Combinatorial and probabilistic aspects of lattice path models

Nach einer Einordnung der Ergebnisse in ihre jeweiligen Gebiete im ersten Kapitel beschaftigt sich das zweite Kapitel mit zufalligen Pflasterungen eines Sechsecks mit 60-Grad-Rauten und festen Randbedingungen. Dabei wird die Gleichverteilung auf der Menge der Pflasterungen eines Sechsecks mit Seitenlangen r,s,t angenommen und das Grenzverhalten studiert, wenn r,s und t proportional gegen unendlich streben. Gewisse Statistiken verhalten sich dann wie die Eigenwerte groser Zufallsmatrizen aus dem Gausschen Unitaren Ensemble. Dies ist in der Literatur eingehend besprochen worden. Im Kapitel 2 wird gezeigt, dass diese Verteilungen auch im Unterensemble symmetrischer Pflasterungen auftreten oder, aquivalent dazu, im Ensemble der Pflasterungen des "halbierten" Sechsecks. Dabei fallt auch ein Beweis des "Arctic Circle"-Phanomens fur dieses Ensemble ab: Entlang der dem Sechseck eingeschriebenen Ellipse findet ein scharfer Ubergang von einem hochgeordneten zu einem ungeordneten Regime statt. Dieses Phanomen ist im genannten Unterensemble bisher nur in einer Arbeit von Forrester und Nordenstam vermutet worden. Das dritte Kapitel beschaftigt sich mit ebenen Partitionen in einer r mal s mal t-Box. Dies sind r mal s-Matrizen mit nichtnegativen ganzen Eintragen kleiner oder gleich t, die entlang der Zeilen und Spalten monoton abfallen. Das Volumen einer ebenen Partition ist die Summe der Eintrage. Es wird fur r,s,t fest die Gleichverteilung angenommen und gezeigt, dass die zentrierten und normalisierten Volumenzufallsvariablen schwach gegen die Standardnormalverteilung konvergieren, falls von r,s,t zwei Werte gegen unendlich streben. Analoge Ergebnisse gelten auch fur Symmetrieunterklassen. Im vierten Kapitel werden Flachengesetze fur Symmetrieunterklassen von Treppenpolygonen hergeleitet. Diese bestehen aus zwei gerichteten Pfaden auf dem Quadratgitter mit denselben Start- und Endpunkten, aber ohne gemeinsame Vertizes dazwischen. Es wird die asymptotische Verteilung der Flache im Limes eines grosen Umfangs untersucht, wobei die Gleichverteilung auf allen Polygonen desselben festen Umfangs mit vorgeschriebener Symmetrie angenommen wird. Die Grenzverteilungen sind, abgesehen von einigen trivialen Fallen, die Flachenverteilungen der Brownschen Exkursion und des Brownschen Maanders. Im funften Kapitel werden schlieslich zwei Klassen von selbstmeidenden Polygonen auf dem Quadratgitter abgezahlt, d.h. ihre erzeugenden Funktionen werden ausgerechnet und analysiert. Es handelt sich dabei um "vorausschauende Polygone" (prudent polygons), d.h. beim Durchlaufen der Randkurve von einem ausgezeichneten Startvertex zum Endvertex wird nie ein Schritt in Richtung eines bereits besuchten Vertex gegangen. Fur die erzeugende Funktion der allgemeinen Klasse solcher Polygone kann man bis dato nur ein System von Funktionalgleichungen angeben. Erfolgreicher dagegen sind die Untersuchungen zu zwei naturlichen Unterklassen. Diese konnen vollstandig gelost, d.h. ihre erzeugenden Funktionen explizit angegeben werden. Die erzeugende Funktion der kleineren Klasse ist algebraisch und unter anderem Namen schon aus der Literatur bekannt. Fur die erzeugende Funktion der groseren Klasse wird eine Darstellung als unendliche Reihe von algebraischen Funktionen angegeben. Fur diese wird gezeigt, dass sie keine lineare Differentialgleichung mit polynomialen Koeffizienten erfullt.