Ideal nguyên tố

Trong đại số, ideal nguyên tố là tập con của vành thỏa mãn nhiều tính chất giống như là các số nguyên tố trong vành các số nguyên.

Ideal nguyên tố trong các vành giao hoán

Định nghĩa 
Một ideal  của một vành giao hoán  được gọi là ideal nguyên tố nếu nó có hai tính chất sau:

 Nếu  và  là hai phần tử của  sao cho tích  là phần tử của , thì  là phẩn tử của  hoặc  là phần tử của .
  không phải là toàn bộ vành  
Định nghĩa này là sự tổng quát của tính chất của số nguyên tố (hay được biết tới là bổ đề Euclid) rằng, với số nguyên tố  là uớc số của tích  (với  và  là hai số nguyên) thì hoặc  là ước của , hoặc  là ước của . Từ đó, số nguyên  là số nguyên tố khi và chỉ khi  là số nguyên tố. 

Tập tất cả các ideal nguyên tố của vành  được gọi là spectrum và kí hiệu là .

Ví dụ và phản ví dụ 

 Với  tập hợp các số chẵn là một ideal nguyên tố, được ký hiệu là .
 Trên miền nguyên, ideal chính sinh bởi phần tử nguyên tố là một ideal nguyên tố. Nói rộng hơn, một ideal chính là ideal nguyên tố khi và chỉ khi phần tử sinh là nguyên tố. Trong vành nhân tử hóa duy nhất, một ideal nguyên tố khác không đều chứa một phần tử nguyên tố.
 Trong một vành , một ideal tối đại là một ideal  tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các ideal thực sự của , tức là  được chứa trong chính xác hai ideal của :  và . Một ideal tối đại thì là nguyên tố, nhưng chiều ngược lại nhìn chung không đúng.
 Nếu  là một đa tạp trơn,  là vành các hàm thực trơn trên  và  là một điểm của  thì tập hợp tất cả các hàm trơn  với  tạo thành một ideal tối đại, và do đó nguyên tố, của .
 Lấy  là vành đa thức hai biến hệ số phức, khi này ideal sinh bởi đa thức elliptic  là một ideal nguyên tố.
 Trong vành đa thức hệ số nguyên , ideal  không phải là ideal nguyên tố, do đa thức  thuộc ideal này nhưng không có nhân tử bậc nhất nào thuộc ideal nói trên.

Tính chất 

 Một ideal  của một vành  (có đơn vị) là nguyên tố khi và chỉ khi vành thương  là một miền nguyên. Nói riêng, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi  là một ideal nguyên tố.
 Trong vành giao hoán  có ít nhất hai phần tử, nếu mọi ideal thật sự của  đều nguyên tố thì  là một trường.
 Bằng hệ quả của định lý Krull hoặc bổ đề Zorn, do mọi vành đều tồn tại ít nhất một ideal cực đại, nên mọi vành  đều tồn tại ít nhất một ideal nguyên tố.
 Nghịch ảnh của một ideal nguyên tố qua một đồng cấu vành là ideal nguyên tố. Tuy nhiên, nghịch ảnh của ideal cực đại thì chưa chắc cực đại.
 Tổng của hai ideal nguyên tố không nhất thiết là nguyên tố. Ví dụ, vành  có các ideal nguyên tố  và . Tổng của chúng là  không phải là nguyên tốt:  nhưng hai thừa số của nó lại không nằm trong .
 Ideal nguyên tố không giống với số nguyên tố ở điểm, có những ideal mặc dù không thể phân tích thành giao của một số các ideal con nhưng không phải là ideal nguyên tố. Ví dụ, ideal  trong vành đa thức hai biến hệ số hữu tỉ  dù không thể phân tích được, nhưng không là ideal nguyên tố.

Ideal nguyên tố trong các vành không giao hoán 
Các ideal hai phía nguyên tố trong một vành không giao hoán có thể được định nghĩa như sau: một ideal (hai phía)  của một vành  (không nhất thiết giao hoán) được gọi là một ideal nguyên tố nếu  và với mọi ideal (hai phía) , ta có: .

Tham khảo

Thư mục 

 Goodearl, K. R., Warfield, R. B., 2004, An Introduction to noncommutative Noetherian rings
 Kaplansky, Irving, 1970, Commutative rings
 Lam, T. Y., 2001, A first course in non commutative rings
 Lang, Serge, 2002, Algebra

Liên kết ngoài 

Lý thuyết vành