Linear_Algebra
طيب هل في كل مرة بقى هلاقي أن الـ Leading one طالعة لي كده عدد الـ Leading ones زي عدد الـ Variables وجايين كلهم مظبوطين بالشكل دوت؟ بحيث أن أنا أقدر أقول إن ده Unique solution زي المثال اللي إحنا حلناه مع بعض ولا ممكن يحصل أشكال تانية للـ Reduced row echelon form اللي إحنا بنطلعها؟
أكيد إن ممكن يحصل أشكال أخرى. أنا عندي تلات حالات زي ما كنا اتكلمنا قبل كده في أول المحاضرة، وهي إن أنا عندي Unique solution وInfinitely many solutions وNo solutions. الكلام ده هيظهر معايا في الـ Reduce row echelon form، بعد ما أجيب الـ Reduce row echelon form هبص على عدد الـ Leading one. هنا Leading one 1، 2، 3. كان عندي كام Variable؟ كان عندي 3 Variables، يبقى عدد الـ Leading one
يساوي عدد الـ Variables أو عدد الـ Unknowns، يبقى في الحالة ديت هيطلع لي إيه؟ Unique solution أو حل وحيد زي ما إحنا جيبنا بقى. بدأنا نرجع دولت إلى معادلات مرة تانية، وأصبح دوت الحل بتاعي ده x1 وده x2 وده x3. ده هيكون الـ Solution بتاعي. يبقى أول لما ألاقي إن عدد الـ Leading ones يساوي عدد الـ Variables أو عدد الـ Unknowns أعرف إن أنا عندي كده Unique solution
طب حتى لو كان في صف أصفار زي كده، زودت هنا صف أصفار أو زودت صفين أصفار مفيش مشكلة خالص هيتنيه Unique solution برضه ليه؟ لأن عدد الـ Leading ones يساوي عدد الـ Variables. ديت أهم نقطة بالنسبة لي. أبص على عدد الـ Leading one ده 1، 2، 3 كام Variable؟ 3 يبقى خلاص يبقى ده كده Unique solution. بس أهم حاجة إن أنا مالاقيش في بقية الصفوف اللي باقية لو في صفوف تانية يعني موجودة
مالاقيش أصفار كده بتساوي رقم. أنا ممكن ألاقي صف أصفار، بس مالاقيش أصفار بتساوي رقم. أصفار بتساوي رقم دي معناها إيه؟ قال لي أصفار بتساوي رقم دي معناها No solution. يبقى دي الحالة التانية الـ No solution تحصل إمتى؟ لما يحصل عندك أصفار بتساوي رقم، رقم بقى 1 أي رقم.
يبقى تيجي تشوف كده زي المثال ده. ده Leading one وده Leading one. ده مفيش Leading one مفيش مشكلة، ولكن هنا 0، 0، 0، 0 بيساوي كام؟ بيساوي 2. يعني معنى كده إن أنت ضربت المتغير الأول في صفر وضربت المتغير التاني في صفر وضربت المتغير التالت في صفر والرابع في صفر، المفروض الناتج يبقى صفر.. لا الناتج طلع رقم، يبقى معنى كده إن المعادلة دي غلط
يبقى معنى كده إن الـ System دوت إيه No solution، مفيش أي Solution للمثال ده. يبقى أنا أول حاجة ببص عليها، لو لقيت أصفار بتساوي رقم يبقى على طول أقول له No solution يبقى ده Inconsistent system على طول، ده نمرة واحد. لقيت صف أصفار ده لا يعني أي حاجة
صف أصفار مفيش مشكلة خالص، ولكن أنا هبدأ أعد عدد مين؟ عدد الـ Leading ones. عدد الـ Leading ones إيه علاقته بعدد الـ Variables؟ إذا بيساويه يبقى Unique solution، إذا طلع أقل منه ما عمره ما هيبقى أكبر، ممكن يبقى يا بيساوي يا أقل الـ Leading one أقل من الـ Variables يبقى ده معناه إنه إيه؟ Infinitely solutions
على طول Infinitely solutions. يبقى في متغير ماخدش Leading one تمام؟ فالمتغير اللي ماخدش Leading one ده يصبح Free، ففي الحالة دي يطلع لي عدد لا نهائي من الحلول، وده اللي إحنا هنشوفه. بس في النهاية بس عايز آكد إيه؟ إن أول حاجة نبص عليها مين هي الـ No solution دي، نتأكد إن هي أساساً مش No solution. إزاي؟ مانلاقيش أصفار بتساوي رقم
تمام؟ آه تمام. نرجع نبص في المسألة نعد الـ Leading ones ونعد المتغيرات. بيساوا بعض يبقى Unique solution، أقل يبقى إيه؟ Infinitely solution زي كده ده Leading one 1، 2 ولكن في كام متغير؟ 1، 2، 3 يبقى ده معناه إيه؟ إنه هو Infinitely solution. طب هنا عد كده 1، 2 في صف أصفار أهو مفيش مشكلة، بس أهم حاجة إيه؟ كام Leading one؟ 1، 2
ودول كام Variable؟ 1، 2، 3.. ما هو الأعمدة دي هي الـ Variables، سيبك من الأخير ده.. ده النتيجة مابتتعدش، أنا بتكلم على الـ Coefficient matrix يبقى ده x1 ده x2 وده x3.. يبقى معنى كده إن أنا عندي تلاتة Variables وكام Leading one؟ 1، 2.. يبقى معنى كده إنه هو أقل، يبقى ده معناه إيه؟ إن ده Infinitely many solutions.
دوت اللي إحنا عايزين نتأكد منه وإحنا بنحل إن شاء الله. تعالى نشوف مع بعض المثال ده كده ونحاول نحله مع بعض. أول حاجة هنبدأ نشوف عندي كام معادلة وكام Variables.. هم كام 1، 2، 3، 4 أربع معادلات.. ماشي الحال، يبقى في أربع صفوف في المصفوفة. كام Variables هنا؟ x، y، z، w يبقى أربعة Variables
يبقى أنا هبدأ أحل لو وصلت معايا في المسألة إلى 4 Leading ones مع الـ 4 Variables يبقى ده Unique solution على طول، بس أهم حاجة أبص الأول إن مفيش أصفار بتساوي رقم. مفيش أصفار بتساوي رقم يبقى تمام، لو في أصفار بتساوي رقم يبقى No solution. يبقى أول حاجة هنعملها نكتب مين؟ الـ Augmented matrix.. ننقل الـ Augmented matrix، نقوم جايين كاتبين المعاملات بالترتيب
يبقى هنا 1 اللي بعده 1 اللي بعده 2 اللي بعده -5 والـ Constant term اللي هو هنا 3 دي المعادلة الأولى. المعادلة التانية 2، 5، -1، -9، -3. المعادلة التالتة 2، 1، -1، 3 و-11.
المعادلة الرابعة 1، -3 و2 و7 و-5. آدي الـ Augmented matrix اللي أنا طلعتها من الـ Linear system اللي قدامي ده. هنبدأ نقول أول رقم يقابلني هو الواحد آه فعلاً أهو واحد، يبقى ده الLeading one. إيه اللي المفروض يحصل؟ المفروض إن الأرقام اللي بعده دي تبقى أصفارده يبقى صفر وده يبقى صفر وده يبقى صفر. هنبدأ نعمل تلاتة Operation.
هنقول إيه؟ هنقول سالب يبقى أول حاجة اللي هيتغيروا مين؟ 2 و2 و3 و4 يبقى R2 هتتغير، هتبقى عبارة عن نستخدم مين؟ الـ Row اللي فيه الـ Leading one اللي هو Row 1. هنضربه في إيه؟ في سالب الرقم اللي أنت عايزه يبقى صفر، يعني في -2. -2 في Row 1 ونجمعه على Row 2
ونفس الكلام هيتعمل مع Row 3، هيبقى -2 Row 1 ويتجمع مع Row 3 يبقى دي كده Row 1. وبعدين نروح لي البعده Row 4 هيتضرب في إيه؟ هيبقى هيتغير برضه، هيبقى عبارة عن Row 1 + Row 4-
حلو أوي، يبقى ده كده الناتج اللي هيطلع الـ Matrix اللي هتطلع هيبقى فيها التلات حاجات دولت مع بعض، ممكن نعملهم في خطوة واحدة زي ما إحنا عاملين كده. ونبدأ نكتب الأولاني مش هيحصل عليه تغيير خالص، أهو هيرجع زي ما هو اللي هو هيبقى 1، 1، 2، -5 و3.
ونبدأ نشوف بقى التغير اللي هيحصل في كل Row من التانيين نبدأ بقى نعمل إيه؟ -2 في R1 -2 هنا و-2 هنا و-2 هنا و-2 هنا و-2 هنا ضرب ضرب ضرب تمام؟ وبعدين نجمع مع مين؟ مع Row 2. نعمل الموضوع ده بقى من غير ما نكتبه، مش هنعمل هامش ولا حاجة، هنقول على طول -2 في 1 مع موجب 2 يبقى 0.
اللي بعده -2 مع 5 يبقى موجب 3، -4 مع -1 يعني -5، وبعدين سالب في سالب يبقى موجب، 2 في 5 بـ 10 مع -9 يبقى 1، وبعدين هيبقى -6 مع -3 يبقى -9. آدي الصف التاني
نروح بعد كده للصف التالت نفس الكلام في -2 برضه، يبقى عندي 0 وبعدين -2 مع 1 يبقى -1، -4 مع -1 يعني -5، اللي بعده هيبقى -5 في -2 يعني موجب 10 مع 3 يبقى 13
والأخير هيبقى -6 مع -11 يعني -17. نروح لي الصف الرابع.. الصف الرابع بنضرب في -1 ونجمع، يبقى عندي 0 وبعدين -1 مع -3 يعني -4، -2 مع 2 يعني 0
-5 في -1 يعني موجب 5 مع -7 مع 7 يبقى.. نضرب الـ 5 دي الـ -5 دي في -1 ونجمع مع الـ 7، فيطلع لي إيه؟ 5 و7 يبقى 12، ونضرب الـ 3 في -1 يبقى -3 مع -5 يبقى -8. آدي الـ الناتج بتاعي
لما ضربت لما عملت التلاتة Operations. خلصت كده الـ Leading one الأولاني، أصبح جاهز. ننتقل إلى الصف التاني علشان ندور فيه على الـ Leading one التاني تمام؟ فهنبدأ نتحرك كده، لازم يقابلني هنا إيه؟ يقابلني 1، طب قابلني 3 لازم الـ 3 دي تتحول إلى 1 فنضرب في 1 على 3
أو نشوف صف تاني من الصفوف اللي تحته، مش اللي فوقيه.. من الصفوف اللي تحته يكون فيه 1 نعرف نجيب منه الواحد بسهولة بدل ما نعمل بقى قسمة على 3 وعلى 3 كده، ممكن نخليها زي ما هي كده ونحاول نجيب الـ الصف التالت ده ده نجيبه مكان التاني بحيث إن الصف التالت ده فيه -1 يعني أقدر أضربه في -1 وأخليه موجب 1 يبقى Leading one اللي أنا عايزه
يبقى أنا ممكن هنا أضرب في 1على3 صح، ماعنديش مشكلة خالص. بس أنا ملاحظ إن الـ 5 دي لو اتضربت لو اتقسمت على الـ 3 مش هتقبل، يعني هتتنيها 5على3.. فممكن تسيب المسألة على كده، نفس الكلام هنا هيبقى 1على3. إنما لو أخدنا الصف التاني مكان التالت.. يعني بدلنا الصفين مع بعض هنقدر نحصل على الموجب 1 بسهولة تمام؟ فنيجي نقول إيه هنعمل إيه؟ هنقوم جايين مبدلين يبقى هنعمل كده
R2 Interchanged مع R3. هيطلع عندي الناتج كالاتي ننقل بقى R1 زي ما هو مفيش فيه أي اختلاف ده خلاص أهو، 2 وبعدين -5 وبعدين 3 وبعدين نبدل يبقى 0، -1
-5، 13، -17 ونكتب الصف التاني بقى الهو هيبقى مكان التالت أهو، 3، -5، 1، -9 ونكتب الصف الرابع زي ما هو، -4، 0، 12، -8 وبعدين نبدأ بقى نقول طيب أنا دلوقتي ده أنا عايزه برضه يبقى 1 ما يبقاش -1، مفيش مشكلة بقى هنا لما أضرب في -1 مفيش مشاكل سهلة يعني.
يبقى أقدر أقول كده إن Row 2 هيتغير هيبقىRow 2-، يعني ضربته في -1. ماشي، اعمل لي التغيير ده كده هيكتب الأولاني زي ما هو 1، 1، 2، -5 و3، والتاني هيبقى إيه بقى؟ 0 اضرب بقى في -1 يبقى 1 يبقى 5 يبقى -13 يبقى 17
كله اتغير إشارته. والتالت زي ما هو 3، -5، 1، -9 والأخير زي ما هو -4، 0، 12، -8. وبعدين نيجي بعد كده نقول آدي الـ Leading one خلاص الأولاني تمام وادي التاني أهو معانا Leading one
ده الـ Leading one الأولاني و بقى معايا Leading one تاني. الـ Leading one التاني ده محتاج يبقى ده صفر وده صفر وده صفر، فنعمل تلاتة Operations عشان نخليهم أصفار. يلا حد يقول لي بقى الـ Operations هنعمل إيه؟ هنقوم جايين قايلين كده، أيوه R1 هيتغير، وR3 برضه هيتغير، وR4 هيتغير، دولت اللي فيهم الأرقام اللي عايزينها تبقى أصفار.
آهو الرقم ده وده وده عايزينهم يبقوا أصفار. هيعمل إيه؟ علشان نخلي الـ R1 ده نخليه صفر نضرب الـ R2 إيه؟ هنضرب R2 في -1، -1 في R2 زائد R1. ونضرب -3 R2 زائد R3.
ونضرب موجب 4، خلي بالكم شوفوا إحنا بنعمل إيه بناخد عكس إشارة الرقم، عكس إشارة الرقم. ده كان موجب 1 ضربنا في -1، كان موجب 3 ضربنا في -3، كان -4 ضربنا في موجب 4، آهو دي الأرقام اللي هنا دي. طيب نكمل R2 زائد R4
دي كده الـ Operations اللي إحنا هنعملها هنا علشان إيه تطلع لي الـ Matrix الجديدة. يلا نشوف بقى الـ ناتج الجديد هيبقى عامل إزاي. الوحيد اللي مش هيتغير هو R2، ولكن R1 هيتغير. اضرب بقى في -1 واجمع، يبقى عندك 0 و1 يبقى 1، وبعدين -1 و1 يبقى 0، وبعدين هنا -5 و2 يبقى -3 -3
وهنا موجب 13، ما أنا بضرب في سالب يبقى الإشارة بتتغير، موجب 13 و-5 يبقى شيل الـ 5 من الـ 13 يتبقى 8، موجب 8. و-17 مع موجب 3 يعني -14. آدي الصف الأولاني. الصف التاني مش هيتغير، هينزل زي ما هو 0، 1
و5 و-13 و17. الصف التالت يلا اضرب في -3 واجمع، يبقى صفر، يبقى طبعاً الأولاني طبعاً صفر زي ما هو وده هيبقى صفر. اللي بعده اضرب في -3 يبقى هيبقى -15 مع -5 يبقى -20 -20
اللي بعده 13 في 3 بـ 39، بطبعاً هتبقى موجب 39 لأن ده سالب هيبقى موجب. و1 يبقى 40، يبقى موجب 40. وهنا 17 في -3 يبقى -51
مع -9 يبقى -60، يبقى دي -60. الصف الرابع آدي الصفر، وبعدين 4 في 1 بـ 4 مع -4 يبقى صفر، يبقى دي هتبقى صفر. وبعدين 5 في 4 بـ 20 مع صفر يبقى 20.
-13 في 4 بـ -52 مع 12 يعني سالب إيه؟ يعني -40 -40، مع موجب 12 طبعاً يبقى -40. 17 في 4 بـ 68 مع -8 يبقى موجب 60، يبقى هنا موجب 60.
كده الـ Leading one التاني تمام، آدي الـ Leading one الأول وادي الـ Leading one التاني. نبدأ بعد كده نقول إيه؟ نروح للصف اللي بعده التالت، أول حاجة تقابلني لازم تبقى إيه؟ تبقى 1، هنا -20. طب لو ضربت في -1على20، هيتقسم هنا على -20 وهنا على -20 وهنا على -20.
بتقبل؟ آه دي بتقبل ودي بتقبل، تمام يبقى معنى كده إن أنا إيه؟ ومفيش كمان عندي في الصفوف اللي تحت حاجة فيها 1 فمفيش داعي إن أنا أبدل يعني. يبقى هاجي هنا أقول الصف التالت هيتغير هيبقى -1على 20 في الصف التالت. يطلع الناتج يلا نكتب الناتج.
يبقى هننقل الأول والتاني والرابع زي ما هم 1، 0، -3، 8 و-14، وهنا 0، 1، 5، -13، 17. وهنا بقى يبقى 0، 0، 1، هه 40 على -20 بكام؟ بـ -2.
-60 في -1على20 هيبقى بيساوي موجب 3، والصف الرابع هينزل زي ما هو اللي هو هيبقى 0، 0و20 و-40 و60. في الحالة ديت هنبدأ بعد كده نقول طيب آدي انا الـ Leading one دلوقتي اللي عندي آدي 1، 2، 3
لكن الـ Leading one التالت لازم يبقى ده صفر وده صفر وده صفر، فنبدأ نعمل تلاتة Operations. تعالوا نقول التغير اللي هيحصل في الأول في مين؟ في الـ Row الأولاني، هيحصل فيه إيه؟ هنروح نجيب عكس إشارة الرقم ده يعني موجب 3، نضربها في الصف اللي فيه الـ Leading one اللي إحنا بنتكلم عنه اللي هو ده.. ده الصف التالت، يبقى هنضرب في موجب 3 في الصف التالت وبعدين نجمعه مع مين؟ مع الصف الأول
يبقى هيساوي موجب 3 في R3 + R1. والـ Row التاني هنشوف الرقم ده كام؟ 5، يبقى هنضرب -5 عكس الإشارة، -5 في R3 ونجمعه على R2. الـ Row الرابع هيتغير برضه هيتضرب في كام؟ في -20 يبقى -20
في R3 + R4. دي الـ Operations اللي إحنا هنعملها. نشوف الناتج هيطلع عامل إزاي. نكتب الناتج بعد ما نعمل الـ Operations دي أهو الأولاني هيتم فيه تغيير، أول حاجة طبعاً 0 في 3 و0 في 3 مش هيبقوا مش هيبقوا أصفار فمش هيغيروا حاجة في الرقمين الأول دول مش هيتغير حاجة.
ولكن لو ضربنا 3 في 1 بـ 3 مع -3 يبقى صفر، يبقى دي هتبقى صفر. وبعدين 3 في -2 بـ -6 مع 8 يبقى موجب 2، يبقى دي هتبقى موجب 2. الرقم الأخير 3 في 3 بـ 9 مع -14 يعني5
-5. طيب تمام كلام جميل، يبقى كده عندي 1، 0، 0، 2، -5. ده شكل  الـ إيه؟ ده الـ Row الأولاني الجديد اللي طلع عندي بعد ما ضربت الـ Row التالت ده في 3 وجمعته مع الـ Row الأولاني، فناخد بالنا إننا بنضرب كل العناصر دي في 3. طيب ماشي نكمل
نروح للـ Row التاني، هنضرب في كام؟ في -5 في Row 3. طبعاً أول رقمين مش هيتغيروا لأنهم هيبقوا مجموعين مع أصفار 0 و1. بعد كده -5 مع 5 يبقى صفر. طيب هنا -5 في -2 بـ موجب 10 مع -13 يعني -3. -5 في 3 بـ -17plus 15 يعني -15 مع موجب 17 يعني موجب 2
الصف التالت هينزل زي ما هو مش هيبقى فيه أي تغيير، ده ده اللي كان فيه Leading one أنا بحاول أخلي العمود اللي فيه أصفار هكتبه زي ما هو. الصف الأخير هيتغير لأن هضرب هنا في -20 وهنا في -20 وهنا في -20 وأجمع مع الصف الرابع، فيطلع طبعاً القيمتين اللي في الأول أصفار زي ما هم، بعد كده هيبقى صفر
وهيبقى موجب 40 مع سالب 40 يبقى صفر، سالب 60 مع موجب 60 هيبقى صفر. كده يبقى أنا طلعت التلاتة Leading ones أهم آدي 1، 2، 3. والصف الأخير طلع كله أصفار، مفيش مشكلة خالص إن يطلع صف أصفار ده لا يعني إنه No solution لا ده فيه Solution. ولكن أنا كان عندي كام متغير؟ ارجع لأول رأس المسألة كان فيه كام متغير عندك؟ كان عندك أربعة اللي هم x وy وz وw، أربعة Variables
وهنا كام Leading one؟ عد كده 1، 2، 3. يبقى عندي تلاتة Leading ones بس وأربعة Variables، يبقى ده معناه إيه؟ ده Infinitely many solutions. أنا أقدر طبعاً أكتب المتغيرات بنفس الترتيب اللي كان في المسألة زي x وz ,y وw. كل Leading one مرتبط بـ Variables أهو
كده الـ Variable الوحيد اللي مالوش Leading one هو مين؟ هو الـ Variable w. يبقى w ده أصبح Free. Free يعني إيه؟ يعني ممكن يتحط بأي رقم. يبقى دلوقتي أنت هتيجي أول نقطة تقول أنا هحط Let الـ w بيساوي وليكن t. حيث إن الـ t دوت Any real numbers يعني belong للـ R يعني أي عدد، أي عدد حقيقي
كده يبقى أنا حطيت متغير مكان الـ Variable اللي مالوش Leading one. خليته ممكن يبقى أي عدد من الأعداد الحقيقية. إنما الـ x والـ y والـ z موجود لهم Leading one فهنحولهم إلى معادلات، هنبدأ نطلعهم إلى معادلات زي ما كنا بنعمل قبل كده. فهناخد الصف الأول نطلع منه المعادلة الأولى.
فهنضرب بقى x في 1، y في صفر، z في صفر، w في 2 بتساوي -5. تمام يبقى x في 1 بـ y,x في صفر بصفر، z في صفر بصفر وبعدين 2w تساوي -5. وبعدين مش أنت قلت إن الـ w دي هتساوي t؟ آه مش إحنا جبنا الـ w أهي قلنا بتساوي t.
تمام خلاص شيل يلا الـ w وحط مكانها t. فيبقى x + 2t = -5. ودي الـ 2t الناحية التانية يبقى x = -2t - 5. ماشي يبقى ده كده دي كده الـ x بدلالة الـ t برضه. ماشي
بعدين هات لي المعادلة اللي وراها اللي هي دي اضرب صفر في x واحد في y، صفر في z سالب 3 في w بتساوي 2. آدي المعادلة اللي إحنا بنطلعها. طبعاً صفر في x بـ x واحد في y يبقى y. وعندي سالب 3 w بتساوي 2
طيب شيل الـ w وحط مكانها t، يبقى y - 3t = 2. ودي الـ 3t الناحية التانية تبقى y = 3t + 2. آدي قيمة الـ y. وبعدين هات المعادلة التالتة آدي المعادلة التالتة.. يلا اضرب تاني صفر في x، صفر في y واحد في z
-2 في w بتساوي 3. آدي اللي إحنا نقدر نجيب المعادلة إزاي، دي نقطة مهمة جداً. يبقى عندي صفر في x بصفر وصفر في y بصفر يتبقى z - 2w = 3. طيب نشيل الـ w ونحط مكانها t، يبقى z - 2t = 3. ودي بقى الـ t الناحية التانية تبقى z بتساوي
2t + 3. آدي الـ Variable الرابع. يبقى كده بقى معانا الأربعة Variables. نكتب الـ Solution بقى، يبقى الـ Solution بتاعي الـ Solution الـهو x بيساوي كان عبارة عن إيه؟ كان x y z w. حط لي بقى القيم بتاعتهم اللي إحنا جبناها دي
الـ x اللي إحنا جيبناها بكام بـ 2t-5- والـ y بـ 3t+2 والـ z بـ 2t+3 والـ w اللي هي بـ t حيث إن الـ t دي Any real numbers. ده كده يكون الـ Solution بتاعنا وده كده Infinitely many solutions.
طب ليه؟ مين اللي قال؟ ما هو الـ t دي ممكن تتحط بأي رقم من الـ Real numbers يعني أنا ممكن أحطها بـ 1 بـ صفر بـ نص بـ -8 بأي رقم أنا عاوزه عدد ما لا نهاية من الأرقام. في كل مرة الـ t هتروح تتحط هنا وهنا وهنا وهنا تتغير هنا مكان الـ t الرقم يطلع لي Solution. يعني على سبيل المثال لو أنت عايز تطلع مثلاً نموذج من ضمن الإجابات هتقول Let
الـ t بتساوي صفر مثلاً، يطلع لك Solution. حط الـ t هنا بصفر وهنا بصفر وهنا بصفر وهنا بصفر، يطلع لك إيه؟ -5 يبقى الـ Solution هيبقى عبارة عن إيه؟ هيبقى عبارة عن -5 و 2 و 3 و 0. آدي Solution. طب عايز Solution كمان ماشي أهو؛ Let الـ t = 1. آدي Solution تاني
هيبقى عامل إزاي بقى؟ يلا نروح نحط مكان الـ t هنا 1 وهنا 1 وهنا 1 وهنا 1، يطلع -7 وبعدين اللي وراها تبقى 3 و 2 يبقى 5 وبعدين 5 وبعدين 1. آدي Solution كمان. وهكذا تقدر إن أنت تحط قيم عددها ما لا نهائي فيبقى عندك Infinitely
Many solutions وده يكون الإجابة بالشكل اللي قدامنا ده. ده طبعاً لو في حالة إن هو طلب Examples يعني ده على سبيل المثال دي Samples من الإجابة فممكن تجيبها بالطريقة دي، إنما لو هو ما طلبش Samples فدي الإجابة بتاعتك أو دي الإجابة النهائية بتاعتي اللي هي Infinitely many solutions بالشكل ده والـ t هي اللي مطلعة لي الـ Infinitely  solutions
ناخد بس بالنا إن ممكن في السؤال يجي لي أكتر من Variable يكون Free، يعني ممكن مثلاً بعد ما نخلص الـ Reduce row echelon form تطلع معايا بالشكل ده على سبيل المثال يعني، أنا هكتب أي أرقام كده علشان بس أوضح الفكرة اللي أنا عايز أوصل لها. يعني لو قلنا مثلاً هنا 1 وهنا 0 0 0 على سبيل المثال، هنا 0 1 0 0
وكتابنا هنا مثلاً وليكن هنا 0 هنا مثلاً وليكن هنا 1 هنا مثلاً 0 0 والعمود الأخير وليكن مثلاً هنا 2 هنا 0 0 0 والنتيجة بتاعتنا كانت كالاتي وليكن مثلاً ديت كانت equal 3 ديت كانت 1 دي 0..
0 بعد ما خلصنا لقينا دي كده دي Echelon Form هنلاقي أهو في كام Leading one آدي Leading one وآدي Leading one التاني ومظبوطين ده أصفار وده أصفار تمام.. الصف التالت طلع أصفار كله والصف الرابع طلع أصفار كله موجودين في نهاية المصفوفة تمام جداً. إذاً ده كده Reduce Row Echelon Form
وكده نقدر إن إحنا نقول إحنا عندنا اتنين Leading one ده واحد وده التاني. ولو حطينا بقى مثلاً المثال ده كان فيه أربع متغيرات وليكن مثلاً هنا x, y, z, w. في الحالة ديت أنا عندي في اتنين Variables ما لهمش Leading one اللي هم الـ z والـ w. زي ما حصل معانا في المثال اللي فات لما قلنا إن الـ w free فحطيناها مثلاً بالـ t أو بأي رقم
أنا هنا بقى هيبقى معايا اتنين Free اللي هم الـ z والـ w. فأقدر كده إن أنا أقول Let الـ z = t والـ w  r مثلاً يبقى عندي دلوقتي t و r حيث الـ t والـ r الاتنين ينتموا للـ Real numbers. يبقى كده اللي أنا عملته مع الـ w قبل كده لما جيت وقلت إن هي  t دلوقتي أنا عملت الـ z والـ w في نفس الطريقة.
بس اهم حاجه ان احنا نحط رمزين مختلفين، ده R وده T، او ده S وده T، ده T وده S، ايا كان، المهم في النهايه احط حرفين مختلفين عن بعض ان دولت عباره عن اي رقم من الارقام الحقيقيه. ونبدا بقى نرجع المعادلتين اللي فيهم الـ leading 1 اللي هي المعادله الأولى والمعادله التانيه اللي هو الصف الاول والصف التاني.
فهنيجي على الصف الاولاني نرجعه لـ equation مره تانيه، يبقى x في 1 يبقى x و0 في y و0 في z و2 في w يبقى plus 2w = 3 دي الـ equation الأولى. وانت قولتلي دلوقتي ان الـ w هتساويها بالـ R يبقى معنى كده انX+2فيR=3 و اودي الـ 2R دي الناحية التانية يبقى الـ x = -2R + 3.
كده دي قيمة الـ x. طبعاً انا في الأول جبت قيمة الـ z بالفرض ان انا فرضتها بالـأي رقم من الارقام الحقيقية والـ w بنفس الطريقة ودلوقتي بقى معايا كمان الـ x. فاضلي الـ y هتيجي من المعادلة التانية، يبقى نجيب معادلة تانية نطلع منها الـ y. رجعها بقى لـ equation تاني يبقى 0 في x واحد في y يعني y
1 في z يبقى z = 1 + لان 0 في w بـ 0 يبقى = 1 وبعدين احنا قولنا ان الـ z دي حطيناها بالـ T يعني y + T = 1 ومنها تبقى الـ y بتساوي T + 1- لو وديت الـ T الناحية التانية هتبقى بالشكل ده ودي كده تبقى قيمة الـ y
بقى معايا دلوقتي الـ x والـ y والـ z والـ w يبقى في الحالة ديت الـ solution بتاعي هيبقى كالاتي يبقى الـ solution اللي هو لو سميناه مثلا X capital هيساوي x, y, z, w اللي هو هيساوي الـ x اللي احنا قولنا 2R + 3- والـ y اللي احنا قولنا  T + 1-
والـ z اللي هي T والـ w اللي هي R وحيث الـ T والـ R belong للـ real numbers ادي الـ solution infinitely many solutions برضه ولكن اهم حاجه نبقى واخدين بالنا ان كل اما يبقى عندي عدد variables مالهمش leading 1 زي 2 مثلا فمعنى كده ان انا هيبقى عندي اتنين هفرضهم بكل واحد برقم اي رقم من الـ real numbers
ومنهم هبدأ اروح للمعادلات او الصفوف اللي فيها leading 1 واحولها الى معادلات واطلع منها الـ x واطلع منها الـ y على حسب بقى اسم المتغير ايه. الشاهد هنا في الموضوع هو ان عدد الـ leading ones كان اقل من عدد الـ variables الكانو دولت 4 ودولت 2 فالـ 2 اقل من الـ 4 وظهور الصفوف الاصفار كانت موجودة في اخر المصفوفة ومكانش في منها مشكلة.
فالـ variables اللي ملهاش leading ones بنفترضها على طول برموز والـ variables اللي ليها leading ones هنبدأ نجيبها بدلالة الرموز اللي احنا موجودة عندنا دي او نرجع الصفوف بتاعتها الى معادلات والمعادلات دي تقدر تطلعلي قيمة الـ x وقيمة الـ y او على حسب مسمى الـ variables اللي موجود عندي هنا