Oscillation Conditions for Difference Equations with a Monotone or Nonmonotone Argument

<jats:p>Consider the first-order delay difference equation with a constant argument <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>x</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0,1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:math> and the delay difference equation with a variable argument <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>x</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0,1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> is a sequence of nonnegative real numbers, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is a positive integer, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> is a sequence of integers such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3. org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:math>. A survey on the oscillation of all solutions to these equations is presented. Examples illustrating the results are given. </jats:p>