Maskrio/nya-ir-miracl-id-preprocessed huggingface dataset:
Kalkulus
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan "dx" yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.
Kalkulus
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
Diberikan fungsi "f(x)" yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit "f(x)" ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Kalkulus
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan
jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Kalkulus
Apabila "z" = "x" + "h", "h" = "z" - "x", dan "h" mendekati 0 "jika dan hanya jika" "z" mendekati "x", maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Perhatikan bahwa ekspresi formula_5 pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik ("x",ƒ(x)) dan ("x"+"h",ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit "h" mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Kalkulus
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi formula_6 pada titik (3,9):
Kalkulus
Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial
Kalkulus
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.
Kalkulus
Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar "y" = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
Kalkulus
Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ("x") ditulis sebagai ƒ′("x") ataupun hanya ƒ′.
Kalkulus
Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila "y" = "ƒ"("t"), maka formula_10 mewakili turunan "y" terhadap "t". Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
Kalkulus
Notasi Euler menggunakan operator diferensial "D" yang diterapkan pada fungsi "ƒ" untuk memberikan turunan pertamanya "Df". Apabila "y" = "ƒ"("x") adalah variabel terikat, maka sering kali "x" dilekatkan pada "D" untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel "x". Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:
Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.
Kalkulus
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah formula_13, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari ""Sum"" yang berarti penjumlahan).
Kalkulus
Diberikan suatu fungsi "ƒ" bervariabel real "x" dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
Kalkulus
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik "ƒ", sumbu-x, dan garis vertikal "x" = "a" dan "x" = "b".
Kalkulus
Pada notasi integral di atas: "a" adalah "batas bawah" dan "b" adalah "batas atas" yang menentukan domain pengintegralan, "ƒ" adalah integran yang akan dievaluasi terhadap "x" pada interval [a,b], dan "dx" adalah variabel pengintegralan.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari "penjumlahan Riemann". Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi "ƒ" pada interval tertutup ["a","b"]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval ["a","b"] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah "n"-1 titik {"x", "x", "x"..., "x"} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
Kalkulus
Himpunan formula_16 tersebut kita sebut sebagai partisi ["a","b"], yang membagi ["a","b"] menjadi sejumlah "n" subinterval formula_17. Lebar subinterval pertama ["x","x"] kita nyatakan sebagai Δ"x", demikian pula lebar subinterval ke-"i" kita nyatakan sebagai Δ"x" = "x" - "x". Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-"i" tersebut kita memilih titik sembarang t. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δ"x" dan tingginya berawal dari sumbu "x" sampai menyentuh titik ("t", "ƒ"("t")) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan "ƒ"("t")· Δ"x" dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
Kalkulus
Penjumlahan "S" disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk "ƒ" pada interval ["a","b"]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi formula_19 mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Kalkulus
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Kalkulus
Diberikan "ƒ"("x") sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup ["a","b"]. Kita katakan bahwa bilangan "I" adalah integral tertentu "ƒ" di sepanjang ["a","b"] dan bahwa "I" adalah limit dari penjumlahan Riemann formula_20 apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi formula_21 di sepanjang ["a","b"] dengan formula_22 dan pilihan "t" apapun pada ["x", "t"], kita dapatkan
Secara matematis dapat ditulis:
Kalkulus
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah "n" subinterval yang sama, maka lebar Δ"x" = ("b"-"a")/n, sehingga persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai:
Kalkulus
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.
Kalkulus
Sebagai contohnya, apabila hendak menghitung integral tertentu formula_26, yakni mencari luas daerah "A" di bawah kurva "y"="x" pada interval [0,"b"], "b">0, maka perhitungan integral tertentu formula_26 sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
formula_28
Kalkulus
Pemilihan partisi ataupun titik "t" secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi "P" membagi-bagi interval [0,"b"] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δ"x" = ("b" - 0)/"n" = "b"/"n" dan titik "t"' yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
Kalkulus
Seiring dengan "n" mendekati tak terhingga dan norma partisi formula_19 mendekati 0, maka didapatkan:
Kalkulus
Dalam praktiknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
Kalkulus
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Apabila
Kalkulus
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi "ƒ" adalah integral tak tentu ataupun primitif dari "ƒ" terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
Ekspresi "F(x) + C" adalah antiderivatif umum "ƒ" dan "C" adalah konstanta sembarang.
Kalkulus
Misalkan terdapat sebuah fungsi formula_36, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
Kalkulus
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk formula_38 adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :formula_39 adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang "C".
Kalkulus
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Kalkulus
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
Kalkulus
Jika sebuah fungsi "f" adalah kontinu pada interval ["a","b"] dan jika "F" adalah fungsi yang mana turunannya adalah "f" pada interval ("a","b"), maka
Kalkulus
Lebih lanjut, untuk setiap "x" di interval ("a","b"),
Kalkulus
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral formula_42, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.
Kalkulus
Anti derivatif dari fungsi formula_43 adalah formula_44. Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu formula_45 adalah:
Kalkulus
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:
Kalkulus
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
Kalkulus
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistika, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Kalkulus
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total aliran (fluks) dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai "laju perubahan" yang merujuk pada turunan: Laju perubahan "momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama."
Kalkulus
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.
Limit
Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.
Limit
Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.
Limit
Jika "f"("x") adalah fungsi real dan "c" adalah bilangan real, maka:
Limit
berarti "f"("x") dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan "L" dengan cara membuat nilai "x" dekat dengan "c". Dalam contoh ini, "limit dari "f"("x"), bila "x" mendekati "c", adalah "L"". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun "f"("c") formula_2 "L". Bahkan, fungsi "f"("x") tidak perlu terdefinisikan pada titik "c".
Kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.
Limit
Sebagai contoh, formula_3 pada saat "x" mendekati 2. Dalam contoh ini, "f"("x") mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:
Limit
Semakin "x" mendekati 2, nilai "f"("x") mendekati 0.4, dan karena itu formula_4.
Dalam kasus di mana formula_5, "f" disebut kontinyu pada "x" = "c".
Namun, kasus ini tidak selalu berlaku.
Sebagai contoh,
Limit
Limit "g"("x") pada saat "x" mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti "f"("x")), namun formula_7; "g" tidak kontinyu pada titik "x" = 2.
Limit
Atau, bisa diambil contoh di mana "f"("x") tidak terdefinisikan pada titik "x" = "c".
Limit
Dalam contoh ini, pada saat "x" mendekati 1, "f"("x") tidak terdefinisikan pada titik "x" = "1" namun limitnya sama dengan 2, karena makin "x" mendekati 1, "f"("x") makin mendekati 2:
Limit
Jadi, "x" dapat dibuat sedekat mungkin dengan "1", asal bukan persis sama dengan "1", jadi limit dari formula_9 adalah "2".
Limit
Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila formula_10 adalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik formula_11 (dengan kemungkinan pengecualian pada titik formula_11) dan formula_13 adalah bilangan real, maka
Limit
berarti bahwa untuk setiap formula_15 terdapat formula_16 yang untuk semua formula_17 di mana formula_18, berlaku formula_19.
Limit
Konsep yang berkaitan dengan limit saat "x" mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat "x" mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara "x" dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah "x" menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).
Limit
Sebagai contoh, lihat formula_20.Semakin "x" membesar, nilai "f"("x") mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa
Limit
Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.
Limit
Secara formal, misalkan "x", "x", ... adalah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil "L" sebagai "limit" barisan ini dan menuliskannya sebagai
Limit
yang artinya
Limit
Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |"x" − "L"| adalah jarak antara "x" dan "L". Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai "konvergen", bila tidak, disebut "divergen". Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit.
Limit
Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi "f" pada "x", bila ada, sama dengan limit barisan "x" = "f"("x" + 1/"n").
Bilangan bulat
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau formula_1), berasal dari "Zahlen" (bahasa Jerman untuk "bilangan").
Bilangan bulat
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
Bilangan bulat
Bilangan bulat ("integer") merupakan salah satu tipe data dasar dalam bahasa pemrograman Pascal. Walaupun memiliki ukuran 2 "byte" (16 bit),karena "integer" adalah type data "signed" maka hanya mampu di-"assign" nilai antara -2 hingga 2-1 yaitu -32768 sampai 32767. Ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET dan Borland Delphi memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit "signed" sehingga dapat di-"assign" nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.
Bilangan asli
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Bilangan asli
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Bilangan asli
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).
Bilangan asli
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Bilangan asli
Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan satu.
Bilangan asli
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan sistem bilangan untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang Babylonia mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang Mesir kuno memiliki sistem bilangan dengan hieroglif berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari Karnak, tertanggal sekitar 1500 SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.
Bilangan asli
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut. Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan India, Brahmagupta.
Bilangan asli
Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, logika dan ilmu komputer. Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.
Bilangan asli
Para ahli matematika menggunakan N atau formula_1 untuk menuliskan himpunan seluruh bilangan asli. Himpunan bilanan ini bisa dikatakan tidak terbatas.
Bilangan asli
Untuk menghindari kerancuan apakah nol termasuk ke dalam himpunan bilangan atau tidak, seringkali dalam penulisan ditambahkan indeks (superscript). Indeks "0" digunakan untuk memasukkan angka 0 kedalam himpunan, dan indeks "formula_2" atau "formula_3" ditambahkan untuk tidak memasukkan angka 0 kedalam himpunan.
Bilangan prima
Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari angka 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2.
Bilangan prima
Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit. Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes.
Bilangan prima
Berikut adalah 168 bilangan prima pertama (semua bilangan prima kurang dari 1000):
Bilangan prima
Secara matematis, tidak ada "bilangan prima yang terbesar", karena jumlah bilangan prima adalah tak terhingga. Bilangan prima terbesar yang diketahui per 2013 adalah 2 − 1. Bilangan ini mempunyai 17,425,170 digit dan merupakan bilangan prima Mersenne yang ke-48. M (demikian notasi penulisan bilangan prima Mersenne ke-48) ditemukan oleh Curtis Cooper pada 25 Januari 2013 yang merupakan profesor-profesor dari "University of Central Missouri" bekerja sama dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek GIMPS.
Bilangan prima
Bilangan prima digunakan untuk mencari faktor-faktor prima dari sebuah bilangan komposit. Dari faktor-faktor tersebut, dua atau lebih bilangan komposit dapat dicari persamaannya melalui Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).
Bilangan prima
FPB berguna untuk menyederhanakan pecahan, misalnya: FPB dari 15 dan 35 adalah 5, maka pecahan 15/35 dapat kita sederhanakan dengan membagi masing-masing bilangan dengan angka 5, menjadi 3/7. FPB juga dapat digunakan untuk mencari tahu berapa jumlah maksimum penerima yang mendapatkan jumlah sama dari setiap barang yang dibagikan dalam satu paket, misalnya: jika kita memiliki 12 permen dan 8 biskuit yang ingin kita bungkus dengan jumlah merata, maka kita akan mendapatkan maksimal 4 bungkus (FPB dari 12 dan 8 adalah 4) di mana masing-masing bungkus terdiri dari 3 permen dan 2 biskuit.
Bilangan prima
KPK berguna untuk mencari pertemuan dua bilangan atau lebih, misalnya mencari pertemuan selanjutnya Ani, Beti, dan Lia di perpustakaan jika Ani ke perpustakaan setiap 3 hari sekali, Beti setiap 4 hari sekali, dan Lia setiap 7 hari sekali. KPK dari 3, 4, dan 7 adalah 84. Berarti ketiganya akan berpapasan di perpustakaan setiap 84 hari sekali.
Bilangan prima
Bilangan prima banyak digunakan untuk keperluan enkripsi di komputasi. Bilangan prima digunakan untuk membuat kunci dari algoritme pengamanan yang digunakan di internet seperti SHA-256.
Teori bilangan
Secara tradisional, teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah mengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika.
Teori bilangan
Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, algoritme Euklidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan kongruensi dipelajari di sini.