Limitations of linear programming as a model of approximate computation

Ο Γραµµικός Προγραµµατισµός έχει αποδειχθεί ως ένα από τα ισχυρότερα και ευρέως χρησιµοποιούµενα εργαλεία όσον αφορά τη σχεδίαση αλγορίθµων και ιδιαίτερα των προσεγγιστικών αλγορίθµων. Η εκφραστική του δύναµη είναι εµφανής στη µοντελοποίηση προβληµάτων διαφόρων τύπων όπως τη δροµολόγηση, τον χρονοπρογραµµατισµό εργασιών και την ανάθεση πόρων. Η δηµοφιλία του Γραµµικού Προγραµµατισµού έγειρε το ερώτηµα αν για κάθε αλγόριθµο υπάρχει ένα ισοδύναµο γραµµικό πρόγραµµα. Την περασµένη δεκαετία η ϕαινοµενική ¨πληρότητα¨ του γραµµικού προγραµµατισµού αµϕισβητήθηκε. Αν και η αµφισβήτηση αυτή µπορεί να ανιχνευτεί τουλάχιστον από τα τέλη της δεκαετίας του 1980 µε την περίφηµη εργασία του Γιαννακάκη [66], µόνο στις αρχές της δεκαετίας του 2000 η κοινότητα άρχισε συστηµατικά να µελετά τους περιορισµούς µεθόδων γραµµικού προγραµµατισµού. Πιο συγκεκριµένα, η πρώτη γραµµή αποτελεσµάτων που πραγµάτωνε αυτή την αµφισβήτηση είχε να κάνει µε την απόδειξη των περιορισµών τωνlift-and-project µεθόδων για την επίλυση διαφόρων προβληµάτων. Αυτές οι µέθοδοι, όταν εφαρµοστούν σε µία γραµµική χαλάρωση, ορίζουν µία ιεραρχία γραµµικών χαλαρώσεων αυξανοµένης ισχύος. Η δύναµή τους είναι τέτοια ώστε ένα αρνητικό αποτέλεσµα για κάποιο πρόβληµα για µία lift-and-project ιεραρχία µπορεί να ερµηνευθεί ως ένδειξη της αδυναµίας του γραµµικού προγραµµατισµού να λύσει το πρόβληµα. Η εξερεύνηση της δύναµης του γραµµικού προγραµµατισµού έλαβε το ανανεωµένο ενδιαφέρον της κοινότητας µέσω του µοντέλου των Extended Formulations. Ο στόχος του µοντέλου αυτού είναι να απαντηθεί αν υπάρχει ή όχι µικρού µεγέθους γραµµική χαλάρωση για ένα πρόβληµα επιτρέποντας τη χρήση οποιουδήποτε συνόλου µεταβλητών. Το µοντέλο τωνExtended Formulations είναι πιο γενικό από αυτό των lift-and-project ιεραρχιών και µπορεί κάλλιστα να υποστηριχθεί ότι εύστοχα περιγράφει την δύναµη του γραµµικού προγραµµατισµού. Σε αυτή τη διατριβή επιλέχθηκε ο δρόµος της µελέτης των περιορισµών του γραµµικού προγραµµατισµού. Τα περισσότερα από τα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται έχουν να κάνουνµε την προσεγγισιµότητα µέσω γραµµικού προγραµµατισµού facility location προβληµάτων µε χωρητικότητες όπως το capacitated facility location (Cfl) και το lower bounded facilitylocation (Lbfl), προβλήµατα για τα οποία, αν και µπορούν να προσεγγιστούν µε σταθερό λόγο προσέγγισης, δεν είναι γνωστό αν υπάρχει αποτελεσµατικός προσεγγιστικός αλγόριθµος ϐασισµένος σε γραµµική χαλάρωση. Η επί πολλά έτη αποτυχία της κοινότητας να ϐρειµία τέτοια χαλάρωση έχει προκαλέσει αίσθηση. ∆ίνουµε αρνητικά αποτελέσµατα στα µοντέλα των ιεραρχιών και των extended formulations και επίσης µελετούµε µία ανεξάρτητη από τα προηγούµενα οικογένεια χαλαρώσεων. Επισηµαίνουµε ότι οι ιδέες και οι µέθοδοι είναι γενικότερης αξίας και όχι αναγκαστικά συνυφασµένες µε κάποιο συγκεκριµένο πρόβληµα. Αυτό έχει ιδιαίτερη ισχύ για τα extended formulations όπου σχεδιάζουµε µία καινούρια µέθοδο για τη ϕραγή από κάτω του µεγέθους των γραµµικών προγραµµάτων. Σχετικά µε τα αποτελέσµατά µας σε ιεραρχίες, δείχνουµε ότι οι χαλαρώσεις που προκύπτουν από το κλασσικό γραµµικό πρόγραµµα για το Cfl σε Ω(n) επίπεδα της semidefiniteLovasz-Schrĳver ´ ιεραρχίας για mixed προγράµµατα και σε Ω(n) επίπεδα της Sherali-Adams ιεραρχίας, έχουν integrality gap Ω(n). Και οι δύο ιεραρχίες δίνουν ένα ακριβές formulationτο πολύ σε n επίπεδα και εποµένως τα αποτελέσµατά µας είναι ασυµπτωτικά σφικτά. Χρησιµοποιώντας τις ιδέες και τις µεθόδους που αναπτύχθηκαν για το αποτέλεσµα για τηνSherali-Adams ιεραρχία, αποδεικνύουµε ότι το κλασσικό γραµµικό πρόγραµµα για το Cflέχει µη ϕραγµένο integrality gap ακόµα και µετά την εισαγωγή των submodular inequalitiesτου [1], µία γενίκευση των flow-cover valid inequalities. Το τελευταίο αποτέλεσµα απαντά αρνητικά σε µία επί χρόνια ανοικτή εικασία [46]. Προτείνουµε µία µεθοδολογία για το ϕράξιµο του µεγέθους των extended formulations. Αυτό το πετυχαίνουµε κάνοντας χρήση συγκεκριµένων τύπων extended formulations που ορίζουµε, τα product και τα distributional relaxations. ΄Επειτα αποδεικνύουµε ότι για οποιοδήποτε προσεγγιστικό extended formulation ενός πολυτόπου P υπάρχει ένα productή distributional formulation που έχει το ίδιο µέγεθος και είναι τουλάχιστον το ίδιο ισχυρό. ∆ίνουµε µία µέθοδο απόδειξης κάτω ϕραγµάτων για προσεγγιστικά product και distributionalrelaxations µε το να ϕράσσεται ο χρωµατικός αριθµός ενός σχετικού υπεργραφήµατος, του οποίου οι κορυφές αντιστοιχούν σε διανύσµατα που προκαλούν gap. Ως εφαρµογή της µεθοδολογίας µας δείχνουµε εκθετικό ϕράγµα στο µέγεθος για το Cfl ενός ειδικού τύπουextended formulations τα οποία ονοµάζουµε mixed product relaxations. Τέλος εισάγουµε και µελετούµε την οικογένεια των proper relaxations τα οποία γενικεύουν το star relaxation και µοντελοποιεί γενικά configuration-style LPs. Χαρακτηρίζουµε τη συµπεριφορά των proper relaxations για το Cfl και Lbfl µέσω ενός ϕαινοµένου κατωφλίου.