Phương trình đường thẳng

Một số khái niệm

Vectơ chỉ phương của đường thẳng 
Vectơ  và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với , vectơ  cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
Vectơ  và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với , vectơ  cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
Trong mặt phẳng tọa độ , đường thẳng  có vectơ chỉ phương  thì có vectơ pháp tuyến là  hay . Ngược lại, đường thẳng  có vectơ pháp tuyến  thì có vectơ chỉ phương là   hay  

Trong không gian với hệ trục tọa độ , đường thẳng  có vectơ  và vectơ  là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa  với  hoặc giữa  với .

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Dạng tham số 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng  đi qua điểm  và nhận  làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của  là với  được gọi là tham số. Với mỗi giá trị  ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc 
Nếu  và , từ phương trình tham số ta khử tham số , ta được phương trình chính tắc .

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.

Dạng tổng quát 
Phương trình  với  được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó  là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt 
Đường thẳng   vuông góc với trục  tại điểm .

Đường thẳng   vuông góc với trục  tại điểm .

Đường thẳng   đi qua gốc tọa độ .

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn 
Đường thẳng đi qua 2 điểm  () và  () thì có thể được viết dưới dạng phương trình .

Hệ số góc của đường thẳng 
Cho đường thẳng  cắt trục  tại  và tia  là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục  mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia  hợp với tia  một góc . Đặt , khi đó  được gọi là hệ số góc của đường thẳng .

Đường thẳng có vecto chỉ phương  thì có hệ số góc .

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến  thì có hệ số góc .

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là .

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng 
Cho 2 đường thẳng:   và  .

 cắt    khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình

Góc giữa 2 đường thẳng 
Cho đường thẳng  và  cắt nhau tại điểm . Gọi  là vectơ pháp tuyến của  và  là vectơ pháp tuyến của . Gọi  là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó:

2 đường thẳng vuông góc thì .

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì .

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương.

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng 
Cho đường thẳng   và , khoảng cách từ điểm  đến  được tính theo công thức

Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng 
Cho đường thẳng   và 2 điểm ,  không nằm trên . Xét các biểu thức  và , khi đó  và  nằm cùng phía với  khi  và  cùng dấu, khác phía khi  và  trái dấu.

Phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng tham số 
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng  đi qua điểm  và nhận  làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của  là  với  được gọi là tham số. Với mỗi giá trị  ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc 
Nếu cả , ,  đều khác , từ phương trình tham số ta khử tham số , ta được phương trình chính tắc:

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng 
Cho đường thẳng  có vectơ chỉ phương  và  có vectơ chỉ phương . Gọi  là một điểm nằm trên  và  là một điểm nằm trên . Ta có:

  

   và 

 cắt   

 và  chéo nhau

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng 
Cho đường thẳng  đi qua điểm  và có vectơ chỉ phương . Khoảng cách từ điểm  đến  là

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 
Cho 2 đường thẳng chéo nhau  và . Đường thẳng  có vectơ chỉ phương  và đường thẳng  có vectơ chỉ phương . Gọi  là một điểm nằm trên  và  là một điểm nằm trên . Khi đó khoảng cách giữa  và  là

Xem thêm 
Đường thẳng

Liên kết ngoài 

 Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
 Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
 Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 
 Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao 

Hình học giải tích
__KHÔNG_MỤC_LỤC__