discrete
بسم الله الرحمن الرحيم، السلام عليكم ورحمة الله وبركاته. نبدأ إن شاء الله في الفصل الثاني من Course Discrete Mathematics، Chapter number 2 تحت عنوان Basic Structures. هنبدأ في ال course ده ناخد أكتر من جزئية، الجزئية الأولى هنتكلم فيها عن الـ Sets، الجزئية التانية هنتكلم فيها على الـ Function.
الجزئية التالتة هنتكلم فيها على الـ sequence and summations و finally we will talk about matrices اللي هي المصفوفات. في البداية يعني إيه set؟ الـ set اللي هي الفئة أو المجموعة، الـ set definition بتاعها عبارة عن إيه؟ الـ set is an unordered collection of object.
يبقى إنت عندك مجموعة من الـ object، مجموعة الـ objects ديت إنت هتجمعها في مكان واحد بدون النظر إلى الترتيب بتاعها، يعني إنت لو عندك مجموعة طلاب مثلاً وقولت أحمد، محمد كذا كذا كذا زي ما تقول محمد، أحمد كذا كذا كذا، يعني الترتيب بتاعهم ما بيفرقش والمهم إن إنت عندك مجموعة من الـ objects أو مجموعة من الـ element.
أحياناً بنقول عليها elements، أحياناً بنقول عليها objects، أحياناً بنقول عليها members، كل دوت هي عبارة عن العناصر اللي داخل المجموعة الواحدة أو داخل الـ set الواحدة. A set is said to contain its elements، يبقى إنت بتقول الـ set ديت هي بتحتوي على الـ elements اللي موجودة جواها.
على سبيل المثال لو قلنا عندنا set S بتحتوي على أربع عناصر وهما الـ A والـ B والـ C والـ D. لازم نركز جداً في طريقة الكتابة بتاعة الـ set، يبقى الـ set استخدمت فيها حرف capital، استخدمت upper case letter علشان أمثل اسم set أو اسم مجموعة معينة، جوه استخدمت الـ letters علشان أوضح العناصر أو الـ elements أو الـ members اللي بيحتويها المجموعة S.
علشان أكتب أو أبين للي قدامي إن أنا بكتب set أو بعمل مجموعة فإنا استخدمت الـ curly braces اللي هي الأقواس اللي بالشكل ده بنقول عليها الـ curly brace. الأقواس دي هي دي أقواس المجموعة اللي بتستخدم مع المجموعة، فمحدش يعمل لي أقواس بالشكل ده مثلاً أو حد يعمل لي أقواس بالشكل ده أو حد يعمل لي أقواس بالشكل ده، لأ الحاجات دي كلها كده لا تعبر عن المجموعة أو لا تعبر عن الـ set.
ما بين كل element والتاني واضح استخدام comma، استخدام الـ comma. يبقى دي بس ملاحظات ناخد بالنا منها وإحنا بنكتب أي مجموعة أو وإحنا بنقرأ حتى أي مجموعة نبقى عارفين إن دي كدة المجموعة S اللي بتحتوي على أربع عناصر وهما الـ A والـ B والـ C والـ D، ليه قولت أربع عناصر؟ علشان خاطر بيفصل ما بين كل عنصر والتاني comma.
أقدر كمان أكتب إن A belong to S، يبقى علامة تنتمي دي بنقول عليها belong to، تنتمي إلى الفئة S. يبقى العنصر A أو الـ member A أو الـ element A ينتمي belong to set S. يبقى ده بيعبر عن إن الـ A دوت element من المجموعة S، من الـ set S.
والـ notation لو قولت مثلاً E not belong to S، يبقى ديت إنها بتعبر عن إن الـ E ده هو ليس عنصر في المجموعة S. أظن واضحة وما فيهاش مشاكل. لو أخدنا مثال وقولنا عندنا set اسمها O، الـ set ديت بتمثل الـ odd positive integers less than 10.
طبعاً odd يعني فردي، positive يعني موجب، integers يعني عدد صحيح، إذاً الأعداد الصحيحة الموجبة الفردية التي أقل من 10، اللي هي إيه بقى يا جماعة؟ اللي هي الواحد والتلاتة والخمسة والسبعة والتسعة، 1, 3, 5, 7, 9، دي كلها هي odd positive integer.
Less than 10، لو حطناهم مع بعض في مجموعة اللي هي المجموعة سميناها O. مثال كمان The set of positive integer less than 100، يبقى مجموعة الأعداد أو الأرقام الصحيحة الموجبة الأقل من 100، اللي هي هتبقى إيه بقى؟ اللي عندك 1, 2, 3, 4, 5 and so on لغاية ما توصل لـ 99.
التلات نقط دول يا جماعة في الرياضة ليهم معنى، يعني ليهم معنى، المعنى بتاعهم اللي إحنا بنقول عليه الـ ellipsis اللي هي إن إحنا بنقول على هذا المنوال وعلى هذا المنوال يعني إنت قلت 1 وبعدين قلت 2 وبعدين قلت 3 لما أعملك تلات نقط كده يبقى إنت هتنيك ماشي بهذا المنوال بهذا الـ pattern يبقى follow this pattern
until to find the final element اللي هو 99 في الآخر. يبقى التلات نقط دولت ويفضل إن إنت تكتبهم تلات نقط يعني متعملهمش نقطة أو نقطتين أو عشر نقط، لأ هما تلات نقط عشان هما ليهم معنى في الرياضة إن إنت وهكذا يعني وهكذا كمل كمل زي ما إنت ماشي كدة وفي الآخر قلتلك آخر حاجة عندك هي الـ 99. إذاً إنت فهمت من هنا إن أنا هكمل 4, 5, 6, 7 لغاية ما أوصل للـ 99.
دي أمثلة لـ sets. Another way to describe set is to use set builder notation. في عندنا حاجة اسمها set builder notation دي ممكن نستخدمها علشان نوصف الـ set. بدل ما نكتب الفئة بتاعتنا بالشكل المعتاد اللي إحنا عارفينه ده وهو إن الـ O equal 1, 3, 5, 7, 9 ده قلناها لسة في الـ slide اللي فاتت.
في عندنا حاجة اسمها الـ set builder notation نقدر من خلالها نمثل الـ set ديت ولكن بطريقة مختلفة شوية. إزاي؟ إن إحنا نقول إن الـ O ديت اللي هي الـ set نفس الاسم هي عبارة عن X where that X أو which يعني تقدر تقول عليها where, that يعني حيث أن
أو حيث X is an odd positive integer less than 10. يبقى أنا كأني دلوقتي حطيت condition أو حطيت شرط اللي هو الخط ده، فكأني كأني بقولك إن دي الـ set اللي هي اسمها O بتحتوي أو عناصرها هي عبارة عن عناصرها كلها على الشكل X
والشكل X هو عبارة عن العدد الفردي الموجب الصحيح الأقل من عشرة، اللي هو التعريف بتاع الـ set نفسها اللي أنا كنت قايله في الأول. طب أقدر أكتبها بطريقة تانية؟ أقدر أقول إن الـ O هي عبارة عن equal نفس أقواس المجموعة اللي إحنا بنعملها X belong to Z positive. الـ Z دي يا جماعة اللي هي الـ integer numbers لما نحط عليها positive كدة يبقى الأعداد الصحيحة الموجبة
يبقى الـ odd positive integers اللي هي الـ Z positive. يبقى أنا لما بقول X belong للـ Z positive يبقى كأني بقولك إن الـ X دوت أو عناصر المجموعة O هي تنتمي أو belong to مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة الفردية. بس لو سكت كدة يبقى كأن كل الأعداد الصحيحة الموجبة الفردية هي موجودة عندي في الفئة دي وهو ده مش صحيح، أنا موجود عندي فقط خمس
عناصر. علشان أقدر يعني أكمل بقية التعريف ويبقى صح هحط الخط المستقيم اللي هو يعتبر which أو where إن الـ X حيث الـ X بقى مالها؟ is an odd and the X less than 10 والـ X أقل من العشرة. يبقى أنا حددت له بقى هنا إن الـ X دي، يبقى أنا هنا لو قلت إن الـ X belong للـ Z positive يبقى كدة أنا بتكلم على الـ positive integers اللي هي الـ Z positive يبقى هتلاقي إن الـ X فيها إيه؟ فيها الواحد و
والاتنين والتلاتة والأربعة والخمسة والستة والسبعة لغاية لغاية ما لا نهاية، بس كلها أعداد صحيحة وكلها موجبة بس فردي على زوجي. لما أنا جيت حددت هنا ما بعد الـ condition قلتله لأ ده الـ X فردي والـ X أقل من عشرة خلاص كدة هو عرف إن أنا بتكلم على الخمس أرقام دول بس.
طب مجموعة الأعداد اللي إحنا عارفينها ليها رموز؟ آه ليها رموز متعارف عليها، يعني إنت بتستخدم رموز معينة إحنا بنفهم إن إنت تقصد بيها إيه. يعني مثلاً على سبيل المثال لو قلنا الـ N، الـ N دي هي الـ natural number. الـ natural numbers اللي بتبدأ من الصفر و 1, 2, 3 أعداد صحيحة موجبة وزيادة عليها الصفر يعني بادئ من أول الصفر والواحد والاتنين والتلاتة and so on. تلات نقط قصده على هذا المنوال.
يبقى دي بنقول عليها الـ N أو الـ natural number. الـ Z اللي هي الـ integer number، الـ integer number جميع الأعداد الصحيحة موجبة وسالبة وصفر فهتلاقي كل الأعداد الصحيحة سواء كانت 0 أو كانت 1, 2, 3, 4 أو -1, -2, -3, -4 ماشية بقى من أول سالب ما لا نهاية لغاية موجب ما لا نهاية دي بنقول عليها الـ integer numbers اللي هي الأعداد الصحيحة، دي الأعداد الطبيعية. طيب الـ Z positive اللي هي إيه؟ إنت
رحت عند الـ Z كان فيها موجب وفيها سالب وفيها صفر، إنت لأ لما تقول positive يبقى هياخد الأعداد الموجبة بس يبقى هيبدأ من الواحد. دي زي اللي إحنا استخدمناها في المثال اللي فات، يبقى دي الـ positive integers. طب الـ Q، الـ Q عبارة عن إيه؟ قال دي الـ rational numbers، الـ rational number فاكرين في الـ proofs techniques لما قلنا في rational number؟
هي عبارة عن إيه؟ P over Q حيث إن الـ P دي integer والـ Q دي integer والـ Q لا تساوي الصفر وكمان إن الـ P والـ Q مفيش ما بينهم common factor. الـ R اللي هي إيه يا جماعة؟ الـ real number الأعداد الحقيقية. الـ real number كل الأعداد الحقيقية بقى يعني كل الأعداد اللي موجودة عندك اللي إنت بتستخدمها كلها دي تعتبر real numbers. في عندي حاجة اسمها الـ complex number والـ complex number دي اللي هي الأعداد المركبة أو
التخيلية اللي هي بيكون فيها جزء تخيلي يعني اللي هو فيه جذر سالب اللي إحنا بنقول عليه الـ i مثلاً اللي هو جذر السالب واحد. فدوت يحول الرقم بتاعك من real number لـ complex number أو لأعداد مركبة يعني. فإحنا إحنا كل تعاملنا في الـ course مع الـ real numbers. طب لو قلنا الـ R وحطينا positive ده معناه إن إحنا بنتكلم على الـ positive real numbers يبقى جميع الأعداد الحقيقية الموجبة.
يبقى من أول بقى الواحد أو من أول مش الواحد بقى، من أول ما بعد الصفر على طول. يعني إنت عندك ال zero اللي بعد ال zero  على طول ممكن يكون إيه؟ ممكن يكون 0.0005 ممكن يكون 0.0000007 مثلاً فممكن يبقى رقم من ملايين من بعد العلامة. المهم إنه من بعد الصفر على طول، تمام؟ يبقى كأنك عامل ال zero  كدة open كدة بالمنظر ده لغاية الـ infinity. دي اللي إحنا بنقول عليها الـ positive real number.
ولو حطيت بدل الموجب دي سالب فبقت الـ negative وهنا برضه لو حطيت هنا هتبقى negative. إذاً لازم أبقى أنا عارف إن في عندي الـ N والـ Z والـ Q والـ R والـ C، لازم أبقى عارف كل واحدة منهم مقصود بيها إيه. الـ interval notation. الـ interval إحنا كلنا طبعاً عارفينها قبل كدة. عارفين إن الـ closed interval أقواسها بتكون بالشكل ده دي بنقول عليها closed interval يعني دي الـ closed interval من A لـ B يعني معنى كدة إن إنت بتتحرك من A
لغاية الـ B والـ A والـ B معاك. إنما الـ open interval زي كدة وممكن تبقى مكتوبة كدة تبقى القوس كدة A لـ B. الاتنين دول equivalent يعني نفس الحاجة. الـ A القوس ده بنقول عليه إيه؟ open interval يبقى كدة من A لـ B بس الـ A مش معاك والـ B مش معاك زي ما أنا عملتها لك في الـ slide اللي فاتت لما قلتلك من ال zero للـ infinity. كدة أو ممكن تكتبها كدة من zero لـ infinity.
ده معناه إن الفترة من صفر لما لا نهاية بس الصفر مش معايا والما لا نهاية مش معايا، الما لا نهاية مش بتعرف تعوض بيها تمام. طب نيجي هنا لو جينا قلنا عايزين نكتب الـ notation دي الـ interval دي اللي هي A and B في closed interval من A لـ B في closed interval أو the closed interval from A to B. نكتبها إزاي؟ هنقول إن هي عبارة عن الـ set X where يعني الـ set اللي جواها
العناصر X حيث الـ X دي أكبر من أو تساوي الـ A وأقل من أو تساوي الـ B. إذاً علامة الـ equal اللي اتحطت هنا اتحطت علشان القوس كان closed. إنما لو جيت مثلاً في دي هتلاقي هنا عند الـ A closed إنما عند الـ B open فلما تيجي تقول الـ X هتقول إن الـ X greater than or equal الـ A علشان هنا closed و less than بس less than B عشان الـ B هنا كانت open يبقى الـ B مش معايا، الـ B نفسها مش معايا إنما اللي أصغر منها معايا. طب هنا العكس
الـ A مش معايا إنما اللي أكبر منها بعد كدة معايا يبقى أكبر من A وأقل من أو يساوي الـ B عشان ده closed. لو الاتنين open يبقى هنقول أكبر من A وأقل من الـ B
 If A and B are sets  لو إحنا عندنا فئتين اتنين واحدة اسمها A وواحدة اسمها B
Then A and B are equal if and only if يعني ونقدر نقول إن الـ set A دي
تساوي الـ set B في حالة واحدة بس، إيه الحالة دي؟ قال لو كان for all X، إحنا خلاص عرفنا الـ for all ديت قبل كدة أخدناها لما كنا بنتكلم على الـ for all X، quantifiers يعني لكل عناصر الـ X، يبقى بنطقها كدة for all X. إيه بقى؟ قال هتلاقي الـ X لو في X موجودة أو تنتمي للـ A يبقى X belong للـ A.
العلامة ديت إحنا عارفينها اللي هي الـ biconditional أو if and only if، الـ X belong للـ B. يعني كأنه بيقولك إن أي عنصر هتلاقيه موجود في الـ A هتلاقي زيه موجود في الـ B وأي عنصر هتلاقيه موجود في الـ B هتلاقي زيه موجود في الـ A. ففي الحالة دي لكل العناصر اللي موجودة، إذاً إذا لو إنت حققت الـ condition ده طلع true، يبقى لو ده طلع true يبقى إذا الـ A بيساوي الـ B، بنكتبها A = B. طب لو جيبنا مثلاً
من set زي كدة 1, 3, 5 و 3, 5, 1 تحقق الـ condition ده ولا لأ؟ قال آه تحقق الـ condition ده، هتلاقي الـ 1 هنا موجود، وفي هنا 1 موجود؟ آه في هنا 1 موجود، طب التلاتة هنا موجودة، في هنا تلاتة؟ آه في تلاتة، طب الخمسة، في هنا خمسة؟ آه في خمسة. طب لو رحت الناحية التانية، تلاتة في تلاتة؟ آه في تلاتة، طب خمسة في خمسة؟ آه في، طب واحد في واحد؟ آه في واحد، يبقى يبقى إحنا روحنا يمين وجينا شمال يعني مرة كدة ومرة كدة، يبقى هو ده السهم الرايح جاي اللي إحنا عارفينه الـ biconditional. في الحالة دي يبقى نقول إن الاتنين
Sets دولت هما equal. ولأننا كمان عارفين إن الـ set مابتهتمش بالترتيب، فالعناصر هنا 1 و3 و5، وهنا برضه 1 و3 و5 لأن الترتيب مابيفرقش معايا في المجاميع أو في الفئات. طب لو جيبنا مثال زي ده: 1, 3, 3, 5, 5, 5 هل دي نفسها هي 1, 3, 5؟ قال آه هي هي نفسها برضه، هما equal. ليه equal؟ قال لأن نفس الكلام لو حققت الـ condition ده هيتحقق معاك، هتقول هنا في 1 عندك 1 هيقول آه عندي 1، طب هنا في 3 عندك 3
في 3، طب هنا في 3 عندك 3 آه عندي 3، طب هنا 5 عندي 5 آه، طب هنا 5 عندي 5، طب هنا 5 عندي 5. طب نعمل العملية بالعكس هنا 1 في 1؟ آه في 1، هنا 3 في؟ آه في، هنا 5 في؟ آه تمام. يبقى إذاً هما متساويين. طب التكرار دوت؟ التكرار دوت ليس له أي معنى، تمام؟ يبقى هنا إنت كنت ممكن تكتبها 1, 3, 5 لأن التكرار ده ليس له أي معنى في الفئات، هيديك نفس المعنى بتاع 1, 3, 5 بالظبط. طب عندنا set اسمها.
الـ empty set. الـ empty set اللي هي الفئة الفارغة. الفئة الفارغة دي هي عبارة عن special set has no element، مافيهاش أي عناصر خالص، مفيش ولا عنصر. والكتابة بتاعتها بتكون بالشكل ده، شايفين علامة ال phi دي؟ اسمها phi. علامة الـ phi ديت تعبر عن الـ empty set. ممكن تبقى مكتوبة بالشكل ده وممكن تعبر عنها بقوس تفتحه وتقفله كدة بدون أي عناصر بداخله. يبقى الفئة الفارغة هي فئة فتحنا
القوس وقفلنا القوس محطناش أي عنصر جواها، وممكن نكتبها بالشكل كدة اللي هو إيه بنقول عليه الـ phi. الـ cardinality. الـ cardinality هي عدد العناصر اللي موجودة داخل الـ set الواحدة. وعدد العناصر دي إنت تقدر تجيبها لو كانت الـ set بتاعتك يعني countable يعني تقدر إن إنت تعدها أو ماشية بـ pattern معين. يبقى الـ cardinality بتاعت الـ set
يعني تقدر إن إنت تجيبها مثلاً إن هي عدد عناصر اللي موجودة داخل الـ set. فعشان كدة الـ set بتاعتك لازم تكون finite. Finite يعني أنا محدودة، عدد عناصرها محدودة، يعني أنا أقدر إن أنا أعدهم سواء كانوا مليون أو كانوا 3 مليون بس في الآخر هما معدودين أقدر إن أنا أعدهم. طيب الشكل بتاعها أو الـ denoted by what؟ قال الشكل بتاعها هيبقى بالشكل ده اللي هو خطين كدة زي الخطين بتوع الـ absolute function اللي إنت عارفها.
قبل كدة، وتكتب ما بينهم اسم الـ set. في الحالة دي أنا بطلع عدد العناصر داخل الـ set دي، عدد العناصر داخل الـ set. يبقى الـ number of distinct elements داخل الـ set دي. زي مثلاً على سبيل المثال لو قلنا إن الـ S فيها Aو Bو Cو D. فلو جينا نقول الـ cardinality of S = 4
 1 2 3 4. طب هنا الـ cardinality of A هتبقى equal كام؟ 1 2 3 4 5 عِد العناصر، يبقى 5. طب هنا الـ cardinality of phi
هتبقى equal كام؟ عِد العناصر مفيش، يبقى صفر. إذاً هو دوت اللي إحنا بنقول عليه الـ cardinality of set، عدد العناصر اللي داخل الـ set. طب مثال كمان هنا عايزين نعد عدد العناصر دي، فتقول 1, 2, 3, 4, 5 ده كدة على بعضه يعتبر عنصر لأن كل عنصر بيفصل ما بين التاني comma يبقى دي 5. طب هنا 1, 2, 3، ده كدة كله على بعضه عنصر، يبقى ناخد بالنا من الحتة دي، عنصر داخل الـ A.
رغم إنه هو عبارة عن 2 و3، هو عبارة عن set تانية، لأ إنما هنا تعتبر بالنسبة للـ A عنصر واحد بس، تُعد عنصر واحد. يبقى نِعد 1، 2، 3، ده كله كدة 4، ودي كدة الخامسة، يبقى 5. ودي بنقول عليها يا جماعة subset، يعني دي بنقول عليها subset فئة جزئية داخل فئة. طيب، يعني إنت كان عندك الفئة الأساسية مثلاً هي من 1 لخمسة جيت إنت.
أخدت منها فئة جزئية subset سميتها مثلاً 2 و3. أهي، يبقى دي، تُعد داخل الـ set الأصلية الكبيرة الـ A تُعد منها عنصر واحد بس. طب ال phi؟ phi جوه أقواس ده معناه إن في أقواس فاضية جوه الأقواس، لأن الphi دي لوحدها بتمثل كدة بقوسين فاضيين بالشكل ده، وفي أقواس أصلاً بره الphi، يعني في أقواس هنا بره، فده معناه إن في عنصر داخل الأقواس
كبيرة اللي بره دي، يبقى يُعد هنا 1، اللي هو ال phi، اتعدت هنا 1. إنما إنت قولتلي من شوية إن الـ cardinality بتاعت الphi هي صفر، لأن إنت بتجيب الـ cardinality لأقواس كدة مفيش جواها حاجة، بتعد العناصر فبيطلع صفر. إنما لما تعملي الphi جوه أقواس كدة وتجيب وتقولي الـ cardinality، لأ كدة بقى عندي عنصر اللي هو تعتبر set فاضية جوه set، فأصبح الـ set الكبيرة اللي بره جواها عنصر اللي هو الphi، فيُعد هنا 1.
طب تمام. الـ infinite set. إحنا عندنا قلنا الـ finite، الـ finite اللي إحنا بنجيب لها الـ cardinality زي اللي فاتوا، هي عناصر تقدر تعدها داخل الـ set. إنما في بعض الـ set بتبقى إيه؟ بتبقى infinite. Infinite زي مثلاً الـ Z positive أو الـ positive integer، ديت infinite، ليه infinite؟ لأنها تعتبر عدد عناصرها ما لا نهاية.
فـ 1، 2، 3، 4، 5 هنقف لغاية فين؟ التلات نقط دول يعني ماشيين على هذا المنوال، هتننينا ماشيين كدة لغاية الـ infinity. فلو قلتلك عدد عناصرهم قد إيه مش هتعرف تعدهم، فعشان كدة بنقول إن هي عليها إيه infinite. يبقى هي not finite، ما تقدرش إن إنت تِعد أو غير منتهية، ملهاش نهاية. ولكن حاجة زي كده يا جماعة بنقول عليها countable infinite، countable، يعني إيه countable؟ يعني ماشية بـ pattern ثابت، يعني 1، 2، 3، 4، 5 ماشي
ماشية بـ pattern ثابت أنا أقدر إن أنا أعرف الـ pattern ماشي إزاي، فبقول عليها countable infinite. إنما لما بتكون مثلاً حاجة ماشية مش بـ pattern ثابت، في الحالة ديت لو قلت 1 وبعدين قلت 3 وبعدين قلت 4 وبعدين قلت 5 وبعدين قلت 80، يبقى كدة أنا مش همشي بـ pattern ثابت مش هقدر إن أنا أتتبعه يعني، يبقى uncountable. طب إذاً الـ Z positive بالنسبة لي، اللي يهمني إن هي إيه infinite ندخل.
دلوقتي على جزئية بقى الـ subset اللي أنا كنت لسة عايز بتكلم عليها قبل كدة. الـ subset وهي الفئة الجزئية، لو أنا عندي set اسمها A، أقدر أقول إن الـ set اللي اسمها A دي، said to be a subset of B، أقدر أقول إن هي subset of B if and only if لو تحقق الشرط. إيه بقى؟ قال لو كل عنصر every element of A is also an element of B، لو كل عنصر موجود في الـ A لقيته موجود في الـ B. في الحالة دي أقدر أقول
إن الـ A subset من الـ B، شايفين دي الـ notation بتاعتها؟ تمام، بشكل كدة وخط، ديت بنقول عليها الـ subset. لو كل عنصر موجود في الـ A لقيته موجود في الـ B، يبقى في الحالة دي بنقول إن هو subset. يبقى لما نيجي نرمز نكتبها حتى بالـ notation نكتبها إزاي؟ هنقول for all X، لكل عناصر الـ X، لو كان الـ X ده موجود في الـ A، لابد إن يكون النهاية بتاعته إنه موجود في الـ B، زي ما احنا كنا بنقول لو بدأنا من دي true يبقى لازم
من النهاية هي كمان تبقى true، وإلا الكلام بتاعك هيبقى غير منطقي وهيبقى false. فإنت لو بدأت وقلت لو كان الـ X ده موجود في الـ A وكان الكلام ده صح، يبقى لازم تلاقي الـ X هي كمان موجودة في الـ B لازم الكلام ده رخر يبقى صح. يبقى علامة الـ implies دي اتحطت عشان كدة، عشان يقولك if X belong to A then X belong to B. شوف أنا نطقتها بصورة if, then زي ما إحنا كنا اتفقنا عليها قبل كدة. و for all X يعني كل العناصر اللي موجودة عندك في الايه
في الـ set نفسها. كل عنصر تروحه للـ A تلاقيه موجود في الـ A لازم تروح تلاقي زيه في الـ B. وده معناه ان الـ A subsetمن الـ B. طب ده معناه إن الـ A دوت ماينفعش يبقى عنده عنصر مش موجود في الـ B. فممكن تلاقي الـ A دوت مثلاً هو الجزء الصغير ده والـ B هو الجزء الكبير ده. فده معناه إن الـ A هو subset من الـ B. بس ده لا يمنع إن الـ A
ممكن يساوي الـ B، لأن لو إنت حطيت الـ A والـ B بيساوا بعض تبقى صح برضه، ليه؟ لأن كل عنصر هتلاقيه موجود في الـ A هتلاقي زيه في الـ B فالإجابة هتبقى صح. يبقى الـ subset تقبل إن ممكن يكون الـ A جزء كدة من الـ B أو ممكن يكون الـ A هو هو زي الـ B بالظبط. بس الحالة الوحيدة اللي ماتنفعش إن يكون في حاجة موجودة عند الـ A وما يلقاهاش عند الـ B، إنه يحقق ده true ويجي هنا يلاقى ده false في الحالة دي كدة إيه؟ مش هتنفع مش منطقية، إن لما يتحرك
من true لـ false ده كدة كلام غير منطقي. وقبل ما ناخد مثال كمان في هنا الـ notation ممكن يبقى بطريقتين، يعني إنت اللي متعارف عليه طبعاً والـ common اللي بيستخدم باستمرار هو A subset من B كدة، يبقى the set A is subset from B، ده النطق بتاعها. طب ديت equivalent أو تشابه بالظبط أو تطابق إيه؟ الشكل ده، إن كأنك بتقول بالظبط إن الـ A equivalent من الـ B بس
بطريقة عكسية، فكأنك بتقول إن الـ B ديت تعتبر هي الفئة اللي بتحتوي الـ A. بدل ما كنت بتقول إن الـ A هو جزء من الـ B كأنك بتقول إن الـ B تحتوي الـ A. وده برضه يقبل احتمال التساوي، طول ما الخط ده موجود يبقى كدة كأنها في يساوي موجود، يبقى الـ A ممكن يساوي الـ B. على سبيل المثال لو قلنا ال phi هي subset دايماً
من الـ S لأي فئة S، دايماً هتلاقي ال phi هي subset من الـ S. ليه؟ لأن ال phi دي هي الفئة الفارغة مفيش فيها أي حاجة، والـ S دي مهما كانت الـ S ديت هي إيه، فدايماً هتلاقي إن الphi هي subset منها. لأن زي يعني إنت دلوقتي في عنصر موجود في الphi مش هتلاقيه في الـ S؟ مستحيل لأن الphi أصلاً already هي إيه؟
هي فاضية مفيش فيها عناصر. فلما يجي يروح يشوف أي عنصر هنا عشان يشوفه موجود هنا مش هيلاقي أصلاً عناصر، فتمام يبقى القاعدة متحققة. طب لو كانت الـ S دي هي ال phi، يعني لو كانت الـ S دي هي نفسها ال phi، فال phi subset من ال phi؟ آه subset من ال phi، ليه؟ لأن احنا قلنا علامة الـ subset دي تقبل التساوي، وال phi تساوي ال phi. تمام، إذاً ال phi subset من ال phi طالما هما متساويين  إذاً دي subset من دي وأي
فئة هي subset من نفسها، هو ده اللي أنا كنت لسة بقوله إن الphi subset من الphi ، ما الphi  دي تعتبر فئة ودي تعتبر فئة. طالما الفئتين زي بعض يبقى تمام دي S ودي S خلاص يبقى أوكي. ليه؟ لأنهم بيحققوا شرط مين؟ شرط التساوي، بيحققوا شرط التساوي. وعشان تبين إن الـ A والـ B هما equal، يبقى إنت تروح تظهر إن الـ A subset من الـ B وإن الـ B في نفس الوقت هي subset من الـ A. يبقى أنا لو عايز أوضح إن الـ A دوت هو يساوي الـ B
B أعمل إيه؟ طريقة الإثبات بتاعتي هتبقى على طريقتين رقم واحد هروح أوضح إن الـ A subset من الـ B، رقم اتنين هوضح إن الـ B subset من الـ A. وفي الحالة ديت يبقى ماقدامهومش حل يعني عشان الاتنين دي تبقى true ودي كمان تبقى true لابد إن الـ A تساوي الـ B. لو مـاسوش بعض مش هيطلع الاتنين دول true هتطلع واحدة بس منهم اللي true والتانية false لو ماكانوش بيساوا بعض. طب كلام جميل
في عندي حاجة تانية اسمها الـ proper subset. الـ proper subset، يبقى فرقت كلمة الـ proper هنا هتعمل إيه؟ هتشيل الخط اللي موجود، يعني هتبقى العلامة كدة بس الخط اللي تحت ده مش هيبقى موجود. وده ليه؟ قال لأن دوت مابيعندوش حالة التساوي، حالة التساوي مش موجودة. ده لازم يكون كل عناصر الـ A.
موجودة في الـ B، لو قلنا مثلاً إن الـ A هو proper subset of B، ده معناه إن كل عناصر الـ A موجودة في الـ B بل بزيادة بقى إن الـ B عنده حاجات مش موجودة عند الـ A. فده معناه إن عمرهم ما هيكونو متساويين. يعني كل اللي عند الـ A موجود عند الـ B وكل اللي عند الـ B مش شرط يكون موجود عند الـ A، يعني ممكن تلاقي عند الـ B حاجات زيادة مش موجودة عند الـ B وده شرط لازم يكون موجود إن في عن
على الأقل موجود في الـ B مش موجود عند الـ A. إنما اللي مش هينفع يحصل بقى في الموضوع ده هو إيه؟ إنك تلاقي عنصر عند الـ A وتروح ماتلاقهوش عند الـ B. في الحالة دي ماتقدرش تقول إن الـ A هو proper subset من الـ B. طب نشوف الكلام ده يعني لما نيجي نعبر عنه بالـ logical operation نعبر عنه إزاي؟ هنقول إن الـ A هو proper subset من الـ B if and only if لو تحقق الشرط ده، يعني ده يبقى true
لو الناحية دي كمان هو كمان true اللي هو كل ده. إيه كل ده بقى إيه الكلام الكبير الملعبق ده؟ لأ ده يعني ده سهل جداً. هنقول for all X، يبقى لكل X. إحنا خلاص عرفنا الرموز دي بنعرف ننطقها لكل عناصر الـ X. ماشي لكل عناصر الـ X. لو كان الـ X موجود في الـ A ما دي معنى X belong to A، X belong to A يعني لو كان الـ X ده عنصر من الـ A لابد يبقى إيه if X belong to A then
الـ X belong لل B. أي عنصر موجود عند الـ A هتروح تلاقي زيه عند الـ B. آدي أول شرط. And شرط كمان بقى. إحنا لغاية هنا كدة لو قفلنا بقينا بنتكلم على الـ subset العادية. إنما الـ proper subset شالت التساوي ده فعشان كدة أنا هزود شرط كمان هنا and. And إيه بقى؟ قال there exist X ما إحنا قلنا العلامة دي معناها there exist يعني يوجد X، يوجد X على الأقل لو كانت موجودة في الـ B
ماتكونش موجودة في الـ A. يبقى كأنك لو رسمت كدة قلت آدي الـ الـ set الكبيرة دي اللي هي الـ B، وآدي الـ set اللي جوه ديت اللي هي الـ A. كل العناصر اللي في الـ A هتلاقيها هي كدة كدة جوه الـ B. إنما الـ B بقى ممكن تلاقي عنده عناصر كدة بره مش موجودة في الـ A. الـ proper subset بيشترط إن يكون في عنصر على الأقل بره في المنطقة اللي بره دي، موجود عند الـ B بس مش موجود عند الـ A. فلما نيجي نكتبها نقول إيه؟ نقول يوجد
يوجد X، يبقى there exist X. الـ X دي موجودة عند الـ Belong، B لل and B الـ X دي not belong to A. موجودة عند الـ B وليست موجودة عند الـ A. يبقى زي عنصر كدة هنا كدة في المنطقة دي، ده موجود عند الـ B بس مش موجود عند الـ A. إنما كل العناصر اللي هنا دي اللي جوه الـ A هتلاقيها موجودة جوه الـ B ما الـ B دي الدايرة الكبيرة دي فهي كدة كدة جواها. إنما اللي فاتت ماكنش فيها الشرط التاني ده، كان ممكن تلاقي الـ A زي الـ B، الـ A زي الـ B
إنما هنا لأ، ماينفعش الـ A تبقى زي الـ B. ليه؟ لأن الـ B لازم يكون عندها عنصر على الأقل مش موجود عند الـ A. إنما عمرك ما هتلاقي أي عنصر موجود جوه الـ A هنا بس مش موجود جوه الـ B مستحيل لأن الـ A أصلاً جوه الـ B أهو زي ما إنتو شايفين كدة. على سبيل المثال لو إحنا جينا قولنا إيه
عايزين نحدد هل الـ 3 أو الـ element 3 دوت هو يعتبر element موجود في الـ sets التلاتة دولت ولا موجود في واحدة ومش موجود في التانيين ولا إيه بالظبط؟ لو جينا نتكلم على التلاتة بالنسبة للـ set الأولى دي، هنلاقي إن الـ 3 موجود جوه الـ set أهيه كعنصر في الـ set. إذاً نقدر نقول إن هو belong للـ set دي
طب لو روحنا للـ set رقم اتنين دي، هيقولي أهو التلاتة موجودة أهو. لأ، هقولك لأ. لو إنت رُحت للـ set دي نفسها فين عناصر الـ set دي نفسها؟ عناصر الـ set دي لو جيت تطلعها كدة، أول عنصر هو المجموعة 1. تاني عنصر هو المجموعة 2. تالت عنصر هو المجموعة 3. يبقى الـ set 1, set 2, set 3, set 4
آدي عناصر المجموعة الكبيرة دي. يبقى ده القوس الأولاني وده القوس الأخراني، ديت المجموعة أهي. وكل comma بتفصل ما بين عنصر والتاني أهو آدي أربع عناصر أنا كتبتهم. هل في من دولت حاجة اسمها 3 بس كدة؟ لأ، في عندي الـ set 3، بس الـ set 3، الـ set 3
هي not equal للـ 3 يعني ليست 3 كدة وخلاص، لأ دي المجموعة 3. إنما دي 3 بس. عشان كدة بنقول لأ هي التلاتة مابتنتميش للمجموعة دي. طب هنا؟ نفس الكلام. هل موجودة؟ دي فيها كام عنصر؟ تلاتة، هما إيه؟ 1 و2 والمجموعة 1و 3. يبقى دي الأقواس الكبيرة، وآدي العنصر الأول، آدي العنصر التاني، آدي العنصر التالت كله على بعضه كدة
يبقى هل التلاتة أحد تلات عناصر دول؟ لأ مش موجودة في أحد تلات عناصر دول يبقى هي لا تنتمي للمجموعة دي.