Danh sách vấn đề mở trong toán học

Danh sách các vấn đề mở trong toán học

Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung 
Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài toán mở. Trong một số trường hợp, danh sách còn được đi kèm với giải thưởng cho ai giải nó đầu tiên.

Các bài toán thiên niên kỷ
Trong 7 bài toán thiên niên kỷ gốc được đặt bởi viện toán học Clay vào 2000, còn 6 bài vẫn chưa được giải vào thời điểm tháng 6, 2022:

 Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer
 Giả thuyết Hodge
 Sự tồn tại và độ trơn của Navier–Stokes
 P so với NP
 Giả thuyết Riemann
 Sự tồn tại và khoảng cách khối lượng của Yang–Mills

Bài toán thứ 7, giả thuyết Poincaré, đã được giải; tuy nhiên, dạng tổng quát được gọi là giả thuyết Poincaré trơn 4-chiều hỏi rằng liệu một mặt cầu tôpô 4 chiều có hai hay nhiều hơn cấu trúc trơn không tương đương nhau được không?- đến nay vẫn chưa giải được.

Trong hình học

Hình học đại số
 Giả thuyết Dixmier: mọi tự đồng cấu của đại số Weyl đều là tự đẳng cấu.
 Giả thuyết Tate trên mối liên hệ giữa chu trình đại số trên đa tạp đại số và biểu diễn Galois trên các nhóm étale đối đồng điều.
 Giả thuyết Manin trên phân phối các điểm hữu tỉ của chiều cao bị chặn của một số tập con trong các đa tạp Fano
 Giả thuyết Maulik–Nekrasov–Okounkov–Pandharipande trên tương đương giữa lý thuyết Gromov–Witten và lý thuyết Donaldson–Thomas
 Giả thuyết Jacobi: nếu một ánh xạ đa thức trên trường đặc số không có định thức Jacobi là hằng số khác không, thì nó phải có hàm ngược chính quy (chính quy tức là có thành phần đa thức trong đó).
 Giả thuyết Nakai: nếu một đa tạp đại số phức có vành các toán tử vi phân được sinh bởi các dẫn xuất bên trong của nó, thì nó phải trơn.

Câu hỏi mở
 Bài toán hình vuông nội tiếp

Hình học vi phân
 Nhiều giả thuyết Hopf liên hệ giữa độ cong với đặc số Euler của các đa tạp Riemann có số chiều lớn
 Giả thuyết Yau trên giá trị riêng đầu tiên rằng giá trị riêng cho toán tử Laplace–Beltrami trên siêu phẳng tối tiểu của  được nhúng là .

Hình học rời rạc
 Giải bài toán cái kết có hậu cho  tuỳ ý
 Giả thuyết Kusner: Chỉ có tối đa  điểm được đặt cách đều nhau trong các không gian?

Hình học Euclid 
 Bài toán lạc trong rừng của Bellman – Tìm đường đi ngắn nhất chạm tới biên của một hình cho trước khi không biết điểm bắt đầu và hướng?
 Giả thuyết Falconer: Các tập hợp có số chiều Hausdorff lớn hơn  trong  phải có tập khoảng cách có độ đo Lebesgue khác không?
 Bài toán di chuyển sofa – Tìm diện tích lớn nhất của hình có thể di chuyển qua một hành lang hình chữ L có độ rộng bằng một?

Trong đại số  
 Giả thuyết Bombieri-Lang trên mật độ các điểm hữu tỉ trên mặt phẳng đại số và đa tạp đại số định nghĩa trên các trường số và các mở rộng trường của chúng.
 Giả thuyết Köthe: Nếu vành có ideal lũy linh duy nhất là {0} thì nó không có ideal 1 phía lũy linh khác ngoại trừ {0}.
 Giả thuyết Sendov: Nếu một đa thức phức bậc lớn hơn hoặc bằng 2 có tất cả các nghiệm của nó nằm trong hình tròn đơn vị đóng thì mỗi nghiệm của nó cách với một số điểm cực trị với khoảng cách bằng 1.
 Bài toán nhúng Connes trong lý thuyết đại số Von Neumann,
 Giả thuyết Hadamard rằng với mọi số nguyên k, tồn tại ma trận Hadamard với bậc 4k.
 Giả thuyết cơ sở Rota: Xét các matroid hạng  cùng với  cơ sở không giao nhau , ta có thể tạo ma trận kích thước  trong đó các hàng là  và các cột là các cơ sở.

Lý thuyết nhóm 

 Liệu có vô số nhóm Leinster?
 Tìm các điều kiện cho các số tự nhiên m, n sao cho nhóm Burnside tự do  hữu hạn? Cụ thể hơn, liệu  có hữu hạn?

Trong khoa học máy tính 
 Bài toán P so với NP

Trong lý thuyết số

Giả thuyết, bài toán mở
 Giả thuyết abc
 Giả thuyết Pillai: cho bất kỳ , phương trình  có hữu hạn số nghiệm khi  không cùng bằng .
 Bài toán Erdős–Moser: Liệu có nghiệm nguyên nào khác ngoại trừ  cho phương trình Erdős–Moser?
 Bài toán Brocard: Liệu có nghiệm nguyên nào khác ngoại trừ  cho phương trình ?
 Số nguyên nào có thể viết thành tổng của ba số lập phương?
 Giả thuyết Goormaghtigh trên các nghiệm cho phương trình  với  và .
 Giả thuyết Grimm: Cho dãy hợp số liên tiếp, liệu có thể gán mỗi hợp số một ước nguyên tố phân biệt?
 Giả thuyết Hall: Cho bất kỳ , tồn tại một số hằng số  sao cho  hoặc  trong đó .
 Giả thuyết Scholz: Độ dài của xích cộng ngắn nhất cho ra  có cận trên bằng với  cộng độ dài của xích cộng ngắn nhất cho .
 Bài toán Hilbert thứ 11: Phân loại các dạng toàn phương trên trường số đại số
 Bài toán Hilbert thứ 12: Mở rộng định lý Kronecker–Weber trên mở rộng Abel của  cho bất kỳ trường số

Câu hỏi mở
 Liệu có vô số số hoàn hảo?
 Liệu có tồn tại số hoàn hảo lẻ?
 Liệu có vô số số Giuga?
 Liệu có vô số số bạn bè?
 Liệu có cặp số bạn bè nào nguyên tố cùng nhau không?
 Liệu có tồn tại số lạ lẻ?
 Liệu có số gần hoàn hảo thiếu nào không phải luỹ thừa của hai?
 Liệu có thể xây dựng ma trận kì ảo từ 9 số chính phương phân biệt?
 Có 65, 66 hay 67 số idoneal?

Lý thuyết số cộng tính

 Giả thuyết Beal rằng xét phương trình  với , ba số nguyên  phải có chung một số ước nguyên tố?
 Giả thuyết Goldbach rằng có phải mọi số chẵn lớn hơn hoặc bằng 4 đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố?
 Giả thuyết Lemoine rằng mọi số nguyên lẻ lớn hơn 5 có thể viết thành tổng của một số nguyên tố lẻ và một số nửa nguyên tố chẵn?
 Tính các giá trị g(k) và G(k) của bài toán Waring?

Lý thuyết số đại số

 Giả thuyết Kummer-Vandiver rằng số nguyên tố p không phải là ước của số lớp của trường con thực cực đại của trường cyclotomic thứ p.
 Giả thuyết 1/4 của Selberg rằng các giá trị riêng của toán tử Laplace trên dạng sóng Maass của các nhóm con tương đẳng phải ít nhất bằng 1/4.

Số nguyên tố
 Giả thuyết Elliott–Halberstam trên sự phân phối của các số nguyên tố trên cấp số cộng
 Giả thuyết Dubner: mọi số nguyên chẵn lớn hơn 4208 là tổng của hai số nguyên tố sinh đôi (hai số đó không nhất thiết phải là sinh đôi của nhau)
 Giả thuyết Brocard: Có ít nhất bốn số nguyên tố nằm giữa bình phương của hai số nguyên tố liên tiếp, ngoại trừ  và 
 Giả thuyết Feit-Thompson: Cho mọi cặp số nguyên tố phân biệt  và ,  không chia hết cho 
 Các bài toán của Landau
 Liệu mọi số Euclid đều square-free?
 Liệu mọi số Fermat đều square-free?
 Liệu có vô số số nguyên tố Fibonacci?
 Liệu có vô số số nguyên tố Woodall?
 Liệu có vô số số nguyên tố sinh đôi?
 Liệu có vô số số nguyên tố họ hàng?
 Liệu có vô số số nguyên tố chính quy, và nếu đúng thì có phải mật độ tương đối của nó bằng với ?
 Liệu có vô số số nguyên tố Sophie Germain?
 Liệu có vô số số nguyên tố Mersenne?
 Liệu có vô số số nguyên tố sexy?
 Liệu có vô số số nguyên tố Lucas?
 Liệu có vô số số nguyên tố Cullen?
 Liệu có vô số số nguyên tố Wolstenholme?
 Liệu có tồn tại số nguyên tố p có thể thỏa mãn đồng thời 2p-1 ≡ 1 (mod p2) và 3p-1 ≡ 1 (mod p2)
 Cho số nguyên dương a bất kỳ, liệu có vô số số nguyên tố p sao cho ap − 1 ≡ 1 (mod p2)?
 Cho số nguyên a bất kỳ không phải số chính phương và không bằng với −1, liệu có vô số số nguyên tố có a là nghiệm nguyên thuỷ?
 Cho bất kỳ số nguyên b không phải luỹ thừa hoàn hảo và không nằm dưới dạng −4k4 với k nguyên, liệu có vô số số nguyên tố repunit cơ số b?
 Tìm số Skewes nhỏ nhất
 Có số Fortune nào là hợp số không?
 Dãy Euclid-Mullin có chứa mọi số nguyên tố không?
 Có đúng rằng số Fermat 22n + 1 là hợp số với mọi n > 4?
 Chứng minh giả thuyết ngược lại cho định lý Wolstenholme cho mọi số tự nhiên?

Trong lý thuyết trò chơi
 Sudoku 
 Có bao nhiêu bài đố Sudoku chỉ có đúng 1 lời giải?
 Có bao nhiêu bài đố Sudoku chỉ có đúng 1 lời giải và đồng thời tối tiểu?
 Cho độ rộng của bàn tic-tac-toe, tìm số chiều nhỏ nhất sao cho bên X có chiến thuật chắc chắn thắng?

Trong lý thuyết tổ hợp
 Bài toán 3 điểm không cùng đường: Trên 1 hình vuông kẻ ô có kích thước n x n, có bao nhiêu điểm ta có thể đặt sao cho bất kỳ 3 điểm không nằm trên cùng 1 đường?
 Tính các giá trị của các số Ramsey, cụ thể hơn là số ?

Trong lý thuyết đồ thị

Đồ thị con
 Giả thuyết độ bền của Chvátal, tồn tại giá trị  sao cho mọi đồ thị có độ bền bằng  thì đồng thời là Hamilton
 Giả thuyết chu trình phủ kép: mọi đồ thị không cầu đều có họ các chu trình chứa mỗi cạnh đúng hai lần

Tô màu và dán nhãn đồ thị

 Giả thuyết Cereceda trên đường kính của không gian màu của các đồ thị suy biến
 Giả thuyết Erdős–Faber–Lovász cho việc tô màu hợp của các clique
 Bài toán Hadwiger–Nelson trên giá trị sắc số của các đồ thị có khoảng cách bằng một

Vẽ đồ thị
 Giả thuyết Harborth: mọi đồ thị phẳng đều vẽ được với các cạnh có độ dài nguyên

Đường đi và chu trình trong đồ thị
 Giả thuyết Lovász trên các đường đi Hamilton trong đồ thị đối xứng

Một số bài toán khác 
 Bài toán Babai: nhóm nào là nhóm bất biến Babai?
 Bài toán đường kính và bậc: Cho hai số nguyên dương , tìm đồ thị lớn nhất có đường kính  sao cho tất cả các đỉnh đều có bậc tối đa bằng ?
 Bài toán đồ thị 99 đỉnh của Conway: Liệu có tồn tại đồ thị chính quy mạnh với tham số (99,14,1,2)?
 Bài toán Zarankiewicz: Có thể có bao nhiêu cạnh trên đồ thị hai phía trên số đỉnh cho trước sao cho đồ thị đó không có đồ thị con hai phía đầy đủ với kích thước cho trước?

Trong giải tích  
 Giả thuyết Riemann
 Phân tích các hằng số sau:  (hằng số Euler–Mascheroni),  + e,  − e, e, /e, e, , , e2, ln , 2e, ee, hằng số Catalan, và hằng số Khinchin; kiểm tra trong mỗi hằng trên liệu nó có phải số hữu tỉ, số đại số hay là số siêu việt? Tính độ đo vô tỷ của mỗi số này?
 Giả thuyết Lehmer cho độ đo Mahler của các đa thức không cyclotomic.
 Bài toán không gian con bất biến: Liệu có phải mọi toán tử bị chặn trên không gian phức Banach gửi một số không gian con đóng không tầm thường tới chính nó?
 Xét tính hội tụ của chuỗi Flint Hills?

Trong hệ thống động lực 
 Phỏng đoán Collatz (hay bài toán 3n+1)
 Giả thuyết MLC: tập Mandelbrot có liên thông địa phương không?
 Liệu mọi dãy tung hứng có chạm về 1 không?

Trong lý thuyết mô hình và ngôn ngữ hình thức  
 Giả thuyết Cherlin-Zilber: Nhóm đơn có lý thuyết bậc nhất của nó ổn định trong  là nhóm đơn đại số trên trường đóng đại số.
 Giả thuyết trường ổn định: Mọi trường vô hạn có lý thuyết bậc nhất ổn định thì khả ly và đóng
 Giả thuyết Vaught: Số lượng các mô hình đếm được của lý thuyết đầy đủ bậc nhất trong ngôn ngữ đếm được là hữu hạn,  hoặc 
 Có phải mọi trường vô hạn đặc số không và tối thiểu đều đóng đại số? (Ở đây, "tối thiểu" nghĩa là mọi tập con định nghĩa được của cấu trúc này là hữu hạn hoặc đối hữu hạn.)
 Lý thuyết trường các chuỗi Laurent trên  có quyết định được không? Nếu xét trên các đa thức trên  thì sao?
 Liệu có tồn tại logic L thoả mãn tính chất Beth và Δ-nội suy, đồng thời compact nhưng không thoả mãn tính chất nội suy?
 Xác định cấu trúc của cấp Keisler.

Trong lý thuyết tập hợp  
 Liệu có tồn tại đại số Jónsson trên 
 Liệu tiên đề tô màu mở có nhất quán với ?
 Không sử dụng tiên đề chọn, liệu có tồn tại phép nhúng sơ cấp không tầm thường ?

Trong lý thuyết tô pô  
 Giả thuyết Novikov trên bất biến đồng luân của một số đa thức trong các lớp Pontryagin của đa tạp, bắt nguồn từ nhóm cơ bản.
 Giả thuyết Hilbert-Smith: Nếu nhóm tô pô compact địa phương có tác động trung thành và liên tục trên đa tạp tô pô thì nhóm đó phải là nhóm Lie

Các bài toán đã giải từ 1995

Giải tích
 Giả thuyết độ đo Ahlfors (Ian Agol, 2004)

Lý thuyết số

Thế kỷ 21
 Giả thuyết Catalan (Preda Mihăilescu, 2002)

Thế kỷ 20
 Định lý Lafforgue (Laurent Lafforgue, 1998)
 Định lý lớn Fermat (Andrew Wiles và Richard Taylor, 1995)

Lý thuyết đồ thị
 Giả thuyết Kahn–Kalai (Jinyoung Park và Phạm Tuấn Huy, 2022)
 Blankenship–Oporowski conjecture on the book thickness of subdivisions (Vida Dujmović, David Eppstein, Robert Hickingbotham, Pat Morin, and David Wood, 2021)
 Giả thuyết Kelmans–Seymour (Dawei He, Yan Wang, và Xingxing Yu, 2020)
 Giả thuyết Goldberg–Seymour (Guantao Chen, Guangming Jing, và Wenan Zang, 2019)
 Bài toán Babai (Alireza Abdollahi, Maysam Zallaghi, 2015)
 Giả thuyết Alspach (Darryn Bryant, Daniel Horsley, William Pettersson, 2014)
 Giả thuyết Alon–Saks–Seymour (Hao Huang, Benny Sudakov, 2012)
 Giả thuyết Read–Hoggar (June Huh, 2009)
 Giả thuyết Scheinerman (Jeremie Chalopin và Daniel Gonçalves, 2009)
 Giả thuyết Erdős–Menger (Ron Aharoni, Eli Berger 2007)

Lý thuyết nhóm
 Giả thuyết Hanna Neumann (Joel Friedman, 2011, Igor Mineyev, 2011)

Hình học

Thế kỷ 21
 Giả thuyết Weibel (Moritz Kerz, Florian Strunk, và Georg Tamme, 2018)
 Giả thuyết Yau (Antoine Song, 2018)
 Xếp gạch hình ngũ giác (Michaël Rao, 2017)
 Giả thuyết Willmore (Fernando Codá Marques và André Neves, 2012)
 Bài toán khoảng cách phân biệt của Erdős (Larry Guth, Nets Hawk Katz, 2011)
 Giả thuyết Nagata (Ivan Shestakov, Ualbai Umirbaev, 2003)

Thế kỷ 20
 Giả thuyết Kepler (Samuel Ferguson, Thomas Callister Hales, 1998)

Lý thuyết khoa học máy tính
Giả thuyết độ nhậy cho hàm Boole (Hao Huang, 2019)

Tô pô 
 Giả thuyết Hsiang–Lawson (Simon Brendle, 2012)
 Giả thuyết Ehrenpreis (Jeremy Kahn, Vladimir Markovic, 2011)
 Giả thuyết Atiyah (Austin, 2009)
 Phỏng đoán đồng đều trong (Jacob Lurie, 2008)
 Giả thuyết dạng không gian mặt cầu (Grigori Perelman, 2006)
 Giả thuyết Poincaré (Grigori Perelman, 2002)

Tham khảo

Toán học
Phỏng đoán
Danh sách toán học
Vấn đề chưa được giải quyết trong toán học