Xây dựng mêtric Schwarzschild

Mêtric Schwarzschild miêu tả không-thời gian dưới ảnh hưởng của một khối vật chất đối xứng cầu có khối lượng lớn và không quay.

Quy ước và ký hiệu 

Trong bài này ta làm việc trong một hệ tọa độ với các tọa độ  được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 4. Ta bắt đầu với mêtric ở dạng tổng quát nhất (10 thành phần độc lập, mỗi thành phần là một hàm trơn 4 biến). Nghiệm cần tìm được giả thiết có dạng đối xứng cầu, tính tĩnh và chân không, các giả thiết này có thể được phát biểu như sau:

 Một không-thời gian đối xứng cầu là một không-thời gian bất biến dưới các phép quay và lấy ảnh phản chiếu.
 Một không-thời gian tĩnh có tất cả các thành phần mêtric độc lập với tọa độ thời gian  (sao cho ) và cấu trúc hình học của không-thời gian không đổi dưới phép đảo ngược thời gian .
 Một nghiệm chân không thỏa mãn . Từ phương trình trường Einstein (với hằng số vũ trụ bằng không), ta suy ra  vì thực hiện phép co  cho thấy .
 Kiểu dấu mêtric được sử dụng là (+,+,+,−).

Chéo hóa mêtric 

Chéo hóa mêtric là phép giản lược đầu tiên có thể thực hiện. Dưới phép chuyển đổi tọa độ, , tất cả các thành phần mêtric cần không đổi. Các thành phần mêtric  () thay đổi dưới phép chuyển đổi này thành:

 ()

Tuy nhiên, do  (các thành phần mêtric không đổi), ta suy ra:

 ()

Tương tự, với các phép chuyển đổi tọa độ  và  lần lượt suy ra:

 ()
 ()

Từ các điều trên ta có

 ()

và vì vậy mêtric phải có dạng

trong đó bốn thành phần mêtric đều độc lập với tọa độ thời gian  (theo giả thiết tĩnh).

Giản lược các thành phần 

Trên mỗi siêu mặt với  không đổi,  không đổi và  không đổi (nói cách khác trên mỗi đường theo phương bán kính),  chỉ được phụ thuộc vào  (do tính đối xứng cầu). Theo đó  là một hàm số một biến:

Lập luận tương tự với  ta có:

Trên các siêu mặt với  không đổi và  không đổi, mêtric phải có dạng mặt cầu 3 chiều:

Chọn một trong số các siêu mặt này (chẳng hạn như siêu mặt với bán kính ), các thành phần mêtric giới hạn ở siêu mặt này (ký hiệu bằng  và ) phải không đổi dưới các phép quay qua  và  (do giả thiết đối xứng cầu). So sánh các dạng của mêtric trên siêu mặt này ta được:

từ đó suy ra:

 và 

Tuy nhiên điều này cần đúng trên mỗi siêu mặt; vì vậy,

 và 

Từ đó suy ra mêtric có dạng như sau:

với  và  là các hàm số chưa biết theo biến . Lưu ý rằng nếu  hoặc  bằng không tại một điểm nào đó, mêtric sẽ kỳ dị tại điểm đó.

Tính các ký hiệu Christoffel 
Từ mêtric trên, ta tìm được các ký hiệu Christoffel, trong đó các chỉ số là . Dấu  ký hiệu đạo hàm hoàn toàn của một hàm số.

Áp dụng hệ phương trình trường để tìm A(r) và B(r) 

Để tìm  và , ta áp dụng phương trình trường Einstein. Trong trường hợp này chúng có dạng:

Vì vậy:

trong đó dấu phẩy được sử dụng để ký hiệu sự đổi vị trí chỉ số được dùng để đạo hàm. Độ cong Ricci sẽ mang tính chéo:

trong đó dấu phẩy là đạo hàm theo r của các hàm.

Chỉ có ba trong số các phương trình trường có nghiệm không tầm thường (phương trình thứ tư chỉ là  nhân với phương trình thứ ba) và sau khi rút gọn chúng lần lượt trở thành:

,

,

Trừ vế với vế phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai:

trong đó  là một hằng số thực khác không. Thay  vào phương trình thứ ba và biến đổi ta được:

có nghiệm tổng quát là:

vói hằng số thực khác không  nào đó. Vì vậy, mêtric cần tìm bây giờ sẽ có dạng:

Lưu ý rằng không-thời gian biểu diễn bởi mêtric trên có tính phẳng tiệm cận; khi , mêtric sẽ có xu hướng thu về mêtric Minkowski và đa tạp không-thời gian sẽ có cấu trúc tương tự không gian Minkowski.

Dùng phép xấp xỉ trường yếu tìm K và S 

Các đường trắc địa của mêtric (thu được khi  đạt cực trị) phải, với một giới hạn nào đó (chẳng hạn như tốc độ ánh sáng tiến về vô cực), nhất quán với các nguyên lý chuyển động Newton (chẳng hạn các nghiệm thu được bởi phương trình Lagrange). (Mêtric cũng phải thu về không gian Minkowski khi khối lượng nó biểu diễn bằng không.)

(trong đó  là động năng và  là thế năng trọng trường) Các hằng số  và  được quyết định hoàn toàn bởi phương pháp này hoặc các phương pháp tương tự; từ giới hạn trường yếu ta thu được:

trong đó  là hằng số hấp dẫn,  là khối lượng nguồn hấp dẫn và  là tốc độ ánh sáng. Vì

 and 

nên

 và 

Từ đó kết quả cuối cùng sẽ là:

Lưu ý rằng:

là định nghĩa của bán kính Schwarzschild với một khối vật chất với khối lượng , nên mêtric Schwarzschild cũng có thể viết dưới dạng:

từ đó cho thấy mêtric kỳ dị tại chân trời sự kiện (). Điểm kỳ dị này không có thật về mặt vật lý (điểm kỳ dị có thật nằm tại ), có thể cho thấy bằng một phép chuyển đổi tọa độ được lựa chọn hợp lý (ví dụ như hệ tọa độ Kruskal–Szekeres).

Đọc thêm 
 Karl Schwarzschild
 Mêtric Kerr
 Mêtric Reissner–Nordström

Thuyết tương đối rộng