Linear stability of liquid Lane-Emden stars

<p>We establish various qualitative properties of liquid Lane-Emden stars in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript d"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, including bounds for its density profile <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="rho"> <mml:semantics> <mml:mi>ρ<! -- ρ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and radius <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Using them we prove that against radial perturbations, the liquid Lane-Emden stars are linearly stable when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="gamma greater-than-or-equal-to 2 left-parenthesis d minus 1 right-parenthesis slash d"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>γ<! -- γ --></mml:mi> <mml:mo>≥<! -- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>−<! -- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma \geq 2(d-1)/d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; linearly stable when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="gamma greater-than 2 left-parenthesis d minus 1 right-parenthesis slash d"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>γ<! -- γ --></mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>−<! -- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma >2(d-1)/d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for stars with small relative central density <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="rho left-parenthesis 0 right-parenthesis minus rho left-parenthesis upper R right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ρ<! -- ρ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<! -- − --></mml:mo> <mml:mi>ρ<! -- ρ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho (0)-\rho (R)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; and linearly unstable when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="gamma greater-than 2 left-parenthesis d minus 1 right-parenthesis slash d"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>γ<! -- γ --></mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>−<! -- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma >2(d-1)/d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for stars with large central density. Such dependence on central density is not seen in the gaseous Lane-Emden stars. </p>