1826දී මෙම අවසාන ඓක්‍යය නීල්ස් හෙන්‍රික් අබෙල් ගේ විවේචනයට පාත්‍ර විය; ""අපසාරී ශ්‍රේණි යනු යක්ෂයාගේ ක්‍රියාවකි. කිසිවෙක් ඒ සඳහා සාධනයක් ඉදිරිපත් කිරීම ලැජ්ජාවට කරුණකි. එය භාවිතා කිරීමෙන් තමාට අවශ්‍ය දෙය ලබා ගැනීමට හැක. එබැවින් එය බොහෝ අසතුටුදායක මෙන්ම පරස්පර විරෝධී අදහස් නිර්මාණය කර ඇත. කිසිවෙකුට හෝ 0 = 1-2n+3n-4n+… (n ධන නිඛිල වන විට ) යන සමීකරණයට වඩා දරුණු දෙයක් පිළිබඳ සිතා ගත හැකිද? මිතුරනි, මෙය සිනහවට කරුණකි "". සෙසාරෝ ගේ ගුරුවරයා වන ඉයුජින් චාර්ල්ස් කැටලන්ද අපසාරී ශ්‍රේණි විවේචනය කළේය. කැටලන්ගේ ආභාෂයෙන් සෙසාරෝ ද 1-2n+3n-4n+… සඳහා වන සූත්‍ර 'හාස්‍යජනක සමානතා' ලෙස හැඳින්වීය. 1883දී සෙසාරෝ විසින් මෙම සූත්‍ර නිවැරදි නොවන නමුත් ඇතැම් විට ප්‍රයෝජනවත් වන බවට අදහස් දැක්විය. නමුත් 1890දී ඔහුගේ Sur la multiplication des séries තුළින් නිර්වචන ඔස්සේ නව එළඹුමක් ලබා දීමට සමත් විය. මෙම ශ්‍රේණි නිඛිල නොවන n සංඛ්‍යා සඳහා ද අදාළ කර ගත හැක. එය Dirichlet eta ශ්‍රිතය ලබා දෙයි. 1-2+3-4+... ට අදාළ ශ්‍රිතයන් අධ්‍යයනය කිරීමට යුලර් උත්සුක වීමට තවත් හේතුවක් වූයේ ශ්‍රිතීය සමීකරණයි. එය සෘජුවම Riemann zeta ශ්‍රිතයට සම්බන්ධ වේ. යුලර් ඒ වනවිට ද ධන ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා සඳහාමෙම ශ්‍රිතයන්ට අගයන් සොයාගෙන සිටි අතර(බේසල් ගැටළුවද ඇතුළුව ), ධන ඔත්තේ සංඛ්‍යා සඳහා ද ලැබෙන අගයන් සෙවීමට උත්සාහ දරමින් සිටියේය (ඇපෙරි නියතය ද ඇතුළුව ). වර්තමානයේදී මෙම ගැටළුව විසඳිය නොහැක්කක් ලෙස සලකනු ලබයි. Eta ශ්‍රිතයේ Dirichlet ශ්‍රේණිය සෑමතැන්හිදීම අබෙල් සමාකල්‍ය වන බැවින්, එය යුලර්ගේ ක්‍රමවේදයන් භාවිතා කරමින් විසඳීම පහසුවේ. නමුත් Zeta ශ්‍රිතයේ Dirichlet ශ්‍රේණිය අපසාරී වන අවස්ථාවේදී එහි ඓක්‍යය සෙවීම අපහසු වේ. උදා: 1+2+3+4+...යන ප්‍රත්‍යාවර්තිත ශ්‍රේණිය zeta ශ්‍රිතයේ 1-2+3-4+...හි පූරණයයි. එය නූතන භෞතික විද්‍යාවේදී බොහෝ සෙයින් භාවිතා වන නමුත් ඓක්‍යය සෙවීම සඳහා වඩා ප්‍රබල ක්‍රමවේද අවශ්‍ය වේ.

සරල සුපිරි අදිශ නල මාර්ගය එක් වරකට උපදෙස් දෙක් ආහරනය කිරිමෙන් හා යැවිමෙන් උපරිම ලෙස ගත් විට එක් චක්‍රයකචදි උපදෙස් දෙකක් සදම්පුර්ණ කර ගත හැකිවේ.

අවුරුදු දහස් ගානකට පෙර, නාගරීකරණය සහ වර්තමාන කේරළ හා තමිල්නාඩු ලෙස හැදින්වෙන බටහිර සහ නැගෙනහිර මුහුදුබඩ තීරයේ වාණිජ කටයුතු විශාල දේශපාලනමය ජනපද හතරක් (කේර,චෝල,පාණ්ඩය,පල්ලවස් ) හා සැලකියයුතු ප්‍රමාණයක් වූ එකිනෙකට අනෝන්‍ය ප්‍රතිවිරුද්ධ වූ කුඩා ජනපද සංවර්ධනයට මුලපුරන ලදී. ක්‍රි.පු 3 වන සියවස හා ක්‍රි.ව 3 වන සියවස අතර ද්‍රවිඩ ජනයා සුවදේශීය සාහිත්‍යක් බිහිකිරීමට සමත් වූ අතර පසුකාලීනව එය සංගම් සාහිත්‍ය ලෙස ව්‍යවහාර කරන ලදී.

කීර්ගිස්තාන් කීර්ගිස් සමුහාණ්ඩුව පින්තූරය - කොඩිය ජාතික ගීය - කීර්ගිස් සමුහාණ්ඩු ජාතික ගීය සිතියම අගනුවර සහ විශාලම නගරය - බිෂ්කෙක් - 420 52'N 740 36 E රාජ්‍ය භාෂාව - කීර්ගිස් (රාජ්‍ය) රැසියානු (රාජ්‍ය) ජන වර්ගය - 68.9%, කීර්ගිස්, 14.4% උස්බෙක්, 9.1% රැසියානු රාජ්‍යය - ජනාධිපති සමුහාණ්ඩුව ජනාධිපති - කුමාන්බෙක් බකියෙව් අගමැති - ඩැනියර් යුස්නොව් නිදහස - සෝවියට් සමුහය සිට ස්ථාපිත කිරිම - 14 ඔක්තෝම්බර් 1924 කීර්ගිස් SSR – 5 දෙසැම්බර් 1936 ප්‍රකාශයට පත් කිරිම - 31 ‍අගෝස්තු 1991 සම්පුර්ණ කිරිම - 25 දෙසැම්බර් 1991 වර්ග ප්‍රමාණය - එකතුව - 199 900 Km2 71 181 sq mi ජලය (%) – 3.6 ජනගහනය - 2009 තක්සේරැව - 5 482 000 1999 ජන සංඛ්‍යාකය - 4 896 100 ඝනත්වය - 27.4 / Km2 71 / sq. mi GDP (PPP) – 2008 තක්සේරැව එකතුව - $ 11.604 බිලියන එකතුව - $ 5.050 බිලියන සාමාන්‍ය - $ 950 ගිනි (2003) – 30.3 (මධ්‍ය්‍ය) HDI (2007) – 0.710 (මධ්‍යය) මුදල් කාල මණ්ඩලට - KGT (UTC + 6)