Arago noktası

Arago noktasının 5,8 mm'lik dairesel bir engelin gölgesindeki fotoğrafı. Arago noktası deneyi. Noktasal bir kaynak, dairesel bir nesneyi aydınlatarak bir ekran üzerine gölge düşürür. Gölgenin merkezinde kırınım nedeniyle parlak bir nokta belirir ve geometrik optik tahminiyle çelişir. Gölgede Arago noktası oluşuyor. Yarıçapı R = 5 μm = 10λ olan dairesel bir engelin arkasındaki dalga boyu λ = 0,5 μm olan monokromatik ışığın yoğunluğunun sayısal simülasyonu. Arago noktasının oluşumu (iyi kalite için “WebM kaynağı”nı seçin). Arago noktası , Fresnel parlak noktası veya Poisson noktası , Fresnel kırınımına göre dairesel cismin ortasındaki gölgedir . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Bu nokta ışığın doğal dalgasının keşfinde ve ışığın dalga davranışı sergilediğini göstermek için önemli rol oynar. Basit deneysel kurulum için aydınlatılmış pim deliği ya da dağılan lazer ışını benzeri "noktasal kaynak" gerekir.Kurumunun ebatları Fresnel kırınımının gereksinimlerine göre tamamlanmalıdır. Yani, Fresnel sayısı aşağıdaki ifadeyi sağlamalıdır: F = d 2 ℓ λ ≳ 1 , {\displaystyle F={\frac {d^{2}}{\ell \lambda }}\gtrsim 1,} burada; d dairesel cismin çapı ℓ cisim ile ekran arasındaki mesafe ve λ kaynağın dalga boyudur. Son olarak dairesel cismin uçları yeterince pürüzsüz olmalıdır. Bu durumlar beraber göze alınınca neden günsel yaşantımızda bu parlak noktayı görmediğimizi açıklıyor. Yine de günümüzdeki lazerlerle Arago noktası deneyini gerçekleştirmek zor değildir. [ 5 ] Arago noktası astronomide Newton teleskobuyla çekilen düzgün odaklanmamış yıldız görsellerinde fark edilebilir. Yıldızlar sonsuzda neredeyse noktasal kaynak olarak davranır ve teleskobun ikincil aynası dairesel engel oluşturur. Işık dairesel engelin üzerine düştüğünde, Huygens-Fresnel ilkesi 'ne göre engel yüzeyinin üzerindeki her bir nokta yeni noktasal ışık kaynağı gibi davranır. Engelin çevresinden gelen ışıkla gölgenin ortasına giden ışık, aynı mesafeyi kateder; yani cisme yakın geçen bütün ışık ekrana fazda ve yapısal girişim yaparak ulaşır. Geometrik optik ve ışığın parçaçık teorisine göre gölgenin merkezinde aydınlık nokta olmamalıdır.

Tarihçe 19 yüzyılın başlarında ışığı sadece çizgisel olarak  fikri yayılmadığı fikri ilgi çekmeye başlamıştı. Thomas Young 1807'de çift yarık deneyini yayımladı. [ 6 ] Orijinal Arago deneyi bundan yüzyıl sonra yapıldı ve amacı ışığın dalga mı parçacık mı olduğuydu. Bu da deney önemini göstermektedir. O sıralar, teorisyen  Siméon Denis Poisson'da aralarında olduğu birçok bilim adamı Newton'un ışığın parçacık teorisini savunuyordu. [ 7 ] 1818'de Fransız Bilimler Akademisi ışığın özelliklerinin açıklanması için düzenlediği müsabakada Poisson jüri komitesini üyesiydi. İnşaat mühendisi olan Augustin-Jean Fresnel müsabakaya ışığın dalga teorisiyle katıldı. [ 8 ] Poisson, Fresnel'in teorisini ayrıntılarıyla çalıştı ve parçacık teorisini desteklemektense aksine onun yanlış olduğunun kanıtlamaya çalıştı. Poisson Fresnel'in teorisinde bir kusur olduğunu düşündü ki bu da dairesel engelin gölgesinde aydınlık bir nokta olması gerektiğiydi lakin böyle bir nokta yoktu. Arago noktası günlük hayatta kolaylıkla gözlemlenecek bir olay olmadığndan, Poisson bu sonucu saçma olarak değerlendirdi ve bu Fresnel'in teorisini yalanlar nitelikteydi. Yeni de, komitenin başkanı ve daha sonra Fransa başbakanı olan François Jean Dominique Arago deneyin daha ayrıltılı olarak yapılmasına karar verdi. Arago 2 mm'lik metal disk döktürdü. [ 9 ] Böylece çoğu bilim insanını ışığın dalga hareketini kabul etmesini ve Fresnel'in kazanmasını sağlayan noktayı gözlemlemeyi başardı. Arago daha sonra bu olgunun(Poisson noktası veya Arago noktası) yüzyıl önce Delisle ve Maraldi tarafından gözlemlendiğini not almıştır. Çok sonra fark edilmiştir ki (biri Einstein 'in Annus Mirabilis kağıtları) ışık aynı zamanda parçacık olarak da tanımlanabilir. ışığın dalga-parçacık ikiliği Arago daha sonra bu fenomenin (daha sonra “Poisson noktası” veya “Arago noktası” olarak bilinir) bir yüzyıl önce Delisle [ 10 ] ve Maraldi [ 11 ] tarafından zaten gözlemlendiğini belirtmiştir. [ 12 ] Arago'nun deneysel sonucu dalga teorisi lehine ezici bir kanıt olmasına rağmen, bir yüzyıl sonra kuantum mekaniği 'nin doğuşuyla birlikte (ve ilk olarak Albert Einstein 'ın Annus Mirabilis makaleleri ), ışığın (ve tüm madde ve enerji biçimlerinin) hem bir parçacık hem de bir dalga olarak tanımlanması gerektiği anlaşıldı ( dalga-parçacık ikiliği ). Ancak elektromanyetik dalgalarla ilişkili parçacık, foton , dalga teorisinin yükselişinden ve Arago'nun güçlü gösterisinden önce baskın olan korpüsküler teoride hayal edilen parçacıklarla hiçbir ortak noktaya sahip değildir. 1920'lerin sonlarında kuantum teorisinin ortaya çıkmasından önce, ışığın sadece dalga doğası kırınım ve girişim gibi fenomenleri açıklayabilirdi. Bugün, Dirac'ın kuantum teorisinin öngördüğü gibi, tek fotonların neden olduğu parlak noktaların mozaik benzeri birikimi yoluyla bir kırınım deseninin ortaya çıktığı bilinmektedir. Artan ışık yoğunluğu ile mozaik kırınım desenindeki parlak noktalar daha hızlı bir şekilde bir araya gelir. Buna karşılık dalga teorisi, genel parlaklığı ışık yoğunluğu ile artan genişletilmiş sürekli bir desen oluşumunu öngörür.

Teori P 0 'daki küresel bir nokta kaynaktan P 1 noktadaki dalga genliğini hesaplamak için notasyon. Fresnel'in dalga teorisinin merkezi dalga yüzündeki her açık noktanın, ikincil küresel dalgacık olması ve ekrandaki optik alanın E genliğini bütün ikincil dalga yüzlerinin kendi fazlarıyla göreceli olarak üst üste gözününe alınan Huygens-Fresnel ilkesidir . [ 13 ] Bu yüzey integraliyle gösterilen ekran üzerindeki alandaki P 1 noktasını ifade eder: ikincil dalgacığı geriye yayılmadığını garantiye almak K ( χ ) {\displaystyle K(\chi )} faktorü aşağıdaki gibi ifade edilir: K ( χ ) = i 2 λ ( 1 + cos ⁡ ( χ ) ) {\displaystyle K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))} ve A dalga kaynağının genliği k = 2 π λ {\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}} dalga sayısı S açık yüzeydir. İntegralin dışındaki ilk terim r 0 mesafesindeki kaynak dalgadan gelen salınımları temsil eder. Benzer şekilde, integralin içindeki terim r 1 mesafesindeki ikincil dalgacıklardan gelen salınımları temsil eder. Bu integrali kullanarak dairesel engelin arkasındaki yoğunluğu türetmek için deneysel parametrelerin yakın alan kırınım rejiminin gerekliliklerini karşıladığı varsayılır (dairesel engelin boyutu dalga boyuna kıyasla büyük ve g=P 0 C ve b=CP 1</sub mesafelerine kıyasla küçüktür). Kutupsal koordinatlara geçildiğinde [şüpheli - tartışınız] a yarıçaplı dairesel bir nesne için integral elde edilir (örneğin Born ve Wolf'a bakınız [ 14 ] ): U ( P 1 ) = − i λ A e i k ( g + b ) g b 2 π ∫ a ∞ e i k 1 2 ( 1 g + 1 b ) r 2 r d r . {\displaystyle U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i} }{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.} Küçük dairesel bir engelin gölgesinin merkezindeki eksen üzerindeki yoğunluk, engelsiz yoğunluğa yakınsar. İntegral sayısal olarak çözülebilir (aşağına görüldüğü üzere). Eğer g , χ {\displaystyle \chi } açısını göz ardı edilmeyecek kadar büyük ve b de yeterince küçükse integral aşağıdaki gibi yazılabilir (P 1 gölgenin merkezindedir)(bakınız Sommerfeld [ 15 ] ): U ( P 1 ) = A e i k g g b b 2 + a 2 e i k b 2 + a 2 . {\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.} Alan genliğinin karesi olan kaynak şiddeti I 0 = | A e i k g g | 2 {\displaystyle I_{0}=\left|{\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}\right|^{2}} ve ekrandaki şiddet I = | U ( P 1 ) | 2 {\displaystyle I=\left|U(P_{1})\right|^{2}} olarak hesaplanır. Ekran üzerindeki şiddet aşağıdaki gibi b mesafesini fonksiyonudur: I = b 2 b 2 + a 2 I 0 . {\displaystyle I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.} Bu da dairesel cisim hepsini sunmasa da ekrandaki gölgenin merkezindeki şiddetin şiddet kaynağına yöneldiğini gösterir. Dahası, bu Arago noktasının diskin arkasındaki birkaç engelde de uygulandığını gösterir. Kırınım görüntülerini hesaplanması Ekranda görünen tam kırınımı hesaplanması için önceki bölümdeki ekran integralini göze alınması gerekir. Ekrandaki rastgele seçilmiş bir nokta ve kaynak arasındaki çizgi dairesel cismin merkezinden geçmediği sürece dairesel simetri kullanılamaz. Cismin saydam kısımları için 1 diğer kısımları için 0 olan açıklık fonksiyonu g ( r , θ ) {\displaystyle g(r,\theta )} ile (kaynakla ekrandaki nokta arasındaki düz çizgi dairesel engelin üzerinden geçiyorsa 0) integralin bu şekilde çözülmesi gerekir: U ( P 1 ) ∝ ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ g ( r , θ ) e i π ρ 2 λ ( 1 g + 1 b ) ρ d ρ d θ . {\displaystyle U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{{\frac {\mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \,d\rho \,d\theta .} Simpson yönetimini kullanarak yapılan integralin sayısal hesaplamaları etkili değildir ve özellikle büyük Fresnel sayıları kullanıldığı zaman sayısal olarak sabit olmaz. Yine de, integralde azimut açısının sayısal olarak sabit kalmasıyla integralin dairesel kısmının çözülebilir. [ 16 ] Merkezi P 0 P 1 çizgisinin dairesel engelle kesiştiği nokta olan bir ışını çözen integral çizgisi için özel bir açı olmalıdır. Azimut açısı θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} olan özel ışının katkısı ve r = s {\displaystyle r=s} 'den r = t {\displaystyle r=t} 'e geçen cismin saydam kısmı: R ( θ 1 ) ∝ e π 2 i s 2 − e π 2 i t 2 . {\displaystyle R(\theta _{1})\propto e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} s^{2}}-e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} t^{2}}.} Her açı için dairesel cisim ile ışının kesişim noktası hesaplanmalıdır ve katkıları I ( θ 1 ) {\displaystyle I(\theta _{1})} 0 ve 2 π {\displaystyle 2\pi } arasındaki belirli açılar için toplayın. Bu hesaplamaların sonuçları görsellerde görülmektedir. Görseller çeşitli çapdaki gölge diskindeki Arago noktasının (4 mm, 2 mm, 1 mm – soldan sağa) diskten 1 m uzaktaki temsilini göstermektedir. Noktasal kaynağın dalga boyu 633 nm'dir (He-Ne Lazeri) ve diskten 1 m uzağa yerleştirilmiştir. Görselin genişliği 16 mm'dir.

Deneysel yönleri Şiddet ve boyut İdeal [noktasal kaynak]ta, Arago noktasının şiddeti bozulmamış dalga yüzüne eşittir. Arago noktasının tepe şiddeti; kaynak, dairesel cisim ve ekranın aralarındaki mesafeye bağlı olduğu kadar kaynağı dalga boyuna ve dairesel cismin çapına da bağlıdır. Yani kaynağın dalga boyunun kısalması ekran ve dairesel cisim arasındaki mesafenin artırılmasıyla ya da dairesel cismin çapının kısaltılmasıyla giderilebilir. Ekrandaki yanal şiddet dağılımı optik eksene yakınken ve düzlemsel dalga kaynağı kullanıldığında şekli birinci dereceden sıfırıncı Bessel fonksiyonuna benzemektedir (sonsuzdaki noktasal kaynak): [ 17 ] U ( P 1 , r ) ∝ J 0 2 ( π r d λ b ) {\displaystyle U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}\left({\frac {\pi rd}{\lambda b}}\right)} burada, r ekrandaki P 1 noktasının optik eksene olan uzaklığı d dairesel cismin çapı λ dalga boyu b dairesel cisim ve ekran arasındaki mesafedir. Aşağıdaki görseller Arago noktasının dairesel şiddet dağılımını temsil eder: Yukarıdaki üç grafikteki kırmızı çizgiler temsili görüntüleri ve yeşil çizgiler Bessel fonksiyonunun karesini temsil eder. Sonlu kaynak boyutu ve uzaysal bağdaşım Arago noktasını sıradan ışık kaynaklarıyla gözlemlemenin zor olmasının sebebi kullanılan noktasal ışık kaynağının noktasal olmayışıdır. Eğer dalga kaynağının boyutu sonlu S ise, dairesel cisim lens gibi davranır ve Arago noktası S×b/g açılımına kavuşur. [ 13 ] Aynı zamanda Arago noktasının yoğunluğu, bozulmamış dalga cephesinin yoğunluğuna göre azalır. Bağıl yoğunluğu I rel {\displaystyle I_{\text{rel}}} yoğunluğun bozulmamış dalga cephesinin yoğunluğuna bölünmesi olarak tanımlarsak, w çapında genişletilmiş dairesel bir kaynak için bağıl yoğunluk aşağıdaki denklem kullanılarak tam olarak ifade edilebilir: [ 18 ] I rel ( w ) = J 0 2 ( w R π g λ ) + J 1 2 ( w R π g λ ) {\displaystyle I_{\text{rel}}(w)=J_{0}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)+J_{1}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)} burada J 0 {\displaystyle J_{0}} ve J 1 {\displaystyle J_{1}} birinci tür Bessel fonksiyonlarıdır. R {\displaystyle R} gölgeyi oluşturan diskin yarıçapı, λ {\displaystyle \lambda } dalga boyu ve g {\displaystyle g} kaynak ile disk arasındaki mesafedir. Büyük kaynaklar için aşağıdaki asimptotik yaklaşım geçerlidir: [ 18 ] I rel ( w ) ≈ 2 g λ π 2 w R {\displaystyle I_{\text{rel}}(w)\approx {\frac {2g\lambda }{\pi ^{2}wR}}} Dairesellikten sapma Eğer dairesel cismin arakesiti dairesel şeklinden biraz saptıysa (hala uçları keskin) Arago noktasının şekli değişir. Eğer cismin arakesiti eliptik ise Arago noktası evolüt şeklini alır. [ 19 ] Bu durum eğr kaynak ideal noktasal kaynak ise geçerlidir. Arago noktası noktasal yayılım fonksiyonu olarak yorumlanabileceğinde Arago noktası geniş kaynaktan çok az miktarda etkilenir. Sonuç olarak, noktasal yayılım fonksiyonundan dolayı genişletilmiş kaynağın görüntüsü saoluk olur ama şiddeti azalmaz. Dairesel cismin yüzey pürüzlülüğü Arago noktası ideal dairesel arakesiti sayesinde oldukça hassastır. Yani dairesel cismin yüzeyindeki pürüz parlak noktayı tamamen yok edebilir. Bu aşağıdaki grafiklerde 4 mm çaplı disk sayesinde oluşan Arago noktası temsil edilmiştir. ( g = b = 1 m): Bu grafikler dairesel şeklin genliği 10 µm, 50 µm ve 100 µm olan normal sinüs biçimli kıvrımlar içerir. 100 µm'lik kıvrımlarda merkezi kıvrımlar neredeyse yok olmuştur. Bu etki en iyi Frenel alan kavramı kullanılarak anlaşılır. Dairesel cisim belirli Fresnel alanı sayılarını engeller. Dairesel cismin kenarlarıyla başlayan Fresnel alanı sadece Arago noktasına katkı sağlar. Daha sonra, yıkıcı olarak birbirleriyle girişim yapan Fresnel alanları birbirini söndürürler. Genliği komşu Fresnel alanının eniyle aynı olan rastgele uç kıvrımı Arago noktasının şiddetini azaltır. Komşu Fresnel alanının eninden oluşan kıvrımından dolayı artan yarıçapı olan kenarların parçaları sayesinde yıkıcı bir şekilde kıvrımı etkilemeyen parçaların yardımıyla girişir. Komşu Fresnel alanı yaklaşık olarak aşağıdaki gibi tanımlanmıştı: [ 20 ] Δ r ≈ r 2 + λ g b g + b − r . {\displaystyle \Delta r\approx {\sqrt {r^{2}+\lambda {\frac {gb}{g+b}}}}-r.} Kenar kıvrımı Arago noktasının eninin %10'undan büyük olmamalı. Yukarıdaki 4 mm çaplı disklerin grafiklerinde, komşu Fresnel alanının eni 77 µm'dir.

Madde dalgalı Arago noktası Son dönemlerde, Arago noktası deneyleri döteryum molekülünün süpersonik genleşme ışınıyla ispatlanmıştır (nötr madde dalgasının örneği). [ 20 ] Kuantum mekaniğinden de bilindiği üzere madde parçacıkları dalga davranışı sergiler. Parçacıkların dalga davranışı de Broglie 'nin Davisson-Germer deneyi olarak da bilinen teorisine dayanır. [ 21 ] [ 22 ] Belirli ölçülerdeki dairesel yapısal incelendiğinde elektronun Arago noktası geçirimli elektron mikroskobuyla gözlenebildiği gibi madde dalgası oluşturur,. Dalga davranışını ispatlamak için büyük molekullerle yapılan Arago noktası gözlemleri son dönemdeki deneylerin konusudur. [ 20 ]

Diğer uygulamaları Arago noktasının dalga davranışının ispatlanmasının yanı sıra birkaç farklı uygulaması daha vardır. Arago noktasının diğer kullanımı da hizalama sistemlerinde düz çizgi kaynağı olması fikridir. Diğeri, noktanın ışın aberasyonunudaki hassaslığını kullanarak lazer ışınının sapmasının incelemektir. [ 17 ]