Diffraction of point sets with structural disorder

Die vorliegende Arbeit behandelt Diffraktionseigenschaften gewisser zufalliger Strukturen. Hierbei sind die Strukturen beschrieben durch (gewichtete) Zahlmase. Untersucht werden dann die zugehorigen Diffraktionsmase, die durch die Fourier-Transformierten der jeweiligen Autokorrelationsmase gegeben sind. Bei der ersten Klasse betrachteter Strukturen handelt es sich um Mengen mit beschrankter lokaler Komplexitat (FLC-Mengen) in R^d, die zufallig mit Gewichten aus einer kompakten Teilmenge der komplexen Zahlen versehen werden. Der Zufallsmechanismus ist durch eine Klasse von Gibbs-Masen gegeben. Damit Ergodensatze zur Analyse der Diffraktionsmase benutzt werden konnen, betrachten wir passend konstruierte mastheoretische dynamische Systeme der gewichteten FLC-Mengen. Im Hochtemperaturregime garantiert das Dobrushinsche Eindeutigkeitskriterium die Existenz und Eindeutigkeit kurzreichweitiger Gibbs-Mase auf den einzelnen FLC-Mengen und liefert Abschatzungen fur die Kovarianzen der Einpunkt-Funktionen (Proposition 2.22). Die Gibbs-Mase auf den einzelnen FLC-Mengen konnen dann zu einem Gibbs-Mas auf dem ganzen dynamischen System fortgesetzt werden. Als erstes Resultat geben wir hinreichende Bedingungen fur die Ergodizitat des so konstruierten Gibbs-Mases Theta (Theorem 2.29). Danach betrachten wir zunachst ein verwandtes dynamisches System, das die Punkte der FLC-Mengen konstant mit den erwarteten Gewichteten versieht. In Lemma 2.36 geben wir eine Bedingung dafur, dass dieses System reine Punkt-Diffraktion besitzt. Dank der Ergodizitat von Theta konnen wir die Diffraktionsmase fast sicher zerlegen in einen Teil, der der Diffraktion des verwandten dynamischen Systems entspricht, und einen Teil, der durch die Kovarianzen der Einpunkt-Funktionen bestimmt ist. Die vorher gewonnene Abschatzung fur jene Kovarianzen sorgt dafur, dass letzterer Teil als absolut stetig bezuglich des Lebesgue-Mases identifiziert werden kann (Theorem 2.40 und Corollary 2.41). Ein singularstetiger Anteil des Diffraktionsmases ist unter den gemachten Annahmen nicht vorhanden. Die zweite betrachtete Klasse von Strukturen ist gegeben durch Realisierungen des Maternschen Hard-Core-Punktprozesses P_R. Im Fall von ergodischen Punktprozessen gibt es direkte Zusammenhange zwischen zweiten Momenteigenschaften des jeweiligen Prozesses und dem Autokorrelations- bzw. Diffraktionsmas fast aller Realisierungen. Eine Verbindung zum Palmschen Mas ist die bekannteste. In Proposition 3.8 wird nun noch eine Beziehung zum Bartlett-Spektrum nachgewiesen. Nachdem wir die Ergodizitat des Prozesses P_R gezeigt haben (Proposition 3.9), nutzen wir die bekannte zweite Produktdichte des Prozesses, um die Autokorrelation P_R fast sicher zu bestimmen. Die Autokorrelation und damit auch das Diffraktionsmas konnen in zwei Teile zerlegt werden. Der eine entspricht den jeweiligen Grosen eines gewissen Poisson-Punktprozesses und ist daher bekannt. Der zweite Teil der Autokorrelation ist durch eine spharisch symmetrische Dichte mit kompaktem Trager gegeben. In Dimension d=1 kann die Fourier-Transformierte dieser Dichte analytisch berechnet und ihr Abfallverhalten fur grose Radien genauer spezifiziert werden (Proposition 3.10). Obwohl wir die entsprechende Fourier-Transformierte fur hohere Dimensionen nicht analytisch berechnen konnen, lasst sich ein entsprechendes Abfallverhalten wie im eindimensionalen Fall ableiten (Theorem 3.11).