Радомир 17.08.2013 написал: Продожаю собирать мысли людей про кубические числа и пропорции. Выкладываю цитату отсюда: Заканчивая анализ рассматриваемого текста нельзя оставить в тени упомянутый Платоном вопрос о кубически и квадратных числах. В школе Пифагора все числа натурального ряда подвергались определенной классификации, которая носила или геометрические соображения, или отвлеченномистический характер. Квадратными и кубическими назывались числа, разлагающиеся соответственно на два и три равных множителя. В современной символике это числа вида a2 и a3. По мере развития теории пропорций выяснилось, что если в геометрической пропорции числа p и q имеют отношение (n+1):n, то вставить среднее пропорциональное х нельзя. Если же числа p и q квадратные, то есть p =a2, q =b2, то между ними можно вставить одно среднее пропорциональное ab, так что тремя последовательными пропорциональными числами будут a2, ab, b2. Если числа p и q кубические, то между ними можно вставить уже два средних пропорциональных числа и тогда четыре числа a3, a2b, ab2, b3, будут находиться в непрерывной пропорции: (a3/ a2b)=(a2b/ ab2)=(a2b/ b3) В античной науке числа всегда мыслились в связи с геометрическими образами. Поэтому числа a2 и a3 имели конкретный смысл: - площадь квадрата (плоскостная величина), - объем куба (телесная величина). Такое понимание чисел восходит к раннему периоду развития греческой математики, когда произведение числа а предметов на абстрактное число b мыслилось как заполнение площади прямоугольника b рядами по а предметов в каждом. Поэтому плоскостными были и числа вида ab, а телесными - вида a2b, ab2 и abc. Сделанные пояснения относительно квадратных (плоскостных) и кубических (телесных) чисел позволяют более четко понять смысл обоих переводов, в которых имеются слова итак, телесным, а потому видимым и осязаемым…, …как кубических, так и квадратных…, …между числами ли, массами ли или силами…. Помимо этого сделанные пояснения позволяют глубже понять последующий текст Платона, о котором речь пойдет ниже после небольшого вступления. В XV-XVI вв. в Западной Европе произошло очередное возрождение мировоззренческих и религиозных идей античности, которое характеризовалось резким повышением популярности идей пифагорейскоплатонической системы. Получила популярность и была поддержана идея о том, что математика - это и прообраз физического мира, и истинное знание. В это время с легкой руки Луки Пачоли считалось, что под х и y Платон понимал части целого а, т.е. что х + y = а, и поэтому Платон говорил о золотой пропорции а : х = х : (а - х). Отсюда пошло мнение, что античные пропорции основаны на золотом сечении [10, с. 209]. К сожалению, математик эпохи Возрождения Л. Пачоли высказал предположение, имевшее мало общего с истинными взглядами Платона и породившее в дальнейшем ложные представления. Платон привлекает аналогию не для абстрактных математических рассуждений, а для характеристики взаимоотношений первичных элементов материи, четырех начал - огня, воздуха, воды и земли. Предшественники Платона отдавали предпочтение то одной, то другой стихии. Стоит только вспомнить крылатые слова первых натурфилософов Древней Греции: все есть вода, все есть воздух, или все есть огонь. Вслед за этим античные мыслители предприняли попытку построить универсальную модель, нашедшую свое воплощение в знаменитом изречении пифагорейцев: числу же все подобно. Платон же пошел дальше всех и завершил двухсотлетнюю пифагорейскую традицию в учении о числах и их космическом значении. Он представил материю как пропорциональное целое, в котором каждая составляющая стихия стоит в определенном отношении к другой стихии. Именно при таком рассмотрении геометрическая пропорция приобретает свой подлинно пифагорейский смысл. Если читать диалог Платона далее, то этот вывод становится неоспоримым. Поэтому здесь уместно привести продолжение цитаты из диалога Тимей, завершающее мысль Платона [7]: При этом если бы телу Вселенной надлежало стать простой плоскостью без глубины, было бы достаточно одного среднего члена для сопряжения его самого с крайними. Однако оно должно было стать трехмерным, а трехмерные предметы никогда не сопрягаются через один средний член, но всегда через два. Поэтому бог поместил между огнем и землей воду и воздух, после чего установил между ними возможно более точные соотношения, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху, и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так он сопряг их, построяя из них небо, видимое и осязаемое. На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникла дружба, так что разрушить его самотождественность не может никто кроме лишь того, кто сам его сплотил. При этом каждая из четырех частей вошла в состав космоса целиком: устроитель составил его из всего огня, из всей воды, и воздуха, и земли, не оставив за пределами космоса ни единой их части или силы [Tim. 32b-32d]. В приведенном фрагменте диалога рассматривается образование мирового тела на основе учения о пропорциях четырех основных тел, - огня, земли, воздуха и воды. Следовательно, если учитывать весь контекст Тимея, то в нем ясно сформулирован гармонично устроенный космос, определяемый по Платону геометрической пропорцией (Огонь/Воздух)=(Воздух/Вода)=(Вода/Земля) Для Платона было важно найти принцип устройства мира, и он обнаружил его в геометрической пропорции, из которой следовала возможность любому фрагменту реального мира общаться с любым другим фрагментом. Золотая пропорция - это пропорция двух величин. Платон же говорит о четырех величинах, построяя из них небо. Они, сопрягаясь, образуют пропорцию и не подвержены ни делению, ни объединению. Поэтому они никак не могут образовать золотую пропорцию. Чтобы закрепить эту мысль, читаем Платона еще раз: …из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, …каждая из четырех частей вошла в состав космоса целиком, …составил его из всего огня, из всей воды, и воздуха, и земли. Использование Платоном в своих рассуждениях только геометрической пропорции подтверждается дальнейшим прочтением диалога, где рассматриваются непрерывные геометрические пропорции 1:2:4:8 и 1:3:9:27. К сожалению, за неимением места оставлю эти пропорции без детализации и комментариев. Замечу только, что учение о гармонии космоса было настолько хорошо развито Платоном, что оно навсегда вошло в сокровищницу мировой мысли.