Hàm ngược

Trong toán học, hàm ngược của hàm  (hay còn gọi là nghịch đảo của ) là hàm hoàn tác lại tính toán của hàm . Nghịch đảo  chỉ tồn tại khi và chỉ khi  là song ánh, và nếu nó tồn tại thì nghịch đảo đó được ký hiệu là 

Cho hàm , nghịch đảo  được mô tả như sau:  hàm gửi mỗi phần tử  sang duy nhất một phần tử  sao cho .

Lấy ví dụ, xét hàm thực trả về giá trị thực sau: . Ta có thể hiểu  là hàm số nhân giá trị đầu vào với 3 rồi trừ đi 4 khỏi kết quả. Để lấy về giá trị gốc từ kết quả, ta làm ngược lại bằng cách thêm 4 vào đầu vào rồi chia kết quả cho 3. Khi đó nghịch đảo của  là hàm  được định nghĩa bởi:

Định nghĩa

Gọi  là hàm số mà miền của nó là tập , và đối miền của nó là tập . Khi đó,   được gọi là khả nghịch nếu tồn tại hàm  từ  sang  sao cho  với mọi  và  với mọi .

Nếu  khả nghịch, thì chỉ có duy nhất một hàm  thoả mãn tính chất. Hàm  được gọi là nghịch đảo (hay hàm ngược) của , và thường được ký hiệu là , ký hiệu này được giới thiệu bởi John Frederick William Herschel trong 1813.

Hàm  khả nghịch khi và chỉ khi nó là song ánh, bởi điều kiện  với mọi  sẽ suy ra  là đơn ánh và điều kiện  với mọi  suy ra  là toàn ánh.

Hàm ngược  của  có thể biểu diễn như sau

.

Nghịch đảo và hợp

Nhắc lại rằng nếu  là hàm khả nghịch với miền  và đối miền , thì

 , với mọi  và  với mọi .

Sử dụng phép hợp hàm, phát biểu trên có thể viết lại thành phương trình của các hàm số:

  và 

trong đó  là hàm đồng nhất trên tập ; tức là hàm số không thay đổi giá trị đầu vào. Trong lý thuyết phạm trù, phát biểu này có thể dùng làm định nghĩa cho cấu xạ nghịch đảo.

Xét phép hợp hàm giúp ta hiểu ký hiệu . Hàm được lấy bằng cách hợp liên tục hàm  với chính nó được gọi là hàm lặp. Nếu  được lặp lại  lần, bắt đầu từ giá trị , thì ta có thể viết là ; ví dụ, , v.v... Bởi , Hợp của  và  sẽ ra , "hoàn tác" lại một lần lặp của hàm .

Ký hiệu
Ký hiệu  thực ra có thể hiểu nhầm bởi   còn có thể hiểu là nghịch đảo phép nhân của hàm  chứ không phải là nghịch đảo của .Do vậy, ký hiệu  có thể được dùng thay thế cho hàm ngược để không bị nhầm lẫn với ký hiệu nghịch đảo phép nhân.

Thật vậy, để giữ và dùng chung ký hiệu này, một số tác giả người Anh đã viết các biểu thức như  để ký hiệu hàm ngược của hàm sin cho  (thực ra là nghịch đảo riêng phần; xem dưới).Song, nhiều tác giả khác nhận thấy các biểu thức này dễ nhầm lẫn với nghịch đảo phép nhân của , mặc dù có thể ký hiệu là . Để tránh bất cứ hiểu nhầm nào, hàm lượng giác ngược thường được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "arc" (trong Latin: ). Ví dụ chẳng hạn, nghịch đảo của hàm sin thường sẽ được viết là hàm arcsin hay . Tương tự như vậy, nghịch đảo của các hàm hyperbol được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "ar" (trong Latin: ). Lấy ví dụ, nghịch đảo của hàm sin hyperbol được viết là . Tuy nhiên, ký hiệu  vẫn có thể được dùng khi phân biệt giữa nghịch đảo đa giá trị với nghịch đảo riêng phần: . Các hàm ngược đặc biệt đôi khi được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "inv" (inverse, hay nghịch đảo), nếu ta cần phải phân biệt ký hiệu

Các ví dụ

Hàm bình phương và căn bậc hai
Hàm  đưa bởi  không phải đơn ánh vì  với mọi . Do đó,  không khả nghịch.

Nếu miền của hàm số trên giới hạn về các số thực không âm, tức là ta xét hàm  với cùng định nghĩa như trên, thì hàm số này song ánh và do đó khả nghịch. Hàm ngược này được gọi là căn bậc hai (dương) và được ký hiệu là .

Một số hàm ngược khác 
Bảng sau cho một số ví dụ về hàm ngược của một số hàm số:

Công thức hàm ngược 
Nhiều hàm số đưa bởi công thức đại số có công thức cho hàm ngược của nó. Lý do là bởi  của hàm khả nghịch  có mô tả sau

 .

Điều này giúp cho ta có thể xác định nhiều công thức khả nghịch. Lấy ví dụ, nếu  là hàm

 

thì để tìm  cho số thực , ta cần tìm duy nhất một giá trị  sao cho . Hay nói cách khác, ta cần giải phương trình sau:

 

Do đó, hàm ngược  có công thức sau

 

Đôi khi, hàm ngược có thể sẽ không có công thức dạng đóng. Lấy ví dụ, nếu  là hàm số

 

thì  là song ánh và do đó có hàm ngược . Công thức cho hàm số này được biểu diễn như sau:

Các tính chất
Bởi hàm số là một dạng đặc biệt của quan hệ hai ngôi, nhiều tính chất của hàm ngược có liên hệ với quan hệ ngược.

Tính duy nhất
Nếu tồn tại hàm ngược với hàm , thì hàm đó là duy nhất.

Tính đối xứng
Có đối xứng giữa hàm  và nghịch đảo của nó {{math|f−1. Chính xác hơn, nếu  là hàm khả nghịch với miền  và đối miền , thì nghịch đảo của nó  có miền  và ảnh , và nghịch đảo của  là hàm gốc . Viết bằng ký hiệu cho hàm  và  như sau,

 và 

Phát biểu này là hệ quả của việc để  khả nghịch thì nó phải là song ánh. Bản chất chập của nghịch đảo có thể biểu diễn như sau 

Nghịch đảo của hợp hàm là 

Để ý rằng thứ tự của  và  được đổi cho nhau; để lấy ngược lại  sau bởi , trước hết ta phải tính nghịch đảo , rồi mới đến .

Lấy ví dụ, gọi  và . Khi đó hợp  là hàm số đầu tiên nhân với ba rồi thêm năm,

 

Để đảo ngược quá trình, ta cần phải trừ 5 trước rồi mới chia 3,

Hàm tự nghịch đảo
Nếu  là tập hợp, thì hàm đồng nhất trên  là chính nghịch đảo của hàm đó:

 

Tổng quá hơn, hàm  bằng với nghịch đảo của nó, khi và chỉ khi hợp hàm  i bằng với . Các hàm như thế được gọi là phép chập.

Đồ thị của hàm ngược

Nếu   khả nghịch, đồ thị của hàm ngược của hàm

 

tương tự với đồ thị của hàm

 

Hàm này tương tự với hàm  định nghĩa đồ thị của , chỉ có điều vai trò  của  đã bị đổi cho nhau been. Do đó, đồ thị của  có thể thu được đồ thị của  bằng cách đổi chỗ trục  và trục . Điều này tương đương với phản xạ đồ thị qua đường
.

Nghịch đảo và đạo hàm
Định lý hàm ngược phát biểu rằng hàm liên tục  khả nghịch trên miền giá trị (ảnh) khi và chỉ khi nó đơn điệu (tức là không có cực trị. Lấy ví dụ, hàm

 

khả nghịch, vì đạo hàm
 luôn dương.

Nếu hàm  khả vi trên khoảng  và  với mỗi , thì nghịch đảo  khả vi trên .  Nếu , đạo hàm của hàm ngược được đưa bởi định lý hàm ngược,

 

Sử dụng ký hiệu Leibniz, công thức trên viết lại thành:

 

Kết quả này cũng có thể lấy được từ quy tắc hàm hợp.

Định lý hàm ngược có thể tổng quát hoá cho các hàm nhiều biến. Chính xác hơn, các hàm nhiều biến  khả nghịch trong lân cận của điểm  khi ma trận Jacobi của  tại  là ma trận khả nghịch. Trong trường hợp này, ma trận Jacobi của  tại  là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacobi của  tại .

Các ví dụ trong đời thực 
 Gọi  hàm số đổi nhiệt độ trong thang độ Celsius sang nhiệt độ trong thang độ Fahrenheit,  Hàm ngược của nó đổi nhiệt độ Fahrenheit về độ Celsius,  bởi 
 Giả sử  gán mỗi đứa trẻ trong gia đình năm sinh của nó. Một hàm ngược nào đó của  sẽ nhận đầu vào là năm sinh và đầu ra là đứa trẻ sinh năm đó. Tuy nhiên, nếu trong gia đình trong một năm có hai trẻ được sinh ra (ví dụ như sinh đôi, sinh ba, ...) thì giá trị của hàm số không thể biết được khi đầu vào là năm có nhiều hơn một đứa trẻ được sinh ra. Tương tự như vậy, nếu trong một năm mà không có đứa trẻ nào sinh ra, thì cũng không thể biết được giá trị hàm số. Tuy nhiên, nếu ta chỉ giới hạn về những năm có trẻ được sinh ra và giả sử rằng mỗi trẻ được sinh ra vào một năm khác nhau, thì chúng ta có hàm. Ví dụ chẳng hạn, 
 Công thức tính độ pH của dung dịch là . Trong rất nhiều trường hợp, ta cần tính nồng độ axit từ độ pH. Khi đó, ta sẽ dùng hàm ngược .

Nghịch đảo riêng phần

Xem thêm
 Định lý nghịch đảo Lagrange, tìm khai triển Taylor của hàm nghịch đảo của hàm giải tích
 Nguyên hàm của hàm ngược
 Biến đổi Fourier ngược
 Tính toán ngược được

Chú thích

Tham khảo

Thư mục

Đọc thêm

Liên kết ngoài 

 

Khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập hợp

Hàm một ngôi
Hàm nghịch đảo
Phép toán một ngôi