Émergence de dynamiques classiques en probabilité quantique

Cette these se consacre a l'etude de certaines passerelles existantes entre les probabilites dites classiques et la theorie des systemes quantiques ouverts. Le but de la premiere partie de ce manuscrit est d'etudier l'emergence de bruits classiques dans l'equation de Langevin quantique. Cette equation sert a modeliser l'action d'un bain quantique sur un petit systeme dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette equation est decrit par le schema des interactions quantiques repetees etudier par Stephane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux anterieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aleatoires obtuses, dont ils etudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant emerger, et quand est-il dans le cas general ? De meme, en temps continu, il etait plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'equation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste a definir une algebre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algebre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypotheses precedentes sur sa nature. Dans le cas general, elle permet de montrer une decomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxieme partie, nous nous consacrons a l'etude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du systeme. La dynamique du systeme est quantique, mais il existe une observable dont l'evolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algebre de von Neumann commutative et maximale. Nous developpons une methode pour generer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une definition de Stephane Attal de certaines dilatations d'operateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Levy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous etudions ensuite une classe de processus classiques lies aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algebre invariante est le produit tensoriel de deux algebres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par consequent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aleatoires sont hautement quantiques. Nous presentons dans ce cadre une approche variationnelle du probleme de Dirichlet. Finalement, la derniere partie est dediee a l'etude d'un processus physique appele decoherence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique a l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phenomenes quantiques. Nous montrons qu'une telle decoherence a toujours lieu pour des systemes ouverts decrits par des algebres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une etude innovante sur la vitesse de decoherence, basee sur des inegalites fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le role de l'intrication quantique dans la decoherence