Portaria SEGECEX n° 11/2002
Assunto: Aprova o Roteiro de Técnicas de Amostragem para Auditorias.
Origem: [SEGECEX]
Tema: Controle Externo
Início de vigência: 15/03/2002
Situação: Vigente
Tags: [Amostragem em auditoria, Manual]

PORTARIA Nº 11, DE 15 MARÇO DE 2002.

Aprova o Roteiro de Técnicas de Amostragem para Auditorias.

O SECRETÁRIO-GERAL DE CONTROLE EXTERNO DO TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO, no uso da competência que lhe confere o artigo 10, inciso II, da Resolução n.º 140, de 13 de dezembro de 2000, resolve:

Art. 1º Fica aprovado o Roteiro de Técnicas de Amostragem para Auditorias, com vistas a subsidiar a atuação dos servidores deste Tribunal em trabalhos de auditoria.

Art. 2º Compete à Secretaria Adjunta de Fiscalização - Adfis divulgar o Roteiro aprovado por esta Portaria, mantê-lo atualizado, bem como esclarecer dúvidas e receber sugestões para o seu aperfeiçoamento.

Art. 3º Esta Portaria entra em vigor na data de sua publicação.

LUCIANO CARLOS BATISTA

Publicada no BTCU-Especial nº 19, de 25 de março de 2002

[

TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO
Secretaria-Geral de Controle Externo
Secretaria-Adjunta de Fiscalização
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
PARA AUDITORIAS
ADFIS/SEGECEX
2002
TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO
Negócio
Controle externo da administração pública e da gestão dos recursos públicos federais.
Missão
Assegurar a efetiva e regular gestão dos recursos públicos, em benefício da sociedade.
Visão
Ser instituição de excelência no controle e contribuir para o aperfeiçoamento da
administração pública.
MINISTROS
Humberto Guimarães Souto, Presidente
Antonio Valmir Campelo Bezerra, Vice-Presidente
Marcos Vinicios Rodrigues Vilaça
Iram de Almeida Saraiva
Adylson Motta
Walton Alencar Rodrigues
Guilherme Gracindo Soares Palmeira
Ubiratan Diniz Aguiar
Benjamin Zymler
MINISTROS-SUBSTITUTOS
Lincoln Magalhães da Rocha
Augusto Sherman Cavalcanti
Marcos Bemquerer Costa
MINISTÉRIO PÚBLICO
Lucas Rocha Furtado, Procurador-Geral
Jatir Batista da Cunha, Subprocurador-Geral
Paulo Soares Bugarin, Subprocurador-Geral
Ubaldo Alves Caldas, Subprocurador-Geral
Maria Alzira Ferreira, Procuradora
Marinus Eduardo Vries Marsico, Procurador
Cristina Machado da Costa e Silva, Procuradora
TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO
Secretaria-Geral de Controle Externo
Secretaria-Adjunta de Fiscalização
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
PARA AUDITORIAS
Brasília, março de 2002.
Tribunal de Contas da União
Internet: http://www.tcu.gov.br
SAFS Q. 04 Lt. 01
70.042-900 - Brasília (DF)
Secretário-Geral de Controle Externo:
Luciano Carlos Batista
Secretário-Adjunto de Fiscalização:
Cláudio Souza Castello Branco
Analistas de Finanças e Controle Externo - Área de Controle Externo:
Carlos Alexandre Amorim Rocha (Semag - Redação)
Fábio Henrique Granja e Barros (Secob - Revisão)
Flávio Marcos Godoy Krecke (Semag - Revisão)
Marcelo Cardoso Soares (Seprog - Revisão)
Márcio Emmanuel Pacheco (Secex-RJ - Revisão)
Paula de Biase Damasceno (Secex-RJ - Revisão)
657.63 Brasil. Tribunal de Contas da União.
B823t Técnicas de amostragem para
auditorias / Tribunal de Contas da União.
-- Brasília : TCU, Secretaria-Adjunta de
Fiscalização, 2002.
149 p.
1. Auditoria I. Título.
Ficha Catalográfica elaborada pela Divisão de Documentação do TCU.
APRESENTAÇÃO
Este documento complementa orientações constantes do Manual de Auditoria de
Natureza Operacional desta Corte. As técnicas ora tratadas procuram orientar as equipes de
auditoria sobre os conceitos e procedimentos elementares requeridos pelas amostragens
probabilísticas, bem como sobre os benefícios que elas podem proporcionar.
É nítida a importância do presente trabalho, pois já se observa uma demanda por
técnicas de amostragem nas avaliações de programas públicos, nas fiscalizações de obras e
na obtenção de subsídios para os pareceres anuais sobre as contas prestadas pelo Presidente
da República.
No intuito de tornar mais claros e acessíveis os temas abordados, este documento
contém vários exemplos e, quando possível, as rotinas do Microsoft Excel que permitem
obter os resultados desejados.
Ademais, convém frisar que este trabalho não apenas descreve as técnicas de
amostragem mais tradicionais (i.e., aleatória simples, estratificada e por conglomerados),
empregadas em diversos campos do conhecimento, como também resume uma técnica
específica para auditorias contábil-financeiras, qual seja: a amostragem por unidade
monetária.
Dessa forma, acreditamos que o presente documento contribuirá para tornar mais
efetiva a atuação do TCU, aprimorando a sua capacidade para apurar tempestivamente os
resultados e as eventuais falhas sistemáticas presentes na administração pública federal.
Naturalmente, é de suma importância a apresentação de críticas e sugestões por
todos que utilizarem este documento, pois somente isso permitirá o seu aperfeiçoamento. O
tópico "Folha de Sugestões", incluído no final desta brochura, explica como e a quem enviar
quaisquer comentários.
Finalmente, na condição de Secretário-Geral de Controle Externo, parabenizo os
dirigentes e servidores cujo esforço resultou na materialização do presente trabalho.
Luciano Carlos Batista
Secretário-Geral de Controle Externo
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
iv
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS...................................................................................................... vii
LISTA DE TABELAS.......................................................................................................ix
LISTA DE EXEMPLOS ....................................................................................................x
INTRODUÇÃO ................................................................................................................11
1. CONCEITOS BÁSICOS..............................................................................................15
1.1. Inferência Estatística............................................................................................... 15
1.2. Principais Tipos de Amostragem Probabilística...................................................... 16
1.2.1. Introdução à Amostragem Aleatória Simples................................................. 16
1.2.2. Introdução à Amostragem Aleatória Estratificada.......................................... 17
1.2.3. Introdução à Amostragem Aleatória por Conglomerados............................... 18
1.3. Plano Amostral....................................................................................................... 19
2. PROPRIEDADES DOS DADOS NUMÉRICOS ........................................................21
2.1. Medidas de Tendência Central................................................................................ 21
2.2. Medidas de Variação .............................................................................................. 23
2.3. Relação entre a Média e a Mediana ........................................................................ 25
3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.................................................................27
3.1. Modelos de Distribuição Discreta........................................................................... 27
3.1.1. Distribuição Binomial ................................................................................... 28
3.1.2. Distribuição Hipergeométrica........................................................................ 30
3.1.3. Distribuição Binomial Negativa .................................................................... 31
3.1.4. Distribuição de Poisson................................................................................. 31
3.2. Modelos de Distribuição Contínua.......................................................................... 33
3.2.1. Distribuição Normal...................................................................................... 34
3.2.2. Distribuição Exponencial .............................................................................. 39
4. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS................................................................................41
4.1. Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais............................................ 41
4.2. Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais...................................... 47
4.3. Amostragem em Populações Finitas ....................................................................... 48
5. ESTIMAÇÃO ...............................................................................................................49
5.1. Estimativa do Intervalo da Média com s Conhecido............................................... 50
5.2. Estimativa do Intervalo da Média com s Desconhecido.......................................... 52
5.3. Estimativa do tipo "Bootstrapping" ........................................................................ 55
5.4. Estimativa do Intervalo para Proporções................................................................. 55
5.5. Determinação do Tamanho da Amostra .................................................................. 57
5.5.1. Médias .......................................................................................................... 57
5.5.2. Proporções .................................................................................................... 58
5.6. Amostragem em Populações Finitas ....................................................................... 60
5.7. Estimativa do Intervalo para Totais......................................................................... 61
5.8. Estimativa do Intervalo para Diferenças ................................................................. 62
vi
6. VARIANTES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES..................................65
6.1. Amostragem Aleatória Estratificada ....................................................................... 65
6.1.1. Estimação de Médias, Totais e Proporções na AAE ....................................... 65
6.1.2. Determinação do Tamanho da Amostra na AAE............................................ 68
6.2. Amostragem Aleatória por Conglomerados ............................................................ 69
6.2.1. Estimação de Médias, Totais e Proporções na AAC....................................... 69
6.2.2. Determinação do Tamanho da Amostra na AAC............................................ 72
7. AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA.....................................................73
7.1. Metodologia da Amostragem por Unidade Monetária............................................. 75
7.2. Aplicação da Amostragem por Unidade Monetária................................................. 80
8. TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM....................................................................83
8.1. Efeitos da Não-Resposta......................................................................................... 84
8.2. Métodos de Redução da Não-Resposta................................................................... 87
8.2.1. Call-Backs..................................................................................................... 88
8.2.2. Subamostras.................................................................................................. 89
8.3. Métodos de Compensação da Não-Resposta........................................................... 90
ANEXO I: ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL...........................................................93
ANEXO II: DISTRIBUIÇÕES NORMAL PADRÃO & "t" DE STUDENT..............107
ANEXO III: BREVIÁRIO DE FÓRMULAS................................................................117
ANEXO IV: FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS POR UNIDADE
MONETÁRIA .........................................................................................................127
ANEXO V: APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE
MONETÁRIA .........................................................................................................111
GLOSSÁRIO..................................................................................................................137
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................141
FOLHA DE SUGESTÕES.............................................................................................143
vii
LISTA DE FIGURAS
1.1. Amostragem Aleatória Simples....................................................................................16
1.2. Amostragem Aleatória Estratificada ............................................................................17
1.3. Amostragem Aleatória por Conglomerados .................................................................18
2.1. Propriedades dos Dados Numéricos.............................................................................21
2.2. Relação entre a Média, a Mediana e a Moda................................................................25
3.1. Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidades ...................................................27
3.2. Distribuição Binomial com n = 5 e p = 0,5...................................................................29
3.3. Distribuição Binomial com n = 5 e p = 0,1...................................................................30
3.4. Distribuição de Poisson com l = 0,5............................................................................32
3.5. Distribuição de Poisson com l = 6...............................................................................33
3.6. Função Densidade de Probabilidades...........................................................................33
3.7. Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas.........................................................34
3.8. Distribuição Normal ....................................................................................................35
3.9. Efeitos de Variações em s e m (sA > sB e mC > mB)......................................................36
3.10. Padronização da Distribuição Normal........................................................................37
3.11. Obtenção de Probabilidades [P (Z) ] Dado um Valor Normal Padronizado (Z).............38
3.12. Obtenção de um Valor Normal Padronizado (Z) Dada uma Probabilidade
[P (Z) ] ..........................................................................................................................38
3.13. Distribuição Exponencial...........................................................................................40
4.1. Medida Não-Viesada ...................................................................................................42
4.2. Medida Eficiente .........................................................................................................42
4.3. Medida Consistente .....................................................................................................43
4.4. Exemplo de Distribuição de Médias Amostrais............................................................43
4.5. Exemplo do Impacto de n em Amostras Extraídas de Populações Distribuídas
Normalmente...............................................................................................................44
4.6. Teorema do Limite Central ..........................................................................................46
4.7. Aplicação do Teorema do Limite Central.....................................................................46
4.8. Distribuição de Proporções Amostrais .........................................................................47
5.1. Elementos de uma Estimativa Probabilística................................................................49
5.2. Intervalos de Confiança das Médias Amostrais............................................................50
viii
5.3. Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Conhecendo-se o Desvio-
Padrão Populacional....................................................................................................51
5.4. Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Desconhecendo-se o
Desvio-Padrão Populacional........................................................................................53
5.5. Aplicação da Tabela "t" de Student..............................................................................54
8.1. Tipos de Erro em Amostragem ....................................................................................84
A.1. Dados Hipotéticos.......................................................................................................95
A.2. Geração de Estatísticas Descritivas .............................................................................95
A.3. Estatísticas Descritivas Geradas..................................................................................96
A.4. Agrupamento de Dados (Etapa 1 de 4)........................................................................97
A.5. Agrupamento de Dados (Etapa 2 de 4)........................................................................97
A.6. Agrupamento de Dados (Etapa 3 de 4)........................................................................98
A.7. Agrupamento de Dados (Etapa 4 de 4)........................................................................98
A.8. Dados Agrupados........................................................................................................98
A.9. Seleção de Amostras Aleatórias Simples com Reposição..........................................100
A.10. Amostra Aleatória Simples Selecionada..................................................................100
A.11. Estimação do Intervalo de Confiança para Médias com Desvio-Padrão
Conhecido .................................................................................................................101
A.12. Intervalo de Confiança Estimado.............................................................................101
ix
LISTA DE TABELAS
3.1. Aplicações da Distribuição Binomial ...........................................................................29
5.1. Tamanho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Proporções de "Sucesso"
(Z = 1,96) ....................................................................................................................59
6.1. Resumo dos Dados Coletados na Aplicação da Amostragem por
Conglomerados ...........................................................................................................70
7.1. Índices de Confiabilidade para Várias Quantidades Previstas de Erros e Níveis
de Confiança ...............................................................................................................73
7.2. Índice de Confiabilidade para Vários Erros Observados na Amostra............................75
7.3. Seleção dos Elementos Amostrais................................................................................78
7.4. Fatores de Ampliação do Intervalo de Precisão ( ) FAP
j ..................................................80
7.5. Diferenças Observadas na Amostra..............................................................................81
8.1. Intervalos de Confiança para Várias Proporções de "Sucesso" e Índices de Não-
Resposta (Z = 1,96 e n = 1.000)...................................................................................86
8.2. Tamanho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Índices de Não-Resposta
(Z = 1,96 e p = 0,5)......................................................................................................87
8.3. Eficácia de Três Tentativas de Contato ........................................................................88
A.1. Obtenção da Amplitude Semi-Interquartílica e da Meia Amplitude Semi-
Interquartílica..............................................................................................................99
A.2. Estimação de Intervalos de Confiança.......................................................................102
A.3. Determinação do Tamanho da Amostra ....................................................................103
A.4. Estimação do Intervalo de Confiança para Totais......................................................104
A.5. Estimação do Intervalo de Confiança para Diferenças...............................................105
x
LISTA DE EXEMPLOS
3.1. Aplicação da Distribuição de Poisson ..........................................................................32
3.2. Aplicação da Distribuição Exponencial........................................................................39
4.1. Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais............................45
4.2. Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais......................48
5.1. Aplicação da Estimativa do Intervalo da Médias com s Conhecido.............................52
5.2. Aplicação da Estimativa do Intervalo para Médias com s Desconhecido.....................54
5.3. Aplicação da Estimativa do Intervalo para Proporções.................................................56
5.5. Cálculo do Tamanho da Amostra para Estimar Duas Proporções .................................58
5.6. Cálculo do Tamanho da Amostra para Estimar n-Proporções.......................................59
5.7. Cálculo Simplificado do Tamanho da Amostra para Estimar n-Proporções..................60
5.8. Aplicação da Estimativa do Intervalo para Totais ........................................................62
5.9. Aplicação da Estimativa do Intervalo para Diferenças .................................................63
6.1. Aplicação da Estimativa de Médias na Amostragem Estratificada ...............................66
6.2. Aplicação da Estimativa de Totais na Amostragem Estratificada .................................67
6.3. Aplicação da Estimativa de Médias e Proporções na Amostragem por
Conglomerados ...........................................................................................................70
7.1. Cálculo do Índice de Confiabilidade ............................................................................74
7.2. Aplicação da Tabela de Índices de Confiabilidade .......................................................75
7.3. Cálculo do Tamanho da Amostra na AUM...................................................................77
7.4. Seleção dos Elementos Amostrais na AUM..................................................................77
8.1. Cálculo da Quantidade de Questionários......................................................................90
INTRODUÇÃO
É cada vez mais comum o uso de técnicas de amostragem pelos órgãos
brasileiros de controle das finanças públicas, merecendo destaque os esforços da Secretaria
Federal de Controle - SFC. A adoção dessas técnicas pelos órgãos em questão é uma
decorrência do processo de reforma do Estado, no qual, sem prejuízo das várias formas de
controle jurídico, observa-se uma demanda crescente por controles gerenciais, preocupados
com a tempestiva apuração de resultados e com a identificação de falhas sistemáticas que,
independentemente de envolverem ou não práticas ilícitas, possam requerer a adoção, em
tempo hábil, de medidas corretivas de natureza político-administrativa.
No âmbito do TCU, há uma tendência em favor do uso dessas técnicas de
amostragem em avaliações de programas públicos, em fiscalizações de obras e até mesmo
na obtenção de subsídios para os pareceres anuais sobre as contas prestadas pelo Presidente
da República. Dessa forma, o presente documento deve ser compreendido como uma
complementação do Manual de Auditoria de Natureza Operacional.
Este trabalho tem como objetivo permitir que os AFCEs-CE tomem contato com
os principais conceitos e métodos empregados pelas modernas técnicas de amostragem, para
que possam estruturar melhor os trabalhos de campo cujo propósito seja determinar, p. ex.,
se os cadastros ou sistemas de controle das unidades jurisdicionadas são confiáveis, se as
políticas públicas federais estão alcançando os resultados que lhe deram origem ou se as
eventuais insuficiências de desempenho são aleatórias ou sistemáticas.
Isso não significa, entretanto, que este documento bastará para que os membros
do corpo técnico do TCU se tornem especialistas em amostragem - uma disciplina por
demais vasta e que, por ser eminentemente aplicada, precisa lidar com uma grande
variedade de situações concretas. Na verdade, raramente os cadastros apresentam o mesmo
grau de confiabilidade. É igualmente pouco comum que as populações apresentem o mesmo
nível de dispersão ou o mesmo índice de não-respondentes recalcitrantes. Esses fatores
geram diferenças entre os estimadores empregados pelos estudos amostrais, tornando-os, de
certa forma, únicos.
Com este trabalho, pretende-se que os AFCEs-CE possam cumprir as tarefas
mais simples e, ante situações mais complexas, formular questões que possam ser
respondidas com objetividade por especialistas em atividade no próprio TCU ou em outras
entidades, públicas ou privadas. Os interessados em se aprofundar um pouco mais nesse
tema deverão recorrer a textos especializados, tais como as obras "Curso de Estatística",
"Estatística Aplicada à Administração" e, em especial, "Elementary Survey Sampling" (vide
o tópico "Bibliografia").
Ressalte-se que, para que este documento fosse o mais útil possível para os
membros do corpo técnico, os cinco primeiros capítulos baseiam-se em rotinas do Microsoft
Excel, pertencente à plataforma de softwares do TCU. A principal fonte para esses capítulos
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
12
foi a versão de 1997 da obra "Statistics for Managers Using Microsoft Excel". Cabe
registrar o nosso agradecimento a um dos seus autores, Prof.º David M. Levine, da City
University of New York, por nos ter permitido acessar o material didático derivado desse
livro, especialmente as apresentações do Microsoft PowerPoint preparadas pelo Prof.º John
McGill.
O presente trabalho representa o resultado de seis anos de iniciativas individuais,
de treinamentos promovidos pela Assessoria de Relações Internacionais (Arint) e pelo
Instituto Serzedello Corrêa (ISC), e de recursos alocados pela extinta Secretaria de
Auditoria e Inspeções (Saudi) e pelas atuais Secretaria-Adjunta de Fiscalização (Adfis),
Secretaria de Macroavaliação Governamental (Semag), Secretaria de Controle Externo no
Estado do Rio de Janeiro (Secex-RJ), Secretaria de Fiscalização de Obras e Patrimônio da
União (Secob) e Secretaria de Fiscalização e Avaliação de Programas de Governo (Seprog).
As fases do trabalho foram:
∙ participação no "TCU Auditing Seminar", ministrado, em novembro de 1995,
pelos auditores Roger Adams e Richard Regal, da Association of Certified
Chartered Accountants, com 60 horas de duração;
∙ manutenção de contatos com auditores da Inspetoria-Geral do Departamento
da Defesa dos EUA, como parte do curso "Executive Development Program
in Performance Management", ministrado, em junho de 1996, pelo Virginia
Polytechnic Institute and State University e pela Fundação Getúlio Vargas,
com o auxílio da National Academy of Public Adminstration;
∙ participação no curso "Estatística Aplicada e Noções de Amostragem",
ministrado, em maio de 1997, pelo Prof.º George von Borries, com 20 horas
de duração;
∙ participação na disciplina "Delineamento e Análise de Amostras" do
mestrado em Estatística da Universidade de Brasília, ministrada no 2º
semestre de 1997;
∙ elaboração deste documento no período de setembro de 1998 a março de
1999;
∙ organização do módulo "Técnicas de Amostragem", ministrado em abril de
1999, com 15 horas de duração, do curso "Introdução à Auditoria" do
Programa de Formação de 1999 para AFCEs-CE;
∙ revisão de uma versão preliminar deste documento pelos participantes do
módulo citado acima, o que permitiu a supressão de várias imprecisões;
∙ participação, em decorrência de convênio firmado pelo TCU e pela
Embaixada Britânica em março de 1998, na disciplina "Estatística" do
mestrado em Economia da London School of Economics and Political
Science, ministrada em setembro de 1999;
∙ complementação deste trabalho em março de 2001;
∙ revisão final no âmbito da Adfis e por servidores designados pelo
Memorando-Circular nº 029 - Adfis, de 15/05/2001, no período de abril a
julho de 2001;
∙ participação no curso "Técnicas de Amostragem com o Auxílio do Software
SAS", ministrado, em junho de 1997, pela Prof.ª Édina Shisue Miazaki, com
36 horas de duração;
INTRODUÇÃO
13
∙ finalização deste trabalho em setembro de 2001, incorporando-se quase todas
as sugestões apresentadas pelos revisores.1
Inegavelmente, trata-se de um período de maturação longo. A publicação de um
documento como este, entretanto, somente tem sentido quando há uma demanda nítida por
esse tipo de trabalho, como é o caso atualmente.
O texto é composto por oito capítulos:
a) o primeiro discorre sobre alguns conceitos básicos que devem ser fixados
desde o primeiro instante;
b) o segundo revê e exemplifica as propriedades dos dados numéricos;
c) o terceiro trata dos modelos de distribuição de probabilidade;
d) o quarto aborda as propriedades das distribuições amostrais;
e) o quinto discute os problemas e técnicas elementares de estimação, os quais
se confundem com a amostragem aleatória simples;
f) o sexto estende os conceitos do capítulo anterior, discorrendo sobre as
versões básicas das amostragens aleatórias estratificada e por
conglomerados;
g) o sétimo discute as características da amostragem por unidade monetária,
empregada em auditorias contábil-financeiras;
h) o oitavo, por fim, trata dos erros em amostragem, em especial do problema
da não-resposta.
Em todos os capítulos, recorreu-se a exemplos no intuito de tornar mais claros os
temas tratados. A bibliografia, por sua vez, foi dividida em "principal" e "complementar"
para que os leitores tenham mais opções para consulta, ainda que somente o primeiro grupo
tenha sido ostensivamente consultado.

1 Naturalmente, compete ao redator a responsabilidade pelas falhas remanescentes.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
14
1. CONCEITOS BÁSICOS
Em auditoria, as técnicas de amostragem visam coletar e avaliar evidências
numéricas das entidades administrativas no intuito de determinar e relatar o grau de
adequação das informações obtidas a critérios previamente definidos. Isso se deve à
natureza antieconômica das auditorias que pretendam investigar todo o universo visado.
As técnicas em questão, por se basearem em princípios estatísticos
demonstráveis, apresentam as seguintes vantagens:
a) o tamanho da amostra e o erro amostral podem ser estimados prévia e
objetivamente;
b) as amostragens conduzidas por auditores diferentes podem ser combinadas;
c) os censos, além de serem demorados, podem conter mais erros não-amostrais
do que as amostras;
d) os resultados amostrais são objetivos e, por extensão, defensáveis;
e) os resultados da auditoria podem ser avaliados com segurança e extrapolados
para toda a população.
1.1. Inferência Estatística
A crescente demanda por dados numéricos observada ao longo da história está
estreitamente relacionada com o desenvolvimento da estatística descritiva.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:
OPÇÃO "FERRAMENTAS/ANÁLISE DE DADOS..." (VIDE FIGURAS A.1 - A.3,
ANEXO I ) Þ gera estatísticas descritivas de um conjunto de observações.
Modernamente, porém, é graças ao desenvolvimento da inferência estatística,
partindo de extensões da teoria da probabilidade, que a estatística passou a ser amplamente
empregada por todo tipo de pesquisa.
A relevância dos métodos de inferência estatística deve-se ao fato de que as
técnicas de amostragem tornaram-se indispensáveis, pois o crescimento populacional tornou
excessivamente onerosa, demorada e complexa a coleta de dados sobre toda a população.
Decisões relacionadas com as características da população devem se basear em informações
extraídas de amostras, com a teoria da probabilidade fornecendo o elo entre ambas mediante
a definição da probabilidade de que os resultados amostrais espelhem os parâmetros
populacionais.
Convém frisar que, para que a análise estatística seja útil ao processo de tomada
de decisão, os dados coletados devem ser apropriados, ou seja, livres de vieses,
ambigüidades ou outros tipos de erro, pois essas deficiências dificilmente poderão ser
compensadas, mesmo pelos mais modernos métodos estatísticos.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
16
1.2. Principais Tipos de Amostragem Probabilística
Há dois tipos de amostragens: não-probabilísticas e probabilísticas. As
amostras por quotas e por julgamento do pesquisador são não-probabilísticas, enquanto que
as amostras aleatórias simples, estratificadas e por conglomerados são probabilísticas,
uma vez que seus elementos são selecionados com base em probabilidades conhecidas. Em
estudos numéricos, somente as amostragens probabilísticas permitem a correta
generalização para a população dos resultados amostrais.
Nas amostras probabilísticas, as inferências podem ser formuladas por
intermédio de estimadores simples, do tipo razão ou do tipo regressão. Os primeiros se
baseiam unicamente nos dados referentes à variável acerca da qual se deseja gerar
inferências, enquanto que os outros também recorrem a variáveis auxiliares, supostamente
relacionados com o fenômeno estudado. Este documento, contudo, somente tratará de
estimadores simples, pois os demais envolvem um nível maior de sofisticação matemática.
1.2.1. Introdução à Amostragem Aleatória Simples
Embora a amostragem aleatória simples não seja, necessariamente, a estratégia
amostral mais eficiente e econômica, ela funciona como base para as estratégias mais
sofisticadas. As suas principais características constam da Figura 1.1.
Figura 1.1: Amostragem Aleatória Simples
Estou 95%
confiante
que mm está
entre 40 e 60.
Média, mm, é
desconhecida
População Amostra Aleatória
Média
``X = 50
Amostra
☺☺
☺☺
☺☺☺☺
☺☺ ☺☺☺☺
☺
☺
☺ ☺
Conclusão
Ilustração
Propriedades
n Cada elemento
da população
tem a mesma
chance de ser
selecionado.
n Admite o uso de
tabelas de números
aleatórios ou
sistemas não-
viesados de sorteio.
n A seleção de um
elemento não
interfere na
seleção dos
demais.
Fonte: McGill, 1997.
O elemento-chave de qualquer estratégia amostral é a obtenção e manutenção de
um cadastro atualizado (i.e., sistema de referência ou, na língua inglesa, "frame") de todos
CONCEITOS BÁSICOS
17
os itens ou indivíduos que compõem a população da qual será extraída a amostra (i.e.,
população-alvo). Caso alguns grupos de itens ou indivíduos não sejam adequadamente
contemplados pelo cadastro, a população-alvo e a verdadeira população diferirão. Dessa
forma, as estimativas geradas pelas amostras aleatórias serão válidas para a população-alvo,
mas viesadas para a verdadeira população.
As amostras aleatórias podem ser selecionadas com ou sem reposição de
populações finitas ou infinitas. O método empregado deve ser indicado claramente, pois as
equações usadas nas inferências estatísticas variam com os métodos. Convém notar que as
amostragens aleatórias simples com reposição de populações finitas e sem reposição de
populações infinitas geram estimadores cujas equações são idênticas.
1.2.2. Introdução à Amostragem Aleatória Estratificada
Quando os elementos da população puderem ser agrupados em conjuntos
homogêneos (i.e., estratos), pode-se utilizar a amostragem aleatória estratificada,
selecionando-se uma amostra para cada estrato. Os tamanhos das amostras e as estatísticas
estimadas são independentes. Ao se combinar as estimativas de cada estrato, obtém-se uma
estimação para toda a população.
Na estratificação da população, cada elemento deve constar de um único estrato,
ou seja, os estratos não podem possuir interseções, enquanto que o conjunto de elementos de
um estrato deve ser o mais homogêneo possível em relação à característica que se pretende
examinar, como ilustrado pela Figura 1.2.
Figura 1.2: Amostragem Aleatória Estratificada
n Dividir a população
em subgrupos:
l mutuamente
excludentes;
l exaustivos;
l com ao menos uma
característica
relevante em comum.
n Selecionar uma
amostra aleatória de
cada subgrupo.
Todos os
Universitários
Não-Residentes Residentes
Amostra
Fonte: McGill, 1997.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
18
A amostragem estratificada apresenta as seguintes vantagens:
a) com relação à amostra aleatória simples, supondo-se que haja um acréscimo
no volume de informação acerca da população em decorrência da
estratificação (p. ex., o desvio-padrão observado em cada um dos estratos é
substancialmente inferior ao desvio-padrão do conjunto da população):
∙ obter precisão semelhante com uma amostra total menor;
∙ obter maior precisão com uma amostra total igual;
b) obter estimativas para cada estrato, se essas estimativas forem úteis;
c) dar maior atenção a certos grupos dentro da população que têm uma
propensão muito alta ou muito baixa a apresentar a característica examinada.
A estratificação pode ser útil também se os custos de auditoria são diferentes para
cada estrato (p. ex., entrevistas de contato direto em alguns casos e questionários enviados
pelo correio em outros).
1.2.3. Introdução à Amostragem Aleatória por Conglomerados
Quando os elementos da população podem ser agrupados em conjuntos
semelhantes, mas internamente heterogêneos (i.e., conglomerados), pode-se usar a
amostragem aleatória por conglomerados. Nessa técnica, as amostras são obtidas por meio
não da seleção aleatória de alguns de seus elementos, mas sim de alguns dos conglomerados
que a compõem. Uma vez selecionados os conglomerados, todos os seus elementos são
examinados para que as estatísticas desejadas sejam obtidas, como ilustrado pela Figura 1.3.
Figura 1.3: Amostragem Aleatória por Conglomerados
n Dividir a população em
conglomerados.
l Se os trabalhadores são os
elementos amostrais,
então as companhias são
os conglomerados.
n Selecionar conglome-
rados aleatoriamente.
n Pesquisar todos os
trabalhadores do
conglomerado
selecionado ou uma
amostra aleatória deles.
Conglomerados
(Companhias)
Amostra
(Trabalhadores das
Companhias Selecionadas
Fonte: McGill, 1997.
CONCEITOS BÁSICOS
19
Quando os conglomerados são compostos por uma grande quantidade de
elementos, entretanto, pode-se estimar as estatísticas referentes a cada conglomerados por
meio da amostragem aleatória simples. Essa técnica é denominada de amostragem
aleatória por conglomerados em dois estágios, que também não será examinada neste
documento em função do nível de sofisticação matemática.
1.3. Plano Amostral
O ponto de partida de toda amostra é o plano amostral, o qual documenta os
passos e os procedimentos envolvidos na utilização de técnicas de amostragem, devendo
envolver as etapas definidas a seguir:
a) estipular os objetivos do uso de técnicas de amostragem, explicando-se o
porquê da não-utilização de um censo;
b) definir os elementos da população, ou seja, os indivíduos ou objetos acerca
dos quais serão feitas estimativas;
c) definir o tamanho da população, recorrendo-se, se necessário, a estimativas;
d) examinar o cadastro da população ou, caso não esteja disponível, a descrição
dos itens relevantes para a seleção;
e) descrever a técnica de amostragem a ser utilizada e justificar a escolha;
f) descrever os procedimentos seguidos na execução do trabalho;
g) estabelecer o nível de confiança;
h) determinar o tamanho da amostra e a precisão desejada, o que
freqüentemente requer uma amostra preliminar;
i) escolher as técnicas de coleta, armazenamento e análise dos dados.
O maior ou menor sucesso dos estudos amostrais, independentemente do seu
tipo, costuma guardar relação direta com a melhor ou pior observância dessas etapas.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
20
2. PROPRIEDADES DOS DADOS NUMÉRICOS
Em geral, os pesquisadores procuram desenvolver instrumentos destinados a
obter respostas objetivas para perguntas acerca de vários tipos de fenômenos ou
características (i.e., variáveis aleatórias). Os dados coletados representam manifestações
das variáveis aleatórias, podendo diferir de resposta para resposta. Essas manifestações
podem ser: categóricas ou numéricas.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:
OPÇÃO "DADOS/RELATÓRIO DE TABELA DINÂMICA" (VIDE FIGURAS A.1 & A.4
- A.8, ANEXO I) Þ gera estatísticas agrupadas por uma variável categórica.
Com relação aos dados numéricos, as suas principais propriedades, ilustradas
pela Figura 2.1, são: tendência central, variação e forma.
Figura 2.1: Propriedades dos Dados Numéricos
Tendência Central
(Posição)
Variação
(Dispersão)
Forma
Fonte: McGill, 1997.
2.1. Medidas de Tendência Central
As medidas de tendência central são média aritmética, mediana, moda, meia
amplitude e meia-amplitude semi-interquartílica, que podem ser definidas da seguinte
maneira:
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
22
a) Média Aritmética Populacional (m) e Amostral ( X ): dado um conjunto de n
observações X1, X2, X3, ..., Xn, m ou X é definida pelo somatório do valor de
todas as observações dividido por n, ou seja:2
∙ N
X
N
XXXX
N
i
i
N
å
==++++=m 1321 ... ;
∙ n
X
n
XXXXX
n
i
i
n
å
==++++= 1321 ... .
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =MÉDIA (núm1;núm2;...).
b) Mediana (Md): dada uma seqüência ordenada de n observações X1, X2, X3, ...,
Xn, Md é definida pelo valor que divide a seqüência em dois conjuntos com a
mesma quantidade de observações. Caso n seja ímpar, a mediana é dada pelo
valor correspondente à ÷ø
öçè
æ +
2
1n -ésima posição da seqüência. Caso n seja par,
a mediana é dada pela média dos valores correspondentes às ÷ø
öçè
æ
2
n e ÷ø
öçè
æ +12
n -
ésimas posições.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =MED (núm1;núm2;...).
c) Moda (Mo): dado um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn, Mo é
definida pelo (s) valor (es) mais freqüente (s) entre todas as observações.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =MODO (núm1;núm2;...).
d) Meia Amplitude (Ma): dado um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn,
Ma é definida pela média do menor e maior valores observados, ou seja:
2
máximomínimo XXMa += .
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:
= (MÁXIMO (núm1;núm2;...) +MÍNIMO (núm1;núm2;...) ) /2.
e) Meia Amplitude Semi-Interquartílica (Mq): dada uma seqüência ordenada de
n observações X1, X2, X3, ..., Xn, Mq é definida pela média dos valores
correspondentes ao primeiro e terceiro quartis (Q1 e Q3) 3, ou seja:
2
31 QQMq += .

2 Caso toda a população seja abrangida pelas observações, n deve ser substituído por N.
3 O segundo quartil (Q2) corresponde à mediana (Md).
PROPRIEDADES DOS DADOS NUMÉRICOS
23
∙ O primeiro quartil (Q1) é definido pelo valor correspondente à ÷
ø
öç
è
æ +
4
1n -
ésima posição da seqüência, o qual separa os primeiros 25% das
observações dos 75% restantes.
∙ O terceiro quartil (Q3) é definido pelo valor correspondente à úû
ù
êë
é ÷ø
öçè
æ +
4
1.3 n -
ésima posição da seqüência, o qual separa os primeiros 75% das
observações dos 25% restantes.
∙ Se (n+1) não for múltiplo de 4, as equações ÷ø
öçè
æ +
4
1n e úû
ù
êë
é ÷ø
öçè
æ +
4
1.3 n não
gerarão números inteiros. Nesse caso, há três possibilidades:
i. caso n seja múltiplo de 4, o quartil desejado será dado pela posição
imediatamente inferior ao número obtido;
ii. caso (n+2) seja múltiplo de 4, o quartil desejado será dado pela
posição imediatamente superior ao número obtido;
iii. caso (n+3) seja múltiplo de 4, o quartil desejado será dado pela média
dos valores correspondentes às ÷
ø
öç
è
æ ­
4
1n e ÷
ø
öç
è
æ +
4
3n -ésimas posições.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.1, ANEXO I.
2.2. Medidas de Variação
Já as medidas de variação são amplitude, amplitude semi-interquartílica,
variância, desvio-padrão e coeficiente de variação, que são definidas como indicado
abaixo:
a) Amplitude (At): dado um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn, At é
definida pela diferença entre o maior e menor valores observados, ou seja:
mínimomáximot XXA ­= .
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:
= (MÁXIMO (núm1;núm2;...) -MÍNIMO (núm1;núm2;...) ).
b) Amplitude Semi-Interquartílica (Dq): dado um conjunto de n observações X1,
X2, X3, ..., Xn, Dq é definida pela diferença entre o terceiro e o primeiro
quartis, ou seja: 13 QQDq ­= .
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.1, ANEXO I.
c) Variância Populacional (s2) e Amostral (S2): dado um conjunto contendo n
observações X1, X2, X3, ..., Xn, s2 e S2 correspondem ao somatório do
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
24
quadrado da diferença entre cada observação e a média (m ou X ) dividido,
respectivamente, por N (observações abrangem toda a população) ou por
(n-1) (observações abrangem apenas uma amostra), ou seja:
∙ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N
NX
N
X
N
XXXX
N
i
i
N
i
i
N
åå
==
m­
=
m­
=m­++m­+m­+m­=s 1
22
1
2
22
3
2
2
2
12
.... .
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =VARP (núm1;núm2;...).
∙ ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) 1
.
11
... 1
22
1
2
22
3
2
2
2
12
­
­
=­
­
=­
­++­+­+­=
åå
==
n
XnX
n
XX
n
XXXXXXXXS
n
i
i
n
i
i
n .
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =VAR (núm1;núm2;...).
d) Desvio-Padrão Populacional (s) e Amostral (S): dado um conjunto contendo
n observações X1, X2, X3, ..., Xn, s e S correspondem, respectivamente, à raiz
quadrada da variância populacional (s2) e amostral (S2), ou seja: 4
∙ N
NX
N
i
iå
=
m­
=s=s 1
22
2
.
.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: = DESVPADP (núm1;núm2;...).
∙ ( ) 1
.
1
22
2
­
­
==
å
=
n
XnX
SS
n
i
i
.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: = DESVPAD (núm1;núm2;...).
e) Coeficiente de Variação (CV): dado um conjunto de n observações X1, X2, X3,
..., Xn, CV mede a variação relativa das observações em torno da média (m ou
X ): %100.÷÷
ø
ö
çç
è
æ
m
s=alpopulacionCV ou %100.÷
ø
öç
è
æ=
X
SCVamostral .
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:
= (DESVPADP (núm1;núm2;...) /MÉDIA (núm1;núm2;...) ) Þ CVpopulacional.
= (DESVPAD (núm1;núm2;...) /MÉDIA (núm1;núm2;...) ) Þ CVamostral.

4 O desvio-padrão e a variância têm como objetivo medir a distribuição das n observações em torno da média. Quanto
mais próximas de zero, maior a concentração.
PROPRIEDADES DOS DADOS NUMÉRICOS
25
2.3. Relação entre a Média e a Mediana
A curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn pode
exibir uma forma simétrica, assimétrica à direita ou assimétrica à esquerda. Isso pode ser
constatado comparando-se a média (m ou X ) e a mediana (Md). Nesse caso, há três
possibilidades:
a) m ou X > Md Þ forma assimétrica à direita (mais de 50% das observações
concentra-se à esquerda da média);
b) m ou X = Md Þ forma simétrica (a média separa os primeiros 50% das
observações dos 50% restantes);
c) m ou X < Md Þ forma assimétrica à esquerda (mais de 50% das
observações concentra-se à direita da média).
Convém notar que a análise anterior pode ser estendida às modas, como mostra a
Figura 2.2.
Figura 2.2: Relação entre a Média, a Mediana e a Moda
Right-SkewedLeft-Skewed Symmetric
Mean = Median = ModeMean Median Mode Mode Median Mean
Fonte: McGill, 1997.
Assimétrico à Esquerda Simétrico Assimétrico à Direita
Média Mediana Moda Média = Mediana = Moda Moda Mediana Média
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
26
3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
As variáveis aleatórias numéricas podem ser descritas por intermédio de
distribuições de probabilidades, as quais devem contemplar todas as possíveis
manifestações do fenômeno examinado e as respectivas probabilidades ou freqüências
relativas. Esses dados são obtidos por meio de cadastros, os quais se classificam em:
a) teóricos, gerados por modelos matemáticos que representem, com graus
variados de sucesso, os fenômenos examinados;
b) empíricos, elaborados com base nas freqüências efetivamente observadas;
c) subjetivos, que reflitam as convicções do pesquisador acerca das freqüências.
O primeiro tipo de cadastro permite definir funções de distribuição de
probabilidades, com bases nas quais são calculadas com precisão a probabilidade de
ocorrência de qualquer possível manifestação da variável aleatória. Por essa razão, somente
esse tipo de cadastro será analisado neste documento.
Os modelos de distribuição de probabilidade apresentam características
específicas conforme as variáveis aleatórias numéricas sejam discretas ou contínuas.
3.1. Modelos de Distribuição Discreta
Um exemplo clássico de distribuição discreta corresponde ao resultado do
arremesso de duas moedas, como mostrado na Figura 3.1.
Figura 3.1: Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidades
Distribuição de Probabilidades
Valores, Xi Probabilidades, P (Xi)
0 1/4 = 0,25
1 2/4 = 0,50
2 1/4 = 0,25
Experimento: arremessar duas moedas e contar
a quantidade de coroas.
Qtde de
Coroas
f (Xi) Con-
tagem
P (Xi)
0 1 0,25
1 2 0,50
2 1 0,250,00
0,25
0,50
0 1 2
X
P (X)
Cadastro: { (0; 0,25), (1, 0,50), (2, 0,25) }
Gráfico
Tabela
Fonte: McGill, 1997.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
28
Os modelos de distribuição discreta mais importantes são: a binomial, a
hipergeométrica, a binomial negativa e a de Poisson.
3.1.1. Distribuição Binomial
As principais propriedades da distribuição binomial são:
a) as amostras podem ser selecionadas a partir de populações infinitas sem
reposição ou finitas com reposição;
b) as observações selecionadas podem ser classificadas em uma de duas
categorias mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas, usualmente
chamadas "sucesso" e "fracasso";
c) as probabilidades de que uma observação seja classificada um "sucesso" (p)
ou um "fracasso" (1-p) são constantes e complementares;
d) as observações são mutuamente independentes.
A variável aleatória discreta ou o fenômeno estudado que segue uma distribuição
binomial é a que trata da quantidade de "sucessos" observados em uma amostra.
Conhecendo-se a quantidade n de observações contidas na amostra e a probabilidade p de
"sucesso", a distribuição binomial é representada pela seguinte equação:
( ) ( ) ( ) ( ) 44 344 2143421
particular em
seqüênciauma de adeprobabilid
seqüências
possíveis de quantidade
1..!!.
! XnX ppXnX
nXP ­­­= .
Onde: P (X) = probabilidade de que sejam observados X "sucessos", dados n e p;
X = quantidade de "sucessos" na amostra {X Î ½ 0 £ X £ n};
n = tamanho da amostra;
p = probabilidade de "sucesso";
(1-p) = probabilidade de "fracasso".
USANDO MICROSOFT EXCEL:
=DISTRBINOM (núm_s;tentativas;probabilidade_s;cumulativo).
Onde: núm_s = X;
tentativas = n;
probabilidade = p;
cumulativo =
î
í
ì
=
=
sucessos"." de prob. acalcular para FALSO
;sucessos"" menosou de prob. acalcular para VERDADEIRO
X
X
A distribuição binomial apresenta inúmeras aplicações, como mostra a Tabela
3.1.
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
29
Tabela 3.1: Aplicações da Distribuição Binomial
Gênero Aplicações X n p P (X)
Jogos de Azar
Probabilidade de que, em 20 tentativas, 15
ou mais resultados da roleta sejam
vermelhos?
> 14 20 0,50 0,021
Controle de
Qualidade
Probabilidade de que, em uma amostra de
20 pneus, nenhum seja defeituoso dado
que 8% de todos os pneus sejam
defeituosos?
20 20 0,92 0,189
Educação
Probabilidade de que um aluno seja
aprovado em um exame com 10 questões,
cada questão com quatro opções, caso o
aluno tente adivinhar todas as questões?
> 4 10 0,25 0,078
Finanças
Probabilidade de que o valor de uma ação
aumente por 10 dias consecutivos dado
que os preços das ações efetivamente
oscilem aleatoriamente?
10 10 0,50 0,001
A função binomial de distribuição de probabilidades é simétrica quando p = 0,5 e
assimétrica quando p ¹ 0,5. Quanto mais próximo p for de 0,5 e quanto maior for n, menor
será o viés, como mostrado nas Figuras 3.2 e 3.3.
Figura 3.2: Distribuição Binomial com n = 5 e p = 0,5
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0 1 2 3 4 5 X
P (X)
Fonte: McGill, 1997.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
30
Figura 3.3: Distribuição Binomial com n = 5 e p = 0,1
0,00
0,20
0,40
0,60
0 1 2 3 4 5
X
P (X)
Fonte: McGill, 1997.
A média e o seu desvio-padrão são obtidos, respectivamente, por meio das
seguintes equações:
a) Média: m = E (X) = n.p;
b) Desvio-padrão: ( ) ppn ­=s 1.. .
3.1.2. Distribuição Hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica, a exemplo da distribuição binomial, trata da
quantidade de "sucessos" observados em uma amostra com n observações. A diferença entre
ambas reside no método de seleção empregado. Enquanto que na binomial as observações
são selecionadas com reposição de populações finitas ou sem reposição de populações
infinitas, na hipergeométrica as observações são selecionadas sem reposição de
populações finitas. Portanto, a probabilidade p de "sucesso" nesse caso não é constante. A
equação da distribuição em questão é:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
­
­­­­
­
­=
n
N
Xn
AN
X
A
nNn
N
XnANXn
AN
XAX
A
XP
.
!!.
!
!!.
!.!!.
!
.
Onde: P (X) = probabilidade de que sejam observados X "sucessos", dados n e p;
A = quantidade de "sucessos" na população {X Î ½ 0 £ X £ N};
X = quantidade de "sucessos" na amostra {X Î ½ 0 £ X £ Min[n, A]};
n = tamanho da amostra;
N = tamanho da população.
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
31
USANDO MICROSOFT EXCEL:
=DIST.HIPERGEOM (exemplo_s;exemplo_núm;população_s;núm_população).
Onde: exemplo_s = X;
exemplo_núm = n;
população_s = A;
núm_população = N.
3.1.3. Distribuição Binomial Negativa
A distribuição binomial negativa é usada para determinar a probabilidade de
ocorrência de uma certa quantidade de "fracassos" antes que outra quantidade de sucessos
ocorra. A sua equação é:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) XnXXnX ppX
nppXnX
nnP ­­ ­÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­=­­­­­
­= 1..1
11..!11!.1
!1 .
USANDO MICROSOFT EXCEL: =DIST.BIN.NEG (núm_f;núm_s;probabilidade_s).
Onde: núm_f = (n - X);
núm_s = X;
probabilidade_s = p.
3.1.4. Distribuição de Poisson
Há um processo de Poisson quando eventos discretos podem ser observados em
uma área de oportunidade (i.e., um intervalo contínuo de tempo, de superfície, de
comprimento, etc.) de tal modo que, se essa área for suficientemente reduzida, o seguinte
ocorrerá:
a) a probabilidade de que seja observado um único "sucesso" é estável;
b) a probabilidade de que mais de um "sucesso" seja observado é nula;
c) a probabilidade de ocorrência de um "sucesso" em qualquer intervalo é
estatisticamente independente da probabilidade observada nos demais
intervalos.
A equação correspondente é:
( ) !
.
X
eXP
Xl=
l­
.
Onde: P (X) = probabilidade de que sejam observados X "sucessos", dado l;
X = quantidade de "sucessos" por unidade da área de oportunidade;
l = quantidade esperada de "sucessos";
e = 2,71828.5

5 Número de Euler, base do sistema de logaritmos neperianos.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
32
USANDO MICROSOFT EXCEL: =POISSON (X;média;cumulativo).
Onde: média = l;
cumulativo =
î
í
ì
=
=
sucessos"." de adeprobabilida calcular para FALSO
;sucessos"" menos ou de adeprobabilida calcular para VERDADEIRO
X
X
O Exemplo 3.1 ilustra uma das possíveis aplicações da distribuição de Poisson.
Exemplo 3.1: Aplicação da Distribuição de Poisson
Suponha-se um banco que atende 180 clientes em um período de 1 hora. Toda chegada de um
cliente é um evento discreto em um determinado instante de um intervalo contínuo de tempo.
Partindo-se o período de 1 hora em 3.600 intervalos de 1 segundo, tem-se:
a) a quantidade esperada (ou média) de clientes atendidos por segundo é 0,05;
b) a probabilidade de que mais de um cliente seja atendido em um dado segundo é quase nula;
c) o atendimento de um cliente em um dado segundo não afeta o atendimento dos demais clientes
nos demais segundos.
As Figuras 3.4 e 3.5, a seu tempo, mostram os efeitos do parâmetro l sobre o
formato do gráfico da distribuição de probabilidades.
Figura 3.4: Distribuição de Poisson com l = 0,5
0,00
0,20
0,40
0,60
0 1 2 3 4 5 X
P (X)
Fonte: McGill, 1997.
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
33
Figura 3.5: Distribuição de Poisson com l = 6
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
P (X)
Fonte: McGill, 1997.
Convém notar que a distribuição de Poisson não apenas representa vários
fenômenos (p. ex., telefonemas recebidos em uma manhã, acidentes de trânsito observados
em uma semana, greves havidas em um ano, etc.), como também pode funcionar como uma
aproximação da distribuição binomial quando n for grande e p pequeno, com (n.p) £ 7.
Nesse caso, tem-se: l = n.p.
3.2. Modelos de Distribuição Contínua
A representação matemática da distribuição de uma variável aleatória contínua é
denominada função densidade de probabilidades (FDP), cuja equação-geral e principais
características constam da Figura 3.6.
Figura 3.6: Função Densidade de Probabilidades
n Equação que define os
valores, X, e a FDP, f (X).
n Propriedades:
f (X)
a b X
b X a Xf
dxXf
b
a
££³
=ò
,0) (
1) (
(Área sob a curva)
Valor
(Valor, FDP)
FDP
Fonte: McGill, 1997.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
34
Quando um fenômeno contínuo (p. ex., altura, peso ou tempo) é representado por
um modelo matemático, a probabilidade de que os valores da variável aleatória
correspondente pertençam a um dado intervalo pode ser calculada, como mostra a
Figura 3.7, porém a exata probabilidade de um valor específico é nula.
Figura 3.7: Probabilidade de Variáveis Aleatórias
Contínuas
f (X)
c d
X
Fonte: McGill, 1997.
Os modelos de distribuição contínua mais importantes são: a normal e a
exponencial.
3.2.1. Distribuição Normal
Entre os modelos de distribuição contínua, a mais utilizada é a distribuição
normal, uma vez que:
a) inúmeros fenômenos contínuos parecem seguir essa distribuição;
b) essa distribuição pode funcionar como uma aproximação de várias
distribuições discretas de probabilidade;
c) essa distribuição funciona como a base da inferência estatística clássica em
decorrência da sua relação com o Teorema do Limite Central.
Essa distribuição possui as propriedades teóricas indicadas a seguir, ilustradas
pela Figura 3.8:
a) o formato é simétrico, semelhante a um sino;
b) as medidas de tendência central (média, mediana, moda, meia amplitude e
meia amplitude semi-interquartílica) são iguais;
c) o intervalo semi-interquartílico, compreendendo a 50% das observações,
corresponde ao intervalo úû
ù
êë
é s+ms­m .3
2;.3
2 ;
d) a amplitude da variável aleatória representada é infinita
{X Î ½ ­¥ £ X £ +¥}.
dxXfdXcP d
cò=££ ) () (
Probabilidade = Área sob a curva
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
35
Figura 3.8: Distribuição Normal
X
f (X) n Na forma de "sino"
e simétrica
n Média, mediana,
moda são iguais
n 'Dispersão Média' é
1,33.ss
n Variável aleatória
tem amplitude
infinita
Média
Mediana
Moda
Fonte: McGill, 1997.
Na prática, a função de distribuição de probabilidades de muitos fenômenos
observados apenas se assemelha à distribuição normal. Isso ocorre quando a distribuição de
probabilidades da população é aproximadamente normal ou quando a amostra selecionada
não contém as características teóricas esperadas. Dessa forma, freqüentemente tem-se:
a) polígonos quase simétricos;
b) medidas de tendência central ligeiramente diferentes;
c) intervalo semi-interquartílico ligeiramente diferente do intervalo
úû
ù
êë
é s+ms­m .3
2;.3
2 ;
d) amplitude finita, geralmente correspondendo ao intervalo [ ]s+ms­m .3;.3 .6
No presente contexto, a FDP é definida pela seguinte equação:

6 Uma restrição comum é a não observação de valores negativos.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
36
( )
2
.2
1
2
.
..2
1 ÷
ø
öç
è
æ
s
m­­
sp
=
X
eXf
Onde: p = 3,14159;7
e = nº de Euler;
X = variável aleatória;
m = média populacional;
s = desvio-padrão populacional.
USANDO MICROSOFT EXCEL:
=DIST.NORM (x;média;desv_padrão;cumulativo) Þ calcula a probabilidade de que sejam
observados valores menores do que X.
Onde: média = m;
desvio-padrão = s;
cumulativo =
î
í
ì
=
=
massa. de ãodistribuiç de função FALSO
;cumulativa ãodistribuiç de função VERDADEIRO
=INV.NORM (probabilidade;média;desv_padrão) Þ calcula o valor X correspondente a uma
dada probabilidade acumulada.
Como e e p são constantes matemáticas, a FDP [f (X) ] depende unicamente da
média e do desvio-padrão populacionais (m e s). Cada combinação desses parâmetros gera
uma distribuição de probabilidade distinta, como mostrado pela Figura 3.9.
Figura 3.9: Efeitos de Variações em ss e mm (ssA > ssB e
mmC > mmB)
X
f (X)
CA
B
Fonte: McGill, 1997.
No intuito de tornar desnecessário o uso da equação exposta acima e em face da
impossibilidade de que se elaborem infinitas tabelas de probabilidades, a variável aleatória
(X) deve ser normalizada, ou seja, convertida em uma variável aleatória normal
padronizada (Z) mediante a seguinte transformação, ilustrada pela Figura 3.10:

7 p radianos = 180 graus.
mmA = mmB mmC
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
37
s
m­= XZ .
USANDO MICROSOFT EXCEL: =PADRONIZAR (x;média;desv_padrão).
Figura 3.10: Padronização da Distribuição Normal
Xmm
ss
Distribuição
Normal
mm = 0
ss = 1
Z
Z X== ­­ mm
ss Distribuição Normal
Padronizada
Uma tabela para CADA
combinação de mm e ss
Uma ÚNICA tabela
Fonte: McGill, 1997.
A nova variável tem média nula (m = 0), desvio-padrão unitário (s = 1) e FDP
definida pela seguinte equação:
( )
2.
2
1
.
.2
1 Z
eZf
­
p
= .
USANDO MICROSOFT EXCEL:
=DIST.NORMP (z) Þ calcula a probabilidade de que sejam observados valores menores do
que Z.
=INV.NORMP (z) Þ calcula o valor Z correspondente a uma dada probabilidade
acumulada.
Portanto, todo conjunto de dados distribuídos normalmente pode ser
transformado de tal modo que as probabilidades correspondentes podem ser obtidas a partir
da tabela da distribuição normal padronizada (vide Anexo II), como ilustrado pelas Figuras
3.11 e 3.12.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
38
Figura 3.11: Obtenção de Probabilidades [P (Z) ] Dado um Valor Normal
Padronizado (Z)
Zmm= 0
ss = 1
.12
Z 0,00 0,01
0,0 0,0000 0,0040 0,0080
0,0398 0,0438
0,2 0,0793 0,0832 0,0871
0,3 0,1179 0,1217 0,1255
0,0478
0,02
0,1 0,0478
Tabela da Distribuição
Normal Padrão (Trecho)
Probabilidades
Área sombreada
superdimensionada
Qual é o valor de P (Z)
dado Z = 0,1217?
Fonte: McGill, 1997.
Figura 3.12: Obtenção de um Valor Normal Padronizado (Z) Dada uma
Probabilidade [P (Z) ]
Zmm = 0
ss = 1
.31
Z 0,00 0,2
0,0 0,0000 0,0040 0,0080
0,1 0,0398 0,0438 0,0478
0,2 0,0793 0,0832 0,0871
0,1179 0,1255
0,1217 0,01
0,3 0,1217
Tabela da Distribuição
Normal Padrão (Trecho)
Qual é o valor de Z dado
P (Z) = 0,1217?
Área sombreada
superdimensionada
Fonte: McGill, 1997.
mm = 0 0,31
ss = 1
0,12
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
39
Convém notar que o valor de uma observação selecionada aleatoriamente tem,
em toda distribuição normal, uma probabilidade de 68,26% de estar contido no intervalo
[ ]s+ms­m ; e de 99,73% de estar contido no intervalo [ ]s+ms­m .3;.3 .
3.2.2. Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial é amplamente utilizada em teoria das filas para
estimar o período de tempo entre dois "sucessos" (p. ex., chegadas, partidas,
atendimentos, etc.). O seu comportamento é definido por um único parâmetro: a quantidade
média de "sucessos" por unidade de tempo (l). A probabilidade de que o período de tempo
entre dois "sucessos" seja igual ou menor a um valor X é dada pela seguinte equação:
( ) XeXP .1 sucessos"" entre intervalo l­­=£ .
USANDO MICROSOFT EXCEL:
=DISTEXPON (x;lambda;cumulativo).
Onde: lambda = l;
cumulativo =
î
í
ì
=
=
ade.probabilid de densidade de função FALSO
;cumulativa ãodistribuiç de função VERDADEIRO
O Exemplo 3.2 ilustra uma típica aplicação da distribuição exponencial.
Exemplo 3.2: Aplicação da Distribuição Exponencial
Suponha-se um banco que atende, em média, 20 clientes por hora. Qual é a probabilidade de que o
intervalo entre dois atendimentos seja, no máximo, de 6 minutos ou 0,1 hora?
Dados l = 20 e X = 0,1, tem-se: ( ) .8647,011,0 sucessos"" entre intervalo 1,0.20 =­=£ ­eP Portanto,
há uma probabilidade de 86,47% de que o próximo atendimento ocorrerá dentro de 6 minutos.
A Figura 3.13, por sua vez, mostra os efeitos do parâmetro l sobre o formato do
gráfico da distribuição exponencial.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
40
Figura 3.13: Distribuição Exponencial
n Descreve intervalos
de tempo ou
distância entre
eventos
n Função Densidade
n Parâmetros
X
f (X)
f x e x ( ) == ­­1
ll
ll
mm ll ss ll== ==,
ll = 2,0
ll = 0,5
x
f (x
a
laex ­=) (
laeaxP ­­=£ 1) (
Probabilidades
Distribuição Exponencial
Fonte: McGill, 1997.
4. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
As análises de dados têm como um de seus principais objetivos o uso de
estatísticas como a média e a proporção amostrais para estimar os parâmetros populacionais
correspondentes. Desse modo, uma pesquisa sobre intenção de voto tem nos resultados
amostrais apenas uma forma de obter estimativas acerca das intenções de todos os eleitores,
enquanto que uma auditoria financeira poderá usar a média amostral para estimar o valor
total de todas as operações constantes de um cadastro.
Do ponto de vista prático, uma única amostra com uma quantidade
predeterminada de observações é extraída da população com o auxílio de um gerador de
números aleatórios, que pode ser tanto uma tabela preparada previamente, como uma rotina
de computador.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:
∙ OPÇÃO "FERRAMENTAS/ANÁLISE DE DADOS..." (FIGURAS A.1, A.9 & A.10,
ANEXO I) Þ seleciona uma amostra aleatória simples com reposição;
∙ =ALEATÓRIOENTRE (inferior;superior) Þ gera um número entre os valores mínimo
(inferior) e máximo (superior) especificados, admitindo repetições;
∙ =ALEATÓRIO Þ gera um número distribuído uniformemente no intervalo [0; 1[.
Do ponto de vista teórico, contudo, a estimação de parâmetros populacionais por
meio de estatísticas amostrais deveria envolver o exame de todas as possíveis amostras. Se
esse exame fosse efetivamente feito, a distribuição dos resultados obtidos corresponderia à
distribuição amostral. Note-se que a quantidade de possíveis amostras corresponde:
a) no caso de amostras com reposição, ao total de arranjos com repetição de N,
n a n: n
nN N=, AR ;
b) no caso de amostras sem reposição, ao total de combinações de N, n a n:
( )!!.
!C , nNn
N
nN ­
= .
USANDO MICROSOFT EXCEL: =COMBIN (núm;núm_escolhido).
Onde: núm = N;
núm_escolhido = n.
4.1. Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais
A medida de tendência central mais amplamente usada é a média aritmética. No
caso de populações cuja distribuição de probabilidades seja normal, a média apresenta as
seguintes propriedades matemáticas, ilustradas pelas Figuras 4.1, 4.2 e 4.3:
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
42
a) não-viesada: a média de todas as possíveis médias amostrais ( m
X
m
i
iå
=1 , onde m
é dado por ARN, n, no caso de amostras com reposição, ou por CN, n, no caso de
amostras sem reposição) é igual à média populacional (m);8
Figura 4.1: Medida Não-Viesada
``X
f ( ``X)
CA
Fonte: McGill, 1997.
b) eficiente: comparando-se amostras, constata-se que a média é a medida de
tendência central mais estável, proporcionando, em geral, as melhores
estimativas para a média populacional;
Figura 4.2: Medida Eficiente
``X
f ( ``X)
A
B
Fonte: McGill, 1997.
c) consistente: aumentando-se o tamanho da amostra, observa-se uma redução
na variação das médias amostrais em torno da média populacional.

8 Assim, ainda que não se conheça o quanto uma dada média amostral aproxima-se da média populacional, sabe-se, ao
menos, que a média de todas as possíveis médias amostrais é igual à média populacional.
mm
Não-Viesado
mm
Distribuição da
Média Amostral
Distribuição da
Mediana Amostral
Viesado
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
43
Figura 4.3: Medida Consistente
``X
f ( ``X)
A
B
Fonte: McGill, 1997.
Cabe frisar que a Lei dos Grandes Números faz com que as médias amostrais
apresentem uma menor variância do que as observações contidas na população.
Efetivamente, os efeitos da eventual seleção de valores extremos para as amostras são
compensados pelo próprio cálculo da média, como mostra a Figura 4.4.
Figura 4.4: Exemplo de Distribuição de Médias Amostrais
1ª 2ª Observação
Obs. 1 2 3 4
1 1;1 1;2 1;3 1;4
2 2;1 2;2 2;3 2;4
3 3;1 3;2 3;3 3;4
4 4;1 4;2 4;3 4;4
1ª 2ª Observação
Obs. 1 2 3 4
1 1,0 1,5 2,0 2,5
2 1,5 2,0 2,5 3,0
3 2,0 2,5 3,0 3,5
4 2,5 3,0 3,5 4,0
População: {1; 2; 3; 4}
(amostra com reposição)
16 Médias Amostrais16 Amostras
0,00
0,10
0,20
0,30
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 `X
P (``X)
0,00
0,10
0,20
0,30
1 2 3 4
P (X)
População Distribuição Amostral
5,2=xm 79,0=xs12,1=s5,2=m
Fonte: McGill, 1997.
Ressalte-se que quanto maior for o tamanho da amostra, menores são os efeitos
da seleção de valores extremos. Estatisticamente, esse fenômeno é expresso pelo desvio-
padrão da média amostral, denominado de erro-padrão da média ( Xs ). Nas amostras com
reposição, o erro-padrão é definido pela seguinte equação:
Amostra de
Tamanho Grande
mm
Amostra de
Tamanho Pequeno
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
44
nX
ss = .
Portanto, o erro-padrão da média ( Xs ) diminui à medida que cresce o tamanho
da amostra (n), como mostrado pela Figura 4.5.
Figura 4.5: Exemplo do Impacto de n em Amostras Extraídas de
Populações Distribuídas Normalmente
Tendência Central:
Dispersão:
mm = 50
ss = 10
X
Distribuição Populacional
Distribuições Amostrais
(amostragens com reposição)
ss ss
x n==
mm mmx ==
mmX = 50- X
n =16
ss``X = 2,5
n = 4
ss``X = 5
Fonte: McGill, 1997.
Assim, nas amostras com reposição extraídas de populações normalmente
distribuídas, com média m e desvio-padrão s, tem-se que as distribuições de probabilidades
das médias amostrais também são, para todo n, normais, com média Xm = m e erro-padrão
Xs . Além do mais, quanto maior n, maior a concentração das médias amostrais ( iX ) em
torno da média populacional (m).
O Exemplo 4.1 ilustra uma das possíveis aplicações da distribuição de
probabilidades das médias amostrais.
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
45
Exemplo 4.1: Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais
Suponha-se que uma máquina empacotadora de caixas de cereais tenha sido configurada de tal
modo que as quantidades depositadas nas caixas sejam normalmente distribuídas, com média de
368 g e desvio-padrão de 15 g. Caso seja selecionada uma amostra de 25 das milhares de caixas
empacotadas diariamente, qual é a probabilidade de que a média amostral fique entre 365 e 368 g?
Como a população é normalmente distribuída, tem-se que:
00,1
25
15
368365 ­=­=­=­=
n
XXZ
X
X
s
m
s
m .
A área sob a curva normal padronizada no intervalo [-1; 0] é igual a 0,3413. Portanto, 34,13% de
todas as possíveis amostras de 25 caixas têm médias amostrais de 365 a 368 g.
O percentual calculado acima não deve ser confundido com a probabilidade de que um item
qualquer da população tenha de 365 a 368 g. Essa probabilidade deve ser obtida da seguinte
maneira:
20,015
368365 ­=­=­= s
mXZ .
A área sob a curva normal padronizada no intervalo [-0,2; 0] é igual a 0,0793. Portanto, apenas
7,93% das caixas têm uma massa esperada de 365 a 368 g. Dessa forma, as médias amostrais estão
mais concentradas em torno da média populacional do que as massas de cada caixa. Isso se deve ao
próprio método de cálculo da média, que atenua os efeitos dos valores extremos.
Quando não houver razões para crer que a população examinada é distribuída
normalmente, deve-se recorrer ao Teorema do Limite Central. Segundo esse teorema, como
mostram as Figuras 4.6 e 4.7, quando o tamanho da amostra é suficientemente grande, a
distribuição das probabilidades das médias amostrais aproxima-se de uma distribuição
normal. Isso ocorre independentemente da forma da distribuição da população. Como regra
geral, tem-se que amostras com trinta ou mais elementos apresentam distribuições das
médias amostrais que assemelham-se a distribuições normais. O teorema em questão,
contudo, pode ser usado em amostras ainda menores caso algumas características da
população sejam conhecidas. No caso de populações com distribuições quase simétricas, p.
ex., pode-se utilizar amostras com quinze elementos.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
46
Figura 4.6: Teorema do Limite Central
X
a distribuição
amostral
aproxima-se de
uma normal.
À medida que o
tamanho da
amostra se
torna suficien-
temente grande
(³³ 30) ...
Fonte: McGill, 1997.
Figura 4.7: Aplicação do Teorema do Limite Central
mm = 50
ss = 10
X
Tendência Central
Dispersão
l Amostragem com
reposição
Distribuição Populacional
Distribuição Amostral
ss ss
x n==
mm mmx ==
mmX = 50- X
n =30
ss``X = 1,8
n = 4
ss``X = 5
Fonte: McGill, 1997.
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
47
4.2. Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais
Nas variáveis categóricas compostas por itens que podem ser classificados como
tendo ou não uma dada característica, os dois possíveis resultados podem ser associados,
respectivamente, aos valores "1" e "0". Nesse caso, a média de uma amostra ( X ) de
tamanho n é definida pela razão entre a soma dos valores "1's" e "0's" constantes da
amostra e o seu tamanho. Isso corresponde à proporção dos elementos da amostra, ou
proporção amostral (ps), que contém a característica examinada, também chamada de
"sucesso", ou seja:
n
XpX s ==Þ amostrada tamanho
sucessos de qtde .
Dessa forma, a proporção amostral (ps) está necessariamente contida no intervalo
[0, 1]. O erro-padrão da proporção ( sps ), por sua vez, é definido pela seguinte equação:
( )
n
pp
sp
­= 1.s .
A distribuição de probabilidades das proporções amostrais, por fim, segue a
distribuição binomial. Essa distribuição, entretanto, aproxima-se de uma distribuição
normal quando (n.p) e [n. (1-p) ] são superiores ou iguais a cinco.
Figura 4.8: Distribuição de Proporções Amostrais
n Aproximação por
uma distribuição
normal
l n·p ³³ 5
l n· (1 - p) ³³ 5
n Média:
n Erro-padrão:
mm P p==
Distribuição Amostral
0,0
0,1
0,2
0,3
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Ps
P (Ps)
( )
n
pp
P
­×= 1s , onde p = proporção populacional.
Fonte: McGill, 1997.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
48
Exemplo 4.2: Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais
Suponha-se um banco no qual se saiba que 40% de todos os correntistas têm várias contas. Caso
seja selecionada uma amostra de 200 correntistas, qual é a probabilidade de que a proporção
amostral de correntistas com várias contas fique entre 0,40 e 0,43?
Como (n.p) = (200.0,4) = 80 e [n. (1-p) ] = [200. (1-0,40) ] = 120, então a distribuição de
probabilidades da proporção amostral é semelhante a uma distribuição normal. Assim, tem-se que:
( ) ( ) 87,0
200
40,01.40,0
40,043,0
1.
=
­
­=
­
­=Þ­=­=
n
pp
ppZ
n
XXZ s
X
X
s
m
s
m .
A área sob a curva normal padronizada no intervalo [0; 0,87] é igual a 0,3078. Portanto, é de
30,78% a probabilidade de que, em uma amostra com 200 correntistas, de 40 a 43% deles tenham
várias contas.
4.3. Amostragem em Populações Finitas
O Teorema do Limite Central e os erros-padrão da média e da proporção
baseiam-se na premissa de que as amostras são selecionadas com reposição, porém, em
geral, as pesquisas não apenas são conduzidas sem reposição, como envolvem uma
porcentagem significativa da população. Assim, quando N
n é superior a 0,05, deve-se
usar um Fator de Correção para Populações Finitas (CPF) no cálculo dos erros-
padrão da média e da proporção. Esse fator é definido pela equação indicada a seguir:
1­
­= N
nNCPF .
Dessa forma, as equações referentes aos erros-padrão da média e da proporção
passam a ser, respectivamente:
1. ­
­= N
nN
nX
ss e ( )
1.1.
­
­­= N
nN
n
pp
sps .
Como o fator em questão é, em geral, inferior a 1, os erros-padrão corrigidos são
menores do que os não-corrigidos, o que é coerente com o fato de que a amostra abrange
uma fração significativa da população.
5. ESTIMAÇÃO
Como ilustrado pela Figura 5.1, há dois tipos principais de estimativa: a pontual e
a do intervalo. A estimativa pontual eqüivale a um único valor, usado como estimativa do
parâmetro populacional. A média e a variância amostrais ( X e S2) são, respectivamente,
estimativas pontuais da média e da variância populacionais (m e s2).
Como, contudo, as estatísticas amostrais variam de amostra para amostra, é
importante que se leve em consideração a distribuição amostral de probabilidades, o que é
feito mediante a estimativa do intervalo, que deve conter o parâmetro populacional.
Ademais, associado ao intervalo estimado há uma probabilidade, ou nível de confiança, de
que seja um dos intervalos que efetivamente contêm o parâmetro populacional.
Figura 5.1: Elementos de uma Estimativa Probabilística
Intervalo de
Confiança
Estatística Amostral
(Estimativa pontual)
Limite de
Confiança Inferior
Limite de
Confiança Superior
Probabilidade de que o Intervalo Estimado seja um
dos Intervalos que Contêm o Parâmetro
Populacional
Fonte: McGill, 1997.
A Figura 5.2 mostra como as estimativas dos intervalos de confiança
associadas às médias amostrais variam conforme diferentes níveis de confiança, obtidos a
partir da tabela da distribuição normal padronizada.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
50
Figura 5.2: Intervalos de Confiança das Médias Amostrais
90% Amostras
95% Amostras
99% Amostras
mm+1.65ss``x mm+2.58ss``x
ssx
_
``X
mm+1.96ss``x
mm-2.58ss``x mm-1.65ss``x
mm-1.96ss``x
mm
``X = mm ± Zss``x
Fonte: McGill, 1997.
5.1. Estimativa do Intervalo da Média com ss Conhecido
No capítulo anterior, verificou-se que o percentual de médias amostrais contidas
em qualquer intervalo centrado na média populacional pode ser obtido a partir do Teorema
do Limite Central ou de informações disponíveis acerca da distribuição da população. O
presente item fará o contrário: com base nos resultados de uma única amostra, serão
extraídas conclusões sobre a população.
Do ponto de vista prático, a média populacional (m) não é conhecida. Dessa
forma, quando o desvio-padrão (ss) é sabido, em vez do intervalo
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ s+m÷÷
ø
ö
çç
è
æ s­m
n
Z
n
Z .;. , tem-se o intervalo ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ s+÷÷
ø
ö
çç
è
æ s­
n
ZX
n
ZX .;. , com (1 - a) % das
médias amostrais ( mX ), com o valor (1 - a) correspondendo ao dobro da área sob a curva
da distribuição normal padronizada contida no intervalo [0; Z]9, a qual é simétrica em
relação à área contida no intervalo [-Z; 0].

9 Z = valor crítico da distribuição normal padronizada associado à metade do complemento do nível de confiança
desejado, ou seja: ( )
2
1 a­ .
ESTIMAÇÃO
51
Considerando-se, para um dado n e um dado a, todas as possíveis médias
amostrais e os respectivos intervalos de confiança, tem-se que (1 - a) % desses intervalos
contêm a média populacional, como mostrado pela Figura 5.3.
Figura 5.3: Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais
Conhecendo-se o Desvio-Padrão Populacional
mm``x = mm
1 - a a aa/2aa/2
X
_
ssx
_Distribuição
da Média
Amostral
Grande Qtde de Intervalos
Intervalos
estendem-se
de `X - Zs`X
a`X + Zs`X
(1 - a) % dos
intervalos
contêm m.
a% não
contêm m.
Fonte: McGill, 1997.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:
OPÇÃO "FERRAMENTAS/ANÁLISE DE DADOS..." (VIDE FIGURAS A.1, A11 &
A.12, ANEXO I ) Þ gera estimativa do intervalo de confiança com s conhecido.
Assim, um intervalo de confiança de 95% (a = 5% e Z = 1,96) significa que o
parâmetro populacional está contido em 95% de todos os possíveis intervalos, para um dado
n. Dessa forma, ainda que não se tenha certeza de que um dado intervalo de confiança,
obtido a partir de uma amostra específica, contenha o parâmetro desejado, sabe-se que essa
condição é satisfeita por 95% de todas as amostras de tamanho n.
Destaque-se que, para um dado n, maior o nível de confiança desejado, maior o
intervalo em torno da média amostral, tonando a estimativa obtida menos precisa e, por
extensão, menos útil.
Uma possível aplicação das estimativas em questão encontra-se ilustrada no
Exemplo 5.1.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
52
Exemplo 5.1: Aplicação da Estimativa do Intervalo da Médias com ss Conhecido
Suponha-se uma fábrica de folhas de papel, cuja produção é normalmente distribuída, com
comprimento esperado de 28 cm e desvio-padrão conhecido de 0,05 cm. Caso seja selecionada uma
amostra de 100 folhas e a média obtida tenha sido de 27,995 cm, qual é a estimativa do intervalo da
média para um nível de confiança de 95%?
Como a população é normalmente distribuída, tem-se que:
( ) 96,1025,02
95,01
2 =Þ=­=a Z ;
005,28985,2701,0995,27
100
05,0.96,1995,27. £m£Þ±=÷÷
ø
ö
çç
è
æ±=÷÷
ø
ö
çç
è
æ s±
n
ZX .
Portanto, a amostra selecionada indica que o intervalo [27,985; 28,005] contém a média
populacional, com 95% de nível de confiança de que esse seja um dos intervalos que efetivamente
contêm o parâmetro desejado.
Concluindo, como o comprimento esperado está contido no intervalo estimado, a hipótese de que a
fábrica está operando corretamente é aceita. Esse procedimento corresponde a um Teste de
Hipótese, no qual a Hipótese Nula (H0) eqüivale à aceitação do valor esperado, enquanto que a
Hipótese Alternativa (H1) eqüivale à rejeição. Se, neste exemplo, o cumprimento esperado
estivesse aquém ou além do intervalo estimado, aceitar-se-ia a hipótese alternativa, com risco de 5%
de que se estivesse rejeitando um processo de fabricação correto.10
5.2. Estimativa do Intervalo da Média com ss Desconhecido
Assim como a média populacional costuma ser desconhecida, o desvio-padrão
também é, em geral, não-conhecido. Dessa forma, o intervalo de confiança deve ser
estimado com base na média e no desvio-padrão amostrais. Para tanto, deve-se recorrer não
à distribuição normal, mas sim à distribuição de "t" de Student (vide Anexo II).
No caso de populações distribuídas normalmente, as probabilidades da estatística
( ) úû
ù
êë
é m­
n
SX seguem uma distribuição "t" de Student com (n-1) graus de liberdade (g.l.).
Aparentemente, a distribuição "t" de Student e a distribuição normal são
semelhantes - ambas são simétricas e têm forma de sino. A área definida pela primeira
curva, contudo, é menor no centro e maior nas extremidades do que no caso da segunda. À

10 Há dois tipos de erro inerentes ao processo de teste de significância. Há um risco de que H0 seja julgada falsa ainda
que seja verdadeira. A probabilidade de que se cometa esse erro, conhecido como erro do Tipo I, é igual ao nível de
significância do teste (i.e., a). Também há o risco de que H0 seja julgada verdadeira embora seja falsa. A
probabilidade de que se cometa esse erro, conhecido como erro do Tipo II, é definido pelo símbolo b.
ESTIMAÇÃO
53
medida que aumentam os graus de liberdade (g.l.) 11, porém essa diferença diminui, como
mostrado pela Figura 5.4.
Figura 5.4: Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais
Desconhecendo-se o Desvio-Padrão Populacional
Z
t0
t (g.l. = 5)
Distribuição
Normal
t (g.l. = 13)
Distribuições t
(curva do tipo
"sino" achatadas,
com caudas
simétricas)
Fonte: McGill, 1997.
Como o grau de liberdade (g.l.) da estatística desejada é obtido a partir do
tamanho da amostra, tem-se que, para n superior ou igual a 120, as distribuições normal
e "t" de Student são eqüivalentes.
Na prática, como mostra a Figura 5.5, desde que a amostra seja numerosa o
suficiente e desde que a população não seja muito viesada, a distribuição "t" de Student
pode ser usada na estimação do intervalo de confiança, bastando substituir a estatística Z
pela estatística tn-1, ou seja:
÷
ø
öç
è
æ+££÷
ø
öç
è
æ­ ­­ n
StX
n
StX nn .. 11 m .12
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.2, ANEXO I, COLUNAS "C"
E "D" ATÉ A LINHA 13.

11 Medida que exprime a quantidade de observações independentes de uma variável. Assim, dada uma amostra com n
observações X1, X2, X3, ..., Xn e média X , somente (n-1) observações podem assumir quaisquer valores sem que a
restrição definida por X seja violada.
12 tn-1 = valor crítico da distribuição "t" de Student com (n-1) graus de liberdade associado ao complemento do nível de
confiança desejado.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
54
Figura 5.5: Aplicação da Tabela "t" de Student
Área da Cauda
à Direita
g.l. 0,25 0,10 0,05
1 1,000 3,078 6,314
2 0,817 1,886 2,920
3 0,765 1,638 2,353
t0
Assumindo-se:
n = 3;
g.l.= n - 1 = 2;
aa = 0,10;
aa/2 = 0,05.
2,920Valores "t"
aa / 2
0,05
Fonte: McGill, 1997.
Nota: Diferentemente da distribuição "t" de Student exibida no Anexo II, a figura acima
refere-se a um teste unicaudal.
Uma possível aplicação das estimativas em questão encontra-se ilustrada no
Exemplo 5.2.
Exemplo 5.2: Aplicação da Estimativa do Intervalo para Médias com ss Desconhecido
No exemplo anterior, desconhecendo-se o desvio-padrão populacional, qual é o novo valor crítico?
Dados que a população é normalmente distribuída, o nível de confiança desejado é de 95% e a
amostra tem 100 observações, e como o desvio-padrão populacional é desconhecido e
n < 120, tem-se que:
( )
984,1
05,095,01
9911001
05,0;99 =Þ
ïþ
ïý
ü
=­=
=­=­
t
n
a
.13
O novo valor crítico é um pouco superior ao valor anterior: 1,984 em vez de 1,96. O uso da mesma
medida para o desvio-padrão resultaria em um intervalo de confiança um pouco maior no presente
exemplo. Ou seja, a nova estimativa é menos precisa que a anterior em decorrência da menor
disponibilidade de informações.

13 O uso de a no presente exemplo e de ÷ø
öçè
æ
2
a no anterior deve-se ao modo como os percentuais de cada tabela são
apresentados.
ESTIMAÇÃO
55
5.3. Estimativa do tipo "Bootstrapping"
Embora as estimativas de intervalos de confiança sejam amplamente utilizados
para fazer inferências acerca dos parâmetros populacionais, as hipóteses subjacentes a essas
estimativas nem sempre correspondem à realidade. Os intervalos calculados acima, p. ex.,
baseiam-se na hipótese de que as amostras são extraídas de populações normalmente
distribuídas. Ainda que os intervalos de confiança não sejam muito sensíveis a pequenos
relaxamentos dessa hipótese, a presença de um substancial nível de não-normalidade na
população, especialmente quando o tamanho da amostra é pequeno, pode gerar intervalos
imprecisos para a média.
Um modo de contornar o problema citado acima é a estimação do tipo
"bootstrapping". Esse método envolve a seleção sem reposição de uma amostra inicial de
tamanho n, a qual é recombinada com reposição de 100 a 1.000 vezes, dependendo da
capacidade de processamento do computador empregado, para que seja obtida uma
distribuição das médias amostrais sem que se recorra a hipóteses acerca da distribuição
populacional.
Primeiro, forma-se com as médias calculadas uma seqüência ordenada de
observações. Em seguida, a seqüência é segmentada conforme o nível de confiança
desejado. Caso seja de 95%, p. ex., deve-se identificar as observações que separam os
primeiros e os últimos 2,5% das observações dos 95% restantes, concentrados em torno da
mediana das médias amostrais. Por fim, os valores associados às observações identificadas
definem a estimativa do intervalo de confiança.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:
∙ seleção de uma amostra de tamanho n sem reposição Þ gerar uma amostra de tamanho
j > n com reposição (vide Figuras A.1, A.9 & A.10, Anexo I), aproveitando-se as n-
primeiras observações distintas;
∙ seleção, a partir da amostra inicial, de 100 a 1.000 amostras de tamanho n com
reposição (vide Figuras A.1, A.9 & A.10, Anexo I);
∙ calcular a média amostral de cada amostra Þ =MÉDIA (núm1;núm2;...);
∙ ordenar as médias amostrais Þ usar a opção "DADOS/CLASSIFICAR";
∙ identificar os percentis desejados Þ ajustar as fórmulas das células "B4" e "B5" e os
textos correspondentes da Tabela A.1, Anexo I.
5.4. Estimativa do Intervalo para Proporções
A exemplo da média, também pode-se estimar um intervalo de confiança para a
proporção de um conjunto de observações que satisfaz uma dada condição. Como visto
anteriormente, quando (n.p) e [n. (1 - p) ] são superiores ou iguais a 5, a distribuição
binomial assemelha-se à distribuição normal. Nesse caso, o intervalo de confiança é
definido da seguinte maneira:
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
56
( ) ( )
n
ppZppn
ppZp ss
s
ss
s
­+££­­ 1..1.. ;
Onde: ps = proporção amostral;
Z = valor crítico da distribuição normal padronizada associado à metade do
complemento do nível de confiança;
n = tamanho da amostra;
p = proporção populacional.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.2, ANEXO I, COLUNAS "E"
E "F" ATÉ A LINHA 13.
O Exemplo 5.3 ilustra uma das possíveis aplicações da estimativa de intervalos
de confiança para proporções.
Exemplo 5.3: Aplicação da Estimativa do Intervalo para Proporções
Suponha-se uma editora que deseje conhecer a proporção de revistas distribuídas com defeito (p.
ex., páginas duplicadas ou suprimidas). Caso seja selecionada uma amostra de 200 revistas, 35 das
quais defeituosas (ps = 17,5%), qual é a estimativa do intervalo da proporção para um nível de
confiança de 90%?
Como (n.ps) = 35 e [n. (1 - ps) ] = 165, tem-se que:
( ) 645,105,02
9,01
2 =Þ=­=a Z ;
( ) 2192,01308,00442,0175,0200
825,0.175,0.645,1175,01.. ££Þ±=±=­± pn
ppZp ss
s .
Portanto, a amostra selecionada indica que de 13,08% a 21,92% das revistas são distribuídas com
defeito, com 90% de nível de confiança de que o intervalo [0,1308; 0,2192] seja um dos intervalos
que efetivamente contêm o parâmetro desejado. Note-se que quanto menor o nível de confiança,
menor o intervalo estimado. Dessa forma, a confiança e a precisão das estimativas variam
inversamente.
Para uma dada combinação de n e a, os intervalos de confiança estimados para
proporções, necessariamente envolvendo variáveis categóricas, costumam ser maiores,
ou menos precisos, do que os intervalos estimados para variáveis contínuas. Enquanto
que no primeiro tipo de estimativa as observações são agrupadas em uma quantidade finita
de categorias, no segundo, as observações são mais variadas, agregando mais informação à
estimativa.
ESTIMAÇÃO
57
5.5. Determinação do Tamanho da Amostra
Nos exemplos examinados anteriormente, o tamanho da amostra foi fixado
arbitrariamente, independentemente da extensão do intervalo de confiança. Na prática, a
determinação do tamanho apropriado da amostra é um procedimento complexo, envolvendo
restrições quanto ao tempo, aos dados e aos recursos financeiros disponíveis e quanto à
facilidade de seleção das observações. O acesso a dados coletados por pesquisas
anteriores ou por testes-piloto, em especial, permite uma melhor alocação dos recursos
disponíveis.
Independentemente das restrições existentes, todavia, as propriedades
matemáticas dos estimadores continuam valendo. Dessa forma, o tamanho da amostra tido
como exeqüível pode não permitir inferências tão confiáveis ou tão precisas quanto se
deseja. Isso, porém, não necessariamente significa que a amostragem pretendida é
irrelevante, pois os dados coletados podem fornecer tanto conclusões preliminares, como
indicações valiosas para futuras pesquisas.
5.5.1. Médias
Do ponto de vista estritamente matemático, o tamanho da amostra para estimar a
média é obtido por meio da seguinte transformação:
( ) 2
22 .
m­
=Þm­=
X
SZn
n
S
XZ o
o
, com So = estimativa inicial do desvio-padrão.
Definindo-se o erro amostral (e) como a diferença entre as médias amostral e
populacional ( X - m), tem-se, ainda:
2
22 .
e
SZn o= , a ser aproximado para o valor inteiro imediatamente superior quando contiver
casas decimais.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.3, ANEXO I, COLUNAS "A"
E "B" ATÉ A LINHA 08.
Portanto, dados o nível desejado de confiança, o erro amostral admitido14 e
uma estimativa inicial do desvio-padrão, fixada a partir de pesquisas anteriores, de pré-
testes ou de consultas a especialistas15, obtém-se o tamanho apropriado da amostra.
Destaque-se que esses valores preliminares não devem ser confundidos com os resultados
da pesquisa amostral, pois as estimativas obtidas podem não ser referendadas pelos dados
coletados. Assim, as expectativas quanto ao nível de confiança e ao erro amostral podem ser

14 O erro amostral admitido corresponde a maior diferença entre as médias amostral e populacional tida como
insignificante em face do propósito da pesquisa que estiver sendo conduzida.
15 Alternativamente, caso haja razões para crer que a população examinada é normalmente distribuída, a estimativa
inicial do desvio-padrão pode ser dada por ÷ø
öçè
æ
6
1 da amplitude (At @ 6.s nas populações normalmente distribuídas).
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
58
reformuladas, para melhor ou para pior, à luz do desvio-padrão amostral efetivamente
calculado.
5.5.2. Proporções
A exemplo do que foi feito acima, na estimação de proporções o tamanho da
amostra é dado pela seguinte transformação:
( )
( )
( ) 2
2 1..
1. pp
ppZn
n
pp
ppZ
s
oo
oo
s
­
­=Þ
­
­= , com po = estimativa inicial da proporção de
"sucessos".
Definindo-se o erro amostral (e) como a diferença entre as proporções amostral
e populacional (ps - p), tem-se, ainda:
( )
2
2 1..
e
ppZn oo ­= , a ser aproximado para o valor inteiro imediatamente superior quando
contiver casas decimais.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.3, ANEXO I, COLUNAS "C"
E "D" ATÉ A LINHA 08.
Geralmente, a estimativa inicial da proporção de "sucessos" é fixada a partir de
dados coletados previamente. Caso, porém, não haja dados disponíveis, pode-se recorrer ao
valor de p no qual ocorre o máximo da função f (p) = p. (1 - p).16 Consequentemente, a
estimativa mais conservadora para a proporção de "sucessos" é 0,5. Esse valor define, para
cada nível de confiança, a maior amostra exigida por pesquisas amostrais com apenas duas
categorias, como pode ser observado no Exemplo 5.5.
Exemplo 5.5: Cálculo do Tamanho da Amostra para Estimar Duas Proporções
Suponha-se uma campanha eleitoral com vários candidatos. Qual deve ser o tamanho da amostra
para que se possa obter, com 95% de nível de confiança e 3% de margem de erro, as intenções de
votos em um dos candidatos?
Com (1 - a) = 0,95 e e = 0,03, fazendo-se po = 0,5 e agrupando-se os votos nulos e em branco e as
intenções de voto nos demais candidatos em uma única categoria, tem-se:
( ) \=Þ=­=÷
ø
öç
è
æ a 96,1025,02
95,01
2 Z ( ) ( ) 068.111,067.1
03,0
5,01.5,0.96,11..
2
2
2
2
@=­=­=
e
ppZn oo .
Portanto, na ausência de mais informações, são necessárias 1.068 entrevistas para que seja obtida a
proporção desejada.

16 f (p) = p. (1 - p) = p - p2 Þ
( )
( )
ï
ï
î
ïï
í
ì
Þ­=
=Þ=­=
máximo. ponto um é *22
2
;
2
1*0*.21
p
dp
pfd
pp
dp
pdf
ESTIMAÇÃO
59
A Tabela 5.1 sintetiza vários tamanhos de amostra para estimar proporções, dado
um nível de confiança de 95% (Z = 1,96):
Tabela 5.1: Tamanho da Amostra para Vários Erros Amostrais e
Proporções de "Sucesso" (Z = 1,96)
(em %)
Erro Amostral Admitido (e) Estimativa
Inicial de p (p0) 0,15 0,10 0,05 0,03
5 n.d. n.d. n.d. 203
10 n.d. n.d. 139 385
15 n.d. 49 196 545
20 28 62 246 683
30 36 81 323 897
40 41 93 369 1.025
50 43 97 385 1.068
Nota: "n.d." corresponde a "não definido", pois (n.p) é inferior a 5.
Nas amostragens com mais de duas categorias, os pesquisadores terão,
necessariamente, de definir estimativas iniciais para as k-proporções desejadas, não havendo
uma hipótese mais conservadora para cada tipo de "sucesso". Com base nas estimativas
iniciais, os pesquisadores deverão calcular (k-1) tamanhos de amostra conforme mostrado
anteriormente, somando-os em seguida para obter o tamanho total. Esse procedimento acha-
se ilustrado no Exemplo 5.6.
Exemplo 5.6: Cálculo do Tamanho da Amostra para Estimar n-Proporções
Suponha-se uma campanha eleitoral com três candidatos. Qual deve ser o tamanho da amostra para
que se possa obter, com 95% de nível de confiança e 3% de margem de erro, as intenções de votos
em cada candidato, bem como as proporções de votos nulos e em branco? Com base nas pesquisas
realizadas anteriormente, as estimativas iniciais para as intenções de voto nos três candidatos são
p1 = 0,40, p2 = 0,30 e p3 = 0,15, e que os votos nulos e em branco são, respectivamente, p4 = 0,10 e
p5 = 0,05.
Com (1 - a) = 0,95, e = 0,03 e tratando-se os votos nulos como resíduo, tem-se:
a) p1 = 0,40 Þ q1 = (p2 + p3 + p4 + p5) = 0,60 Þ n1 = 1.025;
b) p2 = 0,30 Þ q2 = (p1 + p3 + p4 + p5) = 0,70 Þ n2 = 897;
c) p3 = 0,15 Þ q1 = (p1 + p2 + p4 + p5) = 0,85 Þ n3 = 545;
d) p5 = 0,05 Þ q1 = (p1 + p2 + p3 + p4) = 0,95 Þ n5 = 203;
e) n = n1 + n2 + n3 + n5 = 2.670.
Portanto, em princípio, são necessárias 2.670 entrevistas para que sejam obtidas as cinco proporções
desejadas. Convém frisar que as proporções obtidas podem ou não coincidir com as
estimativas definidas inicialmente. Dessa forma, é fundamental que o nível de confiança e os
amostrais sejam recalculados à luz dos novos resultados. Isso poderá ou não gerar estimativas
mais precisas e/ou confiáveis do que aquelas pretendidas.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
60
O método ilustrado acima mais do que duplicou o tamanho original da amostra.
Um modo menos oneroso de obter resultados igualmente válidos é o uso da seguinte
simplificação (SOUZA, 1990, p. 43):
2
2 25,0.'
e
Zn = , com Z' correspondendo ao valor crítico da distribuição normal padronizada
associado à metade do complemento do nível de confiança desejado, ajustado
conforme a quantidade de categorias examinadas, ou seja:
( )
2
11
2
1
1
úû
ù
êë
é ­­
=÷
ø
öç
è
æ
÷
ø
öç
è
æ
­kay Þ Z', com k correspondendo à quantidade de categorias.17
O Exemplo 5.7 ilustra a simplificação descrita acima.
Exemplo 5.7: Cálculo Simplificado do Tamanho da Amostra para Estimar n-Proporções
No exemplo anterior, utilizando-se a simplificação sugerida, qual deve ser o tamanho da amostra
para que se possa obter, com 95% de nível de confiança e 3% de margem de erro, as intenções de
votos em cada candidato, bem como as proporções de votos nulos e em branco?
Com (1 - a) = 0,95, e = 0,03 e k = 5, tem-se:
( ) ( )
49,2'0065,02
95,01
2
11
2
15
1
1
1
=Þ=
úû
ù
êë
é ­
=
úû
ù
êë
é ­­
=÷
ø
öç
è
æ
÷
ø
öç
è
æ
­÷
ø
öç
è
æ
­
z
kay ;
723.125,722.1
03,0
25,0.49,225,0.'
2
2
2
2
@===
e
Zn .
Portanto, são necessárias 1.723 entrevistas para que sejam obtidas as cinco proporções desejadas.
Pode-se, contudo, diminuir o tamanho da amostra por meio de técnicas mais complexas (p. ex.,
amostragens estratificadas, por conglomerados ou com estimadores do tipo "razão" ou do tipo
"regressão"), as quais exigem uma maior quantidade de informações acerca da população.
5.6. Amostragem em Populações Finitas
Nas amostragens sem reposição e com N inferior ou igual a (20.n), os
intervalos de confiança e os tamanhos apropriados das amostras devem ser ajustados pelo
CPF (vide Item 4.3).
Os intervalos de confiança ajustados são:

17 a = y para k = 2.
ESTIMAÇÃO
61
a) estimação da média:
∙ com desvio-padrão conhecido:
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­
÷÷
ø
ö
çç
è
æ s+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­
÷÷
ø
ö
çç
è
æ s­ 1..;1.. N
nN
n
ZXN
nN
n
ZX ;
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.2, ANEXO I, COLUNAS "A"
E "B" A PARTIR DA LINHA 14.
∙ com desvio-padrão desconhecido:
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ­ ­­ 1..;1.. 11 N
nN
n
StXN
nN
n
StX nn ;
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.2, ANEXO I, COLUNAS "C"
E "D" A PARTIR DA LINHA 14.
b) estimação da proporção:
( ) ( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­­+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­­­
1.1..;1.1.. N
nN
n
ppZpN
nN
n
ppZp ss
s
ss
s .
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.2, ANEXO I, COLUNAS "E"
E "F" A PARTIR DA LINHA 14.
Já os tamanhos ajustados das amostras (nCPF), na estimação tanto de médias,
como de proporções, são:
( ) 1
.
­+= Nn
NnnCPF , com n correspondendo ao tamanho não-ajustado.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.3, ANEXO I, A PARTIR DA
LINHA 09.
5.7. Estimativa do Intervalo para Totais
O total (T) é obtido multiplicando-se a média amostral pelo tamanho da
população, ou seja:
XNT .= .
O respectivo intervalo de confiança, por sua vez, é:
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ­ ­­ 1....;1.... 11 N
nN
n
StNXNN
nN
n
StNXN nn .
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
62
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.4, ANEXO I.
Uma das possíveis aplicações da presente modalidade de estimativa encontra-se
ilustrada no Exemplo 5.8.
Exemplo 5.8: Aplicação da Estimativa do Intervalo para Totais
Suponha-se um arquivo contendo 5.000 ordens bancárias, normalmente distribuídas, mas cujos
montante e desvio-padrão não são conhecidos. Uma amostra de 100 ordens gerou os seguintes
resultados: X = R$ 1.076,39 e S = R$ 273, 62. Qual é o montante estimado das ordens e respectivo
intervalo, para um nível de confiança de 95%?
Dado que N > (20.n) e n < 120, tem-se que:
950.381.5) 39,076.1). (000.5 (. === XNT .
( )
984,1
05,095,01
9911001
05,0;99 =Þ
ïþ
ïý
ü
=­=
=­=­
t
n
a
.
( ) ( ) ( ) ( ) Þ±=±=÷
ø
öç
è
æ± ­ ) 04,431.271 () 950.381.5 (
100
62,273.984,1.000.539,076.1.000.5... 1 n
StNXN n
Þ 5.110.518,96 £ T £ 5.653.381,04.
Portanto, a estimativa pontual para o montante é de R$ 5.381.950,00, enquanto que o intervalo
estimado para o nível de confiança desejado, é [R$ 5.110.518,96;
R$ 5.653.381,04].
5.8. Estimativa do Intervalo para Diferenças
A estimação da diferença é empregada quando se crê que os registros referentes a
um conjunto de itens contêm erros, cujo montante deseja-se conhecer. Essa técnica, comum
em trabalhos de auditoria, envolve os seguintes procedimentos:
a) seleção de uma amostra de tamanho apropriado;
b) cálculo da diferença amostral média ( D ) entre o valor observado do item e o
valor constante do registro, ou seja:
n
D
D
n
i
iå
== 1 , com Di = (Xi, observado - Xi, registrado);
c) cálculo do desvio-padrão (SD) amostral das diferenças, ou seja:
ESTIMAÇÃO
63
1
.
1
22
­
­
=
å
=
n
DnD
S
n
i
i
D ;
d) estimativa do intervalo de confiança da diferença total, ou seja:
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ­ ­­ 1....;1.... 11 N
nN
n
StNDNN
nN
n
StNDN d
n
D
n .
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.5, ANEXO I.
Uma aplicação possível da estimativa do intervalo para diferenças encontra-se
ilustrada no Exemplo 5.9.
Exemplo 5.9: Aplicação da Estimativa do Intervalo para Diferenças
Suponha-se um cadastro contendo 5.000 ordens bancárias, normalmente distribuídas, mas cujo
desvio-padrão não é conhecido. Uma amostra de 100 ordens identificou 14 ordens cujos valores
diferiam dos valores constantes do cadastro. Qual é o montante estimado das diferenças e o
respectivo intervalo para um nível de confiança de 95%?
A amostragem revelou as seguintes diferenças (Di): R$ 75,41, R$ 38,97, R$108,54, - R$ 37,18, R$
62,75, R$ 118,32, - R$ 88,84, R$ 127,74, R$ 55,42, R$ 39,03, R$ 29,41, R$ 47,99, R$ 28,73 e R$
84,05.
9034,6100
100
1 ==
å
=i
iD
D e 23,271100
9034,6.100
100
1
22
=­
­
=
å
=i
i
D
D
S .
Dado que N > (20.n) e n < 120, tem-se que:
517.34. =DN .
( )
984,1
05,095,01
9911001
05,0;99 =Þ
ïþ
ïý
ü
=­=
=­=­
t
n
a
.
( ) ( ) ( ) ( ) Þ±=±=÷
ø
öç
è
æ± ­ ) 16,012.27 () 517.34 (
100
23,27.984,1.000.59034,6.000.5... 1 n
StNDN D
n
Þ 61.529,16. 7.504,84 ££ DN .
Portanto, a estimativa pontual para o montante da diferença é de R$ 34.517,00, enquanto que o
intervalo estimado, para o nível de confiança desejado, é [R$ 7.504,84;
R$ 61.529,16].
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
64
6. VARIANTES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
Os conceitos enunciados no capítulo anterior referem-se às amostras aleatórias
simples (vide item 1.2.1.). Por conseguinte, essa modalidade de amostragem confunde-se
com os próprios fundamentos da inferência estatística. As demais modalidades representam
desenvolvimentos da amostragem aleatória simples destinados a capturar, com maior
precisão e menor custo, as características relevantes da população. Os próximos itens
abordarão dois desses desenvolvimentos: as amostragens aleatórias estratificada (AAE) e
por conglomerados (AAC).18
6.1. Amostragem Aleatória Estratificada
Caso os membros da equipe de auditoria acreditem que haja uma estreita relação
entre o objeto do trabalho e uma dada característica da população ou julguem que um
subgrupo específico da população é particularmente interessante para os propósitos da
investigação, convém recorrer à amostragem estratificada, na qual a população é dividida
em k-estratos mutuamente excludentes e exaustivos, selecionando-se uma amostra aleatória
simples de cada estrato (vide item 1.2.2).
Note-se que se os k-estratos da população contêm N1, N2, ..., Nk elementos, então:
N1 + N2 + ... + Nk = N
Da mesma forma, se as k-amostras têm tamanhos n1, n2, ..., nk, o tamanho total da
amostra (n) é:
n1 + n2 + ... + nk = n
6.1.1. Estimação de Médias, Totais e Proporções na AAE
As médias populacionais dos k-estratos são denotadas por meio dos símbolos m1,
m2, ..., mk, enquanto que os símbolos kXXX ...,,, 21 correspondem às k-médias amostrais.
Considerando-se o j-ésimo estrato, tem-se que jX , obtido a partir de uma amostra aleatória
simples, é um estimador não-viesado de mj.
A variância do estimador da média amostral do estrato em questão ( 2
jX
S ), por sua
vez, é definida pela seguinte equação:
j
jj
j
j
N
nN
n
SS
jX
­= .
2
2 , com 2
jS = estimativa da variância populacional do j-ésimo estrato.

18 As equações expostas neste capítulo e no capítulo anterior estão sintetizadas no Anexo III.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
66
Uma vez apuradas as k-médias amostrais, a estimação da média populacional
geral ( AEX ) é imediata:
å
=
=
k
j
jjAE XN
N
X
1
..1 , com AE = "amostragem estratificada".
Considerando-se que as amostras selecionadas em cada estrato são mutuamente
independentes, tem-se que a estimativa não-viesada da variância do estimador da média
populacional geral ( 2
AEX
S ) é:
å
=
=
k
j
Xj jAEX
.SN.
N
S
1
22
2
2 1 .
Para n superior ou igual a 120, o intervalo de confiança da média populacional
geral verdadeira (m), para Z dado pelo a desejado, é: [ ]AEXAE SZX .± .
O Exemplo 6.1 ilustra algumas da principais propriedades da amostragem
estratificada.
Exemplo 6.1: Aplicação da Estimativa de Médias na Amostragem Estratificada
O Ministério do Trabalho e Emprego oferece cursos de requalificação profissional em 155 locais na
região sul: 60 no Rio Grande do Sul, 50 no Paraná e 45 em Santa Catarina. O ministério cogita
acrescentar mais um curso ao rol já disponível. No intuito de estimar quanto seria a demanda
mensal média por local pelo novo curso, procedeu-se ao acréscimo cogitado em 12 locais no Rio
Grande do Sul, 10 no Paraná e 9 em Santa Catarina, selecionados aleatoriamente.
Ao longo de um mês, apurou-se, com base nas quantidades de pessoas que se inscreveram no novo
curso, os seguintes resultados amostrais (i.e., média e desvio-padrão):
a) 2,21=RSX e 8,12=RSS ;
b) 3,13=PRX e 4,11=PRS ;
c) 1,26=SCX e 2,9=SCS .
Para que a demanda mensal média por local seja obtida, note-se, primeiramente, que:
a) NRS = 60 e nRS = 12;
b) NPR = 50 e nPR = 10;
c) NSC = 45 e nSC = 9;
d) N = 155 e n = 31.
A estimativa da média populacional é:
1,20
155
1,26.453.13.502,21.60..
155
1 3
1
=++== å
=j
jjAE XNX ; com j = RS, PR e SC.
Continua
VARIANTES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
67
Continuação
As variâncias dos estimadores da média de cada estrato, por sua vez, são:
a) ( ) 923,1060
1260.12
8,12.
22
2 =­=­=
RS
RSRS
RS
RS
N
nN
n
SS
RSX
;
b) ( ) 397,1050
1050.10
4,11.
22
2 =­=­=
PR
PRPR
PR
PR
N
nN
n
SS
PRX
;
c) ( ) 524,745
945.9
2,9.
22
2 =­=­=
SC
SCSC
SC
SC
N
nN
n
SS
SCX
.
Com essas variâncias, já se poderia definir os intervalos de confiança das médias dos estratos. No
entanto, o intervalo desejado refere-se à média geral. Para isso, é preciso calcular AEXS , ou seja:
83,1155
524,7.45397,10.50923,10.60
155
1
2
2223
1
22
2
2 =++=== å
=j
XjX jAEXAE
.SN.SS .
Ademais, para a = 95% e n = 31 (n < 120), tem-se t30; 0,05 = 2,04. Assim, o intervalo de confiança da
média geral é:
[20,10 ­ 2,04.1,83 < m < 20,10 + 2.04.1,83] = [16,37 < m < 23,83].
Dessa forma, pode-se afirmar, com um nível de confiança de 95%, que a demanda mensal média
por local pelo novo curso está compreendida no intervalo [16,37; 23,83].
Como o valor total de uma população é dado pela multiplicação da quantidade de
elementos que a compõem pelo seu valor médio, bastam algumas transformações para que
se obtenha o intervalo de confiança correspondente. A estimativa pontual, a variância do
estimador e o intervalo desejado, para n superior ou igual a 120, são definidos pelas
seguintes equações:
a) å
=
=
k
j
jjAE XNXN
1
.. ;
b) å
=
=
k
j
Xj jAEX
.SNSN
1
2222 . ;
c) [ ]AEXAE SNZXN ... ± .
No Exemplo 6.2, as novas equações são aplicadas ao exemplo anterior.
Exemplo 6.2: Aplicação da Estimativa de Totais na Amostragem Estratificada
No exemplo anterior, a demanda total pelo novo curso geraria, para a = 95% e n = 31
(t30; 0,05 = 2,04), o seguinte intervalo de confiança:
[155.20,10 ­ 2,04.155.1,83 < N.m < 155.20,10 + 2.04.155.1,83] = [2536,85 < N.m < 3694,15].
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
68
No que se refere à estimação de intervalos para proporções populacionais, a
estimativa pontual, a variância do estimador e o intervalo de confiança correspondente, para
n superior ou igual a 120, são assim definidos:
a) å
=
=
k
j
jjAE pN
N
p
1
^^
..1 , com jp
^
= proporção amostral de "sucessos" do j-ésimo estrato;
b) å
=
=
k
j pj
jAEp
.SN
N
S
1
22
2
2
^^
.1 , com ( )
j
jj
j
jj
p N
nN
n
pp
S
j
­
­
÷ø
öçè
æ ­
= .
1
1.
^^
2
^ ;
c) úû
ù
êë
é ±
AEpAE SZp ^.
^
.
6.1.2. Determinação do Tamanho da Amostra na AAE
Uma vez que a amostragem estratificada pode ser entendida como uma
combinação de amostras aleatórias simples, o cálculo do tamanho da amostra de cada
estrato deve observar as equações definidas no capítulo anterior. Convém frisar, porém,
que as equipes de auditoria não precisam utilizar o mesmo nível de confiança (a) e o
mesmo erro amostral (e) em todos os estratos. Esses parâmetros poderão variar
conforme a maior ou menor importância de cada estrato para o trabalho proposto.
Assim, uma pesquisa que deseje apurar a opinião de toda população sobre certo tema, mas
que esteja particularmente interessada na opinião de um grupo étnico ou profissional
específico, poderá atribuir a esse grupo um maior nível de confiança e/ou um menor erro
amostral no momento do cálculo do tamanho da amostra.
Importa notar, contudo, que a variância do estimador da média amostral de cada
estrato é sensível ao tamanho da amostra. Dessa forma, supondo-se tudo mais constante,
quanto menor o tamanho da amostra, maior a variância em questão, o que pode gerar
problemas na fase de agregação. Portanto, as equipes de auditoria devem tomar cuidado
para que os estratos menos importantes não fiquem demasiadamente
subrepresentados no estudo amostral, pois isso comprometeria a generalização dos
resultados obtidos para toda a população.
Além dessas considerações, o tamanho da amostra de cada estrato também pode
ser definido privilegiando-se os estratos com maior variância. Esse procedimento,
denominado "alocação ótima", é usado para estimar as médias, totais e proporções gerais,
sendo menos útil quando se deseja obter estimativas para cada estrato. Ademais, pressupõe
que a variância dos estratos (sj) seja conhecida.
Supondo-se uma amostra total com tamanho n, a alocação ótima estipula que as
amostras de cada estrato deverão ter os seguintes tamanhos:
a) estimação de médias: n
N
N
n k
j
jj
jj
j .
.
.
1
å
=
s
s= ;
VARIANTES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
69
b) estimação de proporções:
( )
( )
n
ppN
ppN
n k
j
jjj
jjj
j .
1..
1..
1
å
=
­
­
= .
6.2. Amostragem Aleatória por Conglomerados
Confrontadas, p. ex., com a ausência de um cadastro completo ou confiável, ou
com os altos custos associados à realização de entrevistas de contato direto, as equipes de
auditoria podem optar pela amostragem por conglomerados. Trata-se de um procedimento
recomendável quando a população pode ser subdividida em conglomerados menores, que
sejam geograficamente compactos (p. ex., bairros ou quarteirões de uma cidade).
Nessa modalidade de amostragem, seleciona-se, primeiramente, uma amostra
aleatória simples de conglomerados. Em seguida, todos os seus membros são entrevistados.
Em outras palavras, a amostragem por conglomerados eqüivale a uma amostra aleatória
simples seguida de um censo (vide item 1.2.3).
6.2.1. Estimação de Médias, Totais e Proporções na AAC
Suponha-se que a população se divida em M conglomerados, que uma amostra
aleatória simples de m conglomerados tenha sido selecionada e que seus integrantes (N1, N2,
..., Nm) tenham sido entrevistados. Com base nas médias e proporções amostrais dos
conglomerados escolhidos ( mXXX ...,,, 21 e mppp
^
2
^
1
^
...,,, ), tem-se que as estimativas
pontuais da média e da proporção gerais ( ACX e ACp
^
), as variâncias dos estimadores e os
intervalos de confiança correspondentes, para n superior ou igual a 120, são assim definidos:
a)
å
å
=
== m
j
j
m
j
jj
AC
N
XN
X
1
1
.
e
å
å
=
== m
j
j
m
j
jj
AC
N
pN
p
1
1
^
^
.
, com AC = "amostragem por conglomerados";
b) 2
ACX
S ou 2
2
1
2
.
^ AC
m
j
j
.S
m
N
M
mMS
ACp
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­=
å
=
,
Onde:
( )
1
1
22
2
­
­
=
å
=
m
XX.N
S
m
j
ACjj
AC ou 1
1
2^^2
­
÷ø
öçè
æ ­å
=
m
pp.N
m
j
ACjj
Þ estimativa da variância
populacional;
c) [ ]ACAC XACXAC SZXSZX .. + <­ e úû
ù
êë
é +<<­
ACAC pACpAC SZppSZp ^^ ..
^^
.
Observe-se que, no presente contexto, as inferências podem ser feitas com uma
quantidade relativamente pequena de informações previamente disponíveis acerca da
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
70
população. Basta que a população possa ser claramente dividida em conglomerados. Sequer
o total de elementos da população precisa ser conhecido, devendo-se apenas determinar a
quantidade de elementos de cada conglomerado selecionado, o que é uma conseqüência
necessária do censo requerido pelas versões mais simples da amostragem por
conglomerados.
O Exemplo 6.3 ilustra algumas propriedades da amostragem por conglomerados.
Exemplo 6.3: Aplicação da Estimativa de Médias e Proporções na Amostragem por
Conglomerados
Uma amostra aleatória simples com 20 quarteirões é selecionada de uma área residencial com um
total de 1.000 quarteirões. Cada uma das residências dos quarteirões selecionados foi visitada no
intuito de se apurar a renda familiar. A Tabela 6.1 discrimina a renda anual média ( jX ) e a
proporção de famílias com renda anual inferior a R$ 15.000,00 ( jp
^
) nos quarteirões que
compuseram a amostra.
Tabela 6.1: Resumo dos Dados Coletados na Aplicação da Amostragem por
Conglomerados
Quarteirão
Selecionado (j) jX (em R$) jp
^ Quantidade
de Domicílios (Nj)
1 26.283,00 0,1304 23
2 19.197,00 0,4516 31
3 37.911,00 0,1250 24
4 14.527,00 0,6585 41
5 16.753,00 0,5143 35
6 28.312,00 0,2692 26
7 21.646,00 0,3548 31
8 29.312,00 0,1563 32
9 31.829,00 0,1333 30
10 18.412,00 0,3846 39
11 33.893,00 0,0769 26
12 38.409,00 0,0476 21
13 43.911,00 0,0000 20
14 14.699,00 0,4375 32
15 24.921,00 0,1111 36
16 31.827,00 0,0909 33
17 34.436,00 0,0833 24
18 37.647,00 0,0400 25
19 30.026,00 0,1081 37
20 16.493,00 0,3659 41
Pede-se para que seja calculada a renda anual média e proporção de famílias com renda anual
inferior a R$ 15.000,00 de toda a área.
Primeiramente, tem-se que: M = 1000 e m = 20.
A quantidade total de domicílios é: ( ) 60741...3123
20
1
=+++=å
=j
jN .
Continua
VARIANTES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
71
Continuação
As estimativas pontuais da média e da proporção são:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,26109
607
16493.41...19197.3126283.23
.
20
1
20
1 =+++==
å
å
=
=
j
j
j
jj
AC
N
XN
X ;
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2521,0
607
3659,0.41...4516,0.311304,0.23
.
20
1
20
1
^
^
=+++==
å
å
=
=
j
j
j
jj
AC
N
pN
p .
Ademais, tem-se que:
a) 18422,45 20
607
20
2
220
1 ==
÷÷
ø
ö
çç
è
æå
=j
jN
;
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0692705510019
2610916493.41...2610926283.23
120
2222
20
1
2^^2
=­++­=­
÷ø
öçè
æ ­å
=j
ACjj pp.N
;
c) ( ) ( ) ( ) ( ) 1547,3819
2521,03659,0.41...2521,01304,0.23
120
2222
20
1
2^^2
=­++­=­
÷ø
öçè
æ ­å
=j
ACjj pp.N
.
Com isso, os estimadores da média e da proporção gerais apresentam os seguintes desvios-padrão:
a)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 192045,18422.1000
06927055100.980
120
20.1000
201000
20
1
22
220
1
2 ==­
­
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­==
å
å
=
=
j
ACjj
j
j
XX.N
.
N
SS
ACXACX
;
b) ( ) ( )
( ) ( ) 0451,045,18422.1000
1547,38.980
120
20
.1000
201000
20
1
2^^2
220
1
2
^^ ==­
÷ø
öçè
æ ­
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­==
å
å
=
=
j
ACjj
j
j
p
pp.N
.
N
SS
ACpAC
.
Portanto, os intervalos de confiança da média e da proporção gerais, para a = 95% e 607
20
1
=å
=j
jN
(Z = 1,96), são:
a) [26109 ­ 1,96.1920 < m < 26109 + 1,96. 1920] = [22346 < m < 29872];
b) [0,2521 ­ 1,96.0,0451 < m < 0,2521 + 1,96. 0,0451] = [0,164 < m < 0,340].
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
72
6.2.2. Determinação do Tamanho da Amostra na AAC
Parece haver alguma semelhança entre as amostragens estratificada e por
conglomerado, pois ambas dividem a população em subgrupos. Trata-se, todavia, de uma
semelhança superficial.
Na amostragem estratificada, seleciona-se uma amostra aleatória simples de cada
estrato para que a pesquisa contenha representantes de todos os segmentos relevantes da
população.
Já na amostragem por conglomerados, o objeto da amostra aleatória simples são
os próprios subgrupos. Dessa forma, somente alguns conglomerados estarão representados
no estudo amostral. Dependendo de como forem definidos os subgrupos, os seus
elementos poderão, no que se refere às características relevantes para o trabalho, ser
muito heterogêneos externamente (i.e., os conglomerados exibem perfis muito distintos) e
homogêneos internamente (i.e., os elementos de cada conglomerado são muito parecidos).
Nesse caso, corre-se o risco de que segmentos importantes da população sejam
subrepresentados na pesquisa.
Efetivamente, quanto mais os conglomerados forem parecidos com a população
e, por extensão, entre si, menor será a quantidade de subgrupos que precisará ser incluída no
estudo amostral. Isso pode ser constatado no próprio cálculo do tamanho da amostra (m),
o qual é diretamente proporcional à magnitude da variância populacional dos
conglomerados ( 2
ACs ) ou da sua estimativa preliminar ( 2
0ACS ), como mostra a equação
exibida a seguir:
2
2
1
2
2
2
..
. 0
AC
M
j
j
AC
S
M
N
Z
e
SM
m
­
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
å
=
.
Convém ainda notar que essa equação requer não apenas uma estimativa de
qual seja a variância populacional, mas também uma estimativa de qual seja o tamanho
da população ÷÷
ø
ö
çç
è
æå
=
M
j
jN
1
.
Conseqüentemente, enquanto que os trabalhos de estimação expostos no
Exemplo 6.3 somente exigiram uma pequena quantidade de informações prévias acerca da
população, o cálculo do tamanho da amostra requer muito mais dados ou pressuposições.
Isso reforça a necessidade de que os estudos amostrais sejam precedidos por criteriosos
levantamentos de informações, que devem originar planos amostrais detalhados, cujas
premissas e conclusões preliminares deverão ser conferidas à luz dos dados
efetivamente coletados, devendo-se proceder, quando necessário, as modificações
requeridas quanto aos níveis de confiança esperados e aos erros amostrais admitidos.
7. AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
Os capítulos 5 e 6 discorreram sobre as modalidades clássicas de amostragem de
variáveis (i.e., estimação de médias, totais e diferenças) e por atributo (i.e., estimação de
proporções). Nas amostragens por atributo, porém, as técnicas examinadas não são
aplicáveis aos casos nos quais as probabilidades de seleção variam, como ocorre quando as
amostras são selecionadas sem reposição de populações finitas. Nessas situações, a
distribuição de probabilidades mais apropriada é, em vez da binomial, a hipergeométrica.
Essa distribuição é empregada, p. ex., em controles de qualidade ou de aderência a critérios
preestabelecidos, nos quais os desvios em relação ao critério definido são tratados
igualmente, ainda que os valores envolvidos difiram entre si.
No controle de qualidade ou de aderência, o tamanho da amostra, para
populações com mais de quinhentos elementos, é definido pela equação:
,,
p
Cn i a= onde: Ci, a = índice de confiabilidade;
i = quantidade prevista de erros na amostra;
a = nível de confiança;
p = proporção máxima de erros admitidos na população.
Geralmente, o índice de confiabilidade (Ci, a) é obtido a partir de quadros como o
da Tabela 7.1.
Tabela 7.1: Índices de Confiabilidade para Várias Quantidades Previstas de
Erros e Níveis de Confiança
Quantidade Prevista de Erros na Amostra (i) Nível de Confiança
(a) 0 Þ (C0, a) a 1 Þ (C1, a) b 2 Þ (C2, a) c
0,99 4,60 6,61 -
0,95 3,00 4,75 6,30
0,90 2,30 3,89 5,33
0,85 1,90 3,38 4,73
0,80 1,61 3,00 4,28
0,70 1,20 2,44 3,62
0,50 0,69 1,68 2,64
Fonte: Adams & Regal, 1995, p. 19.
Notas: (a) ( ) aa ­­= 1ln,0C Ü aproximação obtida a partir de uma distribuição hipergeométrica de
probabilidades;
(b) e (c) para amostras numerosas e populações com pequenas taxas de erros, a distribuição
hipergeométrica pode ser aproximada por meio de uma distribuição de Poisson, o que permite
obter Ci, a, mediante interpolações baseadas nas seguintes equações: ( ) 1. ,1
,1 += ­
a
aa Ce C e
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
++= ­ 12. ,2
2
,2,2
a
aaa CCe C .
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
74
Como mostrado pelo Exemplo 7.1 , é imediata a generalização do cálculo de C0, a
a partir de uma distribuição hipergeométrica de probalidades ( ) Pi
H .
Exemplo 7.1: Cálculo do Índice de Confiabilidade
Qual é o índice de confiabilidade (Ci, a) associado a uma população (N) com 600 itens, 18 dos quais
contendo erros (p = 0,03), e a uma amostra (n) com 100, todos perfeitos (i = 0)?
A probabilidade ( ) H
iP de que semelhante amostra seja extraída de uma população com tais
característica é dada pela seguinte equação:
05,097,0501
483.....600
582
!600
!500!100.!482!100
!582.!18!0
!18
100
600
0100
18600.0
18
100
0 @@==
÷ø
öçè
æ
÷ø
öçè
æ
­
­÷ø
öçè
æ
=HP .
Portanto, é de aproximadamente 5% o risco de que uma amostra com 100 elementos perfeitos seja
proveniente de uma população com uma taxa de erro de 3%. Em outras palavras, pode-se afirmar,
com um nível de confiança de 95% (complemento da taxa de risco), que a população examinada
apresenta um erro máximo de 3%.
Generalizando-se:
( ) ( ) [ ] ( )
( ) pnpP nH
­
­=Þ­­=­= 1ln
1ln111 0
aa .
Como p
Cn a,0= e p @ ­ ln (1 ­ p), então C0, a = ­ ln (1 ­ a).
Utilizando-se a distribuição de Poisson ( ) Pi
P , tem-se que o índice de
confiabilidade (Ci, a) corresponde ao produto do tamanho da amostra (n) pela taxa máxima
de erros na população (p) que proporciona, para uma dada previsão sobre a quantidade de
erros amostrais (i), o nível de confiança desejado (a) na seguinte equação:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ïþ
ïý
ü
ïî
ïí
ì
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
­=
ïþ
ïý
ü
ïî
ïí
ì
ú
û
ù
ê
ë
é­=­= åå
=
­
=
­ i
j
Cj
i
i
j
pnj
P
i j
eC
j
epnP
i
0
,
0
.
!
.1!
..11
, a
aa .
Por interpolação, obtém-se Ci, a, o qual, juntamente com p, define n.
Como esses cálculos podem ser exaustivos, deve-se usar a Tabela 7.1, como
ilustrado pelo Exemplo 7.2.
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
75
Exemplo 7.2: Aplicação da Tabela de Índices de Confiabilidade
Em uma auditoria, pretende-se realizar um teste de conformidade. A proporção máxima de erros
admitidos para que a população examinada seja aprovada pelo teste é 2%, com nível de confiança
de 95%. Qual é o tamanho da amostra?
Com p = 0,02 e a = 0,95, e prevendo-se que:
a) a amostra não conterá erros (C0;0,95 = 3,0), tem-se: 15002,0
0,3 === p
Cn ;
b) a amostra conterá um único erro (C1;0,95 = 4,75), tem-se: 23502,0
75,4 === p
Cn .
Quando os resultados amostrais observados diferem dos resultados esperados,
especialmente quando a quantidade de erros observados na amostra é superior à quantidade
prevista, o índice de confiabilidade (Ci, a) deve ser ajustado com base na Tabela 7.2.
Tabela 7.2: Índice de Confiabilidade para Vários Erros Observados na
Amostra
Quantidade de Erros Observados na Amostra
n
0 1 2 3 4-5 6-7 > 8
15 Reduzido Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum
25 Reduzido Reduzido Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum
30 Moderado Reduzido Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum
35 Moderado Reduzido Reduzido Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum
45-50 Elevado Moderado Reduzido Reduzido Nenhum Nenhum Nenhum
70 Elevado Elevado Moderado Reduzido Reduzido Nenhum Nenhum
80 Elevado Elevado Moderado Moderado Reduzido Reduzido Nenhum
105 Elevado Elevado Elevado Moderado Moderado Reduzido Reduzido
Fonte: Adams & Regal, 1995, p. 21.
7.1. Metodologia da Amostragem por Unidade Monetária
A Amostragem por Unidade Monetária (AUM) também é uma amostragem
por atributo baseada na distribuição hipergeométrica. Essa técnica permite estimar o
montante monetário de uma dada população. Trata-se de uma técnica geralmente
utilizada em auditorias financeiras, que têm por objetivo verificar se os registros contábeis
são fidedignos.
Diferentemente da amostragem por variáveis, a AUM não exige o prévio
conhecimento da quantidade de elementos da população e da variância dos valores que
a compõem. Essa técnica baseia-se nas seguintes informações: a proporção máxima de
erros admitidos na população (p), previamente definida pela equipe de auditoria, o índice
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
76
de confiabilidade (Ci, a), obtido a partir de testes de conformidade, e o montante constante
dos registros contábeis (M), o qual define a população da qual a amostra é extraída.
Como os elementos da população correspondem às unidades monetárias que
integram o montante, convém notar que a probabilidade de inclusão na amostra de um
dado registro diminui quando o seu valor é subestimado, sendo nula no caso de omissão.
Dessa forma, há na AUM um viés em favor dos registros superestimados ou repetidos. Outra
característica da AUM que merece menção é a premissa de que não há diferenças
superiores a 100% entre os valores registrados e observados.
O tamanho da amostra na AUM é definido pela seguinte equação:
p
Cn a,0= , com p M
M
M E A O
M
R A A P A= = ­ ­ ­
^ ^
;
Onde: C0, a = Fator de Precisão Básica (índice de confiabilidade supondo-se que a amostra
não contém erros);
MR = Materialidade Restrita ou Precisão Básica (diferença máxima entre os
montantes registrado e estimado supondo-se que a amostra não contém erros);
M = montante registrado;
MA = Materialidade Ampla (diferença máxima entre os montantes registrado e
estimado que não implica a impugnação do conjunto de lançamentos
contábeis);
E A
^
= Erro Amostral Previsto [estimativa da diferença que será observada na
amostra entre os montantes registrado e estimado caso os membros da equipe
de auditoria antecipem a ocorrência de erros (i > 0) ];
AP
^
= Estimativa da Ampliação do Intervalo de Precisão (margem de erro
suplementar arbitrada quando se prevê a ocorrência de erros na amostra);
OA = outros ajustes arbitrados pelos membros da equipe de auditoria.
Dessa forma, os membros da equipe de auditoria devem definir, inicialmente, a
Materialidade Ampla (MA). Em seguida, deve-se arbitrar os ajustes julgados necessários, os
quais devem ser subtraídos da MA, definindo a Materialidade Restrita (MR). Convém notar
que MR e p são diretamente proporcionais. Dessa forma, quanto menor for a primeira, menor
será a última, o que aumenta n. Consequentemente, os ajustes feitos ainda na fase de
planejamento devem permitir a obtenção de resultados amostrais robustos ainda que
haja pequenos desvios em relação às premissas utilizadas originalmente.
O Exemplo 7.3 ilustra como o tamanho da amostra deve ser calculado na AUM.
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
77
Exemplo 7.3: Cálculo do Tamanho da Amostra na AUM
Em uma auditoria, o conjunto de lançamentos contábeis examinados, totalizando R$ 2.000.000,00,
é considerado fidedigno se a diferença entre os montantes estimado e registrado não for superior a
R$ 100.000,00. Para um nível de confiança de 95%, qual é o tamanho da amostra?
Desconsiderando-se a necessidade de ajustes, tem-se:
p = =100000
2000000 0 05, .
Com i = 0 e a = 0,95 tem-se: C0;0,95 = 3,0 e n = =3 0
0 05 60,
, .
Definido o tamanho da amostra (n), procede-se à seleção dos seus elementos.
Primeiro, calcula-se o intervalo amostral (IA):
I M
nA = .
Em seguida, escolhe-se aleatoriamente uma unidade monetária compreendida em
cada um dos sucessivos intervalos amostrais. Por fim, são selecionados para análise os
registros contábeis correspondentes às unidades monetárias escolhidas,19 como mostrado no
Exemplo 7.4.
Exemplo 7.4: Seleção dos Elementos Amostrais na AUM
No exemplo tratado anteriormente, qual é o intervalo amostral? Dado um conjunto hipotético de
lançamentos contábeis, como devem ser selecionados os elementos amostrais?
Supondo-se que o sistema de controle interno é confiável e que, por conseguinte, pode-se prever que
a amostra não conterá erros, tem-se n = 60. Dessa forma:
I M
nA = = =2000000
60 33333 33, .
Selecionando-se, aleatoriamente, o valor R$ 16.000,00 como o primeiro elemento amostral e
baseando-se no rol de lançamentos indicados abaixo, a amostra é obtida da seguinte forma:
Continua

19 A probabilidade de seleção de cada registro é diretamente proporcional ao seu valor.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
78
Continuação
Tabela 7.3: Seleção dos Elementos Amostrais
(em R$)
Item (a) Valor Registrado Valor Acumulado Unidade Monetária Selecionada (b)
1 10.000,00 10.000,00 ­
2 18.500,00 28.500,00 16.000,00
3 20.000,00 48.500,00 ­
4 6.000,00 54.500,00 49.333,00
5 6.500,00 61.000,00 ­
6 46.000,00 107.000,00 82.666,00
7 9.600,00 116.600,00 115.999,00
8 16.400,00 133.000,00 ­
9 126.750,00 259.750,00
149 332 00
182 665 00
215998 00
249 33100
. ,
. ,
. ,
. ,
ì
í
ïï
î
ï
ï
10 27.250,00 287.000,00 282.664,00
... ... ... ...
Notas: (a) Itens da população.
(b) Neste exemplo, apenas o primeiro item da amostra foi selecionado aleatoriamente, enquanto que a
escolha dos demais ocorreu a intervalos regulares, pois isso permite uma melhor visualização de
como a amostra deve se distribuir. Esse procedimento, contudo, pode gerar resultados viesados caso
os registros apresentem flutuações cíclicas. Por essa razão, recomenda-se a seleção aleatória de um
item em cada intervalo amostral.
Convém notar que os registros com valores iguais ou superiores ao intervalo amostral são
necessariamente selecionados para a amostra. O 9º item do rol mostrado acima, p. ex., consta quatro
vezes da amostra por ser 3,8 vezes superior ao intervalo. Nesses casos, a equipe de auditoria tem
duas alternativas:
a) diminuir o nível de confiança (a) em decorrência da redução do tamanho efetivo da amostra (no
presente exemplo, supondo-se que os demais itens são inferiores a R$ 33.333,33, o tamanho
efetivo da amostra é 57);
b) examinar separadamente os itens com valores elevados, considerando-os uma única vez na
amostra e ajustando-se o intervalo amostral para os demais elementos.
A segunda alternativa é a mais adequada por não implicar redução no nível de confiança.
Uma vez selecionada e examinada a amostra, deve-se estimar a diferença entre os
montantes registrado e estimado. Esse cálculo envolve as seguintes etapas:
1ª) identificar os itens cujos valores observados diferem dos valores registrados;
2ª) calcular a diferença entre os valores observado e registrado;
3ª) agrupar as diferenças conforme sejam superiores a zero (registros
superestimados) ou inferiores a zero (registros subestimados);
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
79
4ª) separar as diferenças associadas a itens com valores superiores ao intervalo
amostral;
5ª) extrapolar as diferenças associadas a itens com valores inferiores ao
intervalo amostral para todo o intervalo;
6ª) colocar em ordem decrescente as diferenças associadas a itens com valores
inferiores ao intervalo amostral e obter a Ampliação do Intervalo de
Precisão (AP) quando a quantidade de erros superar as expectativas da
equipe de auditoria, de tal modo que as diferenças observadas sejam
ajustadas sem que o tamanho da amostra tenha de ser recalculado;
7ª) calcular o saldo líquido dos erros ajustados;
8ª) somar as diferenças associadas a itens com valores superiores ao saldo
líquido dos erros ajustados;
9ª) comparar as superestimações e as subestimações totais com a materialidade
preestabelecida, verificando se os demonstrativos examinados podem ou não
ser considerados fidedignos;
10ª) estudar que recomendações deverão ser feitas caso a Materialidade Ampla
(MA) preestabelecida não seja respeitada (p. ex.: determinar a correção dos
erros observados; reavaliar o nível de confiança e o tamanho da amostra
empregados; determinar aumentos nas provisões; apenas atestar a não-
fidedignidade dos demonstrativos examinados).
A Ampliação do Intervalo de Precisão (AP) é obtida multiplicando-se o Fator de
Ampliação do Intervalo de Precisão ( ) FAP
j pela extrapolação dos erros amostrais para o
intervalo amostral (IA):
( ) ( )
A
j
AP
item
P I.registradovalor
observadovalor registradovalor .FA úû
ù
êë
é ­= ;
Onde: ( ) FAP
j = C (j+1), a ­ Cj, a ­ 1;
j = posição relativa dos erros amostrais dispostos em ordem decrescente de
grandeza;
C1º, a = C0, a .
Os Fatores de Ampliação do Intervalo de Precisão ( ) FAP
j constam da Tabela 7.4.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
80
Tabela 7.4: Fatores de Ampliação do Intervalo de Precisão ( ) FAP
j
Nível de Confiança (a) Erros
Observados
(j) 50% 60% 70% 80% 85% 90% 95%
1º 0,00 0,11 0,24 0,38 0,48 0,59 0,75
2º 0,00 0,08 0,18 0,28 0,35 0,43 0,55
3º 0,00 0,07 0,15 0,24 0,29 0,36 0,46
4º 0,00 0,06 0,13 0,21 0,25 0,31 0,40
5º 0,00 0,06 0,12 0,19 0,23 0,28 0,36
6º 0,00 0,05 0,11 0,17 0,21 0,26 0,33
7º 0,00 0,04 0,10 0,16 0,19 0,24 0,31
8º 0,00 0,04 0,09 0,15 0,18 0,22 0,29
9º 0,00 0,04 0,09 0,14 0,17 0,21 0,27
10º 0,00 0,04 0,08 0,13 0,16 0,20 0,26
Fonte: National Audit Office, s.d., p. 6.
Todas essas etapas estão contempladas nos formulários que compõem o Anexo
IV, elaborados no intuito de auxiliar as equipes de auditoria nos muitos cálculos exigidos
pela AUM
7.2. Aplicação da Amostragem por Unidade Monetária
Verificar se um conjunto hipotético de registros contábeis são fidedignos. As
características gerais da pesquisa amostral são (vide Anexo V):
a) montante registrado (M): R$ 2.000.000,00;
b) materialidade ampla (MA): R$ 100.000,00;
c) materialidade restrita (MR): R$ 95.000,00;
d) proporção máxima de erros admitida na população (p): 0,0475;
e) quantidade prevista de erros na amostra (i): 0;
f) nível de confiança (a): 0,95;
g) índice de confiabilidade (C0;0,95), dados os itens "c" e "d": 3,00;
h) tamanho da amostra (n): 64, incluindo 5 itens examinados separadamente por
serem superiores ao intervalo amostral;
i) intervalo amostral (IA): R$ 31.250,00.
No decorrer da investigação, constatou-se entre os valores observados e
registrados as diferenças indicadas na Tabela 7.5.
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
81
Tabela 7.5: Diferenças Observadas na Amostra
Item # Valor Registrado Valor Observado Diferença Observação
13 43.125,00 42.625,00 500,00
Item superestimado examinado
separadamente por ser superior ao
intervalo amostral.
29 2.500,00 2.600,00 (100,00)
Item subestimado examinado no
contexto da amostra por ser inferior ao
intervalo amostral.
35 2.000,00 1.800,00 200,00
Item superestimado examinado no
contexto da amostra por ser inferior ao
intervalo amostral.
57 4.000,00 4.200,00 (200,00)
Item subestimado examinado no
contexto da amostra por ser inferior ao
intervalo amostral.
Nota: (#) Itens da amostra.
Agrupando-se os itens superestimados e subestimados, extrapolando-se para o
intervalo amostral as diferenças referentes aos itens cujos valores são inferiores ao intervalo,
calculando-se os erros globais para maior e para menor e estimando-se a diferença líquida
entre os valores registrados e observados, tem-se:
a) itens com erros para maior: 13 e 35;
b) itens com erros para menor: 29 e 57.
c) extrapolação do erro referente ao item 35 (E35):
( ) ( ) 312531250.2000
80010002=I.registradovalor
observadovalor registradovalor =­­
A ;
d) extrapolação do erro referente ao item 29 (E29):
125031250.2500
60025002 ­=­ ;
e) extrapolação do erro referente ao item 57 (E57):
5,156231250.4000
42004000 ­=­ ;
f) impacto líquido dos erros extrapolados:
E29 + E35 + E57 = 312,5
Como há mais de um erro para menor referente a itens com valores inferiores ao
intervalo amostral, esses erros devem ser dispostos em ordem decrescente, cabendo a
primeira posição ao item 57 e a segunda ao item 29. Essa ordenação deve-se à necessidade
de se multiplicar os erros por diferentes Fatores de Ampliação do Intervalo de Precisão
( ) FAP
j . Para um nível de confiança de 95% e uma previsão inicial de que a amostra não
conteria erros, o que faz i igual a 0 para j igual a 1, tem-se:
a) º1
APF = C1;0,95 ­ C0;0,95 ­ 1= 4,75 ­ 3,00 ­ 1 = 0,75;
b) º2
APF = C2;0,95 ­ C1;0,95 ­ 1= 6,30 ­ 4,75 ­ 1 = 0,55.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
82
O Ampliação do Intervalo de Precisão (AP) é obtido multiplicando-se os FAP
j
pelas extrapolações dos erros referentes a itens com valores inferiores ao intervalo
amostral20 e somando-se os valores referentes a cada tipo de erro:
a) 35
PA = E35. º1
APF = 3125.0,75 = 2343,75 (AP para os itens superestimados);
b) 57
PA = E57. º1
APF = ­ 1562,5.0,75 = ­ 1171,87;
c) 29
PA = E29. º2
APF = ­ 1250.0,55 = ­ 687,50;
d) 29
PA + 57
PA = ­ 1859,37 (AP para os itens subestimados).
Acumulando-se os erros amostrais, a materialidade restrita e a ampliação do
intervalo de precisão para erros superestimados e subestimados, tem-se:
a) erros para maior:
(E29 + E35 + E57) + E13 + MR + 35
PA = 312,5 + 500 + 95000 + 2343,75 =
98156,25;
b) erros para menor:
( ) ( ) [ ]5729
573529 PPR AAMEEE +++++­ = ­ 312,5 + 95000 + 1859,37=
96546,87.
Como a materialidade ampla é superior aos dois valores calculados acima,
conclui-se que os lançamentos contábeis examinados são, com 95% de certeza, fidedignos,
não apresentando uma diferença superior a 5%.
Convém notar que o uso de uma materialidade restrita de R$ 95.000,00, ao
aumentar o tamanho da amostra de 60 para 64 elementos, permitiu a obtenção de
estimativas robustas embora tenham sido observados 4 erros na amostra.

20 É importante lembrar que os itens superestimados e subestimados devem ser tratadas separadamente. Dessa forma, os
erros para maior e para menor mais expressivos são multiplicados pela FAPI1.
8. TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM
Os métodos de estimação apresentados anteriormente assumem que algum tipo
de amostragem probabilística está sendo empregado e que os valores obtidos representam os
valores corretos de todos os elementos amostrais selecionados. Nesse caso, os erros de
estimação decorrem unicamente da variação randômica presente quando se examina, em vez
de toda população N, um subconjunto n desta (i.e., erros amostrais aleatórios).
Esses pressupostos são respeitados por pesquisas de campo simples, com
instrumentos de medida precisos e execução cuidadosa. As pesquisas complexas, porém,
especialmente aquelas que envolvem mensurações de difícil obtenção, estão sujeitas a mais
três tipos de erro:
a) Erro na definição da população: Não inclusão no cadastro de alguns
grupos de itens ou indivíduos, introduzindo um viés seleção da amostra.
b) Erro de mensuração: Ambigüidades presentes nas respostas coletadas em
decorrência da formulação de perguntas imprecisas, da influência do
entrevistador sobre o entrevistado ou da falta de rigor do respondente. Essas
deficiências podem ser minimizadas tomando-se cuidado na elaboração dos
formulários, treinando-se adequadamente os entrevistadores, examinando-se
os dados atentamente, conferindo-se as respostas atípicas, e selecionando-se,
aleatoriamente, alguns respondente no intuito de atestar a validade das
respostas obtidas.
c) Não-resposta: Falha na coleta de dados sobre todos os itens ou indivíduos
selecionados para a amostra. Como os pesquisadores não podem assumir, em
geral, que os respondentes e os não-respondentes são semelhantes, esses
últimos devem, após algum tempo, ser novamente consultados no intuito de
obter respostas apropriadas. Após relacionar os novos resultados com os
resultados obtidos originalmente, os pesquisadores procurarão gerar
estimativas válidas sobre a população.
A Figura 8.1 mostra como os quatro tipos de erro podem afetar a amostragem.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
84
Figura 8.1: Tipos de Erro em Amostragem
População
(Ex.: estudantes)
Espaço Amostral
(Ex.: estudantes
na lista telefônica)
Amostra Planejada
(Ex.: estudantes
selecionados)
Amostra
Efetiva
Erro na Definição da
População
Erro Amostral
Não-Resposta e Er-
ro de Mensuração
Fonte: McGill, 1997.
Os erros na definição da população e de mensuração, e os erros devidos a não-
resposta demandam modificações na teoria padrão de amostragem destinadas, que permitam
uma melhor alocação dos recursos disponíveis, de modo que:
a) haja um equilíbrio entre os esforços empreendidos em favor da redução dos
erros amostrais aleatórios e da redução dos demais tipos de erros;
b) sejam obtidos métodos de cálculo dos erros-padrão e dos intervalos de
confiança que permaneçam válidos.
Os itens subseqüentes tratarão do problema da não-resposta por ser aquele que
melhor admite tratamento matemático.
8.1. Efeitos da Não-Resposta
No estudo da não-resposta, é conveniente que a população seja concebida como
pertencendo a dois estratos: o primeiro contendo todas os elementos que poderiam ser
medidos se fossem selecionados para a amostra; e o segundo contendo os demais elementos,
cuja medida não seria obtida.
O tamanho relativo dos dois estratos depende do método de coleta de dados
empregado. Uma pesquisa de campo com até três tentativas de contato de cada elemento
amostral, supervisionada por pessoas especialmente persuasivas, terá menos não-respostas
do que uma pesquisa com uma única tentativa de contato.
Naturalmente, as amostras não proporcionam informações sobre o estrato
composto pelas não-respostas. Isso não é um problema quando se pode assumir que os dois
estratos apresentam as mesmas características. Freqüentemente, porém, não é esse o caso.
Dessa forma, as estimativas obtidas podem ser viesadas. Na média amostral, p. ex., o viés é
definido pela seguinte equação:
TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM
85
( ) nrrnrr XXN
NXXViés ­=­= . ,
Onde: X = média amostral correta mas não-conhecida;
rX = média dos elementos amostrais efetivamente medidos;
nrX = média dos elementos amostrais não-medidos;
N = tamanho da população;
nrN = tamanho do estrato contendo elementos que não podem ser medidos.
Como nrX não pode ser estimada a partir dos elementos amostrais examinados, a
extensão do viés só pode ser definido mediante informações obtidas em outras fontes.
Nas variáveis contínuas, os limites que podem ser imputados com certeza aos
vieses são tão amplos que não têm valor prático. Portanto, no presente contexto, quando a
proporção de não-respondentes é elevada, os intervalos de confiança não podem ser
estimados com precisão, a não ser por meio de aproximações não-corroboradas pelos dados
disponíveis.
Já nas amostragens que visam estimar uma proporção, o problema anterior não é
tão crítico, pois no estrato composto pelas não-respostas a proporção desejada situa-se,
necessariamente, no intervalo [0; 1]. Conhecendo-se N
N nr a partir de pesquisas realizadas
anteriormente, os limites inferior (pinf) e superior (psup) do intervalo de confiança são:
a) ( ) ú
û
ù
ê
ë
é ­­=
r
rr
r
r
n
ppZpN
Np 1...inf , com pnr = 0;21
b) ( )
N
N
n
ppZpN
Np r
r
rr
r
r +ú
û
ù
ê
ë
é ­+= 1...sup , com pnr = 1.22
Quanto maior o índice de não-resposta ÷
ø
öç
è
æ
N
N nr , maior a amplitude do intervalo
[pinf; psup], tornando cada vez mais imprecisa a estimativa. A Tabela 8.1 mostra os intervalos
de confiança, com um nível de confiança de 95% (Z = 1,96) e uma amostra com mil
elementos (n = 1.000), para várias proporções de "sucesso" e índices de não-resposta.

21 ( ) 01... =
ïþ
ïý
ü
ïî
ïí
ì
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é ­­
nr
nrnr
nr
nr
n
ppZpN
N .
22 ( ) 11.. =
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é ­+
nr
nrnr
nr n
ppZp .
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
86
Tabela 8.1: Intervalos de Confiança para Várias Proporções de "Sucesso" e
Índices de Não-Resposta (Z = 1,96 e n = 1.000)
(em %)
pr
÷
ø
öç
è
æ
N
N nr
5 10 20 50
0 [3,6; 6,4] [8,1; 11,9] [17,5; 22,5] [46,9; 53,1]
5 [3,4; 11,1] [7,7; 16,3] [16,6; 26,4] [44,5; 55,5]
10 [3,2; 15,8] [7,2; 20,8] [15,6; 30,4] [42,1; 57,9]
15 [3,0; 20,5] [6,8; 25,2] [14,7; 34,3] [39,6; 60,4]
20 [2,9; 25,2] [6,4; 29,7] [13,9; 38,2] [37,4; 62,8]
Fonte: Cochrane, 1977, p. 362.
Para tornar mais claro o impacto do índice de não-resposta sobre o intervalo de
confiança, convém calcular qual seria o tamanho da amostra para um dado intervalo
supondo-se um índice nulo de não-resposta. O intervalo grifado em negrito na Tabela 8.1, p.
ex., corresponde a um erro amostral (e) igual a 0,055 (i.e., metade da extensão do intervalo
indicado). Com Z = 1,96 e p = 0,5, tem-se que a amostra poderia ser, na ausência de não-
resposta:
3205,3175,0.5,0.055,0
96,1 2
@=÷
ø
öç
è
æ=n .
Portanto, um índice de não-resposta de apenas 5% exigiu, para um dado intervalo
de confiança, uma amostra três vezes superior a que seria idealmente necessária (i.e., uma
amostra com 320 elementos em vez dos 1.000 elementos retratados na Tabela 8.1). Isso
reforça a idéia de que uma parte substancial dos recursos empregados na amostragem deve
ter como objetivo a redução do índice de não-resposta.
Quando N
N nr não é conhecido, como ocorre geralmente, um estimativa
conservadora do intervalo de confiança pode ser obtido da seguinte maneira:
a) ( )
n
ppZpp rr
r
­­= 1..inf , com pnr = 0;
b) n
n
npn
np
Zn
npp
nr
r
nr
r
nr
r
úû
ù
êë
é ÷
ø
öç
è
æ +­÷
ø
öç
è
æ +
+÷
ø
öç
è
æ +=
1.
.sup , com pnr = 1 e nnr = qtde de
não-respostas na amostra.
Sabendo-se que a pesquisa de campo conterá não-respostas, o tamanho
apropriado da amostra, dado p igual a 0,5 e N
N nr conhecido, é definido pela seguinte
equação:
TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM
87
1
..
25,0.'
2
­
÷
ø
öç
è
æ ­
=
N
N
N
Nee
Zn
rnr
.23
A Tabela 8.2 ilustra o efeito da não-resposta sobre o tamanho da amostra, para
um nível de confiança de 95% (Z = 1,96) e uma proporção de "sucessos" de 50% (p = 0,5).
Tabela 8.2: Tamanho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Índices de
Não-Resposta (Z = 1,96 e p = 0,5)
(em %)
Erro Amostral Admitido (e)
÷
ø
öç
è
æ
N
N nr
20 15 10 5
0 24 42 96 384
2 27 50 122 653
4 31 60 166 2.000
6 36 75 255 n.d.
8 43 99 521 n.d.
10 53 142 n.d. n.d.
15 112 n.d. n.d. n.d.
Fonte: Cochrane, 1977, p. 363.
Nota: "n.d." corresponde a "não definido", pois n < 0 ou n ® ± ¥.
Percebe-se, mais uma vez, que altos índices de não-resposta tornam inviável ou
extremamente onerosa a obtenção de estimativas precisas.
8.2. Métodos de Redução da Não-Resposta
No que tange à não-resposta, há quatro tipos de elementos amostrais:
1º) não-incluídos na amostra (p. ex., cadastro incompleto) ou não-visitados (p.
ex., dificuldade de acesso);
2º) incapazes ou avessos a fornecer a informação desejada;
3º) não-encontrados;
4º) pertencentes ao "núcleo rígido" de pessoas avessas ou incapazes de fornecer
a informação desejada ou, ainda, que não possam ser encontradas,
independentemente dos esforços que sejam feitos nesse sentido.24
A identificação e subseqüente redução do primeiro grupo de não-respondentes
não é simples. Sugere-se a comparação com os cadastros utilizados e os resultados gerados
por outras pesquisas, bem como a realização de pesquisas amostrais destinadas a verificar
quão completos são os cadastros disponíveis.

23 n' = (n - 1) para Nnr = 0 Þ a diferença entre ambos deve-se a aproximações feitas durante a obtenção da nova
equação. (Cochrane, 1977, p. 363)
24 O viés introduzido por essas elementos não pode ser reduzido
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
88
A diminuição do segundo grupo, por sua vez, envolve a cuidadosa elaboração do
questionário, cujas perguntas não podem ser ambíguas ou conter termos de difícil
compreensão. É importante que o questionário seja testado previamente junto à população
visada pela pesquisa para que os eventuais problemas seja identificados oportunamente.25
Já a redução do terceiro grupo exige o correto escalonamento das entrevistas,
bem como mais de uma tentativa de contato mediante call-backs ou subamostras.
8.2.1. Call-Backs
Nas pesquisas domiciliares que envolvam entrevistas com adultos específicos,
selecionados aleatoriamente, os solteiros ou chefes de família devem, p. ex., ser contatados
em dias ou horários não-comerciais. Naturalmente, as pesquisas domiciliares cujas
perguntas podem ser respondidas por qualquer adulto presente são menos afetadas por esse
tipo de problema.
Quanto à quantidade de call-backs, ela deve ser definida à luz dos resultados
desejados, dos meios disponíveis e das dificuldades enfrentadas por pesquisas similares.
Como indicação preliminar da eficácia de cada rodada de entrevistas, Cochrane propõe o
seguinte quadro:
Tabela 8.3: Eficácia de Três Tentativas de Contato
(em %)
Elementos Amostrais ContatadosTipo de
Respondente 1ª Tentativa 2ª Tentativa 3ª Tentativa
Não-Resposta Total
Adulto Qualquer 70 17 8 5 100
Adulto Específico 37 32 23 8 100
Fonte: Cochrane, 1977, p. 365.
É nítida a diferença entre as pesquisas cujas questões podem ser respondidas por
qualquer adulto e as pesquisas que devem ser respondidas por adultos específicos,
selecionados aleatoriamente, cujos altos índices de "sucesso" nas duas últimas tentativas são
uma decorrência das informações obtidas na primeira tentativa acerca dos hábitos dos
respondentes visados.
Convém notar que, em termos relativos, as rodadas de entrevistas tornam-se,
progressivamente, mais onerosas com a queda na quantidade de locais que podem ser
visitados pelos entrevistadores por unidade de área (p. ex., km2) ou de tempo (p. ex., h), o
que limita a quantidade de tentativas de contato que serão feitas.

25 Na formulação de perguntas embaraçosas (p. ex., referentes à prática de atos ilegais) pode-se usar a técnica de
respostas randômicas, na qual o entrevistado responde "sim" ou "não" a uma de duas perguntas, selecionada
aleatoriamente, sem que o entrevistador conheça a pergunta que está sendo respondida. Como, contudo, a distribuição
de probabilidades das perguntas apresentadas é conhecida, a proporção dos entrevistados que apresentam a
característica visada pela pesquisa pode ser estimada pelo entrevistador. (Cochrane, 1977, p. 392-5)
TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM
89
8.2.2. Subamostras
Ainda sobre os elementos amostrais não-encontrados, em vez de tentar contatar
todos os não-respondentes, os pesquisadores podem selecionar aleatoriamente uma
subamostra, extrapolando os resultados obtidos para todo grupo. O presente procedimento
eqüivale a uma amostragem estratificada em dois estágios, sendo amplamente usado em
pesquisas pelo correio, nas quais alguns elementos amostrais que não devolveram o
questionário são entrevistados pessoalmente. Em geral, a menor precisão dos resultados
amostrais obtidos nesse caso só se justificam quando os custos dos call-backs são muito
elevados.
A média amostral é não-viesada quando todos os elementos da subamostra
respondem às perguntas feitas pelos entrevistadores. A média é definida pela seguinte
equação:
n
n
X
nX
X r
n
j
j
nr
n
i
i
r
r
2,
1
1,
1
2,
1,
.
å
å =
=
+
= ,
Onde: X = média amostral;
n = tamanho da amostra;
nr,1 = quantidade de respondentes na primeira tentativa;
Xi = valores obtidos na primeira tentativa;
nnr,1 = quantidade de não-respondentes na primeira tentativa;
nr,2 = tamanho da subamostra (nr,2 É nnr,1);
Xj = valores obtidos a partir da subamostra.
A variância da média amostral, necessária para que se calcule o intervalo de
confiança, é obtida como mostrado abaixo:
( )
Nnn
SNnnS
Nn
nNS
r
nrrnr
X ..
...
. 2,
2
21,2,1,22 ­+÷
ø
öç
è
æ ­= ,26
Onde: 2
XS = variância da média amostral;
N = tamanho da população;
S2 = variância dos elementos amostrais;
Nnr,1 = tamanho do estrato contendo elementos que podem ser medidos na primeira
tentativa;
2
2S = variância dos elementos da subamostra.

26 A razão ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
N
N nr 1, pode ser aproximada por meio da razão ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
n
nnr 1, .
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
90
Por fim, a determinação do tamanho apropriado da amostra no presente contexto
depende dos valores desejados para a variância média amostral e a razão entre nnr,1 e nr,2:
[ ]2
2
2
2,
1,1,2
2
2
.
1..
SSN
n
n
N
NSSN
n
X
r
nrnr
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­÷÷
ø
ö
çç
è
æ+
= .
O Exemplo 8.1 ilustra como o tamanho da amostra pode ser calculado na
presença de não-respostas.
Exemplo 8.1: Cálculo da Quantidade de Questionários
Uma pesquisa amostral é feita pelo correio, estimando-se em 50% a taxa de resposta. A precisão
desejada eqüivale àquela que seria obtida por uma amostra aleatória simples de 1.000 questionários
se não houvesse não-resposta e 31 dos não-respondentes devem ser entrevistados pessoalmente.
Pede-se a quantidade de questionários que deve ser enviada.
Inicialmente, tem-se que:
a) a taxa estimada de não-resposta: N
N nr 1, = 0,5;
b) o tamanho da amostra quando não há não-resposta: n* = 1.000;
c) a razão entre a quantidade de não-respondentes e o tamanho da subamostra:
2,
1,
r
nr
n
n = 3.
d) a variância desejada: 000.1*
22
2 S
n
SS X == .
Supondo-se que os elementos amostrais e da subamostra apresentam variâncias idênticas e que a
população é muito numerosa, tem-se que:
( ) [ ] 200013.5,01.1000
11.
2
2,
1,1,2
=­+=ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­÷÷
ø
ö
çç
è
æ+
=
X
r
nrnr
S
n
n
N
NS
n .
Consequentemente, 2.000 questionários deverão ser distribuídos, estimando-se que 1.000 dos quais
não serão respondidos. Dessa forma, a subamostra envolverá 334 entrevistas pessoais.
8.3. Métodos de Compensação da Não-Resposta
Ainda que os call-backs ou as subamostras sejam sucedidos, é improvável que a
não-resposta seja suprimida totalmente. Assim, é comum que se recorra a alguns métodos
que buscam compensar esse tipo de problema com base nas características conhecidas dos
respondentes e dos não-respondentes. Os principais métodos são:
TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM
91
a) pós-estratificação: criação de estratos com base nas informações coletadas
na pesquisa amostral, distribuindo-se os não-respondentes pelos estratos que
melhor reflitam as suas características conhecidas;
b) substituição da não-resposta: após a pós-estratificação, as não-respostas
são substituídas por respostas selecionadas aleatória ou sistematicamente (p.
ex., pela resposta imediatamente anterior) no âmbito do estrato
correspondente;
c) substituição dos não-respondentes: ao longo do trabalho de campo, os não-
respondentes são substituídos por elementos da população tidos como
semelhantes;
d) utilização de dados complementares: as não-respostas podem ser ajustadas
por meio de informações coletadas em censos ou estudos amostrais
realizados anteriormente;
e) ponderação ou substituição baseada nos call-backs: as tentativas de call-
back podem permitir que se façam inferências acerca das características dos
não-respondentes recalcitrantes;
Caso haja indícios de que os não-respondentes recalcitrantes e os respondentes
apresentam distribuições de freqüência similares (p. ex., os indícios proporcionados por uma
ou mais tentativas de call-back), as equipes de auditoria ainda têm a opção de não fazer
qualquer compensação.
É sumamente importante que as equipes sejam bastante criteriosas no uso das
opções relacionadas acima, certificando-se de que as substituições ou ponderações
efetuadas sejam efetivamente compatíveis com as características conhecidas dos não-
respondentes. A não-observação desse princípio certamente introduzirá vieses nas
estimativas que comprometerão as conclusões do trabalho. Dessa forma, os relatórios de
auditoria deverão explicitar porque e como as eventuais compensações (ou não-
compensações) foram feitas.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
92
ANEXO I
ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
94
ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL
95
Figura A.1: Dados Hipotéticos
Figura A.2: Geração de Estatísticas Descritivas
Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
96
Figura A.3: Estatísticas Descritivas Geradas
Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.
Observações:
a) Erro-Padrão:
n
SS X = .
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:
= (DESVPAD (núm1;núm2;...) /RAIZ (CONT.NÚM (núm1;núm2;...) ) ).
b) Assimetria:
i. e > 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é
assimétrica à direita;
ii. e = 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é
simétrica;
iii. e < 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é
assimétrica à esquerda.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =DISTORÇÃO (núm1;núm2;...).
ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL
97
c) Curtose:
i. k > 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é
mais achatada do que a distribuição normal;
ii. k = 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é tão
achatada quanto a distribuição normal;
iii. k < 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é
menos achatada quanto a distribuição normal.
UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =CURT (núm1;núm2;...).
Figura A.4: Agrupamento de Dados (Etapa 1 de 4)
Figura A.5: Agrupamento de Dados (Etapa 2 de 4)
Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
98
Figura A.6: Agrupamento de Dados (Etapa 3 de 4)
Figura A.7: Agrupamento de Dados (Etapa 4 de 4)
Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.
Figura A.8: Dados Agrupados
Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.
ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL
99
Tabela A.1: Obtenção da Amplitude Semi-Interquartílica e da Meia Amplitude
Semi-Interquartílica
A B
1
CÁLCULO AUTOMÁTICO DA AMPLITUDE SEMI-INTERQUARTÍLICA
E DA MEIA AMPLITUDE SEMI-INTERQUARTÍLICA #
2
3 POSIÇÃO INICIAL
4 Primeiro Quartil: = (CONT.NÚM (valor1;valor2;...) +1) /4
5 Terceiro Quartil: = (3* (CONT.NÚM (valor1;valor2;...) +1) ) /4
6
7 PARA O PRIMEIRO QUARTIL
8
=SE (A8="utilize a posição inicial:"; ARREDMULTB (B4;1);
ARRED (B4;0) )
9
=SE (B4=INT (B4);"utilize a posição inicial:";
SE (B4=TETO (B4;0,5);"utilize as seguintes
posições:"; "arredonde para a seguinte
posição:") ) =SE (A8="utilize a posição inicial:"; TETO (B4;1); "")
10 =MENOR (valor1;valor2;...;B8)
11
=SE (A8="utilize a posição inicial:"; "valores
das posições indicadas:"; "valor da posição
indicada:") =SE (A8="utilize a posição inicial:";
MENOR (valor1;valor2;...); "")
12
13 PARA O TERCEIRO QUARTIL
14
=SE (A14="utilize a posição
inicial:";ARREDMULTB (B5;1);ARRED (B5;0) )
15
=SE (B5=INT (B5);"utilize a posição inicial:";
SE (B5=TETO (B5;0,5);"utilize as seguintes
posições:"; "arredonde para a seguinte
posição:") ) =SE (A14="utilize a posição inicial:"; TETO (B5;1); "")
16 =MENOR (valor1;valor2;...;B14)
17
=SE (A14="utilize a posição inicial:";
"valores das posições indicadas:"; "valor da
posição indicada:") =SE (A14="utilize a posição inicial:";
MENOR (valor1;valor2;...;"") )
18
19 CONCLUSÃO
20 Primeiro Quartil: =SE (A8="utilize a posição inicial:"; (B10+B11) /2;B10)
21 Terceiro Quartil: =SE (A14="utilize a posição inicial:"; (B16+B17) /2;B16)
22 Amplitude Semi-Interquartílica = (B20+B21)
23 Meia Amplitude Semi-Interquartílica = (B22) /2
Nota: (#) os comandos do tipo "valor#" correspondem a valores extraídos de outras planilhas ou inseridos pelos
pesquisadores.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
100
Figura A.9: Seleção de Amostras Aleatórias
Simples com Reposição
Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.
Figura A.10: Amostra Aleatória Simples Selecionada
Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.
ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL
101
Figura A.11: Estimação do Intervalo de Confiança para
Médias com Desvio-Padrão Conhecido
Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.
Figura A.12: Intervalo de Confiança Estimado
Notas: (a) o valor obtido corresponde à metade do intervalo de confiança estimado em torno
da média amostral;
(b) referente aos dados constantes da Figura A.1.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
102
Tabela A.2: Estimação de Intervalos de Confiança
A B C D E F
1 ESTIMAÇÃO DE INTERVALOS DE CONFIANÇA (a)
2 Média (com ss conhecido) Média (com ss desconhecido) Proporção
3 n valor1 n valor6 n valor11
4 Média Amostral valor2 Média Amostral valor7 "Sucessos" valor12
5
Desvio-Padrão
Populacional valor3
Desvio-Padrão
Amostral valor8 "Fracassos" =F3-F4
6
Nível de
Confiança (b) valor4
Nível de
Confiança valor9
Nível de
Confiança (b) valor13
7
8 Erro-Padrão =B5/RAIZ (B3) Erro-Padrão =D5/RAIZ (D3)
Proporção
Amostral =F4/F3
9 Z
=INV.NORMP
(0,5+ (B6/2) ) g.l. = (D3-1) Z
=INV.NORMP
(0,5+ (F6/2) )
10 t
=INVT
(1-D6;D9) Erro-Padrão
=RAIZ
(F8* (1-F8) /F3)
11
Meio Intervalo
de Confiança
=INT.CONFIANÇA
(1-B6;B5;B3)
Meio Intervalo
de Confiança =D10*D8
Meio Intervalo
de Confiança =F9*F10
12 Limite Inferior =B4-B11 Limite Inferior =D4-D11 Limite Inferior =F8-F11
13 Limite Superior =B4+B11 Limite Superior =D4+D11 Limite Superior =F8+F11
14 Ajuste para Populações Finitas
15 N valor5 N valor10 N valor14
16 CPF
=RAIZ
( (B15-B3) / (B15-1) ) CPF
=RAIZ
( (D15-D3) / (D15-1) ) CPF
=RAIZ
( (F15-F3) / (F15-1) )
17
Meio Inter. de
Conf. Ajustado =B11*B16
Meio Inter. de
Conf. Ajustado =D11*D16
Meio Inter. de
Conf. Ajustado =F11*F16
18
Limite Inferior
Ajustado =B4-B17
Limite Inferior
Ajustado =D4-D17
Limite Inferior
Ajustado =F8-F17
19
Limite Superior
Ajustado =B4+B17
Limite Superior
Ajustado =D4+D17
Limite Superior
Ajustado =F8+F17
Notas: (a) os comandos do tipo "valor#" correspondem a valores extraídos de outras planilhas ou inseridos pelos
pesquisadores;
(b) o nível de confiança deve ser informado na sua forma decimal.
ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL
103
Tabela A.3: Determinação do Tamanho da Amostra
A B C D
1 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (a)
2 Média Proporção
3
Nível de Confiança
Desejado (b) valor1
Nível de Confiança
Desejado (b) valor5
4
Estimativa Inicial do
Desvio-Padrão valor2
Estimativa Inicial do
Desvio-Padrão valor6
5 Erro Amostral Admitido valor3 Erro Amostral Admitido valor7
6 Z
=INV.NORMP
(0,5+ (B3/2) ) Z
=INV.NORMP
(0,5+ (D3/2) )
7 Tamanho da Amostra = ((B6*B4) /B5) ^2 Tamanho da Amostra = (D6^2*D4* (1-
D4) ) /D5^2
8 Amostra Requerida
=ARREDONDAR.PARA.
CIMA (B7;0) Amostra Requerida
=ARREDONDAR.PARA.
CIMA (D7;0)
9 Ajuste para Populações Finitas
10 N valor4 N valor8
11 n = (B7*B10) / (B7+B10-1) n = (D7*D10) / (D7+D10-1)
12 Amostra Requerida
Ajustada
=ARREDONDAR.PARA.
CIMA (B11;0)
Amostra Requerida
Ajustada
=ARREDONDAR.PARA.
CIMA (D11;0)
Notas: (a) os comandos do tipo "valor#" correspondem a valores extraídos de outras planilhas ou inseridos pelos
pesquisadores;
(b) o nível de confiança deve ser informado na sua forma decimal.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
104
Tabela A.4: Estimação do Intervalo de Confiança para Totais
A B
1 ESTIMAÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA TOTAIS (a)
2
3 n valor1
4 Média Amostral valor2
5 Desvio-Padrão Amostral valor3
6 Nível de Confiança (b) valor4
7 N valor5
8 Total =B7*B4
9 CPF =RAIZ ((B7-B3) / (B7-1) )
10 Erro-Padrão = (B7*B5*B9) /RAIZ (B3)
11 g.l. =B3-1
12 t =INVT (1-B6;B11)
13 Meio Intervalo de Confiança Ajustado =B12*B10
14 Limite Inferior Ajustado =B8-B13
15 Limite Superior Ajustado =B8+B13
Notas: (a) os comandos do tipo "valor#" correspondem a valores extraídos de outras planilhas ou inseridos pelos
pesquisadores;
(b) o nível de confiança deve ser informado na sua forma decimal.
ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL
105
Tabela A.5: Estimação do Intervalo de Confiança para Diferenças
A B C D E F
1 ESTIMAÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇAS (a)
2 Diferenças (b)
Quadrado dos
Desvios das Obs.
com Diferença
3 valor1
Somatório das
Diferenças
=SOMA
(A3:A16) = (A3-$C$6) ^2
Som. do Quad.
dos Desv. das
Obs. com Dif.
=SOMA
(D3:D16)
4 valor2
Contagem das
Diferenças
=CONT.VALORES
(A3:A16) = (A4-$C$6) ^2
Produto da Dif.
Média pela Qtde.
de Obs. sem Dif. =C7* (-C6) ^2
5 valor3 n valor15 = (A5-$C$6) ^2
Somatório dos
Desvios =F3+F4
6 valor4 Diferença Média =C3/C5 = (A6-$C$6) ^2 g.l. =C4-1
7 valor5
Qtde de Obs.
sem Diferença =C5-C4 = (A7-$C$6) ^2 Variância =F5/F6
8 valor6 = (A8-$C$6) ^2 Desvio-Padrão =RAIZ (F7)
9 valor7 = (A9-$C$6) ^2
10 valor8 = (A10-$C$6) ^2 Nível de Conf. (c) valor16
11 valor9 = (A11-$C$6) ^2 N valor 17
12 valor10 = (A12-$C$6) ^2 Diferença Total =F11*C6
13 valor11 = (A13-$C$6) ^2 CPF
=RAIZ
( (F11-C5) / (F11-1) )
14 valor12 = (A14-$C$6) ^2 Erro-Padrão
= (F11*F8*F13) /
RAIZ (C5)
15 valor13 = (A15-$C$6) ^2 g.l. =C5-1
16 valor14 = (A16-$C$6) ^2 t
=INVT
(1-F10;F15)
17
Meio Intervalo
de Conf. Ajust. =F16*F14
18 Limite Inferior
Ajustado =F12-F17
19 Limite Superior
Ajustado =F12+F17
Notas: (a) os comandos do tipo "valor#" correspondem a valores extraídos de outras planilhas ou inseridos pelos
pesquisadores;
(b) por hipótese, foram observadas catorze diferenças entre os valores constantes do cadastro e os valores observados;
(c) o nível de confiança deve ser informado na sua forma decimal.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
106
ANEXO II
DISTRIBUIÇÕES NORMAL PADRÃO &
"t" DE STUDENT
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
108
DISTRIBUIÇÕES NORMAL PADRÃO E "t" DE STUDENT
109
ÁREAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
USANDO MICROSOFT EXCEL: =DIST.NORMP (z).
Onde: DIST.NORMP (z) = ÷
ø
öç
è
æ a­
2
1
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
110
DISTRIBUIÇÃO "t" DE STUDENT BI-CAUDAL
USANDO MICROSOFT EXCEL: =INVT (probabilidade;graus de liberdade).
Onde: probabilidade de que se cometa o erro do Tipo I = a;
graus de liberdade = g.l.
a
g.l. 0,2000 0,1000 0,0500 0,0200 0,0100 0,0050 0,0020 0,0010
1 3,0777 6,3137 12,7062 31,8210 63,6559 127,3211 318,2888 636,5776
2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250 14,0892 22,3285 31,5998
3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 7,4532 10,2143 12,9244
4 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 5,5975 7,1729 8,6101
5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 4,7733 5,8935 6,8685
6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 4,3168 5,2075 5,9587
7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 4,0294 4,7853 5,4081
8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 3,8325 4,5008 5,0414
9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 3,6896 4,2969 4,7809
10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 3,5814 4,1437 4,5868
11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 3,4966 4,0248 4,4369
12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,4284 3,9296 4,3178
13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,3725 3,8520 4,2209
14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,3257 3,7874 4,1403
15 1,3406 1,7531 2,1315 2,6025 2,9467 3,2860 3,7329 4,0728
16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,2520 3,6861 4,0149
17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,2224 3,6458 3,9651
18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,1966 3,6105 3,9217
19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,1737 3,5793 3,8833
20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,1534 3,5518 3,8496
21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,1352 3,5271 3,8193
22 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,1188 3,5050 3,7922
23 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,1040 3,4850 3,7676
24 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7970 3,0905 3,4668 3,7454
25 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,0782 3,4502 3,7251
26 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,0669 3,4350 3,7067
27 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,0565 3,4210 3,6895
28 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,0470 3,4082 3,6739
29 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,0380 3,3963 3,6595
30 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,0298 3,3852 3,6460
40 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 2,9712 3,3069 3,5510
60 1,2958 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603 2,9146 3,2317 3,4602
120 1,2886 1,6576 1,9799 2,3578 2,6174 2,8599 3,1595 3,3734
+¥ 1,2816 1,6449 1,9600 2,3264 2,5758 2,8070 3,0902 3,2905
Nota: Para a = 0,05, as estatísticas "t" de Student, com g.l. = +¥, e Z são iguais a 1,96.
ANEXO III
BREVIÁRIO DE FÓRMULAS
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
112
BREVIÁRIO DE FÓRMULAS
113
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
I. Utilidade:
A população forma um todo indissociável em relação ao objeto da pesquisa e os custos
do trabalho de campo não são elevados Þ p. ex., no caso de uma pesquisa que pretenda
estimar a proporção de beneficiários do crédito educativo que conseguem completar o
curso superior, cujos questionários sejam remetidos pelo correio e cujo preenchimento
seja compulsório (ou seja, a taxa de não-resposta é assumida baixa), é possível que a
estratificação por curso, gênero ou localidade, entre outras possibilidades, não seja
relevante, pois os fatores determinantes do sucesso ou insucesso seriam comuns a todos
os possíveis subconjuntos.
II. Estimativa do Intervalo:
Ä da Média:
∙ com s conhecido e população infinita: vide item 5.1
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ s+÷÷
ø
ö
çç
è
æ s­
n
ZX
n
ZX .;. ;
∙ com s desconhecido e população infinita: vide item 5.2
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ+÷÷
ø
ö
çç
è
æ­ ­­ n
StX
n
StX nn .;. 11 ;
∙ com s conhecido e população finita: vide item 5.6
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­
÷÷
ø
ö
çç
è
æ s+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­
÷÷
ø
ö
çç
è
æ s­ 1..;1.. N
nN
n
ZXN
nN
n
ZX ;
∙ com s desconhecido e população finita: vide item 5.6
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ­ ­­ 1..;1.. 11 N
nN
n
StXN
nN
n
StX nn ;
Ä para Proporções:
∙ população infinita: vide item 5.4
( ) ( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é ­+­­
n
ppZp
n
ppZp ss
s
ss
s
1..;1.. ;
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
114
∙ população finita: vide item 5.6
( ) ( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­­+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­­­
1.1..;1.1.. N
nN
n
ppZpN
nN
n
ppZp ss
s
ss
s ;
Ä do Total (com s desconhecido e população finita): vide item 5.7
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ­ ­­ 1....;1.... 11 N
nN
n
StNXNN
nN
n
StNXN nn ;
∙ para Diferenças (com s desconhecido e população finita): vide item 5.8
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­
­÷
ø
öç
è
æ­ ­­ 1....;1.... 11 N
nN
n
StNDNN
nN
n
StNDN d
n
D
n , com n
D
D
n
i
iå
== 1 e
1
.
1
22
­
­
=
å
=
n
DnD
S
n
i
i
D ;
III. Determinação do Tamanho da Amostra:
Ä com População Infinita:
∙ para médias: vide item 5.5.1
2
22 .
e
SZn o= ;
∙ para duas proporções: vide item 5.5.2
( )
2
2 1..
e
ppZn oo ­= ;
∙ para n-proporções: vide item 5.5.2
2
2 25,0.'
e
Zn = , com Z' dado por
( )
2
11
2
1
1
úû
ù
êë
é ­­
=÷
ø
öç
è
æ
÷
ø
öç
è
æ
­kay ;
Ä com População Finita: vide item 5.6
( ) 1
.
­+= Nn
NnnCPF .
BREVIÁRIO DE FÓRMULAS
115
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA ESTRATIFICADA
I. Utilidade:
A população contém estratos que têm relação com o objeto da pesquisa Þ p. ex., no
caso de uma pesquisa que pretenda estimar a remuneração média, cinco anos após a
formatura, dos graduandos da Universidade de Brasília, é provável que a estratificação
por curso seja relevante, uma vez que alguns são mais demandados ou agregam mais
valor econômico do que outros; a presente modalidade de amostragem evitaria o risco
de que alguns cursos fossem sub ou super-representados, o que geraria estimativas
pontuais distantes do parâmetro, ainda que o intervalo de confiança continuasse válido.
II. Estimativa do Intervalo: vide item 6.1.1
Ä da Média (com tn-1 aproximado por Z):
[ ]AEXAE SZX .± , com å
=
=
k
j
jjAE XN
N
X
1
..1 , å
=
=
k
j
Xj jAEX
.SN.
N
S
1
22
2
2 1 e
j
jj
j
j
N
nN
n
SS
jX
­= .
2
2 ;
Ä para Proporções:
úû
ù
êë
é ±
AEpAE SZp ^.
^
, com å
=
=
k
j
jjAE pN
N
p
1
^^
..1 , å
=
=
k
j pj
jAEp
.SN
N
S
1
22
2
2
^^
.1 e
( )
j
jj
j
jj
p N
nN
n
pp
S
j
­
­
÷ø
öçè
æ ­
= .
1
1.
^^
2
^ ;
Ä do Total (com tn-1 aproximado por Z):
[ ]AEXAE SNZXN ... ± , com å
=
=
k
j
jjAE XNXN
1
.. e å
=
=
k
j
Xj jAEX
.SNSN
1
2222 . ;
III. Alocação Ótima por Estrato do Tamanho da Amostra: vide item 6.1.2
Ä Para Médias (com sj conhecido):
n
N
N
n k
j
jj
jj
j .
.
.
1
å
=
s
s= ;
Ä Para Duas Proporções (com pj conhecido):
( )
( )
n
ppN
ppN
n k
j
jjj
jjj
j .
1..
1..
1
å
=
­
­
= .
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
116
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA POR CONGLOMERADOS - UM ÚNICO ESTÁGIO
I. Utilidade:
A população é formada por subconjuntos semelhantes e os custos do trabalho de campo
são elevados Þ p. ex., no caso de uma pesquisa que pretenda estimar a produtividade
média dos assentamentos criados pelo Ministério do Desenvolvimento Agrário, é
possível que os assentamentos possam ser agrupados em conjuntos geograficamente
compactos, mas suficientemente diversificados internamente para que os conjuntos
examinados possam ser tratados, a um custo menor, como representativos de toda
população.
II. Estimativa do Intervalo: vide item 6.2.1
Ä da Média (com tn-1 aproximado por Z):
[ ]ACAC XACXAC SZXSZX .. + <­ , com
å
å
=
== m
j
j
m
j
jj
AC
N
XN
X
1
1
.
, 2
2
1
2
.
AC
m
j
j
.S
m
N
M
mMS
ACX
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­=
å
=
e
( )
1
1
22
2
­
­
=
å
=
m
XX.N
S
m
j
ACjj
AC ;
Ä para Proporções:
úû
ù
êë
é +<<­
ACAC pACpAC SZppSZp ^^ ..
^^
, com
å
å
=
== m
j
j
m
j
jj
AC
N
pN
p
1
1
^
^
.
, 2
2
1
2
.
^ AC
m
j
j
.S
m
N
M
mMS
ACp
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
­=
å
=
e
1
1
2^^2
2
­
÷ø
öçè
æ ­
=
å
=
m
pp.N
S
m
j
ACjj
AC ;
III. Determinação da Quantidade de Conglomerados da Amostra: vide item 6.2.2
2
2
1
2
2
2
..
. 0
AC
M
j
j
AC
S
M
N
Z
e
SM
m
­
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
å
=
.
ANEXO IV
FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS
POR UNIDADE MONETÁRIA
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
118
FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS POR UNIDADE MONETÁRIA
119
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 1
Objeto (s) da Auditoria: UG:
TC:
Objeto da Amostragem: Período de:
∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.
∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.

Plano Amostral
Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.
Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.

PRECISÃO AMOSTRAL E AJUSTES ESTIMADOS

Erro Tolerável/Materialidade Ampla:

Materialidade Restrita:

Ajustes Arbitrados:

Erro Amostral Previsto:
Estimativa da Ampliação do Intervalo de Precisão:
Outros Ajustes:
Ajuste Total:

Erro Máximo Admitido:

Notas (premissas, precedentes ou ressalvas pertinentes):

TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
120
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 2A
Objeto (s) da Auditoria: UG:
TC:
Objeto da Amostragem: Período de:
∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.
∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.

Plano Amostral
Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.
Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.

DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA

População (compras, salários,
estoques, etc.)

(1) Materialidade Restrita
(2) Montante Registrado
(3) Índice de Confiabilidade (R)
(4) Tamanho da Amostra
[ (2). (3) / (1) ]
(5) Intervalo Amostral
[ (2) / (4) ]

Notas (inclusões e expurgos pertinentes):

FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS POR UNIDADE MONETÁRIA
121
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 2B
Objeto (s) da Auditoria: UG:
TC:
Objeto da Amostragem: Período de:
∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.
∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.

Plano Amostral
Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.
Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.

DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA

População (compras, salários, estoques, etc.)

(1) Materialidade Restrita
(2) Montante Registrado
(3) Índice de Confiabilidade no (R)
(4) Tamanho da Amostra
[ (2). (3) / (1) ]
(5) Intervalo Amostral
[ (2) / (4) ]

Notas (inclusões e expurgos pertinentes):

TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
122
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 3
Objeto (s) da Auditoria: UG:
TC:
Objeto da Amostragem: Período de:
∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.
∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.

Plano Amostral
Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.
Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.

ESTIMATIVA DO ERRO AMOSTRAL MÁXIMO

Valor Erro
Item Registrado
(A)
Auditado
(B)
Valor
(C) = [ (A) -
(B) ]
Proporção
(D) =[ (C) / (A) ]
Ordem
(1º, 2º, etc.)
Projetado
[ (Intervalo
Amostral). (D) ]

Registros
superestimados
referentes a itens com
valores inferiores ao
do intervalo amostral

Registros
subestimados
referentes a itens com
valores inferiores ao
do intervalo amostral

Erro Líquido Observado na Amostra

Erro Líquido Extrapolado para a População

FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS POR UNIDADE MONETÁRIA
123

Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 4
Objeto (s) da Auditoria: UG:
TC:
Objeto da Amostragem: Período de:
∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.
∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.

Plano Amostral
Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.
Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.

ITENS CRÍTICOS OU COM VALORES ELEVADOS

Valor
Item Registrado
(A)
Auditado
(B)
Erro
(C) = [ (A) -
(B) ]

Itens críticos ou com valores superiores ao intervalo
amostral
A) Superestimados
B) Subestimados
(utilizar formulários distintos para valores superestimados e
subestimados)

Erro Total

TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
124
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 5
Objeto (s) da Auditoria: UG:
TC:
Objeto da Amostragem: Período de:
∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.
∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.

Plano Amostral
Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.
Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.

AMPLIAÇÃO DO INTERVALO DE PRECISÃO - AIP

Ordem
(1º, 2º, etc.)
Fator AIP
(A)
Proporção
(B)
AIP
[ (Intervalo
Amostral. (A). (B) ]

Registros
C) Superestimados
D) Subestimados
(utilizar formulários distintos para valores
superestimados e subestimados)

AIP Total

FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS POR UNIDADE MONETÁRIA
125
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 6
Objeto (s) da Auditoria: UG:
TC:
Objeto da Amostragem: Período de:
∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.
∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.

Plano Amostral
Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.
Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.

ERRO E PRECISÃO TOTAIS

Superestimados Subestimados
Erro Provável
(Formulários 3 & 4)

Materialidade Restrita
(Formulário 2)

Ampliação do Intervalo de Precisão
(Formulário 5)

Limite Superior dos Erros (1)

Materialidade Ampla (2)

Diferença [ (2) - (1) ]

Diferença Aceitável? Sim Não Sim Não

TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
126

ANEXO V
APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM
POR UNIDADE MONETÁRIA
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
128
APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
129
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 1
Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????
TC: ???.???/1999-?
Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:
∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.
∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.

Plano Amostral
Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.
Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.

PRECISÃO AMOSTRAL E AJUSTES ESTIMADOS

Erro Tolerável/Materialidade Ampla: 100.000,00

Materialidade Restrita: 95.000,00

Ajustes Arbitrados:

Erro Amostral Previsto: ­
Estimativa da Ampliação do Intervalo de Precisão: ­
Outros Ajustes: 5.000,00
Ajuste Total: 5.000,00

Erro Máximo Admitido: 100.000,00

Notas (premissas, precedentes ou ressalvas pertinentes):
A) Materialidade Ampla: maior diferença entre os montantes registrado e estimado admitido pela
equipe de auditoria ou pelo órgão encarregado da auditoria;
B) Materialidade Restrita: diferença entre a materialidade ampla e os ajustes arbitrados pela
equipe de auditoria;
C) Ajustes Arbitrados: maior diferença entre os montantes registrado e estimado indicada pelos
resultados amostrais; seus componentes (erro amostral previsto, estimativa da ampliação do
intervalo de precisão e outros ajustes) são arbitrados pela equipe de auditoria com base em
trabalhos anteriores ou de proporções fixadas pelo órgão encarregada da auditoria (no presente
exemplo: 0,25% do montante registrado).

TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
130
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 2
Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????
TC: ???.???/1999-?
Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:
∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.
∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.

Plano Amostral
Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.
Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.

DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA

População (compras, salários, estoques, etc.) COMPRAS

(1) Materialidade Restrita 95.000,00
(2) Montante Registrado 2.000.000,00
(3) Índice de Confiabilidade 3,00
(4) Tamanho da Amostra
[ (2). (3) / (1) ] 64
(5) Intervalo Amostral
[ (2) / (4) ] 31.250,00

Notas (inclusões e expurgos pertinentes):
O montante registrado abrange 500 operações de compra. Os valores de cinco delas são superiores
ao intervalo amostral.

APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
131
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 3
Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????
TC: ???.???/1999-?
Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:
∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.
∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.

Plano Amostral
Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.
Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.

ESTIMATIVA DO ERRO AMOSTRAL MÁXIMO

Valor Erro
Item Registrado
(A)
Auditado
(B)
Valor
(C) = [ (A) -
(B) ]
Proporção
(D) =[ (C) / (A) ]
Ordem
(1º, 2º, etc.)
Extrapolação
[ (Intervalo
Amostral). (D) ]

Registros
superestimados
referentes a itens
com valores
inferiores ao do
intervalo amostral
35

2.000,00 1.800,00 200,00 0,10 1º 3.125,00
Registros
subestimados
referentes a itens
com valores
inferiores ao do
intervalo amostral
29

57

2.500,00

4.000,00
2.600,00

4.200,00
(100,00)

(200,00)
0,04

0,05
2º

1º
(1.250,00)

(1.562,50)

Erro Líquido Observado na Amostra (100,00)

Erro Líquido Extrapolado para a População 312,50

TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
132

Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 4
Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????
TC: ???.???/1999-?
Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:
∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.
∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.

Plano Amostral
Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.
Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.

ITENS CRÍTICOS OU COM VALORES ELEVADOS

Valor
Item Registrado
(A)
Auditado
(B)
Erro
(C) = [ (A) -
(B) ]

Itens críticos ou com valores superiores ao intervalo
amostral
E) Superestimados
F) Subestimados
(utilizar formulários distintos para valores superestimados e
subestimados)
13

43.125,00 42.625,00 500,00

Erro Total 500,00

APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
133
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 5
Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????
TC: ???.???/1999-?
Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:
∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.
∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.

Plano Amostral
Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.
Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.

AMPLIAÇÃO DO INTERVALO DE PRECISÃO - AIP

Ordem
(1º, 2º, etc.)
Fator AIP
(A)
Proporção
(B)
AIP
[ (Intervalo
Amostral. (A). (B) ]

Registros
G) Superestimados
H) Subestimados
(utilizar formulários distintos para valores
superestimados e subestimados)
1º

0,75 0,10 2.343,75

AIP Total 2.343,75

TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
134
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 5
Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????
TC: ???.???/1999-?
Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:
∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.
∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.

Plano Amostral
Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.
Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.

AMPLIAÇÃO DO INTERVALO DE PRECISÃO - AIP

Ordem
(1º, 2º, etc.)
Fator AIP
(A)
Proporção
(B)
AIP
[ (Intervalo
Amostral. (A). (B) ]

Registros
I) Superestimados
J) Subestimados
(utilizar formulários distintos para valores
superestimados e subestimados)
1º

2º

0,75

0,55
0,05

0,04
(1.171,87)

(687,50)

AIP Total (1.859,37)

APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
135
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Geral de Controle Externo
AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
FORMULÁRIO 6
Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????
TC: ???.???/1999-?
Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:
∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.
∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.

Plano Amostral
Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.
Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.

ERRO E PRECISÃO TOTAIS

Superestimados Subestimados
Erro Provável
(Formulários 3 & 4)
312,50

500,00

312,50
Materialidade Restrita
(Formulário 2)
95.000,00

(95.000,00)
Ampliação do Intervalo de Precisão
(Formulário 5)
2.343,75

(1.859,37)

Limite Superior dos Erros (1) 98.156,25 (96.546,87)

Materialidade Ampla (2) 100.000,00 (100.000,00)

Diferença [ (2) - (1) ] 1.843,75 (3.453,13)

Diferença Aceitável? Sim Não Sim Não

TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
136
GLOSSÁRIO
AMOSTRA: subconjunto de elementos da população selecionado para análise; a
quantidade de elementos da amostra (i. e., tamanho da amostra) é usualmente denotada
como n, enquanto que a quantidade de elementos da população é geralmente denotada como
N.
AMOSTRA ALEATÓRIA: amostra cujos elementos são selecionados aleatoriamente,
podendo-se computar a probabilidade de que uma amostra em particular seja obtida; a
seleção pode ser com ou sem reposição, ou seja, os elementos podem ser selecionados
simultaneamente ou um por vez, devolvendo-se à população, após cada seleção, o elemento
selecionado; no caso da seleção com reposição, elementos da população podem integrar a
amostra mais de uma vez.
APROXIMAÇÃO PELA NORMAL: mensuração aproximada das áreas sob um
histograma (i. e., plotagem da distribuição de freqüências relativas de uma variável
aleatória) por meio das áreas correspondentes definidas pela curva normal, após a
transformação dos valores originais em unidades-padrão; diversas distribuições de
probabilidades podem ser aproximadas por intermédio da distribuição normal (p. ex.: no
intervalo [9,5; 17,5], a área definida pelo histograma de uma distribuição binomial com
n = 50 e p = 0,3 é igual a 0,742; no caso da distribuição normal, esse intervalo corresponde a
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]772,0;697,13,01.3,0.503,0.505,17;3,01.3,0.503,0.505,9 ­=­­­­ , ao qual está
associado uma área igual a 0,735 - apenas um pouco inferior ao valor correto, portanto;
convém notar que a aproximação será tão melhor quanto maior for n e mais próximo de 0,5
for p).
CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FINITAS: no caso de amostragens sem reposição,
os erros-padrão dos totais e das médias amostrais dependem da fração da população incluída
na amostra - maior a fração, menor o erro-padrão; o erro-padrão nas amostragens sem
reposição é inferior ao erro-padrão nas amostragens com reposição, com a diferença
correspondendo ao fator de correção para populações finitas (CPF), qual seja,
( ) ( ) [ ]1­­ NnN - com n = 1, as duas modalidades de amostragem são equivalentes, o que
torna os erros-padrão iguais (CPF = 1), enquanto que, com n = N, a amostra selecionada
sem reposição confunde-se com a própria população, de modo que as estimativas são iguais
aos parâmetros, não havendo qualquer variação, ou seja, o erro-padrão é igual a zero
(CPF = 0).
DADOS: informações numéricas relevantes para a tomada de decisão em um contexto
específico.
DEFINIÇÃO OPERACIONAL: atribuição de um significado a um conceito ou variável
que possa ser entendido por todos.
DISTRIBUIÇÃO: modo como se distribuem as freqüências relativas dos valores
associados a um conjunto de observações.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
138
DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DE PROBABILIDADES: modo como se acumulam,
para cada possível resultado xi da variável aleatória X, as observações cujos valores sejam
iguais ou inferiores [P (X £ xi) ]; a distribuição é igual a zero para valores suficientemente
baixos e igual a um para valores suficientemente altos; o gráfico correspondente cresce
monotonicamente - se x1 < x2, então P (X £ x1) £ P (X £ x2).
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL: distribuição das estimativas geradas por amostras
aleatórias.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES: especificação da probabilidade de que uma
variável aleatória X assuma cada um dos seus possíveis resultados xi, no caso de variáveis
discretas [P (X = xi) ], ou de que esteja compreendida em qualquer intervalo [x1; x2] do
segmento de possíveis resultados, no caso de variáveis contínuas [P (x1 < X < x2) ].
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES UNIFORME: todos os possíveis resultados
da variável aleatória têm a mesma probabilidade de ocorrer.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL: uma variável aleatória X, com média m e desvio-padrão s, é
normalmente distribuída [X ~ N (m, s2) ] se ( ) [ ]21P xXx < , para x1 < x2, corresponder à
área sob a curva normal compreendida no intervalo [x1; x2]; caso m e s sejam iguais a zero e
a um, respectivamente, tem-se que X apresenta uma distribuição normal padronizada, ou
seja, X ~ N (0, 1).
ELEMENTO: componente de um conjunto de dados.
ERRO ALEATÓRIO: erro que, ao contrário do viés, afeta as estimativas de forma
diferente a cada medição; comporta-se como um número selecionado, aleatoriamente e com
reposição, de um conjunto de valores cuja média é igual a zero.
ESPAÇO OU CADASTRO AMOSTRAL: conjunto de dados a partir do qual a amostra é
selecionada; idealmente, o cadastro contém toda a população acerca da qual se deseja fazer
inferências.
ESPAÇO DOS POSSÍVEIS RESULTADOS: conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório (i.e., experimento cujo resultado, em uma única tentativa, não
pode ser previsto com exatidão, mas cujas freqüências relativas de longo prazo, para
sucessivas repetições, são previsíveis).
ESTATÍSTICA: medida estimada a partir de uma amostra que exprime uma característica
da população.
ESTATÍSTICA DESCRITIVA: métodos de coleta, apresentação e caracterização de um
conjunto de dados que permitam descrever apropriadamente vários dos seus aspectos.
ESTIMADOR: regra cujo objetivo seja gerar, a partir de amostras aleatórias, estimativas
acerca dos parâmetros (p. ex., a média amostral x é um estimador da média populacional
m); é uma variável aleatória, pois seus resultados dependem das amostras que forem
selecionadas; idealmente, não deve ser viesado e a sua variância deve ser pequena, podendo-
se avaliá-lo por meio do erro-médio quadrático (EMQ) 27, o qual é igual ao valor esperado do
quadrado da diferença entre o estimador (p. ex., x ) e o parâmetro (p. ex., m), ou seja,

27 "Mean Square Error" (MSE), na língua inglesa.
EXEMPLO DA APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA
139
( ) ( ) [ ]å
=
m­=
k
j
j kxxEMQ
1
2 , com k igual à quantidade de estimativas (i.e., o EMQ é uma
medida da acurácia do estimador e também pode ser expresso da seguinte maneira:
EMQ ( x ) = [viés ( x ) ]2 + [erro-padrão ( x ) ]2).
EVENTO: subconjunto do espaço de possíveis resultados que contenha resultados
efetivamente observados (p. ex., se A é um subconjunto do espaço de possíveis resultados
de uma variável aleatória, então A é um evento caso o resultado efetivamente observado
pertença a A).
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES: representação matemática da
distribuição de uma variável aleatória discreta.
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE: função matemática cuja área sob a
curva correspondente define as probabilidades de que os resultados de uma variável
aleatória contínua estejam compreendidos em intervalos do segmento de possíveis
resultados - para toda variável aleatória X, há uma função densidade de probabilidade f (X)
tal que P (x1 < X < x2), para x1 < x2, corresponda à área compreendida no intervalo [x1; x2].
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: métodos que permitem estimar características de uma
população ou tomar decisões com base em resultados amostrais.
INTERVALO DE CONFIANÇA: intervalo aleatório cuja probalidade de que contenha o
verdadeiro valor do parâmetro é conhecida.
LEI DOS GRANDES NÚMEROS: no caso de repetições sucessivas e independentes de
experimentos aleatórios, com igual probabilidade p de sucesso, a probabilidade amostral
^
p
será tão mais próxima de p quanto maior for a quantidade de repetições; a probabilidade de
que a diferença entre
^
p e p seja maior do que um valor positivo e converge para zero à
medida que a quantidade de repetições tende ao infinito.
MODELO: representação estilizada de um fenômeno.
MODELO MATEMÁTICO: representação matemática de um fenômeno.
NÃO-RESPOSTA: diferença entre a quantidade de consultas feitas (p. ex., questionários
enviados, telefonemas feitos, etc.) e a quantidade de consultas respondidas (p. ex.,
questionários devolvidos, telefonemas atendidos, etc.).
NÍVEL DE CONFIANÇA: probabilidade de que o intervalo de confiança contenha o
verdadeiro valor do parâmetro.
PARÂMETRO: propriedade numérica de uma população, como a sua média.
POPULAÇÃO OU UNIVERSO: conjunto de elementos visado por uma pesquisa, os quais
podem ser épocas, lugares, objetos, pessoas, procedimentos, etc.
TAXA DE NÃO-RESPOSTA: razão entre as quantidades de consultas não-respondidas e
de consultas feitas; caso essa taxa seja alta, a pesquisa conterá um viés de não-resposta
elevado.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
140
TIPOS DE AMOSTRAGEM: as técnicas de amostragem podem ser classificadas de
várias maneiras, quais sejam:
a) quanto à divisão em estratos: estratificada ou não-estratificada;
b) quanto à quantidade de estágios: um estágio ou mais de um;
c) quanto à unidade amostral: um elemento ou um conglomerado;
d) quanto ao processo de seleção das unidades amostrais: aleatória ou sistemática;
e) quanto às probabilidades de seleção das unidades amostrais: probabilidades iguais ou
desiguais.
UNIDADE AMOSTRAL: unidade fundamental de uma amostra.
VALOR ESPERADO OU ESPERANÇA MATEMÁTICA: limite de longo prazo da
média dos resultados observados em repetições sucessivas e independentes de experimentos
aleatórios; no caso de variáveis discretas, esse limite corresponde à média dos possíveis
resultados, ponderados pela respectiva freqüência relativa; o valor esperado de uma variável
aleatória X é denotado como E (X).
VARIÁVEL: valor ou categoria que possa diferir de observação para observação.
VARIÁVEL ALEATÓRIA: atribuição de valores aos possíveis resultados de um
experimento aleatório (p. ex., no arremesso de três moedas, a quantidade de "caras" que
podem ser observadas é uma variável aleatória, atribuindo-se o valor "0" ao resultado
{coroa, coroa, coroa}, o valor "1" aos resultados {coroa, coroa, cara}, {coroa, cara, coroa} e
{cara, coroa, coroa}, o valor "2" aos resultados {coroa, cara, cara}, {cara, coroa, cara} e
{cara, cara, coroa} e o valor três ao resultado {cara, cara, cara}).
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA: variável numérica cujo conjunto de possíveis
resultados é incontável (p. ex., altura exata, idade exata, incluindo frações de segundo,
temperatura, etc.).
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA: variável numérica cujo conjunto de possíveis
resultados é contável (p. ex., variáveis cujos possíveis resultados são um subconjunto dos
números inteiros, tais como: idades arredondadas para o valor inteiro mais próximo,
números das cédulas de identidade, tamanhos das famílias, etc.).
VARIÁVEL CATEGÓRICA OU ATRIBUTO: variável cujos resultados correspondam a
categorias, tais como: {alto, baixo}, {feminino, masculino}, {vermelho, verde, azul},
{Amazonas, Ceará, Goiás e São Paulo}, etc.
VIÉS: diferença sistemática, deliberada ou não, entre as estimativas e o parâmetro (p. ex.:
uma pessoa que sempre se pese estando vestida obterá medidas sistematicamente superiores
ao seu peso correto, introduzindo um viés "para cima" nas estimativas).
VIÉS DA NÃO-RESPOSTA: viés decorrente de diferenças existentes entre os
respondentes e os não-respondentes em aspectos relevantes para a pesquisa (p. ex., uma
pesquisa por telefone que deseje estimar a duração média da jornada de trabalho poderia,
inadvertidamente, ignorar as pessoas que trabalham até mais tarde, o que introduziria um
viés "para baixo" nas estimativas).
BIBLIOGRAFIA
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TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
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TOWS, J.; SNELLING, J. Designing and Carrying out a Survey. Londres : National
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FOLHA DE SUGESTÕES
O TCU preocupa-se com o constante aperfeiçoamento da qualidade de seus
manuais e orientações, buscando, para isso, ouvir a valiosa opinião do público-alvo dos
referidos trabalhos.
O questionário a seguir refere-se especificamente às Técnicas de Amostragem
para Auditorias, distribuídas a partir de março de 2002. Será muito útil para o TCU se o
leitor deste documento puder dispor de alguns minutos para responder às perguntas
constantes no referido questionário e enviá-lo pelos Correios (não é preciso selar, pois o
porte será pago pelo TCU).
Sugestões sobre este documento também podem ser enviadas das seguintes
formas:
E-mail: adfis@tcu.gov.br
Fax: (61) 316-7538
Fone: (61) 316-7311
Endereço: Tribunal de Contas da União - TCU
ADFIS
Setor de Administração Federal Sul - Lote 01
CEP: 70042-900 - Brasília-DF
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS
144
Tribunal de Contas da União
Secretaria-Adjunta de Fiscalização QUESTIONÁRIO DE AVALIAÇÃO
FINALIDADE
Este questionário de avaliação tem por objetivo obter a opinião dos leitores sobre as Técnicas de Amostragem para Auditorias, com vistas ao
seu aperfeiçoamento.
Por favor, responda às questões abaixo assinalando com um "X" a alternativa mais adequada. Desde já agradecemos a sua colaboração.
1. Em que esfera do governo você trabalha?
• Federal • Estadual ou DF • Municipal
2. Em que órgão você trabalha?
• Poder Legislativo
• Poder Executivo
• Poder Judiciário
• Controle Interno
• Outro [especificar] ________________
3. Que partes das Técnicas de Amostragem para Auditorias você leu?
• Todo • Capítulos I e II [todo ou
parte]
• Capítulos III e IV [todo
ou parte]
• Capítulos V e VI [todo
ou parte]
• Capítulos VII e VIII
[todo ou parte]
4. Leia com atenção cada indicador e escolha o ponto da escala que melhor descreve a sua opinião sobre as Técnicas de Amostragem para
Auditorias. Marque com um "X" a opção que melhor representa o seu julgamento.
Concorda integralmente Concorda Indiferente Discorda Discorda integralmente
5 4 3 2 1
O manual é: 5 4 3 2 1
Fácil de ser lido • • • • •
Fácil de ser entendido • • • • •
Lógico • • • • •
Sucinto • • • • •
Completo • • • • •
Útil • • • • •
5. Como você tomou conhecimento das Técnicas de Amostragem para Auditorias?
• Quando recebeu
• Divulgação interna do TCU
• Por mensagem do SIAFI
• Pela Internet
• Pela imprensa
• Outros [especificar] _______________________
6. Como você obteve das Técnicas de Amostragem para Auditorias?
• Solicitou diretamente ao TCU • Download pela Internet • Outros [especificar] ________________
7. Apresente, a seguir, comentários e sugestões para o aprimoramento da qualidade das Técnicas de Amostragem para Auditorias. No caso de
sugestões para alteração/supressão/aditamento de itens de verificação, favor preencher o quadro anexo.

Tribunal de Contas da União
Secretaria-Adjunta de Fiscalização QUADRO DE SUGESTÕES
FINALIDADE
Este quadro de sugestões tem por objetivo obter a opinião dos leitores sobre as Técnicas de Amostragem para Auditorias, com vistas ao seu
aperfeiçoamento.
Nº do item Proposta de alteração, supressão ou aditamento Fundamentação
PTR/BSB
880/92
UP-AC/TCU
DR/BSB
CARTA - RESPOSTA
NÃO É NECESSÁRIO SELAR
O SELO SERÁ PAGO POR
TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO
70099-999 BRASÍLIA-DF
UNIDADES DA SECRETARIA DO TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO
Secretaria da Presidência Paulo Emílio Lustosa
Consultoria Jurídica José Moacir Cardoso da Costa
Instituto Serzedello Corrêa Salvatore Palumbo
Secretaria de Controle Interno Leila Fonseca dos Santos V. Ferreira
Secretaria de Planejamento e Gestão Mauro Giacobbo
Secretaria de Tecnologia da Informação Cláudio Silva da Cruz
Assessoria de Cerimonial e Relações Institucionais Erivan Carlos de Carvalho
Assessoria de Comunicação Social Francisco Raul Félix de Souza Ramos
Assessoria de Relações Internacionais Ana Beatriz Pascal Kraft
Assessoria Parlamentar Severino Lucena da Nóbrega
Secretaria-Geral das Sessões Eugênio Lisboa Vilar de Melo
Secretaria do Plenário Elenir Teodoro Gonçalves dos Santos
Secretaria-Geral de Administração Antônio José Ferreira da Trindade
Secretaria de Recursos Humanos Cláudia de Faria Castro
Secretaria de Orçamento, Finanças e Contabilidade Pedro Martins de Sousa
Secretaria de Material, Pat. e Com. Administrativa Ary Fernando Beirão
Secretaria de Engenharia e Serviços Gerais Alfredo Henrique Bauchspiess
Secretaria-Geral de Controle Externo Luciano Carlos Batista
Secretaria-Adjunta de Contas Ricardo de Mello Araújo
Secretaria-Adjunta de Fiscalização Cláudio Souza Castello Branco
Secretaria de Fiscalização de Desestatização Jorge Pereira de Macedo
Secretaria de Fiscalização de Pessoal Antonio Júlio Ferreira
Secretaria de Fiscalização de Obras e Pat. da União Cláudio Sarian Altounian
Secretaria de Fiscalização e Aval. de Prog. de Governo Marília Zinn Salvucci
Secretaria de Macroavaliação Governamental Paulo Roberto Pinheiro Dias Pereira
Secretaria de Recursos Odilon Cavallari de Oliveira
1ª Secretaria de Controle Externo Rosendo Severo dos Anjos Neto
2ª Secretaria de Controle Externo Eduardo Duailibe Murici
3ª Secretaria de Controle Externo Carlos Nivan Maia
4ª Secretaria de Controle Externo Maria do P. Socorro Teixeira Rosa
5ª Secretaria de Controle Externo Alexandre Valente Xavier
6ª Secretaria de Controle Externo Ismar Barbosa Cruz
Secretaria de Controle Externo/AC João Batista Diniz Capanema
Secretaria de Controle Externo/AL Edimilson Monteiro Batista
Secretaria de Controle Externo/AP Jorge Luiz Carvalho Lugão
Secretaria de Controle Externo/AM Helena Montenegro Valente
Secretaria de Controle Externo/BA Evilásio Magalhães Vieira
Secretaria de Controle Externo/CE Paulo Nogueira de Medeiros
Secretaria de Controle Externo/ES Raimundo Nonato Coutinho
Secretaria de Controle Externo/GO Rosângela Paniago Curado Fleury
Secretaria de Controle Externo/MA José Maria Araújo Lima
Secretaria de Controle Externo/MT Luiz Guilherme da Boamorte Silveira
Secretaria de Controle Externo/MS Mário Júnior Bertuol
Secretaria de Controle Externo/MG Élsio Geová dos Santos
Secretaria de Controle Externo/PA Octávio José Pessoa Ferreira
Secretaria de Controle Externo/PB Raimundo Nonato Soares Araújo
Secretaria de Controle Externo/PR Nazaré do Socorro G. Rosário Zuardi
Secretaria de Controle Externo/PE Ildê Ramos Rodrigues
Secretaria de Controle Externo/PI José Ulisses Rodrigues Vasconcelos
Secretaria de Controle Externo/RJ Francisco Carlos Ribeiro de Almeida
Secretaria de Controle Externo/RN Marcos Valério de Araújo
Secretaria de Controle Externo/RS Carlos Martins dos Santos
Secretaria de Controle Externo/RO Fábio Arruda de Lima
Secretaria de Controle Externo/RR Rainério Rodrigues Leite
Secretaria de Controle Externo/SC Rafael Blanco Muniz
Secretaria de Controle Externo/SP Eloi Carnovali
Secretaria de Controle Externo/SE Maria Salete Fraga Silva Palma
Secretaria de Controle Externo/TO Dion Carvalho Gomes de Sá ]