Fourier dönüşümü

Başlığın diğer anlamları için Fourier (anlam ayrımı) sayfasına bakınız. Fourier dönüşümü , fizik , mühendislik ve matematikte , bir fonksiyonu, içerdiği frekansların belirtildiği bir biçime dönüştüren bir integral dönüşümüdür. Dönüşümün çıktısı, frekansa bağlı karmaşık değerli bir fonksiyondur. "Fourier dönüşümü" terimi, hem bu karmaşık değerli fonksiyon için hem de buna karşılık gelen matematiksel operasyon için kullanılmaktadır. Bu ayrımın netleştirilmesi gerektiğinde, Fourier dönüşümü bazen orijinal fonksiyonun frekans uzayında temsili olarak adlandırılır. Fourier dönüşümü, bir müzik akorunun sesini, onu oluşturan tonlara ayrıştırmaya benzer. [ 1 ] Fourier dönüşümü, sürekli ve ayrık olarak ikiye ayrılabilir. İki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşler. Sürekli nesneler için dönüşüm: F ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x {\displaystyle F(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ikx}dx} ve f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( k ) e i k x d k {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(k)e^{ikx}dk} şeklinde verilir. Yukarıdaki dönüşümde görüleceği üzere x uzayındaki bir nesne k uzayında tanımlanmıştır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler. K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür. Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtularak, f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ′ ) e − i k x ′ d x ′ ) e i k x d k {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x')e^{-ikx'}dx'\right)e^{ikx}dk} , f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ e i k ( x − x ′ ) d k ) f ( x ′ ) d x ′ {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{ik(x-x')}dk\right)f(x')dx'} ifadesine ulaşılır. Parantez içindeki ifadenin 2 π δ ( x − x ′ ) {\displaystyle 2\pi \delta (x-x')\,} olduğu görülebilir. Anlaşıldığı üzere f ( x ) ↦ F ( k ) {\displaystyle f(x)\mapsto F(k)} eşlemesine Fourier Dönüşümü, F ( k ) ↦ f ( x ) {\displaystyle F(k)\mapsto f(x)} eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler ( mapping ) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır.

Giriş Örnek Aşağıdaki görüntülerde Fourier dönüşümünün veren bir görsel ilüstrasyon sağlama ölçümü olan bir frekans bir özel fonksiyon içinde mevcuttur. Fonksiyon f ( t ) = cos(6π t ) e −π t 2 3 hertz'te salınım göstermektedir (eğer t ölçüsü saniyeler ise) ve 0 a doğru hızla gitme eğilimdedir. (bu denklem içinde saniye faktörü bir zarf fonksiyonu ve bir kısa vuruş içinde sürekli sinüzoidal şekillerdir. Bunun genel formu bir Gauss fonksiyonudur ). Bu fonksiyon özel seçilmiş idi var olan bir gerçek Fourier dönüşümü için  kolayca çizilebilir. İlk görüntü bu grafı içerir. f ^ ( 3 ) {\displaystyle {\hat {f}}(3)} hesaplamak için sırayla e −2 πi (3 t ) f ( t ) integrali olmalıdır. İkinci görüntü bu fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını gösterir. İntegrand'ın gerçel kısmı hemen hemen her zaman pozitif, çünkü eğer f ( t ) negatif ise, e −2 πi (3 t ) 'nin gerçek kısmı da negatiftir. Çünkü bu aynı kesirde salınıyorsa eğer f ( t ) pozitif ise, böylece e −2 πi (3 t ) 'nin gerçel kısmıdır. Sonuç olarak eğer integrandın gerçek kısım integrali ise bir göreceli büyük sayı alıyorsunuz (0.5 durumu içinde). Diğer taraftan, eğer  bir frekans ölçüsü için deniyorsanız bu mevcut değildir, f ^ ( 5 ) {\displaystyle {\hat {f}}(5)} da gördüğümüz durumu içindeki gibi yeterince salınan integrand gibi integral çok küçüktür. Genel durum bundan bir parça daha karışık olabilir, ama bu ruh içinde bir tek frekansın o kadar çok ölçüsü Fourier dönüşümü ve bir fonksiyon f ( t ) içinde mevcuttur. 3 hertz'te salınım gösteren anaç fonksiyon. 3 hertz'te Fourier dönüşümü için integrand'ın gerçek ve sanal kısımları 5 hertz'te Fourier dönüşümü için gerçek ve sanal kısımlar 3 ve 5 hertz etiketleri ile Fourier dönüşümü. Temel özellikler Fourier dönüşümünün temel özellikleri aşağıdadır: Pinsky 2002 . Doğrusallık Herhangi karmaşık sayılar a ve b için, eğer h ( x ) = a f ( x ) + b g ( x ) {\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)} , ise h ^ ( ξ ) = a ⋅ f ^ ( ξ ) + b ⋅ g ^ ( ξ ) . {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi ).} Öteleme Herhangi gerçek sayı x 0 için, eğer h ( x ) = f ( x − x 0 ) , {\displaystyle h(x)=f(x-x_{0}),} ise h ^ ( ξ ) = e − i 2 π x 0 ξ f ^ ( ξ ) . {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=e^{-i\,2\pi \,x_{0}\,\xi }{\hat {f}}(\xi ).} Modülasyon Herhangi gerçek sayı ξ 0 için eğer h ( x ) = e i 2 π x ξ 0 f ( x ) , {\displaystyle h(x)=e^{i\,2\pi \,x\,\xi _{0}}f(x),} ise h ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ − ξ 0 ) . {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi -\xi _{0}).} Ölçekleme bir sıfır-dışı gerçek sayılar a için, eğer h ( x ) = f ( ax ), ise h ^ ( ξ ) = 1 | a | f ^ ( ξ a ) . {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right).} Durum a = −1 zaman-ters özellik için yer alır, bu durum: eğer h ( x ) = f (− x ), ise h ^ ( ξ ) = f ^ ( − ξ ) . {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(-\xi ).} Birleşim Eğer h ( x ) = f ( x ) ¯ , {\displaystyle h(x)={\overline {f(x)}},} then h ^ ( ξ ) = f ^ ( − ξ ) ¯ . {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}.} Özel olarak, eğer f gerçek ve tek gerçeklik durumu var ise f ^ ( − ξ ) = f ^ ( ξ ) ¯ . {\displaystyle {\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}.} , şöyle ki, f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} bir Hermisyen fonksiyondur . Ve eğer f saf sanal, ise f ^ ( − ξ ) = − f ^ ( ξ ) ¯ . {\displaystyle {\hat {f}}(-\xi )=-{\overline {{\hat {f}}(\xi )}}.} İntegrasyon ξ = 0 {\displaystyle \xi =0} Yerine koyma tanımı içinde, elde edilen f ^ ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x {\displaystyle {\hat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx} İşte böyle, başlangıç noktası içinde Fourier dönüşümünün evrimi ( ξ = 0 {\displaystyle \xi =0} ) tüm  domenin üzerinde tüm f in integralinin eşitidir.

Önemli Fourier dönüşümlerinin tabloları Aşağıdaki tablolar, bir kapalı bir şekilde Fourier dönüşümleri kaydedebilir. f ( x ), g ( x ) ve h ( x ) fonksiyonlar için burada f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} ile Fourier dönüşümü, sırasıyla g ^ {\displaystyle {\hat {g}}} ve h ^ {\displaystyle {\hat {h}}} ile ifade edilir. Sadece en yaygın üç kural dahildir. Bu, bu giriş 105 Fourier Fourier dönüşümü ile ve ters olarak düşünülebilir bir fonksiyonun ve orijinal fonksiyonunun dönüşümü arasında bir ilişki veren fark için yararlı olabilir. Fonksiyonel ilişkiler Bu tabloda Fourier dönüşümleri bulunabilir Erdélyi 1954 veya Kammler 2000 , appendix . Fonksiyon Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans Fourier dönüşümü birim, açısal frekans Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans Açıklamalar f ( x ) {\displaystyle \displaystyle f(x)\,} f ^ ( ξ ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx} f ^ ( ω ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega )=} 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx} f ^ ( ν ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ν x d x {\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx} Tanım 101 a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x ) {\displaystyle \displaystyle a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\,} a ⋅ f ^ ( ξ ) + b ⋅ g ^ ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )\,} a ⋅ f ^ ( ω ) + b ⋅ g ^ ( ω ) {\displaystyle \displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )\,} a ⋅ f ^ ( ν ) + b ⋅ g ^ ( ν ) {\displaystyle \displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )\,} Doğrusallık 102 f ( x − a ) {\displaystyle \displaystyle f(x-a)\,} e − 2 π i a ξ f ^ ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )\,} e − i a ω f ^ ( ω ) {\displaystyle \displaystyle e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )\,} e − i a ν f ^ ( ν ) {\displaystyle \displaystyle e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )\,} Zaman domeni içinde kayma 103 e 2 π i a x f ( x ) {\displaystyle \displaystyle e^{2\pi iax}f(x)\,} f ^ ( ξ − a ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}\left(\xi -a\right)\,} f ^ ( ω − 2 π a ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega -2\pi a)\,} f ^ ( ν − 2 π a ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu -2\pi a)\,} Frekans domeni içinde kayma, 102'nin çifti 104 f ( a x ) {\displaystyle \displaystyle f(ax)\,} 1 | a | f ^ ( ξ a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,} 1 | a | f ^ ( ω a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,} 1 | a | f ^ ( ν a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)\,} zaman domeninde ölçekleme. Eğer | a | {\displaystyle \displaystyle |a|\,} is büyük ise f ( a x ) {\displaystyle \displaystyle f(ax)\,} 0 çevresinde yoğunlaşmıştır ve 1 | a | f ^ ( ω a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,} yayılır ve düzleşir. 105 f ^ ( x ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(x)\,} f ( − ξ ) {\displaystyle \displaystyle f(-\xi )\,} f ( − ω ) {\displaystyle \displaystyle f(-\omega )\,} 2 π f ( − ν ) {\displaystyle \displaystyle 2\pi f(-\nu )\,} ikilik.Burada f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} Fourier dönüşümü sütunu olarak aynı yöntem kullanılarak hesaplanması gerekmektedir. x {\displaystyle x} ve ξ {\displaystyle \xi } veya ω {\displaystyle \omega } veya ν {\displaystyle \nu } 'ın "yapay" değişkenleri değiştirme sonuçları. 106 d n f ( x ) d x n {\displaystyle \displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\,} ( 2 π i ξ ) n f ^ ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle (2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )\,} ( i ω ) n f ^ ( ω ) {\displaystyle \displaystyle (i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )\,} ( i ν ) n f ^ ( ν ) {\displaystyle \displaystyle (i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )\,} 107 x n f ( x ) {\displaystyle \displaystyle x^{n}f(x)\,} ( i 2 π ) n d n f ^ ( ξ ) d ξ n {\displaystyle \displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\,} i n d n f ^ ( ω ) d ω n {\displaystyle \displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}} i n d n f ^ ( ν ) d ν n {\displaystyle \displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}} Bu 106'nın çiftidir 108 ( f ∗ g ) ( x ) {\displaystyle \displaystyle (f*g)(x)\,} f ^ ( ξ ) g ^ ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )\,} 2 π f ^ ( ω ) g ^ ( ω ) {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )\,} f ^ ( ν ) g ^ ( ν ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )\,} f ∗ g {\displaystyle \displaystyle f*g\,} gösterimi f {\displaystyle f} ve g {\displaystyle g} 'in evrişimidir - bu kural evrişim teoremidir 109 f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \displaystyle f(x)g(x)\,} ( f ^ ∗ g ^ ) ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\xi )\,} ( f ^ ∗ g ^ ) ( ω ) 2 π {\displaystyle \displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,} 1 2 π ( f ^ ∗ g ^ ) ( ν ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )\,} Bu 108'in çiftidir 110 f ( x ) {\displaystyle \displaystyle f(x)\,} için saf gerçek f ^ ( − ξ ) = f ^ ( ξ ) ¯ {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,} f ^ ( − ω ) = f ^ ( ω ) ¯ {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(-\omega )={\overline {{\hat {f}}(\omega )}}\,} f ^ ( − ν ) = f ^ ( ν ) ¯ {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(-\nu )={\overline {{\hat {f}}(\nu )}}\,} Hermisyen simetridir. z ¯ {\displaystyle \displaystyle {\overline {z}}\,} karmaşık eşleniklerine ayrılır. 111 f ( x ) {\displaystyle \displaystyle f(x)\,} için bir saf gerçek çift fonksiyon f ^ ( ω ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega )} , f ^ ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi )} ve f ^ ( ν ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu )\,} saf gerçek çift fonksiyondur . 112 f ( x ) {\displaystyle \displaystyle f(x)\,} için bir saf gerçek tek fonksiyon f ^ ( ω ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega )} , f ^ ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi )} ve f ^ ( ν ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu )} saf sanal tek fonksiyonlar . 113 f ( x ) ¯ {\displaystyle \displaystyle {\overline {f(x)}}} f ^ ( − ξ ) ¯ {\displaystyle \displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}} f ^ ( − ω ) ¯ {\displaystyle \displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\omega )}}} f ^ ( − ν ) ¯ {\displaystyle \displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\nu )}}} Karmaşık eşlenik , 110'un genellemesi Kare-integrallenebilir fonksiyonlar bu tablo içinde Fourier dönüşümleri Campbell & Foster 1948 içinde bulunabilir, Erdélyi 1954 veya Kammler 2000 in eki. Fonksiyon Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans Fourier dönüşümü birim, açısal frekans Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans Açıklamalar f ( x ) {\displaystyle \displaystyle f(x)} f ^ ( ξ ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx} f ^ ( ω ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega )=} 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx} f ^ ( ν ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ν x d x {\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx} 201 rect ⁡ ( a x ) {\displaystyle \displaystyle \operatorname {rect} (ax)\,} 1 | a | ⋅ sinc ⁡ ( ξ a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)} 1 2 π a 2 ⋅ sinc ⁡ ( ω 2 π a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)} 1 | a | ⋅ sinc ⁡ ( ν 2 π a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)} dörtgen uyarı ve normalleştirilmiş sinc fonksiyon , burada sinc( x ) = sin( πx )/( πx ) olarak tanımlanır 202 sinc ⁡ ( a x ) {\displaystyle \displaystyle \operatorname {sinc} (ax)\,} 1 | a | ⋅ rect ⁡ ( ξ a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\,} 1 2 π a 2 ⋅ rect ⁡ ( ω 2 π a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)} 1 | a | ⋅ rect ⁡ ( ν 2 π a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)} kural 201'in çifti dörtgen fonksiyon bir ideal alçak-geçiren filtredir ve sinc fonksiyon gibi bir filtrenin nedensel-olmayan uyarı yanıtıdır. sinc fonksiyon burada sinc( x ) = sin( πx )/( πx ) olarak tanımlanır 203 sinc 2 ⁡ ( a x ) {\displaystyle \displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(ax)} 1 | a | ⋅ tri ⁡ ( ξ a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)} 1 2 π a 2 ⋅ tri ⁡ ( ω 2 π a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)} 1 | a | ⋅ tri ⁡ ( ν 2 π a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)} tri( x ) fonksiyon üçgen fonksiyondur 204 tri ⁡ ( a x ) {\displaystyle \displaystyle \operatorname {tri} (ax)} 1 | a | ⋅ sinc 2 ⁡ ( ξ a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,} 1 2 π a 2 ⋅ sinc 2 ⁡ ( ω 2 π a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)} 1 | a | ⋅ sinc 2 ⁡ ( ν 2 π a ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)} kural 203'ün ikilisi. 205 e − a x u ( x ) {\displaystyle \displaystyle e^{-ax}u(x)\,} 1 a + 2 π i ξ {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a+2\pi i\xi }}} 1 2 π ( a + i ω ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}} 1 a + i ν {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a+i\nu }}} u ( x ) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyon ve a > 0. 206 e − α x 2 {\displaystyle \displaystyle e^{-\alpha x^{2}}\,} π α ⋅ e − ( π ξ ) 2 α {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}} 1 2 α ⋅ e − ω 2 4 α {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}} π α ⋅ e − ν 2 4 α {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\nu ^{2}}{4\alpha }}}} Bu üniter Fourier dönüşümleri için, Gauss fonksiyonu exp(− αx 2 ), kendi Fourier α nın bazı seçimleri için dönüşüm olduğunu gösterir. Bu İntegrallenebilir olması için biz Re( α ) > 0 olmalıdır. 207 e − a | x | {\displaystyle \displaystyle \operatorname {e} ^{-a|x|}\,} 2 a a 2 + 4 π 2 ξ 2 {\displaystyle \displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}} 2 π ⋅ a a 2 + ω 2 {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}} 2 a a 2 + ν 2 {\displaystyle \displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+\nu ^{2}}}} a>0 için. Bu, bir bozunmuş üstel fonksiyonun Fourier dönüşümü  bir Lorentzyen fonksiyondur . 208 sech ⁡ ( a x ) {\displaystyle \displaystyle \operatorname {sech} (ax)\,} π a sech ⁡ ( π 2 a ξ ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)} 1 a π 2 sech ⁡ ( π 2 a ω ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)} π a sech ⁡ ( π 2 a ν ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\nu \right)} Hiperbolik sekant Fourier dönüşümünün kendisidir 209 e − a 2 x 2 2 H n ( a x ) {\displaystyle \displaystyle e^{-{\frac {a^{2}x^{2}}{2}}}H_{n}(ax)\,} 2 π ( − i ) n a {\displaystyle \displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}(-i)^{n}}{a}}} ⋅ e − 2 π 2 ξ 2 a 2 H n ( 2 π ξ a ) {\displaystyle \cdot e^{-{\frac {2\pi ^{2}\xi ^{2}}{a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {2\pi \xi }{a}}\right)} ( − i ) n a {\displaystyle \displaystyle {\frac {(-i)^{n}}{a}}} ⋅ e − ω 2 2 a 2 H n ( ω a ) {\displaystyle \cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {\omega }{a}}\right)} ( − i ) n 2 π a {\displaystyle \displaystyle {\frac {(-i)^{n}{\sqrt {2\pi }}}{a}}} ⋅ e − ν 2 2 a 2 H n ( ν a ) {\displaystyle \cdot e^{-{\frac {\nu ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {\nu }{a}}\right)} H n {\displaystyle H_{n}} Hermit polinomudur . Eğer a = 1 ise  Gauss-Hermit fonksiyonları Fourier dönüşüm işlemcisinin özfonksiyonudur .Bir türev için, bakınız Hermit polinomu . Formül n = 0 için 206'ya indirgenir. Dağılımlar Fourier dönüşümleri bu tablo ( Erdélyi 1954 ) içinde bulunabilir veya Kammler 2000 in eki. Fonksiyon Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans Fourier dönüşümü birim, açısal frekans Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans Açıklamalar f ( x ) {\displaystyle \displaystyle f(x)} f ^ ( ξ ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx} f ^ ( ω ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega )=} 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx} f ^ ( ν ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ν x d x {\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx} 301 1 {\displaystyle \displaystyle 1} δ ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle \delta (\xi )} 2 π ⋅ δ ( ω ) {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )} 2 π δ ( ν ) {\displaystyle \displaystyle 2\pi \delta (\nu )} δ ( ξ ) dağılımı Dirac delta fonksiyonu 'nu ifade eder. 302 δ ( x ) {\displaystyle \displaystyle \delta (x)\,} 1 {\displaystyle \displaystyle 1} 1 2 π {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,} 1 {\displaystyle \displaystyle 1} 301'in kural ikizi. 303 e i a x {\displaystyle \displaystyle e^{iax}} δ ( ξ − a 2 π ) {\displaystyle \displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)} 2 π ⋅ δ ( ω − a ) {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)} 2 π δ ( ν − a ) {\displaystyle \displaystyle 2\pi \delta (\nu -a)} Bunu 103 ve 301'den izleyin 304 cos ⁡ ( a x ) {\displaystyle \displaystyle \cos(ax)} δ ( ξ − a 2 π ) + δ ( ξ + a 2 π ) 2 {\displaystyle \displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}} 2 π ⋅ δ ( ω − a ) + δ ( ω + a ) 2 {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\,} π ( δ ( ν − a ) + δ ( ν + a ) ) {\displaystyle \displaystyle \pi \left(\delta (\nu -a)+\delta (\nu +a)\right)} 101 ve 303 kuralından aşağıda Euler formülü kullanılıyor: cos ⁡ ( a x ) = {\displaystyle \textstyle \cos(ax)=} ( e i a x + e − i a x ) / 2. {\displaystyle (e^{iax}+e^{-iax})/2.} 305 sin ⁡ ( a x ) {\displaystyle \displaystyle \sin(ax)} δ ( ξ − a 2 π ) − δ ( ξ + a 2 π ) 2 i {\displaystyle \displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}} 2 π ⋅ δ ( ω − a ) − δ ( ω + a ) 2 i {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}} − i π ( δ ( ν − a ) − δ ( ν + a ) ) {\displaystyle \displaystyle -i\pi \left(\delta (\nu -a)-\delta (\nu +a)\right)} 101 ve 303 kuralından aşağıda sin ⁡ ( a x ) = {\displaystyle \textstyle \sin(ax)=} ( e i a x − e − i a x ) / ( 2 i ) . {\displaystyle (e^{iax}-e^{-iax})/(2i).} kullanılıyor 306 cos ⁡ ( a x 2 ) {\displaystyle \displaystyle \cos(ax^{2})} π a cos ⁡ ( π 2 ξ 2 a − π 4 ) {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} 1 2 a cos ⁡ ( ω 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} π a cos ⁡ ( ν 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} 307 sin ⁡ ( a x 2 ) {\displaystyle \displaystyle \sin(ax^{2})\,} − π a sin ⁡ ( π 2 ξ 2 a − π 4 ) {\displaystyle \displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} − 1 2 a sin ⁡ ( ω 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} − π a sin ⁡ ( ν 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle \displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} 308 x n {\displaystyle \displaystyle x^{n}\,} ( i 2 π ) n δ ( n ) ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )\,} i n 2 π δ ( n ) ( ω ) {\displaystyle \displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,} 2 π i n δ ( n ) ( ν ) {\displaystyle \displaystyle 2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\nu )\,} Burada, n bir doğal sayılar sicimi δ ( n ) ( ξ ) {\displaystyle \textstyle \delta ^{(n)}(\xi )} Dirac delta fonksiyonunun türevinin n -inci dağılımıdır. Bu kural 107 ve 301 kuralından izlenir.Bu 101 ile kombine ediliyor, tüm polinomlar dönüştürülbilir. 309 1 x {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{x}}} − i π sgn ⁡ ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\xi )} − i π 2 sgn ⁡ ( ω ) {\displaystyle \displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )} − i π sgn ⁡ ( ν ) {\displaystyle \displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\nu )} Burada sgn( ξ ) işaret fonksiyonudur . Unutmadan 1/ x bir dağılım değildir.Bu fonksiyonların üyelerini test ediyor ise Cauchy temel değeri kullanmak için gereklidir.Bu kural Hilbert dönüşümüçalışmalarında kullanılıyor 310 1 x n := {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{x^{n}}}:=} ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! d n d x n log ⁡ | x | {\displaystyle \displaystyle {\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log |x|} − i π ( − 2 π i ξ ) n − 1 ( n − 1 ) ! sgn ⁡ ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle -i\pi {\frac {(-2\pi i\xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )} − i π 2 ⋅ ( − i ω ) n − 1 ( n − 1 ) ! sgn ⁡ ( ω ) {\displaystyle \displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )} − i π ( − i ν ) n − 1 ( n − 1 ) ! sgn ⁡ ( ν ) {\displaystyle \displaystyle -i\pi {\frac {(-i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu )} 1/ x n homojen dağılım ve ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! d n d x n log ⁡ | x | {\displaystyle \textstyle {\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log |x|} dağılımsal türev ile tanımlanır 311 | x | α {\displaystyle \displaystyle |x|^{\alpha }\,} − 2 sin ⁡ ( π α / 2 ) Γ ( α + 1 ) | 2 π ξ | α + 1 {\displaystyle \displaystyle -2{\frac {\sin(\pi \alpha /2)\Gamma (\alpha +1)}{|2\pi \xi |^{\alpha +1}}}} − 2 2 π sin ⁡ ( π α / 2 ) Γ ( α + 1 ) | ω | α + 1 {\displaystyle \displaystyle {\frac {-2}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {\sin(\pi \alpha /2)\Gamma (\alpha +1)}{|\omega |^{\alpha +1}}}} − 2 sin ⁡ ( π α / 2 ) Γ ( α + 1 ) | ν | α + 1 {\displaystyle \displaystyle -2{\frac {\sin(\pi \alpha /2)\Gamma (\alpha +1)}{|\nu |^{\alpha +1}}}} Bu formül  0 > α > −1 için değerlidir.α > 0 için  başlangıçtan ortaya çıkan bazı tekil terimler bu 318 türevi ile bulunabilir. Eğer Re α > −1,ise | x | α {\displaystyle |x|^{\alpha }} bir yerel integrallenebilir fonksiyondur ve gibi bir katkılı dağılım.Fonksiyon α ↦ | x | α {\displaystyle \textstyle \alpha \mapsto |x|^{\alpha }} katkılı dağılımın  uzayına sağ yarı düzlemden bir holomorf fonksiyondur. Bu bir katkılı dağılıma bir benzersiz meromorfik uzantı kabul ediliyor, ayrıca | x | α {\displaystyle |x|^{\alpha }} için α ≠ −2, −4, ... ile ifade edilir (bakınız homojen dağılım .) 312 sgn ⁡ ( x ) {\displaystyle \displaystyle \operatorname {sgn}(x)} 1 i π ξ {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{i\pi \xi }}} 2 π 1 i ω {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{i\omega }}} 2 i ν {\displaystyle \displaystyle {\frac {2}{i\nu }}} 309 kuralının ikizidir. Ve yine Cauchy temel değeri olarak düşünüldüğünde gerekli olan Fourier dönüşümüdür,. 313 u ( x ) {\displaystyle \displaystyle u(x)} 1 2 ( 1 i π ξ + δ ( ξ ) ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)} π 2 ( 1 i π ω + δ ( ω ) ) {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)} π ( 1 i π ν + δ ( ν ) ) {\displaystyle \displaystyle \pi \left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right)} u ( x ) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyonudur ; 101, 301 ve 312 kurallarından bunu izleyin. 314 ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n T ) {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)} 1 T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ξ − k T ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)} 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π k T ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)} 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ν − 2 π k T ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {2\pi k}{T}}\right)} Bu fonksiyon Dirac comb fonksiyonu olanarak  bilinir. Bu, dağılımlar  ile birlikte ∑ n = − ∞ ∞ e i n x = {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}=} 2 π ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x + 2 π k ) {\displaystyle 2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)} olarak aslında 302 ve 102  den elde edilebilir sonuçtur 315 J 0 ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{0}(x)} 2 rect ⁡ ( π ξ ) 1 − 4 π 2 ξ 2 {\displaystyle \displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}} 2 π ⋅ rect ⁡ ( ω 2 ) 1 − ω 2 {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}} 2 rect ⁡ ( ν 2 ) 1 − ν 2 {\displaystyle \displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}} J 0 ( x ) fonksiyonu  sıfırıncı dereceden birinci türün Bessel fonksiyonudur 316 J n ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{n}(x)} 2 ( − i ) n T n ( 2 π ξ ) rect ⁡ ( π ξ ) 1 − 4 π 2 ξ 2 {\displaystyle \displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}} 2 π ( − i ) n T n ( ω ) rect ⁡ ( ω 2 ) 1 − ω 2 {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}} 2 ( − i ) n T n ( ν ) rect ⁡ ( ν 2 ) 1 − ν 2 {\displaystyle \displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\nu )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}} Bu  315'in genellemesidir.Fonksiyon J n ( x ) n -inci dereceden Besselbirinci türün Bessel fonksiyonudur .Fonksiyon T n ( x ) birinci türün Chebyshev polinomudur 317 log ⁡ | x | {\displaystyle \displaystyle \log \left|x\right|} − 1 2 1 | ξ | − γ δ ( ξ ) {\displaystyle \displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\left|\xi \right|}}-\gamma \delta \left(\xi \right)} − π / 2 | ω | − 2 π γ δ ( ω ) {\displaystyle \displaystyle -{\frac {\sqrt {\pi /2}}{\left|\omega \right|}}-{\sqrt {2\pi }}\gamma \delta \left(\omega \right)} − π | ν | − 2 π γ δ ( ν ) {\displaystyle \displaystyle -{\frac {\pi }{\left|\nu \right|}}-2\pi \gamma \delta \left(\nu \right)} γ {\displaystyle \gamma } Euler–Mascheroni sabitidir . 318 ( ∓ i x ) − α {\displaystyle \displaystyle \left(\mp ix\right)^{-\alpha }} ( 2 π ) α Γ ( α ) u ( ± ξ ) ( ± ξ ) α − 1 {\displaystyle \displaystyle {\frac {\left(2\pi \right)^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha -1}} 2 π Γ ( α ) u ( ± ω ) ( ± ω ) α − 1 {\displaystyle \displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}} 2 π Γ ( α ) u ( ± ν ) ( ± ν ) α − 1 {\displaystyle \displaystyle {\frac {2\pi }{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \nu \right)\left(\pm \nu \right)^{\alpha -1}} Bu formül 1 > α > 0 için değerdir. Yüksek üsteller için türev formülüne kullanılan diferansiyasyondur. u Heaviside fonksiyonudur. İki-boyutlu fonksiyonlar Fonksiyon Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans Fourier dönüşümü birim, açısal frekans Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans 400 f ( x , y ) {\displaystyle \displaystyle f(x,y)} f ^ ( ξ x , ξ y ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi _{x},\xi _{y})=} ∬ f ( x , y ) e − 2 π i ( ξ x x + ξ y y ) d x d y {\displaystyle \displaystyle \iint f(x,y)e^{-2\pi i(\xi _{x}x+\xi _{y}y)}\,dx\,dy} f ^ ( ω x , ω y ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})=} 1 2 π ∬ f ( x , y ) e − i ( ω x x + ω y y ) d x d y {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy} f ^ ( ν x , ν y ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu _{x},\nu _{y})=} ∬ f ( x , y ) e − i ( ν x x + ν y y ) d x d y {\displaystyle \displaystyle \iint f(x,y)e^{-i(\nu _{x}x+\nu _{y}y)}\,dx\,dy} 401 e − π ( a 2 x 2 + b 2 y 2 ) {\displaystyle \displaystyle e^{-\pi \left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\right)}} 1 | a b | e − π ( ξ x 2 / a 2 + ξ y 2 / b 2 ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{-\pi \left(\xi _{x}^{2}/a^{2}+\xi _{y}^{2}/b^{2}\right)}} 1 2 π ⋅ | a b | e − ( ω x 2 / a 2 + ω y 2 / b 2 ) 4 π {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2\pi \cdot |ab|}}e^{\frac {-\left(\omega _{x}^{2}/a^{2}+\omega _{y}^{2}/b^{2}\right)}{4\pi }}} 1 | a b | e − ( ν x 2 / a 2 + ν y 2 / b 2 ) 4 π {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{\frac {-\left(\nu _{x}^{2}/a^{2}+\nu _{y}^{2}/b^{2}\right)}{4\pi }}} 402 c i r c ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle \displaystyle \mathrm {circ} ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})} J 1 ( 2 π ξ x 2 + ξ y 2 ) ξ x 2 + ξ y 2 {\displaystyle \displaystyle {\frac {J_{1}\left(2\pi {\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}} J 1 ( ω x 2 + ω y 2 ) ω x 2 + ω y 2 {\displaystyle \displaystyle {\frac {J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}} 2 π J 1 ( ν x 2 + ν y 2 ) ν x 2 + ν y 2 {\displaystyle \displaystyle {\frac {2\pi J_{1}\left({\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}}} Açıklamalar 400 için: Değişkenler ξ x , ξ y , ω x , ω y , ν x ve ν y gerçek sayılardır.
Integraller tüm düzlem üzerinde alınır. 401 için: Her iki fonksiyon birim hacmine sahip olmayabilen Gauss vardır. 402 için: Fonksiyon circ( r )=1 0≤ r ≤1 ile tanımlanır ve 0 diğerleridir. Bu  Airy dağılımıdır ve J 1 bağıntısı kullanılır (ilk tür'ün  derece 1 Bessel fonksiyonu ). Stein & Weiss 1971 , Thm. IV.3.3 Genel n -boyutlu fonksiyonlar için formüller Fonksiyon Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans Fourier dönüşümü birim, açısal frekans Fourier dönüşümü birim olmayan, açısal frekans 500 f ( x ) {\displaystyle \displaystyle f(\mathbf {x} )\,} f ^ ( ξ ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})=} ∫ R n f ( x ) e − 2 π i x ⋅ ξ d n x {\displaystyle \displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot {\boldsymbol {\xi }}}\,d^{n}\mathbf {x} } f ^ ( ω ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\omega }})=} 1 ( 2 π ) n / 2 ∫ R n f ( x ) e − i ω ⋅ x d n x {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{{(2\pi )}^{n/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} }\,d^{n}\mathbf {x} } f ^ ( ν ) = {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\nu }})=} ∫ R n f ( x ) e − i x ⋅ ν d n x {\displaystyle \displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i\mathbf {x} \cdot {\boldsymbol {\nu }}}\,d^{n}\mathbf {x} } 501 χ [ 0 , 1 ] ( | x | ) ( 1 − | x | 2 ) δ {\displaystyle \displaystyle \chi _{[0,1]}(|\mathbf {x} |)(1-|\mathbf {x} |^{2})^{\delta }} π − δ Γ ( δ + 1 ) | ξ | − n / 2 − δ {\displaystyle \displaystyle \pi ^{-\delta }\Gamma (\delta +1)|{\boldsymbol {\xi }}|^{-n/2-\delta }} × J n / 2 + δ ( 2 π | ξ | ) {\displaystyle \displaystyle \times J_{n/2+\delta }(2\pi |{\boldsymbol {\xi }}|)} 2 − δ Γ ( δ + 1 ) | ω | − n / 2 − δ {\displaystyle \displaystyle 2^{-\delta }\Gamma (\delta +1)\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|^{-n/2-\delta }} × J n / 2 + δ ( | ω | ) {\displaystyle \displaystyle \times J_{n/2+\delta }(|{\boldsymbol {\omega }}|)} π − δ Γ ( δ + 1 ) | ν 2 π | − n / 2 − δ {\displaystyle \displaystyle \pi ^{-\delta }\Gamma (\delta +1)\left|{\frac {\boldsymbol {\nu }}{2\pi }}\right|^{-n/2-\delta }} × J n / 2 + δ ( | ν | ) {\displaystyle \displaystyle \times J_{n/2+\delta }(|{\boldsymbol {\nu }}|)} 502 | x | − α , 0 < Re ⁡ α < n . {\displaystyle \displaystyle |\mathbf {x} |^{-\alpha },\quad 0<\operatorname {Re} \alpha <n.} c α | ξ | − ( n − α ) {\displaystyle \displaystyle c_{\alpha }|{\boldsymbol {\xi }}|^{-(n-\alpha )}} 503 1 ‖ σ ‖ ( 2 π ) n / 2 e − 1 2 x T σ − T σ − 1 x {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\left\|{\boldsymbol {\sigma }}\right\|\left(2\pi \right)^{n/2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-1}\mathbf {x} }} e − 1 2 ν T σ σ T ν {\displaystyle \displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nu }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\nu }}}} 504 e − 2 π α | x | {\displaystyle \displaystyle e^{-2\pi \alpha |\mathbf {x} |}} c n α ( α 2 + | ξ | 2 ) ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle c_{n}{\frac {\alpha }{(\alpha ^{2}+|\xi |^{2})^{(n+1)/2}}}} Açıklamalar 501 için : Fonksiyon χ [0, 1] aralığının gösterge işlevi [0, 1] . Fonksiyonu Γ( x ) gama fonksiyonudur. J n /2 + δ fonksiyonu için n /2 + δ ile, birinci tür bir Bessel işlevidir. n = 2 alınması ve δ = 0 402 üretir. Stein & Weiss 1971 , Thm. 4.15 502 için : Riesz potansiyeline bakınız. Formül Analitik devamlılığı ile tüm α ≠ − n , − n − 1, … için  tutar, ama sonra fonksiyonu ve onun Fourier dönüşümlerinin uygun düzenlilestirmeye katkılı dağılımları olarak anlaşılması gerekir - formül aynı zamanda tüm α ≠-n,-n için de geçerlidir. Homojen dağılıma bakın. 503 için : Bu, 0 ortalama ile 1 normalize bir çok değişkenli normal dağılım için formül Bold değişkenler vektörler ve matrislerdir. Anılan sayfa ifadenin ardından, Σ = σ σ T {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }} and Σ − 1 = σ − T σ − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}={\boldsymbol {\sigma }}^{-\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-1}} 504 için : Burada c n = Γ ( ( n + 1 ) / 2 ) / π ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle c_{n}=\Gamma ((n+1)/2)/\pi ^{(n+1)/2}} .Bakınız Stein & Weiss 1971 , s. 6