黎曼猜想（Riemann hypothesis，RH）由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题，有「猜想界皇冠」之称，多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。其猜想为：
黎曼猜想是关于黎曼ζ函数的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当）。这些零点是「平凡零点」。黎曼猜想关心的是非平凡零点。
黎曼猜想提出：
黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是
即所有的非平凡零点都应该位于直线（“临界线”）上。为一实数，而为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。
素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826－1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。
1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。
黎曼猜想之所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。大部份数学家也相信黎曼猜想的正确性（约翰·恩瑟·李特尔伍德与阿特勒·塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立）。克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奖金给予第一个得出正确证明的人。
历史
黎曼1859年在他的论文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域中。
1896年，雅克·阿达马和Charles Jean de la Vallée-Poussin分别独立地证明了在直线上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域上。这是质数定理第一个完整证明中很关键的一步。
1900年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中，与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上的第8号问题。同时黎曼猜想也是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖难题的。希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？
1914年，高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点）。后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作（临界线定理）也就是计算零点在临界线上的平均密度。
近年来的工作主要集中于清楚的计算大量零点的位置（希望借此能找到一个反例）以及对处于临界线以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降至零）。
黎曼猜想与质数定理
黎曼猜想传统的表达式隠藏了这个猜想的真正重要性。黎曼ζ函数与质数的分布有著深厚的连结。Helge von Koch在1901年证明了黎曼猜想等价于质数定理一个可观的强化：给出任何，我们有
式中为质数计数函数，为 的自然对数，以及右手边用上了大O符号。一个由Lowell Schoenfeld提出的非近似版本，表示黎曼猜想等价于：。
黎曼ζ函数的零点与质数满足一个称为明确公式的对偶性，这表明了：在调和分析的意义下，黎曼ζ函数的零点可视为质数分布的谐波。
将黎曼ζ函数代为更一般的L-函数，此时仍有相应的猜想：整体L-函数的非平凡零点的实部必等于。这被称为广义黎曼猜想。函数域上的广义黎曼猜想已被证明，数域的情形仍悬而未决。
黎曼猜想之结果及其等价命题
黎曼猜想的实际用途包括一些在黎曼猜想成立前提底下能被证明为真的命题，当中有些更被证明了跟黎曼猜想等价。其中一个就是以上素数定理误差项的增长率。
默比乌斯函数的增长率
其中一个命题牵涉了默比乌斯函数。命题「等式
在的实部大于的时候成立，而且右边项的和收敛」就等价于黎曼猜想。由此我们能够总结出假如Mertens函数的定义为
那黎曼猜想就等价于对任何都有
，
这将会对于的增长给出了一个更紧的限制，因为即使没有黎曼猜想我们也能得出
（关于这些符号的意思，见大O符号。）
积性函数增长率
黎曼猜想等价于一些除以外一些积性函数增长率的猜想。例如，因数函数由下式给出：
那在的时候，
，
这名为Robin定理并在1984年以Guy Robin命名。另一个有关的上限在2002年由Jeffrey Lagarias提出，他证明了黎曼猜想等价于命题「对于任意自然数，
而为第个调和数。
里斯判准与二项式系数和
里斯判准由里斯在1916年给出，它断言黎曼猜想等价于下式对所有成立
哈代稍后于1918年以波莱尔求和法及梅林变换证明了下式的积分表法。
其它相关的积性函数的增长率也具有与黎曼猜想等价的表述。
考虑二项式系数和
，
Báez-Duarte与Flajolet、Brigitte Vallée证明了黎曼猜想等价于对所有的下式成立。
类似的还有以下级数。
对此。Flajolet与Vepstas证明了黎曼猜想等价于对所有的下式成立
其中的是依赖于的某个常数。
韦伊判准、李判准
韦伊判准断言某些函数的正定性等价于广义黎曼猜想。与此相似的还有李判准，这断言某些数列的正性等价于黎曼猜想。
与法里数列的关系
另外两个跟黎曼猜想等价的命题牵涉了法里数列。假如是法里数列中的第项，由开始而终于，那命题「给出任何
」等价于黎曼猜想。在这里是法里数列中阶项的数目。类似地等价于黎曼猜想的命题是「给出任何.
」
跟群论的关系
黎曼猜想等价于群论中的一些猜想。举例说，，是对称群的所有元素的秩之中，最大的一个，也就是兰道函数，则黎曼猜想等价于：对够大的，下式成立：。
临界线定理
黎曼猜想等价于命题「的导函数在区域
上无零点。」
函数ζ在临界线上只有单零点的充要条件是其导函数在临界线上非零。所以若黎曼猜想成立，命题中的非零区域可以延伸为。这条进路带来了一些成果。Norman Levinson将此条件加细，从而得到了较强的临界线定理。
已否证的猜想
一些比黎曼猜想强的猜想曾被提出，但它们有被否证的趋势。Paul Turan证明了假如级数
当时没有零点，则黎曼猜想成立，但Hugh Montgomery证明了这前提并不成立。另一个更强的默滕斯猜想也同样被否证。
相对弱的猜想
林德勒夫猜想
黎曼猜想有各种比较弱的结果；其中一个是由芬兰数学家恩斯特·列奥纳德·林德勒夫（Ernst Leonard Lindelöf）所提出，关于ζ函数于临界线上的增长速度的猜想，表明了给出任意的，当趋向无限，。
记第个素数为，一个由英国数学家阿尔伯特·英厄姆(Albert Ingham)得出的结果显示，林德勒夫猜想将推导出「给出任意，对足够大的有
」
不过这个结果比大素数间隙猜想弱，详如下述。
大质数间隙猜想
另一个猜想是大质数间隙猜想。哈拉尔德·克拉梅尔证明了：假设黎曼猜想成立，质数与其后继者之间的间隙将会为。平均来说，该间隙的阶仅为，而根据数值计算结果，它的增长率并不似黎曼猜想所预测的那么大。
证明黎曼猜想的尝试
过去的一百多年，许多数学家声称证明了黎曼猜想。截至2015年为止，尚有一些证明还未被验证；但它们都被数学社群所质疑，多数专家并不相信它们是正确的。艾希特大学的Matthew R. Watkins为这些或是严肃或是荒唐的证明编辑了一份列表。其他一些证明可在arXiv数据库中找到。
2018年9月24日迈克尔·阿蒂亚爵士声称证明黎曼猜想。他用精细结构常数作为一个主要成分用以证明，然而由于一个物理观测数字能否用于纯数学领域证明题产生争议，而精细结构常数本身的由来理由还是谜团，且该数字是否全宇宙永恒不变有重大疑问，阿蒂亚爵士则主张「数学是物理学的理想化版本」所以两领域之间的学问可以共通共用。导致本次证明以疑虑和失败论点者居多无法使大部分数学家信服。
黎曼猜想证明的可能的着手方向
由于黎曼猜想是有关二维变量（临界线（critical line）上的虚数解和黎曼ζ函数中的自然数变量）的问题，故不但要考虑在二维变量下的情况，似乎还可以从更高维数（例如三或四维甚至更高维）变量的情况下来考虑问题。
另外，由于黎曼猜想从本质上来说是证明一个方程的非平凡的复数解必然是的形式（是实数，是虚数单位），因此应该与代数学是密不可分的；就是说，代数几何、代数数论甚至代数拓扑等学科的知识是不可缺少的。如果能从上述几个分支学科之间找到新的联系，以及对这些分支学科有进一步的新发现，那可能可以为证明黎曼猜想打下基础，或为黎曼猜想的证明做好准备。
与算子理论的可能联系
长久以来，人们猜测黎曼猜想的「正解」是找到一个适当的自伴算符，再由实特征值的判准导出零点实部的资讯。在此方向上已有许多工作，却仍未有决定性的进展。
黎曼ζ函数的统计学性质与随机矩阵的特征值有许多相似处。这为希尔伯特-波利亚猜想提供了一些支持。
在1999年，Michael Berry与Jon Keating猜想经典哈密顿函数有某个未知的量子化，使得下式成立
更奇特的是，黎曼ζ函数的零点与算子的谱相同。正则量子化的情形则相反：正则量子化引致海森堡测不准原理，并使量子谐振子的谱为自然数。重点在于，所求的哈密顿算符应当是个闭自伴算符，方能满足希尔伯特-波利亚猜想之要求。
搜寻ζ函数的零点
关于电脑计算上找寻ζ函数零点越多越好的尝试，已经有一段很长的历史了。其中一个出名的尝试乃ZetaGrid，一个分散式计算的计划，一天可检查上十亿个零点。这计划在2005年11月终止。直至2006年没有计算计划成功找到黎曼猜想的一个反例，这一型类穷尽法的结果再次吻合了众多科学家在「直觉」上认知黎曼猜想为真的倾向，但不能成为最终数学证明。
2004年，Xavier Gourdon与Patrick Demichel透过Odlyzko-Schönhage algorithm验证了黎曼猜想的头十兆个非平凡零点。而Michael Rubinstein给了公众一个 算法去算出零点。