Factorization theory in maximal orders

In a noetherian ring, any element that is not a zero-divisor can be expressed as a product of finitely many atoms (irreducible elements), but usually such a representation is not unique. Factorization theory concerns itself with investigating such phenomena of non-unique factorizations, often by studying suitable arithmetical invariants. This publication-based thesis presents a foray into the study of factorizations in noncommutative settings. It extends the well-understood machinery from commutative Krull monoids, with the main application being to classical maximal orders in central simple algebras over global fields. However, the necessary tools are developed in much greater generality by means of the divisorial one-sided ideal theory of arithmetical maximal orders—a class of semigroups that generalizes the setting of commutative Krull monoids. Under an additional hypothesis, a transfer homomorphism to a monoid of zero-sum sequences over a subset of an abelian group is obtained. In this way, many questions about factorizations in arithmetical maximal orders can be reduced to well-studied problems in combinatorial number theory, completely analogous to the way it is done in Krull monoids. The study of classical maximal orders in central simple algebras over global fields splits into two cases: In the main case, when every stably free left ideal is free, the already mentioned additional hypothesis is satisfied and the transfer results apply. The system of sets of lengths and various catenary degrees are determined by those of a monoid of zero-sum sequences over a ray class group. In the second case the transfer results do not apply. For classical maximal orders over a ring of algebraic integers, we show that in the second case it is impossible to construct a transfer homomorphism to any monoid of zero-sum sequences, and that the values of some central arithmetical invariants are substantially different from those in the main case. Zusammenfassung. In einem noetherschen Ring kann jeder Nichtnullteiler als Produkt von endlich vielen Atomen (irreduziblen Elementen) geschrieben werden, aber meist ist eine derartige Darstellung nicht eindeutig. Die Faktorisierungstheorie befasst sich mit der Untersuchung derartiger Phänomene nicht-eindeutiger Faktorisierung, oft durch das Studium geeigneter arithmetischer Invarianten. Diese publikationsbasierte Dissertation stellt einen Vorstoß in die Untersuchung von Faktorisierungen in nichtkommutativen Situationen dar. Der wohlstudierte Ansatz für kommutative Krullmonoide wird verallgemeinert, wobei die Hauptanwendung in den klassischen Maximalordnungen in zentral einfachen Algebren über globalen Körper besteht. Die notwendigen Resultate werden jedoch in größerer Allgemeinheit, mittels der divisoriellen einseitigen Idealtheorie von arithmetischen Maximalordnungen, entwickelt. Unter einer Zusatzbedingung erhalten wir einen Transferhomomorphismus in ein Monoid von Nullsummenfolgen über einer Teilmenge einer abelschen Gruppe. So können viele Fragen über Faktorisierungen in arithmetischen Maximalordnungen auf wohlstudierte Probleme in der Kombinatorischen Zahlentheorie zurückgeführt werden, völlig analog dazu wie dies bei kommutative Krullmonoiden geschieht. Die Untersuchung von klassischen Maximalordnungen verzweigt in zwei Fälle: Im Hauptfall, wenn jedes stabil freie Linksideal frei ist, ist die schon erwähnte Zusatzbedingung erfüllt und die Transferresultate sind anwendbar. Das System der Längenmengen sowie diverse Verkettungsgrade sind durch ein Monoid von Nullsummenfolgen über einer Strahlklassengruppe bestimmt. Im zweiten Fall sind die Transferresultate nicht anwendbar. Für klassische Maximalordnungen über einem Ganzheitsring zeigen wir, dass es dann unmöglich ist einen Transferhomomorphismus in ein Monoid von Nullsummenfolgen zu konstruieren, und dass die Werte zentraler arithmetischer Invarianten sich von jenen im ersten Fall unterscheiden.