Dalga_sayısı

Harmonik dalgaların dalga sayısı ile diğer özellikleri arasındaki ilişkiyi gösteren diyagram. Dalga sayısı (veya dalga numarası ), [ 1 ] fizik bilimlerinde bir dalganın uzamsal frekansıdır. Sıradan (ordinary) dalga sayısı , birim uzunluk başına dalga çevrimi sayısı olarak tanımlanır; ters uzunluk boyutuna sahip bir fiziksel niceliktir ve SI birimi metre başına çevrim veya ters metre (m −1 ) olarak ifade edilir. Açısal dalga sayısı , dalga fazının zamana bölünmesiyle tanımlanır; uzunluk başına açı boyutuna sahiptir ve SI birimi metrenin radyana bölümüdür. (rad/m). [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Bunlar zamansal frekansa , yani dalga çevrimi sayısının zamana bölünmesiyle (saniye başına çevrim veya ters saniye olarak) tanımlanan sıradan frekansa ve faz açısının zamana bölünmesiyle (saniye başına radyan olarak) tanımlanan açısal frekansa benzemektedir. Çok boyutlu sistemlerde dalga sayısı, dalga vektörünün büyüklüğüdür. Dalga vektörlerinin uzayına ters örgü denir. Dalga sayıları ve dalga vektörleri, X-ışını kırınımı , nötron kırınımı , elektron kırınımı , temel parçacık fiziği, optik , dalga saçılımı gibi alanlarda önemli bir rol oynar. Kuantum mekaniksel dalgalar için, dalga sayısının indirgenmiş Planck sabitiyle çarpımı kanonik momentumu verir. Dalga sayısı, uzamsal frekans dışındaki nicelikleri belirtmek için kullanılabilir. Örneğin optik spektroskopide , belli bir ışık hızı varsayılarak zamansal frekans birimi olarak sıkça kullanılır.

Tanım Dalga sayısı, spektroskopide ve çoğu kimya alanında kullanıldığı gibi, birim mesafe başına dalga boyu sayısı olarak tanımlanır: [ 5 ] ν ~ = 1 λ , {\displaystyle {\tilde {\nu }}\;=\;{\frac {1}{\lambda }},} Burada λ ( lamda ) dalga boyudur. Bazen buna "spektroskopik dalga sayısı" denir. Bu, uzamsal frekansa eşittir. [ 6 ] Teorik fizikte, "birim mesafe başına düşen radyan sayısı" olarak tanımlanan bir açısal dalga sayısı daha sık kullanılır: [ 7 ] k = 2 π λ = 2 π ν ~ {\displaystyle k\;=\;{\frac {2\pi }{\lambda }}=2\pi {\tilde {\nu }}} Birimler Spektroskopik dalga sayısının SI birimi , m − 1 olarak yazılan m'nin tersidir. Bununla birlikte, özellikle spektroskopide , dalga sayılarını cgs birimlerinde , yani santimetre veya cm − 1 'in tersi olarak vermek daha yaygındır. 1 c m − 1 = 100 m − 1 {\displaystyle 1~\mathrm {cm} ^{-1}=100~\mathrm {m} ^{-1}} . Bazen eski kaynaklarda kayser birimi (adını Heinrich Kayser'den [ en ] almıştır.) [ 8 ] kullanılır; K veya Ky olarak kısaltılır, burada 1 K = 1 cm −1' dir. [ 9 ] Açısal dalga sayısı, metre başına radyan (rad ⋅ m −1 ) birimiyle veya yukarıdaki gibi ifade edilebilir, çünkü radyan boyutsuz niceliktir . Birim dönüşümleri Dalga sayısı ile ışığın frekansı ν ~ {\displaystyle {\tilde {\nu }}} dir. f = c λ = c ν ~ {\displaystyle f={\frac {c}{\lambda }}=c{\tilde {\nu }}} Burada c {\displaystyle c} ışık hızıdır . Bu nedenle spektroskopik dalga sayısından frekansa dönüşüm şöyledir: [ 10 ] 1 c m − 1 := 29.979245 G H z . {\displaystyle 1~\mathrm {cm} ^{-1}:=29.979245~\mathrm {GHz} .} Dalga sayısı aynı zamanda enerji birimi olarak da kullanılabilir, çünkü 𝑓 frekansındaki bir foton h {\displaystyle h} 𝑓 enerjiye sahiptir. Burada h {\displaystyle h} Planck sabitidir . Dalga sayısı ν ~ {\displaystyle {\tilde {\nu }}} olan bir fotonun enerjisi şöyledir: E = h f = h c ν ~ {\displaystyle E=hf=hc{\tilde {\nu }}} Spektroskopik dalga sayısından enerjiye dönüşüm bu nedenle 1 c m − 1 := 1.986446 × 10 − 23 J = 1.239842 × 10 − 4 e V {\displaystyle 1~\mathrm {cm} ^{-1}:=1.986446\times 10^{-23}~\mathrm {J} =1.239842\times 10^{-4}~\mathrm {eV} } Burada enerji J (Joule) veya eV (elektronvolt) olarak ifade edilir. Karmaşık dalga sayısı (Complex wavenumber) Karmaşık değerli bir dalga sayısı, karmaşık değerli bağıl elektriksel geçirgenlik ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} , bağıl manyetik geçirgenlik μ r {\displaystyle \mu _{r}} ve kırılma indisi n olan bir ortam için aşağıdaki şekilde tanımlanabilir: [ 11 ] k = k 0 ε r μ r = k 0 n {\displaystyle k=k_{0}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}=k_{0}n} Burada k 0 ​, boşluktaki (serbest uzaydaki) dalga sayısını temsil eder. Dalga sayısının hayali (imajiner) kısmı, birim mesafe başına zayıflamayı (attenuation) ifade eder ve üstel olarak sönümlenen evanesan dalgaların incelenmesinde kullanışlıdır. Doğrusal ortamlarda düzlemsel dalgalar Doğrusal bir malzeme içinde pozitif x yönünde yayılan sinüzoidal bir düzlemsel dalganın yayılım çarpanı şu şekilde verilir: [ 12 ] P = e − j k x {\displaystyle P=e^{-jkx}} burada: k = k ′ − j k ″ = − ( ω μ ″ + j ω μ ′ ) ( σ + ω ε ″ + j ω ε ′ ) {\displaystyle k=k'-jk''={\sqrt {-\left(\omega \mu ''+j\omega \mu '\right)\left(\sigma +\omega \varepsilon ''+j\omega \varepsilon '\right)}}\;} k ′ = {\displaystyle k'=} radyan/metre biriminde faz sabiti k ″ = {\displaystyle k''=} neper /metre cinsinden zayıflama katsayısı sabiti ω = {\displaystyle \omega =} açısal frekans x = {\displaystyle x=} x yönünde kat edilen mesafe σ = {\displaystyle \sigma =} Siemens /metre cinsinden iletkenlik ε = ε ′ − j ε ″ = {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '-j\varepsilon ''=} kompleks geçirgenlik μ = μ ′ − j μ ″ = {\displaystyle \mu =\mu '-j\mu ''=} kompleks geçirgenlik j = − 1 {\displaystyle j={\sqrt {-1}}} İşaret kabulü (sign convention), kayıplı ortamlarda yayılımla tutarlılık sağlamak amacıyla seçilmiştir. Eğer zayıflama katsayısı pozitifse, dalga x yönünde yayıldıkça genliği azalır. Dalga boyu , faz hızı ve etki derinliği , dalga sayısının bileşenleriyle basit ilişkilere sahiptir: λ = 2 π k ′ v p = ω k ′ δ = 1 k ″ {\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k'}}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{k'}}\qquad \delta ={\frac {1}{k''}}}

Dalga denklemlerinde Burada dalganın düzenli olduğunu, yani dalgayı tanımlayan dalga boyu, frekans ve dolayısıyla dalga sayısı gibi farklı niceliklerin sabit olduğunu varsayıyoruz. Genellikle, açısal dalga sayısı k (yani dalga vektörünün büyüklüğü) şu şekilde verilir: k = 2 π λ = 2 π ν v p = ω v p {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\mathrm {p} }}}={\frac {\omega }{v_{\mathrm {p} }}}} Burada ν dalganın frekansı, λ dalga boyu, ω = 2πν dalganın açısal frekansı ve v p dalganın faz hızıdır . Dalga sayısının frekansa (veya daha yaygın olarak frekansın dalga sayısına) bağımlılığı yayılım ilişkisi olarak bilinir. Dalganın ışık hızında yayıldığı bir vakumdaki elektromanyetik dalganın özel durum için k şu şekilde verilir: k = E ℏ c = ω c {\displaystyle k={\frac {E}{\hbar c}}={\frac {\omega }{c}}} Bu formülde E dalganın enerjisi , ħ indirgenmiş Planck sabiti , c ise ışığın vakumdaki hızıdır . Madde dalgasının özel durumu için, örneğin bir elektron dalgası için, göreceli olmayan yaklaşımlarda (serbest bir parçacık durumunda, ki bu durumda parçacığın potansiyel enerjisi yoktur): k ≡ 2 π λ = p ℏ = 2 m E ℏ {\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}} Bu denklikte p parçacığın momentumu , m parçacığın kütlesi , E parçacığın kinetik enerjisi ve ħ ise indirgenmiş Planck sabitidir . Dalga sayısı ayrıca grup hızını tanımlamak için de kullanılır.

Spektroskopide Spektroskopide “dalga sayısı” ν ~ {\displaystyle {\tilde {\nu }}} (ters santimetre cinsinden, cm −1 ), ışığın vakumdaki hızına (genellikle saniyede santimetre cinsinden, cm⋅s −1 ) bölünmüş zamansal bir frekansı (hertz cinsinden) ifade eder. ν ~ = ν c = ω 2 π c {\displaystyle {\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}={\frac {\omega }{2\pi c}}} Frekans yerine bu spektroskopik dalga sayısının kullanılmasının tarihsel nedeni, bir interferometre ile santimetre başına saçakları sayarak atomik spektrumları incelemek için uygun bir birim olmasıdır: spektroskopik dalga sayısı, vakumda ışığın dalga boyunun tersidir: λ v a c = 1 ν ~ {\displaystyle \lambda _{\rm {vac}}={\frac {1}{\tilde {\nu }}}} havada esasen aynı kalır ve bu nedenle spektroskopik dalga sayısı, kırınım ağından saçılan ışığın açıları ve bu aletler havada veya vakumda çalıştırıldığında interferometrelerdeki saçaklar arasındaki mesafe ile doğrudan ilişkilidir. Bu tür dalga sayıları ilk olarak 1880'lerde Johannes Rydberg 'in hesaplamalarında kullanılmıştır. 1908'deki Rydberg-Ritz kombinasyon prensibi de dalga sayıları cinsinden formüle edilmişti. Birkaç yıl sonra spektral çizgiler kuantum teorisinde enerji seviyeleri arasındaki farklar olarak anlaşılabilmiştir, enerji dalga sayısı veya frekansla orantılıdır. Ancak, spektroskopik veriler frekans ya da enerji yerine spektroskopik dalga sayısı cinsinden tablolaştırılmaya devam edilmiştir. Örneğin, atomik hidrojen tayfı serilerinin spektroskopik dalga sayıları Rydberg formülü ile verilir: ν ~ = R ( 1 n f 2 − 1 n i 2 ) {\displaystyle {\tilde {\nu }}=R\left({\frac {1}{{n_{\text{f}}}^{2}}}-{\frac {1}{{n_{\text{i}}}^{2}}}\right)} Bu formülde R , Rydberg sabitidir ve n i ve n f sırayla başlangıç ve son seviyelerin baş kuantum sayılarıdır (salım için n i, n f 'den büyüktür). Bir spektroskopik dalga sayısı, Planck formülü kullanılarak foton başına enerji E'ye dönüştürülebilir: E = h c ν ~ {\displaystyle E=hc{\tilde {\nu }}} Aynı zamanda ışığın dalga boyuna da dönüştürülebilir: λ = 1 n ν ~ {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n{\tilde {\nu }}}}} Burada n ortamın kırılma indisidir . Işığın dalga boyunun farklı ortamlardan geçerken değiştiğini, ancak spektroskopik dalga sayısının (yani frekansın) sabit kaldığını unutmayın. Genellikle uzamsal frekanslar bazı yazarlar tarafından “dalga sayısı cinsinden” belirtilir, [ 13 ] bu da niceliğin adının yanlış bir şekilde CGS birimi cm −1 'e dönüştürülmesine sebep olur. [ 14 ]