Trigonometri

Geometri Bir düzleme , bir kürenin yansıtılması Ana hatları Tarihi Dalları Öklidsel Öklid dışı Eliptik Küresel Hiperbolik Tasarı Sentetik Analitik Cebirsel Aritmetik Diyofant Diferansiyel Riemannian Semplektik Ayrık diferansiyel Karmaşık Sonlu Ayrık/Kombinatoryal Dijital Konveks Hesaplamalı Fraktal Kavramlar Özellikler Boyut Pergel ve çizgilik çizimleri Açı Eğri Köşegen Ortogonallik ( Dik ) Paralel Köşenokta Eşleşik Benzerlik Simetri Sıfır boyutlu Nokta Bir boyutlu Doğru parçası ışın Uzunluk İki boyutlu Düzlem Alan Çokgen Üçgen Yükseklik Hipotenüs Pisagor teoremi Paralelkenar Kare Dikdörtgen Eşkenar dörtgen Romboid Dörtgen Yamuk Deltoid (geometri) Çember Çap Çevre Alan Üç boyutlu Hacim Küp Küboid Silindir Piramit Küre Dört ve üzeri boyutlu Tesseract Hiperküre Geometriciler İsme göre Aida Aryabhata Ahmes Apollonius Arşimet Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euler Gauss Gromov Hayyám Hilbert İbn-i Heysem el-İşbîlî Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Öklid Pascal Pisagor Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Siczi el-Tusi Veblen Virasena Yang Hui Zhang Geometricilerin listesi Döneme göre Milattan önce Ahmes Baudhayana Manava Pisagor Öklid Arşimet Apollonius MS 1–1400'lar Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena İbn-i Heysem Siczi Hayyám el-İşbîlî el-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400'lar–1700'ler Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700'ler–1900'lar Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Günümüz Atiyah Gromov g t d Trigonometri ( Yunanca trigōnon "üçgen" + metron "ölçmek"), üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik dalı. Trigonometri, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik işlevlerin ( fonksiyon ) üzerine kurulmuştur ve günümüzde fizik ve mühendislik branşlarında sık sık kullanılmaktadır.

Tarihçe Ana madde: Trigonometri tarihi Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometri nin bazı ögeleri, daha Babilliler ve Eski Mısırlılar döneminde biliniyor, Sümerli astronomlar ilk kez bir çemberi 360 eşit parçaya bölerek açı ölçümünü yaptılar. Eski Yunanlar Menelaos ’un küresel geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar , yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant , kotanjant , sekant , kosekant kavramlarını geliştirdiler. [ kaynak belirtilmeli ] .İlk kez Akdeniz'in çevresi trigonometre ile Abbasiler döneminde ölçülmüştür. [ kaynak belirtilmeli ] Batıda Nasîrüddin Tûsî ’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus ’un üçgen üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin , hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. John Napier logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri işlevlerinin ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da Leonhard Euler , birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı. [ kaynak belirtilmeli ] .

Genel bakış Ana madde: Trigonometrik fonksiyonlar Trigonometrik işlevler Bir dik üçgenin kenarları Trigonometrik işlevler bir dik üçgen ya da birim çember üzerinden tanımlanır. Temel olarak üç tane trigonometrik işlev ve bunların çarpma işlemine göre terslerinden oluşan üç tane daha işlev vardır. Yandaki ABC üçgeninde Sinüs işlevi (sin), karşı kenarın hipotenüse oranıdır. sin ⁡ A = karşı hipotenüs = a c . {\displaystyle \sin A={\frac {\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {a}{\,c\,}}\,.} Kosinüs işlevi (cos), komşu kenarın hipotenüse oranıdır. cos ⁡ A = komşu hipotenüs = b c . {\displaystyle \cos A={\frac {\text{komşu}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {b}{\,c\,}}\,.} Tanjant işlevi (tan), karşı kenarın komşu kenarı oranıdır. tan ⁡ A = karşı komşu = a b = sin ⁡ A cos ⁡ A . {\displaystyle \tan A={\frac {\text{karşı}}{\text{komşu}}}={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.} Bir de bu işlevlerin çarpmaya göre tersi vardır. kosekant , sekant ve kotanjant : csc ⁡ A = 1 sin ⁡ A = c a , {\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {c}{a}},} sec ⁡ A = 1 cos ⁡ A = c b , {\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {c}{b}},} cot ⁡ A = 1 tan ⁡ A = cos ⁡ A sin ⁡ A = b a . {\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.} Bu işlevler geometrinin dolayısıyla fiziğin ve mühendisliğin pek çok alanında kullanılır. Sinüs ve kosinüs teoremleri bir üçgenin açıları ve kenarlarını hesaplamakta kullanılır ki herhangi bir çokgen üçgenlerin birleşimi olduğundan çokgenleri incelemede de yararlıdır. Birim çember ve esas ölçü Birim çember üzerinde bütün işlevler Yukarıda dik üçgen üzerinden yapılan tanım sadece 0-90 derece aralığını kapsar (0-π/2 radyan). 90-360 derece arasındaki açıların trigonometrik değerleri birim çember üzerinden hesaplanır. 360 dereceden büyük açılar 360 üzerinden devrettirilerek 0-360 arasındaki esas ölçüsü bulunur. 0° ≤x <360° ve k bir tam sayı olmak üzere ölçüsü (x + 360k) olan açıların esas ölçüsü x derecedir. 0 ≤ x< 2π ve k bir tam sayı olmak üzere, ölçüsü (x + 2πk) olan açıların esas ölçüsü x radyandır. Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember veya trigonometrik çember denir. Birim çemberin denklemi x 2 +y 2 =1 şeklindedir. Sarma işlevi Gerçel sayılar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan işleve sarma işlev i denir. Sarma işlevini s ile, birim çemberi de C ile gösterirsek işlev s : R → C {\displaystyle \ s:\mathbb {R} \to C} şeklinde yazılabilir ve s ( x ) = P {\displaystyle \ s(x)=P} oldugunda s ( x + 2 k π ) = P {\displaystyle \ s(x+2k\pi )=P} olur. Başka bir deyişle, sarma işlevi, gerçel sayılar üzerinde dönemi (periyodu) 2 π {\displaystyle 2\pi } olan bir işlevdir. İşlevler arasındaki ilişkiler Yukarıdaki tanımlardan görülebileceği gibi, bu işlevler arasında cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle {\cos ^{2}\ x}+{\sin ^{2}\ x}=1} ( Pisagor teoremi ) sec 2 ⁡ A − tan 2 ⁡ A = 1 {\displaystyle \sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\ } csc 2 ⁡ A − cot 2 ⁡ A = 1 {\displaystyle \csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\ } ilişkileri vardır. Sık kullanılan açıların trigonometrik oranları 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 30 ∘ = π 6 {\displaystyle 30^{\circ }={\frac {\pi }{6}}} 45 ∘ = π 4 {\displaystyle 45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}} 60 ∘ = π 3 {\displaystyle 60^{\circ }={\frac {\pi }{3}}} 90 ∘ = π 2 {\displaystyle 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}} 180 ∘ = π {\displaystyle 180^{\circ }=\pi } 270 ∘ = 3 π 2 {\displaystyle 270^{\circ }={\frac {3\pi }{2}}} 360 ∘ = 2 π {\displaystyle 360^{\circ }=2\pi } s i n ( x ) {\displaystyle sin(x)} 0 {\displaystyle 0} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} c o s ( x ) {\displaystyle cos(x)} 1 {\displaystyle 1} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} t a n ( x ) {\displaystyle tan(x)} 0 {\displaystyle 0} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} ∞ ~ {\displaystyle {\tilde {\infty }}} [ 1 ] 0 {\displaystyle 0} ∞ ~ {\displaystyle {\tilde {\infty }}} [ 2 ] 0 {\displaystyle 0} c o t ( x ) {\displaystyle cot(x)} ∞ ~ {\displaystyle {\tilde {\infty }}} [ 3 ] 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 1 {\displaystyle 1} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 0 {\displaystyle 0} ∞ ~ {\displaystyle {\tilde {\infty }}} [ 4 ] 0 {\displaystyle \ 0} ∞ ~ {\displaystyle {\tilde {\infty }}} [ 5 ] sec ⁡ ( x ) {\displaystyle \sec(x)} 1 {\displaystyle 1} 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 {\displaystyle 2} ∞ ~ {\displaystyle {\tilde {\infty }}} [ 6 ] − 1 {\displaystyle -1} ∞ ~ {\displaystyle {\tilde {\infty }}} [ 7 ] 1 {\displaystyle 1} c s c ( x ) {\displaystyle csc(x)} ∞ ~ {\displaystyle {\tilde {\infty }}} [ 8 ] 2 {\displaystyle 2} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} ∞ ~ {\displaystyle {\tilde {\infty }}} [ 9 ] − 1 {\displaystyle -1} ∞ ~ {\displaystyle {\tilde {\infty }}} [ 10 ]

Gerçek veya karmaşık değişkenlerin trigonometrik fonksiyonları Ana madde: Trigonometrik fonksiyonlar Trigonometrik fonksiyon grafikleri 6 ana trigonometrik fonksiyonun özelliklerini özetleyen diyagramlar: [ 11 ] [ 12 ] Fonksiyon Periyot Alan Aralık Diyagram sinüs 2 π {\displaystyle 2\pi } ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} cosinüs 2 π {\displaystyle 2\pi } ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} tanjant π {\displaystyle \pi } x ≠ π / 2 + n π {\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi } ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} sekant 2 π {\displaystyle 2\pi } x ≠ π / 2 + n π {\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi } ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )} cosekant 2 π {\displaystyle 2\pi } x ≠ n π {\displaystyle x\neq n\pi } ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )} cotanjant π {\displaystyle \pi } x ≠ n π {\displaystyle x\neq n\pi } ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} Ters trigonometrik fonksiyonlar 6 ana trigonometrik fonksiyon periyodik olduğu için birebir değillerdir yani ters çevrilemezler, ancak trigonometrik bir fonksiyonun alanını kısıtlayarak ters çevrilebilirler. [ 13 ] :48ff Fonksiyon Genel gösterim İfade x değer aralığı Asıl değer aralığı ( radyan ) Asıl değer aralığı ( derece ) arcsinüs y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 − π /2 ≤ y ≤ π /2 −90° ≤ y ≤ 90° arckosinüs y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180° arctanjant y = arctan x x = tan y tüm reel sayılar − π /2 < y < π /2 −90° < y < 90° arckotanjant y = arccot x x = cot y tüm reel sayılar 0 < y < π 0° < y < 180° arcsekant y = arcsec x x = sec y x ≤ −1 or 1 ≤ x 0 ≤ y < π /2 or π /2 < y ≤ π 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180° arckosekant y = arccsc x x = csc y x ≤ −1 or 1 ≤ x − π /2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π /2 -90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

Kullanım alanları Ana madde: Trigonometrinin kullanımları Freiberger Denizcilik Sekstantı Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır: jeofizik , kristalografi , ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik mühendisliği , inşaat mühendisliği , elektronik , jeodezi , makine mühendisliği , meteoroloji , astronomi , müzik kuramı , sayı kuramı (ve dolayısıyla kriptografi ), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji (eczacılık), optik , fonetik , olasılık kuramı , psikoloji , sismoloji ... Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur. Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik işlevler farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok yararlanılan dallarda kullanım olanağı bulmuştur.

Özdeşlikler Ana madde: Trigonometrik özdeşliklerin listesi Üçgen özdeşlikleri Sinüs teoremi Ana madde: Sinüs teoremi Kosinüs teoremi Ana madde: Kosinüs teoremi Tanjant teoremi Ana madde: Tanjant teoremi Trigonometrik özdeşlikler Euler bağıntısı e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,} Bu bağıntıyla iki matematiksel ifade olan i ve π {\displaystyle \pi } birbirine bağlanmış olur. de Moivre formülü Ana madde: De Moivre formülü ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) . {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,} Diğer özdeşlikler Toplam fark formülleri Trigonometrik değerleri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerdir. sin(α+β) = sin α.cos β + cos α.sin β sin(α-β) = sin α.cos β - cos α.sin β cos(α+β) = cos α.cos β - sin α.sin β cos(α-β) = cos α.cos β + sin α.sin β tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α . tan β) tan(α-β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α . tan β) cot(α+β) = (cot α . cot β - 1) / (cot α + cot β) cot(α-β) = (cot α . cot β + 1) / (cot β - cot α) Yarım açı formülleri Yarım açı formülleri ya da iki kat açı formülleri, trigonometrik değerleri bilinen bir açının iki katının veya yarısının trigonometrik değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerdir. sin2α = 2sin α.cos α cos2α = cos 2 α - sin 2 α cos2α = 2cos 2 α - 1 cos2α = 1- 2sin 2 α tan2α = 2tan α / 1-tan 2 α tan2α = 2 / cot α - tan α cot2α = cot 2 α - 1 / 2cot α Dönüşüm formülleri Dönüşüm formülleri, toplam durumundaki iki trigonometrik ifadeyi çarpım haline getirmeye yarar. Bu işlemin amacı bazı özel durumlarda işlem kolaylığı sağlamaktır. sin ⁡ a + sin ⁡ b = 2 sin ⁡ a + b 2 cos ⁡ a − b 2 {\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin {a+b \over 2}\cos {a-b \over 2}} sin ⁡ a − sin ⁡ b = 2 cos ⁡ a + b 2 sin ⁡ a − b 2 {\displaystyle \sin a-\sin b=2\cos {a+b \over 2}\sin {a-b \over 2}} cos ⁡ a + cos ⁡ b = 2 cos ⁡ a + b 2 cos ⁡ a − b 2 {\displaystyle \cos a+\cos b=2\cos {a+b \over 2}\cos {a-b \over 2}} cos ⁡ a − cos ⁡ b = − 2 sin ⁡ a + b 2 sin ⁡ a − b 2 {\displaystyle \cos a-\cos b=-2\sin {a+b \over 2}\sin {a-b \over 2}} tan ⁡ a + tan ⁡ b = sin ⁡ ( a + b ) cos ⁡ a cos ⁡ b {\displaystyle \tan a+\tan b={\frac {\sin(a+b)}{\cos a\cos b}}} tan ⁡ a − tan ⁡ b = sin ⁡ ( a − b ) cos ⁡ a cos ⁡ b {\displaystyle \tan a-\tan b={\frac {\sin(a-b)}{\cos a\cos b}}} cot ⁡ a + cot ⁡ b = sin ⁡ ( a + b ) sin ⁡ a sin ⁡ b {\displaystyle \cot a+\cot b={\frac {\sin(a+b)}{\sin a\sin b}}} cot ⁡ a − cot ⁡ b = − sin ⁡ ( a − b ) sin ⁡ a sin ⁡ b {\displaystyle \cot a-\cot b=-{\frac {\sin(a-b)}{\sin a\sin b}}}