Số chiều Hausdorff

Trong toán học, Số chiều Hausdorff (còn được biết đến như là Số chiều Hausdorff - Besicovitch) là một số thực không âm mở rộng (có thể có giá trị ) ứng với một không gian metric nào đó. Số chiều Hausdorff tổng quát hóa khái niệm chiều của một không gian vectơ thực. Đó là, số chiều Hausdorff của một không gian tích trong n-chiều bằng n. Ví dụ như số chiều Hausdorff của một điểm là không, số chiều Hausdorff của một đường thẳng là một, và số chiều Hausdorff của mặt phẳng là hai. Tuy nhiên có, rất nhiều tập kì dị có số chiều Hausdorff không phải là số nguyên. Khái niệm này được đưa ra vào năm 1918 bởi nhà toán học Felix Hausdorff. Nhiều sự phát triển mang tính kĩ thuật được sử dụng để tính số chiều Hausdorff cho những tập hợp có tính kì dị cao được đạt được bởi Abram Samoilovitch Besicovitch.

Việc đưa ra số chiều Hausdorff nhằm khắc phục những khuyết điểm của số chiều Topo. Chẳng hạn như số chiều Topo không thể nói lên được bất cứ điều gì về kích thước của vật. Đường cong phủ không gian là một ví dụ điển hình cho khuyết điểm này. Những đường như đường Peano hay đường Hilbert có thể phủ toàn bộ hình vuông đơn vị có số chiều Topo là hai mặc dù chúng chỉ có số chiều Topo là một. Điều đó cho thấy đường Peano hay đường Hilbert "hành xử" như có số chiều Topo là hai.

Độ đo Hausdorff

Định nghĩa
Cho  là một tập con không rỗng của , đường kính của , ký hiệu , được định nghĩa là . Cho , nếu  là một họ đếm được (hay hữu hạn) những tập hợp thỏa  và  với mỗi , thì  được gọi là một -phủ của F.
Giả sử  là một tập con của  và  là một số không âm. Với mỗi , đặt

Độ đo Hausdorff s-chiều của , ký hiệu là  được định nghĩa là .

Ở đây ta cho phép giới hạn bằng . Định nghĩa trên xác định vì khi  giảm thì số bao phủ của  giảm. Do đó  tăng, vì vậy  hội tụ khi .

Tính chất
 
  nếu .
  nếu  là một họ đếm được của những tập Borel rời nhau.
 Nếu F là một tập Borel của , thì  trong đó  là độ đo Lebesgue của F trong ,  là thể tích của quả cầu đơn vị trong .

Định lý

 Nếu  và  thì  với .
 Cho  và  thỏa

với  và  thì với mỗi ,

Số Chiều Hausdorff
Xét tính chất sau của độ đo Hausdorff.

Nếu  và  là một -phủ của F thì 

Do đó 
 Cho , nếu  thì  với mọi . Điều đó cho thấy có một giá trị  mà tại đó  "nhảy" từ  xuống . Giá trị đó được gọi là số chiều Hausdorff của .

Định nghĩa
Cho . Số chiều Hausdorff của F, ký hiệu , được định nghĩa là 

Quy ước .

Tính chất
 
 Nếu  thì .
 Nếu  là một dãy những tập hợp thì .

Định lý
 Cho  và  thỏa  với  và  thì .
 Cho . Nếu tồn tại  sao cho  thì

Ví dụ
 Số chiều Hausdorff của một điểm trong  bằng .
 Số chiều Hausdorff của một tập đếm được trong  bằng .
 Số chiều Hausdorff của đường thẳng thực  bằng 1.
 Số chiều của  bằng .

Số chiều Hausdorff của các Fractal

Định nghĩa
Một Fractal (fractal) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy fractal có vô hạn các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra fractal bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy.

Hình học Fractal là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của fractal; những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ý niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật thể, do các phép đo thông thường của hình học Euclid và giải tích thất bại khi mô tả các fractal.

Tập tự đồng dạng
Đặc điểm chung của nhiều fractal là tính tự đồng dạng, biểu hiện ở chỗ chúng có thể phân tích thành bộ phận nhỏ tùy ý mà mỗi bộ phận ấy lặp lại y hệt cấu trúc toàn thể. Tính tự đồng dạng ấy thể hiện rõ ở tập Cantor hay đường Peano, tam giác Spierpinki...

Cho  là một tập con đóng của . Một ánh xạ:  được gọi là co nếu tồn tại  sao cho 
Trường hợp có dấu bằng, nghĩa là , thì S được gọi là một phép tự đồng dạng.

Cho  là các ánh xạ co. Tập con  được gọi là bất biến đối với họ các ánh xạ co  nếu

Đặt  là tập hợp tất cả các tập con compact khác trống của .
Một -phủ của  là tập hợp những điểm cách  quá lắm là : 
Lúc đó  trở thành không gian metric với khoảng các  cho bởi 

Định lý: Cho  là các ánh xạ co trên . Khi đó tồn tại một tập compact không rỗng  là một bất biến đối với các . Hơn nữa, xét một phép biến đổi  trên  cho bởi  và lặp thứ  của  cho bởi  với  thì  với mỗi  sao cho  với mỗi .

Số chiều Hausdorff của tập tự đồng dạng
Cho :  là các phép đồng dạng với tỷ số tương ứng . Một tập bất biến với họ các phép đồng dạng trên được gọi là tập tự đồng dạng (self-similar-set).Nếu tồn tại một tập mở bị chặn, không trống  sao cho  với các  rời nhau đôi một thì ta nói họ  thỏa điều kiện tập mở.

 Định lý: Với điều kiện tập mở được thỏa mãn cho các phép đồng dạng  trên  có tỷ số đồng dạng là ,  là tập bất biến, tức là  thỏa 
thì  với s cho bởi . Hơn thế nữa với  có được thì .

Ví dụ
 Tập Cantor.

Tập Cantor được xây dựng từ đoạn thẳng  và hai phép đồng dạng  (tỉ số đồng dạng ). Điều kiện tập mở được thoả mãn với  là khoảng . Vậy số chiều Hausdorff  là nghiệm của phương trình , tức .
 
 Đệm Sierpinski

Đệm Sierpinski được xây dựng bằng cách xuất phát từ một tam giác đều, chia nó ra bốn tam giác đều nhỏ bởi các đường nối trung điểm của các cạnh, bỏ tam giác ở giữa, rồi lặp lại cách làm đó cho mỗi tam giác còn lại, cứ thế tiếp tục mãi. Cụ thể, đệm Sierpinski được tạo bởi ba phép đồng dạng có tỉ số . Đó là ,, . Điều kiện tập mở được thỏa mãn với  là phần trong của tập  trong đó  là hình tam giác ban đầu, nên số chiều Hausdorff  là nghiệm duy nhất của phương trình . Do đó .

 Tập Mandelbrot có số chiều Hausdorff bằng 2.

 Đường Dragon có số chiều Hausdorff gần bằng 1,5236.

 Tập Julia có số chiều Hausdorff bằng 2.

Tham khảo 

 List of fractals by Hausdorff dimension http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension
 Kenneth Falconer, Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Application.
 Hoàng Tụy, Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội.
 Geroki Edgar, Measure Topology and Fractal Geometry, Second Edition, Springer.
 Space-filling curve http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve
 http://www.chem.unl.edu/rajca/highspin.html

Số thực
Toán học tô pô
Fractal
Hình học mêtric
H