A Monte Carlo Method for Optimal Portfolios

This paper provides (i) new results on the structure of optimal portfolios, (ii) economic insights on the behavior of the hedging components and (iii) an analysis of simulation-based numerical methods. The core of our approach relies on closed form solutions for Melliavin derivatives of diffusion processes which simplify their numerical simulation and facilitate the computation and simulation of the hedging components of optimal portfolios. One of our procedures relies on a variance-stabilizing transformation of the underlying process which eliminates stochastic integrals from the representation of Malliavin derivatives and ensures the existence of an exact weak approximation scheme. This improves the performance of Monte-Carlo methods in the numerical implementation of portfolio rules derived on the basis of probabilistic arguments. Our approach is flexible and can be used even when the dimensionality of the set of underlying state variables is large. We implement the procedure for a class of bivariate and trivariate models in which the uncertainty is described by diffusion processes for the market price of risk (MPR), the interest rate (IR) and other relevant factors. After calibrating the models to the data we document the behavior of the portfolio demand and the hedging components relative to the parameters of the model such as risk aversion, investment horizon, speeds of mean-reversion, IR and MPR levels and volatilities. We show that the hedging terms are important and cannot be ignored for asset allocation purposes. Risk aversion and investment horizon emerge as the most relevant factors: they have a substantial impact on the size of the optimal portfolio and on its economic properties for realistic values of the models' parameters. Cet article etablit des resultats nouveaux sur (i) la structure des portefeuilles optimaux, (ii) le comportement des termes de couverture et (iii) les methodes numeriques de simulation en la matiere. Le fondement de notre approche repose sur l'obtention de formules explicites pour les derivees de Malliavin de processus de diffusion, formules qui simplifient leur simulation numerique et facilitent le calcul des composantes de couverture des portefeuilles optimaux. Une de nos procedures utilise une transformation des processus sous-jacents qui elimine les integrales stochastiques de la representation des derivees de Malliavin et assure l'existence d'une approximation faible exacte. Cette transformation ameliore alors la performance des methodes de Monte-Carlo lors de l'implementation numerique des politiques de portefeuille derivees par des methodes probabilistes. Notre approche est flexible et peut etre utilisee meme lorsque la dimension de l'espace des variables d'etats sous-jacentes est large. Cette methode est appliquee dans le cadre de modeles bivaries et trivaries dans lesquels l'incertitude est decrite par des mouvements de diffusion pour le prix de marche du risque, le taux d'interet et les autres facteurs d'importance. Apres avoir calibre le modele aux donnees nous examinons le comportement du portefeuille optimal et des composantes de couverture par rapport aux parametres tels que l'aversion au risque, l'horizon d'investissement, le taux d'interet et le prix de risque du marche. Nous demontrons l'importance des demandes de couverture. L'aversion au risque et l'horizon d'investissement emergent comme des facteurs determinants qui ont un impact substantiel sur la taille du portefeuille optimal et sur ses proprietes economiques.