine Kopplung zur Temperatur. Andererseits, setzen sich die Produktionsterme in der Wärmeleitungsgleichung aus dem in den elektrischen Leitern stattfindenden Joulschen Effekt und aus den Reibungsvorgängen in der Flüssigkeit zusammen. Auch der konvektive Transport in der Flüssigkeit muss in Betracht gezogen werden. Schließlich erfolgt auch eine geometrische Kopplung zwischen den verschiedenen Ofenteilen, zum Teil durch die nichtlokale Hohlraumstrahlung, zum Teil durch die weitreichende Wirkung elektromagnetischer Felder. Wir erörtern die schwache Formulierung dieses PDG Systems, und wir stellen ein Anfang-Randwertproblem auf, das die Komplexität der Anwendung widerspiegelt. Die Hauptfrage unserer Untersuchung ist die Wohlgestelltheit dieses Problems, sowohl im stationären als auch im zeitabhängigen Fall. Wir zeigen die Existenz schwacher Lösungen in geometrischen Situationen, in welchen unstetige Materialeigenschaften und nichtglatte Trennfläche auftreten dürfen, und für allgemeine Daten. In der Lösung zum zeitabhängigen Problem tritt ein Defektmaß auf, das außer der Flüssigkeit im Rand der elektrisch leitenden Materialien konzentriert bleibt. Da eine globale Abschätzung der im Strahlungshohlraum ausgestrahlten Wärme auch fehlt, rührt ein Teil dieses Defektmaßes von der nichtlokalen Strahlung her. Die Eindeutigkeit der schwachen Lösung erhalten wir nur unter verstärkten Annahmen: die Kleinheit der gegebenen elektrischen Leistung im stationären Fall, und die Regularität der Lösung im zeitabhängigen Fall. Regularitätseigenschaften wie die Beschränktheit der Temperatur werden, wenn auch nur in vereinfachten Situationen, hergeleitet: glatte Materialtrennfläche und Temperaturunabhängige Koeffiziente im Fall einer stationären Analysis, und entkoppeltes, zeitharmonisches Maxwell für das transiente Problem. Der Beweis dieser Ergebnisse erfordert spezielle mathematische Techniken, beispielweise für die Behandlung der Lorentzkraft, der nichtlokalen Strahlungsoperatoren, des Jouleschen Termes und allgemein der L rechten Seite in der Wärmeleitungsgleichung. Einige dieser Techniken standen schon zur Verfügung. Andere, in dieser Arbeit als Hilfsresultate dargestellte Methoden sind hier zum ersten Mal verwendet.