Đẳng cấu nhóm

Trong đại số trừu tượng, đẳng cấu nhóm là hàm thiết lập quan hệ tương ứng một-một giữa hai nhóm trong đó vẫn bảo toàn được phép toán nhóm. Nếu tồn tại đẳng cấu giữa hai nhóm, thì hai nhóm đó được gọi là đẳng cấu cùng nhau. Từ góc nhìn của lý thuyết nhóm, các nhóm đẳng cấu cùng nhau có chung tính chất và không cần phải phân biệt.

Định nghĩa và ký hiệu 

Cho hai nhóm  và  một đẳng cấu nhóm từ  tới  là một đồng cấu nhóm có tính song ánh từ  đến  Nói rõ ra, đẳng cấu nhóm là một song ánh  sao cho với mọi  và  thuộc  đẳng thức sau được thỏa mãn

Hai nhóm  và  đẳng cấu với nhau nếu tồn tại đẳng cấu giữa chúng. Khi đó ta thường ký hiệu là

Để gọn hơn, ta thường loại bỏ dấu ngoặc và phép toán của mỗi nhóm

Đôi khi, ta có thể viết là  Song khi nào viết được như vậy mà không gây khó hiểu dựa vào bối cảnh bài viết. Lấy ví dụ, dấu bằng không nên dùng khi hai nhóm đều là nhóm con của một nhóm nào đó.

Ngược lại, khi cho nhóm  và tập  cùng với song ánh  ta có thể tạo nhóm    bằng cách định nghĩa

Nếu  và  thì song ánh này trở thành tự đẳng cấu.

Theo trực giác, các nhà lý thuyết nhóm thường xem hai nhóm đẳng cấu với nhau như sau: với mọi phần tử  thuộc nhóm  tồn tại phần tử  thuộc  sao cho  "hoạt động hệt như"  (có nghĩa là  có các phép toán giống hệt với ). Ví dụ chẳng hạn, nếu  sinh  thì phần tử  cũng vậy với nhóm .

Đẳng cấu nhóm có thể định nghĩa tương đương là một đồng cấu nhóm khả nghịch (nghịch đảo của một đồng cấu nhóm song ánh cũng là đồng cấu nhóm]].

Các ví dụ 
 Nhóm của tất cả số thực dưới phép cộng, , đẳng cấu với nhóm số thực dương dưới phép nhân :
 qua đẳng cấu .
 Nhóm  của các số nguyên với phép cộng là nhóm con của . Nhóm thương  đẳng cấu với nhóm  của các số phức có giá trị tuyệt đối bằng 1 (dưới phép nhân):

 Nhóm tứ Klein đẳng cấu với tích trực tiếp của hai nhóm , hay được viết là  Một ký hiệu khác là  bởi nó là nhóm nhị diện.
 Tổng quát lại, với mọi  lẻ,  đẳng cấu với tích trực tiếp của  và 
 Nếu  là nhóm cyclic vô hạn, thì  đẳng cấu với nhóm các số nguyên cùng phép cộng. Từ góc nhìn đại số, điều này có nghĩa tập các số nguyên cùng phép cộng là nhóm cyclic vô hạn "duy nhất".

Một số cặp nhóm có thể được chứng minh đẳng cấu với nhau, dựa trên tiên đề chọn, Song bài chứng minh sẽ không chỉ ra cách xây một đẳng cấu cụ thể. Các ví dụ bao gồm:
 Nhóm  đẳng cấu với nhóm  của các số phức dưới phép cộng.
 Nhóm  của các số phức khác không với phép nhân đẳng cấu với nhóm  kể trên trong ví dụ.

Các tính chất

Nhân của đẳng cấu từ  đến  luôn là {eG}, trong đó eG là phần tử trung hòa của nhóm 

Nếu  và  đẳng cấu với nhau, thì  là nhóm Abel khi và chỉ khi  là nhóm Abel.

Nếu  là đẳng cấu từ  đến  thì với bất kỳ  , cấp của  bằng với cấp của 

Nếu  và  đẳng cấu với nhau , thì  là nhóm hữu hạn địa phương khi và chỉ khi  cũng hữu hạn địa phương.

Số các nhóm phân biệt (xê xích đẳng cấu) có cấp  được cho bởi dãy số A000001 trong OEIS. Các giá trị đầu tiên là 0, 1, 1, 1 và 2 nghĩa là 4 là cấp nhỏ nhất có hai nhóm phân biệt.

Nhóm cyclic 
Tất cả các nhóm cyclic cấp n đẳng cấu với  trong đó  ký hiệu phép cộng mô đun 

Đặt  là nhóm cyclic và  là cấp của  Gọi  là phần tử sinh của ,  khi đó bằng với  
Ta sẽ chứng minh rằng

Định nghĩa
 sao cho  
Dễ thấy  có tính song ánh và
 
từ đó chứng minh được

Hệ quả 

Từ định nghĩa, ta sẽ chứng minh được  sẽ ánh xạ phần tử trung hòa của  sang phần tử trung hòa của  

và nghịch đảo sang nghịch đảo

tổng quát hơn, từ lũy thừa bậc n sang lũy thừa bậc n,
 
và ánh xạ nghịch  cũng là đồng cấu nhóm.

Quan hệ "đẳng cấu với" là quan hệ tương đương. Nếu  là đẳng cấu nhóm giữa hai nhóm  và  thì bất cứ cái gì đúng về cấu trúc của nhóm  cũng đúng với cấu trúc của nhóm  thông qua  và ngược lại.

Tự đẳng cấu nhóm 

Một đẳng cấu nhóm  sang chính nó được gọi là tự đẳng cấu của nhóm. Do vậy, nó là song ánh  sao cho

Ảnh dưới tự đẳng cấu của lớp liên hợp luôn là lớp liên hợp.

Hợp của hai tự đẳng cấu cũng là tự đẳng cấu, do đó với phép hợp là phép toán nhóm, tập các tự đẳng cấu của một nhóm lập thành nhóm các tự đẳng cấu của nhóm  ký hiệu bởi , hay được gọi là nhóm tự đẳng cấu của

Xem thêm
 Song ánh

Tham khảo

Lý thuyết nhóm
Cấu xạ