Phương tích của một điểm

Trong hình học phẳng sơ cấp, phương tích của một điểm là một số thực thể hiện khoảng cách tương đối của điểm đó đối với một đường tròn cho trước. Khái niệm này được giới thiệu bởi nhà toán học Jakob Steiner năm 1826.

Một cách cụ thể, phương tích  của một điểm  đối với một đường tròn  với tâm  và bán kính  được định nghĩa bởi

 

Nếu  nằm bên ngoài đường tròn thì ,

nếu  nằm trên đường tròn thì , và

nếu  nằm bên trong đường tròn thì .

Do định lý Pythagoras, số  có ý nghĩa hình học đơn giản thể hiện trong sơ đồ bên phải: Đối với một điểm  nằm ngoài đường tròn thì  là bình phương khoảng cách theo tiếp tuyến  của điểm  tới đường tròn .

Những điểm có cùng phương tích đối với một đường tròn , tức là các đường đẳng giá trị , là các đường tròn đồng tâm với .

Steiner đã sử dụng phương tích của một điểm để chứng minh một vài khẳng định về đường tròn, ví dụ:

 Xác định một đường tròn, cắt bốn đường tròn đã cho với cùng một góc.
 Giải Bài toán của Apollonius
 Dựng các đường tròn Malfatti: Đối với một tam giác đã cho xác định ba đường tròn tiếp xúc nhau và mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác.
 Phiên bản hình học cầu của bài toán Malfatti: Tam giác nêu trên là một tam giác cầu.

Những công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các đường tròn là trục đẳng phương của hai đường tròn và tâm đẳng phương của ba đường tròn.

Sơ đồ phương tích là một tập hợp các đường tròn chia mặt phẳng thành các miền, một miền tương ứng với một đường tròn cho trước gồm những điểm có phương tích đối với đường tròn đó nhỏ hơn phương tích của tất cả các đường tròn khác.

Tổng quát hơn, nhà toán học Pháp Edmond Laguerre đã định nghĩa phương tích của một điểm đối với một đường cong đại số bất kỳ theo cách tương tự.

Tính chất hình học 
Ngoài những tính chất đã nêu trên, sau đây là một số tính chất sâu hơn:

Đường tròn trực giao 

Đối với một điểm bất kỳ  bên ngoài đường tròn  tồn tại hai tiếp điểm  nằm trên đường tròn , với những khoảng cách bằng nhau tới . Do đó đường tròn  với tâm  đi qua  cũng đi qua , và được gọi là cắt đường tròn  trực giao:

 Đường tròn với tâm  và bán kính  cắt đường tròn  trực giao.

Nếu bán kính  của đường tròn tâm  khác , ta có thể định nghĩa góc giao  giữa hai đường tròn, nhờ áp dụng định lý cosin (xem hình vẽ):

 
 

( và  là các bán kình và pháp tuyến với tiếp tuyến của đường tròn.)

Nếu  nằm bên trong đường tròn  thì  và  luôn khác .

Nếu góc  đã cho thì có thể tính bán kính  bằng cách giải phương trình bậc hai

 .

Định lý cát tuyến cắt nhau và định lý dây cung cắt nhau 

Đối với các định lý cát tuyến cắt nhau và định lý dây cung cắt nhau, phương tích của một điểm đóng vai trò là một bất biến:

 Định lý cát tuyến cắt nhau: Đối với điểm  nằm ngoài đường tròn  và từ đó vẽ cát tuyến  cắt  tại các giao điểm , khẳng định sau là đúng: , do đó tích này không phụ thuộc vào đường thẳng . Nếu  là là tiếp tuyến thì và khẳng định này được gọi là định lý tiếp tuyến-cát tuyến.
 Định lý dây cung cắt nhau: Đối với một điểm  nằm trong đường tròn  và các giao điểm  của một cát tuyến  của  thì khẳng định sau là đúng: , do đó tích này không phụ thuộc vào đường thẳng .

Trục đẳng phương 
Cho  là một điểm và  là hai đường tròn không đồng tâm với các tâm tương ứng  và các bán kính tương ứng . Điểm  có phương tích  đối với đường tròn . Tập hợp tất cả các điểm  với  là một đường thẳng được gọi là trục đẳng phương. Nó chứa những điểm có thể là điểm chung của hai đường tròn và vuông góc với đường nối tâm .

Chứng minh chung của định lý cát tuyến và định lý dây cung 

Cả hai định lý, và bao gồm cả định lý tiếp tuyến-cát tuyến, có thể được chứng minh đồng thời:

Cho  là một điểm với biểu diễn vectơ,  là một đường tròn với tâm ở gốc tọa độ và  là một vectơ đơn vị chỉ hướng bất kỳ. Các tham số   của các điểm chung của đường thẳng  (đi qua ) với đường tròn  có thể được xác định bằng cách thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình của đường tròn:

 

Từ định lý Viète có thể tìm ra:

 . (không phụ thuộc vào  !)

 là phương tích của  đói với đường tròn .

Bởi vì  ta có những kết luận sau đây đối với các điểm :

 , nếu  nằm ngoài đường tròn,
 , nếu  nằm trong đường tròn ( có dấu khác nhau).

Trong trường hợp  thì đường thẳng  là một tiếp tuyến và  là bình phương khoảng cách theo phương tiếp tuyến từ điểm  tới đường tròn .

Phương tích của một điểm đối với một mặt cầu 
Khái niệm phương tích của một điểm đối với một đường tròn có thể được mở rộng cho một mặt cầu. Các định lý cát tuyến và dây cung cũng đúng đối với một mặt cầu, và có thể được chứng minh tương tự trường hợp đường tròn.

Tham khảo 

 .
 .
 
 .

Đọc thêm

Liên kết ngoài 

 Jacob Steiner and the Power of a Point at Convergence 
 
 Intersecting Chords Theorem at cut-the-knot
 Intersecting Chords Theorem With interactive animation
 Intersecting Secants Theorem With interactive animation

Hình học phẳng Euclid
Hình học giải tích