Pisot substitutions and beyond

Die vorliegende Arbeit besteht (hauptsachlich) aus drei Teilen: Zum einen werden Hausdorff-Mase auf Produktraumen uber lokalen Korpern definiert. Hier werden dann iterierte Funktionensysteme betrachtet, fur deren Attraktoren die Hausdorff-Dimension abgeschatzt werden kann. Danach werden Streifenprojektionsmengen (cut and project sets) betrachtet; fur Punktmengen, die sich mittels einer Substitutionsregel erzeugen lassen, werden Bedingungen angegeben, die garantieren, dass sie sich auch als Streifenprojektionsmenge schreiben lassen. Angewandt werden die so entwickelten Methoden und Ergebnisse auf Pisot Substitutionen. Es wird vermutet, dass sich alle durch Pisot Substitutionen erzeugten (1-dimensionalen) Punktmengen als Streifenprojektionsmengen schreiben lassen. Dazu wird eine Liste aquivalenter Bedingungen formuliert. In Kapitel 4 wird zunachst gezeigt, dass das Haar-Mas auf einem Produktraum uber lokalen Korpern ein Hausdorff-Mas ist (Theorem 4.56). Danach werden iterierte Funktionensysteme und ihr jeweiliger Attraktor betrachtet. Indem Ergebnisse von K. J. Falconer (uber R^n) verallgemeinert werden, erhalt man obere (Prop. 4.122) bzw. in manchen Fallen auch untere (Lemma 4.126 & Props. 4.127 & 4.129) Schranken fur die Hausdorff-Dimension (wie auch die Box-Counting Dimension (Lemma 4.133)) dieser Attraktoren. Kapitel 5 steht im Zeichen von Streifenprojektionsmengen und Delone-Punktmengen, die durch Substitutionen erzeugt werden, sowie ihrer Beziehungen zueinander. In Abschnitt 5.3 wird gezeigt, wie man - nach Baake-Moody - insbesondere im Fall einer Delone-Menge mit mehreren Komponenten ein dazugehorendes Streifenprojektionsschema konstruiert. Diese Konstruktion lasst sich im Fall einer Substitutionsmenge ubertragen und erweitern (Abschnitt 5.7.3), falls eine sogenannte algebraische oder Uberlapp-Koinzidenz vorliegt; tatsachlich erhalt man hier einen "vergroserten" internen Raum (Prop. 5.137). Zentrale Aussage ist nun Theorem 5.154, das aquivalente Bedingungen dafur angibt, dass eine Substitutionsmenge eine Streifenprojektionsmenge ist: Entweder besitzt die Substitution eine algebraische oder Uberlapp-Koinzidenz, oder es existiert eine bestimmte aperiodische Parkettierung des (erweiterten) internen Raumes. Angewandt wird dies in Kapitel 6 auf Sequenzen, die von Pisot Substitutionen herruhren (Theorem 6.77). Allerdings kommen hier weitere aquivalente Bedingungen dazu, so z.B. dass eine bestimmte periodische Parkettierung des internen Raumes existiert (siehe Prop. 6.72), oder dass die sogenannte "geometrische Koinzidenz-Bedingung" (GCC) erfullt ist (dazu wird auch eine graphentheoretische Formulierung angegeben, siehe Abschnitt 6.9). Die komplette Liste aller somit gefundenen aquivalenten Bedingungen - und somit die zentrale Aussage dieser Arbeit - ist dann Theorem 6.116. Dabei sind auch schon diejenigen aquivalenten Aussagen mitaufgenommen, die sich erst im Kapitel 7 aus allgemeinen Betrachtungen uber Diffraktionsmase von Delone-Mengen, dem Spektrum von durch Delone-Mengen erzeugten dynamischen Systemen oder der sogenannten Torus-Parametrisierung fur Streifenprojektionsmengen ergeben (Kapitel 7 ist hauptsachlich ein Uberblick uber schon bekannte Ergebnisse in der Literatur). Um die erhaltenen Aussagen in den groseren Zusammenhang einzuordnen, werden auserdem die "sichtbaren Gitterpunkte" (Kapitel 5a), Parkettierungen in der Ebene (Kapitel 6a), Gittersubstitutionssysteme (Kapitel 6b), sowie reduzible Pisot Substitutionen und [beta]-Subsitutionen (Kapitel 6c) besprochen und mit den erarbeiteten Methoden behandelt.