Dördey

William Rowan Hamilton Matematikte , dördeyler (ya da kvaterniyon, kuaternion, dördübir), karmaşık sayıları bir gerçek, üç sanal boyuta genişleten sayı sistemidir . İlk defa İrlandalı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. Kuaterniyonlar değişme özelliğine ( ab = ba ) sahip değildir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler dördeylerin yerini almışsa da, kuramsal ve uygulamalı matematikte hala kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanı, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır. Dördey cebiri genellikle H (Hamilton) ile gösterilir. Clifford cebiri sınıflandırması C ℓ 0,2 ( R ) = C ℓ 0 3,0 ( R ) olarak da gösterilirler. H cebirinin analizde önemli bir yeri vardır. Çünkü, Frobenius teoremi 'ne göre, gerçel sayılar cismini althalka olarak içeren sonlu-boyutlu dört bölüm cebirinden bir tanesidir (diğerleri gerçel sayılar, karmaşık sayılar ve sekizeyler (octonions)).

Tanım Dördeyler bir halka olarak tanımlanır. Kümesi: H = { a + b i + c j + d k | a , b , c , d ∈ R } {\displaystyle \mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb {R} \}} . olarak verilir. Burada kullanılan toplama şu şekilde tanımlıdır: ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) + ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ) {\displaystyle (a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)+(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,} = ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 ) i + ( c 1 + c 2 ) j + ( d 1 + d 2 ) k {\displaystyle =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i+(c_{1}+c_{2})j+(d_{1}+d_{2})k\,} Çarpma ise ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ) {\displaystyle (a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,} ifadesinin dağıtma kuralı kullanılarak açılmasıyla ve aşağıdaki bağıntılar yardımıyla tanımlanır. i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 , {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,\,} Her dördey tektir ve temel dördeylerin, yani 1, i , j ve k nin gerçel doğrusal birleşimidir. Dördeyler halkası, çarpma işleminin değişmeli olmaması yüzünden bir cisim değildir. Bir bölüm halkasıdır . Aynı zamanda, dördeyler, gerçel sayılar üzerinde bir bölüm cebiri oluşturur. Gerçel sayılar ve
karmaşık sayılarla birlikte, gerçelleri içeren birleşmeli üç bölüm cebirinden biridir. Taban ögelerinin çarpımı denklikler i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1} , burada i , j ve k H nın taban ögeleridir, i , j ve k nın tüm olası çarpanlarını belirtir. örneğin −1 = ijk nın sağ çarpanlarının her ikisi de k ile verilir − k = i j k k = i j ( k 2 ) = i j ( − 1 ) , k = i j . {\displaystyle {\begin{aligned}-k&=ijkk=ij(k^{2})=ij(-1),\\k&=ij.\end{aligned}}} Diğer tüm olası çarpanlar  benzer yöntemlerle belirlenebilir i j = k , j i = − k , j k = i , k j = − i , k i = j , i k = − j , {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j,\end{alignedat}}} olan satır çarpanı sol faktörü teşkil eder ve bir tablo olarak ifade edilebilir, bu yazının üstünde gösterildiği gibi kendilerinin sütunlari sağ faktörü teşkil eder. Hamilton çarpımı iki a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k elementler için ve a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k , burada çarpıma, Hamilton çarpımı ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ) denir, taban ögeler ve dağılımsal kanunun çarpımları ile tanımlanıyor.Dağılım kanunu onu çarpımın açılımı için olası yapar böylece bu taban ögelerin çarpımlarının bir toplamıdır. Bu aşağıdaki bağıntılarla veriliyor: a 1 a 2 + a 1 b 2 i + a 1 c 2 j + a 1 d 2 k {\displaystyle a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{1}c_{2}j+a_{1}d_{2}k} + b 1 a 2 i + b 1 b 2 i 2 + b 1 c 2 i j + b 1 d 2 i k {\displaystyle {}+b_{1}a_{2}i+b_{1}b_{2}i^{2}+b_{1}c_{2}ij+b_{1}d_{2}ik} + c 1 a 2 j + c 1 b 2 j i + c 1 c 2 j 2 + c 1 d 2 j k {\displaystyle {}+c_{1}a_{2}j+c_{1}b_{2}ji+c_{1}c_{2}j^{2}+c_{1}d_{2}jk} + d 1 a 2 k + d 1 b 2 k i + d 1 c 2 k j + d 1 d 2 k 2 . {\displaystyle {}+d_{1}a_{2}k+d_{1}b_{2}ki+d_{1}c_{2}kj+d_{1}d_{2}k^{2}.} Şimdi taban elemanları kullanılarak elde etmek için yukarıda verilen kuralları  çoğaltılabilir: [ 1 ] a 1 a 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 {\displaystyle a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2}} + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 − d 1 c 2 ) i {\displaystyle {}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})i} + ( a 1 c 2 − b 1 d 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 ) j {\displaystyle {}+(a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})j} + ( a 1 d 2 + b 1 c 2 − c 1 b 2 + d 1 a 2 ) k . {\displaystyle {}+(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})k.} Sıralı liste formu H' nın  1, i , j , k tabanları kullanılıyor dört katının bir kümesi olarak H yazmak için mümkün kılar: H = { ( a , b , c , d ) ∣ a , b , c , d ∈ R } . {\displaystyle \mathbf {H} =\{(a,b,c,d)\mid a,b,c,d\in \mathbf {R} \}.} ise taban  ögeleri: 1 = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , i = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , j = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) , k = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}1&=(1,0,0,0),\\i&=(0,1,0,0),\\j&=(0,0,1,0),\\k&=(0,0,0,1),\end{aligned}}} ve toplam ve çarpım için formüller: ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) + ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) = ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 , c 1 + c 2 , d 1 + d 2 ) . {\displaystyle (a_{1},\ b_{1},\ c_{1},\ d_{1})+(a_{2},\ b_{2},\ c_{2},\ d_{2})=(a_{1}+a_{2},\ b_{1}+b_{2},\ c_{1}+c_{2},\ d_{1}+d_{2}).} ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) = = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 , a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 − d 1 c 2 , a 1 c 2 − b 1 d 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 , a 1 d 2 + b 1 c 2 − c 1 b 2 + d 1 a 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},\ b_{1},\ c_{1},\ d_{1})&(a_{2},\ b_{2},\ c_{2},\ d_{2})=\\&=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2},\\&{}\qquad a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2},\\&{}\qquad a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2},\\&{}\qquad a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2}).\end{aligned}}}

Dördey değişkenlerinin bir fonksiyonu Ana madde: Dördey analizi bir karmaşık analizin fonksiyonları gibi, bir dördey değişkenin fonksiyonları kullanışlı fizik modelleri önerir.Örneğin, Maxwell tarafından tanıtılan orijinal elektrik ve manyetik alanlar bir dördey değişkenin fonksiyonları idi. Üstel, logaritma ve kuvvet bir dördey veriliyor, q = a + bi + cj + dk = a + v , üstel exp ⁡ ( q ) = ∑ n = 0 ∞ q n n ! = e a ( cos ⁡ ‖ v ‖ + v ‖ v ‖ sin ⁡ ‖ v ‖ ) {\displaystyle \exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right)} olarak hesaplanıyor ve ln ⁡ ( q ) = ln ⁡ ‖ q ‖ + v ‖ v ‖ arccos ⁡ a ‖ q ‖ {\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}} . [ 2 ] bir dördeyin kutupsal çözülümünü aşağıdaki gibi yazabiliriz q = ‖ q ‖ e n ^ θ = ‖ q ‖ ( cos ⁡ ( θ ) + n ^ sin ⁡ ( θ ) ) , {\displaystyle q=\|q\|e^{{\hat {n}}\theta }=\|q\|\left(\cos(\theta )+{\hat {n}}\sin(\theta )\right),} burada açı θ ve birim vektör n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} ile tanımlanıyor: a = ‖ q ‖ cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle a=\|q\|\cos(\theta )} ve v = n ^ ‖ v ‖ = n ^ ‖ q ‖ sin ⁡ ( θ ) . {\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\theta ).} Herhangi birim dördey e n ^ θ {\displaystyle e^{{\hat {n}}\theta }} .olan kutupsal biçim içinde ifade edilebilir bir keyfi (gerçek) üstel α {\displaystyle \alpha } için bir  yükselen  dördeyin kuvveti ile veriliyor: q α = ‖ q ‖ α e n ^ α θ = ‖ q ‖ α ( cos ⁡ ( α θ ) + n ^ sin ⁡ ( α θ ) ) . {\displaystyle q^{\alpha }=\|q\|^{\alpha }e^{{\hat {n}}\alpha \theta }=\|q\|^{\alpha }\left(\cos(\alpha \theta )+{\hat {n}}\sin(\alpha \theta )\right).}