Maskrio/nya-ir-miracl-id-preprocessed huggingface dataset:
I AM NOT GIRL (novel)
Oesman Raja dan istrinya Latifah Hanurada memiliki dua orang anak laki-laki kembar tak identik (wajah keduanya berbeda), yakni Aditya Raja yang berprofesi sebagai pengacara, dan Bramana Raja yang berprofesi sebagai pembalap profesional. Pada masa lalu, Oesman dan keluarganya yang hari itu baru pulang dari liburan, menabrak sepasang suami istri berserta anak mereka yang mengendari motor tuanya di jalanan yang sepi. Dalam kecelakaan itu, seluruh anggota keluarga Oesman selamat, sedangkan sepasang suami istri yang ditabraknya tewas di tempat. Anak laki-laki mereka terlempar ke sungai, hanyut dan hilang ditelan arus sungai yang deras. Keluarga Oesman lalu kabur dan tak pernah mengakui dosanya itu sampai sekarang.
I AM NOT GIRL (novel)
Dua puluh tahun kemudian, Bramana Raja menyiksa lalu memperkosa seorang waria bernama Senja, yang dituduh mencuri dompetnya saat berkemah di dalam hutan di pedalaman Dieng. Takut aksi bejatnya dilaporkan polisi, Bramana lalu melempar tubuh Senja ke sungai dan setelah itu ia kabur ke Jakarta.
I AM NOT GIRL (novel)
Setahun kemudian, Aditya Raja yang kariernya sedang melejit sebagai pengacara, harus menelan pil pahit karena membongkar perselingkuhan istrinya sendiri. Depresi dan patah hati, Aditya lalu menyepi untuk menenangkan diri di daerah Dieng. Di sana takdir mempertemukannya dengan Senja. Setelah banyak kisah yang dilalui bersama, keduanya akhirnya jatuh cinta meski cintanya terlarang.
I AM NOT GIRL (novel)
Senja tak pernah tahu jika Aditya adalah kakak kembar Bramana, pria yang pernah memperkosanya dan membuangnya ke sungai. Ia baru tahu jika keduanya bersaudara saat Senja menghadiri pesta pernikahan Bramana dengan Marina. Tanpa berpikir panjang, Senja menembak Bramana dengan brutal hingga pria itu tewas di altar gereja.
I AM NOT GIRL (novel)
Hukum bicara. Aditya dihadapkan pada dilema dimana ia harus menuntut Senja hukuman mati karena telah membunuh adik kembarnya, Bramana. Namun disisi lain, Senja adalah kekasihnya meskipun dunia tak mengetahuinya. Sampai akhirnya pengadilan menetapkan hukuman mati pada Senja, dan Aditya yang hampir gila melarikannya (kabur) dari penjara.
I AM NOT GIRL (novel)
Pelarian Senja dan Aditya berakhir ketika polisi menemukan lokasi persembunyian mereka. Senja tewas tertembak lantaran menjadi tameng ketika polisi berniat menembak Aditya. Tak mau ditinggal mati kekasihnya, Aditya lalu bunuh diri.
I AM NOT GIRL (novel)
Setelah itu tabir masa lalu terbuka. Senja adalah anak laki-laki dari pasangan suami istri yang tewas tertabrak mobil keluarga Oesman. Dosa masa lalu itu bagaikan karma yang terus mengejar. Garis keturunan keluarga Oesman Raja berhenti, karena kini kedua anaknya sudah tewas. Tak ada lagi yang tersisa selain penyesalan.
I AM NOT GIRL (novel)
SEA Write Award 2012 di Denpasar Bali : Karya Fiksi Terbaik 2012
Javi García
Francisco Javier "Javi" García Fernández (), adalah pemain sepak bola asal Spanyol yang saat ini bermain di Zenit St. Petersburg. Posisi aslinya adalah sebagai Gelandang bertahan, tetapi dia juga dapat bermain sebagai bek tengah.
Javi García
Javi mengawali karier sepak bolanya sebagai pemain junior di Real Madrid. Debut pertamanya bersama tim utama adalah pada tanggal 28 November 2004, pada saat mengalahkan Levante UD 5-0 yang saat itu dirinya masih berusia 17 tahun. Setelah itu pada musim 2005-06 di bermain bersama Real Madrid B di Segunda División.
Richard Wright (pemain sepak bola)
Richard Ian Wright () adalah seorang mantan pemain sepak bola profesional asal Inggris yang terakhir bermain untuk Manchester City sebagai Penjaga gawang. Lahir di Ipswich, dia bergabung dengan klub sepak bola Ipswich Town sebagai pemain percobaan. Dari tahun 1995 hingga tahun 2001 dia telah bermain sebanyak lebih dari 200 kali untuk klub Ipswich.
Richard Wright (pemain sepak bola)
Dia pindah ke Arsenal pada tahun 2001 dan hanya bertahan 1 musim. Kemudian pada tahun 2002 dia pindah ke Everton dan menghabiskan lima tahun. Dia bergabung dengan Manchester City dengan status bebas transfer pada tanggal 31 Agustus 2012 dari Preston North End.
SMA KP Cikalongwetan
Berbagai fasilitas dimiliki SMA KP Cikalongwetan untuk menunjang kegiatan belajar mengajar. Fasilitas tersebut antara lain:
SMA KP Cikalongwetan
SMA KP Cikalongwetan memiliki beberapa kegiatan ekstrakurikuler, di antaranya:
The Story of My Life
The Story of My Life merupakan sebuah album musik solo kedua karya personel Elfa's Singers sekaligus pelatih vokal, Ucie Nurul. Album ini melibatkan sejumlah arranger, seperti DJ Sumantri, Dian HP, Nico Adjie Bandy, Tias Rekso, Kadek Rihardika, dan Ari Sumantri.
The Story of My Life
Lagu yang diandalkan adalah "I Do Miss You" dan "Dansa".
Pasukan Joged
Pasukan Joged merupakan sebuah album musik kedua milik penyanyi dangdut Liza Natalia yang dirilis pada tahun 2008. Lagu yang dijagokan adalah "Pasukan Joged" ciptaan Imron Sadewo.
Pasukan Joged
Video klip lagu "Pasukan Joged" ini dilakukan di kota New York, Amerika Serikat pada saat Liza Natalia diundang untuk membawa misi dangdut ke Negeri Paman Sam sana. Album ini menghantarakan Liza meraih AMI Awards 2009 kategori "Artis Solo Wanita/Pria/Duo/Grup Dangdut Terbaik"
Geometri projektif
Di dalam matematika, geometri projektif adalah kajian sifat-sifat geometris yang invarian di bawah transformasi projektif. Ini berarti bahwa geometri projektif memiliki tatanan, ruang projektif, dan himpunan selektif yang berbeda dibandingkan konsep-konsep geometri elementer. Intuisi-intuisi dasarnya adalah bahwa ruang projektif memiliki "lebih banyak" titik daripada ruang euklides, di dalam dimensi yang diberikan, dan bahwa transformasi geometris adalah diizinkan untuk memindahkan titik-titik ekstra (yang disebut "titik di ketakhinggaan") ke titik-titik tradisional, dan begitu juga sebaliknya.
Geometri projektif
Sifat-sifat yang penuh makna di dalam geometri projektif disokong oleh gagasan baru transformasi ini, yang lebih radikal dalam efek-efeknya dibanding keterekspresiannya oleh suatu matriks transformasi dan translasi (transformasi afin). Isu pertama bagi para ahli geometri adalah bahasa geometri manakah yang memadai bagi situasi baru ini? Tidaklah mungkin untuk memperbincangkan sudut dalam geometri projektif karena ia ada dalam geometri euklides, karena sudut adalah sebuah contoh dari konsep yang tidak invarian di bawah transformasi projektif, seperti yang tampak jelas dalam gambar perspektif. Satu sumber untuk geometri projektif adalah tentu saja teori perspektif. Perbedaan lainnya dari geometri elementer adalah cara di mana garis-garis sejajar dapat dikatakan saling bertemu di sebuah titik di ketakhinggaan, ketika konsep ini ditranslasikan ke dalam suku-suku geometri projektif. Dan lagi, gagasan ini memiliki landasan intuitif, misalnya rel kereta api yang bertemu di cakrawala menurut gambar perspektif. Lihatlah bidang projektif untuk dasar-dasar geometri projektif dalam dua dimensi.
Geometri projektif
Sementara beberapa gagasan telah hadir terlebih dahulu, geometri projektif sebagian besarnya merupakan hasil pengembangan dari abad ke-19. Satu rancang bangun raksasa dari berbagai penelitian telah menjadikannya sebagai cabang geometri yang paling representatif pada masa itu. Geometri projektif adalah teori tentang ruang projektif kompleks, karena koordinat-koordinat yang digunakan (koordinat homogen) adalah bilangan kompleks. Beberapa lembaran utama matematika yang lebih abstrak (termasuk teori invarian, mazhab Italia geometri aljabar, dan program Erlangen-nya Felix Klein yang mengarah pada kajian grup klasik) dibangun di atas geometri aljabar. Geometri projektif juga merupakan subjek dengan banyak praktisi yang bekerja deminya, di bawah panji-panji geometri sintetis. Cabang lain yang muncul dari kajian-kajian aksiomatis geometri projektif adalah geometri berhingga.
Geometri projektif
Cabang geometri projektif sendiri saat ini dibagi ke dalam banyak sub-cabang penelitian, dua contoh darinya adalah geometri aljabar projektif (kajian varietas projektif) dan geometri diferensial projektif (kajian invarian diferensial transformasi projektif).
Geometri projektif
Geometri projektif adalah sebuah bentuk tak-metrik elementer dari geometri, artinya bahwa geometri projektif tidak didasarkan pada konsep jarak. Di dalam dua dimensi, geometri projektif bermula dengan kajian konfigurasi titik dan garis. Tentu saja terdapat beberapa kepentingan geometri di dalam tatanan yang langka ini dipandang sebagai geometri projektif yang dikembangkan oleh Desargues dan lain-lain di dalam penggalian mereka akan prinsip-prinsip seni perspektif.
Geometri projektif
Di dalam ruang-ruang yang berdimensi lebih tinggi terdapat hiperbidang dan subruang linear lainnya, yang memperlihatkan prinsip dualitas. Ilustrasi paling sederhana dari dualitas adalah dalam bidang projektif, di mana pernyataan "dua titik yang berbeda menentukan sebuah garis unik" (yakni garis yang melaluinya) dan "dua garis yang berbeda menentukan satu titik unik" (yakni titik perpotongannya) menunjukkan struktur yang sama sebagai proposisi.
Geometri projektif
Geometri projektif dapat juga dipandang sebagai geometri konstruksi dengan hanya satu "straightedge" (sisi-lurus). Karena geometri projektif tidak melibatkan konstruksi jangka, maka tidak ada lingkaran, tidak ada sudut, tidak ada pengukuran, tidak ada garis sejajar, dan tidak ada konsep intermediasi. Dimaklumi bahwa teorema-teorema yang digunakan di dalam geometri projektif adalah pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana. Misalnya irisan-irisan kerucut yang berbeda adalah semuanya ekivalen di dalam geometri projektif (kompleks), dan beberapa teorema mengenai lingkaran dapat dilihat sebagai kasus khusus dari teorema-teorema umum ini.
Geometri projektif
Pada permulaan abad ke-19, karya Poncelet, Lazare Carnot, dan yang lainnya mendirikan geometri projektif sebagai cabang tersendiri dari matematika. Dasar-dasar yang saksama ini diajukan oleh Karl von Staudt dan disempurnakan oleh orang Italia Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa, dan Gino Fano pada penghujung abad ke-19.
Geometri projektif
Geometri projektif, seperti geometri afin dan geometri euklides, dapat juga dikembangkan dari program Erlangen-nya Felix Klein; geometri projektif dikarakterisasi oleh invarian-invarian di bawah transformasi-transformasi grup projektif.
Geometri projektif
Setelah banyak karya yang memuat sedemikian banyaknya teorema dalam subjek ini, dasar-dasar geometri projektif menjadi lebih terpahami. Struktur insidensi dan rasio silang adalah invarian fundamental di bawah transformasi projektif. Geometri projektif dapat dimodelkan oleh bidang afin (atau ruang afin) ditambah sebuah garis (hiperbidang) "di ketakhinggaan" dan kemudian memperlakukan garis itu (atau hiperbidang) sebagai sesuatu yang "biasa".
Geometri projektif
Sebuah model aljabar untuk mengerjakan geometri projektif di dalam gaya geometri analitik diberikan oleh koordinat-koordinat homogen. Di pihak lain, kajian-kajian aksiomatik justru menyibak keberadaan bidang non-desarguesian, contoh-contoh untuk menunjukkan bahwa aksioma-aksioma insidensi dapat dimodelkan (hanya dalam dua dimensi) oleh struktur-struktur yang tidak aksesibel untuk penalaran melalui sistem koordinat homogen.
Geometri projektif
Di dalam artian yang mendasar, geometri projektif dan geometri terurut adalah elementer karena mereka melibatkan aksioma sesedikit mungkin dan kedua-duanya dapat digunakan sebagai fondasi bagi geometri afin dan geometri euklides. Geometri projektif tidaklah "terurut" dan dengan demikian geometri projektif adalah fondasi yang berbeda dari geometri.
Geometri projektif
Sifat-sifat geometri pertama dari sifat projektif ditemukan pertama kali pada abad ke-8 oleh Pappus dari Iskandariyah. Filippo Brunelleschi (1404–1472) mulai menyelidiki geometri perspektif pada tahun 1425 (lihatlah sejarah perspektif untuk pembahasan lebih lanjut tentang karya dalam bidang seni rupa yang memotivasi banyak pengembangan geometri projektif).
Geometri projektif
Johannes Kepler (1571–1630) dan Gérard Desargues (1591–1661) secara terpisah mengembangkan konsep berporos tentang "titik di ketakhinggaan". Desargues mengembangkan cara alternatif untuk membikin gambar perspektif dengan memperumum penggunaan titik hilang untuk menyertakan kasus ketika titik-titik ini berjarak jauh tak terhingga. Dia membuat geometri euklides, di mana garis-garis sejajar adalah benar-benar sejajar, ke dalam kasus khusus dari sistem geometri yang meliputi semuanya. Pengkajian Desargues terhadap bagian-bagian kerucut melukiskan perhatian seorang Blaise Pascal yang berumur 16 tahun dan membantunya merumuskan teorema Pascal.
Geometri projektif
Karya-karya Gaspard Monge pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19 adalah penting bagi pengembangan geometri projektif berikutnya. Karya Desargues diabaikan sampai Michel Chasles berkesempatan membaca salinan sebuah tulisan tangan pada tahun 1845. Sementara itu, Jean-Victor Poncelet telah menerbitkan risalah dasar tentang geometri projektif pada tahun 1822.
Geometri projektif
Poncelet memisahkan sifat-sifat projektif objek-objek dalam kelas individual dan mendirikan hubungan antara sifat-sifat metrik dan projektif. Geometri non-euklides yang ditemukan tak lama kemudian sebenarnya diperagakan untuk mendapatkan model-model, seperti model Klein tentang ruang hiperbolik, yang berhubungan dengan geometri projektif.
Geometri projektif
Geometri projektif pada abad ke-19 ini merupakan sebuah batu loncatan dari geometri analitik ke geometri aljabar. Ketika diperlakukan dalam suku-suku koordinat homogen, geometri projektif tampak seperti perluasan atau perbaikan teknis penggunaan koordinat untuk mengurangi masalah-masalah geometri terhadap aljabar, yakni sebuah perluasan dengan mengurangi banyaknya kasus khusus. Kajian rinci dari kuadrik dan "geometri garis"-nya Julius Plücker masih membentuk sehimpunan kaya contoh-contoh bagi para ahli geometri untuk bekerja dengan konsep-konsep yang lebih umum.
Geometri projektif
Karya Poncelet, Steiner dan lain-lain tidak ditujukan untuk memperluas geometri analitik. Teknik-teknik ini dianggap sebagai "geometri sintetis": pengaruhnya, ruang projektif yang kini dipahami dulunya diperkenalkan secara aksiomatis. Hasilnya, perumusan kembali karya dini tentang geometri projektif supaya ia memenuhi standar-standar kekakuan saat ini kadang-kadang dapat menjadi sulit. Bahkan dalam kasus bidang projektif sendiri, pendekatan aksiomatis terhadap model tidak dapat dijelaskan melalui aljabar linear.
Geometri projektif
Periode ini dalam geometri telah diambil-alih oleh penelitian mengenai kurva aljabar umum oleh Clebsch, Riemann, Max Noether, dan lain-lain, yang merentangkan teknik-teknik yang telah ada, dan kemudian oleh teori invarian. Mendekati akhir abad ke-19 mazhab Italia geometri aljabar (Enriques, Segre, Severi) memecah pokok bahasan tradisional menjadi wilayah-wilayah yang memerlukan teknik-teknik yang lebih dalam.
Geometri projektif
Pada bagian akhir abad ke-19, kajian rinci tentang geometri projektif menjadi kurang bergaya lagi, meski pustaka yang membahasnya sangat banyak. Beberapa karya penting telah dibikin dalam bidang geometri enumeratif khususnya, oleh Schubert, yang kini dipandang sebagai antisipasi teori kelas Chern, diambil untuk menyajikan topologi aljabar Grassmannian.
Geometri projektif
Paul Dirac mengkaji geometri projektif dan menggunakannya sebagai basis untuk pengembangan konsep-konsepnya mengenai mekanika kuantum, meskipun karya-karyanya yang diterbitkan selalu berbentuk aljabar. Lihatlah sebuah artikel blog yang merujuk pada sebuah artikel dan buku tentang pokok bahasan ini, juga pada ceramah Dirac yang disajikan dalam audiensi umum tahun 1972 di Boston mengenai geometri projektif, tanpa menspesifikasi aplikasi dalam fisikanya.
Geometri projektif
Geometri projektif tidaklah begitu mengungkung bila dibandingkan dengan geometri euklides atau geometri afin. Ia secara intrinsik merupakan geometri non-metrik, yang fakta-faktanya tidak bergantung pada struktur metrik manapun. Di bawah transformasi projektif, struktur insidensi dan relasi sekawan harmonik projektif dipelihara. Rentang projektif adalah dasar satu dimensi. Geometri projektif memformalkan salah satu prinsip sentral seni perspektif: bahwa garis-garis sejajar bertemu di ketakhinggaan, dan oleh karenanya digambarkan seperti itu. Intinya, geometri projektif dapat dipikirkan sebagai perluasan geometri euklides di mana "arah" tiap-tiap garis dimasukkan ke dalam garis sebagai "titik" ekstra, dan di mana sebuah "cakrawala" arah yang berpadanan dengan garis-garis koplanar dipandang sebagai "garis". Dengan demikian, dua garis sejajar bertemu pada garis mendatar karena mereka memiliki arah yang sama.
Geometri projektif
Arah yang teridealisasi dirujuk sebagai titik di ketakhinggaan, sementara cakrawala teridealisasi dirujuk sebagai garis di ketakhinggaan. Pada gilirannya, semua garis ini terletak pada bidang di ketakhinggaan. Tetapi, ketakhinggaan berada dalam konsep metrik, jadi dalam hal ini geometri projektif murni tidaklah mengasingkan titik, garis, atau bidang manapun; semua yang berada di ketakhinggaan diperlakukan sama seperti yang lainnya.
Geometri projektif
Karena geometri euklides dibahas di dalam geometri projektif, di mana geometri projektif memiliki fondasi yang lebih sederhana, hasil-hasil umum dalam geometri euklides boleh jadi tiba di dalam gaya yang lebih transparan, di mana teorema-teorema yang terpisah tetapi serupa di dalam geometri euklides dapat ditangani secara kolektif di dalam kerangka kerja geometri projektif. Contohnya, garis-garis yang sejajar dan tidak sejajar tidak mesti diperlakukan sebagai kasus yang terpisah - kita mengasingkan beberapa bidang projektif sembarang sebagai bidang ideal dan menempatkannya "di ketakhinggaan" menggunakan koordinat homogen.
Geometri projektif
Sifat-sifat lainnya dari yang memiliki kepentingan mendasar di antaranya Teorema Desargues dan Teorema Pappus. Di dalam ruang projektif berdimensi tiga atau lebih besar, terdapat suatu konstruksi yang membolehkan seseorang untuk membuktikan Teorema Desargues. Tetapi untuk dimensi dua, ia mesti dipostulatkan secara terpisah.
Geometri projektif
Dengan bantuan Teorema Desargues, dipadukan dengan aksioma-aksioma lain, adalah dimungkinkan untuk mendefinisikan operasi-operasi dasar aritmetika secara geometris. Operasi-operasi yang dihasilkan memenuhi aksioma-aksioma lapangan, kecuali bahwa kekomutatifan perkalian memerlukan Teorema Segienam Pappus. Hasilnya, titik-titik di tiap-tiap garis berkoresponden satu-satu dengan lapangan yang diberikan, F, yang disertai sebuah unsur tambahan, W, sedemikian sehingga rW = W, −W = W, r+W = W, r/0 = W, r/W = 0, W−r = r−W = W. Tetapi, 0/0, W/W, W+W, W−W, 0W dan W0 tidak terdefinisi.
Geometri projektif
Geometri projektif juga menyertakan sebuah teori irisan kerucut yang lengkap, sebuah pokok bahasan yang telah dikembangkan dengan begitu baik dalam geometri euklides. Terdapat keuntungan-keuntungan yang jelas ketika seseorang mampu memikirkan hiperbola dan elips sebagai dua hal yang berbeda hanya dari fakta bahwa hiperbola "terletak melintasi garis di ketakhinggaan"; dan bahwa parabola dibedakan hanya oleh tangen terhadap garis yang sama. Seluruh keluarga lingkaran dapat dipandang sebagai "kerucut-kerucut yang melalui dua titik yang diberikan pada garis di ketakhinggaan"—memerlukan koordinat-koordinat kompleks. Karena koordinat tidaklah "sintetik", seseorang menggantinya dengan menetapkan sebuah garis dan dua titik padanya, dan memandang "sistem linear" semua kerucut melalui titik-titik itu sebagai objek dasar pengkajian. Pendekatan ini terbukti sangat menarik bagi para penggiat geometri yang berbakat, dan lapangan ini dikembangkan dengan sangat saksama. Sebuah contoh pendekatan ini adalah risalah dengan banyak jilid karya Henry Frederick Baker.
Geometri projektif
Ada banyak geometri projektif, yang dapat digolongkan sebagai diskret dan kontinu: geometri "diskret" terdiri dari sehimpunan titik-titik, yang banyaknya bisa saja "berhingga" atau "tidak berhingga"; sedangkan geometri "kontinu" memiliki tak-hingga banyaknya titik tanpa jarak di antaranya.
Geometri projektif
Satu-satunya geometri projektif berdimensi 0 (nol) adalah sebuah titik tunggal. Geometri projektif berdimensi 1 (satu) terdiri dari sebuah garis tunggal yang memuat paling sedikit 3 (tiga) titik. Konstruksi geometris dari operasi aritmetika tidak dapat dilakukan dalam kedua-dua kasus ini. Untuk dimensi 2 (dua), terdapat struktur yang kaya berdasar atas ketidakhadiran Teorema Desargues.
Geometri projektif
Menurut Greenberg (1999) dan lain-lain, geometri projektif berdimensi-2 yang paling sederhana adalah bidang Fano, yang memiliki 3 titik pada setiap garis, dengan 7 titik dan garis yang semuanya diatur dengan jadual kolinearitas berikut ini:
Geometri projektif
dengan koordinat-koordinat afin A = {0,0}, B = {0,1}, C = {0,W} = {1,W}, D = {1,0}, E = {W,0} = {W,1}, F = {1,1}, G = {W, W}. Koordinat-koordinat di dalam sebuah bidang Desarguesian untuk titik-titik yang didesain untuk menjadi titik-titik di ketakhinggaan (dalam contoh ini: C, E, dan G) pada umumnya tidak terdefinisi secara tak-ambigu.
Geometri projektif
Dalam notasi baku, sebuah geometri projektif berhingga dituliskan sebagai PG("a","b"), di mana:
Geometri projektif
Dengan demikian, contoh ini hanya memiliki 7 titik yang ditulis sebagai PG(2,2).
Geometri projektif
Istilah "geometri projektif" kadang-kadang digunakan untuk mengindikasi geometri abstrak pokok yang diperumum, dan kadang-kadang untuk mengindikasi geometri khusus dengan kepentingan yang lebih luas, misalnya geometri metrik bidang datar yang kita analisis melalui penggunaan koordinat homogen, dan di mana geometri euklides mungkin tertanam (oleh karenanya bernama, 'bidang euklides yang diperluas').
Geometri projektif
Sifat dasar yang mengkhususkan semua geometri projektif adalah sifat insidensi "eliptik" bahwa sembarang dua garis yang berbeda "L" dan "M" di dalam bidang projektif memotong tepat satu titik "P". Kasus khusus di dalam geometri analitik garis-garis "sejajar" dikumpulkan dalam bentuk garis yang lebih halus "di ketakhinggaan" tempat "P" berada. Dengan demikian, "garis di ketakhinggaan" adalah garis seperti yang lainnya dalam teori ini: ia berada dalam cara yang tidak khusus atau dibedakan. (Dalam roh program Erlangen seseorang dapat menunjukkan jalan grup transformasi dapat memindahkan sembarang garis ke "garis di ketakhinggaan").
Geometri projektif
Diberikan sebuah garis "l" dan sebuah titik "P" yang tidak berada pada garis, sifat sejajar eliptik bertentangan dengan sifat sejajar euklides dan sifat sejajar hiperbolik sebagai berikut ini:
Geometri projektif
Sifat sejajar eliptik adalah gagasan kunci yang mengarah pada prinsip dualitas projektif, yakni mungkin sifat terpenting di mana semua geometri projektif hidup bersama.
Geometri projektif
Pada tahun 1825, Joseph Gergonne mengajukan prinsip dualitas yang mengkarakterisasi geometri bidang projektif: diberikan sembarang teorema atau definisi geometri itu, lakukan substitusi "titik" untuk "garis", "terletak pada" untuk "melalui", "kolinear" untuk "konkuren", "memotong" untuk "menggabungi", atau begitu juga sebaliknya, menghasilkan teorema atau definisi sahih lainnya, "dual" dari yang pertama. Sama halnya dalam dimensi-3, relasi dualitas berlaku antara titik dan bidang, membolehkan sembarang teorema ditransformasi dengan cara mempertukarkan "titik" dan "bidang," "dimuat oleh" dan "memuat." Lebih umumnya, untuk bidang-bidang projektif berdimensi-N, terdapat sebuah dualitas antara subruang-subruang berdimensi-R dan berdimensi N−R−1. Untuk N = 2, bidang projektif ini menspesialisasi ke bentuk dualitas yang paling lazim dikenal-yakni antara titik dan garis. Prinsip dualitas juga telah ditemukan secara terpisah oleh Jean-Victor Poncelet.
Geometri projektif
Untuk membangun dualitas hanya diperlukan teorema yang sudah ada, yakni versi dual dari aksioma untuk dimensi yang dipertanyakan. Dengan demikian, untuk ruang-ruang berdimensi-3, seseorang harus membuktikan bahwa (1*) setiap titik berada dalam 3 bidang yang berbeda, (2*) setiap dua bidang berpotongan pada sebuah garis unik dan versi dual dari (3*) dampaknya: jika perpotongan bidang P dan Q koplanar dengan perpotongan bidang R dan S, maka perpotongan bidang P dan R juga koplanar dengan perpotongan Q dan S (dengan menganggap bahwa bidang P dan S berbeda dengan Q dan R).