Không gian thương (tô pô)

Trong tô pô và các ngành liên quan của toán học, không gian thương (quotient topology) của một không gian tô pô theo một quan hệ tương đương (hai ngôi) là một không gian tô pô mới, được xây dựng bằng cách gán tô pô thương cho tập hợp thương tương ứng, tức là tô pô mịn nhất sao cho các phép chiếu chuẩn tắc trở thành liên tục. Nói cách khác, một tập hợp trong không gian thương là mở khi và chỉ khi tạo ảnh của nó là mở trong không gian ban đầu.

Nói một cách trực quan, các điểm tương đương với nhau trong quan hệ tương đương sẽ được dính lại thành một điểm trong không gian thương. Ví dụ, nếu ta coi hai điểm đối xứng trên mặt cầu là tương đương với nhau, ta sẽ thu được một không gian thương là mặt phẳng xạ ảnh.

Định nghĩa 
Cho  là một không gian tô pô, và  là một quan hệ tương đương trên  nhắc lại, một quan hệ toán học 2 ngôi  trên một tập  là một tập con của , nghĩa là

 . Tập hợp thương  là tập hợp gồm tất cả các lớp tương đương trên  theo quan hệ  . Thông thường, lớp tương đương của một phần tử  được ký hiệu là , hoặc , hoặc , nghĩa là: 
      

 
 Không gian thương  được trang bị tô pô thương:

là tô pô mà các tập mở là các tập  thỏa mãn tập  là mở trong .

 Một cách tương đương, các tập mở của không gian thương  là các tập  sao cho dưới toàn ánh

 

          
nghịch ảnh  là mở trong .

 Tô pô thương là tô pô cuối (final topology) của tập hợp thương theo ánh xạ  .

Ánh xạ thương (quotient map) 

 Một ánh xạ   được gọi là ánh xạ thương (identification map) nếu nó toàn ánh và .

Một cách tương đương,   là ánh xạ thương   toàn ánh và    đươc trang bị tô pô cuối cùng theo .

 Cho  là một không gian tô pô với quan hệ tương đương  . Khi đó ánh xạ chính tắc (canonical map)   là một ánh xạ thương.

Ví dụ 

 Phép dán (gluing).  Các nhà tô pô học thường nói về việc dán các điểm lại với nhau. Cho không gian tô pô , dán 2 điểm   trong  có nghĩa là ta xét không gian thương thu được từ quan hệ tương đương  hoặc  hoặc .
 Xét hình vuông đơn vị với quan hệ tương đương    sinh bởi điều kiện tất cả các điểm biên đều tương đương, do đó ta lập được 1 lớp tương đương gồm tất cả điểm biên của . Khi đó ,  với  là một mặt cầu bất kỳ.

 Không gian mở rộng (adjunction space).   Tổng quát, cho không gian tô pô và không gian con  với  . Ta có thể gộp tất cả phần tử của  thành một lớp tương đương và tất cả các phần tử của  thành một lớp tương đương., nghĩa là

     

     
Khi đó, ta nhận được không gian thương được kí hiệu là .  Mặt cầu 2 chiều đồng phôi với một hình tròn đóng, với biên được xác định bởi đúng một điểm: .

 Xét không gian  với tô pô Euclide, với quan hệ tương đương . Khi đó  đồng phôi với đường tròn đơn vị  qua phép đồng phôi  .
 Tổng quát hóa của ví dụ trước:  cho  là một nhóm tô pô tác động liên tục lên không gian tô pô . Xét quan hệ tương đương trong  bởi  , với   là quỹ đạo của  bởi tác động liên tục của  lên tập hợp tất cả nhóm con của . Khi đó  được gọi là không gian quỹ đạo (orbit space), kí hiệu là . Trong ví dụ trước,  tác động tịnh tiến lên . Không gian quỹ đạo  đồng phôi với .

Ghi chú:    là một khái niệm vẫn còn mơ hồ. Nếu hiểu theo nghĩa  là một nhóm với phép cộng tác động lên  thì không gian thương đồng phôi với đường tròn. Nếu hiểu theo nghĩa   là một không gian con của  thì không gian thương đồng phôi với vô hạn đếm được cánh hoa giao nhau tại 1 điểm.

Tính chất 

 Cho  là một không gian thương của . Ánh xạ thương  ,  là đặc trưng trong các toàn ánh do tính chất sau:

cho không gian tô pô  và  , khi đó  liên tục  liên tục.

 Không gian thương  cùng với ánh xạ thương   được đặc trưng bởi tính phổ dụng (universal property) : nếu ánh xạ là liên tục và thỏa mãn ,  thì khi đó    sao cho  .           Ta nói  là một ánh xạ hạn chế thương.   Do đó, các ánh xạ liên tục được xác định trên  chính là các ánh xạ được sinh bởi các ánh xạ liên tục được xác định trên  theo quan hệ tương đương (theo nghĩa là chúng gửi các phần tử tương đương vào cùng một tạo ảnh). Tiêu chí này được sử dụng nhiều khi nghiên cứu không gian thương.
 Cho toàn ánh liên tục . Ta có thể đặt câu hỏi với điều kiện nào thì  là một ánh xạ thương ? Điều kiện đủ là  là ánh xạ mở (điều này tương đương với  là ánh xạ đóng).  Lưu ý rằng đây là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần (nhắc lại: cho 2 mệnh đề P và Q, nếu P đúng  Q đúng thì P là điều kiện đủ của Q và Q là điều kiện cần của P)  Ta có thể dễ dàng xây dựng các ví dụ về ánh xạ thương mà không phải là ánh xạ mở.   Đối với các nhóm tô pô, ánh xạ thương là ánh xạ mở.

Tương quan với các khái niệm tô pô khác 
Sự tách (separation)

 Nói chung, hệ tiên đề tách là không đúng đối với các không gian thương. Không gian thương  không nhất thiết kế thừa các tính chất tách của , và  có thể có những tính chất tách mà  không có.
  là không gian   mọi lớp tương đương là đóng trong .
 Nếu ánh xạ thương là ánh xạ mở, thì   là Hausdorff   là một tập con đóng trong không gian tích  với  là tô pô tích  (nhác lại, một quan hệ toán học 2 ngôi  trên một tập  là một tập con của , nghĩa là  ).

Tính liên thông (connectedness)

 Nếu một không gian là liên thông (hoặc liên thông đường) thì mọi không gian thương của nó cũng liên thông (hoặc liên thông đường)
 Nếu một không gian là đơn liên (hoặc co rót được-contractible space) thì không gian thương của nó không nhất thiết có các tính chất đó.

Tính compact

 Nếu một không gian là compact thì mọi không gian thương của nó cũng compact.
 Nếu một không gian là compact địa phương thì không gian thương của nó không nhất thiết compact địa phương.

Số chiều (Dimension)

 Số chiều tô pô của một không gian thương có thể lớn hơn hoặc bé hơn số chiều của không gian ban đầu. Đường cong phủ không gian cho ta các ví dụ như vậy.

Thư mục

Liên kết ngoài 

Không gian thương  tại omarine

Đọc thêm 

Tô pô chung
Toán học tô pô