Outgoing solutions to the scalar wave equation in helioseismology

This report studies the construction and uniqueness of physical solutions for the timeharmonic scalar wave equation arising in helioseismology. Intuitively speaking, physical solutions are characterized by their L(R)-boundedness in the presence of absorption, while without, by their profile at infinity approximated by outgoing spherical waves (or retarded). For brevity, we unite these two families (with and without absorption) under the label ‘outgoing’ or ‘physical’. The definition of outgoing solutions to the equation in consideration or their construction and uniqueness has not been discussed before in the context of helieoseismology. In our work, we use the Liouville transform to conjugate the original equation to a potential scattering problem for Schrödinger operator, with the new problem containing a Coulomb-type potential. Under assumptions (in terms of density and background sound speed) generalizing ideal atmospheric behavior, for γ 6= 0, we obtain existence and uniqueness of variational solutions using only basic techniques in analysis. For γ = 0, under the same assumptions, the theory of long-range scattering with singular potentials is employed to construct the resolvent by means of Limiting Absorption Principle (LAP). Solutions obtained in this manner are characterized uniquely by a Sommerfeldtype radiation condition at a new wavenumber denoted by k. The appearance of this wavenumber is only clear after applying the Liouville transform. Another advantage of the conjugated form is that it makes appear the Whittaker functions, when ideal atmospheric behavior is extended to the whole domain R or outside of a sphere. This allows for the explicit construction of the outgoing Green kernel and the exact Dirichlet-to-Neumann map and hence reference solutions and radiation boundary condition. In addition, the role played by k in radiation condition and asymptotic expansion of the solution suggests that k should be the more natural choice to use as gauge function in approximating the exact nonlocal radiation condition. This perspective gives rise to a simpler family of radiation boundary conditions. To supplement the theoretical discussion, some preliminary numerical tests are carried out to investigate the robustness of this new family, compared to those already existent in literature which were obtained in terms of the original complex frequency ω. Key-words: Coulomb potential, long-range scattering, short-range scattering, perturbation theory, spectral theory, limiting absorption principle, Whittaker functions, helioseismology, outgoing solution, outgoing fundamental solution, outgoing Green kernel, radiation condition, Schrödinger equation, Liouville transform, absorbing boundary condition, exact Dirichlet-to-Neumann map, radiation impedance coefficients. Solutions sortantes pour l’équation des ondes scalaires en héliosismologie Résumé : Ce rapport étudie la construction et l’unicité des solutions pour l’équation des ondes harmoniques scalaire dans un problème d’héliosismologie. De façon intuitive, les solutions physiques sont caractérisées par le fait qu’elles soient bornées en L(R) en présence d’absorption (γ 6= 0), et, en son absence (γ = 0), par leur profil à l’infini approché par une onde sortante (ou retardée) sphérique. Nous unissons ces deux familles sous l’appellation ‘sortante’ ou ‘physique’. La définition des solutions sortantes pour notre équation, ou leur construction et unicité n’a jamais été abordée pour le cas de l’héliosismologie. Dans notre travail, nous utilisons la transformée de Liouville pour conjuguer l’équation originale et obtenir un problème de diffusion pour l’opérateur de Schrödinger, avec un potentiel de type Coulomb. Sous des hypothèses (relatives à la densité et à la vitesse du son dans le milieu) généralisant un comportement atmosphérique idéal, nous obtenons, pour γ 6= 0, l’existence et l’unicité pour les solutions variationnelles en utilisant les techniques d’analyse standard. Pour γ = 0, la théorie de diffusion longue portée pour les potentiels singuliers est utilisée pour construire le résolvant à partir du principe d’absorption limite. Les solutions obtenues ainsi sont caractérisées de façon unique par une condition de radiation de type Sommerfeld, associée à un nouveau nombre d’onde k. L’apparition de ce nombre d’onde n’est seulement claire qu’après avoir appliqué la transformée de Liouville. Un autre avantage de la forme conjuguée est qu’elle fait apparaître les fonctions Whittaker, lorsque le modèle atmosphérique idéal est étendu sur tout R ou en dehors d’une sphère. Cela permet de construire explicitement le noyau de Green sortant et la condition Dirichlet-to-Neumann exacte; et ainsi les solutions de référence et les conditions aux limites de radiation. De plus, le rôle de k dans la condition de radiation, et le développement asymptotique de la solution montre que k est un choix plus naturel pour la fonction de jauge dans l’approximation de la condition de radiation non-locale exacte. Cela nous donne une famille simple pour les conditions aux limites de radiation. Pour compléter les résultats analytiques, des exemples numériques sont mis en place pour tester la robustesse de cette nouvelle famille, et la comparer avec celles existantes dans la littérature, qui sont obtenues avec la fréquence original ω. Mots-clés : Potentiel de Coulomb, théorie de la perturbation, théorie spectrale, fonction Whittaker, héliosismologie, solutions fondamentales sortantes, noyau de Green, condition de radiation, équation de Schrödinger, transformée de Liouville, conditions au limite absorbantes, Dirichlet vers Neumann exact. 4 Barucq & Faucher & Pham