From braces to pre-Lie rings

<p>Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a brace of cardinality <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p^{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than n plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p>n+1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is prime and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="a n n left-parenthesis p squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ann (p^{2})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the set of elements of additive order at most <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="p squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p^{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in this brace. We construct a pre-Lie ring related to the brace <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="upper A slash a n n left-parenthesis p squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A/ann(p^{2})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. </p> <p>In the case of strongly nilpotent braces of nilpotency index <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="k greater-than p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k>p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the brace <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" alttext="upper A slash a n n left-parenthesis p squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A/ann(p^{2})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> can be recovered by applying the construction of the group of flows to the resulting pre-Lie ring. We do not know whether or not our construction is related to the group of flows when applied to braces which are not right nilpotent. </p>