Submanifolds in complex projective and hyperbolic planes

espanolMuchos matematicos han intentado caracterizar ciertos tipos de subvariedades homog eneas a traves de diferentes propiedades geometricas. Un problema clasico es el de determinar en que medida la propiedad de tener un peque~no numero jo de curvaturas principales distintas impone restricciones sobre la geometra de una hipersuper cie. En el contexto de los espacios proyectivo e hiperbolico complejos, los trabajos de Tashiro y Tachibana mostraron que no hay ejemplos de hipersuper cies umblicas. Por otro lado, Cecil y Ryan, y Montiel, llevaron a cabo la clasi cacion de hipersuper cies reales con 2 curvaturas principales en CPn y CHn de dimension n  3, mostrando que todos los ejemplos son hipersuper cies homogeneas. Sin embargo, tal y como establecen Niebergall y Ryan, queda abierta la cuestion de la existencia y clasi cacion de las hipersuper cies reales con 2 curvaturas principales no constantes en dimension n = 2. En esta tesis, mostramos que existen tales ejemplos y los clasi camos, mostrando as que no todos los ejemplos son homogeneos. Los ejemplos que aparecen en esta clasi cacion veri can una serie de propiedades interesantes. Estas propiedades tambien estan presentes en ciertas subvariedades homogeneas no Hopf del espacio hiperbolico complejo, as como en los ejemplos de hipersuper cies de cohomogeneidad uno con curvatura media constante construidos por Gorodski y Gusevskii. Por tanto, es natural la idea de establecer un concepto nuevo que resuma estas caractersticas, al cual llamaremos hipersuper cie fuertemente 2-Hopf. De esta manera llevamos a cabo la caracterizacion de las hipersuper cies fuertemente 2-Hopf en los planos proyectivo e hiperbolico complejos. Posteriormente, intentamos generalizar la construccion de los ejemplos mencionados anteriormente. Motivados por el problema abierto de la existencia de ejemplos de hipersuper cies Levi-llanas compactas sin singularidades en el plano proyectivo complejo, abordamos el estudio de las hipersuper cies fuertemente 2-Hopf que son Levi-llanas en CP2 y CH2, pudiendo demostrar, a nivel local, la existencia de multiples ejemplos. Finalmente, con el n de obtener ejemplos concretos, impusimos que nuestra hipersuper cie fuera fuertemente 2-Hopf, Levi-llana con curvatura media constante. Llegados a este punto, uno se da cuenta de que tal hipersuper cie resulta ser austera. Por tanto, procedemos a la clasi cacion de las hipersuper cies austeras en CP2 y CH2, cuyo vector de Reeb proyecta en 1 o 2 espacios de curvaturas principales. Este resultado nos proporciono una interesante caracterizacion de tres importantes tipos de hipersuper cies regladas mediante la propiedad de ser austeras. Todas estas construcciones fueron posibles gracias al metodo de geometra equivariante aplicado a una accion polar de cohomogeneidad dos en el espacio ambiente. La importancia de la geometra de las orbitas principales de esas acciones polares nos llevo a preguntarnos si sera posible caracterizar tales orbitas mediante alguna propiedad geometrica adecuada. Motivados por clasi caciones recientes de hipersuper cies isoparametricas en CPn y CHn, abordamos el estudio de las subvariedades isoparametricas en los los espacios proyectivo e hiperbolico complejos de dimension n = 2, como primer paso hacia una comprension de estos objetos en codimension arbitraria. Las subvariedades isoparametricas en el espacio proyectivo complejo han sido clasi cadas por Domnguez-Vazquez, donde aparecen ejemplos no homogeneos. Para el caso hiperbolico, el problema se vuelve mas complicado y permanece abierto. En esta tesis, llevamos a cabo la clasi cacion de subvariedades isoparametricas para el caso de dimension n = 2. Ademas, estudiamos tambien la de nici on de isoparametricidad de Terng que aun no haba sido estudiada en subvariedades de codimension mayor que uno en espacios de curvatura no constante. EnglishIn this PhD thesis we study submanifolds in complex projective and hyperbolic spaces. More specifically, we classify isoparametric and Terng-isoparametric submanifolds. The former correspond to principal orbits of polar actions, whereas the latter are homogeneous but not necessarily arising from polar actions. We also study real hypersurfaces with two distinct principal curvatures, show that there are non-Hopf inhomogeneous examples, and characterize them. Using the method of equivariant geometry, we investigate strongly 2-Hopf hypersurfaces and give some applications for Levi-flat and constant mean curvature hypersurfaces. Finally, we classify austere hypersurfaces such that the number of nontrivial projections of the Hopf vector field onto the principal curvature spaces is less or equal than two; all the examples are ruled in this case.