Higher order mortar finite elements with dual Lagrange multiplier spaces and applications

The numerical approximation of partial differential equations coming from physical and engineering modeling is often a challenging task. Most often these partial differential equations are discretized with finite elements and can be solved by modern super-computers. Working with different discretization techniques in different subdomains or independent triangulations, the challenging task is to couple these different discretization schemes or non-matching triangulation without losing the optimality of the approach. Mortar methods yield optimal and flexible coupling techniques for different discretization schemes. Especially when combined with dual Lagrange multiplier spaces, the efficient realization of the weak matching condition is possible, and efficient multigrid methods can be adapted to the non-conforming situation. In this thesis, we concentrate on higher order dual Lagrange multiplier spaces for mortar finite elements. These non-standard Lagrange multipliers show the same qualitative a priori estimates and quantitative numerical results as the standard ones and yield locally supported basis functions for the constrained space leading to an efficient numerical realization. Working with abstract assumptions on Lagrange multiplier spaces, we prove optimal a priori estimates for mortar finite elements allowing that the dimension of the Lagrange multiplier space can be smaller than the dimension of the trace space of the finite element space from the slave side (with zero boundary condition on the interface). Geometrically non-conforming decompositions and locally refined meshes are also covered. In two dimensions, we show that a dual Lagrange multiplier space can be constructed for a finite element space of any order satisfying these abstract assumptions. In contrast to earlier approaches, these Lagrange multiplier basis functions have the same support as the nodal finite element basis functions. Using an interesting relation between biorthogonality and quadrature formulas, we prove that an optimal dual Lagrange multiplier space for a finite element space can be constructed if and only if the finite element space is based on Gau-Lobatto nodes. The two-dimensional construction can easily be extended to the three-dimensional case for a finite element space with tensor product structure. If a finite element space does not have the tensor product structure, e.g., serendipity elements on hexahedra or conforming finite elements on simplices, the situation is more difficult. To deal with this problem, we generalize the idea of a dual Lagrange multiplier space by introducing a quasi-dual Lagrange multiplier space for quadratic serendipity elements. Furthermore, working with a more general assumption that the Lagrange multiplier space can have smaller dimension than the trace space of the finite element space at the slave side (with zero boundary condition on the interface), we introduce dual Lagrange multiplier spaces for quadratic tetrahedral and serendipity elements. Numerical results are presented to illustrate the performance of our approach. We also study interface problems arising from heat conduction with a discontinuous flux and solution within the framework of mortar finite element methods. Taking into account non-homogeneous jumps of the solution and the flux across the interface, we give a saddle point formulation of the interface problems. Optimal a priori estimates are proved and numerical results are provided. We have applied mortar finite elements to couple different physical models, material laws and discretization schemes. Furthermore, time-dependent heat transfer problems with sliding meshes are also considered. Another particular interest for us is the locking phenomenon in linear and nonlinear elasticity. We analyze low order finite element methods based on the Hu-Washizu formulation in linear elasticity and prove the robust and optimal convergence of the finite element approximation of the displacement for the nearly incompressible case. A three-field mixed formulation for finite elasticity is also introduced and numerical results are presented. Mortar finite elements for coupling two different materials in elasticity, where one is a nearly incompressible material and the other one is a compressible material are analyzed for the linear elastic case, and numerical results are provided to verify the theoretical results. In dieser Arbeit stehen duale Lagrange-Multiplikatorraume hoherer Ordnung fur Mortar-Finite-Elemente im Mittelpunkt. Diese speziellen Lagrange-Multiplikatoren weisen die gleichen qualitativen und quantitativen numerischen Eigenschaften auf wie Standard-Lagrange-Multiplikatoren und liefern Basisfunktionen mit lokalem Trager fur den die Kopplungsbedingung respektierenden Raum, was zu einer effizienten numerischen Unsetzung fuhrt. Indem mit abstrakten Annahmen fur die Lagrange-Multiplikatorraume gearbeitet wird, konnen a priori Abschatzungen fur Mortar-Finite-Elemente gezeigt werden, die es erlauben, dass die Dimension des Lagrange-Multiplikatorraumes kleiner sein darf als die Dimension der Spur des finite Element-Raumes, der die Null-Randbedingung am Interface der Slave-Seite erfullt. Geometrisch nicht-konforme Zerlegungen und lokal verfeinerte Gitter sind auch verwendbar. Fur zweidimensionale Mortar-Finite-Elemente wird gezeigt, dass ein dualer Lagrange-Multiplikatorraum fur einen Finite-Element-Raum beliebiger Ordnung konstruiert werden kann, der diesen abstrakten Annahmen genugt. Im Gegensatz zu fruheren Ansatzen haben diese Lagrange-Multiplikator-Basisfunktionen den gleichen Trager wie die nodalen Finiten-Element-Basisfunktionen. Indem eine interessante Beziehung zwischen der Biorthogonalitat und Quadraturformeln verwendet wird, wird bewiesen, dass ein optimaler dualer Lagrange-Multiplikatorraum fur einen Finite-Element-Raum nur dann konstruiert werden kann, wenn der Finite-Element-Raum auf Gau-Lobatto-Knoten basiert. Das zweidimensionale Konstruktionsschema kann leicht auf den dreidimensionalen Fall erweitert werden, sofern ein Finite-Element-Raum mit Tensorprodukt-Struktur vorliegt. Wenn ein Finite-Element-Raum keine Tensorprodukt-Struktur aufweist, wie z.B. bei Serendipity-Elementen auf Hexaedernetz oder bei konforme simplizialen Elementen, ist die Lage schwieriger. Um dieses Problem zu behandeln, wird die Idee des dualen Lagrange-Multiplikatorraums verallgemeinert, indem ein quasi-dualer Lagrange-Multiplikatorraum fur quadratische Serendipity-Elemente eingefuhrt wird. Ferner werden anhand der allgemeineren Annahme, dass der Lagrange-Multiplikatorraum eine kleinere Dimension als der Spur-Raum des Approximationsraums auf der Slave-Seite (mit Null-Randbedingung am Interface) haben kann, duale Lagrange-Multiplikatorraume fur quadratische simpliziale- und Serendipity-Elemente eingefuhrt. Numerische Ergebnisse demonstrieren die Effizienz des Ansatzes. Des Weiteren werden Interface-Probleme im Rahmen der Mortar-Finite-Element-Methoden behandelt, die aus der Warmeleitung mit unstetigem Fluss herruhren. Unter Berucksichtigung von inhomogenen Sprungen in der Losung und im Fluss am Interface wird eine Sattelpunktformulierung des Interface-Problemes hergeleitet. Deren Optimalitat wird bewiesen und durch numerische Ergebnisse untermauert. Zusatzlich werden Mortar-Finite-Elemente zur Kopplung verschiedener physikalischer Modelle, Materialgesetze und Diskretisierungs-Schemata angewandt. Der letzte wichtige Punkt, der in dieser Arbeit beleuchtet wird, ist das sogenannte 'Locking'-Phanomen in der linearen und nichtlinearen Elastizitat. Analysiert werden Finite-Element-Methoden von niedrigster Ordnung, die auf der Hu-Washizu-Formulierung basieren. Es wird gezeigt, dass die numerische Approximation robust und optimal konvergiert. Eine Drei-Feld-gemischte Formulierung fur nichtlineare (finite) Elastizitat wird ebenfalls eingefuhrt und numerische Ergebnisse dazu prasentiert. Der Fall finiter Elemente zur Kopplung zweier verschiedener Materialien, wobei eines davon nahezu inkompressibel und das andere kompressibel ist, wird fur den linear-elastischen Fall analysiert; numerische Ergebnisse bestatigen die theoretischen Aussagen.