Mots équilibrés et mots lisses

Dans ce travail, nous nous interessons a divers problemes de la combinatoire des mots, portant principalement sur deux familles: les mots equilibres et les mots lisses infinis. Il est facile de verifier que l'intersection entre ces deux familles de mots est vide; c'est pourquoi nous les traiterons de facon independante. Dans la premiere partie, nous etudions les mots equilibres et des familles de mots derivees de ces derniers. Les mots infinis sturmiens, aussi appeles des suites sturmiennes, sont etudies depuis plus de cent ans et sont caracterises de plusieurs facons : pour un alphabet a deux lettres, ce sont exactement les suites equilibrees non ultimement periodiques et les suites de complexite minimale, c'est-a-dire les suites ayant seulement (n + 1) facteurs de longueur n. Une autre propriete caracteristique des suites sturmiennes est qu'elles decrivent une droite discrete. Les suites episturmiennes ont recemment ete introduites comme etant l'une des generalisations sur plus de 2 lettres des suites sturmiennes : un mot de Christoffel est la version finie d'une suite sturmienne. Dans un premier temps, nous introduisons donc une generalisation des mots de Christoffel sur un alphabet a plus de 2 lettres. Pour ce faire, nous utilisons la propriete qu'un mot de Christoffel est l'image d'une lettre par morphisme sturmien. Nous appelons les mots ainsi obtenus des mols epichristoffels. Il est interessant de remarquer que ces mots ne sont generalement pas equilibres, tout comme les suites episturmiennes. Nous montrons comment obtenir des mots epichristoffels, comment les reconnaitre et nous montrons que certaines proprietes des mots de Christoffel se generalisent bien aux mots epichristoffels. Dans un deuxieme temps, nous nous interessons aux mots equilibres, en lien avec la conjecture de Fraenkel. Cette conjecture enonce que pour un alphabet a k lettres, avec k ≥ 3, il n'existe qu'un unique mot infini equilibre, a permutation des lettres et a decalage pres, ayant des frequences de lettres toutes differentes. Par exemple, pour l'alphabet {1, 2, 3}, ce mot est (1213121)w. Nous montrons que la conjecture est vraie si elle est restreinte a la famille des suites episturmiennes et du coup, nous caracterisons les suites episturmiennes equilibrees. Nous approchons ensuite la conjecture de Fraenkel en travaillant sur la superposition de mots de Christoffel. Nous traduisons les travaux de R. Simpson et de R. Morikawa sur les suites de Beatty en terme de mots de Christoffel et nous fournissons les details passes sous silence dans leurs preuves. Nous obtenons ainsi une condition necessaire et suffisante pour que deux mots de Christoffel se superposent. Comme un mot equilibre a k lettres peut etre vu comme la superposition de k mots equilibres sur 2 lettres, cette condition nous permet de nous approcher de la conjecture de Fraenkel, sans toutefois la prouver. Nous prouvons toutefois une formule donnant le nombre de superpositions pour deux mots de Christoffel superposables et nous montrons de nouvelles proprietes concernant les mots de Christoffel. La deuxieme partie de ce travail porte sur l'etude des mots lisses infinis, principalement les mots lisses extremaux, c'est-a-dire le plus petit et le plus grand selon l'ordre lexicographique. Nous caracterisons ces mots sur des alphabets a deux lettres de meme parite. Pour ce faire, nous decrivons d'abord des algorithmes qui permettent de les construire en temps lineaire selon le nombre d'operations. Nous montrons ensuite des proprietes de fermeture et dee recurrence pour les mots lisses en general sur un alphabet de meme parite, nous fournissons une formule explicite pour la frequence des lettres dans les mots extremaux et nous decrivons la factorisation de Lyndon pour une sous-classe des mots extremaux. Ces resultats sont forts interessants puisque les proprietes demontrees ne sont pour la plupart que des conjectures pour les mots lisses sur l'alphabet {1, 2}. Par ailleurs, nous montrons que les mots lisses maximaux sur des alphabets contenant deux lettres paires et certains mots de Kolakoski generalises coincident. Du coup, nous prouvons plusieurs proprietes concernant la factorisation de Lyndon, les frequences, la fermeture de l'ensemble des facteurs sous l'image miroir et la recurrence pour les mots de Kolakoski generalises. Finalement, nous etudions les mots lisses infinis en lien avec les surfaces discretes. Nous montrons que les seuls pavages lisses du quart de plan decrivant un morceau de surface discrete sont engendres par des mots de Kolakoski generalises. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLES DE L’AUTEUR : Combinatoire des mots, Mot de Christoffel, Suite sturmienne, Mot epichristoffel, Suite episturmienne, Conjecture de Fraenkel, Suite equilibree, Mot lisse, Mot de Kolakoski, Mot de Lyndon, Mot extremal, Surface discrete.