Evolution and stability of falling liquid films with thermocapillary effects

This thesis deals with the dynamics of a thin liquid film falling down a heated plate. The heating yields surface tension gradients that induce thermocapillary stresses on the free surface, thus affecting the stability and the evolution of the film. Accounting for the coherence of the flow due to viscosity, two main approaches that reduce the dimensionality of the original problem are usually considered depending on the flow rate (as measured by the Reynolds number): the `long wave' asymptotic expansion for small Reynolds numbers and the `integral boundary layer' approximation for moderate Reynolds numbers. The former suffers from singularities and the latter from incorrectness of the instability threshold for the occurrence of hydrodynamic waves. Thus, the aim of this thesis is twofold: in a first part, we define quantitatively the validity of the `long wave' evolution equation (Benney equation) for the film thickness h including the thermocapillary effect; and in a second part, we improve the `integral boundary layer' approach by combining a gradient expansion to a weighted residual method. In the first part, we further investigate the Benney equation in its validity domain in the case of periodically inhomogeneous heating in the streamwise direction. It induces steady-state deformations of the free surface with increased transfer rate in regions where the film is thinner, and also in average. The inhomogeneities of the heating also modify the nature of travelling wave solutions at moderate temperature gradients and allows for suppressing wave motion at larger ones.Moreover, large temperature gradients (for instance positive ones) in the streamwise direction produce large local film thickening that may in turn become unstable with respect to transverse disturbances such that the flow may organize in rivulet-like structures. The mechanism of such instability is elucidated via an energy analysis. The main features of the rivulet pattern are described experimentally and recovered by direct numerical simulations.In the second part, various models are obtained, which are valid for larger Reynolds numbers than the Benney equation and account for second-order viscous and inertial effects. We then elaborate a strategy to select the optimal model in terms of linear stability properties and existence of nonlinear solutions (solitary waves), for the widest possible range of parameters. This model -- called reduced model -- is a system of three coupled evolution equations for the local film thickness h, the local flow rate q and the surface temperature Ts. Solutions of this model indicate that the interaction of the hydrodynamic and thermocapillary modes is non-trivial, especially in the region of large-amplitude solitary waves.Finally, the three-dimensional evolution of the solutions of the reduced model in the presence of periodic forcing and noise compares favourably with available experimental data in isothermal conditions and with direct numerical simulations in non-isothermal conditions. ------------------------------------------------Cette these analyse la dynamique d'un film mince s'ecoulant le long d'une paroi chauffee. Le chauffage cree des gradients de tension superficielle qui induisent des tensions thermocapillaires a la surface libre, alterant ainsi la stabilite et l'evolution du film. Grâce a la coherence de l'ecoulement assuree par la viscosite, deux approches permettant de reduire la dimensionnalite du probleme original sont habituellement considerees suivant le debit (mesure par le nombre de Reynolds): l'approximation asymptotique dite `longues ondes' pour les faibles nombres de Reynolds et l'approximation `integrale couche limite' pour les nombres de Reynolds moderes. Cependant, la premiere approximation souffre de singularites et la derniere de predictions imprecises du seuil de stabilite des ondes hydrodynamiques a la surface du film. Le but de cette these est donc double: dans une premiere partie, il s'agit de determiner, de maniere quantitative, la validite de l'equation d'evolution `longues ondes' (ou equation de Benney) pour l'epaisseur du film h, en y incluant l'effet thermocapillaire; et dans une seconde partie, il s'agit d'ameliorer l'approche `integrale couche limite' en combinant un developpement en gradients avec une methode aux residus ponderes.Dans la premiere partie, nous etudions l'equation de Benney, dans son domaine de validite, dans le cas d'un chauffage inhomogene et periodique dans la direction de l'ecoulement. Cela induit des deformations permanentes de la surface libre avec un accroissement du transfert de chaleur dans les regions ou le film est plus mince, mais aussi en moyenne. Un chauffage inhomogene modifie egalement la nature des solutions d'ondes progressives pour des gradients de temperatures moderes et conduit meme a leur suppression pour des gradients de temperatures plus importants. De plus, ceux-ci, lorsqu'ils sont par exemple positifs le long de l'ecoulement, produisent des epaississements localises du film qui peuvent a leur tour devenir instables par rapport a des perturbations suivant la direction transverse a l'ecoulement. Ce dernier s'organise alors sous forme d'une structure en rivulets. Le mecanisme de cette instabilite est elucide via une analyse energetique des perturbations. Les principales caracteristiques des structures en rivulets sont decrites experimentalement et retrouvees par l'intermediaire de simulations numeriques. Dans la seconde partie, nous derivons une famille de modeles valables pour des nombres de Reynolds plus grands que l'equation de Benney, qui prennent en compte les effets visqueux et inertiels du second ordre. Nous elaborons ensuite une strategie pour selectionner le modele optimal en fonction de ses proprietes de stabilite lineaire et de l'existence de solutions non-lineaires (ondes solitaires), et ce pour la gamme de parametres la plus large possible. Ce modele -- appele modele reduit -- est un systeme de trois equations d'evolution couplees pour l'epaisseur locale de film h, le debit local q et la temperature de surface Ts. Les solutions de ce modele indiquent que l'interaction des modes hydrodynamiques et thermocapillaires n'est pas triviale, specialement dans le domaine des ondes solitaires de grande amplitude. Finalement, l'evolution tri-dimensionnelle des solutions du modele reduit en presence d'un forcage periodique ou d'un bruit se compare favorablement aux donnees experimentales disponibles en conditions isothermes, ainsi qu'aux simulations numeriques directes en conditions non-isothermes