Un résultat d'existence pour les ensembles minimaux par optimisation sur des grilles polyédrales

Rappelons qu'une partie de Rn est dite minimale si sa mesure de Hausdorff d-dimensionnelle ne peut etre rendue plus petite par deformation dans une classe de competiteurs adaptee. On peut citer comme exemple le probleme de Plateau standard, pouvant se reecrire comme celui de trouver un ensemble minimal pour les deformations a support relativement compact dans un domaine, la frontiere du domaine jouant alors le role d'une condition topologique de bord. Un ensemble quasiminimal au sens d'Almgren n'est pas forcement minimal puisque sa mesure peut decroitre apres deformation, mais seulement de maniere controlee relativement a la mesure des points qui ont ete deformes. Par exemple le graphe d'une application lipschitzienne de Rd dans Rn-d est quasiminimal et de facon generale, on sait (voir [A]) que les ensembles quasiminimaux sont rectifiables. Lorsqu'on considere la reduction E* d'un ensemble quasiminimal E, qui consiste a prendre le support de la mesure de Hausdorff k-dimensionnelle restreinte a E — en gros en enlevant les points dont la contribution a la mesure de E est nulle — on sait en outre (voir [DS]) que E* contient de grandes images lipschistziennes et est uniformement rectifiable. Une autre propriete remarquable concerne les limites de Hausdorff de suites d'ensembles quasiminimaux reduits. Dans ce contexte, non seulement la limite est quasiminimale et reduite, mais en outre la mesure de Hausdorff est semi-continue inferieurement (voir par exemple [D1]), ce qui n'est generalement pas le cas. Cette propriete fait des limites de suites minimisantes d'ensembles quasiminimaux les candidates ideales a la resolution de problemes d'existence sous contrainte topologique stable par deformation. On propose ici, dans le cadre d'un probleme sur un ouvert en dimension et codimension quelconques, un premier resultat d'existence utilisant une methode systematique pour construire une suite minimisante d'ensembles quasiminimaux, par minimisation finie sur les sous-faces d-dimensionnelles de grilles polyedrales adaptees. La construction de telles grilles est assez delicate, puisqu'on s'impose a la fois de faire l'approximation polyedrale d'un ensemble rectifiable le long de certains plans tangents pour controler l'augmentation de mesure correspondante, tout en gardant un controle uniforme sur la regularite des polyedres de facon a eviter qu'ils ne soient trop plats. Des bornes uniformes sur la forme des polyedres sont en effet utilisees lors de la discretisation polyedrale des competiteurs du probleme — mettant en jeu des projections radiales successives sur la frontiere des sous-faces de dimension decroissante de n a d — et permettent d'obtenir automatiquement une constante de quasiminimalite ne dependant que de n et d. La suite d'ensembles quasiminimaux obtenue converge alors en distance de Hausdorff sur tout compact du domaine vers un ensemble minimal — ou presque-minimal dans le cas d'une fonctionnelle Jd h(E) = R hdHd avec une fonction h continue a valeurs dans [1,M]. L'existence de retractions lipschitziennes sur la limite obtenue (donnee par le theoreme de Jean Taylor dans [T] pour le cas d = 2, n = 3) devrait alors permettre d'affirmer que la limite fait encore partie de la classe topologique initiale consideree. Le resultat d'existence pourrait encore se generaliser a certains problemes sur des varietes sans bord, ou dans une certaine mesure a des domaines fermes pour lesquels on connait une retraction lipschitzienne d'un voisinage sur le bord.