Радомир 28.02.2013 написал: Начал писать про платоновы тела- столкнулся с новой для себя информацией: мы называем платоновыми телами не совсем то, что подразумевал Платон! Цитирую всё с того же сайта: Космология Платона Рассмотренные выше правильные многогранники получили название Платоновых тел, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или стихии. Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр — Воду, так как он самый обтекаемый многогранник; Куб — Землю, как самый устойчивый многогранник; Октаэдр — Воздух, как самый воздушный многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе все сущее, Вселенский разум, символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания. Платоновы тела Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В Началах Евклида мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны (правильные пятиугольники). Не случайно, что один из авторов открытия фуллеренов, Нобелевский лауреат Гарольд Крото в свой Нобелевской лекции начинает свой рассказ о симметрии как основе нашего восприятия физического мира и ее роли в попытках его всестороннего объяснения именно с Платоновых тел и элементов всего сущего: Понятие структурной симметрии восходит к античной древности. Наиболее известные примеры можно, конечно, обнаружить в диалоге Тимей Платона, где в разделе 53, относящемся к Элементам, он пишет: Вопервых, каждому (!), разумеется, ясно, что огонь и земля, вода и воздух суть тела, а всякое тело — сплошное (!!) Платон обсуждает проблемы химии на языке этих четырех элементов и связывает их с четырьмя Платоновыми телами (в то время только четырьмя, пока Гиппарх не открыл пятый — додекаэдр). Хотя на первый взгляд такая философия может показаться несколько наивной, она указывает на глубокое понимание того, каким образом в действительности функционирует Природа. Так, сказал я себе. Додекаэдр открыл Гипарх. А почему его приписали к платоновым телам? В додекаэдре задействованы пятиугольники- как и в икосаэдре. Но в отличие от икоаэдра, в котором вершины пятиугольников образованы равносторонними треугольниками, каждый пентагон получен из пяти равнобедренных треугольников. Его можно было бы рассмотреть как платоново тело- вывернутый наизнанку икосаэдр. Посмотрим в чём у них разница. Число сторон грани, m Число граней, сходящихся в вершине, n Число граней Число вершин Икосаэдр 3 5 20 12 Додекаэдр 5 3 12 20 Число рёбер у обоих фигур- по 30, Число плоских углов на поверхности у обоих фигур по 60. Вывернутый наизнанку я подразумеваю не буквально, а по проявлению качеств тела. Вернёмся к моим исканиям истины. Почитал я первоисточник- самого Платона. Процитирую Платона из Тимеи: он путем вращения округлил космос до состояния сферы (*44), поверхность которой повсюду равно отстоит от центра. Всю поверхность сферы он вывел совершенно ровной. Идею божественного рода бог в большей части образовал из огня, дабы она являла взору высшую блистательность и красоту, сотворил ее безупречно округлой, уподобляя Вселенной. Вопервых, каждому, разумеется, ясно, что огонь и земля, вода и воздух суть тела, а всякое тело имеет глубину. Между тем любая глубина по необходимости должна быть ограничена некоторыми поверхностями; притом всякая прямолинейная поверхность состоит из треугольников. Однако все вообще треугольники восходят к двум, из которых каждый имеет по одному прямому углу и по два острых, но при этом у одного по обе стороны от прямого угла лежат равные углы величиной в одну и ту же долю прямого угла, ограниченные равными сторонами, а у другого - неравные углы, ограниченные неравными сторонами. Здесьто мы и полагаем начало огня и всех прочих тел, следуя в этом вероятности, соединенной с необходимостью; те же начала, что лежат еще ближе к истоку, ведает бог, а из людей разве что тот, кто друг богу. Теперь должно сказать, каковы же те четыре рожденных тела, прекраснейшие из всех, которые не подобны друг другу, однако способны, разрушаясь, друг в друга перерождаться. Если нам удастся попасть в точку, у нас в руках будет истина о рождении земли и огня, а равно и тех [стихий], что стоят между ними как средние члены пропорции. Тогда мы никому не уступили бы в том, что нет видимых тел более прекрасных, чем эти, притом каждое из них прекрасно в своем роде. Поэтому надо приложить старания к тому, чтобы привести в соответствие четыре отличающихся красотой рода тел и доказать, что мы достаточно уразумели их природу. Из двух названных раньше треугольников равнобедренный получил в удел одну природу, тогда как неравнобедренный - бесчисленное их множество. Из этого множества нам должно избрать наилучшее, если мы хотим приступить к делу надлежащим образом. Что ж, если ктонибудь выберет и назовет нечто еще более прекрасное, предназначенное для того, чтобы создавать эти [четыре тела], мы подчинимся ему не как неприятелю, но как другу; нам же представляется, что между множеством треугольников есть один, прекраснейший, ради которого мы оставим все прочие, а именно тот, который в соединении с подобным ему образует третий треугольник - равносторонний., нам приходится отдать предпочтение двум треугольникам как таким, из которых составлено тело огня и [трех] прочих тел: один из них равнобедренный, а другой таков, что в нем квадрат большей стороны в три раза больше квадрата меньшей. Hо мы обязаны более четко определить одну вещь, о которой прежде говорилось неясно. В самом деле, нам казалось, будто все четыре рода могут последовательно перерождаться друг в друга, но такая видимость была неправильной. Ведь четыре рода действительно рождаются из выбранных нами треугольников: три рода слагаются из одного и того же неравнобедренного треугольника и только четвертый род - из равнобедренного, а значит, не все роды могут разрешаться друг в друга и рождаться один из другого путем соединения большого количества малых [величин] в малое количество больших, и обратно. Если это и возможно, то лишь для вышеназванных первых трех [родов], ведь коль скоро все они произошли из единой [основы], то при разрушении более крупных [тел] из их [частей] составится множество малых, принимающих свойственные им очертания; и, напротив, если разъять много малых [тел] на отдельные треугольники, они образуют единое количество однородной массы, из которой возникнет единое большое [тело] иного вида. Вот как обстоит дело с их переходом друг в друга. Следующей нашей задачей будет изложить, какой вид имеет каждое тело и из сочетания каких чисел оно рождается. Hачнем с первого вида, состоящего из самых малых частей: его первоначало треугольник, у которого гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета. Если такие треугольники сложить, совмещая их гипотенузы, и повторить такое действие трижды, притом так, чтобы меньшие катеты и гипотенузы сошлись в одной точке как в своем центре, то из шестикратного числа треугольников будет рожден один, и он будет равносторонним. Когда же четыре равносторонних треугольника окажутся соединенными в три двугранных угла, они образуют один объемный угол, а именно такой, который занимает место вслед за самым тупым из плоских углов. Завершив построение четырех таких углов, мы получаем первый объемный вид, имеющий свойство делить всю описанную около него сферу на равные и подобные части. Второй вид строится из таких же исходных треугольников, соединившихся в восемь равносторонних треугольников и образующих каждый раз из четырех плоских углов по одному объемному; когда таких объемных углов шесть, второе тело получает завершенность. Третий вид образуется из сложения ста двадцати исходных треугольников и двенадцати объемных углов, каждый из которых охвачен пятью равносторонними треугольными плоскостями, так что все тело имеет двадцать граней, являющих собой равносторонние треугольники. Hа этом порождении и кончилась задача первого из первоначал. Hо равнобедренный треугольник породил природу четвертого [вида], и притом так, что четыре треугольника, прямые углы которых встречались в одном центре, образовывали квадрат; а из сложения шести квадратов возникало восемь объемных углов, каждый из которых гармонично охватывается тремя плоскими прямыми углами. Составившееся таким образом тело имело очертания куба, наделенного шестью квадратными плоскими гранями. В запасе оставалось еще пятое многогранное построение, его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца. На мой непрофессиональный взгляд у Платона увидел тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр и СФЕРУ. Построенную из кучи мелких треугольничков- раз многогранное построение Может увидел не то- поскольку сферой увлёкся?