Số Pythagoras

Trong lý thuyết trường và lý thuyết dạng toàn phương, số Pythagoras (tiếng Anh: Pythagoras number) của một trường K, ký hiệu p(K), được định nghĩa là số nguyên dương nhỏ nhất p sao cho mọi tổng các bình phương trong K đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của p bình phương các phần tử thuộc K. Khái niệm này xuất hiện trong ngữ cảnh nghiên cứu cấu trúc đại số của các trường, đặc biệt liên quan đến tính chất biểu diễn các phần tử dưới dạng tổng bình phương và mối liên hệ với các bất biến khác như Stufe và chiều cao của trường.

Một trường K được gọi là trường Pythagoras (Pythagorean field) nếu và chỉ nếu p(K) = 1, nghĩa là mọi tổng các bình phương trong K đều là một bình phương. Điều kiện này tương đương với việc tập hợp các tổng bình phương trong K đóng kín đối với phép cộng. Các trường Pythagoras tạo thành một lớp con quan trọng trong phân loại trường theo tính chất biểu diễn bình phương.

Định nghĩa hình thức

Cho K là một trường. Số Pythagoras p(K) được xác định như sau: nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho mọi phần tử là tổng các bình phương trong K đều biểu diễn được dưới dạng tổng của đúng n bình phương, thì p(K) là số n nhỏ nhất thỏa mãn tính chất đó. Trong trường hợp không tồn tại số n hữu hạn như vậy, p(K) được quy ước bằng vô cùng. Định nghĩa này áp dụng cho cả trường thực hình thức (formally real) và trường không thực hình thức.

Cần phân biệt số Pythagoras với Stufe s(K) của trường K. Stufe được định nghĩa là số nguyên dương nhỏ nhất s sao cho −1 có thể biểu diễn dưới dạng tổng của s bình phương trong K. Nếu −1 không biểu diễn được dưới dạng tổng các bình phương, trường K được gọi là trường thực hình thức và s(K) = ∞. Mối quan hệ giữa hai bất biến này được thiết lập qua bất đẳng thức p(K) ≤ s(K) + 1, và trong trường hợp trường không thực hình thức, s(K) ≤ p(K) ≤ s(K) + 1.

Các ví dụ cơ bản

Số Pythagoras của một số trường quen thuộc đã được xác định cụ thể trong tài liệu chuyên ngành. Đối với trường số thực ℝ, mọi số thực không âm đều là bình phương của một số thực, do đó p(ℝ) = 1 và ℝ là trường Pythagoras. Kết quả này xuất phát từ tính chất hoàn bị của trường số thực và định nghĩa căn bậc hai cho các số không âm.

Đối với trường số hữu tỷ ℚ, định lý bốn bình phương Lagrange khẳng định rằng mọi số nguyên dương đều biểu diễn được dưới dạng tổng của nhiều nhất bốn bình phương các số nguyên. Kết quả này mở rộng cho các số hữu tỷ dương: mọi số hữu tỷ dương là tổng của bốn bình phương các số hữu tỷ. Đồng thời, tồn tại các số hữu tỷ dương không biểu diễn được dưới dạng tổng của ba bình phương, ví dụ số 7 không là tổng của ba bình phương số nguyên. Do đó p(ℚ) = 4.

Các trường hữu hạn cung cấp ví dụ về trường với số Pythagoras nhỏ. Trong một trường hữu hạn Fq với q lẻ, không phải mọi phần tử đều là bình phương, nhưng mọi phần tử đều là tổng của hai bình phương. Điều này cho thấy p(Fq) = 2 đối với các trường hữu hạn đặc số lẻ. Đối với trường F2 và các mở rộng của nó, tình huống đặc biệt hơn do đặc số 2.

Trường thực hình thức và mối liên hệ với Stufe

Khái niệm trường thực hình thức liên quan mật thiết đến số Pythagoras. Một trường K được gọi là thực hình thức nếu −1 không biểu diễn được dưới dạng tổng các bình phương trong K, tức s(K) = ∞. Điều kiện này tương đương với việc K có thể được trang bị một thứ tự toàn phần tương thích với các phép toán trường, biến K thành một trường có thứ tự. Các trường số ℚ và ℝ là các ví dụ điển hình của trường thực hình thức.

Nếu trường K không thực hình thức, nghĩa là s(K) hữu hạn, thì Albrecht Pfister đã chứng minh rằng s(K) luôn là lũy thừa của 2. Kết quả này, được công bố vào năm 1965, là một trong những định lý quan trọng trong lý thuyết dạng toàn phương. Hơn nữa, với mỗi lũy thừa của 2, tồn tại trường có Stufe bằng đúng giá trị đó.

Mối quan hệ giữa số Pythagoras và Stufe cung cấp thông tin về cấu trúc của trường. Đối với trường số phức ℂ, ta có s(ℂ) = 1 vì −1 = i² là bình phương, và p(ℂ) = 1 vì ℂ là trường đóng đại số. Đối với trường hữu hạn F5, ta có s(F5) = 1 (do −1 ≡ 4 ≡ 2² mod 5) và p(F5) = 2. Các trường p-adic ℚp cũng có số Pythagoras và Stufe được xác định cụ thể: với p ≡ 1 mod 4, ta có s(ℚp) = 1 và p(ℚp) = 2; với p ≡ 3 mod 4, ta có s(ℚp) = 2 và p(ℚp) = 3; riêng ℚ2 có s(ℚ2) = 4 và p(ℚ2) = 4.

Sự tồn tại của các giá trị số Pythagoras

Một kết quả quan trọng trong lý thuyết là mọi số nguyên dương đều xuất hiện như số Pythagoras của một trường thực hình thức nào đó. Điều này cho thấy phạm vi giá trị của số Pythagoras là tập hợp tất cả các số nguyên dương cùng với vô cùng. Việc xây dựng các trường có số Pythagoras cho trước thường sử dụng các kỹ thuật từ lý thuyết trường và đại số giao hoán, bao gồm các mở rộng trường và giới hạn quy nạp.

Đối với các trường hàm trên trường số đại số, số Pythagoras có giới hạn trên xác định. Cụ thể, nếu F là trường hàm của một đa tạp đại số chiều n trên một trường số đại số, thì tồn tại cận trên cho p(F) phụ thuộc vào n. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng với trường hàm bậc siêu việt 1 trên ℚ, mọi tổng bình phương đều là tổng của 5 bình phương, giải quyết một câu hỏi của Florian Pop và Albrecht Pfister.

Chiều cao của trường

Khái niệm chiều cao h(K) của trường K liên quan đến số Pythagoras qua công thức sau: nếu K là trường thực hình thức, thì h(K) là lũy thừa nhỏ nhất của 2 không nhỏ hơn p(K); nếu K không thực hình thức, thì h(K) = 2s(K). Chiều cao của trường xuất hiện trong nghiên cứu về vành Witt và lý thuyết dạng toàn phương, cung cấp một cách đo lường độ phức tạp của cấu trúc bình phương trong trường.

Mối liên hệ giữa ba bất biến p(K), s(K) và h(K) tạo thành một bộ công cụ quan trọng trong việc phân loại và nghiên cứu các trường từ quan điểm của lý thuyết dạng toàn phương. Các bất biến này xuất hiện tự nhiên trong việc phân tích nhóm Witt và các câu hỏi về biểu diễn phần tử dưới dạng tổng bình phương.

Bối cảnh lịch sử

Nghiên cứu về số Pythagoras bắt nguồn từ các câu hỏi cổ điển về biểu diễn số nguyên dưới dạng tổng bình phương. Định lý bốn bình phương Lagrange, được Joseph-Louis Lagrange chứng minh vào năm 1770, khẳng định rằng mọi số nguyên dương là tổng của bốn bình phương số nguyên. Kết quả này có nguồn gốc từ các nghiên cứu trước đó của Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1621) và Pierre de Fermat, người đã phát biểu định lý nhưng không công bố chứng minh.

Leonhard Euler đã có những đóng góp quan trọng vào việc chứng minh định lý bốn bình phương, bao gồm việc thiết lập đẳng thức Euler về tích của hai tổng bốn bình phương vào khoảng năm 1748. Định lý ba bình phương Legendre, do Adrien-Marie Legendre chứng minh vào năm 1797–1798, xác định điều kiện cần và đủ để một số nguyên dương biểu diễn được dưới dạng tổng ba bình phương: số nguyên dương n là tổng ba bình phương nếu và chỉ nếu n không có dạng 4a(8b + 7) với a, b là các số nguyên không âm.

Việc hình thức hóa khái niệm số Pythagoras cho các trường tổng quát là sản phẩm của thế kỷ 20, gắn liền với sự phát triển của lý thuyết dạng toàn phương hiện đại. Các công trình của Ernst Witt (1937), Albrecht Pfister và Tsit Yuen Lam đã hệ thống hóa lý thuyết và thiết lập các kết quả cơ bản về số Pythagoras và các bất biến liên quan. Cuốn sách Introduction to Quadratic Forms over Fields của Lam (2005) và Squares của A. R. Rajwade (1993) là các tài liệu tham khảo tiêu chuẩn trong lĩnh vực này.

Ứng dụng và mối liên hệ

Số Pythagoras xuất hiện trong nhiều ngữ cảnh toán học khác nhau. Trong lý thuyết số đại số, số Pythagoras của các vành số nguyên đại số và các trường số cung cấp thông tin về tính chất số học của các vành này. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng số Pythagoras của vành số nguyên trong một trường toàn phương thực có giới hạn trên là 5.

Trong hình học đại số, số Pythagoras của trường hàm của các đa tạp đại số liên quan đến các tính chất hình học của đa tạp. Các câu hỏi về biểu diễn hàm hữu tỷ dương dưới dạng tổng bình phương các hàm hữu tỷ dẫn đến việc nghiên cứu số Pythagoras của các trường hàm.

Lý thuyết số Pythagoras cũng liên quan đến bài toán thứ 17 của Hilbert, được David Hilbert đề xuất năm 1900. Bài toán hỏi liệu mọi đa thức hữu tỷ nhiều biến nhận giá trị không âm với mọi giá trị thực của các biến có biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương các hàm hữu tỷ hay không. Emil Artin đã giải quyết bài toán này vào năm 1927, chứng minh rằng câu trả lời là khẳng định. Các nghiên cứu tiếp theo tập trung vào việc xác định số lượng bình phương cần thiết trong biểu diễn, liên quan trực tiếp đến khái niệm số Pythagoras. Pfister đã chứng minh năm 1967 rằng một đa thức xác định dương bán phần n biến có thể biểu diễn dưới dạng tổng của 2n bình phương các hàm hữu tỷ.

Trường Pythagoras và bao đóng Pythagoras

Một trường K với p(K) = 1 được gọi là trường Pythagoras. Các trường này có tính chất đặc biệt: tập hợp các tổng bình phương trùng với tập hợp các bình phương. Mọi trường đóng đại số đều là trường Pythagoras, nhưng tồn tại các trường Pythagoras không đóng đại số.

Với mỗi trường K, tồn tại một mở rộng trường nhỏ nhất Kpy chứa K và là trường Pythagoras, được gọi là bao đóng Pythagoras (Pythagorean closure) của K. Bao đóng Pythagoras được xây dựng bằng cách lặp lại quá trình thêm căn bậc hai của các tổng hai bình phương. Cụ thể, ta định nghĩa K0 = K, và với mỗi số thứ tự n, Kn+1 là trường sinh bởi Kn và tất cả các phần tử dạng √(a² + b²) với a, b ∈ Kn. Bao đóng Pythagoras là hợp của tất cả các Kn.

Trường Pythagoras thực hình thức có các tính chất đặc biệt về thứ tự. Định lý Diller–Dress khẳng định rằng nếu E/F là một mở rộng trường hữu hạn và E là trường Pythagoras, thì F cũng là trường Pythagoras. Hệ quả của định lý này là không có trường số đại số nào là trường Pythagoras, vì tất cả các trường đó đều là mở rộng hữu hạn của ℚ, mà ℚ không phải là trường Pythagoras.

Siêu trường Pythagoras

Một lớp trường mở rộng khái niệm trường Pythagoras là siêu trường Pythagoras (superpythagorean field). Trường K được gọi là siêu trường Pythagoras nếu K là trường thực hình thức và với mọi nhóm con S có chỉ số 2 trong K* không chứa −1, S xác định một thứ tự trên K. Các siêu trường Pythagoras tạo thành một lớp con chặt của các trường Pythagoras.

Các trường thực đóng là ví dụ của siêu trường Pythagoras. Một trường thực đóng là trường thực hình thức không có mở rộng đại số thực hình thức thực sự nào. Trong một trường thực đóng, các phần tử không âm theo thứ tự duy nhất trùng với tập hợp các bình phương.

Các bất biến liên quan

Ngoài số Pythagoras, Stufe và chiều cao, còn có các bất biến khác liên quan đến biểu diễn tổng bình phương. Số Pythagoras liên tục Pc(S) được định nghĩa cho các tập con S của vành và đo lường số lượng bình phương cần thiết trong các biểu diễn liên tục. Khái niệm này xuất hiện trong nghiên cứu về các dạng toàn phương trên vành và các bài toán xấp xỉ Diophantine.

q-mức (q-level) của trường là một bất biến khác, định nghĩa tương tự Stufe nhưng với các dạng toàn phương tổng quát hơn thay vì chỉ tổng bình phương. Các cận trên cho q-mức có thể biểu diễn qua số Pythagoras và các bất biến khác.

Tổng quan về nghiên cứu hiện đại

Nghiên cứu về số Pythagoras tiếp tục là một lĩnh vực hoạt động trong lý thuyết số và đại số giao hoán đương đại. Các câu hỏi mở bao gồm việc xác định số Pythagoras của các lớp trường cụ thể, đặc biệt là các trường hàm của đa tạp trên các trường cơ sở khác nhau.

Các kỹ thuật từ hình học số học và lý thuyết đối đồng điều Galois đã được áp dụng để nghiên cứu số Pythagoras. Các công trình gần đây sử dụng lý thuyết động cơ (motivic theory) và đại số đồng điều (homological algebra) để tiếp cận các câu hỏi về biểu diễn tổng bình phương trong ngữ cảnh tổng quát hơn.

Mối liên hệ giữa số Pythagoras và các bất biến khác của trường, như nhóm Brauer, nhóm K-lý thuyết, và nhóm Witt, tiếp tục được khám phá. Các kết quả trong lĩnh vực này có ứng dụng trong mật mã học, lý thuyết mã hóa, và các lĩnh vực ứng dụng khác của toán học.

Tham khảo

Thư mục

Liên kết ngoài
 
 Pythagoras number – Wikipedia tiếng Anh
 Pythagorean field – Wikipedia tiếng Anh
 Stufe (algebra) – Wikipedia tiếng Anh

Lý thuyết trường
Lý thuyết dạng toàn phương
Lý thuyết số đại số