Effect of isospin averaging for $ppK^-$ kaonic cluster

<jats:p>The kaonic cluster <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>ppK^-</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:msup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is described by isospin-dependent <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>N{\bar K}</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mover><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo accent="true">‾</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> potentials with significant difference between singlet and triplet components. The quasi-bound state energy of the system is calculated based on the configuration space Faddeev equations within isospin and averaged potential models. The isospin averaging of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>N{\bar K}</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mover><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo accent="true">‾</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> potentials is used to simplify the isospin model to isospinless one. We show that three-body bound state energy <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>E_{3}</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> has a lower bound within the isospin formalism due to relation <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>\left\vert E_{3}(V_{NN}=0)\right\vert<2\left\vert E_{2}\right\vert</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false" form="postfix">)</mml:mo><mml:mo stretchy="true" form="postfix">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, where <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>E_{2}</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is the binding energy of isospin singlet state of the <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>N{\bar K}</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mover><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo accent="true">‾</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> subsystem. The averaged potential model demonstrates opposite relation between <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>|E_{2}|</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>|E_{3}(V_{NN}=0)|</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false" form="postfix">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. </jats:p>