Ma trận xác định

Ma trận đối xứng  chỉ gồm các số thực là xác định dương nếu giá trị của  là một số thực dương với mọi véct-tơ cột  khác véc-tơ không và  là véc-tơ hàng chuyển vị của .

Tổng quát, một ma trận Hermitian, là ma trận phức bằng với ma trận chuyển vị liên hợp của chính nó), được cọi là xác định dương nếu giá trị của  là dương với mọi véct-tơ cột  khác véc-tơ không và  là véc-tơ hàng ma trận chuyển vị liên hợp của .

Ma trận nửa xác định dương được định nghĩa tương tự, ngoại trừ yêu cầu là  và  có thể dương hoặc bằng không (nghĩa là không âm).
Các ma trận xác định âm và nửa xác định âm được định nghĩa tương tự. Một ma trận mà không nửa xác định âm và cũng không nửa xác định dương đôi khi được gọi là không xác định.

Nếu ma trận  là xác định dương (nửa xác định dương) thì  xác định âm (nửa xác định âm).

Liên hệ
Hệ quả rút ra từ các định nghĩa là ma trận xác định dương khi và chỉ khi ma trận có dạng xác định dương bậc hai hoặc dạng Hermitian.

Ma trận xác định đương hoặc nửa xác định dương có thể nhận biết bằng nhiều dấu hiệu.
Điều này chứng tỏ tầm quan trọng của khái niệm này trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau.
Ma trận  xác định dương nếu và chỉ nếu một trong số những điều kiện sau thoả mãn.
  ma trận tương đẳng với một ma trận đường chéo chỉ gồm các thực dương trên đường chéo.
  đối xứng (ma trận Hermitian), và tất cả các giá trị riêng đều là số thực dương.
  đối xứng (ma trận Hermitian), và tất cả các định thức con chính tắc (ma trận con cấp ) đều dương.
 Tồn tại ma trận nghịch đảo  cùng với ma trận chuyển vị liên hợp  sao cho .
Ma trận là nửa xác định dương nếu nó thoả mãn các điều kiện tương tự nhưng thay "dưong" bằng "không âm", "ma trận nghịch đảo" thay bằng "ma trận".

Ma trận thực xác định dương và nửa xác định dương là nền tảng cho tối ưu lồi vì mỗi hàm đa biến mà đạo hàm được hai lần thì ma trận Hessian của nó (ma trận của các đạo hàm riêng bậc hai) là xác định dương tại điểm , thì hàm đó lồi trong lân cận của ; Ngược lại, nếu hàm lồi trong lân cận quanh  thì ma trận Hessian là nửa xác định dương tại .

Tập các ma trận xác định dương là tập nón tập mở, trong khi tập các ma trận nửa xác định dương là tập nón tập đóng.

Một số tác giả sử dụng khái niệm tổng quát hơn khi xét cả những ma trận thực không đối xứng, hoặc ma trận phức không-Hermitian.

Định nghĩa

Kí hiệu
Ma trận Hermitan  nửa xác định dương còn được kí hiệu là .
Còn nếu nó xác định dương thì kí hiệu là .

Ví dụ
 Tất cả Ma trận đơn vị, chẳng hạn  xác định dương (như vậy cũng là nửa xác định dương). Trong trường hợp 2 chiều, với véc-tơ cột khác không bất kì

 Ma trận đối xứng sau cũng là xác định dương

Ta chứng minh điều đó với mọi véc-tơ cột  như sau

 Với mọi ma trận khả nghịch thực  thì  là ma trận xác định dương. Điều này chứng minh như sau, với mọi véc-tơ thực khác không  thì:

Phân rã
Cho ma trận Hermitan .  nửa xác định dương nếu nó có thể phân rã (phân tích) dưới dạng tích của một ma trận với chuyển vị liên hợp của chính nó

Nếu  là ma trận thực và  cũng thực thì tích trên có thể viết thành

Tính duy nhất xét theo toán tử đơn vị
Phân rã trên không duy nhất: nếu  với ma trận  kích thước ; Khi đó với mọi ma trận đơn vị  kích thước , cụ thể là , thì  với .

Tuy vậy, đó là khác biệt duy nhất giữa hai phân rã, nghĩa là phân rã là duy nhất xét theo toán tử đơn vị.
Cụ thể, nếu  và  có kích thước lần lượt là  và  thoả mãn , thì tồn tại ma trận  trực giao chuẩn, nghĩa là  sao cho .

Căn bậc hai
Ma trận Hermitan  nửa xác định dương nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận nửa xác định dương  thoả mãn .
Ma trận  là duy nhất và được gọi là căn bậc hai không âm của  kí hiệu là .
Ma trận căn bậc hai vốn là Hermitan nên nó thoả mãn .

Phân rã Cholesky
Ma trận nửa xác định dương Hermitan  có thể biểu diễn dưới dạng , với  là ma trận tam giác dưới với đường chéo không âm.
Đây được gọi là phân rã Cholesky.
Nếu  xác định dương thì các phần tử trên đường chéo của  dương.
Ngược lại, nếu  là ma trận tam giác dưới với đường chéo không âm (dương) thì  nửa xác định dương (xác định dương).

Một dạng phân rã gần gũi với phân rã Cholesky là phân rã LDL  trong đó  là ma trận tam giác đơn vị dưới .

Định thức bậc hai 

Định thức thuần bậc hai  có thể xác định bằng ma trận  thực  như sau:  với mọi  Không mất tính tổng quát, có thể giả sử rằng ma trận  đối xứng do thay  bằng  thì kết quả không thay đổi, nghĩa là .

Ma trận đối xứng  xác định dương nếu và chỉ nếu định thức bậc hai của nó là hàm lồi nghiêm ngặt.

Chính vì vậy, các ma trận xác định dương đóng vai trò quan trọng trong các bài toán tối ưu.

Tham khảo