Global rigidity of the period mapping

<p>Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="script upper M Subscript g comma n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal M}_{g,n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote the moduli space of smooth, genus <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="g greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>≥<! -- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g\geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> curves with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥<! -- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n\geq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> marked points. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="script upper A Subscript h"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal A}_h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote the moduli space of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="h"> <mml:semantics> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-dimensional, principally polarized abelian varieties. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="g greater-than-or-equal-to 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>≥<! -- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g\geq 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="h less-than-or-equal-to g"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>≤<! -- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h\leq g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="upper F colon script upper M Subscript g comma n Baseline right-arrow script upper A Subscript upper H Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">→<! -- → --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F:{\mathcal M}_{g,n} \to {\mathcal A}_H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a nonholomorphic map, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="h equals g"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h=g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the classical period mapping, assigning to a Riemann surface <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> its Jacobian. </p>