Sur le groupoide de Galois d'un feuilletage

Une definition de B. Malgrange etend aux feuilletages singuliers d'une variete analytique complexe la notion de groupe de Galois classiquement definie pour les equations differentielles lineaires. Pour cela il definit la notion de D-groupoide de Lie, version singuliere des “groupes infinis de transformations” decrits par des equations aux derivees partielles, etudies par S. Lie et E. Cartan. Un systeme dynamique donne par des transformations (resp. transformations infinitesimales) n'est pas en general un D-groupoide de Lie. On definit sa D-enveloppe comme le plus petit D-groupoide de Lie contenant ces transformations (resp. transformations infinit´esimales). Dans le cas d'un feuilletage, sa D-enveloppe est appelee groupoide de Galois du feuilletage et generalise la notion de groupe de Galois. L'objet de ce travail est d'etudier les systemes dynamiques ayant une D-enveloppe de rang (transverse) fini et de les interpreter en terme “d'integrabilite”. Il se decompose en trois parties. Dans la premiere, nous etudions la notion de D-groupoide de Lie au-dessus d'un disque de C. Nous donnons la liste de ces objets qui est une version singuliere de la liste des geometries de la droite donnee par S. Lie. Nous determinons ensuite les germes de diffeomorphismes ayant une petite D-enveloppe. Le comportement tres particulier de ces diffeomorphismes nous permet de prouver un theoreme de classification analytique des D-groupoides de Lie au-dessus d'un disque, analogue la version de J. Martinet et J.P. Ramis de la classification analytique des diffeomorphismes et d'illustrer certains calculs de J.Ecalle. Comme application de ces resultats nous montrons que les seules applications rationnelles de P1 ayant une petite D-enveloppe sont les monomes, les polynomes de Tchebitchev et les exemples de Lattes. Dans une deuxieme partie, nous interpretons le groupoide de Galois d'un feuilletage holomorphe singulier de codimension un sur un polydisque comme conditions d'integrabilites. Nous commencons par montrer l'equivalence entre la finitude du rang transverse du groupoide de Galois et l'existence d'une suite de Godbillon-Vey de longueur inferieure a trois. Ces affirmations sont encore equivalentes a l'existence d'une integrale premiere d'un type de transcendance particulier appele Darboux, Liouville ou Riccati suivant les cas. Ces feuilletages sont ceux admettant une integrale premiere dans une extension fortement normale du corps des fonctions meromorphes au sens de E.R. Kolchin. En utilisant cette interpretation du groupoide de Galois en terme d'integrales premieres, nous donnons les groupoides de Galois pour quelques feuilletages classiques : feuilletages a singularites reduites, lineaires et Hamiltoniens completement integrables. Dans une troisieme partie, nous expliquons comment l'interpretation du groupoide de Galois d'un feuilletage en terme d'integrales premiere s´etend au feuilletages de codimension quelconque. Nous utilisons de maniere essentielle l'existence de structure geometriques invariantes sous l'action d'un D-groupoide de Lie transitif. Dans le cas d'un groupoide de Galois transitif de rang transverse fini, nous montrons, sous une hypothese d'algebricite, l'existence d'un systeme complet d'integrales premieres dans une extension fortement normale.