Gauss_yüzeyi

silindirik bir Gauss yüzeyi genellikle sonsuz bir uzunluktaki, düzlükteki, ideal teldeki elektrik yükünü hesaplamak için kullanılır. Gauss yüzeyi , üç boyutlu uzayda içinden bir vektör alanın akısı geçen kapalı bir yüzeydir; genellikle elektrik alanı , yerçekim alanı ve manyetik alanı bulmak için kullanılır. [ 1 ] rastgele seçilmiş bu kapalı yüzey S = ∂ V ( üç boyutta sınırlandırılan V alanı) Gauss yasasıyla ilişkili alan ( Gauss yasası , magnetizma için Gauss yasası ya da yerçekimi için Gauss yasası )  için conjuction olarak bir yüzey integrali sergilenerek kullanılır. Elektrostatik alanın kaynağı olarak elektrik yükünün miktarı ya da yerçekimi alanını kaynağı olarak yerçekimi ağırlığını kapalı alanda hesaplamak için kullanılır. Maddesel olması için, elektrik alan bu metinde, alanın en sık bilinen yüzey şekli olarak tanımlandırıldı.
Gauss yüzeyleri genellikle, yüzey integralinin simetrisini  basitçe hesaplayabilmek için dikkatle seçildi. Bir Gauss yüzeyi, yüzey üzerindeki her noktanın elektrik alan bileşenleri için, sabit bir normal vektörüne doğru seçilmiş ise, hesaplama zor bir integral gerektirmeyecektir.

Genel Gauss Yüzeyleri Ayrıca bakınız: yük yoğunluğu geçerli (solda) ve geçersiz(sağda) Gauss yüzeyleri. Sol: bu geçerli Gauss yüzeyleri, küre yüzeyi, torus yüzeyi ve küp yüzeyleridir  ayrıca  3D bir hacmin etrafını tamamıyla kuşatırlar. Sağ: Bu yüzeyler Gauss yüzeyi olarak kullanılamazlar, örneğin disk yüzeyi , kare yüzeyi  ve yarımküre yüzeyi, ayrıca 3D bir hacmin etrafını tamamıyla kuşatamazlar (kırmızı) çizgiyle sınırlandırılmışlardır. Gauss yüzeyinin kullanıldığı birçok hesaplama Gauss yasası kullanılarak başlar (elektrik için): [ 2 ] Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!} E ⋅ d A = Q ( V ) ε 0 . {\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q(V)}{\varepsilon _{0}}}.\,\!} Q ( V ) içinde bulunan elektrik yükü , V kapalı yüzeydir. Bu ıraksaklık teoremi ve Coulomb yasasının birleşimi olan Gauss yasası'dır. Küresel  Yüzey Küresel bir Gauss yüzeyi  elektrik alanı ve aşağıdakilerden herhangi biri ile üretilen akıyı bulmak için kullanılır : [ 3 ] noktasal bir yük küresel kabuğa  düzgün yayılmış bir yük başka bir yük dağılımı küresel simetri Küresel Gauss yüzeyi  ortak merkezli  yük dağılımı için seçilmiştir. Örnek olarak, kalınlığı ihmal edilen eşit dağılımlı yükü Q ve yarıçapı R olan  yüklü küresel bir kabuk S düşünelim. Yüklü kürenin merkezinden r kadar uzaklıkta a noktasında   meydana gelen elektrik alanı E bulmak için Gauss yasasını kullanabiliriz. Yarıçapı r < R olan küresel Gauss yüzeyi için etrafı çevrili yük sıfırdır. Bu nedenle net akı sıfırdır ve ayrıca  Gauss yüzeyi üzerindeki elektrik alanın büyüklüğü de sıfırdır. (Gauss yasasında Q A = 0 olarak yazılır. Q A Gauss yüzeyi tarafından kuşatılan yüktür.) Aynı örnekle, daha büyük bir Gauss yüzeyi kullanılarak kabuğun dışında yarıçapı r > R ,Gauss yasası sıfıra eşit olmayan bir elektrik alan ortaya koyacaktır. Bu aşağıdakilerle tanımlanır; S küresel yüzeyinin dışındaki akı Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!} E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos ⁡ 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\int \!\!\!\!\int _{S}dA\,\!} Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı ∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{S}dA=4\pi r^{2}} tanımlar Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}} Gauss yasası kullanarak akı Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}} Son olarak, Φ E r konumundaki elektrik alanın E büyüklüğünü verir; E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.} Bu önemsiz olmayan sonuç herhangi bir küresel  yük dağılımının  noktasal yük olarak rol oynadığını gösterir. Bu aslında Coulomb yasasının bir tanımıdır. Silindirik Yüzey Silindirik yüzey, aşağıdakilerden herhangi biri tarafından üretilen akıyı ve elektrik alanı bulabilmek için kullanılan bir Gauss yüzeyidir: [ 3 ] aynı yükteki sonsuz bir uzunluğun aynı yükteki sonsuz bir yüzeyin aynı yükte sonsuz uzunluktaki bir silindirin Örnek olarak, sonsuz çizgi yüküne yakın olan alan aşağıda verilmiştir. P noktası üzerinde yük yoğunluğuna (yük bölü birim uzunluk) λ  sahip sonsuz çizgisinden r kadar uzaklıkta bir yük düşünelim. Silindir formunda kapalı bir yüzey hayal ettiğimizde, yüzeyin dönme ekseni yük hattıdır. Silindirin boyu h ise, silindiri kuşatan yük: q = λ h {\displaystyle q=\lambda h} , Burada q Gauss yüzeyini kuşatan yüktür. Şekilde a , b and c olarak gösterilen üç yüzey bulunmaktadır. diferansiyel vektör alanı d A , her bir yüzey üzerinde a , b and c . Silindir formundaki kapalı alan merkezde bir elektrik hattına sahiptir ve üç yüzeylerin hepsi  d A olarak gösterilir . Bu üç parçanın birleşiminden geçen akı Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!} E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } a ve b yüzeyleri için, E ve d A dik olacaktır.
c yüzeyi için, E ve d A paralel olacaktır, şekilde gösterildiği gibi. Φ E = ∫ ∫ a E d A cos ⁡ 90 ∘ + ∫ ∫ b E d A cos ⁡ 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos ⁡ 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\int \!\!\!\!\int _{c}dA\\\end{aligned}}} Silindirin yüzey alanı ∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh} Bunu tanımlar Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh} Gauss yasasına göre Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}} Φ E için eşitlik sağlanır E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε 0 r {\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}} Gauss kutusu Aynı yük yoğunluğuyla sonsuz bir yük katmanından oluşan ya da sonlu kalınlıktaki yük levhasından oluşan elektrik alana karar vermek için çoğunlukla bu yüzey kullanılır. Bu kutu silindirik bir şekle sahiptir, üç bileşene sahipmiş gibi de düşünülebilir. Silindirin bir sonundaki diskin alanı πR²,diğer bir sonundaki diskin alanı da bu alana eşittir. Gauss  yasası'na  göre; yüzeyin bütün bileşenlerine doğru olan elektriksel akı kutuyu kuşatan yükle orantılıdır. Çünkü katmana yakın olan alan neredeyse  sabittir.