Minuri/sinhala-corpus-wikipedia huggingface dataset:
ආශ්‍රිත

Zeroth law of thermodynamics
First law of thermodynamics
Third law of thermodynamics
Clausius–Duhem inequality
Fluctuation theorem
Heat death of the universe
History of thermodynamics
Jarzynski equality
Laws of thermodynamics
Maximum entropy thermodynamics
Quantum thermodynamics
Reflections on the Motive Power of Fire
Relativistic heat conduction
Thermal diode
Thermodynamic equilibrium

මූලාශ්‍ර

Equations of physics
2
Non-equilibrium thermodynamics
Philosophy of thermal and statistical physics
ස්වාභාවික සංවහනය යනු යාන්ත්‍රණයක් හෝ තාප සංක්‍රාමණ යාන්ත්‍රණයකි
එහි තරල වල චලන උෂ්ණත්ව අනුක්‍රමණවලට අනුව තරලවල ඝනත්වයේ සිදුවන වෙනස්වීම් නිසා පමණක් ඇතිවන අතර  තරල චලිත බාහිර ප්‍රභයනික් (පොම්ප, පංකා, චූෂණ උපකරණ ආදිය) උපදවන විට ඇති නොවේ
(ස්වභාවික සංවහනයේ දී තාප ප්‍රභවයක් අවට ඇති තරල ප්‍රභවයන්  තාපය ලබා ගනී
එවිට තරල‍ෙය් අඩු ඝනත්වය අඩුවී එය ඉහල නැඟීමට පෙළඹේ
) එවිට වටපිටාවේ ඇති සිසිල් තරල මඟින් එම රත් වූ තරල ප්‍රතිස්ථාපනය වේ
මෙම සිසිල් තරල නැවතත් තාපය ලබාගෙන රත් වන අතර නැවත සිසිල් තරලය මඟින් එම රත්වූ තරල ප්‍රතිස්ථාපනය වේ
මෙම ක්‍රියාවලිය අඛණ්ඩව සිදුවෙමින් සංවහන ධාරාවක් ඇති කරයි
ස්වභාවික සංවහනය සඳහා වන එලවුම් බලය නම් උත්ප්ලාවකතාවයයි
එය තරල ඝනත්වයේ වෙනස නිසා ඇති වන ප්‍රතිඵලයකි
මේ නිසා ගුරුත්වජ බලය හෝ ඒ හා සමාන බලයක් (ත්වරණය , කේන්ද්‍රාපසාරී බලය හෝ කොරියොලිස් බලය වැනි තුල්‍යතා මූලධර්මය මගින් ඇති වන) ස්වභාවික සංවහනයට  අත්‍යවශ්‍ය ‍ වේ
නිදසුනක් ලෙස ක්ෂුද්‍ර ගුරුත්වජ පරිසරයක් පවතින, කක්ෂගත කර ඇති,  ජාත්‍යන්තර අභ්‍යාවකාශ මධ්‍යස්ථානයේ දී ස්වභාවික තාප සංවහනය ‍සිදු නොවේ
එහිදී වෙනත් තාප සංක්‍රාමණ යාන්ත්‍රන මගින් අධික ලෙස රත් වූ විද්‍යුත් උපකරණ සිසිල් කිරීම කරනු ලැබේ
ස්වභාවික සංවහනය පර්යේෂකයන්ගේ මහත් අවධානයකට ලක්වී තිබේ
මන්දයත් එය ගිනිදැල්වලින් ඉහළ නගින රත් වූ වාතයේ , දිය වැල්වල , මුහුදු සුළං ඇති වීමේ දී වැනි ස්වාභාවික සංසිද්ධිවල දි මෙන්ම සහ ද්‍රව කළ ලෝහ සිසිලනයෙන් අන්වීක්ෂීය ව්‍යුහ සෑදීම වැනි ඉංජිනේරු යෙදීම්වල ද , ආවරණය කළ අහස් යානා පියාපත්වල හා සූර්ය තටාකවල යෙදෙන බැවිණි
ස්වාභාවික සංවහනයයේ ඉතා පොදු වූ කාර්මික යෙදවුමක් වන්නේ වාත සිසිලනයයි
මෙය පරිගණක චීප තරම් වූ කුඩා පරිමාණවල සිට විශාල පරිමාණයේ ක්‍රියාවලි  සිදු කරන උපකරණ දක්වා ද භාවිතා කරයි
ගණිතමය වශයෙන් විශේෂ පද්ධතියක් ස්වභාවික සංවහනය දෙසට නැඹුරු වීම ග්‍රෑෂොෆ් අංකය (Gr)  මගින් දක්වයි. Gr යනු උත්ප්ලාවකතා බලය බල හා දුස්ස්‍රාවිතා බලය අතර අනුපාතයයි
මෙහි β යනු තාපජ ප්‍රසාරණ සංගුණකයයි
(K-1) , g යනු ගුරුත්වජ ත්වරණය ද ΔT යනු රත් වූ මතුපිට පෘෂ්ඨය හා නිකර තරලය (K) අතර උෂ්ණත්ව වෙනස ද L යනු ලාක්ෂණික දිග ද (වස්තු‍ව මත මෙය රදා පවතී) හා ν යනු දුස්ස්‍රාවීතාවය ද වේ
ද්‍රව සදහා β හි අගයන් වගුගත කොට ඇත
මීට අමතරව පහත සමීකරණයෙන් ද β ගණනය කළ හැක
(K-1)

පරිපූර්ණ වායුවක් සඳහා මෙම අංකය පහසුවෙන් සෙවිය හැක
එනිසා උච්ච වායු සදහා β පහත පරිදි සරල ආකාරයක් ගනී
තවද රත් වූ තරලයේ උඩුකුරු තෙරපුම , චලනයට බාධා පමුණුවන අභ්‍යන්තර ඝර්ෂණයට දක්වන අනුපාතය ලෙස ද ග්‍රාෂොෆ් අංකය හැඳින්විය හැක
ඉතා ඇලෙන සුළු , දුස්ස්‍රාවී තරලවල තරල චලිතය මෙන්ම ස්වභාවික සංවහනය ද සීමා වේ
අනන්ත  දුස්ස්‍රාවීතාවයක් ඇති අන්ත්‍ය අවස්ථාවලදී තරලය චලිත සිදු ‍ෙනාවන අතර සියලුම තාප සංක්‍රාමණයන් සිදුවනුයේ තාප සන්නයනය මඟිනි
සමහරවිට තාප - ද්‍රාව්‍ය සංවහනය නමින් හැඳින්වෙන  සාන්ද්‍රණ අනුක්‍රමණය නිසා සිදුවන ස්වාභාවික සංවහනය සදහා ද සමාන සමීකරණයක් ලිවිය හැක
මෙම අවස්ථාවේ දී රත් වූ තරලයක වූ සාන්ද්‍රණය සිසිල් තරලයට විසරණය වන අතර එය කෙසේ ද යත්  ජල භාජනයකට තීන්ත එක් කළ විට එම තීන්ත ජල අවකාශය තුළ විසරණය වන අයුරිනි
ග්‍රාෂොෆ් අංකය හා රෙනෝල්ඩ් අංකය අතර සාපේක්ෂ විශාලත්වය නිර්ණය කිරීම මගින් කුමන ආකාරයේ සංවහනයක් බල වත්වන්නේ දැයි තීරණය කළ හැකිය
නම් කෘත සංවහනය නොසළකා හරින අතර   නම් ස්වභාවික සංවහනය නොසළකයි
මෙම අනුපාතය එකට ආසන්න වන්නේ නම් කෘත හා ස්වභාවික යන සංවහනය යන දෙකටම ආසන්න ‍වන්නේ නම් එය ගණනයක් සදහා යොදා ගනී
ස්වභාවික සංවහනය රත් වූ මතුපිට  පෘෂ්ඨයේ ජ්‍යාමිතිය මත විශාල ලෙස රඳා පවතින අතර තාප සංක්‍රාමණ සංගුණකය නිර්ණය කිරීමේ දී විවිධාකාර ප්‍රතියෝග පවතී
රේලයි අංකය () නිතරම භාවිතා වන අතර,
 වෙයි
මෙහි  යනු ප්රැන්ඩ්ල් අංකයයි
විවිධ  ජ්‍යාමිතීන් සඳහා සාමාන්‍යයෙන් යොදන ප්‍රතියෝගයක් වනුයේ 

 

f4(Pr) හි අගය ගණනය කොරනුයේ පහත සූත්‍රය උපයෝගී කර ගෙනය

 

Nu යනු නියුසල්ට් අංකය වන අතර  Nu0 හී අගයයන් හා Ra ගණනය කිරීම සඳහා භාවිතා කෙරෙන දිග වල ගුණාංග පහත දැක්වේ
තාපය
ප්‍රායෝගික ජ්‍යාම්තියෙන් පරිබාහිර වන කලනය ඇතුළු අනෙක් බොහෝ ගණිත ක්ෂේත්‍ර වලදීකෝණ පොදුවේ රේඩියන වලින් මනිනු ලැබේ
ප්‍රායෝගික ජ්‍යාමිතියෙන් බැහැර වූ කලනය වැනි බොහෝ ගණිත ක්‍‍ෂේත්‍රයන්හිදී  මණිනු ලබන්නේ “රේඩියන” වලිනි
රේඩියනවලට ගණිතමය “ස්වාභාවිකත්වයක්” තිබීම එයට හේතු වේ
එය වැදගත් ප්‍රතිඵල සිත් ගන්නා සුළු ප්‍රකාශ ලෙස ගොඩනැගීමට ඉඩ සලසයි
විශ්ලේෂණයේදී ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත වල විචල්‍යයන් රේඩියන්වලින් ප්‍රකාශ කිරීමෙන්  ඒවා සරල හා සිත් ගන්නා සුළු බවට පත් වේ
උදාහරණයක් ලෙස  රේඩියන භාවිතය නිසා සරල සීමා සූත්‍ර ලද හැකි වීම පෙන්වා දිය හැක
මෙය පහත ඒවාද අඩංගු අනෙකුත් බොහෝ සර්වසාම්‍යයන් ගේ පදනම වෙයි 

මේ ගුණාංග හේතුවෙන් සෘජුවම ශ්‍රිතයන්හි ජ්‍යාමිතික අර්ථයන් හා සම්බන්ධතාවයක් නොපවතින ගණිතමය ගැටළුවල විසඳුම් තුළද ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අන්තර්ගතවේ
(උදා-  අවකල සමීකරණය සඳහා විසඳුම්   අනුකලයේ අගය සෙවීම ආදී අවස්ථා) මෙවන් සියළු අවස්ථාවලදී ශ්‍රිත වල විචල්‍යයන් රේඩියන කෝණ මිණුම්වලට අනුරූප ජ්‍යාමිතික ආකාරවලින්ලිවීම වඩාත් ස්වභාවික වන බව සොයා ගෙන ඇත
රේඩියන් භාවිතා කරන විට, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සඳහා සරල හා සිත් ගන්නා සුළු ශ්‍රේණි ප්‍රසාරණයක් පවතී
උදාහරණයක් ලෙස , sin x සඳහා ටෙලර් ශ්‍රේණිය

x  අංශක වලින් ප්‍රකාශ කර තිබුණි නම් ශ්‍රේණියේ  π/180 හි  අවුල්සහගත බල අඩංගු වේ
x යනු අංශක ගණන  නම් රේඩියන් අගය  y = πx /180 වේ
එම නිසා ,

ශ්‍රිත වල විචල්‍යයන් රේඩියන ආකාරයට පවතින විට සයින හා‍ කෝසයින ශ්‍රිත සහ ඝාතීය ශ්‍රිත  (උදාහරණ ලෙස ,එයුලර් සූත්‍රය)  අතර පවතින ගණතමය වශයෙන් වැදගත් සම්බන්ධතා වඩාත් සිත්ගන්නා සුළු වන අතර රේඩියන භාවිතා නොකරන විට අවුල්සහගත ස්වභාවයක් පවතිනු ඇත
org/wiki/Radian#Reasons_why_radians_are_preferred_in_mathematics

 ගණිතය
සමාන්තර ශ්‍රේඪියක සංරචකයන්ගේ ඓක්‍යය සමාන්තර ශ්‍රේණියක් නම් වේ
සමාන්තර ශ්‍රේණියක අගය ගණනය කිරීම 

n පද සංඛ්‍යාවක් ඇති පොදු අන්තරය  d මගින් දෙනු ලබන a, a2 ,
, an සමාන්තර ශ්‍රේණියක ඓක්‍යය පහත ප්‍රකාශනයෙන් ලබාගත හැක
ශ්‍රේණියේ පලමු සහ අවසාන පදයන්ගේ ඓක්‍ය දෙවැනි පදයේ සහ අවසාන පදයට පෙර පදයේ ඓක්‍යයට සමවන බවත් ඉතිරි පද සදහාද මෙම කරුණ සත්‍ය වන බවත් තවද දල වශයෙන් ශ්‍රෙණියේ මෙවන් යුගල n/2 පවතින බවත් වටහාගත් කල ඉහත ප්‍රකාශනය සත්‍ය බව සහජයෙන්ම වටහා ගත හැක
මෙම සුත්‍රයේ එක් ආකාරයක් ෆිබොනාච්චි ලෙස ප්‍රසිද්ධියට පත්ව ඇති පීසා හි ලියනාඩෝගේ ‘Liber Abaci’ (1202 – පරිච්ජේද  II,12)  හි අන්තර්ගතය වේ
මේ පිලිබඳ බොහෝ විට කියැවෙන කතාවක් නම් කාල් ෆ්‍රේඩ්රික්ගේ ගෝස් සියුගේ තුන්වැනි ශ්‍රේණියේදී මෙය නැවත සොයාගත් බවය එහිදී සිය ගුරුවරය‍ා‍ වු ජේ.ජී. බියුට්නර් මුල් සංඛ්‍යා 100 ඓක්‍යය පන්තියෙන් ඇසූවිට ගුරුවරයාගේ සහ ඔහුගේ සහායක මාටින් බාටෙල්ස් විමතියට පත් කරමින් කාල් ෆෙඩ්රික් ගවුස්  ක්ෂණිකව නිවැරදි පිලිතුර (5050) ගණනය කලේය
ඒ අනුව 1 සිට 100 දක්වා 1 + 100 = 2 + 99
= 50 + 51 ලෙස එකම ඓක්‍යය ඇති යුගල 50 ක් පවතින අතර එබැවින් ඒවායේ මුළු එකතුව 101 x 50 එනම් 5050 ට සමවේ
සලකන ශ්‍රේණියේ පද සංඛ්‍යා ඔත්තේ වු විට ඉහත ක්‍රමය යොදා ගැනීමේ ඇති අපැහැදිලි බව මධ්‍යන්‍ය ක්‍රමයට සීතිම මගින් මගහරවා ගත හැක
ඒ අනුව සමාන්තර ශ්‍රේණියක අගය එහි පදයන්ගේ මධ්‍යන්‍යනයේත් පද සංඛ්‍යාවේත් ගුණිතයට සමාන වේ
ශ්‍රේණියේ පදවල මධ්‍යන්‍ය   ට සම විය යුතු යුතු වේ
ඊට හේතුව ශ්‍රේණියේ සංඛ්‍යා තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මත ඉහත අගය දෙපසින් සමානව විසිරී තිබීමයි
තවද ශ්‍රේණියේ පද අතර ඇත්තේ පොදු අන්තරයක් වීමද මේ සඳහා හේතු වේ
මෙය තවත් ක්‍රමයකට ප්‍රකාශ කල හැක
නියතයක් වන අතර එය  ට සමාන වේ
මෙය ශ්‍රේණියේ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවලින් අනුපිළිවෙලින් පදයන් ලබාගෙන තනන යුගලයන්ගේ මධ්‍යන්‍යය එකම නියත අගයක් වේය යන කරුණ හා අනුරූප වන අතර, තවද ඒ අනුව එම මධ්‍යන්‍යය ශ්‍රේණියේ සියළුම පදවල මධ්‍යන්‍යය ද වේ
සූත්‍රය සාධනය 

සමාන්තර ශ්‍රේණි‍ය විධි දෙකකට ප්‍රකාශ කරන්න
සමීකරණ යුගලෙහි දෙපසෙහිම ඓක්‍යය ලබා ගන්න, d ඇතුළත් සියළු පද ඉවත්ව යයි
ඒ අනුව,

  යන ප්‍රකාශනය ඉතිරි වේ
බව සිහියට නඟා ගැනීමෙන් ද, නැවත සකස් කිරීමෙන් ද අපට පහත ප්‍රතිඵල ලැබේ
සමාන්තර ශ්‍රේණි සහ සිග්මා අංකනය 
සාමාන්‍යයෙන් සමාන්තර ශ්‍රේණි  සිග්මා අංකනය ඇසුරෙන් ප්‍රකාශ කරනු ලැබේ
උදාහරණයක් ලෙස, 

 යන සමාන්තර ශ්‍රේණිය

සිග්මා අංකනය භාවිතයෙන් පහත පරිදි වඩාත් කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය

එසේම, 

 යන සමාන්තර ශ්‍රේණියක්

පහත පරිදි ලිවිය හැක

References 
http
org/wiki/Arithmetic_progression#Sum_
28arithmetic_series
29

 ගණිතය

ශ්‍රේණි
මෙම ලිපිය ත්‍රිකෝණමිතියෙහි  සයින් නියමය පිළිබඳවයි. භෞතික විද්‍යාවේ සයින් නියමය සඳහා ස‍නෙල් නියමය බලන්න
ත්‍රිකෝණමිතියේදී සයින් නියමය (හෝ සයින් නීතිය, සයින් සූත්‍රය) යනු	 තලයක වූ අභිමත ත්‍රිකෝණයක් පිළිබඳ වූ ප්‍රකාශනයකි
එම පාදවලට ප්‍රතිමුඛ  කෝණ a, b හා c ද නම් එවිට සයින් නියමයෙන් ප්‍රකාශ වන්නේ,

මෙහි R යනු ත්‍රිකෝණයේ පරිවෘත්තයේ අරයයි
ත්‍රිකෝණකරණ ශිල්පීය ක්‍රමයේ පොදු ගැටළුවක් වන ත්‍රිකෝණයක පාදයක්  හා කෝණ යුගලයක් දන්නේ නම් ඉතිරි පාද දෙක සෙවීම සඳහා මෙම නියමය ප්‍රයෝජනවත් වේ
එලෙසම ත්‍රිකෝණයේ පාද දෙකක් හා එම පාද දෙකින් සංවෘත නොවන කෝණයක් දන්නා විටද  මෙය භාවිතා කළ හැක‍
මෙහිදී සංවෘත කෝණය සඳහා අගයන් දෙකක් ලැබිය හැක
එලෙස අගයන් දෙකක් ලැබුණු  විට , එම එක් අගයක් පමණක් සියලු කෝණ  ට වඩා අඩු අගයන් ලබා දීමට හේතුපාදක වේ
එසේ නොමැති විට එම ත්‍රිකෝණ සඳහා වලංගු විසඳුම් දෙකක් ඇත
(වැඩි විස්තර සඳහා මෙම ලිපියෙහි උභ්‍යාර්ථ අවස්ථාව යන කොටස බලන්න
)

තවද,

මෙහි A යනු ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය වන අතර  s යනු අර්ධ පරිමිතිය  වෙයි

මෙම දෙවන තුල්‍යතාව හෙරොන්ගේ සූත්‍රයයි
org/wiki/Law_of_sines

ගණිතය
මෙම ලිපිය යුක්ලීඩ් ජ්‍යාමිතියෙහි වූ කෝසයින නියමය පිළිබඳවයි. ගෝලීය ජ්‍යාමිතිකයෙහි ඊට අනුරූප නියමය සඳහා කොසයින නියමය (ගෝලීය) බලන්න
ප්‍රකාශ විද්‍යාවේ කෝසයින නියමය සඳහා ලැම්බට් කෝසයින නියමය බලන්න
ත්‍රිකෝණමිතියෙහි කෝසයින නියමය (අල්-කශී නියමය, කොසයින නීතිය හෝ කෝසයින සූත්‍රය) යනු ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක පාදවල දිග එහි එක් කෝණයක කෝසයිනයට සම්බන්ධ කරන ප්‍රකාශයකි
1 රූපයේ පරිදි අංකනය යොදා ගත් විට කෝසයින නියමයෙන් ප්‍රකාශ කරනුයේ,

 

හෝ, එලෙසින්ම
මෙහි c යනු  γ  කෝණයට ප්‍රතිවිරුද්ධ පාදයයි
a හා b යනු γ  කෝණය සංවෘත කරන පාද දෙකයි
ඉහත සඳහන් සර්ව සාම්‍ය‍යන් තුනෙන්ම පැවසෙන්නේ එකම දෙයකි
ඒවා වෙන වෙනම ලැයිස්තු ගත කොට ඇත්තේ පැති තුන දී ඇති ත්‍රිකෝණ විසදීමේදී කෙනෙක් පාද තුනෙහි අනුපිළිවෙළ වෙනස් කරමින් සර්ව සාම්‍යය තෙවතාවක් යෙදීම සිදු කළ හැකි නිසාය
කොසයින නියමය මගින්  සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ සඳහා පමණක් සත්‍යය වන පයිතගරස් ප්‍රමේයය සාධාරණීකරණය කෙරේ
γ  කෝණය සෘජු කෝණී නම්  ( හෝ රේඩියන Π/2 විට cos (r ) = 0  වී කෝසයින  නියමය පහත පරිදි කුඩා වේ
මෙය පයිතගරස් ප්‍රමේයයයි

ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් හා එම පාද දෙකකින් සංවෘතවන කෝණය දන්නා විට තුන්වන පාදයේ දිග සෙවීම සඳහා කෝසයින නියමය ප්‍රයෝජනවත් වේ
ඒ ලෙසම ත්‍රිකෝණයේ පාද තුනෙහිම දිග දන්නේ නම් කෝණ සෙවීම සඳහා ද ප්‍රයෝජනවත් වේ
මේවාත් බලන්න
ත්‍රිකෝණමිතිය

ගණිතය

ත්‍රිකෝණමිතිය
2හි බලයනගේ පරස්පර අභිසාරී ශ්‍රේණියක් ලබා දේ
(ඒ අනුව 2හි බලයන්ගේ කුලකය “කුඩා” වේ)

 

ධන නිඛිලයන්ගේ පරස්පර මඟින් අපසාරී ශ්‍රේණියක් ලැබේ
ඉහත අකාරයේ ධන නිඛිලවල පරස්පරයන් මාරුවෙන් මාරුවට අඩු කිරීම් හා එකතු කිරීම් ලකුණු යොදා ලිවීමෙන් අභිසාරී ශ්‍රේණියක් ලැබේ
ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවන්හි පරස්පර අපසාරී ශ්‍රේණයක් ලබා දේ
(ඒ අනුව ප්‍රථමක සංඛ්‍යා කුලකය විශාල වේ)

 

සමචතුරස්‍ර සංඛ්‍යාවල පරස්පරයක් අභිසාරී ශ්‍රේණියක් ලබාදේ
(බැසල් ගැටළු)

 

ධන ඔත්තේ සංඛ්‍යාවල පරස්පරයන් මාරුවෙන් මාරුවට සෘණ හා ධන ලකුණු යොදා ලියූ විට අභිසාරී ශ්‍රේණියක් ලැබේ
org/wiki/Convergent_series#Examples_of_convergent_and_divergent_series

 ගණිතය
ගණිතයේ දී , බහුවලයික ශ්‍රිත,  සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණමිතික හෝ චක්‍රීය ශ්‍රිතවලට සමාකාර වේ
මූලික බහුවලයික වනුයේ, ශ්‍රිත බහුවලයික සයිනය "sinh" හා බහුවලයික කෝසයිනය "cosh" වන අතර, ඒවා අනුසාරයෙන්,  බහුවලයික ටැංජනය "tanh" ආදි අනෙකුත් ශ්‍රිත ව්‍යුත්පන්න වන්නේ, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ව්‍යුත්පන්නයට ප්‍රතිසමතාවක් දක්වමිනි
ප්‍රතිලෝම බහුවලයික ශ්‍රිත වනුයේ,  ප්‍රතිලෝම බහුවලයික සයිනය "arsinh"  ("arcsinh" හෝ "asinh" යැයි ද කියති) ආදීය වෙති
(cos t, sin t) ලක්ෂ්‍යයන් එක්ව ඒකක අරයක් සහිත වෘත්තයක් සදනවා මෙන්ම,  (cosh t, sinh t) ලක්ෂ්‍යයන් එක්ව සමපාද බහුවලයක දකුණු කොටස සදයි
බහුවලයික ශ්‍රිතයන්,  සමහරක් වැදගත් රේඛීය අවකල සමීකරණ වල විසඳුම්හි අපට හමුවන අතර, නිදසුන් වශයෙන්  එල්ලෙන තන්තුවල හැඩය නිර්ණය කිරීම, දාම චක්‍ර සහ විද්‍යුත් චුම්භකත්වය, තාප සංක්‍රාමණය , තරල ගතිවිද්‍යාව හා විශේෂ සාපේක්ෂතාවාදය වැනි භෞතික විද්‍යා ක්ෂේත්‍රවල වැදගත් වන ලප්ලාස් සමීකරණය (කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකවලදී) ආදිය දැක්විය හැක
බහුවලයික කෝණ ලෙස කියනු ලබන තාත්වික විචල්‍ය සඳහා බහුවලයික ශ්‍රිත විසින්  තාත්වික අගයක් ගනී
සංකීර්ණ විශ්ලේෂණයේදී  ඒවා සරලව ඝාතීයවල පරිමේය ශ්‍රිතවන අතර එම නිසා භාගරූප ද වේ
මෙවා හඳුන්වාදෙන ලද්දේ, 18වන සියවසෙහි ස්විස් ජාතික ගණිතඥ ජොහාන් හෙන්රිච් ලැම්බට් විසිනි
සම්මත වීජීය ප්‍රකාශනයන්

බහුවලයික ශ්‍රිතයන් වනුයේ
බහුවලයික සයිනය
බහුවලයික කෝසයිනය
බහුවලයික ටෑංජනය
බහුවලයික කෝටෑංජනය
බහුවලයික සෙකැන්ට‍ය
බහුවලයික කෝසෙකෑන්ටය
මෙහි   යන  ඒකක අතාත්විකය  අර්ථ දැක්වෙනුයේ  ලෙසය
ඉහත අර්ථදැක්වීම් වල සංකීර්ණ ආකාර ව්‍යුත්පන්න කෙරෙනුයේ  ඉයුලර්ගේ සූත්‍රය අනුවය
සම්මුති ප්‍රකාර,  යන්නෙන් අදහස් කෙරෙනුයේ , මිස  නොවන බව කරුණාවෙන් සලකන්න
අනෙකුත් බහුවලයික ශ්‍රිත සහ ධන දර්ශක සඳහාද මෙපරිද්දෙන්ම සලකන්න
අපරිමිත ශ්‍රේණියක a0 + a1 + a2 +  ආකාරයට පදයන්ගේ ඓක්‍යය ,සීමාව පවතී නම්
 
යන අනුක්‍රමයේ n → ∞ වන විට සීමාව වේ
යම් හෙයකින් ශ්‍රේණියක් සඳහා තාත්වික සීමාවක් පවතී නම් එය අභිසාරී යැයි සැලකෙන අතර තාත්වික සීමාවක් නොපවතී නම් හෝ සීමාව අපරිමිත නම් එවන් ශ්‍රේණියක් අපසාරී යැයි සලකනු ලැබේ
අපරිමිත ශ්‍රේණියක් අභිසාරී වීමේ පහසුම මඟ එහි n හි ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල අගයයන් සඳහා සියළු an අගයයන් ශුන්‍ය වීමයි
එවන් ශ්‍රේණියක් පරිමිත ඓක්‍යයක් පැවතීමෙන් හඳුනාගත හැකි වන අතර එය අපරිමිත වන්නේ නිසරු වශයෙන් යැයි සැ‍ලකේ.
කෙසේ නමුත් ශුන්‍ය නොවූ පදයන්ගෙන් යුත් ශ්‍රේණියක් වුව අභිසාරී විය හැකි අතර මෙය සීනෝගේ විරුද්ධාභාසයන් කිහිපයක ගණිතමය පැතිකඩ සඳහා වන විසඳුම් සපයයි
බොහෝ විට නිසරු නොවූ අපරිමිත ශ්‍රේණියක් සඳහා සරලම උදාහරණය

ඒකක 2 ක දිගින් යුත් තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාවක් ඇසුරින් මෙහි අභිසාරීතාව පිළිබඳ අදහසක් ගොඩනඟා ගත හැක
එවන් ‍රේඛාවක් මත අනුයාතව ඉහත අගයයන් පිළිවෙලින් 1, ,
ආදී ලෙස සලකුණු කරගෙන යන්නේ යැයි සිතමු
එවිට ඕනෑම සලකුණු කිරීමකින් අනතුරුව ඊළඟ සලකුණු කිරීම සඳහා ප්‍රමාණවත් ඉඩක් සංඛ්‍යා රේඛ‍ාවේ පවතී
ඊට හේතුව අප අවසානයට සලකුණු කළ කොටසේ දිගට සමාන දිගක් සංඛ්‍යා රේඛාව මත තවදුරටත් ඉතිරිව පැවතීමයි
උදාහරණයක් ලෙස අප 1 සලකුණු කළ විට තවත් ඒකක එකක කොටසක් ද, අප  සලකුණු කළ විට තවත්  ක කොටසක් ද සංඛ්‍යා රේඛාව මත ඉතිරිව පවතිනු ඇත
නමුත් මෙම තර්කය මඟින් ඉහත ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය 2 බව ඔප්පු නොවේ (ඉහත ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය 2කි) නමුත් එම තර්කය මඟින් ඉහත ශ්‍රේණිය සඳහා ලද හැකි උපරිම අගය 2ක් බව - එනම් ශ්‍රේණිය සඳහා උඩින් පර්යන්තයක් පවතින බව ඔප්පු වේ
මෙම ශ්‍රේණි‍ය ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක් වන අතර සාමාන්‍යයෙන් ගණිතඥයින් මෙය

 ලෙස ලියනු ලබයි
අපරිමිත ශ්‍රේණියක් විධිමත්ව ලියනු ලබන්නේ ,

ආකාරයට වන අතර මෙහි අවයව an අගයන් තාත්වික (හෝ සංකීර්ණ) සංඛ්‍යා වේ
මෙම ශ්‍රේණිය සඳහා සීමාවක් පවතී නම් ද එය S ට සමාන වේ නම් ද මෙම ශ්‍රේණි‍ය S ට අභිසාරී වේ යැයි හෝ එහි ඓක්‍යය S වේ යැයි කියනු ලැබේ
මෙයට අදාල අංකනය පහත වේ
නමුත් ශ්‍රේණිය සඳහා සීමාවක් නොමැති නම් එය අපසාරී වේ යැයි කියනු ලැබේ
විධිමත් අර්ථ දැක්වීම 

සාමාන්‍යයෙන් ශ්‍රේණියක් එහි පදයන්ගේ අනුක්‍රමය a0, a1, a2,
සහ එහි පදයන්ගේ ආංශික ඓක්‍යයේ  අනුක්‍රමය, S0, S1, S2,
යන යුගලයක් ලෙස ගණිතඥයන් ශ්‍රේණියක් අධ්‍යයනය කරනු ලබන අතර මෙහි  වෙයි
මඟින් හොඳින් අර්ථ දක්වා ඇති අනුක්‍රමණයක් නිරූපණය වන අතර එය අතර එය අභිසාරී වීම හෝ නොවීම සිදු විය හැක
යම් හෙයකින් ශ්‍රේණිය අභිසාරී නම් (එනම් එහි ආංශික ඓක්‍යයන්ගේ අනුක්‍රමණය  SN  ට සීමාවක් පවතින විට) අනුක්‍රමයේ සීමාව දැක්වීම සඳහා ද ඉහත නාමකරණයට යොදාගත හැක
මෙවැනි තත්වයක් යටතේ දී එකිනෙකට සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් වු අනුක්‍රමය සහ සංඛ්‍යාත්මක අගය යන තොරතුරු ප්‍රභින්න කොට දැක්වීම සඳහා ඓක්‍යය දක්වන සංකේතය
ඉහලින් හා පහලින් ලියන සීමා සංකේත අත්හැර ලිවීම කළ හැක
නමුත් සාමාන්‍යයෙන් සීමා සංකේත ඉවත් නොකළත් මෙවන් අංක‍නයක අර්ථය පැහැදිලි කර ගැනීම අපහසු නැත
නිරපේක්ෂ අභිසාරීතාව සහ සමාකල්‍ය බව ආදී ලෙස අනුක්‍රමණයක් අභිසරණය විය හැකි විවිධ ක්‍රම පවතී
තවද යම් අනුක්‍රමයක පද සරල සංඛ්‍යා වෙනුවට ශ්‍රිතයක් ආදී වෙනත් ආකාර‍යක් ගත් විට ලාක්ෂීය අභිසරණය සහ ඒකාකාරී අභිසාරීතාව ආදී වු තවත් අභිසාරීවන ක්‍රම පවතී
උදාහරණයක් වශයෙන් ගණිතඥයින් ශ්‍රේණිවල මේ හා සමාන මතයන් සඳහා ද ඉහත ක්‍රමවේද දීර්ඝ කර ඇත
උදාහරණයක් ලෙස අප සමාවර්ත දශම ගැන සලකන විට සත්‍ය වශයෙන්ම අප සලකා බලනුයේ එය අනුරූප වන ශ්‍රේණිය පිළිබඳවයි. (උදාඃ 0.1 + 0.01 + 0.001 + ) නමුත් තාත්වික සංඛ්‍යාවල පූර්ණතා ගුණය හේතුවෙන් මෙවන් ශ්‍රේණීන් හැමවිටම තාත්වික සංඛ්‍යාවන්ට අභිසරණය වන අතර ශ්‍රේණිය ගැන සැලකීම එය නිරූපණය කරන සංඛ්‍යාව ගැන සලකා බැලීමටම සම වේ
විශේෂයෙන්ම 0.111 සහ  1/9 වෙන් වෙන්ව නොසැලකීම අවබෝධයට එරෙහි නොවන අතර 9  0.111 = 0.999 = 1 යන තර්කය සාපේකෂව අපැහැදිලි වේ
නමුත් සීමා නියමයන් අංක ගණිතමය කර්මයන් වන බව දැන මෙහි සාධනය විධිමත් කළ හැක
ඒ අනුව ගණනය අස්ථිර නොවේ
(වැඩිපුර විස්තර සඳහා 0.999.
බලන්න)

 

ශ්‍රේණි
ගණිතයේ දී බොහෝ විට පද අනුක්‍රමයක එකතුවක් ලෙස ශ්‍රේණියක් නිරූපණය කෙරේ
එනම් සංඛ්‍යා අතර එකතු කිරීමේ කර්මයන් යෙදී ඇති සංඛ්‍යා ලැයිස්තුවක් ලෙස ශ්‍රේණියක් නිරූපණය කළ හැක
උදාහරණයක් ලෙස පහත සමාන්තර අනුක්‍රමය ‍සලකන්න
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +
+ 99 + 100

අප සලකනු ලබන සියළු අවස්ථාවල පාහේ අනුක්‍රමයේ පද කිසියම් නියමයකට යටත්ව ජනනය කෙරේ
මේ සඳහා කිසියම් සූත්‍රයක් , ඇල්ගොරිතමයක්, මිනුම් අනුක්‍රමයක් හෝ ඇතැම් විට සසම්භාවී අංක ජනකයක් පවා භාවිතා විය හැක
ශ්‍රේණියක් පරිමිත හෝ අපරිමිත විය හැක
පරිමිත ශ්‍රේණියක් ආශ්‍රිත ක්‍රියාකාරකම් සඳහා වීජ ගණිත ක්‍රම ප්‍රමාණවත් වන නමුදු අපරිමිත ශ්‍රේණියක් කිසියම් නිශ්චිත යෙදුමක් සඳහා යොදා ගත යුතු විටෙක ගණිතමය විශ්ලේෂණ ක්‍රමවේද භාවිතා කිරීමට සිදු වේ
ශ්‍රේණි සඳහා සරල උදාහරණ අතරට  ලෙස ලිවිය හැකි, සමාන්තර ශ්‍රේඪියක ඓක්‍යයෙන් ලැබෙන සමාන්තර ශ්‍රේණි සහ  ලෙස ලිවිය හැකි, ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියක ඓක්‍යයෙන් ලැබෙන ගුණෝත්තර ශ්‍රේණි යන ඒවා අයත් වේ
org/wiki/Series_%28mathematics%29

ගණිතය
බහුවලයික ශ්‍රිත
බහුවලයික සයිනය, “sinch” (සින්ච්) ලෙස හෝ (විශේෂයෙන්ම එක්සත් රාජධානියේ) “shine”  (ෂයින්) ලෙස උච්චාරණය කෙරේ
බහුවලයික කෝසයිනය, “cosh” (කොෂ්), “co – sinch” (කෝ - සින්ච්) හෝ “co - shine” (කෝ - ෂයින්) ලෙස උච්චාරණය කරයි
බහුවලයික ටැන්ජනය , “tanch” හෝ ටැන්ච්  “Than” (තෑන්) ලෙස උච්චාරණය කරයි
බහුවලයික කෝටැංජනය, “coth” (කොත්) , “co - tanch” (කෝ - ටෑන්ච්) හෝ “chot” (චොට්) ලෙස උච්චාරණය කරයි
බහුවලයික සීකනය (secant) , “ setch” (සෙච්) හෝ “ sheck” (ෂෙක්) ලෙස උච්චාරණය කරයි
බහුවලයික කෝසීකනය  (cosecant) , “cosetch” (කොසෙච්) හෝ “cosheck” (කොෂෙක්) ලෙස උච්චාරණය කරයි‍‍‍‍
මෙහි i යනු අතාත්වික ඒකකය වන අතර i2 = −1 වේ
ඉහත ව්‍යුත්පන්නවල ඇති සංකීර්ණ ආකාර ඉයුලර් (Euler) සූත්‍රය මගින් ව්‍යුත්පන්න වේ
සම්මුතියට අනුව sinh2 x යනු (sinh x)2 වන අතර sinh(sinhx) යන්න නොවේ
අනෙකුත් බහුවලයික ශ්‍රිත හා ධන ඝාතියන් සඳහාද ඉහත සම්මතය අදාළ වේ
ගණිතයේ දී සංඛ්‍යාවක ලඝු ගණකයක් යනු වෙනත් ස්ථිර අගයක දර්ශකයක් වන අතර, එහි පාදය, එම සංඛ්‍යාව ඉදිරිපත් කිරීම වැඩි කරනු ලබයි
උදාහරණ ලෙස, 10 පාදය සඳහා 1000 හි ලඝු ගණකය 3 වේ, ඒ 10 එහි 3වන බලයට නැංවු විට 1000 වන බැවිනි
තව දුරටත් විස්තර කළහොත්, x = by නම්, y යනු b පාදයට x හී ලඝු ගණකය වේ, මෙය ලියනු ලබන්නේ logb(x), එනම් log10(1000) = 3.

ගණනය කිරීම් පහසු කිරීම සඳහා 17 වන ශත වර්ෂයේදී ජෝන් නේපියර් විසින් ලඝු ගණක ඉදිරිපත් කරන ලදී
විද්‍යාඥයන්, ඉංජීනේරුවන්, සහ වෙනත් බොහෝ අය විසින් මෙම ක්‍රමය පහසුවෙන් සහ ඉක්මනින් ගණන් බැලීම් සිදු කිරීම සඳහා, ගණන් කෝදු සහ ලඝු ගණක වගු භාවිතා කරමින් සීග්‍රයෙන් යොදා ගනු ලබයි
ලඝුwaguwe ithihasaya
ගණිතය
x  හා b  ධන තාත්වික සංඛ්‍යා වන විට, logb(x) යනු අනන්‍ය තාත්වික සංඛ්‍යාවකි
පාද‍මෙහි b   හි විශාලත්වය 0 හෝ 1 නොවිය යුතුය
සාමාන්‍යයෙන් පාදම ලෙස 10 , e හෝ 2 යොදා ගනු ලැබේ
තාත්වික සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සඳහා අර්ථ දක්වා තිබේ
ලඝු ගණකයේ මුලික ගුණාංගය වන්නේ ඒවා ගුණිතය, ආකලන බවට පත් කිරීමයි
එම හැකියාව ඇතිවන්නේ පහත සර්ව සාම්‍යයෙනි
මෙහි ලඝුගණක ගැනීමෙන් 

 

තවත් ගුණයක් වනේ ඝාතීයකරණය ගුණනය දක්වා ඌනනය කිරීමයි
එය සිදු වන්නේ පහත සර්ව සාම්‍ය අනුවය
මේ අනුව c හි p වන බලය  (ඝාතියකරණය) වන්නේ
හෝ, ලඝු ගණක ගැනීමෙන්
වචන මඟින් ප්‍රකාශ කරනවා නම් , සංඛ්‍යාවක් p බලයට නැංවීමට සංඛ්‍යාවේ ලඝු ගණකය සොයා එය p මඟින් ගුණ කිරීම කළ යුතු වේ
බලයට නැංවූ විට ලැබෙන පිළිතුර වන්නේ ලැබුණු පිළිතුරේ ප්‍රති ලඝු ගණකයයි
එනම්  ,ලැබුණු පිළිතුර b හි බලයට නැංවීමයි
ගුණනය ආකලනය දක්වා අඩු කිරීම හා ඝාතීයකරණය ,ගුණනය දක්වා අඩු කිරීම හැරුණු විට ලඝු ගණක බෙදීම ව්‍යාකලනය දක්වාත් මූල ගැනීම බෙදීම දක්වාත් අඩු කරයි
ලඝු ගණක, දීර්ඝ ගණිතමය ක්‍රියාවලි සිදු කිරීම පහසු කරයි
මුළු ක්‍රියාවලියම ලඝු ගණක වගු හෝ සර්පණ රූල භාවිතා කිරීමේ දී වඩාත් පහසු වේ
ගණක යන්ත්‍ර නිසා මෙය දැන් අභාවයට ගොස් ඇත
ඉහත ප්‍රායෝගික වාසි වර්තමාන සංඛ්‍යාමය කටයුතුවලදී වැදගත් නොවුවත් ප්‍රස්ථාරික විශ්ලේෂණයේ දී යොදා ගනී
(බොඩ් (Bode) ලකුණු කිරීම බලන්න)

4(2
-ලඝු 10 පාදයට 2

ලඝු ගණක වගු  

පරිගණක හා ගණක යන්ත්‍ර පැමිණීමට පෙර, ලඝුගණක භාවිතය යනු ලඝුගණක වගු භාවිතා කිරීමයි
මෙය අතින් සිදු කළ යුතු විය
10 පාදයේ ලඝුගණක, ඉලෙක්ට්‍රොනික ක්‍රම නොමැති විට ඉතාමත් ප්‍රයෝජනවත් වේ
විස්තර සඳහා ‍පොදු ලඝුගණක බලන්න
පොදු ලඝු ගණකවල (10 පාදයේ) ගති ලක්ෂණවල භාවිතය හා දශමාංශය ඇතුළත්ව.
-)

1617 දී හෙන්රි බ්‍රිග්ස් ඔහුගේ 1000ට අඩු සියලු නිඛිලවල අට වන දශමස්ථානය දක්වා ලඝු ගණක අඩංගු වන පොදු ලඝු ගණක වගුවේ ප්‍රථම කොටස ප්‍රකාශයට පත් කළේය
1624 දී නැවත ඔහු විසින් ප්‍රකාශයට පත්කල ඇරිත්මැටිකා ලොගරිත්මිකා හි , 1 සිට 20,000  දක්වා ද, 90,00 සිට 100,000 දක්වා ද සියලු නිඛිලවල දාහතර වන දශමස්ථානය දක්වා ලඝු ගණක අඩංගු වන අතර එහි සිද්ධාන්ත හා ලඝු ගණකවල භාවිතය සම්පූර්ණයෙන්ම විස්තර කර ඇති ඉගෙනුම් හැඳින්වීමක් ද අන්තර්ගතය
20,000 සිට 90,000 දක්වා වු හිඩැස ඕලන්ද ජාතික ගණිතඥයෙකු වූ ඇඩ්‍රියන් ව්ලැක් විසින් පුරවන ලද මුත් ඔහුගේ වගුවේ අඩංගු වූයේ ලඝු ගණක දස වන දශමස්ථානය දක්වා පමණි
පසුව ව්ලැක්ගේ වගුවේ දෝශ 603ක් අඩංගු බව සොයා ගන්නා ලදී
නමුත් මෙය විශාල සංඛ්‍යාවක් ලෙස සැලකිය නොහැක
මන්ද යත් වගුව ගණනය කිරීම්වල ප්‍රතිඵලයක් වූ නිසා දෝශ විය හැකි මුද්‍රිත අවයව 2,100,000 පමණ ඇති හෙයිනි
බොහෝ සේ නිරවද්‍ය කරන ව්ලැක්ගේ කාර්යයන්හි සංස්කරණ 1794 දී ජූරික් වෙගාගේ තෙෂරස් ලොග්රින්මොරම් කම්ප්ලීටස් ලෙස ලෙයිජසි(z)ග් හිදී නම් කර ප්‍රකාශයට පත් කරන ලදී
ෆැන්චොයිස් කෝලේට්ගේ හත් වන ස්ථානයේ වගු (1795 , පැරිස්) 100,000 නවතිනවා වෙනුවට 100,000ත් 108,000 අතර සංඛ්‍යාවල අටවන ස්ථානයට ලඝු ගණක ලබා දුනි
මෙලෙස සිදු කරන ලද්දේ වගුවේ පෙර ‍කොටස්වලදී වැඩිපුර සිදු වූ අන්තර නිවේෂණයේ දෝශ අවම කර ගැනීම උදෙසාය
මෙම නව එකතු කිරිම හත්වන ස්ථානයේ වගුවල අන්තර්ගත විය
ව්ලැක්ගේ වගුවේ ප්‍රකාශිත එකම වැදගත් දිගුව නිර්මාණය කළේ සැන්ග් විසින් 1871 දීය
මෙම වගුවේ 200,000 අඩු සියලු සංඛ්‍යාවල සත්වන ස්ථානයේ ලඝු ගණක අඩංගු වේ
ව්ලැක් හා බ්‍රිග්ස් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ලඝු ගණකවල මුල් වගු ද ප්‍රකාශයට පත් කළහ
ඉහත සඳහන් කළ වගුවලට අමතරව, ටේබල්ස් ඩි කැඩස්ට්‍රි ලෙස හඳුන්වන සුවිසල් එකතුවක් 1700 දී ගැස්හර්ඩ් ඩි ප්‍රෝනිගේ මගපෙන්වීම යටතේ, මුල් ගණනය කිරීම් තුළින්, ප්‍රංශ ජන රජයේ අනුග්‍රහය යටතේ නිර්මාණය විය
මෙහි 100,000 දක්වා සංඛ්‍යාවල දහනව වන ස්ථාන‍ය දක්වා ද 100,000ත් 200,000 ත් අතර සංඛ්‍යාවල විසි හතරවන ස්ථානය දක්වා ද ලඝු ගණක ඇතුළත් වේ
මුල් පිටපත පමණක් ඉතිරි ඇති මෙය “අති විශාල පත් ඉරු දහ හතක” සටහන්ව පැරීසියේ නිරීක්ෂණ මධ්‍යස්ථානයේ ඇත
එය 1792 දී ආරම්භ කළ අතර ගණනය කිරීම්වල විශාල නිරවද්‍යතාව තිබිය යුතු නිසා වෙන වෙනම වගු 2ක් නිර්මාණය කර එම මුල් පිටපත් 2 එකිනෙක සසඳා වසර දෙකක පමණ කෙටි කාලයකදී අවසන් කෙරිනි
ඝනජ අන්තර්නිවේෂණය මඟින් ඒ හා සමාන නිරවද්‍යතාවකින්ම ඕනෑම සංඛ්‍යාවක ලඝු ගණකය සෙවිය හැක
ගණිතයේ දී අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යාවක් යනු වීජීය නොවන, එනම් පරිමේය සංගුණකවලින් යුත් ශුන්‍ය නොවන බහු පද සමීකරණයක විසඳුමක් නොවන, අපරිමේය සංඛ්‍යාවකි
අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යාවකට වඩාත්ම ගැලපෙන උදාහරණ වන්නේ π සහ e ය
අප විසින් හඳුනන්නේ අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා කාණ්ඩ සුළු සංඛ්‍යාවකි
එමඟින් පෙනෙන්නේ දී ඇති සංඛ්‍යාවක් අත්‍යුත්තර බව පෙන්වීම අතිශයින් අපහසු කාර්යයක් බවයි. කෙසේ නමුත් අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා දුලබ නොවේ
තාත්වික හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සියල්ලම පාහේ අත්‍යුත්තර වේ
එනිසා වීජීය සංඛ්‍යා ගැණිය හැකි නමුත් තාත්වික හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා කුලක ගැණිය නොහැකිය
සරලවම කිවහොත් ගණිතයේ දී තාත්වික රේඛාවක් යනුවෙන් හැඳින්වෙන්නේ R නම් තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකයකි
නමුත් මෙය බොහෝ විට යෙදෙන්නේ R ස්ථල විද්‍යාත්මක අවකාශයක් හෝ දෛශික  අවකාශයක් වැනි යම් ආකාරයක අවකාශයක් සේ සලකන විටයි
අවම වශයෙන් ආදි ග්‍රීකවරුන්ගේ කාලයේ පටන් පමණ අධ්‍යයනයන්ට භාජනය වුවද තාත්වික රේඛාව පිළිබඳ 1872 වසර තෙක් ගැඹුරු අර්ථ දැක්වීමක් නොවීය
එදාට පෙර සහ පසුද එය ගණිතයේ විවිධ ක්ෂේත්‍රයන්ට සැලකිය යුතු දායකත්වයක් දැක්වූ වැදගත් උදාහරණයක් වේ
එකිනෙකට වෙනස් එහෙත් තුල්‍ය වූ ක්‍රම දෙකකට පැහැදිලි කළ හැකි සම්මත ස්ථලක ව්‍යුහයක් තාත්වික රේඛාවට පවතී
පළමුවැන්න යටතේ තාත්වික සංඛ්‍යා පූර්ණ ලෙස පටිපටිගත බැවින් ඒවා පටිපාටිගත ස්ථලක ව්‍යුහයක් ගනී යැයි කිව හැක
දෙවැන්න යටතේ නිරපේක්ෂ අගයට අදාල ප්‍රමිතික මත පදනම්ව තාත්වික සංඛ්‍යා ප්‍රමිතික අවකාශයක් බවට පත් කළ හැක
d(x,y)
= | y − x | මෙම ප්‍රමිතිකය මඟින් R ට පටිපාටිගත ස්ථලක ව්‍යුහය හා තුල්‍ය වූ ස්ථලක ව්‍යුහයක් ලබා දේ
ස්ථල විද්‍යාත්මක අවකාශයක් ලෙස ගත් කළ තාත්වික රේඛාව පළමු මානයට අයත් ස්ථලමය සමූදායක් වේ
එය පරාසුසංහිත, ද්විත්ව ගණ්‍ය මෙන්ම සංකෝචනය කළ හැකි සහ ස්ථාන සුසංහිත වේ
එයට සම්මත අවකල්‍ය ව්‍යුහයක් ද පවතින අතර එනිසා එය අවකල්‍ය සමූදායක් ද වේ
(diffeomorphism දක්වාම ස්ථල විද්‍යාත්මක අවකාශයට දැරිය හැකි අවකල්‍ය ව්‍යුහ ඇත්තේ එකක් පමණි) ඓතිහාසිකව ගත් කළ මෙම එක් එක් ගණිතමය ව්‍යුහයන් සඳහා මුලින්ම අධ්‍යයනය කරන ලද උදාහරණය වන අතර එබැවින් එය මෙම නූතන ගණිතමය ක්ෂේත්‍රයන්ගේ පෙර ගමන් කරු සේ ක්‍රියා කරයි
(සත්‍ය වශයෙන් කිවහොත් ඉහත යෙදුම් බොහොමයක් අර්ථ දැක්වීම සඳහා පළමුව R හි පැවැත්ම අත්‍යාවශ්‍ය වේ
)
දෛශික අවකාශයක් සේ ගත් කළ තාත්වික රේඛාව පළමු මාතයට අයත් R  තාත්වික සංඛ්‍යා ක්ෂේත්‍රය පිරිවසා දෛශික අවකාශයක් (එනම් එය මතම පිරිවසන දෛශික අවකාශයක්) වේ
එයට සම්මත අන්තඃ ගුණිතයක් පවතින අතර එබැවින් එය යුක්ලීඩියානු අවකාශයක් ද වේ
(අන්තඃගුණිතය තාත්වික සංඛ්‍යාවල සාමාන්‍ය ගුණිතය වේ
) දෛශික අවකාශයක් ලෙස මෙය එතරම් උනන්දුවක් ජනිත කරන්නක් නොවූ අතර එබැවින් මුල්වරට දෛශික අවකාශයක් ලෙසට අධ්‍යයනය කරන ලද්දේ ද්විමාන යුක්ලීඩියානු අවකාශයයි
කෙසේ නමුත් R ඒකජ වීජීය ගණිතයේ ආරම්භයට හේතු වූ බව අපට කිව හැකි වන්නේ ප්‍රථමවරට දෛශික අවකාශ අධ්‍යයනය කරන ලද්දේ R පිරිවස‍ා බැවිනි
R වලයක් සහ එමෙන්ම ක්ෂේත්‍රයක් සඳහා ද මූලික උදාහරණයක් වේ
සත්‍යවශයෙන්ම  එය තාත්වික පූර්ණ ක්ෂේත්‍රයක් වන අතර එබඳු ක්ෂේත්‍ර අතරින් මුල්වරට අධ්‍යයනයට ලක් වූ ක්ෂේත්‍රය ද විය
ඒ අනුව එමඟින් අමූර්ත වීජයේ  ඊට අදාල කොටසට මූලාරම්භය සැපයු බව ද සැලකිය හැක
කෙසේ නමුත් ඒ ආකාරයේ ශුද්ධ වීජ ගණිත සන්දර්භයක දී R රේඛාවක් ලෙස හඳුනාගන්නේ කලාතුරකිනි
R හි එහි සියළු ආකාර පිළිබඳ වැඩිදුර තොරතුරු සඳහා ‘තාත්වික සංඛ්‍යාව” නම් ලිපිය බලන්න
අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා කුලකය ගැණිය නොහැකි අපරි‍මිතයකි
සාධනය සරලය
නිඛිලමය සංගුණකවලින් යුත් බහු පද ගැණිය හැකි නිසා හා එවැනි එක් එක් බහු පදයට මූලයන් පරිමිත සංඛ්‍යාවක් ඇති නිසා වීජීය සංඛ්‍යා ද ගැණිය හැකි විය යුතුය
නමුත් කැන්ටර්ගේ විකර්ණ තර්කය මඟින් තාත්වික සංඛ්‍යා (එමනිසා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ද) ගැණිය නොහැකි බව ඔප්පු කරයි
එම නිසා සියලු අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා කුලකය ද ගැණිය නොහැකි විය යුතුය
අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා කිසි විටෙක පරිමේය නොවන නමුත් සමහරක් අපරිමේය සංඛ්‍යා අත්‍යුත්තර නොවේ
උදාහරණ ලෙස 2හි වර්ගමූලය අපරිමේය වේ නමුත් එය x2 − 2 = 0 බහුපදයේ විසඳුමයි
එමනිසා එය අත්‍යුත්තර නොව වීජීය වේ
ඕනෑම තනි විචල්‍යයක නියත නොවන වීජීය ශ්‍රිතයක් , අත්‍යුත්තර ස්වායත්ත විචල්‍ය අගයක් යෙදු විට අත්‍යුත්තර අගයක් ලබා ගනී
එම නිසා උදාහරණයක් ලෙස π අත්‍යුත්තර ලෙස දන්නා විට අපට ඉතා ඉක්මණින් 5π, (π − 3)/√2, (√π − √3)8 and (π5 + 7)1/7 වැනි සංඛ්‍යා අත්‍යුත්තර බව අපෝහණය කළ හැක
කෙසේ නමුත්, විචල්‍ය කිහිපයක් ඇති වීජීය ශ්‍රිතයක් අත්‍යුත්තර සංණ්‍යාවකට යෙදූ විට, එම සංඛ්‍යා වීජීය වශයෙන් ස්වායත්ත නොවේ නම් ශ්‍රිතය ලබා ගන්නේ වීජීය සංඛ්‍යාවකි
උදාහරණ ලෙස π හා 1 − π යන ද්විත්වය අත්‍යුත්තර වේ
නමුත් π + (1 − π) = 1 එසේ නොවේ
තවදුරටත් උදාහරණ ලෙස π + e යන්න අත්‍යුත්තර යයි නොදනී
එසේ වුවත් π + e හා πe යන  2න් එකක් අත්‍යුත්තර විය යුතු වේ
වඩාත් සාමාන්‍ය ලෙස, a හා b  අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා 2 සඳහා අඩු තරමින් a + b හා  ab යන දෙකෙන් එකක් වත් අත්‍යුත්තර විය යුතුය
මෙය නිරීක්ෂණය සඳහා  (x − a) (x − b) = x2 − (a + b)x + ab  බහු පදය සලකන්න
(a + b) හා ab  යන දෙකම වීජීය වේ නම් මෙය වීජීය සංගුණක ඇති බහු පදයක් විය යුතුය
වීජීය සංඛ්‍යා වීජීය වශයෙන් සංවෘත ක්ෂේත්‍රයක් ඇතිකරන නිසා මෙමගින් අදහස් වන්නේ බහුපදයේ මුල a හා b වීජීය  විය යුතු බවයි. නමුත් මෙය පරස්පර විරෝධීතාවකි
ඒ අනුව සංගුණක දෙකෙන් එකක් වත් අත්‍යුත්තර විය යුතුය
සියලු වීජීය සංඛ්‍යා ගණනය කළ හැකි නිසා ගණනය නල නොහැකි සියලු සංඛ්‍යා ද අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා වේ
සියලු ලියුවිල් සංඛ්‍යා අත්‍යුත්තර වේ
එසේ වුවත් සියලු අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා ලියුවිල් සංඛ්‍යා නොවේ
ඕනෑම ලියුවිල් සංඛ්‍යාවක සන්තත භාග ප්‍රසාරණයේ අපර්යන්තගත ආංශික ලබ්ධි පැවතිය යුතුය
බැඳුණු ආංශික ලබ්ධි ඇති නමුත් ලියුවිල් අංක නොවන අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා පවතින බව ගණන තර්කයකින් පෙන්වා දිය හැක
e හි ප්‍රකාශිත සන්තත භාග ප්‍රසාරණය යොදා ගෙන e ලියුවිල් සංඛ්‍යාවක් නොවන බව පෙන්විය හැක
(එහි සන්තත භාග ව්‍යාප්තියේ ආංශික ලබ්ධි අපර්යන්තගත වූවත්) 1953 දී කර්ට් මාලර් π ද ලියුවිල් සංඛ්‍යාවක් නොවන බව පෙන්වා දුනි
පර්යන්තගත පද ඇති අවසානයේ දී ආවර්තික නොවන සියලු අපරිමිත සන්තත භාග අත්‍යුත්තර බව අනුමාන කර ඇත
(අවසානයේ දී අවාර්තික සන්තත භාග වර්ගජ අපරිමේයයන්ට අනුරූප වේ)

ගණිතය
ලෝකයේ ජනප්‍රියම ක්‍රීඩා අතරෙන් එක් පිළකට ක්‍රීඩකයින් පස් දෙනෙකුගෙන් සමන්විත කණ්ඩායම් ක්‍රීඩාවක් ලෙස පැසිපන්දු ක්‍රීඩාව () හැඳින්විය හැකිය
මීටර් 3ක් එනම් අඩි 10 උස පැසකට පැසි පන්දුව නිවැරදිව විදීමෙන් හෝ විසිකිරීමෙන් ලකුණු රැස්කර ගනී
ජයග්‍රාහී කණ්ඩායම වනුයේ වැඩිම වාර ගණනක් පැසට පන්දුව විදීමට හැකි වූ කණ්ඩායමයි
පන්දුව ඉහළ නගින ලෙස බිම ගැසීමෙන් (bouncing) හෝ කණ්ඩායමේ සාමාජිකයින් අතර පන්දුව හුවමාරුවෙන් ගෝල කණුව කරා පන්දුව ගෙන යා හැකිය
පන්දුව භාර දීමේදී විවිධ සීමාවන් පවතින අතර ප්‍රතිවාදී පිළේ සාමාජිකයින්ට කායිකව පීඩා කිරීමට අවසර නොලැබේ
පන්දුව හුවමාරුවේ, විදීමේ හා ඉහළ යන ලෙස බිම පතිත කිරීමේ ක්‍රමවේදයන් හි පමණක් නොව සගයින් බාධකයින් ලෙස ක්‍රීඩකයින්ගේ තාක්ෂණවේදය ද අද ඉතා ඉහළ මට්ටමකට දියුණුව ඇත
උදා - කණ්ඩායමේ උසම ක්‍රීඩකයා මැද ක්‍රීඩකයා (center) ලෙසත් මිටිම ක්‍රීඩකයා pointer ලෙසත් කටයුතු කරන අතර හොඳම පන්දුව හසුරවන්නා ගෝල රකින්නා ලෙසත් ක්‍රීඩා කරයි
තරගකාරීව පවත්වන පැසි පන්දු තරඟාවලියක් ගෘහස්ථව පවත්වන අතර ඉන් ඔබ්බට බාහිරව පවත්වන ක්‍රීඩා අංගයක් ලෙස පැසි පන්දු ක්‍රීඩාව ග්‍රාමීයව ජනප්‍රිය වී ඇත
පැසිපන්දු ක්‍රීඩාවේ උපත

1891 වසරේ දෙසැම්බර් මස ඇමෙරිකා එක්සත් ජනපදයේ ස්ප්‍රිංෆීල්ඩ් හිදී තරුණ ක්‍රිස්තියානි සංගමයේ ශාරීරික අධ්‍යාපනය පිළිබඳ අධ්‍යක්ෂ මහාචාර්ය ජේම්ස් නෑයිස්මිත් ක්‍රීඩකයන් ඕනෑම සංඛ්‍යාවකට ගෘහස්ථ වශයෙන් ක්‍රීඩා කිරීමට සුදුසු ක්‍රීඩාවක් නිර්මාණය කළේය
ඒ ඔහු වැසි දිනක තම සිසුන්ට  ක්‍රීඩා කිරීමට කළ නිර්මාණයක සාර්ථක ප්‍රතිඵලයි

ඔහු අඩි 10 ක (මීටර් 3ක) උසින් පීච් කූඩයක් සවි කළේය
එය පීච් බාස්කට් සහ පාපන්දු ශෛල පන්දුවකින් සමන්විත විය
ඔහු නව ක්‍රීඩාව සඳහා නීති 13 ක් පළ කළේය
ඔහු තම සිසුන් 18ක පන්තිය ක්‍රීඩකයන් නවයක කණ්ඩායම් දෙකකට බෙදා එක් එක් ක්‍රීඩකයන්ට ඔහුගේ නව ක්‍රීඩාව පිළිබඳ මූලික කරුණු උගන්වන ලදී
ක්‍රීඩාවේ අරමුණ වූයේ බාස්කට්බෝලය බැල්කනියේ පහළ බාල්කය වටේට සවි කර ඇති පලතුරු කූඩයට විසි කිරීමයි
සෑම අවස්ථාවකදීම ලකුණු ලබා ගත් විට පන්දුව කූඩයෙන් ගැනීමට ක්‍රීඩාව නතර කරන ලදී
ටික කලකට පසුව පලතුරු කූඩවල යට අඩිය කොටස ඉවත් කෙරුනි
ප්‍රථම මහජන බාස්කට්බෝල් තරගය 1892 මාර්තු 11 වන දින මැසචුසෙට්ස් හි ස්ප්‍රින්ග්ෆීල්ඩ්හි දී පැවැත්වුණි
ගණිතයේ දී , ශ්‍රිතයක සීමාව යනු එම ශ්‍රිතයේ විශේෂිත ආදානයක් අසල හැසිරීම සැලකිල්ලට ගන්නා කලනයේ හා විශ්ලේෂණයේ මූලික සංකල්පයකි
විධිගත නොවූ ආකාරයට පැවසුව හොත්, ශ්‍රිතයක් සියලු ආදාන x සඳහා ප්‍රතිදාන f(x) ඇත
x,p ‍ට ආසන්න ඕනෑම විටෙක f(x) , L ට ආසන්න නම් , p ආදානයේ දී ශ්‍රිතයේ දී සීමාව L වේ
වෙනත් ආකාරයකට , x,p ට ආසන්න වත්ම f(x) ද L ට ආසන්න වේ
වඩා විශේෂිතව , එක් එක් ආදානයට p ‍ට ප්‍රමාණවත් තරම් ආසන්න වන පරිදි f  යෙදූ විට ප්‍රතිඵලය  L ට ඉතාමත් ආසන්න ප්‍රතිදාන අගයකි
p ‍ට ආසන්න ආදාන , අතිශයින් වෙනස් ප්‍රතිදාන ඇති කරයි නම් සීමාවක් නොපවතින ලෙස කියවේ
19 වන සියවසේ මුල් භාගයේ දී මුලින්ම ප්‍රකාශයට පත් වූ විධිමත් අර්ථ දැක්වීම් පහත දැක්වේ
ඉතිහාසය

අභිප්‍රේරණය
y = f(x) ප්‍රස්ථාරයේ දැක්වෙන ආකාරයට භූමිය මතින් පියාසර කරන ගුවන් යානයක් ගැන සිතන්න
එහි තිරස් පිහිටීම x හි අගය ඇසුරින් මිනුම් කෙරේ
මෙය භූමි සිතියම් හෝ GPS උපකරණයක් මඟින් ලබාදෙන පිහිටුමට සම වේ
ගුවන් යානයේ උන්නතාංශය y ඛණ්ඩාංකය මඟින් දෙනු ලැබේ එය  x = p මගින් දෙනු ලබන තිරස් පිහිටුම වෙත පියාසර කරයි
එසේ වන විට ගුවන්යානයේ උන්නතාංශය L වෙත ආසන්න වන බව පෙනේ
ගුවන් යානය x = p හි දී උන්නතාංශය අනුමාන කරන්නට කිවහොත් ගුවන් යානය p කරා ළඟා නොවුව ද පිළිතුර L ලෙස සැලකිය හැකි වේ
උන්නතාංශය L කරා ළඟා වේ යැයි කීමෙන් අදහස් වන්නේ උන්නතංශය ක්‍රම ක්‍රමයෙන් වඩ වඩාත් L ට සමීප වන බවය
(මෙහි දී නිරවද්‍යභාවයේ කුඩා දෝෂයක් තිබිය හැකි අතර එය නොසලකා හැරිය යුතුය)
උදාහරණයක් ලෙස ගුවන් යානය සඳහා අප කිසියම් නිරවද්‍යතා ඉලක්කයක් ලබා දුන්නේ යැයි සිතන්න
ගුවන් යානය L ට මීටර 10 ක් දක්වාවත් ආසන්න විය යුතු යැයි අප නියම කලේ යැයි, සිතන්න p තිරසට මීටර 50 ක පරාසයේදී ගුවන් යානයේ පථය L ට මීටර 10ක් හෝ අඩු ප්‍රමාණයක් දුරින් පිහිටන බැවින්, නියමය පිලිපැදිය හැකි බව ගුවන් යානයෙන් පිළිතුරු ලැබෙනු ඇත
දැන් අප නිරවද්‍යතා ඉලක්කය වෙනස් කර බලමු
ගුවන් යානය L ට මීටර 1ක් දක්වාවත් ආසන්න විය යුතු යැයි කිවහොත් එය කළ හැකි ද
මේ සඳහා ලැබෙන පිළිතුරු “ඔව්” යන්නයි
ගුවන් යානය p ට මීටර 2ක් දක්වා පරාසයේදී ගුවන් යානයේ සිට L ඉලක්කයට ඇති දුර මීටර් 1ක් හෝ ඊට අඩු අගයක් වීම මීට හේතුවයි. සාරාංශගතව කිවහොත් ගුවන් යානයේ තිරස් පිහිටුම p ට ළඟා වන විට එහි උන්නතාංශය L  කරා ළඟා වේ යැයි කීමෙන් අදහස්වන්නේ අප සලකන ඕනෑම නිරවද්‍යතා ඉලක්කයක් සඳහා එය සපුරාලන යම් නිශ්චිත ප්‍රදේශයක් p ට ආසන්නව පිහිටන බවයි.
දැන් අපට මුල් අවිධිමත් ප්‍රකාශය නිශ්චිත ලෙස පහත ලෙසට දැක්විය හැක
x , p කරා ළඟා වන විට f(x) ශ්‍රිතයක සීමාව පහත ගුණ දරන L නම් සංඛ්‍යාවක් වේ
දෙන ලද ඕනෑම ඉලක්ක දුර ප්‍රමාණයක් සැලකූ කළ L ට ඇති දුර ප්‍රමාණය ඉලක්ක අගයට අනුකූල වන පරිදි p සිට යම් දුර පරාසයක් සඳහා අගයක් ලබා ගත හැක
ස්ථල විද්‍යාත්මක අගයයන් ගන්නා ශ්‍රිතයක සීමාව පිළිබඳ විධිමත් අර්ථ දැක්වීමට ඉහත විස්තරාත්මක ප්‍රකාශය බොහෝ දුරට සමාන වේ
අර්ථදැක්වීම්

තාත්වික රේඛාවක් මත ශ්‍රිත

ඒකාංශ සීමා

ප්‍රමිතික අවකාශයන්හී ශ්‍රිත

අනන්තය සම්බන්ධ වන සීමා

විකල්ප අංකනය

සංකීර්ණ-අගයැති ශ්‍රිත

විචල්‍යයන් ඒකකට වඩා වැඩි ශ්‍රිතයන්හී සීමා

අනුක්‍රමික සීමා

ගුණාංග
f ශ්‍රිතයක  p හි දී සීමාව L  යැයි පැවසීම
සීමාව p ට සම වන M හි ඕනෑම අභිසාරී (xn) අනුක්‍රමයක් සඳහා (f(xn)) අනුක්‍රමය L සීමාව සහිතව ආභිසාරී වේ යැයි කීමට සම වේ
කුලක මගින්   නම් ශ්‍රිත වසමේ පරිමිත විභාගයක් සාදයි නම් ද මෙම එක් එක් කුලකය සඳහා සාපේක්ෂ සීමාව පවතී නම් ද එය L  ට සමාන වේ නම් ද x ලක්ෂය සඳහා සීමාවක් පවතින අතර එය L  ට සමාන‍ වේ
p හිදී f ශ්‍රිතය සන්තතික වන්නේ x , p ට ළඟා වන විට f(x) හි සීමාව පවතී නම් සහ එය f(p) ට සම වේ නම් පමණි
සමාන වශයෙන්  p දෙසට අභිසාරී වන M හි ඕනෑම අනුක්‍රමයක් f මඟින් f(p)  දෙසට අභිසරණය වන N හි අනුක්‍රමයක් බවට පරිණාමය කරයි
N ප්‍රමිතික දෛශික අවකාශයක් වේ නම් සීමා කර්මය පහත දැක්වෙන අර්ථයෙන් රේඛීය වේ
x , p ට ළඟා වන විට f(x) හි සීමාව  L  නම් හා x , p ට ළඟා වන විට g(x) හි සීමාව  p නම් ද, x , p ට ළඟා වන විට f(x) + g(x) හි සීමාව L + P වේ
තව ද a පාදීය ක්ෂේත්‍රයේ අදිශයක් වේ නම් x , p ට ළඟා වන විට af(x) හි සීමාව aL වේ
පහත සර්ව සාම්‍යයන්ට දකුණු පසින් ඇති සීමාවන් පවතී නම් ශ්‍රිතයක සීමාව ගැනීම වීජ ගණිත කර්ම සමඟ ද එකඟ වේ
(මින් අවසාන එක සත්‍ය වන්නේ හරය ශුන්‍ය නොවූ විටයි)
ඉහත එක් එක් අවස්ථාවේ දී දකුණු පස ඇති සීමාවන් නොපවතින අවස්ථාවේ දී හෝ අවසාන අවස්ථාවේ මෙන් ලවයේ හා හරයේ සීමාවන් ශුන්‍ය වන විට පවා වම් පස පවතින සීමාව පැවතිය හැකි වන අතර මෙය f හා g කවර ශ්‍රිත වේද යන්න මත තීරණය වේ
මෙම නීති ඒක දිග සීමාවන්ට p = ±∞ වන අවස්ථාවේ හා අපරිමිත සීමා සඳහාත් වලංගු වේ
q + ∞ = ∞ for q ≠ -∞

q  ∞ = ∞ if q > 0

q  ∞ = −∞ if q < 0

q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞

(දීර්ඝ කරන ලද තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව බලන්න)
q / 0 යන අවස්ථාව සඳහා පොදු නීතියක් නොමැති බව සලකන්න
මෙම අවස්ථාව ශුන්‍යයට ළඟා වන ආකාරය මත තීරණය වේ
අනීර්ණ ආකාර උදාහරණ වශයෙන් 0/0, 0∞, ∞−∞, සහ ∞/∞ සඳහා  මෙම නීති යෙදිය නොහැකි නමුත් මේවාට අනුරූප සීමා බොහෝ විට ලොස්පිටාල් නීතිය හෝ ස්ක්වීස් ප්‍රමේය මඟින් නිර්ණය කළ හැක
ප්‍රයෝජනවත් සර්වසාම්‍යය

අමතර ප්‍රයෝජනැති සීමා

ලොස්පිටල් නීතිය

සමාකලන සහ අනුකලන

මෙයද බලන්න
සීමා ලැයිස්තුව
ඒකාංශ සීමා
Limit of a sequence
Net (topology)
Big O notation
Limit superior and limit inferior
l'Hpital's rule
Squeeze theorem

ආශ්‍රිත

සීමා
කලනය
ගණිතය
හැඳින්වීම 
ගණිතයේ දී බහුපදයක් යනු, ආකලනය, ව්‍යාකලනය, ගුණනය හා නියත ධන පූර්ණ සංඛ්‍යා දර්ශක යොදා ගෙන විචල්‍ය හා නියත එකක් හෝ වැඩි ගණනකින් සැදී ඇති ප්‍රකාශනයකි
උදාහරණයක් ලෙස ,
  බහු පදයක් වන නමුත් 
  එසේ ‍නොවේ
එයට හේතුව එහි විචල්‍යයකින් බෙදීමක් ඇතුළත්වීම හා ධන පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ‍නොවන දර්ශකයක් ඇතුළත් වීමයි
බහු පද, වීජ ගණිතයේ වඩාත්ම වැදගත් සංකල්පවලින් එකක් වන අතර ගණිත‍ය හා විද්‍යාව පුරාවටම ද එය වැදගත් වේ
ඒවා මූලික ප්‍රශ්නවල සිට විද්‍යාවේ සංකීර්ණ ගැටළු දක්වා පුළුල් පරාසයක ගැටලු ආවරණ වන බහු පද සමීකරණ ගොඩ නැංවීමට භාවිතා වේ
සරල රසායන විද්‍යාවේ හා භෞතික විද්‍යාවේ සිට ආර්ථික විද්‍යාව දක්වා පරාස ගත වන පසුබිමක දක්නට ලැබෙන බහු පද ශ්‍රිත අර්ථ දැක්වීමට ඒවා යොදා ගනී
තවද කලනයේ දී හා සංඛ්‍යාත්මක විශ්ලේෂණයේ දී අනෙකුත් ශ්‍රිත ආසන්න කිරීමට ‍භාවිතා වේ
වීජ ගණිතයේ හා වීජීය ජ්‍යාමිතියේ එක් බලවත් සංකල්පයක් වන බහු පද වළලු තැනීමට ද බහු පද භාවිතා වේ
බහු පද සම්බන්ධයේදී පැස්කල් ත්‍රිකෝණය තවත් එක ප්‍රධාන කරුණකි
බහු පද ශ්‍රිතයක අර්ථ දැක්වීම 
 හි  වන මාත‍්‍රයේ බහුපද ශ්‍රිතය 

    

ලෙස අර්ථ දැක්වේ
නිදසුන්

  හි පළමු මාත්‍රයේ බහුපද ශ්‍රිතය

  හි දෙවන මාත්‍රයේ බහුපද ශ්‍රිතය

  හි තෙවන මාත්‍රයේ බහුපද ශ්‍රිතය

බහු පද සමීකරණ විසඳීම 

සෑම බහු පදයක්ම බහු පද ශ්‍රිතයකට අනුරූප වෙයි
එහි දී  බහු පදයට සමානව සකසනු ලැබේ
බහු පද සමීකරණවලදී බහු පදය ශුන්‍යයට සමානව සකසනු ලැබේ
සමීකරණයේ විසඳුම් බහු පදයේ මූල ලෙස හඳුන්වන අතර ඒවා ශ්‍රිතයේ ශුන්‍යයන් හා එහි ප්‍රස්ථාරයේ  - අන්තඃඛණ්ඩ වේ
බහු පදයක මූලයක් නම්  යන්න බහු පදයේ මූලයක් වේ
වැනි සමහරක් බහු පදවලට තාත්වික මුල නොමැත
නමුත් කෙසේ හෝ පිළිතුරු ගැනීමට අවසර දී ඇති කුලකය සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දක්වා විස්තීර්ණ කළ හොත්, සියලු (නියත නොවන) බහු පදවලට අඩුම වශයෙන් එක් ප්‍රභින්න මූලයක් වත් ‍තිබේ
මෙය වීජ ගණිතයේ මූලික ප්‍රමේයයේ ප්‍රතිඵලයකි
මුල ආසන්න කිරීම හා නිරවද්‍යම මුල සෙවීම අතර වෙනසක් තිබේ
දෙවන මාත්‍රයේ බහු පදවල මූල සඳහා වූ සූත්‍රය ඉපැරණි කාලයේ සිට පැවතුනි
(වර්ගජ සමීකරණ බලන්න) 16 වන සියවසේ සිට 4 වන මාත්‍රය දක්වා සූත්‍ර ද භාවිතයට එක් විය
නමුත් 5වන මාත්‍රය සඳහා වූ සූත්‍ර පර්යේෂකයන් මඟ හැර ගියේය
1824 දි නීල්ස් හේන්ඩ්රික් අබෙල්, මාත්‍රය පහට හෝ වඩා වැඩි බහු පදවල මූල සඳහා එහි සංගුණක ආශ්‍රයෙන් සූත්‍රයක් (අංක ගණිතමය ක්‍රියාවලි හා ආමූල පමණක් අඩංගු) පැවතිය නොහැකි බව ඔප්පු කරන ලදී
(ආබෙල් රෆිනි ප්‍රමේයය බලන්න) මෙම ප්‍රතිඵලය , මූල හා බහු පද අතර සම්බන්ධය විස්තරාත්මකව අධ්‍යයනය කරන ගාලොයිස් සිද්ධාන්තයේ ආරම්භයට මඟ පෑදීය
එක් නොදන්නා රාශියක් ඇති බහු පද සංඛ්‍යාත්මක විසඳීම පරිගණක මඟින් ඩියුරන්ට් - කර්නර් ක්‍රමය හෝ වෙනත් මූල සොයන ඇල්ගොරිතමයක් යොදා ගෙන පහසුවෙන් සිදු කළ හැක
නොදන්නා රාශි කිහිපයකින් යුත් සමීකරණ එක් නොදන්නා රාශියක් ඇති සමීකරණ බවට පත් කරන ආකාරය බච්ඩර්ගර්ගේ ඇල්ගොරිතමය යටතේ සාකච්ඡා වේ
සියලු බහු පද පළමු මාත්‍රයේ වනවිට එය ඒකජ සමීකරණ පද්ධතියක් ලෙස හඳුන්වන අතර එහි දී විශේෂිත ලෙස ගවුසීය ඉවත් කිරීම ඇතුලු විවිධ පරාසයකින් යුත් විසඳුම් ක්‍රම රාශියක් පවතී
රිචඩ් බර්ක්ලෑන්ඩ් හා කාල් මේයර් විසින් ඕනෑම බහු පදයක මුල, බහු විචල අධි ජ්‍යාමිතික ශ්‍රිත අනුසාරයෙන් ප්‍රකාශ කළ හැකි බව පෙන්වා දෙන ලදී
ෆර්ඩිනන්ඩ් වොන් ලින්ඩ්මන් හා හිරෝෂි උමෙමුරා විසින් මූල, ඉලිප්සීය ශ්‍රිත පිළිබඳ සිද්ධාන්තවල ඇති තීටා ශ්‍රිතවල සාධාරණීකරණයක් වූ සීගල් මාපාංතික ශ්‍රිත අනුසාරයෙන් ද ප්‍රකාශ කළ හැකි බව පෙන්වා දෙන ලදී
මෙම අහඹු බහුපදවල ක්‍රම , පංචජ සමීකරණ විසඳීම සඳහා සොයා ගන්නා ලද ක්‍රමවල සාධාරණීකරණයන්ය
ජ්‍යාමිතිය
කලනය
ගණිතය
සීමා 
 
ගණිතයේදී සීමා‍ව යන සංකල්පය, ශ්‍රීතයක ස්වායත්ත විචල්‍යය යම් ලක්ෂ්‍යයකට ආසන්න වන විට හෝ එය පදනම් රහිතව විශාල වීමේදී ශ්‍රීතයෙහි හැසිරීම විස්තර කිරීමට හෝ අනුක්‍රමයක අවයව, ඒව‍ායේ දර්ශක අපරිමිතව විශාල වීමේදී හැසිරෙන  ආකාරය විස්තර කිරීමට හෝ භාවිතා කරනු ලැබේ
සීමාව කලනය හා ගණිතමය විශ්ලේෂණ‍ෙය් අනෙක් අංශ වලදී ව්‍යුත්පන්න හා සන්තතිකතාව අර්ථ දැක්වීමටද යොදා ගනී
ශ්‍රීතයක සීමාව යන සංකල්පය තවදුරටත් ස්ථලක ජාලයක් පිලිබද සංකල්පය දක්වා ව්‍යාප්ත වී ඇති අතර අනුක්‍රමයක සීමාව ප්‍රවර්ග වාදයේදී සීමා‍වට හා සෘජු සීමාවට ලඟ සබඳකම් දක්වයි.
ගණිතය
වැඩිම කණ්ඩායම් ලකුණු එකතුව කෙන්යා කණ්ඩායමට එරෙහිව 1996 දී ලකුණු 398/5.

තුන්වන විකට්ටුව සඳහා හොඳම සම්බන්ධතාවය ලකුණු 183 ක් බටහිර ඉන්දීය පිළට එරෙහිව සනත් ජයසුරිය (115) හා මහේල ජයවර්ධන (82) 2007 දී
පළමු විකට්ටුව සඳහා හොඳම සම්බන්ධතාවය ලකුණු 183 ක් 1996 දී කෙන්යාවට එරෙහිව අසංක ගුරුසිංහ (84) හා අරවින්ද ද සිල්වා (145)
වැඩිම ලකුණු සංඛ්‍යා තරඟ 38 කදී සනත් ජයසූරිය ලකුණු 1165.

වැඩිම පෞද්ගලික ලකුණු සංඛ්‍යාව අරවින්ද ද සිල්වා ලකුණු 145 ක් 1996 දී කෙන්යාවට එරෙහිව. 

වැඩිම තරඟ සංඛ්‍යාවකට සහභාගී වීම, තරග 38 සනත් ජයසූරිය
හොඳම පන්දු යවන්නා ලකුණු 25 විකට් 6 කට චමින්ද වාස් 2003 වසරේදී බංග්ලාදේශයට එරෙහිව.

වැඩිම දවාගැනීම් සංඛ්‍යාව (කඩුලු රැකීම ඇතුළුව) - කුමාර සංගක්කාර (32) තරඟ 21 කදී
වැඩිම විකට් සංඛ්‍යාවක් ලබාගැනීමට විකට් 53 ක් තරඟ 31 කදී මුත්තයියා මුරලිදරන්
ලෝකයේ එකම පන්දුයවන්නා එකම පන්දුවාරයක පන්දු හතරකදී විකට් හතරක් පිළිවෙලින් ලබාගැනීම
ලසිත් මාලිංග දකුණු අප්‍රිකාවට එරෙහිව 2007 වසරේදී
බංග්ලාදේශයට එරෙහිව 2003 වසරේදී එකම පන්දු වාරයකදී විකට් තුනක් දවාගත් (Hatrick) ප්‍රථම ශ්‍රී ලංකික ක්‍රීඩකය‍ා වීමට චමින්ද වාස් සමත්විය
ප්‍රථම පන්දු වාරයක ප්‍රථම පන්දු 3න් විකට් තුනක් දවාගත් ලෝකයේ එකම පන්දු යවන්නා වීමට චමින්ද වාස්ට හැකිවිය
ඒ 2003 වසරේදී බංග්ලාදේශයට එරෙහිවයි.
ක්‍රිකට් ලෝක කුසලානය
ආබාධිතයින්ගේ ක්‍රීඩා වලට සහභාගී වන්නේ ශාරීරිකව හෝ මානසිකව අපහසුතා ඇති පුද්ගලයන්ය
‍ෙබා‍ෙහාමයක් දැනට පවතින  ක්‍රීඩා නවීකරණය කර ආබාධිත පුද්ගලයින්ට ගැලපෙන ලෙස හා ඔවුන්ගේ අවශ්‍යතාවන්ට ගැලපෙන ලෙස සකසා ඇත
සමහර අවස්ථාවලදී මේවා සකස් කරන ලද ක්‍රීඩා ලෙස හඳුන්වනු ලබයි
සෑම ආබාධිතයන් සඳහා වු ක්‍රීඩාවක්ම එසේ සකස් කරනු ලැබූ ඒවා නොවේ
ආබාධිතයන් සඳහා විශේෂයෙන් සකස් කරනු ලැබූ සමහර ක්‍රීඩාවන්ට සමාන ක්‍රීඩා ආබාධිත නොවන අය සඳහා වන ක්‍රීඩා වල නැත
සංවිධානය හා ඉතිහාසය  

ආබාධ සහිත ක්‍රීඩකයන් වර්ග 3 කට බෙදේ
බිහිරි, ශාරීරික ආබාධ හා මානසික ආබාධ
අන්තර්ජාතික බිහිරි තරඟ මුලින් ම ආරම්භ වුයේ 1924 පැරිස් සයිලන්ට්  ගේම්ස් වලය
මෙම තරඟ වර්තමානයේ  පවතින ඩෙෆලිම්පින්ස් වල විකාශනයයි
අන්තර්ජාතික බිහිරි ක්‍රීඩා කමිටුව (CISS)   බිහිරි තරඟකරුවන් සඳහා වෙනම  තරඟ පවත්වන අතර, එය ඔවුන්ගේ ප්‍රමාණයෙන්, විශේෂ සන්නි‍වේදන  අවශ්‍යතා හා  අන්‍යොනය සබඳතා  ක්‍රීඩාව  කෙරෙහි බලපායි
මෙම ක්‍රීඩා මුලින්ම දෙවන ලෝක යුද්ධයෙන් ආබාධ වූ සොල්දාදුවන් හා සිවිල් වැසියන් පුනරුත්ථාපනය කිරී‍ම සඳහා ප්‍රධාන කොටසක් ලෙස යොදා ගැනුණි
මෙහි මුල්ම නිර්මාතෘවරයා වන්නේ 1948 මැන්ඩවිල් රෝහලේ විසූ සර් ලුඩ්වින් ගට්මන් ය
ඔලිම්පික් තරඟ ලන්ඩන් වල පැවති අතර, ආබාධ සහිත රෝද පුටු තරඟකරුවන්නේ තරඟය ස්ටොන් මැන්ඩවිල් හි පවත්වන ලදි
මෙය වර්තමානයේ පැරාලිම්පික් තරඟාවලියේ විකාශනයයි
වර්තමානයේ මෙම තරඟාවලිය අන්තර්  ජාතික පැරාලිම්පික් කමිටුව හා අන්තර් ජාතික ක්‍රිඩා සංවිධාන යටතේ පාලනය වේ
බුද්ධිමය ආබාධ ක්‍රීඩාව 1960 වසරේ  විශේෂ ඔලිම්පික් සංවිධානයකින් බිහිවිය
1962 ඉයුනීස් කෙනඩි ශ්‍රීවර් ගේ ග්‍රීස්ම කඳවුරු කිහිපයකින් වර්ධනය විය
මුල්ම අන්තර්ජාතික විශේෂ ඔලිම්පික් තරඟය 1968 දී  චිකාගෝ හිදී පැවැත් වුණි
1986 වසරේ දී අන්තර්ජාතික බුද්ධිමය ආබාධ සහිත පුද්ගලයන්ගේ සංවිධානය (WAS - FID) බුද්ධිමය ආබාධ සහිත පුද්ගලයන්ගේ විශිෂ්ඨ තරඟ ඇති කලේය
බුද්ධිමය ආබාධ සහිත ක්‍රීඩකයන් පැරාලිම්පික් හි අඩංගු  කර තිබු අතර, 2000 වසරේ ඔලිම්පික් හි දී ඇති වූ වංචාවන් හේතුවෙන් මෙම තරඟකරුවන් පැරාලිම්පික් තරඟාවලියෙන් තහනම් කරන ලදි
2006 වසරේ දී සන්ධි ආබාධ සහිත පුද්ගලයන් හට තරඟයක් සංවිධානය කරන ලද අතර කොලේජ්  පාර්ක් සමාගම (තම නිෂ්පාදනය වන කෘත්‍රිම පාද) මෙහි තරඟයක් වන ඇක්ෂන් ස්පෝට්ස් තරඟය  ට අනුග්‍රහය දක්වා ඇත
මෙය ග්‍රීෂ්ම සෘතුවේ ඔර්ලැන්ඩො හි පවත්වන අතර අදාල තරඟකරුවන් හිම මත ලිස්සා යාම, පර්වත නැඟීම, කදු තරණය - බසියිකල් මඟින්, රැල මත පැදීම හා ඔරු පැදිම වැනි ක්‍රීඩා කරති
අන්තර්ගත කිරීම

1980 දශකයේ අගභාගය සහ 1990 දශකයේ මුල් භාග‍ය ආශ්‍රිතව රටවල් කිහිපයක් සහ සංවිධාන කිහිපයක් ආබාධ සහිත ක්‍රීඩකයන් සඳහා වූ තරඟ සාමාන්‍ය ක්‍රීඩා තරඟ පද්ධතිය තුළට ඇතුළත් කිරීම සඳහා මූලිකත්වය ගෙන කටයුතු කිරීම ආරම්භ කළහ
මෙම ක්‍රියාවලිය ඔස්සේ ඔලිම්පික් තරඟාවලිය සහ පොදු රාජ්‍ය මණ්ඩලීය ක්‍රීඩා උළෙල වැනි ප්‍රධාන තරඟාවලි තුළට ආබාධ සහිත වූවන් සඳහා වන ඉසව් ඇතුළත් කිරීමත් ආබාධ සහිත ක්‍රීඩකයන්ට සාමාන්‍ය ක්‍රීඩා සංවිධාන සමඟ සම්බන්ධ වීමේ හැකියාව ලබා දීමත් අරමුණු කෙරුණි
1984 පටන් ඔලිම්පික් ක්‍රීඩා උළෙලට පැරා ඔලිම්පික් මලල ක්‍රීඩකයන් සම්බන්ධ වූ ප්‍රදර්ශන ඉසව් ඇතුළත් විය
කෙසේ නමුත් මේ වන තෙක් ආබාධ සහිත ක්‍රීඩකයන් සඳහා ඔලිම්පික් පදක්කම් ප්‍රදානය කෙරෙන ඉසව් පැවැත්වීම සිදු වී නොමැත
මේ අනුව ඔලිම්පික් තරඟාවලිය තුළ ආබාධ සහිත ක්‍රීඩකයන්ගේ භූමිකාව අද වන විට ද විවාදයට තුඩු දුන් මාතෘකාවක් වේ
පොදු රාජ්‍ය මණ්ඩලීය ක්‍රීඩා උළෙලේ දී මුල් වරට ආබාධ සහිත ක්‍රීඩකයන් සඳහා ප්‍රදර්ශන තරඟ පැවැත්වීම ආරම්භ වූයේ 1994 වසරේ දී වේ
2002 වසරේ දී මැන්චෙස්ටර්හි දී පැවති පොදු රාජ්‍ය මණ්ඩලීය ක්‍රීඩා උළෙලේ දී ආබාධ සහිත ක්‍රීඩකයන් ඔවුන්ගේ ජාතික කණ්ඩායම්වල පූර්ණ සාමාජිකයන් ලෙස සලකන ලද අතර ඒත් සමඟම පොදු රාජ්‍ය මණ්ඩලීය ලොව ප්‍රථම පූර්ණ අන්තර්ගතය සහිත බහු ක්‍රීඩා උළෙල බවට පත්විය
මෙම ක්‍රියාවලිය 2006 වසරේ මෙල්බර්න්හි දී පැවති පොදු රාජ්‍ය මණ්ඩලීය ක්‍රීඩා උළෙල තුළ ද ක්‍රියාත්මක වූ අතර එහි දී කැනේඩියානු කණ්ඩායම නියෝජනය කළ චැන්ටල් පැටික්ලර්ක් ආබාධිතයන් සඳහා වන ක්‍රීඩා ඉසව් සහ සාමාන්‍ය ක්‍රීඩා ඉසව් යන දෙවර්ගයම අන්තර්ගත වන ක්‍රීඩා තරඟාවලියක සමාරාම්භක උළෙලේ දී තම රට වෙනුවෙන් එහි ධජය ගෙන ගිය ප්‍රථම ආබාධ සහිත ක්‍රීඩකයා බවට පත් විය
පැරාලිම්පික්
ගණිතයේ ශ්‍රිත සංකල්පයේ ඉතිහාසය “දා පොන්ටේ” (da Ponte) (1992) මගින් විස්තර කරයි
1694 දී ගොට්ෆ්‍රයිඩ් ලෙයිබ්නිස් විසින් “ශ්‍රිතය” යන වදන හඳුන්වා දුන්නේ , විශේෂ ලක්ෂ්‍යයක දී වක්‍රයක බෑවුම් වැනි වක්‍රවලට සම්බන්ධ ගුණ විස්තර කිරීමටය
ලෙයිබ්නිස් විසින් සැලකූ ශ්‍රිත වර්තමානයේ හඳුන්වනු ලබන්නේ අවකල්‍ය ශ්‍රිත ලෙසය
මෙම වර්ගයේ ශ්‍රිත සඳහා කෙනෙකුට සීමා හා ව්‍යුත්පන්න පිළිබඳ කතා කළ හැක
මේවා ආදානය හා ආදානයේ වෙනසක් මත ප්‍රතිදානයේ හා ප්‍රතිදානයේ වෙනසක්  පිළබඳ මිනණුමකි
එවැනි ශ්‍රිත කලනයේ මූලික පදනම වී ඇත
18 වන ශත වර්ෂයේ මැද භාගයේ දී ලෙනාර්ඩ් ඉයුලර් ශ්‍රිතය යන වදන, විවිධ ස්වායත්ක විචල්‍ය අඩංගු ප්‍රකාශන ‍හෝ සමීකරණ විස්තර කිරීමට යොදා ගන්නා ලදී
උදාහරණ වශයෙන්
(x) = sin(x) + x3.  
19 වන සියවසේ දී ගණිතඥයන් , ගණිතයේ සියලු වෙනස් අංශ විධිමත් කිරීම ආරම්භ කලෝය
වෙයර්ස්ට්‍රාස් , ජ්‍යාමිතියට වඩා අංක ගණිතය මත කලනය ගොඩ නැංවීමට ‍පක්ෂව කතා කළ අතර එය ලෙයිබ්නිස් ගේ අර්ථ දැක්වීමට වඩා ඉයුලර්ගේ අර්ථ දැක්වීමට වාසි සහගත විය
(විශ්ලේෂණයේ අංකගණිතකරණය බලන්න)
මුලදී ශ්‍රිතයක් පිළිබඳ අදහස සීමා වී තිබුණි
උදාහරණයක් ලෙස ජොසප් ෆවුරියර් සෑම ශ්‍රිතයකටම ෆවුරියර් ශ්‍රේණියක් තිබෙන බවට ප්‍රකාශ කළේය
වර්තමානයේ කිසිදු ගණිතඥයෙක් එසේ ප්‍රකාශ නොකරයි
ශ්‍රිතවල අර්ථ දැක්වීම පුළුල් කිරීම තුළින් ගණිතඥ‍යන්ට, කිසිඳු ලක්ෂයක් අවකලනය  නොවන සන්තතික ශ්‍රිත වැනි වෙනස් ගණිතමය වස්තූන් පිළිබඳ අධ්‍යයනය කිරීමට හැකි විය
ආරම්භයේ දී මෙම ශ්‍රිත සිද්ධාන්තමය කුතුහල පමණක් බවට සැලකූ අතර 20 වන සියවස දක්වාම හැඳින්වූයේ අද්භූත යන අර්ථය දෙන “මොන්ස්‍ටර්ස්” යනුවෙනි
කෙසේ නමුත් ශ්‍රිතීය විශ්ලේෂණයේ බලවත් තාක්ෂණික ක්‍රම පෙන්වා දී ඇත්තේ මෙම ශ්‍රිත අවකල්‍ය ශ්‍රිතවලට වඩා බහුල බවයි. මෙවැනි ශ්‍රිත බ්‍රවුනීය චලිතය වැනි භෞතික විද්‍යාත්මක සංසිද්ධි ආදර්ශනය කිරීමට යොදා ගෙන ඇත
19 වන සියවසේ අවසාන කාලයේ දී ගණිතඥයන්
ගණිතයේ සියල්ල, කුලක සිද්ධාන්තය යොදා ගනිමින් විධිමත් කිරීම ආරම්භ කරන ලදී
ඔවුන් විසින් සෑම ගණිතමය වස්තුවක්ම කුලකයක් ලෙස නම් කළහ
ඩිරිචෙල්ට් හා ලොබෑෂ්ව්ස්කයි සාම්ප්‍රදායික වශයෙන් ශ්‍රිතයේ නව අර්ථ දැක්වීම සඳහා ස්වාධීන උපහාර ලබයි
ඔවුන් ශ්‍රිතය හැඳින්වූයේ , සියලු ප්‍රථම අවයවයකටම  ආවේණික දෙවන අවයවයක් ඇත්තක වූ සම්බන්ධයක් ලෙසය
නමුත් ඩිරිචෙල්ට් ගේ විධිගත කිරීම ඉම්‍රේ ලාකටොස්ගේ පහත කියමනෙන් අපහාසයට ලක්වේ
“ඩි‍රිචෙල්ට්ගේ ක්‍රියාකාරකම්වල කිසිසේත්ම එවැනි අර්ථ දැක්වීමක් නොමැත
නමුත් ඔහුට මෙම සංකල්පය පිළිබඳ කිසිදු අදහසක් නොතිබූ බවට ඕනෑ තරම් සාක්ෂි ඇත
උදාහරණයක් ලෙස ඔහුගේ (1837) දී , ඔහු කොටසක් වශයෙන් සන්තතික ශ්‍රිත සාකච්ඡා කිරීමේ දී පැවසුවේ අසන්තතිකතා ලක්ෂ්‍යවලදී ශ්‍රිතයට අගයන් දෙකක් පවතින බවය”
(සාක්ෂි හා නිශ්ප්‍රභා කිරීම්,) 151 , කේම්බ්‍රිජ් විශ්වවිද්‍යාල මුද්‍රණාලය 1976)

හාර්ඩි (Hardy) (1908, pp
26–28) ශ්‍රිතයක් යනු x සහ y  විචල්‍යයන් දෙකක් අතර සබඳතාවයක් යැයි අර්ථ දැක්වූයේ පහත පරිදි ප්‍රකාශ කිරීමෙනි
“සමහරක් x  අගයන් සඳහා කවර ආකාරයකින් හෝ අනුරූපී y අගයන් ඇත
ඔහුට ශ්‍රිතය සියලු x අගයන් සඳහා අර්ථ දැක්වීමට හෝ x හි එක් එක් අගය y හි එක් අගයකට සම්බන්ධ කිරීමට අවශ්‍ය නොවීය
ශ්‍රිතයක මෙම පුළුල් අර්ථ දැක්වීමට, සමකාලීන ගණිතයේ පොදුවේ සැලකූ ශ්‍රිතවලට වඩා වැඩි සබඳතා ප්‍රමාණයක් අන්තර්ගත වේ
පරිගණකයේ නීතියක් ලෙස ශ්‍රිතයක් පිළිබඳ මතය, විශේෂ ආකාරයේ සබඳතාවයකට වඩා පුළුල් ලෙස ගණිතමය තර්කනයේ දී හා සෛද්ධාන්තික පරිගණක විද්‍යාවේ දී අධ්‍යයනයට ලක්වේ
මෙම පරිගණනය කළ හැකි ශ්‍රිතවලට ආකෘති ලෙස ලැම්බ්ඩා කලනය , μ සහානුයාත ශ්‍රිත හා ට’රින්ග් යන්ත්‍ර හැඳින්විය හැක
ශ්‍රිත (කුලක සිද්ධාන්තය) මෙම ලිපියට හෝ කොටසට සම්බන්ධ විය යුතු බව යෝජනා විය
ශ්‍රිතයක ගණිතමය සංකල්පය රාශි 2ක් අතර පරායත්තතාව ප්‍රකාශ කරයි
එක් රාශියක් දී ඇති (ස්වායත්ත විචල්‍ය හෝ එහි “ආදානය”) අතර අනෙක නිෂ්පාදනය
(පරායත්ත විචල්‍ය, ශ්‍රිතයේ අගය හෝ “ප්‍රතිදානය”) ශ්‍රිතයක් , තාත්වික සංඛ්‍යා වැනි නිත්‍ය කුලකයකින් ගන්නා ලද එක් එක් ආදානයට ඇති තනි ප්‍රතිදානවලින් යුක්ත වේ
ශ්‍රිතයක් ඉදිරිපත් කිරීමට ආකාර කිහිපයක් ‍ති‍බේ
සූත්‍රයක් මඟින් , රූප සටහන් හෝ ප්‍රස්ථාර මඟින් , එය ගණනය කරන ඇල්ගොරිතමයක් මඟින් , එහි ගුණවල විස්තරයක් මඟින් එය සිදු කළ හැක
සමහරක විට ශ්‍රිත ඒවා අනෙක් ශ්‍රිතවලට ඇති සම්බන්ධය හරහා විස්තර කරනු ලැ‍බේ
(උදාහරණ ලෙස ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත බලන්න) ව්‍යවහාරික අංශවලදී ශ්‍රිත , ඒවායේ අගය වගු හෝ සූත්‍ර මඟින් විශේෂණය කරනු ලබයි
ඇති සෑම ශ්‍රිතයක්ම සියලු විස්තර කිරීම් විධිවලින් විස්තර කළ නොහැක
අයෙක් ශ්‍රිතය හා එය  ඉදිරිපත් කළ හැකි විවිධ ක්‍රම අතර පැහැදිලි  බවක් ඇති කළ යුතු වේ
ගණිතය පුරාවට ඉතාමත් වැදගත් අදහසක් වන්නේ ශ්‍රිතයක සංයුතියයි
z යනු y හි ශ්‍රිතයක් නම් හා y යනු x  හි ශ්‍රිතයක් නම්  z , x  හි ශ්‍රිතයකි
එය අපි විධිමත් නොවන ආකාරයකින්, සංයුත ශ්‍රිතයක් ලැබෙන්නේ ප්‍රථම ශ්‍රිතයේ ප්‍රතිදානය දෙවැන්නේ ආදානය ලෙස භාවිතා කිරීමෙන් යැයි විස්තර කරයි
ශ්‍රිතවල මෙම ලක්ෂණය එය සංඛ්‍යා හෝ සංඛ්‍යාංක වැනි අනෙකුත් ගණිතමය නිමැවීම් වලින් වෙන් කොට දක්වයි. තවද මෙම ලක්ෂණය එහි ප්‍රබල ව්‍යුහය සමඟ ශ්‍රිත පිළිබඳ සිද්ධාන්ත ද ලබා දේ
සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක එක් කෝණයක්  වන නිසා වෙනත් කෝණයක් දන්නේ නම් එමගින් ඉතිරි කෝණය සෙවිය හැක
සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයේ හැඩය සම්පුර්ණයෙන් නිර්ණය කරනු ලබන්නේ සමරූප්‍යතාවය තෙක්ම කෝණවලට  අනුවයි. මින් අදහස් වන්නේ අනෙක් කෝණයන්ගෙන් එකක් දන්නා විට ත්‍රිකෝණයේ විවිධ පාදවල අනුපාතය ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රමාණය මත පදනම් නොවී එකම අගයක් ගන්නා බවයි.එනම් ත්‍රිකෝණය කෙතරම් විශාලනයට ලක් වුවද කර්ණය, සම්මුඛ පාදය හා බද්ධ පාදය හා සම්බන්ධ නියමිත අනුපාතයන් නියතයකි
මෙම අනුපාතයන් දන්නා A කෝණයක් සදහා වු පහත සඳහන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයන් මගින් ලබාදේ
සයින් ශ්‍රීතය අර්ථ දක්වනුයේ, කෝණයට සම්මුඛ පාදයේ දිග එහි කර්ණයේ දිගට දක්වන අනුපාතය ලෙසයි
කොසයින ශ්‍රීතය (cus) අර්ථ දක්වනුයේ, බද්ධ පාදයේ දිග කර්ණයේ දිගට දක්වන අනුපාතය ලෙසයි
සම්මුඛ පාදය යනු A කෝණයට සම්මුඛව ඇති පාදයයි
((Mnemonics) යටතේ පහත බලන්න) 

මෙම ශ්‍රිතවල පරස්පර පිලිවෙලින් කෝසිකනය (csc හෝ cosec) සීකනය (sec) සහ කෝටැංජනය (cot) ලෙස නම් කරයි
මෙම ශ්‍රිත වල ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයන්ට පිලිවෙලින් චාප සයිනය, චාපකෝසයිනය හා චාප ටැංජනය ලෙස හදුන්වනු ලැ‍බේ
ජ්‍යාමිතියේදී සියලු බහු අස්‍ර පරිමිත ත්‍රිකෝණ සංඛ්‍යාවක එකතුවක් ලෙස විස්තර කල හැකි බැවින් මෙම නියම ජ්‍යාමිතියේ සියලු කොටස් වලදී ප්‍රයෝජනවත් වේ
ත්‍රිකෝණමිතිය
රේඩියන එකක් යනු, වෘන්තයේ අරයට සමාන දිගකින් පරිධිය ඔස්සේ වු චාප ඛාන්ඩයක් මගින් වෘත්ත කේන්ද්‍රයේ ආපාතනය කරන කෝණයයි
එහි අදහස රේඩියන එකක්  අංශක 180/ π ට සමාන වන බවයි
ජර්මානු කවියෙක්, නවකතාකරුවෙක්, නාට්‍ය රචකයෙක්, දේශපාලනඥයෙක් සහ රාජ්‍ය තාන්ත්‍රිකයෙක්
ඔහු වඩාත් ප්‍රසිද්ධ වන්නේ ඔහුගේ සාහිත්‍ය කෘති වන, ද සෝරෝස් ඔෆ් යන්ග් වර්තර්, ස්ටර්ම් ඇන්ඩ් ඩ්‍රැන්ග් සහ ෆවුස්ට් ය
ඔහු සාහිත්‍ය දක්ෂයෙකු ලෙස වඩාත් හොඳින් සලකනු ලැබුවද, ගොතේ විද්‍යාත්මක අධ්‍යයනයන්හි, විශේෂයෙන් ස්වාභාවික විද්‍යා ක්ෂේත්‍රයේ ද සම්බන්ධ විය
භූ විද්‍යාව පිළිබඳ ඔහුගේ පුළුල් අධ්‍යයනයේ කොටසක් ලෙස ඔහු සතුව පුළුල් ඛනිජ එකතුවක් තිබුණි
රොජර් ෆෙඩරර් යනු 1981 උපන් ස්විට්සර්ලන්තයේ වෘත්තිමය ටෙනිස් ක්‍රීඩකයෙකි
2004 පෙබරවාරී 1 දින පටන් නොකඩවා සති 223 ක  කාලයක් තිස්සේ ලෝකයේ අංක 1 කිරුළ දරා සිටී. බොහෝ විචාරවලද, ක්‍රීඩාවේ අතීත පුරාවෘත්ත මගින්ද, ඔහුගේම සමානයන්ද, ඔහු ඉතිහාසයේ සිටි ක්‍රීඩා දැවැන්තයෙකු ලෙස සළකති
2008 දි ඔහු ලෝරස් වර්ෂයේ හොඳම ක්‍රීඩකයා ලෙස නම් කරන ලදි
ඒ නොකඩවා හතර වෙනි වතාවට වන අතර එය වාර්තා ගත තත්වයකි
ෆෙඩරර් ග්‍රෑන්ඩ් ස්ලෑම් ඒකල තරඟ වල සම්මාන 12 ක් (ඕස්ට්‍රේලියා විවෘත තුනක් විම්බ්ල්ඩන් පහක්ද එ
ජනපද විවෘත හතරක් ද වශයෙනි) ද ටෙනිස් මාස්ටර් කුසලාන හතරක්, සහ ඒවීපි මාස්ටර් කුසලාන දාහතරක් දිනා ගත්තේය
ඊට අමතරව වාර්තා රැසක් හිමි කර ගෙන ඇත
ග්‍රැන්ඩ් පිරිමි ඒකල අවසාන සම්මානය සඳහා නොකඩවා දහවතාවක් සහභාගී වි ඇත
(2005 විම්බ්ල්ඩන් ශූරතාවය සිට 2007 එ
ජනපද විවෘත) ඔහුගේ ප්‍රධානම ප්‍රතිවාදියා රෆායෙල් නඩාල් විය
ඔහු සමග බොහෝ වාර ගණනාවක් තරග කර ඇත
(බලන්න ෆෙඩරර් එරෙහිව නඩාල් - Federer versus nadal)

Notes 

1981 උපත්
ටෙනිස් ක්‍රීඩක ක්‍රීඩිකාවෝ
ක්‍රීඩක ක්‍රීඩිකාවෝ
ටෙනිස්
ක්‍රීඩා සමාජයක් (Sports Club) මලල ක්‍රීඩා සමාජයක් හෝ ක්‍රීඩා සංගමයක් යනු ක්‍රීඩාවට සම්බන්ධ විවිධ කොටස් එක් තැන් කළ ආයතනයන්ය
එමෙන්ම බොහෝ ක්‍රීඩා කණ්ඩායම් විවිධ ක්‍රීඩාවන් සඳහා ඉදිරිපත් කරන එකම කුඩයක් (සංවිධානයක්) යටතේ වැඩ කරන ආයතනයකි
පෘථුල වශයෙන් ගතහොත් එය එක් ක්‍රීඩා සංගමයක් හෝ තනි ක්‍රීඩා දෙපාර්තමේන්තුවක් වෙනුවෙන් වුවද යෙදිය හැකිය