Toán học của thuyết tương đối rộng

Toán học của thuyết tương đối rộng là mô hình chứa đựng cấu trúc và kỹ thuật toán học được sử dụng để nghiên cứu và thiết lập lên thuyết tương đối rộng của Einstein. Công cụ chính sử dụng trong lý thuyết hình học về lực hấp dẫn này là trường tenxơ xác định trên đa tạp Lorentz biểu diễn không thời gian. Bài viết này miêu tả tổng quan về toán học của thuyết tương đối tổng quát.

Ký hiệu

Trong toàn bộ bài viết, chúng ta sử dụng dấu metric kiểu không gian  và hệ đơn vị hình học trong đó  mặc dù khi cần thiết chúng ta sẽ viết rõ tốc độ ánh sáng, c. Chúng ta sẽ viết đậm các tenxơ, ví dụ , và các mũi tên bên ám chỉ các vectơ ba chiều hoặc các toán tử, ví dụ  hoặc . Đạo hàm hiệp biến và đạo hàm riêng bốn chiều sẽ được ký hiệu dạng tổng quát lần lượt là  và  nhưng những ký hiệu khác có thể được sử dụng cho các khái niệm ít gặp hơn hoặc khi muốn so sánh với các công thức của cơ học Newton. Với quy ước chuẩn về cách tính tổng khi gặp các chỉ số lặp lại, các chỉ số Hy Lạp sẽ có giá trị từ 0 đến 3, trong khi các chỉ số Latin chạy từ 1 đến 3.

Khái niệm không thời gian
Bước quan trọng đầu tiên để hiểu đúng đắn thuyết tương đối rộng, và từ đó là cấu trúc toán học của nó, chính là sự từ bỏ ý tưởng của Galilei về một không gian tuyệt đối và thời gian tuyệt đối. Hơn thế, điều này đưa đến đề xuất cách mạng về sự từ bỏ ý nghĩ không gian và thời gian như là những thành phần của một phông nền cố định, một đối tượng mà mọi quá trình xảy ra trên nó. Từ đây, các nhà vật lý cần thiết phải coi không gian và thời gian là những yếu tố động lực trong các định luật của tự nhiên, và cũng vì thế mà những định luật này bị ảnh hưỏng sâu sắc bởi chúng. Ý tưởng cách mạng này nằm ở trung tâm của thuyết tương đối và là một trong những thành tựu khoa học có ảnh hưởng lớn nhất của mọi thời đại.

Việc từ bỏ ý tưởng về một không gian tuyệt đối và một thời gian tuyệt đối dẫn tới sự giới thiệu không tránh khỏi của một khái niệm mới, đó là không thời gian, một đối tượng bốn chiều đơn nhất , mà tuy nhiên, không nên chỉ coi nó như là một sân khấu cho tiến trình của một hệ vật lý xác định, mà nó còn là một trường động lực tham gia vào sự tiến triển của chính hệ vật lý đó. Những phần tử của không thời gian trừu tượng này được gọi là sự kiện, một khái niệm dường như cũng trừu tượng nhưng không hẳn là vậy. Chúng ta chắc chắn đã quen với khái niệm "cái gì đó ở nơi nào đấy" vì nó trở thành một phần nhận thức của chúng ta về thế giới khi còn là một đứa trẻ. Tương tự, khái niệm sự kiện có thể đi kèm với ý tưởng về "cái gì đó xảy ra ở nơi nào đấy", chẳng hạn như photon từ Mặt Trời tới võng mạc của chúng ta lúc bình minh. Do đó, các nhà vật lý thích nghĩ về các sự kiện như là các "điểm"  trong không thời gian , và sự tồn tại của chúng như là các phần tử của không thời gian độc lập với cách chọn hệ tọa độ để định vị chúng tại một vị trí không gian cụ thể trong một thời gian cho trước. Các sự kiện do đó tự chúng là những phần tử của không thời gian, mà tính động lực được điều chỉnh bởi các định luật vật lý.

Với tư duy như thế, các nhà vật lý nghĩ tới vấn đề các sự kiện liên hệ với nhau bằng cách nào. Nếu coi một sự kiện là "một cái gì đó xảy ra ở nơi nào đó", thì hai hay nhiều sự kiện có thể được liên hệ (vd, thông qua các định luật vật lý) và đưa vào thành "một dãy các sự kiện", mà, trong trường hợp dãy được xếp thứ tự với thời gian như là một tham số, chúng thuộc về một tập hợp, cụ thể hơn là một đường cong trong không thời gian, gọi là "đường thế giới" (worldline). Cũng trong trường hợp này, khái niệm trừu tượng về đường thế giới quả thực hiển nhiên giống với một cách giải thích quen thuộc khi chúng ta nghĩ tới tuyến đường trên một bản đồ (đoạn đường từ nhà tới nơi làm việc) như đường thế giới trong không thời gian miêu tả về chuyển động của chúng ta. Sự tài tình ở đây là, trong khi tuyến đường trên bản đồ kết nối các điểm (không gian) khác nhau mà chúng ta đứng tại những thời điểm khác nhau, thì đường thế giới kết nối các sự kiện khác nhau của không thời gian, tức là, những sự kiện mà chúng ta tham gia vào khi đi từ nhà đến nơi làm việc. Một hệ quả rõ ràng từ định nghĩa của đường thế giới là khi không có một không gian tuyệt đối và một thời gian tuyệt đối, bất kỳ sự lựa chọn theo thứ tự các sự kiện chỉ có thể là "tùy ý" (hoặc tương đối) khi có thể thay thế bằng những sự kiện tương đương và khả dĩ trên cùng một tập hợp các sự kiện. Tuy nhiên, kết quả này không nên chỉ coi đó là một giới hạn, nhưng mà là một đặc điểm quan trọng trong bức tranh mới về không gian và thời gian, một điều căn bản trong thuyết tương đối rộng. Nói chung, khái niệm như tính đồng thời vẫn được giữ lại nhưng phải được thể hiện một cách đúng đắn, và điều này được nhắc tới ở phần sau.

Đa tạp không thời gian

Thuyết tương đối rộng đề xuất ý tưởng miêu tả các hiện tượng vật lý bằng một tập hợp các sự kiện, tạo thành một thể liên tục (continuum) bốn chiều, gọi là không thời gian. Khái niệm toán học phù hợp nhất để đặc trưng cho không thời gian đó là một đa tạp khả vi , một khái niệm kết hợp giữa những khái niệm của không gian tôpô và tính khả vi. Tức là, khi nói đến không thời gian bằng tập hợp các sự kiện, là một không gian tôpô, ta đang cung cấp thông tin về việc bằng cách nào mà những vùng khác nhau của continuum này được liên hệ với nhau. Hơn nữa, như đã rõ ràng khi ta nói về nguyên lý tương đương, thuyết tương đối rộng đòi hỏi rằng các sự kiện khác nhau của không thời gian cho phép các lân cận địa phương không giao nhau (rời nhau). Từ đây, không gian tôpô nhất thiết phải là không gian tôpô Hausdorff. Ngoài cấu trúc tôpô, ta cần trang bị cho không thời gian một cấu trúc vi phân thông qua phép tham số hóa khả vi bằng các tọa độ được gắn cho mỗi sự kiện. Những cách đặt tham số hóa này được thực hiện thông qua các hàm số của lớp  với , mà ánh xạ lân cận địa phương của mỗi sự kiện vào . Do vậy một đa tạp khả vi là một không gian tôpô Hausdorff vi phôi địa phương với . Ví dụ đơn giản về đa tạp đó là bề mặt của một hình cầu ba chiều ("mặt cầu 2 chiều") hoặc bất kỳ một siêu mặt m chiều nào trong không gian n chiều với .

Có rất nhiều sách và bài viết thảo luận về định nghĩa và tính chất của không gian tôpô và của đa tạp, chẳng hạn  và . Cho những mục đích ứng dụng chúng ta có thể coi  là "tập hợp chứa các sự kiện được tham số hóa", những thứ tạo nên không thời gian bốn chiều, và các tham số của chúng là những hàm khả vi tới một số bậc nhất định.

Số các tham số độc lập cần thiết để định ra một sự kiện trong  chính là số chiều của đa tạp và cách chọn những tham số này sẽ biểu diễn cách chọn hệ tọa độ cần thiết để phủ đa tạp, và có vô số cách chọn như thế. Ví dụ, hệ tọa độ sử dụng kinh độ và vĩ độ để xác định vị trí của điểm trên bề mặt Trái Đất. Khi áp dụng, chúng ta cần thiết định nghĩa một quy tắc gán tương ứng một điểm của đa tạp , tức là sự kiện, vào không gian thực n chiều . Quy tắc này gọi là phép ánh xạ và cách chọn hệ tọa độ tương ứng sẽ phủ một phần hoặc toàn bộ đa tạp không thời gian. Các điểm lưu ý:
Ánh xạ thảo luận ở trên có thể coi là sự gán một - một các điểm trên đa tạp với các điểm của không gian Euclid với số chiều thích hợp. Sự tương ứng này là có ích nhưng phải cẩn thận khi áp dụng. Cụ thể hơn, nó nhấn mạnh rằng ít nhất trên cục bộ (hay địa phương) đa tạp nhìn giống như không gian Euclid. Tuy nhiên nó cũng ẩn chứa thực tế rằng tô pô toàn cục của đa tạp có thể rất khác so với tô pô Euclid. Chẳng hạn đa tạp là bề mặt của hình vòng xuyến: cả bề mặt lẫn tô pô toàn cục của nó khác hẳn so với không gian Euclid, nhưng có thể ánh xạ cục bộ một diện tích nhỏ trên bề mặt vào không gian Euclid, như mặt phẳng tiếp xúc với một điểm trong diện tích này.
Trong khi có vô hạn cách chọn hệ tọa độ để phủ một đa tạp, không phải cách nào cũng cho phương án tốt. Một số hệ tọa độ trong chúng có thể suy biến và khi phân tích toán học nghiệm của phương trình trường Einstein chứa đựng hệ tọa độ cho phép làm nổi bật nhất ý nghĩa vật lý của nghiệm. Lấy ví dụ lần nữa về hệ tọa độ cầu  trên mặt cầu 2 chiều. Rõ ràng hệ tọa độ này suy biến tại hai cực của mặt cầu vì có thể ánh xạ những tập vô hạn các giá trị, ví dụ khi  và .
Mỗi hệ tọa độ bao phủ một vùng nhất định của không thời gian gọi là mảnh hay bản đồ, và hai bản đồ có thể có miền giao nhau hoặc không. Atlas của đa tạp là bất kỳ những phép hợp các bản đồ sao cho phép hợp này bao phủ toàn bộ đa tạp.
Như đã nêu ở trên, mộ tính chất cơ bản của đa tạp trong thuyết tương đối rộng đó là chúng có tính khả vi, nghĩa là ánh xạ địa phương từ đa tạp vào  phải khả vi. Mặt cầu hai chiều là đa tạp khả vi trong khi hình nón thì không, do nó không khả vi tại đỉnh nón vì không tồn tại ánh xạ khả vi từ điểm này vào .

Hệ tọa độ
Ý tưởng về không thời gian (tập hợp chứa mọi sự kiện), như là một đa tạp (không gian phủ bởi các hệ tọa độ), là rất hấp dẫn từ quan điểm hình học, nhưng cũng phải là nguồn để đề cập đến từ quan điểm vật lý học, vì sự lựa chọn tùy ý hệ tọa độ có thể đưa đến việc làm mất các thông tin vật lý. Tuy vậy, đây là một lập luận không đúng và các phép đo phải là độc lập với hệ tọa độ, tức là, các phép đo sẽ cho cùng một kết quả trong mọi hệ tọa độ được lựa chọn. Tương tự, vẫn có thể dẫn ra được các phương trình độc lập với hệ tọa độ khi không thời gian được coi là một đa tạp.

Bước đầu tiên để học quá trình này đó là làm quen với các đối tượng cơ bản của một đa tạp, như đường cong, đại lượng vô hướng và vectơ, và cách chúng biến đổi như thế nào khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác. Kể từ đây chúng ta giả sử rằng  là đa tạp khả vi gồm bốn chiều (ba chiều không gian và một chiều thời gian), nhưng việc tổng quát hóa các tính chất của đa tạp lên đa tạp n chiều là trực tiếp.

Xét không thời gian được phủ bởi hai hệ tọa độ,  và , hoặc tương đương, xét hai ánh xạ khác nhau  và  đi từ  vào . Mỗi điểm P của  do đó được biểu diễn bằng hai tọa độ khác nhau, mỗi tọa độ chứa bốn phần tử,  và . Phép biến đổi tọa độ  tại điểm P được biểu diễn bằng bốn hàm số đơn trị, liên tục và khả vi  sao cho

ở đây ký hiệu x có bốn tọa độ  ám chỉ những đối tượng bôi đậm thuộc về . Bởi vì đa tạp là khả vi, do vậy phép biến đổi tọa độ không chỉ đúng tại điểm P, tức là

Hàm f cũng phải khả nghịch, do đó hàm f−1 là phép biến đổi tọa độ nghịch đảo  và

với phép toán kết hợp  trở thành đồng nhất, nghĩa là .

Ví dụ coi mặt phẳng là một đa tạp hai chiều với hai hệ tọa độ  và  do vậy
 \\
                       \theta = tan^{-1} \left(\frac{y}{x} \right),
                       \end{cases}
</math>|}} 
và nếu áp dụng hàm hợp  đối với tập tọa độ thứ nhất ta thu được đồng nhất thức 

Khai thác tính khả vi của đa tạp, chúng ta có thể lấy vi phân của tọa độ x' theo x và thu được ma trận biến đổi
{\partial x^\mu}= 
 \left(\begin{array}{rrrr}
 \dfrac{\partial x^{0'}}{\partial x^0} & \dfrac{\partial x^{0'}}{\partial x^1} & \dfrac{\partial x^{0'}}{\partial x^2} & \dfrac{\partial x^{0'}}{\partial x^3} \\
 \dfrac{\partial x^{1'}}{\partial x^0} & \dfrac{\partial x^{1'}}{\partial x^1} & \dfrac{\partial x^{1'}}{\partial x^2} & \dfrac{\partial x^{1'}}{\partial x^3} \\
 \dfrac{\partial x^{2'}}{\partial x^0} & \dfrac{\partial x^{2'}}{\partial x^1} & \dfrac{\partial x^{2'}}{\partial x^2} & \dfrac{\partial x^{2'}}{\partial x^3} \\
 \dfrac{\partial x^{3'}}{\partial x^0} & \dfrac{\partial x^{3'}}{\partial x^1} & \dfrac{\partial x^{3'}}{\partial x^2} & \dfrac{\partial x^{3'}}{\partial x^3}
 \end{array} \right).
</math>|}}

với định thức
{\partial x^\mu}\right|</math>|}}
là định thức Jacobi (hay Jacobian) của biến đổi tọa độ  trong (). Nếu J' khác 0 tại mọi điểm, khi đó phương trình () sẽ có nghiệm và chúng ta nhận được phép biến đổi ngược (). Ngược lại, nếu J' = 0 tại một điểm, ta nói phép biến đổi là kỳ dị tại điểm đó. Tương tự ta có thể lấy vi phân tọa độ x theo x' và thu được ma trận biến đổi ngược
 \right)</math>|}}

Đến đây, sử dụng quy tắc dây chuyền đối với đạo hàm riêng, sẽ không khó để chứng minh được rằng hai ma trận () và () là nghịch đảo của nhau, tức là

với  lần lượt là các ma trận tương ứng của  và ma trận đơn vị. Hệ quả trực tiếp của () đó là định thức Jacobi của hai ma trận là nghịch đảo của nhau, tức là J' = 1/J.

Ví dụ ma trận biến đổi giữa hai hệ tọa độ trong () là
 
và

với

Đường cong (curve) và quỹ đạo (path)
Sau khi đã giới thiệu khái niệm hệ tọa độ và biến đổi tọa độ, bây giờ chúng ta xét tới đối tượng đơn giản nhất trong đa tạp  mà sẽ dẫn tới định nghĩa tenxơ.

Xét trong không thời gian  một chuỗi các sự kiện  mà được liên hệ với nhau theo những cách nào đó. Như đã nói ở mục Khái niệm không thời gian, ta có thể liên hệ hoặc xếp thứ tự các sự kiện và sẽ thu được đường thế giới (worldline) khi tham số xếp thứ tự là tọa độ thời gian t. Bây giờ chúng ta mở rộng ý tưởng và xét các sự kiện mà không nhất thiết phải liên hệ thông qua thời gian, mà thông qua một tham số tổng quát hơn là . Đối tượng thu được gọi là đường cong (curve)  và là ánh xạ từ một đoạn  vào một tập hợp các điểm có tọa độ  tức là 

Rõ ràng rằng, cùng một tập hợp các điểm trong  có thể được tham số hóa vô hạn lần khi thay đổi cách lựa chọn tham số . Cách xem xét này giúp chúng ta phân biệt với khái niệm quỹ đạo (path) - như là tập hợp các sự kiện trong , so với đường cong đi qua các sự kiện này. Trong khi quỹ đạo là một đối tượng nội tại trong không thời gian  thì đường cong lại phụ thuộc vào cả cách tham số hóa nó cũng như việc chọn hệ tọa độ để lập bản đồ (chart) cho đa tạp . Khi thay đổi tham số  sẽ dẫn tới đường cong mới đi qua cùng quỹ đạo trong  và cùng hệ tọa độ biểu diễn trong  (trong trường hợp này nó được gọi là ảnh). Tuy nhiên, khi thay đổi hệ tọa độ sẽ đem lại một đường cong mới đi qua cùng một quỹ đạo trong , nhưng rõ ràng nó sẽ không chứa cùng những tọa độ biểu diễn trong . Nói cách khác, khái niệm quỹ đạo mang ý nghĩa cơ bản hơn so với khái niệm đường cong và ảnh, chúng ta có thể xây dựng hai đường cong:

và

sao cho chúng chứa cùng một quỹ đạo trong , với  và  có cùng ảnh, nhưng  và  có ảnh khác nhau.

Cuối cùng, chúng ta có thể mở rộng khái niệm đường cong cho một mặt với hai tham số,

Mặt được gọi là siêu mặt của đa tạp nếu số tham số cần thiết để miêu tả nó bằng số chiều của đa tạp trừ đi một, ví dụ siêu mặt 3 chiều đối với không thời gian bốn chiều.

Vectơ tiếp xúc
xem thêm: Véctơ-4

Tất cả những khái niệm đã giới thiệu về các đường cong và mặt có thể được coi như là những công cụ cơ bản để định nghĩa khái niệm rất quan trọng và hữu ích, đó là vectơ tiếp xúc (tangent vector) với đường cong . Nếu coi đường cong là tập hợp các điểm với mỗi điểm được đánh dấu bởi một bộ các tọa độ sắp thứ tự bằng một tham số λ, thì vectơ tiếp xúc là khái niệm dùng để diễn giải sự thay đổi tọa độ như thế nào dọc theo đường cong này. Nói cách khác, khi cho trước một hệ tọa độ  trong đa tạp  và một đường cong , vectơ tiếp xúc  tại điểm P dọc cung  được định nghĩa là tập hợp gồm bốn tọa độ 

Chú ý rằng tại mỗi điểm P chỉ có duy nhất một vectơ tiếp xúc với đường cong và thậm chí hai đường cong có thể có chung một vectơ tiếp tuyến tại điểm chung P, và hai đường này sẽ có thể có một số điểm chung ở một số nơi (hai đường khác nhau) hoặc hoàn toàn đồng nhất giống nhau. Vì điểm P là bất kỳ,  có thể viết biểu thức tổng quát cho định nghĩa của vectơ tiếp xúc  cho đường cong  là

Chúng ta nên phân biệt giữa vectơ là đối tượng hình học, viết là , và cách biểu diễn nó trong một hệ tọa độ cụ thể, mà trong trường hợp này chúng ta nói đến các thành phần tọa độ của nó .
Sự quan trọng của biểu thức () là nó cho phép chúng ta có khả năng định nghĩa một đại lượng hình học theo các tính chất của phép biến đổi đối với nó dưới ảnh hưởng của sự thay đổi hệ tọa độ. Quả vậy, chúng ta xét một hệ tọa độ mới  và sử dụng biểu thức () để tính toán các thành phần tọa độ của cùng một vectơ tiếp xúc  đối với hệ tọa độ mới này
{d \lambda}= \sum_{\mu = 0}^3 \dfrac{\partial{x^{\mu'}}}{\partial{x^\mu}} \frac{dx^\mu}{d \lambda} = \sum_{\mu = 0}^3 \dfrac{\partial{x^{\mu'}}}{\partial{x^\mu}} V^\mu </math>|}}
với phương trình thứ hai đã áp dụng định nghĩa của vi phân
}{\partial{x^\mu}} dx^\mu</math>|}}
và phương trình cuối cùng () có được từ định nghĩa của ().

Bởi vì cách đặt ký hiệu tốt rất quan trọng và điều này càng có ý nghĩa đặc biệt trong thuyết tương đối rộng, đầu tiên chúng ta có thể viết gọn lại () bằng cách áp dụng ký hiệu quy ước tổng do Einstein đặt ra, mà khi ta gặp một chỉ số xuất hiện hai lần điều này sẽ hàm ý việc tính tổng giữa các chỉ số từ 0 đến 3, và thứ hai chúng ta có thể áp dụng cách viết rút ngắn hơn nhờ phương trình () cho phép biến đổi ma trận, tức là

Biểu thức () cần được giải thích rõ hơn, đầu tiên đó là chỉ số  là chỉ số được tính tổng (hay chỉ số rút gọn-contraction) tức là nó xuất hiện một lần với vai trò là chỉ số trên (phản biến-contravariance) trong  và một lần với vai trò là chỉ số dưới (hiệp biến-covariance) trong . Chỉ số này còn được gọi là chỉ số câm (dummy) để phân biệt với chỉ số tự do  xuất hiện như là một chỉ số không thể thu gọn được ở cả hai vế của phương trình tenxơ (). Bằng cách kiểm tra số lượng các chỉ số tự do có ở hai vế của phương trình là cách đơn giản nhất, ít nhất về mặt toán học, đó là phương trình tenxơ đã đúng hay chưa (và có thể có nhiều lý do để phương trình chưa đúng).

Phương trình () là rất tổng quát và biểu diễn quy tắc biến đổi cho các vectơ phản biến. Về cơ bản, bốn phương trình trong () cho chúng ta cách tính các thành phần tọa độ của vectơ  trong hệ tọa độ  một khi chúng ta biết các thành phần của nó trong hệ tọa độ .

Chúng ta có thể mở rộng biểu thức () cho trường hợp biến đổi tọa độ tổ hợp, tức là khi xét hai hệ tọa độ: biến đổi hệ tọa độ thứ nhất từ hệ  thành  và sau đó chuyển sang  hay

và coi đó như là một lần biến đổi

do vậy vectơ (phản biến) sẽ biến đổi theo quy tắc

Như đã nói ở phần trước, chúng ta có thể viết ra phép biển đổi ngược của () là

Bốn phương trình () cho chúng ta cách tính thành phần tọa độ của vec tơ  trong hệ  một khi đã biết các thành phần của nó trong hệ . Rõ ràng là hai ma trận biến đổi của hai phép biến đổi ngược là ma trận nghịch đảo của nhau, hay

Điều này cũng đúng cho phép biến đổi ngược lại

Chú ý rằng cả hai phương trình () và () là tương đương với Jacobian của biến đổi khác 0, 

Đại lượng  được gọi là ký hiệu Kronecker.

Ở phần này, chúng ta đã giới thiệu một tập hợp tổng quát chứa các điểm được liên hệ với nhau thông qua một tham số, hay đường cong trong đa tạp, sau đó nêu ra định nghĩa khái niệm vectơ tiếp xúc tại một điểm P và học được cách biểu diễn đại lượng hình học này biến đổi như thế nào dưới những hệ tọa độ khác nhau. Điều này dẫn chúng ta tới một khái niệm tổng quát hơn đó là không gian tiếp xúc của đa tạp  tại điểm P: đó là không gian chứa mọi vectơ phản biến tại P.

Gradien của hàm số
Một vec tơ bất kỳ có thể được xây dựng dựa trên khái niệm đường cong. Chúng ta có thể thấy điều này bằng cách áp dụng định nghĩa () của đường cong  trong đa tạp và giới thiệu ra hàm vô hướng , một hàm giá trị thực ánh xạ điểm P bất kỳ có tọa độ  trong  vào một số thực . Bây giờ chúng ta có thể tính được hàm thực này biến đổi như thế nào dọc đường cong  bằng

Phương trình thứ hai trong phương trình () chỉ đơn giản là định nghĩa của vectơ tiếp xúc đã gặp ở (), trong khi ở phương trình thứ ba là định nghĩa của gradien của hàm số  

với chỉ số tự do phải là chỉ số nằm ở dưới (tức là hiệp biến) và đây là đặc điểm phân biệt với vectơ .

Để hiểu tốt hơn tại sao chỉ số trong  phải ở dưới, chúng ta có thể nghiên cứu cách đối tượng hình học này hành xử dưới một phép biến đổi tọa độ và làm rõ ý nghĩa của nó hơn. Một lần nữa, nếu  là thành phần của đối tượng này trong hệ tọa độ  thì thành phần của nó trong  là
 = \dfrac{\partial \phi}{\partial x^\mu} \dfrac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}} = U_{\mu} \dfrac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}}</math>|}}
Hay nói cách khác, quy tắc biến đổi cho gradien của hàm số  là
(\tilde d \phi)_\mu</math>|}}
và có thể được sử dụng làm định nghĩa cho khái niệm vectơ hiệp biến (covariant vector).

Chú ý rằng biến đổi () là biến đổi ngược của quy tắc đã gặp cho các thành phần của vectơ [xem phương trình ()]. Lý do cho điều này đến từ thực tế rằng vectơ phản biến và vectơ hiệp biến là đại lượng đối ngẫu của nhau, do đó không gian chứa mọi vectơ hiệp biến là không gian đối ngẫu của không gian tiếp tuyến mà chúng ta đã gặp ở phần trước. Bởi vì đây là một kết quả quan trọng và mối liên hệ sâu sắc giữa vectơ hiệp biến và vectơ phản biến sẽ được trình bày rõ ở phần sau. Như đối với vectơ phản biến, chúng ta có thể đưa ra biến đổi ngược cho vectơ hiệp biến và dễ dàng thu được
{\partial x^\mu}(\tilde d \phi)_{\mu'}</math>|}}
Người đọc thận trọng có thể tự hỏi tại sao chúng ta không viết () như sau

và tại sao không viết () như sau

Lý do đằng sau sự lựa chọn này là ở cách ký hiệu ma trận theo cách viết trong () và () có thể sẽ gây ra sự nhầm lẫn một khi chúng ta coi  giống như ở trong phương trình (). Điều này sẽ trở lên rõ ràng nếu chúng ta quay trở lại ví dụ về biến đổi tọa độ miêu tả ở trong phần Hệ tọa độ. Quả thực, khi chúng ta biến đổi gradien của một vô hướng từ tọa độ  sang , ma trận đúng viết trong () mà nhân với vectơ cột  phải là

mà chính là ma trận chuyển vị của ma trận được định nghĩa trong ().

Ở những phần sau, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu  đại diện cho  và  đại diện cho .

Ý nghĩa hình học của vectơ phản biến và vectơ hiệp biến

trong hệ tọa độ cong 3 chiều (q1, q2, q3), một bộ các số xác định lên vị trí của điểm. Chú ý rằng hệ cơ sở và hệ cơ sở đối ngẫu không trùng nhau trừ khi hệ là cơ sở trực giao.]]
Chúng ta có thể kết hợp các định nghĩa trên đây để đi đến một miêu tả thống nhất về vectơ phản biến và vectơ hiệp biến. Đặc biệt, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa gradien dọc một đường cong () và viết lại thành

do đó vectơ phản biến  có thể được coi như là một đối tượng hình học tiếp tuyến với đường cong có tham số  và đo tỉ số  cho một hàm vô hướng bất kỳ  dọc đường cong. Theo cách này, có thể coi vectơ là đại lượng độc lập với hệ tọa độ, và xác định lên, ít nhất trong một miền lân cận nhất định, đường cong mà nó tiếp xúc. Thành phần phản biến  của nó cho phép đo sự thay đổi của hệ tọa độ dọc theo đường cong đó và những thứ này có mối liên hệ chặt với cách lựa chọn hệ tọa độ; một hệ tọa độ khác sẽ dẫn tới những thành phần tọa độ khác, cũng như hàm gradien  khác.

Tất nhiên, chúng ta có thể thực hiện mà không cần hàm vô hướng  trong () và coi vectơ như là một đối tượng xác định bằng 

mà chúng ta đưa ra ký hiệu

để chỉ bốn vectơ cơ sở  dọc theo hướng xác định bởi tọa độ  Những cơ sở vectơ này, mà có liên hệ chặt với hệ tọa độ đang áp dụng, được gọi là tọa độ cơ sở. Theo cách này, biểu thức () nói một cách đơn giản rằng  là tổ hợp của các thành phần phản biến  dọc theo hướng tọa độ.

Định nghĩa vectơ theo phương trình () mang bản chất hình học của vectơ và có vẻ rất khác thường. Nhưng thực ra nếu xem xét kỹ, khi coi đa tạp ba chiều đi kèm với đạo hàm theo hướng (directional derivative)  với cơ sở vectơ  của giải tích vectơ cổ điển, khi đó rõ ràng rằng vectơ trong () lại được biểu diễn trùng với hệ ba vectơ ba chiều, tức là

khi  được biểu diễn trong hệ tọa độ DeCartes (phương trình thứ hai) và trong hệ tọa độ cầu (phương trình thứ ba) hoặc trong bất kỳ cơ sở tọa độ nào. Cách nhìn mới về vec tơ này cũng hữu ích khi mở ra cách nhìn mới về đối vectơ hay một dạng một (covector, one form). Quả vậy, chúng ta có thể quay trở lại định nghĩa trong () và xét tới vectơ hiệp biến  như là một toán tử  tác dụng lên vectơ sao cho khi áp dụng đối với vectơ  nó trả lại một số thực, nghĩa là

Khi coi là một toán tử tác dụng lên vectơ, đối vec tơ là một toán tử tuyến tính tức là 

với a, b là các hệ số hằng số. Ngoài ra, nó còn tuân theo luật phân phối

Cách giải thích hình học này đã thực sự thống nhất các khái niệm vectơ và đối vectơ (1-dạng, 1-form). Theo cách này, một vec tơ  xác định lên đường cong mà nó tiếp tuyến với, trong dạng một  xác định gradien của một hàm vô hướng dọc cùng cung đó. Hơn nữa, dạng một tác dụng lên vectơ tạo ra một số độc lập với tọa độ và do vậy là bất biến tương đối tính. Tính chất quan trọng này được chứng minh bắt đầu bằng định nghĩa () khi viết trong hệ tọa độ mới 

Tính chất bất biến này cũng áp dụng cho định nghĩa () của vectơ và cho phép chúng ta suy ra quy tắc biến đổi của cơ sở vectơ

do đó, gộp các thành phần của vectơ  ta được

Vì thế, đối với mọi vectơ không tầm thường ta có

Mặc dù biểu thức () không phải là phương trình biến đổi cho thành phần tọa độ, nhưng chúng ta nhận ra ngay lập tức sự tương tự giữa () và quy tắc biến đổi cho thành phần của đối vectơ trong (). Vì vậy có thể nói rằng cơ sở vectơ biến đổi theo quy tắc giống như các thành phần của đối vectơ biến đổi và theo "cách ngược lại" với thành phần của vectơ. Chú ý rằng chữ "ngược" trong dấu hai phẩy vì nếu ta đọc biến đổi vectơ cơ sở trong () như là biểu diễn ma trận của sự thay đổi cơ sở, thì biểu diễn ma trận tương ứng trong () chấp nhận nghịch đảo của ma trận chuyển vị sử dụng trong () chứ không phải nghịch đảo của ma trận này (xem ở phần Gradien của hàm số).

Cuối cùng, khi đã giới thiệu định nghĩa cơ sở vectơ, sẽ tự nhiên khi đặt ra câu hỏi về định nghĩa cơ sở của đối vectơ do vectơ và đối vectơ (hay dạng một) là những đại lượng đối ngẫu, nghĩa là

do đó một cơ sở vectơ  sinh ra một cơ sở đối vectơ , và bất kỳ một đối vectơ  có thể biểu diễn theo các thành phần của nó

Để chứng minh () là đúng, chúng ta có thể sử dụng () và () để nhận được
^\mu (\boldsymbol V) \\
& = p_\mu \boldsymbol{\tilde \omega}^\mu (V^\nu \boldsymbol e_\nu) \\
& = p_\mu V^\nu \boldsymbol{\tilde \omega}^\mu (\boldsymbol e_\nu)=p_\mu V^\nu \delta^\mu_\nu. \\
\end{align}
</math>|}}

Tenxơ
Định nghĩa của vectơ và đối vectơ đã giới thiệu ở phần trước là cơ sở cho nội dung của phần này. Chúng đã được giới thiệu để xác định các đối tượng hình học độc lập với bất kỳ hệ tọa độ nào và chúng ta đã học được rằng khi đưa ra một hệ tọa độ và chuyển đổi sang hệ tọa độ khác, các vectơ phản biến và vectơ hiệp biến biến đổi theo những quy tắc đơn giản trong () và ().

Có ít nhất hai khía cạnh của vec tơ (hoặc đối với vectơ phản biến hoặc hiệp biến) mà khá rõ ràng. Thứ nhất đó là chúng ta không nhất thiết phải giới hạn định nghĩa vectơ tại một điểm. Mặt khác chúng ta có thể nghĩ tới toàn bộ miền của đa tạp  và thông qua một hàm trơn khả vi chúng ta gắn mỗi vectơ tại mỗi điểm của miền này, qua đó định nghĩa lên trường vectơ

với  là giá trị của trường tại điểm P. Hơn nữa, trường vectơ được nói là khả vi nếu các thành phần của nó là những hàm tọa độ khả vi trong mọi hệ tọa độ. Khía cạnh thứ hai đó là vectơ chỉ là thành phần đơn giản nhất của một lớp đối tượng hình học tổng quát hơn gọi là tenxơ. Cũng như đối vectơ hiệp biến và vectơ phản biến, ten xơ có thể coi như là những đối tượng hình học mà được xác định hoàn toàn theo những tính chất dưới một phép biến đổi tọa độ.

Nhất quán với cách tiếp cận này, chúng ta định nghĩa một tenxơ phản biến hạng hai là một đối tượng hình học , mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ  sang hệ mới 
{\partial x^\mu} \dfrac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^\nu} T^{\mu \nu} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \Lambda^{\nu'}{}_\nu T^{\mu \nu}</math>|}}
Tương tự chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng hai là một đối tượng hình học , mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ  sang hệ 
{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} T_{\mu \nu} = \Lambda^\mu{}_{\mu'} \Lambda^\nu{}_{\nu'} T_{\mu \nu}</math>|}}

Nếu hệ tọa độ là thông thường, cả hai biểu thức () và () sẽ thừa nhận phép biến đổi ngược và có thể suy ra trực tiếp dựa trên các biểu thức () và (). Một cách tự nhiên, chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hỗn hợp là một đối tượng hình học có cả thành phần hiệp biến và phản biến. Do vậy, ví dụ, chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hỗn hợp loại (4,2) (tức là nó có bốn thành phần phản biến và hai thành phần hiệp biến)  mà quy tắc biến đổi khi chuyển từ hệ tọa độ  sang hệ  là

và biến đổi ngược sẽ là

Từ hai ví dụ trên sẽ không khó để hình dung ra cách xây dựng một tenxơ với số thành phần phản biến và hiệp biến là bất kỳ. Chúng ta có thể xây dựng lên không gian vectơ  là tập hợp mọi tenxơ kiểu (m, n), ví dụ .

Giờ đây chúng ta có thể coi vectơ và đối vectơ như là những tenxơ kiểu đặc biệt (lần lượt là kiểu (1, 0) và (0, 1)). Viết tenxơ theo các cơ sở vectơ () và cơ sở đối vectơ () để biểu diễn một tenxơ hỗn hợp như là đối tượng hình học độc lập với hệ tọa độ. Ví dụ đối với tenxơ hỗn hợp loại (1, 1) là
|}}
với ký hiệu  là tích tenxơ. Chú ý rằng tích này không có tính giao hoán, tức là . Do vậy, hai tenxơ  và  là hai tenxơ khác nhau.

Tương tự như đối với vectơ, chúng ta có thể định nghĩa trường tenxơ bằng cách gán cho mỗi tenxơ kiểu (m, n) vào từng điểm P

với  là giá trị của trường tenxơ tại P. Cũng vậy, trường tenxơ được nói là khả vi nếu các thành phần của nó là những hàm tọa độ khả vi trong mọi hệ tọa độ. Kể từ đây, chúng ta luôn luôn ám chỉ đến trường tenxơ mặc dù đôi khi chỉ viết ngắn gọn là tenxơ.

Nói chung, nếu một tenxơ có N chỉ số xác định trên đa tạp có D chiều, thì nó sẽ có  thành phần. Do vậy, trong đa tạp bốn chiều mà chúng ta quan tâm, chúng ta có thể coi tenxơ là những ma trận có 4, 16, 64, 256 thành phần tương ứng với các ten xơ có 1, 2, 3, và 4 chỉ số. Có thể xảy ra trường hợp những thành phần này không độc lập hoàn toàn với nhau, như sẽ nêu ở phần dưới.

Tóm lược lại phần này:
 - : là vectơ phản biến hay vectơ, hoặc là tenxơ phản biến hạng 1, hoặc tenxơ kiểu (1, 0) hoặc .
 - : là vectơ hiệp biến hay đối vectơ, hoặc dạng một, hoặc là tenxơ hiệp biến hạng 1, hoặc tenxơ kiểu (0, 1) hoặc .
 - : là là tenxơ hiệp biến hạng 2, hoặc tenxơ kiểu (0, 2) hoặc .
 - : là là tenxơ hỗn hợp hiệp biến hạng 4 phản biến hạng 2, hoặc tenxơ kiểu (2, 4) hoặc .

Đại số tenxơ
Khi sử dụng thuyết tương đối rộng không thể tránh gặp phải những tính toán với sự có mặt của tenxơ và do vậy việc làm quen với các tính toán cơ bản của đại số tenxơ là điều cần thiết, và cuối cùng chúng ta đi tới giải tích tenxơ trong phần Không thời gian cong trong thuyết tương đối rộng. Bên cạnh những tính chất tuyến tính đã gặp ở đối vectơ hay dạng một (covector, one form) trong () mà đã được mở rộng thông thường khi coi vectơ  và dạng một  là những tenxơ. Chúng ta liệt kê dưới đây một số tính chất quan trọng nhất của tenxơ cũng như các phép toán liên quan:
 Tenxơ không: Nếu một ten xơ mà mọi thành phần của nó bằng 0 trong một hệ tọa độ, thì nó là tenxơ không và các thành phần của nó sẽ bằng 0 trong mọi hệ tọa độ. 
 Tenxơ đồng nhất bằng nhau: Nếu hai ten xơ cùng loại mà mọi thành phần của chúng tương ứng bằng nhau trong một hệ tọa độ, thì chúng được nói là đồng nhất bằng nhau, và các thành phần sẽ tương ứng bằng nhau trong mọi hệ tọa độ.
 Hàm vô hướng: Tích của một trường vô hướng φ với một tenxơ có kiểu cho trước sẽ thu được một tenxơ có cùng kiểu, tức là nếu  và  thì .
 Phép cộng: Khi cộng hai tenxơ cùng kiểu sẽ thu được một tenxơ cùng kiểu, nếu  thì .
 Phép nhân: Khi nhân hai tenxơ có kiểu bất kỳ sẽ thu được một tenxơ có kiểu bằng tổng các kiểu tương ứng (tức là tổng các chỉ số phản biến và hiệp biến), hay còn gọi là tích ngoài của tenxơ, nếu  và  thì  khi đó . Sử dụng ký hiệu thành phần, với m=q=2 và n=p=1 thì .
 Rút gọn tenxơ: Thực hiện thu gọn một cặp chỉ số của tenxơ kiểu (m, n) thu được tenxơ kiểu mới (m-1, n-1) tức là .
 Tenxơ đối xứng và phản xứng: Một tenxơ kiểu (m, n) được nói là đối xứng trên một cặp chỉ số bất kỳ p và q (hoặc là hiệp biến hoặc là phản biến) nếu các thành phần của nó không thay đổi khi thay đổi hai chỉ số này cho nhau. Ngược lại, ten xơ là phản xứng nếu nó đổi dấu khi thay đổi hai cặp chỉ số này cho nhau. Ví dụ đối với m = 0 và n = 2, 

Theo kết quả của () và () có thể xây dựng một tenxơ đối xứng hoặc phản xứng bằng một tenxơ bất kỳ 

với các dấu ngoặc tròn và ngoặc vuông ký hiệu cho tương ứng tenxơ đối xứng và tenxơ phản xứng. Và hệ quả rõ ràng từ () đó là một tenxơ bất kỳ luôn luôn có thể phân tích ra thành tổng của tenxơ đối xứng và tenxơ phản xứng

Biểu thức () có thể mở rộng ra cho ten xơ có kiểu bất kỳ, ví dụ ten xơ đối xứng và ten xơ phản xứng hiệp biến kiểu (0,3) có thể viết dưới dạng tổng của các ten xơ có chỉ số hoán vị của nó: 

Những tính chất cuối này cho phép chúng ta đưa ra khái niệm tenxơ Levi-Civita, nó là mở rộng bốn chiều của ký hiệu Levi-Civita . Cụ thể, đối với một tenxơ g loại (0, 2) và với định thức g, , chúng ta định nghĩa tenxơ Levi-Civita là

|}}
với  là ký hiệu phản xứng toàn phần định nghĩa bởi

Thêm vào đó, khi thực hiện thu gọn tenxơ Levi-Civita chúng ta có tenxơ hoán vị

mà ten xơ hoán vị chính là mở rộng của ký hiệu Kronecker  tức là,

Tại sao chúng ta phải sử dụng tenxơ và đại số tenxơ đối với thuyết tương đối rộng? Bởi vì trong vật lý học nói chung và thuyết tương đối nói riêng, các nhà vật lý quan tâm tới định nghĩa và xác định các đại lượng độc lập với lựa chọn hệ tọa độ cụ thể sử dụng để phủ đa tạp. Chúng ta đã thấy các thành phần của tenxơ rất phụ thuộc vào hệ tọa độ, nhưng tenxơ và quan trọng nhất là phương trình tenxơ lại không phụ thuộc vào hệ tọa độ. Ví dụ, chúng ta xét phương trình tenxơ sau đây trong hệ tọa độ 

với k là hằng số và ta có thể coi  như là một toán tử vi phân biểu diễn dưới dạng thành phần tenxơ. Để thu được phương trình () trong hệ tọa độ  ta sử dụng trực tiếp về biến đổi tọa độ cho mỗi vế của phương trình ()

khi nhóm thừa số chung lại ta có

Vì phương trình () phải đúng trong mọi hệ tọa độ, do vậy phải có

mà nó có dạng giống hệt với phương trình (). Hay phương trình tenxơ được nói là hiệp biến theo nghĩa chúng có cùng dạng trong mọi hệ tọa độ. Kết quả là nếu chúng đúng (hay thỏa mãn) trong một hệ tọa độ, thì chúng cũng đúng trong mọi hệ tọa độ. Tính hiệp biến của phương trình tenxơ thể hiện một tính chất rất quan trọng của tenxơ và có nguồn gốc rất sâu sắc từ thuyết tương đối rộng.

Tenxơ quan trọng nhất: Tenxơ metric
Chúng ta vẫn chưa nói tới vấn đề làm thế nào để tính tích vô hướng giữa hai vectơ và đo được độ lớn của một vectơ. Cả hai phép toán tích vô hướng và tìm mô đun độ lớn đòi hỏi đa tạp không thời gian được trang bị một toán tử g, đó là ten xơ đối xứng hạng 2 hay kiểu (0, 2), mà khi nó tác dụng lên hai vectơ,  thì chúng ta thu được một số

Biểu thức trên chính là định nghĩa của tích vô hướng hai vectơ, và khi tích này bằng 0 ta nói hai vectơ trực giao với nhau. Theo cách tương tự đã chứng minh hàm  là không phụ thuộc hệ tọa độ (phương trình ()), chúng ta có thể chứng minh tích vô hướng cũng là một đại lượng bất biến, tức là . Định nghĩa mô đun độ lớn (hay độ dài) của một vectơ bất kỳ chính là trường hợp đặc biệt của () và tương ứng với tích vô hướng của chính nó,

Bây giờ chúng ta có thể quay trở lại phần Đa tạp không thời gian và coi không thời gian như là đa tạp  mà trên đó phủ một số hệ tọa độ. Khi có hai sự kiện P tại  và Q tại  trên , chúng ta mong muốn đo được bình phương khoảng không thời gian vô cùng bé (hay yếu tố đoạn-line element), ds2, theo vectơ dời chỗ vô cùng bé dx mà các thành phần của nó chính là . Khoảng cách này chính là tích vô hướng của hai vectơ và là đại lượng độc lập với hệ tọa độ 

Bởi vì có vai trò trong đo khoảng cách như ở phương trình () tenxơ đối xứng g thường được gọi là tenxơ metric (hay chỉ đơn giản là metric) và nó là tenxơ quan trọng nhất trong thuyết tương đối tổng quát. Dấu của tenxơ metric được định nghĩa bằng số giá trị riêng dương, âm hay bằng 0 của metric.

Khi đã lựa chọn hệ tọa độ để định vị và xếp thứ tự các sự kiện trong không thời gian, tenxơ metric cho phép chúng ta đo được khoảng cách giữa các sự kiện và do đó thực hiện được những phép đo vật lý. Trong khi biểu thức () chỉ giới hạn ở khoảng cách vô cùng bé, chúng ta có thể mở rộng nó ra cho khoảng cách hữu hạn và khoảng cách riêng giữa hai sự kiện nối với nhau bằng cung  bằng

Chúng ta có thể dễ dàng nhận ra biểu thức () rất giống với định lý Pythagoras áp dụng cho không thời gian khác với không gian Euclid. Để rõ hơn, lấy ví dụ về khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong không gian ba chiều theo các hệ tọa độ khác nhau

Ba biểu thức trên biểu diễn cùng một khoảng cách (tức là chúng thu được cùng một số) và xuất hiện trông khác nhau bởi vì chúng được viết ra trong ba hệ tọa độ khác nhau, lần lượt là hệ tọa độ Descartes ; hệ tọa độ trụ  và hệ tọa độ cầu . Rõ ràng đối với mỗi hệ tọa độ, tenxơ metric sẽ có dạng lần lượt . Chúng ta cũng thấy rằng hệ tọa độ Descartes có metric dạng đơn giản nhất và viết tương đương thành .

Định thức của tenxơ metric ký hiệu bằng  và chúng ta sử dụng nó để tính yếu tố thể tích riêng (proper volume element) khi tích phân trên miền không gian bốn chiều giới hạn bởi siêu mặt ∑

Hơn nữa metric là không kỳ dị khi và chỉ khi  khắp nơi đối với ánh xạ. Trong trường hợp này  có nghịch đảo  sao cho

Tính chất () cho phép chúng ta thực hiện nâng và hạ chỉ số của tenxơ bằng cách thu gọn tenxơ với tenxơ metric hoặc nghịch đảo của nó. Trong phép toán này, chỉ số được thu gọn (hay chỉ số câm) bị triệt tiêu và các chỉ số còn lại của tenxơ metric hoặc là hạ thấp (khi metric được sử dụng trong phép thu gọn) hoặc được nâng lên (trong trường hợp metric nghịch đảo được sử dụng). Ví dụ, đối với tenxơ T loại (2, 2) phép thu gọn nó với metric và metric nghịch đảo là

hoặc tổng quát hơn đối với ten xơ bất kỳ

Hai trường hợp đặc biệt đối với thu gọn ten xơ bằng ten xơ metric đó là đối với ten xơ hạng hai, khi kết quả thu gọn hoặc là dẫn tới vết nếu ten xơ đối xứng, hoặc bằng 0 nếu ten xơ phản xứng

Tính chất nâng và hạ chỉ số không chỉ là cách thuận tiện khi làm việc với đại số ten xơ mà còn là một cách để chứng tỏ ten xơ metric có thể được sử dụng để ánh xạ vectơ vào dạng một. Để thấy điều này, ta hãy xem lại phương trình () và coi metric như là một toán tử tác động lên hai vectơ. Hơn nữa, nếu cố định một vec tơ, U chẳng hạn, và coi nó như là một toán tử khi tác động lên một vectơ sẽ thu được một số (hay vô hướng)

mà ở cặp phương trình đầu tiên nhấn mạnh vào tính đối xứng của toán tử khi chúng ta có kết quả như nhau nếu "điền vào" dấu chấm một vectơ. Và khi cặp phương trình thứ nhất và cặp phương trình thứ hai tác động lên một vec tơ V sẽ cho cùng một kết quả

Về cơ bản phương trình () nói rằng ten xơ metric có thể dùng để ánh xạ một vec tơ U vào một đối vec tơ (hay dạng một) Ũ mà các thành phần sẽ là Uμ. Tương tự, nghịch đảo của metric g−1 sẽ cho ánh xạ từ đối vectơ vào vectơ, do đó hoàn thiện bức tranh đầy đủ về tính đối ngẫu giữa vectơ và dạng một. Ngoài ý nghĩa của tenxơ metric như đã nêu, chúng ta có thể viết lại tích vô hướng dưới đây

và viết lại thành

Hay nói cách khác, các thành phần của metric trong một hệ tọa độ biểu diễn tích vô hướng của các vectơ cơ sở của hệ đó. Đặc biệt, nếu hệ vectơ cơ sở thỏa mãn  thì hệ cơ sở này được gọi là hệ cơ sở trực chuẩn.

Tách một tenxơ thông qua vectơ
Một tính chất hữu ích của đại số tenxơ mà có thể áp dụng cho các phương trình vật lý đó là chúng ta có thể tách một tenxơ hạng 2 theo hướng song song và vuông góc với một vectơ. Xét một trường vec tơ U mà có trực chuẩn U.U = -1 và định nghĩa toán tử chiếu (hay tenxơ chiếu) h trực giao với U như là một tenxơ với các thành phần

mà nó thỏa mãn những đẳng thức sau đây

Với toán tử này chúng ta có thể tách một trường vectơ V thành các phần song song với U và trực giao với U, nghĩa là

với số hạng  là thành phần của V dọc theo U, trong khi số hạng  là thành phần của V trong không gian trực giao với U. Tương tự, có thể tách một tenxơ hiệp biến hạng 2 W bằng cách sử dụng tenxơ chiếu trên từng thành phần c]ủa nó, nhận được

với

Có thể phân tích  thành các phần đối xứng và phản đối xứng như trong biểu thức () và có

với  trong phương trình () là thành phần không gian, đối xứng và vết tự do của tenxơ W, tức là:

Kết quả của phân tích () có thể viết thành dạng không khả quy là

Mặc dù chúng ta vẫn chưa giới thiệu ra công cụ toán học cần thiết để tính đạo hàm theo cách không bị phụ thuộc vào hệ tọa độ (theo nghĩa hiệp biến), chúng ta vẫn có đủ công cụ toán học để miêu tả không thời gian bốn chiều đơn giản nhất, không thời gian phẳng.

Không thời gian phẳng: Thuyết tương đối hẹp
Xét hai hệ quy chiếu quán tính  và  chuyển động tương đối so với nhau với tốc độ hằng. Bởi vì tốc độ này là thuần túy thuộc về không gian và do vậy là vectơ-3, chúng ta sẽ ký hiệu nó là vận tốc-3  với các thành phần được tính bằng

ở đây chỉ số Latin i chạy từ 1 đến 3 và t là tọa độ thời gian. Trong phần này, chúng ta sẽ coi  hướng dọc theo trục x trong cả hai hệ quy chiếu  và . Do vậy, . Trong vật lý Newton, phép biến đổi đúng giữa hai hệ quy chiếu được miêu tả bằng phép biến đổi Galilei:

chúng là cơ sở cho tính bất biến của các định luật động lực học Newton Ý tưởng về một cái gì đó bị sai đến với Einstein sau khi ông nhận ra rằng phương trình Maxwell không bất biến dưới phép biến đổi Galilei () và () Thuyết tương đối hẹp đã được phát triển để giải quyết sự không tương thích này và nó là lý thuyết vật lý đầu tiên về không thời gian như là một thực thể. Mặc dù đã có nhiều thí nghiệm kiểm chứng tính đúng đắn của lý thuyết, thuyết tương đối đặc biệt có cấu trúc toán học tiên đề rất rõ ràng, khi nó dựa trên những giả sử sau đây:
 Không có hệ quy chiếu quán tính ưu tiên nào và các định luật vật lý là bất biến khi chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính.
 Tốc độ ánh sáng c là tốc độ lớn nhất mà thực thể vật lý và các sóng lan truyền có thể đạt tới. 
Chú ý rằng, và nó cũng là hệ quả của tiên đề thứ hai, và bởi vì tốc độ ánh sáng xuất hiện trong phương trình Maxwell, c phải có giá trị như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Cấu trúc tôpô và vi phân của thuyết tương đối hẹp là giống với cấu trúc toán học của lý thuyết Newton nhưng với định nghĩa khác về khoảng cách hay khác về mêtric. Trong hệ tọa độ Descarte, tenxơ metric  của không thời gian trong thuyết tương đối hẹp, hay không thời gian Minkowski là

Mêtric này còn gọi là mêtric không thời gian phẳng do độ cong hình học tương ứng của không gian bằng 0 ở khắp nơi (xem Tenxơ Riemann). Nguyên tố đoạn () viết theo metric () được viết thành

Rõ ràng là, trong cùng một không thời gian phẳng, một hệ tọa độ khác - ví dụ hệ tọa độ cầu, sẽ cho tenxơ mêtric khác với dạng của (). Tuy nhiên có một định lý quan trọng đối với không thời gian phẳng đó là: độc lập với hệ tọa độ dùng để bao phủ đa tạp không thời gian phẳng, luôn luôn có một biến đổi tọa độ toàn cục để đưa tenxơ mêtric của hệ tọa độ đó về dạng ().

Chúng ta vẫn phải tìm ra phép biến đổi chính xác thay thế cho biến đổi Galilei ở trong () và () và cũng là cốt lõi của thuyết tương đối hẹp. Bên cạnh thể hiện được sự chuyển đổi từ hệ quy chiếu quán tính  sang  và đáp ứng được đòi hỏi về tính bất biến của nguyên tố đoạn  (xem phần Tenxơ quan trọng nhất: Tenxơ mêtric), phép biến đổi cũng phải đáp ứng được những điều kiện khác. Không những  không thay đổi giá trị mà nó phải giữ nguyên dạng phương trình khi chuyển sang hệ quy chiếu quán tính khác, hay . Điều kiện thứ hai này là cần thiết vì nếu không sẽ có cách phân biệt các hệ quy chiếu quán tính. Phép biến đổi Lorentz đáp ứng được những điều kiện này:

trong đó

 = \frac{1}{\sqrt{1 - V^2}},</math>|}}

là hệ số Lorentz có giá trị bằng 1 (khi V = 0) và tiến tới  khi V  1. Sử dụng (), dạng ma trận cho biến đổi vectơ giữa các hệ tọa độ trong thuyết tương đối hẹp - hay ma trận biến đổi Lorentz (xem phần Vectơ tiếp tuyến)

mà cần nhấn mạnh một lần nữa đó là biến đổi tọa độ này tương đương với sự chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính. Chú ý rằng ma trận biến đổi () có dạng đối xứng, và vì vậy nó bằng ma trận chuyển vị của nó, ma trận có định thức bằng 1 vì ma trận nghịch đảo có thể nhận được bằng cách thay V bằng -V. Ma trận nghịch đảo này có thể dùng cho phương trình () để tìm hệ cơ sở vectơ đơn vị của quan sát viên  theo hệ cơ sở vectơ đơn vị của quan sát viên .

Tất cả những hệ quả kỳ lạ của thuyết tương đối hẹp mà không có ở vật lý Newton, như khái niệm về tính tương đối của sự đồng thời, sự co độ dài Lorentz, sự giãn thời gian, nghịch lý sinh đôi đều có thể rút ra từ các phương trình () (). Hai sự kiện P và Q được nói là tách nhau kiểu thời gian nếu nguyên tố đoạn giữa chúng ds2 < 0, theo nghĩa trong mỗi hệ quy chiếu khoảng cách không gian giữa hai sự kiện  luôn có thể đạt tới bằng một vật chuyển động với vận tốc v < c trong khoảng thời gian . Khi ds2 = 0 hai sự kiện được nói là tách nhau rỗng và chúng chỉ có thể liên hệ nhân quả được với nhau thông qua tia sáng. Lấy một sự kiện P(xi, t) bất kỳ trong không thời gian, tập hợp các tia sáng từ nó sẽ định ra nón ánh sáng của P về quá khứ và trong tương lai phụ thuộc vào hướng đến hay hướng ra của tia sáng. Cuối cùng hai sự kiện P và Q được nói là tách nhau kiểu không gian nếu ds2 > 0, hàm ý rằng trong mọi hệ quy chiếu khoảng cách không gian dl giữa hai sự kiện luôn luôn lớn hơn khoảng cách mà ánh sáng có thể lan truyền trong khoảng thời gian . Nội dung này được thể hiện trong hình 1.1 với nón ánh sáng quá khứ và tương lai của sự kiện P. Hai sự kiện được nói là có liên hệ nhân quả nếu và chỉ nếu chúng nằm trong nón ánh sáng của nhau.

Chúng ta có thể mở rộng khái niệm này đối với vectơ: một vectơ-bốn bất kỳ U gọi là vectơ kiểu thời gian, kiểu không gian và vectơ rỗng nếu có tương ứng U.U < 0, U.U > 0, U.U = 0, các ví dụ về những vec tơ này được thể hiện trong hình 1.1.

Nếu hai sự kiện tách nhau kiểu thời gian, thì khoảng thời gian tối thiểu dτ giữa chúng đo bởi một quan sát viên khi anh ta thực hiện gán cho mỗi sự kiện có cùng tọa độ không gian, hay dx = dy = dz = 0, do vậy ds2 = -dt2 = -d2. Bời vì tính bất biến của nguyên tố đoạn, điều kiện này phải thỏa mãn trong mọi hệ quy chiếu khác, nơi chúng có dạng

 
từ đó ta có

Bởi vì  là thời gian đo bởi quan sát viên từ đồng hồ gắn liền với anh ta, nên thời gian này thường được gọi là thời gian riêng.

Từ đây, chúng ta định nghĩa ra vectơ-bốn vận tốc u:

mà chúng ta coi nó như là một vec tơ tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong được xác định bởi tham số  (xem phương trình ()), ví dụ tuyến thế giới của hạt nếu u là vận tốc-bốn của hạt. Hơn nữa, theo định nghĩa của thời gian riêng  trong () có thể dễ dàng kết luận rằng vectơ-bốn vận tốc u phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

Các biểu thức () và () được viết cho trường hợp tổng quát, do vậy chúng cũng đúng cho trường hợp được viết trong không thời gian cong mà sẽ giới thiệu ở phần tiếp theo. Dễ dàng thiết lập lên mối liên hệ giữa vectơ-bốn vận tốc u và vận tốc-ba không gian  và nó được biểu diễn thông qua thành phần của vectơ-bốn vận tốc

từ đây vận tốc-ba được biểu diễn bằng

Lưu ý rằng trong hệ tọa độ mà hạt đứng yên,  vectơ-bốn vận tốc có thành phần . Kết quả là, trong hệ quy chiếu mà hạt đứng yên, vectơ-bốn vận tốc có hướng chỉ theo vectơ cơ sở thời gian . Bây giờ giả sử hệ quy chiếu  chuyển động với vận tốc V dọc theo trục x so với hệ quy chiếu , và vận tốc-ba của hạt trong  là  cũng như trong  là , chúng ta có định luật cộng vận tốc đối với vận tốc-ba

{\gamma(1 + v^{x'}V)}, \quad v^z = \frac{v^{z'}}{\gamma(1 + v^{x'}V)}</math>|}}

Có thể dễ dàng nhận ra rằng định luật () thu về định luật cộng vận tốc Galilei  khi .

Nếu m là khối lượng nghỉ của hạt thì động lượng tương đối tính của nó được định nghĩa bằng:

và các thành phần của nó là:

Năng lượng tương đối tính được định nghĩa bằng:

mà nó trùng với thành phần thứ 0 của động lượng-bốn

và thỏa mãn

Với , sử dụng khai triển Taylor theo đối số  giúp nhận rõ ra được năng lượng tương đối tính khác so với năng lượng trong cơ học Newton như thế nào:

Trong khi số hạng thứ hai chính là động năng của hạt trong cơ học Newton thì số hạng thứ nhất lại mới lạ và vắng mặt trong cơ học cổ điển. Nó biểu diễn cho năng lượng nghỉ của hạt

mà giá trị này khác 0 ngay cả khi hạt đứng yên. Hiệu số E - E0 được coi là động năng tương đối tính

Chú ý rằng, khi v = 1 cả động năng và năng lượng phân kỳ cho thấy bản chất không có một vật thể với khối lượng hữu hạn nào có thể chuyển động với vận tốc ánh sáng được. Tuy nhiên, photon, hạt lượng tử ánh sáng, có khối lượng bằng 0 nhưng nó vẫn có động lượng

Một lưu lý khác, đó là vận tốc-bốn () không xác định cho photon (và những hạt không có khối lượng khác) vì chúng di chuyển trên đường thế giới kiểu ánh sáng (null worldline), do vậy thời gian riêng của chúng bằng 0 và khoảng bất biến . Điều này tương đương với phát biểu không có hệ quy chiếu chuyển động cùng với photon và do đó chúng đứng yên trong hệ đó.

Không thời gian cong: Thuyết tương đối rộng
Như đã thảo luận ở phần trước, thuyết tương đối hẹp dựa trên sự tồn tại của hệ quy chiếu quán tính, những hệ chuyển động với vận tốc không đổi và luôn luôn có thể gắn lên chúng những hệ tọa độ mà khoảng cách riêng và thời gian riêng không phụ thuộc vào vị trí. Trong khi thuyết tương đối đặc biệt và những hệ quả của nó đã được kiểm tra vô số lần trong các máy gia tốc vật lý hạt năng lượng cao, nơi bỏ qua được tác động của lực hấp dẫn, rõ ràng rằng các tiên đề cơ sở của thuyết tương đối hẹp không phù hợp với sự có mặt của một trường hấp dẫn. Xem thêm các bài thí nghiệm Eötvös và GPS về những cơ sở thực nghiệm cho thấy điều này. Cũng nhận thấy rằng các phương trình của cơ học Newton không bất biến dưới phép biến đổi Lorentz (tính bất biến của phương trình Maxwell là một đòi hỏi cơ bản trong sự phát triển của thuyết tương đối hẹp). Kết quả là, tương tác hấp dẫn phải cần thiết xuất hiện thông qua sự mở rộng các định luật vật lý bao hàm các tiên đề của thuyết tương đối hẹp. Như chỉ ra ở bên dưới, điều này cho phép việc mở rộng các khái niệm và định nghĩa trong không thời gian như là một đa tạp phẳng sang thành một đa tạp cong.

Về mặt lịch sử, xuất phát điểm của sự phát triển thuyết tương đối tổng quát đó là trình bày cách phát biểu của nguyên lý tương đương. Trong cách phát biểu mạnh: nguyên lý tương đương khẳng định rằng các định luật vật lý trong một hệ quy chiếu rơi tự do là giống với khi chúng ở trong hệ quy chiếu quán tính. Nội dung này đến từ thực tế rằng, ít nhất trên phạm vi cục bộ, không thể phân biệt được thông qua các thí nghiệm và đo đạc vật lý một hệ quy chiếu quán tính với một hệ quy chiếu đang rơi tự do trong trường hấp dẫn. Trong cả hai hệ, chuyển động của vật không phụ thuộc vào khối lượng cũng như thành phần vật liệu cấu tạo nên nó. Bản chất của nguyên lý đó là hấp dẫn ngăn cản sự tồn tại của một hệ quy chiếu quán tính và cách để tạo ra một hệ quy chiếu quán tính đó là loại bỏ hấp dẫn bằng quá trình rơi tự do. Cũng có dạng phát biểu "yếu"của nguyên lý tương đương, tạo thành phát biểu bổ sung cho nguyên lý tương đương mạnh: các định luật vật lý trong một hệ quy chiếu không quán tính (có gia tốc) là như nhau so với khi chúng trong hệ quy chiếu nhúng vào một trường hấp dẫn. Bản chất của cách phát biểu thứ hai này đó là trường hấp dẫn thể hiện giống với hệ quy chiếu phi quán tính (có gia tốc).

Theo sau sự logic này, lý thuyết bao gồm các hiệu ứng hấp dẫn bắt đầu từ sự phân tích các hệ quy chiếu phi quán tính, cụ thể hơn, từ tính chất quan trọng của chúng khi được miêu tả bằng một metric mà không thể đưa về dạng (). Lúc đó nguyên lý tương đương được sử dụng để tìm ra sự biểu hiện của một trường hấp dẫn mà gắn liền với một tenxơ mêtric mà sẽ khác hẳn với dạng (). Ví dụ, giả sử trong không thời gian phẳng phủ bởi hệ tọa độ Descarte chúng ta thực hiện sự thay đổi hệ tọa độ thông qua biến đổi tọa độ, từ một hệ quy chiếu quán tính sang hệ quy chiếu khác quay với vận tốc góc  quanh trục z:

Hệ quy chiếu mới rõ ràng là phi quán tính (do xuất hiện lực hướng tâm và lực Coriolis) và mêtric trong hệ quy chiếu mới này thay đổi từ dạng chéo hóa như ở () thành dạng không chéo hóa biểu diễn bằng nguyên tố đoạn:

Ở đây, một hệ quy chiếu phi quán tính, mà chúng ta đã thấy là có liên quan đến trường hấp dẫn, có thể được miêu tả bằng một mêtric không có dạng đường chéo. Từ ví dụ này có thể phỏng đoán rằng mêtric miêu tả trường hấp dẫn có thể khác với dạng mêtric trong (). Theo nghĩa này, hấp dẫn không còn được coi là một dạng "lực nữa" mà là biểu hiện của sự cong không thời gian.

Chú ý rằng, trong ví dụ ở trên, không thời gian luôn luôn là phẳng độc lập với cách chọn hệ quy chiếu, do vậy luôn có thể từ mêtric () viết trở lại dạng biểu diễn ma trận có tính đối xứng với các hệ số không đổi. Điều này là không thể trong không thời gian cong chân chính và đây quả thực là một trong những tính chất khác biệt của không thời gian cong, mà chúng ta có thể coi nó là phẳng trên phạm vi cục bộ, trong khi không thời gian phẳng lại phẳng trên phạm vi toàn cục.

Bây giờ chúng ta có thể tóm lược những miêu tả ở trên, đặc biệt về tenxơ mêtric miêu tả trường hấp dẫn, để đi đến định nghĩa toán học chính xác về không thời gian không phẳng. Cụ thể hơn, chúng ta xác định một không thời gian cong là một đa tạp mà một điểm  trên nó có thể xác định được một tập hợp hệ tọa độ  sao cho mêtric giả sử có dạng

Nói cách khác, trong khi một không thời gian cong có thể xuất hiện dưới dạng phẳng cục bộ trong lân cận của một điểm của bất kỳ, với , nó không thể phẳng khi xét trên mọi điểm. Kết luận này và với độ yếu của trường hấp dẫn trên Trái Đất cũng giải thích sự thành công của thuyết tương đối hẹp khi nó miêu tả với độ chính xác cao các hiện tượng và kết quả vật lý trên phạm vi nhỏ của mọi thí nghiệm trong các phòng thí nghiệm.

Đạo hàm Lie
Một khái niệm hữu ích khi lần đầu tiên thảo luận về đạo hàm trong không thời gian cong đó là đạo hàm Lie của một trường vectơ tương ứng với một trường vectơ khác. Để đưa ra toán tử vi phân mới này, đầu tiên chúng ta cần gắn cho một trường vectơ bất kỳ  một họ các đường cong , gọi là đoàn đường cong của , với  là vectơ tiếp tuyến, tức là

với  là tham số thay đổi dọc cung. Thứ hai, chúng ta thấy rằng sự hội tụ cung cấp một ánh xạ  từ đa tạp vào chính nó. Thực tế, tại một điểm P bất kỳ trên đa tạp, tồn tại một và chỉ một đường cong thuộc đoàn đường cong đi qua nó. Do vậy điểm P có thể được ánh xạ vào điểm Q bằng cách kéo P dọc theo cung thuộc đoàn đường cong mà nó thuộc về, tức là

với  với  là đường cong thuộc đoàn đường cong đi qua hai điểm P và Q. Rõ ràng là ánh xạ () có thể kéo không chỉ các điểm mà còn là toàn bộ một đường cong hay tập hợp của các điểm. Bây giờ giả sử có một trường vectơ thứ hai  gắn với đoàn . Ý tưởng cơ bản về đạo hàm Lie của trường vectơ  tương ứng với trường vectơ  đó là so sánh vectơ  với vectơ nhận được sau khi kéo  dọc theo đoàn đường cong của . Theo đó, đạo hàm Lie của  dọc theo  là

với  là vectơ thu được bằng cách lấy vectơ tiếp tuyến tại điểm P thuộc đường cong của đoàn đường cong  và kéo (hay dịch chuyển) nó từ P tới Q. Hình 1.2 minh họa hai họ đoàn đường cong và các vectơ tiếp tuyến tương ứng trên chúng.

Theo thành phần tọa độ, phương trình () có thể biểu diễn theo phép biến đổi tọa độ như sau:

.\boldsymbol e_{\hat{\nu}} = \eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}</math>. Hơn nữa, nếu thành phần đầu tiên của một hệ cơ sở trực chuẩn là một vectơ 4-vận tốc của một quan sát viên, thì hệ cơ sở này được gọi là nhóm bốn (tetrad), và nó đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đo lường trong thuyết tương đối rộng vì những đo đạc trong hệ cơ sở nhóm bốn là tương đương với đo đạc trong một hệ quy chiếu quán tính. Tính chất quan trọng của hệ cơ sở trực chuẩn mới () và () đó là nó không phải là hệ cơ sở tọa độ, vì không thể thực hiện phép biến đổi tọa độ đơn giản từ hệ tọa độ Descartes thành hệ này, hay một cách tương đương, các hệ số cấu trúc của hệ cơ sở trực chuẩn khác 0, ví dụ

 = [\boldsymbol e_{\hat{r}}, \boldsymbol e_{\hat{\theta}}]^\theta = (\mathcal L_{\boldsymbol e_{\hat{r}}} \boldsymbol e_{\hat{\theta}})^\theta = \boldsymbol {e}_{\hat{r}}^\nu \partial_\nu \boldsymbol {e}_{\hat{\theta}}^\theta - \boldsymbol {e}_{\hat{\theta}}^\nu \partial_\nu \boldsymbol {e}_{\hat{r}}^\theta = \delta^\nu_r \partial_\nu \left(\frac{1}{r} \right) = - \frac{1}{r^2} \ne 0</math>|}}

Vì lý do này mà cơ sở trực chuẩn như () và () còn được coi là cơ sở phi tọa độ. Kể từ đây chúng ta sẽ ám chỉ cơ sở trực chuẩn với ký hiệu mũ bên trên chỉ số hiệp biến.

Định nghĩa đạo hàm Lie là rất cơ bản mà có thể xác định khi không cần một liên thông hay mêtric nào.

Đạo hàm hiệp biến và ký hiệu Christoffel

Khi xây dựng một toán tử vi phân mới nhằm mở rộng khái niệm đạo hàm từng phần sang cho không thời gian cong, chúng ta đã biết nó phải có tính chất chính xác gì. Đó là, khi tác dụng lên một tenxơ, toán tử vi phân mới này sẽ phải cho kết quả là một tenxơ mới. Đạo hàm từng phần chỉ thỏa mãn tính chất này đối với các phép biến đổi tọa độ tuyến tính. Tuy nhiên, dưới những điều kiện tổng quát hơn, chẳng hạn cho các biến đổi phi tuyến, kết quả của đạo hàm riêng không có tính chất giống như tenxơ. Ví dụ, xét biến đổi

{{NumBlk|:|. Sử dụng biến đổi này, phương trình Einstein () viết thành dạng gọn hơn

với số hạng thứ nhất trong vế trái của phương trình () có thể dễ dạng nhận ra đó là toán tử d'Alembert . Đến bước này, có thể khai thác tính tự do chuẩn (gauge freedom) của thuyết tương đối rộng để viết lại phương trình () thành dạng thuận tiện hơn. Cụ thể, nhờ chuẩn tự do cho phép chọn phần nhiễu loạn mêtric  bị loại bỏ trong phương trình () và thu được phương trình dạng sóng. Nổi bật nhất là, phần nhiễu loạn của mêtric có thể được chọn sao cho

Nhờ biến đổi chuẩn (), còn gọi là chuẩn Lorenz (hay chuẩn Hilbert), phương trình trường tuyến tính hóa thu được

và áp dụng đối với chân không

Phương trình () chỉ ra rằng, trong chuẩn Lorenz, phần mêtric nhiễu loạn lan truyền như dạng sóng làm biến dạng không thời gian phẳng.

Nghiệm đơn giản nhất của phương trình Einstein tuyến tính hóa () đó là nghiệm sóng phẳng có phương trình

và tất nhiên chúng ta chỉ quan tâm tới phần thực của () với A là tenxơ biên độ sóng,  là bốn-vectơ trống tức là nó thỏa . Trong những nghiệm như thế, sóng phẳng () lan truyền trong hướng không gian  với tần số . Chú ý rằng tenxơ biên độ A về nguyên lý có 16 - 6 = 10 thành phần độc lập, nhưng dễ dàng nhận thấy chỉ có hai thành phần độc lập tương ứng với bậc tự do động lực của thuyết tương đối tổng quát. Sự giảm số lượng thành phần độc lập có thể giải thích một cách đơn giản. Đầu tiên, A và  không thể tùy ý nếu chúng được dùng để miêu tả một sóng phẳng, kết quả là điều kiện trực giao giữa hai đại lượng sẽ giới hạn 4 trong 10 thành phần của A (xem điều kiện (a) ở bên dưới). Thứ hai, đó là chuẩn Lorenz toàn cục đã được chọn (phương trình ()) điều này không hoàn toàn cố định hệ tọa độ của lý thuyết tuyến tính. Phần chưa rõ còn lại, thực chất được bảo tồn thông qua sự thay đổi chuẩn tùy ý (arbitrary gauge change), thông qua phép biến đổi tọa độ vô cùng bé mà không bị giới hạn hoàn toàn ngay cả khi một chuẩn toàn cục đã được chọn. Để đánh giá đúng hơn điều này, xét một biến đổi tọa độ vô cùng bé bởi một bốn-vectơ dịch chuyển vô cùng bé 

Áp dụng biến đổi này đối với mêtric () tạo ra một tenxơ mêtric mới, mà đối với bậc thấp nhất có dạng

do vậy nhiễu loạn "mới" và "cũ" được liên hệ bởi biểu thức sau

hay cách khác

Để hệ tọa độ mới thỏa mãn điều kiện chuẩn Lorenz () , đòi hỏi bốn vectơ dịch chuyển là nghiệm của phương trình sóng thuần nhất

Kết quả là vectơ sóng phẳng với thành phần

thông qua bốn-hằng số bất kỳ , sinh ra biến đổi chuẩn làm thay đổi bốn thành phần tùy ý của A cùng với điều kiện . Do vậy,  chỉ còn 10 - 4 - 4 = 2 thành phần độc lập tuyến tính, tương ứng với số bậc tự do trong thuyết tương đối rộng. Chú ý rằng những xem xét này không phải là duy nhất đối với thuyết tương đối rộng và những lập luận tương tự cũng có thể thực hiện đối với điện động lực học cổ điển, nơi phương trình Maxwell là bất biến dưới phép biến đổi thế vectơ (vector potential) kiểu  với  là một hàm vô hướng bất kỳ, do vậy tenxơ điện từ tương ứng sẽ là . Tương tự, trong lý thuyết tuyến tính hóa thuyết tương đối rộng, biến đổi chuẩn trong () sẽ bảo tồn các thành phần của tenxơ Riemann .

Tổng kết lại, cách thuận tiện để giới hạn các thành phần của tenxơ biên độ thông qua các điều kiện sau:
(a): Điều kiện trực giao: Bốn thành phần của tenxơ biên độ được xác định cụ thể nếu A và  được chọn để trực giao, 
(b): Hệ tọa độ Lonrentz toàn cục: Giống như trong thuyết tương đối hẹp, có thể xác định một hệ tọa độ Lorentz toàn cục tương đối đối với một quan sát viên có bốn-vận tốc u. Trong trường hợp này, ba thành phần của tenxơ biên độ có thể xác định sau khi chọn một bốn-vận tốc u trực giao với A, .
(c): Biến đổi chuẩn vô cùng bé: Thành phần cuối cùng của tenxơ biên độ có thể triệt tiêu sau khi chọn vectơ dịch chuyển vô cùng bé  sao cho .

Chú thích

Sách tham khảo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Vật lý toán học