Spectral multi-domain methods for the global instability analysis of complex cavity flows

El principal objetivo de esta tesis doctoral es el estudio de la estabilidad de flujos viscosos incompresibles en geometrias complejas. Entender las inestabilidades dominantes abre la posibilidad de construir metodos para el control de flujo teoricamente fundamentados. Dichas metodologias estan basadas en la identificacion precisa de los autovectores directos y adjuntos para geometrias complejas (Hill 1992). Las geometrias objeto de la presente investigacion son las cavidades: desde aquellas aisladas del flujo exterior de geometria compleja hasta la cavidad abierta interactuando con el flujo externo, que se encuentra en una multitud de aplicaciones (juntas en superficies sustentadoras, engranajes, tren de aterrizaje,.) La herramienta empleada para tal fin es la teoria de inestabilidad lineal BiGlobal (Theofilis 2003). En este analisis, partiendo de un flujo base bidimensional se le superpone una perturbacion tridimensional de pequena amplitud. Al introducir dicha descomposicion de las variables fluidas, q, en las ecuaciones de Navier-Stokes linealizadas y considerar una dependencia temporal modal, se obtiene un problema de autovalores: En esta formulacion la parte imaginaria del autovalor representa la frecuencia mientras que la parte real sera la tasa de crecimiento de la perturbacion buscada. Para encontrar soluciones con precision adecuada se ha optado por desarrollar un metodo de colocacion espectral basado en los polinomios de Chebyshev incluyendo la capacidad de la descomposicion multibloque de la geometria a estudiar. Los metodos espectrales son metodos de alto orden que permiten encontrar soluciones precisas con menor coste computacional. En contra tienen principalmente la limitacion de que su uso esta restringido a geometrias sencillas, en el caso de las tecnicas de colocacion, aquellas analiticamente convertibles en rectangulos (caso bidimensional). La incorporacion del multibloque permite extender el analisis a geometrias que pueden descomponerse como union de bloques de la tipologia anteriormente descrita. La metodolgia multibloque espectral se ha utilizado en los dos codigos fruto de esta tesis. El primero tiene por objeto la obtencion de soluciones estacionarias bidimensionales. Estas soluciones constituyen el flujo base de la descomposicion BiGlobal. La evolucion temporal en este codigo se ha implementado mediante un esquema semi-implicito donde los terminos convectivos se tratan de forma explicita mientras que los viscosos de forma implicita. Ademas para abordar la ausencia de ecuacion de evolucion para la presion se ha empleado un metodo de compresibilidad artificial que resulta idoneo en la busqueda de soluciones estacionarias. El segundo codigo, que tiene por objeto recuperar el espectro del problema de autovalores, utiliza un metodo iterativo en subespacios de Krylov debido a la incapacidad computacional de los metodos directos. Debido precisamente al gran tamano de las matrices involucradas, se han estudiado e incorporado soluciones computacionales para optimizar el uso de memoria, como la utilizacion de tecnicas no-densas (sparse) que permiten almacenar unicamente los valores no nulos de la matriz del sistema. Una vez desarrollado el metodo e implementado los codigos, estos se han validado utilizando para ello un amplio numero de casos test. Partiendo de problemas de contorno bidimensionales para probar la eficiencia del multibloque, para continuar con problemas de autovalores. De entre estos cabe destacar la ecuacion de Orr-Sommerfeld. Este problema se ha escogido como referencia por ser el limite unidimensional del problema de autovalores BiGlobal, asi como por la abundante bibliografia y la existencia de solucion precisa con la que comparar. Un siguiente nivel de complejidad lo conseguimos aumentando la dimension del problema. Trefethen (2000) propone dos problemas que involucran la ecuacion de Poisson, uno de ellos con solucion analitica lo que le convierte en un excelente ejercicio de validacion. Finalmente llegamos al estudio de la estabilidad en cavidades. En un primer lugar se abordan las cavidades aisladas del flujo externo. Cuatro tipologias distintas han sido analizadas. En primer lugar la cavidad rectangular con pared deslizante (lid-driven cavity). Este caso es un ejemplo clasico de validacion dada la abundante literatura que hay disponible sobre el. Los tres restantes: cavidad en forma de L, cavidades superpuestas (Zhou 2003) y cavidad en forma de cruz, solo pueden abordarse mediante la descomposicion de la geometria en bloques. Los resultados obtenidos han permitido describir y predecir la inestabilidad tridimensional en funcion del numero de Reynolds y de la longitud de la cavidad en la direccion transversal. El trabajo ha concluido con el estudio de la estabilidad de flujo en cavidades abiertas interactuando con el exterior. Para la definicion de las configuraciones a resolver se ha utilizado el trabajo realizado por Bres & Colonius (2008), obteniendo excelentes resultados en el limite incompresible. Se ha llevado a cabo un estudio detallado incluyendo curvas neutras de estabilidad en distintas configuraciones geometricas, asi como el uso de los criterios y Q para visualizar el flujo resultante. Dicha visualizacion sera de capital importancia para la comparacion experimental en curso en colaboracion con la universidad de Monash (Melbourne).