Bernoulli_diferansiyel_denklemi

Matematikte Bernoulli diferansiyel denklemi , birinci mertebeden bir adi diferansiyel denklemin açık biçimi şöyledir: y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,} , (Denklem I) Yukarıdaki denklemde n≠1 ve n≠0 olursa bu denkleme Bernoulli diferansiyel denklemi denir. Bu ad, Jakob Bernoulliye ithaf olsun diye 1695 yılında konuldu. Bernoulli denklemleri özeldir. Çünkü tam çözümleri bilinir ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerdir .

Çözüm Yukarıdaki adi diferansiyel denklemde eşitliğin her iki tarafı y n {\displaystyle y^{n}} ile bölünürse denklem aşağıdaki gibi olur: y ′ y n + P ( x ) y n − 1 = Q ( x ) {\displaystyle {\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {P(x)}{y^{n-1}}}=Q(x)} , (Denklem II) Burada aşağıdaki gibi bir değişken değiştirme yapılırsa; w = 1 y n − 1 {\displaystyle w={\frac {1}{y^{n-1}}}} , (Denklem III) türevi; w ′ = ( 1 − n ) y n y ′ {\displaystyle w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'} , (Denklem IV) (Denklem III) ve (Denklem IV), (Denklem II)'de yerine konulursa; w ′ 1 − n + P ( x ) w = Q ( x ) {\displaystyle {\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)} , (Denklem V) Bu adımda görüldüğü üzere denklem birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleme dönüştü. Bundan sonra aşağıdaki integrasyon çarpanı kullanılarak denklem çözülebilir. W ( x ) = e ( 1 − n ) ∫ P ( x ) d x {\displaystyle W(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}} . (Denklem VI)

Örnek Aşağıdaki Bernoulli denklemi örneğimiz olsun. y ′ − 2 y x = − x 2 y 2 {\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}} , (Eşitlik I) y = 0 {\displaystyle y=0} , bir çözümdür. 
Eşitlik y 2 {\displaystyle y^{2}} ile bölünürse y ′ y − 2 − 2 x y − 1 = − x 2 {\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}} , (Eşitlik II) (Eşitlik II)'de aşağıdaki gibi bir değişken değişimi uygulanırsa; w = 1 y {\displaystyle w={\frac {1}{y}}} , (Eşitlik III) türevi; w ′ = − y ′ y 2 {\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}} . (Eşitlik IV) (Eşitlik III) ve (Eşitlik IV), (Eşitlik II)'de yerine konulursa; w ′ + 2 x w = x 2 {\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}} , (Eşitlik V) Aşağıdaki integrasyon çarpanı kullanılırsa denklem çözülebilir; M ( x ) = e 2 ∫ 1 x d x = e 2 ln ⁡ x = x 2 . {\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.} (Eşitlik VI) Her iki tarafı M ( x ) {\displaystyle M(x)} ile çarpalım, w ′ x 2 + 2 x w = x 4 , {\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,} (Eşitlik VII) Sol taraf w x 2 {\displaystyle wx^{2}} 'nin türevidir . Bu denklemde her iki tarafın integrali alınırsa; ∫ ( w x 2 ) ′ d x = ∫ x 4 d x {\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx} (Eşitlik VIII) w x 2 = 1 5 x 5 + C {\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C} (Eşitlik IX) 1 y x 2 = 1 5 x 5 + C {\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C} (Eşitlik X) y {\displaystyle y} 'nin çözümü; y = 5 x 2 x 5 + C {\displaystyle y={\frac {5x^{2}}{x^{5}+C}}} (Eşitlik XI) Yukarıda da belirtildiği gibi y = 0 {\displaystyle y=0} da bir çözümdür. MATLAB kullanarak bunun doğruluğunu görebiliriz; x = dsolve ( 'Dy-2*y/x=-x^2*y^2' , 'x' ) Yukarıdaki söz dizimi her iki çözümü verir; 0 x^2/(x^5/5 + C1 ) Ayrıca, y = 0 {\displaystyle y=0} hesaba katılmadan yapılan, çözümü [ 1 ] Wolfram Alpha 'da görebilirsiniz.

Notlar ↑ "y'-2*y/x=-x^2*y^2" . 8 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi.