Combinatorial aspects of genome rearrangements and haplotype networks

The dissertation covers two problems motivated by computational biology: genome rearrangements, and haplotype networks.Genome rearrangement problems are a particular case of edit distance problems, where one seeks to transform two given objects into one another using as few operations as possible, with the additional constraint that the set of allowed operations is fixed beforehand; we are also interested in computing the corresponding distances between those objects, i.e. merely computing the minimum number of operations rather than an optimal sequence. Genome rearrangement problems can often be formulated as sorting problems on permutations (viewed as linear orderings of {1,2,.,n}) using as few (allowed) operations as possible. In this thesis, we focus among other operations on ``transpositions', which displace intervals of a permutation. Many questions related to sorting by transpositions are open, related in particular to its computational complexity. We use the disjoint cycle decomposition of permutations, rather than the ``standard tools' used in genome rearrangements, to prove new upper bounds on the transposition distance, as well as formulae for computing the exact distance in polynomial time in many cases. This decomposition also allows us to solve a counting problem related to the ``cycle graph' of Bafna and Pevzner, and to construct a general framework for obtaining lower bounds on any edit distance between permutations by recasting their computation as factorisation problems on related even permutations.Haplotype networks are graphs in which a subset of vertices is labelled, used in comparative genomics as an alternative to trees. We formalise a new method due to Cassens, Mardulyn and Milinkovitch, which consists in building a graph containing a given set of partially labelled trees and with as few edges as possible. We give exact algorithms for solving the problem on two graphs, with an exponential running time in the general case but with a polynomial running time if at least one of the graphs belong to a particular class. /La these couvre deux problemes motives par la biologie: l'etude des rearrangements genomiques, et celle des reseaux d'haplotypes.Les problemes de rearrangements genomiques sont un cas particulier des problemes de distances d'edition, ou l'on cherche a transformer un objet en un autre en utilisant le plus petit nombre possible d'operations, les operations autorisees etant fixees au prealable; on s'interesse egalement a la distance entre les deux objets, c'est-a-dire au calcul du nombre d'operations dans une sequence optimale plutot qu'a la recherche d'une telle sequence. Les problemes de rearrangements genomiques peuvent souvent s'exprimer comme des problemes de tri de permutations (vues comme des arrangements lineaires de {1,2,.,n}) en utilisant le plus petit nombre d'operations (autorisees) possible. Nous examinons en particulier les ``transpositions', qui deplacent un intervalle de la permutation. Beaucoup de problemes lies au tri par transpositions sont ouverts, en particulier sa complexite algorithmique. Nous nous ecartons des ``outils standards' utilises dans le domaine des rearrangements genomiques, et utilisons la decomposition en cycles disjoints des permutations pour prouver de nouvelles majorations sur la distance des transpositions ainsi que des formules permettant de calculer cette distance en temps polynomial dans de nombreux cas. Cette decomposition nous sert egalement a resoudre un probleme d'enumeration concernant le ``graphe des cycles' de Bafna et Pevzner, et a construire une technique generale permettant d'obtenir de nouvelles minorations en reformulant tous les problemes de distances d'edition sur les permutations en termes de factorisations de permutations paires associees.Les reseaux d'haplotypes sont des graphes dont une partie des sommets porte des etiquettes, utilises en genomique comparative quand les arbres sont trop restrictifs, ou quand l'on ne peut choisir une ``meilleure' topologie parmi un ensemble donne d'arbres. Nous formalisons une nouvelle methode due a Cassens, Mardulyn et Milinkovitch, qui consiste a construire un graphe contenant tous les arbres partiellement etiquetes donnes et possedant le moins d'aretes possible, et donnons des algorithmes resolvant le probleme de maniere optimale sur deux graphes, dont le temps d'execution est exponentiel en general mais polynomial dans quelques cas que nous caracterisons.