Độc lập đại số

Trong đại số trừu tượng, tập hợp con  của một trường  được gọi là độc lập đại số trên trường con  nếu các phần tử của  không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức phi tầm thường nào với hệ số thuộc .

Đặc biệt, tập hợp một phần tử  độc lập đại số trên  khi và chỉ khi  là phần tử siêu việt trên . Tổng quát, mọi phần tử của một tập hợp  độc lập đại số trên  phải là phần tử siêu việt trên  cũng như mọi mở rộng trường trên  được tạo sinh bởi các phần tử còn lại của .

Ví dụ 
Hai số thực  và  là số siêu việt do chúng không phải là nghiệm của bất kỳ đa thức phi tầm thường nào với các hệ số đều là số hữu tỉ. Vì vậy, hai tập hợp  và  độc lập đại số trên trường số hữu tỉ.

Tuy nhiên, tập hợp  không độc lập đại số trên trường số hữu tỉ  vì đa thức phi tầm thường

có giá trị bằng 0 khi  và .

Tính độc lập đại số của một số hằng số đã biết 
Dù  và  đều là số siêu việt nhưng không rõ tập hợp  có độc lập đại số trên  hay không. Thậm chí, việc số  có phải là số vô tỉ hay không cũng chưa có lời giải. Vào năm 1996, Nesterenko đã chứng minh:

 Các số ,  và  (với  là hàm gamma) độc lập đại số trên .
 Các số ,  và  độc lập đại số trên .
 Hai số  và  độc lập đại số trên  với mọi số nguyên dương .

Các kết quả và vấn đề mở 
Định lý Lindemann–Weierstrass thường được áp dụng để chứng tỏ có một số tập hợp độc lập đại số trên . Định lý phát biểu rằng nếu  là các số đại số độc lập tuyến tính trên  thì  độc lập đại số trên .

Giả thuyết Schanuel nếu được chứng minh thành công sẽ thiết lập tính chất độc lập đại số của nhiều số, trong đó có  và :

Cho  là tập hợp gồm  số phức độc lập tuyến tính trên . Mở rộng trường  có bậc siêu việt nhỏ nhất là  trên .

Matroid đại số 

Cho một mở rộng trường  phi đại số, ta có thể áp dụng bổ đề Zorn để chứng minh rằng luôn luôn tồn tại một tập con độc lập đại số lớn nhất của  trên . Ngoài ra, mọi tập con độc lập đại số lớn nhất đều có lực lượng bằng nhau và lực lượng đó chính là bậc siêu việt của mở rộng trường.

Với mọi tập hợp hữu hạn  chứa những phần tử thuộc , các tập con độc lập đại số của  cùng thỏa mãn những tiên đề xác định các tập hợp độc lập của một matroid. Trong matroid này, hạng của một tập hợp là bậc siêu việt của tập đó và flat được tạo sinh bởi một tập hợp  là giao giữa  với trường . Một matroid có thể tạo sinh được theo cách này được gọi là matroid đại số. Hiện không có mô tả đặc trưng tốt nào về matroid đại số được biết đến, nhưng người ta cũng đã biết có một số matroid nhất định là phi đại số, trong đó matroid Vámos là bé nhất.

Nhiều matroid hữu hạn có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận trên một trường  mà trong đó các phần tử matroid tương ứng với các cột của ma trận. Một tập hợp phần tử khi đó được gọi là độc lập nếu tập hợp các cột tương ứng là độc lập tuyến tính. Mọi matroid có biểu diễn tuyến tính dạng này cũng có thể được biểu diễn dưới dạng matroid đại số bằng cách chọn một biến vô định cho mỗi dòng của ma trận và lấy các hệ số ma trận bên trong mỗi cột để gán một tổ hợp tuyến tính các phần tử siêu việt này cho mỗi phần tử matroid. Điều ngược lại là sai: không phải mọi matroid đại số đều có biểu diễn tuyến tính.

Xem thêm 
 Độc lập tuyến tính
 Số siêu việt
 Định lý Lindemann–Weierstrass
 Giả thuyết Schanuel

Tham khảo

Liên kết ngoài 

Đại số trừu tượng