Torus Actions on K-Contact Manifolds : Basic Kirwan Surjectivity, Localization, and Residue Formula

Given the action of a torus G on a compact K-contact manifold (M, α) and assuming that the action preserves the contact form α, we can consider the contact moment map Ψ. Under the assumption that 0 is a regular value of Ψ, we prove an analogue of Kirwan surjectivity in the setting of equivariant basic cohomology of K-contact manifolds, namely that the inclusion Ψ^{−1}(0) → M induces a surjective map H_G^∗(M, F) → H_G^∗(Ψ^{−1}(0), F), the basic Kirwan map. If the Reeb vector field induces a free S^1-action, the S^1-quotient is a symplectic manifold and our result reproduces Kirwan's surjectivity for the symplectic manifold M/S^1. We further show that the inclusion of the critical set of Ψ into M induces an injection in equivariant basic cohomology, a result which similarly generalizes the so-called Kirwan injectivity. For the action of a circle G = S^1, we also derive a Tolman-Weitsman type description of the kernel of the basic Kirwan map. Furthermore, we show that equivariant formality holds for torus actions on K-contact manifolds if we consider the basic setting, provided 0 is again assumed to be a regular value of Ψ. We further prove an analogue of the Atiyah-Bott-Berline-Vergne localization formula in the setting of equivariant basic cohomology of K-contact manifolds. For this result, it is sufficient to assume that all G-fixed points have a closed Reeb orbit, an assumption that is weaker than assuming 0 to be a regular value of Ψ. As a consequence, we deduce analogues of Witten's non-Abelian localization and the Jeffrey-Kirwan residue formula, which relate integration of equivariant basic forms on the K-contact manifold M to integration of basic forms on the contact quotient M_0 := Ψ^{−1}(0)/G. In the special case when the Reeb vector field induces a free S^1-action, these formulae also reduce to the usual ones for the symplectic manifold M/S^1. Fur eine kompakte K-Kontaktmannigfaltigkeit (M, α), auf welcher ein Torus G derart wirkt, dass seine Wirkung die Kontaktform α erhalt, konnen wir die Kontaktimpulsabbildung Ψ betrachten. Unter der Annahme, dass 0 ein regularer Wert von Ψ ist, beweisen wir eine zur Kirwansurjektivitat analoge Aussage in aquivarianter basisartiger Kohomologie von K-Kontaktmannigfaltigkeiten: dass die Inklusion Ψ^{−1}(0) → M eine surjektive Abbildung H_G^∗(M, F) → H_G^∗(Ψ^{−1}(0), F) induziert, die basisartige Kirwanabbildung. Falls das Reebvektorfeld eine freie S^1-Wirkung erzeugt, ist der S^1-Quotient eine symplektische Mannigfaltigkeit und unser Resultat reproduziert Kirwans Surjektivitat fur die symplektische Mannigfaltigkeit M/S^1. Weiterhin zeigen wir, dass die Inklusion der kritischen Menge von Ψ in M eine Injektion in aquivarianter basisartiger Kohomologie induziert, ein Resultat, welches auf vergleichbare Weise die sogenannte Kirwaninjektivitat verallgemeinert. Fur den Fall einer (G = S^1)-Wirkung leiten wir eine Tolman-Weitsman-artige Beschreibung des Kernes der basisartigen Kirwanabbildung her. Ausderdem zeigen wir, dass die betrachteten Toruswirkungen auf K-Kontaktmannigfaltigkeiten aquivariant formal sind, sofern erneut angenommen wird, dass 0 ein regularer Wert von Ψ ist, und wir die aquivariante basisartige Kohomologie betrachten. Weiterhin beweisen wir ein Analogon zur Atiyah-Bott-Berline-Vergne-Lokalisierungsformel in aquivarianter basisartiger Kohomologie von K-Kontaktmannigfaltigkeiten. Fur dieses Resultat ist es ausreichend, anzunehmen, dass alle G-Fixpunkte einen abgeschlossenen Reeborbit haben, eine Annahme, welche schwacher ist als die Annahme, 0 sei ein regularer Wert von Ψ. Mit Hilfe dieser Lokalisierungsformel leiten wir Aussagen her, welche analog zu Wittens nicht-abelscher Lokalisierung und der Jeffrey-Kirwan-Residuenformel sind. Diese setzen die Integration von aquivarianten basisartigen Differentialformen auf der K-Kontaktmannigfaltigkeit M mit der Integration von basisartigen Differentialformen auf dem Kontakquotienten M_0 := Ψ^{−1}(0)/G in Beziehung. Im besonderen Fall, dass das Reebvektorfeld eine freie S^1-Wirkung erzeugt, lassen sich auch mit diesen Gleichungen die entsprechenden Aussagen fur die symplektische Mannigfaltigkeit M/S^1 herleiten.