Dấu hiệu hội tụ

Trong toán học, các dấu hiệu hội tụ (hay tiêu chuẩn hội tụ) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn .

Danh sách các dấu hiệu hội tụ

Giới hạn của các số hạng 
Nếu giới hạn của dãy các số hạng của chuỗi là không xác định hoặc khác 0, tức là  thì chuỗi phải là phân kỳ. Theo nghĩa này, dãy các tổng riêng là Cauchy chỉ khi giới hạn này là tồn tại và bằng 0. Tuy nhiên, dấu hiệu này không chỉ ra một chuỗi có hội tụ hay không nếu thỏa mãn giới hạn của các số hạng bằng 0.

Chứng minh 
Đặt  Do chuỗi  hội tụ nên dãy  là dãy cơ bản. Theo đó với mỗi số thực  tồn tại số  sao cho với mọi  ta có  hay  Điều này chứng tỏ

Dấu hiệu tỉ số 
Dấu hiệu này còn được gọi là tiêu chuẩn d'Alembert.

 Xét hai giới hạn
 
 Nếu  thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu  thì chuỗi phân kỳ. Nếu  thì chưa thể có kết luận, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

Chứng minh 
Đặt  Nếu  thì theo định nghĩa giới hạn trên của dãy số tồn tại một số  dương sao cho  và số  sao cho  hay  với mọi  Từ đây ta truy toán được  với mọi  Khi đó

Chuỗi  là chuỗi hình học với công sai  suy ra ta có đẳng thức  do đó

Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ngược lại nếu  thì theo định nghĩa giới hạn dưới của dãy số ta tìm được số dương  sao cho  và tồn tại  sao cho  đồng thời  với mọi  Do  nên  khi , do đó  khi , do đó dãy  không hội tụ về  nên chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn của các số hạng.

Dấu hiệu căn 
Dấu hiệu này còn được gọi là dấu hiệu căn bậc n hay tiêu chuẩn căn Cauchy.

 Đặt
 
 trong đó  ký hiệu cho giới hạn trên (có thể là ; nếu tồn tại giới hạn nó là cùng một giá trị).
 Nếu r < 1 thì chuỗi hội tụ, nếu lớn hơn thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1 thì chưa thể có kết luận từ dấu hiệu căn, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ.
Dấu hiệu căn là mạnh hơn dấu hiệu tỉ số: trong khi dấu hiệu tỉ số có thể xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn thì dấu hiệu căn cũng xác định được, nhưng đảo lại không đúng. Ví dụ, với chuỗi

 1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 +... = 4,

sự hội tụ được suy ra từ dấu hiệu căn nhưng dấu hiệu tỉ số lại không kết luận được.

Chứng minh
Nếu  thì tồn tại số  và  sao cho  hay  với mọi . Khi đó  nên suy ra được chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ngược lại, nếu có vô hạn  sao cho  thì  với vô hạn , khi đó chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn của các số hạng.

Tiêu chuẩn tích phân 
Chuỗi có thể được so sánh với một tích phân để xét sự hội tụ hay phân kỳ. Cho  là một hàm số không âm và đơn điệu giảm sao cho . Nếu tích phân vô địnhlà hữu hạn thì chuỗi hội tụ. Nhưng nếu tích phân trên là phân kỳ thì chuỗi cũng phân kỳ. Nói cách khác chuỗi  hội tụ khi và chỉ khi tích phân hội tụ.

Dấu hiệu p-chuỗi 
Một hệ quả thường được sử dụng của tiêu chuẩn tích phân là dấu hiệu p-chuỗi. Cho số . Vậy thì chuỗi  hội tụ khi và chỉ khi .

Trường hợp  ta có chuỗi điều hòa, là một chuỗi phân kỳ. Trường hợp  là bài toán Basel và chuỗi hội tụ đến . Tổng quát, với , chuỗi bằng hàm zeta Riemann áp dụng với  tức là .

Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp 
Nếu chuỗi  là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và các số hạng  với n đủ lớn, thì chuỗi  cũng hội tụ tuyệt đối.

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn 
Nếu , (tức là mỗi phần tử của hai dãy là dương) và giới hạn  tồn tại, hữu hạn và khác 0 thì  phân kỳ khi và chỉ khi  phân kỳ.

Nói cách khác, các chuỗi trên là cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Tiêu chuẩn Cauchy nén 
Cho  là một dãy dương không tăng. Vậy thì tổng vô hạn  hội tụ khi và chỉ khi tổng  hội tụ. Hơn nữa, nếu chúng hội tụ thì bất đẳng thức  được thỏa mãn.

Dấu hiệu hội tụ tuyệt đối 
Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối thì đều hội tụ. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, những chuỗi như vậy gọi là chuỗi hội tụ có điều kiện. Đối với những chuỗi số thực hội tụ có điều kiện ta có thể sắp xếp lại các  sao cho ta được chuỗi mới  hội tụ về bất kỳ số thực nào hoặc phân kỳ, đây chính là định lý chuỗi Riemann. Do đó khi làm việc với các chuỗi ta không được sắp xếp lại các  nếu chưa xác định được chuỗi có hội tụ tuyệt đối không vì nó có thể tạo ra một chuỗi mới hội tụ hoặc phân kỳ.

Chứng minh 
Đặt  và . Dãy  là dãy cơ bản nên với mỗi  tồn tại số nguyên dương  sao cho với mọi  ta có

trong đó bất đẳng thức sau cùng đúng do bất đẳng thức tam giác. Điều này chứng tỏ dãy  cũng là dãy cơ bản nên chuỗi  hội tụ.

Dấu hiệu Abel 
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

  là một chuỗi hội tụ,
  là một dãy đơn điệu, và
  bị chặn.

Vậy thì chuỗi  cũng hội tụ.

Dấu hiệu Dirichlet 
Giả sử có dãy số thực  và dãy phức  thoả mãn

 Dãy  đơn điệu và .
 Tồn tại hằng số  sao cho  với mọi số nguyên dương .
Khi đó chuỗi  hội tụ.

Chứng minh 
Đặt  và . Theo khai triển Abel ta có

Do dãy  bị chặn nên  khi . Theo định nghĩa của chuỗi ta có

Theo bất đẳng thức tam giác ta có

Không mất tính tổng quát giả sử dãy  giảm ngặt, vì nếu không ta có thể thay  bởi . Lúc này  nên chuỗi  là chuỗi lồng nhau, khi đó ta dễ dàng có

và điều này chứng tỏ rằng chuỗi  hội tụ tuyệt đối nên chuỗi  cũng hội tụ.

Tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi đan dấu 
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn đối với dãy , đó là

  và
 dãy  đơn điệu.

Vậy  và  là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn Leibniz.
Tiêu chuẩn này chỉ là một hệ quả của tiêu chuẩn Dirichlet ở trên, bởi vì ta có thể chọn

Đối với các chứng minh khác, bạn đọc có thể xem tại đây.

Dấu hiệu hội tụ Raabe–Duhamel 
Cho dãy .

Định nghĩa dãy

 

Nếu giới hạn

 

tồn tại thì có ba khả năng:

 nếu L > 1 thì chuỗi hội tụ
 nếu L < 1 thì chuỗi phân kỳ
 còn nếu L = 1 thì chưa thể kết luận.

Một công thức khác của dấu hiệu này như sau. Cho Σ là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu b > 1 và tồn tại một số tự nhiên K sao cho

 

với mọi n > K thì chuỗi Σan hội tụ.

Dấu hiệu Bertrand 
Cho { an } là một dãy số dương.

Định nghĩa

 

Nếu tồn tại giới hạn

 

thì có ba khả năng:

 nếu L > 1 thì chuỗi Σan hội tụ
 nếu L < 1 thì chuỗi Σan phân kỳ
 còn nếu L = 1 thì chưa thể kết luận.

Dấu hiệu Gauss 
Cho { an } là một dãy số dương.  Nếu  với một số β > 1, thì  hội tụ nếu  và phân kỳ nếu .

Chú ý 

Đối với một số loại chuỗi cụ thể thì có thể các dấu hiệu hội tụ chuyên biệt hơn, thí dụ đối với chuỗi Fourier có dấu hiệu Dini.

Thí dụ 
Xét chuỗi

Theo tiêu chuẩn Cauchy nén, (*) hội tụ hữu hạn khi

 

cũng hội tụ hữu hạn. Bởi

 

(**) là một chuỗi hình học với công bội . (**) hội tụ hữu hạn khi công bội của nó nhỏ hơn 1 (tức là ). Vì thế, (*) hội tụ hữu hạn khi và chỉ khi .

Sự hội tụ của tích 
Trong khi hầu hết các dấu hiệu đề cập đến sự hội tụ của các chuỗi vô hạn, chúng cũng có thể được sử dụng để cho thấy sự hội tụ hay phân kỳ của các tích vô hạn. Điều này có được là do định lý sau: Cho  là một dãy số dương. Vậy thì tích vô hạn  hội tụ khi và chỉ khi chuỗi  hội tụ. Và tương tự, nếu thỏa mãn , thì  tiến đến một giới hạn khác 0 khi và chỉ khi chuỗi  hội tụ.

Có thể chứng minh điều đó bằng cách lấy logarit của tích và dùng dấu hiệu so sánh giới hạn.

Xem thêm 

 Quy tắc l'Hôpital
 Quy tắc shift

Tham khảo

Đọc thêm

Liên kết ngoài 

 Flowchart for choosing convergence test 

Dấu hiệu hội tụ
Giải tích toán học
Chuỗi toán học