Phân bố Gibbs

Trong cơ học thống kê và toán học, một phân bố Boltzmann (còn gọi là phân bố Gibbs) là một phân bố xác suất hoặc độ đo xác suất đưa ra xác suất để một hệ thống sẽ ở trong một trạng thái nhất định như một hàm của năng lượng trạng thái đó và nhiệt độ của hệ thống. Phân bố này được biểu diễn dưới dạng:

trong đó  là xác suất hệ thống ở trạng thái ,  là hàm mũ,  là năng lượng của trạng thái đó, và hằng số  của phân bố là tích của hằng số Boltzmann  và nhiệt độ nhiệt động lực học . Ký hiệu  biểu thị tỷ lệ thuận (xem  để biết về hằng số tỷ lệ).

Thuật ngữ hệ thống ở đây có ý nghĩa rộng; nó có thể bao gồm từ một tập hợp "đủ số lượng" các nguyên tử hoặc một nguyên tử đơn lẻ cho đến một hệ thống vĩ mô như một bể chứa khí thiên nhiên. Do đó, phân bố Boltzmann có thể được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề đa dạng. Phân bố cho thấy các trạng thái có năng lượng thấp hơn sẽ luôn có xác suất chiếm đóng cao hơn.

Tỷ số xác suất của hai trạng thái được gọi là thừa số Boltzmann và đặc trưng chỉ phụ thuộc vào hiệu năng lượng của các trạng thái:

Phân bố Boltzmann được đặt theo tên của Ludwig Boltzmann, người đầu tiên xây dựng nó vào năm 1868 trong các nghiên cứu của ông về cơ học thống kê của các chất khí trong cân bằng nhiệt. Công trình thống kê của Boltzmann được trình bày trong bài báo của ông "Về mối quan hệ giữa Định lý cơ bản thứ hai của Lý thuyết cơ học về nhiệt và các tính toán xác suất liên quan đến các điều kiện cân bằng nhiệt" ("On the Relationship between the Second Fundamental Theorem of the Mechanical Theory of Heat and Probability Calculations Regarding the Conditions for Thermal Equilibrium").
 
Phân bố này sau đó được nghiên cứu sâu rộng, dưới dạng tổng quát hiện đại của nó, bởi Josiah Willard Gibbs vào năm 1902.

Không nên nhầm lẫn phân bố Boltzmann với phân bố Maxwell–Boltzmann hay thống kê Maxwell–Boltzmann. Phân bố Boltzmann đưa ra xác suất để một hệ thống ở trong một trạng thái nhất định như một hàm của năng lượng trạng thái đó, trong khi các phân bố Maxwell–Boltzmann đưa ra xác suất về tốc độ hoặc năng lượng của hạt trong khí lý tưởng. Tuy nhiên, phân bố năng lượng trong một chất khí một chiều thực sự tuân theo phân bố Boltzmann.

Phân bố

Phân bố Boltzmann là một phân bố xác suất đưa ra xác suất của một trạng thái nhất định như một hàm của năng lượng trạng thái đó và nhiệt độ của hệ thống mà phân bố được áp dụng. Nó được cho bởi công thức:

trong đó:
  là hàm mũ,
  là xác suất của trạng thái ,
  là năng lượng của trạng thái , 
  là hằng số Boltzmann, 
  là nhiệt độ tuyệt đối của hệ thống,
  là số lượng tất cả các trạng thái mà hệ thống quan tâm có thể tiếp cận, 
  (được một số tác giả ký hiệu là ) là mẫu số chuẩn hóa, chính là hàm tổng trạng thái chính tắc Nó xuất phát từ ràng buộc rằng tổng xác suất của tất cả các trạng thái có thể tiếp cận phải bằng 1.

Sử dụng nhân tử Lagrange, người ta có thể chứng minh rằng phân bố Boltzmann là phân bố tối đa hóa entropy

với ràng buộc chuẩn hóa là  và ràng buộc rằng  bằng một giá trị năng lượng trung bình cụ thể, ngoại trừ hai trường hợp đặc biệt. (Những trường hợp đặc biệt này xảy ra khi giá trị trung bình là năng lượng cực tiểu hoặc cực đại của các . Trong những trường hợp này, phân bố tối đa hóa entropy là giới hạn của các phân bố Boltzmann khi  tiến tới 0 từ phía trên hoặc phía dưới tương ứng.)

Hàm tổng trạng thái có thể được tính toán nếu chúng ta biết năng lượng của các trạng thái mà hệ thống quan tâm có thể tiếp cận. Đối với các nguyên tử, giá trị hàm tổng trạng thái có thể được tìm thấy trong Cơ sở dữ liệu Phổ nguyên tử của Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ Quốc gia (NIST).

Phân bố cho thấy các trạng thái có năng lượng thấp hơn sẽ luôn có xác suất được chiếm đóng cao hơn so với các trạng thái có năng lượng cao hơn. Nó cũng đưa ra mối quan hệ định lượng giữa xác suất được chiếm đóng của hai trạng thái. Tỷ lệ xác suất cho các trạng thái  và  được cho bởi:

trong đó:
  là xác suất của trạng thái , 
  là xác suất của trạng thái , 
  là năng lượng của trạng thái ,
  là năng lượng của trạng thái .

Tỷ lệ dân số tương ứng của các mức năng lượng cũng phải tính đến độ suy biến của chúng.

Phân bố Boltzmann thường được sử dụng để mô tả sự phân bố của các hạt, chẳng hạn như nguyên tử hoặc phân tử, trên các trạng thái liên kết mà chúng có thể tiếp cận. Đối với một hệ thống bao gồm nhiều hạt, xác suất để một hạt ở trạng thái  thực tế là xác suất để khi chọn một hạt ngẫu nhiên từ hệ thống đó, ta sẽ tìm thấy nó ở trạng thái . Xác suất này bằng số lượng hạt ở trạng thái  chia cho tổng số hạt trong hệ thống, đó là phần hạt chiếm giữ trạng thái :

trong đó  là số lượng hạt ở trạng thái , và  là tổng số hạt trong hệ thống. Phân bố Boltzmann đưa ra các xác suất này cho một hệ thống trong cân bằng nhiệt. Do đó, phương trình đưa ra phần hạt ở trạng thái  như một hàm của năng lượng trạng thái đó là

Phương trình này có tầm quan trọng lớn đối với phổ học. Phổ học quan sát các vạch phổ của nguyên tử hoặc phân tử trải qua quá trình chuyển dời từ trạng thái này sang trạng thái khác. Để điều này có thể xảy ra, phải có một số hạt ở trạng thái đầu tiên để trải qua quá trình chuyển dời. Phần hạt của chúng có thể được ước tính từ phân bố Boltzmann. Nếu phần này không đáng kể, quá trình chuyển dời rất có thể sẽ không được quan sát thấy ở nhiệt độ mà tính toán được thực hiện. Nói chung, một phần phân tử lớn hơn ở trạng thái đầu tiên đồng nghĩa với số lượng chuyển dời sang trạng thái thứ hai cao hơn. Điều này tạo ra một vạch phổ mạnh hơn. Tuy nhiên, có những yếu tố khác ảnh hưởng đến cường độ của một vạch phổ, chẳng hạn như việc nó được gây ra bởi một chuyển dời được phép hay một chuyển dời bị cấm.

Hàm softmax thường được sử dụng trong học máy có liên quan đến phân bố Boltzmann:

Phân bố Boltzmann tổng quát 
Một phân bố có dạng

được một số tác giả gọi là phân bố Boltzmann tổng quát.

Phân bố Boltzmann là một trường hợp đặc biệt của phân bố Boltzmann tổng quát. Phân bố Boltzmann tổng quát được sử dụng trong cơ học thống kê để mô tả tập hợp chính tắc, tập hợp đại chính tắc và tập hợp đẳng nhiệt–đẳng áp. Phân bố Boltzmann tổng quát thường được suy ra từ nguyên lý entropy cực đại, nhưng cũng có những cách suy dẫn khác.

Phân bố Boltzmann tổng quát có các tính chất sau:
 Nó là phân bố duy nhất mà entropy được định nghĩa bởi công thức entropy Gibbs khớp với entropy được định nghĩa trong nhiệt động lực học cổ điển.
 Nó là phân bố duy nhất nhất quán về mặt toán học với quan hệ nhiệt động lực học cơ bản, nơi các hàm trạng thái được mô tả bằng trung bình tập hợp.

Trong cơ học thống kê 

Phân bố Boltzmann xuất hiện trong cơ học thống kê khi xem xét các hệ kín có thành phần cố định nằm trong cân bằng nhiệt (cân bằng đối với trao đổi năng lượng). Trường hợp tổng quát nhất là phân bố xác suất cho tập hợp chính tắc. Một số trường hợp đặc biệt (có thể suy ra từ tập hợp chính tắc) cho thấy phân bố Boltzmann ở các khía cạnh khác nhau:

 Tập hợp chính tắc (trường hợp tổng quát)
 Tập hợp chính tắc đưa ra các xác suất của các trạng thái khả dĩ khác nhau của một hệ kín có thể tích cố định, trong cân bằng nhiệt với một bể nhiệt. Tập hợp chính tắc có phân bố xác suất trạng thái mang dạng Boltzmann.
 Tần suất thống kê của các trạng thái hệ con (trong một tập hợp không tương tác)
 Khi hệ thống quan tâm là một tập hợp của nhiều bản sao không tương tác của một hệ con nhỏ hơn, đôi khi việc tìm tần suất thống kê của một trạng thái hệ con nhất định trong tập hợp là hữu ích. Tập hợp chính tắc có tính chất tách biệt khi áp dụng cho một tập hợp như vậy: miễn là các hệ con không tương tác có thành phần cố định, thì trạng thái của mỗi hệ con độc lập với các hệ con khác và cũng được đặc trưng bởi một tập hợp chính tắc. Kết quả là, phân bố tần suất thống kê kỳ vọng của các trạng thái hệ con có dạng Boltzmann.
 Thống kê Maxwell–Boltzmann của các khí cổ điển (hệ thống các hạt không tương tác)
 Trong các hệ hạt, nhiều hạt chia sẻ cùng một không gian và thường xuyên đổi chỗ cho nhau; không gian trạng thái đơn hạt mà chúng chiếm giữ là một không gian chung. Thống kê Maxwell–Boltzmann đưa ra số lượng hạt kỳ vọng được tìm thấy trong một trạng thái đơn hạt nhất định, trong một chất khí cổ điển gồm các hạt không tương tác ở trạng thái cân bằng. Phân bố số lượng kỳ vọng này có dạng Boltzmann.

Mặc dù các trường hợp này có những điểm tương đồng mạnh mẽ, nhưng việc phân biệt chúng là hữu ích vì chúng được khái quát hóa theo những cách khác nhau khi các giả định quan trọng bị thay đổi:
 Khi một hệ thống ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực học đối với cả trao đổi năng lượng và trao đổi hạt, yêu cầu về thành phần cố định được nới lỏng và ta thu được tập hợp đại chính tắc thay vì tập hợp chính tắc. Mặt khác, nếu cả thành phần và năng lượng đều cố định, thì tập hợp vi chính tắc sẽ được áp dụng thay thế.
 Nếu các hệ con trong một tập hợp có tương tác với nhau, thì tần suất kỳ vọng của các trạng thái hệ con không còn tuân theo phân bố Boltzmann nữa, và thậm chí có thể không có nghiệm giải tích. Tuy nhiên, tập hợp chính tắc vẫn có thể được áp dụng cho các trạng thái tập thể của toàn bộ hệ thống được coi như một tổng thể, miễn là toàn bộ hệ thống ở trạng thái cân bằng nhiệt.
 Với các khí lượng tử gồm các hạt không tương tác ở trạng thái cân bằng, số lượng hạt được tìm thấy trong một trạng thái đơn hạt nhất định không tuân theo thống kê Maxwell–Boltzmann, và không có biểu thức dạng khép kín đơn giản cho các khí lượng tử trong tập hợp chính tắc. Trong tập hợp đại chính tắc, thống kê điền đầy trạng thái của các khí lượng tử được mô tả bởi thống kê Fermi–Dirac hoặc thống kê Bose–Einstein, tùy thuộc vào việc các hạt là fermion hay boson tương ứng.

Trong toán học 

 Trong các thiết lập toán học tổng quát hơn, phân bố Boltzmann còn được gọi là độ đo Gibbs.
 Trong thống kê và học máy, nó được gọi là mô hình log-tuyến tính.
 Trong học sâu, phân bố Boltzmann được sử dụng trong phân bố lấy mẫu của các mạng nơ-ron ngẫu nhiên như máy Boltzmann, máy Boltzmann hạn chế, mô hình dựa trên năng lượng và máy Boltzmann sâu. Trong học sâu, máy Boltzmann được coi là một trong những mô hình học không giám sát. Trong thiết kế máy Boltzmann ở học sâu, khi số lượng nút tăng lên, khó khăn trong việc triển khai trong các ứng dụng thời gian thực trở nên nghiêm trọng, vì vậy một loại kiến trúc khác có tên là Máy Boltzmann hạn chế đã được giới thiệu.

Trong kinh tế học 

Phân bố Boltzmann có thể được đưa vào để phân bổ giấy phép trong giao dịch khí thải.  
Một phương pháp phân bổ mới, được gọi là Phân chia công bằng Boltzmann, sử dụng phân bố Boltzmann để mô tả sự phân bố tự nhiên, không thiên vị và có xác suất cao nhất của các giấy phép phát thải giữa nhiều quốc gia.  
Khung này đã được mở rộng thêm để giải quyết các vấn đề chung về công bằng phân phối, bao gồm bài toán cắt bánh và phân bổ nguồn lực, bằng cách cho phép linh hoạt trong cách tính trọng số các yếu tố như sự đóng góp, nhu cầu hoặc sở thích. Phân chia công bằng Boltzmann được công nhận vì cung cấp một mô hình xác suất đơn giản nhưng mạnh mẽ có thể thích ứng với các bối cảnh xã hội, chính trị và kinh tế khác nhau.

Phân bố Boltzmann có cùng dạng với mô hình logit đa thức. Là một mô hình lựa chọn rời rạc, mô hình này rất nổi tiếng trong kinh tế học kể từ khi Daniel McFadden tạo ra mối liên hệ với việc tối đa hóa độ thỏa dụng ngẫu nhiên.

Xem thêm 
Phân chia công bằng Boltzmann
Thống kê Bose–Einstein
Thống kê Fermi–Dirac
Nhiệt độ âm
Hàm softmax

Tham khảo 

Statistical mechanics
Distribution