Numerical methods for strongly correlated many-body systems with bosonic degrees of freedom

Jungste experimentelle Fortschritte erlauben die Beobachtung von elektronischen Relaxationsprozessen in Festkorpern in Echtzeit. Nach der optischen Anregung eines Systems relaxiert dieses in einen Gleichgewichtszustand. Die Dynamik des Systems wahrend des Relaxationsprozesses ist von den vorherrschenden mikroskopischen Wechselwirkungen zwischen den Konstituenten des Systems abhangig. Die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Gitterschwingungen - den Phononen - ist allgegenwartig in Festkorpern, weshalb sie einer der wichtigsten Relaxationskanale ist. Eine analytische Beschreibung der Relaxationsdynamik ist schwierig, und nur wenige exakte Losungen existieren, selbst fur die Beschreibung von Gleichgewichtsproblemen. Prinzipiell sind numerische Methoden in der Lage, eine Losung sowohl fur Gleichgewichts- als auch fur Nichtgleichgewichtssituationen zu finden. Methoden wie die exakte Diagonalisierung oder die Dichtematrix-Renormierungsgruppenmethode, die mit Wellenfunktionen arbeiten, skalieren jedoch ungunstig mit der Dimension des lokalen Hilbertraumes. Dies ist besonders problematisch bei der Studie von Elektron-Phonon gekoppelten Systemen, bei der im allgemeinen besonders grose lokale Basen benotigt werden. Fur Grundzustandsprobleme gibt es zwei unabhangige Vorgehensweisen, um dem entgegenzuwirken: die Ein-Gitterplatz Dichtematrix Renormierungsgruppenmethode, die linear in der lokalen Dimension skaliert, sowie die Implementierung eines Schemas, das die Dimension der lokalen Basis verringert, indem es im Eigenraum der lokalen reduzierten Dichtematrix trunkiert was auf sogenannte optimale Moden fuhrt. In dieser Dissertation kombinieren wir diese Strategien zu einer Methode, die linear in der Dimension der optimierten lokalen Basis anstelle der vollen lokalen Dimension skaliert. Wir demonstrieren das verbesserte Skalierungsverhalten der Methode anhand des Holstein-Polaron und des halb gefullten Hubbard-Holstein Modells. Zudem beschreiben wir die Implementierung einer optimalen Phononbasis in den Time-Evolving Block Decimation Algorithmus, um das Skalierungsverhalten dieser Methode mit der lokalen Dimension zu verbessern. Fur die Simulation des Polaron-Problems auf einer unendlich langen Kette hat sich die Krylovraum Zeitentwicklung in einem limitierten funktionalen Raum, als effizient herausgestellt. Wir adaptieren diese Methode fur periodische Randbedingungen und endliche Systemgrose. Auserdem betrachten wir die Eigenschaften der lokalen reduzierten Dichtematrix als Funktion der Modellparameter und in Nichtgleichgewichtssituationen in drei Modellen: dem Bose-Bose Resonanz-Modell, dem Holstein Modell und dem Hubbard-Holstein Modell. Fur fermionische und Spin-Modelle weis man, dass die lokale von Neumann Entropie ein Indikator fur Phasenubergange ist. Fur das Bose-Bose Resonanzmodell finden wir, dass die beiden Grosen, lokale von Neumann Entropie und Eigenzustande der lokalen Dichtematrix, besondere Eigenschaften an Phasenubergangen zeigen. Wir finden auserdem, dass die Struktur der optimalen Moden sich als Funktion der Zeit in der Nichtgleichgewichtsdynamik andert. Desweiteren beschaftigen wir uns mit der Relaxationsdynamik eines einzigen Elektrons gekoppelt an Holstein-Phononen. Im adiabatischen Fall finden wir einen Netto-Energiefluss von dem Elektron zu den Phononen und wir leiten einen analytischen Ausdruck fur die Relaxationszeit des Elektrons im schwach wechselwirkenden, adiabatischen Fall her. Ein weiteres Hauptthema dieser Dissertation ist die Thermalisierung in geschlossenen Quanten- Vielteilchensystemen. Unser erstes Beispiel ist der Zerfall der Neel Ordnung unter Zeitentwicklung im eindimensionalen Fermi-Hubbard Hamiltonian. Wir finden, dass die Relaxation spin-verwandter Observablen von Spin-Anregungen kontrolliert werden und dass die Doppelbesetzung nicht im Sinne der Eigenzustands-Thermalisierungs-Hypothese thermalisiert, da das System nicht ergodisch ist. Als zweites Beispiel behandeln wir Vielteilchenlokalisierung in einem eindimensionalen System von attraktiv wechselwirkenden Fermionen, das im Grundzustandsphasendiagramm auch mit Unordnung eine delokalisierte Phase zeigt. Wir untersuchen diesen Phasenubergang mit modernen Hilfsmitteln, die auf den Verschrankungseigenschaften und der Existenz von Quasiteilchen in lokalisierten Phasen beruhen.