Analytical and Numerical Investigations of Form-finding Methods for Tensegrity Structures

The analysis of statically indeterminate structures requires the calculation of an initial equilibrium geometry. Tensegrity structures are one of such statically indeterminate structures, with the additional constraint of holding their equilibrium configuration with the action of internal forces and without any anchorage point or external forces. The only source of balance is the state of self-stress held among tensile and compression forces. Tensegrity structures are thus statically indeterminate structures in a stable state of self-stressed self-equilibrium. The basic problem with the modelling of statically indeterminate structures is that there is no unique solution for the forces or geometry that equilibrate a structure. This is where form-finding comes into play. The process of determining their three-dimensional equilibrium shape is commonly called form-finding. This dissertation presents two investigations, one analytical and one numerical on the form-finding of tensegrity structures. Both are in fact complementary. The main results from these investigations appear in [77, 78, 79, 80]. The analytical form-finding for a class of highly symmetric structures with cylindrical shape is first presented, while the numerical procedure for general structures is given in the second part. A thorough analysis of tensegrity cylinders, e.g., the triplex and the quadruplex, is presented in analytical form. Moreover, the numerical procedure here presented is able to reproduce the results obtained with other form-finding methods with great accuracy. The versatility of the novel numerical form-finding procedure is nonetheless demonstrated by solving not only cylindrical and spherical but also new tensegrity structures. Die Untersuchung statisch unbestimmter Strukturen erfordert die Berechnung von Anfangsgleichgewichtsgeometrien. Tensegrity Strukturen sind statisch unbestimmte Strukturen, mit der Zusatzbedingung, dass sie eine Gleichgewichtskonfiguration mit Hilfe innere Kraefte aufbauen, das heist ohne Lager oder aeusere Kraefte. Der sich im Gleichgewicht befindliche Eigenspannungszustand wird nur durch Zug- und Druckelemente aufrechterhalten. Das Verfahren zur Bestimmung der dreidimensionalen Gleichgewichtsform wird ueblicherweise Formfindung genannt. Bei der Formfindung von Tensegrity Strukturen werden linear elastische, mit reiblosen Gelenken verbundenen Strukturelemente definiert. Im Gegensatz zu anderen Verfahren beruecksichtigt die Tensegrity Formfindung nicht das Eigengewicht der Strukturelemente. Deswegen ist jede in dieser Dissertation betrachtete Gleichgewichtsgeometrie durch das Zusammenspiel ihrer Strukturelemente definiert und somit werden nur allein stehende Tensegrity Strukturen behandelt. Totlasten und andere Belastungsarten koennen aufbauend auf den in dieser Dissertation berechneten Gleichgewichtsgeometrien mit anderen Techniken beruecksichtigt werden. Streng genommen ist die idealisierte Annahme von reibund masselosen Verbindungen niemals erfuellt, jedoch erleichtert diese Vereinfachung die Rechung und gibt sinnvolle Ausgangspunke. Die Elemente, entweder auf Zug oder auf Druck belastet, sind aus linear elastischem Material. Das Knicken der Druckstaebe sowie Stabausfall wird nicht beruecksichtigt. Weiterhin werden Schwerkraft und Temperatureinfluesse auf die Tensegrity Struktur vernachlaessigt. Der Schluessel im Tensegrity Konzept, das heist das Ausgleichen von kontinuierlichem Zug und diskontinuierlichem Druck kann durch eine Auswahl physikalischer Modelle beschrieben werden. Im allgemeinen Fall koennen Zug und Druck durch Anziehung und Abstosung beschrieben werden. Tensegrity Strukturen und verwandte Gebiete wie Steifigkeit haben Anwendungen im Leichtbau und fuer die Konstruktion faltbarer Strukturen, im Dombau und Mastbau, fuer Modelle des Zytoskelett, des Muskelskelettsystem, der Proteinflexibilitaet und der Molekularen-Konformation. Die Berechnung der Gestalt und der Kraefte mit Hilfe von Formfindungsverfahren ist ein wesentlicher Schritt fuer die Konstruktion dieser vorgespannten Strukturen. Die Dissertation stellt zwei Untersuchungen ueber die Formfindung von Tensegrity Strukturen vor. Beide Untersuchungen, die eine analytische und die andere numerisch, ergaenzen sich einander. Die wichtigsten Ergebnisse dieser Untersuchungen wurden in [77, 78, 79, 80] publiziert. Die analytische Formfindung wird zunaechst fuer eine Klasse von sehr symmetrischen Strukturen zylindrischer Form beschrieben. Eine sorgfaeltige Untersuchung von Tensegrity Strukturen, z.B. der Dreifach- und der Vierfachstruktur, wird in analytischer Form dargestellt. Auserdem ein numerisches Formfindungsverfahren fuer allgemeine Strukturen wird im zweiten Teil vorgestellt. Das numerische Verfahren kann die Ergebnisse aus anderen Formfindungsmethoden aeuserst exakt reproduzieren. Trotzdem wird die Vielseitigkeit dieser neuartigen, numerischen Formfindungsmethode nicht nur anhand von zylindrischen sondern auch anhand von kugelfoermigen und neue Tensegrity Strukturen demonstriert.