Euler-Fuss_denklemi

Leonhard Euler 'in temel dörtgen geometrisindeki birçok sonucundan biri, iç içe uzanan iki belirli çember için Öklid düzleminde , hem daha büyük çemberin kirişler dörtgeni hem de daha küçük olana teğet olan bir teğetler dörtgeni olan bir dışbükey dörtgen bulunması problemiyle ilgilidir. Euler bunun için, dairenin merkezi ile bir düzlem üçgenin merkezi arasındaki mesafeye ilişkin teoremindekiyle yakından ilişkili olan bir denklem buldu. Denklemin ilk yayınlanmış sunumu ve türetilmesi, Euler'in sekreteri Nikolaus Fuß tarafından 1798'de sağlandı. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

Denklemin gösterimi Euler denklemi dışbükey bir dörtgen verir Aşağıdaki teorem, karşılık gelen Fuss teoremini ve tersini birleştiren Euler-Fuß denklemi için geçerlidir: [ 4 ] İki pozitif sayı r {\displaystyle r} ve R {\displaystyle R} verilsin, yanı sıra iki daire K r {\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}} ve K R {\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}} Öklid düzlemi R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} içinde K R {\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}} yarıçap R {\displaystyle R} ve K r {\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}} yarıçap r {\displaystyle r} 'ye sahip olsun. Çember K R {\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}} , conv ⁡ ( K R ) {\displaystyle \operatorname {conv} ({\mathcal {K}}_{R})} ’den içerideki çember K r {\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}} , conv ⁡ ( K r ) {\displaystyle \operatorname {conv} ({\mathcal {K}}_{r})} ' den oluşsun ve r < R {\displaystyle r<R} olsun. İki çember merkezi arasındaki uzunluk d {\displaystyle d} ile gösterilsin. Sonra: O zaman ve ancak o zaman Öklid düzleminde dışbükey bir dörtgen var olur. K r {\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}} iç teğet çember ve K R {\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}} çevrel çember olmak üzere denklem ; 1 ( R + d ) 2 + 1 ( R − d ) 2 = 1 r 2 {\displaystyle {\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(R-d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}} olarak gösterilir.

Uyarılar Heinrich Dörries Mathematischen Miniaturen adlı kitabında Euler-Fuß denklemi, Fuß'un dörtgen formülü anahtar kelimesi altında da anılır. Dörrie diğer parametreleri kullanarak aşağıdaki denklemi verir: [ 3 ] [ 5 ] 2 r 2 ( R 2 + d 2 ) = ( R 2 − d 2 ) 2 {\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+d^{2})=(R^{2}-d^{2})^{2}} Heinrich Dörrie'ye göre, hem çevrel hem de iç teğet bir çembere sahip olan bir dışbükey dörtgene iki merkezli (bicentric) dörtgen de denir. [ 5 ] Triumph der Mathematik adlı çalışmasında Heinrich Dörrie, Nikolaus Fuß'un da beşgen , altıgen , yedigen ve sekizgen için iki merkezliye karşılık gelen formüller bulduğunu işaret etti. [ 6 ]

Kaynakça ve literatür Coolidge, Julian Lowell (1971). A Treatise on the Circle and the Sphere ((Corrected reprint of the 1916 edition) bas.). Bronx, N.Y.: Chelsea Publishing Company . ISBN 0-8284-0236-1 . Dörrie, Heinrich (1958). "100 berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur". Triumph der Mathematik (5. bas.). Würzburg: Physica-Verlag . Dörrie, Heinrich (1979) [unveränderter Nachdruck der Ausgabe 1943]. Mathematische Miniaturen (2. bas.). Wiesbaden: Sändig. ISBN 3-500-21150-X . Simon, Max (1906). "Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung". Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert . 15 . Leipzig: B. G. Teubner Verlag .

Notlar ↑ Julian Lowell Coolidge: A Treatise on the Circle and the Sphere. 1916 (Nachdruck 1971, 2004), S. 44 ff ↑ Max Simon: Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. 1906, S. 108 1 2 Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. 1979, S. 71–72, 115 ↑ Julian Lowell Coolidge: op. cit. S. 46 ff , 117–118 1 2 Dörrie, op. cit., s. 522 ↑ Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. 1958, s. 196

Dış bağlantılar "Fuss' Theorem" . 30 Ocak 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Java Applet @cut-the-knot.org "Gleichung von Euler-Fuß" . Geogebra . 14 Aralık 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi . Erişim tarihi: 28 Kasım 2020 . "The results of Fuss and Carlitz for bicentric quadrilaterals" . 23 Aralık 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi.

Konuyla ilgili yayınlar Grigori Giorgadze & Giorgi Khimshiashvili (2013), " Remarks on Bicentric Polygons " (PDF) , Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences , 7 (3) "Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral" (PDF) . 23 Aralık 2015 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. g t d Leonhard Euler Çalışmalar Mechanica Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integralis Letters to a German Princess Kavramlar ve teoriler Euler-Lagrange denklemi Euler-Lotka denklemi Euler-Maclaurin formülü Euler-Maruyama yöntemi Euler-Mascheroni sabiti Euler-Poisson-Darboux denklemi Euler-Rodrigues formülü Euler-Tricomi denklemi Euler sürekli kesirler formülü Euler kritik yükü Euler formülü Euler dört-kare özdeşliği Euler özdeşliği Euler pompa ve tribün denklemi Euler dönme teoremi Euler kuvvetler toplamı varsayımı Euler teoremi Euler denklemleri (akışkanlar dinamiği) Euler fonksiyonu Euler yöntemi Euler sayıları Euler sayısı (fizik) Euler-Bernoulli kiriş teorisi Euler teoremi (geometri) Euler spirali Euler-Fuss denklemi Euler dörtgen teoremi Diğer Aynı adı taşıyan Euler Committee Johann Euler Johann Bernoulli ( Bernoulli ailesi ) Georg Gsell Merian ailesi Basel Okulu (matematik)