Hamilton mekaniği

Sir William Rowan Hamilton, 1885 Hamilton mekaniği klasik mekaniğin tekrar formüle edilmesiyle geliştirilmiş ve Hamilton olmayan klasik mekanik ile aynı sonuçları öngörmüş bir teoridir. Teoriye daha soyut bir bakış açısı kazandıran Hamilton mekaniği klasik mekaniğe kıyasla farklı bir matematiksel formülasyon kullanmaktadır. Tarihi açıdan önemli bir çalışma olan Hamilton mekaniği ileriki yıllarda istatistiksel mekanik ve kuantum mekaniği konularının da geliştirilmesine önemli katkılarda bulunmuştur. Hamilton mekaniği ilk olarak William Rowan Hamilton tarafından 1833 yılında, klasik mekanik Lagranjiyen mekaniği 'nden itibaren ele alınarak tekrar formüle edilmiştir. Lagranjiyen mekaniği ise klasik mekaniğin önceki önemli formülasyonlarından birisidir ve Joseph Louis Lagrange tarafından 1788 yılında geliştirilmiştir.

Genel bakış Hamilton mekaniğinde klasik bir sistem kanonik koordinatlar r = ( q , p ) ile ifade edilir. Koordinatdaki her bir bileşen q i , p i sistemin referans noktasını göstermektedir. Sistemin zaman içindeki değişimi Hamilton denklemi tarafından özgün biçimde aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır; d p d t = − ∂ H ∂ q , d q d t = + ∂ H ∂ p {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\quad ,\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}} ve denklem içerisindeki H = H {\displaystyle {H}={H}} ( q , p , t) Hamiltonyen'ı ifade etmektedir. Hamiltonyen genelde sistemin toplam enerjisine eşittir ancak bunun geçerli olmadığı durumlar da vardır. Kapalı bir sistemde Hamiltonyen H sistemin kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamına eşittir. Newton mekaniğinde, zamandaki değişim sistem içerisindeki her parçacığa etki eden toplam kuvvet hesaplanarak elde edilir ve Newton'ın ikinci yasası kullanılarak hem hızın hem de pozisyonun zaman içindeki değişimi hesaplanır. Buna karşın Hamilton mekaniğinde zamandaki değişim, sistemin Hamiltonyen'ı genel koordinatlarda hesaplandıktan sonra Hamilton denklemine yerleştirilerek elde edilir. Bu yöntem Lagranjiyen mekaniğinde kullanılan yöntem ile aynıdır. Aşağıda da gösterildi üzere, Hamiltonyen aslında q ve t değerlerinin sabit tutulup p 'yi iki değişkeli bir eleman olarak tanımlayan bir Lagranjiyen Legendre dönüşümüdür. Buna bağlı olarak her iki yaklaşım da aynı genelleştirilmiş momentum değerleri için aynı denklemleri verir. Lagranjiyen mekaniği yerine Hamilton mekaniği kullanılmasının temel nedeni ise Hamiltonyen sistemlerin simplektik (symplectic structure) yapısından kaynaklanmaktadır. Hamilton mekaniği zıplayan bir top, bir sarkac veya salınım yapan bir yay gibi basit sistemlerin hareketini açıklamak için kullanılabilir. Bu basit sistemlerdeki enerji, kinetik enerji ve potansiyel enerji arasında zamanla değişime uğrayarak birbirine dönüşür. Buna ek olarak Hamilton mekaniğinin gücünün asıl görüldüğü nokta daha karmaşık dinamik sistemlerdir. Gezegenlerin yörünge hareketleri, gök mekaniği gibi alanlar buna birer örnektir. Sistemin hareket eksenlerindeki özgürlük arttıkça, sistemin zamana bağlı değişkelerinin hesaplanması zorlaşır. Çoğu durumda ise bu sistemler kaotik davranışlar gösterir. Temel fiziksel yorum Hamilton mekaniğinin en temel yorumlarından birisi, 1 boyutta hareket eden mv kütleli bir cisme uygulanan Hamiltonyen'dır. Hamiltonyen, sistemin toplam enerjisini yani kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamını ifade etmektedir. Geleneksel olarak kinetik enerji T ve potansiyel enerji V ile gösterilir. Denklemlerde görünen q pozisyonu ifade eden koordinat iken p ise momentumu ifade etmektedir. Böylece; H = T + V , T = p 2 2 m , V = V ( q ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V\quad ,\quad T={\frac {p^{2}}{2m}}\quad ,\quad V=V(q)} T'nin sadece p'ye bağlı bir fonksiyon, V'nin ise sadece q'ya bağlı bir fonksiyon olduğu açıkça görülmektedir. Bu örnekte, p'nin zamana bağlı türevi Newtonyan kuvvete eşittir. Buda birinci Hamiltonyen denkleminin ifade ettiği gibi kuvvet, potansiyel enerjinin negatif gradyanına eşittir. q'nun zamana bağlı türevi ise hıza eşittir. Buda ikinci Hamiltonyen denkleminin ifade ettiği gibi parçacığın hızı, kinetik enerjinin momentuma bağlı türevine eşittir. Hamiltonyenin Lagranjiyen kullanılarak hesaplanması Genel koordinatlar q i ve genel hızlar q̇ i ve zaman cinsinden verilen bir Lagranjiyen Lagranjiyenin genel hızlara göre türevi alınarak momentum hesaplanır: p i ( q i , q ˙ i , t ) = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}(q^{i},{\dot {q}}^{i},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}} Önceki ifade de değişkenlerin yerleri değiştirilerek genel hızlar q̇ i genel momentum p i {\displaystyle p_{i}} cinsinden tanımlanır. H'ın genel tanımı olan L'in Legendre dönüşümü kullanılarak Hamiltonyen hesaplanır: H = ∑ i q ˙ i ∂ L ∂ q ˙ i − L = ∑ i q ˙ i p i − L {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\dot {q}}^{i}p_{i}-{\mathcal {L}}} Sonrasında ise hızlar yukarıdaki denklemde yerlerine yazılır.

Hamilton'un denklemlerinin türetilmesi Hamilton denklemleri; Lagranjiyenin zamana, genel koordinatlara q i ve genel hızlara q̇ i göre toplam türevine bakılarak elde edilir. [ 1 ] d L = ∑ i ( ∂ L ∂ q i d q i + ∂ L ∂ q ˙ i d q ˙ i ) + ∂ L ∂ t d t {\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t} Genel momentum denklemi ise aşağıdaki gibi tanımlanır; p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}} Bu tanım Lagranjiyenin toplam türevinde yerine yazılırsa elde edilen sonuç; d L = ∑ i ( ∂ L ∂ q i d q i + p i d q ˙ i ) + ∂ L ∂ t d t {\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t} Denklem aşağıdaki şekilde tekrar yazılabilir; d L = ∑ i ( ∂ L ∂ q i d q i + d ( p i q ˙ i ) − q ˙ i d p i ) + ∂ L ∂ t d t . {\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} \left(p_{i}{\dot {q}}^{i}\right)-{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\,.} Ve eşitlik tekrar düzenlenmesiyle birlikte şu hale gelir; d ( ∑ i p i q ˙ i − L ) = ∑ i ( − ∂ L ∂ q i d q i + q ˙ i d p i ) − ∂ L ∂ t d t {\displaystyle \mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t} Eşitliğin sol tarafı, öncesinde de yazıldığı üzere Hamiltonyeni ifade etmektedir. Böylece; d H = ∑ i ( − ∂ L ∂ q i d q i + q ˙ i d p i ) − ∂ L ∂ t d t {\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t} Buna ek olarak Hamiltonyen Şablon:Matematikcal 'in doğrudan zaman göre toplam türevini hesaplamak da mümkündür. Yukarıda, Lagranjiyen Şablon:Matematikcal 'in üzerinde yapılan hesaplamalara benzer bir işlem uygulandığında sonuç şu şekilde olacaktır; d H = ∑ i ( ∂ H ∂ q i d q i + ∂ H ∂ p i d p i ) + ∂ H ∂ t d t {\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t} Dikkatli bakıldığı takdirde yukarıdaki iki bağımsız denklemin sağ taraflarının birbirine eşit olduğu gözlemlenmektedir. Böylece sonuç aşağıdaki şekli almaktadır; ∑ i ( − ∂ L ∂ q i d q i + q ˙ i d p i ) − ∂ L ∂ t d t = ∑ i ( ∂ H ∂ q i d q i + ∂ H ∂ p i d p i ) + ∂ H ∂ t d t {\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t} Yukarıda işlenen hesaplamalar " off-shell " olarak yapıldığından dolayı denklemin iki tarafına da karşılık gelen terimler aşağıdaki gibi ifade edilir; ∂ H ∂ q i = − ∂ L ∂ q i , ∂ H ∂ p i = q ˙ i , ∂ H ∂ t = − ∂ L ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}} "On-shell" Lagranjiyen denklemlerinin getirdiği üzere; d d t ∂ L ∂ q ˙ i − ∂ L ∂ q i = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0} Ve aşağıdaki haliyle tekrar yazıldığında; ∂ L ∂ q i = p ˙ i {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}} Böylece Hamiltonyen denklemleri aşağıdaki sonuçları sağlar; ∂ H ∂ q j = − p ˙ j , ∂ H ∂ p j = q ˙ j , ∂ H ∂ t = − ∂ L ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{j}}}=-{\dot {p}}_{j}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{j}}}={\dot {q}}^{j}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}}

Lagranjiyen mekaniğinin yeni bir formülasyonu olarak Hareket denklemleri Larganjiyen mekaniği ile başlayarak genelleştirilmiş koordinat sistemi üzerine kurulmuştur { q j | j = 1 , … , N } {\displaystyle \left.\left\{q^{j}\right|j=1,\ldots ,N\right\}} ve genelleştirilmiş hız ile örtüşmektedir. { q ˙ j | j = 1 , … , N } {\displaystyle \left.\left\{{\dot {q}}^{j}\right|j=1,\ldots ,N\right\}} Lagranjiyen genel formunda aşağıdaki şekilde yazılır; L ( q j , q ˙ j , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(q^{j},{\dot {q}}^{j},t\right)} alt indisler ise bu türdeki tüm N değişkenleri tanımlar. Hamilton mekaniğinin amacı genelleştirilmiş hız değişkenlerini genelleştirilmiş momentum değişkenleri ile değiştirmektir. Genelleştirilmiş momentum değişkenleri konjuge momentum olarak da bilinmektedir. Böylelikle bazı sistemleri ele alarak incelemek mümkün hale gelmektedir. Quantum mekaniğindeki bazı problemler bunlara örnek olarak sayılabilir ve Hamilton mekaniğinin yardımı olmadan bu sistemler çok daha karmaşık bir hal almaktadır. Tanımlanan her bir genelleştirilmiş hız için, buna karşılık gelen bir genelleştirilmiş konjuge momentum vardır ve aşağıdaki şekilde ifade edilir; p j = ∂ L ∂ q ˙ j {\displaystyle p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{j}}}} Kartezyen koordinat sistemlerinde genelleştirilmiş momentum tam olarak lineer (doğrusal) momentuma karşılık gelir. Dairesel (kutupsal) koordinat sisteminde ise açısal hız ile ilişkilendirilen genelleştirilmiş momentum açısal momentuma karşılık gelir. Rastgele bir seçim ile tanımlanan genelleştirilmiş koordinat sistemleri her zaman sezgisel bir konjuge momentum karşılığına sahip olmayabilir. Bu koordinata bağımlı formülasyonda açıkça görünmeyen bir durum vardır. Aynı simplektik (symplectic) manifoldlardaki farklı genelleştirilmiş koordinatlar, farklı koordinat yamalarından çok da farklı değillerdir (matematiksel formülasyonu aşağıda görünmektedir). Lagranjiyenin Legendre dönüşümü olan Hamiltonyen şu şekildedir; H ( q j , p j , t ) = ( ∑ i q ˙ i p i ) − L ( q j , q ˙ j , t ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(q^{j},p_{j},t\right)=\left(\sum _{i}{\dot {q}}^{i}p_{i}\right)-{\mathcal {L}}\left(q^{j},{\dot {q}}^{j},t\right).} Eğer ki genelleştirilmiş koordinatları tanımlayan dönüşüm denklemleri t 'den bağımsız ise ve Lagranjiyen 0, 1 veya 2. dereceden homojen bir fonksiyonun ürünlerinin toplamından oluşuyor ise, Hamiltonyen H toplam enerji E = T + V 'ye eşittir. Hamiltonyen H 'in tanımında gösterilen eşitliğin her tarafı bir diferansiyel denklem oluşturmaktadır: d H = ∑ i [ ( ∂ H ∂ q i ) d q i + ( ∂ H ∂ p i ) d p i ] + ( ∂ H ∂ t ) d t = ∑ i [ q ˙ i d p i + p i d q ˙ i − ( ∂ L ∂ q i ) d q i − ( ∂ L ∂ q ˙ i ) d q ˙ i ] − ( ∂ L ∂ t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {H}}&=\sum _{i}\left[\left({\partial {\mathcal {H}} \over \partial q^{i}}\right)\mathrm {d} q^{i}+\left({\partial {\mathcal {H}} \over \partial p_{i}}\right)\mathrm {d} p_{i}\right]+\left({\partial {\mathcal {H}} \over \partial t}\right)\mathrm {d} t\qquad \qquad \quad \quad \\\\&=\sum _{i}\left[{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}+p_{i}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}-\left({\partial {\mathcal {L}} \over \partial q^{i}}\right)\mathrm {d} q^{i}-\left({\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {q}}^{i}}\right)\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right]-\left({\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\right)\mathrm {d} t.\end{aligned}}} Eşlenik katsayıları ve konjuge momentumun önceki tanımını bu denklemde yerine yazarak Hamilton mekaniğinin hareket denklemleri elde edilir. Bu denklemler aynı zamanda Hamilton mekaniğinin standart (canonical) denklemleri olarak da bilinir: ∂ H ∂ q j = − p ˙ j , ∂ H ∂ p j = q ˙ j , ∂ H ∂ t = − ∂ L ∂ t . {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{j}}}=-{\dot {p}}_{j}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{j}}}={\dot {q}}^{j}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.} Hamilton denklemleri 2 n tane birinci dereceden diferansiyel denklemden oluşmasına karşın Lagrange denklemleri n tane ikinci dereceden diferansiyel denklemden oluşur. Buna karşın Hamilton denklemleri, hareket denklemlerine açık bir çözüm bulmayı kolaylaştırmaz. Bir takım önemli teorik sonuçlar elde edilebilebilmesi Hamilton denklemlerinin sağladığı bazı avantajlardandır. Bu durum momentum ve koordinatların neredeyse simetrik role sahip bağımsız değişkenler olması ile mümkündür. Hamilton denklemlerinin Lagrange denklemleri üzerindeki bir diğer avantajı ise simetri bulunan herhangi bir koordinatın çözüm denklemlerinin ihmal edilebilmesidir. Simetri bulunan sistemlerde yani Hamiltonyenin ortaya çıkmadığı koordinatlarda, bu sisteme karşılık gelen momentumlar korunur. Bu sayede problem n koordinatdan ( n − 1) koordinata indirgenmiş olur. Lagrange ve Hamilton yaklaşımları, klasik mekanik teorisinde ve kuantum mekaniğinin formülasyonları için daha derin sonuçların zeminini oluşturmaktadır.

Hamiltonyen sistemlerin geometrisi

Possion parantezi yoluyla quantum mekaniğine genellenmesi Hamilton denklemleri yukarıda da görüldüğü üzere klasik mekanikte tutarlı bir şekilde sonuç vermektedir ancak kuantum mekaniğinde aynı durum geçerli değildir. Bunun nedeni klasik mekanikte sistem içindeki bir parçacığın konum ve momentum bilgisinin anlık olarak herhangi bir anda kesin olarak bilinebilmesine karşın kuantum mekaniğinde bu durum söz konusu değildir. Buna rağmen denklemler genelleştirilerek klasik mekaniğe uygulandığı gibi kuantum mekaniğine de uygulanabilir. Poisson cebirin p ve q üzerindeki yapısı tekrar oluşturularak Moyal parantezleri cebirine çevirilebilir. Özellikle, daha genel bir forma sahip Hamilton denklemleri şu şekildedir; d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}} ve denklem içindeki f , p ve q 'nun birer fonksiyonu iken Şablon:Matematikcal ise Hamiltonyendir.

Elektromanyetik alan içerisindeki yüklü parçacık Elektromanyetik alan içerisinde bulunan yüklü bir parçacığın Hamiltonyeni, Hamilton mekaniğinin iyi bir illüstrasyonudur. Kartezyen koordinatlarda (örneğin q i = x i ) relativistik olmayan klasik bir parçacığın elektromanyetik alan içindeki Hamiltonyeni aşağıdaki gibidir (standard birimler kullanıldığı takdirde); L = ∑ i 1 2 m x ˙ i 2 + ∑ i e x ˙ i A i − e φ {\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}e{\dot {x}}_{i}A_{i}-e\varphi } ve denklem içerisindeki e elektrik yükü , φ skaler elektrik potansiyeli , A i yönlü manyetik vektör potansiyelinin elemanlarıdır. Bu durum minimum etkileşim olarak adlandırılır. Genelleştirilmiş momentum ise aşağıdaki gibi ifade edilir; p i = ∂ L ∂ x ˙ i = m x ˙ i + e A i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+eA_{i}} Hızların momentum cinsinden ifade edilmesinin ardından denklem yeniden düzenlenir ve; x ˙ i = p i − e A i m {\displaystyle {\dot {x}}_{i}={\frac {p_{i}-eA_{i}}{m}}} Eğer ki momentumun tanımını ve hızın momentum cinsinden tanımını yukarıda bulunan Hamiltonyene eklersek, sonrasında ise sadeleştirme adımlarını yaparsak elde edeceğimiz sonuç; H = { ∑ i x ˙ i p i } − L = ∑ i ( p i − e A i ) 2 2 m + e φ {\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-eA_{i}\right)^{2}}{2m}}+e\varphi } Bu sonuç kuantum mekaniğinde sıklıkla kullanılmaktadır.

Elektromanyetik alan içerisindeki relativistik yüklü parçacık Relativistik yüklü bir parçacığın Lagranjiyeni şu şekilde tanımlanmaktadır; L ( t ) = − m c 2 1 − x ˙ ( t ) 2 c 2 − e φ ( x ( t ) , t ) + e x ˙ ( t ) ⋅ A ( x ( t ) , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}-e\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)+e{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)} Buna göre parçacığın toplam momentumu aşağıdaki gibidir; P ( t ) = ∂ L ( t ) ∂ x ˙ ( t ) = m x ˙ ( t ) 1 − x ˙ ( t ) 2 c 2 + e A ( x ( t ) , t ) {\displaystyle \mathbf {P} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}(t)}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}(t)}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}(t)}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}}+e\mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)} bu denklem kinetik momentum ve potansiyel momentumun toplamı anlamına gelir. Yukarıdaki denklemi hız için çözdüğümüzde elde edeceğimiz sonuç; x ˙ ( t ) = P ( t ) − e A ( x ( t ) , t ) m 2 + 1 c 2 ( P ( t ) − e A ( x ( t ) , t ) ) 2 {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {P} (t)-e\mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)}{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {P} (t)-e\mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)\right)}^{2}}}}} Böylece Hamiltonyen; H ( t ) = x ˙ ( t ) ⋅ P ( t ) − L ( t ) = c m 2 c 2 + ( P ( t ) − e A ( x ( t ) , t ) ) 2 + e φ ( x ( t ) , t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} \,(t)-{\mathcal {L}}(t)=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {P} \,(t)-e\mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)\right)}^{2}}}+e\varphi (\mathbf {x} (t),t)} Bununla birlikte kuvvet denklemi elde edilebilir (bu denklem aynı zamanda Euler-Lagrange denklemine denktir): P ˙ = − ∂ H ∂ x = e ( ∇ A ) ⋅ x ˙ − e ∇ φ {\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=e({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )\cdot {\dot {\mathbf {x} }}-e{\boldsymbol {\nabla }}\varphi } aynı zamanda aşağıdaki eşitlik kolayca türetilebilir; d d t ( m x ˙ 1 − x ˙ 2 c 2 ) = e E + e x ˙ × B {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=e\mathbf {E} +e{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} } Buna denk olan bir başka Hamiltonyen tanımı aşağıdaki gibi gösterilebilir. Burada Hamiltonyen relativistik kinetik momentuma bağlı bir foksiyondur p = γm ẋ ( t ) , H ( t ) = x ˙ ( t ) ⋅ p ( t ) + m c 2 γ + e φ ( x ( t ) , t ) = γ m c 2 + e φ ( x ( t ) , t ) = E + V {\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {p} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+e\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+e\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V} Bu yöntem ile P 'nin deneysel olarak ölçülememesine karşın p deneysel olarak ölçülebilir. Bu hesaplamada Hamiltonyenin (toplam enerji) relativistik enerji (kinetik + durgun kütle ) E = γmc 2 ve potansiyel enerji V = eφ toplamı olduğu göz önünde bulundurulmalıdır. ÖNCEKİ BAŞLIK

Lagranjiyen mekaniğinin yeni bir formülasyonu olarak

Hamiltonyen sistemlerin geometrisi Hamiltonyen bir sistem zaman R üzerinde bulunan lif yumağı E olarak anlaşılabilir. Fiberler E t , t ∈ R burada konum uzaylarıdır. Böylece Lagranjiyen E üzerinde bulunan jet yumağı J 'dir. Lagranjiyenin lif benzeri Legendre dönüşümlerinin alınmasıyla, zaman üzerinde çiftle yumak fonksiyonları oluşturulur. Burada t 'de bulunan lif kotanjant uzayı T * E t 'dir. Doğal simplektik form ile donatılmış ve bu fonksiyon Hamiltonyendir. ÖNCEKİ BAŞLIK

Possion parantezi yoluyla quantum mekaniğine genellenmesi

Matematiksel kurgu Simplektik manifold içerisinde herhangi bir düzgün (smooth) gerçel değerli fonksyion Şablon:Matematikcal Hamiltonyen sistem tanımlamak için kullanılabilir. Şablon:Matematikcal foksiyonu Hamiltonyen olarak bilinir ve enerji fonksiyonu olarak da kullanılır. Böylece simplektik manifold faz uzayı olarak da adlandırılır. Hamiltonyen, simplektik manifold üzerinde özel bir vektör alanı tanımlar ve bu alan Hamiltonyen vektör alanı olarak adlandırılır. Özel bir çeşit simplektik vektör alanı olan Hamiltonyen vektör alanı, manifold üzerinde Hamiltonyen akışını oluşturur. Bu durum manifoldun tek parametreli dönüşüm ailesidir. Eğrilerin parametreleri genel olarak zaman olarak adlandırılır. Başka bir deyişle simplektikmorfizmin izotopisi özdeşlik ile başlar. Liouville teorem ile birlikte her bir simplektikmofizm, faz uzayındaki hacim formunu korur. Hamiltonyen akış tarafından oluşturulan simplektikmorfizmin bir araya gelmesi genellikle Hamiltonyen sistemlerin Hamiltonyen mekaniği olarak adlandırılır. Simplektik yapı Poisson parantezlerini de üretmektedir. Possion parantezleri Lie cebiri yapıları manifoldları üzerindeki fonksiyonların uzaylarını tanımlar. Tanımlanan fonksiyon f ile d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}} Eğer ki ρ gibi bir olasılık dağılımı tanımlarsak, bunun konvektif türevi 0 olarak gösterilir ve ∂ ∂ t ρ = − { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}} bunun nedeni faz uzayı hızı ( ṗ i , q̇ i ) 'nın diverjansının sıfır olmasıdır ve olasılık korunmaktadır. Bu durum Liouville teoremi olarak adlandırılır. Simplektik manifold üzerindeki her bir düzgün (smooth) fonksiyon G , simplektikmorfizmin tek parametreli bir ailesini meydana getirir. Eğer ki { G , H } = 0 durumu sağlanır ise, G korunur ve simplektikmorfizm bir simetri dönüşümüdür. Bir Hamiltonyen birden fazla korunan nicelik içerebilir G i . Eğer ki simplektik manifold 2 n boyuta sahipse ve sistemde n tane bağımsız fonksiyonumsu olan korunmuş nicelik G i var ise Hamiltonyen Liouville integral alınabilirdir. Liouville-Arnold teoremi, yerel olarak herhangi bir Liouville integral alınabilir Hamiltonyeninin, bir simplektomorfizm vasıtasıyla, korunan nicelikleri G i ile yeni bir Hamiltoniyene dönüştürülebileceğini ifade eder. G i koordinatlarının bu yeni formu aksiyon açısı koordinatları olarak adlandırılır. Dönüştürülen Hamiltonyen sadece G i 'a bağımlıdır. Böylece hareket denklemleri şu basit forma sahip olurlar; G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F ( G ) {\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F(G)} Bu durum bazı F fonksiyonları için tanımlanır. KAM teoremi tarafından yönetilen integre edilebilir sistemlerden küçük sapmalara odaklanan tam bir alan vardır. Hamiltonyen vektör alanının integral alınabilir olması ile ilgili açık bir soru vardır. Genelde Hamiltonyen sistemler kaotikdir. Ölçüm konsepti, tamamlayıcılık, integral alınabilirlik ve durağan olma durumu yetersiz şekilde tanımlanır. Bu durumda, dinamik sistemlerin incelenmesi öncelikli olarak niteldir, nicel bir bilim değildir.

Riemannian manifoldlar Önem arz eden özel durumlardan bir tanesi ikinci dereceden (quadratic) oluşan Hamiltonyenlerdir. Bu durumda Hamiltonyen aşağıdaki şekilde yazılabilir; H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}} Denklemde bulunan ⟨, ⟩ q , bazen kometrik olarak da adlandırılır ve konfigürasyon uzayı q 'ya kotanjant uzayında fiber T ∗ q Q 'da düzgünce değişiklik gösterir. Bu Hamiltonyen tamamen kinetic kısımdan oluşmaktadır. Riemann manifold veya yarı Riemann manifold göz önünde bulundurulduğunda, Riemann metriğin tanjant ve kotanjant demetleri arasında doğrusal izomorfizme yol açtığı görülür. Bu isomorfizm kullanılarak kometric tanımlanabilir. Koordinatlar içerisinde kometriği tanımlayan matriks, metriği tanımlayan matriksin tersidir. Hamiltonyen için Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümü, manifoldlarda bulunan jeodezik ile aynıdır. Bilhassa, bu durumda gözlenen Hamiltonyen akış, jeodezik akış ile aynıdır. Bu çözümün varlığına ve varlığının oluşturduğu setin tamamlayıcılığına dair detaylı bilgi jeodezik makalesinde daha detaylı anlatılmıştır.

Alt Riemannyen (Sub-Riemannian) manifoldlar Kometriğin (cometric)'in dejenere olduğu durumlar aynı zamanda tersine çevrilemediği durumlardır. Bu durumlarda Riemann manifoldunu ve dolayısıyla metriği elde etmek olanaksızdır. Buna rağmen Hamiltonyen halen daha hesaplanabilir. Konfigürasyon manifold uzayı Q 'nun her bir noktası q 'da dejenere halde bulunan kometriğin derecesi, konfigürasyon manifold uzayı Q 'nun boyutundan daha azdır ve bu durum Alt Riemannyen manifoldu olarak adlandırılır. Yine bu durumdaki Hamiltonyen, Alt Riemannyen Hamiltonyen olarak adlandırılır. Her bir Hamiltonyen özgün olarak bir kometrik belirler ve aynı şekilde her bir kometrik özgün bir Hamiltonyen belirler. Buradan şu sonuç çıkarılabilir ki: her bir Alt Riemannyen manifold özgün olarak kendi Alt Riemannyen Hamiltonyeni tarafından belirlenir. Tersi de aynı zamanda geçerlidir: Her bir Alt Riemannyen manifold özgün bir Alt Riemannyen Hamiltonyene sahiptir. Alt Riemanyenn jeodeziklerin varlığı Chow-Rashevskii teoremi tarafından ortaya atılmıştır. Devamlı ve gerçel değerlerden oluşan bir Heisenberg grubu, Alt Riemanyenn manifoldlarına basit bir örnektir. Heisenberg grubu için Hamiltonyenin gösterimi ise aşağıdaki gibidir; H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)} ve p z Hamiltonyene eklenmemiştir.

Poisson cebir Hamiltonyen sistemler farklı yöntemler ile genelleştirilebilirler. Simplektik manifold üzerinde bulunan düzgün (smooth) bir fonksiyonun cebirine basitçe bakmak yerine, Hamiltonyen mekaniği genel komütatif birimsel gerçek Poisson cebir (general commutative unital real Poisson algebra) üstüne formüle edilebilir. Bir durum Poisson cebirinde devamlı doğrusal (lineer) fonksiyonumsudur. Bu fonksiyonumsu bazı uygun topolojiler ile donatılmıştır ve barındırdığı her element A için A 2 pozitif olmayan gerçel sayılar kümesi düşer. İleri seviyedeki genelleştirmeler Nambu dinamikleri ile tanımlanmıştır.