Proper Orthogonal Decomposition Analysis for a Non-Linear Spatiotemporal SIR-Model

This thesis shows how Proper Orthogonal Decomposition (POD) techniques and the Discrete Empirical Interpolation Method (DEIM) can be applied to decrease the computational effort in solving a Semi-linear Parabolic Reaction-Diffusion System, a class of Partial Differential Equations (PDE), which describes the system dynamics of a time-space-dependent SIR-compartmentmodel. We investigate this model, which is widely-known as a mathematical tool for describing the course of an epidemic by quantifying the number of individuals of a population, which are classified in susceptible (S), infected (I) and removed (R) compartments. We introduce assumptions on the SIR-model and establish initial conditions to specify the dynamics of the model. This leads to a PDE, based on the SIR-model, which is solved using the Finite Element (FE) method and then Finite Difference (FD) schemes. We formulate a model order reduced problem, obtained by the POD-method, in order to approximate the FE-solution and to decrease the computational effort. To overcome unnecessary back and forth projections between the full and reduced space in the non-linear part, we introduce the DEIM. For verifying theoretical results we formulate an SIR-problem on a domain with the shape of the state of Berlin. Based on that, we conduct detailed numerical investigations for the Semi-implicit Euler, implicit Euler and the Crank-Nicolson method, which belong to the class of FD-schemes. Investigations on the convergence and parameter perturbation analysis of the DEIM-solution are made for validation purpose. Last but not least, we conclude that the reduced method is advantageous in terms of computational effort, since the speedup of the computation time is improved significantly, while the error is in a satisfactory range. Zusammenfassung Diese Arbeit zeigt, wie die orthogonale Zerlegung (POD) und die Diskrete Empirische Interpolationsmethode (DEIM) angewendet werden können, um den Rechenaufwand bei der Lösung eines semilinearen parabolischen Reaktions-Diffusions-Systems, einer Klasse von partiellen Differentialgleichungen (PDE) zur Beschreibung der Systemdynamik eines zeitund raumabhängigen SIR-Kompartimentmodells. Das SIR-Kompartimentmodell ist bekannt zur Beschreibung des Verlaufs einer Epidemie durch Quantifizierung der Anzahl der Individuen einer Population, die zwischen anfällig (S), infiziert (I) und immun (R) differenziert werden. Es wurden Annahmen für das SIR-Modell getroffen und Anfangsbedingungen festgelegt, um die Dynamik des Modells zu spezifizieren. Dadurch wird ein auf dem SIR-Modell basierendes, partielles Differentialgleichungssystem hergeleitet, welches mit der Finite-Elemente-Methode (FE) und anschließend mit dem Finite-Differenzen-Schemata (FD) gelöst wird. Anhand der POD-Methode wird ein reduziertes Modellordnungsproblem formuliert, um die FE-Lösung zu approximieren und den Rechenaufwand zu verringern. Um überflüssige Projektionen zwischen dem vollen und dem reduzierten Raum des nichtlinearen Teils in der partiellen Differentialgleichung zu vermeiden, wird zusätzlich die diskrete empirische Interpolationsmethode (DEIM) eingeführt. Zur Überprüfung der theoretischen Ergebnisse wird ein SIR-Problem auf dem Bundesland Berlin formuliert und anschließend gelöst. Darauf aufbauend wurden detaillierte numerische Untersuchungen für das Semi-implizite Euler-, das implizite Eulerund das Crank-Nicolson-Verfahren durchgeführt, die zur Klasse der FD-Schemata gehören. Untersuchungen zur Konvergenz und ParameterStörungsanalyse der DEIM-Lösung werden zur Validierung durchgeführt. Die Anwendung der reduzierten Methode erwies sich aufgrund der erheblich kürzeren Rechenzeit und des relativ kleinen Fehlers als vorteilhaft hinsichtlich des Rechenaufwands.