Methods for constraint-based conceptual free-form surface design

Zusammenfassung Der constraint-basierte Entwurf von Freiformfl„chen ist eine m„chtige Methode im Computer gest�tzten Entwurf. Bekannte Realisierungen beschr„nken sich jedoch meist auf Interpolation von Rand- und isoparametrischen Kurven. In diesem Zusammenhang sind die sog. "Multi-patch" Methoden die am weitesten verbreitete Vorgehensweise. Hier versucht man Fl„chenverb„nde aus einem Netz von dreidimensionalen Kurven (oft gemischt mit unstrukturierten Punktewolken) derart zu generieren, dass die Kurven und Punkte von den Fl„chen interpoliert werden. Die Kurven werden als R„nder von rechteckigen oder dreieckigen bi-polynomialen oder polynomialen Fl„chen betrachtet. Unter dieser Einschr„nkung leidet die Flexibilit„t des Verfahrens. In dieser Dissertation schlagen wir vor, beliebige, d.h. auch nicht iso-parametrische, Kurven zu verwenden. Dadurch ergeben sich folgende Vorteile: Erstens kann so beispielsweise eine B-spline Fl„che entlang einer benutzerdefinierten Kurve verformt werden w„hrend andere Kurven oder Punkte fixiert sind. Zweitens, kann eine B-spline Fl„che Kurven interpolieren, die sich nicht auf iso-parametrische Linien der Fl„che abbilden lassen. Wir behandeln drei Arten von Constraints: Inzidenz einer beliebigen Kurve auf einer B-spline Fl„che, Fixieren von Fl„chennormalen entlang einer beliebigen Kurve (dieser Constraint dient zur Herstellung von tangentialen sberg„ngen zwischen zwei Fl„chen) und die sog. Variational Constrains. Letztere dienen unter anderem zur Optimierung der physikalischen und optischen Eigenschaften der Fl„chen. Es handelt sich hierbei um die Gausschen Normalgleichungen der Fl„chenfunktionale zweiter Ordnung, wie sie in der Literatur bekannt sind. Die Dissertation gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil befasst sich mit der Aufstellung der linearen Gleichungssysteme, welche die oben erw„hnten Constraints repr„sentieren. Der zweite Teil behandelt Methoden zum L”sen dieser Gleichungssysteme. Der Kern des ersten Teiles ist die Erweiterung und Generalisierung des auf Polarformen (Blossoms) basierenden Algorithmus f�r Verkettung von Polynomen auf Bezier und B-spline Basis: Gegeben sei eine B-spline Fl„che und eine B-spline Kurve im Parameterraum der Fl„che. Wir zeigen, dass die Kontrollpunkte der dreidimensionalen Fl„chenkurve, welche als polynomiale Verkettung der beiden definiert ist, durch eine im Voraus berechenbare lineare Tranformation (eine Matrix) der Fl„chenkontrollpunkte ausgedr�ckt werden k”nnen. Dadurch k”nnen Inzidenzbeziehungen zwischen Kurven und Fl„chen exakt und auf eine sehr elegante und kompakte Art definiert werden. Im Vergleich zu den bekannten Methoden ist diese Vorgehensweise effizienter, numerisch stabiler und erh”ht nicht die Konditionszahl der zu l”senden linearen Gleichungen. Die Effizienz wird erreicht durch Verwendung von eigens daf�r entwickelten Datenstrukturen und sorgf„ltige Analyse von kombinatorischen Eigenschaften von Polarformen. Die Gleichungen zur Definition von Tangentialit„ts- und Variational Constraints werden als Anwendung und Erweiterung dieses Algorithmus implementiert. Beschrieben werden auch symbolische und numerische Operationen auf B-spline Polynomen (Multiplikation, Differenzierung, Integration). Dabei wird konsistent die Matrixdarstellung von B-spline Polynomen verwendet. Das L”sen dieser Art von Constraintproblemen bedeutet das Finden der Kontrollpunkte einer B-spline Fl„che derart, dass die definierten Bedingungen erf�llt werden. Dies wird durch L”sen von, im Allgemeinen, unterbestimmten und schlecht konditionierten linearen Gleichungssystemen bewerkstelligt. Da in solchen F„llen keine eindeutige, numerisch stabile L”sung existiert, f�hren die �blichen Methoden zum L”sen von linearen Gleichungssystemen nicht zum Erfolg. Wir greifen auf die Anwendung von sog. Regularisierungsmethoden zur�ck, die auf der Singul„rwertzerlegung (SVD) der Systemmatrix beruhen. Insbesondere wird die L-curve eingesetzt, ein "numerischer Hochfrequenzfilter", der uns in die Lage versetzt eine stabile L”sung zu berechnen. Allerdings reichen auch diese Methoden im Allgemeinen nicht aus, eine Fl„che zu generieren, welche die erw�nschten „sthetischen und physikalischen Eigenschaften besitzt. Verformt man eine Tensorproduktfl„che entlang einer nicht isoparametrischen Kurve, entstehen unerw�nschte Oszillationen und Verformungen. Dieser Effekt wird "Surface-Aliasing" genannt. Wir stellen zwei Methoden vor um diese Aliasing-Effekte zu beseitigen: Die erste Methode wird vorzugsweise f�r Deformationen einer existierenden B-spline Fl„che entlang einer nicht isoparametrischen Kurve angewendet. Es erfogt eine Umparametrisierung der zu verformenden Fl„che derart, dass die Kurve in der neuen Fl„che auf eine isoparametrische Linie abgebildet wird. Die Umparametrisierung einer B- spline Fl„che ist keine abgeschlossene Operation; die resultierende Fl„che besitzt i.A. keine B-spline Darstellung. Wir berechnen eine beliebig genaue Approximation der resultierenden Fl„che mittels Interpolation von Kurvennetzen, die von der umzuparametrisierenden Fl„che gewonnen werden. Die zweite Methode ist rein algebraisch: Es werden zus„tzliche Bedingungen an die L”sung des Gleichungssystems gestellt, die die Aliasing-Effekte unterdr�cken oder ganz beseitigen. Es wird ein restriktionsgebundenes Minimum einer Zielfunktion gesucht, deren globales Minimum bei "optimaler" Form der Fl„che eingenommen wird. Als Zielfunktionen werden Gl„ttungsfunktionale zweiter Ordnung eingesetzt. Die stabile L”sung eines solchen Optimierungsproblems kann aufgrund der nahezu linearen Abh„ngigkeit des Gleichungen nur mit Hilfe von Regularisierungsmethoden gewonnen werden, welche die vorgegebene Zielfunktion ber�cksichtigen. Wir wenden die sog. Modifizierte Singul„rwertzerlegung in Verbindung mit dem L-curve Filter an. Dieser Algorithmus minimiert den Fehler f�r die geometrischen Constraints so, dass die L”sung gleichzeitig m”glichst nah dem Optimum der Zielfunktion ist.