Problèmes d'Optimisation Non Linéaire avec Contraintes en Tomographie de Réflexion 3D

La tomographie de reflexion de donnees sismiques permet la d´determination d’un modele de sous-sol a partir des temps de trajet des ondes sismiques se reflechissant sur les interfaces geologiques. Le modele solution de ce probleme inverse est le modele qui minimise une fonctionnelle moindres-carres mesurant les ecarts entre les temps de trajet mesures et les temps de trajet calcules par trace de rayons dans ce modele. Le sujet de ma these est l’etude de la resolution numerique de ce probleme non lineaire de minimisation. Les principales difficultes proviennent tout d’abord de la taille de l’espace des donnees (de l’ordre de 500000) et de l’espace des modeles (de l’ordre de 50000 inconnues), puis des problemes de conditionnement lies a la structure du vecteur modele (differents types d’inconnues interviennent : les vitesses dans les couches geologiques, les interfaces en transmission ou en reflexion). Enfin, la non linearite de l’operateur de modelisation des temps de trajet et la complexite de la propagation des ondes dans le sous-sol conduisent souvent a un probleme de minimisation mal pose. Une regularisation sur la courbure du modele permet d’avoir un probleme de minimisation mathematique bien pose. De plus, l’introduction d’informations geologiques a priori par resolution sous contraintes du probleme inverse permet de reduire les incertitudes sur le modele solution. Classiquement, une methode de Gauss-Newton couplee avec une methode de recherche lineaire etait utilisee pour resoudre les problemes d’optimisation sans contrainte en tomographie de reflexion sismique (Chauvier, L., Masson, R., and Sinoquet, D., 2000). A chaque iteration de Gauss-Newton, une solution (approchee) d’un modele quadratique de la fonction cout non lineaire est calculee en utilisant l’algorithme du gradient conjugue. Cette methode permet en general de resoudre les problemes de minimisation traites en tomographie. Cependant, nous avons remarque pour certains cas que la methode de recherche lineaire etait non seulement incapable de trouver une solution, mais encore de faire decroitre de maniere significative la fonction cout. Ces difficultes sont principalement dues a une matrice Hessienne mal conditionnee. Afin de pallier a ces difficultes, la premiere partie de ma these a consiste a remplacer la recherche lineaire par une methode de region de confiance, et a developper un algorithme de gradient conjugue tronque pour minimiser le modele quadratique de la fonction cout non lineaire. Les differents parametres de la methode des regions de confiance (par exemple le rayon de la region de confiance) sont automatiquement regles par le solveur. Cette methode donne des resultats plus stables et plus precis. Elle permet de mieux resoudre les exemples complexes ou le Hessien est tres mal conditionne. La deuxieme partie de ma these consiste a etudier la resolution des problemes d’optimisation avec contraintes en tomographie de reflexion sismique. Les contraintes a ajouter dans la resolution de nos problemes d’optimisation peuvent etre de types tres differents. Elles peuvent etre non lineaires (nous pourrions par exemple contraindre les points d’impact des rayons sur une interface a etre localises dans une region particuliere), mais dans une premiere approche nous preferons nous limiter a des contraintes lineaires. Meme si la linearite apporte des simplifications, nos problemes d’optimisation restent encore tres difficiles a resoudre notamment a cause du nombre eleve de contraintes (de l’ordre de 10000) et de leurs types differents. Actuellement, une methode souvent utilisee pour resoudre les problemes d’optimisation non lineaire avec contraintes est l’approche par points interieurs. Cependant, nous soupconnons que cette methode demande significativement plus de resolutions du probleme direct, le trace de rayon, ce qui est un inconvenient lorsque celui-ci coute cher en temps CPU. Ainsi, nous avons prefere une methode de Programmation Quadratique Successive (PQS) car nous supposions que, comme methode (Gauss-) Newtonnienne, elle ne demanderait pas plus d’iterations (donc d’evaluation de fonctions), que l’algorithme de Gauss-Newton dans le cas sans contrainte. Cette precision s’est averee exacte. Glowinski et Tran, en 1993, ont developpe et teste une methode PQS dans laquelle le probleme quadratique tangent (PQT) est resolu via une methode de Lagrangien Augmente. Nous nous sommes inspires de cette premiere approche en ameliorant la resolution des PQT. Le code QPAL que nous avons developpe pendant cette these a montre son efficacite pour resoudre des problemes quadratiques convexes de grandes tailles : il utilise d’une part la methode classique des multiplicateurs de Hesteness et Powell pour minimiser la fonction duale et d’autre part l’algorithme GP-AC-GC pour resoudre les problemes de Lagrange. Nous avons montre sur de nombreux cas tests ou reels que cette methode donne des resultats convaincants : • le nombre d’evaluations de la fonction cout reste du meme ordre de grandeur que celui obtenu par le solveur Gauss-Newtonnien sans contrainte, • cette methode est capable de resoudre des problemes de grande taille, • l’introduction d’informations a priori par l’inversion avec contraintes permet de reduire les incertitudes sur le modele solution.