Geometri tarihi

1728 basımı Cyclopaedia dan Tab.Geometry. (Geometri Tablosu) bölümü. Geometri Bir düzleme , bir kürenin yansıtılması Ana hatları Tarihi Dalları Öklidsel Öklid dışı Eliptik Küresel Hiperbolik Tasarı Sentetik Analitik Cebirsel Aritmetik Diyofant Diferansiyel Riemannian Semplektik Ayrık diferansiyel Karmaşık Sonlu Ayrık/Kombinatoryal Dijital Konveks Hesaplamalı Fraktal Kavramlar Özellikler Boyut Pergel ve çizgilik çizimleri Açı Eğri Köşegen Ortogonallik ( Dik ) Paralel Köşenokta Eşleşik Benzerlik Simetri Sıfır boyutlu Nokta Bir boyutlu Doğru parçası ışın Uzunluk İki boyutlu Düzlem Alan Çokgen Üçgen Yükseklik Hipotenüs Pisagor teoremi Paralelkenar Kare Dikdörtgen Eşkenar dörtgen Romboid Dörtgen Yamuk Deltoid (geometri) Çember Çap Çevre Alan Üç boyutlu Hacim Küp Küboid Silindir Piramit Küre Dört ve üzeri boyutlu Tesseract Hiperküre Geometriciler İsme göre Aida Aryabhata Ahmes Apollonius Arşimet Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euler Gauss Gromov Hayyám Hilbert İbn-i Heysem el-İşbîlî Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Öklid Pascal Pisagor Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Siczi el-Tusi Veblen Virasena Yang Hui Zhang Geometricilerin listesi Döneme göre Milattan önce Ahmes Baudhayana Manava Pisagor Öklid Arşimet Apollonius MS 1–1400'lar Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena İbn-i Heysem Siczi Hayyám el-İşbîlî el-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400'lar–1700'ler Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700'ler–1900'lar Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Günümüz Atiyah Gromov g t d Geometri ( Grekçe : γεωμετρία ; geo- "dünya", -metron "ölçüm" kelimesinden gelmektedir.), mekansal ilişkilerle ilgilenen bilgi alanı olarak ortaya çıkmıştır. Geometri, modern öncesi matematiğin iki alanından biriydi, diğeri ise sayıların incelenmesi yani aritmetikti . Klasik geometri, pergel ve çizgilik çizimlerine odaklandı. Geometri, matematiksel kesinliği ve bugün hala kullanılmakta olan aksiyomatik yöntemi tanıtan Öklid tarafından kökten değiştirildi. Elemanlar ( İngilizce : The Elements ) adlı kitabı, tüm zamanların en etkili ders kitabı olarak kabul edilmekte ve 20. yüzyılın ortalarına kadar Batı'daki tüm eğitimli insanlar tarafından bilinmektedir. [ 1 ] Modern zamanlarda, geometrik kavramlar yüksek bir soyutlama ve karmaşıklık düzeyine genelleştirildi ve kalkülüs ile soyut cebir yöntemlerine tabi tutuldu, böylece alanın birçok modern dalı, erken geometrinin torunları olarak zar zor fark edilebilir. (Bkz. Matematiğin dalları ve Cebirsel geometri )

Erken geometri Geometrinin başlangıcına dair en erken kayıt, antik İndus Vadisi 'nde (bkz. Harappan matematiği ) ve antik Babil'de (bkz. Babil matematiği ) geniş açılı üçgenleri keşfeden ilk halklara kadar, MÖ 3000 civarına dayandırılabilir. Erken geometri , ölçüm, inşaat, astronomi ve çeşitli el sanatlarındaki bazı pratik ihtiyaçları karşılamak için geliştirilen, uzunluklar, açılar, alanlar ve hacimlerle ilgili deneysel olarak keşfedilmiş ilkelerin bir koleksiyonuydu. Bunların arasında şaşırtıcı derecede sofistike ilkeler de vardı ve modern bir matematikçinin hesap ve cebir kullanmadan bazılarını elde etmesi zor olabilir. Örneğin, hem Mısırlılar hem de Babilliler , Pisagor teoremini , Pisagor 'dan yaklaşık 1500 yıl önce haberdardı ve MÖ 800 civarında Hint Sulba Sutraları teoremin ilk ifadelerini içeriyordu; Mısırlılar, bir kare piramidin kesikli kısmının hacmi için doğru bir formüle sahipti. Mısır geometrisi Ana madde: Antik Mısır geometrisi Eski Mısırlılar bir çemberin alanını yaklaşık olarak şu şekilde hesaplayabileceklerini biliyorlardı: [ 2 ] Çemberin Alanı ≈ [ (Çap) × 8 9 ] 2 {\displaystyle {\text{Çemberin Alanı}}\approx [{\text{(Çap)}}\times {\frac {8}{9}}]^{2}} . Ahmes papirüsünün 30 numaralı problemi, alanın dairenin çapının 8 9 {\textstyle {\frac {8}{9}}} 'unun karesine eşit olduğu kuralına göre, bir dairenin alanını hesaplamak için bu yöntemleri kullanır. Bu, π 'nin 4 × ( 8 9 ) 2 {\textstyle 4\times ({\frac {8}{9}})^{2}} (veya 3,160493...) olduğunu var sayar ve hata oranı %0.63'ün biraz üzerindedir. π için bu değer, Babillilerin hesaplamalarından biraz daha az doğruydu ( 25 8 {\textstyle {\frac {25}{8}}} = 3,125, hata payı %0,53 içinde), ancak π ile ilgili hesaplamalar, Arşimet 'in yaklaşık 10.000'de 1'in biraz üzerinde bir hata oranına sahip olan 211875 67441 {\textstyle {\frac {211875}{67441}}} = 3,14163 yaklaşımına kadar bu değerler aşılamadı. Ahmes, π için modern bir yaklaşım olan 22 7 {\textstyle {\frac {22}{7}}} 'yi biliyordu ve bir hekat'ı bölmek için hekat x 22/x x 7/22 = hekat'ı kullandı; [ 3 ] [ 4 ] ancak Ahmes, bir silindirde bulunan hekat hacmini hesaplamak için geleneksel π yaklaşımı olan 256 81 {\textstyle {\frac {256}{81}}} değerini kullandı. Problem 48, kenarları 9 birim olan bir kare kullanmayı içeriyordu. Bu kare 3x3'lük bir ızgara şeklinde kesildi. Köşedeki karelerinin köşegeni, 63 birimlik bir alana sahip düzensiz bir sekizgen yapmak için kullanıldı. Bu, π için ikinci bir değer olarak 3,111... değerini verdi. İki problem birlikte, π için 3,11 ile 3,16 arasında bir değer aralığını gösterir. Moskova Matematik Papirüsündeki 14. Problem, bir piramidin kesikli kısmının hacmini bulan ve doğru formülü açıklayan tek eski örneği verir: V = 1 3 h ( a 2 + a b + b 2 ) {\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})} Burada a ve b kesik piramidin taban ve üst kenar uzunlukları, h ise yüksekliğidir. Babil geometrisi Ana madde: Babil matematiği Babilliler, alanları ve hacimleri ölçmek için genel kuralları biliyor olabilirler. Bir çemberin çevresini çapın üç katı ve alanı, çevrenin karesinin on ikide biri olarak ölçtüler ki bu hesap, π yaklaşık 3 olarak alınırsa doğru olur. Bir silindirin hacmi, tabanın ve yüksekliğin çarpımı olarak alındı, bununla birlikte, bir koninin veya kare piramidin kesik kısmının hacmi, yüksekliğin ve tabanların toplamının yarısının çarpımı olarak yanlış bir şekilde hesaplanmıştır. Pisagor teoremi, Babilliler tarafından da biliniyordu. Ayrıca, bir tablette π 'nin 3 ve 1/8 olarak kullanıldığı yeni bir keşif yapıldı. Babilliler , günümüzde yaklaşık yedi mile eşit bir mesafe ölçüsü olan Babil miliyle de bilinirler. Mesafeler için yapılan bu ölçüm, sonunda Güneş'in seyahatini ölçmek için kullanılan bir zaman miline dönüştürüldü, dolayısıyla zamanı temsil etti. [ 5 ] Eski Babillilerin astronomik geometriyi Avrupalılardan yaklaşık 1400 yıl önce keşfetmiş olabileceklerini gösteren yeni keşifler yapılmıştır. [ 6 ]

Vedik Hindistan Devanagari 'de bulunan Rigveda el yazması. Hint Vedik dönemi, çoğunlukla ayrıntılı sunakların yapımında anlatılan bir geometri geleneğine sahipti. Bu konudaki erken Hint dönemi metinleri (MÖ 1. binyıl) Satapatha Brahmana ve Sulba Sutralarını içerir. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] Hayashi 2005 , s. 363'e göre, Sulba Sutraları, "Eski Babilliler tarafından zaten bilinmesine rağmen, Pisagor Teoreminin dünyadaki en eski sözlü ifadesini" içerir. İnce uzun (oblong) dikdörtgenin köşegen halatı ( akṣṇayā-rajju ), hem yan ( pārśvamāni ) hem de yatay ( tiryaṇmānī ) <ipleri> ayrı ayrı üretir." [ 10 ] Diophantine denklemlerinin özel durumları olan Pisagor üçlülerinin [ 11 ] listelerini içerirler. [ 12 ] Ayrıca, Daireyi kareleştirme ve "Kareyi daireyle çevreleme" hakkında (geriye dönüp baktığımızda yaklaşık olduğunu bildiğimiz) ifadeleri de içerirler. [ 13 ] Sulba Sutralarının (MÖ 8. veya 7. yüzyıla tarihlenir) en bilinen ve en eskisi olan Baudhayana Sulba Sutrası, basit Pisagor üçlülerinin örneklerini, örneğin: ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} , ( 5 , 12 , 13 ) {\displaystyle (5,12,13)} , ( 8 , 15 , 17 ) {\displaystyle (8,15,17)} , ( 7 , 24 , 25 ) {\displaystyle (7,24,25)} ve ( 12 , 35 , 37 ) {\displaystyle (12,35,37)} , [ 14 ] ayrıca bir karenin kenarları için Pisagor teoreminin bir ifadesini: "Bir karenin köşegeni boyunca gerilen ip, orijinal karenin iki katı büyüklüğünde bir alan oluşturur." içerir. [ 14 ] Ayrıca Pisagor teoreminin (bir dikdörtgenin kenarları için) genel ifadesini içerir: "Bir dikdörtgenin köşegeninin uzunluğu boyunca gerilen ip, dikey ve yatay kenarların birlikte oluşturduğu bir alanı oluşturur." [ 14 ] Matematikçi S. G. Dani 'ye göre, yaklaşık MÖ 1850'de yazılan Babil çivi yazısı tableti Plimpton 322 , [ 15 ] "ilkel bir üçlü olan (13500, 12709, 18541) dahil olmak üzere, oldukça büyük girdilere sahip on beş Pisagor üçlüsü içerir, [ 16 ] MÖ 1850'de Mezopotamya'da özellikle, bu konuda sofistike bir anlayış olduğunu gösterir." Bu tabletler Sulbasutras döneminden birkaç yüzyıl öncesine dayandığından, bazı üçlülerin bağlamsal görünümü dikkate alındığında, benzer bir anlayışın Hindistan'da da olmasını beklemek mantıklıdır. [ 17 ] Dani şöyle devam ediyor: “ " Sulvasutras 'ın ana amacı sunakların yapılarını ve bunlarla ilgili geometrik prensipleri tanımlamak olduğu için, Pisagor üçlüleri konusu, iyi anlaşılmış olsa bile Sulvasutras 'ta hâlâ yer almamış olabilir. Sulvasutras'ta üçlülerin oluşumu, mimarlık veya başka bir benzer uygulamalı alan üzerine bir giriş kitabında karşılaşılabilecek matematikle karşılaştırılabilir ve konuyla ilgili o zamanki tüm genel bilgiye doğrudan denk gelmez. Ne yazık ki, başka hiçbir çağdaş kaynak bulunamadığından, bu konuyu tatmin edici bir şekilde çözmek asla mümkün olmayabilir." [ 17 ] „ Toplamda üç Sulba Sutra oluşturulmuştur. Günümüze ulaşan ikisi, Manava (750-650 dolayları) tarafından oluşturulan Manava Sulba Sutra ' sı ve Apastamba (yaklaşık MÖ 600) tarafından oluşturulan ve Baudhayana Sulba Sutra ' sına benzer sonuçlar içeren Apastamba Sulba Sutra ' sıydı.

Yunan geometrisi Ayrıca bakınız: Yunan matematiği Klasik Yunan geometrisi Antik Yunan matematikçileri için geometri, bilimlerinin baş mücevheriydi ve metodolojinin başka hiçbir dalının ulaşamadığı bir bütünlüğe ve mükemmelliğe ulaştı. Geometri menzilini birçok yeni şekil, eğri, yüzey ve katı türüne genişlettiler; metodolojisini deneme yanılma yönteminden mantıksal çıkarıma dönüştürdüler; geometrinin fiziksel nesnelerin yalnızca yaklaşık değerler olduğu "ebedi formlar" veya soyutlamalar üzerinde çalıştığını fark ettiler ve bugün hala kullanımda olan "aksiyomatik yöntem" fikrini geliştirdiler. Thales ve Pisagor Pisagor teoremi : a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} Miletli Thales (MÖ 635-543) (şimdi güneybatı Türkiye'de), matematikte tümdengelimin atfedildiği ilk kişiydi. Tümdengelimli ispatlar yazdığı beş geometrik önerme vardır, ancak kanıtları günümüze ulaşamamıştır. İyonya 'da ve daha sonra Yunanlar tarafından sömürgeleştirilen İtalya'daki Pisagor (MÖ 582-496), Thales'in öğrencisi olabilir ve Babil ile Mısır'a seyahat etmiş olabilir. Adını taşıyan teorem onun keşfi olmayabilir, ancak muhtemelen bunun tümdengelimli bir kanıtını veren ilklerden biriydi. Matematik, müzik ve felsefe çalışmaları için çevresinde bir grup öğrenci topladı ve birlikte, bugün lise öğrencilerinin geometri derslerinde öğrendiklerinin çoğunu keşfettiler. Ek olarak, ölçülemez uzunlukların ve irrasyonel sayıların özünü kavrayan keşfi yaptılar. Platon Platon (MÖ 427-347), Yunanlar tarafından çok saygı duyulan bir filozoftur. Ünlü okulunun girişinin üzerine, "Geometriden habersiz kimse buraya girmesin." yazdığına dair bir anekdot vardır. Ancak hikâyenin doğru olmadığı düşünülüyor. [ 18 ] Kendisi bir matematikçi olmamasına rağmen, matematik hakkındaki görüşlerinin büyük etkisi oldu. Böylece matematikçiler, geometrinin pergel ve cetvelden başka alet kullanmaması gerektiğine olan inancını kabul ettiler - eşit aralıklarla işaretli bir cetvel veya bir iletki gibi aletlerle asla ölçmediler, çünkü onlara göre bunlar bir alime layık değildi, bir işçi aletiydi. Bu karar, olası pergel ve düz kenarlı cetvelle çizimlerin derinlemesine incelenmesine ve üç klasik çizim problemine yol açtı: bir açıyı üçe bölmek, belirli bir küpün hacminin iki katı bir küp oluşturmak ve verilen bir dairenin alanına eşit alanlı bir kare çizmek için bu araçların nasıl kullanılacağı. Nihayet 19. yüzyılda ulaşılan bu çizimlerin imkansızlığının ispatları, gerçek sayı sisteminin derin yapısına ilişkin önemli ilkelere yol açtı. Platon'un en büyük öğrencisi olan Aristoteles (MÖ 384-322), tümdengelimli ispatlarda (bkz. Mantık ) kullanılan akıl yürütme yöntemleri üzerine 19. yüzyıla kadar önemli ölçüde iyileştirilmemiş ve devamlılığını sürdüren bir inceleme yazdı. Helenistik geometri Öklid Oxford Üniversitesi Doğa Tarihi Müzesi 'ndeki Öklid Heykeli. Geometri öğreten kadın . Öklid'in Elemanlar adlı eserinin ortaçağ çevirisinin (yaklaşık 1310) başlangıcındaki illüstrasyon Muhtemelen Platon tarafından kurulan Akademi 'de bir öğrenci olan İskenderiyeli Öklid (MÖ 325-265), Öklid geometrisi olarak bilinmeye başlayan geometriyi ideal bir aksiyomatik formda sunduğu Elemanlar İngilizce : The Elements of Geometry adlı 13 kitaplık (bölüm) bir inceleme yazdı. Bilimsel çalışma, sadece Helenistik matematikçilerin o zamanlar geometri hakkında bildikleri şeylerin bir özeti değildir; Öklid, geometri üzerine sekiz tane daha gelişmiş düzey kitap yazdı. Diğer referanslardan Öklid'in ilk temel geometri ders kitabı olmadığını biliyoruz, ancak o kadar üstündü ki diğerleri kullanılmaz hale geldi ve ortadan kaybolmasına neden oldu. Öklid, Mısır Kralı I. Ptolemaios tarafından İskenderiye'deki üniversiteye getirildi. Elemanlar , terimlerin tanımları, temel geometrik ilkeler (aksiyomlar veya postülatlar olarak adlandırılır) ve geometrinin geri kalanının mantıksal olarak çıkarılabileceği genel nicel ilkeler (ortak kavramlar olarak adlandırılır) ile başladı. Aşağıda, daha kolay okunmasını sağlamak için başka kelimelerle anlatılan beş aksiyomu bulunmaktadır: Herhangi iki nokta düz bir çizgi ile birleştirilebilir. Herhangi bir sonlu düz çizgi, düz bir çizgide uzatılabilir. Herhangi bir merkez ve herhangi bir yarıçap ile bir daire çizilebilir. Tüm dik açılar birbirine eşittir. Bir düzlemdeki iki düz çizginin başka bir düz çizgi (transversal-iki veya daha fazla çizgiyle kesişen doğru- olarak adlandırılır) ile kesişmesi ve iki çizgi arasındaki iç açılar ile transversal çizginin bir tarafında uzanan transversal kenarın toplamı ikiden az dik açıya ulaşırsa, o zaman o tarafta enlemesine, uzatılan iki çizgi kesişir ( Paralellik postülatı olarak da adlandırılır). Artık cebir olarak anlaşılan kavramlar, Yunan geometrik cebiri olarak adlandırılan bir yöntem olan Öklid tarafından geometrik olarak ifade edildi. Arşimet Sisamlı Arşimet (MÖ 287-212), Sicilya bir Yunan şehir devleti iken, genellikle Yunan matematikçilerin en büyüğü olarak kabul edilir ve hatta bazen ( Isaac Newton ve Carl Friedrich Gauss ile birlikte) tüm zamanların en büyük üç isminden biri olarak kabul edilir. Matematikçi olmasaydı, yine de büyük bir fizikçi, mühendis ve mucit olarak hatırlanacaktı. Matematiğinde, analitik geometrinin koordinat sistemine ve integral hesabın sınırlama sürecine çok benzer yöntemler geliştirdi. Bu alanların yaratılmasında eksik olan tek unsur, onun kavramlarını ifade etmek için etkili bir cebirsel notasyondu. [ 19 ] Arşimet'ten sonra Çoğu ortaçağ bilim adamı için geometri ilahi şeylerle bağlantılıydı. Bu 13. yüzyıl el yazmasındaki pergel, Tanrı'nın yaratma eyleminin bir sembolüdür. Arşimet'ten sonra Helenistik matematik gerilemeye başladı. Henüz birkaç küçük yıldız vardı, ancak geometrinin altın çağı sona ermişti. Öklid'in ilk kitabı üzerine yorum İngilizce : Commentary on the First Book of Euclid adlı eserin yazarı Proclus (410-485), Helenistik geometrinin son önemli oyuncularından biriydi. Yetenekli bir geometriciydi, ama daha da önemlisi, kendisinden önceki eserler hakkında mükemmel bir yorumcuydu. Bu eserinin çoğu modern zamanlara kadar hayatta kalmadı ve bizim tarafımızdan sadece yorumuyla biliniyor. Yunan şehir devletlerinin halefi olan ve onu işgal eden Roma Cumhuriyeti ve İmparatorluğu mükemmel mühendisler ortaya çıkardı, ancak hiçbir matematikçi çıkaramadı. Büyük İskenderiye Kütüphanesi daha sonra yakıldı. Tarihçiler arasında İskenderiye Kütüphanesi'nin muhtemelen birkaç yıkıcı olaydan mustarip olduğu, ancak İskenderiye'nin 4. yüzyılın sonlarında pagan tapınaklarının yıkılmasının muhtemelen en şiddetli ve sonuncusu olduğu konusunda artan bir fikir birliği vardır. Bu yıkımın kanıtı kesin ve güvenilirdir. Sezar 'ın işgali, limana bitişik bir depoda 40.000-70.000 parşömen tomarının kaybolmasına yol açmış olabilir (Luciano Canfora'nın iddia ettiği gibi, bunlar büyük olasılıkla Kütüphane tarafından ihraç edilmek üzere üretilmiş kopyalardı), ancak her ikisinin de daha sonra var olduğuna dair bol miktarda kanıt olduğu düşünüldüğünde Kütüphaneyi ya da Müzeyi etkilemiş olması pek olası değildir. [ 20 ] İç savaşlar, yeni parşömenlerin bakımı ve edinimine yapılan yatırımların azalmasına ve genel olarak dini olmayan arayışlara olan ilginin azalmasına, özellikle 4. yüzyılda Kütüphanede bulunan materyalin azalmasına katkıda bulundu. Serapeum, 391'de Theophilus tarafından kesin olarak yok edildi ve Müze ile Kütüphane aynı mücadelenin kurbanı olmuş olabilir.

Klasik Hint geometrisi Ayrıca bakınız: Hint matematiği Bakhshali el yazmasında , düzensiz katıların hacimleriyle ilgili problemler de dahil bir avuç geometrik problem vardır. Bakhshali el yazması ayrıca "sıfır yerine bir nokta kullanan ondalık basamaklı bir değer sistemi kullanır." [ 21 ] Aryabhata 'nın Aryabhatiya ' sı (499) alanların ve hacimlerin hesaplanmasını içerir. Brahmagupta astronomik çalışması Brāhma Sphuṭa Siddhānta ' yı 628'de yazdı. Bölüm 12, 66 Sanskritçe dize içeren iki bölüme ayrıldı: "temel işlemler" (küp kökleri, kesirleri, oran-orantıyı ve takası içerir) ve "pratik matematik" (karışımı, matematiksel serileri, düzlem şekilleri, tuğlaları yığmayı, kereste kesmeyi ve tahıl yığmayı içerir). [ 22 ] İkinci bölümde, çemberle çevrelenmiş bir dörtgenin köşegenleri üzerine ünlü teoremini belirtti: [ 22 ] Brahmagupta teoremi , A F = F D {\displaystyle AF=FD} olduğunu belirtir. Brahmagupta teoremi: Çemberle çevrelenmiş bir dörtgenin birbirine dik köşegenleri varsa, köşegenlerin kesişme noktasından dörtgenin herhangi bir tarafına çizilen dikey çizgi her zaman karşı kenarı ikiye böler. Bölüm 12, ayrıca  çemberle çevrelenmiş bir dörtgenin alanı için bir formül ( Heron formülü 'nün bir genellemesi) ve rasyonel üçgen 'leri (yani rasyonel kenarları olan üçgenler ve rasyonel alanlar) içerir. Brahmagupta formülü: Sırasıyla kenar uzunlukları a , b , c , d olan çemberle çevrelenmiş bir dörtgenin alanı, A aşağıdaki şekilde hesaplanır; A = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} Burada s yarıçaptır ve s = a + b + c + d 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}} şeklinde hesaplanır. Brahmagupta'nın rasyonel üçgenler teoremi: Rasyonel kenarları a , b , c {\displaystyle a,b,c} olan bir üçgenin rasyonel alanı bazı rasyonel u , v , {\displaystyle u,v,} ve w {\displaystyle w} sayıları için şu şekilde hesaplanır: [ 23 ] a = u 2 v + v , b = u 2 w + w , c = u 2 v + u 2 w − ( v + w ) {\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}

Çin geometrisi Ayrıca bakınız: Çin matematiği Matematik Sanatına İlişkin Dokuz Bölüm ( İngilizce : The Nine Chapters on the Mathematical Art ) , ilk defa MS 179'da derlendi, 3. yüzyılda Liu Hui tarafından ilave yorumlar eklendi. Haidao Suanjing , Liu Hui, 3. yüzyıl. Çin'de geometri üzerine ilk tanımlayıcı çalışma (veya en azından günümüze ulaşan en eski çalışma), ilk filozof Mozi 'nin (MÖ 470-390) Mohist eseri Mo Jing idi. Takipçileri tarafından ölümünden yıllar sonra MÖ 330 yıllarında derlenmiştir. [ 24 ] Mo Jing, Çin'de geometri üzerine var olan en eski kitap olmasına rağmen, daha eski yazılı materyallerin var olma olasılığı da vardır. Bununla birlikte, Qin Hanedanı hükümdarı Qin Shihuang'ın (MÖ 221-210) politik bir manevrasında kitapların kötü şöhretleri nedeniyle yakılması, onun zamanından önce yaratılmış çok sayıda yazılı edebiyat eserinin tasfiye edilmesiyel sonuçlandı. Ek olarak, Mo Jing, matematikte, üzerinde çalışmak için önceden bir geometrik temele veya matematik geçmişine sahip olamayacak kadar gelişmiş geometrik kavramlar sunar. Mo Jing , fiziki bilimlerle ilgili birçok alanın çeşitli yönlerini tanımladı ve aynı zamanda matematik hakkında da küçük bir bilgi kaynağı sağladı. Geometrik noktanın "atomik" tanımını sağladı, bir doğrunun parçalara ayrıldığını ve kalan parçası olmayan nihai parçanın (yani daha küçük parçalara bölünemediğini) ve böylece bir çizginin en ucunu bir noktanın oluşturduğunu söyledi. [ 24 ] Öklid'in birinci ve üçüncü tanımlarına ve Platon'un "bir çizginin başlangıcına" çok benzer şekilde, Mo Jing, "bir noktanın (bir çizginin) sonunda veya başlangıcında, doğumdaki bir baş prezantasyonunu gibi durabileceğini belirtti. (Görünmezliğine gelince) ona örnek olarak verilebilecek benzer bir şey yoktur." [ 25 ] Demokritos 'un atomistlerine benzer şekilde Mo Jing, bir noktanın en küçük birim olduğunu ve "hiçbir şey İngilizce : nothing " yarıya indirilemeyeceği için ikiye bölünemeyeceğini belirtti. [ 25 ] Uzunlukların karşılaştırılması ve paralellikler için tanımlar sağlarken, [ 26 ] uzay ve sınırlı uzay [ 27 ] ilkeleri ile birlikte eşit uzunlukta iki çizginin her zaman aynı yerde [ 25 ] biteceğini belirtmiştir. Aynı zamanda, kalınlık niteliği olmayan düzlemlerin karşılıklı olarak birbirine temas edemeyecekleri için üst üste yığılamayacağını da anlattı. [ 28 ] Kitap, hacim tanımıyla birlikte çevre, çap ve yarıçap için tanımlar sağladı. [ 29 ] Çin'in Han Hanedanlığı (MÖ 202 - MS 220) dönemi, matematiğin yeni bir gelişmesine tanık oldu. Geometrik ilerlemeleri sunan en eski Çin matematik metinlerinden biri Batı Han döneminde MÖ 186 tarihli Suàn shù shū idi. Matematikçi, mucit ve astronom Zhang Heng (MS 78-139), matematiksel problemleri çözmek için geometrik formüller kullandı. π için kaba tahminler Zhou Li tarafından (MÖ 2. yüzyılda derlenmiştir) [ 30 ] verilmiş olmasına rağmen, π için daha doğru bir formül oluşturmak için sıkı bir çaba gösteren ilk kişi Zhang Heng'di. Zhang Heng, π 'yi 730/232 (veya yaklaşık 3,1466) olarak yakınsadı, ancak bunun yerine 10'un karekökünü (veya yaklaşık 3,162'yi) kullanarak kürenin hacmini bulmada başka bir π formülü kullandı. Zu Chongzhi (MS 429-500), π yaklaşımının doğruluğunu 3,1415926 ile 3,1415927 arasına geliştirdi; 355 ⁄ 113 (密率, Milü, detaylı yaklaşım) ve 22 ⁄ 7 (约率, Yuelü, kaba yaklaşım) diğer önemli yaklaşımlardır. [ 31 ] Daha sonraki çalışmalarla karşılaştırıldığında, Fransız matematikçi Franciscus Vieta (1540-1603) tarafından verilen π formülü, Zu'nun tahminlerinin tam ortasında kaldı. Matematik Sanatına İlişkin Dokuz Bölüm Başlığı ilk olarak MS 179'da bronz bir yazıtta görünen Matematik Sanatına İlişkin Dokuz Bölüm ( İngilizce : The Nine Chapters on the Mathematical Art ) adlı eser, Cao Wei Krallığı'ndan 3. yüzyıl matematikçisi Liu Hui tarafından düzenlenmiş ve yorumlanmıştır. Bu kitap, geometrinin uygulandığı kareler ve daireler için yüzey alanları, çeşitli üç boyutlu şekillerdeki katıların hacimleri gibi birçok problemi ve Pisagor teoreminin kullanımını içeriyordu. Kitap, Pisagor teoremi için resimli kanıtlar sağladı, [ 32 ] daha önceki Zhou Dükü ile Shang Gao arasında dik açı üçgeninin özellikleri ve Pisagor teoremi üzerine yazılı bir diyalog içeriyordu ve aynı zamanda astronomik güneş saati, daire ve kare ile yükseklik ve mesafe ölçümlerine de atıfta bulunur. [ 33 ] Editör Liu Hui, π 'yi 192 kenarlı bir çokgen kullanarak 3,141014 olarak kaydetti ve ardından 3072 kenarlı bir çokgen kullanarak π 'yi 3,14159 olarak hesapladı. Bu, Liu Hui'nin Doğu Wu'dan bir matematikçi ve gök bilimci olan çağdaşı Wang Fan'ın 142 ⁄ 45 kullanarak π 'yi 3,18555 olarak göstermesinden daha doğruydu. [ 34 ] Liu Hui ayrıca derinlik, yükseklik, genişlik mesafe ölçümlerini yapmak ve yüzey alanı hesaplamak için matematiksel araştırmalar yazdı. Katı geometri açısından, dikdörtgen tabanlı ve her iki kenarı eğimli bir kamanın bir piramit ve bir dört yüzlü ( tetrahedral ) kama olarak parçalanabileceğini buldu. [ 35 ] Ayrıca, yamuk tabanlı ve her iki kenarı eğimli bir kamanın, bir piramitle ayrılmış iki dört-yüzlü kama oluşturacak şekilde ayrılabileceğini buldu. [ 35 ] Ayrıca Liu Hui, Cavalieri'nin hacim ilkesini ve Gauss eleme yöntemini tanımladı. Dokuz Bölümde, Eski Han Hanedanlığı döneminde (MÖ 202 - MS 9) bilinen aşağıdaki geometrik formülleri listeledi. Alanlar: [ 36 ] Kare Dikdörtgen Daire İkizkenar üçgen Eşkenar dörtgen Yamuk Çift yamuk Daire parçası Halka (iki eşmerkezli daire arasındaki) Hacimler: [ 35 ] İki kare yüzeyli paralel yüzlü Kare yüzeysiz paralel yüzlü Piramit Kare tabanlı kesik piramit Eşit olmayan kenarlarlı dikdörtgen tabanlı kesik piramit Küp Prizma Dikdörtgen tabanlı ve her iki tarafı eğimli kama Yamuk tabanlı ve her iki tarafı eğimli kama Tetrahedral (dört yüzlü) kama İkinci türden bir kesik kama (mühendislik uygulamalarında kullanılır) Silindir Dairesel tabanlı koni Kesik koni Küre Antik Çin'in geometrik mirasını sürdürürken, daha sonra gelen pek çok önemli isim vardır, bunlar arasında ünlü astronom ve matematikçi Shen Kuo (1031-1095), Pascal üçgeni 'ni bulan Yang Hui (1238-1298), Xu Guangqi (1562-1633) ve diğerleri sayılabilir.

İslam'ın Altın Çağı Ayrıca bakınız: Orta Çağ İslam matematiği ve İslam'ın Altın Çağı dönemi bilim insanları listesi Ebû Ca'fer Muhammed bin Mûsâ el-Hârizmî 'nin Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap ( Arapça : El'Kitab'ül-Muhtasar fi Hısab'il Cebri ve'l-Mukabele , İngilizce : The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing ) adlı eserinden bir sayfa 9. yüzyılın başlarında, Bağdat'ta Bilgelik Evi ( Beyt'ül Hikmet )'nin kurulması Orta Çağ İslam dünyasında ayrı bir bilim geleneğine işaret eden "İslam'ın Altın Çağı"nı gelişti ve sadece Hellenistik değil, aynı zamanda Hint kaynakları üzerine de inşa edildi. İslami matematikçiler en çok cebir, sayı teorisi ve sayı sistemleri üzerine çalışmalarıyla ünlü olsalar da, geometri, trigonometri ve matematiksel astronomiye de önemli katkılarda bulundular ve cebirsel geometrinin gelişiminden sorumluydular. Mâhânî (d. 820), Küpü iki katına çıkarma gibi geometrik problemleri cebirdeki problemlere indirgeme fikrini tasarladı. El-Kerecî (d. 953) cebiri geometrik işlemlerden tamamen kurtardı ve onları bugün cebirin merkezinde bulunan aritmetik işlem türleriyle değiştirdi. Sabit bin Kurre (d. 836) matematikte bir dizi alana katkıda bulundu ve sayı kavramının (pozitif) reel sayılar'a genişletilmesi, integral hesap, küresel trigonometrideki teoremler, analitik geometri ve Öklid dışı geometri gibi önemli matematiksel keşiflerin yolunu hazırlamada önemli bir rol oynadı. Astronomide Sabit bin Kurre, Ptolemaik sisteminin ilk reformcularından biriydi ve mekanikte statiğin kurucusuydu. Sabit bin Kurre'in çalışmasının önemli bir geometrik yönü, birleşik oranlar hakkındaki kitabıydı. Bu kitapta Sabit bin Kurre, geometrik büyüklüklerin oranlarına uygulanan aritmetik işlemleri ele alır. Yunanlar geometrik niceliklerle ilgilenmişlerdi ama bunları, aritmetiğin olağan kurallarının uygulanabileceği sayılarla aynı şekilde düşünmemişlerdi. Sabit bin Kurre, daha önce geometrik ve sayısal olmayan olarak kabul edilen nicelikler üzerine aritmetik işlemler getirerek, sonunda sayı kavramının genelleştirilmesine yol açan bir eğilim başlattı. Sabit bin Kurre, bazı açılardan, Platon ve Aristoteles'in özellikle hareketle ilgili fikirlerini eleştirir. Görünüşe göre burada fikirleri, kendi geometrik argümanlarında hareketle ilgili argümanları kullanmanın kabulüne dayanıyor. Sabit bin Kurre'nin geometriye yaptığı bir diğer önemli katkı, genel bir ispatla birlikte, özel dik üçgenlerden genel olarak tüm üçgenlere kadar genişlettiği Pisagor teoremini genelleştirmesiydi. [ 37 ] Arşimet'inkinden daha genel bir entegrasyon yöntemi sunan İbrahim bin Sinan bin Sabit (d. 908) ve el-Kuhi (d. 940), İslam dünyasında Yunan yüksek geometrisinin yeniden canlanmasında ve devamında önde gelen isimlerdi. Bu matematikçiler ve özellikle İbn-i Heysem , optik çalıştı ve konik kesitlerden yapılmış aynaların optik özelliklerini araştırdı. Astronomi, namaz vakitlerini belirleme ve coğrafya, geometrik ve trigonometrik araştırmalar için başka motivasyonlar sağladı. Örneğin, İbrahim bin Sinan ve dedesi Sabit bin Kurre, güneş saatlerinin yapımında gerekli olan eğrileri inceledi. Ebu'l-Vefâ el-Bûzcânî ve Ebu Nasr Mansur 'un ikisi de küresel geometriyi astronomiye uyguladılar. Science dergisindeki 2007 tarihli bir makale, girih karolarının Penrose döşemeleri gibi kendine benzer fraktal yarı kristalin döşemelerle tutarlı özelliklere sahip olduğunu öne sürdü. [ 38 ] [ 39 ]

Rönesans Albrecht Dürer tarafından yapılmış Mashallah ibn Athari'yi içeren bir gravür, De Scientia motus orbis adlı eserin (gravürlü Latin versiyonu, 1504) başlık sayfasından. Birçok ortaçağ örneğinde olduğu gibi, buradaki pergel, yaratılışın mimarı olarak Tanrı'ya atıfta bulunularak bilim kadar dinin de bir simgesidir. Yunan Klasiklerinin 9. ve 10. yüzyıl Arap edebiyatı aracılığıyla Orta Çağ Avrupa'sına aktarılması "İslam'ın Altın Çağı" olan 10. yüzyılda başlamış ve 12. yüzyılın Latince tercümeleriyle doruk noktasına ulaşmıştır. Batlamyus 'un Almagest ' inin bir kopyası Henry Aristippus (ö. 1162) tarafından İmparator'un Kral I. William'a (1154-1166) bir hediyesi olarak Sicilya'ya geri getirildi. Salerno 'da ismi belli olmayan bir öğrenci Sicilya'ya gitti, Almagest ' i ve Öklid'in birkaç eserini Yunancadan Latinceye çevirdi. [ 40 ] Sicilyalılar genellikle doğrudan Yunancadan çevirmiş olsalar da, Yunanca metinler bulunmadığında Arapçadan tercüme ediyorlardı. Palermo'lu Eugenius (ö. 1202), Batlamyus'un Optikler ini, gerekli üç dilin tümüyle ilgili bilgisinden yararlanarak Latinceye çevirdi. [ 41 ] Öklid'in Elemanlar ' ında bulunan titiz tümdengelimli geometri yöntemleri yeniden öğrenildi ve hem Öklid ( Öklid geometrisi ) hem de Hayyam ( cebirsel geometri ) stillerinde geometrinin daha da geliştirilmesi devam etti, bu da pek çoğu çok derin ve zarif olan birçok yeni teorem ve kavramla sonuçlandı. Perspektifin işlenmesindeki gelişmeler, antik çağda elde edilenin ötesine geçen 14. ve 15. yüzyıl Rönesans sanatında kaydedildi. Quattrocento'nun Rönesans mimarisinde, mimari düzen kavramları keşfedildi ve kurallar formüle edildi. Filippo Brunelleschi 'nin (1377-1446) Floransa'daki Basilica di San Lorenzo 'su bunun en önemli örneğidir. [ 42 ] Filippo Brunelleschi, yaklaşık 1413'te çeşitli Floransa binalarının ana hatlarını bir aynaya boyayarak günümüzde sanatçılar tarafından kullanılan geometrik perspektif yöntemini gösterdi. Kısa süre sonra, Floransa ve İtalya'daki hemen hemen her sanatçı, [ 43 ] özellikle Masolino da Panicale ve Donatello olmak üzere, resimlerinde geometrik perspektif kullandı. Melozzo da Forlì, ilk önce yukarı doğru kısaltma tekniğini (Roma, Loreto, Forlì ve diğerlerinde) kullandı ve bununla ünlü oldu. Perspektif sadece derinliği göstermenin bir yolu değildi, aynı zamanda yeni bir resim oluşturma yöntemiydi. Resimler, birkaçının birleşimi yerine tek bir birleşik sahneyi göstermeye başladı. Floransa'da doğru perspektif resimlerinin hızla çoğalmasının gösterdiği gibi, Brunelleschi muhtemelen arkadaşı matematikçi Toscanelli'nin yardımıyla [ 44 ] perspektifin arkasındaki matematiği anladı ama yayınlamadı. On yıllar sonra, arkadaşı Leon Battista Alberti , Öklid geometrisine dayanan resimdeki mesafeyi göstermenin uygun yöntemleri üzerine bir inceleme olan De pictura' yı (1435/1436) yazdı. Alberti ayrıca Padua okulu aracılığıyla ve İbn-i Heysem'in Optiğini okuyan Biagio Pelacani da Parma'nın etkisi altında optik bilimi konusunda da eğitim aldı. Piero della Francesca, 1470'lerde De Prospectiva Pingendi adlı eserinde Della Pittura' yı detaylandırdı. Alberti kendini yer düzlemindeki figürlerle sınırlamış ve perspektif için genel bir temel oluşturmuştu. Della Francesca, resim düzleminin herhangi bir alanındaki katıları açık bir şekilde kaplayarak, bunu açıkladı. Della Francesca ayrıca matematiksel kavramları açıklamak için resimli figürler kullanma konusunda artık yaygın bir uygulama başlattı, bu da onun tezini Alberti'ninkinden daha kolay anlaşılır hale getirdi. Della Francesca ayrıca Platonik katıları perspektifte göründükleri gibi doğru bir şekilde çizen ilk kişiydi. Perspektif bir süre Floransa'nın tekelinde kaldı. Jan van Eyck , diğerlerinin yanı sıra, Londra'daki The Arnolfini Portrait adlı eserde olduğu gibi resimlerdeki yakınsayan çizgiler için tutarlı bir yapı oluşturamadı, çünkü o sırada İtalya'da meydana gelen teorik atılımın farkında değildi. Bununla birlikte, iç mekanlarında ölçek manipülasyonları ile çok ince etkiler elde etti. Yavaş yavaş ve kısmen sanat akademilerinin hareketiyle, İtalyan teknikleri Avrupa'daki ve daha sonra dünyanın diğer bölgelerindeki sanatçıların eğitiminin bir parçası haline geldi. Bu Rönesans geleneklerinin doruk noktası, nihai sentezini mimar, geometri uzmanı ve optisyen Girard Desargues 'in perspektif, optik ve projektif geometri araştırmalarında bulur. Leonardo da Vinci 'nin Vitruvius Adamı (yaklaşık 1490), [ 45 ] bir adamı üst üste bindirilmiş iki pozisyonda, kolları ve bacakları birbirinden ayrı ve bir daire ile kare şeklinde betimlenmiştir. Çizim, ideal insan oranlarının, antik Romalı mimar Vitruvius tarafından De Architectura adlı incelemesinin III. kitabında tanımlanan geometri ile olan ilişkilerine dayanmaktadır. Leonardo da Vinci, Vitruvius Adamı

Modern geometri 17. yüzyıl 17. yüzyılın başlarında, geometride iki önemli gelişme vardı. Bunlardan ilki ve en önemlisi, René Descartes (1596-1650) ve Pierre de Fermat (1601-1665) tarafından analitik geometri veya koordinat ve denklemlerle geometrinin oluşturulmasıydı. Bu, kalkülüsün gelişmesi ve kesin bir nicel fizik biliminin gelişmesi için gerekli bir habercisiydi. Bu dönemin ikinci geometrik gelişimi, Girard Desargues (1591-1661) tarafından projektif geometrinin sistematik çalışmasıydı. Projektif geometri , ölçümsüz geometri çalışmasıdır, sadece noktaların birbiriyle nasıl hizalandığının incelenmesidir. Bu alanda Helenistik geometri uzmanları, özellikle Pappus (yaklaşık 340) tarafından bazı erken çalışmalar yapılmıştı. Tarladaki en büyük çiçeklenme ise Jean-Victor Poncelet (1788–1867) ile gerçekleşti. 17. yüzyılın sonlarında, matematik bağımsız olarak ve hemen hemen eşzamanlı olarak Isaac Newton (1642-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) tarafından geliştirildi. Bu, şimdi analiz adı verilen yeni bir matematik alanının başlangıcıydı. Kendi başına bir geometri dalı olmasa da, geometriye uygulanabilirdi ve uzun zamandır neredeyse çözülmesi zor olan iki problem ailesini çözdü: tek eğrilere teğet doğrular bulmak ve bu eğrilerin çevrelediği alanları bulmak. Analiz yöntemleri, bu problemleri çoğunlukla basit hesaplama konularına indirgedi. 18. ve 19. yüzyıllar Öklid dışı geometri Öklid'in 5. postülatı olan " Paralellik postülatı "nın ilk dört postülatından ispatlanması konusundaki çok eski bir problem asla unutulmamıştı. Öklid'den kısa bir süre sonra başlayarak, pek çok kanıtlama teşebbüsünde bulunuldu, ancak daha sonra, ilk dört postüladan kendisi kanıtlanmamış bazı ilkelerin gerekçelendirilmesine izin verilmesi yoluyla hepsinin hatalı olduğu bulundu. Ömer Hayyám , paralellik postülatını kanıtlamakta başarısız olsa da, Öklid'in paralellik teorilerine yönelik eleştirileri ve Öklid dışı geometrilerdeki şekillerin özelliklerinin ispatı ile, Öklid dışı geometrinin nihai gelişimine katkıda bulundu. 1700'e gelindiğinde, ilk dörtten neyin ispat edilebileceği ve beşinciyi kanıtlama girişimindeki tuzakların ne olduğu konusunda çok şey keşfedildi. Saccheri , Lambert ve Legendre , 18. yüzyılda problem üzerinde mükemmel çalışmalar yaptılar, ancak yine de başarısız oldular. 19. yüzyılın başlarında, Gauss , Johann Bolyai ve Lobatchewsky , her biri bağımsız olarak farklı bir yaklaşım benimsedi. Paralellik postülatını kanıtlamanın imkansız olduğundan şüphelenmeye başlayarak, bu postulatın yanlış olduğu kendi kendine tutarlı bir geometri geliştirmeye başladılar. Bu konuda başarılı oldular, böylece ilk Öklid dışı geometriyi yarattılar. 1854'te, Gauss'un öğrencisi Bernhard Riemann , tüm pürüzsüz yüzeylerin içsel (kendi kendine yeten) geometrisinin çığır açan bir çalışmasında kalkülüs yöntemlerini uyguladı ve böylece farklı bir Öklid dışı geometri buldu. Riemann'ın bu çalışması daha sonra Einstein 'ın görelilik teorisinin temelini oluşturdu. Mutlak geometrilerin karşılaştırılması - Öklid, Riemann, Lobatchewsky. Öklid dışı geometrinin, Öklid geometrisi kadar kendinden tutarlı olduğu matematiksel olarak kanıtlanmayı sürdürdü ve bu ilk olarak 1868'de Beltrami tarafından gerçekleştirildi. Bununla, Öklid dışı geometri, Öklid geometrisiyle eşit bir matematiksel temel üzerine kurulmuş oldu. Artık farklı geometrik teorilerin matematiksel olarak mümkün olduğu bilinirken, şu soru ortada kaldı: "Bu teorilerden hangisi fiziksel uzayımız için doğrudur?" Matematiksel çalışma, bu sorunun matematiksel akıl yürütmeyle değil, fiziksel deneylerle yanıtlanması gerektiğini ortaya çıkardı ve deneyin neden muazzam (yıldızlar arası, dünyaya bağlı değil) mesafeler içermesi gerektiğinin nedenini ortaya çıkardı. Fizikte görelilik teorisinin gelişmesiyle bu soru çok daha karmaşık hale geldi. Hiperbolik ve Eliptik Geometri Daha fazla bilgi: Öklid dışı geometri , Hiperbolik geometri , Riemann geometrisi ve Eliptik geometri Hiperbolik geometri, Öklid’in paralellik aksiyomu yerine, bir doğruya dışındaki bir noktadan birden fazla paralel doğrunun çizilebileceği önermesinin kabul edildiği bir geometri türüdür. Bu sistemde, bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 dereceden küçüktür. Paralel doğrular birbirine yaklaştıkça uzaklaşabilir. Hiperbolik düzlemin en yaygın modelleri arasında Poincaré diski ve Klein modeli yer almaktadır. Negatif eğrilikli yüzeylerde uygulanır ve özellikle at eyeri biçimindeki yüzeyler hiperbolik geometriye örnek teşkil eder. Eliptik geometri, Öklid’in paralellik aksiyomunun tamamen reddedildiği ve bir doğruya dışındaki herhangi bir noktadan paralel bir doğrunun çizilemeyeceği bir sistemdir. Bu yapıda, bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 dereceden büyüktür. Paralel doğrular kavislidir ve genellikle kesişir. En yaygın modeli küresel geometri olarak bilinir ve büyük çemberler üzerinde tanımlanır. Pozitif eğrilikli yüzeyler, özellikle küre yüzeyi, eliptik geometriye uygun yüzeyler arasında yer alır. [ 46 ] Matematiksel kesinliğe giriş Paralellik postülatı ile ilgili tüm çalışmalar, bir geometrinin mantıksal muhakemesini, sezgisel fiziksel uzay anlayışından ayırmasının oldukça zor olduğunu ve dahası bunu yapmanın kritik önemini ortaya çıkardı. Dikkatli bir inceleme, Öklid'in muhakemesindeki bazı mantıksal yetersizlikleri ve Öklid'in bazen başvurduğu bazı belirtilmemiş geometrik ilkeleri de ortaya çıkarmıştı. Bu eleştiri, yakınsama ve süreklilik gibi sonsuz süreçlerin anlamı ile ilgili analiz ve analizde ortaya çıkan krize paraleldi. Geometride, tamamlanmış olacak ve hiçbir şekilde çizdiğimiz resimlere ya da uzay sezgimize dayanmayan yeni bir aksiyomlar setine açık bir ihtiyaç vardı. Şimdi Hilbert aksiyomları olarak bilinen bu tür aksiyomlar, 1894 yılında David Hilbert tarafından "Geometrinin Temelleri" (" Almanca : Grundlagen der Geometrie ", " İngilizce : Foundations of Geometry ") adlı tezinde verildi. Diğer bazı aksiyom dizileri birkaç yıl önce verilmişti, ancak bunlar Hilbert'in tasarruf, zarafet ve Öklid'in aksiyomlarına benzerliği ile uyuşmuyordu. Analiz yeri veya topoloji 18. yüzyılın ortalarında, benzer fikirler sayı doğrusunda, iki boyutta ve üç boyutta çalışıldığında, matematiksel muhakemenin belirli ilerlemelerinin tekrarladığı ortaya çıktı. Böylelikle, genel bir metrik uzay kavramı yaratıldı. Böylece muhakeme daha genel olarak yapılabilir ve ardından özel durumlara uygulanabilirdi. Hesap ve analizle ilgili kavramları incelemenin bu yöntemi, analiz durumu ve daha sonra topoloji olarak bilinmeye başlandı. Bu alandaki önemli konular, Öklid ve Öklid dışı geometrinin odak noktası olan doğrusallık gibi özelliklerle uzunluk ve açı ölçümlerinin kesin eşitliği yerine bağlantılılık ve sınırlar gibi daha genel figürlerin özellikleriydi. Topoloji çok geçmeden, bir geometri veya analiz alt alanı olmaktan ziyade ayrı bir önemli çalışma alanı haline geldi. 20. yüzyıl Cebirsel geometri alanındaki gelişmeler, André Weil , Alexander Grothendieck ve Jean-Pierre Serre gibi diğerlerinin çalışmalarının da gösterdiği üzere, gerçek veya karmaşık sayıların yanı sıra sonlu alanlar üzerinde eğrilerin ve yüzeylerin incelenmesini de içermektedir. Sonlu geometri , tek başına yalnızca sonlu çok noktalı uzayların incelenmesi, kodlama teorisi ve kriptografi 'de uygulamalar buldu. Bilgisayarın gelişiyle birlikte, hesaplamalı geometri veya dijital geometri gibi yeni disiplinler, geometrik algoritmalarla, geometrik verilerin ayrık temsilleriyle vb. ilgilenir.

Zaman çizelgesi Ana madde: Geometrinin zaman çizelgesi