Termination and confluence: properties of structured rewrite systems

Termination and confluence properties of term rewriting systems are of fundamental importance, both from a theoretical point of view and also concerning many practical applications in computer science and mathematics. We study structural aspects of termination and confluence properties of unconditional and conditional term rewriting systems. Two types of structural aspects are considered. First we investigate single rewrite systems. In a systematic manner we analyze how restricted versions of termination and confluence relate to each other and to general termination and confluence. In particular we focus on innermost rewriting and its properties. Various structural syntactic and semantic conditions are isolated which guarantee equivalence of general termination (and confluence) and weakened versions of these properties. In a second major part we consider structural aspects of combining systems. Here we investigate modularity and preservation properties of rewrite systems under various types of combinations. We survey known results in a unifying framework and develop new approaches, in particular for ensuring the preservation of termination under various types of combinations. The abstract results obtained provide a deeper insight into the striking phenomena that rewriting in combined systems may exhibit, and entail various interesting positive consequences. Zusammenfassung Terminierungsund Konfluenzeigenschaften von Termersetzungssystemen sind von fundamentaler Bedeutung sowohl in theoretischer Hinsicht als auch im Hinblick auf viele praktische Anwendungen in Informatik und Mathematik. Wir untersuchen strukturelle Aspekte von Terminierungsund Konfluenzeigenschaften bei unbedingten und bedingten Termersetzungssystemen. Dabei werden zweierlei Arten von strukturellen Aspekten betrachtet. Zunächst werden einzelne Ersetzungssysteme behandelt. In systematischer Art und Weise analysieren wir, wie abgeschwächte Formen von Termination und Konfluenz miteinander in Beziehung stehen, und welche Beziehungen zwischen ihnen und allgemeiner Termination und Konfluenz bestehen. Besondere Berücksichtigung findet dabei die ‘innermost’-Reduktionsrelation, bei der minimale Teilterme, d.h. Teilterme an innnersten Stellen, ersetzt werden. Es werden verschiedene strukturelle, sowohl syntaktische als auch semantische, Bedingungen hergeleitet, die hinreichend sind für die Äquivalenz von allgemeiner Termination (und Konfluenz) und abgeschwächten Formen von Termination (und Konfluenz). Im zweiten Teil betrachten wir strukturelle Aspekte bei der Kombination mehrerer Systeme. Dabei werden Modularitätsund Erhaltungseigenschaften unter verschiedenen Kombinationstypen untersucht. Bekannte Ergebnisse werden in einem einheitlichen Rahmen systematisch präsentiert. Wir entwickeln wesentlich neue Ansätze zur Erhaltung von Termination unter verschiedenen Kombinationstypen. Die hierbei erzielten abstrakten Resultate ermöglichen eine tiefere Einsicht in die erstaunlichen Phänomene, die beim Termersetzen in kombinierten Systemen auftreten können. Ferner lassen sich viele interessante positive Konsequenzen und Erhaltungssätze elegant daraus herleiten. Preface I am much indebted to my supervisors Jürgen Avenhaus and Klaus Madlener who gave me the opportunity to write this thesis. Their continuous support and encouragement as well as their critical comments, questions and hints concerning my work have always been very stimulating and helpful. Without their tenacious patience this thesis might have never been written. Furthermore I thank my colleagues for creating a pleasant and constructive atmosphere and for their interest in my work. In particular, I appreciate many valuable discussions on various (not only scientific) topics with Thomas Deiß, Roland Fettig, Ulrich Kühler, Norbert Kuhn, Birgit Reinert, Andrea Sattler-Klein, Joachim Steinbach and ClausPeter Wirth. Thanks also to Mauricio Ayala Rincon, Klaus Becker, Jörg Denzinger, Matthias Fuchs, Carlos Loŕıa-Saénz and Rita Kohl for their helpfulness. Special thanks to Andrea Sattler-Klein and Joachim Steinbach for many interesting discussions and feedback on topics related to this thesis, and to Claus-Peter Wirth for an intensive and fruitful cooperation on several related subjects. For their support with various LTEX problems I am grateful to Thomas Deiß and Eric Domenjoud. I am much obliged to Aart Middeldorp, for many stimulating and clarifying discussions on modularity issues as well as for his detailed and useful comments on a preliminary version of this thesis. Moreover, I wish to thank Vincent van Oostrom, Yoshihito Toyama, Nachum Dershowitz and David Plaisted for various feedback on my work and interesting discussions on related issues. And finally, I would like to apologize to all those who have suffered somehow during the last years because of all the time and energy I devoted to writing this thesis.