LexiconShiftInnovations/SinhalaWikipediaArticles huggingface dataset:
elp)Hussain, Aftab (2011). Composition of fatty acids: Physicochemical studies on sheep fat. Saarbrücken, Germany: VDM verlag. ISBN 978-3-639-35780-6. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)අධෝලිපි↑ 1.0 1.1 Hiendleder S, Kaupe B, Wassmuth R, Janke A (2002). "Molecular analysis of wild and domestic sheep questions current nomenclature and provides evidence for domestication from two different subspecies" (PDF). Proc. Biol. Sci. 269 (1494): 893. doi:10.1098/rspb.2002.1975. PMC 1690972. PMID 12028771. සම්ප්‍රවේශය 2008-01-12.{{cite journal}}:  CS1 maint: multiple names: authors list (link)↑ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 Ensminger↑ "Castlemilk Moorit". Breeds of Livestock. Oklahoma State University Dept. of Animal Science. සම්ප්‍රවේශය 2008-01-27.↑ Hiendleder, S.; K. Mainz, Y. Plante, H. Lewalski (March 2007). "Analysis of mitochondrial DNA indicates that domestic sh
eep are derived from two different ancestral maternal sources: no evidence for contributions from urial and argali sheep". The Journal of Heredity. 89 (2): p. 113. doi:10.1093/jhered/89.2.113. PMID 9542158. {{cite journal}}: |page= has extra text (help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)↑ Meadows, J.R.; I. Cemal, O. Karaca; et al. (March 2007). "Five ovine mitochondrial lineages identified from sheep breeds of the near East". Genetics. 175 (3): p. 1371. doi:10.1534/genetics.106.068353. PMC 1840082. PMID 17194773. සම්ප්‍රවේශය 2008-02-12. {{cite journal}}: |page= has extra text (help); Explicit use of et al. in: |author= (help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)↑ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 Weaver↑ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 Simmons & Ekarius↑ Krebs, Robert E. & Carolyn A. (2003). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions & Discoveries of the Ancient World. Westport, CT: Greenwood Press. ISBN 0-313-31342-3.↑ 9.0 9.1 9.2 Budiansky↑ Donald E Bixby
, DVM & D. Philip Sponenberg DVM. "Breed Conservation in the United States of America: presentation to the Fifth Congress on Iberoamerican Breeds and Criollos". සම්ප්‍රවේශය 2008-09-07.↑ doi:10.1126/science.1170587This citation will be automatically completed in the next few minutes. You can jump the queue or expand by hand↑ 12.0 12.1 Smith et al.↑ "History of Sheep &  History of the Different Breeds". Daneke Club Lambs and Livestock. සම්ප්‍රවේශය September 18, 2013.↑ Russell, Nerissa; Martin, Louise (1998). "Çatalhöyük Animal Bone Report". ÇATALHÖYÜK 1998 ARCHIVE REPORT. Çatalhöyük Research Project. සම්ප්‍රවේශය September 18, 2013.↑ D.R. Harris, C. Gosden and M.P. Charles, Jeitun : Recent excavations at an early Neolithic site in Southern Turkmenistan, Proceedings of the Prehistoric Society, 1996, vol. 62, pp. 423–442.↑ Oriental Institute of Chicago "Nomads, Tribes, and the State in the Ancient Near East: Cross-Disciplinary Perspectives".↑ Davidson, Alan (1999). Oxford Comp
anion to Food. Oxford University Press. pp. 290–293. ISBN 0-19-211579-0.↑ Dale Eickelman, The Middle East and Central Asia. An Anthropological Approach. Fourth Edition. Prentice Hall, 2002, p. 11↑ Review of Agricultural Operations in India. 1924. p. 102. සම්ප්‍රවේශය 20 September 2013.↑ Lester Russell Brown (1995). Who Will Feed China?: Wake-up Call for a Small Planet. W.W. Norton & Company. pp. 46–47. ISBN 978-0-393-03897-2. සම්ප්‍රවේශය 20 September 2013.↑ Zonghan Shen (1951). Agricultural Resources of China. Cornell University Press. p. 295. සම්ප්‍රවේශය 20 September 2013.↑ China Report: Agriculture. Foreign Broadcast Information Service. 1986. p. 72. සම්ප්‍රවේශය 20 September 2013.↑ Takekazu Ogura (1963). Agricultural development in modern Japan. Fuji Pub. Co. pp. 569–570. සම්ප්‍රවේශය 20 September 2013.↑ 24.0 24.1 24.2 24.3 Blench, Roger (1999). The Origins and Development of African Livestock. Routledge. ISBN 1-84142-018-2. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ig
nored (|author= suggested) (help) උපුටාදැක්වීම් දෝෂය: Invalid <ref> tag; name "africa" defined multiple times with different content↑ "A PROFILE OF THE SOUTH AFRICAN MUTTON MARKET VALUE CHAIN" (PDF). Department of Agriculture, Forestry and Fisheries. සම්ප්‍රවේශය September 17, 2013.↑ Solomon Gizaw, H. Komen, O. Hanotte, J.A.M. Van Arendonk, S. Kemp, Aynalem Haile, O. Mwai, Tadelle Dessie (2011). "2.2.5.1 Significant morphological characters". Characterization and Conservation of Indigenous Sheep Genetic Resources: a Practical Framework for Developing Countries. ILRI (aka ILCA and ILRAD). pp. 16–17. ISBN 978-92-9146-262-9. සම්ප්‍රවේශය 26 September 2013.{{cite book}}:  CS1 maint: multiple names: authors list (link)↑ Max Escalon de Fonton, L'Homme avant l'histoire, pg. 16-17, in Histoire de la Provence, Editions Privat, Toulouse, 1990. See also F. Bourdier, Préhistoire de France (Paris, 1967) and G. Bailloud, Les civilisations Néolithiques de la France (Paris, 1955).↑ 28.0 28.1 Pli
ny the Elder (AD 77). "Naturalis Historia". pp. Chapters 72–25. සම්ප්‍රවේශය 2007-12-29. {{cite web}}: Check date values in: |date= (help)↑ 29.0 29.1 29.2 29.3 29.4 Defourneaux, Marcelin (1979). Daily Life in Spain in the Golden Age. Stanford University Press. pp. 147–48. ISBN 0-8047-1029-5.↑ David R. Ringrose (26 November 1998). Spain, Europe, and the 'Spanish Miracle', 1700-1900. Cambridge University Press. p. 282. ISBN 978-0-521-64630-7. සම්ප්‍රවේශය 15 September 2013.↑ John Irwin (1 May 1994). Modern Britain: An Introduction. Taylor & Francis. p. 46. ISBN 978-0-203-98523-6. සම්ප්‍රවේශය 15 September 2013.↑ Thirsk, Joan (2000). The Agrarian History of England and Wales. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20074-1. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)↑ "Sheep industry vulnerable target warns BWMB". Farmer's Guardian. 2008-01-21. සම්ප්‍රවේශය 2008-01-21.↑ Ward, David (October 22, 2002). "Pedigree ram sold for record £101,000". The
Guardian. සම්ප්‍රවේශය 2008-09-07.↑ "Scottish National Sale 2002". texel.co.uk. Texel Sheep Society. සම්ප්‍රවේශය 2008-09-07.↑ Wooster↑ 37.0 37.1 37.2 Anderson, Virginia DeJohn (2006). Creatures of Empire: How Domestic Animals Transformed Early America. Oxford University Press. pp. 147–48. ISBN 0-19-530446-2.↑ "CHAPTER 10: Cattle Ranchers". Grand Teton Historic Resource Study. National Park Service. July 24, 2004. සම්ප්‍රවේශය September 16, 2013.↑ Forstenzer, Martin (2005-09-20). "It's Wild vs. Domestic Sheep as Groups Lock Horns Over Grazing Area". The New York Times. සම්ප්‍රවේශය 2007-12-12.↑ Walton, Murray T., "OF LIVESTOCK PROTECTION COLLARS TO PROTECT SHEEP AND GOATS" (1991).Fifth Eastern Wildlife Damage Control Conference (1991).Paper 50.↑ 41.0 41.1 Rohter, Larry (2003-07-23). "In Patagonia, Sheep Ranches Get Another Chance". The New York Times. සම්ප්‍රවේශය 2008-01-27.↑ 42.0 42.1 42.2 42.3 42.4 "Grasslands of the world". Food and Agriculture Organization of the Unite
d Nations. සම්ප්‍රවේශය 2007-12-23.↑ "FAOSTAT". Food and Agriculture Organization of the United Nations. සම්ප්‍රවේශය 2007-12-07.↑ Nash, Nathaniel C. (1994-03-19). "Patagonia Fortunes Fade in Cloud of Volcanic Ash". The New York Times. සම්ප්‍රවේශය 2008-01-27.↑ "The people of New Zealand". TeAra: the Encyclopedia of New Zealand. 2006-06-09. සම්ප්‍රවේශය 2007-12-07.↑ Associated Press (2007-01-26). "New Zealand Declares National Lamb Day". CBS News. 2008-04-25 දින පැවති මුල් පිටපත වෙතින් සංරක්ෂිත පිටපත. සම්ප්‍රවේශය 2008-01-21.↑ 47.0 47.1 47.2 47.3 47.4 47.5 D'arcy, J.B. (1990). Sheep Management and Wool Technology. University of New South Wales Press. pp. 147–48. ISBN 0-86840-036-X.↑ 48.0 48.1 48.2 48.3 Macintyre, Stuart (2004). A Concise History of Australia. Cambridge University Press. pp. 30, 37, 57. ISBN 0-521-60101-0.↑ "Agricultural production". TeAra: the Encyclopedia of New Zealand. 2007. සම්ප්‍රවේශය 2007-12-07.↑ Singer, Peter (1991). Animal Liberation. Avon Books. ISB
N 0-380-71333-0.↑ "Wool Boycott Targets Australia Sheep Farmers". National Geographic News. 2005-08-16. සම්ප්‍රවේශය 2007-12-07.↑ Peter Wilkinson (2004-11-08). "In the News". Australian Wool Growers Association. September 24, 2006 දින මුල් පිටපත වෙතින් සංරක්ෂණය කරන ලදී. සම්ප්‍රවේශය 2007-01-09.↑ Cuming, Marius (2007-03-16). "Pain relief from man to lamb". Stock and Land. සම්ප්‍රවේශය 2008-08-11.↑ Code of recommendations and minimum standards for the welfare of Sheep. Retrieved 1 October 2008. සංරක්ෂණය කළ පිටපත 5 ජූනි 2008 at the Wayback Machine↑ "Savethesheep.com". PETA. සම්ප්‍රවේශය 2007-12-07.↑ "Pink angers Australian government". BBC News. 2006-12-20. සම්ප්‍රවේශය 2007-01-09.පෝෂණය යනු ජීවීන් ශක්තිය සහ ද්‍රව්‍ය ලබා ගැනීමේ ක්‍රියාවලියයි. පෝෂණය සඳහා විවිධ ජීව විශේෂ විවිධ වූ ක්‍රම යොදා ගනු ලබයි. ජීවීන්ගේ පෝෂණ ක්‍රම ඔවුන්ගේ ශක්ති ප්‍රභවය සහ කාබන් ප්‍රභවය මත වර්ග කල හැක. කාබන් ප්‍රබවය මත ජීවීන්ගේ පෝෂණය ප්‍රධාන ආකාර දෙකකි.  ස්වයංපෝෂි පෝෂණ ක්‍රමයවිෂමපෝෂී පෝෂණ ක්‍රමයකාබන් ප්
‍රභවය ලෙස කාබන්ඩයොක්සයිඩ් (අකාබනික කාබන්) උපයෝගී කර ගන්නා ජීවීන් ස්වයංපෝෂින් ලෙස හඳුන්වයි.කාබන් ප්‍රභවය ලෙස කාබනික කාබන් (කාබනික ද්‍රව්‍ය) උපයෝගී කර ගන්න ජීවීන් විෂම පෝෂීන් ලෙස හඳුන්වයි.ස්වයංපෝෂී ජීවීන් කාබනික ආහාර සංස්ලේෂණය කරයි. මේ සඳහා ඔවුන්ට ශක්තිය අවැසි වේ. ඔවුන් ශක්තිය ලබාගන්නා ප්‍රභවය අනුව ස්වයංපෝෂී ජීවීන් නැවතත් කාණ්ඩ දෙකකට බෙදිය හැක. එනම්,ප්‍රභා ස්වයංපෝෂී පෝෂණයරසායනික ස්වයංපෝෂී පෝෂණය යනුවෙනි.කාබනික ආහාර සංස්ලේෂණය කිරීමට සූර්ය ශක්තිය උපයෝගී කර ගන්නා ජීවීන් ප්‍රභා ස්වයංපෝෂීන් ලෙස හඳුන්වයි.කාබනික ආහාර සංස්ලේෂණය කිරීමට රසායනික ද්‍රව්‍ය ඔක්සිකරණය කිරීම මගින් ශක්තිය ලබා ගන්නා ජීවීන් රසායනික ස්වයංපෝෂීන් ලෙස හඳුන්වයි.කාබන් ප්‍රභවය ලෙස කාබනික ද්‍රව්‍ය (කාබනික කාබන්) උපයෝගී කර ගන්න ජීවීන් විෂම පෝෂීන් ලෙස හඳුන්වන බව ඉහත දක්වන ලදී. විෂම පෝෂී පෝෂණය ප්‍රධාන ආකාර 3කි. එනම්,මෘතෝපජීවී පෝෂණයසත්ත්ව සදෘෂ පෝෂණය සහසහජීවී පෝෂණය යනුවෙනි.මෘතෝපජීවී පෝෂණයමැරුණු ශාක සත්ත්ව කොටස් වල ඇති කාබනික ද්‍රව්‍ය මත පෝෂණය ලබන ජීවීන් මෘතොපජීවීන් ලෙස හඳුන්වයි. මොවුන් මැරුණු ශාක හා සත්ත්ව කොටස්
වල ඇති කාබනික ද්‍රව්‍ය මතට බහිශ්සෛලීය එන්සයිම ශ්‍රාවය කර ඒවායේ ඇති සංකීර්ණ කාබනික ද්‍රව්‍ය සරල ද්‍රාව්‍ය තත්ත්වයට පත් කරයි. අනතුරුව ඒවා අවශෝෂණය කර භාවිතයට ගනු ලබයි. උදා: ඇතැම් බැක්ටීරියා, සියළුම දිලීරසත්ත්ව සදෘෂ පෝෂණයආහාර මාර්ගයක් තුලට ආහාර අධිග්‍රහණය කරන ජීවීන් සත්ත්ව සදෘෂ පෝශීන් ලෙස හඳුන්වයි. සත්ත්ව සදෘෂ පෝෂණය අදියර 5කින් සමන්විත වේ. ඒවා නම්, අධිග්‍රහණය, ජීරණය, අවශෝෂණය, ස්වීකරණය සහ පහකිරීම යන ඒවායි. සත්ත්ව සදෘෂක පෝෂණය දක්වන ජීවීන් ක්ෂුද්‍ර භක්ෂක, තරල භක්ෂක හෝ මහා භක්ෂක පෝෂණයක් පෙන්වයි. ක්ෂුද්‍ර භක්ෂක ජීවීන් ජලයේ අවලම්බනය වී ඇති ඉතා කුඩා අංශු අධිග්‍රහණය කරයි. උදා: Amoeba, මදුරු කීටයාතරල භක්ෂක ජීවීන් ශාක හා සත්ත්වයන්ගේ තරල මත යැපේ. උදා: මදුරුවා, මකුළුවා, දුඹුරු කීදෑවාමහා භක්ෂක පෝෂීන් විශාල ආහාරමය කොටස් අධිග්‍රහණය කරයි.මහා භක්ෂක ජීවීන් ඔවුන් ලබා ගන්නා ආහාර වර්ගයට අනුව කොටස් 3 කට බෙදිය හැක. එනම්, ශාක භක්ෂක, මාංශ භක්ෂක සහ සර්ව භක්ෂක යනුවෙනි.සහජීවී පෝෂණයඉතා සමීප ලෙස ජීවත් වන විශේෂ දෙකක් හෝ කිහිපයක් අතර දක්නට ඇති පාරිසරික සම්බන්ධතාවයකි.1 − 2 + 3 − 4 + • •
•ගණිතයේදි 1-2+3-4+...යනු පද, අනුයාත ධන නිඛිල වන, ලකුණු ප්‍රත්‍යාවර්ත ලෙස යොදා ගන්නා අපිරිමිත ශ්‍රේණියයි. සිග්මා සමාකලන අංකනය යොදාගනිමින් ශ්‍රේණියේ පළමු m පද වල ඓක්‍යය පහත ලෙස දැක්විය හැක.∑n=1mn(−1)n−1.{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.}අපිරිමිත ශ්‍රේණිය අපසාරී වේ. එනම් එහි ආංශික ඓක්‍යය (1,-1,2,-2,...) නියත අන්තයක් කරා ළගා නොවේ. කෙසේ නමුත් 18වන ශතවර්ෂයේදී ලියොනාර්ඩ් යූලර් විසින් තේරුම් ගැනීම දුෂ්කර බවට ඔහු පිළිගත් සමීකරණයක් ඉදිරිපත් කරන ලදී.1−2+3−4+⋯=14.{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}මෙම සමීකරණය සඳහා පිළිගත හැකි විවරණයක් බොහෝ කලක් යන තුරු ඉදිරිපත් නොවුණි. 1890 පටන් අර්නස්ටෝ සෙසාරෝ, එමිලි බොරෙල් ආදී පිරිසක් යූලර්ගේ සමීකරණයට නව අර්ථකථන ඇතුළු අපසාරී ශ්‍රේණි වලට සාධාරික ඓක්‍යයන් දිය හැකි ක්‍රම පිළිබඳ පරීක්ෂණ සිදු කළහ.මෙම ක්‍රම බොහොමයකින් අවසානයේදී 1-2+3-4+... සඳහා 1/4 ක ඓක්‍යයක් ලැබුණි. සෙසාරෝ සමාකලනය යනු 1-2+3-4... සඳහා ඓක්‍යයක් ලබා නොදෙන ක්‍රම කිහිපයෙන් එකකි. එනම් එය අබෙල් සමාකලනය වැනි තරමක් ප්‍රබල ක්‍
රමයක් අවශ්‍ය වන අවස්ථාවකට උදාහරණයකි.1-2+3-4+... ශ්‍රේණිය 1-1+1-1+... යන ග්‍රැන්ඩිගේ ශ්‍රේණියට බොහෝ සමානතා දක්වයි. යූලර් විසින් 1-2n+3n-4n+…. (ඕනැම n අගයක් සඳහා) හි විශේෂ අවස්ථා ලෙස ඉහත  ශ්‍රේණි සලකමින් ඔහුගේ බේසල් ගැටළුව Dirichlet eta ශ්‍රිතය හා Riemann zeta ශ්‍රිතය ලෙස අද හඳුන්වන ශ්‍රිතීය සමීකරණ දක්වා ගෙන යාමට සමත් විය.අපසාරීතාවශ්‍රේණියේ පද (1,-2,3,-4...) ශුන්‍යයට ළඟා නොවේ. එබැවින් 1-2+3-4+... අපසාරී වේ. අපසාරීතාව පිළිබඳ මූලික දැනුමක් තිබීම පසුව වැදගත් වේ. නිර්වචනයට අනුව, ශ්‍රේණියක අභිසාරීතාව හෝ අපසාරීතාව නිශ්චය කරනු ලබන්නේ එහි ආංශික ඓක්‍යයන්හි අනුක්‍රමයේ අභිසාරීතාව හෝ අපසාරීතාව අනුවය. 1-2+3-4+... හි ආංශික ඓක්‍යයන් වනුයේ   1 = 1,1 − 2 = −1,1 − 2 + 3 = 2,1 − 2 + 3 − 4 = −2,1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,...මෙම අනුක්‍රමයේදී සියළු නිඛිල එක් වරක් හමු වෙන අතර--ශුන්‍ය ආංශික ඓක්‍ය සැලකූ විට 0 ද ඇතුලත් වේ-- එමඟින් z නිඛිල කුලකයෙහි ගණ්‍යතාවය තහවුරු කරයි. ආංශික ඓක්‍යයන්ගේ අනුක්‍රමය මෙම ශ්‍රිතය එක් නිශ්චිත සංඛ්‍යාවක් වෙත අභිසාරී නොවන බව පැහැදිලි කරයි ( ඕනැම x සීමාවක
් සඳහා ආංශික ඓක්‍යයන් [x-1, x+1] පරාසයෙන් පිටත පිහිටන ලක්ෂ්‍යයක් ඇත ). එනම් 1-2+3-4+...අපසාරී වේ.සමාකලනය සඳහා ස්වතෝන්වේෂණ ක්‍රමස්ථායීතාව හා රේඛීයතාව1,-2,3,-4,5,-6....සරල රටාවක් අනුගමනය කරන බැවින් 1-2+3-4+.... යන ශ්‍රේණියේ පද එකතු කිරීමෙන් සංඛ්‍යාත්මක අගයක් ලබා ගතහැකි වේ. යම් S සංඛ්‍යාවක් සඳහා s=1-2+3-4+...නම් පහත ගණනයෙන් S=1/4 බව පෙන්වයි.4s=(1−2+3−4+⋯)+(1−2+3−4+⋯)+(1−2+3−4+⋯)+(1−2+3−4+⋯)=(1−2+3−4+⋯)+1+(−2+3−4+5+⋯)+1+(−2+3−4+5+⋯)−1+(3−4+5−6⋯)=1+[(1−2−2+3)+(−2+3+3−4)+(3−4−4+5)+(−4+5+5−6)+⋯]=1+[0+0+0+0+⋯]4s=1{\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(
1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+
[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}}එනම්  s=14{\displaystyle s={\frac {1}{4}}}. මෙම ව්‍යුත්පන්නය දකුණුපස  ප්‍රස්තාරයෙන් දක්වා ඇත.1-2+3-4+....සඳහා ඓක්‍යයක් නොමැති ලෙස සලකන නමුත්, ඓක්‍යයක් දැක්වීමට අවශ්‍ය වුවහොත් S=1-2+3-4+...=1/4 යනු ඒ සඳහා යොදා ගත හැකි සුදුසුම සමීකරණය වේ. අපසාරී ශ්‍රේණියක ඓක්‍යය සඳහා නිර්වචනයක් ලෙස සමාකලන ක්‍රමය සැලකිය හැක. මෙහිදී සියලුම ශ්‍රේණිවල ඇතැම් උපකුලකයන්හි ඓක්‍යය සලකනු ලබයි. මේ සඳහා භාවිතා කළ හැකි තවත් ක්‍රම ඇති අතර ඒවායෙහි හා සාමන්‍ය සමාකලනයෙහි ලක්ෂණ අතර ඇති සමානතා අනුව ඒවා විවිධ වේ.ඉහත ගණනයෙන් සාධනය කරනු ලබන්නේ;1-2+3-4+...ශ්‍රේණියට ඓක්‍යයක් දිය හැකි ඕනෑම රේඛීය හා ස්ථායී සමාකලන ක්‍රමයකින් ලබාදෙන ඓක්‍යය ¼ වන බවය. එසේම,2s=(1−2+3−4+⋯)+(1−2+3−4+⋯)=1+(−2+3−4+⋯)+1−2+(3−4+5⋯)=0+(−2+3)+(3−4)+(−4+5)+⋯2s=1−1+1−1⋯{\displaystyle {\begin{
array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+3-4+\cdots )&{}+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}}වන බැවින් මෙම ක්‍රමය ග්‍රැන්ඩිගේ ශ්‍රේණියටද පහත ලෙස අගයක් ලබා දෙයි.1-1+1-1+..=1/2කෞචි ගුණිතය1891 දී අර්නස්ටෝ සෙසාරෝ අපසාරී ශ්‍රේණි , කලනය මඟින් පැහැදිලි කිරීමට සමත් විය. (1-1+1-1+...)2=1-2+3-4+... වන බව හා දෙපසම 1/4ට සමාන වන බව ඔහු පෙන්වා දෙන ලදී. මෙම සමීකරණය සෙසාරෝ විසින් මීට පෙර වසරේ දී ඉදිරිපත් කරන ලද, ඓක්‍යයක් ලබා ගත හැකි අපසාරී ශ්‍රේණි පිළිබඳ වූ ප්‍රථම නියමයෙහි යෙදීමක් ලෙස සැලකිය හැක. ඔහුගේ සමාකලන නියමයට අනුව 1-1+1-1+... හා 1-1+1-1+.... හී කෞචි ගුණිතය 1-2+3-4+.... වේ.අපරිමිත ශ්‍රේණි දෙකක කෞචි ගුණිතය නිර්වචනය කිරීම සඳහා ශ්‍රේණි දෙකම අපසාරී විය යුතුය. cn=∑k=0nakbn−k=∑k=0n(−1)k(−1)n−k=∑k=0n(−1)n=(−1)n(n+1).{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n
}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}}එවිට ශ්‍රේණිය වනුයේ∑n=0∞(−1)n(n+1)=1−2+3−4+⋯.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .}එසේම කෞචි ගුණිතය අනුව 1-1+1-1+...=1/2 ලෙස ලබා දෙන සමාකලන ක්‍රමයක් 1-2+3-4=1/4 ලෙසද ඓක්‍යක් ලබා දෙයි. ඉහත ප්‍රතිඵලය අනුව 1-1+1-1+... සහ 1-2+3-4+... හි සමාකලනයේ තුල්‍යතාව රේඛීය, ස්ථායී හා කෞචි ගුණිතයට අදාළ ක්‍රම මඟින් පෙන්නුම් කරයි.සෙසාරෝගේ නියමය මීට උදාහරණයකි. 1-1+1-1+.... ශ්‍රේණිය දුර්වල ලෙස සෙසාරෝ සමාකල්‍ය වේ. එය (c, 1) සමාකල්‍ය ලෙස හැඳින්වේ. 1-2+3-4+... සෙසාරෝ සමාකල්‍යයේ ප්‍රබල අවස්ථාවක් වන අතර එය (c, 2) සමාකල්‍යය ලෙස හැඳින්වේ. සෙසාරෝ නියමයේ සියලු අවස්ථා රේඛීය හා ස්ථායී වන බැවින් ගණනය කරන ලද ඓක්‍යයන් ඒ ආකාර වේ.නිර්දිශ්ට ක්‍රමසෙසාරෝ සහ හෝල්ඩර්Data about the (H, 2) sum of ​1⁄4පවත්නාවූ 1-2+3-4+...හි (c,1) සෙසාරෝ ඓක්‍යය පෙන්වීම සඳහා, ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යයන්හි මධ්‍යයනය ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ. ආංශික ඓක්‍යයන් වන
ුයේ:1,-1,2,-2,3,-3,.......හා මධ්‍යයන වනුයේ:1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7,.....මෙම මධ්‍යයන අනුක්‍රමය අභිසාරී නොවේ. එබැවින් 1-2+3-4+...... සෙසාරෝ සමාකල්‍ය නොවේ.සෙසාරෝ සමාකලනය සඳහා පිළිගත් ව්‍යාප්තිකරණ දෙකකි. වඩා සරල වනුයේ, n ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා සඳහා වන (H, n) අනුක්‍රමයයි. (H, n) ඓක්‍යය සෙසාරෝ සමාකල්‍ය වන අතර අනෙක් සංකීර්ණ ක්‍රම මධ්‍යයනය ගණනය කරයි. ඉහත ක්‍රමයේ, ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවල මධ්‍යයනය 1/2 වන අතර ඔත්තේ සංඛ්‍යාවල මධ්‍යයනය 0ට සමාන වේ. එබැවින් මධ්‍යයනයන්හි මධ්‍යයනය 0 හා 1/2 හි සාමාන්‍යය වෙත අභිසාරී වේ. එනම් 1-2+3-4+..., 1/4 ට (H, n) සමාකල්‍ය වේ.H මඟින් “ඔටෝ හෝල්ඩර්” සංකේතවත් වේ. ඔහු 1882 දී පළමු වරට අබෙල් සමාකලනය හා (H,n ) සමාකලනයේ සම්බන්ධය පෙන්වා දෙන ලදී. 1-2+3-4+...ඔහුගේ ප්‍රථම උදාහරණයයි. 1/4 යනු 1-2+3-4+...හි (H, 2) සමාකලනය වීම, එය අබෙල් සමාකලනය බව තහවුරු කරයි. මෙය පහත සාධනය කර ඇත.අනෙක් පිළිගත් සෙසාරෝ සමාකලනයෙහි ව්‍යාප්තිකරණය වනුයේ (C,n ) අනුක්‍රමයයි. (C,n ) සමාකලනයේ හා (H,n ) සමාකලනයේ අගය සමාන බව ඔප්පු කර ඇති නමුදු ඓතිහාසික පදනම වෙනස් වේ. 1887 දී සෙසාරෝ (C, n) සමාකලනයේ නිර්වචනය දැක්වීමට
සමත් වුවද ඔහුට ඉදිරිපත් කළ හැකි වූයේ සුළු උදාහරණ ප්‍රමාණයකි. 1-2+3-4+... හි ඓක්‍යය 1/4 ලෙස ඔහු (C, n) වැනි ක්‍රමයකින් ගණනය කළද එය නිවැරදි ලෙස සාධනය කිරීමට ඔහු අසමත් විය. ඔහු 1890දී (C,n ) ක්‍රම නිර්වචනය කරමින් ඔහුගේ නියමය ඉදිරිපත් කළේය. එනම් (C, n) සමාකල්‍ය ශ්‍රේණියක හා (C,m ) සමාකල්‍ය ශ්‍රේණියක කෞචි ගුණිතය (C, m+n+1) සමාකල්‍ය වන බවයි.   අබෙල් සමාකලනය  1749දී ශ්‍රේණියක් අපසාරී වන නමුත් ඓක්‍යයක්ද ලබා දෙන බව ලියොනාර්ඩ් යුලර් සඳහන් කරන ලදී. 1-2+3-4+5-6..හි ඓක්‍යය 1/4 යන්න පරස්පර විරෝධී වේ. මෙම ශ්‍රේණියේ පද 100ක එකතුව -50 වන අතර පද 101ක් වූ විට ඓක්‍යය +51 වේ. එය 1/4ට හාත්පසින් වෙනස් වන අතර පද සංඛ්‍යාව වැඩි වත්ම ඓක්‍යයද වැඩි වේ. නමුත් 'ඓක්‍යය' යන්නට මෙහිදී වඩා පුළුල් අර්ථයක් අවශ්‍ය වේ....යුලර් විසින් 'ඓක්‍යය' යන්නට අර්ථ දැක්වීම් කිහිපයක් ලබා දී ඇත. 1-2+3-4+....යන අවස්ථාවේදී ඔහුගේ පැහැදිලි කිරීම් අබෙල් සමාකලනයට බෙහෙවින් සමාන වේ.1-2+3-4+5..ශ්‍රේණිය 1/(1+1)2 යන සූත්‍රයේ ප්‍රසාරණය වන බැවින් ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය ද සූත්‍රයේ අගය වන 1/4 වන බව නිසැකය. 1/(1+x)2 යන ප්‍රකාශනය ප්‍රසාරණය කිරීමෙන් ලබා ග
න්නා 1-2x+3x2-4x3+5x4-6x5+…. ශ්‍රේණිය සලකා බැලීමෙන් මෙය වඩාත් පැහැදිලි වේ; x=1 වන විට මෙය ඉහත අවස්ථාවට සමාන වන  බැවිනි.|x|<1 වන නියත අගයක් සඳහා, යුලර් නිවැරදි බව පෙන්වීමට බොහෝ උදාහරණ ඇත.1−2x+3x2−4x3+⋯=1(1+x)2.{\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.}ප්‍රකාශනයේ දකුණුපස ටේලර් ප්‍රසාරණය හෝ බහුපද ප්‍රකාශන සඳහා සම්මත දීර්ඝ බෙදීමේ ක්‍රමය මෙහිදී සලකා බැලිය හැක. වම් පස පදය (1+x) න් දෙවරක් ගුණ කිරීමෙන් හෝ 1-2x+3x2-4x3+... යන ගුණෝත්තර ශ්‍රේණිය වර්ග කිරීමෙන් හෝ ඉහත ක්‍රම යෙදිය හැක. අපර ශ්‍රේණිය අවකලනය කිරීමද යුලර් විසින් යෝජනා කරන ලද ක්‍රමයකි.නව අදහසට අනුව x=1 වන විට 1-2x+3x2-4x3+... ශ්‍රේණිය ශ්‍රිතයක් ලබා නොදෙයි. එනම් ප්‍රකාශනයට එම අගය ආදේශ කළ නොහැක. මෙහිදී සියළු |x|<1 සඳහා ශ්‍රිතය නිර්වචනය කළ හැකි බැවින් x, 1ට ළඟාවන සීමාව සැලකීමට හැක. මෙය අබෙල් සමාකලනයේ නිර්වචනයයි.limx→1−∑n=1∞n(−x)n−1=limx→1−1(1+x)2=14.{\displaystyle \lim _{x\rightarr
ow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}යුලර් සහ බොරෙල්Euler summation to ​1⁄2 − ​1⁄4මෙම ශ්‍රේණිය සඳහා යුලර් තවත් ක්‍රමයක් ආදේශ කළේය. ඔහුගේ සොයාගැනීමක් වන එය යුලර් පරිණාමිතය ලෙස හැඳින්වේ. යුලර් පරිණාමිතය ගණනය කිරීම ප්‍රත්‍යාවර්තිත ශ්‍රේණියට අයත් ධන පද වලින් ආරම්භ කළ හැක- එය මෙහිදී 1,2,3,4,.... වේ. මෙම අනුක්‍රමයේ පළමු පදය a0 වේ.මීළඟට 1,2,3,4,... හි ඇති අභීප අන්තර අවශ්‍ය වේ. එනම් 1,1,1,1.... මෙම අනුක්‍රමයේ පළමු අගය ∆a0 යි. යුලර් පරිණාමිතය අන්තරයන්හි අන්තර හා පුනහ්කරණ මතද පදනම් වේ. නමුත් 1,1,1,1....අතර ඇති සියළු අභීප අන්තර 0 වේ. එබැවින් 1-2+3-4+...හි යුලර් පරිණාමිතය පහත ලෙස දැක්විය හැක.12a0−14Δa0+18Δ2a0−⋯=12−14.{\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.}නව නාමකරණයට අනුව, 1-2+3-4+...., 1/4ට යුලර් සමාකල්‍ය වේ.∑k=0∞ak=∑k=0∞(
−1)k(k+1),{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),}1-2+3-4+.... ඉහත ලෙස දක්වමින් පහත අභිසාරී ශ්‍රේණිය ලබාගත හැක.a(x)=∑k=0∞(−1)k(k+1)xkk!=e−x(1−x).{\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x).}එබැවින් 1-2+3-4+.... හි බොරෙල් ඓක්‍යය වනුයේ,∫0∞e−xa(x)dx=∫0∞e−2x(1−x)dx=12−14.{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.}පරිමාණ විභේදනයඅත්‍යණුක විස්ථාපනය හා පරිමාණ විභේදනය යන භෞතික මූලධර්ම දෙක පමණක් භාවිතා කරමින් Saichev හා  Woyczyński විසින් 1-2+3-4+...=1/4 බව පෙන්වා දීමට සමත් වූහ. ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය 1/4 ලෙස ලබා දෙන 'φ සමාකලන ක්‍රම' රාශියක් පැහැදිලි කිරීමට මෙම මූලධර්ම භාවිතා කළ හැක. φ(0)=1 හා +∞ හි දී φ(x) හා xφ(x) හි සීමා 0 වන විට, φ යනු පළමු හා දෙවන ව්‍යුත්පන්න (0, ∞) දී අඛණ්ඩ හා අනුක
ල්‍ය වන ශ්‍රිතයක් නම්,limδ→0∑m=0∞(−1)m(m+1)φ(δm)=14.{\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.}මෙය φ(x) = exp (-x) වන විට අබෙල් සමාකලනය පැහැදිලි කරයි. ශ්‍රේණියේ පද m වටා යුගලනය කිරීමෙන් සහ ප්‍රකාශනය රීමන් නිඛිලයක් බවට පරිවර්තනය කිරීමෙන් එය සාධනය කළ හැක. මීළඟ පියවර ලෙස 1-1+1-1+... හී සාධනය මධ්‍යයන අගය ප්‍රමේය යොදා ගනී. නමුත් මෙහිදී ඒ සඳහා ටේලර් ප්‍රමේයයේ ලාග්‍රාන්ජ් අවස්ථාව අවශ්‍ය වේ.ව්‍යාප්තිකරණ1-1+1-1+... හි තෙවැදෑරුම් කෞචි ගුණිතය වනුයේ 1-3+6-10+..., එනම් ත්‍රිකෝණික සංඛ්‍යාවල ප්‍රත්‍යාවර්තිත ශ්‍රේණියයි. එහි අබෙල් හා යුලර් සමාකලනය වනුයේ 1/8. 1-1+1-1+... හි චතුර්විධ කෞචි ගුණිතය 1-4+10-20+... වන අතර එය චතුස්තලීය සංඛ්‍යාවල ප්‍රත්‍යාවර්තිත ශ්‍රේණියයි. එහි අබෙල් ඓක්‍යය 1/16 වේ.1-2+3-4+... හි තවත් ව්‍යාප්තිකරණයක් වනුයේ 1-2n+3n-4n+…. (අනෙක් n අගයන් සඳහා). n ධන නිඛිල සඳහා මෙම ශ්‍රේණිය පහත අබෙල් ඓක්‍යයන් ලබා දෙයි.Bn බනෝලි සංඛ්‍යා නම්,  1-2n+3n- ……. =  ( 2^(n+1)-1)/(
n+1) B_(n+1)ඉරට්ටේ n සංඛ්‍යා සඳහා මෙය පහත අයුරු වේ.1-22k+32k-……. = 01826දී මෙම අවසාන ඓක්‍යය නීල්ස් හෙන්‍රික් අබෙල් ගේ විවේචනයට පාත්‍ර විය;"අපසාරී ශ්‍රේණි යනු යක්ෂයාගේ ක්‍රියාවකි. කිසිවෙක් ඒ සඳහා සාධනයක් ඉදිරිපත් කිරීම ලැජ්ජාවට කරුණකි. එය භාවිතා කිරීමෙන් තමාට අවශ්‍ය දෙය ලබා ගැනීමට හැක. එබැවින් එය බොහෝ අසතුටුදායක මෙන්ම පරස්පර විරෝධී අදහස් නිර්මාණය කර ඇත. කිසිවෙකුට හෝ 0 = 1-2n+3n-4n+… (n ධන නිඛිල වන විට )යන සමීකරණයට වඩා දරුණු දෙයක් පිළිබඳ සිතා ගත හැකිද? මිතුරනි, මෙය සිනහවට කරුණකි ".සෙසාරෝ ගේ ගුරුවරයා වන ඉයුජින් චාර්ල්ස් කැටලන්ද අපසාරී ශ්‍රේණි විවේචනය කළේය. කැටලන්ගේ ආභාෂයෙන් සෙසාරෝ ද 1-2n+3n-4n+…  සඳහා වන සූත්‍ර 'හාස්‍යජනක සමානතා' ලෙස හැඳින්වීය. 1883දී සෙසාරෝ විසින් මෙම සූත්‍ර නිවැරදි නොවන නමුත් ඇතැම් විට ප්‍රයෝජනවත් වන බවට අදහස් දැක්විය. නමුත් 1890දී ඔහුගේ Sur la multiplication des séries තුළින් නිර්වචන ඔස්සේ නව එළඹුමක් ලබා දීමට සමත් විය.මෙම ශ්‍රේණි නිඛිල නොවන n සංඛ්‍යා සඳහා ද අදාළ කර ගත හැක. එය Dirichlet eta ශ්‍රිතය ලබා දෙයි. 1-2+3-4+... ට අදාළ ශ්‍රිතයන් අධ්‍යයනය කිරීමට යුලර් උත
්සුක වීමට තවත් හේතුවක් වූයේ ශ්‍රිතීය සමීකරණයි. එය සෘජුවම Riemann zeta ශ්‍රිතයට සම්බන්ධ වේ. යුලර් ඒ වනවිට ද  ධන ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා සඳහාමෙම ශ්‍රිතයන්ට අගයන් සොයාගෙන සිටි අතර(බේසල් ගැටළුවද ඇතුළුව ), ධන ඔත්තේ සංඛ්‍යා සඳහා ද ලැබෙන අගයන් සෙවීමට උත්සාහ දරමින් සිටියේය (ඇපෙරි නියතය ද ඇතුළුව ). වර්තමානයේදී මෙම ගැටළුව විසඳිය නොහැක්කක් ලෙස සලකනු ලබයි.  Eta ශ්‍රිතයේ Dirichlet ශ්‍රේණිය සෑමතැන්හිදීම අබෙල් සමාකල්‍ය වන බැවින්, එය යුලර්ගේ ක්‍රමවේදයන් භාවිතා කරමින් විසඳීම පහසුවේ. නමුත් Zeta ශ්‍රිතයේ Dirichlet ශ්‍රේණිය අපසාරී වන අවස්ථාවේදී එහි ඓක්‍යය සෙවීම අපහසු වේ.උදා: 1+2+3+4+...යන ප්‍රත්‍යාවර්තිත ශ්‍රේණිය zeta ශ්‍රිතයේ 1-2+3-4+...හි පූරණයයි. එය නූතන භෞතික විද්‍යාවේදී බොහෝ සෙයින් භාවිතා වන නමුත් ඓක්‍යය සෙවීම සඳහා වඩා ප්‍රබල ක්‍රමවේද අවශ්‍ය වේ.මෙම ලිපිය සත්‍යාපනය සඳහා තවත් අමතර මූලාශ්‍ර දැක්වීම කළ යුතුව ඇත. විශ්වසනීය මූලාශ්‍ර වෙත වන උපහරණ එක් කිරීමෙන් මෙම ලිපිය වැඩිදියුණු කිරීමට උපකාර කිරීමට කාරුණික වන්න. මූලාශ්‍ර රහිත කරුණු අභියෝගයට ලක්වීමට හා ඉවත් කිරීමට ඉඩ ඇත.මූලාශ්‍ර සෙවීම: "ව්‍යාපාර වස්තු හුවමාරුව