Bayesian inference for discretely observed diffusion processes

In dit proefschrift bestuderen we diffusie processen, it zijn Markovprocessen met continue paden in een euclidische ruimte die bepaalde stochastische differentiaalvergelijkingen oplossen. Wij ontwikkelen en implementeren Bayesiaanse procedures voor de schatting van de drift en diffusie coefficienten wanneer slechts discrete observaties van het diffusie proces beschikbaar zijn. Het onderwerp van het eerste hoofdstuk is de Bayesiaanse schatting van de drift functie van een eendimensionaale diffusie. Wanneer geen duidelijk parametrische specificatie van de drift functie beschikbaar is, dan zijn niet-parametrische methoden een redelijk alternatief om het risico van missspecificatie klein te houden. Onze aanpak is de a posteriori-verdeling over modellen van variabele dimensie te bepalen met een reversible jump Markov chain algoritme en daardoor de dimensie van het model door de gegevens te bepalen. De drift functie wordt als lineaire combinatie van verschillende basis functies geschreven met normaal verdeelde coefficienten. Het tweede hoofdstuk presenteert een Monte Carlo methode voor de simulatie van meerdimensionale diffusie processen onder de conditie dat het proces na een vaste tijd een bepaald eindpunt bereikt. Dergelijke diffusie bruggen kunnen gesimuleerd worden met de hulp van trekkingen uit een tweede proces met dezelfde diffusie coefficient en een nieuwe drift, bestaand uit een superpositie van de originele drift met een extra term welke het proces naar het eindpunt stuurt. Acceptatie van de trekking wordt bepaald met de continue likelihood tussen de twee processen, en voor deze vinden we een gesloten vorm. Wanneer onbekende parameters in de diffusie coefficient optreden leidt een directe implementatie van het data-augmentation algoritme tot een Markov keten die reducibel is. In het derde hoofdstuk vinden wij een oplossing voor dit probleem waarbij een transformatie van de toestandsruimte van de brug gebruikt wordt. Omdat de trekkende term in de drift een singulariteit aan het eindpunt heeft is aandacht nodig wanneer de stochastische differentiaalvergelijking gediscretiseerd wordt. Wij vinden een tijdtransformatie die de singulariteit oplost. In het tweede deel zijn twee hoofdstukken met aanvullende materie te vinden. In het vierde hoofdstuk geven wij een overzicht van diffusie processen onder de conditie dat het proces naar een vaste tijd een bepaalde eindpunt bereikt. De verbinding tussen conditionele verwachtingen en absolute continuiteit laat het toe afhankelijkheid tussen onafhankelijke stochasten door een wissel van de kansverdeling intevoeren. Voor Markovprocessen geeft deze aanpak het begrip van de Doobs h-transformatie. Een tweede gerelateerde techniek is bekend onder de Franse naam grossissement des tribus, ook deze techniek wordt geschetst. Het laatste hoofdstuk bestudeert meer gedetailleerd de numerische aspecten van de zogenaamde Schauder basis welke in de eerste hoofdstuk ingevoert werd als rijontwikkeling voor de drift functie van een diffusie proces. Voor de berekening van de posteriorverdeling moet een bepaalde hoog-dimensionale matrix geinverteert worden en voor basis functies met locale drager zijn deze matrices gewoonlijk sparse. Hier zijn bijzonder effici\"ente berekeningsmethoden toepasbaar.