Phát biểu toán học của cơ học lượng tử

Phát biểu toán học của cơ học lượng tử là các hình thức toán học cho phép mô tả chặt chẽ cơ học lượng tử.

Các tiên đề

Tiên đề 1 
Nội dung của tiên đề 1 nói về các đại lượng quan sát được và các toán tử: 
Mỗi đại lượng quan sát được, hay biến số động lực, A trong cơ học lượng tử tương ứng với một toán tử  sao cho phép đo A thu được giá trị a là các giá trị riêng của , nghĩa là các giá trị a là những giá trị mà phương trình trị riêng  có nghiệm ; khi đó  là hàm riêng của toán tử  tương ứng với trị riêng a.

Ví dụ thứ nhất 
Toán tử xung lượng  là . Xét hạt chuyển động một chiều trên trục . Khi đó

và phương trình trị riêng của toán tử xung lượng là

,

trong đó  là các giá trị khả dĩ mà ta sẽ thu được khi đo thành phần trên trục  của xung lượng; hàm sóng  tương ứng với một giá trị xác định của xung lượng  là hàm mà  là xác suất tìm thấy hạt với xung lượng  trong khoảng .

Giả sử hạt tự do (không có điều kiện biên) khi đó ta có nghiệm

,

trong đó số sóng , như vậy  là hàm tuần hoàn theo .

Ta hãy tìm bước sóng :

   ,

tức là 

(hệ thức De Broglie , trong đó tần số góc , vector sóng , mỗi phôton có năng lượng  và xung lượng )

Ta thấy rằng hàm riêng của toán tử xung lượng tương ứng với trị riêng  có bước sóng là bước sóng De Broglie .

Vậy hàm riêng và trị riêng của toán tử xung lượng là

Ví dụ thứ hai 

Toán tử tương ứng với năng lượng là toán tử năng lượng hay toán tử Hamilton , trong đó  được thay bởi .

Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng  trong trường thế  là

Phương trình trị riêng có dạng

Đây chính là phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian.

Xét hạt tự do: 

Đối với hạt tự do một chiều, ta có phương trình trị riêng

Đặt  ( được gọi là số sóng), ta có phương trình

Do không có điều kiện ban đầu nên

 là hàm riêng của toán tử  tương ứng với trị riêng năng lượng .

Ta nhận thấy rằng hàm  ứng với  cũng là hàm riêng của toán tử xung lượng .

Việc hai toán tử  và  của một hạt tự do có chung hàm riêng là một trường hợp đặc biệt của một định lý tổng quát hơn.

Tiếp theo ta hãy chứng minh rằng nếu  là hàm riêng của  thì  cũng là hàm riêng của .

Do  là hàm riêng của  nên ta có:

Do đó 

tức là  cũng là hàm riêng của .

Cả năng lượng và xung lượng của hạt tự do có các giá trị liên tục

nghĩa là chúng là trị riêng của bất cứ số sóng  nào.

Hàm riêng tương ứng là

Nếu hạt tự do ở trạng thái này thì phép đo xung lượng chắc chắn được giá trị , phép đo năng lượng chắc chắn được giá trị .

Giả sử ta đo vị trí  của hạt. Hạt sẽ ở đâu?

Theo Born, khi hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng  thì mật độ xác suất liên quan tới xác suất tìm thấy hạt trong khoảng  là . Mật độ xác suất cùng bằng một hằng số cho mọi . Vậy xác suất tìm thấy hạt ở bất cứ vị trí nào là như nhau.

Tiên đề 2 
Nội dung của tiên đề 2 nói về phép đo trong cơ học lượng tử: 
Phép đo biến số động lực  thu được giá trị  đưa hệ về trạng thái , trong đó  là hàm riêng của toán tử  tương ứng với trị riêng .

Ví dụ:

Hạt tự do chuyển động một chiều. Ta không biết hạt đang ở trong trạng thái nào, ở một thời điểm bất kỳ ta đo xung lượng của hạt và đạt được giá trị . Phép đo này đưa hệ về trạng thái , phép đo xung lượng sau đó chắc chắn thu được giá trị .

Giả sử, ta đo vị trí của một hạt tự do và đo được vị trí . Từ 2 tiên đề suy ra

(1) Có một toán tử  tương ứng với phép đo được vị trí .

(2) Đo  được giá trị  đưa hạt về hàm riêng của toán tử  tương ứng với trị riêng .

Ta có phương trình trị riêng

 trong đó  là hàm delta Dirac.

Tiên đề 3 
(Thiết lập sự tồn tại của hàm trạng thái và mối liên hệ của nó với các tính chất của một hệ)

Nội dung:

Trạng thái của hệ ở một thời điểm bất kỳ được biểu diễn bởi một hàm trạng thái hay hàm sóng  liên tục và khả tích. Tất cả thông tin liên quan đến trạng thái của hệ được chứa đựng trong hàm sóng.

Cụ thể, nếu hệ ở trạng thái  thì giá trị trung bình của biến số động lực  bất kỳ liên quan tới thời điểm  là

trong đó  là vi phân thể tích,  là giá trị kỳ vọng của biến số động lực .

Ý nghĩa vật lý của giá trị trung bình biến số động lực :

Biến số động lực  được đo trong một thí nghiệm xác định . Người ta chuẩn bị một số lượng  rất lớn các phép lặp của , các trạng thái đầu  của mọi phép lặp đều như nhau. Ở thời điểm , đo  trong tất cả các thí nghiệm lặp và thu được tập giá trị . Suy ra

Tiên đề 3 nói rằng giá trị trung bình tính được trong thí nghiệm bằng giá trị trung bình cho bởi tích phân.

Tiên đề 4
Nội dung của tiên đề 4 là về sự tiến triển theo thời gian của hàm trạng thái: 
Hàm trạng thái  của một hệ tiến triển theo thời gian theo phương trình

Đây chính là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian.

Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng  trong trường thế  là

Giả sử  không phụ thuộc : 

Trong trường hợp này ta có thể tìm nghiệm của phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian nhờ kỹ thuật tách biến:

Kết quả ta tìm được phần phụ thuộc thời gian

Giả sử phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, thu được các hàm riêng  và trị riêng :

Với mỗi nghiệm riêng như thế có một nghiệm riêng tương ứng với phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

điều này phù hợp khi  gián đoạn.

Trong trường hợp  liên tục, ví dụ như hạt tự do chuyển động một chiều, từ phương trìng Schrodinger không phụ thuộc thời gian

ta đã thu được hàm riêng  và trị riêng .

Với mỗi nghiệm không phụ thuộc thời gian ta có một nghiệm phụ thuộc thời gian tương ứng

, trong đó

Xem thêm
 Ký hiệu Bra-ket
 Hệ thức giao hoán 
 Mô hình Heisenberg
 Mô hình Schrödinger 
 Hàm sóng 
 Phép đo trong cơ học lượng tử 
 Bán cổ điển 
 Tích phân lộ trình 
 Phép gần đúng WKB 
 Logic lượng tử 
 Toán tử 
 Lý thuyết trường lượng tử 
 Tiên đề Wightman

Tham khảo 
Cơ học lựơng tử - Đinh Phan Khôi
http://plato.stanford.edu/entries/qm/
http://www.mtnmath.com/faq/meas-qm.html

Chú thích

Cơ học lượng tử
Lịch sử vật lý
Vật lý toán học