Performance Estimates for Scalar and Multiobjective Model Predictive Control Schemes

english/german) Abstract Since its first formulation in the middle of the twentieth century, Model Predictive Control (MPC) has become a very well known and investigated method for feedback synthesis of optimal control problems (OCPs). The acceptance of MPC in science as well as in industry has steadily increased within the last two to three decades. Many different schemes regarding the kind of problems and variants of MPC algorithms have been investigated, accompanied by the development of fast and/or robust (distributed) optimization methods. However, it seems that only little work has been done when it comes to the systematic investigation of multiobjective (MO) OCPs and game-theoretic settings. The main questions of this thesis is the following: Given that we choose a specific solution (Pareto-optimum, optimum or Nash equilibrium (NE)) in each MPC iteration, can the characteristics of these strategies be carried over to the closed loop? And, if yes, how can this be achieved, i.e. how do we choose the ‘right’ solutions? Moreover, we are interested in the behavior of the resulting closed-loop trajectories. These questions are tackled for (scalar-valued) economic MPC without terminal conditions, for MO MPC with and without terminal conditions and for stabilizing and economic stage costs, and for games, in which a NE is played in each iteration. For economic MPC schemes without terminal conditions we provide a practical Lyapunov function (LF) and can thus prove practical asymptotic stability as well as approximately optimal performance of the MPC controller during the so called transient phase. In the context of MO MPC we show that imposing an additional constraint on the objective functions in the iterations enables us to make statements on the MPC performance for all objective functions, and to prove convergence of the closed-loop trajectory. This procedure prevents us from calculating the Pareto front in each iteration, which generally is an expensive computation. We show that the MPC performance is determined in the very first iteration of the MPC procedure. In noncooperative MPC we show that the mechanism developed in MO MPC – i.e. choosing the proper solution by means of constraints on the objective functions – does generally not work for NE. For the special case of affine-quadratic games sufficient conditions for the MPC closed-loop trajectory to converge are presented.Since its first formulation in the middle of the twentieth century, Model Predictive Control (MPC) has become a very well known and investigated method for feedback synthesis of optimal control problems (OCPs). The acceptance of MPC in science as well as in industry has steadily increased within the last two to three decades. Many different schemes regarding the kind of problems and variants of MPC algorithms have been investigated, accompanied by the development of fast and/or robust (distributed) optimization methods. However, it seems that only little work has been done when it comes to the systematic investigation of multiobjective (MO) OCPs and game-theoretic settings. The main questions of this thesis is the following: Given that we choose a specific solution (Pareto-optimum, optimum or Nash equilibrium (NE)) in each MPC iteration, can the characteristics of these strategies be carried over to the closed loop? And, if yes, how can this be achieved, i.e. how do we choose the ‘right’ solutions? Moreover, we are interested in the behavior of the resulting closed-loop trajectories. These questions are tackled for (scalar-valued) economic MPC without terminal conditions, for MO MPC with and without terminal conditions and for stabilizing and economic stage costs, and for games, in which a NE is played in each iteration. For economic MPC schemes without terminal conditions we provide a practical Lyapunov function (LF) and can thus prove practical asymptotic stability as well as approximately optimal performance of the MPC controller during the so called transient phase. In the context of MO MPC we show that imposing an additional constraint on the objective functions in the iterations enables us to make statements on the MPC performance for all objective functions, and to prove convergence of the closed-loop trajectory. This procedure prevents us from calculating the Pareto front in each iteration, which generally is an expensive computation. We show that the MPC performance is determined in the very first iteration of the MPC procedure. In noncooperative MPC we show that the mechanism developed in MO MPC – i.e. choosing the proper solution by means of constraints on the objective functions – does generally not work for NE. For the special case of affine-quadratic games sufficient conditions for the MPC closed-loop trajectory to converge are presented. Kurzfassung Modellprädiktive Regelung (MPC) ist eine gut untersuchte, numerische Methode zur Approximation von Optimalsteuerungsproblemen, die seit ihrer Formulierung Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts starke Verbreitung gefunden hat. Die Akzeptanz von MPC sowohl in der Wissenschaft als auch in der industriellen Praxis hat sich in den vergangenen 20-30 Jahren stetig ausgeweitet. In dieser Zeit wurden viele verschiedene Varianten von MPC Algorithmen vorgeschlagen und untersucht und auch die Klasse von Problemen, für die MPC verwendet wird, wurde immer wieder erweitert. Begleitet wurde diese Entwicklung von Fortschritten in Bezug auf schnelle und/oder robuste (verteilte) Optimierungsalgorithmen. Trotz der aktiven Forschung im Bereich MPC gibt es wenig Resultate, die sich mit strukturellen Aussagen für MPC von multikriteriellen Optimalsteuerungsproblemen und spieltheoretischen Problemen beschäftigen. Diesbezüglich interessieren uns in der vorliegenden Arbeit im Wesentlichen zwei Fragestellungen. Angenommen, wir wählen in jeder Iteration des MPC Algorithmus eine ausgezeichnete Kontrollfolge (z.B. ein Pareto-Optimum, Optimum oder Nash-Gleichgewicht) und wenden sie in der für MPC typischen Art an. Lassen sich daraus Aussagen ableiten, dass der MPC Regler ebenfalls (Pareto-)Optimalität auf unendlichem Horizont aufweist? Und falls dem so ist, wie wählt man in den Iterationen von MPC die richtige Kontrollfolge aus? Von weiterem Interesse ist auch das Trajektorienverhalten des geschlossenen Regelkreises. Die soeben gestellten Fragen werden wir für ökonomisches MPC ohne Endbedingungen, für multikriterielles MPC mit und ohne Endbedingungen für stabilisierende und ökonomische Kosten, sowie für dynamische Spiele, in denen Nash-Gleichgewichte gespielt werden, systematisch untersuchen. Für ökonomisches MPC werden wir hinreichende Bedingungen für die Existenz einer Lyapunov-Funktion vorstellen, was wiederum den Nachweis von praktischer asymptotischer Stabilität und die Analyse der Regelgüte von MPC während der sogenannten Übergangsphase ermöglicht. Bei multikriteriellem MPC zeigen wir, dass man Aussagen über die Regelgüte und die Trajektorie des geschlossenen Regelkreises treffen kann, wenn man in den Iterationen eine zusätzliche Nebenbedingung an die Kostenfunktionale stellt. Hervorzuheben ist dabei, dass wir eine garantierte Mindestregelgüte für jedes der Kostenkriterien erhalten und dass kein Berechnen der gesamten Paretofront (was im Allgemeinen sehr aufwändig ist) in den Iterationen erfolgen muss. Die Mindestregelgüte wird bereits in der ersten MPC Iteration festgelegt. In Bezug auf nicht-kooperatives MPC zeigen wir, dass der zuvor erwähnte Auswahlmechanismus von Lösungen – nämlich das Einführen zusätzlicher Nebenbedingungen an die Kostenfunktionale – bei Nash-Gleichgewichten im Allgemeinen nicht funktioniert. Für den Spezialfall der affin-quadratischen Spiele präsentieren wir hinreichende Bedingungen, sodass Trajektorienkonvergenz des geschlossenen Regelkreises sichergestellt werden kann.